/
Author: Медведев Ф.А.
Tags: математика теория множеств естественные науки история математики
Year: 1965
Text
ф.А. МЕДВЕДЕВ
VI'in К ПР IX Т
ж ж жж Ж/
ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
В XIX ВЕКЕ
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
Ф.А. МЕДВЕДЕВ
РАЗВИТИЕ
ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
в XIX ВЕКЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 1965
УДК 519.50(091) «18»
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР
доктор физико-математических наук
А. П. ЮШКЕВИЧ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теорию множеств, созданную в XIX в. Георгом Кантором, Ри-
хардом Дедекиндом и другими математиками, сейчас нередко на-
зывают «наивной теорией множеств». Такое наименование укре-
пилось за ней потому, что идеи и методы этой теории не были фор-
мализованы и аксиоматизированы. Различные системы аксиом
теории множеств были предложены в XX в. рядом математиков:
Е. Цермело, А. Френкелем, Дж. фон Нейманом, А. Мостовским и
т. д. Именно в одной из этих форм она по преимуществу является
объектом теоретических изысканий в текущем столетии. Однако
в практике исследований таких математических дисциплин, как
алгебра, топология, функциональный анализ и т. д., используется
главным образом та самая «наивная» теория, которую создали в
основном ученые прошлого века. В настоящей книге рассмотрен
процесс создания первоначальной теории множеств. Изложение до-
ведено в основном до начала XX в.
Идея данной книги принадлежит доктору физ.-матем. наук
проф. А. П. Юшкевичу. Им было внесено много ценных предложе-
ний по усовершенствованию рукописи. С рукописью ознакомились
также доктор физ.-матем. наук проф. Л. В. Келдыш и доктор физ.-
матем. наук проф. И. Н. Веселовский. Всем названным лицам ав-
тор выражает искреннюю благодарность. Их замечания и предло-
жения автор постарался в меру возможности учесть.
ВВЕДЕНИЕ
В истории математики было немного таких моментов, которые
по своей общематематической и философской значимости сравни-
мы с революционным переворотом, совершенным созданием тео-
рии множеств. Он равнозначен факту осознания математики как
дедуктивной науки в древней Греции, созданию в XVII—XVIII вв.
классического математического анализа и построению неевклидо-
вых геометрий в XIX столетии.
Основным понятием теории множеств является, несомненно,
понятие актуальной бесконечности. Фактически это понятие в той
или иной его форме, явно или неявно, ученые использовали с тех
пор, как математика стала дедуктивной наукой. Но только в тео-
рии множеств оно стало объектом самостоятельного научного рас-
смотрения. И, как отметил видный специалист по теории мно-
жеств А. А. Френкель, «завоевание актуальной бесконечности ме-
тодами теории множеств можно рассматривать как расширение
нашего научного горизонта, не меньшее по значению, чем копер-
никовская система в астрономии и теория относительности или
даже квантовая теория в физике» Ч
Во всяком случае можно сказать, что практически почти все
развитие математики первой половины XX столетия происходит
под прямым или косвенным влиянием теории множеств. «Теория
множеств и ее ближайшие приложения не только образовали но-
вый предмет математического исследования; значение теории мно-
жеств оказалось неизмеримо большим: она дала универсальный
новый метод, быстро захвативший всю математику» 1 2. И хотя в
настоящее время существует много методов и ряд новых отраслей
математики, выходящих за пределы теоретико-множественных
идей, тем не менее значение теории множеств остается очень
большим.
Не говоря уже о таких математических дисциплинах, как тео-
рия функций действительного переменного, общая топология,
1 A. A. Fraenkel. Abstract set theory. Amsterdam, 1953, p. 331.
2 II. С. Александров. Предисловие к книге Ж. де Рама «Диффе-
ренцируемые многообразия». М., ИЛ, 1956, стр. 5.
5
функциональный анализ, непосредственно выраставших из теории
множеств -и на ее основе, можно указать и такие, как теория ве-
роятностей и алгебра, которые во многом сложились еще до созда-
ния теории множеств, но под влиянием последней претерпели
существенное изменение. «Невозможен никакой компромисс в
вопросе о взаимоотношении теории вероятностей с другими раз-
делами математики. Теория вероятностей — это просто одна из
ветвей теории меры, отличающаяся особым вниманием к некото-
рым специальным понятиям этой теории и своей особой областью
приложений» 3. Столь же определенно говорится и об алгебре:
«В основе общей алгебры лежат понятия и методы теории мно-
жеств» 4.
Число таких высказываний высококвалифицированных специа-
листов можно значительно увеличить, но и приведенных достаточ-
но для характеристики роли теории множеств в современной мате-
матике.
В связи со сказанным определенную настороженность вызы-
вает то обстоятельство, что теорию множеств XIX столетия неред-
ко представляют творением одного человека. Так, в предисловии
к собранию сочинений Г. Кантора Е. Цермело писал: «В истории
науки случается очень редко, чтобы целая научная дисциплина
основополагающего значения была обязана творчеству единого
лица. Это произошло с построенной Георгом Кантором теорией
множеств — новой математической дисциплиной, основы которой
были созданы на протяжении приблизительно 25 лет в ряде сочи-
нений одного и того же исследователя; ...все более поздние иссле-
дования в этой области воспринимаются лишь как дополнительное
развитие его основных мыслей» 5.
Действительно ли, однако, дело обстоит так, что столь обшир-
ная и столь важная научная дисциплина является единоличным
творением Кантора? Из истории математики известно, насколько
трудно иногда однозначно связать даже отдельные понятия или
теоремы с именами тех или иных математиков. Как правило, под-
ход к значительному математическому понятию является неодно-
значным, разные математики подходят к нему по-разному, исходя
иногда из самых разнообразных, на первый взгляд не связанных
между собою, задач. A priori поэтому приведенные слова Цермело
выглядят как явное преувеличение. В самом деле, как мы увидим
впоследствии, они действительно не совсем соответствуют факти-
ческому положению вещей. У Кантора были и предшественники
и современники почти во всех вопросах разрабатываемой им тео-
рии. По разным причинам им не удалось получить таких серьез-
3 Д. Л. Д у б. Вероятностные процессы. М., ИЛ, 1956, стр. 7.
4 А. Г. К v р о ш. Лекции по общей алгебре. М., Физматгиз, 1962, стр. 9.
5 G. Cantor. Gesammelte Abhandlungen. Berlin, 1932, S. III. Далее
ссылка на эту работу приводится в виде: G. Cantor. Ges. Abh...
6
ных результатов, каких добился Кантор, но все же очень многое
в теории множеств было сделано или до Кантора, или независимо
от него.
Этим не умаляются заслуги Кантора в создании теории мно-
жеств. Его заслуги бесспорны, и об этом не раз придется говорить
впоследствии. Отрицается просто возможность исторически неза-
кономерного построения новой научной дисциплины без подготов-
ленной для этого почвы и без участия большой группы ученых в
ее разработке.
На протяжении XIX столетия в самых разнообразных отраслях
математики вырастали теоретико-множественные идеи, и эти идеи
более или менее сознательно начали разрабатывать многие уче-
ные. И тот же Дедекинд, если бы он уделил столько внимания
самостоятельной разработке новой теории, добился бы, вероятно,
не меньших результатов, нежели Кантор. Исторически так не слу-
чилось. Именно Кантор сумел разглядеть в возникавших в раз-
личных отраслях математики новых объектах — бесконечных мно-
жествах разных типов — самостоятельный, интересный и важный
предмет исследования. Почувствовав значение возникающей мате-
матической дисциплины, он забросил свои исследования по теории
чисел и теории функций, целиком посвятив себя разработке проб-
лем, связанных с учением о множествах.
Истории теории множеств посвящено довольно много серьез-
ных работ. Из них в первую очередь следует указать книгу
В. Л. Некрасова «Строение и мера линейных точечных областей» 6,
добрая половина которой (главы I и III) посвящена истории тео-
рии точечных множеств; затем цикл статей Ф. Журдэна под об-
щим названием «Развитие теории трансфинитных чисел» 7, книгу
Ж. Кавайе «Замечания о формировании абстрактной теории мно-
жеств» 8. Богатейший историко-математический материал содер-
жится в ряде работ А. Шёнфлиса, подытоженных в книге «Раз-
витие теории множеств и ее применений»9. Очень много самых
разнообразных исторических данных содержится в немецкой и
французской энциклопедиях математических наук. Имеется так-
же ряд статей, в которых рассмотрены отдельные вопросы истории
теории множеств, и несколько статей, посвященных Георгу Кан-
тору.
Тем не менее история теории множеств далеко не исчерпана,
да и вряд ли будет исчерпана в ближайшее время. С последующим
6 Томск, 1907.
7 Ph. Е. В. Jourdain. The development of the theory of transfinite num-
bers.—Arch. Math, und Phys., 1906, 10, 254—281; 1909, 14, 289—311; 1910, 16,
21-43; 1914, 22, 1-21.
8 J. Cavailles. Remarques sur la formation de la theorie abstraite des
ensembles, I, II. Paris, 1938.
9 A. Schoenflies. Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwen-
dungen. Leipzig und Berlin, 1913.
7
развитием науки этот поворотный момент выглядит по-новому.
Так, например, становление математики как дедуктивной науки
в древней Греции давно является объектом исследований истори-
ков математики. И тем не менее к этому вопросу возвращаются
все вновь и вновь, раскрывая новые важные стороны, не замечен-
ные прежними исследователями. Можно думать, что и с вопросом
становления теории множеств дело будет обстоять аналогичным
образом.
В указанной литературе по истории теории множеств возник-
новение последней представляется как итог исследований по осно-
ваниям математики, главным образом исследований по обоснованию
классического анализа и теории функций. Действительно, эти ис-
следования явились важным источником теоретико-множествен-
ных идей и методов. Но не только они одни. На наш взгляд, в воз-
никновении теории множеств в той или иной мере «повинны» все
основные направления математики XIX столетия. Это относится
и к теории чисел, и к проективной геометрии 10 11, и к алгебре, и,
как уже говорилось, к анализу и теории функций. И подобно тому,
как после формирования теория множеств надолго стала осно-
вой для последующего развития математики в целом, так и ее
создание явилось в некотором смысле итогом развития почти всей
математики XIX столетия.
При нынешнем состоянии исследований по истории математи-
ки XIX столетия не представляется возможным доказать этот те-
зис во всем его объеме. Ниже сделана лишь одна из попыток в
этом направлении.
В математике уже давно ощущалась недостаточность тех логи-
ческих средств, которыми располагала традиционная формальная
логика. Ее внутреннее развитие до XIX столетия происходило на-
столько незаметно, что с известным правом И. Кант мог сказать:
«Замечательно, что логика до сих пор не могла также сделать ни
одного шага вперед (после Аристотеля. — Ф. М.) и, по-ъидимому,
имеет совершенно замкнутый, законченный характер» и. Однако
его вывод о законченности характера формальной логики был не-
правилен, и в связи с этим в 1812 г. Гегель писал: «Но если со
времени Аристотеля логика не подверглась никаким изменениям,
...то мы отсюда должны сделать скорее тот вывод, что она тем
больше нуждается в полной переработке; ибо двухтысячелетняя
непрерывная работа духа должна была доставить более высокое
сознание о своем мышлении...» 12.
10 На теорию чисел и проективную геометрию как важные источники
теоретико-множественных представлений вкратце указал П. С. Александров
в одной из лекций, прочитанных в июне 1962 г. на курсах усовершенство-
вания учителей.
11 Предисловие ко второму изданию «Критики чистого разума». Перевод
Н. Лосского. Пг., 1915, стр. 9.
12 Гегель. Наука логики. М., Соцэкгиз, 1937, стр. 30.
8
Эта двухтысячелетняя «работа духа», работа человеческой мыс-
ли, происходила в самых разнообразных областях сознательной
деятельности человечества и, быть может, наиболее интенсивно
именно в области математики, вопреки мнению Гегеля о бедности
логическим содержанием математических суждений и о непригод-
ности использования в логике средств математики 13.
В частности, в математике был разработан очень полезный
язык формул, в который хорошо укладывались многие составные
части математического мышления, и ход рассуждений в ряде слу-
чаев представлялся в виде формального преобразования некоторых
исходных формул по определенным правилам. В первой половине
XIX столетия, главным образом в алгебре, было уже отчетливо
осознано то обстоятельство, что один и тот же формальный язык
применим не только к конкретным объектам определенного рода
(например, к действительным числам), но и к довольно широкому
классу математических объектов различных родов (комплексным
числам, векторам, кватернионам и т. д.). Наиболее характерной в
этом отношении была, быть может, «Алгебра» Дж. Пикока14.
В первой ее части буквенное исчисление изложено при условии
интерпретации букв только как действительных чисел. Во второй
же части буквы и алгебраические действия над ними рассматри-
ваются как чисто формальные символы и их преобразования по оп-
ределенным правилам.
«Вместе с развитием алгебры не могла не поразить аналогия
между правилами формальной логики и правилами алгебры, при-
меняемыми в том и другом случаях к неконкретизируемым далее
объектам (предложениям или числам)» 15. И с середины XIX сто-
летия, когда эта аналогия была осознана, начала создаваться ма-
тематическая логика, разработка которой связана с именами Буля,
Де Моргана, Джевонса, Пирса, Фреге, Пеано, Шрёдера и ряда
других математиков. Логические связи между суждениями и по-
нятиями были выражены в математических формулах, а получение
логических следствий предстало как формальное преобразование
исходных формул по фиксированным правилам. Такое применение
математического формализма позволило • существенно раздвинуть
рамки традиционной формальной логики.
Однако исследования по математической логике на первых
порах производились вне связи с основными направлениями чисто
математических исследований. Многие математики о них, как
правило, просто не знали или же не осознавали их значение. Меж-
ду тем потребность в применении логики и расширении ее средств
13 Гегель. Наука логики. М., Соцэкгиз, 1937, стр. 31—32.
14 G. Peacock. Arithmetical algebra. Cambridge, 1842; Symbolical alge-
bra. Cambridge, 1843.
15 N. В о u r b a k i. Elements d’histoire des mathematiques. Paris, 1960,
p. 15. (Здесь цитируется в нашем переводе; русский перев. см. Н. Б у р б а-
ки. Очерки по истории математики. М., ИЛ, 1963, стр. 14).
9
была столь настоятельной, что математики вынуждены были прий-
ти к логике еще с одной стороны. В разработанном ими учении
о множествах они создали аппарат, оказавшийся содержательной
теорией значительной части математической логики.
Этот второй подход математиков к логике был в некотором
смысле противоположным тому, каким они шли к математической
логике. Если к последней приводил путь использования в логике
языка формул, то к теории множеств математики шли, скорее от-
казываясь от этого языка.
Одно из основных отличий математики XVIII в. от матема-
тики XIX в. заключается в следующем. «...Будучи по существу
методом, а в своих высших частях (дифференциальные уравне-
ния) часто и собранием разрозненных методов решения задач, по-
ставленных естествознанием, математика XVIII века естественно
имела калькулятивный, вычислительный и формульный (алгорит-
мический) характер» 16. Этот характер математики считался сами-
ми математиками как раз тем свойством, которое отличает ее от
других наук. Там, где приходилось встречаться с недостаточно-
стью традиционных вычислительных алгоритмов, где требовалось
применить более общие способы рассуждений, там не желали ви-
деть математической проблемы.
Показательна в этом отношении характеристика Эйлера топо-
логической задачи о кенигсбергских мостах. Он сразу же осознал,
что она не может быть решена обычными методами геометрии, ал-
гебры или комбинаторики, решил ее 17\ ню, сообщая свое решение
Элеру, писал: «Это решение, по-видимому, имеет мало отношения
к математике, и мне непонятно, почему следует скорее ют матема-
тика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого
человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассужде-
нием, и нет необходимости привлекать для нахождения этого ре-
шения какие-либо законы, свойственные математике» 18.
Но, как отметил еще Э. Галуа, «начиная с Эйлера, вычисления
становятся все более и более необходимыми и вместе с тем все
более и более трудными, по мере того, как их начинают применять
ко все более и более возвышенным разделам науки. В начале на-
шего века алгоритмы достигли такой степени сложности, что если
бы современные математики не придавали своим исследованиям
ту стройность, при которой можно быстро, с одного взгляда охва-
тить значительное число операций, всякое движение вперед стало
бы невозможным» 19. И эта невозможность успешного продвиже-
16 П. С. Александров. Русская математика XIX и XX вв. и ее влия-
ние на мировую науку. Ученые записки МГУ, 1947, 1, вып. 91, стр. 4.
17 Л. Э й л е р. Письма к ученым. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1963, стр. 153.
18 Там же, стр. 339.
19 Цит. по кн.: А. Д а л ь м а. Эварист Галуа — революционер и матема-
тик. М., Физматгиз, I960, стр. 144—145.
10
ния вперед в решении все усложняющихся математических задач
путем использования прежних методов отчетливо осознается наи-
более выдающимися математиками XIX столетия. Начинают разра-
батываться такие общие понятия, как группа, поле, кольцо, струк-
тура в алгебре, функция и предел (в анализе. И, наконец, создается
совокупность чрезвычайно общих понятий теории множеств. Вы-
числения в значительной мере заменяются рассуждениями.
Математика в своем последовательном развитии поднималась
с одной ступени на другую по лестнице возрастающей абстрактно-
сти мышления. Но сколь бы ни была высокой степень абстрактно-
сти математических понятий, она не достигала уровня абстрактно-
сти, свойственного классической аристотелевской логике.
Положение коренным образом изменилось с созданием абст-
рактной теории множеств. Понятия последней достигли такой сте-
пени общности, что они или сравнялись по общности с понятием
классической логики, или даже (вышли за пределы абстрактности
традиционных логических понятий. Теория множеств в значитель-
ной своей части стала математической логикой, выраженной на
другом, содержательном языке.
Тесное переплетение математической логики и теории мно-
жеств произошло уже в XX столетии. Рассмотрение этого вопроса
выходит за рамки настоящего исследования. Однако и в XIX в.
связи теории множеств и математической логики достаточно ощу-
тимы, и нам не раз придется отмечать их.
Вследствие того, что математика в теории множеств доросла
до логики, возникла ожесточенная идеологическая борьба вокруг
нового раздела математики. Логические исследования теснее, чем
какие-либо другие, связаны с общефилософским мировоззрением
ученого, поэтому расхождения во взглядах на предмет математи-
ки в целом и на предмет теории множеств в частности приняли
более обнаженную форму. Однако все это отчетливо выразилось
опять-таки в XX столетии; в XIX же можно обнаружить лишь
зарождение тенденций этой идеологической борьбы. Тогда проис-
ходило лишь становление новой научной дисциплины, с трудом
пробивавшей себе дорогу среди тесно переплетенных ветвей мощ-
ного дерева математических наук, и далеко не все видели перспек-
тивы этого становления.
Вырастая «во многом из потребностей более строгого обоснова-
ния различного рода рассуждений, широко применявшихся в мате-
матике, теория множеств после ее создания (а иногда в процессе
этого создания) стала, в свою очередь, применяться для обосно-
вания различных разделов математики. Но не успела теория мно-
жеств сформироваться в качестве самостоятельной научной дис-
циплины, едва начали осознавать необходимость ее (в вопросах обо-
снования математики, как разные исследователи, начиная с
самого Кантора, обнаружили внутри этой теории ряд серьезных па-
радоксов. Теория множеств, предназначавшаяся было для более
И
строгого обоснования математики в целом, сама оказалась ли-
шенной основ. «Надо согласиться, что состояние, в котором мы на-
ходимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное
время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце до-
стоверности и истинности — образование понятий и ход умозаклю-
чений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к
нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже
само математическое мышление дает осечку?» 20
С тех пор, как был исторгнут этот крик души крупнейшего ма-
тематика первой половины XX столетия, прошло почти сорок лет.
Однако положение с парадоксами теории множеств ничуть не из-
менилось, несмотря на предпринятые усилия по их устранению.
По-прежнему они довлеют над сознанием математиков, их пере-
писывают из книги в книгу, из статьи в статью, но пока не сдела-
но каких-либо существенных шагов к освобождению от них мате-
матического мышления.
Приведенные слова Гильберта относятся не только к парадок-
сам теории множеств, но и к ряду широко употребляющихся в
ней способов рассуждений, вроде математических доказательств
с использованием аксиомы Цермело, закона исключенного третье-
го, совокупности всех трансфинитных чисел второго числового
класса, диагонального метода.
Фактически такого типа рассуждения, как правило, сложились
в математике задолго до того, как теория множеств начала созда-
ваться в качестве самостоятельной научной дисциплины. Ими ши-
роко пользовались в самых разнообразных разделах математики,
не формулируя их в явном виде, и никто не возражал против их
употребления. Но тогда, когда в теории множеств им был придан
тот характер общности, каким вообще обладает эта теория, когда
вследствие этой общности они приняли отчетливо выраженную
форму, тотчас же возникли многочисленные возражения. Мнения
математиков разделились: одни категорически выступили против
таких типов рассуждений, другие высказались за безусловное их
признание, третьи колебались в ту или иную сторону.
Особенно наглядно это проявилось в отношении аксиомы Цер-
мело. Формулировка ее чрезвычайно проста: если имеется неко-
торое семейство непустых множеств, то можно рассматривать мно-
жество, элементами которого будут выбранные по одному элемен-
ты множеств заданного семейства. Вместе с тем, основываясь на
ней, можно получать математические результаты довольно стран-
ного характера. Как показали С. Банах и А. Тарский, сферу
радиуса R можно разбить на конечное число таких неперекрываю-
щихся частей, что, перемещая последние как твердые тела и при-
кладывая их друг к другу соответствующим образом, можно по-
20 D. Hilbert. Uber das Unendliche.— Math. Ann., 1925, 95, 161—190.
Русский перевод в кн.: Д. Гильберт. Основания геометрии. М.— Л., ОГИЗ
ГИТТЛ, 1948, стр. 349.
12
лучить новую сферу радиуса 2R, причем не теряется ни одной точ-
ки первой сферы н не вводится новых точек21.
В явном виде ага аксиома была сформулирована только ’в
1904 г.22 Фактически же ею широко пользовались на протяжении
всего XIX столетия 23. Даже возражения против использования
этой аксиомы были высказаны еще до ее явной формулировки24.
После опубликования работы Цермело возникла довольно серьез-
ная полемика между Ж. Адамаром, Э. Борелем, Р. Бэром и А. Ле-
бегом 25, в частности о правомочности аксиомы выбора. С тех пор
вопрос этот неоднократно обсуждался, но до сегодняшнего дня еди-
ного мнения не существует.
Несмотря на возражения многих математиков против исполь-
зования рассуждений, связанных с аксиомой Цермело, она и до
сих пор находит себе широчайшее применение в практике матема-
тических исследований. «Вопрос о логических основах этой акси-
омы и о законности ее использования принадлежит к числу самых
трудных и спорных вопросов обоснования теории множеств. Мы
не могли бы, однако, обойтись без аксиомы выбора» 26.
Таким образом, несмотря на наличие в теории множеств серь-
езнейших противоречий, несмотря на наличие в ней сомнительных
методов рассуждений (без которых нет той теории множеств, ко-
торая требуется для ее математических приложений), эта теория
и на сегодняшний день остается фундаментом, на котором строится
значительная часть современной математики. Положение здесь
в некотором смысле сходно с положением в анализе в XVIII сто-
летии. Тогда большинство математиков также видело логическую
противоречивость исходных принципов анализа. Многие из них
безуспешно пытались преодолеть эти трудности, но из-за этого не
отказывались от использования аналитических «средств в других
науках, да и сам анализ развивался -весьма успешно.
Тот факт, что предметом настоящей работы выбрана история
теории множеств в XIX в., не означает, что до этого периода в
математике не было теоретико-множественных идей. Они, как мы
уже упоминали, 'существовали в математике со времени становле-
ния ее как дедуктивной науки. Понятие бесконечности — одно из
основных понятий науки вообще, и многие ученые, в том числе
21 Н. Н. Лузин. Собр. соч., т. II. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 518.
22 Е. Z е г m е 1 о. Beweis, daB jede Menge wohlgeordnet werden kann.—
Math. Ann., 1904, 59, 514—516.
23 Об использовании аксиомы Цермело в анализе и теории множеств
см.: В. К. Серпинский. Аксиома Zermelo и ее роль в теории множеств
и в анализе.— Матем. сб., 1924, 31, стр. 94—128. Многочисленные примеры
применения этой аксиомы в теории чисел и в алгебре будут указаны далее.
24 G. Peano. Demonstration de 1’integrabilite des equations difference)
les ordinaires.— Math. Ann., 1890, 37, 210.
25 Cinq lettres sur la theorie des ensembles.— В кн.: E. Borel. Lemons
sur la theorie des fonctions. Note IV. 2е ed. Paris, 1914, p. 150.
26 А. Г. Курош. Лекции по общей алгебре. M., Физматгиз, 1962, стр. 11.
и математики, не раз в истории человеческой мысли обращались к
нему. XIX век характеризуется в математике тем. что из различ-
ных типов бесконечностей, рассматриваемых мыслителями прош-
лых эпох, был выделен тип актуально бесконечных множеств, со-
стоящих из объектов самой разнообразной природы. И это выде-
ление произошло в силу объективного развития самой математики.
Были и раньше попытки рассмотрения актуальных бесконечных
множеств, особенно в эпоху средневековья. Многие из этих попы-
ток достаточно интересны 27. Но все же в них не было той органи-
ческой связи с развитием математики, которая сложилась в
XIX в. Именно в этот период появилась возможность выделения
учения о множествах в самостоятельную научную дисциплину,
быстро оказавшую влияние на все последующее развитие мате-
матики.
27 См., например: Е. Stamm. Tractatus de Continue von Thomas Brad-
wardin.— Isis, 1936, 31, 13—32; А. П. Юшкевич. История математики
в средние века. М., Физматгиз, 1961, стр. 390—392; J. Pogrebysski. Sur
la prehistoire de la theorie des ensembles.—В кн.: A. Koyre. Melanges. Pa-
ris, 1964.
ГЛАВА I
ЗАРОЖДЕНИЕ ИДЕЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
В РАЗЛИЧНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИНАХ
1. «Арифметические исследования» Гаусса
«Арифметические исследования» К. Ф. Гаусса 1 не раз рассмат-
ривались в историко-математической литературе 2, и нет необхо-
димости останавливаться сейчас на содержании этого выдающего-
ся произведения, которое считается самым значительным из
многочисленных математических работ Гаусса3. Нас будут инте-
ресовать исключительно те теоретико-множественные идеи, кото-
рые пронизывают, часто в скрытом виде, а иногда и в явной фор-
ме, этот труд Гаусса с первых до последних страниц и которые в
литературе по истории теории множеств, кажется, никем не рас-
сматривались в качестве именно теоретико-множественных идей,
сыгравших важную роль в предыстории теории множеств.
Как мы отмечали (во Введении, основным понятием теории мно-
жеств является понятие актуально бесконечного множества.
В теории чисел еще ’задолго до Гаусса, практически со времени
древнегреческой математики, рассматривались различные беско-
нечные множества и их подмножества. Примерами таковых явля-
ются бесконечные множества рациональных, целых, натуральных,
четных, простых и т. д. чисел. Гаусс же понятие актуально бес-
конечного множества положил в основу всей теории чисел и ее
методов. И хотя в своих «Арифметических исследованиях» он ни-
где не сделал попытки сформулировать это понятие в качестве са-
мостоятельного объекта исследования или выделить его как не-
которое вспомогательное орудие для изучения свойств целых
1 С. F. Gauss. Disquisitiones arithmeticae. Lipsiae, 1801. Приводимые
далее в тексте ссылки даются по русскому переводу этой книги:
К. Ф. Гаусс. Труды по теории чисел. М., Изд-во АН СССР, 1959.
2 См., например, статьи П. Бахманна «Uber Gauss’ zahlentheoretischen
Arbeiten» (в кн.: С. F. Gauss. Werke, Х2, Abt. I, V. Gottingen, 1922 и
Б. H. Делоне «Работы Гаусса по теории чисел» (в кн.: К. Ф. Гаусс. Труды
по теории чисел, стр. 878—978).
3 О. Ore. Number theory and its history. N. Y.— Toronto — London, 1948,
p. 210.
15
чисел, тем не менее он постоянно пользуется им в своей книге как
чем-то само собою разумеющимся, понятным каждому математику.
Действительно, с первых же страниц книги в разделе «О срав-
нениях чисел вообще» Гаусс для множества целых рациональных
чисел вводит разнообразные отношения эквивалентности, назы-
ваемые им сравнениями по тому или иному модулю. Эти отноше-
ния эквивалентности обладают свойствами рефлективности, сим-
метричности и транзитивности4. Тем самым множество целых
рациональных чисел разбивается на самые различные (в зависимо-
сти от выбранного модуля) классы чисел. Самого термина «класс»
в этом смысле, т. е. в смысле класса чисел, сравнимых между со-
бой по заданному модулю, здесь Гаусс еще не употребляет, он на-
зывает их просто «все вычеты данного числа а по модулю т»
(стр. 15) и показывает, что все эти вычеты заключены в формуле
а + кт, где «к — целое неопределенное» (там же). Другими сло-
вами, он рассматривает этот класс как актуально бесконечное мно-
жество и относительно любого числа однозначно решает вопрос о
том, принадлежит ли оно этому классу или нет.
Во втором разделе «О сравнениях первой степени» речь идет о
сравнениях вида
ах + Ъ = 0 (mod к).
Если это сравнение разрешимо (а оно является таковым, если об-
щий наибольший делитель чисел а и к делит &; в частности, если
а и к взаимно простые — решение единственно), то решением это-
го сравнения опять-таки является некоторое бесконечное множест-
во целых чисел (или несколько таких множеств, если сравнение
имеет несколько решений), сравнимых между собою по модулю
сравнения. Эти числа не отличимы друг от друга при рассмотре-
нии их как решений сравнения, поэтому Гаусс пишет, что «мы все
такие решения сравнения будем считать за одно решение» (стр.
28), или, говоря словами Кантора, многое здесь мыслится как одно,
причем прямо указывается, что эта совокупность решений сравне-
ния является бесконечной (стр. 32).
Не останавливаясь на двух последующих разделах («О степен-
ных вычетах», «О сравнениях второй степени»), в которых содер-
жатся аналогичные соображения, перейдем к пятому, озаглавлен-
ному «О формах и неопределенных уравнениях второй степени», —
самому обширному из всех семи разделов «Арифметических ис-
следований» и представляющему для нас наибольший интерес.
Прежде всего, если в предыдущих разделах речь шла о множе-
стве целых рациональных чисел и всевозможных бесконечных
его подмножествах, то в пятом разделе появляются множества иной
4 Первые два свойства сравнении Гаусс особо не выделяет вследствие
их очевидности, третье же доказывает на стр. 17.
16
природы. Это прежде всего множество всех бинарных квадратич-
ных форм вида
ах2 + 2Ьху + су2 (1)
с целыми коэффициентами а, Ь, с; далее множество тернарных
квадратичных форм вида
Ах2 + 2В ху + Су2 + 2D xz + 2Е yz + Fz\ (2)
где А, В, С, D, Е также целые числа; и, наконец, всевозможные
бесконечные подмножества этих множеств. Здесь Гаусс уже оп-
ределенно говорит и об отношениях эквивалентности в этих мно-
жествах форм [стр. 158 для форм вида (1), стр. 372 для форм вида
(2)], и о разбиении на классы множества форм отношением экви-
валентности [стр. 274 для форм (1), стр. 373 для форм (2)].
Множество бинарных квадратичных форм разбивается на клас-
сы в зависимости от определителя 5, причем поскольку определи-
тель может быть равен любому целому числу, то все это множе-
ство фактически разбивается на бесконечное множество бесконеч-
ных классов. Впрочем, этого Гаусс в явном виде не сформулировал.
Зато разбиение на классы форм с одним и тем же определителем
(число этих классов конечно, но каждый класс бесконечен) про-
ведено в полной мере. Заметим, что последнее не было нововведе-
нием Гаусса, а имелось у Лагранжа ужо в 1773 г., что отмечает
и сам Гаусс (стр. 273), «однако изложение Гаусса формально (но
не по существу) сильно отличается от изложения Лагранжа» 6.
Это отличие, как говорит И. Г. Башмакова, состоит в следующем.
«Понятие класса было одним из важнейших новых понятий в
математике XIX в. Лагранж в своей теории квадратичных форм
близко подошел к его определению, введя понятие приведенной
формы, т. е. фактически заменив исследование классов форм рас-
смотрением представителей этих классов. Однако для него экви-
валентные между собой квадратичные формы представляли все-
таки множество, которое он еще не рассматривал как единство.
Он не ввел классов как новых математических объектов, с кото-
рыми можно оперировать по тем же законам, что и с числами. Это
было сделано Гауссом».
Последние слова И. Г. Башмаковой относятся к вопросу о ком-
позиции классов. Мы еще скажем об этом далее. Сейчас же при-
ведем слова самого Гаусса относительно разбиения множества форм
с одним и тем же определителем'. «Выше (пп. 175,195,211) мы уже
показали, что если задано какое-нибудь целоо (положительное
5 Определителем формы (1) называется выражение Ь2— ас.
6 И. Г. Башмакова. Обоснование теории делимости в трудах
Е. И. Золотарева. Историко-математические исследования, вып. II. М.—JL,
ГИТТЛ, 1949, стр. 274—275.
2 Ф. А. Медведев
17
или отрицательное) число D, то можно указать конечное число
форм F, F', F", ...с определителем Z), обладающих тем свойством,
что каждая форма с определителем D собственно эквивалентна од-
ной и только одной из них. Тем самым все формы с определителем
D (число которых бесконечно велико) могут быть разбиты на клас-
сы, именно: первый класс состоит из форм, которые собственно
эквивалентны форме F, второй — из форм, которые собственно
эквивалентны форме F', и т. д.
Из определенного класса форм с данным определителем может
быть выбрана какая-нибудь форма, которая может рассматривать-
ся как представитель (выделено Гауссом.— Ф. М.) всего
класса. Вообще говоря, совершенно безразлично, какую форму вы-
бирать из каждого класса, однако предпочтение будет оказывать-
ся той форме, которая проще остальных» (стр. 274—275).
В приведенных словах Гаусса, наряду с уже не раз отмечав-
шейся актуализацией бесконечных множеств, содержится еще один
важный теоретико-множественный момент, а именно возмож-
ность выбора в каждом классе форм по одному представителю и
затем использование в последующих рассуждениях совокупности
этих представителей как некоторого множества (последовательно-
сти форм, в терминологии Гаусса), что Гаусс фактически делает
неоднократно на протяжении этого раздела. Это есть не что иное,
как использование аксиомы Цермело более чем за столетие до яв-
ной ее формулировки. Это, пожалуй, первое отчетливое использо-
вание аксиомы Цермело в XIX столетии в такой классической
дисциплине, как теория чисел. С этим фактом приходится сталки-
ваться неоднократно в последующем развитии этой теории.
Классы бинарных квадратичных форм одного и того же дис-
криминанта рассматриваются Гауссом настолько актуализирован-
ными, что для них, как для самостоятельных объектов, вводится
особая математическая операция (композиция классов форм),
подчиняющаяся законам обычной арифметики. Фактически Гаусс
здесь в неявной форме пользуется понятием группы для самих
бинарных квадратичных форм и из классов форм строит фактор-
группу. Это уже не раз отмечалось в историко-математической ли-
тературе 7, и мы не будем на этом останавливаться.
Таким образом, мы видим, что все «Арифметические исследо-
вания» пронизывает один факт: здесь мы все время имеем дело с
различными бесконечными множествами. Это множества классов
вычетов по тому или иному модулю; множества корней сравнения
/(z)=0, которые, в частности, могут быть и пустыми, если срав-
нение не имеет решений; это множества форм с различными опре-
делителями и множества классов и родов форм одного и того же
определителя и т. д. Все эти бесконечные множества рассматри-
7 См., например, указанные ранее работы И. Г. Башмаковой (стр. 275—
276) и Б. Н. Делоне (стр. 923). См. также: Н. Бурбаки. Очерки по исто-
рии математики, стр. 68—69.
18
ваются как завершенные актуальные совокупности, описываемые
обычно достаточно простыми условиями.
Можно также отметить, что в неявном виде в «Арифметических
исследованиях» появляются теоретико-множественные операции
включения и пересечения. Относительно включения это тривиаль-
но, поскольку рассматриваемые Гауссом классы чисел или форм
обычно содержатся в более широком классе. В частности, класс
целых чисел, дающих при делении на 6 остаток 5, содержится
в классе чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2. Не-
сколько менее очевидно наличие операции пересечения, но и ее
можно заметить неоднократно. Так, класс чисел, сравнимых с ну-
лем по какому-либо составному модулю, является пересечением
классов чисел, сравнимых с нулем по модулям-сомножителям;
решение системы двух сравнений первой степени с теоретико-
множественной точки зрения представляет собой нахождение
пересечения двух определенных классов; это пересечение может
оказаться и пустым, если система не имеет решения. Но эти опе-
рации были настолько скрыты, что понадобилось целых семьде-
сят лет для того, чтобы Дедекинд смог ввести их в явном виде для
множеств алгебраических чисел.
Однако наличие в «Арифметических исследованиях» довольно
разнообразных бесконечных множеств и их соотношений между
собою еще не столь характерно для этой книги; многие из этих
и других множеств можно встретить и ранее. Важно то, что здесь
они сконцентрированы в одном месте, и это обстоятельство при-
влекает внимание. Но, быть может, еще более важно то, что
«Арифметическим исследованиям» присущ теоретико-множествен-
ный метод решения задач теории чисел.
Под теоретико-множественным методом в математике мы
понимаем сведение той или иной математическойчпроблемы к ука-
занию соответствующего бесконечного множества (или несколь-
ких таких множеств), к изучению свойств этих множеств и после-
дующему решению рассматриваемой проблемы уже на основе изу-
ченных свойств указанных множеств. Характерным примером
такого метода является следующий.
Пусть требуется ответить на вопрос о том, интегрируема или
нет заданная ограниченная функция f(x) ® смысле Римана? Эту
задачу можно решать путем непосредственного вычисления: или
ь
отыскивать примитивную F(x) и определять ^j(x)dx как F(b) —
а
—1^ (а), или пробовать применить какой-либо приближенный ме-
тод и т. п. Несмотря на то, что в постановке вопроса не требуется
знать самого значения интеграла, ответ при таком подходе ищет-
ся в форме прямого или косвенного вычисления. Можно пытать-
ся свести задачу к установлению какого-либо внешне не связанно-
го с теорией множеств характеристического признака f(x) (напри-
19
2*
мер, ее непрерывности), позволяющего дать однозначный ответ.
После создания теории множеств к этому же вопросу математики
в большинстве случаев подходят по-иному: для них он однозначно
решается рассмотрением множества точек разрыва /(я). Если это
множество конечно, то f(x) интегрируема; если оно бесконечно,
но приводимо или даже счетно, то f(x) также интегрируема; и во-
обще каково бы ни было это множество точек разрыва, но если
оно имеет меру нуль, то f(x) 'интегрируема, если же мера больше
нуля, то ответ на поставленный вопрос отрицателен.
Широкое распространение этот метод начал получать, естест-
венно, после создания теории множеств. Но им математики поль-
зовались нередко и ранее. В частности, его неоднократно приме-
нял Гаусс в «Арифметических исследованиях». Нам достаточно
привести некоторые примеры.
Рассмотрим элементарную арифметическую задачу: «Дробь
т/п, знаменатель которой есть произведение двух взаимно про-
стых чисел а, 6, разложить на две другие, знаменателями которых
являются а и Ь» (стр. 469А. Если искомые дроби суть xfa и р/Ь, то
есть два способа: 1) решить сравнение Ьх = т (mod а), т. е. оп-
ределить х из этого сравнения; тогда у находится по формуле
у = (т — Ьх)/а; 2) решить сравнение ay = т (mod 6), а х опре-
делить по формуле х = (т — ау)1Ь.
Другими словами, арифметическая задача разложения простой
дроби на два слагаемых определенного типа сводится к указанию
некоторого множества целых чисел (это отмечает сам Гаусс на той
же стр. 469), которое, как мы уже говорили, Гаусс представляет
в виде некоторого актуального множества. Все элементы этого
множества удовлетворяют указанному сравнению.
Такого же типа подход и к еще более элементарным арифме-
тическим вопросам о признаках делимости заданного числа на 9,
11 и другие числа, к вопросам обоснования способов проверки пра-
вильности арифметических операций (стр. 20), к изучению мето-
дов обращения обыкновенных дробей в десятичные (стр. 471—
478) и т. д.
Интересен ряд теорем, открывающих второй раздел «Арифме-
тических исследований». На первый взгляд, теорема о том, что про-
изведение двух положительных чисел, каждое из которых меньше
заданного простого числа, не может делиться на это простое чи-
сло, не имеет ничего общего с теоретико-множественным методом.
Однако любопытно то, что вслед за формулировкой Гаусс перево-
дит ее на язык теории сравнений: «Пусть р — простое число,
а а — положительное число, меньшее р; тогда утверждается, что не
существует положительного числа b < р, обладающего тем свой-
ством, что ab = 0 (mod р)» (стр. 21). При этом оказывается нуж-
ным доказать, что последнее сравнение не имеет решения, т. е.
множество его корней является пустым. Полагая, что это не так,
Гаусс получает противоречие.
20
Вторая теорема «Если ни а, ни b не делятся на простое число
р, то и произведение аЪ не делится на р» (стр. 22) очень просто
сводится к первой. Действительно, если а и (3 — наименьшие по-
ложительные вычеты чисел а, Ъ по модулю р, то ни один из них не
равен нулю (условие теоремы). Но если бы ab = 0 (mod р), то, так
как а = a (mod р), b = 0 (mod р), мы имели бы ab = оф (mod р),
а значит оф = 0 (mod р), что противоречит первой теореме.
Опять сначала допускается, что множество корней сравнения
== 0 (mod р) не пусто, и показывается, что это противоречиво.
В связи с этим Гаусс писал: «Доказательство этой теоремы было
дано еще Евклидом („Начала44, VII, 32). Однако мы не захотели
его опустить, во-первых, потому, что в настоящее время часто или
вообще пропускают это доказательство, или основывают его на
неубедительных соображениях, а во-вторых, потому, что суть при-
мененного здесь метода, который в дальнейшем послужит нам для
отыскания значительно более высоких фактов, легче может быть
понята на более простом примере» (стр. 22).
Далее, задача о разрешимости уравнения = хп + Ахп~х +
4- Вхп~2 + ... + N = 0 с целыми Л, В, С,... в рациональных чис-
лах сводится к задаче о разрешимости сравнения f(x) = О
(стр. 19). Если нужно указать бесконечное множество корней
сравнения f(x) = 0, то уравнение f(x) =0 решается в целых
числах. Впрочем, вопрос этот остался не исследованным Гауссом
до конца. Он собирался включить его в восьмой раздел «Арифме-
тических исследований», но затем отказался от его опубликования
(стр. 12).
Представление целых рациональных чисел посредством квад-
ратичных форм сводится Гауссом к двум проблемам: 1) опреде-
ление, эквивалентны ли две данные формы с одинаковым опреде-
лителем, т. е. принадлежат ли они одному и тому же бесконечно-
му классу форм; 2) определение множества подстановок, посред-
ством которых одна из двух эквивалентных форм переходит в дру-
гую (стр. 158) 8.
Можно было бы привести и другие примеры, когда решение
определенной теоретико-числовой задачи сводится к некоторому
множеству целых рациональных чисел и уже в зависимости от ха-
рактера этого множества вопрос решается положительно или отри-
цательно, но и сказанного достаточно, чтобы иметь право утвер-
ждать, что элементы теоретико-множественного метода в «Арифме-
тических исследованиях» достаточно многообразны. Приведем
еще одну цитату из указывавшейся ранее статьи И. Г. Башма-
ковой: «Разбиение чисел на классы вычетов дало начало еще одной
чрезвычайно важной идее, а именно идее взаимности между
8 См. также П. Г. Лежен-Дирихле. Лекции по теории чисел.
М.-Л., ОНТИ НКТП СССР, 1936, стр. 129.
21
простыми числами (дивизорами) и соответствующими им разбие-
ниями. Оказалось, что изучение свойств числа р с точки зрения
теории делимости может быть сведено к рассмотрению классов
вычетов по р. Так, например, простота или сложность числа р пол-
ностью характеризуется свойствами соответствующего ему разбие-
ния. Как нетрудно видеть, для простоты р необходимо и достаточ-
но, чтобы в кольце вычетов по модулю р не было делителей нуля,
т. е. чтобы произведение двух чисел не могло делиться на р, если
ни один из сомножителей на него не делится... Если же р — со-
ставное, то соответствующее ему кольцо классов вычетов обяза-
тельно содержит делители пуля...
Для самого Гаусса, однако, первичным всегда является чис-
ло р,— оно предполагается заданным независимо от разбиения на
классы вычетов,— а соответствующее разбиение оказывается вто-
ричным, производным от этого числа р.
Впоследствии Дедекинд при основании своей теории идеалов
встал на противоположную точку зрения, приняв за первичное
разбиение целых чисел некоторого алгебраического поля 7? (6) на
классы. Для этого он выделил характерные свойства таких раз-
биений на классы и принял эти свойства за определение разбие-
ний» (стр. 276—277).
Слова И. Г. Башмаковой о первичности для Гаусса самого чи-
сла р по сравнению с разбиением относятся главным образом к
вопросам делимости. Это в значительно меньшей мере справедливо
для исследований Гаусса по представлению чисел квадратичными
формами, в которых классы форм выступают уже в качестве са-
мостоятельных объектов.
«Арифметические исследования» надолго определили круг
идей, в рамках которых главным образом развивались изыскания
по теории чисел; многие из этих изысканий также связаны с тео-
ретико-множественными представлениями, но принципиально но-
вых результатов в этом отношении, пожалуй, не было. Далее мы
рассмотрим только некоторые из них.
Прежде всего заслуживает внимания уже упоминавшаяся ра-
бота Гаусса «Теория биквадратичных вычетов. Сочинение вто-
рое» и, опубликованная в 1832 г. С точки зрения предыстории тео-
рии множеств наиболее важным здесь является введение в оби-
ход математики новых классов бесконечных множеств — множеств
комплексных чисел. Гаусс рассматривает как актуальные множе-
ства и совокупность всех целых комплексных чисел а + Ы, где
а и Ъ —всевозможные рациональные целые числа от —оо до +оо,
и его подмножества — вещественные, положительные, отрицатель-
ные, чисто мнимые целые числа (стр. 695); указывается также на
9 Русский перевод в кн.: К. Ф. Гаусс. Труды по теории чисел,
стр. 686—754.
22
возможность рассмотрения всех вообще комплексных чисел
п всех рациональных комплексных чисел (стр. 697).
Так же как и для целых рациональных чисел, для целых ком-
плексных чисел вводится понятие сравнения, т. е. отношение эк-
вивалентности, позволяющее разбить последнее множество на не-
пересекающпеся классы сравнимых чисел (стр. 706). При этом
понятие класса формулируется в явном (виде: «Таким образом,
если все сравнимые между собой по заданному модулю комплек-
сные числа причислять к одному и тому же классу, а несравни-
мые — к различным классам, то всего будет р классов, охватываю-
щих совокупность всех целых чисел, где р означает норму мо-
дуля» (стр. 708). Как и в «Арифметических исследованиях» для
случая квадратичных форм, здесь применяется laKcnoM'a Цермело
для выбора представителей из каждого класса, и Гаусс прямо го-
ворит о совокупности выбранных представителей (стр. 708).
Интерпретируя целые комплексные числа и их взаимоотноше-
ния точками па плоскости и расположением множеств этих точек,
Гаусс вводйт различные точечные множества (стр. 705). Однако
в данной работе эти геометрические представления не получили
дальнейшего развития.
Так же как для сравнений в множестве целых рациональных
чисел, здесь подчеркивается, что корни, сравнимые по рассматри-
ваемому модулю, не различаются (стр. 718) и т. д.
Еще более четкую форму теоретико-множественные представ-
ления Гаусса получили в лекциях П. Г. Лежен-Дирихле ш, прочи-
танных в 1856—1857 гг. Основу этих лекций составили «Арифме-
тические исследования» Гаусса, а также исследования по теории
шеел самого Дирихле. Подготовлены к печати и изданы они были
уже после смерти Дирихле его учеником Р. Дедекиндом в 1863 г.
Относительно первого издания этих лекций мало что можно доба-
вить, кроме некоторых второстепенных деталей. Например, про
отношения эквивалентности, установленные Гауссом для целых
чисел (отношения сравнения), отмечено, что они обладают свой-
ством симметричности (стр. 37), чего не указывал Гаусс; свойство
рефлективности по-прежнему в явном виде не сформулировано.
Разделение на классы производится и для целых рациональных
чисел; аксиома выбора явно используется для данного случая
(стр. 39), для классов форм одного и того же определителя
(стр. 128—129) и т. п.
Особого внимания в рассматриваемом отношении заслуживает
дополнение X Дедекинда, помещенное во втором издании этой
книги. Однако содержание его таково, что целесообразнее рассмот-
10 Р. G. Lejeune-Dirichlet. Vorlesungen uber Zahlentheorie.
Braunschweig, 1863; П. Г. Лежен-Дирихле. Лекции по теории чисел.
М,— Л., ОНТИ НКТП СССР, 1936. (Русский перевод этих лекций сделан
с четвертого немецкого издания.)
23
реть это дополнение несколько далее. Сейчас же рассмотрим одно
соображение Гаусса, получившее широкий отклик в историко-ма-
тематической литературе.
Речь идет о высказывании Гаусса против использования в ма-
тематике понятия актуальной бесконечности. В мае 1831 г. Шу-
махер 11 прислал Гауссу доказательство теоремы о том, что сумма
углов плоского треугольника равна 180°. В этом доказательстве
Шумахер допускал, что конечный сдвиг центра окружности бес-
конечного радиуса не влияет на величину центрального угла, из-
меряемого дугой такой окружности. В ответном письме от
12 июля 1831 г. Гаусс писал: «Что касается Вашего доказатель-
ства для 1), то я прежде всего протестую против употребления
бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математи-
ке никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать бук-
вально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь
угодно близко приближаются определенные отношения, когда дру-
гие принимаются безгранично возрастающими» (стр. 216). В дру-
гом письме к Шумахеру, написанном через неделю, Гаусс опять
возвращается к этой мысли: «Я полагаю, что бесконечную величи-
ну нельзя употреблять как законченную» (стр. 218).
Приведенные слова Гаусса обычно понимают как отрицание
, им всякой актуальной бесконечности 12. Однако, по-видимому, дело
обстоит не так. Если мы вспомним, что указанная ранее работа
Гаусса «Теория биквадратичных вычетов. Сочинение второе» опуб-
ликована в 1832 г., т. е. готовилась к печати практически одновре-
менно с письмом Гаусса к Шумахеру, то такое толкование пред-
ставляется сомнительным.
Понятие бесконечности в математике имеет многообразные
аспекты: это актуально бесконечно большая или потенциально
бесконечно большая величина, это также актуально бесконечное
множество или же потенциально бесконечное множество и т. д.
В каждом из этих аспектов есть своеобразные оттенки и вряд ли
возможно сведение одного типа бесконечности к другому.
В своей «Теории биквадратичных вычетов» Гаусс, как мы ука-
зывали ранее, широко пользовался понятием актуально бесконеч-
ного множества, и чтение этой работы не вызывает никакого сом-
нения в правомочности использования данного понятия в матема-
тике. В письмах же к Шумахеру Гаусс говорил о бесконечных
величинах, а не о бесконечных множествах, поэтому его слова сле-
дует, по-видимому, относить не ко всякой актуальной бесконечно-
сти в математике, а только к определенному типу этой бесконеч-
ности — к бесконечным величинам. Иначе остается непонятным,
как Гаусс, сам пользуясь понятием актуальной бесконечности, од-
новременно не признавал права на это у других.
11 С. F. Gauss. Werke. VIII. Gottingen, 1900, S. 213—214.
12 См., например: С. А. Богомолов. Актуальная бесконечность.
М,— Л., 1934, стр. 30—31.
24
2. Некоторые работы
по теории функциональных сравнений
Работы по алгебре, в которых еще до создания теории мно-
жеств в той или иной мере использовались теоретико-множествен-
ные представления, довольно многочисленны. Некоторых из них
мы будем касаться впоследствии. В настоящем разделе мы рас-
смотрим те, которые непосредственно примыкают к «Арифметиче-
ским исследованиям» Гаусса и относятся к обобщению теории
сравнений для алгебраических функций.
Общую теорию сравнений для целых алгебраических функций
начал разрабатывать еще Гаусс. Он намеревался включить
результаты своих работ по этому предмету в «Арифметические ис-
следования» в качестве VIII главы, но так как объем книги ока-
зался очень большим, то он отказался от этого намерения. При
жизни Гаусса его исследования по функциональным сравнениям
не были опубликованы, и появились они лишь в его научном на-
следстве 13.
Известно, что в основе теории сравнений Гаусса лежит алго-
ритм Евклида. Вполне аналогичный алгоритм имеет место и для
целых алгебраических функций. Поэтому мысль о распростране-
нии теории сравнений на эту область пришла многим математи-
кам, тем более, что Гаусс, как мы говорили, прямо указал на это.
) Первую попытку такого распространения предпринял Э. Га-
луа в 1830 г.14 В очень сжатой форме он изложил ряд вопросов
теории функциональных сравнений и применил ее к вопросу о
разрешимости в радикалах алгебраического уравнения.
В «Арифметических исследованиях» Гаусс для случая про-
стейшего сравнения
ах = Ъ (mod с)
указывал на возможность введения особого рода «мнимых выра-
жений» для обозначения решения этого сравнения тогда, когда
оно не имеет решений (стр. 32). Этой мыслью воспользовался Га-
луа. Рассматривая сравнение
F(x) = 0 (mod/?), (1)
где F (х) — целая алгебраическая функция переменного х степе-
ни п, а р — простое число, он вводит особого рода «воображаемые
символы» для обозначения корней этого сравнения в том случае,
когда не существует арифметических решений. Галуа указывает,
13 К. Ф. Гаусс. Труды по теории чисел. Общие исследования о срав-
нениях, стр. 773—806.
14 Э. Галуа. Сочинения. М.— Л., ОНТИ НКТП СССР, 1936, стр. 35—47.
Далее страницы в тексте указываются по этому изданию.
25
что «роль этих символов в исчислении будет столь же полезной,
как роль воображаемого | — 1 в обычном анализе» (стр. 36). И по-
добно тому, как после введения обычных комплексных чисел алге-
браическое уравнение оказывается имеющим столько корней, ка-
кова его степень, так и благодаря введению указанных символов,
получивших название «мнимых Галуа», сравнение (1) всегда ста-
новится разрешимым и имеет ровно п корней (действительных или
мнимых по Галуа). Изучение свойств корней сравнения (1) позво-
ляет Галуа судить о разрешимости в радикалах соответствующего
алгебраического уравнения (стр. 44—47).
Вслед за Галуа изучением функциональных сравнений занима-
лись многие математики. Шенеман 15, а затем Серре 16 подошли к
ним с несколько иной точки зрения. Наиболее простое изложение
элементов теории функциональных сравнений, самое близкое к из-
ложению теории сравнений для целых чисел, дал в 1857 г. Р. Де-
декинд 17. Оно наиболее интересно и с точки зрения предыстории
теории множеств.
Дедекинд рассматривает множество функций вида
F {х) = aQxn + + . . . + ап, (2)
где ai — целые рациональные числа. Две функции F\(x) и Р2 (х)
он называет сравнимыми по простому действительному модулю р,
символически
F± (х) = F2 (х) (mod р),
если все коэффициенты разности F\—F2, расположенные по сте-
пеням х, делятся на р, или, что то же самое, если коэффициенты
при одинаковых степенях х попарно сравнимы по модулю р в
обычном арифметическом смысле (стр. 40—41). Для определенно-
го таким образом сравнения справедливы свойства числовых срав-
нений, относящиеся к сумме, разности, произведению, степе-
ни и т. д.
Наивысший показатель степени переменного, коэффициент при
котором не делится на р, называется степенью функции.
«Из этого определения, которое справедливо для всех функций,
которые не =0 (modp), вытекает, что все бесконечно многие
сравнимые друг с другом функции имеют одну и ту же степень»
(стр. 41).
15 Th. Schoenemann. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der hohe-
ren Congruenzen, deren Modul eine reelle Primzahl ist.— J. f. d. reine und
angew. Math1846, 31, 269—325; 1846, 32, 93—105.
16 J. A. S e r r e t. Cours d’algebre. T. II, ch. 3. Paris, 1849.
17 R. D e d e k i n d. Abrifi einer Theorie des hoheren Kongruenzen in bezug
auf einen ireellen Primzahl-Modulus.— Gesammelte mathematische Werke.
Bd. I. Braunschweig, 1930, S. 40—67. Страницы в тексте далее указываются
по этому изданию (Сокращенно: Ges. math. Werke...)
26
После рассмотрения ряда свойств сравнений по простому моду-
лю аналогичных свойствам сравнений для целых чисел, Дедекинд
пишет: «Предыдущие теоремы полностью соответствуют теоремам
о делимости чисел таким образом, что целая система бесконечно
многих сравнимых друг с другом по модулю р функций одного
переменного выступает здесь как одно-единственное определенное
число в теории чисел, причем всякая отдельная функция такой
системы во всех отношениях может быть заменена любой другой
функцией той же системы; такая функция есть представитель
целого класса; каждый класс имеет свою определенную степень,
свой определенный делитель и т. д., и все эти признаки равным
образом принадлежат каждому отдельному члену класса. Система
бесконечно многих несравнимых классов — бесконечно многих, ибо
степень может неограниченно возрастать,— соответствует ряду
целых чисел в теории чисел» (стр. 46—47).
Таким образом, если в числовых сравнениях мы встречались с
бесконечными множествами целых чисел, то здесь налицо беско-
нечные множества целых алгебраических функций; причем если
в первом случае все множество целых чисел разбивалось на конеч-
ное число различных классов, то здесь уже бесконечен не только
каждый класс, но и семейство этих классов. Выбор по представи-
телю из каждого такого класса подразумевает применение аксиомы
Цермело в более общем случае, чем это имело место в теории чи-
сел. Обратим также внимание на термин «система», ставший
впоследствии основным в теоретико-множественных исследованиях
Дедекинда.
После установления связи между целыми числами и классами
функций Дедекинд приступает к построению теории сравнений
| для этих классов таким образом, чтобы сравнимости чисел соот-
ветствовала сравнимость классов функций по двойному модулю.
Он определяет последнюю так: «Два класса функций или их пред-
ставители А, В называются сравнимыми по функциональному
классу, представитель которого есть С, символически
А = В (mqdd 77, М) или А = В (mod М),
если разность А — В делится на М по модулю р» (стр. 47). После
этого на этот тип сравнений распространяются результаты из
теории числовых сравнений.
Здесь опять-таки различные бесконечные множества функций
рассматриваются как завершенные совокупности, из которых
можно выбирать представителей, используя аксиому Цермело,
и действовать с этими совокупностями (или их представителями)
как с индивидуальными объектами. В частности, совокупность
остатков по двойному модулю образует конечное поле (поле
Галуа) с характеристикой р и числом элементов рп, где р —за-
данный модуль, ап — показатель степени.
27
Как оказалось впоследствии, всякое конечное поле изоморфно
соответствующему полю остатков по двойному модулю. И О. Оре
в примечании к этой работе писал поэтому: «Дедекинд свел здесь
теорию (функциональных сравнений. — Ф. М.) к ее простейшей,
чисто теоретико-числовой форме, и тем самым становится ненуж-
ной вся теория мнимых Галуа» (стр. 66—67). Действительно, со-
ображения Галуа, связанные с введением мнимых корней сравне-
ний, сводились к возможности построения надлежащего конечного
поля, свойства которого позволили бы судить, в частности, о раз-
решимости в радикалах алгебраического уравнения. Дедекинд по-
строил такое поле из множеств функций (или представителей этих
множеств), вследствие чего надобность в особых мнимых величи-
нах отпала.
Однако в данном случае нет прямой замены мнимых элемен-
тов некоторыми множествами действительных элементов — явле-
ние, с которым мы еще встретимся далее неоднократно; здесь на-
лицо лишь косвенная замена.
На последующих работах в этой области мы не будем останав-
ливаться, так как они менее интересны в рассматриваемом отно-
шении. Большей частью в них теоретико-множественный аспект
старательно скрыт. Если Дедекинд подчеркивает обычно наличие
бесконечных множеств в своих рассуждениях, то многие матема-
тики старательно скрывают их, рассуждая обычно о представи-
телях, выбранных из этих множеств, и забывая о самих классах,
из которых они выбраны. Показательной в этом отношении явля-
ется первая глава докторской диссертации Е. И. Золотарева «Тео-
рия целых чисел с приложением к интегральному исчислению» 18
(хороший историко-математический анализ ее содержится в ука-
занной ранее работе И. Г. Башмаковой), посвященная теории
функциональных сравнений. Упомянув мимоходом, что «все функ-
ции, сравнимые с С по модулю р, считаются за одну» (стр. 165),
не отмечая даже, что эти функции образуют бесконечное множе-
ство функций, Золотарев больше ничего не говорит об этом и в
дальнейшем действует с этими «всеми функциями» как с индиви-
дуальными объектами.
3. Элементы теоретико-множественных представлений
в проективной геометрии
Некоторые важные понятия теории множеств имели своими
истоками проективную геометрию. Элементы теоретико-множест-
венных представлений мы находим у многих геометров. В дальней-
шем мы будем опираться главным образом на работы Я. Штей-
нера и X. Штаудта.
18 Полное собрание сочинений Егора Ивановича Золотарева, т. 1. Л.,
Изд-во АН СССР, 1931, стр. 161—360.
28
Несомненно, что основной идеей, сделавшей проективную гео-
метрию самостоятельной наукой, была идея взаимнооднозначно-
го соответствия. Правда, это соответствие использовалось там не
в столь общем виде, в каком оно вошло затем в теорию множеств,
а в некоторых частных его случаях, частных, во-первых, в том смыс-
ле что его применяли к строго определенным множествам — точ-
кам, прямым, плоскостям и т. д,— а во-вторых, что более важно,
в том, что на сам характер соответствия накладывались довольно
жесткие ограничения. Такими ограничениями были, например, со-
хранение при взаимнооднозначном соответствии геометрических
множеств значения простого отношения трех элементов АВС =
= ACjBC для точечных множеств, [(а, Ь, с) = для прямых
пучка] в афинной геометрии и сложного или ангармонического от-
ношения четырех элементов ABCD = (АВС) : (ABD) для то-
г. , 7Ч sin (ас) sin (ad)
чечпых множеств [(а, &, с, d) = ~sin: - sin(^y Для прямых пуч-
ка] в проективной геометрии или некоторые их эквиваленты. Не-
смотря на такой ограниченный характер соответствий между мно-
жествами (с точки зрения геометрии следовало бы оказать: «бла-
годаря такому ограниченному характеру»), они стали важным
орудием геометрических исследований.
Первоначально эти соответствия вводились как некоторые опе-
рации (параллельное или центральное проектирование). Резуль-
татом их применения к геометрическим объектам было то, что
сами этих объекты стали мыслиться как некоторые актуальные
бесконечные множества. Не останавливаясь на самом переходе к
таким представлениям, отметим, что, например, у Штейнера они
сформулированы вполне определенно. Он в 1832 г. прямо указыва-
ет, что на прямой мыслится несчетное множество (unzahlige Men-
ge) следующих друг за другом точек; пучок лучей или связку
плоскостей он также представляет себе в виде несчетного актуаль-
но бесконечного множества 19. В приводимых далее словах можно
заметить идею бесконечного подмножества: «Такой пучок лучей
(пучок лучей в пространстве.— Ф. М.) не только содержит беско-
нечно много лучей, но он охватывает также бесчисленно много
(Zahllose) плоских пучков лучей и пучков плоскостей в качестве
подчиненных образов или элементов, ибо имеется бесконечно мно-
го плоскостей, которые проходят через центр (пучка. — Ф. Л/.),
и все лучи, попадающие в одну плоскость, образуют плоский пу-
чок лучей, а все те плоскости, которые проходят через один и тот
же луч, образуют пучок плоскостей...» (стр. 238).
19 J. Steiner. Systematische Entwickelung der Abhangigkeit geometri-
scher Gestalten voneinander. Berlin, 1832; Gesammelte Werke. Bd. I. Berlin,
1881, S. 229—460. Указанное место содержится на стр. 237. Под словами
«несчетное множество» Штейнер понимал, скорее всего, просто «бесконеч-
ное множество».
29
Идея проектирования как операции превращается у Штейне-
ра во взаимнооднозначное соответствие между элементами двух
множеств20. Эти множества довольно различны: точки прямой и
лучи плоского пучка, точки прямой и плоскости связки плоско-
стей, лучи плоского пучка и плоскости связки и т. д., причем они
«могут так относиться друг к другу, что их элементы попарно
соответствуют один другому» (стр. 239). Хотя идею взаимноодно-
значного соответствия Штейнер высказывает чуть ли не в общем
виде, но он всегда имеет в виду при этом именно проективное со-
ответствие.
В связи с понятием взаимнооднозначного соответствия Штей-
нер ввел понятие мощности, опять-таки в ограниченном смысле —
в качестве характеристики множеств, между которыми можно
установить проективное соответствие21. Как указывал Кантор в
1882 г., именно здесь он заимствовал это понятие и сам термин
«мощность», сняв со взаимнооднозначного соответствия ограни-
чение быть проективным и беря его во всей мыслимой общности
для произвольных множеств 22.
Проективным соответствием Штейнер пользуется для обосно-
вания принципа двойственности. Установив, что для определен-
ных множеств имеет место взаимнооднозначное (проективное) со-
ответствие, он заключает, что при таком соответствии противо-
стоят друг другу не только элементы двух множеств, но и связи
этих элементов у геометрических объектов, а также полученные
из данной связи геометрические предложения, «...т. е. если мы бу-
дем исходить из определенных свойств одного рода образов, то
каждый раз определим соответствующий вид образов, которые им
отвечают, причем с соответствующими им свойствами и предложе-
ниями... Тем самым получается естественное и ясное обоснование
этой двойственности» (стр. 239).
Следовательно, здесь Штейнер выступает в качестве предста-
вителя теоретико-множественного метода: свойства, установлен-
ные для элементов одного множества (например, точек прямой),
при посредстве проективного соответствия переносятся на элемен-
ты другого множества (например, плоского пучка лучей), т. е.
изучение свойств образов одного рода сводится к изучению свойств
образов другого рода и это сведение осуществляется через уста-
новление взаимнооднозначного соответствия между элементами
двух множеств.
20 Мы не утверждаем тем самым, что это заслуга Штейнера. С. А. Бого-
молов («Эволюция геометрической мысли». Л., 1928, стр. 54—55) указывает
на то, что детальное развитие идеи взаимнооднозначного соответствия при-
надлежит Мёбиусу.
21 J. Steiner. Vorlesungen uber synthetische Geometrie. Zweiter Theil,
§ 2. Leipzig, 1867.
22 G. Cantor. Ges. Abh., S. 151.
30
Следующим интересным моментом введения в геометрию про-
ективного преобразования явилось появление несобственных эле-
ментов (точек, прямых, плоскостей). Они появились при тех же
обстоятельствах, что и другие идеальные элементы в математике —
иррациональные числа, идеальные числа Куммера, мнимые Галуа.
Желание устранить в проективном пространстве досадные исклю-
чения, когда вполне определенному элементу одного геометриче-
ского объекта в устанавливаемом соответствии не оказывалось
соответствующего образа в другом геометрическом объекте, други-
ми словами, желание сделать операцию проектирования всегда вы-
полнимой, наподобие того, как операция извлечения квадратного
корня из положительного числа всегда выполняется после введе-
ния квадратичных иррациональностей,— именно это привело к
введению бесконечно удаленных элементов.
Это введение осуществлялось «таким образом, чтобы отноше-
ния принадлежности элементов евклидова пространства, сформу-
лированные в системе аксиом принадлежности, не были нарушены.
Наоборот, при введении новых элементов эти отношения принад-
лежности получат более полное выражение, свободное от исклю-
чений» 23. Мы подчеркиваем здесь это обстоятельство, так как вско-
ре еще раз встретимся с подобным явлением в алгебре.
С точки зрения классической геометрии Евклида, бесконечно
удаленные элементы выступают в качестве особых элементов;
к которым можно каким-либо образом стремиться, но которые
всегда остаются недостижимыми; они выступают там в качестве
образов потенциальной бесконечности. Иное дело в проективной
геометрии. .Бесконечно удаленные элементы в ней рассматривают
наравне с соответствующими конечными элементами и считают
столь же определенными, как и любые другие элементы. Их можно
задавать геометрически столь же определенным образом, как и ко-
нечные элементы, над ними можно производить те же геометриче-
ские преобразования. Следовательно? бесконечно удаленные точки,
прямые и плоскости считаются имеющимися в нашем распоряже-
нии; они выступают прообразами актуальной бесконечности.
Этими-то несобственными элементами было дополнено обычное
евклидово пространство. Нельзя не отметить некоторой противоре-
чивости их с традиционной точки зрения: например, бесконечно
удаленная точка вводится как точка пересечения непе-
ресекающихся (параллельных) прямых. «Но это „расшире-
ние“ пространства с логической точки зрения не более удовлетво-
рительно, чем так называемые обобщения числа: ведь недостаточ-
но же определить и назвать какую-нибудь сущность, чтобы тем
самым наделить ее существованием...
23 Н. Ф. Ч е т в е р у х и н. Проективная геометрия. М., Учпедгиз, 1961,
стр. 69.
31
Логически удовлетворительное разрешение этой трудности, как
и при обобщении понятия числа, состоит не в присоединении но-
вых элементов к прежним, а в замене всех прежних элементов
ансамблем (т. е. множеством.— Ф. М.) новых, одна лишь часть
которых соответствует прежним. В начертательной геометрии каж-
дой точке пространства соответствует связка лучей, исходящих из
этой точки, которую называют вершиной связки. Связки же лу-
чей имеют известные свойства, независимые от их вершин и даже
от существования этих вершин... Назовем все связки идеальными
точками: некоторые связки будут соответствовать действительным
(реальным) точкам, но ни одна связка и, следовательно, ни одна
идеальная точка не будет действительной точкой. Точно так же
каждой прямой соответствует пучок плоскостей, осью которых она
является, но есть пучки плоскостей, не имеющие оси (например,
ансамбль параллельных плоскостей) и одновременно обладающие
всеми свойствами пучков плоскостей... Ансамбль определенных
таким образом идеальных точек, прямых и плоскостей образует
проективное пространство, т. е. удовлетворяет всем постулатам
проективной геометрии... Таким образом, превращение начерта-
тельного пространства в проективное оказывается осуществлен-
ным без присоединения посторонних элементов, благодаря только
новой классификации его собственных элементов и новой номен-
клатуре. Вопрос о существовании сразу же отпадает, так как но-
вые элементы — просто ансамбли, составленные из прежних эле-
ментов» 24.
Мы привели эту длинную цитату потому, что в ней отчетливо
выражена идея перевода проективной геометрии на теоретико-мно-
жественные основы. И эта идея довольно раннего происхождения.
Мы уже видели, что она отчетливо выражена у Штейнера. При-
мерно в столь же определенной форме, как у Кутюра, она была
сформулирована М. Пашем в 1882 г.25
Такая же идея замены идеальных элементов, уже несколько
иного рода, бесконечными множествами действительных элемен-
тов была осуществлена в 1856 г. X. Штаудтом.
Одним из центральных вопросов разработки проективной гео-
метрии в первой половине XIX столетия был вопрос о введении
комплексных элементов. Ж. В. Понселе считал, что все преиму-
щества, которыми в начале XIX в. обладала аналитическая гео-
метрия по сравнению с проективной, могут быть ликвидированы,
если в последнюю ввести отрицательные и мнимые элементы26.
24 Л. Кутюра. Философские принципы математики. СПб., 1912,
стр. 154—155.
25 М. Р a s с h. Vorlesungen uber neuere Geometrie, § 6—8. Leipzig, 1882.
26 J. V. P о n с e 1 e t. Traite des proprietes projectives de figures. Paris,
1822, p. XI—XII.
32
Были предложены различные способы их введения. С интересую-
щей нас точки зрения наиболее важным был способ, предложен-
ный в 1856 г. Штаудтом27, Штаудт поставил перед собой зада-
чу определения мнимых элементов через действительные и при-
том так, чтобы соотношения между первыми выражались через
соотношения между вторыми.
Некоторые предыдущие истолкования мнимых элементов не
удовлетворяли его тем, что существовавшие тогда определения
мнимых элементов основывались на понятии координатной систе-
мы. Ему хотелось найти самостоятельное геометрическое истол-
кование мнимых элементов. И это ему удалось, когда он перешел
к толкованию их как определенных бесконечных множеств дей-
ствительных элементов.
Мнимые элементы первого рода (точки, прямые, плоскости)
Штаудт определяет как эллиптические инволюции над образами
первой ступени (рядом точек, пучком прямых, связкой плоско-
стей). Так, например, пара сопряженных комплексных точек оп-
ределяется как эллиптическая инволюция вещественных точек,
т. е. как совокупность всех пар точек, гармонически сопряженных
с основной парой точек инволюции 28. Другими словами, комплекс-
ному числу ставится в соответствие некоторое бесконечное множе-
ство точек. «Это действительно был очень смелый шаг Штаудта...
В его время даже более смелый, чем это могло бы показаться те-
перь, когда мы привыкли определять иррациональные числа по
Дедекинду как сечения в системе рациональных чисел» 29, т. е.
