/
Text
Б. В. ОРЛОВ, Г. Ю, МАЗИНГ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
И БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
ИЗДАНИЕ 2-е,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для технических вузов и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва 1968
УДК 629.13: 621.455(075.8)
В книге излагаются термогазодинамические основы расчета ракетных двига-
телей на твердом топливе (РДТТ), инженерные методы расчета процессов тепло-
обмена, основы теории горения твердых топлив и расчет индикаторной кривой
давления в камере сгорания двигателя. Приводятся основные сведения о твер-
дых ракетных топливах п теплозащитных покрытиях, применяемых в РДТТ.
Рассматривается регулирование тяги в РДТТ по величине и направлению, а так-
же общая методика баллистического проектирования ракет на твердом топливе.
По сравнению с первым изданием книга значительно переработана и допол-
нена. Основными дополнениями являются: решение упрощенных задач внутрен-
ней баллистики классического артиллерийского и безоткатного орудий; подроб-
ное решение задачи внутренней баллистики РДТТ для всех характерных перио-
дов его функционирования. Решение дается для трех выражений закона горения
твердого топлива; более подробное решение задачи тепломассообмена для тер-
моизоляционных покрытий с уносом массы; решение задачи эрозионного горе-
ния твердых ракетных топлив н расчетное определение времени вспышки
топлива. > '
Книга является учебным пособием для студентов высших технических
учебных заведений. Она представит интерес также для инженерно-технических
работников, специализирующихся в области ракетных двигателей на твердом
топливе. Табл. 40, иллюстр. 111, библ. 170 назв.
3-18-6
10-68
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основным назначением данного учебного пособия является из-
ложение необходимых для специалиста сведений по термодинамике,
газовой динамике и теплообмену в РДТТ, а также решений основ*
ных термогазодинамических задач, которые могут встретиться при
проектировании ракет на твердом топливе.
Исходным материалом для книги послужили многочисленные
журнальные статьи и монографии по газодинамике РДТТ, опубли-
кованные в отечественной и зарубежной печати. В книге обоб-
щаются эти разрозненные материалы, а термогазодинамический
расчет двигателя увязывается с общей задачей проектирования ра-
кет на твердом топливе, т. е. с определением в первом приближении
их весовых и габаритных характеристик.
Специфической особенностью газодинамических процессов,
протекающих в РДТТ, является их тесная связь с процессами горе-
ния твердого топлива и теплообмена, которые, в свою очередь,
нельзя рассматривать в отрыве от газодинамики двигателя. Это
и обусловило выбранную авторами структуру изложения мате-
риала. В книгу включены основные сведения о твердых топливах,
поскольку это необходимо для решения задач газодинамики и теп-
лообмена в РДТТ. Кроме того, даются решения ряда задач практи-
ческой газодинамики, которые могут быть использованы при про-
ектировании газовых приводов, отражательных устройств, систем
топливоподачи ЖРД и других вспомогательных устройств ракет-
ных двигателей и установок.
Опыт использования первого издания книги показал, что ее
содержание должно быть дополнено рассмотрением термогазо-
динамических задач артиллерии и конкретных числовых примеров
для наиболее типичных задач инженерной практики' ракето-
строения.
Огромный опыт проектирования артиллерийских орудий раз-
личных термодинамических схем может быть весьма полезен в ра-
кетостроении. Поэтому в настоящем издании книги изложены
решения упрощенных задач внутренней баллистики классического
артиллерийского и безоткатного орудий, а также некоторых на-
дульных газоотводных устройств. Наряду с этим расширен круг
инженерных задач, касающихся обтекания плоских и конических
преград.
Существенно расширена задача перетекания газа из одного
резервуара в другой. В частности, рассмотрен случай, когда обо-
лочка резервуаров имеет большую податливость.
Более подробно рассмотрена прикладная теория решения за-
дачи внутренней баллистики РДТТ для всех пяти характерных
периодов его функционирования: автономного горения воспламени-
теля, воспламенения заряда, совместного горения воспламенителя
и заряда, стабилизации давления и последействия тяги.
При решении этой задачи для закона квазистационарного го-
рения твердого топлива были взяты наиболее распространенные
в литературе зависимости скорости горения топлива только от дав-
ления: u = uipv; u = a + bp; и=р/ (а + Ьрп).
Статическая чувствительность выходных характеристик РДТТ
к изменению геометрии сопел, заряда и его физико-химических кон-
стант изложена из расчета обеспечения потребных пределов регу-
лирования. Характер собственно переходного процесса между
этими пределами, описываемый уравнениями его динамики, найден
лишь для некоторых частных задач регулирования РДТТ.
Поскольку книга рассчитана на студентов, уже изучивших
курсы механики и математики, теоретическим принципам приклад-
ной газовой динамики посвящена лишь вводная глава, предшест-
вующая изложению специальных вопросов.
С целью более детального изучения отдельных вопросов в конце
каждой главы приведена библиография. Для облегчения усвоения
и закрепления излагаемого материала во всех основных разделах
приведены числовые примеры с подробным решением. Там, где
в примерах использованы характеристики двигателей, топлив, ма-
териалов, заимствованные из иностранной литературы, это огова-
ривается в тексте. В остальных случаях, поскольку примеры при-
водятся с чисто методической целью, в них используются произ-
вольно взятые величины, не связанные с конкретными РДТТ.
Главы III и IV книги написаны Г. Ю. Мазингом, § 5 главы Yl-
В. В. Зеленцовым.
Все замечания и пожелания по книге следует направлять в из-
дательство «Машиностроение» (Москва, К-51, Петровка, 24).
Глава I
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПРИКЛАДНОЙ
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Теория газовой динамики, на основе которой решаются практи-
ческие задачи, в конечном итоге сводится к трем законам: закону
сохранения импульса сил, закону сохранения вещества и закону
сохранения энергии, записанным применительно к одномерному
стационарному процессу течения газа. Последнее определяется
приемлемой степенью точности решения и простотой построения
инженерных задач. Приближенность результатов такого решения
вследствие искажения природы процессов изменения состояния
газа, связанного с упрощенным их представлением, общеизвестна.
Так, несмотря на явно нестационарный процесс истечения газа из
ствола артиллерийского орудия, закон изменения давления в его
канале после вылета снаряда, найденный в предположении квази-
стационарного течения, обладает вполне допустимой точностью.
Теория так называемой промежуточной баллистики орудия по-
строена на основе этого принципиального допущения. Плодотвор-
ность и приемлемость такого подхода к решению многих практиче-
ских задач газовой динамики подтверждена многолетней практи-
кой расчета и проектирования надульных газовых устройств (газо-
вые тормоза, эжекционные устройства, усилители отдачи, газовые
локализаторы) и различных подствольных газоотводных узлов
автоматического орудия.
Теория внутренней баллистики классического артиллерийского
орудия и ракетного двигателя на твердом топливе в своей основе
также содержит допущение о стационарном характере протекаю-
щих процессов изменения мгновенного состояния газа.
В общем случае для фиксированного сечения газового потока
непрерывно изменяются во времени следующие параметры его
состояния:
р(х; /( — статическое давление;
q(%;/(— массовая плотность;
Т (х; t) — статическая температура;
-v(x; /( — скорость;
где х~ координата положения рассматриваемого сечения;
/ — время.
Такой одномерный газовый поток принято называть нестацио-
нарным (неустановившимся).
Течение газа, когда в фиксированном сечении проточного резер-
вуара параметры состояния газа р(х), q(x), Т(х), v(x) не зависят
от времени, называют одномерным и стационарным (установив-
шимся). Условие стационарности режима течения выражается так:
^-=0- — = 0- — =0- —=0.
di ' dt ' dt ’ dt
Для большинства практических задач площадь F фиксирован-
ного поперечного сечения потока газа не изменяется во времени
dFldt = d и зависит от координаты Fix'). Однако в каналах порохо-
вого зерна (шашки) из-за выгорания массы непрерывно увеличи-
вается площадь поперечных сечений каналов, а поэтому
dF/dt=^=O. Поток газа, для которого dF/dx^O, нельзя называть
одномерным вследствие поперечного перемещения газа, определяе-
мого заданным законом изменения функции F(x), т. е. профилем
проточного резервуара.
На практике исследование осесимметричного газового потока
проводят на основе теории одномерного течения газа, компенсируя
получаемую неточность решения задачи соответствующими коэф-
фициентами. Точно также с помощью коэффициентов уточняют
решение задач, в которых не учитывается влияние диссипативных
сил (вязкость и теплопроводность газа). Иными словами, практи-
ческие задачи газовой динамики обычно решают в предположении,
что числа Рейнольдса и Пекле равны бесконечности. Отсюда во
всех теоретических результатах решения задач появляются коэф-
фициенты потерь скорости и расхода потока газа, которые часто
называют коэффициентами согласования с опытом или коэффи-
циентами незнания. Иногда допускают более грубые решения —
не учитывают теплообмена газового потока с окружающей средой,
надеясь согласовать теоретическое решение с опытом введением
соответствующего коэффициента. По существу это попытка реше-
ния задачи без учета закона сохранения энергии. Такой подход
к решению газодинамических задач может привести к недопусти-
мому искажению описания физических процессов и их результа-
тов, т. е. в этом случае качественная и количественная стороны
решения практически оказываются неприемлемыми. Поэтому до-
пущение о теплоизолированности газового потока следует приме-
нять сознательно. Особенно недопустимо смешивать понятия
теплоизолированности газового потока от внешней среды и изэн-
тропичности течения.
Газовый поток является теплоизолированным, когда отсут-
ствует тепловой обмен между веществом потока и окружающей
средой. Частный случай потока, в котором энтропия газа сохра-
няется постоянной, называют изэнтропическим. В изэнтропическом
потоке параметры состояния изменяются в соответствии с уравне-
нием адиабаты Пуассона, являющимся следствием закона сохра-
нения энергии. ;
При течении газа с возрастанием энтропии (такой поток назы-
вают неизэнтропическим) определение параметров его состояния
представляет сложную задачу и требует использования всех трех
законов сохранения.
Условием постоянного значения энтропии (или уравнением
адиабаты Пуассона) следует пользоваться крайне осторожно и
прежде всего сознательно. Иногда можно строить решение задачи
на уравнении изэнтропы (например, истечение газа из канала ору-
дия или из баллона высокого давления в атмосферу), но принци-
пиально недопустимо рассматривать на основе изэнтропы обрат-
ный процесс — втекание газа в резервуары.
Обычно решение газодинамических задач сводится к определе-
нию параметров состояния газового потока р, q, Т, и в зависимости
от размеров и формы проточного резервуара (например, исследо-
вание рабочих процессов в газовых узлах и устройствах заданной
конструкции). На практике эти задачи называют поверочными
расчетами. Большое практическое значение имеют задачи проек-
тирования газовых устройств, обеспечивающих заданные характе-
ристики рабочего процесса.
Исследование практических задач газовой динамики строится
на основе трех законов сохранения:
— импульса сил (уравнение механики);
— вещества (уравнение неразрывности течения);
— энергии (уравнение первого начала термодинамики), решае-
мых совместно с уравнением состояния газа.
В качестве критерия правильности решения (точнее сказать,
для оценки допустимости рабочей гипотезы исследования газодина-
мических процессов) используется второе начало термодинамики —
результатом любого процесса изменения состояния однофазной
изолированной системы является повышение энтропии AS>0.
Когда заранее доказана допустимость уравнения процесса из-
менения состояния газового потока (например, изотермический
Т —const, изэнтропический S = const, изобарический р — const, изо-
хорический W=const), использование всех трех законов сохране-
ния при решении подобных задач является излишним. Так как для
определения четырех неизвестных р; р; Г; и достаточно четырех
уравнений, и лишнее соотношение оказывается тождественным
принятому уравнению процесса изменения состояния или его след-
ствием. Так, уравнение адиабаты Пуассона представляет собой
закон сохранения энергии, написанный в интегральной форме для
изэнтропического процесса течения газа.
Однако и в этих случаях все законы сохранения выступают
по-прежнему в роли принципиальных критериев правильности вы-
бора рабочих гипотез исследования и результатов решения задачи.
§ 1. УРАВНЕНИЕ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Уравнение механики, или закон сохранения импульса сил по-
тока, является одним из принципиальных теоретических положе-
ний теории газовой динамики, позволяющих понять физическую
сущность газодинамических процессов и объяснить природу силы
реакции газового потока. Это уравнение связывает параметры со-
стояния газового потока р, q, v с площадями F сечений проточного
Рис. 1.1.
потока, протяженностью 6х. Из
ную массу газового потока бит
резервуара. С формальной точки
зрения уравнение механики яв-
ляется результатом совместного
решения двух уравнений (движе-
ния элементарной струйки и
сплошности течения), полученно-
го прямым суммированием. Пра-
вильнее представить, что урав-
нения движения и сплошности
течения являются следствием
уравнения механики, опреде-
ляемым особенностью сплош-
ной среды — ее непрерывностью
7, <6т>=°'
Возьмем проточный резервуар
произвольной формы (рис. 1.1)
с переменной площадью попереч-
ного сечения F(x, t). Выделим
Элементарный участок газового
рис. 1.1 видно, что на элементар-
= Fq$x действуют две силы:
ЬП = р + — (Fp) дх 1 — F р=
L дх J дх
—внутренняя, порождаемая
упругостью газа;
&N —p — Ъх — внешняя, обусловленная реакционным воздействием
дх
стенок резервуара на газовый поток.
Диссипативными силами и силой тяготения Земли пренебре-
гаем, считая их малыми по сравнению с силой статического давле-
ния. По физическому смыслу:
6/7— внутренняя сила, определяемая градиентом силы стати-
ческого давления вдоль газового потока d(Fp)/dx=/=Q;
8N — внешняя сила, вызываемая реакцией воздействия стенок
резервуара на поток газа и появившаяся вследствие гра-
диента площади поперечного сечения проточного резервуара вдоль
потока dFidx-^Q. Тогда уравнение движения элементарной массы
сплошной среды, ограниченной твердой стенкой проточного резер-
вуара, запишется так:
— (-n8m)+8/7 = W. (1.1)
dt
Подставляя в уравнение (1.1) выражения для 6m, 6/7 и дЛГ,
получим
— [(/фц) Вл] -J- d^Fp-- Ъх=р — Ъх
dt ; дх дх
или
8x-Jj(FQxO4TFe^)^(s*)+^— Ьх=р °~Zx-
Но — ол' = йи — скорость деформации рассматриваемого элементар-
dt
ного объема газа вдоль направления движения потока. Величина
этой скорости, выраженная через его градиент, равна 8ц = — 8х.
дх
После сокращения на 8х -~/= 0 уравнение (1. 1) примет вид
d , г,- ч . , с ,dv , d(Fp) др
—(7 qv) + (Fqv) -—h- p ~.
dt дх ox ox
Используя известные соотношения
-A(fQ1,)=A + ~(Fqv)-,
dt dt dx
(Fqv) — 4~ v —(Fqv) = — (Fqv2),
dx dx dx
получим уравнение механики сплошной среды* в общепринятой
дифференциальной форме
±^QV) + /--(FQV^Fp) = pd/- (1.2)
dt дх dx
или
dO ^d_R___d_N_
gdt дх дх
где
G = gFQv; R--~FL—^Fp, N— Cp — dx.
g J dx
В каждый данный момент времени:
G — весовой расход газового потока через площадь F попереч-
ного сечения проточного резервуара;
7? — полная реакция газового потока в том же сечении;
N — осевая реакция воздействия статического давления газо-
вого потока на стенки проточного резервуара.
Функция G выражает количество газа, переносимое потоком
в единицу времени через фиксированную площадь F поперечного
сечения проточного резервуара.
В газовой динамике функцию G — gFQV называют весовым рас-
ходом газа, a Glg = Fqv— массовым.
Сообразно с физическим смыслом функции G/g выражение — и
g
представляет собой количество движения газового потока в еди-
ницу времени. Вследствие этого ранее найденная функция
—(1.3)
g
имеющая размерность силы, является полной реакцией (напором)
газового потока и может быть обнаружена при полном его тормо-
жении. Составляющая этой силы — v называется динамической,
g
a Fp — статической.
Частные выражения уравнения механики
1. Неустановившийся осесимметричный поток в проточном ре-
зервуаре с профилем, неизменным во времени (dF/<3/=0):
dt дх дх
2. Неустановившийся одномерный поток (или течение газа
в трубе с постоянной площадью поперечных сечений dFIdx — G)
М + ~-(Q^2 + Р) = 0 •
dt дх
3. Установившийся осесимметричный поток в проточном резер-
вуаре с
dt )
профилем, неизменным во времени ^-^-(/7рц) = 0; ^-=0*;
~(FQV2 + Fp) = p^-
дх дх
(1-5)
Отсюда
Так
следует, что dR=dN.
dR ,
как при установившемся газовом потоке — dx
дх
др
— dx=dF и dN= pdF, то уравнение примет вид
дх
dR
~^ = Р-
dF
= dR-,
(1-6)
* Отсюда не следует, что G=const, так как G(x; t), то для выполнения этого
условия должно быть
dCf дО дО
----=-.----+ — v = 0.
dt dt dx
В теории газовой динамики уравнения (1.5) и (1.6) имеют
принципиальное значение. Первое утверждает, что при установив-
шемся газовом потоке на любом участке проточного резервуара
осевая реакция N равна приращению (изменению) полной реакции
потока на том же участке N=NR = R2—Ri-
Второе — вскрывает природу осевой реакции N. Ее величина
вычисляется как сумма сил статического давления газового потока
на стенки проточного резервуара, взятого в осевом направлении
f,
Д7—j pdF, и, как следствие третьего принципа механики Нью-
Fi
Fi
тона, через приращение полной реакции потока j pdF=R2—R\.
Отсюда сумма осевой реакции и начальной величины полной
реакции газового потока равна ее конечному значению R2:
N+R{ = R2. (1.7)
Таким образом, уравнение (1.7) содержит принципиальное по-
ложение о природе сил реакции газового потока, имеющего значе-
ние закона: изменение .полной реакции потока AR = R2—Ri=^=0,
порождающее осевую реакцию воздействия потока на резервуар
(Л1^=0), возможно только при наличии градиента площади попе-
оечного сечения резервуара dF^=0. В резервуарах с постоянной
площадью поперечных сечений (F=const; dF=0) величина полной
реакции газового потока постоянна
£j = const; p + po2=const. (1-8)
Пример 1. Найти осевую реакцию N воздействия Тил статического давления
стационарного газового потока на стенки диффузорной части сопла между сече-
ниями ** — вв (рис. 1.2).
Согласно закону (1.7) искомая осевая реакция N равна
Д'^/?в — R*,
OvB
где RB =----+ FBpB — полная реакция газового потока в выходном сечении
S сопла;
R*— полная реакция газового потока в критическом сече-
нии сопла.
Пример 2. Определить осевую реакцию N воздействия сил статического дав-
ления на полузамкнутый резервуар при установившемся истечении газа через
сопловой насадок в пустоту (рис. 1.3).
На боковых стенках резервуара между сечениями 00—вв осевая реакция
воздействия сил статического давления согласно закону (1.7) равна &N=RB—Ro,
где Ro=Fop0—начальная величина полной реакции потока газа в сечении 0—О,
так как у дна резервуара и=0. Полная осевая реакция N воздействия сил ста-
тического давления на резервуар с учетом давления на его дно Еоро равна
N = \N + Fopo = RB — Ro + Fopa = RB.
(1.7')
Пример 3. Найти закон изменения сил статического давления газового потока
в трубе с постоянной площадью поперечного сечения (рис. 1.4).
Движение газа в трубе Л = const происходит при сохранении полной
реакции потока (/?= const), поэтому вправе записать R —Fp Ч-Ле^2 = const.
так как в соответствии с уравнением состояния газа p = gQRT, имеем
где
ОО2
— = ЙМ2,
Р
v
М = — ; а2 = kgRT.
Пример 4. Найти реакцию воздействия газового потока на дно цилиндриче-
ской трубы, имеющей постоянную площадь поперечного сечения (Z7=const),
Рис. 1. 4.
Рис. 1. 5.
в зависимости от параметров состояния потока в выходном ее сечении (рис. 1.5).
Эта задача имеет большое практическое значение в теории проектирования лафе-
тов артиллерийских орудий и надульных газовых устройств.
При определении реакции газового потока на дно трубы будем считать,
что после вылета поршня параметры мгновенного состояния газового потока
в выходном сечении трубы являются известными (рп, vB, ов). Уравнение ме-
ханики для этого случая нестационарного процесса течения газа имеет вид
—— (Ftjv) + —(F р + FmA) = 0, так как dFjdx—О. Интегрирование его по
dt дх
координате х в пределах от 0 до Z
i
— j qvF dx 4~ & (Fp + Fqv2) — О
° ^дн
приводит к выражению
dL
P = +
dt
(1-9)
где Fqbvb = ~ — массовый расход газа при истечении из трубы;
g
P=FpRB—реакция воздействия газового потока на дно трубы;
= Лрв + Трв — полная реакция газового потока в выходном сечении
трубы;
L = | qvF dx— количество движения газа в объеме канала трубы,
о
Добавочный член dLfdt в выражении (1.9),
появившийся вследствие неста-
ционарности процесса истечения газа, выражает скорость изменения количества
движения газа в объеме ка-
нала трубы. В артиллерийском
орудии величина dL/dt соиз-
мерима с величиной /?„, по-
этому нельзя пренебрегать его
значением, особенно при рас-
чете параметров движения от-
катной части орудия с на-
дульным устройством. Значи-
тельно подробнее эта задача
рассмотрена в § 8 гл. II.
Пример 5. Определить пол-
ный импульс силы реакции
газового потока на дно трубы
с постоянной площадью попереч-
ного сечения (f=const) за время истечения газа из нее. Искомое выражение
найдем в результате интегрирования уравнения (1.9) по времени
t t о
J ~ J Р dt = J RB di + J dL = JB—Lo,
0 0 Lo
t
где JB = Radt—полный импульс реакции газового потока;
о
Z-0 — количество движения газа в момент вылета поршня.
Примеры 4 и 5 с достаточной для практики степенью точности можно решить
на основе уравнения механики для стационарного процесса течения газа в цилинд-
рической трубе с постоянной площадью поперечных сечений (рис. 1.6). Так как
dF=0, то реакции потока на входе и выходе трубы равны Ro=R„. Используя
гипотезу осреднения параметров состояния в канале ствола (см. пример 1 § 3),
можем принять, что реакция Р на дно трубы равна статическому члену, входя-
О0
щему в выражение (1.3), тогда P = Fp0 = Ra— — v0. По физическому смыслу
Go и и0 являются весовым расходом и скоростью газа в момент выхода поршня
из трубы. При этом Go и t>0, как и RB, зависят только от времени. Сравнивая
между собой уравнения (1.9) и (1.3), в первом приближении можем принять
dL G
dt ~ g V°'
Подробно эта задача рассмотрена в § 8 гл. II.
§ 2. УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
В общем случае элементарная масса газового потока bm—FQ&c
является функцией двух независимых переменных — координаты х
и времени t. Так как рассматриваемая масса газового потока за-
фиксирована, а стенки резервуара непроницаемы, то субстацио-
нальная производная может быть равна только нулю
— (8/и)=0. Отсюда после преобразований получим
dt
8x^(Fe)+(Fe)A(8x)==0,
где А(8л)==8г)==^8л;.
dt ’ дх
Исходя из определения субстациональной (полной) производной
и учитывая, что
дх дх дх
для закона сохранения вещества получим общепринятое выражение
^-(Fe)H-A(FeT,)^o (1.Ю)
dt дх
или д / О ' | dG _ Q
dt \ v ) ' дх
Очень часто выражение закона сохранения вещества (1. 10) на-
зывают уравнением сплошности или непрерывности потока.
Частные выражения уравнения сохранения вещества
1. Неустановившийся осесимметричный поток в проточном ре-
зервуаре с профилем, неизменным во времени (dFfdt = 0):
F । _L(fQt>)=0.
dt 1 дх 7
2. Неустановившийся одномерный поток в цилиндрической
трубе (dF/dx=0)
(1.11)
dt dx
3. Установившийся осесимметричный поток. Для этого случая
— (Дд) = 0, а следовательно:
dt
— (F(yv) = 0; Fqv = const; G —const. (1. 12)
§ 3. УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Исходя из закона сохранения вещества — бт=0 уравнение
dt
механики (1.1) можно записать так:
8/п—+8/7=8^ (1.13)
Помня, что Zm=F^x\ 8/7— 87V=У7 — 8л\ получим искомое урав-,
дх
dv . др =0
нение движения о---Р —
dt дх
т-r dv dv । dv -
Переходя к частным производным ——---f-1»—, будем иметь
dt dt dx
уравнение движения в форме Эйлера
^ + ^^+±.^==0, (1.14)
dt dx о dx
С точки зрения математики уравнения (1.1) и (1.13) являются
тождественными. Однако физический смысл их различен. Первое
из них представляет закон сохранения импульса сил потока, вто-
рое — закон сохранения механической энергии потока идеального
газа. Для стационарного потока dvldt = Q уравнение (1. 14) при-
мет вид
— = —qd или d(—W — = 0 (уравнение Бернулли).
dv \ 2 / Q
Учитывая механическую работу £м, совершаемую газовым по-
током, и работу на преодоление сил трения £т, приведем уравнение
Бернулли к следующей обобщенной формуле [3]:
(1.15),
\ 2 / Q
Пример 1. Показать, что допущение о равномерной плотности газового потока
dg/dx=O в закрытой с одного конца трубе с постоянной площадью поперечного
сечения (F=const) приводит к линейному закону распределения скорости вдоль
потока внутри канала трубы v=cx (см. рис. 1.6).
При условии, что Д(х) =const; d$!dx=Q, уравнение сплошности (1.11) при-
водится к виду
dp dv
----1- Q Г- = 0 ИЛИ
dt--dx
d dv
— ine+ — =
dt dx
0.
Интегрирование его по координате х дает зависимость с (1) х -У vx —
d
— где с (t) == — In q. Значение постоянных для заданного момента
времени найдем из граничных условий х ~ 0, v=0, D — 0 и х ~ I, v = v0(t),
Р -= — v0/l.
Подставляя найденные значения с и D, получим искомое выражение для
скорости потока газа вдоль канала трубы
х
vx = v0~.
Пример 2. Определить закон изменения плотности внутри канала трубы с те-
чением времени для условий примера 1. Исходя из того, что, с одной стороны,
с = д In Q/dt, с другой, с = —v0/l, вправе записать д In Q/dt = —с0/1 Отсюда после
интегрирования и потенцирования получим
где
- ^.dt
Q--^Q0e ° = Qoe
^Оср 1
a =-----------;
l сек
(1.16)
go — начальная плотность газа в трубе.
Пример 3. Показать, что для условий примера 1 закон мгновенного распре-
деления давления по длине канала трубы является параболическим
х?
Р ~ Рин (Рлн Ро) •
Уравнение движения
(1.14) при v = ——х приводится к виду
х dvo д ( v о х~ \ 1 др
I dt дх \ 2 Г2 / q дх
Интегрирование его по координате х при фиксированном значении i дает
л р
выражение С1 77 + vo + — = ^1-
£1 О
Здесь с, -dvfJdt и Pj зависят только
от времени. Граничные условия: х = 0, v =. 0. р = р№ — текущее давление
на дно трубы, т. е. в данный момент времени; х---1, v=vq, р=Ро—-текущее
статическое давление потока в выходном сечении трубы для с-[ и Dl дают
AlH 2 / Рхн-Р0 Vl \
выражения Di = — и с, = — I--------—----I, так как о (jc) = const.
р I \ е 2 /
Подставляя найденные значения а и jDi в интегральное уравнение движения,
будем иметь
х2 Pw ~ Ро «о \ Vq Pj^
21 I \ е — 2 / 2 /2 г с “ g
После приведения подобных членов получим
пределения статического давления потока вдоль
искомый закон мгновенного рас-
канала трубы.
§ 4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ, ИЛИ ПЕРВОЕ НАЧАЛО
ТЕРМОДИНАМИКИ
Введем термодинамические функции E = cJ~ — удельная внут-
ренняя энергия идеального газа и 1 = с^Г — его теплосодержание
(энтальпия). На основании соотношения Мейера Ц~ср~с^-=
= (k — l)cw функции E =---
kRT
k~ 1
Используя уравнение
состояния идеального газа pw — RT, получим Е =
pw , k
——; I —--- pw
k—1 k —1
где w — удельный объем газа.
Термодинамические функции I и Е связаны соотношениями
I=kE-, I = E + RT-, dI=kdE\ dI=^dE + RdT.
В соответствии с этими обозначениями закон сохранения энер-
гии (первое начало термодинамики) в дифференциальной форме
записывается так:
dQ—dER- pdw dl — wdp, (1. 17)
где dQ — изменение тепла в газовом потоке вследствие его взаимо-
действия с окружающей средой.
Совместное использование уравнений сохранения (1.15) и
(1. 17) позволяет решить ряд практических задач, например, иссле-
дование течения газового потока с учетом трения (§ 2 гл. II) и кон-
денсированной фазы (§ 14 гл. V).
Следует иметь в виду, что левая и правая части уравнения за-
писываются в одинаковых единицах измерения энергии: либо в теп-
ловых ккал!кг, либо механических кГ • м)ккал. Переход от одних
единиц измерения к другим осуществляется при помощи термиче-
ского эквивалента Л = 1/427 ккал!кГ-м или механического —
1/Л = 427 кГ • м/ккал.
Совместное решение уравнений (1. 15) и (1. 17) дает обобщен-
ное выражение для закона сохранения энергии газового потока
dQ=dI-]-d (—\-\-dLu. (1.18)
W /
В уравнении (1. 18)' член dLT исчезает вследствие полной обра-
тимости работы сил трения в тепло dqT (dqv = dLT). При этом член
dqT входит в левую часть уравнения, а равный ему член dLT —
в правую часть того же уравнения, вследствие чего они взаимо-
уничтожаются. Для стационарного течения газа без теплового
обмена с окружающей с-редой (t/Q = O) и при отсутствии работы,
совершаемой газом (или над газом), уравнение сохранения энер-
гии приобретает вид
^ + / = /о, (1-19)
где /0 — энтальпия потока в заторможенном состоянии.
Уравнение (1.19) показывает, что перенос тепловой энергии
газовым потоком происходит в виде теплосодержания, т. е. опреде-
ляется теплоемкостью при постоянном давлении ср. В замкнутом
объеме, где газ находится в покое, его тепловая энергия равна
внутренней энергии, величина которой пропорциональна тепло-
емкости при постоянном объеме cv. Это формальное толкование за-
кона сохранения энергии требует особого к себе внимания, ибо
в отдельных процессах изменения состояния газа объясняет пара-
доксальное явление с точки зрения закона сохранения энергии:
в случае перетекания газа из одного резервуара в другой при от-
сутствии подвода тепла извне происходит существенное повышение
температуры газа по сравнению с ее начальной величиной. Так,
при втекании газа в вакуумированный резервуар его полная тем-
пература (температура торможения) повышается в k = cplcv раз
по сравнению с начальным значением.
Этот эффект подогрева газа вытекает из очевидного равенства
z/Q=£'01d<»,
где dQ = Iad<s> — количество тепла, перенесенное первой порцией
газа dw в вакуумированный резервуар;
10 = СрТй — полное теплосодержание, переносимое порцией
газа яйо;
£о1==сг>7'о1 —внутренняя энергия той же порции газа в вакуу-
мированном резервуаре постоянного объема.
С„
Отсюда Тт = -^ То. Так как с„>с„, то Т0Г>Т0.
С и
Более детально это явление рассмотрено в § 4 гл. II.
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ,
ИЛИ ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Уравнение (1. 17) можно проинтегрировать в общем виде для
газа, подчиняющегося соотношению Клапейрона pw = RT. Для
уравнения (1. 17) интегрирующим множителем будет 1/Т
dQ _
Т ~
dT , dw dT w ,
Cv--\~ р-~-Сп--dp.
Так как согласно уравнению состояния pjT^Rjw, вправе записать
где
Отсюда
где
dQ R dT , „ dw
-^~ =-----b R - ,
T k~\ T w
R 1
---~c- ‘W = —.
k — 1 gQ
д5 = 1п ——l)ln —,
R Tl w1
(1.1Г)
После потенцирования имеем
Т2т02 — Tpwi е
Исключая Тх и Т2 с помощью уравнения состояния
'р ,= P±W±. р =
1 /? ’ 2 7? ’
окончательно получим
,г~Х.д$
p2w2 =PiWi е R . (1.20)
Интегральную форму уравнения сохранения энергии можно
получить в более обобщенном виде, записанном через текущие зна-
чения полного объема IF и веса газа со. Такая форма записи урав-
нения сохранения энергии содержит определенные удобства для
решения многих задач (см. § 5; 15; 16 и 17 гл. II). В этом случае
дифференциальное уравнение сохранения энергии примет вид
dQm = d^cvT) + pdW.
На основании уравнения состояния газа pW==(»RT можно записать
(k-V)dQ«,=d (pW) ф- (Л — 1) pdW
или
(k-Y) ^L = d\npWk.
шрТ
После интегрирования и потенцирования для осредненных пара-
метров состояния получим
I* fe—1 dQm
p2W*=P1W*eJ R (1.21)
Закон сохранения энергии в интегральной форме (1.20); (1.21)
иногда называют уравнением процесса изменения состояния. Част-
ное его выражение для газового изэнтропического потока
AS = S2—Si = 0 носит название уравнения адиабаты Пуассона:
pwk=coasp, pIFs = const. (1.22)
Процессы изменения состояния газа, протекающие в соответ-
ствии с уравнением Пуассона, называются изэнтропическими или
адиабатическими. Здесь следует подчеркнуть, что изэнтропический
процесс относится к частному случаю термоизолированного потока,
когда dS = O. Однако в природе ввиду внутреннего трения сущест-
вуют лишь процессы течения термоизолированного потока (dQ = Q)
с возрастанием энтропии AS>0. Такой класс процессов изменения
состояния параметров потока называют неизэнтропическим или
адиабатным.
Следствие из закона сохранения энергии dS~ R —)> О
имеет глубокий физический смысл принципиального значения:
все реальные процессы обладают природной склонностью к ка-
чественной потере энергии, так как
dT — \ dp
Т ' k р
В термодинамике S называют энтропией. Она так же, как пара-
метры I, Т, w, р, определяет состояние газа. Любой процесс изме-
нения состояния газа ,можно представить в координатах Т, S или
I, S и т. п. Все реальные процессы изменения состояния однород-
ной (однофазной) замкнутой системы, как свидетельствует опыт,
протекают с возрастанием энтропии dS>0. Это условие является
аналитическим выражением второго начала термодинамики. Оно
утверждает необратимость процессов изменения состояния газа:
без подвода механической энергии извне нельзя термоизолирован-
ную (замкнутую) систему вернуть в исходное (начальное) состоя-
ние, не претерпев качественного изменения энергии. Таким обра-
зом, величина энтропии характеризует качественное изменение
энергии системы (или, в частности, процесса течения газа),
а именно: с ростом энтропии доля организованной энергии (меха-
нической, электрической, химической и т. п.) в общем ее балансе
постоянно уменьшается и соответственно возрастает хаотическая
(неорганизованная) форма энергии — тепловая.
Обратный процесс изменения качества энергии, сопровождаю-
щийся уменьшением энтропии системы, характеризовал бы по-
стоянное стремление к переходу тепла в организованную форму
энергии, не нарушая эквивалент закона сохранения энергии. Для
однофазной системы существование процессов с dS<b принци-
пиально невозможно, что может быть подтверждено мысленным
экспериментом. Например, тогда бы в любом нетермоизолирован-
ном сосуде газ независимо от величины собственной температуры
(даже в том случае, когда она выше температуры окружающей
среды) непрерывно повышал бы свое давление за счет тепла окру-
жающей среды в соответствии с условием
dT k— 1 dp
Т " k р '
Рассмотрим интегральную форму закона сохранения энергии
применительно к газовому потоку. В общем случае, как следует из
закона сохранения энергии (1. 17х), изменение энтропии равно
&S = /?ln
. Рч I Л /
(1.23)
Выразим Т и р через полные параметры состояния газа Тоо, р00,
найденные в предположении изэнтропического торможения потока
dS = O. Эту связь получим из уравнения (1.22). Следует иметь
в виду, что изэнтропическое торможение принято в целях замены
текущих статических параметров (Г, р) текущими физически
условными параметрами потока — полным давлением и полной
температурой. В этом случае, кроме обеспечения известного удоб-
ства решения задачи, не сделано никакой подмены фактического
процесса изменения состояния газа изэнтропическим. Иными сло-
вами, динамическая связь между статическими параметрами про-
извольных сечений потока выражена соответствующим законом
изменения полных параметров для этих Же сечений.
В произвольном сечении любого потока статические и полные
параметры состояния газа при условии изэнтропического процесса
1
торможения связаны соотношением Т=Т00(—'\ . Поэтому вправе
\Роо/
записать
Л—1
Д ... Д2 / Р01 Р1 \ П
?! Л)1 \Р02 Pl /
Исключая из уравнения (1-23) Т21Т\, получим
д5 = /?1п
ь
п f Т \ —1
Ан / 7 02 \
. Р02 \ Л)! /
Для термоизолированного потока tZQ = O; Г02 = 7’0) изменение
энтропии равно
= (1.24)
Рог
В случае изэнтропического потока dS = 0 и poi = po2- Таким обра-
зом, для термоизолированного потока (tZQ — O) процесс изменения
состояния газа может протекать только при ро^рог- Иными сло-
вами, в термоизолированном потоке процессу изменения состояния
газа присуща тенденция падения полного давления, т. е. постоян-
ное уменьшение организованной доли энергии. Отсюда становится
понятна нереальность класса течений, для которых dS<0 или
Poi<Po2, ибо в этом случае наблюдалось бы непрерывное повыше-
ние полного давления при сохранении общего запаса энергии
TG0 = const. В самом деле, согласно процессу </S<0 последователь-
ный разгон и торможение потока позволили бы получить любое,
наперед заданное, повышение полного давления (давление тормо-
жения). Естественно, что такое накопление потенциальной энер-
гии (энергии давления) газа без подвода механической работы
от внешнего источника (компрессора) противоречит здравому
смыслу. Поэтому для реальных процессов изменения состояния
однофазной замкнутой системы тенденция постоянного падения
полного давления приобретает значение принципа в смысле закона
о постоянном рассеивании организованной формы энергии. В иде-
альном случае, когда диссипативные силы отсутствуют, теоретиче-
ским пределом возможного процесса течения газа является из-
энтропический поток роо=const, dS = Q, который в смысле восста-
новления параметров начального состояния газа будёт обратимым.
По этой причине условие dS^Q должно служить критерием пра-
вильности решений газодинамических задач, несмотря на то, что
эти решения строятся на основе трех законов сохранения.
Второе начало термодинамики не позволяет определить постоян-
ную энтропии 50, так как функция энтропии задана дифферен-
циальным уравнением dS=dQjT. Кроме этого, вычисление энтропии
требует установления температурной зависимости теплоемкостей
ср(Г); cv(T). Для газовой динамики также имеют принципиальное
значение условия, при которых газ, определяемый уравнениями
Клапейрона или Ван-дер-Ваальса, вырождается, т. е. перестает
подчиняться соответствующим уравнениям состояния. На эти прин-
ципиальные вопросы отвечает теорема Нернста (или третье начало
термодинамики) [1], утверждая, что в равновесных системах при
температурах, близких к абсолютному нулю (Т-^0), изменения
свободной энергии (F=E—TS) не зависят от температуры
(d&F/dT->0), т. е. нулевая изотерма и нулевая изэнтропа совпа-
дают. Поэтому термические коэффициенты расширения —
\ оТ Jp
1 (др\ т/ SS \
и давления — — , а также теплоемкости сг = Т --------- и ср =
Ро /w \ дТ )w
IdS \
= 7j— I при 7—^0 обращаются в нуль; при этом температура
V д / р
абсолютного нуля остается недостижимой, а энтропия — конеч-
ной (So) и независящей от параметров состояния (р, щ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Базаров И. П., Термодинамика, Физматгиз, 1961.
2. Больцман Л., Лекции по теории газов, ГТТИ, 1953,
3. Жуковский В. С., Техническая термодинамика, ГТТИ, 1952.
4. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, ГТТИ,
1953.
5. Леонтович М. А., Введение в термодинамику, ГТТИ, 1952.
6. С т а н ю к о в и ч К. П., Неустановившиеся движения сплошной среды,
ГТТИ, 1955.
7. Фредерикс В. К. и Афанасьев А. И., Курс общей физики, ЛГУ,
1935.
Глава II
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
РАКЕТОСТВОЛЬНЫХ СИСТЕМ
В гл. I были изложены основы элементарного аппарата инже-
нерного решения газодинамических задач. Настоящая глава пре-
следует две цели: методическую и практическую. Первая состоит
в том, чтобы научиться сознательно пользоваться основными зако-
нами газовой динамики, увязанными в необходимую логическую
последовательность решения задачи. Вторая — получить обобщен-
ное решение задачи, содержащее практическую ценность резуль-
тата и познавательную сторону физики процесса.
При решении практических задач газовой динамики приходится
пользоваться полными параметрами состояния потока.
Полными параметрами состояния потока принято называть па-
раметры, которыми обладал бы газ при изэнтропическом торможе-
нии потока до скорости, равной нулю. Иногда полные параметры
называют параметрами потока в заторможенном состоянии или
параметры торможения.
В этом смысле заключается некоторая физическая условность,
так как из-за диссипативных сил или отличительных качеств сверх-
звукового течения (постоянной склонности сверхзвукового потока
к ударному уплотнению) торможение газового потока по закону
изэнтропы (1.22) не может быть осуществимо на практике. В про-
тивном случае изэнтропическое уплотнение означало бы обрати-
мость процессов течения. По этой причине, кроме удобства построе-
ния решения задач, вычисление полных параметров состояния р00
или роо диктуется необходимостью проверки правильности резуль-
татов решения с точки зрения законов термодинамики при приня-
тых рабочих гипотезах физических процессов.
§ 1. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ
СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА
Найдем выражение параметров состояния стационарного по-
тока в любом его сечении в зависимости от X или числа М.
Напомним, что к параметрам состояния относятся: статическое
р и полное раа давления; статическая Т и полная TQQ температуры;
статическая q и полная q0o плотности массы вещества, а также пол-
ная реакция R газового потока.
Так как функции параметров состояния потока имеют одни и
те же аргументы k\ G; а*; X или k\ G; а*-, М, то их следует рассмат-
ривать как обобщение решения задачи определения характеристик
стационарного газового потока. При этом весовой расход G и кри-
тическая скорость газового потока а* в общем случае определяются
законами сохранения вещества и энергии. В частном случае, когда
поток стационарен и изолирован от теплообмена с окружающей
средой, величины G и а* в силу законов сохранения вещества и-
энергии остаются неизменными.
Связь между аргументами /. и М
По определению
х=4-; М = —, (2.1)
а а
но a2 = kgRT и a*2 — kgRT*, поэтому вправе написать
А2 = М2-^.
Здесь а* — скорость газа в сечении потока, где она численно равна
местной скорости звука (Л=1). Поэтому скорость а* является
критической и характерной величиной для заданного потока. Сле-
дует подчеркнуть, что из-за изэнтропической природы распростра-
нения слабых возмущений скорость этого распространения равна
скорости звука
В силу этого величина а*, выраженная через местную температуру
газа, оказывается функцией показателя адиабаты Пуассона k\
а*=У kgRT*.
Замена показателя адиабаты показателем политропы является
чисто формальной операцией и физически недопустимой.
Согласно закону сохранения энергии (1.19) полная и статиче-
ская температуры в каждый данный момент в фиксированном се-
чении потока связаны соотношением
Л)0 =
Т
1
. V-
VZgcpT
или
ф-—1м2,
2
Т 00 |
т
так как v2-=-—-М2. Полагая М = 1, т. е. v = a* и Т—Т*.
2gcpT 2
найдем связь между полной и критической температурами:
Тро Л + 1 Т
Т* 2 Т
1+^М2
k + 1
2
Подставляя T*jT в соотношение для X,2, получим искомые формулы
k +1
9
Р==М2 --------
k — 1
1 +-J-M2
2
М2 = Х2-
1
А— 1
---- Л2
Следствием этих формул будет соотношение
( 1 Дг V ! lC"1 М2 i = 1.
\ *+1 Д 2 )
Отсюда следует, что величины комплексов 1 —~ Р и 1 М2
являются обратными
Статическое давление потока
В любом сечении потока идеального газа для статического дав-
ления справедливо соотношение p = gQRT (уравнение состояния).
Статическая плотность газового потока согласно закону сплошно-
сти речения (1. 12) равна gQ = GIFv, v = 'ka*.
Местная статическая Т и полная Tw температуры в соответ-
ствии с их определением согласно уравнению (1. 19) связаны зави-
симостью Т=Тоо (1 — /2 у При этом в общем случае совер-
шенно необязательно выполнение условия термоизолированности
потока =-0 (т. е. постоянства полной температуры вдоль по-
дл:
тока Усо (.х) = const). Иными словами, связь между Т и Тж сохранит
свою силу и при дТ001дх ф 0, только в этом случае 7'00 принимает
смысл местной (в данном сечении) температуры торможения.
Исключая из уравнения состояния g^T и учитывая, что а*2 =
—------gRT00, окончательно получим
k + 1
(2-2)
Иногда <7j(X) =--------------- называют газодинамической функцией
к
статического давления потока.
При выводе зависимости р(Х) не было сделано предположения
о каком-либо конкретном процессе изменения состояния. И если
допустить, что в рассматриваемом сечении потока известны истин-
ные (местные) значения расхода и полной температуры (например,
экспериментально определены или теоретически вычислены на
основании законов сохранения вещества и энергии)то формула'
для р(л) может быть использована для потока, изолированного от
внешней среды G = const; n* = const и неизолированного G=^const;
const.
Пример. Показать, что в критическом сечении потока (т. е. в том сечении,
где v=a*) динамическая составляющая полной реакции в k раз больше статиче-
Ga* 2k X
скои Ga*!g~kF*p*. Из выражения (2.2) имеем -=------- --------.
gFp Л + 1 k — 1
1 — --------------- №
k+ 1
Полагая X = 1, получим
X k + 1 Ga*
= и -= k.
t — 1-2 gF*p*
k + 1
Полное давление потока
Величина полного давления потока определяется из предполо-
жения, что процесс торможения является обратимым, т. е. проте-
кает в соответствии с уравнением адиабаты Пуассона. Однако пол-
ное давление в отличие от полной температуры не может быть за-
регистрировано экспериментом, так как реальный процесс тормо-
жения газового потока необратим и сопровождается постоянным
падением (потерей) полного давления. Поэтому полное давление
(или полная плотность) является величиной фиктивной и представ-
ляет теоретический интерес как этап в логике решения задачи или
как критерий правильности его результатов. Полная температура
может быть легко определена на практике, так как пограничный
слой газового потока (у стенок проточного резервуара или у по-
верхности термопары) неподвижен и имеет полную температуру.
В случае термоизолированного и нетеплопроводящего потока, как
показывает закон сохранения энергии, величина полной темпера-
туры будет неизменной (1. 19)
Тоо =---—=const. (2.3)
Статическую (истинную) температуру газового потока также
трудно замерить, так как для этого необходимо передвигать тер-
мопару со скоростью газового потока.
Используя найденные выше выражения для р и Т, получим
величину полного давления при изэнтропическом процессе тормо-
жения
й
Л=ДтЦ (2-4)
Функцию <72(Х)=--5----— часто называют газодинамической
функцией полного давления.
Пример. Найти связь между площадями сечений потока и безразмерной ско-
ростью для изэнтропического течения.
При условиях = А)2> Gx~G^ а* — я21 справедливых для изэнтропи-
ческого потока газа, имеем
Ga* Л + 1 I Л—1
= 5л 1 —--- л2
gpoo----------------------\ k + 1
Отсюда непосредственная связь /^(Х)
1
(2. 5)
Взяв характерное сечение потока Fi=F*, Xi = l, получим
(2. 6)
Формула (2. 6) позволяет вычислить F, если известно X, либо найти X при за-
данной F.
Полная реакция потока
В отдельных практических задачах полная реакция газового
потока R= — +Fp является самоцелью решения. Поэтому весьма
g
удобно найти ее обобщенное выражение в зависимости от аргу-
ментов G, а*, X, k, характерных для газового потока. Если из урав-
нения для R, пользуясь соотношениями (2.1) и (2.2), исключить
v и р:
, k—
1—------ Л2
о__0а* , л + 1 Qa* k+ 1 (2 7)
g Ф 2k g X '
то после простых алгебраических преобразований искомое выра-
жение примет вид
R=k-^—q^. (2-8)
2/е g
По аналогии с q^, q2 функцию ^з(А) =Х + А,-1 называют газодина-
мической функцией полной реакции.
что все
Сопоставляя формулы для р(Х), роо(к) и можно заметить,
k + 1 Ga* R*
они имеют одинаковый множитель ---- ---~ — и отли-
чаются
зуя это
щение:
только составом газодинамических функций ^(-Х). Исполь-
формальное структурное сходство, можно сделать обоб-
2pF = qiR*- 2PooF = q2R*; 2R=q3R*.
Физический смысл — полная реакция потока в сечении,
где v = a*, Х= 1.
Для потока, изолированного от внешней среды, величины R*,
G и а* остаются неизменными, откуда следует, что связь между па-
раметрами состояния в любых сечениях изолированного потока
является функцией его безразмерной скорости в этих сечениях
и их площади:
Pi _ ^2 ?i (^i) . Poi ^2 ?г(М) . #i 9з Gi)
Р2 F1 Ро2 1 ?г(^2) ^2 ?з (^г)
(2-9)
Если не требуется учитывать переохлаждение газового потока,
статические параметры его состояния р; q; Т в выходном сечении
полубесконечного насадка (F = oo) будут стремиться к нулю. Это
означает, что вся потенциальная энергия потока перешла в кине-
тическую.
Для решения практических задач (например, расчет соплового
блока двигателя) полную реакцию потока на выходе из сопла
удобнее вычислять, пользуясь формулой
R=R*K„ (2.10)
где Кв = ^з/2 — коэффициент реактивности сопла. Его величина
показывает относительное увеличение полной реакции потока в диф-
фузорной части сопла по сравнению с ее значением R* в критиче-
ском сечении F*. Значения /СВ(Х) даны в приложении 1.
Формулы, полученные для параметров изменения состояния по-
тока в зависимости от безразмерной скорости X, являются при-
ближенными не только из-за неучета диссипативных сил, но прежде
всего потому, что они выведены для случая одномерного течения
идеального газа.
Пример. Найти пределы изменения коэффициента реактивности для диффу-
зорной части соплового насадка. При изэнтропическом движении газа poo = const
по диффузорной части сопла изменение безразмерной скорости потока в зави-
симости от размеров площади поперечных сечений происходит в соответствии
с уравнением (2.6). Из уравнения (2.6) следует, что при F=F*, Х=1, а при
/'-*оо, Х-^Х „= 1/^-±-1 .
' k — 1
Теоретический предел коэффициента реактивности будет конечным и со-
ставит
X -Г1 k
Кв = 1; Кв- Кв~ = ~ ’
Таким образом, при 1<Х<Хга имеем 1< Лв<Квга; откуда вытекает, что
в сопловых насадках заданных размеров приращение реакции потока в диффу-
зорной части существенно зависит от k. Так, при k = 1,25; Кв «о = 1,67, а при fe=l,l
Квоо=2,41. Это обстоятельство требует сознательного выбора величины k в за-
висимости от размеров насадка, т. е. от статической температуры газа в выход-
ном сечении сопла.
Изэнтропическое течение газа
Как было отмечено выше, выражения параметров состояния
потока (2.2); (2.4); (2.8) справедливы для любого процесса из-
менения состояния как при G = const; a* = const, так и при G = var;
n* = var, если в рассматриваемом сечении потока известны расход
G и полная температура Тоо. Там же было показано, что для слу-
чая G = const, а*=const в любых сечениях потока его параметры
состояния связаны зависимостями (2.9). Для изэнтропического
потока, как уже отмечалось, справедливо условие обратимости:
для любого его сечения полное давление остается постоянным
Poi = Po2- Следствием этого условия является формула (1.22).
Исключая F^IFi (2.5) в уравнении (2.9) для pjpz, получим
или р
(2.11)
На основании уравнения закона сохранения энергии (2.3) и
уравнения состояния p=gQRF имеем
1 1)2
1 -—- Л|
11 = —1:11— или Т — Т<ю( 1 '-k2 V (2.12)
А ; *-1.2 \ й+1 J v 7
k+ 1 2
1
Эти же зависимости для параметров изэнтропического потока
можно получить непосредственно из уравнения адиабаты Пуассона
—(Q1/Q2)*
1 2
исключив ТфТ2 в соответствии с законом сохранения энергии (2,3).
Необходимо обратить внимание на то, что уравнения
нельзя считать равноценными при выполнении условия термоизо-
лированности потока (а* = const). В действительности эти урав-
нения тождественны только для случая изэнтропического потока
(cfS = O, т. е. poo = const), когда выражение (2.11) следует рассмат-
ривать, как частное решение более общего уравнения (2.2).
При решении практических задач для определения безразмер-
ной скорости удобно пользоваться формулой
Ц =Х2
2 ОС
(2. 14)
которая является результатом решения уравнения (2.11) относи-
тельно А,2.
§ 2. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В СОПЛЕ
Настоящее исследование течения газа в сопле и расчет его раз-
меров для обеспечения заданной эффективности проведены для
случая, когда статическое давление потока в выходном сечении
больше или равно окружающему. На практике под эффектив-
ностью сопла обычно подразумевают величину коэффициента его
реактивности К, характеризующую относительное ускорение газо-
вого потока в диффузоре или относительное увеличение реакции
воздействия потока на питающий сопло резервуар. Пренебрегая
влиянием диссипативных сил, процесс течения газа в сопле счи-
тают изэнтропическим. Для уменьшения влияния радиального
расширения газа на величину коэффициента реактивности диффу-
зорную часть сопла профилируют таким образом, чтобы по выходе
из сопла поток был плоскопараллельным. Конфузор сопла профи-
лируют также из условий наименьших потерь. Однако не всегда
целесообразно делать канал сопла специального профиля, так как
повышение коэффициента реактивности сопла, как показывает
формула (2.20), при этом не превосходит 1 —1,5%.
Параметры состояния изэнтропического потока
в критическом сечении сопла
Для изэнтропического процесса течения площади поперечного
сечения потока и безразмерные скорости связаны уравнением
(2.5), где X] и Fj зафиксированы.
Из рис. 2.1 видно, что функция v имеет максимум при F2 = F*,
гак как F*<Fi; F*<F2. Поэтому значение X*, при котором функ-
ция v = Fi/F2 достигает максимума, находится из уравнения
k + 1 2
= 0
или
^L=X2-l=0.
^'2 2
Отсюда следует, что в сечении наименьшей площади сопла
F2 = F* скорость газа численно равна скорости звука Z,2 = X* = 1 или
и* = а*. На основании этого в критическом сечении параметры со-
стояния газового потока согласно уравнениям (2. И); (2. 12); (2. 13)
соответственно равны
1 ъ
п Iе) \й—-I / О 1
боо; />*= ГДЛ Ло- (2.15)
Согласно уравнениям (1.12) и (1.3) расход и реакция стацио-
нарного потока в его критическом сечении выражаются форму-
лами:
Сам факт, что в критическом сечении скорость газа равна мест-
ной скорости звука, величина которой зависит от температуры
газа, с физической точки зрения является примечательным: как бы
не повышали давление газа в резервуаре, скорость его потока в кри-
тическом сечении сопла остается неизменной, если сохраняется
температура.
Эта закономерность объясняется тем, что истечение газа проис-
ходит из среды с большим давлением в среду с меньшим давле-
нием. При этом перепад давления, формирующий поток, распро-
страняется со скоростью звука в направлении, обратном истечению
газа, — от среды с меньшим давлением в среду с большим давле-
нием. Абсолютная же скорость распространения перепада давле-
ния (так называемых волн разрежения) равна разности между
скоростью звука и скоростью перемещения газового потока
уа=й—у. Поэтому волны разрежения не проникают в среду с боль-
шим давлением через сечение, где их абсолютная скорость оа = 0.
Отсюда следует, что при оа>0 скорость газа в критическом сечении
сопла меньше скорости звука Vй <а* и определяется перепадом
давления. По мере увеличения перепада давления величина V* бу-
дет возрастать, приближаясь к своему предельному, критическому
значению а*.
Иногда при вычислении величины а* пользуются уравнением
политропического процесса изменения состояния параметров среды
р/бп = const, учитывая таким образом взаимодействие потока
с окружающей средой а*= У ngRT*, где n=£k. Однако такой под-
ход к определению а* является произвольным и противоречит при-
роде образования критического потока, так как процесс изменения
состояния параметров среды при распространении слабых возму-
щений является изэнтропическим
Р X
~v = const,
е
Поэтому с физической точки зрения для скорости звука спра-
ведливо единственное уравнение
= |/ k^^Vky^r.
V \dQjs У q
Таким образом, недопустимо отождествлять процесс изменения
параметров состояния потока при его взаимодействии с окружаю-
щей средой и процесс распространения слабых возмущений в среде
газового потока, так как в общем случае они могут быть различ-
ными по своей природе. Первый может быть любым политропиче-
ским, второй — только изэнтропическим.
Расчетное сопло
Расчетным соплом принято называть сопло, у которого избы-
точное давление в выходном сечении равно нулю рв—ра = 0. Тяга
такого сопла по сравнению с любым другим соплом будет наиболь-
шей, если не принимать во внимание преждевременный отрыв по-
тока от стенок диффузорной части сопла или не учитывать воз-
можность течения со скачком уплотнения при глубоком псрсрас-
ширении. Это положение доказывается следующим образом.
Уравнение тяги (1.77) с учетом противодавления внешней среды
(ра) имеет вид
Р=А>В-Е>а (2.17)
или
Р = —^в + ^в(Л-Л)>
g
где /?в = — ив-f-ЛвД, — полная реакция потока в выходном сече-
s' нии сопла.
В пустоте (ра = 0) тяга двигателя численно равна полной реак-
ции потока на выходе из сопла. Во всех других случаях (ра=^0)
тяга двигателя будет несколько меньше полной реакции P<RB.
Если эта функция в зависимости от рв имеет максимум, то дол-
жно быть dP/dpB = 0-, d2P/dpiB<0. В самом деле
dP
dps
G dvв a dFр i \ । г- /л
_ о,
g dps dpB
так как в соответствии с уравнением Бернулли — (АЛю
— ^=-FB. Поэтому при рв=ра; dP[dpsP.
g dga
Определим характер экстремума, т. е. найдем знак второй произ-
водной
d-P d-FB . . . dFr
—2-=—г(Л~ а)Н—-
dPB dpB dpR
Ее знак при рв = ра определяется знаком члена dFB/dpB. Из уравне-
ния G — gQvF имеем
dF । dv । dQ q
F v g
Но известно, что dpldq = a2-, dpjdv = —qo; M2 = o2/a2, тогда вправе
написать
dQ dQ dp dv
Q dp q v
Поэтому уравнение расхода в дифференциальной форме при-
обретает вид
(М2-!) —= —
v F
(уравнение Гюгонио).
Подставляя в уравнение Гюгонио dvlv = —dplqv1, получим иско-
мое выражение для dFBldpB в следующем виде:
_^в_= _(М2-
dps QaVB
так как для диффузорной части сопла М>1. Полученный экстре-
мум имеет следующее физическое объяснение. Пока избыточное
давление в диффузоре сопла было больше нуля, увеличение его
выходной площади приводило к росту тяги. Но с того момента, как
избыточное давление потока в диффузоре достигло нуля, дальней-
шее увеличение выходной площади сопла создает’’отрицательное
приращение тяги, потому что атмосферное давление стало больше
статического давления потока. Однако при достаточно глубоком
разрежении потока образуется скачок уплотнения, за которым
резко повышается статическое давление потока, превосходя по
величине атмосферное, и тяга при этом существенно возрастает.
Расчет соплового насадка
На практике процесс изменения параметров состояния газа
в сопле принимают изэнтропическим poi = Po2=const. Поэтому раз-
меры площадей поперечных сечений канала сопла и безразмерные
скорости связаны уравнением (2.5).
При изэнтропическом процессе течения газа в сопловом на-
садке параметры состояния газа в зависимости от безразмерной
скорости выражаются уравнениями (2.11), (2.12) и (2.13). Для
тяги двигателя с учетом внешнего противодействия ра (2.17) на
основании уравнения (2. 10) можно получить формулу
р^±ХОа^Кв_г (2.18)
k g
Хв+
где Кв=---------—-коэффициент реактивности сопла;
Хв —безразмерная скорость потока в выходном се-
чении сопла.
Использование зависимостей (2.6); (2.11); (2.12); (2.13) и
(2. 18) на практике может привести к заметным ошибкам, если
не учитывать угол раструба, конического диффузора. Так как ука-
занные зависимости получены для одномерного стационарного по-
тока, то при больших углах раструба диффузора появляется ра-
диальная составляющая потока, которая теорией одномерного
потока не учитывалась. Поэтому при расчете размеров кониче-
ского соплового насадка должны учитываться не только диссипа-
тивные силы, но и угол его раструба 20. В противном случае будет
получаться заниженная эффективность сопла, т. е. несколько мень-
шее значение коэффициента реактивности Кп по сравнению с тре-
буемым. Учет влияния указанных потерь на полную реакцию по-
тока приводит к следующей зависимости для коэффициента реак-
тивности сопла:
Кв = хД1+ЫКч.и-1)1, (2- 19)
где Хр. 0,98 — потери от диссипативных сил;
у8 —потери от радиального расширения
In (1 + tg2Q)
tg*0
Значения коэффициента х» приведены в табл. 2. 1.
газа в сопле
(2. 20)..
Таблица 2, Т
26° 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
х9 1,00 0,99 0,98 0,96 0,94 0,92 0,87 0,81 0,75 0,69
26° 100 110 120 130 140 150 160 170 180
1 0,62 0,54 0,45 0,37 0,28 0,19 0,11 0,04 0,00
Расчет размеров сопла, обеспечивающих фактическое значение
коэффициента реактивности Лв, следует производить исходя из ве-
личины коэффициента реактивности для идеального сопла.
На практике, когда проектируют сопло, обычно задают величину
избыточного давления в его выходном сечении рв—рц=пр&,
где п — коэффициент нерасчетности сопла.
В этом случае рекомендуется придерживаться следующего по-
рядка расчета размеров сопла:
I ___ v°’5—1
d* tg 9
(2.21)
(2. 22)
(2- 6)
где Z —длина диффузора сопла;
5. Кв=0,98[1+х8(К,и- 1)]. (2.19)
Специальное профилирование сопла на основе волновой теории
уменьшает потери полной реакции потока приблизительно на 1%
за счет коэффициента %е, значение которого в этом случае равно
единице.
Интересно отметить, что значения функции (2.6) очень мед-
ленно увеличиваются в начале, а начиная с Х=2,25 настолько бы-
стро возрастают, что при %=Хоо = 3 величина vB равна бесконечности
(см. табл. 2. 2)
Таблица 2.2
Д 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 -• 2’, 50 3,0
Vb 1,00 1,07 1,32 1,89 3,30 7,80 28,2 ОО
В некоторых случаях необходимо определить тягу при задан-
ных площади выходного сечения сопла и полном давлении pw. Для
этой цели удобно использовать зависимость
(2.23)
1
где / (Хв)=^ (\М(М==(14А2) •
Диссипативные силы и неодномерность течения учитываются
при вычислении Хв по формуле
^=КВ+/Кв-1,
где Кв определяется уравнением (2.19).
При расчете реактивного усилителя отдачи к артиллерийскому
стволу автоматической пушки уравнение (2.19) следует запи-
сать так: •
KB^0,98[l+ZeZH(KB.„-l)], ’ (2.24)
где %в^0,9 — коэффициент, учитывающий нестационарность газо-
вого потока.
Реактивный усилитель отдачи имеет ограниченную эффектив-
ность.
Опыт проектирования реактивных усилителей .отдачи показы-
вает, что угол 6 нежелательно брать более 12°. В противном случае
может наблюдаться заметное снижение их эффективности из-за
отрыва потока пороховых газов от стенок диффузора вследствие
большой нестационарности течения. На . практике величина
Кв^ 1,25, хотя дульное давление составляет несколько сот атмо-
сфер. Иногда реактивный усилитель отдачи называют пламегасите-
лем. Такое название им получено вследствие заметного снижения
свечения пороховых газов из-за падения их статической темпера-
туры по выходе в атмосферу.
Течение газового потока в термоизолированных трубе и сопле
при наличии трения
В гидравлике работу потока жидкости, затрачиваемую на пре-
одоление сил трения (гидравлического сопротивления), оценивают
по формуле [1]:
f ег/2
dL=— ~ dx.
тр D 4g
Эту формулу совместно с уравнением обращения газового потока
под действием внешних воздействий (2. 132) Г. А. Абрамович
использовал для установления аналитического закона изменения
безразмерной скорости газового потока (X) по длине трубы (х)
Х-2 4- 2 In — = V--С — .
1 Хо k+\ D
Давление и температура газа по длине канала трубы с постоян-
ной площадью его поперечного сечения определяются формулами
(2.9) для Fi/F2=i:
k — 1
1 — ---- Л2
Г--7'0 ----—
1 Л~Ч2
1 ~~ Лр.
A_L 1 U
где Х(х); Х0(х).
При некоторой длине трубы и неизменном значении Хо скорость
потока в ее выходном сечении достигает критической (Х=1). Назо-
вем эту длину трубы критической. Она определяется по формуле
x* = (V-X2-2 In—'I —
\ Хо ) с 2Л
Уравнение х(Х; Хо) справедливо как для Хо<1, так и для Хо> 1-
При Хо< 1 будут справедливы следующие режимы течения:
Для Хо>1:
1 X )> Xq = const;
Xq <Д X = const = 1.
х<х*,
1 X Хо.
При х>х* возникает скачок уплотнения, после которого течение
потока в трубе будет протекать в соответствии с условиями до-
звукового течения (Хо< 1).
Для получения приближенного прикладного решения некоторых
задач применительно к сжимаемой жидкости, например, течение
газа в сопле, целесообразно исходить из предположения, что для
ограниченной области перепада давлений элементарной энерго-
обмен в газовом потоке, определяемый силами трения, пропорцио-
нален соответствующему приращению кинетической энергии
(А,
где | — постоянный коэффициент, зависящий от технологического
качества поверхности, диаметра трубы D и числа Рей-
нольдса (Re). Его величина берется из опыта.
На практике величина параметра (§) обычно ограничена пре-
делами от 0<£<0,05. Заметим, если коэффициент § известен и рас-
чет параметров состояния газа в канале сопла производят с учетом
его величины, то при определении коэффициента реактивности
сопла (К) в формуле (2. 19) значение учитывающее влияние
диссипативных сил, следует принять равным единице (%i = l).
Рассматриваемая задача применительно к ламинарному и тур-
булентному течениям в более общей формулировке была решена
И. П. Гинзбургом [11]. Здесь же эта задача подробно рассмотрена
только для частного случая, когда турбулентный газовый поток
имеет большое число Рейнольдса, например, в соплах РДТТ.
Для турбулентного газового потока, в котором поперечный гра-
диент скорости относительно мал, т. е. коэффициент Кориолиса
близок к единице, искомое решение задачи описывается следующей
системой дифференциальных уравнений:
dQTD = —-—d (pW)-\-pdW — закон сохранения (1.17) энергии;
р k— 1
Wdp^-d^^-dL, Здесь Подставляя вместо dL- ,р = 0 —уравнение Бернулли (1.15). ^Qtp=dL^-p, гр и dQTp их выражения, получим d (/?!¥'')-[- pdW-,
\Ag / * — i Wg / Из первого уравнения имеем •и (й-1) j PWk^P(iWle 0 = 0. dv* 6 IgpW
Согласно обобщенному уравнению Бернулли
Wdp
~ 1 + 5 ’
Поэтому
J ‘Zg'W р 1 + 5 р
о
и формула процесса изменения состояния параметров газа в канале
сопла принимает вид политропы Цейнера
pWn = p0Wn0,
1 + 5
где n = k------показатель политропы.
1 +5А
Для указанных выше значений § величина п будет ограничена
пределами k>n> k.
Интегрирование обобщенного уравнения Бернулли
р
®2=='апН--— Г Wdp
0 1 + 5 J
л
для WZ = UZO(~| приводит к выражению
\ Р /
л—1
B2=-T)2 + 2g~-p0Wz0[l--f^-'j " 1,
k — 1 L \ Ро I 1
так как
-^- = ^-(1+5).
п — 1 k — 1
Полагая т)2=0; p0W0=RTa и р0 = рж, получим очевидные зави-
симости:
п
; RT^RT^-Хф
\ k I / \ к 4- 1 J
1 л—1
Л k~~ ЦгХ"-1 12 И Гт I р \ " 1
р — Qoo (1 . л ) > л 1 I 1 >
\ -k +1 / L \ Poo / J
где роо; Т00 и goo — соответственно полные давление, температура
и массовая плотность потока;
Анализ формул показывает, что силы трения влияют на давление,
плотность и скорость потока, сдвигая их процесс изменения в сто-
рону изотермы (и=1). Температура, как и следовало ожидать при
отсутствии теплообмена с окружающей средой, не зависит от тре-
ния. Вследствие этого скорость (а*) постоянна для любого сечения
канала сопла, а уравнение сплошности потока с учетом сил трения
принимает вид
где
1
। k — 1
1 + kk
k~ 1
п— 1
Найдем минумум функции F (X; k\ £)
Откуда
dF d~k , 1 -|- ’ik k — 1 2/Д/.
F 'к k— 1 k -I- 1 k— 1
1 •— --A 2
k + 1
л 2 1 4- £ A? 4~ 1 1
A —Am - ' — - 1
1 + /г + 2£й i-lnJ-l
Подставляя найденное значение Xm в уравнение сплошности,
получим
Это неравенство означает, что скорость потока достигает скоро-
сти звука в диффузорной части сопла.
Введем обозначение Х2=Х2/Хт. Тогда уравнение сплошности
приводится к обычному виду
так как
_ 1 4-2U+ £
~ 1 +ik
/z -4- 1
п — 1
__k— 1 .
““ 1 4- Ik ’
Уравнение сплошности потока показывает, что при наличии
сил трения для обеспечения заданной скорости (А,) потоку в фикси-
рованном сечении диффузора сопла требуется несколько большая
площадь поперечного сечения его канала, чем в случае отсутствия
сил сопротивления
тр _ гТр \ £ + 1 /____1
dF — ~~F Х2 — 1 ’
где
Лр _ / 2 / k~ 1 (л-D .
F U+J \ й+1/
k — п ____t k
(k — 1)(л — 1) "Л-1 ’
Изменение полного давления потока в результате преодоления
сил сопротивления составит
z’oi \ л + 1 7( ।k • 1 ^2\* 1 ।
а» . , 1 ' £ +1 /
/ k — 1 \ h—1
При этом приращении энтропии согласно уравнению (1.24)
будет
Д5-=Д/? -^-1пЛ-^Х2Г'>0.
k - 1 \ к + 1 ) ’
§ 3. ОТКЛОНЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА В КОСОСРЕЗАННЫХ СОПЛЕ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ НАСАДКЕ
В зоне косого среза газовый поток наряду с дополнительным
разгоном вдоль оси сопла претерпевает и боковое отклонение от его
оси на угол Дф (рис. 2.2). Разгон потока и увеличение его полной
реакции от R\ до /?0 происходит в соответствии с уравнением меха-
ники
Ro~ R\ — J pdF~>Q,
так как непрерывно растет площадь поперечного сечения в зоне
косого среза диффузора от Fi до Fo. Боковое отклонение потока
или отклонение вектора его полной реакции Ro от оси сопла также
происходит в соответствии с уравнением механики
__ _ 7>т
Ri — /7o = J pdF~>0)
О
и с физической точки зрения объясняется односторонним воздей-
ствием стенки диффузора на газовый поток в зоне косого среза,
площадь которого меняется от 0 до Fm=FK.C cos ф. Предположим,
что на всем протяжении диффузорной части сопла, т. е. между се-
чениями *—* и 2—2, процесс течения стационарный и изэнтропи-
ческий, поэтому
/?0=ад*; А’2=К2^,
где
pf'.J'-~ 2^—^consf- G = const; a* = const,
k g
X-°±-2±^2- ; ^,2 = ^,2+ Г^д.2-1 > 1.
На основании закона сохранения вещества (G = const) для
изэнтропического потока (p0o = const) имеем формулу (2.6)
Подставляя Х==К-)-}/№—1, после преобразования получим
К +
Тогда
v* = Z1 л 1
то К1 + К^-1 k-(k- 1) (аз +]//<2-1) Ki 1 Й—1 ; (2.26) 1 fe —1 . (2.27)
К Ко + Уд2-] F, Ko + V С-1 k- (й-1)(а0+ VkI-^Ko . k — (k-\) (/<0 + V>;j-1) ‘<0
?о k2+VkI~ 1 k- (k-V) (a2+Va2-i) a2
Так как по выходе из косого среза (см. сечение 2—2) горизонталь-
ная составляющая (проекция на ось сопла) полной реакции потока
равна Ro, то согласно рис. 2. 2 /?2 и Ro связаны соотношением
или АЗ = .
cos Аф cos Аф
Значения v'j; vol(тр; 0); V2o(ip; Аф) уравнений (2.25), (2.26) и
(2.27) определяются непосредственно из геометрии косого среза,
поэтому считаем их известными или заданными. Тогда в общем
случае искомые значения Кй Ко', К2; Аф соответственно будут
равны
С==/(С Xo=/(voi; KJ-
AT2=/(v20; Ко); Д| = arc cos .
Л2
Значение v*
F,
~ определяется по чертежу кососрезанного
сопла, так как Fr является площадью поперечного сечения диффу-
зора у основания косого среза. В зависимости от площади косого
среза FK.C (рис. 2.3) площади Fo и F2 (см. рис. 2.2) соответственно
равны
Ко Кк с sin ф; А'2== Fk с sin (ф+ Дф),
откуда
sin (ф + Аф)
Площадь F} в зависимости от FK.C (см. рис. 2. 3) определяется си-
стемой уравнений
^1 = л:г2 = л/?2(8Шф- cos ф tg 9)2; FKC = nab.
Найдем малую полуось а эллипса косого среза. Из уравнения
эллипса x2fb2 + у2/а2— 1 при y = dl<2, имеем
d 1
а =............ — .
2 / х2
I/ 1- №
Из рис. 2. 3 вытекает, что
e'c72=---af/2^(6-фх) (sin ф— cos ф tg6) ^(6 — х) (sin 0-фсо> т Ш 6),
х^- д ctg ф tg 0; d/2 = 6(l — ctg ф tg 6) (sin ф cos 6 tg 0);
FK c = nab — nb2 tg^~tgB- sM + cMjg9.
/i ^26
У tg2 ф
v01 =Хо=*±±М« ........ J_______ . (2.28)
tg<p-tg0 A tg20
У tg2 ф
Так как параметры v01; v* известны, то величины А и /Со
могут быть найдены из уравнений (2.25) и (2.26) методом подбо-
ра или сняты с графика функций и v01 (Аф; Ко). Уравнение
(2. 27) дает искомую связь между ф; Дф; Ко:
sin (ф + Дф) _ *о+ V К%—1
81пф ,, / /z2
Ло., 1/ _л.°....._i
cos Дф "с у cos2 Дф
k~(k~l) /фр
, п Ко ( Ко Кр
й ' cos Дф \cos Дф У cos2 Дф
(2. 29)
Здесь ф и Кй являются известными величинами, а дф —искомой.
Если ввести обозначение ———=sec<p, т. е. дф = arc cos (7<0 cos<р),
cos Дф
то
1
, COS <р fl — sin <р
v2o — О 77 : {7 '
1 + sin <р t 1 — £ sin т
}k-
где X0 = ^+]/K2-l.
Уравнение (2.29) не дает явной зависимости от Дф и может
быть решено только относительно ф:
Ф=агс1§
sin Дф
V20 — COS Дф
(2. 30)
При истечении газа из кососрезанного насадка в пустоту пре-
делы изменения для Дф найдем из условий тр = 90° (прямой срез)
v20=l; создф=1; Дф = О°
и ф=0°
V20 = oo; ---Н1Л—^7-------1 )=0
созДфХсозДф г cos2 Дф /
или 1 —& sirup = 0.
Отсюда
1 1 cos Дф
Sin<p== — ; cos ср ==-77— =-L ;
k Т Уоо К0
• ДК = arc cos ,
К »о
где /С = г —предельное теоретическое значение коэффи-
у fe2—1 циента реактивности, определяемое условием
V = <X>.
Предельный случай, когда ф^О при зафиксированном значении
Ко<Аоо, предполагает сохранение условия ф>0, хотя оба угла
стремятся к нулю. Физически это означает, что Ео остается конеч-
ной величиной, большей или равной Fi, а зона косого среза вырож-
дается в кососрезанный полубесконечный цилиндр. Соотношение
для предельного значения угла Дфоо показывает, что с ростом Fo
уюл Афа, стремится к нулю, так как при Fo—>oo Ко —Отсюда
следует, что с увеличением Ко эффект расширения газа в косом
срезе уменьшается, т. е. величина угла Дф убывает. Таким образом,
значение угла Дф ограничено пределами 0<Дф<Дфоо.
Задаваясь значениями угла Дф в найденных пределах его зна-
чений, можем для конкретных величин Ко, взятых в диапазоне
1</Со<Лоо, найти отвечающие им углы ф. Результаты расчетов для
fe=l,25 сведены в табл. 2.3 и представлены кривыми на рис. 2.4.
Наличие таблицы и кривых для ф(Аф) позволяет по ф нахо-
Рис. 2. 4.
Для кососрезанного цилиндрического насадка расчетное урав-
нение углов -ф (Д-ф) является частным случаем общей зависимо-
сти (До=1)
Ф = arc tg-------------------------j----, (2.31)
1 /1 — sin Дф \/г—1
1 sin Дф \1 — k sin Дф /
так как при ЛГ0=1 значение cos ср cos Д Ь и
1
v20 _Д- . (2. 32)
1 4- sin Дф \1 — k sin Дф J
Таким образом, наибольшее отклонение потока в косом срезе
наблюдается у цилиндрического насадка. При этом угол отклоне-
ния потока от оси насадка всегда будет значительно меньше Афоо:
ДФ < ДФ«о = arc sin — .
k
Полученные результаты исследования эффекта расширения
газа в косом срезе, найденные для случая истечения в пустоту
(/;а = 0), справедливы и для реальных условий, если поток по вы-
ходе из зоны косого среза (см. рис. 2. 2 сечение 2—2) имеет избы-
точное статическое давление больше нуля р?—ра>0. Статическое
46
Ко
Дф° 1,0 1,1 1,2
Ф 4 Ф Ф £ Ф
5 81°12' 0,435 75°42' 0,657 69°51' 0,771 61°52'
10 71°53' 0,461 62°14' 0,665 51 °35' 0,778 41°
15 61°4Г 0,503 48°21' 0,698 36°14' 0,804 24°27'
20 50°31' 0,558 36°6' 0,734 24°3' 0,836 13°55'
25 38°55' 0,627 24°51' 0,784 14°20' 0,881 6°32'
30 27°34' 0,699 15°13' 0,843 6°59' 0,929 1°57'
35 17°8' 0,784 7°35' 0,907 2°40' 0,968 0°8'
40 8°28' 0,875 2°22' 0,965 0°13' 0,997
45 2°32' 0,956 0°10' 0,907
50 0°8' 0,997
Таблица 2.3
Предельное
1,3 1,4 значение
£ £ Ко дк
0,836 49°33' 0,897 1,0 53° 0,384
0,852 2 Г 37' 0,912 1,1 48°36' 0,516
0,878 13°32' 0,936 1,2 44° 0,754
0,910 5°52' 0,953 1.3 38°36' 0,836
0,948 1"31' 0,988 1,4 32°48' 0,926
0,980 0°3' 0,9994
0,998
давление и температура газового потока в сечении 2—2 опреде-
ляются по формулам
/ 2 —
а=Аю (-н [k - {k -1) KUh~x; (2.33)
\k + 1/
\«+ 1/
где \2=K2+V^l— 1.
Если в зоне косого среза между сечениями 1—1 и 2—2 поток
испытывает перерасширение (р2—ра<0), угол Дф может сущест-
венно отличаться от значения, найденного по уравнениям (2.31) и
(2.30). При этом его фактическая величина может оказаться не
только равной нулю, но и стать отрицательной (Дф<0): поток
отклонится в противоположную сторону — к вершине косого среза.
Отклонение газового потока при его перер асширении
в зоне косого среза
Рассмотрим случай, когда статическое давление потока в ка-
ком-то сечении зоны косого среза диффузора становится равно
окружающему (р2=ра). Решение производим приближенно, допу-
ская, что дальнейшее движение потока в зоне косого среза сохра-
няется неизменным, т. е. отсутствует глубокое перерасширение
и возможный скачок уплотнения.
Скорость потока в сечении, где избыточное статическое давле-
ние равно нулю, найдем из уравнения (2.33)
/’2 = Ра=Роо(гГ7У 1 [k~(k- V)K^2}k-1 ,
\& + 1/
откуда
Искомые значения углов Дф и ф по-прежнему определяются
системой уравнений:
_ .ч!п(ф + Дф)
v2o — ; :-----
sin ф
р— (k— 1) КоХо~1'>’ 1
Л2 I#——1) Л^2-1
где
V01 — 1
tg о \~2 Л tg26\0'5= Н
tg Ф ) \ tg2 ф) х0
k— (k— 1) А’о/о
(2-34)
(2.35)
К0 = К2 cos Д-р; /С2
Х2+ Х2 1
2
^0 = ^0 +/^о- 1.
Здесь углы Ляр и ip являются неизвестными, а параметры /С2; ^2; М —
заданными. Связь между углами ip и Aip определяется уравнениями
(2.34) и (2.35).
§ 4. ПЕРЕТЕКАНИЕ ГАЗА ИЗ ОДНОГО РЕЗЕРВУАРА В ДРУГОЙ
При перетекании газа из одного резервуара в другой наблю-
дается некоторое повышение температуры газа в резервуаре, в ко-
торый втекает газ, и понижение ее в объеме, откуда вытекает газ.
Повышение температуры газа в зависимости от соотношения на-
чального количества газа в сообщающихся резервуарах (т. е. пред-
шествующее началу истечения) может быть настолько существен-
ным, что превысит начальное значение температуры в любом из
двух резервуаров. Такое
повышение температуры
вследствие неочевидности
физической сущности про-
цесса перетекания газа
представляется парадок-
сальным.
Поставленную задачу Рис. 2.5.
сформулируем так. Най-
ти закон изменения осред-
ненных значений температуры и давления газа для каждого резер-
вуара в процессе перетекания. Будем считать, что природа газа
одинакова cv^ = cv2 = cv-, Cpl/cvl = c-p2/cv2=k, тепловой обмен с окру-
жающей средой отсутствует, а оболочки резервуаров могут иметь
любую податливость. В общем случае схема перетекания газа пред-
ставлена на рис. 2.5.
Введем обозначения
e = w02/a>0i; п — Д“/“02,
где <в01; ш02 —начальный вес газа;
д«> — количество газа, перешедшее из одного резервуара
в другой.
Перетекание газа в абсолютно жестких резервуарах
Для определения осредненных значений температуры и давле-
ния при перетекании газа в абсолютно жестких резервуарах
используем:
— уравнение сохранения вещества
w01 ~Ь %2 = ш 1 + 012,
где €o1==oj0I(l-J-et)); ш2 = <'>02(1—ц) —текущее количество газа в
резервуарах 1 и 2;
— уравнение сохранения энергии
“oicZoi+ \срТ^= — Для резервуара 7;
О
Део
“02^02—j = —Для резервуара 2.
о
Следствием этих уравнений является
о,01Сэ^ 01 <О02С^02 = Ш1С^1 + Ш2Со^2
или
7 о I + еТ02 = (1 + sn) Л + е (1 - ц) Л- (2.36)
Соотношение (2.36) иногда называют уравнением теплового
баланса.
В дифференциальной форме уравнения сохранения энергии для
каждого резервуара в отдельности имеют вид:
cp7’2t/w=iZ(cl,7'iW1);
— с рГ ~d (cvT 2<в2)
или
kiT2dp = г7д/г] -|- (1 -ф ец) dT р,
-keT2dT\ = s(l-Ti)dT2-tT2dx\. (2.37)
Из уравнения (2.37) следует, что
(2.38)
1 —л т2
После интегрирования уравнения (2.38) получим
^2=^02(1 —И)*-1 или p2=p02(l-n)ft. (2.39)
Подставляя найденное значение Т2 в уравнение теплового ба-
ланса (2.36), определим закон изменения температуры в резер-
вуаре 1
т Ли + е:Го2[1-(1-1])*]
1 + еП
или в безразмерной форме
~ 1+ ^о2[1-(1-П)*]
1 + еП
(2. 40)
Для резервуара 2 в безразмерной форме
Здесь
^р _ Ту — Т02 . тр Т2
1 1 '— ~ \ > 1 2 — т
7 01 1 01 1 02
Проведем анализ формул для Г] и Т2. Прежде всего отметим,
что Т2 не зависит от начального соотношения количеств газа си-
стемы (е) и определяется только относительным изменением_плот-
ности газа в резервуаре 2 (1—-р = сог/соог) • Уравнение для Г2 яв-
ляется уравнением адиабаты Пуассона.
Выражение для Т\, характеризующее процесс изменения пара-
метров состояния газа в резервуаре представляет более сложную
функцию, чем адиабата Пуассона 7i(e; г]). Поэтому функция Т\
в отличие от f2 имеет значительно большее число решений, опре-
деляемое возможными значениями параметров начального состоя-
ния системы е; Тщ. В реальных условиях параметр е ограничен
пределами 0 <е<оо. Иными словами, параметр е может быть ра-
вен любому значению чисел натурального ряда. Параметр Та2 также
может принимать любые значения при условии сохранения его
физического смысла O<fo2<°°- Нижний предел параметра 8 = 0
характеризует случай истечения газа в атмосферу, когда величину
(Ooi можно принять равной бесконечности (вес воздуха атмосферы
Земли). Верхний предел параметра е = оо может быть как для
Ио2 = оо при <ooi=#0, так и для cooi = 0 при <йо2=Н=О. (oo2 = °° и е = оо
отвечают случаю втекания воздуха из атмосферы в резервуар с ча-
стичным вакуумом; <a0i = 0 и е = оо имеет место при перетекании
газа из резервуара конечных размеров в резервуар с вакуумом,
близким к абсолютному.
Величина параметра ц ограничена пределами 0<т]<1. При ана-
лизе выражения для 1\ следует иметь в виду, что при соо2 = °°;
cooi=£0; т] = 0 комплекс ец = Aco/cooi>0. Однако при <о()1 = 0 и ао2^=О
81] = оо.
Рассмотрим различные варианты перетекания газа.
1. Втекание газа из атмосферы в резервуар с полным вакуумом
(ooi = 0. Для этого случая соо2 = °°; <001 = 0, а поэтому е = оо; ei] = oo;
т] = 0._Значения параметров е и т] определяют значения температур
Т2 и Т[ соответственно
—1; Т2 — Т 02',
г =. i-a-rp*
‘ 1 — 1 02 j
— + и
е
1
1 + ST]
Отсюда по правилу Лопиталя
Л=702Ит----Л = ^о2-
г—о п
Полученные результаты показывают, что температура атмо-
сферы не изменилась, а температура воздуха в резервуаре увели-
чилась по сравнению с атмосферой в k раз.
2. Втекание газа из атмосферы в резервуар с частичным вакуу-
мом (001=5^0. При соо2 = °о; cooi>0 параметры е; т];_ег] соответственно
равны е=оо; т] = 0; ет]=Дсо/ыо1, а выражения для 1\ и Т2 примут вид:
“01
Део
1 + k-------
________“01 .
Део
1 + -------
“01
Здесь, как и в первом случае, температура атмосферы осталась
неизменной. Это физически вполне очевидно, так как масса воз-
духа атмосферы Земли практически бесконечно велика. Однако
Рис. 2.6.
температура газа в резервуаре
при частичном вакууме после вте-
кания порции воздуха Асо воз-
растает, но меньше, чем в k раз,
и зависит только от относитель-
ного количества газа, поступив-
шего в резервуар из атмосферы.
При этом по мере снижения ва-
куума Aco/cooi —> 0 повышение тем-
пературы газа в резервуаре
уменьшается, а ее величина стре-
мится к начальной Ti —1. В про-
тивном случае, когда вакуум ра-
стет (cooi-O; Aoi/woi-^oo) темпе-
ратура газа, поступившего в резервуар, повышается и стремится
к предельной ^То2(рис. 2.6).
3. Истечение газа из резервуара в атмосферу. В этом случае
имеем е = 0; т] = Асо/соог; 0<т]< 1. Из этого следует, что Т[ = TOi, т. е.
температура атмосферы неизменна; Т2=То2(1—л)*1-1—темпера-
тура газа в резервуаре падает по уравнению адиабаты Пуассона.
4. Перетекание газа из одного резервуара в другой, имеющих
конечные размеры 0<е<оо. Здесь возможны два случая, опреде-
ляемые условиями:
а) 702>1; б) Г02<1.
Пределы изменения в зависимости от ц равны
7’1(т1=О)=7’о1; Г1(т1=1)=Ц±^? (2.41)
1 + е
и имеют вполне очевидный физический смысл. Однако, как не
трудно показать, функция (2. 40)
1 + ^02 [1 — (1 — n)fe]
1 + ет)
на отрезке, определяемом конечными ее значениями 7\=1 и 7\ =
1 + еГо2, имеет максимум дТ’1/д'П = О; д27//сф2<С0. В самом деле
1 +е
(1 - ri)'"1 в .
dr] 1 + ет) 1 1 + ет) ’
Э2Т, = _ М*-1) Л)2е (1 -П)*-2 _ ^2(1 _
<9r,2 1 _р ет| (1 4- ет|)2
дт] 1 + ет] (1 + ет])2
Так как третий член, а также сумма второго и четвертого чле-
нов по условию задачи равны нулю:
^Д = 0; ^02Л2(1~п/-' ] е2 0,
дт] ’ (1 + Е1
то величина второй производ-
ной всегда будет отрицатель-
ной д2Т} /ch]2<j0. _\
Решая уравнение <?Ti/oi^=
= 0 относительно Тг, получим^
выражение для максимальной
температуры в зависимости/
от тр
Т\ max = kTo2 (1 T|)ft-1. (2.42)
В каждом конкретном слу-
чае значение ц, при котором
температура газа в резер-
вуаре 1 достигает наибольшей
величины, определяется пере-
сечением КрИВЫХ 7] И Т\ щах
(рис. 2.7).
2 (1 + гт])2
Перетекание газа из жесткого резервуара в упругий,
деформация которого описывается параболическим законом
W=W„Pn
В некоторых случаях изменение объема упругого (эластичного)
резервуара может быть выражено одночленной степенной зависи-
мостью W = WHpn.
Показатель п, характеризующий чувствительность объема ре-
зервуара к изменению давления в нем, ограничен пределами
0<п<оо. Нижний предел (п = 0) отвечает случаю, когда объем
резервуара не зависит от давления (W,= ’U7H)1 т. е. сосуд является
абсолютно жестким. Верхний предел (п = оо) также имеет физиче-
ский смысл и характеризует истечение газа в резервуар бесконечно
большого объема, например, в атмосферу.
Определим изменение параметров состояния газа в резервуа-
рах в процессе его перетекания и выявим особенность этого про-
цесса при наличии упругой податливости стенок резервуара.
Исходная система уравнений в соответствии с законом сохра-
нения энергии будет:
-/ге7\(Л1 = = (1 - ПЖ2+(2.37)
ЛеЗД^(/[(1 + еТ1)Т1] + (й-1) Pld^-, (2.42)
Я“01
где dW1—n.Wiap{~ldp1.
Уравнение (2.37), характеризующее изменение осредненных
параметров состояния в жестком резервуаре, осталось прежним
и является уравнением адиабаты Пуассона 7’2=7’02(1—т])*-1. Урав-
нение (2.42) получено из закона сохранения энергии (1.17)
dQ--dEA- pdW,
где dQ = —— RT^aidi} —подвод тепла;
k — 1
[RT 1
(1-)-еЛ)—-I — изменение внутренней энергии в уп-
^~1J ругом резервуаре;
pd\V=nWB-ipr[dp-[ — работа, совершаемая газом при изме-
нении объема резервуара.
Эта работа газа затрачивается на преодоление упругого сопротив-
ления оболочки резервуара и аккумулируется в виде ее потен-
циальной энергии, т. е. тепловая энергия газа переходит в упругую
энергию оболочки резервуара.
Интегрирование уравнения (2.42) приводит к зависимости
^02[1-(1-<] = (1 + ет])Л-7'01 + -^-
п +1 R о>0] т 7
Откуда текущее значение температуры
п k~\ X'+1-77oi+1
1 1 - i 1 cc-------------------- .
n +1 R «>oi 1 + ед
„ Г01 H-еГ02 [1 — (1 — T))fe]
где /i~==-------—-------1-——температура газа при отсутст-
1 + ет]
вии деформации резервуара (2.40).
1
Исключая /’i.oi/z’o —(V7li0]/U7Hi)" , получим
п + 1 л + 1
л=+=+ jeh. jn я (1+£<-ч
п + 1 R «01 \WnJ LW01/ Г
Так как в соответствии с уравнением состояния и деформации
Л 4-1
Л 1 vr„i » г
объема резервуара------------- —— = /01, то
Я о>01 \ 1ГН1J
Л = Л
л+1
n(k~\) V п —1
П + 1 01 1 4- ет]
(2.43)
где v=Wzj/WzOi— степень расширения объема резервуара.
Полученная формула (2.43) показывает, что температура газа
в упругом резервуаре по сравнению с абсолютно жестким (ц = 0)
уменьшается вследствие работы, затрачиваемой газом на преодо-
ление сил сопротивления деформации резервуара.
Рассмотрим поставленную задачу в общем виде и найдем ее
инженерное решение.
Перетекание газа из одного упругого резервуара в другой
Будем считать, что податливость упругих резервуаров известна
из опыта и выражается зависимостями W^Wnip"'; 1^2= MisP?2.
Как отмечалось выше, параметры п\ и п2 ограничены пределами
0<ni,2^oo, к поэтому могут быть равны любому числу натураль-
ного ряда.
Поскольку то уравнение состояния газа a>RT = pW
для упругих резервуаров примет вид
WHpn+\ (2.44)
где IFH — начальный объем, например, объем при р=1 кГ/см2.
Изменение параметров состояния газа в резервуаре, из кото-
рого вытекает газ, описывается уравнением закона сохранения
энергии (1.17)
— Ре<о()1/р7'2(7ц = (7[г%1 (1 — —]) p2dW2. (2.45)
Совместное решение уравнения (2.45) с уравнением состояния
8Ио1 (1—•х\)ЯТ2 = Р2^2 приводит к выражению
— ks«>mRT2df] = kp2dW2-{-W2dp2. (2.46)
Подставляя в уравнение (2.46) функцию изменения объема
>’2 = получим
— k^^RT2dn=--W s2kn2p2d р2 + wn2p^dp2
или
1 —И Р2
После интегрирования и последующего потенцирования полу-
чим искомую формулу
Р%— Р02 ( 1 Т1) Р>
(2.47)
где
k
т„—--------.
р kn2 +1
Для абсолютно жесткого резервуара («2 = 0) формула (2.47)
обращается в уравнение адиабаты Пуассона (2.39)..
При «2 = °° имеем Рг = Ро2- Иными словами, в бесконечно большом
резервуаре давление остается без изменения, так как отбор конеч-
ного количества газа не может привести к заметному уменьшению
массы и изменению параметров состояния газа.
Совместное решение уравнений состояния и изменения пара-
метров состояния приводит к следующей зависимости для осред-
ненного значения температуры газа в резервуаре, откуда вытекает
газ:
Л = Т02(1 -<г-
(2. 48)
В соответствии с формулой (2.48) температура Т2 не зависит
от начального количества газа в резервуаре, но весьма чувстви-
тельна к его упругости («). Так, на практике параметр тт= -—-
kn2 + \
может принимать значения 0<mT^k—1; со^«2^0.
Изменение параметров состояния газа в резервуаре, куда вте-
кает газ, также определяется уравнением закона сохранения энер-
гии (1. 17)
RwmRT2dv^d [ш01 (1 + ет]) Rl\]-\-(k - 1) P1dWb (2; 49)
Решая уравнение (2.49) совместно с уравнением состояния
(1 + ег))соо1РТ1 = Р11Р1, получим
kz&^RT2di] = У7Н1 (&«!-{- \)p"'dpx.
(2.50)
Интегрируя уравнение (2. 50) в пределах от 0 до ц и от pOi до Р\,
получим
= (р^1- р^1).
Ио + 1 П] -д- 1 4 '
Так как V/h1?poi+1==oj01/^7"01, то вправе записать
тгТ02 [1 -(1-т)Г] = Г01 [лГ1-!],
откуда следует, что
Я1 = = {1 + mzTn [1 - (1 - <2] ,
Дсп
Помня, что = (t>lT1l<i>mTQ1=-(1 -4-«’П)7'1, для температуры газа
получим
7; 1 + теГо2[1 —(1 —1-|)"Ч
где Тх = Т^ТйХ.
Рассмотрим некоторые частные случаи перетекания газа.
1. Резервуары одинаковой упругости tix — п2=п-, тх—щ2=
= m==kJ? + 0 .
kn + 1
В этом случае получим
Т 1 + .
1 + ^1)
1
Л1={1 + е702[1-(1-<])ГТГ;
Г2 = Т02(1-Г])ет. (2.51)
2. Абсолютно жесткие резервуары n = 0; m=k.
В этом случае общая зависимость обращается в формулу (2.40)
_ 1 + ЕТ02 []__(!
1 1 +
При этом давление в этом резервуаре возрастает в соответствии
с формулой jTi = l + efo2[l —(1—n)f1]-
Температура и давление в другом резервуаре уменьшается в
соответствии с уравнениями (2.39)
7УМ1-ri/'-1; л2= — =(1 —Л)*-
А)2
Поскольку k то 113 сравнения формул (2.39); (2.51)
следует, что температура газа Т2 в упругом резервуаре падает мед-
леннее чем в абсолютно жестком резервуаре.
Физически этот результат легко объясняется: потенциальная
энергия оболочки резервуара переходит в тепловую энергию газа
вследствие непрерывного1 поджатия его оболочкой резервуара.
3. Втекание газа из атмосферы («2 = о°; со2 = оо) в полностью
вакуумированный абсолютно жесткий резервуар («1 = 0; и01 = 0).
При данном процессе изменение температуры характеризуется
уравнением
lim + feT|r°2,
1 + еЦ
так как
Пт = Ит^±^=1.
nj->0 krii 4- 1 Т1<2 -F 1 kn^ “Fl
п 2 -> се
Учитывая, что ет] = д<»/со01 = оо, будем иметь
Е 7] —► се
При этом Г2 = Д2, так как tj = A<d/<d02=0. Найденные значения
Т2 и Т1 приводят к выводу, что температура воздуха атмосферы
осталась без изменения, в то время как воздух (Асо), вошедший
в резервуар, существенно подогрелся и приобрел температуру
в k=cplcv раз больше атмосферной. Количество воздуха, поступив-
шего из атмосферы в резервуар:
. kRTQ2
4. Истечение газа из упругого (эластичного) резервуара
(»2>0) в атмосферу (wOi = °°; «1=00). В этом случае изменение
температуры описывается уравнением
7-01 + [1 - (1 - пН
1 1 — пт-----------—-------------= 101;
е -0 1 + ет]
Игл—= —.
п1~>сс
Для параметров состояния газа в резервуаре, откуда вытекает
газ, будут справедливы формулы (2.41) и (2.42);
л2==(1—л)*"7*”1; Т2=(1-г)Г2+1.
5. Наддув упругого резервуара («1>0) газом из абсолютно
жесткого резервуара высокого давления (п2=0). В этом случае
температура
7 1 + ”г1е го2 [1 — (1 ~~ n)fe] .
1 1 + щ
1
Я1=:{1 + т1е702[1-(1-<])!+Л1;
л2=(1-т1Л
«1 + 1
где
/П] =
kny 4-
k
1 ’
Полученный результат показывает, что в упругом резервуаре
(щ>0) температура поступившего в него газа растет медленнее,
чем в абсолютно жестком резервуаре (ni = 0), так как mi<l. Физи-
чески этот факт объясняется тем, что часть тепловой энергии газа
затрачивается на работу деформации оболочки упругого резер-
вуара.
Количество газа в резервуарах
после окончания процесса перетекания
Если не учитывать теплоотдачу в окружающую среду, процесс
перетекания газа прекратится, когда давление в обоих резервуа-
рах будет одинаковым рК1 = Рк2- При этом температура газа в ре-
зервуарах не будет одинаковой. Поэтому в дальнейшем по мере
выравнивания температуры газа в резервуарах (прежде всего
вследствие теплоотдачи в окружающую среду) наступит вторая ста-
дия перетекания. Этот процесс перетекания будет медленным и за-
кончится, когда температура газа в резервуарах станет одинако-
вой и равной температуре окружающей среды Ti = T2 = Ta.
Если в момент достижения равных давлений резервуары разоб-
щить, например, перекрыв вентиль, то вследствие теплоотдачи дав-
ление газа в резервуарах будет разным: рк2>рК1. Предельное коли-
чество газа в резервуарах после первой стадии процесса перетека-
ния согласно условию pK2 = Pui определяется из уравнения
»__ 1
Ы1-МЙ"2+1 = {1 + тгТ02 [1 -(1 -гиГ2])1+Л1
ИЛИ
k(rii— п2)
[7№Л1(1-М *"2+1 +me702] (1 -= ^Ё02+1> (2.52)
где Рчч = Р<'д1Ро1-
В общем случае уравнение (2. 52) относительно rjoo может быть
решено только графически. При ni = n2=n возможно аналитическое
решение уравнения (2. 52)
1
\ Р Q2 + е^02/
В практических задачах Г02 = 1, а поэтому
где
_£(п + 1)
kn + 1
Так как т]=Ди/<в02, то абсолютное количество газа, перешедшее
в резервуар с меньшим начальным давлением (poi):
ДШр==П»Ш02-
Во второй стадии перетекания, т. е. к моменту выравнивания
температур TKi = TK2 и давления (рК1 = Рк2), количество газа соглас-
но уравнению (2.44) определяется условием (о1/(£>2 = 1ГН1/1ГН2.
Используя уравнение закона сохранения вещества oji + o)2 =
= (£>01 + (0.02, получим
Увеличение количества газа вследствие выравнивания темпера-
тур газа в резервуарах составит б(А(о)=(о2—Цоо(£>02-
Если в момент выравнивания давления резервуары разобщить,
то после выравнивания температуры газа в резервуарах и окру-
жающей среды давление в них согласно уравнению состояния
(2.44) будет
Так как
Рк1 — Pk^i Т к2 — 7^(1 — Tlp)ft" + 1 —
Toi + еГ02[1- (1-Пр)т]
1 + еПр
и 7к1>7\, то поэтому Pi<ZPi-
Перетекание газа в резервуарах,
деформация которых описывается биноминальным законом
W=W0(l+ap)n
При изменении объема резервуара от давления газа в нем при-
нятие биноминальной зависимости позволит при наличии двух по-
стоянных более точно аппроксимировать фактический закон W(p),
найденный эмпирическим путем.
Пусть объем резервуара, из которого вытекает газ, умень-
шается в соответствии с уравнением W2=Wo2(l-l-a2p2)n:i, где 1Г02=
Гн2
(1+а)"2’
Тогда согласно закону сохранения энергии (1. 17) имеем
или
так как
— kev>OiRT 2dv\ = k p2dW 2-}-W2dp2
k rfr| =.kdW‘2 ' dp'1
1-П if2 1 p2 ’
p2r2=e®01/?T2(l-ii).
Отсюда после интегрирования получим
Pd2 XWw/
В соответствии с уравнением состояния
Р02^02 ’Р02
а поэтому
л-ад-пг1 (^Г1.
\.иу02 /
Параметры состояния газа в резервуаре, в который втекает
газ, определяются системой уравнений:
— /ге<«01 AT 2di] — k p2dW 2 + '^'2dp2\
ksMQ1f(T2d'v\ = kp1dW1-[~W1dp1.
Складывая уравнения, получим
'k pxd ITj + W id P1 + kp2d MZ2 + W2dp2=0,
где
rfVZ1=zj1UZ01 (1 ^-ахр^-1а^рр,
U72 = 02( 1 4~ ‘AA)”2; dW 2=^n<$7 02 (1 a^p^^a^d p2.
Интегрирование их приводит к результату
W02 aU+^A)"2
(1 + Дг/’г)”2
a2 (n2 + В
02
(1 + а2Р2)П2 +
a2 (n2 T" 1)
+ ^^01 Pl U + а1А)‘
I«1 _ (1 alpl)nl
al (nl + 1)
Ц, .0 + -».h>w
«1 (»i +1>
— kW02 рй2 (1 4- Й2Р02)"2
(1 + а2Ро2)п'
«2 («2 + !)
_LU7o2 0+-?2^02)Лг+1
a2 (л2 + В
+ W01 An (1 + (1 + a(1Pof^ 1+^0111 + glP01)"1+1 . (2.53)
«1(721+1) I ai(nj + l)
Нетрудно показать, что соотношение (2. 53) приводится к виду
I— 1 £ — 1
2 П-----------—
’а-
k— 1 1
= VZo2( wr’Po2 — ——7 — } + ^'ог(т-1рй1
\ П2 + 1 Л2 / \
fe— 1 1
ri] + 1 aj
или
_2 WZ1/?i + ^'2p2 — _2 V/01 All + V^02Pq2~'i~
m\ ml
A-1 Г 1 <2 / w2 \ 1 r'j / wt
k 2[ a2 1 + /Ц IFo2 J at nx + 1 Г01
41,2 = WOl,2(1Jr «1.2 №,2)"J.2.
(2. 54)
Для функций W(p) = Wnpn и W7i = const = ITH1; IF2 = const — 1Гн2, т. e.
« = 0, уравнение (2.54), являющееся принципиальным уравнением
связи между давлениями в обоих разервуарах, соответственно за-
писывается
PjWi-}-mp2W2 = p^Woi-^-mp^Woi; (2. 55)
Pi^i + P2^ 2—Poi^ oi (2.56)
И "Г 1
где т =----.
kn+ 1
Соотношения (2.55); (2.56) являются следствием уравнения
теплового баланса. Так как выражение для р2 известно, то при би-
номинальной зависимости W (р) из уравнения (2.54) можно найти
давление pi только графическим путем.
Из сравнения выражений для изменения параметров состояния
газа в резервуарах абсолютно жестких (2. 56) и упругих (2.54)
следует интересный практический вывод: суммарная тепловая энер-
гия газа в процессе перетекания непрерывно изменяется вследствие
упругой работы оболочек резервуаров
д£ = — ^-(1Г2-1Гш) + 4 -4-(^-'41).
- а2 1 + п2 л1 + 1
Поэтому в общем случае уравнение теплового баланса для
упругих резервуаров имеет вид
Р'2^2 + Р1^ 1 +’ ~—тгЬ.Еупр = Рй2^02 + ^01^01 •
mj % mj
В частном случае, когда ai = a2 = a; ni = n2 = n, после окончания
перетекания газа ДДупр^,
^ + 1^2=1^01 + 42.
Отсюда следует, что конечные объемы резервуаров с одинако-
вой податливостью оболочек (после выравнивания температуры и
давления газа в резервуарах) равны между собой
U7k1 = U7k2= ^+^-.
§ 5. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ПОЛУЗАМКНУТОГО ОБЪЕМА С ПОДВИЖНЫМ
ДНОМ ПРИ НАЛИЧИИ ТЕПЛООТДАЧИ
Для практических целей обычно эта задача заключается в опре-
делении закона давления внутри объема. Схема рассматривае-
мого устройства представлена на рис. 2.8.
Рис. 2. 8.
Для любой системы, имеющей в качестве рабочего тела газ,
справедливо уравнение сохранения энергии в интегральной форме
(1-21)
Гt—i <Ют
pW*=poWkoe R шТ'
где Цо — начальное давление газа в цилиндре;
Го—начальный объем цилиндра;
Qm— тепло, отданное системой в окружающую среду;
со — текущий вес газа в объеме цилиндра;
Т — текущая температура газа в объеме цилиндра.
р dQ
Вычислим интеграл (ft —1) I -.
J wRT
Элементарное изменение количества тепла системы равно
dQa>=a!Q1-l- c/Q2,
где dQx— — Gc^Tdt — уменьшение количества тепла вследствие
истечения газа;
dQt= —aTF(T — Д)с// —уменьшение количества тепла вследствие
теплоотдачи в окружающу среду;
F— поверхность охлаждения 1аза;
Д — температура стенок цилиндра, соприка-
сающихся с газом.
При критическом режиме истечения расход газа (2. 16)
G = AXF* —
V кты
где Ai =
— постоянная расхода.
Если отверстие истечения мало, то полное давление можно при-
нять равным статическому (pot=pt)-
Коэффициент теплоотдачи ат, как показывает опыт, в первом
приближении линейно зависит от плотности
где
ат = ау,
ккалм
°—--------------;
кГ -град-сек
На основании этих соотношений можно написать
(й-1)
С
J ^RT^t
Qo
где
Л 1 Of
b>R1'ot
Pot
Предполагая, что для ограниченного перемещения поршня можно
принять 7’ot = 7’cp; о = оср, получим
t
Г— dt—-\-----— так как dW = + F vdt,
J W “ FnVcp IFo - П .
где ocp — средняя скорость перемещения поршня;
Еп — площадь поршня.
Знак «—» указывает на уменьшение объема цилиндра, а знак
« + » — на увеличение.
Таким образом, изменение состояния газа в полости цилиндра
свелось к политропическому процессу
где п = k 9; 9 — —-— .
Однако следует иметь в виду, что для любой ограниченной
области перемещения поршня показатель политропы не является
величиной постоянной, но чем уже эта область, тем меньше пре-
делы его изменения. Отсюда можно утверждать, что политропиче-
ский процесс изменения состояния параметров газа имеет место
в каждой точке области перемещений поршня, но характеризует
лишь мгновенное изменение этого состояния.
На практике иногда удобнее пользоваться формулой
где
8=—.
W7 ср
(2. 57)
Если поршень неподвижен W= 1Е0, формула (2.57) приобретает
вид
Pot = Poo^- (2-58)
Формула (2.58), как показывают сделанные при ее выводе до-
пущения, содержит две принципиальные неточности V Tot^V Тс?
иЧ' = const. От первой из них можно легко избавиться
t t
f k— 1 GTdt , , » (* jl
— i ----c„----= £ln—, так как ш = ш0— i (jdt.
.) R P co? o>0 J
0 0
Тогда для pOt получим зависимость
Р^р4-]ке-»‘, (2-59)
где
Ь=ч °F— (k — 1).
RW0 v
Рассмотрим два частных решения этого уравнения:
а) при отсутствии теплообмена с окружающей средой Ь=0 про-
цесс падения давления в полузамкнутой системе является изэнтро-
пическим
I (л> \fe
Pot= Poo
\ “о /
б) в замкнутой системе (о) = о)0) процесс падения давления
вследствие только теплоотдачи протекает по экспоненте
Pot~Pooe~bt-
Уравнение (2. 59) позволяет утверждать, что процессы измене-
ния параметров состояния газа в полузамкнутой системе, вызывае-
мые истечением и охлаждением, являются независимыми. Так как
процесс падения давления в системе вследствие только истечения
газа является независимым и изэнтропическим, то представляется
возможным выразить закон изменения давления в полузамкнутой
системе постоянного объема в зависимости от одной переменной t.
Закон изменения давления в системе при изэнтропическом про-
цессе истечения газа в зависимости от времени определяется сов-
местным решением уравнений состояния и изменения состояния
газа:
1
Запишем уравнение состояния в дифференциальной форме
Pot 4 , TQt Wj
Pot “ Pot
где
W't = 0; op=-G.
На основании уравнений изменения
состояния вправе записать:
Pot Xt . TQt k— 1 X-t . G
Pot X Tot k X «> <o
G = G0X^; X =
Poo
Подставляя найденные соотношения в уравнение состояния, по-
лучим
-------- 03 0
о u
Интегрируя это уравнение, получим
Х = (14-5/) '-1 , (2.60)
где В=Л—— i'Q—показатель интенсивности истечения;
2 ы0
G0=A177*—-£^=—начальный расход газа;
И RT00
w0 —начальный вес газа.
Так как X = pot!poo = (®/®0)fi, то уравнение (2.59) падения дав-
ления в полузамкнутой системе с учетом теплоотдачи примет вид
Ро1 = Роо<Л +Bt) e~bt-
Ранее для этого случая была получена формула (2.58). Пре-
образуем выражение ее показателя |3
к виду + b = +
Wq «0 у Тоо' k~\ У 7'00
где .1/ — _(см. пример 1 § 5 гл. II).
V Тт У k
Для решения практических задач при W=const можно принять
2k
Ры = Роо (1 + 5г)“ рте~?‘, (2. 61)
2 Ук в , ,
где с = —В-\-Ь.
k — 1
При истечении газа из полузамкнутого объема вычислять рас-
ход следует с учетом его скорости на подходе к отверстию исте-
чения
где г/0 = Д*;
/„—площадь отверстия истечения;
7’0; р0 — статические температура и давление газа на входе в отверстие;
s— коэффициент расхода вследствие, диссипативных сил и сжа-
тия потока на выходе из отверстия истечения.
Для идеального газа коэффициент расхода равен коэффициенту
сжатия струи.
Если площадь отверстия истечения по сравнению с площадью
поперечного сечения объема мала /о<СЕо, то величиной Хо можно
пренебречь. При Хо<1/3 ошибка в вычислении расхода не превос-
ходит 5%.
