Обложка
Титул
Выходные данные
Содержание
Предисловие
Условные обозначения
Глава 1. ПЛАНИМЕТРИЯ
Свойства произвольного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства прямоугольного треугольника
Равенство треугольников
Подобие треугольников
Пропорциональные отрезки
Окружность. Свойства хорд и углов
Окружность. Касательная, касательные и хорды, касательные и секущие
Медианы
Высоты
Биссектрисы
Треугольник. Вписанные, описанные и вневписанные окружности
Параллелограмм
Трапеция
Равнобочная трапеция
Вписанный четырёхугольник
Вписанная трапеция. Вписанный параллелограмм. Описанный четырёхугольник
Описанная трапеция
Описанный параллелограмм. Произвольный четырёхугольник
n - угольник
Правильный n - угольник. Вписанный n - угольник
Описанный n - угольник
Площадь треугольника
Площадь четырёхугольника
Площадь трапеции
Площадь параллелограмма. Площадь описанного n - угольника
Площадь правильного n - угольника. Градусная и радианная меры угла. Длина дуги. Площадь сектора. Площадь сегмента
Соотношения между площадями фигур
Глава 2. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Проекция плоской фигуры. Перпендикулярные плоскости, прямая и плоскость
Плоскость, прямая и сфера
Пирамида
Призма. Параллелепипед
Правильные многогранники
Шар
Правильная пирамида. Вписанный и описанный шары
Цилиндр
Конус
Трёхгранный угол
Литература
Титул
Обложка
Text
                    в


В. В. Амелькин
Т. и. Рабuевич
В. л. Тимохович


ШКОЛЬНАЯ
rEОМЕТРИЯ


L..


r-


в ЧЕРТЕЖАХ
И ФОРМУЛАХ


11
!
 ++
.иС
d:..4:'
%-"'- [ С I



...
. ....
,

,., i';'I.

 _...
11111111111111 11 Sеаи 4






В. В. Амелькин Т. и. Рабцевич В. л. Тимохович в ЧЕРТЕЖАХ И ФОРМУЛАХ в <. ....: - . ...... . . .>::"/-" -.:.-:." :."......: ." " fl/JКО ЬНАfilrЕОМЕrрц9. ..... __ ; !f : :' ::. y . ",,,,.-' МИНСК «Красико"Принт» 2008 Sea_
УДК 514.112 (075.3) ББК 22.151.0я721 А61 р е Ц е н з е н т канд. физ. мат. наук, доц. каф. rеометрии, тополоrии и методики преподавания математики Бrу с. r. Кононов Амелькин, В. В. А61 Школьная rеометрия в чертежах и формулах I В. В. Амелькин, Т. и. Рабцевич, В. л. Тимохович. Минск: Красико Принт, 2008. 80 с. ISBN 978 985405464 3. Пособие содержит тщательно отобранный и систематизирован ный теоретический материал, который поможет учащимся не только yrлубить свои знания, про верить и закрепить практические навыки при систематическом изучении rеометрии, но и предоставляет xopo шую возможность для эффективной подrотовки как к выпускному и конкурсному экзаменам, так и к централизованному тестированию. Предназначено школьникам, абитуриентам, учителям. УДК 514.112 (075.3) ББК 22.151.0я721 ISBN 978-985-405-464-3 @ Амелькин В. В., Рабцевич Т. Н., Тимохович В. Л., 2008. @ Оформление ИООО «Красико Принт», 2008 Sea_
СОДЕРЖАНИЕ ][[)J II ()IJII ............................................................................... ()lIlIl»le ()(i():lII .. III1I1............................................................. () JlJl II JL. ][[JI III1 e1r]JIIII.............................................................. Свойства yrлов И параллельных пряМых.......................... Свойства произвольноrо треyrольника ............................ 9 Свойства равнобедренноrо треyrольника ...................... 10 Свойства прямоyrольноrо треyrольника........................ 11 Равенство треyrольников .... ...... .... ... ..................... ........... 12 од()бие треyr()ЛI>НИК()В ................................................... 1 ропорциональные отрезки...... .................................... ... 1 ОКРУЖНОСТI>. Свойства хорд и yrлов............................... 17 ОКРУЖНОСTh. Касательная, касательные и хорды, касательные и секущие..................................... 19 1\IIедиаIIJ>I ............................................................................ 20 BI>IC()TI>I............................................................................... 2 I>lfccelC1r}JlfCI>I ...................................................................... 2 Треyrольник. Вписанные, описанные и вневписанные окружности.. .......... ........ ....................... 2 ар ел() аММ................................................................ 2 ТрапецliJl............................................................................ Равн()б()l{ная трапеция...................................................... 7 Вписанный четырехyrольник.......................................... писанная трапеЦIiJI ......................................................... 1 писанный пар елоrpамм.. .......................................... 1 Описанный чeThIрехyrольник.......................................... 1 ОписаннаJl трапеция ......................................................... 2 ОписаННI>IЙ . пар ел() амм........................................... роизвольный ЧeThIрехyrольник .................................... ll yr()лl>ник ......................................................................... () равlfJIl>нl>Iй ll yr()лl>ник................................................... 7 ]ElписаННI>IЙ ll yr()JIl>ник..................................................... 7 ОписаНIII>IЙ ll yr()JIl>lIик.........I........................................... з Seee_ () (lДI> 1r}Je){lr()JII>IIIf]((l .....................................................LJ () (lдl> lle1rI>II>e){)f1l()JII>IIIfIC(l............................................. () (lДI> 1r}J(lIIe IfIf............................................................. ()ll{(lдl> П(l}J(lJIJIеJI() (lJVIJVI(l............................................... ПЛОll{(lДI> описанноrо П ){lrольника ... ............ ....... ............. Площадь ПI>авильноrо п yrольника .. ........ .... ............... .... 6 rрадусная и радианная меры )(lrла. )C(JII1II(l дуrl1 ......................................................................... 6 JI()щ(lДI> c;e}(1r()I>(l ............................................................... () л() (lдl> c;erJVIelI1r(l ............................................................. 6 Соотношения JVlежду площадяJVIИ фиryIJ.......................... 7 JI IJ . c=:1reJJe() 1rJJIISI.............................................................() араллелl>ные прямые, плоскости, ПРЯJVI(lЯ 11 IIJI()c;}()c;1r1> ........................................................................6 }J()еК l1я ПЛ()С;}()11 фИryIJl>I ...............................................6 ПеРIIеНДИICулярные ПЛОС;КОС;ТI1, IIрЯJVIая и ПЛ()С;}()С;1r1> ........................................................................6:J ()c;IC()c;1rI>, ПрЯJVI(lЯ If сфеI>(l...............................................6LJ ПIf}J(lJVIlfд(l............................................................................() П}JИ:JIv.[(l. П(lI>(LJIл леIIIfIIеД..................................................() П}J(lIJИЛl>lII>Iе Iv.[II()r() (llIlIl1}(If.............................................() IJLI(lp .....................................................................................71 ПраlJильная ПИР(lМИД(l, IJIIисаННЫI1 If ()IIl1c;(lllIII>II1 Ш(lРI>I ............................................................ 7 IfJIlfндр.............................................................................. 7LJ K()lIYc; .................................................................................. 7 }Je){ (lllllI>Iii ){lr()JI..............................................................77 ЛIl1rе JJ а ryP ............................................................................................ 79 4 Seee_
ПРЕДИСЛОВИЕ в этой небольшой книжке, кoroрую мыI предлaraeм читате.то, приведены в чертежах и формулах основные reОМeIpические свойства и coornошения IШОСКИХ и пространствеЮIЫХ фшур. Цель, ПocтaRЛеlПIая авторами, рассказать о школьном курсе reoмeIpИИ по возможнОС1И исчерпывающе и систематизировано, но коротко и ясно. Решение тобой rеомeIpИЧеской задачи начинается с построения чертежа. Правильно вьmолненный чертеж это уже шar к решению задачи, и поэтому к построению чертежа нужно ОТНОСИIЪся серьезно. принятыIe в пособии обозначения помоJYf читаreто не только правильно и быстро Bьтoтrnть чертеж, но и системаrnзировать YCBO еШlые им фактыI. Исходные данныIe болышmства yrверждеНИЙ в по собии указаны непосредcrвelШО в чертежах. Позroму дaшIое пособие поможет читателю научиться <<ЧИraТЬ» чертежи, <qfiRЛекая» из них He обходимую информaцmo, определяющую дальнеЙШИЙ ХОД решения. Несмmpя на небольшой объем, книжка может быть использова на yчиreлем при состаRЛении заданий для самостоятельной работы учащихся с последующим КОН1рОлем учителя. Возможно ее использование как зада'llIИКa для работы в классе и ..... для домашних задании. Эro пособие подходит и в качестве материала для повторения, параллельноro изучению дрyrиx reM в llIКоле, а таюке в Kat.1ecтвe спра ВО'llIИКa. Авторы уверены в том, что приведеЮlые в книжке сведения по зволят каждому усвоившему их llIКольнику, а заreм и абитуриеmy, успеIШIО pennrrь reОМeIpические задачи как IllКольноro и KOнкypcHO ro экзаменов по маreматике, так и rеОМeIpические задачи цеmpализо вaшIОro тестирования. Мы блaroдарны доцету с. r. Кононову за КОНС1рyкIИВные за мечания и рекомендации по улучшению пособия. В. В. Амелъкин Т. и. Рабцевич В. л. Тимохович 5 Seee_
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Если АВС 1реyroлышк, то ниже используются следующие обозначения: а=ВС, Ь=АС, с=АВ Длинысторон(илипростоcroроны); а = LCAВ, (3 = LЛВС, У = LВCA АВ величиныI yrлов (или просто yrлы); ha, h b , hc высоты, опущенные соответственно из верIШfН А, В, С на стороны а, Ь, с (ИJШ их продолжения); та, ть, те медианы, проведенные соответственно из верпmн А, В, С к сторонам а, Ь, с; la, lIJ., lc биссеюрисы, проведенные соответственно из вершин А, В, С к сторонам а, Ь, с; La, 4, 4: внешние биссеюрисы, проведеШlые cooтвercтвeннo из вершин А, В, С на продолжение сторон а, Ь, с; T радиус вписанной окружнocrn; 1 точка пересечения биссеюрис, ЯШIЯЮщаяся центром вписан ной окружнocm (mщеmp); " т й"' Ть-, Те радиусы вневписанных окружнocreи, касающихся соответственно сторон а, Ь, с и продолжеНИЙ двух дрyrиx сторон; lа, lь, lе цетры вневписанных окружностей, КacaIOщихся co oтвercтвeннo сторон а, Ь, с и продолжеНИЙ двух дрyrиx сторон; R и О радиус и cooтвercтвeннo цетр описанной окружнocrn; М ТОчка пересечения медиан (центроид, цетр масс); Н точка пересечения высот или их продолжеНИЙ (ортоцетр или внеIШIИЙ ортоцеIПp); ( а+ь+с ) р полупериме1р 1реyroльникa р == 2 ; Pa=p a, pь=p b, pc=p c; S (SМEc) ШIощадъ 1реyrольника. Теперь о некоторых соrлашениях. В пособии мноmе свойства reoме1рИЧеских фитур нумеруются с буквой Х (например, свойство 4Х). Эro означает, что такие свойства ЯШIЯЮТCЯ характеристическими, 6 Seee_
