drA3ПPDM

Авторы выражают прюнательность
и благодарность ПАО

« Газпро м»

за поддержку и участие в издании

настоящего учебного пособия

для студентов ВУЗов нефтегазового профиля

I.M. Astrakhan, V.G. Ivannikov,
V.V.Kadet

COLLECTION OF
TASKS ON HYDRAULICS AND
GAZODYNAMICS FOR OILAND GAS
INSTITUTIONS OF HIGHER EDUCATION
А

Textbook

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ
РГУ нефти и

raJa

ЦЕНТР
(НИУ) имени И.М. Губкина

2017

И.М. Астрахан, В.Г. ИвАнников,
в.в. КАДЕТ

СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГИДРАВЛИКЕ
И ГАЗОДИНАМИКЕ

ДЛЯ НЕФТЕГАЗОВЫХ ВУЗОВ
Учебное пособие
Учебное пособие
рекомендовано к изданию

учебно-:ttетодической комиссией
факультета разработки нефтяных
и газовых .ttесторож·дений

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ
ЦЕНТР
РГУ нефти 11 газа (НИУ) имени И.М. Губкина

2017

у дк 532.5. (075.8)
ББК 26.325.31
А91
Рецензенты:

д-р техн. наук, зав. кафедрой -«Гидравлика~> М.Р. Петрuченко

(Инженерно-строительный институт ФГАОУ ВО -«Санкт­
Петербургский политехнический университет Петра Великого~>);
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотр. А.Е. Якубенко

(НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова)

А91

Астрахан И.М., Иванников В.Г., Кадет В.В.,
Сборник задач по гидравлике и газодинамике

для

нефтегазовых вузов:

Учеб.

пособие/Под ред.

В.В. Кадета.- М.: Российский государственный уни­

верситет (НИУ) нефти и газа имени И.М. Губкина,

2017. - 295 с.
ISBN 978-5-91961-236-0
Задачник состоит из двух частей и

держит задачи по гидравлике,

вторая

14
-

глав. Первая часть со­

по газовой динамике.

Каждая глава относится к определенному разделу нефтегазовой
гидромеханики. Все главы содержат теоретическую справочную
часть,

вопросы

для самоконтроля степени усвоения

примеры решения типовых задач.
вы

-

задачи,

предлагаемые

материала и

Основная часть каждой гла­

для

самостоятельного

решения.

Настоящее издание задачника дополнено новыми интересными
задачами, в том числе и повышенной сложности. Тематика рас­

сматриваемых задач характерна для нефтегазовой

промышлен­

ности.

Для подготовки бакалавров всех профилей по направлению

21.03.01

..еНефтегазовое дело~>

дипломированных

стям

21.05.05

и других направлений,

специалистов,

обучающихся

по

а также

специаль но­

-« Физические процессы горного или нефтегазового

производства~>,

21 .05.02

..еПрикладная геология~> и ряду других

специальностей нефтегазового профиля.

УДК
ББК

532.5.(075.8)
26.325.31

Данное издание является собственностью РГУ нефти и газ а (НИУ)

имени И . М. Губкина и его репродуцирование (воспроизведение)
любыми способами без согласия университета запрещается.

ISBN 978-5-91961-236-0 ©

Астрахан И.М., Иванников В.Г., Кадет В.В.,

2017
© Российский

государств е нный

университет

нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина,

2017
© Голубев В.С . , оформление серии,

2007

•
ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛ ОВИЕ

. .. . .. . ... .. . ... .. . ... .. . .... .. . ... .. . ... .. . ... .. . ... .. . ... .. . ... .

7

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ И ГИДРОСТАТИКА... . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

9

Основные свойства жидкости.............. .. .... .. ................ .. ....

9
21
33

§
§
§
§

1.
2.
3.
4.

Давление в покоящейся жидкости

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

Сила статического давления жидкости на пло с кую стенку ....
Сила статического

давления

жидкости

на крив олинейные

стенки . Закон Архимеда . ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

§ 5.

Относительный покой жидкос ти .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ..

ГЛАВА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ ИДИ-

2.

НАМИКИ ЖИДКОСТИ................... .. ...................... .. ...........
ГЛАВА

4.

72

РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ОСНО-

3.

ВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ.... .. .... .. .... .. .... .. .

ГЛАВА

45
58

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ.... .. .... .. .

91
103

ГЛАВА 5. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРОСТЫХ НАПОРРНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ.... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ... .

11 5

ГЛАВА 6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ . ... ... ... ......... ... ... ... ... ... ......... ... ... ... ... ... ......... .
ГЛАВА

7.

144

ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕ РСТИЯ И

НАСАДКИ

.. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

170

ГЛАВА 8. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР В ТРУБОПРОВОДАХ

189

ГЛАВА

9.

ДВИЖЕНИЕ

НЕНЬЮТОНОВСКИХ

ВЯЗКИХ

ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ................

199

ГЛАВА 10. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗА.. .. .. .................

209

ГЛАВА

11.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА .........

22 1

ГЛАВА

12.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ........................

233

5

ГЛАВА

§ 1.
§ 2.

СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ....................................

250

Прямой скачок упло тнения.............................................. .

250

13.

Косой скачок уплотнения

ГЛАВА

14.

........................................... .. ... .

УСТАНОВИВШЕЕСЯ

ДВИЖЕНИЕ

ГАЗОВ

В

ТРУБАХ....................................................................... ... ....

§ 1.

266

Политропическое течение с трением со вершенного газ а в

гориз онтальном трубопр овод е

Изотермическое течение реально го газа.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

266
267

ПРИЛ ОЖЕНИЯ... ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... .

275

ЛИТЕРАТУРА ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

292
293

§ 2.

05

.... ...... ....... ...... ...... ....... ...... ...... .

АВТОРАХ....................................... ... ... ... ................ ... ...

•
ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее издание возникло в результате настоятель­
ной необходимости воссоздания базы практических заня­

тий по гидро- и газодинамике, учитывающей специфику
подготовки специалистов в нефтегазовых вузах.

За про­

шедшие со времени первого издания 16 лет его тираж
практически исчез с полок магазинов и библиотек, что го­
ворит о неподдельной популярности задачника как среди
преподавателей, так и среди студентов.
Наряду с этим, прошедшие годы активной ~работы~
задачника

позволили

выявить

имеющиеся

существенные

недостатки и огрехи оформления материала. В данном из­
дании они, естественно, устранены.

Кроме того, непрерывно шло пополнение пособия но­
выми интересными задачами, в том числе благодаря воз­

рождению в 1998 г. Всероссийской студенческой олимпиа­
ды по гидравлике. Последнее обстоятельство позволило не
просто расширить набор предложенных задач,
полнить

практически

каждую

из

глав

но и до­

задачника

дартными задачами повышенной сложности.

нестан­

Эти задачи

размещены в конце глав.

Структура подачи материала осталась неизменной:

за­

дачник состоит из двух частей, первая из которых отно­

сится к общему курсу гидравлики (технической гидроме­
ханики), а вторая - к курсу газовой динамики . Каждая из
этих частей состоит из глав, в которых собран материал,
относящийся

к соответствующему разделу курса. Для
удобства использования пособия все г лавы содержат теоре­
тическую

справочную

часть,

в

которую

включены

основ­

ные определения и формулы соответствующего раздела, а
также даны вопросы для самоконтроля степени их усвое­

ния. Рассматриваемые далее типовые примеры подробно
иллюстрируют методику решения данного класса задач.

Основная часть каждой главы

-

задачи , предлагаемые

для самостоятельного решения, которые расположены, как

7

правило, в порядке нарастания их сложности. К каждой
задаче даны ответы, позволяющие проверить правильность
их решения.

В приложении приведены справочные таблицы различ­
ных физических констант, необходимых при решении за­
дач.

При работе с предлагаемым сборником задач можно ре­
комендовать следующий алгоритм действий:

1. Внимательно ознакомиться со вступительной частью
изучаемой главы, сделав, при необходимости, выписку ос­
новных ее положений.
2. Ответить последовательно на все вопросы, предлага­
емые для самопроверки. В случае затруднений вернуться к
материалу вступительной части, а при необходимости - к
соответствующим разделам учебника. Отсутствие теорети­
ческой базы не позволит приступить к непосредственному
решению задач.

3.

Внимательно

проследить

за

последовательностью

действий при решении примеров . Логика этой последова­
тельности должна быть понята и усвоена.
4. Последовательно ответить на все вопросы контроль­
ной карты. При этом желательно воздержаться от искуше­
ния заранее ознакомиться

с предлагаемыми ответами,

ина­

че данная деятельность потеряет смысл. В случае если в
разделе <iКонсультации~ будет указано, что ответ ошибо­
чен, необходимо вернуться к рассмотрению задачи. По­
вторные ошибки в ответах указывают на то, что необхо­
димо

вернуться

к

рассмотрению примеров прежде

чем

пе­

реходить к самостоятельному решению задач.

5. Если при самостоятельном решении задач возникают
затруднения или вопросы, стоит обратиться за консульта­
цией к преподавателю.
Надеемся, что представленные в пособии задачи, а также
следование приведенным выше рекомендациям окажут су­
щественную помощь в освоении не только важных, но и ув­

лекательных дисциплин - гидравлики и газовой динамики.
Настоящее издание задачника в значительной степени
базируется на двух предыдущих, в создании которых при­

нимали участие бывшие сотрудники кафедры профессор
Г.Д . Розенберг, доцент А.Е. Евгеньев и доцент И.Н. Ко­
чина. Мы выражаем им свою глубокую признательность.

8

Глава

1

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ
И ГИДРОСТАТИКА

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ
Система материальных точек, непрерывно заполняющая
некоторую часть пространства, называется сnлОШJiОЙ сре­

дой. Сплошная среда представляет собой модель реально
существующих материалов, т.е. является определенной
идеализацией, полезной для решения многих практиче­
ских

задач.

Моделью сплошной среды пользуются для

описания жидких тел (воды, нефти, нефтепродуктов и
т.д.), твердых деформируемых тел (металлов, горных по­
род), а также газообразных веществ (воздуха, природного
газа). Жидкость в гидромеханике рассматривается как
сплошная среда, что очень удобно при использовании ма­
тематического аппарата непрерывных функций.

ПлomJiocmъ характеризует массу сплошной среды (в
том числе и жидкости), содержащуюся в единице объема.
Средняя плотность среды в достаточно малом объеме

дV, содержащем точку М(х, у, z ), определяется по фор­
муле

Рср = дтfд V,
где дт ~ масса сплошной среды, заключённая в объеме
дV.
В точке М плотность

р(х, у, z ) = lim
f. V """* O

Если р не зависит от координат х, у,
одна и та же во

( 1.1)

f..m .
f.. V

всех точках среды,

z,

т . е . плотность

то последняя называ­

ется од1iородJiоЙ.

9

Наряду с плотностью среды вводится ее удельный вес
у=

где

(1.2)

pg,

g ~ ускорение свободного падения.

Размерности и единицы измерения для величин р и у
приведены ниже .

Величина

..

00 • • • • 00 00

• • • 00 • • • • • 00 • • • • 00.

Размерность
Единицы измерения в СИ

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . 00 . . . . 00 . . . . .

00 . . 00

00

Плотность

У дельный вес

М/ L3
кг / мЗ

M / (L3 j T2)
кг/ (м2-с2) или Н j мЗ

Силы, действующие на частицы сплошной среды, де­
лятся на два вида: .массовые и поверхностные.

Силы, распределенные по объему V, называются мас­
совыми силами. Примерам таких сил могут служить сила
тяжести, сила инерции.

Массовые силы характеризуются мотностъю .массовых

сил (напряжение.м .массовых сил). Если дт ~ масса эле­
ме_I.Iтарного объема д.V, содержащего точку М(х, у, z), а
дR ~ сила, действующая со стороны внешних сил на ча­
стицы, входящие в объем д. V, то плотность массовых сил

F в точке М(х, у,

z) определяется из выражения
-

.

дR

F(x, у, z) = l1m-.

(1.3)

Ат--.0 дт

Плотность массовых сил

F

векторная величина и

имеет размерность ускорения, т.е.

[F] = [дR] = [сила] =ускорение· [FJcи = м .
[дт]

[масса]

'

с

2

Поверхностные силы представляют собой силы,

рас­

пределенные по поверхности, ограничивающей рассматри­
ваемый объем. На внешней поверхности тела поверхност­
ные силы отражают взаимодействие тела с окружающей
средой.
силы

К поверхностным силам относят силы давления,

реакции

тела на поток,

силы

внутреннего

трения

в

среде.

Поверхностные силы в сплошной среде характеризуют­
ся векторо.м напряжений

10

-

р=

t·l f ff..P
iAS--->0

где !1Р

-

f..s

(1.4)

1

главный вектор сил, приложенных с одной сто­

роны к некоторой малой площадке дs.
Напряжение- размерная величина. Размерность напря­

жения определяется на основе формулы

(1.4)

-]- [f..P] _
[р
- - - [сила] .' [-]-Н
р -[f..s]
[площадь]
м2

-_ П а.

В каждой точке М(х, у, z) сплошной среды можно по­
строить бесконечное число векторов напряжений, опреде­
ляемых ориентацией выбранной площадки. Каждый из
векторов

может

иметь

нормальную

по

отношению

к

пло­

щадке и касательную составляющие.

В

покоящейся

напряжения,

ющими.

жидкости

а нормальные

отсутствуют

напряжения

касательные

являются

сжима­

Растяжения в среде, называемой жидкостью, не­

возможны, а бесконечно малые сдвигающие усилия сразу
же вызывают начало течения. Поэтому жидкость принима­

ет форму того сосуда, в который она налита.
Основной характерный параметр для жидкости - дав­
ление р. В покоящейся жидкости модули нормальных
напряжений на всех площадках, проходящих через дан­

ную точку, равны между собой и называются давлением в
данной точке

Р =IPI·
Давление

-

это скалярная величина, имеющая размер­

ность напряжения, т.е.

[р]

= [f..P] =

[сила]

[f..s]

[площадь]

н

[р] = - = Па.
м

2

Различают давление абсолютное, избыточное и вакуум .

Давление р , определенное выше, называют абсолютным.
Если за начало отсчета принимается атмосферное давление
ра, то избыток абсолютного давления р над атмосферным

=

называется избыточным давлением ри
р - ра, а недоста­
ток до атмосферного - вакуумом рв = ра - р.

11

Давле1iие JiaCъtЩe1i1iOгo пара жидкости. Пар называется
насыщенным,

когда число молекул,

переходящих из жид­

кости в пар, равно числу молекул, совершающих обрат­
ный переход. В этом случае в паре устанавливается
вполне определенное при данной температуре давление,
называемое давле1iие.м JiacъtщeJiJioгo пара рп.
Давление насыщенного пара рп зависит от рода жидко­
сти и температуры. Давление насыщенных паров воды,
легкой нефти, бензина и глинистого раствора при разных
температурах приведено в табл. 1.1 .
Кипение в жидкости наступает, когда температура ста­
новится выше,

чем

температура

кипения при данном дав­

лении, или вследствие понижения давления до значений,
меньших давления насыщенного пара при данной темпера­
туре. Кипение, возникающее в движущейся жидкости
вследствие местных понижений давления до давления
насыщенного пара, называется кавитацей.
Жидкость называется несжимаемой, если ее плотность
не зависит от давления, т.е. dp / dp =О.
Таблица

1.1

Давление (абсолютное) насыщенных паров (в Па)
некоторых жидкостей
Температура,

Жидкость

Вода
Легкая нефть
Вензин

0

С

о

10

20

30

40

613
3430
6468

1225

2332
7840
10682
3136

4214

7350
13720
22538
8320

Глинистый

~

7938
1762

~

~

16462
5390

раствор

Продолж ение табл.

1. 1

Температура,

0

С

Жидкость

Вода
Легкая нефть
Вензин
Глинистый
раствор

12

50

60

70

80

90

100

12348

19894
37240

31164

47334
85260

70070

101325

~

~

~

~

~

31948
13720

~

~

~

~

~

~

~

~

~

Если плотность жидкости изменяется в зависимости от
давления, то

[3

р

=lim (~)

VJ'..p T=const

=-~ (дVJ
=~(др)
др Т Р др Т

(1.5)

V

называется коэффициентом сжимаемости. Он равен отно­
сительному изменению объема жидкости при изменении
давления на одну единицу. Коэффициент сжимаемости
имеет размерность, обратную давлению:

Величина, обратная коэффициенту сжимаемости, назы­
вается модулем обьемJiОЙ упругости жидкости

(1.6)
Для воды среднее значение моду ля объемной упругости

К

= 2-1 О9 Па; для керосина К = 1, 7-1 О9 Па; для дизельного
топлива К = 1,6-109 Па; для других нефтепродуктов
К= 1,3-109 Па.

Плотность жидкости может изменяться при изменении
температуры. В этом случае изменение плотности характе­

ризуется коэффициентом теплового объемного расширения
[Зт, определяемым по формуле

fЗт =lim (~)
=~(дV) = -~(~)
V J'..T p =const V дТ Р
р дТ Р .

(1. 7)

Коэффициент теплового объемного расширения [Зт ра­
вен относительному изменению объема жидкости при из­

менении температуры на один градус. Размерность [Зт об­
ратна температуре

Если известна плотность нефтепродуктов при 15 ас
(pts), то величину р при другой температуре можно опре­

делить по формуле Менделеева

13

Р15

_

(1.8)

Pt - 1 + 13т (t- 15) '
где

t -

температура нефтепродуктов,

0

С; [3т

-

коэффици­

ент, зависящий от р15.

Значения коэффициента [3т в формуле Менделеева при­
ведены ниже.

P1S, кr/мз ......................
13Т·104 , 0 С. ...... ...... .... ... ...

700
8,2

800

850
7,2

7,7

900
6,4

920

6,0

В общем случае

Идеальная и вязкая жидкости.

Существуют две рас­

простран нные модели жидкости. Первая из них предпо­
лагает,

что

в

жидкости

и

при

движении

нет

касательных

напряжений. Это модель идеальной жидкости. Вторая мо­
дель учитывает появляющиеся при движении касательные

напряжения. Это модель вязкой жидкости.
В простейшем случае прямолинейного слоистого тече­
't и производ­
ной скорости и по нормали определяется законом вязкого
ния связь между касательным напряжением

трения Ньютона

du

(1.9)

't = 'J1-.

dy

Коэффициент

пропорциональности

11

в этой форму л е

называется дина.мически.м коэффициентом вязкости. Этот
коэффициент определяется свойствами жидкости и зависит
от давления и температуры.

Размерность динамического

коэффициента вязкости

Для характеристики вязких жидкостей вводят еще один
коэффициент - кинематический коэффициент вязко сти

14

Размерность кинематического коэффициента вязкости

."]

L2

м2

[р]

т

с

[
[v]=-''
=-; [v]=-.
Существует много сред, которые хорошо описываются

моделью

вязкой (ньютоновской) жидкости. В то же

( 1. 9)

время имеются и другие жидкие среды,

для описания ко­

торых модель вязкой жидкости не подходит. Эти жидко­
сти называются 1iе1iьюттювскими.

Вопросы для самопроверки

1.

Как найти объем жидкости, плотность и масса кото­

рой известны?

2. Если [3р 1 > [3р2, то какая из жидкостей ( 1 или 2) бо­
лее сжимаема?

3.

Если К 1

К2, то какая из жидкостей более сжимае­

>

ма?

4.

Если жидкость, целиком заполняющую закрытый не­

деформируемый

сосуд,

подогреть,

то

что

произойдет

с

давлением в ней?

5.

Если в закрытом недеформируемом сосуде подогреть

газ, то что произойдет с его плотностью и давлением?

6. Какое из действий (увеличение или снижение давле­
ния над поверхностью жидкости) приведет к прекращению
начавшегося кипения?
7. Если предположить, что вода и бензин имеют одина­
ковые значения кинематическоm коэффициента вязкости,
то одинаковы ли при этом значения динамического коэф­

фициента вязкости?
ПРИМЕРЫ
Пример

1.1.
d

ре диаметром

В вертикальном цилиндрическом резервуа­

=4

м хранится

торой при О ос ро = 850 кг / мз.

100

т нефти, плотность ко­

Определить изменение уровня в резервуаре при изме­
нении температуры нефти от о ДО

30 ас. Расширение ре­
зервуара не учитывать. Коэффициент теплового расшире­
ния нефти f3т = 0,00072 1 / градус.
15

о

0

Реше1iие. Объем, занимаемый нефтью при температуре
С,

V =т/ р = 100-103/850 = 118 м3.
В соответствии с формулой
изменении температуры на

= 13тV !1Т =

V

30

0,00072-118-30

=

( 1.8)

изменение объема при

ос

2,55 м3.

Изменение уровня нефти в резервуаре

h

=

411 V /(nd 2)

Пример

1.2.

=

2,55·4/(3, 14-16)

=

0,203 м.

Винтовой пресс Рухгольца (рис.

1.1)

для

тарировки пружинных манометров работает на масле с ко­

эффициентом сжимаемости (3р = О, 638 ·1 о-9 па- 1 .
Определить, на сколько оборотов надо повернуть махо­

вик винта, чтобы поднять давление на 9,8·10 4 Па, если на­
чальный объем рабочей камеры пресса V = 0,628-10-3 м3,
диаметр плунжера 20 мм, шаг винта h = 2 мм. Стенки ра­
бочей камеры считать недеформируемыми.
Реше1iие. Для того чтобы давление повысилось на !1р =
= 9,8·10 4 Па, необходимо, чтобы объем V жидкости в ра­

бочей

камере

пресса

уменьшился

(см.

формулу

( 1. 5))

на величину !1V = (3pVI1p = 0,638-1О-9·0,628·1О-3·9,8-10 4
= 3,92-10-8 м 3 .
Длина, на которую должен продвинуться плунжер

1= t-..v
s

=

мv = 4. 3,92 -1о- 8 = 1, 25 . 10-s м.
2
2 2
тсd

3,14 · (2. 10-

Рис.

16

)

1.1.

К примеру

1.2

При этом маховик винта необходимо повернуть на

=

l/h

=

0,125/2

~

1/16

n

оборота.

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА 1
Вопрос
Какова плотность смеси двух углеводород-

ных жидкостей,

если для нее взято

0,4

л

нефти (рн = 850 кгj мЗ) и 0,6 л керосина
(Рк = 800 кгjмЗ)
Два одинаковых, считающихся недеформи-

Ответ

Код

1650 кгj мЗ
825 кгj мЗ
820 кгj мЗ

3

Одинаковые

б

8

Нефти больше

2
5

Воды больше

9

Можно ли при помощи термометра опреде-

Для этой цели слу-

1

лить величину атмосферного давления?

жит барометр

руемыми

образца

давлении

в

породы

лабораторных

при

пластовом

условиях

насы-

щены один водой, а второй нефтью. Сравните

объемы

жидкостей,

вытекающие

из

образцов при снижении давления до атмо -

сфернаго

Нельзя
Можно

4
7

ЗAДAl.ffi

Задача 1.1. Определить плотности воды и нефти при
4 ос, если известно, что 10 л воды при 4 ос имеют массу
10 кг, а масса того же объема нефти равна 8,2 кг. Срав­
нить плотность нефти с плотностью воды.

Ответ: рв

=

= 1000

кг/ мЗ, рн

= 820

кг/ мЗ .

Задача 1.2. Цистерна заполнена нефтью плотностью
850 кг /мз . Диаметр цистерны d = 3 м, длина l = 6 м.

р =

Определить массу жидкости в цистерне.

Ответ: т=

3,60-104

кг.

Задача 1.3. Найти плотность смеси жидкостей рем,
имеющей следующий массовый состав: керосина - 30 %,
мазута - 70 %, если плотность керосина рк = 790 кг / мЗ, а
мазута рм = 900 кг / мЗ .
Ответ: рем = 864 кг / мЗ.
1Консультации к контрольным картам находятся в конце соответ­
ствующих глав.

17

Задача 1.4. Определить, насколько поднимется уровень
нефти в цилиндрическом резервуаре при увеличении тем­
пературы от 15 до 40 °С. Плотность нефти при 15 ос р15 =

= 900 кг lмз.

Диаметр резервуара d

резервуар при

лового

15

ос до высоты Н=

объемного

11 градус.

расширения

= 10 м;
12

нефть заполняет

м. Коэффициент теп­

нефти

13т

6,4·10-4

Расширение резервуара не учитывается.

Ответ:

bll = 0,192 м.
1.5. Трубопровод

Задача
диаметром d = 0,3 м, длиной
= 100 м, подготовленный к гидравлическому испытанию,
заполнен водой при атмосферном давлении.

l

Какое количество воды необходимо дополнительно по­

дать в трубопровод, чтобы давление в нем поднялось до
5 МПа по манометру? Коэффициент сжимаемости воды
13р = 0,5·10-9 па- 1 . Деформацией трубопровода пренебречь.
Ответ: ~V = 1,77·10-2 мз.
Задача
щейся в

1.6.

Насколько изменится объем воды, находя­

пластовой водонапорной

системе,

окружающей

нефтяное (или газовое) месторождение, за счет упругого
расширения

при

падении

пластового

давления

на

~Р

=

= 9,8 МПа, если вода занимает площадь s = 100000 га,
средняя толщина пласта h = 1 О м, пористость пласта
т
20 %, коэффициент сжимаемости воды 13р
= 4,28·10- 10 па- 1 .
Ответ: ~ V = 8,4-106 мз.
Примечание: пористость т равна отношению объема

пор, занятых жидкостью, к объему пласта.
Задача 1. 7. Найти кинематический коэффициент вязко­
сти нефти, если известно, что при температуре t = 40 ос
ее динамический коэффициент вязкости 11 = 0,5 кг (м·с).
Плотность нефти при той же температуре р = 920 кг мЗ.
Ответ: v = О ,543·1 о-з м 2 с.

1

1
1

Задача 1.8. Для большей части жидкостей зависимость
динамического коэффициента вязкости 11 от абсолютной
температуры Т можно представить эмпирической формулой вида

где коэффициенты В и Ь для данной жидкости имеют
постоянное

18

значение

и

определяются

экспериментально.

Установлено, что при t1 = 15 ос динамический коэффи­
циент нефти 111 = О, 187 кг /(м·с), а при t2 = 30 ос 112
= 0,0312 кг/(м·с).

Определить постоянные В и Ь и вычислить значение
для этой нефти при t = 25 °С.

11

__!j_

Ответ: В = 111 (11 1 /11 2 )тгт2 = 3,65-10- 17 кг /(м·с); Ь

2l1.J (_!_ _J...Jl ТJ2 l Т1 Т2
(ln

1

=

1,04-104

К; 1125 =

0,05

кг /(м·с).

Задача 1.9. Вода поступает в насос по всасывающей
трубе, работающей под вакуумом. Минимальное абсолют­
ное давление перед входом в насос р = 4 кПа. Температура
перекачиваемой воды поднялась до 30 °С. Будет ли
наблюдаться в этом случае явление кипения?
Ответ: вода закипит, так как при t = 30 ос давление
насыщенных паров воды рп = 4214 Па, что больше мини­
мального абсолютного давления.
Задача 1.10. Для определения давления насыщенных
паров жидкости используются две барометрические труб­

ки, предварительно заполненные ртутью (рис.

1.2).

Одна

из них служит барометром, а в другую при помощи пи­
петки по капле вводят испытываемую жидкость.

Рис.

1.2.

К задаче

Безвоз-

1.10

19

душное

пространство

над

наряду с парами ртути,

ртутью

вскоре

заполняется,

также парами жидкости, а над ме­

ниском ртути образуется небольшой слой жидкости высо­
той blz, мениск ртути при этом понизится на величину, со­
ответствующую давлению насыщенных паров жидкости.

Определить давление насыщенных паров воды, если

=

713

мм,

!J.h

= 200

мм, показание барометра hб

= 745

h

=

мм

рт.ст. При температуре опытов

t = 20 ас плотность воды
рн = 998,2 кг1 мЗ, а плотность ртути рр = 13550 кг 1 мЗ.
Ответ: рп =

2300

Па.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ дан не на заданный вопрос.

Действительно,

для измерения величины атмосферного давления обычно
используются различного вида барометры. Но можно ли

для этой цели воспользоваться и термометрами?
2. Ответ неправильный. С каким свойством жидкости
связан предлагаемый вопрос?
3. Ответ неправильный. Может ли смесь двух жидко­
стей иметь плотность большую, чем более плотная из них?

4.

Ответ неправильный. Не помогут ли Вам для обос­

нования

правильного

ответа

сведения

о

давлении

насы­

щенного пара жидкости?

5.

Ответ правильный:

!J.V =

-[Зp!J.pV. Так как нефть бо­

лее сжимаема ([Зр(н) > [Зр(н)), то при одинаковых объемах
пор породы и равном падении давления (-др) нефти вы­
течет больше.

6.

Ответ неправильный. Вы не учли, что объемы жид­

костей, взятых для смеси, разные.
7. Ответ правильный. Как известно,

вода кипит при

100 ас только при атмосферном давлении, равном
101,3 кПа, что соответствует высоте столба ртути 760 мм в
жидкостном барометре .
При уменьшении или увеличении давления на свобод­
ной поверхности жидкости при данной температуре соот­
ветственно

уменьшается

или

увеличивается

давление

насыщенного пара. Следовательно, при уменьшении атмо­

сферного давления (например, в горах) температура кипе­
ния воды снижается, а при повышении (например, в глу-

20

бокой шахте) температура кипения возрастает. Имея таб­
лицу

зависимости

от температуры,

давления

насыщенного

пара

жидкости

можно по температуре кипения жидкости

(например, воды) определить соответствующее ей давле­
ние насыщенного пара, равное (для открытых сосудов)
атмосферному давлению.
На использовании связи температуры кипения жидко­
сти с давлением на ее поверхности основан принцип дей­

ствия автоклавов (в том числе и кастрюль-скороварок),
позволяющих поднимать температуру воды выше

8.

100

°С.

Ответ правильный. Так как масса нефти и керосина,

взятых для смеси, в сумме должна равняться массе смеси,
можно записать

рк V к

+

рн V н = рем Vсм

или

9. Ответ неправильный.
сжимаема ~ вода или нефть?

Какая из

жидкостей

более

§ 2. ДАВЛЕНИЕ В ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Распределение давления в покоящейся жидкости нахо­
дится из уравнений равновесия Эйлера:

др = рХ

дх

1

др=рУ или dp=p(Xdx+Ydy+Zdz),
ду

(1.10)

др =pZ
дz

в которых вектор
rиютностъю

F

1

с компонентами (Х, У,

массовых

сил

или

Z)

напряжением

называется
массовых

21

сил (массовая сила, рассчитанная на единицу массы; раз­
мерность - ускорение). Дифференциальное уравнение по­
верхности равного давления (изобарической поверхности)
имеет вид

(1.11)

Xdx+ Ydy+Zdz=O.
Поверхность

раздела

между

жидкой

и

газообразной

средами называется свобод1iоЙ поверх1iостъю.
В однородной несжимаемой жидкости (р = const),
находящейся в равновесии под действием силы тяжести (Х
= О, У = О, Z = -g, ось z направлена вверх), распределе­
ние давления определяется из выражения

Р = Ро
где ро

-

+ pg (zo - z)

= Ро

(1.12)

+ pgh,

давление в точках горизонтальной плоскости с

координатой zo (в качестве такой плоскости чаще всего
выбирается свободная поверхность жидкости); z - коор­
дината точки, в которой определяется давление р; h =
= zo - z - глубина погружения рассматриваемой точки по
отношению к плоскости с координатой

zo: g -

ускорение

свободного падения (рис. 1.3).
Формула ( 1.12) носит название oc1ioв1iozo урав1iе1iия
zидростатики. Из нее следует зако1i Л аскаля: изменение

Пьезометрическая
плоскость

Ро

Zo

Рис. 1.3. Закрытый сосуд с по­
коящейся
жидкостью
(справа
показама вертикальная открытая

трубка

22

-

пьезометр)

давления в какой-либо покоящейся и продолжающей оста­
ваться в покое точке жидкости передается одинаковым об­
разом всем точкам этой жидкости.

В совершенном газе,

т.е. газе, подчиняющемся закону Клапейрона (см. гл.

9),

находящемся в равновесии под действием силы тяжести,
распределение давления при условии постоянства темпера­

туры по высоте (Т=

const)

определяется барометрической

формулой

Ро

Р =Рое

( 1.13)

где ро, ро - соответственно абсолютное давление и плот­
ность газа в точках горизонтальной плоскости с координа­
той 20.

Из формулы

( 1. 13) можно найти разность высот
20 - 2 =

...EQ_ln.E....
Pog

( 1.14)

Ро

Эта формула называется формулой барометрического
нивелирования,

так

как

позволяет

определять

разность

высот по показаниям двух барометров.

Из формул (1.12) и (1.13) следует, что поверхностями
равного давления для жидкости и газа, находящихся в
абсолютном покое, являются горизонтальные плоскости
2

= const.

Простейшим прибором для измерения давления в сосу­
де с жидкостью является пьезометр, представляющий со­
бой вертикальную, открытую сверху стеклянную трубку,

присоединяемую к сосуду (см. рис. 1.3). Пьезометр изме­
ряет избыточное давление на поверхности жидкости в со­
суде; пьезометрическая выс ота

( 1.15)
где ра - атмосферное давление; ро- абсолютное давление .
Назовем пьезометрической поверхностью поверхность,
проходящую

через

уровень

жидкости

в

пьезом етре,

или ,

что то же, поверхность, на которой давление равно атмо­

сферному.

23

Если ро

> ра,

то

р

>

О, и пьезометрическая поверхность

располагается выше уровня жидкости в сосуде;

если ро

<

ра, тор< О, и она находится ниже уровня жидкости; если
ро

=

ра,

то пьезометрическая

поверхность совпадает с

по­

верхностью жидкости.

Для измерения давления применяются следующие при­
боры: барометры измеряют атмосферное давление, мано­

метры - избыточное (на рис. 1. 7 показан жидкостной ма­
нометр), вакуумметры - вакуум; для измерения разности
давления в двух точках применяются дифференциальные

манометры (см. рис.

1.9).

Вопросы для самопроверки

1.

Какие виды давления Вы знаете и какими приборами

они измеряются?
Каково

2.

численное

соотношение

между

единицами

давления ~паскаль~ и ~техническая атмосфера~?
3. Как запишется основное уравнение гидростатики, ес­

ли известно ри на свободной поверхности жидкости, и тре­
буется определить абсолютное давление в ниже располо­

женной точке?
4. Какой вид

давления

обязательно

используется

в

формулах барометрической и барометрического нивелиро­

вания?
5. Где расположена пьезометрическая поверхность для
открытого сосуда с жидкостью?

ПРИМЕРЫ
Пример

1.3.

В

закрытом

резервуаре

с

нефтью

р

=

кг jмЗ вакуумметр, установленный на его крышке,
показывает рв = 1,18-104 Па (рис. 1.4).

= 880

Определить показание манометра рм, присоединенного
к резервуару на глубине Н =

6

м от поверхности жидко­

сти, и положение пьезометрической плоскости.
PeшeJiue. Проведем плоскость 1-1 на уровне присое­
динения манометра.
ние

в

(1.12)
24

соответствии

В этой плоскости абсолютное давле­
с

основным

уравнением

гидростатики

Рис.

1.4.

К примеру

1.3

Рв

Р1-1 = Ро

+ pgH,

где ро

абсолютное давле­

-

ние на поверхности,

равное

Ро

ра- рв.

Тогда

Р1-1 = Ра

-

Рв

+ pgH.

Кроме того, так как ма­

нометр

измеряет

избыточ­

ное давление (рм = ри), то
Р1-1 = Ра

+ Рм·

Приравняв два выражения для р1-1, найдем

Рм = -рв +pgH = -1,18-10 +880·9,8·6 = 3,99-10 Па.
4

4

Так как на поверхности жидкости давление меньше ат­

мосферного,

то

пьезометрическая

высота

отрицательна,

т.е.

h
и

4

= L'lp = - Рв = - 1, 18 . 1 О =
pg
pg
880.9,8
пьезометрическая

-1, 37 М.

плоскость

ности жидкости на расстоянии

При.мер
водой

по

1.4.

расположена

1,37

ниже

поверх­

м.

Найти избыточное давление в сосуде А с

показаниям

многоступенчатого

ртутного

метра (рис. 1.5): h1 = 82 см; h2 = 39 см; hз = 54 см;
см; hs = 100 см; р = 103 кг /м 3 ; рр = 1,36-104 кг /м 3 .

мано­

h4

=

41

Реше1iие. Так как жидкость находится в равновесии, то

давления в точках

1 и 2 равны как давления в точках од­
ного и того же объема однородной покоящейся жидкости,
расположенных на одной горизонтали, т.е. р1 = р2. На том
же основании рз = р4, ps = р6. В то же время избыточное
давление

Р1 = Ppg (h1- h2); Рз = Р2- Рвg (hз- h2);

Ps

= Р4 +рР(hз

-h4); Рл

= Рб -рвg

(hs -h4).

25

Устье

. . .....

.......
•

•

•

о

о.
о

о

о
о

••••
•
о
•
о

о

о

Забой

Рис.

1.5.

К примеру

1.4

Рис.

1.6.

К примеру

1.5

Исключив из этих соотношений промежуточные давле­
ния р

2,

р

4,

р

6,

получим

Рл = Ppg [(h1- h2)

+ (hз- h4)]- Рвg [(hз- h2) + (hs- h4)]

=

11 ,36-104 -9,8(0,43 +о, 13) - 103·9,8(0, 15 + 0,59) =

=

67,4

=

кПа.

Пример 1.5. Определить давление на забое закрытой
газовой скважины (рис. 1.6), если глубина скважины
Н = 2200 м, манометрическое давление на устье рм =
= 1О, 7 М Па, плотность природного газа при атмосферном
давлении и температуре в скважине (считаемой неизмен­
ной по высоте) р = О, 7 б кг/ м3, атмосферное давление ра =
= 98 кПа.
Реше1iие. Для определения давления на забое газовой

скважины воспользуемся барометрической формулой

Р =Рое

( 1.13)

Ро

В нашей задаче ро

-

абсолютное давление газа на устье

скважины, ро = ра + рм = 98-103 + 10,7-106 = 10,8-106 Па;
ро- плотность при давлении ро, а

26

zo- z

=

2200

м.

Из уравнения состояния газа следует, что

а показатель степени

Pog(zo- z) = 7, 76-10-6 · 9, 8 · 2200

=О, 167.

Ро

Тогда

р

= 10,8-1Q6.e0,167 =

12,8 МПа.

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

с одной стороны в частично заполненную вод ой

U - образную

открытую

трубку

добавили

бензин. Сравните высоты столбов бензина (hб)
и воды (hв), отсчитываемые от границы разде-

Ответ

Код

hб > hв
hб < hв
hб = hв

1
9
5

Вараметр
Вакуумметр

10
2

Манометр

б

Ртуть

4
12

ла жидкостей
Прибор для измерения давления имеет шкалу с
пределами

измерения

от

0

ДО

1

М Па.

Как

называется прибор?
По трубопроводу течет вода. Какую из жидко-

стей (ртуть, четыреххлористый углерод, бен - Четыреххлоризин) нужно залить в двухжидкостный диффе- стый углерод
ренциальный манометр, чтобы он мог измерить

наименьший перепад давления? При этом рР

рч.у

Вензин

8

Ве нзин

11

>

> рв > рб (см. рис. 1.9)

На стенке закрытого сосуда с жидкостью установлены

маноме тр

каждого из них

2,45

тикали между ними
находится

Показания

Вода

7

кПа, а расстояние по вер-

Ртуть

3

и

вакуумметр.

0, 5

м. Какая из жидкостей

резервуаре:

в

бензин,

вода

или

ртуть?

ЗAДA1.ffi
Задача

1.11.

поверхности

Определить избыточное давление ри на

жидкости

в

резервуаре

и

высоту hп (рис. 1.7), если высота Н=

пьезометрическую

0,6 м, а показания
27

р

r---

Ри

---

--

r---

--

- -

- -

r---

- -

--

--

-

'----...._

г

,

..
Рис.

1.7.

К задаче

Рис.

1.11

1.8.

К задаче

h21
h1

f

1.12

ртутного манометра h = 80 мм. Плотность жидкости р
= 800 кг мЗ, плотность ртути рр = 13600 кг мЗ.
Ответ: ри = 5,96 кПа; hп = 0,76 м.

1

Задача

1

1.12.

В

закрытом

сосуде

хранится

жидкость

плотностью р = 850 кг lмз. Давление в сосуде измеряется
ртутным манометром (рис.

1.8);

в открытом конце мано­

метрической трубки над ртутью имеется столб воды высо­
той h1 = 15 см. Высоты h2 = 23 см, hз = 35 см.
Найти абсолютное давление на поверхности жидкости
в сосуде р, если барометрическое давление соответствует
742 мм рт.ст.
Ответ: р = 6,86-104 Па.
Задача 1.13. Определить разность давлений в сечениях
2 горизонтального водопровода по разности высот
жидкости в трубках ртутного дифференциального мано­
метра h = 150 мм (рис. 1.9).

1

и

Ответ: р =
Задача

18,5

1.14.

кПа.

В какой из точек, расположенных на од­

ной горизонтали, А или В (см. рис.
Задача
составляет

28

> Рв·
1.15. Избыточное
4,9 МПа.

1. 7) давление выше?

Ответ: РА

давление в нефтяном пласте

Рис.

Можно
ны,

=

1.9.

К задаче

ли

предотвратить

заполнив

ее

Рис.

1.13

глинистым

выброс

1.10.

нефти

раствором

1200 кг 1 мЗ. Г луб и на скважины Н

=

К задаче

из

1.16

скважи­
р
=

плотностью

460 м.

Ответ: можно.

Задача

1.16.

Сможет ли насос откачивать бензин плот­

ностью р = 750 кг 1 мЗ из закрытого резервуара, поверх­
ность

(рис.

которого

расположена

на

8

м

ниже

оси

насоса

если на всасывающем патрубке насоса абсо­
лютное давление р не может быть меньше, чем 5,5·10 4 Па,
а избыточное давление на поверхности резервуара ри =
= 104 Па. Принять ра = 105 Па.

1.10),

Ответ: не сможет.

Задача 1.17. На рис. 1.11 приведен вертикальный раз­
рез газонефтеводоносного пласта, имеющего выход на
дневную поверхность в точке А.

=

Найти абсолютное давление в газовой шапке, если Н =
м, h1 = 800 м, h2 = 300 м, плотность Минерализи­

2500

рованной воды рв = 1020 кг 1 мЗ, плотность нефти рн =
850 кг 1 мЗ, атмосферному давлению соответствует

740

мм рт. ст.

Ответ: р =

14,6

МПа.

Задача 1.18. В закрытом цилиндрическом отстойнике
уровень воды составляет а = 0,25 м, уровень нефти Ь =

29

Рис.

1.11.

К задаче

1.17

Рис.

1.12.

К задаче

1.18

Ро

а

Вода

0,8 м (рис. 1.12). Плотность воды рв = 1000 кг/мз,
плотность нефти рн = 880 кг /мз.

=

Определить уровни

h1

и

h2,

если абсолютное давление

на поверхности нефти ро = 1, 08·1

os

давлению соответствует hб =
Ответ: h1 = 1,97 м; h2 =

рт.ст.

Задача

1.19.

735 мм
2,20 м.

Барометр,

холма, показывает давление
холма- 720 мм рт.ст.

Па, атмосферному

установленный

760

мм рт.ст.,

у

подножия

на вершине

Определить высоту холма, считая температуру воздуха
одинаковой и равной

духа

R

=

10 °С.
287 Дж/(кг-К).

Ответ: Н=

30

448 м.

Газовая постоянная для воз­

Рис.

Задача

1.13.

К задаче

1.21

Определить,

1.20.

на ка­

кой высоте Н от уровня моря давле­

ние воздуха составит

690

мм рт.ст.

Температуру воздуха считать посто­

20

янной и равной
духа

на

уровне

ветствующим

Ответ: Н

Задача

°С. Давление воз­

моря

принять

соот­

760 мм рт.ст.
= 829 м.

1.21.

РМ2

Сравнить показания

двух манометров рм1 и рм2 в газовой

системе

(рис.

1.13).

Известно,

что

плотность газа рг меньше плотности воздуха рвоз. Измене­

нием плотностей газа и воздуха по высоте пренебречь.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ правильный. В точках горизонтальной плоско­

сти, проходящей через границу раздела жидкостей в обоих
коленах , давление должно быть одинаковым, т.е. ри =
= рбg hб = рвghв, но рв > рб , следовательно, hб > hв.
2. Ответ неправильный. Вспомните, что измеряет ваку­
умметр, и сообразите, каково максимально возможное зна­
чение этой величины.

3.

Ответ неправильный . Напишите, каковы абсолютные

давления

найдите

в точках закрепления

разность

этих

вакуумметра и манометра ,

давлений

и

по

ней

определите

плотность находящейся в сосуде жидкости.
4. Ответ неправильный . Сделайте вывод о влиянии на

точность

показаний плотностей залитых в дифманометр

жидкостей.

5.

Ответ неправильный. Мысленно проведите горизон­

тальную плоскость через границу раздела двух жидкостей ,

сравните давления столбов жидкости выше этой плоскости
в обоих коленах манометра и сделайте вывод о соотноше­
нии высот этих столбов.
6. Ответ правильный. Величина атмосферного давления
колеблется около 760 мм рт.ст., что близко к 0,1 МПа .

31

Величина вакуума не может быть больше величины атмо­

сферного давления.

Следовательно,

показание прибора,

равное 1 М Па, может принадлежать только манометру,
показывающему избыточное давление.
Ответ правильный. В верхней точке, где расположен

7.

вакуумметр, абсолютное давление р1 = ра
расположения манометра р2
ность этих давлений,

= ра + рв.

-

рв.

В точке

Следовательно, раз­

соответствующая давлению столба

находящейся между приборами жидкости

/l..p

= р2 -

р1

=

= рм + рв = pgh. Так как h = 0,5 м, f..p = 4,9 кПа, р =
= !l.p/(gh) = 4,9·103 / (9,8·0,5) = 103 кг / мз, а эта величи­
на соответствует плотности воды.

8. Ответ неправильный. Если по трубопроводу течет
вода, то как можно заставить бензин (рб < рв) находиться
в нижней части манометра? Для изображенной конструк­
ции прибора бензин неприемлем.
9.

Ответ неправильный. Мысленно проведите горизон­

тальную плоскость

через

границу раздела жидкостей и

сравните давления столбов жидкостей в обоих коленах
выше этой плоскости.

10. Ответ неправильный. Помня, что атмосферное дав­
ление соответствует примерно 760 мм рт.ст., найдите со­
здаваемое этим столбом ртути давление и сравните с верх­
ней границей шкалы прибора.
11. Ответ неправильный. Найдите разность абсолютных
давлений между точками установки вакуумметра и мано­
метра и по ней определите плотность находящейся в трубе
жидкости .

12.

Ответ правильный.

Анализируя формулу для оп­

ределения разности давлений по двухжидкостному диф­

ференциальному манометру /l..p = h(рж - рв)g, видим, что
при заданном пределе измерения h (для обычных жид­
костных манометров глаз различает h ;:>: 1 мм) f..p будет
тем меньше (т.е. точность измерения выше), чем мень­
ше

рж.

Следовательно,

отпадает

ртуть

как

жидкость

с

наибольшей плотностью. Но бензин использовать вообще
невозможно
как

он

имеет

му

будет

при

данной

плотность

всплывать

в

конструкции

меньшую,

ней.

Остается

ния четыреххлористый углерод,

=

32

1600 кг / мз.

чем

манометра,
у

воды,

для

и

так

поэто­

использова­

плотность которого р =

§ 3. СИЛА СТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ

Если на плоскую стенку АВ (рис.

1.14),

наклоненную

под углом а к горизонту, с одной стороны действует жид­

кость, а с другой

-

атмосферное давление, то скалярная

величина равнодействующей сил давления,

воспринимае­

мая стенкой

(1.16)
где рт

-

абсолютное давление в центре тяжести смоченной

части стенки (см. рис.
давление;

1.14, точка Т); ра - атмосферное
s - площадь смоченной части стенки; Ь.р = ро - разность между абсолютным давлением ро на

ра = pghп
свободной поверхности жидкости и атмосферным давлени­
ем; hт - расстояние по вертикали от центра тяжести смо-

х

Рис.

Наклонная плоская стенка АВ , на которую действует ЖIIД­
кость, находящаяся в закрытом резервуаре, с силой Р

1.14.

33

ченной части стенки до свободной поверхности жидкости;

hп- расстояние по вертикали от свободой поверхности до

пьезометрической плоскости (hт > О; hп > О или hп
и
Рт

-

из

б

ыточное

давление

в

центре

тяжести

< 0),
v

смоченнон

части стенки.

Точка пересечения линии действия силы

Р с плоско­

стью стенки называется центром давления (см. рис.
точка D).

1.14,

Положение центра давления относительно пьезометри­
ческой плоскости определяется выражением

( 1.17)
где

ln

ния

и

и lт

соответственно расстояния до центра давле­

-

центра

тяжести,

отсчитываемые

вдоль

плоскости

стенки от линии пересечения ее с пьезометрической плос­

костью (см. рис.

1.14); ] - момент инерции площади смо­

ченной части стенки относительно
проходящей через ее центр тяжести.

горизонтальной

оси,

Расстояние между центром давления и центром тяжести

Ы = lD -lт =

_]__ = pgJ sin а
tтs

Р

где lт можно найти по формуле (см. рис.

lт = (flп + ~)/sina.
Возможны три

варианта положения

,

( 1.18)

1.14)
(1.19)
центра давления

относительно центра тяжести:

1.

При hп

+

hт

>

О центр давления лежит ниже центра

тяжести, а сила Р действует на стенку со стороны жид­
кости.

2.

При hп

+

hт

<

О (вакуум в центре тяжести) центр

давления лежит выше центра тяжести, асилаРдействует
со стороны несмоченной поверхности стенки.

3.

При hп

+

hт = О сила Р = О, поэтому понятие центра

давления теряет смысл;

в этом случае верхняя часть стен­

ки находится под действием сил,
жидкости,

34

направленных внутрь

а нижняя- от нее, поэтому возникает пара сил.

Если ось

является осью симметрии стенки, то центр

l

давления (точка

D) лежит на этой оси.

Для несимметричных стенок нужно найти горизонталь­

ное смещение центра давления дх', определяемое по фор­
муле

дx'=fx'l'
lp;

(1.20)
1

где lx'l'
центробежный момент инерции смоченной
площади относительно осей х' и /' (ось /' совпадает по
направлению с осью

/,

но ее начало отсчета лежит в точ­

ке Т).
Вопросы для самопроверки
Как определяется равнодействующая сил давления

1.
на

твердую

поверхность

и

что

понимается

под

символом

рт?

Может ли равнодействующая сил давления действо­

2.

вать с внешней стороны твердой поверхности, где жидко­
сти нет?

3.
4.

Что такое центр давления?
Может ли центр давления располагаться выше цен­

тра тяжести смоченной части плоской поверхности?

ПРИМЕРЫ

Пример

1.6. Вертикальная стенка (рис. 1.15) длиной

= 3 м (в направлении, перпендикулярном к плоскости
чертежа), шириной Ь
0,7 м и высотой Но
2,5 м разде­

l

=

=

ляет бассейн с водой на две части. В левой части поддер­
живается уровень воды Н1 = 2 м, в правой~ Н2 = 0,8 м.
Найти величину опрокидывающего момента, действую­
щего

на

стенку,

а также определить,

будет ли

стенка

устойчива против опрокидывания, если плотность матери­

ала стенки рст

= 2500

кг / мЗ.

PeшeJiue. Найти силу давления воды на стенку слева.
Так как на поверхности давление атмосферное, то пьезо­
метрическая

плоскость

совпадает

с

поверхностью

жид­

кости

35

о
Р11с.

1.15.

К nр11меру

1.6

Рт- Ра = pg ~1 ; Р = pg ~ 1 !Н 1 = 103 · 9, 8 · 2 1 (2 · 3 · 2) =
=

58,8 ·10 3 Н= 58,8 кН.
Координата центра давления

Im

Для прямоугольной стенки

=

]

= lт

шз

-d- ,

+ J 1 lтs.

тогда

Точно так же справа:

Р2 = pg ~2 lH2 = 103 · 9, 8 °~8 3 · О, 8 = 9, 41 к Н;
2

2. 0,8

lт =зН2 = --=0,533 м.
3

Опрокидывающий

момент,

т.е.

момент

сил

жидкости относительно точки О (см . рис . 1.15)

36

давления

Мопр = А ( ~ - ~ ~) - ~ ( ~ - ~ ~) = 58, 8 ·1 03 ~- 9,41·103 _.2_& = 3,67 ·10 4 Н·м.
3

Устойчивость против опрокидывания

сообщает стенке

момент силы тяжести относительно точки О

Мтяж = НоlЬрст9 % = 2,5 · 3 ·О, 7 · 2500 · 9,8 · 0,35 = 4,5 ·10 4 Н· м,
Так как Мтяж

> Мопр,

Пример

Для слива жидкости из

1. 7.

то стенка устойчива.
бензохранилищ

имеется квадратный патрубок со стороной
крытый

крышкой,

шарнирно

h

=

закрепленной

в

0,3

м, за­

точке

О_

Крышка опирается на торец патрубка и расположена под

углом 45° (а= 45°) к горизонту (рис_ 1.16)_
Определить (без учета трения в шарнире О и рамке В)
силу

F

натяжения

троса,

необходимую

крышки АО, если уровень бензина Н =
ним, измеренное манометром, рм =

для

открытия

3

м , давление над

5 кПа ,

а плотность бен­

зина р = 700 кг / мз_ Вес крышки не учитывать.
Решение_

Найдем

сматриваемой

силу

смоченной

давления

угольная наклонная стенка высотой
т_е_

.
s-- h2 j sш

стенку АО _ Рас­

на

поверхностью

является

h / sin

прямо­

а и шириной

h,

а.

Пьезометрическая плоскость

Рис.

1.16.

К примеру

1.7

37

Центр тяжести этой стенки находится на глубине hт

=Н~

h/2,

=

др= рм, т.е.

Р = [Рм + pg( Н ~~)]s = [5 ·103 + 700 · 9,8 · ( 3~ 0; 3 )] si~~~o =
= 3,13

кН.

Найдем теперь расстояние между центром давления и

центром тяжести крышки. По формуле

~р р
5·10 3
hп =-=~=
pg
pg
700 о 9,8

( 1.15)

М.

=0,729

Тогда

l

т

h н_!!:._
п
2 ~о, 729 + 3- о, 15 =
sin а.
О 707

=

5 06

)

Момент

инерции

горизонтальной

м.

'

прямоугольной стенки относительно

оси,

проходящей

через

центр

тяжести

стенки,

J

~(

h )
~ sin а.

3

~ _h_..".3
4

h

12 ~ 12 sin

а. ·

Тогда

bl = _!___ =
lтs

h4 sina.

12lт sin 3 a.h 2

=

h2

12lт

sin2 а.

=

0,09
12 · 5, Об· О, 5

= 0,003 м.

Найдем силу натяжения троса из уравнения моментов

сил, взятых относительно оси шарнира О

F · ОА cos а ~ Р (ОТ + bl) = Fh ~ Р (ОТ + bl) = О;

F = Р (ОТ + ~l) =

Р(-h-+ы)

h

13 103
= 3' " (
о, 3

38

2 sin а.
h

=

о, 3 +О' 003) = 2' 24 кН.

2 о о, 707

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

Под

уровнем

равновеликие

круг (рис.

находятся

жидкости

две

На квадрат больше

На круг больше
Сравните силы давления Силы одинаковы
квадрат

поверхности:

1. 17).

Код

Ответ

и

1
4
7

жидкости, действующие с одной стороны
на каждую из этих фигур

3
-

-

D

-

-

Может

ли

-

центр

Рис.

-

-

давления

1.17

совпадать

с

центром тяжести смоченной твердой по-

2
5

Может
Не может

верхности?
Что происходит с равнодействующей всех Уменьшается
сил давления на плоскую стенку неболь- Увеличивается
шого
если

сосуда,
его

заполненного

зак рыть

верхиостью

и

жидкости

в

жидкостью,

свободной

над

нем

созд ать

Сначала уменьшает-

по-

ся ,

по-

ется

3
6
8

затем увеличива-

степенно возрастающий вакуум?

ЗАДАЧИ

1.22.

Найти силу давления воды на дно сосуда

диаметром D =

Задача

1 м (рис. 1.18), если глубина Н= 0,7 м,

=

вес поршня G
300 Н,
Ответ: 6,58 кН .

Задача

1.23.

d = 0,5

м.

Вертикальный щит А (рис.

1.19) ,

пере­

крывающий водослив плотины, может перемещаться в па­

зах вверх и вниз. Глубина жидкости Н = 1 ,4 м, ширина
щита Ь = 2,6 м.
Какую силу нужно приложить, чтобы поднять щит, ес­
ли вес его G = 32 кН, а коэффициент трения между щитом
и поверхностью пазов
0,3.
Ответ : F = 39,5 кН .

f=

Задача

1.24.

Наклонный прямоугольный щит плотины

шарнирно закреплен на оси О (рис.

1. 20).

39

А

D
Рис.

1.18.

К задаче

1.22

Рис.

К задаче

1.19.

1.23

При каком уровне воды Н щит опрокинется, если угол

наклона щита а = 60°, а расстояние от его нижней кромки
до оси шарнира а = 1,3 м. Вес щита не учитывать.
Ответ: Н= 3,38 м.
Задача

1.25.

Определить силу давления жидкости на

торцевую плоскую стенку горизонтальной цилиндрической

цистерны (рис.

1.21)

диаметром

d

=

2,4

м, заполненной

бензином плотностью р = 760 кг /мз, если уровень бензина
в горловине находится на расстоянии Н =

2, 7

м от дна.

_ll _ _ _ _

Рис.

40

1.20.

К задаче

1.24

Рис.

1.21.

К задаче

1.25

Цистерна герметично закрыта и избыточное давление на
поверхности жидкости
положение

центра

составляет

давления

40

кПа.

относительно

Найти также

центра

тяжести

стенки.

Ответ: Р =
Задача

231

1.26.

кН, Ы =

0,052

м.

Резервуар заполнен нефтью плотностью

р = 850 кг/ мЗ до высоты Н = 4 м (рис. 1.22). Избыточное
давление на поверхности ри =

14,7 кПа.
Определить реакции шарнира А и стяжного болта В
крышки люка, если диаметр патрубка d = 1 м, и его центр
расположен на расстоянии Н1 = 1,5 м от дна резервуара;
а= 0,7 м и Ь = 0,8 м. Вес крышки не учитывать.
Ответ: RA = 14,6 кН, Rв = 13,3 кН.
Задача

1.27. Закрытый резервуар высотой Н = 1О м
1.23) разделен на два отсека вертикальной прямо­
угольной перегородкой шириной Ь = 4 м. В левом отсеке
уровень нефти Н1 = 8 м (рн = 850 кг /мЗ), в правом уро­
вень воды Н2 = 5 м (рв = 1000 кг/ мЗ). Избыточное давле­
ние паров над нефтью ри1 = 19,6 кПа.
(рис.