как множества рациональных чисел. Основным результатом его
исследований в этом направлении было то, что всякое предложе-
ние проективной геометрии о мнимых элементах преобразовыва-
лось в соответствующее предложение о некоторых бесконечных
множествах действительных элементов 30.
Таким образом, по крайней мере в двух значительных момен-
тах разработки проективной геометрии — в использовании взаим-
нооднозначного соответствия как орудия математического иссле-
дования и в замене несобственных и мнимых элементов множест-
вами действительных элементов — проективная геометрия сдела-
ла существенный шаг навстречу теории множеств. Некоторое вре-
мя спустя такой шаг был сделан и в других математических дис-
циплинах, на другом математическом материале.
27 G. С. Ch. von Staudt. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nurnberg,
1856.
28 Подробнее см.: Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX сто-
летии. ОНТИ НКТП СССР, 1937, стр. 173-175.
29 J. L. С о о 1 i d g е. A history of geometrical methods. Oxford, 1940, p. 100.
30 E. Nagel. The formation of modern conceptions of formal logic in the
development of geometry.— Osiris, 1939, 7, 142—224. Указанное место нахо-
дится на стр. 176.
3 Ф. А. Медведев 33
4. Об арифметизации анализа
В предшествующих разделах мы видели, что различные тече-
ния математической мысли в той или иной мере вели к созданию
теоретико-множественных представлений. Однако самым мощным
потоком при этом сказался, несомненно, поток идей из анализа.
К теоретико-числовым и проективно-геометрическим представ-
лениям мы больше возвращаться не будем. По необходимости в
последующем придется обращаться к ряду вопросов алгебры. Сей-
час же займемся преимущественно анализом и теорией функций.
Рассмотрение аналитических предпосылок теории множеств це-
лесообразно начать с некоторых общих соображений об арифме-
тизации математики31.
С самых первых шагов в сфере математической деятельности
люди столкнулись с двумя рядами качественно различных пред-
ставлений, выраставших на основе наблюдений качественно рцр- •
личных явлений. С одной стороны, явления объективной действи-
тельности выступали как дискретные и неразложимые далее ин-
дивидуальные объекты —объекты счета: количество овец в стаде,
количество людей и т. п. С другой стороны, определенная сово-
купность явлений выступала в качестве непрерывных, делимых
сколь угодно далеко однородных объектов — объектов измерения:
площади земельных участков, течение времени и т. п. Эти два спо-
соба рассмотрения и познания явлений объективной действитель-
ности — счет и измерение — привели к созданию двух основных
математических дисциплин — арифметики и геометрии.
Мы не знаем точно, когда они выделились в самостоятельные
научные дисциплины. Однако хорошо известно, что среди мате-
матиков уже давно сложились два типа мыслителей, существую-
щих и до настоящего времени. К первому относятся представители
арифметико-алгебраического склада, ко второму — люди с гео-
метрическим складом мышления.
С самого начала возникновения математики как науки в ней
существовали два основных направления исследований — ариф-
метическое и геометрическое. Их сосуществование было отнюдь
не мирным; между ними происходила довольно напряженная борь-
ба, в которой в разные периоды истории математики побеждало
то или иное направление.
Первым более или менее исторически достоверным выраже-
нием этой борьбы было стремление пифагорейцев свести всю ма-
тематику, да и не только математику, к учению о целых числах.
«...Пифагор видел в числе принцип всего сущего и говорил: вещи
31 Этот термин впервые введен в обиход, кажется, Ф. Клейном. См.:
F. Klein. Uber die Arithmetisation der Mathematik.—Gottinger Nachr., ge-
schaftliche Mitt, 1895, S. 82—89. См. также: J. Pierpont On the arithme-
tisation of mathematics.— Bull. Amer. Math. Soc., 1899, 5, N 7, 394—406.
34
суть числа» 32, понимая под числами именно целые числа. И та-
кой подход существовал довольно длительное время (в древнегре-
ческой математике. Положение существенно изменилось с откры-
тием несоизмеримых величин (VI—V вв. до н. э.), к чему могли
привести и чисто геометрические и чисто арифметические зада-
чи, а также задачи из теории музыки. Сам факт открытия их имел
большое общематематическое значение, на чем мы, однако, не
останавливаемся. Кроме всего этого, «...открытие несоизмеримости
привело к изменению соотношения между геометрией и арифме-
тикой. Если до этого геометрические задачи сводились к арифме-
тике рациональных чисел, то теперь, наоборот, геометрия легла
в основу всей математики и операции алгебры начали определять
с ее помощью так, чтобы они годились и для рациональных чисел
и для несоизмеримых между собой величин» 33.
С этого' времени и на очень длительный период геометриче-
ские представления прочно заняли господствующее положение в
математике. Если не считать еще недостаточно известных перио-
дов древнекитайской и индийской математики (в последней, впро-
чем, достаточно ярко выражены черты по преимуществу арифме-
тического характера), то практически до создания аналитическом
геометрии Ферма — Декарта (XVII в.) геометрический склад
мышления был более распространен.
Даже такая наука, как буквенная алгебра, первоначально стро-
илась на геометрической основе. Так это обстояло, например, у Ви-
еты. «Положение вещей изменилось по выходе „Геометрии44 Де-
карта,... хотя уже Оутред излагал буквенное исчисление в тесной
связи с числовой арифметикой, но только Декарт ясно понял, что
буквенное исчисление должно быть построено на арифметической
основе» 34.
Это не означает, конечно, что арифметико-алгебраическая струя
не была достаточно сильной в тот или иной период развития мате-
матики. Например, высшие достижения математики XVI в.— ре-
шение уравнений 3-й и 4-й степеней — были получены отнюдь не
на геометрической основе. И тем не менее влияние геометрических
методов древних Греков было столь велико, что даже в XVIII—
XIX вв. слово «геометр» было равнозначно слову «математик».
Но со времени создания аналитической геометрии, на протяже-
нии XVIII и XIX столетий происходил стихийный процесс ариф-
метизации математики в целом. Под арифметизацией математики
мы понимаем стремление свести все основные факты той или иной
32 Г. Г. Ц е й т е н. История математики в древности и в средние века.
М.-Л, ГТТИ, 1932, стр. 55.
33 И. Г. Башмакова. Лекции по истории математики в древней Гре-
ции. Историко-математические исследования, вып. XL М., Физматгиз, 1958,
<тр. 261. Там же подробности о геометризации древнегреческой математики.
34 Г. В и л е й т н е р. История математики от Декарта до середины
XIX столетия. М., Физматгиз, 1960, стр. 16—17.
35
3*
математической науки к числу, в конечном счете натуральному.
Наиболее отчетливо эта тенденция проявилась в анализе, поэтому
остановимся на нем.
Первые создатели анализа и их последователи принимали как
нечто само собою разумеющееся справедливость двух основных
представлений о пространстве и механическом движении, сложив-
шихся уже давно,— представлений о непрерывности пространства
и движения. При доказательстве тех или иных фактов анализа ими
пользовались как несомненными положениями, имеющими оконча-
тельную доказательную силу. Впрочем, если даже кто-либо и ощу-
щал недостаточность подобного рода рассуждений, то не мог все
же от них избавиться вследствие отсутствия в математике исследо-
ваний, нужных для устранения этих пробелов: не было теории дей-
ствительных чисел. Так, например, утверждение о том, что непре-
рывная функция, имеющая на концах промежутка значения
разных знаков, принимает обязательно в некоторой точке проме-
жутка значение нуль, подтверждалось или соответствующим гео-
метрическим чертежом, или же ссылкой на движение тела. Чаще
же всего это положение считалось очевидным даже без какого-либо
намека на доказательство. Любопытно, например, что даже такой
большой математик, как К. Ф. Гаусс, молчаливо принимал эту тео-
рему как очевидную истину при доказательстве основной теоремы
алгебры о существовании корня35, хотя, как известно, его работы
считались образцом математической строгости в первой половине
XIX в.
Такое положение в анализе было вполне объяснимо и оправда-
но тем, что вырастал он на геометрической и механической основах
и использование механических и геометрических фактов в нем не
вызывало особого сомнения. Какова же причина того, что возникло
желание отказаться от той почвы, на которой произрастал сам ана-
лиз,— от геометрических и механических представлений?
Причин этого было несколько. Одной из них была причина пси-
хологического характера. Для математика XVIII в., работавшего
в равной мере в области анализа, геометрии и механики, аналити-
ческие, геометрические и механические представления были в оди-
наковой степени знакомы и близки и переход от одних к другим не
представлял особого затруднения. По-ицому обстояло дело в сле-
дующем столетии. Анализ разросся настолько, что появилось много
математиков, работавших почти исключительно в области анализа.
Для них геометрические и механические взгляды были в некото-
ром роде чуждыми и неясными, а потому возникла потребность
в чисто аналитической трактовке понятий.
Другой причиной был сам рост анализа. К началу XIX в. ана-
лиз; вырос в огромное здание; и в самом анализе и в его примене-
35 Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.—- Л.,
6НТИ НКТП, 1937, стр. 88.
36
ииях были достигнуты выдающиеся успехи; его понятия стали
более общими и более абстрактными. Было в некотором смысле
унизительным в столь большой науке пользоваться «костылями»,
взятыми из других наук. А отсюда попытка создать собственный
фундамент.
Самым же важным фактором было то, что внутри анализа вы-
рабатывались постепенно такие представления, которые не укла-
дывались в рамки господствующих геометрических и механических
представлений.
Уже то обстоятельство, что непрерывная функция может не
иметь производных ни в одной точке, не соответствовало принято-
му механическому представлению кривой как траектории движу-
щегося тела: кривая должна была выражать движение без ско-
рости. Не соответствовало оно и геометрическому представле-
нию о кривой, так как такая кривая ни в одной точке не имеет
касательной. А такая функция была найдена Б. Больцано уже в
1830 г. 36
Чем дальше, тем больше оказывалось, что сложившиеся геомет-
рические и механические представления просто недостаточны для
описания аналитических фактов.
Все это приводило к тому, чтобы построить анализ независимо
от других математических дисциплин. Затруднительно назвать
инициатора этой идеи. Во всяком случае Больцано еще в 1817 г.
провозглашает ее вполне определенно: «...Нетерпимым нарушени-
ем хорошего метода является, когда истины чистой (или общей)
математики (т. е. арифметики, алгебры или анализа) желают вы-
вести из соображений, которые принадлежат прикладной (или
частной) ее части, а именно — геометрии» 37. Там же он утвержда-
ет, что «понятие времени, а тем более движения, столь же чуже-
родно общей математике, как и понятие пространства» (стр. 173).
Еще далее в этом направлении идет Лежен-Дирихле. По свиде-
тельству Дедекинда, он неоднократно утверждал, что «всякая, хо-
тя бы и очень отдаленная теорема алгебры или высшего анализа
может быть сформулирована как теорема о натуральных числах» 38.
Однако от такого лозунга до фактического сведения всего со-
держания анализа к учению о натуральном числе лежал довольно
трудный путь, который предстояло пройти математикам. Мы не
останавливаемся на нем, так как он очень четко и компактно опи-
сан Н. Бурбаки в «Очерках по истории математики» (стр. 35).
36 Об этой функции см.: Э. К о л ь м а н. Бернард Больцано. М., Изд-ва
АН СССР, 1955, стр. 71—73.
37 Б. Больцано. Чисто аналитическое доказательство теоремы, что
между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного
знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения.—
В кн.: Э. Кольман. Бернард Больцано, стр. 171.
38 Р. Дедекинд. Что такое числа и для чего они служат? Казань.
1905, стр. 5.
37
К кульминационному пункту этого течения математической мыс-
ли — к построению теории действительных чисел — мы вскоре воз-
вратимся.
5. Разбиение континуума на множество точек
Возникновению представления о континууме как о точечном
множестве способствовала разработка целого ряда вопросов анали-
за, и к этому мы будем возвращаться еще. Сейчас же мы будем ве-
сти речь скорее о подготовке к разработке такого представления.
Прежде всего важную роль в этом отношении сыграло установ-
ление точных определений таких понятий анализа, как непрерыв-
ность, сходимость, дифференцируемость и т. п., которые носили
локальный характер. Когда говорят о сходимости, непрерывности
или дифференцируемости функций, то имеют в виду обычно соот-
ветствующие обстоятельства в отдельных точках. После того как
были даны точные формулировки этих понятий39, можно было
сравнительно легко строить отдельные примеры функций, не обла-
дающих непрерывностью, не сходящихся, не дифференцируемых
в отдельных точках. Это приводило к тому, что в однородном не-
прерывном континууме выделялось все больше и больше самостоя-
тельных образований — различных множеств точек. Когда этот
процесс достиг такой стадии, что получаемые при этом совокупно-
сти особых точек оказывались бесконечными точечными множест-
вами, причем запас этих множеств непрестанно рос, тогда начали
создаваться благоприятные условия как для рассмотрения всего
континуума в качестве множества точек, так и для выделения из
него разнообразных точечных множеств. Особую роль в этом сы-
грал аппарат тригонометрических рядов.
На протяжении XVIII в. основным средством аналитического
изображения функций был аппарат степенных рядов. Эти ряды ха-
00
рактерны в том отношении, что если степенной ряд 2 ЯпХп схо-
п=0
дится в какой-либо точке хо, то он обязательно сходится во всякой
точке х, такой, что |я|<|#о|. Данное свойство сформулировано
Абелем только в 1826 г.; тем не менее очевидно, что с той или иной
степенью осознанности им пользовались и многие другие матема-
тики, работавшие в этой области до Абеля. Значение указанного
свойства состоит в том, что аргумент изображаемой этими рядами
функции по отношению к вопросам сходимости рядов выступает
в качестве нерасчлененного целого отрезка или круга. Самое боль-
шее, что можно сделать при этом,— это выделить открытые, дву-
сторонне или односторонне замкнутые отрезки и круги без пери-
ферии или с таковой. Чтобы в какой-то мере разорвать этот це-
39 По этому поводу см., например: С. В. Boyer. The history of the cal-
culus and its conceptual development. N. Y., 1959.
38
лостный аргумент, требовалось привлекать средства, внешние по
отношению к аппарату степенных рядов.
Положение существенно изменилось после введения в практи-
ку изображения функций тригонометрическими рядами40. Эти
ряды обладают свойством, в некотором смысле противоположным
указанному свойству степенных рядов: из сходимости тригономет-
рического ряда в одной точке ничего не следует о сходимости его в
другой точке. Точнее, для тригонометрических рядов справедлив
так называемый принцип локализации Римана: «Сходимость ряда
при определенном числовом значении х зависит только от поведе-
ния функции f(x) в непосредственной близости этого значения» 41.
Хотя данное свойство тригонометрических рядов было явно сфор-
мулировано Риманом только в 1853 г., однако об этом их свойстве
знали и фактически пользовались им в своих исследованиях боль-
шинство виднейших математиков XIX столетия, занимавшихся во-
просами их сходимости. Им в равной мере владели Ш. Фурье,
С. Пуассон, П; Лежен-Дирихле, М. В. Остроградский, Н. И. Лоба-
чевский42. И именно в этом свойстве тригонометрических рядов
следует видеть тот корень, из которого выросли теория точечных
множеств и теория функций действительного переменного.
В самом деле, отдельные тригонометрические ряды настолько
хороши, что сходятся на всем интервале (—л, л); другие настоль-
ко плохи, что не сходятся ни в одной точке этого интервала; третьи
сходятся на том или ином множестве отдельных точек; следова-
тельно, из однородного континуума — области, в которой сходятся
степенные ряды,— самим аппаратом тригонометрических рядов
выделяются отдельные точки (безразлично, точки сходимости или
расходимости этого ряда); чем более сложен ряд, тем более слож-
ным оказывается та или иная совокупность особых точек. Много-
образие типов множеств, получаемых при этом, оказалось настоль-
ко большим, что практически от целостного континуума, с которым
приходилось работать в области степенных рядов, осталось весьма
немногое. Фактически континуум распался на отдельные точки,
стал представлять собой множество точек. Конечно, к такому пред-
ставлению приводили многие факторы, но решающим был, несом-
ненно, факт широкого использования тригонометрических рядов.
Это же приводило к изменению представления понятия о функ-
ции вообще. Если ранее под функцией принималось в основном ее
40 Относительно ранней истории теории тригонометрических рядов см.:
Н. Burkhardt. Entwickelungen nach oscillierenden Funktionen.— Jahres-
ber. Deutscher Math. Verein., 1901, 10; более поздняя история подробно рас-
смотрена в диссертации: А. Б. Паплаускас. Тригонометрические ряды
(от Фурье до Лебега). М., 1962.
41 Б. Риман. О возможности представления функции посредством
тригонометрического ряда. Сочинения. М.—Л., ОГИЗ ГИТТЛ, 1948, стр. 250.
42 Подробнее об этом см.: А. Б. Паплаускас. Из истории принципа
локализации тригонометрических рядов.— Труды Ин-та истории естество-
знания и техники АН СССР, 1960, 34, стр. 323—342.
39
аналитическое выражение и о свойствах функции судили главным
образом по этому выражению, то теперь положение изменилось.
Тригонометрический ряд тоже был своего рода аналитическим вы-
ражением для функции. Но вследствие принципа локализации по
свойствам этого выражения нельзя было судить о поведении функ-
ции в целом, во всей области ее задания. Для того чтоб^т вынести
суждение, например о сходимости ряда к функции в целом на ин-
тервале, нужно было вынести такое суждение относительно каж-
дой отдельной точки этого интервала: фактически приходилось
устанавливать соответствие между двумя множествами чисел (то-
чек). Отсюда и новое представление о функции как о совершенно
произвольном соответствии двух точечных множеств. Не случайно
то обстоятельство, что такое понимание функции четко сформули-
ровано именно теми математиками, которые занимались изучени-
ем тригонометрических рядов,— Н. И. Лобачевским и П. Лежен-
Дирихле43.
Хотя определение функции по Дирихле носило чисто номи-
нальный характер и практически нельзя было установить общих
свойств функций, подпадающих под него, тем не менее это номи-
нальное определение в действительности было очень полезно тем,
что позволяло включить в круг исследований такие функции, кото-
рые раньше, в рамках прежнего определения, были невозможны,
функции, которые в конце XIX *и даже в начале XX в. казались
математикам классического склада ума чудовищными порожде-
ниями больного воображения. А именно в рамках нового определе-
ния можно было наряду с «хорошими» функциями рассматривать
1акие функции, у которых особенноети (отсутствие производных,
расходимость, разрывы первого рода и т. д.) образуют множества
самого разнообразного типа — от отдельных точек до множества
всех точек промежутка.
Следовательно, с одной стороны, континуум начал представ-
ляться как множество точек-чисел, а с другой — при исследовании
функций стали возникать разнообразные множества точек-чисел.
К началу работ по теории множеств был наготове определенный
запас бесконечных точечных множеств. В качестве примеров мож-
но указать такие множества:
1) в примере функции Дирихле отрезок разбивался на два мно-
жества — множества рациональных и иррациональных точек
(1827 г.);
2) в примере функции Римана
со
п=1
из отрезка выделялось всюду плотное множество точек разрыва
(1867 г.);
43 Больцано пришел к аналогичному пониманию функции еще ранее,
исходя из других соображений.
40
3) при помощи принципа конденсации особенностей 1’анкеля
(1870 г.), обобщенного Кантором (1882 г.), строились многообраз-
ные счетные множества точек, в которых функции имели те или
иные особенности и т. д. К фактам этого рода мы еще возвратимся.
6. Бернгард, Риман и теория множеств
«Риману не свойственна теоретико-множественная концепция;
он не мыслит как точечное множество ни кривую (одномерный
континуум), пи поверхность, ни пространство (двумерный и трех-
мерный континуум); тем более нигде в его рассуждениях не появ-
ляются точечные множества более сложной природы» 44.
В известном смысле это действительно так. Однако категорич-
ность приведенного утверждения не может не вызвать некоторых
возражений; заключительная же часть цитаты просто неверна.
Многие научные результаты Римана очень тесно примыкают к те-
оретико-множественным представлениям, иногда почти сливаясь
с ними. В то же время они выражены не на теоретико-множествен-
ном языке, и притом очень кратко. Поэтому видеть или нет эти
представления в научном наследии Римана — это в некоторой мере
зависит от умонастроения читающего его работы. Приведем при-
меры, иллюстрирующие последнее.
В работе Римана «О гипотезах, лежащих в основаниях геомет-
рии» имеется такая фраза: «Впрочем, существуют и такие много-
образия, для которых определение положения требует указания
бесконечного ряда или даже непрерывного множества числовых
данных. Примером такого рода могут служить многообразия, обра-
зованные функциями в данной области, многообразия, образован-
ные контурами геометрических фигур, и т. п.» (стр. 282).
В примечании к этому высказыванию Римана В. Л. Гончаров
пишет, что здесь имеются в виду «функциональные многообразия»
и что говорить о функциональных пространствах неудобно, так как
термин «пространство» у Римана имеет более узкий смысл, чем
тот, который мы вкладываем в него сейчас (стр. 510). Бурбаки же
прямо говорит, что в приведенном высказывании Римана впервые
выдвигается мысль об изучении функциональных пространств и
что эта идея выражалась им еще в 1851 г. в его докторской диссер-
тации «Основы общей теории функций одной комплексной пере-
менной» 45.
В качестве второго примера можно указать следующий. Обыч-
но никто не отмечает связи исследований Римана о сведении опре-
44 В. Л. Гончаров. О научных работах Римана.— В кн.: Б. Риман.
Сочинения. М.— Л., ОГИЗ ГИТТЛ, 1948, стр. 27. Приводимые далее в тексте
ссылки даются по этому изданию.
45 Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., ИЛ, 1963, стр. 140.
Отмечаемое Бурбаки место из диссертации Римана находится на стр. 74
русского перевода его работ.
41
деления положения в тг-мерном многообразии к определению п
числовых значений с утверждением Кантора об эквивалентности
континуумов разного числа измерений. Между тем, такую связь
усмотрел Е. Нетто при анализе теоремы Кантора. Он подчеркнул46,
что теорема Кантора уточняет высказывание Римана о том, что
«определение положения на данном многообразии приводится к
определению числового значения просто протяженной величины и
определению положения на многообразии, протяженность кото-
рого меньшей кратности. Легко показать, что это многообразие
будет иметь п — 1 измерение, если данное многообразие их имеет п.
Повторяя указанную операцию п раз, мы сводим определение по-
ложения на многообразии п-кратной протяженности к определе-
нию числовых значений п просто протяженных величин, т. е. опре -
деление положения на данном многообразии (если только такое
определение возможно) к указанию конечного числа числовых
данных» (стр. 282).
Если и можно оспаривать положение Нетто о связи приведен-
ных слов Римана с теоремой Кантора, то несомненно следующее.
Важную роль в исследованиях по теории множеств сыграло пред-
ставление о евклидовом пространстве как о множестве точек, опре-
деляемых одной, двумя и вообще п координатами-числами. А это
представление выступает в приведенных словах Римана вполне
отчетливо. Фактически в этом смысле их поняли все последующие
математики, в том числе и Кантор.
Выше мы отмечали, что в подготовке теории множеств опреде-
ленную роль играли такие моменты, как актуализация разнообраз-
ных бесконечных множеств и разработка идеи взаимнооднозначно-
го соответствия между бесконечными множествами. Эти моменты
можно отметить и в работах Римана. В смысле актуализации — это
понятие класса алгебраических уравнений, которое Риман в 1857 г.
определял так: «Станем считать принадлежащими к одному классу
все неприводимые алгебраические уравнения между двумя величи-
нами, переводящиеся одно в другое посредством рациональных
подстановок» (стр. 117). Каждый из таких классов является беско-
нечным множеством уравнений, вполне определяемым любым из
уравнений класса, и относительно любого другого уравнения мож-
но утверждать, что оно принадлежит этому классу или нет. Деде-
кинд в качестве примеров бесконечных множеств прямо ссылался
на эти классы Римана.
Если в рассмотренных ранее работах Штейнера взаимноодно-
значное соответствие между двумя множествами было только про-
ективным, то в исследованиях Римана по теории функций ком-
плексного переменного это соответствие приобретает новый аспект.
«Две данные односвязные плоские поверхности всегда могут быть
46 Е. N е 11 о. Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre.— J. f. d. reine und
angew. Math., 1878, 86, 263.
42
так отображены одна на другую, что каждой точке одной поверх-
ности сопоставляется с сохранением непрерывности определенная
точка другой поверхности и что при отображении обеспечивается
подобие взаимно соответствующих бесконечно малых частей дан-
ных поверхностей; притом некоторой наперед заданной внутрен-
ней точке первой поверхности сопоставляется некоторая наперед
заданная внутренняя точка второй поверхности и некоторой напе-
ред заданной граничной точке первой поверхности сопоставляется
некоторая наперед заданная граничная точка второй поверхности.
Указанными условиями (отображение полностью определяется»
(стр. 83). Другими словами, здесь речь идет о конформном отоб-
ражении двух областей, которое в руках Римана и последующих
математиков стало важным средством исследования функций ком-
плексного переменного47.
Наибольший интерес с точки зрения предыстории теории мно-
жеств представляет, несомненно, работа Римана «О возможности
представления функции посредством тригонометрического ряда»,
написанная в 1853 г. и опубликованная в 1867 г.48 Прежде всего,
в этой работе Риман сделал существенный поворот в направлении
исследований по теории тригонометрических рядов. Если прежде
объектом исследований математиков в этой области были ряды
Фурье, основанные на использовании интеграла в смысле Коши,
то Риман поставил своей задачей изучение произвольных три-
гонометрических рядов вида Stfnsin пх + 6ncos пх как средства
изображения функций. Основной целью своей работы он считал
нахождение необходимых условий, которым должна удовлетворять
функция, чтобы ее можно было аналитически представить рядом
указанного типа (стр. 241). Это изменение направления исследо-
ваний привело к постановке и решению ряда новых вопросов. Од-
ним из них был вопрос о понятии определенного интеграла.
Коши сформулировал понятие определенного интеграла по от-
ношению к непрерывным функциям; он же расширил это опреде-
ление для случая функций, имеющих конечное множество точек
разрыва. Но среди функций, которые можно представить рядами
2«nsin пх + fencos пх, теоретически могли оказаться (и оказались
фактически) функции, имеющие различные бесконечные множест-
ва точек разрывов. А так как основным средством разложения
функций в тригонометрические ряды был метод Эйлера — Фурье
определения коэффициентов через определенный интеграл, то ес-
тественно вставал вопрос о применимости существовавшего поня-
тия интеграла к более общему классу функций.
Решение этого вопроса и явилось содержанием первого раздела
иаботы Римана. Здесь Риман формально не давал нового опреде-
47 Понятие конформного отображения имелось уже у Л. Эйлера. См.
об этом: А. И. Маркушевич. Очерки по истории теории аналитических
функций. М.— Л., ГИТТЛ, 1951, стр. 32—33.
48 Б. Риман. Сочинения, стр. 225—261.
43
ленпя интеграла. Как и Коши, он рассматривал его как предел
сумм п_;
3 / (£i) (Яг+1 — Яг) (1)
1=0
при максимальной длине разбиения промежутка интегрирования,
стремящейся к нулю. Если Коши заранее определял интеграл так,
чтобы обеспечить существование предела (1), налагая на f(x) те
ъ
или иные ограничения, то Риман определял интеграл § f(x)dx
а
просто как предел (1), независимо от характера функции /(#),
лишь бы указанный предел существовал. И это изменение подхода
к понятию интеграла было существенным шагом к возможности
появления теоретико-множественных представлений в теории
функций. Определение Коши a priori исключало рассмотрение
функций со сложным множеством точек разрыва; определение Ри-
мана позволяло рассматривать функции со сколь угодно сложными
множествами точек разрыва, лишь бы мера этих множеств была
равна нулю. Подобные функции начали появляться в анализе уже
в рассматриваемом мемуаре Римана.
Вместе с тем такой характер определения сразу же предпола-
гает рассмотрение условий интегрируемости. В указанной работе
(стр. 237—238) Риман формулирует такое условие: для того что-
бы функция f(x) была интегрируемой (R), необходимо и доста-
точно, чтобы промежуток интегрирования (а, Ъ) можно было раз-
делить на частичные промежутки так, чтобы общая сумма длин
тех из них, на которых колебание f(x) больше е, была бы сколь
угодно малой при произвольном 8 > 0. ।
В этом условии в неявном виде имелось теоретико-множествен-
ное содержание: для интегрируемости f(x) по Риману необходимо
и достаточно, чтобы мера множества точек разрыва f(x) была рав-
на нулю. Это содержание было вскрыто -значительно позднее, но
почти вслед за опубликованием данной работы Римана начался до-
вольно сложный процесс преобразований римановского условия
интегрируемости в такое условие, чтобы в нем отчетливо выявля-
лась роль множества точек разрыва интегрируемой функции и
меры этого множества. Но и в самой работе Римана определенно
намечен подход к такому пониманию данного им условия интегри-
руемости. Действительно, когда он устанавливает, что функция
является интегрируемой, он заключает точки, в которых скачки
функции превосходят заданное число, в интервалы и показывает, *
49 Символ (х) означает разность между х и ближайшим к нему целым
числом; в случае, если х расположен точно посередине между двумя целы
ми числами, (х) принимается равным нулю.
44
что общая сумма длин указанных интервалов может быть сделана
сколь угодно малой (стр. 239). От этого один шаг до суждения об
интегрируемости функции в зависимости от характера множества
точек разрыва. Этот шаг в 1870 г. сделал Ганкель. К нему мы еще
возвратимся далее.
Множество разрывов этой функции является всюду плотным —
первым в анализе всюду плотным множеством, отличным от мно-
жества рациональных чисел. Риман показал, что эта функция раз-
рывна для всех тех рациональных х, которые, будучи представле-
ны в виде несократимой дроби, имеют четный знаменатель.
При исследовании вопроса о представимости рядами Фурье
функций, имеющих бесконечное число максимумов и минимумов
(последний раздел работы), Риман вводит другие бесконечные
точечные множества, правда, не столь явно определяемые. Эти
множества являются множествами точек сходимости рядов Фурье
или множествами точек, в которых ряды расходятся к бесконечно-
оо
сти. Серию примеров Риман начинает с функции 2(п^)/п’РЯД
п=1
Фурье которой сходится на множестве рациональных точек, и за-
оо
канчивает тригонометрическим рядом 2 8*п (п! хп), который
п=1
сходится на всюду плотном множестве, состоящем из всех рацио-
нальных точек и из некоторого бесконечного множества иррацио-
нальных точек, которые Риман полностью не определяет, отмечая
лишь, что простейшими из них являются sin 1, cos 1, 2/е и их крат-
ные, а также некоторые другие.
Таким образом, здесь появляются как раз те «точечные множе-
ства более сложной природы», наличие которых в рассуждениях
Римана отрицал В. Л. Гончаров.
7. Теория роста функций
Отношение математиков к теории роста функций довольно про-
тиворечиво. Одни, например Г. Кантор, считали, что многое в этой
теории основано на логическом круге, что ряд ее результатов —
«бумажные» фикции, предназначенные к выбрасыванию в корзи-
ну для бумаг50. Другие, например Э. Борель, рассматривали эту
теорию как фундамент теории функций вообще и при системати-
ческом изложении теории функций предлагали считать ее введе-
нием к последней 51. Третьи, не выражая своего эмоционального
отношения к указанной теории, рассматривали ее просто как очень
полезный инструмент исследования многих вопросов математи-
50 G. Cantor. Sui numeri transfiniti. Estratto d’una lettera di Georg
Cantor a G. Vivanti.— Riv. mat., 1895, 5, 107.
61 Ё. Borel. Lemons sur la theorie de la croissance. Paris, 1910, p. V.
45
ки52. Некоторыми ее результатами пользуются и в настоящее вре-
мя, но современной оценки с точки зрения ее логической состоя-
тельности для названной теории, кажется, не имеется.
Несмотря на то, что Кантор резко выступал против ряда поло-
жений теории роста функций, особенно против вывода из нее о
существовании актуально бесконечно малых величин, эта теория
оказала заметное влияние на развитие теории множеств. Боль-
шинство крупных математиков XIX в., имена которых связывают-
ся с разработкой теории множеств, были знакомы и с этой теори-
ей, так или иначе оценивали ее и принимали участие или в ее
разработке, или в опровержении некоторых ее результатов. У не-
которых из них, особенно у П. Дюбуа-Раймона, результаты, полу-
ченные в теории множеств, тесно переплетались с результатами
из теории роста функций. В последней теории особенно наглядно
видна потребность в расширении понятия числа за пределы конеч-
ных действительных чисел, и в этом ее родство с теорией мно-
жеств несомненно. Поэтому здесь мы уделяем ей определенное
место.
Зачатки теории роста функций имелись уже у Эйлера53. На
протяжении конца XVIII — первой половины XIX в. математи-
ки, по-видимому, не раз обращались к этой теории. Так, в работе
де Моргана «О бесконечности и о знаке равенства», о которой бу-
дет речь далее, элементы теории роста функций излагаются как
достаточно известные. Однако фактическая разработка теории ро-
ста функций — в основном дело П. Дюбуа-Раймона. Заниматься
ею он начал в 1871 г. и продолжал исследования в этой области
почти до самой смерти (1889 г.). Нам нет необходимости излагать
содержание этой теории, поскольку можно ознакомиться с ней по
указанным ранее книгам Бореля и Харди. Мы приведем лишь не-
которые сведения, чтобы показать, что в ней отчетливо ощуща-
лась потребность в исследовании математической актуальной бес-
конечности.
Исходным пунктом теории роста функций является рассмот-
рение пределов отношений двух функций:
lim . *
х+оо ф(^)
Если мы возьмем последовательность таких простых функций, как
{яп}, то сразу заметим, что каждая из функций этой последова-
тельности при х—>оо стремится к бесконечности, однако харак-
тер этого стремления для всех функций различен в том смысле,
что каждая последующая функция стремится к бесконечности,
грубо говоря, бесконечно быстрее, чем предыдущая. Последнее об-
52 G. H. Hardy. Orders of infinity. Cambridge, 1924, p. 1.
53 L. Euler. De infinitatis infinitis gradibus.— Acta Petropolit., 1778.
См.: А. В. Васильев. Введение в анализ, вып. II. Казань, 1908, стр. 224.
46
стоятельство выражается тем, что
lim^T=°° (О
при любом п. По словам Дюбуа-Раймона, хп имеет большую бес-
конечность, чем хп~\— «выражение, достаточно философское..., но
имеющее то преимущество, что оно кратко и ясно» 54. Будем гово-
рить в дальнейшем, что порядок бесконечности хп больше, чем по-
рядок бесконечности хп~\ Эти порядки обращения функций хп
в бесконечность можно в некотором смысле охарактеризовать при
помощи натуральных чисел, считая характеристикой роста функ-
ции хп ее показатель п, другими словами, беря в качестве единицы
измерения роста функций рост функции х. Очевидно, что при при-
нятых соглашениях для характеристики порядков роста функции
хп требуются все натуральные числа. Однако несложно показать,
что существуют такие функции, рост которых к бесконечности
происходит бесконечно быстрее, чем рост хп при любом натураль-
ном п. Такова, например, функция ех, так как
lim — = оо , (2)
х -> оо X
каким бы ни было большим натуральное число п 55. Если бы мы
теперь попытались охарактеризовать некоторым числом порядок
роста ех, то запас натуральных чисел, очевидно, будет недоста-
точным, так как какое бы натуральное число п мы ни взяли, для
достаточно большого х будем иметь ех > хп. Для характеристики
роста ех можно попытаться ввести новый символ, например со,
который по своему отношению ко всем натуральным п выступает
как некоторое число в обобщенном смысле, как число, большее
всех натуральных чисел. Но как только мы сделали один шаг в
этом направлении, так, естественно, приходится делать другой,
третий и т. д. Например, порядок роста функции ех2 будет выше
порядка роста ех и для характеристики этого порядка потребуется
новый символ и т. д. Таким образом, даже в этих простейших слу-
чаях, когда используются средства обычного математического ана-
лиза, мы сталкиваемся с тремя существенно важными фактами.
Во-первых, бесконечность теряет свою однообразность, точнее
неопределенность, когда она мыслится как нечто просто безгра-
нично большое; бесконечность дифференцируется на различные
порядки, появляются бесконечности, из которых одна в некотором
54 Р. Du Bois-Reymond. Sur la grandeur relative des infinis des
fonctions.— Ann. mat. pura et appl., ser. 2a, 1871, 4, 339. Ссылки в тексте
приводятся на эту работу.
55 Доказательство равенства (2) см., например, в кн.: Д. А. Граве.
Введение в анализ. Киев, 1910, стр. 154.
47
смысле, описываемом обычными математическими средствами,
больше другой. Во-вторых, эти бесконечности выявляются при
рассмотрении простых аналитических выражений вроде хп, ех, ех
и пределов их отношений; бесконечности выступают как факти-
чески, актуально заданные указанными формулами. Наконец,
в-третьих, для характеристики этих бесконечностей, наряду с на-
туральными числами, требуются новые символы, имеющие смысл
трансфинитных чисел.
Как мы увидим далее, с точно такой же ситуацией столкнулся
и Кантор при изучении производных точечных множеств.
Но в теории роста функций было еще одно обстоятельство,
которое не имеет места в теории множеств,— появление символов
для актуально бесконечно малых величин, причем с той же естест-
венной простотой, с какой введены выше актуально бесконечно
большие. Действительно, если в последовательности {х1/п} за ха-
рактеристику роста брать показатель 1/п, то для описания поряд-
ков роста этих функций потребуются все числа вида 1/п. Но если
мы рассмотрим функцию In х, то, желая ввести символ, характери-
зующий рост In я, придем к заключению, что этот символ должен
быть меньше 1/п при любом п. Действительно, функция In х растет
медленнее, чем я1/гг при любом п, так как
In х _ п
Иш ”Zi7n _ U-
Но как только сделан этот шаг, следующие шаги вытекают сами
собой. Так, функция In In х растет медленнее, чем In х, In In In х
еще медленнее и т. д.
Следовательно, и в этом случае получается совершенно анало-
гичная картина только для бесконечно малых величин. Понятие
бесконечно малого дифференцируется на различные порядки, воз-
никают бесконечно малые различных порядков малости; эти бес-
конечности выступают как актуальные, описываемые простейши-
ми формулами анализа; для их характеристики недостает обыч-
ных чисел и требуется введение новых символов, имеющих смысл
актуально бесконечно малых чисел.
Приведенные выше порядки роста даны в соответствии с це-
лыми числами и числами вида 1/лг и их обобщениями в виде целых
трансфинитных и актуально бесконечно малых чисел. Но такое же
рассуждение можно провести для последовательности вида {ха},
где а — любое действительное число, и тогда трансфинитные и ак-
туально бесконечно малые символы выступают как обобщения
множества действительных чисел.
Изложенное выше приведено в основном по книге Бореля
«Лекции по теории роста», упомянутой выше. У Дюбуа-Раймона
это не сформулировано в столь отчетливой форме. Но уже в пер-
вой его работе «Об относительной величине бесконечностей функ-
48
ций» [опубликована в 1871 г. (см. сноску 54), т. е. еще до появле-
ния первых работ Кантора по теории точечных множеств], эти
идеи намечаются достаточно отчетливо. Основной задачей своей
работы Дюбуа-Раймон ставит задачу построения последователь-
ности функций, аналогичной в некотором смысле последователь-
ности действительных чисел (стр. 338). Для этой цели он вводит
отношения «равенства», «больше» и «меньше» для функций в со-
ответствии со следующими определениями.
Две функции f(x) и ср (я) он называет инфинитерно (infinitai-
ге) равными, если
lim
X 00
/(ж)
ф(ж)
(3)
имеет конечное значение, и записывает f(x) —<р(я). Если предел
(3) равен + оо, то f(x) является инфинитерно большей <р(я), а в
символах f(x) <р(я). Если, наконец, предел (3) равен нулю, то
f(x) инфинитерно меньше ф(х), символически
Эти определения, как отмечает Дюбуа-Раймон (стр. 339), во
многом напоминают определения равенства и неравенства для
действительных чисел по их свойствам. Пользуясь этими опреде-
лениями, он строит последовательность функций, состоящую из
повторных логарифмов, степенных и экспоненциальных функций,
подобную рассмотренной, и видит аналогию этой последователь-
ности с последовательностью действительных чисел в том, что
подобно тому, как между двумя сколь угодно близкими числами
можно вставить сколь угодно действительных чисел, так и в этой
последовательности функций между любыми двумя функциями
можно вставить сколь угодно функций, имеющих промежуточный
рост. Дюбуа-Раймон дал несколько приемов построения таких про-
межуточных функций.
Вместе с тем он отмечает, что указанная аналогия не полна,
так как «в последовательности чисел, сколь бы сжатой мы ее ни
предполагали, каждому заданному числу можно приписать абсо-
лютно определенное место56, тогда .как место, которое должна
занимать в последовательности F57 заданная функция, остается
до некоторого момента произвольным, так как для всякой функ-
ции имеется неограниченное количество других функций, которые
имеют равную бесконечность» (стр. 343), т. е. одинаковый порядок
роста. Таковы, например, функции ех и ех + Рп(^), где Рп(х) —
произвольный полином. Чтобы сделать аналогию более полной,
Дюбуа-Раймон предлагает при сравнении функций /1(я) и /г(^)
использовать их разность /г(^)—/1(я). Тогда функция /г(^) долж-
на помещаться правее другой функции /1 (х), если разность /г(^) —
56 Здесь Дюбуа-Раймон, по-видимому, имеет в виду упорядоченность
множества действительных чисел.
57 Т. е. в указанной последовательности функций.
4 Ф. А. Медведев 49
__У1 (*^) при возрастании х до бесконечности становится в конце
концов положительной.
Что касается случая, когда уравнение /2(2)—/1 (я) =0 имеет
бесконечное число корней, когда, следовательно, сравнение f\ (х)
и /2(х) по их разности становится невозможным, то Дюбуа-Рай-
мон предлагает вообще исключить такие функции из рассмотре-
ния. В частности, для последовательности указанного вида, т. е.
состоящей из логарифмов, степеней и экспонент, последнее обсто-
ятельство не будет иметь места. При таких способах сравнения и
такого рода ограничениях последовательность функций будет сход-
на с последовательностью действительных чисел и в смысле отне-
сения всякой функции определенного места.
Здесь, как мы видим, Дюбуа-Раймон явно наметил картину,
для описания которой фактически недостает средств классической
математики. Но он не сделал никаких выводов о необходимости
разработки самостоятельной теории роста функций, как впослед-
ствии Борель. Как и многие другие математики XIX столетия,
Дюбуа-Раймон, подойдя к вопросам, требовавшим новых отдель-
ных исследований, получив некоторые результаты в новой теории,
сразу же стремится использовать полученные результаты при ре-
шении ряда вопросов классического анализа. Его не так интересу-
ет необходимость разработки новой теории (а может, ему это и не
удавалось), как возможность использования отдельных частных
результатов складывающейся теории при решении других вопро-
сов. Это имеется в названной работе Дюбуа-Раймона, это же ха-
рактерно и почти для всех его последующих работ.
Одним из основных результатов Дюбуа-Раймона в разработке
теории роста функций была теорема о том, что для любой счетной
последовательности функций {fn}, удовлетворяющих соотно-
шениям
/п-1 (^)>/п (х),
можно найти такую /(я), что f(x) fr.(x) при любых п, т. е. поря-
док роста f(x) меньше порядков роста всех fn(x) 58. Впоследствии
аналогичное утверждение было доказано для последовательности
функций {фп {х)}, удовлетворяющих условию фп-i {х) фп (х),
т. е. теорема о нахождении функции, растущей быстрее всех
функций последовательности, а также теорема о том, что если
функции (/п (я)] удовлетворяют условию /п-1 К fn и f(x) такова,
что fn(x) ^f(x), то можно найти такую ф(я), что fn(x) <( ф (х)
f(x), т. е. промежуточную между {fn} и /(^).
Эти теоремы доказаны рядом авторов (Дюбуа-Раймон, Пинкер-
58 Р. DuBois-Reymond. Uber asymptotische Werte^ infinitare Appro-
ximationen und infinitare Auflosung von Gleichungen.— Math. Ann., 1875, 8,
362—414, 576—578. Для частного случая шкалы логарифмических функций
n . . .In л; эта теорема доказана Дюбуа-Раймоном в 1873 г.
п
50
ле, Адамар) и были предметом некоторых последующих исследо-
ваний. Мы не будем останавливаться на этом, отметив лишь, что
с помощью этих теорем можно вводить символы, обладающие ха-
рактеристиками трансфинитных чисел сколь угодно высокого и
сколь угодно низкого порядков. Кроме того, следует указать, что
доказательства этих теорем опираются на аксиому Цермело59
и что, как это будет показано далее, при их доказательстве Дюбуа-
Раймон пользовался диагональным методом еще до того, как его
применил первый раз Кантор.
Следовательно, в теории роста функций, во-первых, отчетливо
намечена необходимость выхода за пределы конечных действи-
тельных чисел; во-вторых, налицо переход к множествам не чис-
ловой природы (множества функций, множества порядков роста,
множества функций заданного порядка); наконец, здесь использо-
вались такие специфически теоретико-множественные приемы, как
применение аксиомы Цермело и диагонального метода.
8. Карл Вейерштрасс и теория множеств
«Относительно математической личности Вейерштрасса боль-
шинство современных математиков, по-видимому, приходит к со-
гласию в том, что ее центром и смыслом было подведение числовой
основы под всю математику, „арифметизация математики", и „кри-
тический пересмотр различных теорий"» 60. В процессе осуществ-
ления этой задачи Вейерштрасс сделал многое для подготовки и
развития теоретико-множественных представлений. Однако дать
полную характеристику роли Вейерштрасса <в этом довольно труд-
но. Дело в том, что Вейерштрасс обладал одной своеобразной чер-
той характера: он не любил печатать свои научные результаты.
Чтобы убедиться в этом, достаточно просмотреть его «Mathema-
tische Werke», чуть ли не большую часть которых составляют
работы, напечатанные много времени спустя после написания.
Более того, очень многое из полученного Вейерштрассом в ма-
тематике известно в изложении его учеников. Укажем, к примеру,
его теорию действительных чисел, которая при жизни Вейерштрас-
са была изложена слушателями его лекций Е. Коссаком и О. Бир-
маном в Германии и С. Пинкерле в Италии, а после смерти Вейер-
штрасса его учеником В. Дантшером (1908 г.). То же самое можно
сказать о его лекциях по теории функций комплексного переменно-
го, по вариационному исчислению и т. д. В этих лекциях излага-
лись нередко важнейшие математические открытия, однако устано-
вить, когда и в связи с чем сделано то или иное открытие, большей
59 В. В. Степанов. К принципу Du Bois-Reymond’a в теории роста
функций.— Матем. сб., 1918, 30, вып. 4.
60 Н. Н. Лузин. Собрание сочинений. Т. III. М., Изд-во АН СССР,
1959, стр. 307.
51
4*
частью невозможно. Не всегда можно быть уверенным, что та или
иная формулировка принадлежит собственно Вейерштрассу, а не
является некоторым преобразованием его идеи.
Мы начнем с рассмотрения лекций Вейерштрасса по введению
в анализ и теорию аналитических функций, которые он начал чи-
тать в Берлинском университете в зимнем семестре 1859/60 г.
и с перерывами повторял до зимнего семестра 1884/85 г. 61 При
этом будем преимущественно использовать изложение С. Пинкер-
ле 62, иногда привлекая другие источники.
Взгляд Вейерштрасса на способ изложения этих лекций в изве-
стной мере охарактеризован им в одном из писем Г. Шварцу: «Чем
больше я размышлял о принципах теории функций,— а я делаю
это непрестанно,— тем сильнее я убеждался, что эта теория должна
быть построена на основе алгебраических функций, а поэтому мы
не имеем права поступать наоборот и использовать трансцедент-
ное (чтобы выразиться кратко) для установления простых и основ-
ных алгебраических теорем; однако могут быть привлекательными,
например, соображения, с помощью которых Риман открыл столь
многие очень важные свойства алгебраических функций. В отноше-
нии открытия допустим всякий путь, если он очевиден; я же ду-
маю о систематическом установлении теории» 63.
Это систематическое установление теории потребовало от Вей-
ерштрасса обращения к самым первоначальным принципам анали-
за. Мы не будем здесь касаться вопроса о том, какие стороны тео-
рии функций комплексного переменного требовали уточнения по-
нятий классического анализа, так как это привело бы к привлече-
нию значительного материала из этой теории 64. Остановимся лишь
на том, что ближе примыкает к нашей теме.
Вейерштрасс не только разделял ту точку зрения, что математи-
ка должна основываться исключительно на понятии числа, точку
зрения, которой придерживались многие математики XIX в., но и
фактически проводил ее в жизнь. Изложение Пинкерле его лекций
по введению в теорию функций комплексного переменного начина-
ется такими словами: «Анализ, без какого-либо постулата, основы-
вается единственно на понятии числа, поэтому прежде вс’его необ-
ходимо установить определение различных видов чисел и операций,
которые можно над ними производить» (стр. 179). Первые же
61 Перечень лекций, прочитанных Вейерштрассом в Берлинском уни-
верситете, помещен в его Mathematische Werke, Bd. 3. Berlin, 1903, S. 355—
360. Далее указываются как Werke.
62 S. P i n c h e г 1 e. Saggio di una introduzione alia teoria delle funzioni
analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass.— Giorn. mat., 1880, 18,
178—254, 317—357. Ссылки в тексте даются на эту работу.
63 К. Weierstrass. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895, S. 235.
64 Интересные соображения по этому поводу высказаны Ф. Журденом
в его работе «Развитие теории трансфинитных чисел» (Ph. Е. В. Jour-
dain. The development of the theory of transfinite numbers.—Arch. Math,
und Phys., 1909, 14, 295-303).
52
страницы изложения Пинкерле посвящены целым, рациональным,
иррациональным и комплексным числам.
Относительно арифметики целых чисел Вейерштрасса мы ука-
жем лишь то обстоятельство, что в основу сравнения чисел поло-
жено понятие взаимнооднозначного соответствия между конечны-
ми множествами 65. Более подробно рассмотрим его теорию дейст-
вительных чисел, отметив сначала один момент из анализа, где
настоятельно требовалась такая теория.
Известно, что Коши подвел под все здание анализа фундамент
понятия предела. В своем ijypce анализа 1821 г. он такими слова-
ми определяет предел: «Если последовательные значения одной
и той же переменной неопределенно приближаются к некоторой
постоянной величине, так что разность между ними и этой посто-
янной величиной может сделаться монее всякой данной величины,
то постоянная величина называется пределом переменной» 66.
Вслед за этим Коши замечает, что иррациональное число есть
предел различных дробей, которые дают все более и более прибли-
женные его значения. Если последнее рассматривается как опреде-
ление иррационального числа, чего сам Коши, кажется, не делал,
но что после него делали многие математики, т. е. иррациональное
число считается пределом последовательности рациональных чи-
сел, то тем самым заранее предполагается, что эта последователь-
ность имеет предел. Следовательно, нужен какой-то критерий
сходимости. Коши дал такой критерий в виде известного признака
Коши: для того, чтобы последовательность {5П} сходилась к пре-
делу 5, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 сущест-
вовало такое 2V(e), что при п > N выполнялось неравенство
* | 8п+т — Sn | 667.
Доказательство необходимости этого критерия можно провести без
теории действительных чисел. Однако для того, чтобы доказать
его достаточность, требуется предварительное определение систе-
мы действительных чисел, к которой принадлежит предполага-
емый предел. Поэтому определение действительного числа как
предела последовательности рациональных чисел представляет со-
бою логический круг.
Подобного рода круга избежал Вейерштрасс. Он определяет
положительное иррациональное число как некоторое актуально
заданное бесконечное множество рациональных чисел {av}; это
множество удовлетворяет тому условию, что какое бы конечное
число рациональных чисел av из него мы ни взяли, сумма взятых
65 Краткое и достаточно хорошее изложение теории целых чисел по
Вейерштрассу содержится в кн.: A. Na tn с ci. Sviluppo storico dell’aritme-
tica generale e dell’algebra. Napoli, 1952, p. 185—189.
66 О. Л. К о ш и. Алгебраический анализ. Лейпциг, 1864, стр. 4.
67 Коши сформулировал этот критерий для рядов. Там же, гл. VI, § 1.
53
чисел всегда не превосходит некоторой заданной границы. Для
определенных таким образом иррациональных чисел вводятся по-
нятия равенства и неравенства и определяются действия над ними.
«Мы видим, что здесь момент порождения, связывающий множе-
ство с определяемым им числом, заключается в образовании сумм.
Но должно резко подчеркнуть то, что здесь оперируют суммиро-
ванием всегда конечного количества рациональных элементов,
а не то, чтобы, скажем, определяемое число b заранее приравни-
валось сумме бесконечного ряда (av). Такое приравнивание
представляло бы здесь логическую ощдбку, ибо, скорее наоборот,
определение суммы Zav получается лишь путем приравнивания ее
непременно уже определенному, заранее готовому числу Ь. Я ду-
маю, что эта логическая ошибка, которой избежал впервые г. Вей-
ерштрасс, совершалась в прежние времена почти всеми и не была
замечена лишь потому, что она относится к тем редким случаям,
когда действительная ошибка не может причинить большого вре-
да в исчислении» 68.
Таким образом, в первой части лекций Вейерштрасса мы осо-
бо выделяем, во-первых, использование взаимнооднозначного со-
ответствия и, во-вторых, введение разнообразных бесконечных
множеств, рассматриваемых как актуально заданные.
В следующем разделе, озаглавленном Пинкерле «Некоторые
величины вообще», прежде всего следует выделить введение
тг-мерных точечных пространств под названием «п-мерные много-
образия». Как мы уже говорили, такие многообразия были и ранее,
но Вейерштрассом особо подчеркнуто, что здесь речь идет исклю-
чительно о множестве систем значений п чисел и что с п-мерным
многообразием не обязательно связывать какие-либо конкретные
представления (стр. 235). Для точек таких многообразий, рас-
сматриваемых как системы значений п чисел 69, он вводит обычное
теперь понятие окрестности: «Пусть дана точка (а) в тг-мерном
многообразии, т. е. рассматривается система значений
—2 #1, ^2 ^2» • • • ,^пз
множество точек, которые получаются тогда, когда X], х%, хп
принимают все значения, заключенные соответственно между
и а± +
&2 — б2 И d2 -|~ $2
ап бп и ап -j- dn,
68 Г. Кантор. Основы общего учения о многообразиях.— Новые идеи
в математике, сб. 6. СПб., 1914, стр. 36.
69 В своих работах Вейерштрасс такую систему значений называет
S telle или Punkt, предпочитая, как правило, первый термин.
54
называется окрестностью точки (а)» (стр. 235). Вслед за тем оп-
ределяется окрестность бесконечно удаленной точки.
В определенных таких образом n-мерных точечных (числовых)
пространствах Вейерштрасс рассматривает различные бесконеч-
ные множества, о которых он говорит, что это множества точек,
«...задаваемых одним и тем же правилом или, другими словами,
удовлетворяющих некоторому общему определению» (стр. 235).
Из этих множеств он выделяет два класса — изолированные мно-
жества, т. е. такие, для каждой точки которых можно указать ок-
рестность, не содержащую других точек рассматриваемого мно-
жества, и множества, точки которых, по словам Пинкерле, обра-
зуют континуум, т. е. такие множества, что сколь бы малую окре-
стность точки мы ни взяли, в этой окрестности всегда найдутся
другие точки рассматриваемого множества (другими словами,
речь идет о всюду плотных множествах) (стр. 235—236).
Термин «континуум» здесь не совсем удачен, и, как мы увидим
далее, Вейерштрасс пользовался этим термином в другом смысле.
Возможно, что в данном месте мы имеем не совсем точную пере-
дачу Пинкерле мыслей Вейерштрасса.
Для континуумов Вейерштрасс вводит понятие связности:
«Пусть имеется бесконечное множество точек (а/), удовлетворяю-
щих общему определению и образующих континуум, и пусть (xaf)
и. (хь') — две из этих точек. Будем говорить, что некоторые точки
С4), (х'п)
из точек (У) образуют непрерывный переход от (х/) к (хь),
если (х{) взята в окрестности (#/)> (^2Х) —в окрестности (ж/),
(я3') — в окрестности (хъ) и т. д., наконец, (хъ) — в окрестности
(хп), причем размеры окрестностей определяются характером
рассматриваемой задачи. При этих предположениях континуум на-
зывается связным, если между любыми двумя его точками всегда
можно установить непрерывный переход; напротив, континуум
является несвязным и говорят также, что он образован из несколь-
ких отдельных кусков, в противном случае; континуум может
быть образован также из бесконечного множества кусков; таков
континуум, определяемый неравенствами
т х' т + V2
в одномерном случае (т — произвольное целое число). Напомина-
ем, что в этом определении не имеется в виду связи с каким-либо
геометрическим представлением» (стр. 236).
Мы привели эту длинную цитату для того, чтобы подчеркнуть
и отчетливо топологический характер определения связности, и
интересный пример множества, представляющего собой сумму
55
счетного множества сегментов, и, наконец, напоминание о чисто
арифметическом подходе к вводимым понятиям.
Затем вводятся понятия внутренней, внешней и граничной то-
чек континуума. После этого доказывается для одномерного и
многомерного случаев одна из самых фундаментальных теорем
анализа: всякое бесконечное множество имеет по крайней мере
одну предельную точку (стр. 237—241). Вслед за тем определя-
ются точные верхняя и нижняя границы множества действитель-
ных чисел и доказывается их существование.
Третий раздел лекций Вейерштрасса посвящен изучению фун-
кций и функциональных рядов. Мы не будем касаться этого, от-
метив лишь тот факт, что многие классические понятия и резуль-
таты претерпевают в руках Вейерштрасса довольно существенное
преобразование. Нам достаточно будет проиллюстрировать это та-
ким примером.
Важнейшее понятие анализа Коши — понятие переменной ве-
личины, частным случаем которой является бесконечно малая ве-
личина как такая переменная величина, предел которой равен
нулю. Функциональная зависимость для Коши — это зависимость
между переменными величинами. В частности, функция f(x) на-
зывается непрерывной, если бесконечно малому изменению х со-
ответствует бесконечно малое изменение функции70.
У Вейерштрасса, хотя он и пользуется термином «переменная
величина», смысл его совсем иной: это просто множество дейст-
вительных чисел (стр. 234); бесконечно малой величины в смысле
Коши у него совсем нет; непрерывная функция определяется та-
ким образом (стр. 247): «Функция переменного х будет назы-
ваться непрерывной в некоторых пределах значений хо, если, взяв
какое-либо значение xq между этими пределами и произвольно
малое число е, мы сможем найти такую окрестность хо, что для
всех значений х\ взятых в этой окрестности, будет по абсолютной
величине
/(И—/(жо)<е».
Суть отличия определения Вейерштрасса от определения Коши
состоит в замене кинематической, если можно так выразиться,
характеристики поведения функции в точке статической характе-
ристикой. У Вейерштрасса нет изменения и тем более бесконечно
малого изменения; поведение функции характеризуется актуаль-
но бесконечными множествами действительных чисел — окрестно-
стями аргумента и функции. Аналогичная ситуация имеет место
и в других вопросах, к чему мы еще возвратимся в гл. III.
Перед рассмотрением понятия аналитической функции по Вей-
ерштрассу, исследованию которого посвящена остальная часть
лекций, коснемся одного важного вопроса, тесно связанного с на-
70 См., например, А. Л. К о ш и. Краткое изложение уроков о дифферен-
циальном и интегральном исчислении. СПб., 1831, стр. 11.
56
шей темой и отчетливо сформулированного в лекциях Вейершт-
расса по вариационному исчислению. Эти лекции Вейерштрасс
начал читать в летнем семестре 1865 г. и с перерывами читал до
зимнего семестра 1889/90 г. Изданы они были только в 1927 г.71
по записям слушателей, и поэтому здесь можно сказать то же са-
мое, что было сказано относительно лекций по теории аналитиче-
ских функций. Из этих лекций нас интересуют лишь «Заключи-
тельные замечания к теории максимумов и минимумов» (гл. V.
стр. 55—60), где приведены необходимые для решения вопроса о
существовании экстремума сведения из теории функций. Здесь в
основном повторены определения и результаты (большей частью
без доказательств) второго раздела лекций по теории функций.
В частности, после определения предельной точки приводятся
примеры числовых множеств, имеющих по одной предельной точ-
ке (стр. 56).
Кроме того, дается иное определение континуума, чем в изло-
жении Пинкерле. Континуум определяется не как связное, всюду
плотное множество, а как открытое связное множество: «Если в
тг-кратном многообразии п независимых друг от друга переменных
определено бесконечно много систем значений, то они образуют
n-кратно протяженный континуум или n-кратно протяженную об-
ласть, если одновременно с каждой такой системой значений
(Я1, ..., ап) к рассматриваемым системам значений принадле-
жат также все точки некоторой окрестности этой системы и если,
далее, для любых двух различных из рассматриваемых систем зна-
чений (ли, а2, ..., ап) и (bi, 62, Ьп) можно так задать ряд точек,
также принадлежащих к определенным ранее, что первая распо-
ложена в некоторой принадлежащей многообразию окрестности
точки (ai, а2, ..., ап), каждая следующая— в такого же рода окре-
стности предыдущей, а последняя — в такой же окрестности точки
(61, &2, ..., 6П)» (стр. 57).
Тем самым из точечных множеств в n-мерном пространстве
выделен весьма важный класс открытых множеств, получивших
затем в теории функций название областей — термин, употреб-
лявшийся и Вейерштрассом.
Перейдем теперь к вопросу об определении Вейерштрассом ана-
литической функции.
Выше отмечалось, что введение тригонометрических рядов в
качестве аналитического средства изображения функций привело
к тому, что связь между отдельными элементами функции в об-
щем случае разрушилась до такой степени, что можно было пред-
ставлять себе значения функции полностью независимыми друг
от друга. Возникло определение функции по Дирихле, выразившее
эту независимость в явном виде.
71 К. Weierstrass. Werke. Bd. 7. Leipzig, 1927.
57
Если к этому времени понятие аналитической действительной
•функции в известной мере было исчерпано, а потому в области
действительного переменного переход к общему определению Ди-
рихле казался естественным, то не так обстояло дело в области
комплексного переменного. Напротив, там понятие аналитической
функции как некоторого объекта, определяемого в целом по одно-
му из своих элементов, только что начинает получать существенное
развитие, главным образом в исследованиях Коши и Римана 72.
Вейерштрасс отчетливо осознает недостаточность определения
функции как аналитического выражения и в области комплексно-
го переменного. «Если бы мы остановились на первом определе-
нии (функции как аналитического выражения.— Ф. Л/.), то встре-
тились бы со следующим неудобством. Первые арифметические
операции, из которых можно было бы построить функции, приве-
ли бы к определению других; так, сложение и умножение естест-
венно привели бы к определению экспонента, а от него к корню
и логарифму. Но нет оснований задерживаться на этих первых
знаках операций; и, следовательно, мы были бы вынуждены вво-
дить новый символ всякий раз, когда, выразив функцию у = /(#),
не смогли бы выразить х через у при помощи тех же знаков. Сле-
довательно, в силу самого принципа изучения функций, чтобы не
вводить произвольных новых знаков в неопределенном числе, мы
были бы вынуждены тотчас же ответить на следующий довольно
сложный вопрос: можно ли будет выразить все аналитические
объекты, вводимые шаг за шагом, а потому необходимые в ана-
лизе, конечным или бесконечным числом знаков, принадлежащих,
однако, к ограниченному виду?» (стр. 253).
Поскольку последний вопрос остается без ответа, то возникает
потребность по-иному подойти к самому определению функции
комплексного переменного, а именно отказаться ib этом определе-
нии от привязанности его к единому аналитическому выражению.
Для функций действительного переменного таким определением
стало определение Дирихле, полностью разрушившее связь между
различными элементами функции, в конечном счете оставившее в
понятии функции лишь совершенно произвольное соответствие
между элементами двух множеств. Оно не удовлетворяло Вей-
ерштрасса своей крайней общностью. «Напротив, обращаясь ко
второму определению, если мы представим между х и у отношение
зависимости, удовлетворяющее единственному условию, что, за-
дав значение х, получим соответствующее значение у, то окажет-
ся, что установленная таким образом связь между х и у столь
смутна и неопределенна, что невозможно найти какое-либо свой-
ство, общее для всех функций» (стр. 254). Поэтому Вейерштрасс
ставит перед собой задачу так сформулировать определение функ-
72 Подробнее об этом см.: С. Е. Белозеров. Основные этапы развития
общей теории аналитических функций. Ростов, 1962.
58
ции, чтобы, во-первых, оно было пригодно как для действитель-
ных, так и комплексных значений аргумента, а во-вторых, чтобы
функции, подпадающие под это определение, обладали всеми свой-
ствами, которые в трактатах по анализу даются как общие свойст-
ва всех функций.
Во втором, несколько нечетком, требовании к определению по-
нятия функции, видимо, скрывалось намерение Вейерштрасса при-
дать понятию функции такое содержание, которое позволяло бы
сохранить одно очень ценное свойство функций,— содержание, при
котором знание малой дуги рассматриваемой кривой приводит к
знанию всей кривой. При этом определение должно быть макси-
мально общим в том смысле, чтобы все функции, обладающие дан-
ным свойством, подпадали под него и «на пути комплексного пере-
менного Вейерштрассу удалось прийти к определению функции,
которое столь совершенно, что большинство математиков и до сих
пор рассматривает его как единственное и, во всяком случае, как
исчерпывающее все нужды практики» 73.
Неизвестно, когда Вейерштрасс впервые сформулировал это
определение. Оно имеется в изложении его лекций Пинкерле, Бир-
маном и др. При этом, как отметил А. Гурвиц74, наиболее четко
оно формулировалось именно в лекциях, а не в опубликованных
работах Вейерштрасса, поэтому мы в вопросе об определении
функции будем продолжать следовать Пинкерле.
Основное, что нужно отметить в подходе Вейерштрасса к оп-
ределению функции комплексного переменного, это, как уже было
сказано, его отказ от обязательной связи определения функции
с каким-либо единым аналитическим выражением, а также от ис-
пользования физико-геометрических представлений. Для него ис-
ходным является некоторое структурное свойство функции, выра-
жающееся в том, что по одному произвольно взятому «элементу»
этой функции она определяется вся.
В качестве такого элемента берется степенной ряд
с0 + Ci (х — а) + с2(х — а)2 + . . .
с радиусом сходимости г > 0. Сам этот ряд, по определению, явля-
ется аналитической функцией, заданной в круге радиуса г с
центром в точке Возможно, и, как отмечал Вейерштрасс, этот
случай «является даже обычным» 75, что если мы возьмем точку
b внутри этого круга и рассмотрим другой ряд с0 + (# — +
+с2 (х — Ь)2 + . . . , то круг сходимости второго ряда окажется
73 Н. Н. Л у з и н. Функция. Собрание сочинений, т. III. М., Изд-во АН
СССР, 1959, стр. 336.
74 A. Hurwitz. Uber die Entwicklung der allgemeinen Theorie der
analytischen Funktionen in neuer Zeit.— Verhandl. des ersten internationalen
Mathematiker-Kongr. Leipzig, 1898, S. 92.
75 K. Weierstrass. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895, S. 209.
59
выходящим за пределы первого, а в общей части этих кругов зна-
чения рядов равны. Тогда второй ряд является аналитическим
продолжением первого. Совокупность всех точек плоскости комп-
лексного переменного, которые могут быть достигнуты, исходя из
точки а и продолжая любое конечное число раз функцию, обра-
зует область существования функции, а значения соответствующих
рядов в точках этой области дают аналитическую функцию, опре-
деляемую исходным рядом.
Из самого определения области существования вытекает, что
все эти точки являются внутренними, т. е. область представляет
собой открытое множество. Следовательно, в определении Вейер-
штрасса отчетливо выражен теоретико-множественный подход.
Аналитическая функция всегда задается на открытом множестве
точек; при построении функции используется одна из основных
теоретико-множественных операций — пересечение. Более того,
границы области есть особые точки функций, совокупность кото-
рых образует замкнутое множество.
Таким образом, здесь Вейерштрасс фактически подошел к двум
основным классам теории точечных множеств —к открытым и
замкнутым множествам. Сам Вейерштрасс специально выделил
лишь частный случай, правда весьма важный, открытых мно-
жеств — областей. Но и в случае особых точек он неоднократно
указывал, что множества их могут быть и конечными и бесконеч-
ными. Характер множества особых точек определяет свойства
функции. Если функция не имеет существенно особых точек, т. е.
это множество пусто, то функция является рациональной; если
множество таких точек конечно, то для данной функции можно
дать то или иное аналитическое выражение и т. д. Укажем, что,
когда Кантор впервые ввел общее понятие замкнутого множества
(1884 г.), он писай: «К этого рода множествам принадлежат, на-
пример, множества особых точек аналитических функций комплек-
сного переменного» 76. Других конкретных примеров замкнутых
множеств здесь Кантор не давал, так что исходным материалом
для установления общего понятия замкнутого множества служили
именно множества особых точек.
Таким образом, мы видим, что в научном творчестве Вейер-
штрасса теоретико-множественные идеи и методы являются од-
ним из самых существенных моментов. Теоретико-множественный
подход к математическим проблемам сложился у него, видимо,
еще задолго до того, как теория множеств начала формироваться
в качестве самостоятельной научной дисциплины. Если же мы при-
мем во внимание, что Кантор был учеником Вейерштрасса, что он
с 1863 г. слушал его лекции и что Вейерштрасс оказал исключи-
тельно большое влияние на его научное творчество77, то роль
76 G. Cantor. Ges. Abh., S. 226.
77 A. Fraenkel. Das Leben Georg Cantors.— В кн.: G. Cantor. Ges.
Abh., S. 453.
60
Вейерштрасса в подготовке теории множеств становится особенно
очевидной. Помимо того, Вейерштрасс оказывал значительную
поддержку Кантору, был, в частности, одним из первых матема-
тиков, применивших его результаты в своих изысканиях. Об этом
будет речь в другом месте.
9. Теории действительных чисел
Дедевинда и Кантора
К необходимости разработки теории действительных чисел при-
водили многие задачи анализа и некоторые способы рассуждений,
применявшиеся при решении этих задач. К сказанному в преды-
дущем разделе в этой связи добавим, что один из широко распро-
страненных способов рассуждений — способ последовательного
деления отрезка и заключение о существовании единственной точ-
ки, принадлежащей системе стягивающихся отрезков 78,— требо-
вал построения полной системы иррациональных чисел и отожде-
ствления их с точками геометрической прямой. Различные виды
иррациональных величин использовались в математике со времен
древней Греции. Но чуть ли ни каждая из них вводилась особым
способом, исходя из разных соображендй. Указанный же способ
рассуждений был единообразным во всех случаях, и для успешно-
го применения его необходим был единообразный способ задания
всех иррациональных чисел. Поскольку в этого рода рассуждениях
обычно имели дело с геометрическими объектами — точками, то
при наличии отмеченной тенденции к арифметизации вставала за-
дача отождествления точек с числами (или системами чисел в
многомерных случаях). Та же арифметическая тенденция была в
значительной мере ответственна за стремление описать в число-
вых терминах геометрическую и физическую непрерывность, точ-
нее — создать арифметический аналог этой непрерывности.
Настоятельная потребность в создании теории действительных
чисел привела к тому, что к решению данной задачи приступили
многие математики. Исторически первой известной сейчас попыт-
кой создания единой теории действительных чисел была попытка
Б. Больцано, который еще в начале 30-х годов построил теорию,
близкую к канторовской 79. Трудно сказать, чья теория — Вейер-
штрасса или Дедекинда — была хронологически следующей, так
как неизвестно, когда Вейерштрасс в своих лекциях впервые сфор-
мулировал основы своей теории; Дедекинд же определенно
78 К этому способу рассуждений мы возвратимся в следующей главе
в другой связи.
79 Об этом c-м.: К. Рыхлик. Теория вещественных чисел в рукописном
наследии Больцано. Историко-математические исследования, вып. 11. М.,
Физматгиз, 1958, стр. 515—532 или Rychlik Karel. La theorie des nom-
bres reels dans un ouvrage posthume de Bernard Bolzano.— Rev. hist, sci.,
1961, 14, N 3—4, 313—327.
61
указывает время создания своей теории — осень 1858 г.80 Опубли-
кованы они обе в одном и том же 1872 г. Тогда же была опубли-
кована теория Кантора. Однако еще за три года до этого теория,
аналогичная канторовской, была предложена французским мате-
матиком Мереем81, который в том же 1872 г. изложил ее вто-
рично 82 83.
Независимо от различий между этими теориями, все они имели
общие черты, делавшие их одним из важнейших источников тео-
ретико-множественных представлений.
Во-пе-рвых, как сказал Кантор, «...к определению какого-нибудь
Иррационального числа всегда принадлежит некоторое строго оп-
ределенное множество первой мощности рациональных чисел.
В этом заключается общая черта всех форм определения» 53. Каж-
дое из этих множеств мыслится как актуально заданное. Тем са-
мым с каждой теорией действительных чисел в обиход математи-
ков вошли весьма разнообразные множества рациональных чисел,
а от них естественным образом совершается переход к множест-
вам любых действительных чисел.