Т. е. кроме сформулированноro yrвepждения имеет место и yrвержде ние, обратное приведенному. Далее. На мноrиx чертежах равные 01резки: отмечaюrcя одина ковым образом одной ИJШ несколькими черточками (СМ. например, задачу 14, rде AD = DB, аВЕ =ЕС). В тех случаях, коrда возможны разночтения (зro случаи пересе чения равных отрезков дрyrими mpeзками или дyraми), концы paв ных mpезков обозначаются или жирными точками, ИJШ буквами (см. например, задачу 155, rде АК = КС, аВЕ =ED). Теперь о том, как следует читать чертежи. Здесь ПРИIЩИПИальны два случая. В первом из них информация из раздела <<дано» mpaжена на чертеже полностью. Тоrда справа от чертежа просто формулирует ся искомое свойcrвo. Так, например, остановимся на задаче 3. Ее П чтение следующее: если две прямыIe пересекaюrcя 1:peТI>eЙ прямой и yrол аl равен yrлу (31, то yrол а2 равен yrлу (32' Во втором случае информация из раздела «дано» mpажена на чертеже чacrnчно. Тоrда недостающая информация дается справа от чертежа после слова «если» до слова <<1'0». Так, например, за.цача 5Х читается следующим образом: если две прямые а и Ь пересекaюrcя 1:peТI>eЙ прямой и если а 11 Ь, то yroл а равен yrлу J3. Имеет мecro и обраrnое yrверждение (задача с буквой Х): если две прямые а и Ь пе ресекaюrcя третьей прямой и если yroл а равен yrлу (3, тоа 11 Ь. 7 Seee_
4Х 5Х 6Х rЛАВА 1. ТРИЯ '" СВОИСТВА уrлов И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ 1 2 3 а ь а ь если Рl И Р2 yrлы, смежные с yrлом 0., ТО О. + Рl = 1800, о. + 2 = 1800 если о. и у (Р и ь) верти кальные yrлы, ТО а = у (Р = ь) 0.2 = Р2 Р + 'у = 1800 если а 11 Ь, то а.=р если а 11 Ь, то р + у = 1800 8
7 8 10 12Х 2 lак. 1133 9 11 d,' I а если а 11 с, Ь 11 d, то у = , у + а = 1800 I I I " 'у с _.-",.--_..-..- - I I 'С I I I .... А. .... .... tJ. 'У ....... 1............ d .... а а= , а у + а. = 1800 .., СВОИСТВА пРоизвольноrо ТРЕYrОЛЬНИКА а. + + у = 1800 б=а.+у А с S MBD AD S МJBC DC в 'Z'еореиа чевы если отрезки АА 1 , BB l , CC l пере секаются в ОДНОИ точке, С ТО АС! . B . СВ! = 1 C1B A1C В 1 А А BI 9
13Х 14 15 16 в А теорема Менепаи если точка Вl на продолжении стороны АС является точкой пересечения прямыхсc и C1A 1 , то АС.. B . Сп. ==1 C1B C BIA DE 11 АС, DE=!AC 2 если DE 11 АС, то ID=DA,IE=EC с если АС> АВ, то 13>1 '" СВОИСТВА РАВНОБЕДРЕнноrо ТРЕYrOЛЬНИКА 17Х 18 с Bl в А с в А А а=у А lb = ть = h b обратное утверждение: каждое из трех указанных равенств означает, что МНС равнобед ренный (АВ = ВС) в с 10
в 19 та=т е А с в 20 la = le А с в 21Х если АВ = ЕС, ТО ha = he А с СВОЙСТВА ПРЯМОYrольноrо ТРЕYrОЛЬНИКА в 22 1 те = R = с = ОС 2 А ь a+b c r= 23 2 а с 24 r MDC + r I:!..CDB + r = he А в D 11
с 25 ве = ВЕ А В Е D 26 cos2a + cos2p + cos2y = 1 27 28 29 А с L Р в с А к в если AL: LB = т : п, то АР : РВ = т 2 : п 2 если АК BL ..... ..... КВ LC СМ МА' ..... ..... то LKNL= 900, CK=ML РАВЕНСТВО ТРЕуrольников в м А с к 12 МВС = MLM L
30 31 32 33 34 35 36 в в А в в в в с в А к с м L МВС = MLM м с L к МВС = KLM L . МВС = I:1KLМ А кТ . м к . МВС = MLМ А ML . ... ?'--... L к МВС = MLM А м А L L МВС = MLМ А к/ I M к А L м МВС = MLM 13
37 38 39 40 41 42 ПОДОБИЕ ТРЕyrольников А в А в L d\ с к м мв С (\) MLM L с МВС (\) MLM к м А в L k.a МВС (\) MLM с к м k.c в в а в а с А L K M МВС (\) MLM А L к м МВС (\) MLM А L k МВС (\) MLM к k.c М 14
С 1 А 1 \ , \ , , в \ , если A1C11I АС, в 43 то МВС ro М}ВС 1 А С А С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ 44 если AI B l 11 А2 В 2 , то O ОВ} А} В} O ОВ} .......... . .......... , OAz ОВ 2 AzB2 А}А2 В 1 В 2 о в АЕ BD р т если ТО , , ЕС q DC п 45 А с ВК = т (l+ , АК =.E.(1+ J Е КЕ п р KD q т В АК ВК (л.J,t> 1), если = л = М, KD ' КБ 46 АЕ л,J,t 1 BD ЛJl 1 то А С , l+л ЕС 1 + Jl DC с А в Ь с hc hc ас (hc = ac 'Ь с ) 47 Ь С ас 15
с Ь с Ь ас а 48 Ь , с а с А Ь с D ас В (ь=Д, a=h) с ас а 2 49 Ь С Ь 2 А Ь с D ас В С 50Х b а hc в с а с Ь А с теорема ПифаZ'ора 51Х 2 2 + ь2 с =а с в eopeMa Ван ОбепR СК СВ} СА} 52 = + , KC 1 В}А А}В с ВК ВС} ВА} АК АС} АВ} А В} = + = + , В.С КВ} C1A А}С КА} С.В в eopeMa ЖерZ'онна 53 КА, + КВ, + КС, =1, АА} ВВ} СС} КА КВ КС =2 с + + В. АА} ВВ} СС} 16
54 55 окружность. СВОЙСТВА ХОРД И ПЛОВ СЕ = ED (О центр окружности) если АВ = CD, то ОЕ = OF (О центр окружности) с D 56Х с 57 58 59 АВ = CD D D если CD 11 АВ, то uAC = uBD AМ.MB=CM.MD АМ . МВ = R 2 d 2 (О центр окружности) 17
60 61 62 в в в 1 LABC= uAC 2 1 LABC = (uAC + uDE) 2 1 LAВC = (uAC uDE) 2 ОКРУЖНОСТЬ. КАСАТЕЛЬНАЯ, КАСАТЕЛЬНЫЕ И xopды, КАСАТЕЛЬНЫЕ И СЕКУЩИЕ 63 64 если прямая MN касается окружно сти В точке А, то MN ОА обратное утверждение: если прямая MN проходит через точку А окружности и MN ОА, т MN касательная (О центр OK ности) , с , ..........--' в , с " ., --. ... м А N А АС = АВ , LCAO = LBAO (О центр окружности) 18
Е 1 LВAC= uAEB 65 F 2 ' 1 LBAD = uAFB с А D 2 66 67 А 68 69 м 19 МА .мв=мс 2 , МА . МВ = [2 R 2 (О центр окружности) ОВ 1.. DE (О центр окружности) LBAC = 900 AB=2 R.r
70 71 АВ = CD с D АВ = CD МЕДИАНЫ в если DE 11 АС, 72Х то DF=FE А с В 7ЗХ 74 А с 5MBD = SACBD в А ..__.......__...._ , 1 " " , " , ,," , , , I 'с четырехyrольник АВА} С параллелоrpамм " " А ",, 20
