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Author: Arnaudies J.-M. Bertin J.
Tags: algèbre géométrie théorie des groupes géométrie algébrique géométrie différentielle
ISBN: 2-7298-0518-4
Year: 2001
Text
SUKKACESDI' RIEMANN!
ÉQ Al ION DE HALPHEN
"1 GR PESPOI YÉDRA X
Groupes, alftôbns et £«>ornétrit
Tome 3
lc.in-M.uie ARNAL DIÎ'S
SURFACES DE RIEMANN
ÉQUATION DE HALPHEN
ET GROUPES POLYEDRAUX
Groupes, algèbres et géométrie
Tome 3
Jean-Marie ARNAUDIES
José BERTIN
Du même auteur chez le même éditeur
Problèmes de préparation à l'Agrégation de Mathématiques (4 volumes) :
• L Algèbre. Groupes, arithmétique, 288 pages.
• 2. Algèbre bilinéaire et géométrie. Groupes classiques, calcul différentiel, applications
géométriques, 320 pages.
• 3. Analyse. Séries, séries entières, séries de fonctions, 304 pages.
• 4. Analyse. Intégrale, séries de Fourier, équations différentielles, 320 pages.
• Séries entières, séries de Puiseux, séries de Fourier et compléments sur les fonctions
presque-périodiques, 176 pages.
• Équations différentielles de fonctions de variable réelle ou complexe, 192 pages.
En collaboration avec José Bertin :
• Groupes, algèbre et géométrie. Tome V, 480 pages.
• Groupes, algèbre et géométrie. Tome 2, 784 pages.
ISBN 2-7298-0518-4
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2001
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
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Celte représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefaçon
sanctionnée par les articles L. 33S-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.
AVANT-PROPOS
C'est avec retard que nous présentons ce tome 3 de notre cours d'Algèbre et
Géométrie. Nous prions nos lecteurs de vouloir bien nous en excuser.
Notre idée directrice est, rappelons-le, partant du constat de la prodigieuse
omniprésence des groupes polyédraux en Algèbre et Géométrie, de faire de ces groupes
un fil d'Ariane. Nous les avons rencontrés au tome 1, chapitre IX, en géométrie
euclidienne de dimension 3, pour ainsi dire tels qu'ils étaient déjà apparus aux Grecs
Anciens. Nous les avons retrouvés au tome 2, chapitre XVII, à propos des groupes
cristallographiques, et chapitre XX, où nous avons décrit leurs tables de caractères
et leurs représentations irréductibles complexes. Dans ce troisème tome, les revoilà
comme groupes de Galois!... d'un corps de fractions rationnelles sur un autre.
On ne peut aborder ce thème sans évoquer tous ces algébristes (on disait alors
géomètres), infatigables et prolifiques bâtisseurs de notre algèbre contemporaine, à la
charnière entre les XIXe et XXe siècles: Bohlmann, Dedekind, Dehn, Hilbert, Schur,
Viterbi, Snyder, Zermelo, et tant d'autres. Parmi eux, Fricke, Klein et Poincaré
doivent être cités à part: tous les trois, sous l'égide de Poincaré, pour la construction
des fonctions automorphes et modulaires elliptiques; et Klein, pour son mémorable
Das Ikosaëder. Citons aussi les travaux curieusement parallèles de Halphen, Schwarz
et d'autres sur les équations différentielles complexes à coefficients algébriques.
Le présent livre aboutit à la fameuse équation de Halphen, que nous traitons au
dernier chapitre avec des outils modernes. Dans [15], Halphen retrouve comme par
miracle les groupes polyédraux à partir de l'équation Pm 4- Qn + Rp = 0 ( m , n et
p entiers > 2), aux inconnues P, Q, R polynomiales complexes en une variable
et non constantes. Il visait certaines équations différentielles, et cela le conduit aux
mêmes résultats que Klein, alors que ce dernier visait l'équation du cinquième degré;
ce qui illustre l'ubiquité de la question. Mais les preuves de Halphen restent obscures
(il en appelle au théorème de Briot et Bouquet) et il parle trop peu de groupes.
Cela nous a amenés à choisir une présentation purement algébrique des surfaces de
Riemann, donc axée sur les corps de fonctions algébriques d'une variable. Ce point de
vue est plus direct que celui, plus sophistiqué, de la Géométrie Algébrique des courbes,
et il est bien adapté aux questions arithmétiques. Pour aider le lecteur à relier Algèbre
et Analyse, totalement imbriquées chez les auteurs cités, nous avons établi avec soin,
dans le chapitre 25, le parallélisme entre corps de fonctions algébriques d'une variable
et surfaces de Riemann compactes connexes, et bien sûr celui entre revêtements et
théorie de Galois. Le ciment général est en définitive la ramification. Si l'équation
de Halphen est l'âme de ce livre, le phénomène de ramification en est le cœur. Mais
c'est avec regret que nous ne sommes pas allés plus loin: que nous n'avons rien dit de
l'équation du cinquième degré, des rapports entre invariants polynomiaux et équation
de Halphen... ni des équations différentielles, le but de Halphen.
Nous reportons donc au tome 4 l'étude des périodes d'intégrales, des configurations
classiques et des sous-groupes finis du groupe projectif d'un plan projectif. Mais nous
avons levé un coin du voile avec la célèbre configuration de Hesse (chapitre XXVII).
Remerciements
Nous remercions JEAN-DENIS ElDEN qui a bien voulu relire les versions
préliminaires de ce texte, et Pierre Delezoide pour les belles figures sous Mathematica.
J.M. ARNAUDIÈS, JOSÉ BERTIN
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre XXII Fractions rationnelles, fonctions algébriques 3
22.1 Transcendance 3
Degré de transcendance 9
Transcendance et isomorphismes 10
Extensions transcendantes de degré de transcendance fini 12
Corps de fonctions algébriques 13
Transcendance et extension de scalaires 13
22.2 Dérivations 17
22.2.1 Introduction 17
22.2.2 Dérivations sur un anneau 17
Extension d'une dérivation à un corps des fractions 18
La formule de Leibniz 19
Crochet de deux dérivations 19
22.2.3 Dérivations, polynômes et fractions rationnelles 20
22.2.4 Dérivations et séparabilité 21
Bases de transcendance séparantes 23
Noyau de certaines dérivations 31
22.3 Fractions rationnelles 33
22.3.1 Degré absolu d'une fraction rationnelle 33
22.3.2 Automorphismes de la /('-algèbre K{X) 35
22.3.3 Le théorème de Lùroth 36
Chapitre XXIII Ramification des corps de fonctions algébriques
d'une variable 39
23.1 Valuations 39
23.1.1 Généralités 39
Indice de ramification 40
Anneau d'une valuation, centre d'une valuation 40
Propriétés de l'anneau d'une valuation 41
Valuations au-dessus de K 43
Anneaux de valuation discrète 44
Signification de l'indice de ramification 49
Surfaces de Riemann 50
23.1.2 Valuations des corps de fractions rationnelles d'une variable au-dessus du corps de base .... 50
Application aux corps de fonctions algébriques d'une variable 52
Ramification des corps de fractions rationnelles d'une variable 54
Cas où le corps de base est algébriquement clos 57
Homographies et sphère de Riemann 58
23.2 Compléments d'algèbre commutative 61
23.2.1 Le théorème des restes 61
Application aux algèbres de dimension finie 62
23.2.2 Anneaux de fractions d'un anneau intègre 63
Évitement des idéaux premiers 68
Passage du local au global 68
Obtention de certains anneaux principaux 69
23.2.3 Compléments sur la dépendance intégrale 70
23.2.4 Discriminant 73
Résultant de deux polynômes d'une indéterminée 73
Vi Table des matières
Discriminant d'un polynôme d'une indéterminée 74
Discriminant de certaines algèbres 75
Discriminant, norme et théorie des corps 77
23.3 Valuatîons des corps de fonctions algébriques d'une variable 81
23.3.1 Extension de valuations discrètes 81
Notion de paramètre local et de degré résiduel 82
23.3.2 Formules de ramification 84
Application: fonctions algébriques 86
Cas des corps de fonctions rationnelles d'une variable 88
23.3.3 Exemples de surfaces de Riemann 90
Corps de fonctions hyperelliptiques 90
Surface de Riemann définie par un polynôme en deux variables 92
23.4 Fonctions algébriques et théorie de Galois 97
23.4.1 Groupes de décomposition, groupes d'inertie 97
Cyclicité des groupes de décomposition ( K algébriquement clos) 101
23.4.2 Clôture galoisienne d'une extension finie séparable 102
23.4.3 Clôtures galoisiennes et ramification 103
Corps composés et lemme d'Abhyankar 105
Chapitre XXIV Le genre 109
24.1 Extension de scalaires 109
Disjonction linéaire 109
Dérivations et extension de scalaires 116
24.2 Diviseurs 117
24.2.1 Généralités 117
Diviseurs principaux 117
Diviseurs et isomorphismes 118
Image directe et image réciproque d'un diviseur 119
Exemple de diviseur de zéro non principal 121
Les espaces 2{D) 122
24.2.2 Diviseurs et extension de scalaires 124
24.3 Dérivations et différentielles 125
24.3.1 Formes différentielles rationnelles 125
Formes exactes 126
24.3.2 Classe canonique, genre 129
Invariance du genre par A"-isomorphismes 129
Exemples de calcul du genre 130
24.3.3 Invariance du genre par extension des scalaires 132
Extension algébrique des scalaires 132
Extension transcendante pure des scalaires 136
Invariance générale du genre en caractéristique nulle 140
24.3.4 La formule de Riemann-Hurwitz 141
Image réciproque d'une forme différentielle 142
Le diviseur de ramification 142
24.3.5 Exemple de calcul du genre en caractéristique non nulle 144
24.4 Théorème des résidus algébrique 149
24.4.1 Complétion 149
Limites projectives 149
Complétion associée à une valuation discrète 150
24.4.2 Développements de Taylor de fonctions algébriques d'une variable 154
Complétion et sous-corps de fonctions algébriques 158
Table des matières
vil
24.4.3 Résidus d'une forme différentielle 161
Caractère intrinsèque des résidus 162
Théorème des résidus pour un corps de fractions rationnelles 164
24.4.4 Théorème des résidus algébrique général 165
Trace d'une forme différentielle 165
Développement de Taylor d'une trace 166
24.4.5 Paramétrisations locales 173
24.4.6 Modèles projectifs 175
Branches 176
24.5 Le théorème de Riemann-Roch 179
24.5.1 Adèles 179
24.5.2 Préliminaires d'algèbre linéaire 180
Indice d'un couple de sous-espaces 181
24.5.3 Théorèmes de Riemann et de Riemann-Roch 182
Formes if-linéaires sur les adèles et résidus 186
24.5.4 Premiers exemples d'application 190
24.5.5 Corps de genre un 193
Couples de Weierstrass et invariant modulaire 195
Structures de groupe associées à un corps de genre un 198
Automorphismes d'un corps de genre un 201
24.5.6 Formule de Riemann-Hurwitz et théorie de Galois 204
La borne de Hurwitz 205
Chapitre XXV Surfaces de Riemann complexes 209
25.1 Revêtements 209
25.1.1 Homotopie, groupe fondamental 209
Espaces simplement connexes 210
Groupe fondamental 211
Équivalences d'homotopie 214
25.1.2 Revêtements, relèvements 218
Relèvements 221
Relèvement d'homotopies 222
25.1.3 Opérations sur les revêtements 225
Revêtement image réciproque 225
Produit fibre de revêtements 227
Composition de revêtements 228
Produit cartésien de revêtements 229
25.1.4 Revêtements quotients, revêtements galoisiens 229
25.1.5 Groupe fondamental et revêtements 234
L'action de monodromie 235
Groupes de monodromie 237
25.1.6 Revêtements universels 240
Clôture galoisienne d'un revêtement 243
Groupe fondamental de la sphère de Riemann 244
25.1.7 Construction de revêtements galoisiens 246
25.2 La notion de surface de Riemann complexe 247
25.2.1 Rappels sur les fonctions méromorphes 247
25.2.2 Atlas analytiques 247
Saturation d'un atlas analytique 251
Sous-surfaces de Riemann 251
La sphère de Riemann usuelle 252
viii Tabie des matières
Rappels sur ls fonctions holomorphes 253
Cartes d'une surface de Riemann 254
Multiplicité d'un zéro ou d'un pôle d'une fonction méromorphe 255
25.2.3 Applications analytiques 256
Structure des applications analytiques 258
Couple de cartes réduites 261
Applications analytiques entre surfaces de Riemann compactes et connexes 261
25.3 Surfaces de Riemann algébriques 267
25.3.1 Corps de fractions rationnelles d'une variable sur C 267
25.3.2 Topologie d'une surface de Riemann algébrique 268
25.3.3 Structure analytique 270
Voisinages d'un point 274
Cartes spéciales 275
Signification topologique de l'indice de ramification 277
25.3.4 Connexité des surfaces de Riemann algébriques 279
25.3.5 Une propriété des discriminants 280
25.4 Théorèmes de séparation 283
25.4.1 Partitions de l'unité 283
25.4.2 Le lemme de Dolbeault 285
25.4.3 Fonctions holomorphes et convergence quadratique 287
Cas d'un disque ouvert de C 288
Complétude des X2(U) 289
25.4.4 Cochaînes de degré < 1 291
Raffinements d'un recouvrement ouvert fini 292
Rappels sur les limites inductives d'espaces vectoriels 294
Premier espace de cohomologie 296
25.4.5 Finitude de la dimension de certains espaces H1 297
Les (0, Informes d'une surface de Riemann 297
Une propriété des espaces compacts 301
Le théorème fondamental 302
25.4.6 Construction de fonctions méromorphes 307
25.4.7 Les (1,0)-formes d'une surface de Riemann 307
25.5 Le théorème de Riemann 313
25.5.1 Valuation définie par un point 313
Surfaces de Riemann et corps de fonctions algébriques sur C 314
Convergence des développements de Taylor 317
Différentielles, (1,0)-formes et résidus 318
25.5.2 Genre d'une surface de Riemann compacte et connexe 319
Signification topologique du genre 319
25.5.3 Réalisation de certaines surfaces de Riemann 321
Structure analytique sur la partie non singulière d'une courbe 321
Application aux modèles projectifs non singuliers 322
25.6 Surfaces de Riemann et revêtements 325
Surfaces de Riemann quotients 326
Prolongement de certains revêtements en un morphisme 328
Chapitre XXVI Surfaces de Riemann et théorie de Galois 333
26.1 Groupe fondamental et produits libres 333
26.1.1 Produit libre de groupes 333
26.1.2 Le théorème de Van Kampen 338
Groupe fondamental des surfaces de Riemann compactes 346
Table des matières ix
26.2 Théorème de Galois inverse continu 347
Préliminaires: indice d'un lacet dans le plan complexe 347
Sphère de Riemann privée d'un nombre fini de points 348
Corps hilbertiens 353
La sphère moins trois points 355
Chapitre XXVII Surfaces de Riemann et courbes planes 357
27.1 Notions sur les espaces projectifs 357
Coordonnées homogènes 357
27.1.1 Sous-variétés linéaires projectives 358
27.1.2 Points fixes des homographies 358
27.1.3 Dualité 359
27.1.4 Complémentaire d'un hyperplan projectif 359
Plongement d'un espace affine dans un espace projectif 360
27.1.5 Isomorphismes entre espaces projectifs 361
27.2 Hypersurfaces algébriques 363
27.2.1 Hypersurfaces algébriques affines 363
Fonctions rationnelles sur une hypersurface algébrique affine irréductible 364
27.2.2 Hypersurfaces algébriques projectives 365
Fonctions rationnelles sur une hypersurface projective irréductible 367
27.3 Points réguliers, points singuliers 369
27.3.1 Polynômes de Taylor 369
Points réguliers et singuliers dans le cas projectif 370
27.3.2 La Hessienne 371
Points d'inflexion d'une courbe algébrique projective irréductible 372
Hypersurfaces projectives irréductibles et droites projectives 374
27.4 Lien entre l'affine et le projectif 375
Lien entre les corps de fonctions rationnelles 376
27.5 Courbes algébriques planes irréductibles 379
Pôles des fonctions rationnelles 379
Points simples et valuations discrètes 379
Centre d'une valuation discrète 380
Calcul du genre d'une courbe algébrique projective non singulière 382
Différentielles régulières d'une courbe non singulière 384
27.6 Classification des cubiques projectives non singulières 385
27.6.1 Le théorème principal 385
27.6.2 Plans affines à neuf points 387
27.6.3 Homographies d'une cubique non singulière 389
27.6.4 Configurations de Hesse et groupe de Hesse 390
27.6.5 Sous-groupes de n-torsion d'une cubique non singulière 395
27.7 Compléments sur la droite projective 397
27.7.1 Le birapport 397
27.7.2 Classes de conjugaison des homographies d'une droite 400
27.7.3 Groupes finis d'homographies d'une droite projective 401
Sous-groupes finis cycliques 402
Sous-groupes finis diédraux non abéliens 402
Sous-groupes finis diédraux abéliens, octaédraux et tétraédraux 403
Sous-groupes finis icosaédraux 406
Détermination de tous les sous-groupes finis d'homographies de la droite 406
Orbites polyédrales sur le corps des complexes 408
X Table des matières
27.8 Corps de genre zéro 411
27.8.1 Compléments sur l'extension des scalaires 411
Actions du groupe de Galois Q*1{K/K) 412
27.8.2 Coniques associées à un corps de genre zéro 414
Corps de genre zéro déployés 417
27.8.3 Classification des corps de genre zéro 417
Lien avec les algèbres de quaternions 420
Retour sur le théorème de Lùroth 421
27.9 Courbes planes et surfaces de Riemann complexes 423
27.9.1 Structure analytique des courbes planes non singulières 423
Topologie des espaces projectifs complexes 423
Continuité de l'application C-centre et conséquences 423
27.9.2 Cubiques planes non singulières 425
Surfaces de Riemann complexes compactes connexes paraboliques 425
Les surfaces de Riemann compactes connexes de genre 1 sont paraboliques 428
Chapitre XXVIII Groupes polyédraux et équation de Halphen 431
28.1 Fractions rationnelles et théorie de Galois 431
28.1.1 Introduction 431
28.1.2 Invariants primitifs et orbites 432
Conséquences en caractéristique nulle 435
28.1.3 Questions de rationalité 440
28.2 L'équation de Halphen 445
28.2.1 Introduction 445
28.2.2 L'équation de Halphen trigonométrique 445
28.2.3 Solutions réduites de l'équation de Halphen 446
Homogénéisation 447
Solutions régulières équivalentes 448
Solutions primitives 449
Triplets platoniciens 449
Équation de Halphen et ramification 449
Génération des solutions réduites par les solutions minimales 454
28.2.4 L'équation de Fermât 459
28.2.5 Retour à l'équation de Halphen générale 460
Bibliographie 461
Index de notations 463
Index d'auteurs cités 465
Index alphabétique 467
NOTATIONS PARTICULIÈRES
Étant donné un corps commutatif L et un sous-corps K de L, rappelons que L
est dit de degré fini sur K ssi le if-e.v. L est de dimension finie, de degré infini
sur K sinon. Dans le premier cas, l'entier dim/f(L) est appelé le degré de L sur
K ; nous le noterons [ L : K ]. Pour ne pas confondre cette notation avec celle utilisée
pour représenter (quand il est fini) l'indice dans G d'un sous-groupe H d'un groupe
G, nous noterons cet indice [G : H].
Étant donnés un corps commutatif K, une extension L de K et un élément if-
algébrique x £ L y nous noterons IrrX)^(.) le polynôme if-minimal de x , où le point
dans la parenthèse désigne n'importe quelle lettre muette représentant une indéterminée
sur K.
Étant donné un corps commutatif K, un if-espace vectoriel E de dimension finie
n > 1 et un endomorphisme u € Hoirie (E), nous désignerons respectivement par
Polcaru(.) et Polminu(.) le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de
u (le point dans la parenthèse peut être remplacé par n'importe quelle lettre muette
désignant une indéterminée sur if). Rappelons que par définition, (-l)n Polcaru(.)
et Polminu(.) sont normalisés.
Soit L une extension algébrique finie d'un corps commutatif K . Tout élément x e L
définit un endomorphisme naturel ux : A i—► xX du K-e.v. L . Avec ces notations, on a
PolminUx(.) = Irrx,*:(.) et (-l)n PolcarUx(.) = (lrrX)jft:(.))rf , où d=[L:K(x)].
Soit K un corps commutatif de caractéristique p > 0. L'isomorphisme de Frobe-
nius i h jP de if dans K sera noté Frob^ • Pour tout entier e > 0, on notera
(Frob*)e(iO=if<^>.
Pour tout anneau commutatif A , on notera U(A) le groupe des éléments inversibles
de A. En règle générale, l'élément nul et l'élément unité de A seront notés O4 et \a ,
mais si cela n'entraîne pas de confusion, on les notera aussi 0 et 1.
Soit A un anneau factoriel qui n'est pas un corps et /C son corps des fractions.
Si x € /C, tout couple (a, 6) € A x (A \ {0}) tel que x = | avec a et 6
premiers entre eux s'appelle une représentation irréductible de x (ou encore: une forme
irréductible de x). Si (a, 6) est une telle représentation, l'ensemble de ces représentations
est {Aa,A6)}^€^(^) . Cela s'applique notamment lorsque A = K[Ti,...,Tn] (d'où
/C = K(Ti,... ,Tn) ), où K est un corps commutatif, où n € N* , et où Ti,...,Tn
désignent des indéterminées sur K : dans ce cas, on a U(A) = K \ {0} = if* , donc si
/ 6 if (Ti,... ,Tn), l'ensemble des représentations irréductibles est une if-droite
vectorielle privée de l'origine: on notera alors Den(/) l'ensemble des dénominateurs de ces
représentations irréductibles (c'est donc une if-droite vectorielle privée de l'origine dans
K[Tx,...,Tn])
Sauf mention contraire, quand nous parlerons d'une algèbre sur un anneau commutatif
A, il s'agira d'une algèbre associative et à élément unité, i.e. d'un anneau qui est
en même temps un A-module.
Chapitre XXII
FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGÉBRIQUES
Soit K un corps commutatif. On appelle corps de fonctions algébriques sur K
toute extension algébrique unie d'un corps de fractions rationnelles en un nombre fini
d'indéterminées sur K . Ce chapitre est consacré à l'introduction des corps de ce type,
en essayant de dégager le concept de variables (relatives au corps de base K ), et le
calcul différentiel qui lui est associé. Dans le chapitre suivant, nous poursuivrons cette
étude dans le cas particulier d'une seule variable.
§ 22.1 Transcendance
Soit L un corps commutatif et K un sous-corps de L . Pour toute partie E de L ,
il existe un plus petit sous-corps de L contenant E : on l'appelle le sous-corps de L
engendré par E. Donc pour toute partie X de L , il existe un plus petit sous-corps de
L contenant KuX : on l'appelle l'extension de K engendrée par X dans L , et on la
note K(X) (si X est un singleton {x} , on écrira K(x) au lieu de K({x}) ). Notant
K[X] la sous-K-algèbre de L engendrée par X , il est clair que K(X) est le corps
des fractions de K [ X ] .
Définition 22.1.1
Dans les conditions ci-dessus, un sous-corps M de L est dit extension de type
fini de K ssi il est engendré sur K par une partie unie de L .
Soit A une sous-K-algèbre de L ; rappelons que A est dite de type fini sur K ssi
elle est engendrée comme K-algèbre par une partie finie de L , i.e. ssi elle est de la forme
A = K [E] où E est une partie finie de L . Lorsque la sous-K-algèbre A est un corps,
si elle est de type fini sur K comme K-algèbre, il est clair que c'est un sous-corps de
L de type fini sur K ; mais la réciproque est fausse: par exemple si z € L et si x est
transcendant sur K , le sous-corps K{x) de L est de type fini sur K mais n'est pas de
type fini sur K en tant que K-algèbre (*) .
La proposition ci-après, bien que de démonstration évidente, mérite un énoncé:
Proposition 22.1.1
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L, soit X et Y deux parties de L ;
notons E = K{X) et F = E(Y). Alors F = K(X U Y).
Soit à nouveau K un sous-corps d'un corps commutatif L. Soit A une sous-if-
algèbre de type fini de L. Soit xi,...,xm dans L tels que A = K[xit...,xm]
(où m e N ). Notons Xi,...,Xm des indéterminées sur K, et désignons par
<p : K[X\y... yXm] —► L le morphisme de K-algèbres qui envoie Xi sur Xi pour
tout i. Son image est donc A . Un problème important est de déterminer les extensions
de tp en un morphisme de K-algèbres # : R —► L, où R est une sous-if-algèbre de
K(X\y... yXm). Il est clair qu'en général, il n'y aura pas de telle extension # de tp
lorsque R = K(Xi>..., Xm), car dans ce cas # devrait être injective, alors que les Xi ne
sont pas forcément K -algébriquement indépendants. Les if-algèbres R pour lesquelles
une telle extension existe jouent un rôle fondamental en théorie des extensions de corps,
il en sera question au chapitre suivant.
(1) Pour toute sous-if-algèbre A de type fini de L , on a Q e K [x] \ {0} tel que A c K[x,Q-x] .
L'assertion découle donc du fait que l'ensemble des polynômes en x à coefficients dans K irréductibles
et normalisés est infini.
4 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Rappelons que dans les présentes conditions, une suite (xi,... , xm) d'éléments de L
est dite K-algébriquement libre (ou encore: K-algébriquement indépendante), ssi le mor-
phisme ip ci-dessus est injectif, i.e. ssi le seul polynôme P £ K[X\,... ,Xm] tel que
P(xi,..., Xm) = 0 est le polynôme nul. S'il en est ainsi, le morphisme <p ci-dessus est un
isomorphisme, et de plus, il est clair que la suite (xi,... , xm) est algébriquement libre
sur tout sous-corps de K . Lorsque m = 1 , on retrouve la notion bien connue d'élément
transcendant sur K : dire que la suite (xi) est if-algébriquement libre équivaut à dire
que l'élément X\ est transcendant sur K .
Soit toujours K un sous-corps d'un corps commutatif L, et soit X une partie de
L. On dit que X est une partie K-algébriquement libre (ou: algébriquement
libre sur K, ou K-algébriquement indépendante, ou encore algébriquement
indépendante sur K ), ssi toute suite finie injective (xi,...,xm) d'éléments de X est
/^-algébriquement libre. La partie vide de L est considérée comme K -algébriquement
libre. Lorsque X est finie non vide, de cardinal m, elle est if-algébriquement libre
ssi il existe une bijection |l,mj —► X , i »-+ x» telle que la suite (xi,... ,xm) soit if-
algébriquement libre. Dans le cas général, il est immédiat que X est if-algébriquement
libre ssi toutes ses parties finies le sont, et que s'il en est ainsi, alors toute partie de X
est if-algébriquement libre.
De même, une famille (ai)i^i d'éléments de L est dite K-algébriquement
libre (ou: algébriquement libre sur K, ou K-algébriquement indépendante,
ou encore algébriquement indépendante sur if), ssi pour toute suite finie
injective (ii,..., im) d'éléments de L , la suite (a^,..., airn) est K-algébriquement libre.
Cette condition équivaut à: l'application i i—► a* est injective et la partie {ai}i^i de
L est .ftT-algébriquement libre. Il est clair qu'une famille (a^)^/ d'éléments de L
est .fiT-algébriquement libre ssi pour toute permutation g G @j , la famille (aa^))i^i
est if-algébriquement libre. Le contraire de " K- algébriquement libre " se dit " K-
algébriquement lié " ou " if-algébriquement dépendant ".
Une partie X de L est if-algébriquement libre ssi la famille (x)x€x (associée à
l'injection canonique x i—► x de X dans L ) est if-algébriquement libre.
L'intérêt de considérer des parties if-algébriquement libres est de pouvoir utiliser la
relation d'ordre inclusion sur l'ensemble des parties de L. Par exemple, il est clair que
toute partie d'une partie if-algébriquement libre est if-algébriquement libre.
Proposition 22.1.2
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L et X une partie K-algébriquement
libre de L . Il existe une partie algébriquement libre maximale B de L sur K telle
que X C B .
Démonstration:
Soit T l'ensemble, ordonné par l'inclusion, des parties if-algébriquement libres de
L contenant X ; on a T ^ 0, car X e T. Pour toute partie £ de T totalement
ordonnée, il est clair que l'ensemble Z — UyeeY appartient à T. Donc l'ensemble
ordonné (T, C) est inductif. La proposition découle alors du théorème de Zorn ■
Proposition 22.1.3
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L , soit a e L et soit X une partie de
L . Les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
(i) a £ X et X U {a} est K-algébriquement libre.
(II) X est K-algébriquement libre et a est K(X)-transcendant.
Chapitre 22 , § 1
Transcendance 5
Démonstration :
Il n'y a rien à prouver si X est vide. Nous supposerons donc X ^ 0.
Supposons (I) vrai. Alors X est /^-algébriquement libre. Montrons par l'absurde
que a est tf(X)-transcendant. Soit un polynôme P(T) = T,™=ockTk G K(X) [T] tel
que P(a) = 0 (la famille (c^) est donc à support fini). On a un entier m > 1 et une
suite injective (xi,...,xm) d'éléments de X tels que c^ G K(xi,...,xm) pour tout
A;. On posera Ck = ^ , avec u/t et v/t éléments de if [xi,... ,xm] et i;fc ^ 0, et
avec r/fc = 1 pour tout A; assez grand. Posant Q(T) = (Ilfclo^)^^) » ^ est c^air
que Q(T) G (K [xx,..., xm] ) [T] et Q(a) = 0 . Soit Xi,..., Xm des indéterminées
sur K[T). Comme (K[Xïy... ,Xm}) [T] s'identifie à K [Xu ..., Xm,T] , on a
$€ tf [Xi,...,Xm,r] tel que Q(a) = #(xi,...,xm,a) = 0. Puisque (xx,... ,xm,a)
est une suite if-algébriquement libre, on en déduit que #(Xi,... ,Xm,T) = 0, d'où
0 = #(xi,...,xm,T) = Q(T). Comme Ilfcto^ ^ 0, on voit que P(T) = 0. On a
prouvé que pour tout P G K{X) [T] , la relation P(a) = 0 entraîne P = 0, donc a
est K(X)-transcendant, et finalement (II) est vrai.
Supposons (II) vrai. Alors a ^ K(X), d'où a £ X . Pour prouver que (I) est vrai,
il suffit donc de montrer que pour toute suite finie injective (xi,... ,xm) d'éléments de
X (où m > 1 ), la suite (xi,... ,xm,a) est K- algébriquement libre. Soit (xi,...,xm)
une telle suite: d'après l'hypothèse, elle est if-algébriquement libre. Soit X\,... , Xm,T
des indéterminées sur K , et soit $GK[Xi,..., Xm) T] tel que #(xi,..., xm, a) = 0 .
En ordonnant # par rapport à T , on a # = ££Lo ^fc^1* » avec ^fc e ^ [ Xi,..., Xm ]
pour tout A;, la famille (<pk) étant à support fini. On a
0 = #(xi,..., xm, a) = ]T (pk(xi,..., xm) ak
fc=0
Puisque l'élément a est K(X)-transcendant, il est K{x\,... ,xm)-transcendant, d'où
<£fc(xi,... ,xm) = 0 pour tout A;, d'où <pk = 0 pour tout A: puisque les x^ sont K-
algébriquement indépendants; d'où # = 0. On a donc prouvé que quel que soit #,
la relation #(xi,... ,xm) = 0 entraîne $ = 0; donc la suite (xi,... ,xm,a) est K-
algébriquement libre, ce qui achève de prouver (I) ■
Corollaire 1
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L. Une partie A de L est K-
aîgébriquement libre ssi pout tout a G A , Vêlement a est K(A \ {a})-transcendant.
Démonstration:
D'après la proposition 22.1.3, la condition est nécessaire. Réciproquement,
supposons-la satisfaite. Soit (ai,...,am) (où m > 1) une suite injective d'éléments de
A. Montrons par récurrence sur m que cette suite est K-algébriquement libre. Si
m = 1, la propriété est évidente, car d'après l'hypothèse, ai est if-transcendant.
Supposons la propriété vraie à l'ordre m — 1, où m > 2. Soit un polynôme non constant
P G K [T\t... ,Tm ] ; sans restreindre la généralité, on peut supposer que le degré
partiel ç de P par rapport à Tm est > 1. En ordonnant P par rapport à Tm , on
a p = Efc=2 C*T™ , où Cfc G AT [Ti,..., Tm_i ] pour tout k , et où Cq ^ 0 . Pour
tout A: G I0,gj , posons A/t = Cfc(ai,... ,am_i). D'après l'hypothèse de récurrence, la
suite (ai,... ,am_i) est K-algébriquement indépendante, donc Xq ^ 0. Le polynôme
Q = 5Zfc=o^fc^m est donc non constant, et il est à coefficients dans K (A \ {am}).
D'après l'hypothèse, on a donc Q(am) ^ 0 , ce qui équivaut à P(ai,... ,am) ^ 0 . La
propriété est donc établie à l'ordre m . Par récurrence, elle est donc vraie pour tout m ,
ce qui achève de prouver que A est K -algébriquement libre ■
6 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Corollaire 2
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L, et soit X et Y deux parties de L .
Les assertions suivantes sont équivalentes:
(I) X H Y = 0 et X U Y est K-algébriquement libre.
(II) X est K-algébriquement libre et Y est K(X)-algébriquement libre.
Démonstration:
Supposons l'assertion (I) vraie. D'après la proposition 22.1.3, tout y G Y est
transcendant sur K((X UY)\ {y}) ; comme y^X,ona (X U Y) \ {y} = X U (Y \ {y}),
d'où K((X U Y) \ {y}) = (K(X)) (Y \ {y}) (proposition 22.2.1). D'après le corollaire
1 ci-dessus, on en déduit que Y est K(X)-algébriquement libre. Comme X est K-
algébriquement libre, l'assertion (II) est vraie.
Supposons l'assertion (II) vraie. Alors Y D K(X) = 0, d'où a fortiori X D Y = 0.
Tout y e Y est transcendant sur (K(X)) (Y \ {y}) = K((X UY)\ {y}). Soit x e X ,
montrons que x est transcendant sur K{{X UF)\ {x}) : sinon, il existerait deux suites
finies injectives (ai,...,am) dans X \ {x} et (&i,...,6n) dans Y, et un polynôme
P e K [T, C/i,..., £/m, Vi,..., Vn ] en les indéterminées T, (£/;), (V}), de degré partiel
> 1 par rapport à T, tel que P(x>a\,... ,am,6i,... ,6n) = 0. Ordonnons P par
rapport aux Vj :
P = V Au V/*1 • • ■ Van
(fc,a1,...,an)€Nn+1
où j4fc)Qlv..,an eif[T,[/i,...,[/m] pour tout (fc,ai,... ,an). Puisque F est K{X)-
algébriquement libre, on a -4fc,Ql,...,a„(#>cii,... ,am) = 0 pour tout (A;,ai,... ,a„).
Puisque X est /^-algébriquement libre, on en déduit que yU,ai,...,a„ = 0 pour tout
(k, ai,..., a„) ; donc P = 0, ce qui est absurde. En définitive, on a prouvé que tout
z e X U Y est transcendant sur (Xu7)\ {z} . D'après le corollaire 1 ci-dessus, X U Y
est donc K-algébriquement libre, d'où (I) ■
Avec les notations ci-dessus, appelons partie K-algébriquement génératrice de L
toute partie 5 de L telle que L soit X(5)-algébrique.
Définition 22.1.2
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L . Une partie de L est appelée une
base de transcendance de L sur K (ou encore K-base de transcendance de
L ) ssi elle est K-algébriquement libre et K-algébriquement génératrice. Une famille
(di)içi d'éléments de L est appelée une base de transcendance de L sur K
(ou encore K-base de transcendance de L) ssi Vapplication i »-► a* est injective
et la partie {a^}^/ de L est une K-base de transcendance de L .
D'après cette définition, une famille (ciï)^/ d'éléments de L est une if-base de
transcendance ssi pour toute permutation g e &i, la famille (a(i))i€j est une K-base
de transcendance. L'étude qui précède montre en outre les propriétés suivantes:
Une partie B de L est une K-base de transcendance ssi: B est if-algébriquement
libre, et L est K(B)-algébrique.
Une partie B de L est une K-base de transcendance ssi la famille (x)x€b est une
K-base de transcendance.
Proposition 22.1.4
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L, et soit S une partie de L. Les
assertions suivantes sont équivalentes:
(I) S est une K-base de transcendance de L .
(II) S est une partie K-algébriquement libre maximale de L .
(III) S est une partie K-algébriquement génératrice minimale de L .
Chapitre 22 , § 1
Transcendance 7
Démonstration:
Supposons que S soit une if-base de transcendance. D'après les définitions, S est K-
algébriquement génératrice et if-algébriquement libre. Tout a € 5 est alors K(S\ {a})-
transcendant (proposition 22.1.3), donc pour tout a € S, la partie 5\ {a} n'est plus
if-algébriquement génératrice, i.e. S est if-algébriquement génératrice minimale de L .
D'autre part, pour tout x € L \ S , la partie S U {z} n'est plus if-algébriquement libre
puique x est if (5)-algébrique, donc S est if-algébriquement libre maximale. On a donc
prouvé que (I) implique (II) et (III).
Supposons que S soit if-génératrice minimale de L . Il est alors immédiat que tout
a £ S est K(S \ {a})-transcendant. D'après le corollaire 1 de la proposition 22.1.3, S
est une partie if-algébriquement libre, donc c'est une if-base de transcendance de L.
Donc (III) implique (I).
Supposons que S soit if-algébriquement libre maximale. Soit x G L\S . Puisque SU
{x} n'est plus if-algébriquement libre, on a une suite finie injective (ai,..., an) dans S
et un polynôme non constant P e K [ £/, Vi,..., Vn ] en les indéterminées £/, V\,..., Vn ,
tel que P(x,ai,... ,an) = 0. Si P était indépendant de U, cela contredirait la if-
indépendance algébrique de la suite (ai,..., an). Donc le degré partiel de P par rapport
à U est d > 1. Ordonnons P par rapport à U :
k=d
p = Y<A*uk
k=0
avec Ak G K [ V\,..., Vn] pour tout k et Ad ^ 0 . Puisque la suite (ai,...,a„) est
if-algébriquement libre, on a Ad(a\,... ,a^) ^ 0. La relation
k=d-l
0 = P(z,ai,...,an) = ylrf(a1,...,on)a;d4- ^ 4*(ai,... ,an)xfc
Jfc=0
est donc une relation de dépendance algébrique non triviale de x sur K(a\y... ,an) ;
a fortiori, x est if (S)-algébrique. Finalement S est une partie if-algébriquement
génératrice de L , donc c'en est une if-base de transcendance, ce qui achève de prouver
que (II) implique (I) ■
La proposition qui suit est appelée théorème d'échange de Steinitz:
Proposition 22.1.5
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L, soit S une partie de L telle que
L = if (5), et soit A une partie K-algébriquement libre de L . Il existe une partie
B de S telle que Al) B soit une K-base de transcendance de L .
Démonstration :
Soit T l'ensemble des parties C de S telles que A U C soit if-algébriquement
libre; ordonnons T par l'inclusion. Il est non vide, car 0 e T. Il est immédiat que si
£ est une partie totalement ordonnée de T, alors Uc^sC G T (cela découle du fait
que pour toute partie finie F de UczeC, il existe C e S tel que F c C). Donc
l'ensemble ordonné non vide (£, c) est inductif. D'après le théorème de Zorn, il admet
un élément maximal. Soit B un tel élément maximal. Tout élément a e S est donc
if (A U fî)-algébrique (proposition 22.1.3), donc L = if (5) est if (A U B)-algébrique.
Soit B' une partie de S contenant B strictement; tout élément x G Bf \ B étant
if(AuB)-algébrique, on voit que AuB' n'est pas if-algébriquement libre (proposition
22.1.3), donc A U B est bien une partie if-algébriquement libre maximale ■
En prenant A = 0 dans la proposition 22.1.5, on a immédiatement:
8 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Corollaire
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L. Pour toute partie S de L telle
que L = K(S), il existe une K-base de transcendance B de L telle que B C S . En
conséquence (avec S = L), il existe au moins une K-base de transcendance de L .
On va maintenant améliorer la proposition 22.1.4:
Théorème 22.1.1
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L, soit S une partie
K-algébriquement génératrice de L, et soit A une partie K-algébriquement libre de L.
Il existe alors une partie B de S telle que A U B soit une K-base de
transcendance de L. En conséquence (en prenant A = 0), il existe une K-base de
transcendance de L contenue dans S .
Démonstration:
Puisque L est K(S)-algébrique, il est a fortiori K(A U 5)-algébrique. La
proposition 22.1.4 s'applique en prenant (A, A U S) à la place du couple (A, S). Soit C
une partie de A U S contenant A telle que Al) C soit une K-base de
transcendance de K{A U S). Notant 5 = C\A,ona B C S et Au B = AuC. Alors
K(A U S) est K(A U S)-algébrique; comme L est K(A U 5)-algébrique, par transi-
tivité de la dépendance algébrique, on voit que L est K(A U B)-algébrique. Comme
AU B est ^-algébriquement libre, on conclut que A U B est une K-base de
transcendance de L ■
Montrons maintenant une importante propriété de transitivité des bases de
transcendance:
Proposition 22.1.6
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L , et soit A et B deux parties de L .
Les assertions suivantes sont équivalentes:
(I) ADB = 9 et AU B est une K-base de transcendance de L .
(II) La partie A est K-algébriquement libre, et B est une K(A)-base de
transcendance de L.
Démonstration:
Supposons (I) vraie. Alors A est K-algébriquement libre et B est K(A)-algébri-
quement libre (corollaire 2 de la proposition 22.1.3). Comme L est K(AuB)-algébrique,
c'est-à-dire (K(A))(S)-algébrique, on voit que B est bien une K(A)-base de
transcendance de L.
Supposons (II) vraie. On a B n K(A) = 0, d'où a fortiori A n B = 0. D'après
le corollaire 2 de la proposition 22.1.3, Au B est K-algébriquement libre. Enfin L
est ((K(A))(5)-algébrique, c'est-à-dire K(A U S)-algébrique (proposition 22.1.1), donc
AU B est une K-base de transcendance de L ■
Proposition 22.1.7
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L, et soit A une partie de L. Soit
A un sous-corps de L contenant K et algébrique sur K. Pour que S engendre
K-algébriquement L , il faut et il suffit que S engendre A-algébriquement L . Pour
que S soit K-algébriquement libre, il faut et il suffit que S soit A-algébriquement
libre. En conséquence, pour que S soit une K-base de transcendance de L, il faut
et il suffit que ce soit une A-base de transcendance.
Chapitre 22 , § 1
Transcendance 9
Démonstration:
Un élément de L est algébrique sur K ssi il est algébrique sur A (l'implication
directe est triviale, et l'autre vient de la transitivité de la dépendance algébrique). La
première assertion en découle. La A-indépendance algébrique entraîne trivialement la
AT-indépendance algébrique; inversement, soit A une partie finie non vide de S et A-
algébriquement liée. On a donc un a € 5 tel que a soit algébrique sur A(A \ {a})
(corollaire 1 de la proposition 22.1.3). Mais A(A \ {a}) est algébrique sur K(A \ {a})
puisque A est algébrique sur K. Par transitivité de la dépendance algébrique, a est
donc algébrique sur K(A \ {a}), donc A est /^-algébriquement liée. La deuxième
asertion en découle. La dernière assertion se déduit alors de la définition même d'une
base de /f-transcendance ■
Dans les conditions ci-dessus, soit (a^)^/ une famille /f-algébriquement libre dans
L. Puisque l'application i •—► a^ est injective, on a alors card(J) = card({ai}i^j) ;
par abus de langage, on dira que card(J) est le cardinal de la famille (ai). On dira
que la famille (a*) est finie ssi ce cardinal est fini, et si c'est le cas, ce cardinal sera alors
appelé le nombre d'éléments de la famille.
Degré de transcendance
Théorème 22.1.2
Soit K un sous-corps dyun corps commutatif L , et soit n un entier > 0 . Supposons
que L admette une K-base de transcendance finie de cardinal n . Alors toute K-base
de transcendance de L est unie et de cardinal n ; toute famille K-algébriquement libre
de L est unie de cardinal <n , et une telle famille est une K-base de transcendance
ssi elle est de cardinal n ; toute famille K-algébriquement génératrice de L est de
cardinal > n, et une telle famille est une K-base de transcendance ssi elle est finie
de cardinal n.
Démonstration:
Montrons d'abord la première assertion par récurrence sur n. Si n = 0, l'extension
L de K est algébrique, et il est trivial que 0 est l'unique K-base de transcendance
de L. Supposons n > 1, et que l'assertion ait été prouvée à tout ordre < n avec
tout couple (K'',!/), où Kf est un sous-corps d'un corps commutatif V . Soit A une
if-base de transcendance de L finie de cardinal n . Soit une partie S de L qui est une
K-base de transcendance de L. On a card (B) > n, sinon l'hypothèse de récurrence
montrerait que card (A) < n . Soit 6 6 B ; d'après la proposition 22.1.5, on a une partie
M de A telle que M U {b} soit une K-base de transcendance de L. Nécessairement,
M ^ A (car A est K-algébriquement libre maximale), i.e. card (M) < n. D'après
la proposition 22.1.6, M et B \ {b} sont deux K(b)-bases de transcendance de L.
Comme card (M) < n , l'hypothèse de récurrence s'applique et montre que l'ensemble
B \ {b} est fini et que card (B \ {b}) = card (M) ; donc l'ensemble B est fini, et on a
card (B) < 1-fcard (M) < n . Comme card (B) > n , en définitive on a card (B) = n
(et card (M) = n - 1 ), ce qui établit l'assertion à l'ordre n . La première assertion est
donc prouvée par récurrence.
Soit A une partie /^-algébriquement libre de L, et soit S une partie
/^-algébriquement génératrice de L. En appliquant le théorème 22.1.1 avec S — L, on voit qu'il
existe une partie B de L contenant A et qui est une K-base de transcendance de L .
D'après ce qui précède, B est finie, de cardinal n ; donc A est finie, de cardinal < n,
et on a card (A) = n ssi A = B. De même, en appliquant le théorème 22.1.1, on a
une /f-base de transcendance B' de L contenue dans S. D'après ce qui précède, B'
est finie et de cardinal n . Donc card (5) > n , et on a card (5) = n ssi S = B' ■
10 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Définition 22.1.3
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L. On dit que L est de
transcendance finie sur K ssi L admet une K-base de transcendance unie. S'il en est ainsi7
l'entier n tel que toute K-base de transcendance de L ait n éléments est appelé le
degré de transcendance de L sur K, et sera noté degtrK(L). On dit que L
est de transcendance infinie sur K ssi L n'est pas de K-transcendance unie.
Au lieu de " transcendance finie sur K " (resp. " transcendance infinie sur K ",
" degré de transcendance sur K "), on parlera aussi de K-transcendance unie (resp. de
K-transcendance inûnie et de degré de K-transcendance ou de K-degré de transcendance.
D'après ces définitions, on a degtr^(L) = 0 ssi L est algébrique sur K .
Théorème 22.1.3
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L. Supposons L de transcendance
infinie sur K . Toutes les K-bases de transcendance de L ont même cardinal
Démonstration:
D'après ce qui précède, aucune K-base de transcendance de L n'est finie. Soit B
et B' deux telles K-bases de transcendance. Notons Tb l'ensemble des parties finies
de B. Puisque B est infinie, on a card(^) = card(B). Soit Q l'ensemble des
couples (F, 6') e Tb x B' tels que b' soit algébrique sur K(F). Pour tout F G Tb ,
notons Ç(F) la coupe {&' G B' | (F, 6') € Q} , et pour tout bf e Bf, notons £<_1>(6')
la coupe {F e Tb \ (F, bf) e Q} . Puisque B' est une K-base de transcendance de L,
aucun des ensembles Ç^~^(bf) n'est vide, d'où card(B') < card(£). Puisque B'
est K-algébriquement libre, pour tout F e Tb l'ensemble Ç(F) est fini, de cardinal
< card(F) (théorème 22.1.2), d'où card(£) < card(B). On a donc
card(B') < card(Ç) < card(B)
d'où card (Bf) < card (B). En échangeant les rôles de B et B', on voit de même
que card(B) < card(B'), d'où card (S) = card(B') ■
Le lemme suivant nous sera souvent utile:
Lemme 22.1.1
Soit C un sous-corps d'un corps commutatif F et R une sous-C-algèbre de F,
de corps des fractions F. Alors F admet au moins une base de C-transcendance
contenue dans R.
Démonstration:
L'ensemble des parties C-algébriquement libres de R est non vide (car 0 est une
telle partie). Ordonné par inclusion, il est inductif (vérification immédiate). Il admet
donc au moins un élément maximal. Soit % un tel élément maximal. Tout élément de
R est alors algébrique sur le corps E = C(%). Puisque F est le corps des fractions de
R, on en déduit que tout élément de F est algébrique sur E ; donc % est une C-base
de transcendance de F ■
Transcendance et isomorphismes
Soit K un sous-corps d'un corps commuatif L. Soit (a^)^/ une famille
d'éléments de L, et soit (Ti)i6/ une famille d'indéterminées sur K. Notons <p l'unique
morphisme de K-algèbres K[(Ti)ieI} -► L tel que (p(Ti) = 6< pour tout i. Les
définitions montrent que y est injectif ssi la famille (6*) est K-algébriquement libre.
S'il en est ainsi, <p se prolonge de manière unique en un morphisme ip de K-algèbres à
Chapitre 22 , § 1
Transcendance 11
son corps des fractions, i.e. au corps de fractions rationnelles K((Ti)içi). Alors <p est
un if-isomorphisme (2) de K((Ti)içj) dans L , dont l'image est le corps K((bi)i€i).
Définition 22.1.4
Une extension L d'un corps commutatif K est dite transcendante pure ssi il
existe une K-base de transcendance (bi)içi de L telle que L = K((bi)i^i). Toute
telle base est appelée une K-base de transcendance pure de L .
Exemple 22.1.1 :
Soit {Ti)içi une famille d'indéterminées sur un corps commutatif K . Le corps de
fractions rationnelles if((Xj)i€j) est une extension transcendante pure de K, dont
{Ti)i€i est une K-base de transcendance. L'extension est de transcendance finie ssi I
est fini, et s'il en est ainsi, on a degtrK(K((Ti)iej)) = card(J) +
En considérant la famille canoniquement associée à une partie de L, la définition
22.1.4 donne en particulier le concept de partie de L qui est une if-base de transcendance
pure de L.
Si L est une extension transcendante pure de K , il existe en général des if-bases de
transcendance de L sur K qui ne sont pas des if-bases de transcendance pure, comme
le montre l'exemple suivant:
Exemple 22.1.2 :
Soit K un corps commutatif et T une indéterminée sur K. Le corps de fractions
rationnelles L = K(T) est une extension transcendante pure de K, dont (T) est
une K-base de transcendance pure. On sait que tout élément / G K(T) \ K est if-
transcendant, donc (/) est une if-base de transcendance de L. Mais nous verrons
plus loin que K(/) = K(T) ssi il existe (a, 6, c, d) e K4 tels que ad - 6c ^ 0 et que
f = cf+3 ■ P°ur / quelconque, l'extension K(T) de K(/) est algébrique finie, de degré
égal au maximum des degrés du numérateur et du dénominateur des formes irréductibles
de la fraction / +
Proposition 22.1.8
Soit L et V deux extensions d'un corps commutatif K. Supposons que L est une
extension transcendante pure de K, et soit {bi)içi une K-base de transcendance
pure de L . Soit (60i€/ une famille K-algébriquement libre de U . Il existe un
K-isomorphisme et un seul f : L —► L' tel que f(bi) = b[ pour tout ï.
Démonstration :
Soit (Ti)i€i une famille d'indéterminées sur K. Notons respectivement (f et <p' les
if-isomorphismes du corps K((Ti)i€I) dans L et V tels que <p{Ti) = 6» et <p'(Ti) = b[
pour tout i. L'unique / cherchée est évidemment / = y?' o (p~l ■
Corollaire
Soit L et V deux extensions d'un corps commutatif K . Soit (bi)i€I une K-base
de transcendance de L . Soit (6J)i€/ une famille K-algébriquement libre de L', et
supposons V algébriquement close. Il existe au moins un K-isomorphisme f de L
dans U tel que f(bi) = b[ pour tout i. Si L est algébriquement close et si {b'^i^i
est une K-base de transcendance de V , alors toute telle f est un isomorphisme de
L sur V .
( ) Rappelons que lorsqu'il s'agit de corps commutatifs, le mot isomorphisme n'a pas le sens habituel; un
isomorphisme d'un corps dans un autre est simplement un morphisme d'anneaux, il est alors injectif,
et le mot isomorphisme est là pour rappeler qu'il induit alors un isomorphisme du corps de départ sur
son image. Lorsqu'on veut parler d'un isomorphisme d'un corps dans un autre qui est bijectif, on parle
d'isomorphisme d'un corps sur un autre.
12 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Démonstration:
Soit en effet <p Tunique K-isomorphisme de K((bi)i^j) dans V tel que <p{bi) = b^
pour tout i. Puisque L est algébrique sur K((bi)içi) et puisque V est algébriquement
close, <p se prolonge d'au moins une manière en un if-isomorphisme de L dans V .
Supposons L algébriquement close et que {b'^içi est une K-base de transcendance
de V. Soit / un AT-isomorphisme de L dans V tel que f(bi) = 6J pour tout i. Alors
f(L) est une clôture algébrique de /£((&J)tg/) dans V , donc f(L) — V ■
L'extension K de K doit être considérée comme transcendante pure (une base de
transcendance pure en est la famille vide d'éléments de K). Cette extension
transcendante pure particulière est dite triviale.
Remarque 22.1.1 :
Une extension transcendante pure non-trivale L d'un corps commutatif K n'est
jamais algébriquement close. Soit en effet (6*)^/ une if-base de transcendance pure
de L. Fixons io € I. L'anneau R = Jf[(M*€/] est factoriel, et bi0 en est un
élément irréductible. D'après les hypothèses, L est le corps des fractions de R. Soit
T une indéterminée sur L. Le critère d'Eisenstein montre que pour tout entier n > 1,
le polynôme Tn - bi0 est it-irréductible; il est donc aussi L-irréductible puisqu'il est
il-primitif. Donc L n'est pas algébriquement clos +
Exemple 22.1.3 :
Toute clôture algébrique d'un corps commutatif dénombrable est dénombrable. Pour
toute partie dénombrable A de C , le corps Q(A) est dénombrable, et donc la clôture
algébrique de Q(A) dans C est dénombrable. Soit alors B une Q-base de
transcendance de C. La clôture algébrique dans C de Q(B) est C , qui n'est pas dénombrable.
Donc B n'est donc pas dénombrable. D'après le corollaire de la proposition 22.1.7,
pour toute permutation o € &b , il existe un automorphisme fa du corps C tel que
fff{b) = a(b) pour tout b G B . Le groupe des automorphismes de C est donc au moins
de cardinal &b , donc au moins de cardinal 2Hl +
Extensions transcendantes de degré de transcendance fini
Théorème 22.1.4
Soit M une extension d'un corps commutatif K. Soit L un sous-corps de M
contenant K . Pour que M soit de K-transcendance finie, il faut et il suffit que L
soit de K-transcendance unie et que M soit est de L-transcendance finie. S'il en est
ainsi, on a:
degtrK(M) = degtrL(M) + degtrK(L)
En conséquence, on a degtrK(M) = degtrL(M) ssi L est K-algébrique.
Démonstration:
Soit A une if-base de transcendance de L et B une L-base de transcendance de
M . D'après la proposition 22.1.7, B est une K(A)-base de transcendance de M , donc
d'après la proposition 22.1.6, on a Af)B = 0 et AuB est une K-base de transcendance
de L . Les ensembles A et B sont tous deux finis ssi Au B est fini, et s'il en est ainsi,
on a ca.rd(A U B) = card(A) + card(£). Le théorème découle alors de la définition
du degré de transcendance. Notons qu'on a aussi degtr^(M) = degtrK(L) ssi M
est L-algébrique, mais que cette propriété découle directement du théorème 22.1.2 ■
Chapitre 22 , § 1
Transcendance 13
Corps de fonctions algébriques
Soit L une extension de type uni d'un corps commutatif K. D'après le théorème
22.1.1, L est de transcendance finie.
Définition 22.1.5
Soit K un corps commutatif, L une extension de K et n un entier naturel On dit
que L est un corps de fonctions algébriques à n variables sur K ssi L est
extension de type uni de K et vérifie degtrK(L) = n .
Soit L un corps de fonctions algébriques de n variables sur un corps commutatif
K. Pour toute K- base de transcendance (zi,...,x„) de L, l'extension algébrique L
de K(x\,... ,xn) est finie puisque L est extension de type fini de K .
Exemple 22.1.4:
Soit n € M . Soit Ti,... ,T„ des indéterminées sur un corps commutatif K . Alors
K(T\,... ,Tn) est un corps de fonctions algébriques de n variables sur K +
Exemple 22.1.5:
Prenons K = C. Soit T une indéterminée sur C, et considérons la série formelle
U € C [[T]] définie par U = (1 + T)i = £fcgN| ({) Tfc . Soit L le sous-corps C(T, U)
du corps C((T)) des séries formelles méromorphes en l'indéterminée T (i.e. C((T))
est le corps des fractions de C [[T]] , la C-algèbre des séries formelles à exposants dans
Z mais ne comportant qu'un nombre fini de monômes non nuls à exposants < 0 ). On
a U2 = 1 + T ; on vérifie aisément que U £ C(T). Donc L est un corps de fonctions
algébriques d'une variable sur C. Une C-base de transcendance en est (T), et on a
[L:C(T)]=2 ♦
Soit L un corps de fonctions algébriques à n variables sur un corps commutatif K.
Notons Ki la clôture algébrique de K dans L. D'après le théorème 22.1 A, L est
encore un corps de fonctions algébriques à n variables sur Kl . Les éléments de Kl
sont appelés les constantes de L considéré comme corps de fonctions algébriques à
n variables sur K. Ce dernier corps est dit régulier ssi Kl = K, i.e. ssi K est
algébriquement fermé dans L. Il en est toujours ainsi si K est algébriquement clos.
Transcendance et extension de scalaires
Soit T\,..., Tn des indéterminées sur un corps commutatif L , lui-même une
extension algébrique finie d'un corps K. Notons d = [L : K]. Formons la L-algèbre
L ®k K(T\,..., Tn). Il y a un morphisme de L-algèbres et un seul:
(i) ¥> : Lo/cTO,...,^)—>i(ri,...,rn)
tel que <p(z (g) F) = *F pour tout (z,F) çix tf (Ti,... ,Tn) (cf . chapitre XII,
paragraphe 9, dans le tome 2).
Proposition 22.1.9
Sous les hypothèses et avec les notations ci-dessus, le morphisme <p défini en (1) est
un isomorphisme.
Démonstration:
Soit (zi,..., zn) une base du K-espace vectoriel L . Notons A — K{T\,..., Tn) •
La suite
(Cl, • . • i Ov) = (*1 ® 1> • • • i *N ® 1)
est une base du yl-espace vectoriel L <8>K (7\,... }Tn) (distributivité de <g>x par
rapport aux sommes directes). Comme <p(Ci) = Zi pour tout i, il suffit de vérifier que
(zi,...,zn) est une base du yl-espace vectoriel L(Ti,..., Tn) •
14 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Montrons que la suite (zi) est yl-linéairement indépendante. Soit une relation de
id-dépendance linéaire X]fc=i ^k*k — 0 > avec Afc € A pour tout fc . Soit des polynômes
QjAi,... ,Aiv éléments de tf[Ti,... ,IV] tel que Q ^ 0 et À^ = ^ pour tout fc.
En multipliant par Q , on a
(2) ^ Afcz/t = 0
Pour tout fc , posons Ak = 5Za=(Q1,...,ajV)eNiV ak,aT"1 ■ -'T£N , les ak,a appartenant à
K. En reportant dans (2), on obtient:
fe=JV
°=5>* £ ^,aT1ai-.T^= £ Cair*...2E"
fc=l a=(ai,...,ajV)€NiV a=(ai1...,aAf)6^JV
avec Cql = H!t=i ak,aZk pour tout fc . Pour tout a , on a Ca = 0 , d'où ûfc)Q = 0 pour
tout fc en vertu de la if-indépendance linéaire des Zk • Finalement les Ofc,a sont tous
nuls, d'où Ak = 0 pour tout fc, d'où À/t = 0 pour tout fc, d'où la yl-indépendance
linéaire des Zk .
Montrons maintenant que la suite (zi,..., zn) engendre le i4-e.v. L(T\>... ,T;v),
ce qui achèvera la démonstration. Dans le corps L(7\,... ,T/v), soit K le sous-corps
engendré par L U A. On a /C = l]fcli zfc^ (en effet, le sous-ensemble Ylk=i zkA
est une sous-yl-algèbre et un i4-espace vectoriel de dimension finie, donc c'est un corps
puisque c'est une algèbre intègre). Il est clair que
k=N
L[Tl}...,TN] = Y,zkK[Tu...,TN] C/C
k=l
donc K contient le corps des fractions de L [Ti,... ,Tjv] dans L(Ti,... ,T/v), qui est
L(Ti,... ,T/v) ; autrement dit, le i4-e.v. L(T\,... ,Tpj) est bien engendré par la suite
(zi,...,Ziv) ■
Étant donné deux sous-corps K\ , K^ d'un corps commutatif L, rappelons que le
sous-corps de L engendré par K\V)K2 s'appelle le composé de K\ et K2 , et que c'est le
corps des fractions du sous-anneau de L (noté K\K<i ou #1 #2 ) formé par les éléments
de la forme Ylk^i ukvk , avec m entier naturel quelconque et (ti*, vk) € K\ x K2 pour
tout fc . Ce sous-corps composé est égal à K\(K2) et à #2(^1) •
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif L . Soit (x\y... ,xn) une suite finie de
L algébriquement libre sur K. Soit yl un sous-corps de L contenant K et algébrique
de degré fini sur K . D'après la proposition 22.1.9, (zi,... ,xn) reste algébriquement
libre sur yl (ce qui était déjà prévu par la proposition 22.1.7), et:
(3) A(xi,...,xn) = A-K(xi,...,xn) ; [il: K] = dimK{xi^^Xn)(A(xXy... yxn))
On arrive ainsi à deux importantes conséquences de la proposition 22.1.9:
Corollaire 1
Soit L une extension transcendante pure d'un corps commutatif K. Alors K est
algébriquement fermé dans L .
Démonstration:
Il suffit de le prouver dans le cas où L est de transcendance finie sur K. On peut
donc supposer que L — K{Ti,...,TN), où N e N * et où les T* sont des indéterminées
sur K . Soit yl un sous-corps de L contenant K et algébrique de degré fini sur K. On
a évidemment K{T\,... , T/v) = yl(Ti,... ,Tn) , d'où en appliquant la seconde relation
(3), [yl : K] = 1, i.e. A = K . Le corollaire en découle immédiatement ■
Chapitre 22 , § 1
Transcendance 15
Remarque 22.1.2 :
Dans le corollaire 1 ci-dessus, si degtr^(L) = 1, le résultat est élémentaire. Il
suffit de le prouver lorsque L = K(X), où X désigne une indéterminée sur K. Soit
alors u € K(X) \ K. On a un élément p e K et un seul tel que v = u - À admette
une forme irréductible (A, B) pour laquelle deg (A) ^ deg (B) ; la /^-transcendance
de u équivaut alors à celle de v. Posons d = deg (A) (donc d > 1 ), et supposons
que deg (A) > deg (B), (on raisonne de façon analogue si deg (A) < deg (B) ). Soit
m € N* et (£i, • • • £m) € Km ; on a:
v™ + S ^m-i ) = ^m + S 6Bi4m-*
Comme deg (A*Bm""*) = di + (m — i)deg (B) < dm pour tout i € [l,mj , on a
deg (Am) = dm > deg (£-I™ à^A™"*) , d'où Bm (v™ + 2!=? 6^"*) ^ ° i d'où
vm + Si=r &vm~* ^ 0 > d'où la if-transcendance de v et donc celle de u +
Corollaire 2
Soit L un corps de_fonctions algébriques à n variables sur un corps commutatif
K. Alors le corps Kl des constantes de L est une extension finie de K. Plus
généralement, si E est un sous-corps de L contenant K, alors E est de type uni
sur K
Démonstration:
Soit (zi,. ..,£«) une if-base de transcendance de L . Soit A un sous-corps de Kl
contenant K, et de degré fini sur K . En utilisant (3), on a:
lA:K] = [A(x1,...,xn):K(x1,...,xn)]<[L:K{xl,...iXn)]
Le degré [A : K] étant majoré par un entier indépendant de A, on en déduit que Kl
est bien une extension finie de K, ce qui prouve la première assertion. On a d'ailleurs
établi l'importante majoration [Kl : K\ < [L : K{x\,... ,xn)}.
Passons à la seconde assertion. D'après la première assertion, on peut supposer que
E n'est pas algébrique sur K. Le degré de transcendance de E sur K est fini > 1,
(et majoré par le degré de transcendance L sur K). Soit (xi,...,xm) une base de
transcendance de E sur K. Soit Kf — K(x\,... ,xm). En appliquant la première
assertion à l'extension L de K', on voit que E est une extension finie de K'. Il en
découle immédiatement que E est une extension de K de type fini ■
§22.2 Dérivations
22.2.1 Introduction
Soit K un corps commutatif, et soit T\,..., Tn des indéterminées sur K (où n > 1 ).
Pour toute fraction rationnelle F e K{T\,... ,Tn), et pour toute extension Q de K ,
il existe une partie de Qn et une seule, que nous noterons Vq^f , égale, pour tout
V £ Den(F), à l'ensemble des (Ai,..., An) e Qn tels que V(Ai,..., An) ^ 0 . Cette
partie sera agpelée le Q-domaine de définition de F. La fraction F définit une fonction
rationnelle Fq : Vq^f —► H, qui associe, à tout (Ai,..., An), l'élément de Q égal à
WX^'.'.'.V) Pour toute f°rme irréductible (Î7, V) de F. Si /? est infini, on a X>n,F ^ 0 ,
et l'application F >-> Fq est injective. Lorsque i? = K , on notera F au lieu de F# ,
et Vf au lieu de T>k,f •
Il est naturel d'essayer d'étendre ce qui précède en remplaçant K(T\,... ,T„) par un
corps de fonctions algébriques. Soit L un corps de fonctions algébriques à n variables
sur K, avec n > 1. Soit (x\,... ,xn) une if-base de transcendance de L . On peut
appliquer ce qui précède au corps K(xi,..., x„), qui est K-isomorphe à K(T\,...,T„).
La question est donc d'associer de façon naturelle une fonction à un élément de L . Soit
donc Re L . Soit T une indéterminée sur L . Considérons le polynôme K(x\,... ,zn)-
minimal de R :
k=d
(1) IrrF,K(T)=Td + ^^(x1,...,a:n)Td-fc
fc=i
où <pk{x\,... ,xn) € if(xi,... ,xn) pour tout fc. Aux fractions rationnelles ^ , sont
associées les fonctions rationnelles ipk ' V{fK —► if . La relation IrrF.jcC-F') = 0 s'écrit:
ce qui suggère de définir une fonction associée à F par un processus calqué sur la théorie
des fonctions implicites du calcul différentiel classique. On sait que pour l'existence de
ces dernières, la non-nullité de certaines dérivées partielles est primordiale; il est donc
naturel de construire une version algébrique de la notion de dérivée partielle; de plus,
on conçoit que lorsque le corps de base K est de caractéristique > 0 , les questions de
séparabilité vont jouer un rôle essentiel.
22.2.2 Dérivations sur un anneau
Définition 22.2.1
Soit R un sous-anneau d'un anneau commutatif S, et soit M un S-module. On
appelle R-dérivation de S dans R toute application R-linéaire D : S —► M telle
que ( V (a, 6) € S x S ) D(ab) = aD(b) -h bD(d) .
Dans les conditions de la définition 22.2.1, soit D une dérivation de S dans M.
Comme D{\s) = D(ls • I5) = ^sD{ls) -f 1SD(1S) = D{ls) -h D(ls), on voit que
D(ls) = Om • Par it-linéarité, on en déduit que D{d) = 0 pour tout a e R.
Réciproquement, considérons une application A : S —► M telle que pour tout
(a,6) G S x 5, on ait A(ab) = aA(b) -h bA(a) et que A(a) = 0M pour tout a e R.
Alors pour tout (a, 6) € R x 5, on a, en tenant compte que A(a) = Om :
A(ab) = a A(b) -f 6 4(a) = a A(b)
donc id est R-linéaire. Dans la définition 22.2.1, on peut donc remplacer la condition
de A-linéarité de D par la condition équivalente que D(a) = Om pour tout a e R.
Pour tout sous-anneau A de R, toute it-dérivation est une A-dérivation.
18 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Par une récurrence facile, on déduit de la définition 22.2.1 que pour toute iî-dérivation
de S dans M , pour tout a G S et pour tout entier n > 1, on a:
(2) D(an) = nan~1D(a)
Soit N un second S-module et soit u G Homs(M, N). Il est immédiat que pour
toute ^-dérivation D : S —► M , l'application u o D : S —► AT est une iî-dérivation.
Extension d'une dérivation à un corps des fractions
Proposition 22.2.1
Soit L un corps commutatif; soit R et S des sous-anneaux de L tels que R C S
et que L soit le corps des fractions de S. Notons K le corps des fractions de R
dans L . Soit V un L-espace vectoriel, et soit une R-dérivation D : S —► V . Alors
D se prolonge de manière unique en une K-dérivation D* : L —► V. Pour tout
{a,b)e{Sx(S\{0})),ona:
/a\ _ bD(a)-aD(b)
\b)~ b2
Démonstration:
Montrons d'abord l'unicité du prolongement. Soit D_ un prolongement de D en
une K-dérivation de L dans V . Soit £ = f G L, où (a, 6) G S x (5 \ {0}). On a
D(a) = Z)(60 = bD(0 + ÇD(6), d'où puisque 6^0:
__ D(q)-tD{b) _ bD{q)-aD(b)
{6) m) " b ~ 62
ce qui détermine bien D_ en fonction de D seul.
Montrons maintenant l'existence du prolongement. Pour cela, montrons d'abord qu'il
existe une application D* : L —► V telle que pour tout £ G L et pour tout couple
(a, 6) G 5 x (5 \ {0}) vérifiant £ = f , on ait D*(0 = bD(a)~aDW . Fixons £ G L ; il
s'agit de démontrer que si C = f = fr avec (a, 6) et (a', 6') éléments de S x (5 \ {0}),
alors on a 6D(fl?^aDW = b Dta çf D\ ) m En appliquant D aux deux membres de
l'égalité a&' = 6a', on obtient:
(4) b'D(d) + aD(è') = 6D(a;) + a'D{b)
Posons E1 = 6'2(6D(a) - aD(b)) - b2(b'D(a') - a'D(b')). En tenant compte de (4) et
de ab' = ba! , on vérifie facilement que E = 0 . En divisant par b2b'2 , on en déduit
que bD(a)-aD(b) = b'D{a')-a'D(b'} L'existence de l>âppUcation D* est donc établie.
Pour achever la démonstration, il reste à vérifier que D* est une K-dérivation, ce qui
ne présente aucune difficulté ■
Le module des dérivations
Soit R un sous-anneau d'un anneau commutatif S, et soit M un 5-module. Nous
noterons Der^(5,M) l'ensemble des-R-dérivations de S dans M. On vérifie
immédiatement que Derfl(S, M) est un sous-5-module du 5-module des applications de S dans
M (la somme / + g de deux applications / et g de 5 dans M est définie par
x »-► f(x) + ^(x), et si A G 5, le produit A/ est défini par x »-► A/(z) ).
Désormais, Der#(5, M) sera systématiquement équipé de cette structure naturelle
de 5-module.
Dans ces conditions, soit maintenant S' un sous-anneau de S tel que R c S'. Pour
toute il-dérivation D G Dern(5,M), la restriction D' de D à S' est une il-dérivation
Chapitre 22 , § 2
Dérivations 19
de Sf dans le S'-module M($') déduit de M par restriction des scalaires. On a ainsi
une application
(5) Der*(S, M) —> DerR(S\ M(50), D —+ D'
D'autre part, pour tout A G 5, et pour toute il-dérivation A' G Der;i(S',M(s/)),
on peut définir l'application XAf (par / •—► A • (A'(f))), et il est immédiat qu'on a
XAl G Dern(S'yM(S')) • La loi (A,id') i-+ XAf munit Der^S', Af(5/)) d'une structure
de S-module, que nous qualifierons de naturelle. Ce S-module sera noté Der#(S',M).
L'application (5) s'identifie à une application
(6) DerK(S, M) — Der*(S', M), D ^-+D'
que nous continuerons à appeler application de restriction. Cela dit, on vérifie
immédiatement que cette application de restriction (6) est 5-linéaire.
Soit A un anneau commutatif et j : S —* A un morphisme d'anneaux.
Notons M[aj] le A-module A <8>sj M déduit de M par extension des scalaires au
moyen du morphisme j , et soit ip : M —> M[aj] l'application canonique (définie par
x^l^x). Soit Nsj le 5-module déduit de M[aj] Par restriction des scalaires à
S au moyen de j. Pour toute dérivation D G Ders(S, M), l'application tp o D est
une S-dérivation de 5 dans Msj • Pour toute dérivation A G Dern(S,Afsj), et pour
tout A G A, on vérifie que l'application XA : S —► Msj , / >—► A4(/), appartient
à Derji(S,Afsj) • L'application (A,zû) •—► Azl munit Der R(S,Afsj) d'une structure
naturelle de A-module. Ce A-module sera noté Derr(S,M[aj]) •
La formule de Leibniz
Soit R un sous-anneau d'un anneau commutatif S. En raisonnant par récurrence,
par utilisation de la formule de Pascal des nombres binomiaux (™) = (m^1) + (X-i1)
(valable pour tout (fc, m) G N2 tel que 0 < fc < m ), on prouve aisément que pour toute
Jï-dérivation D G Der#(5, S), pour tout entier n > 1 et tout (a, 6) G 5 x 5, on a:
(7) Dn(ab) = £J Q Dn-\a)Dk{b)
relation qui généralise la classique formule de Leibniz du calcul différentiel. Nous
continuerons à appeler (7) formule de Leibniz. Cette formule met bien en évidence que pour
n > 2, en général Dn n'est plus une dérivation.
Soit p Y indicateur de torsion de 5, i.e. l'entier naturel tel que pZ soit le noyau
du morphisme d'anneaux structural Z —► 5, m i—► m • 1$ (si 5 est un corps, p est
donc la caractéristique de ce corps. Si S est intègre, p est 0 ou un nombre premier).
Supposons p > 0 . Alors pour toute ^-dérivation D G Der#(,S, S) et pour tout a G S,
on a D(ap) = paP'lD{a) = 0 .
Supposons maintenant p > 0 et p premier (ce qui est notamment le cas si S est
intègre). En prenant n = p dans (7), on obtient (puisque les (£) sont des multiples de
p pour l<fc<p—l,et puisque p • x = 0 pour tout z G 5 ):
Dp(a6) = aZ)p(fc) + 6Dp(a)
autrement dit, Dp est une iî-dérivation (alors qu'en général, pour 2 < i < p - 1 y D1
n'est pas une it-dérivation).
Crochet de deux dérivations
Soit R un sous-anneau d'un anneau commutatif S. Pour D\ G Der^(5,5) et
£>2 € Derfl(S, 5), en général D2 o £>i n'est plus une il-dérivation. On pose:
(8) [Di,D2] =DioD2-D2oDi
On a alors facilement:
20 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Proposition 22.2.2
Avec les notations de (S), l'application [D\,D2] de S dans S est une R-dérivation.
Démonstra tion :
L'application [Di,D2] est il-linéaire. Soit (a, 6) € S x S. On a:
[DuD2](ab) = Di{aD2{b) + bD2{a)) - D2(aD1{b) + 6Di(a))
= aDuD2(6) -I- Di(o)D2(b) +6DiD2(û) -I- Di(6)Da(o) - oD2^i(6) - Da(o)JDi(6) - 6D2£>i(a) - D2(b)Di(a)
d'où, en tenant compte que 5 est commutatif (d'où les simplifications dans la formule
ci-dessus):
[DuD2]{ab) = aDiD2(6) + 6I>iZ)2(a) - aD2Dx(b) - 6£>2Di(a)
= a[Z>1,D2](6) + 6[i31,D2](a)
donc [D\,D2] est bien une il-dérivation H
Dans les conditions de la proposition 22.2.5, la .R-dérivation [D\,D2\ d'appelle le
crochet de D\ et D2 pris dans cet ordre. L'application
Der*(S,S) x Der*(S,5) —♦ Der*(,S,5), (Dlf D2) ^ [DUD2]
est il-bilinéaire, et en général non associative. Pour tous éléments D\ , Z)2 , D$ de
Dern(S,S), on a l'identité de Jacobi, de vérification immédiate:
(9) [[£>i,A>],£>3] + [[£>2,£3],£>i] + [[D3,Dl],D2] =0
22.2.3 Dérivations, polynômes et fractions rationnelles
Soit R un anneau commutatif, soit n e N et soit Xi,..., Xn des indéterminées
sur R. Notons S la il-algèbre R[X\,... ,Xn] . Pour tout t e [l,nj, on constate
que l'application T>i — J^- : S —► S est une il-dérivation. Si il est un corps
commutatif, l'unique il-dérivation de R(Xi,... ,Xn) dans iî(Xi,... ,Xn) qui prolonge T>i est
évidemment l'application F »-► J^- : cela découle des définitions.
Proposition 22.2.3
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit M un S-module. Pour tout n-uple
/i = (^i,...,^n) € M"n ; ^ existe une et une seuie R-dérivation de S dans M
envoyant Xi sur fa pour tout i € |[l,nj. Cette dérivation est l'application
i=n fîP
L'application Mn —► Der^(5, M), /i »-► £>M est un isomorphisme de S-moduîes.
Démonstration:
Fixons (/ii,... ,/in) G Mn . L'application £>M vérifie bien D^Xi) = fa pour tout i,
et il est immédiat que c'est une il-dérivation. Soit D e Der^(5, M) telle que pour tout
i, on ait D(Xi) = fa . Par différence, la il-dérivation A — D^ - D vérifie A(Xi) = 0
pour tout i. En utilisant la propriété A(uv) — uA(v) + vA(u), un raisonnement par
récurrence facile montre alors que A(X"l • • • X%n) = 0 pour tout (ai,..., an) eNn .
Par il-linéarité, on en déduit que A — 0, i.e. D = DM . La dernière assertion est
maintenant immédiate ■
En combinant les propositions 22.2.1 et 22.2.2, et en tenant compte de la remarque
qui précède la proposition 22.2.2, on obtient:
Chapitre 22 , § 2
Dérivations 21
Proposition 22.2.4
Soit K un corps commutatif et soit Xi,...,Xn des indéterminées sur K (avec
n > l), notons L = if(Xi,... , Xn). Soit V un L-espace vectoriel Pour tout
v = (vi,..., vn) € Vn , il existe une K-dérivation et une seule de L dans V envoyant
Xi sur Vi pour tout i. Cette dérivation est
Uapplication Vn —► Dertf(L, V), v »-> Dv est un isomorphisme de L-espaces vecto-
rieJs.
La proposition 22.2.3 se généralise de la façon suivante:
Proposition 22.2.5
Soit K un sous-corps d'un corps commutatif C. Soit Xi,...,Xn des
indéterminées sur C (où n > lj. Notons L = C(X\,... , Xn). Soit V un L-e.v. Soiû
<5 e Der k(C, V) et soit v = (t^,..., vn) e Vn ; il existe une et une seule K-dérivation
A e Derk{L)V) prolongeant 6 et telle que A(Xi) = Vi pour tout i e [l,n] .
Démonstration:
Supposons d'abord que v\ = • • • = vn = 0 . Pour tout polynôme
P = Y, aaX?...XZ»eC[Xu...)Xn}
a=(ai>...,an)€lM*
posons Do{P) = 2aeN* ^r1 ' ' ' X%n 6(aa). Il est immédiat que -Do(Xi) = 0 pour
tout i, que Do est une if-dérivât ion qui prolonge 6 , et que c'est la seule if-dérivation
de C[Xi,... ,X„] dans V qui vérifie ces conditions. L'existence et l'unicité de A
découlent alors de la proposition 22.2.1 (passage au corps des fractions). On notera Aq
la if-dérivation A ainsi définie.
Supposons v = (vi,...,vn) quelconque. Soit D l'unique C-dérivation de L dans
V telle que D(Xi) = Vi pour tout i (proposition 22.2.3). Alors A = A0 + D est une
if-dérivation qui prolonge 6 et vérifie A(Xi) — Vi pour tout i. Si A' est une autre
if-dérivation vérifiant ces conditions, la if-dérivation A - A' envoie Xi sur 0 pour
tout i et prolonge la if-dérivation nulle de C dans V. D'après la première partie de
la démonstration, on a A - A' = 0 , d'où l'unicité de Zl ■
22.2.4 Dérivations et séparabilité
Soit i? un corps commutatif, V un i?-espace vectoriel, K et L des sous-corps de
Q tels que if C L. On considère l'application de restriction obtenue par le processus
général décrit en (6) (application dont on a vu qu'elle est !?-linéaire):
(10) Qv,n,L,K : DerK(fl, V) — DerK(L, V), D^ £>|L
Le théorème suivant caractérise la séparabilité (cf. chapitre X) par voie différentielle:
Théorème 22.2.1
Soit i? une extension algébrique unie d'un corps commutatif L. Les assertions
suivantes sont équivalentes:
(I) i? est une extension séparable de L .
(II) DerL(r?,r?)=0.
(III) Pour tout sous-corps K de L et pour tout fï-espace vectoriel V , l'application
de restriction Qv,n,LyK définie en (10) est injective.
Si ces assertions sont vraies, alors quel que soit le sous-corps K de L, l'application
Qv,q,l,k est bijective.
22 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Démonstration:
Montrons que (I) entraîne (III). Supposons (I) vraie, soit un sous-corps K de L , soit
V un J?-espace vectoriel V , et soit D G Der/c(i7, V) nulle sur L . Soit x G i? . Puisque
x est L-séparable, le polynôme P(T) = IrrXiL(T) (où T désigne une indéterminée sur
Q ) vérifie P'(x) £ 0. Notons P(T) = Td -h £*=? AfcTd"fc . Pour tout t G [1, d], on a
-D(x*) = ix*"1!}^). On en déduit, en appliquant D à la relation P(x) = 0 :
k=d
(11) Oy = D(P(x)) = P'(x) D(x) + £ £>(Afc)a;d-fc
d'où P'{x) D(x) = 0 puisque D est nulle sur L . Comme P'(x) ^ 0 , il en découle que
D(x) = 0 . On a donc montré que Ker (Qv,n,L,i<) = {0} , i.e. que qv,o,l,k est injective,
d'où (III).
Il est trivial que (III) implique (II).
Montrons que (II) implique (I). Supposons (II) vraie. Soit S la clôture séparable
de L dans Q . Il s'agit de prouver que S = f2 . Puisque Ders(f2, Q) C Derl(^j^) ,
il suffit de prouver que si S ^ Q, alors Ders(J?,/?) ^ 0. Supposons donc S ^ i?.
Nécessairement, la caractéristique de i? est un entier non nul premier p. L'extension
Q de S est radicielle (voir définition X.4). On a une suite finie (xi,...,xm) (où
m > 1) d'éléments de Q telle que i? = S(xi,... ,xm) et 5((xi)i€[i)m_ij) ^ i? (si
m = 1, on convient que [l,m — 1] = 0). Notons M = S((xi)j€[ifm-ij) et !/ = xm •
On a donc M C /? et i? = M (y). On sait qu'il existe un entier naturel e > 1 tel
que [f2:M] = pe et IrrytM(T) = TpC - ypC . En particulier, M(t/P) ^ /?, car
IrryP)M(T) = TP"""1 - yp° . Notons TV = M(yp). On a:
(12) f2 = N(y) ; [f?:iV]=p ; Irry,N(T) = T" - y*
Nous allons montrer que le /?-espace vectoriel Der^(i7, i?) est de dimension 1. Comme
Derjv(f?, /?) C Der5(J?, /?), il en découlera que Ders(f2, fl) ^ {0} . Pour cela, on va
montrer que l'application /?-linéaire Ey : Derw(f?, i?) -> J?, D i—► D(y) est bijective.
Un élément x G Q s'écrit de manière unique sous la forme
j=P-i
(13) x = ^ djyj avec (ao,...,ap_i)G^p
Soit alors Ç € f2 . Pour tout x G i? , écrit sous la forme (13), notons PX{T) le polynôme
£i=o°/rJ'> et posons D(x) = E^'V^V-1^ ie- ^(*) = P*(î/)f • Montrons
que l'application D : i? —► Q ainsi définie est une N-dérivation; il est immédiat que
D est AT-linéaire. Pour montrer qu'on a D(x\X2) = xiD(x2) + X2-D(xi) pour tout
couple (xi,X2) G i? x /?, compte tenu de la N-linéarité, il suffit de traiter le cas où
(21,22) = (y*iVk) avec (j,fc) G [l,p— l]2 . Plaçons-nous dans ce cas. Posons £ = j + k,
soit (qyr) l'élément de Nx[0,p- 1] tel que £ = pq + r. En posant z = yp (d'où
z G AT ), on a d'une part:
^(2i)=jy-^ ; D(x2) = kyk-1Ç ; 1^ = ^ ; D(xxx2) = rzqyr^
et d'autre part:
ai^a*) + x2Z?(xO = (j + fc)^*-^ = £yi~xi = rye-lï = rz*yr~lÇ = D(Xlx2)
donc D est bien une N-dérivation. La définition de D montre que D(y) = f .
L'application Ey est donc surjective. En utilisant (13), on voit facilement que Ker (Ey) = {0} ,
donc Ey est injective. Donc Ey est une bijection !?-linéaire, ce qui établit (I) et achève
de prouver l'équivalence entre (I), (II) et (III).
Supposons maintenant i? séparable. Soit y un élément primitif de Q sur L, et
soit P(T) = lrry,L(T) = Td + Y%ZÎ*jTd-j . La séparabilité de i? sur L entraîne
Chapitre 22 , § 2
Dérivations 23
P'(y) ^ 0. Soit K un sous-corps de L et V un J?-espace vectoriel. Soit une dérivation
D € Der/c(L, V). Pour achever la démonstration du théorème 22.2.1, il suffit de montrer
que D se prolonge à Q en une if-dérivation. Si un tel prolongement A existe, on sait
déjà qu'il est unique, mais il est aisé de l'expliciter. En effet, en appliquant A aux deux
membres de la relation P(y) = 0 , on obtient
j=d
(14) Ov = P'(y)A(y) + Y,yd~JDM
3 = 1
d'où, puisque P'{y) ^ 0:
Y^yd'jD(aj)
ce qui détermine A sur fi tout entier puisque y est L-primitif. De façon précise,
notons £ le second membre de (14). Pour tout polynôme A(T) = J2j ^jTj € L[T] , on
a nécessairement A(A(y)) = ÇA'(y) + ^y^D(Xj).
Réciproquement, définissons une application A : fi —► V de la manière suivante;
pour tout polynôme A(T) = ^ *jTj e L[T] , notons d(yl) = £\ D{\ô)Ti , et notons
<Ç(yl) = f-4'(y) + d(^l) (donc d et <5 sont des polynômes en T (supposée être une
indéterminée sur V), à coefficients dans V). La notion de produit d'un élément de
L[T] et d'un polynôme en T à coefficients dans V est bien claire. Il est immédiat que
pour tous A\ e L[T] , A2 G L[T] , on a
(16) 6(AiA2) = A2S(Ai) + yli«(A2)
Montrons maintenant que pour tout A € L[T] , l'élément (6(A)) (y) de V ne dépend
que de A(y). Par différence, il suffit de montrer que A(y) = 0 implique (S(A)) (y) = 0 .
Supposons A(y) = 0, i.e. A = QP avec Q e L[T] . D'après la relation (16), on a
S(A) = Q6{P) + P«(Q), d'où, puisque P(y) =0 et en utilisant (14):
{6(A)){y) = Q(y)(6(P))(y) = Q(y) lp'(y)Î^D(aj)^n =0V
d'où l'assertion. Il y a donc une application A : fi —► K et une seule qui vérifie la
condition
(17) (V A(T)€L[T]) A(A(y)) = (6(A))(y)
Il est immédiat que A est if-linéaire et prolonge D, et on déduit de (16) que A est
une dérivation ■
Bases de transcendance séparantes
Soit L un corps de fonctions algébriques de n variables sur un corps commutatif K .
Etant donnée une if-base de transcendance quelconque (xi,... ,xn) de L , l'extension
L de K(xii...ixn) est de algébrique finie, mais si L est de caractéristique p > 0, en
général elle n'est pas séparable.
Définition 22.2.2
Soit L un corps de fonctions algébriques de n variables sur un corps commutatif K .
On dit que L est séparablement engendré sur K , ou, en abrégé, séparable sur
K (ou encore: K-séparable) ssi il existe une K-base de transcendance (xi,..., xn)
de L telle que L soit séparable sur K(x\,..., xn). S'il en est ainsi, toute K-base de
transcendance vérifiant cette condition est appelée une K-base de transcendance
séparante de L, (ou: une base de transcendance séparante de L sur K ).
24 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Si L est de caractéristique nulle, toutes les bases de transcendance de L sur K
sont séparantes. Si L est de caractéristique p > 0, nous verrons, c'est le principal
résultat de ce paragraphe, que la X-séparabilité de L peut être caractérisée à l'aide des
K-dérivations de L dans L.
Soit 3C un corps commutatif de caractéristique p > 0. Rappelons que Frob^
désigne l'isomorphisme de Probenius x •—► xp de 3C dans 3C, que pour tout sous-corps
fi de 3C, on a Frob^i?) C /? et Frobjc] = Frob/?, et que pour tout e G N,
on note i?^p^ le sous-corps (Frobtf)c(J?) = (Frobrt)e(l?) de X II est clair que pour
tout e eN y l'extension fi est algébrique radicielle sur fi^ . Pour tout (ei,e2) € N2
avec ei < e^ , on a i?^'2^ C i?(pM) , et fi^p ^ est extension algébrique radicielle de
ftip'2) # il en découle que l'ensemble ne>o^p^ est un sous-corps de fi : on le note
ft<*~> . Pour tout m G N , on a rt<pOC> = ne>m/?<pC> .
Supposons 3{ algébriquement clos. Alors pour tout e G Z, le corps Frofc^i?) est
à i?-isomorphisme près indépendant de 3C. On peut donc le noter fi^"1 ; c'est une
extension algébrique radicielle de chacun des corps fi^ ) pour tout e' G Z tel que
e' > e. On note alors i?<p °°> le sous-corps U66zJ?(p") (égal, pour tout m G Z, à
Ue<m^p^ )• Cette notation est justifiée parce que ce corps est, à i?-isomorphisme près,
indépendant du corps algébriquement clos % dans lequel fi est plongé. Le corps fi^p °°)
est extension algébrique radicielle de chacun des corps flW) pour e G Z.
Soit K un sous-corps de Q dont fi soit extension de type fini. Alors il est immédiat
que pour tout e G f^J, l'extension fi de K (i?^) est algébrique finie.
Lemme 22.2.1
Soit fi un corps commutatif de caractéristique p > 0 qui est extension algébrique
unie d'un sous-corps C tel que fi^ C C. Il existe un entier s > 1 et une suite
(î/i>-••>!/«) d'éléments de fi tels que la famille (y*1 • • •y?*)(ai>...,a.)€lo,p-ilJ soit
une base du C-espace vectoriel fi.
Démonstration:
Il n'y a rien à prouver si C — fi. Nous supposerons donc C ^ fi. On a alors une
tour de sous-corps de Q :
C = £0 C A C • • • C Cs = fi
avec s > 1, telle que pour tout 2 G (l,sj, l'extension Ci de £*_! soit monogène
et vérifie [Ci : £i_i] = p. Tout élément y* G £» \ A-i vérifie alors yf G A-i et
Irry^.^T) = Tp - yf , d'où £* = £i_i(t/i). Pour tout i G [l,sj , choisissons un tel
yi. Alors la suite (yl)o<j<p-i est une base du £j_i-e.v. Ci.
Par transitivité des dimensions d'espaces vectoriels, on en déduit que la famille
(î/?1 ,',2/?J)(ai,...,a.)€|[o,p-i]' est bien une base du £-espace vectoriel fi ■
Toute suite (yi,...,y5) vérifiant la conclusion du lemme 22.2.1 s'appelle une
p-base de l'extension Q de C. Dans une telle suite, l'entier s est bien déterminé,
puisqu'on a évidemment [fi : C] = p9 .
Lemme 22.2.2
Soit fi un corps commutatif de caractéristique p > 0 et un sous-corps K de Q
tel que fi soit extension finie de C = K(f2^) . Soit s l'entier naturel tel que
[fi : C] =p9 . Alors dim£(Der/c(ft,ft)) = s.
Démonstration:
On va d'abord montrer que Der^ {fi, fi) = Deri,(,f?,,f?), puis on montrera que
dim//(DerL(i7, fi)) = s .
Soit D G Derjc(/2,/?). Pour tout x G i?, on a Z)(xp) = px*"1^) = 0; donc
i?<p> C Ker(D). Comme Ker (D) est un sous-corps de i? (vérification immédiate),
Chapitre 22 , § 2 Dérivations 25
qui contient /C et i?<p> , on a £ C Ker (D), donc D e Der£(/?, i?). Cela prouve
que Derx;(!?, #) C Der£(ft,i?). L'inclusion opposée Der£(/?, Q) C Der/c(J?,i?) est
triviale, d'où Der/c(i?, O) = Der£(J?, Q).
Montrons maintenant que diiti£(Der£(i?, f2)) = s . Soit une p-base (xi,... ,x5) de
j? sur £ . Nous allons montrer que l'application
E : Der£(rt, Q) —♦ /?5 , Z> h—► (D(xi),..., /?(*,))
est un isomorphisme de £-e.v. Il est clair que E est £-linéaire. Pour toute dérivation
D e Der£(i?,J?) et pour tout (ai,... , a5) € [0,p - 1]* , on a:
(18) />(*?' -.•x?-) = £ ( ff^ ) *>(*«)
avec ^itJ- = x*3 si j ^ i et z^i = 0 ou z%^ = ajx"'-1 selon que a^ = 0 ou a* > 1.
Compte tenu de la £-linéarité et du fait que la famille (x*1 • • • z?-)(ai,...,a.)€[o,p-ilj est
une base du £-e.v. i?, il découle de (18) que si D(xi) = 0 pour tout z, alors D = 0.
D'où l'injectivité de £.
Soit maintenant (£i,...,£5) G i?5 . Notons Zi l'unique application £-linéaire de Q
dans lui-même telle que pour tout (ai,...,a5) G |[0,p — \\a, on ait
où les 2i):7 sont définis comme en (18). Il est clair que A(xi) = & pour tout i. Prouvons
que Zi € Der£(i?, Q) ; on aura alors E(A) = (£i,..., £5), ce qui montrera que E est
surjective, donc bijective, et qui achèvera la démonstration. Par £-linéarité, il suffit de
démontrer que A(ab) = aA(b) + bA(a) lorsque a et 6 sont des monômes éléments de
la famille (x?1 • • •z?8)(ai,...,as)€[o,p-ij* . Soit donc
tf = *F ■••*?■ ; V = xf1...xf- ((ai,. ..>af)€[0>p-l]'>G8i>. ..,/?.)€ [0,p-l]5)
Pour tout i e [1,s], soit (qiyr^) l'élément de Nx[0,p- 1] tel que ai 4-& = pqi + ri.
Pour tout (i, j) € [l,s]2 , posons:
si i^j [x^ si i£j
si i=j et ^ = 0 ; ^ = < 0 si i = j et & = 0
ixfi_1 si i = j et ^ > 1 [ ftzf*"1 si i = j et ft > 1
si i ^ j
si i = j et ri = 0
i iju{ ~l si i = j et ri > 1
Enfin pour tout i e [1,5], posons Xi = xf (d'où Ai e £ ). On a:
(19) UV = Ax\l"Xrsa avec A = A;i---AJ-
Par définition de A , on a:
(20) 4(l0 = ^6mJ ; ^) = £ft(n^) ^ A(UV) = A^(fîwij
26 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
On en déduit:
UA(V) + VA{U) = J2ii [fixfuiA +£> [U^Vij
(21)
= ^ti(xiiui,i + xVvià
i=s
i=l \j6[l,*]\{i}
t=s
*=* \i€[i,«|\{i}
En tenant compte que p = 0 dans i?, on vérifie facilement (en séparant les cas où
^ = Pi = 0 et où (a*, A) ^ (0,0) ) que pour tout i, on a
(22) xfitiM + arf<t;M = Aj*ti;M
En reportant les expressions (22) dans la dernière égalité (21), et en tenant compte de la
dernière égalité (20), on obtient:
UA(V) + VA(U) = Y^ti [fi^Wij ) =A^i [fi^ij) =A{UV)
ce qui prouve bien que Zi est une dérivation ■
Nous pouvons maintenant établir l'importante caractérisation " différentielle " de la
séparabilité:
Théorème 22.2.2
Soit L un corps de fonctions algébriques en n variables sur un corps commutatif K .
On a dim^DerK(£>£)) > n , et l'égalité a lieu ssi L est séparablement engendré
sur K.
Démonstration:
Si n = 0, la conclusion découle du théorème 22.2.1. Nous supposerons donc
que n > 1.
Supposons d'abord L séparablement engendré sur K (ce qui est toujours le cas si
L est de caractéristique nulle). Soit (x\y... yxn) une base de transcendance séparante
de L sur K. D'après le théorème 22.2.1, l'application de restriction
Q : Der*(L,L) —► Der/r^Ori,... ,xn),L), D h-> £>|
est une bijection L-linéaire. En vertu de la proposition 22.2.4, le L-espace vectoriel
Deri<-(K(xi,... ,xn),L) est de dimension finie égale à n, une base en est la suite
(fe~> • ■ • » Jx~) * P°ur tout * € [1> ^1 » s°iï A l'unique élément de Derjf(L, L) qui
prolonge f^- . Alors (Di,..., Dn) est une base du L-e.v. T>erK(L, L), qui est bien ici de
dimension finie égale à n . Remarquons que (D\,..., Dn) est l'unique suite (di,..., dn)
d'éléments de Dertf(L, L) qui vérifie
(23) (V(i,j)e[l,nfl2) di(xû) = 6ij
où 6.,. désigne l'habituel symbole de Kronecker (relatif à L). Notons en outre que
les Di sont deux à deux permutables. En effet, fixons (i,j) e |l,nj2. La
relation §£-§£- = §£-§£- est élémentaire (rappelons qu'en notation concentrée, elle s'écrit
Chapitre 22 , § 2
Dérivations 27
d£2Qx, = 9f2d )• La dérivation [A, Dj ] = DiDj-DjDi (proposition 22.2.2) est donc
nulle sur K{x\,... , x„), donc elle est nulle, d'où l'assertion.
Supposons maintenant L de caractéristique p > 0 , et soit (xj,... ,xm) une suite de
L telle que L = K(x\,... ,xm). Considérons l'application L-linéaire
E : Der/c(L,L)-^Lm, D —> (D(xi),... ,Z>(xm))
Comme Ker (D) est un sous-corps de L, il est clair que £ est injective. Donc
Derk(L}L) est un L-e.v. de dimension finie, et sa dimension s est < m. Montrons
d'abord que s > 1. En effet, soit une base de transcendance (yi,..., t/n) de L sur K . Si
l'on avait s = 0 , i.e. Derj<:(L, L) = {0} , on aurait a fortiori Der^(î/1>>MÎ/n)(L, L) = {0} ,
donc L serait séparable sur K(yi,..., yn) (théorème 22.2.1), et d'après la première
partie de la démonstration, il en découlerait que Der*:(L,L) est de dimension n, ce qui
est absurde. Donc on a bien s > 1.
Soit alors (Z?i,... ,DS) une base du L-e.v. Derk{L,L) . Quitte à renuméroter les
Xfc , on peut supposer que le déterminant 2)= det ((-D*(xj))(i j)€li «pj est ^ 0 . Soit
(^*j)(i,i)€[i,«l2 l'élément de GL(s,L) inverse de la matrice (-Di(xj))(i,j)€[i,a]2 . Pour
tout i € [1,5], soit ^j = X]j=î ^tj-Dj • Alors (^i,...,^a) est une base du L-e.v.
Der;f(L, L) , et on a A(xj) = Sitj pour tout (1,7) G [l,s]2. Montrons que L est
extension algébrique séparable de F = if(xi,... , x5). Soit D G Der^(L, L). Alors
L> G Der/c(L,L) , donc L> = Y^Zi z*Di avec (zi>-• • >*«) G i5 • Pour tout fc G I1»8! »
on a Xk G F, d'où
i=5
0 = D(xfc) = ^ziDi(xfc)=Zfc
i=i
Donc z\ = •• • = za = 0, d'où D = 0. Cela prouve que Der^(L,L) = {0}. Par un
raisonnement analogue à celui vu ci-dessus, on en déduit que l'extension L de F est
algébrique. Le théorème 22.2.1 montre enfin que L est séparable sur F . Puisque L est
algébrique sur L , on a s > n = degtrK(L). De plus, si s = n , la suite (xi,... ,xa)
est une base de transcendance séparante de L sur K ■
Corollaire 1
Soit L un corps de fonctions algébriques en n variables sur un corps commutatif K ,
avec n > 1. On suppose L séparabîement engendré sur K, et de caractéristique
p > 0 . Soit (xi,..., xn) e Ln . Les assertions suivantes sont équivalentes:
(I) (xi,... ,xn) est une base de transcendance séparante de L sur K .
(II) Il existe une suite {D\,... , Dn) d'éléments de Der#(L,L) telle que pour
tout (i,j) G [l,n]2 , on ait Di(xj) = 6itj .
(III) (xi,... ,xn) est une p-base de L sur A = K(L^).
Démons tration :
L'implication (I) =*> (II) a été établie dans la première partie de la démonstration
du théorème 22.2.2. Supposons maintenant (II) vraie, et soit (Di,... ,Dn) vérifiant
les conditions indiquées. Les dérivations Dj sont L-linéairement indépendantes (une
relation de la forme £)i=?^»A = 0 avec (Ai,...,An) G Ln entraîne que pour tout
k e [l,nj, on a 0 = £!=?^iA(zfc) = A^ ; d'où D = 0). D'après les hypothèses,
Derk{L,L) est de dimension finie égale à n. Donc (Di,...,Dn) est une base de
Der^ (L,L). Notons F = K(xu ... ,xn). Si D = X)i=î^iA avec A» G L pour tout
i, on a Ai = D(x») pour tout t d'après le calcul précédent, donc F C Ker (D) entraîne
Ax = • • • = An = 0 et par suite D = 0 . Donc Derp(Ly L) — {0} . D'après le théorème
22.2.2, L est extension algébrique séparable de F, i.e. (xi,...,xn) est une base de
transcendance séparante de L sur K . Donc (II) implique (I), et par suite (I) & (II).
28 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Supposons (I) vraie, et notons F = K(x\y...yxn). Reprenons les dérivations Di
définis en (II). Alors L est algébrique séparable sur F, donc a fortiori algébrique
séparable sur G = A(F). Comme L^ C G, l'extension L de G est radicielle; L étant
radicielle et séparable sur G , on a L = G . Pour tout a = (ai,..., a„) € [0,p - ljn ,
notons Ma = x"1 • • -x£n . Soit A le sous-yl-e.v. £Q€[0,p_i]in ^A4a de L. C'est une
sous-yl-algèbre de L : en effet, il suffit de vérifier que MaM(3 € A pour tous a et
0; soit a = (ai,...,an) G [0,p - l]n et /? = (/?i,... ,/?n) G [0,p - l]n ; pour tout
i G [l,n], soit (gi,^) l'élément de Nx[0,p- 1] tel que a* 4- A = p<?i + r», et posons
Ai = x? (d'où À» € A ). On a alors
MaMp^XÏ-X^Mf,
avec /> = (ri,... ,rn), d'où MaMp € A . Ainsi A est une sous-yl-algèbre de L ; c'est
une algèbre intègre (sous-anneau d'un corps) et un A-espace de dimension finie, donc
c'est un sous-corps de L . Comme {#i,... ,xn} C A , et comme L = A(x\y... ,xn),
on conclut que A = L. Montrons que la famille {Ma)Q^lotp-i]n est yl-linéairement
indépendante. Remarquons d'abord que Derk{L,L) = Der/i(L, L) (même
raisonnement qu'à la première partie de la preuve du lemme 22.2.2). Soit une relation de
yl-dépendance linéaire £ag/ CaMa = 0, avec 0 ^ I C (0,p - ljn et GQ e (A \ {0})
pour tout a e I. Munissons / de l'ordre lexicographique •< , et soit /i = (//i,... ,/in)
le plus grand élément de I relativement à •< . Soit a = (ai,..., an) € J \ {/i} . On a un
entier k G [1, n] tel que a» = /ii pour tout î < k et a/t < iik . Soit Z> = Df1 • • • D£n .
On a D(CMA4M) = Mi! • • • Mn'C/x » donc D{C^M^) ^ 0 puisque fa < p pour tout i.
D'autre part, £>£fc(:r£fc) = 0 car a^ < /i& ; les A étant deux à deux permutables, on
en déduit que D(CaMa) = 0 ; c'est vrai pour tout a G I \ {/i} . En appliquant D à
la relation YLael CaMQ = 0 , on obtient donc 0 = D{C^M^) = fi\\ • • • /in!C/x ¥" 0 , ce
qui est absurde. Cette contradiction prouve la yl-indépendance linéaire des Aia . On a
donc établi que (x\9... ,zn) est une p-base de L sur A . Donc (I) implique (III).
Supposons l'assertion (III) vraie. Le même argument que ci-dessus montre d'abord
que Deri<-(L,L) = Dera{L,L) . D'après la démonstration du lemme 22.2.2, on a une
unique suite {A\,... yAn) d'éléments de Deri<-(L,L) telle que Ai(xj) = Sij pour tout
(iyj) G [l,n|2 , ce qui établit (II), et achève de montrer l'équivalence entre les assertions
(I), (II) et (III) ■
Remarque 22.2.1 :
Il existe une caractérisation non différentielle de la génération séparable, appelée critère de Mac
Lane: soit Q un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique p > 0 et deux sous-corps K
et S de Q tels que K c S. Alors S est séparablement engendré sur K ssi l'application naturelle
5®k /f<p~°°> -► Q est injective (voir par exemple [24]) +
Au cours de la démonstration du théorème 22.2.2, on a notamment établi:
Corollaire 2
Soit L un corps de fonctions algébriques en n variables sur un corps commutatif
K, avec n > 1. On suppose L séparablement engendré sur K . De toute suite finie
(xi,...,xm) d'éléments de L telle que L = K(x\y... yxm), on peut extraire une
base de transcendance séparante de L sur K .
Le critère de Mac Lane ne sera pas utilisé dans cet ouvrage. Le théorème suivant (qui
en est une conséquence facile) nous suffira. La preuve directe ci-dessous est celle de [24] :
Théorème 22.2.3
Soit L un corps de fonctions algébriques en n variables sur un corps commutatif K
parfait (3) , avec n > 1. Alors L est séparablement engendré sur K
( ) Rappelons que K est dit parfait ssi Frob/c(/0 = K ou K est de caractéristique nulle. Rappelons
que tout corps fini est parfait, et que tout corps algébriquement clos est parfait.
Chapitre 22 , § 2
Dérivations 29
Démonstration :
Il n'y a rien à prouver si L est de caractéristique nulle. On supposera donc L de
caractéristique p > 0 .
Soit L = K(xi,..., xm) avec m > 1 et X* € L \ {0} pour tout i. Si m = n , il n'y
a rien à prouver.
Supposons m = n+1. Soit Xi,..., Xm des indéterminées sur L . On a un polynôme
P € K [ Xi,..., Xm ] \ {0} tel que P(xi,..., xm) = 0 , de degré total minimum pour
ces conditions. L'anneau K [Xi,... , Xm] étant factoriel, il en découle aisément que
P est irréductible dans cet anneau. Vérifions qu'on a P ^ K [Xf,... ,X£] ; en
effet si on avait P G if [Xf,... ,X£j , il y aurait une partie finie I de Nm et une
famille (aa)a=(ai,...,am)€/ dans K\{0} tels que P = £û=(ai,...|ftm)€/ ""^f"1 " ' Xmm •
Comme K est parfait, pour tout a € J, on a un élément ba € K tel que oQ = (ba)p >
d'où:
P=l £ fcaX?'-..**-)
\a=(ai,...,am)€J /
en contradiction avec l'irréductibilité de P dans K[Xi,...,Xm] . Cette
contradiction montre bien que P £ K [Xf,... ,X£] . Soit I une partie finie de Nm telle que
P = ]Ca=(ai,...,am)€/ Ca^T1 * * ' X%T , avec cQ € K \ {0} pour tout a . On a donc un
indice i € |[l,m] tel que pour au moins un 7 = (71,..., 7m) € J, on ait 7* ^ pN.
Ordonnons P par rapport à la variable Xi :
(24) P = Y,P*X'i
où d = degx.(P) (donc Pd ^ 0) et où Pj£A = K[{Xk)kelhm]\{i}] P°ur tout j .
Vu le choix de i, nécessairement d > 1. Notons ^ •—► ^ le morphisme de if-algèbres
A -* L défini par la spécialisation de (Xk)k€li,ml\{i) en (xk)keli,m]\{i} • Si on avait
P0 = 0 , alors le polynôme Q = ]Cj=i Pj X\ (qui est non nul puisque Pd ^0) vérifierait
(25) Q(xl)...)xm) = YlPJxi=0
Comme x^ ^ 0 , on pourrait diviser la relation (25) par Xi, d'où H(x\,..., zm) = 0 ,
où H désigne le polynôme Yl^jZi Pj X{~1 e K [Xi,..., Xm ] , polynôme qui est encore
non nul. Mais deg (H) = deg (Q) - 1 < deg (Q) < deg (P), d'où une contradiction
avec le choix de P. Cette contradiction montre que P0 ^ 0. Pour tout j G [l,mj,
il est clair que Pj = 0 ou deg (Pj) < deg (P) (où deg (Pj) désigne le degré total
de Pj , qui n'est autre que son degré total quand on le considère comme élément de
K [Xi,..., Xm ] ), donc si P, ^ 0 , alors Pj ^0 en vertu du choix de P. En particulier,
Pd ^ 0 . La relation
0 = P(xl,...1xTn)=Y^PjXJi
montre donc que Xi est algébrique sur le corps Fi = K((xk)k€li,mi\{i}) (corps des
fractions de A ). On en déduit (puisque m = n + 1 ) que l'ensemble {xk}keli,m]\{i} est
une base de transcendance de L sur K . Puisque le polynôme P est irréductible dans
Xi,..., Xm] = A [X* ] et n'appartient pas à A , il est A-primitif. En notant T\ le
corps des fractions de A , il en découle que P est irréductible dans T% [ Xi ] . Puisque Xi
est une indéterminée sur L et puisque la famille (xk)k€[i,m]\{i] est K-algébriquement
30 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
libre, on en déduit que le polynôme
9TO = $>;*/
i=o
est irréductible dans Fi [Xi] , donc ^(Xi) = lrrXitFi(Xi). Vu le choix de i, il existe
j e [0,d] \pN tel que Pj ^0, donc rr* est séparable sur Fi, et par suite L est
séparable sur Fi. En définitive, la famille (£fc)fc€[i,ml\{i} est une base de transcendance
séparante de I sur if.
Raisonnons maintenant par récurrence sur m, à partir de m = n -f 1. Supposons
que m > n 4- 1, et supposons le théorème vrai à l'ordre m — 1. L'hypothèse de
récurrence s'applique au corps M = K{x\,... ,xm-i), qui est un corps de fonctions
algébriques (4) sur K. Comme L = M(xm), on voit que degtrK(M) € {n,n - 1} .
Si degtrK-(M) = n - 1, fixons une base de transcendance séparante (z\>... ,2n-i)
de M sur K . Alors M est algébrique séparable sur K(z\,..., zn-i), donc aussi sur
K(z\,• • • »Zn-ii£m) • Comme xm est algébrique séparable sur K(z\,..., zn-i,xm), on
en déduit que L = M(xm) est algébrique séparable sur K(z\,..., zn_i, xm). Il est clair
que (*i,..., zn-ii £m) est une base de transcendance de L sur K ; c'est donc une base
de transcendance séparante de L sur K. Si degtrA:(M) = n, soit (21,..., 2n) une
base de transcendance séparante de M sur K. Alors x\y... ,xm_i sont algébriques
séparables sur /C(zi,..., zn), donc aussi sur N = K{z\,..., zn,xm). Il en découle que
L = iV(zi,... ,xm_i) est algébrique séparable sur N. Le corps AT est un corps de
fonctions algébriques sur K engendré sur K par une suite à n + 1 termes. D'après
la première partie de la démonstration, on a donc une base de transcendance séparante
(î/i>--->2Ai) de AT sur K. Comme L est algébrique séparable sur AT, par transitivité
de la séparabilité, on voit que (3/1,..., yn) est aussi une base de transcendance séparante
de L sur if ■
Remarque 22.2.2 :
Soit L un corps de fonctions algébriques de n variables sur un corps commutatif
K, séparablement engendré sur K, et de caractéristique p > 0. On a vu dans la
démonstration du corollaire 1 du théorème 22.2.2 que pour toute base de transcendance
séparante (xi,..., xn) de L sur K , on a L = (K(L^) (xi,..., xn). Si de plus K est
parfait, alors K(L<*>) = Z>> , donc L = L^(xu. • • ,xn) ♦
Remarque 22.2.3 :
Soit L un corps de fonctions algébriques de n variables sur un corps commutatif
K, séparablement engendré sur K, et de caractéristique p > 0. On a vu ci-dessus
que Der^(L,L) = DexK(L(P))(L,L). Dans le cas particulier où n = 1, on a mieux:
en fait, dans ce cas, pour toute D e Der*:(L,L) \ {0} , on a Ker (D) = K(L^). En
effet, d'après le théorème 22.2.2 et son corollaire 1, on peut supposer que D est l'unique
élément de Derk(L,L) qui prolonge -^ , où (x) une base de transcendance séparante
de L sur K. Alors (x) est une p-base de L relative à K(L^), et la vérification de
l'assertion est immédiate +
( ) Étant donné un corps de fonctions algébriques C sur un corps commutatif K., il est clair que tout
sous-corps M de C contenant K est un corps de fonctions algébriques sur K.
Chapitre 22 , § 2
Dérivations 31
Noyau de certaines dérivations
Théorème 22.2.4
Supposons K de caractéristique nulle. Soit L un corps de fonctions algébriques
d'une variable sur K . Soit D € Derk(L,L) \ {0} . Alors Ker (D) est la clôture
algébrique K de K dans L .
Démonstration:
Onalc Ker (D) d'après le théorème 22.2.1. Soit teL tel que D(t) ^ 0. On a
t $ K, donc (t) est une base de if-transcendance de L . Soit x 6 Ker (D). Soit X une
indéterminée sur L , et notons Irxx^(t)(X) = Xn + ][^~™ 6/t(t)Xn~/c, où &&(£) € K{t)
pour tout k. Soit ao(t) un dénominateur commun aux 6fc(t) dans #[*] et posons
cifc(t) = ao(t)&A;(£) pour tout A; € [l,nj . Alors le polynôme
fc=n
(26) P(X) = a0(t)Xn + j; ak(t)Xn-k
k=i
appartient à (K [ t ] ) [ X ] et est K [ t ] -primitif. Soit
fc=n
(27) Q(X) = a'0(t)Xn + £ a'k(t)X*-k
/c=l
où a'i désigne, pour tout z, la dérivée usuelle de ai dans K[t] . En appliquant Z>
à la relation P(x) = 0, et en tenant compte que D(x) = 0 et D(t) ^ 0, on voit
que Q(x) = 0. On a donc Q(X) = /P(X), avec / G tf (*). Du fait que P(X) est
K[t]-primitif, on déduit facilement que f e K[t] . Donc a^(t) = f ai{t) pour tout
2. Comme la caractéristique est nulle, cela implique que ai e K pour tout i, d'où
Irr^K(t) (X)eK[X\ , d'où x G K M
§ 22*3 Fractions rationnelles
Soit K un corps commutatif et X une indéterminée sur K . Le corps K(X) des
fractions rationnelles en X à coefficients dans K est un corps de fonctions algébriques
dfune variable sur K . Ce type de corps est le plus simple des exemples non-triviaux de
corps de fonctions algébriques. Les corps de fonctions algébriques d'une seule variable
ne sont autres que les extensions algébriques finies de corps du type K{X). Plus loin,
nous reprendrons Vétude générale systématique des corps de fonctions algébriques d'une
seule variable (5) .
Rappelons qu'étant donnée une extension fi d'un corps commutatif K, on note
Autjc(i?) le groupe des IC-automorphismes de i? . Si Q est algébrique unie sur K, la
théorie de Galois (cf. chapitre X) montre que
card(Aut*;(<?)) <[L:K]
Végalité ayant lieu ssi Q est galoisienne sur K. De plus, si Q est galoisienne sur K ,
alors par définition Aut;ç(J?) n'est autre que le groupe de Galois de Q sur K, que
nous notons Gai (i?//C) ou Gal/c(i?).
Dans tout ce qui suit, K désignera un corps commutatif fixé, et X une indéterminée
sur K.
22.3.1 Degré absolu d'une fraction rationnelle
Soit u € K(X) \ {0} . Les formes irréductibles de u constituent une If-droite
vectorielle privée de Porigine. L'entier naturel Max(deg (A) ,deg (B)) ne dépend donc que
de u et non du choix de la forme irréductible (A,B) de u.
Déûnition 22.3.1
Soit u G K(X) \ {0}. Nous appellerons degré absolu de u, et nous noterons
Deg (u), l'entier naturel égal à Max(deg (A) ,deg (B)) pour toute représentation
irréductible (A,B) de u.
Le degré absolu Deg (u) ne doit pas être confondu avec le degré ordinaire de u,
noté deg (tt), égal à deg (A) - deg (B) pour tout couple (A,B) 6 (K [X] \ {0})2
tel que u = ^ . Remarquons que Deg (u) > 1 ssi u $ K. Rappelons que K(X) \ K
est l'ensemble des éléments ^-transcendants de K(X) (cf. remarque 22.1.2).
Proposition 22.3.1
Soit u G K{X) \ K. Pour toute matrice (* b) e OL(2,AT) ,ona cw + d/0,
^^,etDeg(u) = Deg(^).
Démonstration:
Comme u est transcendant sur K, et comme ad — 6c ^ 0, on a eu + d ^ 0 et
v = %$ i K (en ^ on a -cv + a = ^ ^ 0 et u = (ad_$[_bcu+a) , donc v € K
entraînerait u G K ).
Montrons la dernière assertion. L'ensemble G suivant:
(1) G = {(a, 0,0, l)}a€K\{0} U {(0,1,1,0)} U {(1, A, 0,1)}X€K
engendre le groupe Gh(2yK). Il suffit donc de prouver l'assertion dans le cas où
(a,6,c,d) € £. Si u G {(a, 0,0, l)}a€/c\{o} U {(0,1,1,0)} , le résultat est immédiat.
Supposons que (a,6,c,d) = (1,A,0,1) avec X e K. Il n'y a rien à prouver si À = 0;
traitons le cas où A ^ 0. Soit (A,B) un représentant irréductible de u. Posons
v = u + À. On voit que (A + AB,B) est un représentant irréductible de v. Si
(5) Selon une célèbre boutade attribuée à Severi, " Les corps de fonctions Algébriques d'une variable
sont une création de Dieu, et ceux de deux variables ou plus sont une création du Diable. "
34 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
deg (A) = deg (B), il est clair que Deg (u) = Deg (v). Si deg (A) ^ deg (B),
alors (puisque deg (XB) = deg (B) )
deg (A + A£) = Max(deg (A) ,deg (AB)) = Deg (u)
d'où Ton déduit que Deg (v) = Deg (u) ■
Pour toute fraction u G K(X) \ K et pour toute M = (a \ G GL(2,K),
nous poserons désormais M*u = ^^ ; l'application (M, u) »—► M*ti définit une action
à gauche du groupe OL(2,K) sur if(X) \ K , qui sera dite naturelle. Dans la suite,
nous munirons toujours K(X) de cette action naturelle. Quand nous parlerons d'orbite,
ou de stabilisateur, etc., relativement à un sous-groupe de GL(2,K), il sera toujours
sous-entendu que ces objets se rapportent à cette action naturelle.
Pour toutes u G K{X) \K et M G GL( 2, K ), on a:
(2) K(u) = K(M*u)
(en effet, il est immédiat que K(M • u) C K (u) ; mais comme u = M"1 • (M • u), on
a de même K(u) C K(M • u), d'où (2)).
Si u € K(X) \ K , alors u est transcendant sur if . Cela entraîne d'une part
(3) StabOL(2^)(u) = (^\{0})J2
et d'autre part que K(X) est extension algébrique finie de K{u). Nous allons retrouver
ce dernier résultat d'une autre manière, en le précisant:
Théorème 22.3.1
Soit u e K(X)\K . L'extension K(X) de K(u) est algébrique finie (en conséquence,
u est K-transcendant) f et on a [K(X) : K{u)\ = Deg (u).
Démonstration:
On peut choisir M pour que M*u admette une représentation irréductible (A,B)
telle que deg (A) > deg (B). En vertu de (2) et de la proposition 22.3.1, on peut
donc supposer que u admet une représentation irréductible (A, B) de ce type. On peut
même supposer A normalisé, i.e. de coefficient dominant 1. On posera d = deg (A)
(d'où d = Deg (u) > 1 ). Soit T une indéterminée sur K(X), et soit F e {K(X)) [T]
défini par F(T) = A(T) - uB(T). Il est immédiat que F est non constant, de degré
d, et que F(X) = 0. Donc X est algébrique sur K{u), et Irrx,k(u){T) divise
F(T). Il en découle déjà que K(X) est extension algébrique de K(u), donc que u
est if-transcendant; en particulier, la K-algèbre K [u] [T] = K [u, T] est isomorphe à
l'algèbre de polynômes K[XyT] , donc c'est un anneau factoriel.
Montrons que F est /^(u)-irréductible, ce qui prouvera que IrrXtK(u){T) = F(T)
et achèvera la démonstration. Supposons que F = UV, avec U et V éléments de
(K(u))[T] tous deux normalisés par rapport à T. Dans ces conditions, on sait que
U G (K [u])[T] et V e (K[u])[T] . Comme F est de degré 1 en u, nécessairement
l'un des polynômes U, V est indépendant de u et l'autre de degré 1 en u. On peut
supposer que U est indépendant de u, d'où V = C - uD avec C € K[T] \ {0}
et D G K[T] \ {0} (on a C / 0 car u ne divise pas F dans K[u,T] ). Alors
U G K[T] \ {0}, donc U(X) ? 0, d'où V(X) = 0, d'où u = §g{ . D'autre part,
F = A - uB = UC - tit/D , d'où A = UC et B = UD. Puisque (A, B) est une forme
irréductible de u, nécessairement {/ = 1 ■
Corollaire 1
Soit u G K(X) et ve K(X).
(I) On a K(u) = tf(X) ssi u € OrbOL(2,K)(^) •
(II) Si u £ K, on a K(v) = /f(u) ssi v e OrbQL(2,i<:)(w) •
Chapitre 22 , § 3
Fractions rationnelles 35
Démonstration :
Si u € OrbOL(2,/c)(J0 , on a K(u) = if(X) en vertu de (2). Réciproquement,
supposons if (u) = K(X) ; soit (A, B) une forme irréductible de u. D'après le théorème
22.3.1, on a Deg (u) = 1, i.e. A et B sont de degré 1 et ne sont pas (if \ {0})-
proportionnels (donc u = ^ £ K ); on en déduit que u G OrbOL(2,JK')(-^) - L'assertion
(I) est donc prouvée.
Si v G 0rbOL(2,A')(w) » on a ^(v) = -^(u) en vertu de (2). Réciproquement,
supposons que K (v) = K(u). Puisque u est if-transcendant, il y a un (et un seul) isomor-
phisme de if-algèbres <p : K(X) —► if (u) tel que <p(X) = u. Comme v G if (n), on a
donc un unique couple (A,B) € K[X] x (K[X]\ {0}) avec A et B premiers entre
eux (6) et tel que v = ^ffy . En appliquant le théorème 22.3.1 dans le corps K(u) (où
u remplace X ), on obtient Deg (-g) = 1, et on en déduit, en raisonnant comme pour
l'asssertion (I), que v G OrboL(2,A:)(u) H
Corollaire 2
Soit u G if(^) \if, et soit (A,2?) une forme irréductible de u. Soit T une
indéterminée sur K(X). On a un élément A G K (u) \ {0} (et un seul) tel que
lxrXiK(u){T) = \(A(T)-uB{T)).
Démonstration:
Soit d = Deg (u). Posons F(T) = A(T) - tiB(T) (donc F G (if(iO)[T] ). Il
est immédiat que deg (F) = d et que F(X) = 0. En vertu du théorème 22.3.1, X
est algébrique de degré d sur if (u), donc Irrx,AT(u)(^) et -F(T) sont (if(u) \ {0})-
proportionnels ■
Si u G K(X) \ K , et si K est de caractéristique p > 0 , la if-base de transcendance
(u) de K(X) n'est en général pas séparante. Par exemple, Xp G K(X) \ K, mais
K(X) n'est pas séparable sur K(XP). La proposition suivante caractérise les if-bases
de transcendance séparantes de K(X) en caractéristique > 0 :
Proposition 22.3.2
Supposons K de caractéristique p > 0 . Soit u G K(X) \ K . La if-base de
transcendance (u) de K(X) est séparante ssi u £ K(XP).
Démonstration :
D'après la proposition 22.2.4, on a Derk(K(X) = K(X) ^ . En utilisant le
corollaire 1 du théorème 22.2.2, on en déduit que l'extension K (X) de K (u) est séparable ssi
il existe $ G K(X) \ {0} telle que $(X)-j% = 1. Cette existence équivaut à l'assertion
Soit (A,B) une forme irréductible de u. D'après ce qu'on vient de voir, K{X)
est séparable sur K(u) ssi A!B - B'A ^ 0. Si A!B = B'A, comme A et B sont
premiers entre eux, A divise A' et B divise B' dans K [X] , d'où A! = £' = 0, d'où
A G K [Xp] et B G K [Xp] , d'où u G if (Xp). Réciproquement, si on a ue K{XP),
il est immédiat que -^ = 0 ■
22.3.2 Automorphismes de la If-algèbre K{X)
Fixons / G K(X)\K. Puisque / est if-transcendant, il y a un if -isomor phisme
et un seul ipf : K(X) —* if (X) qui envoie X sur /. Ce if-isomorphisme ipf définit,
par corestriction à if (/), un if-isomorphisme du corps if (X) sur le corps if (/).
( ) Attention, ce couple (A,B) n'est pas une forme irréductible de v en tant qu'élément de K(X).
36 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
Pour u G K(X), Tirnage ip/(u) s'obtient en substituant f à X dans u; on note
tpf{u) = uo/. En particulier, X o / = / = f(X) = f o X .
En vertu du théorème 22.3.1, xpf est bijectif ssi Deg (/) = 1. Nous noterons
9fo(JT(X)) l'ensemble des / G K{X) tels que Deg (/) = 1 ; il est clair que Ton a
HK(K(X)) = OrbOL(2,A:)(X) et XK(K(X)) C K(X) \ K. D'après le corollaire 1 du
théorème 22.3.1, <Kk{K{X)) est aussi l'ensemble des éléments / G K{X) tels que
K(f) = K{X). Pour toute matrice M G GL(2,lf ), l'application h >-> M * h laisse
l'ensemble 90r(i£(X)) stable et induit une permutation if m de cet ensemble.
L'application
(4) GL(2,tf) —<5*«(x>> Mv-^SfM
est un morphisme de groupes, dont le noyau est (K \ {0}) J2 = K*l<i • L'image de ce
morphisme sera notée Sk(x) • C'est donc un groupe isomorphe à ^(^^O/jf*/^ ,
c'est-à-dire à PGL( 2, K ).
Pour tout couple (M, u) G GL( 2, K ) x If (X), posons
(5) Vm{u) = iPm*x(u) =uo(M*X) = uoy>M(X)
Puisque içm = V>M*x e^ M + X e 2£k(x) , d'après ce qu'on vient de voir, <pm est un
JC-automorphisme de K(X).
Pour tout triplet (M, M',u) G GL( 2, K ) x OL( 2, K ) x K(X), on a:
(<Pm* 0(Pm){u) = <£m{u)o (SfM,(X)) = uoSfM(X)oSfMt(X)
= uo{yM(x)oyM,{X)) = uoyMM,(x)
= Vm m » (u)
D'autre part, il est clair que <pj2 = Id^(x). On déduit de tout ce qui précède que
l'application
(€1 *:GL(2,K)-+AutK(K(X)), Af —> y>M-i
est un morphisme de groupes.
Théorème 22.3.2
Le morphisme de groupes # défini en (6) est surjectif, et son noyau est K*I2 • En
conséquence, par passage au quotient, il définit un isomorphisme de groupes:
PGL( 2, K ) —> K*tK{K(X))
Démonstration:
On vérifie que Ker (#) = {M G GL( 2, K ) | M • X = X} , d'où Ker (#) = K*I2 •
Montrons que # est surjectif. Soit a G Autj<:(.ftr(X)). Posons u = &{X). On a
K{u) = K(X), donc u G 3K/rW . Choisissons M G GL(2,K) telle que u = Af * X .
Alors ^m-1!^) = u = <*(^0, donc (fM-1 = a ^
Le théorème 22.3.2 ne s'étend pas aux corps K(X\,..., Xn) de fractions rationnelles
en n indéterminées sur K avec n > 2 . Pour n > 2 , le groupe Aut/^-K^-Xi, • • • >Xn))
est " très gros ", et de description malaisée pour n = 2 et largement inconnue pour
n > 3 . C'est l'une des raisons pour lesquelles la théorie des corps de fonctions algébriques
d'une seule variable est plus riche que celle des corps de fonctions algébriques de deux
variables ou plus.
22.3.3 Le théorème de Liiroth
Dans cette section, nous allons compléter le théorème 22.3.1 et son corollaire 1, en
déterminant tous les sous-corps L de K(X) qui contiennent K . Dans tout ce qui suit,
on notera T une indéterminée sur K(X). Le théorème suivant est appelé théorème de
Lûroth:
Chapitre 22 , § 3
Fractions rationnelles 37
Théorème 22.3.3
Soit L un sous-corps de K(X) tel que K C L. L'ensemble Al des u e L tels
que L = K{u) est non vide. Si uq e A, on a Al = Orb0L(2,/c)(wo) •
Démonstration:
La dernière assertion est conséquence immédiate du corollaire 1 du théorème 22.3.1.
Soit d = Minv€//\,K-(Deg (v)) (on a donc d > 1, et d = 1 ssi L = K(X) ). Soit .M
l'ensemble (qui est non vide) des v e L tels que Deg (v) = d. Nous allons montrer que
Aj, = M . Subsidiairement, il s'ensuivra que \K{X) : L] = d. En vertu de la dernière
assertion et de la proposition 22.3.1, tout se ramène à prouver que M C Al •
Soit donc u e M . D'après le corollaire 1 du théorème 22.3.1, Al est réunion de
GL(2,K)-orbites, donc u e Al ssi Al n OrbOL(2,K')('w) ¥" 0- Quitte, si nécessaire, à
remplacer u par M*u avec M €GL(2,-ftT) convenable, on peut supposer que u admet
une forme irréductible (A, B) telle que deg (A) > deg (B), d'où alors d = deg (A).
Soit F e L[T] défini par:
(7) TO-^-^n-1™^
Le polynôme F est normalisé, de degré d, et appartient à (if(u)) [î1] . On sait déjà
qu'il est irréductible dans (K(u)) [T] (voir démonstration du théorème 22.3.1).
• Montrons que F est irréductible dans L[T] . Supposons que F = t/V avec U
et V éléments de L[T] tous deux normalisés, de degrés respectifs m > 1 et n > 1.
Remarquons que U £ K[T] et V $ K[T] , sinon il y aurait un À € K tel que
A(X) - uB(X) = 0, ce qui est impossible (si B(X) = 0, cela entraînerait A(X) = 0
et donc A et B ne seraient pas premiers entre eux; et si B(X) ^ 0, alors on aurait
u = -^Wy € K, ce qui est absurde). En réduisant les coefficients de U et V au même
dénominateur, on a:
fc=m 1 fc=n
avec: uk(X) € #[*] et V^X) € ^W pour tout (Jfc,*); u0(X)v0(X) ^ 0 ;
uo, • • •, Um premiers entre eux dans leur ensemble dans K [X ] , et v0,..., vn premiers
entre eux dans leur ensemble dans K[X] . Les suites (i^) et (vi) sont déterminées
de manière unique à la multiplication près par un élément de K* . Les polynômes
numérateurs (éléments de ( K [ X} ) [ T} = K [ X, T ] ) :
k=m k=n
%T) = £ uk{X)Tm-k ; V(T) = £ t;fc(X)Tn-*
fc=0 fc=0
sont K[X]-primitifs, donc W est K[X]-primitif. On a F = ^W. Mais le
polynôme B(X)A(T) - A(X)B(T) est K [X ] -primitif, parce que son terme dominant
est A(X)Td , parce que deg (A) > deg (B) et parce que A et B sont premiers entre
eux. Puisque B(X)A(T) - A(X)B(T) est K [X ) -primitif, quitte à multiplier les suites
(ui) et (v^ par un élément convenable de K* , on peut supposer que:
(8) u0(X)v0(X) = B(X) ; %T)V(T) = B(X)A(T) - A(X)B(T)
Notons degx le degré partiel par rapport à X dans K[X,T] . Il est immédiat que
degx{{B(X)A(T) - A(X)B(T)) = d = degx(°ll) + degx(Y). Montrons par l'absurde
que degx(°U) = 0 ou degx(V) = 0: sinon, on aurait 1 < degx(°U) < d. Nous
avons vu que U $ K[T] ; choisissons i e [l,mj tel que ^ £ K. On a alors
deg (u^ < d, mais aussi deg (u0) < d (car deg (B) < d et u0 divise B dans
38 FRACTIONS RATIONNELLES, FONCTIONS ALGEBRIQUES
K [ X] ), d'où Deg l^j < d, ce qui contredit la définition de d car ^ e L\ K .
Cette contradiction montre que degA-(°lt) = 0 ou degx(Y) = 0. Supposons par
exemple que degx(°lt) = 0 : alors uo € K* , d'où U G K [T] , ce qui est absurde (nous avons
vu plus haut que U £ K [T] et V £ K [T] ). Un tel couple (U, V) ne peut donc pas
exister, ce qui prouve que F(T) est irréductible dans L [T] .
• D'après le théorème 22.3.1, on a \K{X) : K(u)] = d. Le corps K(X) est extension
finie de K(u), donc aussi de L , et L est extension finie de K(u). Puisque F(T) est
de degré d et irréductible dans L[T] , on a [if(X) : L] > d. Par transitivité des
degrés d'extensions, on a [K(X) : K(u) ] = \K{X) : L] [L : #(u) ], ce qui force à avoir
\K(X) : L] = d et [L : K(u) ] = 1, autrement dit L = K(u) ■
Chapitre XXIII
RAMIFICATION DES CORPS
DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE
Ce chapitre est consacré à Vétude de la ramification des fonctions algébriques d'une
variable. La notion de ramification présentée ici est Valgébrisation du phénomène de
ramification dans le concept ancien de fonction multiforme.
Les résultats de ce chapitre seront utilisés de manière essentielle dans toute la suite, et
particulièrement aux chapitres 27 et 28 qui traitent des groupes polyédraux. Au chapitre
28, ce sont les théorèmes de base sur la ramification qui permettent de donner un exposé
correct de Véquation de Halphen.
Dans tout ce qui suit, K désignera un corps commutatif, qui sera le corps " de base ".
§ 23.1 Valuations
Nous allons reprendre la notion de valuation, qui a été abordée au chapitre V (tome
1). On utilisera la partie IR U {+00} de la droite numérique achevée; rappelons que par
convention, p + (+00) = +oc pour tout p e Ru {+00} , et x < -(-00 pour tout x^R.
23.1.1 Généralités
Définition 23.1.1
Soit L un corps commutatif. On appelle valuation (réelle) de L toute application
v : L —► R U {+00} vérifiant les conditions suivantes:
( v(x) = +00 ssi x = Ol
(!) J (V(x,y) eLx L) v(xy) = v{x) + v{y)
I (V(a;,î/)eLxL) v(x + y) > Min(v(ar), v(y))
La notion la plus générale de valuation se définit de même, mais avec un ensemble d'arrivée de
la forme Gu{+oo} , où G est un groupe totalement ordonné quelconque. Dans cet ouvrage, nous
ne considérerons que des valuations réelles, aussi les appellerons-nous simplement vaiuations.
La troisième condition (1) sera appelée l'inégalité triangulaire ultramétrique.
Les conditions (1) entraînent v(1l) = v{\l) + v(\i) = v{-1l) + v(-Il) , d'où
successivement v(\l) = 0 et v(—1l) = 0, d'où v(—x) = v((—Il)x) = v(—Il) 4- v(x) = v(x)
pour tout x E L . De plus:
(2) (V(xyy)eLxL) (v(x) ^ v(y)) => (v{x + y) = Min(t;(x),t;(y)))
Pour prouver (2), le seul cas non évident à traiter est celui où x ^ 0 et y ^ 0.
Plaçons-nous dans ce cas, et supposons par exemple v(x) < v(y) ; on a
v(x) = v((x + y) - y)+ > Min(t;(z -h y), v(-y)) = Min(v(a; -h y),v(y))
mais comme v(x) < v(y), nécessairement v(x) > v(x -h y). D'après (1), on a aussi
v(x 4- y) > v(x) , d'où v(x -f y) = v(x), ce qui prouve bien (2). .
En posant v(0) = +00 et v(x) = 0 pour tout x G L* , on obtient une valuation sur
L, dite triviale.
Pour tout sous-corps F de L et pour toute valuation v de L, la restriction w de
v à F est une valuation de F. On dit que v est triviale sur F ssi w est triviale.
Si v est une valuation de L sur K, A v est une valuation de L. Deux valuations v\
et V2 de L sur K sont dites équivalentes ssi il existe p eU* tel que V2 = pv\ . On
définit ainsi une relation d'équivalence sur l'ensemble des valuations de L .
Si v est une valuation de L , on déduit des deux premières conditions (1) que v{L*)
est un sous-groupe du groupe additif (R, +). On sait qu'un tel sous-groupe est discret ou
40 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
partout dense. La valuation v est triviale ssi le sous-groupe v(L*) est {0}. Elle est dite
discrète ssi v(L*) est discret non nul. Deux valuations équivalentes sont triviales (resp.
discrètes) en même temps. La valuation v est discrète ssi v{L*) = aZ avec a € R+ ;
s'il en est ainsi, la valuation discrète £ v est équivalente à v et on a \ v(L*) = Z . Une
valuation v discrète est dite normalisée ssi v(L*) = Z ; donc toute valuation discrète
de L est équivalente à une (et évidemment à une seule) valuation discrète normalisée.
Indice de ramification
Soit F un sous-corps de L et soit v une valuation discrète normalisée de L . Notons
w la valuation de F restriction de v . Alors v(F*) est un sous-groupe de v (L*), donc
v(F*) = eZ avec e eN. On a e = 0 ssi w est triviale; si w est non triviale, elle est
donc discrète (et non normalisée lorsque e > 1 ): dans ce cas (et dans ce cas seulement),
Tentier e s'appelle Vindice de ramification de v sur F. Pour toute valuation v'
de L équivalente à v , il est clair qu'on a v'(F*) = ev'{L*) (que e soit nul ou non).
Soit maintenant E et F deux sous-corps de L, avec F C E. Soit v une valuation
discrète normalisée de L ; supposons que la restriction de v à F est non-triviale (sa
restriction à E est donc a fortiori non-triviale). Soit respectivement e et f l'indice de
ramification de v sur E et F. Soit w la valuation discrète normalisée équivalente à
la restriction de v à F , et soit g l'indice de ramification de v sur E . On a v = ew ,
w(F*) = /Z et v(F*) = gZ, donc v(F*) = ew(F*) = e/Z = pZ, d'où g = ef.
Cette importante propriété s'appelle la transitivité des indices de ramification.
Anneau d'une valuation, centre d'une valuation
Soit v une valuation de L. L'ensemble Av = {x e L \ v(x) > 0} est un sous-anneau
de L, appelée Vanneau de v ; l'ensemble Cv = {x e L | v(x) > 0} est un idéal de
Av , appelé le centre de v. On voit immédiatement que l'ensemble {x e L \ v(x) = 0}
est le groupe U{AV) des éléments inversibles de Av . Donc Cv est le complémentaire
du groupe U(AV) dans Av , et par suite Cv est l'unique idéal maximal, il contient tout
autre idéal; l'anneau Av est donc local (l) .Le corps 3ty = ^v/cv est appelé le corps
résiduel de la valuation.
D'après la deuxième propriété (1), pour tout x € I* , on a v(x) -f- v(x~l) = 0, donc
x e Av ou x~l € Av . Il en découle notamment que L est le corps des fractions de
Av . On a L = Av ssi v est triviale, et cette propriété est équivalente à Cv = {0} , et
entraîne que ÏZV s'identifie canoniquement à L. Si v est non triviale, Av n'est pas un
corps puisque Cv ^ {0} .
Deux valuations équivalentes admettent même anneau de valuation, même centre et
même corps résiduel.
Exemple 23.1.1 :
Soit A un anneau factoriel et K son corps des fractions. Supposons A ^ K , et soit
{vJijiçi un système représentatif d'éléments irréductibles de A. Rappelons que pour
tout ensemble 2P et tout groupe abélien G (noté additivement), on note le sous-
groupe du groupe produit G^ formé des familles (<7a)A€<5> à support fini. L'application
W(A)xZ(;)->r, (Me*)*/) — AjJ^
est un isomorphisme de groupes (étant entendu que U{ A) x Z^ est muni de la structure
dégroupe produit de U{A) et Z^ ). Pour chaque i £ /, on note Val^ l'application
de K dans Ru{+oo} qui envoie 0 sur +oo et qui associe, atout x e /C* , l'exposant a*
( ) Rappelons qu'un anneau commutatif est dit local ssi il admet un unique idéal maximal.
Chapitre 23 , § 1
Valuations 41
dans la décomposition de x sous la forme À Yljei wj * avec
A G U{A) et (aj)j€I G Z<'>.
Alors pour tout i, ValWi est une valuation discrète normalisée sur K,, dont le corps
résiduel TZi s'identifie à une extension du corps des fractions de Panneau intègre ^/wiA •
En effet, soit A% l'anneau de la valuation ValPi et VPi son centre, d'où TZi = ^/çÇi •
Il est immédiat que ^JJj = WiAi. Soit (fi : Ai —► Ht le morphisme d'anneaux canonique
et ipi le morphisme d'anneaux A —► 7£j, a »-» ^(a). Du fait que l'idéal pi = ^%A de A
est premier, on déduit que ^_1(^Pi) = WiA ; donc par passage au quotient, ^» définit
un morphisme d'anneaux injectif ^ : ^/wiA -* ^» » Qui se prolonge de manière unique
en un plongement (fi du corps des fractions de ^-/wiA dans TZi. En anticipant sur
les résultats du paragraphe 23.2, Ai est le localisé de A en l'idéal premier WiA, donc
(proposition 23.2.7) TZi est en fait égal au corps des fractions de ^/r^A • En particulier,
si l'idéal m^A est maximal, on a TZi = ^/wiA •
Si A est principal, montrons directement que sPi est un isomorphisme du corps
A/WiA sur le corps TZi (d'où alors ^ = ^ ). Il suffit de vérifier la surjectivité de ^ .
Soit f = (fi(x) G TZi î où x G Ai. Il s'agit de montrer l'existence d'un a G A tel que
x — ae ^îi = WiAi. Soit (u, v) G A x (A \ {0}) un représentant irréductible de x . Par
définition de Ai, on a v £ WiA , donc m% et t> sont premiers entre eux. Puisque A est
principal, on a (a, 6) G A x A tel que ai; -h 6t<7i = u , d'où:
u — av b Â
x - a = = Wi - G ta» .A»
t; v
ce qui achève de montrer que &i est surjectif donc bijectif.
Notons que la valuation ValPi ne dépend que de l'idéal principal premier pi et non
du choix de zu» tel que pi = WiA. On peut donc noter Val^ au lieu de Vala7i . Les
valuations ValWi sont de manière évidente deux à deux distinctes +
Exemple 23.1.2 :
Prenons L = Q . Soit V l'ensemble des entiers naturels premiers. D'après l'exemple
23.1.1 (appliqué avec l'anneau principal Z), tout p G V définit une valuation discrète
normalisée Valp sur Q, dont le corps résiduel est Fp = ^-/pj_ , et appelée valuation
p-adique sur Q . On peut montrer que toute valuation de Q est équivalente à l'une des
valuations p-adiques (théorème d'Ostrowski) +
Propriétés de l'anneau d'une valuation
Proposition 23.1.1
Soit L un corps commutatif et v une valuation de L. L'anneau Av de v est
intégralement clos. Soit w une autre valuation de L , d'anneau Aw ; notons
respectivement Cv et Cw les centres de v et de w. On a Aw C Av ssi Cv C Cw .
Dém ons t rat ion :
Soit x e L* entier sur Av . On a donc un entier n > 1 et des éléments ai,... ,a„
de Av tels que xn = £*=" o>kXn~k , avec an ^ 0. Supposons v(x) < 0. D'après
les propriétés (1), on a v(dkXn~k) = v(dk) + (n - k)v(x) > (n - l)v(x) pour tout
A; G [l,nj, d'où v(£fc-î ***""*) > (n - l)v(x). Mais v{xn) = nv{x) < (n - l)v{x),
d'où une contradiction. Cette contradiction montre que v(x) > 0 , i.e. x G Av .
Supposons que C„ C Cw . Supposons trouvé x G Aw \ Av . Alors w(x) > 0 et
v(x) < 0, donc v(x~l) > 0, donc iy(x_1) > 0, ce qui est absurde. Cette contradiction
prouve que Aw C Av .
Supposons que Aw C Av . Supposons trouvé x G Cv \ Cw . Alors v(x) > 0 et
w(x) < 0, donc w(x~l) > 0, donc v(x~l) > 0, donc v(x) < 0, ce qui est absurde.
Cette contradiction prouve que Cv C C^ ■
42 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Théorème 23.1.1
Soit L un corps commutatif et soit v une vaîuation discrète normalisée de L.
L'anneau Av de v est principal et n'admet, à la multiplication près par un élément
inversible de Av , qu'un élément irréductible. L'anneau Av est maximal parmi les
sous-anneaux de L autres que L . Les seules valuations de L dont l'anneau est Av
sont les valuations équivalentes à v , elles sont donc discrètes.
Démonstration ;
Notons Cv le centre de v . Soit w G L tel que v(w) = 1 ; on a donc w G Cv . Soit
x G L* , posons m = v(x). En utilisant (1), on a v(xw~m) = v(x) — mv(w) = 0, donc
À = xw~m G Av\Cv = U(Ay), et on a x = Xwm . Munissons U(AV) xZ de la structure
de groupe produit. L'application
(3) Tm : U(Ay) xZ-^L*, (A, m) »—> Xwm
est un morphisme de groupes, surjectif d'après ce qu'on vient de voir. Ce morphisme
est injectif, car son noyau est l'ensemble des couples (A, m) tels que Xwm = 1,
relation qui implique v(Xwm) = v(X) + mv(w) = m = v(l) = 0, d'où m = 0, d'où
A = 1, donc ce noyau est réduit à l'élément neutre. L'application (3) est donc un iso-
morphisme de groupes, qui envoie le monoïde U(AV) x N sur Av \ {0} . On en déduit
que l'anneau Av est factoriel, admet une unique classe d'éléments associés irréductibles,
qui est U(AV) w, et que Cv = wAv . On voit en outre que pour tout x G L* , on a
^"^1(x) = (xw~v(x\v(x)). Soit a un idéal non nul de Av , et notons m le minimum
des entiers v(a) quand a décrit a \ {0} . Fixons x G a \ {0} tel que v(x) = m.