Вочвторых, и это, пожалуй, более важно, каждая из этих тео-
рий давала, как отмечал Н. Н. Лузин, «...возможность (хотя, быть
может, лишь иллюзорную) рассматривать континуум как мно-
жество (выделено Лузиным.— Ф. М.), образованное из рацио-
нальных и иррациональных точек» 84. И хотя Лузин высказал эту
мысль в связи с дедекиндовой теорией, она в равной мере относит-
ся ко всякой другой теории действительных чисел. Что касается
возможной иллюзорности такого представления, то подозрение об
этом — продукт развития математической мысли уже XX столетия.
В период создания теорий действительных чисел такой теоретико-
множественный взгляд на континуум представлялся вполне есте-
ственным. И Дедекинд и Кантор сразу же выдвигают аксиому о
взаимнооднозначном соответствии между построенными ими дей-
ствительными числами и точками прямой линии. Тем самым ари-
фметизировалась геометрическая непрерывность, лежавшая в ос-
нове столь большого числа математических фактов.
В-третьих (это относится, однако, только к теории Кантора),
способ определения иррациональных чисел послужил Кантору
прообразом для введения впоследствии трансфпнитных чисел. Он
писал: «Трансфинитные числа в известном смысле суть сами
новые иррациональности; и действительно, по-моему,
80 Р. Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса,
1923, стр. 9.
81 Ch. М ё г а у. Remarques sur la nature des quantites definies par la
condition de servir de limites a des variables donnees.— Rev. Societes savan-
tes, Sci. math., (2), 1869, 4, p. 284.
82 Ch. Meray. Nouveau precis d’analyse infinitesimale. Paris, 1872.
83 Г. Кантор. Основы общего учения о многообразиях.— Новые идеи
в математике, сб. 6. СПб., 1914, стр. 35.
84 Н. Н. Лузин. Лекции об аналитических множествах и их приложе-
ниях. М., ГИТТЛ, 1953, стр. 22.
62
лучший метод определить конечные иррациональные числа со
вершепно подобен, я готов даже сказать — в принципе тот же са-
мый что и мой описанный выше метод введения трансфинитных
чисел. Можно безусловно сказать: трансфинитные числа стоят или
падают вместе с конечными иррациональными числами. По своему
внутреннему существу они подобны друг другу, ибо первые, как
и последние, суть определенно отграниченные образования или
модификации (a<pcopiopiva) актуально-бесконечного» 85 (выделено
Кантором.— Ф. М.).
Далее, как мы увидим потом, именно на основе теории дейст-
вительных чисел первоначально устанавливалось существование
различных классов множеств в отношении их мощности; само мно-
жество действительных чисел оказалось первым осознанным при-
мером несчетного множества.
Наконец, как иррациональные, тан и трансфинитные числа
принадлежат к одному и тому же типу понятий в философско-ма-
тематическом смысле; они, если воспользоваться способом выра-
жения П. С. Александрова 86, являются такими математическими
абстракциями, которые непосредственно не налагаются на объек-
тивную действительность, а суть лишь абстракции абстракций,
так сказать абстракции второй ступени. Подобно тому, как ирра-
циональные числа являются некими идеальными понятиями, со-
ответствующими определенным образом построенным бесконеч-
ным множествам рациональных чисел, так трансфинитные числа
выступают в качестве идеальных образов классов вполне упоря-
доченных подобных множеств.
Следовательно, разработка теорий действительных чисел была
достаточно существенной предпосылкой создания теории множеств.
Сейчас мы вкратце остановимся на теориях Дедекинда и Кантора,
особое внимание обратив на один пункт соображений Кантора, ко-
торый почему-то обычно не принимается во внимание, но который,
как нам представляется, любопытен сам по себе и немаловажен
в истории теории множеств.
В одном из предыдущих разделов мы отмечали, что в матема-
тике уже имелся опыт замены идеальных элементов бесконечны-
ми множествами действительных — замена Штаудтом бесконечно
удаленных элементов проективной геометрии бесконечными мно-
жествами конечных точек, прямых и т. д. Такой же способ заме-
ны идеальных элементов в 1871 г. был предложен Дедекиндом в
алгебре, в его теории идеалов87.
85 Г. Кантор. К учению о трансфинитном, стр. 114.
86 Например, в уже упоминавшихся лекциях на курсах усовершенство-
вания учителей в июле 1962 г.
87 Suppl. X von Dirichlet’s Vorlesungen iiber Zahlentheorie. Braunschweig,
1871. См. также: R. Dedekind. Ges. math. Werke. Bd. 3. Braunschweig, 1932,
S. 223-261.
63
Существенной особенностью построенной Дедекиндом теории
идеалов является следующее. Куммер, вводя идеальные числа, не
определял самих этих чисел. Он всегда говорил лишь о делимости
на эти числа. А делимость алгебраического числа а на идеальное
число р означала для него лишь то, что а обладает некоторым
свойством А (состоящим обычно (в том, что а служит корнем одно-
го или нескольких сравнений). Другими словами, идеальным чис-
лам просто ставились в соответствие некоторые свойства алгебраи-
ческих чисел, т. е. идеальные числа выступали своего рода вырази-
телями этих свойств. Ввиду того, что многие свойства могли
служить основанием для введения идеальных чисел, возникла за-
дача создания такого понятия, которое заменяло бы собой эти раз-
лично получаемые идеальные числа. «Эта задача существенно
упрощается следующими размышлениями. Поскольку такое ха-
рактеристическое свойство служит не для определения самого
идеального числа, а лишь делимости чисел... на идеальное число,
то мы естественно приходим к рассмотрению множества всех
чисел а области о (т. е. множества всех целых чисел рассматри-
ваемого поля алгебраических чисел.— Ф. Л/.), которые делятся на
определенное идеальное число; для краткости я называю такую
систему идеалом...» 88. Здесь налицо замена исследования мно-
гообразных свойств алгебраических чисел, которым отвечали
идеальные числа Куммера, некоторыми единообразно задаваемы-
ми бесконечными множествами алгебраических чисел — идеалами.
Этот же принцип единообразного задания идеальных чисел дру-
гого типа был использован Дедекиндом и при построении его
теории действительных чисел 89.
Иррациональные числа во многом подобны идеальным числам
Куммера. Как последние вводились в алгебру, чтобы распростра-
нить законы делимости в кольце целых рациональных чисел на
кольца алгебраических чисел более общей природы, так и ирра-
циональные числа вводились в математику при требовании выпол-
нимости операций, не выполнимых в поле рациональных чисел
(извлечение корней, логарифмирование, вычисление значений тех
или иных трансцендентных функций и т. д.). Не удивительно по-
этому, что способ трактовки иррациональных чисел Дедекиндом
во многом сходен.с его способом толкования идеальных чисел90: и
в том и другом случаях новые объекты (идеальные или иррацио-
нальные числа) заменялись бесконечными множествами старых
88 R. Dedekind. Sur la theorie des nombres entiers algebriques.— Bull,
des sci. math, et astron., 1876, 11, 285.
89 R. Dedekind. Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig, 1872.
Далее мы будем пользоваться русским переводом: Р. Дедекинд. Непре-
рывность и иррациональные числа. Изд. 4. Одесса, 1923.
90 На это сходство обратил внимание сам Дедекинд в указанной выше
статье «О теории целых алгебраических чисел» (стр. 284, сноска). Оно под-
черкнуто также в работе И. Г. Башмаковой «Обоснование теории делимости
в трудах Е. И. Золотарева» (Историко-математические исследования,
вып. II. М— Л., ГИТТЛ, 1949, стр. 278).
64
чисел (алгебраических в первом случае и рациональных во вто-
ром).
Нет нужды излагать содержание самой теории действитель-
ных чисел по Дедекинду, так как она достаточно широко пред-
ставлена в учебных руководствах. Мы остановимся на некоторых
моментах.
Первое, что следует подчеркнуть, это отказ при трактовке ана-
лиза от геометрических и других соображений и переход на чисто
арифметические основы, что с самого начала указывается Деде-
киндом (стр. 9—10); при этом в качестве основной задачи ставит-
ся действительное определение существа непрерывности без при-
влечения чего-либо, отличного от понятия числа.
Далее, определение действительных чисел как множеств сразу
же приводит к привлечению теоретико-множественного метода.
Так, вопрос о сравнении чисел решается следующим образом: два
числа а и Р равны, если классы, определяющие а и 0, тождест-
венны в смысле теории множеств, т. е. «...каждое число, содержа-
щееся в Л1, содержится и в Si, и каждое число, содержащееся в
Si, содержится и в Ар> (стр. 22); числа аир различны, если раз-
личны в теоретико-множественном смысле порождающие их сече-
ния, причем а < |3, если класс Ai строго содержится в классе Аг
(стр. 23). Обратим также внимание на то, что и основные предло-
жения анализа (существование предела монотонной последова-
тельности, необходимый и достаточный признак существования
предела) доказываются Дедекиндом (стр. 29—31) по существу
теоретико-множественным методом: путем построения соответст-
вующих множеств действительных чисел.
Кантор91 в основу определения действительного числа кладет
понятие фундаментальной последовательности рациональных чи-
сел, т. е. такой последовательности {а^}, что для любого е > 0
найдется натуральное Л7, такое, что как только n>‘2V, так
|аЛ+т — Яп| < е при любом целом т (стр. 93). Если последова-
тельность {ап} обладает этим свойством, то ей ставится в соответ-
ствие действительное число. После определений действительных
чисел, равных нулю и больших и меньших нуля, и определения
действий над ними вводится сравнение этих чисел (стр. 43—94) 92.
До сих пор в теории Кантора не было ничего принципиально но-
вого по сравнению с теориями Вейерштрасса или Дедекинда, лишь
несколько по-иному определялись множества рациональных чисел,
служащие для введения чисел иррациональных. Обычно изложение
теории Кантора этим и заканчивают. Однако у Кантора имеется
продолжение.
91 G. Cantor. Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der
trigonometrischen Reihen.— Math. Ann., 1872, 5, 123—132; Ges. Abh., S. 92—102.
92 Подробное изложение теории Кантора см., например, в кн.:
А. И. Маркушевич. Действительные числа и основные принципы тео-
рии пределов. М.— Л., изд-во АПН РСФСР, 1948.
5 Ф. А, Медведев 65
Обозначая через А множество рациональных чисел, а через В
множество чисел, определяемых через фундаментальные последова-
тельности чисел из множества А, он вводит новое множество чи-
сел С, определяемых фундаментальными последовательностями
{Ьп}, не все члены которых принадлежат А. Для этих чисел ана-
логично вводятся отношения равенства, неравенства и действия
над ними. Рассмотрение последовательности {Сл}, не все члены
которой принадлежат множествам А и В, приводит его к множе-
ству D и т. д. (стр. 94—96). Впоследствии такого рода последо-
вательности он называл соответственно фундаментальными после-
довательностями первого, второго, третьего и т. д. порядков93.
Числа, определяемые последовательностями порядка X, Кантор
называет «числовыми величинами, значениями или пределами
вида X» (стр. 95).
Этими определениями не вводились новые виды чисел, отлич-
ные от иррациональных чисел, задаваемых фундаментальными
последовательностями первого порядка. Действительно, если, на-
пример, число с задано фундаментальной последовательностью
второго порядка {Ьп}, то, заменив в ней все числа второго порядка
фундаментальными последовательностями рациональных чисел,
получим фундаментальную последовательность {ап} первого поряд-
ка, задающую то же самое число с.
В связи с этим возникает естественный вопрос о целесообраз-
ности различения чисел различных порядков. «Какую же пользу
представит выделение, хотя бы только в понятии, вещественных
чисел еще более высокого порядка, я, согласно с моим пониманием
системы вещественных чисел, как совершенной в самой себе, еще
признать не в состоянии» 94,— усомнился сразу Дедекинд.
Однако Кантор, даже спустя свыше десятилетия, настаивал на
этом выделении 95. Он аргументировал при этом тем, что при та-
кой форме определения действительного числа в самом определе-
нии сохраняется аналитическое происхождение числа, и иллюст-
рировал это таким примером. Если л/г задается рядом Sov, где все
av — рациональные числа, то sin л/2 при разложении по степеням
л/г задается уже рядом второго порядка, поскольку все его члены
заданы в качестве фундаментальных рядов первого порядка. При
таком задании sin л/г значение этого выражения фактически вы-
числяется гораздо проще, нежели после того, как фундаменталь-
ный ряд второго порядка сведен предварительно к фундаменталь-
ному ряду первого порядка, а равенство sin л/2 = 1 «...выражает
равенство рационального числа 1 и некоторого, данного на осно-
вании фундаментального ряда второго порядка, числа sin л/2»
(стр. 44).
93 Г. Кантор. Основы общего учения о многообразиях, стр. 41—44.
94 Р. Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа, стр. 11.
95 Основы общего учения о многообразиях, стр. 42—44.
66
Рассматривая, однако, этот вопрос с точки зрения предыстории
теории множеств, мы можем заметить преимущество канторовского
различения в другом. В любой другой теории действительных чи-
сел не желают входить в более тонкую структуру множеств раци-
ональных чисел, определяющих иррациональные числа, а наобо-
рот, как это подчеркивал Дедекинд, преимущество теории видят в
том, что сразу все иррациональные числа задаются единообразным
способом посредством бесконечных множеств рациональных чисел.
Неважно, каковы эти множества, с одной или несколькими, или
даже бесконечно многими предельными точками, существуют ли у
рассматриваемого множества производные множества различных
порядков или нет,— для теории достаточно, чтобы оно было счетно
бесконечным. Кантор же, готовясь к построению теории мно-
жеств 96, посчитал целесообразным различать такие множества.
II фундаментальные последовательности различных порядков для
него являются множествами различных типов, характеризуемых
наличием предельных точек. Этого Кантор ни в работе 1872 г., ни
в более поздних работах прямо не говорит. Но то, что в той же
самой статье «Об обобщении одной теоремы из теории тригоно-
метрических рядов», где он разработал свою теорию действитель-
ных чисел, он ввел и классификацию множеств в зависимости от
наличия предельных точек у них, то, что в качестве единственного
примера множества v-ro вида он приводит множество, определяю-
щее число v-ro вида (стр. 98), подтверждает наше предположение.
В другой названной здесь работе Кантор после того, как им были
введены трансфинитные числа и производные множества трансфи-
нитного порядка, вводит и фундаментальные последовательности
трансфинитных порядков (стр. 42), что также находится в согла-
сии с нашим предположением. Наконец, при таком предположении
выясняется смысл приведенных ранее слов Кантора, что трансфи-;
нитные числа суть новые иррациональности и что они стоят или
падают вместе с конечными иррациональными числами.
10. Представления о бесконечном
у А. де Моргана
В предшествующих разделах мы рассмотрели некоторые из ма-
тематических теорий, где пробивались ростки будущей теории мно-
жеств. Теория множеств в значительной своей части связана с по-
нятием бесконечности. А это понятие имеет длинную историю, вос-
ходящую к глубокой древности. Им занимались, в частности, и ма-
тематики, пытаясь как-то осмыслить его в своих исследованиях.
Аспектом математической бесконечности, привлекавшим до
создания теории множеств математиков, был аспект бесконечной
96 Именно в этой работе 1872 г. Кантор приступил к изучению точеч-
ных множеств.
67 5*
величины. Для сегодняшней математики эта сторона общего поня-
тия бесконечности, кажется, осталась бесплодной. Однако попытки
осмысливания бесконечности, хотя бы и с этой стороны, сыграли,
несомненно, известную роль в преодолении неприязненного отно-
шения математиков к этому понятию. Такие попытки были доволь-
но многочисленны, в том числе и в XIX в. Мы остановимся только
на одной работе подобного рода — на статье «О бесконечности и о
знаке равенства» видного английского математика и логика
А. де Моргана97, написанной в 1864.
Имеется краткое указание на то, что эта работа подобна «Пара-
доксам бесконечности» Б. Больцано98, о которых речь будет идти
в следующем разделе. Отчасти это так. Во-первых, оба автора исхо-
дят из того, что понятие бесконечности имеет большое значение
длй математики; далее, оба отмечают ряд парадоксов, к которым
приводит это понятие; оба делают попытки в какой-то мере спра-
виться с этими парадоксами, высказывая при этом ряд ценных за-
мечаний. Но вместе с тем эти работы отличаются тем, что де Мор-
ган почти исключительно рассматривает бесконечные величины,
в то время как Больцано больше имеет дело с бесконечными мно-
жествами. И в этом отношении статья де Моргана отстоит от тео-
рии множеств дальше, чем книга Больцано, поэтому мы и рассмат-
риваем ее раньше «Парадоксов бесконечности».
Де Морган считает возможным и необходимым изучение поня-
тия бесконечности. При этом он категорически утверждает право-
мерность как актуально бесконечно больших, так и актуально бес-
конечно малых величин, в том и другом случае различных порядков.
Начнем с аргументов де Моргана против тех, кто отрицает воз-
можность познания бесконечного. Одним из доводов о невозмож-
ности этого было приводимое автором возражение английского
философа и логика Гамильтона, высказывавшееся, впрочем, и ра-
нее и состоявшее в том, что поскольку наш ум конечен, то в силу
этой своей природы он не может познать бесконечное (стр. 154).
На это де Морган остроумно замечает: «Мы склонны, путем неко-
торого преобразования, связывать с идеей качество ее понятия:
так, наша идея ужасного является ужасной идеей. Но никто не
сказал бы, что идея голубого является голубой идеей или что идея
жира является жирной идеей; еще менее прав тот, кто требует
для понятия бесконечности бесконечного ума; понятие голубого
не требует голубого ума» (стр. 157).
На возражение о том, что бесконечное нельзя представить, де
Морган отвечал, что в такой же степени мы не можем свопм
умственным взором представить миллиардную долю дюйма или
97 A. D e Morgan. On infinity and on the sign of equality.— Trans.
Cambr. Philos. Soc., 1866, 11, pt. I, 144—189. Ссылки в тексте даются на
ЭТУ Гпр7мечание Ф. Журдена к кн.: В. Bolzano. Paradoxien des Unendli-
chen.— Ostwald’s Klassiker. Leipzig, 153, S. 38.
68
миллион миль; все образы, связанные с такими конечными вели-
чинами, «...делаются неопределенными задолго до того, как я до-
cththv чего-либо столь малого или столь большого. Тем не менее,
я пмею определенное понятие об обоих пределах, о них я могу рас-
суждать: я знаю количественные атрибуты, атрибуты определения,
как для миллионной доли дюйма, так и для миллиона миль»
(стр. 155). Тут же де Морган замечает, что тот, кто может комби-
нировать аргументы против бесконечности, должен в какой-то
мере владеть этим понятием, следовательно, это понятие имеется
даже у тех, кто его отрицает.
Он убежден в том, что понятия бесконечного и конечного свя-
Основной пример, который де Морган привел для иллюстрации
своих представлений о бесконечно большом и бесконечно малом,
таков (мы приводим его с чертежом и пояснениями автора). «Если
бы спросили о моей иллюстрации слова бесконечность, я обратился
бы к пространству, в связи с которым это понятие необходимо вы-
ступает перед умом. Параллели, при помощи которых определяет-
ся полоса А,— они определяют ее в мысли, хотя и не указывают
границу,— продолжены до бесконечности. Но как это сделать?
Конечно, не за один час, так как если требовать выполнения чер-
тежа фигуры в конечное время, то я должен постулировать беско-
нечную скорость. Однако я имею понятие данной вещи: я ясно раз-
личаю, что я имею в виду, в отличие от чего-либо еще. Если же
можно утверждать знание бесконечности А, то я знаю, что я не
могу заполнить А повторением а, в, с, d, и т. д.; я знаю также, что
угловое пространство X нельзя заполнить полосами А, В, С, D,
69
и т. д. Поэтому я имею представление (и это представление не мо-
жет, как мне кажется, вызвать возражений) об А как бесконечном
по сравнению с а, об а как о бесконечно малом по сравнению с А и
об А как бесконечно малом по сравнению с X» (стр. 157).
Важным, по мнению де Моргана, является различение двух ти-
пов понятий вообще. Это, с одной стороны, понятия, которым мож-
но сопоставить некоторый образ, «...который, как иногда выража-
ются, мы можем поместить перед нашим умственным взором...»
(стр. 153); с другой стороны, это понятия, которые «...ум не может
вообразить никакой последовательностью образов...» (стр. 155).
Понятие бесконечности принадлежит ко второму типу. Каким же
образом можно изучать это понятие? На этот вопрос де Морган от-
вечает так: «Тот, кто утверждает, что бесконечность непостижима;
полагает, что она невообразима как количество по отношению к ко-
нечным количествам. Это верно; но в рассуждении понятия тре-
буются лишь как заданные предложения.
Пусть А, В, С непостижимы: если я знаю, что „А есть 5“ и
„5 есть то неизбежен вывод, что „А есть С“, следовательно,
это знание предпосылок является знанием заключения, хотя мы
и не знаем, существуют ли эти понятия. Математик, привыкший
рассуждать о вообразимых понятиях, может, если ему нравится,
заявлять, что он не видит оснований для других понятий... Но
если он последователен, то он должен отклонить все величины, ко-
торые не могут быть помещены перед умственным взором...»
(стр. 156).’
Несколько выше (стр. 151) он писал в той же связи: «Относи-
тельно всех вещей мы должны сказать, что мы не знаем, что есть
вещи, мы знаем только нечто о них, т. е. субъекты с атрибутами,
а потому предложения, которые могут утверждаться. Таким обра-
зом, мы можем знать нечто о бесконечности, как и об уме, мате-
рии, причинности и т. д. Бесконечность, подобно другим вещам,
имеет свои отрицаемые (deniable) и неотрицаемые атрибуты».
Приведем еще одну цитату. «Возьмем квадрат, и пусть прове-
дены все линии, параллельные одной паре сторон и ограниченные
другими сторонами. Мы не можем мыслить об этих линиях как о
последовательно заданных, но мы можем рассматривать их так,
как рассматриваются индивиды, когда мы мыслим о виде,... я не
могу вообразить все эти линии,... но я могу поступать с ними так,
как я поступаю с человеческим видом (with the human species) в
слове человек. В логическом объединении (aggregation) эти ли-
нии представляют собой квадрат; но их арифметическое невозмож-
но. Задавая мне целый квадрат, вы даете мне каждую линию; да-
вая мне каждую л*инию, вы даете мне весь квадрат» (стр. 166).
Если признать, как это делает де Морган, существование бес-
конечностей различных типов, то естественным будет вопрос о
сравнении этих бесконечностей. Де Морган считает возможным и
необходимым сравнение разных бесконечностей между собой. Та-
70
кое сравнение не может быть осуществлено при помощи конечных
чисел. Что касается бесконечных чисел, то к возможности их рас-
смотрения де Морган подходит очень осторожно. Для него поня
тие числа и понятие величины (multitude) —различные типы по-
нятии. Число есть продукт человеческого ума и не существует
без того, чтобы человек думал о нем. Величина может существо-
вать без того, чтобы кто-либо думал о ней. «Нет числа без вели-
чины, но величина постижима и без числа» (стр. 157—158). Бес-
конечная величина является необходимым помощником нашей
идеи бесконечного пространства, которое имеет абсолютно неог-
раниченное множество (plurality), кубических футов например.
Но вопрос о том, можем ли мы оправдать фразу «бесконечное чис-
ло кубических футов», требует особого рассмотрения (стр. 151).
Он полагает, что если в этом возникнет необходимость, то бесконеч-
ные числа можно создать как творения нашего ума, приспособлен-
ные для описания бесконечных величин. До тех пор пока они не
созданы, их нельзя «...допускать сколько-нибудь больше, нежели
часы или телескоп, пока они не изготовлены» (стр. 161).
Тем не менее сравнение различных бесконечностей возможно.
«Рисунок показывает две бесконечности ", из которых одна беско-
нечно больше, чем другая, причем не по нашей собственной выдум-
ке, а по необходимости мысли. То, что угловое пространство содер-
жит полосу между параллелями неограниченное множество раз, яв-
ляется следствием понятий, над которыми мы имеем не больше
власти, чем над постулатом, что две прямые линии не могут вклю-
чать пространство. Нет надежды для того, кто приближается к это-
му вопросу как судья, а не как изучающий» (стр. 167—168).
Если же допустить, что существуют две бесконечности, из ко-
торых одна больше другой, то по необходимости придем к суще-
ствованию сколь угодно большого числа бесконечностей. Приводи-
мый де Морганом для подтверждения этой мысли пример таков.
Пусть х бесконечно велико по сравнению с 1. Тогда выраже-
ние ахп, где а конечно, при различных п дает нам бесконечности
различных порядков. Возьмем два любых значения показателя
степени, например п и п + v, где п и v — любые положительные
числа (соизмеримые или нет, как выражается де Морган); тогда
выражение хп (log х)п', где п' — какое-либо третье число, являет-
ся бесконечно большим по сравнению с ахп и бесконечно малым
по сравнению с ахп + v. Если ввести функции log log х, log log log x
и т. д., то получим новый класс бесконечностей, промежуточных
для рассмотренных ранее. Новый класс бесконечностей более вы-
сокого порядка получится, если ввести в рассмотрение экспонен-
циальные функции; предложив другие типы функций, получим
новые классы бесконечностей.
99 Речь идет о приведенном выше рисунке и о бесконечной полосе А
и квадранте плоскости X.
71
Пример де Моргана является предвосхищением исследований
Дюбуа-Раймона по теории роста функций, служащей одним из
источников, из которого вырастала теория множеств.
Как мы уже сказали, наряду с бесконечно большими величи-
нами де Морган считал необходимым рассматривать и актуально
бесконечно малые. «Если мы допустим бесконечное число или
символ бесконечной величины, то мы должны также допустить
обратную бесконечно малую величину» (стр. 163). К этому приво-
дит не только операция обращения по отношению к бесконечно
большим величинам. Приводимые де Морганом соображения в
связи с этим (стр. 163—165) довольно неясны, и мы не будем го-
ворить о них здесь. Отметим только, что он представляет себе
отрезок составленным из точек, выделяет на отрезке множества
рациональных и иррациональных чисел, понимает, что каждое из
этих множеств является всюду плотным на рассматриваемом от-
резке. Отметим также, что в качестве альтернативы актуально
бесконечно малых величин в физике де Морган допускает воз-
можность рекреационного движения (стр. 163—164) и высказы-
вает некоторые соображения в связи с этим.
Наглядной иллюстрацией бесконечно малой величины являет-
ся для де Моргана часть плоскости а по сравнению с частью пло-
скости А (см. приведенный ранее рисунок). «Я могу понять сле-
дующий вопрос, обращенный ко мне. Уверены ли вы, что ваши
бесконечности обоих родов действительно означают что-либо, кро-
ме степеней малости и великости, которые, словно мираж, убе-
гают, когда мы приближаемся к ним? Возьмем самую малую
дробь, которая когда-либо определялась человеком, и будем
уменьшать ее до тех пор, пока она не станет такой же, как пес-
чинка по сравнению с объемом солнечно!! системы. Обозначим
полученную таким образом дробь через а и назовем ее невообра-
зимо малой; пусть а считается бесконечно малой до тех пор, пока
не возникнет нужды в еще меньших дробях; тогда а2, а3 и т. д.
берем за бесконечно малые более высоких порядков. Пусть а-1,
а-2 и т. д. будут соответственно порядки бесконечно больших ве-
личин. Уверены ли вы, что в вашем собственном уме действи-
тельно нет такого рода понятий (когда вы говорите о бесконеч-
ности.— Ф. Л/.)? Я отвечу, что я иду дальше, что а может быть
дробью, которая есть а от А на рисунке. Она есть определенно
некоторая часть, поскольку ее устранение делает целое меньше
и поскольку устранение нескольких а является устранением чего-
то большего, нежели а. Но она не является численно определи-
мой... Имеется бесконечно малая дробь, и правильным... являет-
ся изобретение (выделено де Морганом.— Ф. М.) выражения
для нее...» (стр. 173).
Де Морган считает теорию пределов эквивалентом теории бес-
конечно малых — мысль уже неоднократно высказывавшаяся до
этого.
72
Любопытна, по-видимому, построенная де Морганом некоторая
алгебра, которая, по его мнению, интерпретируется всей арифме-
тикой, с одной стороны, и в то же время дает удобную интерпре-
тацию для бесконечностей различных видов как в одну, так и в
другую сторону (стр. 170). К сожалению, изложение столь неяс-
но, что этот вопрос требует особого рассмотрения.
Де Морган понимает, что введение понятий бесконечностей
различных порядков, хотя и устраняет ряд трудностей математи-
ки, но далеко не все. Наоборот, при этом возникают новые труд-
ности, и некоторые из них он рассматривает.
Признавая континуум состоящим из отдельных точек, он тут
же подчеркивает ту трудность, что поскольку точка не имеет дли-
ны, то, сколько бы этих точек ни бралось, они одни никак не
могут образовать протяженный отрезок,— трудность, выявленная
еще древними греками и не решенная до настоящего времени.
В связи с этим же представлением линейного континуума он ука-
зывает еще одну трудность, которая любопытна в том отноше-
нии, что здесь налицо идея взаимнооднозначного соответствия
между двумя бесконечными точечными множествами. Приведем
слова автора. Он ставит вопрос о том, содержит ли отрезок дли-
ной в два фута в два раза больше точек, чем отрезок в один фут?
«Мы отвечаем, что мы имеем право сказать как то, что две не-
равные длины имеют то же самое число точек, так и то, что они
имеют различное число точек. Пусть две длины будут основания-
ми двух треугольников с общим углом и сторонами, направлен-
ными по одним и тем же линиям. Проводя линии из общей вер-
шины через основания, мы видим, что каждая точка большего
основания имеет соответствующую точку на меньшем основании.
И все же, если длина большего основания вдвое больше длины
меньшего, то легко указать две различные точки большего осно-
вания, соответствующие каждой точке меньшего» (стр. 172).
Второго раздела его статьи, называемого «О знаке равенство»,
мы не будем касаться подробно, отметив лишь, что в нем содер-
жится целый ряд интересных соображений, не относящихся к су-
ществу рассматриваемых нами вопросов.
Мы видим, что хотя ко времени написания рассмотренной
статьи де Моргана в различных разделах математики ощутимо
назрел теоретико-множественный аспект бесконечности, тем не
менее он занимается по-преимуществу ее величинным аспектом,
следуя в этом отношении установившейся традиции, хотя отход
от этой традиции, эпизодически имевший место и ранее, за полто-
ра десятилетия до появления работы де Моргана, был осуществлен
в «Парадоксах бесконечности» Больцано.
73
11. Теоретико-множественные представления
у Б. Больцано
Бернард Больцано — одна из наиболее замечательных фигур
в математике XIX столетия. Его жизни и научному творчеству
посвящено довольно значительное количество работ 10°. Мы оста-
новимся лишь на некоторых сторонах математических исследова-
ний Больцано, связанных с рассматриваемой нами проблемой.
Больцано обычно считается самым видным предшественником
Кантора в создании теории множеств. Это действительно так.
Многие важные указанные выше тенденции, приводившие к не-
обходимости разработки теории множеств, были как бы сконцен-
трированы в научном творчестве Больцано.
Именно Больцано следует поставить у истоков арифметизации
математики, в особенности арифметизации анализа. Мы говорили,
что последняя проистекала из потребностей более строгого обос-
нования анализа, более четкой формулировки его основных поня-
тий и освобождения его доказательств от геометрических и меха-
нических представлений. Стремление к этому определенно выра-
жено Больцано уже в 1817 г., и это он в значительной степени
осуществил100 101. В качестве одного из недостатков, отмечаемых
обычно у Больцано при реализации его замысла, указывается от-
сутствие у него теории действительных чисел. Однако этот упрек
в известной мере является незаслуженным, так как еще в начале
30-х годов Больцано разработал теорию действительных чисел, во
многих отношениях напоминающую теорию Кантора, но остав-
шуюся неопубликованной 102.
Больцано, далее, был одним из наиболее ярких выразителей
идей сведения математики к логике и не просто к логике уже су-
ществовавшей, но скорее к логике, которую еще предстояло по-
строить и которую он начал строить,— к математической логике.
В этом направлении он добился определенных успехов 103.
Предпринимал Больцано и разработку теории функций дей-
ствительного переменного. Оставшаяся неопубликованной при
его жизни рукопись «Учение о функциях» (1830 г.) содержит си-
стематическое изложение этой теории. И, как отметил Э. Коль-
100 Обстоятельный очерк жизни и деятельности Больцано содержится
в книге Э. Кольмана «Бернард Больцано» (М., Изд-во АН СССР, 1955). Там
же приводится библиография работ о Больцано, содержащая около 50 на-
званий, которую сейчас можно значительно расширить.
101 Подробнее об этом см. в указанной книге Э. Кольмана, а также
в статье А. П. Юшкевича «О возникновении понятия об определенном инте-
грале Коши» (Труды Ин-та истории естествознания, 1947, 1, 388—389).
102 К. Р ы х л и к. Теория вещественных чисел в рукописном наследии
Больцано.— Историко-математические исследования, вып. И. М., Физмат-
гиз, 1958, стр. 515—532. Французский перевод этой статьи в Rev. hist, sci.,
1961, 14, N 3—4, 313-327.
103 Э. Кольман. Указ, соч., стр. 106—110.
74
ман, «...первое опубликованное руководство в этой области
У. Дпнп „Основы теории функций действительного переменного44
не только своей общей структурой, но в известной части и после-
довательностью приводимых теорем (зачастую, правда, с уточ-
ненными доказательствами и многими новыми примерами) напо-
минает труд Больцано» 104.
Все это, по-видпмому, неизбежно приводило Больцано к идеям
теории множеств, к необходимости ее разработки. За это дело он
взялся перед концом своей жизни, и результаты его исследований
были опубликованы в 1851 г. после его смерти в виде книги «Па-
радоксы бесконечного» 105.
На содержании этой книги мы опять-таки не будем подробно
останавливаться, так как в книге Э. Кольмана (стр. 79—90) ос-
новные теоретико-множественные идеи Больцано представлены
достаточно полно. Ограничимся лишь общей характеристикой,
подчеркнув предварительно тот факт, что Кантор ознакомился с
«Парадоксами бесконечного» до того, как он начал систематиче-
скую разработку общей теории множеств, хорошо знал эту книгу
и высоко ее оценивал 106, а Дедекинду она стала известна, види-
мо, между 1888 и 1893 гг., так как в первом издании дедекин-
довской книги «Что такое числа и для чего они служат?» имени
Больцано не упоминается, а во втором на него делаются ссылки.
На протяжении более чем двухтысячелетней истории исполь-
зования понятия бесконечности в математике создалась целая се-
рия ложных взглядов на природу этого понятия, появились много-
численные парадоксы. Вместе с тем на протяжении XIX столетия
в математике назревала потребность в построении нового учения
о бесконечном. Поэтому одной из первоочередных задач была за-
дача очищения этого понятия от того, что мешало правильному
подходу к нему. Было необходимо подвергнуть научному анализу
многие заблуждения и так называемые парадоксы бесконечности,
вскрыть их природу, чтобы расчистить путь новому учению.
Основная часть книги Больцано и посвящена этому. Больца-
но шаг за шагом разбирает ошибочные взгляды своих предше-
ственников, вскрывает сущность парадоксов, выясняет причины
неправильных представлений. Уже одно это делает Больцано важ-
ным предшественником Кантора. Но он не ограничился только
критикой. Его критика основывается на создании новых пред-
ставлений, вплотную примыкающих к основным представлениям
теории множеств.
У Больцано еще нет, конечно, таких четких взглядов, какие
сложились впоследствии. Нередко его идеи скрыты в не относя-
104 Э. К о л ь м а н. Указ, соч., стр. 60. На стр. 60—73 изложено содержа-
ние работы Больцано.
105 В. Bolzano. Paradoxien des Unendlichen. Leipzig, 1851. Русский
перевод: Б. Больцано. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911.
106 Г. К а н т о р. Основы общего учения о многообразиях, стр. 27—29, 52.
75
щихся к существу дела рассуждениях, он еще и сам не всегда
полностью осознает вводимые им представления. Например, гово-
ря об одном из примеров множеств, Больцано пишет: «Так, мы
определим самым совершенным образом только что упомянутое
многообразие точек между т и п, как скоро мы определили толь-
ко две точки т и п... Ибо этими немногими словами уже устанав-
ливается дизъюнкция между принадлежностью или непринадлеж-
ностью к этому многообразию всякой другой точки» (стр. 38).
Эта важная мысль о способе задания множества высказана Боль-
цано не в ее общности, а мимоходом, по поводу задания конкрет-
ного множества.
Однако так дело обстоит далеко не всегда. Многие важней-
шие понятия сформулированы достаточно полно и четко, и Боль-
цано подчеркивает это. Таково, например, понятие взаимноодно-
значного соответствия и отношение множества к подмножеству
(стр. 29—30). Здесь Больцано уже не на отдельном примере, а в
общем виде утверждает возможность эквивалентности в смысле
взаимнооднозначного соответствия бесконечного множества своему
правильному бесконечному подмножеству и невозможность экви-
валентности множества и правильного его подмножества в случае
конечных множеств.
Больцано отчетливо различает актуальную и потенциальную
бесконечность. Он подходит к понятию трансфинитного числа,
ставя задачу «исчисления бесконечностей», и даже делает попыт-
ки в этом направлении (§ 29—33). Он в достаточно научной фор-
ме предвосхищает понятие континуума и его свойств (§ 38), явно
представляя его составленным из непротяженных точек и весьма
остроумно, кстати, защищая этот взгляд (стр. 67—68). В «Пара-
доксах бесконечного» фигурируют и некоторые другие понятия
теории точечных множеств: всюду плотного множества (стр. 68),
открытого, замкнутого и полузакрытого промежутков (§ 61).
С некоторой натяжкой можно говорить и об идее меры множества
(§40).
Но вместе с тем Больцано недоставало слишком многого, что
отчасти уже имелось в математике, а отчасти еще предстояло
создать, чтобы его, скорее философские, чем математические,
представления вылились в научную теорию. Прежде всего он не
освободился еще от оказавшейся бесплодной для теории мно-
жеств концепции бесконечной величины. Она у него проводится
через всю книгу, наряду с концепцией бесконечного множества.
И в этом отношении он занимает промежуточное положение меж-
ду де Морганом, интересовавшимся преимущественно величинным
аспектом бесконечности, и Кантором или Дедекиндом, которые
рассматривали почти исключительно бесконечные множества. Ему
не достает, далее, примеров конкретных множеств, свойства кото-
рых можно было бы изучить и обобщить. Так, одним из основных
примеров, который он приводит (§ 13) для доказательства пред-
76
меткости понятия бесконечного множества, является «многообра-
зие предложений и истин в себе» (стр. 17). Правда, имеются п
более конкретные примеры: множество точек отрезка, множество
моментов времени между двумя данными моментами (§ 17, 20).
Наиболее четким примером у Больцано является множество нату-
ральных чисел, но этого, конечно, было недостаточно для надле-
жащих математических выводов. Тем не менее задача самостоя-
тельного изучения бесконечных множеств и трансфинитных чисел
поставлена вполне определенно.
12. Заключение
Мы проследили зарождение теоретико-множественных пред-
ставлений в ряде математических дисциплин — в теории чисел,
в алгебре, в проективной геометрии, в анализе и теории функ-
ций. Тем не менее мы далеко не исчерпали тех истоков, из кото-
рых вырастала новая научная дисциплина. В ее возникновении
и последующей разработке «повинны» и исследования в других
областях математики. Например, ростки будущей теории мно-
жеств настойчиво пробивались в исследованиях по основаниям
арифметики. К этому мы еще возвратимся, а сейчас укажем лишь
«Курс арифметики и алгебры» Э. Шрёдера 107.
В этой книге теоретико-множественный взгляд на обоснование
арифметики выражен вполне определенно. Шрёдер исходит из
того, что для того, чтобы можно было говорить о счете вещей, эти
вещи должны мыслиться отличными друг от друга, должны быть
заданы как в их совокупности, так и индивидуально. «Когда эти
объекты мыслятся одновременно, возникает понятие множества
(Menge)...» (стр. 4). Каждая из считаемых вещей называется
единицей. «Из понятия единицы мы можем получить понятие
множества, с которым мы связываем представление в мыслях мно-
гих единиц..., как и обратно, от этого понятия мы можем перей-
ти к предыдущему, когда в понятии множества различаем много-
образие одинакового рода вещей (как единиц)...» (стр. 5).
Натуральное число «...является в некотором роде отображе-
нием (Abbildung) считаемых вещей...» (стр. 6). При переходе
к сравнению натуральных чисел вводится понятие взаимноодно-
значного соответствия двух множеств: «Если каждая в отдельно-
сти вещь одного рода так связана с вещами другого рода, что
ни от одного, ни от другого рода вещей ничего не остается, то мы
говорим, что вещей первого рода столько же, сколько вещей вто-
рого рода» (стр. 7); числа, соответствующие этим двум родам
вещей, двум таким множествам, называются равными. О характе-
ре связи элементов сравниваемых множеств ничего не предпола-
гается, кроме взаимной однозначности. Число, получаемое в
107 Е. Schroder. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Leipzig, 1873.
77
результате такого сравнения, Шрёдер называет кардинальным чис-
лом (Cardinalzahl), в отличие от числа порядкового. Далее он ста-
вит вопрос об аналогичном сравнении бесконечных множеств и
получаемых при этом безграничных (unbegrenzte), как он их на-
зывает, числах. Но этот вопрос он оставляет открытым (стр. 8).
Понятие взаимнооднозначного соответствия исследуется Шрё-
дером довольно глубоко. Отметим, в частности, такую доказанную
им теорему: «Если единицы одного множества А объектов можно
так сопоставить с единицами некоторого другого множества В,
что не останется остатка (когда, следовательно, обе совокупности
единиц выражаются „равными числами44), то между ними невоз-
можно такое однозначное соответствие, при котором оставался бы
остаток; следовательно, всякое другое однозначное соответствие
не должно иметь остатка» (стр. 19). Сказанное отнюдь не исчер-
пывает теоретико-множественного содержания книги Шрёдера.
Но мы этим ограничимся.
Чрезвычайно тесны связи между абстрактной теорией мно-
жеств и математической логикой. Фактически на протяжении
XIX столетия в этих двух научных дисциплинах часто разраба-
тывались одни и те же проблемы, причем формулировка и реше-
ние тех или иных задач порою предшествовали в одной, а порою
в другой. Однако развитие каждой из этих дисциплин происходи-
ло столь своеобразно и, по-видимому, независимо друг от друга,
по крайней мере до появления «Алгебры логики» Шрёдера в
90-х годах, что никто до Шрёдера, кажется, не заметил связей
между их тематикой. Только это обстоятельство позволяет нам,
говоря об истории теории множеств в XIX в., оставить в стороне
историю математической логики, ограничившись в последующем
лишь отдельными ее моментами.
Можно полагать, что при дополнительных исследованиях об-
наружатся и другие, кроме упомянутых, истоки теории множеств.
Во всяком случае поток идей теоретико-множественного содержа-
ния к концу 60-х годов стал настолько ощутимым, что многие
крупные математики приступили к разработке тех или иных во-
просов теории множеств. К истории построения теории множеств
мы и переходим в следующей главе.
ГЛАВА II
РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Начало исследований Дедекинда
но теории множеств алгебраических чисел
В гл. I мы уже не раз встречались с именем Дедекинда; нам
предстоит неоднократно говорить о его работах и в последующем,
так как все его научное творчество неразрывно связано с разра-
боткой и применениями теории множеств.
Еще в 1857 г. Дедекинд близко подошел к проблеме замены
некоторого класса идеальных элементов (мнимых Галуа) множе-
ством действительных \ Однако понадобилось почти полтора де-
сятка лет, чтобы он пришел к мысли о возможности и даже целе-
сообразности замены идеальных элементов определенного вида
бесконечными множествами действительных элементов. Введен-
ные им на этом пути множества алгебраических чисел оказались
благодатным материалом для обнаружения многих свойств мно-
жеств общего вида. Это Дедекинд впервые сделал в 1871 г. в своем
X дополнении к 2-му изданию «Лекций по теории чисел» П. Г. Ле-
жен-Дирихле1 2.
Теория делимости чисел, являющаяся фундаментом теорети-
ко-числовых исследований, восходит еще к Евклиду и далее. Но
только в 1832 г. она получила существенное обобщение, когда
Гаусс перенес понятие делимости целых чисел на целые комп-
лексные числа вида а + Ы. При этом оказалось, что законы де-
лимости для обычных целых чисел остаются неизменными и для
этих более общих математических объектов. Вслед за тем были
сделаны попытки установления законов делимости для еще более
общих алгебраических полей. При этом, как в 1847 г. обнаружил
Куммер, даже для достаточно простых полей, например некото-
рых полей деления круга, нарушается однозначность разложения
на простые сомножители, т. е. неразложимые в таких полях числа
не обладают тем фундаментальным свойством обычных про-
1 См. гл. I, раздел 2.
2 Р. G. Lejeune-Dirichlet. Vorlesungen iiber Zahlentheorie. 2. AufL
Braunschweig, 1871. (Supplement X: Uber die Composition der binaren quadra-
tischen Formen). Начиная с 3-го издания (1879 г.) Дедекинд расширил
интересующую нас часть X дополнения и выделил ее в самостоятельное XI
дополнение. Ссылки далее будут делаться на 2-е немецкое издание.
79
стых чисел, что произведение двух или более сомножителей не
может делиться на простое число, если по крайней мере один из
сомножителей не делится на это простое число. Тем самым тео-
рия делимости целых чисел ’в полях подобного рода теряла сход-
ство, и притом довольно радикальным образом, с классической
теорией делимости.
Задавшись целью сделать теорию делимости в кольцах целых
чисел полей деления круга подобной обычной, Куммер решил рас-
сматривать те неразложимые числа, которые не обладают отме-
ченным свойством простых чисел, как разложимые на некоторые
идеальные сомножители. Тем самым к изучаемому полю добавля-
лись некоторые воображаемые элементы — идеальные числа Кум-
мера. Эти идеальные числа не содержались в рассматриваемом
поле, а вносились в него как некоторые посторонние элементы,
причем они получали наименование чисел (правда, с прилага-
тельным «идеальные») и на них переносились свойства обычных
чисел.
Дедекинд, руководствуясь тем, что такой перенос (хотя сам он
считал его правомочным) может вызвать недоверие к точности
доказательств в изучаемой теории, поставил задачу заменить
идеальные числа Куммера некими бесконечными множествами
целых алгебраических чисел рассматриваемого поля, которые он
сам называл системами — термин, принятый им в последующих
работах (стр. 451).
Нам нет необходимости вдаваться в детали получаемой при
такой замене алгебраической теории. Мы остановимся несколько
подробнее только на чисто теоретико-множественных идеях Деде-
кинда. С § 159 и до § 170 (стр. 423—497) названное дополне-
ние X представляет собой по существу трактат по теории спе-
циальных множеств — множеств алгебраических чисел главным
образом трех типов: полей, модулей и идеалов.
«Под полем мы понимаем всякую систему бесконечно многих
действительных или комплексных чисел, которая сама в себе
столь замкнута и полна, что сложение, вычитание, умножение
и деление любых двух из этих чисел приводит к числу той же
системы. Мы называем поле А делителем поля М, а М кратным
поля А, если все числа, содержащиеся в А, содержатся и в поле М;
так легко находим, что поле рациональных чисел является дели-
телем всякого другого поля. Совокупность всех чисел, которые од-
новременно содержатся в двух полях А, 5, опять образует неко-
торое поле D, которое можно назвать наибольшим общим дели-
телем двух полей А, 5...; равным образом, всегда существует
поле М, которое следует назвать наименьшим общим кратным
А и В...» (стр. 424).
В приведенных словах.Дедекинда отчетливо выражена и идея
актуально бесконечного множества алгебраических чисел, и тео-
ретико-множественные операции включения (делимости одного
80
поля на другое) и пересечения (наибольший общий делитель двух
полей) таких множеств; в завуалированной форме содержится по-
нятие суммы двух множеств (наименьшее общее кратное полей).
Из совокупности всевозможных полей алгебраических чисел
Дедекинд выделяет так называемые конечные поля, т. е. поля,
обладающие конечным числом делителей или, в иной форме, та-
кие поля, каждый элемент со которых можно представить в виде
п
со = ЕДгСОг, где hi независимо пробегают все рациональные целые
г=1
числа, а со; обозначает п линейно независимых фиксированных
алгебраических чисел. Эти конечные поля, точнее множества це-
лых чисел этих полей, и представляют собой объект исследований
Дедекинда.
Другим основным понятием является понятие модуля. Это
опять-таки бесконечное множество алгебраических чисел, удов-
летворяющее тому условию, что сумма и разность двух чисел это-
го множества (системы, в терминологии Дедекинда) также при-
надлежат ему. Для модулей, как и для полей, вводятся те же са-
мые теоретико-множественные операции (стр. 443). Сумма моду-
лей определяется явно. При этом в интересах теории делимости
названия операций меняются на обратные: делитель называется
кратным и наоборот; пересечение модулей Дедекинд называет их
наименьшим кратным, а их сумму — наибольшим общим делите-
лем. Для целых чисел рассматриваемого конечного поля вводит-
ся понятие сравнения: если разность двух чисел со, о/ содержит-
ся в модуле Л/, то Дедекинд называет их сравнимыми по моду-
лю М. При заданном модуле М все целые числа поля разбивают-
ся на классы сравнимых между собою чисел и из этих классов
выбираются представители, совокупность которых образует неко-
торое конечное множество (аксиома Цермело).
Как частный случай понятия модуля вводится понятие идеа-
ла Л, т. е. такого модуля, у которого всякое произведение числа
из А на целое число поля принадлежит Л. Операции включения,
пересечения и суммы идеалов определяются так же, как и для мо-
дулей. Аналогично вводится и сравнение чисел по идеалу
(стр. 452).
Помимо идеалов, каждый из которых есть бесконечное мно-
жество, рассматриваются различные множества, элементами кото-
рых являются идеалы. Так, бесконечное множество такого типа
(множество множеств) образуют все идеалы заданного конечного
поля. Для этого множества устанавливается некоторое отноше-
ние эквивалентности, обладающее свойствами рефлективности,
симметричности и транзитивности. Тем самым множество идеалов
разбивается на конечное число классов идеалов: «Класс есть со-
вокупность (Inbegriff) всех идеалов, которые эквивалентны неко-
торому определенному идеалу» (стр. 463). Показывается, что со-
вокупность классов идеалов — конечная группа (стр. 463).
6 Ф. А. Медведев 81
Следующим важным теоретико-множественным понятием, вве-
денным Дедекиндом, служит понятие функции множества, кото-
рое здесь он еще не формулирует в сколько-нибудь общей фор-
ме, но которым он широко пользуется. Одной из его простейших
функций множества является норма идеала Л7(Л), т. е. число,
относимое к идеалу А и равное числу классов, на которые распа-
даются все целые числа данного поля по отношению к идеалу Л,
рассматриваемому как модуль сравнения. Более сложные функции
множества появляются при определении числа классов эквива-
лентных между собой идеалов. Такова функция
у s 1
N(A)S '
где знак суммы распространяется на все идеалы конечного поля
для малых значений ($ — 1).
Вводит Дедекинд и частный случай отображения множеств:
«...если всякому числу а поля Л соответствует некоторое число
b = ф(а) таким образом, что ф(а + а') = ф(а) + ф(а') и
ф(аа') = ф(а)ф(а'), то числа Ъ (если не все они обращаются в
нуль) также образуют поле В = ф(Л), которое называется сопря-
женным с Л и получается из Л подстановкой ф; тогда, обратно,
и Л = ф(5) является сопряженным с В» (стр. 424—425).
До сих пор мы говорили о X дополнении только в связи с вве-
дением теоретико-множественных понятий. К этому следует доба-
вить не менее существенный момент — теоретико-множественный
метод, который образует основу этой работы. Конкретные вопро-
сы, относящиеся к теории алгебраических чисел, решаются, как
правило, этим методом. Излагать это в какой-либо мере подроб-
но — это значит излагать все содержание рассматриваемой части
дополнения. Поэтому мы ограничимся очень немногими замеча-
ниями. Прежде всего, вопросы делимости целых чисел конечного
поля Дедекинд свел к вопросам делимости идеалов; в частности,
делимость определенного числа а на куммеровское идеальное чис-
ло приобрела смысл принадлежности а некоторому бесконечному
множеству целых чисел исследуемого поля — идеалу Л, заменив-
шему это идеальное число. Далее, при определении числа не срав-
нимых по заданному модулю М чисел некоторого кольца О суще-
ственно использовано понятие наименьшего общего кратного М и
О , т. е. пересечение двух множеств (стр. 444); при доказатель-
стве теоремы о том, что если А составной идеал, то существуют
два числа ц, р, не делящиеся на А, произведение которых делит-
ся на Л, применяется образование наибольшего общего делителя,
т. е. суммы двух идеалов (стр. 454), и т. п.
Как указывалось в гл. I, Куммер, вводя идеальные числа, не
определял их, а рассматривал лишь вопросы делимости на эти
числа. У него идеальные числа просто сопоставлялись некоторым
свойствам алгебраических чисел, выступая выразителями этих
82
свойств. Такими свойствами обладали не отдельные числа рас-
сматриваемого поля, а бесконечные множества чисел. Как раз в
этом Дедекинд и усмотрел возможность замены идеальных чисел,
выражающих те или иные свойства, множествами чисел, обла-
дающих соответствующими свойствами. Целесообразно было бы
при этой замене сформулировать такое понятие, чтобы все идеаль-
ные числа получались при его помощи по некоторому единому во
всех случаях способу3. Этого ему удалось достичь посредством
замены идеальных чисел идеалами. Так был совершен переход
Дедекинда на теоретико-множественные позиции в теории алгеб-
раических чисел. Кроме идеалов, ему пришлось привлечь и иные
типы множеств — поля, модули, группы, а в последующем и дру-
гие. При изучении этих множеств первым шагом оказалось введе-
ние основных теоретико-множественных операций —включения,
пересечения, суммы.
В науке эти операции фактически существовали давно. По-
скольку общее понятие актуального множества в некотором смыс-
ле эквивалентно логическому понятию класса, то изучение опера-
ций над классами было вместе с тем изучением операций над
множествами. В математическую логику они были введены зна-
чительно раньше, чем это было сделано в теории множеств. На-
пример, операции включения множеств (классов) и их пересече-
ния «...впервые исчерпывающим образом исследовал французский
математик Жергон (I. D. Gergonne), 1771 —1859» 4. Включением,
суммой и пересечением множеств широко пользовался Буль5 и
другие логики.
Однако, как отмечалось ранее, почти до самого конца XIX сто-
летия связь между математической логикой и абстрактной тео-
рией множеств не была осознана и исторически дело сложилось
так, что математикам при создании теории множеств пришлось
заново проделать довольно сложную работу создания уже имев-
шихся в науке понятий, притом на чисто математическом мате-
риале. В 1871 г. Дедекинд ввел операции включения, пересечения
и суммы множеств только для частных случаев множеств алгеб-
раических чисел.
Как показывает терминология, введенная Дедекиндом для обо-
значения этих операций (делитель, наименьший общий делитель,
наименьшее общее кратное), он сознательно руководствовался
аналогией, имеющейся между ними и соответствующими
операциями теории чисел. Обычно указывают на аналогию между
3 Обращаем внимание на аналогичную ситуацию, сложившуюся у Де-
декинда в связи с введением иррациональных чисел, о чем была речь в
гл. I, разделе 9.
4 А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных наук.
М., 1948, стр. 117, сноска.
5 Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., Физматгиз, 1963,
стр. 17. Подробнее об истории этих операций см.: Н. И. С т я ж к и н. Ста-
новление идей математической логики. М., изд-во «Наука», 1964.
83
6*
арифметическими операциями умножения и сложения и теорети-
ко-множественными (или логико-математическими) операциями
пересечения и суммы. Эта аналогия, однако, далеко не полна.
Отметив этот факт, Э. Шрёдер писал: «Таким образом, если ана-
логия обеих основных идентичных операций (т. е. умножения и
сложения множеств.— Ф. М.) с одноименными им арифметиче-
скими операциями простирается не очень далеко, зато выявляет-
ся очень далеко идущая аналогия между обеими этими операция-
ми и некоторыми усложненными арифметическими операциями:
идентичное умножение по самой своей сути совершенно подобно
операции нахождения наибольшего общего делителя заданных чи-
сел, а идентичное сложение в равной мере соответствует нахожде-
нию их наименьшего общего кратного.
И действительно, можно было бы представить идентичное про-
изведение областей как наибольшую область, общую им, как са-
мую обширную из всех областей, которые общи для них; равным
образом идентичную сумму областей — как наименьшую из всех
областей, которые содержат в себе каждую из заданных, следова-
тельно, как самую меньшую из тех, которые содержат в себе за-
данные.
Установление этой не замеченной Георгом Кантором аналогии
на самом деле побудило Дедекинда в его уже упомянутом сочи-
нении6 обозначить наше идентичное произведение ab, которое он
называет Gemeinheit, через D (а, 6), а нашу идентичную сумму
а + b через М(а, Ь) и назвать ее Zusammensetzung» 7.
Эта отмеченная Шрёдером аналогия выступает у Дедекинда
значительно отчетливее в его более ранней работе, о которой мы
ведем речь, нежели в указанной им работе, где Дедекинд отсту-
пил от принятой им ранее терминологии.
Таким образом, к указывавшимся в разделе 1 гл. I элементам
теории чисел, послужившим одним из истоков теории множеств,
теперь мы можем добавить две ее основные операции (нахожде-
ние наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратно-
го) , а также понятие делимости, послужившее Дедекинду основой
для введения операции включения для множеств.
Терминология, введенная Дедекиндом для обозначения основ-
ных операций, просуществовала на протяжении почти всего
XIX века.
2. Начало исследований Кантора
но теории точечных множеств
Иным был путь к теории множеств ее основного творца Геор-
га Кантора. Исходным пунктом его работ по этому вопросу была,
6 Шрёдер имеет в виду работу Дедекинда «Что такое числа и для чего
они служат?»
7Е. Schroder. Vorlesungen iiber die Algebra der Logik (Exakte Lo-
gik). Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 253.
84
несомненно, теория тригонометрических рядов8, и притом не ря-
дов Фурье, как ошибочно полагал Шёнфлис9, а общих тригоно-
метрических рядов, теорию которых незадолго до того начал разра-
батывать Риман. Действительно, если говорить более точно, то от-
правным пунктом исследований Кантора по теории точечных мно-
жеств явилась теорема о единственности изображения функции
тригонометрическим рядом. А эта теорема имеет математическое
содержание только в рамках общей теории тригонометрических
рядов, так как для рядов Фурье она выполняется автоматически.
В 1870 г. Кантор доказал 10 11, что если тригонометрический ряд
оо
2 sin пх + Ъп cos пх (1)
п=0
в каждой точке интервала (а, Ъ) сходится к функции /(я), то
этот ряд единственен; другими словами, не существует тригоно-
метрического ряда вида (1) с коэффициентами, отличными от
ап, ЬП1 который также сходился бы к ](х) в каждой точке (а, 6).
В следующем году он обобщил эту теорему на тот случай,
когда ряд (1) не сходится к f(x) в конечном числе точек интер-
вала (а, Ь) п. Уже к этому времени он обнаружил, что это обоб-
щение далеко не последнее, и в указанной заметке писал, что
теорему единственности ему удалось, основываясь на строгом ме-
тоде, значительно расширить12. Хотя здесь он и не указывает,
о каком расширении идет речь, но вполне ясно, что он имел в
виду обобщение теоремы единственности на случай, когда мно-
жество исключительных точек является бесконечным. Такое обоб-
щение в некоторой мере представлялось естественным, поскольку
к этому времени математики уже неоднократно рассматривали
бесконечные множества точек в ряде вопросов теории функций.
Вместе с тем важно было то, что Кантор столкнулся с бесконеч-
ными точечными множествами именно в связи с теоремой един-
ственности.
Как оказалось впоследствии, множества исключительных точек
функций, при наличии которых теорема единственности Кантора
сохраняет свою справедливость, являются множествами очень
сложной структуры, и до сих пор не существует исчерпывающей
характеристики этих, как их теперь называют, множеств
8 В одном из писем к Миттаг-Леффлеру Кантор утверждал, что побу-
дительным мотивом для его занятий теорией точечных множеств была идея
«более точного обоснования сущности всего органического» (см.:
A. Schoenflies. Die Krisis in Cantors mathematischen Schaffen.— Acta
math., 1928, 50, 1—23; письмо от 22.1X1884 г.). Однако в опубликованных
работах Кантора этого не обнаруживается.
9 В примечании к указанному в сноске 8 утверждению Кантора.
10 G. С a n t о г. Ges. Abh., S. 80—83.
11 Там же, стр. 84—86.
12 Там же, стр. 85.
85
единственности, хотя исследованию их строения были посвящены
работы многих математиков 13. Если бы множества единственности
оказались множествами более простой структуры, легко характе-
ризуемыми некоторыми свойствами, то интерес к их изучению
был бы, несомненно, слабее.
Желая распространить свою теорему на бесконечные множе-
ства особых точек, Кантор вынужден был заняться изучением
различных типов бесконечных множеств, на первых порах — наи-
более простыми типами множеств единственности, которые, как
мы увидим далее, оказались полезными в ряде других вопросов
теории функций. Это изучение Кантор предпринял в 1872 г. в ра-
боте «Об обобщении одной теоремы из теории тригонометрических
рядов» 14. В ней имеются три основных момента: 1) построение
теории действительных чисел; 2) установление связи между точ-
ками прямой и действительными числами; 3) доказательство тео-
ремы единственности для определенного класса бесконечных мно-
жеств единственности.
Первые два момента мы рассмотрели в предыдущей главе.
ПодчеркнвхМ только еще раз, что создание теории действительных
чисел и аксиома о взаимнооднозначном соответствии между дей-
ствительными числами и точками прямой позволили Кантору мыс-
лить о различных множествах точек, как конечных, так и беско-
нечных, поскольку и конечные и бесконечные множества чисел
вошли уже в обиход в математике. Естественно, что первым ша-
гом в изучении бесконечных множеств точек была попытка клас-
сифицировать бесконечно разнообразные множества, что, впрочем,
обычно бывает не только в математике, но и в других науках:
приступая к изучению объектов, разнообразных по своей приро-
де, как правило, начинают с более или менее удачной их класси-
фикации.
Классифицировать различные конечные множества точек у
Кантора не было необходимости, так как изучаемая проблема
единственности для конечных множеств была им исчерпывающе
решена в предыдущей работе: всякое конечное множество точек
является множеством единственности. Поэтому он сразу присту-
пает к бесконечным точечным множествам.
В основу классификации Кантор кладет понятие предельной
точки. Он формулирует ее определение следующим образом: «Под
предельной точкой точечного множества Р я понимаю такую точ-
ку, что во всякой окрестности последней находится бесконечно
много точек из Р, причем может случиться, что она, кроме того,
сама принадлежит множеству. Под окрестностью же точки здесь
понимается всякий интервал, который содержит эту точку внутри
13 См.: А. Б. Паплаускас. Проблема единственности в теории три-
гонометрических рядов.— Историко-математические исследования, вып. 14.
М., Физматгиз, 1963.
14 G. Cantor. Ges. Abh., S. 92—102.
86
себя» 15. В следующем предложении говорится, что легко дока-
зать что всякое ограниченное бесконечное точечное множество
имеет по крайней мере одну предельную точку (теорема Больца-
но — Вейерштрасса).
На основе понятия предельной точки Кантор классифицирует
бесконечные множества следующим образом. Называя производ-
ным множеством заданного множества Р множество Р' его пре-
дельных точек, он далее под Р" понимает производное множество
множества Р' и т. д. до любых конечных порядков. Множество Р
называется множеством v-ro вида, если его производное множе-
ство имеет лишь конечное число точек.
Единственный пример точечного множества v-ro вида, который
привел Кантор, может быть понят только в рамках его теории
действительных чисел, точнее той ее части, в которой речь идет
об иррациональных числах, представляемых фундаментальными
последовательностями v-ro вида16. Предоставим слово Кантору:
«Пример точечного множества v-ro вида представляется уже
единственной точкой, если ее абсцисса задана как числовая вели-
чина v-ro вида, которая удовлетворяет некоторым легко форму-
лируемым условиям. Тогда, если мы выразим эту числовую вели-
чину соответствующей последовательностью с членами (v— 1)-го
вида, а эти члены заменим образующими их элементами (v — 2)-
го рода и т. д., то получим, наконец, бесконечное число рацио-
нальных чисел; если теперь представим точечное множество, соот-
ветствующее этим числам, то оно будет множеством v-ro вида» 17.
Классификация множеств, предложенная Кантором, даже с
учетом ее последующего продолжения охватывает относительно
узкий класс точечных множеств. Но выделенные им типы мно-
жеств оказались хороши тем, что они по своей структуре ближе
всего примыкают к конечным множествам. В рассуждениях, в ко-
торых они встречались, можно было практически поступать так
же, как в случае конечных множеств. Это обусловило и то, что
Кантор в рассматриваемой работе смог достаточно просто дока-
зать теорему единственности, когда множество исключительных
точек является множеством v-ro вида, и то, что вслед за Кантором
эти множества стали применяться другими математиками в до-
вольно разнообразных вопросах.
Перед Кантором в рассматриваемой работе стояла определен-
ная проблема теории функций: установить, имеет ли место един-
ственность разложения функции в тригонометрический ряд. В до-
канторовский период эту задачу решали бы, изучая преимущест-
венно аналитическое изображение функций. Кантору же нет дела
до аналитических или других свойств рассматриваемой функции.
15 Там же, стр. 98.
16 См. гл. I, раздел 9.
17 Там же, стр. 98—99.
87
Его интересует лишь множество ее особенностей (в данном
случае множество точек расходимости тригонометрического ряда
или точек, в которых этот ряд не сходится к рассматриваемой
функции). Если каким-либо образом удастся установить, что это
множество является множеством v-ro вида, то ответ вполне опре-
делен: функция представляется тригонометрическим рядом един-
ственным образом. Другими словами, здесь теоретико-функцио-
нальная проблема сведена к теоретико-множественной.
Хотя в данной работе Кантор и рассмотрел некоторые точеч-
ные множества, но здесь еще нет даже намека на самостоятельное
изучение новых объектов — множеств. Они привлекаются и изу-
чаются лишь постольку, поскольку это необходимо для исследуе-
мого теоретико-функционального вопроса.
На таком этапе исследований множеств точек и их свойств на-
ходились в это время многие математики. Мы остановимся сейчас
несколько подробнее на результатах Дюбуа-Раймона.
3. Элементы теории множеств у Дюбуа-Раймона
Ранее уже говорилось о порядках роста функций, в теории ко-
торых намечалась идея трансфинитных чисел — идея, оставшаяся,
однако, не реализованной Дюбуа-Раймоном. В этих же исследова-
ниях появлялись различные множества функций, например беско-
нечные множества функций, имеющих заданный порядок роста,
и т. п.; эти множества рассматриваются как актуально заданные.
Наряду с этим в исследованиях Дюбуа-Раймона по теории роста
функций в явной форме употреблен диагональный метод, обычно
рассматриваемый как метод доказательства, имеющий принци-
пиальную важность в теории множеств, поскольку при его помощи
доказывается существование множеств возрастающих мощностей.
Этот метод использовался Дюбуа-Раймоном в работе «Новая
теория сходимости и расходимости рядов с положительными чле-
нами» 18 в 1873 г., т. е. еще до появления его в трудах Кантора.
Не останавливаясь на содержании всей работы, мы рассмотрим
лишь ту ее часть, где применен диагональный метод.
Дюбуа-Раймон замечает, что последовательность функций
In х, In In х, ... , In . . . In x, . . .
г раз
такова, что любая из них стремится к бесконечности при х оо и
притом так, что рост каждой из этих функций является более мед-
ленным, чем рост предшествующей ей, т. е. если обозначить через
18 Р. Du Bois-Reymond. Eine neue Theorie der Convergenz und Di-
vergenz von Reihen mit positiven Gleidern.—J. f. d. reine und angew. Math.,
1873, 76, 61—91.
88
lnr^ функцию Inin...In X. TO
г раз
lim
x -> oo
lnra?
= oo.
При r = 1, 2, 3, 4 ... каждая из этих функций обращается в — оо
соответственно в точках х = 0, е, ее, е*6,... и в + оо при х оо.
Естественно возникает вопрос о том, не достаточно ли этой
счетной шкалы логарифмических функций для сравнения поряд-
ков роста всех непрерывных функций? Этот вопрос Дюбуа-Раймон
решает отрицательно. Ход рассуждений нри этом таков (стр. 89).
На графике кривой у = In х отмечается точка, в которой
In х = 1, на графике кривой у = 1пг х — точка, в которой 1пг х =2,
на графике кривой у = 1пз х — точка, в которой 1пз х = 3, и т. д.
Через эти точки и точку х = 0 проводится кривая, являющаяся
графиком некоторой непрерывной возрастающей функции ф (я).
Из построения вытекает, что Иш 'ф(#) = оо, и вместе с тем
х -> оо
Ит = 0
х -> оо In^
при любом натуральном г. Последнее следует из того, что 4>(я) <
lnr+1:r
< lnr+i х начиная с некоторого х, a hm -т—— = 0.
X -> 00 1Пг*
Таким образом построена непрерывная возрастающая функция^
порядок роста которой меньше порядка роста любой из функций
последовательности {1пг х} 19.
В данном случае Дюбуа-Раймона интересует не столько сам
приведенный результат, сколько возможность его использования
в теории сходимости рядов с положительными членами. Он хотел
показать, что шкала логарифмических признаков сходимости не-
достаточна для решения вопроса о сходимости таких рядов. И свое
построение он использует для нахождения рядов с положительны-
ми членами, к которым не применимы логарифмические признаки
сходимости рядов, но которые, тем не менее, сходятся.
Между тем этот результат важен и сам по себе. Фактически
здесь доказана несчетность множества всех непрерывных возра-
стающих функций, а само доказательство состоит в частном при-
менении диагонального метода. Чтобы родство рассуждений Дю-
буа-Раймона с рассуждениями Кантора при доказательстве не-
счетности множества всех действительных чисел отрезка (0,1) ста-
ло более наглядным, мы несколько видоизменим ход рассуждений
Дюбуа-Раймона.
Известно, что множество порядков роста функций вида 1пг х
является счетным. Спрашивается, будет ли счетным множество по-
рядков роста всех непрерывных возрастающих функций?
19 Слово «меньше» употреблено здесь в смысле «инфинитерно меньше».
89
Допустим, что это так, т. е. порядку роста всякой непрерывной
возрастающей функции можно поставить в соответствие один и
только один порядок роста соответствующей функции 1пг х. Тогда
мы в состоянии построить непрерывную возрастающую функцию
г|)(^) следующим образом: в точке х = 0 ip(rr) =0; в точке х = е
= 1; между точками е и ее ее график непрерывно проходит
между графиками In z и 1п2 х; между точками ее и ее& ее график
проходит между графиками функций 1п2 х и 1пз х, и т. д. Порядку
роста этой функции 'ф(гс) не может соответствовать порядок роста
какой-либо из функций последовательности {lnrrr}, так как
lim -У — 0 при любом натуральном г. Следовательно, мно-
жество порядков роста всех непрерывных функций не может быть
счетно.
В такой форме Дюбуа-Раймон, конечно, не мог рассуждать, так
как у него не было понятия счетности множества. Так, впрочем,
не рассуждал первоначально и Кантор, когда он первый раз дока-
зывал несчетность множества действительных чисел.
Дюбуа-Раймон не только разработал теорию роста функций и
пользовался диагональным методом в вопросах сходимости рядов.
В ряде исследований он вплотную подошел к теории точечных
множеств, и некоторые из его результатов тесно переплетаются
с первыми результатами Кантора. Наиболее характерна в этом
отношении статья «Попытка классификации произвольных функ-
ций по их изменению в сколь угодно малом интервале» 20. В пер-
вой ее части Дюбуа-Раймон предлагает такую классификацию
функций в зависимости от их поведения на сколь угодно малом
интервале:! 1) произвольные функции в смысле Дирихле; 2) функ-
ции, интегрируемые в смысле Римана; 3) непрерывные; 4) диф-
ференцируемые; 5) удовлетворяющие условию Дирихле.
Не представляющая особого интереса сама по себе, эта клас-
сификация, тем не менее, помогла Дюбуа-Раймону сделать шаг в
область теории точечных множеств. Это видно из заключительной
части статьи, когда он ввел понятие множества особенностей функ-
ции. Он так определяет понятие особенности (Singularitat) или,
как мы скажем теперь, особой точки функции:
«Примем, что функция принадлежит к одному из вышеуказан-
ных пяти классов, за исключением сколь угодно малого отрезка,
содержащего, точку к, на котором способ изменения функции не
удовлетворяет условиям, определяющим класс, к которому при-
надлежит эта функция. Тогда эта функция имеет в точке к осо-
бенность» (стр. 35).
20 Р. DuBois-Reymond. Versuch einer Klassification der willkiirli-
•chen Funktionen reeller Argumente nach ihren Anderungen in den kleinsten
Intervallen.—J. f. d. reine und angew. Math., 1875, 79, 21—37.
90
Такими особыми точками могут быть точки разрыва у функ-
ций непрерывных в остальных точках области ее задания; точки
недифференцируемости для функций, дифференцируемых в ос-
тальных точках, и т. и. Их может быть как конечное число, так и
бесконечное множество. Из последних Дюбуа-Раймон приводит,
в частности, пример множества точек недифференцируемости не-
прерывной функции, у которой производная отсутствует на всюду
плотном множестве. Он отмечает, что пример такой функции при-
надлежит Вейерштрассу, но не указывает, где и когда последний
дал его. Видимо, Дюбуа-Раймон имел в виду письмо к нему
Вейерштрасса от 15.XII 1874 г.21, в котором тот сообщил ему при-
мер непрерывной функции, не имеющей производной в каждой
алгебраической точке интервала.