75 76Х 77 78 79 в А с медианы треyrольника пере секаются в одно и точке; АМ: МА 1 = ВМ: МВ} = = СМ : МС} = 2 : 1 в А с SMMB = SЫЗМС = SMMC 1 .J 2 2 2 1 .J 2 2 2 т = 2Ь +2с a т b = 2с +2а b а 2 ' 2 ' 1 .J 2 2 2 т е = 2а +2Ь c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 а = -2ть + 2т с тa , Ь = -2т с + 2т а тb , 3 3 2 2 2 2 c= 2т +2т т 3 а ь с с А AL BN СК если = = LB NC КА' то точки пересечения медиан треyrольников АВС и LNK в совпадают L 21
80 81 82 83 с А. D в А А в D DM 2 =2. (DA 2 + DIf2 + DC) 3 2. (АВ 2 + ВС + СА 2 ) 9 (D произвольная точка плоскости) СА 2 + св 2 = 2СЕ. CD с если ВР: РЕ = т : п, то CD : DB = т : 2п 4 cosLACB = , 5 1 cosLCAB = cosLCBA = L ""l0 22
84 85 86 высоты НЬ С} } В} С} В} если AIBl 11 АВ, B1C 1 11 ВС, С 1 А 1 11 СА, то высота еyrольника АВС лежит на серединном к отрезк С 1 А 1 пе пендик ля е НЬ высоты треyrольника АВС или их продолжения пе есекаются в однои точке центре окружности описаннои около треyrольника, средними линия KOToporo являются стороны заданноrо треyrольника в в серединные к сторонам треyrольника АВС перпен икуляры пересекаются в однои точке центре ок ности, описанной около е ольника АВС 23
в в 87 , , , , , , , , В , , 1 ' , ,. , А С H С В 1 АН -НА 1 = ВН -HB 1 = СН -Н С}, АА 1 -НА 1 = ВА 1 .А 1 С, BBl -НВ} =ABl -В}С, СС} - HCl = AC l . С 1 В в в 88 А 1 МВС N M1B1C, LЛВС = LЛ}В}С, LBAC= LB}A 1 C, ВС АС 1 =.( = ICOS rl ВС АС в А с MBD N CBD, МВС N MBD, МВС N CBD 89 90 LABD= LCBE А с В LC}A}A = LB 1 A}A, LAIBIB = LC}B}B, . 91 LВ]C1C = LA1C}C, Н центр окружности, вписанной в 11 AIBl C 1 А. В 1 С 24
в 92 с 1 1 1 a . b . c = . . . .. .., ha h" hc LЛВС + LЛНС = 1800, LBCA + LBHA = 1800, LCAB + LCHB = 1800 А в LBIBA = LAA 1 C t , LB1BC = LCC 1 A l, 93 LC1CB = LBB 1 A 1 , LC1CA = LAAtBl, LAtAC = LCC 1 B 1 , А В I С LAIAB = LBB1C t 94 ha ='!.: .J p(p a)(p b)(p c), а "ь = N a)(P b)(p C)' hc = p(p a)(p b)(p c) БИССЕКТРИСЫ В I 7',..... ,.." ... ... ... ... А 014 .. {.. .. i.. 95 п в ОВ = ос = OtBl= OICl О АО (АО}) ось симмет с рии LBAC (B1AC 1 ) 96 биссектрисы треyrольника IU' пересекаются в однои точке 1 центре вписанной в тpe yrольник окружности 25
97 98 99 .... ........ ........ .... .... [с центр вневписанной окружности с ........ .... ........ ............ BD .1 ВЕ А .... .... .... c E если D и Е точки пересечени окружности соответственно внyrpенней и внешней биссек трисами вписанноrо треyrольник АВС, выходящими из одной вер шины В, то DE диаметр ок ружности D В AD АВ , 100X DC ВС 5MBD АВ S ЛСВD ВС А D С D 101Х DC АС DB АВ с 26
А А/ Ь+с В/ а+с , , /А 1 а /В 1 Ь 102 С/ а+Ь /С 1 С С В 103 а 2Ьс cos 2 lа == , Ь+с 2accos 2abcos у lь == 2, lс == 2 а+с а+Ь L 104 . , , , . , . , ........ .... р к .... ........ ........ .... .... ........ Q .... ............ Q - ------------ . р LQ = ILK · LP KQ · QI1 105 l;=ь{l (ь:2сr). 1;=0 1 (0:2 су · 1, =a{1 (a:2byJ с LOAD = LEAD 106 (О центр OK ружности) 27
107Х 108 109 110 111 112 А АВ ВС DA DC .--- -- ----... - с D в а L-C/B = 900+ 2 L =Ь{(ь а 2 с) 1). =а{(а Ь 2 с ) 1} L; =а{(а с 2 ь ) 1) 2Ьс sin а 2ас sin f3 2аЬ sin 'у L 2 т 2 L 2 а 'Ь CI ' 'а CI ' с la ТРЕYrОЛЬНИК. ВПИСАННЫЕ, ОПИСАННЫЕ И ВНЕВПИCAННblE ОКРУЖНОСТИ s r= р в А с AF=AD=p a, BD = BE=p Ь, СЕ= CF=p c F 28
113 у = (р а) tg а = (р Ь) tg В = (р с) tg У 114 115 116 117 118 119 . б . r SlD SlD r= с =с 2 2 б r . б+r ' ctg + ctg SlD 222 а r= в r ctg +ctg 2 2 =а . в . r SlП SlП 2 2 . в +r SlП , r = 2 . б . в Sln SlD =Ь 2 2 б в . б+в ctg +ctg SlD 222 R= аЬс 4S ь AD=p А s s s , Уъ = , ус = p a p b p c ra = р . tg а rb = р · tg t3 re = р · tg 1. 2 2' 2 Уа = MN = а + с, DQ=b 29
120 121 122 123 ra + rb + re = r + 4R 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + r Та Т ь Те ha h b hc ТРИЛИСТНИК: BD=DC=/D формула ЭЙЛера 2 /0 =R 2rR 124 01; = R 2 + 2raR, 01; = R 2 + 2rbR, OI = R 2 + 2TcR 125 11; = R (Уа r), 11; = R (УЪ У), 1 I = R (У е У) 126 теорема Карно OD+ ОЕ+ OF=R + т (О центр окружности) зо
127 128 129 130 131 теорема синусов а Ь с = = =2R sin а sin f3 sin у . а . f3 . 'у r Sln . Sln . sln = 2 2 2 4R а у р cos . cos . cos = 2 2 2 4R 01 D = 02 D (D точка отрезка ЕС, 01 и 02 центры окружно ou' стен, проходящих через с тройки точек А, В, D и А, С, D соответственно) теорема косинусов 2 ь 2 2 Ь Ь 2 22 А а = + с 2 с. cosa, = с + а 2са . cos...., 2 2 2 С = а + Ь 2аЬ . cosy теорема косинусов в отрезках в в 132 А D В D rJ А С вс 2 = Ав 2 + Ас 2 2АС · AD, Ав 2 =Ас 2 +вс 2 +2АС. CD 31
ПАРАЛЛЕлоrрАММ в с MBD = !lCBD 133Х и А МВС = MDC D в С АВ = CD 134Х и А D ВС = AD в с LDAB = LBCD 135Х и А D LЛВС = LADB в с АЕ = ЕС 136Х и А D ВЕ = ED в с 137Х BD 2 + Ас 2 = 2Ав 2 + 2вс 2 А D 138Х Е точка симметрии 32
в G С АЕ DF CG ВН если .... .... .... .... .... .... НА ' 139 ED FC GB то HEFG параллело А Е rpaMM с если NL 11 AD, PL 11 АВ, 140 то точки К, L, С лежат на oд А "" "" НОИ прямои 141Х 142Х 143Х 144Х в с А D р N в А в А АС = BD KL и PN оси симмет рин с BD АС с АС и BD биссектрисы yrлов зз
145Х 146 147 148 149 , , , , " .,. , , .,. А .,.'" А с ED прямые АС и BD оси симметрии с BK=KN=ND АВ. PF=AD. РЕ (Р произвольная точка прямой АС) с о EFKL параллело rpaMM, EF 11 LK 11 АС, FK 11 EL 11 BD, 1 EF= AC, 2 1 FK =......BD 2 Е .,. .... "1 '\ ........ , 1 '\ ........ , '\.... В' I '\ ........ С 1 '\ 1 '\ 1 '\ 1 '\ I '\ '\ 1 '\ '\ А D АЕ + Ес! = ВЕ + ED 2 (Е произвольная точ ка плоскости) з4
ТРАПЕЦИЯ а PN 11 а; 150 PN= а+Ь 2 ь а 151 152 153 154 А Ас 2 + BD 2 = т 2 + п 2 +2аЬ ь D в с jf1; . '.. . . . . . . . . . . .. .... . . . . =--:- =- . ..< :..:::;.. li. : -'O..7:.. . ; { : =- r :i/ А t c D А " " " " " " " " " " " " " " .. ...._.._ D Е к , " " , " , " р 35 5MBE = SblJCE если точка Е точка прямой AD и СЕ 11 BD, то SOABCD = SMCE точки Р, Е, N, К " лежат на одно и " прямои