On a ^(x) = (xw-m,m), donc wm € a. Si y G a \ {0} , on a v(y) > m, d'où
v(yvj~m) = v(y) — m > 0, i.e. £ = yw~~m G Av ; comme y = £ti7m , on voit que
y G wmAv , d'où l'on déduit que a = wmAv . Tous les idéaux de Av sont donc
principaux ( de façon précise, l'application m »—► wmAv définit une bijection décroissante de
M sur l'ensemble des idéaux non nuls de Av ), donc Av est bien un anneau principal.
Soit x e L\AV\ nous allons montrer que Av [ x ] = L, ce qui prouvera bien que
Av est un sous-anneau maximal parmi les sous-anneaux de L distincts de L. Soit
(A,m) = T~l(x). On a m < 0 puisque x ^ Av . Alors y = ^m_1x G ^4V [x] , donc
w~l = X~ly G A,[x] • H est clair que L = Av[w~l) , d'où ^[x] = L, comme
attendu.
Soit w une vaîuation de L dont l'anneau est Av. Elle est donc non-triviale. Pour
tout x G L* , soit Xx = xw~vW , d'où Xx G U{A) et x = A*^^ . On a alors
w(x) = î^(Ax) -f w(w)v(x) = w(w)v(x). Nécessairement w(w) > 0, sinon la vaîuation
w serait triviale; on en déduit que w = pv , avec /? = w(w) M
Soit toujours L un corps, et F un sous-corps de L. Pour toute vaîuation v de L,
nous avons vu que la restriction w de v à F est une vaîuation de F. Un problème
important est de savoir si on obtient ainsi toutes les valuations de F : c'est le problème du
prolongement à L des valuations de F . Ce problème conduit au concept de ramification
et sera abordé plus loin dans le cas des corps de fonctions algébriques d'une variable et
des valuations au-dessus du corps de base, définies ci-dessous. La première question qui
se pose est de savoir, quand la vaîuation v est non triviale, si w est triviale ou non.
Proposition 23.1.2
Soit L un corps commutatif et F un sous-corps de L sur lequel L est algébrique.
Toute vaîuation de L qui est triviale sur F est triviale.
Chapitre 23 , § 1
Valuations 43
Démonstration:
Soit v une valuation de L sur F. Soit igL\F, notons T une indéterminée sur
L , et posons P(T) = lrrX}F(T) = Td + £*=? a*Td-fc (on a d > 2 , donc ad ^ 0 , car
z ^ F). Soit I Pensemble des A; G [l,dj tels que a* ^ 0. On a J ^ 0, car 0,4 € I-
On a xd = -Et=iafc^"fc . d'où:
(4) v(xd) = dv(z) = t> ( J^ <*fca:d-* )
\fc€/ /
Pour tout k e I, on a v(afc) = 0 , d'où t>(afcXd~fc) = v(a^) -f (d - A;)t;(:r) = (d - k)v(x).
Si v(x) > 0, on déduit de (2) que
v ( ^2 akXd~k ) = Min (v(afcxd-fc)) = t;(ad) = 0
\kei J fc€/
alors que v(xd) = dv(x) > 0, en contradiction avec (4). Si v(x) < 0, soit y = x~l :
alors y e L\F et v(y) = -v(x) > 0, ce qui est absurde, donc v(x) =0 ■
Corollaire
Soit L un corps commutatif et F un sous-corps de L , tel que L soit algébrique sur
F . Soit v une valuation non triviale de L . Alors la restriction w de v à F est
une valuation non triviale de F . En conséquence, si v est une valuation discrète, w
est une valuation discrète.
Valuations au-dessus de K
Soit L une extension de K. On appelle valuation de L au-dessus de K (ou:
sur K ) toute valuation de L qui est triviale sur K. Si v est une valuation de L
sur K, il est immédiat que son anneau de valuation et son corps résiduel sont des K~
algèbres, et que la restriction de t; à un sous-corps F de L contenant K est une
valuation de F au-dessus de K. En particulier, le passage aux corps résiduels ne fait
pas changer de caractéristique, ce qui est une différence essentielle avec les valuations
utilisées en théorie algébrique des nombres (étude des corps de nombres): dans ce dernier
cas, la caractéristique résiduelle est non nulle, alors que les corps de nombres sont de
caaractéristique nulle.
Exemple 23.1.3 :
Soit K un corps commutatif et T une indéterminée sur K. Considérons le corps
L = K((T)) des séries formelles méromorphes en l'indéterminée T à coefficients dans
K , i.e. des séries formelles à exposants dans Z de la forme U = YlkçZ ukFk telles que
l'ensemble {k € Z_ | Uk ^ 0} soit fini. Sur le corps L, la fonction Val, définie par
Val(0) = +00 et, si U ^ 0, par Val(C/) = Min({A; G Z \ uk ^ 0}), est une valuation
au-dessus de K (appelée la valuation naturelle de L). Cette valuation est discrète et
normalisée. Sa restriction au corps K(T) des fractions rationnelles en T (qui est bien
une sous-K-algèbre de L ) est la valuation T-adique de K(T) considéré comme corps
des fractions de l'anneau principal K[T] (cf. exemple 23.1.1). L'anneau de la valuation
Val sur L est la /^-algèbre AT [[T]] des séries formelles entières en T à coefficients
dans K. Le centre de Val est Tiif [[T]] , et son corps résiduel est canoniquement
isomorphe à K +
44 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Exemple 23.1.4:
Soit K un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique nulle et T une
indéterminée sur K. Soit Puisx(T) le corps des séries du Puiseux en T à
coefficients dans K (voir par exemple [3]). Rappelons que les éléments de Puis k(T) sont
les séries formelles en T à coefficients dans K et à exposants dans Q de la forme
U = J2kel U^1J -> ou N est un entier > 1 et où l'ensemble {k G Z_ | Uk ^ 0}
est fini. On définit la fonction Val sur Fuisx(T) en posant Val(0) = +oo , et, si
U ^ 0, Val(U) = Min^€z)Ufc/0(^) • La fonction Val ainsi définie est une valuation
de Puisic(T) au-dessus de K (dite naturelle), qui est non discrète (l'ensemble des
valeurs de Val est Q U {+00} ). L'anneau A de Val est la X-algèbre des séries de
Puiseux de la forme U = 5Z*c€n WfcT"^ , où N est un entier > 1 quelconque; cet anneau
n'admet aucun élément irréductible, car tout élément de cet anneau est visiblement un
carré (en effet, soit U = XTr{l + YlkzN* T*), où N G M * et où r G Q+ , un élément
de cet anneau. Posons r = T& . Alors U = V2 , où V = T?(l 4- ^2k>i ukTk)^ )• Le
corps résiduel s'identifie canoniquement à K . Il est immédiat que A est un sous-anneau
maximal de Puisj^T') parmi ses sous-anneaux distincts de PuisK(^) ♦
Anneaux de valuation discrète
Définition 23.1.2
On appelle anneau de valuation discrète tout anneau principal dans lequel il y
a exactement une classe d'éléments associés irréductibles. Ces éléments irréductibles
sont appelés les uniformisantes de Vanneau.
Soit A un anneau de valuation discrète et w une uniformisante de A. Notons
K le corps des fractions de A. Les assertions suivantes sont de vérification facile ou
immédiate: l'idéal p = wA est l'unique idéal maximal de A (et même l'unique idéal
premier), donc contient tout idéal de A. On a U(A) = A \ p , et l'application
(5) U(A) x Z — K* , (A, m) h— \wm
est un isomorphisme de groupes. L'application de M dans l'ensemble des idéaux de
A qui, à tout me N, associe wmA = pm est bijective. L'application de K dans
Ru {+00} qui envoie 0 sur +00 et qui, à tout x G K* , associe l'unique m G Z tel que
xw~m G U{A) est une valuation discrète normalisée de K, dont l'anneau de valuation
est A (en conformité avec le théorème 23.1.1, cette valuation est donc indépendante
du choix de w, ce qui est d'ailleurs évident directement). Le fait que l'anneau A est
intégralement clos (cf. proposition 23.1.1) est ici de vérification directe, puisqu'il est
factoriel.
D'après l'étude ci-dessus, si L désigne un corps commutatif, l'anneau de toute
valuation discrète de L est un anneau de valuation discrète.
Remarque 23.1.1 :
Soit A un anneau factoriel ayant exactement une classe d'éléments associés irréductibles. Soit w
un élément irréductible de A , notons K le corps des fractions de A et v la valuation de T définie par
w . Alors v est une valuation discrète de K , dont l'anneau est A , donc A est un anneau de valuation
discrète et en particulier est principal. On obtient donc une définion équivalente à la la définition 23.1.2
en y remplaçant " principal " par " factoriel " +
Par la suite, nous aurons besoin du théorème de caractérisation suivant des anneaux
de valuation discrète (toutes les conditions énoncées étant évidemment nécessaires pour
que A soit un anneau de valuation discrète):
Chapitre 23 , § 1
Vaîuations 45
Théorème 23.1.2
Soit A un anneau intègre nœthérien local, d'idéal maximal ttt ^ {0} .
(I) Supposons J'idéal m principal; alors A est un anneau de valuation discrète.
(II) Supposons A intégralement clos} et que ttt est ïunique idéal premier non nul
de A ; alors A est un anneau de valuation discrète.
Démonstration:
• Assertion (I):
Soit w G ttt tel que ttt = wA. Montrons que les seuls idéaux non nuls stricts de
A sont les wkA, où k G N* . Soit a un idéal tel que {0} ^ a C ttt. L'ensemble £
des entiers k > 1 tels que a C wkA est non vide (on a 1 G £ ), et c'est un intervalle
de N* . Montrons que £ est fini. Soit a G a \ {0} , montrons par l'absurde que
a ^ ^k>\TZkA : sinon, on aurait une suite (xk)k>i dans A\ {0} telle que a = wkXk
pour tout A;. La suite d'idéaux {xkA)k>\ étant croissante, elle est stationnaire; on a
donc un entier n > 1 tel que xnA = xn+\A ; alors xn = £xn+i avec £ G U(A), d'où
Œ7na;n = wn'irlxn+i = £tuna;n+i, d'où £ = ta, ce qui est absurde. On a donc bien
a ^ n^iz^A . Par suite, a £ r\k>\wkA, donc 5 est fini. Soit m le maximum de £ .
Soit b l'idéal {A G A | wm\ G a} de A . Si on avait b C ttt, on aurait a C tum+1 A ,
ce qui est absurde. Donc b = A, d'où wm G a, d'où wmA C a C cam-4 et par suite
a = wmA.
On déduit de là que l'anneau A est principal, et que l'ensemble de ses éléments
irréductibles est wU(A) ; c'est donc un anneau de valuation discrète.
• Assertion (II):
On notera K le corps des fractions de A .
Il suffit de montrer que l'idéal ttt est principal. Fixons t G ttl\{0} . Soit Q l'anneau
quotient ^/tA et cp : A —► Q le morphisme canonique. L'anneau Q est nœthérien
(tout anneau quotient d'un anneau nœthérien est nœthérien). En associant, à tout idéal
premier p de A contenant tA, l'idéal <p(p) de Q, on obtient une bijection croissante
de l'ensemble des idéaux premiers de A contenant tA sur l'ensemble des idéaux premiers
de Q , dont la bijection réciproque est q i—► ^_1((l). Donc Q n'a qu'un idéal premier,
qui est l'idéal maximal <p(flt). À tout x G Q , associons son idéal Q-annulateur
AnnQ(x) = {y G Q \ xy = 0}
Soit £ l'ensemble {AnriQ(a:)}:E€Q\{o} : il est non vide (car Q ^ {0}), donc admet un
élément maximal (Q est nœthérien). Soit Anng(£) (où £ G Q \ {0} ) un tel élément
maximal. Montrons que l'idéal Anng(£) est premier. Soit (a, 6) G QxQ tel que a£^0,
6£ ^ 0 et abÇ = 0. On a alors 6 G AnriQ(a£) \ AnriQ(£) et AnriQ(£) C AnriQ(a£) G 5 ,
donc Annç(£) C AnriQ(a£), ce qui contredit la maximalité de AnriQ(£) dans £ : cette
contradiction montre bien que l'idéal AnriQ(£) est premier. Donc AnriQ(£) = <^(ttt) et
tn = <£-1(AnnQ(£)). Fixons x G A tel que <p(x) = £ ; on a x £ ttt car £ ^ 0. Pour
tout z G ttt, on a (p(x)^(z) = f<^(z) = 0» donc xz € t A. Donc 2 ttt C £A. Posons
y = xt"1 (c'est un élément de K). Puisque x £ ttt, on a y £ A; il est clair que
y ttt est un idéal de A , donc ou bien y m = A , ou bien y ttt C ttt. Soit ei,,..., e^
(avec N e N ) des éléments non nuls de ttt tels que ttt = ^2i<k<N ^e* (une teUe
suite existe parce que A est nœthérien). Si on avait y ttt C ttt, il existerait une famille
(^*.j)(ij)€|i,Nl2 d'éléments de A telle que ye{ = ]Ci<;><;v ^î,jej Pour tout * e [1, JV].
Comme les e* sont ^ 0 , le déterminant ZÏ de la matrice /# —(Âi,j)(i,j)eli,iVJ2 (élément
de 2JÎ;v(A) ) est donc nul, car l'anneau A est intègre. Or A = yN + XIkàkat^I/^"*1
avec c^A pour tout fc, donc Z\ = 0 constitue une relation de dépendance intégrale
pour y sur A. D'après l'hypothèse, il en découlerait y G A, ce qui est absurde; cette
contradiction montre qu'on a y ttt = A . Il existe donc un élément w G ttt, et un seul,
tel que yw = 1. Si /z G ttt, on a /i = {liy)vo et fiy e A; par suite, tuA = m ■
46 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES DVNE VARIABLE
En vue de généraliser le début de la preuve du théorème 23.1.2, nous aurons besoin
d'un lemme:
Lemme 23.1.1
Soit R un anneau noethérien et a un idéal de R; notons 3 = nn€N<ln . On a
3 = 3a.
Démonstration :
Comme 3a C 3 , il s'agit de prouver que 3 c3a.
Notons X une indéterminée sur R. Soit une suite (ai,...,ar) e Rr (où r > 1)
telle que Ci = YHZ\ ^-ai - Notons R' le sous-anneau R[a\X,... ,arX] = ©fc€i\|Xfcafc
de R[X] et 3' l'idéal de R' formé des éléments de R[X] à coefficients dans 3.
En tant qu'anneau quotient de l'anneau noethérien R [ Y\,..., Yr ] (où les Yj désignent
des indéterminées sur R), l'anneau R' est noethérien. D'après la définition de 3', un
polynôme Ylkei ^Xk e R[X] (où J est fini) appartient à 3' ssi \kXk e 3r pour
tout k e I. En d'autres termes, on a 3' = ®k€N^fc3 , Puisque Rr est noethérien, l'idéal
y est de type fini, et d'après ce qu'on vient de voir, on a donc une suite finie (£i,..., £«)
d'éléments de 3 et une suite (d\,... ,da) d'entiers > 0 telles que 3' = ^zXikX^R .
Soit m = Maxi<i<s(di). On a:
k=s k=s
Xm3 = Y^xm~dk (tkXdk3) = XmY^tk3e Xm3a
/t=i fc=i
d'où 3 ca3 ■
Proposition 23.1.3
Soit R un anneau noethérien.
(I) Supposons R local, d'idéal maximal m. On a nn€^mn = {0} . Si m ^ {0} ,
alors m ^ TU2 et si en outre R est réduit (i.e. sans élément nilpotent non nul),
alors la suite (ttln)n€N est strictement décroissante.
(II) Supposons R intègre; soit a un idéal de R (d^ R) . Ona nn€|^an = {0} .
Si a ^ {0} , on a a ^ a2 , et si ïidéal XtX n'est pas nilpotent, alors la suite (an)n€^
est strictement décroissante.
Démonstration:
Assertion (I):
Posons 3 = nn€Nltln , et supposons que 3 ^ {0}. On a 3 = Xtl3. Notons
(ai,... ,ajv) (où N > 1 ) une suite d'éléments de 3 \ {0} telle que 3 = YlkZ^ ^a*
(une telle suite existe parce que R est noethérien). Puisque 3 = m3 , on a une famille
(/iïj)(i,j)€|[i,Np d'éléments de m telle que
j=N
(6) (Vt€[l,JV]) a^^/i^-a;
comme les a* sont ^ 0, la relation (6) implique que le déterminant A de la matrice
In — (Mi.jOcij^Ii.N]]2 (élément de WÎn(R) ) vérifie Acii = 0 pour tout i (voir
proposition XI. 1, tome 2). Mais il est clair que A = 1 + /i avec /x G m, donc Zi ^ m , donc
A e U(R), d'où une contradiction puisque a» ^ 0 pour tout z. Cette contradiction
montre que 3 = {0} . Si îtl = m2 , par récurrence on voit que m = mk pour tout
k > 0, donc m = 3 = {0} .
Supposons maintenant l'idéal m non nilpotent (donc m ^ {0}). On a ttln ^ {0}
pour tout n (en effet, soit a e m \ {0} ; alors pour tout n , on a an e mn \ {0} ). La
suite (mn)n>o est décroissante; si, pour un certain k G N, on a mk = îtlfc+1 , on en
Chapitre 23 , § 1
Valuations 47
déduit par récurrence que ttlfc = ttlm pour tout m > k , d'où 3 = mfc ^ {0} . Comme
3 = {0} , on en déduit que mfc+1 c TUfc pour tout fc, i.e. la suite (tttn)n€N décroît
strictement.
Assertion (II):
Posons 3 — nn€Ndn . On a 3 = 3a. Supposons que 3 ^ {0} . En raisonnant
comme pour l'assertion (I), on montre l'existence de a € a tel que (1 + a) 3 = {0} .
Comme a ^ #, on a 1-J-a^O; puisque A est intègre, on en déduit que 3 = {0} , ce
qui est absurde. Cette contradiction montre que 3 = {0} . Le restant de l'assertion (II)
se démontre de la même manière que pour l'assertion (I) ■
Nous sommes maintenant en mesure de prouver le théorème fondamental du présent
paragraphe:
Théorème 23.1.3
Soit L un corps commutatif et A un sous-anneau de L qui nyest pas un corps. Les
assertions suivantes sont équivalentes:
(I) A est Vanneau d'une vaJuation discrète de L .
(II) A est un anneau de vaJuation discrète, et son corps des fractions est L .
(III) A est un anneau local nœthérien, d'idéal maximal TU ^ {0} , vérifiant la
condition (x G L \ A) => (x~"x G A).
(IV) A est nœthérien et est un sous-anneau strict maximal de L .
Démonstration:
On a vu ci-dessus que (I) entraîne (II), (III) et (IV).
Supposons (III) vraie. Remarquons que l'assertion "(x G L\ A) =>• (x"1 G A)"
équivaut à l'assertion " (x G L \ A) =>• (x-1 G m) ", puisque U(A) = A \ m. Montrons
que A est un anneau de valuation discrète. D'après le théorème 23.1.2, assertion (I), il
suffit pour cela de montrer que l'idéal m est principal. Soit w G m \ ttl2 (un tel tu
existe d'après la proposition 23.1.3). Soit x G m \ {0} ; si xw~l G A, alors x G vjA ;
si xm~l £ A , alors wx~x G m, d'où w G tlt2 , ce qui est absurde. Cette contradiction
montre que TU = wA et donc A est bien un anneau de valuation discrète. Il découle
maintenant de la démonstration du théorème 23.1.1 que (III) entraîne (IV).
Montrons que (II) entraîne (III): supposons (II) vraie. Soit p l'idéal maximal de A
et soit w € p tel que p = wA. L'application Tw : U(A) x Z —► L* , (A,m) i—► Xwm
est alors un isomorphisme de groupes puisque L est le corps des fractions de A. Notons
v la seconde fonction coordonnée de l'isomorphisme réciproque F~l . On a vu à la suite
de la définition 23.1.2 que v est une valuation discrète normalisée de L, dont l'anneau
est A, donc (III) est vraie (et on a aussi montré que (I) est vraie).
Il reste à montrer que (IV) entraîne (I). Supposons (IV) vraie. Montrons d'abord
que A est intégralement clos. Le corps des fractions de A est L puisque A n'est pas
un corps et que c'est un sous-anneau maximal. La clôture intégrale A de A dans son
corps des fractions L est soit A soit L . Supposons que A = L . Soit £ G A \ {0} ; par
hypothèse, £-1 est entier sur A. Soit m un entier >1 et des éléments Ai,...,Am_i
de A tels que £""m = £*=™ KC~m • En multipliant cette relation par £m-1, on obtient
d'où £-1 G A. Donc A est un corps, contrairement à l'hypothèse. Cette contradiction
montre bien que A est intégralement clos.
Montrons maintenant que
(7) (xeL\A) ==► (x"xgA)
48 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Soit x e L\A. D'après l'hypothèse, on a A[x] = L, donc x"1 € A [x] , i.e. on a un
entier m > 0 et des éléments Xi e A (où i e [0, mj ) tels que x"1 = $3**™ ^ix% • P°sant
y = x"1 , on en déduit ym+l - 521Z™ Ky™'1 = 0 , donc y est entier sur A . Puisque A
est intégralement clos, le polynôme Irry>x/(T) (où T désigne une indéterminée sur L)
appartient à A[T) . Or y G L , donc Irry,l(T) = T - y, d'où y 6 A , ce qui achève
de prouver (7).
Montrons que A est local. Il s'agit de montrer que l'ensemble m = A\U(A) est un
idéal. On a 0 G m, et m ^ {0} puisque A n'est pas un corps. Si x G m et si a G A,
on ne peut avoir ax G U(A), car sinon l'élément b = (ax)~l vérifierait (ba)x = 1, ce
qui impliquerait x G U(A) ; on a donc ax G m. Soit x G m \ {0} et y G m \ {0} ;
prouvons que x - y G m. D'après (7), ona |gA ou ^GA. Si ^ G A, alors
x — y = y(^ — 1) G TU , car y G ttl ; si |[ei, alors x — y = x(l — ^) G TU , car x G ttl.
Cela achève de prouver que l'anneau A est local, d'idéal maximal m .
On a m2 C TU (proposition 23.1.3). Fixons w G TU \ Ut2 . On va montrer que
m = m A , ce qui prouvera que A est un anneau de valuation discrète et qui établira (II)
puisque L est le corps des fractions de A . Cela achèvera la démonstration du théorème,
puisqu'on a a vu que (II) équivaut à (I). Raisonnons par l'absurde, en supposant trouvé
x G m \ wA. On a £ 4. A, donc ^ e A. Posons A = s . Alors ru = Ax ; si
\ ta ~ ' x x 7
on avait A G ttl, il en découlerait que w G ttl , ce qui est contraire au choix de w.
Donc A G U(A), d'où x = \~1zu, ce qui est absurde. Cette contradiction montre que
wA = m ■
Avec les notations du théorème 23.1.3, soit A un sous-anneau de L qui est un
l'anneau d'une valuation discrète de L. Notons p l'idéal maximal de A. L'unique
valuation discrète normalisée v de L dont A est l'anneau s'obtient comme il suit: on
choisit une uniformisante w de A. L'application
Tw : U(A) xZ—+L\ (A,m) —> \wm
est un isomorphisme de groupes. Alors:
Proposition 23.1.4
Dans les conditions et avec les notations ci-dessus, quel que soit le choix de zu, la
valuation v est la deuxième fonction coordonnée de l'isomorphisme réciproque F~l .
L'ensemble des sous-anneaux de L qui sont anneau d'une valuation discrète de L sera
appelé l'ensemble des sous-anneaux de valuation discrète maximaux de L. S'il
n'y a pas de risque de confusion, nous les appellerons simplement les sous-anneaux de
valuation discrète de L (attention: un sous-anneau de L qui est de valuation discrète
n'est donc pas forcément un sous-anneau de valuation discrète de L). En associant, à
toute valuation discrète normalisée de L , son anneau, on obtient une bijection naturelle
entre l'ensemble des valuations discrètes normalisées de L et l'ensemble des sous-anneaux
de valuation discrète de L. Si L est une extension de K, dans cette bijection, les
valuations discrètes normalisées au-dessus de K correspondent aux sous-anneaux de
valuation discrète de L contenant K (i.e. qui sont des sous-K-algèbres de L).
Théorème 23.1.4
Soit L un corps commutatif et F un sous-corps strict de L dont L est extension
algébrique unie. Soit v une valuation de L et w sa restriction à F. Supposons w
discrète. Alors v est discrète.
Démonstration:
On note T une indéterminée sur L. Soit n = [L : F]. Soit x G L\F ; notons
P(T) = Irrx,F(T) = Td 4- £fc€/ akTd~k , où / C [1, d] et ak G F* pour tout k G /.
Chapitre 23 , § 1
Valuations 49
Puisque x ^ F, on a d > 2 et d e I. De P(x) = 0 , on déduit:
(8) v(xd)=v[Y,*kXd-k)
\k£l J
Supposons d'abord avoir trouvé des éléments i et j de J tels que i < j et que
v{aixd'i) = v(cijXd~j). Alors v(ai) H- (d - i)t;(x) = v(cij) + (d - j)^(x), d'où:
(9) (j - i)v(x) = v{aj) - v(ûi)
Supposons maintenant que les (v(akXd~k))kei soient deux à deux distincts, et soit i € I
tel que v(aixd~i) = Min|c€/(t;(afea:d^;c)). Compte tenu que v(xd) = dv(x), on déduit
alors de (8) que v(xd) = v(a,iXd~l) = v(di) + (d - i)v(x) = dv(x), d'où:
(10) iv(x) = v(di)
D'après l'hypothèse, r = v(F*) est un sous-groupe additif discret non nul de R . Posons
N = n!. Comme d < n, il découle de (9) et (10) que v(x) G far. On en déduit
immédiatement que T = v(F*) C v(£*) C faT. Le sous-groupe additif far de R est
discret, donc le sous-groupe v(L*) est discret non nul ■
Signification de l'indice de ramification
Soit L un corps commutatif, v une valuation discrète normalisée de L et F un
sous-corps de L sur lequel v est non triviale. La valuation e/„F\ (V\F) de F est alors
discrète normalisée. Inversement, si w est une valuation discrète normalisée de F et si
v est une valuation discrète normalisée de L , on dit que v domine w (ou encore que
v est au-dessus de w , ou que v est une extension de w ) ssi la restriction de v à
F est non triviale et vérifie w = ; *F) HF) •
Dans la proposition suivante, pour toute valuation v d'un corps, nous noterons
respectivement Av son anneau de valuation et Cv son centre. Les uniformisantes de Av
seront simplement appelées les uniformisantes de v.
Proposition 23.1.5
Soit F un sous-corps d'un corps commutatif L ; soit respectivement v et w des
valuations discrètes normalisées de L et F . Les assertions suivantes sont équivalentes:
(I) v domine w .
(II) AvnF = Aw.
(III) cvnF = cw.
Si ces assertions sont vraies, Vidéal £w de Av engendré par Cw est £w = C*
Démonstration:
Notons w' = v\ . L'assertion (I) signifie que w' est IR+-proportionnelle à w .
Il est immédiat que (I) implique (II) et (III). Supposons (II) vraie; alors on a
Av> = Av H F = Aw , donc w' est non triviale, donc w' est discrète, et l'indice de
ramification e(v, F) est bien défini. D'après ce qu'on a vu à la suite de la proposition
23.1.4, on a donc w = e(vF) w* » autrement dit (I) est vraie, donc (III) est vraie.
Supposons (III) vraie. Soit x e F \ Av , i.e. tel que v(x) < 0; alors v(x~1) > 0,
donc w(x~l) > 0, donc w(x) < 0, i.e. x £ Aw . Donc Aw C Av n F. Inversement,
soit x e F \ Aw , i.e. tel que w(x) < 0. Alors w(x~l) > 0, donc v(x~l) > 0, donc
v(x) < 0, i.e. x $. Av , ce qui prouve que Av C\ F C Aw . Finalement Av H F = Aw ,
i.e. (II) est vraie, donc (I) est vraie. On a donc prouvé l'équivalence entre les assertions
(I), (II) et (III).
Supposons que v domine w. Posons e = e(v,F). Soit respectivement t et u des
uniformisantes de Av et Aw . D'après la proposition 23.1.4, on a v(t) = w(u) = 1 ;
50 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
donc v(u) = ew(u) = e, et par suite u = Xte , avec À G X \ Cv = W(A,) • H est clair
que (ttu = uAv . Donc C^ = <e.4v = C* ■
Surfaces de Riemann
Dans toute la suite de l'ouvrage, nous adopterons les notations et terminologies
suivantes. Étant donnée une extension L de K :
• L'ensemble des valuations discrètes normalisées de L au-dessus de K sera noté
BRK(L).
• L'ensemble des valuations discrètes de L au-dessus de K sera noté VD#(L).
• Si L est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K , l'ensemble SR/c(£)
sera appelé la surface de Riemann de L sur K (cette appellation sera justifiée ci-
dessous: nous verrons que sous cette hypothèse, VDx(Z/) est l'ensemble de toutes les
valuations non triviales de L au-dessus de K , cf. théorème 23.1.5).
En outre, si i? désigne un corps commutatif quelconque, on appelle sphère de
Riemann définie par !? (ou sphère de Riemann de Q ) l'ensemble i?U {oo/?} , où ooq
est un élément n'appartenant pas à Q et fixé une fois pour toutes. Cette sphère de
Riemann sera notée !? . Lorsque i? = C , la sphère de Riemann obtenue C est appelée
la sphère de Riemann usuelle. En plongeant C dans E = C x R , et en munissant
E de la structure euclidienne pour laquelle la R-base ((1,0), (±,0), (0,1)) est
orthonormale, on obtient une bijection naturelle St de la sphère euclidienne îf de E de centre
l'origine et de rayon 1 sur C en posant St((0,1)) = ooc (le point v = (0,1) est
appelé le pôle Nord de if) et, pour ( e if \ {v}, en en posant St(C) = z, où z est
le point de C sur la R-droite affine de E passant par v et £. La bijection St est
appelée projection stéréographique, c'est un homéomorphisme de Sf sur C muni de sa
topologie naturelle (de compactifié d'Alexandroff de C ).
Si L est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, il ne faut pas
confondre la surface de Riemann SR^(L) et la sphère de Riemann L . Ce qui importe
alors, surtout si K est algébriquement clos, ce sont les rapports entre SRk(L) et K.
Soit Li et I/2 deux extensions de K isomorphes, et soit <p : L\ —► L2 un K-
isomorphisme de L\ sur L2 . Il est immédiat que pour tout v G 8Rk(L2) » on a
vo(f e SR/c(Li) ; on obtient donc une application cp9 : SRx(^2) —► SRk(Li) , v »-* voip .
Si L3 est une troisième extension de K isomorphe à L\ et si tp est un /f-isomorphisme
de I/2 sur L3 , il est clair que (tp o <^)b = ip9 o -0b. Comme on a Id^ = Ul pour toute
extension L de K , on en déduit que <p*°(<p~1)* = Id^ et (<p~l)b'o^ = Id^2 , donc (pb
est bijective, sa application réciproque étant (<p~1)*. De plus, il est immédiat que pour
tout v e SRk(L2) , on a A^^) = <P~l(Av) et C^) = <p-1(cv), donc <p~l induit un
/f-isomorphisme 1CV^K^\>^ entre les corps résiduels de v et de (p*(v).
23.1.2 Valuations des corps de fractions rationnelles d'une
variable au-dessus du corps de base
Définition 23.1.3
On appelle corps de fractions rationnelles d'une variable sur K toute
extension transcendante pure L de K telle que degtrK(L) = 1. Si L est un tel corps,
tout élément t G L tel que L = K(t) sera appelé une variable de L sur K (ou
une K-variable de L), et l'ensemble des variables de L sur K sera noté 3€/c(L) •
Soit T une indéterminée sur K, et soit L un corps de fractions rationnelles d'une
variable sur K. Pour toute K-variable t de L, on a un if-isomorphisme et un seul
#L,t : K(T) —» L qui envoie T sur t, et il est bijectif. En appliquant les résultats
Chapitre 23 , § 1
Valuations 51
du paragraphe 22.3, on en déduit qu'on a une action à gauche naturelle de GL(2,if )
sur L\K , qui associe, à tout couple (M, u)=ffa J,uje GL( 2, K ) x (L\K),
l'élément M• u = ^ de L . Wc /
Pour tout (M,£7) € OL(2,K)xK(T), notons ^m(£7) = uo (M *T) (cf. relation (5)
du paragraphe 22.3). On a vu que </?a/ ainsi définie sur K(T) est un if-automorphisme
de K(T) ; on a aussi vu que l'application
OL(2,K)^AutK(K(T)), M —pM-i
est un morphisme de groupes surjectif, de noyau K* îi. On en déduit immédiatement
que pour toute /if-variable t de L et pour toute matrice M € OIi(2,K), l'application
^L,e ° Vm ° ^! : L —♦ L appartient à Aut^(i) ; en outre, si t est fixée, l'application
eLft : QL(2,/n—*AutK(L), M^^o^m-i^l'Î
est un morphisme de groupes surjectif, de noyau if * J2 ; enfin, d'après le corollaire 1 du
théorème 22.3.1, l'ensemble 1K,k{L) n'est autre que OrbOL(2,AT)(0 •
Le corps K(T) est le corps des fractions de l'anneau principal K[T] . Un système
représentatif d'éléments irréductibles de K [ T ] est l'ensemble 3> des polynômes
normalisés et irréductibles. L'application
(11) F:K*xZV-+K(T)*, (A, (aP)P^) >— A [J P"'
où if* x Z^ est muni de la structure de groupe produit et où K(T)* = K(T) \ {0} est
muni de sa structure naturelle de groupe multiplicatif, est un isomorphisme de groupes.
Pour tout P G i, on note Valp la valuation P-adique de K(T) (cf. exemple 23.1.1).
Cette valuation est au-dessus de K , discrète et normalisée. Les valuations (Valp)pe.*
sont deux à deux distinctes.
On rajoute à S l'élément 00k(t) > qu'on notera 00 pour abréger, sauf si des
confusions devaient en résulter. On vérifie facilement que l'application
<«> *m-*. /-{SU VrA
(où deg (/) est l'entier égal à deg (A) - deg (B) pour toute représentation
irréductible (A, B) de / ) est une valuation de K{T) au-dessus de K, discrète, normalisée
et distincte de toute Valp (P € .0). On la note Valoo • On conviendra de poser
deg (00) = —1. D'après les résultats établis au chapitre V (tome 1), on a:
Proposition 23.1.6
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, toute valuation non triviale de K(T)
au-dessus de K est discrète. L'application
iU {00} —► 8RK(K(T)), P 1—► Valp
est bijective, et on a:
( V/ € K(T) ) £ deg (F) ValP(/) = 0
P€^U{oo}
(la somme ci-dessus a bien un sens, car pour / fixée, la famille (Valp(/))p€^ est à
support fini).
Revenons au corps L de fractions rationnelles d'une variable sur K. Pour toute
variable t de L sur K et pour tout P G i, on notera Vl<lj> = Valpo^J ; on notera
VL,t,ooL =Valoo 0#L,t • Les VlXp (ou ? décrit i U {00} ) sont des valuations discrètes
normalisées de L sur K . On déduit alors immédiatement de la proposition 23.2.1:
52 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Corollaire
Toute valuation non triviale de L au-dessus de K est discrète. Pour toute variable
t de L sur K, Vapplication
rLyt : iU {00} —> SRk(L) , P >— Vl^p
est bijective, et on a:
(V/€L) ]T deg(P)VLytiP(f) = 0
P€$U{oo]
La bijection Yitt dépend du choix de t. Si u désigne une autre variable de L sur
K , l'application Y^t °°^l,u est une permutation de #U {00} , qui sera étudiée plus loin.
Pour toute valuation v G SRk(L) , on notera respectivement Av , Cv et fCv
l'anneau, le centre et le corps résiduel de v , et ipv : Av —► K,v le morphisme canonique.
Pour tout P G $, il est immédiat que l'anneau -4Vaip contient K[T] , et que
CValpDK[T} =PK[T] . Mais Aai,* H K [T] = K, donc Cvai^ n tf[T] = {0} .
La description (11) du groupe multiplicatif (K(T))* montre immédiatement que:
(13) K[T} = f| Aaip donc f|
P€^ P€*J{oo}
Pour tout P G $U {00} , notons $&L,t,P = -AvLit>P et &L,t,p = tvLitiP • On déduit de ce
qui précède:
\Ç\&L,t,P = K\t\ ; f| dL^P=K
(14) < Pe* pesu{oo}
[(VPGi) CLtt,pnK[t]=P(t)K[t] ; CL,t|0On/f[t] ={0}
Examinons maintenant les corps résiduels des éléments de SRk(L) . Il suffit de
considérer le cas où L = K{T). Si P € *, on a £VaiP = #[r]/p
K[T] d'après
l'exemple 23.1.1. Donc /CVaiP est une extension algébrique finie de K , monogène et de
degré deg (P). Si P = 00 , soit Z — ^ . On vérifie que K[Z] C -Avai^ » et que
(15) Valoo = Vk{T),z,t
donc d'après ce qu'on vient de voir, on a /Cvai^ = K : c'est donc une extension finie de
K, de degré 1 = -deg (00). En définitive, pour tout P G $ U {00} , le corps résiduel
/CVaip est une extension algébrique finie de K , monogène et de degré | deg (P) |. On
en déduit:
Proposition 23.1.7
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, pour tout v G SRk(L), le corps résiduel
Kv est une extension algébrique unie de K. En fait, pour tout P G $ U {00} , le
corps KyLt p est une extension algébrique finie de K , de degré | deg (P) |.
Dans la suite, pour tout point v G SR/c(L), nous noterons dv = [K,v : K]. On dira
que dv est le degré résiduel (absolu) de v. Pour tout choix de la variable t, on a
àvL.t.p = I de^ (-P) I P°ur tout P ^ ^ U {00} .
Application aux corps de fonctions algébriques d'une variable
Nous pouvons maintenant justifier l'intérêt particulier qu'on porte aux valuations
discrètes au-dessus du corps de base dans un corps de fonctions algébriques d'une variable:
Théorème 23.1.5
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K . Toutes les valuations
non triviales de L sur K sont discrètes. En d'autres termes, toute valuation non
triviale de L sur K est équivalente à un élément et un seul de SRk(L) •
Chapitre 23 , § 1
Valuations 53
Dém ons tration :
Soit (t) une if-base de transcendance de L . D'après le corollaire de la proposition
23.1.6, les valuations non triviales de K(t) au-dessus de K sont toutes discrètes. Soit
v une valuation non triviale de L sur K . Sa restriction w k K(t) est non triviale, car
L est extension algébrique finie de K(t) (corollaire de la proposition 23.1.2), donc est
discrète. D'après le théorème 23.1.4, la valuation v est discrète ■
Le très important théorème qui suit complète le théorème 23.1.3:
Théorème 23.1.6
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K . Soit A un sous-
anneau de L distinct de L, contenant K, et qui vérifie la condition que pour tout
x € L* , on a x G A ou x~* G A. Alors A est un sous-anneau de valuation discrète
de L sur K (i.e. c'est Vanneau d'une valuation discrètede L sur K ).
Démonstration:
Montrons d'abord que A est local d'idéal maximal non nul. Soit x e L\A; alors
x'1 e A\ U(A) (sinon on aurait x G A ), donc A \ U(A) ^ {0} . Soit m = A \ U(A).
On vient de voir que m ^ {0} . Il s'agit de montrer que m est un idéal de A. Il est
immédiat que si (À, x) G A x m, alors Ax G TU (si Xx est inversible, A et x sont
inversibles, ce qui est absurde puisque x G 1TI ). Soit (x, y) G (ttl \ {0}) x (m \ {0}). On
a x~ly G A ou xy~l e A. Si A = x~ly G A, alors x + t/ = x + Ax = (l + A)x G m.
On voit de même que si xy"1 G A, alors x + y G m. Cela achève de montrer que m
est un idéal, et donc que A est local (noter que cette partie de la démonstration n'utilise
pas l'hypothèse que L est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K ).
Nous allons maintenant prouver que l'idéal m est principal. Fixons x G m \ {0} ;
si x était algébrique sur K, on aurait x-1 G K(x) = K[x] C A, donc x G U{A),
ce qui est absurde. Donc x est K-transcendant, et par suite L est extension finie de
F = K(x). Pour tout entier k > 1, notons Mk l'image de l'application
(m\{0})fc —+m, (ui,...,!**)»—> JJtii
Nous allons montrer que l'ensemble des entiers k tels que x G Mk est majoré par
dx = [L : F]. Supposons en effet que x G Mk avec k > 2, et soit t*i,... ,Uk des
éléments de m \ {0} tels que x = u\ • • • Uk . Pour tout i G (1, A;J, soit U = YVjZi uj î
montrons par l'absurde que la suite (<i,... ,£fc) est F-linéairement indépendante, ce qui
entraînera que k < d. Supposons que la suite (ti)i<i<fc soit F-liée. En chassant les
dénominateurs dans une relations de dépendance F-linéaire entre les U , on obtient une
relation de la forme J3î=i ^tW*» = 0 > avec ^(z) € ^ [x] Pour tout z et les </?i non
tous nuls. En divisant les y>i par leur pgcd dans K[x] , on voit qu'on peut supposer
les (fi premiers entre eux dans leur ensemble dans K[x] ; en particulier, les termes
constants des ^ (considérés comme polynômes en x à coefficients dans K ) ne sont
pas tous nuls, puisque k > 2 . Pour tout i G [1, A;J, notons a* le terme constant de (fi.
Soit m le plus grand entier i G [l,fcj tel que a* ^ 0. On a £j-«m+i <Pj{x)tj G xTU ;
soit A G Itt tel que ]Cj'=m+1 <Pj(x)tj = ^A . On a:
Pm(s) *m = zA - ^ <£j (x) tj
l<j<m-l
(la somme au membre de droite étant remplacée par 0 si m = 1 ). En divisant cette
54 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
relation par tm , on en déduit:
x J^X t
Comme f*- G m pour tout j G [l,m — 1], et comme -ei, cette dernière
relation montre que (fm(x) G m, ce qui entraîne am € ttl, ce qui est absurde puisque
am e K* . Cette contradiction montre bien que la suite (£i,... ,£*) est F-linéairement
indépendante, donc que k < dx .
Soit q le plus grand entier k > 1 tel que x G Mk • Soit (t*i,... yuq) G (tu\{0})9 tel
que x = ui • • • uq . Posons w = u\ (d'où m G ttl ); nous allons montrer que TU = wA ,
ce qui achèvera la démonstration. Soit y G m \ {0} . On a ytu-1 G A ou tut/"1 G A ; si
ytu"1 G A, alors y G wA. Supposons tuy""1 G A, i.e. w = yX avec A G A. Comme
x ^ Alg+i , nécessairement À £ m, i.e. À G W(A), d'où y = X"xw G wA. Dans tous
les cas, y G tuA . On a donc m = xuA.
Montrons enfin que l'anneau A est principal, ce qui entraînera que c'est un anneau
de valuation discrète et donc, compte tenu du théorème 23.1.3, que c'est l'anneau d'une
valuation discrète de L. D'après ce qu'on vient de voir, si x G A \ {0} , l'ensemble
des entiers A; > 0 tels que x G wkA est majoré (le majorant dépendant de x). On a
donc nke^wkA = {0} . On peut alors reprendre la preuve de l'assertion (I) du théorème
23.1.2, qui n'utilisait que la propriété Dk€^tukA = {0} , et on en déduit que A est
principal ■
Ramification des corps de fractions rationnelles d'une variable
Soit toujours T une indéterminée sur K . Soit L un corps de fractions rationnelles
d'une variable sur K . Rappelons que L\K est l'ensemble des éléments K-transcendants
de L. D'après le théorème 22.3.3 (de Luroth), les sous-corps de L contenant strictement
K sont des corps de fractions rationnelles d'une variable sur K. D'après le théorème
22.3.1, pour un tel sous-corps -F, l'extension L de F est algébrique finie. Soit alors
une valuation discrète normalisée v de L sur K . D'après le corollaire de la proposition
23.1.2, la restriction w de v à F est une valuation discrète de F sur K. Tout choix
simultané d'une variable de L sur K et de F sur K donne une description de SR/c(£)
et de 8Rk(F) (corollaire de la proposition 23.1.6). Nous allons en déduire les indices
de ramification des éléments de SRk(L) sur F. Si t; G SRjr(L), on notera e(v,F)
l'indice de ramification de v sur F.
Soit donc un sous-corps F de L tel que K C F. Fixons une variable t de L
sur K et une variable f de F sur K . On a / = XY[p€$(P(t))VL,t,p^ , avec un certain
\€ K* . Comme f $ K, l'ensemble fini Suppt(/) des P G $ tels que VLytyP{f) ^ 0
est non vide. Notons Supp^(/) (resp. SuppJ"(/)) l'ensemble des P e $ tels que
VL,tAf) > 0 (^sp. VLtt,p(f) < 0). Les éléments Nt(f) = I1p€Supp+(/) PVl^pU) et
A(/) = ripesupp-(/) PVL'ttP(f>) seront appelés le t-numérateur (normalisé) de / et le
t-dénominateur (normalisé) de / (rappelons que par convention, si l'un des ensembles
Supp^(/) ou Supp^"(/) est vide, le produit correspondant à cet ensemble d'indices
vaut 1). On a Nt(f) G K [t] et Dt(f) eK[t], et le couple (Nt(f),Dt(f)) est un
représentant irréductible de / dans L considéré comme corps des fractions de l'anneau
principal K [ t} . Les degrés ordinaire et absolu relatifs à t seront notés degt et Degt.
Donc:
(16) degt(Nt(f))= £ Vl,«,p(/) ; degt(A(/)) = E VL,*Af)
P6Supp+(/) P€Supp(-(/)
(17) Degt(/) = Max(degt(iVf(/)),degt(Dt(/))) = [L : F]
Chapitre 23 , § 1
Valuations 55
la relation (17) découlant du théorème 22.3.1.
Pour tout P € $U {oo} , on notera WF)tp la restriction de Vi^p à F.
• Soit d'abord P e $. Distinguons trois cas:
Premier cas: V^,t,p(/) < 0
L'hypothèse signifie que P(t) divise Dt{f) dans K [t] . La P(t)-valuation de Dt(f)
est VL|t|p(A(/)) = -V^tAf) • L'unique élément Q e #U {oo} tel que VFj,Q(f) < 0
est oo , et on a Vf,/,oo(/) = —1. On en déduit:
(18) ^F,t,P = eFF,/,oo avec e =-Vi,|tip(/)
En d'autres termes, on a e(V^tp,F) = -V^,t,p(/).
Deuxième cas: Vt,)t)p(/) > 0
L'unique élément Q e 3>U {oo} tel que Vfj,q(Î) > 0 est T, et VFJjT(f) = 1.
L'hypothèse signifie que P(£) divise iVt(/) dans tf[t] . La P(t)-valuation de Nt{f)
est Vl,*,p(/). On en déduit:
(19) WF^p = eVFJ,T avec e = VL>,,P(/)
On a donc e(^Llt,PlF) = VLtt,P(f).
Troisième cas: VLyt^p(f) = 0
On a alors WFt,p ^ Vpj,oo >
car VFj,oo(f) = -1 7e 0- Soit B l'anneau et £1 le
centre de WF,t)P ; d'après (14), on a K [f] C B . L'idéal q = Qnif[/] de ff [/] est
premier, et l'extension K [ / ]/q de K s'identifie à une sous-if-algèbre du corps résiduel
£/Q • Ce corps résiduel étant une extension algébrique finie de K (proposition 23.1.7),
il en est donc de même de ^H/l/q , donc q ^ {0} . On a donc un unique élément
Q € S tel que q = Q(f) K [f] . D'après (14), la valuation WF,t}p est donc équivalente
à VFtLQ . Comme VFJiQ{Q{f)) = 1, on a e(VLtttP,F) = VL,t,P'(Q(/)). Donc:
(20) W>,t,P = eV^Q avec e = VL^P(Q(f))
Remarquons (dans les conditions de ce troisième cas) que si deg (P) = 1, c'est-à-dire si
P ~T -z avec z G K, alors q est facile à déterminer. En effet, par hypothèse z n'est
zéro ni de Nt(f) ni de Dt(f) (considérés comme polynômes en t), et donc l'élément
A = pYx de K est défini et non nul. Il est clair que t - z divise Nt(f - A) dans
K [t] , donc / - A e q , autrement dit T - A est multiple de Q , d'où Q = T - A et
donc q = (/-A)tf[/].
• Soit maintenant P = oo
Premier cas: Vx,,tl0o(/) < 0
L'hypothèse signifie que degt(/) > 0, i.e. que degt(Nt(f)) > degt(Dt(f)).
L'unique élément Q e $U {oo} tel que Vf,/,q(/) < 0 est oo, et on a VFjfOQ(f) = -1 ; on
en déduit:
(21) WLiti00 = eVFJi00 avec e = -^>tl0o(/) = àeg(Nt(t)) - deg(Dt(/))
donc e(VL,t,00,F) = -VL,t,00(/).
56 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Deuxième cas: VL,t,oo(/) > 0
L'unique élément Q e W {00} tel que VpjtQ(f) > 0 est T, et VFj}T(f) = 1.
L'hypothèse signifie que degt(/) < 0, i.e. que degt(7Vt(/)) < degt(Dt(f)). Comme
ci-dessus, on en déduit:
(22) WL^ = eVFJ,T avec e = VLtti00(f) = degt(A(/)) - degt(JVt(/))
donc e(VLttt00,F) = VLtt,oo(f).
Troisième cas: Vittf00(f) = 0
L'hypothèse signifie que degt(Ntf)) = degt(Dt(f)). Notons respectivement a et 6
les coefficients dominants de Nt(f) et Dt(f) (considérés comme polynômes en t). On
a ab ^ 0, et degt (/ — §) < 0 , ce qui ramène au cas de (22). On a donc:
(23) W>,t,oo =€VF,/_a)T = €V>,/>T-t avec € = VL|t>00 (/--J
donc e(VL|ti00>F) = VLitf00(/-î).
On a une application naturelle, dite par restriction et normalisation:
(24) SRk(L) — SR*(F), v — ^y («| , )
Proposition 23.1.8
L'application (24) est surjective. Autrement dit, toute valuation discrète de F sur
K se prolonge en au moins une valuation discrète de L sur K .
Démonstration :
Reprenons les notations des relations (18) à (23). D'après la proposition 23.1.6, on a
E?6^{oo}de9 (P)VL,t,p(f) = 0- Les vL,typ(f) sont non tous nuls puisque f £ K.
Les ensembles Suppt+(/) et Suppt"(/) sont donc non vides. D'après (18), (19), (21) et
(22), chacune des valuations Vpjy00 et Vpjj* est donc prolongeable en une valuation
discrète de L sur K.
Soit gei, avec Q ^ T. Notons q = deg (Q) et Q(T) = Tq + Y!kL\ UkTq'k . On
a uq ^ 0 puisque Q ^ T . Posons:
-V = Nt(f) ; © = Dt(f) ; W = iVt(Q(/)) ; V = Dt(Q(f))
d'où / = a $ et Q(/) = /? £ avec a e K* et 0 G #* . Puisque M et V sont
premiers entre eux dans K[t] , on voit que:
W = (3 IMq + ]T U* aq-kMq~kVk J ; V = Z>«
Si degt{Àf) > degt(£>), il est clair que degt(W) > g degt(AT) > g > 1. De
même si degt(£>) > degt(AT), comme uq ^ 0, on a degt(W) > g degt(D) > q > 1.
Supposons degt(A0 = degt(Z>) = d; on a d > 1 car / g #. Le coefficient de
t*d dans U est C = (3Q{a). Si Q(a) = 0, nécessairement g = 1 (car Q est K-
irréductible), Q(T) = T - a, et Vi„i>00(/ - a) > 0; dans ce cas, d'après (23), la
valuation V/p,/,Q(/) = Vfjj-* de F sur K se prolonge en la valuation \ Vx,it|00 de
L sur X, avec e = Vi,ft>00(/ - a). Si Q(a) ^ 0, alors degt(W) > 1. D'après cela, si
U e K* , la valuation Vjpj^^) se prolonge en une valuation de L sur K .
Supposons degt(W) > 1 ; on a alors au moins un Pc J tel que V^,t,p(W) > 1.
Choisissons un tel P, et posons e = VLtttP(U). On a e = V^,t,p(Q(/)). Comme
Q € #, on déduit de (20) que la valuation Vht,p de L sur K prolonge VF,f,Q{f) •
Compte tenu de la proposition 23.1.6, on a donc prouvé que toute valuation de F sur
K se prolonge en une valuation de L sur i^ ■
Chapitre 23 , § 1
Vaiuations 57
La proposition 23.1.8 sera étendue plus loin aux sous-corps d'un corps de
fonctions algébriques d'une variable sur K, mais cette généralisation nécessitera des outils
d'algèbre commutative.
Cas où le corps de base est algébriquement clos
Supposons K algébriquement clos. Il y a une bijection naturelle
/^x ^ f> „ri [T — a si a e K
(25) VK : K—>^U{oo}, ai—>{
{ oo si a = ook
Soit L un corps de fractions rationnelles d'une variable sur K . Fixons une variable
t de L sur K. L'application
(26) gj*fL,t = Vl,* oVk :K^ 3RK(L)
est alors une bijection, qui sera dite associée à t. Ces bijections varient avec le choix de
t. Si u désigne une autre variable de L sur K , l'application
(27) Ht,u = W-K\Lyto<GKfL>u
est une permutation de K , qui sera étudiée plus loin.
Les corps résiduels des éléments de SR/c(L) sont tous égaux à K . Pour l'instant, la
variable t de L reste fixée. Le choix de t permet d'associer, à chaque élément / ^ie
L, une fonction rationnelle sur K, obtenue par substitution à^t d'un élément de K.
Cette définition intuitive de la fonction rationnelle définie sur K par le couple (/, t) ne
s'étend pas aux fonctions algébriques d'une variable, car ces dernières sont par nature
multiformes. Il convient donc d'algébriser cette notion de fonction; on procède comme il
suit (selon une idée initialement due à Dedekind): on a vu que pour tout PeiU {oo} ,
on a /Cvaip = K. À chaque point v e SRk(L) on associe l'application IIV suivante,
appelée la place (sur K ) définie par v :
IIV:L—+K, f
r
oo si / g Av
M) si /^A
On vérifie que la valeur en un point z € K de la fonction rationnelle définie par (/, t) au
sens ordinaire ci-dessus est n<aKtLtt(z)(f). On prend donc pour définition de la fonction
rationnelle sur K définie par (/, t) l'application
(28) ft:K—>K, {
ook
OO/c
¥W (/)
OO/c
WtalT-,(/)
si
si
si
si
VL,t,oo(/) < 0,
VL,«,oo(/) > 0
VL,t,T-z(f) <
VL,t,T-z(f) >
si z e K
Un élément z G K est appelé un zéro de / relativement à t (ou: un t-zéro de f ssi
ft(z) — 0, ce qui équivaut à VL,t,vK(z)(f) > 0î S'U en est ainsi, l'entier VL,t,pK(*)(/)
est appelé Vordre de ce zéro. Un élément z € K est appelé un pôie de / relativement
à t (ou: un £-pôJe de /, ssi ft{z) = oqk , ce qui équivaut à VLyt,vK{z){f) < 0 ; s'il en
est ainsi, l'entier —VL^j>K^(f) est appelé Vordre de ce pôle. L'ensemble des t-zéros et
l'ensemble des £-pôles sont finis (on a vu plus haut que la famille (VL,t,p(/))p€.*u{oc} est
à support fini). Remarquons que si oo^ n'est ni t-zéro ni t-pôle de /, alors ft(oox) = f ,
où a et 6 désignent les coefficients dominants respectifs de Ni(f) et Dt(f) (considérés
comme polynômes en t ).
Cette notion de fonction rationnelle sur K définie par (/, t) n'est toujours pas
généralisable aux fonctions algébriques d'une variable. En outre, elle présente
l'inconvénient de dépendre d'un choix de t. On pallie ces défauts en remplaçant K par
58 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
SRk(L) . On associe, à / G L , la fonction
(29) / : SRk(L) —> K, t; —> IIv(f)
que Ton appelle fonction rationnelle définie par f sur SRk(L) . Un élément
t; G SRk(I') est appelé un zéro de / (resp. un pôle de / ssi v(/) > 0 (resp. v(f) < 0 ,
et s'il en est ainsi l'entier v(f) (resp. -v(f) ) est appelé Vordre (de multiplicité) de
ce zéro (resp. de ce pôle). Pour toute variable t de L sur K , on a alors ft = fo*&K,L,t,
et 2J/c,L,t fait se correspondre les t-zéros de / et les zéros de / , les t-pôles de / et les
pôles de / , en conservant leurs ordres.
Le concept (29) de fonction définie par / , lui, s'étend aux corps de fonctions algébriques
d'une variable sur K . Toutefois, dans le cas général, il n'y aura plus de bijection naturelle
entre la sphère de Riemann K et la surface de Riemann SR/c(L) , donc le choix d'une base de
transcendance (u) d'un tel corps ne permettra pas d'associer, à un élément g de ce corps, une
" fonction algébrique associée à g sur K ".
Fixons maintenant / G L\ K. Soit z G K. Soit P = Vk(z) , examinons ce que
deviennent les résultats (18) à (23).
Supposons d'abord z G K ; alors P = T - z . D'après (18), (19) et (20), l'indice de
ramification de Vh,t,T-z sur F est l'ordre de z comme t-pôle de / si z est un t-pôle
de / , l'ordre de z comme t-zéro de / si z est un t-zéro de / , et Tordre de z comme
t-zéro de / — ft(z) si z n'est ni t-zéro ni t-pôle de / .
Supposons z = oox ; alors P = oo. D'après (19), (20) et (21), l'indice de
ramification de Vh,t,P sur F est |degt(/)| si ook est t-zéro ou t-pôle de /, et sinon, c'est
-aegt{f-ft{ooK)).
Homographies et sphère de Riemann
Le corps commutatif K étant quelconque, pour toute M = ( ° ) G GL(2,if ),
on notera Km la permutation de K ainsi définie:
ook si z = ook
Si c = 0, alors hM(z) = { az + b
(30)
Si c ^ 0, alors /im(^) = \
si z G K
ooK si z = -$
d
az + b
si z€K\{-&}
si z = ook
cz -f d
a
c
L'application GL( 2, K ) —► &~ , M i—► Km ainsi définie est un morphisme de groupes de
noyau K*l2 • Le sous-groupe de & ~ image de ce morphisme est appelé le groupe des
homographies de K , et sera noté H(2,K). Par passage au quotient, on obtient donc
un isomorphisme de groupes, dit naturel: PGL(2,K) —> H(2,K). L'action à gauche,
définie par Qh{2,K) x K -+ K, (M,z) h-> /iM(z), de GL(2,K) sur K, est appelée
action par homographies. Il est bien connu que cette action est finement 3-transitive,
i.e. pour tous triplets (zx,Z2>z3) et (z'^z^s^) d'éléments de K deux à deux distincts,
il existe un et un seul élément h de K(2,K) tel que h(zi) = z[ pour tout i G [l,3j.
Soit P G #, de degré m , et soit une matrice M = (a j G GL( 2, K ). Si c = 0 ,
soit ^m,p l'élément de K[T] défini par ^m.p(T) = C(§)-m£/(fiIjfc6). Si c ^ 0 et
rn > 2 , la ^-irréductibilité de P entraîne P(J) ^ 0 ; soit alors iI>m,p(t) €K\T] défini
par ^mAt) = c~p(;)(cT + d)mp(??+5) • Si c ^ 0 et m = 1, on pose ^m,p = oo
Chapitre 23 , § J
Valuations 59
lorsque P(^) = 0 , et sinon on pose ^m,p{T) = cP1^ {cT + d)P(^^). Enfin on pose
^M,oo = oo si c = 0, et Vm,oo = 3n+^ si c^O.
Vérifions que tpM,p € $U {oo} pour tout P € $U {oo} . C'est évident si P = oo ou
si P ^ oo et deg (P) = 1. Si P ^ oo et deg (P) > 2, et si on suppose ^m,p = UV
avec f7 et V éléments de K[T) normalisés non constants, de degrés respectifs a et
0, on en déduit que P(T) = (^^(^(-cT + ar^-^)^-^), c'est-à-dire
P(T) = (^b-c)mP(-c)(-^ + a)mQ(T)R(T), avec:
Q(r) = (-cT + a)^(^) ; R{T) = (-cT + afV (-^)
Comme P(T) est de degré m = a + j3, et comme Q et P sont des éléments de K [ T ]
de degrés respectifs < a et < /?, nécessairement ces degrés sont a et f3, et donc P ne
serait pas K-irréductible, ce qui est absurde. Cette contradiction montre que Vm,p € ^-
On a donc défini une application
(31) &M : * U {oo} —-+ $ U {oo} , P h-> ^M)P
On vérifie aisément que îPft o ^ = ^mn pour toutes matrices M € GL(2,/f ) et
AT € OZi( 2,.ftT), et il est immédiat que #72 = Id^u^} . On en déduit que chaque &m
est une permutation de $ U {oo} , et que l'application
(32) GL(2,K) —-> e*u{oo} » M ■—> *Af-i
est un morphisme de groupes. En d'autres termes, l'application
GL( 2, K ) x (S U {oo}) —> £ U {oo} , (M, P) i—► ipM)P
est une action à gauche de Qh(2,K) sur $ U {oo} . On prouve sans difficulté que le
noyau du morphisme (32) est K*I<i ; donc son image est canoniquement isomorphe à
PGL(2,K).
Cela dit, reprenons un corps L de fractions rationnelles d'une variable sur K.
Soit t et u deux K-variables de L. D'après le corollaire 1 du théorème 22.3.1, on a
une matrice M = (a \ e GL(2,#) telle que u = M • t = f£^ • Pour tout
P € $ U {oo} , on a Vl,u,p = VL,t,ipM-i p • Avec les notations du corollaire de la
proposition 23.1.6, cela s'écrit TL)U(P) = ^L.t^M-1^)) ■ On en déduit:
(33) rz!< o rL,u = «w-i
• Supposons maintenant if algébriquement clos. Avec les notations de (27), on déduit
de (33):
(34) HttU = P^1 o T2|t « VL|14 o P* = P*1 o ^m-i o P*
Explicitons (34). Supposons d'abord c^O. Si z€/f\{-^},ona
HttU(z) = VM-i{VK{z)) = *M-i(T ~z)= tfM-ifT_2
1 , „ J dT-b \ „ az + b
= (-cT + a) —-= z) =T
d + czK '\-cT + a J cz + d
= hM{z)
On vérifierait de même que HtfU(z) = Hm(z) pour z G {oo^,-^} . On a donc démontré:
Proposition 23.1.9
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fractions rationnelles d'une
variable sur K . Soit t et u deux K-variables de L , et soit M e GL( 2, K ) telle que
u = M*t. Alors la permutation Ht,u de K définie en (27) est l'homographie Km •
§ 23.2 Compléments d'algèbre commutative
Rappelons qu'étant donné un anneau commutatif A, on appelle spectre de A
l'ensemble des idéaux premiers de A , et on le note Spec(A). Un sous-ensemble
important de Spec(A) est l'ensemble des idéaux maximaux de A : cet ensemble est appelé
spectre maximal de A, et sera noté Specmax(i4). On a Spec(A) = 0 ssi A est
nul, et si A est non nul, alors Specmax(A) ^ 0 .
Pour abréger, nous n'avons traité la localisation que pour des anneaux intègres, ce
qui nous suffira dans notre étude des fonctions algébriques. On continue à noter K un
corps commutatif fixé.
23.2.1 Le théorème des restes
Il est utile de revenir ici sur la généralisation du théorème chinois, bien que ce thème
ait été traité dans le tome 1. Dans cette section, on désigne par A un anneau commutatif.
Définition 23.2.1
Deux idéaux a et b de A sont dits comaximaux ssi a + b = A
Proposition 23.2.1
Soit a, bi,...,br des idéaux de A tels que quel que soit k, a et bk soient
comaximaux. Alors a et bi • • • br sont comaximaux.
Démons tration:
Pour chaque entier k G [l,r] , soit (afc,6fc) € a x bk tel que a* + 6^ = 1. Par
multiplication membre à membre de ces égalités, il vient a 4- £ = 1, avec:
£ = &!■•.6r€bi-.-br ; a= Yl (llaM II ^)€a
0/JC|[l,rl M€J ' W[l,r]\J '
d'où l'assertion ■
Une évidente conséquence de la proposition 23.2.1 est que si a et b sont deux
idéaux comaximaux de A, alors pour tous entiers k et £, les idéaux afc et b^ sont
comaximaux.
Proposition 23.2.2
Soit tti,..., Or des idéaux de A deux à deux comaximaux (2) (r , entier > 1 ).
Pour tout k € Il,rJ, notons bk Vidéal ^i^iitrl\{k}^i •
(I) On a: di dr = nj^a..
(II) On a: bx -h •• • + br = A .
Démons tra. tion :
Assertion (I)
Raisonnons par récurrence sur r. Il n'y a rien à prouver pour r = 1. Supposons
l'assertion vraie à l'ordre r — 1, avec r > 2. Pour tout entier k e [l,rj , notons
3k = Di=i ai et 3'k = ai • • • d/c. Il est clair que 3{. c 3r • Inversement, soit x € 3r •
D'après l'hypothèse de récurrence, on a: 3r = 3'r_l H ar . D'après la proposition
23.2.1, 3'r_l et ar sont comaximaux. Soit [y,z) e 3!r_l x ar tel que y + z = 1. Alors
x = xy + xz ; mais xy € 3r-iat = 3'r (car x e ar et y G 3J._X ), et xz G J^a,. = 3'r
(car x € 3T C 3r_i = 3^_x et z e ar ). Donc x e 3fr . On a donc 3r C 3'r , et par
suite 3T = 3'r .
( ) Nous entendons par là que pour tous i et j distincts dans [l,r[ , les idéaux at et a, sont
comaximaux. Si r = 1 , les idéaux Oi,..., or sont deux à deux comaximaux, bien que ai +ai = ai .
62 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Assertion (II)
Raisonnons par récurrence sur r. Il n'y a rien à prouver si r = 1 ou r = 2.
Supposons r > 3, et que l'assertion soit vraie à l'ordre r - 1. Notons 3r_i l'idéal
ni<j<r-iCii =(*!••• ar_i. Pour tout k e [l,r - Il, soit il* l'idéal n^j^.^^ai.
D'après l'hypothèse de récurrence, Sfc=i~lu* = ^ • D'après la proposition 23.2.1, on
a: 3r_i + Or = i4. D'où:
k=r— 1 fc=r—1 fc=r
A = 3r_1-harA = 3r_i-h 5Z *rUfc = br + ]T b* = Hbfc
fc=i fc=i fc=i
puisque Ufcdr = b* pour 1 < fc < r - 1 ■
Théorème 23.2.1
Soit ai,..., ar des idéaux deux à deux comaximaux de A (r , entier > 1 j. Notons
3 l'idéal di • • • ar . Il y a un isomorphisme canonique de A -algèbres :
Démonstration:
Notons P la A-algèbre produit 11*:=î ^/W * Définissons les idéaux bi,...,br
comme dans la proposition 23.2.2. Pour A; 6 [l,r], soit ipk : A —> 4/dfc la projection
naturelle. Soit (p : A —► P le morphisme de A -algèbres dont <pi,...,(pr sont les
coordonnées. Il est immédiat que Ker ((p) = 3. Par passage au quotient, (p définit
donc un morphisme injectif de A -algèbres # : Afo _► p . On va montrer que # est
bijectif: ce sera l'isomorphisme naturel cherché. Pour cela, il suffit de montrer que ip est
surjectif. Soit donc X = (Xi,...,Xr) = (<pi(x\),..., (pr(xr)) € ^/ax x • • • x ^./ar (où
Xi e A pour tout i ). Soit &i,... , &r des éléments de A tels que 2^fc=i && = 1 (= 1,4)
(application de la proposition 23.2.2). Posons: x = Xlfcïi bk%k • Alors <p(z) = X . En
effet, soit i G [l,rj. Pour fc ^ i, on a: && € a*, donc 6/^ G a*. D'autre part,
biXi = (1 - Sfc€li,r]\{i} Mxî = xt mod(ai). Donc, <pi(x) = Xi. C'est vrai avec tous
les i, donc <p(x) = X , ce qui achève la démonstration ■
Application aux algèbres de dimension finie
C'est une propriété élémentaire bien connue que toute K-algèbre de K-dimension finie
qui est intègre est un corps commutatif. Si on abandonne l'hypothèse d'intégrité, il reste
le résultat suivant:
Proposition 23.2.3
Soit C une K-algèbre commutative de K-dimension finie. Tout idéal premier de C
est maximal, et C n'a qu'un nombre uni d'idéaux maximaux. Soit TtXi,..., ltlr une
numérotation (injective) des idéaux maximaux de C . Il existe des idéaux di,..., Clr
de C tels que a* C m* pour tout i, et tels que le morphisme canonique de C-
algèbres C —► n!=i ^/d* S0Jt un isomorphisme. Pour tout i, l'anneau C/tti est
local, d'idéal maximal m*/ai > <2UJ est aussi son unique idéal premier, et il existe un
entier Vi > 1 tel que m^* C a*.
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'algèbre commutative 63
Démonstration:
Soit p un idéal premier de C La K-algèbre C/h est intègre et de if-dimension
finie, donc est un corps, donc l'idéal p est maximal. Soit nii,... ,ttlr des idéaux
maximaux de C deux à deux distincts. Notons n = ni<i<rtTli. Comme les m* sont
deux à deux comaximaux, on a un isomorphisme de if-algèbres naturel
(cf. théorème 23.2.1), donc dim/<:(C) > £i=i dirn^ ( ^/xtti ) ^ r- L'ensemble des
idéaux maximaux de C est donc fini, de cardinal < dim/c(C). Cet ensemble est réduit
à {{0}} ssi C est un corps. Dans ce cas, toutes les assertions du théorème sont triviales.
Désormais, nous supposerons donc que C n'est pas un corps (ce qui équivaut à dire que
C n'est pas intègre), et nous noterons r le nombre de ses idéaux maximaux.
Soit donc tTli,...,mr une numérotation des idéaux maximaux de C. Pour tout
i G (1, rj, notons a* l'ensemble {x G C \ 3 s G C \ m*, sx = 0} . Comme C \ m* est
stable pour la multiplication de C , on voit que a* est un idéal de C.
• Montrons que n*^Cli = {0} . En effet, soit x G C\\Zi&i ; vu la définition des ûj,
quel que soit i, l'idéal Annc(z) (annulateur de x dans C, i.e. ensemble des y G C
tels que xy = 0 ) n'est contenu dans aucun des m* ; d'après le théorème de KruU, on a
donc Annc(x) = C , d'où x = le x = 0 , d'où l'assertion.
• Fixons i G [l,r] , et montrons l'existence de Vi G M tel que Ul^ C CLi. On sait
que n^itli est le nilradical Nilrad(C) de C. Comme l'anneau C est nœthérien,
l'idéal Nilrad(C) est de type fini. On en déduit l'existence d'un entier n > 1 tel
que (Nilrad(C))n = {0}. Soit N le plus petit de ces entiers. Soit b^ l'idéal
(nj€H,rl\m tUj)^ ; on a b* <£ m*, car si on avait b» C Itli, cela impliquerait l'existence
de j G [1, rj \ {i} tel que tltj C m* (car étant donné des idéaux 3i,..., 3n> q d'un
anneau commutatif A , avec q premier, il est immédiat que l'inclusion 3\ ■ • • 3r C q
entraîne l'existence de fc G [l,nj tel que 3 k C q ), ce qui est absurde puisque les m*
sont maximaux. Ainsi, bj Çl Xtli et biltl^ = {0} , d'où mf C a». Il y a donc existence
d'entiers n > 1 tels que m™ C &i. Nous noterons Vi le plus petit de ces entiers.
• Les idéaux (ttt^)i<i<r sont deux à deux comaximaux (proposition 23.2.1); a for-
tioriy les idéaux (di)i<i<r sont deux à deux comaximaux. Comme ni<i<rCli = {0} , le
théorème 23.2.1 montre que le morphisme de C-algèbres canonique C —► rii<i<r /a*
est un isomorphisme.
• Fixons i G |1, rj, et montrons que l'anneau Qi = C/a^ est local. Soit ^ le
morphisme canonique C —► Qi. Il induit, par images directes, une bijection de l'ensemble
des idéaux de C contenant a* sur l'ensemble des idéaux de Qi, dont la bijection
réciproque est 3 *—► (f~1(3). On en déduit que 9Jîi = <Pi{xtli) est un idéal maximal
de Qi. Si j G [1, r] \ {i} , on a mjf* £ Xtlj , car m* <£ XXlj ; a fortiori, on a Cii <£ Xtlj .
Le seul idéal maximal de C contenant a* est donc Xtli. On en déduit que le seul idéal
maximal de Qi est fflli. L'anneau Qi est bien local, d'idéal maximal SDÎj. Si JÛ est
un idéal premier de Qi, alors ip~l(£l) est l'un des ttlj et est contenu dans Itlj, donc
c'est Xïii, d'où £î = Wli M
23.2.2 Anneaux de fractions d'un anneau intègre
Soit A un anneau commutatif intègre, de corps des fractions F . On identifiera A à
un sous-anneau de F. Une partie S de A est dite multiplicative ssi 0^5, 1 G 5,
et 5 est stable pour la multiplication de A. Fixons une telle partie S , et notons S~l
la partie de A image de l'application 5 —► F, s »-► s'1 . Puisque 5 est multiplicative,
64 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
la sous-A-algèbre A [S~l] de F est l'ensemble des éléments de F de la forme j avec
a e A et s G S. L'anneau A[5_1] est appelé Vanneau de fractions de A défini
par S , ou encore le localisé de A relatif à S. Si S = {1} , on a 5"1 = {1} et
i4[5~1] = A . Si 5 est une partie multiplicative de A , alors S' = U5€s(sW(A)) en est
encore une, et on a A [(S')"1] = A [S-1] .
Toute intersection de parties multiplicatives de A est une partie multiplicative. Donc
étant donnée une partie £ de A \ {0} , il existe une plus petite partie multiplicative de
A contenant £ : on l'appelle partie multiplicative engendrée par £ ; c'est l'ensemble des
éléments de A de la forme Y\x€S xmx quand (mx)xç.e parcourt le monoïde additif N^
(ensemble, muni de l'addition induite par celle de Re , des familles d'entiers naturels
indexées par £ et à support fini). La partie multiplicative engendrée par 0 est {1^} .
Exemple 23.2.1 :
Soit A un anneau commutatif intègre de corps des fractions F, et soit p un idéal
premier de A. L'ensemble S = A \ p est une partie multiplicative de A. L'anneau
de fractions A [ (A \ p)-1 ] s'appelle le localisé de A en p . Il est souvent noté Ap ,
mais nous le noterons A[p] . En particulier, on peut prendre p = {0} (puisque A est
intègre); il est immédiat que A[{0}] = F . Montrons que
^m€Specmax(>4)A[m] = A
Posons B = nm€Specmax(^) A[m] , et supposons trouvé b G B \ A . Soit C l'ensemble des
ce A tels que bc G A. Puisque 6 G F , cet ensemble c est non vide; on voit que C est
un idéal de A. On a c ^ A puisque 6 ^ A. Il existe donc un idéal maximal m de
A tel que C C ttl. Choisissons un tel m. Écrivons b = ^ , où (u, v) € A x (A \ m)
(un tel couple (u,v) existe puisque b G A[m] ). Alors vb = u e A, donc v G C, d'où
v G m , ce qui est absurde. Cette contradiction montre que B = A +
Dans les conditions ci-dessus, soit S une partie multiplicative de A et soit X une
partie de A. L'ensemble UX£x(xS~l) sera noté S~l • X. En prenant X = A, on
obtient S~x A = A [S-1] ; pour cette raison, on note souvent S~l • A l'anneau de
fractions A [S~l ] . Si a est un idéal de A, alors S'1 • a est un idéal de A [5_1 ] , et
si cet idéal a rencontre 5, alors S'1 • a = A[5-1] (vérification immédiate).
Un anneau de fractions est solution d'un problème universel qui garantit son unicité
à isomorphisme (unique) de A-algèbres près:
Proposition 23.2.4
Soit A un anneau commutatif intègre f de corps des fractions F. Notons j Vinjection
naturelle A —► F . Soit S une partie multiplicative de A . Pour tout anneau
commutatif B et pour tout morphisme d'anneaux p : A —► B tel que p(S) C U(B), il
existe un morphisme d'anneaux et un seul ~p : A[S~l] —> B tel que ~po j = p.
Démonstration:
Soit B un anneau commutatif et p : A —» B un morphisme d'anneaux tel que
p(S) C U{B). Supposons que p existe; soit (a, s) G A x S, posons a: = ^ . De sz = a ,
on déduit p(s)/9(z) = /5(a) = p(a) = p(s)'p(x) ; comme /?(s) est inversible dans B , on a
donc p(x) = (p(s))^1 p(a), d'où l'unicité de p.
Réciproquement, montrons d'abord qu'il existe une application p : A [S""1] —► B
telle que p(j) = (p(s))-V(a) pour tout (a,s) G A x S. Il suffit de montrer qu'on
a (p(s))"V(a) = (p(s'))~lp(a') pour tous éléments (a, s) et (a', s') de A x S tels
que ^ = y . Soit deux tels couples (a, 5) et (a', 5') ; on a as' = a's, d'où il découle
p(a)p(s') = p(a')p(s), d'où (p(s))-1p(a) = (p(5/))"1p(û/) • H y a donc existence (et
évidemment unicité) de l'application p. Pour achever la démonstration, il reste à vérifier
que p est un morphisme d'anneaux, ce qui ne présente aucune difficulté ■
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'algèbre commutative 65
La proposition suivante précise les rapports entre idéaux d'un anneau intègre et idéaux
d'un localisé quelconque de cet anneau:
Proposition 23.2.5
Soit A un anneau commutatif intègre, de corps des fractions F. Soit S une partie
multiplicative de A. L'application a •—► S"1 • a (de Vensemble des idéaux de A
dans l'ensemble des idéaux de A [ S~l ] ) définit une application surjective croissante
(fs de l'ensemble des idéaux de A qui ne rencontrent pas S sur l'ensemble des
idéaux stricts de A [S'1] . Pour tout idéal a de A qui ne rencontre pas S, on
a a C <Ps(a) H A. Pour tous idéaux a et b de A ne rencontrant pas S, on a
^s(flb) = <ps(o)<Ps(b). Cette application cps induit une bijection de l'ensemble des
idéaux premiers de A qui ne rencontrent pas S sur l'ensemble des idéaux premiers
de A [ S~x ] , dont la bijection réciproque est *$ i—► *$$ D A .
Démonstration:
Soit a un idéal de A. On a déjà vu que si a n S ^ 0, alors S-1 • a = A [S~l ] .
Inversement, supposons que 1 G S"1 • a ; alors on a (a, s) G a x S tel que 1 = 7, ie.
a = s , et par suite anS £ 0. Donc l'idéal S"1 • a de A [S~l} est strict ssi anS = 0 .
L'application (p$ indiquée dans l'énoncé est donc bien définie. Il est clair qu'elle est
croièsante. Pour tout idéal strict b de A [S"1] , notons tps(b) l'idéal bf)A de A. On
a S"1 • (TM&)) C b , donc ^(b^AfS"1] et par suite S"1 ■ {rl>s{b)) = (ps{1>s{t>)) ;
soit 6Gb, écrivons b = ^ avec (u, v) G A x S ; alors u = bv G b H A , donc
6 = v_1î/ g <fs(ips(b)) ; cela prouve que (ps°tps(b) = b . C'est vrai pour tout b , donc
<fs ° ips est l'application identique de l'ensemble des idéaux stricts de A [S~l ] . Donc
tps est injective et <ps est surjective. Soit a un idéal de A ne rencontrant pas S,
et soit m G N ; il est immédiat que a C AD (S-1 • a) (cette inclusion est en général
stricte). Soit a et b deux idéaux de A ne rencontrant pas S. Il est immédiat que
S*"1 • (ob) C (5_1 • a)(5_1 • b) ; réciproquement, soit x G (S-1 • a)(S~l • b) ; on a un
entier m > 1 et des éléments (a», s») G a x 5 et (&»,£») € b x 5 (où i parcourt fl, m\ )
tels que x = Y^iZT fj" ff • Posons cr = I~Ii<i<m5t** et> Pour tout * € [l,mj, Oi = ^- ;
alors cr G S et cr* G 5 pour tout i, et on a z = £ X3i<i<m ^t^i £ ^_1 * (a&) » ce Qui
achève de prouver que S-1 • (ab) = (S~l • d)(5_1 • b). Notons que par récurrence, on
en déduit que S-1 • dm = (5_1a)m pour tout meN.
Si ^J est un idéal premier de A [S-1 ] , l'idéal rps(^P) = 9? H A de A est premier
et ne rencontre pas 5. Soit p un idéal premier de A qui ne rencontre pas S. On a
p C AC] (S'1 • p) ; soit x e AD (S-1 • p), écrivons z = 7 avec (a, 5) G p x 5 ; on a
51 = a 6 J) et s^J) puisque p H 5 = 0, donc z G p puisque p est premier; on en
déduit que p = A n (5~* • p), i.e. t/>s ° <As(P) = P • Montrons maintenant que l'idéal
qj = S"1 p est premier. Il est distinct de A [S"1 ] ; soit 2 G A [S*"1 ] et j/ G A [S-1 ]
tels que xy G ^JJ. On a (a, 5) G A x 5, (6, t) G A x 5 et (c,u) G p x S tels que
£ = 7, 2/ = 7 et xy = ~ . Alors uat = sic6j). Comme p est premier et u £ p, on
a ai G p ; donc a e p ou 6 G p , donc x e^P ou t/ G ?P : l'idéal ^P est bien premier.
En définitive, <ps induit bien une bijection croissante de l'ensemble des idéaux premiers
de A ne rencontrant pas S sur l'ensemble des idéaux premiers de A [S-1] , dont la
bijection réciproque est induite par ips B
Proposition 23.2.6
Soit A un anneau commutatif intègre, de corps des fractions F . Soit S une partie
multiplicative de A. Si A est nœthérien, A[S~l) est nœthérien. Si A est principal,
A [S'1] est principal Si A est factoriel et si S est la partie multiplicative engendrée
par un ensemble d'éléments irréductibles de A , alors A [S-1 ] est factoriel
66 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Démonstra tion :
Soit a un idéal de A de type fini; on a donc n e N et une suite (ai,...,an)
d'éléments de a telle que a = E-I^A. Alors s~l ' a = Ei=îa< (5""M), donc
S~l - a est de type fini, engendré par la suite (ai,... ,a„). En particulier, si a est
principal, engendré par un élément a, alors S*1 • a est principal, engendré par a. Les
deux premières assertions en découlent.
Supposons maintenant A factoriel et que S soit la partie multiplicative engendrée
par un ensemble d'éléments irréductibles. Nous écarterons le cas trivial où A = F . Soit
alors un système représentatif I d'éléments irréductibles de A ; puisque A ^ F, on a
1 ^ 0. Soit J une partie de J qui engendre S ; si J = J, on a A [ S"1 ) = F, ce qui
est bien un anneau factoriel. Supposons J ^ X. On sait que l'application
(1) M : U(A) x Z<z> — F* , (A, (rop)p6z) — A J] pm»
p€X
est un isomorphisme du groupe produit U(A) x Z(z) sur le groupe multiplicatif F* .
On a A \ {0} = M(U(A) x N<J)). On vérifie que (A [S"1 ] ) \ {0} est l'image par M
de l'ensemble G des (A, (mp)p€j) tels que mp > 0 pour tout p e 1\J. L'ensemble
G s'identifie canoniquement à U(A) x 1SJ^ x M^J^ . On vérifie immédiatement que
U(A [S'1 )) = M (U(A) x Z^) . On en déduit que l'application
W(A[S-1])xNW)-,i[5-1]\{0}) («.W^J^tt f] ^
P€X\J
est une bijection et un isomorphisme de monoïdes. Donc l'anneau A [ S-1 ] est factoriel,
et un système représentatif d'éléments irréductibles en est J \ J H
Proposition 23.2.7
Soit A un anneau commutatif intègre,et soit p un idéal premier de A. L'anneau
A[P] est local d'idéal maximal fJXt = 5"1 • p , où S = A \ p . Le corps A*]/SDÎ est
canoniquement isomorphe au corps des fractions de Vanneau intègre ^/p .
Démonstration :
Les deux premières assertions découlent immédiatement de la proposition 23.2.5.
Cette proposition montre aussi que 9PÎ Pi A = p ; par passage au quotient, l'injection
naturelle A —► A^ donne donc un morphisme d'anneaux j : ^/h —> ^[p]/fJJl injectif.
À l'aide de j , nous identifierons ^/p à un sous-anneau de Ap]/97t • ^oit x ^ ^[p] >
écrivons x = f , avec (a, 6) G A x 5. Notons £ l'image canonique de x dans ^[p]/fffl ,
et a et (3 les images canoniques de a et 6 dans ^/h . On a /J ^ 0 puisque b £ p]
d'autre part, de a = bx, on déduit a = /3Ç, d'où £ = ^ , donc ^[i>]/3!Jt est bien le
corps des fractions de ^/p ■
Remarque 23.2.1 :
Pour tous sous-groupes additifs G et H d'un anneau commutatif R, on note
habituellement GH l'ensemble des éléments de R de la forme J^lTi 9ihi » °ù ^ est
un entier naturel quelconque et où ^ G G et ftj € ff pour tout i. On a G H = HG ;
si G et H sont stables pour la multiplication de R, alors GH l'est aussi. Si G et
H sont stables pour la multiplication de R et si G ou H est un idéal de R, alors
G/f est un idéal de R. Si G et H sont tous deux des idéaux de R, alors GH est
le produit des idéaux G et H au sens ordinaire. Dans les conditions de la proposition
23.2.7, on a (A \ p)-1 • p = pA[P] ; plus généralement, pour tout idéal a de A, on a
(A\p)~^a = aA[p] +
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'algèbre commutative 67
Proposition 23.2.8
Soit A un sous-anneau d'un corps cominutatif L et soit S une partie multiplicative
de A. Soit B la clôture intégrale de A dans L. Alors B[S~l] est la clôture
intégrale de A [S'1] dans L .
Démonstration:
Montrons que B[5_1] est entier sur ^[S^1] . Soit x = £ G B[S~l] , avec
(6,s) e (B\ {0}) x 5 . On a n G f^J et des éléments ai,..., an de A tels que
k=n
(2) fcn + £afc6n-fc=0
k=i
avec on / 0. Posons x = £ et, pour tout i € [l,n], posons A» = ^f . On a
Ai G A [5"1 ] pour tout i, et en divisant (2) par sn , on obtient:
i—n
xn + ^Aixn"i = 0
qui prouve bien que x est entier sur A [S~l] .
Montrons maintenant que tout élément y de L entier sur A [S"1] appartient à
B[S~l] . Fixons donc y e L entier sur A[5_1] ; on peut supposer y ^ 0. Soit
neN et des éléments Ai,..., Am de A [ S~l ) tels que
(3) yB + X>i/n-' = o
avec Cm ^ 0. Pour tout i G (l,nj, soit (a^Sj) € A x 5 tels que A» = j*-. Posons
° = 11!=" s» (donc a e S). Pour tout i € [l,nj, en posant jx* = ^îIlj€|[i,n]|,jVis.7
(d'où /ii G A ), on a A* = ^ . En multipliant (3) par an , on voit que l'élément z = ay
de L vérifie:
t=n
(4) zn + ^Mi^"1^n"i = 0
i=l
ce qui prouve que z est entier sur A, donc que z G B ; donc t/ = ^€B[5"1] ■
La localisation dans les anneaux commutatifs quelconques (non nécessairement
intègres), que nous ne traitons pas ici, peut souvent être tournée en utilisant le lemme
suivant:
Lemme 23.2.1
Soit deux anneaux intègres A et B , un morphisme d'anneaux injectif j : A —> B
et une partie multiplicative S de A . Soit B^ le A-module déduit de B a l'aide de
j . Il y a un isomorphisme naturel de A-algèbres (j(S))~l • B —► (S~l • A) <g>A B(j) .
Démonstration:
L'énoncé a un sens, parce qu'en vertu des hypothèses, j(S) est une partie
multiplicative de B . Notons C = (S"1 • A) ®A J5(j) . Pour tout s G 5, l'élément s <g> 1B de C
est inversible, d'inverse s-1 <g> 1# .
Montrons d'abord l'existence d'une application / : {j{S))~l • B —► C telle que
/((j(5))-1^) = s~1 ® * Pour tollt; {s,b) e S x B (noter que c'est l'injectivité de j qui
donne un sens à la présente phrase). Soit (s, 6) G 5 x B et (s', 6') e S x B tels que
(j(5))_16 = (j(s'))_16', i.e. que j(a)6' = j{sf)b. Posons r = (55') ® 1# . Alors r est
inversible dans C , et on a:
r (s-1 <g> 6) = s' ® b = 1A ® s'b = 1A <g> 56' = s ® 6' = r ((s')"1*')
68 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
d'où s~l <S> b = (s') * ® b' puisque r est inversible dans C. L'application / est donc
bien définie, et il est clair que c'est un morphisme de A-algèbres.
On vérifie de manière analogue l'existence d'une application g : C —► {j{S))~l • B
telle que g((\s~l)<8>b) — {j{s))~1j(X)b pour tout (5, A, b) G SxAxB . Cette application
g est un morphisme de A-algèbres. On vérifie immédiatement que g o / = Id^çs))-1^
et f og = Idc , donc f et g sont des isomorphismes réciproques l'un de l'autre ■
Évitement des idéaux premiers
Théorème 23.2.2
Soit A un anneau commutatif, soit un entier n > 1 et une suite (pi,... , pn)
d'idéaux de A tel que pi soit premier sauf au plus pour deux valeurs de i. Soit a
un idéal de A tel que a C Uj^ypi. Il existe i G [l,nj tel que a C pi.
Démonstration:
Raisonnons par récurrence sur n. Le cas où n = 1 est trivial. Supposons
n > 2, et que la propriété soit vraie à l'ordre n - 1. Supposons avoir démontré
que (Vz G |[l,n]) a H pi <£ Ujc[i,nj\{i}Pj?• P°ur chaque i G [l,n], choisissons
Xi e (d n Pi) \ (Vj€i\,ni\{i}Pj) - Si n = 2, fixons io G [l,nj. Si n > 3, fixons
z0 G [l,nj tel que pio soit premier. Posons y = xio + z, avec z = Ili€[i,n]|\{to} Xi •
Alors y G a ; montrons que z £ pi0 : c'est évident si n = 2 , et si n > 3 , cela découle du
fait que piQ est premier et que X{ (£ pi0 pour tout i G [[1, tiJ \ {io} • Comme y G piQ ,
on voit que y <£ pio . Si i G [1, nj \ {i0} , on a Xi0 ^ pi mais a:^ G pi donc z G pi, d'où
y £ pi\ finalement, y £ UjJJpt, ce qui est absurde puique y G a. Cette contradiction
montre qu'on a a n pi C Ujc[i,n]\{i}Pj Pour au moins un z G [l,n] ; fixant un tel i,
on a alors a Ujc[i,nl\{i} Pj \ l'hypothèse de récurrence montre alors que a C pj pour
au moins un j G |[l,nj \ {z} , ce qui établit la propriété à l'ordre n. Le théorème est
donc prouvé par récurrence ■
Passage du local au global
La propriété ci-dessous s'étend au cas d'anneaux commutatifs quelconques. Nous ne
l'établissons que pour des anneaux commutatifs intègres puisque nous n'avons traité la
localisation que dans ce cadre.
Proposition 23.2.9
Soit A un anneau commutatif intègre et soit deux idéaux a et b de A. On suppose
que aA[m] = bi4[m] pour tout TU G Specmax(A). Alors a = b .
Démonstration:
On se ramène d'abord au cas où a C b . En effet, supposons la proposition prouvée
dans ce cas, et plaçons-nous dans le cas général. Soit C = a -f b ; il est clair que
aA[m] = cA[m] pour tout m G Specmax(A) ; donc a = C d'après l'hypothèse faite.
On en déduit que b C a. En échangeant les rôles de a et b , on voit de même que
a c b , d'où a = b .
Prouvons maintenant la proposition sous l'hypothèse a C b . Raisonnons par
l'absurde, en supposant trouvé x G b \ a. Soit t l'idéal {y G A \ yx G a} de A. Puisque
x ^ A, on a l^t. Il existe donc un idéal maximal m de A tel que t C m . Un tel
idéal étant choisi, on a x G bi4[m] = aA[mj , donc x = | avec (a, s) G a x (A \ m).
Alors sx = a G a, donc set, donc s G m, ce qui est absurde. Cette contradiction
prouve que a = b ■
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'algèbre commutative 69
Obtention de certains anneaux principaux
Théorème 23.2.3
Soit A un anneau commutatif intègre nœthérien, intégralement clos, n'ayant qu'un
nombre fini d'idéaux premiers, et dont les idéaux premiers non nuls sont tous
maximaux. Alors A est principal, et tous ses anneaux localisés en ses idéaux premiers
non nuls sont des anneaux de valuation discrète de son corps des fractions L .
Démonstration:
On écarte le cas trivial où A est un corps. Le nombre n de ses idéaux premiers
non nuls est alors > 1. Soit ttli,..., mn ces idéaux (avec m* ^ Itlj pour tout
couple (i,j) tel que i ^ j). Compte tenu des propositions 23.2.5, 23.2.6 et 23.2.7, le
théorème 23.1.2 s'applique et montre que chaque anneau A[m..] est un anneau de
valuation discrète (donc un sous-anneau de valuation discrète de son corps des fractions,
qui est L); en particulier pour tout i, l'idéal SDÎi = lîliA[TOi] de A[m.j est
principal, et on a 2DÎ? C 2Jtj. Les idéaux fflli étant maximaux deux à deux distincts,
pour tout couple (i,j) tel que i ^ j on a Wti <£ $Rj • D'après le théorème 23.2.2, on
a donc, pour tout i G [l,n] :
Pour chaque indice i, on choisit tUj G SPTi \ (SPTf U (UJ7e|[i,n]|\{i}^X^j)) • Fixons un couple
(U,Si) G TU* x (A \ttli) tel que Wi = ^ . On a t*7jj4[m.] = 971* = UA[m.] (car s* est
inversible dans A[m.j ), donc U £ OJtf ; si l'on avait ^ G SDÎj avec un j'^ i, on en
déduirait ÎXJli C SDtj , ce qui est absurde, donc
• Prouvons que m* = ^A pour tout i. Fixons i G [1, n|. D'après la proposition
23.2.9, pour montrer que m* = t^A, il suffit de montrer que ntiA[mj] = UA^] pour
tout j G ll,nj. On a d'abord îU*-A[mi] = 3Jti = *iA[mi) ; si j G |[l,n]| \ {i} , on
a ti £ 971,, donc ^ g U(A[mj]), donc A[m.] = M[mi] C UliA[mj] C A[mj] , d'où
tiA[mij = TUij4[mi] = i4[mjj , ce qui achève d'établir l'assertion.
• Montrons que tout idéal de A est principal. Notons d'abord que pour tout i G [1, n]
et tout m G N , on a A H 9DΙ = £™A ; c'est évident si m = 0 ; soit i G [l,nj et
m€N*.Ona:
*™AcAnîmr = An(t™A[mi])
Soit x E (^^[nti]) \ {0} > écrivons x = ^ tj* avec (a, 5) € A x (A \ itli) ; supposons
que l'ensemble des entiers naturels fc tels que x G tϣA (qui est non vide) admette un
maximum \i < m. Alors x = Atf avec A G A \ ^A = A \ m*, d'où sAtf = at™ , d'où
sA = at™~M G TU*, ce qui est absurde puisque s ^ m* et A ^ m*. Cette contradiction
montre que x G tfA , ce qui achève d'établir A n SDÎ^ = ^A = m™.
Soit maintenant a un idéal non nul de A. Pour tout i G [l,nj, soit e* l'entier
naturel tel que aA[m.j = ^A[m.] ; on a
ac fl (^n(^(mi]))= f) (XnSW?<) = f| m? = Il m?
l<i<n l<i<n l<i<n l<i<n
la dernière égalité découlant du fait que les idéaux m^ sont deux à deux comaxi-
maux (voir proposition 23.2.2). Notons b = Ili<i<nniii » ^ est c^air Que b = aA,
où a = Ili<i<n*i* î P°ur tout * € [l,nj, on a bÂ[mi] = t\*A[mA = aA[mi] , parce
Que rij€[i,nl\{i} ^ est inversible dans A[m.j. D'après la proposition 23.2.9, on a donc
a = b = a A ■
70 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
23.2.3 Compléments sur la dépendance intégrale
La proposition qui suit concerne la montée et la descente des idéaux premiers.
Proposition 23.2.10
Soit A et B deux anneaux commutatifs non nuls et p : A —> B un morphisme
d'anneaux. Notons B(p) le A-module obtenu en munissant B de la loi externe
AxB->B,(û,i)h p(a)x . On suppose que le A-module B(p) est de type fini.
(I) Supposons A et B intègres; alors A est un corps ssi B est un corps.
(II) Soit q un idéal premier de B , posons p — p_1(q); alors q est un idéal
maximal de B ssi p est un idéal maximal de A .
(III) Pour tout idéal premier p de A f l'ensemble V{p) des idéaux premiers q de
B tels que p~l{(\) = p est uni (éventuellement vide).
(IV) Supposons p injectif; pour tout idéal premier p de A , Vensemble des idéaux
premiers q de B tels que p~l((\) = p est non vide.
Démonstration:
Assertion (I):
Si A est un corps, alors B est une A-algèbre intègre de A-dimension finie, donc
est un corps. Réciproquement, supposons que B est un corps; soit x G A \ {0} . Soit
y = (p{x))~l (inverse dans B ). Soit (6i,... ,6m) une suite d'éléments non nuls de B
qui engendre le A-module B^ , avec m > 1 (une telle suite existe parce que B(p) est
non nul et de type fini). On a une matrice 2P = (Ai,j)(jj)€[i>mj2 G 9Dîm(A) telle que
hy = Sj=r Aijbj pour tout i G |l,mj ; le déterminant A de la matrice Im - 2P est
donc nul: en le développant, on obtient une relation de la forme
(5) ¥m+5>(u*)»m~fc=s0
k=i
avec Uk € A pour tout fc. En multipliant les deux membres de (5) par xm_1 , il vient
y = - 5Zfc=r~ p{uk)xk~l , d'où y e A ; donc A est un corps.
Assertion (II):
L'idéal p de A est premier. Les anneaux A = ^/p et B = B/n sont intègres.
Soit <p : B —> B le morphisme d'anneaux canonique. Par passage au quotient, (pop
donne un morphisme d'anneaux injectif ~p : A —► B . Soit Bçp) le A-module défini par
'p comme B(p) l'est par p. Il est clair que le A-module B^ est de type fini. D'après
l'assertion (I), B est donc un corps ssi A est un corps; autrement dit, q est maximal
ssi p est maximal.
Assertion (III):
Soit p un idéal premier de A. Si V(p) est vide, il n'y a rien à démontrer. Supposons
V(p) non vide: alors pour tout q G V(p), on a p C p~1(p(p)B) C p~x(q) = p , donc
p~l(p(p)B) = p~1(p(p)) = p . Par passage au quotient, p définit donc un morphisme
injectif p : ^/p —► ^/p{p)B , et il y a une bijection évidente entre V(p) et l'ensemble
des idéaux premiers t de B/p(p)B tels Que P~l(*) — {0} • un est ainsi ramené au
cas où A est intègre, où p est injectif et où p = {0} .
Supposons donc que A est intègre, que p = {0} et que p est injectif. On posera
Vo = ^({0}). Il s'agit de montrer que l'ensemble Vo est fini. Soit F le corps des
fractions de A . Soit C la F-algèbre F<S>aB(p) ; elle est commutative, et de F-dimension
finie puisque B^p) est un A-module de type fini. Notons (p le morphisme d'anneaux
naturel B —> C, b >-+ 1F ®b. Soit q G Vo . De la suite exacte
q — B-+ B/q _{0}
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'&îgèbre commutative 71
on déduit, par exactitude à droite du foncteur F ®A • (cf. [4], tome 2), la suite exacte
F ®A q —- C —- F ®A B(p)/q —+ {0}
et par suite un isomorphisme naturel de A-algèbres ^/<p(q) C ^ ^ &U B(p)/q • Mais
comme p_1(q) = {0}, par passage au quotient p définit un morphisme d'anneaux
injectif ~p : A —► #/q ; il est clair que B{p)/q s'identifie canoniquement à ( ^/q )çp) .
Les anneaux A et ^/q sont intègres et ~p est injectif, donc le lemme 23.2.1 s'applique
(avec S = A \ {0} ) et montre que l'anneau (A \ {0})"1 • ^/n est canoniquement
isomorphe à F <g>A (( B/q )(p)) = -F ®a B(p)/q • Cet anneau est donc intègre, ce qui
montre d'une part que l'idéal <p(q)C de C est premier, donc maximal en vertu de la
proposition 23.2.3, et d'autre part que le morphisme naturel
3 ' B/q —> F ®A B(p)/q , * »—>1f®x
est injectif. Considérons le diagramme commutatif:
B -^ F ®A B{p)
ï ï
B/q -±F®AB{p)/q
où la flèche verticale de gauche est l'application canonique w et où la flèche verticale
de droite est Id;? ® w. D'après ce qu'on a vu plus haut, Ker (Uf ® w) est l'image
naturelle <p(q)C de F <g>A q , et on a donc, puisque j est injectif:
V?_1(Ker (IdF <8> m)) = V~l(v(q)) = Ker (j o ru) = Ker (j) = q
On a donc montré que <p(q)C € Specmax(C) et q = <^_1(^(q)) pour tout q G Po •
On peut donc définir l'application Pq —► Specmax(C), q »-> <p(q)C, et cette application
est injective. Or l'ensemble Specmax(C) est fini d'après la proposition 23.2.3. Donc
l'ensemble Vq est fini, ce qui achève de prouver l'assertion (III).
Assertion (IV):
Soit p un idéal premier de A. Notons 1ZP l'ensemble des idéaux b de S tels que
p_1(b) = p . Montrons d'abord que p{p)B G 1ZP (ce qui prouvera que TZP ^ 0 ). Soit
(&i,... ,6m) une suite d'éléments non nuls de B qui engendre le A-module B(p) , avec
m > 1. Soit a G AC\p"l(p(p)B) ; on a donc p(a) — Yl\<i<m p(ai)bi , avec oti E p pour
tout i. En multipliant cette relation successivement par 6i,..., bm , et en exprimant les
bibj comme combinaisons p(i4)-linéaires des bk , on constate l'existence d'une matrice
^ = (^i,j)(t,j)€|i,m]a à coefficients dans p telle que p{a)bi = Ei<j<mP(\i)^ Pour
tout z e [l,mj. Soit M la matrice complémentaire de M = p(a)Im - A , et soit 95 la
matrice colonne transposée de la matrice ligne (fci,... ,fem). Notons id = det(M) ; on
a MSS= 0, d'où 0 = (MM)SS= (ATm)», Le. 46* = 0 pour tout i. On en déduit
que A f = 0 pour tout f G B, d'où Z\ = 0. En développant A, on en déduit que
p{am) = (p(a))m G p(Jj). Comme p est injectif, on a donc am e p , et comme p est
premier, on conclut que a G p , ce qui achève de montrer que p(p) G 7Zp .
L'ensemble Hp , ordonné par inclusion, est inductif (c'est immédiat). Montrons que
ses éléments maximaux sont des idéaux premiers de B , ce qui montrera que les idéaux
premiers q de B tels que p~l(q) = p sont les éléments maximaux de 7ZP . Soit donc
q un élément maximal de fop . On a d'abord q ^ B puisque p~l(q) = p ^ A. Soit
x E B\q et y G B \ q ; alors par injectivité de p, on a p(p) ^ (Sx + q) n p(A) et
p(p) ^ (By-f q)np(i4). On a donc des éléments u G A\p , t; G A\p , A G B , p, e B ,
Ç G q et 7/ G q tels que p(u) = Ax + f et p(t;) = fiy 4- r/. Si l'on avait xt/ G q , on
en déduirait p(uv) = A/iX]; + Axt? + p,y£ -f^eqn p(A) = p(p), d'où uz; G p puisque
p est injectif, d'où u G p ou v e p puisque p est premier; ce qui est absurde. Cette
contradiction montre que q est bien premier. ■
72 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Le théorème qui suit donne deux conditions suffisantes de finitude de la clôture
intégrale d'un sous-anneau de K dans une extension algébrique de K .
Théorème 23.2.4
Soit L une extension algébrique unie de K . Soit A un sous-anneau de K de corps
des fractions K . Soit B la clôture intégrale de A dans L .
(I) Supposons L séparable sur K et A nœthérien et intégralement clos. Alors B
est un A-module de type uni et un anneau nœthérien.
(II) Supposons que K soit une extension de type uni d'un sous-corps parfait C de
K tel que C C A, que m = degtrc(K) > 1, et que A = C[u\,... ,um] , où
(u\,..., Um) est une base de transcendance de K sur C . Alors B est un A-module
de type uni et un anneau nœthérien.
Démonstration :
Assertion (I):
Montrons d'abord (sans supposer L séparable sur K ni A nœthérien et
intégralement clos) que L = Uagk(AB) (ensemble que nous noterons K • B ), ce qui entraînera
que L est le corps des fractions de B. Soit x G L\K. Soit T une indéterminée sur
L, et posons
k=n
(6) lrrx.*(r) = Tn + £ ckTn~k = P(T)
k=i
(on a donc n > 2 et (ci,..., cn) G Kn ). D'après l'hypothèse, on a un élément S G A\{0}
tel que ÔCi G A pour tout i ; on posera Sci = a*. En multipliant les deux membres de
la relation P{x) = 0 par 6n et en posant y = Sx , on obtient:
k=n
(7) »n + 536fc-1afcyn-fc=0
fc=i
ce qui prouve que y G B, d'où x = 6~1y G K • B. Par suite, L — K B . Notons
d = [L : K]. Pour toute base (fi,..., £<*) du K-e.v. L et pour toute suite (Ai,..., Xd)
d'éléments de K* , la suite {\i£i)i<i<d est encore une base de ce K-e.v. Du fait que
L = KB , on en déduit l'existence d'une base (ei,..., e^) du K-e.v. L telle que e* G S
pour tout i. On fixera une telle base (e*).
Revenons maintenant aux hypothèses de l'assertion (I) de l'énoncé. Vérifions que
TrL/i<:(^) C A. Soit x G B, notons F = K(x). D'après les résultats du
paragraphe X.6, on a Tr^/j^x) = TrL/p (Tr^/j^x)) = [£ : F] ^rF/K(x) ; notant alors
IrrXyp(T) = Tq + X^IÏcfcT9_fc (où T est une indéterminée sur L), on sait que
^rF/Eix) = ~ci ; mais puisque x est entier sur A qui est intégralement clos, les Cfc
appartiennent à A , d'où Tr^/j^x) G A ; on a donc bien TrL/K(B) C A .
Soit /? la forme /f-bilinéaire symétrique L x L —> K, (x,y) h-> TrL/x(xt/). Puisque
L est séparable sur If, cette forme fi est non dégénérée. La K-b&se (e*) de L admet
donc une (unique) base adjointe (êi)i<i<d : rappelons que cette if-base de L est l'unique
suite (Éi,...,£d) d'éléments de L telle que /3(ei,^) = 5<tJ- pour tout (i,j) G [l,dj2
(où (<5ij) désigne la matrice unité dans 9Xtd{K ) ). Soit alors x = J2JjZixj^j € S,
où (xi,...,Xd) G ifd. Pour tout i G [l,dj, en tenant compte que e* G S , on a
eîx = YjjZi xj€iej G 5 , donc TrL/K(eix) G A. Or
3=d
^rL/K{eix) = /3{eux) = ^xJ-TrL/jRr(ei,e>7) = X*
i=i
donc Xj G A. On en déduit que B C £!=i ^. Le A-module M = ]Cl=i ^ est de
type fini et A est nœthérien, donc tous ses sous-A-modules sont de type fini; donc B
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'algèbre commutative 73
est un A-module de type fini, et tous ses idéaux, qui sont des sous-A-modules, sont de
type fini comme A-modules, donc a fortiori de type fini comme B-modules, autrement
dit l'anneau B est nœthérien
Assertion (II):
Puisque A est nœthérien, il suffira de montrer que B est un A-module de type fini, sa
nœthérianité en tant qu'anneau en découlera. Si L est séparable sur K , l'assertion (I)
permet de conclure. Nous supposerons donc L non séparable sur K ; sa caractéristique
est alors > 0 , nous la noterons p.
Comme K est une extension de type fini de C qui est algébrique sur le corps
E = C(tii,... ,um), c'est une extension algébrique finie de E , donc L est extension
algébrique finie de E .
Soit i? une clôture algébrique de L. Notons E' la clôture radicielle de E dans la
clôture normale N de L dans Q, et e l'entier tel que [ E1 : E ] = pe . Alors N est
galoisienne finie sur E'. Si e = 0, i.e. si N est séparable sur E, l'assertion (I) permet
de conclure, car L est alors séparable sur E. Supposons désormais e > 1. Soit A!
la clôture intégrale de A dans E'. Par transitivité de la dépendance intégrale, on a
B = B' H L , où B' est la clôture intégrale de A' dans N. Soit E" = Frob^e(£) ; du
fait que C est parfait, on déduit que que E" = C(v\,..., vm), où Vi = Frob^e(ui) pour
tout i. La suite (t>i) est C-algébriquement libre. On a E' = E"C)N et A' = A"n£', où
A" désigne la clôture intégrale de A dans E" . Comme C [ v\,..., vm} est un anneau
factoriel donc intégralement clos, on a A!' = C [i/i,..., vm ] > Il est alors immédiat que
A" est un A-module de type fini. L'anneau A est nœthérien , donc tous les sous-A-
modules de A" sont de type fini. En particulier, A est un A-module de type fini,
d'où l'on déduit que A! est un anneau nœthérien. Comme N est algébrique finie et
séparable sur E1, l'assertion (I) montre que B' est un anneau nœthérien et un A'-
module de type fini. Par transitivité, on en déduit que B' est un A-module de type
fini; comme A est nœthérien, le sous-A-module B de B' est aussi de type fini, ce qui
achève la démonstration ■
23.2.4 Discriminant
Résultant de deux polynômes d'une indéterminée
Nous renvoyons à [3] pour une introduction élémentaire sur les résultants et
discriminants de polynômes d'une indéterminée sur un corps commutatif. Bornons-nous à
quelques rappels. Dans ce qui suit, T désignera une indéterminée sur un anneau
commutatif quelconque A fixé.
Étant donnés deux polynômes non nuls f e A[T] et g € A[T] :
k=m k=n
(8) f(T)=Y,UkTm~k ; g(T) = Y,v><Tn~k
k=0 fc=0
où m > 1 et n > 1, on note Result(/, g,m,ri) le déterminant de la matrice de
Sylvester associée aux suites (u0, ■ • •, um) et (vo,..., vn), et on l'appelle le (m, n)-
résultant de f et g pris dans cet ordre. S'il n'y a aucune confusion possible, on écrit
plus simplement Resuit(/,g) et on parle de résultant tout court. Dans tout ce qui
suit, nous considérerons qu'il n'y a aucune confusion possible si uovo ^ 0 : dans ce
cas, sauf mention contraire, résultant tout court de / et g signifiera (m, n)-résultant.
Cette définition montre immédiatement que Result(/, g) = (-l)mnResult(<7, /).
Soit {Uo,-'.<tUm,Vo,...iVn,Z) une liste d'indéterminées sur Q. Soit Gm,n l'anneau
74 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Z [ C/0,. •., Um, Vb,. • •, Vn} , soit $ et # les éléments de C?m,n [ Z] définis par
k~m k=n
(9) £(Z) = ^ UkZm-k ; ¥(Z) = £ VkZn~k
k=0 k=0
Le résultant Résulta, î?) est appelé le (m, n)-résuJtant générique. C'est un élément de
Gmyn homogène de degré n en (i/o, • • •, Um) et homogène de degré m en (Vq,.. -, Vn).
Soit p le morphisme d'anneaux Gm,n —► A qui envoie Ui sur t^ et Vj- sur Vj pour tous
z et j . Il est clair que p(Result(^,!fr)) = Result(/,p), ce qui justifie la terminologie
" générique " (résultant qui engendre tous les autres résultants).
La propriété essentielle du résultant est d'être, lorsque A est intègre, un éliminant
entre / et g, et d'être, " génériquement ", le meilleur éliminant possible; de façon
précise, supposons que A soit intègre, de corps des fractions F (on remplace T par une
indéterminée sur F , toujours notée T ), et supposons uovo ^ 0 ; alors Result(/, #) = 0
ssi / et g ne sont pas premiers entre eux dans F[T] . En fait, soit J? une clôture
algébrique de F , et considérons (toujours sous l'hypothèse uqvo ^ 0 ) des factorisations
de / et g dans 0[T\ (où T est une indéterminée sur Q)\
/c=î7i k=n
(io) f{T) = uoH(T-tk) ; î(T) = ^n(r-*)
fe=l fc=l
On a alors:
l—n k=m
(n) Résulta)=«5< n (& - %)=te n /(%)=(-irn«ô n »«*)
(ik,£)e|l,mlx[l,nl £=1 fe=l
Discriminant d'un polynôme d'une indéterminée
Revenons au cas d'un anneau de base A quelconque. Considérons le polynôme / de
(8), dans l'hypothèse où uq G U(A). On définit le discriminant réduit de f, et on
note Discrd(/) , l'élément suivant de K :
(12) Discrd(/) = (-îr-^iô1 Result(/,/')
où /' désigne le polynôme dérivé de / .
Notons Vm le sous-anneau Z[U\,..., Um] de Gm,n • Soit l'élément 2Pm de Vm[Z)
défini par
(13) 9>m(Z) = Zm + 51 CW1"*
/t=i
Le discriminant Discrd(2Pm) est appelé le m-discriminant générique (sous-entendu:
d'un polynôme normalisé de degré m). C'est un élément de Vm de degré 2ra - 2 en
(Cl,....Cm).
Soit £ le morphisme Z>m —► A qui envoie Ui sur i^ pour tout i G [l,raj . Il est
clair que si u0 = 1A , alors Discrd(/) = £(Discrd(2Pm)), ce qui justifie la terminologie
" discriminant générique ".
La propriété essentielle du discriminant est d'être, lorsque A est intègre, un testeur de
la séparabilité, et d'être " génériquement " le meilleur testeur possible de la séparabilité.
De façon précise (sous l'hypothèse uq ^ 0 ), supposons A intègre, de corps des fractions
F. Soit une clôture algébrique j? de F, et supposons que / admette, dans fi[T] , la
factorisation (10). On déduit de (11):
fe=m
(14) Discrd(/) = (-l)=i^U^-2 fj (Zi-Zi)2 = (-l)m-1vZ-2Uf'&)
\<i<j<m k = l
et par suite / est séparable ssi Discrd(/) ^ 0.
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'algèbre commutâtive 75
Discriminant de certaines algèbres
Dans cette sous-section, A désigne un anneau commutatif fixé.
Soit d'abord M un A-module libre de dimension finie n > 1. Fixons u G Hom^M).
Étant données deux bases (ei,..., en) et (e^,..., e'n) de M , la matrice de passage P
de la première à la seconde appartient à OL( n, A ) , et les matrices respectives U et U1
de u dans ces bases vérifient Uf = P~1UP. Il en découle facilement que l'application
qui, à toute base (ei,...,en) de M, associe la trace Y^ï^\uiÀ de la matrice (uij)
de u dans cette base est constante; sa valeur constante est appelée la trace de U,
et notée Tr(u). L'application Honu(M) -> A,uh Tr(u) est A-linéaire, et on a
Tr(uv) = Tr(vu) pour tous endomorphismes u et u.
Soit maintenant B une A-algèbre commutâtive qui est en même temps un A-module
libre de dimension finie n > 1. À tout b G B , on associe l'élément hj, de Hoirie (B)
défini par hb(x) = bx pour tout x G B . On note TrB/A(b) = Tr(h&), et cet élément de
A est appelé la trace de b (sous-entendu: dans la A-algèbre B). Si b G A , il est clair
que TrB/A(b) = nlB . L'application TrB/A : B —► A, 6 »—► Tr5/y4(6) est A-linéaire et
vérifie TrB/A(bc) = TrB/A(cb) pour tout (b,c) € B x B. Rappelons que si 6 G S , le
déterminant det(h&) est appelé la norme de 6 (sous-entendu: en tant qu'élément de la
A-algèbre B); nous le noterons N5/i4(6). L'application Nb/a : -B —► A, fc •-> N^/^fc)
vérifie NB/A(bc) = NB/A(b)NB/A(c) pour tout (6, c) G j9 x B, et on a NB/>i(&) = 6n
pour tout 6 G A. Les fonctions Tr^/^ et NB/A se transportent par isomorphismes de
A-algèbres, i.e. si / est un isomorphisme de A-algèbres de B sur une A-algèbre B',
on a TrB7A o / = TrB/A et NB,/A o / = NB/A .
Définition 23.2.2
Soit B une A-algèbre commutâtive qui est en même temps un A-module libre de
dimension unie n > 1. Pour toute A-base 95 = (ei,...,en) de B, on appelle
discriminant de 2ft Vêlement det ((TrB/^(eiej))(ij)G[1)nj2) de A. On le notera
DiscrB/y4(2S).
Proposition 23.2.11
Dans les conditions de la définition 23.2.2, l'idéal principal (DiscrB/y4(95)) A de A
ne dépend pas du choix de la base 28.
Démonstration:
Soit 28 = (ei,-..,en) et Sf = (e^,... ,e'n) deux bases du A-module B, et soit
[/ = (ui,j)(i,j)€li,n]a la matrice de passage de 28 à 2#. Pour tout i G [l,n|, on
a ei = E/t=i ufc,iefc » d'où (v(m) € Il,nJ2) e£e$ = E(fc,£)e|[i,np uktimtjekei, ce qui
entraîne:
(15) (V(i,j) G [l,n]2) TrB/i4(c;cJ) = ]T uk)luejTrB/A{ekee)
(M)€[l,nJ3
Soit T et T' les matrices (TrB/i4(eiej))(i,J-)e[i,n]a et (TrBM(e^))(ij)e[1)nj2 . Les
relations (15) signifient que V = lUTU. On en déduit:
(16) DiscrB/A(2tf ) = (det([/)2DiscrB/y4(SS)
Mais U G GL(n,A), donc det(t/) G U(A) ; en posant <5 = (Discret 28)) et
6'= DiscrB/y4(2Sf), on a donc 6A = <5'A ■
La proposition 23.2.11 justifie la définition suivante:
76 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Définition 23.2.3
Soit B une A-algèbre commutative qui est en même temps un A-module libre de
dimension unie n > 1. L'idéal de A égal à (DiscrB/^(26)) A pour toute A-base
28 de B est appelé l'idéal discrimimant de B . On le notera Ùb/a •
Nous allons voir que Pidéal discriminant résiste bien au changement d'anneau de base.
Plaçons-nous dans les conditions de la définition 23.2.3; soit A' un anneau commutatif
et soit p : A —> A! un morphisme d'anneaux. Notons A', n le A-module déduit de
A' par restriction des scalaires à l'aide de p. Soit B' la A'-algèbre A',pv ®a B, et
soit pb : B —> B' l'application naturelle 6 »—► \a< ® b : c'est un morphisme d'anneaux,
qui vérifie ps(Ab) = p(X)pB{b) pour tout (À, 6) € AxB, autrement dit qui est un
morphisme de A-algèbres lorsque, dans B1, on restreint les scalaires à A à l'aide de p.
Il est immédiat que B' est un A'-module libre de dimension n, et que ps transforme
toute A-base de B en une A'-base de B'.
Proposition 23.2.12
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, on a:
t>B'/A' = (P0>B/A)) B' ; ®B'/A' °PB=P° NB/A
Démonstration:
Soit une A-base 86 = (ei,..., en) de B . Soit 2# = (ej) la A'-base de B' transformée
de 95 par job • Soit b € B; notons M = (A,j)(i,j)e|[i,n]a la matrice de h& dans 28
et b' = j5s(b). La matrice M' dans ^ de l'élément h&/ de Hom^/(S/) (défini par
x *-+ b'x) est alors (p(A,j))(i,j)e(i,nl2 • D'où immédiatement: Tr(M') = p(Tr(M)) et
det(M') = p(det(M)). On a donc prouvé:
(17) TrB7i4, o pb = p o Trfî/A ; NB//i4/ opB=po NB/A
La première relation (17) entraîne Discr5//y4/(2^) = /9(DiscrB/i4(2S)) ; par définition
de l'idéal discriminant, on en déduit que ^b'/A' = {pO>b/a)) B' ■
Conservons les notations A , A', j9 , p, et les hypothèses de la proposition 23.2.12;
soit C une A'-algèbre commutative et / : B —► C un morphisme d'anneaux tel que pour
tout (A,b) G A x B , on ait /(Ab) = p(X)f(b) (i.e., / est un morphisme de A-algèbres
pour la structure de A-algèbre de C déduite par restriction des scalaires à A à l'aide de
p ); un tel morphisme sera dit (A, p)-linéaire. On déduit de / une application A-bilinéaire
Aï ^ x S —► C, (À', b) h-+ A'/(b), d'où un morphisme de A-modules / : A', x gu B —► C ;
on vérifie facilement que / est un morphisme de A'-algèbres, qui sera dit canoniquement
associé à /. Donc pour que / soit un isomorphisme de A'-algèbres, il faut et il suffit
que / transforme toute A-base de B en une A'-base de C. Cette condition équivaut
de manière évidente à l'existence d'au moins une A-base de B qui soit transformée par
/ en une A'-base de C En résumé:
Proposition 23.2.13
On donne: un anneau commutatif A!, un morphisme d'anneaux p : A —► A! , une
A-algèbre commutative B qui est un A-module libre de dimension finie n > 1, une
A'-algèbre commutative C et un morphisme d'anneaux (A, p)-linéaire f : B —► C.
Le morphisme de A'-algèbres Aï x ®a B —> C canoniquement associé à f est un
isomorphisme ssi il existe une A-base de B transformée par f en une A'-base de C.
La norme et le discriminant, qui ont été étudiés aux tomes 1 et 2, sont des outils
essentiels aussi bien en Théorie des Nombres qu'en théorie des fonctions algébriques
d'une variable. Nous ne développons ci-après que leurs propriétés qui interviendront
dans cette dernière théorie.
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'algèbre commutative 77
Discriminant, norme et théorie des corps
Soit A un anneau commutatif, n un entier > 1 et X une indéterminée sur A.
Donnons-nous un polynôme normalisé de degré n :
(18) P(X) = Xn + Yl ak*n~~k £A[X\
Dans A[X] , la division euclidienne par P est possible. On en déduit facilement
que la A-algèbre B = ^i-^l/pAlX] est un A-module libre, dont une A-base est
(!»£»• • • >£n_1) » ou f désigne l'image canonique de X dans B .
Proposition 23.2.14
Soit A un anneau commutatif, et soit P{X) = Xn + £fc=îa**71"* e A[X] , où
n>\ et où X est une indéterminée sur K. Soit B la A-algèbre A\^\/p A[X\ •
Notons f l'image canonique de X dans B. On a
bB/A = (Discrd(P)) A = (NBM(P'(0)M
Démonstra t ion :
• Soit Uij..., C/n, T des indéterminées sur Q . Notons /C le corps Q ( t/i,..., Un )
et Vn = Z[l7i C/n] - Soit 2/>n(T) = T- + £*ï? UkT»-k (donc 9>n G 2>„[T] ).
Soit Q la Pn-algèbre quotient ^m [-^ V2PnI)n [ T ] et r l'image canonique de T dans
Q. Soit p le morphisme d'anneaux Pn —► A qui envoie [/* sur a; pour tout i. On a
(19) Discrd(P) = /9(Discrd(2Pn))
Soit <p le morphisme d'anneaux Vn[T] —> A[X] qui, atout J2i \iTl (où Ai G Vn
pour tout z), associe ^iP{K)Xl . La composée <J? de la projection canonique
A[X] —> B avec <p est un morphisme d'anneaux qui envoie évidemment 2Pn sur 0.
Par passage au quotient, Tp définit un morphisme d'anneaux / : Q —► B , qui est
manifestement (2}n,p)-linéaire, et transforme la Pn-base 2T = (l,r,... ,Tn_1) de Q sur la
A-base » = (1,£,... ,fn_1) de B . Le morphisme de A-algèbres / : (2>„)(p) ^S-^B
est donc un isomorphisme (proposition 23.2.13). Il découle de la proposition 23.2.12 que
(20) bB/A = (p(t>Q/Vn)) A i NB/A o f = p o NQ/Vn
D'autre part, on a </?(3^) = P', d'où f(9'n(r)) = P'(f ), d'où, d'après la deuxième
relation (20):
(21) KB/A(P'(0) = P(KQ/Vn(9>'n(T)))
Supposons prouvé que i>Q/vn = AnVn = P-nPn , où l'on a posé An = Discrd(2Pn) et
Pu — Ng/i>n(S?>n(T)) • Alors i>B/A = (Discrd(P)) A en vertu de la première relation
(20). L'anneau Vn étant intègre, nécessairement rn = cAn avec e G U{Vn). D'après
(21), on a NB/A (P'(£)) = p(<0 Discrd(P). Comme p(e) G W(A), on en déduit que
(n^/a (-P'(O)) ^ = ^b/a • ^ suffit donc de prouver la proposition avec Vn , SPn et Q
à la place de A , P et P .
• Supposons que A = Vn , P = 2Pn et B = Q. Soit i? une clôture algébrique
du corps des fractions de Pn , et soit q : Z>n —► i? l'injection naturelle. L'anneau
■0(0) ®i>« (Pn[T]) s'identifie à fi[T] (on identifie T à lr?®T). Nous ferons cette
identification, de sorte que q devient l'injection canonique et que T est une indéterminée
sur J?. On notera H la i?-algèbre & \^]/<3inQ [T] • L'application £q (définie comme
dans la proposition 23.2.12) s'identifie à l'application naturelle J : Q —» 7£, qui est in-
jective car 3>nJ? [T] nPn [T] = &nVn [T] (conséquence du fait que <9>n est normalisé).
À l'aide de J , on identifie Q à une sous-Pn-algèbre de 11. La suite 9" = (1, r,..., rn_1)
78 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES DVNE VARIABLE
est à la fois une Pn-base de Q et une i?-base de 1Z. De la proposition 23.2.12 et de sa
démonstration, on déduit:
(22) DiscrQ/Vn(?f) = Discr1l/n(?f) ; Ng/Pn(^(r)) = N^/^(^(r)) = Tn
• Nous allons maintenant déterminer 6 = Discr^/^( 2T) en fonction de An et rn .
Le polynôme 2Pn est séparable, car il est irréductible dans K[T] , où /C désigne le corps
des fractions de £>n (la caractéristique est nulle). On a donc une suite (ti,... ,tn) € /2n ,
avec les ^ deux à deux distincts, telle que 2Pn(T) = riil"^ ~ *0 • D'après le théorème
chinois, on a un isomorphisme naturel de ,f?-algèbres 1Z
(23) K-^Un[T]/(T-ti)n[T]
i=l
Pour tout z, l'injection naturelle Q -* & l^]/(T — U)Q [T] est bijective, d'où un
isomorphisme canonique de J?-algèbres entre le second membre de (25) et la 17-algèbre
produit i?n . En composant cet isomorphisme avec l'isomorphisme (25), on obtient un
isomorphisme de J?-algèbres
(24) 2 :1l—>f2n
qui n'est autre que l'isomorphisme induit par la spécialisation
n\T) —*tr, f^(f(tl),...,f(tn))
On a Trj?»/^ o£ = Tr^/j? , et on vérifie facilement que Tr^/r? est la forme linéaire
J7n —► Q, (xi,..., xn) h-> 5Zi=? xi • Par suite, pour tout (i, j) G [1, n]2 , on a
(25) Trw/1I(T*-V-1) = 5>fc)<+i"2
fc=i
Notant M la matrice (Ylk^^kY^'2 ) et V la matrice de Vandermonde
((*i)J'"1)(<.i)€liln]a (éléments de OKn(r?)),ona M ^VV, d'où det(M)= (det(V))2.
Comme det(Vr) = rii<i<j<n(*i ~~ **) » on en déduit, compte tenu de (14):
(26) Discr^/r2(l,r,...,rn-1)= JQ (^;- U)2 = (-l)1^ Discrd(9>n)
l<i<j<n
autrement dit, S = (—1) V ^\n .
On a de même Nj?n/# o !£= N^/p , et on vérifie que ^nn/n est la fonction polynomiale
Q71 —► Q , (xi,..., xn) >-> ni<i<n x» • Compte tenu de (14), on en déduit:
i=n
(27) Kri/n{9'n{T)) = n <3>'n{U) = (-îr^Discrd^n)
autrement dit, rn = (-l)n~1An = (-1) n 2" £, ce qui achève la démonstration ■
Le fait que le discriminant d'un polynôme d'une variable teste sa séparabilité se
généralise comme il suit (rappelons que K désigne un corps commutatif):
Théorème 23.2.5
Soit C une K-algèbre commutative de K-dimension unie n > 1 . On a b c/k ¥" {0}
ssi C est isomorphe à une K-algèbre produit d'un nombre uni d'extensions
algébriques unies et séparabies de K .
Chapitre 23 , § 2
Compléments d'algèbre commutative 79
Démonstration:
On vérifie facilement que si Ci,..., Cm (où m > 1 ) sont des Zf-algèbres commuta-
tives non nulles de /f-dimension finie, et si C est l'algèbre produit YïiZT Ci » on a:
i~m
(28) bC/K = fi b<V*
Les seuls idéaux de K sont {0} et K, donc dans (28), on a bc/K = {0} ssi l'un au
moins des ^d/K est nul.
• Soit if une extension algébrique finie et séparable de K . Soit f un élément primitif
de £f, et notons P{X) = Irr^/^X) (où X désigne une indéterminée sur if). Alors
if est canoniquement isomorphe à la /f-algèbre ^1^\/PK[X] • D'après la
proposition 23.2.14, on a donc by/K = (Discrd(P)) K. Comme P est séparable, on a
Discrd(P) ^ 0 , d'où iy/K = K.
On déduit de là que si C est isomorphe à une AT-algèbre produit d'un nombre fini
d'extensions algébriques finies et séparables de K , alors Ï>c/k — K •
• Réciproquement, supposons que ic/K = K • D'après la proposition 23.2.3, C est
isomorphe à la /f-algèbre produit d'un nombre fini de AT-algèbres locales (i.e. qui sont
des anneaux locaux) dont l'idéal maximal est l'unique idéal premier, et est en outre un
idéal nilpotent. Il suffit donc de montrer qu'une telle AT-algèbre est une extension finie
séparable de K.
Supposons donc que C est locale, d'idéal maximal tu, cet idéal étant son unique
idéal premier et étant nilpotent. Montrons par l'absurde que m = {0} . Supposons
m ^ {0} . Soit i/ G M * tel que m" = {0} . Pour tout x G m , on a (hx)l/ = 0, d'où
Trc/K{x) = 0. Choisissons une base (ei,...,en) du /f-espace vectoriel C telle que
ei € TU; pour tout i G [l,nj, on a e\et G m, d'où Trcyx(eiei) = 0. La première
ligne de la matrice (TrC/K(^i^j)){ij)elitni2 est donc nulle, donc le déterminant de cette
matrice serait nul, ce qui est contraire à l'hypothèse bc/K — K • Cette contradiction
montre que m = {0} , i.e. que C est un corps. Pour toute AT-base (ei,... ,en) de ce
corps C, on a alors det((Tr(^//(:(eiej))(i):?)6|1)nj2) /0 en vertu de l'hypothèse, ce qui
entraîne que C est séparable sur K (voir [4], tome 1) ■
Remarque 23.2.2 :
Soit Li,...,Ln des extensions finies de K (où n > 1 ), et soit C la AT-algèbre
produit riil]1^*- Les idéaux maximaux de C sont ttli,... ,tnn , où pour tout i,
TTli désigne l'ensemble des éléments (Ai,...,An) G C tels que A» = 0 (on le vérifie
facilement en observant que la projection naturelle d'un idéal a de C sur un facteur
Li est {0} ou Li ). Pour tout i, soit Ai l'idéal de C défini par
Ai= n m;= n m>
J€[l,n]\{i} J€[l,nl\{i}
(Ai est l'ensemble des (Ai,...,An) 6 C tels que Xj — 0 pour tout j ^ i). Soit
(ei,... ,en) la base canonique de C. Pour tout i G [l,nj, l'idéal Ai est une pseudo-
sous-K-algèbre de C (c'est-à-dire que muni des lois induites par celles de C, c'est
une Zf-algèbre), dont l'élément unité est l'idempotent a de C, et cette pseudo-sous-
if-algèbre est isomorphe à l'extension Li de K. On déduit aisément de là que si
Mi,..., MT sont des extensions finies de K telles que C soit ^-isomorphe à fl!=i %
alors r = n , et il existe a G ©n telle que Ma^) soit isomorphe à Li pour tout i ♦
§ 23.3 Valuations des corps
de fonctions algébriques d'une variable
Pour toute valuation v d'un corps, nous noterons respectivement Av , Cv , K.v et
(fiv l'anneau de v, le centre de v, le corps résiduel de v et l'application canonique
23.3.1 Extension de valuations discrètes
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K et F une sous-
extension de K dans L de degré de transcendance 1 ; alors F est aussi un corps de
fonctions algébriques d'une variable sur K. On sait que toute valuation non triviale
de L sur K et de F est discrète (théorème 23.1.5). Pour toute valuation discrète
non triviale normalisée v G SRk{L) , on sait que la restriction vp de v à F est une
valuation discrète de F sur K (théorème 23.1.4); nous noterons e(v,F) l'indice de
ramification de v sur F . La valuation w = e^ F\ vf de F sera notée Sft/,,f(v) • On a
définit ainsi une application
(1) &L,F : SRK(L) —+ 3RK(F), v
qui généralise l'application (24) du paragraphe 1, et qui sera dite par restriction et
normalisation. Sa propriété essentielle est d'être surjective, comme le montre le
Théorème 23.3.1
Supposons K parfait. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur
K et F une sous-extension de K dans L de degré de transcendance 1 . Soit
w e SRk{F) • Notons B la clôture intégrale de Aw dans L .
(I) B est un *Aw-module de type fini.
(II) L'anneau B est principal et n'a qu'un nombre uni r > 1 d'idéaux premiers
non nuls.
(III) Soit CJi,..., CJr les idéaux premiers non nuls de B. Pour tout i G [l,r] ,
Vanneau B[qi] est un sous-anneau de valuation discrète de L sur K. De plus, on
a B = rïi<i<r0[q.] . Notant t>i,..., vr les valuations discrètes normalisées de L dont
les anneaux sont respectivement B[qi], •.., B[qr] , on a ^l]f(w) = {vi> • • • > VA •
En conséquence, l'application ?Hl,f est surjective.
Démonstration :
Assertion (I):
Pour tout sous-anneau O de F, nous noterons respectivement Tf(0) et Îl{0) sa
clôture intégrale dans F et dans L.
Soit t une uniformisante de Aw . Notons E = K(t) et R = K[t] . Soit p l'idéal
premier cw H E de R (noter que p = tR ^ {0} ). On a Aw C\ E = R^ = S"1 • R,
où S = R\p. On a donc 2>(#[*]) = S'1 • IF(R) • D'après le théorème 23.2.4, IF(R)
est un iî-module de type fini; donc Xjr(R^) est un i2[|,]-module de type fini. Comme le
corps des fractions de R^ est E , le corps des fractions de If(R[P]) est F. On a
If{R{p\) ClF{Aw) = Aw
(l'anneau Aw étant de valuation discrète, il est intégralement clos). L'anneau R[p] est de
valuation discrète. La proposition 23.2.10 montre alors que l'anneau Xf(R^) n'a qu'un
nombre fini d'idéaux premiers, dont au moins un non nul, et que ses idéaux premiers non
nuls sont tous maximaux et rencontrent R[p] suivant son idéal maximal ^î = pR[p] .
D'autre part 1f(R[p]) est intégralement clos (transitivité de la dépendance intégrale),
et c'est un anneau ncethérien parce que c'est un module de type fini sur l'anneau R[p] ,
qui est ncethérien. D'après le théorème 23.2.3, l'anneau Xf(R^) est donc principal,
W
82 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
n'a qu'un nombre fini r > 1 d'idéaux premiers non nuls, et ses localisés en ses idéaux
premiers sont des anneaux de valuation discrète.
Soit q = cwnIF(R\p}) : c'est un idéal premier de If(Rm) , non nul puisque pcq.
Posons T = IF(R[P])\q. L'anneau V = (2>(#[j>]))[q] = T~[ -IF(R[p\) est de valuation
discrète d'après ce qu'on vient de voir. On a T C U{AW), d'où V C Aw ; le corps des
fractions de K est F, comme celui de IF(R[p]), donc V est un anneau de valuation
discrète de F (théorème 23.1.3); comme V C Aw , on a donc V = Aw .
L'anneau Xl{R) est un tf-module de type fini (théorème 23.2.4), donc a fortiori un
JF(iî)-module de type fini; donc 5*1 • IL(R) = Il(R[p]) est un 5"1 • lF(L)-module de
type fini, c'est-à-dire un Z>(/l[j,])-module de type fini. On en déduit que l'anneau
T-1 -1L(R[P]) = T-1 • IL(1F(R[P])) = 1L{T-1 -If(R1p]))=Il(Aw)=B
est un T~l • JF(#[i>])-module de type fini, c'est-à-dire un ^-module de type fini, ce qu'il
fallait démontrer.
Assertion (II):
Les hypothèses de la proposition 23.2.10 (assertions (II) à (IV)) sont satisfaites en y
remplaçant A, B et p par Aw , B et l'injection canonique Aw —♦ B. D'autre part
Aw n'a qu'un idéal premier, qui est C^,. Pour tout idéal premier q de fî,ona donc
nécessairement q n Aw = Cw , et q est maximal. La proposition 23.2.10 montre donc
que tout idéal premier de B est maximal et que l'ensemble des idéaux maximaux de B
est fini et non vide, chaque idéal maximal rencontrant Aw suivant C^,.
Il est évident que l'anneau B est intégralement clos (transitivité de la dépendance
intégrale) et noethérien (module de type fini sur Aw ). Le théorème 23.2.3 montre donc
que c'est un anneau principal, qui a un nombre fini r > 1 d'idéaux premiers non nuls.
Assertion (III):
Fixons i e [l,r] . Le corps des fractions de l'anneau B est L puisque le corps des
fractions de Aw est F ; a fortiori, pour tout i G [1, r], le corps des fractions de l'anneau
B[q.] est L . Pour tout i, d'après le théorème 23.2.3, B[q.j est un anneau de valuation
discrète; c'est un anneau de valuation discrète de L puisque son corps des fractions est L
(théorème 23.1.3). L'exemple 23.2.1 montre que B = ^i<i<rB[qi] . Pour tout i e [l,rj,
on a AVi = B[,.] , donc AVi n F = S[q.] n F. On a Aw C B C S[qi]. On n'a pas
F C B[q.] , sinon i?[qij serait un corps (en tant que F-algèbre intègre de F-dimension
finie). D'après le théorème 23.1.3, on a donc i?[qi] H F = Aw . Par suite, Vi domine w
(proposition 23.1.5), i.e. 2ft,L,F(t>i) = w .
Soit v une valuation discrète de L qui domine w. Comme Av est intégralement
clos, de corps des fractions L et que Aw C Av , on a B C Av . L'idéal cv C\ B de B
est premier et non nul, puisque cw C Cv , donc Cv n B = (\i pour un unique i G [1, r] .
On en déduit que #[q.] C Av , d'où qi#[qi] C Cv . D'après la proposition 23.1.1, on a
donc Av C B[q.] , d'où finalement Av = tf[qi] , et par suite v = Vi. On a donc bien
Dans les conditions du théorème 23.3.1, pour toute valuation w € SRx(F) et toute
valuation v G <$£l]f(w) , l'indice de ramification e(i>, F) sera noté e(t;,iu).
Dans toute ia suite de ce paragraphe, le corps K sera supposé parfait.
Notions de paramètre local et de degré résiduel
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K. Nous appellerons
paramètre local de L sur K tout élément de L transcendant sur K. Pour abréger,
on parlera aussi de K-paramètre de L . Notant K la clôture algébrique de K dans L ,
le corps L est aussi un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K , et l'ensemble
Chapitre 23 , § 3 Valuations des corps de fonctions algébriques d'une variable 83
des paramètres locaux de L sur K est aussi l'ensemble des paramètres locaux de L sur
Tt. _
Lorsque L est un corps de fractions rationnelles sur K , on a K — K; rappelons
qu'alors les paramètres locaux t de I sur K tels que L = K(t) sont appelés les
variables de L sur K (ou encore K-variables de L, et que l'ensemble de ces variables
est une GL(2,if)-orbite (voir section 23.1.2). De plus, si t est une variable de L sur
K, les sous-corps F de L contenant K strictement sont les sous-corps de la forme
K{u), où u est une paramètre local de L sur K (voir théorème de Liiroth). Dans le
cas général, il en va tout autrement: la question des relations entre les diverses variables
est un aspect du phénomène général de la ramification, auquel sera consacrée la fin de
ce chapitre. La proposition suivante généralise la proposition 23.1.7:
Proposition 23.3.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (supposé parfait).
Pour toute valuation v € SRk(L) , le corps résiduel ICV = ^y/cv est une extension
unie de K . En conséquence, si K est algébriquement clos, on a Kv = K.
Démons tra tion :
Fixons v e SRk(L) . Soit t une uniformisante de l'anneau Av ; notons F = K(t),
et soit w = ^Hl,f(v) 0-e- w — e(vF) Hf^ )' ^°^ ^ 'a c'oture intégrale de Aw dans
L. L'anneau 3 est principal, il y a un unique idéal premier non nul CJ de 3 tel que
Av = B[q] , et on a q f)F = Cw (théorème 23.3.1). Puisque l'anneau #/q est un corps,
le corps Kv est canoniquement isomorphe à Bfn (proposition 23.2.7). Par passage au
quotient, l'injection canonique Aw —► 3 définit un isomorphisme du corps Kw = ^/cv
dans B/q , i.e. ce dernier corps est une extension de Kw : mais comme 3 est un Aw-
module de type fini (théorème 23.2.7), JCW est un /C^-espace vectoriel de dimension finie,
i.e. est une extension algébrique finie de Kw . D'après la proposition 23.1.7, K,w est une
extension finie de K . On en déduit que YZV est une extension finie de AT H
Dans les conditions de la proposition 23.3.1, le degré \KV : K] sera appelé le degré
résiduel (absolu) de v , et sera noté dv . On généralise ainsi la notion de degré résiduel
absolu donnée à la suite de la proposition 23.1.7.
Corollaire
Avec les hypothèses et notations de la proposition 23.3.1, soit F une sous-extension
de K dans L, telle que degtrK(F) = 1 ; soit v G SRx(L) et w = $Il,f(v) • Le
corps K,v est canoniquement une extension de Kw ; cette extension est algébrique
finie.
Démonstration:
On a Cv D F = Cw et Av H F = Aw . Par passage au quotient, l'injection canonique
induit donc un isomorphisme du corps K,w = ^w/Cw dans Kv = -Ay/cv ;
ce dernier est bien canoniquement une extension de K,w . Comme Kv et ICW sont
extensions finies de K , il en découle que Kv est extension finie de JCW I
Dans les conditions du corollaire de la proposition 23.3.1, l'entier [Kv \KW] est
appelé degré résiduel (relatif) de v sur w , et sera noté f (v, w) . Par transitivité des
degrés d'extensions algébriques finies, on a [)CV : K] = [K,v : K,w\ [K,w : K], d'où:
(2) Kv,w) = ~
Soit maintenant L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (avec
K parfait), et deux sous-corps E et F de L contenant K tels que E C F et que
84 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES DVNE VARIABLE
degtrK(E) = degtrK(F) = 1. Il est immédiat que <31l,e = ^f,e ° 271l,f
(transitivité de la restriction-normalisation). Soit u G SRk(L) , posons v = 3I>l,f{u) et
w = &f,e(v) » d'où w = SIl.eM • 0n a [£u : /Cw ] = [/C^ : /C„ ] [/Cv : /C^ ], en d'autres
termes f(u, w) = f(u,v)f(v,iu). Cette propriété s'appelle la transitivité des degrés
résiduels relatifs,
23.3.2 Formules de ramification
Dans cette section, nous allons préciser le théorème 23.3.1; avec les notations de ce
théorème, nous allons voir que le nombre, le degré résiduel et les indices de ramification
des valuations v G SRk(L) au-dessus d'une valuation donnée w G SRk(F) sont liés
par une relation remarquable.
Théorème 23.3.2
Supposons le corps K parfait. Soit L un corps de fonctions algébriques d}une
variable sur K, et soit F un sous-corps de L contenant K tel que degtrK(F) = 1.
Soit w G SRr:(F) . Soit r = card (<^Îl]f(w)) • Notons B la clôture intégrale de
Aw dans L . Soit CJi,..., qr les idéaux premiers de B au-dessus de Cw , et pour
tout i G [l,r], soit Vi la valuation discrète normalisée dont Vanneau est B[qij , de
sorte que 3€î}tp(w) = {t>i,..., vr} (voir théorème 23.3.1). On a alors:
c„B = Tlq?v"w) ; i£e(vi,w)Kvi,w) = [L:F\
i=l i=l
(la seconde de ces relations est appelée formule de ramification).
Démonstration:
• Décomposition de l'idéal C^ B dans B :
Fixons une uniformisante t de Aw . Pour tout i G [l,r], posons e^ = e(vi,w) et
fi = f(^i)W), et choisissons un élément w% de B tel que q* = voiB (ce qui entraîne
qii?[q.] = t^i£[<,.] ). Par définition de fi et d'après la proposition 23.1.5, on a
(3) h = dimKrv{KVi) ; tAVi = CwAVi = C*; = ^BM
Pour tout j e [l,rj, on a donc t = vj^uj , avec Uj G S[qi] \ C\jB\qj}. Posons
r = n^ï^J • Fixons i G fl,r]. Pour j G [l,r] \ {i} , on a w, G B \ q^ , donc
wi e U(Blm}) Puisque q^,.] DB=qi. Donc tr~l = u{ nj€[i,r]\{i} *>]*' € U(BM>> '
C'est vrai pour tout i, donc (puisque rïi<i<rS[q.] = B en vertu du théorème 23.3.1):
*~i * n (*m \ *bm) = (ri sw) \ (u fl*Bhd)=e\ (u(fl^in^)
= B\mqA=U(B)
donc * G rU(B), et par suite cwB = tB = rB= (n*=ï^ei)s = n!=ï li* • Notons au
passage que la décomposition de t en facteurs irréductibles dans l'anneau principal B
est donc t = s []1<Kr G7^ avec e G £^(S).