Определим начальное значение скорости z.o для критического
режима истечения. Известно, что при изэнтропическом процессе
течения закон сохранения вещества (2.6) для сечения потока на
входе в отверстие и для критического сечения вытекающей из от-
верстия струи приводит к равенству:
/о / 2 У-И
Г о U + 1 /
(2.62)
В том случае, когда е берут из опыта как коэффициент расхода,
то уравнение (2.62) необходимо решать графически или методом
последовательного приближения результата.
За первое приближение можно принять
у =. Л ( 2 У"1
0 МЖ/
Если пренебречь влиянием диссипативных сил, то коэффициент
расхода будет равен коэффициенту сжатия струи. Коэффициент
сжатия струи е при заданной форме кромок отверстия также яв-
ляется функцией X*. Произведем вычисление е для потока идеаль-
ного газа, вытекающего из отверстия с острыми кромками. Из
уравнения механики (1.8) коэффициент сжатия струи для отвер-
стия с острыми кромками
Исключая из уравнения сохранения вещества (2.62) коэффи-
циент е, получим
Интересно отметить, что л0 является функцией только размеров
объема и отверстия (Fo; f0) и не зависит от параметров состояния
газа и их природы. Кроме того, Fo/fo=Ko, т. е. отношение Fo/fo чис-
ленно равно коэффициенту реактивности потока на входе в отвер-
стие
^0 + К 1
2
/о '
(2. 63)
Для отверстия со скругленными кромками коэффициент сжатия
струи ег с достаточной для практики точностью выражается фор-
мулой
где d — диаметр отверстия истечения в свету;
г — радиус притупления острой кромки.
* Более подробно задача о сжатии газовой струи рассмотрена в § 10 гл. II.
В этом случае для л0 будет справедлива формула
При этом коэффициенты реактивности потока будут связаны
соотношением
где Ког=-~-----
В более общей формулировке эта задача рассмотрена в § 7 гл. И.
Пример 1. Найти среднее весовое значение температуры газа в резервуаре
при изэнтропическом процессе истечения в пустоту. Эта температура в соответ-
ствии с ее определением равна
1 Г
7ср — I ТQt du>.
“о J
о
ft—1 1—Ъ_
Учитывая, что T0f=T00X k и rfw = —<»0Л k dX, получим
k
1
T ^00 Г , V ^00 v
Tcp = ——\dX = —, где X = PQtiPw
k J k
о
Найденный результат представляет интерес не только с физической точки
зрения, но имеет определенное практическое значение при расчете газоотводных
устройств артиллерийских систем, заполнение которых в основном происходит
за время истечения газа из канала ствола, при тепловом расчете ствола артил-
лерийского орудия, а также при определении закона изменения давления в ра-
кетной камере после сгорания заряда.
Пример 2. Найти связь между полным давлением потока на входе в отвер-
стие истечения и давлением на дно резервуара цилиндрической формы. Газ
в резервуаре образуется от сжигания топлива, расположенного вдоль оси резер-
вуара (см. § 9 гл. V).
При рассмотрении задачи истечения газа из полузамкнутого резервуара без
учета теплообмена с окружающей средой было установлено, что процесс изме-
нения состояния параметров газа в резервуаре является изэнтропическим. Однако
это утверждение справедливо только, когда скорость потока газа внутри резер-
вуара пренебрежимо мала. В противном случае изэнтропическое изменение тем-
пературы газа внутри резервуара следует отнести лишь к ее среднему значению.
В действительности по длине цилиндрического резервуара процесс изменения
параметров состояния газа не является изэнтропическим, а характеризуется урав-
нением механики. В связи с этим полное давление потока внутри резервуара в лю-
бом его сечении не равно давлению на дно резервуара. Согласно уравнению
механики dR=pdF для цилиндрического резервуара с постоянной площадью
сечения справедливо d/?=0 нли рдн = р+(Щ2, откуда следует, что статическое дав-
ление и плотность потока
Р
Рин
так как
p — gQRT;
в люоом его сечении внутри резервуара равны
1-^X2
k -|- 1 Q 1
1 + X2 рдн 1 Х2
/ k — 1 \ ог/2
т = тж(\——-Х2 ); ^-=Ж2;
\ k+1 / р
2
дно резервуара:
Здесь р№-—давление на
бдя'—массовая плотность газа у дна резервуара;
Гд0—полная температура или температура у дна резервуара.
Температура газа у дна резервуара и в заторможенном состоянии (полная
температура) по закону сохранения энергии равны. Полное давление или давле-
ние газа при изэнтропическом торможении потока (2.11) составит
/ k — 1 \ к 1
Р<х>= Р 1— ~~.*2
X к + 1 /
Сравнивая выражения для рдн и рОо. получим
я =
Рдн
Роо
= (1 + Х2)
k — \
k+ 1
1
При Х=0 функция л=1, а при Х = 1 достигает наибольшего значения
k
/ 2
л = (1 + k) I —— £ k.
\k -f- 1/
В сверхзвуковой области функция я быстро убывает, стремясь к нулю. Так
как скорость потока на подходе к отверстию истечения не может быть сверхзву-
ковой, то можно утверждать, что рдн>роо для любого сечения потока внутри
резервуара. Поэтому при вычислении расхода газа из резервуара через отверстие
истечения по формуле (2.16) нельзя полагать Роо = Рдн. В противном случае
будет допущена не только принципиальная неточность, но существенная количе-
ственная ошибка. Так, при Хо = 0,5 эта ошибка превышает 10%.
Пример 3. Вывести выражение реакции газовой струи иа полузамкнутый
резервуар в функции давления на его дно (см. рис, 2.8).
а) Изэнтропическое истечение газа из цилиндрического резервуара через
отверстие с острыми кромками в пустоту. Согласно уравнению механики (2. 8)
реакция потока на резервуар при Х=1
k + 1 Ga*
R = R*=. —--------.
k g
С другой стороны, в соответствии с уравнением (1.8)
с k + lGa*
FoPm— Go + s
На основании этого получим искомую функцию
р оРхн ^-0 + 1
к ”4Г'где
Но, как было показано выше (2.63), для отверстия с острыми кромками
Ko=Folfo, поэтому
R* = foPw
Таким образом, существует тождество
. k + 1 Ga* Рордп
R" = —----— = ——- =/ордн.
k g Ко
б) Изэнтропическое истечение газа из резервуара через насадок в пустоту.
Для реакции газовой струи на резервуар с соплом справедливо уравне-
ние (2. 10)
RB = KBR*.
Исключая R* с помощью найденного выше соотношения, получим
О Р
о Pw
Л о
При решении практических задач полезно помнить тождество
I
Gv„ k 4- 1 Ga* 9 / k—1
«в =— + РвРв = -------Кв= (1 +Х2В) 1 - —- Х2В ДвАю=
§ & S \ /
к
/ \*-I yz
(14-Л) -f- /<в/?*/’00 = 7Г-/?оЛн. (2.64)
\/г+1/ Ко
Пример 4. Найти связь между статическим давлением и плотностью для
случая течения с прямым скачком уплотнения.
На основании уравнения механики (1.8) имеем
k 4- 1 G \а
g
+ V)~
k 4- 1 <?2а2/ . -J
1Г^(Х2 + Л2
где Xi — скорость потока до скачка уплотнения;
%2 — скорость потока после скачка уплотнения.
В силу законов сохранения вещества G! = G2 и энергии ах --а2 это равенство
приводится к виду
X] 4- 1 — ?-2 + ^2 1-
Отсюда следует, что наряду с обычным решением %i=%2 имеет место
Следует помнить, что равенство (2. 65) имеет физический смысл только для
М>1, т. е. для скачка уплотнения. При Xi<l это решение не имеет физического
смысла, так как скачок разрежения приводит к увеличению полного давления
и падению энтропии. Иными словами, сверхзвуковой поток при помощи скачка
уплотнения возможно перевести в дозвуковой, ио дозвуковой поток при помощи
скачка разрежения нельзя обратить в сверхзвуковой.
В соответствии с законами сохранения вещества и энергии имеем
61^-1 = 62^2 или 92/61 = ^1-
Так как Fp = ——Ga*
2k
справедливо соотношение
Pi + 1
Исключая Zj, получим уравнение ударной адиабаты Гюгонио
1 1 62
Pl k + 1 61 _. 62
— _--------------------- или —
Р<1 62 #•— 1 61
61 k + 1
k — 1 Pl
1 +-----; —
#+ 1 Рг
Pi + 1
p2 k + 1
(2. 66)
Ударная адиабата обладает характерной особенностью: при неограниченном
возрастании давления за скачком уплотнения (рг^00) плотность вещества по-
тока стремится к конечной величине
62 /61 ~»
k+ 1
k— Г
Последнее указывает на то, что ударная адиабата (2. 66) дает существенно
большее повышение давления по сравнению с адиабатой изэнтропического про-
цесса уплотнения (1.22)
62
61
1
/ „ \ k
/ Р2 \
\ Р\ /
§ 6. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ТРУБЕ ПРИ ВНЕЗАПНОМ РАСШИРЕНИИ
СЕЧЕНИЯ ПОТОКА
Рассмотрим случай стационарного течения при отсутствии взаи-
модействия потока с окружающей средой dQ = 0; dG = 0 (рис. 2.9).
Эта задача обычно формулируется так. Определить параметры со-
стояния потока в широкой части трубы (см. сечение 2—2), считая
заданными характеристики потока в ее узкой части (см. сече-
ние 1—1).
В области внезапного уширения трубы, т. е. между сечениями
3—3 и 2—2, имеются две зоны состояния газа: подвижная и непо-
движная (застойная). Неподвижная зона, прилегающая к стенкам
72
трубы, характеризуетсякотсутствием поступательной скорости дви-
жения газа. В подвижной зоне газ находится в движении, при этом
поток непрерывно увеличивает свое поперечное сечение от пло-
щади Fi до площади F2. Давление газа в застойной зоне неиз-
вестно, однако можно утверждать, что величина р2 ограничена пре-
делами: 1) Р\<-Рз<Р2 ИЛИ 2) Р1>/?З^Р2-
Первый случай соответствует уплотнению (торможению) по-
тока и возникает, когда имеет место противодавление р2>р\.
Второй — определяет ускорение потока и возможен при р2<р\.
При торможении потока его скорость уменьшается Х2<М. Ускоре-
ние потока сопровождаётсяДувеличением скорости X2>Ai. Для по-
тока, изолированного от внешней среды, исходная система
уравнении сохранения^ имеет
вид: Gi = G2 — вещества; а\=
=а*—энергии; /?1+(^2—
—Fi)Ps = R2—импульса пото-
ка, где 7?i, R2— полная реак-
ция потока в сечениях 1—1 и
2—2.
На основании уравнений
сохранения вещества и энер-
гии
/?2=лг2/г,
где
Ч2 + х-^
Рис. 2. 9.
В соответствии с этим уравнение механики (уравнение сохране-
ния импульса потока) приводится к виду
К2=К1 + ^К, (2.67)
где
дК=(Д2-Л)>.
/с
В уравнении (2.67) два неизвестных К2 и р?1. Выбор давления
рг. ограничивается не только установленными выше пределами из-
менения его возможной величины, но должен быть согласован
со вторым началом термодинамики AS2j1>0 или po2<Poi-
Иными словами, физический смысл будут иметь только те зна-
чения Хг, которые удовлетворяют неравенству
^2 (1 ~ С' > (1 -
\ k+\ I \ k+I j
или уравнению изменения состояния (1.20) и (1.24)
Р2 = Р1
Поскольку оба условия ограничения величины P?Ap\S. Р:^. р^
Poi>Po2) предполагают множество ее значений, задача выбора р3
остается неопределенной. Для нахождения р3 обратимся к графику
(рис. 2.10). Согласно графику функции Д(М и условию
Кг>Д1 дозвуковой поток тормозится, а сверхзвуковой ускоряется.
При торможении дозвукового потока должно соблюдаться условие
Pz>Pi, а при ускорении сверхзвукового p2<Pi- Возможен случай тор-
можения сверхзвукового потока при условии скачкообразного
перехода его в дозвуковой по месту сечения 3—3 (см. рис. 2.9)
й
t г f fa___2 __2V—i
ЛГ1 —АГр Л1 = Л1 .Если подпор /?2>Ро2 1--------5 Т0 ПР0'
\ k +1 /
изойдет дальнейшее его торможение за скачком уплотнения до
скорости А.2, определяемой уравнением K2 = Ki +АД. При Zt<l;
Pi>P2', ?12>1 уравнение механики теряет свой смысл, так как АД
не может быть отрицательной величиной. В этом случае процесс
ускорения потока будет происходить по изэнтропе (2.11)
й
[ , k— 1 ^2\Л—1
Р2 — Ро2 I 1
\ к + 1 /
до тех пор, пока позволит противодавление
й
/2 V-i
а величина Х2 не достигнет единицы. Так как при этом предельная
величина A.J также равна единице, то согласно уравнениям (2. 9) и
(2.15) полные и статические давления будут связаны соотно-
шениями
к
Р01=^ .
РО2 1
k
F, [ 2 \»-1
A = /’oitl г—г ;
Г2 U+ 1/
Pl = POl
' 2 у-1
k 4-1 /
Рассмотрим решение задачи определения параметров состоя-
ния потока в сечении 2—2 (Л,2; Pt', Р02) для предельных значений р3.
Торможение дозвукового потока Xi<l.
Обратимся к формуле (2. 67), в которой для случая торможения
дозвукового потока ДК>0 и определяется из условия
Тогда
1- —АХ2
+ д/С1=(^—1)----
\Г1 / ZAj
(2.68)
Как указывалось выше, увеличение коэффициента реактивности
дозвукового потока К2 возможно при его торможении, т. е. когда
АК>0 (см. рис. 2. 10). В этом случае решение уравнения механики
имеет смысл для Л.2<М или
Х2-7<2-/№2-1 =----^==- (2.69)
к2+VV2-i
Предполагать, что поток из дозвуковой области переходит
в сверхзвуковую и приобретает скорость Т.2 = ^Г1> 1 (при которой
обеспечивается нужная величина К.2), недопустимо, так как в этом
случае Ро2>Роь В самом деле согласно (2.4)
где
Откуда следует, что при -—- <( 1 полное давление р02>р01.
k 4-1
Закон изменения функции т] —poi/рог представлен на рис. 2. 11.
Торможение сверхзвукового потока Z,j>1.
При Xi>l и Р2>Р1 поток в сечении 2—2 (см. рис. 2.9) приобре-
тает дозвуковую скорость ^2<1. В этом случае в сечении 3—3 обра-
зуется скачок уплотнения, после которого = = , а затем,
если
Рис. 2. II.
ь
[ k~ 1
Р2>Р02 1 — —
\ k+1 /
где
Ро2— А)1Л1 " ,----
произойдет дальнейшее торможение
потока в соответствии с уравнением
механики /<2 = К1+ДК2.
Пределы изменения Х2 при тормо-
жении потока p2>Pi в зависимости от
степени внезапного уширения тру-
бы F2!F\ обозначены границами
1 (>'-2 Т-0 ~ для дозвукового потока ^<(1;
1 — Ддя сверхзвукового потока 1-
Ускорение сверхзвукового потока Ръ=Р2-
Уравнение механики в этом случае приобретает вид
+ (2.70)
\ П/
ИЛИ
sXl-2^X2 + ^i = 0,
^2
где
Р2Р2 _ k + 1 . = J 1 k— 1 / J fi \
R.* 2k2 ’ ' /г-И I f2 )
Отсюда
х2=- + 1/ч-~-Т-- (2'71)
г r г P2
Из уравнения (2.70) следует, что /<2>/(1.Это означает, что воз-
можно только ускорение сверхзвукового потока М>1 (см. рис.
2. 10). Поэтому найденное выражение для Х2 справедливо в случае
pC^p2, A.1^1. Пределы значений Хг в зависимости от степени вне-
запного уширения трубы обозначены границами:
k .
k+ 1.
k — 1 ’
Р1>Р2>0.
F2/Fj > 1;
Границы значений Х2 определяют диапазон неравенства полных
давлений (2.4) и (2.9) 1 <poi/po2^oo.
При F2/Fi = l будем иметь Poi = po2, а при F2IF\ = cc полное дав-
ление ро2 = О,.так как
— 1
Пример 1. Найти параметры состояния потока в сечении 2—2 при /?2=2/?1;
7ч =0,5; &=1,25; рг>р\.
Скорость Х2 найдем по формуле (2.69), для чего сначала определим
'Ч + \ 1
= 1,25;
/Го Л
= Ад + - J
. £-1-2
1 —---7Л1
£+ 1 1
2Х,
= 2,22;
Х2 =К2~ У /<2—1 =0,23.
Потеря полного давления (2. 9) составит
Повышение статического давления (2. 9) будет равно
Р2 Г, /г - 1 2 _ 1 и
Р1 Г2 х2 k— 1 2
1 —’ Ai
k+ 1 1
Пример 2. Найти изменение полного давления дозвукового потока при
Г2/Г1 = оо; Xi < 1; k— 1,25; pi<p2.
Скорость найдем по формуле (2. 69)
*2 =/<2+/гГ7Г = 0,
/ \i- ---м
/Г2 \ k + 1 1
так какДХ = |~ — II-----------= оо; /<2 = Xi + ДГ = ».
Потеря полного давления составит
Для Л] — 1 получим
к
Роз / 2 1 п к,с
----= 777 = 0,556; № = Ро2-
Poi U + 1/
При определении пределов функции Р2Х2/РД1 следует помнить, что л2 (2.69) за-
висит от Fs/Ft (2.68), поэтому
5,7.
Нт =
F.IFs
1
k— 1
k ~Ь 1
Пример 3. Определить параметры состояния потока в сечении 2—2, имеющего
в сечении 1—1 характеристики %i=2; F2i[-\ = '2-, #=1,25; pi<p2. Так как поток
сверхзвуковой, то скачок уплотнения переведет его в дозвуковой при
Х1=Х71=0,5. Дальнейшее его торможение будет происходить в соответствии
с уравнением (2. 69)
/,2 = Кч — У К}— 1 =0,23.
Потеря полного давления составит рог/poi = 0,42. Увеличение статического
давления равно
Пример 4. Определить параметры состояния при ускорении сверхзвукового
потока в сечении 2—2, если дано P2/Fi=2; ?л = 1,5; #=1,25; /Л>р2. В сечении 2—2
поток сохраняет сверхзвуковую скорость.
Ускорение можно определить по формуле (2.71), для этого определим
Потеря полного давления составит po2/poi=O,91. Падение статического давления
потока будет равно p2/Pi=0,33.
Пример 5. Найти параметры состояния сверхзвукового потока в сечении 2—2,
если дано /?i//72=0; %i=l; &=1,25; p2<pi. При этих условиях будем иметь
Так как Х2<
то Р02 = Pi = °-
§ 7. ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПРОТОЧНОМ РЕЗЕРВУАРЕ С ВНЕЗАПНЫМИ
УШИРЕНИЯМИ
Эта задача имеет практическое значение и прежде всего там,
где при заданном расходе газа требуется обеспечить заданное дав-
ление. Потребное давление достигается соответствующим выбором
расширяющейся части проточного резервуара, которая приводит,
как было показано в § 6, к необходимой потере полного давления
потока газа. Форма профиля проточного резервуара показана на
рис. 2. 12.
Рис. 2.12.
При решении задачи будем считать, что начальные значения
полных давлений и температуры заданы, а процесс течения газа
происходит без теплообмена с окружающей средой. Отсутствие
массообмена с окружающей средой характеризуется условием
G = const, а термоизоляция потока от внешней среды а* = const.
В соответствии с формой проточного резервуара на участках 0—1,
3—4 поток является изэнтропическим, т. е. течение газа происхо-
дит при сохранении полного давления роо = РоГ, Роз = Ро4- На участке
1—2 имеем неизэнтропическое течение, сопровождающееся потерей
полного давления Apoo = Poi—Роз>О. Так как сечения 2—2 и 3—3
выбраны в том месте потока, где полные давления равны, то^2=^з>
так как F%=Fz.
Параметры Хо; Хг, Хз; Х4; р0з и G могут быть определены из сле-
дующей системы уравнений:
1 1________________________
1 - гг! 4" = eiF>X1 (1 - ; (2- 72)
\ я 4- 1 / \ й + 1 /
1 1
^зЧ (1 - 1 = е/Л (1 - ^=1 Л1Г1 . (2. 73)
\ k+ij \ k+1 )
Уравнения (2.72), (2.73) являются следствием равенства пол-
ных давлений poo=Poi; Роз = Ро4- Связь между безразмерными скоро-
стями Xi и Хз устанавливается уравнением механики
Ri—Ri-\-(F2 — Pi', Ri—Rz
или
Ri
i-Mm
£+1 1
2)4
(2.74)
Решая уравнение (2. 74) относительно Xi, получим
(2.75)
где
Кз = 0>5^ + )-\
k+i\Fi /
Решение уравнений (2.72), (2.73), (2.74) можно провести для
тех случаев, когда Х4= 1; Х4<1 и £i = £4=1. Если окружающее дав-
ft
ление ра меньше критического
Щ 2 \ft-i
/’03,ТО
х4=1.
про-
в
тивном случае Х4<1. Коэффициенты сжатия струи £1,4 будут равны
единице только при соответствующем радиусе притупления острых
кромок на входе в каналы (см. участки 0—1 и 3—4). Если же
в указанных местах кромки острые, коэффициенты £1 и е4 опреде-
ляются соотношениями:
po + Qo^o==ei(A-|-Qi®?);
Рз+ез^^ (а 4-Q^) •
Отсюда
(2. 76)
(2. 77)
Подставляя Ei и в уравнения (2.72) и (2.73), получим связь
между %0 и Хь Лз и Л4 в более простом виде:
K1F0 = K0F1; Ко,1=0,5 (Х+Мод; (2.78)
К4К3 = К3Л4; К3,4=0,5(Х + Х-1)3.4. (2.79)
Решая уравнения (2.78), (2.79) относительно Ло и Х3, получим
(2. 80)
(2.81)
На основании обобщения соотношений (2.78) и (2.79) можно
сформулировать следующее правило: при наличии острых кромок
на входе из одного канала в другой коэффициенты реактивности
потока изменяются пропорционально площадям поперечных сече-
ний каналов КфFфF-z.
Полное давление потока на участке 2—3 определяется по фор-
муле
/’оз— Роо
ЛАо
Р 3^3
(2. 82)
п / k + 1' При 2 k lk—1 ра для Х4 справедлива формула (2.14) k4 = XO0]Z к , (2.83) \Роз/
где 1 2 k + 1 k — 1
Частные решения задачи
к
, , . (k + IV-’
1. ei==e4=l; ра.
В соответствии с уравнениями (2. 73) и (2. 75) имеем
1 1
а V с2 ° Pi
1 1__________________
Fl /Л-r 1 , Л /г—1,2V—1 й/|ч
Роз. — Роотг'1 с. I 1 iLl^ • (^-84)
F4 \ 2 / \ k + 1 /
При некотором критическом значении (F1/F3)* безразмерная
скорость X] достигнет величины, равной единице. Дальнейшее
уменьшение Fi/F2 по сравнению с критическим не повлияет на ве-
личину Ль она сохранится неизменной и равной единице. В случае
Fi/F2^(Fi/F2) * полное давление роз определяется формулой
Роз— Роо Д' • (2.85)
Критическое отношение площадей (F2/Fi)* находится из урав-
нения (2.75) для Xi = l
откуда
(2. 86)
Таким образом, область значений Xj определяется условиями,
зависящими только от размеров проточного резервуара: при
—k будем иметь Xj = l; при F2/Fi<(F+1)K3—k без-
размерная скорость Л1<1.
Для значений F4/F2<l/2 можно пользоваться приближенными
соотношениями:
Зная Х3 и фактические отношения F2/Fi; F3/F4, определяем Л]
и роз соответственно по формулам (2.75), (2.82), если F2!F\<
<{F2IF,r.
При FzlF\> (F2/Fi) * значение рОз определяем по уравнению
(2.85), так как в этом случае Xi = l.
k
2. е4#=1; ^-#1; р03 > Аб К4=1.
Согласно уравнениям (2.79) и (2.86) имеем
(2. 87)
Как и в первом случае, имеем две области значений Xi, опреде-
ляемые условиями F2IF^ (F2/F1)* и F2/Fi<(F2/Fj)*. При
Fz/F^ (Fz/Fi) * справедливы зависимости
= 1; /С] = 1; Д — —2 1/ —1 ; р03 = ра0 .
Для -Fg/Fj ^(F^/F^)* необходимо пользоваться формулой
а также уравнениями (2.84) и (2.87). Расход газа для 7.4=1 опре-
деляется формулой
(2. 89)
При наличии острых кромок на входе в каналы (см. участки
О—1 и 3—4) расход газа для Л,4<1 наиболее просто определяется
уравнениями (2.75), (2.80), (2.81), (2.83) и формулой
2k
k+ 1
а*
k — \
k+1
,2V-1
Ло
Поскольку в формулу (2. 83) для 7,4 входит р0з> то задача опре-
деления расхода в общем случае ei = ei = l; Л,4<1 решается методом
последовательных сближений (2.72), (2.73), (2.75), (2.82) и
(2.83).
Решим несколько примеров, имеющих практическое значение
для инженерных задач по расчету потерь полного давления звуко-
вого и дозвукового потоков в дроссельных устройствах с тупыми
и острыми кромками.
Пример 1. Найти потери полного давления звукового потока (Xi = l) в одно-
ступенчатом дроссельном устройстве.
Звуковое течение в сечении /—/ (см. рис. 2. 12) возможно только при вполне
определенных соотношениях площадей поперечных сечений /—/; 2—2; 3—3 и
4—4: F2/Fr, F3/F2- F4/Fs.
Прн наличии острых кромок (ei<l; е3<1) искомые соотношения для случая
>.4=1 связаны уравнением (2.86)
F3
— k.
При /?з//?4=4; £ = 5/4 скорость течения газа будет равна звуковой (Xi = l),
если выполняется условие
4
F1
/ 5 Л 5
= — + 1 4- —
\ 4 I 4
= 7,75.
Примем F2/Fi = 8, тогда безразмерная скорость (2.81) в сечении 3—3
1
4 + /Тб—i
= 0,127.
Потеря полного давления при ei = e4 согласно уравнению (2.85) будет
Р00 ^4 ^2 F4 8
Прн уменьшении FJF4 до 2 полное давление потока упадет в четыре раза
Роз=О,25роо-
При F0/Fi=8 в сечении 0—О безразмерная скорость газа
£ 0,068.
Пример 2. Для исходных данных примера 1 найтн потерю полного давления
при дозвуковом течении (Xi<l).
При условии FilF\< (,F2/Fi) *=7,75 будем иметь дозвуковое течение. Примем
F2/Fi = 5, тогда согласно уравнению (2.88)
Потеря полного давления определяется по формуле (2. 84)
Роз М + 1 , Л
= I------- | ---- Л-f I 1
Роо \ 2 J Fi ч
k — 1
k+ 1
k—1
9 \4 4 / 1 \4
— — 0,65(1 ——(0, =0,68.
8 / 5 \ 9 v
При F0/Fi=8, как и в примере 1, %0=0,068.
Пример 3. Рассчитать многоступенчатое дроссельное устройство с перемен-
ным расходом газа. Сравнение результатов примеров 1 и 2 показывает, что при
звуковом течении газа (Xi = l) потери полного давления потока существенно
больше, чем в случае дозвукового течения газа (Х|=0,65).
Таким образом, дросселирование звукового потока позволяет получить наи-
большие перепады давлений. Поэтому для построения эффективного многосту-
пенчатого дроссельного устройства площади поперечных сеченнй его ступеней
согласно уравнениям (2.85) и (2.87) должны удовлетворять соотношениям
Л/
F2l
Г 1 1 1
Р(1+^)-— — ;
L a J k
Fu __ Роз;
Fai Pool
F31
Fu
(F2i = F3i),
где а>1— коэффициент надежности сохранения течения со скоростью звука.
В таком дроссельном устройстве суммарное падение полного давления
где п — число ступеней дроссельного устройства.
1
Расход газа через дроссельное устройство определяется формулой (2.89) Gn = Gt,
так как /74=.Fi/P’1; роз=ро4=₽проо,
где
Из формулы для Gn следует, что расход газа через дроссельное устройство
не зависит от числа ступеней дросселя и определяется только величиной пло-
щади Р] начального канала.
При проектировании дроссельного устройства следует иметь в виду, что из-
менение расхода газа путем изменения величины Ft или F4 неминуемо приведет
к соответствующему изменению перепада давления. Поэтому варьировать рас-
ходом газа в заданных пределах при сохранении заданного перепада давления
(Р) можно только путем одновременного изменения площадей н до тех пор,
пока коэффициент а не будет равен единице. При этом для фиксированной вели-
чины F2 допустимое минимальное значение площадей Ft и Р4 составит
Fi °°
= + £)-1] Ft»———,
k р
а уменьшение расхода газа G —
m +*)—7
₽(14-Л) —1 ‘
Так, при а=1,25; £=1,25 и р = 0,5 допустимое уменьшение расхода газа
- 0,5(1 + 1,25)—0,8
~ 0,5(1 + 1,25) —1
= 2,6 раза.
С увеличением а допустимое снижение расхода газа возрастает. При а = 2 изме-
нение расхода газа возможно до 5 раз. Дальнейшее снижение расхода газа при
заданном перепаде давления (Р=0,5) за счет увеличения а нецелесообразно, так
как при а->оо (Р2— оо) G-* 9.
В общем случае заданная производительность (G) n-ступенчатого дроссель-
ного устройства, обеспечивающего заданный суммарный перепад давлений
(т] = Рп), достигается путем соответствующего выбора величин парамет-
ров р, п и а.
Теоретически можно создать дроссельное устройство, которое обеспечит лю-
бую производительность при заданном перепаде давления. Такое устройство дол-
жно иметь р = Роо= . Однако осуществить его нельзя, так как в этом случае
Ft* °0 или Fi-*0. Кроме того, величина р<» при £=1,25-5-1,4 отличается от при-
нятой в примере (Р=0,5) на 11-5-17%. _
Большая чувствительность производительности (О) дроссельного устрой-
ства для идеального газа к величине относительного падения давления после
каждой его ступени ())
не позво-
ляет теоретически достаточно точно рассчитать величину (G), так как уже
прн |3<О,5 необходимо учитывать влияние диссипативных сил и уравнение со-
стояния реального газа. Поэтому окончательную доводку размеров дроссельного
устройства следует производить экспериментальным путем.
Пример 4. Определить влияние скругления острых кромок на параметры со-
стояния дросселируемого газа для исходных данных примера 1.
Примем, что в результате скругления ei = e4= 1. Прн острых кромках согласно
уравнениям (2.76) и (2.77) ei=se4=0,8, тогда из уравнения (2.62) при £=5/4 и
получим Хз=0,159 вместо 7^=0,127 и 7o=O,O8O вместо Хо=О,О68.
При Хз=0,159 и Fz/Fi-S имеем
0,159 + 0,159-1
= 3,23;
/F, V' .. 9 5.
I ~z~ ) = (1 + й) 7<з — k — —- -3,23 — = 6,0.
vi / 4 4
Так как F^jFi > (F^IFj)*, то = 1.
Таким образом, при скруглении острых кромок увеличивается скорость тече-
ния газа через дроссельное устройство вследствие роста расхода в е_1 = 1,25 раза.
При этом перепад давления (|3) остается неизменным.
§ 8. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ГАЗООТВОДНЫХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ГАЗОВОГО
ПОТОКА
Примером работы газоотводных устройств на нестационарном
газовом потоке могут служить газоотводные устройства сопла ра-
кетного двигателя после окончания горения топлива и надульные
устройства артиллерийских систем. Главной особенностью истече-
ния газа из канала ствола является неустановившийся характер
истечения: Это усугубляется и тем, что газ сгоревшего заряда «0
к моменту вылета снаряда приобретает количество движения
LG = (D0v0/2g, соизмеримое с полным импульсом реакции на дно ка-
нала ствола за время истечения газа J FpWidt. Реакция давления
о
на дно канала ствола (1.9) равна
P = (2.90)
dt
где F — площадь поперечного сечения канала ствола;
Рдп — давление газа на дно канала ствола.
При расчете тяги ракетного двигателя величиной локальной
производной от количества движения газа внутри камеры сгорания
пренебрегают ввиду ее малости*. При расчете надульных газовых
* Обоснование этого положения изложено в § 6 гл. V.
узлов учет локальной производной от количества движения газа
внутри канала ствола является обязательным, так как в этом слу-
чае ее величина соизмерима с величиной полной реакции потока Л.
Предлагаемая задача с инженерной точки зрения представляет
интерес и относится к общему случаю расчета газоотводного уст-
ройства при нестационарном потоке в его полости.. Решение задачи
расчета реакции давления на дно канала ствола обычно основы-
вается на предположении изэнтропичности и квазистационарности
процесса истечения газа. Иными словами, определение параметров
состояния газа внутри канала ствола за время его истечения после
вылета снаряда (т. е. в периоде последействия) строят на основе
уравнений для скорости и расхода, выведенных для условий ста-
ционарного режима истечения, предполагая, что они сохраняют
свою силу в каждый данный момент времени. При этом начальные
(в момент вылета снаряда) и мгновенные (текущие) параметры
состояния газа (средние по длине канала ствола давление и плот-
ность) связывают уравнением адиабаты p/q* = Po/Qq или изотермы
P/Q=Po/qo-
Задача истечения газа из полузамкнутого объема была решена
именно в такой постановке, но для малого отверстия, т. е. для ма-
лых скоростей внутри резервуара (см. § 5).
В момент вылета снаряда количество движения газа внутри ка-
нала ствола, называемое начальным, равно
г __ “0w0
1-П----- .
2g-
Спустя время t, когда фиксированный слой газа в момент вы-
лета снаряда /=0 подойдет к дульному срезу, начальное количество
движения газа уменьшается до величины
L=~~^x, (2-91)
где со — вес газа, оставшегося в канале ствола, к моменту, когда
фиксированный слой подошел к дульному срезу;
оох — скорость фиксированного слоя газа в момент вылета
снаряда.
При допущении, что плотность газа по всей длине канала ствола
является величиной постоянной дд/дх = 0, вправе записать
(см. пример 1 § 3 гл. I):
г'ох- ®оу; “о=ео^; (2.92)
где х — координата фиксированного слоя в момент вылета сна-
ряда;
IFK — объем канала ствола;
I — длина канала ствола.
Найдем приближенное выражение функции L и dLjdt.
Соотношения (2.92) позволяют привести зависимость для L
к виду
Л = » f—V = (2.93)
Д' \ “о / 6о
В соответствии с уравнением (2.91) имеем — = JL / ДД* Y Так
dt dt \ 2g J
ш ди> ~
как 'О0л. = 'О0— и --~—G, то
<&_= Gv^
dt g
По аналогии с ранее найденным уравнением (1.16) предполо-
жим, что для L (2.93) справедлива зависимость
L = Loe~at.
Отсюда следует, что
—= — aL(ye~ai.
dt 0
С другой стороны, на основании уравнения (2.94) можно при-
нять
(2.95)
Сравнивая два последних выражения для dLfdt, получим
а — — 2 — .
“о
Трак как WK = const; dQ/cbc = O; G0 = co0'O0//, то в соответствии
суавнениями (2.92), (1.16) вправе записать
-®-=— = e~bt, (2.96)
So “о
где ft = G0/m0.
Далее, полагая процесс истечения газа изотермическим (Т =
= const), получим известную формулу проф. Е. Л. Бравина для за-
кона изменения давления на дно канала ствола после вылета
снаряда
P = Poe~bt- (2.97)
Обычно считают, что давление р0 и плотность о0 по длине ка-
нала ствола остаются неизменными, поэтому ро = р№ и ро=рдН
(см. § 15).
Отдача орудия без надульного устройства
На основании зависимости (2.97) сила давления газа на дно
канала ствола
P~Fpoe^bt. (2.98)
Подставляя в уравнение для Р (2.90) найденные значения
dLfdt (2.95) и Р (2.98) и решая его относительно R, получим выра-
жение для текущего значения реакции газа в дульном срезе:
°^й/- ' (2.99)
g
Импульсы сил Р и Rftt за время истечения газа соответственно
равны
J 6
о
(2. 100)
(2. 101)
ОО | T.Q.
Обычно выражение для J записывают так:
(2.102)
Тогда импульс отдачи орудия за время последействия
= (р - 0,5) -°- vQ. (2. 103)
£
В соответствии с ранее принятыми допущениями (др/сЬс = О;
Gq=o>0vo/1) совместное решение уравнений (2.100), (2.101) и
(2. 103) приводит к соотношениям:
д+. =/+э^: 3 = 0,5+ ,
г-0 ш vQ
где Ро=Рдп (2. 180).
Опыт проектирования артиллерийских систем показал, что экс-
периментальное значение показателя Ь, равное
gFpo
(₽ — 0,5) wo ’
(2. 104)
и его теоретическая величина практически совпадают.
На практике очень часто пользуются эмпирической формулой
(2.105)
При этом величина рг?0= 1300 м/сек и по физическому смыслу
является средней эффективной (импульсной) скоростью истечения
газа из ствола для подавляющего большинства артиллерийских
систем. Большая стабильность ее объясняется незначительным из-
менением теоретического к. п. д. орудий в диапазоне начальных
скоростей снаряда 600<о0< 1 000 м/сек.
Если при выводе уравнений для р и р исходить из предположе-
ния изэнтропического процесса истечения газа (2.60), то
_ 2k
р = р0(1-\-Bt) ft~1;
(2. 106)
где В=-—- —; Мо —число Маха в момент вылета снаряда.
2 ы0
При k=l формула (2.106) превращается в ранее полученную за-
висимость проф. Е. Л. Бравина (2.97). На практике обе эти фор-
мулы будут равноценными, если выполнить условие
в.
k— 1
Отдача орудия с надульным устройством
после вылета снаряда (период последействия)
При прохождении потока газа через надульное устройство пол-
ная реакция, как будет показало в § 11, получит приращение
Д/?=(1—a)R. По третьему закону механики Ньютона приращение
реакции потока будет равно изменению силы отдачи орудия, т. е.
силе воздействия надульного устройства на ствол Р—Py = BR.
Поэтому с учетом уравнения (2.90) суммарная сила отдачи орудия
на ствол с надульным устройство будет равна
Ру=аА? + ^. (2.107)
1 dt
С учетом противодавления (ра) формула (2. 107) имеет вид
(2.108)
Подставляя в уравнение (2. 107) значения R и dL/dt, получим
Р =аМ/?дне-« + (а-1)—(2.109)
Текущее значение импульса силы Ру, характеризующее прира-
щение количества движения откатной части с надульным устрой-
ством, определяется по уравнению
t
Д/= С = а (8 - 0,5) 4-
у J у g
о
+ (a_.l)±gL
При / = оо; д/ —(сф — 0,5) -co°v°' — полное приращение ко-
у g
личества движения откатной части с надульным устройством за
время истечения пороховых газов.
Выражение для конструктивной характеристики надульного
устройства (а) обосновано в § 11. При а=1 имеем случай, когда
надульного устройства нет. Пределы изменения величины пара-
метра а означены границами:
1<^аС2 — для усилителей отдачи;
—1<«<1 —для дульных тормозов.
Выражение для Ру имеет большое прикладное значение в тео-
рии проектирования лафетов артиллерийских орудий, так как по-
зволяет в любом конкретном случае определить параметры свобод-
ного движения откатной части орудия:
QoVo/ =gPy.
Отсюда после интегрирования получим:
И о< = И0Ц-£Д/—скорость отката;
t у
Xot=X0-\-Vg dt— путь отката.
о
Здесь Qo — вес откатной части орудия;
Xq, Vo — путь и скорость свободного отката к моменту вылета
снаряда.
Материалы настоящего параграфа, относящиеся к артиллерий-
ским системам, представляют теоретический интерес для проекти-
рования различных газодинамических тормозных устройств к ра-
кетным снарядам или сбрасывающих пиромеханизмов. Прежде
всего потому, что теоретический расчет надульных газовых уст-
ройств орудий является общей задачей, изложенной применительно
к явно нестационарному процессу течения газа.
Использование этой теории в случае стационарного потока газа
не вызывает никаких затруднений, достаточно только положить
dL!dt=Q.
Пример. Найти выражение функции dLfdt для гипотетического орудия, име-
ющего характеристики <о=6,О кг; /=6,0 м; Уо = 1000 м[сек. Согласно выраже-
нию (2. 95)
— = — ^е-й/ = —1,020-105. е~33“ кГ.
dt g
town 2vn
Здесь Go = — = 1000 кг/сек; a =—= 335 1/сек; ^ = 9,81 MjceK'1.
§ 9. РАСЧЕТ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА НА ПОРШЕНЬ В ПОЛУЗАМКНУТОМ
ЦИЛИНДРЕ. АКТИВНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ ОТДАЧИ СТРЕЛКОВОГО
ОРУЖИЯ
Эта задача имеет большое практическое значение. Подобные
газовые узлы ставят на ствол артиллерийских автоматических си-
стем, а также там, где необходимо получить энергию движения от
статического давления потока, свободно вытекающего в атмосферу.
Устройство газового двигателя представлено на рис. 2.13.
Рис. 2.13.
Рис. 2. 14.
Будем считать, что в застойной области полости цилиндра газ
неподвижен и его давление рц равно статическому давлению в по-
токе с площадью поперечного сечения Fo. В соответствии с этим
предположением задачу расчета давления можем свести к случаю
течения газа в трубе с внезапным расширением сечения потока
от площади F до Fo (рис. 2. 14). Тогда для критического режима
течения газа в сечении 1—1, т. е. на входе в полость цилиндра, и
сверхзвукового течения в сечении 2—2, при выходе из цилиндра
в атмосферу, уравнение механики может быть записано так:
(2. 110)
где
r^r.=K2r*- r^r^k.r*-,
2A2
D*__k + 1 Ga*
Д’ — - , л2 — л0.
k g
После преобразований уравнение механики (2.110) приводится
к безразмерной форме (2. 70)
1 — ' х2
/ F \ k 1 2
^1 + ( 1 - —)----С--' — ,
1 \ Fol 2Х2
где
Хп -'г- kn I Хл-Д- к.
К2 = - 2 - ; -1
2 2
Отсюда имеем
е У s2 е Fo
е=Н
k — 1
k+ 1
(2.111)
Зависимость (2.111) представляет собой частное выражение
более общего уравнения (2.71). Подставляя найденное значение
Л'г в уравнение механики (2.110), определяем статическое давле-
ние потока в полости цилиндра
Р^Рг
1 /}*
Fo-F
Сила давления газа на поршень согласно рис. 2. 13
дР = (Дц-Д)А=(К2- 1) R*.
F0—F
Если учесть, что доля реакции на резервуар, из которого выте-
кает газ в полость цилиндра, равна R*, то суммарная сила воздей-
ствия на подвижной агрегат (2. 108) составит
где
а=1 + (К2-1)А^. (2.112)
f0—f
Для заданной природы газа параметр а является функцией
только размеров полузамкнутого цилиндра F^; F; Fo.
Для нестационарного потока, например, в случае истечения
пороховых газов из канала артиллерийского орудия, полная сила
их воздействия на ствол определяется зависимостью
Р=(а-1)7?д/ + ^д/,
где Fp^t — текущая сила давления газа на дно ствола;
/?д t — полная реакция потока пороховых газов.
В § 8 было показано, что
поэтому выражение для силы отдачи ствола с газовым ускорите-
лем принимает вид (2. 109) и (2. 107). Такое надульное устройство
артиллерийского орудия называют активным усилителем отдачи,
а параметр а — его конструктивной характеристикой. Активный
усилитель отдачи относится к классу надульных газовых ускори-
телей.
Таким образом, уравнение активной силы отдачи Pv (2.109)
является обобщенным. Оно справедливо для любого надульного
газового устройства как для газового тормоза, так и для активного
и реактивного газовых ускорителей.
Для реактивного усилителя отдачи параметр а = Кв (2.24). Для
активного усилителя отдачи параметр а может иметь значения
существенно большие, чем пламегаситель. Для пламегасителя ве-
личина не может быть больше 1,5, в то время как для активного
усилителя отдачи ее значение превышает 2,5. Откуда следует, что
активный усилитель отдачи, выполненный в приемлемых габари-
тах, приблизительно в два-три раза эффективнее реактивного газо-
вого ускорителя (пламегасителя). Зависимость конструктивно-
импульсной характеристики а при Л'1=1 активного усилителя от-
дачи от его размеров представлена в табл. 2.4.
Таблица 2. 4
F Л)
1 2 3 4 5
1,0 1,000 1,445 1,890 2,335 2,775
0,9 1,032 1,338 1,665 1,982 2,300
0,8 1,056 1,337 1,618 1,900 2,180
0,7 1,077 1,334 1,590 1,845 2,105
0,6 1,095 1,334 1,572 1,812 2,080
0,5 1,112 1,336 1,560 1,772 2,000
0,4 1,127 1,340 1,552 1,7о5 1,975
0,3 1,141 1,343 1,545 1,746 1,950
0,2 1,154 1,348 1,541 1,735 1,927
0,1 1,166 1.351 1,536 1,722 1,907
0,0 1,178 1,356 1,534 1,710 1,890
Сила, действующая непосредственно на цапфы оружия (кожуха
ствола) в направлении, противоположном отдаче, определяется
уравнением
§ 10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ГАЗОВОГО ПОТОКА
МЕЖДУ БОКОВЫМИ КАНАЛАМИ ПРОТОЧНОГО РЕЗЕРВУАРА,
РАСПОЛОЖЕННЫМИ ПОД ПРОИЗВОЛЬНЫМ УГЛОМ К ЕГО ОСИ
Рассматриваемый вопрос представляет практический интерес
для проектирования реактивных двигателей с отбором газа' в си-
стему газодинамического управления, а также для расчета артил-
лерийских газоотводных устройств (газовые тормоза, эжекционные
устройства и т. п.).
В общей постановке задача может быть сформулирована так:
определить изменение плотности потока б на входе в боковые ка-
налы в зависимости от угла яр пересечения их осей.с осью цент-
Рис. 2.15.
рального проточного резервуара (рис. 2.15). Величина яр ограни-
чена пределами 0°<яр^180°. По определению
5— (6v)s
(е»)и ’
(2. 113)
где ((w)e — плотность потока в критическом сечении бокового
канала;
((w)u~~ плотность потока в центральном проточном резер-
вуаре.
Из рис. 2. 15 видно, что газ при заходе в боковой канал имеет
начальную скорость 1>б = РцС05яр, величина и направление которой
зависят от угла яр. При яр<90° вектор 1>б совпадает с направлением
бокового потока и тем самым начальная скорость способствует
истечению.
При яр = 90° начальная скорость обращается в нуль и расход
газа через боковой канал определяется только статическим давле-
нием в центральном канале. Дальнейшее увеличение угла яр при-
водит к изменению направления начальной скорости на входе в бо-
ковой канал и росту ее величины. Поэтому в диапазоне углов
90°<'ip<180° скорость препятствует истечению газа через боковой
канал. Описанная гипотеза формирования бокового потока показы-
вает, что его удельный расход непрерывно уменьшается по мере
увеличения угла яр и достигает наименьшей величины при яр=180°.
Решение поставленной задачи проводится в предположении, что
в наименьших сечениях потока скорость газа равна критической,
96
а площадь поперечных сечений боковых каналов достаточно мала
по сравнению с соответствующей площадью центрального канала.
В этом случае удельный расход бокового потока с учетом его на-
чальной скорости на входе для диапазона углов 0°<ф<90° опре-
деляется формулой
ft+i
k— Ц2\ к~х ра
-------Аб ._~ .
k + 1 ) V RTц
(2. 114)
В горловине центрального резервуара для удельного расхода
справедливо выражение
Поэтому для функции 6 можно написать уравнение
й+1
Полагая а* = const, принимаем Хб = Хцсозф. При
угла ф в диапазоне его значений 0°<ф<90° величина
изменении
функции 6
ограничена пределами
fe+i
k— 1.2\2(S-1)
~
k 4- 1 /
В
лами
где
В
зависимости от значения функции 8 определяются преде-
0<3<1;
>2 1
А ОО == - .
k— 1
случае, когда ф>90°, процесс втекания газа в боковой канал
предположительно можно разбить на две фазы. В первой проис-
ходит гашение начальной скорости, сопровождающееся потерей
статического давления рц (изэнтропическое торможение):
к
Р& = Ра(^
k— 1
k+ 1
. 2\*-l
Лб
Во второй фазе наступает истечение газа через боковой канал
под давлением рб при отсутствии начальной скорости потока.
В соответствии с предполагаемой схемой процесса формирова-
ния бокового потока искомые удельные расходы и их отношение
будут равны:
fe+i
(2.П6)
\ «4-1 ) \ я -г 1 /.
В зависимости от значений Хц и ф величина функции 6 ограни-
чивается пределами:
Таким образом, при заданном значении величина функции 6
монотонно убывает по мере увеличения угла ф и достигает мини-
мума при ф= 180°:
1>8
R+1
k - 1 ; SV-1
0°<Ф<180°.
С увеличением скорости потока в полости центрального проточ-
ного резервуара функция 6 уменьшается и при некотором значе-
нии Хц его величина обращается в нуль. Физически это объясняется
тем, что величина статического давления в полости резервуара,
определяющая расход газа через боковые каналы, достигает вели-
чины окружающего давления. При отсутствии окружающего дав-
ления расход через боковые каналы будет равен нулю (6 = 0)
в том случае, когда газ в центральной полости достигнет предель-
ной скорости (tao). В этом случае величина статического давления
будет равна нулю.
Если в полости центрального проточного резервуара имеются
местные сопротивления в виде кольцевых выступов или выточек,
сверхзвуковой поток Хц> 1 в результате возникновения скачка
уплотнения переводится в дозвуковой и величина функции 6 воз-
растает.
Предполагая, что обращение сверхзвукового потока в дозвуко-
вой протекает в соответствии с кинематическим уравнением
Прандтля XiX2= 1, для функции б получим выражение
2 (S-1)
1 — ----- X 2 cos2
fe+1 ц Y
(2.117)
Полученные зависимости для функции 6 будут справедливы для
практических задач, если давление в центральном резервуаре обес-
печивает перетекание газа через боковые каналы в атмосферу
с критической скоростью.
В общем случае, когда боковой канал является криволинейным
(рис. 2. 16), скорость Хб вычисляется через угол захода потока
Хб=ХцсозФвх.
Отсюда следует, что для повышения производительности (рас-
хода) боковых каналов целесообразно фВх выбирать минимальным.
Это условие позволит создать газоотводное устройство наимень-
ших размеров при заданной его эффективности.
Рис. 2.16.
Рис. 2. 17.
Коэффициент сжатия газовой струи
Наибольшее сжатие получает сечение струи при вытекании из
отверстия с острыми кромками. Наличие скругления (притупле-
ния) острых кромок уменьшает сжатие струи.
Определим сжатие газовой струи при истечении через круглое
отверстие с острыми кромками без учета диссипативных сил и при
наличии противодавления р&.
Сжатие струи характеризуется отношением 8=Рн/-77о, которое
называется коэффициентом сжатия или сужения (рис. 2.17).
Напишем уравнение механики
^о(л + ео®о2)= (ftWWo- Fh) (2- 118)
где pQ, q0) ц0 — параметры состояния потока в резервуаре;
рн, Qh, wH-параметры состояния потока в наименьшем сечении
струи.
Отсюда
1 + — ~
s = , (2. 118')
Рн
так как — =ЛМ2. Для дозвукового потока Мн<Д; р,=рк. На
Р
основании этого можно написать
До
Ра
1 + ——
Ро
ЛМ2
где
fr—1
М^Мо/—) к
\Ра)
Величина 8 уменьшается с уменьшением Мо и р0/Ра- При Мо=О и
Ро = Ра функция е(Мо; Ро/ра) имеет минимум
Наибольшее значение 8=1 будет при МО=МН=1
Таким образом, реальные значения коэффициента 8 ограни-
чены пределами 0,5<б<1. С физической точки зрения нижний пре-
дел значения е отвечает течению несжимаемой жидкости через
малое отверстие с острыми кромками и, как известно из гидрав-
лики, величина коэффициента сжатия струи в этом случае равна
100
половине. Верхний предел величины е соответствует критическому
течению газа в резервуаре, что возможно только при равенстве
площадей отверстия и поперечного сечения резервуара.
Наличие противодавления приводит к некоторому увеличению
сжатия струи (е уменьшается).
Найдем частные выражения функции е для некоторых случаев
истечения газа в окружающую среду с критической скоростью
Мн=1. Тогда, подставляя
ь k
в формулу (2.118'), получим
Для случая, когда Ра<Ро, можно принять
1+ /М*
k k
/ 2 Т/, k— 1
(1 + ^U+1) ( + 2 М°)
(2. 119)
В функции безразмерной скорости формула (2. 119) примет вид
(2. 120)
112 1 2 k + 1
так как Мо —л0---------------
При 7.о = О1 получим
(2. 121)
Зависимость (2. 121) может быть получена непосредственно из
выражения полной реакции потока в критическом сечении (2.16)
k
(9 \ ft—1
eFoA>- '
k + 1/
Выявим влияние частичного скругления острых кромок на ве-
личину коэффициента сжатия струи (рис. 2. 18). Согласно рисунку
коэффициент сжатия струи при наличии частичного скругления
равен
т F Fo F '
Так как Fn/FQ = e; Fo/F= (d0/d)2;
do=d+2r, то приближенная зависи-
мость для ег приводится к виду
Физически ег не может быть
больше единицы. Поэтому сущест-
вует предельное значение радиуса
Рис. 2.18. притупления кромок Гоо, при кото-
ром 8г=1. Дальнейшее увеличение г
не изменит величину е.
Таким образом, в зависимости от радиуса притупления острых
кромок круглого отверстия величина коэффициента сжатия струи
ограничена пределами е<ег<1. При этом диапазон изменения
радиуса притупления острых кромок составляет гх~
= 0,5t/^p/ —---1^<;0,2й?, так как е>0,5.
Так, в случае критического потока газа при 2г^0,1121/ вели-
чина ег достигает уже предельного значения:
е (1 + 2с\2 = 1,25е=1, где е = 0,8 (2.121); £=1,25.
\ d /
На практике это означает, что отверстия диаметром менее
10 мм, изготовленные в соответствии с техническими условиями
чертежа при г = 0,6 мм, не дадут сжатия критической струи.
Поэтому при истечении горячего газа через отверстие с острыми
кромками величина е с течением времени может достигнуть верх-
него предела. При этом реальное значение коэффициента расхода
фг, учитывающее, кроме коэффициента сжатия струи, влияние дис-
сипативных сил (%), можно принять равным <рт = %ег = 0,95.
Доля газа, отведенного в стороны из проточного резервуара
через боковой канал произвольного размера
Пусть площади поперечного сечения бокового канала и горло-
вины проточного резервуара соответственно равны F$ и Гц.
Рассмотрим изменение расхода в сечениях 1—1 и 2—2 (рис.
2.19). На основании закона сохранения вещества можно записать
Оц1 = Оц2+Об, где G4.6= (еГру)ц.б. Отсюда
1
°б
Об
Ощ
Оц2
Об
(2. 122)
Используя уравнение (2. 113), получим
1 .
аб =--------------доля газа, отведенного в стороны через бо-
1 । _L ковой канал.
ч а Д'б
Здесь ец — коэффициент сжатия струи при истечении газа из поло-
сти центрального резервуара через его горловину;
8б — коэффициент сжатия струи на входе в боковой канал;
д — соотношение удельных расходов.
Рис. 2. 19.
Вид функции — — будет определяться, как было показано
£б а
выше, неравенством ф^90° (2.116), (2.117), (2. 120).
Полагая, что в наименьших сечениях потока скорость вещества
равна критической, а противодавление пренебрежимо мало по срав-
нению с давлением в полости резервуара рцЭ>ра, при наличии
острых кромок будем иметь
Значения коэффициента плотности потока ve 1 (2.122') при
fe=l,25 и х=0,95 приведены в табл. 2. 5 и на рис. 2.23.
Таблица 2.5
Г V
0,16 0,25 0,50 0,64 0,81 1,00
30 0,92 0,90 0,86 0,85 0,83 0,82
45 0,88 0,85 0,78 0,75 0,73 0,69
60 0,85 0,80 0,70 0,65 0,61 0,57
90 0,81 0,75 0,61 0,56 . .0,51 0,45
120 0,78 0,70 0,54 0,47 0,41 0,34
135 0,75 0,68 0,47 0,40 0,33 0,26
150 0,72 0,61 0,41 0,38 0,27 0,20
170 0,69 0,58 0,36 0,28 0,22 0,16
180 0,68 0,57 0,36 0,28 0,22 0,16
При яр>90° принято, что коэффициент сжатия еб определяется
формулой (2.120) для случая QoOg =0 в уравнении (2.118). При
ф = 90° доля газа, отведенного в стороны из центрального проточ-
ного сосуда, составит *
где
Для 7.ц= 1 и ф==90° (поток в проточном резервуаре имеет крити-
, о/Н1\Л5
ческую скорость) ve = 2( I »
Если кромки имеют достаточное скругление г = гх, то можно
принять
И
°б =
1
6 Гб
(?биб
------Ь-РбРц позволяет найти параметр
и е
* Уравнение механики R*}=-
предварительного вычисления б
Об без
« Т х
= 1 - °б =--------------------------------J------------—•
1 - ТТГ С05 'Н (W (1 - 7—; *2Ц)
При наличии нескольких рядов боковых каналов (рис. 2.20)
доля газа, отведенного из центральной полости резервуара в сто-
роны, подсчитывается по формуле
аб = аб1 'Г аб2 ( 1 ~~ °61) + абЗ (1 — аб1) (1 — °б2) -|-
+ • • • + °бл(1—-об1) ... (1 — абл-1),
где «--число рядов боковых каналов;
<з61— доля газа, отведенного в стороны
через первый ряд боковых ка-
налов;
1—об1—доля газа, оставшегося в поло-
сти резервуара после первого
ряда боковых каналов;
аб2(1 ~ °6i)—доля из оставшегося (после пер-
вого ряда боковых каналов) га-
за, отведенного в стороны через
второй ряд боковых каналов;
с6„(1 — о61)(1 — о62)... (1—оби_1) — доля из оставшегося газа (после
п—1 ряда боковых каналов), от-
веденного в стороны через пос-
ледний ряд боковых каналов.
Для краткости записи выражения об удобнее принять
где
£б i Fб i
hii Fiii
(2.123)
1 — аб I----°ц i
1 + 6/
°6i
тогда
аб— 1 — ац1 + °Ц1 ( 1 — ац2) + °ц1ац2(1 — ацз)+ • • •
(2. 124)
После простых алгебраических преобразований получим
°б — 1 ац1ац2ацЗ • • • ац п-
Исходя из закона сохранения вещества
<3ц4~сб= -1>
доля газа, оставшегося в центральном проточном резервуаре после
ц-го ряда боковых каналов, составит
Оц=ац1ац23ц3- • • ацл- (2.125)
§ 11. ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛНОЙ РЕАКЦИИ ИЛИ ПОЛНОГО ИМПУЛЬСА
ПОТОКА ПУТЕМ ОТВОДА ГАЗА ИЗ ПРОТОЧНОГО РЕЗЕРВУАРА
В СТОРОНЫ. ГАЗОВЫЙ ТОРМОЗ АРТИЛЛЕРИЙСКОГО ОРУДИЯ
В общей постановке эта задача может быть сформулирована
так. Найти полную реакцию потока RB или ее полный импульс
j RBdt на выходе из горловины газоотводного устройства, а также
определить силу Р воздействия газоотводного устройства на пи-
тающий его резервуар и ее импульс J Pdt. При этом полная реак-
ция потока R на входе в газоотводное устройство может быть вели-
чиной постоянной (ракетный двигатель) или переменной (ствол
артиллерийского орудия).
Согласно уравнению механики dP=*dR запишем
ДР=/?г-/?=(а-1)/?, (2.126)
где a = Rr[R; R — реакция потока на входе в газоотводное уст-
ройство;
^ — горизонтальная составляющая реакции потока на
выходе его из каналов газоотводного устрой-
ства.
Коэффициент а является функцией размеров и формы газоот-
водного устройства и практически не зависит от параметров со-
стояния потока. Вследствие этого параметр а, характеризующий
эффективность газоотводного устройства, называют конструктивно-
импульсной характеристикой.
Газоотводные устройства, имеющие а>1, увеличивают началь-
ную реакцию потока, и поэтому их называют газовыми ускорите-
лями или усилителями отдачи, а газоотводные устройства с а<1
выполняют роль газовых тормозов.
При отсутствии внешнего давления и потерь внутри газоотвод-
ного устройства предельные теоретические значения параметра а
равны
Г .Г k
«оо = — /и — _ - — для газовых тормозов;
у А»2— 1
k
а^, — К«,=-у—== — для газовых реактивных ускорителей.
Здесь k — показатель адиабаты.
С физической точки зрения величина параметра асо соответст-
вует случаю, когда весь поступающий в устройство газ посредством
сопловых насадков бесконечно больших размеров или отбрасы-
вается строго назад ф=180° или отводится вперед ф = 0. При от-
сутствии газоотводного устройства АР = 0; а=1.
Таким образом, реальные значения параметра а будут ограни-
чены пределами:
1 <C«<C ЛГ~ — Для ускорителей;
1^>а^> — — для тормозов.
Найдем функциональную зависимость параметра а от размеров
и формы газоотводного устройства, предполагая поток газа кри-
тическим и изэнтропическим.
Рис. 2.21.
Спроектируем реакции боковых потоков (рис. 2.21) на ось
центральной полости газоотводного устройства
/?r=—cos (ф! + A'h)-I-----cos (ф2 + дф2) +
cos Дф; созДФ2
+ -^77-со5(фз + дф3) + /?в=а/?, (2.127)
COS Дфз
где АГ—реакция потока на входе в полость уст-
k g ройства;
„ *
— 1
A?i = —;-----Кг — полная реакция потока на выходе из пер-
k S вого ряда боковых каналов, взятая по
месту сечения 1 — 1 (перед косым сре-
зом);
k "4“ 1 ^2^2 гх
/?2 —--------/С2— Т0 же для второго ряда боковых кана-
k S ЛОВ;
1 G, а
7?3=—-------^-К3 — то же для третьего ряда боковых кана-
k S лов;
ь - ] - 1
д>в==:_г------Кв — полная реакция потока газа, неиспользо-
k s ванного в газоотводном устройстве.
Пренебрегая тепловыми потерями, примем
На основании закона сохранения вещества G = G1+G2 + G3+GB,
как было показано в формулах (2.124) и (2.125), Имеем
6^(1 -a^G; G2 = ai(l-a2)G;
<5з = °Н2(1 — аз)6; G^a^G.
Разделив левую и правую части уравнения (2. 127) на R, полу-
чим искомое выражение для параметра а:
а= /СвО1О2аз + ^1^1 (1 - а1) cos ф! + К£2ъ. (1 — О2) cos % +
+ ^з°1°2(1 —°з)со8ф3, (2.128)
где 1,- = -°-^--+ .= 1 — tg^tg дфг — коэффициент, учитывающий
со8Дфгсо8ф; эффект расширения газа в
косом срезе*;
Кв = —; Kt———относительные величины ко-
К К- эффициентов реактивности.
Для т-рядного (m-камерного) газоотводного устройства по
аналогии с уравнением (2.128) будет справедливо
« — • • am + J£ai3233 • - • а;-1(1 — ^ЙЛ-созф,. (2.129)
1
При расширяющейся форме каналов коэффициенты их реактив-
ности определяются по формулам (2. 19) и (2.24). Для параметра
О; было выведено уравнение (2.123). Если_форма и размеры боко-
вых каналов одинаковы о, = о; ф^=ф; Ki=Ks; уравнение для
параметра а приводится к виду
—от)созф. (2.130)
Такое устройство отвечает условиям наименьшего веса и габа-
ритов. Если при входе в полость г_азоотводно,го устройства крити-
ческий поток Х=1 не ускоряется К=\, а боковые каналы имеют
* Расчет коэффициента £ изложен в § 3 гл. II.
постоянную площадь поперечных сечений, то расчет параметра а
для этого случая проводится по формуле
а=от-}-?(1— cos ф. (2.131)
Проведем анализ уравнения параметра а. Легко заметить, что
уравнение (2. 130) является общим и охватывает как газовые тор-
моза, так и ускорители.
При <jm=l (боковых каналов нет) выражение для а вырож-
дается в зависимость а.=Кв, характеризующую ускорение потока
в сопловом или ступенчатом цилиндрическом насадках:
—для сопла;
/11 1
а <_ 1 ---------для ступенчатого цилиндра.
k (>k —р 1)
Предельное теоретическое значение параметра а для газовых
тормозов выбранной конструкции получим в случае, когда весь газ,
поступающий в полость газоотводного устройства, отводится в сто-
роны <тт = 0. Полагая £=1_(боковые каналы не имеют косого среза)
и ф=180°, получим а=—Ks.
Для случая истечения газа в пустоту через бесконечно большое
сопло а=—Коо. Все реальные значения параметра а значительно
меньше и составляют: Ка^^Зб — для реактивных ускорителей
(усилителей отдачи), l^a^—1 —для тормозов.
Импульс реакции воздействия газоотводного устройства на пи-
тающий его резервуар
t
д/==(а— 1) jF(di.
о
В зависимости от характера процесса течения газа для У? спра-
ведливы формулы (2.64) или уравнение (2.99).
Пример 1. Определить размеры активного усилителя отдачи, обладающего
конструктивно-импульсной характеристикой а=1,5, при Fq/F=1,2, fe = l,25. Без-
размерная скорость потока на выходе в атмосферу (2.111)
Коэффициент реактивности потока при Л2=1,36
Площадь поршня определяется из уравнения (2. 112)
a = 1 + (К2 — 1) ~ ,
откуда
-т-=1+
а — 1
аг2— 1
0,5 ,
0,049'
0,2 = 3,04.
Для 23-миллиметрового орудия, имеющего в момент вылета снаряда дуль-
«0^0
ный расход газа Go=—~— = 15,5 кг/сек при р0—900 кГ/см2 и оо=700 м/сек, наи-
большая сила отдачи составит (2.109):
Р = aFp0 + (а — 1) = 1,5-4,155-900 + 0,5 = 6150 кГ-
Пример 2. Показать практическую невозможность применения реактивного
(соплового) усилителя отдачи для условий примера 1. В соответствии с усло-
виями примера 1 коэффициент реактивности соплового насадка 7(в = 1,5. С учетом
потерь величина коэффициента реактивности сопла составит (2.24)
хГЧ-1
Кв.и=------------+ 1 = 1,565,
Х2ХЗ
где ,х.з = 0>96 — коэффициент, учитывающий неполноту работы диффузора
сопла вследствие нестациоиарности истечения газа из канала
орудия;
/2 = 0,98— коэффициент, учитывающий потери импульса потока от ра-
диального расширения в диффузоре при 0 = 11°;
/1 = 0,98— коэффициент диссипативных сил.
Безразмерная скорость на выходе из сопла
*в.и= -Кв.и+ V ^.и-1 -= 2-77-
Площадь выходного сечения сопла (2.6) для &=1,25
1
/ 2 V— 1
vB = -------Г- = 440; £ 21.
, Л k~x -л V-1
в-в ( Л+1 М
Длина диффузора сопла
Сопло длиной, равной 51 калибру ствола, строить нецелесообразно, так как
оно будет длиннее ствола.
Пример 3. Определить размеры боковых щелей, расположенных в области
критического сечения сопла ракетного двигателя и обеспечивающих регулирова-
ние величины силы тяги до 20% (а=0,8/(в). Сопло расчетное с коэффициентом
реактивности /(=1,25. Для каждого из четырех рядов щелей (т=4), проведенных
в стенке сопла под углом ф=90° к его оси, необходимое количество отводимого
в стороны газа на основании уравнения (2. 131) составит
Здесь в первом приближении Ка принят равным выходному коэффициенту
реактивности К.а=Кв. Уточним величину Ка. Давление в двигателе для расчет-
ного сопла с коэффициентом реактивности Дв = 1,25 (2.11) будет
k
( Ь — 1 „\ 6—1 / 4 \—5
Р°° = Ра 1— —7Хв =1 Р —V = 19 кГ[смР,
\ й + 1 / \ У /
где
Хв = Кв + У^-1 = 1,25 + /1,252-1 = 2.
Величины безразмерной скорости и
газа в сторону уменьшаются до
коэффициент реактивности после отвода
X
Ко =-------2-----= 1,233.
При этом значении не следует уточнять величину 1—о, так как она прак-
(Кв \ °'25
тически не изменится I «1. Из уравнения (2.123) при 8б = ед=1 относи-
тельная площадь боковых щелей каждого ряда
1 — а
F*
В
0,055
0,45
= 0,122,
где 6=0,45 — коэффициент плотности
лирования тяги составит 21%:
тока для
ф = 90°. Фактический предел регу-
АР = 1— — = 1-ат
Кв
^=1
кв
1,233 „ „
-Ч--0,8 = 0,21.
1,25
Пример 4. Найти размеры надульного устройства, позволяющие снизить
импульс отдачи орудия на 50%. Тип тормоза — щелевой цилиндрический
(рис. 2. 22).
Рис. 2. 22.
Искомое снижение импульса отдачи выстрела
— / -%.у \
1 —— =(1—а)—= 0,5,
\ JB I 1 + Э
у Р г . , Я 4" ctpojp
где -'в.у= ^о+ = vq— импульс выстрела с надульным
S S устройством;
7В =—v0 + L0+!i.J —------------v0—импульс выстрела без надуль-
S S ного устройства;
t£»0
3 = 3 — — коэффициент баллистической эф-
Ч фективности орудия;
q— вес снаряда орудия.
__ Величину коэффициента Э будем считать равной 0,7. Решая уравнение для
Д/„ относительно а, получим
— 1 + 3 17
а = 1-Д7в ——= 1-0,5-4 =-0,21.
J U , I
В соответствии с уравнением (2. 130) имеем
jn а — ЕА'бСозф
Ks~ ;Az6,cos^
Из конструктивных соображений принято ф=135°; Кв=Кб=1. При
ф=135°(45°), как следует из табл. 2.3, £=0,59. Для т = 8 получим <т=0,79.
Рис. 2. 23.
Относительная площадь
боковых щелей каждого ряда
FJl= 1~°
Дц 8®
где d=vs 1 =0,26— взято из табл. 2.5 для Лц2=1 (рис. 2.23).
Условие равенства производительности боковых каналов и отражательной
способности экрана диафрагмы (рис. 2. 24) дает связь между диаметром полости
тормоза и размерами боковых каналов:
G3=G6 или—= от8—= 8-0,26.1 = 2,04,
где
F3 = FK~ — площадь
<Tt n
Ак = — Г>; — площадь
экрана диафрагмы;
поперечного сечения полости тормоза;
JT п
Fa = — £>ц — площадь
снарядного окна.
Угол выхода газа из бокового канала тормоза согласно табл. 2.3 составит
фс = ф — Дф^11О°;
Дф — 25°.
Пример 5. Оценить снижение эффективности тормоза, приведенного в при-
мере 4, вызываемое косым срезом боковых каналов. Пользуясь формулой (2. 131)
при g=l и <т=0,79, имеем
а = ат + (1 — am) cos ф =— 0,46;
— Э —
Д7„=(1 — а)-------—0,6 вместо ДУ,, = 0,5,
в ' ’ 1 + Э
откуда искомое снижение эффективности надульного устройства составляет при-
близительно 17%.
§ 12. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА СО СКАЧКОМ УПЛОТНЕНИЯ
Течение газа может быть дозвуковым, когда скорость движения
газа меньше местной скорости звука и сверхзвуковым, если ско-
рость движения газа больше скорости звука. В этом состоит их
формальное отличие. По существу оба потока имеют глубокое
принципиальное различие, приводящее в определенных условиях
к несовместимости процессов качественного и количественного из-
менения параметров их состояния. В дозвуковом потоке любое
местное возмущение с течением определенного времени распростра-
няется на весь поток. В сверхзвуковом потоке любое возмущение
охватывает только его часть, лежащую вниз по течению от источ-
ника возмущения. Иными словами, особенность сверхзвукового по-
тока состоит в том, что возмущения от любого препятствия не пере-
даются вверх по потоку и носят локальный характер. В этом смысле
сверхзвуковой поток по образному выражению Прандтля является
«слепым».
Описанное качественное различие дозвукового и сверхзвукового
потоков дает физическое объяснение тому, что возмущение оди-
накового знака вызывает изменение скорости потока противопо-
ложного знака. Например, подвод газа или тепла в среду дозвуко-
вого потока приводит к увеличению его скорости, а в среду сверх-
звукового — к ее уменьшению; при отводе газа или тепла имеем
обратную картину: дозвуковой поток тормозится, а сверхзвуко-
вой — ускоряется. Этим же обстоятельством объясняется знак из-
менения скорости потоков в зависимости от формы канала проточ-
ного резервуара: в суживающемся насадке дозвуковой поток уско-
ряется, а сверхзвуковой — замедляется.
В самом деле подвод тепла или газа в среду дозвукового по-
тока с течением времени приводит к повышению температуры или
давления всей массы потока и вследствие этого скорость вещества
возрастает. Подобное воздействие на сверхзвуковой поток вызы-
вает повышение давления и температуры только в нижней части
потока, которое в определенном смысле является «пробкой» для
его верхней части; в результате этого сверхзвуковой поток тор-
мозится.
В общей постановке эта задача впервые была решена Л. А. Ву-
лисом.
Качественное изменение параметров состояния газового потока
при его взаимодействии с окружающей средой, а также условия
ею перехода через критическую скорость могут быть описаны сле-
дующей системой уравнений:
dF . dv . do dG
----1---1——=-------уравнение сплошности потока;
F v q G
dJL^d^ + dLii+dL
gQ 2g
dQ = -^-^ AR dT-\-d^~ -\-dL* — уравнение сохранения энергии;
тр = 0— уравнение механической энергии;
p = gQRT — уравнение состояния.
Дифференцирование уравнения состояния приводит к зависи-
мости
QdQ
где
л-т-
= gRT=—~;
k
о
Подставляя найденное выражение dp!do в уравнение сохране-
ния механических работ и исключая из него б/р/р с помощью урав-
нения сплошности потока, получим
л । б^2 । .11 । . cP / dF । dv dG
gRdT-\-dg dL*-]-g dL-ip = —--------—
2 R. \ г V (j
Определяя из последнего выражения dT и подставляя его
в уравнение сохранения энергии, приходим к обобщенному урав-
нению, характеризующему особенность каждого в отдельности
фактора воздействия и их сумму на изменение скорости потока:
«2(М2- 1) = а2 а2 g dL*-gk dLr? -(k-l)gAdQ.
(2.132)
Анализ уравнения (2.132) показывает, что в случае дозвуко-
вого потока М<1 его скорость увеличивается dv>0 при условии,
что
б/Д<0; cfZM>0; 6/Q>0; dG>0.
Ускорение сверхзвукового потока М>1 возможно только при
воздействии противоположного знака
dF">0; dQ с'О; dG <Q0.
Поскольку работа сил трения Лтр физически не может изменить
знака с/Лтр>0 и постоянно приводит к нагреву потока, то под воз-
действием сил трения дозвуковой поток ускоряется, а сверхзвуко-
вой — тормозится. Это же уравнение показывает, что торможение
дозвукового потока и ускорение сверхзвукового принципиально
возможны только в расширяющейся части канала проточного ре-
зервуара dF>0, а также при охлаждении dQ<0 или при отводе
потока в окружающую среду dG<0, или при отводе механической
энергии dLM<0. Отсюда следует, что сохранение тенденции ускоре-
ния или торможения движения газового потока требует в момент
перехода его через критическую скорость изменения знака воздей-
ствия на поток.
Нетрудно представить недостаточность этих условий для пере-
вода потока реального газа через критическую скорость, так как
постоянное наличие работы сил трения не позволяет сделать ско-
рость потока критической. В действительности ее величина асимп-
тотически будет приближаться к критическому значению, но прак-
тически никогда его не достигнет, так как в момент наступления
критической скорости знак воздействия должен измениться на про-
тивоположный. Однако знак работы сил трения, приводящий к на-
греву вещества потока, физически не в состоянии измениться. По-
этому для потока реального газа постоянство сил трения необхо-
димо компенсировать с помощью преждевременного изменения
знака, сопутствующего трению воздействия, так, чтобы в надле-
жащий момент суммарное их воздействие на поток обратилось
в нуль. В действительности в силу этого критическая скорость по-
тока в геометрическом сопле наступает только за критическим
сечением — в его диффузорной части.
Проведенное исследование характеризует лишь качественную
сторону течения газа, отражающую тенденцию изменения скорости
потока. Более детальное исследование показывает, что монотонное
изменение скорости потока при любом виде воздействия присуще
только дозвуковому потоку. Сверхзвуковой поток при соответствую-
щих воздействиях может лишь монотонно увеличивать свою ско-
рость. Всякое замедление движения сверхзвукового потока сопро-
вождается внезапным падением его скорости и скачкообразным ро-
стом параметров состояния. Иными словами, сверхзвуковой поток
имеет природную склонность к скачкообразному уплотнению. При
этом область непрерывного изменения параметров состояния по-
тока настолько мала, что практически величины скорости, давления
и температуры вещества вдоль потока имеют разрыв, т.е. меняются
внезапно, скачком в одном и том же сечении.
При торможении стационарного сверхзвукового потока в опре-
деленных условиях могут возникнуть как прямой, так и косой
скачки уплотнения.
Прямой скачок уплотнения характеризуется нормальным рас-
положением фронта скачка к вектору скорости потока. Если фронт
скачка расположен к вектору скорости потока под углом, отлич-
ным от прямого, то такой скачок уплотнения называют косым.
Изменение параметров состояния потока в прямом скачке уплот-
нения значительно выше, чем в любом косом: больше перепад ско-
рости, давления, температуры и больше потери полного давления.
Потеря полного давления потока при течении со скачком уплот-
нения указывает на рост его энтропии и принципиальную возмож-
ность существования течения с разрывом параметров состояния.
По этой же причине принципиально недопустимы скачки разреже-
ния, приводящие к возрастанию пол-
ного давления и падению энтропии.
Прямой скачок уплотнения
На практике прямой скачок уплот-
нения может возникнуть при набега-
нии сверхзвукового потока на препят-
ствие, расположенное под прямым
углом к его скорости или под достаточ-
но большим, отличным несколько от
прямого угла.
Изменение параметров состояния потока при прохождении его
через фронт скачка определяется законами сохранения — энергия,
полная реакция (2. 8) и расход вещества до и после скачка сохра-
няются неизменными (рис. 2.25):
<=< = ]/"\SRTa- Rx = R, = k-±l _^(X + k-i);
Gi = G2=gQT).
Полагая, что до и после скачка уплотнения теплоемкость газа
остается неизменной cpi = cp2; cvi = cv2, равенство полных реакций
потока приводит к уравнению
+ 1 = к2ф-Х21
или
ч-(^+Мк2+1=о.
Это уравнение имеет два решения:
1) ki = k2; 2)X2 = -L.
Первое решение отвечает случаю, когда скачка уплотнения нет.
Второе — определяет безразмерную скорость потока за скачком
уплотнения.
Абсолютную скорость потока после скачка уплотнения найдем,
если вместо Xi и Хо подставим Xi = — ; Хг= — ; иг1=— . Поль-
fl* а* 2 я*2
зуясь обобщенными выражениями для параметров состояния по-
тока (2.9) и (2.3), получим зависимости для статического давле-
ния, температуры и полного давления потока после скачка уплот-
нения:
(2. 133)
(2. 134)
/ k— 1 , \
/ 1 —----7 \
п \ + 1 \
^-=— I ь_1 (формула Релея). (2.135)
Ан h \ 1 —---------•/.; /
\ k+1 /
Для массовой плотности потока за скачком уплотнения имеем
-^- = -^==/2 (2.136)
01 ^2
Если из уравнения (2. 133) с помощью формулы (2. 136) исклю-
чить X2, получим уравнение ударной адиабаты Гюгонио
Для имеем k~ 1 02 , . .01 Ш. (2.137) Pi k~ 1 01 £ + 102 плотности и температуры газа за скачком уплотнения 02 --(^4-1) + (^ — 1) Pi. (2 138) 01 (*+П/’1 + (*—1)Рг’ 2а=Дз_ (^ + 1) а + (#—1) /12 (2 139) 71 Pi (k+ t)p2 + (k— 1) Z>i ’
Уравнение ударной адиабаты представляет собой равнобочную
гиперболу с асимптотами (рис. 2. 26)
k + 1
k~ 1 ’
02
Qi
Рч
Р\
k + 1
k— 1
Реальные значения давлений лежат на верхней части гипер-
болы, выше точки ©2/Q1 = 1; Р2/Р1 = 1.
Анализ формул (2.137), (2.138), (2.139) показывает, что дав-
ление и температура газа за скачком уплотнения могут быть ка-
кими угодно большими, в то врег
мя как плотность--стремится к
конечному предельному значе-
нию, равному
k+ 1
Приращение энтропии потока
за скачком уплотнения по выра-
жению (1.24) равно
д5=А/?1п .
Р02
Нетрудно показать, что при
любом значении k>\ будем иметь
AS^O для Zi>l и AS<0 для
Л:<1. Область значений Xi^l, от-
Ри вечающая скачку разрежения, не
ис’ ' ' имеет физического смысла, так
как энтропия в таком процессе
убывает AS<0. Поэтому процесс течения газа со скачком разреже-
ния, характеризующийся внезапным ростом скорости потока
У2==а*2/щ>щ нереален, т. е. дозвуковой поток с помощью скачка
разрежения принципиально невозможно перевести в сверхзвуковой.
В этом смысле процесс уплотнения сверхзвукового потока с по-
мощью скачка уплотнения является необратимым.
Проведем исследование уравнений (1.24) и (2.135). Изменение
энтропии в зависимости от скорости потока перед скачком Aq одно-
значно определяется функцией pwlptn или (po2/poi)ft-1. Производная
от выражения (poa/poi)'1^1 равна
и; ш = а+1)2' № -1) [2 - 4- хГ2)],
1 k +1
так как Х,=Хг1.
Знак производной определяется знаком члена, стоящего в квад-
£____________________________________________ ] £ _1_ 1
ратных скобках. Для всего диапазона значений Xj
знак этого члена всегда будет отрицательным. Отсюда следует, что
функция р02/р01 непрерывно убывает от оо до 0. При
величина функции PqJPoi обращается в бесконечность, а при
= —— в нуль. Значения, равного единице, эта функция дости-
k — 1
гает при Xt=l. Поэтому в области значений к]<Д функция р02/р01
всегда больше едицицы и меньше нуля.
Для области значений ^i>l имеем обратную картину:
Рю\Ро1<Л и Д5>0.
Таким образом, скачок уплотнения Zi>l; ^2<1 находится в со-
гласии со вторым началом термодинамики, в то время как скачок
разрежения не совместим с ним.
Косой скачок уплотнения
Особенность косого скачка уплотнения состоит в том, что сверх-
звуковой поток, пройдя его фронт, как правило, сохраняет сверх-
звуковую скорость v2>a*. Меньшая интенсивность косого скачка
уплотнения по сравнению с
полного давления.
Косой скачок уплотнения
возникает вследствие вне-
запного изменения направ-
ления движения потока, на-
пример, при обтекании пло-
ского клина или конуса. Ин-
тенсивность косого скачка
приближается к прямому по
мере увеличения угла встре-
чи потока с препятствием.
Опыт показывает, что косой
скачок переходит в прямой
прямым определяет меньшие потери
значительно раньше того момента, когда угол наклона препятствия
(по отношению к вектору скорости набегающего потока) достигнет
90°. Этот угол называют предельным.
Учитывая, что потери полного давления в косом скачке меньше,
чем в прямом, на практике оказывается возможным с помощью
ряда косых скачков провести торможение сверхзвукового потока
при обеспечении более высокого уровня полного давления. На этом
принципе работают диффузоры сверхзвуковых ПВРД.
Определим параметры состояния потока после косого скачка
уплотнения. В соответствии с геометрическими соотношениями
(рис. 2.27) имеем
vnl=vr sin v; ^„2=^2 sin (v —8); (2.140)
= COS V; T)X2 = ®2COS(V~?)-
(2. 141)
На основании уравнения сохранения количества движения
в плоскости косого скачка гм(qiZMi) = уТ2 (бг^пг) и условия нераз-
рывности потока, пересекающего по нормали плоскость скачка,
61411=02^2 имеем ^1 = ^2. (2.142)
Равенство тагенциальных скоростей приводит к дополнитель-
ным кинематическим соотношениям
'un2='u1sinv —; v2y=v2 sin?; (2.143)
V1—= tg v; 4a. = 4cos8. (2.144)
Так как ц2= zP; г|2=Ф2фФ, уравнение сохранения энер-
гии (1.19) приводится к виду
Введем обозначения
7
ср1'а ~ ф = СРТ^
где
{ k J X V?
Го (1-^X2 ; Х=—;
\ k+1 J а
В этом случае уравнение сохранения энергии можно перепи-
сать так:
2 2
V 1 V п
^L + cpT^cpTOn- _^. + СрТ2 = срТ0п. (2.145)
Отсюда получим
П-Чф-фФ); Г^пф-фф),
где
Найденные выражения для и Т2 позволяют уравнение пол-
ной реакции потока, пересекающего по нормали плоскость скачка,
привести к известному виду:
k+ 1 Ga*
<2-147)
Формула (2.147) является результатом совместного решения
уравнений (2.7), (2.2), (2.146) и
P«l,2 = g'Ql,2/?7'i,2; g61,2 = -c^ ; ^П1,2 = ^Л1,2Л*;
rvzil,2
gQ1.2^«l,2 = G = const.
Условие сохранения полной реакции потока приводит к зави-
симости
Отсюда получим связь между %п1 и Хи2, аналогичную связи для
прямого скачка:
хл2=^11. (2. 148)
Подставляя в формулы (2. 133), (2.134) и (2.136) вместо X2 ве-
личину , получим значения параметров состояния потока за ко-
сым скачком уплотнения.
Выражение для с помощью формул (2. 148), (2.142), (2. 140)
и (2.146) приводится к виду
XjSin2v £4-1 M2sin2v
Г»,_ 1 ’ Л1 О г __ 1
1 —-------- ><jC0s2 V 1 -4- --- М J sin2 V
£4-1 2 1
Подставляя в формулы (2. 133)
выражение %nj, получим
и (2. 136) вместо 2ц последнее
р2 2^MjSin2v —(£—1)
Pi £4-1
(2.149)
s2 _£4-i Misin2 v
S1 ~ 2 ( £— 1 „
1 4- —~— Mj sin2 v
02
Xjsin2 v
(2. 150)
.61
, £— Нг о
1-------Xfcos2 v
£ 4-1 1
Если в уравнениях (2. 149) и (2.150) принять v = 90°, получим
зависимости для определения параметров состояния за прямым
скачком (2.133) и (2. 136). Нетрудно заметить, что формулы Релея
(2. 135) и адиабаты Гюгонио (2.137) сохраняют свою силу для
косого скачка уплотнения. В этом случае в формулу Релея вместо
следует подставить ее выражение
. / k— 1 , „ \2
л, sin2 V COS2 V + 1 1 —-Arcos2 V
1 \ b I 1 1 /
x2 \----*414--------L_ ' (2.151)
2 Xjsin2v
Эта зависимость для X2 является результатом совместного реше-
ния уравнений
Х2 \2 1; = 1 — - a? cos2 ;
Ы «2 ’ п £< 1 1 /’
о2, = TI2 sin2 V; 42„ = 4 — 4 cos2 V.
fl 1 1 ' ft 2 £ 1
Уравнение ударной поляры
Ударная поляра представляет функциональную зависимость
вертикальной составляющей скорости потока за скачком уплотне-
ния V2y от ее горизонтальной п2х (рис. 2.28). Уравнение этой кри-
вой определяется формулами (2.140), (2.143), (2.145), - (2.148),
приводящими к очевидным соотношениям:
1412 —cos2 V; (2.152)
4142=®? sin2 v-z^itgv. (2.153)
Приравнивая правые части уравнений (2.152) и (2.153),
получим
(tg2v-J—— ) ------v^v^gv^a*1. (2.154)
\6 1 £4-1/1 -и tg2v ш 1 в v '
Исключаем tgv с помощью формул (2. 144) и после несложных
алгебраических преобразований уравнение ударной поляры при-
водится к виду
*2
_______«fe — а_______
*2 . k 1 2
а +Щ(Щ—v2x) — —— vf
k + 1
Эта кривая пересекает ось v2y в двух точках (см. рис. 2.28)
1) И2х = У1 И 2) ViV2x = a*2.
Первая точка отвечает случаю течения без скачка уплотнения,
вторая — с прямым скачком уплотнения. При этом соответственно
имеем sinv=l/Mi; sinv=l. Пусть г2г/=0(у2х = У1) из формулы
(2.154) имеем
Для v2x = — (z»2j,=0) согласно уравнению (2. 144) tg v=oo или
sinv=l. Угол р, при котором поток достигает наибольшего от-
клонения, определяется по формуле
ctgp==tg v
2 ,
! + tg2v+ — Ч
k— 1\
rnh(1 + tg v)
(2. 155)
где
tg2V = tg2Vm==cP(k1)4-]/®(A1)2-t-^(X1) ;
/ 1 - -—- X2 \
I 9 b 1 1 1 I
c₽(Xi)=0,5l 1H—— X2-|-3-----——
\ *4-1 1 X2-l )
Величина tgvmax найдена из уравнения ctg^ =0. Формула
d tg v
(2.155) получена из соотношения (2.154), так как в соответствии
с уравнениями (2.141), (2.142) и (2.143)
^tg v(l + ctgvctg p) = -nj.
k -j-1
k— 1
При ^ = '^1
ударная поляра вырождается в окружность,
имеющую уравнение:
или
Эта окружность пересекает ось v2y в двух точках
1) V2x=v« и 2) v2xvx = a*2.
Наибольшее значение угла отклонения потока ртах в этом
случае
ctg₽raax= 1) или ?max = arcsin-у,
так как
tg2 v = X2
tb \nax оо
k+ 1
Из рис. 2.28 следует, что с помощью поляры графическим путем
весьма просто определяются угол наклона скачка и скорость по-
тока за скачком.
При обтекании кругового конуса с углом при вершине, равным
углу плоского клина, интенсивность скачка уплотнения будет
меньше. Внешне это проявится в том, что угол наклона конической
волны относительно оси конуса будет значительно меньше, чем для
случая клинового препятствия. Для обеспечения одинаковой интен-
сивности ударных волн угол раствора конуса должен быть больше
соответствующего угла клина. Анализ результатов теоретических
расчетов дает следующую приближенную связь между ними:
^H~0,5(vK,4-3,J-l° для М > 2; ?пл>10°.
§ 13. обтекание конуса сверхзвуковым потоком
При решении этой задачи будем исходить из того, что положе-
ние скачка уплотнения задано, т. е. задан перепад параметров
состояния набегающего потока в результате его прохождения че-
рез фронт скачка. Расчет параметров состояния потока после
скачка уплотнения производится по формулам для плоскопарал-
лельного потока. Таким образом, наряду с параметрами состояния
потока после скачка уплотнения будет известен и угол плоского
клина, определяющий начальный угол излома поверхности тока.
Эти величины будут начальными для дальнейшего конического
течения. Коническое течение сверхзвукового потока за коническим
фронтом скачка уплотнения обладает следующим свойством:
вдоль образующей фиксированной конической поверхности, имею-
щей общую вершину с обтекаемым конусом, параметры состояния
потока остаются неизменными.
Вследствие того, что за скачком уплотнения поток оказывается
коническим, т. е. двухмерным, то по мере удаления его от вершины
обтекаемого конуса произойдет искривление поверхности тока.
Поэтому угол наклона касательных к образующим поверхности
тока будет непрерывно увеличиваться и асимптотически стремиться
к величине угла наклона образующей обтекаемого конуса. Причи-
ной такого искривления линий тока является переменная кривизна
обтекаемой поверхности конуса.
В бесконечности, где кривизна боковой поверхности конуса
обратится в нуль, поток вновь станет плоскопараллельным. На
практике, как показывают расчеты, поток оказывается близким
к плоскопараллельному при сравнительно небольшой длине обте-
каемого конуса. Чем больше угол при вершине обтекаемого конуса,
тем быстрее характер течения приблизится к плоскопараллельному.
Точное решение этой задачи дано Н. Ф. Красновым [16] и осно-
вано на следующей системе уравнений:
dv4 । । dp n
q^^+q^+^-Q;
2Q^r+ (et’e)+e^e ctg 0=0;
rffi
2i-j-u2 = const; p = gqRT.
Эта система уравнений в каждом конкретном случае может
быть решена методом численного интегрирования или на ЭВЦМ.
Но из нее нельзя найти аналитические выражения для образующей
поверхности тока и для изменения параметров состояния потока
при переходе от одной поверхности тока к другой.
Для проектирования РПД, когда требуется исследовать функ-
ционирование сверхзвукового диффузора в стартовом режиме,
целесообразно иметь простую инженерную методику расчета вы-
ходных характеристик диффузора.
Упрощенное решение задачи уплотнения стационарного потока
в межскачковой области можно получить на основе уравнения
механики (1.6)
dR = pdF,
X-1) —полная реакция потока, совпадающая
по направлению с вектором скорости
(2. 8);
1
-Х2
k + 1 Ga* k + 1 /л
р=—-------------------статическое давление потока (2.2).
п „ k + 1 Ga* ,, .
г де R — -----------(X -4-
g
При отсутствии диссипативных сил конический поток сохраняет
неизменным проекцию полной реакции на образующую обтекае-
мого конуса (рис. 2.29)
A* cos (₽к — 9) = const,
(2.156)
так как вдоль прямолинейной образующей обтекаемого конуса
на пути потока нет препятствий (dF=0), воспринимающих воздей-
ствие статического давления. Для конического потока постоянное
значение полной реакции потока вдоль образующей обтекаемого
конуса физически вполне очевидно вследствие неизменности пара-
метров состояния потока на фиксированной конической поверх-
ности.
Уравнение (2.156) определяет связь между безразмерной ско-
ростью потока и углом ее наклона по отношению к оси конуса
и представляет собой годограф безразмерных скоростей. Поскольку
величина угла 0 ограничена пределами р<0<рк, вправе записать
Z?cos(₽K —0)=/?0cos(₽K —р0). (2.157)
Так как в силу закона сохранения вещества и энергии G = const;
а* = const, то уравнение (2. 157) приводится к виду
К cos (Рк — 9) = K0cos(₽K — р0)=/С», (2. 158)
где ^=O,5(X-|-X_1) — коэффициент реактивности потока в любом
его сечении после скачка уплотнения;
Л"о=О,5 (\)-|- 7-1) — коэффициент реактивности потока на границе,
т. е. на тыльной стороне фронта скачка уплот-
нения;
Л”» = 0,5 (Х„ -(-7-1) — коэффициент реактивности потока для плоско-
параллельного потока, т. е. на бесконечно
большом удалении от вершины конуса.
Решая уравнение (2.158) относительно X и Хоо, получим
x = COs(3K—ftp) ^ /~„2 cos2(3K —30) i .
° cos(₽K—0) 0 cos2 (fJK - 0)
(2. 159)
= KQ cos (₽K - Ро) + vKI cos* (pK - p0) - 1. (2.160)
Из формул (2.159) и (2. 160) следует, что величина X монотонно
убывает и асимптотически стремится к Хоо, т. е. сверхзвуковой по-
ток в межскачковой области непрерывно уплотняется (тормозится).
Когда величины Ко; р0 и 0К заданы, то безразмерная скорость
потока определяется однозначно. Нетрудно показать, что уплотне-
ние потока происходит в соответствии с уравнением изэнтропы
(2.4)
const.
В дифференциальной форме последнее уравнение имеет вид
dF __ 2 XrfX rfX
'7~~ТИ‘ k~\ Г‘
1 —---
k + 1
Из уравнения механики (2.157) d7?cos(pK — 6)4-/?sin(PK — 6)d0 = O,
откуда
rf/?=-/?tg(pK-6). (2.162)
С другой стороны, вдоль поверхности тока (1.6)
dR = pdF,
где F — площадь поперечного сечения потока между фиксирован-
ными поверхностями тока.
Совместное решение уравнений (2.161), (2.162) и (1.6) при усло-
вии G = const; а* = const приводит к результату
tg(PK-0)d0=^--
Л 1 4- Az
Отсюда после интегрирования и потенцирования получим
1-J-X2 1+)2
cos (рк - 0) —— = COS(₽K — ₽0) —— .
Л Лп
Деля левую и правую части последнего уравнения на два,
получим исходную формулу (2.158) закона движения потока за
скачком уплотнения. Таким образом, изэнтропическое торможение
сверхзвукового потока после фронта скачка уплотнения находится
в полном соответствии с принципиальным положением: проекция
полной реакции стационарного конического потока на поверхность
обтекаемого конуса сохраняется неизменной (см. рис. 2.29). Это
заключение вполне очевидно, так как для конического потока все
его параметры состояния вдоль образующих конических поверх-
ностей имеют одинаковую величину. Так как в межскачковой зоне
сверхзвуковой поток изэнтропический, для параметров состояния
будут справедливы формулы (2. 11), (2. 12), (2. 13)
k — 1
1 —--------- Х2
k 4- 1
° . k — 1 . 2
где То; р0; q0 —статические температура, давление и плотность
потока на тыльной стороне конического скачка
уплотнения.
Изменение (поджатие) площади поперечного сечения потока может
быть найдено из уравнения неразрывности (2. 5)
Предельное поджатие поперечного сечения потока составит
Так как величины Хо; Ко известны, а X задана в функции от 9, то
при заданном 0 всегда можно оценить отклонение параметров
р-, q, Т от их предельного значения.
Уравнение образующей поверхности тока
Уравнение образующей поверхности тока найдем в виде функ-
ции г (и). В соответствии со свойством конического стационарного
потока исходная система уравнений имеет вид
F sin oj=лг2 sin (w — 9);
(2. 163)
1 4- X2 о.
—— COS(^—0) = С2,
где
k — 1
_______lx2 )
k+\ °)
c2 = 2/C0cos(eK-₽o) = 2/C
Поскольку исходная система содержит три уравнения при че-
тырех неизвестных й; 0; г; %, необходимо найти дополнительную
связь между углами и, 6.
Эта функциональная связь может быть определена из условия
конического течения: параметры состояния газа сохраняются по-
стоянными на поверхности любого промежуточного конуса, в том
числе на поверхности фронта скачка уплотнения (co = v) и обтекае-
мого конуса (со = рк) и меняются лишь при переходе с одной поверх-
ности на другую, т. е. с изменением угла и.
На рис. 2. 29 имеем
Xe = Xcos(<u — 0); Хш=л sin(oj — 0).
Отсюда следует, что
----=—X sin (ю — 0); — = Xsin(<u —0).
ды---дО
дХ0 / с)/.Г| дш
Допустим, что '=?7(Г ’ ^огда’ деля втоРое уравнение на
первое, получим
du>l М = — 1 или 0= const = с3. (2.164)
Величина постоянной находится из граничных условий: co = v; 0=Ро;
ы = Рк; 9 = Рк, поэтому
f3 = v + PJo = 28K.
Из выражения для постоянной с3 вытекает приближенная связь
между углами плоского клина Ро и конуса рк для случая, когда они
дают один и тот же угол наклона фронта ударной волны v:
0,5 (у-|-!'о)-
(2. 165)
Формула (2.165) дает хорошее совпадение с точным решением
[16] для М>2 и ро>10°.
В соответствии с уравнением (2.164) имеем О = Сз—со. Совмест-
ное решение уравнений (2. 163) позволяет найти искомую функ-
цию г (со):
k—• 1
k у 1
sin ш
sin 2 (ш — Зк)
(2. 166)
где
fe — 1 ? 2 1 sin (у — Зо)
k + 1 0 ) sin V
(2. 167)
r0—.начальная координата фиксированной линии тока на обра-
зующей фронта скачка уплотнения (см. рис. 2.29).
Из формулы (2.166) следует, что при со—*рк; г—>оо. Этот ре-
зультат имеет два смысла: формальный и физический. Первый
обозначает, что любое конечное поперечное сечение конического
потока в случае обтекания полубесконечного конуса должно выро-
диться в бесконечное тонкое кольцо, т. е. все поверхности тока пере-
секаются с обтекаемым конусом в бесконечности. Второй опреде-
ляет условие, при котором конический поток переходит в плоско-
параллельный и указывает, что реально такого перехода не может
быть.
Таким образом, найдена функция изменения радиального поло-
жения образующей фиксированной поверхности тока в зависимости
от угла контрольной конической поверхности в межскачковом про-
странстве. Для графического построения граничной поверхности
тока, определяющей потребный расход воздуха через контур дви-
гателя, достаточно соотношений г (и) и S = г (со) /sin со (см.
рис. 2. 29).
Угол наклона образующей контрольной конической поверхности
(со) является независимой переменной. Задаваясь углом со в преде-
лах pK<co<v, строим график г(со). Иногда удобнее иметь два гра-
фика г(%) и %(со). Точка пересечения образующих поверхности
тока с образующими контрольной конической поверхности опреде-
ляется уравнением S = r sin”1 со, в котором г; со являются уже
известными.
Пример. Найти параметры состояния воздуха в межскачковом пространстве
и уравнение образующей поверхности тока, если требуется обеспечить за скачком
уплотнения статическое давление набегающего на конус потока ро=3,55 кГ1см2.
Статическое давление невозмущенного потока ря=1,0 кГ/см2, а величина его без-
размерной скорости Хц=2(Мо=3,16).
При заданном перепаде давлений согласно формуле (2. 149) угол наклона
плоского скачка уплотнения
v = arc sin
М + 1 Ро , fe —Л°'5,.-1
\ 2k рн 2k J 0
34° 40',
где k =1,4.
Угол плоского клина, определяющий потребный угол косого скачка уплот-
нения, находится по формуле (2. 155):
2 9
1 ~ Г-7
Ро == arc etg----------------’-------tg v =
(tg2 v+ (1 + tg2 v)
\ k + 1/
2-22
1 + 0’692 + T7TT
=arc ctg -------------- --------------------
22 ^0,692+ 1 -j — (1 + 0,692)
0,69 = 18°30'.
Угол кругового конуса, обеспечивающий тот же угол наклона образующей
конического фронта скачка уплотнения (2.165) (у = 34°40'):
у + Ро 34° 40' + 18°30'
Безразмерная скорость потока после скачка уплотнения (2. 151)
sin2 v cos2 v 4- (1 —---
н______________\ k+\
sin2 V
Лд COS2 V
16-0,32-0,68 (1-4/6-0,68)
Отсюда Xo= 1,714.
Уравнение изменения безразмерной скорости за скачком уплотнения (2. 167)
имеет вид
, X» , / С
X _-------------+ I/ .------------_ ],
COS (ы — рк) Г cos2 (ы — рк)
где
1,714+ 1,714-1
К+ = Ко cos (рк - ₽о) =---------------cos (26°35' - 18°30') = 1,137.
Подставляя значения постоянных 7+,; Р,-, получим
/
1,137
cos (ш — 26°30’)
1,31
cos2 (ш — 26°30')
Уравнение образующей поверхности тока (2.166)
с sin w
, —— sin2(» — Вк) ’
, ( k—\ V-i v IK/
X (1 — - X2
\ k+1 )
где
sin(v— 30) , /, k— 1 ,,V-i
An I * ' Ал I ——
sin v \ k + 1 °;
sin (30°40'— 18°30')
sin34°40'
• 1,714^1 — 1,7142) 2,5=4), 156.
Уравнения изменения параметров состояния потока за скачком уплотнения:
1 — ———— Х2
1 - -—-1 X*
k +1 0
Результаты расчета сведем в табл. 2. 6
Таблица 2.6
X Г т Р 0 0)
1,714 1,00 1,00 1,00 1,00 34° 40'
1,694 1,150 1,022 1,079 1,056 32°00'
1,685 1,390 1,032 1,117 1,081 30°00'
1,680 2,078 1,038 1,140 1,097 28°00'
1,679 ОО 1,039 1,143 1,100 26°35'
§ 14. обтекание сверхзвуковым потоком плоскостей,
РАСПОЛОЖЕННЫХ ПОД ТУПЫМ УГЛОМ
Полная скорость v безвихревого потока и акустическая ско-
рость (местная скорость звука vx = kgRT) связаны соотноше-
нием v2~vx + v~r (рис. 2.30),
где vr — составляющая скорости вдоль луча-характеристики.
Условие отсутствия вихревого движения гоДи)=0. Для нашего
случая (рис. 2.31) это условие имеет вид
dvr=vxdy. (2.168)
Таким образом, поворот вектора акустической скорости на
угол dq> вызывает соответствующее приращение величины скорости
потока вдоль луча-характеристики dvr.
Рис. 2. 30.
Найдем функции vr(<p); ux (ф); п(ф). Для плоскопараллельного
потока уравнение сохранения энергии (1.19)
£^2
---— / можно записать так:
2.§'
k + 1 [
так как
о
/ = -1-^7’ = — —.
А— 1 k —1 g
Дифференцирование уравнения сохранения энергии приводит
к соотношению
vrdvr-^'k\vzdv^Q,
где
Х2 ==Ш.
00 А-1
Подставляя в последнее условие вместо dvr его выражение
(2. 168), получим
dv_
тк-Н2 —=0.
г Г ” л?
Повторное дифференцирование дает уравнение
так как
dvr d2V d2vx
- = 0 или 4-Х-2цх = 0.
d<? r “ d^ dvr = d<f d^
Решение этого уравнения имеет вид
Щ = ЩоСО8 X-’ср,
(2.169)
где
Too — полная температура потока.
Формула (2. 169) определяет изменение местной скорости звука
в зависимости от угла ф наклона луча-характеристики. Совмест-
ное решение уравнений (2. 169) и (2.168) дает выражение для со-
ставляющей скорости вдоль луча-характеристики
г>г = а*Х00 sin — .
X ОО
Полная скорость потока
9 а** ! г. 2
=------ Я — cos -— ср
k--- 1 \ Л оо
откуда безразмерная скорость
k—cos 2Х~’ ф
Х2 =---------—
k — 1
(2.170)
(2. 171)
С другой стороны, для изэнтропического потока (2. 14)
Х2 = Х2 11 — л, k
где
п1 — PlPooi
poo — полное давление потока;
р — текущее статическое давление потока.
Приравнивая правые части уравнений (2.14); (2.171) и решая
полученные соотношения относительно получим
2
k — COS —— ср
Л со
ми
(2. 172)
Из уравнения (2.172)
Г ( ’ у
ср = 0,5Хтеагс cos [А — (Л-{-1)\1 — Я] й J
Полагая Л] = 0, получим предельное значение угла <р:
'Роо=0,5лХ00, так как arccos(—1)=л.
Для А = 5/4; срте.—1,5л = 270°.
При © = 14=0; г)г = 77<!О=).ета*;
ср = 0; г\ = а*; тг = 0.
Угол поворота потока согласно рис. 2.30 определяется форму-
лой е = ф—ф. Найдем связь ф(ф). Из геометрии рис. 2.30 имеем
, i vr
ip = arctg-^ .
В соответствии с уравнениями (2.169), (2.170) отношение со-
ставляющих скоростей
Найденные выше формулы позволяют решить ряд практических
задач. Например, по заданному углу поворота потока (е) опреде-
лить параметры его состояния или найти угол раскрытия границ
струи, вытекающей из сопла двигателя при движении ракеты на
весьма больших высотах.
Параметры состояния потока в зоне его расширения опреде-
ляются по формулам для изэнтропического процесса расширения
газа (2.11), (2.12), (2.13). Если в начальном сечении скорость
газа сверхзвуковая (Хо> 1), то за начальные углы отсчета следует
принять
=-у arc cos [А-(^- 1)Х2];
J0 = arctg (К.» tg -2$-) .
\ Л J
Поэтому угол поворота сверхзвукового потока Де = е—ео,
где е0 = ф0—фо-
Уравнение линии тока
Для изэнтропического потока уравнение сохранения вещества
(2.4) имеет вид
При фиксированной ширине свободно расширяющегося потока
начальная Fo и текущая F площади его поперечных сечений свя-
заны очевидным соотношением (см. рис. 2. 30)
F г sina
-----— , \ ’ 1 ' /
Fq г о sina0
где г — текущее значение радиуса-вектора фиксированной линии
тока (го).
В функции безразмерной скорости синусы углов Маха
(ао=9О°—фо; а=90°—ф) соответственно записываются
L Г 1
Для Хо=1 (sinao=l; ао = 9О°) согласно уравнению сохранения ве-
щества (2.4) и формул (2.173), (2.174) имеем
fe+i *+1
I 2 ч2(й-1), ч 2 (Л-1)
В соответствии с уравнением для Л2 (2.171) имеем комплекс
k—I 9 \ 2 , , f Л—I
(1-----Х2)=-----cos2!/ -—Ф.
\ k+1 ) * +1 V k +г
Подставляя найденное выражение комплекса безразмерной
скорости в соотношение для г(Х), получим в полярных координа-
тах искомое уравнение линии тока свободно расширяющегося
потока
Пример. Найти закон расширения стационарного свободного потока при со-
хранении начального импульса (рис. 2.32).
Приведенное выше классическое решение
потока после схода с твердой стенки, являясь i
однако, только на трех уравнениях сохранения:
задачи расширения свободного
математически строгим, основано,
+ 2gl ~ const — энергии;
Р
—J- = const — энтропии;
/ k— 1 \ft-i
Е'/. 1 —------- Х2 — вещества,
В качестве четвертого уравнения было взято условие безвихревого движения
dvr = vzd<f. Строго говоря, закон расширения v(ср); ф(ср) и е(ср) был найден с по-
мощью только двух уравнений (первого и четвертого) второе и третье — исполь-
зовалось для вывода формул v(p) и г (ср). При этом уравнение сохранения
импульса потока не использовалось.
Для потока, свободно расширяющегося в пространстве, когда на его пути
нет каких-либо твердых границ, стесняющих его движение, величина начальной
реакции (До) в любом произвольном поперечном сечении должна сохраниться
неизменной (см. рис. 2.32):
Л cos е — const = До,
где
„ k + 1 Ga* , .
^0= о+ ° )•
Так как в соответствии с законами сохранения вещества и энергии G = const;
а* = const, то сохранение начального импульса потока можно записать в безраз-
мерной форме
К cos г = Ко,
где
Для критической скорости потока в начальном сечении Д>=1, т. е. на границе
твердой стенки коэффициент реактивности Ло=1. Поэтому уравнение сохранения
импульса (или механики) приобретает вид Дсозе=1.
Легко показать, что общепринятая схема расширения свободного потока
не удовлетворяет уравнению механики.
Вектор К cos е не только непрерывно изменяется по величине, но и меняет
знак своего направления.
Так, при ф=ф«, его значение
л
К cos е = Кх cos — (Ает — 1)>
Для й=5/4;&=7/5 соответственно получим Д«, cos е0О=—ДД; ЛД cos е.=— 0,65Д«,.
Отсюда следует, что с ростом показателя k, модуль вектора К cos е уменьшается.
Если на схему расширения свободного потока, кроме G = const; a*=const
наложить условие К cos e=const=X0, то она совпадает со схемой расширения
газового потока в зоне косого среза цилиндрического насадка (§ 3 гл. II).
Поэтому
Х = —^-+1/—^--1 (2.175)
COS <?1 I/ COS2?!
ИЛИ
1 + sin ?!
л =--------,
COS <f>i
где
COS е Ко
cos <pi =--; cos е —---.
1 До Д
Текущие значения независимой переменной е ограничены пределами
0< s<8oo = arc cos До/Л~- Предельные отклонения угла потока и его скорости
при %о=1; fe=5/4 и Ко=1 соответственно будут:
1 1
е = arc cos 77- = arc sin — = 53°;
^00 k
1 + sine^ /йТТ .
cose.,, ]/ 6-l~3,
где
С увеличением XO(XO>1) предельное значение угла поворота потока (ете) умень-
шается и стремится к нулю. Так, при Х0=2 (Ло=1,25); k— 1,25; еОо«41°30/, а для
?vo — Хпо (Ко — К<х> — 5/3), £00 = 0°.
В случае, когда расширение потока жестко ограничено, т. е. угол задан
(е<8оо), параметры состояния потока определяются по формулам для изэнтропи-
ческого процесса расширения газа (2.11), (2.12), в которых безразмерная ско-
рость X найдена по уравнению (2. 175) для заданного значения е.
Уравнение линии тока (см. рис. 2.32) вытекает из закона сохранения ве-
щества (2.4), в котором для плоского движения газа (2.173) при Ло=1:
F г г
— =-- — cos (ср —е) = — sin а.
Fo ra r0
Найдем связь между углами ср и е.
В соответствии с кинематикой расширения потока (см. рис. 2.32) имеем
г/Хг
— z ~ ф; ------ = X ; Xr — X sin (ср — е); X_ = Xcos(cp — е). (2.176)
d<f
С другой стороны, для безразмерной скорости Х_ справедливо выражение
М
(2.177)
Приравнивая левые части уравнений (2.176) и (2.177), получим
1
cos (<р — е) = —— = sin а
или
cos (ср — е) —
(2.178)
Подставляя выражения (2.173); (2.174); (2.178) в формулу (2.4),
уравнение линии тока
fe+i fe+i
/ k— 1 \2(*—1) Г k— 1 /1 + sin<?A2i 2(й-1)
r = r01 1 —-----X„ 1 —------ ----------
\ &+1 °/ L *+l\ COScp! /]
получим
(2.179)
Наибольшая кривизна линии тока будет при Хо=1 н cpt = е. В предель-
но k + 1 1
ном случае, когда Ко^К^, т. е. Х5 — ----------и cpj = arc cos -р— , функция
k 1 СХоз
(2.179) вырождается в уравнение прямой линии г = г0= const.
§ 15. УПРОЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ
КЛАССИЧЕСКОГО АРТИЛЛЕРИЙСКОГО ОРУДИЯ
Эта задача — чисто термодинамическая, результатом решения
которой являются параметры состояния пороховых газов в засна-
рядном пространстве и закон движения снаряда по каналу ствола
во время горения и после сгорания порохового заряда.