Определить равнодействующую сил давления на пере­
городку и точку ее приложения.

Р

..
Риl
- -

-------

г---

- - - - - - -

--

н

А

н--

-г--------f----­

Hl

r

- - - - - - - - - - - - - -

а
- - - - - -

d

---

г--

,-_r_,ln-1 r

ь

в'-

-----------н2
-------г-------

-------------о

Рис.

1.22.

К задаче

1.26

Рис.

1.23.

К задаче

1.27

41

Указание:

в

левом

отсеке,

кроме

силы

давления

нефти и паров на смоченную часть перегородки,

нужно

учесть силу давления паров на несмочеиную часть стенки.

Ответ: Р = 136-104 Н; расстояние от точки О до точки
приложения равнодействующей Р равно а=

4,37

м; сила Р

действует со стороны левого отсека.

Задача

=

0,6

1.28.

Квадратное

отверстие

со

стороной

м в стенке резервуара с водой (рис.

щитом ОА, который прижимается грузом

на рычаге длиной х =

0,5

G,

1.24)

а =
закрыто

подвешенным

м.

Расстояние от верхней кромки отверстия до оси враще­

ния о h = о' 3 м.

1.

Найти минимальный вес груза

G,

достаточный для

удержания воды в резервуаре на уровне Н =

2 м, если из­
быточное давление на поверхности ри = 5 кПа.
2. Будет ли удерживаться щит без груза, если над во­
дой создать вакуум рв = 19,6 кПа?
Найти в этом случае положение пьезометрической пло­
скости,

силу

давления

на

щит

и

положение

центра давле­

ния.

Весом щита, рычага, а также трением в шарнире прене­

бречь.
Ответ: 1. G = 9,57 кН. 2. Щит будет удерживаться,
так как сила Р = 1, Об к Н направлена внутрь резервуара.
Пьезометрическая плоскость проходит по дну резервуара.

Рис.

42

1.24.

К задаче

1.28

Центр давления расположен на расстоянии 2а/3

= 0,4

м

от дна резервуара.

Задача

сосуд (d

1.29.

= 1

Закрытый вертикальный цилиндрический

м) с водой имеет прикрепленное болтами

съемное днище.

в сосуде Н

= 30 кг, уровень воды
атмосферное давление соответствует

Масса днища т

= 2

м,

мм рт.ст. Каков должен быть минимальный вакуум на
свободной поверхности воды в сосуде, чтобы болты днища
не испытывали растягивающих усилий?
Ответ: 20,37 Па.

736

Задача 1.30. Сосуд, заполненный водой (рис.
имеющий массу М

= 40

1.25)

и

кг, висит без трения на плунжере

диаметром d = 0,3 м (D1 = 0,5 м, D2 = 0,6 м, h1 = 0,3 м,
h2 = 0,4 м). Определить силы давления, действующие на

крышки А и В. Считать, что ра
Ответ: РА

= 2,22

кН, Рв

= 105 Па.
= 3,9 кН.

Задача 1.31. В стенке бака (рис.

1.26)

ратное отверстие со стороной а

= 0,6

вает

которая

крышка

того

же

размера,

проделано квад­

м. Отверстие закры­
вращается

вокруг

горизонтальной оси, проходящей через ее центр тяжести.

А

-D2

Рис.

1.25.

_-

К задаче

1.30

Рис.

1.26.

К задаче

1.31

43

Определите массу груза М,

если разряжение над по­

верхностью воды рвых = 147,2 мм рт.ст., h = 2 м, Ь = 1 м.
Как необходимо изменить массу груза, если открыть кран
К и соединить полость бака с атмосферой?
Ответ: т= 103·0,64 = 10,8 кг, масса не

изменится.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ

неправильный,

и

непонятно,

как

получен.

Правильное решение дает анализ формулы (1.16).

2. Ответ правильный. Для совпадения этих двух точек
смещение !J.l должно равняться нулю. Как видно из анали­
за формулы ( 1.19), это достигается при а. = О (sin а. = О),
т.е. только при горизонтальном положении плоской по­
верхности.

3.

Ответ правильный лишь частично. Что произойдет с

результирующей всех сил давления, когда давление внут­
ри

сосуда

в

центре

тяжести

стенки

сферного?

4.

Ответ правильный. Так как Р

станет

= ртs,

меньше

атмо­

то Р ~ рт. При

одинаковом давлении на свободной поверхности жидкости
hт ~ рт, где hт - глубина погружения центра тяжести
поверхности. Площади фигур одинаковы, следовательно,

а2 = nd2 / 4, где а - сторона квадрата. Поскольку

d

> а. Таким образом, hт = а / 2

<

hт =

d / 2,

1t

/ 4 < 1,

откуда и сле­

дует ответ.

5. Ответ неправильный . Подвергните анализу формулу
(1.19).
6. Ответ неправильный, и непонятно, как получен. Что
происходит с силой при уменьшении давления в центре

тяжести смоченной поверхности?

7.

Ответ неправильный. Равенство площадей фигур еще

не определяет равенства действующих на них сил давле­

ния (см. формулу (1.16)).

8.

Ответ правильный. При увеличении вакуума давле­

ние в центре тяжести стенки

сосуда уменьшается.

Ког­

да оно снизится до атмосферного, результирующая сила
(с учетом внешнего атмосферного давления) равна нулю.
При

44

дальнейшем

увеличении

вакуума

результирующая

сила,

ранее действовавшая

со стороны жидкости,

будет

действовать со стороны атмосферного воздуха, постоянно
возрастая.

§ 4.

СИЛА СТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ

ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕНКИ.
ЗАКОН АРХИМЕДА

Из теоретической механики известно, что в общем слу­
чае система сил давления, приложенных к криволинейной
поверхности,

приводится

к

главному

вектору

и

главному

моменту сил давления. В частных случаях (сфера, ци­
линдр с вертикальной или горизонтальной осью) силы
давления приводятся только к равнодействующей (глав­
ному вектору).
Равнодействующая

сил давления

Р

определяется

из

выражения

( 1.21)
Положение

в

пространстве

вектора

силы

Р

задано

направляющими косинусами
р

р

р

cos (Р, х) = lftl ; cos (Р, у) = lftl; cos (Р, z) = lftl. (1.22)
Примем, что ось

z

направлена вертикально вверх. Гори­

зонтальная составляющая Рг (Рх или Ру) определяется по
формуле

( 1.23)
где Sв -

площадь проекции рассматриваемой криволиней­

ной поверхности на вертикальную плоскость, нормальную

к соответствующей оси координат (yOz для силы Рх , xOz
для силы Ру); рт

-

абсолютное давление в центре тяжести

площади sв; ра- атмосферное давление.

Формула

( 1.23) аналогична формуле ( 1.16), использу­

емой для случая определения силы давления на плоские

45

Рис.

Пьезометрическая

1.27.

костью,

плоскость

Схема сосуда с жид­

оrраниченноrо

криволи­

нейными поверхностями (показа­
ны

элементарные

сил

давления

составляющие

жидкости

на

стен-

ки сосуда)

поверхности, где роль последней исполняет вертикальная
проекция криволинейной поверхности.
Направление действия силы

Pr

зависит от знака вели­

чины рт - ра (при рт - ра > О - наружу, при рт - ра < О вовнутрь жидкости), причем линия ее действия проходит
через центр давления площади sв.
_
Вертикальная составляющая силы

Р

определяется ве­

сом тела давления:

( 1.24)
где Vт.д- объем тела давления.
Т ело.м давле1iия называется объем, ограниченный рас­
сматриваемой криволинейной поверхностью, ее проекцией

на пьезометрическую поверхность 1 и боковой цилиндриче­
ской

поверхностью,

образующейся

при

проектировании

(рис. 1.27).
Для криволинейной поверхности АВС (см. рис.
телом давления будет фигура
ной поверхности

ABCEFА,
ADC - ADCEFА.

1.27)

для криволиней­

Направление действия вертикальной составляющей

Pz

зависит от направления элементарных составляющих этой
силы.

1Кроме случая относительноrо

покоя жидкости, пьезометрическая

поверхность представляет собой rоризонтальную плоскость.

46

На примере (см . рис. 1.27) видно, что давление в лю­
бой точке криволинейных поверхностей как АВС, так и
ADC - избыточное (пьезометрическая плоскость лежит
выше этих поверхностей). Следовательно, элементарные
силы давления dP, действующие по нормали к касатель­
ной в любой точке этих поверхностей, направлены на­
ружу.

Разложение их на составляюЩ!Iе показывает, что вер­
составляющая силы Р действует на поверх­

тикальная

ность АВС вверх, а на поверхность

ADC

вниз (их резу ль­

тирующая сила направлена вниз и равна весу реальной

жидкости в объеме ABCD, являющимся результирующим
объемом двух тел давления).
~
Линия действия вертикальной составляющей силы

Р

проходит через центр тяжести рассматриваемого тела дав­
ления.

Зако1i Архимеда:

на тело,

по_rруженное в жидкость,

действует выталкивающая сила РА , равная по величине
весу жидкости в объеме погруженной части тела V:

( 1.25)
Выталкивающая (Архимедова) сила приложена в цен­
тре тяжести объема погруженной части тела, называемом
центром водоизмещения.

Плавающее тело обладает остойчивостью (способностью
возвращаться

в

состояние

равновесия

после

получения

крена) в случае, если точка пересечения линии действия
выталкивающей силы с осью плавания (метацентр) лежит
выше центра тяжести тела.

Вопросы для самопроверки

1. В чем сходство и различие формул для определения
горизонтальной составляющей силы давления жидкости на
криволинейную поверхность и силы давления на плоскую

поверхность?

2.
3.

Что называется «телом давления~?
Если в нижней точке криволинейной поверхности в

жидкости, находящийся над ней, вакуум, то как по отно­
шению к этой поверхности располагается «тело давления~

47

и каково направление вертикальной составляющей силы

давления?
Если тело тонет,

4.

то

куда направлена Архимедава

сила?

ПРИМЕРЫ

Пример

(рис.

1.8. Секторный щит радиуса R и шириной
1.28) перегораживает канал с жидкостью.

В

Определить силу давления жидкости и направление ее
действия.
PeшeJiue.

1.

Вертикальная составляющая силы давления

= рgVт.д, где Vт.д = лR 2 В /4 (пьезометрическая по­
верхность в этой задаче совпадает со свободной поверхно­

Pz

стью жидкости в канале, так как на ней давление атмо­

сферное).
Сила Pz приложена в центре тяжести объема тела дав­
ления и направлена вверх, так как любая элементарная
сила давления жидкости
разложении

в любой точке щита дает при

dP

вертикальную

составляющую,

направленную

вверх.

2.

Горизонтальная составляющая силы давления

направлена слева направо (все dРг направлены от жидко­
сти к стенке).

3.

Результирующая сила давления жидкости

направлена по

радиусу к оси

щита;

угол ее наклона к го­

ризонту определяется из выражения

cos а= Pr = 1/ (2 ·О, 93) = 0,538.
р

Следовательно, а=
Пример

1.9.

57°27'.

В боковой плоской стенке резервуара с ре­

активным топливом (р = 800 кг /мЗ) имеется круглый люк

48

Рв

х

Рис.

1.28.

К примеру

Рис.

1.8

1.29.

К примеру

1.9

диаметром d = 0,5 м, закрытый полусферической крышкой
(рис. 1. 29). Высота жидкости в резервуаре над осью люка
Н= 3 м, вакуум на ее свободной поверхности рв = 4,9 кПа.
Определить горизонтальную и вертикальную составля­
ющие

силы

давления

жидкости

на

крышку люка,

а

также

величину их равнодействующей и ее направление.
Реше1iие.

1.

Найдем положение пьезометрической плос­

кости, необходимой для определения объема тела давле­
ния. Так как на свободной поверхности жидкости - ва­

куум, пьезометрическая плоскость будет лежать ниже на
расстоянии

3

hп = Рв = 4,9-10 =0,625 М.
pg

2.

800.9,8

Определим вертикальную составляющую силы дав­

ления жидкости на крышку.

Пьезометрическая

плоскость

лежит

выше

оси

крыш­

ки на

h

=Н- hп

= 3- О, 625 = 2, 375

следовательно,

М,

сила давления направлена наружу.

Для верхней половины крышки люка вертикальная со­
ставляющая направлена вверх,

и ее величина определяется

49

весом тела давления, заштрихованного на рис. 1.29 «слева
вниз~. Объем этого тела давления равен разности объемов
полуцилиндра высотой h и четверти шара.
Для нижней половины крышки вертикальная составля­
ющая силы давления направлена вниз. Объем тела давле­

ния для этого случая равен сумме объемов полуцилиндра
и четверти шара (на рис. 1.29 заштриховано «справа
вниз~).
Результирующая вертикальная сила равна разности
этих двух сил, направлена вниз и объем ее тела давления
равен объему жидкости в крышке люка. Поэтому

Pz

=

pgVт д = _..!.._ pgnd 3 = .2:.. 800 · 9,8 · 0,53 = 257 Н.
.

12

12

Линия действия этой силы проходит через центр тяже­

сти объема крышки люка на расстоянии от ее основания:

3.

Определим горизонтальную составляющую силы дав­

ления жидкости на крышку. По формуле
Рх

(1.23)
О, 25
4

nd 2

= ( Рт- Ра ) Sв = pgh-= 800-9,8-2,375-3,14-= 3,65
4

Сила направлена параллельна оси х,

ствия лежит ниже этой оси, по
4

2

_l_ = nd = _ 4_ = ..!!:...._ =
lтsв

64h

4.

nd2

16h

0,5

2

кН.

а линия ее дей­

( 1 . 18), на

= 6,6 -1о-з м.

16 ·2, 375

Определим равнодействующую сил давления

Косинус угла а между осью х и линией действия этой
силы

cos

а= Р!

[Р[

откуда а~

50

= 3• 65 "10 :
3, 66 ·10

4°.

0,997,

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

Круглое отверстие в боковой вертикальной Рв

> Рб > Ра

плоской

= Рб = Ра

стенке

Код

Ответ

резервуара

с

жидкостью

Рв

2
5
8

может быть закрыто одной из крышек (рис. Все зависит от со-

1.30): плоской (а), полусферической (б)
или конической (в). Покажите соотношение
растягивающих

болты

усилий

для

этих

объе-

отношения
мов,

ограниченных

крышками б и в

крышек

а1 б)в>
Рис.

Канал

перегоражен

1.30

полуцилиндрической

твердой поверхностью. По одну ее сторону
вода налита до верха,

дины.

по

другую

-

до

сере-

Изобразите объем результирующего

тела давления и укажите знак вертикальной

силы(+ вверх,- вниз) (рис.

1.31)

1~

-1

б

+4

11

-~r

--

---~------------- -----

а

1
1

1

4

в

Рис.

IC

1.31

-7

1

7

г

В стакане с ртутью плавает стальной шарик

(ррт

>

1~

+10

1

Опустится

3

рст). Что произойдет с шариком, если Всплывет

на ртуть налить воду?

Положение

10

не

из-

6
9

менится

ЗАДАЧИ

Задача 1.32. Шаровой резервуар диаметром d = 1 м
целиком заполнен жидкостью плотностью р = 103 кг/ м 3 .
В

верхней точке

жидкости в

резервуаре

давление

атмо­

сферное.

51

Определить величины и направления сил, действующих

на верхнюю и боковую полусферы.
Ответ: Рв = 1,27 кН, вверх; Рб =

Задача

1.33.

Решить задачу

1.32,

3,85

кН, изнутри.

считая, что в верхней

точке жидкости в резервуаре давление:

1) избыточноери = 4,9 кПа;
2) вакуумное рв = 4,9 кПа.

2)

Ответ: 1) Рв = 5,13 кН, вверх; Рб =
Рв = 2,57 кН, вниз; Рб = О.
Задача

7,70

кН, изнутри;

Вертикальный цилиндрический резервуар

1.34.

(d = 2 м) закрыт сверху полусферической крышкой того
же диаметра весом

кН и целиком заполнен водой. За­

19,6

тем в отверстие в верхней части крышки ввернули верти­

кальную трубку пренебрежимо малого диаметра и залили
в нее воду.

Определить: 1) при какой высоте воды в трубке вер­
тикальная

составляющая

силы

давления

жидкости

урав­

новесит вес крышки? 2) как должна измениться эта вы­
сота, если в трубке находится не вода, а керосин (рк =
= 810 кг /м 3 )?
Ответ: hв = 0,303 м; hк = 0,374 м.
Задача

1.35.

Цилиндрический резервуар сварен из двух

полуцилиндрических

частей

и

целиком

заполнен

жид­

костью (рис. 1.32).
Определить, при каком положении резервуара (а,

6

или в) растягивающие усилия, действующие на сварной
шов, минимальны. Длина резервуара больше его диамет­
ра, заливочное отверстие всегда находится в верхней его
части и открыто.

Ответ: в положении

6.
в

а

б

Рис.

52

1.32.

К задаче

1.35

Задача

Определить

1.36.

минимально

необходимую

толщину стенок нефтепродуктоправода с внутренним диа­
метром 500 мм, если он рассчитан на избыточное давление

3, 92

М Па. Допустимое напряжение на разрыв для металла

труб принять 137 М Па.
Пояснения: 1. Убедиться, что при условиях задачи
горизонтальная

и

вертикальная

тически одинаковы.
равенства

2.

разрывающие

силы

прак­

Толщину стенок найти из условий

разрывающего

усилия

и

силы

сопротивления

металла стенок на разрыв.

Ответ:
Задача

8 = 7,2 мм.
1.37. Коническая

воронка с приставным дном

пренебрежимо
малого
веса
погружена
в
жидкость
(рис. 1.33). Вес жидкости в объеме АВСD равен Р.
Объяснить, что произойдет с дном воронки, если: 1) в
воронку налить ту же жидкость до уровня CD; 2) на дно
воронки положить груз весом Р.

Задача

1.38.

В верхней и боковой стенках кубического

резервуара прорезаны

са

r,

круглые люковые

закрываемые крышками.

отверстия радиу­

Резервуар целиком запол­

нен жидкостью так, что в его верхней части избыточное
давлениери

>

pgr.

Определить, при какой форме крышек (плоской, полу­
сферической или конической с высотой, равной радиусу),
растягивающие усилия, действующие на болты, будут ми­
нимальными.

Задача

1.39.

Горизонтальная цилиндрическая цистерна

с полусферическими боковинами целиком заполнена топ­

ливом (р = 800 кг 1 мЗ). Давление в верхней части цистер­
ны, измеряемое манометром, рм = 14,7 кПа, длина цистер­
ны l
5 м, ее диаметр d 3 м (рис. 1.34).
Определить величины сил давления, растягивающих

=

=

цистерну в сечениях А~А и В~В, и положение линий их
действия .

Ответ: РА-А = 187 кН, ниже горизонтальной оси ци­
стерны на О, 167 м; Рв-Е = 440 кН, через центр тяжести
объема цистерны.
Задача
зателя

1.40.

уровня

Полностью погруженный поплавок ука­
нефти,

имеющий

среднюю

плотность

900 кг 1 м"З , плавает на границе раздела нефти и воды,
53

в

Рис.

1.33.

К задаче

находящихся в

Рис.

1.37

1.34.

резервуаре-отстойнике.

К задаче

1.39

Плотность

нефти

850 кг ;мз, воды 1000 кг ;мз.
Определить, какая часть объема поплавка находится в
воде?

Ответ:
Задача

1/3.
Перед подземным ремонтом газовую сква­

1.41.

жину ~задавили>->, залив ее ствол до устья (до поверхности
земли) водой (рис. 1. 35). Затем в скважину лебедкой спу­
стили насосно-компрессорные трубы, по которым при экс­
плуатации скважины поступает из пласта газ. Длина спу­

щенных труб

1000

м, их внешний диаметр

стенок 5,5 мм, вес 1 м длины 93,7 Н.
Определить максимальные усилия

для двух случаев:

73

мм, толщина

на крюке

лебедки

1) нижний конец труб открыт; 2) ниж­

ний конец труб заглушен.
Ответ: Р1 =

82,3

кН; Р2 =

52,7

кН.

Задача 1.42. Какой объем бензина (р = 740 кг /мЗ)
можно

залить

в

железнодорожную

объемом 50 мЗ и массой

цистерну

внутренним

23 т, чтобы она еще сохраняла

плавучесть в пресной воде?

Будет ли при плавании ци­

стерна устойчива? 1
Ответ: V = 36,5 мЗ; да.
1Такой способ перевозки использовался во время Великой Отечественной
войны.

54

Ри

-----/

Рис.

1.35.

Задача
=

К задаче

1.43.

Рис.

1.41

1.36.

К задаче

1.43

В днище резервуара с жидкостью (р =

800 кг /мЗ) имеется круглое спускное отверстие (dt =
10 см), закрытое полусферическим клапаном (рис. 1.36).
Определить, при каком диаметре

поплавка

клапан

автоматически

d2

цилиндрического

откроется

при

нии высоты уровня жидкости в резервуаре Н=

достиже­

2

м? Дли­

на цепочки, связывающей поплавок с клапаном, l =
= 0,95 м, вес подвижных частей устройства G = 30 Н, из­
быточное давление на свободной поверхности жидкости
ри = 49 кПа.
Ответ: d2 = 0,295 м.
Задача 1.44. Определить величину и направление дей­
ствия силы давления, действующей на сферическую часть
поверхности
кость

с

полушара

плотностью

р,

радиусом
а также

r,

погруженного

полную

силу

в

жид­

гидростатиче­

ского давления на всю поверхность полушара (рис.

1.37).

Избыточное давление на свободной поверхности жидкости

55

Рис. 1.37. К за­
даче 1.44

Pu

н

равно ри.

Основание полушара наклонено к поверхности

под углом

f3,
.

а его центр находится на глубине Н.

Ответ. R1

--~.

2

_

= З pgnr-, tg а-

l

2rsin~

2r cos ~ + 3 Н+ Ри

J.

pg

Задача
массой т

1.45. В газгольдере (рис. 1.38) с колоколом
= 3 т и диаметром d = 4,5 м находится газ.

Определить разность уровней воды в стакане и колоколе

показание манометра рм и выяснить, будет ли меняться
давление газа в газгольдере при его отборе.

h,

Ответ:

h = 0,19

м.

~Рм

d

--

--г-

..::::

--

г--

--,__

---

~f---------i

-------г---

Рис.

56

1.38.

К задаче

1.45

Рис.

1.39.

К задаче

1.46

Задача

Стержень

1.46.

одним концом

шарнирно

креплен в точке О, а другим погружен в воду (рис.

за­

1.39).

Стержень может вращаться относительно горизонтальной
оси шарнира,

находящегося над уровнем жидкости.

Найти плотность р 0 материала стержня, если при рав­

новесии в воду погружена его половина. Вычислить отно­

шение силы реакции

Ответ: R / G

= 1/

R в шарнире О к весу
3, ро = 750 кг / мз.

стержня

G.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неправильный.

Вы учитываете только силы,

направленные вниз.

2. Ответ неправильный. Выясните, как направлена рас­
тягивающая болты сила, и внимательно проанализируйте
формулу ее определения.

3.

Ответ неправильный. Вы рассматриваете только до­

полнительную силу, действующую на шарик вниз.

А не

возникает ли дополнительно и сила, действующая вверх?

4.

Ответ неправильный.

Вы учитываете только силу,

действующую вверх.
5. Ответ правильный. Растягивает болты горизонталь­
ная составляющая силы давления, определяемая форму­
лой Рг = ртsв.
вертикальную

Все три крышки при проектировании на
плоскость

дают

одинаковые

по

площади

круги. Следовательно, растягивающие усилия для любой

из этих крышек будут одинаковы.
6. Ответ правильный. До налива воды на шарик дей­
ствовали две равные силы

-

сила тяжести и Архимедава

сила от погруженного в ртуть его объема. После налива
воды появилась новая сила, действующая вниз. Ее вели­

чина равна весу тела давления, лежащего между верхней
частью шарика, соприкасающегося с водой, и ее поверхно­
стью. Но в точках соприкосновения ртути и шарика дав­

ление возрастет на величину рвghв, где hв

-

высота столба

воды. Следовательно, снизу вверх также появилась новая
сила, тело давления для которой находится между нижней
поверхностью шарика и поверхностью воды. Так как обе
эти силы

возникли за счет давления воды,

но имеют

про­

тивоположные напр авления , их результирующая сила рав-

57

Рис.

К п.

1.40.

10

консультаций

на весу воды в объеме разности тел давления и направле­
ния вверх.

Эта новая Архимедава сила заставит шарик

всплывать. При этом часть его объема, логруженнаго в
ртуть, будет уменьшаться, что приведет к уменьшению
суммарной Архимедавой силы. При ее равенстве весу ша­
рика всплытие прекращается .

Ответ

7.

тикальную

неправильный.
силу,

Вы

учитываете

действующую

на

только

верхнюю

вер­

половину

стенки.

Ответ неправильный . С объемами крышек связаны

8.

вертикальные составляющие сил давления.

Вспомните и

проанализируйте формулу для горизонтальной составля­

ющей (она растягивает болты).
Ответ неправильный. Вода создает дополнительную

9.

вертикальную силу, действующую на шарик.

10.

Ответ правильный. На верхнюю часть стенки слева

(рис. 1.40) действует сила, определяемая через объем тела
давления (а). Так как пьезометрическая поверхность ле­
жит

выше

стенки,

т.е.

вниз.

На нижнюю половину стенки слева действует

сила

направлена

со

стороны жидкости ,

вверх сила, определяемая через объем тела давления
а справа

на эту

же часть

стенки

вниз

действует

(6) ,

сила,

определяемая через объем (в). Так как жидкости по обе
стороны

стенки

одинаковы,

то

результирующее

тело

дав­

ления определится алгебраической суммой объемов (а),

(6)

и (в) , что даст объем (г) .

§ 5. ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ПОКОЙ ЖИДКОСТИ
Относителъны.м
ние,

при котором

ключающего

58

ее

и

покое.м жидкости

называется

она неподвижна относительно

движущегося

с

постоянным

состоя­

стенок за­

ускорением

сосуда.

При этом жидкость перемещается с сосудом как

единое целое.

В случае относительного покоя на частицы жидкости
маs:сой dm действуют две массовые силы: сила тяжести

dG
gdm и сила инерции переноснаго движения
(-wedm), где we -ускорение переноснога движения.
При равномерном прямолинейном движении сосуда си­
лы инерции переноснаго движения отсутствуют,

относительного

равновесия

совпадают

с

и условия

условиями

равно­

весия жидкости в неподвижном сосуде.

Прямолинейное равноускоренное движение сосуда

При движении сосуда с постоянным ускорением

а

в

плоскости x Oz под углом а к_ горизонту (рис. 1.41) вектор
напряжения массовых сил F =
+ (-а) одинаков для

g

всех точек жидкости.

Дифференциальное уравнение гидростатики
в рассматриваемом случае принимает вид

Эйлера

( 1.1 О)

dp = p(Xdx + Ydy + Zdz ) =
= -р а cos а dx

Изобарические
параллельные

- p(g +

поверхности

плоскости,

а sin a)dz.

(поверхности

наклоненные

к

( 1.26)
уровня)

горизонтали

-

под

углом ер , для которого

а

Рис.

1.41.

Сосуд с жидкостью,

движущийся

вдоль

наклонной

плоскости вправо с постоянным
ускорением а

59

tg <р = dz

а cos. а.

= _

dx

g+

.

( 1.27)

аsша.

Распределение давления в жидкости

р

= ро +

ра(хо-

x)cosa. + p(g +а sina.)(zo- z), (1.28)

где хо, zo- координаты произвольной фиксированной точ­
ки свободной поверхности, определяемые объемом жидко­
сти, находящейся в сосуде; Ро

-

абсолютное давление на

свободной поверхности.
Распределение давления по вертикали при х =

(h-

const

глубина точки под свободной поверхностью)
р = р0

+ р (g + а sin а.) h.

( 1.29)

При вертикальном движении сосуда (если а. = 90°, то
ускорение направлено вверх, если а. = 270° - вниз) <р = О,
и

свободная

поверхность

горизонтальна.

Распределение

давления по вертикали в этом случае

р = Ро + Р (g ± а) h.

(1.30)

При горизонтальном движении сосуда (а. = О) тангенс
угла наклона свободной поверхности к горизонту равен

tg<p=-~

( 1.31)

1

g

и распределение давления по вертикали имеет вид

Р

= Ро + pgh,

( 1.32)

т.е. такое же, каквнеподвижном сосуде.

Равномерное вращение сосуда вокруг вертикальной оси
В случае равномерного вращения цилиндрического со­
суда

вокруг

(рис .

1.42) вектор напряжения массовых сил

вертикальной

оси

с

угловой

скоростью

со

(1.33)
а уравнение Эйлера

dp

60

( 1. 1О)

имеет вид

= p[ffi2 (xdx + ydy)- gdz] = p(co2rdr-

gdz). (1.34)

z

Ро

\

\

\

\
\

\

' ' ' ' '' ' "

Zo

"" '
'

' ' -

r

о

g
Рис.

1.42.

Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с по­
стоянной уrловой скоростью ro

Уравнение свободной поверхности (р = ро)

( 1.35)
Уравнение
=

любой

изобарической

поверхности

(р

const)

( 1.36)
где

zo -

координата точки пересечения свободной поверх­

ности с осью вращения.

Изобарические поверхности
ось

которых совпадает

вдоль

этой оси.

с

осью

-

параболоиды вращения,

Oz,

а вершины смещены

Форма изобарических поверхностей

не

зависит от плотности жидкости.

Высота параболоида свободной поверхности
диус сосу да)

(R - ра­
61

( 1.37)
Координата

zo

его вершины определяется объемом жид­

кости в сосуде. Если начальный уровень в сосуде

rs}R 2

4g

h1

=

ho- zo

=Н /

то

(1.38)

zo = ho - - - ,
откуда

ho,

2.

Закон распределения давления в жидкости

u}r 2

р= Ро + р--+ pg(zo -z) .
2

(1.39)

Изменение давления по вертикали (h - глубина точки
под свободной поверхностью)

Р = Ро + pgh,
т.е. такое же,

каквнеподвижном сосуде .

Вопросы для самопроверки

1. Какие силы действуют на жидкость при ее относи­
тельном покое?
2.

Каковы форма изобарических поверхностей в жидко­

сти и описывающее их уравнение при прямолинейном
движении сосуда с постоянным ускорением?

3.

Каковы форма изобарических поверхностей в жидко­

сти и описывающее их уравнение при вращении

сосуда с

постоянной угловой скоростью и вертикальной осью вра­
щения?

4 . Каков закон распределения давления в жидкости по
вертикали при ее относительном покое?
ПРИМЕРЫ

Пример

1.10.

Цистерна с нефтью движется по горизон­

тальному пути со скоростью

vo = 60 км / ч (рис. 1.43).
Размеры цистерны, м: d
3, l
8, h
0,3. Плотность
нефти р = 850 кг / мз. В некоторый момент времени поезд

=

62

=

=

Рис. 1.43. К при­
меру 1.10

h

а

-

v

d
l

начинает тормозить

и,

пройдя

путь длиной

L = 100

м,

останавливается.

Считая

движение

прямолинейным

равномерно-замед­

ленным, определить силу Р давления нефти на переднее
днище цистерны при движении и в состоянии покоя.

Реше1iие. При равномерно-замедленном движении уско­
рение

а = - vб

= - ( 60 . 1оз J2 . _1_ = -1 39

l

2L

2 · 100

3600

'

Ускорение цистерны направлено

влево,

силы инерции переноснога движения

вав формулу

( 1. 31),

поверхности

жидкости

-

а напряжение

вправо. Использо­

определим угол ер наклона свободной
к

горизонту.

Так

как

цистерна

движется горизонтально, то а = О и

1
tg ер = - ~ = ' 39 = о 142. ер = 8 07°.
g

9,8

'

'

'

Вычислим высоту, на которой установится у передней

стенки

продолжение

плоскости

свободной

поверхности

жидкости

!1h = !._ tg ер=~ о, 142 = 0,568 м.
2

2

63

Сила давления жидкости на переднюю стенку цистерны

Р = pghтs,
где hт

глубина погружения центра тяжести стенки под

-

уровень свободной поверхности;

Так как hт =

f..h + h + d/2,

р = pg ( f..h + h + %) 7!~

площадь стенки.

s-

то

2

=

= 850-9,8(0,568+0,3+1,5) 3'

14 32
.
4

=140 кН.

В состоянии покоя или равномерного прямолинейного

движения

(а= О) свободная поверхность жидкости гори­

зонтальна, и сила, действующая на торцевую стенку,

Р

2
2
d)
nd
(
) 3 14. 3
=
850
·
9,
8
О,
3
+
1,
5
'
= 1Об к Н.
( 2 4
4

= pg h +- -

1.11.

При.мер
диаметром

Вертикальный

половины водой (рис.
Определить,

цилиндрический

см и высотой Н

D = 40
с

= 100

сосу д

см наполнен до

1.44).

каким

предельным

числом

оборотов

можно вращать этот сосуд около его геометрической вер­

тикальной оси, чтобы из него не выливалась вода, а также
определить

силу

давления

жидкости на дно сосуда.

Реше1iие.

видно,

что

Из

н

рис.

=

1.44

zo + h.

В соответствии с формула­

ми

h
1

1
1
1
1 1

/
\

\

'\

'

'

', '

1

(1.38)

,_,_..--

.

......... _

1

/

-/

1

(!)

<.._)

1
1

Н =

1

co2R2

z0 + h = h 0 + - - .
4g

/

/

1

Тогда

1

1

'-......_!_ ...,.../ //
о

64

и

н

1

1

\

Zo

(1.37)

1
1

/

r
Рис.

1.44.

К примеру

1.11

С другой стороны, начальный уровень в резервуаре

по условию равен Н /2 и, следовательно, Н =

Н

2

+

ho

w2R2

4g,

откуда

ro= .J2gH = .J2 ·9,8 ·1 = 221
R
0,2
'

с-1.

Предельное число оборотов в минуту
30rо/л =

n=

211

об / мин.

Для определения силы давления жидкости на дно сосу­

да найдем по формуле

( 1. 39)

закон распределения избы­

точного давления, полагаяро = Ра· Тогда

Ри

w2r2

= Р- Ра = Р--+
pg(zo- z).
2
Неизвестную величину вершины параболоида

делим по формулам

zo

опре­

(1.38) и (1.39)

wR
Н Н
----:;g
= 2 - 2 = О,
2 2

z0

= h0

-

т . е. параболоид свободной поверхности касается дна сосу­

да, и закон распределения избыточного давления
w2r2

Ри

= Р--pgz.
2g
Для точек на дне сосуда ( z =О) избыточное давление
w2r2

Ри = р--.

2g

Силу давления на дно сосуда найдем как сумму элемен­
тарных сил давления, действующих на элементарные
кольцевые площадки, равные 2л

Р=

R

rdr:

R

f Pи2лrdr = лрrо f r 3dr = ~ pro2R 4 =
о

2

о

65

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

Ответ

Открытый, частично заполненный жид-

костью призматический сосуд длиной
движется

а =

g.

с

горизонтально

l,

ускорением

-

Чему равна высота поднятия жид-

кости над ее первоначальным уровнем у

задней стенки сосуда и каково на ней

избыточное давление на этом уровне?
Открытый

заполненный

сосуд,

стью до уровня

h,

жидко-

попеременно

подни-

мается и опускается с ускорением а

= g.

а

Код

l, pgl
l / 2, pgl/ 2
cosa

g + asina

1

4

(х- х0 );р

=

7

= р 0 - р а cos а(х - х0 ) - p(g + а sin a)-(z - z 0 )
Ри

= const

При подъемеРи в
за

больше,

спуске

давлением у его горизонтального дна 7

При подъемеРи в
больше,

чем

ра-

2
5

при

чем

Что происходит при этом с избыточным

за

2
2
в

ра-

8

по-

кое; при спускеРи =О
Два

цилин-

Нр >Нв

3

одним и

Нр=Нв

тем же числом оборотов.

Одни из них

6

Нр < Нв

частично

и

9

одинаковых

дрических

вертикальных

сосуда

вращаются

заполняет

второй частично

вода,

заполнен

с

он

открыт,

ртутью,

над

свободной поверхностью которой созда-

но избыточное давление. Сравните высоты параболоидов вращения воды Нв и
ртути Нр

ЗАДАЧИ

l

=

Задача 1.47. Призматический сосуд (рис. 1.45) длиной
3 м и шириной (нормальной к плоскости рисунка) 1 м,

перемещающийся горизонтально с постоянным ускорением
а = 0,4g, разделен на два отсека , заполненных водой до
высоты ht
1 м и h2 1,75 м.
Определить результирующую силу давления воды на

=

=

перегородку, разделяющую отсеки.

=

=

Ответ: Р
Р2 - Pt
2, 17 кН и ее линия действия
проходит на расстоянии СЕ = 0,738 м от дна резервуара.
Задача

1.48.

Измеритель ускорения тела, движущегося

горизонтально, представляет собой закрепленную на нем
U-образную трубку малого диаметра, наполненную жид­

костью (рис.

66

1.46).

21

Е

l

а

Рис.

Определить,

1.45.

К задаче

1.47

с каким ускорением движется тело,

если

при движении установилась разность уровней жидкости в

коленах измерителя
ми l = 250 мм.

h = 75

мм, при расстоянии между ни­

Ответ: а= 2,94 м/с 2 .
Задача

Сосуд, имеющий форму усеченного кону­

1.49.

са, заполнен водой до половины высоты и приводится во

вращение вокруг своей вертикальной оси (рис.
Определить наибольшее число оборотов,
вода не будет выливаться из сосуда, если h
угол а= 45°.
Ответ: nтах= 26,4 об/мин= 0,44 об/ с.

1.47).

при котором
= а = 0,8 м и

1
h

1
l
Рис.

1.46.

К задаче

1.48

Рис.

1.47.

К задаче

1.49

67

Задача 1.50. Закрытый цилиндрический сосуд радиу­
сом r1 = 35 см заполнен жидкостью до уровня h = 40 см
(рис. 1.48) через трубку малого диаметра. Плотность

жидкости р

800 кг /мЗ; атмосферное давление 760 мм

рт.ст.

Определить наибольшую угловую скорость, при кото­
рой сохранится относительное равновесие жидкости. Дав­

ление насыщенных паров жидкости рп =

49

кПа.

Указание: равновесие жидкости нарушится, когда ми­

нимальное

абсолютное

давление

будет

равно

давлению

насыщенного пара жидкости.

Ответ: Фmах =

33,3

1/ с.

Задача 1.51. Закрытый
(рис. 1.49) с диаметром D =

сверху

крышкой

цилиндр

0,9 м и высотой Но = 0,8 м
содержит воду в количестве V = 0,35 мЗ и вращается во­
круг вертикальной оси с угловой скоростью w = 100 1/ с.
Определить усилия, действующие при этом значении w
на крышку

цилиндра,

атмосферное.
Ответ: Р =

Задача

1.52.

133

если давление на поверхности

воды

кН.

При подходе товарного поезда к станции в

результате быстрого торможения скорость поезда в тече­
ние

1О

с равномерно уменьшается от

Определить давление,

40

до

20

км/ ч.

создаваемое жидкостью в край­

них нижних точках а и Ь вагона- цистерны диаметром

Рис.

68

1.48.

К задаче

1.50

Рис.

1.49.

К задаче

1.51

D

=

= 2,5

м и длиной L = 6 м , до половины заполненной
нефтью, плотность которой р = 850 кг / мЗ. Найти уравне­

ние свободной поверхности жидкости.
Ответ: ра = 9,01·103 Па, рь = 11,8·103 Па; уравнение

свободной поверхности z = !!... х + zo, угол наклона свобод­
g

ной поверхности жидкости к горизонту (tg rз = 0,0566), rз =

= 3°15'.
Задача

1.53.

В покоящемся в поле тяжести цилиндри­

ческом сосуде с водой на плаву находится твердое тело.
В некоторый момент времени систему начинают двигать
строго вертикально вверх с ускорением. Как при этом бу­

дет вести себя плавающее тело- всплывать больше, чем в
исходном состоянии, наоборот, притапливаться или оста­

нется на месте?
Ответ: останется на месте.
Задача

радиусом

1.54.

В вертикальном цилиндрическом сосуде

R = 0,5 см был определенный уровень воды. Со­

суд привели во вращение и довели уровень вращающейся
воды до края сосуда. При этом число оборотов оказалось

равным nt = 10 об /мин. Затем число оборотов очень мед­
ленно довели до n2 = 20 об / мин и затем не повышали.
Определить объем вылившейся воды.

Ответ: V = 1,64 смЗ.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неправильный. Требуется найти высоту подня­

тия жидкости над первоначальным уровнем.

2. Ответ неправильный. Проанализируйте выражение
(1.28) с учетом того, что при подъеме и спуске сосуда
знак переноснаго ускорения меняется.

3.

Ответ неправильный.

Вероятно,

Вы полагаете,

что

Нр > Нв, так как рр > рв. Формула ( 1.37) покажет Вам,
каково влияние плотности жидкости на высоту параболои­
да вращения.

4.

Ответ правильный. Из условия постоянства объема

жидкости в сосуде следует, что ее свободная плоская по­
верхность

должна

при

движении

повернуться

вокруг

оси

69

Рис.

О,

1.50.

К п.

консультаций

4

расположенной

дине
к

сосуда

и

направлению

(рис.

на

сере­

нормальной
движения

1.50).

Совместив

с

этой

осью

ось у, из выражения
с учетом того, что

=

-1/2,

z

=

cosa = 1, sina

=О,

zo

=О, хо

(1.28),
=О, х =

а= g, а на свободной поверхностир = ро, получим

-l/2.

Ответ неправильный. Вероятно, Вы пытаетесь его
угадать, не задумываясь над решением. Попробуйте про­

S.

анализировать выражение

( 1.28)

для каждого из рассмат­

риваемых случаев.

б. Ответ правильный. Из выражения
высота параболоида,
стью

жидкости,

не

( 1.37)

видно, что

образованного свободной поверхно­
зависит

ни

от

ее

плотности,

внешнего избыточного давления.
7. Ответ правильный лишь формально.

Вы

ни

от

привели

выражения, из которых можно получить конкретный от­
вет,

8.

но его не получили.

Ответ правильный.

Поместив начало координат на

свободной поверхности жидкости в сосуде (в этой точке р
= ра), определим по формуле (1.28) избыточное давление
у дна сосуда на глубине h. В этом случае х = хо = О, у= Уо
=О, z 0 =О, z = -h, а по условию а= g.
а. В случае подъема сосу да а = 90°, sin а = 1.
Тогдар- Ро = ри = -p(g + g) (-h) = 2pgh, т.е. избыточ­
ное давление у дна сосуда по сравнению со случаем ~аб­
солютного покоя~ удваивается.

б. В случае опускания сосуда а=

270°, sin

а=

-1.

Тогдар - Ро = ри = -p(g- g) (-h) = О, т.е. давление у
дна сосуда (так же, как и в любой точке жидкости) равно
атмосферному.
9. Ответ неправильный. Вероятно, Вы исходили из со­
ображений, что высоты столбов жидкости обратно про­
порцианальны их плотности. Но это было бы справедливо,
если бы давления в точках с одинаковыми координатами

(в данном случае на дне сосудов у их стенок) были бы
одинаковыми. А они разные, так как по ( 1.39)

70

т.е. пропорциональны плотности. Высоту столба жидко­
сти, равную в данном случае высоте параболоида, опреде­
лим из выражения

р - Ро
pg

=

Н = со2R2
2g '

т.е. она не зависит от плотности жидкости.

Глава

2

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМА ТИКИ
И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

Скорость частицы жидкости И зависит от координат х,
у,

z

этой частицы и времени

t,

т . е.

и= И(х, у, z, t).
Плотность р и давление р также являются функциями
координат и времени

р

= р(х,

у,

= р(х,

р

z, t);

у,

z, t).

Если характеристики течения не зависят от времени,
т . е.

могут

изменяться

лишь

от

называется установившимся.
странства

характеристики

точки

Если

течения

к

точке,

то

течение

в данной точке про­
изменяются

со

време­

нем, то течение называется неустановившимся.

Линией тока называется линия, в каждой точке кото­

рой вектор скорости И направлен по касательной к этой
линии. Уравнения для линий тока имеют вид

dx _ dy _ d z
Их

где Их,

Иу,

Иу

Иz- составляющие вектора скорости

Совокупность линий тока,

(2.1)

Uz
и.

проходящих через замкну­

тый контур L, образует трубчатую поверхность - трубку
тока. Жидкость, находящаяся внутри трубки тока , обра­
зует струйку. Если контур L мал, то трубка тока и струй­
ка называются элементарными.

Сечение струйки

s,

нормальное в каждой своей точке к

линиям тока, называется живым сечением.

Область пространства конечных размеров, занятая дви­
жущейся жидкостью, называется потоком. Поток обычно

72

рассматривается

как

совокупность

элементарных

струек.

Живое сечение потока определяется так же, как в случае
элементарной струйки.

Гидравлический радиус Rг живого сечения определяет­
ся как отношение площади живого сечения
периметру х,

s

к смоченному

т. е.

s/ x.

R-г =

(2.2)

Под cмoчe1i1iЪlJIIl периметром х понимается та часть гео­
метрического живого сечения, по которой жидкость со­
прикасается с твердыми стенками.

Если форма и площадь живого сечения по длине потока
не изменяются, то поток называется рав1iомер1iъtМ. В про­
тивном случае поток называется 1iepaв1ioмep1iЪlJIIl.
случае,

В том

когда живое сечение плавно изменяется по длине,

течение называется плав1iоизме1iяющимся.

В живом сечении

1-1

(рис.

2.1)

равномерного потока

выполняется гидростатический закон распределения дав­
ления, т.е.

2А
где рл, Рв

-

+

РА

_ 2

--В

pg

+Рв
,

(2.3)

pg

давление соответственно в произвольных точ­

ках А и В (с вертикальными координатами 2А, 2в) этого
сечения; g - ускорение свободного падения. В случае
плавноизменяющегося течения равенство (2.3) выполняет­
ся приближенно.
Расходом жидкости через поверхность s называется
количество жидкости, протекающей через эту поверхность
в единицу времени. Объемный расход
Qм, весовой расход
формулам

Qc

Q,

массовый расход

определяются соответственно по

(2.4)
s
где

Ип

сти

s.

-

Если

s

проекция скорости

s -

и

на нормаль

живое сечение, то Ип =

и.

n

к

поверхно­

Для однородной

жидкости

Qм =

pQ.

(2.5)
73

1

z=O
Рис.

2.1.

Живое

сечение

z=O
Рис.

равно­

2.2.

Элементарная струйка

мерного потока

Средняя скорость

v

определяется из равенства

v
Уравнение

=

(2.6)

Q/s.

неразрывности

для

потока

несжимаемой

жидкости имеет вид

(2.7)
где

V1,

1-1

и

V2 -

средняя

скорость

соответственно

в

сечениях

2-2.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой
несжимаемой жидкости при установившемся движении в
поле силы тяжести имеет вид

2

21

2

+Е!_+~= 22 + Р2 + u2 + h1-2>
pg
2g
pg
2g

(2.8)

где 21, 22 - расстояние соответственно от центров выбран­
ных живых сечений 1-1 и 2-2 до некоторой произвольной

горизонтальной плоскости 2 = О (рис . 2.2); ut, и2 - ско­
рость; р1, р2 - давление в этих сечениях; ht - 2 - потери
напора на участке между выбранными сечениями.
Уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения
механической энергии. Величина

р

u2

pg

2g

H=2+-+называется

полны.м

напоро.м

и

представляет

(2.9)
удельную

(приходящуюся на единицу веса) механическую энергию

74

жидкости в рассматриваемом сечении; 2 напор

р/

или

удельная

потенциальная

геометрический

энергия

положения;

(pg) - пьезометрический напор или удельная потенци­

альная энергия давления; и 2 / (2g)- скоростной напор или
удельная кинетическая энергия; ht-2 - потери напора, т.е.
часть удельной механической энергии, израсходованной на
работу сил трения на участке между сечениями 1-1 и 2-2

(см. рис. 2.2).
В случае идеальной жидкости ht-2 =О.
Для плавноизменяющегося потока при установившемся
движении вязкой несжимаемой жидкости в поле силы тя­
жести уравнение Берну лли имеет вид

2

2

Р1

v1

Р2

v2

pg

2g

pg

2g

21+-+а1-=22+-+а2-+

где р1, р2

-

h 1~2,

(2.10)

давление соответственно в про из вольно взятых

1-1 и 2-2 с координатами 2 1 и 22 соответ­
ственно (обычно берутся точки на оси потока); v1, v2 средняя скорость в этих сечениях; а1, а2- коэффициенты
точках сечений

Кориолиса, учитывающие неравномерность распределения
скоростей частиц жидкости в сечениях;

круглой цилиндрической трубке а
режима течения и а ~

1,1

=2

при течении по

для ламинарного

для турбулентного; в последнем

случае при решении практических задач обычно принима­
ется а=

При

(2.10)

1.

использовании уравнения Бернулли (2.8) или
необходимо иметь в виду, что номера сечений воз­

растают в направлении течения жидкости. В качестве рас­

четных выбираются такие сечения (струйки), в которых
известны какие-либо из величин v 1, v2 (иt, и2) и р1, р2.
Плоскость 2 = О бывает удобно располагать таким обра­
зом, чтобы центр одного из выбранных сечений потока
лежал в этой плоскости.

Потери напора ht-2, отнесенные к единице длины тру­
бопровода, называются гидравлическим укло1iо.м

(2.11)
В

случае

равномерного

движения несжимаемой

жид­

кости

75

i = ht-2/ !,

(2.12)

где l- расстояние между выбранными сечениями.
При движении жидкости по трубопроводу ра3личают
два вида потерь напора: потери по длине трубопровода hд

и потери в местных сопротивлениях hм. К потерям по
длине относят потери на прямолинейных участках трубо­
провода,

а к потерям на местных сопротивлениях- потери

на таких участках трубопровода, где нарушается нормаль­

ная конфигурация потока (вне3апное расширение, пово­
рот, 3апорная арматура и т. д.).
Вопросы для самопроверки

1.
2.

Что на3ывается линией тока?
Может ли жидкость протекать скво3ь боковую по­

верхность трубки тока?
3. Что на3ывается живым сечением потока?

4.

Чем отличается уравнение Бернулли для струйки то-

ка от уравнения Берну лли для потока?
5. Что такое гидравлический уклон?

6.
7.

Как определяется средняя скорость потока?

8.

Как И3меняются по длине неравномерного потока не­

Какая свя3ь между объемным, массовым и весовым
расходами?
сжимаемой жидкости расход и средняя скорость?

ПРИМЕРЫ

Пример 2.1. Определить, пренебрегая потерями напора,
скорость течения нефти на расстоянии r от оси трубопро­
вода радиусом R при помощи устройства (трубка Пито),
пока3анного на рис. 2.3. Уровень жидкости в трубке А
ht = 1,2 м, в трубке В h2 = 1,35 м.
PeшeJiue. Учитывая, что ht-2 = О по условию, И3 урав­

нения Бернулли (2.8) для струйки, проходящей на рас­
стоянии r от оси трубы, имеем
21

76

u2

р

u2

2g

pg

2g

р + _!_ = 22 + ....1.. + _1_ .
+ .....!_
pg

Так как трубопровод расположен горизонтально, то 21 =
= 22. Скорость в сечении 2-2 и2 = О, поскольку жидкость в
трубке В находится в состоянии покоя. Тогда
2

!1_=Р2-Р1

2g

pg
С учетом того, что давление в трубках и живых сечени­

ях

потока

распределено

по

гидростатическому

закону,

по­

лучим

Р1 = Ро

+ pg (h1 + R - r); Р2

= Ро

+ pg (h2 + R - r)

и

откуда

Пример

го на рис.

2.2.
2.4

Найти при помощи устройства, показаино­

(расходомер Вентури), объемный расход

керосина (р = 850 кг/ мЗ). Диаметр трубопровода D =
= 0,3 м; диаметр узкого сечения расходомера d = О, 1 м.
Разность уровней ртути в дифманометре f..h = 0,025 м. Ре­
жим течения турбулентный. Потерями напора можно пре­

небречь.

11

1•

R

~

11

2

-·-·- -·-·-· ·r·-

1

2

r

·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·- -·Рис.

2.3.

Трубка Пито

Рис.

2.4.

Расходомер Вентури

77

PeшeJiue. Проведем живые сечения

шем для них уравнение неразрывности
Бернулли (2.10):

2

21

1-1

и

(2. 7)

2-2

и запи­

и уравнение

2

v1 _ 22 +Р2
V2 + h1-2·
+ -Р1 + а.1-+ а.2pg

2g

pg

2g

Так как труба горизонтальная, а потерями можно пре­

небречь, то 21 = 22, ht-2 = О. Приняв кроме того a.t = а.2 =
= 1 и исключив из этих уравнений v2, получим:

(sfs~ -1J vf2g = Р1 pg- Р2 ,
откуда

Разность давлений, измеренная дифманометром,

Р1- Р2 = (ррт- р) gblz,
где ррт- плотность ртути.

Следовательно,

Пример

2.3.

Определить полезную мощность насоса

(рис. 2.5), перекачивающего бензин (р = 750 кг / мЗ) из
резервуара А в резервуар В, если

ht

= 1 м;

hз

=5

м; рас­

ход бензина Q = 10-3 мЗ /с; D = 0,1 м; d = 0,05 м . Потери
во всасывающей линии равны
м . Оба резервуара открытые .

5

78

2

м, а в нагнетательной

-

2.5.

Схема

насосной

Рис.

уста­

в

новки

Реше1iие.

Разность

полных удельных энергий

ниях непосредственно за насосом
представляет

собой

насосом жидкости,

удельную

(2-2)

в

сече­

и перед ним

(1-1)

энергию Нн,

сообщенную

т.е.

Тогда полезная мощность насоса

где

11G-

вес перекачанной жидкости за время

11t.

Поскольку очевидно, что

11G =

QGЫ = pgQЫ,

то

(2.13)
где Н2

-

Н1 -напор, создаваемый насосом Ннас.

Для определения полных напоров Н1 и Н2 рассмотрим

участки трубопровода между сечениями 0-0 и 1-1 (всасы­
вающая линия), а также 2-2 и 3-3 (нагнетательная ли­
ния). Записав для каждого из этих участков уравнение
Бернулли, имеем соответственно

79

где

=О;

zo

z1 = h1; 23 = h3.

Так как резервуары открыты, то ро = Р3 = ра. Площади

свободных
сравнению

поверхностей резервуаров А и В велики по
с площадями живых сечений труб. Поэтому

можно принять
Тогда

vo = V3 = О.

Н1 =Рат - ho-1; Н2 = h3 +Рат + h2-3;
pg
pg

Nп = (h3 + ho-1 + ~-3 ) pgQ =

=(5+2+5)750·9,8 ·10- 3 =88,2 Вт .
КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Ответ

Код

3 раза
В 9 раз
В 27 раз

1
5
13
8

Вопрос
В

Во сколько раз увеличив ается удельная

кинетическая

при

ее

переход е

диаметра,

труб

3: 1

энергия

жидкости

трубу

меньшего

в

В

если отношение диаметров

(рис.

2.6)?

81 раз

Режим течения

не изменяется

-

~
~

Рис.

2.6

Может
ли
в
местном
сужении Не может
горизонтального трубопровода

(2-2)
(рис.
в

2.7)

образоваться вакуум, если Может, если

широком

сечении

1-1

перед

избыточное давление ри?

11
1

11

> 16

Может, если .!.!.д.< h1- 2
pg

12
~

Может , если
Рис.

2.7

+

80

2g

> h1-2

'-1./

12

2

a 2v2 - a1v1

ним

-t-·-t -·-·1

2
2

a2vi - a1v {

2g

Ри

pg

< h 1-2 +

12
3

Вопрос
По

вертикальной

трубе

жидкость

течет сверху вниз. Показания мано­

метров, установленных на трубе,
возрастают по ходу течения. Оцени­
те величину гидравлического

Ответ

Код

i >1
i <1
i = 1

4
14
10

1, 2, 3
2, 3, 1
2, 1, 3

17
7
11

уклона

по сравнению с единицей
Расположите последовательно

номе­

ра графиков (рис.

2.8),

зующих

полных

напоров

цилиндрического

участка

по

изменение

длине

характери­

трубопровода, если: а) течет идеаль­
ная жидкость; б) на участке имеется
местное сопротивление; в) на участ­
ке установлен насос

~1
~2
3

Рис.

2.8

Как изменяются показания вакуум- Оба показ ания увеличатся

б

метра и манометра, если их перене- Оба показания уменьшатся

9
15

сти к сечениям у насоса?
ющая

линия

тально,

но (рис.

расположена

нагнетательная

-

Всасыва- Показание вакуумметра
горизон -

вертикаль-

уменьшится , манометра
возрастет

2.9)

t ~Рм
h

((]в

_J_-----:V~

(
1

l

Рис .

2.9

ЗАДАЧИ

Задача 2.1. Вычислить гидравлический радиус для жи­
вых сечений на рис. 2.10, а-д.

D 1 4; 6) R / 2;
bh / (b + 2h).

Ответ: а)
д)

в)

(R1 - R2) / 2; z) а / 4;
81

Рис.

2.10. К
2.1

за­

даче

д

г

-----

а

---------

h --------

----а

ь

f

Задача 2.2. Жидкость течет по конической трубе круго­
вого сечения. При х = О радиус трубы R1 = О, 1 м, а при

х

= l = 1 м R = 0,2

м. Расход жидкости Q

мЗ /с.

= 0,01

Определить зависимость средней скорости

от х и по­

v

строить линии тока и живые сечения.

Ответ: v
центром в

= 1/[n(1 +
точке х = -1 м;

х) 2 ]; линии тока - радиусы с
живые сечения

-

участки сфер,

ограниченные конусом, и с центром в той же точке.

Задача

где а=

Составляющие вектора скорости

2.3.

const;

О~

8

~

2n

(рис.

il:

2.11).

Построить линии тока и живые сечения, а также опре­

делить расход на единицу глубины потока.
Ответ:

линии тока

-

прямые

8 = const; живые
Oz; Q = 2na.

сече­

ния- цилиндры с осью, совпадающей с

Задача

2.4.

По трубопроводу диаметром

рекачивается нефть плотностью р
стве 1500 т/ сут.
Определить объемный расход

v.
Ответ: Q

= 950
Q

82

мЗ /с, v

= 1,03

О, 15 м пе­

и среднюю скорость

течения

= 0,0183

d =

кг/ мЗ в количе­

м/ с.

у

Рис.

2.11.

К задаче

Рис.

2.3

2.12.

К задаче

2.5

Задача 2.5. Из открытого резервуара с постоянным
уровнем (рис. 2.12) идеальная жидкость по горизонталь­
ной трубе вытекает в атмосферу, Н = 1 ,б м; d1 = О, 15 м;
d2 = 0,075 м.
Определить уровень жидкости в пьезометре h.
Ответ: h = 1,5 м.