• Preuve de la formule de ramification:
D'après le théorème 23.3.1, le ^-module B est de type fini. Ce module est aussi
sans torsion parce que l'anneau B est intègre. Comme l'anneau Aw est principal, le
théorème général de structure des modules de type fini sur un anneau principal (voir [4],
tome 2) montre que B est un ^-module libre de rang fini. Notons n ce rang. Comme
Chapitre 23 , § 3 Va.lua.tions des corps de fonctions algébriques d'une variable 85
le corps des fractions de Aw est F, et comme L = FB (voir début de la preuve de
l'assertion (I) du théorème 23.2.4), il est clair que toute ^-base de B est une base du
F-espace vectoriel L , donc
(4) n=[L:F]
Soit C la Kw-algèbre Kw %a^ B • En tant que .4^-algèbre, elle est canoniquement
isomorphe à la ^-algèbre &/cw B • Puisque B est un ^-module libre de rang n, il
est clair que C est un /C^-espace vectoriel de dimension finie égale à n (commutation
du produit tensoriel aux sommes directes). La structure de Kw-espace vectoriel de C
identifié à &/çwB se déduit de manière évidente de sa structure de ^-module, car dans
ce module, on a Àx = 0 pour tout (A,x) e Cw x C. Les idéaux q^ de B sont deux à
deux comaximaux. En utilisant le théorème 23.2.1, compte tenu que CWB = Yli<i<r *\V »
on voit que la /C^-algèbre C est isomorphe à Il!=i ^/(\ei • Donc:
i=r i=r
(5) n = dim,c JC) = £ dira*,, ( B/^ ) = £ din*,, ( B/w« B )
Fixons i € [l,rj. On a ru?Bc weii'1Bc •- C&iB C B, d'où:
(6) dim^ ( B/^s ) = Yl dim^ ( W^BI™\ S )
j=i
Mais pour tout j G Il,e»J, l'application B —► S, x h-► /cuJi~lx induit, par passage
au quotient, un isomorphisme de JCw-e.v. de ^/^j{ B — B/(\i sur w* ®/w? B • La
relation (6) donne donc:
(7) dim^„ ( B/w« S ) = c* dim^„ ( B/q. )
D'après la proposition 23.2.7, on a:
(8) din*,. (B/q. ) = dim^„ (BM/q.BM ) = din*.{KVi) = /,
Les relations (9) et (10) sont vraies pour tout i. On déduit donc de (7) la formule
de ramification voulue: n = YllZi e%U "
Les formules du théorème 23.3.2 peuvent s'écrire sous la forme plus intrinsèque:
(9) CWB= J] (enc„)lM ; Yl e(v,w)\(v,w) = [L:F]
ve<3CLlF{w) ve<3TLlF(w)
Corollaire
Dans les conditions du théorème 23.3.2, on a card (^l]f(w)) ^ [^ : F] • Lorsque
K est algébriquement clos, l'égalité a lieu ssi e(v,w) — 1 pour tout v G (3CLV(w).
Définition 23.3.1
Supposons le corps K parfait. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K, et soit F un sous-corps de L contenant K tel que degtrK(F) = 1 .
(I) Un élément w G SR^(F) est appelé une valeur régulière de 91l,f ssi
e(v,w) = 1 pour tout v G ^l]f(w) > i-e- ssi* card(^ï,!F(w)) = [£ : F] •
(II) Soit v G SRk(L) . On dit que L est non ramifié sur F en v ssi, avec
w = ^l,f{v) , on a e(v, w) = 1. Dans le cas contraire, on dit que L est ramifiée
sur F en v.
(III) Un élément w G 3RK(F) est appelé un point de branchement de 91l,f
ssi il existe v € ^l]p(w) tel que L soit ramifiée en v sur F.
86 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Lorsque L est séparable sur F, il est aisé de caractériser les points de branchement
de S^l.f à l'aide du discriminant:
Théorème 23.3.3
Supposons le corps K parfait. Soit L un corps de fonctions algébriques d}une
variable sur K, et soit F un sous-corps de L contenant K tel que degtr^(F) = 1.
Supposons L séparable sur F. Soit w G SRk(F) . Soit B la clôture intégrale de
Aw dans L . Alors w est point de branchement de 2ftz,,F ssi ^b/a^ ¥" Aw .
Démonstration:
Posons n = [L : F]. Dans la démonstration du théorème 23.3.2, nous avons vu que
B est un ^-module libre de rang fini égal à n, et que toute ^^,-base de B est une
F-base de L . L'idéal discriminant ^b/aw est donc bien défini.
Soit (ei,..., en) une Aw-base de B . C'est donc une F-base de L . Comme B est un
sous-anneau de L , pour tout b G B, la matrice de l'endomorphisme x »—► bx du F-e.v.
L dans la base (e,) appartient à fXJln(B) , et c'est aussi la matrice de l'endomorphisme
x »-► bx du ^-module B dans la base (e»). On en déduit que pour tout (i,j) G (1, nj2 ,
on a TrL/F(ciCj) = Tzb/a^^j) G Aw , d'où:
(10) DiscrL/F(ei,..., en) = DiscrB/Aw (ci,..., en)
Posons 6 = DiscrL/F(ei,... ,en). Puisque L est séparable sur F, on a 6^0.
Comme b&/Aw = 6AW , on voit que ^b/a» = Aw ssi 6 G U{AW), i.e. ssi 6 £ tw .
Notons (si,... ,£n) la suite image canonique de (ei,..., en) dans la ^-algèbre
quotient Q= &/cwB • Comme cw annule Q , il est clair que par passage au quotient par
Cw , la ,4^-algèbre Q devient canoniquement une /C^-algèbre. Pour tout v G ^l]f(w) »
notons ev = e(v,w) et qv = Cv C\B. D'après le théorème 23.3.2, l'application
définit une bijection de <3CL F(w) sur l'ensemble des idéaux premiers de S, et on a
CiyS = rivÉ^r1 {w) Qvv • Les idéaux q%v (où v décrit 2/Il)f(^) ) sont deux à deux
comaximaux, et le théorème des restes chinois donne un isomorphisme canonique de
/C^-algèbres:
ai) q=b/cwb^ n *mï
v&rL)F(w)
Il est immédiat que Visez Q/jçw(ei,... ,en) est l'image canonique 6 de S dans K,w ,
donc Ïïq/jCu, = ~ï>K<w • On a 6 ^ 0 ssi 6 £ cw . La /C^-algèbre commutative Q est de Kw-
dimension finie. D'après le théorème 23.2.5, on a 6 ^ 0 ssi Q est isomorphe à un produit
d'extensions séparables de K,w . S'il existe v G $£l]f(w) te^ Que ev > 1, il est clair que
Q admet des éléments nilpotents non nuls (les idéaux q„ sont principaux), donc n'est
pas isomorphe à un produit de corps, et par suite 6 = 0. Supposons que ev = 1 pour
tout v G 2ftï,,/?(w) • Les corps &/qv (où v G ^l]f(w) ) sont des extensions séparables de
Kw , parce que K est parfait. On déduit alors du théorème 23.2.5 que 6^0. Pour tout
v G ^1,f(w) » les corPs ^/(\v et &v = &[qv]/Cv sont K,w-isomorphes, car Cv = f\vB[qv]
(proposition 23.2.7). En définitive, on a 6 ^ 0 ssi pour tout v G ^ipiw), on a ev = 1.
Autrement dit, w est point de branchement de 31l,f ssi Î>b/aw ^ Aw ^
Sous les hypothèses du théorème 23.3.3, on voit donc que les points de branchement
de 91l,f sont en général " exceptionnels ".
Application: fonctions algébriques
Au paragraphe 1, relation (29), nous avons défini une fonction naturellement associée
à un élément d'un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K , indépendamment
Chapitre 23 , § 3
Valuations des corps de fonctions algébriques d'une variable 87
de tout choix particulier d'une variable de ce corps. Cette définition s'étend aux éléments
d'un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K . Ainsi est tournée la difficulté
principale qui se présente pour étudier les " fonctions algébriques d'une variable " au sens
ancien et intuitif de cette expression: ces fonctions, tant qu'on cherchait à les définir sur
K, étaient multiformes, et le passage à la surface de Riemann SRk(L) permet de les
traiter comme de " vraies " fonctions, ne prenant qu'une seule valeur en chaque point.
Définition 23.3.2
Supposons le corps K parfait. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K , et soit f G L .
(I) On appelle zéro de f (resp. pôle de f ) tout élément v G SR/f(L) tel que
v(f) > 0 (resp. v(f) < 0 ). L'entier \ v(f) | est appelé la multiplicité (ou l'ordre)
de ce zéro ou pôle.
(II) On dit que f est une constante de L ssi f n'a ni zéro ni pôle.
(III) Supposons K algébriquement clos. On appelle fonction algébrique définie
par f l'application f : SRK{L) ^^tinl ^(/) s[ {eAv
y ock si f fi j\v
Le théorème qui suit est une " version fonctions algébriques d'une variable " du
théorème de Liouville des fonctions analytiques ordinaires d'une variable complexe. En
tenant compte du théorème 22.2.4, il justifie la terminologie " constantes " ci-dessus:
Théorème 23.3.4
Supposons K parfait. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur
K . L'ensemble des constantes de L est K , la clôture algébrique de K dans L . Un
élément f G L est une constante ssi f n'a aucun zéro (resp. n'a aucun pôle).
Démonstration:
D'après la proposition_23.1.2, tout élément de K est une constante de L.
Réciproquement, soit f e L \ K. Le sous-corps F = K(f) de L est un corps de fractions
rationnelles d'une variable sur K ; la valuation discrète normalisée w = Vf,/,t de F
(où T désigne une indéterminée sur L ) vérifie w(f) = 1 ; d'après le théorème 23.3.1,
il existe une valuation v G SRx(L) au-dessus de w ; pour une telle v , on a v(f) > 0 ,
donc / a au moins un zéro et a fortiori n'est pas constante. L'ensemble des constantes
de L est donc bien K. Si / G L \ A", on a 4 ^ K, donc 4 admet au moins un zéro
d'après ce qui précède. Mais les zéros de / sont les pôles de 4 , et vice-versa. Donc /
admet au moins un pôle. Toutes les assertions du théorème en découlent ■
Dans les conditions de la définition 23.3.2, soit / € L et g e L. Soit £ la réunion
de l'ensemble des pôles de / et de g. Les définitions entraînent immédiatement que
pour tout v jg_SRat(L) \^,ona / -h g G Av , fg e Av , f(v) -h g(v) = (/ + g)(v) et
f{v)g{v) = {fg){v) • Pour tout v e SRk{L) , le corps K des constantes s'identifie à un
sous-corps_du corps résiduel Kv . Si K est algébriquement clos, pour tout / G K, la
fonction / est constante, la valeur constante étant / .
Montrons maintenant qu'un élément non constant d'un corps de fonctions algébriques
d'une variable admet autant de zéros que de pôles, à condition de les affecter de
multiplicités convenables:
Théorème 23.3.5
Supposons le corps K parfait. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K . Soit f G L\K . L'ensemble des zéros de f est non vide uni, l'ensemble
des pôles de f est non vide fini, et on a: ^2ve8K (L\ ^(/) d^ = 0 .
88 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Démonstration:
Le corps F = K(f) vérifie degtrK(F) = 1. Notons T une indéterminée sur
L. L'unique élément w G SRx(F) tel que w(f) = 1 est w+ = V}?,/,t , et l'unique
élément w G SR/e (F) tel que iu(/) = —1 est w~ = Vf,/,oo = ^f,4,T • On en déduit que
l'ensemble des zéros de / est <3CLlF(w+) et que l'ensemble des pôles de / est 9£2*F(iu_).
D'après le théorème 23.3.1, ces ensembles sont bien finis et non vides.
Pour tout v G <3tl1F(w+), on a
(12) v(f) = e{v,w+)w+{f) = e{vJw+) ; f(v,tu+) = [/C„ : /C^ ] = \K,V : K] = dv
parce que w+(f) = 1 et )CW+ = K. De même, pour tout v G STÏ^F^-), on a:
(13) v{f) = -c(v, w.) ; f(v,u;-) = d„
En appliquant le théorème 23.3.2 (formules (9)), on déduit de (12) et (13):
(14) Yl v(f)*v= £ e{v,w+)i{v,w+) = [L:F]
v<=9CL1F(w+) t/€«^F(ti;+)
(15) £ ^(/)dv = - £ c(vlti;-)f(t;Jti;-) = -[L:Fl
En additionnant (14) et (15) membre à membre, et en tenant compte que v(f) = 0
pour tout v G SRk{L)\(^f(w+)u^l]f(w-)) et que <3CI}F{w+) et 0i~LlF{w-) sont
disjoints, on obtient bien ]CV6SRk(L) v(/) &v = 0 B
Montrons enfin que si K" est algébriquement clos, on peut identifier les éléments de
L aux fonctions algébriques qu'ils définissent:
Théorème 23.3.6
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K . Soit f G L et g G L telles que f = g . Alors f = g .
Démonstration:
Soit £ la réunion de l'ensemble des pôles de / et de g. C'est un ensemble fini,
et pour tout v G SR#(L) \ E , on a /(t;) - #(t;) = 0 = {f-g){v). Comme K est
algébriquement clos, il est infini, donc la surface de Riemann SRjc(L) est infinie (soit t
un paramètre local de L , et soit F = /f(£) : on sait que SRk(F) est équipotent à K,
donc est infini, et on sait que l'application 91l,f : SR/c(£) —► SR#(F) est surjective,
donc SRk{L) est bien infini).
L'élément / — g de L a donc une infinité de zéros, donc est une constante d'après
le théorème 23.3.5, et il est clair que cette constante ne peut être que nulle I
Cas des corps de fonctions rationnelles d'une variable
Dans cette sous-section, supposons que L est un corps de fonctions rationnelles d'une
variable sur K et que K est algébriquement clos. Nous allons analyser dans ce cas les
formules de ramification et la notion de fonction algébrique.
Le corps des constantes de L est K ; d'après le théorème de Liïroth, les sous-corps
de L contenant strictement K sont ceux de la forme K(f), où / G L \ K, et sont
donc tous des corps de fractions rationnelles d'une variable sur K .
Soit / G L\K, notons F = K(f). Soit T une indéterminée sur L. Choisissons
une variable t de L sur K . Rappelons qu'on a des bijections naturelles
(16) WKtL,t : K —+ 3RK(L) ; VKtFj : K — 3RK(F)
Chapitre 23 , § 3 Valuations des corps de fonctions algébriques d'une variable 89
(voir section 23.1.2 et notamment les relations (25) et (26) de cette section), et que
1 ït = J°ç8K,Lt |
Les corps résiduels sont ici tous égaux à K , donc tous les degrés résiduels absolus et
relatifs valent 1.
L'examen des formules (18) à (23) du paragraphe 23.1 montre d'abord:
(17) Wl]FJ o <3lL,F o %JLtKtt = ft
d'où l'expression de 91l,f :
(18) &l,f = gjjc|F|/ o ft o VKlLt = V3k,fj o f
Pour interpréter les formules de ramification, soit w G SRk(F) , et notons b l'élément
de K tel que 23j<:,F,/(b) = w, i.e. tel que Vpj^Kib) — w (on utilise les notations de
la section 23.1.2). Notons B la clôture intégrale de Aw dans L. Pour tout a € K tel
que VL,t,vK(a) ^ ®£l,f(w) » on notera ea l'indice de ramification de Vitt>pK^ sur F
et va = VLttt<pK(a) .
• Supposons d'abord b G K , d'où w = Vp./.r-b = Vfj-^t • Notons P = Nt(f - b)
et Q = Dt(f - b) (le ^-numérateur et le ^-dénominateur de f -b).
Premier cas: deg(P) < deg(Q)
D'après les relations (19) et (22) de la section 23.1.2, les seuls éléments a € K tels
que VLtt,pK{a) £ ^l]f(w) sont 'es *"zéros de f -b et oo^ . D'après ces mêmes formules
(19) et (22) de la section 23.1.2, si a est un É-zéro de / - 6, l'entier ea est l'ordre de
multiplicité de a comme t-zéro de /, i.e. son ordre de multiplicité comme zéro de P,
et si a = ook » °n a £<x>K = deg(Q) - deg(P).
La formule de ramification donne donc ici:
(19) [L:F]=eOOK+ £ ea = deg(Q) - deg(P) + deg(P) = deg(Q)
a€K,F(a)=0
Or, deg(Q) = Degt(/ - b) (t-degré absolu de f - b). Avec (19) ci-dessus, on retrouve
donc la conclusion du théorème 22.3.1. Pour tout a G AT tel que P(a) = 0 , l'anneau AVa
est l'ensemble des g G L n'admettant pas a pour t-pôle, le centre CVa est l'ensemble des
g G L admettant a pour f-zéro, et on a CVa = (t - a)AVa et CwAVa = (t - a)€aAVa .
L'anneau AVx est l'ensemble des g G L telles que degt((?) < 0 et on a CVoc = jA/»
et CwAVx = j^AVoo . L'anneau B est l'ensemble des # G L telles que degt(^) < 0 et
dont aucun zéro de P n'est pôle, et on a twB = P(t)t~e°° B. Les idéaux premiers de
B sont les (t - a)B pour a e K tel que P(a) = 0, et \B.
Second cas: deg(P) > deg(Q)
D'après la relation (19) de la section 23.1.2, les seuls éléments a e K tels que
VL,t,P/<(a) € SKl.f^) sont les *-zéros de / —6, et pour tout tel a, l'indice de ramification
ea est l'ordre de multiplicité de a comme £-zéro de / - b, i.e. son ordre de multiplicité
comme zéro de P . On a donc:
(20) [L:F]= Y, *a = deg(P)
a£K ,P{a)=0
Or, on a ici deg(P) = Degt(/ - b) (£-degré absolu de f -b). Avec (20) ci-dessus, on
retrouve donc à nouveau la conclusion du théorème 22.3.1. Pour tout a e K tel que
P(a) = 0,1' anneau Ava est l'ensemble des g G L n'admettant pas a pour f-pôle, le
centre cVa est l'ensemble des g G L admettant a pour t-zéro, et on a cVu = (t — a) AVa
et Cw AVa = (t - a)eaAVa . L'anneau B est l'ensemble des g e L dont aucun zéro de P
90 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
n'est pôle, et on a CWB = P(t) B . Les idéaux premiers de B sont les (t — a) B pour a
parcourant l'ensemble des zéros de P dans K .
• Supposons que b = ook , d'où w = Vj?/f00 .
Premier cas: deg(P) > deg(Q)
Les formules (18) et (21) de la section 23.1.2 montrent que les éléments aeK tels
que Vk{o) € ^l,f{w) sont 'es *-pôles de / et ook • Ces mêmes formules (18) et (21)
de la section 23.1.2 montrent que si a est un £-pôle de /, i.e. un zéro de Q, alors ea
est son ordre de multiplicité comme t-pôle de /, i.e. son ordre de multiplicité comme
zéro de Q , et que si a = ook , alors ea = deg(P) -deg(Q). La formule de ramification
donne donc:
(21) [L : F] = eoc* + £ ea = deg(P) - deg(Q) + deg(Q) = deg(P)
aeK ,Q(o)=0
Or on a ici deg(P) = Degt(/) (t-degré absolu de / ). Avec (21) ci-dessus, on retrouve
donc la conclusion du théorème 22.3.1. Pour tout £-pôle a de /, l'anneau AVa est
l'ensemble des g G L n'admettant pas a pour t-pôle, le centre CVa est l'ensemble des
g € L admettant a pour £-zéro, et on a cVa = (t — a)AVa et CwAVa — (t — a)€aAVa .
L'anneau AVoo est l'ensemble des g € L telles que degt(#) < 0 et on a cVoc — \AVoo
et CwAVoo = -jt^AVoo . L'anneau B est l'ensemble des g € L telles que degt(g) < 0
et dont aucun zéro de Q n'est pôle, et on a twB — j^- B. Les idéaux premiers de B
sont les (t - a)B pour aeK tel que P(a) = 0 , et jB.
Second cas: deg(P) < deg(Q)
D'après la relation (18) de la section 23.1.2, les seuls éléments aeK tels que
VL,t,vK(a) € ^l]f(w) sont 'es ^-pôles de /, i.e. les zéros de Q, et pour tout tel a,
l'indice de ramification ea est la multiplicité de a comme t-pôle de /, i.e. la
multiplicité de a comme zéro de Q. La formule de ramification donne donc:
(22) [LF]= Y, ea = deg(Q)
a€J<:,Q(a)=0
Or, on a ici deg(Q) = Degt(f) (t-degré absolu de / ). Avec (22) ci-dessus, on retrouve
donc la conclusion du théorème 22.3.1. Pour tout a e K tel que Q(a) = 0, l'anneau AVa
est l'ensemble des g e L n'admettant pas a pour £-pôle, le centre cVa est l'ensemble des
g e L admettant a pour f-zéro, et on a cVa = (t - a)AVa et cwAVa = {t - a)6aAVa .
L'anneau B est l'ensemble des g e L n'admettant aucun zéro de Q pour pôle, et on
a CWB = P(t) B. Les idéaux premiers de B sont les (t — a) B pour a parcourant
l'ensemble des zéros de Q dans K.
On voit donc que la formule de ramification du théorème 23.3.2 généralise les formules
(16) et (17) de la section 23.1.2. Plus précisément, dans les conditions de l'énoncé du
théorème 23.3.2, en général il n'existe pas d'élément f e F tel que F = K(f), et on n'a
plus de formules analogues à (18) ci-dessus; mais il reste l'application 91l,f , et il reste
l'entier [L : F] , que l'on peut donc à bon droit appeler le degré absolu de 2&l,f .
23.3.3 Exemples de surfaces de Riemann
Corps de fonctions hyperelliptiques
Dans cette sous-section, nous supposerons K parfait et de caractéristique ^ 2.
Soit F un corps de fractions rationnelles d'une variable sur K, muni d'une
variable t. Soit f e K[t] un t-polynôme non constant, séparable, normalisé, et notons
Chapitre 23 , § 3
Vaïuations des corps de fonctions algébriques d'une variable 91
f = Px. •• pm une décomposition de / en facteurs irréductibles distincts dans K[t] , et
pour tout i G [1, m}, soit di = deg(Pi). On notera d = degt(f), donc d = Y^î^i di •
Soit T une indéterminée sur F . L'élément T2 - / de F [ T ] est irréductible (car vu les
hypothèses, / n'a aucune racine carrée dans F ), et séparable puisque la caractéristique
est ^ 2. La F-algèbre quotient
(23) L= F[T}/(T2_f)F[T]
est donc un corps, extension séparable de degré 2 de F. Donc L est un corps de
fonctions algébriques d'une variable sur K ; ce corps est appelé un corps de fonctions
hyperelliptiques sur K.
Cherchons les points de branchement de L sur F. Pour cela, notons r l'image
canonique de T dans L. Une F-base de L est (l,r), et un calcul immédiat montre
que
(24) DiscrL/F(l,r) = 4/
Comme 4^0 dans K , on conclut que les zéros de Discr£,/jr(l,r) dans SR/c(F) sont
les w € SRk{F) tels que w(f) > 1.
Utilisons la bijection
(25) VFtt : *U {oo} — 3RK(F), P — Vp|t|P
(voir section 23.1.2). On voit que si P € i, on a Vf,*,p(/) > 1 ssi P G {Pi,..., Pm} ,
et que s'il en est ainsi, alors VFt)p{f) = 1 • D'après les relations (14) de la section
23.1.2, pour tout P 6 i, on a / 6 AvFt p ■ Montrons que pour tout P G 5, une
base de la clôture intégrale Ep de AvFt>P dans L comme AyFtp-module est (l,r).
Fixons en effet P G $; il est clair que t e £p ; inversement, soit (<£,^>) G F x F tel
que (p + rip e £p . On a TrL/F(<^ -f n/>) = 2</? € .Avv.t.p » d'où <p G ^4vF,t(P , d'où
rip e £p , d'où Nl/f(tV;) = /V>2 é *4vv,t,p , autrement dit VF,t,p{îi>2) > 0. Comme
VFltAf1>2) = VF,tXf) + 2VF.t.p(lM = î + 2Vip,tfptyO , nécessairement V>,«,p(lM > 0,
i.e. ip G .4v>it(p , ce qui achève de prouver que Sp admet (l,r) pour >VFit(p-base. On
en déduit:
(26) (VP 6 i) ^PMvF,t,P = 4Mv,,,,, = /4,,lP
On peut maintenant appliquer le théorème 23.3.3; il montre que les points de
branchement de 91l,f appartenant à Vfj{$) sont les Wi = Vp)t)Pi pour i parcourant [l,raj.
Fixons i G [l,mj. La formule de ramification donne:
(27) [L:F]=2 = £ e(t;,^)f(^)
Comme e(t;,n;i) > 2 pour tout v G SfijV^*) » ^ découle de (27) que 9£ï,)i?(wi) est un
singleton {vi} , que e(t>i,iUi) = 2 et que j(vi,Wi) = 1.
Examinons maintenant Woq = Vp)t,oo • L'anneau AWoc est l'ensemble des g e F
telles que degt(/) <0. Notons £<*> la clôture intégrale de AWqo dans L.
• Cas où d est pair:
Posons d = 2r, avec r e N . On voit facilement qu'une base de S^ comme
AWoo -module est (1,0 , avec f = p . On a donc
(28) kooM-oo = (DiscrL/F(l,0)£oo = ^00
Comme degt(j£) = 0, on voit que £ est inversible dans AWoo , donc (28) entraîne
^ooM^oc = £» » donc Woq n'est pas point de branchement de 91l,p (théorème 23.3.3).
• Cas où d est impair:
Posons d = 2r + 1, avec d e N . Montrons qu'une base de £<*, comme AWoG-
module est (1,$), avec f = ^ . Comme £2 = ^£r G .4^ , on a bien f G £00 .
92 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
Soit (<p,ip) e F x F tel que p + £V> € £«> • Alors 2<p G AWoc , donc <p G AWoc , et
£2V2 € Au» » ie- *ki>2 € X« » ie* 2 de9tM + degt(/) - d - 1 < 0 , c'est-à-dire
2degt(i/>) < 1, ce qui implique degt(ip) < 0, autrement dit ip G AWoo . On a donc bien
£oo = AWoo ®ÇAWoo • On en déduit:
(29) ^/^oc = (DiscrL/F(l, 0) £oc = ^r ^oc
On a ^oo(^+t) = -degt(^tr) = 1, donc ^5r n'est pas inversible dans AWoo . Le
théorème 23.3.3 montre alors que tUoo est point de branchement de 31l,f • La formule
de ramification montre, comme pour les Wi, que SR^f^oo) est un singleton {vqo} » et
qu'on a c(voo,^oo) = 2 et f(^oo,^oo) = 1 •
Montrons que si d G {1,2}, alors L est un corps de fonctions rationnelles d'une
variable sur K . Si d = 1, c'est immédiat car dans ce cas / = t — A avec A G if , d'où
£ = A -f t2 , d'où L = K (t) . Dans ce cas, Wqo est point de branchement de *31l,f • Si
d = 2 , on a f = t2 + Xt + fi avec (A, fi) <E K2 et A2 - 4/x ^ 0 . Posons 6 = r-t. On a
92-{r2-t2) = -2t6 = 62-Xt-n,et X-26^0 car 0 g F (puisque r g F). Par suite,
t = f^g G AT(0) , d'où t = 0 + te K{0). On en déduit que L = tf(0). L'application
SR,l,f admet un seul point de branchement si / est irréductible dans K[t] , i.e. si
A2 — 4// n'est pas un carré dans K , et sinon, elle admet deux points de branchement.
En revanche, nous verrons au chapitre suivant que si d > 3, alors L n 'est pas un
corps de fractions rationnelles d'une variable sur K .
Surface de Riemann définie par un polynôme en deux variables
Supposons K parfait; soit F un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K,
muni d'une variable x . Soit (X, Y, Z) un triplet d'indéterminées sur F . Donnons-nous
un polynôme
k=d
(30) <P(Y) = Y,*kYd-keF[Y]
avec d > 1 et a§ad ^ 0 , irréductible dans F [Y] , et séparable. Plongeons F dans une
de ses clôtures algébriques fixée une fois pour toutes, notée fi . Comme on va s'intéresser
aux racines de $ dans i? , on ne change pas la généralité en supposant que a* G K [ x ]
pour tout i et que les a* sont premiers entre eux dans leur ensemble dans l'anneau
K [ x ] . On supposera donc ces conditions satisfaites. On posera
(31) —*{Y) = Yd + Y bkYd-h
avec bk = % pour tout k > 1. On notera P(X,Y) l'élément de K[XtY] égal à
Ylk=o &k{X)Yd~k , où, par abus de langage, pour tout k on a noté le résultat de la
substitution de X à x dans ak considéré comme fraction rationnelle en x à
coefficients dans K. On définit de même 9(X,Y) = Yd + £j;î?bk(X)Yd-k . Vu les
hypothèses, P(XyY) est K [X]-primitif et #(X)-irréductible, donc il est irréductible
dans (AT[X])[Y] = K[X,Y] . De plus, P est séparable en tant qu'élément de
(K(X)) [Y] , donc son d-discriminant réduit, que nous noterons A(X), est non nul.
On a donc A(x) ^ 0. Pour tout X e K tel que ao(A) ^ 0, il est clair que A(X) est
le discriminant réduit du polynôme P(A,Y) G K[Y] . Le couple (F,x) étant fixé, la
donnée de P , ou de # , est équivalente à celle de # .
Fixons une racine y de # dans fi (intuitivement, y peut être considérée comme
une " fonction algébrique de la variable x "). Notons L le sous-corps F(y) de fi:
c'est une extension finie de F, et on a [L : F] = d. Donc L est un corps de fonctions
algébriques d'une variable sur K. D'une autre manière, L s'identifie canoniquement
Chapitre 23 , § 3
Valuations des corps de fonctions algébriques d'une variable 93
à chacun des corps suivants: le corps F[Y]/$(Y)F[Y] » et Ie corps des fractions de
l'anneau intègre Klx>Y]/p(X,Y)K[X,Y] •
La surface de Riemann SR/f(L) est dite associée au couple ($,y). La définition de
P montre que:
(32) *(y) = p(x,r)
Supposons maintenant K algébriquement clos. Nous allons comparer la surface de
Riemann SR/c(L) et l'ensemble
(33) rP = {(Z,V)eK2\P(Ç,V) = 0}
Soit d'abord v G SRk(L) tel que v(x) > 0 et v(t/) > 0. Rappelons que tpv
désigne le morphisme canonique Av —► JCV = ^/cv » et rappelons que puisque X est
algébriquement clos, on a ici JCV = K. Notons fv = y>v(x) et rjv = <pv(j/) . En vertu
de (32), on a P(x,t/) = £(t/) = 0, d'où Ton déduit: P{Çv,Vv) = V>v{P{x,y)) = 0.
Notons respectivement &x et 2PV l'ensemble des pôles de x et de y. Ce qui précède
nous donne une application
(34) (3 : SR* (L) \ (9>, U 9y) —> PP , t; —♦ (£,, r?v)
• Montrons que les fibres de /3 sont finies et de cardinal < d. Soit v et v' éléments
de SRjr(L) \ (S^x U 2Py), posons {\fi) = (fv,rçv), et supposons que Çv/ = Çv . Alors
X[x] C AVC\AV> et <£>v et y>v/ coïncident sur K [x] . Posons w = ^Il,f{v) et
wf — ^L^piv'). Soit w un générateurs de l'idéal Cw (c'est un élément irréductible de
K [x] ); si on avait w ^ w', on aurait w G Cw \ Cw* , donc <£>v(c7) = 0 et ipv,(w) ^ 0 ,
ce qui est absurde. Donc wf = w. Donc v' G Sfi^F^) • Or d'après le corollaire du
théorème 23.3.2, on a card($CLlF(w)) <d. Il en découle que card (/3-1((A,//))) <d,
ce qu'il fallait démontrer.
• Soit S l'ensemble des zéros de oq(X)A(X) dans K. Soit U = TP \ (S x K).
Nous allons voir que l'image de /3 contient U, et que pour tout (A,/i) € t/, la fibre
/3-1((A,/x)) est un singleton; autrement dit, on va prouver que la restriction de /3 à
P~l(U) définit une bijection de f3 1(U) sur [/. Remarquons que l'ensemble S étant
fini, l'ensemble i> O (5 x /T) est aussi fini (sinon P serait divisible dans K [ X, Y ] par
un polynôme de la forme X — a avec a G K, ce qui est exclu par les hypothèses), et
donc puisque les fibres de (3 sont finies, l'ensemble (3~1(rP H (5 x A")) est fini. Le
complémentaire de (3"l(U) dans SR^(L) est l'ensemble ^u9iî/U/3"1(rPn(5xi(r)),
qui est donc fini. Le complémentaire de U dans /> est fp n (S x K). Ce que nous
allons établir peut donc être exprimé intuitivement comme il suit: à condition d'écarter
des ensembles unis convenables, Vapplication (3 définie en (34) est bijective .
Soit donc (A,jz) G U. Puisque a0(A)zl(A) ^ 0, le polynôme P(A,K) G K[Y]
admet exactement d racines dans K . Notons (/Ji,... ,/j<j) une liste de ces racines telle
que fi\ = fi. Soit u; l'élément de SR^(P) égal à Vf,x,t-a (où T est une indéterminée
sur 17), d'où évidemment <pw(x) = A. On a ao(A) ^ 0, i.e. a0 G W(-4W) » donc
fyfc = bk(x) = f£ G -4W pour tout A: G [l,d]. Donc y appartient à la clôture intégrale
B de Aw dans L.
Fixons i G [1,d]. Soit Zi = y - fit ; on a z^GB. Posons
k=d
9(X,Z) = 9(X^i + Z) = Zd + £cfc(X)Zd-*
fc=i
Il est clair que Ck{X) G K(X) et Cfc(x) G ^4W pour tout fc . On a @(x, Zi) = 0 . Comme
#(x, F) = IrryiF(y), on a ©(x, Z) = Irr,i>F(Z), donc (-l)dcd(x) = NL/F(zl) ^ 0.
Mais cd(X) = ^(A,^) = 0, donc w(c<f(x)) > 1 , autrement dit cd{x) £ U{AW). Par
suite, Zi ^ W(B). Il y a donc un idéal maximal q de S tel que Zj G q. Notons v
l'élément de SR^(L) tel que Av = B[q] (voir théorème 23.3.1). Si j G j[l,d] \ {i} , on
94 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
a Zj - Zi = fa - fij G K* , d'où Zj £ q puisque K 0 q = {0} . C'est vrai avec tout
i; comme le nombre des idéaux maximaux de B est card (^1,f(w)) ^ ^ (corollaire
du théorème 23.3.2), on en déduit que pour tout i G [l^dj, il y a un et un seul idéal
maximal q* de B tel que Zi G q*, que card f Sft^j?J (w) = d, et que i h-»- q* définit
une bijection de [l,d] sur l'ensemble des idéaux premiers de S. La formule de
ramification (théorème 23.3.2) montre que 2R,l,f est non ramifiée en w . Pour tout i, on
notera v» l'élément de SRj<:(L) tel que «AVi = S[q.j. Comme Zi = y - fa G q*,
on a y>Vi(2/) = fa- Les éléments v G SRk(L) tels que /3(v) = (A,//)
appartiennent à 2/Q,|/r(w), en vertu de la démonstration faite plus haut de la finitude des
fibres de /3; comme 0{vi) = ( <pVi{x), <pVi(y)) = ( <pw(x), <PVi(v)) = (A, Mi)» on a
/9_1((A, m)) = {^1} , ce qui achève de prouver que la restriction de /3 à (5~l(U)
définit une bijection de /3_1(C7) sur U .
Nous allons raffiner ce résultat:
Théorème 23.3.7
Avec les hypothèses et notations ci-dessus (donc K algébriquement clos),
l'application (3 définit une bijection de l'ensemble
V={ve3RK(L)\v(x)>0;v(y)>0'1 ^(^(s,»)) ^ 0 ; ^(a0(x)) ^ o}
sur l'ensemble W= {(£,r?) € K2 \ P(Ç,v) = 0 ; a0(0 ^ 0 ; §£(£,17)^0}. Déplus,
pour tout t> G V , L est non ramifié sur F en v .
Démonstration:
On a C/C W et V= /T^W), d'où ^([/JcV.
• Montrons d'abord que la restriction de /3 à V est injective. Soit t; G V, notons
w = ^l,f(v) (rappelons que F = K(x) ). On a w = V>,x-^,t - Soit B la clôture
intégrale de Au dans L , et soit q = c„ n B, de sorte que Av = fi[q] (théorème 23.3.1,
assertion (III)). Comme v(y) > 0 et clq(x) G -A \ {0}, on a Aw [y] C B, et Au [î/]
est isomorphe à la ^-algèbre quotient <ÂW 1^ ]/$(y) Au [y] . Soit p l'idéal maximal
de Aw [y] image de l'idéal maximal de Aw [Y] engendré par {x - £VJY - rjv] . On
a p C q , d'où p = q n «A [y] ; posant 5 = x - fv et t = y - nv , il est clair que
p = sAw [y] + Mu, [y] • Montrons que Panneau local C = (A; [î/] )[*] est un anneau
de valuation discrète. L'équation P(x,y) = 0 donne
(35) 0= £ 9i(s)td-*
0<i<d
avec gt G K [Y] pour tout i, et avec g0(0) ^ 0 et pd-i(O) ^ 0 car §£(fv,r/v) ¥" 0,
et pd(0) = 0. Notant m l'idéal maximal de 0, on a m = s©+ tO, et on déduit de
(35) (en divisant par gd-i(s) et en isolant t dans un membre), que t G s©-}- m2.
L'anneau Aw est ncethérien, donc 0 est ncethérien; l'anneau quotient ®/sB est local
et ncethérien, d'idéal maximal m égal à l'image naturelle de m . On a alors m = m2 ;
d'après la proposition 23.1.3, cela implique m = {0} , c'est-à-dire m = s€. D'après
le théorème 23.1.2, assertion (I), l'anneau C est donc bien de valuation discrète. Le
corps des fractions de 0 contient F(x,y) = L , donc est L. D'après le théorème 23.1.3,
l'anneau 0 est donc l'anneau d'une valuation discrète de L, et comme € C Av , on a
finalement 0 = Av . Mais © est déterminé par (£v,77„), et v est déterminé par Av ,
donc v est déterminé de manière unique par 0(v), ce qui prouve l'injectivité de (3 .
• Soit (f,r?) G W. Notons w la valuation Vf,x-ç,t de F. Posons s = x - f et
• = V ~ V • Comme ci-dessus, on voit que l'idéal p = sAw [y] 4- tA, [y] de A, [y]
est maximal, et que l'anneau (Aw [y])\p] est un sous-anneau de valuation discrète de
Chapitre 23 , § 3
Vaîuations des corps de fonctions algébriques d'une variable 95
L. Il y a donc un élément v G SR/c(L) tel que (Aw [y] )[P] = Av , et on voit que
fi(v) = (f, rj), d'où la surjectivité de /3 .
• Si v G V, d'après ce qui précède, une uniformisante de Av est x - Çv , alors que
2^l,f(^) = Vf,x-zv,t ; donc v(x - fv) = w{x - fv) = 1, d'où e(t;, m) = 1 ■
Corollaire
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, avec K
algébriquement clos. Soit F un sous-corps de L contenant K tel que degtrK(F) = 1 et
sur lequel L est séparable. L'ensemble des points de branchement de 2/Il,f est fini.
Démonstration:
Soit x G F \ K tel que F soit séparable sur K{x) (cf. théorème 22.2.3). Par
transitivité de la séparabilité, L est séparable sur K(x). On a donc un élément y G L
primitif sur K(x). Par transitivité des indices de ramification et compte tenu que
^L,K{x) = ®If,k(x) ° S^l.f et que *31l,f et S^f,*:^) sont surjectives, il suffit de montrer
que l'ensemble des points de branchement de ^^(x) est fini. Soit d = [L : K(x)],
notons (X, Y) un couple d'indéterminées sur L , et soit
Q(Y)=Yd+ £ ^-^irr^^y)
Notons aQ un x-dénominateur commun aux bi dans if[x] (ie. un générateur de
l'idéal des c G if [x] tels que cbi G if [x] pour tout i ), et posons a* = ao&* pour tout
i G ïl,dj . Posons P(X,y) = Eo<i<d^(X)yd_i et *P0 = p(*,Y) = a0Q(y) • Le
polynôme P est irréductible dans K[X,Y] . Associons à P les ensembles V et W
définis dans le théorème 23.3.7: ce théorème montre que pour tout v G V, L est non
ramifié sur K(x) en v. Or l'ensemble SRk(L) \ V est fini (voir étude qui précède le
théorème 23.3.7). Comme S/Il.k^x) est surjective, on en déduit que l'ensemble des points
de branchement de ^l.k^x) est fini I
Pour tout corps L de fonctions algébriques d'une variable sur K , il existe au moins
un sous-corps F de L tel que K C F c L et qui soit un corps de fractions rationnelles
d'une variable sur K, un polynôme # de la forme (30) (irréductible dans F [Y] et
séparable) et une racine y de $(T) dans L tels que SRk{L) soit la surface de Riemann
associée au couple ($,t/). En effet, il existe une base de transcendance séparante (x)
de L sur K (théorème 22.2.3). Posant F = K(x) et notant d = [L : F], le théorème
de Vêlement primitif montre l'existence de y G L tel que L = F(y). Il suffit alors
de prendre pour polynôme $ le polynôme Irry>j?(y) multiplié par un dénominateur
commun à ses coefficients dans K [ x ] .
Remarque 23.3.1 :
Revenons aux polynômes $ et P définis de (30) à (32), avec K parfait, non
nécessairement algébriquement clos. Pour tout v G SR#(L) \ (2PX U 2Py), on a alors
(<pv(x), <pv(y)) G K\. On ne peut alors pas plonger de manière cohérente tous les
Kv dans une même clôture algébrique A de K (pour chaque v G &Rk(L), il y a en
général plusieurs isomorphismes de Kv dans A, dont aucun n'est privilégié). Pour
remplacer la courbe i> introduite quand K est algébriquement clos, il faudrait considérer
l'ensemble Y[V£brk{l) ^v • De plus dans ce cas, on s'intéresse aux points v G SR/c(L)
tels que ( <pv(x), <£>v{y)) G K2 : ces points sont appelés les spécialisations rationnelles
de (x,y) +
§ 23.4 Fonctions algébriques et théorie de Galois
Dans ce paragraphe, le corps de base K sera supposé parfait.
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K . On s'intéresse aux
sous-corps F de L contenant K tels que degtzK(F) = 1 et que L soit galoisien sur
F . Ces sous-corps seront appelés les sous-corps cogaloisiens de L sur K .
Rappelons les propriétés: pour tout groupe fini G de /f-automorphismes de L,
le sous-corps Inv^(G) de L formé des G-invariants de L est cogaloisien, et on a
Gai (L/ Iiivl(G)) = G ; réciproquement, si F est un sous-corps cogaloisien de L , on a
F = InvL(Gal (L/F)) et [L : F] = card(Gal (L/F)).
On note Autx(L) le groupe de tous les if-automorphismes de L. Pour toute
valuation v G SRk(L) et pour tout AT-automorphisme g G Aut^(L), on vérifie
immédiatement que v o a~l G SRif(L) . On notera a • v = v o a~l . On contrôle
aisément que l'application
(1) Auttf(L) x SR*(L) —- SRk(L) , (*,!;) i—► <7*v
est une action à gauche de Aut^(L) sur SRk(L). Cette action sera appelée l'action
naturelle de Aut#(L) sur SRk(L) . Si G désigne un sous-groupe quelconque de
Auttf(L), la restriction de l'action naturelle à G x SRk(L) est une action à gauche de
G sur L , qui sera appelée Vaction naturelle de G sur L.
23.4.1 Groupes de décomposition, groupes d'inertie
Théorème 23.4.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K et soit F un sous-
corps cogaloisien de L. Fixons v G SRk(L) , posons w = 91l,f(^) • Pour tout
g e Gai (L/F), on a e(t>, w) = e(cr • t>, w) et f(a *v,w) = f (v, xv). La Gai (L/F)-
orbite de v est ^^(w). En conséquence, les Gai (L / F)-orbites de SRk(L) pour
Vaction naturelle sont les fibres de 2ftz,,F •
Démonstration:
Soit g G Gai (L/F). Puisque F = Invx(Gal (L/F)), les restrictions à F de j*v
et de v coïncident, d'où ^Il,f(v) = 91l,f(^*^)- La fibre ^l]f(w) est donc réunion
de Gai (L/F)-orbites.
Soit B la clôture intégrale de Aw dans L. Posons r = card(2ft^F(u;)), notons
SR^f^) = {^1» • • • ivr} avec v\ — v. Pour tout i G [1, r], soit q^ = cVi n S . On sait
que l'anneau S est principal et que ses idéaux principaux distincts sont les q*. Pour
tout i, on fixera ta» G B tel que q* = Wi B , et on notera e* = e(vi, to), fi = f (v», iu) ,
W\ = w, q = qi, e = ei et / = /i. On fixera une uniformisante £ de ^4^ .
D'après les théorèmes 22.3.1 et 22.3.2, pour tout i, une uniformisante de AVi est Wi,
la décomposition de t en facteurs irréductibles dans B est
(2) t = eY[*>ï avec etU(B)
i=l
et en posant n = [L : F] = card(Gai (L/F)), on a:
i—r
(3) $>/i = n
Pour tout g G Gai (L/F), on a g(B) = B et al est un ^-automorphisme de
l'anneau B, donc a laisse l'ensemble {C|i}i<i<r invariant; de plus, il existe un entier
lG G [l,r] et un seul tel que a (tu) G 57^ ZY(B), et cet entier est aussi le seul qui vérifie
98 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
a{m) G q^ (en effet, puisque a induit sur B un automorphisme, cr{w) est un élément
irréductible de B). Utilisons maintenant la norme Nl/f • Posant r = Nl/f(w) j on a:
(4) r= n*w
<7<EGal(L/F)
Soit G le stabilisateur de q dans Gai {L/F), i.e. G = {a G Gai {L/F) \ a{q) = q} .
Soit g = card(G) , et soit u = {(\j}jej la Gai (L/F)-orbite de q. Soit m = |.
On a donc card(J) = m, et pour tout j G J, le nombre des a G Gai {L/F) tels
que cr{w) G Wjli{B) est p , puisque ct(t^) G WjU{B) équivaut à cr(q) = q^ . La
décomposition de r en facteurs irréductibles dans B est donc de la forme:
(5) T=i,n*j
D'autre part, on a r e B n F = Aw , donc r = Çtk avec /c G M et £ G W(Au) - En
utilisant (2) et (5), on en déduit:
(6) »?n«î=^fcn«7*e*
Comme </ > 1, on voit que r ^ W(#), d'où r £ ^(.4^) » d'où k > 1 . Par unicité de
la décomposition en facteurs premiers dans B, compte tenu que f G U{B), il découle
de (6) que J = [l,r] et kei = # pour tout i. On a donc e\ = • • • = er , et l'action
de Gai (L/F) sur {qi,..,qr} est transitive. Pour tout (a, i) G Gai {L/F) x [l,r],
il est clair que ^(g?) G xUiU{B) ssi a*v = Vi, car -4a*„ = cr(,4v) = cr(#[q]) = ^(q)] •
Donc l'action de Gai {L/F) sur SftxV(w) est transitive.
Il reste à montrer que les fi sont égaux. Fixons i G [l,r] , soit a G Gai {L/F) tel
que a(v) = Vi. On a alors cr{Av) = AVi et a{cv) = CVi . D'autre part, a laisse ,4W
fixe point par point, et on a cw = cv C\ Aw = cVi n Aw . L'isomorphisme d'anneaux
Av —► •4Vi , x i—> cr(x) induit donc, par passage au quotient, un /C^-isomorphisme du
corps K,v sur le corps fCv. . Il en découle que [ K,v : JCW ] = [ JCVi : /C^, ] , autrement dit
/ = fi, ce qui achève la démonstration. Remarquons, avec les notations ci-dessus, qu'on
a donc m = r , c'est-à-dire rg = n , et que (3) se réduit à efr = n , d'où ef = g . Notons
aussi que d'après ce qu'on a vu plus haut, pour tout a G Gai {L/F), on a a{q) = q ssi
a*v = v ; autrement dit, le groupe G n'est autre que le stabilisateur de v pour l'action
naturelle de Gai {L/F) ■
Définition 23.4.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K et soit F un sous-
corps cogaloisien de L. Pour tout v G SRx(L), le stabilisateur StabQ^i(L/F){v)
s'appelle le groupe de décomposition de v sur F . Nous le noterons %V{L/F).
Dans les conditions de la définition 23.4.1, fixons v G SRx(L), soit a G Q)V{L/F),
et posons w = ^Il,f{^) • On a cr{Av) = Av , donc <r{cv) = cv ; comme a fixe F point
par point, on voit que a définit par passage au quotient un K,w-automorphisme a de
Kv . D'où un morphisme de groupes:
(7) ®V{L/F) — Aut^(/Cv), a h-, b
Définition 23.4.2
Avec les notations et hypothèses de la définition 23.4.1, le noyau du morphisme (7)
ci-dessus est appelé le sous-groupe d'inertie de L sur F en v, et sera noté
X(L/F)
La proposition suivante justifie la terminologie " groupe de décomposition " :
Chapitre 23 , § 4 Fonctions algébriques et théorie de Galois 99
Proposition 23.4.1
Conservons les notations et hypothèses de la définition 23.4.1, et soit F' un sous-
corps de L contenant F. Soit v G SRk{L) , et posons w' = 91l,F'(^) • On a
card(<3CL]F,(w')) = 1 ssi Gal(L/F') C <2>V(L/F), Le. ssi InvL(3„(L/F)) C F'
Démonstration:
Supposons que card(^CLlF,(w/)) = 1, i.e. que 3€l]Ft(wf) = {v} . Alors pour tout
a e Gal(L/F'), on a a*v = v puisque la Gal(L/F')-orbite de v est ?JTLlFf(wf) ; donc
Gal(L/F')c25v(L/F). '_
Réciproquement, supposons que Gal(L/F') C ^bv{L/F). Soit v' e 2&ï,*jr/(w') • En
appliquant le théorème 23.4.1 à l'extension galoisienne L de F', il existe cr e Gal(L/F')
tel que cr * v = v1, donc v = v' M
Dans les conditions de la proposition 23.4.1, posons u; = 91l,f(^) » et notons 7l,f Ie
corps Inv£,(2>v(L/F)). Compte tenu que 91l,f = ^Il,f,f °^L1rLtF > on voit que
(8) card (&l!fM) = card (0Ç> F (u;))
et que 7l,f est le plus grand corps intermédiaire F' entre F et L vérifiant cette
propriété; d'où la terminologie (on n'augmente plus le nombre de " facteurs de la
décomposition de w dans F' " quand on prend pour F' un corps contenant Tl,f )•
Proposition 23.4.2
Conservons les notations et hypothèses de la proposition 23.4.1 et de (S), et posons
vr = $HLtTLtF(v) • Alors t(vr, w) = 1, et on a Kvr = K,w .
Démonstration:
Posons n = card(Gal(L/F)) (donc n = [L : F] ), et:
d = card \3CL]F(w)j ; e = e(v,iu) ; / = \{v,w) ; e = e(v,t;r) ; <p = f(v,vr)
D'après le théorème de l'orbite, on a (puisque ^l]F(w) est 'a Gal(L/F)-orbite de v ):
(9) J=|«W):W)| = SJi^j
En tenant compte du théorème 23.4.1, la formule de ramification donne: def = n , d'où
en reportant dans (9):
(10) card(2)v(L/F)) = e/
On a Gal(L/TL>F) = 2)V(L/F). Compte tenu de la proposition 23.4.1 et de (10), la
formule de ramification (de v relativement à 7l,f ) donne e tp = card (^DV(L/F)) = ef .
Mais par transitivité des degrés de ramification et des degrés résiduels:
(11) e = ee(vr,w) ; / = <pf(vr,w)
Puisque ef = eip, il découle de (11) d'abord que t(yr,w) = f(vr,w) = 1, puis, que
e = € et f = <p . Comme [/CVT : /C^, ] = f(vr, w) = 1, on en déduit que /CUT = /C^ ■
La formule (10) ci-dessus donne immédiatement:
Corollaire
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K et soit F un sous-corps cogaloisien de L . Soit v G SRjc(L) ; posons
w = &Il,f(v) . On a card(2)v(L/F)) = e(v,w). En conséquence, on a e(v,w) = 1
ssi 2)V(L/F) est réduit à un élément.
100 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES DVNE VARIABLE
Passons à l'étude du groupe d'inertie 3V(L/F). C'est le noyau du morphisme (7),
donc c'est un sous-groupe distingué de %V(L/F).
Proposition 23.4.3
Conservons les notations et hypothèses des propositions 23.4.1 et 23.4.2. LJextension
Kv de K,w est galoisienne. Donc par passage au quotient, le morphisme (7) définit
un isomorphisme du groupe ^v(^/^)/3v(L/F) sur Autx:ti,(^v) = Gal(/Cv//Cu;).
Enfin, on a card(3v(L/F)) = e(v,w).
Donc si de plus K est algébriquement clos, on a 2)V(L/F) = 3V(L/F).
Démonstration:
Comme K est parfait, toute extension algébrique de K est un corps parfait, donc
l'extension Kv de Kw , qui est finie est aussi séparable. Soit f un élément /C^-primitif
de /Cv , et soit x un relèvement de f dans Av . Soit T une indéterminée sur L, et
considérons le polynôme P(T) € L[T] défini par:
(12) P(T)= H (T-g(x))
a^v(L/F)
Il est clair que P(T) € Tl,f[T) . Les coefficients de P appartiennent a *r\y , car
<?{AV) = Av pour tout g e 2)V(L/F). Comme Av H Tl,f = AVT , on a en fait
P(T) e AVT [T] (rappelons que vr = ^l,tl^f{^) )• Nous avons vu ci-dessus que
fCv = KVT . Soit U une indéterminée sur K,v , et soit Q{U) l'élément de Kv [U] obtenu
en remplaçant T par U et les coefficients de P par leurs classes modulo Cv . Puisque les
coefficients de P(T) sont dans Tl,f et que Cv C\Tl,f = Cvr , on a Q(U) € KVTu[U\ .
Mais Kvr = ICW (proposition 23.4.2), donc Q(U) = Kw [U]| . On a:
(13) Q(U)= I] (^-*(0)
a€2»t,(L/F)
donc Q(f)=0,donc Irr^^) divise Q(U) dans Kw[U] . Par suite, Irr^^^O
est dissocié dans Kw [U] et donc Kv est extension normale de K,w . Étant finie,
normale et séparable, cette extension est bien finie galoisienne. Le morphisme (7) est surjec-
tif, parce que d'après (13), tout conjugué de £ dans Kv est de la forme g (£) pour au
moins un g G 3>V(L/F). Par passage au quotient, ce morphisme induit donc bien un
isomorphisme de ®V(L/F)/3V(L/F) sur Q*1{1CV/1CW). Or le cardinal de Oal{ICv/ICw)
est [K,v : Kw\ = f(v,w) = / . On déduit donc de (10) que / = cardez,/F)) ' ^'°^
card(3v(L/F)) = e = e(v,w). La dernière assertion découle du corollaire de la
proposition 23.4.2 ■
Corollaire
Avec les hypothèses et notations de la proposition 23.4.3, soit F' un sous-corps de L
contenant F, et soit wf = 9lLtF(v). Alors e(w',w) = 1 ssi 3V(L/F) C Qal(L/F') ,
c'est-à-dire ssi F' C InvL(3v(L/F)).
Dém ons tra tion :
Notons ILiF = lnvL(3V(L/F)) et vi = SftL|/L F{v).
Puisque Tl,f C Il,f , on a 9£*jlf(vj) = {v} (proposition 23.4.1); d'autre part
[L : Il,f ] = card (3V(L/F)) = c(v, w) (proposition 23.4.3). La formule de ramification
pour vj dans L donne donc:
(14) c(v, vi) f(v, t;/) = c(v, «;)
Montrons que f(v,vj) = 1. Pour cela, appliquons la proposition 23.4.3, mais en
remplaçant F par ILiF. On a Gal(L//£,f/p) = 3V(L/F). Les définitions montrent
immédiatement que 3v(L/Il,f) = 2)«(£/J&,f) = 3V(L/F)\ d'après la proposition
Chapitre 23 , § 4
Fonctions algébriques et théorie de Gaîois 101
23.4.3, le groupe Gal(/Cv//CV/) est isomorphe à ^(^/^»fV^(I///l,f) > qui est réduit
à l'élément neutre. Donc ICV = KVI , i.e. \{v,vi) = 1.
On déduit alors de (14) que e{v,vi) = e(v,w). Supposons que F' C 7l,f • Par
transitivité des indices de ramification, t(v,wf) divise t(v,w), et e(t>, v/) = e(v,tt;)
divise e(t>, u/), ce qui implique e(t>, m') = e(v, w) = c(v, w') e(i/', w) et donc e(t/, w) = 1.
Réciproquement, supposons que e(t/,iu) = 1, i.e. e(v,w') = e(v,iu). Alors d'après
la proposition 23.4.3, on a:
(15) card(3„(L/F')) = e(v,u/) = e(v, w) = card(3„(L/F))
Comme 3V(L/F') C 3V(L/F), on déduit de (15) que 3V(L/F') = 3V(L/F), d'où
Oal(L//L)F) = 3V(L/F) C Gal(L/F'), et par dualité de Galois, F' C 7L,F ■
Cyclicité des groupes de décomposition ( tf algébriquement clos)
Théorème 23.4.2
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K et soit F un sous-
corps cogaloisien de L . Posons n — [L : F], supposons K algébriquement clos, et
que la caractéristique de K ou bien est nulle, ou bien ne divise pas n. Pour tout
v G SRk(L) , le groupe de décomposition 2)V(L/F) = 3V(L/F) est cyclique.
Démonstration:
Fixons v G SRtf(L) et une uniformisante vj de v. Pour tout a G %V(L/F),
on a cr(Av) = A , cr(cv) = Cv et, pour tout i€ N, 0"(c*) = clv . Puisque K est
algébriquement clos, on a /Cv = K et il est clair que pour tout i G f^J, le A-m°dule
quotient cv/ci+1 devient canoniquement un If-espace vectoriel (il est annulé par Cv ).
Soit E le /f-espace vectoriel ^vj^ . Comme cv = wAv , cet espace vectoriel est de
dimension 1, une base en est (w), où W désigne l'image canonique de w dans E.
Tout élément a G 9)V(L/F) induit un if-automorphisme du K-e.v. E, qu'on notera
W. L'application h : K* -+ QhK(E) qui associe, à tout À G K * , l'homothétie £Id£ ,
est un isomorphisme de groupes ( K* est muni de sa structure de groupe multiplicatif).
On a donc un morphisme de groupes naturel
(16) <p : 3„(L/F) —► tf* , a^r^â)
Le groupe 2)V(L/F) est fini, donc le sous-groupe Im(<^) de if* est cyclique (tout sous-
groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique). Pour prouver
que 2)V(L/F) est cyclique, il suffit donc de montrer que tp est injectif, ou de manière
équivalente, que le morphisme a »—► ~& est injectif.
Soit a G 2)V(I//F) tel que ~ô = Id^ , c'est-à-dire telle que o(vo) - w G w2Av . On a
donc cr(w) = vj + Atu2 avec A € Av . On en déduit immédiatement:
(17) ( V* € N ) ^(w*) -1X7* = (trfa))* -1X7*= G7*(l + A^)* - w1 G wi+lAv
• Montrons que (a - Idz,)(A) C cï72A . Si x G A , posant £0 = ^>v{x) > on a
x — £o € Cv = tX7A , d'où x - £o = x\w avec xi G A (on a fo € AT puisque /Cv = K );
de même, xi - 7(^1) G tu A > d'où un X2 G A tel que x - f0 - fi*? = X2tu2 , où
Ci = ^v(£i) • ^ar récurrence, on voit que pour tout entier k > 1, il existe une suite
(&,...,&-i)€/ï* telle que
i=fc-l
(18) X - J2 6 tS7* G ZX7fe A
cette suite (^0, • • • »ffc-i) étant d'ailleurs unique, puisque c'est la suite des coordonnées
de l'image naturelle de x dans la base du /f-espace vectoriel A/c*= égale à l'image
102 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
naturelle de la suite (1, w,..., vok~l). Fixons maintenant k > 2 . Compte tenu que a
est AMinéaire, on déduit de (9):
i=fc-i
(19) a(x) - x - ^ & M*7') " ***) e wkA*
d'où a(x) - x € G72A, en vertu de (8). C'est vrai pour tout x; on a donc bien
{<j-ldL){Av) C w2Av.
• Montrons que A = 0 . Par une récurrence facile, on voit que pour tout entier k > 1,
on a <jk{w) = w + /cAtu2 -h //fc^3 avec /i* G Av . En effet, l'assertion est vraie avec
k = 1 ; supposons-la vraie au rang k (k >l). Alors
(20) <7fc+1(tS7) = <7(tX7) + A<7(A)<j(n72) + tf(M*M«73)
Mais d'après ce qu'on vient de voir et d'après (8), on a:
(21) a(X) -Xe w2A ; a{w2) - w2 e w*A ; a(w3) e vjzA
En reportant (12) dans (11), on obtient ak+l(w) - (a(tu) + kXw2) e vj3Av , ce qui
équivaut à <rfc+1(tu) - m — (fc -f l)An72 G w3Av : l'assertion est donc établie au rang
k H-1. Par récurrence, elle est donc vraie à tout rang k .
En particulier, on a donc an(w) - w — nX e w2Av. Mais an = Id^ puisque
card(Gal(L/F)) = n (théorème de Lagrange), d'où crn(vj) = w ; on en déduit que
nX € w2Av , d'où nA = 0 puisque K H ti7>4v = {0} . Vu l'hypothèse faite sur K, on a
n • Il ^ 0 . Il en découle que A = 0 .
• Montrons maintenant que a(x) = x pour tout x G Av , ce qui entraînera que
a = Id^ puisque L est le corps des fractions de Av . Cela achèvera la démonstration
puisqu'on aura ainsi établi que Ker (</?) = {Id^} •
Soit x e Av . Puisque a(m) = xu, on déduit de (10) que a(x) — x € nfcGNTZ7fc.4v .
Or O/ceN^A, = {0} puisque l'application U(AV) x N —► ,4V \ {0}, (e,k) ^ evok est
bijective. On a donc bien a(x) =0 ■
Remarque 23.4.1 :
Lorsque K = C , on peut déduire la cyclicité des groupes d'inertie par voie non
algébrique, en utilisant la propriété suivante bien connue de la théorie des fonctions
holomorphes: soit U le disque unité ouvert de C, soit n e M* , soit / : U —► U
une fonction analytique telle que /_1(0) = {0} et que card(/-1(t)) = n pour tout
t G U \ {0} ; alors il existe un homéomorphisme g de U sur U , analytique ainsi que son
homéomorphisme réciproque, tel que f = gn (la preuve de cette propriété d'Analyse est
élémentaire: on voit que la fonction z »-* z~nf(z) se prolonge analytiquement à U en
une fonction h jamais nulle; il existe une détermination de log(h) sur U , donc une de
h* ; on pose g(z) = zh*(z) ; on applique le théorème des résidus à 4 = n3- ) +
23.4.2 Clôture galoisienne d'une extension finie séparable
Soit E une extension finie séparable d'un corps commutatif C. Plongeons E dans
une clôture algébrique fi. Soit X une indéterminée sur fi. La plus petite extension
normale de C dans fi contenant E est finie, car pour tout élément primitif x de E sur
C , il est clair que cette extension est la C-algèbre des racines du polynôme IrrX)c(^0 •
Nous noterons Gc,n(E) cette extension. Si fif est une autre clôture algébrique de E ,
les corps Gc,n(E) et Gc,Q'(E) sont C-isomorphes, car la C-algèbre des racines d'un
polynôme à coefficients dans C est unique à C-isomorphisme près. Désormais fi sera
fixée, et nous noterons Gc(E) au lieu de Gc,n{E). Toutes les propriétés de Gc{E) Que
nous allons étudier sont indépendantes de fi à C-isomorphisme près.
Chapitre 23 , § 4
Fonctions algébriques et théorie de Galois 103
Le corps Gc{E) est séparable sur C. En effet, pour tout élément primitif x de E
sur G, le polynôme IrrXtc(X) est séparable, donc sa C-algèbre des racines dans fi
est séparable sur C . En définitive, Gc(E) est une extension finie galoisienne de C , et
il est clair que c'est la plus petite extension de E dans fi qui est galoisienne sur C.
C'est pourquoi on appelle Gc(E) la clôture galoisienne de E sur C (sous-entendu:
dans fi).
Proposition 23.4.4
Soit E une extension unie séparable d'un corps commutatif C ; soit fi une clôture
algébrique de E. Notons F une extension unie de E galoisienne sur C dans fi.
Soit G = Gai (F/C) et H = G*1(F/E). Soit A le sous-groupe D^G^Ha"1)
de H. La clôture galoisienne de E sur C dans fi est le corps I = Invjr(^) • En
conséquence, cette clôture galoisienne est F ssi A = {Id^} .
Démonstration:
Il est immédiat que A est un sous-groupe distingué de G , et que c'est le plus grand
sous-groupe distingué de G contenu dans H . Par dualité de Galois, le corps Inv/?(Zl)
est donc une extension galoisienne de C , qui contient E , et c'est la plus petite extension
de E dans F qui soit galoisienne sur C : c'est donc bien la clôture galoisienne de E
sur C dans F ■
23.4.3 Clôtures galoisiennes et ramification
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K. Soit F une sous-
extension de K dans L telle que degtr^(F) = 1. Soit M la clôture galoisienne
de L sur F (dans une clôture algébrique fixée fi de L). Fixons w € SRk(F) . Soit
r = card(^TLljr(w)), notons (3£i]jr{w) = {t>i,... ,vr}. Pour tout i e fl,r]|, posons
e» = e(vi,w).
Théorème 23.4.3
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, supposons en outre K algébriquement
clos, et que sa caractéristique soit nulle ou, sinon, ne divise pas card(Gal (M/F)).
L'indice de ramification sur F commun à toutes les valuations éléments de QKm p(w)
est m = ppcm(ei,... , er) (le ppcm s'entendant dans N ). En particulier, w est
point de branchement de 91m,f ssi c'est un point de branchement de *31l,f •
Démonstration:
L'énoncé a un sens en vertu du théorème 23.4.1. Soit 0 la fibre $£m p(w) • Soit
5 = card( 0) ; fixons ueC. Soit G = Gai [M/F). D'après le théorème 23.4.1, 0 est
une G-orbite pour l'action naturelle. Rappelons que le stabilisateur de u dans G est
par définition le groupe de décomposition 2)U(M/F). L'application G —► G, a y-> a*u
définit par passage au quotient une bijection <p : ^/2)U(M/F) —► 0, où ^/çbu(M/F)
désigne l'ensemble des classes à gauche de G modulo %U{M/F). Pour tout a € G,
on a:
(22) 2>a*u(Af/F) = a^u{M/F)a~1
Soit H = Gai {M/L). Comme <31m,f = &LyF <=> $Im,l , le théorème 23.4.1 montre
que les orbites de 0 pour l'action naturelle de H sont SftÂ/^fi), • • • ^m,l{vt) • Pour
tout je[l,rj, choisissons Uj e 9tM,L(vj) et aj ^ G tel que Uj = <jj*u. L'application
j »-> Hdj^)u{M/F) établit une bijection de (l,rj sur l'ensemble H\^* /<îbu(L I F) des
classes doubles de G modulo (if,2)u(M/F)) (autrement dit, [Haj^tu{M/F))i<j<r
est une partition de G ). Pour tout j € (l,rj, en vertu de (22), on a:
(23) 2>Uj. (M/L) = H n Su. (M/F) = H n (a^u(M/F) ajl)
104 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
D'après le corollaire de la proposition 23.4.3, l'entier 6j = card(2)Uj (M/L)) est l'indice
de ramification sur L de tous les éléments de ^ï~m,l(vj) • La propriété fondamentale des
orbites d'une action à gauche donne, pour tout j G [l,r] :
(24) 6j card^M1^-)) = card(tf)
On va maintenant utiliser le théorème 23.4.2, qui assure qu'ici le groupe 2)U(M/F)
est cyclique, et donc que tous ses conjugués 3)Ui (M/F) le sont. Leur cardinal commun
est m . Pour tout j , on a m = ejôj (transitivité des indices de ramification). On a donc
m = ppcm ( e\,..., er ) ssi pgcd ( 6\,..., 6r ) = 1 (le pgcd s'entendant dans M ).
Montrons par l'absurde que pgcd ( <$i,..., 6r ) = 1. Rappelons que tout sous-groupe
d'un groupe fini cyclique est cyclique, et que pour tout diviseur v du cardinal d'un
groupe fini cyclique, ce dernier possède un unique sous-groupe de cardinal v. Notons
d = ppcm(6i,... ,6r) , et supposons que d > 1. Notons C l'unique sous-groupe ci-
cyclique de 3>U(M/F). Soit j € |l,rj ; le groupe 2)Uj.(M/L) étant cyclique de cardinal
multiple de d, il a un unique sous-groupe cyclique de cardinal d, que nous noterons
Cj . Le sous-groupe cr~lCj<jj de %U{M/F) est d-cyclique, donc aJlCjGj = C. C'est
vrai pour tout j . Soit alors 5 G G. Montrons que C C 5Hs~l ; pour cela soit j
l'élément de |[l,rj tel que s~l e H<jj^bu{M/F). Soit {hj,kj) € Hx<3>u(M/F) tel que
s-1 = hjGjkj . On a:
(25) s H s-1 = kJlaJlHaskj
On a C C a-l^Uj(M/L)aj C <jJ1H<Jj (cf. (23)), et C C <&U{M/F). Comme le groupe
2)U(M/F) est abélien, on en déduit, en tenant compte de (25):
(26) C=k-lCkj C k-^a^Ha^kj = kj\<jjl Hajkj) = sHs~l
La relation (26) étant vraie pour tout 5 € H , on a finalement:
(27) CC f]{sHs-1)
Mais puisque M est la clôture galoisienne de L, on a r\S£H(sHs~l) = {Idjv/} , ce qui
est en contradiction avec (27) puisque card (C) = d > 1. Cette contradiction montre
que pgcd ( 6\,..., 6r ) = 1 ■
La démonstration du théorème 23.4.3 donne en fait un résultat plus précis, très
utile dans les applications. Reprenons toutes les notations de cette preuve. Notons
g un générateur du groupe cyclique 3U(M/F). Pour tout j € [l,r], la classe double
Cj = Haj^uiM/F) est l'ensemble des a e G tels que S/Im.l^***) = Vj . Cette classe
Cj est réunion disjointe de classes à droite de G modulo H ; notons Sj l'ensemble des
classes à droite de G modulo H dont Cj est la réunion. Il est clair que Sj est une
orbite de l'action à droite de 2)U(M/F) par translations à droite sur l'ensemble /A G
des classes à droite de G modulo H . Les orbites de cette action sont donc £i,..., £r .
Pour j fixé, le stabilisateur de la classe Hcjj est
®U(M/F) n (aj'Hvj) = *-l®Uj(M/L)aj
On en déduit que card(3u(M/F)) = card(£7) card (%u.(M/L)) , c'est-à-dire
card (3tt, {M/F)) = card^) card (2)Uj. {M/L))
ce qui équivaut, en vertu du corollaire de la proposition 23.4.3, à
(28) m = e{uj,w) - z{uj,Vj)card{£j)
Mais par transitivité des indices de ramification, on a
(29) m = e{uj,w) = e(v,j,Vj)e(vj,w) = ejZ(vj,w)
En rapprochant (28) et (29), on obtient:
(30) card(fj) = Cj.
Chapitre 23 , § 4
Fonctions algébriques et théorie de Gaîois 105
Comme nsç.G{sHs"1) = {Um} > l'action de G sur #\G par translations à droite est
fidèle. Autrement dit, le morphisme de groupes # : 2>U(M/F) —► ©ui^^e,- associé à
l'action de Çbu(M/F) sur #\<2 est injectif. Ce qui précède prouve que <P(g) est une
permutation laissant chaque £j globalement invariant, l'action de $(g) sur £j étant
celle d'un e^-cycle. On a donc montré:
Proposition 23.4.5
Avec les notations et hypohèses du théorème 23.4.3, l'action de Çbu(M/F) sur #\G
par translations à droite est fidèle. Par cette action, tout générateur g de 2)U(M/F)
s'identiûe à une permutation de Jf\G QUJ es^ Ie produit de r cycles disjoints, de
longueurs ei,... ,er .
Dans les conditions qui précèdent, l'action (à droite) d'un sous-groupe quelconque r
de G sur i/\G par translations à droite, s'appelle Faction de monodromie (de r
sur Jf\G )- Elle est étroitement liée aux propriétés de ramification de L sur F .
Soit d'abord w G SRk(F) qui n'est pas point de branchement de 91l,f • D'après le
théorème 23.4.3, cette propriété équivaut à la propriété que w n'est pas point de
branchement de 9W,F • D'après le théorème 23.4.1, compte tenu que *31m,f = ^W.L ° 2ft,L,F ,
la fibre ^C^f(w) s'identifie, à l'aide de la bijection v »-> dC^ L{v), à l'ensemble des
if-orbites de l'action par monodromie de H sur la fibre Ç^m p{w) . Dans ce cas,
on a r = [L.F], donc r = |^f| = ffff^y = card(ij\<2), et d'autre part
card(2/l]^F(n;)) = [M: F] = card(<7); pour tout choix d'un élément particulier
u £ dCM p(w) , l'application G —► ÇJCM f(w) » a l—y u * u es^ bijective; en transportant,
à l'aide de cette bijection, la structure de G-ensemble à droite de G, on obtient sur la
fibre 2ftÂ)tir(itf) une structure de G-ensemble à droite (dépendant du choix de u ); d'après
l'étude ci-dessus, si on restreint les scalaires de cette action à droite à 3)U(M/F), les
2)u(M/F)-orbites obtenues sont les ensembles ^m^{v) pour v parcourant 9ï2)j?(w).
Soit maintenant w G SRk(F) un point de branchement de 91l,f , ce qui équivaut
à dire que w est point de branchement de 271m,f • Soit u G 9£]v/j?(w) et posons
r = 2)U(M/F) ; le groupe F est cyclique. Soit g un générateur de F; si l'action
par monodromie de g sur h\^ es^ décomposée en cycles disjoints, alors il découle
de la proposition 23.4.5 que le nombre des cycles est card(9ï^ f(w)) et Que 'es longueurs
des cycles sont les indices de ramification de ceux des éléments de $TL F (w) qui sont
ramifiés en w.
Avec les notations du théorème 23.4.3 et de la proposition 23.4.5, supposons K est
de caractéristique p > 0. Posons n = [ L : F ]. L'hypothèse que p ne divise pas
card(Oal (M/F)) est certainement satisfaite si p > n , ce qui équivaut à la condition
que p ne divise pas n!. En effet, soit / un élément primitif de L sur F, et soit T
une indéterminée sur L. Le polynôme P{T) = Irr/^CH est séparable, et M est
la F-algèbre de ses racines. Notant M l'ensemble des racines de P(T) dans M, le
morphisme naturel Gai (M/F) —► ©^ (associé à l'action naturelle de Gai (M/F) sur
M ) est injectif, donc card (Gai (M/F)) divise card (M) = n! ; donc si p > n , on a
bien p / card (Gai (M/F)).
Corps composés et lemme d'Abhyankar
Rappelons d'abord un résultat général sur les corps commutatifs. Soit Q un corps
commutatif algébriquement clos et des sous-corps C, E et F de Q, avec E et F
contenant C. Les corps E(F), F(F) et C(E U F) sont égaux à un même corps,
que l'on appelle le composé de E et F, et que l'on notera ici F 0 F (si cela ne
prête pas à confusion, on le note aussi EF). Dans ces conditions, si F et F sont des
extensions finies galoisiennes de C , alors E Q F est extension galoisienne de C , et on
106 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
a un morphisme de groupes naturel
(31) Oal (E © F/C) — Oal (E/C) x Oal (F/C) , a — (a\E, a\p)
qui est injectif, et dont chacun des morphismes-coordonnées est surjectif. Ce morphisme
(31) est un isomorphisme ssi E n F = C (voir [4], tome 1). Dans le cas général, le
cardinal du sous-groupe de Oal (E/C) x Oal (F/C) auquel Gai (E 0 F/C) s'identifie
à l'aide du morphisme (31) est:
card (Oal (E/C)) card (Gai (F/C)) [E:C][F:C]
K } card (Oal ({E n F)/C)) [ E D F : C ]
Soit maintenant L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K ; donnons-
nous des sous-corps C, E et F de L contenant K, tels que C C E n F, et tels que
degtr^(C) = degtr^F) = degtr^(F) = 1. On suppose que K est algébriquement
clos de caractéristique nulle, que E et F sont extensions galoisiennes de C, et que
L = F 0 F. Soit tu G SRa-(C) , u € SR*(£) , t; G SRK(F) et W € SR/r(L) tels que
u = SfcL>E(W), v = 91l,f(W) et w = 2/Il,c(W) , d'où w = 9fc£?,c(u) = 2/If,c(u) • Posons
m = t(u, w) et n = e(v, w). Le théorème qui suit est appelé le lemme d'AbhyanAar:
Théorème 23.4.4
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, supposons que m divise n . Alors L est
non ramifiée sur F en w .
Démonstration:
Notons G = Oal (E/C), H = Gai (F/C) et T = Gai (L/C). Notons <p le
morphisme de groupes naturel r —► G x # (donné par (31), donc injectif). Il est
immédiat que <£(25W(L/C)) C 2)U(L/C) x °bv(L/C). Notons a et (3 les projections
naturelles G x H -* G et Gx H -> H .
Montrons que a(</?(2)w(L/C))) = <&U(L/C) et /%(2)W(L/C))) = ®v(L/C). Soit
s € 2)u>c • Soit cr 6 r tel que ail = s . On a:
91l,£?(* • W) = 5 * (91l,jg(W)) = 5 * u = u
donc il existe r € Oal (L/E) tel que <r • W = r * W . On a d'autre part:
(t-1(t)||£; = 5 et (r"1a)*W = W
donc r~la e <3>w(L/C) et a(r~la) = s; par suite, a(</?(2)w(L/C))) = 2)U(L/C). On
montre de même que (3(ip(Çbw(L/C))) = 2)V(L/C) (cette partie de la démonstration
n'utilise pas l'hypothèse que m divise n).
L'entier n est un exposant du groupe abélien 2)U(L/C) x Çbv(L/C) (c'est-à-dire
que dans ce groupe, la puissance n-ième de tout élément est l'élément neutre), car m
divise n ; donc n est un exposant du groupe </?(2)vv(L/C)) et donc aussi du groupe
%w(L/C). Mais d'après le théorème 23.4.2, le groupe 25>v(L/C) est cyclique, donc
card (25>v (L/C)) divise n. Mais n divise card(2)W(L/C)) = card(</?(2)vv(L/C))),
puisque /3(<p(2)vv(L/C))) = 2)V(L/C) et que n = card(2)v(L/C)). Par suite, on a
card (2)w(L/C)) = n .
La conclusion est maintenant aisée: par transitivité des indices de ramification, on a
e(W, C) = e(W, F) c(v, C), c'est-à-dire n = n e(W, F), et donc e(W, F) = 1 ■
Le théorème 23.4.4 (lemme D'Abhyankar) sera utilisé de manière essentielle au chapitre 28,
sous la présente forme, mais aussi sous une forme locale, qui sera précisée.
Chapitre 23 , § 4
Fonctions algébriques et théorie de Galois 107
Exemple 23.4.1 : la ramification simple
Dans cet exemple, le corps de base K est supposé algébriquement clos et de
caractéristique nulle. Soit L et F des corps de fonctions algébriques d'une variable sur K ,
avec F sous-corps de L. On note n = [ L : F ], et on suppose n > 2. La lettre T
désignera une indéterminée sur tout corps que nous aurons à considérer.
Si w G SRk(F) , on dit que w est point de branchement simple de 2/Il,f ssi c'est un
point de branchement tel que card [9^f{w)) = rc— 1 (ce qui est le maximum possible
pour le cardinal de la fibre d'un point de branchement). Cela équivaut à la condition
qu'au-dessus de w , il y a un unique point de ramification et que l'indice de ramification
de ce point est 2. On s'attend à ce que " génériquement ", il n'y ait que des points de
branchement simples. Nous allons voir que tel est bien le cas lorsque L est un corps de
fractions rationnelles, et nous allons étudier la clôture galoisienne de L sur F lorsqu'il
en est ainsi. Nous dirons que Ja ramification de L sur F est simple ssi tous les
points de branchement de 91l,f sont simples.
Dans ce qui suit, on suppose que L est un corps de fractions rationnelles sur K,
muni d'une variable t ; alors F est un corps de fractions rationnelles sur K , de la forme
K = K(u), avec u € L (théorème de Lùroth). On a donc u = ^frt , avec A et B
éléments de K [T] premiers entre eux et Max(deg (A) ,deg (B)) = n . On supposera
que deg (A) = n, que deg (B) = n - 1, et que B est séparable (on peut toujours se
ramener à ce cas; en effet, le nombre des points de branchement de 271l,f est fini; par
une homographie convenable sur u, on se ramène d'abord au cas où Vf,u,oo n'est pas
un pont de branchement; puis par une homographie convenable sur t, on fait en sorte
que Vlj^oo soit un point au-dessus de Vjp)U>00 ).
Pour tout x € K on note respectivement vx = Vl,ï,t-x et w = Vf,u,t-x î on note
t>oo = VL,t,<x>K et Woo = Vf,u,ook - Les points de branchement de 2/Il,f appartiennent
à SRx(F) \ {Wco} , et les points au-dessus d'un point de branchement appartiennent à
SRk{L) \ {t>oo} • Ces points de branchement sont les w\ lorsque À parcourt les zéros
du discriminant réduit A(T) = Discrd(>l(t) —TB(t) (considéré comme polynôme en
T à coefficients dans K). Le polynôme A(T) de degré < 2n — 2 , et il est ^0 car du
fait que A et B sont premiers entre eux, A(t) —TB(t) est irréductible dans K[t,T] .
En anticipant sur les théorèmes de Riemann-Hurwitz 24.3.6 et 24.3.7 et sur le fait que
L et F sont de genre zéro sur K (exemple 24.3.2), on a:
(33) -2 = -2n+ £ ( £ (e(ti,u;)-l))
Comme n > 2, on déduit de (33):
(A(T) est non constant. La ramification de L sur F est simple ssi A(T)
est de degré 2n — 2 et séparable; s'il en est ainsi, il y a 2n — 2 points de
branchement, tous simples
Nous verrons plus loin en quel sens la condition suffisante indiquée dans (34) pour
que la ramification de L sur F soit simple.
Proposition 23.4.6
Sous les hypothèses de (34), supposons que la ramification de L sur F soit simple.
Soit M la clôture galoisienne de L sur F. Alors le groupe G = Gal(M/F) est
isomorphe à &n .
Démonstration:
Soit wx un point de branchement de 91l,f • Au-dessus de wx , il y a un point vy
d'indice de ramification 2 et n - 2 points non ramifiés. Notons H = Oal(M/L).
D'après le théorème 23.4.3, pour tout point u € SRk(M) au-dessus de wx , on a
108 RAMIFICATION DES CORPS DE FONCTIONS ALGEBRIQUES D'UNE VARIABLE
c(u,wx) =2 et le stabilisateur Stabc(w) est de cardinal 2. Avec les notations de
la proposition 23.4.5, l'action de monodromie de G sur h\^ est fidèie, elle est
transitive puisque c'est l'action de G tout entier, et le générateur de Stab<s(u) est une
transposition de l'ensemble h\G (proposition 23.4.5). Soit G' le sous-groupe de G
engendré par les transpositions ainsi obtenues lorsque wx parcourt l'ensemble des 2n — 2
pints de branchement de 91l,f • H est clair que G' est distingué dans G, et par tran-
sitivité des indices de ramification, le corps F' des invariants de G' dans M est non
ramifié sur celui de G, i.e. sur F. Comme F est un corps de fractions rationnelles
sur un corps algébriquement clos, on déduit de la formule de Riemann-Hurwitz que cela
entraîne F' = F , donc G' = G .
On est ramené à un problème de pure théorie des groupes: G s'identifie maintenant
à un sous-groupe de &n qui est transitif et engendré par des transpositions. En vertu
du lemme 23.4.1 ci-dessous, la proposition en découle ■
Le lecteur prouvera facilement le lemme suivant, utilisé dans la démonstration de
la proposition 23.4.6 (par exemple par récurrence sur n, à partir du fait que &n est
engendré par l'ensemble de ses transpositions):
Lemme 23.4.1
Soit n un entier > 2 et G un sous-groupe de &n transitif et engendré par des
transpositions. Alors Ç = &n
Dans les conditions de la proposition 23.4.6, on a [M : F] = (n - 1)! . Le lecteur déduira
facilement de la formule de Riemann-Hurwitz que le genre de M sur K est 1 + \ (n - 3) n!. En particulier,
si n = 3 , ce genre est 1 ; le lecteur vérifiera que la fraction rationnelle u = u(t) = 3ti_ll+ x conduit de
cette manière à un corps M de genre 1 sur K , galoisien sur K(u) et de groupe de galois <S3 (le
discriminant réduit de t3 - 1 - T{Zt2 - Zt + 1) est tf*-proportionnel à T4 + 2T3 - 5T2 + 2T + 1 , qui est
un polynôme de degré 4 réciproque et séparable).
Montrons maintenant en quel sens les hypothèses de la proposition 23.4.6 sont
génériques. Soit xo,xi,...,xn des indéterminées sur K. Posons:
k=n
(35) P{T) = J2 XkTn-k ; D(x0,. •., xn) = Discrd(P)
fc=0
On sait que Z)(xo, #i,...,xn) est un élément irréductible de K [xq, xi, ..., xn ] ,
homogène de degré 2n - 2 (voir [3]). Il définit donc dans l'espace projectif Proj(A'n+1)
une hypersurface projective irréductible C (voir chapitre XXVII). On verra au chapitre
XXVII (cf. proposition 27.3.2) que les droites projectives suffisamment générales de
Proj(A'n"i'1) rencontrent C en 2n — 2 points distincts. Cela signifie que si l'on choisit
deux suites (ao,...,an) € Kn+l et (b0,...,6n) € Kn+l suffisamment générales, et
si on pose A(T) = YXZl^kTn-k et B(T) = £jZo^Tn~~*> l'équation algébrique
Discrd(A(T) — XB(T)) = 0, où A est une inconnue dans K, est de degré 2n — 2 et
admet 2n — 2 racines simples. Du fait qu'on est en caractéristique nulle, il n'est pas
difficile d'en déduire qu'il existe des couples (A, B) vérifiant les hypothèses de la
proposition 23.4.6, et en fait, que l'ensemble des (ai,..., an, 6i,..., 6n-i) G K2n~l tels que le
couple (A = Xn + ZtZÏ akTn~k,B = Xn'1 + Ej^"1 bkTn~k) convienne contient un
ouvert de Zariski de K271'1 .
Chapitre XXIV
LE GENRE
Ce chapitre est consacré à la notion de genre d}un corps de fonctions algébriques d'une
variable, et au célèbre théorème de Riemann-Roch. Nous y retrouverons le théorème de
Lûroth, mais de manière plus conceptuelle, à Voccasion de la discussion des corps de
genre zéro, qui sera approfondie au chapitre XXVII (paragraphe 27.8).
Pour toutes ces questions, Voutil de base est une version algébrique du théorème
des résidus, que nous obtenons ici par des considérations purement algébriques, en
caractéristique quelconque.
Dans tout le chapitre, sauf mention contraire, on supposera le corps de base K
parfait.
§ 24.1 Extension de scalaires
Disjonction linéaire
Pour l'instant, K n'est pas supposé parfait.
Soit Q une extension algébriquement close de K, et soit L et M deux sous-corps
de Q contenant K tels que LC\ M — K . Les assertions suivantes sont équivalentes:
H ni ï /Toute famiUe d'éléments de M qui est /^-linéairement indépendante est L-
^ ' I linéairement indépendante
,, n v fToute famille d'éléments de L qui est K-linéairement indépendante est M-
^ ' ^linéairement indépendante
fT mï /^e morPnisme canonique de if-algèbres V7 : L ®k M —> Q (i.e. tel que
' \ip(x <8>y) = xy pour tout (x,y) e L x M ) est injectif
Vérifions ces équivalences. Le morphisme tp est aussi un morphisme de L-algèbres et
un morphisme de M-algèbres. Comme le foncteur L<g>x est exact (puisque K est un
corps), pour toute base (ei)i^j du K-e.v. M , la famille (1 <g) e^e/ est une base du L-
e.v. L®k M , donc si V7 est injectif, la famille (e^)^/ est L-linéairement indépendante.
Comme toute famille libre d'un espace vectoriel peut être complétée en une base de
cet espace, on voit que (LD3) entraîne (LDI). On voit de même que (LD3) entraîne
(LD2). Montrons que (LDI) entraîne (LD3). Supposons (LDI) vraie. Soit une suite
(Xk,yk)i<k<n dans L x M (avec n > 1 ) telle que 5Zfc=i xkVk = 0 ; il s'agit de montrer
Que 52k=ixk <8>yk =0. Fixons une base (e*)^/ du K-e.v. M. Pour tout k G [l,n],
on a yk = J2i^iVk,i^i avec des r)k,i dans K presque tous nuls. D'où:
k=n
0= ^2xkyk = ^Aiei
fc=i ici
avec Xi = J2kZi XkVkti € L pour tout i. D'après (LDI), on déduit de là que À* — 0
pour tout i. Par suite:
k=n k=n / / \ \
J^3fc<8>2/fc = Yl [Xk® (5Iï7fc'<Ci) ) =^>2Xi®ei =0
d'où l'injectivité de 1/7, donc (LDI) entraîne (LD3). On voit de même que (LD2) entraîne
(LD3), ce qui achève de prouver l'équivalence entre les trois conditions.
110 LE GENRE
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, on dit que les extensions L et M de K
sont linéairement disjointes (ou: que L et M sont linéairement disjointes sur
if) ssi les conditions équivalentes (LDI), (LD2) et (LD3) sont satisfaites.
L'image de tp est l'ensemble des éléments de fi de la forme $3*=? xkVk avec n entier
quelconque, des Xk dans L et des yk dans M ; c'est le sous-anneau de fi engendré
par LU M, égal à I[M] et à M[L] . En général, c'est un sous-anneau strict du
corps composé L(M) = M(L) de L et M (que nous avons noté L 0 M à la section
23.4.3, notation que l'on abrège habituellement en LM ). Si L est extension finie de K ,
alors L [M] est un M-e.v. de dimension finie et une M-algèbre intègre, donc c'est un
corps. On en déduit que si L est extension algébrique de K (donc réunion de ses sous-
extensions finies de if), alors L[M] est un corps, donc L[M] = M[L] = LM, et
en vertu de (LD3), si L et M sont linéairement disjoints sur K , l'algèbre L ®k M est
un corps L-isomorphe et M-isomorphe à LM . De même, si M est extension algébrique
de K, alors L[M] = LM et si L et M sont linéairement disjoints sur K, l'algèbre
L ®k M est un corps isomorphe à LM .
Soit L une extension de K et fi une clôture algébrique de L. Notons K la clôture
algébrique de K dans L, et supposons K et L linéairement disjoints sur K. Alors
d'après ce qui précède, on a KL = K[M] = M[K] ,et l'application canonique:
(1) $ : K <g>/c L —► KL (qui envoie A <g>x sur \x pour tout (À,x) E if x L )
définit un isomorphisme de if-algèbres et de L-algèbres. Pour toute clôture algébrique
3C de K , l'algèbre % ®k L est alors un corps if-isomorphe et L-isomorphe à KL .
Rappelons qu'une extension % (non nécessairement finie) d'un corps commutatif %
est dite galoisienne ssi elle est algébrique, normale et séparable. S'il en est ainsi, le
groupe des 3C-automorphismes de % s'appelle le groupe de Galois de % sur % et
se note Oal (^/3Ï) ou Qal^^) ; le corps % est alors l'ensemble des éléments de %
invariants par tout g € GalfS/SÏ) (voir chapitre X). Notons que si % est parfait, et si
% est une clôture algébrique de 3{, alors % est galoisienne sur %.
Théorème 24.1.1
Soit L une extension de K, soit fi une clôture algébrique de L et E une
extension galoisienne de K dans fi. Notons X une indéterminée sur fi. Les assertions
suivantes sont équivalentes:
(I) Ona EHL = K).
(II) E et L sont linéairement disjoints sur K .
Si les conditions (I) et (II) sont satisfaites, et si en outre L est un corps de fonctions
algébriques dfune variable sur K, alors EL est un corps de fonctions algébriques
d'une variable sur E .
Si maintenant E — K (ce qui implique K parfait puisqu'on suppose E galoisienne),
la clôture algébrique de K dans fi , alors les assertions (I) et (II) équivalent à:
(III) Tout polynôme irréductible P e K[X] reste irréductible dans L [X] .
Démonstration:
Il est trivial que (II) entraîne (I).
Montrons que (I) implique (II). Supposons EnL = K. Pour montrer (II), il suffit de
prouver que pour toute sous-extension finie F de if dans E, les corps F et L sont
linéairement disjoints sur K. Soit F une telle sous-extension. Toute if-base de F est
une famille L-génératrice de FL, donc tout revient à prouver qu'il existe une if-base
de F qui est L-libre. Comme E, donc aussi F, est séparable sur if, l'extension F
admet un élément if-primitif f . Soit P(X) = Irr^x(X). Développons-le:
(2) P(X) =Xd + ^ a^d~k = fi(* - A*)
Chapitre 24 , § 1
Extension de scalaires 111
où Xi G E pour tout i (les A* sont deux à deux distincts à cause de la séparabilité).
Tout revient à montrer que P reste irréductible dans L[X] . Soit Q{X) un
facteur normalisé non constant de P dans L[X] . On a donc Q{X) = YljeJ{X - Xj),
avec 0 ^ J C [l,d] ; on voit que Q(X) G 25 [X] ; mais comme E fi L = K, en
définitive Q(X) € K [X] , d'où Q(X) = P{X) ; ainsi P(X) est L-irréductible, donc la
suite (l,f,... ,fd_1) est L-libre, d'où (II). Ainsi (I) équivaut à (II). On a donc montré
l'équivalence entre (I) et (II).
Supposons les conditions (I) et (II) satisfaites et que L soit un corps de fonctions
algébriques d'une variable sur K . Soit x une variable de L sur K et soit £i,...,fm des
éléments de L tels que L = K(x,£\,... ,£m). Il est immédiat que x est 25-transcendant
(transitivité de la dépendance algébrique). Comme
I = (*(*))[6,...,6n] = 53 (*(*))#■■■&•
(ti,...,tm)€Nm
on voit que E ®K L = £(ilt...,im)eNm (E(x))t[l ' ' 'im = E(x^i, • • • .Ém) • Déplus
chaque & est 2f(x)-algébrique, donc a fortiori est 25 (x)-algébrique; donc J5 <£># L est
extension algébrique finie de E(x) .
Prenons maintenant E — K pour toute la suite, et supposons (II) vraie. Soit un
polynôme P G K [ X ] irréductible et normalisé. Soit £ une racine de P dans K. Le
raisonnement ci-dessus prouve que P reste irréductible dans L [ X ] d'où (III). Donc
(II) entraîne (III). _
Supposons (III) vraie. Soit £ G K n L, et soit P(X) = Irr^t*). Alors X - £
divise P dans L [X] ; puisque P est irréductible dans L[X] ,ona P = X — £, d'où
£ G 2f. On a donc prouvé que (III) implique (I), et finalement lorsque E = K , il y a
bien équivalence entre (I), (II) et (III), ce qui achève la démonstration ■
Définition 24.1.1
Un corps de fonctions algébriques d'une variable L sur K (avec K parfait) sera dit
régulier sur K ssi K est algébriquement fermé dans L .
Lorsque K est algébriquement clos (donc parfait), tout corps de fonctions algébriques
d'une variable sur K est automatiquement régulier sur K .
Théorème 24.1.2
Soit L une extension de K (supposé parfait) et Q une clôture algébrique de L.
Soit E une extension galoisienne de K dans Q . On suppose que EOL = K . Alors
EL est extension galoisienne de L , tout élément de Gal(25L/L) laisse E invariant,
et Vapplication
$ : Qal(EL/L) —► Q*1(E/K), g h—> o\
est un isomorphisme de groupes.
Démonstration:
Comme E est séparable sur K, il est clair que EL est séparable sur L. Il est
immédiat que EL est extension algébrique normale de L ; donc EL est extension
galoisienne de L . Il est immédiat que cr(E) = E pour tout a G Gal(25L/L). L'application
# est donc bien définie, et c'est de manière évidente un morphisme de groupes injectif.
Montrons que # est surjectif, ce qui achèvera la démonstration. Soit s G Gai(25/2f).
D'après le théorème 24.1.1, E <g>x L est une extension de galoisienne de L. Notons
J le L-isomorphisme du corps E <S>k L sur EL défini par J(£ (g) A) = f A pour tout
(f, A) G K x L . Soit S = s<g> Id/, : c'est un élément de Gal(25 ®k L/L), qui induit s
112 LE GENRE
sur E (ce dernier identifié à son image E ® 1 dans E ®k L ). Posant a = J0S0J x ,
on a a € G*1(EL/L) et aj£ = s ■
À partir d'ici, le corps de base K sera systématiquement supposé parfait, mais nous
le rappellerons néanmoins dans la plupart des énoncés.
Soit maintenant L un corps de fonction^ algébriques d'une variable régulier sur K.
Soit Q une clôture algébrique de L et AT la clôture algébrique de K dans Q. Il
découle du théorème 24.1.1 que KL est un corps de fonctions algébriques d'une variable
régulier sur K (le corps K est parfait). Nous allons comparer les surfaces de Riemann
8&k{L) et SRj^(KL). Pour toute valuation v € 3Rj^(KL), la restriction vi de v à
L est une valuation discrète (application de la proposition 23.1.2). On a donc un entier
ev > 1 tel que v(L) = evlL , et alors w = j-vl est l'unique élément de SRk(L) tel que
Av H L = Aw ; de plus, cv H L = cw . Cela permet de définir une application
(3) R : 3R-^(KL) —y 3RK{L), v i—► — vL
qui rappelle les applications de restriction et normalisation 2&l,f (définies au chapitre 23
lorsque F est une sous-extension de K-degré de transcendance 1 d'un corps de fonctions
algébriques d'une variable L sur K ). Toutefois, l'application de restriction (3) diffère
notablement de ces applications $Il,f • le passage de L à KL ne concerne que les
coefficients (on élargit à K le domaine des coefficients), alors que dans le contexte d'une
restriction et normalisation du type 91l,f ? si F ^ L, le passage de F à L affecte les
variables sur if.
Dans les conditions ci-dessus, pour tout v € SRj^(KL) et tout a € G9l1(KL/L) , il
est clair que
(4) voa € SRj^(KL) ; Aoa = ^(A/) ; CVOa = 0"-1(ci>) ; iî(vo{r) = -R(v) ; evoa = ev
L'application
(5) G&l(KL/L) x SRjç(KL) —► SR-k(KL) , (a, v) ■—^•^tioa"1
définit une action à gauche de Gai(KL/L) sur SRj?(KL). Cette action sera dite
naturelle, et lorsque nous parlerons de 3Rj^(KL) comme d'un Oal(ifI//L)-ensemble
sans préciser, il sera sous-entendu que l'action considérée est l'action naturelle.
L'application Kf *-> K'L est une bijection de l'ensemble des sous-corps de K
contenant K sur l'ensemble des sous-corps de KL contenant L. Un tel sous-corps K1
de K est parfait, et on_a_ K1 = {K'L) n K (la vérification est immédiate en utilisant
l'isomorphisme naturel K <&k L —> KL et en raisonnant dans K ®k L); donc K'L
est un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur Kf. L'extension K'L
de L est finie ssi K' est finie sur K, et s'il en est ainsi, on a [K' : K] = [K'L : L].
L'extension K'L de L est galoisienne ssi K' est X-galoisienne.
Proposition 24.1.1
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, soit L' une sous-extension unie de L dans
~KL . Soit K' = L'nl( . Soit w e 3RK(L) ; il existe v' e 3RK'(L') qui prolonge w .
L'anneau B' = K'AW est principal, n'a qu'un nombre fini s > 1 d'idéaux maximaux
non nuls, s est le nombre d'éléments de 3Rk'(L') qui prolongent w , et ces éléments
sont aussi les seuls dont la restriction à L soit équivalente à w . Enfin, on a s <dv
(où dw désigne le degré résiduel absolu [ICW : K]).
Démonstration :
Soit f un élément AT-primitif de K' (il en existe puisque K' est extension finie
séparablede K). Posons P(X) = lrr^K{X) = Xd -h £*«?akXd~k (où X désigne
une indéterminée sur KL ). On a B' = Aw [£] =*K* <g>/c Aw (puisque K est un corps,
Chapitre 24 , § 1
Extension de scalaires 113
K'®k A s'identifie à une sous-if^-algèbre de_ if'<£>*- L > cette dernière algèbre étant
envoyée sur V par Tisomorphisme K<8>kL —> KL). Donc B1 est if-isomorphe à l'algèbre
quotient Q = ^l^\/p(X)Aw[X] - Soit Y une indéterminée sur K,w , et notons
P(y) l'élément Yd + Y^a>kYd~k de KW[Y] , ce qui a un sens puisque Kw = A^/cw
est une if-algèbre. Il y a des isomorphismes naturels entre les if-algèbres Kw 0^ B',
B'/cwB' ^ ^\Y\/p{Y)Kw [Y] • On a ff = E^1 î^ . donc *' est un Ai-
module de type fini. D'après la proposition 23.2.10, les idéaux premiers non nuls de
B1 sont en nombre fini > 1, chacun de ces idéaux rencontre Aw suivant Cw , et ces
idéaux sont les seuls idéaux premiers de B'. Le polynôme P(Y) est if-irréductible, donc
séparable puisque if est parfait. Notons P(Y) = Q\(Y)-• -QS(Y) une décomposition
de P(Y) dans /C^fK] en facteurs irréductibles normalisés; la séparabilité de P{Y)
entraîne que les Qi(Y) sont deux à deux distincts. La if-algèbre Q est de if-dimension
finie, et d'après le théorème des restes chinois, est isomorphe au produit C = FIi=i Ci,
où Ci = &w ^^/Qi(Y)lCw [Y] Pour tout * » donc c'est un produit d'extensions finies
de if . Les idéaux maximaux de C sont tli,... ,n5 , où n* = I~Ij=i C*,j , et où l'on a
posé Cij = Qi(Y)Aw [Y\ et C^ = Cj pour j ^ i. Soit # Tisomorphisme Q —> C
donné par le théorème chinois. Les idéaux maximaux de B' contiennent c^ , donc ce
sont ttli,... , îtls , où m* est pour tout i l'image réciproque de &~l(Tli) par le mor-
phisme canonique B' —► Q . Ainsi le nombre des idéaux maximaux de B' est 5 ; de plus,
on déduit de la proposition 23.2.3 que cwB' = n^mi = fl!=î ™i •
L'anneau B' est intègre et nœthérien (c'est un A-module de type fini et Aw est
nœthérien). Pour pouvoir appliquer le théorème 23.2.3, il ne reste plus qu'à prouver
qu'il est intégralement clos. On a B' = n^JBL , (voir exemple 23.2.1). Il suffît donc
de montrer que chaque anneau Bi, est intégralement clos. Fixons i e Jl,sJ. Pour
tout j € |[l,sj , soit Pj(X) un relèvement de Qj(Y) dans A[^] ; soit t une
uniformisante de w (d'où twB' = tB'). Posons Mi(X) = Iljeli,«1\{i} ^(^) ■ ^n a un
élément Ni € Aw [X] tel que P(X) = Mi(X)Pi(X) + tN^X). Soit fXJli l'idéal de
Aw [X] engendré par {£,Pi(X)}: c'est l'image réciproque de m» par le morphisme
canonique Aw [X] —* Q , donc c'est un idéal maximal de Aw [X] . Comme Qj^) est
facteur simple de P(Y), on a Afi(X) i fXfli, donc Af4(0 i Xtïi, i.e. Afi(£) € W(B[m<]) •
Or, on a 0 = Mi(£)f*(0 + *N<(f) , d'où Pi(f) € *#[mi] . Comme TU; est engendré par
{£, Pi(£)} , on en déduit que miBrm, = tB[mi] • ^e théorème 23.1.2, assertion (I) montre
alors que BL, est un anneau de valuation discrète, dont t est une uniformisante; en
particulier, c'est un anneau intégralement clos. C'est vrai pour tout i G [l,s], donc
le théorème 23.2.3 s'applique: il montre que l'anneau B' est principal. Ce qui précède
montre que t reste une uniformisante dans chacun des localisés Sfm , . Notons que
le corps résiduel /Cv> s'identifie à &/m% (proposition 23.2.7), donc à A f^l/SWi >
c'est-à-dire à d = K>w iY]/Qi(Y))Cw [Y} •
Pour tout i € (1,5] notons v[ la valuation de V d'anneau 6L.1 • On a A C A' >
donc A; H L = Aw , et comme v'^i) = 1, il en découle que v[ prolonge w.
Réciproquement, soit v' e SRk'(L') dont la restriction à L est équivalente à w . Comme
v'(t) = 1, il est clair que v' prolonge w. On a B' C A' et cw C B' f) Cv/ , donc
CV' flB'/ {0} , donc cV' n B; = m» avec un i € [l,sj. Par suite, BL, C A' , et
comme il s'agit d'une inclusion entre deux anneaux de valuation discrète de V, cette
inclusion est une égalité (voir théorème 23.1.3), d'où v' = v[. On a donc prouvé que
{v[,...,v's} est l'ensemble des éléments de SRk'{L') qui prolongent w, et que c'est
aussi l'ensemble des éléments de SR/o(Z/) dont la restriction à L est équivalente à w .
Montrons enfin que 5 < d^ . Les if-algèbres JCW <8>Au> B1, ICW ®aw (if' ®K Aw) et
Kf®K(K,w®A*,Aw) sont isomorphes. La if-algèbre /C^tgu^A = {^w/cVJ)^>AwAw est
114 LE GENRE
isomorphe à ^/cw = ^w > donc JCW ®aw & est if-isomorphe à if' <8>k K-w • Soit Ç un
élément if-primitif de /C^ et soit 0(K) = Irr^/^Y) • H est immédiat que la if-algèbre
K'®KKW est isomorphe à K'\x\/e(X)K'[X] • Notons G(X) = 9i(X)--98>(X)
une décomposition de O(X) dans K'[X\ en facteurs irréductibles normalisés. Comme
0(X) est if-irréductible et que if est parfait, O(X) est séparable, donc les facteurs
Oi(X) sont deux à deux distincts. Le théorème chinois donne alors un isomorphisme de
if-algèbres entre if'<g>jr Kw et []!=ï c'%, où C{ = K' [X}/ei(X)K' [X] Pour tout i.
Ce produit de s' extensions finies de if a exactement s' idéaux maximaux, et comme
il est isomorphe à Kw ®aw B', on conclut que s' = s. Par suite, s < deg(0(y)) = d^,.
On a s = à.w ssi les Q{ sont tous de degré 1, i.e. ssi O(X) est dissocié sur if', i.e.
ssi if' contient la réunion des images de tous les if-plongements de ICW dans if ■
Nous touchons maintenant à notre but: comparer SRj^(KL) et 3Rk{L) .
Théorème 24.1.3
Avec les hypothèses et notations de la proposition 24.1.1, l'application R définie en
(3) est surjective, ses fibres sont finies, ce sont les Gai(ifL/L)-orbites de SRj^(KL)
(Le., en fait, les Oal(if /if )-orbites), et on a ev — 1 pour tout v G SR^(if L) . Si
w G SR/c(L), on a card (R~l(w)) = dv (où dv = \KW : if] ).
Démonstration:
On notera G = Oal (if L/K), et on utilisera Pisomorphisme <P de G sur Gai (if /if )
défini au théorème 24.1.2. Nous fixerons une extension galoisienne finie if' de if dans
if contenant la réunion des images de tous les if-plongements de Kw dans if , et
nous poserons V = K'L. L'extension V de L est donc galoisienne finie, et on a
V n if = if '. Nous noterons £ l'ensemble des extensions galoisiennes finies de L
dans if L contenant V et C l'ensemble des extensions galoisiennes finies de if dans
if contenant if'. L'application C *-> CL définit une bijection de C sur £, croissante
pour l'inclusion, dont la bijection réciproque est E >-+ E C\K . Pour tout E G £, #
induit un isomorphisme de Oal(i?/L) sur Gal((£" n K)/K). Les ensembles C et £
sont stables par intersection quelconque et sont filtrants à droite pour l'inclusion. Il est
clair que
(6) tf = Uc€cC donc ~KL = UEeSE
Fixons w G SR/f(L).
• Montrons d'abord que la fibre R~l(w) est finie et de cardinal dw (comme w est
arbitraire, cela prouvera la surjectivité de R). D'après la proposition 24.1.1, il existe
exactement s = d^ éléments de SRj<:/(L') qui prolongent w , et ce sont les seuls dont
la restriction à L est équivalente à w . Ordonnons-les en une liste (t^,..., v£). Pour
tout E G £ , toujours d'après la proposition 24.1.1, il existe exactement 5 éléments de
SREnj^(E) qui prolongent w , et ce sont les seuls dont la restriction à L est équivalente
à w. Cela implique que pour tout i € fl,sj, v[ se prolonge de manière unique en un
élément de 8REnj>(E), qu'on notera ve%% • Pour E G £ et F G £ , on voit facilement
que
(7) ( Vi G [1,5] ) vEnF,i = VE,i\EnF = VF,i\EnF
À cause (6) et (7), pour chaque i G [1, s], il y a une application Vi : T< -* Z U {+00}
et une seule telle que td = ve,î pour tout E G £. Il est immédiat que v* G 8Rj^(KL)
et que t>i prolonge w. Réciproquement, soit v G 8Rj^(KL) dont la restriction à L
est équivalente à w. On voit qu'il existe un unique i G [1,5] tel que la restriction de
v k L' soit v[ ; alors nécessairement pour tout E G £, la restriction de v k E est
V£,i, d'où t> = Vi en vertu de (6). La fibre i?_1(it;) est donc {vi,...,Vj}, et pour
Chapitre 24 , § 1
Extension de scalaires 115
tout i € [l,sj, on a bien eVi = 1 puisque Vi prolonge w. Notons que Vi est l'unique
élément de SRj^(KL) qui prolonge v[.
• Montrons maintenant que les fibres de R sont les (/-orbites de SRj^(KL). D'après
la quatrième relation (4), toute fibre de R est réunion de (/-orbites. Puisque w est
arbitraire, il suffit donc de prouver que l'action de G sur la fibre R~l(w) est transitive.
Soit donc des entiers i et j tels que 1 < i < j < s . D'après le théorème 23.4.1, on a
un élément & € Qa.l(L'/L) tel que v'j = a''•f- . Soit un élément a G Gal(KL/L) qui
prolonge a'. Alors a • Vi prolonge a' * v[ = t^ , ce qui implique a *Vi = Vj en vertu
de la remarque qui termine la première partie de la démonstration. D'où la transitivité
de Qal(KL/L) sur R~l(w) , ce qui achève la démonstration ■
Remarque 24.1.1 :
Avec les notations de la démonstration du théorème 24.1.3, on peut prouver les
propriétés suivantes: l'anneau KAW est principal et possède un nombre fini égal à d^
d'idéaux premiers non nuls. Les localisés en ces idéaux premiers de KAW ne sont autres
que les anneaux des valuations Vi (le lecteur le montrera à titre d'exercice) +
Définition 24.1.2
Avec les notations et hypothèses du théorème 24.1.3, soit v € SR-^(KL). Soit
w = R(v). On dit que v est rationnel sur K (ou encore K-rationnel), ssi
)CW = K , ou, de manière équivalente, ssi v est Qa>l(KjK)-ûxe.
Exemple 24.1.1 :
Soit F un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K (supposé parfait),
muni d'une variable x. Notons 1? une clôture algébrique de F et (X, Y) un couple
d'indéterminées sur i? . Soit K la clôture algébrique de K dans i? . Soit un polynôme
PeK[X,Y] :
k=n
(8) P(X, Y)=Yn + Yl ak{X)Yn-k
fc=i
avec cik(X) € K[X] pour tout A:, irréductible, et séparable en tant qu'élément de
(K(X))[Y] . Soit y une racine dans Q de l'élément P{x,Y) de F [Y] , et soit
L = F(y). Alors L est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K , dont x
est une variable séparante, et qui vérifie [L : F] = n (voir section 23.3.3).
Cherchons à quelle condition L est régulier sur K. Notons Kl = K Ci L. On
a Irry>i?(y) = P{x,Y)\ on a Kl{x) = K{x) ssi Kl = _K_, parce que K est
algébriquement fermé dans K(x). Comme [L : F] = [L : Kl{x)\ [Kl{x) : F] ,
on en déduit que Kl = K ssi Irryj^/x\(Y) = P(x,Y). Si P est irréductible dans
K [X, Y] , alors P(x,Y) est irréductible dans (K(x))[Y\ puisqu'il est normalisé en
la variable Y ; a fortiori, P(x,Y)__est irréductible dans__(i^L(x)) [Y] , d'où Kl — K.
Réciproquement, supposons que K n L = K. Alors K et L sont linéairement
disjointes sur K . La famille (x<7yr)(g>r)ç^x[0)n-ij est /^-linéairement indépendante puisque
Irryyp(Y) = P(x,Y) est de degré n. Elle est donc aussi if-linéairement indépendante,
donc la suite (l,y,... ,yn_1) est F-libre, d'où lrryj^^(Y) = P(x,Y), et par suite
P(X,Y) est irréductible dans TC[X,Y] .
On a donc montré que le corps de fonctions algébriques L est régulier sur K ssi
P{X, Y) est irréductible dans K[X,Y] . Il en est ainsi ssi P est irréductible dans
K' [X, Y] pour toute clôture algébrique K' de K .
On dit que P est absolument irréductible ssi cette propriété est satisfaite. En résumé,
on a prouvé que le corps de fonctions algébriques L est régulier sur K ssi P(X, Y) est
absolument irréductible.
116 LE GENRE
Soit alors v G SRj^(KL) Soit w = R(v) vérifiant les hypothèses du théorème
23.3.7, dont on reprend les notations, mais en y remplaçant K par K et SRk(L)
par SR-^(KL) , le lecteur montrera sans peine que la AT-rationalité de v équivaut à la
propriété: (f, rj) e K2 . Cette question sera reprise au paragraphe 27.8, dans un cadre
plus général +
Dérivations et extension de scalaires
Conservons les notations et hypothèses de la proposition 24.1.1
Proposition 24.1.2
Soit 6 € Derk(L) ; il existe une dérivation et une seule A € Der-^(KL) qui prolonge
6 . En conséquence, on a un isomorphisme canonique de KL-espaces vectoriels entre
Der^(KL) et (KL) ®L DerK(L) .
Démonstration :
Posons A = $o(Id-x<8)6)o$~l, où # est l'isomorphisme défini par (1). Il est immédiat
que A € Der-^-(KL) et que A prolonge 6. Soit A' un autre prolongement de 6 en une
If-dérivât ion de KL . Soit x G KL . Alors L(x) est une extension finie séparable de
L , donc 6 se prolonge de manière unique en une if-dérivation Dx e Derk(L(x), KL).
Cette dérivation Dx est triviale sur K n L(x) puisque K est parfait. On en déduit
que A'\ = A\ = Dx . Comme KL = Ux€^LL(x) , on conclut que A! = A . Il y
a donc bien unicité de A .
L'application / : Derk{L) —> Der^(KX), <5 >-+ A est une injection L-linéaire.
D'après la propriété universelle de l'extension des scalaires, il y a une application K-
linéaire et une seule X : (KL) <g>L Derk(L) —► Derj^(KL) telle que X(X <g> 6) = À 1(6)
pour tout (A, 6) e K x Der k(L) . Comme / est injective, X est aussi injective (le
foncteur KL<8>l est exact puisque L est un corps). Mais en vertu des hypothèses, on a
dim^Der^L)) = dimj^ L(Der j^(KL)) = 1, d'où aussi diin^L((/fL)(g)£,Der/<:(L)) = l
Comme 1^0, nécessairement X est bijective. Ainsi X est l'isomorphisme canonique
cherché ■
§ 24.2 Diviseurs
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K. Une importante
question est l'étude des éléments / G L qui n'ont ni zéro ni pôle en dehors d'une partie
finie donnée de SRk(L) . L'outil qui permet cette étude est la notion de diviseur.
24.2.1 Généralités
Définition 24.2.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (avec K parfait). On
appelle groupe des diviseurs de L le groupe abélien libre Z^3Kk^l^ . Ce groupe
sera noté Dinr(L/K). Les éléments de ce groupe sont appelés les diviseurs de L
sur K. Pour tout diviseur D = (nv)v^BRK^i) , on appelle degré de v Vêlement
T,VÇ:3RK(L) nv d" y et on le notera Dgr(D).
Dans les conditions de cette définition, soit v G SRk(L) • L'élément de D±v(L/K)
dont la coordonnée d'indice v est 1 et dont toutes les autres coordonnées sont nulles sera
noté v • La famille {v)v^3rk(l) est donc la base canonique du Z-module D±v(L/K).
Tout diviseur de L sur K s'écrit donc de manière unique D = X]V€SRK(L) n^> avec
des nv éléments de Z nuls sauf un nombre fini. Pour un tel diviseur D, l'ensemble
{v G SRk(L) I nv ^ 0} s'appelle le support de D, et sera noté Supp(£>) ; l'ensemble
{v G SRk{L) \nv > 0} sera noté Supp+(D), et l'ensemble {v e SR#(L) | nv < 0} sera
noté Supp_ (D) ;
L'application Dgr : DLv(L/K) —► Z, D »-♦ Dgr(D) est une forme Z-linéaire sur
Div(L/K). Son noyau sera noté Div0(L/K).
On munit D±v(L/K) de l'ordre naturel produit des ordres totaux usuels des facteurs
Z, et on notera ■< cet ordre; par définition, si D = ^Zvç.sRK{L)n^ ^ D±v(L//f) et
Df = 5Zv6SRk(^) ni>^> on a D ^ & ssi nv < n'v pour tout v. L'ordre ■< est partiel,
il est compatible avec la structure de groupe de DLv(L/K), et le cône de ses éléments
positifs est l'ensemble {Ylve8RK(L) nvV. € D±v(L/K) | (Vu) nv > 0} . L'ensemble
ordonné (D±v(L/K), ^) est réticuié, i.e. toute partie à deux éléments admet de manière
évidente une borne inférieure et une borne supérieure.
Diviseurs principaux
Dans les conditions de la définition 24.2.1, soit f e L* . La famille (y(/))V£srk(l)
est à support fini; en effet, c'est trivial si / est une constante, et sinon cela découle
du théorème 23.3.5. On peut donc considérer le diviseur J2v€8RK(L) v(f)V-- Ce
diviseur s'appelle le diviseur principal défini par /, et nous le noterons div(/). En
utilisant le théorème 23.3.5, on voit que div(/) € Div0(L/K), et que les diviseurs
div+(/) = Eu€supp+(/)"(/)£ et div_(/) = £„<esuPp_(/) *>(/)* sont non nuls: ils
sont respectivement appelés le diviseur des zéros et le diviseur des pôles de /.
Du fait que la restriction à L* de chaque valuation de L est un morphisme du groupe
multiplicatif L* dans le groupe additif Z, on déduit que l'application
(1) L*—D±v.(L/ff), / —div(/)
est un morphisme de groupes. Ce morphisme n'est en général pas surjectif; d'après le
théorème 23.3.4, son noyau est le groupe multiplicatif K , où K désigne le corps des
constantes de L, i.e. la clôture algébrique de K dans L. L'image de ce morphisme
(i.e. l'ensemble des diviseurs principaux de L sur K ) sera notée DLvpr(L/K). Le
groupe quotient D*v(V^)/Divpr(L//ÏT) est appelé le groupe de Picard de L sur
K, et sera noté P±c(L/#) ; son sous-groupe Div0(£/^0/Divpr(L/A') sera noté
Vico(L/K) . Le groupe de Picard Pic(L//f) est aussi appelé le groupe des classes
118 LE GENRE
de diviseurs de L, et quand on utilise cette terminologie, traditionnellement, on le
note ÏD{L/K). Il présente une certaine analogie avec le groupe des classes d'idéaux de
la théorie algébrique des nombres, bien qu'il soit toujours infini.
Le groupe B±co(L/K) est donc un sous-groupe de *J&{L/K), qui conduit à
l'importante notion de variété jacobienne.
Proposition 24.2.1
Soit L un corps de fractions rationnelles sur K (avec K parfait). On a alors
VLc{L/K) = T et Vic0{L/K) = {0} .
Démonstration :
Choisissons une variable t de L sur K , soit T une indéterminée sur L , et reprenons
les notations de la section 23.1.2: on désigne par $ l'ensemble des polynômes irréductibles
et normalisés dans K [ T ] , et soit la bijection
(2) VLtt : «*U {oo} — SRK(L), P .— VL^P
Soit un diviseur non nul D = Sp€ju{oo} mPY±AEl te* que D^r(^) = °- Notons
S = VL}t-i(Supp(D)). Pour tout P G ^, le degré résiduel absolu de la valuation
v = VLyt{P) est dv = deg(P) (voir proposition 23.1.7).
Premier cas: m^ = 0
Soit / = Ilpzs(P(t))mp - On a:
Dgr(D) =0=^2 mPdvL,t(P) = Yl mP<*eg(P)
Pes pes
donc le^numérateur rip<ES,mp>o(P(*))mp et le t-dénominateur np€s,mP<o(PW)mp
ont même t-degré, donc V£>f>00 n'est ni zéro ni pôle de /. Il est alors clair que
Supp(div(/)) = VLtt(S) = Supp(D) et que mP = VLft)P(f) pour tout P G S,
d'où div(/) = D
Second cas: ra^ / 0
On a dvLttoo = 1 = -deg(oo). On pose / = llp€5\{oo}(p(0)mp • Alors
degf(/) = ^2 rnP deg(P) ; -m^ 4- ]T mP deg(P) = 0
pgs\{oo} Pes\{oo)
donc moo = degt(/) , i.e. VL,t,ooU) = _moo • Comme il est clair que Vl,^p(/) = mp
pour tout P e S\ {oo} et que / n'a ni zéro ni pôle hors de Supp(D), on conclut que
div(/) = D.
On a donc montré que tout diviseur de degré nul de L sur K est principal, donc
ïic0{L/K) = {0} . On en déduit immédiatement que l'application Dgr induit un
isomorphisme de 2ic(L/K) sur Z ■
Diviseurs et isomorphismes
Soit L\ et L2 deux corps de fonctions algébriques d'une variable sur K , supposés
X-isomorphes, et soit tp : L\ —► L2 un if-isomorphisme de L\ sur L2 . Nous avons vu
à la fin de la section 23.1.1 que l'application </?b : SRtf(L2) —► SRa-(Li) , v h+ v o </? est
bijective, et qu'on a (y?*)'1 = (v?~1)1' • On vérifie aussi que si ip est un K-isomorphisme
L2 —► L3 (où L3 est un autre corps de fonctions algébriques d'une variable sur K),
alors (v?^)b = ^Vb • On en déduit immédiatement que l'application
^ : D±v(L2/tf) —» Div^/tf), D = £ nv t; — £ nv^)
v6SRKr(L2) v€SRk(L2)
Chapitre 24 , § 2 Diviseurs 119
est un isomorphisme de groupes, dont l'isomorphisme réciproque est (y>~l)i. On sait que
pour tout v € SRtf(Z/2) > les corps résiduels /Cv et /Cy>(v) sont isomorphes (voir fin de la
section 23.1.1), donc dt, = d^i») • ^n en déduit, pour tout diviseur
D = Ev€srk(l2) "vît Div(L2/K) :
Dgr((fi(D)) = Yl n«Vw = ^2 nvdv= Dgr(D)
v€SRk:(L2) v€BRk(L2)
donc ^ conserve le degré. En particulier, on a ^(DivoCI^/^O) = I>iv0(I/i/iï'). Il
est clair que ip\ transforme un diviseur y 0 en un diviseur y 0.
Si g € 1/2 , on a
<pt(div(0))= ]T v(g) vo<p= ]T (VO(P)(V~l(9))m£
vÇSRK(L2) veSRK(L2)
= £ i<P*W)(<p-l(9))<P*(v)
v£BRK(L2)
S w(ip~l(g))w = div(<p-l(g))
w€SR#c(Li)
d'où Ton déduit que <p5,(D±vpr(Z,2/<K')) = Divpr(Li/K). Donc ^ induit un
isomorphisme de groupes ^(L2/K)^^(Li/K), qui envoie V±c0(L2/K) sur Pic0(I/i/A^)
puisque <p* conserve le degré. En conclusion, pour les corps L de fonctions algébriques
d'une variable sur K , les groupes Div(L/tf) > DivQ(L/K), DLvpx(L/K) , 5){L/K)
et Vico(L/K) sont, à isomorphisme de groupes près, invariants par K-isomorphismes.
Image directe et image réciproque d'un diviseur
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K , et soit F un sous-corps de L contenant K et tel que deg trK(F) = 1 .
L'application p = 271l,f s'étend de manière évidente en une application Z-linéaire,
notée pm
(3) p, : Div(L/K) — Div(F/K), ]T nvv —+ £ n^t;)
v€SR/c(L) v<ESRK(L)
Pour tout Z) = Z)V€SRk:(L) nv^ € T>iv(L/K), le diviseur p*(t>) s'appelle l'image
directe (de D par p).
On a d'autre part une application Z-linéaire naturelle, notée p* :
(4) p* : Div(F/tf) —♦ D±v(L/tf), £ n^w ^—> £ n™e^>w)*
w€,SRk: (F) u>€SR/< (F), v€p"l (w)
Pour tout D € D±v(L/K), le diviseur p*(Z>) (défini par (4)) sera appelé Vimage
réciproque de w par p. Dans ce qui suit, pour tout / € F , nous noterons divi?(/)
(resp. divL(/) le diviseur principal associé à / considéré comme élément de F (resp.
considéré comme élément de L). Le théorème suivant résume les principales propriétés
des applications p* et p* . Dans ce théorème, on note n = [L : F].
Théorème 24.2.1
Avec les notations et hypothèses de (3) et (4) (donc K algébriquement clos), on a:
(I) p* op* =nldDiv(F/K)
(II)(V/eF*) p*(divF(/)) = divL(/)
(III) ( V/ € L* ) p.(div(/)) = divF(NL/F(/))
(IV) ( VZ> G Div(F/*0 ) Dgr(p*(Z>)) = nDgr(D)
120 LE GENRE
Démonstration ;
• Assertion (I)
Il suffit de montrer que pour tout w € SRk(F) > on a p+(p*(w)) = nw. Soit
w € SRjc(F) • D'après les définitions, on a:
(5) p+(p*{w))=p* I ^ eK™)!U = I E ^w) I ™ = nt£
puisque Ylv€p~1(w) e(v>w) = n en ver^u de la formule de ramification (théorème 23.3.2).
D'où l'assertion.
• Assertion (II)
Soit / € F* . Pour v € 8Rjc(L), en posant w = p(v), on a v(f) = e(v, w)w(/),
d'où:
diVL(/)= E <f)^ = E ( E *</)*'
= E ( E ^^m/)**
= E ™^M E e(^)^
= E *U)Pm<MÙ = P*(divF(/))
w£8KK(F)
• Assertion (III)
Soit / € L* . On a:
*(div(/)) = P, ( Yl v(W = E *(/)**= E f E *(/)) ^
\veSKK(L) } v£8RK(F),p(v)=w w6SRk(F)\v€SRk(L) , p(v)=wj
Pour établir l'assertion, il suffit donc de prouver que pour tout w G SRk(F) , on a
w(Nl/f(/)) = I3v<Ep-i(ti/) v(f) • Fixons w € SR#(F). Reprenons les notations du
théorème 23.3.2, i.e. soit B la clôture intégrale de Aw dans L , soit r = card (p""1^)) ,
soit fli,..., qr les idéaux premiers de B au-dessus de Cw et, pour tout i € (l,r] , soit
ty l'élément de SRif(L) tel que ,4^. = B(q.j , d'où /^(iu) = {^i,.. - ,vr} • On sait que
S est un ^-module de rang fini égal à n et que le corps des fractions de B est L , de
sorte que toute ^,-base de B, est aussi une F-base de L .
Supposons d'abord f e B. On a alors Nl/f(/) = ^B/Aw(f) • Le conoyau de
l'endomorphisme /i:xh/x du -^-module B est l'anneau quotient C = B/f ft .
Rappelons que l'anneau B est principal et a exactement r idéaux premiers non
nuls, qui sont qi,...,qr- Pour tout i € [l,rj soit U e B tel que q* = ^B. La
décomposition de / en facteurs premiers dans B s'écrit:
(6) f = eUtT
1=1
avec e e U(B) et a* G M pour tout i ; en fait, pour tout i, on a a» = Vi(/). Le
théorème Chinois des restes montre que la B-algèbre C est isomorphe à n!=i ^/taiB •
Le ^-module C (qui est de type fini) est de torsion car c'est un K-espa.ce vectoriel
de dimension finie (égale à 5Zi<i<ra* = Ei<Kr vi{f) )» a^ors Que ^ n'est pas de
if-dimension finie car toute uniformisante de Âw est un élément transcendant sur K .
Chapitre 24 , § 2
Diviseurs 121
Pour tout a € Aw \ {0} , l'anneau quotient *A*>/aAw est de AT-dimension finie, égale
à w(a). D'après le théorème de structure des ^-modules de torsion de type fini sur
un anneau principal, on a une ^-base (6i,..., bn) de B et des éléments Ai,..., An de
Aw \ {0} tels que det(h) = rii<i<n^ et 9ue (^*Mi<t<n soit une ^-base de fB.
On en déduit:
i=n i=n
dxmK{B/fB) = £dimK {Av/XiAj = £W<A0 = «>(det(fc)) = w(NL/F(f))
Comme dimK(B/fB) = £i<i<r *>*(/) = E^-'W"^) ' ''assertion (III) en découle
dans le cas considéré.
Supposons maintenant / quelconque. On a / = £ , avec g G #\{0} et 6 € S\ {0} .
On a w(NL/F(g)) = Ev6p-i(w) v(g) et u>(NL/F(&) = £
v€p_1(iy) VW en ver^u de ce qui
précède, d'où, puisque Nl/f(/) = Nl/f(#) - NL/f(&) :
™(Nl/f(/))= £ M)-*(*))= £ "(/)
v€p-1(ti;) f€p_1(ti;)
ce qui achève de prouver l'assertion (III).
• Assertion (IV)
Il suffit de prouver l'assertion pour D = w_, où w € SRj<:(F). Soit w e SRa-(F) ; on
a Dgr(w) = 1 et p*(w) = X^ep-1^) ^^wjîi, d'où, d'après la formule de ramification,
Dgr(p*(w)) = 52v€P-Hw) e(v> w) = n = n Dgr(w) ■
Exemple de diviseur de degré zéro non principal
Supposons K algébriquement clos, de caractéristique ^ 2. Soit r un entier > 2.
Soit F un corps de fractions rationnelles sur K, muni d'une variable t. Soit X une
indéterminée sur F. Donnons-nous des éléments ei,...,e2r de if deux à deux
distincts, et soit L le corps de fonctions hyperelliptiques ^\^-)/{X2 — P(t))F[X] > °ù
P(X) = ni=ir(^ "* e«) • On a [L : F] = 2 , et nous avons vu à la section 23.3.3 que les
points de branchement de p = 2fti,,F sont les (V/rt,x-ei)i<i<2r • Pour tout i e [l,2rj,
soit î;» l'unique point de L au-dessus de Wi = VF,t,x-ei • Comme t{v^Wi) = 2 , on a
p{Wi) = 2vi pour tout i. Fixons (i,j) e [l,r]2 avec i ^ j ; le diviseur £>i(j = v» - Vj
est de degré nul, nous allons montrer qu'il est non principal. Raisonnons par l'absurde, en
supposant trouvé h € L* tel que Dij = div(/i). On ne peut avoir h G F* , car sinon,
d'après le théorème 24.2.1, assertion (II), on aurait Dij = divz,(/i) = p*(divF(/i)),
donc les coefficients de V{ et de Vj dans Z>ij devraient être pairs, ce qui n'est pas.
Notons vo l'image canonique de X dans L , d'où w2 = P(t). On a donc h = Ç+rjw
avec (£,rç) € F x F* . Comme L est extension quadratique de F, il est immédiat que
Nl/fW = (£ + w)(£ - W) = £2 - rç2^(0 • D'après le théorème 24.2.1, assertion (III),
on en déduit:
(7) Wi - Wj = p.(Ditj) = p,(div(/i)) = divF(NL/F(/0) = divF(e2 - r)2P(t))
D'autre part, on a p*{u)i - Wj) = 2£>ij = div(h2) = div^L/FW), et par suite
div(h~2NL/F(h)) = 0, d'où h~2NL/F(h) = e € K* , et donc Nl/fCO = ^2 • Comme
r; ^ 0 et /i2 = f2 4- 7]2P(t) + 2$t/cî7 , et comme NL/F(h) = £2 - r?2P(i), nécessairement
£ = 0 et £ = —1/c . Soit {A,B) une forme ^-irréductible de 77, i.e. 77 = ^ avec A et
B dans K[t] et premiers entre eux. Alors Nl/fW = -Pg^/^ • Mais les éléments
de F dont le diviseur (en tant qu'élément de F ) est w^ - Wj sont les À j^ avec
A e K * . On a donc un élément A0 € AT* et un seul tel que A j$ufî = A0 fff1, soit
(t - ej)A2(t)P(t) = A0(^ - ei)B2(*). On en déduit que dans l'anneau K[t] , l'élément
122 LE GENRE
t - ej divise B(t), et comme A et B sont premiers entre eux, que (t — ej)2 divise
P(t), ce qui est absurde. Cette contradiction prouve que Diyj est non principal. Notons
que cependant, 2D^j = divx,(~ff) est principal. Notons aussi qu'en rapprochant cet
exemple de la proposition 24.2.1, on conclut que le corps de fonctions hyperelliptiques L
n'est pas un corps de fractions rationnelles sur K, une propriété que nous retrouverons
plus loin à l'aide de la notion de genre..
Les espaces ϣ(D)
Supposons K parfait. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur
K. Pour tout diviseur D = £vesRK:(L) nvV.€ Viv(L/K), on pose:
(8) 2(D) = {/ G L | (Vv G SKK(L))v(f)+nv > 0}
ou, de manière équivalente:
(9) 2(D) = {0L} U { / G L* | div(/) + D h 0}
Pour tous / G L* et p € L* , et pour tout À G X* , on a, en vertu des propriétés des
valuations sur K :
(10) div(A/) = div(/) ; div(/ + g) h Inf (div(/), div(g))
On déduit immédiatement de (10) que pour tout D G T>Lv(L/K), l'ensemble X(D) est
un sous-K-espace vectoriel de L .
Il découle du théorème 23.3.5 que:
(11) Si D = 0, alors £{D) = K, et si D^O avec D^O, alors £{D) = {0}
Si D' = D + div(/), avec / G L , la multiplication par / définit un /f-isomorphisme
de %(D') sur <£(£>). Donc si D est principal, d'après (11), on a dimK(X{D)) = 1.
Exemple 24.2.1 :
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions rationnelles d'une
variable sur K , muni d'une variable t. Soit D = J2V£3rk(L) nvV.€ D±v(L/K). Nous
supposerons D •£ 0, c'est-à-dire Supp+(£>) ^ 0. Pour tout a € K, nous noterons
wa = Vittir>K(a) (notations de (25) de section 23.1.2). Onnoterar= card (supp_(£>))
et 5 = card(Supp+(£>)) .
• Supposons que Supp_(D) ^ 0 et WocK £ Supp(£>). Dans K, soit des suites
(di)i<i<r et (bj)i<j<s tellesque Supp_(D) = {wai}i<i<r et Supp+(£>) = {t%}i<)<
(donc ai ^ 6j pour tous i et j ). Pour tous i G [l,rj et j G [l,sj, posons ai = nWa.
et 0j = nWbi .
Soit / G L* ; on a / = -gg , avec A(t) G K [t] \ {0} , B(t) G K [t] \ {0} et A et
B premiers entre eux dans K[t) . La condition / G £(D) se traduit par:
( (Vz G [1, rj ) (t - a0~ai divise A(t) dans K[t]
( V j G [1,5] ) (t - fy)ft+1 ne divise pas B(t) dans if [t]
(Vx€/f\{6i,...,&,}) B(x)^0
l deg(A(t)) < deg(B(t))
s
(12)
la quatrième contrainte découlant du fait que WooK n'est pas pôle de /. Définissons
$ € L* par:
(13) *m = rn=î(*-<»iraj
nj:;(*-^
Chapitre 24 , § 2 Diviseurs 123
On déduit de ce qui précède que $£{D) \ {0} est l'ensemble des f e L* de la forme
/ = M* avec M e K [t] \ {0} vérifiant deg(M) - YÏZ\ a* ^ £j=î & » c'est-à-dire:
t=r j=s
(14) deg(M) < £ a* + ]T ft = Dgr{D)
On voit donc que si Dgr(Z)) < 0, alors £C(D) = {0} , et si Dgr(D) > 0, alors le K-
e.v. &(D) est isomorphe au K-e.v. des éléments de K[t] de f-degré < Dgr(D), un
isomorphisme étant donné par M »—► M$. En conclusion:
J Si Dgr(D) < 0, alors SE(D) = {0}
\ Si Dgr(D) > 0, alors dim/c(2(Z>)) = 1 + Dgr(Z>)
• Supposons que Supp_(£>) = 0 et WooK ^ Supp(£>). Soit 5 = card (Supp+(D))
et Supp+(Z>) = {w6l5... , W6,} . Tout ce qui précède s'applique en remplaçant # par
(rii<j<*(* ~ M)"1 • La conclusion (15) demeure.
• Supposons que Woo* £ Supp_(D) et que r = card (Supp_(D)) > 2. Posons
5= card(Supp_(Z))) . On a des suites (ûi)i<i<r-i et (bj)i<j<a d'éléments de K
telle que Supp_(D) \ {i^oo*} = {wai, •. .^a^} et Supp+(Z>) = {wbl1..., w6,} . Soit
/ € L* , écrit comme plus haut sous forme ^-irréductible / = -^ . Pour tous i € |1, r — 1]
et j G [l,s], posons o^ = nu,0. et fy — nWb_ ; posons aoo = nwOCK La condition
/ G #(Z>) se traduit par:
( (Vi G [l,r-l]) (*-ai)-"°< divise A(i) dansif[*]
(16)
( V j G II, «J ) {t- bj)0*+l ne divise pas B(t) dans X [t ]
(Vxe*r\{&i,...,M) B(x)ï0
\ deg(B) - deg(A) > -a^
Définissons <P G L* par:
{ TlFi(t-bi)*
Alors %(D) \ {0} est l'ensemble des f e L* de la forme M<P avec M € K[t]\{0}
vérifiant deg(M) - ^i=ï_1 <*i - 2Zj=i Pj ^ ^oo . c'est-à-dire:
i=i—1 j=s
(18) deg(M) < <*<*> + £ <* + £&' = Dgr (D)
et à nouveau, la conclusion (15) demeure.
On laisse au lecteur le soin d'examiner les autres cas, et de vérifier que la conclusion
(15) reste chaque fois valide +
Dans le cas général, il reste vrai que les espaces £(D) sont de dimension finie, mais
on n'obtient qu'une majoration de leur dimension:
Théorème 24.2.2
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques sur
K . Soit D = £v€Srk(l) nvV. e Div(L/K). On a £{D) = {0} si Dgr{D) < 0 ; si
Dgr(Z)) > 0 , le K-e.v. 2(D) est de dimension finie, et dimK{%(D)) < 1 +Dgr(Z>).
Démonstration:
Supposons 2E(D) ^ {0} . Soit / € £{D) \ {0} . On a div(/) + DH, d'où
0 < Dgr (div(/) + D) = Dgr(div(/)) + Dgr(L>) = Dgr(D)
124 LE GENRE
ce qui prouve bien que si Dgr(D) < 0 , alors &{D) = {0} .
Supposons maintenant que Dgr(Z?) > 0, et montrons par récurrence sur l'entier
Dgr(D) que ϣ(D) est de if-dimension finie et < 1 + Dgr(D) .
Si Dgr(£>) = 0 et <£(Z>) ^ {0} , soit / € <£(D) \ {0} . Alors div(/) + D h 0, et
d'autre part Dgr(div(/) + Z>) = Dgr(div(/)) 4- Dgr(£>) = 0 , donc div(/) + D = 0 .
Pour tout g e <£(D) \{0} , on a de même div(p) + D = 0 , d'où div(g) = div(/), d'où
div{ flg) = 0, d'où gf~l e K* , i.e. 0 G ff*/. On en déduit que dimK(£{D)) < 1.
Supposons Dgr(Z)) > 0 et que l'assertion soit vraie à l'ordre Dgr(D) — 1. Puisque
Dgr(Z>) > 0, on a Supp+(D) ^ 0. Soit r = card(Supp+(Z))) et soit une suite
(vi)i<i<r dans 8Rk{L) telle que Supp+(Z>) = {vi,... ,vr} • Pour tout z G [l,rj,
soit Di = D - Vi. On a Supp+(A) C Supp+(Z>) et Dgr(Di) = Dgr(Z)) - 1, et
les définitions montrent que X(Di) C X(D). D'après l'hypothèse de récurrence, i£(A)
est de if-dimension finie et < Dgr(Z)) ; s'il existe i € |[l,r]| tel que £(Di) = £{D),
on voit donc que £{D) est de if-dimension finie < Dgr(D), donc < 1 + Dgr(Z)).
Si ï£{Di) ^ 2(Z?) pour tout i, nous allons montrer que S£(D{) est un hyperplan de
X(D), ce qui entraînera que f£(2?) est de dimension finie et < 14- Dgr(2?) (en fait dans
ce cas, les £(Di) sont des hyperplans de S£(D) , la preuve pour i quelconque étant
analogue à celle pour i = 1 ). Fixons / E %(D) \X(D\) ; on a donc vi(f) = — nVl . Soit
g e $£(Di) : on a vi(g) > —nVl . Vérifions qu'il existe A € if tel que Vi(g-Xf) > —nvi ;
pour cela, soit t une uniformisante de vy. On a f~lg € .4Vl » donc f~lg — X e CVl
avec A = <pvi(/-1^) G KVl = K , d'où vi(g - A/) > 1 -h vi(/) = -nvi 4- 1. Comme
X(D) est un if-espace vectoriel, on a g - Xf e &(D), et comme v\(g — A/) > —nVl , il
est clair que g - Xf e %{D{), d'où g € 2(Di) + Kf. C'est vrai pour tout g € 2(D) ,
donc 2(D) = #(-Di) ®K f ,et 2(Di) est bien un hyperplan de 2(Z?), ce qui achève
la démonstration par récurrence ■
24.2.2 Diviseurs et extension de scalaires
Replaçons-nous dans les conditions de la proposition 24.1.1, i.e. soit L un corps de
fonctions algébriques d'une variable régulier sur K, notons Q une clôture algébrique
de L et if la clôture algébrique de K dans J?.
Reprenons l'application R : SRj^-(KL) —► 3Rk{L) définie en (3) du paragraphe 24.1.
Le théorème 24.1.3 permet de définir un morphisme de groupes naturel
(19) R* : Div(L/if ) —♦ Div^KX/îf)
par la condition
(20) (Vw€SRtf(L)) iT(w)= ]T t;
v€R-1{w)
Pour tout D G D±v(L/if ), le diviseur R*(D) sera appelé l'image réciproque de D
par R. Il est immédiat que R* est injectif.
Proposition 24.2.2
Dans les conditions ci-dessus, le morphisme R* conserve le degré des diviseurs, et si
feL,ona divL(/) = iT(div^L(/)).
Dézn ons tration :
Il suffit de prouver que pour_tout w G SRk(L) , on a d^ = Dgr(i2*(w)). Fixons
donc w S SR^(I/). Comme K est algébriquement clos, les degrés résiduels des val-
uations éléments de SRj^-(KL) valent 1 ; en tenant compte du théorème 24.3.1, on
a donc Dgr(-R*(ti;)) = card(R'1(w)) = dw . La dernière assertion découle alors
immédiatement des définitions I
§ 24.3 Dérivations et différentielles
Dans tout ce paragraphe, le corps de base K sera supposé parfait.
24.3.1 Formes différentielles rationnelles
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K.
Rappelons qu'on note Der*-(!/,!,) le L-e.v. des if-dérivations de L dans L (voir
paragraphe 22.2). Pour abréger, nous écrirons Derk(L) au lieu de Derjf(Z,, L).
Comme K est parfait, L est séparablement engendré sur K (théorème 22.2.3),
propriété qui équivaut, d'après le théorème 22.2.2, à dim^Derk{L)) = 1 •
Dans ces conditions, nous appellerons variable séparante (de L sur K ) tout
élément t € L tel que L soit extension finie séparable de K(t).
Soit t une variable séparante de L sur K . L'unique /f-dérivation de L qui prolonge
la dérivation usuelle par rapport à t dans K(t) sera notée -^ ; on sait que -^ est
l'unique élément 6 G Der^(L) tel que 6(t) = Il , et qu'on a Der^(L) = K -^ . Si
/ € L, on écrira -|{ au lieu de ^fc(f) • Pour tout A G L , l'unique élément de Der#(L)
qui prend la valeur A en t est À -^ .
Soit t et u deux variables séparantes de L sur K. On a alors:
(i) ±=*L±
K } du du d*
(règle du changement de variable). En effet, les deux membres de (1) sont des K-
dérivations de L qui prennent la même valeur -|£ en l'élément t de L.
Définition 24.3.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une varïabie régulier sur K . Le L-
espace vectoriel dual de Der#(L) est appelé ï espace des 1-formes différentielles
rationnelles de L, et sera noté ÏÏk(L) . On a donc flx(L) = Hom^ (Der #(!/), L) .
Ses éléments sont appelés les ( 1-formes) différentielles rationnelles sur L .
Dans les conditions de la définition 24.3.1, VLk(L) est donc un L-e.v. de dimension
1, et pour tout élément 6 € Der#(L) \ {0} , il existe un unique élément u; G ftx(L) tel
que w(6) = 1 (la base duale de la base (6) de Der^(L) est (lj) ). En particulier, pour
toute variable séparante t de L sur K, on notera dt l'unique élément de CtK(L) tel
que dt(-^) = 1. L'application L-bilinéaire Der k(L) x Qk(L) —► L, (<5,u;) •—► u(6)
sera notée (<5,u;) »—► (6,uj) . Ainsi pour toute variable séparante t de L sur K , on a:
1
Proposition 24.3.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K . Soit t et u
deux variables séparantes de L sur K . On a dt = -~ du .
Démonstration:
Puisque (dt) et (du) sont deux L-bases de flx(L), on a un élément f € L* tel
que dt = f du . On a alors, en tenant compte de (1):
et d'autre part:
En rapprochant (36) et (4), on obtient / = -^ ■
126 LE GENRE
Formes exactes
Proposition 24.3.2
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K , et soit f € L.
Il existe un unique élément ut e &k(L) tel que (-^,u>) = -^f pour toute variable
séparante t de L sur K.
Démonstration:
L'unicité est évidente. Pour toute variable séparante t de L sur K, notons ujt
l'élément (unique) de ftj^L) tel que (-^,^t) = "âf • Pour montrer l'existence de u;, il
suffit de prouver que wt est indépendant de t. Soit t et u deux variables séparantes
de L sur K . D'après (1), on a (-^wt) = -^ (^,^t) = -j£ ^ . Mais toujours d'après
(1), ona^ = |^;onen déduit que <^,u;t) = -^ = (-^,u;u> , d'où u,t = uu ■
Définition 24.3.2
Avec les notations et hypothèses de la proposition 24.3.2, la forme différentielle
rationnelle u> qui vérifie la condition indiquée est dite associée à f , et on la note d/ .
L'image de L par Vapplication K-linéaire f ■-> d/ s'appelle le K-e.v. des 1- formes
rationnelles exactes de L .
Si / G L, la forme exacte d/ est donc caractérisée par la propriété que pour toute
variable séparante t de L sur K, on a:
<s> & «) -1
Le calcul différentiel sur L (c'est-à-dire le calcul sur les 1-formes différentielles
rationnelles) sera d'autant plus aisé que les variables séparantes de L sur K seront plus
abondantes. D'où l'importance du
Théorème 24.3.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K, et soit
v e SRk(L) . Toute uniformisante de v est une variable séparante de L sur K .
Démonstration:
Soit t une uniformisante de v. On sait déjà que t est if-transcendant. Notons
F = K(t) et w = 2/Il,f(^) . On a v(t) = 1 = w(l), donc e(v,w) = 1 (notons que
w = VF,t,T > où T désigne une indéterminée sur L). Comme K est parfait, L est non
ramifié sur F en u;. D'après le théorème 23.3.3 et la relation (10) de sa démonstration,
on a bL/F ^ {0} , donc L est séparable sur F ■
Dans les conditions du théorème 24.3.1, soit t une uniformisante de v. Si / € Av ,
la fonction algébrique / est régulière en v , i.e. v n'en est pas un jrôle. Intuitivement,
sa " dérivée par rapport à t ", c'est-à-dire la fonction algébrique -^ , ne doit pas non
plus avoir v pour pôle. Cette présomption est confirmée par la
Proposition 24.3.3
Avec les notations et hypothèses du théorème 24.3.1, soit t une uniformisante de v .