Точное решение задачи весьма сложно потому, что нельзя пре-
небречь инерцией газопороховой смеси в заснарядном простран-
стве, так как ее вес соизмерим с весом снаряда. Поэтому без допу-
щения о ее равномерном распределении вдоль канала ствола,
с одной стороны, и об усреднении давления по длине заснарядного
пространства, с другой, — не представляется возможным получить
аналитическое инженерное решение задачи внутренней баллистики
артиллерийского орудия.
Для динамо-реактивного орудия это принципиальное допуще-
ние достаточно правдоподобно вследствие большого оттока порохо-
вых газов через казенную часть в направлении, противоположном
движению снаряда.
Для ствола классического артиллерийского орудия газопорохо-
вая смесь у дна ствола неподвижна, а у дна снаряда движется
с его скоростью. Такое распределение скоростей порождает гра-
диент давления, приводящий в орудиях с высокой начальной ско-
ростью снаряда к весьма большой неравномерности давления
вдоль канала ствола.
Кроме того, ускоренное движение ствола, определяемое раз-
ностью сил давления на дно его канала и сопротивления противо-
откатных устройств, также влияет на градиент давления в засна-
рядном пространстве.
Прежде чем перейти к решению поставленной задачи, рассмот-
рим характерные давления в заснарядном пространстве и устано-
вим связь между ними.
Характерные давления в заснарядном пространстве
классического орудия
Вследствие наличия ряда второстепенных работ, производимых
пороховыми газами (преодоление инерции газопороховой массы,
нагрев ствола, вращение снаряда, выталкивание столба воздуха
снарядом из канала ствола, прорыв газов через ведущее устрой-
ство снаряда и его форсирование), во внутренней баллистике раз-
личают три вида давления (рис. 2. 33):
Рен •— давление на дно снаряда;
Рб — баллистическое (среднее) давление пороховых газов
в заснарядном пространстве;
Рдн — давление на дно канала ствола.
Связь между давлениями на дно канала ствола р№ и сна-
ряда pcs может быть найдена из следующих дифференциальных
соотношений:
mv't=Spca — уравнение движения снаряда;
<?mv'6t~Sp6 — уравнение движения снаряда, записанное через
среднее (баллистическое) давление;
/?4-7И1/'=5/?дн —уравнение движения откатной части с учетом силы
сопротивления откату /?;
v6=v-[-V — скорость изменения длины заснарядного прост-
ранства или скорость снаряда относительно дна
канала ствола;
где M=Qolg — масса откатных- частей орудия;
m=qlg — масса снаряда.
Рис. 2.33.
Совместное решение этих соотношений приводит к зависимости
-^ = АН + ^Н~/5-- (2.180)
<? Qo
Для линейного закона распределения скорости газопороховой
смеси в заснарядном пространстве (см. рис. 2. 33) скорости снаряда
и откатных частей связаны соотношением
t
g J Rdt
у ? + P^ v о
Qo + (1 — р) “ Qo + (1 — P)10
где р, =0,5;
со — вес заряда.
Дифференцируя последнее соотношение и подставляя в урав-
нение кинематической связи тело орудия — снаряд, получим
= (1 + + )-------------------,
\ Qo + (1 — р) “ J Qo + (1 — р)ш
откуда после подстановки v'6 = Sp6l<fm, v'(=SpCslm следует, что
Qo + (1— р) ш SQo + (1 — р) “
Тогда соотношение (2. 180) с учетом зависимости (2.181) прини-
мает вид
= Qo ? + , (1 — ц) и R
Р™ PqB q QO+(l-!x)<o Q0 + (l-|x)co S ’
При Qo—>oo получим общеизвестную формулу Пиобера
Рдв = Аи
Во внутренней баллистике классического орудия величину
коэффициента фиктивности массы снаряда, учитывающего второ-
степенные работы заряда, подсчитывают по приближенной фор-
муле
ср = /С+——. (2.182)
3 q
В зависимости от калибра и начальной скорости орудия для сна-
рядов с ведущим пояском параметр К находится в пределах
1,02</(<1,05. С уменьшением калибра величина К возрастает и
уменьшается с ростом начальной скорости. При отсутствии веду-
щего пояска, т. е. для пуль, имеющих калибр меньше 14,5 мм,
параметр К может достигать весьма большего значения вследствие
больших тепловых потерь и работы форсирования. Так, для оружия,
калибром менее 7,62 мм, параметр К= 1,25-4-1,35.
Вследствие ряда допущений, при которых теоретически вычис-
ляют величину параметра <р, коэффициент ц следует определять
из опыта и рассматривать его как величину нашего незнания.
Теоретический расчет коэффициента фиктивности весьма сло-
жен. Названные выше второстепенные работы пороховых газов,
определяющие величину ср, затруднительно вычислить не только
иЗ-за нестационарного процесса, но и потому, что значительная
часть этих работ зависит от конструкции и технологии производства
ствола и снаряда.
Расчет скорости снаряда и параметров состояния
пороховых газов в канале ствола
Решение данной задачи, как и задач внутренней баллистики
РДТТ, безоткатного орудия и промежуточной баллистики класси-
ческого артиллерийского орудия основано на использовании одних
и тех же фундаментальных законов термодинамики и имеет своей
целью показать общность методического подхода к их решению.
Исходная система дифференциальных уравнений этих задач
в рамках квазистационарного процесса является точной. Однако
решение ее в общем случае возможно только на ЭВЦМ. Получение
решения в виде аналитических выражений для параметров состоя-
ния газа в камере РДТТ или в заснарядном пространстве орудия
возможно при некоторых допущениях или -для частного случая
задачи.
В общем случае решение задачи внутренней баллистики этого
орудия является достаточно сложным и, например, изложено
М. С. Гороховым [7] и М. Е. Серебряковым [23].
В частном случае, когда используется баллиститное топливо
(пороха) с постоянной поверхностью горения, решение данной за-
дачи при некоторых допущениях имеет аналитическую форму. Для
орудий большого калибра трубчатые и ленточные пороха имеют
практически постоянную поверхность горения: Sr= — =const.
Решение поставленной задачи найдем в предположении, что дав-
ление форсирования (ро) снимается мгновенно, горение пороха
подчиняется линейному закону и=и^р, а тепловой обмен между
пороховыми газами и стенками канала ствола является квазиста-
ционарным. Последнее допущение вполне согласуется с трактовкой
М. Е. Серебряковым опытов Мюраура, состоящей в том, что ско-
рость отвода тепла в окружающую среду прямо пропорциональна
давлению газов.
Период форсирования
В периоде форсирования порох горит в замкнутом объеме, так
как снаряд неподвижен. Параметры состояния пороховых газов
с учетом их теплообмена со стенками камеры определяются систе-
мой уравнений сохранения энергии и вещества
(k-\)GAQ=kpW\-\-Wp't-\-(k-\)A ~ F р-,
R
Geo
= — U1P-
«1
(2. 183)
Так как время нарастания давления от атмосферного ра до вели-
чины давления форсирования достаточно мало, вправе положить
W, sA). Тогда система уравнений (2.183) сводится к дифферен-
циальной зависимости
(£-1)А (Q-у
\ •'1
vo р \ dt_____dp
откуда
где Q — калорийность пороха для жидкой воды при
начальной температуре заряда;
о) — вес заряда;
WZH = UZKM—-—начальный свободный объем камеры заря-
8 жания;
VKKM-полный объем камеры заряжания;
К
Jx = ^-= pdt — полный импульс давления;
1 о
tK — полное время горения заряда;
OTV7 / 1 \
Лн1 +2— -площадь внутренней поверхности камеры
ZKM \ <4м/ заряжания;
• — средний диаметр камеры заряжания;
1ки — длина камеры заряжания;
oSl ккал дм----постоянная коэффициента теплоотдачи;
кг-град-сек
Т
v=l------^=^0,9 —относительный перепад температур газов и
т стенки камеры;
2^ —толщина горящего свода зерна пороха.
Количество пороховых газов при давлении форсирования
t
f ^=^(^-1). (2.184)
J1 J
о
Так как
/=_Lin-£°,
«1 л
то
h «1
или
ш =_1____1_____РО^н
н й-1 AQ 22.
RQ «
Найденная зависимость для ®н при гипотезе осреднения парамет-
ров состояния равноценна очевидным соотношениям
19
RT0=(£-1)Aq(1-~
RT0 v \ RQ V
Приращение свободного объема камеры к концу периода форси-
рования дщ =-^== ^2 , (2. 185) 6 (Л-1)ЬЛ(?В 1
где 7 ^1-21 ^111. Zh RQ <0
Если вследствие выгорания пороха изменение объема AW7H более
10% от начальной его величины, для закона изменения давления
в периоде форсирования следует пользоваться уточненной форму-
лой, выведенной с учетом скорости горения пороха
где
Srll Ср <1>PQ / До)
р = (£-1)Хн2^.
Ро
При «ср->0; р->рае^.
При достижении давления в камере ствола, равного р0, снаряд
приходит в ускоренное движение.
Период дв и жени я снаряда по каналу ствола
при горении заряда
При заданном законе (u = tiip) горения заряда параметры со-
стояния пороховых газов в заснарядном пространстве однозначно
определяются законом сохранения энергии (1.19) и уравнением
движения снаряда. Эта исходная система уравнений имеет вид:
<?mv't = Sp-, р = рб-,
W'=Sv+— — р-
71 В Л (2. 186)
Q'-A^’rt-^Fp-
К
S.=^=l,
Л ^Оз
где ср=Л'-|"~-—— — коэффициент фиктивности массы снаряда;
3 9
т — масса снаряда;
К = 1,02 н- 1,05 — коэффициент потерь энергии вследствие про-
рыва газов через ведущий поясок снаряда,
вращения снаряда и выталкивания снарядом
воздуха из канала ствола;
Q'—скорость изменения тепла в заснарядном про-
странстве вследствие горения заряда и тепло-
отдачи от пороховых газов стенкам ствола;
W't — скорость изменения заснарядного объема
вследствие движения снаряда и горения заряда;
весовая скорость прихода газов от горения
заряда;
а — коволюм пороховых газов;
S03, 53 —начальная и текущая поверхности горения
заряда.
Система дифференциальных уравнений (2.186) может быть по-
ложена в основу и для пороховых зерен с переменной поверхностью
горения (S3=0=1). В этом случае решение задачи внутренней балли-
стики орудия удобнее вести на ЭМУ или на ЭВЦМ, одновременно
отыскивая ее оптимальное решение с конструктивной точки зрения.
В теории внутренней баллистики параметр а до -некоторой сте-
пени служит коэффициентом согласования опытных и теоретиче-
ских результатов. Величина коволюма а в соответствии с уравне-
нием состояния реальных газов Ван-дер-Ваальса не может быть
постоянной и зависит от давления. С увеличением давления вели-
чина а убывает. В качестве независимой переменной примем ско-
рость снаряда (о). Тогда совместное решение уравнений (2.186)
приводит к зависимости
{[(^ — 1) AQ —— 1) -^(l-a5) + dS/>4-
|_0 J | о J
+(А-1)Л ^Fp
К
или
К о
(О Рс.г> "I / \ г
(2. 187)
где «г = «>н + ^
— текущий вес пороховых газов;
S—площадь поперечного сечения
ствола;
канала
ш1==ш—wH —вес несгоревшего заряда к началу движе-
ния снаряда.
Величина ®н поэтому в инженерной практике можно допустить
wi~w> Хн'”!- Величина члена —(1 —аВ)—, характеризующая ско-
71 в
рость изменения свободного объема заснарядного пространства
вследствие выгорания пороха, при интегрировании уравнения со-
хранения энергии принята постоянной и равной среднему значе-
нию. Такое упрощение уравнения вполне допустимо, так как влия-
ние этого члена на общий баланс энергии практически пренебре-
жимо мало: <0,03.
8Лф
Интегрируя уравнение (2.187), найдем связь между скоростью
снаряда (v) и температурой газов (Т) в заснарядном объеме
в виде обобщенного уравнения Резаля:
wrRT (Г Per/}
7-7-Xh-AQ‘«b+ pQ-(l-a8)vW
Л —— 1 О J
. VO F ) t/2
— A -----\9mv— am—.
R S Jr 2
(2.188)
Необходимый объем канала ствола для обеспечения заданной
скорости снаряда в период горения пороха определяется интег-
ральным уравнением закона сохранения энергии (1.21)
t
Г (к— 1JAQ
\ _ at
pW^p^e
где И'/о = ^/н +Д^н~ начальный свободный объем при давлении
форсирования (р0).
Исключая (2.188) из интегрального уравнения, получим
Q {(k-V)AQ't f dv
Pi= I ----------dt= — с I -------------,
J arRT J v2 — ‘2cxv — c2
о о
где
c=2ACI&
vo F \
RQ ~S)’
AQ Я1-(1-а8)-^1 —
IL ^Q8jS7i
(2.189)
C2 — 2----------yH,
<fin
F ^2/z —средняя величина относительной поверхности охлажде-
S ния;
п = ——полная длина ствола в калибрах.
d
В практических расчетах для удобнее иметь формулу
с =0,5с-(1-а8) — —.
8 s/j
Выполняя интегрирование, получим
р1==-_^—in £1=1,
«1 — «2 и2—1
где _____
01 = — ; v2=—2 = ^ + 1/~щ + с2 • (2.190)
Согласно уравнению (2.188) щ— скорость снаряда в полубес-
конечном стволе (Т—>0).
На основании соотношения (2.190) вправе записать
С
, /л Г. ---^-2
pW*=pQWW-¥]
\ 1 — V1 /
ИЛИ
где pW = urRT; p0W0=(k-Vf«>aAQxH.
Функцию скорости ф(о) можно записать через постоянные сле-
дующим образом:
---Г (2- 192)
С2+(2Су — v)v yl — V1 /
Если известна длина пути снаряда /к к концу горения пороха
или полная длина канала ствола в калибрах (п), то рср оцени-
вается по формуле
gSJ\
р (2. 193)
р 2VqlK
где /к~0,7/д--путь снаряда к моменту конца горения заряда.
В том случае, когда /к неизвестно, можно принять
1-22.^0,97.
4Q8
Г- Л. ч Лр
С физической точки зрения величина ---- учитывает влияние на
внутреннюю энергию газа изменения свободного объема канала
ствола от выгорания пороха.
На практике при расчете параметров состояния пороховых га-
зов в заснарядном пространстве, а также скорости снаряда для
артиллерийских орудий малого калибра и в особенности для стрел-
кового оружия, где тепловые потери достигают относительно боль-
шой величины, удобнее пользоваться уравнением
pW^p.WlO—^X1 °2
где щ ——т-; г»2==--; fi,2=ci + k ci т^;
V2
?2=Д -li А (£-1);
Г2 R W ’’
F
W
C’=2AQ^-,
JiS
d ’
c[ = 0,5c'
1 — (1—aB)-^- .
v ' j4Q8
Это уравнение является результатом интегрирования соотноше-
„ » та „
ния Pi, в котором член, учитывающий теплоотдачу —гр, делится
Z?
не на a>rRT, а на величину, ей численно равную pW. Решение задачи
внутренней баллистики в этом случае производится методом после-
довательных сближений: вначале решаем ее прн Р2 = 0(о'=0), а за-
тем, когда найдено время движения снаряда для его заданного
пути, используем уравнение изменения параметров состояния поро-
ховых газов при Рг = 4Д -^7 (k—1).
Найдем связь между скоростью v и путем I снаряда. Так как
текущий свободный объем заснарядного пространства
W = WQ 4- SI + (1 - аВ) ymv,
TO
Х+(1_аВ)2ДА
/. AW., -Po V
4 1 —----1 4----~
k 8 Д tRTQJ
где A = w/UZKM — плотность заряжания;
X==Z/Z0 —относительный путь снаряда;
Zo==---приведенная длина камеры заряжания.
SA
Подставляя найденное выражение для WIW0 в уравнение
(2.191) и решая его относительно X, получим явную зависимость
пути снаряда от его скорости
*={[? - 1} (1 - AW1 + ДА _ А (1 _ а8) v. (2. 194)
\ О / у О w q/ SJ 1 о
Для определения закона изменения давления по длине канала
ствола р(Х) следует воспользоваться соотношением
k
( Г / w v \ Tift—1
р (V) = J-------------1=-----------------------
’ W 1 4-L- —с—
wo (powo) /—=Л
или согласно уравнениям (2.189); (2.191) и (2.192)
k -------
Р=А['Р(^)1
(2. 195)
1 —П
где
1 /1 Рср va р
у, = 1 — (1 —ай)---—-------
Л v УД<Э8 RQ о>!
Зная функции p(v) и А.(о), можно построить кривую р(Х).
Период движения снаряда
после окончания горения заряда
Скорость снаряда в конце горения заряда (ii)
(2.196)
ут
Подставляя в ранее полученные зависимости для W (v, X), K(v)
и p(v), получим объем заснарядного пространства, путь снаряда
и усредненное давление к моменту конца горения:
д
W'o + _ A
8
с 1
X1 = ([ А/НМ J Л_ M_A(i_ag); (2.197)
( PlW 1 \ 1 — v2k / J J \ 5 / 8
=Pt w, - (t -1) {[(л<2 - Д') - л -Д -A.] SJ, - ,
IL\ ° / Ы i r\ <S J 2<pzzi J
где _ _
7\; Ръ —температура, давление, объем заснарядного про-
странства и относительный путь снаряда в конце
горения заряда.
После конца горения пороха интегрирование системы уравнений
-(*- 1) Fp^(<»rRT)'t + (k- 1)р\Г;;
Wt — Sv; ymvt — Sp-, wr = m
приводит к соотношению
<aRT _____ 'ЛРТ\ | S2-?! уа F _______________________ <?ту2
А— 1 — А—1 2сртп + R S 1 Г”
« уа Г
А------wmv.
R S •
Подставляя найденное выражение для u>RT в уравнение изменения
t
С (J-l)AQ/
j mRT М
состояния параметров pWk = p^V^e1
получим
pWk = р^г и =
где
v~ v2 щ — t/ц \»i—^2
«1 — v vn — v2)
с2
; С=Д(£-1)^Ш ; C1 = 0,5c;
К \ О /ср
= _2_^+^1+2сзл
k-—! «р/n ср2/П'2 cp/n
Используя уравнение состояния pW = <'>RT\ получим
W
Wi
с другой стороны,
______?i (») u>RT j
k— 1
—— (c2—t»2 —2cry)
W _ 1 + X — аД
W у 1 + X r — аД ’
поэтому относительный путь снаряда
<0 \ S2J2
Qi — — c sj,— ——
SJ; / 2<pm
vmv2
AQjw —------— — c<f>mv
-14-ад, (2.198)
где
aq^aq-—
в
Давление в заснарядном пространстве р
Если пренебречь теплоотдачей (с = 0; <pi(o) = l), то процесс изме-
нения параметров состояния будет описываться уравнением адиа-
баты Пуассона (1.22). Поэтому
/1 + X, — аД V
(2. 199)
г»2 = 2^- — AQi
<р q
gSR] \ /1 + Хд — аД 4
2<р»9AQд / \ 1 + X —аД /
X—(14-Xj — ад)
W
где q=gm— вес снаряда.
Для расчета скорости снаряда после конца горения заряда можно
также использовать формулу
^=^+7^7 х (14А-ВД), (2.200)
k — 1 yq L \ 1 + X — аД /
являющуюся результатом решения уравнения движения
где
dv с
Offltl -= 5»,
dl
dl=lad\;
Р=Р1
1 + X] — аЛ V
1 + X — аД /
Инженерная теория истечения газа из канала ствола после вы-
лета снаряда, так называемая «промежуточная баллистика», изло-
жена в § 5 и 8 настоящей главы.
Полученные выше основные расчетные зависимости учитывают
теплопотери через стенки ствола. Поэтому решение задачи внут-
ренней баллистики должно производиться методом последователь-
ного сближения результатов. Однако, если теплопотери учесть, как
обычно, в коэффициенте фиктивности массы снаряда ф, то решение
задачи существенно упрощается.
Пример. Найти дульную скорость снаряда и дульное давление для 76-милли-
метровой пушки образца 1936 года.
Исходные данные, заимствованные из книги М. Е. Серебрякова [23], сле-
дующие:
1П|(М — 1.515 дм3;
S = 0,4692 дм2;
/д= 33,91 дм;
q = 6,2 кг;
р0 = 3-104 кГ'^м2;
ш = 1,08 кг;
/ = 950 000 кГ-дм'кг;
а = 0,98 дм3! кг;
5 = 1,6 кг/дм3;
2ei= 1,357 лии;
k= 1,25.
Скорость горения щ пороха при
р=1 кГ[дм?=0,0000074
дм сек
кГ^дм3
Определение некоторых постоянных величин
Калорийность
Л(?ж= А/=380-1042^ или Q== 890 “
k — 1 кг кг
Газовая постоянная
... „ кГ дм
R = fiTx s 330 ----------
кг г рад
при 7'1= 2750°К (обыкновенный пироксилиновый порох).
Поверхность горения
s.
<0 1,08
_-----=-------------= 99,54 дм\
ejB 0,00678-1,6
Полный нмпульс давления
ei 0,00078 кГ-сек
1 Ur 0,74-10-5 Эщ2
Плотность заряжания
a 1,08
д = = °-7128 KZ№-
w о 1, oJ £>
Площадь внутренней поверхности камеры
4а 4-1,08 4-1,08
Лк = — =--------11------------------= 7,973 д.
Ad 0,7128-0,76 0,7128-0,76
Свободный объем камеры (начальный)
а 1,08
ГН=1ГКМ —— = 1,515 — -7—= 0,840 ЭщЗ
о 1,6
Приведенная длина камеры
а 1,08
l°~ AS ~ 0,7128-0,4692 ~3’23 дм'
Период форсиро
Величины, характеризующие теплоотдачу,
в а н и я
ккал-дм
а = 1 ----------
кг- град-сек
кГ-дм*
=4270 -------------;
кг-град'Сек
где
> = 0,9.
Давление в камере заряжания после воспламенения заряда
Р= Р^'(,
k-— 1 а ( va
си =------АО — 11 —----
А k RQ
— * к
G)
0,25 „„ 1,08
= -л— -38-105 —-------
0,84 9,15-103
Откуда
1-0,9-9,15 \ 1
--------—- 102-8 = 1,333-103 —.
330-89-1,08 / сек
Количество топлива, сгоревшего в период форсирования (2.184):
а Ро-Ра 1,08 3-104 - 100 .
шн = — -----—----=-----------•----------= 2,66 • 10 2 кг
Jr аг 9,15-102 1,333-102
(ра = 100 кГ1дм2).
Приращение свободного объема к концу периода форсирования (2. 185)
а„ 2,66-10-2
= ------------------
о 1 ,Ь
= 1,66-10-2 ащз
Свободный объем к концу периода форсирования
Wo= FH+AFK = 0,84+0,0166=0,8566 дм3.
Так как ДТГк<10% от IFB, принятая зависимость для р вполне удовлетвори-
тельна.
Период движения снаряда по каналу ствола
Движение снаряда по каналу ствола может быть разбито на два периода:
— период движения при горении заряда (основной),
— период движения после окончания горения заряда.
1,08 кг
ствола (2. 193)
98.1-0.47-9152
Период движения снаряда при горении заряда
Коэффициент фиктивности массы снаряда (ср) с учетом тепловых потерь
(2. 182)
1 <о „ 1 1,08 „ Л
? = /< + VV = 1’O32 + Т'77 = 1’09-
О Q О О, Л
Активный импульс заряда в конце его горения
0,47-915 кГ-сек
---------= 400-------.
Среднее давление в канале
gSJ2.
Реп = ------ = ------:------= lUi> Kl'ltiM2,
m 2??Zi 2-1,09-6,2-2,9 '
где /1=0,85/д=29 дм—путь снаряда к моменту конца горения заряда.
Баллистические постоянные орудия (2. 189):
АО 3,8-105
с = 2 — = 2----------— 19-103 дм сек;
].л 400 '
Pvp 105
С1=0,5с —(1— aS) —- = 0,5-19-103 —(1 - 1-1,6) ——— =9,6-103 дм.'сек,
S7a 1,6-400
с2 =
golTo 2g _ 3-104-0,86-2-98,1
k— 1 “(1,25— 1) 1,09-6,2
= 2,98-106 дм21,сек2,
где 1^0=0,86 дм3— свободный объем камеры заряжания к началу движения
снаряда.
При вычислении постоянных с и с, тепловые потери не учитывались, так как
они вошли в коэффициент ср через К.
Характеристические скорости (2. 190)
v1= С1+Ус2г + с2 = (9,6+ /9,62 + 2,98) 103= 19,3-103 дм/сек.
v2=—
с2
U1
2,98-106
1,93-104
=—154 дм1сек.
Показатель функции теплоподвода
с__________19-103
г>!—г>2= 19 300+ 154
Скорость снаряда в конце горения заряда (2. 196)
41=
gSJ1 98,1-0,47-915
1,09-6,2
= 6230 дм!сек.
Относительные величины характеристических скоростей
vu 6320 п _ V11 6230
v1K =---• ~ ——--=0,32 3; Vjk = --—------——• 40,5.
1К vj 19 300 ’ 2k v2 —154
Функция теплоподвода
1-У2кУ‘-Р2 _ / 1 + 40,5 X0,975
1-4к/ V— 0,323? b’’
Функция скорости снаряда (2. 192)
? (41) =
, . 2cj— vn
1 +--------vn
c2
1-53,7
2-9,6 — 6,23
2,98
____. = 1,91.
6,23
1
Функция давления и пути
k 1
? (4i/-1 ==1,915 = 25,6; ? (сц)'"' =1,914= 13,4.
Давление в канале ствола к концу горения заряда (2. 195)
4 = ++ (41)
k
~ fe-1 /1 — V<2
300-53,7
' д— = 630 кГ/слР.
25,6
Относительный путь
снаряда (2. 197)
1
(Vil)"'1 -1
Д 1 д
1-— — (i —“В) — =
о о
/ 0,71
= (13,4-l)(l-fj
0,71
Т? = 7’8-
Период движения снаряда после окончания горения заряда
Полный относительный путь снаряда
1______Li
Д /о
33,91
3,23
= 10,5.
Дульное давление (2. 199)
1 + Xj — аД у
1 + Хд — аД ;
= 630
= Р1
г 1 +7,8-1-0,71 \5/4
U+ 10,5-1-0,71 ) =450 ^2-
Дульная скорость снаряда (2.200)
2 2 , 2g i
Vs =vl + ~--7 --- Z0 1 —
л 1 k — 1 yq
l + L-aAVMl
---) (1 + Xj - Д) =
2-9,81 47-630 „ Г /8,09\ 4-
= 6232+-----------------------0,323 1 — -------
1,25— 1 1,09-6,2 ’ L \Ю,79/
— 47• 104; ид = 675 м, сек.
8,09 =
Период последействия выстрела
Коэффициент полного действия пороховых газов на ствол (2. 105)
1300 1300
3 =----=-----= 1,90.
гд 675
Показатель интенсивности истечения пороховых газов из канала ствола
(2. 104)
b _ £5рд = 9,81-47-450 200 1
(3 — 0,5>+ (1,9-0,5) 1,08-675 ~ сек'
Уравнение падения давления в канале ствола (2.97) при р0 ~
р = 450е—200/.
Продолжительность периода последействия
1 2рд 1 2-450 „ „ „
tn — — In-----= — In --------= 2,85-10—2 сек.
b 3 200 3
Полный импульс отдачи орудия
q + За 6,2+1,9-1,08
675 = 578 кГ-сек.
В — --
g
9,81
§ 16. УПРОЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ
ДИНАМО-РЕАКТИВНОГО ОРУДИЯ
Динамо-реактивное орудие построено на принципе динамическо-
го уравновешивания силы действия выстрела на ствол (5рдн) реак-
цией пороховых газов (G7), вытекающих из заснарядного прост-
ранства через сопловые насадки в направлении, противоположном
движению снаряда (рис. 2. 34)
Sp^=GJ,
где S — п-лощадь поперечного сечения канала ствола;
рдн — давление на дно канала ствола;
G = J41/?*-^=- — весовой расход газов через сопла;
, у k 4-1 ,, а* ... л
J = f- Ks-------удельный импульс соплового блока орудия;
у,~-1———— коэффициент влияния атмосферного давления /?а;
Sp
' FB; F*~- площади выходного и критического сечений
соплового блока;
а*=|/--------gRT — скорость газов в критическом сечении соп-
v 1 ла.
По физическому смыслу параметры р; Т являютоя полным дав-
лением и температурой пороховых газов на входе в дозвуковую
часть соплового устройства (2.3), (2.4) .
Рассмотрим частный случай задачи внутренней баллистики, ког-
да порох имеет постоянную поверхность горения, а давление фор-
сирования снаряда (в начале его движения) по величине равно дав-
лению разрушения мембраны (заглушки) сопла. Пороха с трубча-
той (макаронной) и ленточной формой зерна практически обладают
постоянной поверхностью горения (Sr =—— — const), так как длина
их зерна в несколько десятков раз больше толщины горящего по-
Рис. 2.34.
лусвода (61). В целях упрощения решения задачи примем, что дав-
ление пороховых газов в заснарядном пространстве постоянно по
длине его'и равно полному давлению. В общем случае при перемен-
ной поверхности горения эта задача не имеет решения в виде ана-
литических формул. Очень часто динамо-реактивное орудие назы-
вают безоткатным. Для безоткатного орудия справедливо интег-
ральное условие равновесия
рД
yrnv=
о
для полного времени выстрела это условие можно записать так:
срЩЦд= JcpU)„
где m=qlg — масса снаряда;
ср 1,05 —коэффициент фиктивности массы снаряда,
учитывающий второстепенные работы поро-
ховых газов;
рД
u)r= Gdt — вес пороховых газов, вытекающих из ка-
о нала ствола через сопловое устройство в
атмосферу к моменту вылета снаряда;
/д —полное время движения снаряда по каналу
ствола;
цд —дульная скорость снаряда.
Коэффициент реактивности Кв сопел можно принять постоян-
ным, так как за время выстрела избыточное статическое давление
газов в выходном сечении сопел больше нуля. Для расчета Кв
справедливы формулы (2.6), (2.19), (2.21), (2.22), выведенные
применительно к расчету сопел реактивного двигателя. На практике
значения коэффициента Кв реактивности соплового блока динамо-
реактивного орудия находятся в пределах 1,15<КВ<1,3. В боль-
шинстве случаев величина Кв= 1,25. Эта величина Кв сохранится
неизменной для давления в канале ствола
где
Среднее значение удельного импульса соплового блока орудия
можно выразить через среднюю температуру газов в канале ствола
откуда
Жр
2
~ ^сР ,
Для артиллерийских порохов при Кв=1,25; & = 1,25 величина
7Ср=200 кГ-сек/кг. Найденное таким образом среднее значение
температуры используем для вычисления энергии, уносимой поро-
ховыми газами из канала ствола через сопловой блок за 1 сек-.
Gl=-^A^pVRTcv.
k-— 1 r
Так как
приходим к зависимости
—
2
где
А2— 1 ‘
Дифференциальное уравнение закона сохранения энергии для
динамо-реактивного орудия применительно к линейному закону го-
рения порохов (и = игр) с постоянной поверхностью горения имеет
вид
AQ't = ~-^rRT')'i + pW't, (2.201)
где
л/л' л/л “ л v: г gRp с<
AQt=AQ — р—А — гр---------------Sp
Ji R lR 2-R 1
—скорость изменения тепловой энергии системы вследствие горе-
ния пороха, теплоотдачи стенкам ствола и выброса газов через со-
пловой блок;
+ — р — скорость изменения объема заснарядного
пространства вследствие движения снаряда и выгорания пороха
(« = 0);
юг — текущий вес пороховых газов в заснарядном пространстве;
Л =4270 кгдм!ккал — механический эквивалент.
По аналогии с терминологией внутренней баллистики классиче-
ского артиллерийского орудия назовем:
Т
—импульсом пороха;
“1
а> —весом заряда.
Совместное решение уравнений движения снаряда tpmv' — Sp и
энергии (2.201) приводит к зависимости
(2.202)
k—1 \ 2 )t
где
О Л/Л I “ va F <0 Ар gR[> 1 \
ij<y — ди ----------------- --——й— ----- -----I .
2 \S?1 RQ S SJi bAQ К2В 2у2 AQ )
При расчете параметра В2 требуется предварительное значение
величин со; рСр! F/S. В первом приближении их можно оценить по
формулам:
R + R .
g RR ’
$4 / F 1 _
orn =--------; — n,
p 2<pmZKS \ S Др
где n — длина канала орудия в калибрах;
Jт = -—— — удельный реактивный импульс, развиваемый сопловым
блоком ствола;
Уа = —импульс пороха, снимаемый с одного килограмма за-
“а ряда при активном метании снаряда.
При баллистическом проектировании орудия дульная скорость
снаряда (од) известна. Из статистических данных или специальным
расчетом устанавливается вес заряда (<ва) для классического ар-
тиллерийского орудия, обеспечивающего ту же дульную скорость
снаряда при одинаковой баллистической длине ствола, что и у
проектируемого динамо-реактивного орудия. После чего вычисляет-
ся вес заряда (со) для динамо-реактивной пушки.
Значение параметра /а в отличие от параметра _/г, величина
которого для данного пороха стабильна, может колебаться в широ-
ких пределах: 500>Ja>200 кГ-сек/кг.
С увеличением дульной скорости снаряда (од) параметр /а
резко уменьшается и стремится к величине /а=/г = 200 кГ-сек!кг.
Так, для 76-миллиметрового орудия образца 1936 года
j J&==h22^92=440 кГ-сек)кг,
а О> 9,81-1,08 '
а для 100-миллиметрового орудия образца 1944 года
7 ®. = ЪИ5^89р = 280 кГ.сек^
а <0 9,81-5,6 '
При дульных скоростях снаряда>1400 м]сек, величина
практически уже равна /г. Поэтому с точки зрения полезного
использования заряда реактивное метание снаряда с большой ско-
ростью более выгодно чем активное. Для баллистически подобных
орудий (т. е. орудий, имеющих одинаковые значения А; ; Хд;
\
---- величина /а стабильна.
ymaQ /
Интегрирование уравнения (2.202) приводит к следующему
выражению для текущей внутренней энергии пороховых газов
в заснарядном пространстве:
-±-—=5^^-^ — + ^—°, (2.203)
k— 1 2 k— 1
где р0 —давление форсирования;
V70^ (—----—\ to —начальный свободный объем камеры заряжа-
\ д 6 ' ния к моменту начала движения снаряда.
Подставляя найденные выше выражения для AQt и в урав-
k — 1
нение процесса изменения состояния (1.21)
t ,
с (s-daq,
\ ---==-- dt
J
pWk = poWkoe°
получим, что давление и объем заснарядного пространства связаны
той же по внешнему виду зависимостью, что и для классического
орудия, лишь с той разницей, что постоянные с; С[ существенно
меньше их прежнего значения вследствие большого выброса энер-
гии заряда через сопла:
V
f dv
—с J ^,2—
pW*=pQWkoe 0
где
с==2(д2+^-р Дд). q =
„ _ 2Д p0W0
С2—~ Г ------- •
а — 1 УЧ
Если решение задачи построить с учетом коволюма (а), то перед
параметром рср в выражениях для В2 и с появится множитель
(1—аб). Поскольку исходные уравнения (1.21); (2.191) одина-
ковы, то все рабочие формулы (2.194); (2.195); (2.198); (2.199);
(2.200), полученные для расчета внутренней баллистики классиче-
ского артиллерийского орудия, будут справедливы и для динамо-
реактивного.
При этом функции скорости <р(о) и показателя [-’>2 также имеют
прежний вид
С
?(*) = —-/*----- (2.204)
с2 + (2С1 — v)v Rd
После окончания расчетов, когда будут найдены точные значе-
ния t, со, Од, полученные результаты решения задачи внутренней
баллистики могут быть уточнены. Для этого достаточно повторить
решение этой задачи при новом значении постоянных с; сь В после-
дующем сближении результатов решения нет необходимости, так
как при наличии надежной статистики величины со; t для заданной
дельной скорости снаряда могут быть предварительно достаточно
точно определены.
Изменение давления в канале ствола безоткатного орудия
после вылета снаряда определяется по формуле для классического
артиллерийского орудия (2. 106)
_ 2fe
/7 = ^(1 + ^/)
где
_ ft+1
51=-^-; G -\-S) - .(1- —xf|
2 <од ’ д 1 v г ' /етд k А +1 /
VRT.sVRT^,
й*2= „от . zl 25; А^^З-^-.
A + l p 1 сек
Безоткатное орудие в периоде последействия динамически не будет
уравновешенным, начиная с того момента, когда давление в канале
ствола достигнет величины
1г
k— 1
При давлениях ниже этой величины диффузорные части сопел ору-
дия полностью работать не будут вследствие перерасширения в них
потока пороховых газов, и тело орудия получит импульс назад.
Поэтому в целях снижения импульса отдачи величину коэффи-
циента реактивности соплового блока орудия Ки иногда созна-
тельно уменьшают до величины 1,1-4-1,15.
Пример. Для уяснения методики решения задачи внутренней баллистики
безоткатного орудия решим исходных данных: числовой пример для следующих произвольных
Ро = 300 kFIcm'2-', S =0,47 дм?; Д= 0,7 кг>дм^;
<05=6,5 кг; ккал Ож~ 890 ; а - 0; кг
0 = 4270 -^^ ; кг-град-сек о = 1,6 кг/дм3;
R = 330 дм]г; „ кГ-сек „ „ 71 — 910 „ ; у —0,8; дм?
кГ-сек кГ-сек
fe = l,25; /а = 440------; 7СР = 200--------; АГВ=1,25
кг кг
и построим кривые давления и скорости снаряда в функции его пути л для
gSJ1
v:'~-------- 6230 дм сек.
Вес заряда, <р?уд Ц + h „ 1R „ ы— з,15 кг, g
где . . кГ-сек „ кГ-сек /3 = 440 ; Jr = 200 . кг кг
Объем камеры заряжания
1^км = ~ =4,5 дм*.
А
Приведенная длина камеры заряжания
Zo = “9,56 дм.
Свободный начальный объем камеры
г0 г км (Ц- -- 4^=2 >54 дм* •
\Д о /
Среднее давление в канале ствола
кГ
РСР “ 250 ТУ
Эта величина выбрана малой потом}', что порох взят толстосводным, т. е.
с относительно малой поверхностью горения. В действительности толщину свода
зерна пороха (е.) следовало бы уменьшить или соответственно увеличить /1
(F*\
1 + У/ раз’
Величина параметров
• F ( F \
— =— =120;
S \ S /ср
k 5
= ^ = 3,8.106 О.И.
Баллистические постоянные орудия
ы /. Ар \ av F ghp 1 ’
С] = AQ I 1 — 1 — - - — . —— = 9150 dMi'cen;
L-S73 \ MQ/ RQ S А'в 2
с __ .---- ------= 9,23-106 дмЪсек;
k — 1 '~q
(/’ср0> \
ci + — I — 18900 дм/сек.
Характеристические скорости
v} = ci + + с2 =18 800 дм[сек-,
с>2 =— c^v-i —— 490 дм)сек.
Относительные значения характеристических скоростей при у=6230 дм/сек-.
?.= — =.0,334; v,= — =—12,64.
Vi v2
Функция теплоподвода
Показатель функции теплоподвода -----=0,98.
vi— v2
Значение функции скорости
Дульное давление в канале ствола
й —-—
Г \ —
/>д = Ро I? О'Л ;---— =И5кГ/сл2.
V — fi./
Полный относительный путь снаряда
1
[ъ 1 "1 / А \ А
<f(v) -1 1—- _ —=12,7.
J \ о / о
Остальные координаты для построения кривых р(Х) и v(k) сведены
в табл. 2. 7 и представлены на рнс. 2. 35.
Таблица 2. 7
v м!сек 100 150 200 300 450 623
р кГ'см'1 385 390 360 285 180 115
0,35 0,65 1,42 2,78 6,12 12,7
§ 17. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ ЧАСТИЧНО
УРАВНОВЕШЕННОГО ОРУДИЯ
В отличие от безоткатного орудия, в котором импульс выстрела
и сила отдачи, действующие на лафет, полностью уравновешены
силой реакции газов, вытекающих через сопловой блок в направ-
лении, противоположном движению снаряда, в частично уравнове-
шенном орудии сила отдачи компенсируется не полностью.
Иными словами, для частично уравновешенного орудия спра-
ведливы соотношения
nSp~GJr\
п J Spdt=u>rJr,
о
где f4 — полное время действия давления пороховых газов на дно
канала ствола.
Величина коэффициента уравновешенности (п) ограничена пре-
делами 0-<п<1. Для классического орудия и —О, для динамо-реак-
тивного п= 1.
Обеспечение заданного коэффициента уравновешенности воз-
можно путем построения орудия по схеме безоткатного орудия
с площадью критических сечений сопел
*_______Г-S______
/ 2 \»-1
или путем использования для орудия классической схемы дульного
тормоза с конструктивной характеристикой
где Э = —— коэффициент баллистической эффективности ору-
9 Дия;
Q___ 1300 , ,
р =------коэффициент полного действия.
vo
Выбор способа уравновешивания зависит от конкретного случая
и определяется баллистической эффективностью орудия
где ctoo — предельно допустимая величина конструктивной харак-
теристики дульного тормоза.
Величина си зависит от условий эксплуатации орудия, опреде-
ляемых зоной безопасности для боевого расчета или для конструк-
ции самолета,
С уменьшением сщ> возрастает угол отвода газов в стороны (ф),
сужая зону безопасности. Для полевых орудий —0,4 в против-
ном случае угол ф будет более 135° и на местах боевого расчета
избыточное давление может достигнуть недопустимой величины
(0,4 кГ/см2).
' Кроме этого, при использовании дульного тормоза следует пом-
нить, что в период движения снаряда по каналу ствола дульный
тормоз не работает и поэтому уменьшение импульса отдачи проис-
ходит только в периоде последействия. При а<0 наибольшая ско-
рость откатной части орудия будет в момент вылета снаряда из
ствола; в периоде последействия скорость их непрерывно умень-
шается, а величина импульса воздействия выстрела на лафет стре-
мится к предельной
г + а°0) 7,
в g д>
Использование дульного тормоза весьма выгодно1 для орудий
с высокой дульной скоростью снаряда (г?д> 1000 лг/сек), так как
у этих орудий баллистический параметр Э достаточно велик
(Э>0,5). В орудиях с невысокой начальной скоростью для сниже.-
ния импульса отдачи более целесообразно использовать схему
ствола безоткатного орудия. В тех случаях, когда требуется умень-
шение силы отдачи во время движения снаряда по каналу ствола,
используется только схема ствола безоткатного орудия. Внутрен-
няя баллистика орудия с дульным тормозом рассчитывается по
тем же уравнениям, что и для орудия без дульного тормоза.
Для частично уравновешенного орудия, имеющего схему ствола
безоткатного орудия, задача внутренней баллистики решается так
же, как и для динамо-реактивной пушки.
В этом случае изменяются только формулы для определения
постоянной С] и веса заряда и, которые будут содержать коэффи-
циент уравновешенности и:
)„2
61 VG F Коо gj П
SJi RQ ~2 AQ
^ = пдду,, <fqvR ^qvR n]R + Jr
gJr gh g JaJr
В целях упрощения решения можно принять о=0, а тепловые
потери учесть приближенно в коэффициенте фиктивности массы
снаряда (2.182) с помощью параметра К'.
з q
где К=1,05.
Импульс воздействия выстрела на лафет такого орудия подсчи-
тывается по формуле
где
F* — суммарная площадь критических сечений сопел.
Для определения реактивного импульса справедлива формула
А,
К.
где
-/1 = 1^0,99; у = 1-
*л Sp ’ А 2AQa>8
Вычисление Jr и соа производится методом последовательного
сближения результатов. При этом первое значение’Коэффициента х
принимают для 7г~200 к,Г-сек!кг. На практике оказывается до-
статочно одного сближения.
§ 18. РАСЧЕТ ЭЖЕКЦИОННОГО УСТРОЙСТВА АРТИЛЛЕРИЙСКОГО
ОРУДИЯ
Эжекционное устройство расположено на дульной части ствола
и предназначается для продувки его канала от пороховых газов.
Ресивер эжекционного устройства наполняется пороховым га-
зом в период выстрела; затем, после того как давление в ресивере
Рис. 2. 36.
и в канале ствола выравняются, пороховые газы вытекают обратно
в канал ствола через наклонные сопла (рис. 2.36). Клапанное
устройство, перекрывающее наполнительные каналы ресивера,
обеспечивает необходимую продолжительность действия эжекто-
ров и потребную эффективность продувания.
Период наполнения ресивера
Изменение давления в ресивере согласно закону сохранения
энергии Qt — Ut +Lt (1.17) описывается дифференциальным урав-
нением
GC/rK-aZ(r-rc)=-^- ^-(pW) + pW'(.
k — 1 dt
Для надкритического перепада давления приход газов из ствола
в резервуар ресивера
G = AXF* -.rpJ~.
f RTK
Учитывая, что = ат = ау (см. § 5 гл. II) и lF = const,
получим
kA^pK - №Pp + Wp'h (2 205)
К
где рк; Тк — давление и температура пороховых газов
в канале ствола;
р — давление в ресивере;
Л *+1
Д,=.1/ —постоянная расхода;
W — объем резервуара ресивера;
Д'* — эквивалентная суммарная площадь кри-
тических сечений клапанов и сопел;
т
v=l—^- — относительный перепад температур;
Тс — температура стенки ресивера;
Т — температура газа в резервуаре.
После разделения переменных получим
dp dt
аРк VRTK-b1P W
где a = kAxF*- b^A^-(k-\)F.
Для периода движения снаряда по каналу ствола на пути от
эжектора до дульного среза I вполне допустимо принять
PkVrtk==
<fm (v?—v2) 1,5
2SZ
VTK — 0,5SZ \0,5
так как средние величины давления и температуры за период дви-
жения снаряда по каналу ствола
Рк
= ~ (^k-0,55Z),
где S —площадь поперечного сечения канала ствола; •
Z — расстояние от дульного среза до каналов эжекционного
устройства;
Ид —дульная скорость снаряда;
1FK; <о —объем канала ствола и вес заряда;
V — скорость снаряда по месту эжекционного устройства.
Замена истинных значений рк и RTK средними не внесет суще<
ственной ошибки в расчет, так как давление и температура газов
в дульной части канала ствола меняются слабо. После интегриро-
вания и потенцирования получим закон нарастания давления
в ресивере
р = р» (1 — + Pae~bt = р<х> (1 — е~ь‘), (2.206)
где
&=—; /?« = —; ау = аркУRTK.
W ЬУ к
Без учета теплоотдачи (ат —0; bj = O)
Р = РУУУ, Й=^-, (2.207)
и/
где ра — атмосферное давление.
Для периода последействия в соответствии с формулой (2.61)
текущее значение комплекса будет
Р^^Тк = Р.У^7\^е-^,
у k
где
“ R IF к
F __ 4 _ q __.
wK~~~7’ д= (1 + хд)/0 ;
d—диаметр поперечного сечения канала ствола;
U + \i)A)—полная длина канала ствола с учетом бутылочности
камеры заряжания;
/0— приведенная длина камеры заряжания;
Хд=——степень расширения газов в канале ствола;
/о
/сн— полный путь снаряда в канале ствола.
Подставляя в уравнение (2.205) текущее выражение комплекса
ркУRTK, получим
Откуда
p = e~bt^ a2e~^‘ebtdty D\
или
Р = jyy(e~bt — pxe~bt, (2.208)
где
а2=ЬА^У^\-^-, b = —-' Л —v;
д W d2-dx fit ’
=Д1(1-е-«1); Л~-; RTa=f 1-
Ю ae»ii ®<.-i-.5 V+ V
2aAQ
рл\ Гд —дульные давления и температура;
ах', d2 — наружные диаметры ствола и ресивера.
Для коэффициента а2 после преобразования можно получить
более удобную формулу
nW 1
где
«„=—=0,015 = 0,03;
F S
л™ ='-^=0,1-ь 0,25.
W Wk
Без учета теплоотдачи (о = 0; Ь = 0) закон нарастания давления
в ресивере описывается формулой
pi
где
^-y~k °^^Vk =Vk рл.
“ (1-4-лд) Zo p3 nw
Время конца наполнения ресивера tK определяется пересечением
кривых (2.208); (2.61). Давление р02, отвечающее этому времени,
будет наибольшим и начальным для продувания канала ствола.
Без учета теплоотдачи
Щ + Л/>2 ;= Р1+ п У kp.
1 1 + П
Рк
(2.209)
так как
P^ = Pi+t^P^—e
где tm=-~-In——время падения давления в канале ствола до
Pi Pw величины р02;
t^P^Vknp^, п = Пр!пЧ1.
Если в уравнение (2.208) подставить выражения для tm=
==— 1п^- и а2, то для наибольшего давления с учетом теплопотерь
3 Р02
можно получить формулу
l + Zу
1 + /Ш Рл’
(2.210)
где
3 — ь ' р рл'
Для суммарной величины Е*, если фк=90° и фс>90°, согласно
уравнению (2.114) будет справедлива формула
F* = 0,95 |F* + Fe(l — —— cos2yc
(2.211)
так как множитель
вошел в параметр (2.205),
где Fк — наименьшая площадь канала клапана;
Fс — суммарная площадь критических сечений сопел;
Фс —угол наклона сопел эжектора относительно оси канала
ствола.
Вес пороховых газов в ресивере в конце его наполнения
ш02
жД7
(2.212)
При lF = const; coo2 = const относительное падение температуры
равно относительному снижению давления pz/poz^Tz/T^- Поэтому
в формуле (2.212) величины параметров р и Т могут быть взяты
с учетом и без учета теплопотерь. Для вычисления параметров RT2
и RT02 используют формулы
RT2—(k — l)AQ 1
2AQm
RT02==RT2-^.
Период продувания канала ствола
В периоде продувания канала ствола давление в ресивере бу-
дет падать согласно уравнению (2. 58)
Р=-Р^~^\
где
32 = ь + Vk ; G02= AjFc
2 П «02 /^02
/?02 —наибольшее давление в ресивере.
г) „1 / 2
При £ = 1,25 параметр Aj = 6,3---.
сек
Полное время продувки канала орудия согласно уравнению
(2.58)
/б£11п 1PVL,
₽2 3Да
Потребное количество воздуха, обеспечивающее надежное про-
дувание канала ствола:
“b3=«iYb3U+WS, (2.213)
где «1= 1,3-е—2 — коэффициент надежности продувания;
увз= 1,29 • 10~3 кг!дм3 — удельный вес воздуха атмосферы.
С другой стороны, количество воздуха, подсасываемое в канал
ствола:
О
где Gi — расход воздуха через казенный срез ствола.
Расход воздуха (Gi) определяется исходной системой уравне-
ний сохранения:
Gr -ф G2 = G3 — вещества;
/3G3=Ifi j4- — энергии;
/?3=/?1-[-А?2со8фс —импульса потока.
(2.214)
Индексы 1, 2, 3 относятся к сечениям, проведенным соответст-
венно через казенный срез, по месту эжекторов и по месту полного
смешения потоков воздуха и пороховых газов.
В системе уравнений (2.214) параметры G2; Л; R^ h', Ri из-
вестны, а параметры Gp, /3; 7.3; G3 являются неизвестными. Для их
определения исходная система должна содержать четыре уравне-
ния. Величина статического давления потока для дозвукового те-
чения в канале ствола сохраняется постоянной. Поэтому четвертым
уравнением будет
Р1 = Рз-
(2.215)
С учетом последнего соотношения уравнение механики приводится
к виду
так как
— Ui + /?2COS^c = ^,
£ £
(2.216)
+ /?з = —^з + ^з-
g g
Скорости потока i>ii3 могут быть записаны через его полные эн-
тальпии
где
CiM"—h 2g/i 3; 1^-^—^Т-
,3 \fc+ 1/1,3 Z4—1
*3=^1 ^1=1.4; *з-1,35;
7?! = 292,7 кг ---газовая постоянная воздуха;
кг г рад
7\ —температура воздуха атмосферы.
Энтальпия смешанного потока
/ — *1^1 + ^2^2
3 Oj + О2
В первом приближении для текущих параметров G2 и 12 спра-
ведливы формулы:
где
Поэтому
где
G2 = G02e 12=/02е^,
Й = ₽2-у.
^2*2~^02*02^ ^3<>
₽3=₽24---
Введем обозначения
£1.
О2 ’
*2
т = —
v--- *9
а2
11
ь
®1,3—
Тогда в соответствии с уравнением механики (2. 216)
^•з—
gR^cos Ф'
G3a*3
ИЛИ
__ fa -J— I
Tc ।j -y ' cos фс
__ k_________
'3~ /(Т+УПТ+Taj)
(2.218)
так как
gRv k + 1
G2a2
K2eos(pc, где К2
—2-^1,25; ^ = 1,3.
2
k
Из уравнения для полной реакции воздушного потока
Sp.=^
g
имеем
^1 =
aj— J/ di —
aj-Ь ya2 — 02
(2.219)
где
Qi
#i
#1=1,4;
1 G^a
рл — атмосферное давление.
Найденные выражения для Аа и Х3
в соотношение (2.215), тогда
(2.219), (2.218) подставим
* 1
#1+1 °lal _
2#i g
^1__1 -.2
#1+1 1
sx.
2#3
i ^3 >2
g 5X3
записанное для дозвукового' течения
Поэтому можно принять X.
(Xi< 1), когда
Gia*
'3 G3«3
или
Cti —
--------
ai+Vai — °;
(1 + °i) (1 + Taj)
— /С2 cos 4л
k
После упрощения имеем
(1 +oi)(l+TC’i) = Ta? + (ai + '/a?-c’?) ~^K2eos^c
или (2.220)
Р + (1 + т) ^2cos Фс]2 = (а2 - а2) Kl cos2 Фс.
Решая уравнение (2.220) относительно оь получим формулу
для коэффициента эжекции
_ («1Y1 — 1) (1 + Т) , /(aiYi —1)2(1 + т)2 . 2адYt — 1
1 (1-?-t)2+y1 'И [0 + т)2 + У?]2 (1+t)2+Yi ’
где
Yi=--—- AT2cos<pc.
k
Расход подсасываемого воздуха согласно уравнению (2.217)
будет
—б2)(14-т) । /~|~(а2— О2) (1 + т)J? । О2 (2а2— О2)
(2. 221)
где
а2 = ~- ^~K2cos^c; 81 = у?4-(1+т)2.
+ 1 ar k
В уравнении (2.221) имеется Gz{t), поэтому для определения
количества воздуха, прошедшего через канал ствола, строят кри-
вую Gi(() или берут величину Gi(() средней:
f ______ G0J + О]К
Gicp= ]>6
где Gqi — начальный расход воздуха;
GiK — конечный расход воздуха.
Конечный эффективный расход воздуха
величиной
Gik = OiG2k определяется
G2—G2k— g02
2ft
P02 / \ k + 1 ]
4+1
2(4-1)
(2. 222)
4 + 1
где
\ — AT2-|-']/' K2 — 1.
По физическому смыслу G2k является предельным значением
расхода, после которого величина коэффициента реактивности К2
сопел эжектора начинает уменьшаться вследствие перерасширения
пороховых газов на выходе из них.
Время эффективного продувания канала ствола
k
1
₽2
In f 1 — -—- Х^
k k + 1 /
4ф
Р®.
Р&
Вес эжектируемого воздуха, т. е. количество воздуха, вошедшего
в канал ствола через его казенный срез:
®вз — 1 »25С1Ср/,фф,.
(2.223)
Пример. Найти производительность эжекционного устройства для 76-милли-
метровой полевой пушки образца 1936 года [23], имеющей следующие данные:
ы = 1,08 кг; S = 0,47 дм2; q = 3,2 кг;
г/д = 700 м/сек; 10 = 3,23дм; 1ГКН = 14,8 дм?;
1 = 1 дм; v = 665 м/сек; <р = 1,09;
F* = 0,05 дм2; /?д = 370 кГ/см2; Хд=10,3;
— 7 = 0,5 дм; W = 4dM3.
Период заполнения ресивера
Давление в ресивере в момент вылета снаряда (2.206)
Р1 = Роо(1 — е btl)+ РгР W,= 40 кГ/см2,
где
Рее
1,55-107
80
= 1,94-Юз кГ/см2;
Д1
«1 = kArP*pK \RTK = 1,25-6,3-0,05-3,94-107= 1,55-107 кг-дм/сек;
va 1 0,7-1 ~дм3
b, = (k — 1) A — F= — 4270 4— 32 = 80------------;
1 v ’ R 4 300 сек
4W 4-4
F =------------= — = 32 дм2;
— с?! 0,5
b, 80
b = — = — = 20 1 /сек;
W 4 1 ’
21
t, =-----= 1,025-10-3 сек;
v + Уд
bti = 2,05-10-2; p&e~btl = 1 кГ/см2.
Без учета теплового обмена с окружающей средой (2.207)
Р1 = Рь + ₽41 = 1 + 3,89-104-1,025-10-3= 41 кГ/см2.
Наибольшее давление в ресивере без учета теплопотерь (2. 209)
Pi + п^ Ърл
Р2 =
40 + 0,394-370-1,12
-Г+0,394.1,1— = 140 КГ^’
где
- rif 5.14)8
п =-------—--------= 0,394;
47-4
F* 5
nf = — = — =--0,1064;
J S 47
Г 4
"--i+r+S"0'27-
Наибольшее давление в ресивере с учетом теплопотерь (2. 210)
( р + \₽
6 кГ‘см2'
где
77= — =0,108; и = 0,27; 8j = —— = 1,034;
Рь h~b
r- v. Л 7000 _ 8
= = 215 1/се«; ? = -^— = 1,(
\ * “г ';д/ ^0 1 1 > о • о, Ло р - и
va 4 1 0,7-1 4
3 + (£ — 1) Л — — = 215 + — 4270 ——б = 228 1/еек;
k — 1
, 4vc 4270 4-0,7-1
.4 — =----------.-------
R 4-0,5 300
— 20 1/сек.
Суммарная площадь критического сечения сопел (2.211)
1,057^ — Р*
= 2,0
см2,
где
Г* — 5 сд/2; Л* = 4 слг2; ис = 150°.
Время наполнения ресивера
i» = ti + tm = 1,02-10-з + 5,48 • Ю-з 6,5 • 10-з сек,
где
'1
tm = -Г" In
Рд
7^02
1 370
228 1П 106
= 5,48-10-3 сек.
Количество пороховых газов в ресивере (2.212)
где
7^02^
“°2 ~ /?Г02 “
10 600-4
4,25-105
=•0,10 кг,
^02^/1
2«+Q
= 9,5-105-0,59— = 4,25-105 дм.
Р2 140
Закон изменения давления в ресивере при продувании канала ствола (2.58)
/? = А)2е~М= Юб
где
у- — Gm 2,0о
32=й:.//г-^ = 20 + 1,12-^—= 43 1/се«;
“02 о, 1
•« Рт 10 600
O02=^ -^===6.3-0,02- - - =2,05 кг/сек.
Расход подсасываемого воздуха через казенный срез ствола (2.221)
Г 1 + Т in Г \ 1 f + Т)2 I Г П ^а2—*A)G2
Gi = (а2 — G2) + у/ $2 (а2—G2)2+ -
= 0,256 (1,55 —G2) +
,55 —G2)2 +
(3,10 —G2)G2
5,66
где
«1
т = ~*2~ = 0,43; а* = 330 м]сек\
й2ср
‘hep—]/'V'2^2, g^2cP=--505 м/сек; k2~l,3;
L «9+ 1
•РТ’гср —
^02 Л
4,25-105.0,76
1,43
= 2,26-105 дм-,
_ k
Л /2- 1
Р Ь V ~ А + 1 2/1 (! — 0,13-22)—4-43
У’02 Р02 106
а2 = ——
3^s = ln— ==1,43;
~s р ’ ’
ko + 1 2,3
-----K2cos<j/C = — 1,25-0,86= 1,9;
«2 1,3
£Spa 7-9,8Ь47-1
_A7~V1 =-----гГчэд—1.9= 1,55 кГ]сек;
d 1 Ix’OoU
8i== V?+ (1 + T)2= 1,92 + 1,432 = 5,66;
1 +t 1,43
8j ”5,66“
0,256.
Начальный расход воздуха при G2—G02 (2.221)
/ (3,10 — 2,05)2,05
GOi = 0,256(1,55 — 2,05)+ 1/ 0,0164 + -^---------— = 0,40 «г/сек.
I/ 5,66
Конечный эффективный расход пороховых газов (2.222)
+1
/ пл \ -С / fan—] O\A-—1
G2 = G02(— ) (1— “-----М) =0,56 кг!сек.
\РО2' ' ^2 +1 /
Конечный эффективный расход воздуха (2. 221)
/ (3,10 — 0,56)0,56
О0к = 0,256 (1,55 —0,56)+ 1/ 0,064 Ч- ------—---------= 0,80 кг/сек.
I/ О, ОО
Средний расход воздуха
Gni + G(\K
Glcp £ 0,67 --- s 0,80 кг)сек.
Количество воздуха, прошедшего через казенный срез ствола (2.223):
“вз = GIC.,+ = 0,80-3,33-10-2= 25 г,
D-J 1^-р Д 7 7 7
где
1 рю 1,43
^= —In-^=---^=3,33-10-2 сек.
“ ?2 Р 43
Количество воздуха в объеме канала ствола (2.213)
“1вз = W'k'Ybs = 14,8-1,29-10—3== 19 г.
Коэффициент надежности продувания канала ствола
83 1 Q
п —----=1,3.
ш1вз
Сравнение величин Goi и G0K убеждает в том, что для повышения надежно-
сти продувания канала ствола необходимо снизить начальный расход пороховых
газов из ресивера в канал ствола, т. е. уменьшить площадь критических сечений
сопел (FJ. Дальнейшее увеличение площади Ес неизбежно приведет к само-
запиранию эжекциоиного устройства и подсос воздуха через казенный срез
ствола прекратится, так как статическое давление смешанного потока превы-
сит атмосферное. »
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамович Г. Н., Прикладная газовая динамика, ГТТИ, 1953.
2. А р ж а н и к о в Н. С., С а д е к о в а Г. С., Аэродинамика больших ско-
ростей, Высшая школа, 1965.
3. Б а б е н к о К. И. и др., Пространственное обтекание гладких тел, Физ-
матгиз, 1965.
4. Базаров И. П., Термодинамика, Физматгиз, 1961.
5. Б а й - Ш и - И, Введение в теорию течения сжимаемой жидкости,
ИЛ, 19.62.
6. Бетехтин С. А. и др., Газодинамические основы внутренней балли-
стики, Оборонгиз, 1957.
7. Бондарюк М. М., Ильяшенко С. М., Прямоточные воздушно-
реактивные двигатели, Оборонгиз, 1958.
8. Борисенко А. И., Газовая динамика двигателей, Оборонгиз, 1962.
9. Виноградов Б. С., Прикладная газовая динамика, Университет
дружбы народов им. Патриса Лумумбы, 1965.
10. Герман Р., Сверхзвуковые входные диффузоры, Физматгиз, 1961.
11. Гинзбург И. П., Прикладная гидрогазодинамика, ЛГУ, 1958.
12. Дейч М. Е., Техническая газодинамика, Госэнергоиздат, 1953.
13. Жуковский В. С., Техническая термодинамика, ГТТИ, 1952.
14. Иров Ю. Д. и др., Газодинамические функции, Машиностроение, 1965.
15. Корнер Д., Внутренняя баллистика орудий, ИЛ, 1953.
16. Краснов Н. Ф., Аэродинамика тел вращения, Машиностроение, 1964.
17. Л а н д а у Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, ГТТИ,
1953.
18. Леонтович М. .А., Введение в термодинамику, ГТТИ, 1952.
19. Липман В., Рошко А., Элементы газовой динамики, ИЛ, 1960.
20. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, Физматгиз, 1959.
21. Орлов Б. В., Мази нг Г. Ю., Газодинамические и баллистические
основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе, Машинострое-
ние, 1964.
22. Садовский В. Г., Основания устройства материальной части артил-
лерии, Воениздат, 1956.
23. Серебряков М. Е., Внутренняя баллистика ствольных систем и по-
роховых ракет, Оборонгиз, 1962.
24. С е р е б р я к о в М. Е., Г р е т е н К- К-, О п п о к о в Г. В., Внутренняя
баллистика, Оборонгиз, 1939.
25. Толочков А. А., Теория лафетов артиллерийских установок, Оборои-
гиз, 1960.
26. Чарный И. Л., Основы газовой динамики, Гостоптехиздат, 1961.
Глава III
ТЕПЛООБМЕН В РДТТ
Теплообменом или теплопередачей в технике называют пере-
текание тепловой энергии от одной физической среды к другой,
вызванное различием температур этих сред. Интенсивность тепло-
обмена измеряется количеством тепла, передаваемым в единицу
времени через единицу поверхности, нормальной к направлению
распространения тепла, и называется тепловым потоком q.
Теплообмен в РДТТ протекает в условиях высоких температур,
больших скоростей движения газа и относительно высоких давле-
ний. Совокупность этих факторов, которая в некоторых случаях
дополняется значительным содержанием в продуктах сгорания топ-
лива твердых частиц, обусловливает высокое значение тепловых
потоков,.направленных от газа к элементам конструкции двигателя.
Интересно сопоставить тепловые потоки в РДТТ с потоками, на-
блюдаемыми в других областях теплотехники. Как будет показано
ниже, тепловые потоки в ракетной камере даже прн использовании
двухосновных топлив достигают (З-т-10)’106 ккал/м^час, а в соп-
ле— более 12- 106 ккал!м2час. Это более чем в 100' раз превышает
величину тепловых потоков в топке парового котла и в 10—30 раз
величину тепловых потоков в камере сгорания авиационного газо-
турбинного двигателя. В перспективе применение новых топлив
с высокой температурой горения вызовет дальнейшее повышение
уровня тепловых потоков в РДТТ.
Интенсивная передача тепла от газа к элементам конструкции
двигателя может привести к нагреву этих элементов до температур,
при которых резко падает прочность материала. Поэтому выбор
материала конструкции, проведение расчетов на прочность и изы-
скание дополнительных мер тепловой защиты немыслимы без учета
температурного состояния элементов конструкции. Отсюда выте-
кает первая основная цель изучения теплообмена в РДТТ, состоя-
щая в определении температурного режима конструкции двигателя.
Вторая цель, преследуемая при изучении теплообмена в РДТТ,
заключается в установлении зависимостей для определения тепло-
вых потоков, направленных к поверхности горящего заряда. Вели-
чина этих потоков определяет скорость горения твердого топлива.
180
Третья цель сводится к определению тепловых потерь в двига-
теле, оказывающих влияние на воспламенение заряда, рабочий
процесс-двигателя и его выходные характеристики.
У двигателей с малым временем работы (от десятых долей се-
кунды до нескольких секунд) стенки корпуса не успевают про-
греться до высоких температур, и необходимая механическая проч-
ность корпуса может быть обеспечена утолщением стенок.
В РДТТ с большим временем работы высокие прочностные
характеристики несущей конструкции можно сохранить лишь на-
дежной изоляцией материала от горячих продуктов сгорания топ-
лива. Для этого в РДТТ со свободным заполнением всю внутрен-
нюю поверхность двигателя покрывают теплозащитным материа-
лом. Функции тепловой защиты в РДТТ со скрепленным зарядом
в значительной степени выполняются самим зарядом. Однако- и
в этом случае участки поверхности, незащищенные топливом, при-
ходится покрывать теплоизоляционным материалом. К таким
участкам относятся поверхность обоих днищ, сопел, а при приме-
нении щелевых зарядов либо зарядов с коническими торцами
также некоторая часть цилиндрической поверхности корпуса.
Известные в настоящее время теплозащитные покрытия для
РДТТ можно разделить на пассивные и активные.
Пассивные теплозащитные покрытия изготовляют из материа-
лов, сочетающих высокую температуру плавления (выше темпера-
туры горения топлива То) с низкой температуропроводностью. Тол-
щина этих покрытий в процессе работы двигателя должна оста-
ваться неизменной.
При применении активных теплозащитных покрытий происхо-
дит унос массы покрытия, который сопровождается поглощением
значительной доли тепла, подводимого к поверхности покрытия.
Активные покрытия делятся на покрытия с поверхностным и внут-
ренним уносом массы. Покрытия с поверхностным уносом массы
иногда называют аблирующими покрытиями. Абляция представ-
ляет собой сложный физико-химический процесс, протекающий
на поверхности некоторых материалов при интенсивном подводе
тепла из газового потока. В поверхностном слое покрытия происхо-
дит термическое разложение вещества, переход отдельных компо-
нентов из твердой фазы в жидкую или газообразную. Это приводит
к ослаблению механической структуры покрытия. Унос материала
с поверхности происходит из-за механического воздействия газо-
вого потока (срезающие аэродинамические усилия, сдувание с по-
верхности расплавившегося материала), термических эффектов
(сублимация и испарение). Главной особенностью этого процесса
с точки зрения теплообмена является то, что основная доля подво-
димого к стенке тепла расходуется на фазовые превращения и эндо-
термические реакции в поверхностном слое. Вследствие этого поток
тепла, отводимого в глубь материала, невелик по сравнению с теп-
лом, подводимым к стенке. Поверхность аблирующего покрытия
(фронт абляции) непрерывно перемещается в глубь материала,
однако подъем температуры, опережающий перемещение самой
поверхности, при достаточной толщине покрытия не успевает до-
стичь несущего элемента конструкции. На самой поверхности
в процессе абляции температура остается равной температуре раз-
ложения вещества TS<.TQ.
Покрытия с внутренним уносом массы состоят из жесткого по-
ристого каркаса и заполняющего поры вещества, которое при на-
греве газифицируется и уносится.
Выбор типа покрытия определяется назначением и устройством
предохраняемого узла конструкции, а также условиями его работы.
§ 1. МЕХАНИЗМ ТЕПЛООБМЕНА В РДТТ
В теплотехнике различают два способа переноса тепла — сопри-
косновением и излучением. В первом случае предусматривается
непосредственный контакт двух физических сред, имеющих неоди-
наковую температуру. Во втором случае передатчиком тепла яв-
ляется электромагнитное поле, кото-
рое может существовать и в пустоте.
Полное количество тепла, передан-
ного стенкам двигателя, рассчиты-
вается как сумма двух независимых
друг от друга слагаемых — коли-
честв тепла, переданных соприкос-
новением и излучением.
Передача тепла соприкосновени-
ем горячего газа с твердым телом
представляет собой сложный про-
цесс, суммарный эффект которого
определяется двумя простейшими
формами распространения тепла в
газе •— конвекцией и теплопроводно-
стью. Этот процесс в технике обыч-
но называют конвективным теплооб-
меном.
Для того чтобы установить, от каких параметров зависит интен-
сивность конвективного теплообмена в РДТТ, необходимо рассмот-
реть явления, протекающие в непосредственной близости от
стенки.
На рис. 3. 1 схематически показано изменение скорости и тем-
пературы газа в поперечном направлении турбулентного потока.
В турбулентном ядре потока эти параметры по сечению потока
меняются мало. Вблизи стенки силы вязкости в газовом потоке
становятся соизмеримыми с инерционными силами, вследствие чего
наблюдается резкое падение скорости вплоть до нулевого значения
на самой поверхности. Зона, внутри которой происходят изменения
параметров потока из-за проявления сил вязкости, называется
динамическим пограничным слоем. Строго говоря, тормозящее
влияние стенки должно проявляться на любом от нее расстоянии,
асимптотически стремясь к нулю при удалении в бесконечность.
Тем не менее, без особой погрешности можно принять, что действие
сил вязкости ограничивается пограничным слоем, за пределами
которого в турбулентном ядре потока течение остается потенциаль-
ным.
За толщину динамического пограничного слоя условно прини-
мают расстояние от стенки, на котором скорость составляет 99%
от скорости в ядре потока. Толщина динамического слоя бу возра-
стает вниз по течению. __
Для ламинарного слоя на плоской пластине dv/x ~ 1/ VRe, для
турбулентного слоя 6>r/x ~ 1/Re0’2, где Re = vl/v — критерий Рей-
нольдса, характеризующий соотношение сил инерции и вязкости
в потоке жидкости.
Зону, в пределах которой температура потока меняется от ее
значения в ядре потока до температуры поверхности стенки, назо-
вем тепловым пограничным слоем (бт).
В общем случае толщина динамического и теплового погранич-
ных слоев различна. Однако для продуктов сгорания твердого топ-
лива, как будет показано далее, выполняются условия, при кото-
рых dv и бт практически равны.
В пограничном слое, образующемся при обтекании поверхности
твердого тела турбулентным потоком, различают турбулентный
слой и ламинарный подслой, прилегающий к поверхности.
Рассмотрим механизм переноса тепла от ядра потока к стенке
двигателя. Современные теории теплообмена основаны на предпо-
ложении о единстве процессов переноса тепла и количества движе-
ния. В турбулентном слое передача тепла к стенке осуществляется
перемещении отдельных макроэлементов газа, которые, попадая
в слои с более низкой энтальпией и ассимилируясь, отдают им
свое тепло. На место частиц, переместившихся к периферии, из
ядра потока непрерывно поступают новые с более высокой
энтальпией.
В ламинарном подслое решающую роль в передаче тепла
к стенке играет теплопроводность газа. Теплопроводность представ-
ляет собой процесс распространения тепла путем непосредствен-
ного воздействия молекул, обладающих большей кинетической
энергией, на молекулы с меньшей кинетической энергией. В газе
этот процесс осуществляется при столкновении молекул, в твер-
дых веществах — при действии упругих сил сцепления между ато-
мами. Таким образом, при теплопроводности передача тепла
в среде происходит без перемещения самого вещества этой среды.
Роль теплопроводности в суммарном эффекте теплоотдачи возра-
стает по мере приближения к стенке. У самой стенки, где скорость
газа стремится к нулю, конвекция полностью исключается и пере-
нос тепла осуществляется только теплопроводностью газа.
Величина удельного теплового потока для одномерного про-
цесса теплопроводности определяется зависимостью
q=-^, (3.1)
дх
где X — коэффициент теплопроводности газа, равный количеству
тепла, передаваемому в единицу времени через единицу поверхно-
сти при перепаде температуры на единицу длины нормали к этой
поверхности в один градус.
Как следует из уравнения (3. 1), передача тепла к стенке воз-
можна лишь при отрицательном перепаде температур в пристеноч-
ном слое. Так как газ обладает малой теплопроводностью, при
больших тепловых потоках этот перепад должен быть очень боль»
шим. Очевидно, влияние стенки будет проявляться в пределах зоны,
для которой эффект теплопроводности по меньшей мере соизмерим
с конвективной передачей тепла — переносом горячих вихрей газа.
Это позволяет уточнить определение теплового пограничного слоя,
как слоя, за пределами которого переносом тепла посредством
теплопроводности можно пренебречь.
В зависимости от причин, вызывающих движение газового по-
тока, различают движение свободное и вынужденное, а в соответ-
ствии с этим, рассматривая сопутствующий этому движению кон-
вективный теплообмен, различают конвекцию свободную и вынуж-
денную. Движение газа называется свободным, если оно обуслов-
лено неоднородностью плотностей из-за разности температур газа
при отдаче тепла стенке. Движение газа называется вынужденным,
если оно обусловлено причинами, не связанными с местным пере-
носом тепла, например, если оно вызывается перепадом давлений
по длине двигателя.
В РДТТ свободная конвекция может иметь место в застойной
зоне у переднего днища двигателя, где вынужденное движение газа
почти отсутствует. Она может проявляться в предсопловом объеме
при горении торцового заряда с малой линейной скоростью, когда
средняя скорость движения газа в камере мала. В обоих случаях
газ, охлаждаясь при соприкосновении со стенкой, имеющей относи-
тельно низкую температуру, становится более тяжелым. Вследст-
вие этого он перемещается вниз, а место у стенки занимает более
горячий газ. Для перемещения слоев газа с различной плотностью
необходима массовая сила любого происхождения. В стендовых
условиях перемещение газа будет определяться действием силы
тяжести. В условиях полета определяющими станут силы инерции,
связанные с ускорениями ракеты j.
Вынужденная конвекция играет основную роль в теплопередаче,
везде, где газовый поток движется с большой скоростью (ракетная
камера, сопло). При наложении движений газа, вызванных перепа-
дом давлений и разностью плотностей, получается сложное дви-
жение, скорость которого не равна сумме скоростей исходных ви-
дов движения. Отсюда следует, что сложный конвективный тепло-
обмен не может обладать свойством аддитивности по отношению
к обусловливающим его простейшим формам. На практике при
расчетах обычно оценивают интенсивность обоих видов конвекции
и менее интенсивным — полностью пренебрегают.
Удельный тепловой поток, подводимый из газовой среды к по-
верхности твердого тела, обычно представляют в форме, предло-
женной Ньютоном:
<7 = а(70-Л.в\ (3-2)
где То — температура газа;
Тс.-в — температура поверхности;
а — коэффициент теплоотдачи, рассчитываемый как сумма
коэффициентов конвективной и радиационной (лучи-
стой) теплоотдачи а = сщ+;ал.
Теплообмен между продуктами сгорания твердого ракетного
топлива и внутренней поверхностью двигателя отличается большим
разнообразием условий и определяющих параметров. В соответст-
вии с преобладанием в механизме теплообмена тех или иных фак-
торов внутренний объем РДТТ можно условно разделить на не-
сколько зон:
1. Зона осевого движения газа в зазорах между цилиндрической
поверхностью корпуса и зарядом, которая охватывает всю цилинд-
рическую часть камеры при использовании зарядов, горящих по бо-
ковой поверхности (заряды из одноканальных цилиндрических и
эллиптических шашек, из бесканальных шашек цилиндрической,
крестообразной и многолепестковой формы и т. д.), а также может
появиться в виде отдельных участков у некоторых форм скреплен-
ных зарядов (участок щелей у щелевого заряда, участок кониче-
ской поверхности у заряда с обгорающим коническим торцом
и т. д.). Эта зона характеризуется большими скоростями движения
газового потока в начальный период с постепенным их уменьше-
нием в процессе горения заряда по мере увеличения проходных
сечений. Преобладающим фактором теплопередачи является вы-
нужденная конвекция. Интенсивность теплопередачи возрастает
в направлении движения газа с ростом весового расхода. Высокие
тепловые потоки сочетаются с относительно высоким скоростным
напором, обусловливающим механическое воздействие потока на
поверхность корпуса.
2. Объем, заполненный газами, между передними днищем и тор-
цом заряда характеризуется беспорядочным вихревь м движением
газа. В двигателях со свободным заполнением и при скрепленных
зарядах с горящим передним торцом это движение будет опреде-
ляться перетеканием газа из одной области горения в другую. У за-
рядов с бронированным торцом объем представляет собой застой-
ную зону. Преобладающими факторами теплопередачи является
свободная конвекция и излучение, а тепловые потоки сравнительно
невелики.
3. Предсопловой объем. В нем имеют место завихрения, вы-
званные внезапным расширением потока газа на выходе из полости
заряда в объем с большим свободным сечением. В случае много-
сопловой конструкции поток ударяется в поверхность днища и ра-
стекается по нему, распределяясь между отдельными соплами. Та-
ким образом, поверхность днища и камеры омывается беспорядоч-
ными вихрями и направленными потоками, движущимися в раз-
личных направлениях с относительно высокой скоростью. Основ-
ным фактором теплоотдачи остается вынужденная конвекция.
В двигателях больших размеров в предсопловом объеме значитель-
ную роль играет теплоотдача излучением.
4. Область критического сечения и выходной раструб сопла.
Сопло ракетного двигателя является наиболее теплонапряженным
элементом его конструкции с преобладанием конвективного тепло-
обмена. Наибольшие тепловые потоки имеют место в области кри-
тического сечения. Интенсивный нагрев поверхности дополняется
динамическим воздействием газа, движущегося со скоростями,
близкими к скорости звука (горловина сопла) либо превышаю-
щими ее (выходной раструб), а также абразивным действием
твердых частиц.
5. Коммуникации горячего газа, используемого во вспомога-
тельных агрегатах ракеты (силовые приводы, устройства для
вдува горячего газа в сверхзвуковую часть сопла, узлы огневой
связи в пакетах двигателей и т. д.). Своеобразие условий тепло-
обмена в таких коммуникациях, зависимость параметров тепло-
обмена от конструкции и режима работы бортовых исполнительных,
механизмов заставляют эту область отнести к курсу проектирова-
ния вспомогательных агрегатов ракеты.
Роль отдельных областей меняется в зависимости от конструк-
ции двигателя; в ряде случаев некоторые из них могут выпадать
вообще. Например, при использовании зарядов, горящих только
с канала, будет отсутствовать первая область и т. д.
§ 2. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ОТ ГАЗА К СТЕНКЕ ДВИГАТЕЛЯ КОНВЕКЦИЕЙ
Расчетные методы определения коэффициента конвективной
теплоотдачи основаны на использовании теплового подобия. Кри-
териями теплового подобия при конвективном теплообмене яв-
ляются:
Nu = ——----критерий Нуссельта, представляющий собой безраз-
мерный коэффициент теплоотдачи;
Re———------критерий Рейнольдса, характеризующий соотношение
v сил инерции и вязкости в потоке газа;
Pr=--------критерий Прандтля, характеризующий теплофизиче-
* ские свойства газа и являющийся мерой сравнения
переноса количества движения и тепла;
Gr — критерий Грасгофа, характеризующий условие свобод-
v27° ной конвекции.
Иногда вместо критерия Нуссельта используют критерий Стан-
„ Nu
тона Сн = --- .
RePr
В теории конвективного теплообмена используют критериаль-
ные зависимости, полученные при экспериментальном изучении
этого процесса:
а) при вынужденной конвекции
Nu = c; Re” Prm;
б) при свободной конвекции
Nu=c2 Gr” Prm,
где с, п и т — постоянные безразмерные числа.
В критериях подобия за определяющий размер d принимают
размер, который играет решающую роль в процессе теплообмена.
В качестве определяющей температуры, при которой берутся
теплофизические параметры газа X, ср, у, v, обычно принимают
температуру, легко определяемую из общего термодинамического
решения, например, температуру ядра потока.
В теплотехнике наиболее полно изучены условия конвективной
теплоотдачи в гладких трубах круглого сечения. Для случая раз-
витого турбулентного течения в длинной трубе наиболее часто
используют эмпирическую зависимость Крауссольда
Nud = 0,023 Ке0’8Рг0Л
(3.3)
Здесь в качестве определяющего размера принят . диаметр
трубы, а все свойства газа отнесены к средней температуре потока
т __Д-в + Д)
' Опр 2
При использовании критерия Стантона формула (3.3) прини-
мает вид
Сн=0,023 Re-°'2Pr-°-6.
Экспериментальная проверка зависимости (3.3) в условиях ка-
мер сгорания ЖРД, несмотря на отличие от условий, при которых
она была получена, дала положительные результаты [17]. Зависи-
мость (3.3) позволяет с достаточной точностью оценить тепло-
отдачу в сопле и горловине сопла, если радиус кривизны контура
в продольном направлении равен либо более диаметра сопла [31].
Однако при этом определяющую температуру рассчитывают
по формуле
Гопр = Л.в + 0,23 (Та - Т с.в) + 0,19 (700 - 7, Д
где Too — температура торможения. При определении теплового
потока к стенке в формуле (3.2) в качестве температуры газа
также используют температуру торможения.
Советскими учеными А. А. Гухманом и Н. В. Илюхиным пред-
ложены зависимости для случая, когда скорость газа близка к ско-
рости звука
Nud=0,0162 Re^'82 Рг0'82(Т00/Гс.в)0'066, (3 . 4)
где физические константы газа определяются при термодинамиче-
ской температуре, а сжимаемость газа учитывается последним со-
множителем.
Экспериментальное определение локального коэффициента
теплоотдачи при течении сжимаемого газа в гладких трубах для
широкого диапазона скоростей (М — 0,5—4,0) и относительных
длин канала (x/rf=l—27) было проведено Б. С. Петуховым и
В. В. Кирилловым [30]. В результате обобщения опытных данных
была предложена зависимость
Nud = 0,044s Red’73 Рг0’43 [т (д)]0’33, (3. 5)
где в качестве определяющего размера принят диаметр канала,
а за определяющую температуру — средняя температура по сече-
нию потока. Здесь
s=A,3(x/rZ)-°.12 при х/о!<Д0;
е = 1 при x/rf]>10.
Для случая, когда в качестве определяющего размера исполь-
зуется расстояние от входа в канал до данного сечения, предла-
гается зависимость
Пи,-- 0,034 Re°’77 Рг°'43[т (X)]0'33 (x/rf)0'06. (3.6)
При этом в качестве определяющей температуры принята тем-
пература ядра нотока. В обоих случаях местный коэффициент
теплоотдачи относится к разности температур стенки и тормо-
жения.
Коэффициент конвективной теплоотдачи при обтекании турбу-
лентным потоком плоской пластины обычно рассчитывается по
формуле Эккерта
Nur==0,036 Re°'8 Pr0’33, (3.7)
где за определяющий размер принято расстояние от переднего края
пластины.
Согласно литературным данным [31] зависимость (3. 7) хорошо
согласуется с экспериментом для сверхзвуковой части сопла при
с = 0,025—0,028. Определяющая температура и тепловой поток рас-
считываются как и для дозвуковой части сопла.
В иностранной литературе в последнее время для расчета мест-
ных коэффициентов теплоотдачи в РДТТ часто используется фор-
мула Дейви [52]:
Nud=0,036 Red8 Pr0'4 (x/af)~°'2 (7'00/7'с,в)0'18. (3.8)
Здесь влияние начального участка канала учитывается попра-
вочным сомножителем, в который входит расстояние х от входа
в канал до данного сечения. Последний сомножитель формулы
учитывает влияние сжимаемости.
Приведенные выше эмпирические формулы свидетельствуют
о большом разнообразии выбора определяющей температуры, что,
в свою очередь, обусловливает и разнообразие коэффициентов
правой части, меняющихся от 0,023 до 0,044. Поскольку для газа
критерий Прандтля обычно близок к 1, выбор степени, в которую
возводится этот критерий, мало сказывается на результатах. Ре-
шающую роль при вычислении Nu играет критерий Рейнольдса,
в отношении которого всеми исследователями проявляется полная
согласованность: в зависимостях (3.3); (3.7); (3.8) он равен 0,8;
в зависимостях (3.4); (3.5); (3.6) имеет значение, очень близ-
кое к 0,8.
В дальнейшем в своих выкладках мы будем пользоваться фор-
мулой (3.3) как наиболее распространенной, что, очевидно, не дол-
жно повлиять па общность получаемых выводов и рекомендаций.
Зависимости, полученные из экспериментов в круглых трубах,
широко используются при расчетах теплоотдачи в трубах некруг-
лого поперечного сечения. При этом переход к новым условиям
осуществляется введением в расчетные зависимости эквивалент-
ного гидравлического диаметра. Такой путь оказывается единст-
венно возможным при расчете коэффициента теплоотдачи для зоны
осевого движения газа, где сечение газового потока между зарядом
и поверхностью камеры имеет сложную конфигурацию.
Решая уравнение (3.3) относительно коэффициента теплоот-
дачи, получим
ак = А- 0,023(^Гр
d \ Р- ) \ X у
или
_ 0,023 (Yv)0’8 X /vCpY\0,4
к ^8 ц°'2 х J ’ ’
Формула (3.9) представляет в явном виде зависимость ак от
различных факторов. Выделим параметры X, ц, ср, определяемые
составом и температурой сгорания твердого топлива. Заметим, что
критерий Прандтля в зависимости от состава газа меняется в уз-
ких пределах. Для воздуха Рг = 0,72, для продуктов сгорания твер-
дого топлива значение Рг приближается к единице. Для продуктов
сгорания топлива типа JPN Уимпресс [39] указывает значение
Рг = 0,74. Для топлива заданного состава совокупность рассматри-
ваемых параметров представляет постоянную величину
ак = ~^Г (Y^)0'8-
Так, например, для топлива JPN, продукты сгорания которого
имеют при температуре горения коэффициент теплопроводности
Х=0,14 ккал/м -час0 С и коэффициент вязкости ц= 6,65 • 10-6 кГХ
Хсек/м2, при Рг = 0,74 получаем Лт = 6,44. Для других топлив уточ-
нение значения Лт может быть проведено на основании расчетных
значений X и ц. Формула (3.9) указывает на основной фактор,
определяющий величину ак. Таковым является удельный весовой
расход G = yv, т. е. весовой расход газа, отнесенный к единице пло-
щади проходного сечения двигателя.
Если площадь для свободного прохода газа между стенками
камеры и зарядом сохраняется по длине заряда постоянной, вели-
чина G нарастает пропорционально расстоянию от верхнего торца
заряда. Максимального значения G достигает в сечении у торца
заряда, обращенного к соплу, где величина ак для условий камеры
будет максимальной. За нижним сечением заряда расход газа
остается постоянным и удельный весовой расход изменяется
обратно-пропорционально площади проходного сечения
G — G* — ,
F
где G* — удельный весовой расход в критическом сечении сопла,
равный
Заметим, что характерный размер, входящий в критериальную
зависимость, так называемый эффективный тепЛовой диаметр ка-
нала, зависит от конфигурации проходного сечения. Выразим эту
зависимость следующим образом:
d=DF.
Так, например, для кольцевого прохода между одношашечным
цилиндрическим зарядом и камерой можно согласно общим реко-
мендациям гидравлики принять »
где П — смоченный периметр камеры и шашки. Следовательно,
в этом случае
Для сечения камеры, свободного от заряда:
, 4Д
а —-----
ла'к
4
Хотя для заряда сложной формы не всегда представляется воз-
можным указать точное значение D, использование его приближен-
ного значения не должно приводить к существенным ошибкам при
определении ак, так как величина d входит в формулу (3. 9) в сте-
пени 0,2.
Возвращаясь к исходной зависимости (3.9), получим
ак = Кт\kg
или, вводя обозначение
получим
р0'8
(/?Г0)0’4
(3.10)
1
Формула (3. 10) справедлива также для нижнего крайнего сече-
ния заряда. Для него по мере выгорания заряда будет возрастать
площадь свободного прохода, а вместе с этим непрерывно падать
величина ак. Таким образом, если рассматривать сечения камеры
на участке заряда, для них коэффициент ак будет изменяться по
длине и во времени. При оценке температурного состояния кон-
струкции нас в первую очередь будет интересовать нагрев элемен-
тов, подвергающихся воздействию максимальных тепловых пото-
ков. Для камеры расчетное сечение совпадает с нижним сечением
заряда.
Рассмотрим возможности определения ак для соплового днища.
Если контур соплового днища представляет собой плавный переход
от сечения камеры к критическому сечению сопла, определение
локального коэффициента конвективной теплоотдачи для каждого
сечения может быть выполнено по рассмотренным выше зависи-
мостям. При этом, как показывают экспериментальные данные
[31], обеспечивается удовлетворительная сходимость расчета с экс-
периментом, за исключением узкой области непосредственно перед
критическим сечением сопла.
Расчетное определение коэффициента конвективной теплоот-
дачи для поверхности днища многосопловой конструкции оказы-
вается затруднительным, ввиду того, что теплообмен при ударе
струй по нормали к поверхности является малоизученной областью
теплотехники. Известны лишь отдельные экспериментальные ра-
боты, посвященные этому вопросу [43], [53]. Результаты, полученные
для чисел Re=103—104, свидетельствуют о том, что как локальные,
так и средние коэффициенты конвективной теплоотдачи для поверх-
ности, нормальной к струе, могут определяться на основании зави-
симостей (3.3) и (3.7). При этом число Re рассчитывается по диа-
метру выходного сечения струи и по параметрам г.аза в этом сече-
нии. Получаемое при этом значение коэффициента теплоотдачи
несколько ниже (на 10—15%) экспериментального. Сведения об
исследованиях при Re=105—10s отсутствуют. Как показывают
экспериментальные данные, коэффициент ак с удалением выход-
ного сечения канала от экрана (x/d<6) меняется настолько слабо,
что эту зависимость можно не учитывать. На основании изложен-
ного приближенный расчет ак для многосоплового днища можно
проводить по рассмотренным ранее зависимостям для канала с под-
становкой параметров газа в конечном сечении канала и с после-
дующим умножением полученного результата на коэффициент 1,2.
В двигателе наибольшего значения коэффициент ак достигает
в критическом сечении сопла, для которого при F — F*
»°-8
, “к= ^0,2 •
ак
В рассмотренных выше зависимостях сильное влияние на вели-
чину ак оказывает рабочее давление в двигателе. Это нашло отра-
жение в методике расчета индикаторной кривой давления, где ве-
личина тепловых потерь связана с давлением коэффициентом ст,
пропорциональным давлению или весовой плотности газа. В настоя-
щее время за рубежом в связи с переходом на смесевые топлива
наметилась тенденция к снижению уровня рабочих давлений
в РДТТ. Это само по себе должно было бы способствовать сниже-
нию тепловых потоков к стенке двигателя, если бы не высокие
температуры горения новых топлив, превышающие в некоторых
случаях 3400° С.
Рассмотрим в общих чертах определение коэффициента при
свободной конвекции, что может представлять интерес для некото-
рых случаев проектирования узлов РДТТ. Согласно эксперимен-
тальным данным Барского и Зельдовича [2], Тодеса и Карандина
[37] условиям свободной конвекции в цилиндрическом сосуде отве-
чает критериальная зависимость
Nu=y/’Gr,
откуда
„ IJ-sfiT о
Подставив значение v=-------, получим
Ро
а =О,327Х л/J- — .
V d т0 ^яу-т2
Заметим, что в отношении
ГО-7С.В = 1 7С.В
То ТО т0
величина Тс.в/Т0, значительно меньшая единицы, находясь под кор-
нем четвертой степени, очень мало влияет на величину ак. Прини-
мая А7'/7'о= 1, получим
4 ! ' 2
а =0,327X1/
к V d wyr2
При горении ракетных топлив с добавками металлов обра-
зуются окислы, составляющие твердую фазу, весовое содержание
которой в продуктах сгорания может достигать 15—20%. При на-
личии в потоке большого количества твердых частиц размером
~5 мкм [11] интенсивность конвективного теплообмена возрастает.
Как полагают некоторые исследователи [8], вследствие высокой
интенсивности межфазового теплообмена температурный градиент
в ядре потока с твердыми частицами практически отсутствует.
Кроме того, турбулизирующее воздействие частиц, постоянно втор-
гающихся в пристенную область, препятствует образованию разви-
того ламинарного подслоя. Передача тепла в пограничной пристен-
ной зоне осуществляется в основном теплопроводностью. При этом
передача тепла к стенке лимитируется не толщиной ламинарного
подслоя, как в случае гомогенного потока, а толщиной тонких газо-
вых прослоек между стенкой и ближайшими к ней частицами. Сами
частицы, поскольку теплопроводность их материала на один-два
порядка выше теплопроводности газа, выполняют роль своеобраз-
ных тепловых мостиков.
В настоящее время механизм теплообмена в двухфазном по-
токе изучен слабо, отсутствуют строго обоснованные инженерные
зависимости, позволяющие производить точные расчеты конвек-
тивного теплообмена с учетом влияния твердой фазы.
Приведем одну из приближенных зависимостей, позволяющих
оценить коэффициент конвективной теплоотдачи при наличии твер-
дых частиц [8]:
NuT = Nur (1 + рв - (1 - Ю1’12 р^~С~Г’
\ 1 + Нв /
где
Гв =
1-Ф
у.г/у — весовая концентрация твердых частиц;
₽ —объемная концентрация твердых частиц;
ст —удельная теплоемкость материала твердой
фазы;
ут —весовая плотность материала частиц.
§ 3. ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В РДТТ
Рассмотрим расчет теплового потока, обусловленного излуче-
нием газообразных продуктов сгорания. Известно, что двухатомные
газы практически прозрачны для теплового излучения. Однако
трехатомные и многоатомные газы при высоких температурах обла-
дают достаточно высокой интенсивностью излучения. Излучение
газовой фазы продуктов сгорания твердых топлив обусловлено
в первую очередь содержанием в них водяных паров и углекислого
газа.
Газ, в отличие от твердых тел, излучает тепло не во всем диапа-
зоне длин волн, а селективно — только в определенных узких
областях спектра. Так, например, спектр излучения углекислоты
состоит из ряда полос, среди которых можно выделить три, наибо-
лее интенсивные полосы, учитываемые в теплотехнических ра-
счетах.
Второй отличительной особенностью излучения газа является
объемный характер излучения. Это сказывается на эффективной
степени черноты газа, определяемой, как и для твердых тел, сопо-
ставлением интенсивности излучения газа с интенсивностью излу-
чения черного тела при той же температуре. Степень черноты чи-
стого газа связана с толщиной слоя газа зависимостью
< — k X
ex = 1 — е ,
где Ал — коэффициент ослабления луча в слое. С увеличением
толщины газового слоя степень черноты возрастает, стремясь
к единице при х —>оо. Коэффициент ослабления луча в слое пропор-
ционален числу молекул на единицу пути луча в слое, а следова-
тельно, зависит от давления газа
ex=l-e“^s, (3.11)
где k\ — монохроматический коэффициент ослабления луча, при-
веденный к 1 ат и отражающий, кроме того, температур-
ное состояние газа;
S — эффективная толщина излучающего слоя.
Зависимость (3. 11) симметрична относительно р и 3, т. е. влия-
ние этих двух параметров равнозначно.
Законы излучения тепла газами НгО и СО2 в настоящее время
для низких давлений изучены достаточно подробно. На основании
опытных данных Хоттелем, Шмидтом и Эккертом построены номо-
грамьмы для определения величин есо2 и eHi*0 в функции от pS и
от То [19]. При использовании номограмм в качестве р необходимо
брать парциальное давление газа в смеси. Поскольку излучатель-
ная способность смеси двух газов меньше суммы излучательных
способностей каждого из них в отдельности, составлены таблицы
поправок Ае. Степень черноты смеси газа определяется как
ег=еню + £со2“ As-
В Советском Союзе А. М. Гурвичем и его сотрудниками [9]
была разработана новая методика, позволяющая определять сте-
пень черноты дымовых газов в один прием:
er=l —e~Jt'pS,
где kT—коэффициент ослабления, отнесенный к суммарному излу-
чению СО2 и Н2О;
Р — Рсо?~г Рим-
Для вычисления kv рекомендуется [9] эмпирическая формула
°78и%о
kr=
-0,1
(3. 12)
(Рей! + ^Hjo)5
Заметим, что исходные экспериментальные данные, по которым
составлены графики и зависимости для определения эффективной
степени черноты газа, получены для условий излучения в печах и
котельных установках и соответствуют низким температурам
(до 1500—1800° С) и давлениям (1 кГ!см2}, которые не отражают
условий РДТТ. Хоттель предложил учитывать влияние высоких
давлений на излучение СО2 и Н2О поправочным коэффициентом,
значения которого приведены в работе [36]. Экстраполяция имею-
щихся данных в область высоких температур и давлений позволяет
для условий РДТТ производить расчеты ориентировочного харак-
тера.
Некоторые затруднения возникают при определении эффектив-
ной толщины излучающего слоя S для условий РДТТ. Само поня-
тие эффективной толщины S отражает особенности излучения огра-
ниченного со всех сторон газового объема. Значения S для некото-
рых простейших геометрических форм, приближающихся к геомет-
рии газового объема в РДТТ, приведены в табл. 3. 1.
Для продуктов сгорания современных ракетных топлив харак-
терно высокое содержание конденсированной фазы. К сожалению,
в настоящее время в литературе неизвестны экспериментальные
материалы по излучению конденсированной фазы в условиях
у*
Таблица 3.1
Форма газового объема Эффективная толщина слоя S
Цилиндр неограниченный, диаметром d 0,9rf
Цилиндр ность высотой d, излучающий на боковую поверх- 0,6rf
Цилиндр высотой d, излучающий на центр основания 0,77rf
РДТТ, которые можно было бы использовать в качестве опорных
данных при проведении подобных расчетов. Известные в теплотех-
нике зависимости для учета излучения золовой пыли в промышлен-
ных топках получены при температуре газа ~ 1500° К и атмосфер-
ном давлении. Тем не менее эти результаты позволяют выявить
некоторые общие закономерности, которые могут быть распростра-
нены и на другие условия теплообмена.
Так, например, в работе [7] сделан вывод о равноценности влия-
ния концентраций и толщины слоя на степень черноты газового
слоя с твердой фазой, а также, что одинаковым численным значе-
ниям удельных поверхностей частиц соответствуют одинаковые
значения ет. Это позволяет для определения степени черноты кон-
денсированнсй фазы рекомендовать зависимость
ет=1-е-^5,
где ц — весовая концентрация твердых частиц в единице объема.
Эффективное сечение ослабления луча
k F = 0,42 — ,
у у d*
где d — средний диаметр твердых частиц;
у — удельный вес конденсированной фазы;
А — коэффициент, характеризующий форму и поверхность ча-
стиц, для промышленных топок колеблется в пределах
0,1—0,2.
Поскольку излучение продуктов сгорания ракетного топлива
складывается из излучения трехатомного газа и конденсированной
фазы, степень черноты продуктов сгорания
е , = 1 — e~KS
г-'-т 1 е >
где К = krp%-+-kJ'A — эффективный коэффициент ослабления луча
в газовом потоке с конденсированной фазой;
Ра = Аьо+ /^ — суммарное парциальное давление водяных
паров и углекислоты;
kr — вычисляется по формуле (3.12).
Значение эффективной степени черноты стенок находится между
степенью черноты материала ес, учитывающей поглощение тепла
при первом падении на стенку, и единицей, соответствующей пол-
ному поглощению тепла при многократных отражениях от внутрен-
ней поверхности двигателя. Обычно принимают
Тепловой поток излучения, воспринимаемый поверхностью
стенки двигателя:
Коэффициент теплоотдачи излучения ал определится по фор-
муле
или
IT \4
а-1 4,96-10~8Тг ----------Гг ' .
2 ! А»
т
1 г
(Т \4
<^1, можно пользоваться упрощенной зависимостью
ал = 4,96-10-8ег^±1 ---L—.
2 Тс.в
Д
Прикидочные расчеты, позволяющие оценить роль излучения
в процессе теплообмена в РДТТ, были проведены профессором
Франк-Каменецким для двигателя малых размеров [15]. Результаты
расчетов приведены в табл. 3.2.
Таблица 3. 2
т° к 1800 2100 2400 2700
• 7Д ккал[м'1- час 4-105 6,8-105 12,28-105 20,6-105
ад ккал)мЗчас °C 270 380 600 860
Согласно этим данным при температуре газа 2100° С доля лучи-
стого теплообмена изменяется от 20% в начале до 40% в конце
горения заряда.
Особый интерес представили бы непосредственные замеры лу-
чистых тепловых потоков в РДТТ с помощью чувствительных тер-
мопар, воспринимающих тепловое излучение продуктов сгорания
через сапфировое окошко в камере [17].
В литературе нет сведений о проведении таких исследований
в РДТТ, а данные подобных экспериментов в ЖРД существенно
расходятся с результатами расчетов по рассмотренным выше зави-
симостям.
Величину лучистого теплового потока можно также получить
из экспериментально определенной зависимости общего теплового
потока q—f(G) экстраполированием этой зависимости до значений
G = 0. Такой прием используется в работе [39] для эксперименталь-
ной зависимости, полученной на двигателях малого калибра от 51
до 298 мм. Пересечением графика с осью ординат определяется
приближенное среднее значение ал = 500 ккал/м2час° С. В инженер-
ных расчетах в первом приближении можно ориентироваться на это
значение.
§ 4. СРЕДНЕЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛООТДАЧИ
Снижение коэффициента конвективной теплоотдачи ак за счет
увеличения проходных сечений камеры по мере выгорания заряда
приводит к значительному изменению суммарного коэффициента
теплоотдачи а = ак+ап в процессе работы двигателя. Некоторое
представление о пределах изменения а дают расчетные значения,
полученные Франк-Каменецким [15] для модельного двигателя
с относительно низкой плотностью заряжания (см. табл. 3.3)
Таблица 3. 3
Время горения Передняя часть камеры Пре дсопловая часть камеры Среднее по ка- мере значение
а ккал/м2 час° С
Начало 1200 5000 3100
Конец 1000 1800 1400
Для двигателей с высокой плотностью заряжания а будет ме-
няться в более широких пределах, причем начальные значения а
будут выше указанных в табл. 3.3.
Для инженерных расчетов необходимо знать среднее эффектив-
ное за время работы двигателя т значение аЭфф, определяемое
из условия:
®эфф
J а (Д) Тс.в) dt
О_________________
т(7’о —Т’с.в)
где Тс.в — средняя по времени температура на внутренней поверх-
ности стенки.
Среднее эффективное значение а можно определить из опыта
по замеренному количеству тепла, переданного стенке двигателя
за время работы. Это количество
тепла в расчете на единицу пло-
щади стенки может быть опреде-
лено по показаниям термопар,
размещенных по толщине стенки:
д
(2 = _|‘сум(Г-Гн)^,
о
где с — теплоемкость материала
стенки;
ум — удельный вес материала;
Т — температура слоя стенки
к концу работы двига-
теля;
Г„ —• начальная температура
стенки;
А — толщина стенки.
Можно также воспользовать-
ся значением равновесной темпе-
ратуры, которая устанавливается
Рис. 3.2. Изменение температуры
наружной поверхности двигателя
Мк-1 диаметром 298 мм
после окончания работы двига-
теля при выравнивании температуры по толщине стенки. При
этом можно обойтись термопарой, размещенной на наружной по-
верхности камеры, записав изменение температуры на этой поверх-
ности во времени. Спустя некоторое время после окончания ра-
боты двигателя, подъем температуры, фиксируемый термопарой,
прекратится и сменится очень пологим спадом ее за счет теплоот-
дачи в окружающее пространство (рис. 3. 2) [39]. Величина мак-
симума кривой определяет величину равновесной температуры
стенки Гр. С учетом ее величина Q может быть рассчитана как
С?=(Гр-7’н) сумД.
Среднее по времени эффективное значение коэффициента тепло-
отдачи
Q
Q
®эфф
т (Го Т’с.в) т . У~сл
1 — —-
\ 1 О
Поскольку Гсв входит в формулу в виде отношения Тс.в/То, кото-
рое для толстостенного стендового двигателя всегда значительно
меньше единицы, для инженерного расчета с достаточной точ-
ностью можно принять Гс.в — Тр. Тогда
_ усД (Гр—
аэфф— т(7о_7р)
На рис. 3.3 представлена зависимость между средними значе-
ниями коэффициента теплоотдачи аОфф и (Gcp/g)0’8, полученная при
экспериментах с РДТТ диаметром от 51 до 298 мм,- Эксперимен-
тальные данные под-
тверждают пригодность
рассмотренных ранее об-
щих критериальных зави-
симостей РДТТ; коэффи-
циент а изменяется с ро-
стом Goc’y линейно. На
основании рис. 3. 3 эффек-
тивное значение коэффи-
циента теплоотдачи мо-
жет быть рассчитано по
формуле аЭфф=500 +
+ 18,5С^8. Первый член
этой формулы учитывает
тепло, передаваемое стен-
ке излучением, второй—
посредством вынужден-
ной конвекции. При рас-
четах (JCp подставляется в формулу в кГ1м2сек, при этом размер-
ность аэфф получается в ккал/м2час°С. Хотя эта зависимость была
получена на основании экспериментов с топливами JPN и JP, в пер-
вом приближении ею можно пользоваться и при расчете аэфф для
двигателей на других марках двухосновных топлив.
При определении среднего значения удельного весового расхода
продуктов сгорания через рассматриваемое сечение двигателя мож-
но исходить из того, что площадь свободного сечения камеры при
постоянной скорости горения топлива изменяется линейно во вре-
мени. Для произвольного момента времени t
1 + bt
где Go — начальное значение удельного весового расхода.
Для конца горения
GK = -^-
1 + bt
Значение коэффициента b находим следующим образом.
Поскольку
1 + &т=
где е — коэффициент заполнения поперечного сечения камеры топ-
ливом (для начала горения);
т(1 —0 '
Среднее значение удельного весового расхода
Gcp
1 Г Gydt __G0
т J 1 + bt bx
о
In (1 +&т).
Произведем преобразования:
in (14-/п) = In — 1 = .
GK GK GK
Подставляя полученные выражения в исходную формулу, получим
§ 5. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ СТЕНКИ РДТТ
Нагрев стенки двигателя определяется не только внешними
условиями, т. е. законом теплопередачи от газа к внутренней по-
верхности двигателя, но и законом распространения тепла внутри
материала стенки. В большинстве случаев, с которыми мы сталки-
ваемся при расчете нагрева отдельных элементов конструкции дви-
гателя и в первую очередь его стенок, процесс теплопроводности
с достаточной для практики точностью можно полагать одномер-
ным. При этом условии закон распределения температуры в стенке
определяется уравнением теплопроводности
дт д^т
—= а-----,
dt дх?-
л , ,
где ----------коэффициент температуропроводности материала.
В условиях РДТТ, как правило, приходится рассматривать не-
стационарные температурные поля, когда температура изменяется
не только от одной точки стенки к другой, но и в данной точке
не остается постоянной во времени. Для определения температур-
ного поля стенки необходимо, кроме основного уравнения теплопро-
водности, задать краевые условия и теплофизические характери-
стики материала. При задании начального условия обычно прини-
мают для начального момента времени равномерное распределение
температуры по толщине стенки
Т (х; 0) = 7н = const.
Пространственное краевое или граничное условие, выражаю-
щее процесс передачи тепла через поверхность тела, для внутрен-
ней поверхности задается в виде
а(7'о-7'с>
Для наружной поверхности стенки обычно полагают тепловой
поток, направленный в окружающую среду, пренебрежимо малым
= 0.
Следовательно, кривые распределения температур в стенке
РДТТ должны проходить через минимум, лежащий на наружной
поверхности.
Температурное поле стенки находится решением системы урав-
нений:
дТ__ X сйТ .
- dt су дх%
Т(х; 0) = 7'и;
а(Л-'Л.в) + ^ =0;
/с.в
П =0.
V>x Д.л
Точное решение этой задачи усложняется тем, что коэффи-
циенты теплопередачи и температуропроводности представляют
собой величины, изменяющиеся в процессе работы двигателя. Из-
менение а обусловлено изменением давления в камере и проходных
сечений между зарядом и поверхностью камеры, изменение коэффи-
циента а обусловлено зависимостью теплофизических характери-
стик материала (%, с, у) от его температуры. Учет изменения этих
коэффициентов возможен при использовании методов конечных
разностей и элементарных энергетических балансов.
Рассмотрим вкратце один из них — так называемый метод ко-
нечных разностей. Сущность его состоит в том, что дифференциаль-
ное уравнение, отражающее непрерывность процесса теплопровод-
ности во времени и пространстве, заменяется зависимостями, куда
входят конечные разности, т. е. формулами для дискретного счета.
Уравнение теплопроводности в конечных разностях приобретает
вид
М
Ь2Т
а-----,
(М2
(3.13)
где Ах — толщина элементарного слоя стенки;
А/ — временной интервал.
Приращение температуры в и-ом слое за интервал времени
составит
Д<7' = 7'„,6+1 Т „,1:,
где Тп,й+1 и T„th — значения температуры, соответствующие мо-
ментам времени th+л и 4-
Производная по времени в конечных разностях для данного
слоя
А/Г _Г^+1-Т„Л
д; м
(3.14)
Разности между температурой в середине n-го слоя и двух
смежных с ним элементарных слоев будут:
Д,Л=7\+1,Й- ?
Дд-У 2 = T'n,k~~T'n-\,k-
Вторая производная по координате х в конечных разностях будет
иметь вид
V ^Д^-Д^ Т„_1,6-2Г„,6 (3 15)
(Дл-)2 (Дх)2 ’ (Дх)2 ’ . 1 ‘
Подставляя производные (3.14) и (3.15) в уравнение (3.13),
получим
= + (3. 16)
(Дх)2
Рассчитывая по зависимости (3.16) приращения температур
за шаг времени А/ для каждого слоя, можно получить последова-
тельность распределения температур по стенке двигателя на про-
тяжении всего периода нагрева (рис. 3.4). Градиент температур
на внутренней поверхности стенки для каждого момента времени
определяется из граничного условия
“ЧА =<х(7'0-7',в),
\Дх/с.в
откуда
Рис. 3.4. Распределение температуры
в стенке двигателя Мк-1 диаметром
298 мм во время горения заряда
Рис. 3. 5. Изменение во времени тем-
пературы на внутренней и наружной
поверхностях двигателя Мк-1
На рис. 3.4 представлены кривые распределения температуры
для различных моментов времени в стенке ракетного двигателя
диаметром 298 мм [39]. На рис. 3. 5 приведены графики изменения
во времени температуры на внутренней и наружной поверхностях
этого двигателя. Как видно из последнего графика, в течение пер-
вой половины времени горения температура внутренней поверх-
ности двигателя резко возрастает, достигая 90% своего максималь-
ного значения. В дальнейшем она меняется мало, хотя темпера-
тура наружных слоев стенки продолжает расти. Для двигателей
с малым временем работы наружная поверхность стенки не успе-
вает нагреться до высокой температуры.
§ 6. ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАГРЕВА ОДНОСЛОЙНОЙ
СТЕНКИ РДТТ
Для инженерной практики необходимы простые методы ра-
счета, позволяющие при минимальных затратах времени оценить
в первом приближении ожидаемый нагрев конструкции. Разра-
ботка таких методов становится возможной при введении допуще-
ний, упрощающих решение задачи:
1. Коэффициент теплоотдачи от газа к стенке двигателя прини-
мается постоянным, равным некоторому эффективному значе-
нию (Хэфф.
2. Основные теплофизические характеристики материала стенки
(X, с, у) полагаются постоянными, не меняющимися с темпера-
турой.