Задача
в сечении

=

2

2.6.
1-1

Поток воды у входа в турбину (рис.
имеет скорость V1 =

3

2.13)

м/ с и давление р1 =

МПа. На выходе из турбины сечение

2-2

v2 =

1,2

м/ с,

р2 = 0,05 МПа. Расход воды через турбину Q = 9-103 мЗ /ч.
Расстояние между сечениями h = О, 5 м.
Определить мощность N на валу турбины, если к.п.д.
турбины 11 = 0,85.
Ответ: N = 4,16 МВт.
Задача

2. 7.

По

трубопроводу

плотностью р = 910 кг /мз в ко­
личестве Q = 0,04 м 3 /с. Сечение

перекачивается

нефть

-

2-2 расположено выше сечения
1-1 на 10 м. Диаметры трубы d1 =
= 0,3 м; d2 = = 0,2 м; давления
р1 = 1,5 МПа, р2 = 1 МПа.
Определить потерю напора h1-2·
0твет: h1-2 = 46,05 м.

Рис.

2.13.

К задаче

2.6

~ Q

83

Рис.

А

2.14.

К задаче

2.8

Задача 2.8. Нагнетательная линия
трубопровода (рис. 2.14) состоит из
одинаковых

по

длине

и диаметру

вхо-

дящей и нисходящей ветвей. Давление

в точке А рл = 1,5·105 Па; h = 8 м . Длина трубопровода

l = 100 м, диаметр d = О, 1 м. Расход нефти Q = 0,01 мЗ / с;
плотность р = 91 О кг/ мЗ. Давление на выходе из трубы
равно

105 Па.

Определить давление у насоса.

Ответ: рн = 3,43·105 Па.
Задача

~анометрическое давление в сечении

2.9.

1-1

трубопровода (см. рис. 2.4) р1 = 40 кПа. Диаметры трубо­
провода D = 0,2 м; d = О, 1 м. Расход и плотность нефти
соответственно Q = О, 1 мЗ /с и р = 920 кг/ мЗ.
Определить, пренебрегая потерями напора, давление р2.

Ответ: вакуум р2в =
Задача

2.10.

29,2

кПа .

По горизонтальной трубе течет жидкость

плотностью р = 1оЗ кг/ мЗ, расход Q = 2, 5·1 о-З мЗ / с; диа­
метр D = 0,05 м.
Определить, пренебрегая потерями напора , диаметр
если разность давлений р1 - р2 = 15 кПа (см. рис. 2.4).
Ответ:

d

Задача

2.11.

(рис.

2.15)

=

0,024

d,

м.

Жидкость

из

открытого

резервуара

А

перетекает в открытый резервуар В. Разность

отметок между свободными поверхностями

h

м.

2

=

Определить потери напора на участке между сечениями

1-1

и

2-2 .

Ответ: h1-2 =

Задача

2.12.

2

м.

Отвод воды из бака А (рис.

2.16)

осу­

ществляется при помощи сифона, выполненного из куска
трубы постоянного диаметра.

Определить,

пренебрегая

потерями

напора,

трубы и вакуум в верхней точке В , если Н
=

6 м, а расход Q = 100 мЗ / ч.
Ответ: d = 0,0685 м; рв = 58,8

84

кПа.

=3

диаметр
м, Н 1

=

Рис. 2.15. К за­
даче 2.11

А

1

1

h
в

Задача

2.13.

На входе в насос (см. рис.

вающий нефть (р

= 900

допустимый вакуум р1в

линии hп

м, диаметр

=2

2.5),

кг 1 мЗ) в количестве Q

= 40
D

2

перекачи­

= 100 мЗ 1 ч,

кПа. Потери во всасывающей

=О, 1 м.

Определить допустимую высоту всасывания 21.

Ответ: 21

Задача

= 1 ,87

2.14.

м.

Построить (качественно) график измене­

ния полного напора для трубопровода с местным сопро­

тивлением в сечении А и насосом в сечении В (рис.
Рис.

2.16.

К задаче

2.12

2 .17).

в

н

А
Рис

2.17.

А

К задаче

2.14

В

85

Задача

Может ли

2.15.

при движении жидкости

по

трубе постоянного сечения возрастать давление в направ­

лении течения? Ответ проиллюстрируйте графиком.

Задача 2.16. Вода из бака А вытекает через сифон (см.
рис. 2.16), выполненный из куска трубы диаметром d =
= 0,1 м .
Определить , пренебрегая потерями напора, расход жид­

кости и давление в точке В, если Н=

Ответ: Q

Задача

сти

(рис.

=

0,06 м3 / с; вакуум рвв

4
=

м,

Ht = 7 м.
68,6 кПа .

Определить направление течения жидко­

2.17.
2 .18)

для следующих исходных данных: ра =

= 0,05 МПа; рь = 0,01 МПа; р = 1000 кг/ мЗ; f-1. = 0,01 Па·с;
Za = 2 м; zь = 8 м; da = 0,3 м; dь = 0,5 м; Q = 2 л / с.
Ответ: от сечения Ь-Ь к сечению а-а.

Задача

По трубопроводу

2.18.

(L

=

200

км;

d

=

0,3

м;

L'l = 0,01 мм) перекачивается нефтепродукт плотностью
р = 840 кг/ мЗ, вязкостью v = 5·1 о-б м2 / с с расходом Q =
= 0,08 мЗ /с . На некотором расстоянии от насосной стан­
ции

проводится

отбор

нефтепродукта

с

расходом

q

=

= 0,004 мЗ / с. Получите формулу , позволяющую по пока­
заниям манометра в начале трубопровода определить рас­
стояние, на котором проводится отбор. Определить пока-

ь

а

О--~----------------------~-----0
Рис.

86

2.18.

К задаче

2.17

зание манометра без отбора рм1 и при отборе рм2 на рас­
стоянии l =50 км.

Ответ: рм = pg(itl + i2(L - l) ); рм1 = 70,8-105 Па; рм2 =

= 66,9-105 Па.
Задача

Расход воды в трубопроводе диаметром

2.19.

D =

мм измеряется расходометром Вентури (рис. 2.19).
Каков должен быть диаметр d сечения расходомера,

= 200

чтобы при расходе Q = 50 л/ с показание ртутного дифма­
нометра было не меньше h = 60 мм? Коэффициент сопро­
тивления сужающегося участка расходомера ~

= 0,04.

По­

терями на трение пренебречь.
Ответ: d = 0,099 м.
Задача

2.20. Определить расход воды в трубопроводе
2.20) при следующих данных: dt = 100 мм; d2 =
=50 мм; h = 0,2 м; р1 = 800 кг /мз. Потерями пренебречь,
а= 1.
(рис.

Какой расход проходит по трубе при том же значении

h,

если р1

<< рвод (р1

Примечание:

:::=:

рвозд)?

при

решении

задач

принимать

g

= 10 м/с 2 , атмосферное давление р = 0,1 МПа.
Ответ: Q = 1,8·10-3 мЗ /с; Q2 = 0,4·10- 2 мЗ /с= 4 л/с.

=

1

1

Рис.

.-----.1

2.19.

К задаче

2.19

Рис. 2.20. К за­
даче 2.20

87

Задача 2.21. Вязкая несжимаемая жидкость движется в
осесимметричной горизонтальной трубе переменнаго диа­
метра. Движение ламинарное, установившееся.
Найти уравнение изменения диаметра трубы вдоль ее

оси d(x)
трубы.

при условии постоянства давления по длине
k

Ответ:

-х

d

=

d 0e 4

.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неверный. Посмотрите уравнение неразрывно­

сти и определение скоростного напора.

2.

Ответ неверный. Запишите уравнение Бернулли для

указанных сечений и проанализируйте его.
3. Ответ правильный. Записывая уравнение Бернулли
для участка между указанными сечениями и учитывая, что

21 = 22,
Р1

-

Р2

_

----

имеем

2
a2v:2 -

pg

2

а1щ

2g

+

h

1-2·

Так как в первом сечении давление избыточное, а во
= рат + ри, р2 = рат - рв и

втором вакуум, то р1

Для того чтобы рв

4.

>

О, необходимо

Ответ неверный. Запишите уравнение Бернулли для

участков

между

двумя

произвольными

сечениями

и

про­

верьте, при каких условиях выполняется указанное Вами
решение.

5.

Ответ неправильный. В

9

раз изменится не удельная

кинетическая энергия, а площадь трубы и, следовательно,
средняя скорость течения в ней.

88

6.

Ответ правильный. Давление во всасывающей линии

за счет

потерь

на трение должно

снижаться

по

направле­

нию к насосу. Поэтому вакуум должен возрастать. Соста­

вив уравнение Бернулли для нагнетательной линии с уче­

том ТОГО, ЧТО V1 = V2, 22- 21 =

Pi-P2_h
- - + h 1-2 > 0,

т.е. Р1

pg

h, получим

> Р2·

7. Ответ неверный. Вы не разобрались в том, что про­
исходит с удельной энергией жидкости при ее протекании
через насос и через местное сопротивление.

8. Ответ правильный. Так как режим течения остается
at = а2 и

неизменным, то

а2

v1 . vr - v1
2i. а1 2i - vr .

Так как объемный расход не изменяется (жидкость счи­
тается несжимаемой), то V1S1 = v2s2 и

v1 = (~)2 = (~)4 = 81.

vr

52

d2

9. Ответ неправильный и противоречит элементарным
физическим представлениям. Уменьшение вакуума означа­
ет рост абсолютного давления. Непонятно, за счет чего
перед

насосом

и

за

ним

давление

может

возрастать

в

направлении течения.

=

10. Ответ
!, где l -

может быть правильным только , если
длина рассматриваемого участка.

ht- 2

Составьте

уравнение Бернулли для двух сечений потока и с учетом
условий задачи убедитесь в ошибочности своего утвержде­
ния.

11. Ответ правильный. При течении идеальной жидко­
сти потери напора отсутствуют. Поэтому график полного
напора Н =

const

имеет вид горизонтальной линии

2.

При

наличии местного сопротивления полный напор падает пе­

ред ним и за ним, причем, так как диаметр трубопровода

d

=

const,

то и гидравлические уклоны одинаковы. Резкое

падение напора возникает за счет местного

(линия

1).

Насос

сообщает

сопротивления

жидкости дополнительную

89

энергию,

поэтому

в

месте

его

установки

напор

резко

воз­

растает.

12.

Ответ неверный. Вы не учли изменение удельной

кинетической энергии на участке между сечениями

1-1

и

2-2.
13.

Ответ неправильный. Вы пытаетесь угадать ответ,

не разобравшись в поставленной задаче.

14.

Ответ правильный. Составляя уравнение Бернулли

для произвольных сечений
V2, имеем

=

h1-2

= 21 - 22

V1 =

Р1- Р2
+-- .

Но 21 - 22

>

1-1 и 2-2 и учитывая, что

pg

= l-

длина рассматриваемого участка, а р1

>

р2 по условию. Тогда

· _ h1 -2 _
l

l----

15.

1- Р2
- Р1 1
--< .
pgl

Ответ неверный. Составьте уравнение Бернулли для

всасывающей линии и убедитесь, что абсолютное давление
вдоль потока снижается.

16.

Ответ неправильный. Вы не учитываете изменение

удельной потенциальной энергии при переходе от сечения
1-1 к сечению 2-2.

17.

Неверно.

Вы

уравнения Бернулли.

плохо

усвоили

физический

смысл

Глава

3

РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

И ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО
ПОДОБИЯ

Существуют два режима течения жидкости

-

ламинар­

ный и турбулентный.
При ламинарном режиме движения частицы жидкости
перемещаются по траекториям, направленным вдоль обще­

го течения, в частности, вдоль оси трубы без поперечного
перемешивания.

При турбулентном режиме движения частицы жид­
кости перемещаются по случайным неопределенно искрив­

ленным траекториям, имеющим пространственную конфи­
гурацию. Движение имеет беспорядочный хаотический ха­
рактер. Его особенность - наличие поперечных и продоль­

ных (относительно направления общего течения) пульса­
ций скорости и пульсаций давления, что существенно вли­
яет на затраты энергии при перемещении жидкости.

Для анализа результатов эксперимента и описания ре­
жимов течения жидкостей и газов широко используется

теория размерностей и подобия.
Размерность [а] любой физической величины а выра­
жается через

основные единицы изм ерения

ного одночлена.

в виде

степен­

В частности, в СИ размерность любой

механической величины А имеет вид

[А] = L rtМf"Тi,
где

L,

М, Т - единицы измерения длины, массы и време-

ни соответственно.

Размерные физические величины

(3.1)
называются

величинами

с

не зависимыми размерностями,

91

если размерность ни одной из них не может быть выраже­

на через размерности остальных

k-1

величин из (3.1).

В противном случае, т.е. если выполняется равенство

(3.2)
где не все

pi

равны нулю, величины (3.1) будут размерно

зависимы.

Если число основных единиц изменения равно т, то

k

:<;

:<;т.

Для описания многих явлений в гидромеханике доста­
точно

трех

основных

единиц

измерения:

длины,

массы

и

времени . В этих случаях число величин с независимыми

размерностями не может быть более трех.
П-теорема теории размерностей
Всякая зависимость вида

(3.3)
имеющая физический смысл, в которой величины

at,

а2,

... , ak обладают независимыми размерностями, может быть
представлена в виде

(3.4)
где величины П, Пt, П2, ... , Пп-k обладают нулевыми раз­
мерностями и определяются по форму лам
А

П = ---aqk '
a 1qtaq2
2
k
000

(3.5)
Два явления подобны, если по заданным характеристи­
кам

одного

можно

получить

характеристики

другого

про­

стым пересчетом, который аналогичен переходу от одной
системы единиц измерения к другой системе.

92

Необходимые

и

достаточные

условия

подобия

двух

явлений, условно называемых ~модель~ и ~натура~, име­
ют вид

(3.6)
где Пiм

- безразмерные параметры (3.5), рассчитанные

для ~модели~, а Пiн - для ~натуры~.
Величины Пi называются критериЯl11и подобия, а усло­

вия (3. 6) - условиями подобия.
Основными критериями подобия при установившемся
течении вязкой несжимаемой жидкости являются:

при течении по трубам число РейJtолъдса

Re

=

pvL / 11;

при течении в открытых каналах число Фруда

Fr
где

р,

11 -

=

v 2 / (gL) или Fr

соответственно

v/

=

плотность

J'ii,

и вязкость жидкости;

v- средняя скорость течения; L - характерный линейный
размер; g - ускорение свободного падения.
В случае круглых труб обычно принимают L равным
диаметру трубы.
Если живое сечение потока имеет некруговую форму, то
числа Рейнольдса и Фруда обычно рассчитываются по
формулам
Re
где

Rr-

=

2

pv4Rr / rJ; Fr = v /

J'ii,

гидравлический радиус.

Если

Re < 2320, то режим течения
Re > 2320, то режим турбулентный.

ламинарный. Если

Вопросы для самопроверки

1.

Что такое параметры с независимыми размерностя­

ми?

2. Почему зависимостью
чем соотношением (3.3)?
3.

(3.4) удобнее пользоваться,

В чем заключаются условия подобия двух явлений?

93

=

Какой вид примет формула (3.4) при n
k?
Как вычислить число Рейнольдса для некруглой
трубы?

4.
5.

ПРИМЕРЫ

Пример 3.1. Задана система величин р, 11, l (плотность,
вязкость, длина). Обладают ли эти величины независи­
мыми размерностями?

PeшeJiue. Размерности величин р,

[р] =М/ L3 ; [11] =М / (LT); [l]

=

11, l соответственно

L.

Если эти величины обладают зависимыми размерностя­

ми, то должно выполняться условие

или, так как М,

L,

(3.2), т.е.

Т представляют собой независимые

единицы измерения,

Р1 + Р2 =О;
~3р1 ~ Р2 + Рз = О;
~р2 = О,
откуда следует, что р 1 = р 2 = р3 =О, т. е. величины р, 11, l
обладают независимыми размерностями.
Пример 3.2. Перепад давления f..p при напорном тече­
нии жидкости по круглой трубе зависит от диаметра тру­
бы d, ее длины l, эквивалентной шероховатости стенок
трубы f.., плотности жидкости р, ее вязкости 11, средней
скорости

др=

v,

т.е.

f(l, d, Д р, 11, v).

Привести это выражение к безразмерному виду.
Реше1iие. Легко проверить, что параметры р,

v, d

обла­

дают независимыми размерностями. Тогда в соответствии

с

94

(3 .5)

Так как величины П, Пi обладают нулевыми размерно­
стями, то

[др]=

[1'.]

[d]a[p]P[v]Y; [!] = [dГ1[p]P![v]Y1 ;

= [d]a2[p]P2[v]Y2; [ll] = [d]аз[р]Рз[v]Уз

или

Приравняв показатели степеней при

-1 = а 1

Зр

+

М, Т, получим

1 = at - 313t + yt;

у;

= 13;

о

= -у;

-2

L,

= 13t;

о =

-yt;

1 = а2 - Зl32 + у2; - 1 = аз - 313з + уз;
о =

132;

1=

13з;

-1=

о= -у2;

-уЗ.

Решив эти системы уравнений, получим

а= О·

n = 1·

' tJ

а2

= 1; 132 =

'

у=

2·

О; у2

=

'

at =О· nt

=

О; аз

13з

' tJ

= 1;

О·
'

yt

= 1;

=О·
'

уз

=

О.

95

Следовательно, в соответствии с формулой

д.р _ F ( l
pv2 d'
д.

где 8 = -

l

д.

d'

11 ) _ F ( l
pvd

d'

-

8

(3.4)

1 )
' Re

'

- относительная шероховатость трубы.

Так как перепад

l'ip

пропорционален длине трубы, то

последнее равенство можно представить в виде

- Ьр
pu2

l
( 8 ,1-) =-F
l
(
)
=-Fi
2 8, Re.
d

d

Re

Введя обо3начение

F2(8, Re)

=

2. Л (8, Re),
2

получаемформулу

1'1 =л.!_ pv
р
d 2

2

(3.7)

1

pg,

или, поделив на

(3.8)
Формулы (3.7) и (3.8) широко исполь3уются при рас­
чёте трубопроводов, причем выражение (3. 7) носит на3ва­
ние формулы Дарси-Вейсбаха.
Величина Л на3ывается коэффицие1imом гидравлическо­
го сопротивле1iия.

Пример

3.3.

По гладкой трубе диаметром

d

= 0,1

м те­

чет нефть с расходом Q = 0,02 мЗ / с. Динамическая вя3-

кость нефти 11 = 0,01 Па-с, плотность р = 900 кг / мз .

Найти скорость течения воды по трубе диаметром

=

0,01 м, при которой оба течения будут подобны.
Реше1iие. Средняя скорость течения нефти

_ 4Q _ 4 · О, 02 _

V-- - - - лd 2
л0,0 1

96

2 55
'

М

/

С

·

d1

Число Рейнольдса при течении нефти

Re

1

= pvd = 900 · 2,55 ·0, 1 =
11
о, 01

2, 3 _104_

Для соблюдения подобия необходимо, чтобы выполня­
лось условие

Ret

Re2,

=

где Re2 - число Рейнольдса при течении воды.
Тогда скорость воды:

v1 =Re1 ~,
Р1 d1

где 'llt

= 10-З

103 кг / мЗ - ее

кг / м·с - вязкость воды ; Pt

плотность.

Следовательно,

о, оо 1

v1 =2,3-104

1000 ·0,01

=2,3 м / с.

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

Будут ли

величины

мерности
единицы

которых
длины,

а

Ответ

1,

а

2,

а

3,

4,

а

выражаются

массы

и

раз-

через

времени,

раз-

мерно независимы?
Будут

ли

ус ловно

два

5

Зависит

от

того,

ка-

з

течения,

Не будут никогда

4

2,

подобны

Будут всегда

8

ламинарном

1 и

режиме

Будут, если
течения

по

круглой трубе перепад давления на ед и-

l

7

Не будут

турбулентных

обозначенных

ницу длины

Будут

кие это величины

между собой? Труба гладкая
При

Код

вязкости Т], средней скорости течения

v.

Будут ли два ламинарных течения

2 подобны между

1

2
б

Будут всегда

зав исит от диаметра трубы Будут, если

d,

Re1 = Re2

Не будут

1

Re1 = Re2

9

и

собой?

ЗАДАЧИ
Задача

3.1.

ление р, длина

Определить, обладают ли вязкость

l

11,

дав­

независимыми размерностями .

97

Задача

3.2.

По трубе

d

=

0,1

м течет вода.

Определить максимальные скорость течения

v

и расход

при которых режим течения будет оставаться ламинар­
ным. Вязкость воды 11 = 10-З кг /м·с.
Ответ: v = 2,32-10-2 м / с; Q = 1,82-10-6 мЗ /с.

Q,

Задача
увеличен в

3.3. При
n раз.

сохранении расхода диаметр трубы

Во сколько раз изменится число Рейнольдса?
Ответ: уменьшится в
Задача

3.4.

n

раз.

При течении нефти в трубопроводе диамет­

ром d = 0,2 м массовый расход Q = 35 т / ч. Нефть запол­
няет сечение трубопровода до высоты h = d / 2. Вязкость
нефти 11
0,12 кг/ (м-с).

=

Определить режим течения.

Ответ: Re = 1,03-103; режим течения ламинарный.
Задача 3.5. Жидкость вытекает из внешнего цилиндрического насадка диаметром d = 0,02 м при уровне в резер­
вуаре Н= 1 м.
Можно ли смоделировать процесс истечения, используя

ту же самую жидкость?
Указ а н и е: при истечении из насадка ускорение сво­
бодного падения g входит в число определяющих парамет­

ров;

скорость истечения вычисляется по приближенной

формуле v

=

~2gH.

Ответ: моделирование невозможно.

Задача

3.6.

Потери давления

f..p

на местном сопротив­

лении зависят от характерного линейного размера
ности жидкости р, ее вязкости
ния

11,

d,

плот­

средней скорости тече­

v.

Определить критерий подобия и вывести формулу для
потерь давления.

Ответ: критерий подобия

-

число Рейнольдса; форму­

ла для определения потерь давления имеет вид

pv2 .

др = ~-,~= ~(Re).
2
Задача

3. 7.

При ламинарном режиме течения по пря­

молинейной трубе перепад давления

98

f..p

зависит от ее дли-

ны

/,

диаметра

течения

d,

вязкости жидкости

11,

средней скорости

v.

Найти вид форму л для

и коэффициента гидравличе­

!J.p

ского сопротивления Л.

Ответ: !J.p
Задача

=

d

3.8.

нале зависит

С 11 ~; Л= 2С / Re; С= const.

Скорость течения жидкости в открытом ка­

от угла наклона его дна а,

гидравлического

радиуса Rг, плотности жидкости р, ее вязкости

рения свободного падения

11

и уско­

g.

Найти критерии подобия для такого течения.
Ответ: критериями подобия будут а;

Re

=

pv4Rг /

11;

Fr=v/~g~.
Задача 3.9. Определить критический (максимально воз­
можный при ламинарном режиме) массовый расход жид­
кости при ее течении по круглой трубке.
Найти также минимальное число необходимых для ре­

шения задачи параметров трубы и жидкости.
Ответ: 580 лd11, d, 11·
Задача

3.10.

При течении совершенного газа по круг­

лой трубе градиент давления

трубы

11

dp / dx зависит от диаметра
!J., плотности р и вязкости
газовой постоянной R, абсо­

шероховатости стенок

d,

газа, средней скорости

v,

и

лютной температуры е.

Найти критерии подобия.
Ответ:

= pvd /

критериями

11; Пt

= v2/

подобия будут

Е =

!J./ d; Re

(Re).

Задача

скорость

3.11. Фонтан жидкости, имеющий начальную
15 м / с, поднимается на высоту 10 м над поверх­

ностью земли.

Найти на какую высоту Н поднимется струя фонтана

при начальной скорости 25 м / с, если считать, что сопро­
тивление воздуха пренебрежимо мало.
Ответ: Н =

27,8

Задача

При атомном взрыве в воздухе происходит

3.12.

м.

быстрое (мгновенное) выделение значительной энергии Е
в малой области (можно считать, что в точке). В месте
взрыва

возникает

сильная

сферическая

ударная

волна,

99

давление за фронтом которой на начальной стадии взрыва
во много тысячи раз больше, чем начальное давление воз­
духа.

Таким образом,

радиус фронта ударной волны

через промежуток времени

t

R

после взрыва зависит от ве­

личины Е и начальной плотности воздуха ро.
Найти,

как

изменится

радиус

ударной

волны

того же момента времени, если Е увеличится в
р0 =

32

R

для

раза, а

const.

Ответ:

Задача

R1 = 2R.
3.13. Чтобы

держаться в воздухе плотностью ро
S должна махать

птица массы М с площадью крыльев
крыльями с частотой w.
Найти, с какой частотой

w1

машет крыльями птица мас­

сы М/64 и площадью крыльев
Ответ:

Задача

G

w1

=

3.14.

S/16.

2m.
Получить формулу для весового расхода

идеальной тяжелой жидкости плотности р, приходяще­

гося на единицу длины ребра вертикального водослива с

острым гребнем и со свободной струей (рис.

3.1).

Высота

уровня жидкости в водоеме над ребром водослива на да­
леких от него расстояниях равна h. Течение считать уста­
новившимся.

Ответ:
Задача

G

= С р gЗ/2

3.15.

hS/2_

Тонкостенный полый шар большого диа­

метра падает в воздухе с постоянной скоростью. Известно,
что

скорость

этого

падения

зависит

от

массы

шара,

его

диаметра, плотности воздуха и ускорения свободного па­
дения. Во сколько раз увеличилась бы скорость падения

Рис. 3.1. К за­
даче 3.14

100

аналогичного шара, если его массу увеличить в 8 раз, а
диаметр~ в 2 раза по сравнению с данным шаром?

Ответ:

v2 / v1

= ..j2.
КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ правильный.

заданными условиями
за

П

величины

=

с

Действительно в соответствии с

!J.p/l = f(d, rJ, v). Принимая d, rJ, v

независимыми

!J.pd 2 /U11 v)

=

размерностями,

получаем

const, т. е. все ламинарные режимы

подобны.

2.

Ответ правильный. Действительно, в случае гладких

=

труб !J.p / 1
f(d, р, 11, v) и единственным критерием по­
добия будет число Рейнольдса.

3.

Ответ неверен. Вы не разобрались, какие величины

называются величинами с независимыми размерностями.

4.

Ответ неправильный. Вспомните, какими критериями

определяется подобие потоков.

5.

Ответ правильный.

Действительно в соответствии с

условием размерности величин

at,

а2, аз, а4 имеют вид

Подставив эти значения в формулу
показатели степеней при

L,

(3.2) и приравняв

М, Т, получим

т .е. систему из трех однородных уравнений относительно

четырех неизвестных Pt, Р2, рз, Р4· Такая система всегда
имеет решение, отличное от нуля. Следовательно, а 1 , а2,
аз, а4 обладают зависимыми размерностями.

101

6.
7.

Ответ неправильный. Примените л-теорему.
Ответ неверен. Число величин с не3ависимыми ра3-

мерностями не может быть больше числа основных единиц
И3мерения.

8. Ответ неверный. Вы не ра3обрались в понятии кри­
териев подобия.
9. Ответ неверный. Среди определяющих параметров
нет плотности.

Глава

4

Г~АВЛИЧЕСКИЕСОПРОТИВЛЕНИЯ

Запас механической энергии жидкости, которым обла­
дает каждая ее единица веса, называется напором Н. Из­

за работы сил трения напор по ходу движения жидкости
непрерывно уменьшается.

ного

напоров

между

Разность начального

двумя

какими-либо

и конеч­

живыми

сече­

ниями потока называется потерями напора hпот. Эти по­
тери напора представляют собой сумму потерь напора на
трение по длине потока hд и в местных сопротивле­
ниях hм

hпот = hд

+

hм.

(4.1)

Потери напора по длине для труб постоянного диаметра
определяются по форму л е Дар си- Вейсбаха.

h
где

Л

-

коэффициент

д

l v2
= Л--

гидравлического

(гидравлического трения);
ренний диаметр ;

v-

(4.2)

d 2g'

сопротивления

l - длина трубы; d - ее внут­

средняя скорость потока.

В общем случае Л является функцией числа Рейнольдса
(Re) и относителыюй шероховатости стенок трубы д./ d.
Здесь д. - абсолютная эквивалентная шероховатость,
т . е.

такая

высота

равномерно-зернистой

шероховатости,

при которой в квадратичной зоне сопротивления потери
напора равны потерям

напора для данной естественной

шероховатости трубы (примерные значения д. приведеныв
приложении 1).
Итак, в общем, виде Л = Л (Re, д. / d). Численно Л
определяется

в

зависимости

от

области

сопротивления.

103

При ламинарнлм режиме движения (Re < Rекр) 1 , Л =
= Л(Rе)

Л=

(4.3)

64 / Re.

В этом случае выражение

принимает вид форму­

(4.2)

лы Пуазейля

h

_ 128Q vl

д-

лgd

4

(4.4)

о

При турбулентном режиме движения

(Re > Rекр) раз­

личают три зоны сопротивления 2 .

1. Зона гидраелически
< 10 d/fo..; Л= Л (Re)):

гладких труб (Rекр

Л= О, 3164 / Re 0 ~ 2 5
формула Блазиуса, используемая при Re

Л=

< Re <
(4.5)

< 105;

1

(1, 8 · lg Re- 1, 5)0·25

формула Конакова, используемая при Re :с:: 3-106.

2.
Л= Л

Зона шероховатых труб

(10 d / fo.. < Re < 500 d / fo..;

(Re, fo.. / d)):
68

Л=011· ( '
Re

Ll. )0,25

+-

d

(4.6)

формула Алътшуля.
3. Зона вполне шероховатых труб или квадратичная
зона (Re > 500 d / fo..; Л = Л (fo../ d)):
Л= О,

11 (fo../ d) 0,25

формула Шифринсона.
С незначительной погрешностью формула

(4. 7)
Альтшуля

может использоваться как универсальная для всей турбу­

лентной области течения. Если живое сечение не имеет
формы круга, то формулы (4.2), (4.5), (4.6) и (4. 7) могут
1Напомним, что Rекр = 2320.
2 Далее приводятся наиболее употребляемые формулы для определе­
ния л.

104

использоваться

при

турбулентном

движении

с

заменой

диаметра трубы d на учетверенный гидравлический радиус
R' (см. формулу (2.2)). При ламинарном движении в этом
случае используются специальные формулы, приводимые
в справочниках.

При решении некоторых типов задач формулу Дарси­
Вейсбаха (4.2) удобно представить в виде

2

1
h - J.}... .2_- ЛlбQ

д-

d 2gs 2 -

2

(4.8)

d 5 2gn 2 '

где s- площадь живого сечения трубы.
Формула (4.4) является частным видом
(4.8) для ламинарного течения.

выражения

Местными сопротивлениями называются участки тру­
бопровода, в которых происходит резкая деформация по­

тока (к ним относятся, в частности, все виды арматуры
трубопроводов - вентили, задвижки, тройники, колена и
т.д.). Потери напора в местных сопротивлениях hм опре­
деляются по формуле Вейсбаха

v2
hм =с;;2g
где с;;

-

(4.9)

1

коэффициент местного сопротивления,

завися­

щий от его геометрической формы, состояния внутренней

поверхности и

Re. При развитом турбу лентнам движении
(Re > 104), что соответствует квадратичной зоне сопротив­
ления для местных сопротивлений, с;;кв = const и определя­
ется по справочникам (приложение 2).
При ламинарном движении значение
можно прибли­
женно вычислить по формуле с;; = с;;кв <р, где <р- некоторая

функция от Re (приложение 3). Если местных сопротив­
лений много и расстояние между ними больше длины их
взаимного

влияния,

равного

примерно

40d,

то

потери

напора в них суммируются и расчетная формула

(4.9)

принимает вид

v2

hм=L с;;2,
n

где п

-

(4.10)

g

число местных сопротивлений;

v -

средняя ско­

рость потока перед местным сопротивлением .

105

При внезапном расширении потока от сечения площа­

дью

st

до S2 ~вр

можно определить аналитически по фор­

муле с;вр = (1 - s 1/s2) 2. Потери напора в местных сопро­

тивлениях можно выразить через эквuвале1im1iую длиliу
lэкв, т. е. такую длину трубопровода, для которой hд = hм
Lэкв = с;

d /Л.

(4.11)

В этом случае выражение (4.1) для hпот можно пред­
ставить в виде формулы (4.2), записав ее следующим об­
разом:

Zn v 2
hпот =Л ...Е.-,

(4.12)

d 2g

=

где lпр
l + lэкв- приведенная длина.
Если требуется определить не hпот, а потери давлеliuя
f.;рпот, то используют формулу

f..рпот

= рghпот.

(4.13)

Обычно зона деформации потока в районе местного со­

противления мала по сравнению с длиной труб. Поэтому в
большей части задач принимается, что потери напора в
местном сопротивлении происходят как бы в одном сече­
нии, а не на участке, имеющем некоторую длину .

Вопросы для самопроверки

1. По каким форму лам определяются потери напора в
трубах по длине и в местных сопротивлениях?
2.

От каких безразмерных величин может зависеть ко­

эффициент гидравлического сопротивления?
3. Каковы границы зон сопротивления при турбулент­
ном течении?

4.

Что такое эквивалентная и приведенная длины и ко­

гда они употребляются?

ПРИМЕРЫ

Пример

4.1.

ламинарном

106

По трубопроводу течет вязкая нефть при

режиме

движения .

Как

изменятся

потери

напора на трение по длине, если расход нефти снизится в

раза?
PeшeJiue. 1. Число Рейнольдса связано с объемным рас­

2

ходом соотношением

Re= vd = 4Q
v

ndv '

откуда видно, что снижение расхода в 2 раза приведет к
уменьшению Re также в 2 раза. Следовательно, режим
движения не изменится.

2. Так как режим движения ламинарный , то коэффици­
ент гидравлического сопротивления находится по форму л е

(4.3)

ха

Подставив выражение для Л в формулу Дарси~Вейсба­
(4.2), получим

h

=

д

б4v _!_ .i,
vd d 2g'

т.е. hд ~ v. Но v ~ Q, следовательно, потери напора по
длине трубопровода при ламинарном движении снизятся в
2 раза, если расход жидкости уменьшится в 2 раза 1.
Пример 4.2. В горизонтальном (d = 100 мм) водопро­
воде (рис. 4.1) установлена диафрагма с острыми кромка­
ми при n = Sот/ Sтр = 0,5. Разность уровней воды в пьезо­
метрах, присоединенных к сечениям трубы, ограничиваю­
щим зону деформации потока (1~1 и 2~2), Н= 0,1 м.
Определить расход воды.
PeшeJiue. 1. Составим уравнение Берну лли для сечений
1~1 и 2~2. Так как Zt
z2 и V t
v2, ht-2 ~ hм вследствие
малости длины участка 1 ~2 оно имеет вид

=

р

1~

Р2

=

v2

= h1-2 = hм = с;д 2g '

где с;д ~ для диафрагмы при отношении площади ее отвер1Тот же вывод получим из анализа формулы

(4.4).

107

Рис. 4.1. К при­
меру 4.2

стия к площади сечения трубы 0,5, по приложению
вен 4; v- средняя скорость воды в трубе .

2,

ра­

2. Учитывая, что в полученном уравнении (р1- P2)/pg

=

=Н, определяем из него

v

=

~ 2gH

3.
Q

~д

= 2 · 9,18
4

·о, 1 = 0 7 м/с.
'

Искомый расход воды

= nd

4

2

v

2

= 3,14 ·О, 1 ·О, 7 =

4

5 5 дмЗ/с.
'

Пример 4.3. После очистки всасывающей линии (/
10 м; d = 200 мм) насосной установки (к.п.д. УJнас
0,65) коэффициент местного сопротивления фильтра ~Ф
уменьшился с 40 до 10, а эквивалентная шероховатость
труб с 1 до О, 1 мм. Подача насоса Q = 0,07 мЗ /с.
Определить годовую экономию электроэнергии от этой

операции. Температура воды
1В

диафрагмеиных

20

расходомерах

ос (приложение
промышленного

4).

типа

разность

давлений обычно измеряется в зоне деформации потока перед и за
диафрагмой, где скорости не равны v, что усложняет расчеты.

108

PeшeJiue.

1. Определим среднюю скорость воды во вса­

сывающей трубе

v = Q/s = 0,07-4/(3, 14·0,2 2) = 2,23 м / с .
2.

Определим уменьшение потерь напора в фильтре

blt = hмt- hм2 = (~1- ~2)v 2 / 2g = 30-2,232/ 19,62 = 7,59 м.
Здесь и далее индексы

1

и

относятся к моментам до и

2

после очистки линии соответственно.

3. Определим уменьшение потерь напора в трубе, ис­
пользуя формулу (4.2)

Re=vdp=2,23·0,2·10 3 = 446 . 105.
3
~

to-

'

'

500 _!!__ = 500 ___QJ_ = 1о 5 .
112
о, 0001
'
d

500- < Re,
112

поэтому как до, так и после очистки трубы зона сопротив­

ления квадратичная (L'ч > L12) и, следовательно ,
По формуле (4. 7)

< 500 d/ L12.

500 d/ L'lt <

0 25

л 1 =о' 11 (~)
, =о' 11 ( 0'о,001
) , =о 0293·
d
2
'
'
0 25

112
л 2 = 011(
)
'
d

Тогда

0,25

blt =

= 011
'

(

0001 )0,25
°· 0,2
= 00164.
'

0.1 - А2)

.!:_ .:2_ = (0,
d

2g

О 273

- 0,0164)10 /

0,2·2,232 / 19,62 =О, 14 м.
5. Вычислим годовую экономию

электроэнергии. Умень­
шение затрат мощности (см. формулу (2.13)):

109

дN = QрgМпот = 7 ·10-2 ·103 · 9, 81· 7, 73 = 8,17 кВт.
llнac

О, 65

Годовая экономия электроэнергии А =

NT

х86,4-103·З65 = 71,6 МВт·ч.

Пояснение: в сутках 86,4-103 с.
КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Ответ

Вопрос

1/ d
1j d4
hд- 1/ds

расходом при ламинарном режиме. Казависимость

между

напора hд и диаметром трубы

1

hдhд-

Жидкость течет по трубе с постоянным
кона

Код

потерями

4

7

d?

Как влияет подогрев жидкости (при Всегда уменьшает
постоянном расходе) на потери напора Всегда увеличивает

в трубах?

Уменьшает, но не всегда

2
5
8
3

Горизонтальный и вертикальный участ-

В 1-м больше

ки трубопровода могут быть соединены

Одинаковы

б

коленом или с резким ( 1) или с плавным (2) изменением направления тече-

Во 2-м больше

9

ния. Сравните потери напора в колене

ЗАДАЧИ

Задача

4.1.

По трубе

(d = 100

мм, д.

= 0,2

мм) течет

бензин (р = 730 кг /мЗ; v = 0,6-10-6 м2 /с) с расходом Q =
=

15' 7 дм 3 1 с.

Можно ли, не вычисляя потери напора, определить, во
сколько раз они увеличатся при возрастании расхода в 1, 5

раза?
Ответ: можно; в
Задача

4.2.

2,25

раза.

Вычисленное значение числа Рейнольдса

равно 8-104 . Достаточно ли этого факта, чтобы воспользо­
ваться формулой Блазиуса (4.5) при определении Л?
Ответ: да.

Задача 4.3. По горизонтальному трубопроводу (l =
= 50 км; d = 500 мм) перекачивается нефть (р = 840 кг j мЗ;
v = 0,5 см 2 / с) с расходом Q = 0,4 мЗ /с. Трубы стальные
бесшовные новые.

110

Пренебрегая местными потерями напора, определить
потери давления на трубопроводе. Вычислить также ошиб­

ку (в %) , вносимую при использовании формулы Альтшу­
ля как универсальной.

Примечание: воспользуйтесь данными приложения
Ответ: 4,62 МПа; менее 1 %.

1.

Задача 4.4. На горизонтальном участке (l = 2 м) дей­
ствующего пожарного водопровода нефтебазы
(d

мм) при расходах Q1 = 3,77·10-2 мЗ / с и Q2
= 4, 71·1 о- 2 мЗ /с измерили падение давления f..p: f..p 1

= 200
= 181

Па и

l'ip2

= 282

Па.

Определить состояние стальных сварных труб 1 .
Пр и меч а н и е:

воспользоваться данными приложений

1-4.
Ответ: умеренно заржавевшие;
Задача

4.5.

1'1

~

0,5

мм.

Какова зависимость потерь напора на тре­

ние по длине трубопровода от расхода жидкости в зоне
действия формулы Блазиуса?
Ответ: hд ~ Q 7 1 4 .

Задача 4.6. При перекачке нефти (v = 10-4 м2 / с) с
расходом Q = 7,85 дмЗ / с по трубопроводу (d = 100 мм;

= 0,2

мм) постепенно на его стенках образовался слой
8 = 5 мм. Как это повлияет на потери
напора на трение?
Ответ: потери напора возрастут в 1,52 раза.

1'1

парафинатолщиной

Задача
км; d

По горизонтальному трубопроводу (l =
мм; 1'1 = 0,3 мм) последовательно перекачивается топливо (р1 = 800 кг / мЗ, v1 = 2·10-6 м2 / с) и
масло (р2 = 830 кг / м 3 , v2 = 5·1 о-5 м 2 /с) с расходом Q =

10

= 0,01

4. 7.

= 100

мЗ / с. Конечное давление- атмосферное.

Определить

потери давления

на

трение

по

длине

и

изобразить пьезометрическую линию в момент нахождения
разделителя жидкостей в середине трубопровода.

Разме­

рами разделителя и потерями давления при его продвиже­

нии пренебречь.
Ответ: f..p =
1 Если

2,4

МПа.

вязкость воды не задается, то принимается

v

(t = 20 °С ).

111

Задача

4.8.

При промывке скважины глубиной

2000

м

(рис. 4.2) воду в нее закачивали по насосно-компрессор­
ным трубам 1 (d1 = 75 мм), а обратно на поверхность она
поступала по кольцевому пространству в обсадной колон­

не

2 (d2 = 300 мм).
Определить потери давления на трение по длине систе­

мы, если расход воды Q = 1О дмЗ /с, трубы, бывшие в
эксплуатации; толщиной их стенок и местными сопротив­

лениями пренебречь.
Ответ: f..p = 1,8 МПа.
Задача

4.9.

Манометр, установленный на трубе перед

частично закрытой задвижкой (вода из трубы вытекает в
атмосферу), показывает рм = 19,6 кПа. Средняя скорость
воды в трубе v = 1 м/ с.
Определить коэффициент местного сопротивления задвижки.

Ответ:

39,2.
Задача 4.10. По горизонтальному трубопроводу (/ =
10 км; d = 100 мм; f.. = О, 1 мм) перекачивается нефть
(р = 840 кг/мЗ; Q = 7,85 дмЗ /с). Эквивалентная длина
местных сопротивлений lэкв = 100 м. Нефть может быть
подогрета от начальной температуры t 1 = 15 ос ( v 1 =
= 4-10-4 м2 /с) до t 2 = 75 ос (v 2 = 2,2-10- 5 м 2 /с). Проме­
жуточные точки подогрева tз = 35 ос (vз = 1,8-10-4 м 2 /с)
и t4 =55 ос (v4 = 4-1o-:'i м 2 /с).

/;;j;;)л/п);/п/п);

112

Рис.

4.2.

К задаче

4.8

Определить, в каком диапазоне находится оптимальная
температура, при которой подогрев дает наибольшее сни­
жение

потерь

напора

и

каково

при

этом

относительное

снижение затрат мощности на перекачку. Расход и плот­

ность нефти считаются не зависящими от ее температуры.
Ответ: между 35 и 55 ос; в 9,3 раза.
Задача 4.11. На одном участке (lt = 50 м) без местных
сопротивлений горизонтального водопровода (d = 150 мм)
разность давлений f..p1 = 420 Па, а на другом (/2 = 25 м) с
частично прикрытой задвижкой t...p2 = 421 О Па.
Определить коэффициент местного сопротивления за­

движки при расходе
тия n.

Q = 35,3 дмЗ / с и степень закры­

Пояснение: При определении
ложеннем 2.

Ответ: с:;=

2; n

n

воспользоваться при-

= 0,5.

Задача 4.12. По горизонтальному трубопроводу (/ =
1000 м; d = 150 мм, f.. = О, 15 мм) перекачивается нефть
(р = 890 кг j мЗ; v = 2,5·10-4 м2 / с) ;конечное давление атмосферное.

Поршневой насос, установленный в начале
может создать максимальный напор Нн =
м при заданном расходе Q = 0,033 мЗ / с.

трубопровода,

=

75

Определить:
1. Чему равно падение давления на трубопроводе за

счет потерь на трение по длине?
2. Какова должна быть суммарная величина коэффици­
ентов местных сопротивлений, чтобы использовать макси­
мальный напор насоса?

Ответ: f..рд =

592

кПа;

L:l;

=

40,5.

Задача

4.13. На горизонтальном участке водопровода
100 м; d = 100 мм, f.. = 0,5 мм) падение давления f..p =
= 21, 6 к Па и L:l; = 5.
(l

=

Определить расход воды.

Пояснение:

зона

сопротивления

основании анализа исходных данных,

предполагается

на

а затем подтвержда­

ется расчетом.

Ответ: Q ~ 0,01 мЗ / с.
Задача

4.14.

Насос, предназначенный для горизонталь­

ного продуктапровода

(/

=

5

км;

d

=

200

мм; трубы сталь113

ные сварные новые) при Q = 50 дмЗ 1 с может создать из­
быточное давление на выходе рн = 1,4 МПа. Суммарный
коэффициент местных сопротивлений

L:c;

избыточное давление в трубопроводе рк

=

30,

= О, 1

конечное

МПа, плот­

ность нефтепродукта р = 840 кг1 мЗ, его динамическая
вязкость

11

=

4,2

мПа·с.

Сможет ли этот насос обеспечить перекачку нефтепро­
дукта?
Ответ: сможет.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1. Ответ неправильный. Вы не учли, что в формуле
Дарси~Вейсбаха есть несколько членов, зависящих от d.
2. Ответ правильный лишь частично. Как влияет подо­
грев жидкости на Л в квадратичной зоне сопротивления?
3. Ответ правильный. Чем резче изменение направле­
ния потока, тем больше зона его деформации и потери
энергии в ней.
4. Ответ правильный. Выразив в формуле Дарси~Вейс­
баха Л через Re, Re через d и v, а v через Q и d, полу­
чим формулу Пуазейля
~ 1l d 4 .

5.

Ответ неправильный.

---+ v ---+ Re ---+

6.

(4.4), из которой видно, что hд ~
Проследите зависимость

t ---+

Л.

Ответ неправильный. Подумайте, в каком случае де­

формация

потока,

а

следовательно,

и

потери

напора

больше?
7. Ответ неправильный. Вы не учли, что при ламинар­
ном движении Л тоже зависит от

d.

Ответ правильный. При подогреве жидкости ее вяз­
кость уменьшается. Следовательно, при постоянном рас­

8.

ходе (а следовательно, и средней скорости) Re возрастает .
Поэтому, как видно из формул (4.3) и (4.6), значение ко­
эффициента Л при ламинарном движении и в зонах гид­
равдически гладких и гидравлически шероховатых труб
уменьшается. Но в квадратичной зоне Л от

Re не зависит.
Следовательно, подогрев жидкости становится не нужным .
9. Ответ неправильный. В каком из этих случаев зона
деформации потока, где возникают вихри, более активна?
114

Глава

5

Г~АВЛИЧЕСКИЙРАСЧЕТПРОСТЬ~
НАПОРИЪ~ ТРУБОПРОВОДОВ

Простым называется трубопровод, не имеющий ответв­
лений и с постоянными по длине диаметром и расходом.
Длинным считается трубопровод, в котором потери напора
в местных сопротивлениях малы по сравнению с потерями

напора на трение по длине. В этом случае первыми или
пренебрегают, или учитывают их через суммарную экви­

валентную длину

L: lэкв,

1-5 %

составляющую обычно

от

реальной длины трубопровода 1. В коротком трубопроводе
оба вида потерь напора соизмеримы.

Самотечным

называется

трубопровод,

перемещение

жидкости в котором происходит только за счет сил веса.

При гидравлическом расчете трубопроводов использу­

ются уравнение Бернулли

(2.10), уравнение неразрывно­

сти и все понятия и формулы, рассмотренные в гл. 4. Та­
кой расчет может быть сведен к одной из трех основных
задач.

Задача

1.

Определение необходимого действующего на­

пора по заданным параметрам трубопровода и жидкости2 .

В
качестве примера
рассмотрим
трубопровод на
рис. 5.1.
Пусть жидкость с заданными свойствами (р, v или 11)
должна

перетекать

из

верхнего

резервуара

в

нижний

(уровни в которых считаются постоянными) с заданным
расходом

d,

д,

L:l;

Q

или

по трубопроводу с известными параметрами

L: lэкв.

l,

Давления р1 и р2 на свободных поверх-

1Для магистральных трубопроводов Еlэкв = 1+2 % от l.
2 Действующим напором Нд называется разность потенциальных
напоров для начального и конечного сечений потока, т.е. Нд = z 1 - z2 +

+Р1 - Р2.

pg

115

Рис.

!!!

1

Схема

бопровода

1

!!!
ностях жидкости известны.

=

5.1.

самотечноrо тру­

Примем,

2

например,

что Р1

= ра.
Определить требуемый действующий напор.

Р2

Реше1iие.

Уравнение

Бернулли

для

живых

сечений,

проходящих по свободным поверхностям жидкости в ре­
зервуарах, с учетом того, что Р1 = Р2 или v1 ~ v2 ~ О (из-за
больших площадей живых сечений) принимает вид 1

Н

д

=

Н = (л

.!.._ +

d

2

L ~ j vтр
) 2g

2

=

Л lпрvтр

(5.1)

'

d2g

где Vтр- скорость жидкости в трубопроводе.
Оно решается методами, рассмотренными в гл.

Задача
бопровода

4.
2. Определение пропускной способности тру­
Q по заданным параметрам его жидкости.

Рассмотрим методику решения этого типа задач при за­
данном значении Н и неизвестном значении

Q.

Реше1iие. Уравнение Бернулли по-прежнему имеет вид

(5.1), но определению подлежит Vтр, связанная с расходом
Q = VтрSтр. В общем случае решение этого

соотношением
уравнения

относительно

Vтр

затруднено,

стен вид зависимости и Л и L:~ от

Re,

так

как

неизве­

а следовательно, и

от Vтр.

Для преодоления этих трудностей существуют два спо­

соба- аналитический и графоаналитический.
Аналитически задача решается методом последователь­

ных приближений.

Он особенно прост и удобен,

если в

результате анализа исходных данных можно предположить

1Уравнение

116

(5.1) можно переписать для Q, заменив Vтр на Q/s.

d= const

d
Рис. 5.2. Гидравлическая характеристика простого трубопровода

Рис. 5.3. Графическая зависимость потерь напора в простом
трубопроводе от диаметра

или ламинарный режим движения, или квадратичную зону
сопротивления. Ориентировочным признаком первого яв­
ляется
кость

высокая

вязкость

жидкости,

жидкости,

значительная

второго

-

относительная

малая

вяз­

шерохова­

тость труб. Исходя из этих предположений, выражают Л

по формулам (4.3) или (4.7), а затем уравнение (5.1) раз­
решают относительно Vтр. Для проверки правильиости ре­

шения определяют

Re

и сравнивают его со значениями

Rекр или 500.:{_, в зависимости от выдвинутого предполоt.

жения.

Q,

если

Если предположение подтвердилось,
нет,

то

выдвигают

уточненное

определяют

предположение,

расчет повторяется и т.д .

Графоаналитический способ решения основан на пред­
варительном
построении
графической
зависимости

hпот( Q) ,

называемой

гидравлической

характеристикой

трубопровода. Для этого последовательно задаются рядом
произвольных значений

Q ---+ v ---+ Re ---+

Л

---+

Q,

по которым , используя схему

hпот, вычисляют соответствующие им

значения hпот. По этим данным строится график hпот( Q) ,
отложив на оси ординат которого известное значение Нд,
на оси абсцисс находят соответствующее ему искомое зна­
чение Q 1 (рис. 5.2)
1 Построение

характеристик трубопровода hпот(Q) и hпот(d) можно

реализовать с помощью компьютерных программ .

117

Задача З. Определение минимально необходимого
диаметра трубопровода по заданным действующему напо­
ру, параметрам жидкости и трубопровода, а также по тре­
буемой его пропускной способности.
Аналитическое решение при ручном счете затруднено,

так как в уравнение (5.1) искомый диаметр входит не
только явно, но и косвенно (от него зависят v, Л, и с;;).
При графоаналитическом способе, задаваясь рядом зна­

чений d и вычисляя по ним hпот, строят по этим данным
графическую зависимость hпот(d) и по этому графику
определяют значение

чине Нд (рис.

соответствующее заданной вели­

d,

5.3).

При решении задачи любого типа может оказаться, что
в каком-либо сечении трубопровода давление в жидкости

окажется меньше (или равным) давлению насыщенных ее
паров рп при данной температуре. В этом случае жидкость
вскипает,

и образуются полости, заполненные парами.
Сплошность потока нарушается. Такое явление называется
кавитацией. Для его предотвращения в трубопроводах,
работающих или при давлении ниже атмосферного (си­

фонные сливы, всасывающие линии насосных установок),
или

транспортирующих

сжиженные

>

поддерживать условие р

газы,

необходимо

рп для любого живого сечения,

где под р понимается абсолютное давление . Проверка вы­
полнения этого условия обычно проводится для «опасно­
го~ сечения,

т.е.

сечения,

в котором давление наименьшее.

Значения рп для некоторых жидкостей приведены в при­
ложении 4.

Вопросы для самопроверки

1.

Какие три основные задачи

рассматриваются

при

расчете трубопроводов?

2.

В

чем заключается сущность графоаналитического

метода расчета трубопроводов и какие задачи им реша­
ются?

3.

Какие признаки позволяют предположить ламинар­

ное движение жидкости

или квадратичную зону гидравли­

ческого сопротивления?

4. Что называется гидравлической характеристикой
трубопроводов и каков принцип ее построения?
118

3
н

1

1

Рис.

5.4.

К примеру

5.1

5. Каково дополнительное условие работы трубопрово­
дов, если они работают при давлении ниже атмосферного?
б. Какое живое сечение трубопровода называется опас­
ным?
ПРИМЕРЫ

Пример

5.1.

Насос (рис.

5.4)

подает дизельное топливо

(р = 840 кг lмз, v = 5,5·10-6 м 2 1 с) из нижнего резервуара
в верхний с расходом Q = 16 дмЗ 1 с, давление на поверх­
ностях жидкости в резервуарах одинаковое. Высота подъе­

ма топлива Н =

= 3 м. На всасывающей линии
установлены фильтр для свет­
лых нефтепродуктов и задвижка, на нагнетательной линии
(lн = 800 м, dн = 100 мм) эквивалентная длина местных
сопротивлений оценивается в 5 % от ее реальной длины.
Все трубы новые, сварные.

(lв =

10

м, dв =

20 м, Н1
125 мм)

Определить:

1)

напор, создаваемый насосом, и его полезную мощ­

ность;

2)

тип прибора (манометр или вакуумметр), установ­

ленного перед насосом в конце всасывающей линии.
Реше1iие.

напора

1.

Ннас

начального

Для

определения

запишем

1-1

уравнение

и конечного

3-3

создаваемого

баланса

насосом

напоров

для

живых сечений потока

119

Н нас -H-aнv~=h_
)v; +Лн dlпpv~
1 3 =(1"'в ЬL+"r
d
L., ~в
2g

где индексы

~в~

и

2g

в

~н~

н

2g

относятся соответственно к

1

(5.2)

всасы­

вающей и нагнетательной линии.
Найдем входящие в это уравнение неизвестные вели­

2.
чины.

Для всасывающей линии

Vв=Я=
Sв

= 13 м/с Re = vвdв = 1,3·0,125 = 2 9_103.

3
4 · 16·103,14·0,1252

'

'

5,5·10-б

V

'

'

режим турбулентный.
У становим зону сопротивления.

По приложению

т . е.

зона

д.=

1

0 05
1

-

сопротивления

мм. Тогда

гидравлически

шероховатые

трубы.

Ав = 01 11(~+~)
R~

0,25

=0 11

dв

Определим

1

значения

бS

(

29, б ·103

+

0 05 ] 0, 25
'
125

коэффициентов

=0 0251.
1

местных

тивлений (по приложению 2). Для фильтра ~ф =
задвижки ~з

=

О, 15; L:~в

= 1,85.

Для нагнетательной линии

- 2.... --

Vн -

Sн

4 ·16 ·10-3 2 3,14·10-

_ Vнdн _
R ен --v

а

н

= 1·
'

А

10-ин
Ll.

soorlн = 500
Ll.

120

2 04
1

2,04 ·О, 1 _
5,5 ·10-6

М

1 С,.

37. 103.
'

100
0,05

3
'

= 10- = 20-10 ·
100
о, 05

= 105· 10~ < Re < 500~;
'

Ll.

Ll.

сопро­

1 7 для
1

1

л =0,11 ( ~+~)
Rен

lпр

=
3.

lн

0,25

= 0,0242;

riн

+ 0,05lн = 800 + 800-0,05 = 840

Из уравнения

(5.2)

М.

имеем

Н

=Н+ анv~ + (~ ~ + l:c; Jv~ +Л lлр v~

н

2
( 00251____!Q_+185 ) ~+00242
2
=20+~+

нас

нас

dв

2g

19,62

'

в

н riн

2g

О, 125

'

= 20 + 0,21 + 0,33 + 43,09 = 63,6

.
2g '

19, 62

'

840 2 04 2
,
О, 1

19,62

=

м.

Попутно, сравнивая полученные значения входящих в

уравнения величин, видим, что скоростной напор (0,21 м)
по сравнению с Н и h1-з величина пренебрежимо малая
(около 0,3 % от их суммы).
4. Определим полезную мощность по формуле (2.13):
Nп

=

pgQHнac

= 840-9,81-0,016-63,6 = 8,39

кВт.

5. Определим тип прибора, установленного у насоса (в
сечении 2-2). Для этого составим уравнение Бернулли для
сечений 1-1 и 2-2.

откуда

Ра - Р2 = [-Н1 + ( Лв ~ + l:с;в J~ + а;:] pg =
= (- 3 + 0,33 + 0,09) -840-9,81 = - 21,3 кПа.
Если ра - Р2 - величина отрицательная, то Р2 > ра, т.е.
в сечении 2-2 - давление избыточное. Следовательно, в
сечении 2- 2 установлен манометр.

Пример

поступает

(рис.

5.2. Керосин (р = 780 кг/мз, v = 1,5-10-6 м2 /с)
из

резервуара

в

стояк

для

налива

цистерн

5.5). Разность нивелирных отметок уровня жидкости
121

Рис. 5.5. К при­
меру 5.2

в резервуаре и сечения выхода жидкости из стояка

2 1 - 22 =

= 8 м, трубы (/ = 300 м, d = 205 мм) стальные сварные
умеренно заржавленные.

Определить расход керосина.

Реше1iие.

1-1

и

2-2,

Составим уравнение Бернулли для сечений

1.