155 точки Р, к, Е, N лежат " " на ОДНОИ прямо И а 1 156 MN = Ia bl 2 ь 157 точки Р, К, N лежат на " " ОДНОИ прямои а если PN 11 а, 158 то PN = 2аЬ а+Ь ь в а С 159 CN т a т ..... ..... ND b т А Ь D В а если SOPBCN = SDAPND, 160 а 2 + ь 2 то PN = А Ь D 2 36
Р... А , N ... , ... , .... ... , .... ... ... , если PNII а, 161 то PN = 2аЬ b a ь а если ВС : CN = PN : ND, 162 то PN = .Jab А Ь D 163 если а + f3 = 900, P IAT AD ве то lУ = 2 А 164 равенство LBQC = 900 равносильно равенству KL = PN А L РАВНОБОЧНАЯ ТРАПЕЦИЯ 165Х LBAD = LCDA А D 37
166Х 167Х 168Х 169 170Х А L А А а ь А D ь D D D KL 1.. AD АС = BD AP=b a PD=a+b 2 ' 2 СР = а + Ь 2 ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХYrОЛЬНИК 38 LBAD + LBCD = 1800
171Х 172Х 173Х 174 175 D D D в 39 LDAC = LDBC АЕ . ЕС = ВЕ · ED теорема П'Z'оnемея АС · BD = ас + bd BC=AB+DC АВ 11 CD
176 177 178 179 А . \ \ АС ad+bc , BD ab+cd АС sinLADC BD sin LBAD EN · ЕР = ЕК · EL (Е произвольная точка на окружности) радиус окружности т2 +п 2 2пmcos<p R= 2 sin <р если О центр окружности, то [lOKPN параллелоrpамм 40
180 181Х 182Х 183Х условие AD 2 + вс 2 = 4R 2 равносильно условию АС ..l BD (О центр окружности) ВПИСАННАЯ ТРАПЕЦИЯ А АВ = DC ВПИСАННЫЙ ПАРАЛЛЕлоrрАММ LDAB= LЛВС = LBCD = = LCDA = 900 (т.е. oABCD прямоyrольник) ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕхуrольник ь a+c=b+d 41
184Х 185 186 187 188 в D если центр окружности и с точка п ресечения диаrо налеи совпадают, то a=b=c=d (т.е. oABCD ромб) ОПИСАННАЯ ТРАПЕЦИЯ А D а А D а ь А D LDOC = 900 (О центр окружности) .Jab если АВ = CD, то r= 2 (О центр окружности) аЬ а+Ь (О центр окружности) r= 2 r = DE · ЕС (О центр окружности) 42
189 190 А если Tl, Т2, Тз, Т4 радиусы окружностей, вписанных в треyrольники АВЕ, ВСЕ, CDE, ВАЕ соответственно, то 1 1 1 1 + = + D 'i r з Т 2 r 4 ОПИСАННЫЙ ПАРАЛЛЕлоrрАММ А a=b=c=d (т.е. oABCD ромб) с а произвольНЫЙ ЧЕТLIPЕхуrольник в ь С А eopeMa косинусов 191 Ас 2 . BD 2 = а 2 с 2 + b 2 d 2 2abcd . cos( <р + \11) 192 признак подобия DABCD ro DAIBl C]D 1 Dl Аl 43
. 193 194 195 196 с А D в с в D ,\\ L с oKLPN (\) oABCD АВ 11 CD (01 и 02 центры окруж ностей) точки касания окружно стей с диаrональю BD совпадают тоrда и только тоrда, коrда а + с = Ь + d (т.е. четырехyrольник ABCD описанный) четырехyrольник KLPN " вписанныи 44
197 198 199 200 201 А F А в р 45 D если ВК : КЕ = = DP : РЕ = =AN: NF= = CL : LF = 2 : 1, то oKLPN (\) oABCD KN=NL, EN=NF BC+AD=AB + CD (т.е. четырехyrольник ABCD описанный) AD 2 +DC 2 + св 2 +ВА 2 = =Ас 2 + BD 2 + 4PN Ас 2 + CD 2 + DB 2 + ВА 2 = = AD 2 + вс 2 + 4PN
202 203 204 205 п--YrОЛЬНИК . А 2 \ \ \ \ \ \ А п I I I I I I F с 206 р аl + а2 + ...+ а п = 180 0 (п 2) (31 + 132 + ...+ f3n = 3600 если из каждой вершины прово ДЯТСЯ п 3 диаrонали, то число " п(п 3) всех диaroналеи равно 2 если AD = ВЕ = FC, ED 11 АВ, AF 11 CD, EF IJ СВ, то шестиyrольник ABCDEF v вписанныи с если ED 11 АВ, AF 11 CD, EF 11 СВ, то AQ = QD, FQ = QC 46
207 , , 208 "" ПРАВИЛЬНЫИ п--уrольник а , , , , , " " " " " " " 1800(п 2) а= п если R и r радиусы описанной и v' v' вписаннои окружностеи COOTBeTCT венно,ТО . 1800 1800 а = 2R . Sln ; а = 2r . tg п п если шестиyrольник ABCDEF F правильный, R радиус окруж НОСТИ,то a=R 209 с 210 211 А п AIAi + AIA; + ... + AIA; = 2nR 2 ВПИСАННЫЙ п--уrольник А 2 если А 1 А 2 = А2Аз = ... = А,,л1, то al = а2 = ... = а 1l (т.е. п yrольник правильный) 47
212 213 214 215 А 2 Al если а1 = а2 = ... = а п , п He четно, то АIА2 = А2Аз = ... = AnAl, " т.е. п yrольник правильныи (при п чётном yrверждеllие, вообще rоворя, HeBep но, пример прямоyrольник) если R радиус окружности, то АВ = 2R (п = 5) sin( <р + \11) ОПИСАННЫЙ D--уrольник А 2 А 1 если аl = а2 = ... = а п , то AIA2 =А2 А з = ... =AnAl (т.е. п yrольник правильный) если А 1 А 2 = А2Аз = ... = А,,л1, п нечетно, m аl = а2 =... = а", " т.е. п yrольник правильныи (при п чётном yrверждение, вообще rоворя, HeBep но, пример ромб) 48
216 217 218 219 220 221 222 ПЛОЩАДЬ ТРЕуrольниКА 111 S = а . ha = ь · hb = с . he 222 S 1 Ь . 1 . А l Ь . = a. . slnY = a . с · slnfJ = . с . Slna 222 s = а 2 . sin в . sin у = Ь 2 . sin у . sin а 2 sin а 2 sin В с 2 sin а . sin В == . 2 . Sln у s = 2R 2 · sina . sinf3 · siny s = . R 2 · (sin2a + sin2f3 + sin2y) 2 s = Р . r = Ра . ra = рь · rb = Ре · re S = R . r .(sina + sinf3 + siny) 49
223 s=abc 4R 224 s = . ha · hb = . ha . hc = . hb · hc 2 sin у 2 sin f3 2 sin а 225 S =.! h 2 . sin б =.! h 2 . sin rз =.! h 2 . sin у 2 а sin в . sin у 2 ь sin а . sin у 2 с sin а . sin f3 226 1 а. hb . sin f3 1 Ь. hc . sin у 1 с. ha . sin б S 2 sin а 2 sin в 2 sin у 227 у f3 а s = ra · rb · tg = ra . rc . tg = rb · rc . tg 222 228 2 f3 у а 2 у а f3 S = r . tg . tg . ctg = rb · tg . tg . ctg = а 222 222 2 а f3 у = rc · t g 2 . t g "2. ctg 2 229 а f3 у S= r. ra. ctg = r. rb. ctg = r. rc. ctg 222 50
230 231 232 233 234 2 а f3 у S = r . ctg . ctg . ctg 222 формула repOHa S= P.Pa.Pb.Pc S= .J r.r .r, .r а Ь с S=.! 2R.h.h .h 2 а ь с s== 1 ( + + J( + J( + J( + ] 235 s =! (ma +mь +mсХmь +mс maXma +mс mbXma +mь mJ 3 236 2 S = r + 2r · R 51
237 238 239 240 lc S = r · Тс S = ra · rb А в А в если DE 11 АВ, то S S EC MBC S tillEC А если PN 11 АВ, КЕ 11 АС, QL 11 СВ, ТО 5MBC = = ( SMТL + SмrrE + S6.QTP )2 52