Рассмотрим расчет температурного поля однослойной стенки
без теплоизоляции. Искомое уравнение температурного поля дол-
жно включать восемь параметров, в том числе теплофизические
характеристики материала:
T — f(x, т, а, X, а,Т0, Тн, Д). (3.17)
Разумеется, построить универсальные расчетные графики или
таблицы с таким большим числом входов не представляется воз-
можным. На помощь приходит теория подобия и размерности, ука-
зывая пути к сокращению числа независимых переменных. Обра-
тимся к исходному уравнению и заметим, что после того, как мы
приняли величину а независимой от температуры, температура
входит в уравнение теплопроводности только под знаком производ-
ной. Это дает право производить отсчет температуры от любого
уровня. Представляется удобным за начало отсчета принять тем-
пературу газа То, при этом число определяющих параметров сокра-
тится до семи:
T0 — T = f{x, т, а, X, а, Тн, Д).
В качестве основных единиц-измерения выберем единицы изме-
рения для длины, времени, температуры и количества тепла. Най-
дем размерности определяющих параметров:
[х]=1-, [д] = /; [7'И]==°С; [a]=P[t-
[а]——= [Г]=/.
1 J М°С li°C L J
Из семи определяющих параметров только четыре являются
параметрами с независимой размерностью, так как размерность
для х и А одинакова, размерность коэффициента теплоотдачи может
быть выведена из размерности Л делением последней на I, а раз-
мерность коэффициента температуропроводности является произ-
водной размерностей хит. Согласно основному выводу л-теоремы
из данного количества параметров нельзя составить более 7—4=3
независимых безразмерных степенных комбинаций.
Такими комбинациями будут:
х аД . ат
Д’ Л ’ Д2 ’
Для того чтобы левую часть уравнения представить в виде без-
размерной величины, необходимо разделить ее на величину, имею-
щую размерность температуры. В качестве таковой выберем по-
стоянную величину То—Тн. Тогда уравнение температурного поля
выразится критериальной зависимостью
(2L- (3.18)
ту-- тн 7 1 \ д л дг;
Итак, вместо уравнения (3. 17) с восемью независимыми пере-
менными мы получили уравнение, в котором их число уменьшено
до трех. Решение такого уравнения нетрудно представить в виде
расчетных графиков и таблиц. Безразмерным комбинациям, входя-
щим в уравнение (3.18), присвоены следующие названия и обо-
значения:
т _т
б = —------- температурный симплекс;
То — тн
Fo =~ — критерий Фурье;
Bi = ^—критерий Био;
х=~—относительная длина,
д
Для уяснения физического смысла критерия Фурье его следует
представить в виде
т
Fo
Д2/а
Поскольку знаменатель представляет собой некоторое время,
характерное для процесса теплопроводности, критерий Fo можно
интерпретировать как условное безразмерное время.
Физический смысл критерия Био раскрывается, если его пред-
ставить в виде
Числитель дроби согласно понятиям теории теплопроводности
представляет собой тепловое сопротивление стенки. Знаменатель,
который согласно формулам (3.1) и (3.2) можно представить как
1 вт
— = - , характеризует термическое сопротивление теплового
а Хг
пограничного слоя. Следовательно, критерий Bi является мерой
сравнения «внутреннего» и «внешнего» тепловых сопротивлений.
Из теории теплопередачи известно решение задачи о нагреве
неограниченной пластины толщиной 2А с равномерным распреде-
лением температуры в начальный момент, которая подвергается
двустороннему воздействию среды с температурой То. Ввиду сим-
метричности нагрева тепловой поток, пересекающий среднюю плос-
кость пластины, должен равняться нулю. Следовательно, это реше-
ние определяет одновременно температурное поле неограниченной
пластины половинной толщины, но при одностороннем нагреве
и при отсутствии отвода тепла с наружной поверхности, что совпа-
дает с основными допущениями, принятыми для расчета темпера-
турного поля стенки РДТТ. Не рассматривая хода решения этой
задачи, обратимся к конечному результату:
2 sin Ф;
Фi + sin Ф,- cos Ф/
__ ф2Ро —
е ‘' cos(®;x).
(3. 19)
Здесь Ф; представляют собой последовательные значения корней
(от i=l до оо) трансцендентного уравнения
В( ’ИцФ. (3.20)
Бесконечный ряд в правой части формулы (3. 19) характери-
зуется хорошей сходимостью: при Fo^0,3 все члены ряда, следую-
щие за первым, могут быть отброшены, при этом погрешность со-
ставит не более 1%. При Fo^0,5 погрешность подобного преобра-
зования будет около 0,1%- Благодаря этому можно, ограничиваясь
небольшим количеством членов бесконечного ряда, рассчитать ве-
личину U с очень высокой точностью.
На основании решения уравнения (3. 19) различными авторами
были составлены таблицы 6=f(Bi, Fo, ж), позволяющие опреде-
лить значение относительной температуры для любого х, т. е. даю-
щие возможность построить кривую распределения температуры
по толщине стенки двигателя.
На рис. 3.6 и 3.7 приведены номограммы для определения тем-
пературы на поверхности и в средней плоскости пластины, предло-
женные Д. В. Будриным [18]. График на рис. 3. 6 позволяет для на-
ших условий определять температуру на внутренней поверхности
стенки двигателя, график на рис. 3.7 — температуру на наружной
поверхности. Графики построены в полулогарифмической системе
координат: по оси абсцисс в линейном масштабе, но с увеличиваю-
щейся ценой деления откладывается переменная Fo, по оси орди-
нат в логарифмическом масштабе нанесены значения 0. Сетка ли-
ний построена для Bi = const с частотой, допускающей линейную
интерполяцию.
Если, воспользовавшись хорошей сходимостью ряда, в выраже-
нии (3. 19) ограничиться только первым членом, для расчета на-
грева стенки двигателя можно получить следующие простейшие
зависимости:
1. Для внутренней поверхности стенки
0С B = Pe”4’1Fo. (3.21)
2. Для наружной поверхности стенки
—ф2 Fn
0с.н=ЛЧ? 1 (3.22)
3. В среднем для всей массы материала стенки
0ср = ЛД? В°. (3.23)
В показатель степени во всех случаях входит квадрат Фт пер-
вого корня трансцендентного уравнения (3.20), зависящий только
от Bi. Величиной Bi определяются также значения коэффициентов
N, Р и Л1:
2sin4>i
ф] + sin COS Фт ’
п 2sin<’i »
Р =-----------5----cos Ф1;
Ф] + sin <l>j COS (I>j
__ 2.я1пФ] sinOj
Ф]-г sin Oj cos Oj Ф]
Численные значения этих коэффициентов приведены в табл. 3.4
[26].
Для промежуточных значений Bi коэффициенты могут опреде-
ляться с помощью простой линейной интерполяции. Выражения
(3.21) и (3.22) могут применяться при Fo7>0,3. Выражение (3.23)
применимо также при значительно меньшей величине Fo, а при
Bi = 0,5—во всей области Fo.
хз
s
w
p
012
Крите- рий Био а — д л ф2 Р Л1 N Крите- рий Био а 5ГЛ Ф? Р Л-1 N
0,00 0,0000 1,000 1,000 1,000 2,2 1,222 0,535 0,930 1,186
0,01 0,0100 0,997 1,000 1,002 2,4 1,277 0,510 0,956 1,193
0,02 0,0199 0,993 1,000 1,003 2,6 1,332 0,488 0,952 1,200
0,04 0,0397 0,987 1,000 1,006 2,8 1,380 0,468 0,948 1,205
0,05 0,0584 0,981 1,000 1,010 3,0 1,420 0,448 0,944 1,210
0,08 0,0778 0,974 1,000 1,013 3,5 1,52 0,403 0,935 1,221
0,10 0,0968 0,937 1,000 1,016 4,0 1,59 0,370 0,926 1,229
0,12 0,1154 0,960 1, соо 1,020 4,5 1,65 0,338 0,919 1,235
0,14 0,1337 0,954 1,000 1,023 5,0 1,73 0,314 0,912 1,240
0,16 0,1518 0,948 1,000 1,026 5,5 1,78 0,293 0,905 1,244
0,18 0,1697 0,942 1,000 1,029 6,0 1,82 0,273 0,901 1,248
0,20 0,1874 0,936 1,000 1,031 7,0 1,90 0,241 0,892 1,254
0,22 0,2048 0,930 1,000 1,034 8,0 1,95 0,216 0,885 1,257
0,24 0,2220 0,924 0,999 1,037 9,0 2,00 0,193 0,879 1,250
0,26 0,2390 0,918 0,999 1,040 10 2,04 0,180 0,874 1,262
0,28 0,2558 0,912 0,999 1,042 12 2,08 0,152 0,8(56 1,265
0,30 0,2723 0,906 0,999 1 „045 14 2,12 0,132 0,859 1,267
0,35 0,3125 0,891 0,998 1,052 16 2,16 0,116 0,855 1,268
0,40 0,3516 0,877 0,998 1,058 18 2,20 0,104 0,851 1,269
0,45 0,3894 0,863 0,997 1,064 20 2,24 0,094 0,847 1,270
0,50 0,4264 0,849 0,99.5 1,070 25 2,27 0,076 0,841 1,271
0,55 0,4624 0,836 0,995 1,076 30 2,30 0,065 0,836 1,271
0,60 0,497 0,823 0,994 1,081 35 2,33 0,0560 0,832 1,272
0,70 0,554 0,798 0,992 1,092 40 2,35 0,0500 0,829 1,272
0,80 0,625 0,774 0,990 1,102 50 2,37 0,0400 0,825 1,272
0,90 0,684 0,751 0,988 1,111 60 2,39 0,0333 0,824 1,273
1,00 0,740 0,729 0,986 1,119 70 2,40 0,0285 0,822 1,273
1,20 0,841 0,689 0,981 1,134 80 2,41 0,0250 0,820 1,273
1,40 0,931 0,653 0,977 1,148 90 2,41 0,0222 0,819 1,273
1 ,ео 1,016 0,619 0,972 1,159 100 2,42 0,0200 0,818 1,273
1,80 1,090 0,587 0,938 1,169 ОО 2,467 0,0000 0,810 1,273
2,0 1,162 0,559 0,964 1,179
Рассчитав 9 с.в; 9 с.п и 9ср, нетрудно определить соответствую-
щие им абсолютные значения температуры
7' = 7'0(1-9) + 97’н.
Пример 1. Определить температурное состояние стенки ракетной камеры
двигателя Мк-2 [39] вблизи сопла для конца горения заряда.
Исходные данные: время горения заряда т=0,73 сек при Тн=+60°С, тол-
щина стенки Д = 3,05 мм. Материал стенки — сталь с теплофизическими харак-
теристиками:
у=7850 кГ!м3\ с=0,1305 ккал/кГ° С, /.=37,2 ккал1м • час°С.
Температура продуктов сгорания топлива JPN с учетом тепловых потерь
принимается равной 7'о = 2600°С. Коэффициент теплоотдачи а для рассматривае-
мого сечения задан равным 7500 ккал/м2час° С.
Рассчитаем критерии:
X 37,2
а ~ — = су -36,4-10 3 м2/час; 0,1305-7850 '
ах Fo — - № 36,4-10-3-0,73 = = 0,795; (3,05-10-3)2 3600
т, аД Bi = — = X 7500-3,05-10-3 л _ = Н- = 0,615. 37,2
По табл. 3. 4 находим
Ф^ = 0,507; Р = 0,819; Л4 = 0,9937; N = 1,0826,
при этих коэффициентах получим:
—Ф?Ро
0c.B=Pe =0,819-е—0’507’°’795=0,819-е~0’403=0,546.
Гс.в = 2600 (1 — 0,546) + 0,546 • 60 = 1213° С.
-Ф^Ро
6с.„=Л+> = 1,0826-0,6683 = 0,724.
Ген = 2600 (1 — 0,724) + 0,724• 60 = 7610 С.
-Ф^Ро
0ср= Me =0,994-0,6683 = 0,665.
Гср = 2600 (1 — 0,665) + 0,665-60 = 911° С.
Количество тепла, переданное стенке:
Q = уДс (Гср — Гн) = 7850-3,05-10-3-0,1305(911 —60) = 2660 ккал! м2.
При оценке снижения прочности материала за счет нагрева будем ориенти-
роваться на среднюю температуру стенки 911° С. При такой температуре предел
прочности углеродистой стали составляет всего около 10% от его величины при
нормальной температуре. Таким образом, для обеспечения прочности камеры
толщину стенки необходимо увеличить.
Пример 2. Оценить эффект увеличения толщины стенки двигателя Мк-2 до
4,8 мм. Исходные данные те же, что и в примере 1.
Вычисляем критерии:
„ 36,4-Ю-З-0,73
Fo =-------------— 0,32.
(4,8-10-3)2 3600
Из табл. 3.4
0,723; Р= 0,7356; М0,9866; .V 1.1166,
откуда
0с.в= 0,7356 • е-°-723- °'32== 0,584;
Тс.в = 2600 (1 — 0,584) + 0,584• 60 = 1115° С.
йс.н = 1,1166-0,7937 = 0,887;
Ус.н = 2600 (1 — 0,887) + 0,887• 60 = 347° С .
0ср = 0,9866 • 0,7937 = 0,783;
7^= 2600(1 — 0,783) + 0,783-60 = 611° С.
Количество тепла, переданное стенке:
Q=7850 4,8 • 10-3 0,1305(611—60) =2700 ккал/м?.
Сопоставляя результаты решения примеров 1 и 2, мы видим, что увеличе-
ние толщины стенки в 1,6 раза привело к снижению средней температуры мате-
риала в 1,5 раза. При средней температуре стенки 611° С снижение предела проч-
ности для углеродистой стали составляет около 50—60%. Если в качестве отправ-
ной величины принять предел прочности при температуре 20° С, равный 60—
70 кГ/мм2, то при 7’0р=611°С получим <тв=30—35 кГ/мм2.
Достаточная прочность камеры обеспечивается непосредственным утолщени-
ем стенки двигателя и достигнутым при этом повышением механических харак-
теристик материала за счет снижения температуры. Заметим, что утолщение стен-
ки привело к незначительному снижению температуры на внутренней поверхности.
Вследствие этого общее количество тепла, переданного стенке, которое при задан-
ном значении а определяется разностью Тп—Тс.в, изменилось всего на 5%.
Как будет изменяться температура стенки двигателя при гео-
метрическом моделировании, когда все размеры корпуса и заряда
изменяются в одинаковой линейной пропорции?
Изменение размеров двигателя мало скажется на величине
коэффициента теплоотдачи а. Коэффициент конвективной тепло-
отдачи ак будет изменяться пропорционально Д0-2. Коэффициент
лучистого теплообмена ал с ростом размеров двигателя повысится
за счет увеличения эффективной толщины излучающего слоя. Сле-
довательно, суммарный коэффициент теплоотдачи будет умень-
шаться слабее, чем d-°>2. Для упрощения задачи, учитывая пре-
обладающее влияние конвективного теплообмена, примем a~d~°’2.
Толщина стенки двигателя будет изменяться пропорционально его
калибру, следовательно-, Bi~iZ0-8.
Время горения заряда при сохранении рабочего давления неиз-
мененным определяется толщиной горящего свода, которая изме-
няется пропорционально калибру двигателя, следовательно Fo~rf Д
Пример 3. Рассчитать изменение температурного состояния стенки двигателя,
геометрически подобного двигателю Мк-2 с тонкой стеикой (см. пример 1) при
увеличении линейных размеров в три раза.
При определяющих критериях для двигателя с утроенными размерами
ns 0,795
Bi =3°’8-0,616= 1,48; Fo = = 0,265,
О
получим
ТС'В = 1342° С; 7'с.н = 330° С; Тср = 685° С.
Таким образом, при геометрическом моделировании РДТТ
не соблюдается тепловое подобие. С увеличением калибра двига-
теля несколько возросла температура на внутренней поверхности
стенки и резко упала температура на наружной поверхности.
Средняя температура стенки, а следовательно, и суммарные теп-
ловые потери при пропорциональном увеличении размеров двига-
теля сокращаются. Так, в рассматриваемом случае при увеличении
всех размеров втрое средняя температура стенки и тепловые по-
тери уменьшились на 33%.
Данные обстоятельства должны учитываться при оценке ре-
зультатов испытаний материалов корпуса и покрытий и переносе
этих результатов на другой калибр.
Если увеличение калибра двигателя происходит при сохране-
нии постоянной толщины горящего свода, например, при переходе
к заряду с большим числом шашек, средняя температура стенки
с ростом калибра падает еще резче.
Например, при расчетах, проведенных для двигателя калибром 298 мм с та-
ким же временем работы и относительной толщиной стенки, как у Мк-2, были
получены 7’c.n = 1320°С; 7’с.п = 149оС; 7’ср=538°С. Итак, при увеличении калибра
двигателя в 2,34 раза при сохранении времени горения заряда постоянным сред-
няя температура стенки снизилась в 1,7 раза — с 911° С до 538° С, т. е. до уров-
ня, приемлемого по условиям прочности материала.
Приведенные данные показывают, что толщина стенки двига-
теля большого калибра при малом времени работы может в пер-
вом приближении выбираться из условия прочности при нормаль-
ной температуре. При этом автоматически обеспечивается доста-
точная теплоаккумулирующая способность стенки. У двигателя
малого калибра для обеспечения приемлемого уровня температур
относительная толщина стенки должна выбираться значительно
большей, чем это следует из прочностного расчета, проведенного
без учета нагрева.
Было бы неправильным распространять выводы, полученные
выше для случая геометрического моделирования, на все случаи
увеличения размеров двигателя. Как правило, при создании дви-
гателей больших калибров условия геометрического моделирования
для элементов конструкции не соблюдаются, и материал корпуса
оказывается в более тяжелых условиях, чем в однотипном двига-
теле малых размеров.
§ 7. РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ СТЕНКИ РДТТ С ПОМОЩЬЮ
МОДЕЛИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
В. И. Ленин в своей работе «Материализм и эмпириокрити-
цизм» писал:
«Единство природы обнаруживается в «поразительной анало-
гичности» дифференциальных уравнений, относящихся к различ-
ным областям явлений»*. Использование этого свойства природы
и положено в основу метода аналогий, получившего широкое при-
менение в исследовательской практике при решении разнообразных
технических задач. Аналогия физических явлений представляет
Рис. 3. 8. Схема гидроинтегратора
собой наиболее общий случай подобия. Общность математических
зависимостей, управляющих разнородными физическими процес-
сами, позволяет процесс, трудно поддающийся экспериментирова-
нию, исследовать на модели, в которой используется другой про-
цесс, аналогичный первому с математической точки зрения, но по
своей физической сущности более доступный воспроизводству в ла-
бораторных условиях и наблюдению.
Как уже отмечалось, аналитическое решение задачи теплопро-
водности для стенки двигателя возможно лишь при некоторых упро-
щающих предпосылках и пригодно для приближенной оценки на-
грева конструкции. Более точные расчетные методы — конечных
разностей и температурных балансов — чрезвычайно трудоемки и
громоздки. Для целей проектирования двигателя тепловое состоя-
ние его стенки проще всего воспроизвести на модели с использова-
нием электротепловой либо теплогидродинамической аналогии.
Рассмотрим устройство модели, основанной на аналогии между
теплопроводностью и течением вязкой жидкости (рис. 3.8).
* В. И. Ленин, Соч., т. 14, Госполитиздат, 1947, стр. 276.
Модель представляет собой набор вертикальных открытых
сверху цилиндрических сосудов — пьезометров, сообщающихся
между собой капиллярами. Площадь сечения сосудов во много раз
превышает сечение капилляра. Слева к системе подсоединен сосуд
большой емкости с практически постоянным уровнем жидкости.
Разность уровней в сосуде и пьезометрах вызывает перетекание
жидкости через систему капилляров и пьезометров. Распределе-
ние уровней жидкости в пьезометрах по направлению перетекания
является аналогом температурного поля стенки. Такое моделирую-
щее устройство, называемое гидроинтегратором, было впервые раз-
работано и предложено советским ученым В. С. Лукьяновым [45].
Перейдем к выводу дифференциального уравнения для гидрав-
лического аналога температурного поля в стенке двигателя. Будем
полагать, что система состоит из бесконечного множества пьезо-
метров и капилляров. Такой методический прием, позволяющий
представить систему как однородную среду, избавляет нас от труд-
ностей, связанных с анализом дискретной модели. Выделим в на-
шей системе бесконечно малый участок, протяженностью dx (эле-
ментарный блок модели). Рассмотрим изменение количества жид-
кости, заключенной в этом блоке, за время dt. Расход вязкой
жидкости в капилляре при стабилизированном ламинарном тече-
нии определяется зависимостью
G — — £ /£
где dz]dx — градиент напора вдоль течения жидкости, образуемы
падением уровней в пьезометрах;
& —коэффициент, характеризующий гидравлическое со-
противление капилляра;
/к — площадь сечения капилляра.
Заметим, что выражение для расхода жидкости имеет общую
структуру с выражением для теплового потока через площадь fT:
дТ_
дх
За время dt по капилляру слева в блок поступает количество
жидкости, равное
Gclt=~ ~kd— fKdt.
дх J k
За это же время из блока через капилляр справа вытекает
количество жидкости, равное
Gdt + — dxdt ~--~k — f dt — k f Kdxdt.
! dx dx K dx2 J K
Разность притока и стока составит
— dxdt— — k ~ f dxdt. (3. 24)
дх дх2
Изменение количества жидкости в блоке за время dt-.
dG= — fn — dtdx, (3.25)
dt
где fn—суммарная площадь поперечных сечений пьезометров,
приходящаяся на единицу длины.
Приравнивая правые части уравнения (3. 24) и (3. 25), получим
= Обозначив b=kf* получим
dt fn дх^ fn
dz _ь
dt ~~ dx^'
Таким образом, для рассматриваемой гидравлической модели
мы получили, дифференциальное уравнение с такой же структурой,
которую имеет уравнение для тепловой системы. Итак, в данной
модели изменение уровня жидкости является аналогом изменения
температуры по толщине стенки двигателя, изменение количества
жидкости в элементарном блоке — аналогом изменения теплосо-
держания элементарного слоя стенки, расход жидкости в капилля-
рах — аналогом теплового потока. Роль погонной площади сечений
пьезометров /п, определяющей их емкость, аналогична той, которую
в процессе теплопроводности играет теплоемкость материала
стенки. Теплопроводности материала в данной схеме соответст-
вует величина fK/k, обратно пропорциональная гидравлическому
сопротивлению капилляра, характеризующая его гидравлическую
проводимость.
Для полной аналогии с моделируемым процессом, помимо тож-
дественности структуры дифференциальных уравнений, необходима
тождественность структуры уравнений, описывающих граничные
условия. При тепловом расчете стенки РДТТ задание начальных
условий сводится к заданию начальной температуры стенки, по-
стоянной по всей толщине. В гидродинамической модели этому со-
ответствует задание некоторого одинакового уровня жидкости
в пьезометрах. Для внешней поверхности стенки двигателя крае-
вым условием является отсутствие теплоотдачи в окружающую
среду. Для модели это означает отсутствие стока жидкости. Для
внутренней поверхности стенки краевое условие задается равенст-
вом тепловых потоков, подводимых к поверхности из газовой среды
и отводимых в глубь стенки:
=а(70-7,в). (3.26)
\дх /с,в
В гидравлической модели ему соответствует равенство коли-
честв жидкости, вытекающих из сосуда постоянного уровня и по-
ступающих в крайнюю ячейку системы, имитирующую элементар-
ный поверхностный слой стенки. В сечении С—С (см. рис. 3.8),
соответствующем поверхности стенки, основной капилляр встре-
чается с подводящим внешним капилляром с площадью fBH и про-
водимостью kmi, которые в общем случае отличны от их значений
для основного капилляра. Следовательно, краевое условие для
гидравлической системы выразится следующим образом:
при х = 0 —k f—) /к=-£вн — /вн»
\ОХ ,/n ZBH
где /вн — длина внешнего капилляра;
zn— разность уровней сосуда постоянного уровня и крайнего
пьезометра.
Введем обозначение т — -""/гл, тогда краевое условие приоб-
7’.н/к
ретает вид
-И—') —mz. (3.27)
/п
Из сопоставления уравнений (3.26) и (3.27) видно, что крае-
вые условия выражены одинаковыми по структуре зависимостями,
при'этом величина т в гидравлической модели выполняет роль
коэффициента теплоотдачи. Изменяя в процессе работы модели
длину внешнего капилляра, например, за счет телескопического
сочленения его с основным капилляром, можно менять величину т
в соответствии с заданным законом изменения коэффициента а
во времени. При настройке модели подбирают масштаб времени,
обеспечивающий удобство наблюдения за изменением уровней
жидкости в пьезометрах. В отличие от процесса теплопроводности
гидродинамический процесс можно в любой момент «заморозить»,
перекрыв краники в гидравлических коммуникациях системы. Это
позволяет в процессе моделирования заменять отдельные элементы
аналогии — капилляры и пьезометры, воспроизводя изменения
теплофизических параметров материала (с, %), обусловленные из-
менением температуры.
К недостаткам гидравлических моделей следует отнести их гро-
моздкость, относительно высокую стоимость изготовления и слож-
ность эксплуатации.
В настоящее время все более широкое распространение полу-
чают электрические модели, которые по сравнению с аналоговыми
устройствами других типов обладают такими достоинствами как
надежность, стабильность результатов, высокая точность, компакт-
ность, простота эксплуатации, обусловленная быстротой и удоб-
ствами электрических измерений, невысокая стоимость при исполь-
зовании стандартных электродеталей [22].
В схеме, показанной на рис. 3.9, термические свойства мате-
риала стенки моделируются набором сопротивлений, последова-
тельно включенных в цепь постоянного тока, и параллельно вклю-
ченных емкостей: сопротивления в электрической цепи выполняют
роль теплового сопротивления материала (1/Л,), электрические
емкости воспроизводят способность материала к аккумуляции
гепла. Аналогом температуры в электрической системе является
электрический потенциал в рассматриваемой точке цепи, аналогом
Рис. 3.9. R—С-сеточная схема электроинтегратора
теплового потока — сила тока. Основное уравнение электропровод-
ности для такой цепи
1 д~Ц
dt ~~ RC ~д& ’
где R и С — погонные сопротивление и емкость на элементарном
участке цепи. Для моделирования граничного условия на внутрен-
ней поверхности стенки РДТТ может быть использовано дополни-
тельно внешнее сопротивление Ra. Краевое условие для электри-
ческой системы выразится следующим образом:
-r(^) =РдД£/,
где АД — разность потенциалов на концах дополнительного сопро-
тивления.
Рассмотренная схема получила наименование R—С-сеточной
схемы. К недостаткам этой схемы следует отнести трудности изме-
нения параметров в процессе решения задачи.
В настоящее время для решения задач нестационарной тепло-
проводности наиболее удобной считается модель, основанная на
использовании R-сетки (рис. 3.10). В такой модели допустимы
изменения в широких пределах параметров в процессе решения
задачи с переменными теплофизическими свойствами материалов,
а также представляются большие возможности выбора масштаба
времени, наиболее удобного для условий данной задачи. Для реше-
ния уравнения нестационарной теплопроводности используется ли-
нейная цепочка омических сопротивлений Rx, к узлам которой под-
ключены сопротивления Rt. При электрическом моделировании на
R-сетках используется аналогия между уравнением нестационар-
ной теплопроводности в конечных разностях (3.16) и законом
Кирхгофа, записанного для узла модели:
Тп,1г+1—Тn,k а Tn + I,k — 2Тn,k + ? п—1,Ъ . ° Up __ и 1 — о+ и2
М — Д%2 ’ Ri “ Rx
Задание
Рис. 3.10. R—R-сеточная схема электроинтегратора
Электрические напряжения в узлах модели будут пропорцио-
нальны температурам в соответствующих точках стенки при
условии:
_n
где N— масштаб моделирования;
kT—масштаб моделирования температур;
Rg — сопротивление, реализующее граничные условия.
При этих условиях напряжения в точках Ло, Ai...A„ будут
соответствовать температуре в момент tk, а в точках Ло, Ai...An—
температуре в момент tk+i- Следовательно, если в концевых точках
модели реализованы граничные условия, то по заданной темпера-
туре ТпЛ можно найти температуру Тп.м. Далее, при задании в
точках Ло,. А\...А'п напряжений, соответствующих температуре
Тк+Ъ в точках Ло, Л]... Л„ возникнут напряжения, соответствую-
щие Tk+2 и т. д.
Максимальная ошибка расчета при использовании R—R и
R—С-сетки не превышает 1—2%.
§ 8. РАСЧЕТ ПАССИВНОГО ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ
Основными требованиями, предъявляемыми к материалу пас-
сивного теплозащитного покрытия РДТТ, являются:
— высокая температура плавления;
— низкая температуропроводность;
— высокая адгезия с материалом несущей конструкции;
— достаточно высокое сопротивление вибрационному воздей-
ствию, механическому и тепловому ударам.
Применяемые с этой целью материалы весьма разнообразны
по своему составу и теплофизическим свойствам. Основным ком-
понентом этих материалов являются тугоплавкие соединения и эле-
менты, приведенные в табл. 3.11 [10]. Кроме того, в состав покры-
тия входят связующие вещества и различные технологические
добавки.
Теплопроводность покрытий зависит от множества факторов,
основными из которых являются:
1) состав материала;
2) пористость материала;
3) температура нагрева;
4) размер зерен;
5) влияние связки и ее технологических свойств;
6) особенности технологического процесса изготовления.
С ростом пористости материала улучшаются его теплоизоля-
ционные свойства, однако снижается сопротивляемость механиче-
скому воздействию. Как показывают исследования, с увеличением
среднего размера зерен теплопроводность теплозащитных материа-
лов возрастает. С увеличением содержания связки, являющейся
аморфным веществом, за счет объема кристаллического компо-
нента эффективная теплопроводность материала снижается.
Влияние температуры нагрева на теплопроводность материала
связано с изменением его химико-минералогической структуры,
соотношения кристаллической и аморфной составляющих и т. д.
Насколько существенно влияет температура нагрева материала по-
крытия на его теплопроводность можно судить по эксперименталь-
ным данным для различных веществ в сплошном и пористом со-
стояниях, приведенным в табл. 3. 5 [44].
На рис. 3.11 показан характер распределения температуры
в стенке двигателя с пассивным теплоизоляционным покрытием.
Здесь и в последующих выкладках индекс «М» относится к ме-
таллу, индекс «И» — к покрытию. В теплоизоляционном слое на-
блюдается резкое падение температуры. На границе покрытия и
металла ТВ=ТМ. Тепловые потоки слева и справа от контактной
поверхности равны
х (d-L\ =х
nw/n
Так как Лп<С%м, в точке контак-
та температурная кривая пре-
терпевает резкий излом. В слое
металла температурный гради-
ент невелик.
Распределение температуры
по толщине двухслойной стен-
ки можно найти при графо-
Рис. 3.11.
аналитическом решении урав-
нения теплопроводности. Изве-
стны также приближенные ре-
шения, позволяющие опреде-
лить температуру в характер-
ной точке — на границе покры-
тия и металла. Д. Гровер и
У. Хольтер [54] получили такое
решение, основываясь, кроме
рассмотренных нами ранее до-
пущений, на предположении о
бесконечно большой теплопро-
водности металла (Z,M = oo). На
первый взгляд такое допуще-
ние представляется грубым ис-
кажением действительности.
При оценке его правомерности
следует однако учесть, что коэффициенты теплопроводности покры-
тия и металла разнятся почти на два порядка. Подъем температуры
в слоях металла почти не лимитируется его теплопроводностью; он
определяется условиями подвода тепла через покрытие. Поэтому с
учетом масштабов изменения температуры по толщине покрытия и
металла можно в первом приближении принять температуру по тол-
щине металлической стенки постоянной, что равносильно усло-
вию Лм = оо-
Из решения уравнения теплопроводности при принятых допуще-
ниях было получено выражение для определения температуры на
границе покрытия и металла
где — последовательные положительные значения корней транс-
цендентного уравнения:
Bi —
;
' МВ1 + Л4)
= . ...YnCnAn .
Критерии Bi и Fo, подставляемые в решение, рассчитываются для
покрытия. Итак, согласно полученному решению 9 =f(Bi, Fo, Ai).
По сравнению с однослойной стенкой решение усложняется зави-
симостью от дополнительного параметра Af. Заметим, что зависи-
мость (3. 28) симметрична по отношению к Af и Bi, т. е. при пере-
становке численных значений этих критериев результат не ме-
няется. Полученное решение может быть представлено в графиче-
ской форме. На рис. 3. 12—3. 16 приведены графики зависимости 9
от Fo при Bi = const, построенные для различных значений Af.
На практике использование графиков с тремя входами связано
с неудобствами двойной интерполяции. Для устранения этого не-
достатка авторами рассматриваемого решения был введен новый
критерий
1,1, 1
п —----L --------4
Bi 1 М 1 Bi Л1
Как показывают расчеты, если Bi и Af изменять в широких пре-
делах, но так, чтобы значение ц при этом оставалось постоянным,
величина симплекса 9 меняется не более, чем на 3—4%. Поэтому
Рис. 3. 12. Рис. 3. 13. Рис. 3. 14.
с достаточной для практики точностью зависимость 0 от трех пара-
метров Fo, Bi и М можно заменить упрощенной зависимостью от
двух параметров — Fo и р. Аппроксимирующая функция имеет вид
9
9
о -
2|xg sec Ф;
где Ф(- — положительные корпи трансцендентного уравнения
ф-tg ф/ = —.
Р-
Рис. 3. 15.
Рис. 3. 16.
На рис. 3. 17 представлен график зависимости 0 от Fo для зна-
чений р от О1 до 50, использование которого избавляет от необходи-
мости двойной интерполяции.
Пример 1. Определить температуру стенки двигателя Мк-2, защищенной слоем
теплоизоляции толщиной 0,25 мм. Исходные данные такие же, как в примере 1 § 6
Характеристики теплоизоляционного покрытия [391: Л„ = 0 89 ккал/м час °C -
«4=0,2 ккал/кГсС; уп“2550 кГ/.н3.
Определим критерии:
Хп 0,89
а„ ---------=------------— 1,74а-10—3 ^‘ivac;
спуп 0,2-2550
Yngn^n
Ym^m^m
2550-0,2-0,25
7850-0,1305-3,05
- 0,0408;
апт 1,745-10-3.0,73
Fo = -v ---------------------= 5,67;
3600 (0,25-10-3)2
аДп 7500-0,25-Ю-з
В1 = ------- —---------------= 2,11;
Хп 0,89
1 1 , 1_______________1 , 1 , 1
М +Bi ' Bi М 0,0408 2,11 2,И-0,0408
По рис. 3. ;находим 0=0,88, при .этом температура стенки
Т=2600 (1 —0,88) + 0,88 • 60 = 365° С.
Количество тепла, переданное стенке камеры:
Q--см (Г —Г,,) Лмуы = 0,1305 (£65— 60) 3,05-10—3-7850 = 955 ккал1м2.
Сравним результаты расчета, проведенного для стенки с теплоизоляцией,
с полученными ранее для незащищенной стенки такой же толщины (Дм = 3,05жм).
Благодаря теплоизоляции средняя температура стенки снизилась с 911° С до
365° С, т. е. до температурного уровня, при котором углеродистая сталь имеет
почти такие же прочностные характеристики, что и в холодном состоянии. Коли-
чество тепла, переданное стенке, снизилось почти в три раза.
По сравнению с вариантом двигателя, имеющим утолщенную стенку (см.
пример 2 § 6), применение теплоизоляции обеспечивает вдвое меньшую темпера-
туру стенки при одновременном снижении веса конструкции в полтора раза.
Пример 2. Найти потребную толщину покрытия стальной стенки двигателя
толщиной Дм = 4 мм, температура которой должна оставаться ниже 400° С в те-
чение 60 сек. Температура газа 2000° С. Коэффициент теплоотдачи от газа к по-
крытию 600 ккал/м2час °C. Характеристики стали:
ум = 7850 кГ'м''", см=0,1305 ккал!кГ°С.
Характеристики теплоизоляции на основе асбеста:
Лп=0,194 ккал]м • час°С; сп = 0,25 ккал{кГ°C; уп = 580 кГ)м3.
Так как обе переменные Fo и pi являются функциями искомой величины Дп,
задача должна решаться методом подбора.
Первое сближение. Задаемся ДП1 = 2,3 мм, тогда
0,194
ап =-.-----—- = 1,34-10—3 м~:час\
0,25-580
аДп1 600-2,3-10-3
Bi - —~ =---------------- =7,11;
лп 0,194
Yncn^ni 580-0,25-2,3-10—3
YmMm 7850-0,1305-4-10-3
Ill 1 1 1
и. = --4- - ’J- -- =----- J- --- I-------------1 A 11-
Bi M Bi M 7,11 0,0815 7,11-0,0815 ’ ’
2000 — 400 1600
0 =-----------=-----= 0,808.
2000—20 1980
Из рис. 3. 17 находим Fo=3,41. Вычисляем
/апх , / 1,34-10-3-60
Ь. |/
Второе сближение. Задаемся Дп = 2,45 мм и вновь повторяем все
вычисления. В результате получаем ДП2—2,48 мм.
Принимаем для проектирования Дп=2,5 мм.
§ 9. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ГАЗОМ И СТЕНКОЙ ДВИГАТЕЛЯ
ПРИ АБЛЯЦИИ
В настоящее время уделяется большое внимание использованию
в РДТТ различных аблирующих покрытий.
Знание основных зависимостей теплообмена между газом и по-
верхностью при абляции необходимо для определения толщины
аблирующего покрытия, предохраняющего металлическую стенку
корпуса РДТТ от нагрева. Если корпус двигателя проектируется
из пластмассы, необходимо заранее оценить, насколько в процессе
работы двигателя уменьшается толщина его стенки вследствие
абляции,
При выводе этих зависимостей нам придется отвлечься от хи-
мической стороны явления. Рассмотрим конечный тепловой эффект
реакций разложения и фазовых превращений материала в поверх-
ностном слое, характеризуя его удельной теплотой абляции Qs,
отнесенной к 1 кг аблирующего материала. Эта характеристика
аналогична скрытой теплоте плавления или испарения.
Энергия, поглощаемая при абляции в единицу времени, равна
разности тепловых потоков
uyQs = qi—^2, (3.29)
где
71 —поток, подведенный к поверхности;
7г — поток, отведенный в глубь материала;
и — линейная скорость абляции, т. е. скорость перемещения
аблирующей поверхности в глубь материала.
Рассматривая тепловой поток 72, пренебрегаем поглощением
тепла во внутренних слоях покрытия при реакциях разложения,
стимулируемых повышением температуры. Предположим, что все
химические и фазовые превращения происходят непосредственно на
поверхности раздела фаз в слое, толщиной которого при изучении
распределения температуры в покрытии можно пренебречь. Для
упрощения выкладок рассмотрим стационарную абляцию (и=
= const). Введем подвижную систему координат, перемещающуюся
в глубь покрытия со скоростью абляции и. Связь ее с неподвижной
системой координат определится зависимостями:
„ , dZ л dZ
i = x — ui: —=1; —= — и.
дх dt
Для того чтобы вывести уравнение распределения температуры
перед фронтом абляции, воспользуемся дифференциальным урав-
нением теплопроводности, выразив его в новой системе координат.
Поскольку
d2L—^L. _ dJL
dx2 dj2 ’ dt dZ dt dZ ’
уравнение теплопроводности примет вид
d'-’T
а---------
dT
dZ2
dZ
(3. 30)
= — и.----------.
В рассматриваемой системе координат при стационарной абля-
ции распределение температуры не меняется во времени и зависит
только от координаты следовательно, уравнение (3.30) можно
переписать в виде
а,—(3.31)
az
где
X
о.г =-.
\ис
Решая уравнение (3.31), получим
Найдем значения постоянных интегрирования:
при У=оо Т 7\:: с2 = Тв-,
при ^0 T = TS-, Cl=
Уравнение температурного поля перед фронтом абляции при-
обретет окончательный вид
Т~'Гн--= (Г5-Гн)е~^т.
Пример. Оцепим, на какую толщину материала распространяется при абля-
ции сколько-нибудь заметное повышение температуры. Примем в качестве
условной границы прогрева точку, в которой температура материала отличается
от начального значения на 10%.
Примем характеристики материала равными: у= 1700 кГ/м3; с = 0^ккал/кГ° С\
// =-0.5 - 10 '1 м/сек=1,8 м/час; T’s = 320°C; Гп = 20°С; Х=0,12 ккал/м час° С.
Получим
X / Т — Т,.\ 0,12 / 0,1-20
Z =--I — In ---I =--------I — In ----
уис \ Ts— Тя) 1700 1,8 0,4k 320 — 20
-0,49-10—3 м.
Итак, при принятых нами условиях глубина зоны прогрева
исчисляется десятыми долями миллиметра.
Температурный градиент у поверхности покрытия
,'дТ \ Ts — Ta уис , ,
Величина теплового потока, отводимого от поверхности в глубь
покрытия:
=yuc{Ts~TH). (3.32)
\ di )s
Количество тепла, аккумулированное материалом в расчете на
единицу поверхности:
Q2=J ус(Т— T^d^—yc (Ts~Ta) j e~^ di.
0 0
В результате интегрирования получим
И
Пригодность материала для изготовления из него аблирующего
покрытия определяется соотношением количества тепла, отводи-
мого в глубь материала и поглощаемого при абляции. Материал
считается пригодным, если обеспечивается условие
Относительное количество тепла, отводимого в глубь материала:
Qa „ UTS-Tn)
qyx uq^x
Поскольку qx=Qsyu.-\-yuc(Ts — TH), to
u =____________________________<h_______
Y [Qs + c (Ts — т„)]
Подставляя полученное значение и в формулу (3.33), находим
Qa X (rs —Г„) у [QS Ч- с (Tg. —Гн)]
91* fa
или, полагая Гн = 0:
Qa Y^s (Qs + cl's) (3
qjt
(3.33)
Величину 7] будем полагать заданной. I\ определению ее мы
перейдем позже. Формула (3.34) указывает на противоречивость
требований, предъявляемых к материалам для аблирующих по-
крытий. Для сокращения весового расхода материала при абляции
необходимо стремиться к увеличению Qs, в то время как пропор-
ционально ему возрастает бесполезно поглощаемая доля тепла.
Очевидно, для эффективного использования абляции необходимо
иметь высокое Qs при наименьшей величине произведения
yZ7s(Qs + c7s).
Сама по себе величина Qs не является достаточным критерием
пригодности материала для аблирующего покрытия. В качестве
примера сошлемся на обычный графит, теплота абляции которого
составляет более 5560 ккал)кг [3]. Однако вследствие высокой
теплопроводности (Х=160 ккал/м • час° С) в условиях РДТТ он
будет играть роль теплового стока, отводя основную массу тепла
с поверхности в глубь стенки. С другой стороны, использование
графита в ином состоянии, например, в смеси с материалом, обла-
дающим низкой теплопроводностью, либо за счет придания ему
особой структуры, характеризуемой малым X, позволит эффективно
использовать его высокую теплоту абляции в двигателе с темпера-
турой горения более 3500° С (температура сублимации графита).
Расчет теплообмена между потоком продуктов сгорания твер-
дого топлива и поверхностью аблирующего покрытия осложняется
поступлением в поток продуктов газификации твердой фазы, суще-
ственно отличающихся по своим физико-химическим свойствам
от основного состава газа. Продукты газификации могут химически
взаимодействовать между собой и с газом основного потока с по-
глощением либо выделением дополнительного тепла.
Рассмотрим процесс переноса тепловой энергии при наличии
подвода вещества и химических реакций для ламинарного погра-
ничного слоя. Эти зависимости сохраняют силу также для лами-
нарного подслоя турбулентного пограничного слоя.
При изучении данного вопроса целесообразно использовать
понятие полной термодинамической энтальпии z-ro компонента
газа, представляющей сумму теплосодержания этого компонента
при данной температуре и теплоты его образования из молекул
элементов /°:
Л-=[г^ + /°.
6
Энтальпия смеси газа представляет сумму энтальпий отдель-
ных компонентов:
(3-35)
где Кг — весовая доля z-ro химического компонента.
При термохимических расчетах используются значения теплот
образования, отнесенные к некоторым стандартным условиям
и к стандартному состоянию элементов, образующих сложное ве-
щество. За стандартные условия принимают давление, равное 1 ат,
и температуру, равную 18 или 25° С. За стандартное состояние при-
нимают состояние, которое для данного элемента является наибо-
лее распространенным в природе. Например, для газа таковым
является молекулярное состояние: Нг, Ог, Ж Теплоты образова-
ния, определенные при этих условиях, приведены в химических
справочниках [6], [35].
Перенос продуктов газификации от поверхности раздела двух
фаз к внешней границе ламинарного подслоя будет осуществляться
двумя путями — конвекцией и диффузией.
Поток вещества, переносимого при молекулярной диффузии,
подчиняется закону Фика:
дК,-
т,~ — Uq—- ,
‘ дх
где mi — весовое количество z-ro компонента, диффундирующего
в единицу времени через единицу поверхности, нормаль-
ной к направлению диффузии;
D — коэффициент диффузии.
Поток вещества, переносимого конвекцией, равен mr-=KiQ'u,
где й — скорость движения газа в направлении, нормальном к по-
верхности.
Поскольку поверхность раздела фаз является непроницаемой
для компонентов основного потока, включая продукты их взаимо-
действия с газами, поступающими с поверхности, для этих компо-
нентов должно выполняться условие
„ ~ п /dKi \
k дх Js
т. e. на поверхности раздела двух фаз диффузионный приток рас-
сматриваемых компонентов компенсируется их конвективным
потоком, направленным от поверхности.
Для газов, поступающих с поверхности, массовая скорость ком-
понентов является полной массовой скоростью на поверхности.
Следовательно, для них должно выполняться условие
' дх /S
Рассмотрим суммарный поток энергии в направлении к поверх-
ности раздела двух фаз:
или
. (3-36)
Поскольку согласно уравнению (3.35)
di = ^KidI2 7idKi--- cridT -Y^ihdKi,
где ср= V KiCp i, уравнение (3.36) можно представить в виде
<7 =
с„ \rU' ‘ дх /
QDcp у, у dKt_
X AJ ' дх
(3. 37)
Выражение, стоящее в круглых скобках, определяет долю теп-
ловой энергии, передаваемой к поверхности за счет теплопровод-
ности. Величина этой энергии определяется градиентом полной
энтальпии газовой смеси и изменением состава смеси по толщине
пограничного слоя. Второй член в квадратных скобках выражает
долю тепла, передаваемого за счет диффузии.
Соотношение долей тепловой энергии, передаваемой посредст-
вом теплопроводности и диффузии, зависит в значительной сте-
пени от параметра —— . Этот параметр, ооозначаемыи обычно
Л
символом Le, известен в литературе как параметр Лыоиса—Семе-
нова. При исследовании процессов тепло-массообмена широко
используется упрощающее предположение Le=l.
Впервые это предположение было применено советскими уче-
ными Н. Н. Семеновым и Я. Б. Зельдовичем в их работе [16]. Такое
упрощение основано на том, что для газа и газовых смесей, компо-
ненты которых имеют одинаковое число атомов в молекуле, коэф-
фициенты молекулярной диффузии D и температуропроводности
X „ „ ,
а=——в соответствии с кинетической теорией газа имеют близ-
кие значения. Это позволяет в первом приближении принять a = D,
При этом зависимость (3.37) принимает вид
Энтальпийный градиент для пограничного слоя можно прибли-
женно выразить в виде
Ж !e~/s
\ dx/s В
где 1С — полная термодинамическая энтальпия газа на внешней
границе слоя;
Is — полная термодинамическая энтальпия газа у поверхности;
б — толщина пограничного слоя.
При этом
По аналогии с обычной ньютонианской зависимостью введем
для рассматриваемого случая коэффициент теплоотдачи, опреде-
ляемый выражением:
а = с (3.39)
р Ie~Is
Заметим, что при Le=l уравнение (3.39) выполнйется незави-
симо от механизма теплообмена и от скорости отдельных химиче-
ских реакций в пограничном слое, т. е. тепловой поток опреде-
ляется химическим составом и температурой газа на внутренней и
внешней границах слоя и почти не зависит от протекающих в слое
химических реакций.
Последние могут оказывать влияние на величину теплового по-
тока только посредством изменения характеристик переноса
(X, сР). Подробно этот вопрос рассмотрен в работе [41].
В исследованиях теплообмена при наличии химических реакций
часто пользуются безразмерным коэффициентом переноса тепло-
вой энтальпии (число Стантона)
Сн= ------. (3.401
Wi Ue ~ 1 s)
Для характеристики переноса массы обычно используется пара-
метр
В'— ., (3.41)
Qe^e Сн
Отметим, что в это выражение входит значение Сн, определяе-
мое по величине теплового потока к поверхности с учетом вдува
массы в пограничный слой. Наряду с В' используется так называе-
мый параметр вдува
(3.42)
Qeve Chq
куда входит значение Сн0, рассматриваемое для теплопередачи
без вдува массы.
Тепловой поток, отводимый в глубь покрытия, можно с учетом
формул (3.40), (3.41) и (3.29) представить в виде
92=елСн[/е — /Sr — B'Qs]. (3.43)
Приравнивая правые части уравнений (3.43) и (3.32) и решая
полученное равенство относительно В', находим
В' =----.
Qs + ст a's—7'н)
Поскольку В/В' = Сн/Сно, получим
Сн __ & FQs + ст (Г$ — Тн)
Сн0 L 4 — Тг
(3.44)
При известных характеристиках Qs, Т8, ст и по перепаду эн-
тальпий (/е—1st), который может быть получен из термодинамиче-
ского расчета, выражение (3.44) позволяет для произвольных зна-
чений В рассчитать Сн/Сн0. Отношение Сн/Сн0) представляющее
отношение конвективного теплового потока при введении массы
в пограничный слой к тепловому потоку без введения массы, иногда
называют функцией блокирования, а сам эффект снижения тепло-
вого потока к поверхности аблирующего покрытия за счет подачи
Рис. 3.18.
массы — тепловой блокадой. Экспериментальные исследования
показывают, что при фиксированных значениях критериев подобия
Re и Рг величина Сн/Сн0 может быть представлена в виде функции
одного переменного В (рис. 3.18).
Если на график наложить семейство прямых, отвечающих фор-
муле (3.44) для произвольных значений В', точки пересечения
прямых линий с экспериментальной кривой определят истинные
значения Сн/Сн0 и В, соответствующие данному значению В'.
Последовательность определения скорости уноса вещества с по-
мощью такого графика при заданных характеристиках внешнего
потока и материала покрытия следующая:
1. По характеристикам материала покрытия и по расчетным зна-
чениям энтальпии продуктов газификации покрытия при темпера-
турах Т8 и То определяется параметр В'.
2. На графике по найденному значению В' проводится луч
Сн/Сно=В/В'. Из пересечения его с экспериментальной кривой
Сн/Сно=/(В) определяются соответствующие значения Сн/СноиВ.
3. По характеристикам газового течения вдоль аблирующего по-
крытия определяется по обычным зависимостям (3.3) — (3.7) зна-
чение Сн0.
4. Массовая скорость уноса вещества определяется как
/и5=(е'и)5=Вр^гСн0,
где В — значение параметра вдува, снятое с графика.
Эмпирическую зависимость отношения Сн/Сн0 от параметра
вдува можно аппроксимировать формулой
Сн/Сн0=АВ~т.
При использовании этой зависимости в широком диапазоне из-
менения параметра вдува невозможно подобрать постоянные
значения Лит для всех значений В. Весь диапазон приходится де-
лить на отдельные участки и для каждого из них принимать свои
значения Лит. Так, например, для области низких значений
£><2 Л = 0,66; т = 0,41. Для области 5<В<100 Марксман и Джиль-
берт [55] рекомендуют значения Л = 1,2; т = 0,77. Если полагать
область изменения В заданной, т. е. значения Лит известными,
то расчет уноса массы покрытия сводится к решению двух урав-
нений:
Сн/Сн0 —ЛВ~т;
Сн/Сн0 = £>/£>',
1
откуда В=(ЛВ')1+"г.
Поскольку выражение (3.42) можно представить в виде В =
с р •
— — ms, массовая скорость уноса определится зависимостью
а0
1
т^^ЧЛВ')1
или в развернутом виде
ср
1
. cp(T0-Ts) р
/ Qs \
Ст р’$-7н + ~
\ ст )
ср
При наличии лучистого потока тепла к поверхности покрытия
<7.; выражение для В' приобретает вид
____Д IS г____
Qs 4 ст (Ts——qjms ’
При этом массовая скорость уноса рассчитывается по прибли-
женной формуле
«о
с р
cp(T0-Ts)
ал+а0
А
Выведем, используя простейшие физические предпосылки, тео-
ретическую зависимость, связывающую функцию блокирования
с параметром вдува.
Решим уравнение теплопроводности для пограничного слоя
с заданной толщиной Ь. Располагая начало координат на поверх-
ности стенки и совместив положительное направление оси с на-
правлением распространения газа, запишем граничные условия:
при x—Q T — Ts; при x=b Т—То.
Нетрудно заметить, что постановка задачи в данном случае сходна
с той, которая рассматривалась выше для распространения тепла
в стенке из аблирующего материала. Различие состоит в том, что
там тепло распространялось в неподвижной среде, граница которой
перемещалась в направлении распространения тепла со скоро-
стью и. Здесь же рассматривается область с неподвижными грани-
цами, заполненная веществом, перетекающим со скоростью и
навстречу тепловому потоку *. Следовательно, уравнение теплопро-
водности для данного случая, составленное в неподвижных коор-
динатах, должно быть аналогично уравнению (3.30) и отличаться
от последнего знаком правой части:
д^Т д'Т
г дх'^'дх ’
(3.45)
где
уг «с р
Решая уравнение (3.45) при указанных выше граничных усло-
виях, получим уравнение температурного поля
r~Ts = (T0-Ts^
е
Конвективный тепловой поток, подводимый к аблирующей по-
верхности, определится как
<7К1=~Хг
To-Ts
* По сравнению со скоростью и скорость перемещения аблирующей поверх-
ности и невелика и ею можно пренебречь.
При отсутствии вдува
Уы^ако(То — Т$).
Для стационарного режима теплопередачи в ламинарном погра-
ничном слое толщиной b можно записать
_ Д
ако= -г •
о
Если полагать, что вдувание (инжекция) газа не влияет на тол-
щину пограничного слоя, из приведенных выше зависимостей
получим корреляционную формулу
.1, *7к1. . ак1_
Т
$КО «к-0 e'r—1
Применяя обозначение В=Ь/6Г, получим
* = (3.46)
е —1
Выражение (3.46) определяет снижение конвективного тепло-
вого потока к аблирующей поверхности за счет вдува газа в погра-
ничный слой. Для того чтобы представить коэффициент -ф в виде,
упрощающем его расчетное определение, произведем подстановку
6 = 7.г/'а0, тогда
r"s"p
а0 а0
Нетрудно заметить, что полученный параметр ничем не отли-
чается от ранее введенного параметра вдува, поскольку последний
можно представить в виде
B = (qu} Ie~~Is _ ’”s~CP
s 41 a(Te-Ts) а
Полученную зависимость можно преобразовать, разлагая пока-
зательную функцию в степенной ряд:
L 1 = В 1 4 н
2---------------------------6-\ 2-6-/
Для случая малых В (малые скорости абляции), не внося осо-
бой погрешности, можно ограничиться первыми двумя членами
разложения. Тогда формула (3.46) преобразуется к виду
или согласно правилам приближенного вычисления
Следовательно,
?К1 = ?ко - “ В(/к0 = QkO--~ mscP (T0-Tsy,
s). (3.47)
2 9ко
В ряде работ [1], [3] приводится корреляционная формула, выве-
денная на основании результатов экспериментальных и теорети-
ческих исследований транспирации (просачивание газа через пори-
стую стенку) при малых В:
1 *1? (Л
9ко
где /о — удельная энтальпия газа на внешней границе погранич-
ного слоя;
Is — удельная энтальпия газа у стенки.
В этих работах приводится зависимость для напряжения трения
на поверхности, величина которого также меняется под воздейст-
вием инжекции газа:
т=т0 —
где v — скорость в ядре потока.
Зависимость (3.47) можно переписать в виде
т
,b=l-^^LCp(T0-Ts). (3.48)
?к0
Зависимость (3.48) отличается от формулы (3.47), выведен-
ной на основании упрощенной схемы процесса, величиной.коэффи-
циента т]д, который в формуле (3.47) получен равным 0,5. Скала
и Саттон [40] рассчитали значения и тр для случая инжекции
воздуха в воздух (Рг=1). Для широкой области скоростей инжек-
ции и уровней энтальпии на стенке было получено трр= 0,8; тр =0,67.
Бете и Адамс [3] принимают т]д = 0,66. Бейд показал, что г]Мфр3,
где Л4ср—молекулярный вес инжектируемого газа [40].
Исследования, проведенные для турбулентного потока, пока-
зали, что в этом случае r]g снижается и составляет ~0,4—0,5. Сле-
довательно, для турбулентного потока, профили скоростей и тем-
ператур которого наиболее близки к принятому при выводе фор-
мулы (3.47), зависимости (3.47) и (3.48) тождественны.
Суммарный тепловой поток
Д = 4К + <7л = 4ко+ <7л ~ (4 - Is).
Количество тепла, подводимое к аблирующей поверхности из-
лучением, определяется по ранее рассмотренным зависимостям.
Обозначим
4ю= 4кО~Ь 4Л,
где <7ю — суммарный тепловой поток, который был бы подведен
к поверхности при отсутствии инжекции газа в погранич-
ный СЛОЙ. ''
Возвращаясь к исходному уравнению теплового баланса для
поверхности (3.29), получим
= '-=410-(3. 49)\
\ dt Js \
В предыдущих выкладках мы полагали массовую скорость абля-
ции уи — т8 заданной. Для полимеров она является функцией
температуры на поверхности аблирующего вещества.
Предположим, что разложение органической основы пластика
Следует мономолекулярному уравнению [34] и что массовая ско-
рость абляции, определяемая скоростью разложения органики, мо-
жет быть выражена зависимостью
Es
yu = Kse (3.50)
где Ks — химическая константа;
Es — Энергия активации;
Д — газовая постоянная.
Подставляя выражения (3.32) и (3.50) в уравнение (3.49),
получим
Es
? РТ
<ho = кse S[QS + (Ts + Тн} с + Цд (4 - Л)] • (3.51)
Решая уравнение (3.51) подбором относительно Т8, можно
найти значение Т8, удовлетворяющее условию стационарной абля-
ции. Подставив полученное значение Т8 в уравнение (3.50), найдем
массовую и линейную скорости стационарной абляции.
Иногда для инженерных целей данную задачу решают в упро-
щенной постановке, не рассматривая кинетику разложения веще-
ства. Поскольку на практике величина Т8 колеблется в сравнительно
узких пределах*, она принимается некоторым средним по-
стоянным значением, т. е. вводится в расчет как заданная характе-
ристика материала. Скорость абляции рассматривается при этом
как величина, определяемая непосредственно условиями подвода
* Согласно данным работы [34] для фенольного стеклопластика изменению
массовой скорости разложения на целый порядок соответствует изменение тем-
пературы на фронте пиролиза всего на 25—30%.
тепла извне. При такой постановке задачи из зависимости (3.49)
с учетом уравнения (3. 32) имеем
_____________________£12__________________
Y IQs + (7$ - Гн) с + п9/. (70- 7s)]
Толщина слоя, аблировавшего за время работы двигателя:
Дабл U-dt.
б
Минимально необходимая толщина аблирующего покрытия
определится как
Дп Д.аблН Дос>
где Дос — толщина остаточного слоя, при котором температура на
тыльной стороне покрытия становится равной предельно допусти-
мой температуре конструкции ТДОп-
При постоянной скорости абляции толщину Дос, используя ука-
занные выше допущения, можно определить по формуле
а
Дос
•UK
-ln7’^0n~r-J
TS-TK
Пример. Рассчитать покрытие предсопловой части двигателя со скрепленным
зарядом, имеющим форму звездки. Характеристики двигателя и заряда
см. в § 8 гл. V.
Исходные данные:
Диаметр камеры £>к = 454 мм;
Диаметр критического сечения сопла (/* = 93 мм;
Время работы двигателя /=18,25 сек;
Средний расход газа 6=36,15 кГ/сек;
Калорийность топлива QJK=875 ккал/кг;
Среднее давление в двигателе р = 70 кГ/см2;
Температура горения топлива 7’о = 23ОО°К;
Газовая постоянная Д = 31,8 кГ -м/кг^К;
Коэффициент теплопроводности Лг = 3,90 • 10~s ккал/м • сек' К;
Критерий Прандтля Рг = 0,74.
Коэффициент конвективной теплоотдачи а„
5 ак 5 35
v =- 10 -4= 7,65-10—6 лР'сек;
7 70 '
р 70-104
о =-------=---------------= 0,978 кг>мА;
" pRT0 9,81-31,8-2300
И = Q V = 7,65 • 10-6.0,978 = 7,48 • 10-6 к Г • сек 1м 2.
Расчет будем проводить для двух сечений:
1) у нижнего основания заряда;
2) на входе в сопло.
1.
Площадь сечения F =
= 0,1619 .и2
X
а0 =— 0,023
и d
dG
0,8
Fv-g
Pf0.4 =
4
0,023-3,9-10-5 / 0,454-36,15 \ \°-8 Q ^,4
0,454 \ 0,1619-9,81-7,48-lOyS )
= 0,1428 ккал! мА-сек °K. \
2. Площадь сечения F — AF* — 0,0272 d = 2d* =+0,186 M.
_ 0,023-3,9-10-5 I 0,186-36,15 Y'V'yiO-4 -
“°’- 0,186 \ 0,0272-9,81-7,48.10-6 ) ’
= 0,714 ккал/мА-сек °K-
Коэффициент теплоотдачи излучением для обоих вариантов примем по дан-
ным § 4 гл. III равным ал =0,150 ккал/мгсек° К-
Суммарный коэффициент теплоотдачи: 02=0,143 + 0,150 =
= 0,293 ккал] мА сек°К', а2 = 0,714 + 0,150 = 0,864 ккал'м^ сек СК.
Скорость уноса покрытия
В качестве материала покрытия примем фенольный нейлон, основные термо-
динамические характеристики которого приведены в работе [32]:
- ст = 0,44; Ts ~ 1033° К; Qs = 330 ккал/кг;
Х = 0,73; 7^=0,6; у = 1200 кГ/дА
Примем .4 = 0,66, т = 0,41, тогда
Ср (То — Ts)
а0
0,6
0,6(2300 — 1033)
/ 330 \ /
0,44 1033 — 293+—— 1
к 0,44/ \
Ct л
ад + а0
ал + а0
1
1,41
Проверим правильность принятых значений Ант. При полученном значе-
mscp
нкн ms параметр вдува В——~—<5, что и соответствует диапазону использова-
ния принятых значений Д = 0,66, т=0,41.
Скорость у носа материала
1,38 7
и „ = ------- Ял 1
5 1200 0 \
„ X 1,41
ад \ ’
----- м/сек:
Ил+W
— в сечении J ия=0,273- 10 3 м/сек:
— в сечении 2 us=0,94- 10~3 я/сек.
Толщина уносимого слоя:
— в сечении 1 Aa6n = «sT=0,273 • 10~3 • 18,25=4,98 • 10 3 лг,
— в сечении 2 Дабл =0,94 • 10-3 • 18,25= 17,15 • 10~3 м.
Толщина прогретого слоя
Температуру границы слоя примем равной Тп+20° С = 313° К. Коэффициент
температуропроводности материала примем равным таковому для феноло-фор-
мальдегидного полимера
а=0,143- 10’ 6 м2/сек (см. табл. 3.6):
— для сечения 1
Дос -----1ч
и
TS-TK
Т~ТЯ
0,143-10-6 1033 —293
0,273-10-3 1П 313—293
1,85-10-3 м;
— для сечения 2
Д
ОС
0,143-10-6
0,94-10-3
1033 — 293
313 — 293
= 0,535-10-3 м.
Толщина покрытия
В сечении 1 Дп = Дабл + Дос = 4,98 + 1,85 = 6,83 мм\
В сечении 2 Дп — 17,15 + 0,54=17,69 мм.
§ 10. РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ АКТИВНОГО ТЕПЛОЗАЩИТНОГО
ПОКРЫТИЯ С ВНУТРЕННИМ УНОСОМ МАССЫ
В настоящее время теплозащитные покрытия с внутренним уно-
сом массы представлены, главным образом, армированными пла-
стиками и слоистыми композициями на их основе. Такие покрытия
используются во многих образцах ракет на твердом топливе. Так,
например, защита нижней части корпуса и днища двигателя пер-
вой ступени ракеты «Минитмен» обеспечивается слоем стеклотек-
столита, максимальная толщина которого достигает 50 мм. Из-
вестны образцы с корпусом из стеклопластика, внутренние слои
которого выполняют роль теплозащитного покрытия.
При воздействии на поверхность армированного пластика по-
тока горячих газов происходит разложение органического связую-
щего вещества: каучука, эпоксидной или фенольной смол и т. д.
При разложении связки образуются газы (Нг, СО, СН4, Н2О, С2Н4
и т. д.) и твердый остаток в виде жесткого углеродистого соедине-
ния. Твердый остаток совместно с матрицами наполнителя (стекло-
или асботкань, рефразил и т. д.), а также с остатками неразложив-
шейся связки образует пористый слой. В частности, фенольные
смолы дают при разложении ~55% веса твердого остатка, а эпок-
сидные смолы ~20%. Твердый остаток, образовавшийся после
полного разложения связки, как правило, представляет собой ста-
бильное вещество, не претерпевающее изменений вплоть до тем-
ператур 1600—2000° К. Газообразные продукты разложения, про-
сачиваясь сквозь пористый слой, в зоне высоких температур могут
разлагаться с выделением пиролитического графита на поверх-
ности пор.
При высоких температурах вблизи нагреваемой поверхности
происходит взаимодействие углерода с окисью кремния, сопровож-
дающееся выделением тепла. При относительно высоких давле-
ниях, характерных для РДТТ, наиболее вероятной является реак-
ция [5]:
S1O2+3C->/$1С + 2СО.
Интенсивность протекания этой/ реакции оказывает влияние на
температуру поверхности.
Одновременно на поверхности возможно окисление углерода
за счет кислородосодержащих компонентов, диффундирующих
к поверхности из основного потока.
На поверхности покрытий из стеклопластика при нагреве обра-
зуется пленка расплавленного стеклообразного материала. Каса-
тельные напряжения от воздействия потока, омывающего поверх-
ность, и динамическое воздействие газа, просачивающегося из внут-
ренних слоев покрытия, вызывают диспергирование и унос рас-
плавленного материала с поверхности.
Оценивая роль факторов, определяющих разрушение поверх-
ности армированных пластмасс при нагреве, одна группа исследо-
вателей отводит первое место химической эрозии (окисление угле-
рода на поверхности, взаимодействие углерода с кремнием) [5].
Другая группа исследователей считает, что разрушение поверхно-
сти обусловлено в первую очередь растрескиванием обугленного
слоя вследствие внутренних напряжений из-за перепада давления
и сил поверхностного трения [28], [34].
Как показывают экспериментальные исследования, механизм
пиролиза органической связки может быть представлен как реак-
ция первого порядка по отношению к исходному веществу. Ско-
рость мономолекулярной реакции, в результате которой относи-
тельный вес неразложившегося вещества т непрерывно убывает,
определяется зависимостью
_ Е
р (3.52)
dt L ZrJ
где Кт— предэкспоненциальный множитель;
Со— плотность исходного материала;
р— относительное содержание разлагающейся связки в по-
крытии;
/г— относительная доля связки, обращающаяся в газ;
е— пористость, т. е. доля объема, занимаемого порами, кото-
рые образуются в результате разложения связки;
Т — температура в данной точке покрытия,
Е—энергия активации для определяющей реакции разло-
жения.
В уравнении (3. 52) выражение в скобке, умноженное на плот-
ность исходного материала, характеризует концентрацию реаги-
рующего вещества, которая в ходе пиролиза непрерывно убывает.
Экспоненциальный множитель характеризует зависимость скорости
реакции от температуры (закон Ар-
рениуса). Величины и £ являют-
ся химическими константами, харак-
теризующими кинетику разложения
данного вещества.
Будем полагать, что разложение
связки при прогреве покрытия пред-
ставляет собой процесс, протекаю-
щий с различной интенсивностью (в
зависимости от местной температу-
ры) по всей толще материала. Это
означает, что уравнение (3.52) вы-
полняется при любых температурах,
начиная с нормальной. Это предпо-
ложение не противоречит здравому
смыслу, поскольку при значениях Т,
близких к начальной температуре
материала Тн, скорость разложения,
вычисляемая по формуле (3.52),
Рис. 3. 19.
практически получается равной нулю. В то же время это упрощает
решение, избавляя от введения какой-то пороговой температуры,
величина которой является сугубо условной. Содержание неразло-
жившейся связки по толщине слоя в направлении к нагреваемой
поверхности монотонно убывает. В некоторый момент времени для
поверхностного слоя содержание связки становится равным нулю.
Появляется обугленный слой, толщина которого в процессе работы
двигателя непрерывно возрастает (рис. 3.19).
Незначительная часть образующегося при пиролизе газа остает-
ся на месте, заполняя образовавшиеся в материале поры, основная
же масса перемещается через поры к поверхности. Массовый рас-
ход газа на единицу площади, нормальной к направлению движе-
ния газа, в некотором произвольном сечении слоя составит
Gr= fz (1-- е dx,
J \ / \ /.г /
(3.53)
где х — расстояние данного слоя от нагреваемой поверхности по-
крытия;
Дп — толщина покрытия
Сомножитель (1—Qr/Qo) учитывает
в зоне образования на заполнение
введем обозначение %=%(1—Qr/Qo) .
Входящее в выражение (3.53)
каждого сечения как
количество газа, остающееся
пор. Для упрощения записей
значение е определяется для
t
b
(3.54)
При этом необходимо иметь в виду, что максимально возмож-
ное предельное значение е, которое достигается при полном разло-
жении связки, составляет Епр=₽хг- Интегрирование ,выражения
(3. 54) ведется до этого значения, после чего для любого последую-
щего промежутка времени в данном сечении е=епр = const.
Навстречу переносу вещества направлен тепловой поток от по-
верхности в глубь стенки. Ввиду малых размеров пор можно пола-
гать, что в любой точке покрытия соблюдается местное равенство
температур твердого остатка и просачивающегося через него газа.
Исходя из этого выведем уравнение теплопроводности для по-
крытия, в котором идут процессы термического разложения связки.
Выделим в покрытии элементарный участок длиной dx (см.
рис. 3.19), ограниченный контрольными плоскостями, нормаль-
ными к направлениям распространения газа и тепла. За положи-
тельное направление координаты х примем направление распро-
странения тепла. В рассматриваемый элемент через единицу пло-
щади в единицу времени за счет теплопроводности слева поступает
количество тепла
где /.ПР — эффективное значение коэффициента теплопроводности
пористого материала.
За это же время через контрольную поверхность справа посред-
ством теплопроводности отводится количество тепла
Qi— — хпр ~
дх
пр дх
Вместе с газом, поступающим в рассматриваемый элемент
справа, вносится количество тепла, равное
где G — расход газа в рассматриваемом сечении.
Газ, вытекающий из элемента через левую контрольную по-
верхность, уносит с собой количество тепла, равное
д4=ОсгТ.
Реакция разложения органических связок эндотермична. В са-
мом объеме за единицу времени при разложении материала погло-
щается количество тепла, равное
dm ,
Qsdx,
at
где Qs — тепловой эффект реакции разложения связки.
Изменение теплосодержания элемента за это же время равно
, от
r 1 dt
где Qnp — приведенная плотность материала с учетом газа, запол-
няющего поры;
спр — приведенная теплоемкость пористого слоя с учетом теп-
лоемкости газа.
Уравнение теплового баланса выделенного элемента
Д7 = 71 — <72-г?з~^4 —
или после подстановки соответствующих выражений и сокращения
на dx получим
Разделив обе части равенства на сПр£>пр и подставив в уравне-
ние (3.55) выражение (3.52), получим уравнение теплопроводно-
сти разлагающегося покрытия
1 д /ОТ \______дТ__q Сг дТ । Km QsQq /$____ £ А & рр
CnpQnp Ох \ дх / dt QnpCnp Ox ^npQnp \ /.г/
(3. 56)
Для решения уравнения (3.56) используются граничные
условия:
— на нагреваемой поверхности покрытия
где af — эффективный коэффициент теплоотдачи от газа к поверх-
ности покрытия;
Гс.в — температура на поверхности покрытия;
— на границе несущей стенки и покрытия
В качестве начального условия примем Г (0, х) = Ти = const.
Температурное поле стенки несущей конструкции определяется
обычным уравнением теплопроводности
дГГк_дТк
дх? dt
с граничными условиями (3.57) и при х = Дп+Ак
где <7с.н — тепловой поток через наружную поверхность стенки.
Для внутренних деталей ракеты в первом приближении можно
полагать qc.a=0. Если несущим элементом конструкции является
корпус ракетной камеры, омываемый снаружи набегающим пото-
ком воздуха, величина qc.B определяется условиям/ аэродинамиче-
ского нагрева оболочки. /
Если в процессе работы покрытия проирАодит разрушение
и унос его поверхностного слоя, граничные ус^бвия необходимо до-
полнить уравнением, описывающим перемещение поверхности раз-
дела фаз: хс.в=/(0.
Итак, температурное поле несущего элемента конструкции и
покрытия, подвергающегося пиролизу при нагреве, определяется
системой,уравнений:
Для покрытия
М^о-Л.в)=-АР^| ;
jc,B
при х — хсв=0
при х=д„
? ^пр дГк .
пр дх д h дх л
п п
Т (0, %) = Тп = const.
Для несущего элемента
д*Тк
дх*
dt ’
при %=ДП
при Л7 = Дп-}-Дк
при / = 0
1 дх д ох д
п п
'К дх L+\. ^7с'н;
Тк (0, лД 7’н=- const.
Если несущий элемент конструкции изготовлен из металла
(сталь, титановый либо алюминиевый сплав), отношение Хк/Хпр со-
ставляет ~103. При этом можно, принимая температуру металла
Тк по толщине несущего элемента Лк постоянной, условие на гра-
нице покрытия и несущей конструкции представить в виде
/дТ„,л ат
— Яс н —^пр ( Щ—I — —7 .
\ дх /д of
Теплофизические параметры материала (Хпр, спр, Qnp), вошед-
шие в состав коэффициентов, существенно зависят от состояния
материала (температура, пористость). При расчете численные зна-
чения этих параметров могут задаваться эмпирическими зависи-
мостями
= Л; ^npQnp = /72(E, Т).
Для того чтобы привести указанную систему уравнений к без-
размерной форме, перейдем к безразмерным переменным:
Т
— - безразмерная температура;
%=л/дп —безразмерное расстояние;
t = tlx —безразмерное время.
Введем также относительную пористость е = е/епр. При этом
расход газа через произвольное сечение покрытия выразится фор-
мулой
G 7Лд'о?Дп J (1 - Е) е 0 dx.
Представим зависимости теплофизических параметров мате-
риала от пористости и температуры в виде
^npQnp гобо/г (£>
где Хо, ?о, Qo — значения теплофизических параметров для исход-
ного состояния материала покрытия.
При использовании новых переменных система уравнений при-
мет вид:
Для покрытия
-- fa-o г; 4 -т) г •’,
a-о с0 дх J 1 aQ Е с0 ..
где ao = Xo/cogo — коэффициент температуропроводности для исход-
ного состояния материала покрытия;
7 ,._L
е = ^т J(lx-e) е 8 dt при е<1;
° 7
e=l = const начиная с е=1;
при X —хсв
при Х=1
при 7=0
0 (х, O) = 0H = const.
Для несущего элемента
д28к = <
дх"2 акт д7
— Др 06пп
при Х—1 --------—
Хк дх
при х= 14~, д.н=° хк^-=°;
Дп дх
при 7=0 0 (х, 0| = 0Н.
06к
дх
Для случая металлической стенки граничное условие для кон-
тактной поверхности покрытия и металла можно представить
в виде
дВпр М^п д^( СкВкД|,
дх j aox dt ’ СпрбпрДп
Из анализа полученной системы уравнений следует, что ком-
плексами и характеристиками, определяющими подобие темпера-
турных полей при использовании покрытий из обугливающихся
материалов, являются:
Fo = —т
п да ’
п
а2=А
Е Со
А3=Ктх-,
(3. 58)
/1G.0); A G, б); АА или м-
Основная трудность выполнения точного подобия процессов,
протекающих в покрытиях из различных материалов, состоит
в том, что теплофизические параметры материала существенно за-
висят от его состояния (температура, пористость). Эта зависимость
является, строго говоря, индивидуальной, присущей только дан-
ному материалу.
Следовательно, речь может идти лишь о приближенном моде-
лировании процесса для отдельных групп материалов, для которых
зависимости сПрОпр и Хпр от температуры и пористости можно пола-
гать сходными, т. е. считать, что функции fl(e, 6) и f2(e, 9) для них
примерно одинаковы. В этом случае основными определяющими
критериями остаются комплексы (3.58). Первый из них представ-
ляет критерий Фурье для покрытия, рассчитанный при значении
коэффициента температуропроводности для начального состояния
материала. Второй является критерием Био, рассчитываемым при
значении коэффициента теплопроводности для поверхностного слоя
материала. Поскольку на поверхности материала пористость и тем-
пература в течение очень короткого времени достигают своего пре-
дельного значения, для всего процесса этот коэффициент с незна-
чительной погрешностью может быть принят постоянным, равным
своему значению при е=еПр, Т = Тс.к-
Критерий А] представляет отношение теплоемкости газа, обра-
зующегося на единицу веса покрытия, к .теплоемкости исходного
материала.
В критерий А2 входит комплекс А1.
E/R
имеющий размерность
теплоемкости и характеризующий количество тепла, выделяемого
на 1 градус в процессе пиролиза 1 кг исходного материала. Следо-
вательно, критерий А2 характеризует соотношение количеств
тепла, аккумулируемого при нагреве исходного материала и выде-
ляемого при пиролизе. Критерий А3 представляет отношение про-
должительности процесса нагрева т к характерному времени реак-
ции пиролиза l/Km и является некоторым безразмерным временем
пиролиза, подобно тому, как критерий Фурье является безразмер-
ным временем процесса нагрева.
При использовании критериев (3.58) основное уравнение тепло-
проводности для покрытия принимает вид
дх L d-Ч Fon dt
i i ___i_
yli А? дО (* (-с \ о , . i \ б
Fon ox J Fon
Полученная система уравнений является универсальной, охва-
тывающей широкий круг условий, встречающихся-'при использо-
вании различных теплозащитных материалов при различных усло-
виях подвода тепла к поверхности покрытия.
Рассмотрим некоторые предельные случаи, которые позволяют
упростить эту систему уравнений.
Перемещение внутренней поверхности покрытия
с некоторой постоянной скоростью при высоком уровне
тепловых потоков к поверхности
Такое перемещение характерно при использовании армирован-
ных пластиков в условиях сильного эрозионного воздействия газо-
вого потока, например, на поверхности входного либо выходного
раструбов сопла. Как показывают экспе-
риментальные исследования [27], [42], в
пластике образуется резко выраженный
фронт пиролиза, делящий материал на
две зоны: зону, в которой происходит на-
грев материала без заметного термиче-
ского разложения, и зону за фронтом пи-
ролиза, представляющую обугленный
слой. Все реакции пиролиза при этом на-
чинаются и завершаются в относительно
узком слое (фронт пиролиза), который в
первом приближении можно рассматри-
вать как плоскость разрыва термохими-
ческих свойств среды. Скорости переме-
щения фронта пиролиза и внутренней по-
верхности покрытия, изменяясь во време-
ни с начала процесса, очень быстро
уравниваются. После этого толщина обуг-
ленного слоя, заключенного между этими поверхностями, сохра-
няется постоянной во времени.
Подобный случай имеет место также при использовании неар-
мированных пластиков и каучуков в условиях малых скоростей
газового потока, когда при пиролизе материала на поверхности
образуется тонкий слой углеродистых остатков и неразлагающихся
частиц наполнителя (например, мел, окись магния, окись цинка
и т, д.). Толщина слоя частиц, уносимых потоком, при стационар-
ной абляции остается постоянной. Определение температурного
поля этого слоя с помощью методики, излагаемой ниже, позволяет
внести уточнения в расчет покрытия, рассмотренный ранее.
Итак, в данном случае применима следующая упрощенная
схема процесса (рис. 3.20). Используя подвижную систему коор-
динат, получим:
— для зоны перед фронтом пиролиза
дх'±
дТ
— и —;
дх
— на фронте пиролиза
'пр
\ дх Js
(3.59)
где и — скорость перемещения фронта пиролиза.
Здесь ХпР берется при Е = епр-
На внутренней поверхности покрытия
(3. 60)
В уравнении (3. 59) первый член в правой части, представляющий
тепловой поток, отводимый от фронта пиролиза в глубь покрытия,
согласно (3.32) равен
Обозначим
тогда
-А =QnacATs~THY
\дх Js
т’ т (3Qs
IS 1 Н 5
сп
“Мг") =^ис^т8-Т''^-
\дх /s
В этом случае массовый расход газа по всей толщине пори-
стого слоя принимается постоянным, равным на единицу площади
покрытия G = qou%_.
Уравнение теплопроводности обугленного слоя принимает вид
>..Р дУГ дТ
-----------= — QUV.--------,
cnjQnp дх% дх
(3.61)
где
£п|Опр
Переходя от частных производных к полным, поскольку един-
ственной переменной является координата х, дважды интегрируя
уравнение (3.61), получим
Т = - -у Суе~Ьх + С2, (3. 62)
где
#пр
Найдем постоянные интегрирования.
При x=L
Откуда
Лпр
При л=0
T = TZ,=-^ +С2.
ь
Откуда
^=T^C~^(Ts-Ts}e»L.
Лпрх
После подстановки постоянных интегрирования уравнение тем-
пературного поля обугленного слоя (3.62) примет вид
т = Л.в - (7\ - Т'Л ebL (1 - е~П (3. 63)
Лпрх
Полагая x = L, T = TS, решим уравнение (3.63) относительно тол-
щины обугленного слоя:
y,=_±Lin(l + (3.64)
\ ^ПЛ^Пр Tg Т$ J
Величину Гс.в определим из условия
Подставляя величину С, и используя граничное условие (3.60),
получим
(a-Wr)(7'o-7’c.B). (3.65)
Поскольку согласно уравнению (3.64)'
1 [ /пг7' Tc.B — Ts ,
Спл^пр T's Л;
подставляя эту величину в уравнение (3.65) и решая последнее
относительно Тс.ъ, получим
„ f а \ / хпР7- \ ,
/0 I ; — I — 1 s I 1 — I + Ду
, \ /»$Cn.7 Спл / \ ^пл^пр/
а Хпр7-
спл Сплвпр
Неподвижная внутренняя поверхность покрытия и постоянная
температура на фронте термического разложения
Схема тепловой защиты, рассмотренная выше применительно
к армированным стеклопластикам, успешно реализуется также при
использовании пористых металлов (вольфрам, молибден), запол-
ненных специальным охладителем — материалом, который при на-
греве газифицируется с поглощением больших количеств тепла.
Из таких комбинированных материалов целесообразно изготов-
лять детали, размеры которых во время работы РДТТ должны
оставаться строго постоянными (сопловые вкладыши, клапаны
вдува горячего газа в сопло для регулирования вектора тяги, газо-
вые рули и т. д.) [12], [50]. При разработке подобных материалов
открывается более широкий выбор компонентов, в особенности
уносимого вещества — охладителя, чем при использовании пласти-
ков, расширяется диапазон теплоэнергетических характеристик
материала. Этим объясняется возрастающий интерес к данному
способу тепловой защиты и проведение специальных исследова-
ний в этом направлении [47].
При работе такого покрытия имеет место начальный период,
предшествующий кипению хладоагента. Для этого периода исполь-
зуется система уравнений:
при л=0
при
дЧ дТ
d —— •
м дх2 dt
К ^ = 0.
дх
(3. 66)
(3. 67)
Здесь Хм, ам — приведенные коэффициенты теплопроводности и
температуропроводности для всей композиции
с наполнителем.
После того, как на внутренней поверхности покрытия температура
достигает точки кипения хладоагента (7’с.в=7’к) и образуется пере-
мещающийся в глубь покрытия фронт кипения, появляются две
области:
а) область за фронтом кипения хладоагента
при х—О
~ (а ~ (То - Т'с.в);
1 \ dt /
при x = L
(з. 68)
Tnp = Tu~TK = const-,
б) область перед фронтом кипения, для которой остается в силе
уравнение (3.66) при граничных условиях (3.67) и (3.68).
Здесь и —скорость перемещения фронта кипения;
X апр — коэффициенты теплопроводности и температуропровод-
ности, определенные для каркаса, заполненного парами
хладоагента;
QK —скрытая теплота кипения.
Известны аналитические решения несколько измененной си-
стемы уравнений, основанные на упрощающем предположении
о постоянстве температуры поверхности. Такой подход является
слишком грубым и главное обесценивает решение задачи, по-
скольку основное назначение рассматриваемой модели состоит
в обеспечении -температуры поверхности ниже некоторой допускае-
мой величины. Решение представленной выше системы уравнений
возможно лишь численным методом.
Такое решение на цифровой вычислительной машине было по-
лучено в работе [12] для сопловых вкладышей из пористою воль-
фрама с использованием в качестве наполнителей меди, серебра,
тефлона и цинка. Расчеты проводились для температуры газа
в сопле 7’о = 37ОО°К, превышающей температуру плавления самого
вольфрама (3600°К), и показали эффективность такого метода теп-
ловой защиты.
Как показывает анализ расчетных данных, температура на на-
греваемой поверхности пористого вкладыша следует зависимости
7\В=Д(1-
где t — время нагрева в сек;
А и b — коэффициенты аппроксимации.
Коэффициент А представляет собой предельную равновесную
температуру поверхности, которая может быть достигнута при
/—►оо. Эта температура определяется из условия равенства тепло-
вого потока, направленного к поверхности, теплосодержанию паров
хладоагента, уходящих с единицы поверхности в единицу времени::
(Z'o- 7\B)= G К (Л.в - Гк) + Qk + (Л - Гн)]•
Коэффициент b характеризует темп нагрева.
§ 11. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ АКТИВНЫХ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ
ПОКРЫТИИ
Теплофизические параметры активных теплозащитных покры-
тий можно разделить на три группы:
а) теплофизические параметры исходного материала, от кото-
рых зависит интенсивность отвода тепла в покрытие перед фрон-
том пиролиза, Хм, Ум, См,
б) параметры, характеризующие кинетику разложения органи-
ческой связки, Кт, Е, Qs;
в) теплофизические параметры пористого слоя ХЭфф, сЭфф, аЭфф,
’ предельная пористость еПр-
Как показывают исследования, проведенные В. С. Биль и
Н. Д. Автократовой [4] в области температур 20—170° С, коэффи-
циенты теплопроводности и температуропроводности большинства
полимеров могут быть выражены формулами:
ХТ = ХО + АГ; (3.69)
а7 = а0 — ВТ, (3.70)
где ?.() и а0 — значения коэффициентов при 0° С;
А и В — постоянные величины, зависящие от природы мате-
риала.
В табл. 3. 6 приведены экспериментальные значения а0, Хо, А и
В, полученные для ряда полимеров [4]. Из материалов, приведен-
ных в таблице, наилучшими теплоизоляционными свойствами обла-
дают полиамидная смола 54, а также модифицированные смолы
Ф-10 и ТФЭ-9.
Теплопроводность покрытий возрастает с увеличением наполни-
теля. Так, теплопроводность покрытий из сырого и вулканизиро-
ванного каучука с увеличением содержания окиси цинка возрастает
от 0,00032—0,00044 кал/см • сек° С для чистого каучука до 0,00053—
0,00059 для каучука с 30% ZnO [35]. Зависимость коэффициента
теплопроводности от температуры с увеличением наполнителя так-
же возрастает.
Рассмотрим параметры, характеризующие кинетику пиролиза
материалов, используемых в теплозащитных покрытиях с уносом
массы. Для материалов с аблирующей поверхностью основной ха-
рактеристикой пиролиза является зависимость линейной скорости
пиролиза от температуры поверхности.
Материалы , *0 ккал[м-сек °К
Феноло-формальдегидный поли- мер Фурановый полимер ФГ-2 Кремнийорганический полимер КМ-9 Эпоксидная смола ЭД-5 Полиамидная смола 54 Поливинилбутираль Полистирол Полиметилметакрилат 4,9-10-5* 2
0,205 -2.78-10-5 1
0,116 4.1-10-5 9
0,170 4,37-1 С-5 0,183 3,45-10—5 8
0,144 6.48-10-5 0,271 2,23-10-5 0.С93 3,88-10-5 2 7
0,162
' А Темпера- турные пре- делы при- менения формулы (3. 69) °C а0 M^fceK В Темпера- турные пре- делы при- менения формулы (3. 70) °C V кГ.мА
87-10-8 20—110 0,143-10-6 0,00073 20—110 1210
12-10-5
7.3-10-8 72-10-5 20—55 0,136-10-6 0,00026 20—170 1200
.1-10-8 38-10-5 110—170 0,155-10-6 0,000215 20—170. 1160
0,00 70-170 0,170-10-6 0,092-10-6 0,00108 0,0 20—70 70—170 1260
14-10-8 20-120 0,132-10-6 0,00044 20—120 1150'
34-10-5
20—100 0,170-10-6 0,0006 20—100 1270
1,3-10-8 20-90 0,129-10-6 0,00038 20—90 1025
39-10-5
,9-10-8 33-10-5 20—80 0,129-10-6 0,00038 20-80 1210
В качестве примера на рис. 3.21 представле-
на такая зависимость для сополимера на осно-
ве полистирола и для эпоксидной смолы. Эта
зависимость, как показывает эксперимент, сле-
дует закону Аррениуса {20]. Значения Ктв и
энергия активации определяются из графика,
Рис. 3.21. Зависимость линейной скорости
пиролиза от температуры:
/—Р-13 сополимер на основе каучука; 2—эпок-
сидная смола (эпон-562); 3—перхлорат аммония
5
О
в;
сЗ
СХ
О
подобного рис. 3.21. При построении графика
в полулогарифмическом масштабе в координа-
тах In и и \/Тв энергия активации опреде
ляется как
£' = 2/?~“1~lni“2 , (3.71)
s — — —
® fS2 Т si
ш
где Ui и и2— линейные скорости пиролиза, со-
। ответствующие температурам поверхности Tsi
« и TS2. Предэкспоненциальный множитель опре-
£ деляется как
в , „ . . Е
" 111 = Ш И, -1----.
« mS ^2RTS1
X
” Основная трудность при эксперименте со-
* стоит в точности определения температуры по-
верхности Т8, фиксируемой обычно с помощью
микротермопар. Для этой цели может быть
также использован метод нагрева поверхности материала пласти-
нами из пористого металла [23]. При этом температура пластин
контролируется посредством омического пирометра. В табл. 3.7
приведены характеристики пиролиза некоторых полимеров.
Таблица 3. 7
Характеристики Материал
Эпоксид- ная смола эпон-552 Р-13 сополимер на основе полистирола Полисти- рол Каучук GRS-32
Энергия активации Е в ккал! моль 18000 21 500 22 400 36 400 22 000
Предэкспонент KmS в CMjceK 8,6 18 12 000 2,9
Константы, определяющие линейную скорость пиролиза покры-
тий с внешним уносом массы, могут быть использованы для расчета
покрытий с внутренним уносом массы, если при их нагреве обра-
зуется резко выраженный фронт пиролиза, в котором практически
сосредоточивается весь процесс разложения газифицируемого ком-
понента покрытия. Однако во многих случаях при внутреннем уносе
массы процесс разложения этого компонента носит объемный ха-
рактер и характеристики кинетики пиролиза должны определяться
применительно к объемному процессу. Характеристики Kmv и Е
при этом должны определяться по убыли веса образца при нагреве
его в условиях постоянной температуры для ряда температур. Энер-
гия активации, определяемая при этом, очевидно, должна совпа-
дать со значением, определяемым по формуле (3.71) для линейной
скорости пиролиза. Необходимо заметить, что равенство обоих зна-
чений предполагает использование для линейной скорости пиро-
лиза зависимости с показателем экспоненты — EI2RTB. Для типич-
ного стеклопластика на основе фенольной смолы Бичер и Розен-
свейг [5] указывают значение Ктг=1-106 сек4 при Е=
= 11 000 ккал!моль.
Для эпоксидной смолы Мэтью [28] приводит значение
Kmv =1,1 • Ю5 сек'1 при £ = 36 900 ккал!моль.
В табл. 3.8 приведены значения теплоты разложения Qs, опре-
деленные из эксперимента для некоторых полимеров [14].
Как следует из табл. 3.8, для достаточно широкого круга поли-
меров величина Qs изменяется в относительно узких пределах
от 80 до 130 ккал/кг.
Значительное количество исследований было посвящено опре-
делению теплоты пиролиза фенольных смол, являющихся основой
большинства армированных пластиков, однако полученные резуль-
таты имеют значительные расхождения. Экспериментальное опре-
260
Полимер ккал Qs МОЛЬ ккал Qs кг
Полиметилметакрилат (С5Н8О2)Л 13,0 130
Полистирол (С4Н8)„ 16,4 102
Полиизобутилен (С4Н8)„ 12,6 92
Полибутадиен (С4Н6)Л 17,9 82
деление теплоты пиролиза фенольной смолы, проведенное при раз-
личных температурах [24], показало, что Qs является переменной
величиной, возрастающей с ростом температуры пиролиза. Так,
в диапазоне температур Т = 400—880° С величина Qs меняется от
206 до 412 ккал!кг.
Очевидно, при решении на ЭВЦМ рассмотренной выше системы
уравнений возможно задавать Qs в виде функции от локальной
температуры материала. Второй возможный подход состоит в опре-
делении некоторой характерной температуры пиролиза, в окрест-
ностях которой происходит деструкция основной массы материала,
характеризуемая некоторым эффективным значением Qsf. Так, на-
пример, в работе [24] для фенольной смолы в качестве характерных
значений рекомендуются 7,S/ = 538°C, Qs/ = 256 ккал!кг.
Состав и свойства летучих продуктов пиролиза фенольной
смолы, полученные при различных температурах пиролиза, приве-
дены в табл. 3. 9.
Таблица 3.9
Свойства и компоненты Температура пиролиза '°C
400 600 880
Доля летучих продуктов уг 0,107 0,377 0,494
Средняя удельная теплоемкость стккал)кг °К 0,47 0,46 0,52
Средний молекулярный вес 26,2 26,0 15,4
Теплота пиролиза Qs ккал[кг 206 281 412
Состав газа в весовых (%):
Н2 0,4 1,7 6,3
СО 0,4 17,8 54,4
Н2о 47,0 13,0 7,0
сн4 1.S 9,4 5,3
Свойства и компоненты Температура пиролиза в °C
400 600 880
с2н6 0,1 4,0 1.2
n2 6,1 9,6 9,4
со2 ИД 3,4 4,6
О/ 0,0 3,8 2,7
Бензол 0,3 3,0 1,5
Толуол 0,3 5,3 2,4
Ксилены 1,2 2,8 1,3
Фенол 6,1 9,0 1,8
Крезолы 12,1 12,5 2,1
Диметилфенол 4,6 4,7 —
2-пропанол 4,8 — —
Ацетон 3,7 — —
* Частично мог попасть из воздуха.
При выводе уравнения (3.56) мы исходили из эффективной
теплопроводности обугленного (разложившегося) слоя. Рассмот-
рим, от каких факторов зависит величина ЛЭфф.
Передача тепла от поверхности в глубь разложившегося слоя
будет осуществляться:
1) теплопроводностью вдоль твердого каркаса, образовавшегося
вследствие разложения материала;
2) молекулярной теплопроводностью газа, заполняющего поры
разложившегося слоя;
3) излучением в порах от более нагретой поверхности к менее
нагретой;
4) конвективными потоками газа внутри пор.
Как показывает сравнительный анализ эффективности каждого
из перечисленных способов, решающая роль в передаче тепла вну-
три разложившегося слоя принадлежит первым двум факторам.
Третий и четвертый факторы при малых размерах пор и при незна-
чительном температурном перепаде внутри каждой поры не могут
иметь существенного значения и при расчете теплопроводности
разложившегося слоя не принимаются во внимание.
Лабораторные исследования теплопроводности различных пори-
стых систем показывают, что природа каркаса системы сказы-
вается на ее теплопроводности главным образом через пористость
и размеры пор. Опыты, проведенные при одной и той же пористости
262
системы (е = 0,63) с материалами каркаса, отличающимися по коэф-
фициенту теплопроводности почти в 20 раз, дали примерно одинако-
вые значения эффективной теплопроводности. Влияние теплопро-
водности материала каркаса начинает сказываться на величине
ХЭфф при низкой пористости, однако и в этом случае, если рассмат-
ривают сходные между собой материалы, роль теплофизических
свойств в определении эффективной теплопроводности остается
второстепенной.
Как показывает эксперимент, эффективная теплопроводность
возрастает с уменьшением пористости материала и с увеличением
размера частиц (зернистости).
Зависимость %Эфф от размера зерен выражается эмпирической
формулой
Хэфф = А(1 — e“md), (3.72)
где d — диаметр зерен;
А и т — эмпирические константы, являющиеся характеристиками
данного материала.
Как следует из формулы (3.72), изменение размера зерен начи-
нает сказываться на величине %эфф лишь для грубо дисперсных си-
стем при превышении некоторого предельного диаметра dlip, кото-
рый согласно экспериментальным данным составляет около 1 мм.
Для мелкодисперсных систем изменение размера зерен на эффек-
тивную теплопроводность влияет слабо и кривые зависимости %Эфф
от пористости или объемного веса, построенные для систем с раз-
личными размерами зерен, сливаются в плотный пучок. Это позво-
ляет в первом приближении с достаточной для инженерных расче-
тов точностью не учитывать влияния диаметра зерен.
Многие исследователи пытались подойти к определению эффек-
тивной теплопроводности дисперсных материалов, исходя из упро-
щенных структурных схем.
Согласно одной из таких схем дисперсный материал рассматри-
вается как система, состоящая из брусков вещества, уложенных
определенным образом (например, в шахматном порядке) (см. ра-
боты Д. Ф. Старостина, Русселя, Рибо). Некоторые работы осно-
ваны на схеме, представляющей материал в виде твердого моно-
лита с включенными в него отдельными, не связанными друг с
другом порами (В. И. Оделевский, Г. М. Серых). Наиболее распро-
страненная схема представляет дисперсный материал в виде раз-
личных укладок шарообразных частиц (О. Е. Власов, В. 3. Бого-
молов, Б. Н. Кауфман, А. С. Ляликов, Эйкен и др.). Грубые допу-
щения, используемые при выводе аналитических зависимостей,
обусловливают значительное расхождение расчетных и эксперимен-
тальных данных. Для материалов с высокой пористостью (почва,
уголь, шлаки) наилучшее совпадение теории с опытом достигается
при использовании формул, выведенных в предположении, что
дисперсный материал представляет собой укладку шарообразных
частиц. В качестве примера такой зависимости приведем формулу
В. 3. Богомолова:
ХэфФ = ЗлХг1п
43 + 0,31е
е —0,26
(3. 73)
где е — пористость в %.
Экспериментальные данные качественно подтверждают зависи-
мость (3. 73) [8].
На практике чаще используются эмпирические формулы, выра-
жающие эффективную теплопроводность в функции объемного веса
дисперсного материала.
Примерами такой зависимости являются формулы Б. Н. Кауф-
мана:
— для неорганических сыпучих материалов зернистого строе-
ния с размером зерен 0—0,15 мм
Хэфф = 0,13у + 0,016у2ф-0,022;
— для органических связанных материалов тонковолокнистого
строения
Чфф =- 0,136у2 ф- 0,072-у3 0,097у ф- 0,022 ф- 0,0073у°’8,
где - у — объемный вес в tImz\
4,фф — в ккал{м • час • град.
Заметим, что указанные зависимости получены для температур
20-н25о С. С повышением температуры эффективная теплопровод-
ность системы газ—твердое тело должна возрастать, поскольку
теплопроводность обоих компонентов с ростом температуры увели-
чивается. Влияние температурного фактора предлагается учиты-
вать эмпирическими формулами, связывающими величину
с^эффА/Т с объемнцм весом и размерами зерен [44]. Так, Б. Н. Кауф-
ман предлагает зависимости:
— для зернистых материалов
— = 0,0065 (2,45у ф- 1) + 0,095 (d - 0,66)’-’;
dT
— для волокнистых материалов
— = 0,085 [2,55у2 ф- 1,6у ф- 0,0325 (d - ЗФ8
+ 1.
Интересующее нас произведение эффективной плотности на при-
веденную теплоемкость пористого материала можно представить
как
^прбпр 0 °) (б^)тв~1” ~ (б^)газ-
§ 12 НАГРЕВ И ЭРОЗИЯ СОПЛА
Сопло ракетного двигателя является наиболее теплонапряжен-
ным элементом конструкции РДТТ. Поскольку коэффициент^тепло-
отдачи при конвективном теплообмене пропорционален G^/d0’2,
наибольшее его значение соответствует критическому сечению соп-
ла, для которого обеспечивается максимальная величина G, по-
скольку = 1 при минимальном диаметре.
Для определения коэффициента теплоотдачи в сопле Бартцем
[51] была предложена зависимость
а = 0,026 -^)0'8 .- -1- Pro,* о,
£0,4 rf0,2 р.0.8 \ Ь J \ d )
где b — радиус кривизны стенки сопла в меридиональном сечении
<’==(е//е0)0’8 О/Ю0’2-
Параметры газа р/, р/ взяты при определяющей температуре,
рассчитываемой по формуле:
Tj = 0,5 (7ф+7\ J + 0,22 Pr’/з (Тоо - Го), ,
где Too — температура торможения;
То — статическая температура.
Экспериментальная проверка зависимости Бартца показала
удовлетворительную сходимость расчетных и экспериментальных
данных по всей длине сопла, за исключением небольшого участка
перед критическим сечением.
Для небольших двигателей при использовании топлив типа
JPN полный коэффициент теплоотдачи в критическом сечении
сопла может определяться по формуле [39]
а —500+ 0,33 (р) °’8.
Высокоскоростной поток газа, воздействуя на нагретую до вы-
соких температур поверхность, производит унос материала. Это
явление называют эрозией сопла. Основную роль в эрозии играет
механическое воздействие потока на поверхность сопла, вызываю-
щее пластические деформации поверхностных слоев с последую-
щим нарушением сплошности и уносом частиц.
Основными факторами, определяющими степень эрозии, яв-
ляются:
1. Параметры газового потока (плотность, температура, содер-
жание твердых частиц).
2. Тепловое состояние поверхности сопла.
3. Материал сопла.
4. Продолжительность работы двигателя.
5. Форма конструкции.
Эрозия сопла приводит к изменению режима работы двигателя.
На рис. 3.22 приведены типичные диаграммы давления, получен-
ные при сжигании зарядов весом в 1,15 кг с различной начальной
температурой в ракетной камере диаметром 76 мм [39]. Слева вос-
произведены диаграммы, полученные при незначительной эрозии
сопла. Диаграммы справа получены при значительной эрозии сопел,
обусловленной их малым диаметром. Во втором случае наблю-
дается резкое падение давления к концу горения заряда. Для дви-
гателей со строго регламентированным режимом работы, напри-
мер для тех, которые применяются в управляемых ракетах, измене-
ние размеров сопла вследствие эрозии может привести к недопу-
стимым отклонениям тяги от заданного значения.
Рис. 3.22. Влияние эрозии сопла на диаграмму
давления
Основными направлениями, которые могут быть использованы
в борьбе с эрозией сопла, являются:
1. Применение материалов, хорошо проводящих тепло, но имею-
щих относительно низкую температуру плавления.
2. Применение жаростойких материалов (температура плавле-
ния выше температуры торможения газового потока).
3. Применение охлаждения.
Применение в соплах материалов, у которых температура плав-
ления ниже температуры торможения газового потока, целесооб-
разно при относительно малом времени работы двигателя. Данные,
приведенные в табл. 3. 10, позволяют оценить зависимость эрозии
сопла при малом времени горения заряда (0,45 сек) от характери-
стик материала и температурного состояния поверхности сопла.
Эксперименты были проведены на двигателе калибром 82,5 мм
с шестью соплами (^* = 6,35 мм).
Из табл. 3.10 следует, что значительная эрозия сопла наблю-
дается в тех случаях, когда расчетная температура на внутренней
поверхности сопла близка к температуре плавления материала.
Таким образом, не вдаваясь в подробности механизма эрозии,
266
Металл или сплав Коэффици- ент тепло- проводно- сти X кк.алм-чаг °C Удель- ный вес кГ/м‘‘ Объемная теплоем- кость ккал1м%°C Предел прочности на растя- жение кГ1см2 Расчетная температу- ра внутрен- ней поверх- ности сопла Гс.в.°С Темпе- ратура плавле- ния Т °C Эрозия, получен- ная во время опыта Д/7*//7* % Качество рас- сматриваемого металла, как материала для сопла
Гастелит (сплав хро- ма, никеля, молибдена с добавкой кобальта) 10,9 8,9 917 — 1480 1290 65 Очень плохое
Стеллит (сплав ко- бальта, вольфрама и хрома) 12,6 8,4 838 — 1450 1300 59 То же
Инконель (сплав ни- келя и хрома) 12,9 8,5 925 —1 1480 1390 46
Нержавеющая сталь 14,0 8,0 —• 1400 при 850° С 1450 1480 — »
АЧонель К (сплав ни- келя и меди) 22,3 8,5 1060 — 1200 1320 —
Хромистая сталь 25,2 7,8 847 0 при 1000 °C 1150 1480 45 Плохое
Холоднокатаная сталь 31,2 7,8 1310 0 при 850° С 1120 1430 40
Тантал 47,5 16,8 600 —- 955 2850 — Отличное
Железо 18,5 7,8 1255 0 при 1000° С 955 1540 — Очень хорошее
Бериллий 138 1.8 940 —- 670 1350 — Хорошее
Хром 238 6.8 1290 — 580 1(20
Алюминий 238 2,7 747 0 при 300° С 565 660 — Очень плохое
Медь 312 8,9 1120 0 при 550° С 510 1080 — Очень хорошее
Примечание. Давление в ракетной камере 175 кГ^см2, время горения 0,45 сек.
можно в качестве условия, гарантирующего эрозионную стойкость
сопла, принять Тс.ъ^.Тдт. Продолжительность работы сопла' без
существенного выгорания критического сечения определится вре-
менем, необходимым для достижения этой температуры. Рост тем-
пературы на внутренней поверхности сопла можно замедлить,
утолщая стенку.
Рассмотрим, в какой мере удается увеличить допускаемое
время работы сопла и каковы в соответствии с этим пределы исполь-
зования сопел рассматриваемой категории. Для выводов восполь-
зуемся зависимостью (3.21). Заметим, что правомерность исполь-
зования этой зависимости, пригодной для плоской стенки, в данном
случае оправдывается целью исследования, состоящей в получении
выводов преимущественно качественного характера. В работе [36]
приведены результаты расчетов нагрева полого цилиндра с тол-
щиной стенки, равной диаметру канала, и плоской пластины такой
же толщины при Bi=l. Расхождение расчетных значений темпера-
туры в диапазоне 0,3<Fo<l,3 лежит в пределах 15—20%.
Исходим из значения температурного симплекса 0дОП, опреде-
ляемого допускаемым значением температуры Тдоп. Из уравне-
ния (3. 21)
т. I11 F In 610п /о у л \
В °= ----------- (3. /4)
Как показывает анализ, трансцендентные зависимости In Р и Ф
от критерия Био можно аппроксимировать в диапазоне Bi =
=0,4—4,0 зависимостями следующего вида:
1пР=-й1В1; (3.75)
Ф?=Л2ВГ. (3.76)
Коэффициенты аппроксимации для. рассматриваемого диапа-
зона равны: /г1 = 0,3; /22 = 0,7; v = 0,7.
Подставляя зависимости (3.75) и (3.76) в уравнение (3.74),
получим
Fo=A_£>Bii-’, (3.77)
где
Д — I вдоп I . у-)_
Решая уравнение (3. 77) относительно т, находим
ДХ’ о г-, а1-’ ,
т=----д2—* — D----д3~’
аа’ аР v
Исследуем полученное выражение на максимум
^ = ^(2-v)A-^£>^(3~v) Д—= 0,
d\ аа ак ,
отсюда
__ 2 — v А X
^ПР -5 ГЛ
3 — v D а
Величина Апр является предельной толщиной стенки, превыше-
ние которой уже не приводит к увеличению времени работы сопла.
Рассчитаем значение Binp, соответствующее предельной толщине
стенки сопла:
В1вр-—Дир^^д, 77
Таким образом, величина Binp определяется только значением
Одой. Подставляя величину Binp в уравнение .(3.77), получим пре-
дельное значение Fo:
Fonp=—-^ Bi-
Предельное время работы сопла из материала с низкой темпе-
ратурой плавления при неограниченной толщине стенки можно
определить по формуле
FOnpAnn F°npBinpX2
п₽ а а<зА
Следовательно, основными параметрами, определяющими тпр,
являются а — коэффициент теплоотдачи и теплофизические харак-
теристики материала X, с, у.
Пример. Оценить предельно допускаемое время работы сопла в условиях, при
которых были получены данные табл. 3. 10, полагая
7лоп= 1000°С; 7о = 26ОО°С; 7н = 20°С; а = 9500 ккал1м^-час °C.
Оценку произвести для двух материалов:
а) холоднокатаная сталь;
б) железо (характеристики материалов см. в табл. 3. 10).
Определим основные критерии:
0доп —
7р —7Д0П
та-тя
In 0ДОП
2600 —1000
2600 — 20
= 0,620;
^2
D = — :
1п0,62
----— = 0,682;
0,7
0,3
— = 0,428;
0,7
А =
F°np = - D Bi’7 = ^-7 -0,428-0,90е’3 = 0,320.
Для сопла из холоднокатаной стали
X 31,2
Дпр = Binp-=0,90 • —=2,96.10-3 м-
F 1 а 9500
31 2
а ~ — = 23,8-Ю—з ж2/час;
7800-0,168
Ропрд2 0,320-2,962 -IO-6
тп„ = -------~——q---------------3600 = 0,425 сек.
₽ а 23,8-10 3
Для сопла из чистого железа
68,5
дпр = 0.90----= 6,5-10—3 м\
р 9500
а =
68,5
7800-0,157
= 54,6-10—3 м^/час,
Дтр --
0,320-6.52-10~6
54,6-10“ 3
3600 = 0,89 сек.
Полученные результаты согласуются с экспериментальными
данными, приведенными в табл. 3. 10. Для сопла из холоднокатаной
стали допустимое время работы сопла получилось меньше полного
времени работы двигателя. Согласно данным эксперимента для
этого сопла получено значительное выгорание. Для сопла из же-
леза предельное время работы вдвое превышает продолжитель-
ность работы двигателя. При эксперименте работа сопла протекала
без заметного выгорания критического сечения.
Живучесть сопла в значительной мере зависит от температуры
горения топлива, определяющей величину бДОп. Так, для условий
нашего примера при использовании в двигателе топлива с темпе-
ратурой горения 1800°С (расчетная температура без учета потерь
2000° С) получается увеличение предельного времени для первого
варианта сопла до 1,34 сек и для второго —до 8 сек.
Разумеется, полученные цифровые данные нельзя рассматри-
вать как абсолютные характеристики. Необходимо помнить, что
сами предпосылки расчета (значение ГДОп) являются условными,
и полученные результаты следует рассматривать как оценочные.
Решающую роль в увеличении живучести сопел данной катего-
рии играет коэффициент теплопроводности материала. На рис. 3.23
показано, как в зависимости от этой характеристики меняется рас-
пределение температуры в стенке сопла [39]. Роль этого фактора
подтверждается структурой формул для Апр и тпр.
С увеличением диаметра сопла уменьшается величина коэффи-
циента теплоотдачи айв соответствии с этим предельная толщина
стенки возрастает пропорционально d* °’2. Предельное время ра-
боты сопла увеличивается пропорционально d* °’4. Для сопел с диа-
метром d* =100 мм время работы по сравнению с вариантом, рас-
смотренным в примере, возрастает в 4 раза.
Из проведенного анализа видно, насколько ограничены возмож-
ности сопел, изготовленных из материала с Тпл<Т0. Применение их
становится недопустимым
в двигателях с большим
временем работы горения
зарядов при повышенных
требованиях к постоянст-
ву режима работы. В по-
добных случаях в конст-
рукциях сопел приходится
применять вставки либо
покрытия из материалов,
имеющих ТПЛ^>ТО (табл.
3. 11 [10]).
Из жаропрочных ма-
териалов, нашедших при-
менение при изготовлении
сопловых вставок, следу-
Расстояние от внутренней поверхности
сопла, в мм
Рис. 3.23. Влияние коэффициента тепло-
проводности материала на температуру
стенки сопла в критическом сечении
ет отметить силицирован-
ный пирографит. Пиро-
графит получают при про-
пускании газа, содержа-
щего углеводороды, через
вакуумную печь с высо-
кой температурой.
Углерод, выделяющийся при разложении газа, откладывается
на оправке, приготовленной из обыкновенного графита.
По сравнению с обычным графитом пирографит обладает повы-
шенной плотностью (до 2220 к.Г1мР), более высоким пределом проч-
ности на растяжение и большей стойкостью к эрозии.
Значительное повышение эрозионной стойкости графита дости-
гается введением в его структуру кремния, т. е. силицированием
графита [48], [49].
Успешное применение могут найти жаропрочные металлы, соче-
тающие механическую прочность при высоких температурах со
стойкостью к тепловому удару, например, молибден и вольфрам.