считая, что Р1 = Р2 = ра, v1 ~О,
2

a2v2
21 - 22 - --

2g

h1-2 -- h тр + h м

или

(5.3)
2.

Используя приложения

1

и

2,

определим

11

и

L:(

11 = 0,5 мм; L~ = ~вх + L~уч +~зад= 0,5 + 1,32-3 +
+ 0,15 = 4,61,
где ~вх, ~уч, ~зад - коэффициент местных сопротивлений
входа в трубу, соединительных угольников и задвижки
соответственно.

3. Так как жидкость маловязкая (для воды v ~ 10-6 м 2 /с)
и эквивалентная шероховатость трубы значительна (см.
приложение 1), то предполагаем квадратичную зону со­
противления и решаем задачу аналитическим способом.

В этом случае а ~
муле (4.7)

Л=0,11 (%Г
122

25

1

(режим турбулентный), а по фор­

=0,11(0,5/205) 0•25 =0,0244.

4.

Подставив найденные значения в уравнение

разрешив его относительно

v2,

2. 9 81· 8

300

и

s

1, 9 м 1 с.

=

0,0244-- + 4,61 + 1
0,205

S.

(5.3)

получим:

Проверим правильиость предположения квадратич­

ной зоны сопротивления.

Re= vd = 1' 95 · 0, 205
=2 бб-10 5 · 500~=500 205 =2 05-105.
6
v

1, 5 . 1о-

'

'

о, 5

"'

Предположение справедливо, так как

'

d

Re > 500-.

"'

б. Определим расход жидкости

Q = v2 . s = 1, 95. 3, 3 ·1 о- 2 = б, 44 ·1 о- 2 м/ с = б4,4 дм 3 1 с.
Пример 5.3. По сифонному сливу (/ = 50 м, d = 100 мм,
11 = О,Об мм) подается топливо (р = 840 кг /мз, v =
= S, 5·1 о-6 м 2 /с) при разности отметок уровней в резервуа­
рах Н 1 = 1,38 м (рис. S.б). На сливе имеются фильтр для
светлых нефтепродуктов, два колена и вентиль; Н2 = 3 м,
Нз = 2 м, давление насыщенных паров при температуре
перекачки рп = 2 кПа, ра = 1о5 Па.

1

1

J_

!
~

t--

~--

----''---+-------'1

1-----Рис. 5.6. К при­
меру 5.3

t-----·

123

Определить расход жидкости и проверить условие нор­

мальной работы сифона.
PeшeJiue .

1.

Составим уравнение Берну лли для уровней

жидкости в резервуарах:

где Vтр- средняя скорость жидкости в трубопроводе.
Жидкость маловязкая,

2.

вероятен турбулентный

ре­

жим, поэтому значения с; для фильтра, колена, задвижки

и выхода из трубы определяем по приложению
l;ф =

1,7;

L:c:; =

1,7 + 0,46 + 0,15 + 1 = 3,31.

3.

2l;к =

0,46;

l;зад =

0,15;

l;вых =

2:

1;

Решим задачу графоаналитическим способом.

емся рядом значений

Q

Зада­

и определяем соответствующие им

величины hпот:

Q,

мЗ / с

.. ....... ......

hпот, М ..................

График

О, 004
0,26

0,006
0,54

0,008
0,92

0,010
1,38

0,012
1,93

= h(Q)

0,014
2,57

строить не нужно, так как при
мЗ / с, hпот = Н1 = 1,38 м. Следовательно,

=

h

0,01
10 дмЗ / с.

Q
Q

Проверка подтверждает, что Re = 23150 > Rекр.
4. Проверим выполнение условия нормальной работы
сифона.
« Опасным~
сечением,
где давление должно
быть
наименьшим, будет живое сечение в конце горизонтально­
го участка слива как наиболее удаленное от начала движе­
ния из всех наиболее поднятых сечений. Уравнение Бер­
ну лли для сечений на поверхности жидкости в верхнем
резервуаре и

«опасного~ имеет вид

где рап - абсолютное давление в «опасном ~ сечении.

5.
ние

124

Определим величины а, Vтр, Л, входящие в уравне­

(5.4):

Vтр

= 4Q / (nd 2) = 4·0,01 / (3,14·0,1 2 ) = 1,27

м / с;

Re = vd / v = 1,27·0,1 / (5,5-10-6) = 2,3· 104;

10d / ~ = 10·100/ 0,06 = 1,6·104; 500d / ~ = 500·100/ 0,06 =
=

8,3·105 ;

10d/~ < Re < 500d/~; А= 0,11(68 / Re
=

0,11(68/ 2,3·104 + 0,06/ 100) 0,25

а~

1 (Re >

=

+ ~ / d) 0 ,25 =

0,0268;

Rекр ).

б. Из уравнения

(5.4)

имеем

Vтр
2 ]
Роп = Ра - [ Н2 + (А l-H2-H1-H
d
+ ~Ф +~к +а) 2g
pg =

=

105 - [3 +(о 0269
'

Так как рап

43 62
,
0,1

>> рп,

+2 93)
'

1 272
'
] 9 81· 840 =
19,62 '

65 3
'

кПа.

то сифонный слив работать будет.

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос
Жидкость

из

сифонному
давления

резервуара

(рис.

сл иву

в

Ответ

сечениях

верхиости (А-А)
трубе (В-В)

и

на

на

вытекает

с вободной

том

по

Сравните

5.7).
же

по-

уровне

Код

РА

= РВ

1

РА

> Рв
< Рв

4
7

РА

в

с
;'.- ·
1

с·~
1

в !В

А
-

1

А

-

1
1

-- 1 --------

DtD
1

Рис.

По сифонному сливу (см. рис .
ЗИН

пер еливается

из

верхней

5.7
5.7)

бен-

емкости.

Трубы , бывшие в употреблении , разность
уровней в емкости и на выходе из трубы
соизмерима

с

длиной

труб.

Каков

вид

zА - zc + РА - Ре pg

av 2

-2g = hA_c;

2

Л =

125

Вопрос

Код

Ответ

записи уравнения Бернулли и предпола-

= 64/ Re;

гаемая формула для определения Л, если ZA - ZD
необходимо найти расход ?
= 64/ Re

=

hA- D; Л

=

a.v2
ZA-ZD-7;j=hA - D;

Л = О , 11 (6/

5

8

d)0,25

Для подъема воды из колодца с глубины

1

h = 30 м предложены два способа .
1. У становить насос на поверхности

2

б

Оба

9

воды

3

в колодце.

2.

Установить насос на поверхности зем­

ли,

спустив

трубу (рис.

в

колодец

всасывающую

5.8) .

Каков из способов пригоден?

t

,..

~)
.

· -·-·

----=гi~н

h

----- !~~---+-----~--

!t- -

---1~--

Рис.

5.8

ЗАДАЧИ

Задача 5.1. Минеральное масло (р = 810 кг / мз, v =
= 3·1 о-4 м2 / с) перекачивается из открытого резерв~ ара
(см . рис . 5.8) потребителю с расходом Q = 7,55 дм / с .
Высота всасывания h = 2 м, показание вакуумметра , уста­
новленного в конце всасывающей линии (/ = 10 м, d =
= 80 мм, трубы сварные новые), рв = 49 ,1 кПа.
Определить

суммарный коэффициент местных сопро­

тивлений на всасывающей линии .

Ответ : L:~кв =
Задача 5.2.
700 кг / мз, v

14, 1.

Насос (см . рис . 5.8) подает бензин (р =
= 7·10- 7 м 2 / с) из подземной емкости с из­
быточным давлением ри = 1О к Па. На всасывающей линии

126

насоса (l = 8 м, d = 150 мм, трубы сварные бывшие в экс­
плуатации) имеются местные сопротивления: фильтр, ко­
лено, задвижка. Расход Q = 2-10-2 мЗ 1 с, к.п.д. насоса
'llнac =О, 7, мощность на его валу Nнас

= 16,8

кВт.

Определить:

1) максимальную высоту всасывания h при условии,
вакуум у входа в насос не должен превышать рв =
= 40 кПа;
2) напор, создаваемый при этом насосом в нагнетатель­
что

ной ЛИНИИ Нна:г.

Ответ:

h

=

7

м; Нна:г:::::

94,5

м.

Задача 5.3. По горизонтальному трубопроводу (l =
= 200 км, d = 205 мм, трубы бесшовные новые) перекачи­
вается нефть (р = 824 кг lмз, v = 5-1 о-б м 2 1 с) с расходом
Q = 40 дмЗ 1 с. Суммарная эквивалентная длина местных
сопротивлений lэкв = 0,021.
Определить необходимое число насосов n и расчетное
расстояние между ними на трассе

L,

если каждый насос

способен создать напор Ннас = 360 м, а давление на входе
в насосы и на выходе из трубопровода ри = 485 кПа.
Ответ: n = 5; L = 40 км.

Задача 5.4. По результатам, полученным в задаче 5.3,
построить график изменения полного напора по длине
трубопровода и по нему определить давления в сечениях,
отстоящих на 50 км, 100 км, 150 км от первого насоса.

Задача 5.5. По трубопроводу (l
трубы сварные новые), профиль

= 3300 м, d = 125 мм,
которого

показан

на

5.9, перекачивается вода при t = 20 ос с расходом
Q = 15 дмЗ 1 с. Нивелирные отметки от плоскостиО-О zл =
= О, zв = 20 м, zc = 105 м, длина участков: АВ - 950 м,
ВС - 2350 м, конечное избыточное давление ре = 50 кПа.
рис.

Пренебрегая

потерями

напора

в

местных

сопротивле­

ниях, определить избыточные давления на насосе (в точ­
ке А) и в точке В и построить напорную линию (график
изменения полного напора по длине трубопровода).

Рис.

5.9.

К задаче

5.5

о

А~

с

о

127

Пояснение: используется приложение

4.
1,46 МПа; Рв = 1,15 МПа.
Задача 5.6. Нефтепровод (/ = 350 км, d = 529 мм, тру­
бы сварные новые) должен перекачивать 8 млн т нефти
(р = 880 кг/ мЗ, v = 1о- 4 м 2 / с) в год (расчетное число
дней работы 350). Разность нивелирных отметок начала и
конца трубопровода Zt - 22 = -55 м, эквивалентная длина
местных сопротивлений lэкв = 1 % от l, избыточное давле­
Ответ: РА =

ние в конце каждого перегона (перед следующей насосной
станцией и в конце трубопровода) ри = 0,45 МПа, избы­
точное давление, развиваемое каждой насосной станцией
рнас
5,3 МПа.
Определить требуемое число насосных станций и по­

=

строить напорную линию.

Ответ:
Задача

n = 4.
5. 7. Вода

при

t

= 20

ас вытекает из открытого

резервуара по горизонтальному трубопроводу (/ = 50 м,
d = 100 мм, трубы сварные умеренно заржавленные, L:c;; =
= 5) в атмосферу под напором Н= 6 м.
Определить расход.

Ответ: 18,8 дмЗ / с.

Задача 5.8. Топливо (р

= 819

кг / мЗ, 11

= 1,5-1о-З

Па-с)

вытекает в атмосферу из резервуара с постоянным уров­
нем Н
5,6 м и избыточным давлением на поверхности
жидкости ри = 1О к Па) по горизонтальному трубопроводу
(l = 30 м, d = 80 мм, трубы сварные бывшие в употребле­

=

нии,

L:c;; = 3).

Определить расход.

Ответ: Q = 14,8 дмЗ / с.

Задача 5.9. Минеральное масло (р = 835 кг / мз, v =
1,7-10-4 м2 / с) по трубопроводу (l = 25 м, d = 100 мм,
трубы сварные новые) вытекает из открытого резервуара с
постоянным уровнем над входом в трубу Н = 3, 2 м в атмо­
сферу. Местными сопротивлениями являются вход в тру­
бу, вдающуюся внутрь резервуара, и открытая задвижка,
разность нивелирных отметок начала и конца трубопрово­
да дг = 1 м.
Определить расход масла.
Пояснение: рекомендуется в первом приближении
аналитически найти расход без учета местных сопротивле-

128

ний,

а

затем

повторно решить

задачу с учетом

режима

движения жидкости.

Ответ: Q = 17,7 дмЗ /с.
Задача 5.10. Пользуясь данными задачи 5.9, определить
(без учета местных сопротивлений), каким должен быть
диаметр трубопровода для получения расхода Q = 15 дмЗ/с.
Ответ: d = 0,09 м.
Задача 5 .11. Для поддержания пластового давления
при добыче нефти в нагнетательную скважину (рис. 5.10)
глубиной Н = 2000 м по насосно-компрессорным трубам
(d = 10 см, 11 = 0,5 мм, lэкв = 0,02 Н) закачивается 30 л/ с.
Забойное избыточное давление рз = 25 МПа.
Определить показание устьевого манометра М (рм) и
полезную мощность, затрачиваемую при закачке, Nп.

Ответ: рм =

5,8

МПа; Nп =

175

кВт.

Задача 5.12. По условию задачи 5.11 определить, ка­
ким должно быть относительное изменение диаметра
насосно-компрессорных труб d2/ d1, чтобы при том же
устьевом и забойном давлениях расход воды можно было
увеличить в Q2/Q1 раз. Состояние труб одинаково.

ответ: d2 1 d1 =

VQ] 1 Qf .

52
'

Задача 5.13. Бензин (р = 710 кг /мз, v = 6-10- 7 м 2 1 с)
подается

через

промежуточную

емкость

которой лежит ниже оси насоса на
Расход бензина Q = 50 дмЗ /с,
диаметр труб d = 150 мм, их эк­
вивалентная шероховатость 11 =
= О, 15 мм, длины участков / 1 =
= 200 м, !2 = 100 м, эквивалент­

h

=

в

основную,

дно

S м (рис. 5.11).

ная длина местных сопротивлений

lэкв =
паны

рах

S

% от /.

Дыхательные кла­

поддерживают

постоянное

ление ри =

2

в

резервуа­

избыточное

дав­

кПа, максимальная

высота налива Н2 = б м, показа­
ние

вакуумметра

насос рв =
Рис.

1О

В

у

входа

в

к Па.

5.10.

К задаче

5.11

.

. . . . . . .

//?7//7?77777?777777777

129

Рис. 5.11. К за­
даче 5.13

Определить

(к.п.д. насоса

максимальную

мощность

на

валу

насоса

= О, 75) и максимальный уровень бензина
в промежуточной емкости Н 1.
Ответ: Nнас = 9,05 кВт; Н1 = 6,6 м.

11

Задача 5.14. Вода (v = 10-6 м 2 /с) из озера (рис. 5.12)
по самотечному трубопроводу

(/ = 50 м, d = 265 мм) по­
ступает в береговой колодец, откуда насосом передается в
промысловый водопровод. Подача насоса Q = 60 дм 3 /с,
его всасывающая линия (/в = 15 м, dв = 200 мм) имеет
всасывающую коробку с обратным клапаном, колено и вен­
тиль. Все трубы сварные умеренно заржавевшие, h = 3 м.
Определить вакуум в трубе перед насосом.
Ответ: рв = 48,6 кПа.

t

/

130

Рис. 5.12. К за­
даче 5.14

Задача 5.15. По данным задачи 5.14 определить, какой
минимально необходимый диаметр должна иметь самотеч­

ная труба, если при неизменных полных потерях напора
ее длина должна быть увеличена в

2,2 раза.
d = 300 мм.
Задача 5.16. Насос, перекачивая мазут (р = 970 кг/ мз,
v = 4-10-4 м2 / с) по трубопроводу (l = 1200 м, трубы свар­
ные новые), может создать напор Ннас = 100 м при Q =
= 28 дмЗ / с. Разность нивелирных отметок начала и конца
Ответ:

трубопровода ~ = -5 м, конечное избыточное давление
ри = 5 кПа, эквивалентная длина местных сопротивлений
lэкв
5 % от l.
Определить минимально необходимый диаметр труб.

=

Рекомендация:
собом.

задача решается аналитическим спо-

Ответ:

d =О, 154 м.
Задача 5.17. При перекачке нефтепродукта (р =
810 кг/ мз, v = 3-1o-s м"2 / с) с подачей Q- 60 дмЗ / с
насос создает напор Ннас = 75 м. Конечное давление в го­
ризонтальном продуктоправоде (/ = 2 км, трубы сварные
новые, lэкв = 2,5 % от l) ри = 150 кПа.
Определить диаметр труб.
Ответ:

d =О, 18 м.
5.18. Топливо

Задача
Т-1 (приложение 4) при t = 40 ас
перетекает из верхнего резервуара в нижний (см. рис. 5. 6)

по сифонному сливу (l

= 30 м, d =50 мм, трубы сварные с

незначительной коррозией ). Местные сопротивления пока­
заны на рис. 5.6, атмосферное давление может колебаться
в пределах от 97 до 103 кПа. Длина горизонтального
участка 16 м, Н 1 может изменяться от 4,1 м в начале слива
ДО 3,1 М В КОНЦе, Н2- ОТ 2 ДО 2,5 М.
Определить максимальный и минимальный расходы и

проверить работоспособность сифона в худших условиях.
Инерционными эффектами пренебречь. Принять Нз =

3

м.

Ответ: Qmax = 3,9 дмЗ / с ; Qmin = 3,4 дмЗ / с; сифон ра­
ботать будет.

Задача

5.19.

перетекает из

Топливо Т-1 (приложение

4) при t

=

20

ас

открытого верхнего резервуара в нижний

(см. рис. 5.1) , давление в котором может меняться от ри =
=50 кПа до рв = 40 кПа. Соединительная труба ( l = 100 м ,

131

d

=

100

мм, трубы сварные новые) имеет местные сопро­

тивления (L:t; = 20); Н= 5 м.
Построить график Q = Q(Нд) и определить по нему Q
при рв

= 31,3

кПа.

Ответ: Q = 16 дмЗ /с .
Задача

5.20.

По условиию задачи

5.14

(см. рис.

5.12),

=

но при t
30 ас определить, при какой степени закрытия
задвижки у входа в насос начнется кавитация. Атмосфер­
ное давлениера
98 кПа.

=

Пояснение:

недостающие

данные

можно

взять

из

приложений
Ответ:

2, 4.
0,3 > n > 0,2.

Задача 5.21. Насос (см. рис. 5.4) при нормальной ра­
боте может создать в конце всасывающей линии (в сече­
нии 2-2) вакуум не более рв. Данные о всасывающей ли­
нии (d, ~~ L:t;) и о жидкости (Q, 11, р) и Ht имеются.
Какова может быть максимальная длина этой линии?

Ответ: l = [(Н 1 + рв / (pg) )2g / v 2 -

L:t;- a]d / Л.

Задача 5.22. Топливо Т-1 при t = 40 ас (см. приложение 4) по сифонному сливу (/ = 12 м, d = 50 мм, трубы
сварные новые) подается из резервуара (см. рис. 5. 7) с
постоянным уровнем zл

-

zп

= 5,1

м. Местные сопротив­

ления показаны на рисунке, истечение- в атмосферу.

Какое давление ри необходимо создать в резервуаре над

жидкостью, чтобы расход равнялся 7,85 дмЗ / с?
Ответ: ри

= 10

кПа.

Задача 5.23. По трубопроводу (! = 300 м, d = 100 мм,
трубы сварные умеренно заржавевшие, L:t; = 18) вода при
t = 1О ас подается к пожарному брандспойту (конической
трубке с цилинд~ическим наконечником - соплом) с рас­
ходом Q = 20 дм / с (рис. 5.13). Превышение обреза соп­
ла над осью трубопровода h = 3 м.
Определить необходимый диаметр сопла

dc

и избыточ­

ное давление в начальном сечении трубопровода ри, исхо­
дя из условия,

что

струя воды

должна достигать высоты

Н = 15 м. Сопротивление воздуха снижает ее на
Ответ: dc = 36 мм; ри = 554 кПа.

20

%.

Задача 5.24. По трубопроводу (! = 20 км, трубы бес­
шовные, бывшие в эксплуатации, lэкв = 3 % от /) пере-

132

/ 1'\.
- -----

f-

-

г--

..::::

г--

-

г-

м

..::::
-

Рис.

5.13.

К задаче

Рис.

5.23

5.14.

К задаче

'-----

5.26

качивается бензин (Q = 118 л/с, р = 720 кг/мз, v =

= 4,5·10- 7 м 2 /с), превышение конечной точки трубопрово­
да над начальной Zк - Zн = 120 м, конечное избыточное
давление рк = 105 Па, напор, создаваемый насосом, Ннас =
= 264 м.
Определить диаметр трубопровода.
Ответ: d = 316 мм.
Задача 5.25. До какой температуры должно быть подо­
грето масло МС-20 (приложение 4), чтобы оно по трубо­
проводу (/ = 60 м, d = 80 мм, трубы сварные новые) пере­
текло из верхнего резе~вуара в нижний (см. рис. 5.1) с
расходом Q = 8,65 дм /с. Известно, что р 1 = 50 кПа,
р 2 = 34,4 кПа, Н = 3 м. Местными сопротивлениями пре­
небречь.

По я с н е н и е:

решение

можно

получить

или

аналити­

ческим способом, или построив график зависимости hд =
= hд(v).
Ответ: t ~ 25 °С.

Задача

5.26.

Сливное сифонное устройство (рис.

для периодического

автоматического

5.14)

слива накапливающе­

гося в :Резервуаре соляного раствора (р = 1050 кг/ м 3 , 11 =
= 2-10- Па-с) имеет общую длину l = 20 м при
h2 = 5 м, d = 50 мм, L1 = 1 мм, I~ = 3.

h1 = 3,5

м,

Определить максимальный (при начале слива) и мини­
мальный (перед отключением) расход жидкости в сливном
сифоне. Известно, что Q1 << Q2.

133

Пояснение:

сифонный слив начинает работать пол­

ным сечением при заполнении его жидкостью и прекраща­

ет при прорыве в него воздуха через верхний конец; инер­
ционными эффектами пренебречь.

Ответ: Qшах =
Задача

5.27.

5,66

л/с; Qшin =

4,34

л/ с.

Последовательная перекачка бензина и ди­

зельного топлива состоит в том,

что для их транспортиров­

ки используется один и тот же трубопровод. При этом пар­

тия бензина вытесняется партией дизельного топлива, ко­
торая в свою очередь опять вытесняется бензином. В не­
который момент времени на участке горизонтального тру­
бопровода (диаметр d = 530 мм, длина l = 120 км, абсолют­
тная шероховатость д. = О, 2 мм), первые 30 км заполнены

дизельным топливом (рт = 840 кг/ мЗ , vт = О, 05 см 2 / с),
остальные 90 км заполнены бензином (рб = 730 кг/ мЗ, vб =

= 6-1о-з см2 / с).
Q = 1000 мЗ / ч.

Напор в начале участка Н = 600 м, расход

Найти напор в конце участка трубопрово­

да. Объемом области смеси в зоне контакта пренебречь.
Ответ: Нк
377 м.

=

Коl\ШЛексная задача по гидравлике
«Расчет циркуляционной установки»

Для циркуляционной установки (рис. 5.15) требуется:
1) определить геометрическую высоту всасывания насо­
саН2;

2) определить показания дифманометра (или дифпье­
зометра) скоростной трубки по заданной плотности жид­
кости в нем Р2; 1

3) построить эпюру скоростей для сечения в месте
установки скоростной трубки;
4 ) определить показание ртутного дифманометра расхо­
домера Вентури (hвен) , диаметр узкого сечения которого
(dвен) и коэффициент расхода (j.tвен) заданы (для вариан­
тов 1-10 и 21-30);
5) определить установившийся уровень жидкости в
промежуточной емкости (Н 1), диаметр насадки которой
(dнас ) и его коэффициент расхода (f.Lнac) заданы;
1В верхней части пьезометра находится воздух, плотность которого
в таблице условно обозначена

134

-«01> .

i

ltol

2

1~

6

WL

hвен

d2

1

i

ls

i

~]
7 -'N-dнac

Рис.

5.15.

Циркуляционная установка

определить разность показаний манометров Рм2

6)

и

Рм1;

7) определить суммарные потери напора в местных со­

противлениях в нагнетательной линии и их суммарную
эквивалентную длину;

8) определить необходимый диаметр самотечного трубо­
dc, обеспечивающий установление заданного по­

провода

стоянного уровня в верхнем резервуаре Нз; 1
9) определить минимальную толщину стальных стенок
трубы

d2,

при которой не происходит ее разрыва в момент

возникновения прямого гидравлического удара;

1О) определить полезную мощность насоса.
Описание установки. Жидкость по самотечному трубо­
проводу поступает из верхнего резервуара А в нижний ре­
зервуар В, откуда насосом

4

перекачивается в промежу­

точную емкость С и из нее выливается в резервуар А.

На всасывающей линии насосной установки

всасывающая коробка с обратным клапаном
колено

2,

1,

имеются

поворотное

задвижка З, вакуумметр рв.

На нагнетательной линии установлены манометры Рм1,

Рм2, РмЗ, скоростная трубка
Промежуточная емкость
док

5

и расходомер Вентури б.

С в донной

части имеет

наса­

7.

Параметры

установки и

жидкости.

Известные вели­

чины.

Варианты

1-10.

Физические

1.

свойства

перекачиваемой

жидкости

(плотность р1, кинематический коэффициент вязкости v1).
2. Длины участков всасывающей и нагнетательной ли­
нии

li,

их диаметры

d1, d2,

эквивалентная шероховатость

стенок труб с диаметрами d1 и d2 одинакова и равна~.
3. Длина lc эквивалентная шероховатости ~с самотечно­
го трубопровода, суммарная эквивалентная длина всех его
местных сопротивлений lэкв и высота Нз между постоян­
ным уровнем жидкости в верхнем резервуаре А и осью
насоса.

4.

Коэффициент местных сопротивлений, установлен­

ных на всасывающей линии (коробки с;кор, колена с;кол,
задвижки с;зад).
1Выполняется с использованием программы hпот(d) на компьютере.

136

У становившийся уровень жидкости в промежуточной

5.

емкости Н 1, диаметр и коэффициент расхода насадка

d нас,

r..tнac.

Показания вакуумметрарви манометра рм.

6.

Варианты

11-20.

Физические

1.

свойства

перекачиваемой

жидкости

(плотность Р1, кинематический коэффициент вязкости v1).
2. Длины участков всасывающей и нагнетательной ли­
ний

li,

их диаметры

d1, d2,

эквивалентная шероховатость

стенок труб с диаметрами d1 и d2 равна д.
3. Длина lc эквивалентная шероховатость де самотечно­
го трубопровода, суммарная эквивалентная длина всех его
местных сопротивлений lэкн и высота Нз между постоян­
ным уровнем жидкости в верхнем резервуаре А и осью
насоса.

Коэффициенты местных сопротивлений, установлен­

4.

ных на всасывающей линии (коробки с;кор, колена с;кол,
задвижки с;зад) .
Показания ртутного дифманометра hнен расходомера

5.

Вентури, диаметр узкого сечения которого dвен и коэффи­
циент расхода /.Lнен заданы.

Показания вакуумметрарви манометра Рм1·

6.

Варианты

21-30.

Расход жидкости Q и ее физические свойства (плот­
ность р1, кинематический коэффициент вязкости vt).

1.

Длины участков всасывающей и нагнетательной ли­

2.
нии

li,

их диаметры

d1

и

d2 ,

эквивалентная шероховатость

стенок труб с диаметрами d1 и d2 равна д.
3. Длина lc, эквивалентная шероховатости де самотеч­
ного трубопровода, суммарная эквивалентная длина всех

его местных сопротивлений lэкн и высота Нз между посто­
янным уровнем жидкости в верхнем резервуаре А и осью
насоса.

4.

Коэффициенты местных сопротивлений, установлен­

ных на всасывающей линии (коробки с;кор , колена с;кол,
задвижки с;зад).
5. Показания вакуумметра рв и манометра рм1.
Исходные данные для вариантов 1- 30 приведены
табл.

в

5.1-5.3.
137

Таблица

5.1

Исходные данные для вариантов
Номер

Вариант
Величина

п/п

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

1

2

3,80
0,5
11, м
10
12, м
8
1з, м
3
14, м
1
1s, м
3
16, м
100
17, м
50
1s, м
5
190
19, м
110, м
3
1с, М
20
2
1 экв, м
d1, мм
81
d2, мм
68
dвен, ММ
30
dнас, ММ
30
/1., мм
о, 1
/l.c, ММ
0,2
10
~кор
1
~кол
2
~sад
р1, кгjмЗ 760
v1, см2/с 0,007
Н1, м
Нз, м

р2, кгjмЗ
~на с
~ен

рв, кПа

рм1, кПа

4,20
0,8
12
8
5
2
10
75
50
7
180
8
25
5
75
60
30
35
О, 15
0,3
8
1,2
2
1000
0,01
о
800
0,82 0,8
0,94 0,97
40
67
145 400

3

5

4

4,45
1,0
15
7
4
4
8
100
50
10
190
12
20
2
81
68
40
40
0,25
0,4
10
1,5
1
800
0,06

3,85
1,2
10
8
8
3
5
125
50
9
200
15
25
4
100
75
40
45
0,35
0,5
6
1,2
1,5
900
о, 1
о
75 0
0,85 0,87
0,94 0,98
54
61
420 450

6

п/п

9

10
3,55
3,5
15
9
6
7
9
175
50
7
310
16
70
7
205
159
70
75
0,6
0,6
15
1,5
2
900
о, 13
740
0,95
0,92
41
350

5.2
11-20

Вариант

Величина

8

3,52 3,0 4,30 3,80
1,8 2,0 2,5 3,0
15
12
8
8
7
6
8
6
4
7
8
3
1
4
6
5
7
3
8
9
100 100 150 125
50
50
50
50
8
5
10
6
210 220 280 250
14
4
15
16
45
50
55
60
4
5
3
6
110 110 159 159
100 100 125 125
50
50
60
60
60
70
65
70
О, 1
0,2 0,4 0,5
0,2 0,3 0,4 0,5
10
12
7
5
0,5
1 0,8
1
1,5
1
2
2
750 850 870 850
0,02 0,05 0,12 0,06
о
700 730
о
во
0,8 0,85 0,75 0,82 0,9
0,97 0,94 0,96 0,95 0,95
47 47
61
54
65
420 240 350 340 220

Таблица

ме р

7

4,65
1,5
9
6
5
2
10
75
50
7
190
8
40
5
100
81
50
50
О, 15
0,2
7
0,6
1
1000
0,01

Исход ные данные для вариантов
Но-

1-10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1 р1, кгjмЗ 800 900 760 900 850 850 1000 1000 870 750
2 v1, см2/с 0,06 о, 1 0,007 о, 13 0,05 0,06 0,01 0,01 о, 12 0,02
10
10
12
12
15
15 15
3 11, м
9
8
8
138

Продолжение
Но~
мер

Величи~
на

п/п

4 12,
5 1з,
б

7
8
9
10
11
12
13
14
15

та б л.

м
м

14, м
1s, м
16, м
17, м
18, м
19, м
1to, м
1с, М
1экв, М

dt, мм
1б d2, мм
17 11, мм

18 L'>e, ММ
19 Нз, м
20 ~кор
21 ~кол
22 ~зад
23 dве:н, ММ
24 hве:н, ММ

5.2

Вариант

11

12

7
4
4
8
100
50
10
100
12
20
2
81

8
8
3
5
125
50
9
200
15
25
4
100
75
б8
0,25 0,35
0,4 0,5
1,0 1,2
10
б
1,5 1,2
1,0 1,5
40
30
б92
315

13

14

15

8
3
1
3
100
50
5
190
3
20
2
81

9

б

б8

1
0,2
0,5
10
1,0
2,0
30
о,

1бб

4
7
4
9
8
175 100
50 50
7
10
310 220
1б
14
70 50
7
3
205 110
159 100
О,б
0,2
О, б
0,3
3,5 2,0
15
7
1,
1
2,0 1,0
70 50
340 4б7
б

16

17

18

19

20

б

8
5
2
10
75
50
7
180
8
25
5
75

б

8
7

7
3
1
3
100
50
5
210
4
45
5
110
100
О, 1
0,2
1,8
5
0,5
1,5
50
349

8
5
9
125
50
8
250

5
2
10
75
50
7
190
1б
8
40
бО
б
5
159
100
125 б О
81
0,5 о, 15 О, 15
0,5 0,3 0,2
3,0 0,8 1,5
12
8
7
1
1,2 О , б
2,0 2,0 1,0
бО
30
50
430 39б 215

б

7
150
50
б

280
15
55
4
159
125
0,4
0,4
2,5
10
0,8
2,0
бО
28б

рт.ст

25

J.le:н

2б р2, кг;мз

27
28
29
30

рв, кПа

рм1, кПа

dнае , ММ
J.lнae

0,94 0,98 0,94 0,92 0,9б 0,95 0,97 0,97 0,95 0,94
о
750
о
740 700 о
800 800 730
о
40
40 54
47
54
б1
б1
б7
б1
б5
420 450 145 350 340 220 380 420 340 240
40
70
70 35
45
30
75
50
бО
б5
0,85 0,87 0,82 0,95 0,75 0,9 0,8 0,8 0,82 0,85
Таблица

5.3

Исходные данные для вариантов
Но~
мер

п/п

Величи на

21-30

Вариант

21

22

23

24

25

26

1
2
3
4
5

7
22
15 10
5
35
Q, л/ с
pt, кгjмЗ 1000 850 1000 800 750 900
vt, см2/с 0,01 0,05 0,01 О,Об 0,007 о, 13
11, м
12
15
9
15
10
15
12, м
7
8
б
б
8
9

б

1з, м

5

4

5

4

3

б

27

28

29

30

25
20 12 30
870 750 900 850
о, 12 0,02 о, 1 О,Об
12
8
10
8
7
б
8
8
7
8
8
3
139

Продолжение табл .
Но-

на

цlп

7
8
9
10
11
12
13
14
15

14, м
1s, м
lб, м

17, м
18, м
19, м
110, м
1с, М
1жв, М

1б

d1, мм
17 d2, мм

18
19
20
21
22
23
24
25

д, мм

де, ММ

Нз, м

l;xop
l;хол

l;заа
рв , кПа
рм1 , кПа

2б dвен, ММ

27
28
29
30

Вариант

Величи-

мер

IJ.вен

р2, кrjмЗ
dнас, ММ
!!нас

5.3

21

22

2
10
75
50
7
180
8
25
5
75

23

4
2
10
8
100 75
50 50
10
7
220 190
14
8
50
40
3
5
110 100
100 81
бО
о, 15 0,2
о, 15
0,3 0,3 0,2
0,8 2,0 1,5
8
7
7
1,2
1
О,б
2
1
1
48
54
б5
390 340 420
30
50 50
0,97 0,9б 0,97
800 700 800
70
50
35
0,8 0,75 0,8

24

25

26

4
8
100
50
10
190
12
20
2
81

1
3
100
50
5
190
3
20
2
81

7
9
175
50
7
310

б8

б8

1б

70
7
205
159

27

28

29

30

б

1
3
100
50
5
210
4
45
5
110
100
о, 1
0,2
1,8
5
0,5
1,5

3
5
125
50
9
200
15
25
4
100
75
0,35
0,5
1,2

5
9
125
50
8
250

7
150
50
б

290
15
55
4
159
125
0,4
0,4
2,5
10
0,8
2
47
340

0,25 О, 1 О,б
0,4 0,2 О , б
1,0 0,5 3,5
10
10
15
б
1,5
1
1,5
1,2
1
2
2
1,5
54
40
40
б1
61
410 145 350
240 450
30
30
70
бО
50 40
0,94 0,94 0,92 0,95 0,94 0,96
о
о
740 730
о
750
40
30
75
б5
бО
45
0,85 0,82 0,95 0,82 0,85 0,87

1б
бО
б

159
125
0,5
0,5
3,0
12
1
2
б1

220
бО

0,95
о

70
0,9

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. В п. 2) в случае, если используется дифпьезометр,
плотностью воздуха в нем пренебрегают.

2. В п. 3) приводится таблица расчета местных скоро­
стей и эпюра, построенная по данным таблицы 1 .
3. В п. 4) суммарные потери напора в местных сопро­
тивлениях определяются из уравнения Бернулли,

выбор

сечений для которого должен быть обоснован.
4. В п. 8) необходимый внутренний диаметр самотечно­
го трубопровода определяется путем исследования зависи1При турбулентном режиме движения используется формула Альт­
шуля.

140

мости потерь напора от диаметра трубы.

Расчеты прово­

дятся на компьютере с выводом значений d,
По полученным данным строится график h =

v, Re, Л, h.
h (d) и объ­

ясняется графоаналитический метод решения такого типа
задач.

5. В п. 9) минимально необходимая толщина стенок
трубы определяется из предположения, что трубы бесшов­
ные, а марка стали - сталь 20 1.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неправильный. Проследите путь жидкости от

сечения А-А к сечению В-В и напишите для этих сечений
уравнение Берну лли. Оно Вам подскажет правильный от­
вет.

2.

Ответ неправильный. Давление в сечении С-С неиз­

вестно,

неизвестно

и

Zc,

что

делает

невозможно

решение

уравнения. Кроме того, какой жидкостью (высоковязкой
или маловязкой) Вы считаете бензин?
3. Ответ правильный. При установке насоса у поверх­
ности воды, а тем более под ее уровнем, давление в конце
его всасывающей трубы будет близко к атмосферному, и

условие р

> рп

будет выполнено. При установке насоса на

поверхности земли уравнение Бернулли для живых сече­
ний, взятых по уровню воды в колодце и у входа в насос,

будет иметь вид
-Н

- Рвх _ av
+ Ра pg
2g

2

= hпот

или

Ра

-

Рвх = Н+

pg

2

av + h
2g
ПОТ!

т.е. разность пьезометрических напоров (ра -

рвх) / pg

должна поднять жидкость с глубины Н, создать скорост­

ной напор ad/ (2g) и преодолеть потери напора hпот. Даже,
если принять v ~ О, hпот ~ О, рвх ~ О, то при ра ~ 105 Па,
1Тре6уемые характеристики стали находят из справочника .

141

что соответствует средней величине атмосферного давле­

ния, pa/(pg) = 105/(1Q3.9,8);:::; 10 м. Следовательно, даже
в идеальном случае таким способом насос не может под­
нять воду с глубины больше 10 м.
4. Ответ правильный . Составив уравнение Бернулли
для сечений А~А и В~В, имеем (при ZA = zв и v;:::; 0):

2

РА -рв

авvв

2g

pg

=h

ПОТI

откуда видно, что РА > РЕ ·

5. Ответ неправильный как по записи уравнения Бер­
нулли, так и по предлагаемой формуле для Л. В первом
случае неудачно выбрано одно из сечений, так как в нем

не известны ни давление, ни скорость (которая вообще
пропущена в предлагаемом уравнении). Кроме этого, ка­
кой можно предположить режим движения, если жидкость

течет еще менее вязкая, чем вода (наименее вязкая из
всех, с которыми обычно приходится иметь дело в инже­
нерной практике)?
6. Ответ неправильный. У становите из уравнения Бер­
нулли, за счет какой энергии происходит подъем жидкости
к насосу и сравните ее численное значение с требуемой
высотой подъема.
7. Ответ неправильный. Запишите уравнение Бернулли
для сечений А~А и В~В и сравните величины РАи РЕ·
8. Ответ правильный. Записывая уравнение Бернулли
для сечений А~А и D~D, т. е. для начала и конца потока, и

учитывая, что РА

= PD = ра

(резервуар открыт), а VA ;:::; О,

получаем

Для определения

найти Vтр. Так как
чтобы

Vтр

уравнении

Q из этого уравнения необходимо
hA-D

=

(л.!..+
L с;;) v~
, то для того,
d
2g

была единственной
Бернулли,

неизвестной

необходимо

записать

величиной

в

конкретную

формулу для Л. Так как действующий напор Нд = ZA ~ ZD
значителен (соизмерим с длиной труб), а вязкость мала

142

(вязкость бензина меньше, чем воды), то можно предпо­
ложить турбулентный режим при значительном Re. А так
как при этом существенна и эквивалентная шероховатость

(трубы, бывшие в эксплуатации, см. приложение 1), то
наиболее вероятна квадратичная зона сопротивления.
9. Ответ неправильный. Запишите уравнение Бернулли
для сечений начала (свободная поверхность воды в колод­
це) и конца потока (сечение трубы у входа в насос), вы­
ясните,

за

счет

какого

вида

энергии

происходит

подъем

воды и сравните ее максимальную величину с требуемой
высотой всасывания жидкости.

Глава

6

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ
ТРУБОПРОВОДОВ

Слож1iъt.ми называются трубопроводы, состоящие из по­
следовательно соединенных участков труб разного диамет­
ра или имеющие ответвления.

При последовательном соединении участков труб разно­

го диаметра (рис.

6.1, а) полные потери напора hпот равны
n участков трубопро­

сумме потерь напора на каждом из
вода

n

hпот =

L hi,

(6.1)

1

а расход жидкости

Q

остается

постоянным по

всей

его

длине.

Уравнение
стоянного

(рис.

6.1,

справедливо и для трубопровода по­

(6.1)

диаметра,

но

с

переменным

по

длине

расходом

б). А1iалитический способ решения задач такого

типа предусматривает последовательный расчет ряда про­

стых трубопроводов, составляющих сложный.
При zрафоа1iалитическо.м способе предварительно стро­
ятся характеристики каждого из его участков. Затем они

б
а

.-+L:___

+·--

2

1

Рис.
а

А

__j------'·

6.1.

Схемы сложных трубопроводов:

- последовательное соединение труб; б - трубопровод с персменным
по длине расходом

144

Рис.

rо

6.2.

Характеристика сложно­

трубопровода,

состоящеrо

из

1+2

h

двух последовательно соединенных

труб

о

суммируются в единую характеристику всего трубопрово­
да, для чего для ряда произвольных значений

Qi,

одина­

ковых для всех участков и трубопровода в целом, склады­
ваются соответствующие им значения hi. Эти суммы для
выбранных значений Qi и являются потерями напора в

трубопроводе (согласно выражению

(6.1)).

приведен

характеристики

пример

построения

такой

трубопровода, представленного на рис.

6.1,

На рис.

6.2
для

а.

Вопросы для самопроверки

Какие трубопроводы называются сложными?
Как связаны между собой расходы и потери напора
на участках с общими расходами и потерями напора на
всем трубопроводе при последовательном и параллельном
соединении участков?
3. Как строятся гидравлические характеристики для
всего трубопровода, если его участки соединены или по­
следовательно, или параллельно?
4. Как влияет на потери напора в трубопроводе подсо­
единенный к нему лупинг?
5. В чем заключается метод определения диаметров
участков разветвленного трубопровода, если известны тре­
буемые в ветвях расходы?

1.
2.

Примеры
При.мер

6.1.

Вода

(t = 20 °С) перетекает из резервуа­

ра А в резервуар В, давления на поверхности жидкости в

которых одинаковы (рис.

6.3).

Соединительный трубопро-

145

Рис.

-----

А

~t

вод

-----

в

z., dl

6.3.

состоит

К примеру

из

двух

6.1

после­

довательно соединенных уча­

стков новых бесшовных труб
(11 = 200 м, d1 = 100 мм и
/2 = 150 м, d2 = 80 мм), для
обеих труб lэкв = 0,051, h =
= 3 м.

lz, dz

Определить расход воды.

Реше1iие.

маловязкая (11 =
10-3 Па·с, см. приложение 4), но квадратичная зона соп­
ротивления

Хотя

вода

сомнительна,

роховатость труб

-

так

жидкость
как

мала

эквивалентная

ше­

= 0,014 мм, см. приложение 1). По­
этому решаем задачу графоаналитическим способом.

(11

Зададимся рядом значений

1.

Q

и вычислим соответ­

ствующие этим значениям hпот для каждого из участков,
после чего суммируем их для каждого

ющие результаты, где hобщ = h1

Q·1 о-з,
h1,
h2,

м

мЗ /с ............ 2
............... ........ 0,18
............ .. ......... 0,38

м
hобщ, М ....................

0,56

3
0,36
0,79
1,15

Q.

Получим следу­

+ h2:
4
0,60
1,31
1,91

5
6
0,89 1,23
1,96 2,72
2,85 3,95

7
1,62
3,59
5,21

8
2,06
4,56
6,62

2. По выбранным значениям Q и вычисленным для них
hобщ строим гидравлическую характеристику всего трубо­
провода.

3. Составив уравнение Бернулли для живых сечений,
выбранных по уровням жидкости в резервуарах, получим
h = Нд = hобщ.
4. Отложив на оси ординат величину Нд = 3 м, находим
искомый расход Q = 5,15 дм3 /с.
Убедимся, что предположение о квадратичном законе
сопротивления было бы ошибочным.

5о о d2
"'

=

5о о ___§_Q_ = 2 85 . 1о 6 .
0,014

'

Проверка велась только по

146

d2,

так как

Re2 > Re1.

а

б

Q2

Q-

1
А

:

• Q Q •

в

Ql

~Qc
D

F

1

"':::'QF

А

Е QE
Рис. 6.4. Схемы сложных трубопроводов:
а - трубопровод с замкнутым ответвлением (лупингом); б

- трубопро­

вод с разомкнутыми ответвлениями

Ответвления

от

.мк1iуmы.ми (рис.

основной

6.4,

магистрали

могут

быть

а) и разо.мк1iуmы.ми (рис.

за­

6.4, 6).

Для замкнутых ответвлений (лупингов) 1 , справедливы со­
отношения

Qобщ =

(6.2)

Q1 + Q2 + ... + Qп;

hобщ =

h1

=

h2

= ... = hп,

(6.3)

где Qобщ и hобщ - соответственно расход и потери напора
на всем разветвленном участке. Следовательно, расход,
проходящий через весь разветвленный участок, равен сум­

ме расходов в отдельных ветвях (для рис. 6.4, а Qобщ
= Q1 + Q2), а потери напора для всего разветвления и в
любой его ветви равны между собой.
При аналитическом способе решения задачи на основа­
нии

анализа

исходных

данных

предсказывается

режим

движения (для турбу лентнога движения также зона сопро­
тивления). Затем, используя соотношения (6.2) и (6.3),
определяют скорость (или расход) в каждой из ветвей,
после чего находят потери напора в одной из них. Приия­
тае

предположение

подтверждается

проверочными

расче­

тами.

При.мер

6.2.

По трубопроводу (см. рис.

6.4,

а) пере­

качивается нефть (р = 900 кг lмз, v = 2-10-4 м 2 1 с) с рас­

ходом Q = 50 дм 3 1 с.

Определить относительное изменение потерь напора на

участке А-В

S км (d1

1В переводе с английского

200 мм), если к нему подклю-

петля. Лупинг можно рассматривать

как присоединенный параллельный трубопровод.

147

=

чить лупингтой же длины (d2
260 мм). Трубы сварные
новые, местными сопротивлениями пренебречь.
PeшeJiue.

1.

Определим потери напора на участке А-В

до подключения к нему лупинга.

Q

50 ·10-З

s1

31,4·10-З

v =- =

= 1 59 м / С"
'

'

Re= vd1 = 1,59·0,2 = 1590 .
v

2.

2·10-4

'

Найдем соотношение между

Q1

и Q2 после подклю­

чения лупинга.

Режим движения в трубах должен остаться ламинар­
ным, так как по формуле (6.2) Q1 и Q2 меньше Q.
Используя соотношение (6.3), с учетом ламинарного
режима имеем

64 vl2v:1
v2d2d22g'
или, проведя сокращения и заменяя Vt на

получаем 1

Q1 ,

а

v2 на Q2,

откуда

3.

Определим

Q1

и Q2 и проверим правильность пред­

положения о ламинарном режиме движения .

Q = Q1 + ~ = 0,35Q2 + Q2 = 1,35 ~,
1Можно было сразу воспользоваться формулой Пуазейля

148

(4.4).

откуда

Q2 =
Q1

SL =
1, 35

37 дмЗ /С"

50 ·10-3 =
1, 35

= 0,35~ =

,

13 дмЗ /с;

_4Q1_
Rе1----

3
4 ·13·10-413·
,
3,14·0,2·2·10-4

- 4Q2 -R е2-

3
4. 37 ·103,14·0,26·2·10-4

лd1v

лd2v

906 .

Предположение о ламинарном течении подтвердилось.

4.

Определим потери напора во всем разветвлении че­

рез потери напора в лупинге. По формуле

hА-В

5.

h/

3

= 128Q 2 vl = 128 · 37 ·10- · 2 ·10-4 · 5000 =
4

лgd2

3,1 4 · 9, 81·

О,

26

4

(4.4)

33 6
'

М.

Вычислим относительное изменение потерь напора

hл-в

= 129,5/ 33,6 = 3,85.

Следовательно,
после подключения лупинга потери
напора на участке А -В уменьшились почти в 4 раза.
При графоаналитическом способе решения строят гид­
равлические характеристики для каждой из параллельных

ветвей и, исходя из соотношений

(6.2)

и

(6.3),

путем сло­

жения абсцисс для ряда точек этих кривых,
гидравлическую

характеристику

всего

участка. Для схемы трубопровода (см. рис.
построение показано на рис.

получают

разветвленного

6.4,

а) такое

6.5.

При разомкнутом разветвлении из одного узла (точки
соединения разветвляющихся участков трубопровода) ре­
шение задачи можно получить, если для каждой из вет­

вей составить уравнение Бернулли , выбрав сечения в
их начале и конце. Например, для ветвей D E и DF (см .
рис. 6.4, 6) , сходящихся в угле D, такие уравнения будут
иметь вид

z _ z + PD D

Е

pg

РЕ_

-

h

D -E

И

z _ z + PD D

Е

РЕ _

pg

-

h

D- F·

149

1

2

1+2

D

с

А
о

l,d

Q

в

Рис. 6.5. Характеристика сложно­
rо трубопровода, имеющеrо зам­

Рис.

6.6.

К примеру

6.3

кнутое ответвление

Так как

zD и PD в этих уравнениях общие, то, разрешив

уравнения относительно

Pn
pg

и приравняв, можно найти

или расходы, идущие в каждую ветвь (QE и Qp в данном
примере, если известно Q = QE + Qp), или, при заданных
расходах, требуемые диаметры труб каждой из ветвей.

При.мер б.З. По временному трубопроводу (рис.

6.6)

бензин (Q =50 дм 3 /с, р = 740 кг/м 3 , v = 0,55-10- 6 м 2 /с)
подается в стояки для залива цистерн. От основной линии

(АВ = 1 = 2 км, dлв = d = 200 мм) в узле В поток разделя­
ется в линии ВС (1вс = 11 = 100 м, dвс = d1 = 125 мм) и
BD (1вD = 12 = 150 м, dвD = d2 = 150 мм). Все трубы
сварные умеренно заржавленные, превышение точек С и
над горизонтальной осью трубы АВ: zc = 10 м, zD = 13 м.
Определить расходы бензина Qc и QD и избыточное

D

давление р А• развиваемое насосом. Местными сопротивле­

ниями и скоростными напорами
давления Ре и PD атмосферные.
Реше1iие.

1.

пренебречь,

Для определения расходов

Qc

и

конечные

QD

соста­

вим уравнения Бернулли для участков между сечениями
В-С и

B-D
-Zc

+ Рв- Ра
pg

= hвс;

-Zп

+ Рв- Ра
pg

= hвп,

(6.4)

откуда

(6.5)

150

2. Определим расходы Qc и Qп. Так как жидкость те­
чет маловязкая, а трубы имеют значительную шерохова­
тость, предполагаем в обеих ветвях квадратичную зону
сопротивления. В этом случае, выразив hвс и hвп по
формуле (4.8), а значение А- по формуле (4.7), уравне­
ние (6.5) можно записать в виде

д )0,25 l1 Qt ( д )0,25 l2 Qb +(zп-zc). (6.6)
0,11- -2 -0,11( d1
2
d12gs1
d2
d22gs2
Подставив численные значения входящих в уравнение

(6.6)

величин, получим

О, 761Q~ -104

= 0,436Q1·104 + 3.

Отсюда, учитывая,

что

Qc +

Qп =

имеем Qc = 26,6 дм 3 / с, Qп = 23,4 дм 3 / с.

Q,

окончательно

Проверка показывает, что

Re = 4,96-105 > 500 dt / д= 1 ,25-105;
Re2 = 3,64-105 > 500 d2 / д= 1,5-105.
Следовательно,

предположение

о

квадратичной зоне
Qc и Qп опреде­

сопротивления оправдалось, и расходы
лены правильно.

3.

Определим избыточное давление в точке В, т.е.

Рви= Рв - Ра·

По уравнению

(6.4)

Рви = (hвс + Zc) pg
или

Выбрав, например, первое выражение и записав

после числового решения получим

Рви

= 111,5 кПа.
151

Найдем избыточное давление, создаваемое насосом.

4.

Уравнение Берну лли для участка между сечениями А и В
имеет вид

(РАи- Рви)_
-

pg

h
АВ'

откуда, выразив hлв = М!/ d)v 2 /2g и осуществив соответ­
ствующие вычисления,

р Аи =

342

получим:

кПа.

Задачу такого типа можно решить и графоаналитиче­
ским способом. Для этого, как обычно, сначала строятся

характеристики h( Q) отдельных ветвей. Но, учитывая, что
нивелирные отметки и конечные давления в разных ветвях

могут быть различными, начальные точки характеристик
(при Q = О) откладываются на оси h на высоте от начала

координат, соответствующей сумме Zi

+ pi/ (pg),

здесь Zi -

превышение конечной точки ответвления над начальной;

pi- избыточное давление в конечном сечении ответвления.
Сумма Zi + pi/(pg) выражает дополнительный напор, за­
трачиваемый на подъем жидкости и преодоление конечно­

го давления. Для задач типа примера

такое смещение равно zc и zD (рис.
Для

трубопроводов

с

6.3,
6.7).

разомкнутыми

где Ре=

PD

= ра

разветвлениями

(см. рис. 6.4, б) наиболее сложно решаются задачи на
определение диаметров труб участков по заданным расхо­
дам в них. В этом случае сначала выбирается магистраль

(наиболее длинная и загруженная линия), например, ли-

вс

Рис.

6.7.

К примеру

стики ветвей

о

152

Q

BD

6.3

(характери­

и ВС, показанных на

рис.

6.6)

ния ABDE. Последовательно суммируя уравнения Бер­
ну лли для промежуточных сечений этой линии, пренебре­
гая скоростными напорами, имеем

2А ~ 2F

+

PA-PF~h
~ АВ

+ h BD + h DF'

p·g

'

откуда среднее значение гидравлического уклона

ZA-Zp+PA-PF

pg
= -------'-"--

lcp

[AF

Зная

icp,

можно

в

первом

приближении

определить

диаметр труб участка АВ из преобразованной формулы
Дарси~ Вейсбаха:

hАВ ~Л
[АВ 8QAi ~ . f
~ АВ - - 5 - - 2 - ~ lcp АВ'
dАв

где Qлв

= Qc

тически,

если

= Л(Rе,

+ QE + QF,
можно

11

(6. 7)

g

dлв легко определяется анали­

предсказать вид зависимости Л =

!J. / d), т .е. формулы для определения Л. Как это
5.

делается~ см. гл.

После определения dлв проводят проверку правильно­
сти

предположения

и

после

его

подтверждения,

если

это

требуется, по ГОСТу определяется ближайший из имею­
щихся,

после

чего

расчет

повторяется

для

определения

hлв. Зная hлв, по уравнению Бернулли для сечений А и В
определяют РЕ· Диаметры остальных ветвей последова­
тельно определяют аналогичным способом. Если последу­

ющий проверочный расчет всего трубопровода по полу­
ченным диаметрам

ниях

Qc, QE

расхождения

и

дает

QF,

допустимое

расхождение

в

значе­

то задача становится решенной. Если

велики,

то

расчеты

корректируются

после­

дующими приближениями.

Пример 6.4. Минеральное масло (р = 840 кг / мз, v =
1о-4 м 2 1 с по горизонтальному трубопроводу (см.
рис. 6.4, 6) подается к раздаточным пунктам С, Е и F.
Расходы масла в этих пунктах: Qc = 10,6 дмЗ / с, QE =
= 6,8 дмЗ / с, QF = 14 дм3 / с; концевые свободные напоры:
Не = 67 м, НЕ = О, HF = 7 м; длины участков трубопрово­
да : lлв =

3

км, lвс =

1

км, lвn =

2

км,

lnE

=

1,5

км,

lnF

=

153

= 1,5

км. Насос при заданных расходах в пунктах раздачи

может создать напор Нл

= 100

вые сварные трубы диаметрами

м, в наличии имеются но­

80, 100, 125, 200, 250

мм.

Подобрать диаметры всех участков трубопровода, счи­

тая потери напора в местных сопротивлениях пренебре­
жимо малыми. Допустимое расхождение между реальным
напором Нл и расчетным- не более 5
PeшeJiue. 1. Выберем магистральную линию ABDF и
найдем для нее среднее значение гидравлического укло­

%.

на

Zcp.

Уравнение Бернулли (без учета скоростных напоров)
для этой линии имеет вид

или

hAF

= 100- 7 = 93 М.

Тогда icp = hлр/ lлр = 93/ 6500 = 1,43-10-2.
2. Определим в первом приближении диаметр линии
АВ и потери напора в ней.

Расход в этой линии Qлв = Qc + QE + Qp = 10,6 +
+ 6,8 + 14 = 31,4 дмЗ / с. Предполагая режим движения
ламинарным (высокая вязкость
формулу Пуазейля (4.4) .

. l

-

lcp АВ -

жидкости),

используем

128QAвvlAв
4
'
ngdAв

откуда

3
128·31,4·10- -10-:
3,14 ·9,81·1,43 ·10-

п

ри э том

4QAB
Rе=-=

ndAвv

=0,174 м.
4 · 31,4 · 10-З
3,14·0,173·10-4

= 23ОО .

Предположение о ламинарном режиме движения нельзя
считать подтвержденным, так как Re = Rекр Кроме этого,
на участке АВ расход наибольший, а следовательно, мож­
но ожидать, что гидравлический уклон окажется больше
среднего. Поэтому для снижения значений Re и i выби-

154

раем ближайший к найденному больший диаметр

= 200

dАВ

=

мм. Тогда

Re= 4·31,4·10-: =2000.
3, 14 · О, 2 . 1О
При таком диаметре режим движения действительно
ламинарный. Определим потери напора на участке АВ. По

формуле

(4.4)

3
=24 5
hАВ = 128·31,4·10- ·3·10
4
'
4

3,14·9,81·0,2

М,

а напор в точке В

Нв =Нл -hлв

=100-24,5=75,5

м.

3. Определим диаметр участка ВС. Предполагая, по­
прежнему, режим движения ламинарным и зная, что hвс =
= Нв -Не= 75,5 - 67 = 8,5 м, из формулы (4.4) полу­
чаем

128·10,6·10-З ·10--4 -10 3 =О, 15 м,
3, 14 о 9, 81 о 8, 5

При этом Re = 4-10,6-10-3 / (3, 14·0, 15-10-4 ) = 900, т.е.
предположение о ламинарном движении оправдалось.

Найденное значение диаметра соответствует имеющим­

ся, поэтому уточнений не требуется.

4.

Определим диаметр

линии

BD.

Аналогично

п.

2

имеем:

dвс = 4 128·20,8·10-З ·10--42 =О ' 157
3, 14 . 9, 81 . 1, 43 . 1о-

Приняв dвn

= 150

м.