On a -^(Av) CAV.
Démonstration:
Notons F = K (t) et w = ^Il,f(v) . Onaui = Vp^T , où T désigne une
indéterminée sur L . Soit B la clôture intégrale de Aw dans L . On sait que Av est le localisé
de B en son idéal maximal qv = Bc\tv . Supposons avoir démontré que ~ (B) C Av ;
Chapitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 127
alors si / = feX, avec (a, 6) G B x (B \ qv), on a: -^f = 6"^fe5a^ £ Av . Il suffit
donc de prouver que -^(B) C Av .
La restriction de -^ à K(t) est la K-dérivation usuelle de K(t), ce qui rend
immédiat que -^(Ai/) C Aw . Soit (ej,... ,en) une base de B comme ^-module (où
n = [L : F]). Tout élément de L s'écrit sous la forme j- avec (x, y) G Bx (AA C^,) ; on
en déduit l'existence d'un élément h G Aw \ Cw tel que h -^ G B pour tout i G [1, raj.
Fixons un tel h pour lequel N = w(h) soit minimum. Si / = Y?i=i he% € B, avec
/i G A. pour tout i, on a % = Ei<Knf^ + Ei<t<n/i T^ > d'où /i^f € B.
Donc /i^(B)cB.
On a tNh-x G ^ , d'où tN±(B) = (tMh-l)h±{B) C B. En raisonnant comme au
début de la démonstration, on en déduit que tN-^(Av) C Av . Soit / € B, il s'agit de
montrer que -%f[ € Av . Soit v le plus petit entier k > 0 tel que tfe -^ G Av . On a
donc 0 < i/ < ÎV, et tout revient à montrer que v = 0. Raisonnons par l'absurde, en
supposant v > 1. Soit À = ¥>v(/) (donc A G /Cv ). Soit X une indéterminée sur Kv .
Comme Kv est extension finie séparable de Kw = K , le polynôme t/>(X) = Irr*,/^^)
vérifie V>'(A) ^ 0 . Soit # G «A^ [T] un polynôme qui relève ip , normalisé et de même
degré. Alors #(/) G Cv et #'(/) e AV\CV (car #' relève V')• Posons g = lP(/)
et gl = t~lg, d'où 0i G .4V . On a ^ = t-^ + ^ , d'où ^-1^f G A . Notons
!P(T) = Td + ££* OiT*-', où a. G X pour tout z, et posons G(T) = £*î? ^ Td^ .
On a alors:
| -£#<(/) + e</)
Mais #'(/) € A \ C„ = U{AV) et ©(/) G A , d'où:
r1! = t"-1 (^ - e(njmf)rl = *"-1-J(*r'(/))-1- f/-1e(/)(*''(/))-1 e a
ce qui contredit la définition de i/. Cette contradiction montre que -^f G -4V ■
Dans les conditions du théorème 24.3.1, soit toujours t une uniformisante de v.
Puisque £Ik(L) est un L-e.v. de dimension 1, l'application L-linéaire
(6) L—>nK(L), /—>/d*
est bijective. On a alors:
Proposition 24.3.4
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K; soit
v G Hk(L) \ {0} , et soit v G SR/f(L). Pour toute uniformisante t de v, notons ft
Vêlement de L* tel que u> = ftdt. Alors Vêlement v(ft) de 7L est indépendant du
choix de t.
Démonstration:
Soit t et u deux uniformisantes de v. Par application de (1) avec (u,t) et (t,u),
on a "àr = "£ "& il ' d'où ^ 137 = 1 Puis<lue il ^ ° • D'aPrès la proposition 24.3.3,
on a -£ G A et -^ G A , donc -^ G W(A) et -^ G U(AV). Comme /f df = fu du ,
en utilisant (1), on a:
Comme v(^) = 0 , on déduit de (7) que u(/£) = v(fu) ■
On peut donc poser:
128 LE GENRE
Définition 24.3.3
Dans les conditions de la proposition 24.3.4 (notamment u> € CIk(L) \ {0}J, soit
v € SRtf(L). L'entier relatif égal à v(ft) pour toute uniformisante t de v s'appelle
l'ordre de uj en v , et nous le noterons ordv(u;). On dit que v est un zéro de u>
(rep. un pôle de cv ) ssi ordv(u;) > 0 (resp. ordv(u;) < 0 ); l'entier ordv(u) (resp.
— ordv[uS) ) est appelé la multiplicité de ce zéro (resp. de ce pôle). Si ut = 0 J7K(L) »
on convient de poser ord^cj) = +oo pour tout v € SRk(Z,).
Exemple 24.3.1 :
Soit L un corps de fractions rationnelles sur K , muni d'une variable t. Soit lj = dt.
Soit T une indéterminée sur L. Soit v £ SRk{L) •
Si v = VF,t,p avec P G K [T] irréductible et normalisé, une uniformisante de v est
u = P(t) ; on a du = P'(t)dt, et K[t] C Av . Comme P(t) et P'(t) sont premiers
entre eux dans K[t] , en considérant une relation de Bezout entre P(t) et P'(t), on voit
que P'(t) € U(AV). Avec les notations de la proposition 24.3.4, on a fu = (P'(t))~l,
d'où ordv(u;) = v(fu) = 0 .
Si v = VL,t,oo , une uniformisante de v est u = t~l ; on a du = -jrdt, d'où
/tt = -t2 , d'où 'ord^H = v(/tt) = -2 .
En conclusion, la forme différentielle u) = dt n'a aucun zéro et a un unique pôle, qui
est VL,t,oo et a pour multiplicité -2 +
Revenons aux notations et hypothèses de la proposition 24.3.3. Soit A G L* et soit t
une uniformisante de v . Notons gt l'élément de L* tel que Au; = gt dt. Il est immédiat
que gt = A/t, d'où:
(8) ordv(Au;) = v(Xft) = v{\) + v(ft) = v(A) -h ordv(u;)
Proposition 24.3.5
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K, et soit
w € Qk(L) \ {0} • Alors uj n'a qu'un nombre uni de zéros et un nombre uni
de pôles. Le degré du diviseur Y1v^srk(L) ordv(v) v € Div(L/K) ne dépend pas du
choix de uj .
Démonstration:
Soit t une variable séparante de L sur K . On a donc de manière unique u) = / dt,
avec / € L* . Pour tout v € SR/c(L), on a, en vertu de (8):
(9) ordv(cj) = v(f) + ordy(dt)
Supposons provisoirement la première assertion établie avec tout choix de u , ce qui
permet, pour tout élément (p de SIk{L) , de définir le diviseur J2v€SRk(L) ordv((p)v.
Soit cji un autre élément de ÎÏk{L) \ {0} ; on a de manière unique ux = guj, avec
g € L* . En vertu de (8), on a donc, puisque Dgr(div((?)) = 0 :
]$T ordv{uJi)dv= Y^ v{9)àv+ Yl ord^wjd,,
v€SRK(L) v€SRK(L) vGSRk(L)
= Dgr(div(0)) 4- ^ ordv(cj)dv= ^ ordv(o;)
v€SRk(L) v6SRk(L)
d'où la dernière assertion.
Prouvons maintenant que dt n'a qu'un nombre fini de zéros et de pôles. Notons
F = K(t). Soit v e 8RF(L)\{3TLlF(w00) , où Wqo = Vp^j00 , posons w = 91l,f(^) > et
supposons que u; ne soit pas point de branchement de 91l,f • On a donc e(v, w) = 1 , et
w = Vf,*,P(T) > où T est une indéterminée sur L, et où P est un élément normalisé et
irréductible de K [T] . Une uniformisante de w est u = P(£), et comme e(v, w) = 1,
on a aussi t>(u) = 1 , i.e. u est une uniformisante de t;. De u = P(t), on déduit
Chapitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 129
que du = P'(t)dt. Comme K est parfait, P et P' sont premiers entre eux dans
K[ty] , et le théorème de Bezout donne un couple (a,6) d'éléments de K[t] tel que
au + bP'(t) = 1, ce qui force visiblement à avoir v(bP'(t)) = 0 , et donc v{P'{t)) — 0.
On a dt = pThy du , et puisque u est une uniformisante de v , les définitions montrent
que v(dt) = v(^rr^) » d'où v(dt) = 0 , donc v n'est ni zéro ni pôle de dt. L'ensemble
réunion de l'ensemble des zéros et de l'ensemble des pôles de dt est donc contenu dans
£ = 2/Il!f(^ u {^oo}) > où S désigne l'ensemble des points de branchement de 91l,f •
Comme L est séparable sur F, l'ensemble S est fini, et donc £ est fini, d'où la
proposition ■
Déûnition 24.3.4
Dans les conditions de la proposition 24.3.5, pour toute forme différentielle rationnelle
u e SIk{L) \ {0} > 1^ diviseur YIv^sRk(l) ordv(u;) v s'appelle le diviseur de uj , et
sera noté div(u;). Tout diviseur de L sur K de la forme div(u;) avec u) G VLk{L)
est appelé un diviseur canonique de L sur K.
24.3.2 Classe canonique, genre
Dans les conditions de la proposition 24.3.5, la classe modulo Divpr(L/if) d'un
diviseur canonique de L sur K ne dépend pas de ce diviseur canonique; en effet, soit
wi € ClK(L)\{0} et uj2 € ftK{L)\{0} . On a u2 = M avec / 6 L* , d'où, d'après (8):
(10) div(o;2) = div^x) + div(/), i.e. div^) - div(o;i) G DLvpr(L/K)
d'où l'assertion. L'élément &l/k € *&(L/K) égal à la classe de div(u;) pour toute
1-forme différentielle rationnelle u € Hk{L) \ {0} s'appelle la classe canonique
de L sur K. Puisque Divpr(L/K) C D±v0(L/K) , pour tout diviseur canonique
D € &l/k > l'entier Dgr(D) ne dépend que de &l/k et non de u .
Déûnition 24.3.5
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K. On
appelle genre de L le rationnel g tel que Dgr(div(cj)) = 2# - 2 pour toute forme
uj e Ctx(L) \ {0} . On le notera QL/K .
Nous verrons plus loin que le genre est un entier > 0.
Invariance du genre par /Msomorphismes
Soit L\ et L2 deux corps de fonctions algébriques d'une variable réguliers sur K
et soit <p : L\ —► L2 un K-isomorphisme de L\ sur L2 . Pour toute dérivation
6 € Der^Lx), on a <p o 6 o <p~l e DerK(L2), et l'application
(11) ip° : Derk{L\) —► DerK(L2) , 6 ■—► (p o S o y~l
est une bijection /^-linéaire, qui vérifie
(12) (Vtf.tf^^xDenaLO) ¥>°(/«) = ¥>(/) V>°(«)
On en déduit une bijection if-linéaire
(13) <p°° : ftK{L2)—► n/c(Ii), w\—>ip~l°u°V°
qui vérifie
(14) (Vfoa;) G L2 x ttK(L2)) <P00(gu>) =<p-l(g)<p°°(u>)
Soit v e 3Rk{L>2) , posons w = <p*(v) (= v o (p) ; soit u une uniformisante de v , alors
t = <p~l(u) est une uniformisante de w . On a (p°(^) = ^ » d'où (£00(du) = d£. Soit
a; G nA-(L2) \ {0} . On a u; = #u du , avec gu € L2 , d'où, d'après (14):
(15) ^°°M = <p-\9u)V00{du) = <p-\gu) At
130 LE GENRE
et par suite:
(16) oraw(<p0o(uj)) = w(tp-l{gu)) = v{gu) = o*ùv{u)
Puisque (16) est vraie avec tout v e SRk{L2) , compte tenu que y?b est bijective, on
obtient:
tpl(aiv(a>)) = Yl ordv(u;)^(v)= ^ ord^(v)(v?0V))^>)
(17) \ ^
= £ ord^^M) u; = div(y>00(u;))
w€SRir(Li)
et comme <^ conserve le degré, il en découle que Q^/k = Ql2/k • Donc le genre est
invariant par K-isomorphismes.
Exemples de calcul du genre
Exemple 24.3.2 :
Soit L un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K. Puisque K est
parfait, L est régulier sur K (corollaire 1 de la proposition 22.1.9). Soit t une variable
de L sur K , et soit T une indéterminée sur L . Soit u; = dt. Soit v E SRk(L) . On a
vu à l'exemple 24.3.1 que si v = Vh,t,p avec P € K[T] , alors ordv(u;) = 0 , tandis que
si v = VL,t,oo , alors ordv(u;) = -2 . Donc div(u;) = -2t?oo , où ^ = Vi,ft,oo . Comme
dU,^ = 1, on a Dgr(div(cj)) = —2, d'où Ql/k = 0. Nous discuterons la réciproque
plus loin, en déterminant tous les corps de fonctions algébriques d'une variable réguliers
sur K de genre nul +
Pour traiter le prochain exemple, nous utiliserons le lemme général suivant:
Lemme 24.3.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K et soit F un sous-
corps de L contenant K tel que degtrK(F) = 1 et sur lequel L est séparable.
Pour toute variable séparante t de F sur K, soit -j^ la K-dérivation par rapport
à t dans F ; pour tout f € F, soit dp/ la 1-forme différentielle rationnelle exacte
définie par f dans F sur K. Soit t une variable séparante de F et soit f e F.
Soit g Vêlement de F tel que dpf = g • dpt. Alors d/ = g • dt.
Démonstration :
D'après les définitions, on a d'une part:
et d'autre part:
En reportant (19) dans (18), on obtient:
<*> -%
Soit h l'élément de L tel que d/ = h dt. En raisonnant dans L sur K comme on
vient de le faire dans F sur K, on obtient:
Mais A- prolonge -j^ (c'est l'unique élément de DerK(L) qui prolonge -^ ). Donc
4f = *dyf > ce qui signifie, d'après (20) et (21), que h = g ■
Chapitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 131
Exemple 24.3.3:
Soit un entier r > 1. Supposons K de caractéristique ^ 2 (et bien sûr parfait),
soit F un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K, muni d'une variable x
(donc F = if(2;)). Notons (X, Y) un couple d'indéterminées sur F, soit ai,...,a2r
des éléments de if deux à deux distincts, et posons P(X) = Ili=ir(^ — a0 • Notons
L le corps ^ i^l/(Y2 — P(x))F [Y] et V l'image canonique de Y dans L. Alors
L est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, dont x est une variable
séparante.
Vérifions que L est régulier sur K. On peut le déduire de l'exemple 24.1.1, en
vérifiant que Y2 — P(X) est absolument irréductible. Donnons-en une preuve directe
élémentaire: soit un élément f = / 4- gy G L algébrique sur K, où / G F et g G F.
Alors Ç' = f — gy est algébrique sur if , donc / = ^(f + £') et yt/ = ^(£ - f) sont
algébriques sur K. Donc P#2 = y2g2 est algébrique sur if. Puisque F est régulier
sur if, on a / G if et P#2 G if, d'où aisément g = 0 et par suite f = / G if, ce qui
prouve que if est algébriquement fermé dans L, d'où l'assertion.
Soit v G SRtf(L) et w = 91l,f(v) • Supposons que w ne soit pas point de
branchement de 2ft,L,F , et soit t une uniformisante de w . Alors t est une uniformisante de v .
Soit <jt = -^|, i.e. dx = gtdt (voir lemme 24.3.1); ona ^ = -^|. L'exemple 24.3.1
montre que si w ^ Vj^oo , alors w(gt) = 0, d'où 0 = v(gt) = ord„(dx), et que si
w = V>,a5,oo » alors w(gt) = -2 , d'où ordv(dx) = v(gt) = -2.
Les points de branchement de ^Il.f sont les Wi = Vjp>aj>y-ai pour z décrivant [l,2r]
(cf. début de la section 23.3.3). Pour tout 2 G [l,2rj , notons Vi Tunique élément de
SRk(L) au-dessus de Wi (cf. ibid.). Pour calculer le genre Ql/k > nous allons décrire
le diviseur div(u;), où u) = dx . Pour tout % G [l,2r], notons respectivement U et U{
des uniformisantes de Wi et Vi ; on a donc U = £iU? , où e% G W(.4Vi). On en déduit:
(22) dti = u2 det + 2£iUi du.
D'après la proposition 24.3.3, on a ^ G .4Vi . Notant c* = -^ , on a donc de» = c* du*
et v»(Ci) > 0, d'où ordVi( dei) = Vi{ci) > 0. En reportant dans (18), on obtient:
(23) dU = (ufci + 2£iUi) dm
Compte tenu que Vi(ct) > 0 et Vj(£») = 0, on a Vi(u2Ci + 2eiUi) = 1 ; on déduit donc
de (19) que
(24) ordv.(d*i) = Vi{ufci + 2e<Ui) = 1
D'après l'exemple 24.3.2, on a Wi(djrx) = 0 (notations du lemme 24.3.1). Donc
d^x = bi(dFti), où bi G U(AWi). D'après le lemme 24.3.1, on a dx = bi dU. On
en déduit:
(25) ordVi(dx) = ^(6») + ordVi{dti) = ordVi(d^) = 1
Il y a exactement deux points de SRk(L) au-dessus de Wqq = VjrfXf00 , que nous
noterons v^ et u^, . D'après ce qui précède, on a:
i=2r
(26) div( dx) = -2t4, - 2t& + ^ £
Donc Dgr(div(u;)) = 2r — 4 , d'où le genre cherché:
(27) QL/K = r - 1
Puisque le genre est invariant par if-isomorphismes, on déduit de là que pour r > 2,
L n'est pas un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K. Pour r = 1, en
revanche, L est un corps de fractions rationnelles sur if (cf. section 23.3.3). +
132 LE GENRE
Exemple 24.3.4 :
Soit un entier r > 0. Supposons K de caractéristique ^ 2 (et parfait), soit F
un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K, muni d'une variable x (donc
F = K{x) ). Notons (X, Y) un couple d'indéterminées sur L , soit ai,... ,a2r+i des
éléments de K deux à deux distincts, et posons P(X) = n*=ir+ (^ — aï) • Notons
L le corps F l^r\/(Y2 - P(x))F[Y] et 2/ l'image canonique de Y dans L. Alors
L est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K , dont x est une variable
séparante. On montre comme à l'exemple précédent que L est régulier sur K. Les
points de branchement de $Il,f sont w^ = Vj?Xf00 et les Wi = Vj?x>y_ai (où i décrit
[1,2r + 1] ). Au-dessus de chaque point de branchement Wi (où i G [1,2r + lj U {oc} ),
il y a un seul point de SRk{L) , que nous noterons Vi, et l'indice de ramification est
2 (voir début de la section 23.3.3). De la même manière qu'à l'exemple précédent,
on voit que ordWi(dx) = 1 pour tout i e [l,2r + 1] et que ordv(dx) = 0 pour
v £ {vi,..., i>2r+i> ^oo} • On a ^oo(^) = —2 , Voc(y) = —2r — 1, donc une uniformisante
de t>oo est t = x~r~1y. Un calcul facile donne -^ = 2x}^ (xPf(x) - 2(r 4- l)y2),
c'est-à-dire -£ = ^(xP'(x) - 2(r + l)P(x)) = "2P^(*2r+1 + Q(x)), où Q est
un polynôme à coefficients dans K , de degré < 2r , d'où Voo(^) = voo(~r-) = 3 . Par
suite, div(dx) = —3t?oo 4- Sil/* ^i • ^n a ^onc D9r(div(dx) = 2r — 2 , d'où ici:
(28) QL/K = r
On en déduit que si r > 1, L n'est pas un corps de tractions rationnelles d'une variable
sur K. Si r = 0, en revanche, L est un corps de fractions rationnelles sur K (cf.
section 23.3.3) +
24.3.3 Invariance du genre par extension des scalaires
Extension algébrique des scalaires
Dans cette sous-section, on se donne un corps de fonctions algébriques d'une variable
L régulier sur K, qu'on plonge dans une_ses clôtures algébriques Q, on note K la
clôture algébrique de K dans Q , et A = KL .
Proposition 24.3.6
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, on a un isomorphisme canonique de A-
espaces vectoriels Jk,l '• A<8>l ^k(L) —► flj^(A) .
Démonstration:
Soit l'isomorphisme de A-espaces vectoriels
I : A 0L DerK(L) —► DerF(A)
défini dans la proposition 24.1.2. Par dualité, on en déduit un isomorphisme de A-espaces
vectoriels
(29) *I : ft^(A) —► KomA(A ®L DerK(L), A)
Aux deux membres de (29), on a des A-espaces vectoriels de dimension 1. Le A-espace
vectoriel A ®l ^k(L) est aussi de dimension 1, et on a une application A-linéaire
naturelle J : A®L UK{L) -► Hom/i(A ®l DerK{L), A). L'application J est définie
par la condition que si (A, a;) € A x flK(L), alors J(A ® a;) est la forme A-linéaire sur
A ®l Der^(L) qui envoie \x <g> <5 sur A/iu/(£) pour tout (/i, 6) G A x Derx(L). En
particulier, (J(l ®u;))(l 0 6) = u;(<$) = (<5,u;) pour tout a; G CIk{L) , ce qui prouve que
J ^ 0. Donc J est un isomorphisme de A-e.v. puisque les dimensions valent 1. Alors
Jk,l =t T~l oj : A<8>l flxiL) —► fl^(A) est un isomorphisme de A-espaces vectoriels.
C'est Tisomorphisme canonique cherché ■
Chapitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 133
Conservons les notations et hypothèses de la proposition 24.3.6. Soit t une variable
séparante de L sur K ; c'est aussi une variable séparante de A sur K (rappelons que
A est galoisienne sur L). Pour tout / G L, notons respectivement di/KÎ et dA,j^f
les diflFérentielles exactes définies par / dans L sur K et dans A sur if. Notons
respectivement dL/Kt et d^t les dérivations par rapport à t dans L sur AT et dans
A sur if. Soit 6 € Der/c(L), et notons A l'unique élément de Der-^-(A) qui prolonge
6 . Soit / e L . On a:
(30) (J(l <8> dL/JC/))(l 0 5) = (5, dL/*/> ; Cl( dA/1?f))(l ® *) = (A d^/)
En prenant <5 = dL/Kt , il est clair que A = d/t(/^t , d'où
(31) (S, dL/Kf) = (A, d^/> = -^ = ^
On déduit de (30) et (31):
(32) Jk,l(1® dL/Kf) = dA/T?f
Dans (32), / est arbitraire. Soit maintenant t une variable séparante de L sur K, et
fixons / G L . L'élément g e L* tel que dL/Kf = <7' dz,/*^ est # = âL/Kt • Puisque le
prolongement de ,L/*, en un élément de Der . ,-s? est /^* , on a AA(K. = AL(K\ ,
ce qui signifie:
(33) dA/l<f = 9' dA/Jct
formule qu'on aurait aussi pu retrouver à partir de (32) par A-linéarité de Jk,l •
Soit maintenant l'application R : 3Rj^(A) —* SR/c(L) définie en (3) du paragraphe
24.1. Rappelons qu'on a associé à il le morphisme de groupes abéliens (morphisme
" image réciproque par R d'un diviseur ") R* : D±v(L/K) —► Div(A/K) (voir fin
du paragraphe 24.2). Le morphisme R* est de manière évidente injectif.
Proposition 24.3.7
Avec les notations et hypothèses de la proposition 24.3.6, soit uj € ÏIk(L) \ {0} . On
a alors R*(div(u)) = div( Jk,l(1 <S><^)).
Démonstration:
Soit v e SRft(A), et posons w = R(v). Fixons une uniformisante t de w. On
sait que t reste une uniformisante de v (cf. théorème 24.1.3). Soit / l'élément de L*
tel que u) = / • dL/K^ • On a donc ord^u;) = w(f). D'après (32), par A-linéarité de
Jk,l i on a JXfL(l ® w) = f Jk,l0- ® dLfKt) = / • dA/1Rt, d'où
(34) ordv{ Jk,l{1 ® u/)) = v(/) = u;(/) = ord„(u;)
Dans (34), v est arbitraire. On en déduit, en tenant compte du théorème 24.1.3 (qui
assure notamment que les fibres de R sont finies et que R est surjectif):
(35) div(JK,L(l®uj))= ^ ordy,(u) ( ]T v j = fl*(div(w))
^GSR/cCL) \t/€«-l(w) /
ce qui achève la démonstration ■
134 LE GENRE
Théorème 24.3.2
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K . Soit f2 une
clôture algébrique de L. Notons K la clôture algébrique de L dans Q, et notons
A = KL . Alors A est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, et on
â $l/k = Qa/k-
Démonstration:
Soit u G ftK(L) \ {0} . Un diviseur canonique de L sur K est div(cj) , et un
diviseur canonique de A sur K est div(j7K,L(^)) • D'après la proposition 24.2.2, R*
conserve le degré. En prenant les degrés dans (35), on obtient donc
2Qa/k ~ 2 = Dgr (div(Jx,L(^))) = Dgr(divM) = 2gL//c - 2
d'où gA/3? = QL/K ■
Conservons les notations et hypothèses du théorème 24.3.2, et les notations R et R*
introduites avant la proposition 24^7. Notons G = Q9il(A/K). On a une action à
gauche naturelle de G sur Div(A/K) , définie ainsi: pour tout (cr, v) G G x SRj^(A),
on note <j*v = vo o~x , ce qui définit une action à gauche de G sur 3Kj^(A) (on a vu
que les (/-orbites de cette action sont les fibres de R, et qu'elles sont finies). Pour tout
(<7, D) € G * DLv(A/K), avec D = Y<v£br—(A) nv & » on Pose:
(36) <j • D= ^2 nv °*v
veaR^(A)
Dans la suite, lorsque nous considérerons DLv(A/K) comme (/-ensemble, il sera sous-
entendu que c'est relativement à cette action naturelle.
Les permutations D »—► <jD associées à l'action naturelle sont des automorphismes du
groupe Div(yl//f ). En particulier, pour tout g G G , l'ensemble des points a-invariants
de DLv(A/K) est un sous-groupe. Un diviseur D G V±v(A/K) sera dit C/-invariant_ssi
il est a-fixe pour tout a G G • L'ensemble des diviseurs (/-invariants dans Div(A/K)
est un sous-groupe.
Proposition 24.3.8
Le sous-groupe des diviseurs G-invariants dans DLv(A/K) est R*(DLv(L/K)).
Démonstration:
Soit $ le sous-groupe des diviseurs (/-invariants dans Div(A/K). Il est immédiat
que R*(Div(L/K)) C $ . Réciproquement, soit D = X)vesR— (A) nvH € ^- L'hypothèse
se traduit par:
(37) (V<7€0) nv = nairV
Notons O l'ensemble des (/-orbites dans SRj^(A). Rappelons que ces orbites sont finies
et sont les fibres de R. Pour toute orbite J G O , notons mj l'entier égal à nv pour tout
v G J, et notons wj l'élément de SKk{L) égal à H(v) pour tout v G J. L'application
V> : O —► SRjc(L), J \-* wj est bijective. La famille d'entiers (raj) jç.q est à support
fini, et par associativité des sommes commutatives finies, on a:
(38) D=Y^mJ[YJv\= E "»*-«(«)( E ît)=-B*(^)
JeO \v£J J weSRK{L) \v€R-l{w) J
avec A = Ew€m*(L) m^-Hw)w U
Dans Div(<4/AT), il est naturel d'appeler diviseurs K-rationnels les éléments de
R*(M.v(L/K)). On a donc prouvé que les diviseurs /f-rationnels de DLv(A/7() sont
les diviseurs (/-invariants.
Chapitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 135
Proposition 24.3.9
(I) Soit D G Div(L/K). Il y a un isomorphisme canonique de K-espaces vectoriels
entre ~K®K%{D) et %(R*{D)). Par suite, dimK{£(D)) = dim^££(#*(£>))).
(II) Soit D et D' éléments_deVLv(L/K). On a D - D' e Divpr (L/if) ssi on a
#*(£>) - R*(D') G Divpr(KL/K).
Démonstration:
• Assertion (I):
Si / € L* , nous noterons respectivement div^C/) et div^/) les diviseurs
principaux définis par / dans L sur K et dans A sur K. On a div/i(/) = R*(divL{f))
(proposition 24.2.2). On posera D = £w€SRk(L) n™— et ^ = ^*(^) * ^ar définition:
(39) £ = 53 nwi Y, u) = I] n*(*)^
w€SRK(L) yveH-M^) / t^SR^/l)
Montrons d'abord que £(D) C 2(ï?). Soit / G #(Z>) \ {0} . Pour tout w G 8RK(L)
et tout v G R~l(w), on a t;(/) = w(/), d'où 0 < w(f) + nw = v(/) -f n^(v) . Donc
divyi(/) -f D > 0 , i.e. / G ££(D), d'où l'assertion. On a donc 2(D) Cin 5E{D).
Montrons qu'en fait, cette dernière inclusion est une égalité. Soit / G (Ln ££(Z)))\{0} ;
pour tout w G SRjc(£) , on a 0 < v(/) -h n#(v) = w(/) H- nw pour tout t> G R~l(w) ,
d'où w(/) -f nw > 0 puisque i?_1(u;) ^ 0 . Donc / G ^(D) • Par suite, on a bien:
(40) X(D) =LD X(D)
Le K-e.v. ϣ(D) est (/-stable. En effet, dans Div(A/K), l'ensemble des diviseurs
positifs est (/-stable. Et d'autre part, on a cr-divA(g) = divA(cr(g)) pour tout g G A* ,
d'où aisément:
div^afo)) +5 = j- div^(p) -f a • ~D = <r • (div^s) + S)
et donc divyi(^) 4- D > 0 entraîne bien divyi(a(^)) + D > 0. Puisque £(D) est
(/-stable et de if-dimension finie et puisque les (/-orbites dans A sont finies, on a une
suite finie (/i,..., fn) (où n > 1 ) qui engendre le if-e.v. Ï£(D) et telle que l'ensemble
{/i> • • • » fn} soit (/-stable. L'extension E = if (/i,..., fn) de if est alors finie galoi-
sienne. Soit M le sous-groupe de G formé des a e G qui induisent l'identité sur E ;
c'est un sous-groupe distingué de G, le morphisme (/ —► Ga>l(E/K) qui associe à tout
a G (/ le if-automorphisme induit par a sur J5 est surjectif de noyau M, donc donne
par passage au quotient un isomorphisme de Q = G/j\[ sur Qa>l(E/K). Soit M le
-espace vectoriel $3i<i<n if/i.OnaMc 2(D). Un élément <p G M est Oal(£/if )-
invariant ssi a((/?) = <p pour tout jgÇ, c'est-à-dire, en vertu de (40), ssi <p G #(£) •
On peut appliquer le théorème XI.20 du tome 2 (théorie des if-structures): il montre
que l'injection canonique Ï£(D) —► M induit un isomorphisme de ^-espaces vectoriels
i?®*- M—»Af (autrement dit, que toute if-base de 2î(D) est une E-base de M ). Mais
comme ^1<i<n -^/* = ^(^) > ^ est Immédiat que l'injection canonique M —► £{D)
induit un isomorphisme de tf-espaces vectoriels K ®k M^X(D), i.e. que toute £-base
de M est une if-base_de Ï£(D). Par transitivité, on voit que toute K-base de &(D)
est une if-base de &(D), autrement dit l'injection canonique Ï£(D) —► iE(-D) induit un
isomorphisme de if-e.v. K_<8k &(D)=>ïE(D) , ce qui est bien en accord avec le fait que
K ®K 2(D) s'identifie à K ®E (E <8)K ££(£>)).
• Assertion (II):
Il s'agit de montrer que D G Divpr(L/if)_ssi ~D G Diypr(KL/~K). D'après la
proposition 24.2^, si D G Divpr(L/if) , on a De Divpr(KL/7(). Réciproquement,
supposons que D G D±vpr(ifL/K) ; alors dim^(££(D)) = 1 (voir (11), paragraphe
24.2). D'après l'assertion (I), on a donc dim*(<£(£>)) = 1 ; choisissons / G 2(D) \ {0} .
136 LE GENRE
En remplaçant D par D + div(/), on se ramène au cas où D y 0, et il s'agit de
prouver que D = 0. CommeJ) y 0, on a K C #(Z>), d'où <£{D) = K. On
a —2) = -Z) 6 Divpr(KL/K), donc le même argument s'applique à -Z), d'où
dim/r (£(-/?)) = 1. Soit 0 G <£(-£>) \{0} ; on a £ G #(£>), donc ± G tf d'après ce qui
précède; donc g G K. Cela prouve que i£(—Z?) = K , d'où -Z) >: 0. Comme D y 0,
finalement Z> = 0 H
Extension transcendante pure des scalaires
Nous allons maintenant montrer l'invariance du genre par extension transcendante
pure des scalaires. Dans ce but, nous utiliserons le lemme suivant (dit lemme de Zariski):
Lemme 24.3.2
Supposons le corps K commutatif quelconque. Soit L une extension de K dans
laquelle K est algébriquement fermé. Soit (U)içi une famille d'indéterminées sur
L . Alors 3C = K((ti)iei) est un sous-corps algébriquement fermé de L = Z/((^)i€/) .
Démonstration:
Pour toute partie J de I, on notera Cj = L((ti)içj) et %j = K((ti)i^j).
Soit f G C algébrique sur 3£. On a une partie finie J de I telle que f G Cj et que
£ soit algébrique sur %j . Il suffit donc de montrer le lemme dans le cas où I est fini.
Par une récurrence facile, on se ramène à prouver le lemme avec K arbitraire lorsque I
est un singleton.
Supposons donc card (7) = 1, i.e. C = L(t) où t est une indéterminée sur L , et
soit 3C = K(t).
• Montrons d'abord qu'un élément de L algébrique sur 3f appartient à K . En effet,
soit A G L et ao,...,an des éléments de K[t] , avec n > 1 et ao<in ^ 0, tels que
^2kZo 0'k(t)Xn^k = 0. On a un entier iV > 0 et des éléments akj de X tels que
afc(0 = Sj=o^afc,^J Pour tout k € [0>n] • Alors
(41) 0 = £ afc(t)A»-* = E E "H*"-" tJ
Jfc=0 j=0 \fc=0 /
et comme t est transcendant sur L, on déduit de (41) que
k=N
(42) (Vj€[0,JV]) J]afcJr*=0
La suite (oio,j)o<j<n n'est pas la suite nulle puisque ao ^ 0. Pour tout j G |0,ATJ tel
que aoj ^ 0, la relation (42) d'indice j constitue une relation de dépendance algébrique
de A sur K . D'après l'hypothèse, on a donc A G K , d'où l'assertion.
• Soit £ G C* algébrique de degré d sur 3Ï. En chassant les dénominateurs dans
l'équation 3C-minimale de f , on obtient ao,... ,a<* dans K [t] , avec aoa<* ^ 0 , tels que
£fc=oafc(0£d"fc = 0. Posons £=£{$, avec P et Q dans L [t] \{0} et premiers entre
eux. Les éléments irréductibles de K[t] restent irréductibles dans L[t] (théorème
24.1.1). On a:
k=d
(43) Ea*Wpd"fcW«fcW = 0
fc=0
et P et Q sont premiers entre eux dans L [ t ] , donc P divise an dans L [ t ] et Q
divise a0 dans L[t] . Les éléments irréductibles de K [t] restent irréductibles dans
L[t] (théorème 24.1.1), donc les diviseurs de ao(t) (resp. an(t) ) dans L[t] sont les
éléments L*-proportionnels aux diviseurs de ao(t) (resp. an(t) ) dans K[t] . On en
Chapitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 137
déduit que f = X<p, avec A G L* et \p G #(t) \ {0} = 3C \ {0} . Alors A = £ est
algébrique sur 3C, donc X € K d'après la première partie de la démonstration, d'où
£ = X<p G 3fC ■
Dans toute la suite de cette sous-section, le corps de base K sera supposé
algébriquement cios (il est donc parfait).
On donne un corps L de fonctions algébriques d'une variable sur K et une famille
non vide quelconque (<i)ie/ d'indéterminées sur L . On note £ = L((ti)iei) et fi une
clôture algébrique de £. On note % le sous-corps K((ti)iei) de fi et 3Ï sa clôture
algébrique dans fi . Enfin on note M le corps composé % £ . D'après le lemme 24.3.2,
3C est algébriquement fermé dans £ ; donc 3fC_et £ sont linéairement disjoints sur 3t, et
par suite %<&%C est un corps isomorphe à XC .
Il est immédiat que £ est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur 3C.
Nous venons de comparer les surfaces de Riemann SR#(£) et SK^{M). Il nous reste à
comparer les surfaces de Riemann SR%(M) et SRk(L) . Afin de ne rencontrer dans tout
ce qui suit que des corps parfaits, nous n'étudierons cette question que dans l'hypothèse,
que nous faisons ici jusqu'à la fin de cette section, où K est de caractéristique nulle.
Notons (X, Y) un couple d'indéterminées sur fi. Soit x une variable de L sur K
et soit P{Y) = IrrXtK-(x)(y). En vertu du corollaire 1 de la proposition 22.1.9, K(x)
est algébriquement fermé dans K(xy(ti)iç.j) = K,{x), donc P(Y) reste irréductible
dans 3C(x)) [Y] (théorème 24.1.1). Ainsi x est aussi une variable de £ sur 3C, et on
a [£ : 3C(x)] = [L : K(x)]. Mais contrairement au cas de l'extension algébrique des
scalaires, il n'y a ici pas d'application naturelle de restriction de SR#(£) dans 8Rk(L) ;
en fait, si v G SR#(£), il se peut que la restriction de v à L soit triviale, comme le
montre l'exemple suivant:
Exemple 24.3.5 :
Dans ce qui précède, supposons card (/) = 1. La famille (£*) se réduit alors à une
seule indéterminée t sur L . Supposons que L soit un corps de fractions rationnelles sur
K , muni d'une variable x. Alors £ = 9£(x). Soit <p G K(t). La valuation v = Vc,x,x-<p
est triviale sur L ssi (p £ K +
Mais il y a une application naturelle de SR/e(L) dans SR^(£), qui est de manière
évidente injective et permet donc d'identifier SRk(L) à un sous-ensemble de SR^(£) :
Théorème 24.3.3
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit w G SRk(L) • H existe une valuation
v G SRïï(£) et une seule qui prolonge w. On a Kv = 3£ ; toute uniformisante de
w reste une uniformisante de v. Enfin v est le seul élément de SR^(£) dont la
restriction à L est équivalente à w .
Démonstration:
Soit E = £a-(aO«€l€N</>ÉaAfa(t) £ L[t] = L[(t0i€/] , OÙ t = {t^j et OU
fa € L et Ma(*) = rite/*?* Pour tout a- Posons v(S) = Infa€N(/>(«;(&»)) • On a
v(S) = w(E) pour tout S G L, donc v(0) = +oo. Si Si G L [t] et E2 G L [t] . Il est
immédiat que t;(Ei+E2) > Inf (t;(Ei),t;(E2)) ; montrons que v(EiE2) = v(Ei)+v(E2).
Il suffit de considérer le cas où Si ^ 0 et E2 ^ 0. Soit J = {ii,...,in} une
partie finie de /, avec n > 1 et des ijt deux à deux distincts, telle que Ei et S2
appartiennent à L[t\, ... ,rn] , où r^ = Uk pour tout fc. Ordonnons ftjn lexi-
cographiquement. On a des parties finies et non vides H\ et i/2 de ftJn telles que
si = E/i=(Ml ^jg^ cwTïx * " -Tnn Pour tout j G {1,2} , avec cjtf ^ 0 pour tous j
et //. Soit Mj = (/iJti,... ,^j,n) le plus petit élément fi G iïj tel que v(Sj) = w(cj^) .
138 LE GENRE
Posant M= Mi + M2 , le coefficient Cm de nîUi r^1,fc+^2'fc dans EiS2 est donné par
(44) CM= Yl ch»c2,»
\ n+i,=M
Si (fiyv) € H\ x Jf2 avec ^ + 1/ = jU et (fi.u) ^ (M\ ,M2), on voit facilement que
w(cifMc2fi/) > wfo.mc^nj. Donc tu(Cit) = w(chMlC2,M2) = w(citjn) +«;(c2tii2).
Pour tout (^,^) € i/i x ïf2 , il est maintenant clair que w(ci^c2,„) > ^(C^), d'où
immédiatement
(45) v(SiS2) = w(Ci() = ^(ci,^J + w{c2,m2) = v(Si) + v(S2)
Soit #É£*,soit (Pi,Qi) et (P2,Q2) deux éléments de (£[*] \{0}) x (L [t] \{0})
tels que # = ^- = ^ . D'après (45), on a
v{PiQ2) = v(Pi) -f t/(Q2) = v(ftQi) = v(P2) + v(Qi)
d'où f (Pi) — v (Qi) = v(P2) — f (Q2) • On peut donc définir v(&) comme étant l'élément
meT tel que v{P)-v(Q) = m pour tout (P,Q) € (L [t] \{0}) x (L [t] \{0}) vérifiant
# = £ , et l'on voit que si & € L[t] , le 17(1?) ainsi défini coïncide avec le 17(1?) défini
antérieurement. On a ainsi défini une fonction v : £ —► Zu{+oo} qui prolonge w , dont
on vérifie aisément que c'est une valuation discrète au-dessus de 3C. Puisque v prolonge
w , toute uniformisante de w reste une uniformisante de v.
Soit vf e SR#(£) dont la restriction à L soit équivalente à w . Posant e = e(v',w),
on voit immédiatement que pour tout E = 5Zo=(at)i€/€N(/) faM*(£) € L [t] , on a
(46) t/(S) > Inf (v'{ÇaMa{t))) = e Inf (w(Ça)) = «t/(E)
a€NC> a€M7)
donc v(S) > 0 implique v'(S) > 0, i.e. Av C Av> . S'agissant de deux anneaux de
valuation discrète de £, on a donc Av = Av> , d'où v = vf puisque v et vf sont
normalisées.
Montrons enfin que JCV = %. On sait que JCV est une extension finie de 3t. Il suffit
donc de montrer que tout élément de -4V\{0} est congru modulo Cv à un élément de %.
Soit $ € A\{0} , et soit P et Q deux éléments de L [t] \{0} tels que ^ = ^ . Fixons
une uniformisante w de w ; c'est donc aussi une uniformisante de v . Posons m = v(Q).
Alors # = ^ , avec P0 = tï7-mP G L [t ] \ {0} et Q0 = tÂ7"mQ e L[t]\ {0} ; on a
v{Qo) = 0 et v(\P) = v(Po)-f (Qo) > 0 > d'où v{Po) > 0. Développons P0 sous la forme
-R) = ]Ca€N<J> ^Mû(t), avec fQ € L pour tout a. Puisque f (Po) > 0 , pour tout a ,
on a w(Ça) > 0, et comme Kw = K , on a un élément AQ € AT tel que w(£a — AQ) > 0 ;
on notera ga = Ça - AQ . Posons P = £a€N</) XaMa(t) et G = £a€N(/) 9aMa(t).
De même, soit Q0 = X^no rlotMoc(t) avec rja £ K pour tout a; pour tout a, on
a rçQ = A*<* + ^a , avec jzQ G # et ^(hQ) > 0. On posera A = £a€Nd) ^^aW et
^ = Eq€N<') h<*Ma(t). On a donc v(G) > 0, v{H) > 0 , et 0 = v(Q0) = v(A), cette
dernière relation signifiant que l'ensemble J des a € I tels que fia ^ 0 est non vide.
On en déduit:
fAT\ (r r\ (r + G r\ (AG-rH\ n
donc la classe de i^ modulo Cv est ^ , qui appartient à 3f. Cela prouve bien que
fCv = 3t, ce qui achève la démonstration I
Conservons les notations et hypothèses du théorème 24.3.3. Pour tout w G SRk(L) ,
notons w° l'élément de SR^, (C) qui prolonge w . Cette opération s'étend en un mor-
phisme injectif entre les groupes de diviseurs:
(48) D±v(L/tf) —. Div(£/3C), D= £ n„;u;H-+Z^= £ nti;t^
u;eSRK-(L) w€BKK(L)
Chapitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 139
morphisme dont il est immédiat qu'il conserve le degré: Dgr(D) = Dgr(D<>) pour tout
D € Div(SR*(L)).
Proposition 24.3.10
Dans les conditions du théorème 24.3.3, toute dérivation 6 € Der/<-(!/) se prolonge
de manière unique en un élément 6° e Der#(£) .
Démonstration:
Soit 6 € Deric(L). Pour tout E = Ea€N<'> i<*Ma(t) € L [t] , où fa € L pour tout
a, posons:
A(E)= J2 6(Z*Wa(t)
Il est immédiat que l'application A : L[t] —► L[t] ainsi définie est une K[t\-
dérivation, et que c'est la seule K [t] -dérivation de L[t] qui prolonge 6 . D'après la
proposition 22.2.1, A se prolonge de manière unique en une 3{-dérivation de £ , puisque
3C est le corps des fractions de K [t] et £ est le corps des fractions de I[t] ■
Dans les conditions de la proposition 24.3.8, l'application
(49) Der* (L) —> Der*(£), 6 h-* 5°
est de manière évidente une injection L-linéaire. D'après la propriété universelle de
l'extension des scalaires, on déduit de l'injection (49) une application £-linéaire naturelle
(50) £ ®L DerK{L) —> Der* (£)
qui est la seule envoyant A <g) 6 sur A<5° pour tout (A, 6) € £ x Derk(L) . Cette
application est non nulle puisqu'elle envoie 1 <g>5 sur <5° pour tout 6 S Der^(L). Les
deux£-e.v. £<£>£, Der a-(L) et Derjc(C) sont de dimension 1, donc l'application linéaire
(50) est bijective. En passant aux formes différentielles, on en déduit un isomorphisme
de £-e.v.:
(51) ftx(C) — Hom£ (£ ®L Der/c(L), £)
Comme à la démonstration de la proposition 24.3.6, on a une application £-linéaire
naturelle
(52) £ <g)L nK(L) —► Hom£ (£ <g)L Der*(L), £)
qui, pour tout (A,u>) G £ x ft/c(£), envoie A ® cj sur la forme £-linéaire </? (du £-e.v.
£ <8>k Der#(L) dans £ ) telle que p(/i ® <5) = A/xa;(<5) pour tout Qz, 6) € £ x Derk(L) .
Cette application (47) est non nulle, donc c'est un isomorphisme de £-e.v. puisque tous
les £-e.v. sont de dimension 1. En composant l'isomorphismes réciproques de (51) avec
l'isomorphisme (52), on obtient un isomorphisme naturel de £-espaces vectoriels:
(53) £® nK(L)—+ thc{C)
Pour toute 1-forme v € ÏIk(L) , nous noterons u° l'image de 1 <g>u; par
l'isomorphisme (53). On vérifie que pour tout 6 e Der^(L), on a (6,cj) = (6°^°) .
On peut alors conduire une étude analogue à celle qui suit la proposition 24.3.6, avec
des notations et démonstrattions similaires. Pour toute variable x de L sur K (qui
reste une variable de £ sur 3t), on a:
(54) (dL/Kx)° = dcpcx
et pour toute variable x de L sur K et tout / € L, on a:
(55) d£/*/ = dL/Kf
àc/xx àL/Kx
140 LE GENRE
Proposition 24.3.11
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit uj e Qk{L) \ {0} . On a:
div(u;0) = (div(w))°
Démonstration :
Soit v e SR%(C). Pour qu'on ait v = w° avec w € SRk(L) , il faut et il suffit
que la restriction de v k L soit une valuation non-triviale, et w est alors unique, c'est
cette restriction (on exprime ces propriétés en disant que v est K-rationnelle). Il s'agit
donc de prouver que ordv(u;0) = ordti,(a;) si v — w° avec w € 8&k(L) , et que
ord^u;0) = 0 si v est triviale sur L.
Supposons d'abord v = w° avec w e SRk(L) . Soit x une uniformisante de w.
Soit / l'élément de L* tel que uj — f • d^/j^x. Alors d'après (54) et (55):
(56) u>° = /-d£/*x
d'où ordv^0) = v(f) = w(f) = ordw(uj).
Supposons maintenant que v est triviale sur L. Fixons une variable x de L sur
K , et soit / l'élément de L* tel que uj = / • di/x x . On a
(57) ordv(u>°) = v(/) + ord^d^x)) = ord^d^x)
et tout revient donc à prouver que ordv{dc/%x) = 0. Soit vx — ^c^ix) (v), et posons
e = t(v,vx). En vertu de l'hypothèse, la restriction de vx à K(x) est triviale, donc
vx ^ Vy^x)iXi00 . Comme vx ^ Vy%x)iXiOQ , il existe un polynôme P e 3i[X] irréductible
et normalisé tel que vx = Vy{x),x,p(x) (remarquons que P(X) £ K [X] puisque vx est
triviale sur K(x) ), et alors w = P(x) est une uniformisante de vx . Soit g l'élément
de (3t(x))* tel que d^/xc; = g• d^/^x . On a Ac/xw = #• d^/^x (voir lemme
24.3.1), d'où:
(58)
ordv(d£/3ffx) = v(# ^et^te *) = -et;a ( *{x),% )
Comme 3t est parfait (on est en caractéristique nulle), P(X) et P'{X) sont premiers
entre eux dans %[X\ , d'où vx ( d*(xvX^) = M^'OO) = 0. D'après (58), on a donc
bien ordv(d£/ftx) = 0 ■
Conservons les notations et hypothèses de la proposition 24.3.9, où uj est fixée
quelconque dans CIk(L) \ {0} . Alors div(cj0) est un diviseur canonique de C sur %.
D'après l'invariance du degré vue après (48), on a Dgr^div^))^) = Dgr(div(o;)).
Par suite 2 q^^ -2 = Dgr(div(uj0)) = Dgr(div(cj)) = 2 QL/K - 2 , d'où:
(59) Qc/x = $l/k
On a donc démontré:
Théorème 24.3.4
Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique nulle et L un corps de
fonctions algébriques d'une variable sur K . Soit t = {U)i^i une famille d'indéterminées
sur L, notons 3t = K(t). Alors C = L(t) est un corps de fonctions algébriques
d'une variable régulier sur 31, et on a Qc/% = Ql/k •
Invariance générale du genre en caractéristique nulle
Conservons les notations et hypothèses de la sous-section précédente (donc K est
algébriquement clos_et de caractéristique nulle). Rappelons qu'on a noté j? une clôture
algébrique de C , % la clôture algébrique de 3£ dans Q, et M \e corps composé %C .
Ch&pitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 141
D'après le théorème 24.3.2, M est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur
3C, et on a
(60) Qm/îc = Qc/x
Pour obtenir un énoncé récapitulatif, il convient d'introduire la notion de K-modèle:
Déûnition 24.3.6
Supposons K algébriquement clos de caractéristique nulle. Soit C une extension
algébriquement close de K et M un corps de fonctions algébriques d'une variable
sur C. Un sous-corps L de M est appelé un K-modèle de M ssi c'est un corps
de fonctions algébriques d'une variable sur K tel que M = CL et C Pi L = K .
Avec les notations et hypothèses de la définition 24.3.6, soit L un If-modèle de M.
Soit t = (ti)iei une base de transcendance de C sur K. Comme C n L = K, les
corps C et L sont linéairement disjoints sur K (en effet, K est algébriquement clos
donc algébriquement fermé dans L), donc la famille (ti)iei reste algébriquement libre
sur L. Notons C = L(t) et 3C = K(t). Soit Q une clôture algébrique^de M. La
clôture algébrique 3C de 3C dans i? est C, et on a M = CL = 3CL = 3C£. L'étude
de la sous-section précédente montre que £ est un corps de fonctions algébriques d'une
variable régulier sur %, et que M est C-isomorphe à C <£>%; C =3C 0^ C . En combinant
le théorème 24.3.4 et (60), on obtient donc le théorème général suivant d'invariance du
genre par extension des scalaires:
Théorème 24.3.5
Supposons K algébriquement clos de caractéristique nulle. Soit C un extension
algébriquement close de K , et soit M un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur C. Soit L un K-modèle de M. Alors Qm/c = Ql/k •
Le cas_le plus intéressant d'application du théorème 24.3.5 est celui où C = C et
où K = Q (la clôture algébrique de Q dans C). Nous verrons au chapitre suivant
qu'alors la donnée de M équivautj^celle d'une surface de Riemann complexe compacte et
connexe. En_cas d'existence d'un Q-modèle, le genre de cette surface est donc déterminé
par ce seul Q-modèle.
24.3.4 La formule de Riemann-Hurwitz
Dans cette section, nous supposerons K algébriquement clos.
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, et soit F un sous-
corps de L contenant K, tel que degtrK(F) = 1, et que L soit séparable sur F.
On notera n = [ L : F ]. Une question essentielle est de cerner au maximum la
ramification de 2ftL,F • Rappelons que w G SRk(F) est point de branchement de 31l,f ssi
c3Lrd(^rL]F(w)) = n , et que pour tout w G SRk(F) , on a Y^v^^r1 (w) t(viw) =n. Un
premier moyen d'apprécier la ramification est de considérer, pour tout w € SR^F),
l'entier naturel
(61) Bw=n- card («lJF(ti;)) = ^ (^w) " l)
v€9TLltF{w)
On a Bw = 0 ssi e(v,w) = 1 pour tout v e $£i]p{w), i.e. ssi w n'est pas point de
branchement de ÇJIl^f • Comme l'ensemble des points de branchement de ^l.f est fini,
on obtient une mesure globale de la ramification de L sur F en considérant l'entier
^l/f = £™esRK(F) B™ • Cet entier est nul ssi L est non ramifié sur F .
LE GENRE
Image réciproque d'une forme différentielle
Conservons les notations et hypothèses ci-dessus. Revenons à la bijection L-linéaire
g : Der/c(L) —► Der/c(F,L) définie en (18), et à l'isomorphisme défini en (19) qui s'en
déduit: lg : HoiriL(Derj<:(F,Z/),Z/) —> SIk(L) . Notons I : F —► L l'injection naturelle,
et 1+ : Der^(F) —► Der^F, L) l'injection F-linéaire D ^Io£). Si u est une variable
séparante de F, une F-base de Der^(F) est (7^7), donc (^(-jf^)) est une L-base
de Der/c(F, L) puisque ce dernier L-espace vectoriel est de dimension 1. On en déduit
que l'application L-linéaire naturelle (l)
(62) ç : L 8>F Der* (F) —► Der* (F, L), (A^D)^ AI*(D)
est bijective. Par transposition, cette application donne un isomorphisme de L-e.v.
*ç : HomL(Der/<:(F,L),L) —► HomL(L<g>F Der*(F),L)
Identifions les L-espaces vectoriels Honu(L ®F Der#(F),L) et L <g>F flK"(F) à
l'aide de l'isomorphisme canonique (i.e. l'unique application 0 telle que pour tout
(A,cj) € L x fîjc(L), on ait 0(A ® u;) = (Ald^) <8> a;, le dernier produit tensoriel
écrit signifiant le produit tensoriel d'applications F-linéaires). On obtient alors un
isomorphisme de L-espaces vectoriels
(63) 2TL)F : *ço ('0)-1 : flK(L) —+ L ®F n*(F)
Pour toute 1-forme a; € Qk(F), la 1-forme 92^(1 <8> w) sera appelée l'image
réciproque de uj par 2&l,f ; nous la noterons *<31l,f{v) • L'application ainsi définie
*91l,f • SIk(F) —> ïïk(L) est une injection F-linéaire. On vérifie facilement que pour
tout / G F, on a *9tLtF(dFf) = d/ (= dL/) •
Le diviseur de ramification
Dans les conditions ci-dessus, il existe une autre manière d'apprécier la ramification de
L sur F: par voie différentielle. Considérons une forme différentielle uj G Î7i<-(F)\{0} .
On peut alors former l'image réciproque de div(u;) par ^Hl,f • Rappelons que c'est le
diviseur de L sur K donné (en posant div(u;) = X^esRWF) mwHl) par
(64) 9£fF(div(o;)) = Yl Yl m^iv.w)^]
w£8RK(F) \v€9TLltF(vt) J
Par ailleurs, on a défini ci-dessus l'image réciproque *91l,f(u>) . L'assertion (II)
du théorème 24.2.1, qui exprime la commutation entre l'opération de prise du diviseur
d'une fonction algébrique et une opération d'image réciproque, ne s'étend pas aux formes
différentielles: en général, on a div(*9l£„F(<*>)) ^ 91J, F(div(cj)).
Proposition 24.3.12
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit uj e ft/f(F) \ {0} . Le diviseur
div(*2ft,L,F(k>)) — 9fcjr,fF(div(u;)) de L sur K est indépendant du choix de uj .
Démonstration:
Pour tout / e F* , notons respectivement divF(/) et divx(/) les diviseurs associés
à / dans F et dans L (donc divF(/) G Div(F/K) et divL(/) € DLv(L/K)). Si
cela n'entraîne pas de confusion, on écrira aussi div(/) tout court au lieu de divzX/) •
Soit ux et u)2 deux éléments de ftK(F) \ {0} . Soit / l'élément de F* tel que
u)2 = fuji. On a div(u;2) = divF(/) + div(cji), d'où
(65) 9^F(div(u,2)) = 9£|F(divF(/)) + 9lliF(div(a;i))
L) Par abus de langage, ici M A ® D »-> \I+(D) " signifie " qui envoie (X,D) sur AJ»(D) pour tout
(\tD)çLxDerK(F) ".
Chapitre 24 , § 3 Dérivations et différentielles 143
D'autre part *31l,f{v2) =/-(*S/Il,f(^i)) puisque *<3iL,F est F-linéaire, d'où en passant
aux diviseurs:
(66) div(*9lL,F(^2)) = divL(/) + div(*9fcL,F(u>i))
D'après le théorème 24.2.1, assertion (II), on a:
(67) divL(/)=9liiF(divF(/))
En rapprochant (65), (66) et (67), on obtient:
div(*giL,F(u;2)) - 2&2)F(div(w2))
= div(*»LfF("i)) - »L,F(div(ci;i)) + divL(/) - &l,F(divF(/))
= div(*»L|FM) -»L,F(div(u;i))
d'où la proposition ■
Définition 24.3.7
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, on appelle diviseur de ramification de
L sur F le diviseur élément de Div(L/K) égala div(*9lZ/jF(o;)) -2ft£F(div(u;))
pour toute 1-forme u) € ÏIk(F) \ {0} . Ce diviseur sera noté RamL/F .
Le théorème ci-dessous est appelé formule de Riemann-Hurwitz:
Théorème 24.3.6
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K . Soit F un sous-corps de L contenant K, tel que degtrK(F) = 1
et que L soit séparable sur F. On a:
ÏQl/k ~ 2 = [L : F] (2QF/K - 2) + Dgr(RamL/F))
Démonstration:
Posons n = [L : F]. Fixons u G fi/r(F) \ {0} , et posons ujl =* 2ftL,F(k>). Par
définition de Ram^/F , on a:
(68) div(o;L) = 9CLtF(div(u)) + RamL/F
En prenant les degrés des deux membres dans (68) et en utilisant le théorème 24.2.1,
assertion (IV), on obtient immédiatement la formule voulue ■
L'entier Dgr(Rami,)F) mesure la ramification de L sur F par voie différentielle. On
va montrer que si K est de caractéristique nulle, cet entier est b^/F = Ylw€8KK(F) b™
attaché au triplet (K, X, F), et qu'on peut décrire précisément le diviseur de ramification.
Théorème 24.3.7
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K. Soit F un sous-corps de L contenant K tel que degtrK(F) = 1
et que L soit séparable sur F. Le diviseur de ramification Ram/,/F vérifie:
(RH1) RamL/F y ]T (e(u,9lL,F(t;))-l) t; = £ ( £ (e(v,u;)-l) v\
En conséquence, on a Rani£/F X 0, et:
(RH2) Dgr(RamL/F)> ^ ( E (eM "*)) = £ B™
donc si RamL/F = 0, alors L est non ramifiée sur F. Enfin si K est de
caractéristique nulle, les inégalités (RH1) et (RH2) sont des égalités.
144 LE GENRE
Démonstra tion :
Fixons u) e ftK{F) \ {0} , et posons ul = 'S^l.fM • Soit v G SRK(L), et posons
w = *31l,f(v) • Choisissons des uniformisantes t et u, respectivement pour v et w,
et posons e = e(t>, tu). Soit / l'élément de F* tel que u — f • d/rw, et posons
m = ord^u;), i.e. m = u>(/). On a u = ete , avec e G W(.4V), c'est-à-dire v(e) = 0.
On a ul = f (dLu) (F-linéarité de *$Il,f ), d'où
(69) uil = /-^ dt
(conformément à nos conventions ci-dessus, l'indice L sous les symboles d est omis).
D'autre part:
(70) du = (de)te + eete-1dt= (^-te+eete-A dt
D'après la proposition 24.3.3, on a -gf e Av , d'où ordv(d£) = v(*af) > 0. On en
déduit que v(^te + eete~l) > e — 1, l'égalité ayant lieu ssi e • \k ^ 0, i.e. ssi la
caractéristique de K est nulle ou ne divise pas e. d'où
•®-
(71) v — =ordv(du) >e-l
On a t>(/) = ew(f) = me, d'où en rapprochant (69) et (71):
(72) ordv(o;L) = v(f) + ordv(du) > me + e - 1
Mais le coefficient de v dans 9i£)F(div(u>)) est me. D'après (72), le coefficient de v
dans Ram^/j? est donc ordv(ujL) — Tne > e — 1. Comme v est arbitraire, on en déduit
bien que RamL/F >: £v€SRK(L)(c(v»^'>Ht;)) -l)v. Si AT est de caractéristique nulle,
pour tout v e SRk{L) , l'inégalité (71) devient une égalité, donc (72) devient une égalité,
d'où RamL/F = E^srkwW^^H^)) - 1)u ■
Remarque 24.3.1 :
Reprenons les notations et hypothèses du théorème 24.3.7 . La démonstration de ce
théorème a notamment prouvé:
Soit v € SRk{L) . Soit w = 91l,f(^) • Four toutes uniformisantes u de w et t
de v, le coefficient de v dans Ram^/F est v(-^j) +
24.3.5 Exemple de calcul du genre en caractéristique non nulle
Supposons K algébriquement clos et de caractéristique p > 0. Soit F un corps
de fonctions rationnelles d'une variable sur K, muni d'une variable x. Soit Q une
clôture algébrique de K(x) et soit Y une indéterminée sur J? . Pour tout #(x) € F , le
polynôme S<p(Y) = Yv -Y — #(x) e F (Y) est appelé un polynôme d'Artin-Schreier.
Si t/ désigne une racine dans Q d'un tel polynôme, le corps F(Y) est un corps de
fonctions algébriques d'une variable sur K ; lorsque y £ F , ce corps F(y) est appelé une
extension d'Artin-Schreier de F. Comme K est algébriquement clos, l'hypothèse
y £ F , qui entraîne y £ K , implique $ £ # .
Proposition 24.3.13
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, fixons $ € F\K. Le polynôme S<p{Y)
est irréductible dans F (Y) ssi il ri admet aucune racine dans F. S'il en est ainsi,
pour toute racine y de S&(Y) dans f2, l'extension d'Artin-Schreier F (y) de F est
galoisienne, de groupe de Gaîois p-cyclique.
Chapitre 24 , § 3
Dérivations et différentielles 145
Démonstration:
Le corps premier de Q est Fp = ^/pZ • Soit y une racine de S<p(Y) dans #. Du
fait que (a 4- 6)p = ap -h fr3* pour tout (a, 6) G i? x Q et que ap = a pour tout a € Fp
(petit théorème de Fermât), on déduit que S#(Y) est séparable et admet la factorisation
suivante dans Cl [ Y ] :
fc=p-i
(73) s*(r)= Jl (y-(» + fc.iF)) = Il (i'-fo + O)
fc=o çeOFp
Cette factorisation montre que S#(y) admet au moins une racine dans F ssi toutes ses
racines dans J? appartiennent à F.
Supposons désormais que S#(y) n'admet aucune racine dans F, fixons une racine
y de S#(Y) dans !? , et soit L = F (y). Il découle de (73) que L est la F-algèbre des
racines de S<p dans i?, donc c'est une extension galoisienne de F puisque S<piy) est
séparable. Soit a l'élément de Gal(L/F) tel que a (y) = y + lpp ; il est clair que pour
tout fc G fO,p - 1] , on a afc(y) = y + fc • lpp . Comme l'application Z —► Fp, fc i-> A; • lp
est un morphisme de groupes additifs surjectif et de noyau pZ , on en déduit aisément
que Gai (L/F) est p-cyclique, engendré par a ; de plus, S#(Y) est F-normal ■
Proposition 24.3.14
Soit L une extension d'Artin-Schreier de F. Soit T l'ensemble des éléments
$ € F\ K tels que L soit la F-algèbre des racines de S<p(Y) dans Q . Soit $ e T.
Alors T est Vensemble des éléments & de F de la forme ^a>/\ = a<P + (Ap - A), où
(o,A)€F*xF.
Démonstration:
Par définition d'une extension d'Artin-Schreier, T est non vide, et pour tout & e T,
le polynôme S#(Y) n'a pas de racine dans F, ce qui montre que l'énoncé a un sens.
Soit y une racine de S#(Y) dans L. Soit (a, A) € Fp x F. Du fait que ap — a, on
a la factorisation:
(74) S*a>A (K ) = [I (Y ~ (a(y + £) + A)) = f[ (y - (a* + A 4- 0)
£€FP C<EÛF*
d'où #a,A e F.
Inversement, soit G e T et soit z une racine de G dans L. Soit a (resp. r ) le
générateur de Gal(L/F) tel que a(y) = t/ -h lp (resp. tel que r(z) = z + lp ). Soit
fc l'entier tel que 1 < fc < p — 1 et r = j* ; on a r(y) = y + $, avec f = fclf . Soit £
l'entier tel que 1 < £ < p-1 et k£l^p = lFp . Alors r(£j/) = £r(y) = fy + £Ç = ^y + lFp ,
donc t(z - £y) = z - £y , et par suite \ — z-£yeF (car A est Gal(L/F)-invariant).
On a donc (avec a — £1$ ):
(75) G = zp - z = (*y + A)p - £y - A = £(yp - y) + Ap - A = a# + 0P - 6 = #Û>A
ce qui achève la démonstration I
Avec les notations de la proposition 24.3.14, fixons maintenant une extension d'Artin-
Schreier L de F, un élément # € .F et une racine y de S$(y) dans L. Nous allons
étudier la ramification de L relativement à F. Pour tout xo G K, nous noterons
Wxo = ^F,i,y-x0 si xo G K, et WooK = VpiXi00 si xo = ook • Rappelons que
l'application K —► SR*-(F), x0 •-» ^Xo est bijective (voir section 23.1.2).
Soit (AJB)e{K[x}\ {0}) x{K[x}\ {0}) tel que $ = £ , avec A et B premiers
entre eux dans K[x] . Pour tout xo e K, notons 2fc,Xo la x-partie polaire de # en
xq : si Xo € if, c'est l'élément F(^t^) de F, où P est l'unique élément sans terme
146 LE GENRE
constant de K [Y] tel que $ — P(^r^-) n'ait P8^ xo pour x-pôle; si xq = ook , c'est
la x-partie entière de <P.
Soit un x-pôle x0 € K de $, d'ordre m, et soit %)Xo = Y^i^i (x-x0)1 ' SuPPosons
que p divise m dans M . Pour tout a G K, soit ûp l'élément p G if tel que
pP = a. En posant A = ^Cm^m , l'élément & = <Ê + (Ap - A) de F ou bien n'a plus
(x-x0) p
xo pour pôle, ou bien admet xo pour pôle d'ordre < m , les pôles de # et & autres que
xo restant les mêmes et ayant mêmes parties polaires. De même, si ook est un x-pôle de
$ d'ordre m multiple de p et si ^)0oK = Y^i^i cix% > posons A = (-cm)pxp : alors
\p = $ -|- (Ap - A) ou bien n'a plus ook pour x-pôle, ou bien admet ook pour x-pôle
d'ordre < m, les autres x-pôles de ^ et î? restant les mêmes avec les mêmes parties
polaires. En poursuivant ce processus (qui s'arrête au bout d'un nombre fini de pas) et
en tenant compte de la proposition 24.3.14, on voit qu'on peut supposer que l'élément #
de T n'a que des pôles d'ordre premier avec p.
• Montrons que tout Xo € K qui n'est pas un x-pôle de # n'est pas point de
branchement de 2Hl,f ; en effet, considérons le polynôme G(Y) = Yp — Y - #x(xo) (où <PX
désigne la spécialisation en Xo de $ considérée comme fraction rationnelle de x ; cette
spécialisation s'identifiant avec le morphisme canonique <pVx : AVxQ —► fCVxQ = K );
on a G'(Y) = 1fp , donc G(Y) admet exactement p racines dans K. En vertu du
deuxième exemple de la section 23.3.3, on en déduit que ^i}p(wXo) est de cardinal p,
ce qui entraîne que L est non ramifié au-dessus de wXo .
• Soit xq £ K , supposons que xo est un pôle de $, d'ordre m , et posons
i=m
Ci
(on a donc m > 1, m £ pZ et cm ^ 0). Nous allons montrer que L est
totalement ramifié au-dessus de vXo , i.e. que ^l]f(wXo) est un singleton {vXo} , et donc
t{vXQ,wXQ) = p. En remplaçant x par x - xo , on est ramené au cas où Xo = 0.
Plaçons-nous dans ce cas. On a donc # € AWQ telle que
%—m
(77) yp - y = ¥ + £ ax^
Soit v e ^l]f(wo) ; on a vix) = e(viWo) > d'où v(yp - y) = -mc(v,u)o) < 0 en vertu
de (77). On en déduit que v(y) < 0, et par suite v(yp - y) = pv(y) = -me(v,wo).
Comme p ne divise pas m, il divise v(y) ; mais e(v,wo) < [^: ^] = P> donc en
définitive e(v,iuo) = P» d'où t>(t/) = -m. À l'aide de la formule de ramification, on en
déduit bien que ^l]f(wq) est un singleton.
• On laisse au lecteur le soin d'adapter le raisonnement qui précède pour prouver que
si ook est un pôle d'ordre m de ^ (donc m £ pZ ), alors 9l2*j?(woo#c) est un singleton
{vooK } , et donc e^^, wQOK ) = p ; de plus t;*^ (y) = -m.
• L'extension L de F est galoisienne donc séparable. Nous allons calculer le diviseur
de ramification Ram^/F •
Pour cela, explicitons d'abord div( d/,x). Soit xo £ K un point de branchement de
^LtF > i.e. un pôle de <P, d'ordre m (donc m £ pZ). D'après ce qu'on vient de voir,
on a vXQ{y) = -m . Soit t une uniformisante de vXo . On a donc 77 G W(A;*0) tel que
y = t-mrj, d'où:
(78) ^ = -mr^ + r^
dt dt
Chapitre 24 , § 3 Dérivations et différentielles 147
et comme ^ G AVxQ , il découle de (78) et du fait que m\çp ^ 0 :
(79) ^(^)=-(m + 1)
On a $ = x~me, où e e AWxq . En appliquant -^ à l'égalité yp - y = $ = x~m£,
on obtient:
D'autre part, -ff = -^-ff , avec -jjf € A,.0 , d'où, avec (80):
p« | = (^—> -*-£) f
Comme vXo(x) = p et comme mlpp ^ 0, on déduit de (79) et de (81) que l'on a
v*o ($) = ~(m + 1) = v*o ("af ) - (m + l)p , d'où finalement:
(82)
v*°(lf) =(p-l)(m + l)
D'après la remarque 24.3.1, le coefficient de vXo dans Ram^/F est donc (p — l)(ra -f 1)
(il est donc différent de celui qu'il devrait être (i.e. p - 1 ) si le théorème 24.3.7 avait pu
s'appliquer. En fait, la caractéristique > 0 a ici eu pour effet de multiplier le coefficient
de ramification p - 1 par le facteur m 4-1, qui est > 2 ).
Cela dit, soit r le nombre des pôles de # dans K. On a r > 1, car $ € F\K.
Notons {xi,...,xr} l'ensemble des x-pôles de # (y compris, éventuellement, le pôle
ook )• Pour tout i € [l,r], soit m* l'ordre du pôle Xi. D'après ce qui précède, on a:
i=r
(83) RamL/F = ]£(p - 1JK + 1) t^_
En apliquant le théorème 24.3.6, et en tenant compte que Qp/x — 0 (cf. exemple 24.3.2),
on déduit de (83) que 2ql/k - 2 = -2p -h £i=ï(P - l)(m< -h 1), soit:
(84) 9l/x = ^ fr-2 + 2"ii)
§ 24.4 Théorème des résidus algébrique
24.4.1 Complétion
Limites projectives
Soit ( J, <) un ensemble préordonné non vide. On appelle système projectif toute
famille ((Ei)i£i, (^iyj)(ij)e^ixi yi^j)) > où les Ei sont des ensembles et où wiyj , pour
tout (i,j) € / x J tel que i ■< j, est une application Ej —► Ei, vérifiant les conditions
suivantes:
f(V»€/) tS7M=Idfi<
\ ( V (2, j, fc) G I x / x / avec i ■< j ^ k , tu»,* = tu^j o vjjtk
Si tous les Ei sont munis d'une même structure de groupe (resp. de if-espaces
vectoriels (où K désigne un corps commutatif), d'anneaux, de A-modules, de A-algèbres
(où A désigne un anneau commutatif), et si de plus les Wîj sont des morphismes de
cette structure, on dit qu'on a affaire à un système projectif de groupes (resp. de
K ^espaces vectoriels, d'anneaux, de A-modules, de A-algèbres).
Soit ((/,:<), (2£i)j€j,(tÂ7j}j)) un système projectif de groupes (resp. de if-espaces
vectoriels, d'anneaux, de A-modules, de A-algèbres). Dans le groupe produit (resp. le
K-espa.ce vectoriel produit, l'anneau produit, le A-module produit, la A-algèbre produit)
Flic/ Ei, l'ensemble des (ai)iç.j tels que tZij(aj) = a* pour tout (i,j) e I x I vérifiant
i •< j est un sous-groupe (resp. un sous-if-espace vectoriel, un sous-anneau, un sous-A-
module, une sous-A-algèbre), qui est appelé la limite projective des Ei (suivant les
Wij ). La limite projective sera notée lim (Ei) (les ruij sont donc sous-entendus
dans la notation).
Dans ces conditions, pour tout i € /, soit fi la restriction à lim (Ei) de la
z-ième projection naturelle ]lj€/ Ej —> Ei. Les fi sont appelées les projections
naturelles de la limite projective dans les Ei.
La famille (lim (Ei), (fi)i£i) est solution du problème universel suivant: trouver
(L, (9i)içi), où L est un groupe (resp. un if-espace vectoriel, un anneau, un A-module,
une A-algèbre), et où Ci est, pour tout i G /, un morphisme de groupes (resp. de if-
espaces vectoriels, d'anneaux, de A-modules, de A-algèbres), tels que pour tout groupe M
(resp. K -espace vectoriel, anneau, A-module, A-algèbre), et pour toute famille (hi)i$j
de morphismes de groupes (resp. de if-espaces vectoriels, d'anneaux, de A-modules,
de A-algèbres), où hi : M —► Ei, vérifiant hi = Wij o hj pour tout (i,j) € I x I
avec i -< j , il existe un unique morphisme de groupes (resp. de if-espaces vectoriels,
d'anneaux, de A-modules, de A-algèbres) h : M —> L qui satisfait hi = Ci o h pour
tout i e I.
Notons que la limite projective d'un système projectif de groupes abéliens est de
manière évidente un groupe abélien.
Exemple 24.4.1 :
Dans ce qui précède, supposons que ^ soit la relation d'égalité sur I (le. pour tout
(i, j) e I x / , on a i ^ j ssi i = j ). Alors lim (Ei) = ]\ieI Ei (muni de la structure
produit: groupe s'il s'agit de groupes, etc.) +
Exemple 24.4.2 :
Supposons K parfait, et soit i? une clôture algébrique de K . Notons T l'ensemble
des sous-extensions galoisiennes finies de K dans Q , ordonné par inclusion. Pour tout
E G T, notons QE = Gal(E/K) . Pour E e F et F e F tels que E C F, l'extension
F de E est galoisienne finie, et on a un morphisme de groupes naturel
(2) wElF : Qf —► Qe , <t ■—> a|E
150 LE GENRE
qui est surjectif, de noyau Qa,l(F/E). Il est immédiat que
f (J7, C), {Ge)eÇ:?:) {&E,F)f(E,nerxr J
est un système projectif de groupes. Notons r = lim (Ge) • Pour tout E € T,
notons <pe la projection naturelle F -+ Ge - Nous allons montrer qu'il y a un isomorphisme
canonique de r sur Gal(i?//Q .
Soit E ÇlT . Tout élément a G Q*l((2/K) vérifie a(£?) = £ , donc induit sur E un
élément de Ge ; on définit ainsi un morphisme de groupes tpE • Gai (]?/#) —> Ge - H
est immédiat que ^E = i>F°^E,F pour tout (E,F) € fxf tel que E C F . D'après la
propriété universelle, on a donc un unique morphisme de groupes $ : Gai (!?/#) —► -T
tel que ipE = <PE °$ pour tout E € T. Il est immédiat que Ker (<P) = {Id^} , parce
que n = UEepE ; donc # est injectif. Soit 5 = (sE)Ee? un élément de T ; du fait
que se = &e,f(sf) = sf\e pour tout (E,F) e F x F avec E C F, et du fait que
Q = UezfE , il existe une unique application a : J? —► i? telle que ail = s# pour
tout f? € T. On vérifie que a G Qa>l(fi/K), d'où #(cr) = S, ce qui prouve la
surjectivité de # et achève de montrer que $ est un isomorphisme de groupes: c'est
l'isomorphisme naturel cherché. Ainsi Q*1(Q/K) apparaît comme une limite projective
de groupes finis: on dit que c'est un groupe proôni (de façon générale, on appelle groupe
profini tout groupe qui est limite projective d'un système projectif de groupes finis; par
exemple, tout produit de groupes finis est un groupe profini). +
Complétion associée à une valuation discrète
Soit v une valuation discrète normalisée d'un corps L ; posons A = Av et m = Cv .
Pour tout n € M , l'idéal tttn de A est l'ensemble des x e L tels que v(x) > n ; si
n G Z et n < 0, on notera mn l'ensemble des x e L tels que v(x) > n ; alors pour
tout m € Z, l'ensemble tnm est le sous-A-module monogène de L engendré par tm ,
où t désigne une uniformisante quelconque de v . Pour tous sous-groupes additifs M et
N de L , convenons de noter MN le sous-groupe additif de L engendré par l'image de
l'application M x N —* L, (a, b) ■-> a& (si M et JV sont des idéaux de A , cet ensemble
MN n'est donc autre que le produit usuel des idéaux M et N). Il est immédiat que
pour tout (m, n) € Z2 , on a mmmn = Ulm+n . D'autre part:
(3) (J mm = L
meZ
(en effet, si x € L \ {0} , on a x e tttm avec m = v(x) ).
Pour tout m € Z, le A-module quotient Qm = ^/mm est défini. On notera qm
l'application A-linéaire canonique L —► Qm .
On munit Z de l'ordre total usuel < . Soit (m, n) E Z2 tel que ra < n ; on
a mn C tllm , d'où une application A-linéaire unique tum>n : Qn —> Qm telle que
oqn. La famille ((Qm)m€Z>(E7m,n)(m,n)€Za ,m<„) est un système
projectif de A-modules relativement à l'ordre < de Z. Nous noterons provisoirement A le
A-module lira (Qm) et (pm)m€Z la famille des projections naturelles A —► Qm .
Puisque gm = C7m,n°9n pour tout (m, n) € Z2 avec m < n , on a une unique application
A-linéaire Iv : L —► A telle que pm o I„ = gm pour tout m G Z . En fait, l'application
^ ""> IlmeZ 2m dont les fonctions coordonnées sont les gm est à valeurs dans A, et I„
est sa corestriction à A .
Lemme 24.4.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, Inapplication Iv est injective.
Démonstration:
Il est clair que Ker (Iv) = Om€Zmm . Or, Om€Nmm = {0} (cf. par exemple
proposition 23.1.3), donc Ker (lv) = {0} ■
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 151
Nous allons définir une loi produit naturelle sur A, qui fera de A une A-algèbre telle
que Jv soit un morphisme de A-algèbres. Remarquons d'abord que si û — (ûm)m6Z ^ **■ >
il existe k € Z tel que an = 0 pour tout n < A;. En effet, soit xq e L tel que
oo = go(zo) î s™* fc G ^ tel °*ue fc ^ ° et xo € rnk (cf. (3)). Si € € Z et Kfc,ona
alors xo € m*, d'où ai = g7£,o(ûo) = ^,o°9o(^o) = qe(xo) = 0 . D'autre part, si an = 0
pour un n € Z, alors pour tout m € Z tel que m < n, on a am = G7m,n(an) = 0 •
Donc ou bien a = 0, ou bien il existe A; € Z tel que am ^ 0 pour tout m > A: et
am = 0 pour tout m < k.
Cela dit, soit a = (am)m€z et 6 = (6m)mez éléments de A. Soit (xm)m6z et
(î/mWz deux éléments de Lz tels que qm{xm) = a>m et qm{ym) = bm pour tout
m e Z. Soit A; e Z tel que am = bm = 0 pour tout m < A:. Pour tout m e Z,
posons ^ = tfm(zm-fcym-fc) • On vérifie que la suite c = (cm)mez ainsi définie ne
dépend que de a et b et non du choix de A;, des xm et des ym . Si (m, n) G Z2 avec
m < n, on a H7m,n(cn) = ^m,n ° «n(sn-*î/n-fc) = <Zm(xn-fcî/n-fc) ; d'autre part, on a
Ûm-Jk = Çm-lk(%-Jk) = &m-k,n-k{a>n-k) = qm-k(Xn-k) , d'où Xm-k - Xn_fc € Ht771"*1 ,
et de même, ym_fc - yn-k € ntm_A:, et comme xr € m*1 et yr € mfc pour tout r, on
en déduit que
xm-kym-k-xn-kyn-k = (xm^fc~xn«fc)ym-fc-hxn-fc(ym-fc-2/n-fc) emm~kmk = mm
d'où t37m>n(cn) = qm(xn-kyn-k) = Çm^m-Jtî/m-fc) = Cm . Cela montre que ce A. On
pose c = ab. On a ainsi défini une loi interne (a, b) »—► a& sur A ; on vérifie aisément
que cette loi interne confère au A-module A une structure de A-algèbre commutative,
et que Iv : L —► A est un morphisme de A-algèbres. L'élément unité 1/t de A est la
suite (em)m62 telle que em = <zm(lz,) pour tout m (d' ou em — 0 pour 771 < 0 ). On
désignera encore par A le A-module A muni de la structure de A-algèbre ainsi définie.
On définit une fonction t; : A —► Z U {+00} en posant v(0) = +00, et, pour
û = (am)m€2 6 A \ {0} , en posant v(a) = Max({m € Z | am = 0}) (ce maximum existe
bien dans Z d'après ce qu'on a vu ci-dessus). On vérifie les propriétés:
v(ab) = v(a) + v(b)
Min(v(a),v(6))
(4) (V(a,i)€^xi)
J ï;(a6) = î;(c
\ v{a + 6) >
(5) îolv=t;
l'inégalité de la deuxième relation (4) étant une égalité si v(a) ^ v(&). La première
relation (4) montre notamment que l'anneau A est intègre. Mieux:
Lemme 24.4.2
Dans les conditions ci-dessus, la A-algèbre A est un corps commutatif (donc lv est
injective), et v en est une valuation discrète normalisée.
Démonstration:
Soit a = (am)meZ € A \ {0} . Notons A: = v(a). Choisissons {x'm)mez e Lz
tel que qm(x'm) = am pour tout m. On a v(x'k+l) = A: puisque ak ^ 0. Posons
xm = x'm si m > A; 4- 1 et xm = x^+1 si m < k 4- 1. Alors pour tout m, on a
qm(xm) = Q>m et v(xm) = k (si m > A: 4-1, on a v(xfc+i - xm) > A: + 1 > A; = f(xfc+i),
d'où v(xm) = v((xm - Zfc+i) + Xfc+i) = v(xfc+i) = A;). Pour tout m € Z, posons
2/m = {xm+2k)~l et fcm = qm(ym). Montrons que 6 = (6m)m(=z appartient à A : si
(m,n) € Z2 et m < n, on a ym - yn = ^^X^2^ , v(xm+2fc - xn+2fc) > m -h 2k et
v(xm+2jk:rn+2fc) < 2k , d'où v(ym - yn) > m -h 2A: - 2k = m , d'où S7m,n(&n) = fcm ; ce
qui établit bien que b e A.
Si 1/ £ Z est choisi tel que v(xm) > v et i/(ym) > 1/ pour tout m € Z, on a
û& = {qrn{Xm-uym-u))m£Z •
152 LE GENRE
• Si A: < 0, on peut prendre v = A: ; alors pour tout m e Z , on a:
i~\ / i\ f xm-k ,\ / Xm— k "~ Xm+k \
(6) V(xm-k 2/m-fc - 1) = V[ 1 1 = V[
\Xm+k ) \ Xm+k )
Comme v(xm+k) = k et v(xm-k -xm+k) >m + k (puisque m + fc<m-À;), on déduit
de (6) que v(xm-k Vm-k — 1) > m '•> c'est vrai quel que soit m , donc ab = 1.
• Si A: > 1, on peut prendre u = — A: ; alors pour tout k e Z , on a:
(7)
/ ^\ ( Xm+k 1 \ ( Xm+k - Xm+3k \
viXm-yym-v - 1) = v[ - 1 = V ( )
Comme v(xm+3k) = k et v(xm+k - Zm+3*) > m 4- A: (puisque m 4- A: < m + 3A; ), on
déduit de (7) que v(xm_„ ym~u — 1) > m ; c'est vrai avec tout m, donc a& = 1. On a
donc prouvé que tout élément non nul de A est inversible, i.e. A est un corps.
La fonction v est à valeurs dans Z U {4-oo} , et à cause de (5), l'ensemble de ses
valeurs est Z U {4-oo} puisque v est une valuation discrète normalisée. D'après (4), il
en résulte que v est une valuation discrète normalisée H
Notons maintenant d la distance ultramétrique standard définie par v sur A. Par
définition:
0 si a = b
exp(—v(a — b)) si a^b
(8) (V(a,b)eAxA) d(a,b) = V
l
La fonction d : LxL —> (R+ , (x, y) »-> d( J(x), J(y)) est alors une distance ultramétrique
sur L , et on vérifie immédiatement que c'est la distance ultramétrique standard associée
à v (définie comme (8), mais avec L à la place de A et v à la place de v ); autrement
dit, l'isomorphisme Iv de L dans A est une isométrie pour les distances ultramétriques
associées à v dans L et à v dans A.
Lemme 24.4.3
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, le corps A est complet pour la distance
d, et IV(L) est partout dense dans A .
Démonstration:
• Montrons que l'espace métrique (A, d) est complet. Soit (Ui)ie^ une suite de
Cauchy de cet espace; pour tout i € Pd , on posera Ui = (uiim)m€z , où Uiym € Qm pour
tout m . Par définition de d, le fait que la suite (Ui) est de Cauchy se traduit par:
(9) ^n^U(Sup({A: € ZK* = u^») -^rz—> +00
les bornes supérieure et inférieure étant prises dans Z U {-oo, +00} .
Fixons m € Z. D'après (9), on a un élément am e Qm tel que uiiTn = am pour
tout i e N assez grand. Posons a = (am)m€2 . Nous allons montrer que a € A et que
la suite (Ui) converge vers a dans (4,d),i.e. que d(Ui,d) -> 0. Comme la suite de
i—>oo -*»»
Cauchy (Ui) est arbitraire, cela prouvera que l'espace métrique (A,d) est complet.
Soit (m,n) e Z2 avec m < n. Soit N eN tel que ui)7n = am et ui}Tl = an pour
tout i>N. Alors am = U7v>m = t*7m,n(u7v,n) = a7m,n(an) • On en déduit que a € 4.
Montrons que d(Ui,a) —► 0, i.e. que v(Ui — a) —► 4-00. Soit un entier M > 0.
Soit N e N tel que uiyk = Uj^ pour tout (z, ,7, A:) € N x N x Z tel que i > N , j > N et
k < M. Soit m G f^l tel que m < M ; fixons j € N tel que j > N. On a Ui)Tn = u;im
pour tout i > N, donc am = t^m puisque u^m = am pour tout i assez grand; c'est
vrai avec tout m < M, donc v(Uj - d) > M. Comme j est arbitraire, finalement on
a v(Uj-a) > M pour tout entier j > M . On a donc bien d(Uu 0) —► 0 , ce qui achève
de prouver que (Ad) est complet. t^°°
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 153
• Montrons que IV(L) est dense dans A. Soit a = {Q>m)meZ un élément de A\ il
s'agit de montrer que pour tout entier M > 0 , il existe x 6 L tel que v(a — Iv(x)) > M .
Soit M e N. Choisissons x € L tel que clm = Qm(x) • Pour tout m e Z tel que
m < M , on a am = (zz7m,M ° Qm){x) = 9m(z) ; donc v{a - Iv(x)) > M ■
D'après le lemme 24.4.3, (A, d) est un complété de l'espace métrique (L,rf). La
topologie de L issue de la distance d est compatible avec la structure de corps de L,
autrement dit les applications L x L —► L, (z,y) »-> xy, L x L —► L, (x,y) »-► xy et
L \ {0} —► L \ {0} , x h-^ x-1 sont continues (ce qu'on exprime en disant que L, muni
de cette topologie, est un corps topologique). On en déduit facilement que 4, muni
de la topologie issue de d, est un corps topologique. Cela justifie la
Définition 24.4.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, le corps A = lim (Qm) s1 appelle le
complété de L relativement à v, et sera noté Lv . On convient d'identifier L au
sous-corps IV(L) de Lv à Vaide du plongement Iv . La valuation discrète v s'appelle
le prolongement canonique de v à Lv , et la distance associée d est appelée le
prolongement canoniquejde d à Lv . Le corps Lv sera systématiquement muni
de la topologie définie par d .
Dans ces conditions, soit m l'idéal maximal de^ v. Il^est clair que m H L = m.
La topologie et la structure uniforme définies par d sur Lv sont caractérisées comme
il suit: un système fondamental de voisinages de 0 est (îUm)m€N ; donc pour tout
a € Lv , un système fondamental de voisinages de a est^(a + TUm)m6N ; et un système
fondamental s'entourages de la structure uniforme est (ilm)mçi^ , où, pour tout m , on
a posé Um = {(a, b) e Lv x Lv | a - b € ïîîm} .
L'adhérence Adhj (A) de A dans Lv est l'anneau A~ de la valuation v, et le
centre ÏTÎ de t; est égal à Adhj (m) (vérification aisée). On notera Adhj- (A) = A.
Soit a = {am)mez € Lv . Alors a€ A ssi il existe (xm)meZ e Az tel que 0,^ = qm(xm)
pour tout m. S'il en est ainsi, on a am = 0 pour tout m < 0 ; considérons le système
projectif d'anneaux ((^/mm )m€N* >(/W)(m,n)€N*xN* ,m<n) > où les Pm,n sont les
applications canoniques. D'après ce qu'on vient de voir, A s'identifie canoniquement à
la limite projective lim ^ ( ^/nxn ) •
Puisque XttnA = m , l'injection canonique A —► Lv donne, par passage au quotient,
un isomorphisme naturel
(10) Kv=A/m^K,~=Âfa
du corps résiduel de v dans le corps résiduel de v .
Proposition 24.4.1
Uisomorphisme (10) est bijectif.
Démonstration:
Puisque m = m n A , Il s'agit de montrer que pour tout a € A, il existe x e A tel
que a-x € m. Soit donc a = (am)meZ e A. Soit (xm)meZ e Lz tel que ?m(xm) = am
pour tout m . Pour tout m > 0, on a qo(xm) = ti7o,m o gm(xm) = cc70,m(am) = a0 = 0 ,
d'où xm € ttl° = A. Soit x = Xi ; la convention adoptée dans la définition 24.4.1 permet
d'identifier x à l'élément (gm(x))mez de Lv ; pour tout m € Z tel que m < 1, on a
<7m(z) = £m(Zm) j d'où v(a - x) > 1 , c'est-à-dire a - x € m ■
154 LE GENRE
Exemple 24.4.3 :
Soit p un entier naturel premier. La valuation Valp de Q est discrète normalisée,
son anneau de valuation Zp est Vanneau des entiers p-adiques. Le complété Qvaip
est appelé le corps des nombres p-adiques, et se note Qp . Comme £Vaip s'identifie à
Fp = ^/pZ , d'après la proposition 24.4.1, le corps résiduel JC^J- est Fp . On observera
que dans cet exemple, le passage au corps résiduel a fait passer de la caractéristique nulle
à la caractéristique p ♦
24.4.2 Développements de Taylor de fonctions algébriques
d'une variable
Dans ce qui suit, conformément à nos conventions habituelles, K désigne un corps
commutatif fixé.
Soit T une indéterminée sur K , qui sera fixée une fois pour toutes dans la suite de
ce paragraphe. L'anneau i£[[T]] des séries formelles en T à coefficients dans K est
un anneau de valuation discrète, dont l'idéal maximal est TK [[T]\, dont le corps des
fractions est le corps K((T)) des séries formelles méromorphes en T à coefficients dans
K. La valuation discrète normalisée associée à i£[[T]] dans K((T)) est la valuation
usuelle Val des séries formelles (voir par exemple [3]); une uniformisante de Val est
T. Nous munirons systématiquement K((T)) de la topologie (dite natureJJe) issue de
la distance ultramétrique standard associée à Val : pour tout point S e K((T)), un
système fondamental de voisinages de S est (S + TmK [[T]])m€N* . Pour cette distance
ultramétrique standard associée à Val, l'espace K((T)) est complet, et K [[T]] en est
une partie fermée, égale à l'adhérence dans K((T)) de K [T] (vérification élémentaire);
de plus, étant donné un élément 5 = £n>no o,nTn de K((T)), la série de terme général
anTn converge vers S dans K((T)). il est clair que K((T)) s'identifie au complété
(K(T))Vo de K(T) pour la valuation usuelle vo = V/c(t),t\* de K(T) (où X désigne
une indéterminée sur K(T) ).
Le corps K((T)) est un extension de K(T): l'identification de K(T) à un sous-corps
de K((T)) revient à identifier un élément de & e K(T) avec son développement en série
formelle méromorphe de T à coefficients dans K. Rappelons comment on obtient ce
développement; si & e K[T\ , il n'y a rien à établir. Supposons & $ K[T] . Soit
k = Val(îP) et G = T~k&. Alors G est une fraction rationnelle de T à coefficients
dans K définie en 0 , donc admet un développement en série formelle S(T) € K [[T]] ,
que l'on sait obtenir par les moyens élémentaires usuels (voir par exemple [4], tome 1).
La série formelle méromorphe à laquelle est identifiée & est alors TkS(T).
Théorème 24.4.1
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d}une
variable sur K et soit v e SR^(L). Soit t une uniformisante de v. Il existe un
K-isomorphisme et un seul du corps Lv sur le corps K((T)) qui est continu et qui
envoie t sur T. Ce K-isomorphisme estjsométrique quand on munit respectivement
Lv et K((T)) des distances standard d et 6 associées à v et à Val, et il envoie
X sur K[[T]].
Démonstration:
Comme t est K-transcendant, et comme T est if-transcendant, on a un unique
tf-isomorphisme <p : K(t) -> K((T)) tel que <p(t) = T.
Montrons que K(t) est dense dans L , ce qui entraînera qu'il est dense dans Lv . En
fait on va prouver un peu mieux: que K [t, t~l] est dense dans L . Soit f e L\K [t,t~l].
Notons /o = /, k0 = v(f0) et g0 = t~kof. Alors g0 $ K[t,t~l] et v(g0) = 0, d'où
<7o € U(AV). Soit A0 = <^v(<7o) (i-e. Xo est la classe de g0 dans le corps résiduel Kv ,
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 155
qui est égal à K puisque K est algébriquement clos (cf. proposition 23.3.1)). On a donc
v{go - A0) > 1, A0 G K* , et gQ - A0 i K [t, t~1}. Notons /i = g0 - A0 , A:i = v(fi) et
</! = t~klf\ ; on a fci > 1, <?i ^ i£ [t,t_1] et u(pi) = 0. Par récurrence, on construit une
suite infinie (/*,A*,*?*,ki)ie^ vérifiant les conditions suivantes: pour tout i G [^J, on a
/iGl^lt.r1], ft€l\if[t,rl], AiGK*, v(/i) = fci> 9i=t-^fi et\i= <pv(9i) ;
pour tout i G f^J * ,ona fc* > 1. Alors si m G ^ * , en posant s* = $^~o ^i Pour tout
i E M , on a:
(11) / = tJm+19m+i + £AitJS d'où vIZ-J^Àii" =sm+i
i=0 \ i=0 /
Mais la suite (Si)ie^ est strictement croissante puisque fcj > 1 pour tout i > 1.
On déduit donc de (11) que pour tout N G N, on peut trouver x € AT [M-1] tel
que i/(/ — x) > N, d'où la densité de AT[t,t_1] dans L, et a fortiori la densité de
K(t) dans L. L'image (p(K(t)) est /f(T'), qui est dense dans K((T)) (en fait, on a
<p(K[t,t-l}) = K[T,T-l],et K[T,T'1) est dense dans K((T))).
Montrons que <p est uniformément continue. Comme v(t) = 1, la restriction de v à
K(t) est Vtf(t))tr , autrement dit v = Val o<^, ce qui entraîne que <p est isométrique
pour les distances ultramétriques d et S ; a fortiori, <^ est uniformément continue
relativement à ces distances. Comme (/f((T)),<5) est complet, (f admet un et un seul
prolongement par continuité $ : Lv —► iiT((T)) ; ce prolongement est nécessairement
isométrique puisque <p l'est; donc # transforme Lv en une partie complète, donc fermée,
de K((T)). Puisque ${LV) contient le sous-corps dense K(T), on conclut que $ est
une bijection isométrique de (Lv,d) sur (K((T)),6).
Montrons que $ est un isomorphisme pour les structures de corps (ce sera alors un
if-isomorphisme puisque <p est un K-isomorphisme). Les applications
Lv x Lv —> K((T)), (x, y) —+ #(* 4- y) - #(x) - #(y)
LvxLv-^ K((T)), (x, y) h-> #(xy) - #(x)#(y)
sont continues (sur l'espace topologique produit Lv x Lv ), et sont toutes deux nulles sur la
partie dense K(t) x K(t) de Lv x Lv . Comme #((T)) est séparé, ces applications sont
partout nulles, donc # respecte l'addition et la multiplication; comme $(1) = </?(l) = 1,
on voit que $ est un morphisme d'anneaux, donc c'est bien un AT-isomorphisme de Lv
sur K((T)).
Il est immédiat que $(K[t] ) = ip(K[t)) = K[T] . Dans (11) ci-dessus, on a fc0 > 0
ssi / G Av , d'où l'onjdéduit que K [t] est dense dans Av , d'où Adhj (K [t] ) — Av .
Il en découle que $(AV) = Adhj(((T))(K[T] ) = K [[T]}, parce que 4 est un homéo-
morphisme de Lv sur if ((T)). ■
Sous les hypothèses du théorème 24.4.1, nous noterons SVit le K-isomorphisme
continu de Lv sur K((T)) qui envoie t sur T.
Définition 24.4.2
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K, soit v € SRk(L) et soit t une uniformisante de v. Pour tout
f G L, on appelle t-développement de Taylor de f la série formelle Sv>t(/) •
Dans les conditions de la définition 24.4.2, l'étude ci-dessus montre facilement les
propriétés suivantes: SV)t(/) € K(T) ssi / G K(t), et SVyt(f) G K[T] ssi / G K[T] .
On a ValoSv,t = v (où î; est le prolongement canonique de v à L„). Par suite,
SWft(/) € /if [[T]] ssi v(/) > 0. De plus:
156 LE GENRE
Proposition 24.4.2
Avec les hypothèses et notations de la définition 24.4.2, soit f € L .
(I) Supposons que f e L\K[t,t~l]. Soit (fi, A*,&, ki)ie^ les suites définies dans
la démonstration du théorème 24.4.1 pour (11), et posons Si = ^jZ^ki pour tout
i e N . On a alors SV|t(/) = £~0 A* T« .
(II) S„,t(/) est le seul élément S = £m€ZûmTm € tf((T)) vérifiant la condition
u(/-2ii<»ûm*m)nroo+00"
Démonstration;
• Assertion (I):
Soit 5 = YlZo XiTSi ■ Soit m € M ï P°sons 5m = £-Ï™ ^i TSi . On a:
(12) Val((Sv,t(/) - S) - (SVyt(f) - Sm)) = Val(5 - Sm) = sm+i
Mais d'après (11), compte tenu que Val oSVyt = v :
(13) Val(Sv,t(/) -Sm)=v(f-^\it3A= sm+1
En rapprochant (12) et (13), on obtient, par inégalité triangulaire ultramétrique:
(14) Val(St,|t(/) -S)> Min(5m+i,sm+i) = sm+1
L'inégalité (14) est vraie avec tout m. Comme sm+i —► +oo, on en déduit que
m—*oo
Val(S„,t(/) - 5) = +oo , i.e. SVit(/) = S.
Posons Sw,»(/) = EmeZ^T™. D'après (13), on a v{f - £m<„ amfm) ^ +00 .
Soit 5 = EmeZbmTm € ff((T)) telle que i»(/-Em<„Um) -» +00. En°Josant
— n—►oo
Cm = am — bm pour tout m, on a alors vÇ^rn<ncrntm) —> +00 . Si les Cm étaient
non tous nuls, soit u = Min({ra € Z | cm ^ 0}) ; par inégalité ultramétrique, pour tout
n > 1/, on aurait v(£m<ncmtm) = v(X^l/<m<ncmtm) = v, ce qui est absurde. Cette
contradiction montre que bm = am pour tout m e Z .
• Assertion (II):
Posons Sv,t(/) = ^m6Zamrm. D'après (13), on a v(f - £m<n amtm) ^ +00 .
Soit 5 = EmezbmTm e K((T)) telle que v(f - £m<n6mtm) -+ +00. Ên^osant
— n—^oo
Cm = Q>m — àm pour tout m, on a alors v(£m< cm*m) —> +00 . Si les cm étaient
— n—+00
non tous nuls, soit j/ = Min({m G Z | Cm ^ 0}) ; par inégalité ultramétrique, pour tout
n > 2/, on aurait v(£m<ncmtm) = v(£
u<m<n cmtm) = f, ce qui est absurde. Cette
contradiction montre que bm = am pour tout m e Z . ■
Si / € if [t,t~*] \ {0}, on peut entamer le processus récurrent qui conduit à (11),
mais il s'arrête au bout d'un nombre fini de pas. Sous cette réserve, ce processus donne
donc SVyt(f) dans tous les cas (notons que si / € K(t) \ K [t,t~l], ce processus est un
nouveau moyen d'obtention du t-développement en série formelle de / ).
L'assertion v(/-£m<namtm) ~* +00 de la proposition 24.4.2 signifie que Ja série
— n—►oo ^
de terme général a^t711 converge vers f dans Lv . Ainsi la série de Taylor SVtt(f),
quand on y substitue t à l'indéterminée T, " représente / en fonction de t dans Lv ".
L'assertion d'unicité de S de la proposition 24.4.2 aurait donc pu être déduite de l'unicité
des limites des fonctions à valeurs dans l'espace topologique Lv , puisque cet espace est
séparé.
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 157
Rappelons que K((T)) est doté d'une if-dérivation naturelle -^ , ainsi définie:
(15) (vs = £ amrm e *((D)) s'(r) = -^ = -^ ( £ ^r-U^ ™rar-'
Il est immédiat que -^(if [[T]]) C if [[T]], d'où -^(Tmif [[T]]) C T^if [[T]]
pour tout m € N * ; on en déduit que -^ est une application if-linéaire continue de
if((T)) dans lui-même. On a aussi -^(if(T)) C K{T) et ±t(K[T}) C K[T}. La
if-dérivation de if (T) induite par -^ est la if-dérivation usuelle.
Proposition 24.4.3
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K , et soit v e SRjc(L) .
(I) Soit t une uniformisante de v . Pour tout f e L, on a
(II) Soit x et y des uniformisantes de v. Si f € L, on a SViX(y) e K[[T]],
Val(SV|X(y)) = 1, et:
SvAf) = st>,y(/) ° Sv,x(y)
(III) Soit F un sous-corps de L contenant K et tel que degtrK(F) = 1 . Soit
w = 2ftx,,F(^) y et soit respectivement x et y des uniformisantes de v et w. Posons
e = t{v,w). On a Vail(SV)X(y)) = e, et:
(Vj € F) SViX(g) = SWlV(ff) o sV|*(y)
Démonstration :
• Assertion (I)
On sait que:
(16) (VmEZ) ^-{tm)=mtm-1
dty
AAAliii- min ___
dt
Compte tenu de la proposition 24.3.3, on en déduit que -^ est une application if-
linéaire continue de L dans L. Comme S,,,* et -^ sont continues, il en découle que
l'application
h:L-^K((T)), /^^(sv,t(/))-S„,t(^Q
est continue. Mais en vertu de (16), h est nulle sur K [t,t-1] . On a vu plus haut que
K[t,t~l] est dense dans L. Comme K((T)) est séparé, on en déduit que h est partout
nulle sur L, d'où l'assertion (I).
• Assertion (II)
Rappelons d'abord que tout automorphisme de if-algèbres de if [[T]] est de manière
unique de la forme subs^r : S »-* S o U pour une série formelle U 6 if [[T]] de
valuation 1 (voir par exemple [3], ou [4], tome 1). Un tel automorphisme subsi/ se
prolonge de manière unique en un if-automorphisme Subs^r du corps if ((T)) ; il est aisé
de décrire SubS[/ : si $ e if((T)) \ if [[T]] , on a *(T) = T"m5(r) avec m e N* ,
S eK[[T}} et Val(5) = 0; alors SubSLr(#) = U'mau(S) = U-m(SoU).
Cela dit, 9 = SVyX o (S^)-1 est un if-automorphisme du corps if ((T)), et d'après
la dernière assertion du théorème 24.4.1, on a 0(if[[r]]) = if[[T]], donc 6 induit sur
if [[T]] un automorphisme de if-algèbre. On a donc une série formelle U e K [[T]} et
une seule, de valuation 1, telle que 6 = Subs^/. D'où:
(17) SVtX = Subst/ o SVfy
158 LE GENRE
En appliquant les deux membres de (17) à y, on obtient:
(18) SVtX(y) = Subsu{Sv,y{y)) = cv{T) = U
Soit alors / € L . En appliquant les deux membres de (17) à / et en tenant compte de
(18), on obtient SVyX(f) = Subsu(SViV{f)) = Sv%v(f) o U = Sv,y{f) o SViX{y)
• Assertion (III)
La proposition 24.4.2 montre tout d'abord que Val(SV)X(y)) = v(y) = e, donc
SVtX(y) e K[[T]] et SVtX{y) est substituable. Posons Sv%x(y) = Em>eA™Tm> et
pour tout n € N tel que n > e, posons yn = £™=o ^m^m • En revenant à (11) et
(13), on voit que v(y - yn) > n. Soit g € F* (il n'y a rien à prouver si g = 0),
posons SWtV(g) = £m6Z &m^m , et pour tout n € Z, posons pn = X)m<n 6mym , et soit
v = tu(3), i.e. v = Va±(SWyy(g)). Posons SWtV(g) o Su>:r(y) = Em€Zc^Tm • Soit n un
entier > (1 + 2 | v |) e . On a u;(0n - £)m<n &m(yn)m) > n - 2 11/1, et par conséquent
v(*n-£M0n)m) >(n-2|l/|)c
y m<n J
D'autre part, par un calcul élémentaire:
vl ]£cmXm- Yl bm(yn)m\ >n-2|l/|
ym<n m<n /
d'où v(gn - ^m<n cmxm) > n - 2 | v |. Mais v(g - #n) = eu;(0 - jn) -+ 4-oo . Par
— n—+oo
inégalité ultramétrique, on en déduit que v(g — ^2m<n CmX171) —► +oo. D'après la
— n—►oo
proposition 24.4.2, on a donc SV)X(g) = £m€zCmTm = swyy(g) ° SV)X(y) ■
Remarque 24.4.1 :
L'assertion (I) de la proposition 24.4.3 entraîne que (SV)t)_1 ° ^ ° Sv,t est une
if-dérivation de Lv qui prolonge -^ , qui est continue; et puisque L est dense dans
Lv , cette dérivation est le seul prolongement par continuité de -^ à Lv +
Remarque 24.4.2 :
Dans les conditions du théorème 24.4.1, le sous-corps SVyt(L) de K((T)) est une
extension algébrique finie de K(T). Mais K((T)) n'est pas une extension algébrique
de K(T) (a fortiori, ce n'en est pas une extension finie). En effet, la série formelle
" de Liouville " 4 = Em>0^m! £ K[[T]] est un élément transcendant sur K(T),
comme le lecteur pourra le prouver à titre d'exercice. Mieux: K((T)) est de degré de
transcendance infini sur K(T) ; par exemple, la suite (Hk)k>i , où Hk(T) = £n>i Tnn
pour tout k , est K(T) -algébriquement libre +
Complétion et sous-corps de fonctions algébriques
Nous allons approfondir l'assertion (III) de la proposition 24.4.3. Le corps K étant
supposé algébriquement clos, soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable
sur K et soit F un sous-corps de L contenant K tel que degtr^(F) = 1. Soit
v 6 SRk(L) , soit w = SIl,f(v) , et posons e = e(v, w). Notre but est de comparer Fw et
Lv . Nous aurons besoin de quelques préliminaires sur les séries formelles méromorphes.
Soit U e K [[T]] \ {0} , de valuation > 1. L'application
(19) Subsc; : K((T)) —♦ K((T)) : S h-> S o t/
est alors bien définie, c'est un If-isomorpriisme du corps K((T)) dans lui-même, qui est
bijectif ssi Val(£7) = 1 (voir [3]). L'image de cet isomorphisme est un sous-corps et une
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 159
sous-AT-algèbre de K((T)), que nous conviendrons de noter K((U)), ce qui est justifié
parce que si S = ]LneZa^n e K((T)), alors la série de terme général anUn converge
dans K((T)) (muni de sa topologie naturelle) et a pour somme SoU = Subsu(S). On
a évidemment K(U) C K(({7)). L'image de K [[T]] par cet isomorphisme sera notée
K[[U]] ; il est clair que K[[[/]]cif[[r]], l'égalité ayant lieu ssi e = 1 .
Lemme 24.4.4
Soit U e K[[T\] avec Val(tf) = e > 1. Aiors J'extension tf((T)) de K((U))
est finie, de degré e. Si K est algébriquement clos de caractéristique nulle, cette
extension est galoisienne et e-cyclique.
Démonstration :
Pour établir la première assertion, il suffit de montrer que AT[[T]] est un lf[[C/]]-
module libre de dimension finie égale à e . Pour cela, on va montrer que (1, T,..., Te~l)
est une base de ce X[[C/]]-module. Soit g et r les projecteurs du K-e.v. K[[T]]
définis par r = ldK[[T]] - q, et q(S) = Y^1 Coef UfflT* pour tout S € K[[T]].
Partons de S = SQe K[[T]]. Posons ip0 = q(S) et Vo = r(S). Comme Val(^o) > e,
on a ^f- £ K[[T]]. On posera Si = ^ . Au rang m > 0, supposons avoir défini
<Pi,i>i>Si pour tout i e [0,ra], avec Val(^m) > e. On pose Sm+i = ^ (d'où
Sm+i € K [[T]] ), </?m+i = <z(Sm+i) et Vm+i = r(Sm+i), ce qui poursuit la récurrence.
On définit ainsi des suites infinies (^m),W)(Sm) (où m e N), où les </?m sont des
éléments de K [T] de degré < e—1 , où les 0m et les 5m appartiennent à K [[T]] , avec
Val(0m) > e. Par construction, pour tout m, on a: S = Î7m+15m+1 + ££î!™ v?fcf7fc ;
posant y?fc = S*Io~ ak,iTl pour tout A: (avec a^^ € if ), on a donc, pour tout m:
(20) 5 = C/m+15m+1 + ]T ( î5«M^* ) T*
i=o \ fc=o /
Pour tout i € 10, e - 1], posons Wi(T) = £fceN aMT* ( wi e K [[T\] )• 0n déduit de
(38) que pour tout m G N , on a Val(5 - £i=o~X(^ ° 17) T*) > (m + l)e . Par suite:
i=e—1
(21) 5= E Wotf)T'
i=0
On a donc prouvé que E-I^1 K[[U]]Ti = K[[T]}.
Montrons que la suite (1,T,...,T6"1) est K [[U]]-libre. Soit 0O,..., 0e-i éléments
de X [[T]] non tous nuls, de termes constants respectifs &o> • • > be-i > tels que
i=e-l
(22) j; (fto^)r* = 0
i=0
En divisant les 0* par une même puissance convenable de T, on peut supposer que
Mino<i<c-i(Val(0i)) = 0 ; l'identification des termes de degré <e-l en T dans (22)
donne £)i=o~l hT* = 0, d'où 6^ = 0 pour tout i e [0,e - 1] , en contradiction avec
le fait que l'une au moins des 0* est de valuation nulle. Cette contradiction montre la
K [[ U]]-indépendance linéaire de la suite (1,T,..., Te~l) ; cette suite est donc bien une
base du K [[£/]]-module Jf[[T]]. La première assertion est donc prouvée; observons
que l'hypothèse que K est algébriquement clos n'a pas servi, l'assertion reste vraie sans
cette hypothèse.
Supposons K algébriquement clos de caractéristique nulle. On a U = 52k>e A*jTfc ,
avec Ae ^ 0. Soit /i e K* tel que /ie = Ae, soit V = XjlU - \k , et soit B la série
formelle du binôme:
fl<r>Hi + ïî»-£(i)I--i + ir+£Ai(i-i)...(i-» + i)i-
m>0 x ' m>2 \ / \ /
160 LE GENRE
Alors la série formelle W = /x(B o V) vérifie We = U et Val(W) = 1. Le K-
automorphisme Subsw '- ^^°^ de if((T)) envoie Te sur U, envoie if [[Te]] sur
K[[U]] et if((Te)) sur K((U)). Il induit un if-automorphisme de K[[T}} . Il
transforme la K [[ Tc ]]-base (1,T,... ,Te~l) de if [[T]] en la if [[U]] -base (1,W,..., We~l)
de if [[T]] . Notons HJe(if) le groupe des racines e-ièmes de \k dans if; on sait que
ce groupe est cyclique. Soit X une indéterminée sur if ((T)) ; puisque les (Tz)o<i<e-i
sont if ((C7))-linéairement indépendants et puisque We = U , on a:
(23) Irrw,Km)(X) = X<-U= J] (X - £W)
On déduit de (23) que if ((T)) est extension galoisienne de if (([/)), et que pour tout
£ <E Ue(if), il y a un unique s<: € Gal(if ((T))/if ((U))) tel que a^W) = £ W ; on voit
alors que l'application Uc(if) —► Gal(if((T))/if (([/))), f «-► s^ est un isomorphisme
de groupes. Donc if ((T)) est extension e-cyclique de if ((U)). M
Notons respectivement dv et dw les distances ultramétriques de L et F associées
à v et w. Puisque d = etu, on a (dv)\ = (dw)€ ; par suite, l'injection canonique
F —♦ L est uniformément continue, donc se prolonge de manière unique en une
application continue XVyW : Fw —► Lv , qui est uniformément continue. Par continuité de
XVyW , on a dvo (XVyW x XVyW) = (dw)e , d'où Pinjectivité de XVyW . D'après sa continuité,
XVyW est un morphisme pour l'addition et la multiplication; on en déduit que XVyW est
un if-isomorphisme du corps Fw dans le corps Lv . On a v oXVyW = ew . Cet
isomorphisme îv>w sera appelé le plongement canonique de Fw dans Lv . Comme
dv o (XVyW x XVyW) = (dw)e, une suite (xm) d'éléments de Fw est de Cauchy pour dw
ssi la suite (XVyW(xm)) est de Cauchy dans Lv pour dv . Puisque (FWidw) est
complet, il en découle que XVyW(Fw) est une partie complète, donc fermée, de Lv . Comme
voXVyW =efi,ona XVyW(Aw) = Av C\IVhW(Fw) .
Soit L\ , L2 et Ls des corps de fonctions algébriques d'une variable sur if , tels que
L\ et Z/2 soient des sous-if-algèbres de L3 et L\ C L2 C L3 . Soit 1/3 € SR/f(i>3),
posons vi = 9lL3,Li(^3) pour z e {1,2}. Alors IV3,V2 oIV2)Ul = XV3yVl , puisque
l'application IV3,V2 °^v2,vi est continue et prolonge l'injection continue L\ —* L3 . Cette
propriété sera appelée transitivité des applications I.f. .
Retrouvons l'assertion (III) de la proposition 24.4.3 de manière plus synthétique. Rappelons que
tout endo morphisme de la Jf-algèbre /f[[T]] est de manière unique de la forme au : 5h5o(/,
où U € K [[T]] \ {0} est de valuation > 1. Un tel endomorphisme se prolonge de manière unique
en un /f-isomorphisme Suhsu du corps K((T)) dans lui-même, en général non bijectif, et dont la
description est analogue à celle donnée lorsque Val(C/) = 1 , dans la preuve de la proposition 24.4.3-
(II): cette description justifie, pour S € K((T)) , de noter Subs[/(S) = 5o[/. Soit alors x et y des
uniformisantes respectives de v et w . L'application <p - sv,x oIvw 0 (s^)"1 est un A'-isomorphisme
du corps K({T)) dans lui-même, et on a ip(K[[T]]) = sViX(1ViW(Àw)) c SV>X(AV) = K[[T)] . On
a donc une unique série formelle U € K[[T]] , de valuation > 1 , telle que (p = Subsc/ . On a donc
sv,x oïv,w = Subsf/ os^y ; appliquant cette relation à y , puis à g e F , on obtient sv<x(y) = Suhsu (T) = t/",
puis Sv<x(g) = s«,iy(p)o C/ = sw<y(g)o sV)X(y) , ce qui redonne bien l'assertion (III) de la proposition 24.4.3.
Proposition 24.4.4
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variabie sur K et F un sous-corps de L contenant K tel que degtrK(F) = 1.
Soit v e SRk(L) , posons w = $Il,f(v) et e = t(y,w). Soit XVyW le plongement
canonique Fw —► Lv . L'extension Lv de XVyW(Fw) est algébrique unie, de degré
e. Si L est séparable sur F, alors Lv est séparable sur XVyW(Fw). Si K est de
caractéristique nulle, l'extension Lv de XVyW(Fw) est galoisienne et e-cyclique.
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 161
Démonstration:
Soit respectivement x et y des uniformisantes de v et w . Posons U = SVyX(y).
On a Val(£7) = v(y) = e, donc d'après le lemme 24.4.4, l'extension K((T)) de
K((U)) est algébrique finie, de degré e, et T en est un élément primitif. Montrons
que (SVyXyl(K((U)) = IVyW(Fw). On a (SVyX)-l(K(U)) = K(y) = lv,w{K{y))> or,
K(y) est dense dans Fw donc dans IVlW;(Fu,)-, et K(U) est dense dans i^((C/)). De
plus XVtW(Fw) est fermé dans Lv , donc c'est l'adhérence de K(y) dans Lv . Notons
6 la distance ultramétrique de K((T)) associée à la valuation usuelle Val. On vérifie
sans difficulté que K((U)) est l'adhérence de K(U) dans K((T)). Comme SV)X est
un homéomorphisme de Lv sur K((T)), elle envoie l'adhérence de K(y) dans Lv sur
l'adhérence de K((U)) dans K((T)), i.e. on a bien SVyX(Iv>w(Fw)) = K({U)). On en
déduit que Lv est une extension algébrique finie de degré e de lVyW(Fw).
Supposons L séparable sur F. Soit X une indéterminée sur Lv et Y une
indéterminée sur K({T)). Soit #(Z) = IrrTyKau))(Y) = Ye + YlkZ[AkYm-k . Pour tout
fc G [l,mj, posons \k = (Sv,x)_1(ilfc) ; soit <p(X) = Xe^tZi xkXe~k . Il est clair que
<p(X) = Irr _ ,~ AX) et que x est élément primitif de l'extension Lv de XVyW{Fw).
D'après la séparabilité de L sur F, le polynôme P(A") = IrrXfF(X) est séparable.
Comme (/?(X) divise P(X) dans (Xv^F™)) [X] , le polynôme <p(X) est séparable,
donc Lv est séparable sur TVyW(Fw).
Supposons if de caractéristique nulle. D'après le lemme 24.4.4, l'extension K((T))
de K((U)) est e-cyclique. Par transport par l'isomorphisme SVfX , on en déduit que Lv
est extension galoisienne et e-cyclique de XVyW(Fw) ■
24.4.3 Résidus d'une forme différentielle
Les résidus que nous allons maintenant introduire généralisent aux fonctions
algébriques d'une variable sur un corps K quelconque les résidus usuels des fonctions
analytiques complexes. Plus loin, nous reviendrons sur le lien entre les deux types de résidus
lorsqu'on prend K = C . Le lecteur pourra consulter avec profit [26].
Déûnition 24.4.3
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K. On donne v e SRk(L) et une uniformisante t de v. Soit une
forme différentielle u e SIk{L) , et notons ft Vêlement de L tel que u; = ft dt. On
appelle t-résidu de v en v , et nous noterons rest(u;,i/), Je coefficient de ^ dans
le t-développement de Taylor de ft.
Les propriétés élémentaires des t-résidus sont rassemblées dans la
Proposition 24.4.5
Avec les notations et hypothèses de la définition 24.4.3:
(I) Vapphcation SIk{L) —► K, u »-> rest(cj, t?) est K-linéaire.
(II) Si u e (Ik(L) et si ordv(u;) > 0, alors rest(u;,i/) = 0.
(III) Si uj £ rtx(L) est exacte (Le. uj = dg avec g e L), alors rest(o;,t?) = 0 .
(IV) Si geL* ,ona rest(± dg, v) = v{g)\K .
162 LE GENRE
(25) if=mtm-1'
Démonstration:
• Assertion (I)
Pour tout m € Z , l'application
(24) Coef f m : K((T)) —> ^, 5 = £ afcTfc ►—> am
fcez
est une forme AMinéaire. D'autre part, l'application SVi* est K-linéaire, et l'application
BVit '• &k(L) —► L qui associe ft k uj est une bijection L-linéaire. L'application
rest(.,v) n'est autre que Coef f_i oSV)t ° £v,t > donc est if-linéaire.
• Assertion (II)
Soit u = ftdt e ÏIk(L) • Par définition, on a ordv((j) > 0 ssi ft £ Av , ce qui
équivaut à SVtt(ft) € #[[T]], d'où l'assertion puisque la forme linéaire Coeff-i est
nulle sur K[[T]].
• Assertion (III)
Soit g € L et oj = dg. Alors a; = -gf dt (i.e. pour cette forme w, ona
ft = "di )• Posons 5 = SV|t($). D'après la proposition 24.4.3, on a ^ = Sv,t(-^) •
Il est immédiat que la forme linéaire Coef f _i est nulle sur l'image de -^ , donc
rest(w, t/) = Coef f -i(-^f) = 0 .
• Assertion (IV)
Soit g e L* et w = £ d<?, i.e. a; = j -^f dt. Notons m = v(g) et /i = £"m<?, d'où
heU(Av) (c'est-à-dire v(h)=Q). Ona:
i. imd/i , 1 , (rnljc 1 dh\ Jjt
f . l/i + *m —, donc -dp= —- + T--T- d*
dt dt ' 0 W ^ dt )
Comme i/(-^|) > 0 (proposition 24.3.3) et v(\) = 0, on a v{\^k) > 0, d'où l'existence
deS€ K[[T}} telle que SM(^ + £-^) = f 4-5, d'où res^^v) = mlK = v(g)lK
(on observera que si K est de caractéristique > 0 , on peut avoir v(g)lK = 0 ) I
Avec les notations de la démonstration de la proposition 24.4.4, pour tout élément $
de K ((T)), l'élément Coef f _i(#) est appelé le résidu (tout court) de $ , et sera noté
Res(#). Si # € -ft^T), on retrouve la notion élémentaire de résidu à l'origine d'une
fraction rationnelle. En fait, alors Res(#) = resr(^(T,)dT,Val), où Val désigne la
valuation usuelle de K(T) (i.e. Val = Vk(T),t,x > avec X indéterminée sur K(T) ).
La notation des formes linéaires Coef f m introduite en (24) sera conservée dans toute
la suite de cet ouvrage.
Caractère intrinsèque des résidus
Lemme 24.4.5
Soit G = Em>iamîlm € ^[[î1]] avec ûi = 1, et soit n un entier > 2. On a
Res(G-n-^) = 0.
Démonstra tion :
Si K est de caractéristique nulle, le résultat est immédiat, car alors G~n^ est une
dérivée exacte: G~n^ = 4r(^ï Ol~n).
Soit (um)m€N)m>2 une suite d'indéterminées sur Q ; soit A l'anneau Q[(um)m>2],
et soit 3C son corps des fractions, i.e. 3£ = Q((um)m>2). Soit X une indéterminée sur
3f. Soit G la série formelle (élément de ^[[X]] à coefficients dans A) définie par
Ç = X + Y^m>2 umXjn . D'après ce qu'on vient de voir, on a
(26) Res
(«-£)-
Chapitre 24 , § 4 Théorème des résidus algébrique 163
Soit le morphisme d'anneaux <p : A —► K qui envoie Ui sur a* pour tout i > 2 . Il
s'étend en un morphisme d'anneaux
(27) *:A[[X]]^K[[T)), £ CmXm -+ £ Y,(Cm)r"
m>0 m>0
Pour toute série formelle S = £m>0 CmXm € A [[X]}, on a:
(28) #(~) =*( X> + l)C7m+iXm] = ^(m + lMCm+1)r = i((f(5))
^ ' \m>0 / m>0
Cela dit, posons 5 = X~lQ = 1 4- £m>2 umXm et 5 = T~lG = 1 + £m>2 amTm .
On a S = $(S). La série formelle S est inversible dans «A[[X]j, et S est inversible
dans K [[T]} ; on a alors <?(5_1) = ^(«S))"1 = S-1 , d'où, compte tenu de (28):
Il est clair que
(30) ^«) =Coe££„.,(5-.i|) ; *es(G-«§) = Coeff„_,(s-f )
On déduit alors de (25), (28) et (29):
«- (c-f ) - * H'- (5-ïïf )) ■ «■ (- (»-•#)) - » ■
Remarque 24.4.3 :
Par if-linéarité des résidus, il est clair que le lemme 24.4.5 reste vrai en supposant
seulement que Val (G) = 1 +
Proposition 24.4.6
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K, soit v € SRk(L) et soit w e ft#-(L) • La fonction qui associey à
toute uniformisante t de v , le t-résidu rest(u;,i/), est constante (i.e. le t-résidu de
uj ne dépend que de (a;, v) et non du choix de t ).
Démonstration:
Soit x et y des uniformisantes de v. Soit f et g les éléments de L tels que
u) = f • dx = g • dy. Si ord„(u;) > 0, on a resx(u,v) = resy(a/,v) = 0, car f € Av
et £ € A; •
Supposons maintenant que ordv(<jj) < 0. On a un entier no < -1, des éléments
(bi)n0<i<-i de K et une série formelle HeK[[T]] tels que
(31) SVtV{g) = H{T) + ]T bil* ; bno £ 0
no<i<-l
Par définition, on a resy(u,v) = 6_i . Posons h = g - YïiZno ^iV1 • On a /i G A
puisque SViî/(/i) = H € K [[T]], donc resx(h • dy, t>) = 0, donc
(32)
resx((j,t;) = resx { ]T fyy' dy, u
no<i<-l
1=6-iresx r — dy, v j -f ]T 6iresa;(yidy,î;)
^ ' n0<i<-2
la somme £no<i<_2 valant 0 si n0 = -1. Par la proposition 24.4.4-(IV), on a:
(33) resx ( - dy, v j = v(y)\K = \K
164 LE GENRE
Soit un entier i tel que no < i < -2. On a yMy = y^dx. Posant U = SVyX(y),
et d'après (18) (preuve de la proposition 24.4.3), on a Val(f/) = 1 . D'autre part,
SVtX(yi-^) = U1^ (proposition 24.4.3, assertion (I)). D'après le lemme 24.4.5 et la
remarque qui le suit, on a Res(f7*-^) = 0, d'où
(34) res,(yMy) = Res^^=0
En reportant (33) et (34) dans (32), on obtient res^fu;,?;) = b-\ = resy(uj,v) H
Nous pouvons maintenant poser:
Déûnition 24.4.4
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K, soit v G SRjc(L) et soit uj e SIk{L) . On appelle résidu de u en
v , et on note Res(u;, v), Vêlement de K égal à rest(uj) v) pour toute uniformisante
t de v .
La proposition 24.4.4 entraîne immédiatement:
Théorème 24.4.2
Avec les notations et hypothèses de la définition 24.4.4:
(I) L'application VLk(L) —► K, uj i-+ Res(u;, v) est K-linéaire.
(II) Si uj e ÇIk(L) et si ordv(ct;) > 0 , alors Res(u;, v) = 0 .
(III) Si u € Qk{L) est exacte (i.e. uj = dg avec g e L), alors Res(cj,t>) = 0.
(IV) Si geL\ona Res(^dy,v) = v(g)lK .
Dans les conditions ci-dessus, rappelons qu'une forme différentielle u e ÏIk(L) \ {0}
n'a qu'un nombre fini de zéros et de pôles. En tout point v € SRjc(L) qui est régulier
pour uj , i.e. qui n'est pas un pôle de uj , on a Res(u;, v) = 0 (assertion (II) du théorème
24.4.2). Donc que uj soit nulle ou non, la famille ((Res(u;, v))veSRK(L) est à support
uni. En particulier, la somme Y^v€8rk(l) Res(k>, t?) est bien définie dans K. La fin
du présent paragraphe va être consacrée à prouver que cette somme est nulle: c'est
cette propriété, non évidente lorsque uj ^ 0, qu'on appelle le théorème des résidus
algébrique. Le théorème de Riemann-Roch, qui sera étudié au prochain paragraphe,
dépend étroitement du théorème des résidus algébrique.
Nous commencerons par le cas, élémentaire, d'un corps de fractions rationnelles. Puis
nous passerons de ce cas au cas général par un processus de descente qui utilisera de façon
essentielle la notion de trace d'une extension algébrique finie d'un corps commutatif.
Théorème des résidus pour un corps de fractions rationnelles
Théorème 24.4.3
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de t actions rationnelles d'une
variable sur K . Pour toute uj € flK(L) \ {0} , on a 52ve8RK(L) Res(u;, v) = 0 .
Démonstration:
Soit t une variable de L, i.e. L = K(t). Pour tout a E K, soit va l'élément
VL,t,T-a_de SRat(L) . Soit Vqq l'élément Vl,u<x> de SR*r(L). Rappelons que
l'application K = K U {ook} —► 3Rk{L) qui envoie a sur va si a € K et ook sur i/qq est
bijective (voir section 23.1.2). Pour tout a e K , une uniformisante de va est t - a , et
une uniformisante de v^ est j .
Soit uj = / • dt e ftK(L) \ {0} , avec f e L* . Comme ^pi = 1 pour tout aeK
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 165
et -^ = -£,ona:
(35) (Va€/0 w = /-d(t-o) ; w = -t2/-d(j)
Soit a € K ; on a S„ait_«(L) = tf(T) car L = K(t-o) ; donc (S^WT)) = L.
L'application
(36) Va : K(T) — K-(T), * .—♦ (S„a,t-. o S„,«)(iP)
est donc bien définie, et c'est un X-automorphisme du corps K(T). On vérifie que
ipa(T) = a + T. Il découle alors du théorème 22.3.2 que ipa(G(T)) = G(a + T) pour
tout G € K(T). Posons $o(T) = SVOtt(f) ; d'après ce qu'on vient de voir, on a:
(37) (Voetf) s„a,^a(/) = *o(o + r)
De même, l'application
(38) t/Joo : K(T) —> K(T), 9 — (SWooi j o St,|t)(*)
est un if-automorphisme de K(T), et on a tpoo(T) = ^ , donc ipoo(G(T)) = G(^) pour
tout G eK(T). Par suite:
(39) SVoo,{H2/) = -^o(i)
On déduit de (37) et (39):
(40) ]£ Res(cj, v) = Res (-i*o ( i ) ) + £ Res ^°^a + T^
Pour tout a e K , Res(#o(a + T)) est, par définition, le résidu de la fraction rationnelle
$o au point a; quant à Res(-^$o(40), c'est par définition le résidu de la fraction
rationnelle #o à l'infini. Or on sait que la somme des résidus d'une fraction rationnelle
d'une variable à coefficients dans un corps algébriquement clos est nulle (voir tome 1,
théorème V.7). Il découle donc de (40) que ^2vesRK(L) Res(cJ,v) = 0 ■
Remarque 24.4.4 :
La preuve du théorème 24.4.3 éclaire la définition a priori surprenante du résidu à
l'infini d'une fraction rationnelle #(T) G K(T), i.e. la considération de -^r$(^) et
non de #(^). C'est qu'en réalité, la vraie nature du résidu de $ est d'être attaché à la
forme différentielle $(T) dT et non à la fraction rationnelle #(T) +
24.4.4 Théorème des résidus algébrique général
Dans tout ce paragraphe, le corps K sera supposé algébriquement clos.
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, et soit u G fiic(Z<).
Pour prouver que ^2veaRK(L) Res(u;,u) = 0, une idée naturelle consiste à appliquer le
théorème 24.4.3 dans un corps F = K(t) à une forme différentielle adéquate, où t est
une variable séparante de L sur K , puis à " remonter " cette formule des résidus dans
L pour l'obtenir avec u . L'outil qui permet de mettre cette idée en œuvre est la trace.
Trace d'une forme différentielle
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, et soit F un sous-
corps de L contenant K, tel que degtrK(F) = 1, et que L soit séparable sur F.
Étant donné u € flj^L) > nous allons utiliser la forme F-linéaire TrL/jr pour lui associer
une forme différentielle élément de ftj^(F). Rappelons qu'en (63) du paragraphe 24.3,
nous avons défini un isomorphisme de L-e.v. naturel 3"l%f ' ^k(L) —► L<8>f ^k(^) •
LE GENRE
L'application TrL/F 8ldflif(P) : L®F ftK(F) -+ F <g>F tlK(F) <=* ilK{F) est F-
linéaire, donc l'application:
(41) TrL/F = (TrL/F0ldfiK(F)) o 2TL,F : ftK(L) —> ftK(F)
est F-linéaire. Pour toute forme différentielle u e ft/<:(L), la forme différentielle
TrL/F((j) e ftjc(F) sera appelée la trace de uj sur F. Rappelons que Tisomorphisme
de F-e.v. canonique flK(F) —► F ®f Ok(F) est donné par £ ►-► 1 (g> £ pour tout
£ € ÎIk(^) • Pour la définition de TrLyF dans (41), il est entendu que l'on identifie
ÏIk{F) et F <g>jr fiic(F) à l'aide de cet isomorphisme canonique.
Rappelons que pour tout u € L et pour tout sous-corps M de L , contenant if , de
degré de transcendance 1 sur K et sur lequel L est séparable, on désigne par Ùmu la
forme différentielle exacte définie par u dans M ; de plus, si u est une variable séparante
de L, on désigne par -^^ la dérivation par rapport à u dans M : quel que soit M,
cette dérivation est induite par -^ . Pour tout x e M, on a donc -jj^ = -g£^ ; il n'y
a donc aucun inconvénient à écrire simplement ^ , sans préciser dans quel sous-corps
M (vérifiant les conditions indiquées et tel que x e M ) on se place.
Lorsque cela n'entraîne pas de confusion, on note du au lieu de d^u .
Proposition 24.4.7
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, pour tous geFeth£L,ona
TrL/F(ft • dLg) = TrL/F(h) dFg. En conséquence, Tr_L/F(dLg) = [L : F] dFg .
Démonstration:
Soit (g, h) e F x L. On a STl^cIl^) = 10 dFg (voir paragraphe 24.3, après (63)),
donc 2Tl,f(^ ■ ^Lg) = h 0 dFg . On en déduit:
X£l/F(h ' dLg) = TrL/F(h) ® dFg = l® ((?rL/F(h)) dFg) = (TrL/F(h)) dFg
la dernière égalité découlant de notre convention d'identifier 0/f(F) et F ®f Ok(F)
à l'aide de l'isomorphisme canonique.
En prenant h = \k , on obtient TrL/F(di,*?) = TrL/F(l^)djrp = [L : F] dF0 B
Développement de Taylor d'une trace
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, et soit F un sous-
corps de L contenant K, tel que degtrK(F) = 1, et que L soit séparable sur
F. La définition de la trace Tr_L/F(u) d'une forme différentielle u e ftjf(L), et la
définition des résidus d'une forme différentielle, montrent qu'il est essentiel de déterminer
les développements de Taylor des éléments de F de la forme Trl/f(/) avec / € L .
Lemme 24.4.6
Soit A un anneau commutatif local, d'idéal maximal m , soit 3f son corps résiduel
A/xf\ . Soit M un A-module libre de rang uni m > 1. Notons </? : M —► ^/xaM
le morphisme canonique. Soit (xi,...,xm) une suite d'éléments de M telle que la
suite (£i,..., £m) = (^(xi),..., <p(xm)) engendre le %-e.v. M/mM = 3C <8>a M ;
alors (xi,..., Xm) est une base du A-module M .
Démonstration :
Il suffit de montrer que M = £{™ Axi. Posons N = Y^Z? Ax{ ; soit Q le A-
module quotient ^/jSf ; il est clair que Q est de type fini (engendré par la suite (y*)
image canonique de la suite (x^) ), et l'hypothèse entraîne que Q = VXQ. On prouve
alors (2) que Q - {0} ; en effet, on a une matrice A = (Aij)(ij)€[iimj2 e ffllm(A)
) Le lecteur aura reconnu une application du lemme de Nakayama.
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 167
avec Xiyj e m pour tous i et j , telle que y* = 5^=1* K,jVj pour tout z ; posant
A = det(Jm - A), on en déduit que Ayi = 0 pour tout i, d'où id<2 = {0} . Mais
A = 1a + A* avec M € m, donc 2i € W(>1), ce qui, avec AQ = {0} , entraîne Q = {0} ,
c'est-à-dire M = N ■
Soit w 6 SRk(F) . Notons r = card(9t2|F(w)) et 2ft^F(w) = {vi,..., vr} • Fixons
une uniformisante y de n;. Pour tout i € |[l,r] , fixons une uniformisante #* de t>i,
et posons ei = e(vi,tu). Notons n = [L:F]. Comme AT est algébriquement clos,
la formule de ramification se réduit ici à £i=i ^ = n. Pour tout 2 e ([1,r], on a
Vi(y) = e», donc Ui = SVi}Xi(y) G i^[[T]] et Val(tfi) = e* (voir proposition 24.4.2).
D'après le lemme 24.4.4, l'extension K((T)) de if((E/i)) est donc finie, de degré a .
Dans ce qui suit, on fixe une clôture algébrique Cl de K((T)). Pour tout i e [1, rj,
soit Substr< le 1£-isomorphisme K((T)) —► K((Ui)), S »-> SoUi, soit ^ un AT-isomor-
phisme i^((T)) —► J? qui prolonge Subs^1 , et posons T* = tpi{T) (3) .
Transportons la topologie naturelle et la valuation usuelle Val de K((T)) sur ipi(K((T)))
à l'aide de rpi ; la valuation discrète de K((Ti)) obtenue sera notée Val^ (on a
donc Valx^TÎ) = 1 et Val^CO = Val(Ui) = e* ); alors pour toute série formelle
S = YlnzZanTn € K({T)), la série de terme général an(Ti)n converge dans ipi(K({T)))
et a pour somme tl>i{S). Cela justifie que l'on note ipi(K((T))) = K((Ti)). L'avantage
du remplacement des couples (K({T)),K((Ui))) par les couples (K((Ti)),K((T))) est
que les corps K((Ti)) sont tous des extensions finies d'un même corps, le corps K((T)).
Proposition 24.4.8
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, pour tout f € L , on a:
i=r
(I) S„,,y (TrL/F(/)) = J^Subs^.1 (TrK((T))/Km)) (SViyXi(f)))
Démonstration:
Pour tout i e [l,rj , on a
(42) Subs^1 (Tr/c((T))/iC((^)) (s«*.**(/))) = TrK((Ti))/K((T)) (^i(Sv.|Xi(/)))
On notera 0* =^o (SVi>a:i|L) et tri = ^^K{{Ti))/K{{T)) • Soit Cw la /^(T^-algèbre
produit n!=i ^((2*)) • La définition de la trace dans une algèbre commutative de
dimension finie sur un corps montre facilement que:
i=r
(43) ( V £ = (6, • • - ,&) € <£„ ) TrCllp/iC((T))(0 = £ tr<(6)
i=l
Donc pour tout / € L , en vertu de (42) et (43), le membre de droite de (I) dans l'énoncé
est Treu,/K'((T))(^(/)) > où G désigne le morphisme de AT((T))-algèbres L —► C^, dont
les morphismes coordonnées sont les $i. Pour démontrer la proposition, nous allons
étendre à K((T)) les scalaires de L considéré comme F-espace vectoriel, en utilisant
le plongement naturel J = S™ J : F —* K((T)) (cette extension des scalaires est un
processus de complétion). Puis nous montrerons que G s'étend à la if((T))-algèbre
obtenue en un isomorphisme de if((T))-algèbres sur Cty, et enfin nous conclurons.
• Première étape: extension des scalaires
On forme la tf((T))-algèbre K((T)) ®F L, le produit tensoriel étant relatif au K-
isomorphisme J de F dans K((T)).
( ) Pour ne pas alourdir les notations, nous nous sommes permis de désigner par le même symbole
Subs^ Tisomorphisme de K((T)) dans lui-même, et la corestriction de cet isomorphisme à son image
KUUi)) •
168 LE GENRE
Soit i e [l,rj. Montrons que l'application
K((T)) xL-+ K((Ti)), (S, f) —♦ S 6M)
est F-bilinéaire (où K((T)) est considéré comme F-e.v. au moyen de J). Tout revient à
prouver que pour g € F , on a Oi(g) = Sw^y(g). Soit donc g € F . D'après la proposition
24.4.3, assertion (III), on a:
Svitxi(g) = SW|1,($) o SVitXi(y) = Sw,y(^) o^= SubsC/i((Sli;,î/(p))
ce qui donne bien SWtV(g) = ipi(SVi>Xi(g)) = Oi(g).
Pour tout i e fl, rj, le morphisme de X((T))-algèbres 0* : K((T))®F L — K((Ti))
tel que Ôi(S®f) = S0i(/) pour tout (5,/) G #((T))xZ, est donc bien défini. Notons 0
le morphisme de if ((T))-algèbres K((T)) <8>fL —> &w dont les morphismes coordonnées
sont les Oi.
• Deuxième étape: bijectivité de 0
Cette bijectivité est le point central de la démonstration.
Montrons d'abord que la bijectivité de G ne dépend pas du choix initial des
uniformisantes Xi. Pour tout i e [[l,rj, soit x\ une autre uniformisante de Vi ;
construisons les Uf , V^ » I? » Q\ et 0? à partir de la suite {x\)\<i<r comme on a
construit les Ui, ipi, Ti et 0* à partir de la suite (xi). Puis construisons <LW , é?B et
G* à partir des Tf et des 0/ comme on a construit i£w , G et 0 à partir des T*
et des 0^. Pour tout i € [l,r], posons W» = SViyXi(x]). On a Val(Wj) = 1, donc
l'application Subsw; : K((T)) -* if ((T)), S »-> S oWi est un if-automorphisme
du corps K((T)). D'après la proposition 24.4.3, assertion (II), pour tout / € L, on
a SVitXi(f) = SubsWi(Sv. xii(/)) . On en déduit que 0* = hi o 0\, où l'on a posé
hi = -0ioSùbswi°(^)~1 (donc /i* est un if-isomorphisme de K((Tf)) sur if((Ti)) ).
En fait, hi est un if ((T))-isomorphisme, car U\ 0^ = SViî/(:rjj) o W^ = SyiiXi(y) = £/*,
donc si S e K((T)), on a, par définition de ^ et ^J:
hi(S) = ^ (subs^(Subs^(S))) =1>i(SoU}o Wi) = &(S o (C/« o w;))
= !^i(5 o f/i) = ^(Subs^S)) = 5
L'application H : Cj, —► C^ ayant pour applications coordonnées les hi est donc
un automorphisme de if ((T))-algèbres, et on a G = H o0$. La définition de G et G$
montre alors immédiatement que G = Ho G* ; donc G est bijective ssi 0tt est bijective,
ce qui prouve bien que la bijectivité de G ne dépend pas du choix initial des Xi.
Pour prouver la bijectivité de G, il suffit donc de trouver des x\ tels que G^ soit
bijective. Soit B la clôture intégrale de Aw dans L. Pour tout i € [l,rj, soit pi = CVi
et ({i = pi H B. On sait que S est un anneau principal, ses idéaux premiers non nuls
étant les ({i. Pour tout i, on fixera un élément Wi de ({i tel que q* = 07*5, d'où
pi = 0^.4^ • Tous les corps résiduels sont égaux à K, puisque K est algébriquement
clos. Procédons à l'extension des scalaires de Aw k K k l'aide du morphisme canonique
Aw —► K = Kw . La if-algèbre K 0^ #, qui est canoniquement isomorphe à &/cwB >
est isomorphe à la if-algèbre produit n!=i *VqCi (vo*r démonstration du théorème
23.3.2). Pour tout i, du fait que q* = WiB et pi = WiAVi , on vérifie facilement que
p^ n B = q** ; donc par passage au quotient, l'injection canonique B —► >tv. donne
une morphisme de if-algèbres injectif &/qei —► <AVi/pei } et en fait ce morphisme est
bijectif. Finalement, on obtient un isomorphisme canonique de if-algèbres:
(44) *: B/CwB ^%f[AVt/pV
1=1
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 169
Pour toute suite (rai,... ,rar) € Nr , les idéaux (q^'h^r sont deux à deux co-
maximaux. Fixons i € |1, rj . D'après le théorème des restes chinois (théorème 23.2.1),
on peut trouver x\ E B et U 6 B vérifiant les conditions suivantes:
(45) /(vJ€I1»rl\W) x\^\Keqj
\x\ -wteq? ; Zi - lK € qi
et ^ G q;e>
Il est alors clair que x\B = <\i, donc xj est une uniformisante de Vi. Soit respectivement
f? et xjj les images canoniques de xj dans &/q€i et dans ^Vi/p^ . En revenant à la
démonstration du théorème 23.3.2, on voit que ((ft)fc)o<fc<ei-i est une base du K-e.v.
&/qei , donc ((xjj)fc)o<fc<ei-i est une base du K-e.v. A;»/pei . L'image canonique de
la suite
(46) 81?»= ^1(x\)0,z1x\,...,zl(x[r-\z2(xi2)°,
dans la /f-algèbre n<=i ^v</pei es* la suite:
f (((ïî)°. ». ••■. 0), (x», 0, .... 0),
( 0, (x»)°, ..., 0), (0, ï«, ..., 0),
, Zr\Xr) , ZrXr, . . . , Zr\Xr) ) j
(47)
((si)""1. o,
( 0, 0, ..., (ï«)°), (0, 0, ..., x«), .... (
o &)"-1))
qui est une base du K-e.v. Yl\Ji ^/p6* • Donc l'image canonique de la suite SC" dans
^/cwB en est une base de K-e.v. On sait que B est un *AW-module libre de rang tï
(voir preuve du théorème 23.3.2). Le nombre de termes de la suite 2C* est 2!=i e% = n-
Le lemme 24.4.6 s'applique avec (AW,B, Cw) à la place de (A, M, m), et montre que
la suite ffî est une base du ^-module B. C'est donc aussi une base du F-e.v. L.