Рассмотрим процесс эрозии соплового вкладыша, вызываемый
химическими факторами. Продукты сгорания твердого топлива
содержат ряд соединений и элементов, которые могут вступать
в химическое взаимодействие с материалом соплового вкладыша
(графит, молибден, вольфрам) с образованием окислов углерода
Материал Темпера- тура плав- ления Тпч °C Материал Темпера- тура плав- ления Тпл °C
Элементы: ниобия 3500
Углерод 3500* кремния 2550
Молибден 2650 тантала 4150
Осмий 2700 тория 2800
Рений 3C00 титана 3100
Тантал 2850 вольфрама 2850
Вольфрам 3350 циркония 3550
Окиси: циркония-тантала 3900
бериллия 2500 Нитриды:
кальция 2550 бора 2750
гафния 2800 гафния 3300
магния 2800 скандия 2650
тория 2800 тантала 3300
циркония 2950 титана 3200
Бориды: циркония 3000
гафния 3050 Цирконаты:
вольфрама 2900 бария 2700
циркония 2900 кальция 2660
Карбиды: стронция 2700
гафния 4150 тория 2800
молибдена 2550
* Температура сублимации.
либо металлов. Как показывают некоторые исследования [13], [38],
высокой химической активностью в условиях температуры РДТТ
обладают водяные пары, а также СО2. Так, например, возможны
следующие реакции взаимодействия их с графитом:
С+СО2 —2СО;
с+н2о->со+н2.
Механизм химической эрозии включает в себя:
1) диффузию окисляющих компонентов через пограничный слой
к поверхности вкладыша;
2) химические реакции на поверхности;
3) диффузию продуктов реакции от поверхности.
При высоких температурах поверхности скорость протекающей
на ней реакции не является лимитирующим звеном процесса и ско-
рость химической эрозии материала будет всецело определяться
диффузионным переносом вещества через пограничный слой.
Расход окисляющего компонента продуктов сгорания топлива
через пограничный слой выражается как
ГЛ I
ГП:--- — QD :------
' ' дх
(3. 78)
Используя уравнение (3.38), представим формулу (3.78.)
в виде
t>DiCpq fa
т,=------------
1 X д!
Текущее значение можно представить в энтальпии газовой смеси в пограничном слое виде
тде д/п = /с — /5 —полный перепад энтальпии поперек погранич-
ного слоя.
Тогда • дС; т; = . 1 Шв д!
Если принять, как это было сделано ранее,
qD:C „ L —Le=l, X
получим ~ q dci 171,= — ~. Д/п д!
Поскольку / \ Cl ДI и Qs «(^о Т - , ср
расход окисляющего формулой компонента к поверхности можно выразить (3.79) ср д!
Использование зависимости (3.79) упрощается, если предполо-
жить, что на поверхности раздела двух фаз концентрация окисляю-
щего компонента равна нулю *. При этом
где Cei — концентрация этого компонента на внешней границе слоя.
Практически она равна средней концентрации компо-
нента в продуктах сгорания твердого топлива.
Тогда
= ' (3.80)
ср
Если полагать, что скорость окисления материала поверхности
mSi управляется в основном процессом диффузии окисляющего
компонента газовой смеси, используя уравнение (3.80), получим
асе;ч MSi
,
Ср MgiK
где Msi и Mgi — молекулярные веса окисляемого и окисляющего
компонентов (элементов);
К — стехиометрический коэффициент в уравнении ре-
акции окисления при окисляющем компоненте;
ср — доля поверхности, приходящаяся на окисляемый
компонент материала вкладыша, если этот мате-
риал неоднороден.
По мере разработки и использования в РДТТ новых топлив
с повышенными энергетическими характеристиками условия ра-
боты сопла становятся все более тяжелыми. В табл. 3. 12 [46] при-
ведены ориентировочные данные, характеризующие по этапам ожи-
даемое изменение параметров газового потока в сопле. При этом
наряду с ростом температуры продуктов сгорания будут усили-
ваться дополнительные факторы, благоприятствующие эрозии:
в газе возрастает содержание конденсированных частиц и продук-
тов диссоциации, обладающих высокой химической активностью.
С ростом энергетических характеристик топлива возникает не-
обходимость в изыскании новых более эффективных средств тепло-
вой защиты сопла, так как известные в настоящее время жаростой-
кие материалы уже при То = 3600 :-3900° С окажутся на пределе
своих возможностей, а при больших температурах будут вообще
не в состоянии обеспечить работу сопла. Поэтому ведутся работы
по использованию внешнего охлаждения сопла [56]. В качестве
хладоагентов предполагается использовать щелочные и щелочно-
земельные металлы К, Na, Mg с низкими температурами плавле-
ния и кипения. Сопло, изготовленное из тугоплавкого материала
* При высоких температурах поверхности вкладыша химическая кинетика
не лимитирует протекания на ней реакции.
Характеристики Годы
1960—1955 1955—1970 1970—1975
Температура газового по- тока в сопле в °C -3500 3900 4600
Характеристика газообраз- ных продуктов сгорания Диссоциированы Весьма дис- социированы
Состав конденсированных продуктов сгорания В основном А12Оз Окислы Al, Li, Be Окислы Li, Be
Материалы, обеспечиваю- щие длительную работу не- охлаждаемого сопла Вольфрам и некоторые карбиды Некоторые карбиды, нит- риды и бориды Нет
Тепловая защита критиче- ского сечения сопла Вставки из материалов жаропрочных Использова- ние хладоаген- та
с высокой теплопроводностью, окружается рубашкой с твердым
хладоагентом. Во время работы двигателя хладоагент расплав-
ляется и доводится до температуры кипения. Охлаждение сопла
обеспечивается поглощением больших количеств тепла при испаре-
нии хладоагента. Так, например, при использовании магния (ТПл =
= 65ГС; Ткип= 1 Ю0° С) на 1 кг испаряющегося вещества погло-
щается 2574 ккал. Эффективность такого метода тепловой защиты
была доказана экспериментами с соплом из молибдена с толщиной
стенки 1,5 мм [56]. Стенки сопла, омываемые изнутри потоком газа
с температурой торможения То = 335О°С в течение 60—80 сек, со-
храняли температуру 1100° С, т. е. температуру кипящего Хладо-
агента — магния.
Для защиты критического сечения сопла может быть использо-
вано также завесное охлаждение, при котором между основным
потоком горячего газа и поверхностью сопла создается пелена (за-
веса) газа с относительно низкой температурой. В качестве источ-
ника газа могут быть использованы аблирующие покрытия, распо-
лагающиеся во входной части сопла. В простейших конструкциях
они представляют собой кольца из полиэтилена либо другого пла-
стика с высокой скоростью разложения. На рис. 3.24 представлена
схема, в которой газовая завеса создается за счет разложения
гидридов и боргидридов щелочных металлов (ЫН, LiBH4, NaBH4
и КВН4). Вокруг вкладыша из пористого материала располагается
набор металлических пластин со слоями хладоагента между ними.
При нагреве пластин происходит разложение гидридов с выделе-
нием водорода, который поступает через пористый вкладыш, обес-
печивая тепловую защиту сопла [29].
По мнению ряда зарубежных исследователей [42], сопла РДТТ
большого калибра целесообразно изготовлять целиком из аблирую-
Рис. 3. 24. Сопло с внутренним
охлаждением:
/—вольфрамовая облицовка; 2—на-
бор металлических пластин; 3—слои
гидридов легких металлов
щих пластических материалов.
Как известно, с ростом диаметра
критического сечения сопла начи-
ная с некоторого размера относи-
тельный разгар критического се-
чения снижается настолько, что
вызываемое им падение давления
и тяги либо становится несущест-
венным, либо при необходимости
может быть компенсировано про-
грессивным изменением поверх-
ности горения за счет подбора
формы заряда. Для цельного соп-
ла из пластмассы обеспечиваются
простота устройства и изготовле-
ния, а также повышается надеж-
ность работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Адамс, Последние достижения в теории абляции, «Вопросы ракетной
техники»,’ИЛ, 1960, № 4.
2. Барский Т. А. и Зельдович Я. Б., ДАН СССР, 1938, т. 21, стр. 114.
3. Бете и Адамс, Теория абляции стекловидных материалов, «Вопросы
ракетной техники», ИЛ, 1960, № 2.
4. Биль В. С., А в т о к р а т о в а Н. Д., Температурные зависимости тепло-
проводности и температуропроводности некоторых полимерных материалов,
«Пластические массы», 1965, № 10.
5. Бичер и Розенсвейг, Механизм абляции пластмасс с неорганиче-
ским армированием, Ракетная техника (ARS Journal русский перевод), 1961, № 4.
6. Б р и ц к е Э. В., К а п у с т и н с к и й А. Ф., Термодинамические константы
неорганических веществ, АН СССР, 1949.
7. Вопросы аэродинамики и теплопередачи в котельно-топочных процессах,
Сборник статей под ред. Г. Ф. Кнорре, Госэнергоиздат, 1958.
8. Горби с 3. Р., Теплообмен дисперсных сквозных потоков, «Энергия», 1964.
9. Г у р в и ч А. М. и М и т о р В. В., Излучение дымовых газов, «Теплоэнер-
гетика», 1955, № 12.
10. Г у п п е р т, Новые виды керамических покрытий, «Вопросы ракетной тех-
ники», ИЛ, 1959, № 7.
11. Детонация и двухфазное течение, Сб. статей под ред. П. Ф. Похила,
«Мир», 1966.
12. Джесснер, Сидер, Ингрем, Каултас, Анализ процесса само-
охлаждения материалов из .пористого вольфрама с наполнителем, Ракетная тех-
ника и астронавтика (AIAA Journal в русском переводе), 1965, № 1.
13. Дилэни, Иглтон, Джонс, Полукачествеиное определение эрозии
графитовых сопловых вкладышей, Ракетная техника и астронавтика (AIAA Jour-
nal русский перевод), 1964, № 8.
14. Душин Ю. А., Скорость разложения (горения) полимеров в высокотем-
пературной газовой среде, ИФЖ, 1961, № 10.
15. Зельдович Я- Б., Ри в ин М. А., Франк-Каменецкий Д. А.,
Импульс реактивной силы пороховых ракет, Оборонгиз, 1963.
16. Зельдович Я- Б., Франк-Каменецкий Д. А., Семенов Н. Н.,
ЖЭТФ, 1940, т. 10, стр. 1427.
17. Зиблэнд, Проблемы теплопередачи в ракетных двигателях, «Вопросы
ракетной техники», ИЛ, 1956, Ns 4.
18. Иванцов Г. П., Нагрев металла, Металлургиздат, 1948.
19. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С.,. Теплопередача,
«Энергия», 1965.
20. Исследование ракетных двигателей на твердом топливе, Сб. статей
под ред. М. Саммерфилда, ИЛ, 1963.
21. Кирпичев М. В., Теория подобия, АН СССР, 1953.
22. К о з д о б а Л. А., Применение электрических моделей для решения тех-
нических задач, ИФЖ, 1962, т. V, № 3.
23. Коутс, Измерение скорости линейного пиролиза ТРТ, «Ракетная тех-
ника и астронавтика» (AIAA Lournal русский перевод), 1965, № 7.
24. Л а д а к и, Гамильтон, К о ц, Теплота пиролиза смолы в фенольно-
кремнеземистых аблирующих материалах, «Ракетная техника и астронавтика»,
(AlAA Journal русский перевод), 1966, № 10.
25. Л и з, Конвективный теплообмен при наличии подвода вещества н хими-
ческих реакций, Сб. статей «Газодинамика и теплообмен при наличии химиче-
ских реакций», ИЛ, 1962.
26. Лыков А. В., Теория теплопроводности, ГТТИ, 1952.
27. М а кэл и ст ер, Уолкер, Рой, Разработка и развитие разрушаю-
щихся материалов для сопел ракетных двигателей, «Вопросы ракетной техники»,
ИЛ, 1964, № 2, ч. I.
28. Мэтью, Механическое растрескивание коксующихся разрушающихся
материалов в высокотемпературном потоке, Ракетная техника и астронавтика
(AIAA Journal русский перевод), 1964, № 9.
29. Патент США, кл. 60—35 6, № 3115746, заявл. 18-07-60.
30. Петухов Б. С., Кириллов В. В., «Теплоэнергетика», 1960, № 5.
31. Реактивные двигатели, Сб. статей под ред. О. Е. Ланкастера, Воен-
издат, 1962.
32. Р е й н и к а, Уэллс, Обугливающиеся покрытия для защиты аппарата
при входе в атмосферу, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1964, № 6.
33. Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, ГТТИ, 1954.
34. Скала, Гильберт, Тепловое разрушение теплозащитного обугливаю-
щегося пластика при гиперзвуковых полетах, Ракетная техника (ARS Journal
в русском переводе), 1962, № 6.
35. Справочник химика, Госхимиздат, 1952.
36. Турбулентные течения и теплопередача, Сб. статей под ред. Лйнь Цзя-
Цзяо, ИЛ, 1963.
37. Тодес О. Н. и Карандин Б. Н., ЖФХ, 1940, т. 14, стр. 1447.
38. Уилхелм, Анализ абляции сопловых вкладышей из рефразилфеноль-
ного пластика, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1966, № 5.
39. Уимпресс Р. И. Внутренняя баллистика пороховых ракет, ИЛ, 1952.
40. Ф л ед дерм ан, Теплопередача к испаряющейся поверхности, подвер-
гающейся абляции, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1960, № 3.
41. Хиршфельде р, Теплопроводность многоатомных электронно-возбуж-
денных или химически реагирующих смесей, Сб. статей, Пламена и химическая
кинетика, ИЛ, 1961.
42. X о р ч е р, Митчел, Разработка разрушающихся материалов для сопел
ракетных двигателей, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1964, № 3, ч. II.
43. Хуанг, Исследование коэффициентов теплоотдачи для потока воздуха
в круглых струях, ударяющихся нормально в теплообменную поверхность. Труды
американского общества инженеров-механиков, ИЛ, 1963, т. 85, серия С, № 3
44. Ч у д н о в с к и й А. Ф. Теплофизические характеристики дисперсных ма-
териалов, Физматгиз, 1962.
45. Э й г е н с о н Л. С., Моделирование, «Советская наука», 1952.
46. Astronautics, 1961, vol. 6, No. 4.
47. Astronautics and Aeronautics, 1964, No. 10, p, 86.
48. Aviation Week, 1959, vol. 71, No. 23.
49. Aviation Week, 1960, vol. 73, No. 4.
50. Aviation Week, 1965, vol. 82, No. 25, pp. 91, 93.
51. Bartz D. R„ A Simple Equation for Rapid Estimation of Rocket Nozzle
Convective Heat Transfer Coefficients, Jet Propulsion, 1957, No. 21.
52. Davey T. B., Entrance Region Heat Transfer Coefficients, Heat Trans-
fer, 1963, No. 59.
53. Gordon R., Cobonque J., Heat Transfer Between a Flat Plate and
Jets of Air Impinging on It, 1961, International Heat Transfer Conference, Port II.
54. Jet Propulsion, 1957, vol. 27, No. 61, pp. 1252, 1294.
55. Marxman G. A.,W о о 1 d r i g e С. E., Muggy R.’ J., Fundamentals
of Hybrid Boundary-Layer Combustion, United Technology Center, Synnyreale,
Calif, 1964.
56. Missiles and Rockets, 1961, No. 10, p. 31, SAE, Journal, 1961, vol.
69. No. 2.
Глава IV
ГОРЕНИЕ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
И ЗАРЯДОВ
Топливо, используемое в современных ракетных двигателях,
выполняет одновременно две функции: является источником рабо-
чего тела в виде газообразных продуктов реакции горения и источ-
ником энергии в виде тепла, выделяемого при горении. Это спра-
ведливо для всех видов химических топлив твердых и жидких.
Для установления основных требований, предъявляемых к ра-
кетному топливу, достаточно обратиться к формуле Циолковского
= Л + д------------V
I ------+а /
\ <0 /
где — максимальная скорость одноступенчатой ракеты
в конце сгорания топлива, полученная без учета силы
тяжести и сопротивления воздуха;
Д— единичный импульс;
qaн—• вес полезной нагрузки, которую несет ракета;
о>— вес топлива;
а = -здн-^- отношение веса конструкции двигателя к весу топлива
“ (весовой коэффициент двигателя).
Максимальная скорость ракеты, определяемая по формуле
Циолковского, в значительной мере характеризует ее баллистиче-
ские возможности — дальность стрельбы либо боевой потолок.
Формулой определяются два основных пути повышения балли-
стических характеристик ракеты:
1) повышение единичного импульса;
2) увеличение относительного веса топлива, что при заданной
нагрузке требует всемерного облегчения конструкции двигателя.
Единичный импульс J\ = P!G называют характеристикой эконо-
мичности двигателя, так как величина его обратно пропорциональна
расходу топлива на единицу тяги двигателя. Единичный импульс
зависит от ряда параметров, определяемых конструкцией двига-
теля и сопла. Однако влияние изменения этих параметров в пре-
делах их отклонений от оптимальных значений, наблюдаемых на
практике, относительно невелико. В основном величина единичного
импульса определяется энергетическими характеристиками топ-
лива, поэтому часто говорят об единичном импульсе как о характе-
ристике топлива, имея в виду единичный импульс эталонного дви-
гателя, полученный при сжигании в нем данного топлива. Опере-
жая выкладки последующих глав, укажем, что из характеристик
топлив на величину единичного импульса решающее влияние ока-
зывают температура продуктов сгорания в камере То, называемая
температурой горения топлива, и газовая постоянная продуктов
сгорания R. Повышение температуры горения связано с рядом тех-
нических трудностей, обусловленных термостойкостью камеры и
сопла двигателя. Повышение величины газовой постоянной связано
со снижением среднего молекулярного веса продуктов сгорания.
Этого можно достичь, повысив в продуктах сгорания содержание
свободного водорода — вещества с наименьшим молекулярным
весом или легких элементов. Следовательно, чтобы получить топ-
ливо с высокой эффективностью, необходимо выявить комбинации,
обеспечивающие наибольшее тепловыделение в процессе горения
при возможно меньшем молекулярном весе продуктов сгорания.
Основной энергетической характеристикой топлива является
приведенная сила топлива. Она выражается произведением темпе-
ратуры горения топлива в условиях ракетной камеры на газовую
постоянную, отнесенную к 1 кг продуктов сгорания:
fo = RTo кГ’м!кг.
Величина единичного импульса связана с приведенной силой топ-
лива зависимостью V fo.
Для снижения весового коэффициента а необходимо применять
при изготовлении двигателя высокопрочные материалы, снижать
уровень давления в двигателе, повышать плотность топлива. Выбор
рабочего давления в двигателе в значительной мере определяется
характеристиками топлива, его способностью гореть при низких
давлениях и больших скоростях движения газа вдоль горящей по-
верхности заряда. Назначаемая величина расчетного давления за-
висит, кроме того, от стабильности горения топлива, величины
возможных выскоков давления, роста давления с увеличением тем-
пературы заряда. Более высокая плотность позволяет при заданном
весе заряда уменьшить объем камеры, снизить вес оболочки и весо-
вой коэффициент двигателя а. Таким образом, характеристиками
топлива в значительной мере определяются два основных пара-
метра двигателя, входящие в формулу Циолковского Д и а.
Помимо основных требований по обеспечению высоких значе-
ний 7] и низких а, к твердым ракетным топливам предъявляется
ряд дополнительных требований. Существенное значение имеет
химическая стойкость топлива, т. е. способность его сохранять
постоянство энергетических и баллистических характеристик при
хранении. При оценке пригодности топлива к использованию в об-
разцах вооружения учитывается его физическая стабильность, т. е.
способность противостоять растрескиванию при хранении. Наруше-
ние сплошности заряда при выстреле неизбежно вызывает повыше-
ние давления, а в некоторых случаях — разрушение двигателя. Хи-
мическая и физическая стабильность обусловливают допускаемые
сроки хранения топлива. Механические дефекты заряда могут появ-
ляться и вследствие низких прочностных характеристик топлива
при воздействии на него перегрузок, связанных с эксплуатацией
ракеты. Кроме того, топливо должно быть безопасным в производ-
стве и обращении. Технология изготовления топлива и снаряжения
двигателей должна быть по возможности несложной, обеспечиваю-
щей высокую производительность, и опираться на широкую отече-
ственную сырьевую базу.
Топлива, применяемые в настоящее время в ракетной технике,
делятся на двухосновные и смесевые.
Двухосновные топлива
Двухосновные топлива, или коллоидные баллиститные пороха,
появились во второй половине прошлого века и нашли широкое
применение в артиллерии, а затем и в ракетной технике. Основные
компоненты топлив этой группы — окислитель и горючее входят
в структуру одной молекулы. Основой механической структуры этих
топлив является нитроклетчатка — продукт нитрации целлюлозы,
содержащейся в больших количествах в хлопке, древесине и т. д.
Для производства данных топлив может применяться нитроклет-
чатка с содержанием азота от 11,5 до 13,8% [41].
В зависимости от степени нитрации (содержания азота) разли-
чают: коллоксилин (11,5—12,2% N), пироксилин № 2 (12,0—
12,5% N) и пироксилин № 1 (13—13,5% N). В производстве приме-
няется также пироколлодий (12,5—12,75% N), разработанный
великим русским ученым Д. И. Менделеевым.
При смешении нитроклетчатки с некоторыми веществами (пла-
стификаторами или растворителями) образуется пластическая
масса, которой при продавливании через матрицу можно прида-
вать любую желаемую форму (трубка, крестообразная шашка,
цилиндр и др.). Растворители нитроклетчатки делятся на летучие
и труднолетучие. В качестве летучего растворителя используют
спиртоэфирную смесь или ацетон. В процессе производства летучие
растворители почти полностью удаляются. На летучем растворителе
изготовляют пироксилиновые пороха, которые применяются в ар-
тиллерии. В ракетной технике они не получили распространения.
К труднолетучим растворителям относятся нитроглицерин, динитро-
диэтиленгликоль и динитротолуол. Топлива (пороха) на основе
этих растворителей называются баллиститными. Перечисленные
растворители, как и нитроцеллюлоза, являются активными компо-
лентами, имеющими в своем составе и горючее и окислитель. Из
них наиболее высокими энергетическими характеристиками обла-
дает нитроглицерин.
В процессе хранения топлива нитроцеллюлоза подвергается
медленному разложению. Продукты разложения, а также следы
кислот, остающиеся в нитроцеллюлозе даже при тщательной про-
мывке ее после изготовления, оказывают каталитическое воздей-
ствие, ускоряющее процесс разложения. Действие этих химических
агентов может быть нейтрализовано стабилизатором — веществом,
вводимым в состав топлива для обеспечения его химической ста-
бильности при хранении. В качестве стабилизатора наиболее часто
применяют дифениламин и централит (асимметричные диэтил-
дифенилмочевина или диметилдифенилмочевина).
В состав топлива вводят в небольших количествах так назы-
ваемые технологические добавки—вазелин, воск, мел, способст-
вующие улучшению технологического процесса. Кроме того, могут
быть введены специальные добавки, обеспечивающие определен-
ные баллистические качества: изменяющие скорость горения, по-
вышающие устойчивость и стабильность горения.
В табл. 4. 1 приведен состав двухосновных топлив, а в табл. 4. 2
даны их основные энергобаллистические характеристики [12],
[36], [39].
Энергетические характеристики двухосновных твердых топлив
определяются соотношением и выбором двух компонентов — нитро-
клетчатки и растворителя (пластификатора). При максимальном
содержании нитроглицерина и сильнонитрованной целлюлозы до-
стигается теоретическое значение единичного импульса, равное
255 кГ-сек/кг [41]. Эта величина может рассматриваться как пре-
дельная для классических баллиститных составов.
Энергетические характеристики двухосновных топлив, нашед-
ших применение в ракетной технике, за счет введения добавок
и более низкого содержания нитроглицерина получаются значи-
тельно ниже. Так, например, американское топливо JPN, отличаю-
щееся наибольшим содержанием нитроглицерина (43%)*, имеет
единичный импульс 216—230 кГ • сек/кг.
Для придания двухосновному топливу требуемой формы пла-
стифицированную массу выпрессовывают через матрицу (рис. 4. 1).
Масса, выжимаемая из изложницы 1 при движении плунжера 2,
смыкается за крестовиной матрицы 3 вокруг иглы 4, обеспечиваю-
щей образование в шашке осевого канала. Наружный профиль
шашки и профиль канала определяются конфигурацией иглы и
матрицы. Такой метод изготовления шашек накладывает ограни-
чение на максимальный диаметр. Дальнейший прогресс в этом на-
* В настоящее время принято считать, что максимальное содержание нитро-
глицерина в двухосновном топливе, допустимое по условиям технологии и дли-
тельного хранения, составляет немногим больше этой величины [3].
Компонент
АТО JPN JP
Нитроцеллюлоза” 64,7 51,5 52,2
(12,0) (13,25) (13,25)
Нитроглицерин 43,0 43,0
Динитрат диэтиленгликоля 29,3 •— —
Динитротолуол — — —
Этилцентралит — 1,0 —
Диэтилфталат — 3,25 3,0
Дифениламин — — 0,6
Дифенилуретан 1,3 — —
Этилфенилуретан 3,5 — —
Акардит 0,2 — —
Г рафит 0,1 — —
Газовая сажа — 0,2** —
Сульфат калия — 1,25 —
TiO2 + BaSO4 0,9 — —
Нитрат калия — — 1.2
Воск — 0,08** ——
Краситель — — 0,1**
СаСО3 — — —
КС1О4 — — —
MgO — — —
ю * В скобках указано процентное содержание азота в
gg ** Содержание компонента указано сверх 100%.
Марка топлива
М-7 14400 HES 4016 SC HSC Медленно горящий порох
54,5 59,9 54,0 49,5 49,5 56,5
— (13,22) (13,25) (12.2) (12,2) (12,2)
35,5 39,0 43,0 41,5 47,0 28,0
— — — — — —
— — — — .— и
0,9 0.9 3,0 9,0 3,5 4,5
— — — — — —
.— 0,2 — — — —
— — — — — —
—- — — •— — —
— — — — — —
1.2 — — — — —
—. — — — —
—* —- — — — —
.— — — — —
— — — 0,07** 0,07** 0,08**
— — — — — —
— — — 0,35** 0,35** —
7,8 — — — — —
1,0** — — — — —
итроцеллюлозе.
Характеристики
R-61
Калорийность Qx в ккал'^кг 890
Температура горения Тр в °К 2390
Сила топлива /0 в кГ-м/кг 87400
Показатель адиабаты k 1,24
Единичный импульс Ji в кГ-сек/кг* —
Скорость горения в мм сек при р = 70 кГ)см, Т = + 20° С
Показатель степени v в законе горения —
Нижний предел давления />т-1п в кГ!см2 —
Плотность в кГ1дм^ 1,60
/5 In и \ = £> в //°C \ дТ /р —
д In р „ ат в %/°С дТ —
* Значения единичного импульса даны для
Марка топлива
JPN JP М-7 HES 4016 SC HSC Медленно- горящий порох
1230 1230 1250 1260 9S5 1170 880
3160 3160 3210 3087 2535 3030 2340
103400 103400 104000 — 90700 100600 —
1,21 1,22 — — 1,22 1,22
230 230 220 — 190 160 —
16,5 17 — 14,3 7.8 — 7,5
0,69 0,71 — 0,75 0,69 — 0,70
20 — — — — — 40
1,61 1,60 — — — 1,64 —
0,0038 0,0050 — 0,0041 -- — 0,0038
1,22 1,73 — __ — — 1,26
двигателя (р — 70 кГ/см2, рв = 1 кГ/см2).
правлении возможен за счет применения литых топлив, допускаю-
щих изготовление шашек с наружным диаметром более 1 м [3].
При изготовлении из двухосновных топлив литых зарядов
в форму засыпают сначала небольшие таблетки нитроцеллюлозы,
а затем заливают нитроглицерин.
Форму с топливом в течение не-
скольких дней подвергают термоста-
тированию (Т~70°С). В результа-
те полимеризации смесь затвердева-
ет [3], [27].
Требуемый закон изменения по-
верхности горения достигается не
только за счет выбранной формы за-
ряда, но и путем частичного покры-
тия поверхности бронирующим сло-
ем. Для бронирования боковой по-
верхности шашек обычно применяют
термопластики на целлюлозной ос-
нове, по химическому составу и фи-
зическим свойствам подобные двух-
основному топливу, например, аце-
тилцеллюлозу [36]. Боковую поверх-
ность шашки обертывают лентой из ,
атецилцеллюлозы, толщиной около"
0,15 мм, смоченной ацетоном или ме-
тилцеллюлозой для склеивания сло-
ев ленты друг с другом и с поверх-
ностью шашки. Такая шашка горит
только с торца. Чтобы обеспечить
Рис. 4. 1. Устройство для прессо-
вания зарядов из двухосновного
топлива:
1—изложница; 2—плунжер; 3— кресто-
вина матрицы: 4—игла
горение шашки только по боковой поверхности, кружки из ацетил-
целлюлозы приклеивают к торцам шашки.
Смесевые топлива
Смесевые топлива представляют собой механическую смесь
тонко измельченного минерального окислителя и органического
горючего-связки. Использование смесевых топлив значительно рас-
ширило возможности повышения энергетических характеристик
твердых топлив за счет увеличения их кислородного баланса. Для
двухосновных топлив величину кислородного баланса предопреде-
ляет соотношение основных компонентов, выбор которых подчинен
условиям образования коллоидного раствора, а также узкий круг
исходных компонентов. Для смесевых топлив соотношение горю-
чего и окислителя можно варьировать в более широких пределах.
Разработка смесевых топлив в первую очередь преследовала
цели расширения сырьевой базы и упрощения технологии произ-
водства твердых топлив. Однако в дальнейшем стало очевидным,
что, применяя новые рецептуры, можно существенно повысить экс-
плуатационные и баллистические характеристики РДТТ.
Примером простейшей композиции смесевого топлива является
GALCIT, представляющий смесь 75% хлорнокислого калия с 25%
асфальта. Однако применение асфальта в качестве связующего
вещества не обеспечивает стабильности физических свойств топ-
лива: оно хрупко при низких температурах и размягчается при
высоких.
Первые серьезные успехи в создании эффективных смесевых
топлив были достигнуты при использовании в качестве горючего-
связки полисульфидов (тиокола). Полисульфиды- представляют
собой органические соединения, которые применялись для изготов-
ления одного из видов синтетического каучука. Полисульфиды со-
стоят из длинных цепей атомных групп, каждая из которых содер-
жит два атома серы.
Существенный недостаток полисульфида как горючего-связки
для ракетного топлива обусловлен наличием в полисульфидном
соединении двух атомов такого тяжелого элемента, как сера (по-
рядковый номер 16), что значительно увеличивает средний молеку-
лярный вес продуктов сгорания и уменьшает газовую постоян-
ную R. Это в свою очередь приводит к снижению скорости истече-
ния, а следовательно, и единичного импульса. Впоследствии была
разработана горючее-связка с пониженным содержанием серы.
Удельный импульс вследствие этого повысился на 5 кГ-сек)кг [44].
После того, как на практике были доказаны эксплуатационные
и некоторые баллистические преимущества смесевых топлив на
основе тиокола, начались поиски горючего-связки, не содержащего
серу и обладающего хорошими связующими свойствами. В резуль-
тате изысканий появились топлива на основе полиуретана — свя-
зующего вещества, состоящего из углерода, водорода, кислорода
и азота, т. е. из первых элементов периодической системы с поряд-
ковым номером не выше 8. Единичный импульс топлив на полиуре-
тановой основе оказался на 2—5 единиц выше, чем у топлив на
основе тиокола [38].
Второе направление замены тиокола горючим-связкой с более
высокими энергетическими показателями привело к появлению топ-
лив на основе высокомолекулярных углеводородов, многие из кото-
рых также представляют собой каучукообразное вещество. Угле-
водородные связи могут быть созданы при реакции между эпоксид-
ной и карбоксильной группами. Согласно проведенным исследова-
ниям углеводородные и полиуретановые топлива равноценны
в энергетическом отношении, однако первые обладают большей
устойчивостью при длительном хранении и имеют лучшие механи-
ческие характеристики при низких температурах [38].
Применение в смесевых топливах алюминия, вводимого в виде
тонкодисперсного порошка, приводит к повышению температуры
горения топлива. Хотя при этом увеличивается содержание в про-
дуктах сгорания твердых частиц, что является неблагоприятным
фактором; в целом, с повышением температуры получается вы-
игрыш в величине единичного импульса. Так, например, для топ-
лива, состоящего из 68% перхлората аммония, 17% горючего-
связки полиэфира С23Н28О4, 15% алюминия, обеспечивается еди-
ничный импульс 254 кГ • сек/кг* [3]. Ведутся исследования возмож-
ности повышения энергетических характеристик смесевых топлив
за счет введения металлов с высокой теплотворной способностью:
бериллия, бора, лития и соединений бора с водородом. Однако ток-
сичность бора и его соединений препятствует использованию боро-
содержащих топлив в РДТТ.
В качестве окислителя в смесевых топливах нашли примене-
ние перхлорат калия, нитраты калия и аммония и перхлорат аммо-
ния. Последний получил наибольшее распространение, так как
является наиболее эффективным из применяющихся окислителей
и в то же время отличается низкой стоимостью и удобством изго-
товления. В настоящее время за рубежом исследуются составы
с применением в качестве окислителя перхлората лития, который
имеет высокое содержание свободного кислорода, что обещает
дальнейшее повышение единичного импульса смесевых топлив.
Изучаются возможности использования новых окислителей, та-
ких как перхлораты нитрония NO2C1O4 и нитрозила 2NOC1O4,
отличающихся от применяемых более высоким содержанием кис-
лорода и меньшей теплотой образования [48]. Весовое содержание
свободного кислорода в различных окислителях приведено
в табл. 4. 3 [3], [48].
Таблица 4.3
Окислитель Весовое содержа- ние свободного кислорода в % Окислитель Весовое содержа- ние свободного' кислорода в %
NH4NO3 19,99 LiC104 60,15
КС1О4 46,19 2NOCIO4 62,1-.
NH4CIO4 34,04 NO2C1O4 66,7
В качестве типичного примера смесевой композиции приведем
известный из литературы состав [35]:
Перхлорат аммония................................ 72%
Сополимер бутадиен-каучука и акриловой кислоты
(связка)......................................... 18,8%
Алюминий......................................... 9%
Окись магния........................................ 0,2%
* Значение единичного импульса дано для эталонного двигателя
(р=70 кГ/см2-, рв=1 кГ!смг).
Хотя в смесевом топливе относительное содержание горючего
и окислителя можно изменять в более широких пределах, чем
в двухосновных топливах, однако и для них существуют ограни-
чения, препятствующие достижению оптимального соотношения
основных компонентов. Так, например, оптимальное соотношение
между органическим горючим и кристаллическим окислителем
типа перхлората аммония, при котором обеспечивается максимум
/1, составляет 88: 12 [3] (рис. 4.2). Однако даже при соотношении
Рис. 4.2. Зависимость Л и То от
содержания окислителя.
температура горения топлива; 2—еди-
ничный импульс
весов кристаллического окислителя
и горючего-связки 80:20 из-за низ-
кого -содержания в топливной массе
связующего не представляется воз-
можным получить топливные заря-
ды -однородного состава с удовлетво-
рительными физическими свойства-
ми [23]. В некоторой мере качество
смешения при большом содержании
окислителя может быть улучшено за
счет придания его частицам сфери-
ческой формы (грануляции) [43].
Однако такой технологический при-
ем не является коренным решением
проблемы. Это привело к -разверты-
ванию работ по получению связую-
щих -веществ, в состав которых вхо-
дили бы атомы и горючего и окисли-
теля. Использование таких -связок
позволило бы создать топливо, име-
ющее оптимальный кислородный ба-
ланс при приемлемом -содержании
связующего вещества, оцениваемом
в 30—40%, при котором обеспечиваются хорошие физические -свой-
ства заряда и однородность его состава.
Одной из таких новых связок явился нитразол, разработанный
в США фирмой Grand Central Rocket [23]. Основу нитразола состав-
ляет нитроцеллюлоза, которой придана высокая плотность и вяз-
кость. На основе нитразола возможно создание топлив с оптималь-
ным соотношением между связкой и кристаллическим окислителем
40 : 6-0. В состав нитразола входит пироксилин и два пластифика-
тора. Он обладает высокой плотностью и вязкостью, сохраняет
эластичность при низких и. прочность при повышенных темпера-
турах.
Специалисты в области разработки новых топлив считают, что
весьма перспективным является применение в качестве горючего-
связки фторуглеродов, поскольку фторуглеродные соединения со-
держат в своем составе окислитель и горючее. Плотность фторугле-
родных связок в два раза выше, чем углеводородных. Фтор обра-
зует с металлами газообразные соединения, что повышает эффек-
тивность топлива при использовании металлических добавок. Проч-
ность фторуглеродных связок значительно выше, чем углеводород-
ных. Кроме того, фторуглеродные соединения обладают хорошей
эластичностью [37]. Основные энергобаллистические характери-
стики для характерных смесевых композиций приведены в табл. 4.4
[5], [42].
Смесевое топливо после смешения компонентов имеет подобие
жидкой глины или густой пасты. Чтобы удалить включения воз-
духа, массу пропускают через небольшое отверстие в вакуумную
камеру. Затем топливо под давлением подается в двигатель, кото-
рый во время снаряжения присоединяется к шнековой подающей
установке. Для образования в заряде каналов требуемой формы
(звезды, цилиндрического канала, щели и т. д.) в двигатель перед
снаряжением вставляют иглу. После окончания заливки двигатель
отсоединяют от подающей установки и помещают в печь. В печи
(термостате) двигатель выдерживают при повышенной температуре
в течение времени, необходимого для завершения процесса поли-
меризации связки. В результате полимеризации связующего веще-
ства образуется твердая резиноподобная масса с равномерно рас-
пределенными частицами окислителя. После охлаждения двига-
теля до нормальной температуры удаляют иглу. Технология
изготовления смесевых топлив и снаряжения двигателей не накла-
дывает никаких ограничений на диаметр заряда и его вес. В настоя-
щее время признается возможным изготовление зарядов из смесе-
вого топлива весом до 1500 т при диаметре более 6—8 м [29].
Интенсивная работа в области создания новых твердых топлив
с высоким единичным импульсом потребовала проведения больших
теоретических исследований. На основе термодинамических расче-
тов большого количества топливных композиций, включая и гипо-
тетические, представляется возможным оценить предельные харак-
теристики твердого ракетного топлива.
Результаты таких расчетов представлены на рис. 4.3 [30] в виде
зависимбсти Ji для эталонного двигателя (р = 70 кГ/м2, ра =
= 1 кГ/см2 истечение расчетное) от удельного веса топлива. На
графике обозначены области, соответствующие различным комби-
нациям окислителя и высокоэнергетических добавок. Влияние вида
связки оказалось для этих предельных систем незначительным.
Наибольшие теоретические значения единичного импульса 280—
290 кГ • сек/кг достигаются для композиций на основе перхлората
нитрония и алюмогидрида лития, однако они имеют относительно
низкий удельный вес (1,3—1,5 г/сж3). Наиболее тяжелыми компо-
зициями, сохраняющими значение Л>230—240 кГ • сек/кг, являют-
ся составы на основе перхлората аммония и циркония.
Виды топлив, нашедших применение в некоторых образцах
вооружения, приведены в табл. 4. 5 [27], [30], [31].
290
'Таблица 4.4
Характери- стики Марка — ‘ ' 1 , Г- HTI — —- ми условное обозначение топлива
Alt-161 А Б В Г Д Е ж 3 GALCIT NDRS
Окислитель Перхло- рат калия Перхло- рат аммония Перхло- рат аммония Перхло- рат ам- мония Перхло- рат ам- мония Перхло- рат калия Нитрат аммония Нитрат аммония Перхло- рат ка- лия Топливо фирмы „Амери- кен Рокет- дайн“ Перхло- рат калия Пикрат аммо- НИЯ-пПИ- крат на- трия
Г орючее Асфальт — Полибу- тадиенН- + акри- ловая кислота +А1 (по- рошок) Поли- уретан Поли- уретан Ацетат целлю- лоза — Полп- эфир- стирол — Асфаль- тонефте- продукт Смоли- стая связка
Температу- ра горения" TQ в °К 2073 2о73 — — — — 1673 — — 2240 2020
Единичный импульс* в кГ-сек/кг 185 200 230 238 236 171 — 178 200 195 200
Скорость го- рения в мм[сек 40 13 11,7 5,63 12,8 21,5 3 17,5 0,5 35—38 —
при
р — 70 кПсм2,
Т„ = 20° С
° Показатель степени v в за- коне горения Нижний пре- дел давления Pmin в кГкм2 0,70 50 (70) 0,40 14 0,235 1 0,05 1 14 0,50 1 0.4 7 0,74 28 — 15 —
Плотность ут 1 ,77 1,75 1,70 1 /8 1,70 1,52 1,55 1,84 1,80 1,74 1,77
в кГкмР Коэффициент (',00816 0,00654 0,00637 0,00576 0,С0695 0,00935 0,00816 0,С0908 — — —
истечения Д=- в 1 кек pF* /д In и \ в °C 0,002 0,002 — — — -- — — — — —
S
* Значения единичного
импульса даны для эталонного двигателя (/> — 70 кГ/см2, рв
1 кГ[см2),
Таблица 4.5
Образцы Состав топлива
Минитмен I ступень Перхлорат аммония Сополимер бутадиена и акриловой кислоты (связка) Эпоксидная смола (отвердитель) + алюминий
II ступень Перхлорат аммония Полиуретановый каучук Алюминий
III ступень Нитроглицерин Нитроцеллюлоза Перхлорат аммония Алюминий
Поларис А-1 Перхлорат аммония Полиуретановый каучук Легкие металлы
А-2 I ступень Перхлорат аммония Полиуретановый каучук Легкие металлы
II ступень Двухосновное топливо
„Титан ЗС“ (стартовая ступень) Перхлорат аммония Сополимер бутадиена и акриловой кислоты (связка) Эпоксидная смола (отвердитель) + алюминий
Сержант Полисульфидиое топливо
Онест Джон Двухосновное топливо
Рис. 4. 3. Энергетические возможности различных топливных
композиций:
I - N02C104; II - NH4C104; III - NH4NO3;
1 — LiAlH4; 2 - Al; 3 — MgH2; 4 - Zr
Основные формы зарядов РДТТ
До появления смесевых топлив единственной схемой снаряже-
ния РДТТ была схема со свободным заполнением (рис. 4.4). В ней
заряд состоит из отдельных шашек, уложенных в камеру с зазо-
ром. Недостатками этой схемы являются сравнительно низкая плот-
ность заряжания и наличие контакта горячего газа с корпусом
двигателя по всей внутренней поверхности. Последнее обстоятель-
ство обусловливает большую толщину стенок либо теплоизоляцию
Рис. 4. 4. РДТТ со свободным заполнением:
/—воспламенитель; 2—изоляция; 5—камера; 4—диафрагма; 5—уплотнение; 6—сопло:
7—вкладыш в критическом сечении; 5—заряд; 9—узел соединения с боевой частью
внутренней поверхности камеры. Поэтому весовой коэффициент а
для такой конструкции двигателя получался высоким. Утяжелению
конструкции РДТТ со свободным зарядом из двухосновного топ-
лива способствовали сравнительно высокая температурная зави-
симость и высокие рабочие давления, необходимые для устойчи-
вого горения заряда. Значения коэффициента а достигали 0,85—
1,25 [25].
Поскольку в большинстве случаев от ракетного двигателя тре-
бовалось постоянство тяги во время горения заряда, шашкам твер-
дого топлива придавали такую форму, чтобы их поверхность при
горении оставалась постоянной. Простейшей формой шашки, обес-
печивающей постоянство поверхности горения, является цилиндри-
ческая трубка, у которой при горении уменьшение наружной по-
Рис, 4. 5. РДТТ с зарядом, скрепленным с корпусом двигателя:
/—воспламенитель; 2—камера; 3—заряд; -/—вставка в критическом сечении;
5—сопло
верхности компенсируется равным увеличением поверхности ка-
нала. В зависимости от необходимой поверхности горения проекти-
ровали заряды из одной, трех, семи и большего числа шашек. На-
ряду с этим применяли шашки более сложной формы. В некоторых
случаях для обеспечения постоянства поверхности горения в таких
зарядах применяли частичное бронирование шашек (например,
торцов цилиндрической шашки, боковых опорных поверхностей
крестообразной шашки и т. д.). Реже применяли заряды прогрес-
сивной формы, например, многокальные шашки. При горении таких
зарядов наблюдалось увеличение поверхности горения к концу го-
рения заряда, что приводило к росту давления в двигателе. Суще-
ственным недостатком такой формы является распад шашки
в конце горения на дегрессивно горящие элементы, выброс кото-
рых из двигателя приводит к увеличению разброса полного им-
пульса реактивной силы.
С появлением смесевых составов, допускающих снаряжение
двигателя заливкой и обеспечивающих прочное скрепление (адге-
зию) заряда с корпусом двигателя, возник новый тип заряда, свя-
занного со стенками двигателя и горящего изнутри (рис. 4.5).
В таком двигателе материал корпуса защищен от воздействия
горячего газа всей толщей топлива и входит в соприкосновение
с газом только после полного выгорания заряда или на самой
последней стадии его горения. Благодаря этому возможно приме-
нение легких высокопрочных материалов, как титан и пластмассы
[27], [30]. За счет снижения температурной зависимости и рабочего
давления, поскольку смесевые топлива устойчиво горят при более
низких давлениях, чем двухосновные топлива, возможно снизить
расчетное давление, определяющее толщину стенки двигателя. Все
это благоприятствует облегчению конструкции двигателя и сниже-
нию а до 0,1—0,08. Для РДТТ, работающих на больших высотах
(двигатели верхних ступеней ракет), возможно достижение
// = 0,06—0,05 [25].
Рис. 4. 6. Формы зарядов, скрепленных с корпусом двигателя:
.7—заряд с каналом звездчатого сечения; б—колесообрЬзный профиль;
s—телескопический заряд
Поскольку и для новой схемы в большинстве случаев сохра-
няется требование постоянства тяги при горении заряда, формы
зарядов с постоянной поверхностью горения являются преобла-
дающими.
Распространенной формой заряда является заряд с осевым ка-
налом звездчатого сечения (рис. 4. 6, а). При горении такого заряда
пока вырезы, продвигаясь в глубь топлива, не достигнут внутрен-
ней поверхности камеры, можно обеспечить постоянство поверхно-
сти горения. Однако на последней стадии горения происходит де-
грессивное догорание остатков, сопровождаемое резким падением
давления и единичного импульса. Для устранения этого недостатка
г, больших двигателях иногда устанавливают несколько (по числу
лучей звезды) треугольных вставок из пенопласта, которые заме-
няют дегрессивно догорающую часть заряда [27]. Это уменьшает
вес «остаточного» топлива при небольшом увеличении пассивного
веса ракеты. В зарядах с каналом звездчатого сечения отношение
толщины горящего свода к диаметру заряда не может выбираться
произвольно (оно связано с характером изменения поверхности во
времени) и для вариантов, обеспечивающих постоянство поверх-
ности, обычно невелико. Отсюда сравнительно низкая плот-
ность заряжания. Эти же недостатки свойственны заряду с колесо-
образным профилем (см. рис. 4. 6, б).
Идеальное постоянство поверхности может быть обеспечено для
телескопического заряда (см. рис. 4.6,в). Однако крепление цент-
рального стержня из топлива (сердечника) приводит к конструк-
тивным трудностям [25], поэтому такая форма применяется редко.
Более распространенным является щелевой заряд (рис. 4. 7). В таком
заряде горение топлива происходит по цилиндрической поверхно-
Радиальные ще™
под у2лом 120
Рис. 4. 7. Щелевой заряд
сти канала и по поверхности щелей. Увеличение поверхности горе-
ния вследствие разгара канала компенсируется уменьшением по-
верхности секторов заряда на участке со щелями.
Рассматривая основные формы зарядов для РДТТ, нельзя не
упомянуть о заряде, горящем с торца, который на первый взгляд,
представляет оптимальный вариант, поскольку обеспечивает мак-
симально возможную плотность заряжания. При более присталь-
ном рассмотрении этот заряд обладает серьезными недостатками.
При торцовом горении возникает необходимость в специальной
тепловой защите для участка камеры, обращенного к соплу, кото-
рый с самого начала горения заряда оголится и вступит в контакт
с горячими газами. В этом отношении торцовый заряд является
антиподом заряда, связанного со стенками и горящего изнутри,
который обеспечивает оптимальное решение тепловой защиты.
Кроме того, при торцовом горении, основанном на использовании
минимальной поверхности горения, во многих случаях невозможно
получить достаточную тягу [14].
Формы зарядов нельзя анализировать в отрыве от конструктив-
ной схемы двигателя. Появление новых конструктивных схем будет
порождать новые формы зарядов. В настоящее время в связи с раз-
работкой больших двигателей нашла применение схема секцион-
ного ракетного двигателя [29], состоящего по длине из отдельных
296
секций (рис. 4.8). Изготовление заряда, состоящего из секций,
упрощает производство, облегчает обнаружение брака, позволяет
при осмотре забраковать поврежденную секцию, не бракуя весь
заряд, а также быстро
вернуть двигатель в
строй, заменив неисправ-
ную секцию. Кроме того,
обеспечивается возмож-
ность перевозки больших
ракет по шоссе и желез- Рис 4 8 Секционный
ракетный двигатель
ным дорогам.
Эти же цели преследу-
ет разработка модулярной конструкции заряда [7]. Модулярный за-
ряд состоит из нескольких отлитых и заполимеризованных в отдель-
ности топливных элементов (модулей). Сборка заряда в корпусе
двигателя из модулей может быть произведена непосредственно на
месте запуска ракеты.
Стремление к всемерному облегчению конструкции РДТТ при-
вело к созданию опытных образцов бескамерных двигателей
Рис, 4. 9. Схема беек а мерного РДТТ:
I—силовой привод; 2—винт; 3—топливный заряд; 4—матрица; 5—шарнир; б—поверх-
ность горения; 7—сопло; 8—газозаборная трубка; 9—переднее днище; /0—газовая
турбина
(рис. 4.9). В таком двигателе используется цилиндрический заряд
с торцовым горением [8]. Торец заряда, обращенный к соплу, имеет
куполообразную форму. Боковая поверхность заряда защищена от
распространения пламени слоем бронесостава. Связь заряда с соп-
лом обеспечивается соединительными стержнями, по резьбе кото-
рых перемещаются матрицы, жестко связанные с соплом. Стержни
воспринимают осевые усилия, создаваемые давлением, действую-
щим на сопло и на торцовую поверхность заряда. Через заборную
трубку, проходящую по осевому каналу заряда, небольшая часть
газа из зоны горения отводится на газовую турбину, расположен-
ную в области переднего днища. Посредством приводов турбина
приводит во вращение соединительные стержни. При этом сопло
по мере выгорания заряда непрерывно перемещается вперед, оста-
ваясь на одном и том же удалении от торца заряда. Бронепокрытие
после выгорания топлива в виде эластичного чулка проталкивается
через сопло, предохраняя при этом его стенки от нагрева.
Схема заряда обеспечивает повторное включение двигателя.
Для этого в одном из сечений заряда размещается слой инертного
вещества. Когда горение дойдет до этого слоя, работа двигателя
прекратится. Повторное воспламенение обеспечивается в заданный
момент времени по команде от часового механизма воспламенением
состава, располагающегося выше инертного слоя. Прекращение ра-
боты двигателя в произвольный момент времени может быть осу-
ществлено подрывом соединительных стержней — при. отделении
сопла наступит резкий спад давления, при котором заряд погаснет.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРЕНОСА ДЛЯ ПРОДУКТОВ
СГОРАНИЯ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
Точность расчетных методов, применяемых при изучении тепло-
обмена и горения в РДТТ, а также при проектировании элементов
тепловой защиты двигателя, в большой степени зависит от наличия
достоверных значений коэффициентов переноса продуктов сгорания
твердых топлив.
Учет разнообразных явлений, протекающих в газах при пере-
носе тепла и количества движения, чрезвычайно труден. Поэтому
в настоящее время определение характеристик переноса для много-
атомных газов осуществимо только с помощью полуэмпирических
методов.
Вязкость газов и их теплопроводность растут с увеличением
температуры. Известен ряд зависимостей, учитывающих эти изме-
нения. Как показывает сопоставление данных эксперимента и рас-
четных данных, полученных с помощью различных формул, наибо-
лее надежной из них и в то же время достаточно простой является
формула Сатерленда
__ Tjy 4- С / То \3-
E,v 7’о + С Чдг/
где и Хг — коэффициенты динамической вязкости и теплопро-
водности газа при температуре Тй;
V-n и Хдг —значения этих коэффициентов при температуре
7^=273° К;
С —постоянная Сатерленда.
Значения KN, и постоянной Сатерленда для различных газов
приведены в табл. 4.6 [11], [18]. [
Таблица 4.6
Г аз Хдг-Юз ккал!м-час - град Р-дг 1 О5 кг^м-сек С г рад
СО2 12,42 1,384 274
н2о 13,89 0,818 650
СО 19,80 1,656 156
Н2 150 0,850 94
N2 21,38 1,667 114
02 21,55 1,943 110
Из других расчетных зависимостей заслуживает внимания формула
Хиршфельдера [49]:
!лл—
/Щ2/О
где [лГ1 и р-уо— коэффициенты динамической вязкости при темпера-
турах Ту и Т2;
k— постоянная Больцмана;
г— константа, характеризующая химическую природу
вещества, значения г'/k 'для* различных газов при-
ведены в табл. 4.7а;
—функция, значения которой приведены в табл. 4.76.
Таблица 4. 76
Таблица 4. 7 a
Веще- ство °.ik ° К Веще- ство ЛГуг /щ/о kTjz
Воздух 97 НС1 зео 1,00 0,6302 20 6,063
о2 113 сн4 136,5 1,50 0,9325 30 7,880
н2 413 С12 357 2,00 1,2048 40 9,488
n2 91,5 С3Н8 254 3,00 1,6728 50 10,958
СО 110 Н2о 356 4,00 2,0719 60 12,324
со. 190 С5Н12 345 5,00 2,4264 70 13,615
NO 119 С6Н12 324 6,00 2,751 80 14,839
no2 220 С2н, 185 7,00 3,053 . 90 16,010
8,00 3,337 100 17,137
9,00 3,607 200 26,80
10 3,866 400 41,90
Входящее в аргумент отношение е/& либо само значение аргу-
мента могут быть рассчитаны по приближенным зависимостям:
tjk 0,75Гс; kT^ 1 ,33Kr; s/k 1 ,3STb,
где Тс и Ть— критическая и нормальная температуры кипения
вещества;
Тг~относительная температура, равная Т)ТС.
Коэффициент динамической вязкости многокомпонентной газо-
вой смеси может быть определен по формуле
(4.1)
1 + {X^IXj) Ф12 + (Л'з/Л'1) Ф13 4-... + (Хп1Х{) Ф;н
_______________________Р-2
1 + (A’j/A'g) $23 + (Хз/Хд) $23 + • • • + $2п
где (х2,... ^„—коэффициенты динамической вязкости чистых
компонентов:
Хъ Х2, ..., Хп — молярные доли этих компонентов;
ф _ [1 + (нЬ)0’5 Шу//25!* 1 2 * * 5 .
12 2/2(1 -уЛ/Ш,)0'5
ф Ь+(^/^1)°’5(^1/Л42)0'25]2 .
21 2/2(1+ Л12/Л4!)0’5
ЛД, Л12... —молярные веса компонентов.
На рис. 4.10 и 4. 11 приведены графики зависимости параметра
Ф от отношения Mi/M2 при различных значениях |Л1/иг- Точность
расчетов по формуле (4.1) для большинства газовых смесей со-
ставляет около 2%.
Для типичных баллиститных топлив в литературе указываются
следующие значения вязкости. Коэффициент вязкости продуктов
сгорания топлива JPN в работе [36] принимается равным
ц = 6,50- Ю~5 кг!м-сек. Для баллиститных топлив с калорийностью
800—900 ккал[кг (средний состав продуктов сгорания которых
близок к среднему составу продуктов сгорания нитроклетчатки
с 12,5% N) ц=6,68 • 10~5 кг/м • сек [18]. Коэффициент кинематиче-
ской вязкости для них рекомендуется рассчитывать [18] по формуле
5 35
v= —— м2!сек, где р — давление в кГ]м2.
Р
Указанные значения носят сугубо ориентировочный характер.
Для продуктов сгорания смесевых топлив с высоким содержанием
конденсированной фазы эффективная вязкость может значительно
отличаться от вязкости газовой смеси, определенной без учета твер-
дых частиц.
Поскольку суммарный объем конденсированной фазы состав-
ляет незначительную долю общего объема продуктов сгорания
твердого топлива, для расчета эффективной вязкости можно
использовать формулу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [24]
Р'эфф =11 »
где d — средний диаметр частиц;
п — число частиц в единице объема;
' ц — вязкость газовой смеси (без учета твердых частиц).
Теплопроводность газовой смеси в общем случае не обладает
свойством аддитивности: она может быть больше или меньше теп-
лопроводности любого чистого компонента.
Коэффициент теплопроводности бинарной газовой смеси может
быть определен по методу Васильевой [40]
ксм = -----------Н---------------, (4. 2)
1 + Л]2 (Х2/*1) 1 + Л21 (Х,/^) ’
где и Х2 — коэффициенты теплопроводности отдельных компо-
нентов;
А ~ 1 h I Р1 /^2\0.75 1 + С1/Т0-10.5-|2 1+С12,Т0 . 43)
a h + Г±1 pl У1’75 1 + С2/70-|0,5)2 1 + с12/70 (4 4
21 4| l+CrT'J f 1 + С2/Т0 ’
С], С2 — константы Сатерленда для чистых компонентов;
Си—константа Сатерленда для смеси.
Формулу Васильевой используют иногда для приближенного
определения коэффициента теплопроводности продуктов сгорания
твердого топлива. Поскольку теплопроводности большинства ком-
понентов продуктов сгорания, за исключением водорода, близки
друг к другу, газовую смесь, образующуюся при горении топлива,
можно в первом приближении рассматривать как бинарную смесь,
состоящую из водорода и второго газа, для которого теплопровод-
ность определяется как среднее арифметическое теплопроводностей
отдельных компонентов. Так, например, для продуктов сгорания
двухосновного топлива, имеющих при температуре горения
2400° К равновесный состав в моль/пг: СО2— 5,21; Н2О — 8,92;
СО—17,02; Н2 — 5,09; N2 — 4,46 [18], при температуре Т=273°К
среднее арифметическое теплопроводностей СО2, СО. N2 и Н2О
составляет 1.66- 10% а теплопроводность Н2—15,0 10 2 ккал/мУ
Хчас°К.
Если рассматривать продукты сгорания этого топлива как би-
нарную смесь двух газов с указанными коэффициентами теплопро-
водности, то, используя зависимости Васильевой, получим коэф-
фициент теплопроводности смеси Ху=2,33 • 10~2 ккал/м час" К
(Т = 273°К). Подобный расчет, проведенный для То = 24ОО°К, дает
7т = 10,4 • !0~2 ккал/м • час0 К.
Подставляя значения 7у и 7Т в интерполяционную формулу
Сатерленда, можно определить постоянную Сатерленда для смеси,
которая в данном случае получается равной С=104°К [18].
Наиболее совершенной зависимостью для определения коэффи-
циента теплопроводности многокомпонентной газовой смеси в на-
стоящее время является формула Линдсея и Бромлея [49]<
X _______________________Н_____________________L
см ’ 1 + Л)2 (АД/Xj) + Л;з (Х3/Х,) + • +WX1) ~г
------------------------------------------+ ..., (4.5)
1 + Л21 (%/Х2) + Л22 (Х3/Х2) +... у Л2„
где все константы вычисляются по зависимостям, аналогичным
(4.3) и (4.4).
Формула (4. 5) была проверена ее авторами для 85 различных
композиций газовых смесей. При этом среднее расхождение рас-
четных данных с экспериментальными составило около 2%.
При использовании зависимостей (4.3) и (4.4) константы Са-
терленда для газов, не указанные в табл. 4. 6, могут быть рассчи-
таны по приближенной зависимости С=1,57'в, где Гв — нормаль-
ная температура кипения вещества в °К-
При этом, как показывает анализ, ошибки в определении вели-
чины С относительно слабо сказываются на конечном результате
расчетов: например, ошибка в определении С порядка 20% обу-
словливает погрешность определения 7СМ около 1%.
Константа Сатерленда для газовой смеси может быть выра-
жена как
С12=1^ CjCo.
Если один из компонентов смеси является сильно полярным со-
единением (например, вода, аммиак), то
С12= 0,735 ]/С1С2.
Учет влияния давления на теплопроводность газовой смеси можно
осуществить умножением ХСм, полученной по формулам (4. 5) либо
(4.2) для низкого давления, на корректирующий множитель
который находится по графикам рис. 4. 12. Входными величинами
являются Тг и Рг. Предварительно необходимо вычислить псевдо-
критические температуру и давление газовой смеси:
Тс см — с’. + Х2Тс2 + • • . ХД'Qn,
Рсеи=Х1Рс1 + Х2Рс2+...ХпРсп,
где Тс1, Тс2 и РсЪ Рс2~критические температуры и критические
давления отдельных чистых компонентов.
Затем вычисляются Тг = Та/Та см и РГ=РО1РС см.
При известном значении коэффициента динамической вязкости
для приближенного определения коэффициента теплопроводности
пользуются формулой Эйкена
л=». ко+------Ч >
г \ р 4 М
где Ро — универсальная газовая постоянная;
М — молекулярный вес смеси.
Температура газа в тепловом пограничном слое возле стенки
двигателя будет изменяться от температуры в ядре потока То
до температуры на внутренней поверхности стенки Тс в. При рас-
чете теплопередачи от газа к стенке необходимо брать среднее
интегральное значение коэффициента теплопроводности газа [18]
х=--------[ Х(Т)й1Л
То-Тс, J 1
К.в
Приняв, что изменение коэффициента теплопроводности от тем-
пературы следует зависимости Сатерленда, проф. Франк-Каменец-
кий [18] для интегрального значения коэффициента теплопровод-
ности получил следующую формулу:
Г^) +
2Хдг + С
г «г тЗ/2
* 0 с.в * о
J_(7-3/2_rV2)_c(7-l/2
3
В табл. 4. 8 приведены значения X, рассчитанные им для газовой
смеси указанного выше состава при 7о=24ОО°К и различных темпе-
ратурах на внутренней поверхности стенки Т^.в.
Таблица
7с.в° К 300 500 8С0 1000 1300
X ккал]час-град 6,35-10—2 6,69-10-2 7,16-10-2 7,44-10-2 7.83-10-2
Как следует из табл. 4. 8, в широком диапазоне изменения Гс.в
величина Л изменяется в сравнительно узких пределах, что позво-
ляет осреднить ее при расчете нагрева стенки двигателя. Так, если
в рассматриваемом случае принять Хср = 7 • 10 - ккал/м час° К, то
максимальное отклонение X от среднего значения составит около
10%. Учитывая приближенность используемых при расчете зави-
симостей, такую погрешность при осреднении X следует считать
вполне допустимой.
Пример. Определить коэффициент динамической' вязкости продуктов сгорания
твердого ракетного топлива HES 4016 при температуре горения 3200° К при
р=40 кПсм2. Состав газов, взятый из работы [12], приведен в табл. 4.9. В этой же
Таблице приведены значения вязкости чистых компонентов при той же тем-
пературе.
Таблица 4. 9
i Компоненты Моли/кг Mt Xi р,-105 кг: м-сек
1 СО2 7,7 44,011 0,203 8,40
2 СО 11,4 28,011 0,301 7,50
3 Н2 3,5 2,016 0,092 3,70
4 Н2О 9,45 18,016 0,249 8,60
5 м2 5,15 28,016 0,136 7,60
6 NO 0,7 30,018 0,0185 9,30
По данным табл. 4.9 рассчитываем отношения
-%/2G,2 • -6. P-z/P-1,2- • -6, Л4г-/Л4112 . . . 6-
Результаты расчетов сведены в табл. 4. 10.
Таблица 4.10
Xi]X2 Xi)X3 XilX, Xi!X5 XilX6 MJMi M3IM[
1 0,67 2,21 0,81 1,49 11,0 1 0,64 0,045
1,48 1 3,26 1,21 2,22 16,3 1,57 1 0,071
0,455' 0,31 1 0,37 0,68 5,0 22 14,0 1
1,23 0,83 2,7 1 1,83 13,5 2,44 1,55 0,111
0,67 0,45 1,47 0,55 1 7,35 1,57 1,0 0,071
0,091 0,062 0,2 0,74 0,14 1 1.47 0,93 0,067
Продолжение
М41М; 1 Mg/Mi Pt/Pz P2/'Pi Рз/Pi Р-4/ H Po/P. Pe/pz
0,41 0,64 0,68 1 0,89 0,44 1,02 0,90 1,11
0,64 1,0 1,07 1,12 1 0,49 1,15 1,01 1,24
9,00 1 l,n 15,0 2,27 2,03 1 2,32 2,06 2,52
1 1.55 1,67 0,97 0,87 0,43 1 0,88 1,08
0,64 1 1,07 1,11 0,99 0,49 1,13 1 1,22
0,60 0,93 1 0,90 0,80 0,40 0,93 0,82 1
По рассчитанным значениям и g.>/gi,2...6 из рис. 4.10 и 4.11 нахо-
дим соответствующие им значения Ф,. Далее определяем 2(Х,/Х11 2, . . . 6)Ф, и нахо-
Р/
Дим v~7’v ----- • Результаты расчетов приведены в табл. 4.11.
Таблица 4.11
i Ф„ $21 ®3z ф., ^4i 1’5/ фр. 6l
1 1 1,2 2,2 1,5 1,15 1,3
2 0,83 1 1,95 1,3 1,0 1,1
3 ' 0,23 0,3 1 0,37 0,3 0,3
4 0,65 0,75 2,0 1 0,77 0,9
5 0,83 1,0 1,8 1,3 1 1,05
6 0,8 0,9 1,85 1,2 0,95 1
Wn 1 0,805 4,9 1,21 1,71 14,3
*2Щ-Ф2/ 1,23 1 6,36 1,57 2,22 17,9
2Г3/Х,Фзг 0,105 0,093 1 0,135 0,204 1 ,5
A'4/*/O4Z 0,80 0,62 5,4 1 1,41 12,2
275/26/Ф5/ 0,56 0,45 2,64 0,715 1 7,70
^б/2Сг-Ф6; 0,073 0,055 0,37 0,89 0,133 1
2(2f„/Xz) 3,77 3,02 20,67 5,52 6,78 54,6
S - -10-5 S (АД/Л,-) 2,23 2,48 0,18 1,56 1,12 0,17
Суммируя эти данные, получим
Рем = (2,23 + 2,48 + 0,18 + 1,56 + 1,12 + 0,17)-10-5 = 7,74-10-5 кг'м-сек.
§ 3. МЕХАНИЗМ ГОРЕНИЯ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
Горение твердого ракетного топлива представляет собой после-
довательность физико-химических процессов, начинающихся в твер-
дой фазе и завершающихся в газовой фазе на некотором расстоя-
нии от поверхности заряда образованием равновесной смеси про-
дуктов сгорания.
К настоящему времени наиболее полно изучено горение двух-
основных топлив, являющееся предметом многочисленных теорети-
ческих и экспериментальных исследований. Ранние теории горения
бездымных порохов впоследствии получили общее название теорий
температурного скачка. Авторы этих теорий (Летан, Швейкерт,
Ямага, Кроу и Гримшоу) исходили из наличия разрыва температур
на границе раздела твердой и газовой фаз и взаимодействие фаз
сводили к бомбардировке поверхности заряда газовыми молеку-
лами, сопровождающейся активацией и распадом пороховых
молекул.
Первая фундаментальная теория, способствовавшая утвержде-
нию взгляда на горение порохов как на многостадийный процесс,
в котором решающая роль принадлежит теплопередаче, была раз-
работана советскими учеными А. Ф. Беляевым и Я. Б. Зельдовичем.
В 1939 г. А. Ф. Беляев [4] выдвинул новую теорию горения вторич-
ных взрывчатых веществ. Им было показано, что при подводе энер-
гии к поверхностному слою таких взрывчатых веществ, как нитро-
гликоль, она не обязательно должна расходоваться на активацию
молекул взрывчатого вещества, приводящую к термическому раз-
ложению. Более вероятным для них является процесс испарения.
Поэтому под воздействием подведенного извне тепла нитрогликоль
испаряется, а затем, уже в газовой фазе, сгорает. При перемещении
поверхности в глубь взрывчатого вещества температура поверх-
ности сохраняется постоянной, равной температуре кипения. Мате-
матическая сторона теории была разработана Я. Б. Зельдовичем,
который затем развил ее применительно к горению бездымных по-
рохов [19]. Поскольку основной компонент пороха—-нитроклетчатка
нелетуча, Я. Б. Зельдовичем была выдвинута гипотеза о газифика-
ции пороха. Под газификацией пороха понималось эндотермическое
превращение пороха в газообразные продукты, реагирующие затем
между собой с выделением тепла.
Последующими исследованиями в схему горения порохов, пред-
ложенную Я. Б. Зельдовичем, был внесен ряд дополнений и уточне-
ний. Так, например, было доказано, что процессы разложения
твердой фазы являются экзотермическими. В настоящее время из-
вестен ряд теорий, объясняющих механизм горения твердых топ-
лив, которые по существу являются дальнейшим развитием и усо-
вершенствованием схемы, предложенной советскими исследова-
телями.
Рассмотрим схему горения двухосновных топлив (рис. 4. 13)
[39]. По мере перемещения фонта горения в глубь заряда темпера-
тура слоев топлива, прилегающих к поверхности горения, возра-
308
стает. Распределение температуры в толще заряда под поверх-
ностью горения можно рассчитать по формуле, выведенной ранее
для аблятивных покрытий:
тех
T^Ts-T^e' — ^-T,,
(4.6)
где m = yvu — массовая скорость горения топлива.
С ростом температуры в непосредственной близости от поверх-
ности начинается плавление легкоплавких включений и термиче-
ское разложение основных компонентов. Для двухосновных топлив
R'CHO NO + CO N,+ СО+СОг
R.ONO. --- + — +НСН0 —<-
NOj +Н20 + H2+H?0
Рис. 4. 13. Схема горения двухосновного топлива
определяющими реакциями на этой стадии горения являются раз-
ложение нитроцеллюлозы и нитроглицерина.
Самопроизвольное термическое разложение нитроцеллюлозы
происходит и при низких температурах в процессе хранения твер-
дых топлив. С повышением температуры реакции разложения резко
ускоряются. На первой стадии разложения нитроцеллюлозы проис-
ходит разрыв связи RO—NO2 с последующим расщеплением от-
дельных углерод-углеродных связей. Затем при взаимодействии
первоначальных продуктов с NO2 образуются соединения более
высокой степени окисления. Разложение нитроцеллюлозы сопро-
вождается выделением тепла. Количество тепла, выделяемое при
реакциях, протекающих в твердой фазе Qs, зависит от состава
топлива. Представление о порядке этой величины дает значение Qs,
определенное для двухосновного топлива HES 4016, равное
140 ккал!кг [12].
Исследования показывают, что разложение основных компонен-
тов твердых топлив следует мономолекулярному уравнению реак-
ции, а массовая скорость образования газовой фазы, определяемая
этим процессом, выражается уравнением
m = KmSe~^ (4.7)
где KmS — некоторая химическая константа;
Es — энергия активизации;
7? — газовая постоянная;
Ts — температура поверхности.
Правомерность зависимости (4.7) для нитроцеллюлозы была
доказана С. 3. Рогинским [32], Уилфонгом, Пеннером и Даниэлем,
для перхлората калия — Отто и Фраем, для нитрата аммония —
Робертсоном.
На поверхности заряда образуется жидко-вязкий слой, в кото-
ром диспергированы мельчайшие пузырьки газа. Толщина этого
слоя согласно экспериментальным данным составляет 10—80 мк
[12].
Температура поверхности горения Ts является одной из важней-
ших характеристик процесса. Величина ее определяет скорость
образования газовой фазы, т. е. скорость горения топлива. Труд-
ности экспериментального определения температуры поверхности
обусловлены очень высоким температурным градиентом в этой
зоне горения, а также некоторой неопределенностью положения са-
мой поверхности (вспенивание, плавление, диспергирование твер-
дой фазы). Различными исследователями предпринимались по-
пытки определения этой температуры. 3. И. Аристова и О. И. Лей-
пунский [2] калориметрическим путем после прерывания горения
определяли количество тепла, аккумулированное пороховой шаш-
кой при горении. Если полагать, что распределение температуры
в заряде следует зависимости (4.6), запасенное количество тепла
можно определить из уравнения:
” ~ тех
Q = \ (Г — 7'„)yrcdx=cy1 (Т$ — Ти) J e * dx=
6 0
m
откуда
Температура, рассчитанная по этой зависимости, оказалась рав-
ной 330±45°С. В табл. 4. 12 [39] приведены расчетные значения Т8,
полученные различными исследователями для топлива HES4016.
К поверхности заряда примыкает несветящаяся или темная
зона. В ней в результате взаимодействия продуктов разложения
твердой фазы выделяется примерно половина общего количества
Таблица 4.12
Температура "К Бойс и Кор- нер Дачпэльс, Уил- фонг и Пеннер Райс и Джине лл Кроуфорд и'Парр
Ts 750 1273 700 700
Т1 — — 1400 1100
То 3050 — 3370
тепла, выделяемого при горении топлива. Здесь получают разви-
тие реакции окисления за счет восстановления двуокиси азота, про-
текающие при относительно низких температурах. В результате
Рис. 4. 14. Экспериментальные температурные профили
темной зоны для топлива — нитроцеллюлоза (13,15% N)
и 1% этилцентралита:
1—при давлении 49,2 кГ/сл2; 2—при давлении 42,2 кГ/смг\ 3—при
давлении 28,1 кГ/см2-, 4—при давлении 26,4 кГ/см2
реакций образуются большие количества окиси углерода и окиси
азота. Вследствие выделяемого при реакциях тепла температура
газа по мере удаления от поверхности заряда повышается. При
использовании термопар с высокой чувствительностью удалось за-
мерить и определить температурный профиль темной зоны (рис.
4.14) [39]. По характеру изменения температуры и протекающим
реакциям темную зону делят на два участка: на так называемую
зону газификации, прилегающую к поверхности горения, где про-
исходит резкий подъем температуры, и подготовительную зону,
в которой температура изменяется незначительно. Температура
подготовительной зоны Ti=1100—1400° К.
Общая протяженность темной зоны зависит от давления. При
низких давлениях ширина темной зоны составляет от десятых до-
лей до нескольких миллиметров. При высоких давлениях она исче-
зает. Зона газификации занимает лишь малую часть темной зоны
(~Ю-2—10-1 мм).
Состав продуктов сгорания в конце зоны газификации для топ-
лива HES4016 по данным газового анализа [12] приведен
в табл. 4.13
Таблица 4.13
Продукты сгорания Содержание моль/кг
В конце зоны газификации В конце зоны пламени
со2 3,65 7,7
СО 12,85 11,4
Н2 2,0 3,5
NO 7,82 0,7
н2о 6,4 9,45
N2 0,95 5,15
NH3 1,3 —
СН2О 2,6 —
Примечание. Элементарный состав твердого топлива (z-amoMluz):
19.09С; 25,9Н; 11,2N; 36,960.
Окись азота является относительно стабильным веществом, раз-
ложение которого на N2 и О2 при температурах 1200—1300° С про-
текает медленно [39]. Окись азота при низких температурах может
взаимодействовать с водородом и окисью углерода в такой после-
довательности:
СО + Н2О —СО24-Н2;
2NO + H2 — N2O + H2O;
2N2O^2N2 + O2.
Пары воды играют роль катализатора. Однако даже при тем-
пературе порядка 900° С реакция между NO и Н2 протекает очень
медленно. Таким образом, дальнейшее взаимодействие продуктов,
образовавшихся в результате реакций зоны газификации по израс-
ходовании NO2 прекращается, и за пределами зойы газификации
простирается область низкой химической активности. Для даль-
нейшей активизации химических процессов необходимо накопле-
312
ние большого количества активных центров. Этот процесс накопле-
ния совершается по всей толще подготовительной зоны.
В зоне светящегося пламени происходит догорание СО и Н2
за счет восстановления азота из его окислов:
2CO + 2NO=2CO2+N2;
2H2+2NO = 2H2O4-N2;
CO-h N2O=CO2+N2;
H2+N2O=H2O + N2.
Скорость реакций между СО или Н2 и NO в сильной степени
зависит от давления. При падении давления в РДТТ ниже опреде-
ленного уровня эти реакции за время пребывания газа в камере
могут не завершиться. В таком случае продукты сгорания будут
содержать окислы азота, а- тепловой эффект сгорания топлива
вследствие недогорания СО и Н2 окажется значительно ниже
расчетной калорийности.
Рассмотренная выше схема горения твердого ракетного топлива
построена на основе изучения механизма горения двухосновных
топлив. Хотя эта схема и отражает ряд закономерностей, общих
для обоих типов твердых топлив, однако применительно к смесевым
топливам она нуждается в дополнениях, отражающих специфику
этих топлив.
При нагреве поверхностных слоев смесевого топлива происхо-
дит термическое разложение неорганических окислителей и свя-
зующих веществ. Разложение перхлората аммония начинается при
температуре Ts около 200°С. При температуре ниже 300°С процесс
разложения следует реакции [39]
4NH4C1O4 — 2С12 + ЗО2+8Н2О + 2N2O,
а при температуре свыше 350° С
2NH4C1O4 — 4Н2О + <Д2 Д О2+ 2NO.
При температуре около 500° С начинает разлагаться перхлорат
калия с образованием хлористого калия и кислорода.
Горючее-связка, окружающая частицы окислителя, при нагреве
образует горючий газ, в котором находятся частицы углерода.
Чтобы смесевое топливо горело устойчиво, необходимо равенство
средних линейных скоростей выгорания частиц окислителя и го-
рючего:
^гор Мок.
Поскольку скорости выгорания обоих компонентов подчиняются
экспоненциальной зависимости Аррениуса, то
Так как для горючего и окислителя предэкспоненциальные
коэффициенты и энергии активации имеют различные значения, из
последнего равенства следует, что в общем случае температура
частиц окислителя на поверхности горения должна отличаться
от температуры горючего (постулат двух температур).
Большинство минеральных окислителей имеет температуру раз-
ложения более высокую, чем температура пиролиза горючего
связки. Вследствие этого при горении топлива кристаллы окисли-
теля, соизмеримые с толщиной реакционной зоны газификации,
выступая над выгоревшими участками горючего-связки, попадают
в более горячие слои газа над поверхностью заряда. Таков меха-
низм возникновения разности температур Tsок и TSrop. Необходи-
мая разность этих температур поддерживается свойством авторегу-
лирования процесса. Если в начальный момент времени горючее
и окислитель находятся на поверхности заряда при одинаковой
температуре, то скорость выгорания горючего будет преобладать
над скоростью разложения окислителя до тех пор, пока из-за вы-
ступания кристаллов окислителя над поверхностью горения поверх-
ностная температура для него не достигает величины Т80к, соот-
ветствующей равенству скоростей разложения обоих компонентов
топлива.
В качестве примера можно сослаться на разобранный в работе
[39] случай смесевого топлива на основе перхлората калия и двух-
основного топлива, используемого в качестве связки. Температура
поверхности кристаллов окислителя по определению Райса состав-
ляла 1100°К, что намного превышало возможную температуру по-
верхности двухосновного связующего.
Для топлива из перхлората аммония и каучука [33] вероятная’
температура разложения NH4CIO4 составляет около 1200° К, веро-
ятная температура пиролиза каучука Р-13 около 1000° К.
Процессы разложения (пиролиза) органической связки эндотер-
мичны, разложение окислителя сопровождается выделением тепла.
Поскольку окислитель является преобладающим компонентом,
в целом процессы, протекающие на поверхности горения смесевого
топлива, являются экзотермичными. Вопрос о состоянии горящей
поверхности смесевого топлива может быть решен с помощью
силуэтного фотографирования [33]. Как показывают фотоснимки,
смесевые топлива на основе перхлората калия имеют мокрую по-
верхность с пузырчатыми включениями. Это объясняется тем, что
при разложении перхлората калия образуется КС1, температура
плавления которого (1044° К) намного превышает температуру раз-
ложения КСЮ4.
Топлива на основе перхлората аммония имеют сухую поверх-
ность.
При разложении органической связки и окислителя возникают
направленные от поверхности заряда потоки горючего и окисляю-
щего газов. Таким образом, гетерогенность структуры смесевых
топлив обусловливает гетерогенность газовой фазы над поверх-
314
ностью горения в плоскостях, параллельных этой поверхности.
Химической реакции между газообразными компонентами должно
предшествовать их смешение. Газы горючего и окислителя, выте-
кающие из расплавленной поверхности, поступают в зону пламени
частично перемешанными. При сухой поверхности горения пред-
варительное перемешивание отсутствует.
Исследованиями температурного профиля в газовой фазе вблизи
поверхности горения посредством платино-родиевых термопар
и оптическим методом [33] было установлено, что нарастание тем-
пературы ограничивается узкой зоной (50—100 мкм), за пределами
которой устанавливается постоянная температура пламени (тем-
пература горения То). Толщина темной, несветящейся зоны, как и
для двухосновных топлив, изменяется в зависимости от давления.
Следует отметить, что особенности механизма горения смесевых
топлив по сравнению с двухосновными изучены недостаточно.
§ 4. СКОРОСТЬ ГОРЕНИЯ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
В настоящее время связь между параметрами рабочего про-
цесса РДТТ и химической кинетикой горения твердого топлива
при термодинамических расчетах устанавливается посредством
эмпирического закона горения. Из литературных источников из-
вестно, что в настоящее время усилия ряда исследователей направ-
лены на разработку аналитических зависимостей, связывающих
непосредственно термодинамические параметры рабочего процесса
с термохимическими характеристиками топлив. Возможно в даль-
нейшем эти исследования приведут к созданию новых более совер-
шенных методов расчета РДТТ. Однако полученные результаты
уже сейчас представляют большую познавательную ценность, так
как помогают уяснить роль отдельных факторов в горении твер-
дого топлива и их влияние на рабочие параметры двигателя.
Основными факторами, определяющими скорость газообразо-
вания, являются подвод тепла к поверхности заряда из газовой
фазы, выделение тепла за счет химических реакций в поверхност-
ном слое топлива и отвод тепла с поверхности в глубь заряда.
Уравнение энергетического баланса для поверхности заряда при
стационарном горении можно записать так:
1 /дТЛ - I дТт\ „ • ,.
=~лт — — Qs”T (4-8)
W Is \ дх Is
где Хт и лг—коэффициенты теплопроводности для топлива и газа.
Нетрудно заметить, что процесс горения твердого топлива с точ-
ки зрения теплообмена на поверхности имеет много общего с абля-
цией. Это позволяет нам воспользоваться выведенными ранее за-
висимостями. Обратим внимание на некоторое различие этих про-
цессов. Превращение твердой фазы в газообразное состояние при
абляции сопровождается поглощением тепла, при горении твер-
дого топлива это превращение происходит с выделением тепла. При
горении твердого топлива химические преобразования продол-
жаются в газовой фазе с выделением больших количеств тепла.
Как и в аблятивном покрытии, зона прогрева твердого топлива
имеет незначительную толщину. Характерные кривые распределе-
ния температуры в заряде за фронтом горения при различных ско-
ростях горения топлива представлены на рис. 4.15.
Расстояние от поверхности горения К'3 см
Рис. 4. 15.
Типичные теплофизические характеристики твердых топлив при-
ведены в табл. 4.14 [3].
Таблица 4.14
Характеристики Двухосновные топлива Смесевые топлива
Удельная теплоемкость с в ккалЫГ °C 0,35 0,30
Коэффициент теплопроводности X в ккал/сек-см °К 0,50—0,53-10-6 0,7-0.75-10-6
Коэффициент температуропровод- ности а в см2/сек 0,22-10-4 0,30-10-4
Линейный коэффициент термическо- го расширения в 1/°К 1,2-2.0-10-4 0,5-1,5-10-4
С увеличением скорости горения толщина зоны прогрева умень-
шается. Из выражения (4. 6) найдем
X =-mc^Ts— Гн).
\dx)s
Подставляя последнее выражение в
(4. 8), получим
правую часть равенства
= inch's-т\
\дх Is к
_Qs\
С т ]
Сумма Гн-}~ составляет температуру, которая установилась
С т
бы на поверхности горения за счет выделения тепла в твердой
фазе при отсутствии подвода тепла извне. Обозначим ее через T's.
Тогда
Лг
(4. 9)
При расчете величины потока, направленного к поверхности
горения из газовой фазы, необходимо исходить из того, что со-
гласно рассмотренной выше схеме между поверхностью горения и
пламенем с высокой температурой простирается широкая темная
зона со сравнительно низкой температурой. Теплом, передаваемым
из зоны пламени к поверхности горений излучением, в первом при-
ближении можно пренебречь.
Расчеты, проводившиеся в предположении, что все излучаемое
пламенем тепло поглощается поверхностью заряда, показали, что
даже при высоких температурах пламени (То=ЗООО°К) излучение
может увеличить скорость горения топлива всего на 10% [39].
Следовательно, подвод тепла к твердой фазе всецело определяется
параметрами зоны газификации шириной xt с температурой на
верхней границе зоны Д.
Рассмотрим вначале простейший случай, когда поток газа яв-
ляется одномерным и направленным нормально от горящей поверх-
ности. Передача тепла из подготовительной зоны к поверхности
горения обеспечивается теплопроводностью газа в зоне газифика-
ции. Изучение явления осложняется молекулярной диффузией и
выделением тепла в зоне газификации из-за протекающих в ней
химических реакций.
Для удобства изложения будем полагать, что в зоне газифика-
ции протекает одна химическая реакция с образованием вещества
А, безразмерная концентрация которого изменяется от ns в исход-
ной смеси газа у поверхности заряда до пх на границе с подготови-
тельной зоной. Такое представление не противоречит действитель-
ности, поскольку многообразие химических процессов зоны гази-
фикации можно всегда свести к одной определяющей реакции.
Уравнение теплопроводности газа для условий зоны газифика-
ции с учетом выделения тепла при химических реакциях приобре-
тает вид
52Г дТ Q(T, п)
а — = и--------------
дх2 дх су
(4. 10)
где Q(T, п)—количество тепла, выделяющееся при реакциях
в единице объема газовой смеси в единицу времени.
Заметим, что величина Q{T, п) является функцией температуры
и концентрации реагирующего вещества в рассматриваемом эле-
ментарном объеме. Эту величину можно представить в виде
Q(T,n)=Q1M,
где Qi — тепловой эффект образования вещества А;
М — скорость образования вещества А вследствие реакции,
являющаяся функцией температуры и концентрации.
Таким образом, последний член уравнения (4.10) характери-
зует скорость повышения температуры в рассматриваемой точке
пространства вследствие химических реакций.
Суммарный удельный весовой поток продуктов разложения
твердой фазы (см. § 9 гл. III) равен
mr= — yD — A^yun^
дх
Производная от этого выражения по координате х, взятая с об-
ратным знаком, будет равна скорости образования вещества в еди-
нице объема смеси за единицу времени. Если при дифференциро-
вании произвести замену П{=1—n.j = n, получим
дп д^п
М = уи------yD —.
дх дх2
Итак, получена система уравнений, описывающая диффузионно-
тепловое распространение горения в зоне газификации:
д^Т дТ . QiM г
а-------и-----L—— — О
дх"1 дх су
(Рп дп , М п
D-------и------------=0.
дх~ дх у
В рассматриваемой области Т
(при х = 0) до 1\ (при Х=Х1), при
ns—п\. Введя новые переменные
изменяется в пределах от Ts
этом п изменяется в пределах
0
T — Ts
7\-Ts
п — п
и а=----Л- ,
получим систему уравнении
50 , Q}M
a------и------—
дх1 дх с у
ГЛ 52a da . M
D —- — ll-----1----
dx- дх у
Tt-Ts
1
-
0;
0.
(4.И)
При рассмотрении уравнений (4.11) обнаруживается их анало-
гичность, которая обусловлена родством процессов диффузии
и теплопроводности, имеющих общую молекулярную природу.
Аналогичность уравнений становится полной, если заметить,
Qi 1
что последние члены тождественно равны, т. е.-—---s--------,
С(Л—Л;) «! — ns
поскольку с(7’1—Ts) представляет собой изменение теплосодер-
жания 1 кг смеси, а отношение его к величине (Л представляет со-
бой не что иное, как изменение относительной концентрации про-
дуктов реакции в смеси.
Следует учесть, что для газа и газовых смесей, компоненты
которых имеют одинаковое число атомов в молекуле, коэффи-
циенты молекулярной диффузии D и температуропроводности а
в соответствии с кинетической теорией газа имеют близкие значе-
ния. В первом приближении можно принять D~a.
Совпадают также граничные условия:
при х = 0 Т— Т s\ 6 = 0; n=ns-, a—0;
при х=хг Т = ТХ‘, 6 = 1; п = пх-, a=l.
Отсюда следует, что уравнения (4.11) являются тождествен-
ными дифференциальными уравнениями с тождественными гра-
ничными условиями. Следовательно, они имеют тождественные
решения, т. е. поля температур и концентраций вещества в зоне
газификации являются подобными. Это позволяет концентрации,
входящие в уравнение скорости химической реакции, выразить че-
рез температуру, вследствие чего при решении задачи представ-
ляется возможным рассматривать только уравнение теплопровод-
ности. Входящее в него значение Q(T, п) можно представить
как Q(T).
Вследствие экспоненциальной зависимости скорости химической
реакции от температуры реакция в основном протекает при темпе-
ратуре, близкой к [20]. Выделяющееся при реакции тепло ча-
стично идет на повышение температуры газа в зоне реакции, ча-
стично посредством теплопроводности передается в смежные более
холодные слои. Поскольку химическая реакция фактически лока-
лизуется в слое, температура которого до реакции была близка
к 7] (рис. 4. 16), количество тепла, расходуемое на разогрев реаги-
рующего газа до окончательной температуры реакции Т\, будет
невелико по сравнению с общим количеством выделяющегося при
реакции тепла. Это позволяет упростить исходное уравнение (4. 10),
опустив в правой части первый член, характеризующий расход
тепла на нагрев реагирующего вещества. Тогда получим
Интегрируя уравнение (4. 12)
делах, получим
Q(7)
с\
или, учитывая, что распределе-
ние температуры является ста-
ционарным:
xAL=_Q(r).
ох2
Умножив обе части равен-
ства на dT/dx, получим
X АГА(—У1= — Q(T) —.
dx [ 2 \dx ) J dx
(4. 12)
В пределах активной реак-
ционной зоны температура га-
за растет от Т\ — АТ до Ть а
температурный градиент при
этом меняется от некоторого
значения dT/dx~>Q до 0.
в указанных температурных пре-
Л—дг
A AY— f <?(П dT
2 \rfAr/ J X
Л
По мере увеличения АТ верхний предел интегрирования будет
смещаться к величине Tg. При этом величина интеграла будет ме-
няться мало, так как с понижением температуры резко падают
скорости химических реакций, а с ними и количество тепла, выде-
ляющееся на единицу объема. Поэтому температурный градиент
на нижней условной границе реакционной зоны можно определить
по формуле
(4. 13)
В качестве граничного условия используем равенство теплового
потока из зоны реакции и полного количества тепла, выделяюще-
гося в реакционной зоне в единицу времени:
(4.14)
где Qi — количество тепла, выделяющегося в результате реакций
зоны газификации на единицу веса газовой смеси.
Из уравнений (4.13) и (4.14) получим
или
л
= f XM{T)dT . (4.15)
Jrs
Такая зависимость применительно к скорости горения в газовой
смеси была получена акад. Я. Б. Зельдовичем в работах [19], [20].
Выразив величину Q как функцию температуры, концентрации
реагирующих веществ и порядка химической реакции, Я. Б. Зель-
дович получил формулы для скорости горения при некоторых про-
стейших случаях.
Для суммарно-экзотермической реакции зоны газификации,
которая рассматривается некоторыми исследователями как реак-
ция первого порядка, величину М можно выразить как
= (4.16)
где Ер —энергия активации;
К р — предэкспоиенциальный
М р — средний молекулярный
множитель;
вес продуктов зоны газификации.
Множитель J—-учитывает изменение скорости химической реак-
ции с падением концентрации реагирующего вещества как за счет
образования нового вещества, так и за счет снижения плотности
газа с ростом температуры. На скорость реакции существенно
влияет давление р, повышающее концентрацию реагирующего,
вещества в единице объема.
Обозначим
6 = — 6S = ^-, =
Будем полагать, что величина Л4р в пределах зоны газификации
постоянна, а коэффициент теплопроводности не зависит от состава
в пределах его возможного изменения и изменяется пропорцио-
нально температуре смеси
7 = 0.
Л
(4. 17)
Из подобия температурных и концентрационных полей
n~ns _ T-~TS
ni~ns T\~TS'
Отсюда, если положить «1 = 1, получим
1-«=(1-«s)~2t- (4.18)
s
Заметим, что
. (4.19)
р 1— ns :~~ns '
Подставляя выражения (4.16), (4.17), (4.18), (4.19) в формулу
(4.15), с использованием принятых обозначений получим
Введем обозначение
(1—«у)
(1 -9)е 6 db.
А = (1~\у) ~
cpR
тогда
уГАуГТ!
It1а ------- ,
о-9.)
где
1 -о —
Z = J (1-9)<? а 6 rf9. (4.20)
bs
Значения интеграла (4.20) представлены в виде графиков
/=ДОа, 0s) на рис. 4. 17.
Как следует из рис. 4. 17, величина I существенно изменяется
в зависимости от 0s только при низких значениях 9а(<2); при вы-
соких 0а величина 1 от Os почти не зависит.
Как было показано Карманом [21], чтобы получить лучшее при-
ближение при расчете скорости распространения ламинарного пла-
мени для реакции первого порядка, необходимо использовать уточ-
ненную зависимость, которая применительно к нашему случаю
записывается в виде
т1 =У А
41
При стационарном процессе горения твердого топлива скорости
процессов газообразования и образования продуктов подготови-
Рис. 4. 17.
тельной зоны должны быть равны, т. е. ms=mi
или
Es
Klse'RT^A
2/
1 —— - /2?
Л
Если известны основные термохимические характеристики, опре-
деляющие величины А и 9а, задаваясь произвольными значениями
Ts, можно рассчитать соответствующие им значения ms и т.\ и,
построив графики, из пересечения их найти истинные значения Т$
и mi = ms, соответствующие данным условиям (рис. 4.18).
Как следует из рис. 4.18, скорость горения твердого ракетного
топлива при постоянном давлении обладает свойством статической
устойчивости, т. е. сохраняется неизменной при случайных колеба-
ниях температуры поверхности заряда вокруг стационарного зна-
чения 7s ст-
При случайном отклонении температуры поверхности в сторону
увеличения (T8>TS ст) скорость газификации т8 растет быстрее,
чем тх. В результате внешняя граница зоны газификации начинает
удаляться от поверхности
заряда, толщина зоны
увеличивается, вследствие
чего тепловой поток, под-
водимый к поверхности,
падает. При этом темпе-
ратура поверхности сни-
жается до тех пор, пока
система не придет в ста-
ционарное состояние. На-
оборот, при случайном
снижении температуры
поверхности (Т8<^Т8ст)
при граница га-
зификации начинает пере-
мещаться к поверхности
заряда, что усиливает
подвод тепла к поверхно-
сти заряда и приводит к
росту Т8.
Таблица 4.15
Ун °C и см/сек Р кГ:смл kp D 1/°К СМ 7>°К $эфф ккал[м2-час °К
0,2 3,0 0,56 0,0049 68,8 756 683
+25 0,4 10,0 0,58 0,0048 22,7 808 3140
1,0 44,0 0,67 0,0044 5,0 890 19600
1,4 71,2 0,74 0,0041 2,8 924 39300
0,2 6,2 0.58 0.0055 37,2 756 —
—55 0,4 19.5 0,63 0.0053 12,8 808 —
1,0 71 ,0 0,87 0,0042 . 2,5 890 —
В работе [10] был проведен расчет параметров процесса горения
двухосновного топлива (см. табл. 4.2 HES4016) при следующих
исходных данных:
7's==700pK; Es=32 000 кал/моль; ст = сг = 0,35 кал/г°С;
71 = 1085° К;
Е$ = 21 000 кал! моль; ХТ=АТ=4- 10~4 кал/'см- сек- град-,
.-Из = 27 г!моль-, Ар —0,93- 1010 сек-1;
Кт,5 = 0,875-104 см!сек.
Результаты расчетов приведены в табл. 4.15
Рассмотрим определение ширины зоны газификации. Для этого
целесообразно вновь использовать предположение о том, что тепло-
выделение в зоне газификации из-за химических реакций локали-
зуется в сравнительно узком слое на границе с подготовительной
зоной. Тогда для остальных слоев зоны, толщина которых и опре-
деляет ее протяженность, в уравнении теплопроводности (4.10)
можно пренебречь последним членом в правой части, переписав его
в виде:
<ГТ , dT
а----=- — tik..— ,
rfjr2 dx
где kc — коэффициент, учитывающий выделение тепла в рассмат-
риваемых слоях зоны газификации, который при ориенти-
ровочных расчетах можно принять равным единице.
Тогда температурное поле зоны газификации определится вы-
ражением
7 =—С18гб гН~С2-
Здесь по аналогии с уравнением (3.31)
тер '
где /.г и ср — теплопроводность и теплоемкость газа зоны гази-
фикации.
За положительное направление отсчета принято направление
распространения горения. Найдем постоянные интегрирования.
При х=хг
Т = TS~
При х=0
7=71=-с1зг+с2,
откуда
г _ (Л-ТД 1 .
-х1/5г
1 — е г
Подставляя значения постоянных интегрирования в исходное
уравнение, получим
Л=-(Л-Л) й Xi
1 — е 11 г
(1-е sJ + r5.
Найдем производную
Приравнивая правые части уравнений (4.9) и (4.21), получим
Ti — Ts = zncT аг / .Г1/8г _ ।\
Ts-Ts к 7
или, подставляя значение 8ri
шерл,
СР Tj-Ts = е Лг __ 2
ст Ts — Ts
Ввиду того, что значения удельных теплоемкостей для твердой и
газовой фазы близки, можно принять ср/ст = 1. Прибавляя затем
к обеим частям уравнения по единице, получим
тсрХг
Tj—Ti х
—------ г .
Ts-Ts'
Отсюда толщина зоны газификации определяется как
Расчетные значения хи полученные в работе [10], приведены
в табл. 4.15.
Определим эффективное значение коэффициента теплоотдачи
от газа к поверхности горения заряда
Пт")
эфф >р *р
1 1 7 5-
(сТ \
—г из уравнения (4.9), получим
дх Js
mc7(Ts-T's)
Т1___Ts
Значения аЭфф, рассчитанные на основании данных табл. 4. 15,
приведены в крайней колонке этой таблицы. Обращают внимание
очень высокие значения этого коэффициента. Хотя разность темпе-
ратур подготовительной зоны и поверхности горения заряда срав-
нительно невелика, однако малая ширина зоны газификации обу-
словливает высокий температурный градиент, обеспечивающий
рассматриваемые значения аЭфф- С ростом давления скорость реак-
ций зоны газификации возрастает, что приводит к сокращению
величины xt и к резкому росту эффективного значения коэффи-
циента теплоотдачи. Вследствие усиления подвода тепла к поверх-
ности заряда возрастает температура поверхности Т8, определяю-
щая скорость газообразования.
Аналитическая зависимость массовой скорости горения твер-
дого топлива от давления была представлена В. Н. Вилюновым
[10] в виде
/д In m \ _0 5 1_ ' *
L Ti~Ts ES .
Расчетные значения этого коэффициента приведены в табл. 4. 15.
В зоне светящегося пламени протекают экзотермические бимо-
лекулярные реакции взаимодействия между СО, Н2 и NO. Скорость
этих реакций пропорциональна концентрациям реагирующих ве-
ществ, которые в свою очередь пропорциональны давлению. Следо-
вательно, скорости этих реакций должны быть пропорциональны
квадрату давления. Массовая скорость распространения- пламени,
определяемая на основании рассмотренных выше предпосылок,
составляет:
/По
2Д/Д е Rr°RT0
-=----!------z- Пур-
ср[Т0~Т^Е\
(4.22)
где E-f — энергия активации для реакций зоны светящегося
пламени;
— предэкспоненциальный множитель;
То — температура пламени.
При горении твердого топлива в РДТТ стадией процесса, опре-
деляющей скорость горения, является газообразование на поверх-
ности заряда. Однако в некоторых случаях при низких давлениях
лимитирующим звеном процесса горения может оказаться стадия
дожигания, в сильной степени зависящая от давления в двигателе.
В связи с этим следует упомянуть о так называемом аномаль-
ном прерывистом горении, наблюдаемом в РДТТ при падении дав-
ления в двигателе ниже некоторого предельного значения Ртщ. Сни-
жение тепловыделения из-за незавершенности реакций зоны светя-
щегося пламени приводит к падению температуры газа, что, в свою
очередь, обусловливает дальнейший спад давления. Поскольку
с уменьшением давления уменьшается и приток газа, спад давле-
ния в этом случае представляет самоускоряющийся процесс, при-
водящий к прекращению работы двигателя. Однако вследствие
некоторой автономности процессов, протекающих в твердой фазе,
термическое разложение твердого топлива будет продолжаться и
при атмосферном давлении. При накоплении газообразных продук-
тов в камере возможно их воспламенение от соприкосновения с на-
гретыми стенками двигателя. Это приведет к повторному подъему
давления. Такое чередование подъемов давления со спадами с по-
степенным затуханием получило название «чихания» двигателя.
Отсюда вытекает требование к выбору рабочего давления в двига-
теле, которое при самых неблагоприятных условиях работы не дол-
жно опускаться ниже уровня, при котором возможно появление
аномального горения.
Изложенное выше теоретическое решение не распространяется
на смесевые топлива, механизм горения которых осложняется их
гетерогенной структурой и не соответствует схеме, использованной
для двухосновных топлив. Ниже рассматривается простейшая одно-
мерная физико-химическая схема горения смесевого топлива, кото-
рая позволяет получить приближенную аналитическую зависи-
мость, учитывающую основные факторы процесса горения
(рис. 4. 19).
Сделаем ряд упрощающих решение допущений. Отказавшись от
использования постулата двух температур, будем рассматривать
среднюю эффективную температуру поверхности горючего и окис-
лителя Т8. Разумеется, условная температура поверхности будет
являться неявной функцией температур разложения горючего и
окислителя.
Уравнение теплообмена на поверхности представим в виде
Передачей тепла к поверхности излучением пламени, как пока-
зывает эксперимент [6], можно пренебречь. Действительный про-
филь температур в темной зоне заменим линейной характеристи-
кой, совпадающей с касательной к профилю в точке S. Тогда из
построения
TO~TS
W )s лт
•где хт — условная толщина темной зоны. Тогда
«==/.,. —— .
ст (7\$— тs) x-t
(4. 23)
В дальнейшем температуру Ts в первом грубом приближении бу-
дем полагать независимой от давления. Правомерность такого под-
хода при упрощенном решении для получения зависимостей преиму-
щественно качественного характера вытекает как аналогия из ре-
зультатов расчета, проведенного В. Н. Вилюновым для двухоснов-
ного топлива. Как следует из табл. 4. 15, при изменении давления
в 7 раз (от 10 до 70 кГ{см2) температура поверхности заряда изме-
няется в пределах 808—924° К, т. е. всего на 14%. При этом, как
следует из той же таблицы, величина (Ts—Г') меняется в значи-
тельно более узких пределах, чем X]. Рассмотрим два возможных
предельных случая.
При очень низком давлении скорость диффузионного перемеши-
вания газообразных продуктов разложения окислителя и горючего
будет значительно выше скорости реакции горения в газовой фазе.
В этом случае мы имеем дело с кинетическим горением.
Наоборот, при высоких давлениях, когда скорость химической
реакции велика, для топлив с сухой поверхностью горения типа
перхлоратных, скорость горения топлива будет лимитироваться
перемешиванием газообразных компонентов, т. е. будет наблю-
даться диффузионное горение.
Для первого случая условия расчета совпадают с таковыми для
зоны газификации горения двухосновных топлив. Однако в отличие
от зоны газификации горения двухосновного топлива, где проте-
кают преимущественно реакции первого порядка, здесь преобла-
дают бимолекулярные реакции. Поэтому в отличие от формулы
(4.22) массовая скорость горения в газовой фазе для смесевого
порядка,
(4. 24)
топлива определяется зависимостью для реакции второго
в которую давление войдет во второй степени
_ в
4XrKAfcp^e *Г°
т2 =--------—-----=—s---р2.
cr(T0^Ts)(T0-TsfE^
Толщину темной зоны определим из уравнения (4. 23)
V fro-Ts)
11 с Г (TS-7S) т '
Подставляя выражение (4.24) в (4.25), получим
х^(т0-75)^(т0-т5)2£-з.2сь2 1
Х|1 ' Zc^Ts-T's) (KM.pR^T^-2^” р’
либо, объединив константы в один коэффициент К':
_ rl^Tp- T'^^T^-T^/C
Х" cT(Ts-Ts)T2e-E^p '
Во втором случае (диффузионное горение) при разложении
частиц окислителя в газовой фазе у поверхности горения будут
образовываться скопления продуктов разложения. Размеры этих
скоплений определяются диаметром d-.
(4. 25)
где т — масса газа, заключенная в таком скоплении, равная массе
частицы окислителя.
Время существования такого скопления можно оценить зави-
симостью
где D — коэффициент диффузии.
Если, пренебрегая временем химической реакции, полагать, что
скорость горения определяется только временем на перемешивание
компонентов, расстояние от поверхности горения до слоя, в котором
протекает реакция, определится как
х12==тц,
где v — линейная скорость фронта пламени, или
Подставляя значение т, получим
d-m
----- .
DQr
Поскольку
^ = (т/ог)1/3,
(4. 26)
Подставляя выражение (4.26) в уравнение (4.23), получим
Так как
получим
'2^ е^^Дгз-Гз)]12’
'2“ АМ7'гЛ)рГ
(4. 27)
Используя выражение (4.27), из уравнения (4.23) можно получить
хг (t-q-7-s) Т2 р1^
cT(fs-7's)| т’-'з-
Итак, мы получили приближенное решение для обоих предельных
случаев.
В общем случае в широком диапазоне давлений и при различ-
ном состоянии поверхности горения («мокрая», допускающая пред-
варительное перемешивание компонентов, либо «сухая», исключаю-
щая его) скорость горения смесевого топлива будет определяться
как скоростью диффузионного перемешивания, так и химической
кинетикой горения.
Будем полагать, что в общем случае проявляется некоторая
аддитивность этих факторов, позволяющая толщину темной зоны
представить в виде:
X-y —“р^2X^2*
Подставляя значения хТ1 и хт2, получим
'lr(T„-T,)'I/2( M'(7r?s)1,2(?'o-J’SF2 , г<„пЯ
.e^Ts-T's)! \c^(Ts-T^T^-^Op п- ?,3J.
(4.28)
Подставляя выражение (4.28) в уравнение (4.23) и решая урав-
нение относительно линейной скорости горения топлива, получим
1 рт (rs-7’s)T/2f гхК’ (T0-Tsy^(T0-Ts)^ , г^\
и Vr [xr(7'o —^)J \ e^(Ts-Tsy^^p +
или в общем виде
1 а , b
откуда
и =—
а + Ь
где а — параметр времени реакции;
b — параметр времени диффузии.
Определение этих параметров расчетным путем затруднительно
ввиду отсутствия достоверных значений ряда входящих в них
физико-химических констант. Однако, определив из отдельных экс-
периментов для заданного топлива опытные значения а и Ь, можно
рассчитать теоретическую кривую u = f(p) и сравнить ее с экспе-
риментальной. Такое сопоставление проведено в работе [33] для сме-
севого топлива на основе перхлората аммония и каучука Р-13.
Расчетная кривая хорошо согласуется с опытными данными в ши-
роком диапазоне давлений (от 1 до 100 кГ[смг), в то время как
степенной и линейный законы горения совпадают с эксперимен-
тальной кривой лишь на отдельных участках. Таким образом, экс-
перимент подтверждает обоснованность физико-химической мо-
дели, использованной при выводе аналитической зависимости для
скорости горения смесевого топлива.
Определенные из эксперимента значения а и b для топлива
NH4CIO4 + Р-13 приведены в табл. 4. 16 [33].
Таблица 4.16
Топливо Содержа- ние окис- лителя % Средний раз- мер частиц окислителя мкм а b
„Холодная" смесь^ грубого помола 75 120 9.9 6,25
„Холодная" смесь тонкого помола 75 16 10,8 3,2
„Горячая" смесь грубого помола 80 120 4.35 4,5
„Горячая" смесь тонкого помола 80 16 6,6 2,7
Из табл. 4.16 видно, что значения коэффициентов а и Ь зависят
от состава смеси и размеров частиц. С ростом температуры горе-
ния топлива при увеличении содержания окислителя время реак-
ции уменьшается, что находит отражение в снижении коэффи-
циента а. Из сравнения коэффициента b для топлив одинакового
состава, но различного помола окислителя видно, что с уменьше-
нием размеров частиц окислителя коэффициент Ь, характеризую-
щий время диффузионного смешения, снижается.
Скорость горения большинства твердых топлив в значительной
мере зависит от начальной температуры заряда. При расчетах
обычно' используется следующее выражение этой эмпирической
зависимости;
ихт — Ицу — — , (4.29)
В — V — 1 N)
где В — физико-химическая константа, являющаяся индиви-
дуальной характеристикой данной марки топлива;
Т — температура заряда, для которой определяется единич-
ная скорость;
TN — нормальная температура;
Uin — единичная скорость горения при нормальной темпе-
ратуре.
В литературе часто встречается и другое выражение темпера-
турной зависимости
ulr = u1Ne°(r-r^, (4.30)
где D — постоянная, являющаяся характеристикой топлива.
Зависимость для перехода от формулы (4.29) к формуле (4.30)
имеет вид
B=l/D.
Для оценки температурной зависимости часто пользуются тем-
пературным коэффициентом скорости горения
/ д In и \
т=ЬН-
При определении температурного коэффициента из уравнения
(4.30) r=D. Коэффициент скорости горения имеет размерность,
обратную температуре [т]=1/[Г]. Значения D=UB для различных
топлив приведены в табл. 4.2 и 4.4.
Из зависимости (4.9)
либо, раскрывая значение Ts, получим
/а?' \
Л —
\ах /s
(т
С т I * S
\ Су
Начальную температуру заряда Тп можно представить как
Тн= (Гц—TI1N) +Г„Лг, где Гц у — начальная температура заряда,
принимаемая за нормальную. Тогда, вводя В = Т8--------—TBN,
Су
получим
Су[В-(Та- TIlN)]
При постоянном давлении Т8 и ( — j имеют фиксированные
значения. Следовательно, с изменением Тн при р = const изменение
массовой скорости горения топлива относительно нормальной тем-
пературы заряда составит
ms ________В_____
mSN В — (Тл—ТиЛг)
Итак, аналитическим путем мы пришли к зависимости, выражае-
мой эмпирической формулой (4.29).
Поскольку Т8 несколько изменяется с давлением, величина В
также должна зависеть от давления. Однако эта зависимость
весьма слабая.
Согласно табл. 4. 15 при изменении давления от 10 до 70 кГ!см?
величина D = \/B изменяется всего на 17%. Поэтому В можно рас-
сматривать как некоторую термохимическую константу топлива.
Покажем возможность определения величины В расчетным путем
на примере топлива HES4016. Для него с=0,35 ккал[кг°С,
Qs= 140 ккал/кг. Для диапазона давлений р=10—70 кГ[см2 сред-
140
нее значение Т8 из табл. 4.15 равно 874° К, 6 = 874------233 =
1 0,35
= 241.
Согласно табл. 4.2 для этого топлива £> = 0,0041, что соответ-
ствует эмпирическому значению В = !/£> = 244.
§ 5. ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ ГАЗОВОГО ПОТОКА НА СКОРОСТЬ ГОРЕНИЯ
ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ (ЭРОЗИОННОЕ ГОРЕНИЕ)
Эффект увеличения скорости горения твердого ракетного топ-
лива при обтекании поверхности заряда газовым потоком с высо-
кой скоростью известен со времени отработки первых ракетных
334
двигателей. Учет этого явления при расчете внутренней баллистики
РДТТ осуществляется посредством корреляционной функции,
представляющей собой отношение скоростей горения топлива при
обтекании газовым потоком и в спокойной среде
= — ць
«10 ’
Эту величину иногда называют эрозионным отношением, а само
явление увеличения скорости горения топлива при обтекании газо-
вым потоком — эрозионным горением. Несмотря на условность
этих терминов (увеличение скорости горения вызывается тепловым,
а не эрозионным фактором), они получили широкое распростране-
ние в литературе и в настоящее время могут считаться общепри-
нятыми.
Исследование эрозионного горения в основном проводилось на
модельных двигателях со специальными устройствами для преры-
вания горения. Обмеры шашек, погашенных на различных стадиях
горения, позволяли установить величину сгоревшего слоя и по вре-
мени гашения определить скорость горения. По обмерам шашек
определялась также соответствующая этому времени площадь сво-
бодного сечения камеры, а следовательно (при известном давлении
в камере), скорость газового потока.
Так были получены эмпирические зависимости, связывающие
величину е с газодинамическими параметрами газового потока,
либо с геометрическими параметрами камеры.
Для баллиститных порохов Я. М. Шапиро предложил зависи-
мости [34]:
для х> 100
<р(х) = 1+3,2- 103(z—100); (4.31)
для х< 100
<р(х) = 1.
Величина е была представлена им как функция текущего зна-
чения параметра Ю. А. Победоносцева
. 5т
Поскольку, при фиксированном отношении S/F* для заданного
топлива параметр % однозначно определяет скорость газового по-
тока в выходном сечении заряда, приведенные выше формулы вы-
ражают в неявном виде зависимость между относительным увели-
чением скорости горения топлива и скоростью газового потока.