В связи с распределением особенностей функций перед Дюбуа-
Раймоном встала задача изучения точечных множеств. Прежде
всего он выделяет два класса множеств — всюду плотных и нигде
не плотных: «Точки, не образующие никакой линии, могут встре-
чаться на интервале в бесконечном числе в двух видах. Во-пер-
вых, так, что во всяком сколь угодно малом отрезке имеются та-
ковые точки, подобно тому, как это имеет место для рациональных
точек. Во-вторых, во всякой сколь угодно малой части интервала
всегда можно задать конечный отрезок, в котором не лежит ни од-
ной такой точки» (стр. 35—36).
Эти типы множеств фактически были уже у Р. Липшица 22 для
случаев точек разрыва функции или точек экстремумов, а в общем
виде — у Г. Ганкеля 23.
Из нигде не плотных множеств Дюбуа-Раймон выделяет конеч-
ные и бесконечные множества Кантора v-ro вида. В самом тексте
его работы последние вводятся как бы заново, со своеобразной
трактовкой их: «Во втором случае, который мы намереваемся рас-
смотреть подробнее, точек имеется или конечное число, или же
они (точки.— Ф. М.) становятся бесконечно плотными при при-
ближении к отдельным точкам. Ибо если их бесконечное число, то
расстояния между ними не могут быть конечными. Но не может
случиться и так, что не все их расстояния обращаются в нуль в
некотором сколь угодно малом интервале, так как в противном
случае мы встретились бы с первым из указанных случаев.
21 Briefe von К. Weierstrass an Paul du Bois-Reymond.— Acta math., 1923,
39, 205—206.
22 R. Lipschitz. De explication per series trigonometricas instituenda
functionum uniis variabilis arbitrarium.— J. f. d. reine und angew. Math., 1864,
63. Русский перевод в кн.: Разложение функций в тригонометрические
ряды. Харьков, 1914.
23 Н. Н a n k е 1. Untersuchungen fiber die unendlich oft oscillirenden und
unstetigen Funktionen.—Gratulationsprogramm der Tubingen Universitat zum
6 Marz 1870. Перепечатано в Math. Ann., 1872, 20; определение этих мно-
жеств помещено на стр. 25—26.
91
Следовательно, их расстояния обращаются в нуль только в точках?,
или, правильнее, в бесконечно малых отрезках» (стр. 36).
После этого выделяются множества с конечным числом пре-
дельных точек (точек с бесконечной плотностью, по терминологии
Дюбуа-Раймона), множества, у которых предельные точки в свою
очередь образуют бесконечное множество с конечным числом пре-
дельных точек, и т. д.
Во всем этом нет ничего нового по сравнению с канторовскими
множествами v-ro вида, кроме разве меньшей, чем у Кантора, чет-
кости в формулировке понятий. Интересны, однако, примеры
Дюбуа-Раймона, иллюстрирующие различные введенные им мно-
жества. В качестве примера множества с одной предельной точкой
берется совокупность корней х = 1/Лл уравнения
sin — = О,
х 1
у которой предельная точка — точка нуль. Соответственно корни
уравнения
1 А
sin---з- = О
1
sin —
X
образуют множество точек, предельными точками которого явля-
ются корни уравнения sin i/x = 0. Вообще корни уравнения
1 А
sin---------=------ = 0,
1
Sin --------j---
sin...----—
sin ~
X
в котором знак sin повторяется v раз, образуют множество
v-ro вида.
Данные примеры более наглядны в том смысле, что для их по-
нимания не требуется каких-либо предварительных условий, вро-
де знания теории действительных чисел Кантора. После этих при-
меров Дюбуа-Раймон в сноске отмечает сходство его множеств с
множествами Кантора.
Изложение у Дюбуа-Раймона таково, словно он пришел к этим
результатам независимо от Кантора. По-видимому, это действи-
тельно так. В это же время Дюбуа-Раймон занимался одной проб-
лемой из теории тригонометрических рядов, близкой к проблеме
единственности, приведшей Кантора к рассмотренным множест-
вам. Путь изучения этой проблемы очень сходен с тем путем, по
которому шел Кантор.
В 1873 г. Д. Асколи24 доказал теорему о том, что если периоди-
ческая с периодом 2л функция /(я), имеющая конечное число то-
24 G. A s с о 1 i. Uber trigonometrische Reihen.— Math. Ann., 1873, 6,
231-240.
92
^тек разрыва и такая, что 2п интегралов вида
хк+ъ
f(x)dx-]- j(x)dx,
Хк—п хк±£
хк-г. х^Ч-е
/ (я) — x)dx+ / (х) (хк — x)dx,
Хк-п хк+п
где к = 0,1, ..., п — 1, сходятся при т|, г —> 0, представима рядом
оо
2 Яп cos пх + bn sin пх,
и—О
сходящимся всюду, кроме, быть может, точек то этот ряд будет
не только единственным, но и рядом Фурье.
Эта теорема является аналогом первого расширения Кантора
проблемы единственности для случая, когда множество особых то-
чек конечно. Обобщение этой теоремы для случая, когда множест-
во особых точек бесконечно и v-ro вида, сделано Дюбуа-Раймоном
в 1874 г.25 Для этой цели ему пришлось обобщить понятие не-
собственного интеграла Римана на тот случай, когда множество
исключительных точек имеет указанный вид. Последнее сделано
им в самом конце рассмотренной ранее работы, здесь же Дюбуа-
Раймон просто ссылается на нее26.
Таким образом, Дюбуа-Раймон на первых порах пришел в тео-
рии точечных множеств практически к тем же результатам, что и
Кантор.
25 Р. Du Bois-Reymond. Beweis, daB die Koeffizienten der trigono-
metrischen Reihe
oo
/ (x) = 2 (aP cos Px + sin px)
p=0
•die Werte
1 C 1 C
a° = \ daf (a), ap = — \ daf(a) cos pa,
i V
bp = — \ da/ (a) sin pa
haben jedesmal wenn diese Integrate endlich und bestimmt sind.—Abh. der
K. bayer. Akad. der Wissenschaft. II. KI., XII Bd., I, Abt. 1874, S. 117—168.
26 Ссылка не совсем оправдана тем, что предыдущая работа опублико
вана в 1875 г. Очевидно, обе работы были написаны одновременно, но пуб*
ликация первой задержалась.
93
4i. Несчетность множества действительных чисел
Заметка Кантора «Об одном свойстве всех действительных ал-
гебраических чисел» 27 занимает как бы промежуточное положе-
ние между предыдущими работами, которые посвящены различ-
ным вопросам математики и в которых постепенно складывались
элементы теории множеств, и работами собственно по теории мно-
жеств. Объективно в ней сформулирован и доказан один из основ-
ных результатов теории множеств* мощность континуума превос-
ходит мощность любого счетного множества. Однако это ни в коей
мере не выражено, да и не могло быть тогда выражено в такой
форме, ибо понятию мощности еще предстояло сформулироваться.
И сам Кантор и его современники восприняли этот результат бо-
лее скромным образом.
Понятие взаимнооднозначного соответствия между элементами
двух бесконечных множеств уже получило к этому времени права
гражданства в математике; плодотворность его применения была
не раз обнаружена. Поскольку точечные множества (или множест-
ва действительных чисел) уже заинтересовали Кантора, то его на-
мерение воспользоваться этим понятием для изучения множеств
действительных чисел не было неожиданным.
Вопрос о том, можно ли множество всех положительных дей-
ствительных чисел поставить во взаимнооднозначное соответствие
с множеством всех натуральных чисел, был впервые сформулиро-
ван Кантором в письме Дедекинду от 29.XI 1873 г.28 Каким бы
странным ни мог показаться этот вопрос в то время, однако неко-
торые основания для него у Кантора были: когда он писал свое
письмо, ему было уже известно, что такое соответствие можно
установить между множеством всех рациональных чисел и всех
натуральных чисел, о чем он также сообщил Дедекинду.
Отвечая на это письмо29, Дедекинд сообщил, что решения во-
проса он не знает, но соответствие возможно не только в указан-
ном случае, но и между множеством натуральных чисел и множе-
ством всех алгебраических (действительных и комплексных) чи-
сел. Последнему факту Дедекинд дал доказательство и притом та-
кое, какое в следующем году опубликовал Кантор.
Кантор нашел ответ на свой вопрос в том же году и в письме
Дедекинду от 7.ХП 1873 г. сообщил доказательство невозможности
взаимнооднозначного соответствия между множеством всех дейст-
вительных чисел и множеством натуральных чисел. В это же вре-
27 G. Cantor. Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen alge-
braischen Zahlen.—Ges. Abh., 1874, S. 115—118.
28 Briefwechsel Cantor — Dedekind. Paris, 1937, S. 12. Далее указывается
как Briefwechsel.
29 Самого ответа не сохранилось; сказанное далее основано на очеред-
ном письме Кантора и на замечаниях Дедекинда о письмах к нему Кан-
тора за 1873 год. Там же, стр. 18.
94
ИЯ он ознакомил со своим результатом Вейерштрасса и, по на-
стоянию последнего, послал заметку об этом в Журнал чистой и
прикладной математики, где она была опубликована в 1874 г.
Содержание заметки сводится к следующему. Методом Деде-
кинда доказывается счетность множества всех действительных
алгебраических чисел. Затем показывается, что если по какому-
либо закону задан счетно-бесконечный ряд отличных друг от дру-
га действительных чисел
«1, а2, . . . , ап . . . , (1)
то в любом заданном интервале (а,Р) можно указать такое число
т), которое не принадлежит ряду (1). Доказательство этого фак-
та, ввиду его особой важности в теории множеств, а также потому,
что в нем используется метод вложенных отрезков, мы приведем
полностью, следуя Кантору.
Пусть задан какой-либо интервал (а, Р) и а < 0. Если в нем
совсем нет чисел из ряда (1) или содержится лишь одно такое
число, то теорема доказана. Пусть поэтому а' и 0' — два первых
попавшихся нам числа ряда (1), содержащиеся внутри (а, 0) и не
совпадающие с его концами, и пусть а' < 0'. Если в интервале
(с/, р') нет чисел ряда (1) или же содержится лишь одно такое
число, то теорема доказана. Если в него попали не одно, а более
чисел из (4), то мы можем выбрать два числа а", р", а" < р" и
рассмотреть интервал (а", р") и т. д. Процесс построения интер-
валов (a<v\ p<v)) может быть или конечен или бесконечен. Если
число построенных таким образом интервалов конечно и послед-
ний из них есть (a<v), p<v>), то в нем может лежать самое большее
одно число ряда (1), пусть ак, так как иначе построение продол-
жалось бы. Но тогда теорема доказана, так как в (a<v\ p<v>),
a(v) < p(v)? всеГда можно указать число, отличное от ак.
Предположим поэтому, что число получаемых таким образом
интервалов бесконечно. Тогда мы имеем две последовательности
<Х < ос" <\ .. ,
Р1> ,
первая из которых монотонно возрастает и ограничена сверху
(любым из чисел Р), а вторая монотонно убывает и ограничена
снизу (любым из чисел а). Пусть предел первой последователь-
ности есть £i, а предел второй g2. Если gi < g2, то теорема доказа-
на, так как любое число интервала (gi, g2) не содержится
в ряду (1). Если же gi = g2, то число т] = ?1 = ?2не может содер-
жаться в ряде (1), так как если бы оно в нем содержалось, то оно
было бы занумеровано каким-либо определенным индексом р по
мере включения чисел ряда (1) в интервалы (a(v), p(v)), а значит
лежало бы вне интервала Р(р)), тогда как число ц по самому
его определению расположено внутри (а(р), р(р)). Следовательно,
и в этом случае теорема доказана. Тем самым доказано, что
95
множество действительных чисел интервала не может быть пере-
нумеровано при помощи натуральных чисел.
В этом доказательстве мы видим применение того же самого
диагонального метода, которым за год до того пользовался Дюбуа-
Раймон при построении функции, возрастающей быстрее любой из
заданной последовательности все более быстро возрастающих
функций: для предложенной счетной последовательности объектов
(чисел у Кантора, функций у Дюбуа-Раймона) строится объект
(число или функция), не содержащийся в заданной последователь-
ности. Вместе с тем есть и одно значительное отличие: Дюбуа-
Раймон исходил из конкретной последовательности функций
{1пг х}, тогда как у Кантора последовательность {ап} любая. Впро-
чем, Дюбуа-Раймон проводил рассуждение в такой же степени
общности, когда доказывал рассмотренную в разделе 3 теорему для
произвольной убывающей шкалы функций, а не для шкалы лога-
рифмов 30.
Кантор в этой работе лишь намекает на то, что из доказанного
им факта вытекает существование двух типов множеств (стр. 16).
Зато он подчеркивает тот факт, что теперь на иной основе под-
тверждается доказанная ранее теорема Лиувилля о существовании
трансцендентных чисел: множество действительных алгебраиче-
ских чисел счетно, а потому можно указанным способом убедиться
в существовании неалгебраических (трансцендентных) чисел, при-
чем последних бесконечно много, ибо если мы в заданном интер-
вале нашли одно трансцендентное число 0Ь то в любом интервале,
не содержащем 0Ь тем же способом получаем другое чис-
ло 02 и т. д.
Само название работы Кантора показывает, что сущность ее
он первоначально видел преимущественно в доказательстве счет-
ности множества действительных алгебраических чисел. Факт не-
счетности множества всех действительных чисел служил главным
образом для доказательства другим способом и расширения теоре-
мы Лиувилля.
Интересно, что так же смотрел на эту работу и Дедекинд. Пер-
воначально он сомневался в значимости поставленного перед ним
Кантором вопроса о счетности или несчетности континуума и, ви-
димо, даже писал об этому Кантору. Когда же последний прислал
ему свое доказательство несчетности континуума и указал, что из
этого вытекает существование трансцендентных чисел, то отноше-
ние Дедекинда изменилось. В упоминавшемся замечании на пись-
ма Кантора Дедекинд писал: «Однако высказанное мною мнение,
что первый вопрос (т. е. вопрос о том, можно ли установить
взаимнооднозначное соответствие между множеством натуральных
чисел и множеством действительных чисел.— Ф. М.) не заслужи-
30 Р. Du Bois-Reymond. Uber asymptotische Werthe, infinitare
Appoximationen und infinitare Auflosung von Gleichungen.— Math. Ann.,
1875, 8, 365.
96
вает стараний, так как он не имеет особого практического интере-
са было опровергнуто предложенным Кантором доказательством
существования трансцендентных чисел» 31.
5. Первые исследования
о мере точечных множеств
Очередным трудным вопросом, который на несколько лет занял
мысли Кантора, был вопрос о возможности установления взаимно-
однозначного соответствия между континуумами различного числа
измерений. Впервые он поставил его Дедекинду 5.1 1874 г.32 До-
казательство было опубликовано только в 1878 г. За этот четырех-
летний период Кантор не напечатал ни одной статьи не только по
теории множеств, но и по математике вообще. Между тем изуче-
ние множеств точек в этот период происходило довольно интенсив-
но, отчасти под влиянием рассмотренной в предыдущем разделе
работы Кантора, отчасти в связи с первым подходом к теории меры
точечных множеств.
Ранее мы уже отмечали, что условие интегрирования Римана
сделалось одним из источников развития теории меры. Это усло-
вие было опубликовано в 1867 г. Уже в 1870 г. идея меры точеч-
ного множества была довольно определенно сформулирована
Г. Ганкелем в его работе «Исследования о функциях, совершаю-
щих бесконечно много колебаний и разрывных» 33. С точки зрения
истории теории множеств эта работа интересна вообще, поэтому
мы остановимся на ней несколько подробнее.
После введения, содержащего краткий очерк истории понятия
функции, вплоть до Дирихле, автор ставит задачу изучения
свойств неаналитических функций. Из этих функций естественно
выделяются два типа: непрерывные, не являющиеся аналитиче-
скими, и разрывные. Из непрерывных функций Ганкеля прежде
всего интересуют функции, имеющие бесконечное число максиму-
мов и минимумов. В качестве примера приводится функция
f(x) = х sin 1/ar, /(0) = 0. Затем Ганкель приводит свой известный
принцип конденсации особенностей, позволяющий строить сколько
угодно функций, имеющих особенности на всюду плотном множе-
стве рациональных точек. Этот принцип состоит в следующем:
если (р (х) имеет особенность в точке х = 0, то функция
00
/ (х) = 2 CV ф (Sin VJtr),
v=l
31 Briefwechsel, S. 18.
32 Там же, стр. 21.
33 Н. Н a n k е 1. Untersuchungen fiber die unendlich oft oscillirenden und
unstetigen Funktionen. Ein Beitrag zur Feststellung des Begriffs der Funktion
uberhaupt— Universitatsprogramm zum 6 Marz 1870. Tubingen.
7 Ф. А. Медведев
97
где коэффициенты cv выбираются так, чтобы этот ряд сходился,
имеет ту же особенность вообще в бесконечном множестве точек.
В частности, если ряд будет абсолютно сходиться, то эта особен-
ность переносится на все рациональные точки.
При помощи этого принципа Ганкель строит ряд функций,
имеющих те или иные особенности на множестве рациональных
точек, в частности функцию
оо
/ (х) = У! — sin пх л sin (--,
' v ns \sin п лх/ ’
п=1
которая не имеет производной в каждой рациональной точке.
Перед тем, как переходить к разрывным функциям, Ганкель
явно определяет два класса точечных множеств: всюду плотных
и нигде не плотных. Первые он называет «заполняющими отре-
зок» (die Strecke erfiillen), а вторые—«незаполняющими отре-
зок» (стр. 26).
Разрывные функции распределяются на два класса:
1) точечно разрывные, которые разрывны в точках нигде не
плотного множества или, как говорит Ганкель, у которых точки
со скачками больше сг являются рассеянными и не заполняют от-
резка, сколь бы ни была малой, отличной от нуля величина о;
2) общеразрывные, т. е. такие разрывные функции, у которых
точки со скачками, превосходящими определенную конечную ве-
личину, заполняют целый интервал.
Для нас сейчас особо интересна неправильная теорема, кото-
рую пытался доказать Ганкель: если множество является нигде не
плотным, то общая длина интервалов, содержащих точки этого
множества, может быть сделана сколь угодно малой; обратно: если
точки множества можно заключить в интервалы, сумма длин ко-
торых сколь угодно мала, то это множество является нигде не
плотным.
При доказательстве этой неправильной теоремы у Ганкеля воз-
никает идея меры множества точек, которую он называет «дли-
ной». Если множество составлено из конечного числа точек, то эта
«длина» s составляется из интервалов, которые содержат эти точ-
ки; поскольку каждый из этих интервалов можно сделать сколь
угодно малым, то и s сколь угодно мала. Далее Ганкель молчаливо
предполагает, что нигде не плотное множество точек счетно,
и, строя вокруг каждой из них непересекающиеся интервалы про-
извольно малой длины и определяя s для нигде не плотного мно-
жества как сумму длин этих интервалов, приходит к выводу, что
эта «длина» 5 может быть сделана сколь угодно малой, фактиче-
ски понимая в данном случае под 5 внешнюю меру множества. Из
этой теоремы Ганкель делает вывод о том, что всякая ограничен-
ная функция, имеющая нигде не плотное множество точек разры-
ва первого рода, интегрируема по Риману.
98
Последний вывод Ганкеля вскоре вызвал возражения сразу у
нескольких математиков. Одним из них был Г. Смит, опубликовав-
ший интересную статью об интегрировании в смысле Римана34.
Отметим мимоходом, что в ней очень четко сформулировано опре-
деление интеграла Римана и доказан римановский признак инте-
грируемости, введены верхние и нижние интегралы, получившие
затем название верхних и нижних интегралов Дарбу, и дано без-
укоризненное доказательство их существования35. Но и в рассмат-
риваемом нами отношении эта работа довольно интересна.
Мы уже говорили, что определение производных множеств
было сформулировано Кантором в 1872 г. Он же привел первый
пример множеств v-ro порядка, основанный на его теории действи-
тельных чисел, точнее на той части его теории, которая практиче-
ски не вошла в обиход математики. Указывали мы и на то, что
в 1875 г. Дюбуа-Раймон дал примеры множеств этого типа при по-
мощи цепи синусов. Смит, по-видимому, не знал работы Кантора
и тем более работы Дюбуа-Раймона. В своих теоретико-множест-
венных построениях он основывался исключительно на работе
Ганкеля. Тем не менее, ему принадлежат изумительно простые
примеры приводимых множеств любого конечного порядка. Он не
вводит специальных определений этих множеств, у него даже от-
сутствует определение предельной точки. Однако, анализируя вве-
денное Ганкелем понятие нигде не плотного множества, он поль-
зуется фактически и понятием предельной точки и понятием при-
водимого множества любого конечного порядка.
В качестве простейшего бесконечного множества точек на (0,1)
с одной предельной точкой он приводит множество точек вида
х = 1 / а, где а пробегает все целые положительные значения.
Смит указывает, что: «1) ...эти точки бесконечны в числе; 2) они
неограниченно сгущаются вблизи начала (т. е. точка х = 0 являет-
ся для них предельной точкой); 3) они лежат разомкнутым стро-
ем (loose order) по всему интервалу, и не существует сегмента,
даже непосредственно вблизи от начала, полностью заполненного
ими...» [т. е. это множество нигде не плотно на (0,1)]. Обозначим
это множество через Е\.
Примером множества второго порядка у него служит множеств
во точек вида
1 1 1
х =-----1---,
34 Н. J. S. Smit h. On the integration of discontinious functions.— Proc.
London Math. Soc., 1875, 6, 140—153.
35 В том же 1875 г. была опубликована работа Г. Дарбу «Мётойе sur
les fonctions discontinues» (Ann. de ГЁс. Norm., Ser. 2, 4), где, кроме того,
признак существования интеграла Римана преобразован в условие совпа-
дения верхних и нижних интегралов; в 1875 г. Асколи в статье «Sul con-
cetto di integrate definite» (Atti della R. Acc. dei Lincei, Ser. 2, 1875, 2,
862) предложил аналогичные определения верхних и нижних интегралов
и сформулировал условие интегрируемости в терминах их совпадения.
99
7*
где ф и а2 независимо пробегают все целые положительные числа.
У этого множества Z?2 уже бесконечное множество предельных то-
чек (каждая точка множества Е\ является для Е2 предельной точ-
кой; чтобы убедиться в этом, достаточно зафиксировать одно зна-
чение и 1 и менять значения а2). Поэтому производным множеством
для Е2 является Ei, т. е. Е2 — множество второго порядка.
Далее Смит по индукции определяет и доказывает, что вообще
множество Ех вида
1 । 1 . . 1
ж =----------р . .. 4-t
где каждое av пробегает целые положительные значения, незави-
симо от других, является множеством v-ro вида, т. е. таково, что
предельная точка для него — каждая точка 2?у-ь Каждое из этих
множеств Ег является (и это Смит доказывает) нигде не плотным.
Далее показано, что если ограниченная функция f(x) имеет
разрывы первого рода в точках множества Ev, то она интегрируема
по Риману. При доказательстве этого множество точек разрыва за-
ключается в интервалы, сумма длин которых сколь угодна мала.
Другими словами, устанавливается равенство нулю меры мно-
жества разрывов функции.
В рассматриваемой работе Смша содержатся и другие важные
материалы. А именно с целью опровержения неправильного ут-
верждения Ганкеля об интегрируемости (Z?) ограниченной функ-
ции с нигде не плотным множеством точек разрыва, Смит строит
примеры совершенных, нигде не плотны < множеств точек как по-
ложительной меры, так и меры нуль, не давая, однако, какой-либо
характеристики этого класса множеств. Идея построения этих мно-
жеств Смитом очень проста.
Пусть т > 2 целое число. Интервал (0,1) делится на т равных
частей и последняя часть удаляется; оставшиеся т — 1 частей
разделим каждую на т равных частей и удалим в каждой из
оставшихся т — 1 частей по правой концевой части, и т. д. до бес-
конечности .
Совершенно очевидно, что множество оставшихся невыброшен-
ными точек имеет меру нуль; несложно доказывается, что оно со-
вершенно и что все m-ичные разложения не содержат знака
т — 1. В случае т = 3 получаем совершенное множество, близкое
по своей структуре к совершенному множеству Кантора. Смит
показывает, что эти множества (нигде не плотны, и функции,
имеющие конечные разрывы в точках такого рода, будут 2?-инте-
грируемы.
Далее процедура построения совершенных множеств немного
усложняется. Первый шаг остается прежним; (0,1) делится на т
равных частей и удаляется концевой отрезок. Каждый из остав-
шихся т — 1 отрезков делится на т2 равных частей и в них уда-
100
ляется по последнему отрезку; каждый из оставшихся (тп - 1)
, 2 _ 1) отрезков делится на т3 равных частей и удаляются по-
едние правые отрезки и т. д. Показывается, что множество остав-
шихся точек будет нигде не плотным, но мера его положительна,
а значит /(я), имеющая конечные разрывы в точках построенного
множества, не интегрируема по Риману (стр. 147—148). Мы бы
теперь сказали, что построенные Смитом множества являются со-
вершенными, нигде не плотными множествами положительной
меры.
Последние примеры множеств (функций) служат Смиту для
опровержения утверждения Ганкеля об интегрируемости всякой
функции, имеющей конечные разрывы в нигде не плотном мно-
жестве точек.
Смиту, следовательно, принадлежит введение наиболее простых
по конструкции примеров приводимых точечных множеств, совер-
шенных, нигде не плотных множеств как меры нуль, так и поло-
жительной меры, а также установление четкой связи теории инте-
грирования с теоретико-множественным методом: вопрос об инте-
грируемости функций решался сведением этого вопроса к мере
множества,— и все это еще до того, как у Кантора возникла идея
самостоятельного учения о множествах, задолго до признания тео-
ретико-множественного метода в качестве важного орудия теоре-
тико-функциональных исследований.
В это же время создавалась первая монография по теории
функций действительного переменного, сыгравшая в свое время
значительную роль в распространении теоретико-множественных
и теоретико-функциональных идей. Речь идет о книге У. Дини
«Основы теории функций действительного переменного», вышед-
шей из печати в 1878 г. 36, но даже в начале XX в. служившей
основой преподавания этого предмета в Московском универ-
ситете. В 1892 г. в предисловии к немецкому переводу писалось,
что эти «Основы» еще и теперь являются единственным учебни-
ком современной теории функций одного действительного пере-
менного.
Эта книга возникла из лекций, прочитанных Дини в 1871—
1872 гг. В них автор первоначально включал содержание рассмот-
ренных выше работ Ганкеля, Дедекинда («Непрерывность и ир-
рациональные числа»), Кантора (работы по теории единственно-
сти для тригонометрических рядов) и Гейне. Печатание книги,
начатое в 1872 г., растянулось до 1878 г., и в течение этого вре-
36 U. Dini. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali.
Pisa, 1878. Страницы далее указываются по немецкому переводу: U. Dini.
Grundlagen fur eine Theorie der Funktionen einer veranderlichen reellen
GroBe. Leipzig, 1892. Об аналогичной работе Б. Больцано «Учение о функ-
циях» (1830 г.), оставшейся неопубликованной до 1930 г., см.: Э. Коль-
м ан. Бернард Больцано. М., Изд-во АН СССР, 1955, стр. 60—75.
101
мени Дини дополнял и изменял ее, включая вновь получаемые тео-
ретиколфункциональные результаты, многие из которых (напри-
мер, о производных числах) принадлежали самому Дини.
Достаточно перелистать эту книгу, чтобы увидеть, насколько
назрело в теории функций действительного переменного к этому
времени использование именно теоретико-множественного метода.
Те еще скромные результаты, которые были получены тогда в
теории множеств, находят многообразные применения в самых раз-
личных вопросах теории функций.
Всему изложению предпослана теория действительных чисел
по Дедекинду (в немецком издании эта теория дана по Кантору).
Вторая глава посвящена исключительно полученным к 1878 г. ре-
зультатам по теории множеств: вводятся общие понятия точечно-
го множества (в одномерном случае), точных верхних и нижних
границ множеств, предельной точки; даются четкие определения
окрестности точки, предельной точки и производного множества;
выделяются множества любого конечного порядка как множества
первого рода, а все остальные множества относятся ко второму
роду; выделяются всюду плотные и нигде не плотные множества;
по существу показывается, что множества первого рода обладают
тем свойством, что мера их равна нулю (стр. 26) 37. Последнее
используется во многих вопросах последующего изложения. Нахо-
дят себе применения и совершенные множества Смита.
Эти теоретико-множественные результаты применяются при
классификации функций, в учении о производных, в теории инте-
грала и т. п. примерно в тех же масштабах, что у Кантора, Ганке-
ля, Смита, Дюбуа-Райм1она и других, поэтому мы не будем на этом
останавливаться. Подчеркнем, однако, что приведенные теоретико-
множественные сведения используются практически на всем про-
тяжении книги как некие необходимые орудия исследования ма-
тематических фактов.
В 1878 г. Кантор ознакомился с этой книгой и дал ей высокую
оценку 38.
в« Продолжение исследований Дедекинда
но теории множеств
алгебраических чисел и функций
Теоретико-множественные идеи Дедекинда, сформулированные
им в X дополнении к «Лекциям по теории чисел» Дирихле, полу-
чили дальнейшее развитие и уточнение в работе «О теории целых
37 Утверждение, что множества первого рода имеют равную нулю
меру, доказано и использовалось в том же году Асколи в работе «Nuove
ricnerche sulla serie di Fourier» (Atti della R. Acc. dei Lincei, ser. 3, 1878,
2, 586).
38 Briefwechsel, S. 42.
102
алгебраических чисел»39, написанной по предложению редакции
французского журнала. „
Основное содержание названной работы совпадает с изложен-
ие в разделе 1 содержанием X дополнения. Однако здесь еще
более четко выражен именно теоретико-множественный характер
дедекпндовской теории алгебраических чисел. Основные типы мно-
жеств и операций над ними те же самые: поля, модули, идеалы;
включение, пересечение, сумма. Однако если ранее Дедекинд рас-
сматривал суммы и пересечения двух множеств40, то теперь эти
операции распространяются на любое число, в том числе и на тот
случай, когда их бесконечно много41. Операция включения (дели-
мости) используется для установления идентичности двух мно-
жеств: «Два модуля а, Ь, каждый из которых делится на другой,
являются идентичными» (стр. 18). Большее применение получают
функции множеств. Кроме указанных ранее, можно привести та-
кие, как
п •
1 ЛГ Ср>'
где р — простой идеал изучаемого конечного поля, s — число, близ-
кое к единице, N(p) — норма модуля р, а знак произведения рас-
пространяется на все простые модули; далее, функция *ф(Л), озна-
чающая число всех чисел, не сравнимых по идеалу А и взаимно
простых с Л, является обобщением известной теоретико-числовой
функции Эйлера; при помощи гр (Л) Дедекинд выражает обобщен-
ные теоретико-числовые закономерности, и теорема Ферма, напри-
мер, принимает у него вид42:
рФ (А) = 1 (mod Л).
При введении понятия сравнимости чисел модуля Ь по задан-
ному модулю л отмечается, в частности, случай, когда число клас-
сов, на которые распадаются числа из Ь, бесконечно. Выбор пред-
ставителей из этих классов, о котором в данном случае ведет речь
Дедекинд, основывается на аксиоме Цермело, не формулирующей-
ся, как обычно, явно 43.
Заметим также, что наряду с термином «система» в данной ра-
боте Дедекинд нередко пользуется термином «множество» (еп-
39 R. Dedekind. Sur la theorie des nombres entiers algebriques.— Bull,
sci. math, et astron., 1876, 11, 278—288; 1877, 1, Ser. 2, 17—41, 69—92, 144—164,
207-248.
40 Только в одном месте дополнения он в примечании указал на воз-
можность распространения этих операций на большее число множеств.
41 Там же, стр. 19.
42 Там же, стр. 227—228.
43 Там же, стр. 21.
103
semble) примерно в том же смысле (т. II, стр. 285; т. I, стр. 149
ит. д.).
Следующая работа, заслуживающая внимания в рассматривае-
мой нами связи,— статья «О числе классов идеалов для различных
порядков конечного поля» 44. Она примыкает к первым двум рас-
смотренным работам по теории алгебраических чисел, носит тот
же теоретико-множественный характер и посвящена определению
числа классов идеалов в некоторых подмножествах кольца целых
чисел заданного конечного поля. Эти подмножества, называемые
Дедекиндом порядками (Ordnungen), являются, говоря современ-
ным языком, подкольцами кольца целых чисел. Введя это опре-
деление 45, Дедекинд тем самым добавил к рассматриваемым им
типам множеств алгебраических чисел (полям, модулям и идеа-
лам) еще новый тип — кольца.
В этой работе в краткой и четкой форме повторены все те по-
нятия и результаты, о которых у нас шла речь в связи с двумя ей
предшествующими. Новыми теоретико-множественными фактами
были следующие.
Для операций включения, пересечения и суммы введены спе-
циальные символы с целью, как пишет Дедекинд, упрощения фор-
мулировок и доказательств теорем46. В качестве таких символов ।
для операций над множествами (полями, модулями, идеалами,
кольцами) использованы обычные арифметические знаки >, <, ;
Ч-, —. Если А подмножество (собственное или нет) множества В,
то это Дедекинд символически обозначает А > В; обратное отно- <
шение обозначается знаком <; для пересечения любого числа I
множеств (конечного или бесконечного) используется символ j
«—», а для суммы — знак « + ».
Эта символика позволила Дедекинду подметить и четко выра-
зить дуализм между операциями суммы и пересечения, нашедший
у него место пока в двух теоремах 47:
(Л+ 5)-(Л +С) = А + [В-(Л + С)],
(Л-В) + (Л-С) = А-[В + (А-С)].
Этой двойственностью он неоднократно пользовался и в данной и
в некоторых последующих работах.
Понятие функции множества приобретает теперь довольно об-
щий характер. «Перенос принципов, которыми пользовался Ди-
рихле при доказательстве теоремы об арифметической прогрессии
и при определении числа классов бинарных квадратичных форм,
44 R. Dedekind. Uber die Anzahl der Ideal-Klassen in den verschiede-
nen Ordnungen eines endlichen Korpers. (1877).—Ges. math. Werke, Bd. I,
S. 105—157.
45 Там же, стр. 124.
46 Там же, стр. 121.
47 Там же.
104
приводит к рассмотрению бесконечных рядов и произведений вида
S / (*) = П i — f(p) ’
где л пробегает все идеалы, р — все простые идеалы, а /(«) озна-
чает действительную или комплексную функ-
цию (выделено нами.— Ф. М.), которая удовлетворяет условию
yQ = /() /( ) л, кроме того, такова, что бесконечный ряд сле-
ва обладает конечной суммой независимо от расположения его
членов» (стр. 118). И хотя в данной работе Дедекинду нужны
были лишь специальные функции такого рода, тем не менее он по-
считал нужным ввести в рассмотрение достаточно общий их класс.
Следующие две работы несколько выпадают из хронологиче-
ских рамок, намеченных нами для этого и предыдущего разде-
лов48. Однако по своему теоретико-множественному содержанию
они тесно примыкают к трем предыдущим работам Дедекинда,
а потому их целесообразно рассмотреть здесь.
Первая — это работа Дедекинда, написанная им совместно с
Г. Вебером,— «Теория алгебраических функций одной перемен-
ной» 49. Цель ее — обосновать простейшим способом и в то же вре-
мя строго и общим образом теорию алгебраических функций одно-
го переменного, не делая при этом каких-либо ограничительных
предположений о характере особых точек рассматриваемых функ-
ций и полностью избегая в рассуждениях ссылок на очевидность
наглядных представлений.
Предшествующие исследования по этому вопросу относились
главным образом к функциям, коэффициентами которых являют-
ся рациональные числа. Авторы поставили перед собой задачу по-
строить такую общую теорию, которая относилась бы к предшест-
вующей так, как самая общая теория алгебраических чисел отно-
сится к теории рациональных чисел.
Под алгебраической функцией 0 переменной z, по аналогии с
понятием алгебраического числа, понимается функция, удовлетво-
ряющая неприводимому алгебраическому уравнению
F (0, z) = О,
в котором „ „ -
Р = я 10 + • • • + яп~10 “Ь
а а* — целые рациональные функции от 2, не имеющие общего де-
лителя. Тем самым рассматривавшееся ранее множество алгебраи-
ческих функций расширялось примерно так же, как введением ал-
гебраических чисел расширялось множество рациональных чисел.
Ситуация, сложившаяся при изучении этого более общего класса
функций, была вполне аналогична той, о которой мы говорили ра-
48 Сюда включены работы до 1878 года — года опубликования Кантором
теоремы об эквивалентности континуумов разного числа измерений.
49 R. Dedekind, Н. Weber. Theorie der algebraischen Funktionen
einer Veranderlichen (1882).—Ges. math. Werke, Bd. I, 1930, S. 238—348 (да
тировано октябрем 1880 г.).
105
нее в связи с алгебраическими числами. Естественно, что ход ис-
следований здесь во многом аналогичен предшествующим исследо-
ваниям Дедекинда по теории алгебраических чисел.
На рассматриваемые авторами алгебраические функции пере-
носятся основные понятия, введенные ранее для алгебраических
чисел: поля, модуля, идеала; вводятся операции включения, пере-
сечения и суммы для обобщенных таким образом модулей и идеа-
лов; функции множеств задаются для множеств иной природы;
аксиома Цермело применяется при выборе элементов из множеств
алгебраических функций, и т. д. Другими словами, те теоретико-
множественные понятия и методы, которые мы отметили выше в
теории алгебраических чисел, перенесены здесь на множества,
элементами которых являются уже не числа, а функции,— и в этом
основное значение названной работы для истории теории мно-
жеств. То, что понятия и методы, разработанные первоначально
для одного специального класса множеств (множеств алгебраиче-
ских чисел), оказались в полной мере пригодными и для другого
класса множеств (множеств алгебраических функций), было, по-
видимому, немаловажным фактором для более общего подхода Де-
декинда к теории множеств, о чем будет речь в одном из следую-
щих разделов этой главы.
Основным теоретико-множественным результатом другой рабо-
ты Дедекинда «О дискриминантах конечных тел» 50 служит вве-
дение понятия дополнения множества, опять еще не в общем слу-
чае, а применительно к модулям, образованным из алгебраических
чисел51. Дополнение модуля Л, также являющееся модулем рас-
сматриваемого конечного поля, Дедекинд обозначает через й' и
доказывает ряд свойств дополнений 52:
1) (<»')' = «;
2) если а>Ь, то Ь'
3) (* + &)' = а' —Б';
4) (а-Ь)' = а' + Ь\
Словесная формулировка, например, последних двух свойств
дополнения такова: дополнение суммы множеств (у модулей у Де-
декинда) равно пересечению дополнений и дополнение пересече-
ния равно сумме пересечений. Как известно, эти свойства допол-
нения широко используются в теории множеств.
По поводу введения этой операции Дедекиндом можно сказать
то же самое, что в разделе 1 данной главы было сказано об опера-
циях включения, пересечения и суммы. Вообще в науке дополне-
ние множества и обнаруженные Дедекиндом свойства его не были
50 В. Dedekind. Uber die Diskriminanten endlicher Korper. (1882).—
Ges. math. Werke, Bd. I, S. 351-396.
51 Там же, стр. 377.
52 Там же, стр. 377—378.
106
новостью Многие представители математической логики рассмат-
ривали пх ранее Дедекинда. Однако в теорию множеств Дедекинд
вводил все это впервые.
Помимо сказанного, в данной работе Дедекинд разработал эле-
менты еще двух операций над модулями — .умножения и деления,
которые носят специфически числовой характер и на которых по-
этому мы не останавливаемся, отметив лишь, что эти операции
при помощи дополнения связываются Дедекиндом наподобие того,
как равенствами 3) и 4) связаны операции суммы и пересече-
ния.
7. Эквивалентность континуумов
разного числа измерений
В начале раздела 5 мы указали, что вопрос о возможности уста-
новления эквивалентности континуумов разного числа измерений
начал занимать Кантора не позднее начала 1874 г. Но только в
1877 г. ему удалось получить первое доказательство наличия этой
эквивалентности, о чем он 20.VI 1877 г. сообщил Дедекинду 53. До-
казательство состояло в разложении абсцисс точек одномерного
единичного сегмента и координат единичного квадрата в десятич-
ные дроби, а затем в образовании для координат точки квадрата
двух дробей из дроби, представляющей абсциссу точки сегмента,
и, наоборот, в образовании одной дроби — абсциссы точки сегмен-
та — из дробей, представляющих координаты точки квадрата. При
этом, чтобы избегнуть двойного десятичного представления точек,
Кантор конечные десятичные дроби заменил бесконечными с пе-
риодом девять. Дедекинд в письме от 22.VI 1877 г.54 отметил ин-
терес результата Кантора, но вместе с тем указал на пробел в его
доказательстве, состоящий в том, что точкам сегмента, десятичные
разложения которых содержат перемежающиеся нули, в рамках
рассуждений Кантора не находится соответствующих точек квад-
рата.
Кантор признал справедливость этого возражения и 25 июня
того же года прислал Дедекинду новое доказательство, основанное
па разложении координат точек в цепные дроби. По окончании до-
казательства Кантор писал, что его теорема приводит к убежде-
нию, что исследования Гаусса, Римана и Гельмгольца по основа-
ниям геометрии, базировавшиеся на той идее, что тг-кратно протя-
женное непрерывное многообразие требует для задания его эле-
ментов п независимых друг от друга координат, являются ошибоч-
ными. «Теперь мне кажется (выделено Кантором.— Ф. М.),
что все философские или математические дедукции, которые исхо-
дят из этой ошибочной предпосылки, являются недопустимыми.
Более того, различие, имеющееся между двумя образами различ-
53 Briefwechsel, S. 25—26.
54 Там же, стр. 27—28.
107
ного числа измерений, следует искать совсем в другом моменте,
нежели в характеристическом числе независимых координат» 55.
В ответном письме от 22.VII 1877 г.56 Дедекинд, отметив, что
второе доказательство Кантора теоремы о равномощности конти-
нуумов разного числа измерений он проверил и не нашел в нем
пробелов, решительно выступил против указанного выше заключе-
ния Кантора об исследованиях по основаниям геометрии. «Против
этого (несмотря на Вашу теорему или, скорее, вследствие сообра-
жений, возникших благодаря Вашей теореме) я заявляю, что
убежден (я еще не имел времени исследовать доказательство это-
го) в том, что число измерений непрерывного многообразия яв-
ляется первым и важнейшим его инвариантом, и я должен взять
под защиту все написанное до сих пор по этому вопросу» 57.
Далее Дедекинд указывает, что все математики, писавшие на
данную тему, молчаливо принимали непрерывность отображаю-
щих функций, но что, по его мнению, справедлива теорема:, «Ког-
да установлено взаимнооднозначное соответствие между непрерыв-
ными многообразиями различного числа измерений, то это соот-
ветствие обязательно является разрывным» 58.
В следующем году Кантор публикует работу «К учению о мно-
гообразиях» 59, основное содержание которой состоит в доказатель-
стве теоремы эквивалентности континуумов разного числа измере-
ний вторым из указанных методов. Мы не будем останавливаться
на этом доказательстве, так как оно имеется во многих работах.
Здесь Кантор учел оба замечания Дедекинда — о пробеле в
первом варианте доказательства и об инвариантности числа изме-
рений. Более того, весь раздел 7 его работы посвящен описанию
возражения Дедекинда против первого доказательства, а во вто-
рой половине введения рассмотрен вопрос об исследованиях Рима-
на и Гельмгольца по основаниям геометрии в том духе, как он
трактовался в письме Дедекинда.
Наряду с доказательством теоремы эквивалентности эта рабо-
та Кантора содержит ряд других важных теоретико-множествен-
ных результатов. Прежде всего в ней во всей общности вводится
понятие мощности множества: «Если два вполне определенные
многообразия М и Л’ можно однозначно и полностью, поэлементно,
поставить в соответствие друг с другом (что, если возможно одним
способом, то можно и многими другими способами), то в после-
дующем можно употреблять выражение, что эти многообразия
имеют равную мощность, или же что они эквивалентны»
(стр. 119).
55 Briefwechsel, S., 34.
56 Там же, стр. 37—38.
57 Там же, стр. 37.
58 Там же, стр. 38.
59 G. Cantor. Ges. Abh., S. 119—133. Далее страницы в тексте указы-
ваются по этому изданию.
108
Здесь же выделяется класс счетных множеств и формулируют-
ся две теоремы о них: если множество М счетно, то всякое его
бесконечное подмножество равномощно с М; сумма конечного или
тно-бесконечного множества счетных множеств является счет-
ньш множеством (стр. 120). В качестве примеров счетных мно-
жеств указываются конечные поля алгебраических чисел (со ссыл-
кой на X дополнение Дедекинда), канторовские точечные мно-
жества v-ro вида и т. д.
Из операций над множествами явно определяется включение
для произвольных множеств (стр. 119); несколько нечетко сфор-
мулировано понятие пересечения двух точечных множеств
(стр. 124, примечание), понятие суммы используется для счетных
множеств, но специально не определяется (стр. 120).
Заслуживает внимания и то, что в данной работе Кантор впер-
вые высказал гипотезу континуума в виде не доказанной теоремы
о том, что если все бесконечные линейные множества разбить на
классы эквивалентных множеств, то «число классов линейных
многообразий, получающихся при таком принципе разбиения, яв-
ляется конечным и даже равным двум» (стр. 132).
Теорема Кантора об эквивалентности континуумов разного чис-
ла измерений вызвала значительный резонанс в математическом
мире. Понятие размерности играет важную роль в математике.
Поэтому вслед за опубликованием доказательства Кантора появи-
лась серия работ, в которых показывалось, что соответствие, уста-
навливаемое между точками континуумов разного.числа измере-
ний, может быть или взаимнооднозначным, но тогда не непрерыв-
ным, или же непрерывным, но тогда не взаимнооднозначным (Лю-
рот, Томе, Нетто—1878 г., Кантор — 1879 г. и т. д.). Все эти до-
казательства были недостаточными в том или ином отношении60,
и лишь в 1911 г. Брауэр61 дал удовлетворительное доказательство
того, что континуумы различного числа измерений не могут быть
отображены друг на друга взаимнооднозначно и взаимнонепре-
рывно.
Хотя Кантор и был неправ в своих первоначальных предполо-
жениях о том, что его теорема разрушает понятие размерности
(письмо к Дедекинду от 25.VI 1877 г.), однако его замечание о
том, что понятие размерности, принимавшееся до того как некото-
рое очевидное понятие, требует специального обоснования 62, было
вполне справедливым. Теорема Кантора поколебала существовав-
шее наивное представление о размерности. Первоначально пред-
полагалось, что достаточно простой непрерывности отображения,
чтобы восстановить в правах понятие размерности. Однако это
60 Обзор этих доказательств имеется у А. Шёнфлиса (Die Entwicklung
der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten.— Jahresber. Deutsch. Math.-
Verein., 1908, Erganzungs. Bd. II. 164—167).
61 L. E. J. Brouwer. Beweis der Invarianz der Dimensionzahl.—Math.
Ann., 1911, 70, 161—165.
62 Ges. Abh., S. 121.
109
оказалось не так. В 1890 г. Пеано63, а в 1891 г. Гильберт64 нанес-
ли еще один удар наивным представлениям о размерности, постро-
ив непрерывное отображение отрезка на квадрат. Только понятие
взаимнооднозначного и взаимнонепрерывного (гомеоморфного или
топологического) отображений позволило вновь поставить на твер-
дую почву понятие числа измерений. Первым существенным ша-
гом в этом и была указанная работа Брауэра.
8. Начало систематической разработки
теории точечных множеств
К концу 70-х годов накопилось довольно много теоретико-мно-
жественных фактов. В обиход математиков вошли многочисленные
и разнообразные бесконечные множества — от множеств целых
чисел в исследованиях Гаусса и множеств алгебраических чисел
и функций у Дедекинда до всевозможных множеств действитель-
ных чисел или точечных множеств в работах Вейерштрасса, Кан-
тора, Дюбуа-Раймона, Смита и др. Для множеств алгебраических
чисел введены основные операции (включение, сумма, пересече-
ние) . Обнаружены два различных типа бесконечных множеств —
счетных и несчетных; сформулировано общее понятие мощности.
Выделены важные классы точечных множеств — всюду плотные
и нигде не плотные; рассмотрен частный случай открытых мно-
жеств — областей; построены первые примеры совершенных мно-
жеств.
Характерная черта исследований, в которых появлялись и изу-
чались эти множества, состояла в том, что теоретико-множествен-
ные результаты были в них необходимыми следствиями потребно-
стей более общего рассмотрения традиционных результатов
теории чисел, алгебры, анализа и теории функций. Другой осо-
бенностью было то, что теоретико-множественные факты появля-
лись внутри уже сложившихся математических дисциплин, и как
только математики получали хотя бы простейший теоретико-мно-
жественный результат, так его тотчас же стремились использовать
в довольно разнообразных вопросах. И у Вейерштрасса, и у Деде-
кинда, и у Дюбуа-Раймона, и у Дини, а на первых порах и у само-
го Кантора, преобладали интересы прикладного, если можно так
выразиться, характера по отношению к вводимым ими элементам
теории множеств.
Работы Кантора относительно мощности континуума и экви-
валентности континуумов разного числа измерений, представляя
серьезный вклад в разработку теории множеств, все же выпадали
63 G. Peano. Sur une courbe, qui remplit tout une aire plane.— Math.
Ann., 1890. 36, 156—160.
64 D. Hilbert. Uber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flachen-
stiick.— Math. Ann., 1891, 38, 459—460.
110
из описанной схемы. Они посвящались хотя и интересным, но все
же отдельным проблемам, возможности для применения которых
в математической практике не видели даже крупные математики.
Достаточно напомнить первоначальное отношение Дедекинда к
вопросу о возможности установления взаимнооднозначного соот-
ветствия между множествами натуральных и действительных чи-
сел. Появившиеся вслед за работой Кантора исследования теоре-
мы* эквивалентности континуумов разного числа измерений были
направлены скорее на защиту старых позиций, на сохранение по-
нятия размерности, чем на разработку новой теории.
И только с 1879 г. положение начинает существенно изменять-
ся. Кантор осознал возможность и целесообразность разработки
самостоятельного учения сначала о точечных множествах, а не-
сколько позднее об абстрактных множествах. Свой замысел он на-
чал осуществлять в цикле статей «О бесконечных линейных точеч-
ных многообразиях» 65.
Первые три статьи Кантора из указанного цикла (1879—
1882 гг.) содержат немного новых результатов теории множеств.
Зато в них собрано, в некоторой мере обобщено и систематизиро-
вано почти все, что к этому времени было известно о трчечных
множествах. Предшественники Кантора в разработке теории мно-
жеств, как правило, не упоминаются.
В первой же заметке явно формулируется задача изучения то-
чечных множеств и в первую очередь задача их классификации.
Отмечается, что понятие предельной точки применимо не только
к линейным точечным множествам, но и к плоским, пространст-
венным и т. д. (стр. 139). Определяются производные множества
различных конечных порядков и выделяются множества первого
и второго рода, а также всюду плотные множества (стр. 140). Ука-
зывается, что если множество Р всюду плотно в интервале, то его
производное множество Р' не только всюду плотно, но и содержит
все точки интервала, а это позволяет по-иному определить всюду
плотное множество: множество является всюду плотным в интер-
вале, если его производное содержит все точки интервала; что если
Р всюду плотно в (а, Ь), то оно всюду плотно и в любом (а, |3) cz
cz (а, Ь); что всюду плотное множество всегда есть множество
второго рода, а значит, множества первого рода не всюду плотны
(стр. 141).
Далее к точечным множествам применяется общее понятие
мощности и выделяются два класса множеств: счетные и мощ-
ности континуума; вновь доказывается теорема о несчетности
множества точек отрезка (стр. 141—145).
Во второй статье (1880 г.) вводятся основные операции над
множествами точек. В этом чувствуется влияние Дедекинда. Как
65 G. Cantor. Uber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (1878—
1884).—Ges. Abh., S. 139-244.
Ill
и Дедекинд, Кантор в случае Р Q называет Р делителем Q,
a Q — кратным Р; сумму пересекающихся множеств он называет
наименьшим общим кратным или объединенным множеством (Ve-
reinigungsmenge), а для пересечения пользуется терминами «наи-
больший общий делитель» или «пересечение» (Durchschnitt). Вы-
деляется случай суммы непересекающихся попарно слагаемых,
для чего вводится специальный термин «соединение» (Zusammen-
fassung) множеств. Для пересечения и суммы (в обоих случаях)
вводится специальная символика (стр. 145).
Заслуживает внимания четкое введение понятия пустого мно-
жества: «Далее целесообразно иметь знак, который выражает от-
сутствие точек; мы выберем для этого знак 0; Р = 0 означает,
следовательно, что множество Р не содержит ни одной точки,
а значит, строго говоря, совсем отсутствует как таковое (als solche
gar nicht vorhanden ist)» (стр. 146).
Для понятия эквивалентности вводится символ ~ и отмечается,
что если множества {PJ и попарно не пересекаются и тако-
вы, ЧТО Pi ~ Qi, то
г г
Введенное ранее понятие производного множества обобщается
рассмотрением производных множеств трансфинитных порядков.
Производное множество первого трансфинитного порядка опреде-
ляется как пересечение производных всех конечных порядков, его
производное — как производное следующего порядка, и т. д. Тем
самым открывается путь для введения трансфинитных чисел, но
идея этих чисел, видимо, еще не возникает; для обозначения пос-
ледовательных производных множеств трансфинитных по-
рядков Кантор пользуется символами оо, оо + 1, оо + п, ...,
по oov + щ осЛ”1 + ... + nv, ... На стр. 148 приводится пример
точечного множества Р, производное Р°° которого состоит из од-
ной точки.
В третьей* статье (1882 г.) понятия предельной точки, произ-
водного множества, мощности переносятся на множества в п-мер-
ном евклидовом пространстве (стр. 149—152); доказывается тео-
рема, что множество непересекающихся интервалов всего п-мер-
ного пространства не более, чем счетно (стр. 153—-154), а также
теорема о том, что если из n-мерного интервала, п 2, удалить
счетное всюду плотное множество Л/, то оставшееся множество U
«не перестает быть непрерывно связным, т. е., другими словами,
любые две точки N и N' области U всегда можно соединить непре-
рывной линией, которая всеми своими точками принадлежит (7,
так что на ней не лежит ни одной точки М» (стр.154—156). В свя-
зи с последней теоремой Кантор рассматривает вопрос о возможно-
сти непрерывного движения в разрывном пространстве — вопрос,
в это же время обсуждавшийся в переписке с Дедекиндом 66.
66 Briefwechsel, S. 51.
112
9. Исследования точечных множеств
другими математиками (1881 — 1888 гг.)
В рассмотренных работах Кантора но было одного типа мно-
жеств, игравших тогда особую роль в теории интегрирования,
а именно нигде не плотных совершенных множеств, которые, как
мы уже отмечали, получили полезное применение в работах Сми-
та и Дини. В начале 80-х годов этот тип множеств стал объектом
многочисленных исследований ряда математиков — Вольтерра,
Гарнака, Вельтмана, Дюбуа-Раймона, Бендиксона и др. Мы
вкратце остановимся на работах, которые предшествуют работам
Кантора 1883 г., начавшим новый период в истории теории мно«
жеств.
В 1881 г. Вольтерра67, все с той же целью опровержения ут-
верждения Ганкеля об интегрируемости функции с нигде не плот-
ным множеством точек разрыва, строит на интервале (0,1) нигде
не плотное множество положительной меры и, определяя функцию
равенством нулю в точках множества и единице в точках допол-
нения68, показывает ее неинтегрируемость. Для данной функции
он строит аналитическое выражение в виде ряда. Мы не приводим
примера этого множества, так как построение его довольно гро-
моздко. Заметим только, что само множество строится как замы-
кание суммы счетного множества счетных множеств69. Образо-
вание суммы счетного множества бесконечных множеств Вольтер-
ра производит и в другом случае, а именно при обобщении утверж-
дения Ганкеля70 о том, что не существует функции, разрывной во
всех иррациональных точках интервала и непрерывной в рацио-
нальных точках, на случай, когда множество рациональных чисел
заменяется всюду плотным множеством, образованным из счетно-
го множества множеств первого рода.
В том же 1881 г. А. Гарнак71 вводит еще один класс мно-
жеств — так называемые дискретные множества, Ж имеющие
сейчас значительного применения, но широко использованные са-
мим Гарнаком во многих вопросах теории функции. Гарнак назы-
вает точечное множество дискретным, если все точки этого мно-
жества можно заключить в окрестности (интервалы), сумма кото-
67 V. Volterra. Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discon-
tinue.— Giorn. Mat, 1881, 19, 76—87; Opere matematiche, V. 1. Roma, 1954,
p. 7—15.
68 Общего понятия дополнения Вольтерра не вводит. Он просто говорит
обо всех остальных точках интервала (0,1), кроме точек множества.
69 В. Л. Некрасов в своей книге «Строение и мера линейных точечных
областей» (Томск, 1907, стр. 12) не совсем точно излагает построение и
определение меры множества Вольтерра.
70 Н. Н а п к е 1. Untersuchungen uber die oscillirenden und unstetigen
Funktionen.— Math. Ann., 1872, 20, 39.
71 A. H a r n a c k. Die Elemente der Differential- und Integralrechnung.
Leipzig, 1881.
8 Ф. А. Медведев 113
рых может быть сделана сколь угодно малой, причем число окре-
стностей при этом может возрастать сколь угодно, оставаясь, од-
нако, конечным72. Эти множества включают в себя канторовские
множества v-ro вида (с конечным числом последовательных про-
изводных), нигде не плотны и имеют меру нуль. В своей книге
Гарнак полагал, что всякое нигде не плотное множество является
одновременно дискретным (стр. 260). Однако в следующем году73
он осознал неправильность этого утверждения, указав способ по-
строения нигде не плотных совершенных множеств как положи-
тельной, так и нулевой меры.
В последней из указанных работ Гарнак применил понятие
дискретного множества ко многим вопросам. Во-первых, им обоб-
щен ряд классических теорем, например: если о некоторой непре-
рывной функции известно, что она равна константе всюду, за иск-
лючением дискретного множества точек, то она равна этой кон-
станте, и в исключительных точках (стр. 241). Далее, им обобще-
но понятие сходимости тригонометрических рядов: ряд
оо
2 a^sinfe -f- bjecoskx (1)
k=Q
он называет сходящимся вообще, если он сходится всюду, за иск-
лючением дискретного множества точек. Исходя из этого, он дока-
зывает ряд теорем. Например, обобщается теорема Кантора: у схо-
дящегося вообще ряда (1) коэффициенты стремятся к нулю
(стр. 251).
В общем в данной работе Гарнак сделал по отношению к ди-
скретным множествам нечто аналогичное тому, что в начале XX
столетия было сделано по отношению к множествам меры нуль:
введен определенный класс множеств (дискретных) и по отноше-
нию к эти^ множествам рассмотрены многие вопросы дифферен-
цирования, интегрирования, изображения функций тригонометри-
ческими рядами. Теоретико-множественный метод оказался дей-
ственным в теории функций, позволяя, как писал Гарнак, прида-
вать рассматриваемым вопросам «наибольшую общность при отно-
сительной простоте» (стр. 237). Было бы слишком длинно даже
просто перечислить все те теоретико-^функциональные результаты,
которые обобщались и в некотором смысле упрощались даже при
столь ограниченном теоретико-множественном понятии, как ди-
скретное множество. Мы уже указали два из них. Можно также
заметить, что на этом пути Гарнак получил и некоторые ошибоч-
ные результаты. Так, например, он полагал, что ему удалось дока-
зать теорему единственности для тригонометрических рядов
72 В настоящее время термин «дискретное множество» обозначает мно-
жество, состоящее только из изолированных точек.
73 А. Н а г п а с k. Vereinfachung der Beweise in der Theorie der
Fourier’schen Reihe.— Math. Ann., 1882, 19, 235—279.
114
в случае когда множество исключительных точек дискретно
(стп 252___253), что опровергается известным примером
Д Е Меньшова, в котором исключительное совершенное множе-
ство меры нуль, будучи нигде не плотным, является тем самым
множеством Гарнака. Многие из допущенных им ошибок он затем
74
исправил
В том же 1882 г. вышла книга Дюбуа-Раймона «Общая теория
функций» 74 75, в которой был подведен итог его исследованиям по
теории функций. Изложены здесь и многие теоретико-множествен-
ные результаты: сформулированы понятия всюду плотного и ни-
где не плотного множеств (пантахии и апантахии, в терминоло-
гии Дюбуа-Раймона, стр. 148); в нечетко сформулированных оп-
ределениях неограниченных и полных пантахий можно усмотреть
предвосхищение бэровского разделения множеств на множества
первой и второй категории76 (стр. 149); дан способ построения со-
вершенных нигде не плотных множеств как положительной, так и
нулевой меры (стр. 151—152); выделены множества, которые ав-
тор называет интегрируемыми группами и которые совпадают с
дискретными множествами Гарнака77; введено (с ссылкой на Кан-
тора) понятие мощности и подчеркнуто различие между счетны-
ми и несчетными множествами (стр. 157); систематически изло-
жена (последняя глава) теория роста функций; высказано пред-
положение, что мощность множества порядков роста функций
больше мощности линейного континуума (стр. 215—216) 78. Эти
разнообразные теоретико-множественные идеи нашли у Дюбуа-
Раймона широкое применение во многих вопросах теории функ-
ций.
Одновременно были опубликованы две небольшие заметки7^
и одна большая статья80 Вельтмана. Заметки были посвящены
способам построения различных совершенных ’ множеств, а
статья — применениям этих множеств к теории тригонометриче-
ских рядов.
Основным отличием построений Вельтмана от всех предшест-
вующих построений совершенных множеств является то, что он
74 Berichtigung zu dem Aufsatze: «Uber die Fourier’sche Reihe».— Math.
Ann., 1882, 19, 524-528.
75 P. Du Bois-Reymond. Die allgemeine Funktionenlehre. Tubingen,
1882. Здесь использовался французский перевод: Theorie generate des fonc-
tions. Nice, 1887.
76 См.: В. Л. Некрасов. Указ, соч., стр. 14.
77 Об интегрируемых группах и связанном с ними критерии интегри-
руемости по Риману см.: А. Лебег. Интегрирование и отыскание прими-
тивных функций. М.— Л., ГТТИ, 1934, стр. 30—32.
78 Предположение оказалось неправильным; см.: Ё. Borel. Lemons sur
la theorie des fonctions. Paris, 1898, p. 114—119.
79 W. V e 11 m a n. Uber die Anordnung unendlich vieler Singularitaten
einer Funktion.— Z. Math, und Phys., 1882, 27, 176—179; Zur Theorie der
Punktmengen.—Там же, стр. 313—314.
80 W. V e 11 m a n. Die Fouriersche Reihe.— Там же, стр. 139—295.
115
8*
вышел за пределы множеств, заданных на прямой. Во-первых, он
начал рассматривать точечные множества на окружности. В этих
множествах он, следуя Кантору, выделяет бесконечные множества
различных конечных порядков. Он, видимо, не был знаком с рабо-
той Кантора 1880 г. ^вторая из указанных в начале раздела 8 ста-
тей), в которой последний ввел приводимые множества трансфи-
нитных порядков, и указывает, что вопроса о задании множеств
трансфинитных порядков Кантор якобы не касался совсем
(стр. 176). Мы уже видели, что это не совсем так; Кантор ввел
понятие о производных множествах различных трансфинитных
порядков, приведя, правда, только один пример множества с про-
изводным множеством порядка со (если придерживаться более
поздних обозначений Кантора). Вельтман отмечает, что множест-
ва различных трансфинитных порядков представляют особый ин-
терес, так как при помощи них можно строить функции со своеоб-
разными свойствами, которые приходится принимать во внимание
в теории рядов Фурье. Однако фактически он строит на окружно-
сти не бесконечные множества различных трансфинитных поряд-
ков, а совершенные нигде не плотные множества как положитель-
ной, так и нулевой меры. В частности, им построено такое множе-
ство с мерой, равной половине длины окружности.
Во-вторых, он строит первые примеры плоских совершенных
нигде не плотных множеств, приводимые теперь как примеры
плоских дисконтинуумов81. Из заданного квадрата вырезается
крест так, чтобы остались четыре равных квадрата; затем из каж-
дого оставшегося квадрата вырезается еще по кресту, и т. д. В за-
висимости от соотношения длин сторон удаляемых при этом квад-
ратов получаемое плоское совершенное множество может иметь
как меру нуль, так и положительную меру. И хотя к этому време-
ни само понятие меры плоского точечного множества не было
сформулировано, однако Вельтман отчетливо сознает возможность
получения таким путем множеств различной меры, вычисляя фак-
тически внешнюю меру множества. Построенные примеры совер-
шенных множеств используются для задания функций с теми или
иными особенностями (например, с разрывами в каждой точке
множества, стр. 178).
Во второй из указанных заметок примеры множеств несколько
упрощаются и, кроме того, устанавливается то свойство совершен-
ных множеств (линейных и плоских), что каждая их точка явля-
ется предельной.
Целесообразно рассмотреть здесь четвертый раздел упомяну-
той выше работы Кантора «О бесконечных линейных точечных
многообразиях», опубликованный в 1883 г.82 Видимо, первона-
81 См., например: Н. Н. Лузин. Теория функций действительного пере-
менного. М., Учпедгиз, 1948, стр. 212.
82 G. Cantor. Ges. Abh., S. 157—164.
116
чально он был задуман как заключительный для данного цикла
статей. Действительно, Кантор начинает его следующими словами:
«В заключение предыдущего изложения (т. е. трех первых разде-
лов, рассмотренных выше. — Ф. М.) следует теперь сформулиро-
вать и доказать новые теоремы, которые как представляют инте-
рес сами по себе, так и полезны в теории функций» (стр. 157).
Содержание данной заметки естественно примыкает к трем преды-
дущим, чего нельзя сказать о пятом разделе, который был опубли-
кован в том же году (о нем мы будем говорить несколько далее)
и который, по-видимому, еще не предполагал писать сам Кантор
во время создания им четвертого раздела.
Из содержания последнего отметим прежде всего введение но-
вой теоретико-множественной операции — вычитания множеств,
правда, только для случая, когда одно множество содержится в
другом. Далее, здесь же введен новый класс множеств, которые
Кантор назвал изолированными точечными множествами (isolier-
te Punktmenge) и которые он определил так: точечное множество
Q называется изолированным множеством, если QQ' = 0, где Q' —
первое производное Q. Другими словами, это такое множество, ко-
торое не содержит ни одной предельной точки. Это относительно
узкий класс точечных множеств, не получивший сколько-нибудь
значительного применения. Сам Кантор сформулировал и доказал
только одну теорему о них: каждое из них счетно (стр. 158—159k
Затем доказан ряд теорем о счетности некоторых типов введен-
ных им множеств: о счетности всякого множества Р, производное
которого Р' счетно; о счетности всякого множества первого рода
v-ro вида; о счетности всякого множества Р второго рода, произ-
водное Ра которого счетно, где а — любое трансфинитное число вто-
рого числового класса. Сами трансфинитные числа здесь еще спе-
циально не вводятся83, в формулировке теоремы речь идет о бес-
конечных символах (Unendlichkeitssymbole), о которых мы гово-
рили выше.
К этому времени Кантор ознакомился с идеей меры точечных
множеств в работах Дюбуа-Раймона и Гарнака84 и доказал тео-
рему, что всякое множество, производное которого счетно, имеет
меру нуль. Доказательство излишне усложнено.
10. Новый этап исследований Кантора
по теории множеств
Начало нового этапа в развитии теории множеств можно дати-
ровать опубликованием пятого раздела неоднократно упоминав-
шегося цикла статей Кантора «О бесконечных линейных точечных
83 Это еще один довод в пользу предположения о неожиданности для
Кантора следующего раздела его статьи, где трансфинитные числа вводятся
вполне определенно.
84 На это он указывает на стр. 160.
117
многообразиях». Данный раздел был напечатан под № 5 в 21 томе
Mathematische Annalen в 1883 г. и в том же году он вышел в виде
отдельной книги под названием «Основы общего учения о много-
образиях» 85.
Мы уже говорили, что написание этой работы было, видимо,
неожиданным для самого Кантора, и подтвердили это предположе-
ние отличием содержания и осознанным введением трансфинит-
ных чисел. Сказанное, однако, не означает, что Кантор не гото-
вился к ее написанию до 1883 г. Понятие бесконечности, видимо,
занимало его давно, и он внимательно изучил многое из написан-
ного по этому вопросу другими, о чем свидетельствует большой
библиографический матеоиал, привлеченный Кантором в данной
работе. Неожиданность состоит в том, что в этот момент в уме
Кантора слились два потока идей, один из которых был чисто ма-
тематического содержания, а другой — философского. Результа-
том этого слияния и явились «Основы общего учения о многооб-
разиях», отличающиеся и по своей форме от предшествующих ста-
тей указанного цикла.
Все рассмотренные до сих пор работы Кантора по стилю не
отличаются от обычных математических исследований XIX столе-
тия. Совершенно четко ставились вопросы и давались на них опре-
деленные ответы, причем все это имело общепринятую математи-
ческую форму. Этого нельзя сказать об «Основах общего учения
о многообразиях». Это, скорее, философское сочинение с матема-
тическим уклоном. Да и подзаголовок его таков: «Математически-
философский опыт в учении о бесконечном».
Многие теоретико-множественные понятия здесь лишь намече-
ны, поставлены отдельные проблемы, иногда без намеков на их
решение, некоторые теоремы сформулированы без доказательств.
Писал его Кантор, имея в виду «...двоякого рода читателей — с
одной стороны, философов, которые следили за развитием матема-
тики вплоть до новейшего времени, а с другой — математиков, ко-
торые знакомы с важнейшими фактами древней и новой филосо-
фии...» (стр. 1—2). И это обращение в первую очередь к филосо-
фам также характеризует указанную работу.
Здесь Кантор поставил перед собой задачу чрезвычайной слож-
ности: во-первых, осмыслить философское содержание понятия
бесконечности; во-вторых, найти математические средства для
описания этого понятия.
Понятие бесконечности с древнейших времен и до наших дней
было объектом размышлений самых различных ученых. По этому
вопросу написано много книг и статей, но сколько-нибудь твердо
установившихся мнений о нем не существует.
85 G. Cantor. Grundlagen einer Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.—
Ges. Abh., S. 165—208. Русский перевод: Г. Кантор. Основы учения о мно-
гообразиях— Новые идеи в математике, № 6. СПб., 1914. Далее в тексте
страницы указываются по русскому переводу.
118
У нас нет возможности останавливаться на истории этого во-
проса, тем более, что по нему существует довольно значительная
литература86. Несомненно одно, что в ряду мыслителей, занимав-
шихся проблемой бесконечности, Кантор занимает особое поло-
жение. Никто до него л после не сделал так много для завоева-
ния человеческим духом той terra incognita, которая тысячелетия
привлекает пытливых мыслителей. Никто не брался с такой сме-
лостью и не тратил столько сил на решение проблемы бесконеч-
ности. Видимо, это напряжение было одной из причин того, что в
1884 г. Кантор серьезно и надолго заболел.
Сам Кантор хорошо сознавал всю трудность этой проблемы:
«Я отлично знаю, что рассматриваемая мною тема была во все
времена объектом самых различных мнений и толкований и что
ни математики, ни философы не пришли здесь к полному согла-
сию. Поэтому я очень далек от мысли, что я могу сказать послед-
нее слово в столь трудном, сложном и всеобъемлющем вопросе,
как проблема бесконечности. Но так как многолетние занятия этой
проблемой привели меня к определенным убеждениям и так как
в дальнейшем ходе моих работ эти последние не поколебались, но
лишь укрепились, то я счел своей обязанностью систематизировать
их и опубликовать» (стр. 2).
Относительно истории понятия бесконечности здесь следует
еще раз повторить одно общее замечание. До XIX в. преоблада-
ющим представлением, связанным с этим понятием, было пред-
ставление о бесконечной величине, мыслимой по преимуществу
заданной потенциально и реже в виде актуально бесконечной в е-
личины. С самого начала XIX столетия во все возрастающем
объеме в математике начали появляться бесконечные множества
самой разнообразной природы (чисел, точек, линий, функций и
т. д.). Термин «величина», широко используемый математиками и
до сегодняшних дней, до сих пор вне той или иной системы аксиом
не имеет четкого математического содержания. Понятие множест-
ва является более отчетливым, видимо, по той причине, что по
своему содержанию оно очень близко к логическому понятию клас-
са (в конечном случае это просто одно и то же, для бесконечно-
го— вопрос спорен), которое вошло в обиход всего научного
мышления по крайней мере со времени Аристотеля. Многие соот-
ношения между множествами просто совпадают с соотношения-
ми между классами в логике, о чем будет речь в соответству-
ющем месте. Видимо, это, особенно плодотворное применение по-
нятия о множестве, способствовало в какой-то мере успеху имен-
но теории множеств, и в частности успеху Кантора.
Однако наряду с бесконечными множествами у математиков
XIX в. все же существовало традиционное представление о бес-
86 См., например: J. Cohn. Geschichte des Unendlichkeitsproblems im
abendlandischen Denken bis Kant. Leipzig, 1896; L. Brunschvicg. Les
etapes de la philosophie mathematique. Paris, 1912.
119
конечной величине. Это представление, как мы видели, преоблада-
ло у де Моргана и в значительной степени имелось у Больцано.