L'image 8$ de la suite 1$ par le plongement naturel L —* K((T)) ^aw L, f *-> 1® f
est donc une base du K((T))-espace vectoriel K((T)) ®^w L . Montrons maintenant que
l'image 90* de la suite 3P» par ©* est une base du tf((T))-e.v. &w ; on a
i=r i—r
dimK((T)) (<£»,) = ^dimK((T)) (tf((ï?))) = J> = n
i=l i=l
Il suffit donc de montrer que la suite â^ est K((T))-linéairement indépendante.
Considérons une relation de if ((T))-dépendance linéaire pour cette suite, de coefficients non
tous nuls
(48) (Ai,o, Ai,!,. • • > Ai,ci-i, A2,o»- •-,••• » Arjo, Ar,i,... , Àr>er-i)
En multipliant les Xij par un même élément Tm avec m eN convenable, on se ramène
au cas où tous les Xij appartiennent à if [[T]] et où l'un d'entre eux au moins a un
terme constant ^ 0. Plaçons-nous dans ce cas, supposons que pour un certain i € [1, r],
l'un au moins des {\i,k)o<k<ei-i soit de terme constant ^ 0, et soit fco le plus petit des
entiers A: e [0, e* - lj tels que le terme constant de Xiyk soit ^ 0 . Pour tout j e [1, r]2 ,
notons Zij = 0\(zj) . On a 0\(x\) = Tf . En projetant la relation de dépendance linéaire
(de coefficients (48), qui lie la suite St13 ) sur le facteur K"((îf )) de &w , on obtient:
( 0 = Mi + Ni, avec:
(49)
k=ei-l /k=ej-l
Mi= Y, Kk{Tt)kZitl ; Ni=Y ZUA £ Ailfc(0»(*J))*
fe=0 J€[l,rl\{i} V *=0
170 LE GENRE
Il découle des conditions (45) que ValTj(£»,*) = 0, que ValT»(ôJ(xJ)) = 0 pour
tout j e |[l,rj \ {i} , et que ValTu(Zi><7) > e». On a donc Valrn (Ni) > e* et
ValTi((7?)*ZM) = k pour tout fc e [0,6* - 1], d'où Valr»(AaJT?)*°ZM) = À* ;
comme ValT«(T) = e,, on a Val^^îJ0"1 AM(7?)£ZM) > e* ; d'autre part, on a
Val^CE^fcoi1! KiiTh'ZiJ > fco + î , d'où ValT,(Afi-(Ailiko(2f )*°ZM) > *û + 1 . On
en déduit que
fc0 = ValTB (-(\iiko(T*)k°Ziyi) = ValTB (m, + N> - (Ai>fco(T?)fc<>ZM) > fc0 + 1
ce qui est absurde. Cette contradiction montre que la suite 2fl est bien une K((T))-base
de Cjjy, d'où la bijectivité de G*. Cela achève de prouver que G est un isomorphisme
de tf((T))-algèbres de K{{T))®FL sur £w .
• Troisième étape: fin de la preuve
On vérifie aisément que
(50) (V/eL) TrW(T))0^L)//c((T))(l ® /) = SWlV (?rL/F(f))
en effet, prenons une base € = (êi,... ,en) du F-e.v. L ; alors £ = (1 ® £ï)i<i<n est
une base du K((T))-e.v. K((T))<8>awL . Puisque l'extension des scalaires à K((T)) qui
définit K((T)) <8>f L est relative au plongement J : F —> /^((T)), / »-> SW|y(/), la
matrice dans £ de Pendomorphisme ( h-+ (1®/)C du if ((T))-espace vectoriel K((T))<g>FL
est l'image par J de la matrice dans 5 de l'endomorphisme g >-+ fg du F-espace
vectoriel L; d'où (50).
Puisque G est un isomorphisme de if ((T))-algèbres, on a:
(51) (TrCu,/tf((T))) ° 0 = Tr(^((T))®FL)/^((T))
En combinant (42), (43), (50) et (51), on obtient bien la relation (I) de l'énoncé ■
Proposition 24.4.9
Soit U e K[[T]] avec Val(C/) = e > 1. Notons Subs^/ le K-isomorphisme
$ h- £ o [/ du corps tf((r)) sur ie corps K((C/)). Soit S e K((T)). On a:
Res (subs^1 (TrKi(T))/Km)(S)) ) = Res LS — J
Démonstration:
Du fait que (1,T,... ,Te_1) est une base de K[[T]] comme tf[[ 17]]-module, on
déduit que ^^k{{T))/k{{u)) envoie /f[[T]] dans If [[17]].
On notera U = £m>e AmTm (donc A€ ^ 0 ), et tr = TrK({T))/Kau)).
• Première étape
Prouvons la proposition sous l'hypothèse que K est de caractéristique nulle. Soit
W e K[[T]) telle que We = U et Val(W) = 1 (voir preuve du lemme 24.4.4). On
a vu au lemme 24.4.4 que l'extension K((T)) de K((U)) est galoisienne e-cyclique,
que pour tout £ e Ve(K), il existe un unique AT((f/))-automorphisme de K((T)) qui
envoie W sur ÇW, et ; que l'application (U€(/0 -> Gal(K((T))/K((U))), £ »-> s^ est
un isomorphisme de groupes. Nous noterons G = Gal(if ((T'))/Âr((C/))).
Posons Subs^(S) = TimeZamTm , d'où 5 = EmeZam^m (la somme écrite a
un sens en tant que somme d'une famille sommable de séries formelles, ou, ce qui est
équivalent, en tant que somme d'une série convergente vers S dans K((T)) muni de sa
topologie). Notons S+ = Em>oflm^m ; on a S+ e K[[T]] , donc tr(S+) eK[[U}] ,
Chapitre 24 , § 4 Théorème des résidus algébrique 171
d'où Res(Subs[}1(tr(S+)) = 0 . Par if-linéarité des résidus, on a donc
(52) Res (Subs[}1(tr(5))) = ]T amRes (Subs^tr^™)))
m<0
Pour tout entier m < 0 , on a:
(53) tr(Wm) = J2<p{Wm) = £ (sz(W))m=( £ r ) Wm
Comme J2eeUe(K)€m = ^ s* m ^ e^ et E^Uet/O^™ = e s* ^ € eZ, on déduit de
(53) que tr{Wm) = eU2^ si m € eZ et tr(Wm) =0 si m^eZ. Donc
(54) Res (Subs^1(tr(5))) = £ e^Res^) = ea_e
i/GZ,i/<0
Calculons maintenant Res{S $). Comme -^ € AT [[T]] , on a (S+)-$£ € AT [[T]] ,
d'où Res(S^) = Res(Em<0«m^m-^) = £m<0amRes(Wm$). Soit m e Z
avec m < 0. On a W™^ = e^+e-i^ .
Si m + e^0, alors Wm-^ = -^(^W"1*6), d'où Res(Wm-^) = 0.
Si m = -e, alors iym-^ = ^ -^ , d'où immédiatement Res(Wm-^) = e.
On déduit de là et de (54) que Res(5-^) = ea_e = Res(Subs^1(tr(5))), ce qu'il
fallait démontrer.
• Deuxième étape
Prouvons la proposition sous l'hypothèse que K de caractéristique p > 0. Dans
ce cas, le calcul précédent n'est plus possible (en fait, l'extension K((T)) de K((U))
n'est en général ni galoisienne cyclique, ni même galoisienne abélienne). On va utiliser
directement la K [[£/]]-base (1,T,... 7Te~l) de K[[T]] , qui est aussi une K((U))-base
de K((T)). Posons S = EmelbmTm et S+ = Em>o*mTm • On a ^ € K[[T]} ,
d'où en raisonnant comme à la première étape:
(55) Res (Subs^(tr(S))) = ^ 6mRes (Subs^(Tm))
m<0
(56, »«(Sf)-5:V.«-(T-f)
v ' m<0 v 7
Il suffit donc de prouver la proposition dans le cas où 5 = Tm, avec m < 0. Par
/^-linéarité des résidus, on peut aussi supposer que Àc = 1# . Plaçons-nous dans le cas
où Àe = lK et où S = Tm , avec m < 0. Pour (i,j) eZxZ, soit 6iyi = \k et
Sifj = 0k si i ^ j . On a immédiatement:
(57) Res(rm-^)=^fcAfc^,_m
Pour calculer tr(Tm), considérons la matrice (Cij)tj)e[o,e-i]2 de l'endomorphisme
multiplication par Tm du if((!7))-e.v. tf((T)). Les Citj appartiennent à K((U)), et
on a TmTJ = Y^^l'1 CUTi Pour tout J- En fait les Ci,j appartiennent à tf[[tf]]
puisque tf[[r]] est un K [[U]} -module dont (1,I\... ,TeLl) est une base. Pour tout
(*> .?) € [0,e - lj2 , on a donc des citjyk e K (où k décrit Z et où citjfk = 0 pour tout
k < 0 avec | fc | assez grand, tels que Ciyj = Y,keZ °itjykUk ■ On a alors:
tr(7™) = 2 CM ; Subs^1 (tr(Tm)) = £ (Z^.a ) T*
(58) ; i=o keZ \ i=o /
v ' ■ i=e-l
Res (Subsy1 (tr(Tm))) = £ cm.-i
t=0
172 LE GENRE
Fixons j e [0,e — 1] . Soit (X, {Ak)k>e+i) une famille d'indéterminées sur Q . Soit
3C une clôture algébrique de <Q((vU)A:>e+i) . Dans 9£[[X]], soit all, W et Sf = Sf0 :
Reprenons la méthode de la preuve du lemme 24.4.4: on définit des suites infinies
($k)k>o, {&k)k>o et (£ffc)fc>o d'éléments de 3£[[X]] par le processus récurrent suivant:
#o = Eo<*<e-i Coef f<(SP0) Xe ; #0 = SP0 - #o ; Sfi = ^_1 #o , et, pour tout k > 0 :
^ = Eo<£<e-iCoeff£(yfc)X£; % = Sffc - *fc ; Sfc+i = 11"1** . Alors Val(#fc) > e
pour tout A:. Les suites ($k) » (^fc) et (ifk) dépendent de j , ce que nous n'avons pas
fait apparaître dans les notations. Si, pour tout k € N , on pose #fc = Ei=o_1 Vk^jT1,
puis si, pour tout t e [0, e — 1], on pose S^j = ^2k>0 tpkjjW, alors on a:
i=e-l i=e-l / \
(59) SP=* £$,***, soit Xm+' = ^ X>*-™ ,z/ffc -Y*
i=0 i=0 yfc>m /
En appliquant les formules (58) avec 3C, °\l, X et les (pk-myi,j à la place des c»j,fc , on
déduit de (59), et de la première partie de la démonstration:
i=m— 1
(60) Res(Subs^1(Tr^((x))/3fCTO)(Xm))) = ^T ^-m_iiM = ]£*4fc**.-m
i=0 fc>e
La série formelle °W est inversible dans 3£[[X]], et If"1 = 14- 52i>iMiXê , où
Me € A = Z [(Afc)fc>e+i ] pour tout ^. Il est immédiat que Sf e j4[[X]] . Par
récurrence, on en déduit que <Pk,i,j £ A pour tout (A;,i) 6 N x [0,e — lj.
Soit ç le morphisme de Z-algèbres A —► K qui consiste à spécialiser Ak en Afc pour
tout A: > e +1 . Soit T le morphisme de Z-algèbres A[[X]] —► K[[T]] qui, à toute
série formelle ]Cn>o anXn , associe £n>0 ç(an)Tn . On a r(°lt) = U , et
(6i) r(îô = 2 (£ç(<^)^ ) Ti = rm+^-m
i=o \fc>o y
ce qui équivaut à:
(62) r™+> = 'E ( E ç(^-m,«j) tf* ] r*
i=0 \fc>m J
On a donc c^fc = 0 si k < m, et Ctj,* = ç(^fc-m,t,j) Pour k > m. C'est vrai avec
tout j e |0, e - 1]. On déduit alors de (58) et de (60):
(63)
x~e — l /i=e-l \
Res (Subs^1 (tr(Tm))) = ]T ç(^_m_1)M) = ç £ ^-m-i,i,i )= £ fc Afc5fc,_m
i=0 \ i=0 / fc>e
ce qui achève la démonstration, compte tenu de (57) ■
Nous pouvons maintenant prouver le théorème des résidus algébrique:
Théorème 24.4.4
Supposons K algébriquement cîos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K , et soit u e ftK(L). On a 52veBKK(L) Res(u;, v) = 0 .
Démonstration :
Soit t une variable séparante de L , et posons F = K(t).
Chapitre 24 , § 4 Théorème des résidus algébrique 173
• Fixons w e SRk(F) • Reprenons les notations ci-dessus: r = card^^M™)) ;
^lVC^) = {vi» • • • >v^} • ^n Moisit une uniformisante y de w et, pour tout i € (1, r],
une uniformisante Xi de ^. Alors F est séparable sur K(y), donc L est séparable
sur K(y), i.e. y est une variable séparante de L, donc (d/,y) est une base du L-e.v.
fï/c(£) (et (dpy) est une base du F-e.v. ft/c(F) ). On a u = / • d^y , avec / e L .
Alors TxLip((jj) = (TxL/F(f))^Fy • Avec les notations des propositions 24.4.8 et 24.4.9
(donc C7i = Sv.,x.(y) ), on a Res(TrL/F(u),w) = Res (sWyV(TrL/F(f))) , d'où, d'après
la proposition 24.4.8:
i=.r
(64) Res(TrL/i,(a>),iu) = J^Res (Subs^.1 (Trjr((D)/K((£;4))(s»i.*«/)))
D'après l'assertion (I) de la proposition 24.4.3 et d'après la proposition 24.4.9, pour tout
i € [l,r] , on a:
Subs£* (TrjC((T))/Jf((Ul))(/)) = S^.x^/) -^f = SViyXi(f)SVuXi f j^J
Comme u; = / • d^y = /-^r di,£i, la définition du résidu d'une forme différentielle en
un point permet de déduire de (65):
(66) Res (Subs^1 (TrK{{T))/K{{Ui))(f))) = Res(u;, v^)
La relation (64) se réduit donc à:
(67) Res(TrL/F(u;),îi;) = ^Res(a;,Vi) = ^ Res(u;,t;)
i=1 ve9rL]F(w)
• Puisque l'application <31l}f • SRjc(L) —» SRk(F) est surjective, on déduit de (67)
(en se rappelant que toutes les sommes écrites ont un sens parce que les résidus d'une
forme différentielle en les points d'une surface de Riemann sont nuls à l'exception d'un
nombre fini):
/ \
(68) Yi Res(w,u)= ]T S Res(",v) = S Resfe/FH'"')
t/Ê8RK(L) U)6SRK(F) V vÇX£F(v>) J u)GSRk-(F)
Mais d'après le théorème 24.4.3, le membre de droite de (68) est nul. On obtient donc
Ev€8RK(i)ReS(U;'U) = 0 "
Le théorème des résidus algébrique est hautement non trivial. L'idée essentielle sur laquelle repose
la preuve ci-dessus est l'utilisation de la trace. Cette idée remonte à Hasse, puis a été reprise par
André Weil et Jean-Pierre Serre. Toutes les généralisations de la notion de résidu qui ont été proposées
(notamment en dimension > 1 ) reviennent à interpréter le résidu comme une trace. On aurait tort
de ne voir dans le théorème des résidus algébrique, même avec K = C , qu'une sorte de généralisation
du théorème classique des résidus des fonctions complexes holomorphes d'une variable complexe: dans
ce dernier, le rôle de la topologie est quelque peu effacé (il se réduit pratiquement à la propriété que
le groupe fondamental d'un cercle de C est isomorphe à (Z,+) ), alors que la principale difficulté du
théorème des résidus algébrique vient du fait que le groupe fondamental de la surface de Riemann du
corps de fonctions algébriques qui la définit joue un rôle majeur. Or en général, ce groupe fondamental
est non trivial (si la surface est de genre g , il admet une présentation avec 2g générateurs liés par une
seule relation).
24.4.5 Paramétrisations locales
Dans cette section, le corps de base K sera supposé algébriquement clos.
Soit T une indéterminée, et soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable
sur K. Nous noterons G le groupe des éléments de K((T)) de valuation 1 (la loi de
174 LE GENRE
composition étant la substitution o des séries formelles, dont l'élément neutre est T).
Pour chaque v € SRk(L) et pour toute uniformisante t de v, nous avons défini le
AT-isomorphisme Sv,t de L dans K((T)), et nous avons vu qu'il transporte la
valuation v sur la valuation de Sv,t(L) induite par la valuation ordinaire Val de K((T)).
Inversement, pour tout if-isomorphisme </? : L —► K((T)), l'application
(69) V^ : L —> ï U {+00} , / *—> Valfo>(/))
est une valuation au-dessus de K , qui sera dite associée à <p . Il est aisé de voir que c'est
une valuation discrète; en effet, soit x une variable de L sur K ; l'élément S = <p(x)
de K((T)) est non constant; en posant Co = Coef f o(5), on a donc Val(5 - Co) ^ 0,
d'où l'assertion puisque S — cq = ip(x-co). Néanmoins, cette valuation discrète n'est en
général pas normalisée. Il est naturel de chercher à quelle condition cette valuation est
normalisé et à quelle condition deux if-isomorphismes de L dans K((T)) définissent
une même valuation discrète normalisée.
Pour éviter toute confusion, nous appellerons K-pîongement de L dans K((T)) tout
AT-isomorphisme de L dans K((T)) (rappelons que selon notre terminologie, un isomor-
phisme d'un corps dans un autre n'est pas nécessairement injectif).
Soit un if-plongement <p : L —► K((T)), et soit U un élément de K((T)) tel que
Val(C/) > 1 ; alors ip = Subs^y o </? est un AT-plongement de L dans K((T)), et il est
clair que \fy = eV^,, où e = Val(f7). En particulier, si U € G, alors V^ =Vifi . Ces
remarques justifient la
Définition 24.4.5
Dans les conditions ci-dessusy deux K-plongements (p et xp de L dans K((T)) sont
dits équivalents ssi il existe U e G tel que ip = Suhsjj o (p. Un K-plongement
\l> : L -► AX(T)) est dit primitif ssi les conditions " U e /f ((T)), Val(tf) > 1, </?
est un K-plongement de L dans K((T)) et 0 = Subs[/ o (p " entraînent; [/çÇ.
Du fait que (G, °) est un groupe d'élément neutre T", la relation " les deux K-
plongement if et ip de L dans if((T)) sont équivalents " est une relation d'équivalence
sur l'ensemble des K-plongements de L dans K((T)) ; nous la noterons (p = ip .
Proposition 24.4.10
Avec les notations et hypothèses ci-dessusy soit un K-plongement ip : L —► K((T)).
On a Vy, G SR/c(L) ssi (p est primitif.
Démons t rat ion ;
Il est immédiat que si V<^ e SRk(L), alors (p est primitif. Réciproquement,
supposons (p primitif, soit e l'entier > 1 tel que V^(L*) = eZ, et soit s e L* tel que
Val(5) = e , où S = ip(s). Il s'agit de prouver que e = 1. Supposons que e > 1.
Montrons que (p(L) C K((S)) = Subss(K((T))). Raisonnons par l'absurde, en supposant
trouvé # e ip(L) \ K((S)) ; quitte s'il le faut à remplacer # par ^ , on peut supposer
que 0 e K [[T]] . On a alors des QieK[[T}] tels que
(70) <P = QQoS+ Y, Tk(Qk°S)
(voir démonstration du lemme 24.4.4), et puisque # £ K((S)), il existe fc G [l,e - 1]
tel que Qk ^ 0. Notons m = Mini<fc<e_i(Val(Qfc)) et Q0(T) = £t>oc*ri- On a
donc m € N . Posons #0 = Qo - £-î™ CiT* et 9 = ilo o 5 + Efcî?"1 ^fc (Q* o 5).
Comme £*"™ <-£*, on a # G v?(L), donc posant G = ^ , on a © G <p(L). Soit v le
plus petit entier fc tel que 1 < fc < e - 1 et Val(Qfc) = m . En examinant l'expression:
(71) 0 = ^^* + ^+ y r*«ii^
fc€[l,e-l]\M
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus algébrique 175
on voit que G € K \[T\] , que Val(r" 30) = v , que Coef f u(9 - Tu 30) = 0 , et
que Val(é?) > 1. Par suite, 1 < Val(é?) < v , ce qui est absurde puisque v < e. Cette
contradiction montre que ip(L) C K((S)). Mais cela implique de manière évidente que
(p est non primitif, contrairement à l'hypothèse (on aurait un AT-plongement ip de L
dans K((T)) tel que </? = Subss o^;). Cette contradiction montre que e = 1 ■
Une conséquence évidente de la proposition 24.4.10 est que tout if-plongement de
L dans K((T)) équivalent à un plongement primitif est primitif. Si v e SRjc(L) , les
if-plongements primitifs <p : L —► K((T)) tels que V^ = v sont dits associés à v. Il
existe toujours au moins un tel plongement: pour en obtenir un, il suffit de choisir une
uniformisante Ne v et de prendre (p = SVyt • Les plongements primitifs de la forme
SVit seront appelés les plongements primitifs tayloriens en v.
Proposition 24.4.11
Dans les conditions ci-dessus, soit ip et ip deux K-plongements primitifs de L dans
K((T)). On a V^ = V^ ssi (p = ip . En conséquence, pour tout v e SR#(L) et
pour toute uniformisante t de v, les K-plongements primitifs de L dans K((T))
associés à v sont les plongements équivalents à SVit.
Démonstration;
Il est immédiat que </? = ip entraîne V^ = V^ . Réciproquement, supposons que
V«^ = V^ = v . Soit u une uniformisante de v . On a T = SV)U(u) ; soit 5 = (p(u). Le K-
automorphisme a — Subss de K((T)) transforme T en S, i.e. (croSViU)(u) = <p(u),
donc a o sVjU et </? coïncident sur K(u). Pour la topologie naturelle de K((T)) et la
topologie définie par v sur L, il est clair que (p et a o sV}U sont continues; comme
K(u) est dense dans L , il en découle que (p = a o sViU , d'où (p = SV)U . On montre de
même que ip = SVyU , d'où ip = ip M
Définition 24.4.6
Dans les conditions ci-dessus} soit v e SRjc(L) . On appelle paramétrisation locale
de L sur K en v la classe d'équivalence des K-plongements primitifs de L dans
K((T)) associés à v .
La correspondance qui, à tout v e SRjc(£) , associe la paramétrisation locale de L
en v , est bijective.
24.4.6 Modèles projectifs
Dans cette section, nous supposerons le corps de base algébriquement clos.
Nous avons vu à la section 23.3.3 comment on associe une surface de Riemann à un
polynôme P e K[X, Y] , irréductible sur K(X) et de degré > 1 en Y.
Notons 2P le if-plan projectif issu du if-espace vectoriel K3 , ce dernier étant
rapporté à la base canonique (61,62,5:3), dont on note (e^e^e^) la base duale. Notons A
le plan affine K2 , identifié à son image dans 2P par le plongement naturel qui associe à
(£>rç) le point de 2P de coordonnées homogènes (f, 77,1#).
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K. Soit (AT, Y, Z)
un triplet d'indéterminées sur AT. À chaque couple (2,y) € L x L tel que x soit
une variable séparante de L sur K et que L = i£(x,y), on associe une courbe
algébrique irréductible de 2P définie comme il suit: soit PXfy(X, Y) le polynôme élément
de K [X, Y] , déterminé de manière unique à K * -proportionnalité près, qui est
irréductible dans K[X,Y] et tel que Px>y(x,F) soit K(X)-proportionnel à IrryiK^(Y).
Le polynôme Px,y(x, Y) (de la variable Y ) est séparable puisque x est une K-variable
séparante dans L. Soit rXjV la courbe algébrique irréductible d'équation PX)y(Ç,v) = 0
176 LE GENRE
dans A , et soit rX}V sa complétée projective dans 2P (i.e. son adhérence pour la topolo-
gie de Zariski); cette complétée est définie par l'équation homogène $XtV(X,Y, Z) = 0,
où $X,V(X,Y,Z) = ZmPXty(Y,%) i avec m = deg(PX)y) (ne pas confondre m avec
d = [L : K(x)] = deg(lrry%jc(x)(Y)) î tout ce qu'on peut dire est que 1 < d < m, et
en général on a d < m ). La courbe J^y est une droite ssi d = m = 1, et I^y \ I^y
est un ensemble fini, de cardinal < m (c'est l'ensemble des points à l'infini de JTXiy
relativement au plongement A —► 2P). On a rXiV D A = rXtV .
Définition 24.4.7
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, la courbe rx,y est appelée le modèle
projectif de L associé au couple (x, y).
Les informations sur L donnent des informations sur ses modèles projectifs et vice-
versa. Nous allons montrer ici quelques aspects élémentaires de cette connexion. Un
exemple simple est l'action sur L du groupe Tir des homographies h € PGL( 3, K ) qui
laissent T globalement invariante (où r = rXyV ). Soit h € Hr , définie dans la base
(£i>£2j£3) par une de ses matrices M = (atj)(tj)€[i,3)2 i on vérifie sans peine qu'il y a
un élément Sh G Aut/f(L) tel que:
(72) MxHaM* + ai,2y+-ai,3 ( j = 02,1* + a2>2y + a2,3
û3,ix 4- a3i2y 4- a3>3 a3)ix 4- a3i2y + a3)3
L'application Wr —► Aut/c(L), h *-> Sh est un morphisme de groupes, dont on vérifie
facilement qu'il est injectif (il n'est en général pas surjectif).
Si K est de caractéristique nulle et d > 2 , pour toute homographie h € PGL ( 3, K ),
la courbe /i(r) est encore un modèle projectif de L ; en effet, définissons h par une de
ses matrices M = (at,j)(ij)€(i,3]2 dans la base (£i,£2,£3) ; posons:
,-ox / ûi,iX 4-ai,2y + ai,3 , a2ax 4- a2,2y 4- a2)3
(74) x = ; y =
a3jix -h a3i2V + a3,3 û3,ix 4- a3,2y 4- a3)3
Du fait que 1 et y sont if(x)-linéairement indépendants, on déduit que la suite (l,x',y')
est /^-linéairement indépendante. On déduit de (73):
(u) f (ai.i - 03,1^)x + (ai,2 - a3,2x')y = a3,3 x'
\ (a2,i - a3ay;) x 4- (a2>2 - a3)2y')y = a3,3 y'
Considérons (74) comme un (2,2)-système linéaire en (x, y) ; son déterminant 6 est
C\xr 4- Ciy' 4- C3 , où (Ci,C2,C3) est la suite des cofacteurs de la dernière colonne
de M, on a donc (Ci,C2,C3) ^ (0,0,0), d'où (5^0 d'après la If-indépendance de
(l,x',y'). Il découle donc de (71) que {x,y} C K(x',y'), d'où K(x',y') = L ; on voit
sur (70) que x' £ K et y' £ K ; comme y' est séparable sur K(x'), on peut définir le
modèle projectif de L associé à (x', y'), et on voit que ce modèle est h(r). Si K n'est
pas de caractéristique nulle, pour que h(r) soit un modèle projectif de L sur K , il faut
et il suffit que y' soit séparable sur K{x') ; c'est notamment le cas si K(x) C K{x'),
comme par exemple si ai)2 = a3)2 = 0 .
Branches
Conservons les notations ci-dessus, et pour abréger, posons P(X,Y) = PXyV(Y),
r = rXyV , #(X,y,Z) = #X|„(X,y,Z) et f = /*,„. Notons F = tf(x). Pour tout
£ G K , soit 1^ l'élément Vf^x-^ de SRk(F) , et soit Wqo = Vj?X|00 . Posons:
fc=d
(75) P(X, F) = a0(X)Yd 4- ^ afc(X)yd-fc
fe=i
Chapitre 24 , § 4
Théorème des résidus Algébrique 177
Notons T une indéterminée. Soit un i£-plongement primitif tp : L —► #((T)). Nous
allons associer à tp un point bien déterminé de t, qui en fait ne dépend que de la
paramétrisation locale de L en v et non du choix de <p.
Posons U = (p(x) = £neZ unTn et S = tp(y) = £neZ cnTn . On a:
(76) P{U, S)=0
Le couple (U, S) est appelé une (x, y)-paramétrisation locale de v . Changer tp en
un if-plongement équivalent ip revient à remplacer ([/, S) par ([/o^So IV), où
W € tf((T)) et Val(IV) = 1. Les paramétrisations locales (U, S) et (U oW,So W)
sont alors dites équivalentes. Puisque K(xyy) = L , la donnée de <p équivaut à celle du
couple (U, S), et la primitivité de (p équivaut à la propriété que si W e K((T)) est de
valuation > 1 et si U = Ux o W et S = Si o IV avec f/i € /C((T)) et Si € X((T)),
alors Val(W) = 1. La donnée de la paramétrisation locale de v équivaut à la donnée de
la classe d'équivalence des (x, y)-paramétrisations locales en v : cette classe est appelée
la (x, y)-branche de v. On attribue souvent cette (x, y)-branche à f, ce qui revient
au même, et on parle alors de branche de T en v .
• Si v{x) > 0 et v{y) > 0 , i.e. si U € K [[T]} et S € K [\T]\ , on déduit de (76) que
•P(uo, co) = 0 ; le point (uo, Co) de r ne dépend que du triplet (x, y, v), on l'appelle le
(x, y)-centre de v . Il est caractérisé, parmi les points de r , par la propriété:
(77) v(x - u0) > 1 et v(y - c0) > 1
ce qui équivaut à
(78) (<Pv(x)><Pv(v)) = (uo>co)
Si f£(uo,Co) ^ 0 et ao(0) ^ 0, on voit donc que le (x,y)-centre (uo>co) de v n'est
autre que le point (3{v) défini au théorème 23.3.7.
• Si v(x) > 0 et v(y) < 0 , alors z = ± vérifie i/(z) > 0 , et ££îo a*(s) z* = 0 , d'où
fc=d
(79) £afc(t/)S*=0
fc=0
On déduit facilement de (76) que uo = 0 (d'où afe(0) ^ 0 pour au moins un k e [l,dj
par irréductibilité de P). Le point de 2P de coordonnées homogènes (0,1,0) est sur
r : il est appelé le (x^^centre de v . Le (x, z)-centre de v est alors (uo>0).
Le cas où v(x) < 0 et v(y) > 0 est symétrique: dans ce cas, le point de 9* de
coordonnées homogènes (1,0,0) appartient à T et est appelé le (x,y)-centre de v.
Posant i = 1, le (t, y)-centre de v est alors (0, co) (on peut parler de (t, y)-centre parce
que t est K-variable séparante de L).
• Si v(x) < 0 et v(y) < 0, posons t = £ et z = j . Alors le (£, z)-centre de v est
(0,0) (on peut parler de (£,z)-centre parce que t est jf-variable séparante de L). Soit
H(X,Y) la partie homogène de degré m de P(XiY) (rappelons que m = deg(P) ),
et posons a = -Val(f/) et /? = -Val(S). Si a < /?, le point de 2P de coordonnées
homogènes (0,1,0) appartient à T, on l'appelle le (x,y)-centre de v. Si a > /?,
le point de 2P de coordonnées homogènes (1,0,0) appartient à F et on l'appelle le
(x,y)-centre de v. Si a = f3, on déduit de (76) que H(u-Qic-p) =0; le point de
2P de coordonnées homogènes (u_a,c_^) appartient à T, il ne dépend que du triplet
(x, y, t>), et on l'appelle le (x, y)-centre de v.
On a donc défini le (x, y)-centre de v pour tout v e SR#(L).
Il se peut que des éléments de SR^(L) distincts aient même centre. Nous nous
178 LE GENRE
contenterons ici des propriétés élémentaires qui suivent:
'Si (£,rç) est un point non singulier de r (le. en lequel les dérivées partielles
de P ne sont pas toutes deux nulles), il est le centre d'un unique élément
(80)
v € SRk(L) . Si §£(£,rj) ^ 0 , alors x - £ est une uniformisante de v , et une
(x,y)-paramétrisation locale en v est (£ 4- T,rj + S(T)), où S est l'unique
Uiément de K[[T]] de valuation > 1 qui vérifie P(Ç + T,t/ + S) = 0 .
(on déduit aisément (80) du théorème 23.3.7; si §£(£,r?) = 0 et §£(£,??) ^ 0, cela
implique que y est AT-variable séparante de L, donc le théorème 23.3.7, et par suite
aussi l'assertion (80), s'appliquent en échangeant les rôles de x et y).
(Soit (f,rç) e T } et soit (U,S) une (x,y)-paramétrisation locale de L en v.
(81) \Soit wç = VK{x),x,x-z • On a v € 9TLltK(x)(wt) et Val([7 - £) = e(tMrç) •
En effet, une uniformisante de wç est x - f , et on a v(x - f ) = Val(C7 - f ) > 1, donc
*l,/c(x)(v) = ^ , d'où v{x - 0 = ^(v,ti;€).
(82) Soit C € r . L'ensemble des v € SR/c(£) ayant C pour (x,y)-centre est fini.
Il suffit de le prouver pour C e T, cas auquel on se ramène par l'un des
changements (x,y) ►-♦ (x,±), (x,y) h-> (£,y), (x,y) *-> (£,^). Soit donc C = (£,rç) e T.
D'après (81), si t? e SRk(L) admet C pour (x, y)-centre, on a v e ^l]k(x)(wÔ » °ù
w$ — ^7<:(x),x,x-^ • Or l'ensemble ^^(^(u^) est ^n^ d'où l'assertion.
Nous reprendrons cette étude des connexions entre 8Rk(L) et ses divers modèles projec-
tifs de manière plus systématique au chapitre XXVII, où nous introduirons quelques éléments
de géométrie projective algébrique élémentaire, notamment la notion de courbe non singulière.
Cependant, dans certains exemples du paragraphe 24.5, nous anticiperons certains résultats du
chapitre XXVII en utilisant cette notion de courbe algébrique projective ou affine non singulière.
La proposition qui suit redonne une partie du théorème de Puiseux (voir [3]).
Proposition 24.4.12
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, supposons K algébriquement clos de
caractéristique nulle. Soit C e r, soit v e SRk(L) admettant C pour (x, y)-centre.
Soit w = ^Il,k(x)(v) et e = c(v,w). Alors L admet une (x,y)-paramétrisation
locale de la forme (f + T€, 77 -h S(T)), où S e K [[ T}] et Val (5) > 1. En associant,
à tout C € Ve(K) = {A € K\ A9 = 1} , laparamétrisation locale (f+ Te, 77 +S(CT)),
on obtient une bijection de Ve(K) sur l'ensemble des (x, y)-paramétrisations locales
de L en v de cette forme.
Démonstration:
On ne perd pas de généralité en supposant £ = 77 = 0. Soit ([/, W) une (x, y)-
paramétrisation locale de L en v. Ona Val(C7) = e. Posons U = ^2n>eu>nTn , d'où
ue ^ 0. Soit B(T) = (14- T)e = £n>0 (^T71, et soit p e K tel que pe = ue.
Soit #(T) = PT(B o (JLtf - 1K)) = PT(lK + £n>e+i ÇT»-)î . On a Val(#) = 1
et #e = U . Soit # la série formelle réciproque de #. Alors (U o)P,W o&) est une
(x, y)-paramétrisation locale en v, et on a S = U o & = Te et W o & g K [[T]] .
Pour tout C € Ue(AT), le couple (Te,S(ÇT) est une (x, y)-paramétrisation locale en v .
Soit une (x, y)-paramétrisation locale en v de la forme (Te,5i), avec Sx € if[[T]] .
Elle est équivalente à (Te, S), d'où Te = Te o Q, où <9 € 5. On a donc Te = 9e ,
d'où aisément 0 = £T avec C € Ue(A'). Pour achever la démonstration, il suffit de
vérifier que l'application Ve(K) »-► 5(CT) est injective. Il est équivalent de dire que
5(CT) ^ S(T) pour tout C G Ve(K) \ {1} . Soit C € Ue(AT) \ {1} . Soit v l'ordre de
C dans le groupe Ve(K). Posons S{T) = £n>i cnTn . Si on avait S(T) = S(ÇT), on
en déduirait que Cn = 0 pour tout n ^ vN , d'où 5 = ^(T*) avec S2 e K[[T]] .
Comme v divise e, on aurait (Te,S(T)) = ((T1')- ,S2(TU)), en contradiction avec la
primitivité. Cette contradiction montre l'injectivité voulue ■
24.5 Le théorème de Riemann-Roch
Dans tout ce paragraphe, le corps de base K sera supposé algébriquement clos.
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K. Au paragraphe
24.2, nous avons introduit le groupe des diviseurs DLv(L/K) de la surface de Riemann
SRk(L) , et les If-espaces vectoriels S£{D) pour D e Div(L/K). Nous avons vu que ces
derniers espaces sont de dimension finie, et nous avons majoré leur dimension (théorème
24.2.2). L'objet du présent paragraphe est essentiellement une étude plus précise de
cette dimension. Nous verrons que Poutil de base de cette étude va être le théorème des
résidus algébrique (théorème 24.4.4), grâce auquel on peut mettre en dualité les fonctions
algébriques et les formes différentielles rationnelles de SRk(L) .
Pour tout diviseur D e Di.v(L/K), nous noterons I(D) = dim/f(i£(£))).
Remarquons que les entiers i(D) et Dgr(D) ne dépendent que de la classe de D modulo le
sous-groupe D±vpr(L/if ) des diviseurs principaux de L ; en effet, pour tout / G L* ,
on a Dgr(/) = 0 , d'où Dgr(D + div(/)) = Dgr(D) + Dgr(div(/)) = Dgr(D) , et les
K-e.v. %{D) et X(D -h div(/)) sont isomorphes, un isomorphisme du premier sur le
second étant donné par g »-► gf~l.
24.5.1 Adèles
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K. Pour étudier les
espaces S£{D) associés à SRjc(L) , il s'avère commode d'étendre la notion de fonction
algébrique sur SRjc(L) , en introduisant les adèles, ou répartitions (4) .
Dans ce but, pour v e SRk(L) , rappelons que nous avons noté I„ l'injection
naturelle L —► Lv . Au paragraphe précédent, nous étions convenus d'identifier L à un
sous-corps de Lv à l'aide de Iv , ce qui était justifié parce qu'on n'utilisait les complétés
Lv qu'individuellement. Ici en revanche, nous allons avoir à considérer simultanément
tous les complétés Lv , ce qui oblige à distinguer entre elles les images de L dans ces
complétés, donc, pour v € SRk(L) donné, à ne pas confondre L et IV(L).
Rappelons enfin que pour tout v € SRk(L) , nous avons noté v la valuation discrète
normalisée de Lv qui prolonge v continûment.
Soit C l'anneau produit Ylv€8RK(L)Lv L^nsemble des éléments {av)ve8RK(L) de
C tels que v(av) > 0 sauf pour un nombre fini d'indices v est de manière évidente un
sous-anneau de C.
Définition 24.5.1
Soit L un corps de fonctions^algébriques d'une variable sur K . Le sous-anneau de
Vanneau produit YlveSRK(L)Lv formé des éléments (av)veSRK(L) tels que v(av) >0
sauf pour un nombre fini d'indices v est appelé Panneau des adèles de SRk(L) ,
ou encore anneau des répartitions de SRjc(L) ; nous le noterons &L/K •
Dans les conditions de la définition 24.5.1, on a un morphisme d'anneaux canonique
(!) Il : L —► AL/K , / i—> (lv(f))v€8RK(L)
qui est injectif (en effet, tout élément / € L* possède un nombre fini de zéros et de
pôles, donc (lv(f))ve8RK(L) appartient bien à AL/K ). Le morphisme (1) munit AL/K
d'une structure naturelle de L-algèbre.
Nous noterons Dxv(L/K) le groupe abélien produit /8R*(L)} muni de l'ordre ^
produit des ordres naturels de ses facteurs; autrement dit, si x = {xv)veSKK(L) et
V = (yv)ve8RK(L) sont des éléments de Div(L/K), on a x ■< y ssi xv < yv pour tout
( ) Le mot adèle a été introduit par A. Weil, et répartition a été introduit par C. Chevalley (cf. [8]).
LE GENRE
v . Cet ordre -< est compatible avec la structure de groupe de Div(L/K) et fait donc de
ce groupe un groupe ordonné, mais non totalement ordonné. Le groupe D±v(L/K) muni
de Tordre défini au paragraphe 24.2 (ordre qui avait été noté ■< ) est évidemment un sous-
groupe ordonné de DLv(L/K). Une différence essentielle entre les groupes Div(L/K)
et Div(L/Ar) est que le second de ces groupes est libre (la famille (y)vesRK(L) en est
une Z-base) alors que le premier ne Test pas, car l'ensemble SRk(L) est infini (5) .
À tout élément a = (av)veSRK(L) de Al/k tel que av ^ 0 pour tout v , on associe
l'élément (v(av))vesRK(L) ^e mv(L/K), qu'on notera div(a) (attention, en général
il ne s'agit pas d'un diviseur de SRk(L) ). Si / € L* , pour tout v € SRk(L) on a
I„(/) ^ 0, donc div(Iz,(/)) est défini, et d'après la relation (5) du paragraphe 24.4,
on a v(Iv(f)) = v(f) pour tout v , autrement dit:
(2) di^(lL(/)) = div(/)
Nous noterons f^/K l'ensemble des éléments a = (av)ve8RK(L) de Al/k tels que
av ^ 0 pour tout v ; c'est une partie de Al/k stable pour la multiplication, qui
contient le sous-groupe multiplicatif Il(£*) du groupe U(AL/K) des éléments inversibles
de AL/K . Le groupe U(AL/K) est l'ensemble des éléments a = {o>v)vÇ:SRk{L) de A^,K
tels que av € U(A~) sauf pour un nombre fini d'indices v. Il est immédiat que pour
tous a € A£ ,k et b € A£ ,K , on a div(ab) = div(a) + div(b) . En particulier,
l'application
(3) U(AL/K)—+D&(L/K), a—>d£>(a)
est un morphisme de groupes, dont il est clair que le noyau est YlvesRK(L) ^(^ç) •
Pour tout diviseur D = ^2ve8RK(L) nv^ € DLv(L/K), nous poserons:
(4) K{D) = {a = (av)veBKK(L) e AL/K | (Wv e 3RK(L) ) nv + v(av) > 0}
(rappelons que par convention, on a m + (4-oo) = +oo pour tout m € Z, et que
0 < +oo ). On vérifie que A(£>) est un sous-if-espace vectoriel de Ai/k , et que:
(5) ^E(D) = X-L1(A(D))
Soit £>i G D±v(L/K) et £>2 € Div(L/tf) avec Dx ^ D2 . Il découle immédiatement
de (4) que A(£>i) C A(D2) et 2(£>i) C 2(D2).
24.5.2 Préliminaires d'algèbre linéaire
Lemme 24.5.1
Soit E un K-espace vectoriel et N, M\, M2 des sous-if-e.v. de E tels que
M\ C M2 et que ^/Mi soit de dimension unie. Alors les K-espaces vectoriels
Q = M2 O NjMi nN et R = M2 4- N/Mi + jy sont de dimension finie, et on a:
dim/c ( *^2/Af j ) = dim* (Q) 4- dim* (R)
Démonstration:
Notons p : M2 —► ^/Mi et i/j : M2 -\- N -> R les surjections canoniques et
i : M2 ON—*- M2 et j : M2 —► M2 -h N les injections canoniques. Comme
on a N C Ker(\poj)) par passage au quotient j définit une application AT-linéaire
(p : ^JM\ -> -R • H est immédiat que ip est surjective, car si (x, y) G M2 x N, on a
î/;(x -h y) = z/;(x) = (ipoj)(x). Cette surjectivité montre que J? est de dimension finie.
Soit z e M2 tel que (xp o j)(z) = 0 ; alors on a (x, y) e Mi x N tel que z = x -h y ,
d'où z - x G M2 O N , et p(z) = p(x) ; on déduit de là que Ker (</?) = Im (p o i). D'autre
) Si / est un ensemble infini, le groupe additif (Z7,+) est non libre.
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 181
part Ker(poi) = M\ n N, donc les K-e.v. Ker (<p) et Q sont isomorphes, donc Q
est de dimension finie. La formule du rang pour une application linéaire montre enfin
que dimj<:( m^/M\ ) = dim/c(Ker (</>)) + dimj<:(lm(c£>)) = dimK{Q) + dim*:(-R) ■
Indice d'un couple de sous-espaces
Soit E un X-espace vectoriel et M un sous-if-e.v. de E. Pour tout sous-AT-e.v.
F de E contenant M, l'espace quotient F/m s'identifie canoniquement à un sous-
espace de E/m - Cette identification étant faite, pour tous sous-if-e.v. F et G de £
contenant M , on a la relation suivante entre sous-if-espaces vectoriels de E/m '•
(6) F/M + G/M = (F + G)/M
Soit alors M\, M2 des sous-AT-e.v. de E . En appliquant (6) avec (Mi, Af2,Afi H M2)
à la place de (F, G, M), on voit que M\ n M2 est de codimension finie à la fois dans M\
et dans M2 ssi Mi O M2 est de codimension finie dans M\ + M2 . Comme l'application
linéaire naturelle M1+M2 -► (Mi + M^)/Mi x (Ml + M^/M2 a Pour noyau MiOM2 ,
on voit que M1 n M2 est de codimension finie dans M\ + M2 ssi Mi et M2 sont de
codimension finie dans M\ -h M2 . Si cette condition est satisfaite, on posera:
(7) MAfi, M2) = dim* ( ^i/Mi n Af2 ) " dirn* ( M2/mx n M2 )
L'entier relatif if;(Mi,M2) sera appelé Vindice de M2 dans M\. Il est clair que
pour tout sous-X-e.v. F de E contenant M\ + M2 , on a :Le(Mi,M2) = :lf(A^i>M2) •
Pour cette raison, il est inutile de faire référence à E dans la notation: on écrira donc
i(Mi,M2) au lieu de i£;(Mi,M2). Remarquons que pour que i(Mi,M2) soit défini,
il faut et il suffit qu'il existe un sous-K-e.v. F de E dans lequel M\ et M2 soient tous
deux de codimension unie. Notons aussi la propriété immédiate:
(8) i(M2,M1) = -i(M1,M2)
Lorsque M2 C M\, l'indice i(Afi, M2) est défini ssi M2 est de codimension finie
dans Mi, et s'il en est ainsi, alors i(Mi,M2) n'est autre que la codimension de M2
dans Mi.
Lorsque Mi et M2 sont de dimension finie, l'indice i(Mi,M2) est toujours défini,
et il vaut évidemment dimj<-(Mi) - dimjc(M2).
Proposition 24.5.1
Soit M\ } M2 , M3 des sous-K-e.v. d'un K-e.v. E tels que Mi O M2 soit de
codimension unie dans M\ + M2 et que M2 n M3 soit de codimension unie dans
M2 + M3 . Alors:
(I) Pour tout sous-K-e.v. N de M\C\ M2 de codimension finie, on a:
i(Mi, M2) = dimK ( Mx/N ) _ dimK ( M2/iV )
(II) Pour tout sous-K-e.v. F de E contenant M1 + M2 et dans lequel M\ et M2
sont de codimension finie, on a:
i(Mi, M2) = dira* ( F/Mi ) - dim* ( ^/m2 )
Démonstration ;
• Assertion (I)
Cette assertion se déduit immédiatement du fait que pour tout i e {1,2} , on a:
dim*( Mi/N ) = dim*( Mt/Mi n M2 ) + dimjc( Mi n M*/n )
• Assertion (II)
Soit F un sous-K-e.v. de E contenant S = M\ + M2 et dans lequel Mi et M2
sont de codimension finie (ce qui équivaut à la propriété que S est de codimension finie
182 LE GENRE
dans F ). Pour tout i € {1,2} , on a:
dimK( FJMi ) = dimK( F/s ) + dimK( S/M. )
d'où l'on déduit qu'il suffit de prouver l'assertion avec F = S. Or le second théorème
de Noether montre que pour tout i e {1,2} , les K-e.v. ^î/Mx D M2 et ^/Mi sont
isomorphes, d'où dim^C S/Mi ) = dim/c( ^%/Mi flM2))et l'assertion avec F = S en
découle, ce qui achève la démonstration ■
Corollaire
Soit Mi, M2, M3 des so us-if-e.v. d'un K-e.v. E tels que M\ n M2 soit de
codimension finie dans M\ 4 M2 et que M2 H M3 soit de codimension unie dans
M2 4- M3 . Aiors Mi D M3 est de codimension unie dans M\ 4 M3 , et on a:
i(Mi,M3) = i(Mi,M2) 4 i(M2,M3)
Démonstration:
Soit S = Mi 4- M2 + M3 et J = Mi n M2 H M3 . Comme Mi H M2 et M2 n M3 sont
de codimension finie dans M2 , et comme M2 est de codimension finie dans Mi 4 M2 ,
on voit que I = (Mi n M2) H (M2 n M3) est de codimension finie dans Mi 4 M2 . On
voit de même que I est de codimension finie dans M2 4 M3 . D'après (6), I est donc
de codimension finie dans S = (Mx 4 M2) 4 (M2 4 M3) (cela prouve, au passage, que
l'hypothèse équivaut à la propriété que I est de codimension finie dans S); a fortiori,
Mi H M3 est de codimension finie dans Mi 4 M3 . En appliquant l'assertion (II) de la
proposition 24.5.1, on en déduit:
i(Afi,M3) = dimK (^Mi) - dimK {s/m3)
= (dimK {S/Mx) - dim* {S/m2)) + (dim* {S/M2 - dim* {S/M3)))
= i(Mi,M2)4i(M2,M3) ■
24.5.3 Théorèmes de Riemann et de Riemann-Roch
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K , et soit v e SR^(L).
Revenons sur le complété Lv . Soit m le centre de v . Choisissons une uniformisante xv
de i/j on sait que c'est aussi une uniformisante de v ; pour tout m € f^J, l'ensemble des
a € Lv tels que v(a) > m n'est autre que la puissance ra-ième mm de l'idéal m = C^
de Aç. Si m € Z et m < 0, on conviendra de noter tîïm l'ensemble des a € Lv tels
que v(a) > m . En utilisant le i£-isomorphisme Sv,Xv du corps Lv sur le corps K((T)),
où T désigne une indéterminée sur K (voir paragraphe 24.4), on voit que pour tout
m e TL, l'ensemble TTÏm est le sous-,4^-module monogène de Lv engendré par (xv)m
(donc m0 = A~) ), et que pour tout m eN , la iiT-algèbre quotient ^/mm est un
K-e.v. de dimension finie égale à m, dont une base est (l,xv,..., (xv)m_1)
Proposition 24.5.2
Soit L un corps de fonctions algébriques dyune variable sur K (supposé
algébriquement clos). Soit Di e Div(L/K) et D2 e Div(L/AT), avec Dx •< D2 . Alors
A(Z>i) est de codimension finie dans A(D2), et on a:
dira* ( A(£)2)/A(I)1) ) = Dgr(D2) - Dgr(Di)
Démonstration:
Pour z e {1,2}, posons Di — YLV£Brk(l) ni,^- Par hypothèse, on a n^v < n2iV
pour tout v. Il n'y a rien à prouver si D\ = D2 , nous supposerons donc £>i ^ D2 .
Alors l'ensemble fini 5 = Supp(Z)i) U Supp(D2) est non vide. Pour tout v e SRk(L) ,
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 183
soit (pv la surjection canonique Aç —► ^/(cv)U2t^niv , et soit xv une uniformisante
de v. Étant donné a = (av)veBRK(L) € AL/tf , on a a € A(D2) ssi (x^)712"^ € *4~
pour tout v € SRat(^) • On peut donc définir l'application K-linéaire:
(9) * : A(D2) -> E = Il A~/(Cv)n2,v-n1<v , a = (av)v€SRK(L) -> (^v((^)n2^av))vE5
Il est immédiat que Ker (#) = A(Z)i). Soit (fr„)ves £ Hves^Ç^ Posons av = {xv)~U2'v
si v e 5 et av = 1 si v € SRk(L) \ 5 : il est clair que a = (aw)v€sRK(L) € MA2) > et
que $(a) = (<£v(M)v€S > d'où la surjectivité de #. Donc le AT-e.v. ^(^2)/h(D\) est
isomorphe à i?. Or £ est de dimension finie, égale à ^2v^s^m^(^/(cv)n2'v~ni'v ) >
c'est-à-dire à ^2v€S(n^v - n\yV) = Dgr(D2) - Dgr(Z>i) ■
Proposition 24.5.3
Avec les notations et hypothèses de la proposition 24.5.2, le K-e.v. A(Z>i) 4- Il(£)
est de codimension finie dans A(D2) 4- Il(£) , et 012 a:
l(D2) - 1(1?!) = Dgr(D2) - Dgr(Dx) - dirn* ( A(D2) 4- IL(L)/A(Dl) + Il(L) )
Démonstration:
Compte tenu de la proposition 24.5.2, on peut appliquer le lemme 24.5.1 en y prenant
E = &L/K j Mi = A(A) pour tout i e {1,2} , et N = Ti(L). La conclusion découle
du fait que pour tout i € {1,2} , les K-e.v. A(A) H XL(L) et I^1(A(Di)) = #(A)
sont isomorphes I
Nous allons maintenant étendre la proposition 24.5.3 en ne faisant plus aucune
hypothèse sur le couple (Di,D2) • La conclusion de la proposition 24.5.3 peut être
reformulée comme il suit en utilisant la notion d'indice de deux sous-espaces vectoriels:
(10) i(X(D2),X(Dl)) = Dgr(D2) - Dgr^) - i(A(D2) + IL(L),A(A) + 1L(L))
Dans les conditions de la proposition 24.5.2, soit donc deux diviseurs D\ e D±v(L/K)
et D2 e Div(L/K). Soit Z)3 la borne supérieure de Di et D2 dans (DLv(L/K),-<)
(au paragraphe 24.2, nous avons déjà noté que l'ensemble ordonné (Div(L/if), X)
est réticulé). Alors d'après la proposition 24.5.3, les sous-AT-e.v. A(Di) 4- Xl(L) et
A(D2) 4- Il(£) sont de codimension finie dans A(D3) 4- *l(L) > et par suite l'indice
i(A(£2)+ Xl(L),A(Di) + Xl(L)) est défini. On a alors:
Proposition 24.5.4
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K , et soit des diviseurs
Di e DLv(L/K) et D2 e Div(L/tf). On a:
\{D2) - l(D1) = Dgr(D2) - Dgr(D0 - i(A(D2) 4- IL(L), A(Dx) + XL(L))
Démonstration :
Soit D3 un majorant quelconque de D\ et D2 dans (Div(L//Q, ■<). En appliquant
(10) aux couples (L>3,D2) et (D$,Di) et en utilisant (8), on a:
(11) i(2(£>2),2(03)) = Dgr(D2) - Dgr(D3) - i{h(D2) 4- IL(L),A(D3) + IL(L))
(12) i{X{Dz)^{Dl)) = Dgr(D3) - DgrfJDx) - i(A(£>3) 4- IL(L), A(Z?i) + IL(L))
En additionnant (10) et (11) membre à membre et en utilisant le corollaire de la
proposition 24.5.1, on obtient:
(13) i(2(£>2),£(£>!)) = Dgr(D2) - Dgr(D1) - i(A(D2) + IL(L), A(DX) + XL{L))
Comme i(X(D2),X(Di)) = \{D2) - l(D{), la proposition en découle ■
184 LE GENRE
Nous pouvons maintenant passer au théorème de Riemann:
Théorème 24.5.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (supposé
algébriquement clos). Il existe un unique couple (g, 6), où g eN et où 6 est une fonction:
DLv(L/K) -+ N , tel que l(D) = Dgr(£>) + l-g+6(D) pour tout D € Div(L/A")
et tel que Von ait 6 (Do) = 0 pour au moins un Do € DLv(L/K) .
Démons tra tion ;
L'unicité du couple (d, 6) est immédiate (parce que 6 doit prendre la valeur 0).
Nous allons montrer son existence en deux étapes.
• Première étape
Rappelons que pour tout D e DLv(L/K), on a i(D) < 1 + Dgr(Z>) si Dgr(D) > 0
et l(D) = 0 si Dgr(D) < 0 (théorème 24.2.2). On introduit la fonction:
(14) r : DLv(L/K) —> Z, D h— 1 H-Dgr(D) - l(D)
Il découle de la proposition 24.5.3 que la fonction r est croissante de (Div(L//Q, ^) dans
(Z, <). D'autre part, r est constante sur toute classe de diviseurs, puisqu'il en est ainsi
des fonctions Dgr et I. Nous allons montrer que cette fonction est majorée. Soit t une
variable séparante de L sur K. Notons F = K(t) et d = [L : F]. Soit r le nombre
des pôles de t dans SRk(L) ; on a r > 1 (puisque t £ K). Notons Wqq l'élément Vp^.oo
de SRjc(F) . L'ensemble des pôles de t est 9C^F(wQO) ; soit {v\,... ,vr} cet ensemble,
et pour tout i € [l,r], soit e* = t(vi,Woo). On a e* = -vt(t) (une uniformisante de
Wqo est j ), et d'après la formule de ramification:
(15) f> = [L:F]=d
i=l
Le diviseur A = £!=i e* v^ n'est autre que le diviseur des pôles de t (voir début du
paragraphe 24.2). D'après (15), on a:
(16) Dgr(A) = d
Soit B la clôture intégrale de k[t] dans L . On a L = F- B . On peut donc choisir
une base du F-espace vectoriel L formée d'éléments de B. Soit (Ci)i<i<d une telle
base. Si / e B , il est clair que l'ensemble des pôles de / est contenu dans {t>i,... ,vr}
(on le voit en considérant une relation de dépendance intégrale de / sur k[t] et en
raisonnant par l'absurde). On a donc un entier no > 1 tel que div(fi) +no A >: 0 pour
tout i e [l,rj. En d'autres termes, & € %(tiq A) pour tout i e |l,r].
Soit n un entier > no . Comme div(t) + A y 0 , on a div(ti) 4- i A y 0 pour tout
i e N* , d'où ^ e 2(n4) pour tout (i, j) € [0,n - n0] x [l,dj. Il est immédiat que
la famille (*l£j)(i,j)elo,n-n0]x[Ml est /^-linéairement indépendante. Cela prouve que
I(n A) > (n - n0 + l)d, d'où Dgr (n 4) - I(n 4) < nd - (n - n0 4- l)d = (n0 - l)d. On
a donc établi:
(17) (VneN avec n>n0) v(nA) < 1 4- (n0 - l)d
Soit maintenant D € Dlv(L/K) un diviseur quelconque. Soit /ii,...,/ir les
coordonnées de D sur i>i >...j tv ; notons <2 l'ensemble 01l,f(Supp(D) \ {vx,... , tv}) et g
son cardinal. Soit P = 3TLltF(Q) et p = card(P). Si P ^ 0 (ce qui équivaut à Q ^ 0 ,
ou encore à Supp(D) £ {vx,..., vr} ), notons P = {ui,..., uq] et notons Ai,..., Xq les
coordonnées de i) sur u^,...,^. Notons Q = {wx,..., wg} . Soit T une indéterminée
sur L, et pour tout i e [l,g], soit i^ = S^L,F(wi), et soit ^ l'élément de K tel que
Wi = VF,t,T-u (comme Q D {vu..., vr} = 0 , on a i^ ^ u/qo pour tout i € (1, qj ). Soit
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 185
x = rii=?(* ~~ *t) (si Q = 0 , on prend x = 1 ). On a alors:
i=p j=r
(18) div(x) = ^2miy± + 5Zni^i avec m* € ^ Pour tout * € [l,pl
i=l j=l
D'après (18), pour tout entier ^ > 1 assez grand, les coordonnées de D — div(x£) sur
tous les v pour v € SRk(L) \ {t>i,...,vr} sont des entiers < 0 . Fixons un tel entier
£. On a alors:
(19)
D - div(x^) = ^2 kiV± + Yl £vU
i=l v€BRK(L)\{vit...tvr}
[^ avec £v < 0 pour tout v e SRk(L) \ {t?i,..., vr}
donc D — div(x*) •< ^i=i^^i- Soit n un entier > 1 tel que £31=1^^1 ^ n^l (il
est clair qu'un tel entier existe). On a alors D — div(x^) ■< nA, d'où puisque r est
croissante sur (D±v(L/-ftT), -<) et est constante sur toute classe de diviseurs, et en tenant
compte de (17):
(20) t(D) = X(D - div(x£)) < r(n A) < 1 + (n0 - l)d
On a donc montré que t est à valeurs dans J - oo, 14- (no -l)d\. Dans la suite de cette
démonstration, nous noterons g la valeur maximum de r.
• Fin de la preuve
Pour tout D e D±v(L/K), on a 0 < r(D) < g , donc 0 < g - t(D) < g .
Soit 6 la fonction Div(L/K) —► M , D ■-> g - t(D). Elle est à valeurs dans N , et
par définition même, on a Î(D) = Dgr(D) + 1 - <? + 6 (D) pour tout D e Div(L/K).
De plus par définition de g , r prend la valeur g , donc 6 prend la valeur 0. Le couple
(g) 6) convient donc ■
Dans les conditions du théorème 24.5.1, l'unique couple (<;, 6 ) qui satisfait la
condition de l'énoncé sera noté (gL/K, &l/k) •
Nous allons maintenant donner une expression de la fonction ûl/k faisant intervenir
les diviseurs canoniques de L sur K (voir section 24.3.2). Rappelons que si d désigne
le degré commun aux diviseurs canoniques de L sur K (dont l'ensemble est appelé la
classe canonique de L sur K , notée &l/k )i alors, par définition, le genre de L sur K
est Ql/k = * + i • Notons aussi que la fonction D h-+ l(D) est constante sur la classe
canonique &l/k • L'expression que nous allons obtenir pour ûl/k nous permettra
d'établir les remarquables propriétés çl/k = Ql/k et (VA e &l/k) KA) = QL/K ,
d'où il découlera notamment que Ql/k € N (ce que la définition 24.3.5 ne rend nullement
évident). Quelques préliminaires sont nécessaires.
Proposition 24.5.5
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (supposé
algébriquement clos). Il existe D e Div(L/K) tel que AL/K - A(D) -f TL(L).
Soit D e D±v(L/if ) tel que l(D) = g^/jc , nous allons voir que D convient.
Raisonnons par l'absurde, en supposant trouvé a = (av)ve8RK(L) £ &l/k \(a(^) + *l(L)) •
Posons D = Y<veBRK(L)mvV-- ^ est clair Que ï'adèle Df = (Min(£(av), -mv))veBRK(L)
vérifie D' :< -D et appartient à D±v(L/if ). Comme a £ A(D), on a D' -< -D.
Posons 3 = -D1 — ^2veaRK(L)nv^' On a D -< 2) et nv + P(av) > 0 pour tout v,
donc a G A(3). Comme D ^ 3 , on a A(D) C A(9>) et A(D) -h Il(L) C A(9>) + XL(L),
la seconde inclusion étant stricte car a G (A(9)) -h Il(£)) \ (A(D) -h Il(^)) • Comme
dirn/c f (A(25) + I^(i))/(A(Z>)-hlL(^))) > 0, la proposition 24.5.3 montre qu'on a
<3l/k = *(D) < ^(2)) i ce qui est absurde. On a donc bien AL/K = A(D) -h Il(L) ■
186 LE GENRE
Corollaire
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (supposé
algébriquement clos). Pour tout D e Div(L/K), le K-espace vectoriel A(L>) + Tl(L) est
de codimension unie dans &l/k > e^ on a:
*l/k(D) = dim* ( aV*/(a(D) + Il W) )
Démonstra tion :
Soit Dq € DLv(L/K) tel que &l/k{Do) = 0- D'après la proposition 24.5.4, pour
tout D € D±v(L/tf), on a:
*l/k(D) = dL/K(L>) - dL/K(A)) = i (AL/*(A)) + Il(L), AL/K(D) + XL(L))
Mais d'après la démonstration de la proposition 24.5.5, on a Al/k(Do) + îl(L) = A^/k ,
donc Kl/k{D) + *l(L) est de codimension finie dans f<LjK-> et la valeur de cette
codimension est i (Al/k^o) H- Tl(L),AL/K(D) + Il(£)) » d'où la proposition ■
Dans les conditions ci-dessus, nous noterons Wl/k l'ensemble des formes A*-linéaires
sur Al/k qui sont nulles sur au moins un des espaces A(£>) -h Tl(L) • Du fait que
l'ensemble ordonné (Div(L/l£), -<) est réticulé, la famille (A(D) 4- Il(£))d€d1v(l/k)
de sous-AT-e.v. de Al/k est filtrante à gauche pour C , ce qui entraîne que Wl/k est un
sous-if-espace vectoriel de Homj^Aj,/#-,!£) çe So\is-K-e.v. est muni d'une structure
naturelle de L-espace vectoriel. En effet, si (/, </?) € LxWL/K , soit V la forme If-linéaire
sur Al/K définie par
(21) (Va€AL/K) iKa) = ?(IL(/)a)
Alors si D € D±v(L/K) vérifie A(D) -h Il(^) C Ker (</?), on vérifie immédiatement
que A(D + div(/)) + Il(L) C Ker (t/>), donc -0 G WL//c • On pose </> = /</?. On a ainsi
défini une application L x Wl/k —* Wl/k » (/> <f) *-> f<P > dont on vérifie qu'elle confère à
Wl/a: une structure de L-espace vectoriel. Nous munirons systématiquement Wl/k de
cette structure de L-espace vectoriel; par restriction des scalaires à K, cette structure
redonne la structure de if-espace vectoriel initiale de W^/jc .
Pour tout D e Di.v(L/K), nous noterons A°(D) le sous-AT-e.v. de VIl/k
constitué des formes /^-linéaires sur AL/x nulles sur A(L>) -I- Iz,(L). Si D\ € Div(L/K)
et D2 e Div(L/J0 avec Di ^ D2, on a A°(L>2) C A°(L>i). Comme la famille
de if-espaces vectoriels (A(L>) 4- ïl(L))d€DLv(l/k) est filtrante à gauche pour C ,
la famille (&°(D))D€Div{l/k) est filtrante à droite pour C. Par définition, on a
Wl/k= uD€d1v(VK)a°(D).
Formes K-linéaires sur les adèles et résidus
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K, soit v € SRjc(L)
et soit uj e Ok(L) . Pour tout / € L, le résidu Res(/u;,i;) est défini, parce que
nous savons ce qu'est l'élément foj de Ok(L) . Nous nous proposons d'étendre cette
définition au cas où / e Lv . Sur K , la distance ultramétrique triviale induit la topolo-
gie discrète et fait de K un espace métrique complet. Munissons L de la distance
ultramétrique dv issue de v, qui est induite par la distance ultramétrique d~ issue de
v. Rappelons que (Lv,d~) est un complété de (L,dv). L'application If-linéaire
(22) RW|W : L-^K, />—>Res(/u;,t/)
est uniformément continue, car si u ^ 0, on a Rw(/) = 0 dès que v(f) > -ordv(u;).
Il y a donc une unique application continue RWjW : Lv —► K qui la prolonge, c'est-à-
dire telle que RW)V olL — RW)1;, et cette application est uniformément continue; il est
immédiat qu'elle est aussi AT-linéaire.
Chapitre 24 , § 5 Le théorème de Riemann-Roch 187
Pour ip € Lv donné, il est facile de déterminer Rw,v(<p) ; si uj = 0 , on a Ra;>v((p) = 0 ;
supposons uj ^ 0. Rappelons que <p est, par définition du complété Lv , une suite
(/m)meZ , où /m € V(cv)m Pour tout m> te^e Que Pour tout (™>n) € 22 avec
m <n, l'image canonique de fn dans ^/(cv)m soit /m (voir section 24.4.1). Cela dit,
on vérifie que Ru,,w(yO = Res(/mu;, v) pour tout entier m > — ord„(tt;). On en déduit
facilement, que u soit nul ou non:
(23) Si ordv(cj) + v(<p) > 0, alors Ru,|V(y>) = 0.
Enfin, pour toute uniformisante t de v , si on note g l'élément de L tel que uj = g • dt,
avec les notations de la section 24.4.2, on voit que
(24) RW|V(V) = Res(SUtt{tpg))
Fixons maintenant u € Hk{L) • Ce qui précède va nous permettre d'associer à
uj une forme If-linéaire sur Al/k > Qui va s'avérer être un élément de Wl/k • Soit
a = (a>v)vesRK(L) € AL/K et w E *!*(£) • L'ensemble {v e SRK(L) | RW|v(av) ï 0}
est fini, en vertu de (23), parce que v(av) > 0 sauf pour un nombre fini d'indices v, et
parce que l'ensemble des pôles de u) est fini. La somme ^2veBRK(L) rw,v(g«) a donc un
sens. On posera:
(25) (Va = (av)ve8R/c(L) € AL/K ) Aw(o) = ]T RW)V(av)
V€SR/c(L)
La relation (25) définit (6) une forme K-linéaire A^ sur AL/k (If-linéarité des résidus).
Proposition 24.5.6
Dans les conditions ci-dessus, on a Aw G Wl/k , et si uj ^ 0, aiors A^ ^ 0.
Démonstration:
• Si (j = 0 , on a A^, — 0. Si uj ^ 0, soit A^, — div(cj) — X^v€8R/f(L) °^dv(cj)i/ ;
nous allons montrer que A^ € A°(AW). En effet, soit b = a+lL(/) 6 A(Aa;) + Ix/(L), où
/ e L et a = (ov)v68Rk:(l) g a(Aw) . Pour tout v e SRk(L) , on a v(av) + ordv(uj) > 0
en vertu de l'hypothèse, d'où Ru)iV(av) = 0 d'après (23). Par suite:
RW|V(6) =RW|V(o1,)-hRu;|V(lL(/)) =Ru;,v(av) + Res(fu),v)
r
(26) (Wve8RK(L)) f
Res(/a;,v)
On déduit de (26) et du théorème des résidus algébrique (cf. théorème 24.4.4) que
Au/(b) = £„€srjc(l)*<*m>(6) = T,ve8RK(L)Res(fu>v) = °' Comme b est arbitraire,
cela montre bien que A^ € A°(AW), d'où A^ e Wl/k •
• Supposons uj ^ 0, et montrons que A^ ^ 0. Fixons t>o G SR#(L). Choisissons
une uniformisante to de i/o , et soit / l'élément de L* tel que u = f - dto . Posons
m = vo(f) ; l'image canonique Àm de t^771/ dans le corps résiduel KVo = if est donc
non nulle. Pour tout v e SRk(L) \ {^o} , posons av = 0 , et posons aVo = tô • ^n
définit ainsi un adèle a = (av)u€8RK(L) e A^/^ . Il est immédiat que
Aw(o) = Res(aVo(j,i;o) = resto(£ô(m+1)/) = Am ^ 0
On a donc bien A^ ^ 0 I
D'après ce qui précède, on a donc une application:
(27) nK(L)—*WL/K, uj^A»
( ) Les formes linéaires ainsi définies sur l'espace des adèles s'appellent les formes différentielles de Weiî.
188 LE GENRE
qui est visiblement AT-linéaire, donc injective en vertu de la proposition 24.5.6. D'après
la définition (21) de la loi de L-espace vectoriel de Wl/k > e^ compte tenu que le L-espace
vectoriel £Xk{L) est de dimension 1, il est immédiat que l'application (27) est en fait
L-linéaire.
Proposition 24.5.7
Soit L un corps de fonctions algébriques sur K. On a dim/XW^/tf) = 1.
L'application (27) est un isomorphisme de L-espaces vectoriels.
Démonstration:
On sait que Qx(L) est un L-e.v. de dimension 1, et on a vu que l'application (27)
est L-linéaire et injective. Il suffit donc de montrer que dimL^L/K) < 1 • Soit </? € WL/K
et ip e Wl/k • Soit D € DLv(L/K) tel que {ip, tp} C A°(D). Raisonnons par l'absurde,
en supposant </? et ip linéairement indépendantes sur L. Soit A € Div(L/K) ; pour
tout / e 2(A), on a {/</?, ftp} C A°(D - A). L'application ^-linéaire
(28) X(A)xX(A)—+A°(D-A), (f,g) — /</> + g *
est injective, par suite de la L-indépendance linéaire de <p et ip . En tenant compte du
corollaire de la proposition 24.5.5, on en déduit que
(29) 2l(A)<dL/K(D-A)
Le théorème 24.5.1 donne, en tenant compte que Dgr(D — A) = Dgr(D) — Dgr(^l) :
(30) Ï(D -A)= Dgr(D) - Dgr(A) + 1 - gL/K + dL/K(D - A)
En combinant (29) et (30), on obtient:
(31) l(D -A)> Dgr(D) - Dgr(4) 4-1 - gL/K + 2 i{A)
Par une nouvelle application du théorème 24.5.1, on a:
(32) 1(4) - Dgr(A) + gL/K - 1 = dL/K(A) > 0
d'où, en reportant (32) dans (31):
(33) l(D -A)> Dgr(D) + Dgr(A) + 2(1 - gL/K)
On peut choisir A de façon que Dgr(4) soit aussi grand qu'on le veut. Choisissons-le
de façon que Dgr{A) > Max(Dgr(D),2gL/K - 2 - Dgr(D)). Alors Dgr(D - A) < 0 ,
donc Î(D - A) = 0 , donc (33) donne:
(34) 0 > Dgr(D) + Dgr(A) + 2(1 - gL/K) > 0
ce qui est absurde. Cette contradiction montre que dimi(\r9L/K) < 1, ce qui achève la
démonstration ■
Nous pouvons enfin établir théorème de Riemann-Roch, qui précise le " défaut " 6
del 'énoncé du théorème de Riemann 24.5.1 (rappelons que ce défaut 6 a été noté d^jx
à la suite du théorème 24.5.1):
Théorème 24.5.2
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (le corps K étant
supposé algébriquement clos). Pour tout diviseur canonique A e &l/k e* Pour tout
diviseur D e DLv(L/K), on a:
Î(D) = Dgr(D) + 1 - gL/K + l(A - D)
Autrement dit} pour tout D e Div(L/if), on a dL/K(D) = l(A - D).
Démonstration:
• Fixons un diviseur D = Y<veBRK(L) nv2ie Div(L//Q. Notons E le tf-espace
vectoriel ^/^/(a(D)-h Il(L)) et E* son dual algébrique. Soit ip la surjection canonique
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 189
kL/K —► £ ; l'application E* —► A°(£>), a ■-► a o <p est un isomorphisme de if-espaces
vectoriels. D'après le corollaire de la proposition 24.5.5, on a, compte tenu que E est de
dimension finie:
(35) àL/K(D) = dimK(E) = dimK(E*) = dim*(A°(£)))
Par définition de Wl/k > et compte tenu de la proposition 24.5.7, le K-e.v. A°(D) est
isomorphe au K-e.v. £d des formes différentielles u e SIk{L) telles que A^ soit
nulle sur A(D) + IL(L). Soit u € ftK(L) ; soit b = a + IL(/) € A(D) + IL(L), avec
a = (av)V€8RK:(L) € A(D) et / € L . On a Aw(6) = Au;(a) -h Au;(IL(/)), et en vertu du
théorème des résidus 24.4.4 (appliqué à la forme différentielle fut ):
Au,(il(/)) = E *»A*L(f)) = E Res(^'v)=°
veSKK(L) veSRK(L)
donc Au;(6) = 0 ssi Aa,(a) = 0. Cela prouve que Sq est le K-e.v. des formes
différentielles u e UK{L) telles que A(D) C Ker(Aw).
Soit alors u/ E fi^(L) \ {0} , et montrons que uj e Sd ssi Aw = div(cj) >: D. Si
div(u;) >: D, alors K(D) C A^A^) ; mais d'après (23), on a A(AW) C Ker(Aw), d'où
a fortiori A(D) C Ker(Au;). Réciproquement, supposons que A(D) C Ker(Aw), et
montrons que div(c<;) >: £>. Soit i/o € SR/c(£) ; il faut prouver que ordVo(u/) > nVo .
Soit to une uniformisante de i/o , et soit / l'élément de L* tel que u = /• d^o ; on a donc
ordv0(u/) = i>o(/) • Notons À l'élément de K égal à la classe de Îq f dans le corps
résiduel /CVo = K : on a À ^ 0. Raisonnons par l'absurde, en supposant v(f) < nVo.
Pour tout v e SRk(L) \ {i/o} , posons av = 0, et posons aVo = £q (v(')+1) . On définit
ainsi un adèle a = (av)veBRK(L) , et on a
(36) Au,(a) = R^KJ = resto(aVo/) = A ^ 0
Mais puisque v(f) < nVo , il est clair que a € A(D), donc (36) contredit l'inclusion
h(D) C Ker (Aw). Cette contradiction prouve que div(cj) h D .
En conclusion, on a montré que ô.l/k{D) est la dimension du sous-AT-espace vectoriel
£D = {0} U {uj e UK{L) \ {0} | div(w) h D} de ftK(L).
• Fixons u e ÇIk{L) \ {0} ; une base du L-espace vectoriel ft^(L) est (u). Soit
/ e L* ; on a fu G ^b ssi div(/u/) b £, i.e. ssi div(/) -h div(u/) >: D, ce qui
équivaut à: / 6 ^(A^ - D). Cela prouve que £& est l'image de ^(Aw — D) par la
bijection (L-linéaire donc if-linéaire) / ■—► fuj . Donc
dL/K(D) = dimic(^) = dirn*(££(A„ - C)) = I(AW - D) M
Définition 24.5.2
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (où K est supposé
algébriquement clos). Une forme u € ÏIk{L) est dite régulière ssi elle n'a pas de
pôle, i.e. ssi u = 0 ou u ^0 et div(a/) y 0.
Dans les conditions de la définition 24.5.2, il est immédiat que les formes différentielles
régulières forment un sous-AT-espace vectoriel de Qk(L) .
Théorème 24.5.3
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (où K est supposé
algébriquement clos).
(I) Le K-e.v. des formes différentielles régulières de L sur K est de dimension
finie, égale à gL/K .
(II) L'entier naturel çl/k e^t égal au genre QL/K ; de façon équivalente, pour tout
diviseur canonique A e &l/k > on a Dgr(A) = 2qLjK - 2.
190 LE GENRE
Démonstration:
Dans tout ce qui suit, nous fixerons un diviseur canonique A = A^ € &l/k > où
u>e nK(L)\{0}.
• Assertion (I):
On a i£(0) = K (cf. relation (11) du paragraphe 24.2), donc 1(0) = 1. En appliquant
le théorème 24.5.2 avec D = 0 et avec A , on obtient donc 1 = 1- gL/K + KA), c'est-
à-dire 1{A) = gL/K • Soit alors / € L* ; comme div(/u;) = div(/j 4- div((j , on a
/ e &(A) ssi div(fw) y 0, c'est-à-dire ssi fu est régulière. Comme (u) est une base
du L-espace vectoriel SIk(L) , on en déduit que le K-e.v. des formes régulières de L
sur K est isomorphe à %(A), donc est de dimension l(A) = gL/K •
• Assertion (II)
En apliquant le théorème 24.5.2 avec D = A, et en tenant compte de l'assertion
(I) ci-dessus et du fait que ((0) = 1, on obtient (puisque Dgr(A) = 2 QL/K — 2 par
définition du genre):
gL/K = \{A) = Dgr(A) + 1 - gL/K +1(0) = 2 + (2ql/k - 2) - gL/K
d'où gL/jR: = QL/K ■
En combinant le théorème 24.5.3 et le théorème 24.3.2, on obtient la conséquence
suivante, peu évidente:
Corollaire 1
Supposons le corps K parfait Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable régulier sur K . Alors le genre QL/K est un entier naturel, et le théorème 24.5.2
(de Riemann-Roch) reste valable.
Démons tra tion :
Soit 1? une_clôture algébrique de L . Notons K la clôture algébrique de L dans J? ,
et notons A = KL .^D'après le théorème 24.3.2, A est un corps de fonctions algébriques
d'une variable sur AT, et on a Ql/k — Qa/~R' Comme K est algébriquement clos,
d'après le théorème 24.3.5, on a g^ r^ = gA ,-g e N .
L'énoncé du théorème 24.5.2 a un sens sous la seule hypothèse que K est parfait. On
le prouve en étendant les scalaires de K à K , et en utilisant la proposition 24.3.9 I
En combinant le corollaire 1 ci-dessus aux théorèmes 24.3.6 et 24.3.7, et en tenant
compte que le diviseur de ramification est toujours positif, on obtient:
Corollaire 2
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques dfune
variable sur K ; soit F un sous-corps de L contenant K, distinct de L, vérifiant
degtrK(F) = 1 et sur lequel L soit séparable. On a Qp/K ^ $l/k • Si QL/K = 0,
on a QF/K =0 et 0 < Dgr(RamL/^) = 2 [L : F] - 2. Si QL/K = 1, alors ou bien
Qf/k = 1 et Rcim^/F = 0, ou bien QF/K = 0 et Dgr(RamL/^) = 2[L : F] . Si
Ql/f > 2 i alors QF/K < ql/k .
24.5.4 Premiers exemples d'application
Exemple 24.5.1 : corps de genre zéro
Nous avons déjà vu que si K est parfait, tout corps de fonctions rationnelles d'une
variable sur K régulier est de genre zéro (cf. exemple 24.3.2). Nous verrons plus loin
que la réciproque n'est en général pas vraie. Nous allons voir qu'elle est vraie si K est
algébriquement clos. Faisons cette hypothèse, et soit L un corps de fonctions algébriques
sur K de genre zéro. Fixons v G SRk(L) . En appliquant le théorème 24.5.3 avec
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 191
D = y , qui est de degré 1 ; on obtient l(D) = 2 + dL/jc(Z?) > 2. Donc K C <£(£>).
Soit / € ££(D) \ K ; alors / possède au moins un pôle, et puisque div(/) 4- y >: 0, ce
pôle ne peut être que y avec la multiplicité 1, i.e. v(f) = —1. Posons F = K(/) et
soit d = [L : F]. Soit u; l'élément Vrfi/|00 de SRk-(F) ; l'ensemble des pôles de / dans
8Rk(L) est ^i^f(w), donc 2ftï,*jr(w) = {v} • On a e(i/,w) = —v(/) = 1; d'après la
formule de ramification, on en déduit d = e(i/, w) = 1, donc L = if (/). En conclusion:
{Le corps K étant supposé algébriquement clos, les corps de fractions
rationnelles d'une variable sur K sont les corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K de genre zéro.
Nous développerons plus loin une étude systématique des corps de genre zéro sur un
corps parfait arbitraire (voir paragraphe 27.8) +
Exemple 24.5.2 : corps de fonctions hyperelliptiques
Supposons K algébriquement clos, et reprenons le corps L de fonctions algébriques
d'une variable sur K défini à l'exemple 24.3.4, dans le cas où il est de genre > 1.
Nous allons donner une base du if-espace vectoriel des formes différentielles rationnelles
régulières de L sur if. Rappelons que L = if(x,y), où x est if-transcendant, où
r e M * , où:
i=2r+l
(38) y2= J] (x-oi)
i=l
et où les ai appartiennent à if et sont deux à deux distincts. Nous avons vu qu'alors
Ql/k = rJ et Que les points de branchement de ^Hl,k(x) sont ^oo = ^(aO.x.oo et les
Wt = yk(x),x,T-ai> 1 < î < 2r -h 1, (où T est une indéterminée sur L), les indices de
ramification valant tous 2 . Pour tout i € {oo} U |l,2r 4- 1], soit Vi l'unique élément
de SRk(L) au-dessus de Wi. On a vu que Ql/k = r , et que
i=2r+l
(39) div( dx) = -3^oo + Yi ïi
Il est immédiat que div(x) = 2î;p-2t;00 si 0 € {ai}i<i<2r+i et div(x) = -2^+v^+v^
si 0 £ {ai}i<i<2r+i , où {vo,Vo} = ^^(^(wo). Dans tous les cas:
(40) div(x) >z-2yoo
Un calcul facile donne:
i=2r+l
(41) div(y) = -(2r + l)^ + £ a
i=l
On déduit de (39), (40) et (41):
(42) (Vfc€ N) divf —dxj = k div(x)-div(y) + div(dx) h 2(r-(ifc + l)) Vç»
donc la forme différentielle ~ dx est régulière pour tout A: € [0, r - 1]. Comme
l'application [0,r-lj -> M , A: i-> ordUoc(y dx) est injective, les formes (jdi)o<Kr-i
sont if-linéairement indépendantes. Le if-e.v des formes différentielles régulières de L
est de dimension Ql/k = r • On en déduit:
Une base du if-espace vectoriel des formes différentielles régulières de L
sur K est ( ^ dx J
V y /o<fc<r-i
Exemple 24.5.3 :
Supposons if algébriquement clos, et reprenons le corps L de fonctions algébriques
d'une variable sur if de l'exemple 24.3.3, dans le cas où il est de genre > 1. On a donc
LE GENRE
L = K(x,y), où x est ^-transcendant, où les (ai)i<i<2r sont des éléments de K deux
à deux distincts, avec r > 2 , et:
i=2r
(43) y2 = n (x " a*)
Nous avons vu Ql/k = r — 1 et que les points de branchement de 2ftz,,iC(x) sont les a*,
l'indice de ramification valant partout 2 . Pour tout i € [l,2rj, soit Wi = V/c(:r),x,r-ai
(où T est une indéterminée sur L) et soit Vi l'unique élément de SR^(L) au-dessus
de Wi. Soit {î4,<J = &!**(*) K*>). On a vu que:
i=2r
(44) div(dx) = -2î4 - 2i& + ]£ B
i=l
Comme à l'exemple précédent, on voit que div(x) h —t^, —v^, et v^ et v£, sont les
seuls pôles de x . D'autre part, div(y) = -r^ - rv^4- X^=ir£t • D'où
(45)
(VfceN) div(—dr)h(r-(fc + 2))(^a + t^)
d'où div(— dx) h 0 pour tout k € [0,r - 2]. On vérifie comme à l'exemple précédent
que la suite (^- dx)o<fc<r-2 est if-linéairement indépendante, et on conclut:
Une base du K-espace vectoriel des formes différentielles régulières de L
sur K est ( ~ dx)
\y /0<fc<r-2
Exemple 24.5.4 :
Le corps K, étant supposé algébriquement clos et de caractéristique différente de
2, 3 et 7, supposons que L admette pour modèle projectif r la quartique de Klein,
définie en coordonnées homogènes par le polynôme X3Y + Y3Z + Z3X, et donc, en
coordonnées affines, par P(X,Y) = Y3 4- X3Y + X . Avec les notations habituelles, on
a donc y3 4- x3y 4- x = 0 . On vérifie aisément que P(X, Y), considéré comme polynôme
en Y , est séparable et if (X)-irréductible. Notons r la quartique de Klein projective et
r sa partie affine. On vérifie facilement que f n'a pas de point singulier, et comme son
degré est 4 , d'après un théorème que nous verrons plus tard (7) , on en déduit que son
genre est 3. Soit respectivement V\ , Vy et Vz les droites projectives d'équations
X = 0, Y = 0 et Z = 0 et Ox , Oy , Oz leurs trois points communs prisesjieux à
deux, de coordonnées homogènes (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). La quartique J1 passe
par Ox , Oy , Oz > ses tangentes en ces points sont respectivement Vy , î>z et T>x •
Les points Ox , Oy , Oz sont points d'inflexion de J1. Comme on s'en assure aisément,
les tangentes à r passant par Oy sont au nombre de 9 , y compris la tangente Vz en
Oy (le nombre général des tangentes à r issues d'un point est 12 , mais ici la tangente
inflexionnelle Vz compte trois fois et la tangente inflexionnelle Vx compte deux fois).
Ces indications seront utilement comparées aux calculs qui vont suivre. Nous allons
montrer directement que son genre est 3 en calculant le diviseur canonique div(u;), où
u = dx . Pour tout £ e K , on note wç = VK(x)tx%x-i > et on note w°° = ^7c(x),x,oo •
Le discriminant réduit de P en Y est A(X) = X2 (4X7 4- 27). D'après l'hypothèse
sur K, le groupe des racines septièmes de 1 dans K est 7-cyclique. Soit ( une racine
primitive septième de 1 dans K, et soit p e K tel que p7 = -~ . Soit S l'ensemble
{0} U {pk}o<k<6 , où pk — Chp pour tout k. D'après le théorème 23.3.7, pour tout
) Qui dit qu'un corps admettant un modèle projectif plan sans point singulier de degré n > 2 est de
genre fr-1»"-2? . Voir théorème 27.5.2
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 193
f € iC \ £ , le corps L est non ramifié sur F au-dessus de wç , donc x — £ est une
uniformisante pour toute v € SR^f^é) > d'où °rdv(<j) = v( dfë-cj) = ° (cf* remar(lue
24.3.1). Soit v e 9C^F(wo) î on déduit de y3 + x3y + x = 0 que v(y) > 0 et que
3v(y) = v(x) ; comme Y^vzwr1 (w0) e(v'wo) = 3 , nécessairement v(y) = 1 et v(x) = 3 ,
donc y est une uniformisante de v. Finalement, S&XV^o) est un singleton {vq} , et
e(vo^o) = 3. On a (1 + 3x2y)-^ = -(x3 + 3y2), d''où ordVo(u;) = v0(^) = 2 (cf.
remarque 24.3.1).
Soit k € [0,61. On a P(pk,Y) = (Y - T)k)2(Y - 7fc), avec 7?fc ^ -yk . Il y a
deux points de r d'abscisse pk , qui sont (pk.Vk) • D'après le théorème 23.3.7, il y
a un unique élément vk € SRjc(L) dont le (x,y)-centre est (pkHk) , et x — pk est
une uniformisante de i/fc . Comme ci-dessus, on en déduit que ordVfc (a;) = 0. Soit
v e <3£ilF(wk) de (x, y)-centre {pk,Vk) • Comme (pk,v)k) est point non singulier de r , il
y a un seul élément v'h e 8Rk(L) de (x, y)-centre (pk,rik) > et y — rjk est nécessairement
une uniformisante de v'k . Si t? € 2ft2*jr (^p* ) » on a v(î/) ^ à cause de l'équation
y3 + x3y + x = 0, donc le (x,y)-centre de v ne peut être que {pki7]k) ou (/?fc,7fc) •
En définitive, 9£ï,^(wpfc) = {^fc?^}? et la formule de ramification montre alors que
e(v'k,wk) = 2 . D'après la remarque 24.3.1 et la démonstration du théorème 24.3.7, on a
v£(-^) = 1, car la caractéristique n'est pas 2. Donc ord^u;) = 1.
Examinons maintenant la fibre <3CL F (Wqq ). Une uniformisante de Woo est t = £ ;
on a t3y3 4- y 4- t2 = 0 ; par l'assertion (80) du paragraphe 24.4, il y a un élément
i>oo e SRk(L) et un seul de (£,y)-centre (0,0), et t est une uniformisante de i^ , d'où
ord^(u) = ^oo(-^jf) = ^oo(~^) = —2. Comme (0,0) est le seul point d'abscisse 0
sur la courbe d'équation f 3rj3 4- rj 4- f = 0, la formule de ramification montre qu'il y a
au moins un élément v € SRk(L) de (£,y)-centre (0,1,0). On s'en assure en posant
z = - , d'où t2z3 4- z2 4-13 = 0 . Un tel élément v admet (0,0) pour (t, z)-centre, et
vérifie nécessairement 2v(z) = 3v(t), d'où par raisonnement vu plus haut, v(z) = 3 et
v(t) = 2 = e(u,ttfoo) • La formule de ramification montre alors que v est unique; notons
v'oq cet élément, d'où 3^l1tF(wOQ) = {voo^v^} - Une uniformisante de v'^ est f = f •
Comme la caractéristique n'est pas 2 , la remarque 24.3.1 et la preuve du théorème 24.3.7
montrent que ord^ ( dt) = 1, d'où
ord^ (dx) = <4 (J^j 4- ordv>Jdt) = 1 4- *4 (-^) = 1 - 4 = -3
On déduit de cette étude que:
fc=6
div( dx) = 2vo - 2i/oo - 3t^ 4-^^fc
fc=o
d'où 2gL/A- - 2 = Dgr(div( dx)) = 4, d'où gL//<: = 3 , comme attendu.
24.5.5 Corps de genre un
À l'exemple 24.3.4, lorsque K est parfait de caractéristique ^ 2 , nous avons construit
des corps de fonctions algébriques d'une variable, réguliers sur K et de genre 1, à partir
d'équations de la forme Y2 = (X - e\)(X - e2)(X — e3), où e\, e2 et e3 sont des
éléments de K deux à deux distincts. Nous allons montrer que si K est algébriquement
clos et de caractéristique différente de 2 et 3 , tout corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K de genre 1 peut être obtenu de cette manière.
Supposons donc K algébriquement clos, quelconque pour le moment, et soit L
un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K tel que QL/k = 1. Soit
u e flxiL) \ {0} et A = A^ . D'après le théorème 24.5.3 et la première partie de
sa démonstration, on a Dgr(A) = 2qL/K - 2 = 0 et 1 = QL/K - \{A), donc le K-e.v.
194 LE GENRE
des formes différentielles régulières de L sur K est de dimension 1 ; on peut donc sans
perte de généralité supposer u régulière. Alors A y 0 et Dgr(A) = 0, d'où A = 0 (ce
qui entraîne que tout diviseur canonique est principal).
Soit D e DLv(L/K) tel que Dgr(D) > 0 ; on a \{A - D) = I(-P) = 0 car
Dgr(-D) < 0. Le théorème 24.5.2 donne alors l(D) = Dgr(D). En résumé:
f 0 si Dgr(D) < 0
(46) (VDGDiv(L/K)) l(D) = \ .
L Dgr(D) si Dgr(D) > 0
Notons d'abord que L n'a aucun élément n'admettant qu'un pôle et tel que ce pôle
soit simple, car pour tout v e SRjc(L) , on a l(v) = 1 par ce qui précède, et v >: 0 donc
K C 2(t/), d'où X(v) = K .
Fixons i/qo 6 8Rk(L) ; on vient de voir que ^(v^) = K. Si n € N , en prenant
£> = nu^ dans (46), on obtient l(nv^) = n ; en particulier, 1(2^qq) = 2, d'où
AT C i£(2î^o). Choisissons x e 2(2 VgJ \ XJVqo) = 2(2 Voo) \ K. Il est clair que
x possède un unique pôle qui est i/qo , de multiplicité 2. On a i£{2v00) C j£(3^oq) car
1(2 u^) = 2 et 1(31^) = 3 . Fixons y G X(3y^)\^E(2v^) . Alors y possède un unique
pôle qui est Vqq , de multiplicité 3. Pour tout (A, fi) e K* x K, il est immédiat que
x 4- ji possède un unique pôle qui est Vqq , de multiplicité 2 , et que y -h Ax 4- ji possède
un unique pôle qui est v^ , de multiplicité 3 . On a î(v^_) = 4 , et les éléments 1, x, x2, y
appartiennent à 2(4 v) ; on a v(l) = 0, v(x) = -2, v(x2) = —4) et v(y) = —3, d'où
Ton déduit aisément que la suite (l,x,x2,y) est /^-linéairement indépendante, donc est
une base du K-e.v. 2(4^) . On verrait de même que la suite (l,x,x2,y,xy) est une
base du K-e.v. 2(51^) . Mais les sept éléments l,x,x2,x3,y, xy,y2 appartiennent à
2(6 y) , alors que 1(6 v) = 6 . Il existe donc (a, 6, c, a, /3,7, <5) € if7 \ {0} tel que
(47) ay2 + 6xy -f cy = ax3 4- /?x2 -h 7X + 6
En examinant Tordre de Vqq comme pôle, on voit que les suites (l,x,x2,y,xy,y2) et
(l,x,x2,x3,y,xy) sont if-linéairement indépendantes, d'où il découle que aa ^ 0 . En
remplaçant x par £x et y par ry, où r e K* et £ e K* vérifient f3 = a et r2 = a,
on est ramené au cas où a = a = Ik dans (47), i.e.:
(48) y2 4- bxy + cy = x3 + /?x2 4- 7X -h 6
Supposons désormais que K n'est pas de caractéristique 2 ou 3. En remplaçant
d'abord y par y 4- \(bx 4- c), puis x par x 4- \(P — \), on se ramène au cas où
& = c = /? = 0, i.e.:
(49) y2 = x3 4- 7X + 6
• Soit (X,Y) un couple d'indéterminées sur L. Définissons Q(X) e K[X] et
P(X,Y)eK[X,Y] par:
(50) Q{X) = x3 + 7x + 6 ; P(x,y) = r2-Q(x)
et soit une décomposition de Q(X) dans K[X] :
(51) Q(X) = (X-ei)(X-e2)(X-e3)
Alors P{X,Y) est irréductible dans [K{X))[Y] car Q(X) n'est pas un carré parfait
dans K{X),àonc P(X,F) est irréductible dans (K[X])[Y] = K[X,Y] puisque
c'est un polynôme normalisé en Y .
Montrons que Q(X) est séparable, i.e. que ei,e2,C3 sont deux à deux distincts. Si
on avait e\ = e2 par exemple, on en déduirait x - ez = (j^-)2 , donc ^^- admettrait
i?oo pour unique pôle, avec la multiplicité 1, et on a vu plus haut que c'est impossible.
Donc Q(X) est bien séparable. Cette séparabilité entraîne que le discriminant réduit de
Q(X) est ^0, i.e., que:
(52) 473 + 27<52 ^ 0
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riem&nn-Roch 195
Finalement, x est AT-transcendant, on a P(x,y) = 0, et ce qui précède montre que
le polynôme P(x,Y) de y est irréductible dans (K(x))[Y] et séparable, et que:
(53) IrrVljcW (Y) = P(x, y) = F2 - Q(x)
• Montrons que L = K(x,y). Notons £* = K{x,y) et A = Jf[x,y] ; l'extension
L de £ est algébrique finie. Soit 5 la clôture intégrale de A dans L. On sait que
L = SB ; il suffit donc de montrer que B C E. Soit h e B\K , et soit une relation de
dépendance intégrale:
fc=n
(54) hn 4- £ a^n"fc = °
/c=l
avec a*; € A pour tout fc et n > 1. Il est clair que h n'a pas de pôle autre que v^ ,
et comme h admet au moins un pôle (puisque h £ K), c'est que v^ est son unique
pôle. Notons m = -Voo(h) • D'après ce qu'on a vu plus haut, on a m > 2. Il existe
des couples (qi^ri) e N2 , où i décrit [2,m], tels que 2<& 4- Sri = i pour tout z (en
effet, si i est pair, ou si i est impair congru à 2 modulo 3, c'est évident, et sinon, on a
i = 3q + 1 avec <j pair > 2 , d'où z = 3(q — 1) -h 4 ). Alors la suite
(55) (l,x*1yr\...,x*myrm)
est une base du K-e.v. 2(m^), et comme on a h e ££(mt^), on conclut que h
est AT-combinaison linéaire de la suite (46), d'où h e A, ce qui achève de prouver que
L = E = K(x,y). En conséquence, x est une K-variable séparante de L, et L est
extension galoisienne de degré 2 de K(x).
• D'après l'exemple 24.5.2, l'ensemble des formes différentielles régulières sur L est la
AT-droite vectorielle K -— .
Couples de Weierstrass et invariant modulaire
Le corps K étant toujours supposé algébriquement clos et de caractéristique différente
de 2 et 3 , soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K de genre 1.
Nous appellerons couple de Weierstrasss de L sur K tout couple (x, y) e L x L
tel que x soit une AT-variable séparante de L et que le polynôme IrrVix(x)(Y) soit
de la forme Y2 - Qx,y(x), où QXyV(X) = X3 4- ^X + <5 € lf[X] est séparable, i.e.
tel que 473 4- 27<52 ^ 0. S'il en est ainsi, l'élément Me» = VK(x)yXf00 de SRk(K(x))
possède un unique élément v^ au-dessus de lui dans SRk(L) , avec e(Voc, Woo) = 2,
et on a t?oo(x) = -2 et v<x>(y) = -3 (voir exemple 24.3.4); de plus, notant (ei, 02,63)
une liste des racines de Q(X) dans K, les points de branchement de 2ftL,K(x) sont
^00,1^1,^2,^3) où M* = VK(x)XyX-ei Pour tout z € fl,3j; chaque Wi possède un
unique élément Vi au-dessus de lui dans SR^(L), avec e(vi,Wi) = 2, et on a
div(x) = -2^00 4- 2vi_ si e* = 0, et div(x) = -2^00 -f v'Q + v'q si 6 ^ 0, où
{t>o>vo} = ®1]k(x)(wo) et wo = VK{x)yXyX ; on a div(y) = -3^ 4-^1+^2 + ^3
dans tous les cas. Nous dirons que Vqq ainsi défini est le point de SRjc(L) associé au
couple de Weierstrass (x, y), ou encore que le couple de Weierstrass (x, y) est
associé à v^ . Nous poserons provisoirement:
(56) Jx'v = 473+2762 = T>Lscrd(Qx,v(X))
D'après l'étude précédente, tout point 1/ € SRk-(L) est associé à au moins un couple
de Weierstrass.
196 LE GENRE
Lemme 24.5.2
Le corps K étant supposé algébriquement clos et de caractéristique différente de 2
et 3 , soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K de genre 1. Le
groupe Aut jc(L) opère transitivement sur SR#(L).
Démonstration:
Soit v e SRk(L) et vf G SR/c(L), avec v ^ v'. D'après le théorème de Riemann-
Roch, on a dimK(2(v + y!)) = 2 • On a K C £(v + j/). Choisissons / € 2(v+ s/) \ AT ;
les seuls pôles possibles de / sont v et v', à un ordre < 1, et comme on a déjà
vu que L n'admet aucun élément ayant un seul pôle qui soit simple, nécessairement
div(/) = -v-t/+y+TT,où (y,V')€SRjr(L)xSRic(ZO (lecas V = V n'étant pas
exclu). On a donc div_(/) = —v-V , donc [L : K(f) ] = Dgr(div_(/)) = 2 . Ainsi L
est extension galoisienne de K(f), et Ga.l(L/K(/)) = {Idi,,!} , où I est involutif. On
a ^l!k(/)(^(/)>/>oo) = {v,v'}, donc le groupe Gal(L/K{f)) est transitif sur {u,v'}
(théorème 23.4.1), d'où v' ol = v ■
Corollaire
Dans les conditions du lemme 24.5.2, le corps des invariants de Aut jc(L) est K . Le
groupe Aut/c(L) est infini.
Démonstration :
Soit I le corps des invariants de Aut/c(L); si on avait / ^ K, on en déduirait
degtrK(I) = 1 puisque K est algébriquement clos; donc L serait extension algébrique
de degré fini de I, donc le groupe Aut j(L) serait fini, et a fortiori^ le groupe Autk(L)
serait fini puisque Aut/c(£) C Aut j(L). L'ensemble SRk(L) est infini: en effet, soit
h une variable de L sur K; alors 8Rk(K(x)) est équipotente à K donc infinie,
et ^liL,K(h) est surjective (théorème 23.3.1) donc SR#(L) est bien infinie. Comme les
Autjc(L)-orbites seraient finies, on arrive à une contradiction avec le lemme 25.4.2. Cette
contradiction montre que / = K . De plus, le raisonnement qu'on vient de faire montre
que Autjf (L) est infini ■
Revenons aux notations et hypothèses de (56), et cherchons tous les couples de Weier-
strass auxquels v^ est associé. Si (x',y') est un tel couple, les suites (l,x) et (l,x')
sont des bases du K-e.v. X(2vOQ), et les suites (l,x,y) et (l,x',y') sont des bases du
K-e.v. 5g(3^oo) . On a donc (p, q, r, s, t) G K5 , avec qt^O, tel que
(57) ix'-P + Qx
y y' = r -h sx + ty
Soit Qx',y' = X3 + yx 4- 6' ; les relations y2 = QXtV(x) et y'2 = Qxf,y'{xf) donnent:
(58) (g3-t2)x3+3pç2x24-(7/çH-3p2ç-t27-2rs)x+p34-7V+<5/-r2-^2(5--2(r+5x)ty = 0
d'où, puisque (1, y) est une base du K(x)-e.v. L , et puisque qt ^ 0 :
(59) p = r = 5 = 0 ; <?3 = t2 ; 7/ = -7 = <z27 ; 6'= t26 = q36
Q
Il en découle notamment:
y 3 ^6^3 ^3
(60) Jx^ = 4y3 + 2W/2 = 4g673 + 27?6<52 = 473 + 27<52 = Jx'y
Réciproquement, soit (q,t) e K* x K* tel que q3 = t2 , et posons x' = gx et y' = ty ;
alors x1 est une K-variable séparante de L , et on a y/2 = x/3 4- 7'x -h <5', avec 7' = g27
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 197
et 6' = q36 . En conclusion:
{Les couples de Weierstrass auxquelles Vqq est associé sont les couples (qx, ty),
où (q,t) décrit la partie de K* x K* telle que t2 = q3 . Pour tout tel couple
(x',y') , on a JXyV = Jx',y' •
On peut maintenant établir:
Proposition 24.5.8
Le corps K étant supposé algébriquement clos et de caractéristique différente de 2
et 3, soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K de genre 1.
La fonction qui, à tout couple de Weierstrass (x, y) de L sur K, associe JXtV , est
constante.
Démonstration:
Compte tenu de (61), il suffit de prouver que si v^ et v'^ sont deux points de
SR/<:(L) distincts, respectivement associés à des couples de Weierstrass (x, y) et (x', y'),
alors JXiV = JX',y' • Soit donc t>oo , v'qq > (x, y) et {x',y') ainsi choisis. Soit un élément
J e Autic(L) tel que v^ol = ^ (cf. lemme 24.5.2); alors (Z(x),Z(y)) est un
couple de Weierstrass associé à v^ , et il est clair que Qx(x),x(y)(X) — QXfV(X), d'où
Jz(x),Z(y) = Jx,y î comme Jx(x),x(y) = Jx',y' , on a bien JX)V = Jx',^ ■
Nous pouvons donc poser:
Définition 24.5.3
Le corps K étant supposé algébriquement clos et de caractéristique différente de 2
et 3, soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K de genre 1.
On appelle invariant modulaire de L sur K l'élément de K égal à 4JXfV pour
tout couple de Weierstrass (x,y) de L sur K. L'invariant modulaire de L sur K
sera noté Jl/k •
Le facteur 4 est introduit pour des raisons de normalisation.
La principale propriété de l'invariant modulaire est qu'il permet de classiûer à K-
isomorphisme près les corps de fonctions algébriques d'une variable sur K de genre 1 :
Théorème 24.5.4
Supposons K algébriquement clos et de caractéristique différente de 2 et 3 . Soit L
et V deux corps de fonctions algébriques d'une variable sur K de genre 1. Pour
que L et V soient K-isomorphes, il faut et il suffit que Jl'/k = ^l/k • &e P^us>
pour tout J e K y il existe un corps de fonctions algébrique d'une variable L sur K
de genre 1 tel que Jl/k — J •
Démons tra tion :
Première assertion
Supposons que L et V sont if-isomorphes, et soit (p : L —► V un if-isomorphisme
bijectif. Soit (x,y) un couple de Weierstrass de L sur K ; il est clair que (</?(x),</?(y)) est
un couple de Weierstrass de V sur K et que Q<p{x)^(v) et QXyV ont mêmes coefficients,
d'où Jl>/k = Jl/k •
Réciproquement, supposons que Jl'/k = 3L/k • Soit respectivement (x,y) et
(x',y') des couples de Weierstrass de L sur K et de L' sur K. Notons (X',Y')
un couple d'indéterminées sur V , et posons:
(62) QXyV(X) = X3+7X + 6 ; Qx.j(X') = X*+iX'+ 6'
Par hypothèse, on a:
(63) 7^7
473 4- 21b2 47/3 4- 27<5'2
198 LE GENRE
En particulier, 7 = 0 ssi 7' = 0.
• Premier cas: 7^0.
Soit q G if* tel que 7 = q2/y' ; en reportant dans (63), on obtient 62 = q66'2 , i.e.
S = eqz6', où s € {—1k, 1k} • Si e = -1k » le changement de q en —g ramène au
cas où e = 1k - Finalement, on peut donc toujours trouver q e if* tel que 7 = q2^'
et <5 = g3<5'. Ayant fixé q ainsi, choisissons une racine carré t de g3 dans K, et
posons x" = gx' et y" = ty'. Le couple (x",yrt) est un couple de Weierstrass de V
sur X, et on a Qx»,v»{X') = X'3 + 7X' 4- S. Comme Qz^X) = Irryi/C(x)(X) et
Qx"y (A"') = Irry//j/f(a!//)(X/), il est maintenant évident qu'il y a un if-isomorphisme
bijectif de L sur V et un seul qui envoie x sur x" et y sur y" .
• Deuxième cas: 7 = 0.
On a alors <5<5' ^ 0. Soit t une racine carrée de jr dans K, et soit q une racine
cubique de t2 dans if. Posons x" = çx et y" = ty. Alors (x",y") est un couple
de Weierstrass de L sur if, et on a Qx",y"(X') = X'3 + 6. À nouveau, il y a un
if-isomorphisme bijectif et un seul de L sur V qui envoie x sur x" et y sur y".
Deuxième assertion
Soit x, F des indéterminées sur K , et soit fi une clôture algébrique de if (x). Soit
J e K . Si J = 0 , soit y une racine dans fi du polynôme F2 — (x3 — 1k) • Comme la
caractéristique de if est ^ 3, le groupe U3(if ) des racines cubiques de 1 dans K est
de cardinal 3 ; on a x3 - 1k = Ylçeu3(K)(x ~~ 0 > donc le corps L = if (x, y) est un corps
de fonctions algébriques d'une variable sur if de genre 1 (exemple 24.3.4); alors (x, y)
est un couple de Weierstrass de L et il est clair que J^/k = 1k • Si J = 1k , soit y
une racine dans fi du polynôme Y2 — (x3 - x) ; comme on a x3-x = x(x-1k)(# + 1k)
et 1k ¥" —lie (car if n'est pas de caractéristique 2 ), on déduit à nouveau de l'exemple
24.3.4 que L = if (x, y) est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur if de
genre l, et il est immédiat que Jl/k = 0 • Supposons enfin que J £ {0, 1k} • Posons:
7 = <5 = ï{fz77 ; P(x) = x3 + 7X + 6 . Alors 473 4- 27<52 = 432(iJ7J)3 ^ 0 , donc il existe
Ai,A2,A3 éléments de if* deux à deux distincts tels que P(x) = (x-Ài)(x-À2)(x —A3).
Soit y une racine dans fi du polynôme Y2 - P(x) ; d'après l'exemple 24.3.4, le corps
L = if (x, y) est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur if de genre 1, et
q73 t3 42(l—J)3 t / 1 . / v 1
on voit que Jl/k = tfh-j)* 273j2 = ^ (^ans ce Qul précède, on observera que pour
chaque valeur de J, on a pu trouver un couple (7,6) appartenant au sous-corps de if
engendré par J ) ■
La deuxième assertion du théorème 24.5.4 signifie que l'ensemble naturel qui classifie
à if-isomorphisme près les corps de fonctions algébriques d'une variable sur if de genre
1 est if lui-même.
Structures de groupe associées à un corps de genre un
Supposons toujours if algébriquement clos de caractéristique différente de 2 et 3,
et soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur if de genre 1. Reprenons
les notations et hypothèses de (56) (rappelons qu'on peut arriver à (56) après avoir choisi
arbitrairement le point de SRk(£) qui deviendra v^ ). Pour abréger, on écrira Q(X)
au lieu de QXyV(X). Nous allons utiliser le théorème de Riemann-Roch pour construire
sur SRk(L) une loi de groupe abélien naturelle, dont l'élément neutre est v^ .
Soit un couple (Ti,r2) G 3RK(L) x 3RK(L). Le diviseur Dyl,y2 = °j/\ +% -v& est
de degré 1, on a donc I(—Dyl}y2) ~ 0. Le théorème de Riemann-Roch appliqué avec
le diviseur canonique nul donne: l(Dyltr2) = 1. Il est clair que iB(Dyuy2) H if = {0} ,
donc ï£(Dyuy2) = Kgyuy2 , où ffyuy2 € L* . Le diviseur Dyuy2 4-div(^y1)y2) est positif,
de degré 1, et égal à Dyuy2 + div(/) pour tout / € X(Dylty2) \ {0} ; il existe donc
un unique élément Y3 de SRk(£) tel que ce diviseur soit % . Notons % = V1EBY2 •
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 199
On définit ainsi une loi de composition interne EB sur SR/f(L), qui est évidemment
commutative. Si (1*1,1*2) € SRk(L) , on a u±- yv e Divpr(Z//if) ssi U\ = 1*2 (car L
n'admet aucun élément n'ayant qu'un pôle et tel que ce pôle soit simple). La loi H3 est
donc caractérisée par la condition:
1 %+Y2-Voo-aViSaV2eDlvpx(L/K) 1
Comme v + v&_ — v&_ = U, on voit que v = v + t>oo pour tout 1/ € SRa:(Z/) , i.e. la
loi EB admet v^ pour élément neutre. Soit v 6 SR#(L) ; on a I(2i>oo — y) = 1, donc
par le même raisonnement que ci-dessus, il y a un unique élément vf e SRk(L) tel que
2^00 -v + div(/) = vL Pour tout / e ^(2^00 —v) ; alors le diviseur (v +1/ — v^) - v^_
est principal, donc vfflv' = v» , ce qui montre que tout élément de SR/c(L) possède un
opposé pour la loi B3- Soit enfin Ti,0!^,^ éléments de S*k(L) ; posons u = Y\ HT2 ,
5 = UfflV3 , v = y2 Bgy3 et * = % fflv . On a
(w+^-^-seDivpr(L/^) ; ÇV\ + ^ - v^) - u e Divpr (L/tf)
d'où, par addition:
(64) (% + % + % - 2tjoo) - 5 € Divpr(L/tf)
On démontre de même:
(65) (^ 4- % + % - 2y^) -te Divpr (L/K)
En retranchant membre à membre (64) et (65), on obtient s- te Divpr (L/K), d'où
s = t. Par suite, la loi B3 est associative. En conclusion, la loi ffi est une loi de groupe
abélien sur SRjc(L) , dont v^ est Vêlement neutre.
Pour tout v e SRk{L) , notons t/ l'opposé de v dans le groupe (SR#(L),E)).
Nous allons interpréter géométriquement cette loi de groupe. Soit Vi,0!^»^ éléments
de SRtf(L) ; un calcul facile montre que (l^)' = °Vi BB^ équivaut à:
(66) ^ + <y^ + ^_3^6 Divpr (L/if)
Nous allons interpréter la condition (66). Soit 2P le complété projectif naturel du if-
espace affine K x K : on rapporte le K-e.v. K3 à la base canonique (£1,62, £3) > de
base duale (^^,^2,^3), on prend pour espace 2P l'espace projectif issu de K3 , et on
identifie K x K à l'hyperplan affine A d'équation £3 = 1 de 9\ Soit la cubique F
de 2P adhérence-Zariski de la cubique affine r de K x K définie (dans le repère affine
(£3; £^£2) ) par le polynôme Y2 - Q(X). On a r = T U {/} , où 7 est le point de
coordonnées homogènes (0,1,0). Du fait que Q est séparable, F est non singulière
(voir ce concept chapitre XXVII), donc a neuf points d'inflexion (cf. ibid.), dont I. La
tangente en I est la droite 2P\ A de 2P, d'équation homogène £3=0 (" droite à l'infini "
de A). Nous reviendrons au paragraphe 27.5 sur les liens entre r et SRjc(L).
Notons F = K(x) ; on a 2&l,f(u) = Vjf>,oo > not^ ^00 • D'après le théorème 23.3.7,
l'application v »-► (<pv(x), <^,(y)) définit une bijection de V = BRk(L)\{v\,^2*^3,^00}
sur W = r \ {Ei, E2, £3} , où Ei est le point de coordonnées affines (e», 0).
Fixons des éléments %,%,% de V, pour l'instant quelconques. Pour i e ([1,3],
soit °Wi = 9lL,F0Vi), soit (xi,yi) = (<pr.(x), yfy.(y)) et soit M* le point de T de
coordonnées affines (x^y*).
Soit (A,ji) € KxK . On a Voo(y- Ax-/i) = —3 et v^ est l'unique pôle de y-Xx-fj,;
si 7i 4- T£ + 1£ = div+(y-Ax-ji), alors div(y - Ax - m) = ^ + ^4-^-3^,
donc la relation (66) est vérifiée. De plus, comme e(i/i, Wi) = 1 pour tout i, on voit que
yi = Xxi -f /i pour tout i, donc les points Mi , M2 , M3 sont alignés. Réciproquement,
supposons la relation (66) vérifiée et que xi ^ X2 ; soit A = %\Z%22 et ^t = Xl^~^yi ; soit
u l'élément de SR#(L) tel que div(y - Ax- fi) =°V± + % + u- 3^00 ; par soustraction
avec (66), on voit que 1/3 - u e Divpr (L/K) , d'où u = ¥3 par le même raisonnement
que plus haut. En résumé, si x\ ^ X2 , la condition nécessaire et suffisante pour que (66)
200 LE GENRE
ait lieu est que les points Mi,M2,M$ de la cubique r soient alignés. On vérifie que si
Y\ = T2 > la condition (66) signifie que la tangente en M\ à J1 recoupe f en M3, et
que si % ^ T2 et xx = x2 , alors la condition (66) se réduit à: Y2 = C^i)' et V3 = Vqq .
La bijection V —► W ci-dessus se prolonge de manière naturelle en une bijection
SRk(L) —► r, en envoyant Vqo sur I et i/* sur E* pour tout i. On obtient ainsi
une bijection globale /3 : SRK(L) —► T. Si (M,N) e F x r, convenons d'appeler
droite passant par M et N Tunique droite jprojective de 2P passant par M et N si
M 7^ AT, et, si M = N, la tangente enMàf (convention justifiée parce que la cubique
r est lisse). Des points Mi,...,Mn de T (où n > 3) sont alors dits alignés ssi ils
appartiennent tous à la droite passant par M\ et M2 . Soit alors un triplet (Vi,^,0^)
dans SR/f(L), et pour tout z e (1,3] , soit Mi = fi (%). L'étude ci-dessus suggère le
résultat général suivant, qui sera précisé et utilisé au chapitre XXVII:
(67) La condition (66) est satisfaite ssi M\ , M2 et M3 sont alignés
La loi dégroupe EB est transportée par fi en une loi de groupe abélien -f sur la
cubique J1, que la condition (67) détermine géométriquement. L'élément neutre du
groupe (.T, -f ) est /, l'opposé d'un point M ^ I est son symétrique par rapport à
l'axe des abscisses, et si (M, N) e F x r, alors M + N est l'opposé du point P où la
droite qui passe par M et N recoupe F.
Remarque 24.5.1 :
Toujours sous l'hypothèse que K est algébriquement clos de caractéristique différente de 2 et 3,
on a deux invariants relatifs, traditionnellement notés S et T (suivant les notations de [23]), qui
forment un système complet d'invariants irréductibles de formes cubiques ternaires au sens de Hilbert. Le
discriminant de la forme cubique ternaire générale est T2 + 64S3 . La forme cubique ternaire associée
à r est X3 + yXZ2 - Y2Z + 6Z3 . Les valeurs de S et T pour cette forme ternaire sont respectivement
3"37 et -223~36. L'invariant modulaire de L sur K est dor^c la valeur en la forme cubique ternaire
X3 + yXZ2 -Y2Z + 6Z3 de l'invariant ternaire rationnel Ta2+f4Ss ♦
La figure 1 ci-dessous illustre la loi de groupe + , dans le cas (7,6) = (-1,0).
Figure 1 \
A/, + A'2
N -f S
RtaUté tout CABW
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Riemann-Roch 201
Automorphismes d'un corps de genre un
Conservons toutes les notations et hypothèses de la sous-section précédente. Nous
allons déterminer le groupe Autx(L) •
• Les translations
Montrons d'abord que toute translation du groupe (SR/c(L),EB) est de la forme
v »-> y o o , où g e Aut/c(L). Fixons P € W , de coordonnées affines (a, b), soit P'
son opposé dans le groupe (P, -h ) (les coordonnées affines de P' sont (o, —6) ), et soit
w = (3 (P) ; si MeW\ {P'} admet les coordonnées affines (Ç,rj) , un calcul facile
montre que les coordonnées affines (£*, rf) de M + P sont données, si M ^ P, par:
(68) (Ç'=(^^ + (^^^a + 2f)-(F^"
\ ^ = tf _6a)a (*3 +3a*2 +3^+ia + 4<0 - ({- fl)s (<3a2 + *y)t +a3 +3a^ +4<5) ^
et, si M = P , par:
(69)
» , , (3a2+7)((3a2 + 7)2-12afe2
771* = o 4-
863
Ces formules amènent à définir les éléments x* et yB suivants de L :
{x* = 7r^7T2 (aa:2 + (7 + a2)x + 7a + 26) - y
(i-o)^v t (x-a)2
ytt = , _ 3 (x3 + 3ax2 + 37X + 7a + 4<*) - * ((3a2 + 7)1 + a3 + 3a7 + 4<$) y
On a (y11)2 = Q(x^). Soit respectivement Ci et c2 les coefficients de y dans la première
et la seconde équation (70). Si b ^ 0, on a ^(ci) = 1, donc x$ £ K ; si b = 0
(i.e. si a € {ci,02,63}), on a 3o2 -f 7 = -^(a) 7^ 0 puisque Q est séparable, d'où
^00(^2) = 4, d'où ytt £ K. Dans tous les cas, on conclut que x* £ K et y* ^ AT.
On en déduit qu'il y a un if-isomorphisme gw et un seul de L sur son sous-corps
1} = K(x^y*) tel que <rw(x) = xa et <rw(y) = ytt. Vérifions que Û = L: en
considérant l'opposé P' de P, on voit que x et y s'expriment en fonction de xtt
et yB par les formules (70) en y remplaçant b par —b et en y échangeant les rôles
des couples (x, y) et (xa,ytf); cela prouve que x e L* et y € L** d'où 1} = L.
Finalement, <rw € Aut^(L). D'après (68), pour tout v € V\/3~ ({P,P'}), on a
¥> t, ° ^w = y> u , où u = i/EBtc7. Les anneaux de valuation de vogp et de v ffltz7 sont
les mêmes, donc fHtï7 — i/o Éjçp . En utilisant (69), on vérifie que cela reste vrai si
v = (3 (P), et il est trivial que cela reste vrai si v =■ J3 (P'). On a donc:
(71) (Vv€SRK(L)) vog^ = vBw
On laisse au lecteur le soin d'étendre (71) au cas où P G {I,Ei,E2,Ez}. On a donc
montré que toute translation du groupe (SR/c(L),EB) est induite par un élément de
Aut/f(L). De plus, il est immédiat que l'application m »—► crro est un morphisme injectif
du groupe (SR/f(L),ffl) dans le groupe Aut^(L).
• Étudions maintenant le stabilisateur G = StabAut/c(x/)(i;00).
Lemme 24.5.3
Le corps K étant supposé algébriquement clos et de caractéristique différente de 2
et 3 , soit E = {p,ç,r} une partie de K de cardinal 3 . Posons si = p 4- q -f r ,
52 = qr 4- rp 4- pq et 53 = pqr . Soit G le groupe des bijections affines de K qui
laissent E globalement invariant. On a G = {Id/c} si 2s2 - 9s ^2 -f 27s3 ^ 0 et
s2 - 3s2 7^ 0 ; le groupe G est 2-cyclique ssi 2s2 - 9s\S2 + 27s3 = 0 , et ii est 3-cyclique
ssi s2 - 3s2 = 0 .
202 LE GENRE
Démonstration:
L'action naturelle de G sur E est fidèle, i.e. le morphisme G —► &e défini par
cette action est injectif. Supposons que <p e G induise sur E la transposition entre q
et r ; alors (p est nécessairement l'involution £ »-»- -f 4- g H- r , et on a 2p = g -h r ; la
réciproque est évidente. Donc si G induit au moins un élément d'ordre 2 dans &e ssi
(q+r-2p)(r+p-2q)(p+q-2r) = 0 , ce qui équivaut à 2s\-9si$2+27S3 = 0. Supposons
que (p £ G induise sur E le 3-cycle p h-> g »-► r •—► p ; alors y? est nécessairement la
bijection affine £ »-> pf 4- q — pp, où p est une racine dans K du polynôme X2 -h X -h 1
(c'est-à-dire une racine cubique primitive de l'unité), et on a q—pp = r—pq = p-pr , d'où
p+pq+p2r = 0 , d'où 0 = (p+pq+p2r)(p+p2q+pr) = p2+q2+r2-qr-rp-pq = sf-3s2 .
La réciproque est évidente, donc G induit au moins un 3-cycle sur E ssi s2 — 3$2 = 0 •
Si on a à la fois 2s\ - 9si$2 + 21s$ = 0 = 0 et s2 - 3$2 = 0, on en déduit que
(X - p)(X - q)(X - r) = (X - ^ s\)3 , ce qui est absurde puisque p, q et r sont deux
à deux distincts. Il n'y a donc que trois possibilités: ou bien 2s\ — 9si $2 + 2753 ^ 0 et
s2_ 352 ^ 0 , et alors G = {Id*:} ; ou bien 2s?-9sis2 + 27s3 = ° (d'où 5i ~ 3s2/ 0),
et alors G est 2-cyclique, induisant sur E le groupe engendré par l'une des trois
transpositions (ce cas se produit ssi l'un des points de E est le milieu des deux autres); ou
bien s2 — 3s2 = 0 (d'où 2s\ — 9si$2 + 27$3 ^ 0), et alors G est 3-cyclique, induisant
sur E le groupe alterné 21^ (cas où {p,q,r} est un K- " triangle équilatéral" ) ■
Revenons à l'étude de G.
Soit g € G. Le couple (cr(x),cr(y)) est un couple de Weierstrass associée à Vqo > et
de plus Q<r(x),<r(y)(^) = Q(X), donc d'après (61), il existe (q,t) e K* x K* tel que
(72) t2 =q3 ] 7 = q2i] 6 = q36; <r(x) = qx ; a (y) = ty
Si 7<5 ^ 0, c'est-à-dire si Jl/k ^ {0>1}> on déduit de (72) que q = 1 et £2 = 1.
Réciproquement, si t e {—1/c, ^k} , il y a un élément et un seul de Autjf(L) qui envoie
x sur x et y sur ty, c'est le générateur r de Gal(L/K(x)), et on voit que r e G.
Dans ce cas, on a donc G = {Id^, r} .
Si 7 = 0, c'est-à-dire si Jl/k = 0, alors <5 ^ 0, et on déduit de (72) que
t2 = <j3 = 1 ; notons p une racine cubique primitive de 1. Réciproquement, pour
tout couple (q,t) € K2 tel que q3 = t2 = 1, il y a un élément tpqj de Aut/<-(£,) et un
seul qui envoie x sur qx et y sur ty, et on constate que 09it £ G, donc le groupe G
est 6-cyclique, engendré par l'automorphisme ipP,-iK .
Si <5 = 0, c'est-à-dire si Jl/k = 1 > alors 7 ^ 0, et on déduit de (72) que q2 = 1 et
t2 = q, d'où t4 = 1. Réciproquement, pour tout couple (q,t) e K2 tel que t2 = q et
q2 = 1, il y a un automorphisme ipq)t e Xatk(L) et un seul qui envoie x sur qx et y
sur ty , et on voit que ipq,t € G . Notant ( une racine quatrième primitive de \k dans
if, i.e. une racine carrée de —lx dans K , on voit donc que dans ce cas, le groupe G
est 4-cyclique, engendré par ^-îjc.C •
Dans quelque cas qu'on soit, soit a e G. On a donc a(x) = qx et a(y) = ty avec
q e K * et t e KJ* . Soit la bijection affine ja : (f, r?) »-► (q£, tri) du plan affine A . Soit
J^ la bijection homographique de 3P sur lui-même qui prolonge fa . On a /a(J) = /.
On vérifie que fa laisse T globalement invariante, et que la permutation de T induite
par fa est
(73) 5:T—^T, M^ (^_1(M))oct
Comme fa conserve le ^-alignement et laisse I fixe, la description de la loi de groupe +
donnée plus haut montre que a est un automorphisme du groupe (r, + ). Compte tenu
de (73), on en déduit que la permutation v *—► i/ocr"1 de SRjf(L) est un automorphisme
du groupe (SR/c(L),B3). Réciproquement, soit une bijection homographique g de 9
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Hiemann-Koch 203
qui fixe / et qui conserve globalement la cubique r. On voit aisément que g admet,
relativement à la base (61,62,63) une matrice de la forme:
avec (g, t) e K2 et qt ^ 0 ; on a alors K(qx, ty) = L, il y a un automorphisme unique
a € Autj<-(L) tel que a{x) = qx et a(y) = ty, et il est clair que v^o o a~l = Vqq , i.e.
a € G , et g = fa .
Soit ^ le groupe image de G par le morphisme injectif a h+ /a de G dans le
groupe projectif PGL(3,i£) de <3>. D'après ce qui précède, G est le sous-groupe du
groupe projectif de 3P qui fixe J et qui laisse globalement invariante la cubique t, et
tout élément de G induit sur r un automorphisme du groupe (r, 4- ).
Les éléments d'ordre 2 du groupe (r, 4- ) sont les trois points de contact des
tangentes à r issues de / autres que la droite à l'infini de A, i.e. autres que la tangente
d'inflexion en J (voir proposition 27.6.6): ces trois points sont E\^E2^Ez . Comme G
est un sous-groupe du groupe des automorphismes de (r, 4- ), on voit que G laisse
globalement invariant l'ensemble £ = {E\,E2,E$} • Le groupe G laisse aussi
globalement invariante la droite projective 2) qui contient £ (l'axe des abscisses) et son point à
l'infini 00&; il y a donc un morphisme 6 de G dans le groupe affine de 2)= 2) \ {009} ,
dont l'image 6{G) laisse £ globalement invariant. D'après le lemme 24.5.2, le groupe
H des bijections affines de 2) qui laissent £ invariant est fini, soit réduit à son élément
neutre, soit 2-cyclique, soit 3-cyclique, ces cas ayant respectivement lieu ssi 7<5 ^ 0, ssi
7 = 0 (d'où 6 ± 0 ), et ssi 6 = 0 (d'où 7^0). Le noyau de 6 est l'ensemble des g e G
qui fixent chaque point de 2); on voit facilement que ce noyau est le groupe 2-cyclique
engendré par l'homographie involutive de 2P qui prolonge l'involution affine de A définie
par (£, 77) »—► (£, —77) ; cette homographie est fr . Le groupe G est donc fini, de cardinal
2card(0(£)). Si 76 ^ 0, on a H = {Ida} , donc G = {Idg>,/T} ; si 6 = 0, le groupe
H est de cardinal 2, engendré par l'involution £ »-► —f ; comme V>-iK,c € G, on a
0(É?) = H. Si 7 = 0, le groupe W est 3-cyclique, engendré par l'homothétie f ♦-► p£ ;
l'homographie h de 2P qui prolonge la bijection affine (f, 77) h-> (pf, -17) de A n'est
autre que /v»Pl-ifc j donc appartient à Ç ; donc 6{G) = H. En définitive:
(Le groupe G = StabAutK:(L)(voo) es* fifli'i et agï* fidèlement sur 8Rk(L)
par automorphismes du groupe (SR/c(L),EB). Lorsque Jl/k & {0,1}, on
a G = {IdL,r} . Si Jl/k = 1, ie groupe G est 4-cyclique, engendré par
ïautomorphisme ip-iK£ ; et si Jl/k = 0, ie groupe G est 6-cyclique,
engendré par ipPj-iK •
Nous pouvons maintenant décrire la structure du groupe Aut^(L). Soit T l'image
du morphisme de groupes injectif (SRk-(L),EB) —► K\itK(L), m »-> aro (voir (71)). Il est
clair que l'action de T sur SRk(L) est transitive et régulière. Par suite, l'application
T x G -+ Aut k(L), (a, g) h-» a o g est bijective; comme G agit sur SRk(L) par
automorphismes du groupe (SRk(L),B3) , on a T< Aut/c(£) ; l'action de G sur T par
automorphismes intérieurs est non-triviale, puisque:
(75) (Vfo.tu) € G x SR*(L) ) ga^g-1^ a9{w)
Finalement, Aut^(L) est produit semi-direct de T par G selon la loi (75); en
particulier, Aut/c(L) est non abélien.
Le groupe T est transitif sur r ; a fortiori, le groupe Aut#(L) est transitif sur r.
Comme le stabilisateur de J est soit 2-cyclique, soit 4-cyclique, soit 6-cyclique selon que
204 LE GENRE
&L/K ^ {0,1} , que Jl/k = 1 ou que JL/K = 0, on en déduit:
Le stabilisateur dans Aut#(L) d'un point quelconque C e T est 2-cyclique si
Jl/k & {0,1} , est 4-cyclique si Jl/k = 1 et est 6-cyclique si Jl/k = 0 .
24.5.6 Formule de Riemann-Hurwitz et théorie de Galois
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K (supposé parfait)
et soit F un sous-corps cogaloisien de L (voir début du paragraphe 23.4 la définition
d'un sous-corps cogaloisien). Soit r = Oal(L/F). Une T-orbite O dans SR#(L)
est dite ordinaire ssi card(O) = card(r), et elle est dite singulière sinon. Soit
v e SRk(L) ; la T-orbite Orbr(v) est ordinaire ssi le groupe de décomposition ^bv{L/F)
est réduit à l'élément neutre (voir section 23.4.1), c'est-à-dire ssi w = 91l,f(^) n'est pas
point de branchement de *31l,f • Les orbites singulières sont les images réciproques par
^l,f des points de branchement de *31l,f - Il en découle que le nombre de /""-orbites
singulières dans SRk(L) est fini, égal au nombre de points de branchement de 91l,f •
Commençons par affiner le théorème 24.3.7 dans le cas galoisien:
Théorème 24.5.5
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K. Soit F un sous-corps cogaloisien de L sur K. Supposons que la
caractéristique de K est nulle ou ne divise pas n = [L : F]. Pour tout w e SRk(F) ,
notons ew Ventier égal k e(v,w) pour tout v € ^K}^F(w). Le diviseur de ramification
Ram^/F est donné par:
RamL/F = ]T (c(v,»L|F(v))-l)v= £ ( £ {ew-l)y\
v68RK(L) «;€SRtf(F) %€gr£)p(ti>)
En conséquence, on a:
Dgr(RamL/F) = £ ( ]T {ew - 1)J = ^ B^
wesKK(F) ^verni1 F(w) ' weBKK(F)
Démonstra tion :
Pour tout w e SRk(F) j on a ew cazd(9tl*F(w)) = n, donc d'après l'hypothèse
faite, on a ew • 1/c ^ 0. On en déduit que les inégalités (71) et (72) de la démonstration
du théorème 24.3.7 deviennent ici partout des égalités, et la conclusion en découle ■
Les théorèmes 24.3.6 et 24.5.5 entraînent alors le très important théorème de Riemann-
Hurwitz dans le cas galoisien:
Théorème 24.5.6
Supposons K algébriquement clos; soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K , soit F un sous-corps cogaloisien de L sur K . Soit r = Gal(L/F).
Soit r le nombre de points de branchement de 91l,f > soit w\,..., wr ces points de
branchement, et pour tout i G [l,r], notons Ot = 9CllF(wi) et e* l'entier égal à
t(v,Wi) pour tout v e Oi. Supposons que la caractéristique de K est nulle ou ne
divise pas n = [ L : F] = card (f). On a alors:
29l/k-2= (2flF/tf-2) + 2Jl---) card(r)
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Hiemann-Hoch 205
Démonstration:
Pour tout i G [1, r] et pour tout v e ^fï~L f{wï) > d'après le corollaire de la proposition
23.4.2, le théorème 24.5.5 et le théorème de l'orbite, on a (2)v désignant, comme au
paragraphe 23.4, le groupe de décomposition en v ):
BWi = (e* - l)card(0<) = (card(3„(L/F)) - l)card(Oi)
= (c"d(0?) ~ 0 Card(0i) = Card(r) " °ard(0i)
Le théorème en découle, compte tenu des théorèmes 24.3.6 et 24.5.5 (il est entendu que
si r = 0 , la somme YhZ[ doit être remplacée par 0 ) ■
La borne de Hurwitz
Le théorème 24.5.6 permet notamment d'obtenir certains renseignements sur la
structure, non évidente en général, du groupe Aut/c(I/) • Lorsque L est un corps de
fractions rationnelles sur K, nous savons que Aut/f(L) est isomorphe à PGL(2,JRT), i.e.
à PSL(2,K) puisque K est algébriquement clos (cf. théorème 22.3.2). Il est alors
élémentaire qu'un élément de Autjc(L) possède au moins un et au plus deux points
fixes dans SRk(L) ; en effet, compte tenu de la proposition 23.1.9, cette propriété se
ramène à celle, évidente, que toute homographie de K admet au moins un et au plus
deux points fixes. Voici une généralisation de cette propriété:
Proposition 24.5.9
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K . Soit a e Aut jc(L) d'ordre uni N > 2 . On suppose que la
caractéristique de K est nulle ou ne divise pas N . L'ensemble des points fixes de g est
fini, de cardinal < 2 Ql/k + 2 .
Démonstration:
Soit F le sous-corps cogaloisien InvQRK(L)(G) de L, où G est le sous-groupe de
Aut/c (2>) engendré par a. Parmi les G-orbites singulières dans SR# (L), il y a celles
réduites à un point, i.e. les ensembles 9ï^)F(w) égaux à un singleton {v} , d'où alors
e(v,w) = N. Ces dernières sont donc en nombre fini d, et le théorème 24.5.6 donne:
(76) 2 qL/K - 2 > (2 QF/K - 2)N 4- (N - \)d
d'où 2 QL/K - 2 > -2N + (N- \)d, d'où:
Si 8l//c = 0, la relation (77) donne d < 2 (on le savait puisqu'alors L est un corps
de fractions rationnelles d'une variable sur K ). Si QL/x > 1, la relation (77) donne
d ^ 2 Ql/k ~ 2 + T^tï < 2 QL/K 4- 2 . Noter que d = 2 QL/K 4- 2 entraîne N = 2 . ■
Proposition 24.5.10
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K et soit G un sous-groupe uni de Aut/c(L). On suppose que la
caractéristique de K est nulle ou ne divise pas n = card (G), et on suppose que
QL/K > 2 . Alors card (G) < 84(gL/* - 1).
206 LE GENRE
Démonstra tion :
Le sous-corps F = Iiivl(G) de L est cogaloisien sur K, et G = Gal(L/F).
Notons r le nombre des points de branchement de L sur F , soit tui,..., wr ces points
de branchement, et pour tout i € [l,r], soit e* l'entier égal à e(v,Wi) pour tout
v G ^CllF(wi). D'après le théorème 24.5.6, on a:
(78)
2Ql/k ~ 2 = n(2QF/K - 2) + n Wl - r)
• Si g^/x > 2 , alors 2gF/K - 2 > 2, donc (77) donne:
(79) n < QL/K - 1
• Supposons que QF/K = 1. Comme ti > 2 pour tout t,ona "53î=i(l ~~ 77) ^ T !
on a r > 1, car r = 0 impliquerait g^/x = 0, contrairement à l'hypothèse. Donc
f > f , et (78) donne:
(80) n < 4(gL/K - 1)
• Supposons que Ql/k = 0. La relation (78) devient:
(81) 2gL/K-2 = -2n +
-SK)
en
ce qui implique visiblement r > 3. Si r > 5, ona n £!=i(l "~ 7~) ^ ^T > d'où
reportant dans (78), 2 QL/K - 2 > § , et par suite n < 4 (gL/jc - 1).
Si r = 4 , on ne peut avoir e* = 2 pour tout i, puisque g^/jf > 2, donc
§K)->HMHH
et en reportant (82) dans (81), on obtient:
(83) n<12(gL/K-l)
Si r = 3, posant 5(ei, 02,63) = J]^ ^ , la relation (78) devient équivalente à
29l/a: - 2 = n(l - 5(ei,e2,e3)), d'où 0 < 5'(ei,e2,e3) < 1 puisque QL/K > 2, et par
suite:
1 -5(ei,e2,e3)
On peut supposer les Wi numérotés de façon que ei < e2 < 63 . Nous devons donc
chercher le maximum de S(eïl e2,63) quand (ei, e2,63) parcourt l'ensemble des triplets
d'entiers tels que 2 < ei < e2 < £3 et S{ei,e2,e$) < 1. On vérifie facilement que ce
maximum est obtenu pour le triplet (ei, e2,63) = (2,3,7), et vaut donc 5(2,3,7) = |£ .
En reportant dans (84), on obtient donc:
(85) n<84(gL/K-l)
D'après (79), (80), (83) et (85), dans tous les cas, on a n < 84(gL/Ar - 1) ■
Remarque 24.5.2 :
Conservons les notations de la proposition 24.5.10 et de sa preuve, mais supposons
Que Ql/k = 1 et Qf/k = 0. La relation (77) demeure vraie, et on a nécessairement
r > 3 et £i=i £ = r - 2, ce qui implique r e {3,4} . Si r = 4, alors on a
t\ = e2 = e3 = e4 = 2. Si r = 3, les seuls triplets (ei,e2j£3) possibles sont
(2,3,6), (2,4,4) et (3,3,3). Nous savons qu'ici, le groupe Aut#(£) est infini
(corollaire du lemme 24.5.2). Il y a une infinité de sous-groupes finis de Aut^(L) deux
Chapitre 24 , § 5
Le théorème de Kiemann-Roch 207
à deux non isomorphes, dont le cardinal est aussi grand qu'on le veut. Nous
montrerons au paragraphe 27.6 quelle groupe des homographies du If-plan projectif 2P qui
laissent invariante la cubique J1 modèle projectif de L associée à un couple de Weier-
strass (x, y) (donc tel que y2 = x3 + 72 4- 6) est de cardinal 18 si &l/k & {0,1},
de cardinal 36 si Jl/k = 1 (cas harmonique), et de cardinal 54 si Jl/k — ^ (cas
équiharmonique). Ces groupes n'ont évidemment pas de point fixe sur la cubique r (les
stabilisateurs des points de r dans Aut/c(Z/) étant soit 2-cycliques, soit 4-cycliques,
soit 6-cycliques), et ils s'identifient à des sous-groupes finis de Aut k(L) +
Remarque 24.5.3 :
On peut montrer que si Ql/k > 2, en fait (sans hypothèse sur la caractéristique de
K ) le groupe Aut #-(!/) lui-même est fini, si bien que lorsque K est de caractéristique
nulle, la proposition 24.5.10 donne une majoration de card(Autjf(L)).
Toujours sous l'hypothèse que K est algébriquement clos de caractéristique nulle, il
existe des cas où card (G) = 84 {§l/k ~ 1) • Par exemple il existe un corps L de genre
3 tel que Aut jr(L) soit isomorphe au groupe de Klein de cardinal 168,1e groupe simple
de cardinal 168 (qui est à isomorphisme près le seul groupe simple ayant ce cardinal, cf.
tome 1). Un tel corps est celui de la surface de Riemann associée à la quartique de Klein
d'équation y3 + x3y + x = 0, déjà étudiée à l'exemple 24.5.4 +
Chapitre XXV
SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
§ 25.1 Revêtements
Dans ce chapitre, pour tout réel r > 0 et pour tout nombre complexe a, on notera
respectivement Da,r et Dar le disque ouvert et le disque fermé de C de rayon r et
de centre a. Si a = 0, on écrira Dr et Dr au iieu de Do,r et ^ r . Pour toute série
formelle S eC [[X ]] , on notera R$ Je rayon de convergence de S .
25.1.1 Homotopie, groupe fondamental
Dans ce qui suit, nous appellerons espace topologique pointé tout couple {T,a)
où T est un espace topologique et où a eT.
Définition 25.1.1
On appelle chemin (compact) d'un espace topologique T toute application
continue ip : [0,1] —►T. Les points <p(0) et <p(l) sont appelés les extrémités du
chemin, (p(0) est appelé Vorigine et (p(l) Varrivée. Le chemin <p est appelé un
lacet ssi <p(0) = <p(l).
Définition 25.1.2
Soit T\ et T2 deux espaces topologiques. Deux applications continues <p : T\ —► T2
et xp : T\ —► T2 sont dites librement homotopes ssi il existe une application
continue h : Ti x [0,1] —► T2 telle que pour tout x e T\ , on ait h(x,0) = <p(x)
et h(x, 1) = ip(x) (une telle h est alors appelée une homotopie libre entre <p et
ip (ou: de y h ip). Deux chemins <p : [0,1] —♦ T et ip : [0,1] —► T d'un espace
topologique T sont dits homotopes à extrémités fixes ssi il existe une application
continue h : [0, l]2 —► T telle que pour tout te [0,1] , on ait h(t,0) — <p(t),
/i(t,l) = xp(t), /i(0,t) = <p(0) et h(l,t) = (f(l). Toute telle application continue h
est appelée une homotopie à extrémités fixes entre ip et xp (ou: de (p à xp).
D'après la définition, deux chemins homotopes à extrémités fixes ont nécessairement
même origine et même arrivée.
S'agissant de chemins, nous conviendrons d'écrire homotopie (resp. homotopes) tout
court, au lieu de homotopie à extrémités fixes (resp. homotopes à extrémités fixes).
Proposition 25.1.1
Soit T\ et T2 deux espaces topologiques. Sur Vensemble des applications continues
T\ —► T2 f la relation " Jes applications <p et xp sont librement homotopes " est une
relation d'équivalence. Soit T un espace topologique. Sur Vensemble des chemins de
T, la relation " les chemins </? et xp sont homotopes " est une relation d'équivalence.
Démonstration:
Nous nous bornerons à démontrer la deuxième assertion, la première se prouvant de
manière analogue.
• Réflexivité:
si ip est un chemin de T, l'application
h : [0,1]2-^T, (*,„)_♦ V(t)
est une homotopie entre tp et <p.
210 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
• Symétrie: si h est une homotopie entre les chemins <p et %j), l'application
h' : [0,1]2—>T, (t,t*) i—► h(t,l-u)
est une homotopie entre ip et <p.
• Transitivité: soit </?i , </?2 et </?3 trois chemins de T. Soit fti une homotopie de
(fi à <p2 et /12 une homotopie de </?2 à ^3 . L'application:
fAi(t,2u) siO<u<±
H : [0,l]2-+T, (*,</)—J ,"
est une homotopie de <pi à <p3 ■
Espaces simplement connexes
Un lacet (p d'un espace topologique T est dit homotope à zéro ssi il est homotope
au lacet constant [ 0,1 ] —► T, t »-► </?(0).
Proposition 25.1.2
Dans un espace topologique T, les assertions suivantes sont équivalentes:
(I) Tout Jacet est homotope à zéro.
(II) Tous chemins <p et ip ayant même origine et même arrivée sont homotopes.
Démonstration:
Il est trivial que (II) implique (I). Montrons que (I) implique (II); supposons donc
(I) vraie, et soit </? et tp deux chemins de T tels que </?(0) = ip(0) et <p(l) = xp(l).
L'application
f <p(2t) si 0 < t < ±
7: [0,1] — T, t— ^ !~
\ t/>(2 - 20 si \ < t < 1
est un lacet d'origine a = </?(0) = ^(0). Soit h une homotopie de 7 au lacet constant
d'origine a . Soit la fonction continue
(0,3u) si 0 < u < |
A : [0,1] —>IR2, u"
L'application
(3u-l,l) si£<u<f
[(l,3-3u) si|<u<l
H : [0,1]2-+T, {t,u)~h((l-t)\{u) + (±,0)t}
est alors une homotopie de </? à ^ . On a donc montré que (I) implique (II) ■
Définition 25.1.3
Un espace topologique est dit simplement connexe ssi il vérifie les conditions
équivalentes de la proposition 9.2,
Remarque 25.1.1 :
On prendra garde qu'un espace simplement connexe n'est pas nécessairement connexe +
Chapitre 25 , § 1 Revêtements 211
Groupe fondamental
Soit T un espace topologique. Pour tout couple (</?, ip) de chemins de T tel que
<^(1) = ^(0), nous noterons ty-kip le chemin 6 défini par:
ip(2t) si 0 < t < \
ip(2t - 1) si \ < t < 1
(1) *W = {
Pour tout chemin (p de T, nous noterons V Ie chemin t h+ </?(l - t) (consistant
à parcourir le chemin tp en sens inverse). Remarquons que a(*<p) = ip. La classe
d'homotopie d'un chemin <p sera notée (p. Pour tout point a £ T, l'ensemble des
classes d'homotopie des lacets de T d'origine a sera noté Hi}a(T). Le lacet constant
d'origine a sera noté ua , et sa classe d'homotopie sera notée u0 .