В настоящее время эту зависимость представляют обычно в виде
3=1 + ^^-^) (4.32)
или в функции безразмерной скорости потока
г=1-!-/<лД-Хпр), (4.33)
где ^пр(^пр) —так называемая «пороговая» скорость потока;
АД и Ki— коэффициенты эрозии.
Некоторые исследователи предлагали формулу для корреля-
ционной функции в виде
е=1+Л,щ. (4.34)
Грином [12] была предложена зависимость
£=1 +АГ (4,35)
\ 2rv /
где Кт —коэффициенты эрозии применительно к данным зави-
симостям;
—массовая скорость потока в рассматриваемом сечении;
— массовая скорость потока при М = 1.
Используя газодинамическую функцию q, формулу Грина мож-
но переписать в следующем виде:
е=1 + Кт7(А). (4.36)
Отметим, что зависимости (4.34), (4.35) и (4.36) отрицают на-
личие порогового эффекта при эрозионном горении. Грин, отвергая
само существование пороговой скорости, считал, что пороговый
эффект при эрозионном горении является кажущимся и обуслов-
лен особенностями структуры газового потока на начальном уча-
стке заряда. На этом участке вследствие большой неравномерности
скоростей потока по сечению канала скорость в периферийных
слоях будет существенно ниже средней скорости потока, к которой
относят определяемые при опыте изменения скорости горения за-
ряда [15].
Концепция Грина, однако, опровергается опытами Уимпресса,
Герона и других исследователей, которые проводились на горящих
образцах в газовом потоке, созданном посторонним зарядом.
В этих опытах наблюдался ярко выраженный пороговый эффект,
Обусловленный ПОРОГОВОЙ СКОрОСТЬЮ Одр-
Накопленный к настоящему времени экспериментальный мате-
риал подтверждает универсальность эмпирических зависимостей
(4.32) и (4.33).
В качестве иллюстрации на рис. 4. 20 представлены результаты
экспериментов для серии баллиститных и смесевых топлив при
р = 67 кГ/см? [14].
Из рис. 4. 20 следует, что увеличение скорости горения топлива
проявляется лишь, начиная с некоторой скорости газового потока
^пр(^пр), называемой пороговой скоростью, и следует примерно
линейной зависимости от А.(п).
Более точная аппроксимирующая зависимость имеет вид
£= 1
где £>i — эмпирическая константа.
ззз
Как показывают исследования, эрозионные константы KW,K\
и пороговая скорость цПр(^пр) зависят от состава топлива, скорости
его горения в спокойной среде и давления.
С увеличением скорости горения топлива в спокойной среде чув-
ствительность топлива к эрозии снижается. Это подтверждается
и температуре за-
ряда 15° С.
Грин также показал, что
для обоих типов топлив ве-
личина Кт уменьшается с
увеличением температуры
горения топлива.
В первом приближении
Кт обратно пропорционален
(RT$)0’5. Хотя формулы
(4.37) и (4.38) неприемле-
мы для расчета констант
Рис. 4.20. Зависимость эрозионного
отношения е от безразмерной скорости
потока к
Кривая Топливо Скорость горения при 67 кПсм- мм1сек
1 Смесевое 2,4
2 Двухосновное 8,1
3 8,6
4 11,7
5 12,0
6 12,3
7 12,9
8 Смесевое 21,8
Kv= и /О, однако совершенно очевидно, что выражаемая ими обрат-
ная пропорциональность Кт от и должна сохраняться для обоих ко-
эффициентов. Это соответствует экспериментальным данным Геро-
на, представленным на рис. 4.21 [14].
Из рис. 4.21 следует, что Кх в сильной степени зависит от дав-
ления. Пунктирные линии на графике соответствуют зависимости
(4. 39)
где Кх(р) — значение константы при давлении р;
К\ (67) — значение ее при давлении 67 кГ/см2.
Расположение немногочисленных экспериментальных точек
указывает, что зависимость (4.39) соответствует действительности.
Следовательно, эрозионную константу ТС можно представить
в виде
Д п°>8
(4.40)
где — некоторая константа.
Эмпирические формулы корреляционной функции е делятся на
две группы: одни из них выражают локальное изменение скорости
Скорости горения -<0,39 см/сел
Рис. 4.21. Величина в зависимости от
скорости горения топлива и давления:
V — 18 кГ/с.«2; в — 42 кГ1см*-,
О —67 кПсм*-, △ — 140 кГ/сиР. Цифры
2—7 см. в подписи к рис. 4. 20.
горения топлива, связанное со скоростью газового потока в данном
сечении заряда, другие позволяют вычислить значение скорости
горения, осредненное по длине заряда, по скорости газового потока
в конечном сечении.
К зависимостям первой группы относится формула Грина и не-
которые выражения вида (4.32). К зависимостям второй группы
относится формула (4.31).
Рассмотрим возможность перехода от формул, выражающих
эрозионный эффект в функции скорости газового потока, к зависи-
мости его от локального значения параметра Ю. А. Победоносцева.
Скорость газа в произвольном сечении i заряда
<9 pl ^>UiS;RTq
Vt =-----= ———У ,
P'J;F св Pi^ca
где Gpi— весовой расход газа через рассматриваемое сечение;
/у— площадь свободного сечения камеры;
S,— площадь участка поверхности горения, располагающе-
_ гося выше данного сечения;
м,-— скорость горения топлива, осредненная по длине участ-
ка от начала заряда до данного сечения;
Pi, Qi—давление и плотность газа в данном сечении.
Поскольку отношение S/F<lt представляет собой локальное зна-
чение параметра х, то
Vf = —У- к. (4. 41)
Pi
Подставляя выражение (4.41) в формулу (4.32), получим
г=1 + А'С£^4(ад(.-х и ), (4.42)
Р,-
где zIip, йпр — значения параметра х для сечения, в котором Пг = пПр,
и скорости горения, осредненной на участке выше
этого сечения.
Будем в первом приближении полагать, что средняя скорость
горения топлива на участке от начала заряда до данного сечения
равна
(4.43)
где и — скорость горения топлива при данном давлении в спокой-
ной среде. Очевидно, что иПр=«.
Величину /(ое можно представить в виде
а* АХ|/ 2kg
Используя выражение (4.40), величину можно выразить
формулой / л0’8 Кг,^ (4.44) « (й/5
где 4=ЛХ1/^2. V 2kg
Подставляя выражения (4.43) и (4.44) в уравнение (4.32)',
после элементарных преобразований получим
+ (4-45)
Pi L & J
Поскольку ра'] —величина, мало изменяющаяся с изменением
давления, она может быть осреднена в достаточно широком диа-
пазоне р.
Например, даже при изменении р вдвое, осреднение может быть
произведено с ошибкой, не превышающей 7%. Кроме того, необхо-
димо учесть, что зависимость 7G~l/p0,8 является приближенной.
Это позволяет сомножитель, стоящий перед квадратной скобкой,
в некотором диапазоне давлений рассматривать как константу.
Обозначим его буквой А. Решая уравнение (4.45) относительно е,
получим
1 *4— А (х — ^пг)
s = _2Z_----HL', (4. 46)
Заметим, что если принять А = 3- 10 3, то даже в случае пре-
дельно высоких значений х=200—240, второй член знаменателя
составляет около 30% от единицы. Это позволяет формулу (4.46)
переписать в виде
После перемножения получим
— л2
S = 1 + А (х - Хпр) %- —- 7.пр (х - Хпр).
Третий член даже при высоких значениях % составляет менее
3—5% от суммы двух первых и при инженерных расчетах может
не учитываться. Итак, остается зависимость
е = 1 + А(х-хпр). (4.47)
Как рабочая зависимость для расчетов формула (4.47) обла-
дает несомненным преимуществом по сравнению с формулой
(4.32), поскольку она использует в качестве аргумента простой
геометрический^ симплекс.
Константа А отличается большим постоянством по сравнению
с коэффициентом Кю Е, зависящим от многих, существенно меняю-
щихся от опыта к опыту и даже в пределах одного опыта пара-
метров.
Рассмотрим физическую модель явления, построенную на ос-
нове современных представлений о механизме горения твердых
ракетных топлив.
Подвод тепла из газовой фазы к поверхности горения двухос-
новного топлива, определяющий интенсивность процесса газифи-
кации, осуществляется благодаря молекулярной теплопроводно-
сти слоя газа, прилегающего к поверхности горения.
Величина подводимого из газовой фазы теплового потока про-
порциональна температурному градиенту у поверхности горения,
который, в свою очередь, связан с разностью температур Т{— Т8
и толщиной зоны газификации
Скорость газового потока не оказывает влияния на скорость
горения топлива до тех пор, пока зона газификации находится за
пределами турбулентного ядра потока. При этом распределение
температуры вблизи поверхности горения заряда остается неиз-
менным, а следовательно, не меняется и тепловой поток, направ-
ленный к поверхности горения.
С ростом скорости газового потока начиная со значения
v = ипр границы турбулентного течения перемещаются в глубь
зоны газификации. Турбулентный перенос тепла и вещества ха-
рактеризуется значительно большей интенсивностью по сравне-
нию с тепломассообменом, который осуществляется в зоне гази-
фикации посредством молекулярной диффузии и молекулярной теп-
лопроводности газа. Поэтому в первом приближении можно пола-
гать, что на границе турбулентного течения завершаются все про-
цессы химического взаимодействия, характерные для зоны гази-
фикации. При этом на границе турбулентного течения устанав-
ливается температура подготовительной зоны 1\ (концепция
Ванденкеркхове [9]).
Итак, влияние скорости газового потока на скорость горения
двухосновного топлива проявляется в сокращении глубины зоны
газификации хь что приводит к увеличению температурного гра-
диента внутри этой зоны, а следовательно, и к увеличению тепло-
вого потока, подводимого к заряду.
Пороговая скорость упр соответствует скорости потока, при
которой границы турбулентного ядра, расширяясь, достигают
внешней границы зоны газификации.
При горении смесевого топлива (см. рис. 4. 19) к поверхности
заряда примыкает зона диффузионно-кинетического горения,
в которой протекают процессы смешения и химического взаимо-
действия продуктов разложения основных компонентов топли-
ва— горючего и окислителя. В этой зоне температура газа воз-
растает от величины Ts — средней эффективной температуры по-
верхности горения до температуры, устанавливающейся в равно-
весной смеси продуктов сгорания То.
Скорость процессов горения, протекающих в этой зоне, в боль-
шинстве случаев лимитируется скоростью молекулярной диффу-
зии (посредством диффузии осуществляется перемешивание реа-
гирующих компонентов, пока зона располагается в пределах ла-
минарного подслоя). При вторжении турбулентного движения
в пределы зоны диффузионно-кинетического горения изменяется
механизм переноса вещества. Перемешивание компонентов осу-
ществляется молярным переносом вещества, имеющим более вы-
сокий порядок скорости чем молекулярный перенос.
Поэтому в первом приближении можно полагать, что на гра-
нице турбулентного течения будут завершаться процессы пере-
мешивания компонентов, являющиеся «узким» местом горения,
и должна устанавливаться температура То.
Таким образом, несмотря на различие механизмов горения
баллиститного и смесевого топлив, наблюдается некоторая общ-
ность механизма воздействия газового потока на скорость горе-
ния топлива, проявляющаяся в обоих случаях в сокращении глу-
Рис. 4. 22. Аппроксимация экспоненциальной зави-
симости а=/(Г.ч):
1—линейная; 2—параболическая
бины пограничной зоны с постоянной температурой на ее внеш-
ней границе (7'J— в случае двухосновного топлива, То — в случае
смесевого), что в обоих случаях приводит к увеличению темпера-
турного градиента у поверхности заряда и теплового потока, под-
водимого из газовой фазы.
Поэтому в первом приближении можно говорить о единой физи-
ческой модели явления для обоих типов топлив.
Согласно уравнению (4. 9)
ГТ (Ts~Tsy
(4. 48)
Весовая (массовая) скорость горения топлива тй-связана с тем-
пературой поверхности Ts зависимостью (4.7).
Как показывает анализ формулы (4.7), при известных в настоя-
щее время для ряда топлив значениях Кт и Е экспоненциальная
зависимость в диапазоне рабочих значений Тя может быть аппрок-
симирована прямой. Образец такой аппроксимации для топлива
HES 4016 представлен на рис. 4.22. Уравнение аппроксимирующей
прямой имеет вид
ms=yu = Blll(Ts-Ts'), где 7>=7\+^-. (4.49)
Из выражения (4. 49)
Ts-Ts=--msIBm. (4.50)
Подставляя выражение (4.50) в формулу (4.48), получим
(4.51)
Согласно выражению (4.51) основным параметром, определяю-
щим скорость газификации твердого топлива, является производ-
/ rf7"r \ ' ,1, 4,
ная (-^-Ч , зависящая от профиля температур в зоне газификации.
С достаточной для практики точностью можно полагать
^-Ts
(4.52)
Подставляя формулу (4.52) в выражение (4.51), получим
_____(7i — Ts) 1тВт
ms—---------------
(4.53)
Разность температур 1\—Ts можно преобразовать к следую-
щему виду:
T1~-Ts^T1-Ts-^Ts-Ts^T1-Ts-(Ts-Ts'). (4.54)
Используя зависимость (4.50), имеем
t III о
1\-TS=7\-TS--Z-
(4.55)
Подставляя выражение (4.55) в уравнение (4.53), получим
квадратное уравнение относительно ms:
t,,“___ I гг т’
------- / 1 — 1 S
jqeT \
ms
Вт
Квадрат корреляционной функции выразится как
• 9
mSv
mS0
Т^Г'
•*10 ______
т Т' mS0
Ti~TS~ вт
Здесь индекс «0» относится к случаю горения топлива в спокой-
ной среде (при f<fnp), индекс «у» — к случаю обтекания поверх-
ности горения (потоком газа со скоростью ц>цПр! *io — глубина
зоны газификации при п^пПр; xlv — глубина ее при ц>пПр.
Поскольку
получим
mSv=^ms0,
-г -г' т5о
7;— 7\—— г
.? *10 Вт
*1» ,
(4. 56)
Решая уравнение (4. 56) относительно s, имеем
z___ mso *10 I -j /"/ m.S-Q-Y10 \ I *10 Л | \
223 x\v r \2BmDxlv / -Viz/ \ BmD /
где
D = l\-Ts-------
Вщ
Поскольку
зависимость (4. 57) можно также представить в виде
е _ Tso ~~ Ts Х}0 '
2(7,-750) xw^~
Tso~ Ts
|_2 (7!-7s0)
1
T'l - Tso' ’
(4. 58)
Полученную рабочую зависимость для расчета s можно исполь-
зовать только в том случае, когда известна связь между парамет-
рами газового потока вдоль заряда и толщиной ламинарного под-
слоя (зоны газификации).
Для определения необходимо рассмотреть условия, при ко-
торых происходит переход ламинарного движения в пограничном
слое в турбулентное.
Состояние теории турбулентного пограничного слоя не позво-
ляет пока на основе точного решения определить толщину ламинар-
ного подслоя при вдуве газа.
Из опытов известно, что вдув газа, с одной стороны, оказывает
на пограничный слой дестабилизирующее влияние, поскольку при-
водит к созданию менее устойчивого профиля скорости и увеличи-
вает толщину слоя. С другой стороны, отвод тепла к поверхности,
имеющей температуру более низкую, чем основной поток, создает
у поверхности отрицательную кривизну профиля скоростей, что
способствует повышению устойчивости пограничного слоя.
Учитывая противоположное действие этих факторов, большин-
ство исследователей в подобных случаях исходят из предположе-
ния, что приток газа со стороны стенки мало влияет на общий ха-
рактер течения. Это дает право полагать, что скорость газа и каса-
тельное напряжение на внешней границе ламинарного подслоя
остаются примерно такими же, как и при течении в гладкой трубе
с непроницаемыми стенками.
Как известно, для турбулентного течения в гладкой трубе тол-
щина ламинарного подслоя с приемлемой точностью определяется
из универсального закона распределения скоростей, подтвержден-
ного многочисленными экспериментальными данными. Универсаль-
ный закон выражает зависимость безразмерной скорости от фрик-
ционного расстояния.
Безразмерная скорость v представляет собой отношение скоро-
сти газа к так называемой фрикционной скорости
Заметим, что величина Vf имеет одинаковый порядок со сред-
ней квадратичной скоростью турбулентных пульсаций.
Фрикционное расстояние представляет собой безразмерный
параметр, равный
где х— абсолютное расстояние от стенки.
Такой выбор переменных позволяет получить обобщенную кри-
териальную зависимость, охватывающую все возможные режимы
движения газа в трубе, либо вдоль пластины.
Аналитический закон распределения относительной скорости v
может быть получен в предположении, что по диаметру трубы
величина касательного напряжения т остается постоянной. Условие
т=const тождественно предположению о постоянстве передавае-
мого в направлении стенки импульса от быстродвижущихся слоев
газа, расположенных в ядре потока.
Согласно схеме, предложенной Прандтлем, закон распределе-
ния скорости выражается формулами:
при О 11,6 v=x', (4.59)
при л: >11,6 г» = 5,54-5,75 Igx. (4.60)
При этом течение делится на две зоны: ламинарный подслой,
в котором пульсации отсутствуют и передача импульса и тепла осу-
ществляется исключительно молекулярным путем, и турбулентную
зону.
Закон распределения v, выражаемый зависимостями (4.59) и
(4.60), представлен на рис. 4.23. Нанесенные на этом же графике
экспериментальные точки подтверждают, с какой высокой точ-
ностью указанные зависимости передают действительное распре-
деление скоростей в потоке.
Нас универсальный закон распределения скоростей интересует
постольку, поскольку он указывает путь к аналитическому опреде-
лению границы ламинарного подслоя и пороговой скорости.
Из уравнения (4.59) следует, что прн течении турбулентного
потока вдоль пластины, либо в гладкой трубе, удаление границы
346
ламинарного подслоя от поверхности однозначно определяется
характерной величиной фрикционного расстояния
—* V
X =------,
Vr
откуда толщина ламинарного подслоя
Д . (4.61)
К;
Для того чтобы получить удобные для практического использо-
вания зависимости, воспользуемся очевидным соотношением
= (4-62)
где cf——-------коэффициент трения.
2
Эмпирическая зависимость коэффициента поверхностного тре-
ния определяется обычно в виде
cf=KfRe~~. (4.63)
В диапазоне 5000<Re<200 ООО обычно принимают К/ = 0,046;
п=5.
При более высоких значениях Re /(/ = 0,0262; п = 1.
Подставляя выражение (4.63) в формулу (4.62), получим
/т
vf —----,— v. (4.64)
Re
Подставляя равенство (4.64) в формулу (4.61), находим
x*vT Re
(4.65)
Отношение толщины ламинарного подслоя при некоторой ско-
рости потока v>fnp к толщине его при входящее в формулу
(4.57), определится как
1
xjo v /Renp\2"
%iv ^пр \ Re /
Характерное расстояние х* не вошло в это отношение, которое,
следовательно, определяется только отношением скоростей потока
и соответствующих им чисел Рейнольдса.
Перейдем к определению пороговой скорости ипр. Согласно
рассмотренной выше физической модели явления пороговая ско-
рость представляет собой скорость потока, при которой толщина
ламинарного подслоя' сокращается до толщины зоны газификации.
Если известна толщина зоны газификации при равная Хщ,
пороговая скорость найдется из соотношения (4. 65) как
1
Итак, для определения цпр необходимо знать характерную вели-
чину х *, при которой происходит переход ламинарного течения
в турбулентное.
Безразмерное расстояние
— $ ДЩл
X =------
'г
можно рассматривать как некоторое число Re, характеризующее
устойчивость границы ламинарного подслоя. Согласно схеме
Прандтля этот переход совершается при х* = 11,6.
Пример. Рассчитать зависимость e = f(v) для баллиститного топлива JPN при
условиях эксперимента, указанных в работах [9] и [36], и сравнить ее с экспери-
ментальной кривой.
Исходные данные:
Радиус канала г=1,45 см;
Давление в двигателе р=22 кПсм2.
В расчете используем физико-химические характеристики топлива HES 4016,
близкого по химическому составу и баллистическим характеристикам к топ-
ливу JPN. Для него £/Т?=8000°К; Л = 1400° К; 7>=700°К.
Согласно данным работы [9] при р=22 кГ/см2, 7^ = 840° К, Хю=0,00114 см.
Коэффициент кинематической вязкости продуктов газификации топлива
HES 4016, рассчитанный для состава продуктов, определенного по данным газо-
вого анализа и приведенного в работе [12], при давлении 22 кПсм2 составляет
7,76- 10 6 м2/сек.
Произведем проверку зависимости (4.66).
Примем х*=11,6; К/=0,0262.
При определении Renp будем полагать значение пороговой скорости задан-
ным. Согласно экспериментальным данным цпр=180 м/сек*
цпр2г 180-0,029
* Использование заранее известного точного значения цпр при вычислении
Renp не должно рассматриваться как нарушение законности проверки, поскольку
Re входит в формулу для расчетного определения цпр в степени 1/14.
следовательно,
+,р =
11,6 (6,73-105)1/14-7,76-10~6
—------------------------------= 179 м/сек.
0,0262
2
-1,14-Ю-5
Рассмотрим расчет одной
о = 360 м/сек.
из точек теоретической зависимости при
Re =
*10
360-0.029
.. . 13,46-105;
7,76-10 6
160 / 6,73\1/14 „
— ( —=—) =4,903.
Для расчета воспользуемся зависимостью (4.58).
В нее входят:
TSQ — T's~- 840 — 700 = 140° К;
Л — 7s0 = 1400 — 840 = 560° К;
140 1 Г / 140
е = -Д++Г 1.903+ I/ 0,2382 + 1,903 1 + —
2-560 Г 560,
= — 0,238+ 1,561 = 1,323.
Согласно экспериментальным данным при этой скорости е=1,35. Таким обра-
зом, для данной точки расхождение между расчетом и экспериментом составляет
около 2%.
3. Результаты расчетов, проведенных для других скоростей потока, сле-
дующие:
v м/сек 270 360 140 540 720
е 1,179 1,323 1,440 1,548 1,721
0,00199 0,00180 0,00163 0,00153 0,00134
Из рис. 4.24 видно, что максимальные расхождения между эксперименталь-
ными и расчетными данными не превышают 2—3%.
Значения эрозионного коэффициента определены по формуле (4.32)
В рассматриваемом диапазоне скоростей величина меняется в значи-
тельных пределах. Осреднение /С, е на участке у=180—500 м/сек приводит к
значению Ле« =0,00172 сек/м. Максимальная ошибка в определении е при исполь-
зовании зависимости (4.32) составляет менее 3%. В диапазоне скоростей v —
= 180—700 м/сек величина К-п еср =0,00163 сек/м. При этом ошибки расчета за
счет осреднения /+е возрастают до 9%.
К сожалению, провести подобное сопоставление результатов
расчета и эксперимента для широкого круга топлив при различных
условиях горения оказалось невозможным ввиду отсутствия необ-
ходимых для расчета физико-химических данных топлив.
В настоящее время имеются разрозненные экспериментальные
данные, которые в большинстве своем не позволяют составить не-
обходимый для расчета комплекс величин, характеризующих кине-
тику горения топлива.
Рис. 4.24. Зависимость эрозионного отношения е
от скорости газового потока для топлива JPN:
—------расчетная кривая:-----— опытная кривая;
О — экспериментальные точки
Выведенные нами формулы выражают эрозионное отношение
как функцию пяти параметров: mso, Вт, D, Хю, Xi„. Они позволяют
аналитически представить зависимость е от таких факторов как
давление, скорость горения топлива в спокойной среде, начальная
температура заряда, абсолютный размер канала.
В целях упрощения математических выкладок был рассмотрен
случай, когда начальная температура заряда Тп равна температуре
TN, т. е. когда T's=TSn, где TSN определяется пересечением аппрок-
симирующей прямой (4.49) с осью абсцисс.
В общем случае при расчет коэффициента производится
по формуле
Л (Л~ T'SN) Г1 + (TN - Тн)
= =—— , jc10 L
9 1 /, I ,
где
(TN-Tll)-^ + \
Т N ~~~ 7Н j *10 £0
OTso т msz
7 1— 1 S№V
I’m
Расчет по указанным зависимостям для начальной температуры
заряда Т„ = —40° С при v = 360 м)сек дает е= 1,379, что всего на
5% больше значения, которое было рассчитано выше для
ГК=+27°С.
Полученные результаты указывают на крайне слабую зависи-
мость эрозионного эффекта от начальной температуры заряда, что,
как известно, подтверждается многочисленными экспериментами.
Согласно полученным зависимостям абсолютные размеры ка-
нала, по которому движется газ, оказывают незначительное влия-
ние на величину пороговой скорости, поскольку характерный раз-
мер входит в расчетную формулу в степени 1/2га^1/14. Хотя в лите-
ратуре отсутствуют сведения о специальном эксперименте, постав-
ленном с целью количественной оценки влияния абсолютных раз-
меров двигателя и заряда на эрозионное отношение и величину
пороговой скорости, однако из имеющихся экспериментальных дан-
ных следует, что эрозионные константы нечувствительны к разме-
рам канала. Это обстоятельство находит объяснение в полученных
нами аналитических зависимостях.
Согласно формуле (4.58) эрозионное отношение является функ-
- Т5Q-- Тс Д-
циеи двух безразмерных комплексов: ______X и
7,-Tso х1г,
Эмпирические формулы (4.31), (4.32) и (4.33) также можно пред-
ставить в виде зависимостей е от двух безразмерных критериев:
е=14-кЛрр—1Y
£ = 1 + Опр[-^-1);
\ Лпр /
е=1 + Кх*пр(----1)-
\ %пр J
Эти формулы, равно как и исходные, являются приближенными,
поскольку в действительности зависимость е от v или х нелинейна.
Как показывает анализ расчетных данных, график значений е,
построенный в функции x10/xn-, отклоняется от линейной зависимо-
сти не более, чем при использовании формул (4.32), (4.33). Сле-
довательно, с такой же степенью точности, которая допускается при
использовании эмпирических формул, можно написать
е = 1 С
Поскольку вторым определяющим критерием является темпе-
ратурный симплекс, константа С должна представлять собой не-
которую функцию этого симплекса, т. е.
е=1+/
Ti-TsJ
Г хю __
L
1
или
= 1+/
/рр \1/2п
V I ^пр j
^пр \ Re /
(4. 67)
^50-ГИ
Т1 ~ Л$о /
Зависимость (4. 67) устанавливает соответствие между эмпири-
ческими формулами и теоретическим решением и на основе послед-
него определяет круг параметров, от которых должна зависеть
эрозионная константа KvVnp или КхХпр. Такими параметрами яв-
ляются значения температур Tt, Ts, Tso или, если перейти к выра-
жению этого комплекса через mso, получим
Ts0~T's
Тг - TS0
1
so
§ 6. ВОСПЛАМЕНЕНИЕ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
Процесс воспламенения твердых ракетных топлив занимает
в теории РДТТ особое место, поскольку в нем переплетаются во-
едино несколько различных по своей природе, а следовательно, тре-
бующих и различных методов исследования явлений:
1. Горение воспламенителя и распространение в свободном
объеме двигателя продуктов его сгорания.
2. Теплообмен между продуктами сгорания воспламенителя и
поверхностью заряда.
3. Поведение ракетного топлива и продуктов его первичного
разложения в условиях нестационарной теплопередачи при воздей-
ствии воспламенителя.
Каждое из этих явлений представляет самостоятельный объект
исследования. Горение воспламенителя рассматривается в гл. V.
Отправные зависимости, необходимые для изучения теплообмена
при воспламенении, были изложены ранее в гл. IV. Здесь будут
рассмотрены процессы, протекающие при воспламенении на поверх-
ности и в газовой фазе вблизи этой поверхности.
Известные в настоящее время теории воспламенения твердых
ракетных топлив можно разделить на три группы:
1. Теория воспламенения топлива в газовой фазе (Саммерфилд
[47], Мак-Алеви [26]), основанная на том, что наиболее медленной
стадией процесса, определяющей время воспламенения, является
химическая реакция, протекающая в газовой фазе вблизи поверх-
ности топлива.
2. Тепловая теория воспламенения, сторонники которой считают,
что воспламенение происходит на определенной стадии нагрева по-
верхностного слоя топлива (Фрейзер и Хикс [13], Бир и Райан [22]).
3. Теория воспламенения с помощью гетерогенных реакций,
базирующаяся на предположении, что время воспламенения опре-
деляется спонтанными гетерогенными реакциями между газообраз-
ными продуктами разложения окислителя и твердым горючим-
связкой (Андерсон, Браун и Шеннон).
В настоящее время ни одна из этих теорий не может считаться
достаточно строгой и законченной. Однако на основании известных
из литературы экспериментальных данных автор отдает предпоч-
тение тепловой теории воспламенения, поэтому материал настоя-
щего параграфа излагается в соответствии с основными положе-
ниями этой теории.
Рассмотрим процесс воспламенения двухосновного топлива.
Основным результатом воздействия продуктов сгорания воспла-
менителя на поверхность заряда является подвод тепла, обеспечи-
вающий прогрев его верхних слоев.
На протяжении некоторого периода это воздействие сопровож-
дается неуклонным ростом температуры и количества тепла, накоп-
ленного в заряде. Одновременно с ростом температуры поверхности
Ts увеличивается скорость газификации твердой фазы ms, и, кото-
рая связана с величиной Ts экспоненциальной зависимостью (4.7).
Процессы газификации ракетного топлива, с одной стороны,
сопровождаются выделением тепла при экзотермических .реакциях
разложения твердой фазы, с другой стороны, с продуктами газифи-
кации уносится тепло, накопленное в заряде при прогреве. Примем
за момент вспышки состояние, при котором прекращается рост
тепла, накопленного в заряде, и устанавливается равновесие между
теплом, подводимым извне и уносимым продуктами газификации.
Будем полагать, что реакции, протекающие в твердой фазе с выде-
лением тепла Qs на 1 кг топлива, сосредоточены в поверхностном
слое, толщиной которого по сравнению с толщиной прогретого слоя
можно пренебречь, т. е. полагаем ее протекающей на поверхности
горения. Правомерность такого допущения определяется тем, что
вследствие экспоненциальной зависимости скорости химических
реакций-в твердой фазе от температуры, они в основном протекают
при температуре, близкой к температуре поверхности.
При такой постановке решение задачи может быть получено
посредством интегрирования обычного уравнения теплопроводно-
сти, которое в неподвижной системе координат имеет вид
&Т дТ
а----= —,
dt
где а = —-----коэффициент температуропроводности твердого топ-
ctYt лива;
ут, ст, — удельный вес, удельная теплоемкость и удельная
теплопроводность твердого топлива.
Будем полагать, что скорость разложения твердой фазы под-
чиняется закону Аррениуса, сообразно с чем скорость перемещения
поверхности заряда выразится как
н = = (4.68)
Ут Ут
Будем полагать, что уравнение (4. 68) выполняется при любых тем-
пературах поверхности.
Для упрощения системы уравнений целесообразно процесс теп-
лопроводности рассматривать в подвижной системе координат,
начало отсчета которой связано с поверхностью заряда. Связь
между обеими координатами выразится формулой
t
x—l — udt.
о
В подвижной системе координат уравнение теплопроводности
д2Т дТ дТ
=-----и —.
дх2--------dt-дх
Подставляя в это выражение уравнение (4.68), получим
Е
~2RTS &Т_
дх2 dt у дх
(4. 69)
В качестве начального условия принимается постоянство тем-
пературы по толщине заряда Г (0, х) — Тп = const.
Граничное условие для поверхности заряда запишем в виде
7 + m5Q5=-J?q , (4.70)
где msQs — количество тепла, выделяемое на поверхности горения
вследствие экзотермических реакций разложения
твердой фазы.
Рассматривая заряд как полубесконечное твердое тело, в каче-
стве второго граничного условия получим T(t, со)=Тп.
Величина теплового потока, подводимого к поверхности заряда
извне, может задаваться либо в виде некоторой функции <?(£), либо
в ньютонианской форме <7 = ат(Г0—Ts).
В связи с этим получим две формы записи граничного усло-
вия (4. 70)
q(f) + KmQse 2RTS==-'-^~] ; (4- 71)
\дх Js
__ Е
ат(/)(То-Ts) + KmQse = -X.
\0Х Js
Уравнение теплового баланса прогретого слоя топлива можно
представить в виде
Моменту вспышки топлива отвечают условия:
mscr (7Д-ТН).
dH
at
(4.72)
Интегр! условия (4 Для то: форме, пер — безр грование системы уравнений проводится до выполнения . 72), достижение которого и определяет время вспышки, го чтобы привести систему уравнений к безразмерной >ейдем к безразмерным переменным: азмерная температура т 0=.-4-; (4.73) E/2R ' 7
— безр 'азмерное расстояние / _ x‘2RKmQs . м 74л ХЕ ' ' 7
— безр шзмерное время т = t -3- f2/?/<mQs У . (4. 75) сту \ КЕ /
Опреде ставив их лив Т, х и t из выражений (4.73), (4.74) и (4.75) и под- е (4. 69), получим Э2В __ cP Ест es до. /4 7С-А д/2 рт 2RQS дГ 7
Обозначая & Ест 2RQS ’
имеем 1 д20 30 г-. О5 дО — е — . д/2 дт д/
Граним ное условие (4.71) принимает вид _ 1 (4.77) \ д/ /5
Раздел им обе части равенства на KmQs ^-+е ®5 = -рЦ . (4.78) KmQs \dl/s 7
Для 9 = const граничное условие можно переписать
1
(4. 79)
где All — безразмерный параметр, характеризующий соотношение
количества тепла, подводимого к заряду извне и выделяющегося
на его поверхности: Mi = q/KmQs-
Система уравнений (4.76) — (4.79) принимает вид
д26
дР
д‘> г
------Бе
дх
65 ; м! + е в5 = -р^ ;
д1 ' ( dl Js
0(Т, оо) = 0н; ^-(т, оо) = 0; 0(O,Z) = 0H.
Предельное условие (4.72), определяющее момент вспышки,
будет
/ __у_\ ___1
/ОЗДлД + е М= Ктс,е~ JL (0S^0H)
ИЛИ
____________________________1
М^е [5(05_0н)-1]. (4.80)
Решением уравнения (4.80) определяется безразмерная темпе-
ратура поверхности заряда 9 s, соответствующая моменту вспышки.
При значении А1ь рассчитанном для заданного теплового потока,
находим 9«-—безразмерную температуру начала стационарного
горения, которой соответствует абсолютное значение Ts-
Такт образом, безразмерное время вспышки твсп определяется
при решении системы уравнений (4.76) — (4.79) как функция двух
безразмерных критериев.
Чсп = /(^1, Б).
Время вспышки определится как
Дсп
\Е
2RKmQs
Б).
Если тепловой поток задается в ньютонианской форме, гранич-
ное условие (4. 70) в безразмерных переменных принимает вид
1
Е ат (<)
2R KmQs
W* 6s
ae_\
dl Js
Для случая ат = const граничное условие будет
-%(®о — 5------("77 ) ’
\ dl Is
где 1--безразмерный параметр, аналогичный пара-
2WmQs метру
Система дифференциальных уравнений при этом станет
д26 Э0 65 <90 Л г /о а > , 6S
=-----Бе й ; 2V (6 —0 )-Le * = -
<5/2 dr dl lv 0 s/ '
0(т, co) = 6H; оо) = 0; 0(0, Z)=6H.
Предельное условие (4. 72) примет вид
дг е« £(в$-ен)-1
1 0s-0H
В этом случае безразмерное время тВСп является функцией крите-
риев Ni и Б и время вспышки определится как
/,,сп = ^7 'Е У f(Nu Б).
всп X \2liKmQs I
Рассмотрим приближенное решение задачи.
Как показывает анализ формулы (4.7), при известных в настоя-
щее время для ряда топлив значениях Kms и Е экспоненциальная
зависимость в диапазоне возможных значений Ts при воспламене-
нии может быть аппроксимирована параболой (см. рис. 4.22)
= (4.81)
где
7'л=Гн 4 —.
ст
В соответствии с этой зависимостью процесс теплообмена на
данном участке заряда можно условно разбить на две стадии:
1. Прогрев поверхностного слоя заряда до достижения на по-
верхности температуры T's. При этом процессами газификации твер-
дого топлива можно пренебречь.
2. Нагрев с изменением температуры поверхности от T's до Ts
с одновременным протеканием процессов газификации твердого
топлива, учет которых обязателен.
На первой стадии распределение температуры в заряде нахо-
дится из решения классической задачи теплопроводности для полу-
ограниченного тела при граничных условиях второго или третьего
рода. Рассмотрим вначале решение задачи для граничного условия
второго рода при <? = const. При этом распределение температуры
в заряде выразится формулой
Т = Тн + ^-У^ierfc (4.82)
X \2у at J
где ierfc — интеграл функции ошибок Гаусса при аргументе •
При х = 0 (поверхность заряда) ierfc(0) =0,5642. Из уравнения
(4.82) при х = 0; T = T'S продолжительность первой стадии опреде-
лится как
t _ (T's-T^
1 4-0,5642292a
ИЛИ
t
1 ' 1,277^2
Чтобы получить простое решение для второй стадии нагрева
заряда, выразим профиль температур в заряде, непрерывно изме-
няющийся во воемени, некоторой аппроксимирующей зависимостью.
В конце второй стадии в заряде устанавливается распределение
температур, соответствующее стационарному процессу горения
топлива (4.6). Поэтому целесообразно в качестве аппроксимирую-
щей кривой принять экспоненту
0 = Г-Гн=(Г5-Гн)е-^,
(4. 83)
где h — коэффициент согласования, определяемый для каждого
момента времени из граничных условий.
При х = 0; 0 = 9s
__ g + Qs\“
дх I 5 Хт
Поскольку из уравнения (4.83)
----=G<ih,
дх |5
получим
й=_4.+ (4.84)
Ms
Для стационарного процесса горения q = уист(Тs —Ts) и, сле-
довательно,
h = уиСт rs) + QsVu = уист (4_
4(7’s—Гн) Ат
или h = u]a — что и соответствуют зависимости (4.6).
Количество тепла, аккумулированного в заряде, составит
H = ^cy(T-TB)dx = cy(,Ts-TB) j e~^dx=c-^(Ts-TB). (4.86)
о о
Подставляя выражение (4.81) и (4.84)
получим
в уравнение
(4.86),
Cy\r(Ts— Тку
“ q + Qs В (7'.s- --7'.s)2 ’
Уравнение теплового баланса прогретого
представить в виде
Q + Q5ya=WT (Т s-TJ-t-
слоя топлива
ciH
dt
(4. 87)
можно
или, используя формулу (4.81):
q-CrB(Ts-Tsr=.~.
at
Для стационарного процесса горения
оо их
Н=^(Т8-ТВ^ e~Tdx = ~(Ts-~TB).
о
(4. 88)
(4. 89)
Зависимость (4.89) может быть получена из уравнения (4.86) под-
становкой в последнее значения h, соответствующего стационар-
ному процессу (4.85). Продифференцировав уравнение (4.87),
получим
^-=2сукт(У5-Тн)Х
at
| q + QSB (Т s- 7's)2| - QSB (Ts - Гн) (Ts- Ts) dTs
X [<? + QSB (Г^Ts)2p X dt •
Подставляя уравнение (4.90) в формулу (4.88), после элемен-
тарных преобразований находим
1 QgB
— 2сУ^т (Ts — Т„)_________ст ______®___________
[q-cTB(Ts-Tsf\[q + QsB(Ts-Ts)^
Введем новую переменную Q=TS—Ts и примем обозначения:
0$-~а- QsB = b. ств _ ь .
ст ' q а '
2cYZ’
?2
Тогда уравнение (4.91) примет вид
,,__ . (0+«)(1-—«60) Д0
d t — /1------------------.
(1_± 03)( J + 6fl-2)2
В результате интегрирования выражения (4.92) получим
, , Л 7* (6+ «)(1-«6б)г/0
Г2 ~~~~ * 1 — I
I fl — — iPkl+il2)2
v \ а
О '
где 9* из условия стационарного горения равно
Значения интеграла, вошедшего в формулу (4.93), приведены
на графиках рис. 4.25.
Рис. 4.25.
Рассмотрим решение задачи при граничном условии третьего
рода для случая а = const.
Распределение температуры в заряде для первой стадии на-
грева определяем решением классической задачи теплопроводности
для полуограниченного тела
[а / а \2, -1
г Т /г а г___\
erfc—£=-ех х рат
Ч/at \2/ат Л /]
При Л' = 0
Г—
= —Т'нф — г? х Л erfc ~ ]/атj.
Из этого уравнения можно определить время, потребное для
достижения температуры на поверхности заряда T's.
Для второй стадии нагрева заряда используется аппроксими-
рующая зависимость (4.83). Поскольку
= а (Гр-ГД
дх Is /, ’
коэффициент согласования равен
й==_а(0о—ед_ 0 т т
k^S ООН
К конечной зависимости для данного случая мо^но прийти
очень просто, если в уравнение (4.91) подставить значение тепло-
вого потока д = а(Г0—Г8)=а(6р—0s), где 0о = Го—T’s.
Для преобразования уравнения (4.91) к конечному виду
используем также обозначения:
а = 2*; Ь=Я^-, с=~-, А=^^-,
ст абр 60 а2%
тогда получим
dt = А--------------------------------------dl
(1 — С0— — 02^ (1 — С0 + />В2)2
( а )
В результате, интегрирования получим
8р (е+а)[1 — (с +а&)0] -
= Д 1 д------2—ГТ )------2—Г" <
I 1 — ей —— В2) (1 — С0 + М2)2
J \ а /
о ' '
где 6* из условия стационарного горения равно
Рассмотрим механизм воспламенения смесевых топлив. Сущест-
венное различие теплофизических и физико-химических свойств
основных компонентов смесевого топлива обусловливает различие
их поведения при нагреве продуктами сгорания воспламенителя.
В табл. 4. 17 приведены основные характеристики горючего Р-13
и перхлората аммония.
Таблица 4.17
Компоненты Y кг/м3 С ккал X ккал а м2 сек 05 ккал кт мсек £/27? СК
кг ° С м-сек °C кг
Перхлорат ам- мония 1970 0,30 11-10-5 1,86-10-7 400 46 10000
Нитрат аммо- ния 2260 0,26 16-10-5 2,72-10-7 193 120 3550
Г орючее-связка Р-13 1210 0,40 4-10-5 0,825-10-7 —100 0,18 5400
Температуропроводность у горючего-связки в несколько раз
ниже, чем у окислителя, поэтому при одинаковых условиях подвода
тепла при нестационарном нагреве температура на поверхности
горючего нарастает быстрее, чем на поверхности окислителя.
При этом разность температур на поверхности кристаллов окис-
лителя и участков горючего может составлять несколько сот граду-
сов. Расчет температурных полей, проведенный для одномерной
модели нагрева, свидетельствует, что при qs~ 1000 ккал!м2сек. пере-
пад температур по диаметру частиц окислителя ~ 100 мк достигает
700—800° К. Термическое разложение компонентов смесевого топ-
лива, следующее экспоненциальной зависимости от температуры
нагрева, становится ощутимым при температурах поверхности
~500—600° К. На рис. 3.21 представлены графики зависимости
линейной скорости разложения перхлората аммония и связки Р-13
от температуры. Как следует из графика, при температуре поверх-
ности ниже 750—800° К горючее разлагается быстрее окислителя.
При дальнейшем росте температур скорость разложения перхло-
рата аммония в несколько раз превосходит скорость разложения
связки. Выделим основные стадии процесса нагрева заряда:
1. Инертный прогрев поверхностных слоев горючего и окис-
лителя.
2. Прогрев с разложением горючего.
3. Прогрев с одновременным разложением горючего и окисли-
теля, скорость разложения горючего выше скорости разложения
окислителя.
4. Совместное разложение горючего и окислителя при более вы-
сокой скорости разложения окислителя.
На рис. 4.26 приведены графики линейной скорости термиче-
ского разложения связки и окислителя, построенные в функции от
времени. Как следует из графиков, первая стадия оказывается
очень короткой ввиду быстрого подъема температуры на поверхно-
сти связки и начала ее разложения. Наиболее длительной является
вторая стадия. Ввиду того, что температура поверхности перхло-
рата аммония растет очень медленно, а начало эффективного раз-
т°к
woo
.400
800
700
600
500
400
зоо
200
100
О
Рис. 4. 26. Изменение во времени темпе-
ратуры и скорости термического разло-
жения перхлората аммония и связки
Р-13 при <7=const= 1000 ккал!м2 сек:
ложения соответствует высо-
кой температуре поверхно-
сти, между началом разло-
жения связки и окислителя
существует большой разрыв
во времени. В течение этого
периода с поверхности за-
ряда в поток омывающих ее
газов поступают только горю-
чие компоненты — продукты
пиролиза связки. При нали-
чии в газовой среде кисло-
рода горючие компоненты,
нагретые до высокой темпе-
ратуры, могут взаимодейст-
вовать с ним с выделением
значительных количеств теп-
ла в непосредственной бли-
зости от поверхности заряда.
Это должно усилить нагрев
и приблизить момент вос-
пламенения заряда. Таким
образом, становится понят-
ной отмечаемая многими ис-
следователями зависимость -------температура;---скорость разло-
времени задержки воспла- жения
менения смесевых топлив от
концентрации кислорода в газе. Отмечается также, что эпоксид-
ные горючие, которые отличаются от других связок высоким содер-
жанием кислорода в молекуле, менее подвержены изменению кон-
центрации кислорода в воспламеняющем газе. Так, при экспери-
менте задержка воспламенения для топлива на основе Р-13 изме-
нялась пропорционально весовой доле кислорода в степени 1,5,
а для топлива на эпоксидной связке — в степени 1,2.
Было также экспериментально установлено, что старые заряды
из смесевого топлива воспламеняются хуже, чем новые. Это объяс-
няется тем, что в процессе старения смесевого топлива происходит
обогащение поверхностного слоя горючим, ввиду чего для образо-
вания способной к воспламенению газовой смеси требуется нагрев
зерен окислителя, а следовательно, и всей поверхности топлива
до более высокой температуры.
Соотношение расходов продуктов разложения окислителя и го-
рючего определяется их линейной скоростью разложения и отно-
шением площадей участков поверхности, занятых компонентами.
Последнее, очевидно, определяется как . для Ти-
$гор Qrop Yok
личных композиций это отношение равно 1,5—2,0. Следовательно,
соотношение продуктов разложения компонентов, поступающих
в газовую фазу, определится как
^ОК Yok^OK’Sqk ^okQok
^гор Тгоригор$гор ^ropQrop
или при обычном соотношении окислителя и горючего
__________2 ________4
^гор______^гор
Как следует из рис. 4.26, процессы ускоренного разложения
перхлората аммония и образования в непосредственной близости
от заряда газовой смеси с высоким содержанием окисляющего ком-
понента протекают очень быстро, начиная с некоторой температуры
нагрева поверхности окислителя, примерно равной 750° К, которая
яри данных условиях нагрева, по-видимому, может быть принята
в первом грубом приближении за температуру воспламенения
заряда.
§ 7. ВИБРАЦИОННОЕ ГОРЕНИЕ
При горении зарядов в РДТТ иногда наблюдаются скачки дав-
ления, необъяснимые с позиций теории стационарного горения твер-
Рис. 4.27. Кривая давления в РДТТ при вибра-
ционном горении
дого топлива (рис. 4.27). Высота скачков может значительно пре-
вышать расчетное давление, что представляет опасность для проч-
ности двигателя. Явление неустойчивого вибрационного горения
впервые было обнаружено при опытах с шашками трубчатой
формы. Для выяснения причин этого явления были проведены
опыты с прерыванием горения после нерасчетного скачка давления.
При осмотре шашек на поверхности канала была обнаружена вол-
нистость, рябь, в то время как наружная поверхность этих шашек
оставалась гладкой. Было установлено, что такая форма горения
наблюдается также и у зарядов других типов, но наиболее предрас-
положены к ней шашки с цилиндрическими каналами.
Используя малоинерционные приборы, способные регистриро-
вать колебания давления частотой до 25000 гц, Смит и Спренгер
[46] установили, что скачкам давления в двигателе сопутствуют
высокочастотные колебания дав-
ления большой амплитуды. Ча-
стоты колебаний, измеренные при
сжигании трубчатой шашки дли-
ной 50 см, бронированной по
внешней поверхности и горящей
только с канала, представлены
на рис. 4.28. По мере разгара
канала частота колебаний умень-
шается. Было установлено, что
при высокочастотных колебаниях
скорость горения возрастает
в полтора раза по сравнению
с тем значением, которое рассчи-
тано на основании наблюдаемого
среднего давления в двигателе.
Хотя экспериментальными исследованиями была установлена связь
скачков давления с высокочастотными колебаниями тангенциаль-
ного типа, это еще не объясняло механизм такого горения, получив-
шего наименование вибрационного или резонансного горения.
В последнее время было сделано несколько попыток объяснить
это явление. Хотя вибрационное горение по-прежнему остается наи-
менее изученным вопросом теории РДТТ, сейчас, несмотря на отсут-
ствие единства взглядов, все же можно говорить о схеме этого
явления. Построение схемы явления, согласующейся в целом с экс-
периментальными данными, является важным фактором, опреде-
ляющим пути дальнейших исследований и позволяющим наметить
меры борьбы с этим явлением при создании новых образцов ракет-
ной техники. При изложении этого вопроса мы будем следовать
схеме, предложенной Грином [16].
Для рассмотрения механизма вибрационного горения целесо-
образно использовать упрощенную модель горения твердого топ-
лива. В упрощенной модели вводится понятие пограничной пленки,
в которой теплообмен между турбулентным потоком с температу-
рой Г] и поверхностью горения с температурой Ts подчиняется
обычному уравнению стационарной теплопроводности
?=a(7\-7\)=-^-(n-r5),
°эфф
где 8Эфф —эффективная толщина пленки;
X—средняя величина полной теплопроводности газа в
пленке.
Выше отмечалось, что поток газа, исходящий от поверхности
(инжекция газа), приводит к снижению эффективного значения
коэффициента а. В принятой модели горения инжекция газа дол-
жна проявиться в увеличении эффективной толщины пленки 6эфф-
Эффективный коэффициент теплоотдачи определим как a=F/u,
где комплекс F характеризует зависимость коэффициента а, от па-
раметров газового потока. Этот комплекс назовем «фактором коэф-
фициента пленки». Нестационарные изменения температуры и ско-
рости горения представим в виде суммы стационарных величин
и возмущений:
г=т0(х)+дг (м 0;
Fs^Fsq^LFs^-
w = w0 (Tso) 4~ Дм (Д7\)-
(4. 94)
(4. 95)
(4. 96)
Представим фактор коэффициента пленки в следующем виде:
F^Fo + aF (/).
(4. 97)
Можно допустить, что колебания параметров газового потока
(ц; v; р) приведут к периодическому изменению факторов коэффи-
циента пленки F. Это, в свою очередь, повлечет за собой периоди-
ческое изменение температуры твердого топлива как на поверх-
ности, так и в глубине заряда:
AF = F1ei№<;
AF = /(х) eiwt-,
kFs = f(Q)eiwt.
(4. 98)
Между изменением температуры и обусловленным им измене-
нием скорости горения топлива существует некоторый разрыв
во времени—так называемое время задержки т. Для объяснения
физической сущности этого разрыва необходимо помнить, что само
понятие поверхности раздела двух фаз, на которой происходит
мгновенное преобразование вещества из твердого состояния в газо-
образное, является условным. В действительности поверхность го-
рения не является поверхностью в геометрическом смысле, а пред-
ставляет собой переходную зону, хотя и малой, но конечной
толщины, в которой вещество находится в некотором промежуточ-
ном состоянии. То, что мы ' называем температурой поверхности,
является лишь средней температурой этой зоны.
Таким образом, время задержки представит собой промежуток
времени, необходимый для завершения преобразования вещества
из твердого состояния при температуре Ts—9 в газообразное при
температуре Г8+0. Для смесевых топлив условность понятия тем-
пературы поверхности усугубляется значительным различием тем-
ператур разложения горючего и окислителя. При горении смесевых
топлив во время задержки включается подготовительное время, по-
требное для смешения продуктов разложения горючего и окисли-
теля в некотором околоповерхностном слое.
С учетом сказанного, изменение скорости горения, вызванное
изменением температуры поверхности, можно представить следую-
щим образом:
Д«=— - Д7Д (/ —т).
dTs
Подставляя значение dujdTs, полученное дифференцированием
выражения (4.7), а также (4.98), получим
Д« = «о &TS (t - т) = м0 —~ f (0) .
Рассмотрим качественную картину взаимосвязи между колеба-
ниями в газовой фазе и горением заряда. Пусть вследствие перио-
дического изменения параметров газового потока в некоторый мо-
мент времени произойдет увеличение эффективной толщины пленки,
что приведет к уменьшению теплового потока, направленного к за-
ряду, и снижению температуры на его поверхности. Следствием
этого явится снижение скорости горения. В свою очередь, с умень-
шением скорости горения (инжекция газа) сократится эффективная
толщина пленки, что должно привести к росту теплового потока.
При одновременном проявлении этих двух воздействий произошло
бы их взаимное ослабление. Однако обратное воздействие измене-
ния скорости горения на процесс теплообмена происходит со сдви-
гом по фазе. Именно наличие такого сдвига и обусловливает воз-
можность усиления колебаний. Если снижение толщины пленки
от собственных колебаний газового потока сложится со снижением,
обусловленным ослаблением инжекции газа, это приведет к резкому
увеличению теплового потока к поверхности заряда. В противном
случае произойдет резкое падение теплового потока.
Для нестационарных условий уравнение теплопроводности
в твердой фазе приобретает вид
дТ д2Г , дТ
— = а------- и — .
dt дх2 дх
(4. 99)
Подставляя в уравнение (4.99) зависимости (4.94) и (4.95),
получим
д /'г । л । д2&Т \ । / ; . х д .
— (Г04~дГ)—-ат —М—ГТ )~Нио + Д«) — (7 г-г47 ).
оГ < дх1 дх2 / дх
Для решения задачи нестационарного горения, ограничиваясь
членами возмущения первого порядка, получим
д&Т =ат dt 1 Э2ДГ дх2 дЛГ 1" л " дх (4. 100>
Найдем производные
дх ат
Подставляя их в уравнение (4.100), после деления обеих ча-
стей уравнения на a^eiwt, получим
UqX
f" (х) + f (х) - f (х) = Af (0) Г V, (4. 101)
Йу <2j>
где
А = (—2Е— e-i«n
\ат/ 2АТ|о
Граничное условие для упрощенной модели горения твердого
топлива запишется в виде
и дх |s
Подставляя сюда (4.94) — (4.97) и преобразуя для решения
задачи нестационарного горения, получим
2Yt_QsA« д?^ (4 102)
Х*р XrpT^Q X^T^q
Преобразуя уравнение (4.102), получим граничное условие
на поверхности горения
f (0)-C/(0) + D = 0,
где
£ — | ^УтО 1 g—i^t j -^о .
2/?Г^0[ av Хт J '
7)--=-^ (Л-Г50).
Лт«0
Дополнительное требование состоит в том, что амплитуда перио-
дического температурного колебания f(x) должна стремиться
к нулю при х—>оо вследствие рассеяния температурных колебаний
в толще вещества с низкой теплопроводностью: f(oo)=0.
Частным решением уравнения (4.101), удовлетворяющим
этому требованию, явится
_ цд-г
т|(Л) = /Дь А/(0)е V
СО
Произведем замену /=const 4-ж.
При этом характеристическое уравнение дифференциального
уравнения (4. 101) будет иметь вид
+ —/ —= 0.
Корнями характеристического уравнения будут
z=— — 1Чд1/ 14-1—4- .
2ат [_ |/ “о
Анализ полученного выражения был проведен Грином приме-
нительно к двум предельным случаям:
а) низкочастотный режим колебаний, когда м мало и мнимой
частью радикала можно пренебречь;
б) высокочастотный режим колебаний, когда единица мала по
сравнению с мнимой частью.
Анализ показал, что низкочастотньтй режим колебаний не может
привести к большим температурным возмущениям; максимальные
отклонения температуры поверхности составляют всего 2% от ста-
ционарной величины.
Для высоких частот колебаний фактора коэффициента пленки
(и> 104 как показывает анализ, амплитуда температурного
\ сек)
возмущения для поверхности может составлять более 105° К.
Почему же периодические отклонения температуры в двух про-
тивоположных направлениях приводят к одностороннему измене-
нию средней скорости горения топлива? Объяснение следует искать
в зависимости скорости разложения твердой фазы от температуры
поверхности, выраженной функцией Аррениуса (4.7). Кривая
ц=7(Те) имеет S-образную форму (рис. 4.29) с нулевым наклоном
в точках Ts = 0 и Ге=°° и с точкой перегиба при TS = E/4R. При
rs<£/47? кривая направлена выпуклостью вниз, при T8>Ef^R кри-
вая обращена выпуклостью вверх. Характер воздействия колебаний
на среднюю скорость горения топлива зависит от положения на
кривой Аррениуса точки стационарного процесса. Если точка ста-
ционарного процесса располагается влево от точки перегиба, коле-
бания относительно средней температуры поверхности приведут
к увеличению средней скорости горения, поскольку повышение ско-
рости горения, соответствующее полупериоду положительного из-
менения температуры, будет больше по абсолютной величине сни-
жения ее для полупериода отрицательного изменения температуры.
Для некоторых топлив с низкой энергией активации точка стацио-
нарного процесса может располагаться правее точки перегиба, что
приведет к снижению средней скорости горения при колебательном
процессе в камере [17]. Возможность снижения скорости горения
при вибрационном горении доказана опытами Прайса, Сойфериса
и других исследователей [45].
Рис. 4.29.
Зависимость изменения скорости горения топлива
от колебаний температуры поверхности:
а - Т5о < Л’'4К; 6 ~ TS0 > EAR'
О—'точка стационарного процесса.
Итак, как показывает теоретический анализ, подтверждаемый
в целом экспериментом, каждой совокупности термических и бал-
листических характеристик твердого топлива соответствует опреде-
ленная частота колебаний параметров газового потока, при которой
резко возрастает амплитуда колебаний температур поверхности и
изменяется (в большинстве случаев в сторону увеличения) средняя
скорость горения топлива.
Появлению резонанса благоприятствует низкая теплопровод-
ность твердого топлива, ограничивающая отвод тепла в массу за-
ряда и тем самым препятствующая рассеянию температурных коле-
баний в поверхностном слое. В этом же направлении влияет вели-
чина температуры Чем она выше, тем выше при колебаниях
коэффициента фактора пленки амплитуда колебаний теплового
потока, направленного к поверхности заряда. Выделение тепла при
370
реакциях, протекающих в твердой фазе, играет роль усилителя
колебаний температуры в поверхностном слое, поэтому для топлив
с более высокой теплотой фазового превращения Qs вероятность
появления резонансных условий возрастает.
С помощью скоростной киносъемки было обнаружено, что неко-
торые из пиков давления при вибрационном горении связаны с по-
явлением вихрей в потоке.
Зарегистрированное время существования вихрей ~0,1 сек.
Возникновение вихрей обусловливает большие местные скорости
газа возле поверхности горения, что сопровождается сильным эро-
зионным эффектом. Кроме того, при поступлении единичного вихря
в сопло может существенно уменьшаться эффективная площадь
критического сечения сопла. В обоих случаях действие вихря сопро-
вождается повышением давления в двигателе.
Вследствие недостаточной изученности механизма вибрацион-
ного горения в настоящее время нет теоретически обоснованных
критериев, позволяющих оценить новую конструкцию двигателя
при заданных характеристиках топлива с точки зрения возмож-
ности возникновения резонансного горения. В процессе отработки
различных образцов чисто эмпирически были выявлены основные
меры устранения вибрационного горения. По утверждению ино-
странных специалистов, наиболее эффективными из них являются
следующие:
1. Размещение по оси канала стержня из негорючего-материала.
При этом, как показывает опыт, безразлично из какого материала
изготовлен стержень и каковы его размеры. Высказываются пред-
положения, что стабилизация горения при введении центрального
стержня достигается за счет демпфирования колебаний газового
потока колебаниями самого стержня.
2. Применение каналов некруглого сечения.
3. Применение в трубчатых шашках, горящих по всей поверх-
ности, сквозных радиальных отверстий. Опыты показывают, что
стабильность горения трубчатой шашки повышается при наличии
радиальных сверлений диаметром 0,4 диаметра канала, размещен-
ных вдоль шашки по винтовой линии. Предельное расстояние между
радиальными отверстиями определяется составом топлива и, по-
видимому, не связано с толщиной свода шашки и диаметром ка-
нала. С ростом калорийности и скорости горения предельное рас-
стояние уменьшается. Так, для топлива JPN (Qffi= 1230 ккал/кг}
предельное расстояние составляет 25 мм, в то время как для нитро-
глицеринового топлива с калорийностью 890 ккал/кг оно повы-
шается до 200 мм.
4. Введение демпфирующих частиц. Как показывает опыт, вве-
дение в состав топлива в тонкодисперсном состоянии таких вклю-
чений как сажа и алюминий способствует стабилизации горения,
так как присутствие в газах взвешенных частиц обеспечивает демп-
фирование колебаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ангелус Т. А., Явление неустойчивого горения двухосновных топлив.
Исследование ракетных двигателей на твердом топливе, Сб. переводов, ИЛ, 1963.
2. Аристова 3. И., Лейпу некий О. И., ДАН СССР, 1946, т. 54.
3. Барр ер М., Жомотт А., Вебек Б. Ф., Вандеи к еркхове Ж.,
Ракетные двигатели, Оборонгиз, 1962.
4. Б е л я е в А. Ф., К вопросу о теории горения бризантных ВВ, Сб. статей
по теории взрывчатых веществ. Оборонгиз, 1940.
5. Б е с с е р е р К- У., Инженерный справочник по управляемым снарядам,
Воениздат, 1962.
6. Б л э й р Д. В., Б а с т р е с с Е. К., Г е р м а н с С. Е., X о л л К. И., Сам-
мерфилд М., Некоторые проблемы исследования установившегося горения
смесевых твердых топлив. Сб. Исследование ракетных двигателей на твердом
топливе, ИЛ, 1963.
7. Бойд А. Б., Берке В. М., Медфор Д. Е., Проблемы проектирования
крупногабаритных ракетных двигателей. Исследование ракетных двигателей на
твердом топливе. Сб. переводов. ИЛ, 1963.
8. Бэкстер, Ракетный двигатель твердого топлива без корпуса, Ракетная
техника (ARS Journal русский перевод), 1961, № 12.
9. Ванденкеркхове Ж-, Эрозионное горение коллоидальных твердых
топлив, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1959, № 3.
10. Ви л юн о в В. Н., К математической теории стационарной скорости горе-
ния конденсированного вещества, ДАН СССР, «Физическая химия», 1961,
г. 136, № 1.
11. Букалов и чМ. П., Кириллин В. А., Ремизов С. А., Си л ед-
кий В. С., Тимофеев В. Н., Термодинамические свойства газов, Машгиз, 1953.
12. Гекклер, Механизм горения твердых ракетных топлив, Сб. переводов.
Жидкие и твердые ракетные топлива, ИЛ, 1959.
13. Гекклер, Нерешенные проблемы сжигания твердых ракетных топлив,
Сб. переводов «Жидкие и твердые ракетные топлива», ИЛ, 1959.
14. Герои, Проблемы внутренней баллистики РДТТ, «Вопросы ракетной
техники», ИЛ, 1963, № 6.
15. Грин Л., Эрозионное горение некоторых твердых взрывчатых веществ,
«Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1954, № 6.
16. Г р и н, Некоторые особенности горения упрощенной модели твердого
топлива, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1959, № 2.
17. Грин и Нахбар, Замечания по поводу неустойчивого горения РДТТ,
«Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1959, № 6.
18. Зельдович Я. Б., Р и в и н М. А., Франк-Каменецкий Д. А.,
Импульс реактивной силы пороховых ракет, Оборонгиз, 1963.
19. Зельдович Я. Б., К теории горения порохов и ВВ, ЖЭТФ, 1942,
г. 12, вып. 11.
20. Зельдович Я. Б., Франк-Каменецкий Д. А., Теория теплового
распространения пламени, ЖФХ, 1938, т. XII, вып. 1.
21. Карман Т., Современное состояние теории распространения ламинар-
ного пламени, Сб. Пламена и химическая кинетика, ИЛ, 1961.
22. Келлер, Бир, Райан, Воспламенение смесевых твердых топлив на
основе перхлората аммония с помощью конвективного нагрева, «Ракетная тех-
ника и космонавтика», 1966, № 8.
23. Крук, Большие двигатели на твердом топливе, «Вопросы ракетной тех-
ники», ИЛ, 1961, № 5.
24. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостех-
георетиздат, 1954.
25. Максвелл, Юнг, Большие ракетные двигатели на твердом топливе,
«Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1962, № 1.
26. Мак-Алев и Р. Ф., Кауан П. Л., Саммерфилд М., Механизм
воспламенения смесевых твердых топлив горячими газами, Сб. «Исследование
ракетных двигателей на твердом топливе», ИЛ, 1963.
27. Межконтинентальный баллистический снаряд «Минитмэн» фирмы
«Боинг», «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1963, № 6.
28. Похил П. Ф., Мальцев В. М., Лукаш ей я В. П., О горении балли-
ститных порохов, ДАН СССР, 1960, т. 135, № 4.
29. Разработка крупных РДТТ в США (обзор), «Вопросы ракетной техники»,
ИЛ, 1966, № 3.
30. Ракетные двигатели твердого топлива (обзор), «Вопросы ракетной тех-
ники», ИЛ, 1964, № 6.
31. Ракетные снаряды (обзор), «Вопросы ракетной техники», ИЛ. 1963, № 4.
32. Рогинский С. 3., ЖФХ, 1932, № 1, стр. 640.
33. Саммерфилд М., Сатерленд Г. С., Уэбб М. Д., Табак X. Дж.,
Холл К- И., Механизм горения топлив на перхлорате аммония. Исследование
ракетных двигателей на твердом топливе, Сб. переводов, ИЛ, 1963.
34. С е р е б р я к о в М. Е., Внутренняя баллистика ствольных систем и по-
роховых ракет, Оборонгиз, 1962.
35. С и п л а ч, Влияние быстрого понижения давления на горение твердого
топлива, Ракетная техника (ARS Journal в русском переводе), 1961, т. 31, № 11.
36. Уимпресс Р. И., Внутренняя баллистика пороховых ракет, ИЛ, 1952.
37. Фтор и его соединения как окислители (обзор), «Вопросы ракетной тех-
ники», ИЛ, 1966, № 7.
38. Холмс, Прогресс в области производства твердых теплив, «Вопросы
ракетной техники», ИЛ, 1959, № 5.
39. Хуггетт, Горение твердых ракетных топлив. Жидкие и твердые ракет-
ные топлива, Сб. переводов, ИЛ, 1959.
40. Эккерт Э. Р и Дрейк Р. М., Теория тепло- и массообмена, Госэнерго-
издат, 1961.
41. Энгель, Пределы эффективности классических твердых ракетных топ-
лив, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1959, № 5.
42. Aero Digest, 1956, Jan., No. 1, p. 72.
43. Aviation Week, 1961, No. 7, p. 75.
44. Missiles and Rockets, 1960, vol. 6, No. 24, p. 23.
45. P r i с e E., S о f f e r i s I., Jet Propulsion, 1958, No. 28.
46. S m i t h R. P., Sprenger D. F., Fourth Symposium on Combustion,
Baltimore, 1953.
47. S u m m er f i e 1 d M., Shinnar R., Hermance С. E., W e n o-
gr a d J., A Critical Review of Recent Research on the Mechanism of Ignition of So-
lid Rocket Propellants, 14 Congr. internat. astronat, 1963, Paris.
48. Shumacher E., Perchlorates, Their Properties Manufacture and Uses,
New York, Reinhold Publ. Corp. London, Chapman and Hall, 1960.
49. R e i d R., Sherwood Th. The Properties of Gases and Liquids, there
Estimation and Correlation, MeGraw-Hill Book Company, Inc., New York, Toronto,
London, 1958.
Глава V
ВНУТРЕННЯЯ БАЛЛИСТИКА РДТТ
Обычно задача внутренней баллистики РДТТ решается приме-
нительно к одночленному степенному закону горения топлива
и = и\рх. Предлагаемый метод позволяет найти процесс изменения
давления для любого закона горения баллиститного и смесевого
топлив.
При выходе РДТТ на режим наблюдаются три явно выражен-
ных периода функционирования двигателя (рис. 51):
— автономное горения воспламенителя (?Всп);
— совместное горения воспламенителя и топлива (Л);
— стабилизация давления в камере РДТТ (t2).
Продолжительность первого периода автономного горения вос-
пламенителя определяется моментом вспышки топлива. Для вспыш-
ки топлива и последующего устойчивого его горения воспламени-
тель должен не только нагреть поверхность заряда РДТТ до темпе-
ратуры вспышки, но и обеспечить необходимую интенсивность теп-
лсподвода, достаточную для возбуждения устойчивого горения за-
ряда. После наступления момента вспышки необходимость в тепло-
374
подводе от воспламенителя отпадает. Толщина зерна воспламени-
теля определяет продолжительность его горения £в. Горение дол-
жно быть несколько больше времени, необходимого для нагрева
поверхности топлива до температуры вспышки. Поверхность горе-
ния воспламенителя 5В обеспечивает требуемую интенсивность
теплоподвода *.
Второй период начинается от момента вспышки топлива и про-
должается до конца горения воспламенителя. В течение этого
периода воспламенитель и топливо РДТТ горят совместно. Совмест-
ное горение топлива и воспламенителя является основной причиной
образования «всплеска» давления в камере сгорания (промежуточ-
ного максимума) вследствие добавочного прихода газов от воспла-
менителя.
После сгорания воспламенителя наступает третий период, в те-
чение которого происходит стабилизация (выравнивание) давления
в камере РДТТ. При этом величина давления асимптотически стре-
мится к предельному значению рж.
После сгорания топлива наступает период «последействия»
тяги. Продолжительность этого периода равна времени истечения
газов из камеры РДТТ в атмосферу.
Решение задачи произведем при гипотезе осреднения парамет-
ров состояния продуктов сгорания в камере двигателя. При неболь-
ших значениях х<100 средние параметры состояния могут быть
приняты равными полным параметрам потока газа на входе в кон-
фузор сопла. Связь между полными параметрами продуктов сгора-
ния и их параметрами у дна ракетной камеры, а также закон их
изменения вдоль поверхности горения устанавливаются на основе
уравнения меахники. Особенности эрозионного процесса горения
при х>100 изложены в § 5 гл. IV.
В качестве исходной системы уравнений для процесса измене-
ния давления в камере РДТТ используют:
— закон сохранения энергии
Qt = U't± ALp, (5.1)
— закон сохранения вещества
Gn-Gv = ^, (5.2)
— закон горения топлива
«=/(19);
— текущий объем камеры
t
Г = J Sudt-
о
— уравнение состояния газов
pW = wRT.
* Индексом «в» обозначены параметры, характеризующие воспламенитель.
Параметры, не имеющие индекса, относятся к основному заряду.
§ 1. ПЕРИОД АВТОНОМНОГО ГОРЕНИЯ ВОСПЛАМЕНИТЕЛЯ
Скорость подвода тепла вследствие горения воспламенителя
Унос или отток тепла из камеры в атмосферу происходит вслед-
ствие истечения газов через сопло и теплоотдачи от продуктов сго-
рания к стенкам камеры РДТТ со скоростью, равной:
121
dt
dQz _
dt
~GvcpT-
-атД(Г-Гс).
(5.3)
Для скоростей притока и оттока продуктов сгорания справед-
ливы формулы:
G„b = 5bmb8b: =
Г дд 1
где А1=у kg = 6,3 дм 2 сек — постоянная расхода.
Дегрессивность формы зерна воспламенителя будем учитывать
коэффициентом т
S=S^e т^. (5.4)
Величина коэффициента т ограничена пределами 0<т<3. При
т=0 SB = S0B; при т = 3 получаем закон изменения поверхности
горения, близкий к изменению поверхности зерна шаровой формы.
Величина т определяется из опыта на основе статистики обмера
зерен воспламенителя.
Влияние воздуха, заполняющего свободный объем камеры,
соез=Увз^о на кривую p(t) учтем приближенно
(5-5)
Величина коэффициента п также устанавливается опытным пу-
тем. По физическому смыслу она ограничена пределами 0<и<1.
Совместное решение уравнений (5.5) и (5.2) приводит к зави-
симости
|Gn.B = Gp- (5.6)
I. "в J
Вследствие малости изменений свободного объема камеры за
время горения воспламенителя примем
°Т 2В„
Для коэффициента теплоотдачи ат в соответствии с критериаль-
ной зависимостью Нуссельта примем
ат = отув,
(5. 7)
где для стенки с термопокрытием от = 0,4 ккал • дм/кГ • сек2, для
стальной стенки сгт= 1,0 ккал • дм/кГ • сек2.
На основании выражений (5.7) и (5.3) получим
^Оз _
dt R Л Ри’
где v1 = l-rc/7'=0,5-^0,7.
Примем, что закон горения и(р) воспламенителя типа ДРП или
КЗДП имеет вид и(р) = const.
На основании изложенного выше уравнение закона сохранения
энергии (5. 1) приводится к виду
(£ -1) SBuBbBAQB = kArF *Рв УХТВ+
+(* - Л + kSBuBpB+W ,
так как
dw
dt
dt k-Л dt B ’
где
dW
dt
Из уравнения (5.6)
имеем
тогда дифференциальное уравнение кривой /?(/) примет вид
л2р*2 „2
(й-1)Лфв=й-^-(1-ц^ +
। _1) Д _J Рв । Ръ । W 1 d рв
1 ’ R ив 8В SB 1 5В'ТМ» Sb dt
Величина члена k— мала (менее 1%) по сравнению с величи-
не
ной (&—1)Д(?В, а поэтому ею можно пренебречь или учесть приб-
лиженно, изменив калорийность воспламенителя:
ДС^Д^-А-йАп-.
Введем обозначения
и о ’
‘-Эв
C = (A-1)4QB; cr = k
/, ., VjaT ЛЛ 1 IF
C^~(k— 1)И-Д.——; С3 =-------
R ив Вв “вЬв
(5.8)
тогда получим
C = ^2 + c2£/ + f3(^- + i/ 4"
\ at 5В dt /
о, dS„ 1 т
Так как —5-------=----, то уравнение приводится к виду
SB tB
„ . , , dy , т W 1 гт
с = с^А- с,2у -р с3 , где с„-~-с2-- -—. После разделения пе-
ременных получим
-----^=£L(z/1_z/2)rfZ, (5.9)
У~У\ У~У2 сз
где yi и г2 — корни квадратного уравнения;
У2 + С± У~~~ = 0;
Ci Cj
^=-^±1/(|£)2+-- (5.Ю)
2cj у \2cJ Cj
При этом ух>0; г/2<0.
Интегрируя уравнение (5.9), получим
У1~У2ГТуе (5. И)
у \—Пуе~^
где
yol=^L. (5.12)
4'01—4'2 й0в с3
рн — начальное давление в камере сгорания;
Sob — начальная поверхность горения воспламенителя.
В соответствии с принятым обозначением y=pB/SB для кривой
ps(t) получим
-т —
P^SOsye
(5. 13)
Отыщем время, определяющее максимальное давление при
автономном горении воспламенителя.
Условие экстремума =0 приводит к уравнению ~~ = у- У,
откуда на основании соотношения (5. 9) имеем
Утях
Cl
2су
(5. 14)
Сопоставление формул для ух и утах позволяет установить, что
величину х/max можно определять одновременно с расчетом значе-
ния параметра ух по формуле (5. 10). Для этого достаточно вели-
чину постоянной с’ принять равной с2, откуда следует, что пара-
метры ух и х/max связаны соотношением
Искомое время
Утях У1
/ __1 1П ( Утях Уч г-г
' в max— 0 111 11 У
Р \Х/тах У\ 1
(5. 15)
На основании формул (5. 13) и (5. 15) максимальное давление
т
« _х с / 1 Утах ~~~ У1*У*в
Рв max Углах0 Ов I г7 J
\ Иу Утах У2/
(5. 16)
Если величина рвтах задана, то для определения веса воспла-
менителя получим формулу
«>в=30в«А
в — т— -х /
е Bdt = S0^B\
1 —е~т
т
(5. 17)
о
где 2ев — толщина горящего зерна.
Полное время tB горения воспламенителя и его начальная по-
верхность Зов определяются уравнениями:
(5. 18)
и согласно уравнению (5.16)
т
' ____Рв max Г П Утах У2*1^в
0в “ 7 1 У
Углах L Утах У13
(5. 19)
Подставляя выражения для /в и 5ов в уравнение (5.17), для на-
вески воспламенителя в зависимости от потребной величины наи-
большего давления получим формулу
шв = /(8вев \пу —^FB -~~е т-. (5. 20)
#mr.x L £/max */lJ 1П
1 —
Для 0<С/тг<Д,75 имеем 1 >-------------^-0,34.
т
Величина коэффициента согласования /(=0,8.
Вес воспламенителя с учетом поправки на воздух, находящийся
в свободном объеме камеры сгорания, приближенно оценим
по формуле
С учетом конденсированной фазы в продуктах сгорания воспла-
менителя решение этой задачи должно быть построено на диффе-
ренциальном уравнении кривой р(/) для смесевого топлива.
§ 2. ВЫБОР НАИБОЛЬШЕГО ДАВЛЕНИЯ ВОСПЛАМЕНИТЕЛЯ
Эта задача является весьма сложной. Настоящее ее решение
основано на грубой физической модели теплопередачи от газов
к топливу. Однако при наличии идентичности закона нарастания и
сохранения природы воспламенителя можно обеспечить приемле-
мую надежность решения при одном опытном коэффициенте.
Максимальное давление воспламенителя определяет его началь-
ную поверхность горения, обеспечивающую требуемую интенсив-
ность теплового потока для устойчивого процесса горения топлива.
Динамическое равновесие теплового обмена между продуктами
.сгорания воспламенителя и реакционным слоем топлива выра-
жается формулой
ат(Г-7;) = д8М(Г;-7\), (5.22)
где ат = огтУв — коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания
к топливу;
ст — удельная теплоемкость топлива.
Уравнение (5.22) приводит к следующему условию достаточ-
ности интенсивности теплового потока, воздействующего на поверх-
ность воспламеняемого топлива:
У*
1 —3) (5,23)
Ъ/У 4 Т
где и—ихр'‘ — скорость горения топлива в момент его вспышки;
Т — температура продуктов сгорания воспламенителя в
момент вспышки топлива;
1 Л2/7*2
<5-24’
Ts — температура вспышки топлива;
Тп — начальная температура топлива.
Выражение (5.22) можно представить в виде инварианта подо-
бия динамического равновесия теплового обмена между продук-
тами сгорания и поверхностью заряда
Г) ——I___— const —-----------------
1 с^и A^y^-RT*^
Для момента вспышки топлива, лежащего на восходящем
участке кривой р(0, после несложных преобразований неравен-
ство (5. 23) приводится к формуле
Рвсп
ст
Гн \ RT s
1 — 1
--1' »max
Рв max •
(5. 25)
1
В формуле (5.25) параметр г/тах, как показывает уравнение
(5. 14), зависит от условий заряжания и скорости горения воспла-
менителя. Величина неравенства рВтах>Рвсп устанавливается
опытом.
Если неравенство (5.25) при выбранном рвтах выполняется, то
процесс горения топлива после его вспышки будет' устойчивым.
Тепловое воздействие продуктов сгорания воспламенителя на по-
верхность воспламеняемого топлива должно распространяться
до тех пор, пока в любом месте поверхности горения температура
не достигнет величины, необходимой для вспышки топлива. Это
условие будет выполнено, если обеспечивается необходимый уро-
вень накопленной тепловой энергии в реакционном слое воспламе-
няемого топлива посредством конвекционной теплоотдачи, луче-
испускания и контактной теплоотдачи конденсированной фазы от
продуктов сгорания воспламенителя:
рВСп / 7* \
= (5.26)
о
где ер — толщина реакционного слоя топлива в момент его
вспышки;
Tst—--------среднее значение температуры поверхности топ-
2 лива;
/всп —время необходимого теплового воздействия на
поверхность топлива.
Для баллиститных топлив толщину реакционного слоя можно
подсчитать по формуле
хр
где ат =-------коэффициент температуропроводности топлива;
ст8
и = ихр' — скорость горения топлива.
Решим уравнение (5.26). Для этого с помощью равенств (5.24),
(5. 13) исключим из него рв и Т
У1~У2^уе '1
1-Пуе~^
t
— tn—
е ^dt-------
R
Ts+T„ S0b«282
2 Л2Л*2
Двсп 1 __ гт —т-г-
о
Левая часть этого уравнения имеет решение только при т = 0,
т. е. для случая 5’B = const;
ln - Пу _ у2 1п _ T*+T„ гф2
\-пу У1пу \ — пу ч лХ2
X Д In_ «а. 1„ , -^к<- (т‘-т.).
У1 \ У1 — У2 У2 У1 — У2 / ат-$0вЩ
(5. 27)
Уравнение (5.27) по отношению к параметру 7ВСП является
трансцендентным и может быть решено графически или на ЭМУ.
Найденное из этого уравнения 7ВСП не должно быть больше времени
полного горения воспламенителя tB (см. рис. 5.1).
Если то при прочих равных условиях (ив; F*\ 50в; ат)
необходимая величина времени воздействия воспламенителя на
топливо может быть приближенно вычислена по уравнению (5.27).
Для этого вместо 50в следует подставить среднее значение SB.cp,
найденное по формуле:
<? гв
е ______дов [ _
^в.ср , I к
6В V
О
sdt = S0B------
m
Sqb
m
Решение задачи о моменте вспышки топлива, как уже отмеча-
лось, дано для квазистационарных условий теплового обмена
между продуктами сгорания воспламенителя и топливом основного
заряда РДТТ. При этом сделано допущение, что коэффициент теп-
лоотдачи зависит только от весовой плотности газов, воздействую-
щих на поверхность заряда двигателя.
Необходимость знания требуемой величины давления газа рвсп
воспламенителя для обеспечения динамически устойчивого горения
топлива после его вспышки побудила дать приближенное инженер-
ное решение этой задачи (5.25); (5.27). В противном случае было
бы весьма трудно вследствие неопределенности выбора достаточно-
сти давления воспламенителя назначить требуемый вес воспламе-
нителя сов, так как при расчете его рВтах должен быть больше рвсп-
Коэффициент надежности воспламенения топлива р = ръ тах/Рвсп
устанавливается опытным путем для нижнего предела диапазона
отрицательных температур заряда топлива.
Принятая модель процесса теплопередачи, содержащая в себе
очевидные неточности, может быть до некоторой степени компенси-
рована соответствующим выбором параметра ат, который следует
рассматривать как коэффициент согласования с опытом. При нали-
чии опытного материала коэффициенты т, п, ггт позволяют полу-
чить достаточно надежную инженерную формулу (5.20) для вы-
бора требуемого веса воспламенителя, так как структура этой фор-
мулы определена теоретически.
Решение задачи определения времени вспышки на основе более
точной теплофизической модели теплопередачи от газов воспламе-
нителя к топливу приведена в гл. III.
Пример. В методических целях рассмотрим решение задачи расчета периода
воспламенения гипотетического твердотопливного заряда, имеющего следующие
физико-химические характеристики и условия заряжания:
фж = 870 ккал>кг-, То = 290° К;
/?оо = 7000 кГ/дм2;
S 388 дм2;
IF0 = 134 д-и3;
-- 1,16-10—4 дм^/сек-кг; v = 0,7; р = 4,65 дм2;
Л* = 0,73 дм2;
А? = 320 кГ-дм/кг-град; /?в тах = 2/3
а = 0,40 ккал-дм!кг-град-сек-. ст= 0,18 ккал)кг-дм2 сек.
8 = 1,65 кгдм5;
Ts = 550° К;
В качестве воспламенителя выбираем зсрненое топливо со следующими
•условными характеристиками:
Qb.ж = 730 ккал!кГ; т = 2; А =1,25;
8В = 1,65 кг/дм3; 2ев = 0,04 дм;
и„- 0,5 дм/сек; /в=0,04 сек.
Вычислим постоянные коэффициенты исходного дифференциального урав-
:нения (5.8):
с — (k — 1) Дфв.ж = 780000 дм; с2~ с2 — — ся = — 8395 дм5! кг;
pt
k— 1 ViO P ‘A]*'
c<> = ----A — — — 5 дм°1кг; c, = k —5—5- = 38,5 дм'Ркг'2.
* «в «в
yz0
C3 =------= 168 дм5-сек!кг.
Корни характеристического уравнения (5. 10)
Co 1 / ( 9 \ C
III,2-- — ± V k- +— = 109 ± 180;
2c J Y \ 2c j / C j
//1 = 289; 1/2 = —71.
Наибольшее значение параметра у при автономном горении воспламе-
нителя (5. 14)
ргаах= ~~ + = 144-
2d у \2ci/ Cj
Необходимая начальная поверхность горения воспламенителя (5.4), (5.15)
где
о Атах t г.~ - 0
£Ов =-------- е в = 97 дмА,
Уз max
. 1 , гт Ртах Р2 г г
/в max = “ {пПУ---------= 0,0218 сек;
Р Ртах' У1
Пу = -^- = —4,06,
Р2
С,
₽ = — (Pi — Р2) = 83 1/сек;
«з
Необходимый вес воспламенителя (5. 17)
1-е-т
“в “ $(й8вев---------= 1,35 кг.
т
Вес воздуха в камере сгорания
<ОВЗ = увз1Г0= 1,293-0,134 = 0,173 кг.
Вес воспламенителя с учетом веса воздуха (5.21)
где /г 1.
Координаты кривой давления при автономном
горении воспламенителя (5. 13)
Рз Щ
1 — Пуе~^
т ZB
50ве
У1 — Уч^ув
Результаты расчета для интервала времени 0<^< /в сведем в табл. 5. 1.
Таблица 5.1
t 0,001 0,008 0,014 0,0218 0,030 0,040
Pv(t) 430 2840 4220 4700 4300 3170
имеющего температуру
Давление вспышки холодного заряда двигателя,
Т„ = 240° К (5.25):
Двсп —
— 8И1Я (7> -Гн)-
°т
1
1
0,18
---- 1,65-1,16-10-4.320-310
0,4
д2с-« 2
I7 #тах
320-600-0,52-1,65
— 6,32-0,732-1442
1
= 4200 кГ[дм\
При нормальной температуре заряда 7'п=290°К давление вспышки топлива
Рвсп = 2400 кПдм2.
Таким образом, условие рв тах>Рвсп выполняется. Согласно данным
табл. 5. 1 р„ (/) время вспышки заряда топлива составит:
— для холодного заряда /Всп = 0,014 сек-
— для заряда при нормальной температуре ДСп=0,0067 сек.
Параметры рвсп; Дсп являются начальными условиями для расчета кривой
давления в периоде совместного горения топлива и воспламенителя.
§ 3. ПЕРИОД СОВМЕСТНОГО ГОРЕНИЯ ВОСПЛАМЕНИТЕЛЯ И ТОПЛИВА
После момента вспышки заряда РДТТ наступает период сов-
местного горения воспламенителя и топлива, когда приток продук-
тов сгорания и тепла в камеру двигателя происходит от горения
как воспламенителя, так и топлива.
Совместное горение топлива и воспламенителя описывается сле-
дующей системой уравнений:
dt dt dt dt dt ’
GnH-Gn.B-Gp=~; (5.28)
t
W = M70 + J (Su + SBuB) dt-,
pW = w^T.
u = u1p’’; uB — const. (5.29)
Здесь =—aTF (T — Tc) — отток тепла вследствие теплоотдачи;
dt
^-=C AQ — приток
dt ряда;
— = Gh.b^Qb- приток
at
тепла от горения основного за-
тепла от горения воспламенителя,
где G^Sub; 6П B=SBaB8B.
Дифференциальное уравнение кривой p(t) при допущении оди-
наковой плотности продуктов сгорания воспламенителя и топлива
(ув=у) в соответствии с законом сохранения вещества (5.28)
при ^Sya-{-SByBuB примет вид
(ft- 1) AQ = k
__1_ Pl +
11X2
+(А-1)-^Д — — — , (5.30)
R s a и в Xi 58 « и
х.=1-№.-1ф
На практике уравнением (5. 30) пользоваться весьма затрудни-
тельно, так как при наличии грубого значения иСр(р) его нельзя
аналитически точно решить относительно1 р или t.
Для выбора оптимального решения задачи внутренней балли-
стики РДТТ, обеспечивающего устойчивое воспламенение заряда
во всем заданном температурном диапазоне и состоящего в иссле-
довании изменения кривой р(0 для выбранной навески воспламе-
нителя в зависимости от начальной температуры заряда Гн, условий
заряжания (и), толщины и формы зерна воспламенителя (/в, т),
использование дифференциального уравнения (5.30) не представ-
ляет принципиальных затруднений при наличии аналоговых элек-
тронных машин типа ЛМ.У-1 или М.НБ-1. При этом осредненное
(или интегральное) количественное влияние параметров Тн и х на
скорость горения и калорийность топлива можно учесть по фор-
мулам
«1=«1Л? (Л) Q=Q (Г л) -г (Тя—Tn),
где ч(Тн)=е°(т«~т^;
ср (х) = 14-Д(х-хпр);
/ — параметр заряжания Ю. А. Победоносцева;
D* * — физико-химическая константа топлива;
TN — нормальная температура заряда, т. е. температура, при
которой была установлена единичная скорость горения
топлива ulN;
Зависимость констант эрозионного горения А и Хпр от различных
факторов была рассмотрена в § 5 гл. IV.
Рассмотрим более подробно прикладное решение задачи опре-
деления функции р(0 на участке совместного горения воспламени-
теля и топлива.
Явно решить дифференциальное уравнение (5. 30) относительно
давления, как указывалось выше, можно только при постоянном
значении коэффициентов %i; %2 и Хз- Для этого допустим, что на до-
статочно малом отрезке = —ii-л параметры %i,s, з постоянны
и равны средним значениям
11,' 1 \ Qb 11 5вср/Мв-
XiZ = 1 + (/г,- -1; хз,-=Хз/=1 + ,
Q абИср(-
где иСр/ = «1Рер/; 5вср;. = 50ве ср<^-------------;
1 2^-—1 + М,
Здесь
I Pl—.1 - Pl_О t j .
Pep i = A--1+ j - или Лр / = ^(,--1) -у + A-1;
p't{i^=«1 ( qi (/-о - р?1г} -
В этом случае для Zi и получим следующие формулы:
—₽.д/.
„ __ ^1/ —1 lHzi .
Pi = ^-\
* Значения D для различных составов смесевых и баллиститных топлив при-
ведены в табл. 4. 2 и 4. 4.
где
-V с2 ! Г I Сг> \2 I с'
2(i,2)i——± 1/ Х2('-^“)Н—XiiXzi ;
2ci у \ 2cj / С]
pf=(l— v)(zlt-z2l)-^-; c' = c — k^~; } (5.32)
7.2 сз s
Формула (5.31) является результатом решения дифференциаль-
ного уравнения
X1X2^ = ^1^2 + X2^22 + Z2(1 - - v)-1c3z;t
где
z = p1~'‘;
с = (k — 1) AQ [дм};
A2/7*2
c.—k -----------Icbd;
1 U2S2 82 L J
c2 = (k - 1) Л — [^];
2 7 s/? a r/j L J
<?3= -----— [дм -сек].
Su-jb
(5.33)
(5.34)
Соотношение (5. 33) получено из уравнения (5. 30), в котором ве-
личина k— —
8 X]
(А-1) ж
пренебрежимо мала
по сравнению со
значением
.—г k k j ,, k n
При допущении, что—р— — z1-' »—z2 можно
В 8 В
принять
/ । k
С1==С1~Г~ ХгХз-
(5. 35)
Тогда формулы (5. 32) приводятся к виду
(5. 32')
p; = (l-v) (zlz-z2Z)_fl_.
Х2<с3
Обычно с2<^с', a (?j с/, поэтому на практике допустимо
пользоваться формулой
2(1,2ц = ± 1/ Х1/Х2,
(5. 36)
где
XsiXn — Хи
Таким образом, полученное решение задачи определения p(t)
на участке совместного горения свелось к формуле (5. 31),в которой
постоянные величины Z(i,2)i; Hzi заменены их локальными зна-
чениями на отрезке Д^.
Это решение задачи наиболее приемлемо при отсутствии ЭМУ.
Методическую сторону задачи определения функции гг- для периода
совместного горения воспламенителя и топлива можно уяснить из
примера, приведенного в § 8 данной главы.
§ 4. ПЕРИОД СТАБИЛИЗАЦИИ ДАВЛЕНИЯ В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ
Этот период характерен тем, что в течение всего времени стаби-
лизации давления происходит горение только основного топлива
двигателя.
Закон изменения давления в камере сгорания точно опреде-
ляется из дифференциального уравнения (5. 33) для случая, когда
Х1 = %2 = Хз=1:
(5.37)
При этом изменится только параметр IJzi (5.31). Его величина бу-
дет постоянной и равной
Hz = z* ---1- ;
где рв — давление в камере двигателя в конце горения воспламени-
теля, т. е. в конце совместного горения воспламенителя
и топлива.
Время t следует отсчитывать от конца периода совместного го-
рения топлива и воспламенителя.
Таким образом, изменение давления в камере сгорания РДТТ
при одночленном степенном законе горения топлива описывается
формулой
Анализ формулы (5.37) показывает, что предельное давление
в камере сгорания устанавливается в течение весьма малого вре-
мени, исчисляемого сотыми долями секунды:
Z=_Lln£Zl£_2
р z~z1 zs — z2
Так время, за которое давление в камере сгорания достигает
величины, на 1 % отличающейся от ее предельного значения, будет
~ 1 . (5,39)
₽ L < гв~ г2 J
При этом полное время выхода двигателя на режим (см. рис. 5. 1)
составит tz — t-a + t2, а величина предельного давления
1
p^—z~'‘. (5.40)
Для zx и z2 при Х1 = /2 = у3=1 справедливо уравнение (5.32)
, = С2 , -I / / С2 )2 I с'_Н-./А-
1,2 2ci ~ у 2с J ci у ci ’
k
где с’=с--р.АА.с, ас, clt с2 определяются по формулам (5.34).
Для РДТТ малого калибра (<200 мм) и с нетермоизолирован-
ной поверхностью камеры сгорания величиной с2 пренебрегать
нельзя. При вычислении (5.34) величина cor< =Syu не учитыва-
лась, поэтому логично принять Ci =Ci (5.32').
Для больших двигателей при определении кривой p(t) вследст-
вие непрерывного увеличения свободного объема камеры
W^W. + Su^t -Q^W^Su^t
величина р оказывается переменной
^(l-v)^-^-!—(5.41)
ои jo w
В этом случае уравнение кривой p(t) имеет биноминальный вид
1
п \г1 — гЧ Пг [1 + В} (t— /в)] М1 ’ '
Р~\ +«,(<-«-’ / ’ <5Л2)
где
Л2/7*2
р]==(1 _v)(2i~;
о S““
ш; и„ — и^рю
IVо
Формула (5.42) может быть получена из уравнения (5.37),
в котором следует положить
t
w „ Г dt
— e zb ,
где согласно выражению (5.41) №0 = const. Ho
p Г-----dl----= ₽ In [I-)-#! (/-/„)]
W'o J 1 + Bi (/ — /B) s“~ 1
и поэтому
^=[iЧ-ад-иГ-.
Время конца горения заряда РДТТ (см. рис. 5.1) найдем по фор-
муле ;
''К ^всп Щ ,, •
“ к
Для закона горения iz = const будут справедливы все приведенные
зависимости для степенного закона горения. При этом достаточно
положить v = 0; p = z; и1 = и.
§ 5. ПЕРИОД ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ ТЯГИ
Изменение давления в камере двигателя после сгорания основ-
ного заряда найдем из уравнения (5.30), положив Xi=%2=l; 5 = 0
и F=FK.
Условие 5 = 0 означает, что заряд полностью сгорел. В действи-
тельности вследствие отклонения фактического закона горения
от геометрического (прежде всего из-за эффекта «раздува») по-
верхность горения исчезает хотя и очень быстро, но не скачкооб-
разно. В этом смысле 5 = 0 является допущением.
Второе условие 117=const = Тк (объем камеры после сгорания
заряда сохраняется неизменным) — следствие первого.
При принятых допущениях уравнение закона сохранения энер-
гии (5.1) имеет вид
А/?СГ + (А-1)Д ^Fp+WKp't=0.
Присоединяя уравнение сохранения вещества и состояния, взятые
в дифференциальной форме:
<»'=—G; p'tWK = «''tRT -R’^RT',,
после совместного решения получим
~^«>;/?7' + (A-l) A^Fp + a'tRT-t wRT't = Q.
Так как для осредненных параметров состояния газов в камере
сгорания справедливо соотношение
Р = _ 1
aRT WK ’
(5. 43)
то после преобразования исходное уравнение приводится к виду
-(£-1)~ In « + —lnF+Д —
v ’ dt ' dt R ITK
T
Интегрирование этого уравнения при vi= 1—^-= const и после-
дующее его потенцирование приводит к формуле
Используя уравнение состояния (5.43), получим
Р = Р°°
e~bt,
(5. 44)
где
b = Ak^l^F
W
Так как уравнения (5.44) и (2.59) совершенно одинаковы, то
для закона изменения давления в камере РДТТ будет справедлива
формула (2.61)
р-=рйе~^,
где
3 = G^AF*-—
^-1 . 2 VRT^
р 1ГК h__i
RT^ = k-^AQxX. (5.47)
RT оо k
ОО 2fe w
Если в уравнении (2. 61) из условия j (1-j--^0 dt= f е~ь'* dt
° о
биноминальную функцию заменить экспонентой, то для Ьг и °
получим несколько иные по внешнему виду формулы Ьг = k + -1 В
_ &— 1
вместо В и 3 = —— ВЛ-b вместо Од-
k—l fc-1 1 k~1 ~
нако оба выражения для Ь, и р дают практически одинаковый ко-
личественный результат, так как при 1 <( k < 1,4 множитель
2 ~ ।
k + 1
§ 6. ВЫХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ
НА БАЛЛИСТИТНОМ ТОПЛИВЕ
Под выходными характеристиками ракетного двигателя обычно
понимают его тягу (Р) и удельный импульс (Д). Для расчета тяги
при выбранном давлении в камере сгорания (р^) необходимо
знать площадь критического сечения сопла (F*) и коэффициент
реактивности (Дв) диффузорной части соплового блока двигателя,
а для вычисления его удельной тяги, кроме этого, требуются
физико-химические характеристики топлива (HQ!K; k = cp/cv), най-
денные с учетом тепловых потерь. Таким образом, выходные харак-
теристики ракетного двигателя зависят не только от природы топ-
лива, но и от размеров сопла, определяющих его коэффициент реак-
тивности. С увеличением давления в камере сгорания коэффициент
реактивности (2.19) растет, а с уменьшением этого давления —
падает.
Реализация возможной величины коэффициента реактивности
достигается соответствующим уширением диффузорной части сопла
{vB = FJF*; 9) с таким расчетом, чтобы давление в выходном сече-
нии сопла было близким к атмосферному (рв=ра). При этом для
выбранного давления в-камере ракетного двигателя (роо) коэффи-
циент реактивности соплового блока (2.19) и скорость потока в вы-
ходном сечении (2.21) будут максимальными.
Расчет площади критического сечения сопла РДТТ
Обычно при проектировании РДТТ площадь критического сече-
ния сопла выбирают с таким расчетом, чтобы на рабочем участке
кривой давления обеспечить заданную величину давления в камере
сгорания. Иными словами, задаваясь величиной предельного дав-
ления, находят необходимую площадь критического сечения сопла
путем совместного решения уравнений (5.28) и (5.30)
так как при р = р^ величина dpldt = C
G
п
с d
-G^Tt
p«w
RT
y.Su-,,
Из первого уравнения с учетом коволюма газов (а) получим
P~VRr
(1 — ay») X
VjO F Рю
RQx. •$ ®
_1____k_
k~ I
1 —ай
(5. 45)
где Л = 4270 кГ • дм/ккал; Q-A; в ккал/кГ; в кГ/дм2;
и,а в дм/сек; S в кГ/дм3; S в дм2; а=1 дм3/кГ;
Aj = 6,3 дм1/2/сек; ккал-дм/кГ-град-сек; у„ =-----—-----.
Решение второго уравнения относительно F* приводит к зави-
симости
S«os
Ар.
(8-уД}//?Т..
(5. 46)
Приравнивая выражения для F* в зависимостях (5.45) и (5.46),
находим температуру газа в камере сгорания
где
^=х~!AQ«,
k
_ । V]S F Peo
PQ-ач 5 Bzz M
(5.47)
(5. 48)
Из выражения (5.48) следует, что величина % определяется
только теплообменом с окружающей средой, который при задан-
ных условиях заряжания и природе топлива зависит от давления
в камере сгорания
1 ДтР “•
Параметр дт=-Д^- — учитывает природу топлива (QM; R;
RQm $ °°
В; И.) и условия заряжания (vt; a; F; S;
Для зарядов, горящих по поверхности внутреннего канала
и скрепленных с оболочкой двигателя, величина коэффициента %
близка к единице. В этом случае нагрев стенок камеры РДТТ будет
наименьшим.
Заметим, что тепловые потери, как и следовало ожидать, явно
не зависят от коволюма продуктов сгорания. Наличие коволюма
оказывает влияние на давление в камере РДТТ (роо) и критическую
площадь сопла (Т7*). Обычно при расчете р<*> и F* коволюм не учи-
тывают, так как при давлении сжигания топлива, меньшем
100 кГ/см\ его влияние пренебрежимо мало.
Из выражения (5.48) следует, что если не учитывать диссоциа-
цию газа в камере сгорания, снижение температуры прямо пропор-
ционально давлению. Подставляя найденное значение RT^, в урав-
нение (5.46), определим необходимую площадь критического сече-
ния сопла РДТТ, обеспечивающую заданное давление в камере
сгорания.
Единичный импульс и тяга РДТТ
Рассмотрим определение тяги РДТТ и его единичного импульса
при работе двигателя во втором периоде. Зная RT^, можно вычис-
лить единичный импульс соплового блока РДТТ по формуле
1
Формула (5.49) является результатом преобразования уравне-
ния силы тяги (2.18)
k g
где ра — давление окружающей среды.
По определению единичный импульс, развиваемый двигателем,
равен
J =J-- = K Р + 1 <+ fвДа
1 G в k g G
и представляет собой импульс, снимаемый с одного килограмма
веса топлива. Иногда это отношение тяги к расходу топлива назы-
вают удельной тягой. Так как
г__________ / ?+Т
aA — yf ‘^gRTm; g = G=F*1/ &g(—2- V-1 f “ .
у p+16 p r v u + u Vrt«, ’
vb=^-; .r,
k Ж B A* / P2— 1
то после алгебраических преобразований выражение для Ц при-
обретает вид уравнения (5.49). При К^ — Къ, ра=0
= уХД(?ж. (5.50)
По физическому смыслу представляет собой единичный импульс
РДТТ с полубесконечным соплом в пустоте.
Таким образом, для удельной тяги ракетного двигателя на бал-
листитном топливе имеем
\ со /
где /Са= — относительная величина коэффициента реак-
тивности соплового блока двигателя;
R^ = GJ, — тяга двигателя с полубесконечным соплом
в пустоте.
Для РДТТ с расчетным соплом (рв=Ра)
Л = * • (5.52)
\ с ео /
Из сравнения формул (5.51) и (5.52) вытекает, что коэффи-
циент реактивности имеет наибольшее значение для расчетного
сопла
Отсюда следует, что реальные значения единичного импульса Л
ограничены пределами 7i^/a<^oo.
Коэффициент % подсчитывается по формуле (5.48). В большин-
стве случаев для нетермоизолированных стенок двигателя величина
коэффициента % ограничена пределами 0,90<у<0,96.
Во втором периоде тягу двигателя удобно подсчитывать по фор-
муле (2.17) или с учетом выражения (2.16) ио уравнению
k
Р-(1 + k) - vBF*pa (5. 53)
или
P==GJ1. (5.54)
Интересно отметить, что тяга не зависит от калорийности топ-
лива и определяется только давлением в камере сгорания. Это объ-
ясняется тем, что расход при заданном давлении с повышением
температуры уменьшается, а скорость истечения газа при этом
во столько же раз увеличивается.
Снижение расхода топлива с повышением температуры газа
в камере сгорания при сохранении тяги (К* = const; роа = const) по-
зволяет для заданного запаса топлива соответственно увеличить
время работы двигателя и величину полного импульса, сообщае-
мого ракете. Вследствие этого скорость движения ракеты растет
с увеличением удельной тяги двигателя (7.3); (7.1 К).
Уравнение тяги РДТТ с учетом нестационарной составляющей
В общем случае тяга определяется уравнением (1.9)
Р = <5-55>
dt
k
(2 \л—1
----) KBF*p — стационарная составляющая тяги;
k + 1/
-----нестационарная составляющая
тяги;
Г С V
А== I — полное количество движения газа
о s в камере сгорания.
Нетрудно показать, что и В самом деле, из
2g" dt
уравнения сохранения вещества (2. 6)
1________________ 1
О \/г—1 , f k—1 ,2 V— i ,
---- =:X0 1 л0) следует, что A0=const.
k Н"* 1 / \ k -р 1-/
Далее, предполагая, что распределение скорости вдоль оси
камеры является линейным © — -у- (см. § 9 гл. V), а плотность
, dx
газа — равномерная, т. е. а«>г — ыг—~, получим
i
g J l2 2g
о
Для первого и второго периодов, т. е. выхода двигателя на ра-
бочий режим, имеем
dL ___ даг Хоа* ,q
dt 2g dt 2,tf
Без учета скачка уплотнения в диффузоре сопла (5.55) тяга
для первого периода
р_k+1Gpa* . W* (Оп —Ор)
* . ^'в/'Т 0 'в/-* Ра
kg 2g
или
где
ь
/ о
^=(1 +*) (гп) /=Х1 [1 +х2(АГв.и — 1)];
\£ д- 1/
Для третьего периода работы двигателя, полагая процесс исте-
чения изэнтропическим, получим
» 5+L
dL ~ Лоа-е “к, д / р \ 2*
dt 2g ht (7р7/
Но для изэнтропического процесса истечения, как было пока-
зано в § 5 гл. II, давление в камере двигателя изменяется по урав-
нению (2.60)
27г
<Г ОО
где
в
k—\
2
поэтому
fe+i
д ! Р\ 2к _____ k + 1 6*, р
dt \Р™} ~~ 2~ Р-. '
Подставляя это выражение в уравнение для dLjdt, получим
где
fx0< (5.56)
р*___ о* Pt . р* _____ k
“ Poo ’ ~== k g
Оценим величину нестационарной составляющей. Для этого
1 dL „
найдем выражение относительно величины г= ~~ • Для второго
периода величина нестационарной составляющей тяги в соответ-
ствии с уравнением (5.56) равна
г__ k Хо 1 дат _______ k Хо оо
~k+\ 2 G^Kvt dt ~k+l 2KBt Gp
Для третьего периода относительная величина нестационарной
составляющей тяги определяется по формуле г = —.
Исключая Хо и полагая KBt~k, получим
1
_ 1/2 F* 1 „ , Д'*
rsj----(----------ж 0,1 —,
4\Д+0 Рк KBt вк
где FK — площадь поперечного сечения камеры сгорания.
При определении тяги двигателя нестационарную составляю-
щую не всегда следует учитывать вследствие ее небольшой вели-
чины. Так, для числового примера, приведенного на стр. 403,
При вычислении суммарного импульса следует помнить, что
+ ^ + ^3 + ^4
f— dt-Y f —
J dt 1 J dt 1 J dt
0 ZB fg+^s+fs
так как
dt—dL\ £(0)=0; £(^+/2+^+/4)—0.
§ 7. РАСЧЕТЫ ЗАРЯДА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ КАНАЛА
При заданной величине р«„ природе топлива (а; b или Wi, v)
и времени его горения t2 необходимая толщина горящего свода
шашки: 2е = 2н«Л — при двустороннем горении и e = uoot2 — при од-
ностороннем горении.
Поверхность горения при заданной толщине горящего свода
определяется весом заряда
5 = <5-57)
Пусть заряд состоит из п одноканальных цилиндрических ша-
шек, горящих с наружной и внутренней поверхностей. При этом
число шашек определяется наибольшей плотностью укладки
/г = 1-|-3[(т — l) + (m — 3)+(т — 5)+-..
где т — число шашек по диаметру камеры сгорания и выбирается
из условия
dK
т = ---
4е
Для т=1, 3, 5, 7 наивыгоднейшее число шашек в заряде п=1;
7, 19, 37. Допустимая длина I шашки определяется системой урав-
нений:
— критерий нормальности заряжания Ю. А. Победоносцева;
S — 2лп (dn — 2е) I (5.59)
— поверхность горения заряда.
Решение этой системы зависимостей приводит к кубическому
уравнению
/ о \
—/3—-4е2— —1/2 + —Z+ —= 0.
%н \ п лхи / л 4л2
Учитывая, что обычно хп^>//с/к, это уравнение можно свести
к квадратному.
Из уравнения (5. 58) наружный диаметр шашки равен
Отсюда приближенные выражения
(5.60)
1
«Н--
П
при этом d'n<^da<^ d’H.
Из уравнения (5. 59) имеем
где
S
2nnZ
ф2е.
(5.61)
Полагая в последнем уравнении dH = d'H или dB=d’H (5.60),
определим длину заряда
Так как действительное значение dB ограничено узкими предела-
ми dB<^dB<^dB, то и для / справедливо условие /')>/>/". В от-
дельных случаях, когда v.24/2/4«Z2 мало отличается от единицы, ве-
личину I следует оценивать по формуле /—0,5 (Z'-[-/").
При определении I по приближенным зависимостям необходимо
уточнить с/н и хн по исходным уравнениям (5.58); (5.59):
S , О
---------\-2e-.
2лп1'
__4паи1г
Хн1“^к“^2и1
Для обеспечения нормальных условий горения заряда на по-
верхности внутреннего канала необходимо, чтобы его размеры
удовлетворяли следующему условию:
Пример. Найти условия заряжания ракетного двигателя с одношашечным за-
рядом, обеспечивающим при давлении в камере р^ = 1(Х)ЪПс.м~, калорийности
топлива 900 ккал/кГ и расчетном сопле силу тяги 400 кГ в течение 10 сек.
Размеры соплового блока
Безразмерная скорость в выходном сечении расчетного сопла (2.21)
1(3.Н — X оо
= 3 V1 — (100)-°'2=
2,32,
где р„ = 100 кПсм2 — давление в камере сгорания;
------ = 3; £ = 1,25.
k — 1
Коэффициент реактивности сопла для 0=12° (2.19)
АГв= Xi [1 — Х2 (Хв.и— 1)1= 1.33
где
где
Кв.и =
‘В.и “Г Лв.И
=1.37,
In sec2 0
n=0,9S; Z2 = = 0,97.
Степень расширения диффузора сопла (2. 6)
vB =
ft—1
= 9,4.
Н й+1 М
Площадь критического сечения сопла (5. 53)
F*________________Р______________
г ~ k
, 2 Xй—1
(1 +
4000
--------------------— 25,6 с л/2,
1,24-1,33.100 —9,4-1
k
/ 2 \й—1
фй)(------) =1,24; й=1,25.
2
' 2
k + 1
Размеры заряда и условия заряжания
Единичный импульс двигателя (5.51)
J
J1 =--------------- = 204 кГ-сек!кг,
1 г?*
. , vBF ря
где У = —1/ ~7Л^Ж = 1/ 0.95-427-900 —==
У £ к 9,81 1.67
k
-=218 кГ-сек1кг\ Л^оо——2====== = 1,67.
Расход топлива (5. 54)
Р 4000 . „ ,
G = — =------= 19,6 кг сек.
71 204
Полный запас топлива
(O=G/=196 кг.
Скорость горения топлива при роо = Ю0 кГ/сек2 (5.65)
и™ = а + Ьр.х, ~ 10 мм[сек,
где
а = 4,5-10~2 дм)сек', 6 = 5,5-10—6— ----.
кГ1длА
Толщина горящего свода топлива
2е ~ 2u -. t = 200 мм.
Поверхность горения топлива (5. 57)
<о 196
S=— = —— = ]22,5 дм\
е8 1-1,6
Длина заряда при йк = 450; хн=Ю0; п—1 по формуле (5.62)
Наружный диаметр шашки (5.61)
S
du =-------- + 2е = 433 мм.
Члп1
Фактическое значение параметра хн (5. 58)
Внутренний диаметр шашки
dB = — 4е = 33.
Параметр-лв
\ хь=-~—=102.
\ “В
Температурный комплекс газа в камере сгорания (5.47)
k — 1
ЯТоо г=---= 0,2-0,95'4270-900 — 712000 дм,
k
где
= _ _у^ F_ _р~_ = 0,65-0,20-1,2-104 =
Л RQX S и^Ъ 320-900-0,1-1,6 ’ ’
vj = 0,65; <з = 0,20 ккал-дм]кг-град‘Сек;
F/S = 1,2.
Сближение результатов делать не нужно, так как при расчете единичного
импульса было принято %=0,95.
§ 8. ПРИМЕР РАСЧЕТА КРИВОЙ ДАВЛЕНИЯ В КАМЕРЕ РДТТ
ПРИ СТЕПЕННОМ ЗАКОНЕ ГОРЕНИЯ u=u,ipv
Результаты баллистического проектирования ракеты являются
исходными данными расчета РДТТ. Пусть эти данные будут сле-
дующими:
Р = 7350 кГ — тяга;
Ji=204 кГ-сек\кГ — удельная тяга;
<0=660 кг — вес топлива;
7)=454 мм — калибр ракеты;
/?в = /?н = 0,75 кГ[см2 — давление окружающей среды.
Физико-химические константы баллиститного топлива и его
продуктов сгорания следующие;
Q = 875 ккал)кг; иг = 0,3 мм1сек[кГ1см2-,
£=1,25; Vi=0,7.