Сказалось оно и у Кантора: поясняя различие между потенциаль-
ной и актуальной бесконечностями (стр. 3—4), он в первом слу-
чае речь ведет именно о бесконечных величинах, а во втором —
просто о бесконечном. Однако в примечании к первым словам пер-
вого параграфа он прямо' говорит, что словами «учение о многооб-
разиях» он обозначает учение о множествах (стр. 69). Это смеше-
ние было не случайно. Желая оттенить различие между актуальной
и потенциальной бесконечностями и в то же время подчеркнуть,
что в его исследованиях речь идет именно о теории множеств, Кан-
тор в какой-то мере вынужден был прибегнуть к этому приему,
во-первых, по традиции, а во-вторых, и это более правдоподобно,
поскольку понятие потенциальной бесконечности вряд ли можно
пояснить в рамках канторовских теоретико-множественных пред-
ставлений.
Основной целью своей работы Кантор ставит обобщение поня-
тия целого числа до понятия трансфинитного числа. «Это расши-
рение понятия числа носит настолько принудительный характер,
что без него мне вряд ли будет возможно сделать свободно хотя
бы маленький шаг вперед в учении о множествах» (стр. 3). Прак-
тически данное расширение им было осуществлено еще ранее, при
исследовании понятия производных множеств бесконечных поряд-
ков. Однако там это было побочным результатом, в то время как
здесь это главная цель. Цель же введения трансфинитных чисел —
дать математический аппарат, приспособленный для описания ак-
туально бесконечных множеств.
Говоря об этом, нельзя не коснуться, хотя бы вкратце, фило-
софских установок Кантора. Прежде всего Кантор является объ-
ективным идеалистом платоновского направления. Хотя он и при-
числял себя к сторонникам «умеренного аристотелевского реализ-
ма» 87, но эта умеренность относится к пересмотру материалисти-
ческих элементов философии Аристотеля в сторону приближения
к платонизму. Мир идей для Кантора объективно существует и
познается человеком в понятиях общего характера. Одна из таких
идей — идея актуальной бесконечности, выражаемая в понятии
бесконечного множества. Актуальная бесконечность есть идея, су-
ществующая объективно и являющаяся промежуточной между
конечным и абсолютно бесконечным. Она не едина и не тождест-
венна сама с собой, а проявляется в бесконечном многообразии
различных бесконечных множеств. Свойства этих бесконечно раз-
личных актуально бесконечных множеств могут быть охарактери-
зованы математическими средствами. Но для выражения этих
свойств недостаточно обычных чисел. Их природа иная, поэтому
требуются и новые числа — трансфинитные. Изучение способов
87 G. С a n t о г. Ges. Abh., S. 382.
120
получения этих чисел, исследование свойств последних и исполь-
зование их для выяснения других свойств бесконечных мно-
жеств — таков математический предмет рассматриваемой работы
Кантора.
Одна из основных характеристик множеств — их мощность.
И значение введения трансфинитных чисел Кантор видел прежде
всего в том, что при их помощи можно будет отчетливее сформу-
лировать и глубже развить понятие мощности (стр. 6). Содержа-
ние этой мысли Кантор раскрывает следующим образом.
В случае конечных множеств понятие мощности совпадает с
понятием натурального числа. Тем самым понятие мощности для
конечных множеств может быть исчерпывающе охарактеризовано
положительными целыми числами, которые Кантор объединяет в
первый числовой класс.
Простейший класс бесконечных множеств образуют множест-
ва, которые можно поставить во взаимнооднозначное соответствие
с первым числовым классом и которые тем самым все имеют одну
и ту же мощность, равную мощности чисел первого числового
класса.
«До сих пор не было столь же простого и естественного опре-
деления высших мощностей» (стр. 7). Такое определение Кантор
дает при помощи трансфинитных чисел второго числового класса.
Трансфинитные числа Кантор получает путем некоторых кон-
структивных определений, а именно посредством «принципов по-
рождения». Таких принципов три. Образование конечных целых
чисел, или чисел первого класса, основывается на прибавлении
единицы к имеющемуся числу. В соответствии с этим принципом
мы получаем последовательность возрастающих натуральных чи-
сел. Эта последовательность вполне определена и может быть
мыслима как некоторое актуальное множество. С помощью перво-
го принципа новых чисел получить нельзя, так как у данной по-
следовательности нет последнего элемента или наибольшего чис-
ла (стр. 53). Но «...с другой стороны, нет ничего нелепого в том,
чтобы вообразить себе некоторое новое число — назовем его со,—
которое должно быть выражением того, что нам дана, согласно
своему закону, в своей естественной последовательности вся сово-
купность I (т. е. множество всех чисел первого класса.— Ф. 71/.)»
(стр. 53—54). Это число, так сказать, непосредственно следует за
всеми числами первого класса, что Кантор и кладет в основу вто-
рого принципа порождения, используя при этом одно свойство
классического предела.
Понятие предела t монотонно возрастающей последовательно-
сти чисел выступает в двух формах:
1) во-первых, t является пределом {ап}, если разность t — ап
делается сколь угодно малой с ростом п\
2) во-вторых, t наименьшее из чисел, больших каждого из ап.
Эту вторую форму представления о пределе Кантор использует
121
для определения первого трансфинитного числа со; это число, наи-
меньшее из всех чисел, больших любого натурального числа, по-
добно тому как У2 есть наименьшее из чисел, больших всякого
члена последовательности его рациональных приближений по
недостатку. Конечно, здесь имеется различие, заключающееся в
том, что разность между ]/2 и его приближенным значением может
быть сделана сколь угодно малой, тогда как разность между о) и
любым, сколь угодно большим, натуральным числом остается
сколь угодно большой. «Но это различие нисколько не меняет
того обстоятельства, что со _следует считать столь же определен-
ным и законченным, как ]/2, и не меняет также того, что со со-
держит в себе столь же мало следов стремящихся к нему чисел v
(т. е. натуральных чисел.— Ф. М.), как У2 содержит что-нибудь
ют рациональных приближенных дробей» 88. Ничего особо необыч-
ного в этом числе для Кантора нет. Подобно тому как для f2 мы
можем указать точку на числовой прямой, так и для числа со мож-
но построить такое бесконечное множество точек прямой, что его
производные любых конечных порядков существуют, существует
и производное множество порядка со, но следующее производное
множество уже не содержит ни одной точки.
Следующие за со трансфинитные числа получаются с помощью
первого принципа — прибавлением единицы: со + 1, со + 2, ...,
<о + тг,... Число, следующее за всеми числами этого ряда, получа-
ются применением второго принципа: трансфинитное число со2
есть наименьшее из всех чисел, больших чисел вида со + тг, пре-
дел последовательности этих чисел, и т. д.
Так Кантор получает трансфинитные числа второго класса. Он
«считает, что всякое число а второго класса может быть построено
или путем прибавления единицы к некоторому числу второго клас-
са, меньшего а, или же с помощью перехода к пределу возраста-
ющей последовательности чисел первого и второго числовых клас-
сов, меньших этого а.
С помощью указанных двух принципов Кантор получает бес-
конечно много чисел второго числового класса. Однако он замеча-
ет, что каждое определенное таким образом число является ха-
рактеристическим числом для счетных множеств. Между тем ему
уже известны несчетные множества (например, множество дейст-
вительных чисел отрезка). Следовательно, построенных им транс-
финитных чисел второго класса недостаточно для выполнения той
операции, которая хорошо выполнялась при посредстве чисел пер-
вого класса,— операции «пересчитывания» элементов конечных
множеств. Поэтому он вводит третий принцип — принцип задерж-
ки или ограничения (Hemmungs oder Beschrainkungsprinzip):
построение совокупности чисел с помощью первых двух принци-
88 G. Cantor. Ges. Abh., S. 395.
122
лов считается завершенным, когда множество этих чисел стано-
вится множеством с мощностью, большей, чем счетная. После это-
го можно идти далее.
«...Если мы предварительно бросим взгляд назад и рассмотрим
то средства, которые привели к расширению понятия о реальном
целом числе, так и к новой, отличной от первой, мощности строго
определенных множеств, то мы увидим, что это были три выдаю-
щихся, отличающихся друг от друга логических момента. Это оба
вышеопределенных принципа порождения и присоединяющийся
к ним принцип стеснения или ограничения, состоящий в требова-
нии, чтобы приступать к созданию нового целого числа с по-
мощью одного из двух других принципов лишь тогда, когда сово-
купность всех предшествующих чисел обладает мощностью неко-
торого определенного, данного уже во всем своем объеме числово-
го класса. Этим путем, соблюдая три эти принципа, можно прийти
с величайшей уверенностью и очевидностью ко все новым число-
вым классам, а вместе с ними ко всем встречающимся в телесной
и духовной природе различным, последовательно возрастающим
мощностям. Получающиеся при этом новые числа представляют
решительно всегда ту же самую конкретную определенность и
предметную реальность, что и прежние числа. Я поэтому, право,
не знаю, что могло бы удержать нас от процесса создавания новых
чисел, раз оказывается, что введение в рассмотрение одного како-
го-нибудь из этих новых бесчисленных числовых классов стало
желательным или даже необходимым для прогресса науки»
(стр. 60—61).
Теперь, после создания различных классов трансфинитных чи-
сел, понятие мощности получает новый смысл. Если счетные мно-
жества имеют мощность первого числового класса, то естественно
приписать следующую мощность всем числам второго числового
класса, следующую мощность — множеству чисел третьего число-
вого класса и т. д. Тем самым получается шкала последователь-
ных увеличивающихся мощностей, причем Кантор доказывает,
что мощность множества всех чисел второго числового класса
представляет собой фактически ближайшую к счетной большую
мощность, т. е. что не существует множеств промежуточной мощ-
ности (стр. 61—63).
В этой работе дается, далее, очерк действий над числами вто-
рого числового класса, выделяются «простые» трансфинитные чис-
ла, числа первого и второго рода, определяются действия над
трансфинитными числами, представимыми в . форме +
+ + ... + vn. Доказывается частный случай теоремы Канто-
ра — Бернштейна: если М — множество второй мощности, а М' cz
cz М и М" cz М' таковы, что М" ~ М, то w М' ~ М\ высказывает-
ся предположение, что эта теорема справедлива для любой бес-
конечной мощности, — предположение, доказанное значительно
позднее.
123
Важным моментом рассматриваемой работы является введение
Кантором понятия вполне упорядоченного множества. «Под впол-
не упорядоченным множеством следует понимать всякое строго
определенное множество, где элементы связаны между собою не-
которой определенной, наперед заданной последовательностью
(succession), согласно которой существует первый элемент множе-
ства и за каждым отдельным элементом (если только он не по-
следний в ряду) следует определенный другой элемент, а также к
любому конечному или бесконечному множеству элементов при-
надлежит некоторый определенный элемент, представляющий бли-
жайший, следующий за всеми ними, элемент в последовательности
(исключая случай, когда вообще не существует следующего за
всеми ними в последовательности элемента)» (стр. 8).
Это очень расплывчатое определение все же позволило Канто-
ру подойти к понятию подобного отображения (стр. 8), наметить
связь вполне упорядоченных множеств с трансфинитными числа-
ми (стр. 11—12) и оттенить еще с одной стороны различие меж-
ду конечными и бесконечными множествами (стр. 9). Более точ-
ные формулировки всех этих вопросов были даны Кантором зна-
чительно позднее. К ним мы еще возвратимся.
Важной для последующего развития теории точечных мно-
жеств была четкая математическая формулировка понятия конти-
нуума. Это понятие и до Кантора рассматривалось мыслителями
различных эпох и народов и вызывало у них серьезные различия
в мнениях и споры. Однако всем этим спорам свойственна одна
общая черта, делающая их в некотором смысле беспредметными.
Как справедливо отметил Кантор, «...лежащая в его (т. е. конти-
нуума.— Ф. М.) основе идея получила в своем проявлении у спо-
рящих различное содержание, так как ими не было передано точ-
ное и полное определение понятия...» (стр. 45).
Первое строгое определение континуума, пригодное для после-
дующих математических исследований, было предложено именно
Кантором. Для того чтобы сформулировать его, Кантору пришлось
ввести два новых понятия — понятия совершенного и связного
множеств.
Мы уже видели, что совершенные множества начиная со Сми-
та (1875 г.) прочно вошли в обиход математиков. Однако до рас-
сматриваемой работы Кантора не существовало общего определе-
ния понятия совершенного множества. Такое определение, приня-
тое и сейчас89, предложил Кантор: множество точек, производное
которого совпадает с самим множеством, называется совершен-
ным.
Точно так же свойство связности континуума было достаточно
широко известно в математике. Больцано даже пытался опреде-
89 См., например: И. П. Натансон. Теория функций вещественной
переменной. М., ГИТТЛ, 1957, стр. 41.
124
«лить континуум просто как связное множество 90, не давая, однако,
четкого определения связности. Кантор дает общее определение
связности: «Мы называем Т связным точечным множеством, ког-
да для любых двух точек t и t' при данном наперед произвольно
малом числе е имеется всегда несколькими способами конечное
число точек t\, ..., tv в Т, таких, что расстояния tt\, t}t2, ..., tvt'
все.меньше, чем е» (стр. 52).
Это определение носило метрический характер, тогда как те-
перь понятие связности предпочитают давать без понятия расстоя-
ния. Неудовлетворительность определения Кантора в этом смысле
критиковал Пирс91. Однако и в форме Кантора определение связ-
ности оказалось полезным. После введения понятий совершенно-
го и связного множеств континуум определяется как связное
совершенное множество (стр. 52).
Из других математических результатов, полученных здесь
Кантором, упомянем введение общего понятия приводимого мно-
жества, т. е. такого множества, что существует число а первого
или второго числового класса, такое, что Р(а) = 0; формулировку
не доказанной до сих пор теоремы, что мощность множества всех
точек интервала равна мощности множества всех трансфинитных
чисел II класса; одну неточно сформулированную теорему и три
теоремы о точечных множествах, о которых речь будет далее.
Остальное содержание «Основ общего учения о многообрази-
ях», если не считать краткого изложения и сравнения теорий дей-
ствительных чисел Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора, посвя-
щено скорее философским, чем математическим аспектам рассмат-
ривавшихся там вопросов. Не касаясь этого, мы отметим лишь на-
личие многих остроумных, порой глубоких замечаний, сделанных
Кантором в связи с защитой им учения о множествах.
«Основы общего учения о многообразиях» были большой вехой
в научном творчестве Кантора и в истории математики вообще.
Здесь впервые совершенно отчетливо поставлена задача создания
самостоятельного учения о множествах произвольного вида, кото-
рое сам автор считал чрезвычайно обширной дисциплиной и кото-
рое до этого разрабатывалось лишь в частных формах учений об
арифметических, геометрических или алгебраических множествах.
Вполне естественно, что при первоначальном подступе к разра-
ботке такой теории нередко еще отсутствовали четкие и строгие
определения и теоремы, что многие утверждения не были доказа-
ны, а ставились лишь в виде проблем. Сам Кантор, видимо, еще
чувствует себя не совсем привычно в сфере новых, гораздо более
абстрактных теорий, и потому часто переходит к более конкрет-
ным точечным множествам. После написания «Основ» он опять
возвращается к теории точечных множеств.
90 Б. Больцано. Парадоксы бесконечного. СПб., 1914, § 38.
91 См. об этом: Muray G. Murphey. The development of Peirce’s philo-
sophy. Harvard, 1961; p. 284.
125
11. Продолжение систематической разработки
теории точечных множеств
«Основы общего учения о многообразиях» не только оказались
важной вехой в разработке теории абстрактных множеств, но и
явились серьезным стимулом для исследований по теории точеч-
ных множеств как самого Кантора, так и некоторых других мате-
матиков.
Как мы только что сказали, в «Основах» Кантор упомянул о
трех теоремах относительно точечных множеств — теоремах А
(счетное множество точек не может быть совершенным), В (мно-
жество Р, производное Р(а> которого, если а какое-либо число пер-
вого или второго класса, обращается в нуль, не более чем счетно)
и С (если Р таково, что Р' счетно, то существует число а первого
или второго классов, такое, что Р^а} = 0, и среди этих а есть наи-
меньшее). Доказательству этих теорем посвящена его заметка
«О различных теоремах теории точечных множеств, расположен-
ных в п-мерном пространстве» 92, появившаяся в том же 1883 г.г
что и «Основы».
Выше мы отметили, что в «Основах» же Кантор сформулиро-
вал без доказательства теорему о том, что если в тг-мерном евклидо-
вом пространстве задано точечное множество Р, производное Р'
которого несчетно, то Р' единственным образом представимо в виде
Р' = В + 5,
где S совершенно, a R приводимо. В конце заметки Кантор
указал, что теорема в таком виде ошибочна и что ее исправил
И. Бендиксон в письме к Кантору.
Выдержка из письма Бендиксона в том же году была опуб-
ликована в виде статьи «Некоторые теоремы из теории мно-
жеств» 93. В ней Бендиксон перед исправленной формулировкой
теоремы привел пример точечного множества, опровергающий
утверждение Кантора 94. После этого им доказаны такие теоремы:
D (если Р' несчетно, то существуют точки, которые принадлежат
всем Р^\ где у пробегает все числа первого и второго классов) г
Е (если Р^ — множество всех точек теоремы D, то Р^ совер-
шенно; здесь Q — первое число третьего класса), F (если R =
= Р' — Р&\ то R не более чем счетно), G (существует число у
первого или второго классов, такое, что R • = 0) 95. Эти тео-
92 G. С a n t о г. Ges. Abh., S. 247—251.
93 J. В e n d i x о n. Quelques theoremes de la theorie des ensembles.—
Acta math., 1883, 2, 415—419.
94 На нем мы не останавливаемся, так как его построение довольно
длинно.
95 Буквы D, Е, F, G продолжают обозначения Кантора в предыдущей
работе.
126
ремы позволяют ему правильно сформулировать и доказать одну
из самых основных теорем теории точечных множеств, известную
теперь под названием теоремы Кантора — Бендиксона. Приведем
формулировку Бендиксона (стр. 419): «Если Р есть множество то-
чек, расположенных в непрерывном пространстве п измерений,,
и если Р' имеет мощность большую первой, то я всегда смогу раз*
делить его единственным образом
Р' = R + S,
где S совершенное множество, a R есть множество первой мощ-
ности и таково, что всегда существует такое у, что
D(R, 7?м) = 0».
Эта формулировка отличается от современной, о чем мы скажем
несколько далее.
В ответном письме Кантор, как это следует из опубликованно-
го письма Бендиксона, сообщил последнему, что аналогичные ре-
зультаты он получил и сам. Наряду с ними Кантор получил и
другие, что вместе составило шестой раздел его не раз уже упоми-
навшейся работы «О бесконечных линейных точечных многообра-
зиях».
Видимо, и этот раздел не был первоначально запланирован в
данном цикле статей, так как его содержание выходит за рамки
общего названия: речь здесь идет преимущественно о множествах
в /г-мерном пространстве. Но результаты, найденные в «Основах
общего учения о многообразиях», позволяли получить много ново-
го и о точечных множествах. Кромке того, к этому времени Кантор
ознакомился с исследованиями других математиков, в частности
с исследованиями о мере, которые представлялось возможным сис-
тематизировать и обобщить. Все это дало повод к дополнению пер-
воначального цикла статей новым разделом, опубликованным в
1884 г. в тех же Mathematische Annalen 96.
Начинается он одной общей теоремой, лежащей в основе ши-
роко распространенного метода доказательств многих теорем су*
ществования теории функций. Для множеств в п-мерных евклидо-
вых пространствах Кантор сформулировал ее так: «Если И — ка-
кая-либо полностью лежащая в конечном часть Gn (через Gn
Кантор обозначает тг-мерное пространство.— Ф. 71/.), а Р — содер-
жащееся в Н точечное множество, обладающее свойством у, те
существует по крайней мере одна точка g из Н такая, что если
Кп — шар с центром g, то та часть Р, которая попадает в область
Л\, всегда обладает свойством у, сколь бы малым ни предполагал*
ся радиус круга Кп» (стр. 211).
96 G. С a n t о г. Ges. Abh., S. 210-244.
127
Теорема доказывается обычным теперь методом деления Н на
конечное число частей, выбора одной из частей Н, обладающей
свойством у, затем деления выбранной части на конечное число
частей, и т. д. Перед формулировкой теоремы делается предполо-
жение, что свойство у таково, что, во-первых, оно сохраняется по
крайней мере для одного из подмножеств Р при разбиении Н на
конечное число частей и что, во-вторых, если Р, содержащееся в
€гп, обладает свойством у, a Q — любое другое точечное множество
в Gn, не пересекающееся с Р, то множество Р + Q также обладает
свойством у.
Первое условие вполне естественно. Что касается второго, то
оно любопытно тем, что если множество Р не замкнуто, то при
соблюдении только первого условия доказываемая теорема вооб-
ще не справедлива. Требованием, чтобы свойство у, которым об-
ладает Р, сохранялось и для Р + Q при любом Q cz Gn, обеспе-
чивается включение в рассмотрение предельных точек Р. Во-
обще же оно становится излишним, если потребовать замкнуто-
сти Р. Отсутствие в теории точечных множеств общего понятия
замкнутого множества и вынудило Кантора сделать данную пред-
посылку.
Метод доказательства приведенной выше теоремы, а затем
применение ее к доказательству других математических предло-
жений не были новыми, и сам Кантор указал (стр. 212), что им
пользовались Лагранж, Лежандр, Дирихле, Вейерштрасс и Боль-
цано97. В примечании к этой теореме (стр. 244—245) Цермело от-
метил, что свойство, выражаемое этой теоремой, позднее было вве-
дено Пеано под названием «дистрибутивное свойство» и получило
дальнейшее распространение в. математических кругах. При этом
Цермело ссылался на немецкий перевод книги Дженокки — Пеано
«Дифференциальное исчисление и основные теоремы интегрально-
го исчисления»98. Добавим, что в 1887 г. Пеано99 доказал эту же
теорему без второго условия Кантора, но с оговоркой, что искомая
точка g принадлежит или рассматриваемому множеству, или его
замыканию.
В отличие от Кантора, применившего свою теорему для дока-
зательства ряда других теорем теории точечных множеств, Пеано
воспользовался ею для доказательства некоторых теорем сущест-
вования теории функций.
Не будем останавливаться на первых теоремах Кантора, со-
держащихся в данной работе, так как о большинстве мы уже го-
97 Последние двое ученых этим методом доказывали, например, теорему
о существовании предельной точки у бесконечного множества.
98 A. Genoccni, G. Peano. Differentialrechnung und Grundsatze der
Integralrechnung. Leipzig, 1899, S. 878 ff. Итальянское издание этой книги
вышло в 1884 г.
99 G. Peano. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. Torino,
-1887, p. 164—165.
128
ворили. В частности; теорема D Кантора представляла собой не
что иное, как соединение в одну теорему D и Е Бендиксона; тео-
рема Е являлась исправленным Бендиксоном вариантом первона-
чальной канторовской формулировки предложения о разложимо-
сти несчетного Р' на совершенное и приводимое множества с тем,
однако, изменением, что условие R • Z?(Y) = 0 сформулировано в
виде отдельной теоремы G с указанием о принадлежности ее Бен-
диксону.
В предшествующих результатах по теории точечных множеств
недоставало одного важного понятия, и его отсутствие сказыва-
лось на формулировках и доказательствах теорем. В частности,
теорема Кантора — Бендиксона имела несколько необычную фор-
му: в ней речь шла о разложении производного Р' некоторого мно-
жества Р, причем последнее по-существу не фигурировало ни
в содержании, ни в доказательстве теоремы 10°. Эта теорема не-
справедлива для произвольных несчетных точечных множеств,
поэтому ощущалась потребность в выделении особого класса мно-
жеств, обладающих, наряду с прочими, свойством, сформулирован-
ным в этой теореме.
Такой класс множеств был выделен Кантором в § 17 того же
шестого раздела работы «О бесконечных линейных точечных мно-
гообразиях» с целью, как он пишет, дополнить теоремы преды-
дущих параграфов100 101. Именно здесь впервые было введено об-
щее понятие замкнутого множества. Перед этим Кантор обобщил
понятие суммы точечных множеств на случай пересекающихся
слагаемых и указал на дистрибутивность операции дифференци-
рования множеств относительно конечного их сложения.
Замкнутое множество он определил как такое множество Р,
что Р' cz Р 102 или, что то же самое, Р • Р' = Р. В качестве при-
мера приводится множество особых точек аналитической функции
(стр. 226).
Вслед за этим доказывается теорема, что всякое производное
множество является замкнутым, и, наоборот, всякое замкнутое
множество может быть представлено как производное некоторого
множества (причем бесчисленно многими способами). Тем самым
устанавливается, что фигурировавшее в предыдущих теоремах
производное Р' некоторого множества Р есть не что иное, как
замкнутое множество. В соответствии с этим перефразируются
некоторые из предыдущих теорем, в частности, теорема Канто-
ра — Бендиксона принимает современную формулировку.
100 Современная ее формулировка такова: «Всякое несчетное замкнутое
множество F представимо в виде F = Р + D, где Р совершенное, a D не бо-
лее, чем счетное множество». Доказательство см., например, в кн.: И. П. Н а-
т а н с о н. Теория функции вещественного переменного. Изд. 2. М., ГИТТЛ,
1957, стр. 61.
101 G. С a n t о г. Ges. Abh., S. 225.
102 Кантор, употребляя терминологию Дедекинда, пишет здесь, что Р'
является делителем Р.
9 Ф. А. Медведев
129
После этого вводится понятие всюду плотного в себе множе-
ства и указывается отличие этого понятия от понятия всюду плот-
ного множества, введенного им и другими математиками еще ра-
нее ('стр. 228—299). Плотное в себе множество он определяет как
такое множество, которое содержится в своем производном мно-
жестве.
До 1884 г. Кантор не касался одной важной стороны учения
о множествах, а именно теории меры, хотя к этому времени воз-
никла настоятельная потребность в понятии меры точечного мно-
жества. Эту потребность ощущали многие математики и, как мы
видели, с большим или меньшим успехом брались за разработку
понятия меры; после Ганкеля (1870 г.) эти исследования продол-
жены Смитом, Вольтерра, Гарнаком, Дюбуа-Раймоном, Вельтманом.
Как и в большинстве других вопросов теории точечных мно-
жеств, подход Кантора к теории меры отличался от подхода дру-
гих математиков значительно большей четкостью в основных оп-
ределениях и, главное, общностью постановки вопроса. Если все
математики, начиная от Ганкеля и кончая Вельтманом, к про-
блеме меры подходили с узко утилитарных позиций — преимуще-
ственно для решения вопроса об интегрируемости функций, то
Кантор начинает § 18 шестого раздела «О бесконечных линейных
точечных многообразиях» с постановки цели примерно в той же
общности, как она формулируемся и теперь, правда, с большей ка-
тегоричностью: «Всякому точечному множеству Р внутри Gn, без-
различно непрерывному или разрывному, соответствует
определенная неотрицательная числовая величина, которую мы
будем называть его мерой (ihren Inhalt) или его объемом
относительно его участия (Teilnemerschaft) в плос-
ком /i-мерном пространстве Gn или, как мы будем вы-
ражаться короче, относительно Gn>> (выделено везде Кан-
тором,— Ф. М.) 103.
В этих словах выражена убежденность Кантора в том, что
такое неотрицательное число можно приписать всякому точечно-
му множеству в n-мерном пространстве. Мы знаем теперь, что эта
задача довольно сложна, если не ограничиваться каким-либо три-
виальным и бесполезным случаем. Далее Кантор продолжает:
«Эта числовая величина во всех случаях, когда говорили об объе-
мах или мере (а именно, когда Р является частью Gn, состоящей
из одного или нескольких кусков Gn), равна ^кратному инте-
гралу
dxr dx2 . .. dxn,
причем интегрирование распространяется на все соответствую-
щие пространственные части Р104. Однако она имеет определен-
103 G. Cantor. Ges. Abh., S. 229.
104 Как мы видели, это не совсем так, поскольку указанные авторы
применяли понятие меры и к более сложным множествам.
130
ный смысл и единственное значение во всех остальных случаях».
Эту числовую величину Кантор обозначает символом J (Р in Gn)
или просто J (Р) и определяет ее следующим образом.
Пусть Р — произвольное точечное множество, все точки кото-
рого расположены в конечной части Gn, и требуется приписать
ему некоторое неотрицательное число в качестве меры. Замыкаем
Р, образуя множество Р + Р', и вокруг каждой точки р Р + Р'
описываем n-мерную сферу некоторого фиксированного радиуса
р с центром в р, Теоретико-множественная сумма этих сфер 105
представляет собой точечное множество, образованное конечным
числом кусков пространства Gn, причем каждый из этих кусков
есть замкнутый n-мерный континуум (jedes dieser Stucke ein n —
dimensionales Kontinuum mit dazu dehorigen Begrenzung dar-
slellt). Следовательно, существует n-кратный интеграл
(*
dxr dx2 . . . dxn,
распространенный на все эти куски и имеющий вполне опреде-
ленное значение, меняющееся при изменении р. Предел этого ин-
теграла при р — 0 и принимается Кантором за меру j (Р) точеч-
ного множества Р.
Поставленную перед собой задачу Кантор действительно вы-
полнил: каждому точечному множеству ставится в соответствие
неотрицательное число. Однако это мероопределение было доволь-
но грубым в том смысле, что весьма различные множества имели
одинаковую меру в смысле Кантора. Так, например, все множе-
ства: отрезок (0,1), замкнутый, открытый или полуоткрытый,
множество рациональных точек этого отрезка, множество его ир-
рациональных точек — все имеют одну и ту же канторовскую
меру, равную единице, и не различимы при помощи этой меры.
Фактически мероопределение Кантора приложимо только к зам-
кнутым множествам, для которых оно совпадает с последующими
определениями меры.
Для своей меры Кантор доказал несколько теорем, на которых
мы не будем останавливаться вследствие того, что его понятие
меры не получило сколько-нибудь широкого применения, а было
заменено другими, более гибкими определениями.
Из остальных результатов, полученных Кантором в данной ра-
боте, отметим две теоремы: все совершенные множества имеют
мощность континуума и всякое бесконечное замкнутое множество
или счетно или мощности континуума. Более четкие доказатель-
ства этих теорем были даны в другой статье Кантора, опублико-
ванной в том же 1884 г.106
105 Именно здесь Кантору впервые понадобилось понятие суммы мно-
жеств с пересекающимися слагаемыми, которое он ввел в той же работе
несколько ранее.
106 De la puissance des ensembles parfaits de points.—Ges. Abh.,
S. 252—260.
131
2*
Работа Кантора «О бесконечных линейных точечных многооб-
разиях» и примыкающие к ней статьи, написанные в период
1879—1884 гг., главным образом за два года 1882—1883, явились
вершиной научного творчества Кантора. В эти годы он осознал
значение теории множеств и получил основные свои результаты
в этой области. Это, конечно, стоило ему большого и напряженно-
го труда и, видимо, оказало влияние на его здоровье. С 1884 г.
начался тот период его жизни, который известен теперь как «кри-
зис в математическом творчестве Кантора», как назвал его Шён-
флис 107, продолжавшийся до 1895 г. К этому утомлению, несом-
ненно, присоединилась неудовлетворенность от того, что некото-
рые проблемы не поддавались решению, несмотря на упорные
попытки их разрешить. Та же проблема континуума занимала
Кантора на протяжении всего этого периода. Ему неоднократно
казалось, что он решил ее, он не раз в своих работах обещал со-
общить ее решение в одной из следующих статей и даже объявлял
о ее решении 108. Однако это решение все время ускользало от
него.
На развитие кризиса определенно повлияло и отрицательное
отношение ряда математиков, и в первую очередь Л. Кронекера,
к научному творчеству Кантора, о чем будет речь ниже. За де-
сятилетие 1885—1895 гг. Кантор написал всего одну, неболь-
шую, но важную заметку «Об одном элементарном вопросе уче-
ния о многообразиях» 109, в которой диагональный метод, приме-
нявшийся им ранее в частном случае для установления несчетно-
сти множества действительных чисел отрезка, получил полную
общность как метод доказательства существования несчетных мно-
жеств любой природы, да две работы, скорее философского содер-
жания, посвященные защите учения о множествах.
12. Некоторые исследования но теории множеств,
непосредственно примыкающие к работам Кантора
Ранее мы привели ряд результатов Бендиксона, полученных
им в теории точечных множеств. К сожалению, мы не располага-
ли еще тремя его работами, опубликованными в 1883—1884 гг.110
Однако из того, что было сказано о его первой работе, следует,
что они несомненно заслуживают внимания. Особенно, по-види-
мому, интересна вторая из работ «О мощности совершенных мно-
107 A. S с h о е n f 1 i е s. Die Krisis in Cantor’s mathematischen Schaffen.—
Acta math., 1927, 50, 1—27.
108 См., например: G. Cantor. Ges. Abh., S. 244.
109 G. Cantor. Ges. Abh., S. 278—281.
110 J. В e n d i x о n. Nagra studier of ver oandliga punktmangder.— Oef-
vers. K. Svenska vet.-acad. forhandl.— 4883, 40, N 2, 31—35; Sur la puissance
des ensembles parfaits de points.— Beihang till K. Svenska vet.-akad. hand-
lingar, 1884, 9, N 6; Un theoreme auxilliaire de la theorie des ensembles.—
Там же, 1884, 9, N 7.
132
жеств точек», в которой независимо от Кантора и притом в том
же 1884 году доказана теорема о том, что мощность всякого со-
вершенного множества равна мощности континуума. По свиде-
тельству Миттаг-Леффлера ш, Бендиксон опубликовал свою рабо-
ту раньше появления соответствующей статьи Кантора.
Несколько позже Бендиксона исследованиями по теории мно-
жеств начал заниматься другой шведский математик Э. Прагмен.
Первой его работой было обобщение и упрощение доказательства
теоремы Бендиксона — Кантора111 112. Обобщение состояло в том,
что до этого она была доказана для одномерного случая, а Праг-
мен распространил ее на множества в n-мерных пространствах.
Поскольку мы не рассматривали доказательства Бендиксона и
Кантора, то не будем останавливаться и на доказательстве Праг-
мена, отметив лишь, что оно действительно проще предыдущих.
В другой работе Прагмена113, с которой нам не удалось ознако-
миться, речь идет, судя по третьей работе (см. ниже), о доказа-
тельстве теоремы о том, что если никакая часть плоского замкну-
того множества Р не является связной в смысле Кантора, то со-
вокупность тех точек плоскости, которые не принадлежат Р, пред-
ставляет собой один-единственный континуум, причем под кон-
тинуумом понимается здесь то, что теперь принято называть об-
ластью, т. е. связное множество, все точки которого внутренние.
Тем самым наметилось новое направление в исследованиях
о точечных множествах. Хотя, как мы видели, уже у Вейерштрас-
са появляются открытые множества, однако в работах Кантора
исследовались почти исключительно замкнутые множества.
Значение такого рода исследований оценил Миттаг-Леффлер,
предложив Прагмену вторично опубликовать его теорему в Acta
Mathematica. Последний не ограничился воспроизведением тео-
ремы в прежнем виде, а обобщил и упростил доказательство. Это
сделано в статье «О границах континуумов» 114. Здесь он устано-
вил, какому необходимому условию должно удовлетворять зам-
кнутое точечное множество, чтобы быть границей области. Совре-
менная формулировка теоремы такова: если точечное множество
Р является границей области А, то какая-либо часть Р должна
быть обязательно связной; при этом А такова, что существуют
точки вне А.
Перед доказательством теоремы Прагмен делает важное за-
мечание: точки, остающиеся в плоскости после удаления замкну-
того множества, образуют одну или несколько областей. В этом
111 Acta math., 1884, 4, 381.
112 Е. Phragmen. Beweis eines Satzes aus der Mannigfaltigkeitslehre.—
Acta math., 1884/1885, 5, 47—48.
113 E. Phragmen. En ny satz inom teorien punktmangder.— Of vers. K.
Svenska vet.-acad. forhandL, 1884, 41, 121—124.
114 E. Phragmen. Uber die Begrenzungen von Continua.—Acta math.,
1885, 7, 43-48.
133
замечании можно видеть зародыш того факта, что дополнение зам-
кнутого множества является открытым множеством. Фактически
Прагмен в ходе доказательства своей теоремы пользуется этим.
Кроме того, в этом же доказательстве явно используется и то, что
пересечение счетного множества замкнутых множеств является
замкнутым множеством, а сумма любого конечного числа откры-
тых множеств открыта. Ни одно из этих трех положений у пред-
шественников Прагмена, а в известной мере и у него самого, не
получило привычной теперь общности.
Совпадающее с канторовским определение меры точечных
множеств в том же 1884 году предложил О. Штольц115. Он дал
его для прямолинейных и плоских множеств, тогда как Кантор
сразу дал для точек п-мерного пространства. Но если Кантор
определял меру, привлекая понятие интеграла, то Штольц по-
ступает наоборот: дает независимое мероопределение и лишь в
конце работы делает замечание о полезности понятия меры в тео-
рии интеграла. Мы не будем останавливаться на самом мероопре-
делении Штольца, так как оно представляет собой обычное опре-
деление внешней меры. Заметим только, что если Кантор при ус-
тановлении факта наличия внешней меры пользовался существо-
ванием интеграла Jdx\dxz...dxn, распространенного на п-мерные
области, содержащие точки множества, то Штольц доказывает су-
ществование этой меры, исходя непосредственно из последова-
тельности разбиений интервала или квадрата, содержащего рас-
сматриваемое множество. При этом обычным способом доказыва-
ется независимость меры от способа разбиения.
Несколько по-иному подошел к определению меры точечных
множеств А. Гарнак116. В одномерном случае (он сделал это и для
плоскости и указал на возможность дальнейших обобщений) его
определение таково: пусть множество Р заключено на отрезке
длиной Z; зафиксируем некоторую длину, например Z/2, и выбро-
сим из начального интервала все интервалы длиной большей или
равной Z/2, которые не содержат внутри точек из Р\ из оставших-
ся интервалов выбрасываем аналогичные интервалы длины Z/3; при
любом конечном шаге п общее число выброшенных интервалов
длиной большей или равной l/п также конечно, поэтому можно
брать их общую длину, скажем, N. Предел разности Z — N при
п —> оо и принимается за меру множества, являющуюся факти-
чески внешней мерой.
Гарнака интересовали прежде всего введенные им дискретные
множества, т. е. те множества, все точки которых можно заклю-
115 О. Stolz. Uber einen zu einer unendlichen Punktmenge gehorigen
Grenzwert.—Math. Ann., 1884, 23, 152—156. Напомним, что работа Кантора,
в которой вводится понятие меры, опубликована в том же томе, стр. 453—
478.
116 A. Harn ack. Uber den Inhalt von Punktmengen.—Math. Ann., 1885,
25, 241—250
134
чить в конечное число интервалов со сколь угодно малой общей
длиной. Это, вероятно, помешало ему перейти к более общему ме-
роопределению, а именно к определению множеств меры нуль по
Борелю. Он сделал важный шаг в этом направлении, указав на
возможность заключения всякого счетного множества в бесконеч-
ное множество интервалов со сколь угодно малой общей длиной;
способ заключения тот же самый, что и теперь. Однако этот факт
Гарнак оставил без последствий, а поставил перед собой задачу
найти критерий, позволяющий в некотором смысле избавиться
от этого бесконечного множества интервалов. Этот критерий он
сформулировал в виде теоремы: «Если точечное множество за-
ключено в бесконечный ряд интервалов, общая длина которых
(т. е. мера.— Ф. М.) s и производное множество концевых точек
этих интервалов образует множество меры $i, то первоначальное
множество можно заключить в конечное число интервалов, сумма
длин которых сколь угодно мало отличается от s + $1» (стр. 243—
244).
Эта теорема позволила ему заключить, что многие из обычных
множеств дискретны: все множества v-ro вида, все приводимые
и т. д.
В настоящем разделе мы рассмотрели более или менее подроб-
но некоторые работы, непосредственно примыкающие к канторов-
ским исследованиям по теории точечных множеств. Мы в основном
ограничились 1883—1884 гг., т. е. периодом наивысшего расцвета
творчества Кантора. К указанным работам можно было бы присо-
единить ряд исследований этих лет, в которых теоретико-множест-
венные идеи получали более или менее важные применения (рабо-
ты Г. Миттаг-Леффлера, А. Пуанкаре, М. Гвишара, А. Гурвица,
Л. Шеффера и др.). Это, однако, потребовало бы рассмотрения
ряда специальных вопросов, что очень удлинило бы наше изложе-
ние.
Следующие два года (1885—1886) характеризуются преиму-
щественно не углублением новых теоретико-множественных идей,
а отчасти их уточнением, главным же образом распространением
вширь. Из работ первого типа заслуживают упоминания статьи
Кантора «О некоторых теоремах из теории точечных множеств в
n-мерно протяженном непрерывном пространстве Gn»117 и «К
учению о трансфинитном» 118. В первой из них снова доказывают-
ся некоторые теоремы, о которых мы уже говорили, а также вво-
дятся и частично изучаются два новых понятия — адхеренция
(совокупность изолированных точек) и кохеренция (совокупность
предельных точек, принадлежащих множеству) точечного множе-
ства. Эти понятия не привились в теории точечных множеств,
117 G. Cantor. Ges. Abh., S. 261—277.
118 G. Cantor. Ges. Abh., S. 378—439. Русский перевод в сб. «Новые
идеи в математике», вып. 6. СПб., 1914, стр. 90—184.
135
хотя к ним и пытались возвратиться в последующем некоторые
математики с целью изучения строения незамкнутых множеств
(В. Юнг в 1906 г., В. Л. Некрасов в 1908 г.). Во второй статье,
посвященной преимущественно защите теории множеств, пред-
принята также попытка изучения тг-кратно упорядоченных мно-
жеств и соответствующих порядковых типов. Эти исследования
Кантора продолжили Шварц 119 и Виванти 12°, однако соображения
Кантора, Шварца и Виванти не получили каких-либо применений
и мы не будем останавливаться на этом.
Остальные работы этого периода служили распространению
идей теории множеств. Можно отметить работу «Элементы ариф-
метики и алгебры» Ф. Мейера 121, в которой понятие числа вводи-
лось на теоретико-множественной основе. Это, как мы отмечали
в гл. I, было уже у Е. Шрёдера в его «Курсе арифметики и алгеб-
ры» еще до создания теории множеств (1873 г.); у Мейера, нахо-
дившегося в личном общении с Кантором, изложение носило более
четко выраженный теоретико-множественный характер. Некото-
рые теоретико-множественные сведения сообщались О. Штольцем
в его «Лекциях по всеобщей арифметике» 122 со ссылками на Боль-
цано, Кантора и Дедекинда. В книге Штольца чувствуется неко-
торая неприязнь к Кантору, хотя нигде явно не выраженная, мо-
гущая возникнуть по причине расхождения их взглядов на акту-
ально бесконечно малые величины, возможность которых призна-
вал Штольц и категорически отрицал Кантор 123.
В это же время вопрос о теории множеств выходит за пределы
математики. Понятие бесконечности было одним из тех понятий,
которое широко обсуждалось на протяжении веков теологами
разных течений, ибо бесконечность — один из атрибутов, приписы-
ваемых богу. И вот является математик, который осмеливается
покуситься на то, что они считали своей привилегией. Это не мог-
ло не обратить на себя внимание богословов. Многие из них вы-
ступили и в печати и в личной переписке с Кантором против уче-
ния о множествах, особенно против понятия актуальной бесконеч-
ности, против количественных различий в этом понятии, против
трансфинитных чисел. Нет необходимости касаться их нападок
более или менее подробно, тем более что суть их возражений сво-
дилась к тому, что исследования по теории множеств могли при-
119 Н. G. Schwarz. Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen. Halle,
1888.
120 G. Vivanti. Fondamenti della teoria dei tipi ordinatt—Ann. mat.,
Ser. 2, 1889, 14, 1—35.
121 F. Meyer. Elemente der Arithmetik und Algebra. 2 Aufl., Halle,
1885.
122 0. S t о 1 z. Vorlesungen uber allgemeine Arithmetik. Leipzig, 1885.
123 Актуально бесконечно малые величины интересовали многих вид-
ных математиков XIX столетия (Кантор, Пеано, Веронезе, Леви-Чивита
и др.). По этому вопросу имеется обширная литература. Мы, однако, не
имеем возможности касаться этого вопроса в данной работе.
136
вести к свободомыслию и даже к неверию в существование бога.
Достаточное представление о характере их возражений можно по-
черпнуть из уже упоминавшейся переписки Кантора 124, опубли-
кованной в 1886—1887 гг.
Кантор, будучи сам убежденным католиком, очень остроумно
защищался от их нападок, и его письма, напечатанные в распро-
страненном философском журнале, сыграли, несомненно, зна-
чительную роль в распространении теоретико-множественных
идей.
Довольно неприязненно встретили идеи Кантора и многие фи-
лософы того времени, в частности Вундт, Ренувье и др. Вместе с
тем нашлись и защитники канторовских идей. Из последних ука-
жем, к примеру, Б. Керри, давшего довольно обстоятельное изло-
жение идей теории множеств в одном из философских журналов 125,
а также П. Таннери, изложившего некоторые идеи Кантора во
Франции 126. Следует также отметить статью К. Гутберлета 127, в
которой заслуживает внимания определение упорядоченности
множества в терминах предшествования, очень близкое к совре-
менному (стр. 183—184): множество называется упорядоченным,
если: 1) относительно любых двух элементов а и Ъ можно сказать,
что или а предшествует &, или Ь предшествует а\ 2) если а пред-
шествует b, а b предшествует с, то а предшествует с. В этом опре-
делении не хватало еще одного постулата, выставляемого сегодня:
никакой элемент не предшествует самому себе. Аналогичное опре-
деление Кантор предложил только в 1895 г. Впрочем, существует
предположение, основывающееся на замечании Кантора 128, что оп-
ределение упорядоченного множества Гутберлет позаимствовал из
одной рукописи Кантора, хотя Гутберлет ничего подобного не го-
ворит.
13. Теоретико-множественное содержание
«Геометрических приложений анализа
бесконечно малых» Д. Пеано
К 1885 г. Кантор на десятилетие практически прекратил свою
научную деятельность. Мы уже видели, что с этим отходом Кан-
тора от науки, связанным с его болезнью, исследования по теории
множеств не прекратились. Их продолжали и углубляли другие
124 Русский перевод в сб. «Новые идеи в математике», 1914, вып. 6,
78-184.
125 В. Kerry. Uber G. Cantor’s Mannigfaltigkeitsuntersuchungen.— Vier-
teljahrschrift fiir wissenschaftliche Philosophic, 1885, 9, 191—232.
126 P. Tannery. Le concept scientifique du continue. Zenon d’Elee et
Georg Cantor.— Rev. philos. de la France et de 1’etranger, 1885, 20, 385—416.
127 C. G u t b e r 1 e t. Das Problem des Unendlichen.— Z. f. Philos, und phi-
los. Kritik, 1886, 88, 179-223.
128 К учению о трансфинитном.— В сб.: «Новые идеи в математике»,
1914, вып. 6, стр. 106, сноска.
137
ученые, правда, преимущественно в направлениях, указанных Кан-
тором. Но уже в 1887 г. Пеано далеко выходит за рамки, установ-
ленные для теории множеств Кантором.
В литературе по истории теории множеств «Геометрические
приложения анализа бесконечно малых» 129 130 упоминаются исключи-
тельно в связи с мероопределением Пеано — Жордана 13°. Между
тем эта книга значительно богаче по своему теоретико-множест-
венному содержанию. Мы остановимся на ней подробнее, во-пер-
вых потому, что в русской учебной литературе до настоящего вре-
мени за введенной Пеано мерой сохраняется название меры Жор-
дана, а во-вторых потому, что остальная часть теоретико-множест-
венных и теоретико-функциональных идей почему-то выпала из
внимания историков математики.
Интересующий нас материал книги находится в гл. V «Геомет-
рические величины». Основным понятием здесь является «область
точек» (campo di punti); Пеано поясняет его так: «назовем обла-
стью точек или фигурой всякое множество точек (ogni imsieme di
punti) в ограниченном или неограниченном числе» (стр. 152). Да-
лее вводятся внутренние и внешние точки области, определяемые
соответственно как такие точки Р, что можно определить число р
такое, что все точки пространства, отстоящие от Р меньше, чем на
р, принадлежат или не принадлежат рассматриваемой области;
граничные точки области определяются как такие, которые не яв-
ляются ни внешними, ни внутренними. Одним из примеров, иллю-
стрирующих эти понятия, у Пеано служит множество рациональ-
ных чисел интервала (0,1), которое не имеет внутренних точек и
для которого все точки сегмента (0,1) являются граничными точ-
ками, а все остальные точки внешними. Все эти понятия вводятся
отдельно для множеств точек на прямой, на плоскости и в прост-
ранстве.
После этого вводится понятие меры, которую Пеано называет
соответственно длиной, площадью, объемом области. Определяются
все эти понятия совершенно аналогично во всех трех случаях. Мы
остановимся на случае плоских областей, просто приведя относя-
щиеся сюда слова Пеано: «Пусть имеется какая-либо область. Мы
можем представить себе плоскую площадь (в обычном элементарно-
геометрическом смысле слова.— Ф- Л/.), ограниченную прямыми
линиями, которая содержит внутри себя область Л, и плоскую пло-
щадь, также ограниченную прямыми линиями, содержащуюся в за-
данной области. Если, как это случается в наиболее обычных слу-
чаях, нижний предел первых площадей совпадает с верхним преде-
лом вторых, то общее значение этих двух пределов назовем пло-
129 G. Pean о. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. Tori-
no, 1887.
130 См. например: C. Gundersen. On the content or measure of assem-
blages of points. N. Y., 1901, p. 6; A. S c h о e n f 1 i e s. Entwickelung der Men-
genlehre und ihrer Anwendungen. Leipzig, 1913, S. 305.
138
щадью заданной плоской области (под нижним пределом Пеано
понимает точную нижнюю границу, а под верхним пределом —
точную верхнюю границу.— Ф. М.).
Может случиться, что эти пределы не равны; в этом случае на-
зовем внешней площадью заданной фигуры нижний предел поли-
гональных областей, содержащих внутри себя заданную фигуру,
внутренней площадью фигуры — верхний предел полигональных
областей, вписанных внутри ее» (стр. 156).
Пеано ясно осознает, что не всякое множество (область или
фигура, в терминологии Пеано) имеет меру, и вслед за своим опре-
делением приводит пример неизмеримого множества: «Если пред-
ставим себе область, образованную из точек плоскости, расстояния
которых от фиксированной точки О являются рациональными (по
отношению к длине, равной 1) и меньшими 1, то будем иметь пло-
скую область, внутренняя площадь которой есть нуль, а внешняя
равна площади круга радиуса 1» (стр. 157).
Необходимое и достаточное условие измеримости множества
состоит в том, чтобы можно было образовать полигональную об-
ласть сколь угодно малой площади, включающую все граничные
точки множества.
Для определенных таким образом мер доказываются теоремы,
обобщающие некоторые элементарно-геометрические предложения:
параллельная проекция множества на некоторую плоскость имеет
меру, равную мере проектируемого множества, умноженной на ко-
синус угла между плоскостями; внешние, внутренние и просто
меры подобных фигур относятся как квадраты сходственных сто-
рон.
После определения мер пространственных областей Пеано до-
казывает теорему о том, что если а есть точная граница (верхняя
или нижняя) величин 6, а каждая Ъ есть точная граница величин
с, то и а есть точная граница величин с. Эта теорема позволяет
ему сделать замечание о том, что мера плоского множества может
быть определена при помощи вписанных и описанных прямоуголь-
ников, а мера пространственного множества — при помощи впи-
санных и описанных параллелепипедов (стр. 259).
Если сравнить это определение меры с определением Жорда-
на, предложенным через пять лет131, то можно убедиться, что
никаких принципиально новых моментов в определении Жордана
не имеется.
Все отличие жорданова способа определения меры состоит
лишь в несколько более простом образовании вписанных и описан-
ных полигонов: в случае плоского множества плоскость после-
довательно разбивается на квадраты со все уменьшающейся
131 С. Jordan. Remarques sur les integrales definis.— J. math., Ser. 4,
1892, 8, 69; см. также: Cours d’analyse de 1’Ecole polytechnique. T. 1. Paris,
1893, p. 31.
139
стороной и подсчитываются площади квадратиков, внутренних
для множества и содержащих граничные точки, а затем рассмат-
риваются их пределы при стремлении стороны квадрата к ну-
лю. Приведенным выше замечанием Пеано это различие полно-
стью снимается. Терминология у Жордана такая же, как у Пеа-
но: внутренняя (внешняя) мера множества называется внут-
ренней (внешней) площадью (стр. 30). Более того, определения
Жордана внутренних, внешних и граничных точек являются та-
кими же, как и у Пеано.
Своим мероопределением Пеано отошел от уже ставшего тра-
диционным определения меры множества как только внешней
меры. Вместе с тем он обнаружил столь простые множества, как
множество рациональных чисел отрезка, которые оказываются не-
измеримыми. Это, несомненно, было одним из истоков более об-
щих мероопределений, пригодных и для неизмеримых по Пеано
множеств.
Другим, быть может еще более интересным, моментом книги
Пеано является введение им общего понятия функции множест-
ва и довольно глубокая разработка теории этих функций. Это тем
более интересно, что в широкий обиход математиков функции
множества вошли только после опубликования в 1910 г. работы
Лебега «Об интегрировании разрывных функций» 132, т. е. почти
четверть века спустя.
Этим функциям множества посвящен § 2 гл. V книги Пеано.
Перед их введением Пеано дал несколько определений. Ему
было, несомненно, известно понятие предельной точки и произ-
водного множества, а может быть, и понятие замкнутого множе-
ства, введенное незадолго до опубликования его книги Кантором.
Однако в своей книге он ими не пользуется. Он вводит свое по-
нятие замкнутого множества как такого, которое содержит все
свои граничные точки. Несмотря на такое различие, определение
Пеано замкнутого множества все же эквивалентно канторов-
скому. Этим определением замкнутого множества Пеано широко
пользуется.
Далее он определяет конечное множество как такое, все точки
которого отстоят от фиксированной точки на расстоянии, не пре-
восходящем заданной конечной величины, или же как такое,
все точки которого можно заключить в некоторый фиксирован-
ный параллелепипед (стр. 164). После этого, не упоминая пред-
шественников, он формулирует и доказывает общую теорему, о
которой мы уже говорили в связи с работами Кантора (см. выше,
стр. 127-128).
Само понятие функции множества Пеано определяет так: «Ве-
личина называется функцией области, если каждой области, аб-
солютно произвольной или удовлетворяющей некоторым усло-
132 Н. L е b е s q u е. Sur 1’integration des fonctions discontinues.— Ann.
sci. de I’Ecole normale Super., Ser. 3, 1910, 27, 361—450.
140
виям, соответствует некоторое значение этой величины» (стр. 166).
Обращаем внимание на чрезвычайную общность формулировки.
Во-первых, речь идет о произвольных или удовлетворяющих не-
которым условиям множествах (или областях, по терминологии
Пеано); во-вторых, каждой области-множеству ставится в соот-
ветствие некоторая величина, а непросто число; в частности, этой
величиной может быть вектор, комплексное число и т. д.133 При
некоторых ограничениях и уточнениях в этой формулировке мож-
но вычитать и определение функционала, если под областью по-
нимать некоторое множество кривых или переменную кривую, что
вполне допустимо при предыдущих соображениях Пеано. Кстати,
он и сам в качестве примера функций области приводит длину
дуги кривой (стр. 167).
После этого Пеано существенно ограничивает класс функций
областей, налагая требование аддитивности, или, по его термино-
логии, дистрибутивности этих функций, понимая всегда под этим
Конечную аддитивность. В дальнейшем он занимается исключи-
тельно конечно аддитивными функциями множеств, хотя указы-
вает и примеры неаддитивных функций, вроде квадрата длины
дуги. Примерами аддитивных функций множеств у него служат,
в частности, масса и объем тела.
Приведя ряд примеров аддитивных функций областей, Пеано
замечает, что две аддитивные функции одной и той же области
являются сосуществующими величинами Коши 134. Поскольку уче-
ние о сосуществующих величинах довольно глубоко разработано
Коши, то Пеано во многом продолжает его, разумеется, учитывая
почти полувековое развитие математики.
Доказав ряд теорем об аддитивных функциях множеств, Пеано,
следуя Коши, определяет «отношение двух дистрибутивных фун-
кций области в точке», т. е. то, что мы называем теперь производ-
ной одной функции множества по другой функции того же мно-
жества. Его определение таково.
Пусть ф(А)—некоторая аддитивная функция области, при-
нимающая только положительные значения; пусть, далее, ф(Л)—
другая аддитивная функция той же области. Возьмем какую-либо
окрестность точки Р области и пусть Дф и Дф — соответственно
значения ф и ф для этой окрестности. Будем говорить, что в
точке Р отношение двух аддитивных функций ф и ф равно р,
если р есть предел, к которому стремится отношение Дф / Дф,
когда все точки окрестности стягиваются к Р. Это как раз то, что
133 Кстати, первая часть работы Пеано посвящена векторному исчис-
лению.
134 A. Cauchy. Memoire sur le rapport differential de deux grandeurs
qui varient simultanement.— Oeuvres, II serie, t. XII. Paris, 1916, p. 214—262.
См. также: Ф. А. Медведев. О сосуществующих величинах Коши.— Тру-
ды Ин-та истории естествознания и техники АН СССР, 1961, 43, стр. 264—
289.
141
Коши называл дифференциальным отношением двух соответст-
вующих величин и что теперь при более четких определениях на-
зывают производной от функции ф по функции гр. Эту производ-
ную Пеано обозначает символом (/>) или
бЛр
просто
Доказывается ряд теорем о производной: если
=4= о то
dip ' ’ ’
dip
d (ф гр) _ , dO __ d® dip dm ф _ dq
dQ dQ —dO ’ dq> dip dф ’ dip dip *
где m — постоянное число, и т. д.
Далее вводится понятие интеграла. Поскольку из него следу-
ют несколько неожиданные выводы, которые будут сделаны далее,
мы приведем длинную цитату из Пеано.
«Пусть х — некоторая величина, являющаяся дистрибутивной
функцией области и принимающая только положительные зна-
чения. Пусть, далее, каждой точке рассматриваемых областей
будет соответствовать некоторое число р, которое может изме-
няться с изменением точки. Назовем интегралом от pdz, распро-
страненным на область А, такую величину, что:
1°. она всегда больше результата, получаемого при разложе-
нии области А каким-либо способом на части, умножении зна-
чения х, соответствующего каждой из этих частей, на число,
меньшее всех значений р в этих частичных областях, и сложении
всех этих произведений; 2°. она меньше суммы произведений зна-
чений х, соответствующих частям А, на числа, соответственно
большие значений р на этих частях; 3°. она является единствен-
ной величиной, обладающей этим свойством. Обозначим интеграл
от pdx, распространенный на область А, символом / pdx» (стр.
А
185). Пользуясь более компактным обозначением, получаем сле-
дующее. Пусть заданы функция множества ф(А) и функция то-
чек этого множества f(P). ffdq есть единственное число, удов-
летворяющее условию
n п
\/Йф = inf 2 Ргф (Л) =sup 2 Рг«Р Mi),
А г=1 г=1
п
где Pi > f(P) для всех PEEAi, Pi" < f(P) для тех же-Р, 2 ^»=
г=1
— А, а инфимум и супремум берутся по 'всевозможным разбие-
ниям А на конечное число частей.
Рассмотрим некоторые возможные случаи этого определения
(у Пеано их нет).
1. Пусть А — одномерный отрезок (а, &); /(Р)—функция
точки, заданная на (а, Ь); ф(А) — функция интервала, равная
142
разности абсцисс концов этого интервала. В этом случае имеем
обычный интеграл Римана.
2. Пусть теперь ф(А) — функция интервала, равная разности
значений некоторой монотонной функции точки гр(Л) на концах
интервала, а остальные условия те же, что и в первом примере.
Тогда ffdty есть обычный интеграл Римана — Стилтьеса.
А
3. Пусть А — некоторое множество, a f(P) —измеримая фун-
кция точки, заданная на этом множестве; пусть, далее, ф(Аг) —
лебеговская мера подмножеств множества А. Тогда / fdq есть
не что иное, как интеграл Лебега в форме Юнга. А
4. Если, наконец, А — некоторое множество, /(Р) — измери-
мая относительно ф(А) функция точки, а ф(Л) —функция мно-
жества, имеющая ограниченное измерение, то f jdxp есть обыч-
А
ный интеграл Радона или Лебега — Стилтьеса.
Конечно, приведенных примеров у Пеано нет. Однако каждый
из интегралов формально не выходит за рамки пеановских форму-
лировок и мы их привели ради того, чтобы подчеркнуть общность
рассуждений Пеано. Обратим внимание на то, что интерпретацию
идей Коши о сосуществующих величинах, очень близкую к со-
держанию рассматриваемого раздела работы Пеано, дал в 1928 г.
Лебег135.
Для введенного им общего понятия интеграла Пеано обычным
п п
способом доказывает,что суммыS' ='3 Р<ф(Л) и £"=2 рГ<р(Л)
г=1 г—1
таковы, что каждая из сумм S" не превосходит любую из сумм S',
а значит существуют точная нижняя граница для S' и точная верх-
няя граница для S" при всевозможных разбиениях А на части.
Если эти границы совпадают, то их общее значение и будет /
А
если они не совпадают, то вводятся верхние и нижние интегралы.
«Может также случиться, что не существует конечных значений
р7 и р77, между которыми заключены значения р; в этом случае
также нельзя говорить об интеграле в собственном смысле, но (воз-
можно, что будет существовать один из двух интегралов — верх-
ний или нижний, или же не будет существовать ни один»
(стр. 187).
Далее доказываются теоремы, что любой из интегралов, взятый
по области, равной сумме областей, равен сумме интегралов, взятых
по каждой области в отдельности; что если интегрируемая функция
непрерывна, то производная интеграла по функции области, по ко-
торой производится интегрирование, в некоторой точке равна зна-
чению интегрируемой функции в этой точке; что если ф и гр такие
аддитивные функции областей, являющихся частями замкнутой
области S, что в каждой точке S существует конечная производная
135 А. Лебе г. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
М.—Л., ГТТИ, 1934, стр. 237—248.
143
dq/dty = /(я), то при A cz S
<p(4) =
A
Последняя теорема — по существу одна из основных в теории
функций множеств, а именно теорема Радона — Никодима.
Следует повторить, что того более общего смысла, который мож-
но вложить в понятия производной и интеграла, сам Пеано в виду
не имел. Он пишет: «Определенные выше геометрические интегра-
лы имеют большую аналогию с определенными интегралами
ъ
которые рассматриваются в интегральном исчислении;
а
мы даже сведем вычисление первых к вычислению последних.
Поэтому будет полезным точно определить значение этого опреде-
ленного интеграла так, как это будет наиболее для нас удобным,
и напомнить с этой целью некоторые предложения» (стр. 190).
И далее определяется обычный интеграл Римана; определение
производной дается даже менее общим, чем обычно, а именно
lim /(^2) —/(^1) .
*2~^ ’
Х2 Хо
в оставшейся части книги используются именно эти производная
и интеграл.
Таким образом, мы видим, что, несмотря на чрезвычайно боль-
шую принципиальную общность введенных Пеано понятий (фун-
кций множеств, интеграла и производной), они разделили судьбу
соответствующих понятий Коши, введенных еще в 1841 г. (сосу-
ществующих величин, их дифференциального отношения и факти-
чески интеграла): не получили отклика в математических иссле-
дованиях из-за отсутствия задач, требующих их применения, за-
дач, возникших в математике в первой четверти XX столетия и
потребовавших расширения средств классического анализа и тео-
рии функций.
14. «Что такое числа и для чего они служат?»
Р. Дедекинда
Обратимся теперь к одному из основных произведений Деде-
кинда, в котором его теоретико-множественные представления по-
лучили наибольшее развитие, а именно к его книге «Что такое
числа и для чего они служат?», впервые опубликованной
в 1888 г.136 Названную книгу считали не более чем дидактическим
136 Е. Dedekind. Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig,
1888. Кроме того, эта книга издавалась в Германии в 1893 и в 1911 г., была
переведена на английский язык в 1901 г., на польский — в 1912 г.; русский
перевод второго немецкого издания: Р. Дедекинд. Что такое числа и для
чего они служат? Казань, 1905. Далее в тексте страницы указываются пп
этому переводу.
144
сочинением по арифметике. Это мнение прочно вошло в обиход.
Например, в Большой советской энциклопедии (1952, т. 13,
стр. 550) отмечается лишь, что в книге Дедекинда содержится не-
состоятельная попытка решить трудную задачу обоснования ариф-
метики и что эта книга «имела некоторое значение для выяснения
места теории множеств в математике». В биографии Дедекинда,
написанной Э. Ландау137, хотя и дается высокая общая оценка
данной книги, но имеется в виду только обоснование арифметики,
и книга «Что такое числа и для чего они служат?», наряду с кни-
гой «Непрерывность и иррациональные числа», противопоставля-
ется остальным работам Дедекинда в том смысле, что в первых
речь идет об обосновании существовавших научных фактов, тогда
как последние посвящены решению новых математических проб-
лем.
Несколько более высокая, но недостаточно подробная оценка
дана Ф. Журденом 138. Его обещание возвратиться к ней позднее,
кажется, осталось не осуществленным. Наиболее высоко оценил ее
Э. Шрёдер, назвавший книгу эпохальной работой 139.
Несомненно, что значение книги Дедекинда «Что такое числа
и для чего они служат?» выходит далеко за рамки неудавшейся
попытки обоснования арифметики и выяснения места теории мно-
жеств в системе математики. В ней впервые сама теория множеств
в целом достигла той общности, которая свойственна ей сегодня.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ее содержание.
Действительно, книга Дедекинда посвящена обоснованию поня-
тия натурального числа средствами теории множеств, причем, и это
следует подчеркнуть, средствами исключительно абстрактной
теории множеств. Напомним вкратце, что было сделано в абстракт-
ной теории множеств к 1888 г. Прежде всего, имелось общее опи-
сание абстрактного множества, различение конечных и бесконеч-
ных множеств (без четкого их определения); было сформулирова-
но понятие взаимнооднозначного соответствия, на основе которого
вводилось понятие мощности множеств, и установлено существова-
ние множеств различных мощностей, выделены счетные множества
и доказаны элементарные теоремы о них. Далее, были введены впол-
не упорядоченные множества и трансфинитные числа второго
числового класса (на основе принципов порождения); определены
действия над числами второго числового класса. Наконец, была
сформулирована (но еще не доказана) теорема эквивалентности
Кантора — Бернштейна.
В этих условиях Дедекинд поставил перед собой задачу теоре-
137 Е. Landau. Richard Dedekind. Nachrichten von der Konigl. Ges.
Wiss. Gottingen., Geschichtliche Mitt, 1917, 50—70.
138 Ph. E. B. Jourdain. Richard Dedekind.— The Monist, 1916, 26, N 3,
415-427.
139 E. Schroder. Algebra und Logik der Relative.— Vorlesungen uber
die Algebra der Logik. Bd. 3, Teil I. Leipzig, 1895, S. 346.
10 Ф. А. Медведев 145
тико-множественного обоснования арифметики. Однако для реше-
ния этой задачи в том плане, который был задуман Дедекиндом,
ему не хватало довольно многого в общей теории множеств, и это
многое пришлось создавать впервые.
Решающее значение для содержания рассматриваемой работы
имели две основные установки методологического характера. Пер-
вая из них та, которую мы выше называли арифметизацией мате-
матики и которую Дедекинд выразил словами Дирихле: «...всякая
теорема алгебры и анализа может быть сформулирована как теоре-
ма о натуральных числах» (стр. 5). Вследствие этого задача обос-
нования арифметики приобретала особое значение в математике.
На возникавший вопрос о том, какие же средства следует приме-
нять при этом, Дедекинд недвусмысленно отвечает в первых словах
предисловия к своей книге: «Я называю здесь арифметику (алгеб-
ру, анализ) только частью логики; этими словами я хочу сказать,
что понятие о числе я считаю совершенно независимым от пред-
ставлений и воззрений на пространство и время: для меня оно чис-
тый продукт законов нашей мысли» (стр. 1).
Таким образом, здесь налицо отчетливо сформулированная тен-
денция сведения математики к логике — тенденция, которой при-
держивались затем многие математики конца XIX и первой полови-
ны XX столетий. На вопрос о том, в каком смысле понимал это све-
дение Дедекинд, он не дал прямого ответа. Между тем этот вопрос
существен. Известно, что средств традиционной формальной логики
недостаточно, чтобы свести к ним многие, даже относительно про-
стые, рассуждения арифметики. Расширение формальной логики,
сделанное к тому времени представителями математической логи-
ки, не было известно широкому кругу математиков. Не знал его в
это время, по-видимому, и Дедекинд. Однако он, вероятно, сознавал
недостаточность средств обычной формальной логики для решения
поставленной им задачи, и потому большая часть его книги факти-
чески посвящена разработке формальной логики на языке абстрак-
тной теории множеств. Но последнее вряд ли он видел сам. Поэто-
му ответ на вопрос о том, какой смысл мог вкладывать Дедекинд
в слова «сведение математики к логике», может быть примерно
таким.
К концу XIX столетия математика достигла такого этапа разви-
тия, когда уровень абстрактности ряда ее понятий сравнялся
с уровнем абстрактности общелогических понятий. Раз, по убежде-
нию Дедекинда, математика сводится к учению о натуральных чис-
лах, то в подходе к обоснованию натурального числа уже нельзя
оставаться на уровне абстрактности, низшем, чем абстракции ло-
гики, так как в противном случае указанное сведение математики
к арифметике становится невозможным. Следовательно, при обос-
новании арифметики нужно было, чтобы используемые при этом
абстракции стояли на уровне по крайней мере равном уровню аб-
страктности логических понятий. Тогда сведение арифметики
146
(а значит, и математики) к логике могло означать построение пер-
вой на основе таких понятий, которые равнозначны по своей общ-
ности с понятиями логики или даже более общи. Такими общими
понятиями и стали для Дедекинда понятия абстрактной теории
множеств. В этом мы убедимся несколько далее, а сейчас дадим
краткое изложение содержания его книги.
Всякий объект нашего сознания Дедекинд называет вещью 140
Если различные вещи а, Ь, с, ..., по каким-либо соображениям рас-
сматриваемые с некоторой общей точки зрения, одновременно мыс-
лятся в нашем сознании, то он говорит, что эти вещи образуют си-
стему 5141, а каждую из вещей а, Ъ, с, ... называет элементом систе
мы S. Сама система S как объект познания также является вещью
и вполне определена, если относительно всякой вещи известно,
является ли эта вещь элементом 5 или нет142. Системы S и Т тож-
дественны, если всякий элемент из S принадлежит Т и наоборот..
В качестве исключительного случая допускается существование
систем, состоящих из одного элемента. «Системы же, лишенные
элементов, мы по некоторым причинам исключаем из рассмотре-
ния, хотя для других исследований может быть очень удобным
считаться с ними» (стр. 12).
В настоящее время понятие множества принимается за неопре-
деляемое понятие; множество считается заданным, если, как и у
Дедекинда, относительно всякого объекта известно, принадлежит
ли он этому множеству или нет; одноэлементное множество обычно
не считается исключительным, хотя при более тщательном рассмот-
рении приходится признать правоту Дедекинда 143. Что касается
пустого множества, то здесь дело обстоит еще сложнее. Кантор пи-
сал: «Под многообразием или множеством я понимаю вообще вся-
кое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую сово-
купность определенных элементов, которая может быть связана в
одно целое с помощью некоторого закона...» 144. При таком подходе
к понятию множества достаточно наглядна исключительность од-
ноэлементного множества, ибо его вообще нельзя представить как
140 Такое понимание вещи согласуется с современным ее пониманием
у логиков. См., например: А. И. Уёмов. Вещи, свойства и отношения. М.,
Изд-во АН СССР, 1963, стр. 32.
141 По принятой нами терминологии — множество S.
142 Приведем для сравнения относящиеся к этому слова Кантора: «Мно-
гообразие (совокупность, множество) элементов, принадлежащих какой-
либо сфере понятия, я называю вполне определенным, если на
основе его определения и вследствие логического принципа исключенного
третьего его следует рассматривать как внутренне определенное как тогда,
когда объект, попадающий в сферу этого понятия, принадлежит рассматри-
ваемому многообразию как элемент или нет, так и в случае равенства или
неравенства двух объектов, принадлежащих множеству, несмотря на фор-
мальное различие в способах их задания». Ges. Abh., S. 150.
143 Об исключительности одноэлементного множества см.: И. И. Же-
галкин. Трансфинитные числа. М., 1908, стр. 5—6.
144 Г. Кантор. Основы общего учения о многообразиях, стр. 69
147
10*
«многое». Что касается пустого множества, то оно вообще выходит
за рамки такого представления. Тем не менее сам Кантор ввел его
еще в 1879 г., правда, в применении только к точечным множест-
вам, о чем уже говорилось (стр. 112). И хотя это множество «стро-
го говоря, совсем не существует» 145, оно оказалось необходимым.
Сам Кантор неоднократно им пользовался 146.
Дедекинд, не отрицая полезности этого понятия, все же не стал
его рассматривать. К причине этого мы еще возвратимся, а сейчас
продолжим изложение его книги.
После введения общего понятия подмножества, называемого им
частью, и правильного подмножества (правильной части) Деде-
кинд формулирует ряд теорем (например, если A cz В и В cz С, то
A cz С), которые, как мы видели, уже давно были даны им в част-
ном случае множеств алгебраических чисел.