мм, проверим режим движения

Re = 4-20,8-10-3/ (3, 14-0, 15-10-4 ) = 1770,
т .е.

решение правильное.

hвп = 128-20,8-1о-з.1о- 4 -2-1оз / (3, 14-9,81-0, 154 ) = 34,1 м.

5.

Определим диаметр линии

DE

HD =hDE =Нв - hвD =75,5 - 34,1=41,4 м;
155

dвс=

128·6,8 -10-3 ·10-4 ·1,5 ·10 3 = 01 м·
3, 14 . 9, 81 . 41, 4
'
'

Re= 4·6,8·10-3 =866
'
3, 14 . о, 1 . 1о -4
т.е. решение правильное.

6.

Определим диаметр линии
Нр

= HD-

hDE

= 41,4-7 = 34,4

DF
м;

128·14·10-3 -10-4·1,5·103 =0,126 м.
3,14·9,81·34,4
Принимаем диаметр равным

125

мм.

Re = 4-14-10-3 / (3, 14-0, 125-10-4) = 1430,
т.е.

решение правильное.

7.

Проверим соответствие напора Нл потерям напора в

магистрали Ниаг

нмаг

= hAB + hвD + hDF + Нр = 24,5+ 34,1+ 35,4 + 7 = 101 м.

Расхождение между Нл и Ниаr в

1

%,

решение задачи

прав ильное.

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос
к

участку

трубопровода

присоединили

той же длины и диаметра,

трубопроводе увеличили в

Ответ
лупинг

после чего расход в

2 раза.

Что при э том произойдет с потерями напора на

Код

Увеличились

1

Уменьшились

4

Остались

7

прежними

этом участке по сравнению с начальными?
По

участку

ламинарном

трубопровода движется
режиме

течения.

нефть

Сравните

при

потери

с лупиигом

2
5

б ольше

напора на э том участке в двух случаях:

1)
2)

Одинаковы

его д иаметр увеличили в 2 раза;
с лупиигом
к нему подключили лупинr той же длины и меньше

8

диаметра

Что произойдет с потерями напора на трение по

Останутся

длине, если вместо трубы диаметром

прежними

жидкость

с

прежним

ставленную

из

дый трубу с

d1 = 2d

156

двух

расходом

участков

и

d

подавать

длиною

d2 = 1/ 2d?

и длины

l/2

l

соВозрастут
каж- Уменьшатся

в

3
6
9

ЗАДАЧИ

Задача

6.1.

В начальной точке в ~длинный~ трубопро­

вод (l = 5 км, d = 100 мм, трубы сварные умеренно заржа­
вевшие) подается вода при t = 10 ос с расходом Q 1 =

= 5 дмЗ /с (см. рис. 6.1, 6). На расстоянии 1 км (точка А)
дополнительно подается Q2 = 3 дмЗ / с, в точке В (lлв =
= 2 км) осуществляется отбор Qз = 2 дмЗ /с.
Определить потери напора в трубопроводе.
Ответ: hпот =

57,1

м.

=

Задача 6.2. По горизонтальному трубопроводу (l
= 10 км) перекачивается нефтепродукт (р = 760 кг j мЗ, v =
= 3,2-10-6 м2 / с) с расходом (Q = 36 мЗ / ч). Максимальное
избыточное давление, развиваемое насосом, ри
1,2 МПа.
Достаточно ли оно для перекачки продукта по трубам
диаметром d 1 = 100 мм, а если нет, то какова должна быть
длина вставного участка l2 (d2 = 150 мм) при условии, что
lэкв = 5 % от l для обеих труб, конечное давление атмо­
сферное, ~ =О, 1 мм.

=

Ответ: нет; !2
Задача

двух

6.3.

= 3,1-103 м.

В водопровод

одинаковых

по

длине

участков, поступает вода (t =
=

(l

=4

км),

последовательно

состоящий из
соединенных

20 °С) в количестве Q

=

25 дмЗ / с, а одинаковые по величине отборы осуществ­

ляются в его средней и конечной точках. Диаметр первого

участка

d 1 = 150

мм, все трубы сварные старые заржав­

ленные.

Каков должен быть диаметр второй половины трубо­

провода, чтобы потери напора в нем были такими же, как
и на первом участке; местные сопротивления не учитывать.

Ответ:

d2 = 115 мм.
6.4. Масло

=

Задача
МС-20 (приложение 4) при t
ос поступает из резервуара А (см. рис. 6.3) в резер­
вуар В по составному трубопроводу (! 1 = 20 м, d 1 = 80 мм,
l2 = 25 м, d2 = 50 мм, трубы сварные новые) при h = 1 м.

= 30

Определить расход масла.

Ответ: Q = 1 дмЗ / с.
Задача

6.5.

Как изменятся потери напора на участке

трубопровода (! 1 = 1 км, d 1 = 100 мм, трубы сварные но­
вые), по которому перекачивается нефть (р = 860 кг j мЗ,

157

У = 5-10- 5 м 2 1 с) с расходом Q = 8 дм 3 1 с, если к нему
подключить лупинг такой же длины и диаметра. Местные
сопротивления не учитывать.

Ответ: уменьшатся в
Задача

2

раза.

Решить задачу 6.5 при условии, что перека­
t = 60 ос (см. приложение 4).
Ответ: уменьшится в 3,36 раза.

6.6.

чивается масло МС-20 при

Задача

=5
=

40

км, d

6. 7. По горизонтальному трубопроводу (/ =
= 80 мм) течет вода (Q = 8 дм 3 /с) при t =

°С. Конечное давление атмосферное, местные сопро­

тивления не учитываются.

Какой длины потребуется лупинг (dл =

50 мм) при
231 м? Все

условии, что насос может создать напор Ннас =

трубы сварные умеренно заржавевшие.
Ответ: lл = 920 м.

У

Задача 6.8. Насос перекачивает нефть (р = 840 кг /мз,
м 2 1 с) по трХбопроводу (/ = 57 км, d = 205 мм) с

= 1o-s

расходом

Q = 40 дм /с. Разность геодезических отметок
начала и конца трубопровода z = +30 м, конечное избы­

точное давление рк = О, 1 МПа, подпор (напор у входа в
насос) Нп = 10 м, к.п.д. насоса У)нас = 0,7.
Определить необходимую длину лупиига lл (dл =
= 265 мм), с которым расход можно повысить до Q =
= 50 дмЗ /с при том же напоре, и найти мощность на валу
насоса. Все трубы бесшовные новые, lэкв =
Ответ: l = 21 км; Nнас = 294 кВт.

1

% от /.

Задача 6.9. По самотечному трубопроводу (/ = 5 км,
мм) с лупиигом (/ 1 = 2 км, d 1 = 150 мм) вода (t =
= 20 ос) подается из озера в резервуар при разности уров­
ней Н = 50 м (рис. 6.8). Все трубы старые заржавленные.

d = 100

Пренебрегая потерями напора в местных сопротивле­
ниях, определить общий расход воды и расход в лупинге.
Задачу

::t:

Qл

=

аналитиче­

5' 5 дм 3 1 с.

Рис.

158

решить

ским и графоаналитическим
способами.
Ответ: Q = 7,5 дм 3 /с;

6.8.

К задаче

6.9

Рис. 6.9. К за­
даче 6.10

о

Задача 6.10. Масло МС-20 при t = 20 ос (приложе­
ние 4) самотеком из резервуара (рис. 6.9) поступает в ав­
тоцистерны 1 и 2 по трубопроводу с разветвлением (d
= 80 мм, трубы сварные новые). Длины участков: !Ав
= 55 м, fвс = 2,5 м, fвD = 7 м; высоты: Н = 2,5 м, Н1 -

- н2 =

1,1

м.

Пренебрегая местными сопротивлениями,
время наполнения цистерн, если их объем V =
Ответ: t1 = 745 с; t2 = 2090 с.
Задача

6.11.

По условию задачи

6.10

оп~еделить
м .

3

определить сте­

пень закрытия задвижки на линии ВС (считая ее един­
ственным местным сопротивлением), при которой автоци­
стерны

заполнятся

одновременно,

и

найти

время

их

наполнения.

По я с н е н и е: при решении используются приложения
и

2

3.

0,5; t 1 = t 2 = 1130 с.
Задача 6.12. По данным примера 6.3 (см. рис. 6.6)
определить расходы Qc и QD и избыточное давление РА
для солярового масла (р = 905 кг/мз, v = 1,25-10-5 м2/с).
Ответ:

n

~

По я с н е н и е: рекомендуется задачу решать графоана­
литическим способом.

Ответ: Qc = 27,7 дм 3 /с; QD = 23,3 дм 3 /с; РА =
=

0,42

МПа.

Задача

6.13.

Приведеиные на рис.

6.10

пять одинако­

вых нагнетательных скважин (Не = 2000 м, dc = 200 мм,
L'1c = 0,5 мм) с одинаковыми избыточными забойными дав­
лениямирз = 22,8 МПа должны принимать каждая ежесу-

159

Рз

-

Рз

Рз

Рз

Рз

Рис.

6.10.

К задаче

6.13

Рис.

6.11.

К задаче

6.14

~t

- -

- -

А

lз ,. . А dз

r lz

11, dl

v

..

,. .

..-1

V'

......

- -

--

-

--

--

dz

в

точно по 2000 м 3 воды при

t = 20 °С. Расстояние от насоса
до первой скважины lлв = 1000 м, расстояние между
скважинами lвс = lcD = ZDE = ZEF = 250 м, диаметр подво­
дящего водопровода d = 250 мм, 11 = 0,25 мм. Эквивалент­
ная длина местных сопротивлений водопровода и скважин

fэкв =

5 % ОТ

/.

Определить:

1)

потери напора в дополнительных местных сопротив­

лениях, которые необходимо установить на входе в каж­
дую скважину, чтобы расходы в них были одинаковыми;

избыточное давление, создаваемое насосом в точке А.
Ответ: РА = 3,5 МПа; для скважины Е hE = 0,27 м.

2)

Задача 6.14. Резервуары А и В (рис. 6.11) с водой (t =
= 30 °С) соединены системой умеренно заржавевших труб,
приведеиные длины которых / 1 = 300 м, 12 = 150 м, !3 =
= 250 м, а диаметры d 1 = d2 = 100 мм, dз = 150 мм. Раз­
ность уровней Н=

13,3

м.

Чему равен суммарный расход, поступающий в резер­

вуар В?

Ответ: Q =

12,3 дм 3 1 с.

Задача

По продуктапроводу

6.15.

чивается топливо Т-1 (t =

(d = 150
20 °С) с расходом Q

мм) перека­
= 30 дмЗ 1 с.

Для снижения потерь напора на части его длины предло-

160

Рис. 6.12. К за­
даче 6.16

2

//1://///////////////1

l;

1////////////

/1/l/1/

жена или увеличить диаметр трубы (врезать вставку d 1
= 200 мм), или подключить лупинг той же длины (dл
= 100 мм). Все трубы сварные новые.
Пренебрегая местными сопротивлениями, определить, в
каком варианте потери напора на участке трубопровода
снизятся в большей степени.
Ответ: при вставке.

Задача

6.16.

Система забора воды для заводнения пла­

ста (рис 6.12) состоит из трех водозаборных труб 1 (на
рисунке по казана одна), по которым вода из водоема по­
ступает в береговой колодец

борные трубы (/ 1
=

250

2,

а из него в насос. Водоза­

/2 = 100 м, lз = 150 м, d 1 = d2 = dз =
мм, трубы сварные умеренно заржавевшие) имеют

=

местные сопротивления с суммарными значениями коэф­

фициентов ~ 1 = 40, ~ 2 = 30, ~ 3 = 2. Подача насоса
= 450 мЗ /ч, температура воды t = 10 °С.

Q =

Определить разность уровней в водоеме и колодце Н и
расходы воды в трубах.
По я с н е н и е: рекомендуется графоаналитический спо­
соб решения.

Ответ: Н
=57 дм 3 /с.
Задача
здавать

= 1,1

6.17.

смесь

м; Q 1 = 32 дм 3 /с; Q2

Насос-смеситель (рис.

трех

видов

масел,

= 36
6.13)

дм 3 /с; Qз

=

должен со­

поступающих

к

нему

из

резервуаров 1, 2, 3. Диаметр всех соединительных трубок
одинаков: d 1 = d2 = d 3 = 10 мм; их приведеиные длины:
11 = 2 м, /2 = 1 м, lз = 3 м. Характеристики масел: р 1 =

кг /м 3 , v1 = 1 см 2 1 с; Р2 = 880 кг /м 3 , v2
Рз = 870 кг /м 3 , v3 = 0,2 см 2 1 с.

= 890

= 0,5

см 2 1 с;

Определить, какие избыточные давления Р1, Р2 и Рз
должны быть созданы в резервуарах, чтобы объемное со-

161

Рис. 6.13. К за­
даче 6.17

Pz

Рз

3

Р1

f-------i

f--------i

1

держание масел в смеси находилось в соотношении

5:2 при ее расходе Q

=

1: 1,

0,45 дмЗ /с. Уровни жидкостей в

резервуарах у входа в насос находятся на одной и той же

высоте, давление на входе в насос атмосферное, Qнас
= 0,35 дм 3 с.
Ответ: р 1 = 72,5 кПа; Р2 = 26,8 кПа; Рз = 42,5 кПа.

1

Задача 6.18. По горизонтальному трубопроводу (см.
рис 6.4, б) вода (t = 30 °С) поступает в раздаточные ко­
лонки С, Е и F, концевые напоры в которых Нк = S м.
Приведеиные длины участков: !Ав = 2 км, lвс = 500 м,
lвD = 1000 м, ZDE = 300 м, ZDF = 250 м, их диаметры:
dАв = 250 мм, dвс = 100 мм, dвD = 200 мм, dDE = 150 мм,
dDF = 100 мм, все трубы сварные, умеренно заржавевшие.
Определить подачу и избыточное давление,

мые насосом, если Qp = 8 дм 3 /с.
Ответ: Qн = 38,6 дм 3 /с; рн =

создавае­

0,2 МПа.

Задача
6.19. Горизонтальный трубопровод (см.
рис. 6.4, б) снабжает мазутом (р = 920 кг /мз, v =
= 1 ,S см 2 /с) пункты раздачи С, Е и F с расходами в них
= 20 дм 3 /с, QE = 15 дм 3 /с, Qp = 12 дм 3 /с при ко­
нечных избыточных давлениях рк = О, 1 МПа. Длины уча­
стков: !Ав = 1 км, lвс = 500 м, lвD = 800 м, ZDE = 200 м,
ZDF = 100 м; трубы сварные новые. Насос создает началь­

Qc

ный напор в точке А НА=

30

м.

Определить ориентировочные значения диаметров всех

участков трубопровода.
Ответ: dАв = 250 мм;
~ 150 мм.
Задача

dвD =

200

мм; dвс ~ dDE ~

Поршни приведеиных на рис. 6.14 гидрав­
(D 2 = 50 мм, D 3 = 60 мм), загружен­
ные внешними силами F 2 = 2,45 кН и F 3 = 2,7 кН, пе-

6.20.

лических цилиндров

162

Рис.

6.14.

К задаче

6.20

ремещаются под давлением масла (р = 820 кг j мЗ, v =
= б см 2 j с), подаваемого из гидравлического аккумулято­
ра, поршень которого (Dt = 500 мм) загружен силой F =
= 369 кН . Соединительный трубопровод состоит из маги­
страли (l 1

= 20 м, d 1 = 20 мм) и ответвлений (l2 = 10 м,
мм, lз = 14 м , dз = 18 мм, трубы тянутые из цвет­
ного металла ) .
Пренебрегая разностью высот расположения отдельных

d2 = 15

элементов системы и механическим трением в них,

а также

учитывая из местных потерь лишь потери напора,

создава­

емые краном на третьей линии, определить:

1) скорость v2 перемещения поршня второй линии при
полностью закрытом кране;

2)

скорости

v2

и

v3

перемещения поршней второй и тре­

тьей линий при полностью открытом кране;

3)

коэффициент

местного сопротивления

прикрытого

крана, при котором поршни второй и третьей линий дви­
жутся с одинаковой скоростью

Ответ: v2

~ = 3, 1·103.

= 5,4

см / с; v 2

v2

=

= 2,3

v3

=

0,04

м / с.

см / с; vз

= 5,6

см / с;

163

Задача

ABD

6.21.

(см. рис.

Горизонтальная водопроводная магистраль

6.4,

б) имеет ответвления ВС,

концы которых лежат выше ее оси на

DE и DF,
2 м. Длины участ­
800 м, DE = 500 м;

ков водопровода: АВ = 1200 м, BD =
ВС = 300 м, DF = 400 м; трубы сварные, умеренно заржа­
вевшие. Расходы воды (t = 20 ос) в пунктах раздачи Qc =

= QE = Qp = 10 дм 3 /с, концевые свободные напоры в них
Не= НЕ= Нр = 15 м, насос создает напор НА= 50 м.
Определить (в первом приближении) диаметры всех
участков трубопровода.
Ответ: dАв = 169 мм; dвD = dDF = 145 мм.

Задача

6.22.

Определить напор на насосе Нн (рис.

6.15),

обеспечивающем заводские цехи, расположенные на гори­
зонтальной площадке, водой (У = 0,01 см 2 /с) в количестве

QD = 10 л/с, Qc = S л/с, Qв = 10 л/с, при d2 = 200 мм,
11 = 600 м, d2 = 150 мм, 12 = 450 м, d3 = 100 мм, 13 = 350 м.
Трубы, бывшие в эксплуатации (11 = 0,5 мм).
Местными

сопротивлениями

пренебречь.
Ответ: Нн =

Задача

6.23.

13,6

и

скоростными

напорами

м.

По нефтепроводу диаметром

d1

=

250

мм,

и длиной 1 = 400 км, перекачивается нефть (р = 880 кг /мз,
У = 0,9 см 2 /с) в количестве G = 1 000 000 т/год. Как из-

в

с

D

Рис.

6.15. К за­
6.22

даче

164

менится давление на насосах, если на участке / 1 = 400 км
к трубопроводу подключить параллельную вставку диа­
метром d2 = 200 мм. Местными сопротивлениями прене­
бречь.
Ответ: f..p = 9,06 Н/м2.
Задача

6.24.

Мазут с кинематическим коэффициентом

вязкости v = 1, 2 см 2 /с и плотностью р = 900 кг/ мЗ само­
теком поступает из резервуара в цистерны
Гибкий трубопровод диаметром d = 75 мм
тостью f.. = 0,3 мм имеет длины участков: / 1
= 2 м, !3 = б м и первоначально расположен
ной плоскости. Причем Н 1 = 1,2 м, Н 2 = 2 м.

(рис. 6.16).
с шерохова­
= 12 м, 12 =
в вертикаль­

Определить:

1) расходы мазута, поступающего в каждую из цистерн;
2) на какой угол необходимо повернуть участок /2 отно­
сительно первоначального положения, чтобы Q 1 = Q2.
Местные потери не учитывать.

о

о

-

-

-

Hl
/ [1

-

-

lз

d

1

/

-

/

-

'v [2
н2
Zo

2
/11

Z1

-

-

-

Рис.

6.16.

3
/11

Z2

-

-

-

-

К задаче

Zз

-

-

-

-

6.24

165

Ответ: 1) Q 1 = 8, 76-1о-з мз 1 с, Q 2 = 2,92-1о-з мз 1 с;
2) Q 1 = Q2 = 3,47-10-3 м 3 /с, Нз= 1,78 м, 13 = 27° =
= 0,47 рад.
Задача 6.25. Требуется увеличить производительность
трубопровода длиной l
30 км, диаметром do = 300 мм
(свойства жидкости: р = 800 кг /мз, v = 0,9 см 2 /с) от
100 т/ч до 130 т/ч.
Какого диаметра параллельная вставка длиной lв = 1О км
потребуется, чтобы давление на выходе насоса не измени­
лось?

Ответ:
Задача

d = 0,368 м.
6.26. Насос для

откачки жидкости подключен к

системе резервуаров, как представлено на рис. б .17. Па­

раметры системы:

/1

=

15

м, /2 =

1

м, lз =

2

м,

f..h

=

1,5

м,

= d 3 = 2 о мм' d 2 = 1о мм о
Какие конструктивные изменения (с указанием число­
вых значений параметров) надо внести в устройство систе­
мы, чтобы обеспечить работу насоса в случае р = 800 кг/мз,
Q1 = Q2 = 0,628 л/ с при соблюдении условия равенства
уровня в баках и заданном значении f..h. Коэффициенты

d1

местных сопротивлений на входе в трубу из резервуаров
принять равными 0,5. Потерями на поворот пренебречь.
Абсолютная эквивалентная шероховатость труб f.. = 0,01 мм,

атмосферное давление принять равным 105 Па, g = 10 м/с 2 ,
рн.п =

1 кПа.
Ответ: В левую трубу добавить местное сопротивле­
ние, на котором hм = 0,05 м, или в правой трубе увеличить

диаметр до значения

d2

=

13

мм.

Рис. 6.17. К за­
даче 6.26

166

Рис.

К задаче

6.18.

6.28

L

v

1

.1

td
D

+

"'
Задача

Шприц

6.27.

для

/
l

одновременного

введения

инъекции лечебного раствора в три точки артерии состоит

из общего цилиндра с поршнем и трех гибких шлангов,
оканчивающихся иглами с каналами различного диаметра .

Определить соотношени е диаметров этих каналов, если
полный объем инъекции должен распределиться по точкам

назначения в отношении
игл

считать

инъекции

1 :2:3.

ламинарным,

одинаковым.

а

Течение раствора в каналах

давления

Потерями

в

точках

давления

в

введения

поршне

и

подводящих шлангах пренебречь .

Ответ: d1 : d2 : dз
Задача

6.28.

=

1:

if2:

'ifЗ.

В трубопроводе с

теплообменник, состоящий из

250

D = 400

мм установлен

трубок с

d = 25

мм и

l=0,5L (рис. 6.18) .
Учитывая только потери на трение по длине и считая во
всех случаях режим течения турбулентным в зоне гидрав ­
лически гладких труб, определить, во сколько раз сопро­
тивление

теплообменника

трубы диаметром

Ответ: в

16,6

D

отличается

и длиной

от

сопротивления

L.

раз.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неправильный. У становите, как распределяют ­

ся расходы в трубопроводе и лупинге ; это поможет Вам
дать правильный ответ.

в

2. Ответ неправильный. Разве при увеличении ди аметра
2 раза потери напора уменьшаются во столько же раз ?
167

3. Ответ не продуман. У становите зависимость потерь
напора от диаметра трубопровода и длины участка и по­
лучите правильный ответ.
4. Ответ неправильный.

Лупинг уменьшает потери
напора на участке трубопровода, но при неизменном рас­
ходе. Определите расход, который попадает при подклю­
чении лупинга в основной участок трубопровода , и срав­
ните его с начальным.

5.

Ответ правильный.

При подключении лупинга тех

же длины и диаметра, что и основной участок, расходы в
них будут одинаковыми и равными половине начальных.

При ламинарном движении, согласно формуле
тери

напора

пропорциональны

расходу.

(4.4), по­

Следовательно,

при снижении расхода в 2 раза потери напора также
уменьшаются в 2 раза в основном участке, а согласно вы­

ражению

(6.3)

и во всем разветвлении в целом. В то же

время увеличение диаметра участка трубопровода в

2

раза

приведет к уменьшению потерь напора в нем в 24 = 16 раз.

6.

Ответ правильный. Из формулы

(4.8)

видно, что по­

тери напора связаны с диаметром участка трубопровода и

его длиной соотношением hд ~Л~
d

Подставив в это выражение значения Л для ламинарно­

го движения (4.3) и для квадратичной зоны сопротивле­
ния (4. 7), имеем: hд ~ l/ d 4 - в первом случае и hд ~
~ l / d5,25- во втором.
Из этих выражений видно, что при ламинарном течении
на

участке

с

уменьшившимся

диаметром

потери

напора

возрастут в 8 раз по с равнению с первоначальными на
всем трубопроводе, а при квадратичном законе сопротив­

ления - еще значительнее (в 19 раз). Следовательно, при
уменьшении диаметра и длины участка в 2 раза потери
напора на нем в любом случае даже без учета второго
участка (с увеличенным диаметром) будут больше перво­
начальных.

7. Ответ правильный. Так как лупинг и основной уча­
сток трубопровода имеют одинаковые длины и диаметры,
расходы в них также одинаковы. Следовательно, в основ­
ной участок поступит прежний расход, и потери напора в

нем (а следовательно, и на всем разветвлении) останутся
прежними .

168

8.
(4.4)
9.

Ответ

неправильный.

Анализ

формулы

Пуазейля

поможет Вам найти ошибку в рассуждениях.
Ответ неправильный. Что влияет на потери напора в

большей степени:

уменьшение длины трубы или равное
ему уменьшение диаметра? Для анализа возьмите форму­
лы (4.4) и (4.8).

Глава

7

ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ

ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ

Отверстие

в

стенке

резервуара

называется

.малым

(рис.

7.1), если его размер много меньше приведеююго
напора Но= Н+ (pt - р2) / (pg), т.е. do <О, 1Но, где doдиаметр круглого отверстия.

Тонкой называется стенка, с которой струя соприкаса­
ется при истечении только по периметру.

По выходе из отверстия струя жидкости испытывает
сжатие поперечного сечения. Отношение площади сжатого
сечения струи S к площади отверстия So называется ко­
эффициентом сжатия и обозначается через Е

Е=

(7.1)

S / 50.

Средняя скорость в сжатом сечении струи определяется
по формуле

(7.2)
где Но - постоянный приведенный напор; <р
ный коэффициент скорости,

<р=1 /Га«.

-

безразмер­

(7.3)

Здесь а - поправочный коэффициент Кориалиса на не­
равномерное распределение скоростей в сжатом сечении
струи;

с;

-

коэффициент местного сопротивления отвер­

стия.

При а

= 1,

с;

=О

получим формулу для так называемой

теоретической скорости

(7.4)
170

Рис.

7.1.

кости

из

Схема

истечения жид­

резервуара

через

малое

отверстие в тонкой стенке

/ 1\

н

h

Коэффицие1im скорости ер можно определить как отно­
шение действительной скорости к теоретической

(7.5)
Расход определяется по формуле

Q

=

vS = ~S0 ~2gH0 ,

(7.6)

где ~ - безразмерный коэффицие1im расхода, связанный с
коэффициентами сжатия и скорости соотношением
~

=

(7.7)

Еер.

Т еоретически.м расходом называется величина

Коэффициент

расхода

действительного расхода

Q

представляет

собой

отношение

к теоретическому

Коэффициенты истечения Е, ер и ~ определяются опыт­
ным путем и в общем случае зависят от числа Рейнольдса,

но для развитого турбулентного течения (Re > 105) эта
зависимость

практически

отсутствует,

и

можно

считать

все коэффициенты для отверстия данной формы постоян­
ными.

171

Для круглого отверстия диаметром
определяется по форму л е

d

число Рейнольдса

(7.10)
и при Re > 105 коэффициенты истечения: Е = 0,62; ер =
0,97; /-! = 0,60.

=

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то струя, вы­
текающая из отверстия, имеет форму параболы, описыва­
емой уравнением

(7.11)
При истечении жидкости через затопленное малое от­

верстие при постоянном напоре (рис. 7.2) скорость и рас­
ход определяются соответственно по формулам (7.2) и
(7.6), в которых приведенный напор

Но =
т.е.

h1- h2 + (р1- P2)/(pg)

=

ho + (р1- P2)/(pg), (7.12)

представляет собой разность гидростатических напо­

ров в резервуарах А и Б.

При истечении через большое прямоугольное отверстие

(рис.

7.3),

размеры которого ахЬ имеют тот же порядок,

что и глубина погружения его центра Н, расход определя­
ется по форму л е

Q
где Ь

-

=

~ 1-!ь~[( н +~)3/2 _(н -~)3/2],

(7.13)

ширина отверстия.

PI

-

-

~

Рис.
сти

7.2.
через

Схема истечения жидкозатопленное
верстие

172

малое

от­

Щит

Ра

н

". Ра

~

z

т

ь

'-----------'

Рис.

7 .3.

Схема истечения жидкости через большое прямоуrольное
отверстие

Н асадка.ми называются короткие патрубки различных
форм, через которые происходит истечение жидкости.
Обычно длина насадка l = (378)d. Насадки разных типов

показаны на рис. 7.4. В некоторых случаях (при малых
геометрических размерах отверстий) в качестве насадка
может выступать и толстая

стенка.

Насадки имеют раз­

личные характеристики истечения. Коэффициенты истече­
ния для насадков так же, как и для отверстий, зависят от

числа Рейнольдса. В табл.

7.1 приведены эти значения для
Re > 10s. Для всех насадков коэффициенты Е, ер и ll отно­

сятся к выходным сечениям.

При истечении из цилиндрического насадка в атмосфе­

РУ (р2 = ра) в сжатом сечении струи (рис. 7.5, х-х) обра­
зуется вакуум, равный

Рв
а

=

Ра- Рх
б

=

2cp pgHo(1- Ех)/Ех,
2

в

г

(7.14)

д

,~
~r
1\
1
/
н
,
\fн~\~
(
~
i
'
(
.
4
11
111
i/ 11 \

/111 \

/111
1111
!11 \\

111/

111\
/j l/ \\\

11\

Рис. 7 .4. Типы насадков:
а- внешний цилиндрический; б- внутренний цилиндрический; в- ко­
нический сходящийся; г

-

конический расходящийся;

d-

кономдальный

173

Таблица

7.1

Отверстие или насадок

Круг лае отверстие в тонкой стенке
Внешний цилиндрический насадок
Внутренний цилиндрический насадок

Конический сходящийся насадок (8 = 13°24')
Конический расходящийся насадок (8 = 8°)
Конандальный насадок

s

ер

J.L

0,62
1
1
0,98
1
1

0,97
0,82
0,71
0,97
0,45
0,98

0,60
0,82
0,71
0,95
0,45
0,98

где Ех- коэффициент внутреннего сжатия струи в насадке,
т.е.

(7.15)
Для нормальной работы насадка необходимо, чтобы
давление в сечении х-х было выше, чем давление насы­
щенного пара при данной температуре, т.е. рх
рв

< ра-

рп, или

>

рп.

Напор, при котором давление в сжатом сечении стано­
вится

равным

давлению

насыщенного

пара,

называется

предельным напором
Н=

пр

Ра-Рп

2cp2pg (1- sx) /

Sx

z

Ра

Pt

Рис.
кости

7 .5.
из

Схема истечения жид­
наружного

цилиндриче­

ского насадка (х-х - сжатое сечение струи)

174

Рис.
кости

7 .6.
из

Схема истечения жид­
резервуара

при

менном уровне

перс­

= 0,64

Для цилиндрического насадка при Ех
Нпр = (ра ~ pп)/(0,7Spg).

и <р

= 0,82

Когда напор становится равным предельному, наступает
явление кавитации, и происходит срыв работы насадка,
т.е. суженная струя в дальнейшем не заполняет насадок, а
протекает, не касаясь его стенок.

Расход при этом резко падает . Для нормальной работы
насадка необходимо,

чтобы

<

выполнялось условие Но

< Нпр .
Если же жидкость течет по трубопроводу длиной
диаметром

d

l

и

под действием напора Но, то скорость и рас­

ход можно подсчитать соответственно по формулам
и (7.6), где

J.t =

<р = 11 ~а+ л~+ L: с;.

(7.2)

(7.16)

Здесь Л ~ коэффициент гидравлического сопротивления;
с;~ коэффициент местных потерь. В этом случае J.t называ­

ется коэффициенmо.JIIl расхода cucme.JIIlъt.
При истечении жидкости из резервуара через отверстия

и насадки при снижающем уровне (без одновременного
притока) расход приближенно определяется по формуле

(7.17)
где J.t ~ коэффициент расхода; при развитом турбулентном
движении его

течения;

50

~

считают

постоянным для

всего

периода

выходная площадь сечения отверстия,

садка или сливного устройства;

z

ис­

на­

~ переменный уровень в

резервуаре при условии, что Р1 = Р2 = ра (рис. 7.6).
Если площадь сечения резервуара Sp переменна по вы­
соте, ТО время СНИЖеНИЯ уроВНЯ ОТ Н1 ДО Н2 МОЖНО наЙТИ
из соотношения

(7.18)
Для цилиндрического резервуара (Sp

t = 25p(.[ii;- .[ii2)

= const)
(7.19)

fl.So.fii

175

Время полного опорожнения горизонтальной цилиндри­
ческой цистерны, в начальный момент доверху заполнен­

ной жидкостью, определяется по формуле

Т=
где

L-

длина цистерны;

4LDJI5

з~so..fii

D-

(7.20)

'

ее внутренний диаметр.

Вопросы для самопроверки

1. В каком случае отверстие в стенке бака, из которого
происходит истечение, называется малым?
2. Как определяются коэффициенты истечения (сжатия
струи, скорости, расхода)?
3. Как найти среднюю скорость в сжатом сечении струи
и

расход

при

истечении

жидкости

через

малое

отверстие

при постоянном напоре?

4. Как определяется расход жидкости при истечении
через затопленное отверстие?
5.
6.

Что называется насадками?
Каковы простейшие типы насадков и их характери­

стики?

7. Какое давление возникает внутри цилиндрического
насадка при истечении в атмосферу? Каково условие нор­
мальной работы насадка?
8. Как найти время полного опорожнения вертикально­
го цилиндрического резервуара?

ПРИМЕРЫ

Пример

7.1.

При исследовании истечения воды в ат­

мосферу из круглого отверстия в тонкой стенке (см.
рис. 7.1) диаметром do = 20 мм из резервуара глубиной
Н
2 м с избыточным давлением на поверхности Рtн

=

1О

=

15, 7 мм и время на­
полнения мерного 10-литрового сосуда t = 6,9 с.
Определить коэффициенты истечения s, q>, J.L и коэф­

=

к Па замерен диаметр струи

dс

=

фициент сопротивления с;; отверстия в тонкой стенке.

176

PeшeJiue. Находим:

коэффициент сжатия струи

s=Sc/So =(dc/d0 ) 2 =(15,7/20) 2 =0,616;
расход

Q = V jt = 10-10-3/6,9 = 1,45-10-3 мЗ / с;
действительную скорость истечения

v = Q/ sc = 4Q/(лd;) = 4 -1,45-10- 3 / (3, 14 -1,572 -10--4) =
= 7,49

м/с;

теоретическую скорость

vт = 2g(н + РJн
J=
pg

2 · 9,81 (2 +

104
3
10 .9,8

J= 7, 70 м/ с.

Определяем коэффициент скорости

<р

= v /vт = 7,49 / 7,70 =О, 973

и коэффициент расхода по формуле
~

= <ps

=О, 973 ·О, 616

(7. 7)

= 0,599.

Коэффициент сопротивления с:; связан с коэффициентом

скорости соотношением

(7.3)

<р=1/~.
Считая а =
с:;

1,

будем иметь

1

=2-1 = 0,056.
<р

Пример

7.2.

Для увеличения пропускной способности

плавно сходящегося насадка, выходной диаметр которого

мм и коэффициент сопротивления с:;= 0,04, к нему
присоединен цилиндрический патрубок (рис. 7.7).

d = 16

Определить диаметр патрубка

D,

при котором пропуск­

ная способность полученного таким образом составного
насадка будет наибольшей.

177

Рис.

7.7.

К примеру

7.2

Ра
о

--..,..-------1

о

Определить
дельный
котором

1 d

-

--

- -

-

2

Ра

также

напор

пре­

воды,

давление

в

при
узком

сечении насадка станет равным

~---=::::::----

..::..D- ---.-

f"'-- i"

давлению

насыщенного

пара рп = 2,4 кПа (при t =
= 20 °С). Атмос~ерное дав­
лениера = 1,02-10 Па.
Реше1iие.

Напишем

урав-

нение Берну лли для сечений

0-0 и 2-2, считая, что потери напора насадка складывают­
ся из потерь в сходящемся насадке ~
(2g) и потерь при
внезапном расширении потока (V1 - V2) 2/(2g ):

vf /

Из уравнения неразрывности следует, что

Подставив

это

выражение

в

уравнение

Бернулли,

найдем скорость на выходе

и расход

2gH

Dj4

2+(1+~) ( d) -2
Для

(Di2 .

d)

определения максимального

расхода нужно

равнять к нулю производную dQ / dD.
знак

корня

ражения

178

и

возьмем

производную

от

при­

Внесем D 2 под
подкоренного

вы­

4D 3 (2 +

1

+ (, D 4 -

d4

2d2 D 2 ) - D 4 (4 1d4
+ (, D 3 - _±_
d2

n)
=0.

2

1
2 + (, D 4 D 2)
( d4
d2

2

Приравняв к нулю числитель этой дроби, получим

~:] = о,

4D 3 ( 2 _

откуда D =

.J2d = 22,63 мм.

Второй корень D = О означает отсутствие цилиндриче­
ского насадка. Расход при этом не может быть максималь­
ным,

так

как

расширение

именно

струи в

наличие

цилиндрического

нем и возникновение

насадка,

вакуума приво­

дят к увеличению расхода.

Для нахождения предельного напора Нпр
уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:

Рп + vf
pg

2g

=

составим

Ра + ui + (v1- ~)2
pg

2g

Приняв D =

2g

.fid,

будем иметь v1

2gНпр
_
2 + (1 + о, 04) 4 - 2 . 2 -

= 2v2,

~ 2gНпр

~.

Подставив эти выражения в уравнение Бернулли, полу­
чим

2

2.:1 =

Ра- Рп

2g

pg

2gНпр

ИЛИ---=

2,16

р - р
а

п

р

откуда

Нп

=

р

1,08

Ра- Рп
pg

=

1,08 (1,02 ·105- 2,4 ·103)
10 3 -9,81

=

10,96

М.
179

Пример

7.3.

Определить расход воды, вытекающей из

открытого бака в атмосферу по трубе переменнаго сечения
под действием постоянного напора Н = 3 м (рис. 7.8).
Длины участков и их диаметры соответственно: !1 = 5 м,
d1 = 70 мм; !2 = 10 м, d2 = 50 мм. Коэффициенты гидрав­
лического сопротивления: Л 1 = 0,02, Л2 = 0,025, коэффи­
циенты местных потерь: выхода из бака в трубу l;вых

=

поворота l;п = 0,3, вентиля l;в = 3.
PeшeJiue. Расход можно найти по формуле

= 0,5,

Q

=

где

7td22 ~

J.t--v 2gH ,
4

J.t -

коэффициент расхода системы, определяемый по

формуле (7.16), в которой все коэффициенты должны
быть приведены к скоростному напору на выходе.
Потери напора на первом участке должны быть пред­
ставлена в виде

где 5 1 = nd? / 4; 5 2 = nd] / 4.
Тогда

=1 /

5
0,07

1+(0,02--+0,5+0,3)(

Q = 0,323

3 14 0 05 2
~19,62·3
• " •

Пример

4

7.4.

50
)
70

4

+0,025~+3=0,323;
0,05

= 4,86-10-3 мЗjс.

Определить время полного опорожнения

целиком заполненного шарового сосуда диаметром

D

=3 м

через отверстие диаметром d 0 = 50 мм с коэффициентом
расхода J.t = 0,62 (рис. 7.9). Давление на поверхности
жидкости считать атмосферным.

180

z

--- - -

н

Рис.

7 .8.

К примеру

Рис.

7.3

7 .9.

К примеру

7.4

Реше1iие. Площадь свободной поверхности представляет
собой круг с переменным радиусом

где r =JR 2 -r12 ; R =D/2; r1 =Z -R.
Тогда

S/z) = n[R 2 -(z -R) 2 ] = nz (2R -z) = nz (D -z).
Находим время опорожнения шарового резервуара по

формуле

Т

(7.18), полагая Н 1 = D, Н2 = 0:

D
=

J
О

D

n z (D - z) dz =
J.l пdб ~ 2gz
4

4

JJZ (D - z) dz =

J-Ldб .J29 О

181

4

~-td'JJ29

(Dl:_D312_3_Dsl2)=
3

16

5

3512

16D5/2

15~-td'JJ29

3
.J 19,62 = 2' 42 ·1 о с = 40 мин 20 с.

·
15.0,62. 25 ·10-4

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос
Вода вытекает через насадок из открыто­ Расход

го бака, в котором уровень Н =
изменится

расход,

жидкости

в

если

баке

давление ри =

30

Код

Ответ

1

м. Как

на

поверхности

создать

избыточное

кПа 7

увеличится

в

4

увеличится

в

9

Для ответа надо знать

7

2

раза

Расход

4

раза

вид насадка

Расход не изменится
Сравните расходы при истечении жидко­
сти

из

бака

через

отверстие

в

Qцил : Qт . с =

1,62

тонкой Расходы одинаковы

стенке и через цилиндрический насадок
при одинаковых напорах истечения Н0 и

Qцил: Qт . с =
Qцил : Qт . с =

1,18
1,37

13

2
14
б

12

одинаковых выходных диаметрах

Три открытых цилиндрических резерву­
ара

с

одинаковыми

сливными

насадками

в дне заполнены до уровня Н: первый­

водой; второй
тий

-

нефтью (рн

-

наполовину

нефтью.

водой

Сравнить

и

<

рв); тре­

Vi = V2 = VЗ
V1 = V2 > VЗ
V1 > VЗ > V2
V1 = V2 < VЗ

10

15
1

5

наполовину

начальные

скорости

истечения

Сравнить

время

полного

трех приведеиных на рис.
резервуаров.

опорожнения Время

7.10

опорожнения

Объемы резервуаров и на- Быстрее опорожнится
Быстрее опорожнится

2

3

Быстрее опорожнится

182

7.10

16

второй
третий

Рис.

3

первый

чальные уровни одинаковы

1

11

открытых одинаково

8

ЗАДАЧИ

Задача

7 .1.

Определить суточную утечку нефтепродук­

та плотностью 900 кг/ мЗ из трубопровода, давление в ко­
тором составляет

0,8 МПа, если в результате повреждения
прокладки между фланцами образовалось отверстие пло­
щадью 2 мм 2 . Коэффициент расхода принять равным
Ответ: Q = 4,37 мЗ /сут.
Задача

7.2.

0,6.

В тонкой вертикальной стене бака имеется

два одинаковых малых отверстия. Одно находится на рас­

стоянии

h 1 от дна (рис. 7.11). Вытекающие струи дости­
гают пола в одной и той же точке.
Определить отношение
Ответ: h = h1.
Задача

диаметром

h : h1.

7.3. В открытый бак, имеющий в дне
d = 12 мм, поступает 1 мЗ /ч воды.

отверстие

Определить, до какой высоты Н будет подниматься во­
да в баке.
Ответ: Н= 0,857 м.
Задача 7 .4. Открытый резервуар делится при помощи
вертикальных перегородок на три части, сообщающиеся

друг с другом (рис.

7.12).

Определить расход воды через систему и найти распре­
деление

равны

напоров

d1

=

напор Н=

Н1,

Н2,

100 мм, d2
1,4 м.

=

Нз,

50

если диаметры

мм, dз =

Ответ: Q = 5,38-10-з мЗ/с; Н1 =
Нз=

0,275

Задача
через

кает

угольное

70

отверстий

мм и постоянный

0,0662 м; Н2

=

1,06 мм;

м.

7 .5.

Вода

большое

выте­
прямо­

отверстие

высотой

а = 0,6 м; центр отверстия
находится на г луб ин е Н =

=

0,7

м. Уровень поддержи­

вается постоянным.

Определить,
высоты

какую часть

отверстия

Рис.

7.11.

z

надо

К задаче

пе-

7.2

183

Рис.

7.12.

рекрыть щитом (см. рис.
в

2

раза.

К задаче

7.3),

7.4

чтобы расход уменьшился

Коэффициент расхода при обоих положениях

щита принимать одинаковым.

Ответ:
Задача

z = 0,33 м.
7 .6. Определить

начальные

объемные

и

мас­

совые расходы воды и бензина (рв = 103 кг /мз, рб =
= О, 7 5·1 оз кг/ мЗ), если истечение происходит в атмосферу
через

одинаковые

цилиндрические

насадки

площадью

2 см 2 при значениях Н = 1,5 м, Р1и = 40 кПа (см.
рис. 7.5), Р2 = ра.
Ответ: Qв = 1,70 л/с, Qб = 1,91 л/с; Qмв = 1,70 кг/с,
Qмб = 1,43 кг/с.
Задача 7. 7. Определить расстояние l, на которое будет

So

=

падать струя воды при истечении через отверстие в тонкой

стенке (см. рис. 7.1). Напор в баке Н = 4 м, h = 0,8 м,
Р1 = Р2· Как изменится l, если к отверстию приставить ко­
ноидальный насадок? Внешний цилиндрический насадок?

Ответ: при истечении через отверстие l = 3,47 м; через
коноидальный насадок - l = 3,50 м; через цилиндрический
насадок- l = 2,95 м.
Задача 7 .8. Через внешний цилиндрический насадок
диаметром 5 см происходит истечение воды при постоян­
ном напоре Н = 3 м.

184

Рис.

7.13.

К задаче

7.9
н

Определить расход воды
и

кинетическую

массы

энергию

жидкости,

вытекаю­

щей из насадка за 1 с (кине­
тическую мощность струи).
Определить
изменятся

также,

расход

и

как

кинети­

ческая мощность струи ,

если

цилиндрический насадок за­
менить

коническим

расхо-

дящимся насадком той же длины, того же входного сече­

ния, с диаметром выходного сечения D = 7,5 см.
Ответ: Qцил = 1,23-10-2 м3 /с; Nцил = 2,43-102 Дж / с;
Qкон = 1,52·10-2 мЗ / с; Nкон = 0,905-10 2 Дж / с.
Задача 7.9. При наливе топлива из резервуара в бочки
пользуются воронкой с трубкой диаметром d2 = 30 мм . На
короткой трубе диаметром d 1 = 20 мм, по которой течет
топливо из бака под напором Н= 1 м, имеются кран и по­
воротное колено с коэффициентами местных сопротивле­

ний соответственно ~кр =

2,5, ~к= 0,4 (рис. 7.13).

Пренебрегая потерями на трение в трубе, определить
минимальную высоту воронки, при которой не будет про­
исходить перелива топлива.

Указ а н и е: трубку воронки рассматривать как цилин­
дрический насадок.

Ответ:

h = 7,5
7.10. В

см.

Задача
каком соотношении находятся времена
истечения топлива из цилиндрической бочки, установлен­
ной вертикально, через сливное отверстие в дне, и из боч­
ки, положенной на бок , через такое же отверстие в ниж­

ней образующей (рис.

7.14)?

Коэффициент расхода при

сливе считать постоянным.

Ответ: Т1/Т2 = 3пJi5 / (S.JI).
Задача 7 .11. В боковой стенке цилиндрического откры­
того бака установлен насадок с площадью выходного сече­
ния S о = 1 см 2 . Время снижения уровня от высоты Н 1 =
= 81 СМ ДО ВЫСОТЫ Н2 = 25 СМ ОКаЗаЛОСЬ раВНЫМ 150 С.
Диаметр сечения бака D = 300 мм.

185

Рис. 7 .14. К за­
даче 7.10
г-г-

~--------------~

-- -L--

Определить

среднее

значение

коэффициента

расхода

насадка.

Ответ: ll =

0,85.
Задача 7.12. Вертикальный
диаметром D = S м и высотой

цилиндрический резервуар
Н = 4 м, заполненный до­
верху водой, опорожняется через горизонтальную трубу с
вентилем, расположенную у дна. Длина трубы l = б м,
диаметр d = 100 мм, шероховатость стенок трубы 11 =
= 0,3 мм, коэффициент сопротивления вентиля ~в= S.
Определить время понижения уровня от Н 1 = 4 м до
Н2 = 1 м. Определить также, какое избыточное давление

надо создать в резервуаре (и поддерживать постоянным),
чтобы это время уменьшилось на 20 %?
Ответ: t = 2,89-103 с; рн = 11 ,б кПа.
Задача
сосуде

7.13.

В высоком вертикальном цилиндрическом

диаметра

заполненном

D,

водой

плотностью

находится толстый тяжелый поршень массой М,

р,

плотно

прилегающий к боковым стенкам (вода через просвет
между поршнем и стенками не протекает). По оси поршня
сделано отверстие малого диаметра d (d << D), через ко­
торое вода может перетекать из одной части сосуда в дру­
гую.

Поршень

отпускают,

и

через

некоторое

время

его

движение становиться равномерным.

Найти

скорость

установившегася

движения

поршня.

Коэффициент расхода при движении жидкости через от­
верстие

ll·

Трение между поршнем и стенками не учиты­

вать.

Ответ:
186

2

v =

f.ld

(D 2 -d 2 )D

~ BgM
тер

.

Рис.

К задачам

7.15.

Задача
время

в

скорость

течение

через
Sо =

площадью

воды

в

отве~стие
см

1

из

цилиндрического

резервуара

диаметром D =
h = 0,5 м и Н =

мм при
м будет

постоянной.

верстия 1-1 =

250
1,5

Ответ:

Задача

7.15.

время

t,

ь] ~

--

-

Определить

зервуара

опорожнение

по

условиям

-

\

задачи

-

1

-

н

-

- --

-

-

-

-D
-

--

-

-

-

-

-

-

-

-

ре­

-

-

-

-

за которое произой­

полное

-

--

-

---

~

Принять для от­

0,62 (рис. 7.15).
t = 114,6 с.

дет

• L

которого

истечения

атмосферу

7.15

Определить

7.14.

t,

и

7.14

f

-

--

7.14.
Ответ:

t

=

с.

1543,6

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неправильный. Скорость истечения зависит не

от давления,

а от действующего напора.

Подумайте,

как

найти скорость истечения из третьего резервуара.

2.

Ответ неправильный. Проверьте, тот ли коэффици­

ент расхода Вы взяли.

3.

Ответ неправильный и вряд ли может быть аргумен­

тирован.

4.

Ответ

верхности

правильный.

жидкости

довательно, и расход Q1
чальный расход Q
5.

=

третьего

=

давление

по­

а

сле-

!J.So~2g(H +рн/рg);

на-

истечения,

:

Q

=

2.

Ответ неправильный.
из

на

напор

!J.So~ 2gH. Отношение Q1

=

=~(Н+ Pиlpg) :Гн
истечения

Избыточное

увеличивает

Подумайте,

резервуара,

и

как найти напор

сравните

его

с

напо­

рами во втором и первом резервуарах.

187

6.

Ответ неправильный. Проверьте значения коэффици­

ентов расхода (см. табл.

7.

1).

Ответ неправильный. Значение коэффициента расхо­

да насадка на ответ не влияет.

8. Ответ неправильный. Подумайте, в каком случае
время опорожнения будет меньше. Когда большая часть
объема жидкости вытекает

-

при больших напорах или

наоборот?

9. Ответ неправильный. Проверьте вычисления.
10. Ответ неправильный. Для третьего резервуара

на­

пор нефти надо привести к напору воды.

11.

Ответ неправильный. Хотя начальные мгновенные

расходы

жидкости

для

всех

резервуаров

одинаковы,

но

время опорожнения различно и зависит от формы резер­
вуара.

12.

Ответ правильный. Отношение расходов равно от­

ношению

коэффициентов

расхода для

цилиндрического

насадка и для отверстия в тонкой стенке :

Qцил. : Qт.с =

= 0,82:0,6 = 1,37.
13.

Ответ

давления

на

истечения и,

14.
(7.6).
15.

Ответ

неправильный.
поверхности

При

создании

жидкости

следовательно,

избыточного

увеличивается

напор

расход.

неправильный.

Проанализируйте

формулу

Ответ правильный. Скорости истечения из первого

и второго

и равны:

резервуаров

определяются одинаковым напором

q>~ 2gH. Для третьего резервуара на­
пор надо привести к напору воды: Нз =Н / 2 + Нрн / 2рв =
= Н(1 + рн/ рв) / 2 < Н, поэтому vз = q>~2gHз < Vt = v2 .
16. Ответ правильный . Из физических соображений
Vt = v2 =

этот результат следует из того факта, что из второго ре­

зервуара большая часть

объема вытекает при больших

напорах, т . е . с большим расходом. Вследствие этого время
истечения Т2 будет наименьшим. При истечении из третье­

го резервуара уровень будет быстро падать, поэтому рас­
ходы будут малыми и время Тз будет наибольшим: Тз >

> Tt >

Т2.

Глава

8

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
В ТРУБОПРОВОДАХ

Гидравлический удар в трубопроводе ~ это явление
скачкообразного изменения давления в жидкости, проис­
ходящее вследствие резкого

изменения ее скорости движе­

ния. Гидравлический удар может происходить при резком

открытии или закрытии задвижки в трубопроводе,

при

остановке насоса или турбины и в других случаях.

При

быстром закрытии задвижки происходят торможение жид­
кости у задвижки и резкое увеличение давления. Область
повышенного

сторону,

давления

распространяется

противоположную

начальному

по

жидкости

направлению

в

ее

движения. Скорость движения границы этой области
называется скоростью распростра1iе1iия волJiъt гидравли­
ческого удара с и для тонкостенного трубопровода опреде­
ляется по формуле Н.Е. Жуковского
С=

К/ р
к

d'

(8.1)

1+-Е 8

где К~ модуль упругости жидкости; р ~ее плотность;

d

~

внутренний диаметр; Е ~ модуль упругости материала сте­

нок трубопровода; 8 ~толщина стенок трубопровода .
Если трубопровод недеформируем (Е ~ оо), то ско­
рость

распространения

волны

гидравлического удара

ста­

новится равной скорости звука в данной жидкости:

С = ~.
Фазой гидравлического удара Т называется удвоенное
время пробега ударной волны от места возникновения
гидравлического удара до области потока, в которой дав-

189

ление можно считать постоянным (например, резервуар с
жидкостью, из которого начинается трубопровод, воздуш­
ный колпак насоса, магистральный трубопровод, от кото­
рого начинается местная линия) . Таким образом,

T=2l / c,
где

l ~ расстояние от места возникновения гидравлическо­
го удара до области, где давление постоянно.
Прямым называется гидравлический удар, при котором
время изменения скорости течения жидкости t меньше фа­

зы гидравлического удара (t

< Т).

Для прямоm гидравлического удара повышение давле­

ния определяется по формуле Н.Е. Жуковского

f..p
где

f..v

= pcf..v,

~ изменение скорости движения потока.

Если время изменения скорости больше фазы гидрав­
лического удара (t > Т), то гидравлический удар называ­
ется непрямым и при линейном во времени законе измене­
ния скорости изменение давления определяется по фор­
муле

т

f..p = pcf..v-.
t
Вопросы для самопроверки

1.

Чему равна скорость распространения волны гидрав­

лического удара в случаенедеформируемых стенок трубо­

провода (Е = оо)?

2.

Как надо закрывать задвижку в трубопроводе, чтобы

уменьшить

давление,

возникающее

при

гидр авл ическом

ударе, ~ быстро или медленно?
3. Ударное повышение давления больше при прямом
или непрямом гидравлическом ударе?
4. Что будет происходить с ударным давлением при
увеличении упругости стенок трубопровода?
5. Как будет изменяться ударное давление при увеличе­
нии диаметра трубы и сохранении толщины ее стенки?

190

ПРИМЕРЫ

Пример
ком,

8.1.

Насос, оборудованный воздушным колпа­

перекачивает

бензин по трубопроводу длиной

l

=

= 5 км, диаметром d = 75 мм, 8 = 5 мм в количестве Q =
= 9-10-3 м3jс. Плотность бензина р = 740 кгj м3, модуль
упругости бензина К= 1,1-109 Па, Е= 2-10 1 1 Па.

Определить, за какое время необходимо перекрыть за­
движку, чтобы ударное повышение давления не превосхо­
дило 1 МПа.
PeшeJiue. Скорость движения бензина

4Q

V=лd2

4 . 9 . 1о-3 =
2
3,14. о, 075

Скорость

2 04
1

м

1 с.

распространения

волны

гидравлического

удара

1К

1, 22. 1 о 3

1

с =vr; ~ 1+ к Е..=
Е

=

11·109 ·75
1+--''-----,-,,....-2·1011-5

8

1, 04

1,17-103 м / с.
Можно отметить, что деформация трубопровода снижа­

ет скорость звука в данном случае на 4 %.
Если бы гидравлический удар был прямым, то повыше­
ние давления f..p = pcv
740-1,17-103·2,04 = 1,77 МПа, что

=

превышает допустимую величину на

1

МПа. Следователь­

но, гидравлический удар должен быть непрямым . Фаза
гидравлического удара, т.е. время пробега волны от за­
движки до воздушного колпака и обратно:

т = 2l
с

104
--_,-3 =
1, 17. 10

8,55

с.

Необходимое время закрытия задвижки:
б

t=pCVI_= 1,77·10 ·8,55 =
др
10 6

15 с.
191

Пример 8.2. По трубопроводу длиной lпр = 20 м, диа­
метром d = 0,05 м, 8 = 3,5 мм, соединенному с баком, под

напором Н= 2,5 м течет вода (К= 2-109 Па). Внекоторый
момент

времени

происходит

мгновенное

перекрытие

пото­

ка в конце трубопровода.
Найти скорость распространения волны гидравлическо­
го удара и величину уда~ного повышения давления,

если

труба стальная (Е = 2-10 1 Па). Коэффициент гидравличе­
ского сопротивления принять равным

0,03.

Как изменится

ударное повышение давления, если стальную трубу заме­

нить чугунной тех же размеров (Е= 0,98-10 11 Па)?
Решение. Из уравнения Бернулли определим скорость
течения воды в трубе до закрытия задвижки. Считая, что
а=

1,

имеем

2
1
2
н = !!..__ + л~!!_
2g
d 2g

1

откуда

V=

2 о 9, 81 о 2, 5

2gH
l
1+Л~
d

20
1 + 0,03-0,05

= 1 94 м 1 с.
1

Скорость распространения волны гидравлического уда­

ра в стальной трубе
к

С =

2·10

9

3
J
- 1,32-10 м / с.
+ _2_·1....,.0.,---·_5 _·1_0_-__,.,.
9

103 1
(

2

2 . 1о11 . з, 5 . 1о-3

Повышение давления

др= pcv = 10 3 ·1,32 -10 3 ·1,94 = 2,56 МПа.
В

чугунной

трубе

скорость

распространения

волны

меньше, чем в стальной, за счет меньшей упругости стенок
трубы:

9

103 1
(

192

9

з
J
=1,24-10 м / с,
+ __
2 _·1_0....,..,.·_5_·_1о_-_"
2 ·10

С=

2

о, 98 . 1 о11 . з, 5 . 1о-з

поэтому ударное повышение давления уменьшается:

др= pcv

=

103 · 24-10 3 = 2,41 МПа.

Пример. 8.3. Опредилить напряжения, возникающие в
стенках стального трубопровода при мгновенном закрытии
задвижки в условиях примера 8.2.
PeшeJiue.

При гидравлическом ударе в трубопроводе

возникают радиальные деформации

Е= dд.р
28Е

и напряжение

cr=

d
28

ЕЕ = -др.