Proposition 25.1.3
Soit ip\ y (p2 des chemins d'un espace topologique T d'origine o et d'arrivée 6, soit
tpx, 1P2 des chemins de T d'origine b et d'arrivée c avec ip\ homotope à <#% et xpi
homotope à 1P2 • Alors 3<pi est homotope à s</?2 ,' V>i * ^1 est homotope à V>2 * </>2 i
V?i*ua et Ub*v?i sont chacun homotopes à ip\ . Enûn $ip\*ip\ est homotope à ufl
et <pi * 5</?i est homotope à u& .
Démonstration :
Soit h une homotopie de </?i à ^2 et fc une homotopie de ^1 à ^2 • L'application
[0, l]2 —► T, (t,u) »-► /i(l - t,u) est une homotopie de Vi à V2 • L'application
f A(2t, u) si 0 < t < i
1 \fc(2t-l,u) si±<t<l
est une homotopie de ipi*<pi à ^2 *<£2 • L'application
[0,1]2-+T, (t,u)^
a si t < f
/2t-?A
¥>i ô si f <*<*
est une homotopie de <^i à </?i • ua . On vérifie de façon analogue que ip\ et u& • <p\
sont homotopes.
L'application
[0,i]2_r, (t,u)
f <pi(2tu) si 0<t < ±
\cpi(2u-2tu) si 5 < t < 1
est une homotopie entre ua et 3<p\*ipi . On construirait de même une homotopie entre
U6 et <pi • Vi ■
Une petite difficulté technique se présente du fait que la loi • (sur l'ensemble des
chemins de T, non partout définie) n'est pas associative. Il faut passer aux classes
d'homotopie pour récupérer l'associativité.
Proposition 25.1.4
Dans un espace topologique T, soit un chemin <p d'origine a et d'arrivée b, soit un
chemin tp d'origine b et d'arrivée c, et soit un chemin 9 d'origine c. Les chemins
6*(tp*(p) et (6*ip)*(p sont homotopes.
212 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Démonstration:
L'application
f ( u
0,1]2—*T, (t,u)
si 0 < t < ±£*
2+u
est une homotopie de 0 • (V> * <p) à (0 • i>) • <p ■
^ (4t - 1 - u) si ±ta < t < *±
si 2^ < t < 1
Nous noterons #(T) l'ensemble des classes d'homotopie de chemins de T. Il est
clair que pour tout $ € &{T), on peut parler d'origine de $ et d'arrivée de $. Soit
C(T) l'ensemble des couples (!P,#) G #(T) x i}(T) tels que l'origine de & coïncide
avec l'arrivée de $.
D'après la proposition 25.1.3, pour tout # € S^(T), et pour tout </? € #, il existe un
élément et un seul de S^(T) égal à sip pour tout </? G # ; on le notera 3$.
D'après la proposition 25.1.4, il existe une application et une seule (que nous noterons
multiplicativement)
(2) C(T)—>$(r), (*,*)_>*#
telle que ## = -0 • (p pour tous chemins <p € $ et ^ G ^ (l'application (2) est donc
une loi de composition non partout définie sur $}{T) ). D'après les propositions 25.1.3
et 25.1.4, la loi (2) vérifie les propriétés suivantes:
(3) Pour tout $ e $3(T), d'origine o et d'arrivée b, on a $utt = # = u&#
(4)
(Pour tout (#,#,©) G (S}(T)f tel que (!P,#) e C(T) et (9,9) G C(T), on
\a: 0(#$) = (©#)$ (Le. la loi (2) est associative).
(5) Pour tout $ e $5(T), d'origine a et d'arrivée b, on a: s## = ua ; #*$ = u^ .
Pour tout a G T, il est clair que ni,a(T) x IIi^T) C <£(T), donc (2) donne, par
restriction, une loi de composition interne partout définie sur IIiia(T). Cette loi sera
encore notée multiplicativement, l'ensemble Iliia(T) en sera systématiquement équipé,
et muni de cette loi, on continuera à le noter Uita(T).
Théorème 25.1.1
Pour tout a e T, l'ensemble IIi)0(T), muni de la loi interne définie ci-dessus, est un
groupe, dont ua est l'élément neutre. Pour tout $ G IIi,a(T) et pour tout lacet <p
tel que îp = $, l'inverse #_1 est égal à s<p .
Démonstration :
Il découle de (3) que ua est élément neutre de la loi considérée. Il découle de (4)
qu'elle est associative. Enfin d'après (5), tout élément $ € IIii0(r) admet un inverse,
donné par «P*1 = s$ ■
Définition 25.1.4
Soit T un espace topologique et a eT . Le groupe IIi>0(r) défini par le théorème
25.1.1 s'appelle groupe fondamental de T en o , ou encore groupe de Poincaré
de T en a, ou encore premier groupe d'homotopie de T en a .
Nous allons maintenant voir que le groupe n1>0(T) ne dépend, à isomorphisme près,
que de la composante connexe par arcs de T à laquelle appartient a . Pour tout groupe
G, nous noterons Z(G) le centre de G et opp(G) le groupe opposé à G (i.e. dont la
Chapitre 25 , § 1 Revêtements 213
loi de composition est (x,y) »-► yx, où yx désigne le produit, dans cet ordre, de y et
de x dans G).
Soit 7 un chemin de T, d'origine a et d'arrivée t.^Pour tout $ € IIi>a(T), on a
(7,$) € C(T) et ($, s7) G <£(T), donc le composé 7 $a7 est bien défini (il n'y a pas
besoin de le parenthéser en vertu de l'associativité générale (4)). Il est immédiat que
7$^7 € Ili,b(T). On a donc défini une application:
(6) J7 : Uha(T) —> n1)6(T), * h-, 7**7
Théorème 25.1.2
Soit un chemin 7 d'un espace topologique T, d'origine a et d'arrivée b.
L'application J7 définie par (6) est un isomorphisme du groupe Ili^T) sur le groupe
U\tb(T). Si 71 et 72 sont des chemins de T, d'origine a et d'extrémité b > on a
J7l' = J72 ssi *727i e Z(ni,a(T)), c'est-à-dire ssi 7^72 G <Z(IIif6(r)).
Démonstration:
Montrons que J7 est un morphisme de groupes. Soit # € ni|0(T) et $ e ni|0(T).
On a, en utilisant (5) et (3):
77(<?) IyiV) = 7$«77#«7 = 7$(«77) ^«7 = 7#ua ^«7 = 7 (ftp) «7 = ^(##0
d'où l'assertion. En remplaçant 7 par s7 , on a donc de même un morphisme de groupes
J-7 : tti,&(T) —► ni>a(T). Nous allons voir que 7.7o/7 = Idnla(T) et 77°/-7 = Idnlib(T) »
ce qui établira que J7 et J-7 sont des isomorphismes réciproques l'un de l'autre.
Pour tout # € IIi)a(T) , on a, en utilisant (3) et (5) et compte tenu que 5(57) = 7 :
7-7o J7($) =^7<ê^*(*7) = (*77)<Ê(^77) = ua # ufl = #
donc J*7 o /7 = Idnlf0(T) • On verrait de même que J7 o J.7 = Idnlf6(T)
On a J7l = 772 ssi 71**71 = 72^*72 pour tout <? € IIi>0(T), ce qui équivaut à
(V* € Uha(T) ) (Sfi)* = *(s727i)
c'est-à-dire à *727i G Z(ni,a). On obtient alors la dernière assertion en remplaçant
(0,6) par (6, a) et (71,72) par (57i»a72) ■
Corollaire
Soit T un espace topologique connexe par arcs. Les groupes ni>a(T), lorsque a
décrit T, sont tous isomorphes entre eux. Ils sont triviaux ssi T est simplement
connexe.
En raison du corollaire ci-dessus, lorsque T est connexe par arcs, on peut parler du
groupe fondamental de T , ce qui sous-entend alors qu'on considère seulement ce groupe
à isomorphisme près.
Exemple 25.1.1 :
Un espace topologique T est dit contractile ssi il existe a € T et une application
continue C : T x [0,1] —► T telle que C(x,0) = x et C(x, 1) = a pour tout x € T
(on dit alors que T est contractile par rapport à a). Il est immédiat que s'il en est
ainsi, alors T est connexe par arcs puisque tout point de T est l'arrivée d'au moins un
chemin d'origine a.
Soit T un espace topologique contractile, et soit a € T et une application C vérifiant
les conditions ci-dessus. Pour tout lacet tp d'origine a, l'application
[0,1]2—>T, (t,u)>—Cfo>(i),u)
est alors une homotopie entre <p et uG, donc IIija(r) = {ufl} . D'après le théorème
25.1.2, on a donc IIif& = {\ib} pour tout b e T, autrement dit T est simplement
connexe. Ce résultat satisfait l'intuition mais, bien qu'élémentaire, il n'est pas vraiment
214 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
trivial. Notons que toute partie convexe d'un R-e.v.n. est contractile par rapport à
chacun de ses points. +
Remarque 25.1.2 :
De façon générale, les concepts développés ci-dessus nécessitent de contrôler avec vigilance l'usage
de Pintuition. Il ne faut pas perdre de vue qu'un chemin peut fort bien être, par exemple, une courbe
de Peano ♦
Equivalences d'homotopie
Lemme 25.1.1
Soit X , Y , Z des espaces topologiques; soit des applications continues f\, f2 de
X dans Y et g\ , g2 de Y dans Z. Supposons f\ et f2 librement homotopes et
01 et g2 librement homotopes. Alors g\ o fx et g2 ° Î2 sont librement homotopes.
Démonstration:
Soit h une homotopie libre de f\ à f2 et k une homotopie libre de g\ à g2.
L'application X x [0,1] —► Z, (x,t) »-> k{h{x)t)1t) est alors une homotopie libre de
Pi o h à g2 o /2 ■
Définition 25.1.5
Soit X et Y deux espaces topologiques. Une application f : X —>Y est appelée une
équivalence d'homotopie (de X dans Y ) ssi elle vériûe les conditions suivantes:
f est continue^ et il existe une application continue g : Y —► X telle que g o f
soit librement homotope à Id* et que f o g soit librement homotope à Idy . On
dit que Y est homotopiquement équivalent à X ssi il existe une équivalence
dfhomotopie de X dans Y.
Tout homéomorphisme entre espaces topologiques est évidemment une équivalence
d'homotopie.
L'application identique d'un espace topologique X est une équivalence d'homotopie
de X dans X . La définition 25.1.5 montre que si / est une équivalence d'homotopie de
X dans Y , alors toute application g : Y —► X vérifiant les conditions indiquées est une
équivalence d'homotopie de Y dans X (une telle application g est appelée une inverse
homotopique de / ). On déduit facilement du lemme 25.1.1 que si X , Y et Z sont des
espaces topologiques et si / : X —► Y et g : Y —► Z sont des équivalences d'homotopie,
alors go f est une équivalence d'homotopie de X dans Z. Il en découle que la relation
entre espaces topologiques: " les espaces topologiques X et Y sont homotopiquement
équivalents " est une relation d'équivalence.
Soit deux espaces topologiques X et Y homotopiquement équivalents. Nous
verrons ci-dessous qu'ils ne sont pas nécessairement homéomorphes. Cependant, si X est
connexe par arcs, alors Y est connexe par arcs. En effet, soit f : X -+ Y une
équivalence d'homotopie, et soit g : Y -* X une inverse homotopique de /. Soit
h : Y x [0,1] —► Y une homotopie libre de / og à Idy . Soit y\ E Y et y2 G Y. On
a h((f og)(yi)1l) = y{ pour tout i e {1,2}. Soit 7 un chemin de X d'origine g(yi)
et d'arrivée g(y2) ; alors l'application [0,1] —► Y , t »-► h((f o j)(t), 1) est un chemin
de Y d'origine y\ et d'arrivée y2 , d'où l'assertion.
Soit X et Y deux espaces topologiques et soit F : X —* Y une application continue.
Pour tout chemin </? de X, l'application F o <p est un chemin de Y. Pour toute
homotopie h de <p à un chemin ip de X, l'application F o h est une homotopie de
Foip à Foip. Si if est un chemin de X , d'origine a et d'arrivée b, alors Foçp est un
chemin de Y, d'origine F(a) et d'arrivée F(6). Par suite, l'application ^nfo^ de
l'ensemble des chemins de X dans l'ensemble des chemins de Y induit une application
Fv : $3(X) —► <$)(y), et, pour tout a e X , cette application Fv induit une application
Chapitre 25 , § 1 Revêtements 215
F% : rii^X) —► II1)ir(û)(y). Pour tout couple (ip, <p) de chemins de X tel que Par rivée
de (p coïncide avec l'origine de ip , il est immédiat que (Fo^,Fo^) vérifie encore cette
propriété, et qu'on a Fo(^ip) = (F o ^) • (F o ^). On en déduit immédiatement
que pour tout a € X , l'application F^ : IIi)a(X) -* nli/?(a)(y) est un morphisme de
groupes.
Si Z est un troisième espace topologique et si G : Y —► Z est une application
continue, on vérifie facilement que Gv o Fv = (G o F)v , et que G^(a) oFav = (Go F)Jf
pour tout a G X . Comme Id^ = Id$(X) , d'où (Idx)o = ^nl>a(X) P°ur tout a € X ,
il en découle que si F est un homéomorphisme, alors Fv est une bijection, dont la
bijection réciproque est (F_1)v , et, pour tout a € X , que F% est un isomorphisme
du groupe fondamental ni|0(X) sur YliyF(a)(Y), dont l'isomorphisme réciproque est
(F_1)^/0^ . Par conséquent:
Pour un espace topologique, la propriété d'être simplement connexe est invariante
par homéomorphismes et pour un espace topologique connexe par arcs, le groupe
fondamental considéré à isomorphisme près est un invariant topologique (i.e. est invariant par
homéomorphismes).
Lemme 25.1.2
Soit X et Y deux espaces topologiques; soit des applications F : X —> Y et
G : X —► Y librement homotopes; notons h une homotopie libre de F à G, et
fixons ae X . Soit ha le chemin [0,1 ] ->Y,t>-+ h(a, t). Alors G% = ha Fav sha .
Démonstration:
Soit 7 un lacet de X d'origine a. Il s'agit de montrer que les lacets G o 7 et
(ha • (F o 7)) • 3ha sont homotopes, ce qui équivaut à la propriété que le lacet
6= X*r(Go7)*(/iû*(Fo7)))
est homotope à zéro (l'origine de 6 est b = F (a) ). L'application
*: [0,1] x [0,1] —>y, (ti.ia) —M7(*i).*0
est continue. Pour tout te [0,1] , on a:
#(0,*)=#(M) = M«) ; #(*,0) = (Fo7)(t) ; #(t,l) = (Go7)(«)
Pour tout r € [0,1] , soit l'application
£T : [0,l]2-^r, (*i,t2)—»*((1-t)*i,(1-t)*2)
soit respectivement C\tT , Ci,r , C$tT et C^T les chemins de Y définis par
CilT(*) = #T(0,t) ; C2lT(t) = #r(M) i C3fT(t) = #r(M) Î <?4,T(t) = #r(0, t)
et soit 6T = 'Ci<r * ( 3CziT * (âC2,T * Ci>T)). Alors l'application
[0,1]2 —y, (t,T)^«T(0
est une homotopie de 6 au lacet constant uj> ■
Proposition 25.1.5
Soit des espaces topologiques X et Y homotopiquement équivalents. Soit une
équivalence d}homotopie f : X —► Y et soit a e X . Posons b — f(a). Alors
Vapplication f% : IIi)a(X) —► Ili^y) est un isomorphisme de groupes.
Démonstration:
Soit g un inverse homotopique de /. Soit h une homotopie libre de F — g o f à
G = Idx . Appliquant lejemme 25^2 avec Y = X, en en reprenant les notations, on
voit que 7 = G^fî) = ha(F^(^))sha pour tout lacet 7 de X d'origine o. Avec les
notations de (6), cela signifie que Idnia(x) = ha ° F* , i.e. que Fav = hha . Comme
216 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Fv = gv o /^ , il en découle que f% est injective et g% est surjective. En considérant
une homotopie libre de / o g à Idy , on voit de même que f% est surjective et g% est
injective. Donc f% et g% sont des isomorphismes ■
DéGnition 25.1.6
Soit Y un sous-espace topologique d'un espace topologique X . On appelle
rétraction par déformation de X sur Y toute application continue p : Xx [0,1] -^> X
telle que p(x,0) = x, que p(x, 1) E Y pour tout x e X, et que p{y,t) = y pour
tout (y, t) e Y x [0,1] . On dit que X se rétracte par déformation sur Y
(ou encore, que Y est un rétracte par déformation de X ), ssi il existe une
rétraction par déformation de X sur Y .
Proposition 25.1.6
Soit X un espace topologique et Y un sous-espace de X sur lequel X se rétracte
par déformation. Alors X et Y sont homotopiquement équivalents.
Démonstration:
Soit p : X x [0,1] —► X une rétraction par déformation de X sur Y. Notons /
l'application X -> Y, x »-> p(x, 1) et g l'injection canonique Y -> X . On a fog = Idy ,
et p est une homotopie libre de Idx à yo/, donc f et g sont des équivalences
d'homotopie inverses homotopiques l'une de l'autre ■
Les exemples ci-dessous montrent que l'équivalence homotopique n'entraîne pas
nécessairement l'homéomorphie:
Exemple 25.1.2 :
Dire que X est contractile par rapport à un de ses points a équivaut à dire que X
se rétracte par déformation sur {a} +
Exemple 25.1.3 :
Soit (£, ||.||) un (R-e.v.n. Soit SE la sphère unité {y € E \ || y \\ = 1} de E.
L'application
(E\{0B})x [0,1] -Ss, (x>«)~r-7i7]j-]îx
est une rétraction par déformation de £\ {0#} sur Se . On laisse au lecteur le soin
de voir que pour tous éléments ri et r<i de IR+ U {+00} tels que 0 < ri < 1 < r2,
la sphère Se est un rétracte par déformation de chacun des sous-espaces suivants de
E: {ye E\n < \\y\\ < r2}; {y e E | 1 < \\y\\ <r2}; {y e E | n < \\y\\ < 1}
(ces sous-espaces sont respectivement appelés une couronne ouverte^ une demi couronne
extérieure et une demi-couronne intérieure. Si r\ = 0 et si E = C , la couronne ouverte
est aussi appelée disque pointé de centre 0 et de rayon ri ) +
En vue du prochain exemple, nous aurons besoin du lemme suivant:
Lemme 25.1.3
Soit (E, Il. ||) un espace euclidien de dimension n > 2 et soit F une partie fermée
non vide de E, distincte de E, et soit U une composante connexe de E\F . Le
groupe des homéomorphismes de E sur E qui fixent chaque point de F et laissent
U globalement invariant opère transitivement sur U .
Démonstration:
• Soit d'abord a e E , soit un réel e > 0 et soit B la boule fermée de centre a et de
rayon e. Nous allons montrer que le groupe Hb des homéomorphismes de E sur E
qui fixent tout point de E \ B opère transitivement sur l'intérieur B° de B. Il suffit
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 217
de le montrer lorsque a = 0e et e = 1: nous nous placerons dans ce cas. Il suffit alors
de montrer que pour tout point b e B° \ {Oe} , il existe / € Hb tel que /(Oe) = b.
Soit donc b € B° \ {0E}. Soit f : E -+ E définie par /(x) = x + (1 - || x ||)6 pour
x e B et / (x) = x pour x e E\B. Il est immédiat que / est continue. Soit y? la
restriction de / à 5 ; pour prouver que / est un homéomorphisme de E sur E, il suffit
de prouver que (p est un homéomorphisme de B sur B. Soit S l'intersection de B
et de l'hyperplan vectoriel de E orthogonal à b. Pour tout £ e S, soit £$ le segment
décrit par {£ + *u} quand t décrit Jc = [-(1 H|Ç||2)*,(1 - ||£||2)* ] » où u=îil[6î
la famille (B^)^s est une partition de B , et chaque B$ est (^-stable. Fixant £ € £,
on a y?(£ + tu) = £ + tu + (1 - (|| £ ||2 4- t2)*) 6 = £ + ^(t) u pour tout t e Jç , où l'on
a posé ^(t) = t + (1 - (|| £ ||2 + t2) 2 || b || . On vérifie que ^ est une bijection continue
croissante de J$ sur lui-même; donc if induit sur chaque J$ une bijection, et par suite
<p est une bijection continue de B sur lui-même. Comme B est compact, (p est un
homéomorphisme de B sur lui-même. On en déduit que / G Hb • Par construction, on
a f(a)=f(0E) = b.
• Soit maintenant a e U et b eU . Puisque U est connexe et ouvert, il est connexe
par arcs. Soit 7 un chemin de U d'origine a et d'arrivée b. Le compact C = 7([0,1])
ne rencontre pas F ; la distance d entre C et F est donc > 0. Soit un réel e € ] 0, d [ .
Soit (to,...,tm) une subdivision de [0,1] (avec 0 = to < t\ < • • • < tm = 1 ) telle
que y 7(ti) - 7(^+1) || < e pour tout i G [0, m - 1]. Pour tout i € [1, mj, soit Bi la
boule fermée de centre 7^) et de rayon e , et soit fi un homéomorphisme de E sur i?
fixant chaque point de E\Bi et tel que /i(7(£i-i)) = 7(^1). Alors l'homéomorphisme
9 = /m ° /m-i ° • " ° /1 de E sur JS fixe chaque point de F et vérifie g(a) = b. Il
échange les composantes connexes de E\F ; comme <7(a) et/, on ap( £/) = £/ ■
Coroiiaire
Soit deux suites unies injectives (oi,...,am) et (61,..., bm) d'un espace euclidien E
de dimension n > 2 . Il existe un homéomorphisme f de E sur E tel que /(a*) = bi
pour tout i e [l,m].
Démonstration:
Raisonnons par récurrence sur m . La propriété est évidente si m = 1. Supposons-la
vraie à l'ordre m — 1, avec m > 2, et montrons-la à l'ordre m. D'après l'hypothèse
de récurrence, on a un homéomorphisme g de E sur F tel que g{di) = bi pour tout
i G [l,m - 1]. Si y(am) = 6m , alors / = g convient. Si g(am) ^ bm, d'après le
lemme 25.1.3, on a un homéomorphisme h de E sur E tel que h(g(am)) = 6m et que
h(bi) = bi pour tout i e [l,m — lj. Alors f = ho g convient ■
Exemple 25.1.4 :
Soit un entier n > 1. Soit des points ai,... ,an de C deux à deux distincts, et soit
X l'espace topologique C \ {ai,...,an} . Soit £ = e^ . D'après le corollaire du lemme
25.1.3, C \ {ai,... ,an} est homéomorphe à X = C \ (§ Un).
Supposons d'abord n > 3. Notons Yq le triangle union des R-segments [0,1] ,
[l,f2] et [f2,0] . Pour tout A: G |0,n- 1] , soit Yk le triangle Ç2kY0 . Enfin soit
Y = Uo<fc<n-iVfc ; l'enveloppe convexe F de y est la plaque polygonale régulière
enveloppe convexe de QJn , dont on notera P la frontière (voir figure 2 ci-dessous).
Vérifions que Y est un rétracte par déformation de X . On pose p(x11) = x pour tout
(x,t) € Y x [0,1] . Si x e C\F, soit Cx Tunique point commun à P et au R-segment
[0,x] : pour tout t € [0,1] , on pose p{x,t) = (1 - t)x + tÇ>x . Si x G ? \ Y, on
a un unique k € [0, n - lj tel que x soit intérieur à Yk ; la (R-demi-droite d'origine
*2~ passant par x rencontre Yfc en un unique point r)x . Pour tout t G [0,1] , on
218 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
pose p(x, t) = (1 — t) x +t T]x . On a ainsi défini une application p: Xx [0,1] ^X,
dont on vérifie aisément que c'est une rétraction par déformation de X sur Y . Comme
Y est manifestement connexe par arcs, on en déduit que X était connexe par arcs (ce
qu'il est facile de vérifier directement). De plus, X et Y ont même groupe fondamental
(proposition 25.1.5).
Le complémentaire d'un point dans C est homéomorphe à C , lequel se rétracte par
déformation sur U (exemple 25.1.3). Donc C et U ont même groupe fondamental.
Le sous-espace C \ {a\,a,2} de C , où (ai,a^) G C2 et ai ^ a2 , est homéomorphe
à X = C\{-|,]}, On laisse au lecteur le soin de vérifier que X se rétracte par
déformation sur le sous-espace Y= [1,-1] U [-1,1) U [1,1] U [1,-1] U [-1,-1] ,
qui est connexe par arcs, donc X et Y ont même groupe fondamental +
La proposition 25.1.5 s'exprime en disant que le groupe fondamental est un invariant
homotopique, i.e. est invariant par équivalence d'homotopie. Un invariant homotopique
est a fortiori un invariant topologique (i.e. invariant par homéomorphismes) mais la
réciproque est fausse (la classification des espaces topologiques à équivalence homotopique
près est plus grossière que la classification des espaces topologiques à homéomorphisme
près). On dispose de peu d'outils pour calculer le groupe fondamental. Le plus simple
d'entre eux est le suivant:
Soit X et Y deux espaces topologiques; soit a G X et b eY . Alors Ili^^^xy)
est canoniquement isomorphe à Uita(X) x Ili^y).
En effet, soit Ca{X) (resp. Cb(Y), C^b)(X x Y) ) l'ensemble des lacets d'origine a
dans X (resp. d'origine b dans Y, d'origine (a, b) dans X x Y ). L'application de
Ca(X) x Cb(Y) dans C(ayb)(X x Y) qui associe, à tout couple (71,72), le lacet de
X x y dont les coordonnées dans X et Y sont 71 et 72 est bijective, et on vérifie
facilement qu'en passant aux classes d'homotopie, cette bijection définit un isomorphisme
de IIiia(X) x IIi,6(y) sur ïllt(atb)(X x Y).
Un autre outil important, beaucoup moins évident et très performant, est le théorème
de Van Kampen, que nous établirons au chapitre 26.
25.1.2 Revêtements, relèvements
Définition 25.1.7
Soit deux espaces topologiques non vides R et B et soit p : R —► B une application
continue. On dit que le triplet (R,B,p) est un revêtement de B par R ssi la
condition suivante est satisfaite: p est surjective, et pour tout point b G B , il existe
un voisinage ouvert u de b dans B et un homéomorphisme f : uxp~x(b) —► p~1(a;)
(où p~1(b) est muni de la topologie discrète) tels que po /(x, i) = x pour tout
(x,i) G B xp~l(b). S'il en est ainsi, p s'appelle la projection du revêtement, et B
s'appelle la base du revêtement.
La condition de la définition 25.1.7 admet la formulation équivalente suivante: pour
tout point b G B, il existe un voisinage ouvert u; de 6 dans B et une famille
(uÔç€p-l(t>) d'ouverts de R deux à deux disjoints tels que p~x(u>) = U^ep-i^u^
et que pour tout f G p'1^), l'ouvert a;^ soit un voisinage de £ et p induise un
homéomorphisme de uç sur uj .
Soit (R,B,p) un revêtement de B par R. Soit b e B et soit uj un voisinage
ouvert de b et un homéomorphisme / : u x p~~l(b) tels que po /(x,z) = x pour
tout (x,z) € u; x p~l(b). D'après les définitions, quel que soit i G p-1(6), l'application
u —► iî, x h-> /(x,t) est alors un homéomorphisme de u sur un voisinage ouvert Ui de
i dans R, dont l'homéomorphisme réciproque est la restriction de p à Ui. Les Ui sont
deux à deux disjoints et on a p~l(uj) = Ui€p-i(&)l/j. En particulier, l'application p est
un homéomorphisme local, i.e. chaque point x e R possède un voisinage ouvert Ox dans
Chapitre 25 , § 1
Revêtem ents 219
R tel que la restriction de p à Ox définisse un homéomorphisme de Ox sur un voisinage
ouvert de p(x) dans B (le fait que p soit un homéomorphisme local et soit surjectif se
traduit en disant que R est étalé au-dessus de B au moyen de p). En particulier,
p est une application ouverte. On en déduit facilement que l'espace topologique B
s'identifie canoniquement à l'espace quotient de R par la relation d'équivalence dont les
classes sont les fibres de p (par définition, les ouverts de cette topologie quotient sont
les images canoniques des ouverts de R sui sont réunion de fibres de p).
Si (R, B,p) est un revêtement de B par R et si B est séparé, on voit immédiatement
que R est séparé (mais attention: si R est seulement étalé au-dessus de B au moyen
de p, il se peut que B soit séparé sans que R le soit), et que les fibres de p sont des
sous-ensembles discrets et fermés de R .
Définition 25.1.8
Soit deux revêtements (Bi,B,pi) et R2,B,p2) d'un même espace topologique B.
On appelle B-morphisme de (Bi,B,pi) dans (B2,B,p2) toute application
continue f : R\ —► R2 telle que P2 ° f = Pi , i.e. telle que f(pîl(b)) C p^b)
pour tout b e B . On appelle B-isomorphisme de (Bi,B,pi) sur (/?2,B,p2) t°ut
B-morphisme bijectif dont la réciproque est encore un B-morphisme.
La composée de deux B-morphismes est un B-morphisme. L'application Idj^ est
un B-isomorphisme de (i?i,B,pi) sur lui-même. Un B-morphisme de (Bi,B,pi) dans
(#2jB,P2) est un isomorphisme ssi c'est un homéomorphisme de Ri sur R2 . La
composée de deux B-isomorphismes en est encore un. L'ensemble des B-isomorphismes
d'un revêtement (R,B,p) dans lui-même, muni de la composition des applications, est
donc un groupe d'homéomorphismes de R sur lui-même, appelé le groupe des B-
automorphismes de (R,B,p). On le notera Aut^(iî).
Exemple 25.1.5:
Soit / un ensemble non vide, muni de la topologie discrète, et soit B un espace
topologique. L'espace topologique produit R = B x I, muni de la deuxième projection
naturelle R —► B , fournit un revêtement (R,B,p). Tout revêtement de B qui est
B-isomorphe à un revêtement de ce type est dit trivial. Si B est connexe et si le
revêtement (R,B,p) est trivial, il est clair que les composantes connexes de R sont
toutes homéomorphes à B , et que sur chacune de ces composantes C, p induit un
homéomorphisme de C sur B . Il en découle notamment que si R est connexe et si les
fibres de p ne sont pas des singletons, alors le revêtement (B, B^p) est non trivial +
Exemple 25.1.6 :
Soit (R,B,p) un revêtement. Pour tout ouvert u de B , le triplet (Ru>,w,pJ) , où
R^ =p-l(u) et où pu est l'application Ru —► u induite par p, est un revêtement de
u, appelé restriction au-dessus de u du revêtement initial.
Soit alors (R,B,p) un revêtement quelconque. Soit b e B , et soit u un
voisinage ouvert de b dans B tel que p~l(uj) = Uj€p-i(&)£/;• , où les Uj sont deux à deux
disjoints, et où Uj est, pour tout j , un voisinage ouvert de j dans R sur lequel p
induit un homéomorphisme p; de Uj sur u , dont nous noterons qj l'homéomorphisme
réciproque. L'application B x p~l(b) —► p_1(u;), (c,j) »-► qj(c) est alors un
B-isomorphisme du revêtement trivial (uj xp_1(6),B,cc7) de B (où w désigne la deuxième
projection naturelle) sur le revêtement {jrl{w)iWiPu)) restriction de (R,B,p) au-dessus de
u>. Ainsi ce dernier revêtement {p~l(w),WiPu) est trivial. On a donc prouvé que tout
point de B admet un voisinage ouvert au-dessus duquel la restriction du revêtement
initial est un revêtement trivial. On exprime cette propriété en disant qu'un revêtement
est localement trivial +
220 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Exemple 25.1.7 :
Soit R = C, B = C* (munis de leur topologie usuelle), et soit p : R —► B
l'application z »-► e2 . Rappelons qu'on note L = C \ R_ et V = -L, et qu'on note
Log : L —► C la fonction logarithme principal. Pour tout A: € Z , soit
Ak = {z eC|(2fc-l)7r <9(z) < (2fc + l)7r} ; A!k = {z e C | 2fc7r < 9(z) < 2(fc+ 1)tt}
On sait que p induit un homéomorphisme analytique de Ak sur IL, dont l'homéo-
morphisme réciproque est l'application analytique z »-> Log(z) -f 2Lkn, et induit un
homéomorphisme analytique de A'k sur L', dont la réciproque est l'application
analytique z »-> Log(—z) -h (2/c 4- l)i7r. Le couple (L, L') est un recouvrement ouvert de
C* ; les ouverts {Ak)kez (resp. {A'k)k^z ) de R sont deux à deux disjoints, et on a
p_1(IL) = UkezAk et p'1(L/) = UkezA'k . On en déduit que (R, B,p) est un revêtement.
Pour t e C* , la fibre p_1(t) est l'ensemble log(£) des logarithmes complexes de t.
Si Zo € log(t), on a log(t) = zo + 2i7rZ . Comme iî est connexe, il en découle que le
revêtement (iî, B,p) est non trivial. Si maintenant on pose R\ = LU, Bi = U (d'où
p(Ri) = J5i ), et si on note p\ l'application Ri —► Si induite par p, il est immédiat que
(Ri, Bi.pi) est un revêtement; de manière équivalente, (R, U, E) est un revêtement, où
E(t) = Bil pour tout t e R . De même que ci-dessus, ce revêtement est non trivial +
Exemple 25.1.8 :
Soit un entier n > 1. Soit R = B = C , et soit p : R —► B, z y-+ zn . Alors
(R,B,p) est un revêtement. En effet, soit 6 = re1* G C , où (r,«)eR* x [0,2tt[ .
Pour tout fc € [0,n — lj , soit u;* l'ouvert de C formé des nombres pe1^ quand
(p, VO décrit R* x ] £ + i2Éz!i2L, £ + i^<±i)ZL [ . Soit u; l'ouvert de C* formé des
nombres pe1^ lorsque (p,V>) décrit R+x]0-7r,0 + 7r[. Alors a; est un voisinage
ouvert de b , on a p_1(u;) = Uo<fc<n-i^fc » les cj/t sont deux à deux disjoints, et pour tout
A: e J0, n — lj, l'application p induit une bijection analytique a;^ —► a;, de réciproque
analytique (cette réciproque est donnée par t »-► exp (—^ J -h £ Log(e-1^)) . On en
déduit bien que (iî, £,p) est un revêtement, dont les fibres sont finies de cardinal n +
On utilise aussi les morphismes de revêtements: si Ui = (i?i,£i,pi) et ft2 = (R2,&2:p2)
sont des revêtements avec Bx et B2 homéomorphes, on appelle morphisme de %i dans II2
tout couple (fy<p) , où f : Ri -* R2 est une application continue, où <p : Bx -> f?2 est un
homéomorphisme, et où p2 ° / = <p ° Pi • Les morphismes se composent, pour tout revêtement
Il = (R,Byp), le couple Id^ = (Id«,IdB) est un morphisme de U dans H . Un morphisme
/i = (/,v?) : 711 —»■ 7?.2 est appelé un isomorphisme ssi il existe un morphisme 1/ : ft2 —► fti tel
que i/o/x = Idftj et //oi/ = id^2 . Alors 1/ est unique et appelé l'inverse de /x. Il en est ainsi ssi
/ est un homéomorphisme. La composée de deux isomorphismes est un isomorphisme, l'inverse
d'un isomorphisme est un isomorphisme.
La propriété la plus simple des revêtements est le théorème suivant:
Théorème 25.1.3
Soit (R, B,p) un revêtement dont les fibres sont finies et où B est compact. Alors
R est compact.
Démonstration:
Puisque B est compact, il est séparé, donc R est séparé. Soit (Ui)iej un
recouvrement ouvert de R. Il s'agit de montrer qu'on peut extraire de ce recouvrement un
sous-recouvrement fini. Pour tout x e R, soit <p(x) e I tel que x € U^x) . Pour
tout y e B, soit uy un voisinage ouvert de y dans B tel que l'on ait une famille
d'ouverts (J?y,ç)$ep-i(y) dans R vérifiant les conditions suivantes: les (^y,^)ç€p-i(y)
sont deux à deux disjoints; pour tout £ € p_1(y), l'ouvert Qv^ est un voisinage de
f et p induit un homéomorphisme de fiy^ sur ujy ; pour tout f € p~l{y), on a
flït{ C [/^(o (une telle famille (^y^J^p-Mv) ex^ste parce que la fibre p~*(y) est finie).
La famille d'ouverts (uy)yeB recouvre B ; il existe donc une partie finie J de B telle
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 221
que Uyejuiy = B . Ayant ainsi fixé J , on a R = \JyeJP^1{^y) = Uy€j (ux€p-i(y)J?y,x) ,
d'où a fortiori iî = UX€p~l(j)U<p(x) - ui€{^(x)}x€p-i(J)^i • Comme l'ensemble p_1(J)
est fini, l'ensemble {^(aOlxep-^j) est fini, ce qui achève la démonstration ■
Relèvements
Définition 25.1.9
Soit trois espaces topologiques R, B et T et soit des applications continues
p : R —► B et tp : T —► B. On appelle relèvement de tp par p toute
application continue (p : T —► R telle que ip = p o <p . Si T est un ouvert de B y on
appelle section de p au-dessus de T tout relèvement de Idr par p. Une section
de p au-dessus de B est appelée une section globale de p.
La propriété fondamentale des revêtements est le théorème suivant, dit de relèvement:
Théorème 25.1.4
Soit (R,B,p) un revêtement de B par R. Supposons B séparé, et ûxons b e B .
Pour toute application continue ip : [0,1] —> B et pour tout a e p~x{b), il existe
un relèvement et un seul (p de ip par p qui vériûe </?(0) = a.
Détn ons tra tion :
Montrons d'abord l'unicité de <p. Soit </?i et </?2 deux relèvements de ip par p tels
que ipi{0) = <p2(0) = a. Notons £ l'ensemble {t € [0,1] | p\{t) = </>2(*)}- Puisque
B est séparé, R est séparé et donc £ est fermé dans [0,1] . Montrons que £ est
ouvert dans [0,1] . Soit to € 5. Soit &o un voisinage ouvert de co = ip{to) tel que
P~1(cq) = Ujçp-Hc^Uj , où les Uj sont deux à deux disjoints et où Uj est, pour tout
j , un voisinage ouvert de j sur lequel p induit un homéomorphisme de Uj sur u . Soit
J un intervalle voisinage ouvert de to dans [0,1] tel que ip{J) C uj . Puisque J est
connexe et puisque les Uj sont deux à deux disjoints, pour tout A: € {1,2} , il y a un et
un seul indice jk tel que ipk(J) C Ujk ; on voit que jk = <£i(*o) = ^2(^0) • On notera
î/o = <£i(*o) = </>2(*o) • Soit go l'homéomorphisme réciproque de l'homéomorphisme de
Uyo sur u induit par p; pour tout t € J, on a forcément </?i(t) = ¥>2{t) — Qo(^P(t)),
donc J C £ . Ainsi £ est voisinage de chacun de ses points, donc est ouvert dans [0,1 ] .
L'ensemble £ est ouvert et fermé dans [0,1 ], et il est non vide puisque 0 G £ , donc
£ = [0,1] puisque [0,1] est connexe.
Montrons maintenant l'existence de (p. Pour tout te [0,1] , soit ut un voisinage
ouvert de ip(t) tel que p'l{ujt) = ^jeP-H^(t))Utyj , où (^tj^p-'W*)) est une famille
d'ensembles deux à deux disjoints, et où pour tout j G p~l(ip(t)), l'ensemble £7^ est un
voisinage ouvert de j dans R sur lequel p induit un homéomorphisme pt j de £/Éij sur
(Jt, dont on notera qtj l'homéomorphisme réciproque. Soit 6 un nombre de Lebesgue
du recouvrement ouvert ( [0,1 ] r\ut)te [0,ij de l'espace métrique compact [0,1 ] . Soit
(t0,..., tiv) une suite dans [0,1 ] (avec N > 1 ) telle que 0 = tç> < h < • • • < în = 1
et que Max0<i<;v-i(*i+i - U) < S. Pour tout A: G [0,iV - lj, soit Ik = [tfc,tfc+i]
et soit rk € [0,1] tel que Jfc C uTk . Notons j0 l'unique élément de p~l(tî>(To)) tel
que a e UTQij0 , et pour tout tE/o, posons 90(t) = gTOloW>(0) • Supposons construite
l'application 0* : 70 U • • • U Ifc -* R avec 0 < k < N - 1. Soit jk+i l'unique élément de
P~l{Tk+\) tel que 0k{tk+\) € UTk+lJk+1 ; posons 0*+i(t) = Qrk+1jk+1(^{t)) pour tout
t € Jfc+i , et pour tout t € [^o^fc+i ] , posons 0k+\(t) = 0k(t) ; le raccord a bien lieu au
point tfc+i puisque par construction, on a gTfc+ifjfc+1(*fc+i) = ^(^fc+i) • Par récurrence,
on a ainsi défini pour tout k e [0, N -1] une application continue Qk : [ t0, t^+i ] —► R.
Il est immédiat que </? = 0n-i est un relèvement de tp par p sur [0,1] ■
222 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Exemple 25.1.9 :
Soit <p : [0,1] —► C* un chemin. Notons b = </?(0). En utilisant le revêtement
(R, B,p) de l'exemple 25.1.7, on voit que pour tout a e log(t), il existe un relèvement
et un seul tp de </? par p tel que ^(0) = a. Autrement dit, il existe une unique
application continue ip : [0,1] —► C telle que e^É) = ip(t) pour tout te [0,1] et
que ip(0) = a. De même, en utilisant le revêtement (IR,U,E) de l'exemple 25.1.7, on
voit que pour tout chemin </? : [0,1] —► U et pour tout #o e arg(</?(0)), il existe une
application continue unique 0 : [0,1] -► R telle que 0(0) = 0O et que eid(t) = <p(t)
pour tout te [0,1]. On retrouve ainsi les classiques théorèmes de relèvement par
l'exponentielle +
Soit maintenant un revêtement (R,B,p) avec B séparé. Pour toute application
continue (p : [0,1 ] —* B et tout a € p~1((p(0)), nous noterons y?J le relèvement de </?
par p qui prend la valeur a en 0. Soit alors bo e B et b\ e B et soit </? : [ 0,1 ] —» B
une application continue telle que </?(0) = &o et </?(6i) = b\. Les applications
/ : p-l(b0) -p-Hh) : ao ~ ^(1) et g : p-\h) -» p"1^) : ai ~ (V^.U)
vérifient de manière évidente g o f = Idp-i(&0) et f o g = Idp~i(61) (pour tout ao,
on a (V)^« /^ = 3((fl0) )> donc ce sont des bijections réciproques l'une de l'autre. Il
en découle:
Corollaire 1
Soit (R, B,p) un revêtement, avec B séparé et connexe par arcs. Pour que les fibres
de p soient toutes finies, il faut et il suffit que l'une d'elles le soit, et s'il en est ainsi,
elles ont toutes même cardinal.
Corollaire 2
Soit (R,B,p) un revêtement, avec B séparé, soit T un espace topologique connexe
par aies, soit f : T —» B une application continue, et soit a eT. Posons b — f(a)
et soit a e p~l(b). Il existe au plus un relèvement g de f par p tel que g(a) = o .
Démonstration:
Soit t e T ; soit 7 un chemin de T d'origine a et d'arrivée t. Si g : T —► R relève
/ par p et vérifie g(a) = a, le chemin go 7 relève /07 et son origine est a, donc c'est
nécessairement (/°7)J (théorème 25.1.4). Par suite, g(t) = (go^y)(l) = (/ 07)^(1), ce
qui détermine g(t) de manière unique en fonction de (/,a,a) ■
Le corollaire 2 ci-dessus entraîne immédiatement qu'un morphisme de revêtements
dont la base est connexe par arcs est déterminé par sa valeur en un seul point:
Corollaire 3
Soit H\ = (Ri,B,pi) et IZ2 = (i?2,#,P2) deux revêtements d'un même espace
B séparé et connexe par arcs. Supposons Ri connexe. Soit M l'ensemble des
B-morphismes de H\ dans H2 • Soit a\ e R\, notons b = p\(a{). L'application
M —► p^ib), / »-► /(ai) est injective.
Relèvement d'homotopies
Théorème 25.1.5
Soit (R,B,p) un revêtement, avec B séparé, soit b e B et soit une application
continue & : [0, l]2 —► B . Pour tout a e p~x(b), il existe un relèvement $ de $
par p et un seul tel que #(0,0) = a.
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 223
Démonstration :
• Unicité:
Pour tout u e [0,1], notons &u l'application [0,1] -> B, t »-> \p(t,u). Compte
tenu du théorème 24.1.1, # ne peut être que l'application
[0,l]2-+fl, (t,u)^OPu)i(0|u)
• Existence:
Pour tout \i — (t, u) 6 [0, l]2 , soit un voisinage ouvert u^ de !pr(^) dans B tel
que p~l(u^) = U;eP-i(^(/z))C^/z,j , où les U^j sont deux à deux disjoints, et où U^j est,
pour tout j , un voisinage ouvert de j dans R sur lequel p induit un homéomorphisme
Pnj de t/^j sur u^j , dont on notera q^j rhoméomorphisme réciproque. La famille
(&~1(u)n))tle[o,i\* est un recouvrement ouvert de l'espace métrique compact [0, l]2 (la
distance étant définie par la norme (x, y) i~> || (x, y) \\ = Max(| x |, | y |) de R2 ). Soit 6
un nombre de Lebesgue de ce recouvrement. Soit N un entier > £ .
Posons $o = (^o)* • Supposons trouvé un relèvement #* par p de la restriction
Vt de # à [0,1] x [0,£] , où 0 < £ < JV, qui vérifie #*(0,0) = a. Pour tout
fce [0,7V- 11, notons Qk,e= [jh^]* [;&, ^ ]• Pour à; € [0, N - lj, définissons
comme il suit un relèvement O^t par p de la restriction de & à Qj^ . Soit /x^ € [0, l]2
tel que ^(Q*,*) C u;Mfc . Soit jk Tunique élément de p~l(fik) tel que #£(77, j?) e U^kyjk .
On pose alors Qk,t{t, w) = Ç^.^^^iU)) pour tout (t,u) € Qfe,f . Il découle du théorème
24.1.1 que
(7)
(Vft€[0,tf-ll) (vte[A,* + l]) «M (*4) = *« (*4)
En particulier, si A: € [1, N - 1], on a <9fc_M(£, £) = #<(£, £) = ©m(t7» tf ) » et une
nouvelle application du théorème 24.1.1 montre que 0fc_i^(^,u) = 0^^(^,u) pour
tout w € [ ^, ^ ] . On voit donc que les applications &k}£ , où A: décrit [0, N — lj, se
raccordent en un relèvement 0£ par p de la restriction de # à [0,1] x [^,^] , et
il découle de (1) que 6t{t) = #/(£, ^) pour tout te [0,1 ] . L'application
[#*(t,iO si u < -fa
#m : [0,1] x
o^±i
' TV
{0t(t,u) si £<u<^±I
est donc un relèvement par p de la restriction de ^ à [0,1] x [0,^] , et il est
immédiat que #£+i(0,0) = a. On a donc prouvé par récurrence que pour tout
£ e [0, AT], il existe un relèvement #£ de & par p sur [0,1] x [0, ^] tel que
#j(0,0) = a . Le relèvement # = #jv répond à la question ■
Corollaire 1
Soit (iî, J3,p) un revêtement, avec B séparé, connexe par arcs et simplement
connexe, et avec R connexe par arcs. Alors p est un homéomorphisme de R sur B.
Dém onstra tion :
Pusique p est un homéomorphisme local et puisque p(R) = B, il suffit de montrer
que p est injectif. Soit a0 € R et ai e R tels que p(ao) = p(ai) = b. Soit un
chemin (p : [0,1] —► R tel que <p(0) = ao et ip(l) = a\. Le chemin ip — p o ip
de B est un lacet d'origine b. Par hypothèse, z/> est homotope au lacet constant
Ub : [0,1] —► S, t *-* b. Soit une homotopie & : [0,1]2 —> 5 de -0 à u& ; d'après le
théorème 25.1.5, elle admet un unique relèvement # par p tel que #(0,0) = ao ; pour
tout u e [0,1] , on a $(0,u) e p_1{b) ; l'application u t-► $(0, u) étant continue et la
fibre p~l(b) étant discrète, on a donc #(0,u) = #(0,0) = a0 pour tout u e [0,1].
De même, #(l,u) = #(1,0) pour tout u e [0,1] . En vertu du théorème 25.1.4, on a
224 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
<p(t) = #(t,0) pour tout te [0,1] , d'où #(1,0) = <p(l) = ax , et donc #(1,1) = ai.
L'application continue [0,1] -> R, t »-> #(t,l) est à valeurs dans p_1(b), donc est
constante; comme #(0,1) = ao et #(1,1) = a\ , on a ao = a\ I
D'après le corollaire 1 ci-dessus, pour tout revêtement (R,B,p) avec B séparé et R
connexe par arcs, si p n'est pas bijectif, l'espace B n'est pas simplement connexe. Ainsi
(cf. exemple 25.1.7), C* n'est pas simplement connexe, donc U non plus puisque U
est homotopiquement équivalent à C (cf. aussi ce qui précède et l'exemple 25.1.8).
Corollaire 2
Soit (R,B,p) un revêtement, avec B séparé, et soit deux chemins y et 6 de B
homotopes, d'origine b et d'arrivée c. Soit a ep~l(b). Les chemins 7* et <5* sont
homotopes. Par suite, 7* ( 1) = <5*(1), et si 7* est un lacet, alors 6* est un lacet.
Démonstration:
Soit h une homotopie de 7 à 6. Soit H le relèvement de h par p tel que
if(0,0) = a (théorème 25.1.5). Les chemins T : [0,1] -> R,t >-► if(t,0) et
A : [0,1] —► -R, t 1—> if(t,l) relèvent respectivement 7 et <5. Comme ff(0,0) = a,
d'après le théorème 25.1.4, on a r = 7* . Pour tout te [0,1 ] , on a if (0, t) e p-1(b) ;
comme la fibre p~l(b) est discrète et comme l'application t »-> ff(0,t) est continue,
cette application est constante, de valeur if (0,0) = a ; de même, l'application continue
[0,1] —► R, t »-► if(l,t), étant à valeurs dans la fibre p-1(c), est constante, de valeur
if (1,0) = 7*(1). Comme if(0,1) = a, on a alors A = <5J , et ce qu'on vient de voir
montre que if est une homotopie de 7* à <5* , ce qui achève la démonstration H
Rappelons qu'un espace topologique est dit localement connexe par arcs ssi tout point
de cet espace admet un système fondamental de voisinages connexes par arcs. Dans un tel
espace T, une partie ouverte est connexe ssi elle est connexe par arcs, et les composantes
connexes de T sont à la fois ouvertes et fermées, donc sont connexes par arcs: ce sont
donc les composantes connexes par arcs de T. En particulier, T est connexe ssi il est
connexe par arcs. De plus, tout point de T admet un système fondamental de voisinages
ouverts connexes par arcs.
Théorème 25.1.6
Soit (R,B,p) un revêtement, avec B séparé, localement connexe par arcs et
connexe. Pour toute composante connexe C de R, on a p(C) = B , et (C, B,p\ ) est un
revêtement. Soit O un ouvert de R tel que p(0) = B et que (0,B,p\ ) soit un
revêtement, alors O est une réunion de composantes connexes de R.
Démonstra tion :
Puisque B est localement connexe par arcs, il en est de même de R, et les
composantes connexes de R sont ouvertes et fermées dans R et sont aussi les composantes
connexes par arcs. Soit C l'une de ces composantes connexes. Soit ao e C, posons
bo = p(ao). Soit 61 e B et v? : [0,1] —► B un chemin. Alors le point ai = ^*o(l)
appartient à C, et p(a\) = 61; cela prouve que p(C) = B. Soit b G B, et soit u
un voisinage ouvert connexe par arcs de b dans B tel que p~l(uj) = U^p-i^f/j , où
les Uj sont deux à deux disjoints et où Uj est, pour tout j , un voisinage ouvert de
j dans R sur lequel p induit un homéomorphisme pj de Uj sur u, dont on notera
<7j l'homéomorphisme réciproque. Si j e C Cip~l(b), on a Uj C C puisque Uj est
connexe. Si j e p~l{b)\C, alors Uj n C = 0 parce que Uj est connexe; on a donc
P~1{uj) O C = Ujecnp-i-ityUj ; on en déduit aisément que (C,B,p\ ) est un revêtement.
Soit C une composante connexe de R et soit a € C ; posons b = p(a), et supposons
que Onp~l(C) ^ 0. Soit un chemin <p : [0,1] -► R tel que <p(0) = a! e On p~l{C)
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 225
et <p(l) = a . D'après le théorème 25.1.1, <p est Tunique relèvement dans R de tp = pop
d'origine a'. Donc, notant <p' Tunique relèvement de xp dans O d'origine a', on a
nécessairement <p = <// , d'où a = </?(l) = <p'(l) e O ; donc C C O ■
Corollaire
Soit (R,B,p) un revêtement, avec B séparé, localement connexe par arcs, connexe
et simplement connexe. Alors le revêtement (R,B,p) est trivial. De façon précise,
soit b € B . Pour tout a € p-1(b), soit Ca la composante connexe de R qui passe
par a , et soit pa la restriction de p à Ca . Chaque pa est un homéomorphisme de Ca
sur B . L'application g : B xp"x(b) —► R, (c,a) i—► pâl{c), où p_1(b) est munie de
la topologie discrète, est un B-isomorphisme du revêtement trivial (B x p-1(b), B, w)
(où w désigne la deuxième projection naturelle) sur le revêtement (R, B,p).
Démonstration:
D'après le théorème 25.1.4, pour tout a G p~l(b), le triplet (Ca,£,pa) est un
revêtement, Ca est une partie à la fois ouverte et fermée de R, et d'après le
corollaire du théorème 25.1.2, pa est un homéomorphisme de Ca sur B . Il en découle que la
famille (Ca)aep-l(*>) est une partition de R, c'est une partition de R en ses composantes
connexes. Il est clair que g est un B-morphisme de revêtements, bijectif et continu. Pour
montrer que g~l est continu, il suffit de montrer que pour tout a G p~l(b), sa restriction
à Ca0 est continue (puisque les Ca sont des ouverts de R). Fixons a € p~l(b) ; pour
tout x e Ca , on a g~x{x) = (p(x),a) ; comme p est continue, il en découle clairement
que g~l\c est continue. Donc g'1 est continue, et g est bien un B-isomorphisme de
revêtements ■
25.1.3 Opérations sur les revêtements
Revêtement image réciproque
Soit un revêtement (R,B,p), avec les hypothèses du théorème 25.1.6. Soit T un
espace topologique séparé, connexe et localement connexe par arcs, et soit ip : T —* B
une application continue. Notons Rxb^T le sous-espace {(x,y) e RxT\p(x) = ip(y)}
de RxT. Puisque B est séparé, et puisque p et \j> sont continues, R Xb^ T est
fermé dans RxT. Notons q : Rxb^T —> T la restriction à RxB^T de la deuxième
projection RxT -+T.
Proposition 25.1.7
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, (R x B^ T, T, q) est un revêtement.
Démonstration:
Comme p(R) = B , il est clair que q est surjective. Soit c e T ; posons b = ip(c),
et soit u) un voisinage ouvert de b dans B tels que Ton ait un homéomorphisme
f : ux p~l(b) —► p~1(cj) vérifiant {p°f)(x,i)=x pour tout (x,i) e ujx p~l(b), où
p~x(b) est muni de la topologie discrète. L'ensemble \j)~l{u)) est un voisinage ouvert de
c dans T. Notons w la restriction à RxB^T de la première projection RxT -* R,et
soit r la deuxième projection u xp~l(uj) —► p~l(u)). Munissons q~l{c) de la topologie
discrète, et considérons les applications:
g : tfrV) x «^(c) — ff-1^"1^)), (y,j) — (/Mv),w(i)),v)
Il est clair que g et h sont continues, et on vérifie que h o g = Id^-t(w)XQ-i(C) et que
g o h = Idq-i(^-i(w)) . Donc g et h sont des homéomorphismes réciproques Tun de
l'autre. La proposition s'en déduit ■
226 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Définition 25.1.10
Dans les conditions de la proposition 25.1.7, le revêtement (R xB^ T, T, q) s'appelle
l'image réciproque par tp du revêtement (R,B,p).
La notion d'image réciproque d'un revêtement permet de ramener les relèvements
dans un revêtement aux sections d'un autre revêtement. Conservons les notations et
hypothèses de la proposition 25.1.7 et de la définition 25.1.10 (notamment, l'espace T
est connexe et localement connexe par arcs). Fixons to G T, posons b = ip(t0) • Soit
a e p~*(b) . Soit </? un relèvement de ip par p tel que <p(to) = a. Pour tout t G T , on
a (</>(£)> t) € R x#^ T, et l'application s : T —► R xB^ T ,t*-> {ip(t), t) est une section
globale de q , qui vérifie s(to) = (<Mo) • Réciproquement, soit 5 une section globale de
q telle que s(to) = (<Mo) î alors f = w o s est un relèvement de ip par p qui vérifie
f(to) = a . L'application s ■—► wos établit donc une bijection de Vensemble des sections
globales de q telles que s(to) = a sur Vensemble des relèvements de ip par p prenant
la valeur a en to .
Nous allons utiliser ce principe pour prouver la conséquence essentielle suivante du
théorème 25.1.5:
Théorème 25.1.7
Soit (R, B,p) un revêtement, avec B séparé, connexe et localement connexe par
arcs, et soit T un espace topologique non vide séparé, connexe, localement connexe
par arcs et simplement connexe. Fixons fi € T. Soit une application continue
& : T —► B , posons b = ^(/3). Pour tout a e p-1(&), il existe un relèvement $ de
& par p et un seul tel que 0(0) = a.
Démonstration:
• Unicité:
Supposons que # existe. Soit f}1 e T ; soit 6 : [0,1] —► T un chemin tel que
6(0) = (3 et 6(1) = /?'. Associons-lui le chemin <p$ = &o6 de B . Par continuité de $ ,
on a nécessairement <P(f3') = (^)J(l) ; d'où l'unicité de #.
• Existence:
Considérons le revêtement (R Xb,# T,T,q) image réciproque de (R,B,p) par #.
Soit C la composante connexe de R xBy$, T passant par (a,/?). D'après le théorème
25.1.6, (C,T,q\) est un revêtement, et, d'après le corollaire du théorème 25.1.6, q\ est
un homéomorphisme de C sur T. L'homéomorphisme réciproque s de q\ est une
section globale de q. Notant w la restriction à R xB,v T de la première projection
R x T —► R , l'application 0 = w o s est un relèvement répondant à la question ■
Corollaire
Soit un revêtement (R,B,p), avec B séparé, connexe et localement connexe par
arcs. Soit un ouvert u> connexe et simplement connexe de B . Soit b G u et soit
a G p~x(b). Il existe une section s de p au-dessus de lu et une seule qui vérifie
5(6) = a.
Exemple 25.1.10 :
Reprenons le revêtement (C,C ,p) de l'exemple 25.1.7 (où donc p(z) = e2 ) pour
tout z G C). Rappelons que si u est un ouvert de C , on appelle détermination du
logarithme sur u toute section de p au-dessus de u . D'après le corollaire du théorème
25.1.7, si u est connexe et simplement connexe, si b G cj et si a G log(6), il existe une
détermination (p du logarithme et une seule au-dessus de u telle que <p(b) = a +
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 227
Produit fibre de revêtements
Soit fci = (R\,B,pi) et 7^2 = (R>2,B,p2) deux revêtements. Notons R\ xg R2
la partie de R\ x R2 formée des couples (xi,X2) tels que Pi(xi) = ^2(^2)- Pour
c = (xi,x2) € -Ri xb i?2 , on notera q(c) = pi(xi) = £2(^2) • Par abus de langage, on
écrira q(c) = q(xi,X2).
Proposition 25.1.8
Dans les conditions ci-dessus, (Ri xB R2,B,q) est un revêtement.
Démonstration:
Notons respectivement w\ et V&2 les restrictions à R\ xB R2 des première et
deuxième projections naturelles R\ x i?2 —► -Ri et R\ x R2 —► i?2 •
Soit yo € B . Soit un voisinage ouvert u; de yo dans S tel que pour tout i G {1,2},
on ait un homéomorphisme fi : u x p~l(yo) -* pjl(u) vérifiant Pi(fi(y,0) = V Pour
tout (y,£) € a; x p~1(yo) > où pjl(yo) est muni de la topologie discrète. Pour tout
i e {1,2} et tout £ e p^l{yo), notons uitç = fi(u x {£}), notons <pitç rhoméomor-
phisme de cj^ sur uj induit par Pi et Vi,£ son homéomorphisme réciproque. On a
q-l(u) = Utt|J|)€pri(|W,)xpj.i(lto)fl€^ , avec Ûît1l = (Rx xB R2) H (uu x uj2,v) pour tout
(£,77). Les !?£)7? sont deux à deux disjoints. Pour tout (£,r?) € pfHî/o) x P^iVo), la
restriction de q à J?^ induit un homéomorphisme i7^>r? —► uj , égal à ^i,^°(^iL ) et
à (£2,77 ° fa^L ) , dont l'homéomorphisme réciproque est y i-> (ipi,z(y)iip2,T)(y)) • Com-
me yo est arbitraire, il en découle que (-Ri xB R2>B,q) est un revêtement I
Définition 25.1.11
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, le revêtement (R\ xBR2)B,q) défini dans
la proposition 25.1.8 est appelé le produit fibre (au-dessus de B ) des revêtements
(Ri,B,pi) et (R2,B>P2). Onlenotera (RiXBR2,B, (.)), la projection structurelle
q pouvant être désignée par n'importe quel symbole convenu, écrit à la place de (.).
L'application (xi,X2) ■—► (x2,xi) est un B-automorphisme de (Ri xB R2,B,q). Le
produit fibre peut être itéré, et obéit à une évidente loi d'associativité: étant donné trois
revêtements (Ri,B,Pi) (où 1 < i < 3), les produits fibres ((Ri xB R2) xB i?3,B) et
(-Ri xb (-R2 Xs Rs),B) sont canoniquement B-isomorphes, un J3-isomorphisme étant
donné par ((xi,X2),X3) 1—► (xi,(x2,X3)). Par suite, si n est un entier > 2 quelconque,
le produit fibre itéré Ri xBR2 xB • • x^i^ est bien défini, sans préciser de parenthésage.
On peut aussi définir directement, sans itération, la partie T de R\ x • • • x Rn formée
des n-uples (xi,... ,xn) tels que pi(xi) = • • ■ = pn(xn) ; pour x = (xi,... ,xn) € T,
soit alors q(x) l'élément de B égal à Pi(xi) pour tout i G |[l,rcj. On vérifie facilement,
comme dans la proposition 25.1.8, que (f,B,q) est un revêtement, et on voit que ce
revêtement s'identifie canoniquement au produit fibre itéré (Ri x B R2 xB • • • xB Rni B).
On a une action à gauche naturelle du groupe <5n sur R\XBR2xB • ■ • xB Rn , qui
associe, à tout (cr, x) € &n x (Ri xB R2 xB • • • xB Rn) (où x = (xi,..., xn) ) l'élément
o • x = (x^-i^),..., x^-i(n)). Il s'agit d'une action par B-automorphismes: pour tout
cr e &n , la permutation gG : x 1—► a • x de Ri xB R2 xB • • xB Rn appartient à
KatB(Ri xBR2xB- xB Rn).
On notera que si Ri et R2 sont connexes par arcs, RiXBR2 n'est pas nécessairement
connexe. Par exemple, soit H = (C, C ,p) le revêtement de l'exemple 25.1.7 (où
p(z) = e* pour tout z e C), et prenons (Ri,B,pi) = (R2,B,p2) = 71. L'espace
Ri x B R2 admet alors une infinité de composantes connexes, qui sont les droites affines
de C2 d'équation zi — Z2 = 2Lkn lorsque A: décrit Z.
228 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Composition de revêtements
Soit deux revêtements (i?2>-Ri>P2) et (Ri,B,pi). Posons p = p2 opi . En général,
(i?2,B,p) n'est pas un revêtement. Cependant:
Théorème 25.1.8
Soit deux revêtements (#2, #1,^2) et (i?i,B,pi). Posons p = P2°Pi- Supposons
B séparé et que les Gbres de p\ soient unies. Alors (R2,B)p) est un revêtement.
Démonstration:
L'application p est continue, surjective et ouverte. L'hypothèse entraîne que R\ est
séparé (ainsi que R2 ). Soit b e B , notons n = card(p^1(6)) , et soit (xi,...,x„)
une numérotation des éléments de PÏl(b). Pour tout i € [l,n], soit Ui un voisinage
ouvert de Xt dans -Ri et soit hi un homéomorphisme de Ui x p^1(xi) dans p^iUi)
tel que (p2 ° hi)(£,y) = £ pour tout (£,y) e Ui x pJ^Xi). Comme #1 est séparé,
quitte à diminuer s'il le faut les Ui, on peut les supposer deux à deux disjoints. Pour
tout i € [l,n], l'ensemble p\{Ui) est un voisinage ouvert de b dans B. Soit u
un voisinage ouvert de b dans B , contenu dans rii<i<npi(î7i), pour lequel on a un
homéomorphisme g de u x {xi,...,xn} dans pj"1^) qui vérifie ^(^,Xi) = £ pour
tout (Ç,i) G a; x [l,n]. Alors p_1(b) est la réunion disjointe des p^fo) l°rsQue
i décrit [l,nj. Soit (C>y) £ ^ xp-1(l)); notant *,y l'unique élément i € [l,nj tel
que y e p2l{xi), on pose /(C,y) = hlv(g(Ç,xLy)). On vérifie que / ainsi définie est
un homéomorphisme de w x p-1(b) sur p~x(u), et que (p o /)(Ç,y) = C Pour tout
(C> y) G cj x p-1(6). C'est vrai pour tout b € B , donc (#2, £,p) est un revêtement ■
Dans les conditions du théorème 25.1.7, le revêtement (R2,B,p) s'appelle le
composé des revêtements (i?2,iî,P2) et (iîi,B,pi). On a une évidente associativité de
cette opération de composition, qu'on laisse au lecteur le soin d'énoncer et de vérifier.
Théorème 25.1.9
Soit deux revêtements 7Z\ = (iîi,B,pi) et 7^2 = (R2>B,p2) avec B séparé,
connexe et localement connexe par arcs et avec R2 connexe. Soit f : R\ —► R2 un
B-morphisme de 7Z\ dans 7^2- Alors f est surjectif, Q — (#i,i?2>/) est un
revêtement, et 7Z\ est le composé des revêtements 1Z2 et Q.
Démonstration:
Montrons que / est une application ouverte. Soit ai e R\ ; posons b = Pi(ai) et
a2 = /(ai). On peut déterminer un voisinage ouvert connexe par arcs u de b dans
B tel que pour tout i e {1,2} , on ait p~l(u) = Uxep-i(b)UiyX , avec les (UijX)xep-i{b)
deux à deux disjoints, et où U^x est, pour tout x € p^x{b), un voisinage ouvert de
x sur lequel Pi induit un homéomorphisme piyX de UiyX sur u, dont on notera qiyX
l'homéomorphisme réciproque. Puisque P2 o / = p1, on a f(UiyCtl) C pj 1(v). Comme
/ est continue, que UiiCL1 est connexe et que /(ai) = 02 G f/2,a2 > nécessairement
f{Uiyai) C C/2,a2 i en fait, on a /(£/i>ai) = £/2,a2 et / induit sur U\Ai la bijection
02,02 °Pi,ai ' ^1,01 —* ^2,a2 , donc / est un homéomorphisme local autour de ai . C'est
vrai pour tout ai , donc / est ouverte.
Soit O = f(Ri). Il est immédiat que P2(0) = B. Montrons que (0,B,p2,c>)
(où p2,o désigne la restriction de p2 à O ) est un revêtement. Soit b € B, et
choisissons u comme ci-dessus; on conservera les notations p~l(u) = Ux£ -\,hJJiyX . Notons
/ = OC)p-l(b). On vérifie que /(pf1^)) = Ux€JU2tX , d'où Ux€/[/2,* = Pj,oM ; il
en découle que (0,B,p2,o) est bien un revêtement. Puisque R2 est connexe, d'après
le théorème 25.1.6, on a O = R2 , i.e. / est surjective.
Soit 0,2 e R2 . Soit ai e /_1(a2), posons b = pi(ai) (donc b = P2(a2) ). Choisissons
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 229
uj comme ci-dessus et reprenons les notations pi (u) = U^-i^C/^ . La connexité de
u montre que f~l{U2,a2) = Vxef-l{a2)Ui,x • Comme 0,2 est arbitraire, on en déduit que
(i?i, #2? f) est un revêtement; la dernière assertion découle de ce que P2 ° / = Pi H
En tenant compte du théorème 25.1.7, le théorème 25.1.9 donne immédiatement:
Corollaire
Soit deux revêtements {R,B>p) et (U, B,q), avec B séparé, connexe et localement
connexe par arcs, R connexe et U connexe, localement connexe par arcs et
simplement connexe. Pour tous a e U et a € p~l(q(a)), il existe un unique B-morphisme
f : U —► R tel que /(a) = a ; le triplet (U, R, f) est un revêtement, et (U, J3, q) est
composé des revêtements (R, B,p) et ([/, .R, /).
Produit cartésien de revêtements
Soit deux revêtements *R,\ = (-Rij-BiïPi) et 7^2 = (^2,^25^2) • Formons les
espaces topologiques R = R\ x R2 et B = B\ x B2 > et soit p : R —► B l'application
Pi x p2 (qui associe (pi(xi),p2(z2)) atout (xi,x2)Eiî). On vérifie immédiatement
que (i£, B,p) est un revêtement, appelé le produit cartésien de 7Z\ et IZ2 , et que nous
noterons TZi x IZ2 . L'opération produit cartésien est associative: si 7^3 est un troisième
revêtement, il y a une identification canonique entre (7£i x K2) x 71$ et 1Z\ x (1Z2 x H3).
Si n eN et si T^i,..., 7ln sont des revêtements, on peut donc considérer le produit
cartésien 1Z\ x • • • x 1Zn sans préciser de parenthésage. Ce produit s'identifie au produit
cartésien des TZi défini directement comme on l'a fait dans le cas n = 2.
Exemple 25.1.11 :
Soit un entier n > 2. Soit T^i le revêtement (R,U,£), où £(x) = e27ri* pour
tout x e R. Le revêtement TZ = 1Z\ x • ■ • x 1Z\ produit cartésien de 7li par lui-
même n fois est (Un ,Un ,£n), où Sn(xu...ixn) = (e27rixi,... ,e27ri*") pour tout
(xi,...,xn) € Rn . Les fibres de 71 sont les classes du groupe additif Rn modulo
le réseau Zn . L'espace topologique compact Un s'identifie donc canoniquement au
groupe quotient "* jjj1 muni de la topologie quotient +
25.1.4 Revêtements quotients, revêtements galoisiens
Soit un revêtement (R, B,p), avec B séparé et R connexe par arcs. Nous allons
examiner l'action naturelle du groupe Aute(-R) et de ses sous-groupes sur R.
Proposition 25.1.9
Dans les conditions ci-dessus, soit xo € R. Il existe un voisinage ouvert U de
x0 dans R tel que a{U) n U - 0 pour tout g € Auta(fi) \ {Id^} . Pour un
tel U, et pour tous ai e Aut^iî) et 02 G Aut#(iî) tels que a\ ± 02 , on a
<Ti(U)n*2(U) = <b.
Démonstration:
La première assertion entraîne aisément la seconde en considérant a = crj1 o a\ .
Montrons la première assertion. Soit yo = p(^o) • Soit u un voisinage ouvert de yo
dans J5 tel que l'on ait un homéomorphisme f : u x p_1(yo) —► P-1^) vérifiant
(P ° /)(l/>0 = 2/ Pour tou* (y,0 ^ a; x /, où / = p-1(yo) est muni de la topologie
discrète. Pour tout i e I, soit u;» = /(a; x {i}). Alors £/ = uXo est un voisinage ouvert
de xo dans R. Nous allons voir que U répond à la question. Soit a e Auta(.R)\{Idfl} .
Soit x € U ; d'après le corollaire 3 du théorème 25.1.4, on a cr(x) ^ x . Comme p induit
une bijection de U sur u et comme (p o cr)(x) = p(x), nécessairement a(x) ^ U.
Comme x est arbitraire, on en déduit que cr(U) H f/ = 0. Remarquons que comme
230 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
<t{U) est un voisinage ouvert de cr(xo) et comme p(<r(U)) = p(U) = u = p{wo{x0)) >
on a forcément cr{U) = ua(x0) • La permutation induite par a sur la fibre p~l(yo)
s'identifie donc à une permutation des (u>i)iei , puisque ( Vx € /) <r(u>x) = ua{x) • B
Conservons les notations et hypothèses de la proposition 25.1.9. Fixons un sous-
groupe G de Autb{R) • Rappelons que l'espace topologique quotient R/g est par
définition l'ensemble des G-orbites de R muni de la topologie dont les ouverts sont
les images canoniques des ouverts de R qui sont G-stables. Vérifions que R/g est
séparé: soit 0\ et O2 deux G-orbites distinctes dans R, soit xi € 0\ et X2 € O2 . Si
2/i = p(xi) ¥" 2/2 = p(?2) t soit uj\ et (j2 des voisinages ouverts respectivement de p(x\)
et p(x2) dans B tels que l'on ait des homéomorphismes fi : Ui x p_1(yi) —► p~l{wi)
vérifiant p(fi(y,0) = y pour tout (y,f) G <Ji x p_1(yi) (où i € {1,2}), et tels que
l>i Ci CJ2 = 0- Pour tout z G {1,2}, soit C7i = /i(cj x {xi}) ; alors Ua€c?cr(C/i) et
UaeCx^t^) sont deux ouverts G-stables de R, sans point commun; leurs images
canoniques dans R/g sont des voisinages ouverts de 0\ et O2 qui ne se rencontrent pas.
Supposons maintenant que p{x\) = pfa) = yo • Soit u un voisinage ouvert de y dans
B tel qu'on ait un homéomorphisme / : u x p~1(yo) —► P_1(^) vérifiant p(f(y,Ç)) = y
pour tout (y,f) € a; x p-1(yo) • Posons f/* = f(u x {x^}). Les ouverts Ua€G^(^i) et
U^6G^(^2) de R sont G-stables, et d'après la démonstration de la proposition 25.1.9,
ce sont respectivement Ua^cf(^ x {a(xi)}) et Ua^cf{^ x {cr(x2)}) ; ils sont disjoints,
car 0\ ^ O2 > i-e. {cr(xi)}a€G n {^(^2)}aeG = 0 • Leurs images canoniques dans R/g
sont donc des voisinages ouverts de 0\ et O2 dans point commun, ce qui achève de
montrer que R/g est séparé.
Notons w la surjection canonique R —► -R/g . Comme p est constante sur chaque
fibre de p, et comme chaque fibre de p est réunion de G-orbites, il existe une unique
application q : R/g —► B telle que p = qow. L'application w est continue, car par
définition même des ouverts de R/g > l'image réciproque d'un ouvert de R/g par w
est un ouvert de R. Pour tout ouvert w de B, l'ouvert p~l{u) de R est réunion de
G-orbites, donc vj{p~1(uj)) est un ouvert de R/g • Or p, q et w sont surjectives,
donc q~l{w) = E7(p-1(ci;)), donc q~l(u) est un ouvert de R/g , donc ç est continue.
L'application g est ouverte, car si Q est un ouvert de R/g , alors ç(i?) = p(ct7_1(i?)),
donc q"1 (Q) est ouvert puisque p est ouverte et w est continue. Enfin w est ouverte,
parce que les éléments de G sont des homéomorphismes de R sur R, donc pour tout
ouvert U de iî, l'ensemble cc7({7) = ^(Ua6G^(^)) est bien ouvert.
Proposition 25.1.10
Avec les notations et hypothèses ci-dessus:
(I) (R, R/g , w) est un revêtement, et on a G = Aut rjg (R).
(II) ( R/g ,B,q) est un revêtement, et R/g est connexe.
(III) Le revêtement initial (R,B,p) est le composé, dans cet ordre, des revêtements
obtenus en (II) et (I).
Démonstration :
• Assertion (I)
Soit C>o = OrbG(xo) € R/g » où x0 € R. Posons y0 = p(zo), et soit u; un voisinage
ouvert de y0 dans B tel que l'on ait un homémomorphisme / : u x p~l(yo) —► P~l(u)
vérifiant p(/(y,£)) = 2/ P°ur tout (y,£) eux p~l(yo), où p'^yo) est muni de la
topologie discrète. Pour tout f e p~l{yo), posons u;^ = f(u x {£}). Alors l'ensemble
Q = ^(U^çg^^xo)) = ^(U^G^Mxo)) est un v°isinage ouvert de O0 dans #/<2 , et
on a w~l(Q) = Ue€cv<r(x0) = Vt€O0U£ • En particulier, O0 = G7-1(£>0) • La restriction
de g à i? définit une bijection qn de 17 sur uj , qui est un homéomorphisme puisque q
est continue et ouverte. Pour tout f € O0 et pour tout O e Ï2, l'ensemble Ofl^ est
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 231
un singleton, dont on notera g(0,Ç) l'unique élément. On définit ainsi une application
g : Q x 0O —► tÂ7_1(l?), qui est de manière évidente bijective; on a #(0, f ) = f{qn(0), f )
pour tout (0, £) E f2 x 0O , et comme q& est un homéomorphisme, on en déduit que
g est un homéomorphisme quand on munit Oq = w~l(Oo) de la topologie discrète.
Comme 0o est arbitraire, cela montre que (fi, R/q , w) est un revêtement.
On a Aut rjg (R) C Aut b (fi). Il est clair que w o a = w pour tout cr e G,
donc G C Aut R/G (R). Inversement, soit a € Aut k/g (R). Soit 0 € r/g et soit
x G w~l(0) (le., x G 0 ); on a cr(x) € w~l(0) = 0 , donc il existe g € G tel que
g(x) = cr(x). Alors g~la € Auts(fi) et (g~1a)(x) = x , donc 0_1cr = Idi? (corollaire
3 du théorème 25.1.4), donc a = g € G. Finalement, on a bien Aut h/g = G.
• Assertion (II)
Soit t/o € B, et soit u> un voisinage ouvert de yo dans B tel que Ton ait un
homémomorphisme f : u x p~l(yo) —► P~l(w) vérifiant p(/(y,f)) = y Pour tout
(y,£) G w x p~1(yo), où p_1(yo) est muni de la topologie discrète. Alors q~l(yo) est
l'ensemble V~ (Vo)/g des G-orbites contenues dans p~1(yo) • Pour tout 0 € q~l(yo) >
notons t/<9 l'ouvert Uçeou^ de fi et i?o = iz(Uo) ; alors i?o est un voisinage ouvert
de 0, et d'après la première partie de la démonstration, q définit, par restriction à
Qo , un homéomorphisme qp0 de Qq sur u. L'application
h : u/xqT^yo)—^(cj), (y,0) i—jT^y) n Cfc
est de manière évidente bijective. On a h(uj x {0}) = i?o = Q^oi^) Pour tout
0 € ?~1(yo)- Comme les ç^0 sont des homémomorphismes, on en déduit que si
l'on munit q~l(yo) de la topologie discrète, h est un homéomorphisme. Comme yo est
arbitraire, il en découle que ( R/q , B, q) est un revêtement. L'espace R/q est connexe
comme image de R qui est connexe par vo qui est continue.
• L'assertion (III) découle immédiatement de ce que p = q o w ■
Dans les conditions de la proposition 25.1.10, le revêtement (R/q ,B,q) est appelé
le revêtement quotient de (R,B,p) par G, et le revêtement (R) R/q ,zd) sera dit
obtenu (à partir de (R,B,p) ) par extension de la base à R/q .
Proposition 25.1.11
Soit un revêtement (fi, B,p), avec B séparé et R connexe par arcs. Notons
G = Aut b (fi). Soit (R, R/g,w) eu (R/c,B,q) les revêtements définis à la
proposition 25.1.9. Les assertions suivantes sont équivalentes:
(I) Sur toute Gbre de p, l'action de G est transitive.
(II) Il existe une Gbre de p sur laquelle Faction de G est transitive.
(III) L'application q est bijective.
S'il en est ainsi, q est un homéomorphisme, et sur chaque Gbre de p, l'action de
Aut b (fi) est transitive et régulière.
Démonstration:
Dans la démonstration de la proposition 25.1.10, on a vu que pour tout y e B , on a
Q~l(y) = P~ (^Vg • Donc les fibres de q sont des singletons ssi G agit transitivement
sur chaque fibre de p ; autrement dit, (I) et (III) sont équivalentes. Il est trivial que (I)
implique (II). Il reste donc à montrer que (II) implique (I). Or, (II) signifie que l'une des
fibres du revêtement ( R/q , S, q) est de cardinal 1 ; comme R est connexe par arcs, il
en est de même de B, donc si l'une des fibres de q est un singleton, toutes les fibres de
q sont des singletons (corollaire 1 du théorème 25.1.4), ce qui prouve que (II) => (I)
Supposons les conditions (I) à (III) sont satisfaites. Alors q est un homéomorphisme
puisqu'elle est continue et ouverte. Comme R est connexe par arcs, le corollaire 3 du
théorème 25.1.4 montre que l'action de Aut b (fi) sur chaque fibre de p est régulière
232 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
(i.e. les stabilisateurs des points sont réduits à l'élément neutre; on dit aussi que l'action
est libre) I
Définition 25.1.12
Un revêtement (R,B,p), est dit galoisien ssi B est séparé, R est connexe par
arcs, et les conditions équivalentes de la proposition 25.1.10 sont satisfaites. S'il en
est ainsi, le groupe Auta(il) est appelé le groupe de Galois du revêtement.
D'après l'étude ci-dessus, un revêtement galoisien (R, B,p), de groupe de Galois G,
s'identifie au revêtement (il, ^/g,tu) déduit de (R,B,p) par extension de la base:
cette identification s'obtient en identifiant B et R/g à, l'aide de q (notations de la
proposition 25.1.10. Dans la suite, sauf mention contraire, nous ferons systématiquement
cette identification, en écrivant B = R/g , et en remplaçant q par Id rjg .
Exemple 25.1.12 :
Soit le revêtement (R,B,p) = (C,C ,p) de l'exemple 25.1.7. Pour tout keZ,
la permutation <7k * z *-+ z + 2LkiT de C appartient à Auta (il) • L'application
Z —► Auta(il), k *-+ Ck est un morphisme de groupes, manifestement injectif. Soit
G l'image de ce morphisme. Il est clair que G agit transitivement sur chaque fibre de
p. Comme C = R est connexe par arcs, on en déduit que le revêtement (R,B,p) est
galoisien, et que G = Auta(il) (l'action de Auta(il) étant régulière, le fait que G
agit transitivement sur chaque fibre de p oblige à avoir G = Auta(il) )• On verrait de
même que le revêtement (R,U,£), où £(x) = e27rix pour tout x 6 R, est galoisien,
et que son groupe de Galois est canoniquement isomorphe à Z, Tautomorphisme Qk
associé à k € Z étant la translation x *-+ x + k +
Exemple 25.1.13 :
Soit 1Z= (R,B,p) un revêtement, avec B séparé et R connexe par arcs. Soit G un
sous-groupe de Aut^ (il) et soit (R, R/g ^) le revêtement déduit de 1Z par extension
de la base. On a vu que Aut r/g (R) = G . Il est immédiat que G agit transitivement
sur chaque fibre de vo (ces fibres sont précisément les G-orbites dans R). Donc le
revêtement (R, R/g , t^) est galoisien, de groupe de Galois G +
Exemple 25.1.14:
Soit (R,B,p) un revêtement, avec B séparé et R localement connexe par arcs,
connexe et simplement connexe. Montrons que ce revêtement est galoisien. En effet,
soit b G B et soit a\ € p~l(b) et ai € p~1(6). D'après le corollaire du théorème
25.1.9, il existe un unique B-morphisme a : R —► R tel que a{a{) = ai, et (R,R,cr)
est un revêtement. Mais a est bijectif d'après le corollaire 1 du théorème 25.1.5, d'où
a 6 Aut B (il) ♦
L'exemple suivant montre qu'un revêtement (R, B,p) peut être galoisien sans que R
soit simplement connexe:
Exemple 25.1.15 :
Soit un entier n > 2. Considérons le revêtement (R,B,pn) où R = B = U et
où pn{z) = zn pour tout z € U. À la suite du corollaire 1 du théorème 25.1.5,
nous avons vu que U n'est pas simplement connexe. Pour tout £ € JJn » l'application
aç : U —► V, z >-> (z appartient à Auta(il) • Si b € U et si a £ p-1(&), on a
p-1^) = {Ca}^€ijn = {tf<(a)}<eUn , donc Auta(il) opère transitivement sur p"1(6).
Comme U est séparé et connexe par arcs, le revêtement (U,lU,pn) est galoisien, et ses
fibres étant finies de cardinal n, on voit que l'application Un —► Aut^(il), C *-► &ç,
est un isomorphisme de groupes. En combinant cet exemple avec les exemples 25.1.3 et
25.1.12, on déduit de ce qui précède que le revêtement (£>*,£>*,pn), où D* désigne le
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 233
disque unité ouvert de C et où pn(z) = zn pour tout z € D* , est gaîoisien, de groupe
de Galois isomorphe à Un ♦
Proposition 25.1.12
Soit (R,B,p) un revêtement gaîoisien. Soit H un sous-groupe distingué de
G = Autb(R) • Le revêtement quotient R = ( R/jj ,B,q) défini par H est
gaîoisien; son groupe de Galois est canoniquement isomorphe au groupe quotient Gjjj .
Démonstration :
Soit cr e G et O = Orbn(x) € R/jj (où x € R). Posant x' = cr(x), pour tout
h e H , on a a(h(x)) = (crhcr~l)(x') € Orb#(x'), car ahcr~l e H. On en déduit que cr
permute entre elles les H -orbites de R, et que pour tout y € B , l'ensemble P" (^)/i/
est a-stable. Donc cr induit une permutation a$ de R/jj , telle que q o crtt = g. Soit
(iï, R/h ,*&) Ie revêtement quotient de {R,B,p) par i/. On a tuo a = o^ o tu,
et comme cr est continue, la propriété universelle de la topologie quotient montre que
a^ est continue; donc a* est un B-endomorphisme de R. On a ainsi défini une
application a h-¥ <jt de G dans l'ensemble des B-endomorphismes de R, et il est clair
que (Idii)* = Idi?/H et que (ro-)* = rM pour tout (<t,t) 6 G x G. Il en découle
que pour tout a € G , en fait <rB est un homéomorphisme de R/jj sur lui-même, dont
rhoméomorphisme réciproque est (cr~iy , d'où a^ € Auta(^//f ). Donc l'application
# : G —► Auta( -R//f ), a ^ a" est un morphisme de groupes; nous noterons r = #(G).
Comme G opère transitivement sur chaque fibre de p, on voit que 71 est transitif
sur chaque fibre de q. Comme R/jj est connexe par arcs (c'est l'image de R par
tu), il s'ensuit que le revêtement R est gaîoisien, et que r = K\x^b{R/h)
(raisonner comme à l'exemple 25.1.12). Cherchons Ker (#) ; c'est l'ensemble des a e G
qui laissent stable chaque if-orbite dans R. Fixons x 6 -R, soit y = p(x), et soit
O = Orbff (x). Comme l'action de G sur la fibre p~l(y) est transitive et régulière,
l'application G —* p~l{y), a *-+ cr(x) est une bijection, dont il est clair qu'elle envoie H
sur O . Si cr 6 G et h € if , on a donc cr(/i(x)) € O ssi il existe h' e H tel que ah = h',
c'est-à-dire ssi cr € i/ . On en déduit que Ker ($) = H . Finalement, $ est surjectif et
de noyau H, donc définit un isomorphisme de groupes G/h = T = Aut^( R/h ) "
Proposition 25.1.13
Soit des revêtements galoisiens Ri = (Ri.Bi^pi) pour i € |[l,nj, avec n > 2. Soit
7£ = (#, B,p) leur produit cartésien. Alors R est gaîoisien, et son groupe de Galois
s'identifie canoniquement à Aut^C-Ri) x * • • x K\itBn(Rn) •
Démonstration:
Il suffit de la faire pour n = 2 . Supposons donc n = 2 . Fixons b = (b\,..., bn) e B .
Si Qi G AutBi{R%) pour tout i € {1,2}, on vérifie immédiatement que l'application
0 = 01 x 92 ' R ~> R, (^1,^2) ►-► (^1(^1)^2(3:2)) est un B-automorphisme de R. On
voit aussi que l'application Aut^ (-Ri) x AutB2(#2) -> Aut^CR), (01,02) »-* 0i x 02
est un morphisme de groupes injectif. Notons Q son image. On vérifie facilement que
G agit transitivement sur la fibre p~l(b). Donc R est gaîoisien et Auta(-R) — Q ■
234 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Exemple 25.1.16 :
Soit un entier n > 2 . Nous avons vu à l'exemple 25.1.12 que le revêtement (R, U, S),
où £{x) = e27ri:r pour tout x € R, est galoisien, son groupe de Galois s'identifiant
canoniquement à Z . On en déduit que le revêtement (IRn , QJn , £n) considéré à l'exemple
25.1.11 est galoisien, son groupe de Galois s'identifiant au groupe additif Zn +
25.1.5 Groupe fondamental et revêtements
Le groupe fondamental permet d'affiner le théorème de relèvement 25.1.6:
Théorème 25.1.10
Soit (R,B,p) un revêtement, avec B séparé et R connexe par arcs. Fixons b 6 B
et a € p~x(b).
(I) Le morphisme de groupes p% : IIi>a(fi) —► Ui}b{B) est injectif.
(II) Soit T un espace topologique (séparé) connexe et localement connexe par arcs.
Soit f : T —* B une application continue. Soit a € f~1(b). Alors f admet un
relèvement g par p tel que g (a) = a ssi on a /^(IIi>a(T)) C p^ (IIiia(fi)) ; s'il en
est ainsi, le relèvement g est unique.
Démonstration:
• Assertion (I)
Soit un lacet 7 : [0,1] —► R d'origine a tel que p^(7) = u& • ^ s'agit de montrer
que 7 est homotope au lacet constant ua de R. Par hypothèse, on a une homotopie
h : [0, l]2 —► B de po 7 vers le lacet constant u& de B. Il est clair que (u&)* = ua
et que (p o 7)* = 7. D'après le corollaire 2 du théorème 25.1.5, les chemins (u&)* et
{P ° 7)2 son^ homotopes, i.e. 7 et ua sont homotopes, ce qui achève de prouver que
Ker(Pr) = {ua}.
• Assertion (II)
Si g relève / , on a # = j£ o^ , donc f^(Uha(T)) C p^(Ul>a(R)) : la condition
est donc nécessaire.
Réciproquement, supposons que /a(ni>a(T)) C p^(Uita(R)). Soit t G T et soit
un chemin 7 de T d'origine a et d'arrivée t ; le chemin / o 7 de B a pour origine
b. Montrons que (/ o 7)*(1) ne dépend que de t et non du choix de 7 (rappelons
que (/ o 7)* est l'unique relèvement de / o 7 d^rigine a). Soit en effet 7' un autre
chemin de T d'origine a et d'arrivée t\ notant 6 le lacet ('7) • 7', on a 7' = 76,
d'où / o 7' = (/ o 7) (/ o S). D'après l'hypothèse, on a un lacet D de fi d'origine a
tel que po D soit homotope à / o 6 , d'où / o 7' = (/ o 7) (p o D). Alors il est clair
que (/ o y)l * D = ((/ o 7) • (p o D))* . D'après le corollaire 2 du théorème 25.1.5, les
chemins (/ o 7')* et (/ o 7)* * D sont homotopes, et en particulier ont même arrivée,
i.e. (/ o 7')* (1) = (/ o 7)*(1), d'où l'assertion. Nous pouvons donc définir l'application
g : T —► R qui, à tout t € T, associe l'élément égal à (/ o 7)*(1) pour tout chemin 7
de T d'origine a et d'arrivée t. Par construction, on a po g = f et #(a) = a.
Montrons que g est continue. Soit to 6 T, nous allons prouver la continuité de
g en to . Posons t/o = f(to) et xo = g{to). Soit u un voisinage ouvert de yo
dans B et (w^ep-Mî/o) une famille d'ouverts de fi deux à deux disjoints, telle que
p~l(u) = Uçep-i(yo)u;£ et que pour tout f € p-1(t/o), la projection p induise un
homéomorphisme p^ de u>f sur lj , dont on notera ç^ l'homéomorphisme réciproque.
Soit U un voisinage ouvert connexe par arcs de to dans T tel que /(t/) C u. Soit
t e U. Soit 71 un chemin d'origine a et d'arrivée £0 dans T, et soit 72 un chemin
d'origine t0 et d'arrivée t dans Z7. Soit 7 = 72*71. On a g(t) = (/ o 7)*(1) et
(/ ° 7)â = (/ ° 72)i * (/ ° 7i )2 • L'image de (/ o 72)* est contenue dans la composante
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 235
connexe de x relativement à p l(u)), elle-même contenue dans wx , et par suite pour
tout r e [0,1] , on a (/ o 72)î(r) = qx((f o 72)(r). En particulier, on a:
s(t) = (/o7)î(i) = (/o'ft);(i) = fe(/w)
ce qui prouve, puisque t est arbitraire, que g\ = qx o (/l ), d'où la continuité de g en
to • On a donc montré que g est continue sur T. Finalement, g est un relèvement de
/ par p , et g(a) = a . L'unicité de g découle du corollaire 2 du théorème 25.1.4 ■
L'action de monodromie
Soit (R, B,p) un revêtement, avec B (séparé) connexe et localement connexe par
arcs. Fixons b € B (que nous appellerons un point-base). Soit 7 un lacet d'origine b
dans A. D'après le corollaire 2 du théorème 25.1.5, si a 6 p~x(b), le point 7*(1) de
p~1(6) ne dépend que de la classe d'homotopie 7 de 7. Cela permet de définir une
application IIi^ xp~l(b) —► p_1(6) : pour tout (c,a)€ IIi^-B) xp'1 (6), notons ca
le point de p"*1(6) égal à 7*(1) pour tout lacet 76c. Comme (u&)* = u0 pour
tout a e p~x(b), on voit que u& • a = a pour tout a G p~l(b). Soit C\ € IIi^S)
et ci e Hitb(B), respectivement représentés par des lacets 71, 72 d'origine b dans
B, et soit a € p_1(&) ; en notant ai = (7i)2(l), on a (72 *7i)S = (72)^ * (71 )S et
ai = c 1 • a , d'où ( c 2 c 1) • a = (72)^ (1) = c 2 • ai = c 2 • ( c 1 • a). Cette application
IIi,6 x p-1(6) —► p_1(b) définit donc une action à gauche de IIi^S) sur p-1(6), qui est
appelée l'action de monodromie (de Ui^iB) sur p~l(b) ).
Cette action de monodromie dépend du choix de b, mais les actions définies par
deux points-bases quelconques b\ et 62 sont équivalentes. Pour préciser en quel sens,
rappelons ici la notion d'actions de groupes équivalentes: étant donnés deux groupes G\
et G2 (notés multiplicativement), un Gi-ensemble E\ et un G2-ensemble E2 , on appelle
(G \, G 2)-morphisme du premier dans le second tout couple (</?, /), où <p : G\ —► G2
est un morphisme de groupes et où / : E\ —► £2 est une application telle que pour tout
(<r, x) e G\ x Ei , on ait f(<j • x) = {ip(cr)) • /(x) (avec <?i = G2 = G et ip = Idc , on
retrouve la notion habituelle de morphisme de G-ensembles). Un (Gi,G2)-morphisme
(<p,f) est appelé un (Gi,G2)-isomorphismessi ip est un isomorphisme de Gi sur G2 et
/ est bijectif; s'il en est ainsi, (<p-1,/-1) est un (G2,Gi)-isomorphisme de (G2,i?2) sur
(Gi,i?i). Les deux espaces homogènes (Gi,i?i) et (G2,2?2) sont dits équivalents ssi il
existe un (Gi, G2)-isomorphisme du premier sur le second (l) . La relation " les espaces
homogènes (Gi,i?i) et (G2,^) sont équivalents " est une relation d'équivalence.
Cela dit, soit deux points-base b\ e B et 62 € B . Soit 7 un chemin de B d'origine
61 et d'arrivée 62 • Soit /7 la bijection p"1^) —► p_1(&2) » a •-► 7*(1) (bijection mise
en évidence suite au théorème 25.1.4). Avec les notations de (6), soit J7 l'isomorphisme
de groupes Ili^i?) —> Ili^i?), ch^c^. On vérifie alors que
(8) (V(c,a)€n1)6l(B)xp-1(61)) /7(c .a) = /7(c)-/7(a)
ce qui signifie que le couple ( J7, /7) est un (IIi^ (B), IIi^ (£))-isomorphisme de l'espace
homogène (111^(1?),p"x(bi)) sur l'espace homogène (IIi>b2(B),p"1(62)). En
conclusion, Faction de monodromie est déterminée à équivalence près d'espaces homogènes.
Fixons maintenant le point-base b 6 B , et soit deux revêtements K\ = (#i,I?,pi)
et IZ2 = {R,2,B,p2). L'action de monodromie en b est respectée par les B-morphismes
de H\ dans 7£2 ; de façon précise, soit / : R\ —► J?2 un tel B-morphisme. Pour tout
lacet 7 de R d'origine b et pour tout a G p]"1(6), le lacet /07J de #2 relève 7 par
( ) On appelle espace homogène à gauche (resp. à droite ) tout triplet (G, E, #) , où G est un groupe,
où £ est un ensemble non vide et où £ est une action à gauche (resp. à droite) de G sur E. Sauf
mention contraire, on dit espace homogène tout court au lieu de espace homogène à gauche.
236 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
p2 et a pour origine f(a), i.e. / o 7* = 7^, d'où f(y • a) - 7 • f(a). Donc:
(9) / i-i est un morPmsme de Gb-ensembles de PÏl(b) dans pj1(6)
'pi (*>)
Si / est un S-isomorphisme, ce morphisme de G^-ensembles est un isomorphisme.
Proposition 25.1.14
Soit (R,B,p) un revêtement, avec B séparé, connexe et localement connexe par
arcs. Fixons un point-base b 6 B . Notons Gb = IIi^I?).
(I) Les Giy-orbites de p~l{b) sont les intersections de p~l(b) avec les composantes
connexes de R.
(II) Pour tout a 6 p"1^), on a Stabc6(a) = pX(ïlita(R)).
Démonstration:
• Assertion (I)
Soit a€p-1(6) et soit C la composante connexe de R passant par a. La définition
même de Faction de monodromie montre que la GVorbite de a est contenue dans C.
Réciproquement, soit ol € CC\p"l(b). Soit y un chemin de C d'origine a et d'arrivée a'
(il en existe parce que C est connexe par arcs). Soit 7 le lacet po<p de B : il est immédiat
que a! = 7 • a , donc o! e Orbc6(a) • On a donc prouvé que Orb<76(a) = C fl p_1(6).
• Assertion (II)
Soit a e p~1{b). Soit 7 un lacet de B d'origine b. On a 7-a = a ssi 7*(1) = a , i.e.
ssi 7* est un lacet de R d'origine a. S'il en est ainsi, on a 7 = p%(7*) € p^(U\ya(R)) •
Réciproquement, supposons que 7 E p^(IIiia(B)). Il y a donc un lacet (p de R d'origine
a tel que potp soit homotope à 7 . On a alors ip = (potp)^ et j-a = p~olp-a = <p(l) = a,
donc 7 € Stabc6(a). On a donc bien Stabc6(a) = p^(ïliia(B)) ■
Dans les conditions de la proposition 25.1.14, supposons en outre R connexe, i.e.
que l'action de monodromie en b est transitive. Alors l'ensemble {Pa(Ri,a(B))}a€p-l(b)
est une classe de conjugaison de sous-groupes de Gb . Nous la noterons Con j (7£, b), où
1Z = (R, B,p). Cette classe caractérise à B-isomorphisme près le revêtement (R, B,p) :
Proposition 25.1.15
Soit deux revêtements TZ\ = (-Ri,B,pi) et IZ2 = {R2,B,P2) > avec B séparé,
localement connexe par arcs, connexe, et avec Ri et R2 connexes. Soit b € B . Pour que
Ki et K2 soient B-isomorphes, il faut et il suffit que Conj(7£i,6) = Conj(7?,2,6),
c'est-à-dire que les actions de monodromie de Gb = IIi^S) sur PÎl(b) et p2l(b)
soient G b-isomorphes.
Démonstration:
Vu la proposition 25.1.14, on sait que pour que les G^-ensembles p^ib) et p^ô)
soient isomorphes, il faut et il suffit que Conj(7£i,6) = Con j (7£2, b).
Soit / : Ri —* R2 un B-isomorphisme de 1Z\ sur 7Z2 . Soit # l'isomorphisme de
GVensembles PÎx(b) -»p^~l(b) induit par / (cf. (9) ci-dessus). Pour tout ai € -Ri,
on a Stab<-6(ai) = Stabc6(/(ai)), d'où Conj(7^i,6) = Conj(7£2,6) •
Inversement, supposons Conj(7^i,6) = Conj(7£2,6) - Fixons H e Conj (7^, 6).
On a donc ai € PÏl(b) et a2 € p^b) tels que H = Stabcb(ai) = StabG6(a2), i.e.
H = (Pi)ai(niiai(^)) = (P2)a2(ni,a2CR)) . D'après le théorème 25.1.10, on a un unique
relèvement / : Ri —► R2 de pi par p2 et un unique relèvement g : i?2 —► Ri de p2
par pi tels que /(ai) = a2 et ^(a2) = ai . Alors g o / est un B-endomorphisme de
7£i, qui vérifie (g o /)(ai) = ai, donc go f = Id^1 (corollaire 3 du théorème 25.1.4).
On voit de même que fog = Id#2 , donc f et g sont des B-isomorphismes réciproques
l'un de l'autre ■
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 237
Groupes de monodromie
Soit 71 — (R,B,p) un revêtement, avec -R connexe et B séparé, localement connexe
par arcs et connexe. Fixons b € B. L'action par monodromie en b de Gb = IIi^S)
sur p~x(b) est associée à un morphisme de groupes
(10) Mb : Gb — <5p-i(6) , c k— sc
où sc désigne la permutation oh c a de p~l(b). L'image de ce morphismeest appelée
le groupe de monodromie de 71 en 6, et sera notée Monodrb(T^). Puisque R est
connexe, c'est un sous-groupe transitif de &p-i(b) (proposition 25.1.14). Le morphisme
(10) définit une certaine représentation de Gb par permutations (voir paragraphe XX.8).
En général, cette représentation n'est pas nécessairement fidèle, i.e. le morphisme (10)
n'est pas nécessairement injectif. En passant au quotient par le noyau du morphisme
(10), l'action par monodromie définit une action à gauche de Monodr&(7£) sur la fibre
p~l(b), que nous appellerons encore action par monodromie (du groupe Monodrb(7£) ),
et qui admet les mêmes orbites que ïli^(B) (en particulier, le groupe Monodr&(7£) est
transitif sur p-1(6) ssi -R est connexe).
Une deuxième représentation de Gb par permutations est obtenue en considérant
l'action naturelle de Auta(-R) sur p-1(6). Cette représentation-là est fidèle, i.e. le
morphisme associé Auts(/Î) —► &P-*(b) est injectif (corollaire 3 du théorème 25.1.4).
Mieux, nous avons vu que l'action de Aut^(iî) sur p~l{b) est régulière, i.e. les
stabilisateurs des points de p~l(b) dans Aut£(-R) sont réduits à l'élément neutre. Nous
noterons Auts(-R,b) l'image de hMts(R) par le morphisme Auts(-R) —► <5p-i(&)
défini ci-dessus.
Dans ce qui suit, étant donné un groupe r et un sous-groupe A, nous noterons
Mr{A) le normalisateur de A dans r.
Théorème 25.1.11
Soit 71 = (R,B,p) un revêtement^ avec R connexe et B séparé, connexe et locale-
ment connexe par arcs. Soit b € B . Notons Gb = lli^(B).
(I) Le groupe Au ta (R, b) est le commutant de Monodrb(7£) dans <Sp-i(&) •
(II) Soit a € p_1(6), et soit H = StabMonodrb(^)(a). Il y a un isomorphisme Xa
et un seul de Auts(#,6) sur Mtonodr6 (#)(#)/# tel que pour cr e Auts(iî, b) y
les représentants ip de Xa{°) dans A/'Mon0dr6(^)(^) vérifient (f~1{a) = cr(a). Le
revêtement 71 est galoisien ssi H est réduit à l'élément neutre. S'il en est ainsi, Xa
est un isomorphisme de Auts(-R, b) sur Monodr^fc).
Démonstration:
• Assertion (I)
Soit g € AutsiR) et soit 7 un lacet de B d'origine b. Pour tout a € p~l{b), le
chemin g o (7J) relève 7 par p, donc g o (7*) = 7*(a) , d'où
S(7-a)=ff(7:(l)) = 7;(fl)(l) = 7-fl(a)
Comme 7 et g sont arbitraires, cela prouve que Aut^(iî, b) est contenu dans le
commutant Cb de Monodr&(7£) dans ©p-i(6) •
Réciproquement, soit cr e Cb. Montrons d'abord que si cr admet un point fixe
a € p~l(b), alors o = Idp-i(b). En effet, soit alors a' € p_1(6). On a s € Monodrb(ft)
tel que s(a) = a' car R est connexe), d'où cr(a') = cr(s(a)) = s(a(a)) = s(a) = 0!, d'où
a = Idp-i(5) puisque a' est arbitraire. Supposons maintenant que cr soit sans point
fixe; fixons a € p~l{b), et soit a' = a(a). On a:
StabG» =pV{ILlta{R)) ; StabGb(a') = p£(II1|a(H))
Mais si c € G& , du fait que a G Cb , on a:
c - a! = a! <=> c • cr(a) = cr(a) <*=> cr( c • a) = <r(a) <*=> c • a = a
238 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
d'où Ton déduit que Stabc6(a) = Stabc6(a'), donc que p^(Ui^a(R)) = Pa>(Tli,a(R)) •
D'après le théorème 25.1.10, on a un relèvement g de p par p tel que g(a) = a', et un
relèvement h de p par p tel que h(a') = a. Alors hog relève p par p et {hog)(a) = a,
donc /iop = Idfl (corollaire 3 du théorème 25.1.4), et on voit de même que goh = Id# ,
donc g G Auts(iî). Soit <ft> la permutation de p~l{b) induite par g. On a #6 € C&
d'après le début de la démonstration, et {g~lcr)(a) = a, d'où <7_1cr = Idp-i(b) d'après
ce qu'on vient de voir (puisque g~xo € C&). On a donc cr = g € Auta(i2,6), ce qui
achève de prouver que Au t #(#,&) = Ct>.
• Assertion (II)
Soit cr e Auta(iî,6). Notons que le stabilisateur de a(a) dans Monodrb(fc) est
formé des s € Monodr&(7£) tels que s - a(a) = a(a) = cr(s • a), c'est donc le groupe
{5 € Monodr&(7?,) | s • a = a} = H. Soit cp G Monodr&(7£) tel que <p~l(a) = a(a) ;
remarquons que pour tout 5 G Monodr&(7£), on a <r(s(a)) = s(<r(a)) = s(</?_1(a));
alors if = StabMonodrbW(<7(a)) = v~lHy , donc <p 6 J^^Qnodxb{n){H). L'ensemble des
V> € Monodr&(7£) tels que t/>_1(a) = cr(a) est if ^ = (pH , donc la classe de y? modulo if
ne dépend pas du choix de <p . On a donc associé à cr un élément q de J^nonodrb(n)/H
égal à la classe de <p pour tout <p G Monodr&(7£) tel que <p~l(a) = a(a). On posera
q = Xa{?) • Vérifions que Xa est un morphisme de groupes; soit a et r éléments
de Autb(«R» 6); soit ip et ip éléments de Monodrb(7£) tels que ip~l(a) = a(a) et
^(a) = r(a). Alors (^)_1(a) = ^(^(a)) = \l?'l((r(a)) = a^'^a)) = (ar)(o),
d'où Xa(^) = Xa(^) XaWO, d'où l'assertion.
Inversement, soit <p G A/'Monodrb(7e)(^) • Si a€ p~l(b), montrons qu'il y a un élément
0 € p~1(6) tel que /3 = s(^-1(a)) pour tout s € Monodr{>(7£) vérifiant s(a) = a ; en
effet, soit 5 € Monodr^ft) et 5' 6 Monodr5(7£) tels que s(a) = s'(a) = a. Alors
s-V G if, d'où s'for^a)) = 5((5"15')(^"1(a))) = «(V1^)) car s~V G H et
V> € A/iion0dr6(7e)(-ff) • Posant /3 = crv9(a), puisque a est arbitraire, on a ainsi défini une
application 6a(ip) : p~x(b) ->p~l(b). Il est clair que:
(11) ea(Idp-i(6))=IdJ,-i(6)
Soit <p et ip éléments de J^y[0nodrb(ii){H) ; si a = s(a) G p"1^) (où s G Monodrfe(T^) ),
on a:
(0O(1M)(«) = a(^-Vl)(a)) = (W)) ((^_1)(a)) = («.(V) ° *«(*>)) (a)
et comme a est arbitraire, cela prouve que 0a{ilxp) = #a(V>) ° 0a{<p) • Compte tenu
de (11), on en déduit d'abord que Oa(ip) G &p-i(b) Pour tout <P € ^M<modrk^)(^)>
puis, que 0a : A/'MOnodrt>(^)(^) ""> ®p~l(6) est un morphisme de groupes. Pour tout
<£ € Nnonodrb(n)(H) et tout £ G Monodr&(7£), on a, quel que soit s G Monodr6(7£) :
(ea(<p))((ts)(a)) = (ts)(<p(a)) = t ((*«(¥>)) (*(a)))
d'où (&a(^))^ = ^(^o(^))- Donc pour tout <p, la permutation 0O(<£) appartient au
commutant de Monodrb(T^), i.e. à Auta(i2,6). Il est immédiat que Ker(0a) = H,
donc par passage au quotient, 6a définit un morphisme de groupes injectif
(12) x'a ' ^wonodrh(n)(H)/H —►AutB(B,6)
On vérifie facilement que x'a° Xa = IdtotB(H,6) et Xa° Xfa = Uq , où l'on a posé
Q = Nnonodrb(n)(H)/H . Donc Xa et xa sont des isomorphismes réciproques l'un de
l'autre. L'assertion d'unicité de l'isomorphisme Xa est évidente.
Si H est réduit à l'élément neutre, Xa est un isomorphisme de AutB(#, b) sur
Monoàrb{1l) , et on a a (a) = (Xa(^))"1(a) Pour to^t a G AutB(B,6), d'où l'on
déduit que l'action de Auta(/Î,6) sur la fibre p~l{b) est transitive, i.e. le revêtement
K est galoisien. Si H n'est pas réduit à l'élément neutre, l'ensemble F des points
de p_1(6) fixés par tout h G H est ^ p-1(&); or pour tout y? G «A/iionodrb (*)(#) »
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 239
on a (p(a) e F. Donc cr(a) € F pour tout a € Auta(-R, b), et par suite l'action de
AutB(-R,&) sur p~l{b) n'est pas transitive, i.e. 7£ n'est pas galoisien I
Corollaire
Avec les notations et hypothèses du théorème 25.1.11 (donc R connexe), les assertions
suivantes sont équivalentes:
(I) Le revêtement 1Z est galoisien.
(II) La classe de conjugaison Conj(7£, b) est réduite à un élément, i.e. il existe un
sous-groupe distingué r de G\> tel que p^(U\ia(R)) = T pour tout a € p_1(6).
(III) Il existe a € p~x(b) tel que le sous-groupe r = p^(Ui>a(R)) de Gb soit
distingué.
S'il en est ainsi, le groupe Aut^(-R) est isomorphe (non canoniquement) à G*>/r •
Démonstration :
Comme l'action de G& sur p~l(b) est transitive, il est clair que les assertions (II) et
(III) sont équivalentes.
Pour tout a G p~l(b), notons Ha = p^Jli^R)) et Ha = StabM0n0drb(^)(a) • Le
noyau du morphisme M& défini par (10) est Nb = nû€p-i(fe)Wa , et pour tout a 6 p~x(b),
on a Ha = Mt,(Ha) et Ha est réduit à l'élément neutre ssi Ha = N^. La condition (III)
a donc lieu ssi il existe a € p~l(b) tel que Ha soit réduit à l'élément neutre, et d'après
le théorème 25.1.11, cela se produit ssi 1Z est galoisien. Supposons qu'il en soit ainsi, et
posons r = Nb. Alors r = Ha pour tout a € p~l(b), et Mb définit, par passage au
quotient, un isomorphisme de Gb/p sur Monodr&(??,). D'après le théorème 25.1.11, ce
dernier groupe est isomorphe à Auts(iî), donc ^b/p est isomorphe à Aut^(-R) H
Exemple 25.1.17 :
Soit un revêtement 71 = (R,B,p) avec B séparé, localement connexe par arcs et
connexe, et R connexe et simplement connexe. On sait que ce revêtement est galoisien
(voir exemple 25.1.14). Fixons b € B , et posons Gb = Ili^i?). Le noyau du morphisme
Mb : G6 -► <5p-i(6) (défini en (10)) est no€p-i(b) StabGb(a) = na€p-i(6)p^(II1|a(iî)) ;
comme tous les Uiia(R) sont réduits à leur élément neutre, ce noyau est réduit à l'élément
neutre, donc Mb est injectif, et définit un isomorphisme de Gb sur Monodrb(7£). On a
donc, pour chaque a € p~l(b), un isomorphisme naturel M6_1 o xa ' Auta(iî, b) —► Gb ,
qui dépend du couple (a, b) +
Exemple 25.1.18 :
Nous allons déterminer le groupe G = 111,1(111). Soit le revêtement R = (R,B,p),
où R = R, B = U et où p(t) = e1* pour tout t e R. Toutes les hypothèses du
théorème 25.1.11 sont satisfaites, et de plus R est ici simplement connexe, donc 7Z est
galoisien (exemple 25.1.17), et Aut^i?) est isomorphe à G. Pour tout k € Z, soit
Qk : R —► R, x *-> x + 2kn. Il est immédiat que gk € Aut^fl), et que l'application
Z —► Auta(iî), k •—► gk est un morphisme de groupes injectif. Notons r le groupe
image de ce morphisme. L'action de r sur la fibre p-1(l) = 27rZ est transitive et
régulière, comme celle de AutsiR) > et par suite r = Auta(i2). Donc Aut^(iî) est
isomorphe à Z, d'où l'on déduit que G est isomorphe à Z.
Pour tout lacet 7 d'origine 1 dans U et pour tout k 6 Z, le chemin 7^ de
R est la détermination continue de l'argument de 7 qui prend la valeur 2kn en 0,
i.e. c'est l'unique fonction continue 8 : [0,1] —► R telle que 0(0) = 2kir et que
exp(i#(£)) = 7(£) pour tout t. Il est clair que 7^ = 2kn + 7J . On a alors
7*0 = 7o(l)- On posera ^(7) = ^7o(l) • On définit ainsi tp : G —► Z. Pour
tous lacets 7, 6 d'origine 1 dans U, on a (5*7)5 = (^•n))*(7Ô) = (ToW+^oWtÔ) »
240 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
d'où (£7) • 0 = 7o(l) + <$5U) > et ^(7^) = ^(7) + <p{Ô). Ainsi y est un morphisme de
groupes. En considérant les lacets de U de la forme z ►-► zn, où n 6 Z, on voit que
<p est surjectif. Comme G est isomorphe à Z, on en déduit que <p est bijectif. On a
donc prouvé que y est un isomorphisme de G sur Z. Rappelons que pour tout lacet
7 d'origine 1 dans U, l'entier ^(7) s'appelle l'indice de 7 par rapport à l'origine +
Exemple 25.1.19 :
Nous avons vu à l'exemple 25.1.16 que le revêtement (IRn , lUn ,£n) considéré à
l'exemple 25.1.11 est galoisien, de groupe de Galois isomorphe à Zn . En raisonnant
comme à l'exemple 25.1.18, on en déduit que le groupe fondamental de Un est
isomorphe à Zn . Compte tenu que le groupe fondamental de U est isomorphe à Z , ce résultat
pouvait aussi se déduire directement de la fin de la section 25.1.1 (groupe fondamental
d'une espace produit) +
25.1.6 Revêtements universels
Soit B un espace topologique séparé, localement connexe par arcs et connexe. Soit
deux revêtements (£7i,B,ui) et (U2,B,U2) avec U\ et Vi connexes et simplement
connexes. Soit b 6 B\ soit ai € u^l(b) et 02 £ i^"1^). D'après le corollaire du
théorème 25.1.9, on a un B-morphisme / : U\ —► U2 unique tel que /(ai) = a2 ,
et un B-morphisme unique g : (72 —* U\ tel que g(a2) = ai . Les B-morphismes
9 ° / • U\ —► U\ et / o g : \J2 —> U2 fixant respectivement ai et a2 , toujours d'après
le corollaire du théorème 25.1.9, on a g o f = Id^ et / o g = Id(/2 , donc f et g sont
des B-isomorphismes réciproques l'un de l'autre. Ainsi il y a unicité à B-isomorphisme
près d'un revêtement de B par un espace connexe et simplement connexe.
Définition 25.1.13
Soit B un espace topologique séparé, localement connexe par arcs et connexe. On
appelle revêtement universel de B tout revêtement (U, B, u), où U est connexe
et simplement connexe.
La terminologie revêtement universel est justifiée par la propriété suivante, qui montre
que lorsqu'un revêtement universel existe, il engendre à B-isomorphisme près, tous les
revêtements de B par des espaces connexes:
Théorème 25.1.12
Soit B un espace séparé, localement connexe par arcs et connexe; soit °U = (U1£, u)
un revêtement universel de B . Fixons b € B , notons Gb = Ili^i?).
(I) Soit H un sous-groupe de G\,. Il existe un revêtement Q = (Q,B,q), avec
Q connexe, et un point 0 G q~l(b), tels que q^(Uii(3(Q)) = H . Ce revêtement est
unique à B-isomorphisme près. Il est galoisien ssi H< Gb.
(II) Tout revêtement 71 = (R,B,p) avec R connexe est B-isomorphe à un
revêtement quotient de °U.
Démonstration:
Compte tenu de la proposition 25.1.15 et du corollaire du théorème 25.1.11, tout
revient à démontrer la partie existence de l'assertion (I).
Soit donc H un sous-groupe de Gb . Soit a e u~l(b). Rappelons que le revêtement
°ll est galoisien, son groupe d'automorphismes étant isomorphe à ses divers groupes
de monodromie. Soit G l'isomorphisme naturel Auta(^) —► AutB(J7,6). Soit £
Tisomorphisme *ntB{U,b) —► Monodr6(°U) tel que (£{cr))~l(a) = a(a) pour tout
a € AutB(U,b) (cf. théorème 25.1.11), et soit fi : Gb -> Monodr6(°U) l'isomorphisme
déduit du morphisme (10). Soit H = (G~~l o£~l o fi)(H). Considérons le revêtement
quotient Q = (Q,B,q) de °U par H, où Q - U/h , et le revêtement S = {U,Q,m)
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 241
déduit de ^ par extension de la base à Q. L'espace Q est connexe puisque U l'est,
le revêtement £ est galoisien, et on a AutQ((7, /?) = H. Posons (3 = w(a). Notons
H l'isomorphisme AutQ(£/,/3) —► Monodr/9(f) tel que (E(a))~l(a) = a(a) pour tout
a G AutQ(t/,/î). Soit M : IIi^C?) —► Monodr/3(£) l'isomorphisme déduit du mor-
phisme (10). Remarquons qu'à ce stade, on sait déjà que Hiy0(Q) est isomorphe à H ,
puisqu'il est isomorphe à Monodr#(£), donc à Autg(C7, /?), donc à Autg(C7) = H,
donc à H . Cependant cela ne suffit pas, parce que des sous-groupes de Gb peuvent être
isomorphes sans être conjugués dans Gb .
Nous allons prouver que ^(IIii^(Q)) = H, ce qui achèvera la démonstration. Soit
s € H , d'inverse défini par un lacet 7 de B d'origine b . On a donc s-1 = ^(7). Soit
a = £-1(5) ; on a donc a(a) = s~l(a). Soit S = E(<r) (donc 5-1(a) = cr(a) ), et soit
un lacet f de Q d'origine /? qui définit 5"1 , i.e. tel que M(r) = S'1 . Soit 7' le
lacet qof de B , et soit s' = (m(7/))~1 • Si on prouve que s' = 5, l'assertion voulue
s'ensuivra, parce que q^ est injectif et parce que S décrit tout le groupe Monodr/g(5)
lorsque 5 décrit H . On a r*(l) = S-1 (a) = <r(a) ; mais il est clair que T* = 7'* , donc
5_1(a) = cr(a) = 5-1(a) = 7^(1) = s'"1 (a), d'où 5 = 5' puisque l'unique élément de
Monodr&(°lt) qui envoie a sur cr(a) est s-1 ■
Avec les notations et hypothèses de la démonstration ci-dessus, on a H < Gb ssi
H <Ji\xtb(U) (comme °IL est galoisien, le fait que H<Gb entraîne Q galoisien aurait
donc pu se déduire de la proposition 25.1.12). On a donc:
Corollaire
Soit B un espace séparé, localement connexe par arcs et connexe; soit °IL = (17, B, u)
un revêtement universel de B et soit H un sous-groupe de Aut^(f/). Le revêtement
quotient de °IL par H est galoisien ssi H < Auta(^) •
Nous allons maintenant établir la classique condition suffisante d'existence d'un
revêtement universel. Pour cela, nous introduirons la notion suivante: un espace topologique
B sera dit semi-localement simplement connexe ssi tout point a € B possède
au moins un voisinage ouvert u homotopiquement trivial, i.e. tel que tout lacet de B
d'image contenue dans u soit homotope dans B à ua . Si l'espace est à la fois localement
connexe par arcs et semi-localement simplement connexe, les composantes connexes d'un
ouvert sont des ouverts, donc tout point admet au moins un voisinage ouvert connexe
(donc connexe par arcs) et homotopiquement trivial. Un voisinage ouvert connexe u de
a G B est homotopiquement trivial ssi deux chemins de B d'image contenue dans u),
d'origine a et de même arrivée, sont homotopes dans B. On en déduit que u est un
voisinage homotopiquement trivial de chacun de ses points, ce qu'on exprime en disant
que Vouvert u est homotopiquement trivial.
Théorème 25.1.13
Soit B un espace topologique séparé, localement connexe par arcs, connexe et semi-
localement simplement connexe. Alors B admet un revêtement universel
Démonstration :
Fixons b € B . Notons U l'ensemble des couples (c, y), où y € B et où c est une
classe d'homotopie de chemins de B d'origine b et d'arrivée y. Si x = (c,t/) G U , on
posera u(x) = y ; on a ainsi défini u : U —► B , et comme B est connexe par arcs, on
voit que p est surjective. On notera aussi w(x) = c .
Pour tout y G B, nous noterons Qy l'ensemble des voisinages ouverts et connexes
par arcs de y dans B . Il existe alors des ouverts u G Qy homotopiquement triviaux.
Pour tout xo = (co,yo) E U et pour tout u) G fty , soit O(xo,u;) l'ensemble des
couples (c,y) GU tels que y G u; et tels que c soit la classe d'homotopie dans B d'un
242 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
chemin de la forme 6*7 , où 7 € Co et où 6 est un chemin de Vouvert uj d'origine yo
et d'arrivée y.
• Montrons qu'il existe une topologie sur U (nécessairement unique) telle que pour
tout Xo 6 [/, l'ensemble {O(^o>^)}u;€r?yo soit un système fondamental de voisinages
de xo pour cette topologie. Toutes les vérifications sont faciles et découlent de la locale
connexité par arcs de B . La seule qui demande quelque attention est la vérification
que tout voisinage d'un point est voisinage de tous les points assez voisins. En fait
soit Xo = (co,î/o) € U et soit u € i?Vo ; soit xi = (ci,yi) € O(xo,u>). On a donc
y\ € u), et on a un chemin 7 de S d'origine b et d'arrivée yo , et un chemin 6 de u
d'origine yo et d'arrivée t/i , tels que c 1 soit la classe d'homotopie de <5*7 . Soit alors
x = (c,y) € 0(xi,u;) ; on a donc y e u) et un chemin f de u d'origine y\ et d'arrivée
y tels que c soit la classe d'homotopie de / * (6 * 7). Cette classe d'homotopie est
aussi celle de (/*<5) *7 , et f *6 est un chemin de u) d'origine yo et d'arrivée y, donc
(c,y)€ 0(xo,u>). On a donc prouvé que 0(x\,u)) C O(xo,u;) • Cela achève de montrer
l'existence de la topologie voulue. Dans ce qui suit, U sera muni de cette topologie.
D'après ce qu'on vient de voir, les ensembles du type 0(x,uj) sont des ouverts de U.
• Montrons que l'espace U est séparé, localement connexe par arcs et connexe. Soit
x\ = (c 1,2/1) et X2 = (02,2/2) deux points de U distincts. Si y\ ^ y2 , il suffit de
prendre des voisinages uj\ , u)2 de y\ et y2 dans B, ouverts, connexes par arcs et
sans point commun, pour avoir 0(x\,ui) C\G(x2,U2) = 0. Supposons maintenant que
yx = y2 = y . Soit u) un voisinage ouvert de y homotopiquement trivial. Montrons que
0(xi,u;) H 0(x2,o;) = 0; soit en effet (c,z) € 0(xi,u;) fl 0(x2,u;) : on a des chemins
7i € Ci» 72 € c 2 et des chemins 61, 62 de cj d'origine y et d'arrivée 2 tels que c
soit à la fois la classe d'homotopie de S\ *7i et celle de 62 *72 • Mais <$i est homotope
à 62 , puisqu'il s'agit de chemins de cj . Comme <5i • 71 est homotope à 62 * 72 , on en
déduit que 71 est homotope à 72 , ce qui est absurde. Cette contradiction montre bien
que 0(xi,u>) n 0(x2,u>) = 0 , ce qui achève de prouver que U est séparé. Remarquons
que ce raisonnement prouve que si uj est un ouvert connexe homotopiquement trivial
de B , pour tout y € u et pour tous xi = (ci,y) € U et x2 = (c2,2/) € 1/ tels que
xi ^ X2 , on a 0(xi,cj)0 0(x2,u;) = 0.
Pour tout chemin 7 de B et pour tout te [0,1] , notons /i7,t la classe d'homotopie
du chemin 7{tj : [0,1 ] ->B,n-> 7(t£) . Il est alors immédiat que si 7 est un chemin
de B d'origine 6, l'application [0,1] —► U, t >-+ (/i7it,7(£)) est un chemin d'origine
a = (u&,6) et d'arrivée (c,y),où y = 7(1) et c = /i7>i (la continuité de cette
application se déduit de la propriété évidente que pour 0 < t\ < t2 < 1, le chemin 1{t2} est n°-
motopeà 6*7{tl},où 6 est le chemin [0,1] —► C/, A >-+ 7((1 — X)ti+\t2) ). Donc t/ est
connexe par arcs. Soit xo = (co,î/o) € 1/ et soit cj 6 i?yo . Soit x = (c,y) € O(xo,w) ;
soit un chemin 7 € c 0 et un chemin 6 de cj d'origine j/o et d'arrivée y tel que c soit
la classe d'homotopie de 6*7. Alors l'application [0,1 ] —► U, £ ►-► (hs,t c0, (<5*7)(£))
est un chemin d'origine xo et d'arrivée x dans l'ouvert O(xo,u)) ; donc cet ouvert est
connexe par arcs, ce qui prouve que U est localement connexe par arcs.
• On vérifie aisément que la projection u : U —► B est continue. Montrons que
c'est un homéomorphisme local. Soit (co,2/o) € C/, et soit u) un voisinage ouvert
connexe et homotopiquement trivial de yo dans B. À tout y € u), on peut associer
un élément bien défini q(y) de (D(xo,cj); en effet, tous les chemins 6 de w d'origine
yo et d'arrivée y étant homotopes entre eux dans B , la classe d'homotopie 6 c 0 ne
dépend que de y ; notant c cette classe, on pose alors q(y) = ( c, y). On vérifie que
l'application q : uj —> O(xo1u) ainsi définie est continue, que q°M ) = ldo(Xo,u>) »
et que u o g = Id^ , donc u induit un homéomorphisme de (9(xo,cj) sûr cj .
• Montrons que (C/,S,it) est un revêtement. Soit y0 € B, et soit u) un voisinage
ouvert connexe et homotopiquement trivial de yo dans B. On a vu que w"1(yo) est
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 243
non vide. Soit xo = (c,yo) € u~l(yo). D'après ce qu'on vient de voir, u induit un
homéomorphisme de 0(xo,u;) sur u;, et on a vu plus haut que si xi € u~1(yo) et
X2 6 u~1(t/o) avec xi ^ X2 , on a 0(xi,u;) H (9(x2,u;) = 0 , d'où l'assertion.
• Montrons que U est simplement connexe. Soit r un chemin de £/ d'origine a,
et notons h — zu o T et 7 = uoT. Avec la notation y^ty vue plus haut, on a
h(t) = 7{7} pour tout £ G [0,1] ; en effet, cela résulte du théorème 25.1.4, car r et
$ : [0,1] ->[/,tM (7{7}'^(0) sont deux chemins de U qui relèvent 7 et vérifient
T(0) = #(0) = a. Cela dit, soit deux chemins A = (/ii,7i) et T2 = (/i2>72) de [/
d'origine a et d'arrivée x = (c,y). D'après ce qu'on vient de voir, on a c = 71 = 72
(car (7i){i} = 7i pour tout i G {1,2} ). Soit alors une homotopie H de 71 à 72 dans
B. Elle se relève en une homotopie de /\ à r2 dans U (corollaire 2 du théorème
25.1.5), donc A et T2 sont homotopes. Comme A et J2 sont arbitraires et comme
U est connexe, cela prouve que U est simplement connexe ■
Soit B un espace topologique séparé, localement connexe par arcs, connexe et semi-
localement simplement connexe. Fixons un point-base b G B . La synthèse de la
proposition 25.1.15, du corollaire du théorème 25.1.11 et des théorèmes 25.1.11 et 25.1.12 montre
les propriétés suivantes: les revêtements de B par des espaces connexes sont classifiés à
B-isomorphisme près par les classes de conjugaison de sous-groupes de Gb = IIi^-B).
Si H est un sous-groupe de Gb, les revêtements (R,B,p) de B correspondant à la
classe de H sont tels que U\ta(R) est isomorphe à H pour tout e G p-1(6) et que
Pa(IIi,a(-R)) est un conjugué de H dans Gb . Les classes réduites à un seul sous-groupe
(classes qui correspondent bijectivement aux sous-groupes distingués de G& )
correspondent aux revêtements galoisiens de B . Le sous-groupe distingué réduit à l'élément neutre
correspond aux revêtements universels de B (qui sont bien galoisiens). Le sous-groupe
distingué Gb de Gb correspond au revêtement trivial (B,J3,IdB). Si °U = (U,B,u)
est un revêtement universel de B, tout revêtement connexe de B est isomorphe à un
quotient de °tt, unique à ZMsomorphisme près.
Mais il faut prendre garde que si deux revêtements (<Ri,i?,pi) et {R2,B,p2) sont
tels que pour a\ € PÎl{b) et a2 € p2l(b) > les groupes IIitai(-Ri) et 112^2(^2) soient
isomorphes, alors ces revêtements ne sont pas nécessairement B-isomorphes: nous l'avons
déjà signalé, deux sous-groupes de Gb peuvent en effet être isomorphes sans être
conjugués dans Gb •
Enfin, notons que pour un espace séparé localement connexe par arcs, l'hypothèse de
semi-locale simple connexité est impliquée par chacune des hypothèses suivantes, plus
restrictive: hypothèse de presque-locale simple connexité (tout point admet un voisinage
ouvert simplement connexe); et hypothèse de locale simple connexité (tout point admet
un système fondamental de voisinages ouverts simplement connexes).
Clôture galoisienne d'un revêtement
Soit B un espace séparé, localement connexe par arcs, connexe et semi-localement
simplement connexe. Soit °IL = (C/,B,u) un revêtement universel de B. L'étude
ci-dessus a prouvé que l'étude des revêtements connexes de B se réduit à celle des
revêtements quotients de °IL. Nous allons comparer entre eux ces revêtements et préciser
le rôle de ceux d'entre eux qui sont galoisiens. Rappelons qu'un revêtement quotient de
°U, correspondant à un sous-groupe H de XutsiU), est galoisien ssi H < KutsiU)
(théorème 25.1.12)
Notons (Ôou l'ensemble des sous-groupes de Hut b{U), ordonné par inclusion. Pour
chaque H 6 (Ô^ , soit Qh = U/h » soit Qh = (Qh^B^çh) le revêtement quotient de
°lt par H et soit Su = (U.Qh^h) le revêtement déduit de ^ par extension de la base
à Qh . Si H\ G <3<u et H2 G ©ou , nous dirons que Q2 domine Q\ ssi H2 C H1 ; la
relation de domination sera notée ^ : ainsi Q\-< Q2 ssi H2 C H\ . La relation •< ainsi
244 SURFACES DE EJEMANN COMPLEXES
définie est une relation d'ordre sur l'ensemble, que nous noterons £}ou > des revêtements
quotients de °ll.
Soit Hi e <5<u et H2 £ ©°a tels que H2 C Hi. L'application whx '- U —► Qhx
est constante sur toute fibre de wh2 et continue, donc il existe une unique application
^ifi,H2 : Qh2 —> Qhi telle que xuh1 = ipHi,H2 ° ^#2 » et cette application est
continue. Il est immédiat que ^hx,h2 est un B-morphisme, donc {Qh2iQh1^h1}h2) est
un revêtement, que nous noterons Thx,h2 • On a iJjh,h = ^Qh P°ur tout H G Ô^,
et si H\ , #2 et #3 sont des éléments de (San tels que i/3 C #2 C #1 , on a
^H1}H3 - ^huH2 ° ^h2,H3 - La famille {{Q^Hee^À^HuH^H^e^H^u^^H^H^ est
donc un système projectif (voir paragraphe 24.4).
Fixons maintenant i/ € 0^ . Notons /# l'intersection des conjugués de H dans
Autb(U) 1 i-e. le plus grand sous-groupe distingué de G contenu dans H. Alors le
revêtement QiH domine Qh et est galoisien. De plus, si I' est un sous-groupe distingué
de AutB(C^) tel que le revêtement galoisien Q// domine Qh , alors V C Ih , donc Qj>
domine 2/H • Autrement dit, QjH est, dans l'ensemble ordonné (Û^, ^), le plus petit
revêtement galoisien de B qui domine Qh . Pour cette raison, le revêtement Q\H est
appelé la clôture galoisienne de Qh (relativement au revêtement universel alt).
Nous pouvons compléter comme suit la proposition 25.1.12:
Théorème 25.1.14
Soit B un espace topologique séparé, localement connexe par arcs, connexe et semi-
localement simplement connexe. Soit 1Z = (R,B,p) un revêtement galoisien et soit
A un sous-groupe de Auta(i2). Alors le revêtement quotient de R par A est
galoisien ssi A < Auta(#) •
Démonstration:
Soit °IL = (U,B,u) un revêtement universel de B. Il suffit d'envisager le cas où
H est de la forme Qh = (QH,B,qn), avec H sous-groupe distingué de Aut#(t/)
et Qh = U /H • Le groupe Aut^CQ//) est canoniquement isomorphe à *utB(^)/ff
(proposition 25.1.12). Notons <p : Auts(£7) —> AutB(^)//f la surjection canonique:
elle induit une bijection # de l'ensemble des sous-groupes de K\xts{U) contenant H
sur l'ensemble des sous-groupes de AutB(^)//f . Si r est un sous-groupe de Auta(t/)
contenant H, on a #(jT) < AutB(l/)/# ssi r < XxxtsiU). On voit aisément que les
revêtements quotients de Qh sont les revêtements quotients de °lt qui sont dominés par
Qh , c'est-à-dire les revêtements Qr , où 71 est un sous-groupe de Aut£(t/) contenant
H . Un tel revêtement correspond au quotient de Qh par le sous-groupe de AutB(Qtf)
qui s'identifie à $(r). Un tel revêtement est galoisien ssi r < AutB(C7) (corollaire du
théorème 25.1.12), c'est-à-dire, d'après ce qu'on vient de voir, ssi
d'où le théorème ■
Groupe fondamental de la sphère de Riemann
Il convient de déterminer ici le groupe fondamental de la sphère de Riemann. Cette
détermination dépend de la proposition suivante, qui découle aussi d'un corollaire du
théorème de Van Kampen (cf. plus bas, théorème 26.1.2):
Proposition 25.1.16
Soit T un espace topologique connexe par arcs, et soit deux ouverts X et Y de T
connexes par arcs, simplement connexes, tels que X UY = T et que X C\Y soit
connexe par arcs. Alors T est simplement connexe.
Chapitre 25 , § 1
Revêtements 245
Démonstration:
Le seul cas non trivial est celui où $ £ X £T et $ £Y £T, Plaçons-nous dans ce cas. Alors
X n Y ï 0 . Soit b 6 X n Y ; nous allons montrer que tout lacet d'origine 6 dans T est homotope à
Ub , ce qui prouvera la proposition. Soit donc 7 un tel lacet. Les ouverts U = 7-1OT et V = 'y'1 (Y)
de [0,1] recouvrent (0,1] . Soit rj un nombre de Lebesgue de ce recouvrement, Le. 77 € R+ et tout
sous-intervalle de [0,1] de longueur < 77 est contenu dans U ou dans V . Soit un entier n > 1 tel que
£ < »? • Pour tout A; € [0,nj , soit a* = £ et 6* = 7(0*) , et pour tout fc € [0,n- 1] , soit /* = [ofc,afc+1 ] .
On a donc h C U ou 4cV. Soit £ l'ensemble des k € [0, n - 1] tels que h c U .
• Si £ est vide, on a [0,1] c V , donc 7 est un lacet de Y ; en vertu de l'hypothèse, 7 est alors
homotope à Ub dans Y , et a fortiori homotope à Ub dans T . Si £ = J0,n - 1] , alors 7 est un lacet
de X , donc est homotope à U0 dans X , et a fortiori homotope à ub dans T.
• Supposons 0 ^ £ ^ [O.n - 1] . On a alors un entier v > 1 et des intervalles d'entiers Si = [çt,rj ,
où i décrit [1, v\ , tels que 0 < gi , r„ < n - 1 , que g< < t\ pour tout i e [1, u\ , que gi+i > r» + 1 pour
tout i e [1,1/ - 1] , et que £ = Ui<i<„£i , Plaçons-nous dans le cas où gi > 0 et r„ < n - 1 (si gi = 0 ou
r„ s n - 1 , le raisonnement est analogue). Il est alors clair que:
(13)
7<[0,aÇll)Cir
(Vi6 [1,1/-11) 7([ûr(.,a9,+1])cy
7(k,i])cr
(Vt€ [l,i/]) )(|arûril)C^ ; fr9, 6 ATiy ; 6r. € X nY
Pour tout i 6 [l,^] > soit une application continue V* : [°<7, ><*»-,] -»^nV telle que ^»(a9i) = 69,. et
ijji(ari) = 6r,. (une telle application existe parce que XnY est connexe par arcs), et soit une application
continue h{ : [bqi ,6r,. ] x [0,1] -► X telle que /i<(t.0) = 7(t) et /t<(t, 1) = Vt(0 pour tout te [69,.,fcr, ] et
que /i»(0, A) = 69l et /i»(l,A) = 6r,. pour tout Ae [0,1] (une telle application hi existe parce que X
est simplement connexe). On peut alors définir une application h : [0, l]2 -+ X en posant h(t, A) = 7(t)
pour tout (t,A) € ([0,1] \ (Ui<t<„l&git&r. ])) x [0,1] et h(L\) - /i»(t,A) pour tout i e [l,i/J et tout
(t,A) e [6,.,6r. ] x [0,1] . Il est immédiat que cette application h est une homotopie de 7 au lacet 6
tel que 6\ = i?i pour tout i € iïl,i/]| , que £1 =7! , que 6\ = 7I et que
S\ = 7] pour tout i e llti/- 1] . En vertu de (13), l'image du lacet S est contenue dans
y. Puisque Y est simplement connexe, 6 est homotope à ub dans Y , donc a fortiori, dans T. Par
suite, 7 est homotope à ub dans T I
CoroJJaire 1
Soit E un espace euclidien de dimension n > 3. La sphère unité Se de E est
simplement connexe.
Démonstration:
Notons ||. || et (. |.) la norme et le produit scalaire de E .
Pour tout a € S , en notant Ua l'ouvert S \ {a} de Se et //a l'hyperplan vectoriel {a}1 de £,
la projection stéréographique Sta : Ua -» Hfl!i^ a + 1_^x11 a) (s - a) est un homéomorphisme.
Fixons a € 5£ . On a sta(Ua n L/_0) = Ha\ {0E} , donc t/0 n t/_0 est connexe par arcs (car Ha est un
espace vectoriel de dimension > 2 ). Il est clair que les espaces topologiques Se = Ua U t/_0 , î/0 et
U~a , chacun homéomorphe à un espace vectoriel réel, sont connexes par arcs et simplement connexes.
D'après la proposition 25.1.16, Se est donc simplement connexe I
La sphère de Riemann est homéomorphe à la sphère unité d'un espace euclidien de
dimension 3 (voir fin de la section 23.1.1), d'où:
Corollaire 2
La sphère de Riemann C est simplement connexe.
Le corollaire 1 ci-dessus est non trivial, parce que la sphère unité d'un espace
euclidien de dimension n > 2 n'est pas contractile, assertion dont la preuve, qui dépend de la
théorie de l'homologie si n > 3 , n'a pas sa place dans le présent ouvrage (si n = 2 , cette
non-contractilité découle du fait que le groupe fondamental est isomorphe à Z donc non
réduit à l'élément neutre). On peut prouver que les seuls espaces topologiques admettant
C pour revêtement universel sont C et le plan projectif réel Proj(R3), homéomorphe
à Pespace quotient de la sphère unité d'un espace euclidien de dimension 3 par la relation
246 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
d'équivalence qui identifie les points antipodaux (cela découle de la description du groupe
fondamental d'une surface connexe compacte orientable ou non, cf. par exemple [2]).
25.1.7 Construction de revêtements galoisiens
Soit R un espace topologique localement compact et G un groupe d'homéomor-
phismes de R, i.e. un sous-groupe du groupe des homéomorphismes de -R sur lui-même.
Nous dirons que G opère librement discontinûment (sur R ) ssi les deux conditions
suivantes sont satisfaites: l'action (à gauche) naturelle de G sur R est libre (i.e. les
stabilisateurs des points sont réduits à l'élément neutre), et pour tout compact C de R,
l'ensemble des g € G tels que g(C) O C ^ 0 est fini. On vérifie que si (#,B,p) est un
revêtement, avec B localement compact (ce qui implique R localement compact), alors
AutB(-R) est un groupe d'homéomorphismes de R qui opère librement discontinûment.
Proposition 25.1.17
Soit R un espace topologique localement compact et soit G un groupe d'homéomor-
phismes de R qui opère librement discontinûment sur R. Soit p la surjection
canonique R —► B = R/q . Munissons B de la topologie quotient.
(I) L'espace B est séparé.
(II) (il, B,p) est un revêtement galoisien, et son groupe de Galois est G .
Démonstra tion:
• Soit x e R et soit C un voisinage compact de x . D'après l'hypothèse, l'ensemble
T = {g e G | g(C) n C ^ 0} est fini (et non vide puisque Id* G F). Soit (Ug)g^
une famille d'ouverts deux à deux disjoints tels que g(x) € Ug pour tout g € T et que
tfid* C C, et soit U = r\gzFg-l{Ug). Pour tout g € G \ {IAR} , on a g(U) D U = 0 et
g(U) est un voisinage ouvert de g(x) ; notant y = p(x) et V = U9ç_g9{U) , l'ensemble
p(V) est un voisinage ouvert de y dans B , on a V = P~1(p(Vr)), et comme la projection
p est continue et ouverte, pour tout g e G, elle induit un homéomorphisme de g(U)
sur p(V)
• Assertion (I)
Soit yi e B et j/2 € B, avec yi ^ y2 > Fixons xi 6 p-1(yi) et X2 € p""1^) • Soit
respectivement W\ et C/2 des voisinages compacts de y\ et j/2 sans point commun,
tels que les ouverts (g(U2))gçiG soient deux à deux disjoints (cf. première partie de la
démonstration). Appliquant l'hypothèse avec le compact C = W\ U U2 , on voit que
l'ensemble T = {g 6 G | g(W\) n t/2 ^ 0} est fini. Soit (Vg)gq^ une famille d'ouverts
deux à deux disjoints tels que <?(xi) E Vg pour tout g 6 T, avec VidR C Wi . Soit
U\ = n^^-flT1^) ; alors g(Ui) n C/2 = 0 pour tout # € G, d'où pi(t/i) H #2(^2) = 0
pour tout (01,02) E G x G. Notant Oi = UgeGd{Ui) pour tout z € {1,2} , on a donc
0\ H02 = 0 ; mais p(Oi) et p(Û2) sont respectivement des voisinages ouverts de yi et
y2 , et comme Oi = p_1(p(Oi)) et 02 = P_1(p(G2)), on a p(Oi) flp(02) = 0 ; donc B
est bien séparé.
• Assertion (II)
De la première partie de la démonstration, il découle maintenant que 7Z = (R,B,p)
est un revêtement. Il est immédiat que G C Aut^(iî). D'après la proposition 25.1.10
et l'exemple 25.1.13, le revêtement 11 est donc galoisien et de groupe de Galois G ■
Comme application, soit R un espace topologique localement compact, localement
connexe par arcs, connexe et simplement connexe. En combinant la proposition 25.1.17
et ce qui suit la définition 25.1.12, on voit que les espaces topologiques dont R est un
revêtement universel sont les espaces quotients R/q , où G est un groupe d'homéo-
morphismes de R qui opère librement discontinûment sur R.
§25.2 La notion de surface de Riemann complexe
25.2.1 Rappels sur les fonctions méromorphes
Soit u un ouvert non vide de C. On appelle fonction méromorphe sur u toute
fonction / : uj —» C possédant la propriété suivante: pour tout point a € u), il existe
un disque ouvert A de rayon > 0 et de centre a et un entier k > 0 tels que /Lw , soit
holomorphe et que la fonction g^ : A —* C, z i—► (z ~a)kf(z) se prolonge par continuité
à tout A en une fonction holomorphe sur A ; on sait que ce prolongement existe ssi gk
est borné au voisinage de a. S'il en est ainsi, pour tout a € u), le plus petit entier k
tel que g^ soit bornée au voisinage de a est bien défini, et il vaut 0 ssi f(a) € C, i.e.
ssi / est holomorphe en a.
Si / est méromorphe sur u), les points a e u> tels que f(a) = ooc sont appelés les
pôles de /. L'ensemble des pôles de / est discret et fermé. Les points de u) qui ne
sont pas des pôles de / sont dits réguliers, ou points d'holomorphie de / . L'ensemble
des points réguliers de / sera noté 25/ .
Fixons l'ouvert non vide u; de C. Notons respectivement M(u) et 2C(u;) l'ensemble
des fonctions u) —> C méromorphes, et l'ensemble des fonctions u —► C holomorphes.
On a %C(u>) C M(lj) , l'inclusion étant stricte. Pour toute partie discrète et fermée E
de uj , l'ensemble uj\E est un ouvert partout dense de u, et si u est connexe, alors
lj\ E est encore connexe. Cela permet de munir M(u)) d'une structure naturelle de
C-algèbre; on procède comme suit: soit / e M(uj) et g e M(u)). Il y a alors une unique
fonction méromorphe a G M(u)) telle que a(z) = f(z) + g(z) pour tout z 6 2)/ fl 2)^ ,
et une unique fonction méromorphe w € jM,(u;) telle que w(z) = f(z)g(z) pour tout
z € 2)/ n2)p ; ces fonctions s'appellent respectivement la somme et le produit de f et g ,
on les note respectivement f + g et fg. Les fonctions constantes sur u) étant identifiées
aux éléments de C, on vérifie alors que muni de ces lois, M(lj) devient une C-algèbre
(associative) commutative, dont 2C(cj) est une sous-algèbre.