Примем /?» = 70 кГ[см2 и /=0,98; ар —84 кг)мм2 — временное
сопротивление корпуса двигателя; /гр = 2 —запас прочности.
Размеры соплового блока
Безразмерная скорость газа на срезе сопла без учета
потерь (2.21)
где рв = 0,75 кПсм2 — статическое давление в выходном сечении
сопла.
Коэффициент реактивности сопла при истечении без по-
терь (2.22)
ZZ ^В,И ^В-И 1 О-7Е
кв. и = --------==1,375.
Коэффициент реактивности реального сопла (2. 19)
/<в = Х1[1+Х2(/<в.и- 1)]=1,33,
где /1 = 0,98; а /г при 9 = 15° согласно уравнению (2.20)
jn(1 + tg26) =
Л tg2 О
Относительный коэффициент реактивности сопла
ЛГВ=^ = О,8; К- = rk = 1,67.
В Коо /Л2— 1
Уширение диффузорной части сопла (2.6)
1
где rfB/rf* = 3,2.
Теоретический единичный импульс топлива (5.50)
= xAQx=y^^0,98-4270-875 = 273 кГ-сек)кг.
Потребный расход топлива и время горения основного за-
ряда (5. 54)
G=P/Ji = 36,15 кг)сек; = <o/G = 18,25 сек.
Площадь критического сечения сопла (5.46)
^68 2 F 690 СМ2
Л-Роо ’ В
где Л1 = 6,5 дм1/21сек;
= = 1 ~ 4270-875 = 855 дм1/2.
I Удельная тяга двигателя (5. 49) (поверочный расчет)
jr = KBJ._ ”-=273-0,8 —~ 6~....... 855=204 кГ-се/фг.
При рв = рп = 1,033 кГ]сек2 удельная тяга двигателя
л: 199 кГ -сек\кг.
Расчет размеров заряда
Толщина стенки оболочки РДТТ
tой=—-----=------45,4=0,4 см.
06 2[а]р 2-8400
Диаметр камеры сгорания
DK = D — 2/о6=44б мм.
Поверхность горения топлива (5.57)
S=—= -.....-° -=388 дм2.
еЬ 1,06-1,6
Толщина горящего свода заряда звездообразной формы
е=uoot = 0,3-7O0’7-18,25=106 мм.
Площадь поперечного сечения канала шашки
7\„ =—=—=3,88 дм2,
кн хв 100
где хв — критерий Ю. А. Победоносцева.
Длина заряда
, ы 660 ПЛ о ->
/=----=--------- = 34,8 дм,
STa 11,82-1,6
где
5 F-11,82 дм2.
1 4 н
Коэффициент тепловых потерь (5.48)
1 aTVj F Р«, I , 0,7-0,3 40 7000 I „ пп.
у = 1--— —-----------= 1 •--------------- -= 0,994,
RQ S а 320-875 388 1,6 0,06
где К~2,5(5т+Кк) «40 дм2 — поверхность предсоплового простран-
ства камеры с учетом конфузора;
сгт = 0,3 ккал дм/кг • град • сек — для термоизолированной по-
верхности.
Поскольку % больше принятого (/ = 0,98), то удельная тяга Ji
будет около 205 к£ • сек/кг.
Период автономного горения воспламенителя
и расчет веса воспламенителя
Исходные данные для воспламенителя:
8в=1,6 кГ)дм^; Qв = 750 ккал]кг; Л = 1,25;
ма=0,5 дм'1сек; U70=134 дм3; sT —0,3 ккал-дм[кг-сек-град.
Время горения воспламенителя по формуле (5.18)
7В = 0,04 сек.
Рассчитываем вес воспламенителя для обеспечения рВтах
= 4 А» = 47 кГ/см2.
О
Корни характеристического уравнения (5. 10) для п = 0
Л,2= + “ + 1094480,
2cj V \2су Cj
где
уг = 289 кГ{дм^; Уч=кГ/Зм4.
Коэффициенты характеристического уравнения (5.8):
с=0,25-4270-750=800000 дм-,
0,25-4270 0,7-0,3 40 л , 5.
с->=----------------=35,0 дм3 кг;
320 1,6 0,5
с3 = в' = 168
са=3-5--168= —8365 дм51кг;
2 0,04 '
с1= 1,25 6’52-0’682 = 38,5 дм?{кг2.
1 0,52-1,62 '
Наибольшее значение функции у (5. 14)
^ах=-^ + 1/(М+-^- = 143,5 кГ1дм\
При помощи равенств (5. 12)
— (1/1-1/2)=^-360=83 г1сек’’
с3 168
Й!1^0: пу=^-1-^2-^-=-4,06
Уч —71
определяем время достижения давления рВтах (5.15)
сек-
п ШйЛ Q t> 1
*/тах У1
Необходимая начальная поверхность воспламенителя (5. 13)
т
р a 7 47ООР1’09
о = Л.в max----------------------= 97 дм2.
tax 143,5
Вес воспламенителя при К=1 (5.17)
ю=50в«в8в/в 2—---= 97-0,5-1,6-—-—0,04=1,35 кг.
О VD 0 0 О 7 7 СХ 7 ’
т ‘ 2
Поправка на воздух дает (5.21)
"’в1
= 1,42 кг,
где
(,1,r>= V,cw:/o' 0,173 кг.
Координаты кривой автономного горения воспламенителя
(5.13):
t в сек........................... 0.С01 0,008 0,014 0,0218 0,03 0,04
рв в кГ[дм2....................... 430 2840 4200 4670 4300 3170
Период совместного горения
воспламенителя и топлива
Расчет произведем для момента вспышки £всп = 0,0135 сек
(Вариант I) и давления вспышки топлива рвсп = 4000 кПдм2
время совместного горения
(zBcn=p’~v =12,2), разбив
интервала (рис. 5.2).
на
четыре
Первый интервал: t= 0,0135:0,017 сек-, АС = 0,0035 сек.
Средняя площадь поверхности горения воспламенителя в пер-
вом интервале
_ А-
Sb1 = SObc 'в =97е~50'0'0135 =48 дм2-,
to
- m ——
Sb2 = SObc в = 97c~50'0,0l70=41,3 Рж2;
5в.ср = 44,6 дм2,
откуда 1 1 5B.cpuB Х2-]Щ Sui Pep- = 1 + 2,86 • 10-3= 2,42, 388 1,16-Ю-4
где zz^i.ie-io-4 —- сек 1 дм2
р-> = 4000-0’7 = 2,86 • IO-3
и, следовательно,
Zi=(X2-1)^+1=1,42§?+1=2,22.
Q 87о
Корни характеристического уравнения (5. 327) на расчетном интер-
вале
23,2 —
/2 С 2
k
7.2 Уз Т
где коэффициенты характеристического уравнения (5.34),
c = -i-.4270-875 = 935000 [Р.и]; с1 = 4600 [йм];
(5.35)
Z2Z3 ~ — 4,7 «Ср
134-104
• —:------------
3 388-1,6-1,16
с2 = 0,07«С;
1980 [дм-сек].
Поэтому можно пользоваться формулой (5. 36)
« ~± ]/м= = ± |/-=4—2—2,42-2,22= ± 33.
Определим параметры 77г и р
/7г = г_^~г1 —12,2~ 33_ _ 0,46.
г'всп—^2 12,2 + 33
.(! v) —L(zt - z2) = 0,3 -^22— 66=19 1/сек.
7_2<+ 2,42-1980
Давление в конце первого интервала определяется по уравне-
нию (5. 31)
_ 33 — 33-0,46 е“ 19'°’ОО35_
1 + 0,46g-197°'0035 ~ ’’
откуда
1
p2=z'-' = 13,23,34 == 5500 кГ1дм2.
Второй интервал: ^=0,017 +0,024 сек; А£2=0,007 сек; гвсп=13,2.
Средняя площадь поверхности горения воспламенителя во втором
интервале
5 =97 g-ro-0,017^4! з ^2.
В*- *
Sb3 = 97<?“50'°'024=29,0 Ли2,
откуда SB.Cp=35,l дм2.
Давление на участке А^
Рз = р2 ± (р2 - А) = 5500 +1500 = 7000 к Г {дм2;
РсР = 0,5 (р3 + р2)== 6250 кг{дм2;
р—= 6250-'л7 = 2,2-10‘а.
7 ср ’
Параметры /
/2 = 1± °,5'30з—2,2-10-;!:-Л,858;
Л ' 388-1,16-Ю-4
Z1 = 0,858 ^+1 = 1,735.
875
Корни характеристического уравнения
Г 935 000
|/ 4600
1,858-1,735 = ±25,6.
Параметры /7г, р и z:
13,2 — 25,6
13,2 + 25,6
-0,32;
Р=О,3------—-------51,2=19,2 1/<
1980-1,858 '
_ 25,6 —25,6-0,32е“ 19’2'0’007
Z~ 1 + 0,32е—19,2'0’007
Давление в конце второго интервала
р,,= 13,43’34=5900 кГ>дм2.
Третий, интервал’.
/ = 0,024 = 0,032 сек-, Д/3 = 0,008 сек- zBCtl=13,4.
Средняя площадь поверхности горения воспламенителя
S, = 29,0 дм2\ Д,, —20,0 дм2-, 5В =24,5 Дм2.
Определим давление р”^
р4=6300 кГ)дм2; рср = 6100 кГ[дм2;
р~; = 2,24-10"3.
Параметры /:
X2=l,61; Zi= 1,522.
Корни характеристического уравнения
__ /935000
1’2~±У
1,61-1,522= ±22,3.
Параметры Пг, 3 и z:
13,4—22,3
13,4 + 22,3
~0,25;
3 = 0,3 ———-44,6 = 19,3 1/сек;
1980-1,61
— 22,3-0,25е~ ’С3'0-008
1 + 0,25е~ 19’3'0'008
13,5.
Давление в конце третьего интервала
р4 = (13,5)3'34 = 6030 кГ]дм2.
Четвертый интервал-.
t— 0,032 = 0,04 сек-, Л/4 = 0,008 сек-, zBCn=13,5.
Средняя площадь поверхности горения воспламенителя
5в4=20,0 дм2- 5в5=12,9 дм2-, Scp = 16,45 дм2.
Определим давление р~^
р5=6160 кГ[дм2- рср = 6095 кГ1дм2-, р-' = 2,24-Ю-3.
Параметры
Хл = 1,275; Х2 = 1,321.
Корни характеристического уравнения
Г9.35 000
|/ 4500
1,321 -1,275 = + 18,6.
Параметры /7г, риг:
_ 13,5—18,6
13,5 + 18.6
-0,159;
8 = 0,3---—-------37,2=19,6 \1сек;
1980-1,321 '
18,6-0,159-е- 19,6-0,008
1 + 0,159-е-19’6'0-008
= 13,6.
Давление в конце четвертого интервала
р: (13,6)3'34 = 6160 кГ/дм2.
Выход двигателя на режим после сгорания воспламенителя;
Х1 = Х2=1; Дсп =13,6;
z =+l/~ 221222-=^ 143.
V 4600
Параметры Пг, риг:
‘ 1980
__ 14,3— 14,,3-0,025-е-20А<
1 + 0,025-е-204/
откуда для / = 0,06 сек и / = 0,08 сек соответственно имеем:
д/ = 0,02 сек; д/= 0,04 сек-,
z= 13,85; z = 14,25;
р=6620 кГ)дм2; р = 6920 кГ)дм2.
Период совместного горения воспламенителя и топлива рассчи-
тывался, кроме того, для двух моментов вспышки (рис. 5.3).
Вариант II: /Всп=0,032 сек; /?ВСп=4000 кГ/дм2 (точка 3).
Вариант III: /ВСп=0,005 сек; рвсп=2000 кГ)дм2 (точка 1)
Результаты расчетов следующие:
Вариант II
t в сек ... ................... 0,032—0,040 0,060 0,080 0,010 0,012 0,014
р в кГ!дм2..................... 4900 5700 6250 6600 6820 6980
Вариант III
t в сек 0,005—0,0135 0,0135—0,017 0,0170—0,024 0,024—0,032 0,032—0,0400,06 0,08
ръкГ^лР- 1000 8290 9930 10900 10800 8000 7100
Результаты расчетов совместного горения топлива и воспла-
менителя показывают большую чувствительность величины проме-
жуточного максимума к моменту вспышки (см. рис. 5.3).
Для момента вспышки /Псп = 0,005 сек (точка 1) величина про-
межуточного максимума составила ртах =109 кГ1см2, т. е. в 1,6 раза
больше /?», а для моменты вспышки Дсп=0,032 сек (точка 3) вели-
Рис. 5.3.
чина промежуточного максимума равнялась р^ах =47 кГ1см2 или
68% Рсс. При Дсп=0,0135 сек (точка 2) получается плавный выход
РДТТ на режим.
Суммарный импульс РДТТ
Js=J1co = 204-660= 135000 кГ-сек.
Время периода последействия тяги для рк= 1,5 кГ/см2 (2.61)
1 р I/O
/,=—In——=----In — = 0,5 сек,
₽ Ри 7,85 1,5
где
?==(/ J= /1Д536Д5 = 7 85 у
5,15
Я7Д
7000-545
740 000
= 5,15
кг;
/?7\=^хД(?ж^740000 дм-,
ГК = ГО4-—= 134+—=545 дм\
к и 1 8 1 1,6
Полное время работы двигателя
/б=/всп +/i + /3=0,0135 + 18,25 + 0,5 = 18,635 сек.
Особенности расчета выходных характеристик для РДТТ на сме-
севом топливе изложены в § 14.
§ 9. ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ ПОТОКА ГАЗА В КАНАЛЕ ЗАРЯДА
И ИХ СВЯЗЬ С ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ НА ВХОДЕ В КОНФУЗОР СОПЛА
Задача определения закона изменения параметров состояния
потока газов, омывающего поверхность горения заряда, имеет прин-
ципиальное значение для расчета скорости горения топлива с уче-
том эффекта его «раздува» или эрозии.
Согласно распространенной модели горения заряда скорость
его горения и определяется статическим рх (или полным рОх) дав-
лением и плотностью потока (<щ)ж
Распределение параметров рОх, и , (qw)x вдоль поверхности
горения определяется на основе законов:
— сохранения энергии (2.3)
Го =const=7' II 1 — — -Xi-'j;
1\ Н 1 J
—механики (1.8); (2.8)
(^+x-1)=const; (5-63)
— сохранения вещества
Gx=~ 8 X^uxdx. (5.64)
b
Здесь для фиксированного сечения канала заряда х—х
(рис. 5.4) введены обозначения:
ТОх- полная температура потока газа;
Rx — полная реакция потока газа;
+ ~ безразмерная скорость газа;
Gx — расход газа через фиксированное сечение канала заряда;
Z — длина канала;
х—координата фиксированного сечения;
их— скорость горения заряда вместе фиксированного сечения;
Отметим, что уравнение механики в принятой записи (7?ж=
= const) справедливо только для постоянной площади поперечного
сечения канала заряда (dF/dx = 0). При эрозионном горении
dF/dx>0 найденные ниже
формулы для рх, и, (ру)ж
являются приближенными.
Прежде чем приступить
к решению поставленной за-
дачи определим параметры
состояния потока в сечениях
О—0, 1—1 (см. рис. 5.4)
камеры РДТТ в зависимости
от величины поверхности
горения.
При заданном значении
площади критического сече-
ния сопла F* полное давление р00 на выходе в конфузор опреде-
ляется уравнением сплошности потока
Gn-Gp
dmr
dt ’
Sbucv-AXF*
Poo
V^o
$Yo«cl>,
откуда
S ^cn /--- ^T00
= (8-Yoo)TEVRTw =------------,
V FToo „ + 1
O«cp
1 г
где иср =— i иxdx — среднее интегральное значение скорости
1 горения;
. /г+1
/ /2 \*-1
А —I/ kg (—постоянная расхода;
Too— —полная плотность газов на входе в конфу-
^00 зор.
Величиной уоо можно пренебречь, так как на практике обычно
б»уоо-
Безразмерная скорость дозвукового потока при входе в конфу-
зор согласно уравнению сплошности для изэнтропического потока
1
_2_V-1
Л+1/ Fo’
так как для Х0<0,5 можно принять
/ k— 1 \ft_1
Если для Х0<_0,5 функцию (1-----------) разложить в ряд и огра-
\ k + 1 /
кичиться первым членом
1
1
где Fo — площадь поперечного сечения камеры.
Связь между безразмерными скоростями Хо и Zi найдем из уравне-
ния механики для дозвукового потока
#o=#i + (^о- Л) Pi
или
1-^Х?
(wwiHutr 9—V2—’
откуда искомая величина
Х1===^о — д/ — — — —
о V а? о Fi
ИЛИ
>.^ Д ---------1
у Fl Fq
Хо + V
где Ко=--------коэффициент реактивности потока на входе в
2 конфузор;
o==l_^zzlp---й .
k + 1 \f’l /
При решении практических задач отношение F0/Fi удобнее запи-
сать через поверхность горения S и параметр х
Fp —'’^о
Fl s
Тогда для Xi получим приближенную зависимость
Таким образом, безразмерная скорость потока Zi на выходе из
канала заряда прямо пропорциональна параметру заряжания
Ю. А. Победоносцева.
Полное poi и статическое pi давления потока в выходном сече-
нии канала заряда определяются формулами (2.9), (2.11):
Pi=Poi(l
При допущении, что площадь поперечного сечения канала за-
ряда сохраняется неизменной по длине (dF/dx=0), величину дав-
ления на дно камеры /?дп найдем из уравнения механики (1.8)
р+ег>2=Рдн,
откуда
Рх
Рлп
1 + Ш* 1 + /Т.
।1 /2
k + 1
Подставляя найденные значения pi и Zi вместо рх и для рдн,
получим
1 ' Л2
Рли =--------гН------- Р1 (Х1) Роъ
где
Величину Xx(Xj) определим также из уравнения механики (5.63)
или на основании уравнения (2.3)
где в соответствии с уравнением (5.64)
i
(' ur dx
______~±_
°х УUxdx х
о
Решая квадратное уравнение относительно ZA-, получим
или
Ki + V 1
так как X-’=/у 4-У/Q — 1 , а величина дроби
а =
Кл + V К]- 1
мало отличается от единицы и ограничена пределами
2/<!
так как
Таким образом, в первом приближении закон изменения стати-
ческого давления продуктов сгорания по длине канала заряда вы-
ражается уравнением
k + 1 1 /2
Рх^Рм
2
1 /2
На основании очевидного соотношения = для за-
кона изменения плотности потока вдоль оси канала заряда£имеем
так как
Газодинамические потери давления в камере сгорания РДТТ
где
Коэффициент т] характеризует общий относительный перепад
давления вдоль камеры РДТТ.
§ 10. ОСНОВНОЕ ТРЕБОВАНИЕ К ТОПЛИВУ ДЛЯ РДТТ
Стремление получить топливо с высоким удельным импульсом
(удельной тягой) определяется желанием иметь ракету наимень-
шего веса. Однако на практике можно прийти к обратному резуль-
тату. Поэтому разработка высококалорийных топлив с высоким
удельным импульсом является актуальной только в том случае,
когда перспективное топливо обеспечивает нужные потребные ско-
рости горения *.
Иногда на практике выгоднее использовать топливо с потреб-
ленной скоростью горения, не считаясь с возможным при этом сни-
жением удельной тяги. Подобное заключение вытекает из анализа
уравнения чувствительности запаса топлива к его скорости горе-
ния и удельной тяге РДТТ.
Покажем справедливость высказанного положения на простом
примере. Рассмотрим ракету, движущуюся с постоянной скоростью
по эквипотенциальной поверхности. Для этого случая запас
топлива
где х; т: — путь и скорость ракеты;
d »2^4-d0 — калибр ракеты;
сх—коэффициент лобового сопротивления;
of0 — эквивалентный диаметр внутреннего канала заряда;
7 = ^—скоростной напор.
* Под потребной скоростью горения следует понимать такую ее величину,
при которой калибр ракеты не определяется диаметром корпуса РДТТ.
Так как поверхности горения одноканального заряда («звездка»
или «щелевой») связаны для заданного критерия Ю. А. Победо-
носцева х соотношением
где
c Я 1 я'2
5 = — с XI--------------;
4 о и J
ev
11 =—
то можно записать
Cx I
— q —
или
d,
2е
Поэтому
-----и] — 1
сх<1
а
2е
_L
& и J
du> ___de dl
« ~ e~ 1
de
/
е
Учитывая, что сумма последних двух членов мала, можно принять
du_2de dl
w el
Так как при заданном
времени горения топлива t~x!v
de = t du = — du,
v
то
dm 2 du dl
о a J ’
где du
превышение скорости горения топлива над потребной
величиной.
Следовательно, запас топлива приблизительно в два раза чув-
ствительнее к скорости горения, чем к удельной тяге. Вследствие
этого может оказаться, что топливо, имеющее весьма большую ско-
рость горения и высокий удельный импульс, недопустимо увеличи-
вает вес ракеты по сравнению с весом ее варианта на топливе с ма-
лым удельным импульсом, но обеспечивающим потребную ско-
рость горения.
Таким образом, наименьший вес ракеты с РДТТ может быть
получен только в том случае, если твердое топливо обеспечивает
высокую удельную тягу при нужных скоростях горения.
Проведенный элементарный анализ указывает, что твердое топ-
ливо в отличие от жидкого не может быть универсальным и при-
годным для любой ракеты, независимо от ее тактико-технических
характеристик. Очевидно, для каждого класса ракет должно быть
выбрано топливо со своим диапазоном скоростей горения.
Поэтому при расчете и проектировании РДТТ особое внимание
следует уделить выбору топлива. От величины удельного импульса
топлива и его скорости горения зависит стартовый вес ракеты. Вы-
бор топлива следует производить на стадии баллистического проек-
тирования ракеты при минимально возможном калибре.
§ 11. ОСОБЕННОСТИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ РДТТ ДЛЯ ТОПЛИВ
ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ИХ ЗАКОНОВ ГОРЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
ЗАВИСИМОСТЬЮ и=а + Ьр И ФУНКЦИЕЙ ТИПА САММЕРФИЛЬДА
а+ b рп
Стремление получить теоретическую зависимость для скорости
горения, а также обеспечить приемлемую стабильность постоянных
а и b в широком диапазоне изменения давления сжигания топлива
в РДТТ привело к появлению новых выражений для скорости
горения
и = а-\-Ьр; (5.65)
Формула (5.65) иногда используется для баллиститных топлив.
Выражение (5.66) предложено М. Саммерфильдом для горения
смессвых топлив (га = 2/3). Оно имеет теоретическое обоснование,
построенное на приближенном решении термохимических соотно-
шений и уравнений теплопередач.
Решение задачи выхода двигателя на режим
для линейного закона горения и = а1 + Ь1р
Все промежуточные выкладки для уравнения p(t) при линейном
законе горения остаются теми же, что и для степенного. Подставив
420
в уравнение (5.30) зависимость для скорости горения и разделив
переменные, получим
------------= dt. (5. 67)
с (ау + />1/02 — СцР2 ~ с2Р («1 + Ь1Р)
Характеристическое уравнение знаменателя
с (аг + tpp)2 -clP2 — с2р (aj + Ьгр) = 0
можно представить в виде квадратного уравнения относительно р:
са2-\- (‘2са1Ь1 — с2а1) pJr(cbp---c,—- c2b^) p2 = Q,
откуда
Р^~^ + (5-68)
2(Л2 г 4^2 (J-2
где
'.J'i = 2ca1^I — <i2~cb2— ii = ca2.
Приведем дифференциальное уравнение (5.67) к виду, удобному
для интегрирования
c-^lPi-p^d^aJ^----------1-^--^}. (5.69)
\Р — Pl р-'РР \P~P1 Р— Р21
Интегрирование уравнения (5. 69) от 0 до t и от ръ до р позво-
ляет получить зависимость t(p) в следующем виде:
— (/21 — p^t — (Zj (1П —-—---1П —---'l+
с.3 \ Рв"Р1 ра~ Pi J
4-^1 (Pi in —— p2 in - -p- -1,
\ Рв — Pl Pb~ Pi J
откуда после потенцирования имеем
Р~Р1 / Рв~Р2 У _ g w
Рв - Pi \ Р~ Р2 )
или
где
____ “2~ . о ___ Р2 Pl—' Р'2
И —_; Р} — •
с3 zzloo
Ui = а14" b\Pi, и2,х, — аг-\-Ь1р2.
Уравнение (5.71) решают аналитически, задаваясь рядом зна-
чений р; в интервале pB^p<Pi находят соответствующие значения
времени и строят зависимость p(t).
Пример. Рассчитаем выход двигателя на режим при автономном горении
основного заряда, скорость горения которого выражается зависимостями
п = а14-61р; и = и<р\
Дано:
S = 120 Ли2; F = 144 дм2;
Г 0,256 5 = 1,6 кг,1дм5; ккал дм
1FO = 25 Ли3; зт = 0,39 ; кг‘град -сек
R = 320 кГ дм; кг г рад; k = 1,25;
Л = 4270 кГ-дм[ккал; Л; =6,56 м[сек;
ра = 50-Ю2 кГ/дм2; рх =76,62-102 кГ!дм2; дм / кг
zB = 81 400; zzj =4,684-10-6- / ; сек2 / дм2
= 4,03-10~2 дм/сек; v = 0,573;
дм / кГ Л =4,9-10-6 / сек / дм2 Q = 900 ккал!кг.
= 0,65;
Линейный п степенной закон скорости
для выполнения очевидных условий:
горения твердого топлива выбраны
zzBj — ив2 z/ooj — <)•
Результаты расчетов усредненной величины давления сведены в табл. 5.2
и показаны на рис. 5. 5.
Сравнение расчетных кривых p(t) показывает, что они в пе-
риоде выхода двигателя на режим заметно не совпадают. Это не-
совпадение указывает на влияние вида закона горения и(р) на кри-
вую p(t). Как следует из анализа кривых, расхождение значений
давления в камере сгорания при замене линейного закона степен-
ным может достигать 15% и более.
Таблица 5.2
t сек И ~ и = ai -у b\p t сек и = U-iP'1 и — at + Ьхр
0,005 58,5 52,6 0,035 75,0 64,50
0,010 64,5 55,2 0,040 75,4 65,40
0,015 68,5 57,5 0,060 76,45 70,00
0,020 71,5 59,7 0,080 76,52 73,00
0,025 73,2 61,5 0,100 76,6 74,80
0.030 74,2 63,0
Решение задачи выхода двигателя на режим
для зависимости Саммерфильда
Для скорости горения смесевого твердого топлива Саммерфиль-
дом была предложена формула
Р
а + Ъ р11Л'
Следуя Саммерфильду, ее можно обобщить для смесевого топ-
лива в виде зависимости (5. 66)
р
а + Ьрп ’
и
придав ей более гибкий характер при аппроксимации опытной кри-
вой и(р) вследствие введения третьей постоянной я.
Уравнение для скорости горения (5.66) в отличие от рассмот-
ренных выше равенств (5.29); (5.65) содержит три постоянных
(а, Ь, п) н поэтому позволяет более точно воспроизвести экспери-
ментальную зависимость н(р) на достаточно большом отрезке из-
менения давления. Иными словами, постоянные а, Ь, п слабо зави-
сят от давления сжигания топлива. Их величины в основном
определяются природой топлива, т. е. его физико-химическими
константами.
При такой зависимости для скорости горения дифференциаль-
ное уравнение кривой изменения давления в камере сгорания
РДТТ при его выходе на режим интегрируется, если ввести пере-
менную
z=a-\-bpn=-2-.
и
Тогда исходное дифференциальное уравнение (5.30) приво-
дится к виду
Q = Hi-z2 + ,
так как
' 1 л—1 ' ' zt=nbp pt или pt — —г- , nbp
то Pt . z 1 z и z — a n
После разделения постоянных получим = _я£и dt (г_а)^2 + £21г_ M \ СП с11/
или Zdz I 1 1 \ Гц Z , ,, ) = — П -И- (^ — Z2) dt, z — a \z— zt z—z2/ c31
где c4 = c; cll = c1U1; C2i = r2w1; e31 — r3u1; (5.34) ^lr2=_-^L±1 / (2iLy+_14_. ~cn |/ {2c tlJ cn
Так как i_/ i___j \ L_f ] i z — а z—z2) z-t — a\z—zY z — a J 1 / 1 1_\ — a \Z—z2 z — a / ’
то дифференциальное уравнение приводится к виду
1 zdz 1 zdz 1 zdz । 1 zdz ,, ,,
------------------------------------1-----------= _
z-i—a z—zt z^—a z—a z2— az—z2 z; — a z — a
где Bj = «(sy — z,) — . (5.72) c3
Если параметры a; Z\ и z2 постоянные, то любой член может
быть приведен к виду
zdz , , dx , , -=(«; ; z2) — 4-afx, z — (fl; zf, zs) x
где
X = z— (a; zy; z2).
Интегрирование в пределах от Zo = a + bpon до z = a + bpn и от
О до t приводит к зависимости
1 ( , z — г, , z — а\
------ Zj In------i a In- —
Z\— a\ z0---z,--------------------zQ--a'
1 ( . z — z, t z — a\ rj ,
---------z2 In-------- — a In------- = — ^t,
z2~a\ z<r-z, z0 — a/
так как
dx , , \ < z—Zi
---ax = Zj In------1
X J Zq—Zj
. z — a
a In------
z0— a
zO~~Zl
z—a
J dx — Q.
z„—a
Найденное выражение после алгебраических преобразований
приводится к виду
(5.73).
где
zv - а ' ' Zj— а '
а z. z>_
--; 0 =--±—
— a z>—а
На практике, чтобы получить кривую p(t), необходимо по-
строить зависимость z(t), задаваясь значениями z от z0 до z0O = Zi
и получая отвечающую им величину t. После этого кривая z(t)
перестраивается в координатах р-, t, причем используется соот-
ношение
1
<5-74)
\ b j
Рассмотрим приложение найденных уравнений p(t) к решению
задачи отсечки тяги двигателя в случае, когда горение топлива
л. Р
в процессе отсечки подчиняется закону и = игрх или и =--------- .
а + Ьр
Пример 1. Необходимо найти закон падения давления в камере сгорания при
отсечке тяги путем мгновенного вскрытия дополнительных сопел. Задачу решим
в предположении, что скорость горения не зависит от производных давления
по времени duldpt =0.
В этом случае закон падения давления может быть найден по любой фор-
муле p(t), взятой для любого закона скорости горения. Для этого достаточно
изменить площадь критического сечения сопел на величину площади критического
сечения дополнительных сопел Л/7*, а постоянную с, подсчитать по формуле:
— при одночленном степенном законе горения
А] (С* +
S2B2«j
— при законе горения типа Саммерфильда
(F* + ДЛ*)2
S2J.2
(5.75)
(5. 76)
а затем найти рте2, Г'-
При определении параметров гв вместо начального давления (при < = 0) сле-
дует подставить величину давления в камере сгорания до момента отсечки (p»i).
Время переходного процесса tt с точностью до 1%, т. е. продолжительность
спада давления от рте! до 1,01рте2, может быть найдена по формулам (5.39)
и (5.73).
При проектировании узла отсечки удобнее задаться величиной рх.2, при кото-
рой наверняка горение заряда затухнет, и, пользуясь формулой (5.75) пли (5.76),
найти необходимое значение Ci, а затем определить потребную величину
ЬР* ------
I’ли
у у
А
Для определения необходимого значения С|(рю2) можно пользоваться урав-
нением (5.33) или (5.72), положив z = 0:
с -= 'УД + e2z^2; с cuz^2+с21г^2,
где — при одночленном степенном законе горения;
z..: 2 =а + Ьр\ 2—при законе горения типа Саммерфильда.
Тогда для Cj получим формулу
c~c2zx2 c — c^z^
ci ’ 2 ; сп — _2 ’
гоо2
где с --- (/г— 1) .4Q;
, aTVj Л 1 1
с2 = (5- 1) А—-— —- — ------— при одночленном степенном законе горения;
7? S В и ]
4TVj F 1
с2= (к—1) Д—--------— — при законе горения типа Саммерфильда.
R S В
Кривая уравнения спада давления в камере РДТТ в общем случае пред-
ставлена на рис. 5. 6.
Пример 2. Найти изменение параметров состояния газа в ресивере при вне-
запном изменении площади отверстия истечения (рис. 5.7).
Пусть по каким-либо соображениям требуется поддерживать давление рз
в ресивере, питающимся стационарным потоком газов от газогенератора, на лю-
бом требуемом уровне.
Обеспечение требуемого уровня давления рз достигается путем внезапного
изменения площади f3 на величину Д)з- В общем случае может быть Л/'3^0.
Параметры состояния газов в полости газогенератора (р,; опреде-
ляются по формулам для твердотопливного ракетного двигателя с учетом тепло-
отдачи в окружающую среду через боковую поверхность (5.47); (5.48)
где
k — 1
/г
] _ va 22 ДРч
R S Qlr. 0 ’
Рис. 5. 7.
Для давления в
камере газогенератора, после выхода его на режим прн
Pi
справедливо соотношение (5.42) при tB—0:
Su_^
В =---;
Wo
Z\ — г0
Hz~- —-------L
го — г0
г1.о = /Ф,о
с2 ,
г1’2^”2С1 1
-Z,nz(\ -\-Btr '
и —
с
и;52'с2
Те
~ 1 — — ;
Т}
VjS 1
с2 =- (* — 1)Л-—----
к.
«1 S ’
= (1 — v) (^! - г2) k и~;
S—поверхность горения заряда;
Ид — начальный свободный объем газогенератора;
Q — калорийность топлива заряда;
Ро — давление в камере газогенератора в момент вспышки его топлива.
1
Для инженерной практики можно принять pi=p0 и pi=Zi ~У. Параметры
состояния газа в объеме ресивера, имеющего постоянный объем (Д') и критиче-
ский режим течения через отверстия ft; f2; f3, описываются уравнениями сохране-
ния энергии и вещества
и
Q'r=U't+pW't
, так как W't - О
где
siAifi^=^ = A^-f> +
Рз
/ RT3
а- 1
/г—1
:2; £з — коэффициенты расходов.
Для стационарного режима работы газогенератора
Pl
1 / R1\
~ const; Pi = const и Г] = const имеем
Qc~ GycрТ j — (О2 + Оз) срТА;
, ^Pt
и.
Поэтому
(е2Л + ез/з )“
Oj —
Рз + ^~Рз1
(k—^GyCpTi^-k
или
Л2 W ,
{k —- l)^Qx == k Oa/j + ез/з)2 Рз + Рзр
так как
CpTi^-fAQ; ^<Ob
С учетом
тепловых потерь
вследствие теплоотдачи через поверхность F2 ре-
сивера в окружающую среду:
=
V] а
~R
уравнение сохранения энергии
принимает вид
И; VjO Д2
(k - 1) -fAQ -k ез/зЫ + (k - 1) -4 —- -Г P3 +
Vj4 F2
W
IR Oj
~ Г Рз/’
О1
(ЬЛТ)
где а=(0,3-И) ккал дм/г • сек кг;
А =427 кгм/ккал.
После интегрирования и потенцирования, получим формулу
^31—Аз2^0е ?t
1 - Пое~?‘
где
. и „ Рол ~ Psi
Рз (1 2) == И1 ± V 1’1 + Iх; П0 -=---------------------;
' РОЗ — Р32
k—1 Vp Р-2 (?! 1 ^QGj
2 .U-1 - А ------- —5"---------------------; и. ---------- у —п------------------'
k R А\ ./..)й k ''^(е2А —з/з)2
(Р31 — Р32) k
^ОзЛ + ^з/з)2
IFG,
При отсутствии теплоотдачи (а = 0) для установившегося режима работы реси-
вера /->оо при фиксированных значениях дц f2; fa в ресивере согласно уравнению
(5. 78) устанавливается давление
(7, ._ fk — 1
Рз- -- Р31 ----- . Т f ~ I/ —y~AQ'
-4] (Pzf? -i~ гз/з) V k
Если площадь f3 внезапно изменить на величину Afa, то давление в ресивере бу-
дет стремиться к новой предельной величине
н с'\ / k—\
Рз<* ~ \ I г I/ /- Z-4Q-
Л (лгЛ + оз/з + =3Д/з) у k
При этом р3оо в уравнении (5.78) следует рассматривать как начальное дав-
ление роз-
В этом случае относительное приращение давления составит
—„ ’зА/з Рз-.~Рз-
±Р ... ----------
г2/2 -J- г3/3 ф- г3Д/3 р.,^
Эту величину можно найти приближенно из уравнения, характеризующего соб-
ственно переходный процесс. Это уравнение является результатом линеаризации
дифференциальной зависимости процесса изменения параметров состояния (5.77),
полученный в результате раскладывания его в ряд Тейлора по параметру воз-
мущения f3.
Для скорости изменения приращения давления, ограничившись производ-
ными первого порядка, получим
где
, dP3t dP3t
< ^P3)t - л- —— ^Рз,
д/з дрз
dP'3t
df3
(znfi + г3/3)
- — 2k------------------
WG1
/’оз-------Ь’
dP3t ^i(£2/2 + Ез/з)2 k—1 va
-------- — 2k----------------- —------- A -----Ft, =----
()р-л WGX k RW ‘
Поэтому в результате линеаризации имеем
^Pst + а^Рз + ^Д/з ~ О-
Интегрирование этого уравнения дает формулу
А/73- Л/3(1-е“о/).
а
После подстановки выражений для а и Ь получим
где рол — р-б1 — предельное давление в распвере, отвечающее площади исте-
чения /2 + /3.
Оцепим погрешность приближенного решения. Приращение предельного дав-
ления (7->-оо) в результате внезапного изменения площади на А)3 согласно фор-
муле (о. 79)
Ошибка приближенного решения составит
Ад" —Ар„ е-А/л
< Зое -г Зоо 3 J 3
Роз (езЛ + Ез/з + г3Д/з)(ез/2 4-езЛ) ’
Если A)3< (f3 + Гз) и их величины отличаются на порядок, то ошибкой при-
ближенного решения можно пренебречь.
§ 12. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ РДТТ
ПРИ НАЛИЧИИ КОНДЕНСИРОВАННОЙ ФАЗЫ В ПРОДУКТАХ СГОРАНИЯ
В целях обеспечения более высокого единичного импульса в со-
временных ракетных двигателях применяются топлива с металли-
ческими компонентами. При сгорании такого топлива образуются
окислы металлов твердой или жидкой конденсированной фазы.
Наличие их в продуктах сгорания топлива приводит к снижению
уровня газообразования и нагрева газовой фазы, так как опреде-
ленная доля тепловой энергии, полученной от сгорания топлива,
аккумулируется конденсированной фазой. Это обстоятельство при
заданной площади критического сечения сопла неминуемо приво-
дит к некоторому уменьшению давления в камере сгорания и уве-
личению расхода топлива, т. е. к снижению его к. п. д.
Поскольку конденсированные продукты сгорания (в виде ме-
таллических окислов), в отличие от газообразных, не могут совер-
шать работу расширения, их присутствие в ракетном сопле сни-
жает эффективность преобразования тепловой энергии продуктов
сгорания в кинетическую. При этом потери энергии будут двух
видов:
— потеря тепловой энергии, объясняющаяся более высокой
температурой конденсированной фазы по сравнению со статиче-
ской температурой газа;
— потеря частицами конденсированной фазы кинетической
энергии вследствие их отставания от потока газа. Кинетическая
430
энергия конденсированной фазы представляет собой ту полезную
часть тепла газовой фазы, которая затрачивается на разгон кон-
денсированных частиц продуктов сгорания.
Теплоподвод от конденсированной фазы в газовую по тракту
сопла позволяет снизить тепловые потери. Для частиц конденсиро-
ванной фазы очень малого размера полезный межфазовый тепло-
обмен существенно1 снижает общие потери энергии. Это объяс-
няется тем, что часть тепла конденсированной фазы, аккумулиро-
ванного ею в камере сгорания, благодаря межфазовому тепло-
обмену восполняет затраты тепловой энергии газового потока на
разгон частиц конденсированной фазы.
Непрерывный подогрев газового потока конденсированной фа-
зой делает течение в сопле неизэнтропическим. Процесс изменения
параметров состояния газа вдоль тракта сопла в этом случае
является комбинацией процессов, характерных для геометриче-
ского, теплового и механического сопел.
Дифференциальное уравнение кривой давления в камере РДТТ
с учетом конденсированной фазы
Тепловое и динамическое неравновесие фаз будем характери-
зовать коэффициентами Kv и /<т:
Ki: = vjv — отношение скорости частиц конденсированной фазы
к скорости газа;
Кт = Гт/Т00— отношение статической температуры частиц к пол-
ной температуре газа в камере сгорания.
По физическому смыслу К — коэффициент проскальзывания
частиц конденсированной фазы относительно потока газа, а Кт —
коэффициент, учитывающий теплоотдачу этих частиц в газовую
фазу потока за время их движения по соплу.
Чтобы судить о величине коэффициентов и /<т, нужно решить
задачу течения двухфазового потока в сопле. Независимо от совер-
шенства схемы расчета точность результатов зависит от того, на-
сколько хорошо известны исходные параметры. Особенно важными
являются размер частиц, коэффициент сопротивления и вязкость
порохового газа, поскольку эти параметры непосредственно влияют
на скорость частиц. Наши сведения об этих величинах довольно
ограничены.
На практике для заданной формы профиля сопла (конфузора
и диффузора) параметры Л’т и Кг могут быть найдены опытным
путем. Из опыта также может быть определена доля конденсиро-
ванной фазы в продуктах сгорания.
Для этого достаточно иметь три экспериментальные величины
единичного импульса для одной и той же модели РДТТ, имеющей
три разных длины диффузора: расчетное сопло, очковое сопло и
среднее между ними. Ниже даны уравнения, позволяющие по опыт-
ным значениям удельных тяг вычислить коэффициенты инерциаль-
ности конденсированной фазы Аф, /(т.
Найденные таким образом величины этих коэффициентов могут
быть использованы при расчете и проектировании других двигате-
лей, но только при условии соблюдения геометрического подобия
профилей конфузорной части сопла, так как в противном случае
возможно существенное изменение закона распределения конденси-
рованной фазы в критическом сечении сопла, что существенно
меняет величины коэффициентов инерциальности.
Так как дифференциальные уравнения кривой p(t) одинаковые
для баллиститного и смесевого топлив, то можно приспособить для
расчета индикаторной кривой и выходных характеристик двига-
теля все те уравнения § 3, которые были выведены применительно
к топливам, не содержащим в продуктах сгорания конденсирован-
ной фазы.
Выпишем исходную систему уравнений, определяющую кривую
изменения давления в камере РДТТ:
— скорость горения топлива
и=и(р);
— уравнение состояния газов
pW = ^vRvT-
— закон сохранения вещества
G..-GP=^; (5-80)
* dt
— закон сохранения энергии
Q't=U't + PW't. (5.81)
Здесь и{р) —закон скорости горения топлива, который опреде-
ляется природой топлива. В принципе может быть любая зависи-
мость и(р), важно лишь точно знать ее.
Для смесевого топлива расход продуктов сгорания
Gv = Gr-[-Gy = Gv-~-j ,
где Gr = .41/7* ---расход газовой фазы через сопла двига-
И RrTM Теля;
GT —расход частиц конденсированной фазы
через сопло двигателя;
Too, Too-полные температура и давление газовой
фазы на входе в конфузор сопла;
£ = GT/Gn — относительная доля частиц конденсиро-
ванной фазы в продуктах сгорания топ-
лива*.
* Величина £ находится термохимическим расчетом или определяется
из опыта.
Изменение объема камеры вследствие выгорания топлива вы-
ражается формулой
W = WK-~ — а'ю 4- Stidl,
К 2 1| 7
где IFK — полный объем камеры;
о;г — текущее количество газовой фазы в камере сгорания;
<о — полный вес топлива;
/У,.— газовая постоянная только газовой фазы;
а' — коволюм продуктов сгорания с учетом конденсированной
фазы.
Величина коволюма ч! определяется из уравнения
= откуда а'=а-]-----------------,
1 • 1 I7 I / 1 г \ 3
Yr (I — 4
где W ———---------объем, занимаемый конденсированной фазой.
(I — ?) Ут
Скорость изменения количества тепла в камере сгорания
q 1_i । ! ^Q.3 ।
dt dt ' dt dt '
где ^£l_= GUQX — скорость притока тепла от сгорания топ-
dt лива;
—ОгСрГоо —скорость оттока тепла вследствие исте-
dt чения газовой фазы через сопло двига-
теля;
—3=-= — arF(7’00 —Гс) — скорость оттока тепла вследствие тепло-
dt отдачи стенкам камеры сгорания;
—— = — GT ( —I —скорость оттока тепла, уносимого части-
dt ' / цами конденсированной фазы через соп-
ло двигателя;
ст— удельная теплоемкость конденсированной фазы;
7\; ут — статическая температура и скорость частиц конденси-
рованной фазы на срезе сопла.
Оставшееся количество тепла, полученного от сгорания топли-
ва, идет согласно первому закону термодинамики на увеличение
внутренней энергии газовой фазы продуктов сгорания
и на работу, совершаемую ими при расширении, вследствие непре-
рывного роста свободного объема камеры по мере выгорания
топлива.
После очевидных преобразований уравнение энергии (5.81)
сводится к прежней форме
(А-1) AQ^kA*^ -т-2—' ~ + +
<52 о 2 q.— усм ц2. (J
+ (й_ 1) _L Л К. 22_ (5. 82)
‘ ' /?г s г и st U
где
у2 = —l-h + —+ (5.83)
т l-Ucpk к! г/ H-I 11
— отношение коэффициента тепловой инерции К,- в общем
случае к коэффициенту тепловой инерции в равновесном течении
1 —---I
k+1 1
Величина коэффициента АД находится в пределах 1 АД^-1--
Верхний предел относится к случаю, когда частицы конденси-
рованной фазы покидают сопло прн температуре, равной темпе-
ратуре газа в камере сгорания. Нижний предел отвечает случаю,
когда температура частиц конденсированной фазы равна местной
статической температуре газа.
Таким образом, для кривой p(i) справедливы все прежние фор-
мулы (5.38), (5.70), (5.74), (5.34), (5.32), (5.46) при условии
замены в них параметра F* на хтА'-:.
Тепловые потери в камере РДТТ
Температуру газа в камере сгорания Тоо и коэффициент / тепло-
вых потерь вследствие теплоотдачи стенкам камеры РДТТ можно
получить, если из дифференциального уравнения энергии (5.82)
Mi F*/'ill,
исключить комплекс ——, пользуясь уравнением сохранения
5 ио
вещества (5.80).
После некоторых преобразований уравнение (5.80) примет вид
О„(1-?)-Сг^ТсхЛ«
или, подставляя значение Gr, получим
Sat (1 -;)-
I ЛГ00
откуда
у т (5.84)
•5 а о &
где усм — удельный вес продуктов сгорания.
Полагая в уравнении (5.82) р = рж, р(=0, что вполне право-
мерно для рабочего периода индикаторной кривой — периода ста-
ционарного горения топлива — получим
к * __ -,ip у- / j _ 1\2 в Усм I ^РОО ДтД -4V;ct 'Г Р'Л
k 8 о k /?г .S а
откуда следует
^7'00 = ^ Д-zQ-j—L— . (5. 85)
k х;(1 —£)-
Коэффициент х характеризует тепловые потери в ракетном дви-
гателе на смесевом топливе
7 = 1- -- 4- I /2 (1 - 4-11 (5. 86)
QRT S и.<‘ k— 1 Л8(? 11 1
При g = 0; Хт=1 формулы (5.85), (5.86) вырождаются в ранее
полученные выражения (5.47), (5.48) для баллиститного топлива.
Площадь критического сечения сопла
Площадь критического сечения соплового блока находят по фор-
мулам (5.84), (5.85), исключив из них температурные комплексы:
— из уравнения сохранения энергии
^Тж\ = к~-}- ДхР —
k -ft.
— из уравнения сохранения вещества
лХ21оо 1
“ (1-42(8- YcM)2 S2«2’
Поскольку (/?7"oo)i = (/?7"00)2, можно записать
Su (В — усм) .
Дтл-Роо
(5. 87)
где
v ~ Дю —L_ <д
'см rt№ 1-е
Удельная тяга РДТТ
Зная RT00, можно вычислить удельную тягу РДТТ при наличии
конденсированной фазы в продуктах сгорания.
По определению единичный импульс, развиваемый двигателем,
равен J = PjG и представляет собой импульс, снимаемый с одного
килограмма топлива.
Для тяги в общем случае с учетом конденсированной фазы спра-
ведливо выражение
или
г-» k ~4“ 1 Gptz гл* »--> । (j-fV-f f~< г
Р--„ +-^=О,/,
k д g
Q
где Рт =—т»т —количество движения конденсированной фазы
S в единицу времени (в секунду) на выходе из
сопла;
°гД- /Св — полная реакция газовой фазы на выходе из
k S сопла;
а =1/ ТТТ^^оо-
у k + 1
Тогда удельная тяга РДТТ
Р fe 4- 1
Su 6 kg
Исключая комплекс RrTM с помощью формулы (5.85), получим
искомое уравнение удельной тяги для РДТТ на смесевом топливе
Хт
F ъРн
Sti'j *
При х).=Хт = 1 (£ = 0) имеем формулу (5. 51) удельной тяги для
РДТТ на баллиститном топливе
где
Хт= 1
J — J
РВРн \
/?„ г
е k \kv .
i -- i k щ i кк ’
(5. 88)
КВ = К3\К^ — относительный коэффициент реактивности, за-
висящий только от конструкции сопла, Хг и
природы газов k = cpjcv;
= — тяга РДТТ с полубесконечным соплом для
пустоты;
/«, = ]/ — x^Q —удельная тяга РДТТ с полубесконечным соп-
V g лом для пустоты без учета конденсированной
фазы в продуктах сгорания топлива;
= _= коэффициент реактивности полубесконечного
у л2—1 Сопла для пустоты.
Выражение для удельной тяги показывает, что ее увеличение
за счет введения металлических добавок в топливо, возможно
Хт Г-
только при условии роста величины комплекса — pQ . В против-
Хт
ном случае повышение калорийности топлива за счет этих добавок
приводит к ее снижению.
Если предположить, что течение газовой фазы по каналу сопла
является изэнтропическим, то величины Кг и Кт могут рассматри-
ваться как коэффициенты согласования с опытом. Это допущение
используется только при определении скорости газов Zr в выходном
сечении сопла (2. 6)
А* / 2
\k+l)
Ниже приводится пример расчета пучка кривых удельных тяг
по предлагаемой методике в зависимости от разброса значений
коэффициентов инерциальности конденсированной фазы (§ 13).
По данным расчета построены кривые, иллюстрирующие отно-
сительное влияние различных видов неравновесности на величину
удельной тяги РДТТ (рис. 5.8). Пунктирной прямой линией пока-
зано значение удельной тяги при отсутствии конденсированной
фазы (g = 0). Верхняя сплошная кривая показывает изменение
удельной тяги при соблюдении полного температурного равновесия
лт=1 --- ------лг, нижняя кривая — при отсутствии температур-
ft + 1
ного равновесия (Кт = 1,0).
Из рассмотрения кривых J (K.v) следует, что уменьшение удель-
ной тяги при g = 0,17 по сравнению со случаем отсутствия конден-
сированной фазы (£=0) составляет примерно 5%. Полное отсутст-
вие температурного равновесия снижает удельную тягу для всех
Kv(0-:1,0) также примерно на 5%-. При наличии теплового равно-
весия полное отсутствие кинетического равновесия (К„=0) умень-
шает удельную тягу примерно на 16,5% и при отсутствии теплового
и кинематического равновесий — примерно на 20%.
Как видно из рисунка, наличие неравновесности фаз сущест-
венно снижает удельную тягу РДТТ. При наличии полного равно-
весия, что возможно при малом размере частиц (не больше 1 як),
потери удельной тяги будут наименьшими. Однако вероятность
осуществления полного теплового и кинетического равновесия
мала, так как средний размер частиц конденсированной фазы в ка-
мерах современных РДТТ составляет примерно 10--:- 30 мк. Поэтому
следует ожидать, что наиболее вероятные значения коэффициентов
неравновесности фаз лежат в пределах: 0,5</\%< 1,0; 0,5<К-г< 1,0.
§ 53. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ВЫХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РДТТ
К ИНЕРЦИИ КОНДЕНСИРОВАННОЙ ФАЗЫ ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ
Стремление получить высококалорийное топливо, обеспечиваю-
щее значительно более высокий единичный импульс по сравнению
с баллнститпым, привело к введению в его состав различных ме-
таллов. Образующиеся при сгорании такого смесевого топлива
окислы металлов пребывают в жидкой или твердой фазе. Поэтому
характеристики РД на смесевом топливе весьма чувствительны
к тепловой п механической инерциям конденсированной фазы.
Наличие конденсированной фазы в продуктах сгорания приво-
дит к снижению газообразования и полезного тепловыделения
с каждого килограмма топлива, так как определенная доля тепло-
вой энергии уходит на ее нагрев. Это обстоятельство при фиксиро-
ванной площади критического сечения сопла неминуемо приводит
к некоторому уменьшению температуры и давления газовой фазы
в камере сгорания, т. е. к снижению к. п. д. двигателя.
В целях наглядности анализа влияния инерции конденсирован-
ной фазы па удельную тягу ракетного двигателя решим числовой
пример ее расчета для произвольно взятого топлива и при различ-
ных значениях коэффициентов и /<т, характеризующих инерцию
конденсированной фазы.
Пример.
Исходные данные:
Д'г,= 1,0; 0,8; 0,6; 0,4; 0,2; 0;
£__1
Д' = 1 —----Д ; о,5; 0,7; 0,9; 1,0;
k + 1 1
Gn = 17,29 кг/сек; £ =0,17;
рх= 100 ат = 104 кД'дл2; 5 = 120 дм2;
Q = 1177,5 к кал! кг; = 0,0403 + 5,07-10~~2 =
= 0,091 дм/сек;
£ = 1,29 о = 1,6 кг/дм3;
кГ
/г = 335 —/кг г рад. F = 144 дм2.
дм
Последовательность расчета показана для одной комбинации из коэффи-
k.__________________________1
циептов Kv = 0,4; Кт = 1 —------X2.
k+ 1
Расчет коэффициента у2 по формуле (5,83)
Х*= 1,2048 [1 + 0,2048 (0,2613 + 0,1032)] = 1,2048-1,0746 = 1.2047.
Коэффициент тепловых потерь по выражению (5. 86)
1,414-0,65-1 -2- 10-t_ 1,29 • 104 - 0.0746
7~~ ~ 335,3-0,091-1,6-1177,5 + 0,29-4270-1,61177,5 ~
-= 0,9433 + 0,0009 = 0,9442.
Температурный комплекс газов в камере сгорания по формуле (5.85)
0,29-4270• 1177 45 • 0,9442
1,2еГТ,2947 -0?6889
-- 1,19654-106 дм.
Площадь критического сечения соплового блока без учета конденсированной
фазы при = 1 определяем из формулы (5. 46)
120-0,091-1,5891-1094
6,6-104
-.0,2878
дм-.
Площадь критического сечения с учетом конденсированной фазы при '
Х? = 1,2947 определяем по формуле (5.87)
120-0,091-1,5891 у р^-4270-0,9442-П77,5
6,6-104 /1,2947
-0,2510 дм2.
Наличие конденсированной фазы уменьшает необходимую площадь критиче-
ского сечения на 4,89 см2 или приблизительно на 17%.
Единичный импульс РДТТ (без учета противодавления)
- - Хт 311
J = KBJ°° = Кв —J «> =.0,83 ------ 1,0793 = 244,82 кГ-сек,кг;
Хт 1,138
где
_ / 2 кГ-сек
700 = 1/ —хЛ<?= 311 --------------; /..= 1,0793;
у ff ' кг
/т = 1,138.
С учетом противодавления
Ja = J — = 244,82— 13,5 = 231,32 кГ-сек'кг.
Scio
Значения параметров RT00 и 7а для других комбинаций коэффициентов Kv
Kt, характеризующих неравновесность фаз, представлены на рис. 5. 8.
Относительный коэффициент реактивности сопла в формуле для ] опреде-
ляется следующим образом:
7Z
Ко К’
где /С,— коэффициент реактивности сопла (2. 19)
А'в ~ 7.1 [1 + 7.2 (Ав.и— 1)];
— коэффициент реактивности идеального сопла
Лв.и — (^'в.и + %и);
Хв.и — относительная скорость на выходе идеального сопла
^в.и = vr/d
7.1 — 0,98;
— коэффициент реактивности полубесконечного сопла получается, как
теоретический предел величины
Л
у It - — 1
при
А',,.н • А '!,5 (/. • / ;)
Влияние вязкости газа, обусловливающей появление силы сопротивления,
действующей на частицы конденсированной фазы и ускоряющей их, как и влия-
ние теплопроводности газа при межфазовом теплообмене, учитывается коэффи-
циентами 7Q, и Кт.
Поскольку расчет газодинамических параметров сопла основывается па тео-
рии одномерного течения газа, вводится коэффициент (2. 20)
in (1 + tg?e)
” tg26 ’
учитывающий потери от радиального расширения газов в сопле (0 —угол полу-
раствора конической диффузорной части сопла). При 0=12° величина %2 = 0,973.
Так как течение газовой фазы в сопле принимается изэнтропическим, то отно-
сительную скорость газа на выходе из сопла можно рассчитать по формуле
(2.21)
/~ >i=L
л. 1/ + Й ,
г I Poo J
где п — коэффициент иерасчетности сопла.
Рв Рй
п =----------,
Рв
Рв — давление атмосферы.
В данном примере сопло берется расчетным (п=0). поэтому Хг=2,257.
Тогда
лг+ V
Х„.и =-----~----== 1,3о;
/<н : 0,98 fl + 0,973(1,35 --- 1)]--- 1,3137;
/<„
1,29
<1,292 — 1
1,583;
Я,
1,3137
I ,583
0,83.
Относительный коэффициент реактивности сопла К,: существенно зависит
от показателя адиабаты k, что неминуемо сказывается на величине удельной
Рис. 5. 9.
тяги. Поэтому при расчете выходных характеристик РДТТ очень важно знать
точное значение k. Характер изменения величины удельной тяги РДТТ в зависи-
мости от величины параметра k показан на рис. 5. 9.
Коэффициент, характеризующий относительный прирост удельной тяги РДТТ
за счет разгона конденсированной фазы, вычислен по формуле (5. 88)
0,17 1,29 0,4-2,257
= 1 + • -— • ---------= 1,0793.
0,83 2,29 1,3137
В действительности, как упоминалось выше, непрерывный подогрев газового
потока конденсированной фазой делает течение газа неизэнтропическпм. В ре-
зультате безразмерная скорость газового потока на выходе из сопла оказы-
вается несколько ниже расчетной. Неточность определения величины Хг в данной
методике расчета выходных характеристик РДТТ учитывается через коэффициент
Хт, который можно рассматривать как коэффициент согласования с опытом.
§ 14. ТЕЧЕНИЕ ДВУХФАЗОВОГО ПОТОКА В СОПЛЕ И РАСЧЕТ
ВЫХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РДТТ НА СМЕСЕВОМ ТОПЛИВЕ
Решение этой задачи, изложенное в § 12 и 13, содержит прин-
ципиальное допущение об изэнтропичности течения газовой фазы
продуктов сгорания по каналу сопла. Выведем рабочие формулы
для расчета выходных хаарктеристик РДТТ при более строгом
учете неизэнтропичности течения двухфазового потока. Искомое
решение поставленной задачи построим на обобщенном уравнении
Бернулли (1.15), представляющем собой выражение сохранения
механической энергии газового потока, и законе сохранения энергии
в целом для продуктов сгорания (1.17). Согласно последнему за-
кону, записанному для равновесного состояния фаз в камере
сгорания, имеем
AQ.MG=Grcnl -т- А--г pA-G сГ-\--------\- р-
А " r р R ' 1 1 dt k — 1 dt
или в отличие от § 12, введя обозначения £ = GT/Gr и ср = с11ср,
получим
(А — 1) ^QjKGn--=(l + ^)^Gr/?7’ + (^-l) А Fp + kpW't+ Wp’.
/\
Из уравнения сохранения вещества для стационарного периода
работы двигателя (р'=0) Gn= Gr + GT + SyUoo расход газовой фазы
продуктов сгорания
где Gn^—Su^.
Тогда из уравнения сохранения энергии при p't =0 температура
продуктов сгорания
RT
= лр./1 --1+А.
k \ RQX S lux )
(5. 89)
Учитывая, что W't =Su„, а у «8 и # —<^(й—1) Д(?ж, диффе-
в
ренциальное уравнение кривой индикаторного давления в камере
сгорания приводится к известному виду
c—cr
и~
где <?=(£ —1)Л£>Ж; cY = k (1 -ф?с)
F 1
с2 = (^-1)^Л
^0- ; r0 = U7K- —
SB ° R В
co — вес заряда.
Решение этого уравнения было изложено выше (§§ 3, 4 и И) для
широко известных квазистатических законов горения твердого топ-
лива и(р):
и = и1р'>; и = ахА-1рр-, и —---------.
а + Ьр
При допущении, что полная температура газовой фазы в выход-
Н0хМ сечении сопла равна температуре продуктов сгорания в камере
двигателя (КГов = КГ00) для удельного импульса получим формулу
Ph — давление окружающей среды на высоте h\ у Земли рк=Ра-
Без учета межфазового энергетического обмена площадь критиче-
ского сечения сопла
(.5.91)
1+$ А\Р..
Ниже будет показано, что в результате межфазового энерго-
обмена наименьшая площадь поперечного сечения канала сопла
и удельный импульс несколько изменятся.
Коэффициенты инерциальности конденсированной фазы (Кт;
Кт), характеризующие неравновесное состояние твердой и газовой
фаз, влияют на скорость и параметры состояния фаз в канале
сопла. Попущение о изэнтропическом процессе расширения газовой
фазы было вынужденным в целях упрощения расчета размеров
сопла для заданного значения удельного импульса.
Несмотря на принципиальность этого допущения большой
ошибки не будет, так как межфазовый тепловой обмен в значи-
тельной степени компенсирует расход тепловой энергии газа на
разгон конденсированных частиц продуктов сгорания. В резуль-
тате этого не следует ожидать большого отклонения фактического
процесса изменения параметров состояния газа от идеального, т. е.
адиабатического. Ошибка в величине удельной тяги двигателя
в этом случае исключается соответствующим выбором значений
коэффициентов Кт; Ки или
Более практически приемлемое решение задачи определения
скорости течения продуктов сгорания в сопле получим из обобщен-
ного уравнения Бернулли (1.15)
/ \
wdp-\-d —) 4- dLa — Q,
\2g /
где w==—------удельный объем газовой фазы продуктов сгорания;
У
dL,, — механическая работа газа, затрачиваемая им на
разгон конденсированной фазы.
При постоянном значении параметров g и К, величина dLK равна
приращению кинетической энергии конденсированных частиц про-
дуктов сгорания
dL^Kld
Поэтому обобщенное уравнение Бернулли приводится к следующей
интегральной форме:
+ ^^2 j WdP-
Ро
Аналитическую зависимость квазистационарного процесса из-
менения параметров состояния газовой фазы w(p) при движении
ее по каналу сопла найдем из уравнения сохранения энергии (1. 17)
(с^) + ^^-(ст7) + /;^ = 0,
dt dt
(5. 92)
так как Q=BcT(7\ — 7\); 7\~КтТ и Q't= — ^Кт(р^Т)\.
В уравнении (5. 92) теплообмен продуктов сгорания со стенками
сопла можно учесть соответствующим выбором величины Кг.
Так как c' = k—-и RT = pw, то уравнение закона сохранения
приводится к виду
--- —;---(pw)t + pwt = 0, где cv=cfcv.
Откуда после интегрирования и потенцирования получим иско-
мую функцию w(p):
где п = k^r-^TCy-----показатель политропы.
1 +
Нетрудно заметить, что n<k. Физически это неравенство объяс-
няется непрерывным подогревом газовой фазы со стороны конден-
сированной и указывает на то, что фактический процесс течения
сопровождается меньшим падением температуры газа по сравне-
нию с ее изменением при адиабатическом процессе.
При найденном политропическом процессе течения скорость
газовой фазы продуктов сгорания в любом сечении одномерного
потока определяется по формуле
п-1
о 7 । 24 р- г / р \ п я
v =vo+;—1- —
k — 1 а2 [ \ Ро/ J
где
1 +
— Кт
1 + 5е® ~
коэффициент межфазового энергообмена в
продуктах сгорания при их движении по
каналу сопла.
Учитывая, что для относительно малых скоростей на входе
в конфузор сопла (п0) можно принять
окончательно получим
где
Мо =
vo
kgRT0
(5. 93)
(о. 93)
В безразмерном виде формулу
можно записать так:
л
1 —
Р\ п 1! 2
Ро/ J
(5. 94)
где
k -г 1
4 — 1 ’
— ; а 2 —---gR7\.
Решая последнее уравнение относительно р, найдем изменение
давления в сопле в зависимости от скорости газовой фазы
п
Р = Р- (1 — “2^У 1 • (5. 94')
Проведем качественный анализ полученных зависимостей
а; /г; А) и р (X; а; zz; k).
Как нетрудно показать для —— справедливы соотношения
п — 1
п k (л , Кт\ k 1 +
-----=----- 1 4- —— =------------.
п — 1 k — 1 \ k } k — 1 a2
При отсутствии теплоподвода к газовой фазе (Кг = 0)
а2 = 1+1^;
п ____ k
п — 1 k — 1
т. е. при разгоне твердых частиц параметры состояния газа изме-
няются в соответствии с уравнением изэнтропы. В случае чистого
теплоподвода (/<г = 0) имеем
Это означает, что процесс изменения
состояния
газа
сдвигается
в сторону изотермического
При теплоотводе соответственно будет
1+?Х,, т— c,cvKt п k li Кт \
a- =----------; ti —------=—;-------=----- 1-;C,----- .
. Kt 1~£KtCv n — \ k—\\ k )
1 — iCv
k
Эти формулы указывают, что процесс изменения состояния газо-
вого потока при наличии в нем холодной конденсированной фазы
сдвигается от адиабатического в сторону, противоположную изо-
термическому процессу, т. е. в направлении к изохорическому
(я=оо; —— = 1| . Оценим количественно параметры а2 и п. На
\ п — 1 /
практике продукты сгорания смесевых топлив могут иметь
? = 0,2; /Ст = 0,9; К„ = 0,9; с,= 1/3.
В этом случае для #=1,25 получим
а2 = 1,11; /г=1,235; —— =1,048 —.
п — 1 k — 1
Из уравнения сплошности течения газовой фазы Fqv = const найдем
связь скорости К и площади поперечного сечения канала сопла F:
F = F"^~ )~F
Исключая с помощью уравнения политропы q*/q, получим
где е* — массовая плотность газового потока в сечении сопла, где
для случая адиабатического истечения скорость газовой
фазы равна местной скорости звука (Х=1).
Покажем, что скорость газового потока (у* = а*) установится за
наименьшей площадью сечения канала сопла, т. е. в диффузорной
части сопла. Определим наименьшее значение функции Г(а; Х; n\k)
Откуда следует
при
1 f п — 1 k + 1
а |/ и + 1 k — 1
" -Js 'ш<Л
Подставляя найденное значение Лт в уравнение (5.95), найдем
наименьшую площадь поперечного сечения канала сопла
1
Площадь Д’ можно найти из уравнения сплошности течения га-
зовой фазы
Учитывая, что у’ у ^1 —* а2'') р=у_Лг/\, а также вы-
ражения для д’ и F* (5.91), получим
Площади Fi и F*m практически равны. Так, при а2 = 1,11; п —
= 1,235; /г = 1,250 имеем F*mjF* = 0,985.
При этом отличие безразмерных скоростей газовой фазы про-
дуктов сгорания, взятых соответственно по месту Fm и /д, будет
более заметным и составит порядка 8% (Хт = 0,920).
Для вычисления площади выходного сечения сопла, реализую-
щей потребный перепад давления (/?В/Ро°), удобно пользоваться
формулой
Если исключить F*, то формула (5.95) примет вид
Влияние расширения газового потока в сопле учитывается с по-
мощью уравнений (2.19) и (2.20).
В выходном сечении сопла полная температура газовой фазы
продуктов сгорания определяется соотношением
1-—
$ТОн =---= RT . --------, (5. 96)
, Я ~ ’ 1 A k-- 1 . А
где RTB = RTR 11 — — — а2лв') — статическая температура газовой
фазы в выходном сечении сопла.
Из формул (5. 96) и (5. 94') следует, что в данном конкретном
случае (£=0,2; Kv = Кт = 0,9; (5,= 1/3) полные температура и давле-
ние газового потока по длине сопла убывают и достигают наимень-
шей величины в выходном сечении сопла.
Вследствие этого формулы для удельной тяги (5. 90) и площади
критического сечения сопла (5.91), найденные без учета межфазо-
вого энергообмена должны быть скорректированы следующим
образом:
= 1 Ч-
1 + Е
FnPh.
где Хв(&; п\ a); Дв(я; k; а); a* 7\); /?в(/г; й; а).
При а —1; n=k имеем = = J = Jn.
Для приведенных выше значений (а2 —1,11; k = 1,250; га = 1,,235)
величина ess 1,14, т. е.
Таким образом, межфазовый энергообмен в продуктах сгорания
смесевого топлива приводит к некоторому увеличению площади
критического сечения сопла по сравнению с ее величиной для
изэнтропического течения (5.90).
Параметры состояния политропического потока
Выше были получены формулы для трех характерных площадей
канала сопла F*; F*, величины которых связаны неравенством
гп
Площади Fm и F) определены с учетом межфазового энергооб-
мена (а>-1; n<F.k) и относятся к соплу для политропического
истечения продуктов сгорания смесевого топлива. Так как F*<F
<ф/7т, то площадь F* относится к другому соплу, найденному
без учета межфазового энергообмена "/? = /?), т. е. из усло-
вия адиабатического (£ —я) течения газа продуктов сгорания но
каналу сопла. В этом случае площадь будет наименьшей
(F*m = F* = Fi) и критической (a* = При наличии же меж-
фазового энергообмена, т. е. в случае политропического потока,
скорость газа продуктов сгорания достигает величины критичес-
кой скорости адиабатического течения (а*) лишь в диффузорной
части сопла по месту площади F\. По месту наименьшей пло-
щади канала сопла (Fт) скорость газа продуктов сгорания
------a" <F а"'
Определим площадь сечения канала сопла, где скорость газа
продуктов сгорания смесевого топлива с учетом их межфазового
энергообмена достигает скорости звука
где
V = а = У kgRT . (1 - (Рщ ),
/.ф-дЛЩ-.
(5. 97)
Решая уравнение (5.97) относительно а, получим
а = а
1
и а;
k+ 1
.2
*=2 , 2 ( 2 /
2 “
Подставляя выражение )2а в уравнение сплошности двухфазового
потока, получим связь между площадями F* и искомой Fа:
k — 1
-----а2
2
k- 1 '
----а2
k — 1
-----а2
2
Совместное решение уравнений для F„ и Fm приводит к зависи-
мости
л + 1
j а — * mW
2(П-1)
При а2=1,11; /г=1,25; /г = 1,235 имеем Fm = 0,99 F*o —
= 0,995 Fi.
Таким образом, при конкретном политропическом процессе
течения продуктов сгорания критическое сечение сопла (Fa) ле-
жит, так же каки F(, в диффузорной части; Fm<iFa<^F\. Для
практических расчетов диффузора сопла ракетного двигателя на
смесевом топливе в качестве исходной площади удобно взять наи-
меньшую площадь (F„).
В этом случае уравнение сплошности политропического течения
продуктов сгорания смесевого топлива принимает тот же вид, что
и для адиабатического процесса их расширения (см. стр. 35, 40)
Для абсолютных скоростей фаз продуктов сгорания будут справед-
ливы формулы
d=aX а*=Х —-I/"-—-----— kgRT^-,
т а п+ 1 k — 1 6
Параметры состояния политропического потока вдоль канала
сопла также могут быть определены по формулам адиабатического
течения газа при условии замены в них показателя адиабаты Пуас-
сона (k) показателем политропы (/г)
Таким образом, уравнения газовой динамики политропического
потока являются обобщенными и могут быть использованы для
расчета сопел ракетных двигателей на смесевом топливе.
Проведенный анализ процесса течения продуктов сгорания
смесевого топлива показал, что этот процесс является политропи-
ческим (n<fe), смещенным в сторону изотермического
(и=1). Для этого процесса течения критическая площадь
не совпадает с наименьшей (Лт) и лежит в диффузорной
части канала сопла ргт). Наименьшая площадь поперечного
сечения сопла (Fm), найденная для политропического процесса
течения продуктов сгорания в отдельных случаях, может быть су-
щественно больше критической площади поперечного сечения
адиабатического потока газа (F*).
Пример. Определить для двухфазового потока с учетом непрерывного энерго-
обмена в нем характерные размеры сопла и единичный импульс гипотетического
ракетного двигателя, имеющего следующие исходные данные:
S = 120 дм2--,
F = 144 дм2--,
о = 1,6 кГ1дм2-,
ккал
Q = 1150 ------
кг
k = 1,25;
4
с Г1 :
р 15
р,-. = 7000 кГ!дм--,
ккал-дм
а =,0,39 -------;
кг-г-сек
А = 4270
кГ м
ккал'
= 0,075 дм/сек; vj = 0,65;
к Г дм
R = 320---------; 5 = 0,2;
кг-г
Д1=6,5 дм1^1сек-,
ра = Рн = 70,0 к Г [дм2-.
KT KV =0,9;
Размеры сопла и единичный импульс двигателя
без учета межфазового энергообмена
в продуктах сгорания
Коэффициент тепловых потерь в двигателе (5. 48)
O-Vj
Р
X = 1 —--------------1 = 0,955.
I HQ s aj-l
Температурный комплекс продуктов сгорания в камере двигателя (5. 89)
k— 1 1+5
RT-. =------x-4Q -—= 1,06-106 дм.
k 1 + 5^^
Расход продуктов сгорания через сопло
Gnoo = SueoB = 14,4 кг]сек.
Площадь критического сечения сопла без учета энергообмена (5.91)
1 + Е
A lP ОО
= 0,272 дм2.
Безразмерная скорость газовой фазы в выходном сечении идеального рас-
четного сопла
Коэффициент реактивности идеального сопла
Кв.и-
1,37.
Коэффициент реактивности сопла с учетом потерь в нем осевой скорости газа
7.1(1 -4- Х2 (АГв.и— 1)1 =- 1,33,
где
In sec2 8
/,=-0,98; 79“-------------=-0,97; 0-= 12°.
/л , Л2 tg2()
Фактическая скорость потока газа в выходном сечении сопла
Ч - Кв + \/~—1-^2,21.
Уширение диффузора сопла, реализующего потребную скорость при изэн-
тропическом течении газовой фазы:
двигателя без учета
Единичный импульс
дуктах сгорания при их
движении по каналу
межфазового энергообмена в про-
сопла
J
k —
1 4“ 7 i 7 Лв
k 4- 1
/(п- e)(i + ^p)
FBPh „41 кГ-сек
°™ ~
где
Тв=,= 1,66; Кв == — = 0,796; /<«=.-5/3.
Къ К «3
Размеры сопла и единичный импульс д и п г а те л я
с учетом м е ж ф а з о в о г о э н е р г о о б м с и а
в продуктах сгорания
Площадь поперечного сечения соила, где скорость газовой
фазы
где
Минимальная площадь поперечного сечения
канала сопла
- 0,292 дм2.
k -| - 1 п — 1
Площадь поперечного сечения капала сопла, где
стпгает местной скорости звука v = a = / kgRT:
скорость газовой фазы до-
0,294 дм2.
Безразмерная скорость продуктов сгорания
расчетного сопла (рп=рл)
н выходном сечении идеального
н —1 -I I
2,18.
Коэффициент реактивности идеального сопла
Кв. и
С). И + \,.и
2
Фактический коэффициент реактивности сопла
Ка -- 7.i [ 1 + 7.2 (Ка.я 1)] ~ 1 > 285.
Фактическая безразмерная скорость в выходном сечении сопла
Xb-Kb + IAb-1 -2-1-
Безразмерная скорость в наименьшем сечении сопла
k -р 1
k — 1
0,92.
Потребное уширение сопла для реализации скорости Хв.и
Площадь выходного сечения сопла
Ав -- чаГ*п - 2,30 дм?.
Единичный импульс двигателя с расчетным соплом (рв=рл)
1 + ~Kv а* кГ-сек
J =------------- Лр — 22/ -------
l + e g кг
где
gRT„ = 10 850 дм[сек.
Изменение единичного импульса двигателя в зависимости от величин коэф-
фициентов инерциальности фаз Kv представлено на рис. 5. 10.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ал ем асов В. Е., Теория реактивных двигателей, Оборонгиз, 1962.
2. Баррер М., Жомотт А., Вебек Б. Ф., Ванден к еркхове Ж.,
Движение ракет, ИЛ, 1959.
3. Баррер М., Жомотт А., Вебек Б. Ф., Ванденкеркхове Ж.,
Реактивные двигатели, Оборонгиз, 1962.
4. Куров В. Д., Должанский Ю. И., Основы проектирования порохо-
вых ракетных снарядов, Оборонгиз, 1961.
5. Кутателадзе С, С., Основы теории теплообмена, Машгиз, 1962.
6. Н и к о л а е в Б. А., Термодинамический расчет ракетных двигателей,
Оборонгиз, 1960.
7. Орлов Б. В. и М а з и н г Г. Ю., Термодинамические п баллистические
основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе, Машино-
строение, 1964.
8. Сполдинг Д. Б., Основы теории горения, Госэнсргоиздат, 1959.
9. Стечкин Б. С. и др., Теория реактивных двигателей, Оборонгиз, 1958.
10. Уим пресс Р. Н., Внутренняя баллистика пороховых ракет, ИЛ, 1952.
11. Феодосьев В. И. и Синя рев Г. Б., Введение в ракетную технику,
Оборонгиз, 1960.
12. X е м ф р е с с Дж., Реактивные двигатели и управляемые снаряды,
ИЛ, 1958.
Глава VI
РЕГУЛИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ТЯГИ РДТТ В ПОЛЕТЕ
ПО ВЕЛИЧИНЕ И НАПРАВЛЕНИЮ
Рассмотрим некоторые способы регулирования вектора тяги.
Отвод продуктов сгорания из критической области сопла в стороны
позволяет менять вектор тяги по величине и направлению, сохра-
няя давление в камере сгорания. При симметричном отводе газов
в стороны вектор тяги меняет только свой модуль. Несимметричный
отвод изменяет модуль и направление вектора тяги, поэтому позво-
ляет по любому наперед заданному закону менять траекторию по-
лета ракеты.
Использование косого среза на выходе диффузора сопла в ос-
новном позволяет менять только направление вектора тяги, так
как в зоне косого среза возникает поперечная составляющая тяги.
При вращении сопла вокруг своей оси вектор этой составляющей
также вращается, но в плоскости, перпендикулярной к оси сопла.
При изменении площади косого среза вектор тяги меняет свое
направление и величину. Однако при этом изменение модуля век-
тора тяги будет небольшим.
Вдув газа в диффузорную часть сопла образует боковую со-
ставляющую тяги при ничтожном снижении ее модуля. Поэтому
этот способ регулирования вектора тяги позволяет эффективно
управлять направлением полета ракеты.
Существенное и экономически эффективное изменение величины
тяги двигателя можно получить только путем регулирования кри-
тической площади сопел ракетного двигателя.
§ 1. ИЗМЕНЕНИЕ СИЛЫ ТЯГИ РДТТ ПРИ ПОМОЩИ ГАЗООТВОДНОГО
УСТРОЙСТВА
При симметричном отводе газа в стороны из сопла двигателя
достигается изменение его силы тяги по величине. Несимметричный
отвод порождает боковую составляющую тяги, т. е. позволяет ме-
нять вектор тяги.
В критическом сечении сопла плотность потока наибольшая, по-
этому газоотводное устройство заданной эффективности, располо-
456
женное в критическом сечении сопла, будет наименьших размеров.
Чтобы сохранить устойчивый режим горения твердого топлива и не-
обходимую величину давления в камере сгорания двигателя, газо-
отводное устройство размещают, не нарушая расчетной величины
площади критического сечения сопла (рис. 6. 1). Во избежание
боковой составляющей тяги двигателя, возмущающей ракету в по-
лости тангажа или курса, боковые каналы в стенках сопла распо-
лагают строго симметрично.
На практике газоотводное устройство рассчитывается для за-
данного диапазона регулирования силы тяги, величина которого
определяется нижним пределом ее значения.
Рис. 6. 1. Схема размещения газоотводного устройства в кри-
тическом сечении сопла
В общем случае тяга двигателя /Д согласно уравнению (2. 108)
при наличии на сопловом насадке газоотводного устройства с уче-
том атмосферного давления ря для dL/dt^Q выражается формулой
Рг, =- аА? — (6. 1
Для регулируемой тяги двигателя зависимость (6. 1) справед-
лива лишь при отсутствии перерасширения потока в диффузорной
части сопла. Наличие перерасширения потока усложняет определе-
ние силы тяги двигателя вследствие возможного появления скачка
уплотнения и прежде всего из-за трудности расчета его местополо-
жения в сопле.
Для конструктивной характеристики газоотводного устройства
ct имеет формулу (2. 130):
т 1 хуг л щ.
«„у Кз -уАДД1 —3 )СОЗФ.
Коэффициент реактивности потока в диффузорной части сопла
ограничен пределами 1</С<_Кв. Нижний предел (К=Г) отвечает
случаю, когда весь газ отводится в стороны газоотводным устрой-
ством в критическом сечении сопла (<т=0); верхний — когда газо-
отводное устройство не работает (<т=1). Величина коэффициента
реактивности потока на выходе из боковых каналов газоотводного
устройства Аф = /(с зависит от их формы и подсчитывается по фор-
муле (2.19). Так, для расширяющейся формы бокового канала
Кб>1; при отсутствии у бокового канала диффузора Кб = Хи =0,98.
Предельное давление в камере двигателя Poo=Pi, приблизительно
равное полному давлению, определяется формулами (5.40) или
(5.68). При расположении газоотводного устройства в критиче-
ском сечении сопла в формулах (6. 1) и (2. 130):
к=к*=(1+^)(^Л 1 К —КВ = КВ;
V + 1 /
Кб = К6 и КВХ<КВ.
Изменение площади поперечного сечения потока , в котором
статическое давление равно атмосферному, ограничено пределами
Нижний предел Квя имеет место при п=0; верхний —
при о=1. Фактическое значение FBa. определяется по формуле (2.6)
Совместное решение уравнений
* к
С'А ,,
р0%~------ —-— —полное давление в диффузоре сопла
\ 2 / с газоОТВОдНЫМ устройством;
k
рт=—-— --------) ^р^ — полное давление в диффузоре сопла
\ 2 / без га3оотводного устройства;
Grj.= imG — расход газа через диффузор сопла
с газоотводным устройством
приводит к зависимости р>г.~------- 'т р . При отсутствии тепло-
fl*
вых потерь «* = а*.
Для изэнтропического процесса истечения газа рОа и лва связа-
k
(fa __________________________ 1 9 \~
1------лва . Отсюда следует, что
k + 1 /
(6.2)
Условие отсутствия перерасширения потока в диффузоре сопла
(рв<Ра) вследствие отвода газа в стороны определяется урав-
нениями:
к
,1 I \ Л k~~ 1
= 1-—ТХВ ;
\ к -Н 1 /
Учитывая, что FB, = FB и лВ1 = Хв при /г > О, получим
Знак величины п определяет принципиальное различие в рас-
чете размеров газоотводного устройства.
При п^О расчет размеров газоотводного устройства заданной
эффективности ат имеет следующий порядок;
1. Доля газа, вытекающего в атмосферу через диффузор сопла:
а,„ Цщ—gApCOS Ф
Кв — «Уб cos Ф
(6.3)
2. Относительный удельный расход газа через боковые каналы,
имеющие достаточное притупление острых кромок на входе, опреде-
ляется по формуле (2.117). Для газоотводного устройства, распо-
ложенного в критическом сечении сопла:
3. Наименьшая площадь каждого ряда
ветствии с уравнениями (2. 122); (2. 123):
боковых каналов в соот-
При п<0 и отсутствии скачка уплотнения в диффузоре размеры
газоотводного устройства рассчитывают методом последователь-
ного сближения результатов. В первом приближении величину ат
вычисляют по формуле (6.3). По найденному значению ат опреде-
ляют ХВ(1 и К, пользуясь формулами (6.2) и (2.19). После этого
по формуле (6. 3) уточняют величину о™ и вновь определяют К-
Зная К. и 7.H, по формуле (6.1) определяют силу тяги двигателя.
При проектировании газоотводного устройства параметры Кб,
g. т и ф обычно выбирают из конструктивных соображений; вели-
чины а, в, К н Fii% определяют расчетом в зависимости от заданного
предела величины ат.
Пример расчета газоотводного устройства для изменения вели-
чины силы тяги ракетного двигателя изложен в § 11 гл. II.
При несимметричном отводе газа, определяемом разницей пло-
щадей поперечных сечений диаметрально противоположных боко-
вых каналов в каждом ряду АТ7,-, при суммарной их площади Fr>,
поперечная (боковая) составляющая тяги
/< тРйРя)
'б
где
- s'") sinФ;
^=1 -|-tg Aoctg-A
§ 2. РЕГУЛИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ТЯГИ РДТТ ПРИ ПОМОЩИ
КОСОСРЕЗАННОГО СОПЛОВОГО НАСАДКА
Теория течения стационарного газового потока в зоне косого
среза сопла изложена в § 3 гл. II.
При отсутствии перерасширенного потока в зоне косого среза
поперечная составляющая тяги согласно рис. 2.2 находится по фор-
муле
^=(KoA>^FoAi)tg дб.
Параметры Ко и tgAip могут быть рассчитаны с помощью
таблицы 2. 3.
Поперечная составляющая тяги действует перпендикулярно оси
сопла и лежит в плоскости, проходящей через его ось и вершину
косого среза диффузора.
Если в зоне косого среза поток неперерасширен, т. е. в сечении
2—2 (см. рис. 2. 2) избыточное давление больше нуля, осевая со-
ставляющая тяги
где R* — полная реакция потока в критическом сечении кососре-
занного сопла.
Центр приложения поперечной составляющей тяги Ру нахо-
дится на расстоянии х (см. рис. 2.3) от оси сопла и сдвинут в сто-
рону к вершине косого среза, т. е. лежит в центре эллипса (О'),
образованного косым срезом.
Создание поперечной составляющей тяги в нужной плоскости
управления достигается вращением управляющего сопла вокруг
собственной оси. В период доворота сопло обычно выключают,
чтобы снять ненужные возмущения для ракеты.
Проекция полной реакции потока
на плоскость косого среза сопла
Практические задачи, связанные с учетом эффекта расширения
газового потока в косом срезе, обычно сводятся к определению ве-
личины проекции полной реакции потока (или ее импульса) па
плоскость косого среза (например, турбореактивные снаряды, газо-
вые тормоза артиллерийского орудия и т. д.): Аф cos (ф +Аф).
На практике искомую проекцию реакции удобно вычислять че-
рез полную реакцию потока на входе в зону косого среза (/?i = KiR*)
или на выходе из нес (Rn = K0R*):
R2 cos (фД Дб) = Афф0 cos ф = Rfy cos б.
Отсюда следует, что
cos О ч- Аф)
cos Дф cos ф
1—=
Ai
По физическому смыслу параметр % представляет собой отно-
шение проекции векторов R2 и Ro или R2 и Ri на плоскость косого
среза. Если поток стационарный, то проекции импульсов сил R2,
Ro и /?! будут связаны между собой соотношением:
где
Л COS (ф -ф ДФ) = JqZq cos ф = cos ф,
J2— R2t-, Jo=RoR J{=Rit.
Для нестационарного потока эта связь будет справедлива, пока
статическое давление на выходе из зоны косого среза будет больше
или равно окружающему, так как только б этом случае параметры
Ко, Ki и Ai|: остаются неизменными. Эти параметры подсчитывают
по уравнениям (2.6), (2. 19) и (2.30) или берут из табл. 2.3.
Предельное значение функции с0 при Аф = 0 (ф = 90°); До>1
выражается формулой
; ________/бч) (А(|/.о — 1)_
I) АДо1 ’
где
Для цилиндрического насадка (Ко=1; Ло=1) после раскрытия
неопределенности по правилу Лопиталя предельное значение коэф-
фициента До будет равно £0оо = 4/(2 + 4). Таким образом, для
90°>ф>0 параметр Д ограничен пределами £о«><£о<1.
Пример. Найти турбореактивный момент с учетом эффекта расширения газа
в косом срезе.
Обычно момент М, направленный вдоль оси снаряда, вычисляют по формуле
где
rf,
М — Р, — sin у,
1 2 V
=
, 2 \»—1
Ri^(\ л- /г) (--I А', F, —полная реакция потока па входе в зону
\fe + V косого среза;
у —90° —Ф— угол наклона сопла к оси снаряда;
rfj — расстояние между соплами по месту се-
чений сопла на входе в зону косого среза.
В соответствии с определением параметра gi турбореактивный момент с уче-
том эффекта расширения газа в зоне косого среза будет равен
где
rf т Аф
711;=?^ = ^! -40sinV,
2
So= 1 — Ctg Y tg Дф.
Отношение коэффициентов KtsIKi может быть найдено из уравнений (2.25)
и (2. 26) для
Fl
Fo
yzi—tg2 у tg2 e
1 — tg у tg D
1 + tg у tg 0
§ 3. ПОПЕРЕЧНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ РЕАКЦИИ ПОТОКА ПРИ БОКОВОМ
ВВОДЕ ГАЗА В СОПЛО
Решение задачи проделаем приближенно для обычной модели
течения, не затрагивая теорию пограничного слоя и отражения
волн.
При вводе рабочего тела в сопло под произвольным углом
к его оси (рис. 6.2) предположим, что направление суммарного
потока определяется уравнением механики
COS S-4-^l = COS fj; /ф Sills = A\ sillS,
откуда
‘ R. COS e + Fl ’
где —полная реакция потока, вводимого в сопло;
Д —полная реакция основного потока газа по месту ввода.
Несимметричность статического давления вдоль потока в диф-
фузоре сопла порождается скачком уплотнения, возникающим
по месту ввода. Поэтому поперечная составляющая реакция потока
зависит от угла наклона скачка, разделяющего поток на несиммет-
ричные зоны повышенного и пониженного давлений.
Если предположить, что возникший скачок уплотнения вслед-
ствие поворота потока на угол [6 находится в полости сопла, боко-
вая проекция площади поверхности скачка согласно формуле
(2.28) будет
Г? F? 1 1 *4“ т
/•6 = /'1CtgV--------
1 — т
”,
(6.4)
где Fi—площадь поперечного сечения сопла по месту ввода;
r=tg 0/tgv;
20 —угол раструба диффузора сопла;
v — угол наклона скачка уплотнения относительно оси сопла;
/г,— относительная часть площади фронта скачка уплотнения,
расположенная в полости сопла.
Формула (6.4) справедлива только для 9<v, т. с. когда скачок
уплотнения не выходит полностью из полости сопла.
Поперечная составляющая тяги, возникшая от косого скачка
уплотнения внутри сопла, равна
Pu^=FdPi — Pl), (6-5)
где
fe—1 .„
1 —-----------------------------Ai
p,=0,5R*----fe+.1-—; (6.6)
pi — статическое давление потока по месту вдува газа.
Поперечная составляющая тяги Ру, как правило, действует на
ту часть сопла, где размещено устройство для ввода газа.
Приращение давления за скачком уплотнения в соответствии
с формулой для плоскопараллельного потока (2. 149) равно
Р-2 -P\ = Pi (Ml sin'2 v - 1),
k + 1
(6. 7)
где
В действительности поток неплоскопараллельный, а фронт
скачка непрямолинейный и прежде всего из-за различных скоро-
стей потока перед скачком уплотнения.
На основании уравнений (6.5), (6.4) и (6.6), (6.7)
k Н 1
где — полная реакция потока в критическом сечении сопла;
(6.8)
Суммарная сила поперечного воздействия на сопло с учетом реак-
ции присоединенной газоподводной трубки
PyS = /?esins4- Д/?п+Д/?Е,
где. д/?Е — реакция газоподводной трубки на сопло.
Так как силы д/?е и /К sin г являются внутренними в системе
„газоподвод — сопло", то д/^= + /?е sin г = 0.
Поэтому коэффициент усиления поперечной составляющей
реакции потока В = /?п//?г определяется по формуле
4-ctg v/(v; 0)?(v; 8).
k + 1
Угол наклона косого скачка у, необходимый для вычисления
функций f и ф, определяют графически с помощью поляры или из
уравнения (2.155), пользуясь формулой Кардана.
Для v<50° его величину можно определить по приближенной
формуле
- (Д— 0 ctg 3 — 1
(6.9)
Второе приближение результатов будет равно
2tgvn=----2-
Л2—-
___
ctg}3 — tgvj
(6. 10)
Пример. Определить поперечную составляющую тяги А’п и коэффициент ее
усиления б для следующих исходных данных: М = 2, 0 = 10°, е = 90°, й=1,25,
7ге=о,1/?*, ~ 1.
Угол отклонения потока за скачком уплотнения [1 определим по формуле (6. 1)
0,1 R*
tg6=_----------0,03; 4'34',
где
Угол наклона плоскости скачка уплотнения v находим, пользуясь уравне-
ниями (6.9) и (6.10):
1+4-0,89 , / 5 1
2 tg v, ----------+ 1 / 0,1252 + 4---------------_= 1,01;
1 3-12,5—1 V 9 4 — 1—0,08
2tgvH +,00.
При tg v 0,5; sin v - У0,2; v — 26°30' значения функций
встствии с формулами (6.8) будут
/ и ср
в соот-
/(v; 0)
1 + 0,35
1 — 0,35
1
1—0,352
2,22;
4
4-0,2 —1 +------0,8
У (v; ₽) =•-------—---------=- 0,078,
где
tg 6
tg v
= 0,35.
Искомая величина коэффициента усиления б=—• 10 • 2 • 2,22 0,078=1,92,
при этом поперечная составляющая тяги Rn = 6R Е=0,192Д*.
§ 4. РЕГУЛИРОВАНИЕ СИЛЫ ТЯГИ РДТТ ПО ВЕЛИЧИНЕ
Теоретическое исследование чувствительности выходных харак-
теристик РДТТ (Р, J) к определяющим их параметрам (F*; S; Q;
FB) представляет практический интерес для осуществления необхо-
димого или заданного закона изменения силы тяги, обеспечиваю-
щего оптимальный или наперед заданный режим полета ракеты.
Установление динамической закономерности изменения силы тяги
в зависимости от определяющих ее параметров является составной
частью перманентной задачи повышения кучности или точности
стрельбы ракетными снарядами.
Создание системы автоматического регулирования полета ра-
кеты требует точных зависимостей для чувствительности тяги
РДТТ, выраженных дифференциальными уравнениями. Интеграль-
ное уравнение силы тяги в зависимости от закона регулирования
определяющих ее параметров необходимо для правильного уста-
новления энергетики РДТТ, запаса топлива и потребной глубины
регулирования его выходных характеристик.
Статическая чувствительность давления в камере сгорания
к изменению площади критического сечения сопла двигателя
Для периода стационарного горения (р' = 0; Xi — Хя— 1) согласно
уравнению (5.33) имеем с2 — + с1^ = с,
откуда следует, что
Hf) “-й+Уг+тл
где
,2 д*2
Таким образом, для величины предельного давления в зависи-
мости от принятого закона горения получим следующие формулы:
1 1
A = («121)~v; Рг= 7 (6- И)
1— Ьхг\ \ b I
Чувствительность или относительная скорость изменения пре-
дельной величины давления в камере сгорания в зависимости от
1 dpi
площади критического сечения — может быть найдена путем
Рх dF*
дифференцирования уравнений (6.11).
Например, произведя дифференцирование для u = urpv при
«1 = const; v = const, получим
dp{ __ 1 dF*
py~ 1—v F*
или в интегральной форме
Pi
Рю
При использовании уравнений чувствительности для любой
аппроксимации закона горения топлива следует помнить, что кон-
станты аппроксимирующих функций сами зависят от давления и
поэтому должны варьироваться. Для этого при составлении уравне-
ний чувствительности выходных характеристик РДТТ должны быть
из опыта найдены зависимости констант принятого закона горения
v(p); щ(р) или аДр); Ь^р).
Искомые константы v; их и ар, Ьг определяются уравнения-
ми (6.11).
Здесь параметр z{ при отсутствии теплопотерь (cz = 0) характе-
ризует условие заряжания двигателя
Для определения величин констант достаточно иметь два надеж-
ных замера предельного давления рг и рю в термоизолируемой мо-
дели проектируемого двигателя при двух размерах площадей крити-
ческого сечения сопла F* и F,'.. В этом случае величины искомых
констант для выбранного диапазона давлений Р14-рю вычисляются
по формулам:
. _1—V „1—V
v==1_Jl£k; И1=21_==211_;
In Pl Zt гю
h .
1 *io (.Pi— 0
«i=(l-^i)—= (1~ ,
*1 *10
где
*i = ZiMo; Pi^PilРю-
В каждом опыте величины ру могут отличаться друг от друга
вследствие допусков на изготовление шашек заряда. Поэтому изме-
нение характеристик заряжания вычисляется по формуле
г) S
zio А* 50
При отсутствии теплопотерь для расчета величин и z10 коэффи-
циент х (5. 86) можно принять равным 0,98.
Статическая чувствительность давления в камере сгорания,
единичного импульса и тяги двигателя к изменению условий
заряжания, характеризуемых функцией и степенью
уширения сопла vB
Решение поставленной задачи произведем для топлив, подчиняю-
щихся законам горения: и = игр" и u = ai + b\p.
Изменения предельного давления (6. 11), возникающие вследст-
вие отклонения определяющих параметров от их номинального зна-
чения, описываются дифференциальными уравнениями:
— при степенном законе горения
= —--------------------------lnz,a,; (6.12)
Pl 1 — V \ Zi Ui ) (1 — V)2
— при двухчленном линейном законе горения
dpi 1 dzy j zydby ^dai (g 12)
Pi I — b\Zy zy I — biZi ai
где
—+ + (6.14)
Zi гг \dS ' дЪ ' dQ dF* )
Частные производные от функции заряжания по определяю-,
щим параметрам соответственно равны:
1 dzy 1 . 1 dzy 1
Zy dS S’ Zy дЪ 8
1 dzy___ 1 1 dzy __ 1
Zi dQ ~~ 2Q ’ 7? 'dF* ~ F*
Тогда получим
dp, 1 l dS . dl . du-i । dQ dF*\ , dv , , ..
---------------------------------J--------lnzi«! (6.14)
Pi l~v \ S ' I ur 2Q F* ) 1 (1— v)2 v 7
или
dpi 1 / dS . dl idUy . dQ dp~* \ . 2i^bi i
Pi 1 — brzi ( S 8 Ui 2Q F* ) 1 — biZ] at
Приравнивая правые части уравнений (6. 12) и (6. 13), получим
локальную связь между константами этих законов горения.
Исследование статической чувствительности единичного импуль-
са и тяги двигателя к изменению функции заряжания zr и степени
уширения сопла vB проведем в предположении, что течение газа в
сверхзвуковой части сопла происходит без отрыва от стенок диффу-
зора и скачков уплотнения.
Принятое допущение снижает практическую ценность результа-
тов, так как делает их справедливыми в ограниченной области зна-
чений нерасчетности сопла palpal, при которых скачок уплотнения
еще не заходит внутрь диффузора сопла. Однако в рамках теории
одномерного течения для ри/рл;1 найденное решение является
точным.
При отрыве потока, сопровождающемся образованием скачка
уплотнения, для тяги и единичного импульса не найдены точные
уравнения, так как существующая теория одномерного течения без
учета пограничного слоя не позволяет определить положение скачка
уплотнения по длине диффузора.
При отсутствии отрыва перерасширенного потока от стенок диф-
фузора безразмерная скорость его в зависимости от размеров сопла
однозначно определяется уравнением неразрывности
одномерного изэнтропического потока (2. 6)
1 1
При этом величина единичного импульса определяется по форму-
ле (5.51). Дифференциал единичного импульса
dj=±Ld-t. + JLLdp
ЙХВ в дР1
Так как
dJ g/<B _ dJ _ PR._
д>в Кг< дК ’ дрг R^ др.
ТО
JLL—_L I ^вРа dPi
7 ' кв эхв а в+ Р1 ’
где
' ХВ - 1 . 1 1
»в 2/.2 ’ дР1 Р1 •
Из выражения сплошности потока (2.6) имеем
1-— X2
(6-15)
1 — XB VB
Отклонение давления в камере сгорания от его номинальной ве-
личины вследствие изменения функции заряжания zx определяется
формулой (6. 12). Исключая из уравнения dpx!px и dXB, получим
1
1 — ~
1 k + 1 B
dJ
к.
FBpa \dzx
2АВ
dux
1 dvt
dv
R
1 — v
2 ] .ZZj 1 — V
где
(6.16)
В
Чувствительность тяги двигателя к изменению функции заряжа-
ния найдем, пользуясь формулой (2.23):
р
4 k— 1 ,2V—1 p p
которая является результатом совместного решения уравнений (2. 6)
к
k—
7’1-^вРа-
(6.17)
Так как р&=const, то после логарифмирования и дифференцирова-
ния функции RB = Pi+Fupn можно записать
dP + p^dF В 2XB 2
1 + в Л+1
B 1 E* 1
«в
Р1
в
A 1 1 В
Подставляя вместо его выражение (6. 15), получим
dP Rb
•в
:в
dv.
FaPs
RB
(6.18)
После исключения dvj\\
(6.16) уравнение изменения
и dPilPi с помощью формул (6.14);
тяги относительно ее
номинального
значения для 1 — a -- » 1 приводится к виду
Rb
dp
p
Ra
RB F вРа
(f k /н __ 1 \ dF* ! Л_____ k
+ 1 KB ~ 1 — v] F* ' v k + 1 h
+ + ± 21«Л .
. S 1 «1 2 Q / 1 (1—v)2 J
(6.19)
Р
k
#B~ ^вРа и + 1
В
Для очкового сопла (Fb=F*) имеем
dP R* 1 IdS dF* । diiy , 1 dQ , dv . \
P R* — F*pa 1—v\S F* th 2 Q 1—v )
. (6.20)
При v = const; uj = const; S = const; Q = const соотношение (6.20)
принимает вид
dP________v_______R*______(1F*_
P ~ 1 —v R* — F*pa F*
или в интегральной форме
R*
R* — F*pa
где
Отсюда следует, что при очковом сопле изменение удельного им-
пульса двигателя и его тяги определяется только приращением дав-
ления в камере сгорания.
Члены, зависящие от Л,в, характеризуют приращение единичного
импульса и тяги двигателя вследствие изменения размера диффузо-
ра vB. В общем случае изменение размера диффузора происходит
как за счет одновременного изменения площадей критического и
выходного сечений сопла (6. 16), так и вследствие изменения одной
из них при фиксированном значении другой
rfvB (IF* . dvB dFB
’ vb FB '
Нетрудно показать, что в уравнении (6.18) член — — /? —
1 ТУ в vB
равен приращению динамической составляющей тяги в диффузор-
ной части сопла
k К Г> dvB
BvB g в VE
так как
Изменение статической составляющей тяги вследствие изменения
функции Zj в уравнении (6.18) учитывается третьим членом —1 .
Р\
Необходимо помнить, что уравнения (6.19) и (6.20) сохраняют
свою силу, пока способ механического регулирования площади кри-
тического сечения сопла не приводит к заметному нарушению из-
энтропического течения на входе в диффузор. Изэнтропичность те-
чения практически не нарушается, если обеспечивается достаточная
плавность перехода от проходного сечения регулятора к профилю
диффузора. .
*
Регулирование тяги РДТТ по величине
для степенного закона горения и = и,р''
Выше было найдено уравнение чувствительности величины тяги
к изменению функции заряжания Zj и размерам сопла ув.
На основании уравнения (6. 18) можно решить ряд практиче-
ских задач по регулированию величины тяги двигателя, например,
задачу компенсации отклонений силы тяги от заданной величины,
вызванных градиентом единичной скорости горения топлива, не-
постоянным значением поверхности его горения как в самом про-
цессе горения, так и за счет допусков изготовления заряда. Неста-
бильность тяги вследствие разгара критического и выходного сече-
ний сопла также может быть компенсирована путем соответствую-
щего выбора закона изменений поверхности горения. Наконец, так
решается задача получения необходимого закона изменения тяги
двигателя в заданных пределах ее регулирования для обеспечения
оптимального полета ракеты.
При этом следует иметь в виду, что найденные ниже формулы
необходимого изменения тяги не характеризуют собственно пере-
ходный процесс, а определяют лишь предельное значение тяги, ко-
торое устанавливается в конце этого процесса.
Сохранение постоянной величины силы тяги путем регулирова-
ния площади критического сечения сопла получим из уравне-
ния (6. 19) при dP = Q, откуда необходимая глубина регулирования
площади критического сечения при у=const составит
1 1
S /ОД 2 1 V
«о и 10 \Q0 / J
где
77=1—(1 — v) k —2-
k + 1 Кв
(6.21)
При ра = const; у = const уравнение изменения тяги в общем слу-
чае согласно (6. 19) имеет вид
1 — V
/W \So“ioQo2/ \f* /
\ FB0l
или
a aV a V"“')
Р=Р Г Sll> (^\ 1-V
° LsO“io \Qo / \F* / vj
(6. 22)
где
^ = 1---а=*во
1 fe+1 KB 1-v’ Po
Необходимая глубина регулирования площади критического се-
чения для обеспечения заданной величины тяги при фиксированном
значении FB согласно уравнению (6.22) составит:
* 2
_£о__/_Р_\от Г^оию /Qo \1/21v
F* L -S«i \ Q / .
(6.23)
Из уравнения (6.23) можно получить закон изменения поверх-
ности горения или единичной скорости горения топлива, позволяю-
щей обеспечить постоянную величину силы тяги или заданный закон
ее изменения вследствие разгара критического сечения сопла:
S иг \F* ) \р]
Определим пределы изменения показателя и:
Величина параметра —
Кв
достаточно стабильна и в сверх-
звуковой области 1<А<|/ t~~; ограничена пределами 1 <(
. В действительности ее колебание при регулировании
Дв k , ~
критического сечения будет значительно меньше 1,4 <( — <У +~ =
Кв k
= 1,8, где k = 1,25.
Таким образом, для показателя степени v можно рекомендовать
приближенную формулу
1 - Н- 8-\(i _ V) ~1-----------
\ 9 9 / 6 7 6
При поджатии критического сечения давление в камере двига-
теля растет. При этом тенденция изменения величин (1—т) и КВ1КВ
для баллиститных топлив будут всегда противоположными:
при dF*<0 —(l-v)<0 и — (^>0,
1 dF* dF* \кв /
а при — v)>0 и f—^<<0.
dF* 1 dF*\КВ )
Это обстоятельство способствует стабилизации величины показа-
теля V.
Суммарное изменение предельного давления в камере сгорания
вследствие изменения условий заряжания и единичной скорости го-
рения для v= const согласно выражению для dpjpi (6. 12) будет
/ ZiU,
Pi —Рю
\210и10
Пренебрегая тепловыми потерями и изменением объема камеры
вследствие выгорания топлива, получим формулу Бори
Pi-
р* V —
г10 И1 I
р* «ю/
являющуюся результатом условия, что Ga—Gv, т. е.
Suipfi — ArF*
Pi
Vrt,'
Отсюда при отсутствии тепловых потерь 7\ = const и заданной при-
роды топлива имеем известное соотношение
1
А I
—р=. — = const.
/ КГг В
§ 5. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ В КАМЕРЕ И ТЯГИ РДТТ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
ПЛОЩАДИ КРИТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ СОПЛА*
При анализе временных характеристик переходного процесса для
давления в камере РДТТ р(Р) при изменении площади критического
сечения сопла могут быть использованы уравнение (5.30) и закон
изменения площади критического сечения
Wd^- = (k - nSSzzMQ^-^-l) А — р- I
dt S |
k£ n2~v
— ----Sti.kp^-
В S И]
аД*=дД(/)
} (6.24)
* Написан В. В. Зеленцовым.
Для малых изменений площади критического сечения (АТ*7/у =
= 0, l-i-0,2) можно провести линеаризацию уравнения давления по
малому параметру, сведя его к виду:
Л-^+Др = МЛ (6.25)
at
где
, V]CT р kA\
(* —1) S-apAQvp^ - - (k- 1) А — — — — X
1 . '
’ 5*2 ’
'< тг2- (2 — V) Su^k (1 + v) p\x
<э111
—
s«j8 [(Л-1) S6UMQ/’Ll-a-l) А~
_________________1________________.
kA2 F2 ~ ’
~ ~ ~ (2 — v) ЛД- Su2k (1 + v)
/?оог—давление в камере при стационарном режиме работы РДТТ
в случае F* = F0;
Fo—начальная площадь критического сечения сопла.
При решении уравнения (6.25) необязательно прибегать к пре-
образованиям Лапласа. В отдельных случаях для определения Ар(/)
удобно использовать решение Лагранжа
При этом постоянную D находят из начальных условий
t=0; Аро = 0.
Преобразуя уравнение (6.25) по Лапласу, получим
T\Skp (5) + Lp (S)=k^F (5)
и
Др (5)=^^-. (6.26)
Выражение (6.26) позволяет получить зависимость для давле-
ния Ар = Ар (0 при заданном законе изменения площади критиче-
ского сечения сопла. Характер переходной функции (6.26) показы-
вает, что давление в камере является простым апериодическим зве-
ном в случае мгновенного изменения площади
AF*(/) = AFO.1(/),
где Д/у) — конечная величина изменения площади критического се-
чения сопла.
Тогда
МА>
1)
и, переходя к действительному изображению, получим
Др = МЛД1 — е т'
где
^1Д/7о = р001—
р„2 — давление в камере РДТТ при стационарном режиме рабо-
ты в случае F* = F*Q-\- t±F 0.
Окончательно для давления в камере запишем
p(/) = p«2 + (p~i — р^е т' . (6.27)
Аналогично для апериодического закона изменения площ'ади
дР = дРД1-
др (S)
_____________
s^s+l) (TAfS + l)
(6. 28)
Др = k^&Fо I 1 +
Тдт? —
и
откуда давление
р(/) = рте2 + (Роо1-/м)( е T"F ~ ТТ\ е
\ 1 ьр—11 1 ьр 11
(6. 29)
В том случае, если площадь изменяется по колебательному за-
кону, уравнение (6.26) приобретает вид
Др(5) =
__________МА>_________
S (TjS + 1) (27^52+ TUF S + 1)
и
( 47'27'4
___. г L _______________________47 I7 2Д7______________
Д/7 1 0 | /гр гр 97’2 \2 , zf7'2'7'4 2
I V 1Д^П~ 2/2Дл) +4/1/2ДЛСй
7\
е______
2Т2
** 2Д/7
t
~ Т '
— ]/Л'2+ В’2 sin (оз/ ср)
со
(6.30)
где
ср = arc tg
27'|д/,7'1О>
arc tg
^lA/7 2^2Др)
О)
Q7'2 '7'2
Q' 2 А Л—1 1&F
16^ДЛ
"Л Ар
7] — 7' — <^7'2 _
7'27:
__ы(7' —27j)
— Г2Г
Т'мр 27^2?
W^F
откуда в соответствии с уравнением (6.30) закон изменения дав-
ления в камере РДТТ
р(0 = Р»2 + (/?«,1-/?~2)
___________4^2ДР____________
(Т1Д/7Т1-272ДЛ)2 + 472Т4д^2
/Д'2+5'2зт((й/-)-ср)
(6.31)
При чисто синусоидальном законе изменения площади
дД (/) = 4- -°- sin (й/;
v ’ 2'2
/?(/) = /?
__ (7оо1 Р002) Г
2 1
1 •— ыТj (д$72
----------— е 1
1 +
Т,
V1 + »272
COS (ш/-(- ®)
где
&=Y“ arctgcori.
Постоянная времени давления 7\ является функцией свободного
объема Ж,- Поэтому в процессе работы двигателя она меняется в
пределах
1 1
в-----------------------в
где
В =(k - 1) SZu&Avp-i—fk- 1) Д X
/7*2
Х-—^-(2 —v) /ЛоТ —S«i&(14-v) pLi-
SrZj
Используя уравнения (6.27) — (6.31), можно получить выраже-
ния, описывающие переходной процесс в тяге двигателя.
Подставляя в формулу (6. 17) выражение для закона изменения
площади и давления, получим зависимость для расчета переходного
процесса P=P(t). При этом, учитывая малое изменение площади
критического сечения сопла, величину коэффициента реактивно-
сти Кв положим постоянной. Тогда для приведенных выше законов
изменения площади AF* = AF(t) получим изменения величины тяги:
—'для единичной функции AF(t)
1 _ t
(9 \ь__1 т,
—т) KB[p«2Jr(P^- ](F;+ aF0)- p.dFB,
— для апериодического звена AF(/)
i
pan=^ 1 1/М-Ж
\k + I/ l
t
Tti.F
___t_ i ________t_
T\ Г11 I p* i . с I 1
r—l-=- e Го-f- ДГ0 (.1 — e
1 ДР—1 I J L
РаРв’
— для колебательного звена д/7 (/)
кол
47’27’4
Г 2 А/-’
/3~2+(7’оо1 Р~2) /у’ г ________yr2 V_L 4Т2Т4 w2
V ibp1 1 2Ь.Р) + I7 2Д/7
]/ A'2-f-B'2 sin (ад/ |х
X j Fо -j- Д/^о
1— е т' ( cos wt Ч--—sin wt
\ Т'ы
— РвРв-
На рис. 6. 3 представлен характер изменения давления в камере
и тяги РДТТ при различных законах изменения площади критиче-
ского сечения сопла.