Имеем

cr = dд.р = о,о5. 2,56 -1о

б

2 ·О, 0035

28

= 18 1 МПа.
'

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Ответ

Вопрос
Расположите в
расти

лического
ных

порядке

распространения
удара

диаметров

в
с

1
4

2

з

гидрав ~

з

задан-

з

толщи-

1

4
2

2
2
4

убывания ско ~
волны

водопроводах
одинаковыми

нами стенок труб, но из готовленных

Код

4
1
1

з

з

11

1
б

из

различных материалов:

1 - резина, шланг ди аметром d;
2 - резина, армированная сталью,
шланг диаметром

d;

З - сталь, труба диаметром

4При

сталь, труба диаметром
расходе

постоянном

трубопроводе

его

d;
1,2d.

жидкости

Б

Останется без измене-

д иаметр

и

ния

дл ину,

раза.

Увеличится в

8

Как это скажется на ударном повыше-

Увеличится в

нии

Уменьшится

10
5

толщину

стенок

давления

уменьшили

при

прямом

Б

2

гидравличе ~

2 раза
4 раза
в 2 раза

4

ском ударе?

193

Ответ

Вопрос
Длину

трубопровода

требителя
раза,

во

от

пришлось

столько

насоса

увеличить

же

раз

до
Б

по~

Для решения необхо~

1,2

димы

уменьшился

и

численные

Останется той же

бы

Увеличится

движка,

та

же

рассчитанная

концевая

ранее

9

дан~

ные

расход жидкости. Для перекрытия тру~
используется

Код

за~

12
2
7

(для пер~ Уменьшится

вого варианта) на время закрытия, при
которой др= O,Sдpmax.
Что произойдет с величиной др в новых

условиях?

ЗАДАЧИ

Задача 8.1. В каких случаях , при прочих равных усло­
виях, повышение давления при гидравлическом ударе бу­

дет больше:
1) в трубопроводе из стальных или чугунных труб?
2) при перекачке воды или нефти?
Ответ: 1) из стальных труб; 2) воды.
Задача

8.2.

Проверить, будет ли иметь место прямой

гидравлический удар в магистральном трубопроводе, если
за 10 с закрыть задвижку, отстоящую на 7,5 км от воз­

душного колпака насоса,
подающего в трубопровод
нефть . Диаметр стальных труб 200 мм, толщина стенок

1О мм, плотность нефти 880 кг/ мЗ , моду ль ее упругости

1,3·109 Па.

Ответ : будет прямой гидравлический удар.
Задача

8.3.

трубопроводе (/

Рассчитать время закрытия задвижки на
10 км, d 0,4 м, Е 2,1·10 11 Па) , что­

=

=

=

бы ударное повышение давления во всех случаях не пре­
вышало 1 МПа . По трубопроводу ведется последователь­

ная перекачка нефти (р = 850 кг/ мз, К = 1,3-109 Па) и
бензина (р = 720 кг / мЗ, К = 1, 1-1 о9 Па). Скорость v рав­
на

2 м / с.
Ответ:

t = 34

Задача

8.4.

с.

Тарельчатый

предохранительный

установлен перед краном (рис.

194

клапан

8.1), отстающим от воз-

Рис.

К задаче

8.1.

душного

колпака

расстоянии

стальных труб

щина стенок
клапаном,

м.

300

насоса

на

Диаметр

------~ - -

мм, толмм, диаметр отверстия,

50

5

10

I

8.4

перекрываемого

мм.

Каково максимальное время перекрытия крана, при ко­

тором еще происходит прямой гидравлический удар при

перекачке воды? Принять Е= 2,1·1011 Па.
Ответ: t = 0,44 с.
Задача

8.5.

По трубопроводу диаметром

d

=

0,4

м течет

нефть плотностью р = 870 кг / м 3 , К = 1 ,3·109 Па, с расхо­
дом Q = 0,2 мЗ/с.
Какова

должна

быть

минимальная

толщина

стенок

стальных труб, чтобы напряжение в них не превышало

cr =

= 80 МПа? Для стали принять Е= 2·1011 Па.
Ответ: & = 3,13 мм.
Задача

8.6.

Определить , при какой начальной скорости

движения воды в чугунном трубопроводе давление при
мгновенном закрытии задвижки достигнет р = 1,5 МПа.

Давление у задвижки перед ее закрытием р = 1,2 ·10

d = 0,25 м, & =б мм. Для чугуна Е= 1·1011 Па.
Ответ: v = 1,32 м / с.
Задача
от

8.7. Стальной трубопровод длиной l

напорного

d = 0,3

м,

&

= 9·10- 2 м3 / с.

резервуара до

= 0,004

м,

затвора,

5

Па ,

= 700

м

имеющий диаметр

пропускает расход воды

Q =

Определить, в течение какого времени надо закрывать

затвор (при линейном изменении скорости), чтобы макси­
мальное повышение давления в трубопроводе было меньше
в

3

раза, чем при мгновенном закрытии затвора. Принять

Е= 2,1-10 11 Па.
Ответ:

t

=

4,37

с.

Задача 8.8. В результате нарушения правил проведения
земляных работ был 1:порван ~ стальной магистральный
продуктапровод (D = 530 мм, толщина стенок & = 8 мм).
В этот момент перекачка не велась, но труба была пол­

ностью заполнена бензином (р = 750 кг /мЗ) под избыточ-

195

ным давлением.

Регистрирующая аппаратура зафиксиро­

валя изменение давления на подающей А и принимающей
В насосных станциях с интервалом 1 мин.
Определить место аварии, если известны:

ность участка АВ трубопровода

гости жидкости К=
=

2-105 МПа.
Ответ: х

Задача

900

L = 240

протяжен­
км, моду ль упру­

МПа, модуль упругости стали Е=

= 149 км.

8.9.

Н.Е.

Жуковский предложил следующий

способ нахождения места разрыва трубопровода. На пов­
режденном трубопроводе устанавливается кран,

и после

того, как в трубе устанавливалось течение жидкости, кран
резко закрывается. При этом изменение давления во вре­
мени перед краном фиксируется в виде диаграммы р

=

=

f(t). Изучая полученную запись, можно определить ме­

сто разрыва трубопровода.
Как это рассчитывается?

Ответ: х =
давления,

t-

ct / 2,

где с

-

скорость волны повышения

время от момента закрытия крана до момен­

та прихода волны разрежения.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1. Ответ неправильный. При одинаковых давлении и
толщине стенок труб какая из них будет больше деформи­
роваться?
2. Ответ неправильный. Вероятно, Вы не учли, что с
уменьшением

расхода

уменьшается

и

скорость

движения

жидкости.

3.

Вероятно, Вы пытались угадать ответ, даже не заду­

мываясь над исходными данными . Вспомните зависимость
между упругостью материала и его модулем упругости.

4.

Ответ неправильный. Вы не учли, что скорость дви­

жения жидкости не остается постоянной.
5. Ответ неправильный и логически

необъяснимый.

Проследите, как влияет изменение начальных условий на
скорость распространения волны гидравлическ ого удара и
скорость течения жидкости.

6.

Ответ правильный. Так как сталь более упруга, чем

резина, то модуль упругости для нее выше. Армированная

196

резина занимает промежуточное положение. Знаменатель

выражения

(8.1), учитывающий деформацию трубопрово­

да при гидравлическом ударе,

Kd)O,S
( 1+Е8
тем больше, чем меньше Е и больше d. Следовательно,
порядок убывания скорости распространения волны гид­

равлического удара (при одной и той же текущей жид­
кости) будет:
а) сталь; (наибольшее значение Е, наименьшее d);
б) сталь; 1,2d (наибольшее значение Е, несколько боль­
шее d);
в) резина, армированная металлом (значительное умень­
шение Е);
г) резина (наименьшее значение Е).
Действительно, для стали Е = 2-10 11 Па, для резины

Е=

107 Па, т .е. примерно в 2-104 раза меньше.
7. Ответ неправильный. Вероятно, Вы не

с увеличением

длины трубопровода

учли,

возрастает

и

что

фаза

удара.

8.

Ответ неправильный.

определении

скорости

Вероятно,

движения

вы ошиблись при

жидкости

в

новых

усло­

виях.

9.

Ответ неправильный.

Задачу можно решить путем

анализа основных расчетных формул.

10.

Ответ правильный,

так как по условию в обоих

случаях гидравлический удар считается прямым и увели­

чение длины трубопровода не играет роли. Уменьшение
диаметра и толщины стенок в 2 раза взаимно компенсиру­
ется, и поправка на деформацию трубопровода ( 1 + Kd /

Eo)O,S остается неизменной, остается и неизменной ско­

рость распространения волны. Но уменьшение диаметра в
раза приводит к увеличению в 4 раза скорости движения

2

жидкости,

а следовательно,

и ударного повыш ения давле­

ния, так как f..p = pcv.
11. Ответ неправильный и, видимо, вызван тем, что Вы

забыли логическую связь между упругостью и моду л ем
упругости. Чем менее жесткое тело, тем его модуль упру­
гости меньше.

197

12.

Ответ правильный.

Ударное повышение давления

при непрямом гидравлическом ударе

f.;p

т

= pcv-.

t

Так как диаметр, толщина стенок и модуль упругости
материала трубы, а также жидкость и время закрытия за­
движки остались прежними, величина ре / t
const. Сле-

=

довательно, /l..p ~ vT. Но v =
f.;p ~ Ql. По условию Ql
Следовательно,

/l..p

=

const.

Q ,
s

Т = 3!:._. Следовательно,
с

= const, так как Ql = ;~ 1 ,2ft.

Глава

9

ДВИЖЕНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИХ

ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ

При движении вязкой нъютоновской жидкости по
круглой трубе в соответствии с законом вязкого трения
Ньютона (1.9) касательное напряжение "t пропорциональ­
но градиенту скорости и(r), т.е.

где

r-

текущий радиус.

Величина

у

=

ди / дr называется скоростью сдвига и

уравнение (9.1) записывается в виде
"t

= 11У·

(9.2)

При этом считается, что при температуре Т =
намический коэффициент вязкости 11
const.

Уравнение

const

ди­

=

(9.2) представляет собой простейший при­

мер реологического уравнения жидкости. Это уравнение
содержит единственный реологический параметр - дина­
мический коэффициент вязкости. Наиболее простой клас­

сификацией неньютоновских жидкостей является класси­
фикация, в которой неньютоновские жидкости группиру­
ются по трем основным категориям.

1. Неньютоновские вязкие жидкости, для которых ско­
рость сдвига зависит только от приложенных напряжений,
т.е.

у=

f(-r).

(9.3)

Жидкости, для которых скорость сдвига определяет­
но и
продолжительностью его действия .

2.

ся не только величиной касательного напряжения,

199

3.

Вязкоупругие жидкости, проявляющие одновременно

вязкость и упругость.

Неньютоновские

вязкие

жидкости

делятся

на

две

группы:

а)

жидкости,

обладающие

1iачалъ1iъt.М

1iаnряже1iие.м

сдвига -ro, т.е. жидкости, которые начинают течь лишь по­
сле того, как касательное напряжение превысит некоторый
предел

-ro;

б) жидкости, 1ie обладающие 1iачалъ1iъw 1iаnряже1iие.м
сдвига -ro.
Примерам жидкости группы а) является вязкопластич1iая жидкость. Ее реологическое уравнение имеет вид

fO,

l

(9.4)

у= -r ~-ro,
т.е. при "t ::;

-ro среда ведет себя как твердое тело.
11 называется коэффицие1iто.м пластической

Величина
вязкости.

Примерам жидкостей группы б) являются cтene1i1iъte
или нелинейно-вязкие жидкости.

Их реологическое урав­

нение имеет вид

где k - ко1iсисте1iт1iостъ; n - и1tдекс тече1iия.
Зависимость касательного напряжения от

скорости

сдвига называется кривой тече1iия.
Кривые течения степенных жидкостей проходят через

начало координат. При n < 1 жидкость называется псевдо­
пластич1iоЙ, а при n > 1 - дилата1iт1iоЙ.
На рис.

9.1

приведены кривые течения неньютоновских

вязких жидкостей.

Кривая

ной жидкости, кривая

дилатантной; кривая

3

2 -

1

соответствует вязкопластич­

псевдопластичной, кривая

соответствует случаю

4 -

= 1, т.е.
представляет собой кривую течения для вязкой жидкости.

n

Для неньютоновских вязких жидкостей вводится поня­
тие кажущейся вязкости

(9.5)
200

Рис. 9.1. Кривые течения ненью­
тоновских вязких жидкостей

1

и текучести

ера= )'/'t = 1/!-!а· (9.6)
В

отличие

от

ньютонов­

екай жидкости величины /-!а
и

-

ера

не

функции

константы,

4

а

касательного

напряжения.

При

новской

движении

неньюто­

вязкой

жидкости

по трубе радиусом а и дли­
ной l под действием пере­
пада давления ~р распределение

касательного

напряжения

по

радиусу,

как

и

в

слу-

чае ньютоновекай жидкости, имеет вид

r

(9.7)

'"С= '"Са-'
а

где '"Са

-

касательное напряжение на стенке трубы, опреде­

ляемое из соотношения

а

'"Са= -~р.

21

Распределение скорости по сечению трубы определяется
по формуле

(9.8)
где f(•) определяется по формуле

(9.3).

Расход неньютоновской вязкой жидкости определяется

при любом виде функции

f( •)

из соотношения

(9.9)

201

Формулы

(9.6)

и

(9. 7)

пристенного скольжения.

ньютоновской вязкой
цилиндрами

справедливы при отсутствии

При вращательном течении не­

жидкости

распределение

между двумя

касательного

соосными

напряжения

по

радиусу имеет вид

(9.10)
где М

-

момент сил трения,

действующих на единицу

длины цилиндра.

Угловая

скорость наружного

цилиндра

Q

при отсут­

ствии пристенного скольжения и неподвижном внутреннем

цилиндре определяется по формуле

(9.11)

где

'ti,

'te -

напряжения сил трения на поверхностях внут­

реннего и наружного цилиндра соответственно.

Вопросы для самопроверки

1.
2.
3.

Как определяется неньютоновская жидкость?

Какая жидкость называется неньютоновской вязкой?
Каким реологическим уравнением описывается тече­
ние вязкопластичной жидкости?
4 . Сколько реологических параметров определяют мо­
дель степенной жидкости?
5. Как распределяется касательное напряжение по ра­
диусу

кольцевого

зазора

при

вращательном

движении

жидкости?
6. К каким особенностям в распределении скорости по
сечению трубы приводит наличие начального напряжения

сдвига в модели вязкопластичной жидкости?

ПРИМЕРЫ
Пример

9.1.

Получить закон распределения скорости в

сечении трубы при движении вязкопластичной жидкости .

202

PeшeJiue.

Для

вязкопластичной

ствии с формулами

жидкости

в

соответ­

(9.3) и (9.4)

(9.12)
Распределение

формулой

(9.8)

скорости

получим,

и учитывая ,

воспользовавшись

что f(т) определяется по

(9.12)

При т :-:::; •о

При т

> •о
•о

-а
'ta

•о

Jf( 't) d' t- -а- J- - d' t-'t - 'tQ

t

'ta

t

~

(9.13 )

Обозначим радиус, на котором касательное напряжение
становится равным •о, через

ro

ro:

21
= -•о·
др

(9.1 4)
203

Учитывая, что

'
r
'О
ro
а
- =- - = - 1: =-др
'а
а ' 'а
а ' а
21
'
после несложных преобразований получаем

и

_a'a(1-ro)2
(r ) -_a2fl.p(1_2lcoJ2
--- , r <
_ r0 .,
2Т]

а

4Т]l

а

fl.p

и (r) = аса (1- ro J2 - а'о2 ( 1- ~]2
а)

211

- а2
-fl.p
-

4Т]/

[1 --

l

2ТJ 'а

'О

r2 - 4/ а2
а fl.p

ro

(1- -

r )] ,r>r .
0
а

Следовательно, эпюра скоростей состоит частью из по­

верхности параболоида вращения (от стенки трубы до ци­
линдрической поверхности радиуса r 0 ) , а частью из плос­
кой площадки, перпендикулярной к оси трубы (в цен­

тральной части трубы). В центральной части трубы вязко­
пластичная

(рис.

жидкость

движется

как

твердый

стержень

9.2).

Пример 9.2. Найти связь между углавой скоростью
наружного цилиндра и моментом сил трения М, действу­
ющим на единицу длины цилиндра для вязкопластичной
жидкости,

считая,

цилиндре •е

>

что

напряжение

трения

на

наружном

•о.

Решение. Угловая скорость наружного цилиндра опре­

деляется по формул е

(9 .11).

Так как по условию каса­

тельное напряжение на наружном

цилиндре

уменьшении
тельное

всем
а

зазоре

жидкость

1: 0 , а при

1:

каса­
растет

(9.10)), то во
> •о, и вся

течет.

Подставив

(9.12) в (9.11), получим
Рис.

204

>

напряжение

(см. формулу

u(r)

"te

радиуса

9.2.

К примеру

9 .1

(9.15)
В соответствии с формулой

(9.10)

= М/ (2лr/), •е = М/ (2лr}).

-ri

Подставив эти соотношения в

(9.15), получим
(9.16)

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

Какая

жидкость

ским уравнением

Ответ

описывается

1:

реологиче-

= kyn, n < 1?

Дилатантная

з

Ньютоновекая

7

Вязкопластичная

9

Вязкопластичная жидкость течет в круг лай

Увеличивается
Уменьшается

остальных

условиях

0

и неизменных

течения

радиус

ядра

12

Псевдопластичная

трубе.

При уменьшении 1:

Код

Не изменяется

б

13
1

потока

Для определения реологических
ров вязкопластичной жидкости 1:
ротационном

виско зиметре

парамет -

0

и

11

на

Двух опытов
Одного опыта

5
11

провести

Трех опытов

реологиче -

Дилатантная

4

Вязкопластичная

8

надо

2

не менее

Какая

ЖИДКОСТЬ

описывается

ским уравнением вида

1:

= 1:0 + 11 yn ?

Ньютоновекая
Псевдопластичная

10
14

ЗАДАЧИ

Задача

0,1

9 .1.

В трубе длиной

l

=

100

м и диаметром

d

=

м находится вязкопластичная жидкость с начальным

напряжением сдвига -. 0 =

3 Н / м2 .

Определить перепад давления др, при котором начнётся
течение жидкости.

Ответ: др= 1,2-104 Па.

205

Задача

Вывести формулу зависимости расхода

9.2.

Q

при течении вязкопластичной жидкости в трубе радиусом
а и длиной l от перепада давления и реологических пара­
метров жидкости.

Задача 9.3. Найти закон распределения скорости по
радиусу при течении степенной жидкости в круглой трубе
радиусом а. Реологические параметры жидкости
репад давления на единицу длины трубы

р/

l

k, n

и пе­

считать из­

вестными.

Задача

Вывести формулу зависимости расхода

9.4.

Q

при течении степенной жидкости в трубе радиусом а и
длиной l от перепада давления !J.p и реологических пара­
метров

k

и

n.

Задача 9.5. По трубе длиной l = 100 м и диаметром d =
= О, 1 м течет вязкопластичная жидкость с реологическими

параметрами •о
ния

!J.p

=

= 4,5

5·1 os Па.

Найти расход

Ответ: Q
Задача

Q

Н / м 2 , 11

и Raдi:JYc ядра потока

= 6,5-1о-з

9.6.

= 10- 1 Па-с.

мЗ /с; r0

Перепад давле­

r 0.

= 1,8-10- 2 м.

По трубе течет степенная жидкость.

Найти отношение максимальной скорости Vmax к сред­

ней Vcp.

Ответ: Vmax / Vcp = (3п + 1) / (n + 1).
Задача

9.7.

Определить момент сил трения, действую­

щих на единицу длины внутреннего цилиндра ротационно­

го вискозиметра ,

если

наружный

угловой скоростью Q = 10 с- 1 , •о
радиус наружного цилиндра r e =
=

см.
Ответ: М =

0,026

Н.

Задача

При

проведении

цилиндр

вращается

5 Н / м 2 , 11

3

=

с

1 Па-с,

см, внутреннего

ri =

2,5

9.8.

опыта на

ротационном

вискозиметре было измеrено, что при Q =

60 с-1 м =
Н, а при Q = 30 с- М= 0,03 Н.
Считая, что жидкость вязкопластичная, найти величины
•о и 11 (ri = 2 см, re = 3 см).
Ответ: •о = 2,73 Па; 11 = 0,074 Па-с.

=

0,05

Задача

9.9.

При течении вязкопластичной жидкости в

трубе диаметром

206

d

=

2

см и длиной

l

=

10

м, при перепаде

давления f..p = 104 Па расход Q
= 3-104 Па расход Q = 0,05 л/с .
Определить •о и 11·
Ответ: •о
1,82 Па;

=

Задача

9.10.

11

= 0,2

0,01 л / с, а при f..p

Па·с.

Пользуясь л-теоремой, определить, от ка­

ких безразмерных параметров зависит коэффициент гид­
равлического сопротивления при течении вязкопластичной

жидкости в трубе.
Задача 9.11.
Вязкопластичная
начальным напряжением сдвига •о =
ентом пластической вязкости

11

жидкость
обладает
Па и коэффици­

2,5

=О, 1 Па-с.

Найти кажущуюся вязкость и текучесть при скорости

сдвига у = 100 с- 1 .
Ответ: 1-La = О, 125 Па-с; <ра

= 8 Па- 1 -с- 1 .

КОНСУЛЬТАЦИИ

1. Ответ неправильный. Вы не разобрались в законе
распределения напряжения по радиусу трубы.
2. Ответ неправильный. Посмотрите еще раз на форму­
лу, связывающую между собой момент М и угловую ско­
рость Q внешнего цилиндра при течении вязкопластичной
жидкости.

3. Ответ правильный. Действительно при n < 1 кривая
течения соответствует кривой 3 (см . рис. 9.1), т.е . жид­
кость псевдопластичная.

4. Ответ неправильный. Вы не разобрались в класси­
фикации неньютоновских вязких жидкостей.
5. Ответ правильный. В уравнение (9.4) входят две не­
известные величины

- 11

и •о·

Проведя два опыта,

т.е.

определив две пары значений М 1 ,

вив их последовательно в

0 1 и М2, О2 и подста­
уравнение (9.4), получим систе­

му из двух уравнений с двумя неизвестными, из которых
реологические параметры •о и

11

определяются единств ен­

ным образом.

6.

Ответ

неправильный.

начальным напряжением
ка

r0.
7. Ответ

Вы не
'tO и

сдвига

учли

связь

между

радиусом ядра пото­

неправильный. Посмотрите еще раз классифи­

кацию неньютоновских жидкостей.

207

8.
9.

Ответ правильный.
Ответ неправильный. Вязкопластичная жидкость об­

ладает начальным напряжением сдвига •о·

10.

Ответ

неправильный.

Ньютоновекая жидкость не

имеет начального напряжения сдвига •о·

11. Ответ неправильный. Вы не учли, что уравнение
(9.4) содержит две неизвестные величины 11 и •о·
12. Ответ неправильный. Разберитесь еще раз в кривых
течения (см. рис. 9.1).
13. Ответ правильный. Действительно, из соотношения
(9.14) следует, что чем меньше •о, тем меньше радиус яд­
ра потока

14.

ro.

Ответ неправильный. Посмотрите еще раз класси­

фикацию неньютоновских жидкостей.

Глава

10

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗА

Состояние однородного газа определяется тремя пара­
метрами - абсолютным давлением р, плотностью р и абсо­
лютной температурой Т, из которых только два являются

независимыми. Уравнение Ф(р, р, Т) = О, связывающее
эти величины, называется уравнение.м состояния.

Уравнение Клапейрона для массы газа т, занимающей
объем V, имеет вид

pV=
где

R

газовая

-

Дж/ (кг-К).

(10.1)

тRТ,

постоянная,

измеряемая

в

СИ

в

Уравнение (10.1) можно записать также в

виде

р/ р

= RТ.

(10.2)

Уравнение Клапейрона для одного киломоля газа ,и за­
писывается в виде

Р

R

(10.3)

- = -Т,
р
J.l
где

R -

универсальная газовая постоянная, величина по­

стоянная для всех газов и равная

8314

Дж / (кмоль-К).

Для воздуха газовая постоянная

R

= R/ 1-1 = 8314/

28,98

= 287

Дж/ (кг-К).

(10.4)

Удельный объе.м газа v и его плотность р связаны соот­
ношением v = 1 / р.
Газ называется совершенным, если давление р, плот­
ность р и абсолютная температура Т удовлетворяют урав­
нению Клапейрона (10.2) или (10.3) и удельную внутрен­
нюю энергию газа И можно представить в виде

209

и= СуТ,
где cv ~теплоемкость газа при постоянном объеме.
Для реальных углеводородных газов уравнение состоя­
ния представляется следующим образом:

p/p=2RT

(10.5)

Е.=2RТ.

(10.6)

или

р

1-!

Здесь 2 ~коэффициент сжимаемости,
2

= 2l.E._, !.__J ;
Ре

(10.7)

Те

ре, Те ~ критические давление и температура, т.е. давле­

ние и температура в критической точке.
Критической точкой называется точка на карте изо­

терм (диаграмме состояния p~V~T), в которой исчезает
различие между насыщенным паром и жидкостью.

При

температуре выше критической не существует двухфазных
состояний. Вещество находится в однофазном состоянии.
Для

природных

углеводородных

газов

коэффициент

сжимаемости определяется по экспериментальным кривым

(приложение

5).

Система находится в термодинамическом
если параметры,

определяющие ее состояние,

равновесии,
остаются по­

стоянными.

Обратимым процессом называется процесс изменения
состояния системы, который, будучи проведен в обратном
направлении,

возвращает ее в исходное состояние через те

же промежуточные состояния и при этом в окружающей
среде никаких изменений не происходит.
Обратимый процесс можно представить как непрерыв­
ную последовательность равновесных состояний, т.е. как
квазистатический процесс.
Только в том случае, когда реальный процесс может
рассматриваться как квазистатический,
мул,

описывающих

его,

равновесного состояния

210

при выводе фор­

можно пользоваться уравнениями

( 10.1 )~ ( 1О. 7).

Первое начало термодинамики выражает закд1i coxpaJieJiИЯ Э1iергии в применении к преобра3ованиям механиче­

ской энергии в тепловую и обратно. Для ква3истатических
процессов его можно сформулировать следующим обра3ом:

подведенное

личество теплоты

ней энергии га3а

к единице

массы

га3а элементарное ко­

8Q расходуется на повышение внутрен­
d И и на выполнение работы расширения

pdv:
8Q
Количество теплоты

=

(10.8)

dU + pdv.

8Q,

сообщенное га3у, не является

полным дифференциалом, так как 3ависит не только от
начального

и

конечного

состояния

га3а,

но

и

от

самого

процесса И3менения состояния. Если уравнение ( 1О. 8)
умножить на интегрирующий множитель 1/ Т, то получим
полный дифференциал

некоторой функции,

на3ываемой

энтропией

(10.9)
При переходе га3а И3 состояния
нение энтропии

52-St

1

в состояние

и3ме­

2

не 3ависит от процесса перехода, а

определяется только начальным и конечным состояниями.

Для совершенного га3а

S2

-

S1 -_ cv 1n

k

Р2Р1

(10.10)

--k '
Р2Р2

где

k

= Ср/ cv

теплоемкость

-

пока3атель адиабаты Пуассона; Ср и

cv -

гюа при постоянном давлении и постоянном

объеме соответственно, отнесенная к единице массы. Она

и3меряется в СИ в Дж / (кг·К). Определенное по формуле
(10.10) приращение энтропии тоже отнесено к единице
массы.

Фи3ические константы некоторых га3ов (молекулярная
масса,

теплоемкость при постоянном давлении,

пока3атель

адиабаты, критические температура и давление) приведе­
ныв приложении 6.
Процесс,

происходящий

бе3

теплообмена

системы

с

окружающей средой, нюывается адиабатическим, а про­
цесс,

происходящий

при постоянной энтропии,

-

изоэJi-

211

тропическим.

Изоэнтропический

процесс

описывается

уравнением адиабаты Пуассона, которое получается из
уравнения (10.10), если положить S 2 = S 1 , т.е.

Е1. = Р2
pf
р~
Процесс,

= const.

(10.11)

происходящий при постоянной температуре,

называется изотермическим. Он описывается уравнением
Бойля-Мариотта

р/р

= const.

(10.12)

Энтальпией, отнесенной к единице массы (или тепло­
содержание при постоянном давлении), называется функ­
ция

(10.13)
которая

определяется

только

состоянием

газа,

например,

его температурой и давлением.
При адиабатическом течении реального газа через дрос­

сель (вентиль, диафрагму и т.д.) из области большего
давления р1 в область меньшего давления р2 наблюдается
изменение

температуры,

вызванное

изменением

давления.

Это явление называется эффектом Джоуля-Томсона. Ес­
ли за дросселем

восстанавливается

начальная скорость те­

чения газа, то энтальпия сохраняется неизменной

(10.14)
или

u1

+ Р1

= u2

+ Р2 .

Р1

Температура в
повышаться,

процессе

(10.15)

Р2

Джоуля-Томсона может

так и понижаться,

в

как

зависимости от

характе­

ра сил взаимодействия между молекулами газа.

Один и

тот же газ при разных температурах может вести себя
различно. Температура, при которой эффект меняет свой
знак, называется точкой инверсии.
Дифференциальный эффект Джоуля-Томсона характе­
ризуется коэффициентом Джоуля-Том сона

212

8=

(дТ)
'
др i

(10.16)

зависящим от температуры и давления (приложение

7).

При дросселировании от высокого давления р 1 до зна­

чительно более низкого Р2 температура газа меняется на
конечную величину ТгТ2. Этот процесс принято называть
И1imеграль1iьtМ эффектом Джоуля-ТомсоJiа. Для его ха­
рактеристики вводится
Джоуля-Томсона

среднее

значение

коэффициента

(10.17)
Для многих реальных газов составлены таблицы и по­

строены графики зависимости энтальпии от температуры и
давления (приложение 8), диаграмма i-T для метана. Эти
графики

могут

служить

для

расчета

эффекта

Джоу­

ля-Томсона.
Для совершенного газа

(10.18)
и изменение температуры за счет эффекта Джоуля-Том­
сона равно нулю.

Вопросы для самопроверки

1.
2.
3.

Какой газ называется совершенным?
Какой процесс называется изоэнтропическим?
Как

изменяется

плотность совершенного газа при

увеличении давления, если процесс изотермический?

4.

Как зависит внутренняя энергия совершенного газа

от температуры?

5.

Как

записывается

уравнение

состояния

реального

газа?
ПРИМЕРЫ

Пример 10.1. В эксперименте Джоуля-Томсона газ, за­
ключенный в трубку с адиабатическими стенками, проте-

213

кает

при

стационарных

условиях

через

пористую

перего­

родку из области с высоким давлением в область низкого
давления, причем давления по обе стороны пористой пере­
городки поддерживаются постоянными. В результате по­

лучают, что температуры по обе стороны перегородки раз­
личны.

Выразить через Ср и (дv / др )р коэффициент Джоу­
ля-Томсона 8 = (дТ / др)i. Кроме того, для тех случаев,
когда в достаточно хорошем приближении уравнение со­
стояния можно записать в виде pv
RT + В(Т)р, выра­

=

зить

8

через В.

Решение. Изменение температуры при малом изменении
давления получается из равенства

di
При условии

di

=

(~J
dp + (~) dT.
дрт
дТР

= О имеем

( дТJ
др

(дi/др)т

_
i --

(дi/ др)р .

(10.19)

Известно также, что

dS

i
Подставив

(10.21)

в

= dU +pdv
т
= И +

(10.20) ,

'

pv.

(10.20)
(10.21)

получим

dS = .!...(di- vdp).
т

(10.22)

Имеем

di =

(~J
dp + (~) dT;
др т
дТ Р

(10.23)

dT + (дSJ dp.

(10.24)

dS = (
214

85

)

дТР

дрт

Подставив

в

(10.23)

(10.22),

найдем

ds=J:...[(~) dp+(~) dт]-!!...dp.
Т

Сравнив

дрТ

дТР

(10.25)

Т

(10.24) и (10.25), получим

дS)
1(дi)
( дТ
Р =Т дТ Р;

(10.26)

С учетом равенства

дрдТ

дТдр

находим

дi )т =-Т 2 дТ
д (Т
v)
( дv )
=-Т дТ Р + v.

(10.27)

( др
Известно, что

дi)Р.
еР= ( дТ
При помощи

равенств

(10.27)

(10.28)
и

(10.28)

из

(10.19)

находим

8= (

дТ)
др

i

=

...!... [т (~)
ер

дТ Р

-v] .

(10.29)

Если в это соотношение подставить уравнение состоя­
ния

pv

= RT + В(Т)р,

оно примет вид

Пример
на

8

10.2.

Вычислить коэффициент Джоуля-Томсо­

для реального газа, подчиняющегося уравнению Ван­

дер- Ваальса

215

(Р + : 2 )<v- Ь) = RТ.
Определить также температуру инверсии Ti, при кото­
рой коэффициент Джоуля-Томсона обращается в нуль.
PeшeJtue. В предыдущем примере было получено сле­

дующее выражение для коэффициента Джоуля-Томсона:

8 =(

(

ат) = ...!... [т av ) _v] .
др i

ер

дТ Р

Использовав уравнение Ван-дер-Ваальса, записанное в

приближенной (с точностью до 1/ v 2 ) форме

р=

RT _!!:_r:::J RT ( 1
v2
v

v- Ь

+!:)-!!:..._=
RT + RTb-a
2
2
v

v

v

v

'

получим

(

и из

дv )

дТ Р

r::J

!:!.._

1 + ь1 v

Т 1 + ~ (Ь _ а / RT)
v

r::J

!:!.._

Т

[1 + .!. (J:3:.._ - ь )]
v RT

'

(10.29)
(10.30)

Для температуры инверсии
ент Джоуля-Томсона 8 = О, из

Ti, при которой
(10.30) имеем

1j = 2a/ (Rb).
Из

( 1О. 30)

коэффици­

(10.31)

следует, что при

т < l:3:_
Rb

знаки

dp

и

dT

одинаковы.

В этом случае падение давления сопровождается паде-

нием температуры. При Т > ~ знаки dp и dT противопоRЬ

ложны,

т.е.

падение давления

ем температуры.

216

сопровождается возрастани­

При температуре инверсии

Ti

эффект Джоуля-Томсона

меняет знак.

Пример 10.3. Поток природного газа с большим содер­
жанием метана, движущийся по изолированному от внеш­

ней среды трубопроводу с давлением р 1 = 8·106 Па и тем­
пературой Т 1

= 300 К проходит через дроссель (вентиль) и

поступает в трубопровод с давлением р 2 = 2·1 об Па. Сече­

ние за дросселем выбрано так, что в нем восстанавливает­
ся начальная скорость течения газа.

Найти

изменение

температуры,

вызванное

эффектом

Джоуля-Томсона. Определить среднее значение коэффи­
циента Джоуля-Томсона и сравнить его со значениями

о(р1, Т1) и о(р2, Т2), взятыми из приложения
также

изменение

температуры,

считая

расширение адиабатическим. Принять
Решение.

газ

7. Найти

совершенным

и

k = 1,3.

Эффект Джоуля-Томсона можно определить

по энтальпийской диаграмме.

Для метана по диаграмме

i-T (приложение 8) по заданным Pt, Т1 определяем эн­
тальпию и, считая, что i = const , через точку Р1, Т1 про­
водим горизонталь, по которой для заданного значения Р2
находим соответствующую температуру Т2 = 275 К. Сред­
нее значение коэффициента Джоуля-Томсона

0

ер

=

275 = ___32__ = 0,416 ·10-5 К/ Па.
8 . 1об - 2 . 1об
б . 1об
300

-

По приложению

о(р1 ,

11) = о(300

7

находим

К, 8·106 Па) = 0,347·10-5 К/ Па;

о (Р?,, Т2 ) = о(275 К, 2·106 Па) = 0,519·10-5 К/ Па.
Если считать газ совершенным, а расширение изоэнтро­
пическим, то

k-1

т2

=

т2

= 300 ( 2 ' 10 б6 Jт.з =

Т1

(Р2)Т
Р1

0,3

8 ·10

3оо.4-о,2з = 300·0,278 =

218

к.
217

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос
Для

определения

Ответ

состояния

р, р, т

од-

нородного газа достаточно знать

Показатель адиабаты Пуассона

Во всех уравнениях,
щих

движение

р,

р

Код

2

5

р, т

12

Любую пару величин из р, р, Т

8

k >1
k< 1
k= 1

4

k

1
13

описываю-

Абсо лютным

10

давление

Избыточным

3

газа,

принимается

Зависит от вида уравнения

б

В эффекте Джоуля-Томсона эн-

i = const

11

тальпия

i

Возрастает

7

Убывает

9

ЗАДАЧИ

Задача 10.1. Масса пустого баллона вместимостью 50 л
составляет 75 кг . После того, как в него накачали воздух,
масса баллона с воздухом увеличилась до 85 кг.
Определить абсолютное давление и плотность воздуха в
баллоне, если температу~а его 15 °С .
Ответ: р
200 кг / м ; р 16,5 МПа.

=

=

Задача 10.2. При температуре О ас манометр, подклю­
ченный к баллону с воздухом, показал давление 20 МПа.
Как изменится показание манометр а, если температура
находящегося в нем воздуха повысится от О до 65 °С.
Ответ : р
24,8 МПа.

=

Задача

10.3.

Воздух

расширяется

Начальная температура воздуха

лений

616

изоэнтропически.

ос и отношение дав­

6:1.

Найти конечную температуру .

Ответ: Т2
Задача

= 533

10.4.

К.

Воздух расширяется изоэнтропически. Со­

отношение температур

р 1 = 2·105 Па.

TiTt

Найти конечное давление.

Ответ: Р2
218

= 0,731·105

Па.

=

0,75.

Начальное давление

Задача

10.5.

Воздух

расширяется

изоэнтропически.

Отношение плотностей Р2 / Р1 = 0,3. Начальная температу­
ра t 1 = 700 ос.
Найти конечную температуру Т 2·
Ответ: Т2 = 601 К.
Задача 10.6. Газ расширяется изотермически при темпе­
ратуре 283 ос при изменении давления в соотношении 6:1.
Найти, считая газ совершенным, изменение энтропии и

=

энтальпию. Принять ер= 1050 Дж/ (кг-К), k
1,4.
Ответ: д5 = 536 Дж/ (кг-К); i = 5,84-105 Дж/ кг.
Задача 10.7. Как должно измениться давление при
дросселировании метана, чтобы эффект Джоуля-Томсона

определялся пониженнем температrры f..T = 30 ос? Давле­
ние газа перед дросселем Р1
2-1 О Па и температура Т 1
290 К. Определить также среднее значение коэффициента

=

=

Джоуля-Томсона Оср.
Указание: воспользоваться диаграммой

i-T

для мета­

на (см. приложение

8).
11-106 Па; Оср

Ответ: Р2 =
Задача

10.8.

=

0,33-10-5 К/ Па.

Определить температуру инверсии для

природного

газа,

движущегося в теплоизолированном тру­

бопроводе,

пользуясь уравнением состояния Ван-дер-Ва­

альса. Принять а = 1,1-103 Н-м4 /кг 2 , Ь = 0,3-10- 2 мЗ / кг,

R

= 520

Дж/ (кг-К).
Ti = 1410 К.

Ответ:

Задача 10.9. Масса баллона вместимостью 0,04 мЗ с
воздухом, находящимся в нем, при атмосферном давлении

р 1 , равном 105 Па, и температуре Т 1 = 288 К, составляет
т0

=

74

кг. В баллон дополнительно закачали воздух, и

манометр, подключенный к нему , после охлаждения воз­

духа до

288

К показал давление

20

МПа.

Определить массу баллона с воздухом в конечном со­
стоянии.

Ответ : т=

83,7

кг.
КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неверный.

коэффициента

k,

Вы либо не помните определение

либо не понимаете физического смысла

удельных теплоемкостей Ср и

cv.
219

Ответ неправильный. Вы забыли про уравнение со­

2.

стояния.

Ответ неверный. Разберите еще раз уравнение состо­

3.
яния

(10.2).
Ответ правильный. Из физического смысла теплоем­

4.

костей Ср и су следует, что всегда Ср

k

= ср/су

>

су. Следовательно,

> 1.

Ответ правильный лишь частично.

5.

Посмотрите еще

раз уравнение состояния.

6.
7.

Ответ неверный. Вид уравнения не играет роли.

Ответ неправильный. Разберитесь еще раз в эффекте
Джоуля-Томсона.
8. Ответ правильный. Действительно, величины р, р, Т

связаны между собой уравнением состояния Ф(р, р, Т) =
= О. Следовательно, зная любые две величины, входящие
в

это

уравнение,

всегда

можно

определить

третью,

т.е.

полностью определить состояние однородного газа.

Ответ

9.

неверный.

Разберите эффект

Джоуля-Том­

сона.

10. Ответ правильный. Действительно, система уравне­
ний, описывающая движение газа, включает в себя урав­
нение состояния,

а в уравнении состояния давление всегда

считается абсолютным.
11. Ответ правильный. В эффекте Джоуля-Томсона за
дросселем
газа,

восстанавливается

начальная

скорость

течения

и энтальпия не изменяется.

12.

Ответ верный лишь частично. Посмотрите еще раз

уравнение состояния .

13.

Ответ неверный. Разберитесь в физическом смысле

теплоемкостей Ср и Су.

Глава

11

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА

Зако1i coxpa1ie1iuя массы при установившемся течении

газа в трубке тока выражается в постоянстве массового
расхода

(11.1)
Здесь

s1, s2-

площади сечений, v1, v2 и Р1, Р2- средние

в этих сечениях скорости и плотности соответственно.

Зако1i изме1iе1iия количества движе1iия для установив­
шегася течения газа в трубке тока при равномерном рас­
пределении параметров по сечению имеет вид

( 11.2)
где Р -главный вектор сил давления, действующих в се­

чениях 1 и 2 со стороны окружающей жидкости; Т

-

главный вектор сил трения, действующих по поверхности

объема газа между сечениями 1 и 2; д - главный вектор
массовых сил, приложенных к тому же объему; R -глав­
ный вектор реакции твердых тел, с которыми соприкасает­

ся выделенный объем.
Зако1i сохра1iе1iия пол1iоЙ Э1iергии при установившемся
течении газа в трубке тока с равномерным распределением

параметров в сечениях

1и 2

записывается в виде

( 11.3)
где 21, 22 - вертикальные координаты центров сечений; i1,
i2 - энтальпии в тех же сечениях; к(е) - подведенная

извне тепловая мощность; N(e) -

подведенная механиче­

ская мощность.

221

Для совершенного газа при пренебрежении действием

силы тяжести уравнение

~ J-

(срт2 +-2

( 11. 3) имеет вид

(с 11 + _.1_
v2 J к<е)
N(e)
= --+ -

( 11.4)

(-k- Р1

( 11.5)

р

QM

2

QM

или

(_k_ Р2
k - 1 Р2

+

~ J_
2

+ vf

k - 1 Р1

J= К( е) + N(e) .
QM

2

QM

Для энергетически изолированной системы при к<е)
=О, N(e) =О уравнения (11.4), (11.5) принимаютвид

( 11. 6)
2

2

v1
v2
-k- -Р1+ = -k- -Р2+ .

k-1P1

2

k-1p2

io

Обозначим через То, ро, Ро,
т.е.

значения

плотности

соответственно

и энтальпии

параметры торможения,

температуры,

в данном

( 11. 7)

2

давления,

поперечном сечении,

по­

лучаемые при воображаемом изоэнтропическом (при от­
сутствии трения и теплообмена) уменьшении скорости по­
тока до ну ля.

Закон сохранения полной

энергии для энергетически

изолированного потока совершенного газа, записанный с
помощью параметров торможения, имеет вид

сРТ +

v2

2

.

k

( 11.8)

= срТо = z0 = k _ RT0
1

или

k Р v2- k Ро
--- +----k-1p
2
k-1p 0

(11.9)

Для адиабатического изоэнтропического потока газа все
параметры

торможения

остаются

постоянными

по

длине

потока. Для адиабатического потока с трением, для кото­
рого

энтропия

вдоль

потока

меняется,

парам ет ры

тормо­

жения р 0 , Ро будут различными в разных сечениях, а тем-

222

пература торможения Т0 , энтальпия торможения

i0

и от­

ношение р 0 / р 0 остаются вдоль потока постоянными.

Для энергетически неизолированного потока при N(e) =

=О подведенная внешняя теплота, рассчитанная на едини­

цу массы, равная q = К(е) j Qм, определяется ИЗ уравнения

(11.4)
(11.10)
Уравнение закона сохранения энергии в механической
форме для элемента струйки сжимаемой вязкой среды
между двумя сечениями, расположенными на бесконечно
малом расстоянии друг от друга, имеет вид

dp
(v J
8N(e)
gdz+-+d+ dh=--,
2

р

где

dh-

(11.11)

QM

2

потеря удельной энергии за счет трения.

Мощность идеального компрессора и идеальной турби­

ны (к<е) = О) определяется по формуле
Р2

v~

k - 1 Р2

2

k

N(e) _

Р1

k

vy _

------+-------QM

=

k - 1 Р1

v~ -2 vf _ _ k Р1 r( Р2 Jk~

1

Р1

k-1p1

2

-1] ,

(11.12)

или

L

= N( e) = _k_ РО1
Qм

k - 1 РО1

(

r

Ро2
РО1

Jk
k -1

]

-1 =

1

= _k
k -1
где индексом

«01 ~

RTo1l(Po2
J.!

РО1

Jk~ _1],

(11.13)

обозначены параметры торможения до

машины; индексом «02~- после машины;~-

1 кмоль

газа.

223

Отклонение от изоэнтропического процесса в машине
учитывается обычно при помощи дополнительного множи­

теля, представляющего собой к.п.д. машины 11· В случае
компрессора получим

в случае турбины
Lт =
Полезная

мощность

11L.

компрессора

или

затрачиваемая

мощность турбин

(11.14)
где

Q01

- объемный расход газа при

Pot

и

Pot·

Вопросы для самопроверки
Как записать закон сохранения массы при устано­

1.

вившемся течении газа в трубке тока?

2.
3.

Что понимается под параметрами торможения газа?
Как изменяются параметры торможения по длине по­

тока при адиабатическом, изоэнтропическом течении газа в

трубке тока?

4.

Что происходит с температурой идеального совер­

шенного газа с ростом скорости при установившемся адиа­

батическом течении в трубке тока?

ПРИМЕРЫ

Пример

11.1.

Найти силу действия потока воздуха на

стенку диффузора (рис.

11.1 ). Задан массовый расход

=

воз~ха Qм
1 кг/ с и давление в сечении 1-1, равное
5·10 Па, температура Т = 290 К принимается постоянной
вдоль потока. Газ считать совершенным, трением и силой

тяжести пренебречь. Площади живых сечений s 1

s

= 25

224

см 2 .

= 1О

см2,

Рис.

11.1.

К примеру

Реше1iие.
потока

Сила

воздуха

11.1

действия

на

стенку

диффузора определяется

уравнения

( 11.2)

на

ось

при

Тх

= Gx

х

из

в проекции

условии,

что

=О;

(11.15)
Определим параметры потока

уравнение

Р1 = __Ej_ =
RT1

( 11.12).

5 10 5
·
289 · 290

Из уравнения

Р1 s1

'

1

б, 02 . 1 о. 1 о-4

( 11.1)

= 166 м/ с.

Интегрируя уравнение
чи,

и р 2 , входящие в

= б О 2 кг/ мЗ.

Из закона сохранения массы

v1 = Qм =

v 1, v 2
( 11.2)

( 11.11) в условиях данной зада­

получаем

(11.16)
Чтобы вычислить интеграл, воспользуемся уравнением
( 11.2) при Т = const

состояния газа
Р1 =Е_
Р1

Р

'

р = Р1Р

.

Р1

Тогда имеем

Уравнение
Р1

Р1

2

ln Р2 + v2
Р1

( 11.16) примет вид

2
- v1 =
2

0.

225

Так как из уравнений

(11 .1) и (11.12)
(11.17)

то получим уравнение для Р2

2

~=0.
2

(11.18)

В такой форме уравнение можно решить графически.
Можно найти Р2 и приближенно, аналитическим методом.
Действительно,

ln Р2 = -ln Е!. = -ln
Р1

=

Р2

(1 - Р2 Р2- Р1 ) = -ln (1 - др)
~ др + .!. др
Р2
Р2 2р~

2

=

Р2 - Р1 + (р2 - Р1 )2
Р2

2~

Подставим полученное выражение в

Р1 [Р2- Р1 + (р2- Р1) 2 ] + Q~pf
Р1

Р2

2р~

_

2ру р~ s~

v[

=

( 11.18)

0.

2

Умножив на ~~ получим квадратное уравнение относи­
тельно Р2

Подставив исходные данные

J

3·5·10 5 1662
2 225·1010
6,02 р 2
( 2 ·6,02 - -2- - р 2 10

15

+(

125 ·10
2·6,02

+

+

J

25 ·10
2
в =О,
2·0,62 ·625 ·10

будем иметь

1,11 JJi
226

- 8, 3 · 105 Р2 + 109,5 -10 9 =

О,

откуда

- 8, 3 ·10 5 ± ~ (б8, 7- 48, б) 1010
2,25

Р2-

Р2

=

5, 76-10 5 Н/м2; Р2

=

1, 72 -105 Н / м2.

Второй корень уравнения не подходит, так как при до­
звуковом

течении

газа

давление

во

втором

сечении

дол­

жно быть больше, чем в первом, т.е. Р2 > Р1 = 5-105 Н /м 2 .
Непосредственная подстановка р 1 в уравнение

(11.18) по­

казывает, что приближение в решении, связанное с тем,
что при разложении в ряд были взяты только два первых

члена, дает погрешность порядка 1,5-2
Находим v2 из соотношения ( 11.17)

рQ
1J:2=-1_м_=
p1J:'2S2

5 105

·

б,

02 · 5, 7б ·10 5 · 25 ·10

Очевидно,

что

%.

--4=57,9м/с

сила действия

диффузора при пренебрежении

потока газа на стенку
весом направлена вдоль

оси диффузора х. Определим ее из уравнения

( 11. 15):

F = 166- 57,9 + 5-105·10-10-4 - 5,76-105·25-10-4 = -832 Н.
Знак минус указывает на то, что сила
сторону,

F

направлена в

противоположную оси х.

Пример

11.2.

Известны параметры газа перед турби­

ной: абсолютное давление торможения р 01
пература торможения Т01

= 1200

щаяся на единицу массового
к.п.д. турбины 11 = 0,9.
Определить

абсолютное

= 6,5-105

Па, тем­

К. Мощность, приходя­
расхода, Lт = 2,6·105 Дж / кг,

давление

торможения

Ро2

и

температуру торможения Т о2 газа за турбиной. Принять
k = 1,33, J.t = 29 кг / кмоль.
PeшeJiue .

Работа, которую выполняет поток газа, про­

ходя через турбину,

определяется по формуле

Она всегда получается отрицательной,

(11.13).

так как газ

при

этом отдает энергию

Ро1 [(РО2 )k~
k- 1

-L =_k

РО1

РО1

1

- 1] =

_ k RTo1
kJ.!

1

[(РО2 )k~
РО1

1

_

1].
227

Работа, передаваемая на вал турбины,
Lт=

YJL.

Из этих двух уравнений определим
k

г1ро2 = р01 L

4JJ.(k ~ 1) у- 1 =
11 kRTo1

105 . 6 5 (1- о,2о8) 4 · 03 =

= 105 · 6,5 · 0,392 = 2,55-105

,

Па.

Температура торможения газа за турбиной определяется
при помощи адиабаты Пуассона (10.11) и уравнения Кла­
пейрона ( 10.2).

Т02

0,33

k-1

2 55
= Т01 (Ро 2 )Т= 1200( • )Т,ЗЗ = 1200 ·О, 793 = 951
Р01

К.

б, 5

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

Что

происходит

плотностью

р

с

при

Ответ

давлением
увеличении

р

и

ско-

р

1р

уменьшается

р уменьшается, р =

расти потока? Процесс изоэнтропи- р =
ческий

Код

const,

const

р возрастает

3
10
б

8

р ~ уменьшается,
р ~уменьшается;

р

1р

~ уменьшается

Т= О

1
12

нии абсолютной темпер атуры Т

Не зависит от температуры

7

При сжатии газа в компрессоре

Полная

энергия

2

энергия

13

энергия

5

Максимально

возможная

может быть достигнута

Т = То

скорость

при з наче-

удельная

газа уменьшается

Полная

удельная

газа возрастает

Полная
газа
а

удельная

неизменной,

остается

возрастает

только

кине-

тическая энергия

Как

изменится

мощность

компрес-

Не изменится

4

Уменьшится в

9
11

сора N(e), если массовый расход Qм Увеличится в 2 раза

2

уменьшится

в

параметров

торможения

РО2 не изменятся?

228

раза,

а

значения

РО1,

То1,

2

раза

ЗАДАЧИ

Задача

11.1. Поток метана с массовым расходом Qм =
кг/ с движется по закруглению трубы диаметром
см (рис. 11.2).

1, 7
d

=

3

Определить

силу,

действующую

со

стороны

газа

на

стенку трубы, если р 1 = 15-105 Па, Р2 = 14-10 5 Па, 8 = 60°.

Температуру газа считать постоянной и равной
считать

совершенным,

трением

и

силой

°С. Газ

18

тяжести

прене­

бречь.
Ответ:

Задача

F = 1440 Н.
11.2. В сосуде

находится газ под давлением ро =
= 1О5 Па. Газ вытекает че­

1об Па. Внешнее давление рн

рез сопло с площадью выходного сечения s = 7 см 2 со ско­
ростью v = 400 м/ с, с плотностью р = 1, 8 кг/ м 3 . Абсо­
лютное давление в струе на выходе из сопла ре = 2·1 0 5 Па
(в общем случае в струе на выходе давление может быть
не равно внешнему давлению).
Найти силу реакции вытекающей струи, считая движе­
ние установившимся и распределение скоростей в выход­
ном сечении равномерным.

Ответ:

Задача
которую

R = 268 Н.
11.3. Найти

можно

максимально возможную скорость,

получить

при

изоэнтропическом

течении

воздуха, принимая температуру торможения равной
Ответ: Vmax = 805 м/ с.
Задача

°С.

Определить температуру в энергетически

11.4.

изолированном

течения

50

потоке

воздуха

в

том

месте,

где

скорость

= 300 м/ с. Известно, что температура в котле,
из которого вытекает газ, to = 15 °С. Найти также макси­

v

мально возможную скорость.

Ответ: Т =

=

760

Задача
давление
ли

v

243

К; Vmax =

м/с.

у

11.5.

торможения

скорость

течения

= 1200 м/ с,

Рис.

Определить

11.2.

ро,

ес­

воздуха

температура

К задаче

11.1

229

Т= 860 К, давление р = 1,3-104 Н/м 2 . Течение газа изоэн­
тропическое.

Ответ: р0 = 105 Н/м 2 = 0,1 МПа.
Задача

11.6.

Определить температуру торможения То,

если скорость течения воздуха

v

= 1000

м/ с, температура

Т= 800 К, течение газа изоэнтропическое.
Ответ: Т 0 = 1300 К.
Задача

11.7.

Скорость течения воздуха

v

=

11 00

м / с,

температура Т= 900 К, плотность р = 0,97 кг / мз.

Определить плотность газа при торможении р 0 , считая
течение изоэнтропическим.

Ответ: Ро

= 3,49 кг /мз.

Задача 11.8. Газ поступает в холодильник со скоростью
100 м / с при температуре 170 ас. Он охлаждается ДО
60 ас благодаря теплообмену с трубами водяного охла­
ждения и выходит со скоростью 30 м / с при том же дав­
лении.

Необходимо:

а) рассчитать энтальпию торможения входящего и вы­
ходящего газа;

=

б) определить теплоту , отдаваемую воде одним кило­
газа,
проходящего
через
холодильник;
Ср
=
1000 Дж/ (кг· К).

Q

=

граммом

= 4,48-10 5 Дж/кг; io2 = 3,33-105 Дж/кг;
1,15-105 Дж / кг.
Задача 11.9. Воздух в количестве 180 кг / мин поступа­
ет в трубопровод диаметром d = 1О см под давлением
0,412 МПа при температуре 170 °С . После прохождения
трубопровода ВОЗДУХ ОХЛаждаеТСЯ ДО 138 ас И давление
при этом падает до О, 196 М Па.
Ответ: iot

Определить количество теплоты, теряемои воздухом в
трубопроводе за одну минуту.

Ответ: к<е)

= 2,25-106

Дж/ мин.

Задача 11.10. Воздух поступает в компрессор при тем­
пературе 16 ас и нормальном атмосферном давлении со
скоростью 8 м / с. На выходе из компрессора воздух имеет
температуру 117 ас и скорость 40 м/ с.
Считая, что компрессор работает адиабатически, опре­
делить полезную мощность, потребную для сжатия

230

1

кг

газа. Определить также мощность, потребную для сжатия

150

кг воздуха~ проходящего через компрессор за

1 мин .

Ответ: N(eJ/Qм = 1,02-105 Дж/ кг; N(e) = 255 кВт.
Задача

Определить

11.11.

мощность,

потребляемую

идеальным компрессором при адиабатическом сжатии воз­

духа. Сжатие от начального состояния газа с абсолютным
давлением р01 = 105 Па и температурой t 0 !J = 17 ас до ко­
нечного абсолютного давления Ро2
7-10 Па. Подача в

начальном состоянии (при Ро1) Qo1
Ответ: N(e) = 21,6 кВт.

=
= 5 мЗ /мин.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1. Ответ неправильный . Проанализируйте уравнение
(11 .8).
2. Ответ неверный. Разберитесь еще раз в уравнениях
(11.3)-(11.5).
3. Ответ правильный, но не является ответом на по­
ставленный вопрос.

4. Ответ неправильный. Посмотрите еще раз уравнение
(11 .13).
5. Ответ неверный. Разберитесь в уравнениях ( 11.3)-

( 11.5), считая, что к< е) = О.
6. Ответ неверный. При

изоэнтропическом течении это

невозможно.

7. Ответ неправильный. Из уравнения ( 11. 8) следует,
что скорость зависит от температуры.

8.

Ответ верный. Действительно, из

с ростом скорости

(11.9) следует, что

значение р/р уменьшается. С другой
стороны, используя соотношение (11.11), имеем р = Cpk,

v

где С- константа, и уравнение

(11.9) можно представить

в виде

2

v _ k Ро
-k- С рk-1 +
----k- 1

2

k - 1 Ро '

или

k
(k-1)c 1 1 k

k- 1 2

--;;-v
Р
2

_k_p0
k - 1 Ро

231

Так как всегда

k > 1,

то при увеличении

v плотность р и

давление р уменьшаются.

9. Ответ неверный. Разберитесь в формул е ( 11. 13).
10. Ответ неверный. Если течение изоэнтропическое

и

давление уменьшается, то плотность р не может оставаться

постоянной.

11. Ответ правильный. Из соотношения ( 11.13) следу­

ет, что N(e) изменяется пропорционально Qм.