Supposons maintenant u connexe. Alors si / € M(uj) \ {0} , l'ensemble /-1(0) est
discret et fermé dans u), et il existe une unique fonction méromorphe g e M(u>) telle que
g(z) = jbj pour tout z e 2/ \/-1(0), et cette fonction vérifie fg = 1. Autrement dit,
/ admet un inverse dans l'algèbre M(u>), qui est g. On voit donc que l'algèbre M(u>)
est un corps.
La méromorphie et l'holomorphie sont des propriétés locales, i.e. si (Ui)iei est un
recouvrement ouvert d'un ouvert u) de C, une fonction / : u —► C est méromorphe
(resp. holomorphe) ssi le restriction de / à chaque C/j (où i décrit / ) est méromorphe
(resp. holomorphe).
25.2.2 Atlas analytiques
Définition 25.2.1
Soit T un espace topologique non vide. On appelle atlas analytique sur T toute
famille (Ui, 0i)içj , où la famille (Ui)i&j est un recouvrement ouvert de T, avec des
Ui non vides, où 9i est, pour tout i e I, un homéomorphisme de Ui sur un ouvert
uji de C, et telle que pour tout (i,j) e I x I tel que UiDUj ^0, Ja bijection
Tij : OjiUi n U,) —> 9i(Ui n Uj), z — 0^0j\z))
soit holomorphe. Les applications 6i sont appelées les cartes de cet atlas.
Dans les conditions de la définition 24.1.2, pour tout (i, j), on a T~j = Tjti. Les
Tij sont donc des bijections holomorphes ainsi que leur réciproque. Les Tij sont
apelées les bijections de transition.
248 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Définition 25.2.2
Soit [Ui,6i)iç.i un atlas analytique sur un espace topologique non vide T. Soit
O un ouvert non vide de T. Une fonction (p : O —► C est dite méromorphe
(resp. holomorphe) ssi pour tout i e I tel que Ui rencontre O, la fonction
(p o 0-0 : Oi{OC\ Ui) -* C (où 0~q désigne la restriction de 0~l à 0.(O n Ui) ) est
méromorphe (resp. holomorphe).
Dans les conditions de la définition 24.2.2, il est immédiat que pour tout i € I, la
carte 9i est une fonction holomorphe sur Ui : cela découle directement des définitions.
On sait que si U\ et C/2 désignent deux ouverts non vides de C , pour toute
fonction holomorphe / : U\ —* C/2 et toute fonction holomorphe g : U2 —► C, la composée
gof est holomorphe; de même, si U\ et C/2 désignent deux ouverts non vides de C , jpour
toute fonction méromorphe / : U\ —* C/2 et toute fonction méromorphe g : C/2 —► C , la
composée gof est méromorphe. On déduit facilement de là que dans les conditions de
la définition 25.2.2, pour tout ouvert non vide O de T, pour toute fonction (p : O —► C
holomorphe, à valeurs dans un ouvert u de C, et pour toute fonction holomorphe
f : ui —> Cj la fonction f o ip est holomorphe sur O . De même, pour toute fonction
<p : O —> C méromorphe, à valeurs dans un ouvert u de C, et pour toute fonction
méromorphe f : u —► C, la fonction f o<p est méromorphe sur O .
Rappelons qu'étant donnés deux ensembles quelconques / et J, on définit leur
somme III J, qui intuitivement, correspond à l'idée de former l'union disjointe de
I et J. De façon précise, on a des injections canoniques I —+ I U J et J —+ I U J,
dont les images sont disjointes et ont pour réunion IUJ (ordinairement, on prend pour
définition de IUJ la partie (Jx {0})U( Jx {!}) de (/U J) x {0,1} , mais dans la pratique
on identifie J et J à leurs images canoniques dans IUJ). La somme d'ensembles est
associative et commutative, et admet 0 pour élément neutre. Étant donnée une famille
d'ensembles {£i)i£i, on définit aussi la somme des £j, notée Iliç/fj : pour tout j € /,
on a une injection canonique £j —* U^iEi, au moyen de laquelle on identifie S% à un
sous-ensemble de Ui^i£i ; alors ce dernier ensemble est réunion disjointe des £» (une
façon de former II^j£j est par exemple de prendre la partie de {Ui^jEi) x I égale à
Étant données deux familles quelconques (au sens ensembliste) (xj)iç/ et (yj)jçj ,
on appelle somme de ces familles la famille (zk)keA » où A = IU J, telle que z* = x*
si k £ I et Zk = Vk si k G J.
Définition 25.2.3
Deux atlas analytiques °lt = (Ui,6i)iei et T = (V},Çj)j€j d'un même espace
topologique T sont dits équivalents ssi la famille {Wk,Tk)keA (où A = / UJ), somme
des familles (Ui,6i)iei et {Vj,Çj)jej , est encore un atlas analytique (noté °ÏIU°V)
Avec les notations de la définition 24.2.3, il est clair que les atlas (Ui,9i)içj et
(Vj,Çj)jç.j sont équivalents ssi pour tout (i,j) e I x J tel que Ui H Vj ^ 0, les
applications
OiiUinV^^ÇjiUiPi^.z^çjier^z)) et ç^nVJ) - ^(U^Vj), z ~ ^(ç"1^))
sont holomorphes. En d'autres termes, les deux atlas analytiques sont équivalents ssi
chaque carte de l'un est une fonction holomorphe relativement à l'autre. L'équivalence
entre atlas d'un même espace topologique est une relation d'équivalence (i.e. réflexive,
symétrique et transitive). On remarquera qu'on ne peut pas parler de l'ensemble des
atlas d'un espace topologique, l'ensemble indexateur J pouvant être arbitraire.
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 249
Proposition 25.2.1
Soit deux atlas (E/i,0t)i€/ et (Vj,Çj)j€J d'un espace topologique T. S'ils sont
équivalents, alors pour tout ouvert O de T, ils définissent le même ensemble de
fonctions méromorphes (resp. holomorphes) sur O . Réciproquement, si, pour tout
ouvert O de T , ils définissent le même ensemble de fonctions holomorphes sur O ,
alors ils sont équivalents.
Démonstra tion:
Pour tout ouvert O de T, notons respectivement M(0) et Jt(0) les ensembles de
fonctions méromorphes sur O définis par l'atlas ^ = (C/i,0i)i€J et Patlas V = (Vj)j^j ,
et notons respectivement 2C(0) et 3C(0) les ensembles de fonctions holomorphes sur O
définis par l'atlas °IL et l'atlas T.
Supposons ^It et T équivalents. Soit O un ouvert de T. Soit / € M(G), et soit
j G J tel que Vj D O ^ 0. Pour tout z G J tel que O 0 Ui 0 Vj; ^ 0, la fonction
fo = f o 0~q est méromorphe sur 6i{0 n E/»), et la fonction
est holomorphe, donc fi o r^- , qui est la restriction de / o çT^ à Çj(0 n £/* fl V^), est
méromorphe sur Çj(0 nUiCiVj). Mais comme OnVj = Ui€'/(0 n^n^-), la famille
{ÇjiOnUinVjïïizi^onUiDVjïQ est un recouvrement ouvert de l'ouvert Çj(OC\Vj) de C,
donc / o c-^ est méromorphe sur Çj(0 n V^). C'est vrai quel que soit j 6 J tel que
OC\Vj ^ 0', donc / € X(O). On a donc jH(O) C X(O). En échangeant les rôles de
J et J, on a de même X(G) C M(0), donc jR(C?) = >f(0). On montre de même que
«(O) = 3t(0).
Réciproquement, supposons que %C(0) = 3C(0) pour tout ouvert O de T. Pour
tout î G J, on a 0* G 3^(1^), donc 0» € 3C(E/i) ; de même, on a <^ € %C(Vj) pour tout
j £ J. Les deux atlas ^U et Y sont donc tels que chaque carte de l'un est une fonction
holomorphe relativement à l'autre, donc ils sont équivalents B
Soit maintenant un espace topologique T muni d'un atlas analytique Gii = (Ui, Oi)i^j .
Remarquons d'abord que l'existence de cet atlas implique certaines propriétés de la
topologie de T : par exemple, T est localement connexe par arcs, donc ses composantes
connexes sont à la fois ouvertes et fermées dans T, et sont connexes par arcs et
localement connexes par arcs. Enfin si U est un ouvert connexe de T, le complémentaire
dans U de toute partie finie de U est encore un ouvert connexe de T.
Si O est un ouvert non vide de T, la famille (O D Ui,6o,i)itJ > où J désigne
l'ensemble des tel tels que O n Ui ^ 0 et où, pour tout i G J, on a noté 0oti la
bijection O n Ui —» Oi(C D Ui) induite par 0*, est un atlas analytique sur O , appelé la
trace de °IL sur O .
Pour chaque ouvert non vide O de T, notons respectivement M(0) et 26(0) les
ensembles de fonctions méromorphes et holomorphes sur O définis par alt. Ces
ensembles sont munis de structures naturelles de C-algèbres, que nous allons examiner en
détail. Tout d'abord, il est immédiat que VC(0) contient l'ensemble des fonctions
constantes O —► C, qui peut donc être identifié à C , et que, muni de l'addition et de la
multiplication point par point, c'est une C-algèbre. Il est clair que $£(0) C M(0).
Pour tout ouvert non vide O de T, on voit aisément que M(C) et 2£(O) sont
respectivement l'ensemble des fonctions méromorphes et des fonctions holomorphes de
l'espace topologique O muni de l'atlas analytique trace de °IL sur O .
Soit O un ouvert non vide de T, et soit / G M(0). L'ensemble f~~1(ooc) est
appelé l'ensemble des pôles de / ; nous le noterons 2P/ , et nous noterons 2)/ = O \ 2P/ .
Pour toute carte 0», il est clair que 2P/ n (OC\Ui) est l'image par 0"1 de l'ensemble Pi
des pôles de la fonction méromorphe ordinaire /o0~(î) sur 6i(OnUi) (où 0~^ désigne
250 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
la restriction de 0~l à 9i(OC\Ui). Donc ^/n(On[/j) est une partie discrète et fermée
relativement à OnUi. Comme la famille {OC\Ui)iç.j est un recouvrement ouvert de (9,
on en déduit que 3P/ est une partie discrète et fermée relativement à O . Par suite, 2)/
est un ouvert dense de O . Soit alors / 6 M(0) et g £ M(C). On vérifie aisément qu'il
y a une unique fonction méromorphe a G M(0) telle que a(x) = f(x) +g(x) pour tout
x G 2)/ fl2)y , et une unique fonction méromorphe tu G jH(O) telle que w(x) = f(x)g(x)
pour tout x G 2)/ n2)fl ; ces fonctions s'appellent respectivement la somme et le produit
de / et g , on les note respectivement /+# et /p . On vérifie que muni de ces lois, M(0)
devient une C-algèbre (associative) commutative, dont %C(0) est une sous-algèbre. Pour
toute fonction / € M(0), l'ensemble /-1(0) s'appelle l'ensemble des zéros de f.
Si O est connexe et si /G M(0) \ {0}, alors f~l(0) est une partie discrète et
fermée relativement à O. On voit dans ce cas que M(0) est un corps: pour tout
fe M(0) \ {0} , on a 9) = f'l(Q).
Soit deux ouverts G\ et O2 de T tels que D\ C O^ . Pour toute fonction / G */d(C>2)
(resp. /€3K(02)), ona /|0 G it(Oi) (resp. /| G 3K(Oi) ). L'application
(1) tolfoa : ^2) —♦ it(Oi), / — /|0i
est un morphisme de C-algèbres, dit de restriction. On a £<?! ,02(^(^2)) C 3^(<9i). Si
O2 est connexe, ce morphisme est injectif et permet d'identifier M(02) à un sous-anneau
de M(0\). Si C?i et O2 sont connexes, M(02) apparaît ainsi comme une extension
du corps M(Oi).
Soit trois ouverts Oi, C?2, ^3 de T tels que Oi C O2 C O3 . Il est immédiat que
(2) QouOs = 0Oi,o2 ° ^o2,o3
Pour tout ouvert O de T , on a
(3) Qo,o = IdM(o)
Compte tenu des propriétés rappelées plus haut des fonctions méromorphes ou holomor-
phes usuelles, la proposition suivante est de vérification immédiate:
Proposition 25.2.2
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, soit O un ouvert non vide de T et soit
(Sj)jçj un recouvrement ouvert de O, avec des Sj non vides.
(I) Soit une application f : O —► C . Pour que f G M(0), il faut et il suffit que
quel que soit j G J , on ait f\ G M(Sj).
\Sj
(II) Soit f G M(0) et ge M(0). On a f = g ssi f\s = g\ pour tout j eJ.
Notons Ouv*(T) l'ensemble des ouverts non vides de T. Appelons faisceau de
fonctions complexes sur T toute donnée d'une famille (^b)oeouv(T) > où Tq est, pour
tout O, un ensemble non vide de fonctions O —► C ; cette famille étant astreinte à
vérifier les conditions (4), (5) et (6) suivantes:
(4)
{Pour tous ouverts non vides 0\ et O2 de T tels que 0\ C 02 > et pour toute
fonction / G To2 1 on a /|0 € ?qx
(5) <
Pour tout ouvert non vide O de T, pour toute application / : O —► C et
pour tout recouvrement ouvert {Sj)jç.j de O avec des Sj non vides, on a
f efo ssi /|0n5. € TSi Pour tout j .
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 251
fPour tout ouvert non vide 0 de T, pour toutes applications / : 0 —► C et
(6) < g : O —► C et pour tout recouvrement ouvert (Sj)jç.j de 0 avec des Sj non
^vides, on a / = g ssi /|0n5_ = g\onSj pour tout j .
D'après l'étude ci-dessus, les deux familles (jH(0))o€ouv*(T) et (2C(0))o€ouv*(T)
sont des faisceaux de fonctions complexes sur T, respectivement appelés le faisceau des
fonctions méromorphes et le faisceau des fonctions holomorphes associé à l'atlas °lL
Définition 25.2.4
On appelle surface de Riemann (complexe) (ou encore variété analytique
complexe de dimension 1) tout espace topologique séparé T muni de deux faisceaux
de fonctions complexes Meromr = (jH(0))c?€Ouv(T) et Holomr = (2£(0))c>€ouv*(T)
tels qu'il existe au moins un atlas analytique de T dont ils sont respectivement le
faisceau des fonctions méromorphes et le faisceau des fonctions holomorphes associés.
Pour une telle surface de Riemann, et pour tout ouvert non vide O de T, on notera
Meromr(0) et Holomr(T) au lieu de M(T) et 3£(T).
Quand le contexte sera clair, nous sous-entendrons l'adjectif " complexe ".
Dans les conditions de la définition 25.2.4, tout atlas analytique vérifiant la
condition indiquée est dit associé à la surface de Riemann ( T, Meromr , Holomr ), qu'on
désignera par T si aucune confusion n'est à redouter. Deux atlas analytiques associés à
la surface de Riemann T sont équivalents, et réciproquement, tout atlas analytique de
T équivalent à un atlas analytique associé à la surface de Riemann T est encore associé
à T (proposition 25.2.1).
Étant donné un atlas analytique sur un espace topologique séparé T, il existe
évidemment sur T une unique structure de surface de Riemann à laquelle cet atlas soit
associé: on dit que c'est la surface de Riemann associée à cet atlas.
Saturation d'un atlas analytique
Soit T une surface de Riemann et soit °IL = {Ui,6i)iç.i un atlas analytique associé.
Pour tout i e I et pour tout ouvert non vide Si de Ut, soit Osui labijection Si —► 6i(S)
induite par 0.. Il est immédiat que la famille (Si, Osiyi)iei, SiCUi, s ouvert non vide est un
atlas analytique associé à T ; cet atlas est appelé Je saturé de l'atlas alt. L'intérêt de
cet atlas est qu'en chaque point de T, il existe un système fondamental de voisinages
ouverts de ce point formé d'ouverts de définition d'au moins une carte de l'atlas.
Sous-surfaces de Riemann
Soit T une surface de Riemann et soit U un ouvert non vide de T. Pour tout sous-
ouvert non vide O de U, posons M{0) = Meromr(0) et H(0) = Holomr(O). La
famille (M(0),H(0))oeouv(u) définit alors une structure de surface de Riemann sur
U , qui est associée à l'atlas analytique trace sur U d'un atlas analytique quelconque de
T. Cette surface de Riemann s'appelle la sous-surface de Riemann U de T ; désormais,
un ouvert non vide U de T sera toujours muni de cette structure de surface de Riemann;
on a donc Meromtr(O) = Meromr(O) et Holomjy((D) = Holomr(O) pour tout sous-
ouvert non vide O de U.
Exemple 25.2.1 :
Tout ouvert non vide u; de C, muni de l'atlas à une seule carte (u;,Idw), est une
surface de Riemann; pour tout sous-ouvert O de a;, les algèbres M(0) et *3t(0) sont
respectivement l'algèbre des fonctions méromorphes ordinaires et des fonctions
holomorphes ordinaires sur O. Désormais, un ouvert non vide w de C sera muni de cette
structure de surface de Riemann, dite natureiJe. Etant donnés deux ouverts non vides
252 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
U\ et u>2 de C tels que u)\ C w2 , la structure naturelle de surface de Riemann de
U\ est identique à sa structure de sous-surface de Riemann de u>2 muni de sa structure
naturelle de surface de Riemann +
La sphère de Riemann usuelle
Prenons pour espace topologique T = C. Soit respectivement U\ et C/2 les ouverts
C et C \ {0} de C. Soit les applications 9\ : U\ —► C, z »-* z et
{0 si z = ooc
- si z € L
On a C/iDÎ/2 = C et U1UU2 = C ; on voit que 6\ est un homéomorphisme de U\ sur
C , que 02 en est un de U2 sur C , et que 0i(Ui C\ U2) = 62(Ui n U2) = C * . Pour tout
z 6 C* , on a ôi^J1^)) = \ = ^f1^)) î la bijection involutive C* -► C* , z m I
est holomorphe, donc ((C/i, 0i), (U2,62)) est un atlas analytique sur C ; cet atlas définit
sur C une structure de surface de Riemann, dite naturelle. Désormais, C sera toujours
muni de cette structure de surface de Riemann. Cette surface de Riemann est appelée
la sphère de Riemann usuelle, comme l'espace topologique sous-jacent C. C'est
l'exemple le plus simple de surface de Riemann compacte.
Soit O un ouvert non vide de C . Si ooc ^ O , on a Merom~((D) = Meromc(O) et
Holomg(O) = Holomc(O). Supposons que ooc 6 O , et soit / E Merom~(0) ; alors /
est méromorphe au sens ordinaire sur O n C , et il existe un réel p > 0 tel que l'ouvert
C = {z € C | | z | > p} soit contenu dans O ; la méromorphie de / au voisinage de ooc
se traduit par l'existence d'un polynôme Q € C[T] de valuation > 1 (où T est une
indéterminée sur C ) et d'une série formelle S(T) = y^ng^j CLnTn E C [[2-1]] de rayon
> ^ tels que:
(8) ( Vz € C) f(z) = Q(z) + S (-) = Q(z) + T anz~n
Le point ooc est alors pôle de / ssi Q ^ 0, et si ooc n'est pas pôle de /, on a
/(ooc) — ao • Réciproquement, toute fonction continue / : O —► C qui est méromorphe
sur O fi C et qui s'exprime sous le forme (8) dans un voisinage de ooc appartient à
Meromg(O). En utilisant la propriété bien connue qui assure qu'une fonction
holomorphe dans un disque ouvert non vide pointé (i.e. privé de son centre) se prolonge
holomorphiquement au disque ouvert tout entier ssi elle est bornée au voisinage de ce
centre, on déduit de ce qui précède que Holom^(O) est l'ensemble des fonctions
continues f : O —► C dont la restriction à OC\C est holomorphe au sens usuel et est bornée
au voisinage de ooc • Dans l'expression (8), si ooc est pôle de /, i.e. si Q ^ 0 , on dit
que le polynôme Q est la partie polaire à Vinfini de f .
Nous allons maintenant étudier Meromg(C) et Holom-(C). Comme C est
connexe, Merom^(C^ estjin corps. À toute fraction rationnelle g € C(T), est associée
une fonction g : C —► C de la manière suivante: la restriction de 7j au complémentaire
dans C de l'ensemble des pôles de g est la fonction rationnele usuelle définie par g . En
tout pôle de g , la valeur de 'g est ooc ; et la valeur de "g en le point ooc est <pv (/),
où Vqo désigne la valuation Vc{T),t,<x> du corps C(T) (autrement dit, si / = ^ avec
A € C[T] , B e C[T] \ {0} et' A et B premiers entre eux dans C[T] , on a
<7(°°c) = ooc si deg (A) > deg (B), et si deg {A) < deg (B), alors <?(ooc) est le
quotient des coefficients dominants de A et B). Cette fonction g est continue et on
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 253
vérifie aisément, compte tenu de ce quij>récède, qu'elle appartient à Merom~(C). Nous
rappellerons fonction rationnelle sur C associée à g. Il est immédiat que l'application
g m <7 est un C-isomorphisme du corps C(T) dans le corps Merom~(C)^ L'image de
cet isomorphisme est par définition le corps des fonctions rationnelles sur C .
Proposition 25.2.3
Le corps J4eroin~(C) est le corps des fonctions rationnelles sur C, et on a
Holom~(C) = C , i.e. toute fonction holomorphe sur C est constante.
Démonstration:
Soit d'abord / G Holomyr(C) ; d'après l'étude ci-dessus, la restriction de / à C est
bornée au voisinage de ooc ; mais cette restriction est bornée sur tout compact de C
puisqu'elle est continue; cette restriction est donc une fonction holomorphe et bornée
dans C, donc est constante d'après le théorème de Liouville usuel; d'où / e C. Cela
prouve que Holom^(C) = C .
Soit maintenant / € Merom~(C). L'ensemble 2P/ est discret et fermé dans l'espace
compact C, donc est fini. Pour tout pôle a de f dans C, la partie polaire de / en
ce pôle est un polynôme à coefficients dans C en j^ , donc une fraction rationnelle,
qui définit un élément Pa de Merom~(C) comme indiqué ci-dessus. De même, la partie
polaire à l'infini de / s'identifie à un élément Pqq de Merom~(C). Soit g la somme dans
Merom~(C) des parties polaires Pa quand a parcourt l'ensemble des pôles de / dans
C (si / est holomorphe sur C , on pose g = 0 ). L'élément h = f — g de Merom~(C)
est une fonction holomorphe dans C, donc est constante d'après la première partie de
la preuve; donc / = g -f h est rationnelle I
Rappels sur les fonctions holomorphes
Notons X une indéterminée sur C. Soit lj un ouvert connexe de C et / : u) —> C
une fonction holomorphe non constante; soit a € u;, posons b = f(a). Notons S la série
formelle Yln>icn^n , où cn = ^/^(a) Pour tout n- Elle est non nulle; on notera
da sa valuation; on a da = 1 ssi /'(a) ^ 0, propriété qu'on traduit en disant que /
est régulière au point a. Dans tous les cas, l'entier da est appelé le degré de f au
point a, et on_a un réel r > 0, au plus égal au rayon de convergence de S, tel que
f(a + z) = b + S(z) pour tout z € C tel que | z \ < r
Supposons que da — 1, i.e. /'(a) ^ 0 ; cette hypothèse équivaut à la réversibilité de
la série formelle S. On notera T la série réciproque 5^-1^ ; on a R^ > 0. Soit des
réels r G ] 0, R5 ] et s 6 ] 0, R7- ] vérifiant les conditions suivantes: on a a + z e u) et
\S(z)\ < Rt pour tout z € C tel que \z\ < r , et on a \T(t)\ < r pour tout t G C tel que
111 < s . Pour tout z e Dr , on a z = T(S(z)) ; pour tout t e Ds , on a t = S(f(t)) ; donc
D5 C 5(Dr). Notons U\ = a + (Dr n5-1(D5)) et C/2 = b + Da : ce sont respectivement des
voisinages ouverts de a et b, et / induit une bijection de U\ sur U2 , dont la bijection
réciproque est holomorphe puisqu'elle est donnée par b -f t ►-► a 4- T(t).
Supposons que da > 2 . Soit a la série formelle pX(l -h £n>d+i f21- A"n)^" , où p
désigne l'une des racines da-ièmes de qq dans C ; elle vérifie ada — S ; l'ensemble des
racines da-ièmes de S dans C[[X]] est {Çv}çevd • On a Ra > 0. La série formelle a
est réversible; soit r = a^1^ ; on a Rr > 0. Soit un réel r > 0 tel que r < Ra (ce qui
entraîne r < R5 ), que a -h Dr C u; et que | a(z) | < Rr pour tout z e Dr . D'après ce
qu'on a vu ci-dessus, on peut trouver un réel s > 0 et un voisinage ouvert 0\ de 0,
contenu dans Dr , tel que a induise une bijection holomorphe de 0\ sur O2 = D5, dont
254 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
la bijection réciproque est holomorphe, induite par f. Pour tout t € D3, on a alors
(9) f(a + r(t)) = b + S(r(t)) = 6 4- ^(r(*)) = b + (?(?(*)))*• =& + «**
On déduit de (9) les propriétés suivantes: b + D5dQ C f{u) ; pour tout t € D3 \{0} , on a
/'(a+r(t)) r'(t) = datd«-1 ± 0 , d'où f'(x) £ 0 pour tout x G C/i\{a} = a+ (Oi\ {0})
(en d'autres termes, on a dx = 1 pour tout x 6 C/i \ {a}); enfin pour tout
y 6 (6 -H D^a) \ {b} , l'ensemble /_1(y) est de cardinal da , et si x = a -h z € f^1(y),
avec z € Oi , en posant t = a(z), on a f~l(y) = {a + r(£0}<€Uda •
Ces propriétés montrent notamment qu'une fonction holomorphe non constante f
sur un ouvert connexe de C est toujours une application ouverte, et que si en outre f
est injective, elle est nécessairement partout régulière et définit un homéomorphisme de
u sur f(uj), dont Vhoméomorphisme réciproque est holomorphe.
D'autre part, si / est une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe
u; de C, l'ensemble des points non réguliers de / est une partie discrète de uj , et fermée
relativement à u , puisque c'est l'ensemble des zéros de /'.
Rappelons qu'étant donnés deux ouverts uj\ et u>2 de C, on appelle application
directement conforme de u>i sur u>2 toute bijection holomorphe / : uj\ —► u>2 telle
que Z""1 soit holomorphe. On dit que u>i et CJ2 sont directement conformes (ou
encore biholomorphiquement équivalentes) ssi il existe une application directement
conforme de lj\ sur Uï . La relation " les ouverts cji et (J2 sont directement conformes "
est une relation d'équivalence sur l'ensemble des ouverts non vides de C . On voit donc
qu'étant donné un ouvert non vide cj de C, une fonction holomorphe / : lj —► C
définit une application directement conforme de u) sur f(u)) ssi / est injective.
Cartes d'une surface de Riemann
Soit T une surface de Riemann complexe, soit U un ouvert non vide de T, et soit
un homéomorphisme 6 : U —► u) de U sur un ouvert u; de C. On vérifie facilement
que les trois assertions suivantes sont équivalentes:
(Cl) 0 est l'une des cartes d'un atlas analytique de T.
(C2) Pour tout atlas analytique ^ de T, la famille somme de °IL et de la famille réduite
à un terme ([/, 0) est encore un atlas analytique de T.
(C3) Pour tout ouvert 0 de T qui rencontre U et pour toute / € Holomr(O), la
fonction 9(UnO) -> C, z >-* f(0~l(z)) est holomorphe.
Si ces conditions sont satisfaites, on a 6 6 Holomr(^) (voir remarque qui suit la
définition 25.2.2); de plus, pour tout ouvert 0 de T qui rencontre U et pour toute
/ 6 Meromr(C/), la fonction 0(U n O) -+ C, z >-* f(0~l(z)) est méromorphe.
Définition 25.2.5
Soit T une surface de Riemann, soit U un ouvert non vide de T, et soit un
homéomorphisme 6 : U —► u de U sur un ouvert u) de C. On dit que (U, 6)
est une carte de T ssi elle vérifie les conditions équivalentes (Cl), (C2) et (C3) ci-
dessus. Si x G T, on appelle carte locale de T au point x toute carte (U, 0) de
T telle que x e U et que 0(x) = 0. Un ouvert non vide de T sera dit complexe
ssi il existe au moins une carte de T définie sur cet ouvert.
Avec les notations de la définition 25.2.5, si (U,6) est une carte de T, pour tout
sous-ouvert non vide O de U, il est clair que (O,0q) , où 9q est Phoméomorphisme
de O sur 0{O) induit par 9, est encore une carte de T. On en déduit que pour tout
point x e T, les ouverts de définition des cartes locales de T au point x forment un
système fondamental de voisinages de x .
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 255
Proposition 25.2.4
Soit T une surface de Riemann, soit O un ouvert non vide de T , et soit une fonction
h e Holomr(O). Pour que h définisse une carte de T, il faut et il suffit qu'elle soit
injective.
Démonstration:
La condition est évidemment nécessaire. Réciproquement, supposons h injective.
Montrons que h est une application ouverte, ce qui prouvera que h(O) est un ouvert
de C et que h définit un homéomorphismé de O sur h(0). Soit x 6 O, et soit (t/, 6)
une carte locale de T au point x , telle que U C O ; la fonction complexe ho6~l est
holomorphe et injective sur 9(U), donc son image, qui est h(U), est un ouvert de C , et
hoô~l définit une application directement conforme de 6(U) sur h(U) ; on en déduit que
la restriction de h kU définit un homéomorphismé hy de U sur h(U). En particulier,
h{0) est voisinage de h(x) ; c'est vrai quel que soit x, donc h(0) est un ouvert de C
et la continuité étant une propriété locale, ce qu'on vient de voir montre que h induit
un homéomorphismé r\ de O sur h(0). Soit Q un ouvert de T qui rencontre O et
soit / € Holomr(Q). Montrons que la fonction g : h(0 H Q) —> C, z ►-► f(r]~1(z))
est holomorphe, ce qui achèvera la démonstration. La propriété à montrer est locale.
Soit t = ft(x) G h(G fi Q), où x G On Q; reprenons une carte locale (C/,6) de T au
point x, telle que U C O H Q. D'après ce qu'on a vu plus haut, h o 0~l définit une
application conforme ku de 6(U) sur h(U). Notons hy l'homéomorphisme de U sur
h(U) induit par h\ la restriction gu de g à U vérifie gu = (/ o 0_1) o k^}1. Par
définition de l'holomorphie sur des ouverts de T, la fonction f o 6~l est holomorphe
sur 6(U). Donc #(/ est holomorphe comme composée de fonctions holomorphes ■
Multiplicité d'un zéro ou d'un pôle d'une fonction méromorphe
Soit O un ouvert non vide d'une surface de Riemann T et soit / 6 Meromr(O) • Soit
xo G U . Supposons que / soit non identiquement nulle sur la composante connexe de
Xo dans O . Alors pour toute carte locale (t/, 6) de T au point xo telle que U C O , la
multiplicité de 0(xo) comme zéro ou pôle de la fonction méromorphe ordinaire fo0~l est
la même (on le déduit immédiatement du fait que pour toute série formelle méromorphe
5 = Ylk>ma^k e C((X)), où m 6 Z, et pour toute série formelle <j e C[[X]] de
valuation 1, on a Val(5) = Val(5 o a) ); cette mutiplicité est | mxo \, où mXo désigne
la valuation de la série formelle méromorphe qui représente / o 6 au voisinage de 0(xo).
Cette multiplicité est appelée la multiplicité de xo comme zéro (resp. comme pôle)
de f. On convient que cette multiplicité vaut 0 si xo n'est ni zéro ni pôle de /.
L'entier relatif mXo , lui aussi, ne dépend que du couple (/,xo) et non du choix de la
carte (17,8). On notera mXQ = ValXo(/). La multiplicité de xo comme zéro ou pôle
de / sera appelée plus loin le degré de f en xq . Si / est nulle sur la composante
connexe de xo dans O (ce qui équivaut à dire que / est nulle au voisinage de 0, on
convient de poser ValXo(/) = +oo ; les conventions portant sur ce symbole -foc utilisé
ici sont les mêmes que pour les définitions des valuations: (+oo) -h (+oo) = +00, et
m -f (+00) = -foo pour tout m e Z .
Pour Xo fixé, on vérifie immédiatement les propriétés suivantes, dans lesquelles
/ G Meromr(O) et g € MeromT(0) :
r ValX0 (fg) = ValX0 (/) + ValXo (g)
ValX0(/ + g) > Min(ValX0(/), ValXo{g))
) ValX0(/ + ^)=Min(ValX0(/),ValX0(^)) si ValXo(/) ^ ValXo(<?)
Valxo(/) = 0 si feC*-l0
( ValXo(/) =-foo ssi / est nulle au voisinage de xq.
256 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Ces propriétés sont analogues à celles des valuations d'un corps. Toutefois, la C-
algèbre Meromr(O) n'est un corps que si O est connexe. Et s'il en est ainsi, pour
l'instant, nous n'avons pas les moyens de relier les fonctions Vall0 aux valuations de ce
corps au-dessus de C. Nous ferons cette liaison au paragraphe 25.5, et seulement dans
le cas où T est compacte et connexe, et où O = T, après avoir établi les théorèmes de
séparation du paragraphe 25.4.
25.2.3 Applications analytiques
Définition 25.2.6
Soit T\ et T2 deux surfaces de Riemann; une application $ : T\ —► T2 est dite
analytique ssi pour tout Xo € T\ , il existe une carte locale (U2, #2) de T2 au point
<P(xo) et un voisinage ouvert U\ de x0 contenu dans $~1{U2) tels que Vapplication
U\ —► C, x h-* 6($(x)) soit holomorphe. On dit que $ est un isomorphisme
analytique de 71 sur T2 , ou encore une application conforme directe de T\
sur T2 , ssi: elle est bijective, et # et #-1 sont analytiques. Si T\ = T2 = T, on
appelle automorphisme analytique de T , ou encore automorphisme conforme
direct de T, tout isomorphisme analytique de T sur elle-même.
Deux surfaces de Riemann sont dites directement conformes ssi il existe au moins
un isomorphisme analytique de l'une sur l'autre.
Il est immédiat, d'après la définition 25.2.6, qu'une application analytique entre
surfaces de Riemann est continue (la continuité est une propriété locale).
Si U est un ouvert d'une surface de Riemann T, on vérifie immédiatement que
l'injection canonique U —► T est une application analytique ( U étant muni de sa
structure de sous-surface de Riemann de T).
Soit T une surface de Riemann et u) un ouvert non vide de C , muni de sa structure
naturelle de surface de Riemann. Les définitions montrent immédiatement que pour tout
ouvert U de T, une application / : U —► u; est analytique (au sens d'application de la
sous-surface de Riemann U de T dans la surface de Riemann u) ) ssi / € Holomr(^).
De même, soit u un ouvert non vide de C : pour tout ouvert U de T, une application
/ : U —► u est analytique ssi / € Meromr(CZ) . En particulier, si uj\ et u)2 désignent
deux ouverts de C, une application / : uj\ —► u>2 est directement conforme en tant
qu'application de la surface de Riemann u\ dans la surface de Riemann u>2 ssi c'est une
bijection conforme directe au sens ordinaire.
Proposition 25.2.5
Soit T\ et T2 des surfaces de Riemann et une application continue f : T\ —► T2 .
Pour que f soit analytique, il faut et il suffit que pour tout ouvert non vide U2 de T2
et pour toute fonction <p e Holomxa^), Ja fonction f~l(U2) ->C,x^ ip(f(x))
soit holomorphe.
Démonstration:
Puisque les ouverts de définition des cartes locales recouvrent T2 , il est clair que la
condition est suffisante. Réciproquement, supposons / analytique. Soit U2 un ouvert
non vide de T2 , et soit tp € Holon\7-2(^2) • Notons C/i l'ouvert f~l{U2) de T\,
et g la fonction U\ —► C, x •—► (p(f(x)). Montrons que g est holomorphe, ce qui
achèvera la démonstration. Soit xq € U\ . Soit (W2,6) une carte locale de T2 au
point t/o = /(zo) et soit W\ un voisinage ouvert de x0 dans T\ vérifiant les conditions
suivantes: W2 C U2 , Wx C f~l{W2), et l'application h : Wx -> C, x »-> 0(f{x)) est
holomorphe. Notons fwx la restriction de / à W\ . On a alors
(10) <P°fwx = (v°B-l)oh
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 257
Par définition de Pholomorphie sur les ouverts de T2 , l'application ipoQ"1 est
holomorphe. Il découle donc de (10) que yofWl est holomorphe (au sens ordinaire), en tant que
composée de fonctions holomorphes ordinaires. Donc ip o / est holomorphe au voisinage
de xo . C'est vrai quel que soit le choix de Xo , donc y? o / est holomorphe ■
Corollaire 1
Soit des surfaces de Riemann 71 , T2 et T3 et soit des applications analytiques
/ : 7i —► 72 et g : T2 —► 7^ . Alors go f est analytique.
Démonstration:
D'abord, go f est continue. Soit C/3 un ouvert de % et soit ip € Holonv^C^) •
Notons C/2 = g~l{U$) et U\ — /_1(^2) ; les ensembles U\ et C/2 sont respectivement
ouverts dans 71 et 72, et on a U\ = Q?0/)"1^)- D'après l'hypothèse, la
fonction /12 : C/2 —► C, y h-* ip(g(y)) est holomorphe; pour la même raison, l'application
fti : C/i —* C, x h-> jp(g(f(x))) = V>((<7 o /)(x)) est holomorphe; c'est vrai pour tout
choix de C/3 et de ip , donc 50/ est analytique en vertu de la proposition 25.2.5 ■
Corollaire 2
Soit T\ et T2 des surfaces de Riemann, et soit une application / : 71 -+ 7^ . Pour
que f soit analytique, il faut et il suffit que tout point x G T\ possède un voisinage
ouvert Ux tel que f\ soit analytique (caractère local de Vanalyticité).
Démonstration:
Soit U un ouvert non vide de 71, et soit j : U —► T\ l'injection canonique. On a
vu que j est analytique; donc si / est analytique, f o j l'est aussi. En particulier, la
condition énoncée est nécessaire pour que / soit analytique.
Réciproquement, supposons que tout point x G 7i possède un voisinage Ux tel
que la restriction fx de / à Ux soit analytique. Les fx sont continues (l'analyticité
entraîne la continuité), donc / est continue. La définition 25.2.6 montre alors que / est
analytique, puisque pour tout x € 7i , les ouverts de Ux sont les ouverts de 7i contenus
dans 71 ■
Soit 71 et 72 des surfaces de Riemann, soit O2 un ouvert de 72 et soit une
application / : 71 —y O2 ; munissons O2 de sa structure de sous-surface de Riemann de
7i ; alors pour que g = f\°2 soit analytique, il faut et il suffit que / soit analytique.
En effet, soit j;: O2 —> T2 l'injection canonique; si g est analytique, alors / = j o g
est analytique puisque g et j le sont. Réciproquement, supposons / analytique. Pour
tout ouvert C/2 de 02 , on a Holomr2(C/2) = Ho 101^2(^2) (vérification immédiate); à
l'aide de la proposition 25.2.5, on en déduit g est analytique.
Il est clair que l'application identique d'une surface de Riemann est un automorphisme
analytique de cette surface. La définition 25.2.6 montre que la réciproque d'un isomor-
phisme analytique de 71 sur 72 est un isomorphisme analytique de 72 sur 71. Le
corollaire de la proposition 25.2.5 a établi que la composée de deux applications
analytiques est analytique. On en déduit que la relation entre surfaces de Riemann " la surface
de Riemann 72 est conforme à la surface de Riemann 71 " est réflexive, symétrique et
transitive.
En particulier, étant donnée une surface de Riemann T, l'ensemble des automor-
phismes conformes de T est un sous-groupe du groupe des permutations de T, appelé
le groupe conforme direct de T, et que nous noterons Conf+(T) ou Aut(T).
258 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Exemple 25.2.2 :
Cherchons le groupe conforme de la sphère de Riemann C . Nous renvoyons le lecteur
à la section 23.1.2 ou au chapitre 27 pour la définition du groupe H(2, C) = PGL( 2, C ).
On vérifie immédiatement que H(2,C) est un sous-groupe de Conf+(C). Montrons
que ces groupes sont égaux. Soit / € Conf+(C). D'après la proposition 25.2.3, /
est l'application R définie par une fraction rationnelle R € C(X) (où X est une
indéterminée sur C), et nécessairement -R est non constante. Écrivons R = ^ avec
A € C [X] \ {0} , B e C[X}\ {0} et A et B premiers entre eux. Soit (Y,Z) un
couple d'indéterminées sur C(X). Le polynôme <PY(Z) = A(Z)-YB{Z) e (C(Y))[Z]
est de degré m = Deg (R) (on a m > 1 ), et si l'on y substitue R à Y , on obtient un
élément iréductible de (C(X)) [Z] (voir démonstration du théorème 22.3.1); a fortiori,
$y(Z) est irréductible dans (C(Y)) [Z] , et comme on est en caractéristique nulle, son
discriminant A(Y) est donc ^ 0. Il est clair que A est une fraction rationnelle en
Y à coefficients dans C. Comme C est infini, on peut donc trouver À € C tel que
degz($\{Z)) — m , que le Y-numérateur de A ne s'annule pas en À et que A(X) € C
Le polynôme $\(Z) admet alors exactement m racines distinctes dans C, et comme
R est bijective, il en découle que m = 1. On en déduit facilement que R G H(2, C).
Donc le groupe conforme Conf +(C) est le groupe des homographies H(2, C) +
Structure des applications analytiques
Proposition 25.2.6
Soit 71 et 72 des surfaces de Riemann, avec 71 connexe, et soit f : 71 —► 7^ une
application analytique non constante. L'application f est ouverte.
Démonstration :
Soit xo 6 71 , posons yo = /(xo) ; soit (C/2,^2) une carte locale de 72 au point yo
et soit (Ui,6\) une carte locale de 71 en xo telle que U\ C f^1(U2) et que U\ soit
connexe (l'existence de (£/i,#i) découle de la continuité de /). Notons z0 = ^f1(xo).
L'application h = 62 o / o 0J-1 : 6ïl(Ui) —► C est holomorphe et non constante (car
sinon, d'après le principe du prolongement analytique, / serait constante par connexité
de 71 ), donc est ouverte. On a donc un voisinage ouvert u) de h(zo) = #2(2/0) contenu
dans h(6ïl(Ui)) = #2(/(^i)) • Alors #^"1(^) est un voisinage ouvert de y0 dans 72
contenu dans f(U\). Donc /(7i) est voisinage de j/o • C'est vrai quel que soit le choix
de Xo , donc /(71) est voisinage de chacun de ses points, donc est ouvert ■
Corollaire 1
Soit T\ une surface de Riemann compacte et connexe, soit T2 une surface de Riemann
connexe, et soit une application analytique non constante f : 71 —■> 72 . Alors f est
surjective, et en conséquence, T2 est compacte.
Démonstra tion:
Puisque / est continue, puique 7i est compacte et puisque 72 est un espace séparé,
/ est fermée. Puisque / est non constante, elle est ouverte (proposition 25.2.6). Donc
/(7i) est une partie de 72 à la fois non vide, ouverte et fermée, donc /(71) = 72 puisque
72 est connexe. En particulier, 72 est compacte car c'est un espace séparé image d'un
espace compact par une application continue ■
Corollaire 2
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe et soit <p G Meromr(T) \ C .
On a (p(T) = C .
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 259
Démonstration :
Cela découle du corollaire 1 ci-dessus et du fait, déjà signalé, que Meronvr(T) est
l'ensemble des applications analytiques de T dans la surface de Riemann C ■
Le corollaire suivant généralise le classique théorème de Liouvilîe des fonctions holo-
morphes usuelles. Nous l'appellerons encore théorème de Liouvilîe (des surfaces de
Riemann):
Corollaire 3
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe. On a Holomr(T) = C, i.e.
toute fonction holomorphe f : T —> C est constante.
Démonstration:
En effet, la surface de Riemann C est non compacte, donc toute application
analytique T —► C est constante d'après le corollaire 2 ci-dessus. Or on a vu plus haut que
les applications analytiques de T dans C sont les éléments de Holomr(T') ■
La proposition suivante généralise le principe du prolongement analytique usuel:
Proposition 25.2.7
Soit deux surfaces de Riemann 71 et Ti, avec 71 connexe, et soit deux applications
analytiques f et g de 71 dans T2 . Supposons qu'il existe un ouvert non vide U
de 71 sur lequel f et g coïncident, alors f = g.
Démonstration:
Soit U un tel ouvert. Notons Z l'ensemble des points x € 71 tels que f et g
coïncident au voisinage de x . Par définition, Z est un ouvert car c'est un voisinage de
chacun de ses points. Cet ouvert est non vide puisqu'il contient U . Montrons que Z est
fermé. Soit a un point adhérent à Z dans 71 . Par continuité de / et g au pont a,
on a /(a) = g(a). Soit (t/i,#i) une carte locale de 71 au point a, avec U\ connexe,
et soit (C/2,62) une carte locale de 72 au point b = /(a) (donc b = g(a) ), telles que
f(Ui) U g(U\) C U2 . Soit x 6 Z fi U\, posons y = /(x) (donc y — g(x) ), et soit u) un
voisinage ouvert de x sur lequel f et g coïncident. Notons respectivement fu1 et gux
les restrictions de / et g à U\. Les fonctions <p = 02°/c/i °0ï1 et ip = 62 og^ oflj"1 (à
valeurs complexes) sont holomorphes sur l'ouvert connexe 0i{U\) de C , et coïncident sur
l'ouvert non vide ^i(cj) , donc (p = tp par application du principe usuel du prolongement
analytique. Donc fux = gux , d'où a € Z, ce qui achève de prouver que Z est fermé.
Étant ouvert, fermé et non vide dans l'espace connexe 71, l'ensemble Z est donc égal
à 71 , d'où f = g ■
Corollaire
Soit 71 et 72 deux surfaces de Riemann, avec 71 connexe, et soit / : 71 —► 7£ une
application analytique non constante. L'application
/tt : Meromr2(72) —► Meron^ (71), tp \—► <po f
est un morphisme de C-algèbres.
Démonstration:
En vertu du corollaire 1 de la proposition 25.2.5, l'application /* est bien définie
parce que pour toute surface de Riemann T, l'ensemble des applications analytiques de
T dans C est Meromx(T). Il est clair que /tt envoie toute fonction constante sur la
fonction constante de même valeur. Autrement dit, en identifiant C à la sous-algèbre
des fonctions constantes de Holonvr(T) pour toute surface de Riemann T, on voit que
/tt laisse fixe tout élément de C . Pour achever la démonstration, il suffit de voir que /**
260 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
respecte la somme et le produit. Soit <p et tp deux éléments de Meromr2(72) • Puisque
/ est non constante, /(7i) est un ouvert non vide de T2 . Soit U2 le complémentaire
dans T2 de la réunion des ensembles des pôles de <p et de ip : c'est un ouvert dense
de 72, donc il rencontre f(T\) ; l'ouvert U\ — f~l{U2) de T\ est donc non vide, et
il est clair que pour tout x 6 U\, on a (ip o f)(x) + (ip o /)(x) = (((f + V>) o /)(x) et
((y? o f)(x))((ip o f)(x)) = {{ipip) o /)(x) ; donc les applications analytiques <p o / -h ty o /
et (</? + ip) o f (resp. (v? o f)(ip o f) et (yrç/0 ° / ) coïncident sur l'ouvert non vide U\
de 7i . En vertu de la proposition 25.2.7, on en déduit que (pof + ipof = (ip + ip)of
et ((f o f){rj> o /) = {tpil>) o / ■
Soit T\ et 72 des surfaces de Riemann, avec T\ connexe, et soit / : T\ —> 72
une application analytique non constante. Fixons xo € 7i, posons yo = f(xo) •
Choisissons des cartes locales (C/2,^2) de 72 en j/o et (f/i,0i) de 7i en Xo , telles que
f(U\) C U2 C /(7i) (rappelons que f(T\) est un ouvert de 72 en vertu de la
proposition 25.2.6). Notons zq = 6^[1(xo) et t0 = #2(2/0) • Soit h la fonction holomorphe
#2°/°#r1 : ^1 ™* ^2(^2) • Elle est non constante (connexité de T\ ). Soit d le degré de
h en zo • Si d = 1, d^près l'étude qui suit la proposition 25.2.3, on a un voisinage
ouvert u>\ de zq dans C, et un voisinage ouvert u>2 de to dans C tels que h induise un
homéomorphisme de u>\ sur CJ2 , holomorphe ainsi que son homéomorphisme réciproque.
Alors: #f1(^i) est un voisinage ouvert de xo dans T\ ; fl^"1^) est un voisinage
ouvert de t/o dans 72 , et / induit un homéomorphisme de 0f l(^i) sur 62 l((^2) > dont
on vérifie immédiatement que c'est un isomorphisme analytique.
Supposons maintenant que d > 2 . On a alors un voisinage ouvert u)\ de z$ dans C
et un voisinage ouvert u>2 de to dans C tels que h(uji) = u)2 , que uj\ n/i-1(to) = {20} >
que card (c«;i n h~l(t)) = d pour tout t € cj2\{M et clue h soit régulière en tout point
de u)\ \ {zq} . De plus, si on prend tous les couples (o^i,^) vérifiant ces propriétés, les
u>i forment un système fondamental de voisinages de zo , et les CJ2 forment un système
fondamental de voisinages de £q •
Ces propriétés montrent que l'entier d est indépendant du choix des cartes (E/i,#i)
et (U2,02) : il ne dépend que de / et Xo , nous l'appellerons degré de f en Xo . Si 71
et 72 sont des ouverts de C, ce degré n'est autre que le degré ordinaire de / en tant
que fonction holomorphe usuelle définie sur 7i à valeurs dans 72 . Le point Xo sera
dit régulier ssi le degré de / en xq est 1. La présente étude montre que si xo est
régulier, on a un voisinage ouvert W\ de xo et un voisinage ouvert W2 de yo tels que
/ induise une bijection conforme de W\ sur W2 , tandis que si / est de degré d > 2 en
Xo , tout voisinage de xo dans T\ contient un voisinage ouvert W\ de Xo tel qu'il existe
un voisinage ouvert W2 de y0 vérifiant les propriétés suivantes: W\ n f"l(yo) = {xo} ,
et pour tout y € W2 \ {t/o} » on a card (W\ n f~1(y)) = d (ce qui entraîne que / n'est
injective sur aucun voisinage de xo )•
On déduit de l'étude qui suit la proposition 25.2.3 que pour tout x 6 T\ et pour
toutes cartes locales (U2,02) de T2 en y = /(x) et (E/i,0i) de 7i en x vérifiant
f{U\) C C/2 , l'ensemble des points non réguliers de / appartenant à U\ est discret et
fermé relativement à U\. Il en découle facilement que Vensemble des points non réguliers
de f est discret et fermé dans T\ . Donc si T\ est compact, cet ensemble est fini.
L'étude ci-dessus entraîne enfin:
Proposition 25.2.8
Soit 7i et T2 deux surfaces de Riemann, et soit f : T\ —* T2 une application
analytique bijective. Alors f est un isomorphisme analytique.
Démonstration:
L'étude ci-dessus montre que pour tout x € T\, le degré de / en x est défini, vaut
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 261
forcément 1, et qu'il existe un voisinage ouvert UilX de x et un voisinage ouvert U2,x
de /(x) tel que / induise un isomorphisme analytique de U\yX sur U2yX . Donc tout
point y € 72 possède un voisinage ouvert Wy tel que la restriction de / à Wy soit
analytique. Donc / est analytique d'après le corollaire 2 de la proposition 25.2.5 ■
Couples de cartes réduites
Soit T\ et 72 deux surfaces de Riemann, avec 7i connexe, et une application
analytique non constante / : 71 —► 72 ; fixons xo G 71, posons yo = /(xo), notons d le
degré de / en Xo (d'après les hypothèses, ce degré est défini). De l'étude qui suit la
proposition 25.2.3, on déduit facilement les propriétés suivantes:
• Il existe un couple de cartes locales (£/i,0i) et (U2,02), respectivement de 7ï en
xo et de T2 en t/o , telles que 9i(Ui) = Dr et 62(U2) = &sd > avec des réels r > 0 et
s > 0 , et qui vérifient Ui C f~l(U2) et {92ofo 0~ 1)(z) = zd pour tout z € Dr .
• Lorsque ((f/i,0i), (U2,92)) décrit Vensemble des couples de cartes locales vérifiant
les conditions ci-dessus, , les ouverts U\ forment un système fondamental de voisinages
de Xq dans 71 , et les ouverts U2 forment un système fondamental de voisinages de $/o
dans 7i.
Définition 25.2.7
Dans les conditions ci-dessus, tout couple de cartes locales vérifiant les conditions
indiquées s'appelle un couple de cartes locales f-réduites au point xq .
On notera que si (!7i,0i), (^2^2)) est un couple de cartes f-réduites en xq , alors
tout point x € U\ \ {xo} est régulier pour f .
Applications analytiques entre surfaces de Riemann compactes
et connexes
Théorème 25.2.1
Soit des surfaces de Riemann T\ et T2 compactes et connexes et soit une application
analytique non constante f : 7i -» 7-2. Soit if Vensemble des points non réguliers
de /, soit B Vouvert T2\/(Sf) de T2 , et soit R l'ouvert f~l{B) de 71 . Notons
p Inapplication U\ -* U2 induite par f. Alors (R,B,p) est un revêtement, dont
les fibres sont finies et de cardinal constant, et R est connexe. Si n désigne l'entier
égal au cardinal de f~l(y) pour tout y G B, on a card(/_1(y)) < n pour tout
y eT2 y l'égalité ayant lieu ssi y e B .
Démonstration:
Puisque 72 est connexe et puique Sf est fini (et donc f($P) est aussi fini), l'ouvert
B est connexe. D'après le corollaire 1 de la proposition 25.2.6, / est surjective.
Soit y G T2 . Montrons que la fibre /~1(y) est finie. Puisque / est continue, f~l(y)
est un fermé de 71. Pour tout x G f~1{y), notons dx le degré de / en x (il est défini).
Puisque 71 est séparé, on peut trouver une famille (((C/i?x, 0i)X), (£/2,x> ^,x))xef-1(y) ou
((£fi,:r>0i,x)>(^2,a:i02,x)) est, pour tout x, un couple de cartes locales /-réduites en
x, telle que les (l/i,x)x€/-l(y) so^ent deux à deux disjoints. Pour x € f~x{y), on
a alors U\iX H f~l(y) = {x} . L'ensemble f~l{y) est donc discret, et comme il est
fermé dans le compact 71 , c'est bien un ensemble fini. Montrons maintenant qu'il existe
un voisinage ouvert u>2 de y dans 72, contenu dans U2 = n^i^^j , tel que
f~l{u>2) = Ux€/-i(y)(t7itX H f~l{u)2)). Soit 9£ l'ensemble des voisinages compacts de y
dans 72 contenus dans U2 . Pour chaque C € 3C, soit Fc = f~l{C) \ (U^-i^l^x).
262 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
La famille (Fc) est une famille filtrante à gauche de compacts de 71, et on a
nWn/-W)\( u ^WWn*)W u O
C€3ff \C63ff / \xef-Hy) ) \ \CeX // \x€/-l(v) /
= (rlm))\ f U ^i,.)=«
\*€/-l(y) /
Par compacité, il existe donc C € 3{ tel que Fc = 0. Fixons un tel C ; l'intérieur u>2
de C est un voisinage ouvert de y dans T2 , contenu dans V2 = n^-i^C/^ , et qui
vérifie f^l{oj2) = Ux€/-i(y)(£/ilX H /_1(cj2)) • Pour tout y' € u)2\ {y} , on a alors:
(11) card(/-l(y'))= £ card (t/1)X n/^(y')) = £ d*
Supposons que y € B, hypothèse qui signifie que dx = 1 pour tout x € f~l(y).
Alors Usez-i^E/i.x C -R, et pour tout x 6 f~x(y), l'application / induit un homéo-
morphisme px de f/i)X sur t/2,x , dont nous noterons qx l'homéomorphisme réciproque.
On a f~l(u)2) = Vz€f-l(y)qx(v2) » et qx(u)2) est, pour tout x 6 f~l{y), un voisinage
ouvert de x , ces voisinages étant deux à deux disjoints. Cela est vrai avec tout y € B .
Donc (R,B,p) est bien un revêtement, dont les fibres sont finies. Comme if est fini,
l'ouvert R est connexe. Comme B est connexe par arcs, le cardinal des fibres est bien
constant (cf. corollaire 1 du théorème 25.1.1). Soit n ce cardinal. D'après (11), on
a J2xef-l(y)d* = n P°ur tout V € ^2 , d'où card(/-1(y)) < n pour tout y € T2,
l'égalité ayant lieu ssi dx = 1 pour tout x G f~l(y), i.e. ssi y G B I
L'entier n de l'énoncé du théorème 25.2.1, sous les hypohèses de ce théorème, sera
appelé le degré topologique de f. On traduit le théorème 25.2.1 en disant qu'une
application analytique non constante d'une surface de Rlemann 7i dans une surface de
Riemann T2 , avec T\ et T2 compactes et connexes, réalise un revêtement ramifié (à
n feuillets) de 7^ par 71 .
Dans le théorème 25.2.1, prenons 72 = C. Les applications analytiques de T\ dans
C ne sont autres que les fonctions méromorphes sur T\. Soit / € Meromr(7~) et soit
x € T ; si x est un pôle de / , on vérifie que dx est la multiplicité de ce pôle. Si x n'est
pas un pôle de / , on vérifie que dx est la multiplicité de x comme zéro de / - /(x).
Le théorème 25.2.1 entraîne immédiatement:
Corollaire
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe, et soit f : T —► C une fonction
méromorphe non constante. Pour tout x € T, soit dx ie degré de f en x. Alors
f est surjective^ et il existe un entier n>\ tel que card (f~l(y)) = ^2X£f-i(y) dx
pour tout y € C . L'ensembJe if des points de T non réguliers pour f est fini, et f
définit un revêtement de R = T\ f~l{f{if)) sur C\f(if),à fibres de cardinal n .
Dans ce qui suit, pour toute surface de Riemann T et pour toute <p € Meromr(7"),
nous noterons 9^ l'ensemble des pôles de ip.
Soit 7ï et 72 deux surfaces de Riemann connexes et soit une application analytique
non constante / : 7ï —+ 7^ . D'après le corollaire de la proposition 25.2.7, l'application
/N : Meromr2(72) —* Meroiri7i(7i), tp »-*</? o / est un morphisme de C-algèbres,
donc c'est un C-isomorphisme du corps Meron^^) dans le corps Meromx^Ti). À
l'aide de cet isomorphisme, on peut donc identifier Mer onvr! (7i) à une extension de
Meromr2(7^).
Supposons maintenant T\ et 7-2 compactes et connexes. Soit if l'ensemble des points
non réguliers de / , soit B = T2\f(if) et R = f~l(B). Notons p l'application R-+ B
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 263
induite par / et n le cardinal des fibres du revêtement (i?, B,p).
Soit Yi,...,yn des indéterminées sur C; soit S G C[Yi,...,Yn] un polynôme
symétrique. Fixons ip € Mer 01^ (7!). Au triplet (Ti,S,<p), on associe de la manière
suivante une fonction £ti,s,<p = & : B \ Sfy> -* C ; pour y G £ \ 9^ , soit (xi,... ,xn)
une numérotation quelconque des éléments de la fibre p~l(y) ; puisque 5 est symétrique,
le nombre complexe 5(y?(xi),... ,(p(xn)) ne dépend pas de la numérotation choisie. On
définit alors cr(y) comme étant le nombre complexe égal à S(<p(xi),... , y?(xn)) pour
tout choix de cette numérotation.
Proposition 25.2.9
Avec les hypothèses et notations ci-dessus (donc 71 et T<i compactes et connexes),
fixons <p e Meromr^Ti) ; ia fonction a = £ti,s,y> est la restriction à B \ 9^ d}une
unique fonction méromorphe sur T2 .
Démonstration:
Il n'y a rien à prouver si 5 = 0; nous supposerons donc 5^0. L'assertion d'unicité
est évidente. On va prouver l'assertion d'existence.
• Première étape: prouvons que a est la restriction à B \ 9^ d'une fonction
méromorphe sur B .
Soit y e B. Soit Xi,...,xn une numérotation des éléments de p *(y). Soit
9 : U —> (J une carte locale de 7^ au point y, telle que U C B. Puisque (R,B,p)
est un revêtement, on peut supposer [/ assez petit pour que p^x{U) = Uj^C/i, où les
C/i sont deux à deux disjoints, et où Ui est, pour tout i, un voisinage ouvert de Xi
dans 71 sur lequel p induit un homéomorphisme pi de Ui sur U, dont nous noterons
Çi Thoméomorphisme réciproque. On sait que pi et ^ sont des bijections conformes.
Pour tout i € [l,n! , soit ^ = </Jogi;ona P~l(y') = {gi(î/)> • • • >9n(î/')} pour tout
y' € [7 , ce qui entraîne C7(i/) = S(<£i(y')>... , <£n(î/')) Pour tout 2/' £ C7 \ 9^ . Pour
tout i € [l,nj , on a <Pi G Meromr2(t/) puisque ^ est holomorphe. On en déduit
que ^1 est la restriction à U \ 9^ de l'élément S(</?i,... ,c^n) de Merom7-2(72).
Nous noterons f2y = U et My = 5(y?i,..., v?n) (la fonction My ne dépend pas du choix
de la numérotation (vi,..., vn) choisie). Pour y\ E B et y2 € i?, si i?vi fl l?y2 ^ 0 ,
les restrictions de Myi et My2 k u) = Ï2yi fl fiy2 coïncident, puisqu'elles coïncident sur
(jj \ 9^ , ouvert dense de u> . Il existe donc une unique fonction M : B —► C telle que
Ml = My pour tout y 6 B, et cette fonction M est méromorphe puisqu'elle l'est
localement.
• Deuxième étape: fin de la preuve.
Soit y € f(îf) . Soit (E/, 6) une carte locale de T2 en y, telle que C/ n B = (7 \ {y}
et que 17 \ {y} ne rencontre pas l'ensemble 9^ des pôles de M (ce qui est possible
puisque les ensembles f(if) et 9î/v/ sont finis). Nous allons montrer que la restriction
Mij de M à U \ {y} est la restriction à U \ {y} d'une fonction méromorphe sur U.
Il suffit de montrer qu'il existe un entier u > 0 tel que la fonction
(12) 6(U) \ {0} —> C, i' ►—► (0"(Af o 0(0
soit bornée au voisinage de 0 .
Soit xi,... ,xr une numérotation des éléments de p~l(y), où r = card(p-1(y)).
En revenant à la démonstration du théorème 25.2.1, on voit qu'on peut choisir U assez
petit pour vérifier les conditions suivantes: p~l{U) = Ui<i<rE/j, où les Ui sont deux à
deux disjoints et où Ui est, pour tout i, un voisinage ouvert de X{ ; pour tout i € [1, r],
on a un couple ((wi,i, #i,i), (u^i, #2,0) de cartes locales /-réduites au point Xi, tel que
<*>i,i C Ui et cj2,i C [/. On peut également supposer que p~~l{U\ {y}) ne rencontre
pas l'ensemble 9^ . Soit A un voisinage ouvert de y contenu dans n1<i<rcj2,i • Pour
tout i, soit 4i = u>i,t np"1^). Soit y' € A\{y}; pour tout 2 E |l,r] , l'ensemble
^i,i rïp-1(y') = A np_1(4) est de cardinal di, où d* désigne le degré de / en Xi :
264 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
de façon précise, les racines di-ièmes de t[ = 02,z(y') appartiennent toutes à 0\ti(u>iti),
et si Ci désigne Tune quelconque d'entre elles, on a
(13) Ai np-V) = {^(•a*lC<)}o<fc<*-i
De plus, on a n = $3!=i ^ • P°ur tout * G fX, r-J, puisque <p est méromorphe, on a un
entier rrii > 0, un réel Ci > 0 et un disque ouvert Di de centre 0 et de rayon > 0
contenu dans Ôiti(Ai) tels que | (z-)m'((^ ° ^f.iX^i)) I ^ Ci Pour tout zï € A \ {°} •
Pour tout i € [l,r], la fonction 6 o 0£"f : #2,i(^2,i) —► 0(î/) est holomorphe nulle
en 0 et régulière en tout point ^ 0. On a donc deux réels Hi > 0 et ty > 0 tels
D* C 62)i(A H p(^1-l1(A))) et que | 0 o 0-J(*î) \ < H{ \ t{ | pour tout t{ € D^ .
Soit z/ un entier tel que ud% > Nra* pour tout z € |l,r], où AT est le degré de 5.
L'ensemble u) = A n (rïi<i<rp(0^|J(A))) est un voisinage ouvert de y dans 72 . Soit
t' € u)\ {0} , posons y' = 0_1(£') , et pour tout i € [l,rj, posons % = 02,t(î/')
et notons Ci une racine dj-ième de ^ dans C. Avec les notations de (13), on a
a(y') = 5(Ai,... ,Àn), où (Ai,...,À„) désigne la suite
f / , 2i* , 21(d1-l)ir
(^°^î(ci),v°^u(«^rco,---^^rl(*~^r~ cî),
Soit C = Max^^Ci) et ff = Max!<i<r(#i). On a fc.itP^O) = KO* et
| (Ci)mi(((/?0^r,!)(/iCi)) | ^ ^ Pour toute racine dj-ième /i de 1 dans C. Pour tout
j 6 [l,nj , on notera <Sj l'indice de la ligne du tableau (14) où apparaît Xj , on notera
tj = dsj , et £j = m*. . Pour tout k = (fci,..., kn) e Nn tels que k\ H + kn < N ,
on a donc, compte tenu que \t'\ = \0(9-l6j(tf6j))\ < H\t'6j\ = #|(C^.)ej' :
(15) (*')" A*1 • • • A^ < tf1t' |r* J] |C*. |Mi | A,|*' < 11' \Tk HCfel+"'+fc»
avec r* = i/ - J?pi ^ ^ ° • Posant 5 = £ r «-cm *»> ^Y?1 • • • 3tfw , on déduit de
(15) que pour tout ? éu>\ {0} , on a: * *i+-+fcn<N
/« = (*! fcn)
l fci + --- + fcn<N
donc avec ce choix de z/, la fonction (12) est bornée au voisinage de 0 . C'est vrai pour
tout y G f(if) ; donc il existe une fonction méromorphe ^ € Meromr2(?2) qui prolonge
M , et donc qui prolonge a = Srus,(p B
L'importante conséquence suivante de la proposition 25.2.9 sera précisée plus loin, au
paragraphe 25.5:
Théorème 25.2.2
Soit 71 et 72 deux surfaces de Riemann compactes et connexes, et soit f : 71 —► 72
une application analytique non constante. Identifions Mer01^ (71) à une extension
de Meromr2(72) au moyen du plongement /* : ip h-► tp o / . Soit n le cardinal des
fibres f~l(y) pour y eT2\ /(Sf), où if désigne l'ensemble des points non réguliers
de f . Alors Meromr^Tî) est une extension unie de Meromr2(72), de degré < n .
Chapitre 25 , § 2
La notion de surface de Riemann complexe 265
Démonstration:
Pour i € {1,2} , notons Mi = MeromXiC^) • Soit <p e M\ .
Soit des indéterminées Yi,..., Yn sur C , et notons S\,..., Sn les polynômes
symétriques élémentaires des Y{ (i.e. Sk = 5Zii<- <ifc ^*i "" '^ù Pour tout ^). ^our
tout fc G [l,n], soit Gk l'élément de M2 qui prolonge ETltsktff (notations de la
proposition 25.2.9). Soit T une indéterminée sur M\ . La construction des fonctions
ETltskt<fi et ^a définition des lois de composition du corps M\ montrent facilement que
dans le corps M\ , on a Q^(^p) = 0, où Q^ désigne l'élément de A^lï1] défini
par Q,p(T) = Tn + £Î|ïî(-l)fc<rfcTn-fe . Cela prouve que tout élément de M\ est
algébrique de degré < n sur M2 • Comme on est en caractéristique nulle, le théorème
de l'élément primitif montre que Ai\ est algébrique de degré fini < n sur .M2 H
Nous verrons plus tard qu'en fait, le degré de M\ sur M2 est n (cf. paragraphe 25.5)
La propriété suivante est un cas particulier d'un théorème général de Radô (cf.[31])
Proposition 25.2.10
Toute surface de Riemann compacte est métrisable
Dém onstra tion :
Soit T une surface de Riemann compacte. D'après la propriété de Borel-Lebesgue,
elle admet des atlas finis. Soit °IL = ((£/*, 0i))ie/ un atlas fini de T. Pour tout i € /, Ut
est homéomorphe à un ouvert non vide de C, donc il existe un ensemble dénombrable
Bi d'ouverts de Ui tel que tout ouvert de Ui soit réunion d'ensembles appartenant à
Bi. L'ensemble 28 = U^/Si d'ouverts de T est dénombrable. Soit O un ouvert de T.
On a O = Ujç/0 H Ui. Chaque OC\Ui est réunion d'ouverts appartenant à Bi, donc
O est réunion d'ouverts appartenant à 9i. Donc l'espace topologique T est séparable.
On sait qu'un espace topologique compact est métrisable ssi il est séparable, donc T est
métrisable ■
La topologie d'une surface de Riemann compacte est assez simple. On peut montrer que toute surface
de Riemann, compacte ou non, est triangulable (voir par exemple [31]). En conséquence, toute surface de
Riemann compacte connexe est homéomorphe à la réunion d'une collection finie de triangles plans recollés
entre eux le long de leurs côtés ( de façon que les sommets relatifs à ces côtés viennent en coïncidence)
en respectant les conditions suivantes: tout côté d'un triangle est adjacent à deux et seulement deux
des triangles, et on peut définir sur les bords des triangles des sens de parcours simultanés tels que
chaque côté d'un triangle soit parcouru exactement une fois dans un sens et une autre en sens contraire;
la seconde condition traduit l'orientabilité des surfaces de Riemann (il est bien entendu que nous ne
prétendons pas ici à la rigueur, cette description n'a qu'une valeur indicative). De cette description
combinatoire d'une surface de Riemann compacte connexe, on peut déduire la nature de son groupe
fondamental, qui est donnée (sans preuve rigoureuse) à la fin du paragraphe 26.1.
§ 25.3 Surfaces de Riemann algébriques
Dans ce paragraphe, nous prendrons pour corps de base K = C. Les surfaces de
Rieman associées à des corps de fonctions algébriques d'une variable sur C seront
appelées surfaces de Riemann (complexes) algébriques. Notre but principal est
de montrer qu'une surface de Rieman algébrique est munie d'une structure naturelle
de variété analytique complexe de dimension 1, qui en fait une surface de Riemann
complexe compacte et connexe. La sphère de Riemann C sera systématiquement munie
de sa structure naturelle de surface de Riemann complexe.
25.3.1 Corps de fractions rationnelles d'une variable sur C
Soit L un corps de fractions rationnelles d'une variable sur C . Reprenons les
notations des relations (25) et (27) de la section 23.1.2. Pour toute variable t de L sur C ,
on a une bijection
(1) 9Jc,L,t : C —> SRc(L), a —♦ VLtttVc(a)
Si t et u désignent deux variables de L sur C, d'après la proposition 23.1.9, la
permutation HtfU — %JçlLt ° 2?c,L,u de C est une homographie (un élément du groupe
H(2,C) ). Or les éléments de H(2,C) sont des homéomorphismes de C sur lui-même.
Donc, si on transporte à SRc(£), à l'aide de la bijection 2Jc,L,t de (1) ci-dessus, la
topologie de C , on obtient sur SRc(L) une topologie (homéomorphe à celle de C ), qui
ne dépend pas du choix de la variable t. Nous appellerons cette topologie la topologie
naturelle (ou encore topologie complexe) de SRc(L). Désormais, une surface de
Riemann SRc(L) de ce type (i.e. avec L corps de fonctions rationnelles d'une variable sur
C ) sera systématiquement munie de sa topologie complexe. Lorsque nous parlerons de
l'espace topologique SRc(I'), il sera donc sous-entendu que la topologie considérée est la
topologie naturelle. Vespace topologique SRc(i) est, comme C, compact, métrisable,
connexe par arcs, localement connexe par arcs et simplement connexe.
Proposition 25.3.1
Soit L un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur C. La topologie de
SRq(L) est la topologie la moins une sur l'ensemble SRc(L) pour laquelle les
fonctions f (où f parcourt L ) sont toutes continues.
Démonstration:
Montrons d'abord que pour tout /Gl, la Jonction / est continue. Soit / € L.
Soit t une variable de L sur C. On a / = ft o 2?CLt ■ Pr ^a f°ncti°n rationnelle
(au sens ordinaire, élémentaire, du mot) ft est continue sur C (la vérification de cette
assertion est facile). Par définition de la topologie naturelle de SRc{L), il en découle
que / est continue.
Fixons une variable t de L sur C. On déduit de ce qui précède que la topologie
T de C la moins fine rendant continues toutesjes ft = fo 9Jc,L,t pour / décrivant
L est moins fine que la topologie ordinaire de C . Montrons que T est compacte; cela
entraînera que T est la topologie usuelle de C (toute topologie séparée moins fine qu'une
topologie d'espace compact lui est identique). On vérifie de manière élémentaire que
pour tous points a e C et b € C tels que a ^ b, il existe / € L tel que ft(à) ^ ft(b)
(on dit que les fonctions C-rationnelles de C dans lui-même séparent les points de C ).
Soit alors a € C et b € C avec a ^ b, et soit f £ L telle que ft(a) ^ Jt{b). Soit
U et V des^voisinages respectifs de ft(à) et ft(b) sans C sans point commun; alors
ft~l(U) et frliy) sont des voisinages ouverts respectivement de a et b dans C pour
la topologie T, et sans point commun. Donc T est bien séparée, c'est donc bien la
268 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
topologie usuelle de C. Par transport de topologies à l'aide de 5Jc,L,t » Ie théorème en
découle H
Corollaire
Soit L un corps de fractions rationnelles d'une variable sur C et soit z une variable
de L sur C. L'application z : SRc(£) —* C est un homéomorphisme.
Démonstration:
On sait que z est continue, et que SRc(i) est compact. Il suffit donc de montrer
que z est bijective. Or il est immédiat que c'est la bijection réciproque de la bijection
C -► SRc(i), a ►-* VLittPc{a) ■
25.3.2 Topologie d'une surface de Riemann algébrique
Proposition 25.3.2
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C . L'ensemble de
fonctions {f}/eL sépare les points de SRc(£) •
Démonstration:
Soit v\ G SRc(L) et v2 € SRç(L) avec v\ ^ v2 . D'après la proposition 23.1.1 et le
théorème 23.1.3, on a AVl £ AV2 . Soit / € AVl \AV2 . On a f(vi) G C et f(v2) = ooc ,
donc f(vx) ïJ{v2) ■
Définition 25.3.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C. Nous appellerons
topologie naturelle de SRc{L) la topologie la moins fine sur SRç(L) qui rende
continues toutes les fonctions f quand f décrit L.
Désormais, une surface de Riemann du type SRç(L) ci-dessus sera systématiquement
munie de sa topologie naturelle. Si L est un corps de fractions rationnelles d'une
variable sur C , on retrouve la topologie naturelle déjà définie à la sous-section précédente.
Il découle immédiatement de la proposition 23.4.2 que la topologie naturelle définie à
la définition 23.4.1 est séparée (même démonstration que pour les corps de fractions
rationnelles d'une variable sur C ).
Théorème 25.3.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C . L'espace topologique
SRc(i) est compact.
Démonstration:
Soit l'application
(2) * : SRc(X) —♦ CL , v^ (7(«))/€L
et notons $P = $(SRc{L)). La proposition 23.4.2 signifie que # est injective. Nous
noterons # la bijection réciproque de la bijection SRc(L) —► $f ,v »-► $(v).
Munissons CL de la topologie produit des espaces facteurs C (munis de leur topologie
usuelle). D'après la définition de la topologie naturelle de SRç(L), la bijection & est
un homéomorphisme de if (muni de la topologie induite par CL ) sur SRq(L) • ^n
retrouve ainsi le fait que SRc(L) est séparé.
Puisque C est un espace compact, l'espace CL est compact (théorème de TychonofF).
Les parties compactes de CL en sont les parties fermées. Tout revient donc à montrer
Chapitre 25 , § 3
Surfaces de Riemann algébriques 269
que if est une partie fermée de CL .
Pour tout réel R > 0 et tout a G C, nous noterons u>atR = {z G C | \z -<z\ < R)
et QR = {ooc} U {z € C | | r | > #}^
Soit Z = (C/)/€L un Point de CL adhérent à if. Soit A = {/ G L | C/ € C}. Il
est clair que Cci. Soit / G L\A] montrons par l'absurde que j G A. Supposons
que £i = ooc . Soit un réel e G]0,1[ ; l'ensemble V£ des points {r)g)geL € CL tels
que t?/ € i?i et 771 € fi\ est un voisinage de Z . Soit t; G SRc(£) tel que $(v) 6 Ve .
On a f(v) G wi , donc f{v) 7^ 0, donc 7 G A; et (j)(v) = ¥^(7) est ou bien nul,
ou bien égal à l;n — ^— ; dans tous les cas, on a \(^)(v)\ < e, ce qui est absurde
rvw/ /(^)
puisque du fait que #(t>) G V , on doit aussi avoir |(t)(v)| > ^ et puisque e < £ .
Cette contradiction montre que 4 € A . Soit We le voisinage de Z dans CL formé des
points {rjg)gç.L tels que 77/ € i?i et 771 € u^< |£ . Soit i; € SRc(L) tel que #(i;) € We .
Si /(v) 6 C, alors f(v) ^ 0 et |-~M < £ , d'où ki I < 2e. Cela étant vrai pour tout
I f(v) I I 71
e G ] 0,1 [ , on conclut que ( 1 = 0 .
On laisse au lecteur le soin de vérifier que pour tout / € C , on a £/ = / .
Montrons que A est un sous-anneau de L. Soit (/, g) G A x A. Montrons que
f + g € A, fg G A, £/+$ = Ç/ 4- Cg et £/$ = Ç/C$ . Nous ferons la démonstration
seulement pour /+# (pour /# , elle est analogue). On montre d'abord par l'absurde que
/ + g G j4 ; supposons £/+$ = ooc . Soit R = \ C/ | 4-1 Çg | -h 2 . Soit t/ le voisinage de Z
dans CL formé des points (rjh)heL tels que 77/ G vçfii, t?9 G u;^i et 77/+fl G /?« . Soit
v G SRc(i) tel que $(v) eU. On a donc f(v) e U et g(v) G C/, i.e. / G A et g G
A , donc / + # G A, et (/ 4- g)(v) = f(v) +g{v) ; d'autre part puisque Cf ~ f(v) < 1
et | g{v) - (9 | < 1, on a | /(v) 4- g(v) — C/ — Cp | < 2 , d'où I /(v) -h flf(v) I < R, ce
qui est absurde puisque (/ -h <?)(t0 G i?# . Cette contradiction montre que / + g G A.
Soit maintenant un réel £ > 0. Soit Se le voisinage de Z dans CL formé des points
{Vh)heL tels que 77/ G u;C/>e, r?<? G wCg)£ et 77/+p g w</+l,,e • Soit v G SRc(£) tel
que *(v) G 5£ ; on a | f(v) - C/ | < £ , | flf(v) - Q | < £ , | (/ -h flf)(v) - C/+<? | < £ et
(/ 4- ^)(v) = f(v) 4- <7(i>), d'où facilement | C/+5 - C/ - C<? I < 3£ . C'est vrai quel que
soit £ , donc £/+g = £/ + Ç$ . Par une démonstration analogue, on verrait que si / G L*
et si Çj = 0, alors £4 = ooc
On a donc montré que A est un sous-anneau de L, qui contient C et vérifie la
condition (/ G L \ A) => (j G A). Montrons que A ^ L . Il suffit pour cela de montrer
qu'il existe / G L* tel que C/ = 0 • Soit # G L et h G L deux éléments C-linéairement
indépendants (il en existe puisque L est extension non algébrique de C); si Çg = 0,
on prend / = g. Si 0i ^ 0, on prend / = h. Si Çg ^ 0 et Oi ^ 0, soit A = -^ .
Posant / = g -f Xh, on a / G L* , et C/ = C5 + A£/i = 0, ce qui achève de prouver que
A ^ L . Le théorème 23.1.6 montre donc qu'il existe un (unique) élément v G SRc(£)
tel que A = Av . Vérifions que Z = $(v), ce qui entraîne Z G if et qui achèvera donc
de montrer que if est fermé dans CL et donc que SRc(I/) est compact. Si / G Av , on
a C/-C/ = 0 - Ce/ = C/ - C/ = 0 , donc / - C/ € C„ , donc /(v) = £/ . Si f $ Ay = A ,
par définition de A, ona (/ = ooc , et par définition de /, on a /(v) = ooc , d'où
f(v) — Cf • On a donc bien 2 = {f(v))feL = ${v) •
270 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Proposition 25.3.3
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C . Soit F un sous-
corps de L contenant C tel que degtrc(F) = 1. L'application de restriction et
normalisation Six,,F : SRc(£) —► S*c(F) est continue.
Démonstration:
Soit / € F. Notons respectivement Jl et Jf les fonctions algébriques définies par
/ sur S*c(L) et S*c(F). Pour tout élément v € SRc(L), en posant w = 91^^(v),
on a Av H F = Aw et Cv n L = Cw . Les définitions montrent alors que /f(w) = /l{v) •
Autrement dit, on a
(3) fF o &l,f = /l
Donc toutes les fonctions fF0<^LyF (où / décrit F ) sont continues. Comme la topologie
de SRq(F) est la moins fine rendant continues toutes les fonctions de la famille (fF)feF >
on en déduit que ^l.f est continue ■
25.3.3 Structure analytique
Le théorème qui suit relève de la Géométrie Algébrique (cf. [16]).
Théorème 25.3.2
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur un corps commutatif
K algébriquement clos et de caractéristique nulle. Soit v € SRk(L) et soit x une
uniformisante de v. Soit Y une indéterminée sur L, et soit F = K(x). Il existe
d € N * , un polynôme P = aQYd + Yltîî akYd'k £ {K[x])[Y) irréductible dans
F[Y] et un élément y € Cv tels que a0(0) ^ 0 , P(y) = 0 et ff (0,0) ^ 0 .
Dém onstration ;
Soit w — Vf,x,t (où T désigne une indéterminée sur L). Soit B la clôture intégrale
de Aw dans L. On a w — OIl^f^) , donc & C Av . Posons q = cv n B, de sorte
que ^4V = B[q] (théorème 23.3.1). D'après le théorème 23.2.3, l'anneau B est
principal et admet un nombre fini r > 1 d'idéaux premiers non nuls; soit (tui,..., C7r) un
système représentatif d'irréductibles de B, numéroté de façon que w\B = q . On notera
w = vd\. Pour tout i 6 [l,r], notons qi = zu^B et t;* l'élément de SRtf(L) tel
que ^4Vi = B[qi] (on a donc v\ = v et qi = q ), et soit e* = e(t>t, w). On sait que
(3£l]f(w) — ivi) • • ■ > vr} et que la décomposition de x dans S en facteurs irréductibles
est de la forme
fc=r
(4) x = ew*J[wl>
fc=2
avec e € £V(B) (si r = 1, le produit 11^=2^^ est ^ remplacer par 1 ). Comme x et
w sont deux uniformisantes de u,ona nécessairement e\ = 1 et e ]ljt=2 ^fc* € W(-4V) •
Par le théorème des restes, on a un isomorphisme canonique de Jf-algèbres
(5) V- B/cwB = B/xBJL+ II B/*?B
\<i<r
Pour tout i, on a (tUj^) fl B = s^B, et on vérifie aisément que l'injection
canonique Ji : B/çjeiB -* ^v-jweiAVi est un isomorphisme (soit (a, 6) € S x (B \ q^) ;
d'après le théorème de Bezout appliqué dans B , on a un couple (A,/x) € S x B tel que
a = Xb + G7*V » d'où | - À € tu^iAVi , d'où la surjectivité). Notant J = J\ x • • • x Jr , on
en déduit que $ = J o (p est un isomorphisme de la if-algèbre &/x Q sur la if-algèbre
rii<i<r ^Vi/zoeiAVi ' Comme AVi est un anneau de valuation discrète admettant w%
Chapitre 25 , § 3
Surfaces de Riemann algébriques 271
pour uniformisante, pour chaque i, la if-algèbre ^i/w€iAv. admet pour base, en
tant que if-e.v., la suite (1,tû*,..., tû^"1), où Wi désigne l'image canonique de Wi.
Soit une suite injective (À2, ...,Ar) G (K*)r~l, posons d = 5Zi=i e* = ! + £î=2e*
(donc d = dimK( #/x S ) )» et posons £ = <P_1((wi, A2 -h ^2,..., Ar + w^)). Montrons
que (1,C, •. • >Cd-1) est une if-base de &/xB • H suffit de montrer que cette suite est
C-linéairement indépendante, ou, de façon équivalente, que la suite
(6) ((^i, (Aa + W2y,..., (Xr +^))0<j<<J_1
est if-linéairement indépendante. Notons Ai = 0 , et soit une suite (tj)o<j<d-i € Kd
telle que
j=d-l
(7) (ViG [lfr]) Y, ^(Wi+XiY^O
i=o
Fixant i £ [l,rj, et en développant (Wi 4- KV par la formule du binôme, on déduit de
(7) (compte tenu que W** = 0 ) que pour tout k G JO, e» — lj, on a:
y<d-i V J
(8)
En notant Q(Y) le polynôme Ej=o_1^y> (Q^K[Y) ), les relations (8) s'écrivent:
(9) (Vi € [l,rj ) ( V* € 10, * - 1] ) Q{k\\i) = 0
Comme <3 est de degré < d — 1, et comme la caractéristique est nulle, les relations (9)
impliquent Q = 0 , i.e. les tj sont tous nuls, ce qui achève de prouver que (1, Ç,..., Çd~l)
est une if-base de la if-algèbre Bfx B •
Soit alors y un relèvement de C dans B. Par définition de ( et par construction
de l'isomorphisme $, on a y - vo\ G Cv , donc y G B n Cv = qi , i.e. î;(j/) > 1. Nous
terminerons la démonstration en deux étapes:
• Première étape: on prouve que B = Aw [ y ] .
Soit M le ^-module YjjZo~ Aw j/; ; on a M C B, et en réduisant modulo xB,
on a vu que (1, £,..., C*"1) est une if-base de #/x g , d'où B = M + xB = M + CWB
(car Xw4 ). On sait que le ^-module B est de type fini (et en fait libre de
rang [L : F] = d, le fait que d = [L : F] découlant de la formule de ramification);
soit (61,..., bd) une suite ^-génératrice de B. On a une matrice A — (\,j){ïj)ç\\,d\*
et une suite (/xi,...,/x<i) d'éléments de M telles que ^ = /^ + YjjZi K,jbj pour tout
i. Notons C la matrice complémentaire de Id — A et /x et 6 les matrices-colonnes
de coordonnées respectives (/ii,..., iid) et (61,..., bd) ; en multipliant à gauche par C
la relation matricielle (Id - A) b — /x , on obtient 6 b = C fi , où 6 = det(Id - A).
Comme 6 = 1 + c avec c G C^ , on a 6 G ^(-4^), d'où b = 6'XC /x , d'où bi G M pour
tout z, d'où B = M\ comme M C Aw [y] C -0, il en découle que M = Aw[y] = B .
Comme FB = L, on déduit de là que la suite (l,y,... ,yd_1) engendre le F-espace
vectoriel L, et comme d = [L : F], cette suite est une F-base de L (en particulier,
L = F(y) ). Donc la suite (1, y,... ^y^1) est A„-libre, et elle engendre le ^-module
B, c'est donc une base du -4^-module B .
• Deuxième étape: fin de la preuve.
Soit Q(Y) = IrrVyF(Y). Comme Aw est intégralement clos, on a Q(Y) e AW[Y] .
D'après ce qui précède, y est de degré d sur F . On a donc Q(Y) = Yd -h £*!!? cîYd~i
avec Ci G -4u, pour tout i. On a:
(10) o = Q(y)=yd + ,£ciyd-i
i=l
272 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
d'où c<t € Cv H Aw = Cw = x Aw puisque y € Cv . Notons #(10 le polynôme à
coefficients dans C obtenu en réduisant modulo C^ les coefficients de Q. Comme
Q(Y) est F-irréductible, (-l)dQ(Y) est le polynôme caractéristique de y dans laM^-
algèbre B (qui est un ^4^-module de rang fini égal a d)] on en déduit que (—l)^Q(y)
est le polynôme caractéristique de Ç dans le i^-espace vectoriel &/xB î c'es^ donc
aussi le polynôme caractéristique de (ô7i,A2 +rô2,...,Ar -h Wï) dans la i^-algèbre
Ili<i<r ^Ivo^Av, • Pour tout i ç I1^!* l'élément ^ de ^jw^A^ est nilpo-
tent de période e» ; on en déduit facilement que le polynôme caractéristique de À* + w%
est (Ai - Y)ei . Par suite, on a Q(Y) = [11=1 (Ai - Y)Bi • Comme ei = 1 et Ai ^ 0
pour tout i > 2 , on conclut que c<*-i ^ C^ , ce qui signifie ^(0,0) ^ 0. Notons ao
un x-dénominateur commun à ci,...,Cd . On a ao £ xK[x) . Posant a/t = a^Ck pour
tout A: 6 [l,cQ , on a a^ € K[x] pour tout A: € [[0, dj, et on voit que le polynôme
P = £Ifc=o akyd"k satisfait toutes les conditions requises ■
Revenons maintenant aux surfaces de Riemann complexes. Soit F un corps de
fonctions rationnelles d'une variable sur C , muni d'une variable x . Soit (X, Y, Z) un triplet
d'indéterminées sur F . Donnons-nous un polynôme
k=d
(11) $(7) = ^afcyd-fceF[y]
fc=0
avec d > 1 et a^ad ^ 0, irréductible dans F [y] . Plongeons F dans une de ses
clôtures algébriques fixée une fois pour toutes, notée Q. On suppose que a* € C[x]
pour tout i et que les a* sont premiers entre eux dans leur ensemble dans l'anneau
C [x] . On posera
. fc=d
(12) — #(y) = Yd + JT bkYd'k
k=i
avec 6* = {£ pour tout fc > 1. On notera P(X,y) l'élément de C[X,Y] égal à
X^jb=o°fc(^)^rd~fc » ou' Par a^us de langage, pour tout fc on a noté le résultat de la
substitution de X à x dans a* considéré comme fraction rationnelle en x à
coefficients dans C. On définit de même V(X,Y) = Yd + E^^W^"fc • Vu les
hypothèses, P(X,Y) est K [ X ] -primitif et C(X)-irréductible, donc il est irréductible
dans (C [ X ] ) [ Y ] = C [ X, Y ] . Le couple (F, x) étant fixé, la donnée de P, ou de ^ ,
est équivalente à celle de $ .
Fixons une racine y de # dans i?. Notons L le sous-corps F (y) de Q : c'est une
extension finie de F , et on a [ L : F ] = d . Donc L est un corps de fonctions algébriques
d'une variable sur C. Rappelons que la surface de Riemann SRc(£) est dite associée
au couple (#, y) (voir section 23.3.3). La définition de P montre que:
(13) $(Y) = P(x,Y)
Nous allons comparer la topologie de la surface de Riemann SRc(£) et celle de l'ensemble
(14) rP = {(t,r1)eC2\P(z,v) = o}
Reprenons les notations de la section 23.3.3; ainsi /3 désigne l'application
(15) 8*c(L)\9x\J9y—>rP, v^ (&,ifo) = (¥>«(*), V„(y)) = (*(«),¥(«))
et V et W désignent respectivement les ensembles définis par
(16) V={v€ BKc(L)\v(x) > 0 ; v(y) > 0 ; ^(^(x.j/)) ? 0 ; ¥>v(ao(x)) ? o}
(17) W = {(£,/,) €<C2 1^,7,) =0; a0(0^0; |£(£I??)^o}
Enfin rappelons que /3 définit une bijection de V sur W (théorème 23.3.7).
Chapitre 25 , § 3
Surfaces de Riemann algébriques 273
L'ensemble V est défini, de manière équivalente, par
V = (x-^C)) n (y-HQ) n ( ( f£(x,y) ) (C*) ) n («^(C*))
expression qui montre, compte tenu que x, y, âo et §p(x,y) sont continues sur
SRc(i) , que l'ensemble V est un ouvert de SRc(£) • En fait, l'étude conduite
autour du théorème 23.3.7 entraîne que l'ensemble SRq(L) \ V est fini, ce qui montre
directement que V est ouvert puisque l'espace SRc(L) est séparé. De même, l'ensemble
rp\W est fini, donc W est un ouvert de /> .
Théorème 25.3.3
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, la bijection (3V : V —► W définie par /3
est un homéomorphisme quand on munit V de la topologie induite par la topologie
complexe de SRq(L) et W de la topologie induite par celle (usuelle) de C2
Démonstration:
Les fonctions algébriques x et y sont continues sur SRc(L), donc (8) montre que
(3 est continue; a fortiori, (3V est continue. Il s'agit donc de montrer que la bijection
réciproque ip de (3V est continue. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout / € L ,
la fonction foip : W —► C est continue. Les fonctions xoip et yotjj sont respectivement
les restrictions à W des projections C2 —► C, (f, rj) »-* f et C2 —► C, (f, rj) >-> rj, donc
elles sont continues et à valeurs dans C . Notons C l'ensemble des / € L tels que / o t/>
soit continue. Ce qui précède prouve que C [ x, y ] C C .
Soit / € L \ C [x,y] . Soit (£,/?) € W, nous allons prouver que / est continue au
point (£,77). On posera v = ip((Ç,rj)), d'où (£,77) = (£vir}v). On sait alors que x - f
est une uniformisante de i;, et que si on pose F = C(x) = C(x — f ), alors L est non
ramifiée en v sur F . Nous noterons F — C(x) (donc F = C(x — f) ) et tu = 91l,f(^) •
On a donc w = Vjfpx_£/r (où T est une indéterminée sur L ), et e(i;,w) = 1.
Posons s = x — f et £ = y — 77. D'après la preuve du théorème 23.3.7, l'idéal p
de .4™. [y] engendré par {syt} est maximal, et on a Av = (-4«/[y] )[p] • Remarquons
que p fi .4^ = c^ car C^ est le seul idéal premier non nul de Aw . Soit v — v(f) et
g = s'uf . Alors 0 e U(AV), donc 0 = ^ avec TVi € Aw [y] \p et QiGX [y] \J> .
On a des éléments À0,..., Xd- 1, ^0, • - •, Md-1 de Aw , avec les Hi non tous nuls, tels que
k=d-l k=d-l
m = ]r xkyk ; Qi = J2 ^yk
fc=0 fc=0
Soit D un 5-dénominateur commun à tous les Xi et les /ij . On a donc D € C [ x ]
et v(D) = w(D) = 0, d'où D £ p puisque p H Aw = C^ On a des polynômes
N e C[X,Y] et Q e C[X,Y] tels que DNX = N{x,y) et DQ1 = Q(x,y), d'où
9 = £S$ ' Puis<lue Ar!^p,Q^petD^p,ona AT(x,y) ^p et Q(x,y) £ p,
cejjui signifie que N(Ç,ri) ^ 0 et <3(f,r?) 7^ 0. On a alors AT(x,y)(t/) = N(^rj),
Q(x,y)(v) = Q(C,î/) et gf(v) = c^r(p) = ^|^} G C* . Soit U un voisinage de v dans
V, ouvert dans S*c(L), tel que N(x,y)(v') e C* et Q(x,y)(î;') E C* pour tout
v' € U (du fait que V est un ouvert de SRc(L), un tel U existe par continuité de toute
fonction h pour h e L). Notons respectivement x\j et yu les restrictions de x et y
à U . On a alors
_ N{xu,yu)
(18) AT(x,y)l =N(xu,yu) et g(x,y)
= Q(xv,yv), donc ^
f Q(xu,Vu)
Soit cj un voisinage ouvert de (£,77) dans W tel que t^(cj) C C/ (un tel u/ existe parce
274 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
que /3V est continue). Notons ip^ = ip\ . Les fonctions a = x\j o xp^ et t = yu °ipuj
sont les restrictions à u; des projections naturelles C2 sur la première et la seconde
coordonnée. On déduit de (18) que g o ip^ = q[^] . Autrement dit, g o ip^ est la
restriction à lj de la fonction rationnelle (C2 \ <2-1(0)) —► C définie par q(x]y) î donc
g oipu est continue, et par suite Jot/i est continue au point v. De plus, # o ^ est à
valeurs dans C
La fonction so^ = xo^- £ est à valeurs dans C et continue (c'est la fonction
affine W -+ C, (f', rç') •"* £' ~ f )• Nous noterons C sa restriction à u . Si u > 0 , on a
/°^=C&°fc)) donc f oipu est continue, c'est la fonction rationnelle définie sur
u> par (X — 0Uq[x'y) • Donc foip est continue au point v. Supposons maintenant
z/ < 0. Par définition de /, on a /(u) = ooc ; d'autre part, su{U \ {v}) C C et
(19) (V(€',f/)eW\ {(£,!/)}) (7o0J(^^) = (ç'-O^^|^
Comme ~||^ ^ 0, il découle de (19) que
(/oiMKW)
(*'*')-♦«.»?). ttW)€uA{të,»?)}
-* -hoo
d'où (/ o %p){v') ► ooc , et donc / o ip est continue au point v ■
Voisinages d'un point
Conservons les notations et hypothèses du théorème 25.3.2; soit un élément y 6 Cv et
un polynôme P = ^2]cZ^akYd~k ^ (^[z] ) [Y} vérifiant toutes les conditions requises
dans l'énoncé. On note (X,Y) des indéterminées sur C et P(X,Y) le polynôme
$3ic=o a>k(X)Yd~k , où, pour tout k, le résultat de la substitution de X à x dans a^
est noté afc(X) . On a alors une série formelle S = Yllk=i skXk 6 C { X } (algèbre des
séries formelles à coefficients dans C de rayon de convergence > 0 ), avec s\ ^ 0, et un
polynôme Q = Efcïo"1 akYk € {C{X }) [Y} , tels que a0(0) ^ 0 et que
(20) P(X,Y)=a0(Y-S(X))Q(Y)
(voir par exemple [3]). La condition s\ ^ 0 vient de ce que u(N(y)) = v(ad) = 1.
La série formelle 5 est donc réversible. D'après (21), il existe un disque ouvert A
de C de centre 0 et de rayon > 0 et un voisinage H de 0 dans C vérifiant les
propriété^ suivantes: A est contenu dans le disque ouvert de convergence de S, et
on a (£,£(£)) € W pour tout £ € A ; H est contenu dans le disque ouvert de
convergence de S<-1> ; l'application z (-► S{z) = ^2^=1 SkZk définit une bijection if : A -* H ,
dont la réciproque est 9" : t »-► S<-1>(£) ; et Tp fl (^1 x H) est le graphe de if (on
rappelle que //> = {(£,77) 6 C2 | P(£,?7) = 0} ). D'après ces propriétés, les projections
naturelles (£,??) ♦—► £ et (£,??) h-* 77 de C2 dans C induisent un homéomorphisme
h\ : /> D (A x H) —► A et un homéomorphisme h2 • /p H (A x if) —► #, et on a
/12 o /ijf* = Sf et /ii o /i^"1 = 2T (les deux bijections /i2 o /i"1 et /ii o h^1 = (/12 ° hî"1)-1
sont donc holomorphes). L'ensemble Tp fi (^1 x H) est ouvert dans i> et contenu
dans VV (qui est lui-même un ouvert de Tp ). Avec les notations du théorème 25.3.2,
l'ensemble U = (3^x(rp n (A x H)) est donc un voisinage ouvert de v dans V, donc
(puisque V est ouvert dans SRç(L) ) un voisinage ouvert de v dans SRc(i), qui est
homéomorphe à A : un homéomorphisme de U sur A est /iio(/3| ), c'est-à-dire x\ .
On a ainsi:
Chapitre 25 , § 3
Surfaces de Riemann algébriques 275
Proposition 25.3.4
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C, soit v € SRç(£) et
soit x une uniformisante de v. Il existe un voisinage ouvert U de v dans SRç(L)
et un disque ouvert A de centre 0 et de rayon > 0 de C vérifiant les conditions
suivantes: la restriction de x à U définit un homéomorphisme 6 : U -* A. Pour
tout v' € U , une uniformisante de v' est x — 6{v'). Pour tout f € L, il existe un
voisinage ouvert u>/ de 0 contenu dans A tel que f o (0~H ) soit méromorphe et
n'admette aucun pôle sur u>f \ {0} , et soit holomorphe sur u/ ssi f € Av .
Démonstration:
Choisissons P et y vérifiant toutes les conditions du théorème 25.3.2. Reprenons
les notations de l'étude ci-dessus, il est alors immédiat que le disque ouvert A et le
voisinage U définis dans cette étude vérifient les deux premières assertions.
Rappelons que ip désigne Phoméomorphisme réciproque de (3V : V —► W.
Remarquons que xofl"1 = Id^ , et que yoQ~l = y, donc les fonctions xo0~l et yo0~l sont
holomorphes sur A . Il en découle que pour tout polynôme R € C [ X, Y ] , la fonction
(R(x,y)) o0~l = i?(xo0-1,t/ofl"1) est holomorphe sur A . Remarquons que pour tout
z€4,ona (xo0-l)(z) = (xoij;)(z,<f(z)) = z et (yo0'l)(z) = (yo<ip)(z,<f(z)) = 3>(z).
Soit / € L \ C[x,y] . D'après la démonstration du théorème 25.3.3, on a deux
polynômes N € C[X,Y] et Q € C[X,Y] tels que iV(0,0) ^ 0, Q(0,0) ^ 0 et
/ = xv nK'yl } avec u = v(/). Soit u/ un voisinage ouvert de 0 contenu dans A tel
que N{x o <tp(z,<f{z)),y o i>(z,<f{z))) ^ 0 et Qlxor1^^)),^^1^^))) ^ 0
pour tout z e u>f (en vertu de la démonstration du théorème 25.3.3, un tel ljj existe
à cause de la continuité de S^). Posons s = xo (Q~l\ ) et t = y o (6~l\ ). Ce sont
respectivement les restrictions de l'identité et de Sf à ljj , donc elles sont nolomorphes
sur ijf , et s ne s'annule qu'en 0 . D'après la démonstration du théorème 23.3.3, on a
(21) (Vz€u>f\{0}) (fo9-l)(z) = (s(z))
Q(s(z),t(z))
ce qui montre que / o (0_1 ) est holomorphe sur u)f \ {0} . Si v > 0 (i.e. si f € Av),
l'égalité (21) a lieuj)our tour z € u>f et donc / o (0-1 ) est holomorphe sur u;/ . Si
v < 0, i.e. si (/o 0_1)(O) = ooc , la relation (21) "montre que /o (0~l\ ) est
méromorphe sur wj et admet un unique pôle, qui est l'origine, ce pôle ayant la
multiplicité \i/\ M
Cartes spéciales
Définition 25.3.2
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C, soit v € SRç(L) et
soit x une uniformisante de v. Nous appellerons carte spéciale de SRc(£) au
voisinage de v tout homéomorphisme 6 : U -+ A induit par x, où x est une
uniformisante de v, où U est un voisinage ouvert de v dans SRc(£) et où A est
un disque ouvert de C de centre 0 et de rayon > 0 , et qui de plus est tel que pour
tout v' 6 U, une uniformisante de v' est x — 6(v').
Dans les conditions de la définition 25.3.2, il est immédiat que pour tout v G SRc(i)
et pour toute uniformisante x de v, les ouverts de SRç(L) sur lesquels est définie
une carte spéciale au voisinage de v associée à l'uniformisante x forment un système
fondamental de voisinages de v .
276 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Théorème 25.3.4
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C . Les cartes spéciales
de SRc(L) forment un atlas analytique.
Démonstration :
Soit v e SRc(L) et v' e SRc{L) , et soit 0 : U -> A et 9' : U' -♦ A' des
cartes spéciales de SRc(L) respectivement au voisinage de v et v', associées à des
uniformisantes x de v et x' de v'. Supposant C/ n U' ^ 0, il s'agit de montrer que
l'application de transition <p : 0([7 n C/') -* ^', z »-► 0'(0~x(z)) est holomorphe.
Soit zo € 0(ï/ O [/'), nous allons montrer que tp est holomorphe au voisinage de
zo • Posons vq = 0~l(zo). Alors x — z0 est une uniformisante de i>o : associons-lui une
carte spéciale 6q : Uq -* id0 de SRc(£) au voisinage de t>o , telle que Uq C U D Uf.
D'après la proposition 25.3.4 (et puisque x' n'a aucun pôle sur U' ), on a un voisinage
ouvert u>o de 0 contenu dans ^lo tel que 0'o(0jj"| )==X'°(^1 ) soit holomorphe.
Or zo -h A) C A , et on a x' o fl^"1(z) = (x' o 0_1)(z -h zo) pour tout z € Z\o , d'où l'on
déduit que y est holomorphe sur le voisinage zq -h cjo de zo . Etant holomorphe au
voisinage de chaque point, <p est holomorphe sur A ■
Définition 25.3.3
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C . On appelle surface
de Riemann algébrique associée à L Vespace topologique SRc(L) muni de la
structure analytique définie par Vatlas des cartes spéciales. Cette surface de Riemann
algébrique continuera à être notée SRc(L).
Revenons un instant sur la terminologie: nous disposons désormais des notions
suivantes de " surface de Riemann ": la surface de Riemann SRk{L) associée à un corps
L (de fonctions algébriques d'une variable sur un corps commutatif K), qui n'est ici
pourvue d'aucune structure topologique particulière; la surface de Riemann complexe,
constituée par une variété analytique complexe de dimension 1 (en cas d'ambiguïté, ce
type de surface de Riemann pourra être appelé une surface de Riemann topologique); et
la surface de Riemann algébrique SRc(L) associée à un corps L de fonctions algébriques
d'une variable sur C, qui, elle, est une surface de Riemann complexe particulière.
Lorsque le corps de base est C et qu'on considérera un corps L de fonctions algébriques
d'une variable sur C, il va de soi que la surface de Riemann SRc(£) considérée sera
systématiquement la surface de Riemann algébrique associée à L, i.e. ce qui n'était
qu'ensemble dans le cadre abstrait du chapitre 24 sera ici muni de sa structure
analytique canonique.
Exemple 25.3.1 :
Soit L un corps de fractions rationnelles d'une variable sur C. Pour toute
variable t de L , l'application^ 2Jc,L,t définie en (1) est une bijection conforme de la sphère
de Riemann complexe C sur la surface de Riemann SRc(L) (les vérifications sont
immédiates) +
Proposition 25.3.5
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C . Pour tout f E L , la
fonction algébrique f est méromorphe sur SRq(L) .
Démonstration:
Soit v G SRq(L) et s°it 0 : U —* A une carte spéciale de SRç(L) au voisinage de
v , associée à une uniformisante x de v . Il s'agit démontrer que foO'1 est méromorphe
sur A. Soit zq € A, nous allons montrer que / o 0~l est méromorphe au voisinage
Chapitre 25 , § 3
Surfaces de Riemann algébriques 277
de zq . Posons vo = 6 l{zo). Alors x - zo est une uniformisante de vq : associons-lui
une carte spéciale 0O : Uq —► ^o de SRc(L) au voisinage de t>o . D'après la
proposition 23.5.4, on a un voisinage ouvert Uq de 0 contenu^dans Aq tel que /o^1 ) soit
méromorphe. Or zo + A) C A , et on a fo0Ql(z) = (/o0_1)(z + zo) pour tout z € A>,
d'où Ton déduit que / o 0~l est méromorphe sur le voisinage zo + ^o de zo • Etant
méromorphe au voisinage de chaque point, / o $~l est méromorphe sur A ■
La proposition 25.3.5 permet de plonger de manière naturelle un corps L de fonctions
algébriques d'une variable sur C dans l'algèbre M(SRc(L)) = MeromSRc(L)(SRc(£)) *
En effet, la proposition 23.5.7 montre qu'on a une application naturelle
(22) L —* M(3RC(L)), f—> f
La définition de l'addition et de la multiplication dans jH(SRc(£)) et les considérations
qui suivent le théorème 23.3.4 montrent que l'application (22) est un morphisme
d'anneaux. Ce morphisme est donc injectif (ce qui découlait aussi a priori du théorème
23.3.6); l'image de ce morphisme est donc un sous-anneau de M(SRc(L)) isomorphe à
L ; cette image sera notée L* . Il est clair que pour tout / € L , les pôles et zéros de
/ en tant qu'éléments de M(SRq(L)) sont les mêmes que les pôles et zéros de / déjà
définis au paragraphe 23.3.
Signification topologique de l'indice de ramification
Proposition 25.3.6
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C , et soit F un sous-
corps de L contenant C tel que degtrç(F) = 1. L'application 2ftz,,F est
analytique. Pour tout v € SRc(L), le degré de 31l,f en v est Vindice de ramification
e(t>, w), où w = 2&l,f(^) (en conséquence, les points de branchement de 2ft£,,F sont
les images par 2ftz,,F des points non réguliers de 2&l,f )-
Démonstration:
Fixons v € SRq(L) , soit w = 91l,f(^) > et posons e = e(v,w).
• Supposons e = 1. Soit x une uniformisante de w. Alors x est une uniformisante
de v. Notons respectivement xl et xf les fonctions algébriques définies par x sur
&Rq(L) et sur SRç(F). On a un voisinage ouvert u/ de 0 dans C et des voisinages
ouverts Mf de v dans SRc(£) et Nf de w dans SRc(-F) tels que xl définisse
une carte spéciale hi : M' —+ u/ de SRc(L) en v et que xp définisse une carte
spéciale hp : N' —* u/ de SRç(F) en w. Par continuité de 2&l,f , on a un voisinage
ouvert M de v dans SRç(L), contenu dans M', tel que 2^l,f(A/) C A/"' ; on notera
N — 91l,f(A^) et u/ = Hl(M) . Comme Xl = xp ° ^l,f » on voit alors que pour tout
z € u) , on a
M&l^Z1^))) = (xFO®.LtF)(h}}(z) = xL{h-F\z) = z
donc l'application a; —► a/ , z i—► hp^i^p^^1 (z))) est holomorphe.
• Supposons que e > 1. Soit respectivement x et t des uniformisantes de w et v.
On a x = et6 , avec e G W(-4V). Soit ex et ^ les fonctions algébriques définies sur
SRc(i) par £ et e, et soit ïf la fonction algébrique définie par x sur SRc(F). On a
sl{v) € C . Soit un voisinage ouvert u/ de 0 dans C et des voisinages ouverts M'
de v dans SK^{L) et iV' de w dans SRc(F) tels que ti définisse une carte spéciale
ht : M' —► u/ de SRc(L) en v et que xf définisse une carte spéciale hp : Nf —► u/
de SRc(F) en w. Soit ^1 le disque ouvert de C décentre ?l(^) et de rayon |2l(v)|,
et soit C une détermination de z »-> zi sur ^1. L'ensemble h^M' n ê^1^)) est un
voisinage ouvert de 0 dans C contenu dans u/, et d'après la proposition 25.3.5, la
SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
fonction
V> : hL(M' n eZ\A)) —♦ C, ^((o eL{hl\z))) z
est holomorphe; il est clair que la série entière qui développe cp à l'origine est de valuation
1. Il existe donc un voisinage ouvert w de 0 dans C , contenu dans h^M' C\ej}{A)),
tel que la restriction de cp à u; définisse un homéomorphisme # de u sur un disque
ouvert O de C de centre 0 et de rayon > 0, envoyant 0 sur 0, vérifiant ze € u/
pour tout z e O, et tel que les deux bijections $ et $~l soient holomorphes. Soit
M = h-L\w) et N = &l,f(M) .Onaîfo ((^,f)|m) = ((èL)\M) (fo)|M)e , d'où en
notant 0 l'homéomorphisme de M sur u induit par hi, :
(23) xFo ((®.LtF)\M)oO-1=&
L'application # o 9 : M —► uj est une carte locale de SRc(L) en v (mais
attention: ce n'est en général pas une carte spéciale). D'après (23), pour tout f 6 u>, on a
M*w((*°*)-I(0))=F.
• En conclusion, quel que soit e , la composition de 2&l,f avec des cartes convenables
de SRq(L) et de SRc(ir) en v et w transforme localement l'application 31l,f en
2 »-► 2e , qui est une fonction holomorphe. C'est vrai quel que soit v e SRc(L). Comme
S^l.f est continue, on en déduit que 2&l,f est analytique. La définition même du degré
d'une application analytique en un point montre, compte tenu de ce qui précède, qu'en
tout point v € SRq(L) , le degré de Sft^F est bien t{v,w), où w = 2&l,f(^) H
Corollaire
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable; donnons-nous f 6 L \ {0}
et v € SRc(£). Si v est pôle de f , Vordre de multiplicité de ce pôle est -v(f). Si
v nyest pas un pôle de f, alors v(f) est Vordre de v comme zéro de f (2) .
Démonstration:
Il n'y a rien à prouver si / € C . Nous supposerons donc / ^ C , i.e. / transcendant
sur C . Soit F = C(/). L'application
9Jc,F,/ • C — SRc(F), a —♦ Vf,/,t>c<«)
est un isomorphisme analytique, dont nous noterons 20 l'isomorphisme réciproque. On
vérifie facilement que:
(24) / = 2Uo2/tL)F
Soit w = S^l.f^) et e = e(i;, w). Le point v est pôle de / ssi w = Vf,/,oo •
Supposons d'abord que v n'est pas pôle de / ; on a e = v(f - f{v)). Si /(u) =jé 0 ,
l'assertion à établir est évidente. Si f(v) = 0, on a e — v(f). Soit des cartes locales
{Ul,0l) de SRc(£) en v et (Uf,0f) de SRc(F) en w telles que pour tout z G Ul ,
on ait ^f((2^l,f °^Z1)(Z)) = ^e • On a «; = Vf\/,r (°ù -^ désigne une indéterminée sur
L ), donc W(w) = 0 . Soit u) = %B{UF). L'application
est une carte locale de C en 0 , i.e. une bijection conforme, qui envoie 0 sur 0 . D'après
(24), pour tout z e UL , on a, {f ° ÛZl)(z) = ip~l(ze), donc 0 est zéro d'ordre e de
/ o 0"1 , i.e. v est zéro d'ordre e de / .
Supposons maintenant que i; est pôle de /. Alors v est zéro de 4 et v(/) = —v(j) •
D'après ce qui précède, -v(f) est l'ordre de v comme zéro de 4 , donc c'est l'ordre de
v comme pôle de / ■
) Rappelons que par définition cet ordre est 0 ssi f(v) € C*
Chapitre 25 , § 3
Surfaces de Riemann algébriques 279
25.3.4 Connexité des surfaces de Riemann algébriques
Pour abréger, dans cette section, si L désigne un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur C, pour tout ouvert U de SKc(L), on notera M(U) = MeromSRc(L)([7)
et W(U) = HoloirvSRc(L)(^) •
Théorème 25.3.5
Soit L un corps de fractions rationnelles^ d'une variable sur C. Toute fonction
méromorphe sur SRc(£) est de la forme f avec f e L , Le. ojî a L" = jtl(SRc(L)).
Démons tra tion :
Fixons une variable x de L et utilisons la bijection associée
(25) t> = 9Jc,l,s • C —> SRc(L), a — VL|X|7>c(a)
(cf. relation (26) de la section 23.1.2). Soit (p € M(8Rc(L)). Soit ip = cp o t)"1.
En revenant aux définitions, on voit qu'il s'agit de montrer que ip est la fonction
rationnelle associée à un élément de C(T) (où T est une indéterminée sur C). Soit /
l'homographie de C associée à ^ . L'hypothèse que <p est méromorphe sur SRc(£) se
traduit par les propriétés suivantes: ip est méromorphe sur C , et tpol est méromorphe
à l'origine. Autrement dit, tp est méromorphe sur la surface de Riemann C . D'après la
proposition 25.2.3, î/> est rationnelle. Le théorème en découle aisément ■
Nous pouvons maintenant prouver:
Théorème 25.3.6
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C . La surface de Riemann
SRc(i) est connexe, et on a ]J = M(SRc(L)).
Démonstration:
Soit t un élément de L transcendant sur C, soit F = C(t) ; notons B le
complémentaire dans SRc(F) de l'ensemble des points de branchement de S/Il,f , notons
R = ^l]F(B), et notons p l'application R —► B induite par 2&l,f • Comme la surface
de Riemann SRc(F) est conforme à C, elle est connexe, donc B est connexe.
Rappelons que {R,B,p) est un revêtement. Le cardinal des fibres de ce revêtement est
constant, égal à d = [L : F] (voir paragraphe 23.3). Soit T une composante
connexe de S'Rc(L) : elle est ouverte et fermée dans SRc(L), donc c'est une sous-surface
de Riemann compacte et connexe de SRc(i). Alors C = T n R est un ouvert
connexe de T (et partout dense, c'est le complémentaire dans T d'une partie finie), et
c'est une composante connexe de R. Soit pc = ^l,f\q • D'après le théorème 25.1.4,
{C,B,pc) est un revêtement; soit n l'entier égal au cardinal des fibres de pc ; on a
donc n < d, et n = d ssi C = R, c'est-à-dire ssi T = SRc(L). L'algèbre M(C) est
un corps, et l'application de restriction g : Lti —► M(C) est un morphisme d'anneaux,
donc est injective. D'après le théorème 25.3.5, on a F* = M(SRc(F)). L'application
pc : M(3Rc(F)) = FB —► M(C), xp »-* ip o pc est un C-isomorphisme du premier corps
dans le second, dont l'image est contenue dans q(L*) : en effet, si x € F, en notant
respectivement xp et xl les fonctions algébriques définies par x dans F et dans L,
on a xl = xp °^l,f ; les restrictions respectives xb et xc de xf et de xl à B et C
vérifient donc
(26) xB = ?c o Pc = Pc(ïc) = £(xl)
L'application de restriction Ftt —► ^t(B) est injective, ce qui permet d'identifier FB à
un sous-corps de jH(£) (qui est bien un corps puisque B est connexe).
280 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Soit des indéterminées Yî,..., Yn sur C , et notons Si,..., Sn les polynômes
symétriques élémentaires des Yi (c'est-à-dire, Sk =Ylil<-<ik^rh "'^îk pour tout k). Soit
<p € M(SRc(L)). Notons respectivement <pr et <pc les restriction de <p à T et C. Pour
tout k € [l,nj, soit a^^ l'élément de M(SRc{F)) qui prolonge £cysk,<pr (notations
de la proposition 25.2.9). Soit T une indéterminée sur L . Puisque jM,(SRc(F)) = F*,
on a cx^fc 6 F* pour tout k. La construction des fonctions £c,sk,<fT e^ ^a définition
des lois de composition du corps M(C) montrent facilement, compte tenu de (26), que
dans le corps M(C) (en identifiant Fa à un sous-corps de M(C) ), on a Qc,<p(<Pc) = 0 »
où Qc,v désigne l'élément de F^[T] défini par:
k=i
Soit maintenant y € L tel que L = F (y) (théorème de l'élément primitif); soit
d=[L:F]. Notons
fc=n
(27) IrryiF(T) = P(T) =Td + £ c*!*-*
Le polynôme P^T) = ï^+^fcZ* cj|,Td~fc , où c\ est, pour tout k , la fonction algébrique
définie par c^ sur SRc(F), est irréductible dans F* [T] . Dans ce qui précède, prenons
[p = y (fonction algébrique définie par y sur SRc(£))- On a P"(yc) = 0, donc yc
est algébrique sur FB et P* est son polynôme minimal sur FB. Comme Qc~{yc) = 0
et comme n < d, nécessairement n = d et Qr~ = PK L'égalité n — d montre que
C = R, i.e. T = SRc(L). Donc SRc(£) est connexe.
D'après ce qui précède, pour toute \ç € jH(SRc(£)) > on a Qr^Vr) = 0, d'où
Q/*,v>(^) = 0 puisque # est un ouvert dense de SRc(I<). Donc jH(SRc(I/)) est une
extension algébrique de degré fini et < d de F* (théorème de l'élément primitif). Mais
le sous-corps 1} de M{SKq{L)) est déjà une extension algébrique de degré d de F".
Par suite, on a M(SRc{L)) = L* ■
Finalement soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C. La
synthèse des résultats de ce paragraphe montre que la surface de Riemann algébrique
SKc(L) est compacte, connexe, que le corps M(SRc{L)) est égal à LB, donc s'identifie
à L , et que pour tout élément t € L transcendant sur C , ce corps est une extension de
degré nt = [L : C(t)] de jH(SRc(C(£))) , ce dernier corps étant égal à (C(t))*, donc
identifiable à C(t).
25.3*5 Une propriété des discriminants
Proposition 25.3.7
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe, et soit f : T —► C une
fonction méromorphe non constante, de degré topologique n > 2 . Soit îf Vensemble
des points de T non réguliers pour f. Alors f(if) a au moins deux éléments; en
conséquence, card(S/>) > 2.
Démonstration:
Soit B = C \ f(if) et R = f~l{B). Notant p l'application R -> B induite par
/, on sait que R est connexe et que (R,B,p) est un revêtement dont les fibres sont
de cardinal n. Supposons que card(/(Sf)) < 1. Alors B est simplement connexe.
D'après le corollaire du théorème 25.1.2, p est un homéomorphisme de -R sur B, ce
qui contredit que n > 2 . Cette contradiction montre que card (/(#*)) > 2 ■
On laisse au lecteur le soin de déduire de la proposition 25.3.7 le corollaire suivant:
Chapitre 25 , § 3
Surfaces de Riemann algébriques 281
Corollaire
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C et soit F un sous-
corps de L contenant C de la forme C(/), où f e L\C Alors l'application
2^l,f : SRc(L) —► SRç(F) admet au moins deux points de branchement.
On déduit du corollaire de la proposition 25.3.7 le théorème d'Algèbre suivant, dont
la preuve algébrique directe est non-évidente:
Théorème 25.3.7
Soit X et Y des indéterminées sur C . Soit un polynôme $(X, Y) e C [X, Y} :
fc=d
*(X, Y) = Yd + ^2 Ck{X)Yd~k
supposé irréductible, avec Ck(X) € C [X] pour tout k , avec d > 2 . Le discriminant
réduit A(X) de $ considéré comme élément de (C[X])[Y] est non constant, i.e.
on a 4(X)€C[X] \C.
Démonstration:
Soit F un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur C , muni d'une variable
x ; plongeons F dans une clôture algébrique i? , fixée une fois pour toutes, et soit y une
racine fixée dans Q du polynôme $(x,Y) e F [Y] . Notons L le corps F (y). Alors
L est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C , dont F est un sous-corps
contenant C tel que degtrc(F) = 1. Le polynôme $(X,Y) étant normalisé en Y
et irréductible dans (CtX'j^Y] , il est irréductible dans (C(X))[Y] (conséquence
classique du théorème de Gauss sur les polynômes primitifs), donc A(X) ^ 0. Soit Z
l'ensemble des zéros dans C de l'élément A(X) de C[X] . D'après l'étude qui précède
le théorème 23.3.7, pour tout À € C \ Z, le point Vf,x,t-\ de SRq(F) (où T désigne
une indéterminée sur L ) n'est pas point de branchement de SIl.f • Si Z était vide,
2^l,f aurait au plus un point de branchement (le point Vf)X,oo )> ce qui contredirait le
corollaire de la proposition 25.3.7. Donc Z ^ 0 , i.e. A(X) est non constant ■
Remarque 25.3.1 :
En prenant les c* constants dans l'énoncé du théorème 25.3.7, le discriminant est
nécessairement constant, donc $ ne peut pas être C-irréductible: on retrouve le théorème
de d'Alembert-Gauss. Ainsi le théorème 25.3.7 apparaît comme une généralisation du
théorème de d'Alembert-Gauss; ce fait laisse penser qu'il n'existe pas de preuve purement
algébrique triviale du théorème 25.3.7 +
§ 25.4 Théorèmes de séparation
Dans le présent paragraphe, nous allons montrer l'existence de suffisamment de
fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann complexes compactes. Pour la commodité
du lecteur, nous détaillons les outils d'Analyse nécessaires.
25.4.1 Partitions de l'unité
Rappelons quêtant donné une fonction complexe / définie sur un espace topologique
X , on appelle support de f l'adhérence dans X de l'ensemble /_1(C ). On le notera
Supp(/). Le support est donc un fermé; si X est un espace vectoriel norme sur R ou
C, le support est donc compact ssi il est borné.
Rappelons aussi que dans un espace topologique X, une famille de parties (Yi)i£i
est dite localement finie ssi tout point de X possède un voisinage qui ne rencontre qu'un
nombre fini des F* . S'il en est ainsi et si (fi)i^i est une famille de fonctions de X
dans C telle que Supp(/j) C Y* pour tout i, alors pour tout x € X, la famille de
nombres complexes (fi(x))i^i est à support fini, i.e. il existe une partie finie J de J
telle que fi(x) = 0 pour tout i e I\ J , ce qui permet de définir Yliçi fi(x) • La fonction
X —► C, x ♦-> J2iei fî(x) sera al°rs n°tée J2iei fi •
Définition 25.4.1
Soit X un espace topologique et (fi)iei une famille de fonctions de X dans R;
on dit que cette famille est une partition de Vunité ssi: les fi sont à valeurs dans
[0,1] , la famille de leurs supports est localement finie, et on a £i€j fi = lx (où
lx désigne la fonction numérique constante égale à 1 sur X ).
Proposition 25.4.1
Soit E un R-e.v. de dimension finie n > 1, soit C une partie compacte non vide
de E et soit un voisinage ouvert U de C. Il existe une fonction <p : E —► [0,1]
de classe VL00 égale à 1 sur C et à support dans U.
Démonstration:
Munissons E d'une norme ||. ||. Soit un réel e > 0 tel que tout point de E distant
de C d'au plus 2ne appartienne à U (la distance est prise au sens de la norme ||. || ).
Soit B = (ei,..., en) une base de E telle que le parallélotope P image de l'application
[—1,1 ]n —► E, (Ai,..., An) »—► X)i<i<n ^iei so^ contenu dans la boule ouverte de E de
centre 0^ et de rayon e. Soit G Te réseau de E dont B est une Z-base.
Notons / la fonction: R —+ R+ égale à 0 hors de ]0,1 [ et à x »-► exp^^u)
dans ] 0,1 [ . Elle est de classe ^^ . Posons I = f0 f{t) àt, et soit g la fonction
IR —> [0,1 ], x *-+ y f*^ f(t) dt : elle est croissante, de classe ^^ , nulle dans ] - oo, 0]
et égale à 1 dans [l,+oo[ • La fonction h : IR —► R+ , x ^ g(x -f 1) - ^(x) est
de classe ^^ et de support [-1,1] . Pour tout r 6 U, notons Th la fonction
U -► K+,ih h{x - t) . Elle est de classe ^°° et de support [r - l,r -h 1] .
La famille des supports des fonctions (mh)mez est localement finie, et on constate que
(1) £(m/l) = lR
(autrement dit, la famille (mh)m^z est une partition de l'unité sur R). Soit la fonction
(2) H : E —» R+ , x = Ç xiei —» H h(Xi)
l<i<n l<i<n
Elle est de classe ^^ , à valeurs dans [0,1 ] , de support P . Il est immédiat que pour
284 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
tOUt f = £l<t<n&C* € E et tOUt X = El<i<nXtei ^»ona:
(3) («#)(*)= El UM*i)
l<i<n
La famille des supports des fonctions ( çH)tzç est localement finie. En tenant compte
de (3), on voit, en élevant à la puissance n la relation (1), que
(4) £ €H = 1e
(la famille ( £-/?)$€<? est une partition de l'unité sur E). Pour tout £ € G, soit $£
la fonction E —► [0,1], x ►-► (^if)(^x) = #(^x - f) : elle est de classe ^^ , son
support est eÇ + eP. L'ensemble I des f € G tels que C H Supp($^) ^ 0 est fini.
Notons <p la fonction £<€j#e : elle est de classe cê°° , à valeurs dans [0,1] , et son
support est compact, contenu dans U à cause de la condition imposée à e en début de
démonstration. Soit x € C ; si f e G \ I, on a ($H)(x) = 0, d'où c^(x) = 1 en vertu
de (4). La fonction <p répond donc à la question ■
Théorème 25.4.1
Soit i? un ouvert d'un R-e.v. E de dimension finie n > 1, et soit (u>i)i£i un
recouvrement ouvert de Q. Il existe une partition de l'unité (<Pi)i£i de Q formée
de fonctions de classe %°° et telle que Supp(<pi) C u>i pour tout i e I.
Démonstra tion :
Dans cette preuve, nous noterons A l'adhérence dans Q d'une partie A de fi.
• Construisons d'abord une partition de l'unité (^j)i€N de i? formée de fonctions
de classe cê°° telle que le support de chaque rpj soit contenu dans au moins l'un des
uji. La topologie de Q admet une base dénombrable, et i? est localement compact,
donc on a une suite (Sk)keN d'ouverts non vides de i? relativement compacts dans i?
telle que tout Sk soit contenu dans au moins un u)i et telle que U^nS* — Ï2. Pour
tout k e N , soit Fk = Uo<j<fcSj : c'est un compact de Q ; la suite (Fk) est croissante,
et la réunion des Fk est Q. Soit (^fc)fc€N ^a suite d'entiers ainsi définie: i/0 = 0, et
pour tout k > 1, i/fc est le plus petit entier j > Vk-\ tel que FUk_l C Uo<r<jSr (la
suite (z/fc) est bien définie parce que tout compact de i? est recouvert par un nombre
fini des Sk ). Notons T*. = Sk pour 0 < fc < i/i, et, si fc G \ur + l,i/r+i] avec r > 1,
notons Tfc = Sk n (i? \ F^.J . Les ouverts T* sont relativement compacts dans Q,
chacun est contenu dans au moins un u>i, et on vérifie facilement que Ufc>o7fc = Q. La
famille d'ensembles (F„r+l \ FL,r_1)r>i est localement finie, d'où il découle que la famille
(Tk)k>o est localement finie.
Soit Co le compact Tb \ Uk>\Tk de i?. On a un ouvert non vide Uq de Q tel que
C0 C Uq et C/0 C Tb ; au rang fc > 1, supposons construits les ouverts U$, ..., Uk-\,
soit Ck le compact Tk \ ((^o<j<k-iUj) U (Vj>k+iTj)), et choisissons un ouvert non vide
Uk de i? tel que Cfc C Uk et Uk C Tk . On voit par une récurrence facile que pour
tout fc > 0, on a i? = (Uo<j <*£/>) U (U^T,) ; comme la famille (Tk) est localement
finie, on en déduit que Uk>oUk = 17. En appliquant la proposition 25.4.1, pour tout
k > 0 , on a une fonction fk : E —► [0,1 ] de classe ^^ , à support contenu dans Tk et
égale à 1 sur Uk • On notera 6k la restriction de fk à i?. La fonction 0 = YlkeN ^
est bien définie et de classe "^o00 puisque la famille (Tk) est localement finie. Puisque
Q = Vk>oUk , on voit que G est à valeurs dans [1,+oc [ . Pour tout fc > 0, posons
i>k = t£ • c'est une fonction de classe ^^ , à support contenu dans Tk . Il est clair que
DjteN ^ = lr? •
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 285
• Soit une fonction p : M —► J telle que Supp(^j) C u;p(j) pour tout jeN. Pour
tout i € I, soit </?i la fonction Sfcep-UO^ » ^u* est ^en définie et de classe ^^
(il est entendu que si p~l(i) = 0, alors (fi est la fonction nulle sur fi). L'ensemble
Ujtçp-i(i) Supp(^jt) est fermé, car toute réunion d'une famille localement finie de fermés
est un fermé; il en découle que Supp(c^i) C U^-i^) Supp(^), ce qui entraîne que
Supp(y?j) C u>i pour tout i € I et que la famille (Supp(</?i))ie/ est localement finie.
Les ensembles p~l(i), quand i parcourt I, sont deux à deux disjoints et leur réunion
est N, d'où facilement £i€/ y>% = SfcçN^fc = 1/?- La famille (<Pi)iei est donc une
partition de l'unité de fi répondant à la question ■
25.4.2 Le lemme de Dolbeault
Pour tout réel r > 0, nous noterons respectivement Dr et Dr le disque ouvert
et le disque fermé de centre 0 et de rayon r dans C. Si zq € C, nous noterons
respectivement DZo,r et DZQ r le disque ouvert et le disque fermé de C de centre zq et
de rayon r . On a donc Dr = Do,r et Dr = Dq r .
Pour tout ouvert U de C, et pour toute fonction / : U —► C de classe c6oc (en
tant que fonction du R-e.v. C dans le R-e.v. C) , on posera (étant entendu que
z = x + ±y 6 U , avec (x, y) 6 M2 ):
Pour que / soit holomorphe, il faut et il suffit quelle vérifie les équations de Cauchy-
Riemann:
(6) (Vz = x + iy<EE7)
|W)) = -|W))
Les conditions (6) équivalent à l'unique condition
(7) (Vz€t/) §£(*)= 0
L'important théorème qui suit est appelé le lemme de Dolbeault:
Théorème 25.4.2
Soit un réel R > 0 et soit une fonction g : Dr —► C une fonction de classe c€°° . fl
existe une fonction f : Dr —► C de ciasse "^o00 telle que ( Vz € Dr) ^={z) = g(z).
Démonstration:
• Première étape: on traite le cas où g est à support compact.
En prolongeant alors g par 0 hors de Dr , on peut supposer g définie et de classe
"^o00 sur C . On va construire une fonction / : C —► C telle que || = g à l'aide d'une
intégrale de Cauchy. De façon précise, en notant z = x + Ly une variable complexe
(avec (x, y) 6 R2 ), fixons r € C, et considérons la fonction
(8) hT :C\{r}-^C, z^-ïQ-
z — r
Elle est de classe cê°° , et comme g est continue à support compact dans C, on a
IM*)I < 1^ P°ur tout z e C\{t}, où Hffll = SupC€C(|0(C)|). La fonction
z i-> -^ est Lebesgue-intégrable sur le disque de rayon 1 et de centre r, et comme
g est nulle au voisinage de oo , on voit que hT est Lebesgue-intégrable. On peut donc
poser:
(9)
f(r) = -- [ hT(z)dxdy =-- f -^- dxdy
* Je T JC z - T
286 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Comme r est arbitraire, la relation (9) définit une fonction / : C —> C . Il est clair que
pour tout r 6 C , on a:
(10) f(r) = —limo<£<jR+lTl>^o(^(r,e))
7T
où l'on a posé, pour tout réel e € ] 0, R + r [ :
(11) J{r,e)= f j^-dxdy
Passons en coordonnées polaires pour calculer l'intégrale (11), en posant z — r — r Bie .
On obtient:
(12) j(r>e) = _I f g(T + r*i9)*-iôdrd9
\ O<0<2tt
(ce qui confirme la Lebesgue-intégrabilité de hT ). En passant à la limite pour £—►(),
on obtient ainsi:
(13) /(r) = -I / ^r+re^e^drdfl
\ O<0<2ir
L'expression (13) de la fonction / met en évidence qu'il s'agit d'une fonction de classe
cê°° , ses dérivées s'obtenant par dérivation sous le signe d'intégration. On a ainsi, pour
tout r G C :
(14) g(T) = 4linW£<R+|T|,_0(7' tri jL^r + r.")."") drd*)
\ \0<0<2n /
d'où, en revenant à la variable Z = z - r = X + ±Y (où (X, Y) gR2):
^mH
(15) ^(r) = --lim0<e<il+|T|,^o( /
L'opérateur -f* se comporte comme une dérivation, en particulier, appliqué à un quotient
*j de deux fonctions de classe %°° , où v ne s'annule pas, il donne -^(j&v — ^u). En
tenant compte que || = 0, et du fait que (§=( z9)){t) = ( JL( T</))(Z), on a:
,1fix a /fl(£±l)\ _ d (g(Z + r)\
(16) âr VT-) ~ 62 \—z—)
(il est entendu que les deux membres de (16) sont écrits en notation concentrée: le
membre de gauche désigne la valeur en r de la fonction ^-, où txz(C) = 9^z£® pour
tout £ , et le membre de droite désigne la valeur en Z de la fonction ^ , où vr désigne
la fonction C ~ ^^^ )•
Soit iE le bord orienté de la couronne compacte de C limitée par les cercles de
centre r et de rayons e et R + | r | . Le théorème de Green-Riemann donne:
(17)
( /' vT(Z)dZ = 2L f (ï&iZ)) àXdY
j JJ\ Je<\Z\<R+\r\ \OZ J
Je<\Z\<R+\r\ OZ \ * J
En rapprochant (15), (16) et (17), on obtient:
(18) |£(t) = -^ limo<c<jR+|T|fe^o ^t;r(Z)dz)
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 287
d'où, en tenant compte que g est nulle sur le cercle de centre r et de rayon R 4-1 r |,
et en revenant aux coordonées polaires (r, 6) :
(19) g(r) = -^limo<£<«+|T|,^o(-^%(r + £«le)id^=p(r)
le signe — devant l'intégrale étant dû au fait que le cercle intérieur est parcouru dans le
sens indirect. Dans (19), r est arbitraire, ce qui achève de prouver le théorème lorsque
g est à support compact.
• Traitons le cas général. Soit une suite strictement croissante (pn)n>o de réels dans
] 0, R [ tendant vers -R . Pour tout n > 0 , notons An = DPn , An = Dpn , et choisissons
une fonction <pn : Dr —► C de classe ^^ , égale à 1 sur An et à support contenu dans
An+\ (proposition 25.4.1). D'après la première étape de la démonstration, on a une
fonction fn : Dr —► C de classe %°° telle que -^§-{z) = g{z) <pn(z) pour tout z £Dr.
Posons Fo = /o et F\ = /i. Soit n e N , et supposons construites les fonctions
Fo,..., Fn de Dr dans C, de classe c6°° , telles que || Fk+i - F* ||^ _ < 2~fc et pour
tout k € [l,n- Il et ^{z) = g{z) pour tout z € Ak si fc € [0,nj (où ||. ||Zr
désigne, pour tout r, la norme uniforme sur Ar ). La fonction hn = /n+i — Fn est
holomorphe sur An , donc sa série de Taylor £m>0 nm! zm converge uniformément
vers hn sur le compact An-i de An . On a donc mn e N* tel que le polynôme
Pmn(z) = £STn ^ vérifie II *n - Pmn 11^ < 2"n . Posons Fn+1 = /n+1 - Pmn :
c'est une fonction de classe cê°° sur Dr , qui vérifie ^L(^) = ^j"1 (z) = p(z) pour tout
z e An, puisque ^^ = 0 ; de plus, || Fn+i - Fn ||3n_i = || /i„ - Pmn ||Zn_1 < 2"n ,
donc Fn poursuit la récurrence. On a donc construit par récurrence une suite (Fn)n>o
de fonctions de classe ^^ de Dr dans C telle ^=p- coïncide avec g sur An pour tout
n > 0, et telle que pour tout n > 1, on ait || Fn+i — Fn ||^ < 2~n . La série de
fonctions Y^n F™ converge normalement donc uniformément sur tout compact de Dr ,
donc la suite de fonctions (Fn)n>0 converge uniformément sur tout compact de Dr ,
vers une fonction continue / . Soit n G N ; on a / = Fn + ]Cfc>n(Fic+i — Fk) • P°ur
tout A; > n , la fonction Fk+i - F* = hk - Pmk est holomorphe sTir Ak donc sur An .
Comme la série de fonctions 5^fc>n(.Fjk+i — F*) converge uniformément sur An , on voit
que f - Fn est holomorphe sur An , donc / est de classe ^^ sur An ; de plus, pour
tout z € An , on a |^(z) = ^5^(2) = <?(*). Ces assertions sont vraies quel que soit n,
d'où l'on déduit que / est de classe %°° sur Dr et vérifie || = g sur tout Dr I
25.4.3 Fonctions holomorphes et convergence quadratique
Soit U un ouvert non vide de C. Rappelons qu'on note yC(U) la C-algèbre des
fonctions holomorphes de U dans C. Par ailleurs, on notera C2(U) le C-espace vectoriel
des fonctions / : U —► C qui sont Lebesgue-mesurables et de carré sommable (i.e. telles
que l/l soit Lebesgue-intégrable). Et on note Cl(U) le C-espace vectoriel des fonctions
/ : U —* C qui sont Lebesgue-intégrables.
Rappelons que C2(U) est muni d'une forme C-sesquilinéaire hermitienne positive
naturelle; de façon précise, si {f,g) € C2(U) x C2(U), alors Jg € Cl(U) (où / désigne
la fonction U —► C, z y-+ f(z) ); et (en posant z = x + Ly avec (x, y) € R2 ), la fonction
(20) C2(U) x C2(U) — C, (/, 0) -+ / 7(s)ff(z) dx dy
est une forme sesquilinéaire hermitienne positive. La semi-norme associée est appelée
288 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
semi-norme de la convergence en moyenne quadratique. C'est la fonction
(21) Ù2{U)-^ R+, /^->(£|/(z)|2dxdy)
Le cône isotrope de la forme sesquilinéaire hermitienne (20) est le C-e.v. des fonctions
Lebesgue-négligeables de U dans C. Rappelons que l'espace C2{U) muni de cete forme
sesquilinéaire hermitienne positive (. | .) est complet: de façon précise, pour toute suite
de Cauchy (fn) de cet espace, il existe / G C2(U) unique à l'addition près d'une
fonction négligeable, telle que fr; | / - fn \ dxdy —> 0 ; et pour toute suite (un)n>o
de cet espace telle que la série numérique de terme général ju\un\ dxdy converge, il
existe un élément 5 G C2(U), unique à l'addition près d'une fonction négligeable, tel
que fv\S -J^<k<nuk\2àxdy ^0.
Lorsque U est borné, on a lu e Cl(U)f)C2{U), d'où / = Yû f G Cl(U) pour toute
/ G C2(U) ; donc dans ce cas, on a C2(U) C Cl{U).
On posera X2(U) = %t(U) H C2(U) : c'est un sous-C-espace vectoriel de X(U). La
restriction de la forme sesquilinéaire hermitienne (20) à W2{U) x W2{U) est un produit
scalaire préhilbertien (une fonction continue sur U est Lebesgue-négligeable ssi elle est
nulle). Nous noterons (. |.) ce produit scalaire. Sa norme associée est la restriction à
?C2{U) de la semi-norme (21): nous la noterons ||. ||2 v . On munira systématiquement
?C2(t/) de la structure d'espace préhilbertien ainsi définie.
Dans ce qui suit, pour alléger les notations, nous utiliserons la convention suivante:
étant donné un ouvert non vide U de C et une fonction / G Ht2(U), pour tout sous-
ouvert non vide V de C/, on écrit ||/||2|v au ^eu de II fv \\2iv (ou fv désigne la
restriction de / à V ). On a toujours || / \\2V <\\f ||2 y , et la fonction /m || / ||2 v
est une semi-norme sur 3^2(C7). Si U est connexe, alors quel que soit V, la fonction
/ *-* Il / ||2,V eSt UIie norme sur W2(U) .
Cas d'un disque ouvert de C
Fixons zq G C et un réel R > 0 , et soit U le disque ouvert {z G C | | z - z0 \ < R} .
Pour tout n zN , soit -/72o,n la fonction U —► C, z »-► (z — zq)u , où n eN . Il est clair
que i72o,n G 3C2(f7). En passant en coordonnées polaires centrées en z0 0-e. posant
z = zo 4- peiô ), on a, pour {m, ri) G N2 :
(772o,m|77Zo,n)= [ (z-zï)m(z-zQ)ndxdy
Ju
= f /9m+n+1ei(n-m)*dpd0
(22)
ro<p<ft
\ O<0<2w
1 ftm+n+2 / ei(n-m)dd^
n + 2 70
■C
si m ^ n
= l ^Tï fi2m+2 si m = n
et par suite, quel que soit n eN:
(23) Il 77 II - V^"*1
(23) ||/7^B||2it,--^_
La suite (-/72o,n)n>o est donc orthogonale dans ^ft2(U).
Soit maintenant / G 9K(Î7), et notons £n anXn sa série formelle de Taylor en
z0. Pour tout réel r g]0,R[ , la série X)nan7720in converge normalement vers /
sur le disque fermé D de centre z0 et de rayon r ; mieux: la famille de fonctions
Chapitre 25 , § 4 Théorèmes de séparation 289
(ani7Zo>n)n€N est normalement sommable sur DZo n . La famille produit des familles
(anIIZOin) et (S^/72o>n) est donc normalement sommable sur DZo r. Ce qui justifie
Tintégration terme à terme ci-dessous, et la sommabilité de la famille des intégrales
obtenues:
/ |/(z)|2 dxdy = / ]T â^annZQ,m(z)nZQ,n{z)\ dxdy
(24) i 0,r °r \(^^)^^2 /
= 5Z °^ani nzo>m(z)IIZo>n(z)dxdy I
(m,n)€N2 \^,0lr /
En tenant compte de (22), mais avec r à la place de R, on déduit de (24) que la série
El |2 r2n+2 a. »
n | an | w+1 converge, et qu on a:
(25) / |/(z)|2dxdy = 7r^—— |an|2
Or, ona/Ç 2C2(C/) ssi la fonction [0,fl[-> R+,rM f | /(z) |2 dxdy (qui
est croissante) est majorée, et s'il en est ainsi, la borne supérieure de cette fonction est
égale à || /1|2 v • Il découle donc immédiatement de (25) que / 6 Dt2{U) ssi la série
J2n Rn^i I an | converge, et que s'il en est ainsi, on a:
/ \ 2 °° /?2n+2
(26) (n/n*,*) =ffE^rria"i2
n=0
Supposons que / 6 2C2(t/) , et soit m e N . Pour tout r € ] 0, R [ , on a, en raisonnant
comme pour (24) et (25) et en tenant compte de (22) avec r à la place de R :
(27)
/ nz0i7n(z)f(z)dxdy = ^2ak I / nZ0im(z)nZ0fk(z)dxdy
1 \,r fc=0 V2«o,r )
7rr2m+2
m-hl
Comme / nZQyTn{z) f{z)dxdy -——► {nzo>rn | /) , on déduit de (27) que:
-*0'r r—>R,0<r<R
7rJ?2m+2 / \ 2
(28) (^o,m|/) = -^-^am=(||77zo,m||2C/J am
et donc, en posant ek = m * m— £7z0lfc Pour tout k , (26) équivaut à:
Il "«o.fc ll2,t/
2 °°
(29) (ll/lkc/) =EKe«l/)|2
n=0
Dans (29), / est un élément arbitraire de 2C2(t/), donc le système orthonormal (en)n6N
de 2C2(t/) est total, et (29) ne fait que traduire la relation de Parseval relativement à
ce système.
Complétude des W2{U)
Prouvons d'abord un lemme:
Lemme 25.4.1
Soit U un ouvert non vide de C, soit z0 € U et soit un réel R > 0 tel que
2Zo,h C U. Pour toute fonction f e %C2(U), et pour tout entier n > 0, on a
| /(n)(*o) | < $0t || / \\2%u . En particulier, \ f(z0) \ < ^ || / \\2fU .
290 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Démonstration:
Soit YlnanXn la série formelle de Taylor de / en z0 • Notons D = DZo,r • En
tenant compte de (26), on a:
(W\ Simi ï'Wiifii ^2 V"**2fc+2 l/T ,2 ^ **2n+2 . ,2 _ **2"+2 l/(n)^o)|2
(30) (\\n2tU) >{\\f\\2,D) =2^n^rlak] -^mr10*1 =^n—wf~
k=0
d'où le résultat, en prenant les racines carrées ■
Théorème 25.4.3
Soit U un ouvert non vide de C. L'espace préhilbertien 3t2(U) est hilbertien (Le.
est complet pour sa norme).
Démonstration:
Soit une suite (/n)n>o d'éléments de 3£2(I7) qui est de Cauchy en moyenne
quadratique. Il s'agit de montrer que cette suite converge en moyenne quadratique sur U vers
un élément de W2(U).