241 242 243 244 с А S .... s KB МВС ..... SMHB .В R.P 5MBC= 2 ' rде P=NL+LK +KN ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХYrОЛЬНИКА А .D S =.!..АС · BD · sin<p, 2 S = Id 2 c2 +ь 2 a21. tg<p (<р < 900) 2 ( <P+W ) (р а)(р Ь)(р с)(р d) abcd cos 2 ' a+b+c+d rде р = S= 53 2
245 246 247 248 249 ь формула Птолемея S = (p а)(р b)(p с)(р d) s = abcd s = .J abcd. Sin( <Р \Jf J ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ А ь А D s = а + Ь . ср 2 ' S =АВ. NQ S = АС . PN . sin<p D 54
250 251 252 253 254 S = 2S MFB А. D в с А D S = (.J SMED + .J SblJEC У Ь S =.!..(а 2 b2). sin а .sinJ3 2 sin(a+ fЗ) (00 < а < f3 < 900), а а+Ь .J s = (a b+т+п)(b a+т+п)(a b т+п)(a b+т п) 4(а Ь) (а>Ь) ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕлоrрАММА S = а . h, S = а . Ь . sin<p а ПЛОЩАДЬ ОПИСАНноrо п...уrольниКА а} S=p.r ( р == а! + а 2 .. · + а п ) 55
255 ПЛОЩАДЬ ПРАВильноrо п--YrОЛЬНИКА rРАДУСНАЯ ИР' 11 " 256 257 258 180 О а если LЛОВ = а радиан, то п = 1t 1 2 1800 1 S = r . п · t g S = а · п · r. п' 2 ' 1 2 . 3600 S = R . п · Sln 2 п ,. МЕРЫ YrЛА. ДЛИНА ДYrИ , пn длина дyrи 1 = Ra = R , 180 длина ок ности С = 2nR ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА 1 S=!..aR 2 = 1tn R 2 S=!..Z-R 2 360' 2 ' 2 площадь Kpyra равна nR ПЛОЩАДЬ CErмEHTA 1 1 2 1 2. S = R a R Slna, 2 2 S пn 2 1 R 2. пn о = R sln , 360 2 180 1 1 2. [ S = R.[ R Sln 2 2 R 56
259 260 261 262 263 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПЛОЩАДЯМИ ФИrYР С 5MBC: SM 1 B 1 C = АВ : А 1 В 1 А А} В В 1 А 1 С 81 если АВ 11 А 1 В l, то 5MBC: SM 1 B 1 C 1 =АВ: А 1 В] А С 1 В С С 1 ./'\ 5MBC: SM1B1C 1 = А.В 2 : AI B 12 A1U B ] А В А 5MBC = Sl + S2 (SI И S2 площади лунок, 0,01, 02 центры ОКРУЖНО в стей) о с А в если МВС остроyrольный, то S MLN : S МВС = = 1 (cos 2 a + cos 2 B + cos 2 y) N 57
264 265 266 267 268 к . . ....... в А N в А с N в с А N с А в к А в если МВС тупоyrольный, то SMLN: 5MBC = =cos 2 a + cos 2 f3 + cos 2 y 1 если АВ : ве : АС = р : q : 1, то S !ИВС : S MLN = (p+q)(p+l)(q+l) 2pql SMLN 2 . а . . у = Sln . Sln . Sln S МВС 2 2 2 АК BL если КВ =р, LC =q, S ТО МВС = (р + 1) · (q + 1) SMLC АК BL CN если = = ':F 1 , КВ LC NA то SMEK = SЫJPL = SЫiCQ, S[JKEPB = SOLPQC = SCNQEA 58
269 270 271 272 273 с А в А D А А.. в р к D L SЫJMC = SDAEMD 5MBD : SblJCD = АЕ : ЕС S[]ABCD =2S0KLPN 1 SMED + SЫJEC = SDABCD 2 (точка Е пересечения отрезков KL и NF может не лежать на АС (BD)) если PN 11 АС, KL 11 АС, KN 11 BD, PL 11 BD, то SOKLPN = 2S ОЛВСD 59
274 75 76 277 278 с А в А в А Е D 60 SOPKNL = SMLD + SЫJKC если KN 11 АВ, то SMDC : 5MBD = 1 : 2 S S МСВ · S MBD DABCD S МВЕ АЕ ЕС AB.AD SMDB CD.CB Sf1CDB если EL 11 АС, вк = KD, то SDABCE = Sl1ECD
279 280 281 282 А N А а А с Е D А SOAKNP= 5MBC если о ABCD параллело С rpaMM, а :1= Ь, то о KLPN прямоyrольник, 1 Ь 2 . SfJКLPN=2(a ) .sша, SDABCD + SOKLPN = а 2 + ь 2 . · Slna 2 если о ABCD трапеция, 00 < LADC < LDAB < 900, ТО SNKPLE = SMKB + SЫJPC + S!:"CLD SMED . SЫJEC = SMEB . SЫJEC 61
283 284 285 286 rЛАВА 2. СТЕРЕОМЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЛОСКОСТИ, ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ а ь а J3 r..............-...........- I I если Ь с а и а 11 Ь, то alla если а C , а 11 а и Ь = а ("\ , то а 11 ь признак параллельности "" двух ПЛОСКОС'.1'еи если аса,ЬсаиаnЬ= {О}, а} C , Ь 1 С И аl (\ Ь 1 = {01}, а I al и ь 11 Ь 1 , ТО а 11 J3 если а = а п у, Ь = (\ у и а 11 J3, то а 11 ь 62
287 288 289 290 291 если а 11 у и 11 у, то all ПРОЕКЦИЯ ПЛОСКОЙ ФИrYРЫ если Ф 1 проекция фиrурь Ф, S и S] площади фиr Ф и Ф 1 соответственно, т Sl = S . cos<p, rде <р yro между данными плоскостя ми ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ, ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ с а ь а если а С а, Ь с а и апЬ= {О}, с а и с Ь, то с а если а а и Ь <1, то а 11 ь обратное утверждение: если а 11 ь и а а, то Ь а если <1 а и а, то <1 11 обратное утверждение: если а 11 и а <1, то а 63
292 293 294 295 теорема о трех перпеидикупнрах если АВ а, ВС с а, а С а, a BC, тоа1.АС обратное утверждение: если АВ 1. а, ВС с а, а с а, а АС, то а 1. ВС признак перпендикул ности двух плоскостеи если а С а и а 1. f3, то а 1. f3 обратное утверждение: если а 1. , Ь = а п f3, а с а и а 1. Ь, то а 1. f3 ПЛОСКОСТЬ, ПРЯМАЯ И СФЕРА Пусть а сфера с центром О, А Е а п а. Если ОА 1. а, то а п а = {А}(т.е. плоскость а Kaca ется сферы а) обратное утверждение: если а n а = {А} (т.е. плоскость а касается с е ы а), то ОА 1. а центр О сферы cr лежит на пер пендикуляре к плоскости а, проходящем через центр ок ружности cr п а 64
296 297 298 если п yrольник AtA2.. .А, лежит в плоскости а и вс ero стороны касаются сфе ры 0', то в п yrольни можно вписать окруж ность, причем перпендику ляр к плоскости (1" прохо дящей через центр Q это окружности, содержи цен О с е ы ПИРАМИДА s площадь боковой поверхности Sбок это сумма площадей ее бо ковых rpанеи, площадь полнои поверхности SПОЛН = Sбок + SOCH, 1 V = SOCH · Н, rде SOCH площадь 3 основания, Н = SO высота в с npавильиаи пир амид а ирамида называется nравuльной, если в ее OC1l0вa .... ии лежит правuльныи М1l020У20ЛЬ1lик u основа1lи ысоты совпадает с центром этО20 М1l020У20льника S 1 Sбок = Р · h, 2 rде Р периметр основания пирамиды, h = SK ............ апофема пир амиды 65