12. Ответ правильный. Из анализа уравнения ( 11. 8)
что при увеличении скорости v температура Т

следует,

уменьшается. Максимальная скорость может быть достиг­

нутой при Т = О.
13. Ответ правильный. При сжатии газа в компрессоре
к

газу

подводится

внешняя

механическая

мощность,

чит его полная удельная энергия возрастает.

зна­

Глава

12

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

OдJioJ!Ilep1iъtJ!IlU meчeJiUЯJ!IlИ называются такие течения,
характеристики которых (v, р, р, Т) зависят только от од­
ной координаты и времени. Примерам одномерного тече­
ния является течение газа в трубке тока, если характери­
стики распределены равномерно по ее сечению.

Скорость звука или скорость распространения беско~
JieЧJiO Jlllaлыx вoзJ!IlyЩeJiuЙ в газе определяется по формуле,
общей для любого термодинамического процесса

а= .Jdp j dp.

( 12.1)

Для изоэнтропического процесса распространения звука
в совершенном газе

а = .J kRT = .J kp / р.
Отношение скорости течения газа

v

( 12.2)
в данной точке по­

тока к скорости звука а в этой же точке называется чис~
лoJ!IlMaxa

М =
Если v
ли

а, то М

<1

и режим является дозвуковъtJ!Il; ес­

v > а, то М > 1 и режим сверхзвуковой; если v

М=
ме

<

( 12.3)

v / a.

1

=

а, то
и режим называется кpumuчecкu.JIIl. При этом режи­

параметры

течения

газа

называются

кpumuчecкu.JIIlu

(ркр, ркр, Ткр, Vкр = акр).
Если площадь поперечного сечения струйки газа изме­

няется по длине s = s(x), то критическое состояние (М =
= 1) может установиться только в самом узком сечении
струйки . Это сечение называется кpumuчecкu.JIIl Sкр.

233

Отношение скорости течения газа

v

в данной точке по­

тока к критической скорости акр называется коэффициен­
том скорости

(1204)
Коэффициент скорости Л и число Маха М в данной
точке связаны соотношением

( 1205)
Зависимости параметров потока газа (р, р, Т) от числа
Маха (или от коэффициента скорости) и параметров тор­
можения (р 0 , р 0 , Т 0 ) называются газодинамическими
функциями

-с= Т / Т0 = (1 + ((k -1) / 2)М 2 )- 1 =

= 1- ((k -1) /
п

= р / р0 = (1 + (k -1) /

= (1- ( (k -1) /
Е

(k + 1))Л 2 ;
2)М 2 )-k/ (k- 1)

(1206)

=

(k + 1) )Л 2 )k/ (k- 1);

( 120 7)

= р/ Ро = (1 + ( (k -1) 1 2)М2 )-1/ (k-1) =
=

(1- ((k -1) / (k + 1))Л 2 ) 1 / (k-1)0

( 1208)

К газодинамическим функциям относится также функ­

ция приведенного расхода

q = рv/ ркрvкр = M[(k + 1) / (2 + (k - 1) о M2](k+1)/ 2(k-1) =
= Л[ ( (k

+ 1) / 2) о (1 - ( (k - 1) / (k + 1) )Л 2]11 (k- 1) о ( 12 о 9)

Если в самом узком (критическом) сечении струйки до­
стигается критическо е состояни е , то

q = sкp /so

(12010)

Если величины р, Т, р и ро, То, Ро берутся в одном и

том же сечении, то формулы (1206)- (120 9) справедливы
при любых термодинамических процессахо Если же пара-

234

метры торможения берутся в одном сечении потока, а ве­

личины р, Т, р, v- в другом, то формула (12.6) справед­
лива для адиабатическоzо процесса, а формулы ( 12. 7)( 12.9) - только для изоэ1imропическоzо процесса.
Таблицы значения газодинамических функций •, n, Е, q
от М и Л для k = 1,4 и k = 1,33 приведены в приложениях

9, 10.
Зависимости между критическими параметрами и пара­
метрами торможения следующие:

Ткр =2T0 /(k+1); Ркр =[2/(k+1)]k/Ck-t)p0 ; (12.11)

При изоэнтропическом установившемся истечении газа
из резервуара с параметрами р 0 , р 0 , Т 0 через сходящийся

насадок (рис.

1.

12.1)

различают два случая.

Если внешнее давление р 1 в среде, куда вытекает газ,

заключено в пределах ркр

<

р 1 ~ р 0 , то массовый расход

определяется по формуле Сен-Венана и Вентцеля

Q

= s1 · Ро

м
где

s1

чае

в

-

~RTo

2k_ Е1_
_
k-1 [ ( Ро )

2/k _ ( Е1_
Ро

J(k+1)/k]
'

( 12.13)

площадь выходного сечения насадка. В этом слу­

струе

на

выходе

давление

равно

р1 ,

а

скорость

до­

звуковая.

... ..
..................
....................... . . .
...............
...............
• • •

Ро' То • •

• • • • •

Рис. 12.1. Схема истечения rаза
из резервуара через сходящийся
насадок с выходным сечением

St

Ро

• •

-Р1

235

2.

Если внешнее давление О

< р1

~ ркр, то значение мас­

сового расхода максимально

(12.14)
где

т=

.!!_(_2_j(k+1)/(k-1).

R k +1)
Для воздуха т = 4,05-10- 2 с·градус 1 / 2 /м, для метана
т = 2,93-10- 2 с·градус 1 / 2 /м. В этом случае в струе на
выходе давление и скорость критические.

Для

получения

сверхзвуковой

скорости

используют

сопло Лаваля, которое состоит из суживающейся и расши­

ряющейся частей (рис.
газа

через

сопло

(12.6)-(12.9).

Изоэнтропическое течение

12.2).

Лаваля

рассчитывают

по

формулам

Если в наименьшем сечении сопла Sкр ско­

рость течения газа равна скорости звука, то массовый рас­

ход определяют по формуле ( 12.14), где s 1 = Sкр, если же
скорость в этом сечении остается дозвуковой, то по фор­

му л е ( 12. 13).
Если давление в струе газа р z в выходном сечении х =
сопла равно внешнему давлению р

(pz

= р1

zи

Z

меньше критического

< ркр), то имеет место расчетный режим адиаба­

тическоzо расшире1iия. При этом в расширяющейся части

сопла получается сверхзвуковой поток (М
ление в

струе

газа

в

выходном

сечении

нему р 1 , и больше критического
называется

расчет1iъt.М

(pz

режи.мо.м

> 1).

Если дав­

сопла равно

внеш­

= р 1 > ркр), то режим
адиабатическоzо сжа­

тия. При этом в сечении Sкр достигается критическое со-

--Pt

236

х

Рис. 12.2. Соп­
ло Лаваля

стояние, но в расширяющейся части сопла имеет место до­
звуковое течение.

В том случае, когда в критическом сечении

=акр, а на

v

выходе давление газа Pl не равно внешнему давлению (р 1 :1с

:1с р 1 ), течение не будет изоэнтропическим, внутри сопла
или вне его возникают скачки уплотнения (см. гл. 13), и
режим не является расчетным.

Если в критическом сечении

v <

акр, то течение по всей

длине сопла Лаваля дозвуковое.

Вопросы для самопроверки

1.

Для какого газа

-

воздуха или метана

-

скорость

звука больше при одной и той же температуре?
2. Какой режим называется критическим? В каком се­
чении струйки он может установиться?

3. Как зависит критическая скорость от температуры
торможения То?
4.

От каких параметров зависит критическое давление?

Критическая температура?
5. Как изменяется расход газа при истечении через схо­
дящийся насадок, если внешнее давление р1 уменьшается,

причем Pt > ркр?
6. Какая скорость будет в выходном сечении сходяще­
гося насадка, если внешнее давление Р1 < ркр?
7. Какой режим работы сопла Лаваля будет иметь ме­
сто, если давление в выходном сечении р

давлению

р1

и

больше

критического?

1 равно

Какая

внешнему

скорость

установится при этом на выходе?
8. Какие условия должны быть выполнены, чтобы ре­
жим работы в расширяющейся части сопла Лаваля был

сверхзвуковым, и течение было бы изоэнтропическим?

ПРИМЕРЫ

Пример 12.1. Воздух вытекает из котла с температурой
ос. Определить температуру его в тех сече- ниях,

t0 = 15

где скорость составляет v 1 = 200 м / с, v2 = 400 м / с, а
также скорости звука а 1 , а2, числа Маха М 1 , М2 и коэф-

237

фициенты скорости Л 1 , Л2 в этих сечениях. Движение счи­
тать изоэнтропическим .

PeшeJiue.

(10.8),

Используя

уравнение

сохранения

энергии

найдем Т1 и Т2:

1j = Т0 - v} /(2сР) =288- 4-104 / (2-103) = 268 К;
Т2

=

Т0 -

vi /(2сР) = 288- 16-10 /

(2-103) = 208 К.

4

Скорость звука найдем по формуле

(12.2):

а1 = ..{kRТ; = ~ 1,4 · 287 · 268 = 328 м/ с,
а2 = ~ kRT2 = ~ 1,4 · 287 · 208 = 289 м/ с.
Тогда

М1

= v / a1 = 200 / 328 = 0,610;

М2

= v / a2 = 400 / 289 = 1,38.

По формуле

Л1

=

(12 .5)

найдем коэффициенты скорости:

~ (k + 1)М} / (2 + (k -1)М})

=

= ~ (1,4 + 1)0,6102 / (2 + (1,4 -1)0,610 2 )

Л2 = ~ (k + 1)М] /

= 0,645;

(2 + (k -1)М]) =

= ~ (1,4 + 1)1,382 / (1 + (1,4 - 1)1,382 ) = 1,29.
Пример 12.2. Как изменится кинетическая энергия
единицы объема и единицы массы воздуха при изоэнтро­
пическом движении по расширяющейся трубе с увеличе­
нием числа Маха от М 1 = 1 до М2 = 2?
PeшeJiue. Кинетическая энергия единицы объема

Экин
238

= mv 2 / (2V) = р Vv 2 / (2V) = pv 2 / 2,

здесь

V-

объем газа, поэтому

= о, 230.22. о, 556 =о 969
о, 634
о, 833
'
'
где

s(M) и -.(М) определяются по таблицам газодинамиче­

ских функций.

Кинетическая
уменьшилась,

энергия

несмотря

единицы объема

на

увеличение

в сечении

скорости,

за

2

счет

очень резкого падения плотности. При этом кинетическая

энергия единицы массы, равная v2 / 2, возрастает в отно­
шении

иi =мiai =(М2) Т2 =(М2) Т2/Го =
2

и{

м{ а{

М1

2

Т1

М1

Т1/Го

2

=[М2) т(М2)= 2 2_0,556= 2 , 67 _
М1

т(М1)

Пример

0,833

12.3.

Воздух при нормальных условиях (hб =

= 760 мм рт. ст., t = 15 °С), имеющий скорость v1 =
=

136

м / с, ускоряется в сопле до v2 =

280

м/ с. Найти

температуру, давление и плотность в конце сопла,
температуру

и

давление

торможения,

считая

а также

движения

изоэнтропическим.

Решение. Определяем число Маха в сечении

М1 =

v 1 /а1 = v 1

1

1 .jkRT1 = 136 1 .j1,4 · 287 · 288 = 0,4;

по таблицам газодинамических функций, зная р 1 = ppghб =

= 1,36-104 -9,8·0,76 = 1,013-105 Па и Т1 = 288 К,
находим параметры торможения

Ро = р1 /л (М1 ) = 1,013 ·10 5/ 0,895 = 1,13-105 Па;
Т0 = Т:, / • (М1 ) =

288 / 0,969 = 297 К.
239

Из уравнения закона сохранения энергии определяем

температуру в сечении

2

и число Маха

М 2 = v 2 1 ~ = v 2 1 ~ kRT2 = 280 1 ~1,4 · 287 · 258 =
= 2801 322

=О, 870.

По таблицам газодинамических функций находим дав­
ление в конце сопла

Р2 =л(М2)р 0 =л(О,870)1, 13-10 5 =0,611·1,13-10 5 =
= 6,90-10 4 Па.
Из уравнения Клапейрона- Менделеева плотность

=

Пример 12.4. Известны параметры торможения Ро
МПа, Т0 = 300 К и площадь выходного отверстия

= 0,5

конического патрубка s 1 = 3,14 см 2 (см. рис . 12.1).

Определить скорость истечения и массовый расход воз­

духа из воздухопровода воздушной заводской магистрали

через конический насадок в атмосферу.
PeшeJiue.

Для определения расхода нужно знать соот­

ношение между

=

критическим давлением ркр и внешним р
1
ра. Найдем ркр по давлению торможения ро, используя

либо формулу
функций при М

(12.11 ),
= 1:

либо таблицу газодинамических

Ркр = л(1)р0 = 0,528·0,5·10 6 = 2,64·10 5 Па.
Так как р 1 = ра = 105 Па < ркр, то массовый расход газа

принимает максимальное значение и определяется по фор­

муле

240

( 12.14)

Qм = 4,05-10-2 · S1P0 /

Fo =

= 4,05-10-2 .3,14-10--4.0,5-106 1 .J3oo = 0,367 кг / с.
При
чение

найденном

является

соотношении давлений

критическим,

и

скорость

выходное се­

равна

скорости

звука

vкр = Clxp = ~kRT кр = ~kRT0

/

(k + 1) =

=~1,4-287-2-300 / (1,4+1) =317 м / с.
Пример

12.5.

Найти давление, коэффициент скорости и

число Маха в выходном сечении сопла Лаваля, если ре­
жим работы расчетный. Давление торможения р 0

= 1 МПа,

критическая площадь Sкр = 2,08 см 2 , выходная площадь s =
= 4 см 2 , k = 1,4.
Решение. Так как режим работы расчетный, то в самом
узком сечении сопла достигается критическое состояние:

откуда

По найденному значению функции

q

на выходе нахо­

дим два значения коэффициента скорости, числа Маха и
функции n(M):

"-1 = 1,70, М1 = 2,15, п(М1) = 0,1;
"-2 = 0,347, М2 = 0,320, n(M2) = 0,932.
Так как Л 1

> 1,

а "-2

< 1,

то первый режим соответствует

адиабатическому расширению, а второй режим- адиабати­
ческому сжатию. В первом случае давление в конце сопла

Р1 = n(M1)Po = 0,1·1 МПа < ркр = 0,528 ро = 0,528 МПа,
во втором случае Р2 = n(M2)Po = 0,932 МПа > ркр =

= 0,528

МПа.

241

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

Ответ

Код

Какая формула верна для критической

2

скорости звука?

8
10

12

Как изменяется скорость звука с увели-

Возрастает

чением скорости движения газа?

Уменьшается

7
14

Не меняется

з

Возрастет

11

Как изменится массовый расход Qм при

истечении газа через

сходящийся наса- Уменьшится

док,

на

если

давление

шить, причем р
Давление

р

выходе

Остается постоянным

< ркр?

торможения

неизменно (см. рис.

ро

в

5

резервуаре

12.1)

В каких пределах изменяется число ~а­
ха при изменении

1

умень­

скорости течения газа

от О до Vmax 7 Коэффициент скорости?

О:-:; М :о:;
о

:-:; л :-:;

1
1

4

13

0 :-:; M:-:;w

О :о:; Л.:о:;~k+1
k-1

1
O:o:;M:o:;~k+
k-1

б

О :о:; Л.:о:;~k+1
k-1

0 :-:; M :-:;w

9

0 :-:; Л. :-:;w

ЗАДАЧИ
Задача

12.1. Формулу для определения скорости звука
можно записать в виде а = С .JТ, где Т - абсолютная тем­
пература.

Найти значение константы С для воздуха и метана.

Ответ: Свозд
(с·градус 1 12 ).

242

= 20

м / (с·градус 1 12 ); Сметан

= 26

м/

Задача

12.2.

В камере жидкостного реактивного двига­

теля газ с молекулярной массой
пературу Т0 = 2800 К.

24,2

кг / моль имеет тем­

Определить скорость звука в заторможенном газе в ка­

мере двигателя и критическую скорость звука (k =

Ответ: а 0 = 1,12·103 м /с; акр= 1,04·103 м / с.

1,3).

Задача 12.3. Дана температура торможения Т 0 = 357 К
и температура Т= 250 К в некотором сечении изоэнтропи­
ческого потока воздуха.

Найти скорость звука в заторможенном газе ао,

ско­

рость звука а, коэффициент скорости Л, число Маха М и
скорость

v

v

в этом сечении.

Ответ: а0
= 463 м / с.

= 378

м/ с; а=

317

м / с; Л=

1,34;

М=

1,46;

Задача 12.4. В двух сечениях изоэнтропического потока
воздуха коэффициенты скорости Л 1 = 1 ,50, Л2 = 2,20. Тем­
пература торможения То= 303 К.
Найти числа Маха и скорости в этих сечениях .
=

Ответ:
м /с.

Mt

Задача

12.5.

1,73;

=

м2 =

4,57; Vt

=

478

м / с;

v2 =

701

Воздух течет изоэнтропически по трубе

переменнаго сечения. Число Маха в первом сечении трубы

Mt

1,

=

а во втором М2 =

2.

Каково соотношение между скоростями воздуха в пер­
вом и втором сечениях?

Ответ:

v2: v 1 = 1,63.
Задача 12.6. Отношение
потока воздуха М 2 : М1 = 2.

чисел Маха в сечениях

1

и

2

Найти отношение скоростей в этих сечениях. Процесс

изоэнтропический (Mt = 1 ,5).
Ответ:

Задача

v2: Vt

12.7.

=

1,44.

Отношение чисел Маха в сечениях 1 и 2
: М 1 = 3. Процесс изоэнтропический

потока воздуха М2

(Mt

=

1).

Найти отношение температур и давлений Т2 / Т1; P2 1 Pt ·
Ответ: Т2 / Т1 = 0,429; P2 I P1 = 5, 17·10- 2 .
Задача

12.8.

В изоэнтропическом потоке воздуха коэф­

фициент скорости увеличился в

= 0,6.

2

раза от Л 1 =

0,3

до Л2 =

243

Найти изменение плотности и массовой скорости

Ответ: P2lp 1 =
Задача

12.9.

pv.

0,890; (pv)2/(pv) 1 = 1,78.

Покоящийся воздух, находящийся в нор­

мальных условиях, (р 0 = 0,1013-10 6 Па, t 0 = 15 ос), рас­
ширяясь изоэнтропически, приобретает скорость, соответ­

ствующую числу Маха М = О, 9.
Найти конечную плотность р и изменение плотности др.

Ответ: р =
Задача

2

0,84 кг j мЗ; др= 0,38 кг / мз.

12.10.

Отношение скоростей звука в сечениях

потока воздуха а2 / а 1 =

0,75.

1и

Процесс изоэнтропический.

Требуется найти отношение др / р 1 = (р2 - Р1) / Р1.
Ответ: др /р 1 =
Задача

2

12.11.

-0,867.

Отношение скоростей звука в сечениях

потока воздуха а2 / а 1

= 0,9.

1и

Процесс изоэнтропический.

Требуется найти отношение др / Р1 = ( Р2 - Р 1) / Р 1·
Ответ: др / р 1 = -0,410.
Задача

12.12. Поток воздуха при давлении р = 1
t = -8 ас имеет скорость v = 100 м /с.

МПа и

температуре

Определить температуру,
потока

при

давление и плотность этого

изоэнтропическом

торможении

до

состояния

покоя и скорость звука в этом потоке.

Указание: задачу решить: а) по формулам; б) с ис­
пользованием таблиц газодинамических функций (прило­
жение 9).

Ответ: Т0 = 27 К; р0 = 1,07 МПа; р 0 = 13,8 кг / м 3 ; а=

= 326 м / с.
Задача

12.13.

Требуется создать такой сверхзвуковой

изоэнтропический поток, в котором число Маха М=

нормальных условиях (t = 15 °С, р = 0,013-105 Па).

5

при

Определить условия, при которых воздух должен нахо­

диться в резервуаре (ро, Ро, То).
Указание: решить задачу по формулам, не пользуясь
таблицами газодинамических функций, так как линейная
интерполяция при заданном числе Маха дает большую по­
грешность.

Ответ: р0 = 53,6 МПа; То= 1726 К; Ро = 108 кг / м3 .
Задача 12.14. В точкеАневозмущенного потока воздуха
перед телом (рис. 12.3) давление составляет О, 1012 МПа,

244

плотность р = 1,29 кг /м 3 и скорость v = 100 м/ с. Давле­
ние в точке В тела равно

0,049

МПа, а скорость в точке С

равна нулю.

Найти числа Маха в точках А и В и давление в точке
С, считая движение изоэнтропическим.

Указ а н и е:

при

решении

воспользоваться

газодинамических функций (приложение 9).
Ответ: МА = 0,301; Мв= 1,13; Ре= р 0 =
Задача

таблицами

0,108

МПа.

12.15. Свободная струя воздуха течет при числе

Маха М= О, 151.
Чему равно показание

h ртутного манометра, присоеди­
ненного к трубке Пито (рис. 12.4)? Показание барометра
hб = 760 мм рт.ст. Движение считать изоэнтропическим;
ррт = 1,36-104 кг /мз.
Указание: скорость на кончике трубки Пито равна
нулю. При решении использовать таблицы газодинамиче­
ских функций.
Ответ: h = 152 мм.
Задача

12.16. Снаряд
2,42.

летит на высоту

9

км с числом

Маха, равным

Найти температуру торможения на носу снаряда, считая
течение изоэнтропическим.

Рис.

12.3.

К задаче

12.14

Рис.

12.4.

К задаче

12.15

--

-

-

в

--

Ра

__....-----

h

t
245

Указ а н и е: из таблицы свойств стандартной атмосфе­

ры температура воздуха на высоте
Ответ: Т 0 = 498 К.

км равна

9

-43,8

°С.

Задача 12.17. Во время опытов в аэродинамической ла­
боратории трубка Пито показала избыточное статическое
давление

к Па.

65,7

В этих же условиях разность между

давлением торможения и статическим давлением,

ная по манометру, оказалась равной

14,6

замерен­

кПа. Показание

=

барометра 100 кПа и температура торможения t 0
35 ас.
Найти скорость воздуха, считая движение изоэнтропи­
ческим.

Ответ:
Задача

v = 120 м / с.
12.18. Трубка

Пито вмонтирована в крыло са­

молета, движущегося со скоростью

1000 м / с
3000 м. На этой высоте атмосферное давление
68,6 кПа и скорость звука а= 329 м / с .
Чему равно

давление торможения

на

на высоте

составляет

носике трубки

Пито?
Ответ: р 0 =О, 109 МПа.
Задача 12.19. Давление и температура воздуха в сосуде
соответственно Ро
0,5 МПа и То 300 К. Газ вытекает
через сходящийся насадок с площадью выходного сече­
ния s1 = 3 см 2 в среду с давлением Р1 = 0,3 МПа (см.
рис. 12.1 ).
Определить скорость истечения и массовый расход.
Ответ: v = 285 м / с; Qм = 0,346 кг / с .

=

Задача

12.20.

=

Определить коэффициент скорости в вы­

ходном сечении сходящегося сопла, если давление в сосу­

де Ро = О, 16 МПа, давление на выходе рв = О, 1 МПа. Как
изменится Лв, если давление в сосуде увеличится в

(k

=

Ответ: "-в1
Задача

= 0,868;

12.21.

= О, 15

Лв2

расход

сходящегося насадка,

= 1.

МПа, То

воздуха в выходном

если давление

= 287

торможения

Площадь выходного сечения насадка Sв

Ответ: рв
= 0,855 кг1 с.

=

сечении
в

сосуде

К, истечение происходит в атмо­

сферу с давлением р = О, 1 М Па.

246

раза?

Определить давление, температуру, ско­

рость и массовый
р0

2

1 ,4).

О, 1 МПа; Тв

= 256

К; Vв

= 2,5·10-3 м2 .
= 251 м / с; Qм =

Задача
ходном

12.22.

сечении

температура

газа

Определить коэффициент скорости в вы­
сходящегося
в

сосуде,

насадка,

откуда

если

давление

и

происходит истечение,

составляют 1oS Па и 300 К соответственно. Площадь вы­
ходного сечения насадка Sв = О, 1 м2, расход газа Qм =

= 8,5 кг/ с,

R = 300 Дж / (кг·К).
0,25.
12.23. Найти объемный и массовый
k

= 1,3,

Ответ: Л=
Задача

критические

расходы воздуха при закритическом истечении через сопло

с площадью критического сечения Sкр = О, 04 м 2 , если тем­
пература торможения

1000

К и плотность заторможенного

потока р 0 = 2,74 кг / мз.
Ответ: Qкр = 23,1 мЗ / с; Qм кр = 40,2 кг / с .
Задача

12.24.

Покоящийся воздух перед входом в соп­

ло Лаваля имеет давление

составляет

2

МПа. В конце сопла давление

МПа. Площадь наименьшего сечения сопла

0,2

равна 1О см2.

Найти площадь выходного сечения,

считая движение

изоэнтропическим.

Ответ: s = 19,3 см2.
Задача

12.25.

Для получения сверхзвукового

воздуха с коэффициентом скорости Л =
служит

сопло

Лаваля.

Площадь

1,65

потока

на выходе

критического

сечения

Sкр = 20 см 2 (см. рис. 12.2). Воздух из сопла вытекает в
атмосферу с давлением О, 1 МПа.
Найти давление торможения в ресивере, откуда проис­
ходит истечение, массовый расход и площадь выходного
сечения сопла,

считая течение изоэнтропическим и р ежим

работы сопла Лаваля расчетным. Температура торможения
т0 = 300 К.

Ответ: Ро
Задача

= 0 , 83МПа;

12.26.

Qм

= 3,88

кг/ с; s

= 34,8 см2 .

Найти критическую Sкр и выходную Sв

площади сопла Лаваля при течении по нему воздуха, а
также коэффициент скорости Лв , скорость Vв и температу­

ру Тв на выходе, если рв = О, 1 МПа, Qм =
= 0,5 МПа, Т 0 = 300 К.

Ответ: sв = 11 ,5 см 2 ; Sкр
= 472 м / с ; Лв = 1,49.
Задача

12.27.

= 8,85

1

кг/ с , Ро

см 2 ; Тв = 189 К; Vв

Определить скорость воздуха в выходном

сечении сопла Лаваля, работающего на расчетном режиме,

247

если рн/р 0 = 0,348 (где рн - наружное давление), темпе­
ратура торможения Т 0 = 2860 К.
Ответ: v = 1,22-103 м/с.
Задача

12.28.

Определить наружное давление, при ко­

тором сопло Лаваля работает на расчетном режиме, если

скорость на выходе из сопла v = 1800 м / с, температура
торможения То = 3000 К, давление торможения Ро =
= 3 МПа.
Ответ: рн = 0,198 МПа.
Задача

12.29. Компрессорная станция нагнетает воздух
6 кг / с с давлением р 0 = 1,23 МПа и темпе­
То= 450 К.

в количестве

ратурой

Определить основные размеры сопла (dкр и dв), число
Маха, скорость и температуру на выходе из него, считая,
что

расширение

в сопле

должно

происходить

изоэнтропи­

чески до давления на выходе, равного атмосферному (ра =
МПа).
Ответ: dкр = 5,73 см; dв
= 679 м / с; Тв= 220 К.
=

0,1012

= 8,41

см; Мв

= 2,28;

Vв

=

Задача 12.30. Найти скорость и давление газа в выход­
ном сечении сопла Лаваля, работающего на расчетном
сверхзвуковом режиме,

ка р0 =

5

сопла dв

= 0,24

МПа, То =

= 0,6

м, k

м,

если параметры торможения пото­

2280

К, диаметр выходного сечения

диаметр критического сечения dкр

= 1,3, R = 320

Дж / (кг-К).

Ответ: Vв =
Задача

1950 м / с; рв = 0,090 МПа.
12.31. Сравнить массовые расходы

=

и скорости

истечения воздуха из баллона через сопло, которые можно
получить

пFи

изоэнтропическом

расширении

воздуха

до

ра =

0,98-10 Па:
1) в случае, когда в баллоне tot = 15 ас, Pot = 9,8-10 5 Па;
2) в случае изохорического (р = const) подогрева воз­
духа в баллоне от to1 до to2 = 450 ос. Критические сечения
сопел в обоих случаях одинаковы.

Ответ: Qм2 1 Qм1 =

1,59; v2 / v1

=

1,78.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неправильный.

только при значениях р

248

Массовый расход изменяется

> ркр.

Ответ неправильный. Не забывайте, что То

2.

-

темпе­

ратура торможения .

3. Ответ неправильный.
(10.8) и (12 .2) .
4. Ответ неправильный.
скоростей от О до акр.
5. Ответ правильный .

Проанализируйте

формулы

Вы берете только интервал

Если давление р в среде, куда

вытекает газ, меньше, чем ркр, то при любом значении р
на

выходе

из

насадка

устанавливается

критическая

ско­

рость акр и максимальный расход Qм шах.

6. Ответ неправильный для числа Маха. Подумайте,
каково значение скорости звука а при v = Vmax?
7. Ответ неправильный. Проанализируйте формулы
(10.8) и (12.2).
8. Ответ неправильный. Учтите чтоРои р 0 - параметры
торможения .

Ответ

9.

неправильный для коэффициента скорости Л.

Значение Л при

v = Vmax и, следовательно, при М ~ оо
можно получить из формулы (12.5).
10. Ответ правильный. Из формулы (12.2) следует, что

акр= fkRTкp, но Ткр

V

2
=-То (см. формулу
k+1

(12.11)), по-

этому акр = /..l:!;_ RTo.
Vk+1

11.

Ответ неправильный.

Массовый расход возрастает

при уменьшении давления только при условии р > ркр (см.
формулы ( 12.13) и ( 12.14)).
12. Ответ неправильный. Используйте формулы (12.2)
и (12.11) .
13. Ответ правильный. При v ~ Vmax, Т~ О и, следо­
вательно, а ~ О, тогда М~ оо. При этом значении числа

Маха значение Л можно получить из формулы

(12.5):

Л = ~ k+ 1.
k ~ 1

14.

Ответ правильный . При увеличении скорости дви­

жения газ охлаждается, температура падает; из формулы
(12.2) следует, что при этом скорость звука уменьшается.

Глава

13

СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ

§ 1. ПРЯМОЙСКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
Поверхность,
ние,

плотность,

при прохождении через которую давле­
скорость

и

температура

газа

изменяются

скачком, называется удар1iоЙ волJiоЙ. Ударная волна мо­
жет возникнуть только при сверхзвуковой скорости дви­
жения газа.

Образующиеся в потоке ударные волны в различных
случаях могут быть подвижными и неподвижными. Непо­
движная волна называется скачком уплот1iе1iИЯ.

Если фронт скачка уплотнения перпендику лярен к ско­

рости набегающего потока, то скачок называется прямьlJ11.
При переходе через прямой скачок направление скорости
не меняется. Связь между параметрами газа до скачка

Pt

pt,

и за ним р2, Р2 имеет вид

k+1E2__1
k - 1 Р1
J;; ~ k + 1 _ P2
Р2 ~

k - 1

( 13.1)

Р1

Это соотношение называется удар1iоЙ адиабатой Гюго­
JiИО (рис. 13.1, кривая 1). На этом же рисунке для срав­

нения по казана адиабата Пуассона Р2 /
вая

Pt = (р2 / Р1 )k (кри­
2), соответствующая изоэнтропическому сжатию со­

вершенного газа. Адиабата Гюгонио характеризует адиаба­
тическое неизоэнтропическое сжатие газа в ударной волне.
При прохождении газом скачка уплотнения происходит
необратимый частичный переход механической энергии в
тепловую, что приводит к увеличению энтропии. Особен­
ность ударной адиабаты ~ то, что при неограниченном

возрастании давления в скачке

250

(p2 1 Pt ---+

оо) плотность не

Рис. 13.1. Сравнение ударной адиабаты
Гюrонио (кривая 1) и адиабаты Пуассона
(кривая 2)

может возрасти более чем в раз (для
воздуха не больше, чем в б раз).
Скорости течения газа до (v1) и
после скачка (v2) связаны сооm1iо­

2

ше1iие.м Пра1iдmля

vp2

2

(13.2)

=акр·

или

( 13.3)
Из

формулы

о

( 13.3) видно, что

1

каков бы ни был начальный сверх­

k+1
k-1

звуковой поток (Л1 > 1), за прямым скачком движение становится дозвуковым (Л2

< 1).

Отношения давлений, плотностей и температур за пря­

мым скачком (р2, Р2, Т2) к соответствующим значениям до
скачка (р1, Р1, Т1) определяются в зависимости от числа
Маха перед скачком М 1 = v1 / а1 (или от коэффициента
скорости Л1) по форму лам

( 13.4)

k+1 м[
Р2

_

Р1
т2 _ 4k - (k - 1) 2
11 - (k + 1) 2

1

2
_ ~ 2.
-l'vj,
k -1 м2
+-2- 1
2(k - 1)
2

(k+1) мr
1-k-1_!_
k + 1 лr
1- k -1 лr
k +1

( 13.5)

1) мг =
2
(k+1)

+ 2k(k -

(13.6)

251

Число Маха за прямым скачком М2 связано с числом
Маха перед скачком Mt соотношением

М}=

k -1 м2
1+ - - 1
2 2 k-1.
kM1 - - 2

(13.7)

Изменение энтропии при прохождении совершенным га­
зом прямого скачка уплотнения определяется по формуле

52 - 51

= Су ln

k

Ро2 Ро\

= R ln РО1

Ро1Р02

,

(13.8)

Ро2

где (pot, РО1), (pQ2, р02) - плотность и давление торможе­
ния до и после скачка соответственно.

Отношение cr = Po2 1 Pot < 1 называется коэффициенто.м
давления и характеризует потери механической энергии в
прямом скачке.

Далее приведена зависимость коэффици­

ента давления от числа Маха Mt перед скачком (или от
коэффициента скорости Лt)

(13.9)

Температура торможения до и после скачка одна и та
же, т.е.

Tot

= То2 = То.

Если ударная волна подвижна и распространяется по
неподвижному газу,

имеющему параметры

pt, Pt, Tt,

то

скорость ее распространения w определяется по формуле

w= JkP1

Р1

252

k-1
2

k+1 Р2
2k Р1

--+---,

(13.10)

здесь р 2 - давление за ударной волной.

Скорость распространения ударной волны w
больше, чем скорость звука перед ударной волной:

где а 1

=

~kp 1 /P1·

всегда

w > а1 ,

§ 2. КОСОЙСКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
Скачок уплотнения, фронт которого не перпендикуля­
рен к потоку, называется косым скачком (рис. 13.2). Он
имеет место, например, при обтекании сверхзвуковым по­

током газа клиновидного тела. На схеме (см. рис.

8 -

угол раствора обтекаемого клина;

-

р

13.2):

угол наклона

косого скачка. В косом скачке тангенциальная к фронту
скачка составляющая скорости остается неизменной:

(13.11)
а соотношение Прандтля имеет вид

2

k-1

V1n VJ.n = а;{р - k

2

(13.12)

+ 1 V~ '

где v1n и v2n - нормальные к фронту скачка составляющие
скорости до и после скачка соответственно.

Уравнения,

связывающие

параметры

газа до

и

после

косого скачка, получаются из уравнений ( 13.4)-( 13.6) для
прямого скачка заменой М1 на М1п = v1пl а1 = v1 sinP/a1,
а л1- на

~

. n.;

A1n = V1 Slll 1-'

2

акр -

Уравнение у дарной адиабаты

k-1 2
k + V~ ·
1

( 13.1) остается справед­

ливым и для косого скачка уплотнения.

Рис.

13.2.

Схема косоrо

скачка

уплотнения

253

В случае косого скачка число Маха М2 за скачком хоть
и уменьшается, но может быть все же больше единицы ,
т. е.

за косым

скачком

поток может оставаться сверхзвуко­

вым. Отсюда следует, что в косых скачках не происходят
столь

резкие

изменения

в

параметрах

газа,

как

в

прямых

скачках. Это приводит к меньшему возрастанию энтропии,
а следовательно, и к меньшим потерям.

У гол 13 между фронтом косого скачка и направлением
скорости набегающего потока V1 определяется из соотно­
шения

2
Mfsin 1)-1

tgB=ctgf3
м12

(k- +-1 2

При любом заданном числе

. 2 1) )
sш

Mt

.

( 13.13)

+1

существует такое мак­

симальное значение 8max угла раствора клина, что при 8

>

>

8max построить косой скачок нельзя. В этом случае ска­

чок перемещается

вверх по потоку и

отходит

от

вершины

угла, образуя так называемую головную волну (рис.

13.3) .

Вопросы для самопроверки

1.

Как

связаны

между

собой

отношения

давлений

(р2 / Pt) и плотностей (р2 / Pt) на прямом скачке уплотне­
ния?

2. В потоке газа давление возросло в Р2 / р 1· В каком
случае отношение плотностей Р2/ Pt будет больше - при

Рис.

13.3.

Схема обтекания

сверхзвуковым

потоком

клина с уrлом е

> Gmax

зама

отошедшая

от

rаза

(пока­

вершины

уrла rоловная ударная волна)

254

Рис.

13.4.

К примеру

13.1

переходе

через

скачок

уплотнения

или

при

изоэнтропиче­

ском течении?
3. Как изменяется энтропия при прохождении газа че­
рез прямой скачок уплотнения?

4. Как связаны между собой скорости течения газа до и
после скачка?
Может ли возникнуть скачок уплотнения в потоке, в

5.

котором М1 = 0,9?
6. В каком скачке

прямом или косом

-

изменение

-

скорости более резкое?
В каком скачке

7.

-

прямо м или косом

-

потери меха­

нической энергии больше?

ПРИМЕРЫ

Пример

13.1.

Воздушно-реактивный двигатель обтека­

ется сверхзвуковым потоком с давлением Р1 = 0,255·105 Па,
температурой
(рис. 13.4).

Т1

=

=

220 К и скоростью v1

575 м / с

Рассчитать прямой скачок уплотнения, т.е. найти р2,

1.

Т2, Р2, V2.
2. Найти давление в камере горения, считая, что оно
совпадает с

PD2·

Найти давление, которое имело бы место в камере

3.

горения в предположении изоэнтропичности всего течения.

R

4. Найти коэффициент давления cr = р02 /ро1; k = 1,4;
287 Дж / (кг·К).
PeшeJiue. 1. Найдем скорость звука и число Маха перед

=

скачком:

а1 = Свозд.Jf; = 20 ~220
М1 =

v 1/ a1

= 575/

297

=

297 м/ с;

= 1,94 .

Зная М1, Р1 и Т1, определяем давление Р2 и температу­

ру Т2 за скачком по формулам (13.4) и (13.6):

Р2 = _l!!_M2 Р1

k+ 1

1

1
kk+ 1

= 1 167·1 94 2 - О 167 = 4 22·
'

'

'

'

'

Р2 = 4,22 р1 = 4,22·0,255·105 = 1,08·105 Па;

255

т2 _ 4k- (k -1)2
т1 (k + 1) 2

+ 2k(k- 1)Mf

2(k- 1)
2
(k + 1) мl

(k + 1)

2

= о' 944 - о, ; + о' 194 ·1 '94 2 = 1'64;
13

1, 94

т2

= 1,64

т1

= 361

По формуле

к.

(13.7) найдем значение М2 за скачком:

k -1 м2
1+ - - 1

2
kMf- k -1
2

1 75
'
5,27-0,20

= 0,588.

Рассчитаем: скорость звука за скачком а2 = 20~361
= 380 м / с; скорость течения газа v2 = М2а2 = 0,588-380 =
= 223 м/с; плотность Р2 = P2 / (RT2) = 1,08-105/ (287-361) =

= 1,04 кг / мз.
2. Считая движение

газа за скачком изоэнтропическим,

по таблицам газодинамических функций найдем

Р2 / Ро2

= л (М2) = О, 791;

р02 =Р2 / 0,791 = 1,08-105/ 0,791 = 1,36-105 Па.

3.

При изоэнтропическом движении давление в камере

равнялось бы ро 1:

Р1

I Po1 = л(М1 ) = л(1,94) =О, 140;

Ро1 = р1 / О, 140 = 0,255-10 5/ 0,140 = 1,82-105 Па.

4. cr = Po2 1 Pot = 1,36/ 1,82 = 0,75 = 75 %.
Пример. 13.2. Определить число Маха и

коэффициент

скорости в потоке воздуха в трубе по известным показани­

ям манометра Н = 1722 мм рт. ст. и h =
(рис. 13.5). Показание барометра hб =
Определить

также

давление

торможения

- 320 мм
760 мм
в

рт.ст.
рт.ст.

набегающем

потоке РО1·

PeшeJtue. Давление в набегающем потоке

р1 = ра + ppgh = (0,760- 0,320)1,36-104 -9,81 = 5,87-104 Па.

256

М1 Р1 Ро2
1

Рис.

13.5.

К примеру

-----.....

13.2

Перед трубкой Пито образуется прямой скачок уплот­
нения, поэтому ее показание Н соответствует избыточному
давлению торможения в потоке за скачком:

Ро2 = Ра + Ppgh = (0, 760 + 1, 722)1 ,36-104 -9,81 =
=

3,31-105 Па.
Отношение

Po2IP1
=

= (ро21Ро1)(ро11Р1) =

33,1/5,87

=

cr(M1)/n(M1) =

5,64.

Задаваясь разными значениями М 1

> 1,

можно постро­

ить график зависимости функции Ро2 / р 1 от М 1, используя

формулу

( 13.9) и таблицы газодинамических функций, из
2.

которых следует, что М 1 =

Найдем коэффициент скорости

(k + 1)мr
2 + (k -1)мr

1,2. 4 =
1 + 0,2. 4

1,63.

257

Давление торможения в набегающем потоке Ро1 опреде­
ляется по таблицам газодинамических функций

Ро1 = P11n(M1) =

5,87-104 /0,129

=

0,456 МПа.

При.мер 13.3. С какой скоростью w распространяется
по трубе ударная волна, образующаяся при движении
поршня со скоростью v = 250 м/ с в совершенном газе с
температурой Т1 = 300 К (рис. 13.6, а)? Известно, что k =
= 1,3, R = 290 Дж/(кг·К).
Реше1iие. Выведем формулу для скорости распростра­
нения ударной волны. Чтобы применить соотношения, по­

лученные для неподвижной ударной волны (скачка уплот­
нения), мысленно сообщают газу поступательное движение
со

скоростью

w

в

направлении,

противоположном

сти движения ударной волны (рис.

13.6, 6).

скоро­

Тогда удар­

ная волна оказывается остановленной, а поток перед ней

-

движущимся со скоростью v1 = w влево. За скачком газ
будет иметь скоростью v2 = w - и. Для нахождения скоро­

сти w используем формулу Прандтля

( 13.2)

v1v2 = w(w- и)= а~Р
и уравнение энергии

2
w
k+1
2
срТJ. +-=ер Та =
акр·
2
2 (k -1)

Исключив из этих соотношений а~Р, получим уравнение
для определения скорости

w

-

и

w

Рис.

258

w

б

а

13.6.

К примеру

13.3

Используя формулу Майера

ние

ер/ су,

k =

преобразуем

R =

ер

-

су

последний

и соотноше­

член

к

виду

(k - 1 )срТ1 = kRT1. Тогда решением уравнения будет
k +1
W =--V
4

+

(k + 1)2v2

+ kRT

16

1

(второй корень не годится, так как дает w

< 0).

Подставив численные данные, получим

1 3 1 22502
( • + )

w = 1' 3 + 1 250 +

16

4

+1 3-290-300=510
'

м/с.

При.мер 13.4. В струе воздуха, которая вытекает из
котла, где То = 288 К, со скоростью v1 = 700 м / с и обте­
кает клин, возник плоский скачок уплотнения, фронт ко­

торого наклонен под углом rз

= 50°

к направлению скоро­

сти до скачка.

Найти скорость потока после скачка v2 и угол отклоне­
ния потока (угол раствора клина) (см. рис. 13.2).
PeшeJtue. Найдем критическую скорость звука

акр= J~RT0 =

vk + 1

" ' 287-288=310м/с

2 1 4

2, 4

и, учитывая, что v,

уравнению

V

= v1cos[3, V1n = v1sinf3,

найдем v2n по

(13.12):

2 k- 1 2 2
= llКp - ~VjCOS 13 =96400-0,167·7002 ·0,6432 =
117 М/ с·'
2n
v 1 sinl3
700·0,766

v2,

= v 1, = v 1 cos [3 = 700 ·О, 643 = 450

м / с.

Тогда

V2

=

~ vi, + v~n

=

~ 450 2 + 1172

= 465

м/ с.

Из схемы (см. рис. 13.2) следует, что v2п/ v, = tg(p - El), тогда tg(p - El) = 117/ 450 = 0,260, rз - El = 14,57°, El =
= rз - 14,57° = 5оо - 14,57° = 35,43° = 35° 26'.

259

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Ответ

Вопрос
При переходе через скачок уплотнения
скорость движения газа

v

и давление р

изменяются следующим образом

v
v

Код

2
7

и р уменьшаются
увеличивается,

р уменьшается

v

10

уменьшается,

р увеличивается

v

13

и р увеличиваются

Может ли плотность воздуха возрасти Может в том и в дру-

10

в

раз

при переходе через прямой

скачок уплотнения?

ческом течении (k =

При изоэнтропи -

1, 4)?

1

гам случае

Может

только

при

те -

15

чении со скачком

Не может

11

Может только при изо -

8

энтропическом течении

Где

скорость

звука

больше

-

перед

скачком (а1) или за скачком (а2)7

>
<

а2

а1

Gj

=

а2

а1

з

5
12

а2

Если перед скачком уплотнения тем-

То2 = То1, РО2 = РО1

пература торможения равна То1 и дав-

То2 > То1, РО2
То2 = То1, РО2

ление торможения р01, то за скачком

< Ро1
> РО1
То2 = То1, Ро2 < РО1

4
14
9
б

ЗАДАЧИ
Задача

13.1.

Сравните увеличение плотности и темпе­

ратуры при ударном и при изоэнтропическом сжатии воз­

духа,

если

в

том

и дру гом

случае давление

возрастает

в

раз. Объясните разницу.

10

Ответ: (р2 / Р1)уд = 3,81; (р2 / Р1)изоэнтр = 5, 18; (Т2 /
Т1)уд = 2,62 ; (Т2 / Т1)изоэнтр = 1,93.
Пояснение: повышению плотности при ударном сжа­
тии препятствует разогрев газа на ударной волне.

Задача

7

13.2.

Давление при сжатии воздуха возрастает в

раз.
Найти изменение температуры Т2 / Т1 при изоэнтропи­

ческом течении и при наличии скачка уплотнения.

Ответ: (Т2 / Тt)изоэнтр =

260

1,74; (Т2 / Тt)уд

=

2,12.

Задача
в

4

При сжатии воздуха плотность возрастает

13.3.

раза.

Найти изменение температуры Т2 / Т1 при изоэнтропи­
ческом течении и при наличии скачка уплотнения.

Ответ: (Т2 / Тt)изоэнтр = 1,74; (Т2 / Тt)уд = 2,88.
Задача

k

=

На прямом скачке уплотнения Р21Р1 =

13.4.

3,

1,4.
Найти Лt, Л2, P2 / Pt, Т2/ Т1, v2 / v1.

Ответ: Лt = 1,45; Л2 = 0,688; Р2 / Р1 = 2,11; Т2 / Т1 =
1,42; v2/v1 = 0,475.
Задача 13.5. На прямом скачке уплотнения плотность
возрастает в 2 раза.

=

При каком значении коэффициента скорости возник
скачок уплотнения? Как изменится кинетическая энергия

единицы объема газа на скачке?
Ответ: Лt = 1 ,41; Экин2 / Экин1 = О ,5.
Задача

k

=

На прямом скачке уплотнения Лt

13.6.

2,

1,4.
Найти Л2, P21 Pt, P2 1 Pt, Т2 / Т1.
Ответ: Л2 = 0,5; P2 1 Pt = 4; P2 1 Pt

= 2,88.

= 11,5;

Т2 / Т1

=

Задача 13.7. На прямом скачке уплотнения Т2 / Т1 = 2.
Найти Лt, Л2, P21 Pt, P2 1 Pt· Принять k
1,4.
Ответ: Лt = 1,78; Л2 = 0,563; P2 / Pt = 3,16; P2 1 Pt =

=

=

6,32.

Задача 13.8. Скорость газа за прямым скачком уплот­
нения v2 = 221 м / с. Температура торможения после скач­
ка t02 = 100 °С. Принять k = 1,4; R = 287 Дж/ (кг-К).
Определить температуру газа в потоке до скачка.

Ответ: Т1 =
Задача

214

13.9.

К.

Скорость течения воздуха перед скачком
330 К.

Vt = 400 м/ с. Температура торможения То1 =
Найти коэффициенты скорости перед и

за скачком,

температуру Т2 и скорость V2.

Ответ : Лt
Задача

= 1 ,20;

13.10.

давлением Ро1 =
имеет место
давление Р1 =

Л2

= 0,831;

Т2

= 292

К;

м / с.

Воздух поступает в сопло Лаваля под

2

МПа.

В расширяющейся части сопла

прямой скачок уплотнения.

0,4

v2 = 276

Перед скачком

МПа.

261

Найти давление за скачком, считая, что до скачка внут­
ри сопла движение газа изоэнтропическое.

Ответ: Р2 =

1,30

Задача

13.11.
температуру 16

МПа.

Воздух вытекает из котла, где он имеет

°С, через сопло Лаваля с отношением
площадей выходного и критического сечений sн / Sкр = 4.
В выходном сечении сопла имеет место прямой скачок.
Найти скорость газа за скачком,

считая течение газа

перед скачком изоэнтропическим.

Ответ: v2
Задача

= 159

13.12.

м / с.

В сопло Лаваля подается воздух из ре­

зервуара с давлением

4

МПа.

Отношение площадей вы­

ходного и критического сечений sн / Sкр = 3,33.
Определить: 1) давление за прямым скачком, если он
имеет место в выходном сечении; 2) давление за прямым
скачком, если он имеет место в сечении с площадью s' =
= 2sкр.
Ответ: Р2в = 1,38 МПа; й_ = 2,05 МПа.
Задача

ния Р1 =

13.13. Давление перед прямым скачком уплотне­
0,255 МПа, давление торможения Ро2 = 0,6 МПа.

Найти давление за скачком р2, давление торможения

р02 и коэффициент давления cr = РО2 / РО1· Принять k = 1,4.
Ответ: Р2 = 0,369 МПа; Ро2 = 0,596 МПа; cr = 0,994.
Задача 13.14. Определить коэффициент давления cr для
прямого скачка уплотнения, если М1 = 2. Найти также
давление торможения за прямым скачком, если давление в

потоке воздуха до скачка Р1 = 105 Па.

Ответ: cr
Задача

= 0,72;

13.15.

РО2

= 5,65-105

Па.

Воздух вытекает из сопла Лаваля при чис­

ле Маха М1 = 2,5 под действием давления Ро1 = 1,57 МПа;
То = 288К.
Определить: 1) параметры газа в выходном сечении
сопла, т.е. р1, Т1, Р1, считая, что расширение воздуха рас­

четное;

2)

считая, что в выходном сечении сопла имеет

место прямой скачок уплотнения, найти параметры газа за

скачком р2, Р2, Т2, М2; 3) найти коэффициент давления cr.
Ответ: {21 = 9,19-104 Па; Т1 = 128 К; р 1 = 2,50 кг j мЗ;

Р2 = 6,55-10 5 Па; Т2 = 274 К; Р2 = 8,33 кг / м 3 ; М2 = 0,513;
cr = 0,5.
262

Задача
ха

за

13.16.

прямым

Определить давление торможения возду­

скачком

уплотнения,

если

параметры

газа

до скачка: Р1 = 105 Па, Л1 = 2.

= 1,34

Ответ: Ро2
Задача

МПа.

Перед поршнем, движущимся с постоян­

13.17.

ной скоростью и =

м / с, в трубе, заполненной возду­

400

хом, возникла ударная волна.

Правый конец трубы от­

крыт в атмосферу (ра = 1,013-105 Па, ра = 1,293 кг/ мЗ)
(см. рис.

13.6).

Найти скорость волны

w

относительно стенок трубы и

скорость волны относительно поршня.

Указание: см. пример
Ответ:
Задача

w = 649
13.18.

м /с;

13.3.
w- и= 249

м / с.

Найти скорость распространения ударной

волны по неподвижному газу с давлением Р1 = 9,8-104 Па
и плотностью Р1 = 1,29 кг / мЗ, предполагая, что движение
одномерное, без трения и без притока теплоты. Известно,
что после прохождения ударной волны давление возросло

в 25 раз. Сопоставить скорость распространения ударной
волны со скоростью звука в неподвижном газе. Принять

k

= 1,4.

=

4,64.

Ответ: w1
Задача

= 1,51-103

13.19.

со скоростью v1 =

м / с; а1

= 326

м / с; w1 /a 1

Воздух движется при температуре

1000

м / с под углом

40°

15

=

ас

к фронту косо­

го скачка.

Найти давление, температуру и плотность за скачком,

если Р1 = 1,013-10 5 Па.
Ответ: Р2 = 4 ,05-105 Па; Т2

= 461

К; Р2

= 3,06

кг /м 3 .

Задача 13.20. Клин обтекается потоком воздуха с чис­
лом Маха М1
1,7.
Определить угол наклона скачка [3, если угол поворота
е = 13°. Чему равен максимальный угол 8max , на который
можно повернуть поток без отрыва ударной волны при за­
данном числе Маха?

=

Ука за ни е :

воспользоваться уравнением

(1 3.13), ре­

шив его графически или методом последовательных приб­
лижений.

Ответ:

[3

=

54°;

8max = 17°.

263

Рис.

К задаче

13.7.

13.22

Задача 13.21. Имеется поток воздуха с числом Маха
2. Угол поворота потока 8 ---+ О, а скачок продолжает

М1 =

оставаться косым (случай обтекания полубесконечной пла­
стины).
Определить угол наклона скачка.

Ответ:

30°.
13.22. Источник
13

=

Задача
бесконечно малых (звуковых)
возмущений движется со скоростью и вправо (рис. 13.7).
Звуковая волна распространяется из центра возмущения
во все стороны со скоростью а.

Укажите, в каком случае (а, б или в) скорость и

< а,

и= а, и> а.

Ответ: а) и <а;

6)

и= а; в) и> а.

КОНСУЛЬТАЦИИ

1.

Ответ неправильный.

учтите, что для воздуха (k

2.

Проанализируйте рис.

+ 1)/(k- 1)

13.1

и

=б.

Ответ неправильный в отношении давления. Проана­

лизируйте формулу

(13.4) с учетом того, что всегда М1 >
> 1.
3. Ответ неправильный. Проанализируйте формулы
(13.6) и (11.2).
4. Ответ невереи в отношении давлений торможения.
Проанализируйте формулу ( 13.8) и учтите, что энтропия
на скачке уплотнения возрастает.

5. Ответ правильный. Из формулы (13.6) следует (учитывая, что М 1 > 1), что Т2 > Т 1 , откуда а 2 = .JkRJ2 > а 1 =
=

.JkRJ1 .

264

6.

Ответ правильный. Температура торможения, харак­

тери3ующая

полную

энергию

га3а,

сохраняется

постоян­

ной, т.е. Т01 = Т0 2 = Т0 ; давление торможения 3а скачком

Ро2 < Ро1, это следует И3 формулы (13.8), так как энтро­
пия 52> 51.
7. Ответ неправильный. Проанали3ируйте формулы
(13.2) и (13.4), учитывая, что всегда М 1 > 1.

8.

Ответ правильный.

При И3оэнтропическом течении

P2 l Р1 может быть любым, а при течении со скачком
Р2 1 Р 1 < ( k + 1) 1 ( k - 1) = 6.

9.

Ответ неверен в отношении давлений торможения.

Проанали3ируйте формулу (13.8).
10. Ответ правильный. И3 формулы (13.2) следует, что
v2 > акр (так как всегда v1 > акр); И3 формулы (13.4)
можно пока3ать, что Р2

> Р1·

11.
13.1.

Ответ неправильный. Проверьте свой ответ по рис.

12.
(13.6)
13.
(13.2)
14.

Ответ неправильный. Проанали3ируйте формулу
и вы убедитесь, что ваш ответ неверен.
Ответ

и

неправильный.

Проанали3ируйте

формулы

(13.4).

Ответ неверен в отношении температуры.

ли3ируйте уравнение энергии
энергия га3а

( 1О. 8)

Проана­

и учтите, что полная

при прохождении прямого скачка сохраняет­

ся.

15.

Ответ неправильный. Попробуйте подставить 3наче­

ние P2 I P1 =

10 в уравнение (13.1), которое получено при

течении со скачком, и определите

P2l

Р1·

Глава

14

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ
В ТРУБАХ

§1.ПОЛИТРОПИЧЕСКОЕТЕЧЕНИЕ

С ТРЕНИЕМ СОВЕРШЕННОГО Г АЗА
В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ТРУБОПРОВОДЕ

Закон сохранения энергии в механической форме для
элемента длины

dx

круглой трубы диаметром

при усло­

d

вии, что изменение нивелирной высоты мало по сравнению
с изменением пьезометрического напора, имеет вид

2

dp
d V+Л--=
dx v
О
-+V
р

d

2

( 14.1)

'

где потери удельной энергии на трение взяты по формуле
Дарси~ Вейсбаха; Л ~ коэффициент гидравлического сопро­
тивления.

Для политропического процесса с постоянным показа­
телем политропы п

.f!_
рп

= const

= const

или .Е.. = (...e_Jn ,
Р1

Р1

1 :<:::

п :е; k.

( 14.2)

В этом случае уравнение (14.1) в предположении , что
Л ~

можно проинтегрировать и результат пр едста-

const,

вить в виде

n+1

Р1

pJ / n
где

266

P2n

n+1

-

Р1 n + (pv )2 ln EL + Л _i..

n +1
n

n

Р2

d

(pv )2

2

=О
'

(14.3)

Pt, Р2 ~ давления при х = О их= l соответственно.

Уравнение

(14.3)

выражает закон распределения дав­

ления вдоль газопровода при политропическом процессе.

Учитывая, что для магистральных газопроводов

~ l
-1 1nР1- << r.-,
Р2

n

из

(14.3)

2d

получаем формулу для расхода
n+1

Qм =

При

n

= 1 из

7!

pvs =-

2 пр 1 (р;;-

n+1

- р-:;-) d 5

(14.4)

(n + 1) р~ 1 n A.l

4

(14.3) и ( 14.4) имеем формулы для рас­

пределения давления

и расхода

при

установившемся

изо­

термическом течении газа.

Коэффициент гидравлического сопротивления Л для га­
за в зависимости от числа Рейнольдса можно вычислить

по формулам, используемым при течении жидкости.

§2.ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕТЕЧЕНИЕРЕАЛЬНОГО
ГАЗА
При описании изотермического течения реального газа

в трубопроводе используется уравнение состояния газа

в котором коэффициент сжимаемости z
природных углеводородных

газов

=

z (Е._,
Ре

определяется

риментальным кривым (приложение

I._)
Те

по

для

экспе­

5) или аналитиче­

ски- по приближенным уравнениям состояния.