Введя общие определения суммы и пересечения произвольного
множества множеств 147, он доказывает ряд теорем для них. Для
примера приведем такие: 1) если Р — подмножество одного из сла-
гаемых суммы, то Р — подмножество и их суммы (стр. 14); если
Р — подмножество пересечения нескольких множеств, то Р — под-
множество каждого из них.
После определения суммы Дедекинд замечает (стр. 13), что до-
пустим случай, когда мы имеем дело с одним-единственным мно-
жеством; в этом случае А + А + А + ... = А; аналогичное замеча-
ние сделано и относительно пересечения, т. е. А • А • Л... = А. Де-
декинд вводит и понятие непересекающихся множеств, но ввиду
того, что он отказался от введения пустого множества, пересечение
непересекающихся множеств для него не имеет смысла (стр. 15).
Следующие два параграфа книги Дедекинда посвящены поня-
тию отображения. Это понятие он считает одним из основных.
В предисловии он пишет: «Если мы точно проследим за тем, что
мы делаем при счете множества или численности вещей, то мы
придем к рассмотрению особой способности нашего духа — отно-
сить одну вещь к другой, создавать соответствие между двумя ка-
кими-либо вещами или же отображать одну вещь с помощью дру-
гой; без этой способности, вообще говоря, никакая мысль невоз-
можна» (стр. 2). Понятие отображения он формулирует так: «Под
отображением (р какой-либо системы S будем понимать тот закон,
согласно которому каждому элементу s системы S принадлежит не-
145 G. Cantor. Ges. Abh., S. 146.
146 Заметим, что в математической логике им пользовались задолго до
Кантора.
147 Сумму множеств Дедекинд называет составной (zusammengesetzten)
системой, а для пересечения вводит два понятия: под общей частью (Ge-
meinteil) он понимает вообще всякое множество, содержащееся в пересече-
нии, а то, что теперь мы называем пересечением, он обозначает термином
совокупность всех общих частей (Gemeinheit). Следовательно, хотя здесь
Дедекинд и отказался от принятой им ранее теоретико-числовой термино-
логии, но следы ее сохраняются и здесь.
148
которая вполне определенная вещь, которая называется изображе-
нием $ и обозначается символом ф($); можно то же обстоятельство
выразить словами: ф($) соответствует элементу s, или q>(s) полу-
чается из s путем отображения ф, или s переходит в ф($) путем
отображения ср» (стр. 16).
Это понятие не было совершенно новым в математике. Факти-
чески в том или ином частном случае оно использовалось с незапа-
мятных времен. В определении функции Больцано — Лобачевско-
го — Дирихле оно сделалось важнейшим орудием математических
исследований. Сам Дедекинд широко пользовался им в случае
отображения полей алгебраических чисел, начиная по крайней
мере с 1871 г.148 Другой важный частный случай — взаимноодно-
значное соответствие — лежал в основе многих исследований Кан-
тора. У Дедекинда же понятие отображения получило ту предель-
ную общность, в какой оно входит в современную науку.
В формулировке Дедекинда формально отсутствует привычное
для нас второе множество, в которое отображается 5; у него задано
только S и по некоторому правилу ф каждому s е S соответствует
некоторая «вещь» ф($), но в самом определении ничего не говорит-
ся о том, что эти вещи образуют «систему» (множество) или же
принадлежат некоторой «системе» (множеству). Однако из после-
дующего содержания его книги вытекает, что отображение пони-
малось им именно в таком смысле. Действительно, вслед за приве-
денной формулировкой он определяет тождественное отображение
и доказывает теоремы: 1) если AczB, то ф(А)с=ф(В);
2) ф(2Лг) = 2ф(Лг); 3) ф(ПЛг) = Пф(Аг) 149. Когда же Дедекинд
говорит об отображении системы в саму себя (in sich selbst), то он
прямо выделяет оба множества: «Если ф представляет собой подоб-
ное или неподобное отображение системы S и если ф(5) является
частью какой-либо системы £, то мы будем называть ф отображе-
нием системы 5 в системе L и скажем, что 5 с помощью ф отобра-
жена в L. Мы скажем, далее, что ф — отображение S в самой себе,
если ф(5) cz S» (стр. 22).
Вслед за отображением и указанными теоремами о нем вводит-
ся понятие произведения отображений, называемого Дедекиндом
«составным» (zusammengesetzte) отображением, и доказывается
теорема об ассоциативности произведения (стр. 18—19), известная
ему давно для частного случая полей алгебраических чисел.
Только после этого Дедекинд переходит к понятию взаимно-
однозначного соответствия. Он определяет его через понятие подоб-
ного или однозначного (ahnlich oder deutlich) отображения. Под
подобным отображением ф системы 5 понимается такое отображе-
148 В. D е d е k i n d.— В кн.: Р. G. Lejeune-Dirichlet. Vorlesungen
uber Zahlentheorie. Suppl. X. 2 Aufl. Braunschweig, 1871, S. 424—425.
149 Последняя теорема дается Дедекиндом в несколько более общем
смысле, т. е. не для пересечения в современном понимании, а для общей
части (Gemeinteil) множеств Аг (см. сноску 148)'.
149
ние,при котором различным элементам S соответствуют различ-
ные образы. В том случае, когда отображение S на <p(5) подобно,
существует обратное отображение, обозначаемое им символом (р.
Он показывает, что обратное^ отображение также является по-
добным и что произведение <рф дает тождественное отображение
(стр. 19).
Доказав ряд теорем о подобных отображениях (например, если
ф(Л) = <p(Z?), то А = 5; произведение подобных отображений в
свою очередь подобно, и т. д.), Дедекинд определяет эквивалент-
ность двух множеств: «Системы R и.S называются подобными, если
существует такое подобное отображение <р системы 5, что <р (5) —-
= R и, следовательно, <р(2?) — S» (стр. 21). Теорема о том, что
если R и S подобны, то всякая система Q, подобная R, подобна
и S, позволяет ему ввести понятие о классах эквивалентных (рав-
номощных) или подобных между собой систем (множеств). Все
это уже было у Кантора.
§ 4 книги Дедекинда посвящен центральным понятиям с точки
зрения его подхода к вопросу обоснования учения о натуральных
числах — понятию о цепи (Kette) и о цепи множества. Перед вве-
дением этих понятий общее понятие отображения сужается до
отображения какого-либо множества S в самого себя. В этом пред-
положении множество К называется цепью, если (р(Я) cz К. Деде-
кинд обращает внимание на то, что термин цепь приписывается
подмножеству К множества S в зависимости от отображения <р;
подмножество К может быть цепью относительно отображения <pi
множества S в самого себя и не быть таковой для отображения ф2
(стр. 22). Из доказанных теорем мы отметим лишь две: сумма це-
пей является цепью; пересечение цепей есть также цепь.
Затем вводится понятие цепи множества. Цепью множества А
называется пересечение всех цепей, содержащих А. Это относится
также К определенному отображению <р множества 5 в самого себя.
Два различных отображения цепи одного и того же множества во-
обще различны. Относительно цепей множеств Дедекинд доказал
около двух десятков теорем, основная из которых — теорема 59,
которую сам он назвал «научным основанием для доказательства,
известного под именем полной индукции» (стр. 27). Он формули- I
рует ее следующим образом: «Для того чтобы доказать, что цепь
Ао (через Ао Дедекинд обозначает цепь множества А.— Ф. М.)
является частью какой-либо системы 2 — последняя может быть
или не быть частью какой-либо системы S,— достаточно показать,
что: р) Acz2; б) изображение каждого элемента, общего системам
Ао и 2, служит элементом также и для самой 2» (стр. 27).
Перед тем как продолжи-^ дальнейшее изложение, подчеркнем
следующее обстоятельство. До § 5, т. е. на протяжении первой по-
ловины книги, посвященной абстрактной теории множеств, не упо-
минались термины «конечное» и «бесконечное». Свое изложение
150
Дедекинд строил таким образом, что все его первые 63 определе-
ния и теоремы были справедливы для любых абстрактных мно-
жеств, безотносительно к вопросу об их конечности или бесконеч-
ности. В частности, изложенная до § 5 теория цепей являлась той
минимальной теорией, которая связана лишь с соответствующи-
ми понятиями множества и отображения150. Чтобы разработать
дальше эту теорию, необходимую Дедекинду для теоретико-мно-*
жественного обоснования арифметики, приходится ввести разделе-
ние множеств на конечные и бесконечные.
До рассматриваемой работы Дедекинда в учении о множествах
фактически не существовало четкого определения конечных и бес-
конечных множеств. Все предшествующие авторы, включая Кан-
тора, признавали как факт существование такого деления, изуча-
ли свойства последних, но не формулировали надлежащих опреде-
лений. Попытка определения бесконечного множества Кантором
в одной из его первых работ по теории множеств («К учению о
многообразиях», 1878 г.) была явно неудачной, содержащей логиче-
ский круг: множество для него является бесконечным, если оно со-
стоит из бесконечного числа элементов 151. В точности такое же
определение Кантор повторил в 1882 г. 152 Формальное же опре-
деление бесконечного множества просто как не конечного, хотя и
может быть принято, но требует определения конечного.
§ 5 Дедекинд начинает такими определениями: «Система назы-
вается бесконечной, если она подобна какой-либо правильной сво-
ей части; в противном случае S называется конечной системой»
(стр. 29). Таким образом, то свойство бесконечных множеств, ко-
торое еще в 1638 г. Галилей153 считал парадоксальным свойством
множества натуральных чисел; свойство, которое в 1851 г. Боль-
цано 154 рассматривал как общее всем бесконечным множествам,
также подчеркивая его парадоксальность и отмечая, что оно не
присуще конечным множествам; наконец, свойство, которое
в 1878 г. Кантор 155 выделил как характеристическое свойство бес-
конечных множеств в отношении их мощности, состоящее в воз-
можности установить взаимнооднозначное (в терминологии Деде-
кинда — подобное) соответствие между самим множеством и пра-
вильным его подмножеством,— его Дедекинд взял за самое опре-
деление бесконечного множества. Одновременно отсутствие его
у множества принято за определение конечности.
Это были первые, но далеко не последние определения конеч-
150 J. Cavailles. Remarques sur la formation de la theorie abstraite des
ensembles. II. Paris, 1938, p. 102.
151 G. Cantor. Ges. Abh., S. 119.
152 Там же, стр. 152.
153 Г. Г а л и л e й. Беседы и математические доказательства, касающиеся
двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движе-
нию. Избр. труды, т. II. М., Изд-во «Наука», 1964, стр. 141.
154 Б. Больцано. Парадоксы бесконечного, стр. 29—33.
155 G. Cantor. Ges. Abh., S. 119.
151
ных и бесконечных множеств. В них, в частности, был такой недо-
статок. Книга Дедекинда посвящалась обоснованию конечных
чисел через конечные множества. Между тем определение конеч-
ного множества было у него отрицательным, прямое же определе-
ние давалось бесконечным множествам. По-видимому, это не удов-
летворяло Дедекинда, и он поставил перед собой задачу дать пря-
мое определение конечного множества.
е Такое определение ему удалось сформулировать в 1889 г. в за-
метке под названием «Второе определение конечного и бесконеч-
ного» 156. Здесь он не только сформулировал определения, но и
получил ряд следствий этих определений. Данная заметка не была
напечатана до 1932 г. В 1893 г. в предисловии ко второму изданию
своей книги «Что такое числа и для чего они служат?» Дедекинд
опубликовал это второе определение. Оно сформулировано им сле-
дующим образом: «Система S называется конечной, если сущест-
вует отображение S в саму себя, посредством которого никакая
правильная часть S не может быть отображена в себя».
В связи с этим Э. Нётер писала: «Данное здесь определение
конечного является хронологически первым, которое сделало воз-
можным получение всех его свойств без привлечения аксиомы вы-
бора,— факт, который Дедекинд еще полностью не осознал. Сам он
получает только первые следствия; на этом пути из его последней
теоремы можно получить следующую: всякое подмножество ко-
нечного множества является конечным множеством, а также мож-
но доказать принцип полной математической индукции, а тем са-
мым перейти к первоначальному определению Дедекинда» 157«
Сам Дедекинд видел преимущество второго определения в том,
что оно проще, поскольку в нем не предполагается подобия ото-
бражения. Эти определения Дедекинда не удовлетворили многих
математиков. Впоследствии были даны другие, но ни одно из них
в настоящее время не является общепринятым и бесспорным. Об-
зоры различных определений содержатся, например, в статьях
А. Натуччи 158 и А. Тарского 159.
Возвратимся к содержанию книги Дедекинда. После определе
ний конечных и бесконечных множеств Дедекинд пытается дать
доказательство существования бесконечных множеств. Это доказа-
тельство в некотором смысле не характерно для Дедекинда, поэто-
му мы воспроизведем его полностью.
.<66. Теорема. Существуют бесконечные системы.
Доказательство. Наш мир представлений, т. е. совокупность 5
156 R. Dedekind. Zweite Definition des Endlichen und Unendlichen.—
Ges. math. Werke, Bd. 3, S. 450-460.
157 Примечание Э. Нётер к упомянутой в предыдущей сноске работе
Дедекинда, стр. 458.
158 A. N a t и с с i. Classi finite е infinite е principio d’induzione.— Boll,
mat., Anno XXII, 1926, N 2—3.
159 A. Tarski. Sur les ensembles finis.— Fundamenta math., 1925, 6,
45—95.
152
всех тех вещей, которые могут быть объектами нашей мысли,—
бесконечен. Дело в том, что если s есть элемент системы 5, то
мысль / о s как о предмете нашего сознания сама является эле-
ментом системы S. Если теперь мы будем рассматривать s' как
изображение ср($) элемента $, то тогда мы получим в <р некоторое
определенное отображение системы 5, обладающее тем свойством,
что изображение S' является частью S и притом S', очевидно, пра-
вильная часть S, так как в S существуют такие элементы (напри-
мер, наше собственное «я»), которые отличны от всякой такой
мысли s' и, следовательно, не содержатся в S', Наконец, очевидно,
что если а и & различные элементы в S, то и их изображения а'
и Ь' также различны, т. е. отображение <р однозначно (подобно/.
Таким образом, S бесконечна» (стр. 30).
По поводу этого доказательства можно заметить, во-первых,
что в основу его положена идея Больцано о бесконечности «много-
образия предложений и истин самих в себе» 16°. На это, впрочем,
указал и сам Дедекинд (стр. 30, сноска). Это же неоднократно
отмечалось и в историко-математической литературе 160 161. Во-вторых,
доказательство Дедекинда небезупречно, даже если стать на его
точку зрения. Действительно, он поставил перед собой задачу, ис-
пользуя свое определение бесконечного множества, средствами ло-
гики доказать существование последнего. Однако в этом доказа-
тельстве постулируется существование «я» как «вещи», могущей
быть объектом нашей мысли. Этот постулат является дополнитель-
ным по отношению к его исходной позиции, но в то же время он
не выделен в качестве независимого предложения.
Доказав затем ряд теорем о конечных и бесконечных множест-
вах, Дедекинд в следующем параграфе переходит к изучению клас-
са счетных множеств и выделению множества натуральных чисел.
Остальное содержание посвящено применению его теоретико-мно-
жественных результатов к обоснованию арифметики. На этом мы
не будем останавливаться, заметив только, что здесь впервые
сформулированы те аксиомы арифметики натуральных чисел, ко-
торые известны теперь как аксиомы Пеано 162.
Введенным Дедекиндом понятиям и теоремам свойственна та
предельная общность, которая характерна для формальной логики.'
И не случайно поэтому многое в его книге представляет собой вы-
ражение на другом языке частью уже наличного содержания ма-
тематической логики, а частью позднейших ее результатов.
Для подтверждения этого тезиса мы привлечем две книги, отно-
сящиеся примерно к тому же времени. Речь идет прежде всего о
первом разделе книги Пеано «Геометрическое исчисление по
160 Б. Больцано. Парадоксы бесконечного, стр. 17, 23.
161 См., например: J. Baumann. Dedekind und Bolzano.— Ann. Natur-
philos, 1908, 7, 444—449.
162 Подробнее об этом см.: Wang Hao. A survey of mathematical logic.
Peking, 1962, p. 72—79.
153
Ausdehnungslehre Г. Грассмана» 163, содержащем основные факты,
полученные к тому времени в исчислении классов и исчислении
высказываний. Для наглядности приведем изложение мыслей или
перевод Пеано и соответственно Дедекинда в двух столбцах.
№
п/п
Пеано
Дедекинд
1 Пусть имеется система объектов, и А,
В,...—классы, составленные из объектов
этой системы.
2 Эта система может быть как конечной, так
и бесконечной. Определений конечности и
бесконечности нет; просто указываются
примеры система всех конечных действи-
тельных чисел и различные классы, обра-
зованные из них.
3 «Запись А = В означает идентичность двух
классов А и В, т. е. каждый объект из А
есть объект из В и обратно» (стр. 3).
Пусть имеется система вещей, и А,
В,... — части этой системы.
Система может быть как конечной, так
и бесконечной; даются определения ко-
нечности и бесконечности.
4 «Под записью A Q В Q С... или АВС... бу-
дем понимать максимальный класс, содер-
жащийся в классах А, В, С........ т. е.
класс, образованный из всех объектов,
которые одновременно принадлежат и А,
и В, и С и т. д.; операция, обозначен-
ная знаком П, является логической конъ-
юнкцией, мы будем называть ее также ло-
гическим умножением» (стр. 4).
5 «Под записью AUBIJC... будем понимать
минимальный класс, содержащий классы
А, В, С, т. е. класс, образованный из
объектов, которые принадлежат или А,
или В, или С и т. д. Операция, обозначае-
мая через (J, называется логической дизъ-
юнкцией; мы будем называть ее также ло-
гическим сложением» (стр. 4).
«Системы В и Т будут тождественны
одна с другой — символически это обо-
значим S = Т, если каждый элемент
системы S принадлежит к системе Т,
и наоборот, каждый элемент системы
Т есть в то же время элемент системы
S» (стр. 12).
«Вещь g называется общим элементом
для систем А, В, С... если она при-
надлежит каждой из систем, т. е. и
А, и В, и С,... Аналогично система Т
называется общим делителем * систем
А, В, С... если Т является частью
для каждой из систем А, В, С,...; под
общим наибольшим ^делителем ** Т си-
стем А, В, С,... мы понимаем вполне
определенную систему G (А, В, С,...),
которая состоит из всех элементов g,
являющихся общими для каждой из
систем А, В, С... и которая, следова-
тельно, является общей частью тех же
систем» (стр. 15).
«Под системой составной из каких-ли-
бо систем А, В, С.. которую мы бу-
дем обозначать символом ЭД (А, В,
С,...), будем понимать систему, эле-
менты которой определены следующим
условием: вещь только тогда принад-
лежит системе ЭД (А, В, С..) как эле-
мент, когда она является элементом
какой-либо из систем — или А, или
В, или С,...» (стр. 13).
* Так переводчик книги Дедекинда перевел его термин Gemeinteil, который пра-
вильнее было бы передать термином «общая часть».
* * Так был переведен термин Gemeinheit, который лучше передать словами «сово-
купность всех общих частей» (соответствует современному термину «пересечение»).
163 G. Р е а п о. Calcolo geometrico secondo 1’Ausdehnungslehre di H. Grass-
mann, proceduto dalle operazioni della logica deduttiva. Torino, 1888. Логико-
154
В следующем пункте у Пеано и Дедекинда имеется существен-
ное расхождение. Пеано определяет понятие отрицания, а также
вводит понятия пустого и универсального классов. Дедекинд в сво-
ей книге даже не упоминает о теоретико-множественном понятии
дополнения, хотя, как мы видели, он владел этим понятием в част-
ном случае и даже установил ряд его важных свойств. Понятие
пустого множества, как мы уже говорили, Дедекинд упоминал, но
предпочитал им не пользоваться. По поводу дополнения и пустого
множества можно сказать следующее. Почти все свои теоретико-
множественные результаты Дедекинд получал при разработке тех
или иных вопросов алгебры или арифметики. Возможно, что при
этом у него получались и такие результаты, которые выходили за
рамки потребностей решаемого им специального вопроса. Однако
при печатании своих работ он, как правило, сообщал только мини-
мум сведений из теории множеств, необходимый для решаемого им
вопроса.
Специально же по теории множеств, вне связи с другими
вопросами математики, он при своей жизни ничего не опублико-
вал, хотя у него и были рукописные заметки об этом, иногда зна-
чительного содержания, к чему мы еще возвратимся.
В рассматриваемой книге ему просто не нужны понятия допол-
нения и пустого множества, поэтому о них он и не говорил. Что
касается теоретико-множественного аналога понятия универсаль-
ного класса, то в явной форме, в качестве самостоятельного поня-
тия, такой аналог редко употребляется и теперь.
Пеано Дедекинд
6 «Запись АВ =0 означает, что не существу-
ют объекты, которые принадлежат А и од-
новременно не принадлежат В; она экви-
валентна в основном общеутвердительно-
му предложению ,,каждое А есть В“. Хо-
тя предыдущая запись для обозначения
этого предложения достаточно проста, тем
не менее для большего удобства будем
обозначать его также символами А < В
или В > А, которые можно читать так:
,,каждое А есть В“ или ,,класс В содер-
жит А“» (стр. 5).
Очевидно, что теоретико-множествен-
ным аналогом этого логико-математи
ческого понятия является понятие
включения, связывающее множество с
его подмножеством. Это понятие име-
лось у Дедекинда (стр. 12—13), причем
вместо пеановского А < В Дедекинд
писал А з В, а В > А записывал в ви-
де В е А.
После введения основных понятий Пеано устанавливает ряд
логических тождеств, относящихся к исчислению классов, большей
математическая часть этой книги перепечатана в кн.: G. Peano. Орете
scelte, v. II. Roma, 1958, р. 3—19. Далее мы будем ссылаться на последнюю
публикацию. Ссылки на Дедекинда будут, как и раньше, приводиться по
русскому переводу его книги.
155
частью известных в математической логике. Приведем некоторые
из них:
1) АВ — ВА; 2) A\JB^B\JA; 3) АА = А;
4) A{JA = A; 5) А (ВЦС) = AB(J АС;
6) ливс = (ли5) (4UQ и т. д.
У Дедекинда нет аналогичных тождеств, за исключением (3)
и (4), которые мы упоминали. Предложения, очень близкие к тож-
дествам (5) .и (6), были сформулированы Дедекиндом для специ-
альных множеств алгебраических чисел еще в 1877 г., и они легко
могли быть обобщены. К этому можно еще добавить, что любое
из тождеств Пеано элементарно доказуемо в рамках теории Деде-
кинда. В то же время у Дедекинда есть ряд теорем, которых нет у
Пеано, но которые столь же просто доказываются в рамках теории
последнего. Для примера укажем теоремы Дедекинда: 1) A cz А
(стр. 13); 2) каждая из систем А, В, С, ... суть часть системы
SR (Л, В, С,...) (стр. 14) и т. д.
Следующий раздел работы Пеано посвящен исчислению выска-
зываний. Мы не будем подробно останавливаться на этом, ограни-
чившись лишь указанием на некоторые совпадения. Так, например,
тождество Пеано (стр. 11)
(Л = В) = (Л>Б)П(Л<В)
идентично теореме Дедекинда «Если Л эВ, а ВэЛ, то Л = В»
(стр. 13); то же самое справедливо для тождества Пеано (стр. 11)
(Л <В) п (ВСС)<(Л <С)
и теоремы Дедекинда «Если Л эВ, а ВгС, то А а С» (стр. 13) и т. д.
Сказанное отнюдь не означает полного совпадения результа-
тов Пеано и Дедекинда. Их книги имели различное содержание.
Дедекинд разработал значительную часть абстрактной теории
множеств с целью обоснования арифметики. Пеано систематизи-
ровал математическую логику для более четкого изложения гео-
метрического исчисления Грассмана. Исходные понятия у них
оказались одинаковыми, но были изложены на различных мате-
матических языках. И это «разноязычие» было столь велико, что
довольно долго не замечали, что речь идет об одном и том же.
Лишь в 1893 г., после ознакомления с «Основаниями арифметики»
Г. Фреге и «Лекциями по алгебре логики» Э. Шрёдера, Дедекинд
в предисловии ко второму изданию своей книги отметил вкратце
родство некоторых «своих результатов с логико-математическими
результатами Фреге и Шрёдера. Зато в 1895 г. Шрёдер определен-
156
но высказался в том смысле, что та часть книги Дедекинда, кото-
рую мы сравнили с книгой Пеано, есть не что иное, как исчисле-
ние классов математической логики 164.
Если в указанной части дедекиндовской работы теория мно-
жеств была поднята до уровня общности математической логики
и в ней фактически не содержалось новых научных результатов
(они были получены в другой математической дисциплине!),
то иначе обстоит дело со второй частью, охватывающей теорию ото-
бражений и теорию цепей. Ее содержание было новым не только
для теории множеств, но и для математической логики. Здесь
Дедекиндом был разработан раздел логики отношений 165, которого
не было ни у де Моргана, ни у Пирса. Поэтому Шрёдер на первой
же странице указанной выше «Алгебры и логики отношений» в
числе основных создателей теории отношений называет, наряду
с де Морганом и Пирсом, Дедекинда.
Нам нет нужды раскрывать логико-математическое содержа-
ние этой части работы Дедекинда. Укажем лишь, что в свою «Ал-
гебру и логику отношений», которая подытоживала исследования
XIX столетия в этой области математической логики, Шрёдер
включил всю вторую часть книги Дедекинда (гл. IX «Теория це-
пей»), просто переводя ее на принятый им язык.
Заканчивая рассмотрение книги Дедекинда, мы можем ска-
зать, что это не только (вернее не столько) дидактический труд,
но и важная веха в развитии теории множеств и математики
вообще.
15. О некоторых работах
конца 80-х и начала 90-х годов
Мы видели, что Пеано значительно отошел от традиционных
представлений о мере точечного множества как только о внешней
мере уже в 1887 г. Можно было бы поэтому не останавливаться на
работе М. Паша «Об одном вопросе теории функций» 166, в основ-
ном посвященной мере множества, причем как раз внешней мере.
Однако некоторые моменты в ней заслуживают внимания.
Первое, что следует выделить особо,— это новое определение
Пашем ряда понятий анализа, относившихся ранее к отрезкам
прямых, для произвольных множеств точек. Так, аргумент функ-
ции у него уже не обязательно сегмент или интервал, а лю-
бое множество точек. В соответствии с этим определяются и дру-
гие понятия, например интеграл. Такой подход к анализу был на-
164 Е.' Schroder. Algebra und Logik der Relative. Leipzig, 1895,
S. 350-351.
165 Называемой сейчас логикой предикатов.
166 М. Pasc h. Uber einige Punkte der Funktionentheorie.— Math. Ann.,
1887. 30, S. 132—154.
157
мечен Пашем еще ранее 167, но тогда он не был реализован в столь
широком объеме.
Другим важным моментом было введение понятия функции ин-
тервала. Оно не сформулировано в качестве самостоятельного объ-
екта изучения, но использовалось Пашем довольно плодотворно.
Он применил его в определении меры: «Пусть на отрезке ab(a < Ь)
задано какое-либо множество. Если х и £ любые две точки отрез-
ка ab, то отрезку х^ поставим в соответствие число s(x%) = 1 или О,
в зависимости от того, расположены ли на х% точки рассматривае-
мого множества или нет. Разложим теперь интервал ab любым спо-
собом на конечное число отрезков аа^ а\а2, ап^Ь и образуем
сумму
v = --CL) S (ЛЛ1) -|- (Л2-d±) S (й]Ц2) -р . . . -р
+ (b — an_i) 5 (а п^Ь) ^Ь — а,
т. е. сумму отрезков, содержащих точки заданного множества.
Нижняя граница всех значений S является конечным числом
S 0...» (стр. 142).
Более общим образом функции интервала появляются в форму-
лировке теоремы: «Если всякому отрезку х£ интервала ab постав-
лено в соответствие некоторое число $(#£), заключенное между
фиксированными конечными границами А < В, которое не возрас-
тает (не убывает), когда х% делится на частичные отрезки, то зна-
чение суммы
S = (аг —a) s (аа^ Ч- (а2 — аД 5 (axa2) + ... + (b —a n-J s (а^Ь)
имеет конечную нижнюю (верхнюю) границу 2, и одновременно
2 = lim S при lim Н = 0» (стр. 141—142).
Мы привели эту формулировку не только для того, чтобы под-
твердить наличие функций интервала в достаточно общем виде у
Паша, но и потому, что теорема Паша охватывает единым рассуж-
дением многие теоремы анализа (о внешней и внутренней мере
множества, о верхних и нижних интегралах Римана и т. д.). До-
казывается она обычным образом, а потому может быть полезной
в учебных руководствах. Сам Паш ясно сознавал ее значение и
пользовался ею при рассмотрении меры и при определении ин-
теграла.
Пеано, как мы видели, ввел в этом же году более общее поня-
тие функции множества и подошел к нему со значительно более
общей точки зрения. Однако у него это понятие осталось без кон-
кретных приложений. Паш же, хотя и рассмотрел менее общее
понятие функции интервала, зато широко применил его в теории
меры и интеграла.
187 М. Р a s с h. Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Leip-
zig, 1882.
158
Кроме того, как выявилось позднее, функции интервалов, яв-
ляясь частным случаем функций множеств, имеют самостоятель-
ный интерес168.
Заслуживает упоминания и еще один момент. Мы не раз ука-
зывали на связь теории меры с условием интегрируемости. Наи-
более отчетливо в первый раз это сформулировал Паш: «Если в
интервале аЪ точки разрыва функции у не образуют протяженного
множества (множества с мерой, большей нуля.— Ф. М.), то у ин-
тегрируема от а до Ь» (стр. 147). Но Паш понимал недостаточность
определения меры как только внешней меры, когда из множеств
меры нуль исключался широкий класс всюду плотных множеств,
поэтому случай функций со всюду плотным множеством точек
разрыва он рассмотрел отдельно и для него пользовался критерием
интегрируемости Римана, который он считал более сложным, чем
данный им критерий в терминах меры.
В развитии теории множеств большую роль играло изучение
специальных множеств — множеств алгебраических чисел и функ-
ций, множеств точек в n-мерных пространствах и т. д. В 80-х годах
преимущественно в работах итальянских математиков начался
процесс изучения новых множеств, образованных из кривых, по-
верхностей и т. п. Инициаторами этого были Д. Асколи и Ч. Арце-
ла, которые перенесли ряд понятий и теорем теории точечных мно-
жеств на множества кривых. Такой перенос стал особенно настоя-
тельным после введения В. Вольтерра достаточно общего понятия
функционала169. Действительно, одним из истоков теории мно-
жеств было изучение структуры аргумента функции. После того
как Вольтерра ввел функционалы, которые он сам рассматривал
как функции, аргумент которых имеет более общую природу, чем
у классической функции (совокупность кривых, поверхностей
и т. д.), закономерным было желание изучить природу такого
аргумента. Вольтерра в указанных работах еще не ставил задачи
изучения области задания функционалов; за эту работу взялись
другие итальянские математики. Мы не предполагаем рассматри-
вать довольно большое число их работ по данному вопросу, так
как в начале XX в. направление исследований в этой области су-
щественно изменилось: вместо того, чтобы изучать все новые п
новые виды частных множеств, математики пошли по пути рас-
смотрения самых общих множеств, ограничивая общность их таким
образом, чтобы на них можно было распространить понятия ана-
лиза и теории точечных множеств. К этому вопросу мы возвра-
тимся в гл. III, а сейчас, чтобы проиллюстрировать характер
168 См., например: J. С. В и г k i 11. Functions of intervals.— Proc. London
Math. Soc., 1924, Ser. 2, 22, 275—310.
169 V. V о 11 e r r a. Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni.—'
Rend. d. R. Acc. dei Lincei, Ser. IV, 1887, 3, 97—105, 141—146, 153—158; cm
также: Орете matematiche, Roma, 1954, v. 1, p. 294—314; Sopra le funzioni
dipendenti da linee.—Там же, стр. 225—230; Орете, р. 315—328
159
работ итальянцев, остановимся на статье Ч. Арцела «Функции ли-
ний» 170.
Вольтерра в названных выше заметках определил непрерыв-
ность функционалов, но вопросы о том, справедливы ли для них
теоремы о достижении максимального (минимального) и каждого
из промежуточных значений, верные для непрерывных функций,
он не рассматривал. Изучению этих вопросов и посвящена статья
Арцела.
Для решения их необходимо, однако, понятие предельного эле-
мента области задания функционала. Поэтому Арцела сразу же
ставит перед собой задачу определения такого понятия. Ограничи-
ваясь частным случаем функционалов, заданных на множествах
непрерывных кривых, он прежде всего вводит ряд понятий, отно-
сящихся к таким множествам.
Понятие непрерывной линии он определяет так: «Мы намере-
ваемся рассматривать объекты, каждый из которых представим
двумя уравнениями
где ф(£) и г|)(£)—действительные и непрерывные функции t
в определенном интервале, который для всех объектов рассматри-
ваемой области должен всегда оставаться не превосходящим неко-
торое конечное число А, но может быть и произвольно малым и сво-
диться к одной точке» (стр. 344). Затем в некоторой области С
плоскости рассматриваются все непрерывные линии и точки, при-
чем все их Арцела считает замкнутыми, рассматривая точку как
окружнос.ть нулевого радиуса, а незамкнутую кривую как кривую,
образованную из двух таких линий, совпадающих в каждой точке.
Под окрестностью одного из таких объектов он понимает порцию
области С, содержащую рассматриваемый объект и ограниченную
двумя линиями, заключающими указанный объект внутри себя и
не пересекающих самого объекта. За расстояние между точкой
(£, ц) и кривой я = ф(0» У ~ 'Ф(^) принимается минимум расстоя-
ний между (£, ц) и любой точкой кривой, за расстояние между
двумя кривыми — минимум расстояний между их различными точ
ками. Существование этих минимумов предполагается.
Эти определения позволяют сформулировать определение пре-
дельного объекта: «Мы назовем предельным объектом заданного
множества объектов (точек или линий) такой объект, что во всякой
его окрестности, ограниченной линией, расстояние’которой от са-
мого объекта больше некоторого заданного числа, содержится це-
ликом бесконечное множество объектов рассматриваемого множе-
ства, все точки которых отстоят от предельного объекта на рас-
170 С. А г z е 1 a. Funzioni di linee.— Atti della R. Acc. dei Lincei, 1889,
Ser. IV. 5. 342-348.
160
стоянии, меньшем, чем д, которое можно считать произвольно ма-
лым» (стр. 343).
Для точечных множеств справедлива теорема Больцано — Вей-
ерштрасса о том, что всякое бесконечное ограниченное множество
имеет по крайней мере одну предельную точку, и именно это об-
стоятельство позволило развивать значительную часть теории то-
чечных множеств. Поэтому Арцела сразу же ставит вопрос об
аналоге этой теоремы. Для множеств непрерывных линий плос-
кости аналогичное утверждение вообще не верно. Для того чтобы
обеспечить наличие предельного объекта, Арцела ограничивает
класс кривых требованием их равностепенной непрерывности, ко-
торое он ввел еще в 1883 г.171
Условие равностепенной непрерывности оказывается достаточ-
ным условием того, «...чтобы любое бесконечное множество объек-
тов, взятое каким-либо образом из всех мыслимых множеств, име-
ло предельный элемент» (стр. 344). Это дает ему возможность
сформулировать определения совершенного и связного множества
для случая множеств кривых, вполне аналогичные канторовским
определениям. А это, в свою очередь, позволяет рассматривать
функционалы, заданные на континуумах кривых. Для них Арцела
обобщает теорему Вейерштрасса: в множестве объектов (кривых
или точек) существует по крайней мере один объект, в любой
окрестности которого точная верхняя граница значений функцио-
нала совпадает с точной верхней границей этого функционала на
всем множестве.
Определив затем непрерывность функционала через обобщение
определения непрерывности функции по Гейне, Арцела доказывает
теоремы о достижении непрерывным функционалом точных верх-
ней и нижней границ и о принятии им всякого промежуточного
значения между любыми двумя данными.
Остановимся еще на работе Пеано «Доказательство интегрируе-
мости обыкновенных дифференциальных уравнений» 172, которая
по своему содержанию не связана с нашей темой, но в которо!!
тем не менее заключалось одно важное принципиальное соображе-
ние. В этой работе доказывается, что удовлетворяющая некоторым
условиям система обыкновенных дифференциальных уравнений
= <Р1 (t, Х1, х2,..., хп)
. • » | . . 1. • .
dXn
= фп (£> #1, • • • >
171 С. А г z е 1 a. Un’osservazione intorno alia serie di funzioni.— Rend.
dell’Acc. della sci. di Bologna, 1883. Данной работой мы не располагали.
О понятии равностепенной непрерывности см.: И. П. Натансон. Теория
функций вещественной переменной. Изд. 2. М., ГИТТЛ, 1957, стр. 519.
172 G. Pean о. Demonstration de I’integrabilite des equations differen-
tielles ordinaires.— Math. Ann., 1890, 357, 182—228.
11 Ф. А. Медведев 161
имеет решениями п функций Х2, хп аргумента t, которые за-
даны на некотором интервале (&, Ь') и при t = Ъ принимают за-
данные значения ап. При этом широко используются многие
понятия теории множеств в форме логико-математического исчис-
ления классов в том смысле, который придавал ему Пеано, с ис-
пользованием введенной им символики. В частности, привлекаются
понятия производного и замкнутого множеств, рассматриваются
множества, элементами которых, в свою очередь, являются множе-
ства и т. д. Такое привлечение теоретико-множественных понятий к
этому времени стало уже обычным, и не этим для нас важна дан-
ная работа Пеано. Интересно следующее. В ходе доказательства
основной теоремы Пеано потребовалось применить аксиому произ-
вольного выбора, и в связи с этим он писал: «Но так как мы не
можем применить бесконечное число раз произвольный (вы-
делено Пеано.— Ф. М.) закон, по которому классу а ставится в
соответствие индивид этого класса173, то мы установим здесь
определенный (выделено Пеано.— Ф. М.) закон, по которо-
му каждому классу а при надлежащих предположениях ставится
в соответствие индивид этого класса» (стр. 210).
Не будем останавливаться на том, как Пеано устанавливает это
определенное правило выбора элементов, поскольку это потребова-
ло бы длинных объяснений. Подчеркнем только то, что здесь мы
видим отчетливо выраженное сомнение в правомочности приме-
нения аксиомы произвольного выбора в математических рассужде-
ниях, высказанное за полтора десятилетия до того, как это поло-
жение в явном виде сформулировал Цермело в качестве аксиомы
теории множеств.
Наряду с разработкой теорий специальных множеств в рас-
сматриваемый период происходила интенсивная разработка абст-
рактной теории множеств. Исследования в последней области сли-
вались с исследованиями по математической логике, основаниям
геометрии и ряду других математических дисциплин. Подробное
рассмотрение названных ниже работ, а также некоторых других
увело бы нас слишком далеко за рамки настоящей работы. Все же
нельзя не упомянуть хотя бы вкратце некоторые из них.
Несомненно заслуживают внимания «Основания геометрии»
Д. Веронезе 174. Какими бы противоречивыми ни были мнения об
этой книге — от уничтожающе отрицательного Пеано 175 до востор-
женно хвалебного Т. Леви-Чивита 176, несомненно, что книга Веро-
незе оказала заметное влияние на развитие математической мысли,
В частности, оно довольно отчетливо сказалось (вплоть до терми-
173 Напомним, что термин «класс» Пеано равнозначен принятому нам#
термину «множество».
174 G. Veronese. Fondamenti di geometria. Padova, 1891.
175 G. Pean o. Recensione.— Riv. mat., 1892, 2, 143—144.
176 T. L e v i - C i v i t a. Opere matematiche. V. 1. Roma, 1954, p. 1.
162
нологии) на «Основаниях геометрии» Гильберта; особенно сбли-
жает эти две книги та предельная общность, с которой авторы
трактуют предмет.
В связи с «Основаниями геометрии» Веронезе мы упомянем
только, что автор разработал в них на геометрической основе си-
стему трансфинитных чисел, включающих канторовские порядко-
вые трансфинитные числа как частный случай; в систему Веронезе
входят и числа, служащие для выражения актуально бесконечно
малых величин. Довольно развернутую аналитическую трактовку
этих чисел Веронезе некоторое время спустя предложил Леви-Чи-
вита 177. В настоящее время актуально бесконечно малые величи-
ны употребляются редко.
Еще более важны в рассматриваемом отношении «Лекции по
алгебре логики» Э. Шрёдера 178. В них впервые теория множеств
и математическая логика во многом слились в нечто единое, о чем
отчасти уже говорилось. Этот огромный труд подытожил развитие
математической логики в XIX столетии и открыл широкие горизон-
ты для исследований XX в.
Выдающееся место в развитии логики принадлежит «Основа-
ниям арифметики» и «Основным законам арифметики, получен-
ным при помощи исчисления понятий» Г. Фреге179 180, ряду работ
Пеано, Пирса и других математиков и логиков.
В заключение мы подробнее рассмотрим «Курс анализа»
К. Жордана 18°. Эта книга, особенно второе ее издание, была одним
из краеугольных камней фундамента, на котором вырастала фран-
цузская школа теории функций. Если сравнить первое и второе
издания, то сразу бросается в глаза одно существенное отличие.
Первое издание книги (1882 г.) написано в традиционном стиле:
отсутствует понятие множества; функции и интегралы рассмат-
риваются на отрезке и т. п.
По-иному построено второе издание (1893 г.). В нем в основу
всего здания анализа кладется понятие множества и основные по-
нятия анализа формулируются по отношению к множествам. Фак-
тически это не было новостью. Мы видели, что этот путь обобще-
ния классических понятий анализа отчетливо намечен уже у Паша.
177 Т. L е v i - С i v i t a. Sugli infiniti ed infinitesimi attuali quali elementi
analitici.— Atti 1st. Veneto di sci. ed arti, Ser. VII, 1892—1893, 4, 1765—1815;
Opere matematiche, v. 1. Roma, 1954, p. 1—39; Sui numeri transfiniti.— Rend,
d. Acc. dei Lincei., Ser. 5a, 1898, 7, p. 91—96, 113—121; Opere matematiche,
p. 315-319.
178 E. Schroder. Vorlesungen fiber die Algebra der Logik. V. 1. Leipzig,
1890; V. 2. Theil 4, Leipzig, 1891; V. 3 (Algebra und Logic der Relative),
Theil 1, Leipzig, 1895; V. 2, Theil 2. Leipzig, 1905.
179 G. F r e g e. Grundlagen der Arithmetik. Breslau, 1884; Grundgesetze
der Arithmetik, begrifflich eftgeleitet. Jena, 1893.
180 C. Jordan. Cours d’analyse de I’Ecole polytechnique. 2-e ed. Paris,
1893.
163 1U
Однако в такой общности, да притом в курсе, предназначенном для
учащихся, это было сделано впервые. У Жордана областью задания
функции является произвольное точечное множество, и свойства
функций формулируются в зависимости от множества, на котором
задана функция. Так, например, теорема Гейне — Кантора о равно-
мерной непрерывности доказывается почти в современной форму-
лировке: функция, непрерывная на замкнутом ограниченном мно-
жестве 181, равномерно непрерывна на нем (стр. 48).
Этот переход на теоретико-множественные позиции особенно
отчетливо выражен у Жордана в понятии интеграла 182. Мы уже
говорили, что определение меры по Жордану — лишь упрощен-
ный вариант определения Пеано, но этот вариант оказался на-
столько удобным в методическом отношении, что вошел затем в
большинство учебных руководств под исторически неоправданным
Л наименованием меры Жордана.
Для определения интеграла он разбивает множество Е, на ко-
тором задана ограниченная функция, интеграл от которой ищется,
п
на измеримые (в смысле Пеано) подмножества Е =3 ек и об-
&=i
разует суммы
п п
3 = 3 ^kSk, S = 2 mkCk,
k=l k=l
где Mh — максимум f(x) на еь, тпк — ее минимум там 183, а ек озна-
чает у Жордана одновременно и само подмножество и его меру
mek.
Он показывает, что эти суммы при любом разбиении Е на изме-
римые множества заключены между LmE и 1тЕ, где L —
максимум, а / — минимум f(x) на Е. После этого доказывается
теорема Дарбу184 в следующей формулировке: «Если мы будем
изменять разложение Е на элементы так, чтобы диаметры этих
элементов стремились к нулю, то суммы S и 5 стремятся к фикси-
рованным пределам» (стр. 32—33). Данные интегралы названы
им верхним и нижним интегралами от f(x) на Е, а их общее зна-
чение в случае их совпадения $’/(*) de.
Е
181 Вместо термина «замкнутое множество» Жордан употребляет термин
«совершенное множество».
182 Мы не располагали работой Жордана «Remarques sur les integrates
ctefinis» (J. math., Ser. 4, 1892, 57, 69), в которой введено его мероопределе-
ние и рассмотрены интегралы на множествах. Судя по ссылкам у других
авторов, ее содержание перекрывается «Курсом анализа».
183 Правильнее было бы говорить не о максимуме и минимуме, которые
могут не существовать, а о точных верхней и нижней границах.
184 Эту теорему следовало бы называть не только теоремой Дарбу, но
и теоремой Смита и Асколи, так как независимо от Дарбу и одновременно
с ним они тоже доказали эту теорему.
164
Для этого определения характерно то, что интегральные суммы
образуются при помощи меры подмножеств, на которые разбивает-
ся исходное множество.
В результате был получен формально более общий интеграл в
том смысле, что он определялся для функций, заданных на изме-
римых по Пеано — Жордану множествах. Тем не менее по своей
сущности он оставался все же классическим интегралом Римана.
И это не случайно, ибо мероопределение Пеано — Жордана имело
своим истоком интеграл Римана, развивалось исходя из нужд его
теории, и когда найденную в итоге меру Жордан положил в осно-
ву определения интеграла, то была получена та же самая конст-
рукция, но на более высоком уровне абстракции.
Из результатов Жордана в теории множеств следует отметить
введение дополнения для точечных множеств, понятия расстояния
от точки до множества и между двумя множествами, понятия диа-
метра множества и доказательства ряда теорем о точечных мно-
жествах.
Особенно нужно выделить весьма важную теорему Жордана
о том, что плоская простая (не имеющая кратных точек) замкну-
тая кривая Жордана разбивает плоскость на внутреннюю и внеш-
нюю области. Мы оставляем в стороне такие результаты Жордана,
которые меньше связаны с рассматриваемыми нами вопросами,
хотя и представляют существенный математический интерес.
В частности, не будем говорить о важных исследованиях Жордана
по теории функций с ограниченным изменением, введенных им
еще в 1881 г.185 и более подробно исследованных как в первом,
так и особенно во втором издании «Курса анализа».
Четко и ясно написанная, эта книга оказала большое влияние
на развитие математической мысли, особенно на формирование
французской школы теории множеств и функций. В частности,
А. Лебег в своих определениях меры и интеграла исходил как раз
из соответствующих определений Жордана. То же самое можно
сказать и об английском математике В. Юнге.
1в. Некоторые работы Дедекинда,
не опубликованные при его жизни
Как мы уже отмечали, Дедекинд ничего не издавал специально
по теории множеств. Однако в его рукописном наследии оказались
материалы, показывающие, что в области теории множеств у него
был ряд интересных результатов, иногда не связанных с приложе-
ниями, которые существенно дополняют картину вклада, сделан-
ного Дедекиндом в разработку теории множеств. Эти материалы
отчасти опубликованы в собрании его сочинений.
Мы начнем с одного из наиболее ранних отрывков. Кавайе
вторую главу своих «Замечаний о формировании абстрактной тео-
185 С. Jordan. Sur la serie de Fourier.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1881, 92,
p. 228-230.
165
рии множеств» 186 начинает словами: «Два сочинения заслуживают
того, чтобы фигурировать перед сочинениями Кантора в истории
теории (множеств.— Ф. М.), ибо в них предприняты первые попыт-
ки подвергнуть систематическому рассмотрению множества как
таковые: „Парадоксы бесконечного44 Больцано и фрагмент Деде-
кинда, не опубликованный при его жизни, „Общие теоремы о про-
странстве44». На наш взгляд, по поводу работы Дедекинда это
сказано слишком сильно, тем не менее названный фрагмент187
все же представляет интерес. В опубликованных работах Дедекин-
да полностью отсутствуют материалы по теории точечных мно-
жеств. Здесь же мы встречаемся как раз с точечными множествами
и притом с тем типом множеств, который выпал из поля зрения
Кантора. Отрывок начинается следующим определением: «Система
точек р, р\ ...образует тело (Кбгрег), если для всякой точки р этой
системы можно задать длину б, обладающую тем свойством, что все
точки, расстояние которых от р меньше б, также принадлежат си-
стеме Р. Точки р. р', ... лежат внутри Р» (стр. 353). В этом опреде-
лении мы видим общее понятие открытого точечного множества.
Вслед за тем Дедекинд определяет открытое подмножество откры-
того множества, внутреннюю, внешнюю и граничную точки, грани-
цу открытого множества и доказывает три теоремы (например,
множество граничных точек открытого множества не может быть
открытым 188), не представляющие особого интереса. Этим и ис-
черпывается содержание данного фрагмента. Добавим только, что,
как это следует из переписки Дедекинда с Кантором, к изучению
точечных множеств Дедекинд шел от исследований Дирихле по
теории потенциала, в частности с целью более строгого обоснования
принципа Дирихле 189 190.
Более важна, на наш взгляд, другая работа Дедекинда, в ко-
торой он дал любопытное сочетание идей своих книг «Непрерыв-
ность и иррациональные числа» и «Что такое числа и для чего
они служат?». Речь идет о «Доказательстве и применениях од-
ной общей теоремы о многократно протяженных непрерывных об-
ластях» 19°.
Существуют два варианта рукописи этой работы. К сожалению,
напечатаны не оба, а некая комбинация из них: введение и § 4
взяты из первого варианта (во втором их не было), а § 4—3—
186 J. Cavailles. Remarques sur la formation de la theorie abstraite
des ensembles. I. Paris, 1938.
187 R. Dedekind. Allgemeine Satze fiber Raume.— Ges. math. Werke,
Bd. II, S. 353—355. Дата написания не указана.
188 Это множество является замкнутым, чего Дедекинд не мог знать, так
как понятия замкнутого множества еще не существовало.
189 Briefwechsel, S. 47.
190 R. Dedekind. Beweis und Anwendungen eines allgemeinen Satzes
fiber mehrfach ausgedehnte stetige Gebiete.— Ges. math. Werke, Bd. II.
S. 356-369.
166
из второго, который помечен Дедекиндом как «более тщательное
изложение тех же фактов» 191, что и в первом варианте. Даты напи-
сания обеих заметок не указаны. Во всяком случае, первая напи-
сана после 1892 г., так как в одном из примечаний Дедекинда ко
введению (стр. 357) этот год упоминается. Вторая же, видимо,
ранее 1897 г., так как в одной из работ, о которой будет речь в
третьей главе и которая опубликована в этом году, Дедекинд отка-
зался от некоторых идей, сформулированных здесь.
Перейдем к содержанию. Во введении вкратце излагается прин-
цип непрерывности, сформулированный Дедекиндом в его книге
«Непрерывность и иррациональные числа», и отмечается, что этот
принцип в различных вариантах широко используется в математи-
ческих доказательствах, но что последние не всегда достаточно
кратки.
В § 1 приводятся со ссылкой на «Что такое числа и для чего
они служат?» 192 основные сведения из теории множеств: абстракт-
ное понятие множества, правильного и неправильного подмноже-
ства, включения, пересечения, суммы. Затем Дедекинд вводит но-
вое понятие — сечение подмножеств (Teilschnitt), подразумевая
под этим, по аналогии с его сечениями в области действительных
чисел, следующее.
Под сечением ф подмножеств множества S понимается разбие-
ние всех его подмножеств на два класса, а именно на чистые (reine)
и не чистые (unreine), удовлетворяющее трем следующим усло-
виям.
4. Всякое подмножество множества 5 является или чистым или
не чистым; ни одно из подмножеств не может быть одновременно
и чистым и не чистым.
2. Всякое подмножество чистого подмножества чистое.
3. Сумма любых двух чистых подмножеств представляет собой
чистое подмножество.
Последние два условия Дедекинд преобразует в одно: сумма
двух подмножеств является чистой тогда и только тогда, когда
оба слагаемых чистые (или же эта сумма будет не чистой тогда и
только тогда, когда по крайней мере одно из слагаемых не чистое).
Замечая аналогию заключенной в скобки формулировки с форму-
лировкой арифметической теоремы об обращении в нуль произве-
дения 193, он дает такую характеристику сечения подмножеств: вво-
дится функция множества ф(Л), принимающая значения 1 и 0 в
зависимости от того, чистым или не чистым является подмноже-
ство А.
191 R. Dedekind. Указ, соч., стр. 369.
192 Ссылку на эту книгу мы хотели бы подчеркнуть в связи с упоми-
навшейся работой 1897 г. Терминология у Дедекинда здесь та же, что и
в книге.
193 Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда
один из сомножителей равен нулю.
167
Тогда
<р(Л +5) = <р(Л).ф(В), (1)
где А и В — любые подмножества множества 5; обратно, если
задана функция множества ф(А), удовлетворяющая условию (1),
то тем самым определено сечение подмножеств множества 5.
Всякое непустое подмножество А порождает некоторое сечение
в S, определяемое тем условием, что любое подмножество является
чистым или не чистым в зависимости от того, имеет ли место В £ А
или В(^А. Однако обратное, т. е. что всякое сечение в S порож-
дается некоторым подмножеством множества 5, как показывает
Дедекинд (стр. 359), неверно, если множество 5 бесконечно (для
конечных множеств справедливо и обратное предложение).
Допуская возможность того, что все подмножества S могут быть
только чистыми или не чистыми, Дедекинд показывает (стр. 359—
360), что если BczS и в S определено сечение ф, то тем самым за- (
дано некоторое сечение ф !в В. Верно и обратное: всякое сечение
ф в В может быть продолжено до некоторого сечения ф в S. Про-
должение сечения может быть осуществлено различными способа-
ми; из них автор выбирает строго определенный: говоря о продол-
жении ф сечения ф, он имеет в виду такое продолжение, чтобы
всякое подмножество A cz В считалось не чистым тогда и только
тогда, когда А • В не чисто относительно ф.
Какое-либо отображение множества S в множество Т позволяет
всякому сечению ф в S поставить в соответствие сечение ф' в Т,
если принять, что Р czT должно быть не чистым тогда и только
тогда, когда существует не чистое подмножество U cz S, отобража-
ющееся в некоторое подмножество из Р.
Все предыдущие соображения Дедекинда относились к произ-
вольным абстрактным множествам. Намереваясь применить их к
ряду классических результатов анализа, он, начиная с § 2, огра-
ничивает класс рассматриваемых множеств множествами дейст-
вительных чисел. У них появляются специфические свойства, тре-
бующие новых определений и обозначений.
Если с — некоторое действительное число, то через [с] Дедекинд
обозначает полуинтервал— оо < х с; если h > 0, то (с)ь озна-
чает сегмент [с — h, с + Л], который он называет оболочкой (Hulle)
числа с, h—ее радиусом, а с — центром. Тогда имеет место ра-
венство о
Н+Л] = [с-Л] + (с)л, $
где знаки ± в скобках означают обычные арифметические сложе-
ние и вычитание, а знак + между скобками справа — теоретико-
множественную сумму.
После таких обозначений Дедекинд вводит понятие со-
прикасающегося числа (Beizahl) множества194 и замкнутой
194 Соответствующего современному понятию точки прикосновения.
168
(selbstandige) системы 195: «Если T какая-либо система чисел, то
число с будем называть соприкасающимся числом, если во всякой
оболочке числа с содержится по крайней мере одно число системы
Т; очевидно, что всякое число системы Т является соприкасаю-
щимся числом для Т, и если одновременно справедливо обратное,
то систему Т назовем замкнутой» 196 (стр. 361). Вслед за этим по-
казывается, что множество точек прикосновения есть замкнутое
множество.
Называя затем множество Т ограниченным, если имеется число,
которое по абсолютной величине больше всякого числа Z, Деде-
кинд доказывает (стр. 361—362) теорему: «Если все подмножества
ограниченного точечного множества 197 Т некоторым сечением ф
разбиты на чистые и не чистые и само Т является не чистым, то
существует наименьшее число с, такое, что во всякой оболочке с
содержится не чистое подмножество из Т».
Заметив, что доказанная теорема охватывает очень многие,
а возможно и все, теоремы существования теории функций одного'
действительного переменного, Дедекинд обобщает ее на многомер-
ный случай. Перед этим он распространяет обычным теперь обра-
зом на точечные множества n-мерного евклидова пространства по-
нятия окрестности 198, точки прикосновения, замкнутого и ограни-
ченного множества. Вместо большего и меньшего числа для одно-
мерного случая вводятся понятия о более низкой и более высокой
точках: «Если а, b — две различные точки, r-е координаты которых
мы обозначим через аг, Ъг, то я буду называть а более низкой (tie-
feren), а Ъ более высокой (hoheren), если в последовательности*
разностей
“““ ? ^2 ^2, • • • , -«п
первая не обращающаяся в нуль разность положительна, и это бу-
дет короче обозначаться символами а < &, b > а» (стр. 363).
После этого доказанная ранее теорема обобщается на п-мерный
случай: если все подмножества ограниченного точечного множест-
ва Т разделены некоторым сечением ф на чистые и не чистые,
и само Т не чисто, то существует низшая точка с, такая, что во
всякой оболочке с содержится не чистое подмножество из Т.
Последняя теорема и служит для Дедекинда основой общей’
схемы доказательств теорем существования; доказательства
195 Соответствующей канторовскому замкнутому множеству, но опре-
деленному по-другому.
196 В сноске Дедекинд отмечает, что его понятия соприкасающегося’
числа и замкнутой системы отличны от понятий предельной точки и совер-
шенного множества Кантора. О замкнутых множествах Кантора он не упо-
минает.
197 Дедекинд везде говорит о системе чисел, а не о множестве точек.,
198 Определяя ее как n-мерный замкнутый куб с центром в рассматри-
ваемой точке.
169
последних сводятся, как подчеркивает Дедекинд (стр. 366), к це-
лесообразному определению чистых и пе чистых подмножеств.
Сам он доказывает несколько теорем анализа: непрерывная функ-
ция достигает наименьшего значения; если юна принимает поло-
жительные и отрицательные значения, то она принимает и нуле-
вое значение, и т. д. Мы приведем лишь один пример применения
-его метода для доказательства теоремы Гейне — Бореля о конеч-
ном покрытии 199.
Пусть Т — замкнутое ограниченное множество и каждой точке
р е Т соотнесено открытое множество бр. Назовем подмножество
U из Т чистым или не чистым в зависимости от того, покрывается
ли U конечным числом или нет. Если Т не чисто, т. е. не выпол-
няется теорема о покрытии, то по теореме Дедекинда, приведенной
выше, существует точка с g Т, такая, что всякая кубическая ок-
рестность с не чиста. Но это противоречиво, ибо если с покрывается
открытым множеством 6С (по условию теоремы), a wc^bc— ка-
кая-либо кубическая окрестность с, то ivc чиста, ибо с покрывается
одним 6С.
Внимательный читатель, видимо, уже заметил, что теорема Де-
декинда и применения ее к доказательству теорем существования
не были новостью в математике. Аналогичную теорему доказали
еще ранее Кантор и Пеано; они же и применили ее для получения
аналогичных теорем анализа, что мы отметили ранее (см. раздел
11 данной главы). Формулировке и доказательству Дедекинда
можно отдать предпочтение разве только в отношении большей
четкости. Однако вместе с тем рассмотренной работе Дедекинда
присуща та предельная общность, о которой мы уже не раз гово-
рили в связи с его работами. Здесь очень наглядно выступает тео-
ретико-множественный метод в действии: сначала разработана
общая схема рассуждений в рамках абстрактной теории множеств,
затем эта схема конкретизирована для точечных множеств и лишь
после этого теоретико-функциональные рассуждения сведены к
теоретико-множественным. Схема рассуждений, предложенная Де-
декиндом, может, по-видимому, оказаться полезной в педагогиче-
ской практике и даже в научных исследованиях.
Следующая работа Дедекинда, не опубликованная при его жиз-
ни,— заметка «Второе определение конечного и бесконечного» 200.
Об ее основном теоретико-множественном содержании — опреде-
лении конечных и бесконечных множеств — мы уже говорили
(стр. 152). Применений же этих определений в разработке теории
конечных множеств с целью обоснования понятия натурального
числа мы рассматривать не намерены.
199 У Дедекинда этого доказательства нет; оно дано Э. Нётер в приме-
чании к данной работе Дедекинда (стр. 370).
200 R. Dedekind. Zweite Definition des Endlichen und Unendlichen.—
Ges. math. Werke, Bd. III. Braunschweig, 1932, S. 450—460.
170
Пожалуй, самой важной с точки зрения истории теории мно-
жеств из неопубликованных работ Дедекинда является его неболь-
шая заметка «Подобное отображение и подобные системы»201.
Здесь содержалось исторически первое 202 доказательство общей
теоремы Кантора—Бернштейна, основанное на дедекиндовской
теории цепей. Даже если бы Дедекинд ничего больше не сделал
в теории множеств, но вовремя опубликовал это доказательство,
его имя было бы неразрывно связано с ее историей. Однако его
заметка по неизвестным причинам не была тогда опубликована.
Более того, видимо забыв об этом доказательстве, Дедекинд заново
повторил его в письме к Кантору 29.VIII 1899 г. 203, на что Кантор
ответил, что к этому времени появились доказательства Шрёдера и
Бернштейна 204. Небезынтересен тот факт, что в 1908 г. Е. Церме-
ло, не зная в то время доказательства Дедекинда, опубликовал свое
доказательство теоремы Кантора — Бернштейна 205. Оно также
было основано на дедекиндовской теории цепей и лишь несуще-
ственно отличалось от доказательства Дедекинда.
17. Новый взлет Кантора
Вершиной научного творчества Кантора является, несомненно,
^его работа «К обоснованию учения о трансфинитных множествах»,
опубликованная в 1895—1897 гг. 206 По словам Цермело, «эта ра-
бота, состоящая из двух частей, появившихся на протяжении двух
лет, и являющаяся последней публикацией Кантора по теории
множеств, образует истинный венец труда его жизни. Здесь со-
держатся постепенно развивавшиеся на протяжении десятилетий
основные понятия и идеи в изложении, вошедшем в обиход мате-
матики; многие основные теоремы ,,общей“ теории множеств впер-
вые находят здесь свое классическое обоснование» 207.
Десятилетний перерыв в математическом творчестве Кантора,
вызванный его болезнью, был значительным периодом в развитии
201 R. Dedekind. Ahnliche (deutliche) Abbildung und ahnliche Syste-
me.— Ges. math. Werke, Bd. III. Braunschweig, 1932, S. 447—449.
202 Заметка датирована 7.II 1887 г.
203 G. Cantor. Ges. Abh., S. 449.
204 Шрёдер и Бернштейн доказали эту теорему почти одновременно
в 1898 г. Работой Шрёдера «Uber zwei Definitionen der Endlichkeit und
G. Cantor’sche Satze» (Nova Acta Leop., 71, 377) мы не располагали. Дока-
зательство Бернштейна было опубликовано в кн.: Е. Borel. Lemons sur la
theorie des fonctions. Paris, 1898. Доказательство Шрёдера содержало суще-
ственный пробел, обнаруженный в 1902 г. А. Корселе; подробнее об этом
см.: A. Corselet. Uber ein Beweis des Aquivalenzsatzes.— Math. Ann., 1911,
70, 294-296.
205 E. Z e r m e 1 o. Grundlagen der Mengenlehre.— Math. Ann., 1908, 65,
271—272. Еще раньше аналогичное доказательство предложил Корселе.
Однако опубликовано оно было только в 1911 г. (см. сноску 204).
206 G, Cantor. Ges. Abh., S. 282—351.
-207 E. Ц.еp мe л о. Примечание к указанной работе Кантора, стр. 351.
171
теории множеств. Во-первых, в ней было много сделано Дедекин-
дом, Пеано и рядом других математиков. Вонвторых, в значитель-
ной мере возрос объем приложений ее идей в алгебре, в теории
функций, в геометрии, в математической логике, в вопросах обос-
нования арифметики. Наконец, расширился круг математиков,
интересующихся идеями новой научной дисциплины; многие ее
элементы начали входить в курсы высших учебных заведений
(лекций Пеано, Жордана и других).
Возникла потребность в систематическом изложении теории
множеств. Отчасти эту потребность и удовлетворила канторовская
работа «К обоснованию учения о трансфинитных множествах».
То, что за такую работу взялся один из основных создателей
теории множеств, творчески работающий математик, а не просто
хороший систематизатор, имело свои плюсы и минусы.
Плюсом было то, что в работе содержится и ряд новых идей,
новых подходов к старым идеям, дается дальнейшая разработка
теории множеств в целом. Но чисто научные интересы Кантора
превалировали над дидактическими и систематизаторскими инте-
ресами. Это сказалось, к примеру, в полном игнорировании теорий
каких-либо частных видов множеств, даже точечных, и в рассмот-
рении исключительно абстрактных множеств. Это сказалось и в
отмеченном А. Френкелем 208 смещении центра тяжести исследо-
ваний с изучения множеств и их взаимоотношений между собою
на изучение трансфинитных чисел. Сам Кантор, видимо, считал
основным в теории множеств именно изучение трансфинитных
чисел, соответствующих бесконечным множествам, а не самих
множеств. Это видно и из его более ранних работ, да и в последней
большая часть посвящена именно числам, что уже говорит сама
за себя.
Устойчивый интерес Кантора именно к трансфинитным числам
отчасти объясняется тем, что с их помощью он надеялся решить
проблему континуума и вообще разобраться в проблеме сравнения
мощностей.
Если говорить об исторической перспективе, то Кантор в этом
отношении, по крайней мере на сегодняшний день, все же оши-
бался. Более важными для математики в целом оказались именно
сами множества и взаимоотношения между ними: объем их при-
менений гораздо значительнее, чем объем применений трансфинит-
ных чисел. Более того, отчетливо выражена тенденция исключе-
ния трансфинитных чисел из тех математических приложений,
где они первоначально употреблялись (например, в доказательстве
леммы о конечном покрытии, в интеграле Данжуа и т. д.). Тем не
менее, трансфинитные числа используются и до сих пор, и интерес
к ним Кантора вполне оправдан более чем полувековой историей
математики. Перейдем теперь к обзору самой работы Кантора.
208 G. Cantor. Ges. Abh., S. 469.
172
Первые два параграфа не содержат новых идей и посвящены
понятию мощности или кардинального числа и сравнению мощно-
стей. Здесь же определяется понятие суммы любого числа абст-
рактных множеств, но только без общих элементов. Утверждается
без доказательства сравнимость двух любых кардинальных чисел
и, как следствие из нее, дается современная формулировка теоре-
мы Кантора — Бернштейна в нескольких вариантах.
§ 3 посвящен сложению и умножению кардинальных чисел.
•Существенно новым здесь явилось введение ранее не рассматри-
вавшейся операции над множествами — образования из двух за-
данных множеств А и В их картезианского произведения 209 210 —
множества, состоящего из совокупности упорядоченных пар р =
= (а, Ь), где а А и пробегает все элементы А, а b В и пробе-
гает все элементы В. Тогда, если кардинальное число Л соответ-
ствует множеству А, а кардинальное число Ь — множеству В,
то за произведение аЬ двух кардинальных чисел Кантор прини-
мает кардинальное число С, соответствующее множеству, обозна-
чаемому Кантором через (АВ) и равному произведению А на В.
В случае конечных кардинальных чисел это произведение совпа-
дает с обычным. Для сложения и умножения трансфинитных
чисел отмечается справедливость коммутативного, ассоциативного
и дистрибутивного законов.
В следующих параграфах рассмотрено отображение одного
множества в другое. Более подробно оно было изучено уже Деде-
киндом. Новым здесь у Кантора является введение операции
возведения в степень для кардинальных чисел. Если А имеет
мощность а, В — мощность Ь, то определяется как мощность
множества, которое Кантор обозначал символом (А/В) и которое
представляет собою множество всех отображений множества А в
множество В.
В § 5 общие соображения относительно кардинальных чисел,
развитые в предыдущих параграфах, применяются к конечным
количественным числам. По словам Цермело, «развитая здесь
теория конечных кардинальных чисел (равно как и теория кар-
динального числа алеф-нуль следующего § 6), измеряемая по
современным меркам, является малоудовлетворительной, так как
еще отсутствует необходимая основа такой теории — четкое опре-
деление конечных множеств, да и вообще такая теория может
быть получена только на более высокой ступени общей теории,
например при помощи полного упорядочения» 21°. Словами Цер-
мело по поводу § 5, 6 мы и ограничимся, добавив разве, что более
удовлетворительной в известном смысле была попытка Дедекинда,
209 Иногда в математической литературе произведением двух множеств
называют их пересечение. Кантор здесь вообще не рассматривал этой одной
из основных операций над множествами.
210 Е. Zermelo.—В кн.: G. Cantor. Ges. Abh., S., 352.
173
предпринятая за семь лет до того. Укажем, к примеру, на понятие*
конечного множества: у Кантора совсем отсутствует его опреде-
ление, тогда как Дедекинд к этому времени сформулировал два
определения.
В § 7, 8, где рассмотрен вопрос о порядковых типах упорядо-
ченных множеств, дается аксиоматическое определение упорядо-
ченного множества. Мы не будем останавливаться на этом,
а отошлем читателя к соответствующей литературе на русском
языке, где эти вопросы изложены в духе, близком к содержанию
этих параграфов у Кантора211. Укажем лишь, что именно здесь
впервые вводится понятие подобного отображения двух множеств
друг на Друга как отображения не только взаимнооднозначного,
но и сохраняющего порядковые соотношения элементов.
§ 9, 11 посвящены специальным порядковым типам множества
всех рациональных чисел интервала (0, 1) и множества всех
действительных чисел сегмента. Заслуживает особого упоминания
теорема, что всякое множество, которое счетно, всюду плотно и
не имеет первого и последнего элементов подобно множеству
рациональных чисел интервала (0, 1), а также теорема, что если
«совершенное» 212 множество М содержит в себе счетное подмно-
жество 5, обладающее тем свойством, что между любыми элемен-
тами т0 и т\ из М находится элемент 5, то S подобно множеству
рациональных чисел.
На содержании § 10 остановимся более подробно, так как его
почему-то обычно обходят в литературе по истории теории мно-
жеств.
До 1895 г. понятие предела имело уже довольно многообразные
оттенки. .Это, прежде всего, предел последовательности чисел —
наиболее древний и установившийся предельный переход. Далеег
предел функции, эквивалентный несчетной последовательности
предельных переходов по последовательностям чисел, причем
эквивалентность эта может быть установлена только при помощи
аксиомы выбора. Затем предел последовательности функций,,
предел интегральных сумм и некоторые другие типы предельных
переходов. Как мы видели, Арцела фактически сформулировал
понятие предела для частного вида функционального простран-
ства.
К концу XIX в. разнообразие изучаемых в математике объек-
тов, при исследовании которых были нужны новые типы предель-
ных переходов, все возрастало. Введенное Вольтерра понятие
211 См., например: И. И. Же галкин. Трансфинитные числа. М., 1908,
СТр 76—116; И. П. Натансон. Теория функций вещественной перемен-
ной. Изд. 2. М, ГИТТЛ, 1957, стр. 401-406.
212 Слово «совершенное» поставлено здесь в кавычки потому, что оно
имеет более общий смысл, чем тот, который был придан ему ранее, а имен-
но в формулировке теоремы речь идет об абстрактных совершенных мно-
жествах; их определение дано несколько далее.
174
функционала потребовало более общих предельных операций,
И, пожалуй, одним из первых откликов на эту математическую
потребность был § 10 работы Кантора, озаглавленный «О фунда-
ментальных рядах, содержащихся в трансфинитных упорядочен-
ных множествах». Небольшой по объему (в нем всего лишь две*
с половиной страницы), он чрезвычайно богат по содержанию.
Кантор рассматривает упорядоченное множество М, имеющее
порядковый тип М. Из различных упорядоченных подмножеств
М он выделяет два типа подмножеств, а именно подмножества,
имеющие тот же порядковый тип, что и множество натуральных
чисел, обозначаемый им знаком со, и подмножества порядкового
типа, обратного для со, обозначаемого им знаком *со. Он называет
оба эти типа фундаментальными рядами первого порядка, содер-
жащимися в Л/, причем ряды типа со — возрастающие, а ряды
типа *со — убывающие.
Два возрастающих фундаментальных ряда {fly} и {Ьу} Кантор
называет перемежающимися (zusammengehorig), сим-
волически
М ||{М,
если для любого элемента av существует элемент такой,,
что
и одновременно для любого Ьц существует элемент такойг
что
где знак есть символ отношения порядка для элементов Мг
а значит, и элементов его подмножеств. Аналогичные определения
даются для убывающих рядов с заменой отношения порядка на
обратное.
Возрастающий фундаментальный ряд {оу} и убывающий
{&ц} называются перемежающимися, если для всех ц nv
и, кроме того, в М существует самое большее один (т. е. только-
один или же не существует совсем) элемент т0, такой, что для
всех v
-< itiQ -<
Для перемежающихся рядов справедливо, что свойство пере-
межаемости транзитивно и что два одинаково направленных
175
(возрастающих или убывающих) ряда, один из которых есть под-
множество другого, являются перемежающимися.