299 300 301 '" «долька» npавипьнои пирамиды s s если а = LOD8 yro наклона боковоrо ребр к плоскости основания J3 = LOK8 yrол на клона боковой rpани плоскости основания <р = LD8K половин к к yrла при вершине боко вой rpани, у = LMNK половина двyrpанноrо yrл между соседними боковыми rpанями пирамиды, = п = LDOK (этот yrол в правильной п yrольной п пирамиде всеrда известен), то tga = tgJ3 . cosv, g<p = cosf3 · tgv, sin<p = cosa . sinv, siny. cos<p = cosv t = sina . t v, cos = sin . sinv усеченная пир амид а 8 полн площадь полной поверх ности равна сумме площадеи все ее rpанеи, v= .!.(S\ +S2 + .J S\oS2).H, rде S] 3 и 82 площади оснований пира с миды, Н = 01 О высота правипьная усеченная пирамида площадь боковой поверхности 1 8бок= ( +P2).h, rдеР 1 ИР2 2 периметры оснований, h апо 81 82 фема; 8 бок = , rде 81 cosa " 82 площади соответственн D большеrо и меньшеrо основа с ний, а yrол наклона боково ани 66
302 303 304 s если SO высота пирамиды а LSA 1 0 = LSA 2 0 = ... = LSA" или SA 1 = SA 2 = ... = SA п , то О центр окружности, описанно около основания пирамиды обратное утверждение: если основание О высоты SO центр окружности, описанно около основания пирамиды, т LSA 1 0 = LSA20 = ... = LSA"O SA 1 = SA 2 = ... = SA" если SO высота пирамиды, а вс боковые rpани пирамиды наклонень к плоскости основания под одни yrлом а, то О центр окружности вписаннои в основание пирамиды при этом SOCH = Sбок · cosa обратное утверждение: если основание О высоты SO центр окружности, вписаннои в ос нование пир амиды, то все боковы rpани пирамиды наклонены к плос кости основания под одним лом если В 1 В 2 ...В" сечение пира миды SA 1 A 2 .. .А" плоскостью параллельнои плоскости основа ния а, h = SQ и Н= SO высо ты, V 1 И V2 объемы пирами SB 1 B 2 .. .В" и SA 1 A 2 .. .А" соот А п s Al s ветственно, то 2 , '-"t = ( ) 3 V 2 Н Sсеч SOCH 67
305 306 307 ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД наклонная призма если MN = Н высота приз мы, Р.1 периметр перпенди С} кулярноrо сечения A 2 B 2 C2 D 2 E призмы, S.1 площадь пер пендикулярноrо сечения, SOCH площадь основан призмы, то Sбок = Р.1 . АЛ} V = S.1 · АЛ. = SOCH · Н А в прямая призиа А I С} :Вl: ' I I I I I L. I I " ... ,...р -- " .1. \ -N \ \ с в если MN = Н высота приз мы, Р периметр основан призмы, то Sбок = Р . н V = SOCH . Н параллелепипед D 1 ...) .... , Вl .... , -.. ..., ........ с 1 С -- Е . .... ........ ..' ...,.., ....:........ , .........:....... ' ........ .... "':' А ........ ..' ::: . п ... .. .. .. .......t;' ..' "- ..' '- ..' " в ь с все четыре диаrонали па раллелепипеда АС 1 = d 1 BD 1 = d 2 , СА} = d з DB} = d 4 пересекаются одной точке (точка Е) делятся этои точкои попо лам. d 2 +d 2 +d 2 +d 2 = , 1 2 3 4 = 4(а 2 + Ь 2 + с 2 ) 68
D 1 '" ПрНМОИ параппепепипед если диаrонали прямоrо парал лелепипеда BD} = d} и СА} = d 2 то d 1 2 = а 2 +ь 2 +с 2 2аЬ. cosa, d; = а 2 +ь 2 + с 2 + 2аЬ. cosa; Sбок = 2(а + Ь)с; Sполн = 2(а + Ь)с + 2аЬ. sina; V = 2аЬс. sina 1 в 308 ....... .... ...... '. I ..... -'. I .....:ie;.... d 2 I .... ........ d . '. :n 1 ... . '" ., .... ------ - __е С , . 4. .... , (J:' ..... А в '" прнмоуrольныи параллелепипед D 1 309 V = аЬс, d= .J a 2 +b 2 +c 2 А а ПРАВИЛЬНЫЕ мноrоrрАННИКИ М1l0202ра1lНИК llазывается правuльным, если все е20 2pa 1lи правuлыlеe МНО20У20ЛЬ1lИКИ и все М1l0202ранные У2Лbl равны. Для правильных мноrоrpанников введем следующие обо значения: V объем мноrоrpанника, S площадь поверхности, R радиус описанной сферы, r радиус вписанной сфе ры, а ребро мноrоrpанника. :куб S = 6а 2 V = а 3 , R = J3 а , 2 ' r= a d=a J3 2' ... ...... ....... d ... . ... ... . ... I , -- -- 310 , , , а 69
311 312 313 пра:вильНЪIИ тетраэдр имеет четыре rpани равно сторонние треyrольники, S =.J3 а 2 V = .[2 а 3 R = J6 а , 12' 4 J6 J6 r= а Н= а 12' 3 (Н высота пирамиды) правильныи октаэдр имеет 8 rpаней равных равно сторонних треyrольников, 6 вер шин, 12 ребер, .J3 2 .[23 S =2 3 а V = а , з' .[2 J6 R= а r= а 2' 6 правильНЪIИ додекаэдр имеет 12 rpаней равных правиль ных пятиyrольников, 20 вершин 30 ребер, S =3 5(5+2.J5) а 2 , v= .!(15+ 7.J5)a 3 , R = .J3 (1 +.J5)a, 4 4 r = 1O(25+ 11.J5) а 20 70
314 315 316 "" правильныи икосаэдр имеет 20 rpаней равных равно сторонних треyrольников, 12 Bep шин, 30 ребер, S=5.J3a 2 , v= 2(з+.J5)а 3 , 12 R =! 2(5 +.J5) а, r = .J3 (2 + .J5)a 4 12 "" "" произвольныи выпуклым мно о анник формула ЭЙЛера если N число вершин, L чис ло ребер, F число rраней выпук лоrо мноrоrpанника, то N L+F=2 ШАР 4 v= 'ЛR3 3 ' S = 4пR 2 (О центр шара) 71
317 318 319 "" шаровом сеJ:1Иент 2 h 2 V = 7th (R ), а = h(2R h), 3 Sбок = 21tRh, Sполн = 41tRh 1th 2 = 1t(2Rh + а 2 ) (О центр шара, h высота cerMeHTa) "" шаровои сектор v =3. nIfh, 3 Sполн = 1tR (2h + .J 2Rh h 2 ) (О центр шара, h высота соответствующеrо cerMeHTa) "" "" шаровои спои 1 3 1 ( 2 2 ) V =.......1th + 7t 'i + r 2 h, 6 2 Sбок = 2xRh (О центр шара, h = 0201 высота шаровоrо слоя) 72
320 321 ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА, ВПИСАННЫЙ и ОПИСАННЫЙ ШАРЫ центр Q шара, вписанноrо в пра вильную пирамиду SA 1 A 2 .. .А 1l лежит на высоте ST пирамиды, центр О шара, описанноrо окол пир амиды, лежит на высоте S пирамиды или на ее продолже нии, при этом Т общий цен S п = 2k+ 1, keN вписаннои и описаннои окол основания пирамиды окружно k+l стей; вписанныи в пирамиду шар каса ется ее rpаней в точке Т и в точ ках, лежащих на каждои из апо фем SM 1 , SM 2 , ..., SM Il а) общий вид, б) и в) сече ния шара плоскостью SM 1 0 случаях нечетноrо и соответст венно четноrо числа п боковы rpанеи S S S А 1 73 если шар касается все ребер пирамидъ SA 1 A 2 .. .A ll И ero цен О лежит на высоте S пирамиды, то пирами да правильная и каж А 2 дое ребро основани делится точкои каса ния пополам