При дозвуковых скоростях движения в случае, если
можно пренебречь скоростными напорами, распределение
давления находится по форму л е

р =

(14.5)
267

а расход по форму л е

(14.6)
где 2 (р1, Р2) = (z(p1) + z(p2)) / 2 - среднее значение ко­
эффициента сжимаемости в интервале изменения давления
в газопроводе при постоянной температуре газа Т.
В случае когда требуется найти распределение давления

по заданным значениям Qм и р 1 , приближенно значение
можно

определить

по

значению

р2,

рассчитанному

z

для

случая течения совершенного газа.

Вопросы для самопроверки

1.

Как изменяется скорость при стационарном изотер­

мическом течении совершенного газа в трубопроводе по­

стоянного диаметра?

2.
вода

Каков закон изменения давления по длине газопро­
при

стационарном

политропическом

течении

газа

с

трением?

3.

Как изменяется объемный расход газа при стацио­

нарном изотермическом течении газа в трубе постоянного

диаметра?

4.

Изменяется ли число Рейнольдса при изотермиче­

ском стационарном течении газа в трубопроводе постоян­

ного диаметра?
5. Как зависит массовый расход газа от диаметра тру­
бопровода при изотермическом установившемся течении?

ПРИМЕРЫ

Пример

d

=
Т=

14.1. Воздух поступает
152 мм под давлением Р1 = 2,86
295 К со скоростью v 1 = 58 м / с.

Предполагая газ совершенным,

в трубу с диаметром

МПа при температуре

а течение изотермиче­

ским, найти скорость v2 и расстояние от входа в трубу до

того сечения, где давление Р2

268

= 1,07

МПа, Л=

0,016.

PeшeJiue.

v2 = v1 Е1 =58

~=Р2=Р2

L'2

Р1

Р2

Р1

Формулу

= 287 . 2 95 [ 1
582

(14.3)

при

2 86
'
1,07

= 155 м/ с.

n = 1 можно

преобразовать к виду

~ ( 1, 07 ) ] ~ 21n 2, 86 = 19, 7.
2

2, 86

1, 07

Откуда

Пример 14..2. Газ с объемным содержанием метана бо­
лее 90 % течет по трубопроводу с d = 50 см, длиной l =

= 300 км. Движение установившееся и изотермическое при
Т = 300 К, Л = 0,012, R = 520 Дж/ (кг·К). Абсолютное
давление в начале трубопровода р 1 = 5 МПа, в конце Р2 =
= 2,5 МПа.
Найти пропускную способность газопровода, считая газ
реальным.

PeшeJiue.

Определим среднее значение коэффициента

сжимаемости в интервале изменения давления от Р2 до

Pt,

используя зависимости коэффициента сжимаемости от
давления и температуры для природных газов (приложе­
ние 5). Из приложения 6 возьмем значения критических
температуры и давления для метана: Те = 273 ~ 82,4 =
= 190,6 К; ре= 4, 58 МПа и определим

!._ = ЗОО = 1 57· Е1 = Те

190, б

'

' Ре

5
-

4, 58

= 1 09· р2 = 32_ = 0,546.
'

' Ре

4, 58

269

По графику 2
21

= 2

= 2

(1,57; 1,09)

(.f!..._ , !.._J
Ре

Те

найдем

0,91;

=

22 = 2 ( 1,57; 0,546) = 0,95;
среднее значение

z

= (21 + 22)/2 = (0,91 + 0,95) / 2 = 0,93.
По формуле

Q

м

= nd 2
4

(

(14.6)

2

d Р1 - Р2

2)

=

(p1 ,P2)ЛlRTz

3,14. о, 25
4

определим массовый расход

2

2)

12

0,5 (5 -2,5 ·10
5
0,012·3·10 ·520·300·0,93

=26' 3

кг

1 с.

Найдем приведенный к атмосферному давлению объем­
ный расход газа
= Qм/ ра,

Qa

для чего определим плотность газа при атмосферном дав­

лении (1 ,033-9,8-104 Па) и заданной температуре

Ра

=

Q =
а

Ра
z(pa)RT

4

= 1,033·9,8·10 =О 65 кг / мЗ.
1 · 520 · 300

'

'

26 3
· = 40 5 мЗ /с = 3 5-106 мЗ /сут.

0,65

'

'

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА
Вопрос

При

установившемся

Ответ
изотермическом

Уменьшается

Код
ПО

ли-

течении совершенного газа по трубопро-

нейному закону

воду давление изменяется

Уменьшается по пара-

по

длине

бопровода следующим образом

тру-

8
14

болическому закону
Растет

по

линейному

11

параболи -

1

закону

Растет

по

ческому закону

270

Ответ

Вопрос

Код

Как изменяется массовый ( Qм) или объ~ Qм возрастает
емный (Q) расход газа при стационар~ Qм убывает
НОМ

изотермическом

течении

Б

Q = const
Q уменьшается
Q увеличивается
Уменьшается

13

труба~

проводе

Что происходит со

скоростью

движения

газа при политропическом течении газа в

трубопроводе постоянного диаметра?

Изменяется

ли

коэффициент

гидравли~

б

10
4
2
7

Увеличивается

з

Не изменяется

5

Л=

12

const

ческого сопротивления Л по длине тру~

Л увеличивается

9

ба провода

Л уменьшается

15

при

нарнам течении

изотермическом
газа

в

стацио~

трубопроводе по~

стояиного диаметра 7

ЗАДАЧИ
Задача

14.1.

Отношение давлений в сечениях

зопровода постоянного сечения
термическое, v 1 =50 м / с.
Найти v2.
Ответ: v2 = 125 м / с.

P1I P2

=

и

1

2

га­

Течение изо­

2,5.

Задача 14.2. Отношение давлений на входе и выходе из
трубопровода P1 I P2 = 3. Температура на входе Т1 = 350 К.
Считая сечение постоянным, а движение изоэнтропиче­
ским, найти температуру на выходе Т2 и отношение скоро­

стей v2 / Vt. Принять k = 1 ,4.
Ответ: Т2 = 256 К; v2 / v1
Задача

14.3.

= 2,19.

Определить массовый суточный расход га­

за, который можно передать по газопроводу, уложенному

из труб диаметром

426

мм, на расстояние

l

=

154

км. Аб­

солютное давление газа навыкидекомпрессорной станции

р 1 = 4,8 МПа, в конце участка Р2 = 3 МПа, плотность газа
ра при атмосферном давлении (0, 1 МПа) и температуре
перекачки t = 15 ас равна О, 720 кг / мз. Газ считать со­
вершенным, течение изот ермическим.

Указани е : воспользоваться формулой Веймаута

л= 0,009407lfd; [d] =м.
Ответ: Qм = 4,84-106 кг/ сут.
271

Задача

14.4.

По газопроводу передается газ в количе­

стве Qм = 4,33-106 кг/ сут. По трассе расставлены ком­
прессорные станции, которые дают абсолютное давление
на выходе р 1 = 4 МПа. Степень сжатия компрессоров
PtiP2 = = 1,4, т.е. давление Р2 на приеме следующего
компрессора должно быть Р2 = Pt / 1,4 = 2,86 МПа. Газо­
провод состоит из труб диаметром

630

мм.

Определить расстояние между компрессорными станци­
ями,

t

если при ра =

= 20

О, 1 МПа и температуре перекачки

ос плотность газара

вершенным,

= 0,722

кг/ мз. Газ считать со­

процесс изотермическим.

Указание: для определения коэффициента гидравли­
ческого сопротивления Л воспользоваться той же форму­
лой, что и в предыдущей задаче.

Ответ:

l

Задача

14.5.

=

125

км.

По газопроводу диаметром

300 мм пода­
1,4 млн мЗ / сут, приведенный
к давлению О, 1 МПа и температуре t = 15 °С. Послед­
няя компрессорная станция расположена в 150 км от цен­
ется газ с расходом Qa

тральной

=

газораспределительной

станции

города.

Плот­

ность газа при этих же условиях ра = О, 774 кг/ мЗ.
Считая газ совершенным и движение изотермическим,
определить, какое давление надо иметь на компрессорной
станции, чтобы обеспечить давление у газораспредели­

тельной станции не ниже
См. указание к задаче

Ответ:
Задача

pt

=

14.6.

5,47

1,2 МПа.
14.3.

МПа.

Воздухопровод подает воздух в количестве

Qa = 2, 22 мЗ / с на расстояние l = 1000 м, при темпера туре
20 °С. Компрессор создает давление р 1 = 1,1 МПа. К кон­
цу

воздухопровода

присоединены

пневматические

маши­

ны, для нормальной работы которых необходимо давление

не менее 0,8 МПа; ра = О, 1 МПа.
Определить в этих условиях необходимый минималь­
ный диаметр трубопровода, считая газ совершенным, дви­
жение изотермическим,

а скорости малыми.

Указание: коэффициент гидравлического сопроти­
вления определить по формуле Веймаута (см. зада­
чу 14.3).
Ответ: d =О, 125 м.

272

Задача

14.7.

Определить диаметр труб, которые нужно

уложить между двумя компрессорными станциями на рас­

стоянии

160

км для перекачки газа с расходом

Qa = 5 млн

мЗ / сут. Абсолютное давление газа на выкиде компрессор­

ной станции, расположенной в начале участка трубопро­

вода, р 1 =

5,4 М Па. Компрессоры работают со степенью
1,5, т.е. давление на приеме следующей ком­
прессорной станции в конце участка Р2 = P1 / r = 3,60 МПа.
сжатия

r

=

Газ считать реальным, движение установившимся и изо­

термическим при t = 16 ас. Принять
Те = 190,6 К, ре= 4,58 МПа.
См. указание к задаче 14.3.
Ответ: d = 0,53 м.

R

=

520

Дж/ (кг-К),

КОНСУЛЬТАЦИИ

1. Ответ неправильный. Проанализируйте уравнение
(14.3), описывающее закон распределения давления вдоль
газопровода при n = 1.
2. Ответ неправильный. Учитывая, что Q = Qм/р, по­
думайте над вопросом, что будет происходить с плотно­
стью р при изотермическом течении газа в трубе.
3. Ответ правильный. Имеем

где

v1,

Р1

-

скорость и давление в начальном сечении тру­

бопровода соответственно.
При движении газа р

<

р 1 , значит

v > v 1,

т.е . скорость

увеличивается по длине трубопровода .
4. Ответ неправильный. Вы не учитываете, что плот­
ность газа р изменяется по длине трубопровода.

5.

Ответ

неправильный.

массы в виде
сом,

6.

pv

= Qм/ s =

Запишите закон сохранения

const

и подумайте над вопро­

что происходит с плотностью р.

Ответ

неправильный.

Запишите закон сохранения

массы при стационарном течении газа в трубе постоянного
диаметра .

=

7. Ответ правильный.
const, следовательно, с

Имеем

Q

=

Qм / р, р / р

= RT =

уменьшением давления по длине

273

трубопровода плотность также уменьшается, а уменьшение
плотности при постоянном значении массового расхода Qм

приводит к росту объемного расхода Q.
8. Ответ неправильный. Рассмотрите уравнение (14.3),
дающее закон распределения давления по длине трубопро­
вода и при изотермическом течении газа, т.е. при n = 1.
9. Ответ неправильный. Вы не учитываете, что число
Рейнольдса при изотермическом течении газа в трубопро­
воде не изменяется.

10.

Ответ неправильный. Из закона сохранения массы в

случае установившегася движения газа в трубе постоянно­
го диаметра следует, что Qм = const.
11. Ответ неправильный. Проанализируйте уравнение,
описывающее распределение давления по длине трубопро­

вода

( 14.3) при n = 1.
12. Ответ правильный. Имеем, что Л = Л(Rе). Число
Рейнольдса Re при изотермическом течении газа в трубе

постоянного диаметра есть величина постоянная.

13.

Ответ неправильный. Вы не учли, что при политро­

пическом течении газа с уменьшением давления плотность

газа тоже уменьшается, так как р / pk = const, а из закона
сохранения массы следует, что

14.

Ответ правильный.

pv

=

const.

При стационарном изотермиче­

ском течении газа в магистральном газопроводе из уравне­

ния

( 14.3)

имеем

..EL(pr- р2) =л!:_
2р1

d

(pv)2 .

2

Из этого уравнения следует, что давление уменьшается

по длине трубопровода по параболическому закону.

15.

Ответ неправильный. Вы не учли, что число Рей­

нольдса при изотермическом стационарном течении газа

трубопроводе постоянного диаметра
ная.

-

в

величина постоян­

•
ПРИЛОЖЕПИЯ

Приложение

1.

Значения эквивалентной шероховатости

для труб (по А.Д. Альтшулю). В знаменателе

-

средние

значения д..
Трубы
Тянутые

из

Состояние труб
стекла

Новые, технически гладкие

о- о,

и цветных металлов

Бесшовные

сталь-

мм

Ll.,

002
001

О,

Новые и чистые

0,01-0,02
0,014

После нескольких лет эксплуатации

о, 15-0,3

ные

0,2
Стальные сварные

Новые и чистые

с

незначительной

о,

корро зией

после

о, 1- о,

очистки

Чугунные

03- о, 1
0,06
О,

2

15

Умеренно заржавевшие

0,3 - О, 7
0,5

Старые заржавев шие

о,

Новые асфальтированные

о- о, 16

8 - 1, 5
1
о, 12

Новые без покрытия

0,2-0, 5
0,3

Бывшие в употреблении

Очень старые

о,

5 -1, 5
1

До

3

мм

275

Приложение

2.

Значения усредненных коэффициентов

местных сопротивлений (квадратичная зона).
Сопротивление

~кв

Вход в трубу:

0,50
1,00
1,00

с острыми кромками

вдающийся внутрь резервуара
выход из трубы
Угольник с углом поворота:

45°

0,44
1,32

9О о

Колено плавное

(90°)

0,23

Тройник

0,32

Шаровой клапан

45,00

Вентиль обычный

4 ,00

Прижимная коробка трубы с клапаном и сеткой при dтр, мм:

100
150
200
300

7,00
6,00
5,20
3,70

Задвижка:

полностью открытая ( п

n
n
n
n
n

= 1)

о, 15
0,20
2,00
4,60
10,00
35,00

= 0,75
= 0, 5
= 0,4
= 0,3
= 0,2

0,40

Кран пр обковый

Фильтры для нефтепродуктов:

1,70
2,20

св етлых
темных

Диафрагма с острыми кромками при

0,4
0,5
0,6
0,7

276

n=

Sот / sтр:

7,00
4,00
2,00
0,97

Приложение З. Поправочная функция <р для с;;кв в фор­
муле с;; =

<р с;;кв при ламинарном и переходнам режимах

движения.

Re

<р

Re

<р

200
400
600
800
1000
1200
1400

4,20
3,81
3,51
3,37
3,22
3,12
3,01

1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800

2,95
2,90
2,84
2,48
2,26
2,12
1,98

Приложение

4.

Теплофизические

свойства некоторых

жидкостеи.

Температура, ос

Свойство

10

20

40

50

60

70

80

90

991

988

983

978

973

965

30
Вода

Плотность р,

1000 998

996

кг j мЗ
Динамическая

1,31 1,00 0,80 0,66 0,55 0,47 0,41 0,36 0,32

вязкость Т], мПа·с
Давление

насы-

1,22 2,34 4,24 7,38 12,34 19,92 31,17 47,37 70,13

щенных паров рп,

к Па
Топливо Т-1
Плотность р,

-

819

814

808

801

795

877

781

774

-

1,49

-

1,08

-

0,83

-

0,66

-

4,67 7,47 11 ,2 1 15,61 21,35 28,02 36,02 44,43

кг j мЗ
Динамическая

-

вязкость Т], мПа · с

Давление

насы-

щенных паров рп,

к Па

Масло МС-20
Плотность р,

898

892

886

881

876

870

864

859

853

248,0 102,0 47,5 24,0 13,4

8,0

5, 1

3,5

2,4

кг ; мз
Динамическая

вязкость Т], мПа·с

277

Приложе1-tuе
сти

от

5.

Зависимость коэффициента сжимаемо­

приведеиных давления и

температуры

для природ­

ных газов.

z

о

1

2

3

4

5

6

1,1

1,0

0,9
1,7

0,7
1,5

0,5

1,3

0,3

1,1

1,1

Приложение б. Физические константы некоторых газов.

Газ

Молеку-

Теплоем-

лярная

кость при

масса

постоянном

газа

J..L,

Дж/(кг·Ю

Воздух

29

Кис лород

З2

1·103
0,91·103
0,014·103

Водород

тель

Критиче-

Критиче-

адиабаты

екая тем-

ское дав-

пература

ление ре,

Те, К

М Па

с

давлении ср,

кг/кмоль

2,02
44

Углекис-

Показа-

k =_Е__
су

0,84З·1О3

1,40
1,40
1,41
1 ,З1

1 З2

З,б5

155

4,87
1,25
7, 14

ЗЗ,2

ЗО4

лый газ
Гелий

4

5,22·103

1,бб

Метан

1б
зо

2,З1·1О3

1 ,ЗО

1,82·103
1,б5·1О3

1' 18
1' 1З

Этан

44,1

Пропаи

5,2
191

0, 221
4,49
4,72
4,12

ЗО5
З7 0

Примечание . Универса льная газов ая постоянная

R =

8З14 Дж/

(кмоль·К).

Приложение

7.

Коэффициенты

Джоуля~Томсона для

метана.

т, к

20З
21З

о,

1

1

2 2З
2ЗЗ
24З

9,48
8,87
8,27
7,70
7, 1б

9,98
9,20
8,47
7,75
7, 09

25З
2бЗ

б,б5
б, 1б

б ,49
5,9б

27З
28З

5,70
5,25
4,84
4,45
4,07

5,48

29З
заз
З1 З

З2З
ззз

З4 З

З,74
З,44

8 (в
2
10, 5 б

9 ,б8

8,55
7,б5

5,57
5, 14
4,72

4,25

5,74
5,27
4,85
4,47
4,10

З,90
З,59
з,зо

З,77
З,48
З, 20

З,О5

2,98

5,ЗЗ

4, бЗ

2,82

2,7 б

2,74

2, б5

З7З
З8З

2,5б
2,4З

2,40

2,59
2,44

2,Зб

2, З 1

З9З

2,29
2, 19
2, 10
2,00

2,14
2,14
2,05

2,20
2,09
2,00
1,92

1 ,9б

4

5

б

11,85 12, 09
10,20 10, 1б
8,6б
8,52
7,54 7 , З5
б,70

З5З
ЗбЗ

42З

з

б,90
б,28

З, 1б
2,9З

40З
41 З

К/ МПа) при давлении, МПа

б,О8

4,ЗЗ
З,98

12,40
10,08 9,8б
8, 40 7,87
7,14 6,51
5,77
б, 52
б,28
5,90 5,80 5,З9
5,45 5,З4 5, 07
5 , 0З
4,9З
4,69
4,61 4,50 4,З 1
4,22 4,12 З,97
З ,88

З,78

З, б5

З,6б
З,З9
з, 14

З , 58

З,49

З,З 1

З,24

З,З8
з, 12

З ,О7

з,оо

2,90
2,71
2,54

2,84

2, 79

2 ,бб

2, бб

2,50

2,44

2,З7

2,З9
2,2б

2,З5

2,ЗО

2,22
2,11
2,01

2,18
2,07
1, 97
1,89
1,8 1

2,24
2, 1 З
2,02
1,94
1,84
1, 77

2, 15
2,05
1 ,9б

1, 9З

1,88

1, 85

2,90
2,70
2,52

10

12

4,95
4,75

З ,8 7

4 ,7 б
4,б1

4,22
4,24

З,72
З , 22
З ,4 0

4,40
4,06

4,0З
З, 7 2

З,З9
З , 24

З,75
З,47

З , 48
З ,2 5

2,89

З,2 1

з,оо

2,7З

8

З , О5

2,97
2,75
2,57
2,40

2,79 2,58
2,б0 2,44
2,44 2 , ЗО
2,29 2, 18
2,2б 2, 1б 2,07
2, 15 2,0б 1,97
2,05 1,97 1,88
1, 9б 1,89 1,80
1,87 1,80 1,72
1,79 1,72 1,б 5
1, 72 1, б5 1,57

279

Продолжение пр ил.
Т, К

433
443
453
463
473

О, 1

1

8 (в
2

1,93
1,85
1,78
1,70
1,64

1,89
1,81
1,74
1,67
1,60

1,84
1,77
1,70
1,63
1,56

Приложение

i,

8.

К/МПа) при давлении, МПа

3

4

5

6

8

10

12

1,80
1,73
1,66
1,59
1,51

1,76
1,69
1,62
1,55
1,48

1,73
1,65
1,58
1,50
1,43

1,70
1,61
1,54
1,46
1,39

1,64
1,55
1,49
1,41
1,34

1,57
1,50
1,44
1,36
1,29

1,50
1,44
1,36
1,30
1,23

Диаграмма

i-T

для метана.

кДж/кг

110 120 130 150
280

7

200

250

Т, К

Приложение

(k

9.

Таблица

газодинамических

функций

1 ,4).

=
л

т

7t

f>

q

м

0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
о, 10
О, 11
о, 12
о, 13
о, 14
о, 15
о, 16
о , 17
о, 18
о , 19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,2 4
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42

1,0000
1,0000
0,9999
0,9999
0,9997
0,9996
0,9994
о , 9992
0,9989
0,9987
0,9983
0,9980
0,9976
0,9972
0,9967
0,9963
о, 9957
о , 9952
0,9946
0,9940
0,9933
0,9927
0,9919
0,9912
0,9904
0,9896
0,9887
о, 9879
0,9869
0,9860
0,9850
0,9840
0,9829
0,9819
0,9807
о, 9796
о, 9784
0,9772
0,9759
0,9747
о, 9733
о, 9720
о, 9706

1,0000
0,9999
0,9998
0,9995
0,9990
0,9986
0,9979
0,9971
0,9963
О, 9953
0,9942
о, 9929
0,9916
0,9901
0,9886
0,9870
0,9851
0,9832
0,9812
0,9791
0,9768
0,9745
о, 9720
0,9695
0,9668
0,9640
О, 9611
0,9581
О, 9550
0,9518
0,9485
0,9451
0,9415
о, 9379
0,9342
0, 9303
0,9265
о, 9224
0,9 183
0,9141
0,9097
о, 9053
0,9008

1,0000
0,9999
0,9998
0,9997
0,9993
0,9990
0,9985
0,9979
0,9974
о , 9967
о, 9959
0,9949
0,9940
о, 9929
0,9918
0,9907
0,9893
0,9880
0,9866
о , 9850
0,9834
0,9817
0,9799
0,9781
0,9762
0,9742
0,9721
0,9699
0,9677
о, 9653
0,9630
0,9605
о, 9579
0,9552
0,9525
0,9497
0,9469
0,9439
0,9409
0,9378
0,9346
0,9314
0,928 1

0,0000
0,0158
0,0315
0,0473
0,0631
0,0788
0,0945
0,1102
о, 1259
О, 1415
о, 1571
о, 1726
о, 1882
0,2036
о, 2190
0,2344
0,2497
0,2649
0,2801
0,2952
0,3102
0,3252
0,3401
0,3549
0,3696
0,3842
0,3987
0,4131
0,4274
0,4416
0,4557
0,4697
0,4835
0,4972
0,5109
0,5243
0,5377
0,5509
0,5640
0, 5769
0,5897
0,602 4
0,6149

0,0000
0,0091
0,0183
0,0274
0,0365
0,0457
0,0548
0,0639
0,0731
0,0822
0,0914
о, 1005
о, 1097
о, 1190
о, 1280
о, 1372
О, 1460
О, 1560
О, 1650
О, 1740
о, 1830
о, 1920
0,2020
0,2109
0,2202
0,2290
0,2387
0,2480
0,2573
0,2670
0,2760
0,2850
0,2947
0,3040
0,3 134
0,3228
0,3322
0,3417
0,35 11
0, 3606
0,3701
0, 3796
0,3892

281

Продолжение npuл.

9

л

т

7!

8

q

м

0,43
0, 44
0, 45
0, 46
0, 47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0, 54
0,55
0, 56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
о, 71
0, 72
0, 73
0, 74
0, 75
0, 76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87

о, 9692
0,9677
0,9663
0,9647
0,9632
0,9616
0,9600
о, 9583
о, 9567
о, 9549
о , 9532
0,9514
о , 9496
0,9477
0,9459
0,9439
0,9420
0,9400
0,9380
0,9359
0,9339
0,9317
о , 9296
о , 927 4
0,9252
0,9229
о, 9207
0,9183
0,9160
0,9136
0,9112
0,9087
0,9063
0,9037
0,9012
0,8986
0,8960
0,8933
0,8907
0,8879
0,8852
0,8824
0,8796
0,8767
0,8739

0,8962
0,8915
0,8868
0,8819
0,8770
0,8719
0,8668
0,8616
0,8563
0,8509
0,8455
0,8400
0,8344
0,8287
0,8230
0,8172
0,8112
0,8053
о, 7992
о, 7932
о , 7870
О, 7808
0,7745
О, 7681
о, 7617
о, 7553
о, 7488
0,7422
о, 7356
о, 7289
о, 7221
о, 7154
о, 7086
о, 7017
0,6948
0,6878
0,6809
0,6738
0,6668
0,6597
0,6526
0,6454
0,6382
0,6310
0,6238

о, 9247
0,9212
0,9178
0,9142
0,9105
о, 9067
о, 9029
0,8991
0,8951
0,8911
0,8871
0,8829
0,8787
0,8744
0,8701
0,8657
0,8612
0,8567
0, 8521
0,8475
0,8428
0,8380
0,8332
0,8283
0,8233
0,8183
0,8133
0,8082
0,8030
о, 7978
о, 7925
о, 7872
о, 7819
0,7764
о, 7710
о, 7655
о, 7599
о, 7543
о, 7486
0, 7429
о, 7372
о, 7314
о, 7256
о, 7197
о, 7138

0,6272
0,6394
0,6515
0,6633
0,6750
0,6865
0,6979
0,7091
о, 7201
о, 7309
0,7416
О, 7520
о , 7623
О, 7724
о, 7823
о, 7920
0,8015
0,8109
0,8198
0,8288
0,8375
0,8459
0,8543
0,8623
0,8701
0,8778
0,8852
0,8924
0, 8993
0,9061
0,9126
0,9189
0,9250
0,9308
0,9364
0,9418
0,9469
0,9518
0,9565
0,9610
0,9652
0,9691
0,9729
0,9764
0,9796

0,3987
0,4083
0,4179
0,4275
0,4372
0,4468
0,4565
0,4663
0,4760
0,4858
0,4956
0, 5054
0, 5152
0, 5251
0, 5350
0,5450
0, 5549
0,5649
0, 5750
0,5850
0,5951
0,6053
0,6 154
0,6256
0,6359
0,6461
0,6565
0,6668
0,6772
0,6876
0,6981
О, 7086
0,7192
О, 7298
о, 7404
о, 7511
о, 7619
0,7727
О, 7835
о, 7944
0,8053
0,8163
0,8274
0, 8384
0,8496

282

Продолжение npuл.

9

л

т

7!

8

q

м

0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1' 10
1' 11
1' 12
1' 13
1' 14
1' 15
1' 16
1' 17
1' 18
1' 19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1, 26
1, 27
1, 28
1,29
1,30
1,3 1
1,32

0,8709
0,8680
0,8650
0,8620
0,8589
0,8559
0,8527
0,8496
0,8464
0,8432
0,8399
0,8367
0,8333
0,8300
0,8266
0,8232
0,8197
0,8163
0,8127
0,8092
0,8056
0,8020
о , 7983
о , 7947
о, 7909
о, 7872
о, 7834
о, 7796
0,7757
о , 7719
о, 7679
о , 7640
о, 7600
о , 7560
о, 7519
0,7478
0,7437
о, 7396
о, 7354
о, 7312
о, 7269
0, 7227
о, 7183
о, 7140
о, 7096

0,6165
0,6092
0,6019
0, 5946
0, 5873
0,5800
0,5726
0,5653
0,5579
0,5505
0,5431
0, 5357
0,5283
0, 5209
0,5135
0,5061
0,4987
0,4913
0,4840
0, 4766
0,4693
0,4619
0,4546
0,4473
0,4400
0, 4328
0,4255
0, 4184
0,4111
0,4040
0, 3969
0,3898
0,3827
0,3757
0, 3687
0,3617
0, 3548
0,3479
0,3411
0,3343
0,3275
0,3208
0,3142
0,3075
0, 3010

о, 7079

0,9826
о, 9854
0,9879
0,9902
0,9923
0,9941
о, 9957
0,9970
0,9981
0,9989
0,9953
0, 9999
1,0000
0,9999
0,9995
0,9989
0,9980
0,9969
0,9957
0,9941
о , 9924
0,9903
0,9880
0,9856
0,9829
0,9800
0,9768
о, 9735
0,9698
0,9659
0,9620
0,9577
0,953 1
0,9484
0,9435
0,9384
0,9331
0,9275
0,921 7
0,9159
0,9096
0,9033
0,8969
0, 8901
0,8831

0,8608
0,8721
0,8833
0,8947
0,9062
о, 9177
о, 9292
0,9409
о, 9526
0,9644
0,9761
0,9880
1,0000
1,0120
1,0241
1,0363
1,0486
1,0609
1,0733
1,0858
1,0985
1,1111
1' 1239
1' 1367
1' 1496
1 '1627
1' 1758
1' 1890
1,2023
1, 2157
1,2292
1, 2428
1,2566
1, 2708
1, 2843
1, 2974
1, 3126
1, 3268
1, 3413
1,3558
1, 3705
1,3853
1, 4002
1, 4153
1,4305

о, 7019

0,6959
0,6898
0,6838
0,6776
0,6715
0,6653
0,6591
0,6528
0,6466
0,6403
0,6340
0,6276
0,6212
0,6148
0,6084
0,6019
0,5955
0,5890
0,5826
0,5760
0,5694
0, 5629
0,5564
0,5498
0,5432
0,5366
0,5300
0,5234
0,5168
0,5102
0,5035
0,4969
0,4903
0,4837
0,4770
0,4704
0,4638
0,4572
0,4505
0,4439
0,4374
0,4307
0,4241

283

Продолжение npuл.

9

л

т

7!

8

q

м

1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1, 70
1,71
1, 72
1, 73
1, 74
1, 75
1, 76
1, 77

о, 7052

0,2945
0,2880
0,2816
0,2753
0,2690
0,2628
0,2566
0,2505
0,2445
0,2385
0,2326
0,2267
0,2209
0,2152
0,2095
0,2040
о, 1985
о, 1930
о, 1876
о, 1824
о , 1771
О, 1720
о , 1669
О, 1619
о, 1570
о, 1522
о, 1474
о, 1427
о, 1381
о, 1336
о, 1291
о, 1248
о, 1205
о, 1163
о, 1121
о, 1081
о, 1041
о, 1003
0,0965
0,0928
0,0891
0,0856
0,0821
0,0787
0,0754

0,4176
0,4110
0,4045
0,3980
0,3914
0,3850
0,3785
0,3720
0,3656
0,3592
0,3528
0,3464
0,3 101
0,3338
0,3275
0,3212
0,3150
0,3088
0,3027
0,2965
0,2904
0,2844
0,2784
0,2724
0,2665
0,2606
0,2547
0,2489
0,2431
0,2374
0,2317
0,2261
0,2205
0,2150
0,2095
,0,2041
о, 1988
о, 1934
о, 1881
о, 1830
о, 1778
о, 1727
о, 1677
о, 1628
о, 1578

0,8761
0,8688
0,8614
0,8538
0,8459
0,8380
0,8299
0,8216
0,8131
0,8046
о, 7958
О, 7869
0,7778
О, 7687
о, 7593
о, 7499
о, 7404
о, 7307
о, 7209
о, 7110
о , 7009
0,6909
0,6807
0,6703
0,6599
0,6494
0,6389
0,6282
0,6175
0,6067
0,5958
0,5850
0,5740
0,5630
0,5520
0,5409
0,5298
0,5187
0,5075
0,4965
0,4852
0,474 1
0,4630
0,4520
0,4407

1,4458
1,4613
1,4769
1,4927
1, 5087
1, 5248
1,5410
1, 5575
1,5741
1, 5909
1,6078
1,6250
1,6423
1,6598
1,6776
1,6955
1, 7137
1, 7321
1, 7506
1, 7694
1, 7885
1,8078
1,8273
1,847 1
1,8672
1,8875
1, 9081
1,9290
1,9501
1,9716
1,9934
2,0155
2,0380
2,0607
2,0839
2,1073
2,1313
2,1555
2,1802
2,2053
2,2308
2,2567
2,2831
2,3 100
2,3374

284

о, 7007

0,6962
0,6917
0,6872
0,6826
0,6780
0,6733
0,6687
0,6639
0,6592
0,6544
0,6496
0,6447
0,6398
0,6349
0,6300
0,6250
0,6200
0,6149
0,6099
0,6047
0,5996
0,5944
0,5892
0,5839
0,5786
0,5733
0,5680
0,5626
0,5572
0,5517
0,5463
0,5407
0,5352
0,5296
0,5240
0,5183
0,5126
0,5069
0,5012
0,4954
0,4896
0,4837
0,4779

Продолжение npuл.

9

л

т

7!

8

q

м

1, 78
1, 79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2 ,11
2, 12
2,13
2, 14
2,15
2, 16
2, 17
2, 18
2, 19
2,20
2,21
2,22

0, 4719
0, 4660
0, 4600
0, 4540
0, 4479
0,4418
0,4357
0,4296
0,4234
0,4172
0,4 109
0,4047
0,3983
0,3920
0,3856
0,3792
0,3727
0,3662
0,3597
0,3532
0,3466
0,3400
0,3333
0,3267
0 ,3199
0,3132
0,3064
0,2996
0,2927
0,2859
0,2789
0,2720
0,2650
0,2580
0,2509
0,2439
0,2367
0,2296
0,222 4
0,2152
0,2079
0,2006
о, 1933
о, 1860
о, 1786

0,0722
0,0691
0,0660
0,0630
0,0602
0,0573
0,0546
0,0520
0,0494
0,0469
0,0445
0,0422
0,0399
0,0377
0,0356
0,0336
0,0316
0,0297
0,0279
0,0262
0,0245
0,0229
0,021 4
0,0199
0,0185
0,0172
0,0159
0,0147
0,0136
0,0125
0,011 5
0,0105
0,0096
0,0087
0,0079
0,0072
0,0065
0,0058
0,0052
0,0046
0,0041
0,0036
0,0032
0,0028
0,0024

о, 1530

0,4296
0,4185
0,4075
0,3965
0,3855
0,3746
0,3638
0,3530
0,3423
0,3316
0,3211
0,3105
0,3002
0,2898
0,2797
0,2695
0,2596
0,2497
0,2400
0,2304
0,2209
0,2 116
0,2024
О , 1934
о, 1845
о, 1758
о, 1672
о, 1588
о, 1507
о , 1427
О, 1348
о , 1272
О, 1198
о , 1125
о, 1055
0,0986
0,0921
0,0857
0,0795
0,0735
0,0678
0,0623
0,0570
0,0520
0,0472

2,3653
2,3937
2,4227
2,4523
2,4824
2, 5132
2,5449
2, 5766
2,6094
2,6429
2,6772
2, 7123
2, 7481
2, 7849
2,8225
2,8612
2,9007
2,9414
2,9831
3,0301
3,0701
3,1155
3,1622
3,2104
3,2603
3,3113
3,3642
3, 4190
3,4759
3,5343
3,5951
3,6583
3, 7240
3, 7922
3,8633
3,9376
4,0150
4,096 1
4,1791
4,2702
4,3642
4,4633
4, 5674
4,6778
4, 7954

о, 1482
о, 1435

о, 1389
о, 1343
о, 1298

о, 1253
о, 1210
о, 1167
о, 1124
о , 1083
о, 1042
о , 1002
0,0962
0,0923
0,0885
0,0848
0,0912
0,0776
0,0741
0,0707
0,0674
0,0642
0,0610
0,0579
0,0549
0,0520
0,0491
0,0464
0,0437
0,0411
0,0386
0,0361
0,0338
0,0315
0,0294
0,0273
0,0253
0,0233
0,0215
0,0197
0,0180
0,0164
0,0149
0,0135

285

Продолжение npuл.
л

't

7t

f>

q

м

2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,449

0,1712
о, 1637
о, 1563
о, 1487
о, 1412
о, 1336
о, 1260
о, 1183
о, 1106
о, 1029
0,0952
0,0874
0,0796
0,0717
0,0638
0,0559
0,0480
0,0400
0,0320
0,0239
0,0158
0,0077

0,0021
0,0018
о, 00151
0,00127
0,00106
0,00087
0,00071
0,00057
0,00045
0,00035
0,00027
0,00020
0,00014
0,988·10-4
0,657·10-4
0,413·10-4
0,242 ·10-4
о, 128·10-4
0,584·10-5
0,211·10-5
0,499·10-6
0,316·10-7

0,0121
0,0116
0,00966
0,00813
0,00749
0,00652
0,00564
0,00482
0,00407
0,00340
0,00280
0,00226
0,00170
0,00138
0,00103
0,00074
0,00050
0,00032
0,00018
0,884·10-4
0,315·10-4
0, 410·10-5

0,0427
0,0408
0,0343
0,0290
0,0268
0,0234
0,0204
0,0175
0,0148
0,012 4
0,0103
0,0083
0,0063
0,0051
0,0038
0,0028
0,0019
0,0012
0,0007
0,0003
0,0001
0,058·10-4

4,9201
5,0533
5,1958
5,3494
5,5147
5,6940
5,8891
б, 1033
6,3399
6,6008
6,8935
7,2254
7,6053
8,0450
8,5619
9,1882
9, 9624
10,9570
12,3060
14,2870
17,6310
25,3670

о

о

о

о

00

Приложение

(k

9

10.

Таблица

газодинамических функций

1 ,33).

=
л

't

7t

f>

q

м

0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
о, 10
о, 11
о, 12
о, 13
о, 14

1,0000
1,0000
0,9999
0,9999
0,9998
0,9997
0,9995
0,9993
0,9991
0,9989
0,9986
0,9983
0,9980
0,9976
0,9972

1,0000
0,9999
0,9998
0,9995
0,9991
0,9986
0,9980
0,9972
0,9964
0,9954
0,9944
0,9932
0,9918
0,9904
0,9889

1,0000
0,9999
0,9999
0,9997
0,9993
0,9990
0,9985
0,9979
0,9973
0,9965
о, 9958
0,9949
0,9938
о, 9928
0,9917

0,0000
0,0159
0,0318
0,0476
0,0635
0,0793
0,0952
о, 1110
0,1267
0,1425
о, 1582
о, 1738
о, 1894
0,2052
0,2205

0,0000
0,0093
0,0185
0,0278
0,0371
0,0463
0,0563
0,0649
0,0742
0,0834
0,0927
О, 1020
о, 1113
о, 1206
о, 1299

286

Продолжение прил.

10

л

т

7!

8

q

о, 15

0,9968
0,9964
о, 9959
0,9954
0,9949
0,9943
0,9938
0,9932
0,9925
0,9918
0,9912
0,9904
0,9897
0,9889
0,9881
0,9873
0,9864
0,9855
0,9846
0,9836
0,9827
0,9817
0,9806
о, 9796
о, 9785
0,9773
о, 9762
0,9750
о, 9738
0,9726
0,9713
о, 9700
0,9687
0,9674
0,9960
0,9646
0,9632
0,9617
о, 9602
о, 9587
0,9572
0,9556
о, 9540
0,9524
о, 9507
о, 9490

0,9872
о, 9854
0,9836
0,9816
0,9796
0,9774
0,9751
о, 9728
0,9702
о, 9675
0,9648
0,9619
0,9590
0,9560
о, 9529
0,9496
0,9463
О, 9428
0,9393
О, 9356
0,9319
0,9281
0,9241
0,9201
0,9159
о, 9118
0,9075
0,9030
0,8985
0,8940
0,8893
0,8850
0,8797
0,8749
0,8699
0,8648
0,8596
0,8544
0,8491
0,8436
0,8382
0,8327
0,8271
0,8214
0,8156
0,8098

0,9903
0,9890
0,9877
0,9862
0,9846
0,9830

0,2360
0,2514
0,2667
0,2820
0,2972
0,3123
0,3273
0,3423
0,3571
0,3719
0,3866
0,4011
0,4156
0,4300
0,4443
0,4584
0,4724
0,4863
0,5001
0,5 Г37
0,5273
0,5407
0,5539
0,5670
0,5799
0,5928
0,6055
0,6 179
0,6303
0,6425
0,6545
0,6666
0,6780
0,6896
о, 7609
о, 7121
О, 7230
о, 7339
О, 7445
о, 7548
о, 7651
о, 7752
о, 7850
о, 7946
0,8040
0,8133

о, 16
о, 17
о, 18
о, 19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,3 1
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60

ОА9812

059795
0,9775
о, 9755
о , 9734
0,9712
0,9690
о, 9667
0,9644
0,9619
0,9594
о, 9567
0,9540
0,9512
0,9484
о, 9455
о, 9424
0,9393
0,9361
о, 9329
о, 9296
о , 9262
0,9227
0,9192
0,9156
0,9123
0,9081
0,9044
0,9005
0,8966
0,8925
0,8884
0,8843
0,8799
0,8757
0,8714
0,8670
0,8625
0,8579
0,8533

м

О,

1392
1485
о, 1578
о, 1672
о, 1765
о, 1858
о, 1952
0,2045
0,2139
0,2233
0,2327
0,2420
0,2515
0,2609
0,2703
0,2797
0,2892
0,2986
0,3081
0,3176
0,3271
0,3366
0,3462
0,3557
0,3653
0,3749
0,3845
0,3941
0,4037
0,4134
0,4230
0,4305
0,4424
0,4522
0,4619
0,4717
О, 4815
0,4913
О, 50 11
0,5 110
0,5208
0,5308
0,5407
0,5506
0,5606
0,5706
о,

287

Продолжени е прил.

10

л

т

7!

Е

q

м

0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
о, 71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0, 92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06

о, 9473
0,9456
0,9438
0,9420
о, 9402
0,9383
0,9364
0,9345
0,9326
0,9306
о , 9286
о, 9266
о, 9245
0,9224
о, 9203
0,9182
0,9160
0,9138
0,9116
0,9094
0,9071
0,9048
0,9024
0,9001
0,8977
0,8953
0,8928
0,8903
0,8878
0,8853
0, 8827
0, 8801
0, 8775
0, 8749
0, 8722
0,8695
0, 8667
0,8640
0, 8612
0,8584
0,8555
0,8527
0,8497
0,8468
0, 8439
0,8409

0,8040
о, 7980
о, 7921
о, 7860
о, 7798
0,7737
о, 7674
о, 7612
о , 7548
о, 7483
0,7419
о, 7354
о, 7289
о, 7223
о, 7157
о, 7090
о , 7023
0,6955
0,6887
0,6819
0,6750
0,6681
0,6612
0,6542
0,6472
0,6402
0,6332
0,6261
0,6191
0,6120
0,6048
0, 5977
0, 5906
0, 5834
0, 5763
0,5691
0, 561 9
0,5547
0,5476
0,5404
0,5332
0,5260
0,5 188
0,5 11 6
0,5045
0,4973

0,8487
0,8439
0,8393
0,8344
0,8294
0,8246
0,8195
0,8145
0,8094
0,8041
о , 7989
о, 7937
о, 7884
о, 7830
0,7777
о, 7722
о , 7666
о , 7611
о , 7555
о , 7499
о , 7442
о, 7384
0,7326
о, 7268
о, 7210
о, 7151
о, 7092
о , 7032
0,6973
0,6913
0,6852
0, 6791
0,6730
0,6669
0,6608
0,6545
0,6483
0,6420
0,6359
0,6296
0,6233
0,6169
0,6105
0,6042
0,5979
0, 591 4

0,822 4
0,8312
0,8399
0,8483
0,8564
0,8645
0,8722
0,8798
0,8871
0,8941
0,9011
0,9077
0,9143
о, 9204
0,9265
о, 9322
0,9377
0,9430
0,9481
0,9529
о , 9575
0,9618
0,9660
0,9698
0,9735
0,9769
0,9802
0,9830
0,9859
0,9883
0,9904
0,9925
0,9943
0,9957
0,9972
0,998 1
0,9989
0,9995
1,0000
1,0000
1,0000
0,9995
0,9989
0,998 1
0,9972
0,9958

0, 5807
0, 5907
0,6008
0,6109
0,6211
0,6313
0,6415
0,6517
0,6620
0,6723
0,6826
0,6930
0,7034
о, 7139
о, 7243
о, 7348
0,7454
О, 7561
о, 7666
0,7772
о , 7880
о, 7987
0,8095
0,8203
0,8312
0,8421
0,8531
0,8641
0, 875 1
6,8862
0, 8974
0,9086
0, 9198
о , 9311
о, 9424
0,9538
О, 9653
0,9768
0, 9884
1,0000
1,0117
1, 0234
1,0352
1, 047 1
1,0590
1,0710

288

Продолжение прил.

10

л

т

7!

Е

q

м

1,07
1,08
1,09
1' 10
1' 11
1' 12
1' 13
1' 14
1' 15
1' 16
1' 17
1 '18
1' 19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1, 50
1,51
1,52

0,8379
0,8348
0,8317
0,8286
0,8255
0,8223
0,8192
0,8159
0,8127
0,8094
0,8061
0,8028
о, 7994
о, 7961
о, 7926
о, 7892
о, 7857
о, 7822
0,7787
о, 7752
о, 7716
о, 7680
о, 7643
о, 7606
о, 7570
о, 7532
о, 7495
0,7457
0, 7419
о, 7380
о, 7342
о, 7303
о, 7264
о, 7224
о, 7184
о, 7144
о, 7104
о, 7063
о, 7022
0,6981
0,6940
0,6898
0,6856
0,681 3
0,677 1
0,6728

0,4902
0,4830
0,4759
0,4688
0,4617
0,4546
0,4475
0,4405
0,4335
0,4265
0,4196
0,4126
0,4057
0,3986
0,3920
0,3852
0,3784
0,3716
0,3649
0,3583
0,3516
0,3450
0,3385
0,3320
0,3255
0,3191
0,3128
0,3065
0,3002
0,2940
0,2878
0,2817
0,2757
0,2697
0,2637
0,2578
0,2520
0,2463
0,2406
0,2349
0,2294
0,2238
0,2184
0,2138
0,2077
0,2024

0,5850
0,5786
0,5722
0,5658
0,5593
0,5528
0,5463
0,5399
0,5334
0,5269
0,5205
0,5140
0,5075
0,5007
0,4946
0,4881
0,4816
0,4751
0,4686
0,4622
0,4557
0,4493
0,4429
0,4365
0,4300
0,4236
0,4173
0,4110
0,4046
0,3984
0,3920
0,3857
0,3796
0,3733
0,3671
0,3609
0,3548
0,3487
0,3426
0,3365
0,3305
0,3245
0,3186
0,3126
0,3067
0,3009

0,9944
о, 9926
0,9907
0,9886
0,9862
0,9835
0,9806
0,9777
0,9744
0,9709
0,9674
0,9634
0,9593
0,9545
0,9506
о, 9459
0,9410
0,9357
0,9305
0,9252
0,9193
0,9135
0,9075
0,9014
0,8949
0,8883
0,8816
0,8749
0,8677
0,8606
0,8531
0,8455
0,8381
0,8303
0,8221
0,8140
0,8060
о, 7976
О, 7891
о, 7805
о, 7718
о, 7629
о, 7540
о, 7449
о , 7357
О, 7265

1,0830
1,0951
1,1073
1,1196
1' 1319
1,1443
1' 1567
1,1693
1,1819
1,1946
1,2073
1,2202
1,2331
1,2461
1,2592
1,2723
1,2856
1,2990
1,3124
1,3259
1,3396
1,3533
1,3671
1,3820
1,3950
1,4091
1,4234
1,4377
1,4521
1,4667
1,4814
1, 4960
1,5110
1, 5290
1, 5412
1,5564
1, 5719
1, 5875
1,6031
1,6188
1,6349
1,6510
1,6672
1,6836
1, 7002
1, 7169

289

Продолжение прил.

10

л

т

7!

8

q

м

1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1, 70
1,71
1, 72
1, 73
1, 74
1,75
1, 76
1,77
1, 78
1, 79
1,80
1,81
1,82
1,83
1, 84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1, 98

0,6685
0,6641
0,6597
0,6553
0,6509
0,6464
0,6420
0,6374
0,6329
0,6283
0,6237
0,6191
0,6144
0,6097
0,6050
0,6003
0,5955
0,5907
0,5859
0,5810
0,5761
0,5712
0,5663
0,5613
0,5563
0,5513
0,5462
0,5411
0,5360
0,5309
0,5257
0,5205
0,5153
0,5100
0,5047
0,4994
0,4941
0,4887
0,4833
0,4779
0,4724
0,4670
0,4615
0,4559
0,4504
0,4448

О, 1973

0,2951
0,2893
0,2836
0,2779
0,2722
0,2666
0,2610
0,2554
0,2500
0,2446
0,2392
0,2338
0,2286
0,2233
0,2181
0,2130
0,2079
0,2029
о , 1979
о, 1929
о , 1881
о, 1833
о, 1785
о, 1738
о, 1691
о, 1645
о, 1620
о , 1555
о, 1511
о, 1468
о, 1425
о, 1383
о, 1341
о, 1300
о, 1260
о, 1220
о, 1181
0,1142
0,1105
о, 1067
о, 1031
0,0995
0,0960
0,0925
0,0892
0,0858

О, 7172
0,7077
0,6982
0,6886
0,6789
0,6691
0,6593
0,6492
0,6394
0,6294
0,6193
0,6092
0,5991
0,5889
0,5786
0,5684
0,5561
0,5478
0,5374
0,5 271
0,5168
0,5065
0,4961
0,4858
0,4755
0,4652
0,4550
0,4447
0,4345
0,4243
0,4142
0,4041
0,3927
0,3841
0,3741
0,3643
0,3545
0,3447
0,3351
0,3256
0,3161
0,3064
0,2973
0,2881
0,2790
0,2700

1, 7338
1, 7508
1, 7680
1, 7854
1,8029
1,8207
1,8386
1,8567
1,8750
1,8935
1,9122
1, 9311
1,9503
1,9696
1,9892
2,0089
2,0290
2,0493
2,0698
2,0906
2,1112
2,1330
2,1546
2,1765
2,1987
2,2211
2,2439
2,2670
2,2905
2,3143
2,3384
2,3629
2,3877
2,4130
2,4386
2,4647
2,4911
2,5180
2, 5454
2,573 1
2,6015
2,6302
2,6596
2,6894
2, 7198
2, 7507

290

о, 1921
о, 1871
о, 1821
о, 1772
о, 1723
о, 1678
о, 1628
о , 1582
о, 1537
о , 1492
о, 1448
о, 1404
о, 1362
о, 1320
о, 1278
о, 1238
О, 1198
о , 1159
О, 1121
о , 1083
о, 1047
о, 1011
0,0975
0,0941
0,0907
0,0874
0,0842
0,0810
0,0779
0,0749
0,0720
0,0691
0,0663
0,0636
0,0609
0,0583
0,0558
0,0534
0,0510
0,0487
0,0465
0,0443
0,0422
0,0402
0,0382

Продолжение прил.

10

л

т

7!

8

q

м

1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44

0,4391
0,4335
0,4279
0,4221
0,4164
0,4106
0,4048
0,3990
0,3931
0,3873
0,3814
0,3754
0,3695
0,3635
0,3574
0,3514
0,3453
0,3392
0,333 1
0,3269
0,3207
0,31 45
0,3083
0,3020
0,2957
0,2894
0,2830
0,2766
0,2702
0,2638
0,2573
0,2508
0,2443
0,2377
0,2311
0,2245
0,2179
0,2112
0,2045
о, 1978
0,1910
о, 1842
о, 1774
о, 1706
о, 1637
о, 1568

0,0363
0,0344
0,0326
0,0309
0,0293
0,0277
0,0261
0,0247
0,0232
0,0219
0,0205
0,0193
0,0181
0,0169
0,0158
0,0148
0,0138
0,0128
0,0119
0,0110
0,0102
0,0094
0,0087
0,0080
0,0075
0,0068
0,00620
0,00560
0,00512
0,00465
0,00421
0,00379
0,00341
0,00306
0,00273
0,00243
0,00215
0,00190
0,00167
0,00146
0,00127
0,00109
0,00095
0,00080
0,00068
0,00057

0,0826
0,0794
0,0763
0,0733
0,0703
0,0674
0,0645
0,0618
0,0591
0,0564
0,0539
0,0514
0,0489
0,0466
0,0443
0,0420
0,0399
0,0378
0,0357
0,0338
0,0319
0,0300
0,0282
0,0266
0,0249
0,0233
0,0218
0,0204
0,0190
0,0176
0,0163
0,0151
0,0140
0,0129
0,0118
0,0108
0,0099
0,0090
0,0081
0,0074
0,0066
0,0059
0,0053
0,0047
0,0041
0,0036

0,2611
0,2523
0,2436
о, 2351
0,2267
0,2183
0,2101
0,2022
о, 1942
О, 1864
о, 1788
о, 1713
о, 1640
о, 1569
о, 1500
о, 1429
о, 1362
О, 1296
о, 1232
О, 1170
о, 1109
о, 1050
0,0993
0,0937
0,0883
0,0830
0,0780
0,073 1
0,0684
0,0638
0,0595
0,0553
0,0512
0,0474
0,0437
0,0402
0,0369
0,0337
0,0307
0,0278
0,0252
0,0226
0,0205
0,0181
0,0160
0,0141

2, 7822
2,8143
2,8471
2,8806
2, 9147
2,9496
2,9852
3,0215
3,0587
3,0967
3,1356
3,1754
3,2162
3,2579
3,3007
3,3446
3,3897
3,4360
3,4836
3,5324
3,5828
3,6344
3,6877
3, 7428
3, 7995
3,8579
3,9185
3, 9811
4,0458
4,1131
4, 1828
4,255 1
4,3304
4,4086
4,4903
4,5756
4,6647
4, 7578
4,8557
4, 9586
5,0665
5, 1807
5,3011
5,4288
5,5645
5, 7089

291

Продолжение прил.

10

л

т

7!

8

q

м

2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,657

о, 1499

О, 1219
0,1148
о, 1077
о, 1006
0,0934
0,0863
0,0791
0,0718
0,0646
0,0573
0,0499
0,0426
0,0352
0,0278
0,0204
0,0129
0,0054

0,00048
0,00039
0,00032
0,00026
0,00021
0,000163
0,000126
0,955·10-4
о, 710·10-4
0,514·10-4
0,362 ·10-4
0,240 ·10-4
о, 160 ·10-4
0,986·10-4
o,568·1o-s
o,299·1o-s
о, 139·1o-s
0,536 ·10-6
о, 153·10-6
0,243·10-7
0,728·10-9

0,0032
0,0027
0,0024
0,0020
0,0017
0,001420
0,001169
0,000949
0,000759
0,000596
0,000457
0,000342
0,000248
0,000172
0,000114
0,702·10-4
0,394·10-4
О, 193·10-4
0,750·10-S
О, 188·10-S
о, 135·10-6

0,0124
0,0108
0,0093
0,0079
0,0067
0,00503
0,00466
0,00380
0,00305
0,00240
0,00185
0,00139
0,00101
0,00070
0,00047
0,00029
0,00016
0,802·10-4
0,313·10-4
0,782·10-S
o,567·1o-s

5,8630
6,0288
6,2067
6,3990
6,6079
6,8355
7,0851
7,3614
7,6681
8,0125
8,4028
8,8506
9,3716
9,9892
10,7387
11,6736
12,8883
14,5579
17,0777
21,5366
33,3991

о

о

о

о

00

о, 1429
о, 1359
о, 1289

•
ЛИТЕРАТУРА
1.
1987.
2.

Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика.

-

М.: Машиностроение,

Альтшуль А. Д., Животавекий Л. С., Иванов Л.П. Гидравлика и
аэродинамика.- М. : Стройиздат, 1987.

3.
4.

Арустамова Ц.Т., Иванников В.Г. Гидравлика.- М.: Недра, 1995.
Прандтль Л. Гидроаэромеханика. - М.: Ижевск, НИЦ <!Регу ­

лярная и хаотическая динамика\>, 2 002.
5. Черный Г.Г. Газовая динамика. - М.: Наука,
б.

Сборник

задач по

машиностроительной

1988.

гидравлике/ Под

ред.

И.И. Куколевского, Л.Г. Подв идза .- М.: Изд. МПУ имени Н.Э. Бау­

мана,

2002.

Механика сплошных сред в задачах. - Т. 1: Теория и задачи/
Под ред. М.Э. Эглит .- М.: Изд. Московский лицей, 1996.

7.

8. Механика сплошных сред в задачах. -Т . 2: Ответы и решения/
Под ред. М.Э. Эглит.- М.: Изд. Московский лицей, 1996.
9. Задачник по гидравлике, гидромашинам и гидроприводу / Под
ред. Б.Б. Некрасова. - М.: Высшая шк ола, 1989.

292

•

ОБАВТОРАХ

Астрахан Инна Матвеевна - кандидат физико-матема­
тических наук, профессор кафедры нефтегазовой и под­

земной гидромеханики РГУ нефти и газа (НИУ) имени
И.М . Губкина, награждена нагрудным знаком Минобрна­
уки РФ «За развитие НИР студентов:i>.
Автор более 70 научных работ, в том числе
ков и учебных пособий.

10

учебни­

Иванников Виктор Георгиевич

-

кандидат технических

наук, доцент кафедры нефтегазовой и подземной гидроме­

ханики РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина,
награжден Почетной грамотой
звание «Почетный нефтяник~ .

Минобрнауки

РФ,

имеет

Кадет

наук,

Валерий

профессор,

Владимирович.

Доктор

технических

заведующий кафедрой нефтегазовой и

подземной гидромеханики РГУ нефти и газа (НИУ) име­
ни И.М.

Губкина.

Приглашенный профессор Юго-запад­

ного нефтяного университета Китая, почетный профессор
китайского университета нефти (Восточный Китай), по­
четный профессор Харбинского института нефти, Награж­

ден нагрудным знаком Минобрнауки РФ «За развитие
НИР студентов ~ . Почетный работник газовой промыш­
ленности, действительный член РАЕН .

Автор более
графий,

17

200

научных работ, в том числе

учебников и учебных пособий,

изобретения .

17

6

моно­

патентов на

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Астрахан Инна Матвеевна
Иванников Виктор Георгиевич

Кадет Валерий Владимирович

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГИДРАВЛИКЕ
И ГАЗОДИНАМИКЕ ДЛЯ НЕФТЕГАЗОВЫХ ВУЗОВ

Редактор Т. К. Рубинекая
Художник-график М. С. Голубева
Технический редактор Г.В. Лехова

Корректор Е.М. Федорова
Компьютерная верстка Ю.А. Титова

Подписано в печать

6ypri>.

. Формат 60х88 1 /16. Гарнитура <iПeтep18,5. Уч.-изд. л. 19,0. Тираж
экз.

Печать офсетная. Печ. л.

Заказ

ISBN 978-5-91961-236-0

9 78591