Если в М существует такой элемент то, что в отношении
возрастающего фундаментального ряда {av} он обладает двумя
свойствами: 1) av 2) для всякого т М и т mQ сущест-
вует число Vo, такое, что av т при v vo, то W Кантор на-
зывает предельным элементом ряда {<iv} в множестве М и одно-
временно главным элементом в М. (Аналогичное определение
дается для убывающих рядов.)
Тогда оказывается, что если некоторый фундаментальный
ряд {av} имеет предельный элемент в М (который может быть
лишь один), то всякий перемежающийся с ним фундаментальный
ряд имеет тот же предельный элемент в М\ наоборот, если два
фундаментальных ряда имеют один и тот же предельный элемент,
то они являются перемежающимися. Далее, при подобном отобра- ।
жении множества М на некоторое множество М' фундаментальный
ряд отобразится в фундаментальный же ряд (с сохранением
возрастания или убывания), перемежающиеся ряды — в переме-
жающиеся, образы предельных и главных элементов будут пре-
дельными и главными элементами.
Если множество М состоит только из главных элементов, то
оно называется плотным в себе. Если всякий фундаментальный '
ряд из М имеет предельный элемент, также содержащийся в М,
то М называется замкнутым множеством. Если, наконец, множест-
во М плотно в себе и замкнуто, то оно называется совершенным.
В этих определениях Кантора можно видеть первый значи-
тельный шаг навстречу выраставшим тогда потребностям функ-
ционального анализа, состоявший в переносе некоторых понятий
теории точечных множеств, обслуживающей теорию функций, на ।
абстрактные множества. Характерно, что это было сделано Кан-
тором, исходя не из конкретных нужд остальной математики,
а из общих соображений абстрактной теории множеств. Более
успешной попыткой в этом направлении была попытка М. Фреше,
предпринятая через десятилетие, на которой мы остановимся в
следующей главе.
Остальные девять параграфов работы Кантора посвящены
вполне упорядоченным множествам и порядковым числам почти £
исключительно второго числового класса. На изложении содержа- Л
ния этих параграфов мы не будем задерживаться и отошлем
читателя к не раз упоминавшимся книгам И. И. Жегалкина
«Трансфинитные числа» (стр. 132—177, стр. 221—291) и И. П. На-
тансона «Теория функций вещественной переменной» (стр. 406— |
416). Вполне упорядоченные множества и порядковые числа не 1
были новыми для Кантора: он ввел их еще в 4883 г., о чем говори- 1
лось ранее. Однако здесь эти понятия и теория их приобрели
новое качество: они получили ту классическую форму, в которой
их стали систематически применять в математических исследова-
176
ниях. Еще в 1895 г. Э. Борель213 употребил трансфинитные числа
Кантора для доказательства теоремы о конечном покрытии.
А в 1898 г. Р. Бэр 214 применяет трансфинитные числа Кантора для
классификации функций, причем при доказательстве теоремы, что
множество функций, входящих в его классификацию, замкнуто
относительно операции предельного перехода, он прямо ссылается
(стр. 1623) на теорему С рассматриваемой работы Кантора: «Если
eq, 02,. -, «V, — какой-либо фундаментальный ряд чисел первого
или второго числового класса, то непосредственно следующее за
ними по величине число Lim си также принадлежит ко второму
числовому классу» (стр. 326).
Рассмотрим только вопрос о способе определения трансфинит-
ных чисел Кантором. Ранее он вводил их на основе так называе-
мых принципов порождения. Здесь эти принципы совсем не
упоминаются.
Охарактеризовав упорядоченные множества как такие, между
элементами которых имеет место некоторое отношение порядка,
удовлетворяющее двум условиям: 1) из любых двух его элемен-
тов один предшествует другому; 2) если т\ предшествует in2,
а т2 предшествует тп3, то т} предшествует т3215 (стр. 296),
Кантор определил порядковый тип упорядоченного множества М
как «общее понятие, которое получается из М, если мы абстраги-
руемся от всех свойств элементов тп, кроме отношения порядка
между ними» (стр. 297). Вполне упорядоченное множество опре-
делено им как такое упорядоченное множество F, в котором, во-
первых, имеется первый элемент (называемый Кантором элемен-
том наинизшего ранга), а во-вторых, если F' cz F и в F есть
элементы, следующие за всеми элементами F', то в F существует
элемент /, непосредственно следующий за всеми элементами F'
(стр. 312) 216. После этого порядковые числа вводятся как поряд-
ковые типы вполне упорядоченных множеств (стр. 321), в част-
ности трансфинитные числа второго числового класса выступают
как порядковые типы счетных вполне упорядоченных множеств
(стр. 325). Именно это определение трансфинитных чисел вошло
затем в математику, а первоначальный подход к ним Кантора
через принципы порождения представляет лишь исторический
интерес.
В заключение сделаем последнее замечание об этой работе.
Хотя Кантор вводил упорядоченные и вполне упорядоченные
213 Ё. Borel. Sur quelques points de la theorie des fonctions.—Ann. de
1’Ecole Normale Sup., Ser. 3, 1895, 12, 9—59.
214 R. Bair e. Sur les fonctions discontinues qui se rattachent aux fonc-
tions continues.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1898, 126, 1621—1623.
215 Третье условие (никакой элемент не предшествует самому себе)
тогда обычно не формулировалось, но подразумевалось.
216 Принимаемое иногда определение вполне упорядоченного множества
как упорядоченного множества, каждое подмножество которого имеет пер-
вый элемент, высказано Кантором в виде теоремы (стр. 313).
12 Ф. А. Медведев
177
множества и изучал их свойства исключительно для последующего
изложения теории транофинитных чисел217, однако эти понятия
приобрели в математике самостоятельное значение и применялись
затем во многих исследованиях.
18. Парадоксы теории множеств
Систематизация Кантором и Дедекиндом абстрактной теории
множеств, глубокая разработка теории точечных множеств и мно-
жеств алгебраических чисел, плодотворные применения теории
множеств для разрешения все возрастающего числа математиче-
ских проблем, яркость и романтичность новой математической
теории, привлекавшей к себе интересы творческой молодежи,—
все, казалось, предвещало дальнейшее победное шествие теории
множеств. Несколько омрачала горизонт одна тучка — проблема
континуума, но математиков, в том числе и самого Кантора, это
смущало мало. Казалось, что еще одно усилие, и проблема конти-
нуума будет решена.
Однако именно в этот период, обещавший яркий расцвет тео-
рии множеств, возникло неожиданное препятствие. Около 1895 г.
Кантор обнаруживает первый парадокс теории и сообщает о нем
в письме к Гильберту218. Спустя два года Бурали-Форти незави-
симо приходит к тому же парадоксу и делает его достоянием всех
математиков219. Суть этого парадокса достаточно прозрачна. По
теории Кантора, всякое множество порядковых чисел, если их
расположить по величине, является вполне упорядоченным 22°.
Пусть теперь W — множество всех порядковых чисел. По только
что сказанному, оно вполне упорядочено, а потому его порядковый
тип является некоторым порядковым числом, скажем у. Пусть
Wy — множество порядковых чисел, меньших у. Тогда W? имеет
тот же порядковый тип, что и W. Но Wv — отрезок множества W,
отсекаемый числом у221. Следовательно,. W и его отрезок Wv по-
добны друг другу222. Однако Кантор доказал 223, что вполне упо-
217 Этого он прямо не говорил, но это следует из всего контекста его
работы.
218 A. Fraenkel. Das Leben Georg Cantors. В кн.: G. Cantor. Ges.
Abh., S. 470.
219 C. Burali-Forti. Una questione sui numeri transfiniti.—Rend.
Circ. mat. di Palermo, 1897, 11, 154—164.
220 Это предложение было доказано тогда Кантором только для мно-
жеств чисел первого и второго классов (Ges. Abh., S. 329), однако оно оче-
видным образом распространялось на любое множество порядковых чисел.
221 Отрезком упорядоченного множества А, отсекаемым элементом
оеЛ, называется множество всех элементов А, предшествующих а.
222 Два упорядоченных множества Кантор (Ges. Abh., S. 297) называет
подобными, если между их элементами можно установить взаимноодно-
значное соответствие, сохраняющее порядок их расположения.
223 G. С a n t о г. Ges. Abh., S. 316.
17В
рядоченное множество не может быть подобно никакому своему
отрезку. Значит, с одной стороны, W подобно своему отрезку, а с
другой—это невозможно. Это противоречие и явилось исторически
первым парадоксом теории множеств.
В 1899 г. Кантор же открывает еще один парадокс и сообща-
ет о нем в письме Дедекинду 224. Формулируется он в некотором
смысле еще проще. Из теории кардинальных чисел известно, что
множество Т всех подмножеств заданного множества М имеет
мощность, большую, чем мощность самого М. Возьмем теперь мно-
жество Л всех возможных множеств. Тогда, с одной стороны,
мощность множества В всех подмножеств множества А должна
быть больше мощности Л, а с другой, поскольку SczA, мощ-
ность В не должна превосходить мощность Л.
За этими двумя парадоксами абстрактной теории множеств,
открытыми в конце XIX в., в начале XX последовала целая серия
других. На них мы не будем задерживаться 225, ограничившись
словами С. К. Клини относительно парадоксов указанного типа:
«Можно предположить, что в парадоксах (Л) — (С) ошибка со-
стоит в употреблении слишком обширных множеств, таких, как
множество всех множеств или множество всех кардинальных
чисел, или в разрешении рассматривать множества как элементы
самих себя, что опять-таки служит возражением против множества
всех множеств. Отвергать эти предположения не обязательно, но
только их нельзя считать простыми. Они ставят нас перед пробле-
мой перестройки теории множеств на совершенно измененной
основе, детали которой содержатся в ней разве что в виде намека.
Например, если мы запретим множество всех кардинальных чи-
сел, мы не сможем рассматривать множество всех натуральных
чисел, пока нам не станет известно, что этими числами исчерпы-
ваются все натуральные числа, и та же самая трудность возникает
на более высоких ступенях. Если мы запретим множество всех
множеств, то получим конфликт с канторовским определением
множества. Чтобы вообще имелась теория множеств, надо иметь
теоремы, справедливые для всех множеств, а все множества, по
канторовскому определению, образуют множество. Если это не
так, то мы должны указать, каким определением множества мы
будем пользоваться взамен, или же дополнить канторовское опре-
деление некоторым дальнейшим критерием, устанавливающим,
когда описанная в его определении совокупность объектов образу-
ет множество» 226.
Следовательно, парадоксы теории множеств — это не какие-то
внешние факторы, мешающие развитию теории вширь; это внут-
ренние трудности теории, лежащие в самих основах теории, в тех
224 G. Cantor. Ges. Abh., S. 446—447.
225 Эти парадоксы приведены, например, в кн.: С. К. Кличи. Введение
в метаматематику. М., ИЛ, 1957, стр. 40—43.
226 Там же, стр. 42—43.
179
12*
способах рассуждений, которые образуют каркас ее. Возникают
эти парадоксы именно в абстрактной теории множеств, о связи
которой с формальной логикой мы уже говорили. Не случаен поэ-
тому факт вскрытия вскоре после обнаружения парадоксов в тео-
рии множеств парадоксов формальной логики. Это, однако, дело
XX столетия, которое нас здесь не интересует. Мы обратимся к
некоторым непосредственным следствиям открытия парадоксов.
Указанные два парадокса Кантор обнаружил как раз в тот
момент, когда он после очень продолжительного болезненного
состояния возвратился к математическим исследованиям. Как по-
казывает его переписка с Дедекиндом, одной из задач своей науч-
ной деятельности он ставил тогда устранение парадоксов 227. Од-
нако это ему не удавалось. К этим затруднениям присоединялась
давнишняя неудовлетворенность отсутствием решения проблемы
континуума. Все это не могло не сказаться на математическом
творчестве Кантора. Несмотря на то, что после опубликования
своей последней работы он прожил еще 21 год, он так и не опуб-
ликовал больше ни одной работы.
В известной мере обнаружение парадоксов теории множеств
сказалось и на математическом творчестве Дедекинда. Известно 228,
что Дедекинд был так шокирован этим фактом, что долго не
соглашался на третье переиздание книги «Что такое числа и для
чего они служат?». Более того, там, где в его последующих алге-
браических исследованиях по самой их сути требовались общие
теоретико-множественные представления, он пытался или как-то
обойти их, или переложить ответственность за них на других
авторов. К этому мы еще возвратимся в следующей главе.
На грани XIX—XX столетий некоторые математики (напри-
мер, А. Пуанкаре), ранее не только признававшие теорию мно-
жеств, но и широко и плодотворно применявшие ее в своих
исследованиях, впервые начинают выступать в печати против
теории множеств, в частности против ее основного понятия —
понятия актуального бесконечного множества. Именно тогда про-
исходит разделение математиков на сторонников и противников
теории множеств. Противники яростно нападают на нее, а сторон-
ники прибегают к различным способам видоизменения учения о
множествах (например, построение аксиоматических теорий) с
тем, чтобы сохранить и улучшить его 229. Однако, несмотря на эту
борьбу, теория множеств во все возрастающем объеме применяет-
ся в других математических дисциплинах и зачастую становится
в них той основой, без которой немыслимо само их развитие.
227 См. письма Кантора от 28 июля, 28 августа, 31 августа 1899 г. G. С а п-
t о г. Ges. Abh., S. 443—449.
228 J. С a v a i 11 ё s.— В кн.: Briefwechsel, S. 7.
229 Об этом см.: Ван Хао и Р. Мак-Нотон. Аксиоматические сис-
темы теории множеств. М., ВД1, 1963.
180
К концу 90-х годов — началу XX столетия, наряду с ветерана-
ми теории множеств (Дедекинд), на научной арене начинают
появляться молодые ученые, которые поднимают теорию множеств
на новую ступень (сначала Борель и Бэр, а несколько позже
Лебег, Юнг, Цермело, Фреше, Хаусдорф и др.). Их результаты,
хотя они отчасти и получены в XIX в., принадлежат тому периоду
истории теории множеств, который выходит за рамки нашей ра-
боты, и в следующей главе мы коснемся лишь некоторых из них.
19. Отношение математиков к теории множеств
в период, ее создания
Создание теории множеств явилось большим революционным
переворотом в истории математики. Основным в этом перевороте
был отказ от прежних форм мышления и замена их новыми, пе-
реход от вычислений к рассуждениям. Начатый уже давно, этот
переход достиг своего наиболее полного выражения в работах
Кантора: в них (исключая, разве, некоторые моменты теории
трансфинитных чисел) почти полностью отсутствуют элементы
вычислений, а встречающиеся там символы и их сочетания — это
скорее опорные пункты логических рассуждений, нежели какие-то
вычислительные элементы.
Вторым важным моментом была невиданная еще в истории
математики степень абстрактности новой дисциплины. Уже у
Кантора многие понятия относились к всевозможным объектам
мышления (понятия множества, подмножества, взаимноодно-
значного соответствия, мощности и т. д.) и вследствие этого ста-
вились в один ряд с общелогическими понятиями. Операции над
множествами и законы этих операций превратились у Дедекинда
в формально-логические операции и их законы. Этот процесс
углублялся чем далее, тем более.
Однако если по степени общности понятия теории множеств
сравнялись с понятиями логики, то по своему содержанию они
отличались от последних в одном существенном пункте. Самые
общие понятия формальной логики молчаливо считались относя-
щимися все же к конечным классам объектов; теоретико-множест-
венные понятия по преимуществу связывались с бесконечными
классами. При этом нарушались многие привычные нормы мыш-
ления. Высказывание «целое больше своей части» теряло свой
прежний смысл; для транофинитных чисел нарушалась коммута-
тивность сложения; бесконечное, мыслимое ранее главным образом
в его потенциальной форме, приобрело характер актуально беско-
нечного множества, все элементы которого, какова бы ни была
его мощность, считаются имеющимися в нашем распоряжении;
эти элементы даже можно в некотором смысле «пересчитать»,
пользуясь трансфинитными числами; порядок и количество эле-
ментов, единые в определенном отношении для области конечного,
181
расщеплялись для бесконечных множеств на две существенно
различные категории и т. д.
Поэтому на первый взгляд представляется естественной точка
зрения Бурбаки, отражающая широко распространенное мнение:
«Столь смелые воззрения, опрокидывающие традиции двух тыся-
челетий и приводящие к неожиданным и парадоксальным резуль-
татам, не могли не столкнуться с сильнейшей оппозицией. И дей-
ствительно, среди влиятельных немецких математиков того време-
ни один только Вейерштрасс относился к работам Кантора (своего
бывшего ученика) более или менее благосклонно; другие ученые
не разделяли этого отношения, и Кантор натолкнулся на непри-
миримую оппозицию Шварца и особенно Кронекера» 230.
Такое представление об отношении математиков к теории ;
множеств традиционно в историко-научной литературе. Основной 1
упор делается на ту оппозицию, с которой встретился сам Кантор
и создававшаяся им теория. Действительно, в силу указанных
причин оппозиция должна была быть и на самом деле была до-
вольно сильной. Но это только одна и даже не решающ,ая сторона
отношения современников к теории множеств. Была и другая
сторона, которая определила тогда, да определяет и сейчас, судьбу -
этой математической дисциплины,— сознание необходимости ее
для самых разнообразных исследований математики.
Приведенные слова Бурбаки могут создать впечатление, что
идеи теории множеств не встречали поддержки. Это, конечно,
далеко не так. Поскольку отрицательное отношение к теоретико-
множественным представлениям с большей или меньшей полнотой
описано не раз231, то мы не будем на этом останавливаться. Мы,
наоборот, приведем факты благожелательного отношения к теории
множеств со стороны главным образом математиков.
Подчеркнем прежде всего одно обстоятельство. Говоря об от-
ношении математиков к теории множеств, не следует смешивать
вопрос об отношении к самой теории и даже к отдельным ее со-
ставным частям (теории множеств алгебраических чисел, теории
точечных множеств, теории абстрактных множеств) с вопросом
об отношении к работам Кантора. Теория множеств алгебраиче-
ских чисел практически не встретила сколько-нибудь ощутимой
оппозиции. Значительно меньшее сопротивление было оказано
теории точечных множеств, нежели учению об абстрактных мно-
жествах, в частности учению о трансфинитных числах.
Что касается отношения к работам Кантора, то следует при-
нять во внимание, что некоторые из них были облечены в такую
философско-теологическую форму, что не могли не вызвать не-
230 Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., ИЛ, 1963, стр. 41,
231 См например: A. Fraenkel. Das Leben Georg Cantors.—В .кн.:
G Cantor Ges. Abh., S. 465—466; A. Schoenflies. Krisis in Cantors
mathematischen Schaffen.-Acta Math., 1928, 50, 1-23; J. Cavailles.-
B кн.: Briefwechsel, S. 3—4.
182
приязненного к себе отношения. Чтобы убедиться в философско-
теологической загруженности отдельных работ Кантора, доста-
точно бегло просмотреть примечания к его «Основам общего
учения о многообразиях» и особенно его статью «К учению о
трансфинитном» 232.
Рассмотрение вопроса об отношении ученых к теории множеств
мы начнем с одного из крупнейших математиков XIX столетия —
Рихарда Дедекинда. Сам Дедекинд является, наряду с Кантором,
одним из создателей теории множеств. При этом, как мы уже
видели, он начал работать в этом направлении еще до Кантора;
свои теоретико-множественные идеи он развивал одновременно с
Кантором и, как мы увидим далее, после Кантора. Поэтому он не
мог относиться отрицательно к работам по теории множеств, к но-
вым научным представлениям, ибо это были во многом его
собственные представления. Как показывает переписка Дедекинда
и Кантора, многие основные идеи Кантора встретили поддержку
и одобрение со стороны Дедекинда. Можно утверждать с извест-
ным правом, что без поддержки Дедекинда работы Кантора встре-
тили бы еще большее непонимание. Представим себе, например,
что Кантор опубликовал свою теорему об эквивалентности конти-
нуумов разного числа измерений с теми размышлениями о работах
Гаусса, Римана и Гельмгольца, которые приведены в одном из
писем к Дедекинду (о них мы уже говорили), да еще с пробелом
в доказательстве. Иное дело, когда Дедекинд написал Кантору,
что то или иное его доказательство он тщательно проверил и не
нашел в нем ошибок. После этого названный результат смело мог
публиковаться.
Далее, говоря об отношении к теории множеств, нельзя ограни-
чиваться только работами Кантора. Как мы уже отмечали, тео-
ретико-множественные идеи пронизывают почти все научное твор-
чество Дедекинда. Мне неизвестно, однако, чтобы, например, X
дополнение Дедекинда, где впервые вводятся операции над ак-
туально бесконечными множествами, встретило какое-либо сопро-
тивление в математических кругах; скорее, наоборот, они встрети-
ли поддержку и признание, как нечто само собою разумеющееся.
Так что Дедекинд не только способствовал распространению
идей Кантора, но, фактически выступив еще ранее Кантора с
близкими идеями, добился широкого признания этих теоретико-
множественных идей.
Далее следует указать Уллиса Дини. Едва Кантор сделал
первые шаги в теории множеств, введя понятие о производном
множестве и о множествах v-ro вида, едва Смит построил первые
совершенные множества, как эти понятия Дини включил в курс
своих лекций, широко применил их в самых разнообразных вопро-
сах учения о функциях и опубликовал первые теоретико-множест-
232 Обе работы помещены в указанном ранее русском переводе.
183
венные результаты в широко распространившихся «Основах тео-
рии функций действительного переменного» (1878 г.).
Несомненен устойчивый интерес Вейерштрасса к теории мно-
жеств. В его научных работах и особенно в его лекциях по теории
функций комплексного переменного содержались многие теорети-
ко-множественные идеи (понятия предельной точки, открытого и
замкнутого множества и т. д.). Вместе с тем он очень благожела-
тельно относился и к работам Кантора.
Установив в 1874 г. несчетность множества действительных
чисел отрезка, Кантор первоначально не собирался ничего публи-
ковать об этом. Вейерштрасс не только побудил его опубликовать
данный результат, но и способствовал напечатанию его в «Журна-
ле чистой и прикладной математики» — наиболее распространен-
ном тогда периодическом математическом издании 233.
В том же 1874 г. Вейерштрасс предложил одно из самых пер-
вых применений канторовского положения о счетности множества
алгебраических чисел 234. Используя это обстоятельство и прямо
ссылаясь на Кантора, Вейерштрасс в письме к Дюбуа-Раймону от
15.XII 1874 г. построил пример непрерывной функции, которая
не имеет максимумов и минимумов и у которой отсутствует про-
изводная в каждой точке аргумента с абсциссой, выражаемой ал-
гебраическим числом 235.
Интерес Вейерштрасса к работам Кантора не ослабел и спустя
десятилетие. В 1884 г. Миттаг-Леффлер использует некоторые
положения теории точечных множеств в теории функций комплек-
сного переменного, опираясь при этом на работы Кантора. Как он
писал последнему, Кронекер очень рассердился за это на Миттаг-
Леффлера. Вейерштрасс же, наоборот, оказался очень доволен
и хотел сделать сообщение об этой теореме на семинаре в Берли-
не 236. В следующем году в письме к С. Ковалевской Вейерштрасс
признавался, что заняться теорией функций действительного пере-
менного его побудила канторовская теория меры точечных мно-
жеств 237. Отмечавшееся обычно охлаждение Вейерштрасса к
Кантору и его работам может быть отчасти объяснено, как это
отметил А. Френкель 238, влиянием Кронекера.
Важную роль в распространении теоретико-множественных
идей сыграл и такой крупный математик, как Дюбуа-Раймон.- Он
233 Briefwechsel, S. 16—17.
234 Первым, конечно, является применение его самим Кантором для
доказательства существования трансцендентных чисел.
235 Brief von К. Weierstrass an Paul du Bois-Reymond.— Acta math., 1923,
39, 205-206. ,
236 A. S c h о e n f 1 i e s. Die Krisis in Cantors mathematischen Schaffen.
Brief vom 2.VIII 1884.— Acta math., 1928, 50, 1—23.
237 Brief von K. Weierstrass an Sonja Kowalewsky vom 16. Mai 1885.—
Acta math., 1923, 39, S. 195—196.
238 A. Fraenkel. Das Leben Georg Cantors.— В кн.: G. Cantor. Ges.
Abh, S. 465.
184
сам получил ряд интересных результатов в теории множеств,
широко пользовался ими в теоретико-функциональных исследова-
ниях, а в своей «Общей теории функций» подчеркнул и значение
идей Кантора.
До сих пор имелись в виду главным образом те результаты
теории множеств, которые были тесно связаны с другими разра-
батывавшимися тогда математическими вопросами и естественно
входили в общее русло математических идей. Возьмем теперь та-
кой неожиданный для математиков результат Кантора, как теоре-
ма об эквивалентности континуумов разного числа измерений.
Она первоначально казалась самому Кантору и могла казаться
другим математикам потрясающей основы многих исследований
того времени. Опубликованная в 1878 г., она привлекла к себе
широкое внимание. Однако старания математиков были направле-
ны не на то, чтобы отвергнуть эту теорему или как-то очернить
ее. Проверенное Дедекиндом доказательство ни у кого не вызыва-
ло сомнений, и эту теорему приняли как факт, с которым приходи-
лось так или иначе мириться. Но зато было приложено немало
усилий к тому, чтобы осмыслить ее, уточнить связь названной
теоремы с классическим понятием размерности, осмыслить харак-
тер самого взаимнооднозначного соответствия между континуума-
ми. За эту задачу уже в 1879 г. взялись Люрот, Томе, Нетто,
затем Милези, Пеано, Гильберт и др.
Мы уже указывали ранее на многочисленные применения уче-
ния о множествах в самых различных вопросах алгебры и теории
функций еще до того, как оно было сформулировано в четкой фор-
ме. Это имело место и у англичанина Смита, и у итальянцев Аско-
ли, Вольтерра, Пеано, и у немцев Гарнака, Вельтмана, Паша, и у
шведов Миттаг-Леффлера, Бендиксона, Прагмена, и у французов
Пуанкаре, Жордана, и у упомянутых в данном разделе мате-
матиков.
Ш. Эрмит нередко считается одним из противников теории
функций действительного переменного (а тем самым, и теории
множеств) 239 240. Но.’ вот что писал сам Кантор в 1908 г. в письме
к В. Юнгу: «В течение последних десяти лет его (т. е. Эрмита.—
Ф. М.) жизни я был в близких и дружественных отношениях с
ним. Эрмит и Вейерштрасс полностью преодолели их прежнее
предубеждение против меня, предубеждение, систематически сти-
мулировавшееся Кронекером. Похвалы Эрмита, сыпавшиеся в
письмах, имеющихся у меня, по поводу теории множеств столь
велики и, на мой взгляд, столь не заслуженны, что мне не хочется
публиковать их из боязни упрека в моем ослеплении ими» 24°.
Длинный перечень имел, больших и менее значительных, мож-
но было бы еще продолжить, и на последующих страницах это
239 См., например: С. Сакс. Теория интеграла. М., ИЛ, 1949, стр. 7.
240 Цит. по статье: W. Н. Young. The progress of mathematical analysis
in the twentieth century.— Proc. London Math. Soc., 1926, 24, 423.
185
будет отчасти сделано. Эти математики не только благожелательно
относились к идеям теории множеств; они сделали гораздо боль-
ше, восприняв их как необходимый инструмент математических
исследований и значительно расширив сферу их применения.
Да это и естественно. Теория множеств не была искусственно
надуманной схемой, а явилась созревшим плодом математического
творчества предшествующих поколений математиков. Было бы,
наоборот, странно, если бы теория множеств встретила только
непонимание, если бы «...среди влиятельных немецких математи-
ков того времени один только Вейерштрасс относился к работам
Кантора... более или менее благосклонно...», а другие математики
«...не разделяли этого отношения...» (Н. Бурбаки).
Конечно, в силу указанных в начале этого раздела причин
имело место известное недоверие к новым идеям. Однако остается
несомненным тот факт, который, быть может, наиболее ярко ха-
рактеризует отношение математиков к теории множеств в период
*ее создания, что за все это время ни один значительный матема-
тик не выступил в печати с отрицанием не только теории мно-
жеств в целом, но даже отдельных ее положений. Даже такие
ожесточенные противники новых идей, как Кронекер и Шварц,
не опубликовали ни одной строки против теории множеств. Все,
что нам известно об отрицательном к ней отношении, взято из
личной переписки и некоторых отрывочных воспоминаний.
В печати против теории множеств выступили по-преимуществу
философы и теологи. Видимо, этим отчасти и объясняется фило-
софско-теологическая окантовка многих поздних работ Кантора —
глубоко верующего католика. Мы не будем останавливаться на
этом, так как критика философов того времени теории множеств
основывалась главным образом на неправильном понимании ее
положений, что, в частности, ярко показано самим Кантором.
Первое официальное признание теории множеств принес Пер-
вый Международный конгресс математиков, происшедший 9—
И августа 1897 г. в Цюрихе. На этом конгрессе присутствовали
242 участника из 16 стран мира, среди которых были виднейшие
математики XIX столетия. Хотя научных докладов, посвященных
непосредственно теории множеств, здесь не было, тем не менее
теория множеств «присутствовала» на этом конгрессе довольно
ощутимым образом.
9 августа на пленарном заседании конгресса речь была пре-
доставлена А. Гурвицу, выступившему с докладом «Развитие об-
щей теории аналитических функций в новое время» 241. Выступле-
ние Гурвица характерно тем, что все оно проникнуто идеями тео-
рии множеств; теория множеств представлена в нем как матема-
241 А. Н и г w i t z. Uber die Entwickelung der allgemeinen Theorie der
analytischen Funktionen in neuer Zeit.— Verhandl. der Ersten internal. Math.-
Kongr., Leipzig, 1898, S. 91—112.
186
тическая дисциплина, лежащая в основании общей теории ана-
литических функций.
Действительно, сразу же после формулировки понятия анали-
тической функции по Вейерштрассу Гурвиц ставит вопрос о ха-
рактере области существования аналитической функции. И непо-
средственно вслед за этим он продолжает: «Чтобы иметь возмож-
ность сформулировать ответ на этот вопрос точным образом, я
должен напомнить некоторые понятия из учения о точечных мно-
жествах» (стр. 93). В качестве таковых он приводит понятие то-
чечного множества на плоскости илп на шаре, понятия внутренней,
внешней и граничных точек множества, понятие связности. После
этого следует четкий теоретико-множественный ответ: область су-
ществования аналитической функции является открытым и связ-
ным точечным множеством 242; обратно, если задано открытое
и связное множество Р (область или, как предпочитали говорить
тогда математики, континуум), то всегда существует однозначная
аналитическая функция, имеющая Р своей областью существо-
вания 243.
Вслед за тем Гурвиц ставит вопрос об особых точках анали-
тических функций, подчеркивая, что свойства точечных множеств,
образованных из особых точек, позволяют установить важнейший
принцип классификации однозначных аналитических функций и
что «...основу всех исследований здесь образуют общие теоремы
г-на Кантора о точечных множествах, которые в отношении их
применения к теории функций были пополнены г-дами Бендиксо-
ном и Прагменом. Важную роль в этих теоремах играют трансфи-
нитные числа Кантора» (стр. 94—95). Далее речь идет о замкну-
тых множествах, поскольку множество особых точек аналитиче-
ской функции всегда является замкнутым. Разделение замкнутых
множеств на два класса —счетные и несчетные — приводит к вы-
делению двух обширных типов аналитических функций: функций,
множество особых точек которых счетно, и функций с несчетным
множеством особых точек.
Функциям первого типа можно придать сравнительно простое
аналитическое выражение в виде суммы ряда, каждый член кото-
рого содержит только одну особую точку, являющуюся особой точ-
кой рассматриваемой функции. Для функций второго типа вопрос
об их аналитическом представлении оказался гораздо сложнее
(исследование его относится уже к XX столетию) 244.
Следовательно, и здесь подчеркивается значение теоретико-
242 Термина «открытое множество» докладчик, естественно, не употреб-
лял, поскольку его в математике еще не было; он говорит о таком точечном
множестве, которое «...состоит исключительно из внутренних точек»
(стр. 94).
243 Этот результат принадлежит Миттаг-Леффлеру (1884 г.).
244 В. В. Голубев. Однозначные аналитические функции. М., Физмат-
гиз, 1961.
187
множественного метода: для решения вопроса о возможности
представления функции в виде определенного аналитического вы-
ражения приходится предварительно узнать, какова мощность
множества особых точек.
Последний вопрос о связи теории множеств с теорией аналити-
ческих функций, которого мы коснемся в связи с докладом Гур-
вица, относится к взаимоотношению двух определений аналити-
ческой функции: определения ее как такой функции, у которой
существует конечная производная, и определения через интеграл
Коши. При решении этого вопроса опять возникает необходимость
привлечения аппарата теории множеств, поскольку в понятие ин-
теграла Коши входит контур интегрирования. Изучение этих кон-
туров предполагает предварительное решение вопросов о том,
«...что такое простая замкнутая линия; что есть линия вообще,
и в частности замкнутая линия; и все ли или только некоторые
линии пригодны в формулировке теоремы Коши?» (стр. 101) 245.
Здесь необходимо теоретико-множественное определение линии,
которое Гурвиц формулирует так: «Замкнутое точечное множест-
во будем называть дугой непрерывной кривой, если оно является
непрерывным образом прямолинейного отрезка» (стр. 102). Вводя
затем понятие о взаимнооднозначном и взаимнонепрерывном ото-
бражении двух множеств, Гурвиц разбивает все замкнутые мно-
жества на классы эквивалентных относительно такого отображе-
ния множеств. После этого непрерывная замкнутая кривая
определяется как точечное множество, принадлежащее к тому же
классу, что и множество, состоящее из всех точек периферии
квадрата (стр. 108). После ряда замечаний о спрямляемости кри-
вых Гурвиц формулирует общий результат Жордана: «Теперь
теорема Коши справедлива всякий раз, когда интеграл ff(z)dz
берется по непрерывной спрямляемой дуге кривой, у которой
начальная и конечная точки совпадают» (стр. 103).
Таким образом, Гурвицем убедительно показано, что развитие
общей теории аналитических функций во второй половине XIX
столетия происходило в неразрывной связи с теорией множеств,
что проблемы теории аналитических функций приводили к поста-
новке теоретико-множественных проблем и что решение послед-
них вместе с тем было решением проблем собственно теории функ-
ций. Тем самым все присутствовавшие на этом докладе могли убе-
диться в значении теории множеств для теории функций.
Вторым докладом, о котором мы скажем несколько слов, был
доклад Ж. Адамара «О некоторых возможных приложениях тео-
рии множеств» 246, сделанный на заседании секции анализа и тео-
245 Речь идет о теореме: если f(z) имеет конечную производную в каж-
дой точке некоторой области Р, то ff(z)dz = 0 для всякой простой замкну-
той кривой с, принадлежащей Р.
246 J. Hadamar d. Sur certaines applications possibles de la theorie des
ensembles.— Verhandl. des Ersten internat. Math. Kongr., Leipzig, 1898,
S. 201-202.
188
рии функций. Указав, что хотя теория множеств отвлекается от
природы элементов изучаемых множеств, но что до этого времени
изучались главным образом точечные множества, Адамар отмеча-
ет необходимость изучения множеств объектов более сложной при-
роды: «Мне не кажется бесполезным подчеркнуть интерес, кото-
рый имело бы изучение множеств, образованных из функций»
(стр. 201). Особое значение такого рода исследования имели бы,
по мнению Адамара, в теории уравнений с частными производны-
ми математической физики. «Именно благодаря таким исследова-
ниям можно было бы создать прочный фундамент для хорошо
известных рассуждений, которые сводят определение интеграла
этих уравнений к вопросам минимума», поскольку «...эти вопро-
сы связаны с природой области, на которой ищется минимум»
(стр. 201).
Таким образом, Адамар не только считал основные результа-
ты теории точечных множеств само собой разумеющимися, извест-
ными каждому присутствовавшему на заседании и имеющими
большое значение для математики, но и намечал пути дальнейше-
го расширения исследований по теории множеств, открывая
дорогу изучению функциональных пространств и созданию функ-
ционального анализа на новой основе, предвидя его значение для
математической физики.
Замечание С. Пинкерле в связи с выступлением Адамара 247,
в котором он указал, что такого рода исследования уже давно про-
водятся в Италии (Асколи, Вольтерра, Арцела, Пинкерле), было
отчасти справедливо, так как названные ученые действительно
много сделали в этом направлении. Однако здесь предстояло еще
сделать неизмеримо больше, а потому Адамар был совершенно
прав, отмечая целесообразность исследований в указанном им на-
правлении.
Мы видим, следовательно, что первый же Международный кон-
гресс в известной мере узаконил, хотя и post factum, не только
право на существование теории множеств, но и плодотворность ее
как -в исследованиях прошлого, так и для предстоящих изысканий.
Та же тенденция была и на Втором Международном матема-
тическом конгрессе в 1900 г. Мы отметим лишь тот факт, что
Д. Гильберт в своих знаменитых «Будущих проблемах математи-
ки» 248, которые он поставил в качестве важнейших проблем, тре-
бующих разрешения, на перво-е место выдвинул проблему конти-
нуума (стр. 70).
Любопытно, что ознакомление с материалами первых двух
конгрессов показывает совершенное отсутствие даже каких-либо
намеков на отрицательное отношение математиков к теории мно-
247 S. Pincherle. Remark relative a la communication de M. Hada-
mar d. Verhandl. des Ersten internat. Math.-Kongr., Leipzig, 1898, S. 203.
248 D. Hilbert. Sur les problemes futurs des mathematiques.— C. r. du
Deuxieme congres internat. des mathematiciens. Paris, 1902, p. 58—114
189
жест® или к ее создателям. Это существенный аргумент против
приведенных ранее слов Бурбаки о непризнании теории множеств
математиками XIX столетия.
Косвенным признанием теории множеств явилась и оценка на-
учных заслуг одного из ее основных творцов — Георга Кантора.
В 1901 г. он был избран почетным членом Лондонского королев-
ского общества, в 1902 г.— почетным членом Харьковского мате-
матического общества, членом-корреспондентом Института науки,
литературы и искусства в Венеции, почетным доктором матема-
тики университета в Христиании и т. д.249 250
К числу свидетельств официального признания теории мно-
жеств относится и следующее. Такой фундаментальный труд,
как немецкая «Энциклопедия математических знаний с вклю-
чением их применений», содержал обстоятельный обзор А. Шёнф-
лиса (написанный в конце 1898 г.), посвященный теории мно-
жеств 25°.
В 90-х годах прошлого века началось проникновение теорети-
ко-множественных идей в математическое образование, и это яви-
лось в известном смысле самым веским аргументом в защиту те-
зиса о признании теории множеств математиками, особенно, если
учесть расширение круга преподавателей, приобщавших к новым
идеям молодое поколение математиков. Велики, в частности, в
этом заслуги Дини, Пеано, Жордана.
В заключение отметим еще одно обстоятельство, также свя-
занное с отношением математиков к теории множеств. Для того
чтобы читать математические работы XVIII — первой половины
XIX в., необходимы лишь элементарные знания языка оригина-
ла. К тому же многие из них написаны на универсальном тогда
научном языке — латыни. Изложение содержания было настолько
насыщено формульным материалом, что многое можно было чи-
тать без хорошего знания языка.
В теории множеств отход от формул был весьма значительным;
в ней было неизмеримо больше рассуждений, притом часто очень
тонких, которые, если схема их заранее не знакома, практически
неусвояемы без хорошего знания языка. Поэтому переводы работ
по теории множеств на различные языки явились важным фак-
тором распространения ее идей и вместе с тем признанием их зна-
чимости.
Уже в 1883 г. по инициативе Миттаг-Леффлера были переведе-
ны на французский язык и помещены в Acta mathematica основ-
ные работы Кантора по теории множеств. Заслуживает внимания
то, что перевод «Основ общего учения о многообразиях» был вы-
249 A. Fraenkel. Das Leben Georg Cantors.— В кн.: G. Cantor. Ges.
Abh., S. 473.
250 A. Schoenflies. Mengenlehre. Encyklopedie der mathematischen
WisSenschaften mit EinschluB ihrer Anwendungen. Bd. I, Th. 1. Leipzig,
1898—1&04.
190
полнен А. Пуанкаре251, который в то время еще высоко ценил
учение о множествах и блестяще применил его идеи в теории ав-
томорфных функций 252. Вскоре после опубликования последней
математической работы Кантора «К обоснованию учения о транс-
финитных множествах» (1895—1897) она также была переведена;
на французский язык 253. В 90-х годах в основанном Пеано мате-
матическом журнале Rivista di matematica появились переводы
ряда работ Кантора на итальянский язык. В начале же XX столе-
тия выходят переводы отдельных теоретико-множественных работ
Кантора и Дедекинда на английский, русский и некоторые дру-
гие языки.
На этом мы заканчиваем более или менее систематический об-
зор истории теории множеств в XIX в. В следующей главе мы
приведем некоторые факты, связанные с ее приложениями в от-
дельных вопросах.
251 Переводчики работ Кантора в Acta mathematica не указаны. О том,
что «Основы» переведены А. Пуанкаре, позднее сообщил Миттаг-Леффлер
(Acta math., 1928, 50, 26).
252 Н. Poincare. Memoire sur les groupes kleineens.— Acta math., 1883,.
3, 49—92.
253 Mem. Soc. sci. phys. et natur. de Bordeaux, Ser. 5, 1899, 3.
ГЛАВА III
МЕТОДЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
В ДРУГИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИНАХ
1. Несколько замечаний о характере приложений
теории множеств
Между созданием теории множеств и ее применениями в дру-
гих математических дисциплинах нет четкой границы. Здесь суще-
ствует настолько тесная взаимосвязь и обусловленность, что порой
трудно установить, что предшествует — создание того или иного
элемента теории или применение его к соответствующей матема-
тической проблеме. Мы уже не раз видели и увидим еще впослед-
ствии, что ростки теории множеств чаще всего появлялись при ре-
шении конкретных проблем математики в такой форме, в какой
они п не могли быть осознаны как элементы самостоятельной на-
учной дисциплины.
Например, когда Дюбуа-Раймон применял диагональный метод
при изучении порядков роста функций (1873 г.), то он, конечно,
не задумывался о значении этого метода в теории множеств,
так как самой этой теории в это время по существу не было. Еще
с большим правом это можно сказать о понятии актуально беско-
нечного множества у Гаусса или о понятии взаимнооднозначного
соответствия между элементами двух множеств у Штейнера и т. д.
Отделение применений теории множеств от процесса ее создания
довольно искусственно, особенно в XIX в.
Приложения уже готовой теории в XIX в. имели, как прави-
ло, меньшее значение для математики, чем те, в которых вместе с
тем создавались новые элементы теории множеств. Достаточно,
например, сравнить теоретико-множественное обоснование ариф-
метики у Ф. Мейера 1 и Р. Дедекинда2. У первого теория
множеств и арифметика связаны друг с другом чисто внеш-
ним образом, отчего та и другая мало выигрывают. У второго же
число и множество неразрывно связаны друг >с другом, и эта связь
оплодотворяет как теорию множеств, так и арифметику. Первая
1 Fr. М е у е г. Elemente der Arithmetik und Algebra. Zweite Auflage, Hal-
le, 1885.
2 P. Дедекинд. Что такое числа и для чего они служат? Казань, 1905.
192
книга по существу забыта, а вторая стала тем классическим про-
изведением, к которому неоднократно затем обращались очень
многие математики. Возможное возражение, что различны даро-
вания авторов этих двух книг, в значительной мере снимается тем,
что во время написания своей книги Мейер находился в тесном
общении с Кантором3 и книга, по-видимому, писалась не без со-
действия последнего.
Применения теории множеств в математике были практически
необозримы. Она оказала влияние на развитие почти всей мате-
матики. Поэтому далее не ставится задача дать сколько-нибудь
исчерпывающее описание ее приложений. Здесь преследуется го-
раздо более скромная цель: показать, какое изменение претерпе-
вали отдельные проблемы математики и методы их решения
под воздействием теоретико-множественной трактовки этих проб-
лем.
Подбор материала настоящей главы мы произвели, следуя мы-
сли П. С. Александрова 4 о трех направлениях революционизирую-
щего влияния теории множеств на математику: во-первых, завер-
шение перестройки анализа на новых началах, во-вторых, про-
никновение теоретико-множественных методов в большинство
существовавших математических дисциплин, и, наконец, возник-
новение ряда новых математических дисциплин.
2. О теоретико-множественной перестройке
основных понятий анализа
Почти общепринято мнение, что своим возникновением мате-
матический анализ в значительной степени обязан введению поня-
тия переменной величины или переменного количества. Это по-
нятие служило преимущественно для математического выраже-
ния механических понятий движения, изменения и, как правило,
иллюстрировалось последними, находя в них свое оправдание.
Другие основные понятия анализа выражались через переменные
величины и были неразрывно с ними связаны.
«Чтобы должным образом понять значение дела Коши и оце-
нить обоснование дифференциального исчисления (а также и ана-
лиза в целом.— Ф. М.) на построенном им фундаменте, нужно
обратить внимание на роль, которую играет в его учении понятие
переменной величины. Роль эта исключительно важна, и в то вре-
мя как, например, алгебра и теория чисел имеют дело исключи-
тельно с постоянными числами, т. е. с величинами в стационарном
состоянии, Коши вводит в математический анализ переменные
3А. Fraenkel. Das Leben Georg Cantors.— В кн.: G. Cantor. Ges.
Abh., S. 466.
4 П. Александров. О новых течениях математической мысли, воз-
никших в связи с теорией множеств. Сборник статей по философии мате-
матики. М., Учпедгиз, 1936, стр. 14—20.
13 Ф. А. Медведев
193
величины на равных правах с постоянными, подчинив и те и дру-
гие одинаковым правилам исчисления. В этой одинаковости пра-
вил лежал залог успеха учения Коши» 5.
Переменная величина у Коши — это величина, численные зна-
чения которой фактически изменяются 6, и лишь в частном слу-
чае, когда переменная рассматривается как обобщение постоян-
ной, это численное значение может оставаться одним и тем же.
Другое основное понятие анализа Коши — понятие предела — оп-
ределяется через соотношение между постоянными и переменны-
ми величинами: если переменная величина изменяется таким об-
разом, что значения ее неопределенно приближаются к некото-
рой постоянной величине так, что разность (по абсолютной величи-
не) между ними и этой постоянной величиной может сделаться
меньше всякой данной величины, то указанная постоянная вели-
чина называется пределом переменной7. Эти понятия вместе дают
основание определению бесконечно малой величины как перемен-
ной, имеющей своим пределом нуль 8.
Предмет анализа — функция — выводится из подразделения
переменных на два типа — зависимых и независимых — и уста-
новления связи между ними: «Ежели переменные количества за-
висят одни от других таким образом, что по данной величине од-
ного из них можно вывести величины всех прочих, то все сии раз-
личные количества выражаются обыкновенно посредством одной
из них, которое и называется в таком случае переменным неза-
висимым, а другие количества, выраженные посредством незави-
симой переменной, называются функциями сей переменной»9.
Другими словами, функция — это переменная величина, завися-
щая от другой величины так, что ее значения определяются зна-
чениями аргумента. Через эти понятия выражаются все осталь-
ные.
«Такая точка зрения совершенно безукоризненна, и Коши по
заслугам принадлежит слава первого строгого основателя диффе-
ренциального исчисления... нужно признать, что большинство со-
временных математиков полностью принимает математический
анализ таким, каким он представлялся еще Коши... Но точка
зрения Коши имеет, по современным взглядам, тот основной
недостаток, что она бессильна охватить и объяснить многие очень
глубокие факты математического анализа, которые были открыты
в конце прошлого, XIX в. и в самом начале настоящего века» 10.
5 Н. Н. Лузин. Дифференциальное исчисление. БСЭ, изд. 1, 1934, 22,
стр. 622—642; Собр. соч., т. III. М., Изд-во АН СССР, 1959, стр. 305.
6 А. Л. К о ш и. Краткое изложение уроков о дифференциальном и инте-
гральном исчислении. СПб., 1831, стр. 3.
7 А. Л. К о ш и. Алгебраический анализ. Лейпциг, 1864, стр. 4.
8 Там же, стр. 4.
9 А. Л. Коши. Краткое изложение уроков дифференциального и инте-
грального исчисления. СПб., 1831, стр. 8.
10 Н. Н. Л у з и н. Указ, соч., стр. 306.
194
Вслед за тем Лузин в качестве примеров подобного рода ука-
зывает теорему Фишера — Рисса и проблему восстановления при-
митивной по ее точной производной, найденным на теоретико-мно-
жественной основе, как повод для перестройки анализа с точки
зрения теории множеств. Но дело, по-видимому, заключалось не в
подобного рода фактах, ибо перевод основных понятий анализа
на теоретико-множественный язык начался задолго до появления
этих фактов и по существу еще до создания теории множеств
как таковой.
Несомненно, что решающую роль в такой перестройке анализа
сыграл Вейерштрасс. Именно в его лекциях по введению в анализ
и теорию функций, читавшихся в 60—80-х годах прошлого века,
понятия анализа преобразуются. Как мы уже отмечали в первой
главе, переменную величину Вейерштрасс характеризует таким
образом, что практически ничего не оставляет от представлений,
связанных с изменением, движением. Переменная величина для
него — это символ, которому можно придавать значение из неко-
торого множества чисел. По словам Пинкерле, его взгляд на пере-
менную величину таков: «Пусть х— буква, которой можно при-
дать какое-либо действительное значение; множество значений, ко-
торое может принимать х, называется образующим просто беско-
нечное или одномерное многообразие, а букве дается название
переменной» п. Естественно, что при таком подходе к понятию
переменной величины просто не оставалось места для бесконечно
малых величин, и их в прежнем смысле у Вейерштрасса фактиче-
ски не было.
Что касается общего понятия функции действительного пере-
менного, то еще в 1875 г. Дюбуа-Раймон вводил его как произ-
вольное соответствие между двумя множествами чисел. Вейер-
штрасс отрицательно относился к такой общности и сильно огра-
ничивал класс рассматриваемых им функций. Но в его определе-
нии непрерывной функции налицо все та же статичность, на что
мы также указывали в первой главе.
Аналогично определяется и понятие предела. В нем тоже пол-
ностью отсутствует тот элемент изменчивости, который характерен
для определения Коши: число L есть предел функции /(#) в х =
= Хо, если для заданного сколь угодно малого е можно найти та,-
кое число 6, что для всех значений х, отличающихся от хо меньше
чем на 6, значение f(x) будет отличаться от L меньше чем на е 11 12.
Достаточно в этом определении последние слова заменить таки-
ми: «что для всех значений х из 6-окрестности х$ значения /(х)
11 S. Pincherle. Saggio di una introduzione alia teoria delle funzioni
analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass.— Giorn. mat, 1880, 18,
234.
12 Это определение дано в кн.: О. Stolz. Vorlesungen fiber allgemeirie
Arithmetik. Bd. I. Leipzig, 1885, S. 156—157. В предисловии Штольц указал,
что многое из содержания своей книги он излагал по Вейерштрассу.
195
13*
попадают в 8-окрестность L» (что вполне в духе Вейерштрасса и
что фактически потом было сделано), как теоретико-множествен-
ная сущность этого определения выступает явно.
Повднее все эти основные понятия анализа претерпели еще
большее изменение. Мы не будем на этом останавливаться, отсы-
лая к указанной статье Лузина «Дифференциальное исчисле-
ние», где данное преобразование описано очень четко и ярко.
Сделаем только несколько замечаний о причинах такого пре-
образования. Оно, конечно, вызывалось не тем, что требовалось
объяснить новые факты, не укладывавшиеся в рамки взглядов
Коши, ибо сама эта перестройка была одним из существенных
источников теории множеств. Причинами, пожалуй, были две тен-
денции математики XIX в.— тенденции к арифметизации и фор-
мализации математики. О первой мы подробно говорили в первой
главе, под второй же мы понимаем стремление математиков остав-
лять свою науку в рамках формальной логики.
Основным понятием анализа Коши было понятие переменной
величины или количества. Но вот что о нем пишет Тарский: «В не-
которых учебниках элементарной математики, особенно не в са-
мых последних, попадаются формулировки, создающие впечатле-
ние, что переменным можно приписывать самостоятельное зна-
чение. Так, например, говорят, что символы „я44, „у44... также обо-
значают некоторые числа или количества, однако не „постоянные
числа44 (которые обозначаются постоянными вроде „О44, „Г4, ...),
но так называемые „переменные числа44 или, лучше сказать, „пе-
ременные количества44. Утверждения подобного рода проистека-
ют из большого недоразумения. „Переменное число44 х не могло
бы иметь никакого определенного свойства, например, оно не мог-
ло бы быть ни положительным, ни отрицательным, ни равным
нулю, или, выражаясь точнее, свойства такого числа могли бы из-
меняться от случая к случаю, т. е. число могло бы быть иногда
положительным, иногда отрицательным, иногда равным нулю. Но
в нашем мире мы вообще не находим сущностей подобного рода;
их существование противоречило бы основным законам мышле-
ния» 13. В примечании редакции к этим словам Тарского отмеча-
ется, что он рассуждает здесь как типичный метафизик и идеа-
лист, но вместе с тем подтверждается, что в современной матема-
тике действительно не рассматривается понятие «переменного
числа», но не по причинам, указанным Тарским, а потому, что
«...для исследований математическими методами необходимо, что-
бы изучаемые понятия подчинялись законам формальной логи-
ки» (стр. 289).
В арифметике имеют дело с постоянными числами, в основном
укладывающимися в рамки формальной логики. Поэтому стрем-
13 А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных наук.
М., ИЛ, 1948, стр. 32-33.
196
ление к арифметизации математики было в конечном счете стрем-
лением к ее формализации. И теоретико-множественная перестрой-
ка анализа, которая «...удаляет из анализа все переменные вели-
чины, всякое изменение, движение и все сводит к одним только
стационарным состояниям...» 14, как раз явилась реализацией ука-
занного стремления к арифметизации и формализации. Эту реа-
лизацию, однако, можно считать удачной в той мере, в какой
мере обоснованна теория множеств. Анализ удалось построить без
потенциально бесконечно малых величин, однако взамен их приш-
лось ввести актуально бесконечные множества со всеми их пара-
доксами. Противоречивая бесконечность, изгнанная за дверь ана-
лиза в одной из ее форм, коварно пробралась в окно в другой, быть
может еще более противоречивой форме.
3. Исследования Миттаг-Леффлера
по аналитическому представлению функций
комплексного переменного
Одной из центральных задач исследований Миттаг-Леффлера
по теории функций комплексного переменного явилась проблема
аналитического представления функций в виде рядов, каждый
член которых содержит только одну особую точку рассматривае-
мой функции.
Данной проблеме посвящен ряд работ этого математика,
подытоженных и обобщенных в его основном мемуаре «Об анали-
тическом представлении однозначных моногенных функций неза-
висимого переменного» 15.
Мемуар Миттаг-Леффлера интересен в нескольких отноше-
ниях. Во-первых, из него отчетливо видно, насколько необходима
была теория точечных множеств и трансфинитных чисел, в част-
ности для удовлетворения внутренних нужд теории аналитических
функций. Во-вторых, в нем использованы практически все резуль-
таты теории точечных множеств, полученные к 1884 г. Наконец,
здесь можно увидеть, что конкретная проблема специфического
аналитического изображения функций могла бы послужить исто-
ком теории множеств с таким же успехом, как и проблема един-
ственности в работах Кантора. Этого не произошло, так как ука-
занная задача аналитического изображения функций решалась
тогда, когда нужный аппарат теории множеств был налицо и ос-
тавалось лишь умело его использовать, что успешно было сдела-
но Миттаг-Леффлером.
В 1876 г. Вейерштрасс 16 общим образом подошел к вопросу об
14 Н. Н. Лузин. Указ, соч., стр. 307.
15 G. Mittag-Leffler. Sur la representation analytique des fonctions
monogenes uniformes d’une variable.— Acta math., 1884, 4, 1—79.
16 K. Weierstrass. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funk-
tionen.— Math. Werke. Bd. II. S. 77—124.
197
аналитическом изображении однозначных функций комплексного
переменного в зависимости от характера множеств их особых то-
чек. Установив, что класс рациональных функций характеризует-
ся тем, что в области их существования отсутствуют существенно J
особые точки, Вейерштрасс занялся затем вопросом об аналити-
ческом изображении функций, имеющих таковые точки. Одной из
доказанных им теорем была следующая.
«Пусть Q — конечное множество в области переменного х с не-
ограниченной изменяемостью, отдельные точки которого суть
«1, аг,..., «п. Пусть далее
GJ—1—\ g .....
( 1 \
— однозначные моногенные функции, где ’) является це-
лой функцией от которая обращается в нуль, когда=0.
Сумма
c + Gi(^r) + ^(^^) + --- + <?n
представляет в этом случае однозначную моногенную функцию не-
ременного х, которая ведет себя регулярно в окрестности каждой
точки, не принадлежащей множеству Q, и которая в каждой точ-
ке av, принадлежащей этому множеству, может быть представле-
на в форме:
G^T^ + P(-X~a^- I
С другой стороны, всякая однозначная моногенная функция пе- |
ременного х, которая ведет себя регулярно всюду, за исключением 1
окрестностей точек, принадлежащих множеству Q, может быть
представлена (в только что названной форме» 17 18.
Эта теорема позволяла для заданной однозначной функции
комплексного переменного, обладающей конечным числом особых
точек, строить определенное аналитическое выражение. Не оста- ,
навливаясь на других типах аналитических выражений, предло-
17 P(x — av) —ряд, расположенный по целым положительным степеням
(х — av) и сходящийся в окрестности точки av.
18 Вейерштрасс сформулировал эту теорему в несколько отличной
форме. Мы привели здесь формулировку Миттаг-Леффлера (указ, соч.,
стр. 10), не меняющую сути теоремы, с целью упрощения последующего |
изложения.
198 *
женных Вейерштрассом19, отметим лишь, что он ограничился слу-
чаями, когда функции обладают только конечным числом сущест-
венно особых точек. Тем не менее в этой же работе он указал на
наличие функций с бесконечным множеством таких точек и даже
подчеркнул это обстоятельство (стр. 79). Поэтому закономерен
вопрос о возможности аналитического изображения однозначных
функций с бесконечным множеством существенно особых точек20,
вопрос, которым занялся ученик Вейерштрасса Миттаг-Леффлер.
В теории Вейерштрасса содержатся три утверждения. Во-
первых, что по заданным особым точкам av можно построить ана-
литическое выражение F =3 )» являющееся моноген-
v=l 4 V '
ной функцией; во-вторых, что разность между заданной моноген-
ной функцией F(x), имеющей своими особыми точками точки
Ov, и Fx равна константе; в-третьих, что Fx + с является общим
аналитическим выражением для F(x).
Для случая бесконечных множеств дело усложняется. В соот-
ветствии с этим теорема Вейерштрасса расщепляется на несколь-
ко теорем, доказанных Миттаг-Леффлером. Не располагая всеми
работами последнего по данному вопросу, мы ограничимся лишь
замечанием, что к своим общим формулировкам, о которых речь
будет далее, Миттаг-Леффлер шел постепенно, рассматривая все
более и более общие множества особых точек: сначала бесконеч-
ные, но такие, что производное множество состоит из единствен-
ной точки; затем множества, у которых конечно производное п-го
порядка при фиксированном п; затем произвольные множества
первого рода. Другими словами, он шел по пути, аналогичному
канторовскому в проблеме единственности изображения функции
тригонометрическими рядами. Дальнейшие обобщения Миттаг-
Леффлера требовали расширения класса рассматриваемых мно-
жеств особых точек, введения множеств второго рода, трансфинит-
ных чисел и ряда теорем теории множеств. Однако эти вопросы
еще не были разработаны, и лишь после опубликования в 1883 г.
«Основ общего учения о многообразиях» и некоторых других ра-
бот Кантора Миттаг-Леффлер смог осуществить дальнейшее об-
общение своих теорем.
Перед тем как говорить о них, укажем тот круг сведений из
теории множеств, который понадобился при этом Миттаг-Леффле-
ру. Это, прежде всего, понятия окрестности, внутренней, внешней
и граничной точек множества, связности, области21, замкнутого
19 С ними можно ознакомиться, например, в кн.: С. Е. Белозеров.
Основные этапы развития общей теории аналитических функций. Ростов,
1962, стр. 178—181.
20 Для бесконечных множеств не существенно особых точек этот вопрос
был решен Вейерштрассом в названной выше работе.
21 Вместо термина «область» Миттаг-Леффлер употреблял термин «кон-
тинуум».
199
множества22, замыкания23, уже ставших обиходными в теории
функций комплексного переменного. Кроме того, ему нужны были
понятия предельной точки, производного множества, изолирован-
ного множества (т. е. такого, каждая точка которого имеет окрест-
ность, не содержащую других точек множества24), счетного и не-
счетного множества, совершенного множества, трансфинитные
числа II числового класса, ряд теорем из теории точечных мно-
жеств (всякое приводимое множество счетно; производное мно-
жество порядка п содержится в производном множестве порядка
п — 1 и т. д.).
Свою первую теорему Миттаг-Леффлер формулирует так
(стр. 8): «Л. Пусть Q — изолированное множество, принадлежащее
области переменного х с неограниченной изменчивостью, отдель-
ные точки которого будут обозначаться через ах, &v,...25.
Пусть, далее,
С,(—*—),
( 1 J
— ряд однозначных моногенных функций, в котором Gv I I
означает целую рациональную или трансцендентную функцию от
1 1 _ л
x — av 9 обращающуюся в нуль при х — а^ ~ и*
Тогда всегда можно построить аналитическое выражение, ко-
торое ведет себя регулярно в окрестности каждой из точек, при-
надлежащих к Q + Q', и которое для каждого определенного зна-
чения v в окрестности точки х = av может быть представлено в
виде
Если мы обратимся к приведенной ранее формулировке теоре-
мы Вейерштрасса и сравним ее с только что изложенной, то увидим,
что теорема Миттаг-Леффлера почти полностью совпадает с пер-
вой частью вейерштрассовской теоремы, за исключением того, что
множество точек Q в одном случае конечно, а в другом бесконечно
и что в формулировке Миттаг-Леффлера отсутствует сама форма
22 Общего понятия замкнутого множества не было. Но, например, дока-
зывалось и использовалось то, что множество особых точек аналитической
функции содержит все свои предельные точки (стр. 4).
23 Не в форме самостоятельного понятия, а в записи Р + Р'.
24 Это понятие Миттаг-Леффлер приписывает Кантору, хотя оно име-
лось еще у Вейерштрасса; см.: S. Р i n с h е г 1 е. Saggio di una introduzione-
alia teoria delle funzioni analitiche..., p. 235—236.
25 Что всегда возможно вследствие счетности изолированного множе-
ства.
200
аналитического выражения26. Но зато в ней полностью отсутству-
ет утверждение, аналогичное второй части теоремы Вейерштрасса,
а именно, что всякая функция, регулярная всюду, кроме точек
множества Q, может быть представлена тем аналитическим выра-
жением, о котором речь идет в теореме Миттаг-Леффлера. Дело
оказалось значительно сложнее. .
Множество Q Миттаг-Леффлера могло браться произвольно,
лишь бы оно было изолированным. Однако при такой общности в-
выборе Q может случиться, что точки av не будут особыми точками
построенного аналитического выражения Fx, представляющего одну
функцию в односвязной области. Поэтому общность Q ограничива-
ется требованием, чтобы множество Q + Q' было полной границей
односвязной области. При таком предположении оказывается спра-
ведливой теорема В Миттаг-Леффлера, которая формулируется
так же, как и теорема А, за исключением того, что теперь Fx будет
моногенной функцией, для которой каждая точка Q +Q' будет
особой. Однако и это уточнение не выходит за пределы первой
части теоремы Вейерштрасса, кроме, конечно, бесконечности мно-
жества Q.
Первым шагом к аналогу второй части вейерштрассовской тео-
ремы явилась теорема В': «Пусть F(x) — однозначная моногенная
функция, обладающая изолированными особыми точками. Всегда
можно построить аналитическое выражение, представляющее та-
кую другую однозначную моногенную функцию, что разность
между ней и F(x) есть новая функция, которая ведет себя регу-
лярно не только всюду, где это имеет место для предложенной
функции, но и в окрестности каждой изолированной особой точки
ее» (стр. 29).
Согласно приведенной теореме, -если задана функция F(x), то
ей можно сопоставить некоторое аналитическое выражение
причем разность Fx — F(x) оказывается уже не константой, а не-
которой новой функцией <р (х), т. е. вопрос об аналитическом изо-
бражении F(x) еще далек от своего решения. Однако теорема В'
намечает путь решения: оказывается, если Р — множество особых
точек F(x), а Р'— его производное множество, то <р(я) имеет то-
же самые особые точки, что и F(x), но, кроме того, регулярна для
каждой точки множества Q = Р — Р'. Другими словами, множест-
во ее особых точек в некотором смысле оказывается более бедным,
чем множество особых точек F(x). Отсюда вытекает следующее 27.
26 Это аналитическое выражение по своей конструкции отличается от
оо
суммы ряда 2
v=l
жение которого мы не будем рассматривать.
27 Чтобы не удлинять и не усложнять дальнейшее изложение, мы
опускаем некоторые тонкости, связанные с нулями и полюсами F(x), изло-
женные Миттаг-Леффлером в виде обобщения предшествующих теорем &
§ 2 его мемуара.
1
на сумму некоторого другого ряда, выра-
х — а,
201
Если F(x) — заданная однозначная моногенная функция, А —
область, образованная множеством регулярных точек этой функ-
ции, а Р — множество ее особых точек, причем такое, что Р — Рг
не пусто, то по теореме В' можно построить аналитическое выра-
жение Fx, представляющее такую однозначную функцию, что раз-
ность между нею и F(x) будет цовой однозначной функцией, ре-
гулярной не только внутри А, но и в каждой точке Р — Pr. С этой
новой функцией можно поступать подобно тому, как с F(x),
и т. д. Следовательно, после каждой такой операции мы получим
новое аналитическое выражение, которое при прибавлении к сум-
ме всех предшествующих даст функцию Fx, такую, что разность
Fx — будет новой функцией более простой природы в том
^смысле, что с каждым последовательным вычитанием будут уда-
ляться все новые и новые особые точки 28. Если этот процесс при-
ведет на некоторой стадии к тому, что разность окажется какой-
либо элементарной функцией, например константой, то требуемое
.аналитическое выражение заданной функции будет суммой анали-
тических выражений, получаемых на каждой стадии процесса.
Следовательно, вопрос упирается в структуру замкнутых мно-
жеств, поскольку множество особых точек аналитической функции
всегда является замкнутым множеством. На помощь приходит те-
орема Бендиксона о том, что если Р — некоторое множество точек
«евклидова пространства, то всегда существует трансфинитное
число у первого или второго класса, такое, что Р^ = причем
Р' — p(v) не более, чем счетно.
Строя на каждом этапе указанного процесса аналитическое
выражение Fx, Миттаг-Леффлер показывает, что разности между
Fx и F(x) все время упрощаются, пока последовательные произ-
водные множества Р различны. При этом могут представиться два
«случая: 1) или найдется такое у, что Р^ = 0; 2) или же найдется
-такое у, что = причем P(v) окажется совершенным не
пустым, а значит мощности континуум, множеством.
. В первом случае поставленная Миттаг-Леффлером задача ре-
шается до конца. Если для какого-либо у = 0, то процесс
построения все более простых разностей заканчивается на у-м
шаге константой и искомое аналитическое выражение для задан-
ной F(x) имеет вид суммы аналитических выражений, получае-
мых на каждом шаге процесса.
Второй случай значительно сложнее. Он имеет место тогда,
когда множество особых точек или совершенно, или же содержит
♦совершенное подмножество. Тогда миттаг-леффлеровский процесс
удаления особых точек не оборвется, сколько бы его ни продол-
жали. Автор полагал, что ему удастся в другой раз разрешить этот
вопрос, выделив класс функций с множествами особых точек подоб-
28 При первом вычитании удаляется множество точек Р — Р'9 при вто-
фом Р' — Р",..., при w-м Р^-1) — ро),... и т. д.
202
кого рода (стр. 79). Однако изучение таких функций оказалось
-значительно более сложным делом и было выполнено в трудах
Пенлеве, Зоретти, Помпею, Данжуа, а особенно Голубева, уже в
XX столетии.
4. Исследования Дедекинда но теории структур
В предыдущем разделе мы привели образец так сказать «чисто-
го» применения теории множеств, когда использовались исключи-
тельно готовые результаты и в процессе решения определенного
математического вопроса не было получено новых, теоретико-
множественных фактов. Иначе обстоит дело с исследованиями Де-
декинда по теории структур. В них существенно обогащалось само
содержание теории множеств, и в последующем мы будет обра-
щать внимание главным образом на это.
Далее речь будет идти о двух работах Дедекинда, в которых он
ввел одно из самых основных понятий современной алгебры —
понятие структуры — и изучил ряд его свойств. В теории этого
математического понятия алгебра достигла той же степени общ-
ности, которая свойственна абстрактной теории множеств и мате-
матической логике. Естественно, что при изучении этого понятия
было бы полезно привлечь уже готовые теоретико-множественные
представления, кстати, во многом разработанные самим Дедекин-
дом. Однако при чтении первой из этих работ, а именно «О разло-
жении чисел посредством их наибольшего общего делителя»29,
сразу же бросается в глаза, что она написана так, будто к этому
времени (1897 г.!) в теории множеств ничего не было сделано.
В частности, даже не упоминается незадолго перед тем переиздан-
ная его книга «Что такое числа и для чего они служат?», хотя, как
отмечалось нами ранее, незадолго до 1897 г. Дедекинд прямо ссы-
лался на нее при аналогичных обстоятельствах. Более того, отме-
тив, что он занимается вопросами теории множеств уже давно
и что к этим занятиям он шел от изучения числовых модулей,
Дедекинд тем не менее указывает, что приоритет в этих вопросах
принадлежит Е. Шрёдеру, ссылаясь при этом (стр. 113) на пер-
вый том «Алгебры логики» последнего.
Это странное обстоятельство отчасти может быть объяснено
обнаружением парадоксов теории множеств. Предмет исследова-
ний Дедекинда в работе «О разложении чисел посредством их
наибольшего общего делителя», название которой не совсем соот-
ветствует ее содержанию, требовал именно той общности понятий,
которая присуща абстрактной теории множеств. Выражение этой
общности на теоретико-множественном языке, видимо, затрудня-
лось для Дедекинда обнаружившимися парадоксами. Но к этому
29 R. Dedekind. Uber Zerlegung von Zahlen durch ihre groBten gemein-
samen Teiler (1897).—Ges. math. Werke., Bd. 2, S. 103—147.
203
времени Дедекинд ознакомился с логикоматематическим языком,
где аналогичные парадоксы еще не были открыты. Наиболее полно*
исчисление классов было к этому времени изложено именно в
«Алгебре логики» Шрёдера, и, вероятно, поэтому Дедекинд пред-
почел предоставить приоритет в этих вопросах последнему. Перей-
дем, однако, к самой работе.
Эта, как характеризует ее в примечании Э. Нетер, малоизвест-
ная статья Дедекинда30 чрезвычайно содержательна. Прежде
всего, это одно из самых ранних современных аксиоматических
исследований: и понятие структуры, и понятие группы определя-
ются здесь как некоторые множества, для элементов которых вво-
дятся совершенно абстрактные операции, определяемые соответ-
ствующими системами аксиом; для этих абстрактных аксиомати-
ческих систем строятся более или менее конкретные интерпрета-
ции31 32. Интересен, далее, установленный Дедекиндом факт, что
произвольная абелевская группа необходимо является бесконечной
(или состоит только из единицы — случай, который Дедекинд
справедливо считает малоинтересным), если предположить, что
в этой группе, наряду с групповой операцией, имеется другая опе-
рация, удовлетворяющая аксиомам:
а 4- а = а; а Ъ = Ъ -J- а; (а Ь) 4- с = а + (b -f- с);
(а 4- Ь)с = ас 4- bct
где а, 6, с — произвольные элементы группы, знак + означает
введенную вторую операцию. Можно было бы привести и другие
интересные результаты этой работы Дедекинда. Мы, однако, остав-
ляем их в стороне и обратимся к теоретико-множественному со-
держанию.
В § 3 Дедекинд рассматривает абстрактные конечные множе-
ства и всевозможные их подмножества. Для них он вводит заново
обычные теоретико-множественные операции суммы и пересече-
ния. Свойства этих операций группируются таким образом, чтобы
наглядно выступала двойственность этих операций:
(Г) а 4- р — р 4- ос;
(1") а — р = р — а;
(Л) (2') (а 4- р) + т = а 4- (₽ + Г); (2") (<х — Р) — Т = ос — (р — Т);
(3') а 4- (ос — Р) = а;
(3") а _ (а 4- р) = аз2
Как чисто формальное следствие этих свойств получается еще
пара:
(4') а 4- ос = а; (4") а — а = а.
30 R. Dedekind. Ges. math. Werke, Bd. 2, S. 147.
31 Это обстоятельство тем более интересно, что «Основания геометрии»
Гильберта были впервые опубликованы в 1898 г.
32 Напомним, что знаки « + » и «—» Дедекинд использовал для обозна-
чения соответственно суммы и пересечения множеств; а, 0, у — произволь-
ные конечные множества.
204
Другая пара двойственных свойств
(5') (а —р) + (а —г) = а —(Р + г);
(5") (а + Р) - (а + г) = « + (₽“Т)
такова, что ни то, ни другое в отдельности не может быть полу-
чено формально из свойств (Л). Если же возвратиться к содержа-
тельному истолкованию символов а, Р, у, т- е- рассматривать их
как подмножества, то любое из равенств (5Z), (5") доказывается
обычным теоретико-множественным рассуждением: если элемент е
принадлежит левой части, то он принадлежит и правой, и наобо-
рот. Более того, если таким содержательным способом доказано
одно из этих равенств, то второе будет уже формальным следстви-
ем первого и аксиом (Л).