Рис. 6.3. Характер изменения давления (а) и тяги (б) РДТТ:
/—для единичной функции ДГ(О:
/7—для апериодического звена Д/7^);
///—для колебательного звена AF(7).
Более точное решение для переходного процесса по давлению
и тяге может быть получено путем численного интегрирования систе-
мы (6.43) либо решением ее на электронных моделирующих устрой-
/ + V 2 дёЛ
Р—.— дд
Р2 У =-оо1р2'
дно [7Гр—ЕЛ-
р2-у
ДРг(Н БП------------
- 0,01p2-vAF2 Sien
Pit)
Рис. 6.4. Схема решения на ЭМУ задачи определения давления в камере
сгорания н тяги в РДТТ:
К1 — К7 — коэффициенты машинных уравнений;
К — коэффициент реактивности сопла.
ствах (примерная схема набора задачи представлена на рис. 6.4),
причем в этом случае можно учесть и изменение коэффициента ре-
активности
ЛИТЕРАТУРА
1. Гейтс н Пинто, Регулирование тяги ракетных двигателей на твердом
топливе механическими средствами, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1960, № 6.
2. Циолковский Э. К, Труды по ракетной технике, Оборонгиз, 1947.
3. Engineer, 1961, 20/1 vol. 211, No. 5478, рр. 91—92.
4. Missiles and Rockets, 1961, No. 23, pp. 26—27.
5. Прайс, Некоторые методы регулирования тяги ракетных двигателей
на твердом топливе, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1962, № 6.
6. S u m m е г f i е 1 d М., Using a acoustic Energy for Burning Rate Control
solid Propellant, ARS Journal, 1959, vol. 29, No. 1, pp. 791—792.
7. Interavia, 1959, No. 4361.
8. Дерю, Комбинированные двигатели на твердом топливе, «Вопросы ра-
кетной техники», 1962, № 11.
9. С и п л а ч, Влияние быстрого понижения давления иа горение твердого
топлива, Ракетная техника (ARS Journal, в русском переводе), 1961, т. 31, №11.
10. Sherwin К, Thrust Termination insolid Rocket Motorsevaluation of
Ballistic Teest Data, ARS Journal, 1961, vol. 31, No. 1.
11. Kennet A. D., Thrust Control for solid Propellant, Ordnance, 1960,
No. 243.
12. Interavia, 1960, No. 4415.
13. Missiles and Rockets, 1959, vol. 5, No. 5.
14. Пир с, Будущее ракет на твердом топливе, «Вопросы ракетной техники»,
ИЛ, 1959, № 10.
15. Aviation Week, 1958, vol. 69, No. 11.
16. M о а к, Схема управления вектором тяги ракетных двигателей на твердом
топливе, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1962, № 10.
17. Flight, 1961, 13/1, vol. 79, No. 2705, pp. 42—43. Aeroplane, 1961, 20/1.
vol. 100, No. 2570, p. 74.
18. Aviation Week, 1961, 20/Ш, vol. 74, No. 12 Astronautics, 1961, vol. 6, No? 9.
19. Эшер, Система, заменяющая поворотную камеру сгорания на кардано-
вом подвесе, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1961, № 3.
20. В е г m a n К-, G г i m р F. N., Performance of Plug Type Rocket Exhaust
Nozzles, ARS Journal, 1961, vol. 31, No. 1.
21. Aviation Week, 1961, vol. 74, No. 12, 15, 20. Astronautics, 1961, vol. 6, No. 3.
22. К r a s e W. H., Performance Analysis of Plug Nozzles for Turbojet and
Rocket Exhausts, Poper Amer. Soc. Meeh. Eugus. No. 58—A—2248.
23. Rao G. V. R., Spike Nozzle Contour for Optimum Thrust, Planet and
Space, 1961, No. 4.
Глава VII
БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАКЕТ С РДТТ
В общей постановке основная задача баллистического проекти-
рования'может быть сформулирована следующим образом: опреде-
лить необходимый запас топлива ракеты для доставки заданного
полезного груза в заданную точку пространства при обеспечении
заданной скорости ракеты у цели или заданного полетного времени.
Решение этой задачи сделано приближенно и приспособлено для
случая эскизного проектирования, когда о будущей ракете по су-
ществу ничего неизвестно, кроме ее полезного груза, вес которого
подлежит уточнению в процессе дальнейшего проектирования. Та-
ким образом, на стадии баллистического проектирования ракета
представляется в виде материальной точки, масса которой неизве-
стна. В результате баллистического проектирования должны быть
определены запас топлива, веса ступеней ракеты, их калибр и дли-
на. Все эти величины являются функцией аэродинамической формы
ракеты, кинематических параметров траектории и дальности полета.
В этом смысле баллистическое проектирование является задачей
со многими неизвестными, которые определяются методом после-
довательного сближения.
Первое приближение ее решения находим в предположении, что
материальная точка имеет аэродинамический коэффициент сопро-
тивления, одинаковый с существующим образцом аналогичной ра-
кеты. Калибр и длину проектируемой ракеты также определяют
на основании статистических материалов по весовой плотности ком-
поновки конструкции аналогичных ракет. Полученные в первом при-
ближении калибр, длина и вес ракеты позволяют выбрать ее аэро-
динамическую схему и уточнить принимаемые в расчете аэродина-
мические характеристики с учетом потребных поперечных нагрузок.
После уточнения исходных данных ракеты проводят повторное ре-
шение задачи баллистического проектирования. Сближение резуль-
татов задачи производят до тех пор, пока принимаемая и получае-
мая в расчете величины поперечной нагрузки ракеты Qo/FM не
совпадут.
При решении задачи баллистического проектирования в зави-
симости от кинематических параметров траектории получается не-
сколько вариантов тактико-технических характеристик ракеты, из
которых выбирают оптимальный. Оптимальным считается вариант
ракеты, который при заданной дальности ее полета обеспечивает
наилучшую зону поражения или наименьший стартовый вес. Най-
денные характеристики оптимального варианта ракеты принимают
в качестве исходных для ее эскизного проектирования.
Рассматриваемое решение задачи баллистического проектиро-
вания позволяет определить основные характеристики двигателя,
необходимый запас топлива и величину силы тяги.
Рис. 7. 1.
Определение необходимого запаса топлива ракеты, обеспечи-
вающей решение поставленной задачи, основывается на уравнении
движения (рис. 7.1).
— ~ = Pcosa — Cj.F^q — Qsin0,
g dt
(7.1)
где Q = QO(1 — p.) —текущий вес ракеты;
[* = J \i.dt — относительный вес сгоревшего топлива;
о
Qo—начальный вес ракеты;
и, = G/Qo —- скорость изменения веса ракеты;
а —угол атаки;
FM —площадь миделя рекеты;
cx=cOx~r-—^-а2 —аэродинамический коэффициент лобового со-
<5“ противления;
<7 = 0,5р®2 —скоростной напор;
6 —угол наклона траектории;
P = GJH — тяга двигателя на высоте Н;
Jn — J-s-^-Fв——^- — удельный импульс на высоте /7;
О
р—массовая плотность воздуха на высоте //;
G —расход топлива;
Ji —удельный импульс при Н = 0.
Запишем уравнение движения в безразмерной форме
п=ЛП- _ Sin 9 (7.2)
1 - и. 1 -(Л
где
= в = сх^- сек^м\
g dt 2q..
Qo
——начальная поперечная нагрузка.
При написании уравнения движения ракеты, имеющей перемен-
ную массу m — QJg и тягу двигателя Р с учетом силы сопротивления
среды Rv и тяжести gm, пользуются уравнением (7.1)
mv ^P — Ry — gm sin 0, (7.3)
представляющим проекцию сил на касательную к траектории по-
лета ракеты.
Однако для движения переменной массы уравнение (7.3) не
является очевидным и вытекает из более корректного выражения
— (m®) = — (u — v) — Rv — gm sin 0, (7.4)
dt g
где ii — v—абсолютная скорость продуктов сгорания;
®— абсолютная скорость движения ракеты;
О < )
— (и — vs—скорость изменения количества движения ракеты
g вследствие убывания ее массы, выбрасываемой со
скоростью и;
и — эффективная скорость истечения продуктов сгорания
относительно ракеты;
dm G х
—=---------скорость уоывания массы ракеты;
Gti
Р =------- тяга двигателя.
g
После дифференцирования левой части уравнения (7.4) получим
его общепринятую форму (7.3), так как и—= v. Изменение
кинетической энергии ракеты на основании уравнений (7.3) и
(7.4) описывается зависимостью
d tmvz\ G / v \ ,. . 0
« тг ~ R*v ~vgm sln e-
§ 1. РАСЧЕТ ЗАПАСА ТОПЛИВА ПРИ ДОЗВУКОВОМ РЕЖИМЕ
ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ
Для небольших высот полета //<5000 м и при скорости ракеты,
не превышающей 290 м!сек, можем принять
о=р.п; В — сг —^- = const;
ср х 2qu
. Р.~РН
в 2^оЛ
где ра — давление атмосферы у земли;
Рн — давление атмосферы на расчетном участке высоты Н.
Интегрирование уравнения движения (7.2) при p, = const и
sin 0 = const
приводит к зависимости
. (V A— VBv
[х = 1 — ' ; _
(7.5)
где
А = П 1 +
a— (1— p-ср) sin 0
Т)
- Р Ра — Рц
а = В--------2- ;
В 2Q0
Подставляя в уравнение (7.5) конечное значение скорости,
определим необходимый запас топлива.
При вычислении коэффициента А величины параметров цср и a
в первом приближении принимают равными нулю, во втором
Рср=н/2. Если относительный запас топлива задан, то скорость
ракеты в конце активного участка траектории находим по урав-
нению
й==:О-Нк . (7.6)
У В b +1 Т]
Путь ракеты за время работы двигателя, зная о(ц), можно оце-
нить по формуле Симпсона
Х=— ^(.ц04-4®1 + 2®2+. . . + 4®„_1 + ®„),
т) Зп
где п — четное число равных отрезков вдоль оси ц кривой ц(ц)
на участке от ц = 0 до ц=цк;
Vi — скорость, определяемая по формуле (7.6), в которую вме-
сто цк подставляют его текущее значение |ij= — рк.
При двухступенчатой ракете стартовый двигатель обеспечивает
быстрое нарастание скорости до выбранной величины. Затем ов
прекращает работу и вступает в действие двигатель маршевой сту-
пени, поддерживая скорость ракеты на заданном уровне на всем
пути ее движения (xi—х0) • Как правило, тяга стартового двигателя
значительно больше маршевого.
Рассмотрим особенность расчета запаса топлива для каждой
ступени в отдельности и его суммарного запаса. Формулы для и и
р, существенно упрощаются в том случае, когда скорость полета
ракеты после ее старта слабо меняется на траектории.
Так, при движении ракеты на марше с постоянной скоростью
запас топлива найдем из уравнения движения, положив г = 0 и
— =ё~.--------gsmS^O.
dt 1 — (х
Интегрирование при ц = const приводит для pi к формуле
Bivj + (1 —0,5р-1) sin 0
!*=---------Л--------- "
где
Х;—Х0
Г1--------------------------- .
V0
Решая относительно щ, окончательно получим
Bfli + sin 0
Р1=-ч------
Ji sin 0
Т,
Полный относительный запас топлива с учетом топлива старто'
вой ступени определяется соотношениями:
„ М1 + . ___ “0 .
Ип Qo ’ ° Qo ’
[А1==-----1--
Qo — “о
ШП = Ш1 + “о-
Отсюда имеем
“п — Pl U ~Ро) Qo + PoQo или Рп— Ро4~Р10—Ро)»
где |10 — относительный запас топлива стартовой ступени ракеты,
определяемый по формуле (7.5);
Qo —стартовый вес ракеты;
Qo —<о0 —вес ракеты в конце стартового участка траектории.
Строго говоря, при sinO=#0 постоянное значение скорости ра-
кеты для т] = const обеспечить нельзя, так как выгорание топлива
приводит к уменьшению торможения движения ракеты от силы
веса. Уравнение движения показывает, что постоянное значение
скоростей может быть обеспечено при переменной тяге, изменяю-
щейся по закону
т] = В1®2ф-(1 — р.) sin 6.
Отсюда следует, что при sin 0=0 имеем v = const и т] = const.
Если sin 9=Н=0, то значение скорости в конце маршевого участка
где
I/ В bf(v0)+l
а ‘igh /АВ .
Т11
'По —скорость в конце старта, определяемая по формуле (7.6);
П1 — тяговооруженность маршевой ступени;
71 — единичный импульс топлива маршевой ступени.
§ 2. РАСЧЕТ ЗАПАСА ТОПЛИВА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ РЕЖИМЕ
ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ
Рассмотрим расчет запаса топлива для двухступенчатой ракеты,
представляющий общий случай задачи. Предположим, что вывод
ракеты за сверхзвуковую скорость осуществляется с помощью
стартовой ступени, двигатель которой имеет большую тяговоору-
женность T}o = Po/Qo> Ю.
При этом путь и время движения ракеты на стартовом участке
траектории оказываются сравнительно небольшими. Подобная
организация старта характерна для зенитных ракет.
Решение задачи проведем при определенных допущениях, но га-
рантирующих приемлемую точность расчетов для случая эскизного
проектирования, когда еще в первом приближении устанавли-
ваются вес и габариты ракеты.
Стартовая ступень
Запишем уравнение движения (7.2) следующим образом:
dv u-J л
dt 1 — р.
где
. Bv’ + (1 — u.) sin fl
X = 1------------—----.
«о
Полагая x = /cp=-const и р, = т)0//0 = const, получим
=/М In —Д- ; Ро =1 “ e~v° >
1 — y.t
где
Величина коэффициента % при большой тяговооруженности
является небольшой, как показывает его выражение, и определяется
в основном силой сопротивления воздуха.
Расчеты показывают, что величина % для 400<и<1000 м/сек
и ц^20 лежит в сравнительно узких пределах от 0,75<%<0,95.
Если при проектировании по тем или иным соображениям ско-
рость старта известна, то для Цо>400 м/сек приближенно
. sin0
z==l---------
По 3По
Здесь величину коэффициента сопротивления воздуха в первом
приближении можно принять равной 1,5 • 10~5 сек?/м2, так как на
практике она ограничена пределами 10-5<В<2 • 10-5. Если старто-
вая скорость не задана, то задача решается методом последова-
тельного сближения результатов или при наличии опыта расчет
величины ро ведут непосредственно для выбранного значения коэф-
фициента х-
Маршевая ступень
Если стартовый двигатель сообщил ракете сверхзвуковую ско-
рость (ро), то на нее будут действовать силы сопротивления воз-
духа, линейно зависящие от скорости ее движения. Опыт внешней
баллистики артиллерийского снаряда, а также сверхзвуковые аэро-
динамические продувки ракет с достаточной точностью подтверж-
дают справедливость зависимости сжМ = const в интервале от
М=1,2 до М = 3,5. Таким образом, для Mjsl,2 при решении урав-
нения движения ракеты (7. 2)
Мо
с Г — Сл — •
х м
Тогда уравнение движения ракеты со сверхзвуковой скоростью
приводится к виду
1 dv ri—cv . „
—--------------sine, (7.7)
g at 1 — u.
где
С = <за -5— ; <з = с 0М0; <7М=—;
а — скорость звука в воздухе на высоте полета ракеты;
Qoi — вес ракеты в начале маршевого участка траектории.
Поперечная нагрузка </м для заданного калибра ракет сравни-
тельно стабильная величина. На практике для ракет с одинаковой
плотностью укладки аппаратуры величину можно установить на
основе статистических материалов, пользуясь соотношением
~ А
Ям = Ям. Э . 5
ds
где (1Э; <7м.э — калибр и поперечная нагрузка эталонной ракеты.
При интегрировании уравнения движения допустимо ввести осред-
нение плотности воздуха и скорости звука для изменения высоты
полета ракеты не свыше 5000 м. В противном случае диапазон из-
менения высоты полета ракеты на маршевом участке необходимо
разбить на несколько участков, протяженностью не свыше 5000 м
каждый. При этом средние величины плотности воздуха и скорости
звука определяются по формулам
_ 1 — (1 — 2,19 10—5ДЛ/)5Л
Qicp —Q/-1 11,82-10—5ДЛ7
_______ 1 — (1 — 2,19-10—SAZ/)1 * * *’5
а/ср —а»-1 3,285-10-здЯ ’
(7.8)
(7.9)
где Qi—i, (2г_! — плотность воздуха и скорость звука, взятые
в начале i-го отрезка высоты.
Начиная со второго расчетного отрезка высоты при условии,
что АН1 = АН2=ДНз= , вместо формул (7.8) и (7.9) удобно
пользоваться соотношениями
Scpi—1 Q,-2 . аср 1—1 «/—2
Сер/ 61—1 «ср i ai — l
Естественно, что путь и скорость ракеты в конце предшествую-
щего участка траектории будут начальными условиями для ее дви-
жения на последующем отрезке высоты.
В зависимости от поставленной задачи уравнение движения ра-
кеты можно записать так:
+ = ^- + №Qc, (7.10)
at at
где
___________________ с п + sin 0 1 dv
Pl> g i-« p’ 1, '• g n’
1 — p. ./j
Первое из этих уравнений позволяет найти закон движения ра-
кеты для заданного режима работы двигателя.
Второе решает обратную задачу — определение режима работы
двигателя при заданном законе движения ракеты.
В общем случае уравнения (7.10) имеют следующие решения;
Постоянные Dv находят из начальных условий /=0; р. = 0;
v—va. Решение уравнения для скорости при — const;
sin9=const имеет вид
»=— [1—(1-Й01+ро (1—g sin8--~
с gc— р
(7.И)
так как
| 11 dt=g I [-М---sin 6) (1— р./) * dt\
J J V —• р/ /
f Qt ы=—(1 - KT - g (1 ;
J c gc — p
J Ppdt = gc^ * ==-vln(l-i^);
v = ^-; c = -^-(ea)cp.
P 2?m
При этом путь ракеты равен
X! —х0=^ f vdt= — [i----—г- [1 — (1 — [^)'’+1]1+
J С I gC + р J
о
+ -^--[1 -(1-^+1]-0,54-^[1- (1-^)2] +
де + Р р gc— р
(7.12)
g2c2— pz
где / — ограничено пределами
’ll
Исследуем уравнение скорости (7. И). Для безвоздушного про-
странства с—0 и уравнение скорости обращается в известную
зависимость
^=®o+gA 1П г—Ц — g^sinS, (7.11')
1 — pt
так как
gc
[1—(1—p./)|i]=gJiln-—Ц-.
с->о с 1 — $лг
При этом путь, пройденный ракетой, будет равен
x-x0 = ®0/ + g4-[l - (1-Й0 (1 + in—Ml - g sine.
P \ 1 — рг/ £
После окончания работы двигателя ц = 0, поэтому скорость
и путь ракеты' на пассивном участке траектории изменяются со-
гласно уравнениям
® = —(7.13)
С
= ---(1 - , (7. 14)
gc С L gc J
так как
££
Пт (1 — [л/) =e~sct,
[>--0
где t?jj Xi — скорость и путь ракеты в конце маршевого участка
траектории.
Уравнениями (7.13), (7.14) можно пользоваться пока скорость
ракеты не перейдет нижний допустимый предел 420ч-450 м!сек,
а изменение высоты полета не превысит 5000 м.
Для решения практических задач определения относительного
запаса топлива на маршевом участке траектории удобнее пользо-
ваться упрощенными соотношениями, представляющими результат
совместного решения следующих уравнений:
по~ 4i— ~ s*n
п4=————sin 6,
1-(Л
где Т11 = р-Л;
1 ^^0
«0=-------- — относительное ускорение ракеты в начале марше-
g dt вого участка траектории;
1 dvt
«! =------!—относительное ускорение ракеты в конце марше-
£ dt вого участка траектории.
С другой стороны, предполагая движение ракеты на маршевом
участке траектории с постоянным ускорением, равным среднему
значению, имеем
_ vi + vo ^*1-71 .
1 tj х} — х0 2
ч ________ „.2,
n I 1 V1 V0
2«Ср = «1 + «о=------------------•
g — х0
Исключая из выражения для пСр параметры ng, n<g, rji, получим
Hi —2/?pp.1-[-^t,=O.
Отсюда относительный запас топлива маршевой ступени
где
Hi=^— V pv — q-v,
। ДУ],о । с t>oA.xi,o । 2sin 11 Axi.o .
gh Ji vt + v0 Jr t>i +1>0
= Дщ,о । c Д-У1.0 । 2 sin 9 Axi.o .
gh ' h ' Ji ^i+v0'
A^i,o = wi —wo; A^i,o = -ri — xo-
Необходимые тяговооруженность
двигателя определяют по формулам
и время работы маршевого
У1 + Ур .
2A^110
И—-------
I'll
Для прикидочного расчета допустимо пользоваться зависимо-
стями
ц, = съг-4-sin6; |х1 = ^ (7.15)
Л +
Подставляя найденные значения Ц1 = |Д; ip в уравнения (7.11)
и (7.12), уточняем скорость и путь ракеты в конце маршевого
участка траектории. Однако прикидочный расчет запаса топлива
для маршевого двигателя дает хорошую сходимость в том случае,
когда скорость ракеты на маршевом участке близка к постоянной
величине. При ускоренном движении (dv/dt^Q) приемлемая точ-
ность решения сохраняется, если потребное приращение скорости
ракеты не превышает 15%. В противном случае конечное значение
скорости на марше может существенно отличаться от заданного и
потребует соответствующего изменения тяги двигателя, т. е. под-
бора ее величины по уравнениям (7.11), (7.12). На практике
иногда более удобно вести расчет относительного запаса топлива
через тяговооруженность двигателя по формуле (7. 15). Для равно-
ускоренного или равнозамедленного движения ракеты при постоян-
ном значении-тяги двигателя формула (7.15) для pi дает вполне
удовлетворительный результат, если тяговооруженность двигателя
определить из уравнения движения (7. 7)
1 dv ri] — cv , п , dv
— —-=-4—:-------sin 0 = const; — — г»,
g dt 1—p-ср dt
где
= h-
Отсюда находим необходимую связь между скоростью и тяго-
вооруженностью
где
t>] — t>o t]i—c (t>p + 0.5t>/i)
gt\
1 P-cp
sin 6,
(7- 16)
^ + 0,5^1
Решая уравнение (7.16) относительно параметра y)i, получим
искомую величину тяговооруженности
0,5c (t>i + v0) + sin 9 +
t>i—t>o
gh
V]—Vn t,
—----2 + — sin e
2^i 2Jj
(7. 17)
где
/1==2 ——^2-
г’1 + v0
Расчет запаса топлива маршевой ступени
и выбор тяги двигателя для //>5000 м
Методика расчета относительного запаса топлива маршевого
двигателя через тягу в отличие от предыдущей, где непосредственно
запас топлива определялся из
Р
10
15 п км
Рис. 7.2.
уравнения движения ракеты (7.15),
(7.17) является более удобной для
случая, когда маршевый путь ра-
кеты разбивается на несколько от-
резков. При этом на каждом отрезке
высоты плотность и температура
воздуха принимаются постоянными
и равными средним значениям
(рис. 7.2), вычисляемым по форму-
лам (7.8), (7.9).
Тягу двигателя находим по фор-
муле (7. 17), задаваясь необходи-
мым приращением скорости vv—v0
на первом отрезке пути
П1 =
хг — х0; Дт’1=-и1 —и0:
0,5cj (2t>o + Afc'i) + sin 6 +---
_____________________________gM-j .
(7. 18)
Дг>1 sin 0
где
д/1==2 Xl ~~-x°
2t»g +
Необходимое количество топлива для обеспечения заданного
приращения скорости (Дщ)
Д^! —~ Д/х.
Вследствие приближенности выражения для r)i необходимо
уточнить величину скорости ракеты c>i по формуле (7.11), приняв
н=П1/Л; ^=Д6-
Если найденное значение скорости Vi отличается от принятого
(t>o+At>i) не свыше 2—3%, то величину пути ракеты (%i—х0)
не следует уточнять.
Для второго участка пути х2—%i = A///sinO скорость ракеты v2
по-прежнему находим по уравнению (7. И), в которое подставляем
следующие значения параметров:
г»_Т| _. *41 . ---___ ^12 .
Ч— 42— ---—- , Р—^2—“,
1 —V1 Л
с3 (ея)2ср
с = с2=---*-----------: и(1 = 'п1; / = д/9.
1-Дн (Са)1ср °
Расчетный участок высоты ДД не должен превышать 5000 м.
Время для второго участка пути
-------2
°' 1 + ]/1+2JVa';’2
где
^2 = g(V2 — №1~ Sin 6).
Сближение результатов необходимо производить в случае не-
допустимой разницы (свыше 2—3%) во времени Д/2 и д/2' =
=2 •У2~~~Г1. . для остальных участков траектории определение ско-
рости ракеты производится так же, как и на предшествующем.
Суммарное значение относительного запаса топлива маршевого
двигателя находим по формуле
Hi— ДН1 + Д1Х2(1 — ДР1)+ ДРзО — АН1)(1 — -ДчОЧ-- • ,
где
Др;=^ д/г.
'1
Тяга двигателя маршевой ступени может быть определена по
зависимости Pt = r]Qoi, записанной для любого участка траектории,
если она была принята неизменной:
^1 —’llQoi —Г12Ро2==Т1зРоз== • • • > (7-19)
где
Qo2 = QoiU A!1!); Qo3=Qo2(1—Др-г); Qoz~Qoi-i(l AHz-i)
— вес ракеты в начале каждого участка траектории.
Постоянство тяги маршевого двигателя приводит к очевидным
соотношениям
П,- (1 - П2(1 - ДН1)=Т11.
Соотношение (7.19) целесообразно использовать для проверки
точности произведенных вычислений.
§ 3. ВЫБОР ТЯГИ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ РАКЕТЫ
С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
Согласно уравнению (7.7) закон движения ракеты с постоян-
ным ускорением возможно обеспечить только при переменном ре-
жиме работы двигателя. Необходимый для этого режим изменения
тяги двигателя определяется уравнением
т] = — = J ~
Qo dt
где
П -4- sin f)
V I cv
n~—; Qv=Pi>-\-—r
g 1
Полагая, что n — const; sin 9 = const; c~const; u = ,u04-'u(/,
получим
J pvdt = pvt-
° dt = pv J epvldt + J ePvtdt+ — J teP^dt-,
f dt=(l + .
J \ Pv J Pv) J Pv
При / = 0; ;л = 0 имеем
и==/1 + СЗД (1- e^^t.
У JPv JPy) ]Pv
Иа основании последнего уравнения
П = (« + sin 6 4- ст0) е~Ръ' Н (1 - е~р* 9 • (7. 20)
п + sin fl
При этом скорость и путь ракеты подсчитываем по формулам для
равноускоренного движения. Из уравнения (7.20) следует, что для
обеспечения постоянного ускорения движения ракеты величина
тяги двигателя должна быть переменной. Величина тяги остается
переменной даже при реализации движения ракеты с постоянной
скоростью (п=0). И только в частном случае при горизонтальном
полете ракеты (0=0) с постоянной скоростью тяга становится ве-
личиной постоянной и равной ц = cv0.
Найдем такое значение тяги двигателя, при котором приблизи-
тельно обеспечивается условие движения ракеты с постоянным
ускорением. Для этого уравнение движения запишем в следующем
виде:
Т| — CV .
п — ------sin
1 .Гер
где
p 27 t-i + w0
При интегрировании уравнения движения параметры c»i; v0\ хй хй
будем считать заданными. Таким образом, решение поставленной
задачи сводится к определению постоянной величины тяги, при ко-
торой обеспечиваются заданные значения конечной скорости щ
и пути ракеты хь Решение этой задачи приводит к формулам
(7.17) и (7.18). При использовании этих формул, как и прежде,
принимаем среднее значение коэффициента сопротивления воз-
духа с на заданном отрезке высоты А//= (xj—xo)sin 0^5000 м\
Сервер
с = с0-----.
еодо
§ 4. СТАРТОВЫЙ ВЕС МНОГОСТУПЕНЧАТОЙ РАКЕТЫ
Стартовый вес ракеты может быть определен только когда из-
вестны полезная нагрузка на борту ракеты, относительный запас
топлива для каждой ее ступени и конструктивно-весовая характе-
ристика двигателей. Под конструктивно-весовой характеристикой
понимают отношение веса снаряженного двигателя к его запасу
топлива. Статистика показывает, что величина этого коэффициента
сравнительно стабильна и ограничена пределами 1,1<|3<1,8.
Нижний ее предел относится к ракетам большого калибра, свыше
500 мм; верхний — к ракетам калибра менее 100 мм. Для ракет
среднего калибра его величина близка к 1,3—1,4.
Стартовый вес ракеты с отделяемыми ступенями
Величина стартового веса ракеты в соответствии с уравнениями
весового баланса равна
Q0=AQ+Qc + 2 Qh
i
где aQ —вес полезной нагрузки;
Qc —вес стартовой ступени;
Qi — вес второй ступени;
Q„_j —вес последней ступени.
Полезной нагрузкой ракеты принято называть вес боевой части,
приборов управления, источников питания, оперения и части кор-
пуса ракеты.
Введем обозначения:
pz =--------------относительный запас топлива ступени;
Qo — У, ₽,“v
1
i-i
Qo — V —оставшийся вес ракеты после сброса ступени
1 Z —1;
О О?
в; = —— конструктивно-весовая характеристика двига-
“< теля /-й ступени.
На основании этого
Qc = ?ol1oQ(b
Qi—Pif'i(Qo Qc) ===3ifxi(1 WQ»;
Q2~?2!12(Qo — Qc Ql)==?2!12 (1 W 0 PlHl) Qo
Qn-1 — Pfl-lP'n-l (qo ~ Qi
\ 1
==?л-1Нл-1 U ft)Po)(l Pl^l) • • • (1 Рл-гН'л—2)Qo-
Исключая из уравнения весового баланса Qo; Qu ...; Qn-i,
получим формулу для стартового веса ракеты с отделяемыми сту-
пенями п—1:
(1 — ?оМо) (1 — ₽lP-j) • • • (1 — Рл—1Р-Л—1)
Для двухступенчатой ракеты, имеющей одну отделяемую ступень:
Q ----------. (7. 21)
(l-₽ow>) (1-В1Щ)
Стартовый вес ракеты с неотделяемыми ступенями
Уравнение весового баланса остается прежним, как и в случае
ракеты с отделяемыми ступенями. Введем обозначения:
₽£ = ^; н=-----------
1
1—1
где Qo—V — оставшийся вес ракеты после выгорания топлив
Т- в ступени z —1.
На основании этих соотношений:
Qc — ?ol1oQo
Qi = PiP-i (1 Pp) Qo
Q2 ~ 1'29-2 О Ро) (1 91) Qo
Qn—J — Pn-lPn-l 0 ~9о) U— Pl)' • -0 Рл-1) Qo-
Подставляя в уравнение весового баланса выражения Qc; Qr,
Qn-i, получим для стартового веса ракеты с неотделяемыми сту-
пенями п— 1 следующую формулу:
Q — _______________________^2-------------------------- .
° 1 — 8oW) — ₽1Р1 (1 — Ро) — • • — ₽л—1Рл—1 (1 — Ро) • • (1 — Рл—2)
Для двухступенчатой ракеты
q =---------W. (7. 22)
1 — Popo —31Р1 (1 — Ро)
Нетрудно показать, что ракета с неотделяемыми ступенями
всегда тяжелее ракеты с отделяемыми ступенями.
Отношение весов двухступенчатых ракет равно:
7У __ 1 Э1Р1___
откуда следует, что Qq> 1, так как р0>1.
§ 5. ВЫБОР СТАРТОВОЙ СКОРОСТИ РАКЕТЫ
Оптимальной величиной стартовой скорости ракеты будем счи-
тать значение, при котором обеспечивается наименьший стартовый
вес ракеты. Такое условие равносильно требованию наивыгодней-
шего распределения запаса топлива между ступенями ракеты, по-
зволяющее при наименьшем стартовом весе ракеты вывести ее
в заданную точку пространства с заданной конечной скоростью.
В соответствии с уравнениями для стартового веса двухступен-
чатой ракеты (7.21), (7.22) условие наименьшей его величины бу-
дет выполнено в том случае, когда функция
/о = (1 - Vo) (1 ~ Vi)
или /в=(1 - З^о) Г1 - -^1]
L 1 — Роно J
достигает максимума.
Отсюда
вытекает, что наименьший стартовый вес ракеты с отделяемыми
ступенями будет при условии (1—роцо)~(1—Р1Ц1), так как функ-
ция z=xy формально имеет максимум, когда величины сомножите-
лей равны друг другу, а сумма их остается постоянной. В действи-
тельности параметры ц0 и щ являются зависимыми, а поэтому усло-
вие максимума в данном случае будет справедливым в пределах
допустимого отклонения суммы от постоянной величины. Для ра-
кеты с неотделяемыми ступенями условие экстремума сводится
к условию
1 Vo~ 1
Р1Р-1(1 — р-о)
1 — РОРО
На основании этих приближенных уравнений оптимальное рас-
пределение запаса топлива между ступенями ракеты определяется
соотношениями:
р.1==р.о —для ракеты с отделяемой стартовой ступенью;
1
Vi = V-o-----—для ракеты с неотделяемой стартовой ступенью.
1 — р-о
Для ракеты с отделяемой стартовой ступенью при одинаковых
конструктивно-весовых характеристиках двигателей условие опти-
мума требует равенства относительного запаса топлива стартовой
и маршевой ступеней. В общем случае оптимальные значения ц0; Ць
а также скорость старта определяются системой уравнений
^0 = ^-1 V;
Ро
u 1 p-bi.. „ _2щ -Ki-.ro 1
Ро—1 е ——----------—-
V1
O.oci^i (1 + k) + sin 6 + ——-----—
Д =--------------------------------
V] (1 — k) sin В
1 + + sin 0 + —— /1
2g-7i 271
(7. 23)
где
V1 . k = ^-
lgJ0 ’
Для приближенного решения системы уравнений (7.23) отно-
сительно параметра k можно использовать метод последователь-
ного сближения результатов. Примем, что при k<\
[х0=1 — — (1 — ОДЛ^); [ii = a —— ; а — — Х1~Х° ,
1 + k
тогда
/ (1 - 0,5^) = П1
Pi 1 + k
или
+ +1)й = ^/ П. (7.24)
V] в0 1—0,5^!
Отсюда
k = -0,54-1 /о,25 + А К----------(7.25)
\/ V1 80 1—0,5^! ’
За начальное значение параметра 1—0,5йг>1, можем принять
величину 1—0,5г7ь
Порядок вычисления параметра k поясним на примере. Пусть
г71 = 0,4; t>i=700 м/сек-, 0=30°; а=0,086;
х1 — А'о = 6ООО м; ₽i=+0; + = 200 к Г' -сек/кг-,
£1 = 4,25-10~3 сек/м-,
тц Cjt>i + sin 9
1 — 0,1 — 0,5^1
На основании этого в первом приближении
k = — 0,5+р/ 0,25+^4,35 = 0,59.
Второе приближение
-0о = Л-01 = 41О м/сек; Л-г+ = 0,24; /t=2 Х1~-г° = Ю,9 сек;
V1 + v0
0,5с (v0+ г>1) -J-sin В+ --~
+ =--------------------
, , fi — v0 sin 6
+ —%7Г+2Д<1
290
0,5 4,25 • 10-з 11 ю+0,54-
_ 9,81-10,9 с ,
— ---------------—о,1;
! 290 1 ’ ’
+ 2-9,81-200 + 2-2-200 10,9
k= -0,5 + 1/" О„25 + °’СА._+2—=0,72.
У 0,4 1—0,12
Третье приближение
г'о = Лг»] = 5ОО м/гек; k:v1 = Q,29; tx— 10,0 сек-,
200
0,5-4,25-Ю-з. 1200 + 0,5+ —----
Л1 =------------------------$1^11 = 4,8;
200 1
1 +----------+--------- 10
2-9,81-200 2-2-200
k = - 0,5+-1 / 0,25+°’-86'4’8 = 0,7.
I/ 0,4-0,85
Четвертое приближение
п0 = Лт'!—490 м1сек; йг»] = 0,28; ^=10 сек-,
П1 = 4,65; Л = 0,69.
Таким образом, стартовая скорость ракеты, при которой обес-
печивается наименьший стартовый вес, равна wo=48O—500 м)сек.
тт < -, / . Ро vi (2—fi) 1
Для случая, когда /г<1 или а< — —--------1 вычисление пара-
\ 31 2гц /
метра k можно произвести по приближенной формуле, не прибегая
практически к сближению результатов:
k^y р^д-р^ =-, (7.26)
и 1 Ур^+ч+р
где
aif 1 1
2g -*1 — xQ
2аЗ]
/ w2
9 = a1(sin6^c-^l+^
\ 2 ' 2g
1
*1 —*0
2g
Формула (7.26) получена в результате совместного решения
системы уравнений (7.23) и (7.24) при допущении, что
1 + -^—(1-^)4-^°-'Y1 1+0,25Zt>i; А3«0.
2g J1 J 1 + k
Для данных рассмотренного примера значение параметра k, вы-
численного по формуле (7.26), равно
k=—---------°;Z1.. = 0,685.
0,213+/0,2132+0,76
При этом значении k тяговооруженность маршевого двигателя
и стартовая скорость ракеты составят t)i = 4,85; уо = 48О м/сек.
После сближения результатов по формуле (7.25) окончательно по-
лучим & = 0,7; ф = 4,9; уо = 49О м/сек. На практике уравнениями
(7.23), (7.25) и (7.26) можно пользоваться, когда общая высота
полета не превышает 5000 м.
Выявим чувствительность стартового веса к изменению скорости
старта. Для этого, приняв прежние значения Xi—х0; Dj произвольно
будем задаваться величиной скорости старта d0. В этом случае по-
рядок расчета будет следующим:
р.0 = 1-е-г'";
sin 6
ЗЛо Ло
-
-Do=——;
7J?7°
/j=2—---
V] J+ Wo
Vi — Vn
0,5c (v0 + Vi) 4- sin 6 + —-—
Д =----------------——— ;
M sine.
2gh
X1~~X° • р,— Д1; v==-; (v— 1) [x = gc — p,;
7i Vo + vi 7j p.
» = —[1 --(l-H)’] +^o(1-P-)'j— -g-sl"-6.-r(l - p.i)-(i-Hi)’];
C [y— 1) 1
Qo=----------------•
(1 — PoP-o) (1—₽1H1)
Произведем расчет для заданных значений параметров
Ло = ЗО; Jo = /1 = 200 кГ-сек]кг-, с1 = 4,25-10~3 сек/м;
Д = 1,5-10~5 се№/щ2.
Результаты расчета сведем в табл. 7.1.
Таблица 7.1
vo Ло X Но V1 Л: Н1 *1 Qo
400 30 0,95 0,195 697 5,20 0,282 10,9 2,44
500 30 0,94 0,236 700 4,80 0,240 10,0 2,41
600 30 0,92 0,275 700 4,25 0,195 9,2 2,42
630 30 0,92 0,290 700 4,00 0,180 9,0 2,43
700 30 0,90 0,325 697 3,40 0,146 8,6 2,50
805 30 0,88 0,375 703 2,40 0,095 7,9 2,65
Из анализа данных табл. 7. 1 следует, что экстремум веса ра-
кеты является очень пологим. Так, при изменении стартовой ско-
рости от 400 до 630 м)сек вес ракеты практически сохраняется
постоянным, находясь в пределах точности расчета. Из табл. 7. 1
также видно, что положение экстремума функции fo находится
в районе равных величин относительных запасов топлива.
Колебания конечной скорости ракеты на марше относительно
заданной ее величины (щ = 700 .м/сек), характеризующие точность
рассмотренной методики решения задачи в целом, являются вполне
допустимыми с инженерной точки зрения.
§ 6. ЗАМЕЧАНИЯ К ВЫБОРУ НАИМЕНЬШЕГО СТАРТОВОГО ВЕСА
ДВУХСТУПЕНЧАТОЙ РАКЕТЫ
Выше было изложено приближенное решение этой задачи. Бо-
лее точное определение наивыгоднейшего соотношения между стар-
товой и маршевой скоростями, дающего наименьший вес ракеты
при постоянной силе тяги двигателя, можно получить в результате
совместного решения следующей системы уравнений.
А. Для ракеты с отделяемыми ступенями
dk dk
=ы +ы i - ы 5=°;
ак ак
Но=1 -е~^; =
Б dk
„ /' А' Б'\
dk И'1 \, А Б ) ’
где
А = a (Xj - х0) (1 + k)4- 2 sin е Х1~~Х° + (1 - Л2);
vi g
A'=cl(x1 — Xq) — 2k ~ ;
g
B=JX (1 4-^)4-Д- (1 gin 6 X1 ~ х°.;
g
g
Б. Для ракеты с н е о т д е л я е м ы м и ступенями
В этом случае изменится только первое уравнение
dk dk dk
Остальные уравнения системы сохраняют свою силу. Эта си-
стема уравнений решается графическим путем. Искомое значение
величины k определится соответственно в каждом случае пересе-
чением двух кривых:
Pi 1— Wa dk 1—PiP-i dk
6) y. (^) = —L_ y2(k) =----
* 1— 'J-o dk ' ) РКЦ - 80 dk
Напомним, что, несмотря на общий характер постановки за-
дачи — отыскания экстремума, решение ее является приближенным
и без особых затруднений может быть использовано только в слу-
чае, когда г|о> 10; Я<5000 м. Это решение, сохраняя принципиаль-
ную нестрогость, как легко заметить, является сравнительно гро-
моздким и трудоемким. Использовать его целесообразно лишь при
наличии дискретной или аналоговой электронно-вычислительных
машин. На практике для ведения эскизного проектирования доста-
точно приближенное решение, изложенное в § 5.
§ 7. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Общая постановка задачи баллистического проектирования
сводится к определению веса и размеров ракеты, предназначаемой
для доставки полезного груза с гарантированной скоростью в за-
данную точку пространства. В качестве исходных данных обычно
даны: вес полезного груза, дальность действия ракеты и ее конеч-
ная скорость. Необходимо определить ее размеры, стартовый вес
и вес ее ступеней, а также необходимые запасы топлива двигателей
и их тяги.
Отсутствие точного значения аэродинамических характеристик
проектируемой ракеты и ее закона движения делают задачу балли-
стического проектирования неопределенной, решение которой про-
изводится методом последовательного сближения результатов.
Существенная зависимость веса ракеты от закона ее движения
приводит к необходимости рассмотрения нескольких вариантов
решения задачи с тем, чтобы найти оптимальный режим работы
двигателей, обеспечивающих наименьший вес ракеты. Оптималь-
ность решения достигается соответствующим выбором стартовой
скорости ракеты и тяги маршевого двигателя. Величина стартовой
скорости ограничивается наивыгоднейшим распределением топлива
между ступенями, при котором получается наименьший вес ракеты.
Для конкретизации решения поставленной задачи необходимо
предварительно задаться величиной аэродинамического коэффи-
циента лобового сопротивления, пользуясь данными статистических
материалов по аналогичным ракетам. Также ориентировочно вы-
бирают стартовую скорость.
После того, как в первом приближении определен вес и калибр
ракеты, уточняют величину ее аэродинамического коэффициента
лобового сопротивления и одновременно корректируют стартовую
скорость и тягу маршевого двигателя, обеспечивая тенденцию по-
нижения общего веса ракеты. На основании уточненных значений
стартовой скорости ракеты и аэродинамического коэффициента
лобового сопротивления с учетом углов атаки повторно решают
задачу определения запасов топлива, его распределения между
ступенями, тяги маршевого двигателя, весов ступеней ракеты
и ее размеров.
Пояснение методики баллистического проектирования проиллю-
стрируем на числовых примерах ее типичной задачи для расчета
и проектирования РДТТ. Рассмотрим три примера, особенности
решения которых заданы высотами полета ракеты соответственно
Я = 5000 м, Н= 10 000 м и Н= 15 000 м.
Пример 1. Найти стартовый вес и необходимые характеристики двигателей
двухступенчатой ракеты для доставки полезного груза весом 1 кг на высоту
5000 м при угле наклона траектории 0 =30°. Калибры маршевой и стартовой сту-
пеней одинаковые. Будем считать, что стартовый двигатель при т] = 30 обеспечи-
вает ракете скорость по=7ОО м!сек, величина которой на маршевом участке тра-
ектории поддерживается на заданном уровне. Это условие выполняется, если тяга
маршевого двигателя, как было показано выше, будет задана уравнением (7. 17).
Маршевая ступень ракеты имеет форму, обеспечивающую в конце старта
величину коэффициента сопротивления атмосферы Со=4,5-1О-3 сек!м. В величину
баллистического коэффициента с0 входит вес топлива стартовой ступени.
I. Вариант ракеты с неотделяемой стартовой ступенью
Расчет баллистики
а) Стартовой ступени:
Коэффициент сопротивления движению ракеты
sin0 0,5 1,5-10~5-7002
у = 1 —--------—- = 1 —— —-------------------= 0,9,
По Зт]0 30 3-30
где В=1,5-10-5 секг/м? — коэффициент сопротивления атмосферы.
Относительная скорость
— v0 700
vn —------—-------------=0,4.
IgJo 0,9-9,81-200
Относительный запас топлива
Ро = 1 — е~ v°= 1 — е—0,4 = 0,325.
Время работы двигателя
Ро-^о 0,325-200
tn =----=----------= 2,16 сек,
По 30
Путь ракеты
1 700-2,16
х0 = — voto=---------= 760 м.
б) Маршевой ступени:
Время движения ракеты
2Ax, Xj — х0 10 000 — 760
5 =-------!— = -------У-; 5=-------—------= 13,2 сек,
«1 + v2 v0 700
где Xj = 77/sin 6 = 10 000 м\ H — 5000 m.
Тяговооруженность
CiV0+ sin 6 5,25-10 3-700 4- 0,5
=
1 — — tx
27] 1
--------13,2
2-2-200
где
ci — -
1 —Po
= 4,1,
с0 [1 — (1 —2,19-10~577)5’4
11,32-Ю”5 Н
1—(1 —2,19-10~5 77)
3,28-10’г>/7
-5,25- 1О '! сек/м.
Здесь принято 77=5000 м, так как величина Н0^х0 sin6 =380 м сравни-
тельно мала.
Относительный запас топлива
Tii 4,1
p. __ _L. 132-0,27.
rl ?! 1 200
Скорость ракеты на заданной высоте
’ll Г1 /1 Л’! , /1 V- Sin6^ Г/1 X
V1 = [1— (1— И1) ] + V0(l — p.j) — '-—-7-[(l— flj) —
Cl (V —1)|Л
4,9
— (1 — нГ 1 = 780 0,545 + 700 0,455 — —2~0,275 = 700 м/сек,
где
Hi 4 1*103 • Hi n
— = n,— = 780 м/сек', p. ~ 2,05-10~2 l/ce/c;
cj 5,25 Jj
v = ^ = 2,5; (v — 1) [1 = 3,1-IO-2 l/сек; (1 — н) = 0,73;
P-
(1 — H)’ = 0,455; (1 — w) — (1 — p.!)’ = 0,275,
Полное время полета ракеты
tn = to + t\ = 15,36 сек.
Расчет, веса ракеты
Стартовый
О0 = --------------;----= 4,2 кг.
1 — РоРо —Р1Р1 (1— Но)
Стартовой ступени
Qc = P0P0Q0 = 1,5-0,325-4,2 = 2,06 кг.
Маршевой ступени
<?oi = Qo(l — ро) =4,2-0,675 = 2,83 кг.
Характеристики двигателей
Вес топлива стартовой ступени
“о — Зо0о = 0 > 325 -4,2= 1,37 кг.
Тяга стартового двигателя
Ро = По<2о = 30-4,2 = 126 кГ.
Вес топлива маршевой ступени
“1 = 3iQoi =0,27-2,83= 0,778 кг.
Тяга маршевого двигателя
Pi = i]iQoi = 4,l-2,83= 11,6 кГ.
Общий запас топлива
ы = а>0 + “1 = 2,14 кГ.
II. Вариант ракеты с отделяемой стартовой ступенью
Относительные характеристики стартовой ступени ракеты остаются преж-
ними. Параметры маршевой ступени изменяются вследствие увеличения балли-
стического коэффициента
С! = -—С-т = 6,9-10-3 сек/лг; р0 = 1,5.
1 — Розо
Тяговооруженность маршевого двигателя
C]V0 -f- sin 0 „
Hi =--------—-----= о,2.
sin 6
1 +0,5 t\
Относительный запас топлива маршевой ступени
тъЛ 5,2-13,2
н =0,344.
1 200
Скорость ракеты на заданной высоте (поверочный расчет)
fl = — [1 - (1 - 31)’] + fo (1 - 31Г -
С]
л- sin 6
п- [1-з1-(1-нГ] =
(V—1)3
4 9
= 755-0,662 + 700-0,338 —--—^^-0,318 =700 м/сек.
4;16-10 2
Стартовый вес ракеты при = 60
00 = м---а—77i----ч—7 = 4,02 кг.
(1 — РоЗо) (1— Р131)
Вес топлива стартовой ступени
“о = 3о0о = 1-3 кг.
Тяга стартового двигателя
Ро = Ло0о = 120 кГ.
Вес маршевой ступени
Qoi = Qo(l —Роно) = 2,05 кГ.
Вес топлива маршевой ступени
<>! = p1Q01 = 0,69 кГ.
Тяга маршевого двигателя
Л=П1<?01= Ю,7 кГ.
Результаты решений сведем в табл. 7. 2.
Таблица 7. 2
Вари- анты Но “о По Ро v0 Hi “1 Hl Pl vi Qo Qoi
I 0,325 1,37 30 126 700 0,270 0,77 4,1 11,6 700 4,2 2,83
11 0,325 1,30 30 120 700 0,344 0,690 5,2 10,7 700 4,0 2,05
Анализ данных табл. 7. 2 убеждает в нецелесообразности отделять стартовую
ступень, так как в рассмотренном примере вес ракет обоих вариантов отличается
не более 5%.
Пример 2. Найти вес двухступенчатой ракеты с отделяемой стартовой сту-
пенью для доставки полезного груза весом 1 кг на высоту 10 000 м при угле на-
клона траектории 30° и скорости ракеты у цели 700 м/сек.
Для расчета относительного запаса топлива высоту полета разделим на два
участка по 5000 м каждый. В соответствии с данными табл. 7. 1 при стартовой
скорости Vo=500 м/сек и тяговооруженности маршевой ступени т]1‘=4,8 уже на
высоте 5000 м ракета приобретает скорость 700 м/сек. Для того чтобы обеспечить
эту скорость ракете на высоте 10 000 м, тяговооружеиность должна быть пони-
жена до величины, обеспечивающей скорость ракеты 500—600 м/сек на высоте
5000 м. Искомая величина тяговооруженности маршевого двигателя определяется
соотношением (7.17)
01 =
V; - Ул
0,5С] (vj + v0) + sin 0 + -—У-
_
V, — Vn sin 6
1 + J---2 + —— ДЛ
2^! Т 2?! 1
где Vo — стартовая скорость;
vi — скорость ракеты на высоте 5000 м;
Ati — время полета ракеты на высоту 5000 м;
С1=5,25-10~3 сек!м — баллистический коэффициент ракеты.
Решение задачи проведем для двух вариантов ракеты, имеющей различные
стартовые скорости с тем, чтобы впоследствии выбрать наиболее удовлетвори-
тельный.
I. Вариант ракеты со стартовой скоростью v0 = 600 м/сек
Фактическое значение скорости ракеты на высоте 5000 м
~ [1 - (1 - ДН1)”] + V0 (1- [(1 - ЛрО-
Cj gc— fH
— (1—Др1)’*] = 597 м/сек,
где
’ll
«1
= 725 м/сек; vi = ?-4- = 2,71; рц = —— = 1,9-10—2 1/сек;
И
Sci — Pi = 3,25-10“2 \/сек\ v0= 500 м/сек;
Др! = Pl Д/1 =0,318; A^j = 2
V1 + Vo
(1 — Др,!)”1 = 0,355; (1 — ДрО — (1 — Apip =0,328;
П1 = 3,8.
На втором участке маршевого пути движение ракеты будет происходить
в более разреженной атмосфере. Необходимый запас топлива, обеспечивающий
полет ракеты на высоту 10 000 м при наличии у нее скорости 600 м!сек иа высоте
5000 м, определим по тем же уравнениям, что и для первого участка маршевого
пути. При этом начальная скорость ракеты на втором участке будет равна
рости в конце первого участка маршевого пути Уо = щ = 597 м!сек.
Тяговооруженность маршевой ступени для второго участка траектории
жна быть пересчитана в соответствии с условием постоянной величины силы
двигателя
CKO-
ДОЛ-
ТЯГИ
112 =
1'11
Новое значение баллистического
c2 .=
Cl Т] (б1а1)ср
1—Api <2 (б2а2)ср 1—0,318
1 — Др.1
коэффициента
5,25-10~3
0,63= 4,85-10 3 сек/м,
*i —*o
где Tigoao = (ба)1ср — среднее значение произведения плотности и скорости
звука на первом участке траектории;
T26iai = (ба)гср — среднее значение произведения плотности и скорости
звука на втором участке траектории;
при
т1,2 —
1—(1—2.19-10-5 Д/712)5’4
1—(1—2,19-10-5Д/712):
11,82-10-5ДН12
3,28-1(Г5 АН, ,,
Д/71 = Д/72; и = т2 и
(ба)2ср 01а1
(ба)1ср 6оао
Для высот 770 = 400 м и /71 = 5000 м
(б«)1ср
(0а)2ср
Время движения ракеты на втором
2
Д/2 =--------
sin 6
6iai
----- £ 0,63.
6оао
участке маршевого пути
Д/72
--------= 14 сек.
V] + v2
Необходимый запас топлива
119
Др2 = — =0,39.
Тяговооруженность в начале второго участка маршевого пути
_ П1___________3-8 . - -7
П2 1—Др.! 1 — 0,328
Скорость ракеты иа высоте 10 000 м
v2 -= — [1 — п — Др2р] + V1 (1-W2 -
^2
- [(1 _д^)(1 _Д^Ъ] = 85о м/сек,
(V2— 1)р2
где
— = 1145 MiceK-, v2 =-т~ = 1,71;
с2 Р2
р2 = J2 = 2.78-10“2 1/сек; (1 — Др2)ъ=0,611’71 = 0,43.
J2
II. Вариант ракеты со стартовой скоростью Vo=5OO м/сек
Полученное значение скорости v2=850 м/сек существенно больше требуемого
v2=700 м/сек. Для снижения скорости и2 необходимо уменьшить скорость vi.
Примем vo = vi = 5OO м/сек. Это означает, что на первом участке маршевого пути
ракета будет двигаться с постоянной скоростью. В этом случае начальная тяго-
веоруженность при Ci=5,25-10~3 сек/м
Необходимый запас топлива
= -^-4^ =. 0,286.
Л
Время движения ракеты на первом участке
Д^! — —®-----— =' 18,5 сек.
Фактическая скорость ракеты на высоте 5000 м при vi = 3,33, t]i/ci = 590;
= 1,55- 10-2; щ = 500 м/сек.
Результаты расчетов параметров движения ракеты на втором участке мар-
шевого пути:
Л1 , л- ci 61а1 л г- -,л-з
т)2 =--------= 4,25; с2= ~:--------- -----=4,65-10 ;
I — Др.! I — Др) Q0a0
Р2 = 2,13-Ю-2; gc2 — Д2 = 2,42-Ю-2; v2 = 2,14;
2 Д/Д По
Д/2 —---------------— = 16,6 сек-, Др2 = 0,363; —= 915;
sin 0 vr + v2 с2
v2 = 555 + 197 — 51 = 701 м[сек.
Второй вариант решения задачи дает требуемый результат.
Полное время движения ракеты на высоту 10 000 м
-р Д^1 “Р Д^2 — 3710 ек.
Суммарный относительный запас топлива маршевой ступени
= Afij + Ajjl2 (1 — Д[Л1) = 0,512.
Стартовый вес ракеты при f30= 1,3; ₽i=l,5
(1 — 1,3-0,235)(1 — 1,5-0,512) = 6’16 кг"
Произведем расчет ориентировочных размеров ракеты и характеристик ее
двигателей для полезного груза на борту ракеты 100 кг. Калибр ракеты при
весовой плотности ее конструкции у—1500 кг/ж3
-> / 4О0 , Л 4-616
d = ]/ = -1/ ----------= 350 мм,
у ппу у Л12-1500
где п—12 — длина ракеты в калибрах;
Qo=lOOQo=616 кг — стартовый вес ракеты.
Длина ракеты l—nd= 12 • 350 = 4200 мм.
Пссле определения калибра ракеты вычисляют площадь миделя и фактиче-
ское значение баллистического коэффициента с{. В случае недопустимого отли-
чия его величины от ранее принятой, расчет производят заново для необходимого
уточнения результатов. Поперечная нагрузка при 41=350 мм составит qM =
= Qo/KM = 685O кГ/мг.
Возможная величина аэродинамического коэффициента лобового сопротив-
ления в начале маршевого участка траектории
2с0?м
сх0 —
voQo
2-4,5-10” 3-6850
500-0,12
= 1,03,
где go=O,12 — массовая плотность воздуха на высоте 400 л.
Характеристики двигателей
Вес топлива стартовой ступени
<оо = fjioQo= 0,235-616 — 145 кг.
Тяга стартового двигателя
A) = no<2o= 30-616 = 18 480 кГ.
Время работы стартового двигателя
70 „ 200 ,
to — Ро — = 0 > 235 — = 1,6 сек.
По 30
Вес топлива маршевой ступени
“1 = P-iQoi — 0,512-435 = 223 кг.
Тяга маршевого двигателя
Pi = HiQoi = 3.1 -435 = 1350 кГ.
Время работы маршевого двигателя
р-1
_ — j = зз;2 сек.
П1
Результаты расчета сведем в табл. 7. 3.
Таблица 7. 3
Vo Ро (00 Ро Jo to V2 Pl “1 Pl
5о0 0,235 145 18480 200 1,6 701 0,512 222 1350 200
33,2
t.
Пример 3. По заданной наклонной дальности, скорости снаряда у цели, вы-
бранном угле бросания и заданной полезной нагрузке определить стартовый вес,
запас топлива стартовой и маршевой ступеней, время работы и тягу двигателей.
Примем за исходные данные следующие величины:
^з= 1100 м/сек; 6 = 30°;
У0 = /j = 200 кГ сек/кг; AQ = 100 кг; // = 15 000 м.
Расчет баллистики
а) Стартового участка
Учитывая, что конечная скорость и дальность ракеты достаточно большие,
для получения ракеты наименьшего веса целесообразно ее стартовую скорость
выбрать также высокой.
Принимаем в конце стартового участка о0=900 м/сек и 0=4,7 сек/м.
Полная наклонная дальность полета
Ня
sin 8
х3 =
15000
------= 30 000 м.
0,5
Коэффициент сопротивления движению ракеты
sin6 Ви? 0,5 1,5-10"5 (900)2
у = 1 —-------- — --= 1 —-----•—-----------------=
•По Зг|0 30 3-30
где
В=-- 1,5-10“ 5 сек2/mJ1; т]0=30.
Относительная скорость
— о0 900
Vn ~ —— =-------------------= 0, о40.
yg/0 0,850-9,81-200
Относительный запас топлива
р.о^‘1 —^"0 = 1 — 2,718-°’54 =0,415.
Время работы двигателя
to = — Jo = 200 = 2,77 сек
По 30
Путь ракеты
б) Маршевого участка.
При высоте полета ракеты 15 000 м допустимо ее маршевую траекторию
разбить на три участка.
Первый участок (Яо=625 .м; /Л=5000 м).
Баллистический коэффициент
_ _£о_ 1—а — 2,19-ю-5 яр1’5
С1=1 —р-о 11,82-10“5Я1 3,285-10“5^
4,7-10“3 1—(1 — 2,19-10~5-5000)5’4
~ 1—0,415 11,82-10“5 -5000 Х
1 — (1 — 2,19-10“5-5000)
3,285-10“ 3-5000
1,5
— = 6,02-10“3 сек/м.
Заданная скорость на высоте 5000 м Vi = 700 м/сек. Время движения на пер-
вом участке
х, — Хп
М!=-2-!------
v0 + V1
10 000— 1250
900 + 700
= 11 сек,
где
X — -------
sin 6
5000
----= 10 000 м.
0,о
Тяговооруженность
П1 =
V1 — v0 , . „ , -Ч —-*о
------+ Sin 0 + с,-----
gMl Ml
«1— и0 sin 9
2^Л
27
A/i
700 — 900
9,81-11
6,02- 1Q3 (10 000 — 1250)
’ _______________И
700 — 900 0,5
2-9,81-200 + 2-200
= 3,56.
Скорость ракеты vi на заданной высоте
££: «21
V1=21L 1 _ (l-jlj A^f- + v0(l - fljAf/i -
Cj L J
r «М
--j?sin4 L(i-i4 дл) - (i J =-•
gC~ I1!
60-2:;10-3 [ 1 -(1 — 0,0178-11)3’3] + 900(1 -0,0178- 11)3’3 —
9,81-0,5
9,81-6,02-10-3 —0,0178
где
[(1 —0,0178-11)-(1 — 0,0178-11)3,3] = 712 м/сек,
Th 3,56
^77 = йГ = 0’0]78;
gc} 9,81-6,02-10“3
2—- —------!------- =33
Pl 0,0178 ’ ’
Расхождение полученной скорости щ = 712 м/сек с предполагаемой 700 м/сек
712 — 700
Дг, = -------юо = 1,7 %.
700
Принимаем t»i=i712 м/сек.
Второй участок (//1 = 5000 м; Т/2= 10000 м).
Исходные данные для расчета второго участка траектории:
Uj = 712 м/сек-, г]! =3,56; = 6,02-10~3 сек/м.
Относительный запас топлива, сгоревшего на первом участке:
Др-! = pjA/= 0,0178-11 = 0,196.
Тяго вооруженность
i'll 3,56
Th =-----------=------------= 4,43.
12 1 —Apj 1—0,196
Баллистический коэффициент
С, (9а)2ср
6,02-10 3 ,
--------- 0,63 = 4,71 -10~3 сек/м,
— 0,196 '
с2—
1 —ДР1
(@й)1Ср
где
( £+)зс р
оа (7/ = 5000)
Время движения на
(Qa)icp Qa (Н = 625)
втором участке
S 0,63.
д/2^—-=
Vi
21
V?
+>~-И
712
5,69
20 000— 10 000
-------------= 13 сек,
5,69
где
=£(П2 — sin 8 — c2Vi) =
= 9,81 (4,43—0,5 —4,71 • 1O'"3-712) = 5,69 м/сек^.
Относительный вес топлива, сгоревшего на втором участке:
Др2 = (л2Д/2 = 0,0221 • 13 = 0,287,
где
т]2 4,43
=----—-------= 0,0221.
12 Л 200
Скорость ракеты в конце второго участка траектории
— (1 —
с2
4,43
= 4,71-10
9,81-0,5
g sin 6
(v2— 1)р2
=з(1 —0,494) + 712-0,494 —
(2,09-]-1)0,0221
(0,713—0,494)=782 м/сек,
где
е — 1 — Др-2 -= (1 — 0,287) = 0,713;
gc2 9,81-4,71-10 3
v, = =-----------------= 2,09;
2 [*2 0,0221
г’2 = (1 — Др2 )’! = (1 — 0.287)2’09 = 0,494.
Уточняем Д/2; Др2; и2:
х? — л, 20000 — 10000
Дt2 = 2 —-----L = 2--------------— = 13,4 сек;
2 Vj + v2 712 + 782 .
Д[Л2 ;1,ДЛ2 = 0,0221.13,4= 0,296;
v2 = 2,09; e = 1 —Др2 = 1 — 0,296 = 0,704;
ev“ = (1 — Д(л2)''= = O,7O42'09 = 0,489;
4,43
V2 = 47VKT3 ° ~°’489) + 712,0’489~
9,81-0,5
(2,09— 1)0,0221
(0,704 —0,489) = 782 mJ сек.
Третий участок (77=10 000=15 000 At).
Исходные данные для расчета третьего участка траектории:
т|2=-4,43; /7= 10000 зг, Др2 = 0,296;
с2 = 4,71-10 3 сек/м; |х2 = 0,0221; t<2 = 782 MiceK.
где
Т яговооруженность
•П1
г1з = -1-------—
1 — Др.с
3,56
1 — 0,434
6,30,
ДИс = Др.! + Др.2 (1 — Auj) = 0,196 + 0,296 (1 — 0,196) = 0,434.
Баллистический коэффициент
где
С] (оа)зср
1 Дрс (242)jCp
6,02-10~3
----g— 0,29 = 3,08-10-3 се«:/л4,
1—0,434
(оя)зср да (77 = 10 000)
(да)1Ср = да (^ = 625)
Время движения на третьем участке
где
Д/3
782
----+
33,2
I / l™L\ 2 2 30 000 ~~20 000
|/ \33,2/ + • 33,2
= 10,5 сек,
V2~S (Лз — sin 8 — c3va) =9,81 (6,30 — 0,5 — 3,08 • 10 3-782) =
= 33,2 MjceK^.
Относительный вес
топлива, сгоревшего на третьем участке:
Др3 = р3 Д/3= 0,031•10,5 — 0,326,
где
Яз 6,30
р =--И- =------= 0,031.
м Л 200
Скорость ракеты в
конце третьего участка траектории
Пз
u3== —
сз
(l-e’’) + v2e
g sin 8
(V3—1) P-2
6 30
--------з(1 —0,685) 4-782-0,685 —
3,08-10“ 3V
9,81-0,5
(0,96— 1)0,031
(0,674 — 0,685) = 1136 м/сек.
где
е = 1 —0,326 = 0,674;
9,81-3,08-10~3
0,0315
= 0,96;
е’3 —- 0,6740,96 = 0,685.
Уточняем время движения на третьем участке
«з + v2
30 000 — 20 000
1136 + 782
= 10,4 сек.
В результате расчета третьего участка получим:
Яз = 6,30; Д/3= 10,4 сек;
Др3= 0,326; с3 = 3,08-10“3 сек/м;
р3 = 0,031; и3 = 1136 м/сек
Расчет веса и размеров ракеты
Относительный запас топлива маршевой ступени
Р1 = Дре 4- Дрз (1 — ДР2) = °-434 + 0,326 (1 —0,434) = 0,616.
Стартовый вес ракеты с неотделяемой стартовой ступенью
On =------------—--------- при р0 = р. = 1,2;
(l-.Vo)-(l~Po)₽iPi
100
Qn =-------------------------------------- = 1430 кг,
0 (1-1,2-0,415) —1.2-0,616(1—0,415)
Вес маршевой ступени ракеты
Qoi = Qo О ~ Ро) = 1430 (1 — 0,415) 835 кг.
Калибр ракеты при весовой плотности ее конструкции у= 1200 кг/м3
4-1430
3,14-1200-12
мм.
Длина ракеты
1^-. nd -- 6000 мм.
Поперечная нагрузка ракеты
— =------- 1430 7200 кГ/л/2.
FM 0,785-0,5012
Принятая в расчете поперечная нагрузка при реальной величине сх = 0,30
для ракеты -иа=900 м!сек или М0=2,7
% _ Л» _ 0.3'2.7-0,12'330 _
F. со 4.7.10-’
Ошибка менее 3%, поэтому уточнять результаты решения задачи нецелесо-
образно.
Характеристики двигателей
Вес топлива стартовой ступени
<о0 = [c0Qq = 0,415-1430 =- 594 кг.
Тяга стартового двигателя
Ро = HoQo = 30-1430 7= 42 900 кГ.
Вес топлива маршевой ступени
“1 = P-iQoi — 0,616-835=7 515 кг.
Тяга маршевого двигателя
Pi = BiQoi = 3,56-835 = 2970 кГ.
Общий запас топлива
« = <о0 -р raj = 594 + 515 = 1109 кг.
Полное время работы
+ =-' + + Д^ + Д/2 + Д/3 = 2,77+ И + 13,4+ 10,4 =37,57 сек.
Результаты расчета сведем в табл. 7. 4.
Таблица 7.4
Qo v0 Jo 0>0 Ро to «3 Д “1 Pi *1
1430 900 200 594 42900 2,77 1136 200 515 2970 34,8
§ 8. ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЗАПАСА ТОПЛИВА РАКЕТЫ
С УЧЕТОМ КРИВИЗНЫ ЕЕ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА
Выше была изложена приближенная инженерная теория бал-
листического проектирования ракетных снарядов с РДТТ. Прибли-
женность этой теории состоит в том, что она построена на зависи-
мостях для прямолинейного движения ракеты. В действительности
плоское движение ракеты описывается двумя уравнениями, так как
в общем случае ее траектория имеет кривизну.
Первое из них — уравнение движения вдоль касательной к тра-
ектории, второе — вдоль- нормали к касательной.
Рассмотрим в общем виде решения нескольких частных задач
баллистического проектирования с учетом кривизны траектории
движения ракеты.
Рис. 7.3.
В общем случае уравнение плоского движения ракеты,
(рис. 7.3), совершающей маневр с заданной поперечной перегруз-
кой n-=v2igR в естественной системе координат имеет вид
О- vt — P cos а — cxqf — Q sin 6;
g
Qn. = P sin a -\-cyqf — Q cos 6,
(7. 27)
где
6— угол тангажа;
Q— текущий вес ракеты;
qv2— скоростной напор;
f— площадь крыла ракеты;
Р— тяга двигателя.
Согласно выражению для сил, действующих на ракету по нормали
касательной к траектории:
Q (n + cos в) — Psina
СУ
(7. 28)
Подставляя выражение (7.28) в первое уравнение (7.27), получим
-2- vt — Р cos a — Q sin 9 — — [Q («4- cos 9) — Р sin a], (7. 27')
g су
Запасы топлива для РД при движении ракеты
с постоянной скоростью
Так как —=—; т]=Р-Л то для частного случая, когда
Q 1 — Р
v't=0, согласно уравнению (7.27') вправе написать
0==К ( ~Z|X— cos а — sin 9^ — (я 4-cos 0)-|—sin а,
\ 1 — р- . / 1 — Р
где K = c,Jcx — качество крыла.
Величина параметра К при неизменной высоте и скорости по-
лета ракеты зависит от угла атаки а. Откуда следует, что
(sin а4- К cos a) J — In —-— = п. cos 9 К sin 9. (7. 29)
dt 1 — p.
Рассмотрим решение уравнения (7.29) для некоторых частных
случаев полета ракеты, когда угол атаки крыла сохраняется по-
стоянным или допустимо принять, что sin а + К cos а = К.
Движение ракеты с постоянной скоростью v't =0
по дуге окружности
В этом случае dt=Rd$lv, а поэтому
К ZLin ;л° — я(0 — 90)-]-(sin 9 — sin 90) — /С(cos 9 — cos 90), (7.30)
R 1 — р
где R — радиус кривизны траектории.
В зависимости от пути ракеты (х) формула (7. 30) имеет вид
KJv In -—= nR(—— 9(Аф- 7?fsin —— sin 9о')-ф
1 — p. \ / \ R /
^cos 90 —cos —
Откуда относительный запас топлива двигателя для реализации
движения ракеты с постоянной скоростью по заданной дуге окруж-
ности
Р = 1-(1-р0)^ J\ (7-31)
где
77 = y[(^_0o)/z + (sin'^_ sin ео) + 7С (cos90 - cos у)] ;
xQ х — путь ракеты.
Потребная тяговооруженность
n =!4/ =-. F'te-^j
V
или
n=l±_S2.s2±A.sina(i_[Jlo)g-^
к
(7.32)
Здесь цо — запас топлива ракеты, обеспечивающий ракете стар-
товую скорость:
®о = Х£7 In—?—,
1 — Цо
sip 9л
где 7 = 1 — ‘ ~ и--------коэффициент потери скорости от со-
Яо ЗЦо противления атмосферы и силы тяжес-
ти Земли;
В = сх — коэффициент сопротивления воздуха.
При определении абсолютной величины тяги следует восполь-
зоваться формулой Р = r]Qo, где Qo— стартовый вес, т. е. вес ракеты
с учетом цо- Если в уравнениях (7.30), (7.31), (7.32) ц0 принять
равным нулю (цо = О), то тогда
^ = ^01,
где Qoi = Qo(l—Цо) —вес ракеты в начале маршевого участка ее
траектории, т. е. при 9 = So-
Величину (1—цо) для большой тяговооруженности можно под-
считать по формуле (1—ц0)=е ,8J . Исключая из уравнения
(7.32) член (1—цо), получим
_ +
__ • ,_п + cos 0 + К sin 0 (хйЛ Jv)
- - -е
Движение ракеты с постоянной скоростью
по эквипотенциальной поверхности
В случае, когда В очень велико (и 9о очень мало), а путь ра-
кеты мал по сравнению с радиусом эквипотенциальной поверхности,
например, для Земли, то функция F стремится к пределу:
lim
7?-* «о
7? х R
хп + х — sin---------h Rx —
х R х
К
так как
х
,. R x ... R !. x\ n v’1
hm —sin —= 1; lim — 1 — cos — =0; xn =-------x 0;
x R #_><*, x \ R ) gR
Rn60= — 0O s 0.
g
Подставляя найденное предельное значение параметра Faa = x/k
в формулы (7.31) и (7.32) , получим
__£_ , _______________
|1 = 1-(1-Ио)е JvK ; П = -—~е JvK .
К
_ ^0
При допущении, что 1—р.0=е /гУ" , приходим к выражениям
1 -[кПГ+^к] 1 +
Л = —е : и=1 — е х .
К
Если ввести тяговооруженность двигателя относительно началь-
ного веса маршевой ступени ракеты, то
r]M=-^-=-Le-47; ^=1-^777, (7.33)
1 — Ро К
гд,е t=x/v— время активного движения ракеты на маршевом
участке ее траектории.
Для заданного запаса топлива (цм) путь х = /СД1п •—-— .
1 “Ри
Движение ракеты с постоянной скоростью
под постоянным углом к эквипотенциальной поверхности (0°=^О)
Раскроем неопределенность функции
р Rn (fl — flg) + R (sin 0 — sin fl0) + KR (cos flg — cos fl)
где 0 = 9 o + —•
1 R
Тогда при /?->оо будет lim Rn(ft — 0o) = lim — (0 — 6o) = O;
R-+°° 0-*9„ g
lim R (sin 0 — sin90) = lim sin 0ocos sin— cos 0O — sin 0O |=xcos 90;
\ R R I
lim ^(cos 0O —cos 0)= lim RR (cos 0O —cos 0ocos — -f-
sin 0O sin —]=Лдс sin 0O.
Предел функции F при ~ co будет lim F = — (cos 0о-{-7С sin 0O).
К
Поэтому необходимые запас топлива и тяга двигателя для мар-
шевой ступени определяются формулами:
t
, -(COS 0„+К Sin 0О)
p=l — е KJ ;
i
— -ггГ (cos 90+K sin 0„)
cos 0o + К sin 0oe
(7.34)
При Oo=0° формулы (7.34) вырождаются в найденные выше зави-
симости (7.33).
Ускоренное движение ракеты на маршевом участке траектории
„ « „ ( V2 \
с заданной поперечной перегрузкой п = —
\ Rg)
В общем случае уравнение плоского движения ракеты вдоль
касательной к траектории имеет вид (7.27') или
— v't = Jp —5—(К cos a-]-sin а) —(/С sin 9-]-cos ® + «), (7. 35)
g 1 -~р
где
л л , х — л(| ,, Rd\] du. п
9 = 9О4----У-; dt =-------; р =-!- = —L; <vt= VVX.
R v dt J
Интегрирование уравнения (7.35) npna = const, il=const, /C = const
и допущении, что p=pcp=— К cos a-|-sin a K\ A? = /?cp =
V? — VZ—1
= -j---------------, приводит к зависимости
2ng
t>2- Vn г__
- к —- - ° -----x—^---------/?cp[(sin9-sin90) +
2g 1 — 75- x~~xo
J v + v0
-|- К (cos 90 — cos 9) + n (9 — 90)],
где
Откуда следует, что необходимая тяговооруженность
V2 — v2
“ К + /?Ср [(sin 9 •— sin Oq) +
4=--------K-,---------------------------
1 x—xn \v2—vo
------- j—----K+ /?cp[(sin0—sin0o) +
J v+v0 I 2g
_______+K (cos fl0—cos fl) +n (fl —Op)]_
+ К (cos 0Q— cos 0) + n (9 — 0O)]} + К (x — x0)
v2— O?
2ng
(7. 36)
При этом запас топлива определяется формулой
Пер
J
х— х().
V + Vq1
1 с
Иср = т—- J rtdx.
г X — Xq
-t’o
Для случая, когда траектория ракеты прямолинейна (7? = оо)
и проходит под углом О = 0р к эквипотенциальной поверхности
Земли, найденная формула (7.36) после раскрытия неопределен-
ности приобретает вид
v2-vo
2g
К + (cos а0 + к Sin 0р) (х—х0)
1 X— Xq
v2—v2
J V + v0 L 2g
АС+ (cos 0р+ К sin Ор)(х—х0) + К (х—Xq)
И
I
)
При полете ракеты по эквипотенциальной поверхности (6р=0)
необходимая величина тяговооруженности двигательной установки
маршевой ступени составит
П=-
2g (х — х0)
7 (v + t>p)
2g (х — х0) ~
(Х — ХО) + KJ (о + Ор)
Если при интегрировании уравнения движения ракеты по дуге
окружности (7? = const) (7.35)
/С £^L = /t,^L_/<_(CoS9 4-/<sin9 + /i)^0,
g 1 —и
осреднить величину ц = т)ср
V "Т- VQ _ «
=——- в его правой
части, то полу-
чим приближенную зависимость для необходимого запаса топлива
К = jL±£o/<ln^-----------------/?[(sin9-sin90)4-
2g 2 1 — ц
4- К (cos 90 — cos 9)4- п (9 — 90)].
При 9 = 90; 7? = оо имеем
К — /<J L±_Eo In —1------^cos 90 4- К sin 90) (x — x0).
2g 2 1 — p.
Откуда p.= l — e KJ ,
v2—vo
где «ос =------------ — средняя осевая перегрузка ракеты;
2g (х — х0)
1 = 2----у—время активного движения ракеты.
v + «о
При решении задачи баллистического проектирования ракеты
на основе приведенных формул необходимо ее траекторию полета
разбить на несколько участков и заменить их дугами окружностей.
Таким образом, траектория полета ракеты будет состоять из ряда
сопряженных между собой дуг окружностей. При этом в местах
сопряжения конечные параметры движения ракеты на предшест-
вующем участке будут начальными для последующего отрезка ее
траектории. В точке сопряжения отрезков траектории радиус кри-
визны изменяется внезапно.
Результаты расчетов весовых характеристик ракеты для прямо-
линейной и криволинейной траектории, имеющих одну и ту же
траекторную протяженность, отличаются менее 10%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баррер Н., Жомотт А., Вебек Б. Ф., Ванденкеркхове Ж-,
Движение ракет, ИЛ, 1959.
2. Бесс ер ер К. У., Инженерный справочник по управляемым снарядам,
Воениздат, 1962.
3. Бонни Е. А., Ц у к р о в Н. Д., Б е с с е р е р К- У-, Аэродинамика, Теория
реактивных двигателей, конструкция и практика проектирования, Воениздат, 1959.
4. Гантмахер Ф. Р. и Левин Л. Н., Теория полета неуправляемых ра-
кет, Физматгиз, 1959.
5. Гинзб.ург И. П., Устойчивость движения и кучность боя мин и реак-
тивных снарядов, ЛГУ, 1949.
6. Дэвис Л., и др., Внешняя баллистика ракет, Воениздат, 1961.
7. ЛоккА. С., Управление снарядами, ИЛ, 1957.
8. Орлов Б. В и Мазинг Г. Ю., Термодинамические и баллистические
основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе, Машино-
строение, 1964.
9. Ш а п и р о Я. М., Внешняя баллистика, Оборонгиз, 1946.
10. Ш а п и р о И. И., Расчет траекторий баллистических снарядов, ИЛ, 1961.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П риложение 1
ТАБЛИЦА ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
X КО-} к К (У) X X
0 0,044 11,3856 0,088 5,72582 0,132 3,85388
0,002 250,001 0,046 10,8926 0,090 5,60056 0,134 3,79835
0,004 125,002 0,048 10,4407 0,092 5,48078 0,136 3,74447
0,006 83,3363 0,050 10,02500 0,094 5,36615 0,138 3,69219
0,008 62,5040 0,052 9,64140 0,096 5,25633 0,140 3,64143
0,010 50,0050 0,054 9,28626 0,098 5,15104 0,142 3,59213
0,012 41,6727 0,056 8,95657 0,100 5,05000 0,144 3,54422
0,014 35,7215 0,058 8,64969 0,102 4,9529S 0,146 3,49766
0,016 31,2580 0,050 8,36333 0,104 4,85969 0,148 3,45238
0,018 ' 27,7868 0,062 8,09552 0,106 4,76998 0,150 3,40834
0,020 25,0100 0,064 7,84450 0,108 4,68363 0,152 3,36548
0,022 22,7383 0,066 7,60876 0,110 4,60046 0,154 3,32376
‘ 0,024 20,8453 0,068 7,38694 0,112 4,52029 0,156 3,28313
0,026 19,2438 0,070 7,17786 0,114 4,44297 0,158 3,24356
0,028 17,8711 0,072 6,98044 0,116 4,36835 0,160 3,20500
0,030 16,6817 0,074 6,79380 0,118 4,29629 0,162 3,16742
0,032 15,6410 0,076 6,61695 0,120 4,22667 0,164 3,13078
0,034 14,7229 0,078 6,44926 0,122 4,15936 0,166 3,09505
0,036 13,9069 0,080 6,29000 0,124 4,09426 0,168 3,06019
0,038 13,1769 0,082 6,13856 0,126 4,03126 0,170 3,02618
0,040 12,5200 0,084 5,99438 0,128 3,97025 0,172 2,99298
0,042 11,9258 0,086 5,85695 0,130 3,91116 0,174 2,96057
X X К(’х) X К® X кт
0,176 2,92891 0,246 2,15558 0,316 1,74028 0,386 1,48834
0,178 2,89799 0,248 2,14013 0,318 1,73133 0,388 1,48266
0,180 2,86778 0,250 2,12500 0,320 1,72250 0,390 1,47705
0,182 2,83826 0,252 2,11013 0,322 1,71384 0,392 1,47151
0,184 2,80939 0,254 2,09551 0,324 1,70521 0,394 1,45604
0,186 2,78117 0,256 2,08113 0,326 1,69674 0,396 1,45063
0,188 2,75358 0,258 2,06699 0,328 1,68839 0,398 1,45528
0,190 2,72658 0,260 2,05308 0,330 1,68015 0.400 1,45000
0,192 2,70017 0,262 2,03940 0,332 1,67203 0,402 1,44478
0,194 2,67432 0,264 2,02594 0,334 1,66401 0,404 1,43963
0,196 2,64902 0,266 2,01270 0,336 1,65610 0,406 1,43453
0,198 2,62426 0,268 1,99967 0,338 1,64829 0,408 1,42949
0,200 2,60000 0,270 1,98685 0,340 1,64059 0,410 1,42451
0,202 2,57625 0,272 1,97424 0,342 1,63299 0,412 1,41959
0,204 2,55298 0,274 1,96182 0,344 1,62549 0,414 1,41473
0,206 2,53019 0,276 1,94950 0,346 1,61809 0,416 1,40993
0,208 2,50785 0,278 1,93756 0,348 1,61078 0,418 1,40517
0,210 2,48595 0,280 1,92572 0,350 1,60357 0,420 1,40047
0,212 2,46449 0,282 1,91405 0,352 1,59646 0,422 1,39584
0,214 2,44345 0,284 1,90257 0,354 1,58943 0,424 1,39125
0,216 2,42282 0,286 1,89125 0,356 1,58250 0,426 1,38671
0,218 2,40258 0,288 1,88011 0,358 1,57565 0,428 1,38223
0,220 2,38273 0,290 1,86914 0,360 1,56889 0,430 1,37779
0,222 2,36325 0,292 1,85833 0,362 1,56222 0,432 1,37341
0,224 2,34415 0,294 1,84768 0,364 1,55563 0,434 1,36908
0,226 2,32539 0,295 1,83719 0.366 1,54912 0,436 1,36479
0,228 2,30698 0,298 1,82685 0,368 1,54270 0,438 1,36055
0,230 2,28892 0,300 1,81666 0,370 1,53635 0,440 1,35637
0,232 2,27117 0,302 1,80663 0,372 1,53009 0,442 1,35222
0,234 2,25375 0,304 1,79674 0,374 1,52390 0,444 1,34813
0,236 2,23665 0,306 1,78699 0,376 1,51779 0,446 1,34408
0,238 2,21984 0,308 1,77738 0,378 1,51175 0,448 1,34007
0,240 2,20334 0,310 1,76791 0,380 1,50579 0,450 1,33611
0,242 2,18712 0,312 1,75857 0,382 1,49990 0,452 1,33220
0,244 2,17118 0,314 1,74936 0,384 1,49409 0,454 1,32832
к /<(*) X X X
0,456 1,32449 0,526 1,21357 0,596 1,13693 0,666 1,08375
0,458 1,32071 0,528 1,21097 0,598 1,13512 0,668 1,08251
0,460 1,31696 0,530 1,20840 0,600 1,13334 0,670 1,08127
0,462 1,31325 0,532 1,20585 0,602 1,13157 0,672 1,08005
0,464 1,30959 0,534 1,20333 0,604 1,12982 0,674 1,07884
0,466 1,30596 0,536 1,20084 0,606 1,12809 0,676 1,07765
0,468 1,30238 0,538 1,19837 0,608 1,12637 0,678 1,07647
0,470 1,29883 0,540 1.19593 0,610 1,12467 0,680 1,07530
0,472 1,29552 0,542 1,19351 0,612 1,12300 0,682 1,07414
0,474 1,29185 0,544 1,18112 0,614 1.12133 0,684 1,07300
0,476 1,28842 0.546 1,18875 0,616 1,11969 0,686 1,07187
0,478 1,28503 0,548 1,18641 0,618 1,11806 0,688 1,07075
- 0,480 1,28167 0,550 1,18409 0,620 1,11645 0,690 1,06964
0,482 1,27835 0,552 1,18180 0,622 1,11486 0,692 1,06855
0,484 1,27506 0,554 1,17953 0,624 1,11328 0,694 1,06746
0,486 1,27181 0,556 1,17728 0,626 1,11172 0,696 1,06639
0,488 1,26859 0,558 1,17506 0,628 1,11018 0,698 1,06533
0,490 1,26541 0,560 1,17286 0,630 1,10865 0,700 1,03429
0,492 1,26226 0,562 1,17068 0,632 1,10714 0,702 1,06325
0,494 1,25915 0,564 1,16853 0,634 1,10555 0,704 1,06223
0,496 1,25'507 0,556 1,16639 0,636 1,10417 0,706 1,06122
0,498 1,25302 0,568 1,16428 0,638 1,10270 0,708 1,06022
0,500 1,25000 0,570 1,16220 0,640 1,10125 0,710 1,05923
0,502 1,24702 0,572 1,16013 0,642 1,09982 0,712 1,05825
0,504 1,24407 0,574 1,15808 0,644 1,09840 0,714 1,05728
0,506 1,24114 0,576 1,15506 0,646 1,09700 0,715 1,05633
•0,508 1,23825 0,578 1,15405 0,648 1,09561 0,718 1,05538
0,510 1,23539 0,580 1,15207 0,650 1,09423 0,720 1,05445
0,512 1,23257 0,582 1,15011 0,652 1,09287 0,722 1,05352
0,514 1,22977 0,584 1,14817 0,654 1,09153 0,724 1,05261
0,516 1,22699 0,586 1,14624 0,656 1,09020 0,726 1,05171
0,518 1,22425 0,588 1,14434 0,658 1,08888 0,728 1,05082
0,520 1,22154 0.590 1,14246 0,660 1,08758 0,730 1,04993
0,522 1,21886 0,592 1,14060 0,662 1,08629 0,732 1,04906
0,524 1,21620 0,594 1,13875 0,664 1,08501 0,734 1,04820
52 о
X /<(><) X К (У) X К (X) X К (У)
0,736 1,04735 0,806 1,02335 0,876 1,00878 0,946 1,00154
0,738 1,04651 0.8С8 1,02281 0,878 1,00848 0,948 1,00143
0,740 1,04568 0,810 1,02229 0,880 1,00818 0,950 1,00132
0,742 1,04485 0,812 1,02177 0,883 1,00790 0,952 1,00121
0,744 1,04405 0,814 1,02125 0,884 1,00671 0,954 1,00111
0,746 1,04324 0,816 1,02075 0,886 1,00734 0.956 1,00102
0,748 1,04245 0,818 1,02025 0,888 1,00707 0,958 1,00092
0,750 1,04167 0,820 1,01976 0,890 1,00680 0,960 1,00084
0,752 1,04090 0,822 1,01928 0,892 1,00654 0,962 1,00075
0,754 1,04013 0,824 1,01880 0.894 1,00629 0,964 1,00067
0,756 1,03938 0,826 1,01833 0,896 1,00604 0,966 1,00060
0,758 1,03863 0,828 1,01787 0,898 1,00580 0,968 1,00053
0,760 1,03790 С, 830 1,01741 0,900 1,00556 0,970 1,00047
0,762 1,03717 0,832 1,01696 0,902 1,00533 0,972 1,00041
0,764 1,03645 0,834 1,01652 0,904 1,00510 0,974 1,00035
0,766 1,03574 0,836 1,01609 0,906 1,00488 0,976 1,00030
0,768 1,03504 0,838 1,01566 0,908 1,00466 0,978 1,00025
0,770 1,03435 0,840 1,01524 0,910 1,00445 0,980 1,00021
0,772 1,03367 0,842 1,01483 0,912 1,00425 0,982 1,00017
0,774 1,03300 0,844 1,01442 0,914 1,00405 0,984 1,00013
0,776 1,03233 0,846 1,01402 0,916 1,00385 0,986 1,00010
0,778 1,03168 0,848 1,01363 0,918 1,00366 0,988 1,00008
0,780 1,03103 0,850 1,01324 0,920 1,00348 0,990 1,00005
0,782 1,03039 0,852 1,01286 0,922 1,00330 0,992 1,00003
0,784 1,02976 0,854 1,01248 0,924 1,00313 0,994 1,00002
0,786 1,02913 0,856 1,01211 0,926 1,00296 0,996 1,00001
0,788 1,02852 0,858 1,01175 0,928 1,00280 0,998 1,00000
0,790 1,02791 0,860 1,01140 0,930 1,00264 1,000 1,00000
0,792 1,02732 0,862 1,01105 0,932 1,00248 1,002 1,00000
0,794 1,02673 0,864 1,01071 0,934 1,00233 1,004 1,00001
0,796 1,02614 0,866 1,01037 0,936 1,00219 1,006 1,00002
0,798 1,02557 0,868 1,01004 0,938 1,00205 1,008 1,00003
0,800 1,02500 0,870 1,00972 0,940 1,00192 1,010 1,00005
0,802 1,02444 0,872 1,00940 0,942 1,00179 1,012 1,00007
0,804 1,02389 0,874 1,00908 0,944 1,00166 1,014 1,00010
Л коо X К (У) X К® X
1,016 1,00013 1,086 1,00341 1,156 1,01053 1,226 1,02083
1,018 1,00016 1,088 1,00356 1,158 1,01078 1,228 1,02117
1,020 1,00020 1,090 1,00372 1,160 1,01104 1,230 1,02151
1,022 1,00024 1,092 1,00388 1,162 1,01130 1,232 1,02185
1,024 1,00028 1,094 1,00404 1,164 1,01156 1,234 1,02219
1,026 1,00033 1,096 1,00421 1,166 1,01182 1,236 1,02253
1,028 1,00038 1 ,098 1,00438 1,168 1,01208 1,238 1,02288
1,030 1,00044 1,100 1,00455 1,170 1/01235 1,240 1,02323
1,032 1,00050 1,102 1,00472 1,172 1,01262 1,242 1,02358
1,034 1,00056 1,104 1,00490 1,174 1,01290 1,244 1,02393
1,036 1,00063 1,106 1,00508 1,176 1,01317 1,246 1,02429
1,038 1,00070 1,108 1,00527 1,178 1,01345 1,248 1,02464
1,040 1,00077 1,110 1,00545 1,180 1,01373 1,250 1,02500
1,042 1,00085 1,112 1,00564 1,182 1,01401 1,252 1,02536
1,044 1,00093 1,114 1,00584 1,184 1,01430 1,254 1,02573
1,046 1,00101 1,116 1,00603 1,186 1,01459 1,256 1,02609
1,048 1,00110 1,118 1,00623 1,188 1,01488 1,258 1,02646
1,050 1,00119 1,120 1,00643 1,190 1,01517 1,260 1,02683
1,052 1,00129 1,122 1,00664 1,192 1,01547 1,262 1,02720
1,054 1,00139 1,124 1,00684 1,194 1,01576 1,264 1,02757
1.056 1,00149 1,126 1,00705 1,196 1,01606 1,266 1,02795
1,058 1,00159 1,128 1,00726 1,198 1,01636 1,268 1,02832
1,060 1,00170 1,130 1,00748 1,200 1,01667 1,270 1,02870
1,062 1,00181 1,132 1,00770 1,202 1,01698 1,272 1,02908
1,064 1,00193 1,134 1,00792 1,204 1,01728 1,274 1,02947
1,066 1,00205 1,136 1,00814 1,206 1,01760 1,276 1,02985
1,068 1,00217 1,138 1,00837 1,208 1,01791 1,278 1,03024
1,070 1,00229 1,140 1,00860 1,210 1,01823 1,280 1,03063
1,072 1,00242 1,142 1,00883 1,212 1,01854 1,282 1,03102
1,074 1,00255 1,144 1,00907 1,214 1,01886 1,284 1,03141
1,076 1,00269 1,146 1,00930 1,216 1,01819 1,286 1,03180
1,078 1,00282 1,148 1,00954 1,218 1,01951 1,288 1,03220
1,080 1,00297 1,150 1,00979 1,220 1,01984 1,290 1,03260
1,082 1,00311 1,152 1,01003 1,222 1,02017 1,292 1,03300
1,084 1,00326 1,154 1,01028 1,224 1,02050 1,294 1,03340
X К (У) к К (У) X к к (У
1,296 1,03380 1,366 1,04903 1,436 1,06619 1,506 1,08501
1,298 1,03421 1,368 1,04950 1,438 1,06671 1,508 1,08557
1,300 1,03462 1,370 1,04997 1,440 1,06722 1,510 1,08613
1,302 1,03503 1,372 1,05043 1,442 1,06774 1,512 1,08669
1,304 1,03544 1,374 1,05090 1,444 1,06826 1,514 1,08725
1,306 1,03585 1,376 1,05137 1,446 1,06878 1,516 1,08782
1,308 1,03627 1,378 1,05185 1,448 1,06931 1,518 1,08838
1,310 1,03668 1,380 1,05232 1,450 1,06983 1,520 1,08895
1,312 1,03710 1,382 1,05280 1,452 1,07036 1,522 1,08952
1,314 1,03752 1,384 1,05327 1,454 1,07088 1,524 1,09009
1,316 1,03794 1,386 1,05375 1,456 1,07141 1,526 1,09066
1,318 1,03837 1,388 1,05423 1,458 1,07194 1,528 1,09123
1,320 1,03879 1,390 1,05471 1,460 1.07247 1,530 1,09180
1,322 1,03922 1,392 1,05520 1,462 1,07300 1 532 1,09237
1,324 1,03965 1,394 1,05568 1,464 1.07353 1,534 1,09295
1,326 1,04008 1,396 1,05617 1,466 1,07407 1,536 1,09352
1,328 1,04051 1,398 1,05666 1,468 1,07460 1,538 1,09410
1,330 1,04094 1,400 1,05715 1,470 1,07514 1,540 1,09468
1,332 1,04138 1,402 1,05764 1,472 1,07568 1.542 1,09526
1,334 1,04182 1,404 1,05813 1,474 1,07622 1,544 1,09584
1,336 1,04225 1,406 1,05862 1,476 1,07676 1,546 1,09642
1,338 1,04269 1,408 1,05911 1,478 1,07730 1,548 1,09700
1,340 1,04314 1,410 1,05961 1,480 1,07784 1,550 1,09758
1.342 1,04358 1,412 1,06011 1,482 1,07838 1,552 1,09817
1,344 1,04403 1,414 1,06061 1,484 1,07893 1,554 1,09875
1,346 1,04447 1,416 1,06111 1,486 1,07948 1,556 1,09934
1.348 1,04492 1,418 1,06161 1,488 1,08002 1,558 1,09993
1,350 1,04537 1,420 1,06212 1,490 1,08057 1,560 1,10052
1,352 1,04582 1,422 1,06262 1,492 1,08112 1,562 1,10110
1,354 1,04628 1,424 1,06313 1,494 1,08167 1,564 1,10170
1,356 1,04673 1,426 1,06363 1,496 1,08223 1,566 1,10229
1,358 1,04719 1,428 1,06414 1,498 1,08278 1,568 1,10288
1,360 1,04765 1,430 1,06465 1,500 1,08334 1,570 1,10347
1,362 1,04811 1,432 1,06516 1,502 1,08389 1,572 1,10407
1,364 1,04857 1,434 1,06568 1,504 1,08445 1,574 1,10466
X KW X К (У) X K(V X К (Л)
1,576 1,10526 1,646 1,12677 1,716 1,14938 1,786 1,17296
1,578 1,10586 1,648 1,12740 1,718 1,15004 1,788 1,17364
1,580 1,10646 1,650 1,12803 1,720 1,15070 1,790 1,17433
1,582 1,10706 1,652 1,12867 1,722 1,15136 1,792 1,17502
1,584 1,10766 1,654 1,12930 1,724 1,15203 1,794 1,17571
1,586 1,10826 1,653 1,12993 1,726 1,15269 1,796 1,17640
1,588 1,10886 1,658 1,13057 1,728 1,15335 1,798 1,17709
1,590 1,10947 1,660 1,13121 1,730 1,15402 1,800 1,17778
1,592 1,11007 1,662 1,13184 1,732 1,15469 1,802 1,17847
1,594 1,11068 1,664 1,13248 1,734 1,15535 1,804 1,17916
1,596 1,11129 1,666 1,13312 1,736 1,15602 1,806 1,17986
1,598 1,11189 1,668 1,13376 1,738 1,15669 1.8С8 1,18055
1,600 1,11250 1,670 1,13440 1,740 1,15736 1,810 1,18125
1,602 1,11311 1,672 1,13505 1,742 1,15803 1,812 1,18194
1,604 1,11372 1,674 1,13569 1,744 1,15870 1,814 1,18264
1,606 1,11434 1,676 1,13633 1,746 1,15937 1,816 1,18333
1,608 1,11495 1,678 1,13698 1,748 1,16004 1,818 1,18403
1,610 1,11556 1,680 1,1,3762 1,750 1,1,6072 1,820 1,18473
1,612 1,11618 1,682 1,13827 1,752 1,16139 1,822 1,18543
1,614 1,11679 1,684 1,13891 1,754 1,16207 1,824 1,18613
1,616 1,11741 1,686 1,13956 1,756 1,16274 1,826 1,18783
1,618 1,11803 1,688 1,14021 1,758 1,16342 1,828 1,18753
1,620 1,1.1864 1,690 1,14086 1,760 1,16409 1,830 1,18823
1,622 1,11926 1,692 1,14151 1,762 1,16477 1,832 1,18893
1,624 1,11988 1,694 1,14216 1,764 1,16545 1,834 1,18963
1,626 1,12051 1,696 1,14281 1,766 1,16613 1,836 1,19033
1-.628 1,12113 1,698 1,14347 1,768 1,16681 1,838 1,19104
1,630 1,12175 1,700 1,14412 1,770 1,1.6749 1,840 1,19174
1,632 1,12238 1,702 1,14477 1,772 1,16817 1,842 1,19245
1,634 1,12300 1,704 1,14543 1,774 1,1,6885 1,844 1,19315
1,636 1,12363 1,706 1,14609 1,776 1,16953 1,846 1,19386
1,638 1,12425 1,708 1,14674 1,778 1,17022 1,848 1,19457
1,640 1,12488 1,710 1,14740 1,780 1,1,7090 1,850 1,19527
1,642 1.12551 1,712 1,14806 1,782 1,17159 1,852 1,19598
1,644 1,12614 1,714 1,14872 1,784 1,17227 1,8.54 1,19669
— — Продолжение
X Х(Х) X ХС) X Х(Х) X Х(Х)
1,856 1,19740 1,926 1,22261 1,996 1,24850 2,33 1,37959
1,858 1,19811 1,928 1,22334 1,998 1,24925 2,34 1,38367
1 ,'860 1,19882 1,930 1,22407 2,00 1,25000 2,35 1,38776
1,862 1,19953 1,932 1,22480 2,01 1,25370 2,36 1,39186
1,864 1,20024 1,934 1,22553 2,02 1,25752 2,37 1,39597
1,865 1,20096 1,936 1,22627 2,03 1,26130 2,38 1,40008
1,868 1,20167 1,938 1,22700 2,04 1,26510 2,39 1,40420
1,870 1,20238 1,940 1,22773 2,05 1,26890 2,40 1,40833
1,872 1,20310 1,942 1,22847 2,06 1,27272 2,41 1,41247
1,874 1,20381 1,944 1,22920 2,07 1,27654 2,42 1,41661
1,876 1,20453 1,946 1,22994 2,08 1,28038 2,43 1,42076
1,878 1,20524 1,948 1,23068 2,09 1,28423 2,44 1,42492
1,880 1,20596 1,950 1,23141 2,10 1,28809 2,45 1,42908
1,882 1,20668 1,952 1,23215 2,11 1,29196 2,46 1,43325
1,884 1,20740 1,954 1,23289 2,12 1,29585 2,47 1,43743
1,886 1,20811 1,956 1,23363 2,13 1,29974 2,48 1,44161
1,888 1,20883 1,958 1,23437 2,14 1,30364 2,49 1,44580
1,890 1,20955 1,960 1,23510 2,15 1.30756 2,50 1,45000
1,892 1,21027 1,962 1,23584 2,16 1,31148 2,51 1,45420
1,894 1,21099 1,964 1,23658 2,17 1,31541 2,52 1,45841
1,896 1,21172 3 ,£63 1,23733 2,18 1,31936 2,53 1,46263
1,898 ’ 1,21243 1,968 1,23807 2,19 1,32331 2,54 1,46685
1,900 1,21316 1,970 1,23881 2,20 1,32727 2,55 1,47106
1,902 1,21388 1,972 1,23955 2,21 1,33124 2,56 1,47531
1,904 1,21461 1,974 1,24030 2,22 1,33522 2,57 1,47955
1,906 1,21533 1,976 1,24104 2,23 1,33921 2,58 1,48380
1,908 1,21606 1,978 1,24178 2.24 1,34321 2,59 1,48805
1,910 1,21678 1,980 1,24253 2,25 1,34722 2,60 1,49231
1,912 1,21751 1,982 1,24327 2,26 1,35124 2,61 1,49657
1,914 1,21824 1,984 1,24402 2,27 1,35526 2,62 1,50084
1,916 1,21896 1,986 1,24476 2,28 1,35930 2,63 1,50511
1,918 1,21969 1,988 1,24551 2,29 1,36334 2,64 1,50939
1,920 1,22042 1,990 1,24626 2,30 1,36739 2,65 1,51368
1,922 1,22115 1,992 1,24701 2,31 1,37145 2,66 1,51797
1,924 1,22188 1,994 1,24775 2,32 1,37551 2,67 1,52226
X к (К X Л(Х) X X
2,68 1,52656 2,76 1,56116 2,84 1,59605 2,92 1,63125
2.69 1,53087 2,77 1,56550 2,85 1,60044 2,93 1,63565
2,70 1,53518 2,78 1,56985 2,86 1,60482 2,94 1,64007
2,71 1,53950 2,79 1,57421 2,87 1,60921 2,95 1,64449
2,72 1,54382 2,80 1,57857 2,88 1,61361 2,96 1,64892
2,73 1,54815 2,81 1,58293 2,89 1,61801 2,97 1,65335
2,74 1,55248 2,82 1,58730 2,90 1,62241 2,98 1,65778
2,75 1,55682 2,83 1,59168 2,91 1,62680 2,99 1,66222
3,00 1,66665
Приложение 2
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА РАЗМЕРНОСТЕЙ В СИСТЕМУ СИ
Основные единицы: масса — кг, длина— м, время — сек.
Физическая величина Размерность Переходной коэффици- ент
принятая в книге по системе СИ
Тяга (сила) Р кГ н 9,81
Давление р кГ!см2 н/м2 9.81-104
Работа, энергия, те- кГ-м1кал дж 9,81-4,18
плота .4, Q
Мощность N кГ-M'tceK дж/сек-вт 9,81
Импульс силы 7 кГ-сек Н'Свк 9,81
Массовый расход G кг)сек кг^сек 1,0
Весовой расход Q кГ)сек н/сек 9,81
Массовая плотность о кг)м3 кг/м3 1,0
Удельный вес у кГ!м3 н/м3 9,81
кГ1смъ 9,81-10 + 6
Единичный импульс 71 кГ-сек!кг н-сек/кг 9,81
Удельная теплоем- ккал)кГ-град дж)н-град 4,18-103
КОСТЬ с
Энтальпия I ккал!кг дж-кг 4,18-103
Внутренняя энергия U 2
Энтропия S ккал/град дж/град .4,18-103
Удельная энтропия Sg ккал/град'кг дж/град-кг 4,18-103
Физическая величина Размерность Переходной коэффици- ент
принятая в книге по системе СИ
Тепловой поток q ккал)м2 дж/м2 4,18-103
Удельный тепловой ккал! м2-час дж/м2-час-вт1м2 4,18-103
поток
Коэффициент тепло- ккал!м2час • г рад вт/м2г рад 1,16
отдачи а
Коэффициент тепло- ккал/м-сек-град вт/м-град 4,18-103
проводности X ккал!м-час-град 1,16
Коэффициент темпе- ратуропроводности а м2!час м2/час 1
Кинематическая вяз- м2[сек м2/сек 1,00
КОСТЬ V
Коэффициент динами- ческой ВЯЗКОСТИ JA к Г • с ек/м2 н-сек/м2 9,81
Сила топлива /о кГ • дм' кг н-м/кг 9,81-10
кГ-м/кг 9,81
Газовая постоянная 7?=8,32-103 дж/град -кмоль
Механический экви- 1/Л=427 кГ -м!ккал Л=1 дж!н-м
валент
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие......................................................... 3
Глава I. Теоретические принципы прикладной газовой динамики......... 5
§ 1. Уравнение механики сплошной среды.......................... 8
§ 2. Уравнение сохранения вещества..............................14
§ 3. Уравнение сохранения механической энергии ................ 15
§ 4. Закон сохранения энергии, или первое начало термодинамики . . 16
§ 5. Интегральная форма закона сохранения энергии, или второе на-
чало термодинамики ............................................. 18
Литература..........................................................22
Глава II. Практические задачи газовой динамики ракетоствольных систем 23
§ 1. Газодинамические параметры состояния стационарного потока 23
§ 2. Течение газа в сопле.......................................30
§ 3. Отклонение газового потока в кососрезанных сопле и цилиндри-
ческом насадке...................................................41
§ 4. Перетекание газа из одного резервуара в другой.............49
§ 5. Истечение газа из полузамкнутого объема с подвижным дном
при наличии теплоотдачи ........................................ 63
§ 6. Течение газа в трубе при внезапном расширении сечения потока 72
§ 7. Движение газа в проточном резервуаре с внезапными уширениями 79
§ 8. Теоретические обоснования расчета и проектирования газоотвод-
ных устройств для нестационарного газового потока .............. 87
§ 9. Расчет силы давления газа на поршень в полузамкнутом цилиндре.
Активный усилитель отдачи стрелкового оружия.....................93
§ 10. Распределение стационарного газового потока между боковыми
каналами проточного резервуара, расположенными под произволь-
ным углом к его оси..............................................96
§ 11. Изменение полной реакции или полного импульса потока путем
отвода газа из проточного резервуара в стороны. Газовый тормоз
артиллерийского орудия......................................... 106
§ 12. Течение газа со скачком уплотнения........................ИЗ
§ 13. Обтекание конуса сверхзвуковым потоком...................124
§ 14. Обтекание сверхзвуковым потоком полостей, расположенных под
тупым углом.....................................................132
§ 15. Упрощенное решение задачи внутренней баллистики классиче-
ского артиллерийского орудия .................................. 139
§ 16. Упрощенное решение задачи внутренней баллистики динамо-
реактивного орудия..............................................155
§ 17. Особенности расчета внутренней баллистики частично уравнове-
шенного орудия..................................................163
§ 18. Расчет эжекционного устройства артиллерийского орудия . . . 166
Литература.........................................................178
Г лава III. Теплообмен в РДТТ......................................180
§ 1. Механизм теплообмена в РДТТ...............................182
§ 2. Передача тепла от газа к сгенке двигателя конвекцией .... 186
§ 3. Лучистый теплообмен в РДТТ................................194
§ 4. Среднее эффективное значение коэффициента теплоотдачи . . . 198
§ 5. Температурное поле стенки РДТТ............................201
§ 6. Инженерные методы расчета нагрева однослойной стенки РДТТ 205
§ 7. Расчет температурного поля стенки РДТТ с помощью моделирую-
щих устройств..................................................215
§ 8. Расчет пассивного теплозащитного покрытия.................221
§ 9. Теплообмен между газом и стенкой двигателя при абляции . . . 228
§ 10. Расчет температурного поля активного теплозащитного покрытия
с внутренним уносом массы ...................................... 243
§ 11. Теплофизические параметры активных теплозащитных покрытий 257
§ 12. Нагрев и эрозия сопла.....................................265
Литература.........................................................276
Глава IV. Горение твердых ракетных топлив..........................279
§ 1. Основные характеристики твердых ракетных топлив и зарядов 279
§ 2. Определение характеристик переноса для продуктов сгорания
твердых ракетных топлив........................................298
§ 3. Механизм горения твердых ракетных топлив..................308
§ 4. Скорость горения твердых ракетных топлив..................315
§ 5. Влияние скорости газового потока на скорость горения твердых
ракетных топлив (эрозионное горение)...........................334
§ 6. Воспламенение твердых ракетных топлив.....................’ . 352
§ 7. Вибрационное горение . . • . ............................364
Литература................................................... . . . 372
Глава V. Внутренняя баллистика РДТТ.................................. 374
§ 1. Период автономного горения воспламенителя.................376
§ 2. Выбор наибольшего давления воспламенителя................380
§ 3. Период совместного горения воспламенителя и топлива .... 385
§ 4. Период стабилизации давления в камере сгорания...........389
§ 5. Период последействия тяги................................391
§ 6. Выходные характеристики ракетного двигателя на баллиститном
топливе........................................................393
§ 7. Расчеты заряда с цилиндрической формой канала............399
§ 8. Пример расчета кривой давления в камере РДТТ при степенном
законе горения «=«1^’.........................................403
§ 9. Параметры состояния потока газа в канале заряда и их связь
с полным давлением на входе в конфузор сопла..............413
§ 10. Основное требование к топливу для РДТТ...................418
§ И. Особенности внутренней баллистики РДТТ для топлив при аппрок-
симации их законов горения линейной зависимостью и=а + Ьр и
функцией типа Саммерфильда и=----———......................420
а + Ьрп
§ 12. Особенности расчета и проектирования РДТТ при наличии кон-
денсированной фазы в продуктах сгорания........................430
§ 13. Чувствительность выходных характеристик РДТТ к инерции кон-
денсированной фазы продуктов сгорания..........................438
§ 14. Течение двухфазового потока в сопле и расчет выходных характе-
ристик РДТТ на смесевом топливе................................441
Литература.........................................................454
Глава VI. Регулирование вектора тяги РДТТ в полете по величине и на-
правлению .....................................................456
§ 1. Изменение силы тяги РДТТ при помощи газоотводного устройства 456
§ 2. Регулирование вектора тяги РДТТ при помощи кососрезанного
соплового насадка ............................................ 460
§ 3. Поперечная составляющая реакции потока прн боковом вводе
газа в сопло...................................................462
§ 4. Регулирование силы тяги РДТТ по величине..................466
§ 5. Временные характеристики переходных процессов для давления
в камере и тяги РДТТ при изменении площади критического
сечения сопла ................................................ 474
Литература.........................................................480
Г лава VII. Баллистическое проектирование ракет с РДТТ.............481
§ 1. Расчет запаса топлива при дозвуковом режиме движения ракеты 484
§ 2. Расчет запаса топлива при сверхзвуковом режиме движения
ракеты.....................................................486
§ 3. Выбор тяги, обеспечивающей движение ракеты с постоянным
ускорением.................................................494
§ 4. Стартовый вес многоступенчатой ракеты.................495
§ 5. Выбор стартовой скорости ракеты.......................497
§ 6. Замечания к выбору наименьшего стартового веса двухступенча-
той ракеты 502
§ 7. Методика решения типичных задач баллистического проекти-
рования .......................................................503
§ 8. Зависимости для расчета запаса топлива ракеты с учетом кри-
визны ее траектории полета 516
Литература.........................................................523
П риложения
1. Таблица газодинамических параметров.........................524
2. Таблица перевода размерностей в систему СИ..................532
Борис Викторович Орлов,
Георгий Юрьевич Мазинг
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ И БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
Редактор Т. А. Валединская
Техн, редактор В И. Орешкина
Художник Н. Т, Дворников
Корректор В. Е. Блохина
Г-52551 Сдано в набор 15/XII 1967 г. Подписано в печать 6/VIII 1968 г.
Формат бОХЭО'/и Печ. л. 33,50 Уч.-изд. л. 29,70 Бум. л. 16,75
Бумага № 1 Тираж 7500 экз. Заказ 3068/1873
Цена 1 р 24 к. Тем. план 1968 г. N? 10.
Издательство «Машиностроение», Москва, К-51, Петровка, 24
Московская типография № 8 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Хохловский пер., 7.