322 323 324 s если центры вписанноrо описанноrо llIаров для тре yrольной пирамиды SAB совпадают, то rpани пира миды равные треyrоль ники (т. е. МВС = J1.SAB = J1.SBC = = J1.SAC) ЦИЛИНДР . 'h I I 2 V = nR h, Sбок = 2nRh, SПОЛН = 2nR(h + R) (R радиус оснований, h высота) v вписаниыи цилиндр центр О описанноrо около ци линдра шара есть середина от резка, соединяющеrо центръ 01, 02 оснований; при этом: 4/3 3 2/3 .J6 maxV= nR при h = R, r= R; 933 RJ2 mаХSбок = 2пR 2 при h = R J2, r = . , 3 mахS полн = nR 2 (l +J5) 5 /5 5+/5 при h = 2R , r = R 10 10 74
325 326 327 КОНУС 1 2 V = nR h, Sбок = nRI, 3 Sполн = nR(1 + R) (О центр основания) "" усеченНЪIИ :конус nh ( 2 2 ) v= R +Rr+r , 3 Sбок = nl(R + r), Sполн = n(R 2 + r 2 + I(R + r» (R и r радиусы оснований, h высота) "" описанНЪIИ :конус центр О вписанноrо в кону шара лежит на высоте, опу щеннои из вершины конуса, при этом R .J 1 2 R 2 r= R+l Rh . R+ .J R 2 +h 2 ' при R = r/2 , h = 4r . V 8п 3 тlП = r 3 75
328 329 330 "" "" описаниыи усечениыи конус центр О вписанноrо в усеченны конус шара лежит на отрезке, со единяющем центры основании. при ЭТОМ r = -J Rl · R 2 , 1 = R] + Rz; .п V = 2пr 3 при R 1 = R 2 = r (т.е. коrда конус «превращается» В цилинд ) "" вnисаниыи :конус усеченны центр О описанноrо около конус шара лежит на опущеннои и вершины конуса высоте или на е продолжении, при этом 32 3 4R 2RJ2 maxV= nR П р и h = r= · , , 81 3 3 8/3 2 4R 2RJ2 mахSбок = nR при h = , r = 933 "" "" вnисаниыи усечениыи конус центр О описанноrо около усе ченноrо конуса шара лежит н прямои, проходящеи через цен "" тры основании, при этом 4/3 3 16 maxV= nR при rl = r2 = R 9 3 2/3 h = R (т.е. коrда усеченны 3 конус «превращается» В линд ) 76
331 332 ТРЕхrрАННЫЙ пол Трехrpанный yrол фиrура, образованная тремя лучами, имеющими общую начальную точку и не лежащими воднои плоскости, И заключенными между этими лучами частями плоскости. Образно rоворя, трехrpанный yrол фиrура, представляющая собой BO ронку, склеенную (сшитую) з трех плоских yrлов с общей вершиной, или, ина е rоворя, трехrpанныи yrол это треyrольная пи амида с «бесконечно удаленным основанием». лоские yrлы а, f3, у тpexrpaHHoro yrла называютс .ero rpанями; учи, по которым пересекаются rpани тpexrpaHHor ла, называются ero ребрами; лы между rpанями (LЛ, LB, LC) тpexrpaHHor ла называются ero двyrpанными yrлами "" своиства плоских и двуrpаниых y пOB TpexrpaHHO O y пa 1. а + f3 > у, а + у > f3, f3 + у> а. 2. а + f3 + у < 3600. 3. LA = LB тоrда и только тоrда, коrда а = f3 де а и плоские yrлы тpexrpaHHoro yrла, а LA В противолежащие им двyrpанные yrлы. 77
4. Теорема косинусов: LC cosy cosa .COs cos = . sin а . sin Следствие (теорема о трех косинусах): 332 LC = 900 тоrда и только тоrда, коrда cosy = cosa . cos . 5. Теорема синусов: . Slna sin LA sin sin LB . slnY sin LC . Seee_
ЛИТЕРАТУРА 1. АмеЛЬКUIl, В. В. rеометрия на плоскости: теория, задачи, решения! В. В. Амелькин, В. л. Рабцевич, В. л. Тимохович. Минск: 000 «Асар», 2003. 592 с. 2. АмеЛЬКUIl, В. В. Планиметрия: теория и задачи! В. В. Амелькин, В. л. Рабцевич, В. л. Тимохович. Минск: 000 «Асар», 2005. 320 с. 3. ШЛblков, В. В. rеометрия: Учебник ДЛЯ 11 ro кл.! В. В. Шлыков. Минск: Нар. асвета, 2002. 269 с. 4. rеометрия: Учебник ДЛЯ 1()"",11 классов средней школы! л. с. Атанасян [и др.]. М.: Просвещение, 1993. 207 с. Seee_
Учебное издание ШКОЛЬНАЯ rЕОМЕТРИЯ в ЧЕРТЕЖАХ И ФОРМУЛАХ Авторы: Амелькин Владимир Васильевич Рабцевич Татьяна Ивановна Тимохович Владимир Леонидович Редактор Т. И. Рабцевuч Обложка Н. Л Навроцкой Компьютерная верстка И. И. Fалицкиu Корректор с. И Шердюкова Подписано в печать с rотовых диапозитивов 22.04.2008 r. Формат 60х84/16. Бумаrа офсетная. rарнитура Тайме. Печать офсетная. Уел. печ. л. 4,65. Уч. изд. л. 3,7. Тираж 3 100 экз. Заказ N5! 1133. Издательское 000 «Красико nринт». ЛИ N5! 02330/0150112 от 09.10.2007 [. 220035, Беларусь, [. Минск, ул. ТИМИРЯЗ.ева, 65 б, ПОМ. ]42. Республиканское унитарное предприятие «Издательство «Белорусский Дом печати». 220013, r. Минск, пр т Независимости, 79. ЛП 02330/0131528 от 30.04.2004 [. Seee_ Цель, Поставленная aвтopaмn, рассказать о школьном Курсе rеометрии по возможности исчерпывающе и систе матизировано, но коротко и ясно. Решение любой rеометрической зада чи начинается с ПОстроения чертежа. Правильно ВЫполненный чертеж это уже шаr к решению задачи, и поэтому к ПОстроению чертежа нужно ОТНоситься серьезно. Несмотря на небольшой объем, в данном издании приведены в чертежах и Форму лах все ОСНовные Свойства Плоских и про странственных фиryр. ЭТО ПОсобие ПОДХОдит в качеСтве и MaTe риала для повторения, параллеЛЬноrо изу чению дрyrих тем в школе, и справочника. Авторы уверены в том, что приведен ные в КНижке сведения ПОЗВОлят каждому УСВОИвшему их школьнику, а затем и аби туриенту успешно решить rеометри ческие задачи как ШКОльноrо и KOHKypCHO ro экзаменов по математике, так и цeHтpa лизованноrо теСТИрования. 1 r t: +t ISBN t- ii .t .11.. 111111 9 111111 11 4 11 >;-. '.. .,..;,,"-....b.,, 111111 11 .. .". ; ом.. _"""'1'" ,' . h Ч . <., . ; . . :..: ..