Пара свойств
(6') (а-р) + (а-т) = а-[Р + (а-Т)],
(6") (а+р)-(а + т) = а+[р-(а + Т)]
и двойственное самому себе свойство
(М) [а+ (3 — Т)] — (р + Т) = [ос — (р 4- Т)] + (р —Т)
таковы, что каждое из них также может быть формально полу-
чено из аксиом (Л) и любого другого свойства.
Практически все эти свойства операций над множествами,
как мы видели выше, или были явно сформулированы Дедекиндом
уже давно, или же являлись вполне очевидными следствиями его
соображений, правда не формального, как здесь, а содержатель-
ного характера. Сам он указывает на это только в отношении
свойств (6'), (6/z) и (Л/), да и то в примечании (стр. 115). Тем не
менее вслед за тем Дедекинд пишет: «Соображения, содержащиеся
в предыдущем § 3, большей частью не являются ни в коей мере
новыми; так как комбинация33 есть не что иное, как система
элементов, то они (соображения.—Ф. М.) принадлежат общему
учению о системах, которое рассмотрено, пожалуй, наиболее полно
в обширной «Алгебре логики» Е. Шрёдера.
Я также уже давно занимался этими вопросами; однако к это-
му я был побужден не изучением логики, а изучением тех число-
вых систем, которые я называю модулями... Замечу прежде всего,
что приоритет открытия названных фактов принадлежит, несом-
ненно, господину Шрёдеру; я должен также сознаться, что мне
еще не удалось полностью проработать последующие тома его
большого труда34, и поэтому я должен просить снисхождения, если
многие из последующих соображений, легко находимые доказа-
33 Этим термином Дедекинд обозначает конечное множество.
34 «Лекции по алгебре логики» Шрёдера состоят из трех томов, причем
том II — из двух частей.
205
тельства которых я большей частью опускаю, окажутся уже изве-
стными» (стр. 112—113).
То, что Шрёдер дал наиболее полное и систематическое изло-
жение исчисления классов, это верно; но что приоритет в откры-
тии этих фактов принадлежит Шрёдеру — это уже излишняя
скромность автора приведенной цитаты. Многие из приведенных
фактов были установлены самим Дедекиндом, многое в исчисле-
нии классов было сделано другими математиками и логиками,,
а четкое изложение не означает приоритета.
Далее Дедекинд вводит понятие структуры как множества, для
элементов которого определены две операции, результаты кото-
рых принадлежат тому же множеству и которые удовлетворяют
аксиомам (А) 35. Первым примером, интерпретирующим это поня-
тие, у Дедекинда служит как раз исчисление классов математи-
ческой логики: «...если вещи а, Р, у,... означают конечные или бес-
конечные системы (комбинации) элементов и через а + р мы обо-
значим логическую сумму, а через а — Р — пересечение а, [3-
(логическое произведение ар, по Шрёдеру), то совокупность U
всех систем а, Р, у,... образует дуальную группу» (стр. ИЗ).
Таким образом, изучение тех множеств алгебраических чисел
и функций, которые Дедекинд называл модулями и идеалами,
привело его к необходимости изучения важнейшего понятия со-
временной алгебры — понятия структуры. Кстати, следующими
двумя интерпретациями этого понятия у него как раз являются
множества модулей и идеалов с соответствующими операциями
нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего
кратного.
Непосредственно к этой работе Дедекинда примыкает его
статья «О дуальных группах, порождаемых тремя модулями»36,
в которой он продолжил изучение алгебраических структур. Метод
изучения их — тот же самый абстрактно-аксиоматический, что и
в предыдущей работе, но исследуются конкретные структуры,
которые можно получить из трех заданных модулей. В ходе этого
изучения Дедекинд устанавливает ряд теоретико-множественных
результатов, на которых мы далее остановимся.
Определив понятие структуры так же, как и прежде, т. е. как
множество с двумя операциями, удовлетворяющими условиям (А),
Дедекинд исследует затем вопрос о некоторых подструктурах про-
извольной структуры. Формально получаемое из определения
двойственное свойство (4'), (4"), указанное ранее, позволяет
35 В настоящее время более распространено иное определение струк-
туры. Об эквивалентности ему дедекиндовского определения см.: Г. Бир к-
г о ф. Теория структур. М., ИЛ, 1952, стр. 39. Заметим также, что термин
«структура» принадлежит не Дедекинду, он пользуется термином «дуаль-
ная группа».
36 R. Dedekind. Uber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe
(1900).—Ges. math. Werke, Bd. 2, S. 236—271.
206
утверждать, что всякий элемент структуры сам образует струк-
туру. Точно так же получаемые здесь новые свойства
(5') а+(а + ₽) = а + ₽; (5") а - (а - Р) = а - рр
(6') (а + ₽) + (а-Р) = а + Р; (6") (а-Р) - (а + ₽) = aj- р3*
позволяют утверждать, что четыре элемента произвольной задан-
ной структуры, а именно a, Р, (а + Р), (а — Р), образуют под-
структуру. В том случае, если выбранные элементы таковы, что
a + р = a — р, то все четыре указанных элемента идентичны.
Если же равенство a + Р = а не имеет места ни для каких элемен-
тов a, р, то все четыре элемента, образующие структуру, различ-
ны. Если же a + Р идентично с одним из элементов a, Р, то раз-
личны только два элемента, а именно а и р, и если a + Р = а, то
и а — Р = р.
Замечая, что последний случай встречается часто, Дедекинд
выделяет его особо: если a + р = а, то в соответствии с ранее
принятой им терминологией он называет элемент р делящимся на
элемент а и соответственно Р — кратным а, а a — делителем р.
Эту делимость он обозначает символом a < р или Р > а. «...Тем
самым каждое из четырех высказываний
(7)a + p = a; a — р = Р; ос<^Р; р>а
равнозначно с каждым из трех остальных; два таких элемента сами
по себе образуют дуальную группу. Целесообразно при этом не
исключать случай a = Р; если, однако, аир различны, то Р сле-
дует называть собственным кратным а и одновременно а собствен-
ным делителем р» (стр. 238).
Мы подробно остановились на этом случае, так как здесь на-
лицо формально-аксиоматическое получение теоретико-множест-
венной операции включения из свойств операций суммы и пере-
сечения. А отсюда Дедекинд тотчас же получает обычные свойства
этой операции, большей частью известные ему и ранее 37 38:
I. Всегда a < а, а > а.
II. Из а < Р и Р > а следует, что а = р.
III. Из а < Р и Р < у, что короче выражается через a < Р < уг
следует a < у.
IV. Всегда, если а+Р<аиа<а — у, то и а + Р < а — у.
. V. Из а < р, а7 < р7 следует а + а7 < Р + р7 и а — а7 <
< Р - Р'.
VI. Из а < Р, а7 < Р следует а — а7 < р, а из а < Р, а < р7
следует а < Р + р7.
По аналогии с теорией чисел и теорией модулей a — а7 он
называет наименьшим общим кратным для a, а7, а Р + р7 — наи-
37 Это не те свойства, которые в предыдущей статье были обозначены
такими же индексами, а новые, являющиеся одновременно свойствами
абстрактных множеств.
38 Обратим внимание на то, что теперь мы поменяли бы местами знаки
«<» и «>».
207
«большим общим делителем для р, р'. Этот способ выражения
распространяется на любое число членов, и доказывается теорема,
которую на принятом теперь теоретико-множественном языке
«следует сформулировать так: если множества Ai, Bj для каждого
из индексов i, 7 = 1, 2, 3,... удовлетворяют условию А{ Э Bj, то
г j
причем индексы Z, / могут иметь различные численные значения.
VII. Если 6 < т и р — любой элемент, то
(Р + т) — 6 < (р + 6) + т.
На языке теории множеств это выглядит так: если D = М и Р —
любое множество, то
(P + M}D^PD + M.
После доказательства этих семи свойств операции включения
Дедекинд переходит к изучению некоторых специальных струк-
тур. Из произвольных структур он выделяет те, операции в кото-
рых подчинены дополнительному условию (7И), указанному в
связи с его первой работой. Такие структуры он называет струк-
турами модульного типа, так как аналогичным свойством облада-
ют операции суммы и пересечения для модулей39. Затем он иссле-
дует структуру, порождаемую тремя заданными модулями. На
этом, однако, мы останавливаться не будем. Заметим только, что
в структуре, порожденной тремя модулями, содержится вообще 28
различных модулей, но при некоторых дополнительных предпо-
ложениях это число может оказаться меньшим. В частности, это
имеет место тогда, когда модули являются идеалами.
Перейдем теперь к одному важному теоретико-множественному
вопросу. Из множеств с отношением порядка до самого конца XIX
столетия в теории множеств изучались только упорядоченные и
вполне упорядоченные множества. Кантор глубоко исследовал
структуру множеств этих типов. Высказанное им еще в 1883 г.
утверждение, что всякое множество может быть вполне упорядо-
чено 40, выдвигало на передний план изучение вполне упорядочен-
ных множеств. Однако доказательство полного упорядочения вся-
кого множества имеет характер, общий с характером доказательств
существования в классическом анализе: возможность полного
упорядочения утверждается, но как фактически установить его
для рассматриваемого множества — не указывается. К тому же это
39 Свойство (М) было установлено Дедекиндом в применении к опера-
циям над модулями еще в 1894 г. См.: Р. Lejeune-Dirichlet. Vorle-
sungen fiber Zahlentheorie. 4. Aufl. Braunschweig, 1894, S. 498.
40 G. Cantor. Ges. Abh., S. 169. Это утверждение было доказано Цер-
мело в 1904 г. с привлечением аксиомы произвольного выбора.
208
доказательство существенно опирается на аксиому выбора Церме-
ло, признаваемую далеко не всеми математиками.
Вместе с тем в математической практике встречаются самые
разнообразные множества, для одних элементов которых можно
установить определенное отношение порядка, а для других —
нельзя. Попытка внести в изучаемое множество полное и даже
простое упорядочение выводит, -как правило, за рамки исследу-
емой теории, ничего не давая для получения новых результатов
этой теории.
Так, например, множество идеалов заданного конечного поля
D алгебраических чисел таково, что по отношению операции
включения идеалов (их делимости) в D существуют такие идеа-
лы А иВ, что A cz В (В делит Л), причем таких пар найдется бес-
конечно много. Это отношение включения обладает теми же
свойствами, которые имеет обычное порядковое отношение; однако
оно не распространяется на все идеалы поля D: в том же D су-
ществуют такие пары А и В идеалов, что не выполняются ни
А => В, ни A cz В. Следовательно, относительно операции включе-
ния совокупность идеалов из D не может образовывать ни упоря-
доченного, ни тем более вполне упорядоченного множества. При-
няв теорему Цермело, можно вполне упорядочить эту совокуп-
ность. Но это упорядочение уже не будет прежним отношением
включения и в теории идеалов окажется ненужным. По отноше-
нию к операции теоретико-множественного включения совокуп-
ность идеалов заданного конечного поля является лишь частично
упорядоченным множеством.
Отдельные попытки изучения частично упорядоченных мно-
жеств были еще у Пирса41. Однако настоятельная математическая
потребность в изучении свойств частично упорядоченных множеств
появилась, пожалуй, впервые именно в рассматриваемой работе
Дедекинда.
Условие (Л/), как мы уже говорили, справедливо для струк-
тур модульного типа, в частности, оно справедливо и для струк-
туры из 28 модулей, получаемой из трех заданных модулей,—
основного объекта исследования Дедекинда в рассматриваемой
работе. В § 5 Дедекинд поставил перед собой задачу найти неко-
торый эквивалент условия (71/), чтобы отчетливее представить
свойства структур модульного типа. Для этого он вводит понятие
ближайшего делителя для заданного элемента структуры G: «Эле-
мент d будем называть ближайшим делителем (nachster Teiler)
элемента m, если, во-первых, d<m, во-вторых, d отличен от тп,
а значит является собственным делителем т, и, в-третьих, в этой
группе G не существует, кроме d и т, такого элемента, кото-
рый был бы делителем т и одновременно кратным d\ вместе с
тем, т является ближайшим кратным d в G» (стр. 252—253). Тем
41 Г. Б и р к г о ф. Теория структур. М., ИЛ, 1952, стр. 16.
14 Ф. А. Медведев 209
самым для элементов G (не обязательно для всех!) устанавлива-
ется некоторое порядковое отношение. Называя затем цепью
структуры G конечную последовательность, состоящую не менее
чем из двух элементов, из которых каждый является ближайшим
делителем следующего; сами расположенные таким образом эле-
менты — членами цепи; первый и последний элементы — соответ-
ственно началом и концом цепи; число членов без одного — дли-
ной цепи; цепи с совпадающими началом и концом — эквивалент-
ными,— Дедекинд показывает, что для рассмотренной им струк-
туры из 28 модулей справедливо утверждение, которое он назвал
законом цепей (Kettengesetz): «Любые две эквивалентные цепи
имеют одно и то же число членов, а значит одну и ту же длину»
(стр. 254).
Другими словами, в отношении теоретико-множественного
включения, введенного здесь Дедекиндом, эта структура является
упорядоченным множеством. Доказательство данного факта столь
очевидно, что, как писал Дедекинд, «...можно предположить, что
он должен иметь место для всякой дуальной группы» (стр. 255).
Однако он тотчас же показывает, что это предположение вообще
не справедливо. А именно, он строит структуру, состоящую из
пяти элементов, в которой для некоторых пар элементов отношение
включения имеет место, а для некоторых нет. Тем самым множе-
ство, лежащее в основе этой структуры, оказывается лишь ча-
стично упорядоченным.
Более того, вслед за тем Дедекинд доказал, что во всякой
структуре, в которой не справедлив закон модуля (Л/), всегда
существует подструктура из пяти элементов, в которой не спра-
ведливы ни закон модуля, ни закон цепей. Другими словами,
произвольная структура является в общем случае только частично
упорядоченным множеством.
Последнее наводило на мысль, что по крайней мере структуры
модульного типа являются упорядоченными множествами. Это
действительно так. Дедекинд доказал, что во всякой структуре,
в которой справедлив закон модуля, справедлив й закон цепей,
и наоборот, если сама структура и каждая ее подструктура удов-
летворяют закону цепей, то в этой структуре справедлив закон
модуля (§6).
Не будем останавливаться на остальном содержании работы.
Подчеркнем только, что здесь в явной форме выступила настоя-
тельная математическая потребность выделения частично упорядо-
ченных множеств и их изучения. Действительно, поскольку общее
изучение структур представляется математически важным делом,
поскольку произвольная структура в общем случае является
частично упорядоченным множеством, то естественно возникала
задача изучения множеств этого типа. Дедекинд поставил эту
задачу лишь косвенно, как задачу изучения произвольных
структур.
210
К необходимости изучения частично упорядоченных множеств
приводили и другие математические проблемы. В 1906 г. этим
понятием в частном случае пользовался С. О. Шатуновский42.
Но лишь в 1914 г., в связи с запросами уже самой теории множеств,
понятие частично упорядоченного множества было введено в об-
щем виде Ф. Хаусдорфом43. Однако широкое распространение оно
получает лишь в 30-х годах, когда возродился интерес к изучению
структур. Теперь это понятие используется все больше и больше
в самых разнообразных вопросах математики (в алгебре, в функ-
циональном анализе, в топологии, в теории интегрирования и т. д.).
5. Теорема Бэра о точечно разрывных функциях
В первых главах мы неоднократно убеждались, что даже в
самых начальных исследованиях по теории функций действитель-
ного переменного в XIX в. рождались и получали дальнейшее
развитие многие идеи теории множеств. Теория интегрирования,
теория тригонометрических рядов, теория дифференцирования
были одновременно и источниками, из которых рождалась теория
множеств, и теми областями, в которых она получала наиболее
плодотворные применения.
Объектом исследования теории функций действительного пере-
менного являются различные классы функций. Но само исходное
понятие этой теорий — понятие функции — определяется просто
как соответствие между двумя числовыми множествами. Есте-
ственно поэтому, что изучение функций есть не что иное, как
изучение множеств и соответствий между ними. Но хотя указан-
ное определение функции использовалось в математике уже давно,
однако естественность связи изучения функций и множеств была
осознана относительно поздно. С полной определенностью эту
связь подчеркнул впервые, пожалуй, Р. Бэр. Он выразился так:
«Теория точечных множеств играет весьма важную роль в этих
методах (в методах теории функций.— Ф. М.); можно даже ска-
зать самым общим образом, что в том порядке идей, которым мы
занимались, все проблемы относительно функций сводятся к неко-
торым вопросам, относящимся к теории множеств; и в той мере,
в какой эти последние продвинуты или могут быть продвинуты
вперед, в той же мере возможно решить более или менее полно
данную проблему (теории функций.— Ф. Л/.)» 44.
Связь между изучением функций и изучением множеств в той
42 В курсе лекций «Введение в анализ», прочитанных в 1906/07 г.
в Новороссийском университете (г. Одесса). Тогда же эти лекции были
изданы в литографированном виде, а в 1923 г. они были напечатаны в изда-
тельстве «Mathesis» (см. стр. 26 печатного издания).
43 F. Hausdorff. Grundziige der Mengenlehre. Leipzig, 1914, S. 139.
44 R. В a i r e. Sur les fonctions de variables reelles.— Ann. math, pura ed
appl., Ser. 3, 1899, 3, 121.
211
14*
или иной мере можно установить в каждой проблеме теории
функций хотя бы потому, что основные понятия теории функций
действительного переменного (действительное число, предел
и т. д.) трактуются теоретико-множественным способом. Мы
сейчас остановимся на одной проблеме, где эта связь представле-
на, пожалуй, наиболее выпуклым образом и где, кстати, она
наиболее полно проявилась исторически впервые, а именно на
теореме Бэра о точечно разрывных функциях.
Аналитическое изображение функций — один из основных во-
просов теории функций, и возник он вместе с появлением анализа
Ньютона — Лейбница. Составной частью его является вопрос об
изображении функций рядами или последовательностями непре-
рывных функций.
Важным результатом теории функций действительного пере-
менного была теорема Вейерштрасса о представлении произволь-
ной непрерывной функции рядом многочленов, опубликованная им
в 1885 г.45 Значение этой теоремы, не говоря уже о ее общетеоре-
тическом интересе, состояло и в том, что сформулированная и
доказанная в эпоху расцвета теории аналитических функций, она
способствовала усилению интереса математиков к неаналитиче-
ским функциям действительного переменного. Произвольная
непрерывная функция представлялась сходящимся рядом много-
членов. Она получила аналитическое выражение, аналогичное вы-
ражению аналитической функции в виде ряда Тейлора. При этом
во многих случаях ряды многочленов, изображающие неаналити-
ческие функции, оказывались чрезвычайно простыми. Следова-
тельно, открывались новые возможности для изучения таких
функций — возможности, которыми математики воспользовались.
В известной связи с теоремой Вейерштрасса возник и такой
вопрос. В той же работе он показал, что ряд многочленов, изобра-
жающих непрерывную функцию, сходится равномерно. Еще ранее
Риман46 установил, что равномерно сходящийся ряд непрерывных
функций приводит также к непрерывной функции. Следовательно,
условие равномерной сходимости достаточно для непрерывности
предельной функции. Однако оставалось неясным, было ли это
условие и необходимым. Выяснением этого занимались многие
математики, но только в 1897 г. Бендиксон47 показал, что это
условие необходимо, построив примеры рядов непрерывных функ-
ций, сходящихся неравномерно и просто неравномерно в смысле
Дини к непрерывным функциям. Тем самым вопрос о необходимом
и достаточном условии оставался открытым. Такое условие удалось
45 К. Weierstrass. Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter
willkiirlicher Funktionen reellen Argumente.— Math. Werke, Bd. III. Berlin,
1903 S. 1__37.
46 Б. Риман. Сочинения. M.—Л., 1948, стр. 242.
47 J. Bendixon. Sur la convergence uniforme des series.— Ofversigt at
Konigl. vet. akad. forhandl., 1897, N 10.
212
установить в 1899 г. итальянскому математику Арцела в виде
квазиравномерной сходимости.
В ходе этих поисков, а также при решении целого* ряда других
вопросов все чаще и чаще сталкивались с фактами, когда последо-
вательности непрерывных функций одного типа давали непрерыв-
ные же функции, а последовательности другого типа — разрывные.
Класс последовательностей первого типа был в конце концов пол-
ностью охарактеризован квазиравномерностью их сходимости. Все
они приводили к непрерывным функциям. Закономерным был
вопрос о том, чтобы охарактеризовать и класс функций, являю-
щихся пределами последовательностей непрерывных функций,
сходящихся не квазиравномерно. Решение этого вопроса и соста-
вило содержание работ Бэра 1897—1899 гг., подытоженных в его
диссертации «О функциях действительных переменных», указан-
ной несколько выше. Для того чтобы найти общее структурное
свойство функций, изображаемых последовательностью непрерыв-
ных функций, Бэру понадобилось привлечь чуть ли не весь аппа-
рат теории точечных множеств и даже сделать некоторые добав-
ления к нему. Далее мы будем пользоваться не первоначальными
работами Бэра, а прочитанными им в 1904 г. лекциями, изданны-
ми в виде книги48.
Как сказано, Бэр поставил задачу охарактеризовать класс раз-
рывных функций, которые являются пределами последовательно-
стей непрерывных функций. Эту характеристику он ищет в свой-
ствах множеств точек разрыва.
Начинает он с простейшего случая и относительно легко
получает, что всякая функция49, имеющая любое конечное мно-
жество точек разрыва, может быть представлена последователь-
ностью непрерывных функций (стр. 11—17). Затем он переходит
к случаю бесконечного множества Р точек разрыва и показывает,
что если Р таково, что Р' конечно, то функция есть предел после-
довательности непрерывных функций. Аналогичное утверждение
доказывается для множеств разрывов с конечным вторым произ-
водным множеством с соответствующими пояснениями из теории
множеств (стр. 21—23) и т. д. до функций, обладающих разрыва-
ми на множестве с конечным производным какого-либо конечного
порядка (стр. 23—24).
После этого вводится понятие о множествах, имеющих произ-
водные всех конечных порядков, и множество Р(со), являющееся
производным порядка со, где со — первое трансфинитное число, оп-
ределяется как пересечение производных множества Р всех конеч-
ных порядков. Мимоходом отмечается (стр. 25), что пересечение
любого числа замкнутых множеств замкнуто. Та же теорема
48 R. В a i г е. Lemons sur les fonctions discontinues. Paris. 1904. Русский
перевод: P. Бэр. Теория разрывных функций. М.—Л., ГТТИ, 1932.
49 Далее речь будет только об ограниченных функциях одного перемен-
ного.
213
доказывается для случая функций, у которых множества Р разры-
вов таковы, что конечно (стр. 26).
Продолжая обобщение понятия производного множества, Бэр
естественно приходит к понятию приводимого множества и к не-
обходимости введения трансфинитных чисел, чему посвящена вся
вторая глава книги. Здесь же доказательство по индукции обоб-
щается до принципа трансфинитной индукции. В начале следую-
щей главы доказывается более общий случай все той же теоремы:
«Функция определенная на конечном отрезке АВ, есть пре-
дел последовательности непрерывных функций, если множество
Р ее точек разрыва таково, что одно из его производных множеств
Р{а) состоит из конечного числа точек» (стр. 58).
Несмотря на то, что класс рассматриваемых функций, которые
могут быть представлены последовательностями непрерывных
функций, оказывается довольно широким, включающим лю-
бую функцию с приводимым множеством точек разрыва, тем не
менее он не включает все искомые функции. Поэтому Бэру при-
ходится включить в свои исследования другие виды точечных
множеств.
Заметив, что все приводимые множества являются нигде не
плотными (стр. 59), Бэр ищет другие нигде не плотные множества,
для которых справедлива его теорема. В связи с этим оц изучает
совершенные нигде не плотные множества и устанавливает част-
ный случай своей теоремы для функций, имеющих точками разры-
ва точки произвольного совершенного нигде не плотного множе-
ства Р, заданного на отрезке; теорема доказывается только для
функций, принимающих значение единица в точках множества Р
и нуль в остальных точках отрезка (стр. 68).
Однако продолжать в том же духе, все расширяя объем при-
влекаемых множеств, видимо, довольно бесперспективно, так как
запас множеств на этом пути вряд ли исчерпаем. Поэтому со вто-
рой половины книги Бэр меняет подход и не идет от частных слу-
чаев ко все более и более общим, а желает получить теорему вп
всей общности.
Поскольку решающую роль в изучаемом им вопросе играют
свойства множеств точек разрыва, а эти множества могут быть
замкнуты, то ему приходится в общем случае начинать с изучения
свойств произвольных замкнутых множеств (стр. 69—74). Затем
находится общее свойство всех функций, представимых пределами
последовательностей непрерывных функций: всякая такая функ-
ция должна быть точечно разрывной, т. е. множество ее точек не-
прерывности всюду плотно (стр. 88).
Но условие быть точечно разрывной слишком широко: не вся-
кая точечно разрывная функция служит пределом последова-
тельности непрерывных функций50. Оказывается, что всякая
50 Пример такой, функции приведен Бэром на стр. 95.
214
функция — предел последовательности непрерывных функций —
является точечно разрывной не только на всем рассматриваемом
отрезке, но и на всяком совершенном множестве, содержащемся
в отрезке. Это-то последнее условие оказывается не только необ-
ходимым, но и достаточным: для того чтобы функция /(я), задан-
ная на отрезке PQ, была пределом последовательности непрерыв-
ных функций, заданных на PQ, необходимо и достаточно, чтобы
}(х) была точечно разрывной на всяком совершенном множестве
из PQ.
Эта теорема справедлива не только для функций одного дей-
ствительного переменного, но и для функций любого конечного
числа действительных переменных. Для такого обобщения, понят-
но, пришлось рассмотреть множества точек в тг-мерных простран-
ствах (гл. V) и ввести для них необходимые понятия.
Мы видим, что для доказательства своей теоремы Бэру при-
шлось привлечь весь аппарат теории множеств, за исключением
теории меры. Более того, ему пришлось ввести ряд новых понятий,
основными из которых являются понятия множеств первой и вто-
рой категорий: множества первой категории — это множества,
представляющие собой суммы счетного множества нигде не плот-
ных множеств, а множества второй категории — это все остальные
множества (стр. 83) 51.
На вопрос о том, заслуживала ли эта теорема такого мощного
аппарата, можно ответить утвердительно. Класс функций, струк-
турные свойства которых выражаются теоремой Бэра, охватывает
самые распространенные функции анализа: он включает в себя
все непрерывные функции52, все разрывные производные, ин-
тегралы уравнений в частных производных и т. д. Недаром
А. Данжуа назвал эту теорему вечным монументом анализа53.
Из изложенного достаточно очевидно, что основу теоремы Бэра
составляет теоретико-множественный метод. Еще более ярко он
выступает в ходе доказательств.
Мы рассмотрим для иллюстрации только часть доказательства
его теоремы: «...всякая функция, являющаяся пределом последо-
вательности непрерывных функций, есть функция точечно раз-
рывная» (стр. 88). Доказательство ведется от противного. До-
пускается, что функция /, являющаяся пределом последователь-
ности непрерывных функций {fn} на PQ, не есть точечно разрыв-
ная, т. е. внутри PQ есть отрезок CD и такое положительное
число 2%, что в каждой точке А отрезка CD колебание функции
/, обозначаемое Бэром со (/, А), превосходит 2Х.
51 Впервые они были введены Бэром в его статье «Sur les fonctions dis-
continues qui se rattachent aux fonctions continues».— C. r. Acad. Sci. Paris,
1898, 126, 1621.
52 Для них теорема Бэра выполняется автоматически.
53 A. D е n j о у. Introduction a la theorie des fonctions de variables reel-
les. Paris, 1937, p. 14.
215
г
В ходе доказательства Бэру приходится рассматривать множе-
ства Gp тех точек отрезка, для которых не выполняется условие
<0 (ЛжИ), /р+гИ),.-] > ц. Здесь /р+1, /р+2,... — непрерывные
функции, аппроксимирующие функцию / в точке Л, со [/р+1(Л),
/р+2(Л),...] — расстояние между точными верхней и нижней гра-
ницами множества чисел, образованного значениями функций
/р+1, /Р+2,... в точке Л, ц — положительное число, меньшее %. Отно-
сительно этих множеств доказывается, что каждое из них нигде
не плотно на CD. Затем строится счетная сумма множеств <тр, обра-
зующих множество первой категории на CD. По свойству мно-
жеств первой категории, на CD найдутся точки, не принадлежа-
щие Gp. Для любой такой точки получается противоречие с тем
условием, что в них f есть предел {/п}.
Следовательно, процесс доказательства представляет собою
рассмотрение числовых множеств и установление их свойств с
привлечением такой сильной операции, как сумма счетного мно-
жества множеств.
Подобного рода примеров можно было бы указать много. Они
не просто образуют совокупность отдельных примеров, а состав-
ляют основное содержание книги Бэра — теоретико-множествен-
ное мышление в действии, применение которого оказалось неиз-
бежным при рассмотрении вопроса о характеристике важного
класса функций.
в. Интеграл Лебега
Рассмотрим еще один пример из теории функций действитель-
ного переменного, который так же тесно связан с теорией мно-
жеств, как и теорема Бэра.
В отличие от Коши, который хотя и дал определение интегра-
ла, независимое от понятия примитивной, но сразу же связал эти
два понятия, Риман сформулировал определение интеграла уже
вне какой-либо связи с примитивной. И это было большим шагом в
разъединении этих двух основных понятий анализа. Вскоре после
этого у математиков возникло подозрение в том, что определения
определенного интеграла с помощью примитивной и предела ин-
тегральных сумм существенно отличаются не только тем, что при-
митивная и неопределенный интеграл могут не совпадать на не-
котором множестве точек, но и тем, что могут существовать такие
примитивные, производные которых не интегрируемы по Риману.
Впервые на возможность существования таких функций указал,
пожалуй, Дини 54. Спустя три года Вольтерра 55 фактически по-
54 U. Dini. Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali.
Pisa, 1878, p. 276.
55 V. V о 11 e r r a. Sui principii del calcolo integrate — Opere mat., v. 1.
Roma, 1954, p. 16—48.
216
строил непрерывные функции, производные которых, существуя,
тем не менее не удовлетворяют критерию интегрируемости ни в
каком интервале.
Таким образом, сложилась такая ситуация, при которой, с од-
ной стороны, существуют примитивные, не являющиеся неопре-
деленными интегралами, а с другой — дифференцирование неопре-
деленного интеграла не приводит к подынтегральной функции во
всех точках.
Однако связь между интегрированием и дифференцированием
длительное время была весьма плодотворной для математики и
потому не случаен устойчивый интерес математиков к восстанов-
лению этой связи, нарушенной введением интеграла Римана. Од-
ним из наиболее ярких представителей сторонников необходимос-
ти такой связи был А. Лебег. И именно тот факт, что интеграл
Римана не давал возможности получать примитивную по ее про-
изводной во всех случаях, был для Лебега одним из решающих
стимулов для обобщения понятия интеграла. Его первая работа,
посвященная новому понятию интеграла, начинается следующими
словами.
«В случае непрерывных функций имеет место идентичность
между понятиями интеграла и примитивной функции. Риман оп-
ределил интеграл для определенного класса разрывных функций,
но в смысле Римана не все производные интегрируемы. Следова-
тельно, проблема отыскания примитивных функций интегриро-
ванием не решена, и поэтому желательно определение интеграла,
включающее определение Римана как частный случай и позволя-
ющее решить проблему примитивных функций» 56.
Эта, казалось бы, чисто теоретико-функциональная проблема,
даже для своего частичного решения, даваемого интегралом Лебе-
га, потребовала не только привлечения наличных средств теории
множеств, но и значительного их пополнения.
Лебег начал построение своего интеграла с изменения конст-
рукции интегральных сумм. В коши-римановском определении
ь
интеграла промежуток интегрирования (а, Ь) разби-
а
вался на частичные промежутки (х^ Xi+\), затем составлялась ин-
тегральная сумма
п—1
3 / (£г) (^*+1 #<) (^)
г=0
и совершался предельный переход в этой сумме при
X = шах(яч+1 — -> 0. Такое определение соответствовало
56 Н. Lebesgue. Sur la . generalisation de 1’integrale definie.— C. r.
Acad. Sci. Paris, 1901, 132, 1025.
15 Ф. А. Медведев 217
обычным элементарным геометрическим представлениям. Элемент
/(§i) (#г+1 — ^г) интегральной суммы выступал в качестве малой
площадки, вся сумма (1) оказывалась суммой таких площадок,
а интеграл являлся площадью, образованной осью х, кривой у —
= /(я) и ординатами х = а, х = 6, получаемой после того, как
предельный переход сглаживал погрешность, допускаемую при
приближении этой площади суммами (1).
Лебег предложил разбивать на частичные промежутки не ин-
тервал изменений аргумента, а интервал изменений функции с
тем, чтобы объединить в одну группу малоотличающиеся значения
функции. Но такие значения функции, за очень редким исключе-
нием ступенчатых функций, соответствуют значениям аргумента,
не образующим целых промежутков на оси X, а составляющим в
общем случае чрезвычайно сложное множество ek точек х, для
которых ук-1 /(я) < У к. где у к) “ промежуток, включаю-
щий близкие между собой значения.
Таким образом, первый же шаг Лебега приводит к множествам
точек. Далее, для образования интегральной суммы одно из значе-
ний ](х) рассматриваемой группы умножается на меру множества
ek. Другими словами, нужно было ввести понятие меры множества.
При наличии такого понятия последующая конструкция совер-
шенно аналогична конструкции интеграла Римана: строится сум-
п—1
ма 2 Ук-АШвк, где тек — мера множества и совершается пре-
Л=1
дельный переход при X = max (ук — Ук-\) 0.
Как мы уже видели, теория меры зарождалась и в значитель-
ной степени развивалась в рамках теории интегрирования. Ко вре-
мени Лебега существовали различные мероопределения. Из
не упоминавшихся нами особого внимания заслуживает мерооп-
ределение Бореля, предложенное им в 1898 г.57 Измеримыми в
смысле Бореля являются и до сегодняшнего дня практически все
множества, с которыми приходится иметь дело математикам вне
рамок теории множеств и функций действительного переменного.
Тем не менее Лебег не довольствовался определением меры мно-
жества по Борелю, а предложил новое мероопределение. Причи-
ной этого могло быть следующее.
В конструкцию интеграла Лебега входят множества ehi кото-
рые образованы из точек х, соответствующих значениям f(x) и
заключенным между Ук-\ и у к, е [ук-i ^ /(^) < Ук], или, что все
равно, е [/(я) > а], где а — любое действительное число. Доказать,
что каждое такое множество измеримо в смысле Бореля, Лебег,
конечно, не мог, так как это вообще неверно. Поэтому целесооб-
разно было дать такое определение меры множества, которое по-
зволяло бы относительно просто устанавливать измеримость
57 Ё. Borel. Lemons sur la theorie des fonctions. Paris, 1898
218
нужных множеств. Сам Лебег в качестве повода для введения но-
вого понятия меры указывал то обстоятельство, что множество
всех множеств, измеримых в смысле Бореля, имеет только мощ-
ность континуума, тогда как множество всех подмножеств задан-
ного множества мощности континуума имеет большую мощность,
а следовательно определение Бореля охватывает только незначи-
тельный класс множеств 58.
И именно в связи со своей конструкцией интеграла Лебег
предложил определение меры точечных множеств, охватывающее
все предшествующие определения как весьма частные случаи.
Тем самым была в значительной мере пополнена и сама теория
множеств, а вместе с тем существенно продвинут вопрос о связи
операций интегрирования и дифференцирования, поскольку ин-
теграл Лебега позволяет находить примитивную по ее производной
в гораздо более общем случае, нежели интеграл Римана59.
Ранее мы отмечали, что данная функция интегрируема в смыс-
ле Римана в том и только том случае, если множество точек раз-
рыва рассматриваемой функции имеет меру нуль. В таком виде
условие интегрируемости было сформулировано Лебегом и Вита-
ли в 1904 г.
Вопрос об интегрируемости функции в смысле Лебега значи-
тельно сложнее. Он связан с самыми тонкими моментами теории
множеств.
Исходя из своей конструкции интеграла, Лебег ввел понятие
измеримой функции. Функция60 называется измеримой, если из-
меримо множество £, на котором она задана, и измеримо каждое
подмножество вида Е [f(x) > я], где а — любое действительное
число. Это самый общий класс ограниченных функций из когда-
либо рассматривавшихся в математике. Правда, построены приме-
ры функций, не измеримых по Лебегу, однако во всех случаях их
построение опирается на аксиому Цермело. Аксиому же Цермело
одни математики приемлют, а другие категорически отвергают.
Если аксиому Цермело не принимать, то можно утверждать, что
любая ограниченная функция, которую сегодня может вообразить
себе математик, интегрируема в смысле Лебега. Если же аксиому
Цермело признавать законной, то интегрируемы только все изме-
римые по Лебегу функции. Таким образом, тот вопрос, который
для интеграла Римана решается однозначно, в теории интеграла
Лебега оказывается связанным с самым глубоким вопросом общей
теории множеств.
Можно было бы привести и многие другие примеры, показы-
вающие действенность теоретико-множественного метода в теории
58 Н. Lebesgue. Integrate, longueur, aire.— Ann. mat. pura ed appl.,
Ser. 3, 1902, 7, 241.
59 При этом обогащаются и сами понятия примитивной и производной.
60 Здесь и далее речь будет идти об ограниченных функциях.
219
15*
функций действительного переменного. По словам Э. Бореля, даже
«если бы теория множеств не приводила к другим результатам,
кроме способствования недавнему прогрессу теории функций, она
осталась бы достаточно значительной дисциплиной, чтобы г-н
Георг Кантор рассматривался как один из математиков, чье влия-
ние было наиболее значительным к концу XIX и в начале XX в.
И это влияние будет существовать до тех пор, пока будут сущест-
вовать математики, даже если те особые формы, в которые вы-
лились некоторые части абстрактной теории множеств, некогда
полностью бы и забылись» 61.
7. Докторская диссертация М. Фреше
В разделе 14 предыдущей главы отмечено, что еще в 1895 г.
Кантор начал перенос ряда понятий теории точечных множеств
на абстрактные множества. При этом в его работе не чувствуется
назревших тогда потребностей развивающейся математики в та-
ком переносе, хотя их можно было заметить в работах группы
итальянских математиков 80—90-х годов (Вольтерра, Арцела,
Асколи, Пинкерле), а также у ряда других математиков. И все же
основная идея • Кантора — перенос на абстрактные множества в
первую очередь понятия предела, а через него понятий замкнутого
и совершенного множества, — оказалась правильной. То, что вве-
денное им понятие предела оказалось нежизнеспособным, не полу-
чило сколько-нибудь заметного применения в математике, объяс-
няется, видимо, тем, что при введении его Кантор руководство-
вался не конкретными нуждами математики, от которой он
длительное время был оторван в связи с болезнью, а некоторыми
априорными соображениями. Иным был подход Фреше, и именно
на его пути были достигнуты наибольшие успехи в функциональ-
ном анализе начала XX столетия.
Исходя из работ Вольтерра, Арцела, Асколи и некоторых дру-
гих математиков конца XIX — начала XX в., Фреше в 1906 г.62
так сформулировал общее понятие функционала: «... мы скажем,
что функциональная операция U определена на множестве Е эле-
ментов какой-либо природы (числа, кривые, точки и т. д.), если
всякому элементу Л из £ соответствует определенное числовое
значение U : U(A). Отыскание свойств этих операций образует
объект функционального исчисления» (стр. 1). Это понятие, на-
чиная с Вольтерра, рассматривалось как непосредственное обоб-
щение определения функции по Дирихле с тем, однако, отличием,
что аргументом функции служит не множество действительных
чисел, а множество элементен другой природы.
61 Ё. Borel. La theorie des ensembles et les progres recents de la theo-
rie des fonctions.— Revue gen. Sci., 1909, 7, 324.
62 M. Fr e ch e t. Sur quelques points du calcul fonctionnel.— Rend. Circ
mat. di Palermo, 1906, 22, 1—74.
220
Раз понятие функционала является прямым обобщением по-
нятия функции, то было закономерно построение функциональ-
ного анализа по образу и подобию теории функций. Но к этому
времени уже выяснилась важная роль теории точечных множеств
при изучении свойств функций. Понятно поэтому стремление ма-
тематиков, наряду со свойствами частных видов функционалов,
изучать свойства частных видов множеств, на которых были зада-
ны эти функционалы63.
К этому добавлялось еще следующее. Теория функций доволь-
но долго разрабатывалась вне связи с теорией множеств. Возмож-
ность этого обусловливалась в значительной мере тем, что изуча-
лись функции, заданные на множествах, в известном смысле «ес-
тественных»,— на интервалах. При переходе к функционалам
ситуация иная, так как «...в функциональном исчислении (по
крайней мере в начале) ничто не может играть роли интервала,
рассмотрение которого было столь долгое время достаточным для
аналистов в теории функции» (стр. 2). Поэтому необходимо из-
учение разнообразных множеств, на которых могут быть заданы
те или иные функционалы. Фактически изучение функционалов
нередко сопровождалось предварительным изучением множеств,
на которых они заданы. К тому же эталон, которому можно было
следовать при таком изучении,— теория точечных множеств —
уже существовал. И первоочередной задачей в создававшемся
функциональном анализе была задача переноса свойств точечных
множеств на множества иной природы.
Такой перенос мог осуществляться двумя способами. Во-пер-
вых, через непосредственное изучение различных специальных
множеств, отличных от множеств точек. По этому пути, как мы
говорили, шли Арцела и некоторые другие. Но идти все время
только таким путем—занятие малоперспективное, поскольку
запас множеств, на которых можно было задавать функционалы,
теоретически неисчерпаем. Отсюда задача создания общей теории,
в рамки которой вмещались бы все рассмотренные ранее частные
случаи. Представители первого направления не ставили, кажется,
такой задачи.
С другой стороны, можно было идти по тому пути, который
был намечен Кантором, правда еще вне рамок функционального
анализа. В функциональном анализе этот путь был открыт на-
званной выше работой Фреше. Он отчетливо сформулировал за-
дачу построения общего исчисления функционалов не в направле-
нии обобщения частных результатов, а в известном смысле в об-
ратном направлении: он начинал с рассмотрения самых общих
множеств и, накладывая на них те или иные ограничения, прихо-
дил к множествам, функционалы на которых обладали свойствами,
аналогичными известным свойствам функций. При таком движении
63 Пример исследований подобного рода рассмотрен в разделе 15, гл. II.
221
от общего к частному для него оказались весьма полезными
результаты, добытые на первом пути, и на них он постоянно опи-
рался при построении общей теории.
Первым его шагом в переносе понятий теории точечных мно-
жеств на абстрактные множества явилось введение общего поня-
тия предела последовательности. С этого, как сказано выше, на-
чинал и Кантор64. Однако реализация этого отличалась у Фреше
по крайней мере в двух отношениях. Во-первых, общие свойства
понятия предела явились у него результатом изучения свойств
частных определений различных видов пределов последователь-
ностей, использовавшихся ранее. Во-вторых, предложенное мм оп-
ределение не фиксирует заранее какой-либо определенный вид
предельного перехода, каким бы он ни был общим; этот предель-
ный переход может быть любым, лишь бы его определение удов-
летворяло некоторым заранее установленным условиям. Сам, Фре-
ше подчеркивал (стр. 5) аналогию между своим подходом к поня-
тию предела и подходом к понятию операции в абстрактной теории
групп, где от групповой операции требуется лишь, чтобы она
подчинялась некоторым заранее установленным предписаниям
(аксиомам), а в остальном оставалась произвольной.
Прежде всего Фреше выделяет некоторый абстрактный класс
(L), из элементов которого образуются рассматриваемые им далее
множества. Эти элементы могут иметь произвольную природу,
лишь бы их можно было попарно различать, а также узнавать сре-
ди различных бесконечных последовательностей элементов этих
множеств сходящиеся в каком-либо смысле последовательности
(стр. 5).
Ответ на вопрос о том, сходится или нет заданная бесконечная
последовательность {ап} элементов множества Е 65, образованного
из элементов класса (L), может быть дан на основании какого
угодно метода, лишь бы этот метод удовлетворял следующим двум
условиям.
1. Если элементы последовательности {ап} идентичны одному
и тому же элементу а, то последовательность {ап} считается схо-
дящейся, а ее предел есть а.
2. Если последовательность {ап} сходится к пределу а, то и
любая ее бесконечная подпоследовательность {ап&} сходится, имея
тот же предел а.
Эти два условия Фреше и рассматривает как общее определе-
ние предела последовательностей (стр. 6). После этого обычные
определения теории точечных множеств распространяются на аб-
страктные множества.
64 Так что замечание Фреше, что до него понятие предела на абстракт-
ные множества никем не переносилось (стр. 4), не совсем правильно.
65 Далее, говоря о множестве £*, всегда будем предполагать, что оно
образовано из элементов класса (L).
222
Элемент а класса (Ь) называется предельным элементом мно-
жества Е. если существует бесконечная последовательность
ап, ..., «г ^Е, имеющая своим пределом а. Множество
предельных элементов множества Е называется производным мно-
жеством множества Е и обозначается Е'. Множество называется
замкнутым, если оно содержит свое производное множество; со-
вершенным, если оно совпадает со своим производным множест-
вом, и т. д.
Все точечные множества ограниченной области евклидова про-
странства таковы, что каждое из них, согласно теореме Больца-
но — Вейерштрасса, обладает по крайней мере одной предельной
точкой, если оно бесконечно. Не так обстоит дело с произвольны-
ми бесконечными множествами. Поэтому Фреше вводит новое
определение, которого не было в теории точечных множеств и ко-
торое обеспечивает выполнимость названной теоремы. А именно
определяется компактное множество как такое, которое или со-
держит лишь конечное число элементов или, если оно бесконечно,
обладает по крайней мере одним предельным элементом
(стр. 6) 66. Если множество одновременно компактно и замкнуто,
то Фреше называет его экстремальным множеством (ensemble
extremal), отмечая его аналогию с интервалом в теории точечных
множеств (стр. 6—7).
Эти (и некоторые другие) определения позволяют Фреше пе-
рейти к рассмотрению функционалов, заданных на множествах Е.
Для произвольных функционалов он, как и Арцела для функцио-
налов, заданных на множествах непрерывных кривых67, доказы-
вает аналог теоремы Вейерштрасса для функций. Пусть задан
однозначный функционал U на экстремальном множестве Е. Су-
ществует по крайней мере один элемент а Е, такой, что точная
верхняя граница (конечная или нет) значений U на Е равна точ-
ной верхней границе U на всяком подмножестве Е, содержащем а
внутри себя в узком смысле68 (стр. 7—8).
Определив понятие непрерывного функционала, Фреше затем,
как и Арцела, получает из этой теоремы, что всякий непрерывный
функционал на экстремальном множестве: 1) ограничен на этом
множестве; 2) по крайней мере на одном элементе достигает точ-
ной верхней (точной нижней) границы. Далее на последователь-
ности функционалов обобщаются понятия равномерной и квази-
равномерной сходимости и устанавливается необходимое и доста-
точное условие того, чтобы заданная последовательность
66 В настоящее время понятие компактности определяется по-иному:
множество Е пространства X называется компактным в пространстве X,
если из любой последовательности {хп} точек множества Е можно выделить
сходящуюся в пространстве X подпоследовательность {хп^.
67 См. раздел 15, гл. II.
68 Подмножество K<z.E содержит элемент а в узком смысле, если
« е К, но а не является пределом какой-либо последовательности {ап}, та-
кой, что аг (=Е, но ai (стр. 6).
223
непрерывных функционалов сходилась к непрерывному же функ-
ционалу (стр. 9—10); вводится понятие равностепенной непре-
рывности и находятся необходимое и достаточное условия ком-
пактности семейства функционалов (стр. 10—14).
Продолжать изучение функционалов, заданных на множествах,
образованных из элементов класса (L), Фреше не мог, так как он
обнаружил, что некоторые важные теоремы теории точечных мно-
жеств, необходимые для установления более специальных свойств
функций, оказываются несправедливыми, если сохранять приня-
тую общность. Выше это было сказано о теореме Больцано — Вей-
ерштрасса, которую Фреше удалось заменить понятием компакт-
ности. Другой такой теоремой является теорема о том, что произ-
водное множество точечного множества всегда замкнуто. Для
множеств той степени общности, которой он ограничивался до
сих пор, эта теорема вообще не справедлива.
Поэтому Фреше сужает общность рассматриваемых им мно-
жеств, образованных из элементов класса (А), вводя для (А) до-
полнительные ограничения. Он задается целью ввести эти ограни-
чения так, чтобы их можно было сформулировать независимо от
природы рассматриваемых элементов; чтобы они выполнялись
для множеств, наиболее часто встречающихся в приложениях;
чтобы они, наконец, не были слишком узкими, обеспечивая
«...искомое обобщение теорем о линейных множествах и непре-
рывных функциях...» (стр. 17).
Этого он достигает, вводя понятие метрического пространст-
ва69. Его определение несколько отлично от принятого теперь70,
поэтому мы приведем слова Фреше: «Рассмотрим класс (V) эле-
ментов любой природы, но таких, что мы знаем, как определять,
идентичны или нет два заданных элемента, и, кроме того, таких,
что любым двум из них А, В можно поставить в соответствие чис-
ло (А, В) = (В, А) 0, обладающее следующими двумя свойст-
вами:
1°. Необходимое и достаточное условие того, чтобы (А, В) было
равно нулю, состоит в идентичности А и В.
2°. Существует (вполне определенная положительная функция
/(е), такая, что неравенства (А, В) е и (В, С) е влекут
(А, С) /(с), каковы бы ни были элементы А, В, С. Иначе го-
воря, для малости (А, С) достаточно, чтобы (А, В) и (5, С) были
малыми» (стр. 18).
И далее Фреше рассматривает множества, заданные в метри-
ческих пространствах. Вводятся обычные теперь понятия предела
последовательности и ограниченного множества и доказывается
69 Данного термина Фреше не употребляет, называя метрическое про-
странство «классом (7)» (стр. 18).
70 См., например: Л. В. Канторович и Г. П. Акилов. Функцио-
нальный анализ в нормированных пространствах. М., Физматгиз, 1959,
стр. 11—12.
224
ряд теорем. В частности, для множеств, расположенных в метри-
ческих пространствах, оказывается справедливой теорема о томг
что производное любого множества замкнуто (стр. 18—19), а так-
же аналог теоремы Бореля о конечном покрытии (1895 г.). По-
следнюю Фреше сформулировал так: «Пусть Е — экстремальное
множество, образованное из элементов класса (F). Если сущест-
вует бесконечная последовательность G множеств I\, Iz, ... таких,,
что всякий элемент из Е содержится внутри в узком смысле по
крайней мере одного из множеств то из G можно извлечь ко-
нечное число ее членов, образующих семейство Я, обладающее тем
же свойством, что и G» (стр. 22).
Но и эти ограничения оказываются недостаточными для пере-
носа на функционалы многих важных результатов теории функций.
В частности, метрическое пространство — слишком общее поня-
тие, чтобы на функционалы, заданные на множествах в метриче-
ских пространствах, можно было перенести понятие равномерной
непрерывности и связанные с ним предложения теории функции.
Поэтому Фреше накладывает новые ограничения на рассматри-
ваемые им множества.
Первым таким ограничением явилось требование полноты ме-
трического пространства. Для точечных множеств свойство полно-
ты может быть сформулировано в различных видах (существова-
ние точной границы у ограниченного множества, наличие элемен-
та, производящего дедекиндовское сечение, и т. д.). Одна из таких
формулировок, а именно признак Коши сходимости последова-
тельности, характеризуется тем, что она может быть изложена в.
терминах метрики. Этот признак Фреше и кладет в основу поня-
тия полного метрического пространства, предварительно, конечно*
обобщив следующим образом:
«Мы скажем, что последовательность элементов А\, Л 2,... из»
класса (V) 71 удовлетворяет условию Коши, если всякому числу
е > 0 можно поставить в соответствие целое п, такое, что неравен-
ство (Ап, Лп+р) < е будет выполняться при любом р72»
(стр. 23). И затем полное метрическое пространство Фреше опре-
деляет как метрическое пространство, в котором всякая последо-
вательность, удовлетворяющая признаку Коши, обладает предель-
ным элементом, который необходимо единствен73.
Другим ограничением было требование сепарабельности мет-
рического пространства, которое Фреше формулирует в несколько
ином, чем принято теперь, и даже не эквивалентном виде: «Мы
назовем затем сепарабельным классом такой класс, который по
71 Т. е. из метрического пространства.
72 р означает любое натуральное число. Сам Фреше не сделал этой оче-
видной оговорки.
73 Термин «полное метрическое пространство» у Фреше отсутствует. Он
говорит просто о классе (7), допускающем обобщение теоремы Коши
(стр. 23).
225
крайней мере одним способом может рассматриваться как произ-
водное множество счетного множества его элементов» 74 (стр. 23).
Современное определение сепарабельности, требующее наличия в
метрическом пространстве счетного плотного подмножества, было
‘бы достаточным для нужд Фреше. Но, определив сепарабельность
указанным образом, он вынужден был ввести еще одно понятие,
в некотором смысле компенсировавшее недостаточность прежнего.
А именно, определив понятие плотного множества обычным те-
перь способом (стр. 23), он потребовал от метрического простран-
ства плотности в самом себе и назвал такие пространства «совер-
шенными» (стр. 24). Последующие исследования Фреше ограничи-
лись «...изучением нормальных, т. е. совершенных, сепарабельных
и допускающих обобщение теоремы Коши классов (К)...»
(стр. 24), а также функционалов, заданных на множествах эле-
ментов указанных пространств.
Нет нужды продолжать изложение работы Фреше, так как из
того, что уже сказано, значение теории множеств в создании функ-
ционального анализа достаточно очевидно. Это значение еще воз-
росло после того, как началось общее изучение операторов как
отображений элементов одного множества в другое (не обязатель-
но числовое, как в случае функционалов).
На работе Фреше мы заканчиваем рассмотрение отдельных
примеров приложений теории множеств и теоретико-множествен-
ного метода в других областях математики. Сфера таких прило-
жений практически необозрима, особенно если принять во внима-
ние, что «... почти каждая область современной математики или
постоянно пользуется конкретными методами теории множеств,
или же, что с принципиальной точки зрения еще важнее, опреде-
ляет самый предмет своих исследований как некоторое множество
объектов, удовлетворяющих известной системе соотношений» 75.
74 Принятое теперь определение сепарабельности см. в кн.: Л. В. К а н-
торович и Г. П. Акилов. Указ, соч., стр. 24.
75 П. С. Александров. О .новых течениях математической мысли,
возникших в связи с теорией множеств. Сборник статей по философии ма-
тематики. М., Учпедгиз, 1936, стр. 15.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. Г. (Abel N. G., 1802—1829)
38.
Адамар Ж. (Hadamard J., 1865—
1963) 13, 51, 188, 189.
Акилов Г. П. (род. 1921) 224, 226.
Александров П. С. (род. 1896) 5, 8,
10, 63, 193, 226.
Аристотель ('Аркзтоте'Лт^, 384—322
до н. э.) 8, 119, 120.
Арцела Ч. (Arzela С., 1847—1912)
159—161,174,189,213,220,221,223
Асколи Д. (Ascoli G., 1843—1896.
92, 99, 102, 159, 164, 185, 189, 220)
Банах С. (Banach S., 1892—1945) 12.
Бауман (Baumann J., 1837—1916).
153.
Бахман П. (Bachmann Р., 1837—
1920 15.
Башмакова И. Г. (род. 1921) 17, 18,
21, 22, 28, 35, 65.
Белозеров С. Е. (род. 1904) 58, 199.
Бендиксон И. (Bendixon I. О., 1861—
1935) ИЗ, 126, 127, 129, 132, 133,
185, 187, 212.
Бернштейн Ф. (Bernstein F., 1878—
1956) 123, 171.
Бёркил Д. (Burkill J. Ch., род. 1900)
159.
Биркгоф Г. (Birkhoff G. D., 1884—
1944) 206, 209.
Бирман О. (Biermann A. L. О.,
1858-1909) 51, 59.
Богомолов С. А. 24, 30.
Бойер К. (Boyer С. В.) 38.
Больцано Б. (Bolzano В., 1781—
1848) 37, 40, 61, 68, 73—77, 101,
120, 124, 125, 128, 136, 151, 153,
161 223.
Борель Э. (Borel Ё., 1871—1956) 13,
45, 46, 48, 50, 115, 135, 171, 177,
181, 218—220, 225.
Брадвардин Т. (Thomas Bradwardi-
nus, ок. 1290—1349) 14.
Брауэр Л. (Brouwer L. Е. J., род.
1882) 109, 110.
Бруншвич Л. (Brunschvicg L.,
1869—1944) 119.
Буль Г. (Boole G., 1815—1864) 9, 83.
Бурали-Фортп (Burali Forti С.,
1861—1931) 178.
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 9, 18, 37,
41, 83, 182, 186, 190.
Буркгарт Г. (Burkhardt Н., 1861—
1914) 39.
Бэр Р. (Baire R. L., 1874—1932)
13, 177, 181, 211—216.
Ван Хао (Hao Wang) 153, 180.
Васильев А. В. (1853—1929) 46.
Вебер Г. (Weber Н., 1842—1913) 105.
Вейерштрасс К. (Weierstrass К. Th.
W., 1815—1897) 51—61, 65, 91,
110, 125, 128, 133, 161, 182, 184—
187, 195—201, 212, 223.
Вельтман (Veltmann W., 1832—1902)
ИЗ, 115, 116, 130, 185.
Веронезе Д. (Veronese G., 1857—
1917) 136, 162—163.
Веселовский И. Н. (род. 1893) 3.
Виванти Д. (Vivanti G., 1859—1949)
45, 136.
Виет Ф. (Viete F., 1540—1603) 35.
Вилейтнер Г. (Wieleitner Н., 1874—
1931) 35.
Витали Д. (Vitali G., 1875—1932)219.
Вольтерра В. (Volterra V., 1860—
1940) ИЗ, 130, 159, 160, 174, 185,
189, 216, 220.
Вундт В. (Wundt W. М., 1832—1920)
137.
Галилей Г. (Galilei Galileo, 1546—
1642) 151.
Галуа Э. (Galois Ё., 1811—1832) 10,
25____28 31 79
Гамильтон У. (Hamilton W., 1788—
1856) 68.
227
Гандерсон (Gundersen С.) 138.
Ганкель Г. (Hankel Н., 1839—1873)
41, 45, 91, 97—102, ИЗ, 130.
Гарнак A. (Harnack А., 1851—1888)
113—115, 117, 130, 134—135, 185.
Гаусс К. Ф. (Gauss С. F., 1777—1855)
15-25, 36, 79, 107, НО, 183, 192.
Гвишар К. (Guichard С., 1861—1924)
135.
Гегель (Hegel G. W. Е., 1770—1831)
8, 9.
Гейне (Heine Н. Е., 1821—1881) 101,
161.
Гельмгольц Г. (Helmholz Н., 1821—
1894), 107, 183.
Гильберт Д. (Hilbert D., 1862—1943)
12, НО, 163, 178, 185, 189, 204.
Голубев В. В. (1884—1954) 187, 203.
Гончаров В. Л. (1896-1955) 41, 45.
Граве Д. А. (1863—1939) 47.
Грассман Г. (Grassmann Н. С., 1809—
1877) 154.
Гурвиц A. (Hurwitz А., 1859—1919)
59, 135, 186—188.
Гутберлет К. (Gutberlet К., 1837—
1928) 137.
Дальма A. (Dalmas А.) 10.
Данжуа A. (Denjoy А., род. 1884)
172, 203, 215.
Дантшер В. (Dantscher V., 1847—
1921) 51.
Дарбу Г. (Darboux G., 1842—1917)
99, 164.
Дедекинд Р. (Dedekind J. W. R.,
1831—1916) 3, 7, 19, 22, 23, 26—
28, 33, 37, 42, 61—67, 75, 76, 79—
84, 94—97, 101—112, 125, 129,
136, 144—157, 165—174, 178—
181, 183, 185, 191, 192, 203—210.
Декарт Р. (Descartes В., 1596—1650)
35.
Делоне Б. Н. (род. 1890) 15, 18.
Джевонс У. С. (Jevons W. S., 1835—
1882) 9.
Дженокки A. (Genocchi А., 1817—
1889) 128.
Дини У. (Dini U., 1845—1918) 75,
101—102, НО, ИЗ, 183, 190, 212,
216.
Дирихле Лежен П. Г. (Dirichlet
Р. G. Lejeune, 1805—1859) 21, 23,
37, 39, 40, 57, 58, 63, 79, 90, 128,
146, 149, 166.
Дуб Д. Л. (Doob J. L.) 6.
Дюбуа-Раймон П. (Du Bois-Rey-
mond Р., 1831—1889) 46—51, 72,
88—93, 96, 99, 102, НО, ИЗ, 115,
117, 130, 184, 192, 195, 208.
Евклид (EuxXseSvjc;, IV—III в. до
н. э.) 21, 25, 31, 79.
Жегалкин И. И. (1869—1947) 147,
174, 176.
Жергон Ж. (Gergonne J. D., 1771—
1859) 83.
Жордан К. (Jordan С., 1838—1922>
138-140, 163-165, 172, 185, 188,
190.
Журден Ф. (Jourdain Ph. Е. В.,
1879—1919) 7, 52, 68, 145.
Золотарев Е. И. (1847—1878) 17, 28.
65.
Зоретти (Zoretti L., род. 1880) 203.
Кавайе Ж. (Cavailles J.) 7, 151, 166>
180, 182.
Кант И. (Kant I., 1724—1804) 8.
Кантор Г. (Cantor G., 1845—1918) 3,
6, 7, 11, 16, 30, 41, 42, 45, 46, 48,
49, 51, 54, 60-63, 65—67, 74—76,
84—97, 99, 101, 102, 107—138,
147—151, 166, 169—187, 190—191,
197, 199—200, 208, 220—222.
Канторович Л. В. (род. 1912) 224,
226.
Келдыш Л. В. (род. 1904) 3.
Керри Б. (Kerri В.) 137.
Клейн Ф. (Klein Fl, 1849—1925) 33,
34, 36.
Клини С. К. (Kleene S. С.) 179.
Ковалевская С. В. (1850—1891) 184.
Кольман Э. Я. (род. 1892) 37, 74—
75, 101.
Кон (Cohn J. L., 1869-1947) 119.
Корселе A. (Corselet А., 1864—1947)
171.
Коссак Е. (Kossak Е.) 51.
Коши О. (Cauchy A. L., 1789—1857)
43, 44, 53, 56, 58, 141, 144, 188,
193—196, 225, 226.
Кронекер JI. (Kronecker L., 1823—
1891) 132, 182, 184—186.
Кулидж (Coolidge J. L., род. 1873)
33.
Куммер Э. (Kummer Е. Е., 1810—
1893) 31, 64, 79, 80, 82.
Курош А. Г. (род. 1908) 6, 13.
Кутюра Л. (Couturat L., 1868—1914)
32.
Лагранж Ж. Л. (Lagrange J. L.,
1736—1813) 17, 128.
Ландау Э. (Landau Е., 1877—1938)
145.
Лебег A. (Lebesgue Н., 1875—1941)
13, 39, 115, 140, 165, 181, 216—219.
228
Леви-Чивпта Т. (Levi-Civita Т.,
1873—1941) 136, 162, 163.
Лежандр (Legendre А. М., 1752—
1833) 128.
Липшиц Р. (Lipschitz R., 1832—1903)
91.
Лиувплль (Lionville J., 1809—1882)
96.
Лобачевский Н. И. (1792—1856) 39,
40.
Лосский Н. О. (род. 1870) 8.
Лузин Н. Н. (1883-1950) 13, 51,
59, 62, 116, 194, 196-197.
Люрот (Luroth J., 1844—1910) 109,
185.
Мак-Нотон Р. (McNaughton R.) 180.
Маркушевпч А. И. (род. 1908) 43, 65.
Мёбиус А. Ф. (Mobius A. F., 1790—
1868) 30.
Медведев Ф. А. (род. 1923) 141.
Мейер Ф. (Meyer F., 1842—1898)
136, 192.
Меньшов Д. Е. (род. 1892) 115.
Мерей Ш. (Мёгау Ch., 1835—1911) 62.
Милези Л. (Milesi L.) 185.
Миттаг-Леффлер Г. (Mi ttag- Leffler
М. G., 1846—1927) 85, 133, 135,
184, 185, 187, 190, 191, 197—202.
Морган Де, A. (de Morgan А., 1806—
1871) 9, 46, 67, 73, 120, 157.
Мостовский A. (Mostowski А.) 3.
Мэрфи М. (Murray G. Murphey) 125.
Нагель Э. (Nagel Е., род. 1901) 33.
Натансон И. П. (1906—1964) 104,
124, 129, 161, 174, 176.
Натуччи A. (Natucci А., род. 1883)
53, 152.
Нейман Дж., фон (Neumann J. von,
1903—1957) 3.
Некрасов В. Л. (1864—1922) 7, 113,
115, 136.
Нетто Э. (Netto Е., 1846—1919) 42,.
109 185
Нётер Э. (Noether Е., 1882—1935)
152, 170, 204.
Оре О. (Ore 0., род. 1899) 15, 28.
Остроградский М. В. (1801—1862) 39.
Оутред В. (Oughtred W., 1574—1660)
Паплаускас А. Б. (род. 1931) 39, 86.
Паш М. (Pasch М., 1843—1930) 32,
157___159 185.
Пеано Д. (Peano G., 1858—1932) 9,
13, 110, 128, 136. 138—144, 153—
157, 161—165, 170, 172, 185, 190,
191.
Пенлеве П. (Painleve Р., 1863—1933)
203.
Пикок Д. (Peacock G., 1791—1858) 9.
Пинкерле С. (Pincherle S., 1853—
1936) 51—55, 57, 59, 189, 195, 200,
220.
Пирпонт Д. (Pierpont J., ок. 1863—
1939) 34.
Пирс Ч. С. (Peirce С. S., 1839—1914)
9, 129, 157, 163, 209.
Пифагор (nv&orppac;, ок. 580—510
до н. э.) 34.
Погребысский И. Б. (род. 1906) 14.
Помпею Д. (Pompeiu D., 1873—1954)
203.
Понселе Ж. В. (Ponselet J. V., 1788—
1867) 32.
Прагмен Е. (Phragmen Е., 1863—
1937) 133, 134, 185, 187.
Пуанкаре A. (Poincare Н., 1854—
1912) 135, 180, 185, 191.
Пуассон С. (Poisson S. D., 1781 —
1840) 39.
Радон И. (Radon J., 1877—1956) 143.
Ренувье III. (Renouvier Ch., 1815—
1903) 137.
Риман Б. (Riemann В., 1826—1866)
19, 39, 40—45, 52, 58, 90, 97—99,
107, 159, 183, 212, 216—219.
Рисе Ф. (Riesz F., 1880-1956) 195.
Рыхлик К. (Rychlik К., род. 1885)
61, 74.
Сакс С. (Saks S., 1897-1942) 185.
Серпинский В. (Sierpinski W., род.
1882) 13.
Серре (Serret J. А., 1819—1885) 26.
Смит Г. (Smith Н. J. St., 1826—1883)
99—102, 110, ИЗ, 130, 164, 183,
185.
Степанов В. В. (1889—1950) 51.
Стплтьес Т. (Stieltijes Т. J., 1856—
1894) 143.
Стяжкин Н. И. (род. 1932) 83.
Таннери П. (Tannery Р., 1843—1904)
137.
Тарский A. (Tarski А., род. 1901) 12,
83, 152, 196.
Томе (Thomae J., 1840—1921) 109,
185.
Уемов А. И. 147.
Ферма П. (Fermat Р., 1601—1665)
35, 103.
Фишер Э. (Fischer Е., 1875—1956)
195.
229
Фреге Г. (Frege G., 1848—1925) 9,
163.
Френкель A. (Fraenkel А., род. 1891)
3, 5, 172, 178, 182, 184, 190, 193.
Фреше М. (Frechet М., род. 1878)
176, 181, 220—226.
Фурье Ж. (Fourier J. В. J., 1768—
1830) 39, 43, 45, 85, 93.
Хардп (Hardy G. Н., 1877—1947) 46.
Хаусдорф Ф. (Hausdorff F., 1868—
1942) 181, 211.
Цейтен Г. Г. (Zeuthen Н. G., 1839—
1920) 35.
Цермело Е. (Zermelo Е., 1871—1953)
3, 6, 12, 13, 18,23,27,51,81, 103,
128, 162, 171, 173, 181, 209, 219.
Четверухин А. Ф. (род. 1891) 31.
Шатуновский С. О. (1859—1929) 211.
Шварц Г. A. (Schwarz Н. А., 1843—
1921) 52, 182, 186.
Шварц (Schwarz Н.) 136.
Шеффер Л. (Scheeffer L., 1859—1885)
135.
Шенеман Т. (Schonemann Т., 1812—
1868) 26.
Шёнфлис A. (Schoenflies А., 1853—
1928) 7, 85, 109, 132, 138, 182, 184,
190.
Шрёдер Э. (Schroder Е., 1853—1902>
9, 77—78, 84, 136, 145, 157, 163,
171, 203, 205—206.
Штамм Э. (Stamm Е.) 14.
Штаудт X. (von Staudt К. G. С.,
1798—1861) 28, 32, 33, 63.
Штейнер Я. (Steiner J., 1796—1863)
28—30, 32, 42, 192.
Штольц О. (Stolz О., 1842—1905)
134, 136, 195.
Шумахер (Schumacher Н. С., 1780—
1850) 24.
Элер (Ehler С. L. G.) 10.
Эйлер Л. (Euler L., 1707—1783) 10,
43, 46.
Эрмит Ш. (Hermite Ch., 1822—1901)
185.
Юнг В. (Young W. Н., 1863—1942)
136, 143, 165, 181, 185.
Юшкевич А. П. (род. 1906) 3, 14,
74.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................... 3
Введение......................................................... 5
ГЛАВА I. Зарождение идей теории множеств в различных матема-
тических дисциплинах............................................. 15
1. «Арифметические исследования» Гаусса..................... 13
2. Некоторые работы по теории функциональных сравнений . . 25
3. Элементы теоретико-множественных представлений в проек-
тивной геометрии............................................. 28
4. Об арифметизации анализа................................. 34
5. Разбиение континуума на множество точек.................. 38
6. Бернгард Риман и теория множеств......................... 41
7. Теория роста функций..................................... 45
8. Карл Вейерштрасс и теория множеств....................... 51
9. Теории действительных чисел Дедекинда и Кантора.......... 61
10. Представление о бесконечном у А. де Моргана.............. 67
11. Теоретико-множественные представления у Б. Больцано ... 74
12. Заключение............................................... 77
глава и. Разработка теории множеств ............................ 79
1. Начало исследований Дедекинда по теории множеств алгебраи-
ческих чисел................................................. 79
2. Начало исследований Кантора по теории точечных множеств 84
3. Элементы теории множеств у Дюбуа-Раймона................. 88
4. Несчетность множества действительных чисел............... 94
5. Первые исследования о мере точечных множеств............. 97
6. Продолжение исследований Дедекинда по теории множеств
алгебраических чисел и функций...............................102
7. Эквивалентность континуумов разного числа измерений . . . 107
8. Начало систематической разработки теории точечных множеств 110
9. Исследования точечных множеств другими математиками
(1881—1883 гг.)..............................................113
10. Новый этап исследований Кантора по теории множеств . . . 117
11. Продолжение систематической разработки теории точечных
множеств......................................................126
12. Некоторые исследования по теории множеств, непосредственно
примыкающие к работам Кантора.........................132
13. Теоретико-множественное содержание «Геометрических прило-
жений анализа бесконечно малых» Д. Пеано................ 137
14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда ... 144
15. О некоторых работах конца 80-х и начала 90-х годов.......157
16. Некоторые работы Дедекинда, не опубликованные при его
жизни........................................................ 165
17. Новый взлет Кантора......................................171
18. Парадоксы теории множеств................................178
19. Отношение математиков к теории множеств в период ее со-
здания .................................................. . . 181
231
глава Ш. Методы теории множеств в других математических
дисциплинах..............................................., . 192
1. Несколько замечаний о характере приложений теории мно-
жеств .....................................................192
2. О теоретико-множественной перестройке основных понятий
анализа....................................................193
3. Исследования Миттаг-Леффлера по аналитическому представ-
лению функций комплексного переменного.....................197
4. Исследования Дедекинда по теории структур...............203
5. Теорема Бэра о точечно разрывных функциях...............211
6. Интеграл Лебега........................................ 216
7. Докторская диссертация М. Фреше.........................220
Федор Андреевич Медведев
Развитие теории множеств в XIX веке
к печати Институтом истории естестзознания и техники АН СССР
Редактор издательства Э. Н. Терентьева. Художник Л. А. Потачав
Технический редактор С. Г. Тихомирова
Сдано в набор 2/IV 1965 г. Формат 60X99V16 Печ. л. 14,5
Уч.-изд. л. 15,1. Подписано к печати 2/VII 1935 г.
Тираж 2500. Т- 09810. Изд. № 3156/65. Тип. зак. № 2292
Темплан 1935 г. № 449
Цена 1 р. 26 к.
Издательство «Наука» Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука» Москва, Г-99, Шуб ласкай пер., 10