• Montrons d'abord que cette suite converge uniformément sur tout compact de U . Il
suffit de montrer que pour tous zo € U et R € R+ tels que D2o 2r C U , la suite (/n)
converge uniformément sur Dzo R . Fixons un tel couple (zo,R), posons L = QZOiR > et
notons ||. Hoo la norme uniforme des fonctions complexes bornées sur L (pour toute
fonction <p : L-* C bornée, || ip H^ = Sup^€L(| ip(£) |) ). Soit g eW2(U). Pour tout
£ € L, on a D^ R C t/, d'où |#(f) | < -^ lltfl^.c/ Par application du lemme 25.4.1.
On en déduit:
J_
>fnR
Dans (31), g est arbitraire. Il en découle immédiatement que la suite (/n) est
uniformément de Cauchy sur DZQ R , donc converge uniformément sur DZQ R ; cela achève de
montrer que la suite (/n) converge uniformément sur tout compact de U. On notera
/ sa limite.
• La fonction / , étant limite uniforme sur tout compact de U d'une suite de fonctions
holomorphes dans U, est holomorphe dans U . Comme l'espace semi-norme C2(U)
est complet, on a une fonction <p G C2(U), unique à l'addition près d'une fonction
négligeable, telle que / | ip — fn | dxdy —► 0 , et on sait qu'il existe alors une suite
extraite (fnk)k>o de la suite (/n) qui converge presque partout vers <p dans U . Comme
la suite (fnk)k>o converge uniformément vers / sur tout compact de U donc converge
simplement vers / sur U, on conclut que / = <p presque partout, d'où / E 2£2(J7),
et Jwr\f — fn\ dxdy —► 0 , autrement dit \\f - fn\\ou ~~> ° • Ainsi ^a suite (fn)
converge vers / en moyenne quadratique sur U ■
Proposition 25.4.2
Soit U un ouvert non vide de C. Soit fi un ouvert de C, contenu dans U,
relativement compact dans C , et dont Vadhérence fi dans C est contenue dans U
(ce qu'on exprime en disant que fi est relativement compact dans U ). Alors pour
tout réel e > 0 , il existe un sous-C-e.v. E de %C2(U) fermé et de codimension finie
tel que \\ f ||2 n <e\\f ||2Lr pour toute feE.
Démonstration:
Soit un réel d > 0 tel que tout disque de rayon d centré sur fi soit contenu dans U
(un tel d existe parce que fi est compact). Soit un réel e € ] 0, d [ . On a une suite finie
(31) ll0lloo<-7=ôlMl2,t,
Chapitre 25 , § 4 Théorèmes de séparation 291
(xi,...,Xjn) d'éléments de Q (où m > 1 ) telle que Q C Ui<i<m DXj,f . Soit un entier
n > 1 tel que ^tt < £• Notons £" le sous-C-espace vectoriel de it2(U) formé des
fonctions / telles que f^(xj) = 0 pour tout (i, j) € [0,n — lj x [l,ml. C'est bien un
sous-espace fermé de codimension finie de 2C2(t/) (c'est le noyau de l'application linéaire
3K2(tf) _ C[o,n-ilx(i,ml ^ yr ^ (/«(xj0)(ij)elo,n-ilxlilml > et on déduit facilement du
lemme 25.4.1 que cette application linéaire est continue).
Soit alors / G E. Pour tout je [l,raj, soit Ylka3^^k ^a ser*e formelle de Taylor
de / au point Xj . En utilisant (26), on a:
00 n £2fc+2 i » n £2k+2 i
Il / H2,DXirj = ^L 22fc+2(fc 4- 1) 'ÛJ''* ' ~ 22n+2 ^ (À; +1) ' ai'fc ' = 22n+2 "^"2>D*j.<
En additionnant membre à membre ces inégalités, pour j de 1 à m, et en tenant
compte que || / ||2,Dx. e ^ Il / l^.tf Pour tout J > on obtient:
(32) || / H*,,, < £ Il / Ikp.,., ^ ^W II / Ha,* < * Il / ll2,t/
ce qui achève la démonstration, puisque / était arbitraire H
25.4.4 Cochaînes de degré < 1
Soit T une surface de Riemann (compacte ou non) admettant au moins un atlas
analytique fini (i.e. avec / fini). Nous noterons Ht le faisceau des fonctions holomorphes sur
des ouverts de T. Donnons-nous un recouvrement ouvert fini quelconque # = (^t)ie/
de T.
Si on cherche à construire une fonction holomorphe sur T = Uie/t/i ; l'idée
naturelle est de recoller des fonctions holomorphes sur les Ui. Si on dispose, pour chaque
i G / , d'une fonction holomorphe fi sur Ui, et si on a fA u.—f%\u — 0 Pour tout
(i, j) G / x / tel que Ui D U3\ ^ 0 , le problème est résolu, cardia fonction / dont, pour
tout i, la restriction à Ui est fi, est holomorphe sur T.
Soit (fi) et (<7i) deux éléments de YlieI ^(Ui). Pour tout (i,j) £ I x I tel que
UiCiUsït, posons /iti = fj^ - fi\Uin^ et gitj = gj^ - g^^ . Si on
a /i,i = 9ij Pour tout (M) tel <lue UiC\Uj ^ 0, la famille (/ii)iç/ = (/i - &)*£/
vérifie /i^l — hA = 0 pour tout (i, j) tel que t/j n U3-^ 0, donc il existe une
fonction holomorphe h sur T qui prolonge chacune des hi. On remarquera que pour
tout (i, j,k) e I x I x I tel que t/* 0 [/, 0 t/* ^ 0 , on a:
Cela suggère d'introduire les C-espaces vectoriels:
(34) cH°(rf*) = n*W) ; ch1(t,^)= H hc^oUj)
iei (t,i)€/x/tc/inc/i9é0
(dits de 0-(resp. 1-J cochaînes associées à #) ainsi que le sous-C-e.v. zl(T,$) de
CH^T*) formé des (fij)(itj)eixi .Uinu^m tels que
(V(t,7,Jk) G fl,nl3avecC/inl79n[7fc ^0) /, fc| =/< il + /,fcl
Les éléments de ZX(T, $) s'appellent les cocycJes (ou les l-cocycles) associés à $.
Notons que l'ensemble {(i,j) 6 / x / | Ui n Uj ^ 0} est toujours non vide, puisqu'il
possède les éléments (i, i), où i G /.
Supposons que # soit associé à un atlas °lt = {{Ui,6i))iç.i de T. Alors, un élément
i = (fi) e CH°(T,#) (resp. rç = (fitj) e CH^T,*) ) est dit de carré intégrable
(relativement à °VL) ssi ^ o 0"1 e »2(^(J7t)) pour tout i (resp. /i):,- o 0T1 g 3€2(^(C/i n 17,-))
292 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
(37) lklk=(S(ll/*ll2AW)) J ; WvK
<i€/
*
pour tout (i, j) ; on dira aussi: de carré °U-intégrabJe. Les éléments de carré °ll-intégrable
forment un sous-C-e.v. de CH°(T,#) (resp. de CH^T,^) ), que Ton notera CH§(T,°lL)
(resp. Ch£(T,°H)). On notera Z^(T,°li,) l'espace zl(T^)r\CUl(T,GÏL) (espace des cocy-
cles de carré intégrable associés à °lt). Les espaces CH^T,0!!), CH£(T,°lt) et z£(T,°ll)
dépendent de °IL et non seulement de $. Toutefois, s'il existe des atlas associés à #
dont les images des cartes dans C soient des ouverts bornés, ces espaces sont les mêmes
pour tous les atlas ^ ayant cette propriété.
Revenant au cas d'un recouvrement ouvert fini # quelconque, on a une application
C-linéaire naturelle
(35) 6* : CH°(T,*) —►CH1(T,#), (/*)*/ —> ((£; - /i)^.)/(i,.)6,x,
Il est immédiat que Im(<5#) C Z*(T,#). Les éléments de Im(<5$) sont appelés les
cobords (ou les 1-cobords) associés à #. On peut donc définir le C-espace vectoriel
quotient
(36) h^t,*) = zHTity^ctfUT^))
Si $ est associé à un atlas °IL = ((Ui,6i))iei, pour tout f = (/i) € CHÎ^T,0!/,) (resp.
pour tout rf = (/ij) 6 CH^T,0!!) ), on posera:
/ \
i / (i,i)e/x/ /
On définit ainsi des normes sur CH^T,0!/,) et CH^T,0!!). Vérifions que ces normes
sont hilbertiennes. Si on donne une carte F = (C/,0) de T, en posant 9(U) = u;,
l'image de 3C2(cj) dans 3f(C7) par la bijection 2C(u>) —+ 2C(J7), y? h-► y? o 6 est un
sous-espace vectoriel complexe de 3C(C7), que nous noterons Ht2r(U). L'application
3Cp(t/) —► R+ , / »-* || / ||c = || / o 01|2 est obtenue par transport de structure à partir
de II • Il2,u; » Par ^a bijection Ht2(u) —> 2Cp(t/)><£ >-> <po8: cette dernière bijection
transporte la structure hilbertienne de ?C2(u;) (cf. théorème 25.4.3) en une structure
hilbertienne de 2C^(t/), dont la norme est précisément ||. ||c . Cela dit, il est clair que
(38) ci$(T,% = l[x*Uit9i)(Ui)-,caUT,%= n *UA|BtWj)(^n^
tel (ij)çixi,UinUjïQ
et les normes (37) ne sont autres que les normes de la structure hilbertienne produit des
produits d'espaces hilbertiens apparaissant dans (38).
Raffinements d'un recouvrement ouvert fini
Soit £ un ensemble. Rappelons qu'on appelle recouvrement de £ toute famille
(Ei)iç.i de parties de £ telle que Ui^rEi — £ . Le recouvrement est dit fini ssi l'ensemble
J est fini. Un recouvrement $ = (Fj)jej de £ est dit plus fin qu'un recouvrement
# = {Ei)iç.i ssi il existe une application r : J —+ I telle que Fj C ^r(j) pour tout
j € J : on traduit cette propriété en écrivant # X jp, et toute application r qui vérifie
cette condition est appelée une application de raffinement (de $ à # ). La relation ^
est réflexive et transitive (mais non antisymétrique en général). Pour tous recouvrements
# = {Ui)iç.i et # = (Fj)jtj de £, il existe un recouvrement G de 5 tel que $ ^ G
et # ^ G : il suffit de prendre
(39) G = (EinFj)(ilj)€ixJ
Si les recouvrements # et # sont finis, le recouvrement G donné par (40) est fini.
Si £ est un espace topologique, on s'intéresse aux recouvrements ouverts de £ : on
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 293
appelle ainsi les recouvrements formés de parties ouvertes de S. Alors, si $ = (Ei)içi
et & = (Fj)içj sont des recouvrements ouverts de 5, le recouvrement 0 donné par
(38) est encore ouvert.
Soit une surface de Riemann T . On appellera recouvrement ouvert complexe de
T tout recouvrement de T par des ouverts complexes (voir définition 25.2.5). Les
ouverts d'un atlas de T forment un recouvrement ouvert complexe de T. Tout sous-ouvert
d'un ouvert complexe de T étant lui-même complexe, il est clair que tout recouvrement
ouvert de T qui est plus fin qu'un recouvrement ouvert complexe est un recouvrement
ouvert complexe de T. En particulier, tout recouvrement ouvert de T plus fin que le
recouvrement ouvert associé à un atlas de T est un recouvrement ouvert complexe.
Définition 25.4.2
Soit $ = (Ui)iç.i un recouvrement ouvert uni d'une surface de Riemann T. On
appelle raffinement de $ tout couple ((Vj)jçj,t) , où & = (Vj) est un recouvrement
ouvert uni de T plus fin que le recouvrement (Ui), avec des Vj non vides, et où
t : J —* I est une application de raffinement de $ à # .
Avec les notations de la définition 25.4.2, soit ((Vj)jç.j,t) un raffinement de $. On
a des applications C-linéaires naturelles:
r <&,*,r •• cH°(r,#) - ch0(t,«p) , (/Oig, ~ (frU)\v)j€J
(40) \ A,*,r ■■ caHT,*)^caHT,*), (/«)/«,.„„„- (frU).rw\v.nVi)(aMJxJ
Les propriétés suivantes sont de vérification immédiate:
(41) (Vt€{0,l}) si * = $ et r = Id/, eii#|Id| = IdCH;(T,*)
(42) d* o q%vt = qI#t o d*
En vertu de (42), on a QÎp#(zl(T,<P)) C Zr(T, #), et par passage au quotient, la
restriction de Q#yr à Zl(T, $) définit une application C-linéaire:
(43) ë#i#iT rtfCT,*)—m^T.tf)
Si # est associé à un atlas analytique °lt = {{Ui,6i))iç.j , pour tout j e J, posons
ipj = 0t(j)L • La famille Y = ((Vj,^))jej est alors un atlas analytique de T , canoni-
quement associé au raffinement ((Vj),t) .
Proposition 25.4.3
Soit # = {Ui)iç.i un recouvrement ouvert fini d'une surface de Riemann T, avec
des C/» non vides. Soit &(Vj)jçj un recouvrement ouvert de T plus fin que le
recouvrement (Ui), avec des Vj non vides. Soit r une application de raffinement
de (Ui) à (Vj). L'application linéaire £# # r définie en (43) est injective, et elle ne
dépend pas du choix de r .
Démonstration:
• Montrons d'abord que ~g^^iT ne dépend pas du choix de r. Soit rf : J -* I une
autre application de raffinement de (Ui) à (Vj).
Les éléments de Hl(T,$) sont les classes d'éléments de Zl(T,$) pour la relation
d'équivalence ainsi définie: les cycles (fij) et (g%j) sont équivalents ssi il existe une
0-cochaîne (hi) G CH1^) telle que giti - fij = (hj - Aj)| pour tout (ij) e I x I
vérifiant Ui D Uô ^ 0 . in J
Soit (/ifj) G Zl(T,$). Pour tout (j,fc) e J x J tel que Vj n Vit ^ 0, posons
»,* = ^0).^)|vinvi et ffi.* = ^T'W)»T'W|vinvi * Montrer Que dément de H^T,*)
294 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
<AA\(*C^TT r^TT nn cTÎ x J ^^,r(fc)(0 + /r(fc),r'(j)(0 = /t(j),t'(j)(0
(44) (V£ e UTU)nuTfU)nuT{k)nuTf{k) )
défini par (fij) a même image par £$^T et Q^^^t revient à trouver une 0-cochaîne
(hj) e CH°(T,ip) telle que g'jk - gjtk = '(/ifc - /ij)|v ^ pour tout couple (j, k) € J x J
vérifiant Vj C\Vk £ 0. Pour tout j € J, on a Vj c t/Ty) n t/r'O) • En vertu de la
définition des 1-cocycles, on a:
f /r(j),r(fc
1 /t(*),t'(j)(0 + /r'0),r'(fc)(0 = /r(ik),r'(fc)(0
Les relations (44) ont lieu a fortiori sur Vj PI V* . En posant hj = ZrO^.r'O'jL Pour tou*
j € J, on obtient une 0-cochaîne répondant à la question (soustraire membre à membre
les relations (44)). Donc ^^jT ne dépend pas du choix de r, mais seulement des
recouvrements (Ui) et (Vj). Dans la suite, on notera ~Q$y l'application égale à ~Q$#iT
quel que soit le choix de r .
• Montrons maintenant l'injectivité de ~§#^ . Soit (fij) € Zl(T,$) dont l'image par
Q#p de la classe dans H^T,*) donne 0 , Le. tel que fr(j)tr(k)\v.nV = (h* ~ hj)\Vnvk
pour tout (j, fc) vérifiant Vj n Vfc ^ 0, où (hj) € CH°(T,#). Pour* tout (t, j) e î x I
tel que Ui H C/j ^ 0, on a fiti — 0 et /i,j -h fjti = 0. Fixons i € / ; on a, pour tout
(j, A) € J x J tel que t/* n Vj'fl Vk ^ 0 :
(45) (ve € c/, n v$ n vk ) [ M0 " h>® = f*w® = fw® + ^«^
[ =/t,r(fc)(0-/i,r(i)(0
donc les fonctions hk — /i,r(fc) et ^j - /i,r(j) coïncident sur UiHVj C\Vk . Il y a donc
une fonction holomorphe <fc sur t/j qui coïncide avec /ij — fiyT{j) sur ^i n Vj Pour tout
j € J tel que Ui H Vj^ 0 (en effet, l/i = Uj^jC/j H Vj ). Comme i est arbitraire, on a
ainsi défini une 0-cochaîne (gi) e CH°(T, #). Pour tout (i,j) € I x I avec UiC\Uj ^ 0 ,
on a, sur (7i O Uj O V* (où keJ est tel que Ui nUjC\Vk ^ 0 ):
/i,j = /i,r(fc) + fr{k)J = /*,r(fc) - hk -\-hk - /j,r(fc) = 0j - 0i
et comme UiC\Uj = UfcGj(C/jnE/jnVfc), on conclut que /^^ = gj —gi sur UiC\Uj . C'est
vrai pour tout (i,j) e I x I tel que C/i D Uj ^ 0, donc (jf^j) donne 0 dans HX(T,^),
ce qui achève de prouver l'injectivité de ~Q#y M
L'application notée ~q$ ^ dans la deuxième partie de la démonstration ci-dessus sera
désormais notée i^ . Elle est définie pour tout couple (#, &) de recouvrements finis
de T formés d'ouverts non vides et tels que # ^ $ .
Rappels sur les limites inductives d'espaces vectoriels
Définition 25.4.3
Soit K un corps commutatif. On appelle système inductif de K-espaces
vectoriels la donnée d'un ensemble non vide préordonné filtrant à droite (/, ^), d'une
famille (Ei)iç.i de K-espaces vectoriels, et d'une famille (<Pij)(ij)eixi ,iij > °ù pour
tout (i, j) e I x I tel que i < j , (fij € KomK(EûEj) vérifiant les conditions
suivantes: <piti = Id^v pour tout i, et <pi)k = <pjik o (pitj pour tout (i, j, k) e I x I x I
tel que i X j ■< k (les <pij s'appellent les applications de transition).
Soit (J, :<, (Ei)iç.i, (<fij)) un système inductif de if-espaces vectoriels. Considérons
l'ensemble U^iEi somme des Ei. Pour tout i, on identifiera Ei à un sous-ensemble
de Miç-iEi à l'aide de l'injection canonique Ei —► U^iEi. Soit K la relation binaire
sur UieiEi ainsi définie: si x € Ei et y e Ej , alors z 7£ y ssi il existe A; € J tel que
i ^ k , j :< A: et v?iifc(x) = (Pjik(y). C'est une relation d'équivalence. Si (x,t/) € £?i x Ej
avec i <j et y = <£i,j(x), alors xKy. Sur l'ensemble quotient £ = (Uie/^i)/^ , on
définit une loi de composition interne -I- et une loi externe K x Q —► Q, (A,x) »-► Àx de
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 295
la manière suivante: soit (a, 6) G Q x Q ; on vérifie que l'ensemble des z G UieiEi de la
forme <£>i,fc(x) 4- <Pj,k(y) »où x e Ei représente a, où y € Ej représente 6 et où k G i
vérifie i -< k et j ^ k, est contenu dans une classe modulo 1Z. Cette classe est notée
a + b, ce qui définit la loi + . Si \ e K, l'ensemble des y G UiejEi de la forme Àx ,
où x G Ilie j représente a , est contenu dans une classe modulo 11 ; on note cette classe
Xa, ce qui définit la loi externe. On vérifie alors que les lois ainsi définies confèrent à
Q une structure de if-espace vectoriel, dont + est la loi de groupe abélien. Quel que
soit i e I y l'élément nul de cet espace vectoriel est représenté par Oje. . On en déduit
facilement que l'élément nul est la classe modulo 72, égale à U^j)ejxjyi^jKer (ifiyj).
Pour tout j G I, la restriction fj à Ej de l'application canonique ÏI^iEi —> Q est
if-linéaire. Les fj sont appelées les applications canoniques des Ei dans Q. Il est
immédiat que pour tout (z, j) e I x I tel que i ^ j , on a /jO <pitJ = /{.
Définition 25.4.4
Dans les conditions ci-dessus, l'ensemble Q muni de la structure de K-espace vectoriel
ainsi définie s'appelle la limite inductive du système inductif (i, ■<, (£*), (<£>i,j)), et
se note lim (EA
neiK '
La définition de la limite inductive, et la description de son élément nul, montrent
immédiatement l'importante propriété suivante:
Proposition 25.4.4
Avec les notations ci-dessus, pour tout j G I, on a lim, Ei = ^Jieij^ifi(Ei), et
*i€l
si les (<Pi,j)i±j sont toutes injectives, alors les fi sont toutes injectives
La famille ( lira, Ei, (fi)iei ) est solution du problème universel suivant: trouver
un if-espace vectoriel L et une famille (ipi)i€i, où tpi G Hom^ (Ei,L) pour tout i, tels
que /0jO(Pi,j = $j pour tout (i, j) G Ixl vérifiant i < j , et tels que pour tout K-espace
vectoriel V et toute famille (ffiiei qui vérifie f[ G Homjc (£*,!/) et fjO(pitj = // pour
tout (i, j) G 7 x I avec i ^ j;, il existe une application if-linéaire unique u \ C -+ U
vérifiant uo fo = f[ pour tout i€/.
En conséquence, soit deux systèmes inductifs de K-e.v. X = (I,^,(Ei),(pij) et
X1 = (i', ^(EQ^ip'ij). Appelons morphisme du premier dans le second toute famille
u = (ui)iç/ , où Ui G Homtf (J5i,i^) pour tout i, qui vérifie Ujopij = <p'ijOUi pour tout
(i, j) G 7 x i avec i ■< j . Les morphismes se composent de manière évidente, et la notion
de morphisme identique d'un système inductif est claire. La notion d'isomorphisme
entre systèmes inductifs en découle (c'est un morphisme \x : X —► T tel qu'il existe un
morphisme y! : X1 —> I (nécessairement unique, et alors appelé le morphisme réciproque
de /j, , et noté /i"1 ) pour lequel /x' o /x = Idj et fi o \j! = Idj/ . Les isomorphismes se
composent, le morphisme identique est un isomorphisme, le morphisme réciproque d'un
isomorphisme est un isomorphisme. Un morphisme /x = (ui)iç.j de X dans T est un
isomorphisme ssi Ui est un isomorphisme de Ei sur E[ pour tout i G I ; s'il en est
ainsi, on a fi~l = (t/"1)^/ pour tout i G i.
Fixons un tel morphisme /i : X —► I'. Notons respectivement (fi)iei et (//)*£/
les familles d'applications canoniques des i?i dans L = lim i?» et des Z£' dans
V = lirn . 2?J. Pour tout i G i , posons <fc = /t' o ^ ; on a alors Qj o<piyj = q{ pour
tout (i, j) £ I xi avec i ^ j , donc d'après la propriété universelle, on a une application
if-linéaire unique u : L —► 1/ telle que u o fc = f- o m pour tout i e I. Cette
application u se note liin u* et s'appelle la limite inductive des Ui. L'assignation
/x ►-► liin , Wi est fonctorielle covariante, i.e. quand on compose des morphismes de
systèmes inductifs, les limites inductives de ces morphismes se composent dans le même
ordre. En particulier, la limite inductive de l'identité d'un système inductif est l'identité
296 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
de sa limite inductive, et la limite inductive d'un isomorphisme de systèmes inductifs est
un isomorphisme des limites inductives de ces systèmes, dont l'isomorphisme réciproque
est la limite inductive de l'isomorphisme réciproque.
Dans un ensemble préordonné (/, •<) non vide filtrant à droite, on appelle partie
coûnale toute partie J telle que pour tout i 6 /, il existe j € J vérifiant i ■< j.
Soit (/,^,(Si)i6/, (<Pitj)) un système inductif de if-espaces vectoriels, soit (fi)i^i les
applications canoniques des Ei danslim Ei, et soit J une partie cofinale de (/,:<);
on vérifie alors facilement que lira Ei = Ujçjfj{Ej), i.e. la limite inductive des Ei
est entièrement déterminée par les seuls Ej pour j 6 J.
Un exemple important de partie cofinale de (7, z^) est, étant donné i 6 / , la section
unissante d'origine i de (J, <), i.e. la partie {j 6 I | i ^ j} : c'est là une conséquence
immédiate de l'hypothèse que (J, :<) est filtrant à droite.
Premier espace de cohomologie
Revenons à la surface de Riemann T admettant au moins un atlas fini. On ne peut
parler de l'ensemble des recouvrements ouverts finis de T si l'ensemble indexateur est
arbitraire. Cependant tout recouvrement ouvert fini peut être réindexé par une partie
finie de M . On ne perd donc pas de généralité en ne considérant que des recouvrements
ouverts finis de T indexés par une partie finie (nécessairement non vide) de f^j : ces
recouvrements ouverts finis forment un ensemble.
Cela étant, considérons l'ensemble Çr des recouvrements ouverts finis de T par des
ouverts non vides, indexés par une partie finie de f^j , muni de la relation ^ ; c'est
un ensemble préordonné filtrant à droite. Rappelons que si un élément # € 3V est
asocié à un atlas de T, alors tout recouvrement ouvert fini de T par des ouverts non
vides plus fin que $ et indexé par une partie finie de M est lui-même associé à un
atlas. Par suite, l'ensemble des éléments de 3V qui sont associés à au moins un atlas de
T forment une partie cofinale de (î?T> ■<), puisque cet ensemble contient toute section
finissante de ($t,^) dont l'origine est associée à un atlas. Il découle facilement des
relations (41) et (42) que pour tous éléments #, # et 0 de SV vérifiant # ■< $ ■< O ,
on a i<py& = i\py& ° t$,# et i^,^ = IdHi(#) . La famille
(SV, r<, (H (T,#))$£5T, (i#,tf)(#,tf)€3rTxST ,#^*r)
est donc un système inductif de C-espaces vectoriels.
Définition 25.4.5
Soit T une surface de Riemann admettant au moins un atlas fini. On appelle
premier C-e.v. de cohomologie (de Cech) de T, le C-e.v. lim {\il(T,$)).
Cet espace de cohomologie sera noté HX(T). Pour tout # € 3V > on notera \#
l'application canonique Ul(T,&) -► Hl(T).
Soit alors un ouvert non vide V de T : il définit une sous-surface de Riemann de T,
qui admet évidemment des atlas analytiques finis (la trace sur T' d'un atlas analytique
de T se définit de manière évidente, et si on est parti d'un atlas analytique fini de T,
cette trace est un atlas analytique fini de T' ).
Soit # = (Ui)ieI e $T . Soit J l'ensemble {i 6 I\ U^T ^ 0} (c'est une partie finie
non vide de N ); pour tout j 6 J , notons £7j = UjDT' et soit $r\T' le recouvrement
ouvert (Uj)jej de T'. On a #nT' € $rf • On a des applications C-linéaires naturelles:
(Q%,*nT> ■■ CH0(T,<P)-+CH°(T',*nT'), (/i)*/" (4,.),€J
4,*nr< : CH^T,») - CU^T'^nT'), </w)r(,J)<fxl ~ (fi*\utfV,.) t UM€JxJ
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 297
Les propriétés suivantes sont de vérification immédiate:
(46) ( Vi € {0,1} ) si T = T, alors $nf = $ et g^ = IdCH;(r,*)
(47) d$ o Q%><pnr, - oi#nT> ° ô#
En vertu de (47), on a gj #nT'(zlC> *)) c zl(?~'i #nT') , et par passage au quotient,
la restriction de £$<j>nT' * zlC>*) définit une application C-linéaire:
(48) ë*,*nr' : ^(T,*) —* H'(f,$nT')
On posera <fa> = i$nT' °5<*>,*nT' • Si # e 3V et ^ € Çr sont tels que # ^ #, alors
# n T' ■< # n T', et on vérifie que t#nT',#nT' ° ~Q<p,$nT' = 5#,#nT' ° *#,# • ^n en déduit
aisément que pour tous # € 3V et îP G 3V tels que ^ ^ î?, on a:
(49) 0* o i<pt# = ]^nT, o ~Q$#nrf = 0$
D'après la propriété universelle des limites inductives, on a donc une application C-
linéaire et une seule Rtj* : HX(T) —► H1(T') telle que g# = Rrj' ° 1* pour tout
$ G îfr • Cette application linéaire sera appelée Y'application de restriction. On voit
facilement les propriétés suivantes, valables pour tous ouverts non vides T', T" et T'"
de T tels que T" C T' :
(50) Rt'v =IdHi(T')
(51) Rt",t'" ° Rt',t" = Rt>,t'"
25.4.5 Finitude de la dimension de certains espaces h1
L'existence de fonctions méromorphes non constantes sur une surface de Riemann
compacte et connexe sera une conséquence du difficile théorème 25.4.4 ci-dessous.
Quelques préliminaires sont nécessaires.
Les (0,l)-formes d'une surface de Riemann
Nous ne pouvons pas ici développer une théorie complète du calcul différentiel (non
holomorphe) sur une surface de Riemann complexe. Nous nous en tiendrons donc à des
concepts rudimentaires, mais qui suffiront pour ce qui nous intéresse. Nous allons définir
les (0, l)-formes différentielles, qui sont analogues aux formes différentielles ordinaires
mais avec prise en compte de la conjugaison. La notion de forme différentielle ordinaire
(qu'il faut, dans ce contexte, appeler les (l,0)-formes) sera rappelée plus loin.
Soit T une surface de Riemann et soit 0 un ouvert non vide de T. Une fonction
tp : 0 —► C sera dite de classe m>°° ssi pour toute carte 6 : U —► uj de T, la fonction
0(0 n U) -> C, z »-> y(0~l(z)) est de classe <€°° en tant qu'application du R-e.v. C
dans C . Cette condition équivaut à la condition que pour toute carte 6 : U —* u) de T
telle que U C 0 , la fonction / o Q~l est de classe %°° sur u). Si °U = {{Uit 6i)iÇ.j un
atlas analytique de T, alors / est de classe %°° ssi pour tout i € I tel que L^nO ^ 0,
la fonction 0,(0 n Ui) -> C, z h-> f{0~l(z)) est de classe <€°° .
L'ensemble des fonctions de classe %°° sur 0 est une C-algèbre, que nous noterons
cêoo(0). Si / <E cêoc(0), toute restriction de / à un ouvert 0' de T contenu dans
0 appartient à %°°(0'); l'application de restriction <€°°(0) -> cêoo(0/),/ ^ f\
est C-linéaire. Il est clair que W{0) C ^(O).
Soit T une surface de Riemann et soit °lt = {{U^O^iç-i un atlas analytique de
T. Nous appellerons (O,l)-cochaîne (3) différentielle associée à °lt toute famille
{fi)iei > où /j G ^^(C/i) pour tout i, vérifiant la condition suivante:
(52) (v(t, j) e I x /) (V£ € tf4 n rç) /,(£) = /i(0((A.> ° *;)(£))
( ) Vu les conditions de recollement (52), le lecteur pourra ici à bon droit préférer cocycle à cochaîne.
298 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
où Ton a posé, pour tout z € Oj(Ui C\Uj):
(53) Di,j(z)=^(eio8J1)yz)
Cette définition est suggérée par la règle du changement de variable appliquée à l'opérateur
de dérivation |« : soit S et T deux ouverts non vides de C , soit <p . S —> T une application
holomorphe, et soit g : T —> C une fonction de classe ^x ; on a alors la formule de changement
de variable (où |j désigne la C-dérivation ordinaire des fonctions holomorphes):
(54) ^w-fH^
Deux (0, l)-cochaînes différentielles associées à des atlas ^ et T sont dites
équivalentes ssi la famille somme de ces cochaînes est une (0, l)-cochaîne différentielle
associée à l'atlas °UII Y somme des atlas °U et Y (cf. définition 25.2.3), est encore une
(0, l)-cochaîne différentielle. L'équivalence entre (0, l)-cochaînes différentielles de T est
une relation d'équivalence.
Pour obtenir une définition rigoureuse des (0, Informes différentielles sur T, nous
devons introduire la notion d'atias distingué de T: un atlas analytique ((E/i,0i)i€j
de T est dit distingué ssi I est une partie de l'ensemble des ouverts non vides de T
et Ui = i pour tout i € I. L'intérêt de cette notion est que les atlas distingués de
T forment un ensemble. Il est clair que tout atlas de T définit, par suppression des
répétitions et réindexation, un atlas distingué et un seul ayant les mêmes ouverts de
définition des cartes; cet atlas distingué sera dit associé à l'atlas donné. Une (0,1)-
cochaîne différentielle de T sera dite distinguée ssi elle est associée à un atlas distingué.
Définition 25.4.6
Soit T une surface de Riemann. On appelle (0,l)-forme différentielle sur T (ou
simplement (O,l)-forme) toute classe d'équivalence de (0, l)-cociiajnes différentielles
distinguées de T.
Toute (0, l)-cochaîne différentielle de T (distinguée ou non) est équivalente à au
moins une (0, l)-cochaîne différentielle distinguée, donc définit une (0, l)-forme unique
sur T.
Étant donné une (0, l)-forme r\ sur T, on dira qu'une (0, l)-cochaîne différentielle
de T représente r) ssi elle est équivalente à au moins une (0, l)-cochaîne distinguée
appartenant à r\ ; s'il en est ainsi, elle est équivalente à toute (0, l)-cochaîne distinguée
appartenant à r\.
Nous allons voir que l'ensemble des (0, Informes sur T est muni d'une structure
naturelle de C-espace vectoriel: de façon précise, soit un atlas % = ((f/i,#i))ie/ de T;
on munit YlieI <€ (Ui) de sa structure naturelle de C-e.v.; l'ensemble des (0, l)-cochaînes
différentielles associées à % en est un sous-C-e.v.; or, on a:
Lemme 25.4.2
Soit deux atlas % = ((£/*, 0*))^/ et Y = ((V^r,))^ de T. Soit /x = (9j)jej une
(0, l)-cochaîne différentielle associée à Y; il existe une (0, l)-cochafne différentielle
A = {fi)iei associée à ^ équivalente à /z.
Démonstration:
• Fixons i € I . Pour tout j € J tel que Ui H Vj ^ 0, soit (fij la fonction (de classe
c€°° ), définie sur ^ n ^ , égale à la restriction de Qj (-^(tj o9~l) ooA . Montrons
qu'il existe une fonction fi e ^^(C/i) dont la restriction à UiDVj est ifij pour tout
j e J tel que Ui O Vj ^ 0. Il s'agit de montrer que pour tout (j,k) € J x J tel que
UiHVjHVk ^ 0, les restrictions de <pitj et <pitk à UiHVjDVk sont égales. Soit donc un
tel couple (j, k). On va apliquer le théorème des C-dérivations de fonctions composées.
Pour ne pas alourdir les notations, il est entendu que dans le calcul ci-dessous, les égalités
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 299
de fonctions écrites concernent non les fonctions écrites, mais seulement leurs restrictions
à UifWjnVk-.
^Muwnv^^fy7"0^001)
= 9J(J-z((rkOT71)o(rjoe-l))oe^
= 9k( (J^(Tk o r"1)) o tj o e-1 o eA ( ±(Ti o e-1) o *4)
= s> (-^fo^r1)) <>* = <& (^00<>«i)
~~ ^i»J'lc/invinVfc
et comme (j, fc) est arbitraire, l'existence de fi est bien prouvée.
• Dans ce qui précède, l'indice i est arbitraire. On a donc défini À = (fi)iei , élément
^e Iltçj^00^) • Montrons que À est une (0, l)-cochaîne différentielle. Soit (z,j) € Ixl
tel que Ui H Uj ^ 0. Soit f € J tel que t/* O U3; n Vfc ^ 0. En adoptant la même
convention que ci-dessus pour l'écriture des restrictions, on a:
= ('Wv0((^°O)°*;)
Comme cela a lieu pour tout k , et comme Ui H C/j = Ufc€jt UinUjC\vk^Ui D ITj O V& , on
conclut (toujours avec la même convention sur les restrictions) que:
et comme (i,j) est arbitraire, cela achève de montrer que À est bien une (0, l)-cochaîne
différentielle.
• Il reste à vérifier que les cochaînes À et /i sont équivalentes. Tout revient vérifier
les conditions de transition (52)-(53) avec les couples {9i,Tj) et (Tj,0i). La définition
même des fi donne les conditions de transition avec les couples (tj,0$) ; on laisse au
lecteur le soin de vérifier les autres conditions de transition, ce qui ne présente aucune
difficulté ■
Reprenons l'atlas °\i = ((E/i,0i))ie/ de T. En associant, à chaque (0,l)-cochaîne
différentielle de % la (0, l)-forme différentielle qu'elle définit, en vertu du lemme 25.4.2,
on a une bijection (dite nature/Je) de l'ensemble de ces cochaînes sur l'ensemble de toutes
les (0, Informes de T ; par transport de structure à l'aide de cette bijection, cela définit
une structure de C-e.v. sur l'ensemble des (0, Informes de T ; on vérifie que la structure
300 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
de C-e.v. ainsi obtenue ne dépend pas du choix de °lL: c'est la structure voulue. Le
C-e.v. ainsi défini sera noté ^o?i(T).
Soit g € <%°°(T), et soit un atlas °lt = ((!/»,0i))i€/ de T. Pour tout i € J,
posons fi = qJ oOi. En utilisant (54), on vérifie que (fi)iei est une (0,1)-
cochaîne différentielle; la (0, l)-forme qu'elle définit ne dépend pas du choix de l'atlas °U,
et sera notée d^-g, ou simplement dg si aucune confusion n'en résulte. L'application
~dr : ^>°°{T) -> il™i(T) est C-linéaire. Son image est un sous-C-e.v. de il^i(T), qui
est appelé J'espace des (0,1)-formes exactes de T. En général, c'est un sous-espace
strict de ilç?i(T). Les définitions d'une fonction holomorphe sur T et de l'opérateur
dr montrent immédiatement que
(55) Ker (5T) = X{T)
Soit T' un ouvert non vide de T et soit une (0, l)-forme r\ sur T, représentée par
une (0, l)-cochaîne (ft)i^i associée à un atlas °lt= ((£/*, 0O)te/ de T. Soit J l'ensemble
{j e I I T' O Uj ^ 0} . Il est immédiat que (fj\unr,)jeJ est une (0, l)-cochaîne
différentielle sur T', associée à l'atlas °U! = ((U'^e^,))^ de V (où f/j =T'C\Ui
pour tout i). Cette cochaîne définit une (0, l)-forme 'différentielle ry; de T', dont on
vérifie facilement qu'elle ne dépend que de r\ et non du choix de la cochaîne (fi)iei
qui représente n. La forme rf s'appelle la restriction de r\ à T'. L'application de
restriction
(56) RestrT,T< : Sl%i(T) —> ftft(T'), r;.—. r;'
est C-linéaire, et n'est en général ni injective ni surjective. On vérifie sans peine la
propriété de commutation:
(57) drf o Restrr.T' = Restr^T' ° #r
Notons que Restrr,r = Id^oo (x) • Enfin il y a transitivité des restrictions: si T', T"
et T'" sont des ouverts non vides de T tels que Tm C T" C T', alors
(58) Restrr'.T'" = Restrr",T'" oRestrj^j»
Nous avons vu plus haut qu'étant donné un atlas °IL = ((£/*, 0i))içj de T,
l'application qui assigne, à toute (0, l)-cochaîne différentielle associée à °lt, la (0, l)-forme qu'elle
définit, est bijective; la définition de la structure d'espace vectoriel complexe de Slç£x{T)
montre que cette bijection est linéaire. Cela s'applique notamment dans le cas (s'il
est possible) où °U est réduit à une seule carte, auquel cas l'espace des (0, l)-cochaînes
différentielles associées à °\i n'est autre que ^>°°{T). On voit ainsi que:
Pour toute carte (U,0) d'une surface de Riemann T, le C-espace vectoriel ^^(U)
s'identifie, à i'aide de ia bijection naturelle définie par cette carte, à £lç£i{U) •
Mais il importe de noter que l'identification ci-dessus entre ^^(U) et iï(£i(U) ne
dépend pas que de l'ouvert U, eJie dépend aussi de 6, et si on change 0 en gardant
U, la bijection d'identification change selon la loi (52)-(53). Plus précisément, pour une
carte {U,6) donnée, la bijection d'identification C600(C/) —► Œg^t/) définie par cette
carte associe à la fonction constante lu une (0, l)-forme sur U, qui n'est autre que
06. Alors £lç£i(U) est un cê°°(^)-module libre de dimension 1 dont 86 est une base.
Si (C/, if) est une autre carte de T définie sur le même ouvert U , on a, d'après (53):
(59) d0=(-^-(0o(p-i)o<p\ dip
Si V est un ouvert non vide de T contenu dans U , alors (V, 01 ) est une carte de T,
et on a:
(60) d(0\ ) = RestrUtV(dO)
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 301
Reprenons un atlas °IL = ((t/i,^i))i^/ de T. Soit 77 e ÎΧ^(T), définie par une
(0, l)-cochaîne différentielle (fi)i€i • Pour tout i € I , la restriction de 77 à Ui est alors
fi-CBei).
Réciproquement, pour tout i 6 /, soit rfc = 0* • (90*) € fîo?i(f/i), où ^ G ^^(C/i).
Soit (i,j) € /xi tel que UiC\Uj =^0. Notons respectivement 77^ et 77^ les restrictions
de 77i et de 77^ à Ui n Uj ; de même, soit ôiyj et 0jti les restrictions de Qi et 0j à
Ui fl C/j , et soit gij et g^ les restrictions de gi et </j à Ui C\ Uj . D'après (59)_, on a
Vij = 9ij ' (dOi,j) et T}jti = ^,i • (00j,t). Donc rjid = r}jyi ssi gij'jdÔjj) = gjyi • (<90j,i).
Mais d'après (58), cette condition équivaut à gjti — gij (-^(Oij< ° Ojl) o 6jA . En
revenant à (52)-(53), on en déduit que {gi)i^j est une (0, l)-cochaîne différentielle ssi
Tfij = r)ji pour tout (i, j) € Ixi tel que UiC\Uj ^ 0 . S'il en est ainsi, la (0, l)-forme 77
définie par cette (0, l)-cochaîne vérifie Restrx.t/^rç) = r\i pour tout i e I. En résumé,
pour qu'une famille (vôiei ^ïli^i^o^ii^i) soit la famille des restrictions aux Ui d'une
(0,1)-forme r} eQç^^T), il faut et il suffit que pour tout (z,j)€/x/ avec UiDUj ^0,
les restrictions de r\i et de rjj à U%r\ Uj soient égales.
Soit (Oi)iej un recouvrement ouvert quelconque de T. On laisse au lecteur le soin
de déduire du lemme 25.4.2 que l'application ftMerom(T) -♦ []»€/ ^Merom(^i) ayant pour
coordonnées les applications de restriction est injective.
Une propriété des espaces compacts
Pour tout sous-espace Y d'un espace topologique X , nous noterons AdhxC^)
l'adhérence de Y dans X .
Proposition 25.4.5
Soit E un espace topologique compact non vide et soit (Ui)iei un recouvrement
ouvert fini de F . Il existe un recouvrement ouvert {Vi)iç.i de E tel que pour tout
i e I y on ait AôhE(Vi) C Ui.
Démonstration:
• Soit E\,... ,En des espaces topologiques (où n 6 N ), et pour tout i e [l,nj,
soit Fi une partie quasi-compacte non vide de E%. Montrons que pour tout voisinage
O de T = Fi x • • • x Fn dans l'espace produit £ = Ei x • • • x En , il existe un voisinage
G de T contenu dans O et de la forme Q = G\ x • • • x Gn , où Gi est un voisinage
ouvert de Fi pour tout i E [l,ra]|. Par récurrence, on voit qu'il suffît de le prouver pour
n = 2 . Soit alors O un voisinage ouvert de T = F\ x F2 . Pour tout x = (xi, x2) € ,F,
soit t/x un voisinage ouvert de x\ dans E\ et Vx un voisinage ouvert de X2 dans E2
tels que £/x x Vx C O. Pour tout xi € Fi, les f/(Xllî/) , où y décrit F2 , recouvrent
la partie quasi-compacte {xi} x F2 de £, donc on a une partie finie JXl de F2 telle
que {xi} x F2 C Uyej.^l/^y) x V(xi)J/)) ; l'ensemble LXl = ny€jxil/(a.1>y) est alors
un voisinage ouvert de xi dans E\ , l'ensemble MXl = Uy€jx V(Xlî/) est un voisinage
ouvert de F2 dans F2 , et on a LXl x MXl C O . Quand Xi décrit F\, les LXl
recouvrent F\ , donc on a une partie finie I de Fi telle que F\ C UXie/LXl . Alors
Gi = UXl6/LXl est un voisinage ouvert de Fi dans E\ , l'ensemble G2 = nXlç/MXl
est un voisinage ouvert de F2 dans F2 , et on a Fi x F2 C Gi x G2 C 0. L'assertion
voulue est prouvée.
• Prouvons maintenant la proposition. Pour tout i € I , posons Fi = E\Ui. Les Fi
sont des sous-espaces compacts de E, et par hypothèse n^/Fi = 0. Cela signifie que
dans l'espace produit E1, qui est compact, l'ensemble T = Yliei F* ne rencontre pas la
diagonale A (image de l'application 6 : E —► E1 qui associe, à tout x e E, l'élément
(Ci)te/ de F7 tel que & = x pour tout i). Cette diagonale est un fermé de E1 (car
F est compact donc séparé), donc O = E1 \A est un voisinage ouvert de T. D'après
la première partie de la démonstration, on a donc une famille (Gj)ie/, où Gi est, pour
302 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
tout i, un voisinage ouvert de Fi, tels que Yiiei Gi C O. Pour tout i e I, soit Hi un
voisinage compact de Fi contenu dans Fi (un tel voisinage existe, car Ei est compact
donc localement compact; pour chaque x € Fi, on note W^ un voisinage compact de
x contenu dans Gi ; on recouvre Fi par un nombre fini des Wx , la réunion de ces Wx
en nombre fini est un voisinage Hi qui convient). Pour tout i £ I, soit Vi = E \ Hi :
c'est un ouvert de E, on a Adhjç;(Vi) C Ui, et comme PLé/ Hi ne rencontre pas ^,
on a OieiHi = 0 , c'est-à-dire U^/Vi = E ■
Le théorème fondamental
Théorème 25.4.4
Soit T une surface de Riemann compacte. Le C-e.v. H1(T) est de dimension finie.
Démonstration:
Première étape
Soit un réel r > 0 et soit Sf = Dr ; il est trivial que $P admet un atlas analytique
fini ( (Sf,Idy) est un atlas à une seule carte). On va montrer que H1^) = {0} . Soit un
recouvrement ouvert # = (Ui)iei € Çy, et soit Ç G Z1^,^) ; on posera ( = (fij) »
où (i,j) décrit la partie de I x I définie par Ui C\ Uj ^ 0. Il s'agit de trouver une
cochaîne (fi)iei € CH°(Sf,#) telle que pour tout (i,j) e I x I avec Ui fï Uj^ 0 , on ait
Ai = Uj ~ fi)\Uinu. '
• Commençons par construire une famille (gi)iei, où <7j est, pour tout i e I, une
fonction C/* —► C de classe ^^ , telle que fcj = (g3-, - ^)| pour tout couple
(ij) e I x I avec UiC\Uj ^ 0. Soit {(fi)i£i une partition de* l'unité de £f telle que
Supp(^i) C E/* pour tout i (théorème 25.4.1). Pour tout (i, j) e I x 11 notons fij la
fonction if —► C obtenue en prolongeant /* ^ par 0 hors de Ui O t/j si Ui C\ Uj ^ 0 , et
la fonction nulle si Ui H U3? = 0 . Soit t € / ; soit j € J ; comme on a:
^ = (^i\supp(^))u(^n^-)
la fonction (fjfjj est de classe cê°° . La fonction gi = (5^j€/ ^i A.OLr est a^ors ^en
définie et de classe cê°° sur l/i. C'est vrai avec tout i. Montrons que la famille (gi)iei
répond à la question. Soit (i,j) e I x I tel que t/j H [/, ^ 0 . Pour tout z e UiC\Uj ,
on a:
(61) fc(z)-ff«(z) = £(**W^
fc€J *€/
Pour tout k e I tel que C/* D Uj D t/fc ^ 0 et pour tout z € E/i fl C/, 0 t/fc , on a
fkj(z) — fk,i(z) = /i,j(z) » d'où l'on déduit facilement que
(62) (Vz e Ui n Uj) <ph{z) (/^(z) - A») = <pk(z)fiA*)
En reportant (62) dans (61), on obtient:
(63) (Vz € UiClUj) feW-ftW = 5>Jb(*)/u(*) = fewk(*)) fiA*) = /«.*(*)
ce qui achève la construction de la famille (g^i^i.
• Pour tout i € J, soit ^ = ^ . Si (t, j) e I x I est tel que ^n^/0, comme
/itJ- est holomorphe sur t/* D [/, , on a &{ = tpA . Il existe donc une fonction
ip : if —► C de classe <të telle que ^| = ^ pour tout z € J. D'après le théorème
25.4.2, on a une fonction g : if —► C de classe «të00 telle que |§ = ip . Pour tout i € J ,
posons fi = gi- g\Vi ; on a %■ = ipi - ipi = Qux , donc /i € 3K(C/i) ; d'autre part, pour
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 303
tout (i,j) e I x I tel que Ui n C/j ^ 0, on a /^(z) = £,(*) - £i(z) = fj{z) - fi(z)
pour tout z eUiC\Uj , donc la cochaîne (fi)iei € CH°(£f,^) admet ( pour cobord, ce
qui achève la première étape.
Deuxième étape
Soit T une surface de Riemann admettant un atlas analytique fini, et soit # = (Ui)i^j
un élément de 3V tel que H1(C/i) = {0} pour tout i e I. Nous allons montrer que
l'application linéaire \<p : H1(T,^) —► HX(T) est un isomorphisme (cette propriété est
appelée le lemme de Leray).
D'après la proposition 25.4.4, l'application }# est injective, et pour établir sa surjec-
tivité, il suffit de prouver que toutes les applications 1$^ , où & € Çr et où # •< & , sont
surjectives. Soit donc & = (Vj)j^j tel que # ■< & , et soit r : J —► / une application de
raffinement de # à # . Soit (/a,/î)(a,/3)€Jx7,^01^9*0 un élément de Zl(T^). Fixons
i€ I. Soit Hi = {a G J | Ui n Va ^0} . La famille Gi = (wi>Q)a€Hi = (tf< H Va)a€i/i
appartient à Çj/. ; si (a,/3) £ HixHi avec o^riu^ ^ 0 , soit /ii,Q>/3 = /a,/?| _ ;
il est immédiat que la famille (hi}Qy(s) ainsi définie appartient à Z1 ([/»,©,). Comme
H1(t7i) = {0}, on a une 0-cochaîne (gQfi)a€Hi € CH°(C/i,@i) telle que pour tout
(a,/?) € Hi x Hi avec u;i|Q Pi u;^ ^ 0, on ait h^atp — 90,i - <7a,i • Comme i était
arbitraire, cette construction est désormais acquise pour tout i € I.
Fixons alors (i, j) e I x I tel que tel que UiDUj ^ 0. Pour tout (a,P) e J x J
tel que Ui n £/, n Va n V/3 ^ 0 (ce qui entraîne (a,/?) € (if* H JJ,-) x (Hi n Jfy) ), les
restrictions de ^tJ - paj et de g^^ — gayi à Ui D C/j 0 Va fl V/? coïncident avec celle de
fa,/3 > donc les restrictions de gaj — ga>i et de g@j — gpyi à Ui O Uj n Va fl V/3 coïncident;
on en déduit Pexistence d'une fonction holomorphe (pitj 6 yC(UiC\Uj) telle que pour tout
a e Hi H if, vérifiant ^0^0^^, on ait ^1^.^ = (&m - ^l^nc/.n^ '
Comme le couple (z, j) était arbitraire, on a ainsi défini (<Pij) € CH1(T,^), et il est
immédiat que cette cochaîne est un 1-cycle. Soit respectivement f et r\ les éléments
de H1(T,$) et de H1(T,^r) définis par ((fij) et (/<*,#). Par définition de i<j>,# , pour
montrer que i#,#(—0 = 7/, il suffit de montrer que pour tout (a,/?) 6 J x J tel que
Va H Vfc ^ 0 , on a /ttf/, - VMa),^)^^ = (P/j,r(« " 9art*))\VanVfi •
Fixons donc (a,/3) € JxJ tel que VQnV/j ^ 0. Comme V"a C E/r(a) et V/jC #t(/?) »
la construction des Wij montre ici que
(64) -<PT(a),T(0)\VanV, = (9atr(0) ~ 9atr(a))\VtknVp = (S/M« ~ 90tT(«))\VtknVp
tandis que
(65) faj = {g0ir(/3) - 9atr(0))\VanVfi = (ff/M«) " ^(«J^nlfe
En additionnant membre à membre (64) et (65), on obtient:
ce qui prouve bien que i*,^(—0 = rj ; d'où la surjectivité de t^^ . Comme & était
arbitraire (soumis à la seule condition 0 ■< #), cela achève de prouver que j# est un
isomorphisme de nl(T,$) sur HX(T), ce qui était le but de la deuxième étape.
Troisième étape
Puisque la surface de Riemann T est compacte, on peut fixer, et on fixe, un atlas
€ = {{Oi,8i))iç.i fini de T tel que 6i(Oi) soit, pour tout i 6 /, un disque ouvert
borné non vide de C . Notons Q le recouvrement ouvert (Oi)iej . D'après les résultats
de la première et de la deuxième étape, l'application \n : H1(T, Q) —► HX(T) est un
isomorphisme. Il en découle que pour tout recouvrement ouvert O de T tel que i? •< Q ,
l'application i^e : HX(T,i?) —► Kl(Ty&) est un isomorphisme.
304 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
En appliquant la proposition 25.4.5, on a un recouvrement ouvert (U^i^i de T
tel que Adhr(t^) C Oi pour tout i. Pour tout i € 7, l'ensemble 0i(Adhr(!/»')) est
un compact de 6i(Oi), donc il existe des disques Fi et Ai de C, de même centre
que 0i(Oi), respectivement fermé et ouvert, tels que 0i(Adhx(ï//)) C Fi C Ai et
Adhc(A) C Oi(Oi) ; notons: A , l'intérieur de Fn Ui = 6l1{Ai) ; et Vï = ^(A) ;
les familles # = (t/i)i€j et îP = (y%)i€i appartiennent à $r , et pour tout z € 7,on a
Adhr(V5) = e-l{Fi) C t/i et AdhT(^i) C O*.
Il est facile de voir qu'il existe une partition de l'unité (<Pi)i£i de T de classe <H>°°
telle que Supp(y?i) C V% pour tout i E 7 (voir définition 25.4.1). En effet, soit {Wi)%^i
un recouvrement ouvert de T tel que Adhr(W») C VJ pour tout i ; pour tout i6 /,
l'ensemble 0i(Adhr(Wi)) est un compact de Di, donc on a une fonction ipi e %°°(Di)
qui vaut 1 sur 6i(Aâhr(Wi)) et telle que Supp(^i) C Di (proposition 25.4.1); soit Ui
la fonction T —► R+ obtenue en prolongeant par 0 sur T \ VJ la fonction ^ o (flj ) :
c'est une fonction de classe cê00 , qui vaut 1 sur Adhr(Wï). La famille (<£»)*€/ telle
que ifi = vrJ£i— Pour tout * ' est une Partiti°n de l'unité répondant à la question.
Nous noterons respectivement # et & les recouvrements ouverts (t/»)^/ et (V^)^/
(on a # 6 3V et ^ € 3V )• Nous noterons respectivement ^ et V les atlas de T,
respectivement associés aux recouvrements ouverts # et &, définis par les restrictions
des 0i aux [/* et aux VJ. On va utiliser les espaces CH§(T,°U), z£(T,°U), CH§(T,V),
et zJ(T,V). On munira CH§(T,°U) et CH^(T,T) des structures hilbertiennes naturelles
produit (cf. formules (37) et (38)); leurs normes sont définies par les formules (37), on
les notera respectivement H-U^et ||.||r. Il est clair que Z^T,^) et Z2(T,V) sont
des sous-espaces fermés de CH^T,0^) et CH2(T,Y) respectivement, donc ce sont des
espaces hilbertiens pour les structures préhilbertiennes induites.
Avec les notations de (40), il est clair que ^,*,id/(zl(^"» ^)) c z\{T,% • D'après les
remarques préliminaires de cette troisième étape, l'espace HX(T) est donc complètement
représenté par les éléments de Z^T^) ; de même, il est complètement représenté par
les éléments de z\{T,Y). On notera p = Qq^^j •
Pour démontrer que H2(T) est de dimension finie, on va définir un sous-espace de
dimension finie approprié T de H1(T, ^) dont l'image par \$ est égale à HX(T). La
construction de F va dépendre de la proposition 25.4.2 et du classique théorème de
Banach qui dit qu'une application linéaire continue et surjective entre espaces de Banach
est ouverte (cf. par exemple [5]).
• Soit H l'espace hilbertien produit z\(T,Y) x Z^T,0!!) x CH§(T,V). Sa norme sera
notée ||.||. On a donc || {a.b.c) || = (\\a ||2r+ || b \\\+ \\ c\\2y)i pour tout (a,6,c)ei7.
Notons p la projection naturelle de H sur le premier facteur:
(.66) p: H—>zl(T,Y)y (a,b,c) — a
On voit aisément que l'application C-linéaire <5# : CHÎ^TjV) —> z\(T,Y) est continue,
et p est continue. Le sous-C-espace vectoriel L de H formé des triplets (a, 6, c) tels
que 6#(c) = a — p(b) est donc fermé dans H. On notera w la restriction de p à L.
Montrons que tu est surjective.
Soit f = (/i^-) € z\(T,V). En utilisant la partition de l'unité (<£>*), on
construit comme dans la première étape de la démonstration une famille {Qi)iç.i de
fonctions, avec gi € %°°{Vi) pour tout i, telle que fitj = (^ - <fc)| pour tout
(i,j) 6 7x7 vérifiant Vi C\ Vj ^ 0. Avec des notations analogues à7 celles de la
première étape, il suffit de prendre gi = ( ^2jeI (fi /j,i)L pour tout i ; l'hypothèse que
£ est de carré intégrable entraîne que pour tout j € 7 tel que Vi H V2 ^ 0, on a
/^ G £2(F0 , et par suite 9i e C2(Vi).
Comme les faj sont holomorphes, pour tout (i,j) 6 I x I avec Vi C\ Vj ^ 0, on a
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 305
d(fij) = 0 , donc les restrictions de dgi et de dgj à V* fi Vj sont égales. Il existe donc
une (0, l)-forme différentielle r\ G ^^(T) dont, pour tout i, la restriction à V* est
~dgi. Pour tout i, la restriction r/» de r\ à O* s'écrit de manière unique rji = ^ • (90»),
avec £i G %°°{Oi). Mais comme 0i(0i) est un disque ouvert de C, le lemme de
Dolbeault (théorème 25.4.2) montre l'existence d'une fonction fa G ^^(O^Oi)) telle
que ^ = ti o 6~l . La fonction hi = fa o 9i appartient alors à %°°{Oi), et on a:
(67) dht = UAz&i ° ^r1)) ° fli) dOi = 4 • (Sfli) = r/i
Pour tout (i,j) £ Ixi avec OiCiOj ^ 0, les restrictions de 9/ij et dhj à GiflO* sont
égales, i.e. d((hj - hi)\Q ) = 0 , autrement dit hiyj = (hj - K)^^ G #(0< n 0,) ;
on notera /* • la restriction de h^ à C/» PI C/, . Puisque Adhr (Uk) C <9fc pour tout k ,
il est clair que ffj G Stf2^ O Uj). La famille £* = (fïyj)(i,j)eixitUiCiUj& (Qui est bien
définie parce que t/» fl C/j ^ 0 implique 0* fl C^- ^ 0 ) est une 1-cochaîne associée à #,
de carré °lL-intégrable, et il est clair que c'est un 1-cocycle. Finalement, on a:
(68) **=</{,)/(IJ)«,X, 6Zi(T,«tt)
Pour tout i G J , soit a* = ^ - (hA ) (donc a» G ^^(Vi) ). En tenant compte que
Restrx,vri(^?) = dgi et en utilisant (67), on a:
doti = Restrr,v;(^) - RestroiyVi(dhi) = RestrT,V;(rç) - Restro.^ifc) = 0
donc a» G 3C(Vi) ; mais hA est (trivialement) de carré °ll-intégrable; on a vu plus haut
que gi est de carré °ll-intégrable; on a donc a* G 3€2(Vri). Pour tout (i, j) G I x I
avec Vi H VJ ^ 0, on a h A - hA = ^i,jL = fij\v > donc le cocycle défini par
les /ijl — hA n'est autre que p(^). Finalement, on a construit une 0-cochaîne
a = (ai)ieI G CH§(T,y) et un cocyle & G z£(T,°U) qui vérifient:
(69) M«)^-^)
d'où (^,^,a) G L et tu((£,fB,a)) = f, ce qui achève de prouver la surjectivité de w .
• Appliquons maintenant le théorème de Banach rappelé plus haut. Puisque w
est linéaire continue et surjective de l'espace de Banach L dans l'espace de Banach
zJCZ"»0^) > eu<e est ouverte. On a donc un réel C > 0 tel que tout élément a G Z^T, Y)
vérifiant || a || < 1 soit de la forme a = p((a, 6, c)) avec (a, b,c) € L et || (a, 6, c) || < C .
Remarquons que si (a,b,c) G fl" et si on a ||(a,6, c)\\ < C et || a || = 1, alors
Il (b,c) || < C (l'espace Z^T,0!!) x CH2(T,Y) étant muni de la structure hilbertienne
produit, dont la norme est encore notée ||. || ), ce qui entraîne Max(|| b \\, || c ||) < C . On
aboutit donc à la conclusion suivante:
,7m / Pour tout £ G z£(T, Y), ii existe /? G CH^(T,Y) et C € z£(T,<U) teis que
UUJ \M/3) = e-p(C) etMax(||Clk,||/3||r)<C||e||r.
(l'assertion est triviale si £ = 0, et si f ^ 0, elle se déduit de ce qui précède en
prenant a = im £ et en considérant un élément de L de la forme (a, 6, c) tel que
Il (a,b, c) || < C, puisqu'on a vu qu'un tel élément existe).
• Nous pouvons maintenant définir le sous-espace de dimension finie T de Hl(T,$)
tel que i^(^) = HX(T). En fait, on va construire un sous-espace F de Z^T,^) de
dimension finie dont l'image canonique T dans HX(T, #) répond à la question.
Soit un réel e tel que 0 < e < £ . On déduit facilement de la proposition 25.4.2 qu'il
existe un sous-C-espace vectoriel fermé E de Z^T,0!!), de codimension finie, tel que
pour tout C € E , on ait || p(£) ||r < e || C ll^* On note F le supplémentaire orthogonal
de E dans Z^^,0^) î c'est un sous-espace de dimension finie, et on a
(71) zl(T,<U)=E@F
306 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
la somme directe interne étant orthogonale. Nous allons voir que F convient.
Pour cela, il suffit de prouver que tout f € Z^T,0!!) admet une décomposition de
la forme f = 6#{a) + r, avec a € Ch£(T,V) et r g p{F). En effet, alors rélément
de H*(T) défini par f sera aussi défini par p(r), et comme H1(T) est complètement
représenté par Z^T,^), il en découlera que H^T) est complètement représenté par
p(F), qui est de dimension finie sur C .
Partons donc de £ e zJ(T, V). D'après (70), on a Co € Z^(T,°U) et /?0 € CH^(T,T)
tels que:
(72) M0o)=£-P«b) ; ll<blk<C||É||v ; llfl>llv<C||É||r
Décomposons Co suivant (70): on a Co = Co + Co' > avec Co e E et Co € ^ • On a
donc || Co ||2* = Il Cô 111+ Il Co lll, d'où II Co lk < Il Co lk- D'après le choix deÊ.ona
Il p(Co) Il v < £ Il Ci lk < £ Il Co lk, d'où, d'après (72):
(73) \\p(OWv<(£C)n\\v
Réitérons ce processus en partant de p(Co) au lieu de £. On a Ci € Z^T,0!/.) et
01 eCH§(T,T) tels que:
(74) MA) = P«o)-P(Ci) ; llCilk<<?MCo)llr ; Il A ||V<C ||p(Co)llv
On a Ci = Ci +C" - avec Ci € JS et Ci' 6 F, d'où || Ci II*< ||Ci lk- 0n a donc:
(75) £ = Mfl,) + KCo) = MA>) + p(Co) + p(Co) = p(Ci) + MA) + A) + p(Co) + P(CÎ')
et en tenant compte de la propriété de E et de (73) et (74):
(76) ||/3i||r<£C2||e||r i ||p(Ci)llv<£||Cilk<£||Cilk<(^)2lieilr
Par récurrence, on construit ainsi des suites (/?i)i>o , (C»)»>o , (C')i>o et (Ct")«>o ,
respectivement dans CHP>(T,y), dans z^î","^), dans E et dans F, qui vérifient à tout
rang k les propriétés suivantes:
( Ck = Ck+ Ci'
É = P(Ck) + MA> + • • • + M + p(Co ) + • • • + p(0
(77) { IMCfc)||y<(*C)fc+1|ieily
\\0k\\y<ekCk+1n\\v
H&+ilk<C|lrtCfc)lly ; ll&+illv<C7||p(CÊ)llv
Puisque 0 < eC < 1, il découle de (77) que p(Ç'k) —> 0, et que la série Ylifo
converge absolument dans l'espace complet CH^T,0!/*) donc converge; on notera a sa
somme. Comme 6y est continue, on a 6#($H f-/?fc) —► 5^(cr). D'après la deuxième
équation (77), en posant r = f - <S^(a) et 5fc = /p(Co') 4- 1- p(Cfc ), on a Sfe —► r .
Mais p(F), étant un sous-C-e.v. de dimension finie, est fermé dans z\{T^Y), et on a
5fc G p(F) pour tout k ; donc r G p(F). Finalement, on a obtenu f = f>#(a) -h r , avec
a € CHÎ^T, Y) et r € p(F), ce qui achève la démonstration ■
Remarque 25.4.1 :
Avec les notations du théorème 25.4.4, si T est compacte et connexe, on peut montrer
que la dimension du C-espace vectoriel HX(T) est en fait égale au genre de T sur C.
La méthode consiste à mettre en dualité cet espace et le C-espace vectoriel, dont il sera
question à la section suivante, des formes différentielles holomorphes sur T. Le résultat
découle alors du théorème 25.5.6 +
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 307
25.4.6 Construction de fonctions méromorphes
Théorème 25.4.5
Soit T une surface de Riemann compacte, et soit des points x\,..., xn de T deux
à deux distincts, avec n > 2. Soit (j/i,... ,yn) 6 Cn . Il existe une fonction
méromorphe f sur T telle que f(xi) = y\ pour tout i 6 [l,nj . En conséquence, il
existe sur T des fonctions méromorphes non constantes.
Démonstration:
Puisque T est compacte, l'espace de cohomologie H1(T) est défini, et d'après le
théorème 25.4.4, il est de dimension finie sur C. Soit d = dime(H1(T)). Fixons
a € T. Soit une carte locale (U, 6) de T au point a, telle que A = 9{U) soit un
disque de la forme Dr , avec r € 1R+ . Notons V = T\ {a} . La famille & = (U,V) est
un recouvrement ouvert de T, qui appartient à 3V . On a:
CH1 (X, 0) = W(U) x K(V) xW{UnV)x W{V n U)
et on sait que l'application linéaire canonique \$ : Hl(T,$) —► HX(T) est injective.
Pour tout j e [1, d + 11, notons hj la fontion U D V -► C, £ ^ (0(f))~j • On a
/ij € 2C(E/ fi V). On lui associe l'élément suivante., de zl{T,$) :
(78) Cj = {0u,0v,hj,-hj)
Puisque les cocycles Cj sont au nombre de d+1, il existe (Ai,..., A<*+i) € C +1 \{0} tel
que ^=!+1 \jCj € 6$(CH°(T, $)), ce qui équivaut à la propriété que pour des éléments
convenables / € %C(U) et g e 2C(V) , on a:
(™) E X>h>=9\unv-f\unv
Alors la fonction Aa : T —* C qui coïncide avec # sur V et vaut oo au point a est
méromorphe et admet a pour pôle (c'est l'unique pôle), parce que (Ai,..., A<f+i) =^ 0 .
Elle est donc non constante. Cette construction peut être faite avec tout a € T.
Pour tout (i,j) e [l,nj tel que i ^ j , soit M^ la fonction méromorphe sur T
définie par Mij = i+a~_% L a ; on a Mij(x^) = 1 et Mij(xj) = 0. La fonction
m=e*m n m^
*=1 \j€[l.n]\{t}
appartient à Meromx(T), et on a M(xi) — yj pour tout i € [l,ra] ■
25.4.7 Les (i,o) -formes d'une surface de Riemann
Venons-en maintenant à la définition des formes différentielles ordinaires d'une surface
de Riemann, encore appelées les (1,0)-formes de la surface. La définition est voisine de
celle des (0, l)-formes, mais l'opérateur de dérivation considéré est ici la dérivation au
sens ordinaire |j des fonctions holomorphes par rapport à la variable complexe z, et
non l'opérateur de Dolbeault |= . Entre les (0, Informes et les (l,0)-formes, la symétrie
n'est qu'apparente. De profondes différences apparaissent, à cause de la spécificité de
l'holomorphie. Il faut remplacer les espaces ^^(U) par les espaces M(U) (de fonctions
méromorphes sur U ). Toutes ces raisons justifient un traitement séparé des (1,0)-formes
différentielles. Pour la terminologie (1,0)-cochaîne différentielle, cf. note (3) ci-dessus.
Soit une fonction méromorphe / : u) —► C, où u) est un ouvert de C, et soit U
le complémentaire dans u) de l'ensemble de ses pôles. La fonction U —► C, z »—► /'(z)
308 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
est holomorphe et se prolonge de manière unique à w en une fonction méromorphe g ;
en fait, tout pôle a de /, de multiplicité v, est pôle de g, de multiplicité v + 1.
Par abus de langage, cette fonction méromorphe g sera encore notée /'. L'application
Merom(u>) —* Merom(cj), / h-* /' est une C-dérivation, qu'on notera |j .
Soit T une surface de Riemann. Notons respectivement ?C et M le faisceau des
fonctions holomorphes et méromorphes sur T, et soit °IL = ({Ui,9i))i^j un atlas
analytique de T. Nous appellerons (l,0)-cochaîne différentielle méromorphe (resp.
holomorphe) associée à °H toute famille {fi)i^i, où /» € jM,(£/i) pour tout i (resp.
fi € 3f(C/i) pour tout i ), vérifiant la condition suivante:
(80) ( V(«,j) € / x /) (V£ € Ut n tf,-) /i(0 = fi(0((Dij o ^)(0)
où l'on a posé, pour tout z € ôj(Ui C\Uj) :
(81) A,iW = (-^(fto^))(z)
Cette définition a un sens, parce que Dij {z) / 0 pour tout z . Elle est suggérée par la règle du
changement de variable appliquée à l'opérateur^ de dérivation complexe |j : soit S un ouvert
non vide de C et T un ouvert non vide de C ; soit y : S —> T et g : T —> C des fonctions
méromorphes; on a alors la formule de changement de variable:
(82) 2^w.(|(vW))gw
Au lieu de (l,0)-cochaihe méromorphe, on parlera simplement de (l,0)-cochaîne.
Deux (l,0)-cochaînes différentielles associées à des atlas °lt et Y sont dites
équivalentes ssi la famille somme de ces cochaînes est une (l,0)-cochaîne différentielle
associée à l'atlas ^tlUY somme des atlas °IL et Y (cf. définition 25.2.3), est encore une
(l,0)-cochaîne différentielle. L'équivalence entre (1,0)-cochaînes différentielles de T est
une relation d'équivalence. Une (l,0)-cochaîne différentielle de T sera dite distinguée
ssi elle est associée à un atlas distingué.
Définition 25.4.7
Soit T une surface de Riemann. On appelle (l,0)-forme différentielle
méromorphe sur T (ou simplement (1,0)-forme méromorphe, ou même (1,0)-forme)
toute classe d'équivalence de (1,0)-cochaînes différentielles méromorphes distinguées
de T. On appelle (l,0)-forme différentielle holomorphe sur T (ou simplement
(l,0)-forme holomorphe) toute classe dyéquivalence de (1,0)-cochaînes
différentielles holomorphes distinguées de T .
Toute (l,0)-cochaîne différentielle méromorphe (resp. holomorphe) de T, distinguée
ou non, est équivalente à au moins une (l,0)-cochaîne différentielle méromorphe (resp.
holomorphe) distinguée, donc définit une (l,0)-forme méromorphe (resp. holomorphe)
unique sur T.
Etant donné une (l,0)-forme r\ sur T, on dira qu'une (l,0)-cochaîne différentielle
de T représente r\ ssi elle est équivalente à au moins une (l,0)-cochaîne distinguée
appartenant à r\\ s'il en est ainsi, elle est équivalente à toute (l,0)-cochaîne distinguée
appartenant à r\.
Nous allons voir que l'ensemble des (l,0)-formes sur T est muni d'une structure
naturelle de j(/l(T)-module: de façon précise, soit un atlas °IL = {(Ui,6i))iej de T; on
munit riie/ M>(Ui) de sa structure naturelle de il(T)-module (pour i e I, le produit
d'une fonction g G M(T) par une fontion / e M(Ui) est le produit de / par la restriction
de g à Ui ); l'ensemble des (l,0)-cochaînes associées à °îl en est un sous-j(/l(T)-module.
Or, on a:
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 309
Lemme 25.4.3
Soit deux atlas % = {{Uu9i))ieI et V = {{V^tj))^ de T . Soit \l = {9j)jeJ ™e
(l,0)-cochaïhe associée à V; il existe une (l,0)-cochaîne À = {fi)iei associée à °ll
équivalente à /i.
Démonstration:
• Fixons i e I. Pour tout j e J tel que Ui n V} ^ 0 , soit y?» j la fonction (de classe
cê°° ), définie sur £7» fl V} , égale à la restriction de gj (-^{tj oO'1) o 0^ . Montrons
qu'il existe une fonction fi € ^^(Ui) dont la restriction à U%C\Vj est <piyj pour tout
j € J tel que Ui fl Vj ^ 0. Il s'agit de montrer que pour tout (j, A;) € J x J tel que
£7* fl V} H Vit ^ 0 , les restrictions de <pij et ^^ à £7^01^014 sont égales. Soit donc un
tel couple (j, k). On va apliquer le théorème des C-dérivations de fonctions composées.
Pour ne pas alourdir les notations, il est entendu que dans le calcul ci-dessous, les égalités
de fonctions écrites concernent non les fonctions écrites, mais seulement leurs restrictions
h UiD Vj H Vk :
= ft(-^((norj-1)o(rjoflr1))0«*)
- (»(é<*','î"»0T'))(l;(T'0 •!"'») °*
et comme (j, fc) est arbitraire, l'existence de fi est bien prouvée.
• Dans ce qui précède, l'indice i est arbitraire. On a donc défini À = (fi)i^j , élément
^e Hiei^00^) • Montrons que À est une (l,0)-cochaîne différentielle. Soit (i, j) e Ixl
tel que Ui O U0-^ 0. Soit f e J tel que Ui n U3; C\ Vk ^ 0 . En adoptant la même
convention que ci-dessus pour l'écriture des restrictions, on a:
Comme cela a lieu pour tout k , et comme Ui D £7^ = Ufe€j, ulr\Ujnvk^^i n £7^ n V* , on
conclut (toujours avec la même convention sur les restrictions) que:
et comme (i,j) est arbitraire, cela achève de montrer que À est bien une (l,0)-cochaîne
différentielle.
• Il reste à vérifier que les cochaînes À et /i sont équivalentes. Tout revient vérifier
les conditions de transition (80)-(81) avec les couples {OuTj) et (rj,6i). La définition
310 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
même des fi donne les conditions de transition avec les couples (r^, 0*) ; on laisse au
lecteur le soin de vérifier les autres conditions de transition, ce qui ne présente aucune
difficulté ■
Reprenons l'atlas °U = {(Ui,6i))iei de T. En associant, à chaque (l,0)-cochaîne
différentielle de °H, la (l,0)-forme différentielle qu'elle définit, en vertu du lemme 25.4.3,
on a une bijection (dite natureîîe) de l'ensemble de ces cochaînes sur l'ensemble de toutes
les (l,0)-formes de T ; par transport de structure à l'aide de cette bijection, cela définit
une structure de jM,(T)-module sur l'ensemble des (l,0)-formes de T; on vérifie que
la structure de jtt(T)-module ainsi obtenue ne dépend pas du choix de °lt: c'est la
structure voulue. Le jtt(T)-module ainsi défini sera noté fiMerom(T). Il est immédiat que
l'ensemble des (l,0)-formes holomorphes sur T est un sous-3€(T)-module de fîMerom(T) :
on le notera fiHolom(T).
Soit g € M(T), et soit un atlas °lt = ((£/i,0i))i€/ de T. Pour tout i € I, posons
fi = £z* o 6i. En utilisant (82), on vérifie que (fi)i^i est une (l,0)-cochaîne
différentielle; la (l,0)-forme qu'elle définit ne dépend pas du choix de l'atlas °lt, et
sera notée drg, ou simplement dg si aucune confusion n'en résulte. L'application
dr : M(T) — fiMerom(T) est C-linéaire et envoie 3C(T) dans fiHolom(T). Son image
est un sous-C-espace vectoriel de ŒMerom(T), qui est appelé Vespace des (1,0)-formes
exactes de T. En général, c'est un sous-espace strict de fiMerom(T). Les définitions
d'une fonction holomorphe sur T et de l'opérateur dq- montrent immédiatement que
Ker (dr) est le C-espace vectoriel des fonctions localement constantes (i.e. constantes
sur chaque composante connexe de T ) de T dans C .
Soit T' un ouvert non vide de T et soit une (l,0)-forme r\ sur T, représentée par
une (l,0)-cochaîne (fi)i^i associée à un atlas °lt= ((Ui,9i))iç.i de T. Soit J l'ensemble
{j € I I T' H Uj ^ 0} . Il est immédiat que (fj\n T,)jeJ est une (l,0)-cochaîne
différentielle sur T, associée à l'atlas <W = {{Up0j\^))j^j de T (où C/j = T' n C/i
pour tout i). Cette cochaîne définit une (ljOj-formeyifférentielle rf de T', dont on
vérifie facilement qu'elle ne dépend que de r\ et non du choix de la cochaîne (fi)iti
qui représente r\. La forme ni s'appelle la restriction de r\ à T'. L'application de
restriction
(83) RestrT,T' : aMerom(T) —♦ fiMerora(T'), r, ^ v'
est jM,(T)-linéaire, et n'est en général ni injective ni surjective. Il est immédiat que
Restrr.r = Idnjc0(r) • Enfin il y a transitivité des restrictions: si T', T" et T'" sont
des ouverts non vides de T tels que T'" C T" C T', alors
(84) Restrx',T'" = Restrr",T'" oRestr^T"
On vérifie sans peine la propriété de commutation:
(85) dr' o Restrx,T' = Restr^T' ° dr
Nous avons vu plus haut qu'étant donné un atlas °IL = ((Î7i,^i))»^/ de T,
l'application qui assigne, à toute (1,0)-cochaîne différentielle associée à °tl, la (1,0)-forme qu'elle
définit, est bijective; la définition de la structure de ^l(T)-module de QMerom(T) montre
que cette bijection est */d(T)-linéaire. Cela s'applique notamment dans le cas (s'il est
possible) où °U est réduit à une seule carte, auquel cas l'espace des (l,0)-cochaînes
différentielles associées à °IL n'est autre que M(T). On voit ainsi que:
Pour toute carte {U,0) d'une surface de Riemann T, le M(T)-module M(U)
s'identifie, à l'aide de la bijection naturelle définie par cette carte, à QMerom(U).
Mais il importe de noter que l'identification ci-dessus ne dépend pas que de l'ouvert
U , elle dépend aussi de 6 , et si on change 9 en gardant U , la bijection d'identification
change selon la loi (80)-(81). Plus précisément, pour une carte (U, 6) donnée, la bijection
d'identification M(U) —► ÇlMerom(U) définie par cette carte associe à la fonction constante
Chapitre 25 , § 4
Théorèmes de séparation 311
lu une (l,0)-forme sur U , qui n'est autre que dO (nous écrivons dd au lieu de d\jB ).
Alors îîMerom(f/) est un jH(ï/)-module libre de dimension 1 dont dO est une base. Si
([/, v?) est une autre carte de T définie sur le même ouvert U, on a, d'après (82):
(86) 86= ( — (ôo<p-1) o<p\ dip
Si V est un ouvert non vide de T contenu dans U , alors (V, 01 ) est une carte de T,
et on a:
(87) a(0|v)=Restrc/jV(9S)
Reprenons un atlas °lt = ((£/»,0i))i€j de T. Soit 77 e fiMerom(T), définie par une
(l,0)-cochaîne {fi)iei. Pour tout i 6 /, la restriction de 77 à Ui est alors /t • ddi.
Réciproquement, pour tout i e I, soit fy = gi • (90*) e fiMerom(£/i), où <fc e il(£/i).
Soit (i,j) € Ixl tel que UiOUj ^0. Notons respectivement 77^ et 77^ les restrictions
de rfi et de 77^ à 17» H t/j ; de même, soit 0ij et 0^ les restrictions de 0* et fy à
U{ H C/j, et soit ^ij et (7^ les restrictions de Qi et ^ à Ui f) Uj . D'après (85), on
a ^ = 9ij • (dOij) et 77^ = gjti • (00,,»). Donc 77^ = 77^,^ ssi gitj • (d0ij) = g^i •
{dOjj). Mais d'après (86), cette condition équivaut à gjti = g^j (^(0t,j ° Ojl) o 0^) .
En revenant à (80)-(81), on en déduit que {gi)iei est une (1,0)-cochaîne différentielle ssi
rjij = 77j,i pour tout (z, j) e I xi tel que U^Uj ^ 0 . S'il en est ainsi, la (l,0)-forme 77
définie par cette (l,0)-cochaîne vérifie Restrr,Ui(v) — Vi Pour tout i € I - En résumé,
pour qu'une famille (77^)^7 e Ili€j^Merom(^i) sojt ^a famille des restrictions aux Ui
d'une (l,0)-forme 77 G ftMerom(T), iJ faut et il suffit que pour tout (i, j) e I x I avec
UiCiUj ^ 0, les restrictions de rji et de rjj à UiCiUj soient égales. On a évidemment
un énoncé analogue avec des (l,0)-formes holomorphes.
Soit maintenant (Oi)iei un recouvrement ouvert quelconque de T. Le lecteur
déduira facilement du lemme 25.4.3 que l'application ftMerom(T) -> HieI ftMerom(0i)
ayant pour coordonnées les applications de restriction est injective. Mais ici on a mieux:
Proposition 25.4.6
Soit T une surface de Riemann connexe. Soit T' un ouvert non vide de T.
L'application de restriction ftMerom(T) -► ftMerom(T') est injective.
Démonstration:
Soit °lt = (Ui,6i)iç.j un atlas analytique de T tel que tous les Ui soient connexes.
Soit u e îîMerom(T) dont la restriction u/ à T' soit nulle. Pour tout i G /, soit Ui la
restriction de u à Ui, et soit fi l'élément de M(Ui) tel que u^ = fi - dOi. Il s'agit de
montrer que les fi sont tous nuls.
Soit J l'ensemble des i e I tels que fi = 0. Montrons d'abord que J ^ 0. Soit
i G I tel que Ui H T' ^ 0. Il est clair que la restriction de o;* à C/* H T' est nulle, i.e.
fi est nulle sur £/» n T'. Comme fi est méromorphe et comme Ui est connexe, il en
découle que fi = 0 , donc i e J .
Si Uiejf/i = T, alors u = 0 (et donc J = I). Montrons par l'absurde qu'il en est
bien ainsi. Supposons donc que O = U^iUi ^ T. Alors J' = I\J est non vide, et c'est
l'ensemble des j G I tels que Uj <fL O (appliquer le lemme 25.4.3 avec les traces des Ui
sur Uj ). Soit O' = UieJ'Ui ; les ouverts O et O' sont non vides, et on a T = OUO' ;
donc OnO' /8 puisque T est connexe. Il existe donc i e J et j e J' tels que
UiOUj 7^ 0. Alors la restriction de cjj à t/j H Uj est nulle, i.e. la restriction de fj à
C/i n Uj est nulle, donc fj = 0 puisque t/j est connexe et puisque fj est méromorphe;
autrement dit, j e J , ce qui est absurde. Cette contradiction montre que J = I, ce qui
achève la démonstration I
312 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Le théorème qui suit est vrai pour toute surface de Riemann connexe, mais comme
sa démonstration utilise le théorème de séparation, nous ne l'établirons que pour des
surfaces de Riemann compactes et connexes.
Observons d'abord que pour une surface de Riemann connexe T , la C-algèbre M(T)
est un corps, donc fiMerom(T) est un jH(T)-espace vectoriel. Lorsque T est compacte et
connexe (auquel cas M(T) est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C ),
nous verrons plus loin que ce jtt(T)-espace vectoriel s'identifie au jtl(T)-espace vectoriel
des formes différentielles algébriques 17ç(jM,(T)) défini au chapitre précédent.
Théorème 25.4.6
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe. Le M(T)-espace vectoriel
fiMerom(T) est de dimension 1.
Démonstration:
Montrons d'abord que ftMerom(T) ^ {0} . Soit / 6 M(T) \ C (cf. théorème de
séparation). S'il existait un ouvert non vide U de T sur lequel / soit constante,
notant À la valeur de cette constante, la fonction / — A serait nulle sur U , d'où / = A
puisque U est connexe. Cette contradiction montre que / n'est constante sur aucun
ouvert non vide de T. Compte tenu de la définition de df, on en déduit que 9/^0,
d'où l'assertion.
Fixons maintenant a € fiMerom(T) \ {0} . Soit °lt = (t/*, 9i)iei un atlas analytique de
T tel que tous les Ui soient connexes. Pour tout i e I, soit a* la restriction de a à
Ui, et soit fi l'élément de M(Ui) tel que a» = /» • dOi. D'après la proposition 25.4.6,
on a fi ^ 0 pour tout i. Soit f3 € fiMerom(T) ; pour tout i € I, soit fc la restriction de
(3 à Ui, soit Qi l'élément de M(Ui) tel que /?» = <?i • dOi, et soit <pi = % . Nous avons
vu à la suite de (87) que a et f3 sont respectivement définies par les (l,0)-cochaînes
(fi)iei et (gi)iei •
• Montrons que ^1^.^. = V3\unu. Pour tout (m) 6 ^ x I te^ <lue UiDUj ^ 0.
Soit en effet un tel couple (z, j). D'après (80), on a, pour tout £ € Ui n Uj :
(88) /i(0=/i(0((Ajoffj)(0) ; ft(0 = <7i(0 ((A,; ° *;)(£))
où Dij est donné par (81). Or, Dij ne s'annule en aucun point. En divisant membre à
membre la relation de droite de (88) par celle de gauche, on obtient <pA = <pA
• Il existe donc une fonction <p : T —► C dont, pour tout i € I, la restriction à
Ui est (fi. Puisque les (fi sont méromorphes, <p est méromorphe, Le. <p e M(T).
La définition du produit d'un élément de M(T) par une (l,0)-forme montre enfin que
0 = <p a . On en déduit que la famille à un seul élément (a) est une base du jtl(T)-espace
vectoriel îîMerom(T). Comme a ^ 0 , cet espace vectoriel est bien de dimension 1 ■
§ 25.5 Le théorème de Riemann
Nous pouvons maintenant compléter l'étude commencée aux paragraphes 25.2 et 25.3.
Nous nous intéresserons essentiellement aux surfaces de Riemann compactes et connexes.
Nous montrerons le théorème de Riemann, qui assure que toute surface de Riemann
compacte et connexe est algébrique, définie par un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur C unique à C-isomorphisme près.
25.5.1 Valuation définie par un point
Commençons par affiner le théorème 25.4.5:
Théorème 25.5.1
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe, et soit a € T. Il existe au
moins une fonction f e Meromr(T) telle que Vala(/) = 1.
Démonstration:
Soit d = dimc(H1(T)). Fixons deux entiers naturels p et q premiers et distincts.
Soit une carte locale (U,6) de T au point a, telle que A = 9{U) soit un disque
de la forme Dr , avec r € IR+ . Notons V = T \ {a} . La famille # = ([/, V) est un
recouvrement ouvert de T, qui appartient à 3V • Pour tout j € [1, d + 1], notons hj
la fonction U n V —♦ C, f h-» (#(£))~p* • En raisonnant comme dans la démonstration
du théorème 25.4.5, on prouve l'existence d'une fonction méromorphe <p € Meromr(T)
ayant pour seul pôle a, telle que la partie polaire en a de (p o 0~l soit de la forme
X^i*1 *jhj , avec (Ai,..., Ad+i) € Cn \ {0} . Il est alors clair que Val0(p) = -pk ,
avec A; € [l,d + 1]. De même, on construit une fonction xp € Meromr(T) telle que
Val0(V>) = — q£ , avec £ 6 [l,d + lj. Les entiers pk et q£ sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Bezout, on a (r, s) e Z2 tel que -rpk — sq£ = 1. L'élément
/ = (prrps de Meromr(T) est défini (car </? ^ 0 et \j) ^ 0 ), et on a Vala(/) = 1 ■
En tenant compte des propriétés énoncées à la fin de la section 25.2.2, le théorème
25.5.1 donne immédiatement:
Corollaire
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe, et soit a 6 T. La
fonction Vala : Meromr(T) —► Z U {+00} est une valuation discrète normalisée de
Meromr(T) sur C ; en d'autres termes, on a Vala e SRç(Meromr(T)).
Dans les conditions du corollaire ci-dessus, l'anneau de la valuation Vala est la C-
algèbre des fonctions / e Meromr (T) qui sont holomorphes en a, et le centre de Vala
est la C-algèbre des fonctions / e Meromx(T) holomorphes en a et nulles en a.
Comme application, complétons maintenant le théorème 25.2.2:
Théorème 25.5.2
Soit T\ et T2 des surfaces de Riemann compactes et connexes, et soit f : 71 —► T2
une application analytique non constante. Identifions M\ = Meromr!(7ï) à un
extension de M2 = Meromr2(72) au moyen du plongement /B : ip 1-* tp o f . Soit n
le cardinal des fibres f~l{y) pour y e T2 \ f{ if), où if désigne l'ensemble des points
non réguliers de f. Alors M\ est une extension finie de degré n de M2 >
Démonstration:
D'après le théorème 25.5.2, l'extension M\ de M2 est finie et de degré < n. Fixons
b e T2\f-l{y>)', on a donc card^"1^)) = n. Notons f~l(b) = {ai,...,an}; soit
(Ai,..., An) e Cn avec des A* deux à deux distincts. D'après le théorème 25.4.5, on
a une fonction (p € M1 telle que <p(ai) = A*. Soit T une indéterminée sur M\.
314 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Considérons le polynôme Q^T) = Tn + EÊ~ï(-l)fc<7*Tn-* e M2 [T] construit dans
la démonstration du théorème 25.5.2: il admet <p pour racine. La fonction <p est
holomorphe en chaque point a*. En revenant à la démonstration de la proposition
25.2.9, on en déduit que les fonctions <Jk sont holomorphes en b.
Dans le corps M2 , soit v la valuation discrète Valj, (donc v 6 SRc(-M2) )• D'après
ce qui précède, on a Qv(T) € A;[T] . Comme le polynôme Q^(T) est normalisé,
et comme l'anneau Av est principal donc factoriel donc intégralement clos, les
facteurs irréductibles et normalisés de Qy(T) dans M2[T] appartiennent à -AvI^1] • Le
polynôme P<p(T) = Irrv?^2(T) est l'un de ces facteurs, puisque Q<f{v) = 0. Donc
P^(T) e AV[T] . Écrivons:
i—m
(1) P„(T) = Tm + ]T c^Tm'i
avec me [1, n]. Soit i € [1, n]. En prenant la valeur au point a* des deux membres de
l'équation P<p(ip) = 0 (et en se rappelant que les c* écrits dans (1) sont des abréviations
pour Ci o f), on obtient:
i—m
(2) o = Ar+^ci(6)Ari
î=i
Notons R(T) l'élément Tm + E!=rc«(6)rm"i de CIT] • D'après (2), on a R(\i) = 0
pour tout i € [l,nj , ce qui implique m> n puisque les Ai sont deux à deux distincts.
Donc m = n, et P<j>(T) — Q<p{T), ce qui entraîne [M\ : M2 ] > n. Comme on avait
déjà [M\ : M2] < n, finalement \M\ : .M2] = n, et </? est un élément primitif de
M\ sur M2 •
Dans les conditions du théorème 25.5.2, on retiendra que toute fonction méromorphe
sur M\ qui prend des valeurs unies et deux à deux distinctes en les n points d'une fibre
de f de cardinal n est un élément primitif de M\ sur M2 .
Surfaces de Riemann et corps de fonctions algébriques sur C
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C. Rappelons que
SRc(L) est canoniquement dotée d'une structure de surface de Riemann complexe
(appelée la surface de Riemann algébrique définie par L ), que cette surface de Riemann est
compacte et connexe, et que l'application L —► MeromSRc(L)(SRc(i)), / »-► / est un
C-isomorphisme (voir fin du paragraphe 25.3).
Théorème 25.5.3
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe.
(I) M = Meromr (T) est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C .
(II) L'application M —► MeromSRc(^)(SRc(At)) ,/»->/ est un C-isomorphisme.
(III) L'application Vr : T -* SRc(M), x •-► Val^ est bijective7 et c'est un iso-
morphisme analytique.
Démonstration:
• Assertion (I)
Soit / une fonction méromorphe non constante sur T (théorème 25.4.5). Alors
/ est une application analytique non constante de T dans la surface de Riemann C
(voir début de la section 25.2.3). D'après le théorème 25.2.2 (ou, au^hoix, d'après le
théorème 25.5.2), M est une extension algébrique finie de Merom^(C), et ce dernier
corps, d'après la proposition 25.2.3, est un corps de fonctions rationnelles sur C.
L'assertion (I) s'en déduit.
Chapitre 25 , § 5
Le théorème de Riemann 315
• Assertion (II)
Cette assertion (II) découle de (I) et du théorème 25.3.6.
• Assertion (III)
Montrons d'abord que Vr est injective; soit a\ et a<i deux points de T
distincts. D'après la démonstration du théorème 25.4.5, on a des fonctions </?i et y?2
méromorphes sur 7i , telles que pour tout i G {1,2}, a* soit l'unique pôle de fi.
On a alors Valfll(/i) < 0, Valai(/2) > 0, Valû2(/2) < 0 et Valû2(/i) > 0, donc
Val0l ^ Vala2 > d'où l'injectivité de Vr •
Montrons que Vr est continue; si / G M , vérifions que / o Vr = / • En effet,
soit a 6 T et posons v = Vala ; l'anneau Av est l'ensemble des g G M jqui sont
holomorphes en a , et Cv est l'ensemble des g G A telles que g(a) = 0. On a /(v) = oo
ssi f £ Av , i.e. ssi a est un pôle de /, i.e. ssi /(a) = oo. Si / G Av , alors
/ — /(a) G Cv , donc /(a) est la classe de / modulo C^ , d'où f(v) = /(a) par définition
de /. On a donc bien / o Vr = / • Les éléments de M sont des fonctions continues
de T dans C . Par suite, pour tout élément / G M , la fonction / o Vr • T —► C est
continue. Par définition de la topologie de SRc(A4), il en découle que Vr est continue.
Montrons que Vr est injective; si a G T et b G T avec a ^ 6, il découle de
la démonstration du théorème 25.4.5 qu'on a des fonctions f e M et g e M telles
que a soit l'unique pôle de / et que b soit l'unique pôle de g. Alors Vala(/) < 0,
Vala(g) > 0, Valb(/) > 0 et Valb(g) < 0, donc Vala ^ Val6, d'où l'injectivité de
Vr • En conséquence, Vr est non constante.
Montrons que Vr est analytique. Il suffit de montrer qu'elle l'est localement
(corollaire 2 de la proposition 25.2.5). Soit a eT. Choisissons f £ M telle que Vala(/) = 1
(théorème 25.5.1). Alors le degré de / en a est 1, donc il existe un voisinage ouvert
U de a dans T et un voisinage ouvert V de 0 = /(a) dans C tels que / induise
un isomorphisme analytique p de U sur V (voir l'étude qui suit la proposition 25.2.7).
D'autre part, / est une uniformisante de v = Vala > donc il existe un voisinage ouvert^
U de v dans SRc(.M) et un voisinage ouvert V de 0 = /(a) dans C tels que /
induise un isomorphisme analytique p de U sur V, dont l'isomorphisme réciproque
sera noté q. Puisque Vr est continue, onji un^voisinage ouvert O de a jlans T tel
que Vr(O) C U. Posons u = f(O) et O = f~l{uj) H Û. Du fait que /o Vr = /,
on voit que Vr induit la bijection (p : O —► O, x »—► ç(p(x)). Il est clair que (p est
un isomorphisme analytique, donc Vr est analytique au voisinage de a. Comme a est
arbitraire, on en déduit bien que Vr est analytique.
Finalement, Vr est analytique, injective et non constante; comme SRc(M) est
connexe (théorème 25.3.6), le corollaire 1 de la proposition 25.2.6 montre que que Vr est une
bijection analytique, et la proposition 25.2.8 montre alors que Vr est un isomorphisme
analytique ■
Le théorème 25.5.3 peut être appelé le théorème de Riemann] il montre qu'à
isomorphisme analytique près, il n'existe pas d'autres surfaces de Riemann compactes et
connexes que les surfaces de Riemann algébriques. En conséquence, la donnée d'une
surface de Riemann compacte et connexe équivaut à la donnée d'un corps de fonctions
algébriques d'une variable sur C : mais cette conséquence n'est qu'une partie du théorème
25.5.3, qui dit en outre que la surface de Riemann algébrique définie par le corps des
fonctions méromorphes d'une surface de Riemann complexe compacte et connexe possède,
modulo une identification canonique, le même ensemble de points que cette dernière.
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable sur C . L'application
T : L —+ MeromSRc(L)(SRc(L)), / ►— /
est un C-isomorphisme (théorème 25.3.6). Si t; G SRc(L), alors d'après le corollaire de
316 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
la proposition 25.3.6, on a:
(3) Valv o? = v
Soit T\ et 7^ des surfaces de Riemann compactes et connexes. Nous avons vu que
pour toute application analytique non constante / : 71 —► Ti, l'application
(4) /* : MeromT2 (T2) —► MeromTl (71), if> i—>0o/
est un morphisme de C-algèbres (corollaire de la proposition 25.2.7), donc un C-isomor-
phisme du corps M2 = Meromr2(72) dans le corps Meromx^Ti). De plus, nous avons
vu que via ce plongement, M\ est une extension finie de M2 , dont on a caractérisé le
degré (théorème 25.5.2).
Théorème 25.5.4
Soit T\ et 7*2 des surfaces de Riemann complexes compactes et connexes. Pour
tout i e {1,2}, notons Mi = MeroitV7-(7^). Soit si l'ensemble des applications
analytiques non constantes T\ —► T2 , et soit $ Vensemble des C-isomorphismes
M2 —► M\ . L'application si —► $, / ►-► fi , où /* est définie par (4), est bijective.
Démonstration:
En vertu du théorème 25.5.3, il n'y a aucune perte de généralité à supposer que
T\ = SRç(.Mi) et 72 = SRc(A^2)- Plaçons-nous donc dans ce cas. Pour tout
i e {1,2}, on identifiera Mi avec Meromrt(7^) à l'aide de l'isomorphisme naturel
/»-►/. Soit J e $. Notons j la corestriction de J à F = J(M2) (donc J est un
C-isomorphisme de M2 sur F). Soit l'application
(5) /:Ti—+ T2, vh—(9l^lfF(t;))oj = i.(t;oJ)
où ev désigne l'indice de ramification de v sur F. D'après la proposition 25.3.6,
l'application 2/l^ltF •' T\ —► SRc(F) est analytique, et comme elle est surjective (voir
théorème 23.3.1), elle est non constante. L'application j° : SRc(F) —► 72 , w »-► w o j
est évidemment une bijection, et de la même manière qu'à la première partie de la
démonstration de la proposition 25.3.6, on voit que cette bijection est analytique, donc
c'est un isomorphisme analytique. Par suite, / = j° o(3iMlF est analytique non
constante, i.e. f € si. On notera / = Jb.
On a donc défini les applications
P: si^#, /—>/" ; Q:$—+si, J^Jb
Soit f est. Soit v e 71. Notons w = f(v) et w' = (/*)b = ^ (vofi). Si (p e M2 ,
on a <£>(w) = 0 ssi (<p°f)(v) = 0, donc l'application M2 —► Zu{+oo} , v? »-> v(<pof) est
une valuation discrète de AI2 sur C , qui a même centre que f(v) donc est de la forme
uf(v), avec v e N . Pour tout ip e M2 , on a w'((p) — j- v(ip o /) ; il en découle que
v — ev , et que w/ = /(v) = w . Puisque v est arbitraire, on a donc (fi)b = f . Puisque
/ est arbitraire, on a Q o P = Id^ . Donc P est injective et Q est surjective.
Montrons que Q est injective. Soit Ji e $ et J2 € $ tels que j£ = JJ> •
Notons respectivement j\ et 32 les corestrictions de Ji et J2 h F\ = Ji(M2) et à
F2 = J2(M2) • Par hypothèse, on a (3iMuF1{v) °3i — ^MlyF2(v) oj2 pour tout v e 7i .
Il s'agit de montrer que j\(<p) — hW) Pour tout (p e M2 . Raisonnons par l'absurde,
en supposant trouvé <p £ M2 tel que Vi = ji{<p) ^ V>2 = ^(v5) ï soit v 6 T\ tel
que ^i(v) ^ faiv) • Quitte s'il le faut à remplacer (p par ^5 avec (a,6,c,d) G C4
convenable tel que ad — bc ^ 0, on peut supposer que tpi(v) =0 et ^(v) = 1 ; alors
t/(lh) > 1 et t/(ife) =0, donc (»AflfFi(v))(^i) > 1 et (»A^i,ft(v))(!fe) = 0, en
contradiction avec l'hypothèse. Cette contradiction prouve que j\ = 32 , i.e. J\ = J2 , d'où
l'injectivité de Q.
Chapitre 25 , § 5
Le théorème de Riemann 317
Finalement, Q est bijective, donc P est bijective, et les bijections P et Q sont
réciproques Tune de l'autre ■
Avec les notations du théorème 25.5.4, la correspondance / i—► /tt de l'énoncé est
fonctorielle, i.e.: si T\ — 7^ = T et si / = Idr , alors /B = Id^ , où M = Merom<r(7~).
Si 7i , 72 , 73 sont des surfaces de Riemann compactes et connexes et si / : T\ —► 72
et g : 72 —► 7â sont des applications analytiques non constantes, alors (go f)^ = /& og$
(" le foncteur T^ Meromr(T) est contravariant ").
Compte tenu de ce qui vient d'être dit, les théorèmes 25.5.3 et 25.5.4, signifient qu'il y a
équivaJence de catégorie entre la catégorie des surfaces de Riemann compactes et connexes dont
les morphismes sont les applications analytiques non constantes et la catégorie des corps de
fonctions algébriques d'une variable sur C dont les morphismes sont les C-isomorphismes dans.
Convergence des développements de Taylor
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe. Posons M = Meromx(T) ;
identifions T avec SRq(M) à l'aide de l'isomorphisme VY du théorème 25.5.3, et
identifions M avec MeromSRc(A^)(SRc(A/f)) à l'aide de l'isomorphisme / »-► / du
théorème 25.5.3. Notons T une indéterminée sur C.
Proposition 25.5.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit x 6 T. Soit t une uniformisante de
v = Vais . Soit 9 : U —> A une carte spéciale de T en x définie par t (où A est
un disque ouvert de C de centre 0 et de rayon > 0 ). Soit f e M . Alors Vêlement
S(T) = SVtt(/) de C((T)) est la série formelle méromorphe qui développe f o 0~l
au voisinage de 0 . En conséquence, le rayon de convergence (3) de S(T) est > 0 .
Démonstration:
Posons (p = / o 9~l , et soit S(T) = Hm€zûmTm^ Pour tout n G Z, notons
Sn = ^2m<n a>mTm et an la fonction méromorphe A —> C définie par Sn . On sait que
S(T) est l'unique élément de C((T)) tel que v(/-^m<nûmtm) —► +oo (proposition
24.4.2). Par définition de v = Val^ (voir fin de la section 25.2.2), on en déduit que
pour tout n e N assez grand, la fonction méromorphe pn = (p — Sn admet en 0 un
zéro, et que si on note /xn l'ordre de multiplicité de ce zéro, ona/in —> +oo . Par suite,
pour tout n € f^J, la partie régulière du développement limité généralisé de (p(z) en 0
à l'ordre vn = Min(n,/in) est SUn-\ . La proposition en découle, car vn —► +oo ■
n—»oo
Corollaire
Dans les conditions de la proposition 25.5.1, soit g la fonction méromorphe -^ (au
sens, défini au paragraphe 24.3, de la C-dérivation -^ ). Alors g o 0~l est la dérivée
usuelle (au sens de l'Analyse) de la fonction méromorphe f o 0_1 .
Démonstration:
D'après la proposition 24.4.3, on a SVft(-|f ) = 4r(svM)) = $ • Or S développe
<p = fo 9~l au voisinage de 0 , donc la dérivée formelle -^ développe au voisinage de 0
la dérivée (p' (dérivée au sens usuel de l'Analyse): cela découle de la théorie élémentaire
des séries entières d'une indéterminée à coefficients complexes. D'après la proposition
25.5.1, les fonctions go 9~l et {p1 coïncident donc au voisinage de 0. Comme il s'agit
de fonctions méromorphes sur un disque ouvert, ces fonctions sont les mêmes ■
( ) Par rayon de convergence de / , nous entendons celui de / - P , où P est la partie polaire de S .
318 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Différentielles, (l,0)-formes et résidus
Conservons les notations et hypothèses de la proposition 25.5.1. Pour chaque point
x G T, posons vx = Valx , choisissons une uniformisante tx de vx et une carte spéciale
9X : Ux —► Ax de T en x définie par tx , où Ax est un disque ouvert de centre 0 et
de rayon > 0 dans C. Alors {Ux,Ox)xeT est un atlas analytique de T. Nous allons
l'utiliser pour obtenir une application canonique de l'espace ftc(T) des différentielles
de T (au sens algébrique, défini au paragraphe 24.3) dans l'espace 17Merom(T) des (1,0)-
formes sur T.
Partons d'une différentielle u e ftc{T) • P°ur tout x € T, soit fx l'élément de
M tel que w = fx • dtx . Vérifions que la famille (fx)xer est une (l,0)-cochaîne. Soit
xi e T et x2 G T tels que xi ^ x2 et UXl O Î/X2 ^ 0. On a:
(6) /x2 = /x, ^
Or pour tout x 6 T, la fonction 0X est la restriction de fx à Ux • D'après le corollaire
de la proposition 25.5.1, la restriction de -^f^0^ * ^ = 0X2(UXir\UX2) est la fonction
z f-+ (0Xl o 6~2l)'{z), d'où, pour tout f € Uaîl H UX2 :
(7) /.a(0 = /*i(0 ((^0^/(^(0))
La relation (7) montre que les conditions (80)-(81) du paragraphe 25.4 sont satisfaites,
ce qui établit que (fx)xer est bien une (l,0)-cochaîne de T, que nous noterons Tw .
On peut donc définir une application # : flcÇT) —> fiMerom(T) en associant, à toute
différentielle u> e fîcCO » la (l,0)-forme définie par la cochaîne i^ . Il est immédiat
que # est .M-linéaire.
Théorème 25.5.5
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe. L'application M-linéaire
& : ftc(T) —► fiMerom(T) ci-dessus est un isomorphisme de M-espaces vectoriels.
Démonstration :
Nous savons que les Ai-espaces vectoriels Qc(T) et ÇlKerom(T) sont de dimension
1 (cf. début du paragraphe 24.3, et théorème 25.4.6). Il suffît donc de montrer que &
est non nulle. Or, soit h e M \C , et dans ce qui précède l'énoncé du théorème, prenons
(j = dh. Pour tout x G T, on a /x = -^ ^ 0 (théorème 22.2.4), d'où fx\ ^ 0
(proposition 25.2.7). Ainsi, fx\ ^ 0 pour tout x e T, et par suite la (l,0)-cochaîne
r<ih est non nulle, d'où #( dh) ^ 0 (cf. lemme 25.4.3 et ce qui le suit) ■
Avec les notations ci-dessus, étant donnée u 6 il^{T), pour tout x G T, la fonction
méromorphe fx sera appelée le tx-coefRcient de u). On a donc
(8) ordVx(u;)=Valx(/x)
et on déduit facilement de la proposition 25.5.1 que Res(a;,va;) est le coefficient de ^
dans la série formelle méromorphe qui développe /x o 0~l au voisinage de 0, ce qui
restitue l'acception usuelle du résidu en Analyse. Le théorème des résidus algébrique
24.4.4, appliqué dans les conditions du théorème 25.5.5, assure donc qu'étant donné une
(l,0)-forme différentielle sur T, la somme de ses résidus (au sens usuel) en les divers
points de T est nulle. Il existe des démonstrations directes de ce résultat par des
méthodes d'Analyse, qui évitent le recours aux puissants outils algébriques utilisés pour
prouver le théorème 24.4.4 (cf. par exemple [20]).
Étant donné une (l,0)-forme a = &{u) sur T (où u) e toc(T) ), par définition les
zéros de a sont les zéros de u, et les pôles de a sont les pôles de w. La multiplicité
Chapitre 25 , § 5
Le théorème de Riemann 319
d'un zéro ou pôle de a est, par définition, sa multiplicité en tant que zéro ou pôle de u .
D'après (8), a est holomorphe ssi u> est régulière (voir définition 24.5.2).
25.5.2 Genre d'une surface de Riemann compacte et connexe
Le théorème 25.5.3 permet de poser:
Définition 25.5.1
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe. Posons M = Meromr(T).
On appelle genre de T le genre Qm/C de M en tant que corps de fonctions
algébriques d'une variable sur C . Ce genre sera noté g(T).
Dans les conditions de la définition 25.5.1, identifions T et SRc(«M), et identifions
M à MeromSRc(>M) (SRç(.M)) à l'aide des isomorphismes canoniques du théorème 25.5.3.
En appliquant le théorème 24.5.3, compte tenu du théorème 25.5.5, on obtient:
Théorème 25.5.6
Soit T une surface de Riemann compacte connexe. Le C-espace vectoriel fiHolom(T)
est de dimension finie et égale à g(T).
Signification topologique du genre
Notre propos n'est pas ici de développer une théorie exhaustive de la topologie des
variétés difîerentiables de dimension 2. Il est cependant utile d'en rappeler certains
résultats essentiels pour éclairer la notion de genre. Nous supposerons connu du lecteur
le langage élémentaire de la théorie des variétés réelles différentiables de dimension 2.
Une telle variété se définit, comme les surfaces de Riemann, à l'aide d'atlas, mais d'atlas
différentiables (au sens réel) au lieu d'atlas analytiques (il est simplement requis aux
fonctions de transition d'être des c€p-difféomorphismes, où p € N U {oo} est donné, et
non des bijections holomorphes de réciproque holomorphe; une fois p fixé, on parle de
variété de classe %p ). Une telle variété est dite orientable ssi elle admet au moins un
atlas tel que les jacobiens des applications de transition soient tous > 0.
Remarquons qu'en " oubliant " le corps des complexes, une surface de Riemann T est
une variété réelle de classe %°° de dimension 2 (une bijection holomorphe de réciproque
holomorphe est en particulier un ^^-difféomorphisme). La variété ainsi obtenue sera dite
sous-jacente à T. Une telle variété est toujours orientable; en effet, soit / : U\ —► U2
une bijection holomorphe de réciproque holomorphe, où U\ et U2 sont des ouverts
non vides de C. Posant P = R(/) et Q = $(/), on vérifie que le jacobien J de f
considérée comme ^^-difféomorphisme de U\ sur U2 est donné, en tout z = x-f ±y € U\
(où (x,y) € R2 ), par J{z) = (|£(z))2 + (§£(z))2 . Ce jacobien est donc partout > 0 ,
d'où l'assertion d'orientabilité.
Or on sait classifier à c€1-difféomorphisme près les variétés différentiables de
dimension 2 compactes et connexes: on montre que l'ensemble des classes est dénombrable.
De façon précise, soit m un entier > 1. Soit D\ = {z € C | | z \ < 1} . Soit m disques
ouverts non vides Zii,..., Am d'adhérences dans C deux à deux disjointes et contenues
dans l'intérieur de £>i. Dans C x R , soit G l'ensemble (Dx \ (U^Ai)) x [0,1 ] privé
de son intérieur. On obtient une galette à m trous, comportant des arêtes; en lissant
les arêtes, on obtient une variété Sm de classe ^^ de dimension 2 appelée un tore à
m trous (cf. figure 1 ci-dessous). Notons «So la variété de classe cë°° sous-jacente à
C . On montre que toute variété orientable Y de classe c61 de dimension 2 compacte et
connexe est c€1-difféomorphe à une et une seule des variétés Sm (où m € M ). L'entier
m est appelé le genre topologique de T (voir par exemple [2]).
Cela dit, soit T une surface de Riemann compacte connexe. C'est donc une variété
orientable de classe ^^ de dimension 2 compacte et connexe, donc elle possède un
320 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
genre topologique. On peut montrer que le genre g(T) de la définition 25.5.1 n'est
autre que ce genre topologique. La théorie algébrique du genre développée au chapitre
précédent fournit donc, quand le corps de base est C , un moyen concret de calculer ce
genre topologique. L'extension des scalaires et la théorie des if-modèles (cf. théorème
24.3.5) relient alors de façon remarquable l'Arithmétique et la Topologie (cf. théorème
24.3.5).
Figure 1
MATHENIATICA
Le lecteur prendra garde de bien distinguer la classification topologique et la
classification analytique des surfaces de Riemann compactes et connexes. D'après ce qui
précède, deux surfaces de Riemann compactes et connexes sont c61-difféomorphes ssi
elles ont même genre topologique. Mais elles peuvent avoir même genre topologique sans
être analytiquement isomorphes. Par exemple, il y a une infinité de surfaces de Riemann
compactes et connexes de genre 1 deux à deux non analytiquement isomorphes: le clas-
sifiant analytique de ces surfaces est l'invariant modulaire (voir définition 24.5.3). Nous
reviendrons sur l'invariant modulaire dans le cas complexe au paragraphe 27.9.
Remarque 25.5.1 :
Les variétés de classe % orientables, compactes et connexes sont appelées les surfaces de Riemann
topologiques, La figure 1 ci-dessus représente une surface de Riemann topologique de genre 7 ; pour
être réalisée physiquement (i.e. par des procédés graphiques, cette représentation a nécessité de plonger
la surface en question dans R3 . Le théorème de classification des surfaces de Riemann topologiques
montre que ces surfaces sont toutes plongeables dans R3 . Cela dit, soit .Ri et R2 deux surfaces de
R3 obtenues par plongements dans R3 d'une même surface de Riemann topologique R ; il n'existe pas
nécessairement d'homéomorphisme de R3 sur lui-même qui envoie Ri sur R2 : les surfaces Ri et R2
sont difféomorphes, mais peuvent être " nouées " de façon différente dans R3 . La figure 2 ci-dessous
montre un plongement dans R3 d'une surface de Riemann topologique de genre 1 (donc homéomorphe
à un tore ordinaire) qui est noué. On peut cependant montrer que tout noeud disparait en dimension
> 4 : deux surfaces de Riemann topologiques de même genre plongées dans Rn avec n > 4 sont toujours
déduites l'une de l'autre par un homéomorphisme de Rn sur lui-même ^
Figure 2
MATHEMATICA
Chapitre 25 , § 5
Le théorème de Riemann 321
25.5.3 Réalisation de certaines surfaces de Riemann
Dans cette section, nous allons compléter la proposition 24.4.12 lorsque le corps de
base est C , en prenant en compte les structures analytiques naturelles qui apparaissent.
Structure analytique sur la partie non singulière d'une courbe
Soit 2P un plan projectif complexe issu d'un C-espace vectoriel E de dimension
3, rapporté à une base B = (ei,e2,e3). Soit (X,Y,Z) un triplet d'indéterminées
sur C, et soit $(X,Y,Z) G C[X,Y,Z] un polynôme homogène de degré m > 1 et
irréductible. Il définit dans 2P une courbe algébrique C , ensemble des points de 2P dont
un système de cordonnées homogènes (a, 6, c) relativement à B vérifie $(a, b, c) = 0.
Rappelons que # est défini de manière unique à C -proportionnalité près par l'ensemble
C . Munissons 2P de sa topologie naturelle, i.e. la topologie quotient de celle de E par
la relation d'équivalence qui définit 2P (la C -proportionnalité). On sait que 2P est
un espace compact connexe, et que pour toute droite projective D de 2P, il y a un
homéomorphisme naturel de C2 sur 2P \ D . Nous munirons C de la topologie induite
par 2P. Notons Sing(C) l'ensemble des points singuliers de C; rappelons que c'est
l'ensemble des points de 2P dont un système de coordonnées homogènes (a, 6, c) dans B
vérifie le système:
d$ d$ d$
(9) gx(a,b,c)=0 ; — (a,6,c) = 0 ; — (a,6,c)=0
Comme # est irréductible, l'ensemble Sing(C) est fini, donc U = C \ Sing(C) est
un ouvert de C. Nous allons voir que cet ouvert est muni d'une structure analytique
naturelle. Soit Mo G 17, défini par un système de coordonnées homogènes (ao,bo>co)
dans B. On supposera co ^ 0 (le raisonnement est analogue si ao ^ 0 ou bo ^ 0)\
on posera xo = f0- et yo = ^ , de sorte que (xo,yo>l) est un système de
coordonnées homogènes de Mo dans B. On notera (x, y) des indéterminées sur C et
on posera P{x,y) = #(x,y, 1). Comme m# = X^ + Y^ + Z|f , ces hypothèses
impliquent (f£(xo,yo)> §£(xo,2/o)) ¥" (0>0)> Que P est irréductible, de degré m, et
que $(X,y,Z) = ZmP(Y>-^)- Pour fixer les idées, supposons que fÇ(xo,î/o) 7^ 0
(on procède de façon analogue si ff(xo,yo) ^ 0)- H existe alors une unique série
formelle 5 G C[[T]] (où T est une indéterminée sur C de valuation > 1 telle que
P(xo -fT,j/o + S(T)) = 0, et le rayon de convergence R5 de cette série formelle est > 0
(cf. [3]). On en déduit facilement qu'il existe un voisinage ouvert Wm0 de Mo dans U ,
et un réel r G ] 0, R5 [ dépendant de Mo , tels que pour tout z G Dr , le point Qz de 2P
de coordonnées homogènes (xo + z,yo + S(z),l) dans B appartienne à Wm0 , et que
l'application <p : Dr —► Wm0 , 2:h+Qz soit un homéomorphisme.
Pour tout Mo G t/, choisissons un triplet (Wa/o>0a/o>^mo) » °ù Wm0 est un
voisinage ouvert de Mo dans U, où Am0 est un disque ouvert non vide de centre 0 dans
C et où 0MO = v?_1 , l'application <p étant une bijection Am0 —► Wm0 obtenue par
le procédé indiqué ci-dessus. On laisse au lecteur le soin de vérifier que la famille
(W/Mo>^m0)mo€(/ est un atlas analytique de U, et que la structure analytique qu'il
définit sur U est indépendante du choix des triplets {Wmo,Qmq,Amq) • De plus, soit
& l'élément de C [ X, Y, Z ] qui représente C dans une autre base de E ; comme #,
il est irréductible et de degré m. On peut donc définir sur U une structure analytique
à partir de & comme on vient de le faire à partir de # : on vérifie que ces structures
analytiques sont les mêmes.
On a donc défini sur U une structure analytique qui ne dépend que de l'ensemble
C. Nous l'appellerons la structure analytique naturelle de U .
En particulier, si C est non singulière, i.e. si Sing(C) = 0, on a U = C, et donc
la structure analytique naturelle de C fait de C une surface de Riemann compacte.
322 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Application aux modèles projectifs non singuliers
Soit T une surface de Riemann compacte connexe. Soit M = Meromr(T).
Identifions M et MeromSRc(>i)(SRc(A^)), puis identifions T et SRc(.M), à l'aide des
isomorphismes du théorème 25.5.3. Soit x une variable de M , et soit y G M^tel cjue
M = C (x, y) et C(x) ^ .M . Associons au couple (x, y) le modèle projectif T = rXyV
défini à la section 24.4.6. Soit C l'application T —► T qui, à tout f G T, associe son
(x, y)-centre. Nous reprendrons toutes les notations de la section 24.4.6; ainsi, le C-
espace vectoriel C3 est rapporté à sa base canonique {€1,62,63), et 9* désigne le plan
projectif issu de C3 . Le modèle affine J1 et le modèle projectif r sont respectivement
définis dans la base (6i) par les polynômes PXyV(X, Y) et $XtV(X,Y, Z). On posera
P = pxy , # = $xy ; on note A le plan affine C2 , que Ton identifie à son image dans
9* par le plongement canonique qui envoie (a, b) sur le point de coordonnées homogènes
(a, 6,1) relativement à la base (e*). On note m le degré total de # et d = [ M : C(x) ]
(donc d est le degré partiel de P en sa seconde variable)
Théorème 25.5.7
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, supposons que le modèle projectif r soit
non singulier. Alors l'application C est un isomorphisme analytique. En conséquence,
r est connexe.
Démonstration:
D'après la proposition 24.4.12, l'application C est bijective. Tout revient donc à
montrer qu'elle est analytique. Compte tenu des identifications faites et de la définition
du (x, y)-centre donnée à la section 24.4.6, l'application C est définie comme il suit: soit
£ G T, et soit Vç = Val^ . Si x et y sont holomorphes en £ , alors C(£) est le point de
coordonnées homogènes (x(£),y(£), 1) ; si v^(x) < 0 et vç(x) < vç(y), alors C(£) est le
point de coordonnées homogènes (1,0,0) ; si vç(y) < 0 et vç(y) < vç(x), alors C(f ) est
le point de coordonnées homogènes (0,1,0); enfin si v^(x) = vç(y) < 0 , ce qui implique
que / = f est holomorphe en £, alors C(£) est le point de coordonnées homogènes
(i./(0.o).
Fixons £o € T, et montrons que C est analytique en £0 • Supposons que x et y
soient holomorphes en £0 • On a un voisinage ouvert W de £0 dans T sur lequel x et y
sont holomorphes, et C est donnée sur W par £ *-* (x(£),y(£)). Soit (xo,yo) = £(£0) •
Supposons que f^(xo,yo) ^ 0 (le raisonnement est analogue si f^(xo,yo) ¥" 0)- On
a alors une carte locale (Uo,0) de r en (xo,yo) telle que 6 soit la restriction à Uq
de la première projection C2 —► C . Par continuité des fonctions x et y sur T, quitte
à diminuer W, on peut supposer que C(W) C U . Alors 0 o (CI ) = x| , d'où l'on
déduit que CI est analytique.
_ Si x et y ne sont pas toutes deux holomorphes en £0 > il existe une carte locale 0 de
T en C(fo) définie par restriction convenable d'une fonction / G {^, ^} . On en déduit
comme ci-dessus que C est analytique au voisinage de £0 •
Comme £0 est arbitraire, C est analytique ■
Le théorème 25.5.7 sera redémontré indépendamment dans un cadre plus intrinsèque
à la section 27.10, où nous démontrerons la connexité des courbes algébriques projectives
complexes (pouvant avoir des points singuliers).
Rappelons que sous les hypothèses du théorème 25.5.7, le genre g de T est donné
par g = (d""1Kd~2) (voir plus loin, théorème 27.5.2). Alors si g > 1, l'entier d est
déterminé de manière unique par g (l'autre racine du trinôme (T - 1)(T - 2) - 2g est
3 — d < 0 ). En revanche si g = 0 , on a d G {1,2} .
Chapitre 25 , § 5
Le théorème de Riemann 323
Supposons T de genre 0 ; alors M est un corps de fractions rationnelles sur C.
Soit t € M tel que M = C(t) ; on a M = C(x,y) avec x = t2 et y = t. Le modèle
T associé à (x, y) est défini par $(X, F, Z) = Y2 - XZ ; il est non singulier (c'est une
conique propre). D'après le théorème 25.5.7^ T est donc analytiquement isomorphe à
r. Or T est analytiquement isomorphe à C . De plus, toute conique propre de^ 2P se
déduit de r par une homographie de 2P, donc est analytiqement isomorphe à T. On
conclut que toute conique propre de & est analytiquement isomorphe à C .
Rappelons qu'il ne suffit pas que le genre de T soit de la forme g = {n~ An~ /
avec n e M pour que T admette un modèle projectif non singulier (cf. [16]). La
possibilité de réaliser une surface de Riemann compacte connexe par un modèle projectif
non singulier est donc exceptionnelle. Toutefois, si T est de genre 1, elle admet des
modèles projectifs non singuliers, qui sont donc nécessairement des cubiques non
singulières, et réciproquement, on voit aisément que tout modèle projectif de degré 3 de
T est une cubique non singulière (cette dernière assertion découlant du fait que toute
cubique irréductible singulière est nécessairement rationnelle).
§ 25.6 Surfaces de Riemann et revêtements
Proposition 25.6.1
Soit T une surface de Riemann, et soit (R,T,p) un revêtement, où R est un espace
topologique. Il existe sur R une et une seule structure analytique telle que p soit
une application analytique.
Démonstration:
Supposons qu'une telle structure analytique existe. Pour tout x e R, soit des
voisinages ouverts Ux de x dans R et Vx de p(x) dans T tels que p induise un
homéomorphisme px de Ux sur Vx , et tels que Vx soit l'ouvert de définition d'une
carte locale 6X • ,VX —► u>x de T (où ux est un ouvert de C). Comme px est
analytique et bijective, 0X o px est analytique, et puisqu'elle est bijective de Ux sur u>x ,
c'est une carte locale de la structure analytique de R. La famille {Ux,px)xeR es^ un
atlas analytique de R muni de sa structure analytique.
Réciproquement, pour tout x e R , choisissons des voisinages ouverts Ux de x dans
R et Vx de p(x) dans T tels que p induise un homéomorphisme px de Ux sur
V"x , et tels que Vx soit l'ouvert de définition d'une carte locale 0X ' Vx —► wx de
T (où u/x est un ouvert de C), et posons ipx = 9X o px . L'espace R est séparé.
Montrons que la famille {Ux,px)xeR est un atlas analytique de R. Pour chaque x € R,
l'application <^x : £/x —► u;x est un homéomorphisme. Soit x\ e R et £2 € R. On a
<Pxi{UXl n J7X2) = ^Xl(VXl n Vx2) Pour tout 2 € <pXi(UXl n Ï7X2), on a:
V.a «(*)) = **2 (Px2 fe1 (M*)))) = 0*2 (Ç/W)
parce que pxi| =rpX2| . L'application de transition
1 v x ^ n vx j 1 Vx 1 n Vx 2
V»! (^ n !7X2) —* <pX2 {UXl n uX2) , 2 h— ^X2 (^ W)
est donc analytique. La famille {Ux,ipx)xeR est donc bien un atlas analytique de R,
et il est immédiat que R étant muni de la structure analytique définie par cet atlas, la
projection p est analytique I
Désormais, quand on aura affaire à un revêtement (R, T, p) où T est une surface
de Riemann, nous munirons systématiquement R de la structure de surface de Riemann
définie dans la proposition 25.6.1.
Si (R, B,p) est un revêtement et si R et B sont des surfaces de Riemann, d'après la
proposition 25.6.1, la structure analytique de R est déterminée par celle de B . Un tel
revêtement sera appelé un revêtement analytique (de la surface de Riemann R
sur la surface de Riemann T ). On dira qu'il s'agit d'un revêtement analytique
galoisien ssi ce revêtement analytique est galoisien au sens topologique.
Exemple 25.6.1 :
Le revêtement (C,C ,p) de l'exemple 25.1.7 (où p(z) = eiz pour tout z) est
analytique galoisien +
Corollaire 1
Soit des surfaces de Riemann connexes B\, £2 > -Ri et R2 , soit des revêtements
analytiques 1Z\ = (Ri,B\,pi) et 7^2 = (#2, £2,^2), et soit p, = (/, (p) un morphisme
de revêtements tel que (p soit analytique. Alors f est analytique. En conséquence,
si \i est un isomorphisme de revêtements et si (p est analytique, alors f est un
isomorphisme analytique.
Démonstration :
Rappelons que par définition d'un morphisme de revêtements, / : Ri —► R2 et
<p : B\ —► B2 sont des applications continues telles que <p soit un homéomorphisme et
SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
que P2 o / = <p opi (voir section 25.1.2). Par suite, (p est un isomorphisme analytique.
Posant q = (fopi , on voit que S = (Ri,B2, q) est un revêtement analytique et que /
est un 2?2-morphisme de revêtements. On sait alors que dans ces conditions, (iîi, i?2? /)
est un revêtement. Donc / est analytique d'après la proposition 25.6.1 ■
Corollaire 2
Soit (R,B,p) un revêtement analytique, avec R connexe. Le groupe Auts(-R) est
un sous-groupe du groupe conforme direct Conf+(R) de R.
Toute surface de Riemann connexe est un espace séparé, localement connexe par arcs,
connexe et semi-localement simplement connexe, donc admet un revêtement universel.
On déduit donc du théorème 25.1.13, de l'unicité à isomorphisme de revêtements près
d'un revêtement universel, et du corollaire 1 ci-dessus:
Corollaire 3
Soit T une surface de Riemann connexe. Il existe un revêtement analytique (R,T,p)
avec R connexe et simplement connexe. La surface de Riemann R est unique à T-
isomorphisme près, donc a fortiori unique à isomorphisme analytique près.
Remarque 25.6.1 :
On démontre qu'il n'existe, à isomorphisme analytique près, que trois surfaces de Riemann
connexes et simplement connexes: la sphère de Riemann complexe, le plan complexe, et le disque unité
ouvert de C . On en trouvera une démonstration dans [1] ou dans [31] ♦
Proposition 25.6.2
Soit un revêtement analytique °lt = (C,T,p). Alors p est un isomorphisme
analytique.
Démonstration:
Comme C est compacte, les fibres du revêtement sont finies (elles sont fermées et
discrètes). Soit n leur cardinal commun. Le revêtement °U est universel, donc galoisien.
Le groupe Autr(C) opère donc transitivement et régulièrement sur chaque fibre, donc
est fini et de cardinal n . Le groupe conforme direct de C est le groupe des homographies
H(2,C) (voir exemple 25.2.2). Or toute homographie de C a au moins un point fixe.
Le groupe Autr(C) est donc nécessairement réduit à Id~, d'où n = 1, donc p est
bijectif et par suite c'est un isomorphisme analytique ■
Surfaces de Riemann quotients
La proposition 25.1.17 admet la version analytique suivante:
Proposition 25.6.3
Soit R une surface de Riemann et G un sous-groupe du groupe conforme direct
de R qui opère librement discontinûment (4) sur R. Soit B = RJQ muni de la
topologie quotient, et soit p : R —> B la surjection canonique. Il existe sur B une
structure analytique et une seule telle que p soit analytique, Le. telle que (R,B,p)
soit un revêtement analytique (nécessairement galoisien, de groupe de Galois G).
Munissant B de cette structure analytique et étant donné un ouvert U de B , la
correspondance /^/od définit un isomorphisme de la C-algèbre Holoms(t/)
(resp. MeromsiU) ) sur la C-algèbre des fonctions g € HolomR(p~l(U)) (resp.
g e Merom/^p"1^)) ) qui sont constantes sur chaque fibre de p\ _
) Voir début de la section 25.1.7 la définition de cette notion.
Chapitre 25 , § 6
Surfaces de Riemann et revêtements 327
Démonstration:
Pour tout y G B , soit W^ un voisinage ouvert de y dans B , soit ay € p"1^) et soit
{7y un voisinage ouvert de ay vérifiant les conditions suivantes: les ouverts (g{Uy))geG
sont deux à deux disjoints; p induit un homéomorphisme py de Uy sur Wy (dont on
notera qy rhoméomorphisme réciproque); et Uy est l'ouvert de définition d'une carte
0 : Uy —► ujy de R (où u;y est un ouvert de C ). Alors pour tout y e B et pour tout
g e G, l'application 0y o (d ) est une carte de R définie sur le voisinage ouvert
g~l{Uy) de g'1{ay). S'il existe une structure analytique sur B répondant à la question
la famille (Wy^y)yeB , où <py = 0y o <jy pour tout y, en est un atlas. Pour prouver
l'existence et l'unicité de la structure analytique de B répondant à la question, tout
revient donc à montrer que cette famille est bien un atlas analytique sur B . Soit donc
yi e B et y2 e B y avec y\ ^ 2/2 , tels que Wyi fïWV2 ^ 0 . Soit y0 € WVl C\Wy2 , posons
xi = QyiiVo) et £2 = <7y2(î/o) • Soit g l'élément de G tel que g(x2) = x\, soit C la
composante connexe de yo dans WVl C\Wy2 . On a alors (g°qy2)(y) = Çyi(y) Pour tout
y 6 C , d'où, pour tout z € <pyx(C) = 9yi{g{{g'1 o gyi)(C))) :
(^2«(*)) = (*y2 o qV2) ((«-1 o ^l1)(^)) = 0y2 ((p"1 o fo o qy2)) ((q^ o *-*)(*)) )
= 0* ({g-l°0ûl){z)) = »w (VnogrH*))
ce qui prouve, puisque 9V2 et 0Vl o (d ) sont deux cartes de R, que l'application
VyiiC) —» C, 2 »-* ^(vvU2)) est holomorphe. On en déduit que l'application de
transition TyitV2 : (fyi(Wyi O WV2) —► C,: h <Py2(iPy*(z)) est holomorphe au
voisinage de yo • Comme yo est arbitraire, Tyi,y2 est holomorphe; cela achève de
prouver que la famille {Wy, (py)yeB est un atlas analytique de B .
La dernière assertion du théorème se déduit facilement de la description ci-dessus de
la structure analytique de B ■
Dans les conditions de la proposition 25.6.3, la surface de Riemann RJq sera appelée
la surface de Riemann quotient de R par G.
La proposition 25.6.3 entraîne immédiatement:
Corollaire
Soit (.R, B,p) un revêtement analytique galoisien, de groupe de Galois G . La bijec-
tion canonique RJQ —► B est un isomorphisme analytique
D'après le théorème 25.1.12, le corollaire de la proposition 25.6.3 et le corollaire 3 de la proposition
25.6.1, toute surface de Riemann connexe est directement conforme à une surface de Riemann quotient
d'une surface de Riemann connexe et simplement connexe R par un groupe d'automorphismes
analytiques de R qui opère librement discontinûment sur R. D'après la remarque 25.6.1, la théorie des
surfaces de Riemann connexes se réduit donc à celle des surfaces de Riemann quotients de C , de C
et du disque unité ouvert de C (les trois types de surfaces de Riemann obtenues sont respectivement dits
eJliptique, parabolique et hyperbolique). La proposition 25.6.2 a montré que C n'a pas de surface de
Riemann quotient stricte. Nous verrons plus loin que les surfaces de Riemann compactes paraboliques
(i.e. quotients de C ) sont, à isomorphisme analytique près, les surfaces de Riemann complexes de genre
1 . Les autres surfaces de Riemann sont donc les quotients du disque unité ouvert. Finalement, classifier
les surfaces de Riemann complexes connexes revient à classifier les groupes d'isomorphismes analytiques
de C et du disque unité ouvert de C qui opèrent librement discontinûment (bien entendu, il faut préciser
ce qu'on entend par " classifier ")
Exemple 25.6.2 :
Pour tout a e C , notons rx la translation z ►-► az de C . Soit À G C * . Soit G le
groupe des translations de C engendré par t\ : c'est un groupe d'automorphismes
analytiques qui opère librement discontinûment sur C . Considérons le revêtement (-R, B,p),
où R = C , B = C et où p(z) — e"*2^ pour tout z . On déduit immédiatement de
l'exemple 25.6.1 que Kat b(R) = G, donc la surface de Riemann R/q est directement
conforme à C +
328 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
Dans les conditions de la proposition 25.6.3, soit U un ouvert non vide de B = R/g ,
soit / € Meroit\B(£/), et soit g la fonction méromorphe p~x(U) -^C,x^ f{p{x)) •
La description même de la structure analytique de B montre aisément:
(Si y e B et si x € P~l{y), alors y est un zéro (resp. un pôle) de f ssi x
,-v I est un zéro (resp. un pôle) de g , et ïordre de multiplicité de y comme zéro
' | (resp. comme pôle) de f est égal à Vordre de multiplicité de x comme zéro
[^ (resp. comme pôle) de g .
Prolongement de certains revêtements en un morphisme
Dans ce qui suit, on notera D le disque unité ouvert de C et D* = D \ {0} . Pour
tout meN* , on notera Vm le revêtement analytique (£)*,£>*,pm), où pm(z) = zm
pour tout z e D* : on a vu à l'exemple 25.1.15 qu'il est galoisien, de groupe de Galois
m-cyclique. On notera pm l'application D —► D , z »-► zm .
Proposition 25.6.4
Soit deux surfaces de Riemann T\ et T% , avec T\ connexe et T2 compacte et
connexe. Soit V une partie de T\ non vide, discrète et fermée. Soit une application
analytique f : O = T\ \ V —> T2 injective.
(I) L'application f se prolonge par continuité à T\, et le prolongement obtenu f
est analytique et injectif _
(II) Si en outre 71 est compactef alors f est un isomorphisme analytique.
Démonstration:
Assertion (I)
• Traitons d'abord le cas où T2 = C . Soit a € O . Puisque / est injective, l'ensemble
/~1(oo) est vide ou réduit à un point. On peut donc choisir une carte locale (f/, 6) de T\
au point a, où 0 est un isomorphisme analytique de U sur D , telle que U O V = {a}
et que f(U \ {a}) e C . Alors l'application g : D* —► C, z »-► f(9~1(z)) est analytique
et injective; donc l'origine n'est pas un point singulier essentiel de g (on peut utiliser
le grand théorème de Picard, mais compte tenu que g est ouverte, le simple théorème
de Weierstrass, qui assure que si l'origine était point singulier essentiel de g, l'image
par g de tout voisinage pointé de zéro serait partout dense, suffit). Donc ou bien g se
prolonge par continuité en 0 , et alors on sait que ce prolongement g est holomorphe en
0, ou bien 0 est un pôle de g en lequel g est méromorphe, et alors le prolongement g
obtenu en posant <jf(0) = 00 est analytique en 0 . Dans tous les cas, / se prolonge par
continuité au point a en l'application qui coïncide avec / sur O et avec g o0 sur U :
cette application est analytique. Comme a est arbitraire, on a donc prouvé que / se
prolonge par continuité en / : O —> C , et_que / est analytique.
Tout point a e V est régulier pour /. En effet, si le degré topologique de / en
a e V était e > 1_, il existerait un voisinage ouvert V de a dans T\ tel que les fibres de
la restriction de / à V \ {a} soient toutes de cardinal e (considérer un couple de cartes
/-réduites en a , cf. définition 25.2.7), ce qui contredirait l'injectivité de / . Finalement,
/ est analytique et partout régulière. Montrons par l'absurde que / est injective, en
supposant trouvés a\ e V et a2 6 V tels que /(ai) = /(a2).
• Passons au cas général. Pour montrer l'existence et les propriétés de / , il suffit de
montrer que / se prolonge par continuité à 7i . En effet, l'analyticité, la régularité et
l'injectivité du prolongement obtenu s'en déduiront de la même manière que ci-dessus en
utilisant des cartes locales. Soit donc a e V. Comme T2 est compacte, pour montrer
que / se prolonge par continuité en a, il suffit de montrer que / possède une seule
valeur d'adhérence en a (elle en possède au moins une). Raisonnons par l'absurde, en
supposant trouvées deux valeurs d'adhérence 61 et 62 de / en a avec 61 ^ 62 . Soit
Chapitre 25 , § 6
Surfaces de Riemann et revêtements 329
<p : T2 —► C une fonction méromorphe telle que /(bi) = 0 et ffa) = 1 (cf. théorème
de séparation). Alors <po f admet au point a les deux valeurs d'adhérence 0 et 1, ce
qui est absurde puisque d'après ce qui précède, <p o / se prolonge par continuité au point
a. Cette contradiction montre que / se prolonge par continuité en a , ce qui achève de
prouver l'assertion (I).
Assertion (II)
On sait déjà que / est analytique et injective. Puisque T\ et T2 sont compactes et
connexes, d'après le corollaire 1 de la proposition 25.2.6, / est bijective, et c'est donc
un isomorphisme analytique I
Théorème 25.6.1
Soit T une surface de Riemann compacte et connexe. Soit V une partie finie non
vide de T. Soit B la sous-surface de Riemann T\V de T (qui est connexe). Soit
(R,B,p) un revêtement analytique de B à fibres ûnies} avec R connexe. Il existe
un couple {R,p), où R est une surface de Riemann compacte et connexe dont R
est un ouvert de complémentaire fini et où p est une application analytique R-*T
qui prolonge p (donc (R,T,p) est un revêtement ramifié de T par R). Si (R\,pi)
est un autre tel coupJe, il existe un isomorphisme analytique et un seul $ : R —► R\
tel que $(x) = x pour tout x 6 R.
Démonstration:
On notera n le cardinal commun des fibres de p.
• Construction de (R,p)
Soit N = card (E) et soit E = {yi,..., y^} . Pour tout i e [1, N] , soit une carte
locale (Wiyipi) de T autour de j/i, où (fi est un isomorphisme analytique analytique
Wi —► D . Quitte à diminuer les W%, on peut supposer qu'ils sont deux à deux disjoints.
Pour tout i € [1,ATJ, on notera Vi = Wt \ {î/i} , U% — p~l(Vi) et pi l'application
Ui —► Vi induite par p. On posera bi = <f^l(^)- Alors 1Zi = (Ui,Vi,Pi) est un
revêtement analytique, et l'application tp* : Vi —► D* induite par (fi est un
isomorphisme analytique. Puisque les fibres de p sont finies, Ui n'a qu'un nombre fini, qu'on
notera r*, de composantes connexes. On choisira une numérotation C^i,... ,d,ri de ces
composantes connexes, et pour tout A; 6 [1,1**] , on notera pi%k l'application d^ -» K
induite par Pi ; alors (C^, V^p^k) est un revêtement analytique avec C^k connexe: on
notera ei,* le cardinal commun des fibres de pi%k • On notera aussi wiyk = Peifc et
E?»,* = Pei)fc • H est clair que:
k=n
(2) Y, ei>k = n
k=i
Soit J = {(j, t) e N | j e [1, N] et 1 < £ < rj) , soit J un ensemble fini disjoint de
R de même cardinal que J, et soit (j, t) »-> Xj^ une bijection de J sur J. On pose
R = R U J , et on prolonge p en p : R —► T en convenant, pour tout (z, fc) e I, que
p(zi,/c) = yi. Pour tout (i,k) 6 J, on notera J^ = C^k U {x^} et p^fc l'application
A,* -> Wi qui prolonge pitk par Pi,k{xiyk) = Vi •
Fixons (z,Â:) € J\ Le groupe fondamental Gi = IIi^^K) est isomorphe au groupe
Qi = Ui^(D*), donc à Z (cf. exemples 25.1.3 et 25.1.12). Il possède donc un unique
sous-groupe H^k d'indice e^ , et le groupe quotient ^*/#i k est ej^-cyclique. On
notera H^k l'unique sous-groupe d'indice eifk de Ult±(D*). Donc H^k = (^t^C^t,*) •
Fixons ai}k € P^l(bi) et a^fc 6 ^l{\) • D'après les résultats de la section 25.1.5, on
a (Pi^aÀ^Ua^lCi)) = Hi,k et (Wi,fc)ai,fc(nifaitfc(C*)) = Wtf* , et il existe un unique
330 SURFACES DE RIEMANN COMPLEXES
homéomorphisme f^k '- Ci,* —► D* tel que witk ° /iifc = (p* o pijfc (cf. notamment le
théorème 25.1.10, qu'on applique avec ^*opitfc et (^*)-1 OG7i,/c )• D'après le corollaire
1 de la proposition 25.6.1, fitk est un isomorphisme analytique. On notera fitk la
bijection ritk -+ £> obtenue en prolongeant /^ par fi,k(xi,k) = 0 •
Définissons une topologie sur R comme il suit: cette topologie induit sur R sa
topologie de départ. Et pour tout (i, k) G I, un système fondamental de voisinages de
x^k est l'ensemble des {^i,fc}U/~it1(a;\{0}), où u> parcourt l'ensemble des voisinages de
0 dans D ; en d'autres termes, on dote J^ de Tunique topologie pour laquelle /^ est
un homéomorphisme de J^ sur D . On vérifie sans peine qu'il existe une topologie et
une seule sur R qui satisfait ces conditions, qu'elle est séparée, et que R est un ouvert
dense de R pour cette topologie. Dans la suite, nous munirons R de cette topologie. Si
(z, k) G I, vu que w^k est ouverte et que fitk et <pi et /itfc sont des homéomorphismes,
Pitk est ouverte. On en déduit que p est ouverte.
Montrons que l'espace R est compact. Comme R est séparé, il suffira de vérifier
l'axiome de Borel-Lebesgue. Soit (Oi)i^i un recouvrement ouvert de R. Pour tout
x G R, soit V(x) € 7 tel que x G 0^,(x) , et soit respectivement Sx et Tx des voisinages
ouverts de x dans # et de p(x) dans £ tels que Sx G 0^(x) et que p induise un
homéomorphisme de Sx sur Tx . Pour tout y € B, soit i?y un voisinage ouvert de y
dans B contenu dans C\xep-i^Tx et tel que les ouverts (Sx np~1(i?y))xGp-i(2/) soient
deux à deux disjoints (un tel i?y existe parce que p est ouverte et parce que (R,B,p)
est un revêtement). Pour tout (i,k) G J, soit ^(^i.fc) G J tel que x^ G 0^,(x. fc) ,
soit SXi fc un voisinage ouvert de xi}k dans # contenu dans r^ n 0^Xi fc) et tel que
fi,k{Sxi,k \ixi,k}) = ^i,fc\{0} » où u^fc est un disque ouvert non vide de centre 0 contenu
dans D. Pour tout i G [1, Nj, soit i?yi un voisinage ouvert de y* dans T contenu
dans C\i<k<nP(SXi?fc) (un tel J?y. existe puisque p est ouverte).
La famille (/?^)^€r est un recouvrement ouvert de T; comme T est compacte,
on peut en extraire un recouvrement fini. Dans un tel recouvrement fini, il apparaîtra
nécessairement tous les i?y. pour i G [1, JVJ. Finalement, on a un entier q > 1 et des
Ci G B , où i décrit |l,g], tels que T = (Ui<i<«ji?ct) U (Ui<i</\ri?yJ • Cm a donc
(3) R = (Ui^pT1^)) U (Ui^nCp)"1^))
Pour tout i € [1, q], on a
(4) (P)_1(%) = Ui6p-i(Cj) (S, np-x(l2cJ) C Ux6p-i(C4)0*(8e)
Soit te [1,./V]. On a:
(p)_1(^v<) = Ui<fc<rira n (p)-1(«v*) = Ui<fc<nra n (ft,fc)_1(«w)
Si A; e [l,ri] , on a w^* = (t&i,*)-1 (07^(0/^)) (car u^j. est un disque ouvert de centre
0 dans D), donc SXit„ = (Pi,fc)_1(Pi,fc(^,J) = riJt n (p)_1(p(5«lifc)). On en déduit:
(5) 6rHfiy,)= (J (/Un (?)-»(«„)) = (J (^.nffi-'îfl»,^ (J 0«„.è)
l<fc<r, !<*:<»-, l<k<r,
Puisque (4) a lieu pour tout i G [1, q] et (5) a lieu pour tout i G [1, Nj, on en déduit que
R = ux€(p)-i(M)^V(*) ' °^ ^ = ^ u (Ci}i<i<g • L'ensemble M est fini (les fibres de p
sont finies); on a donc extrait du recouvrement ouvert initial (O*) de R un recouvrement
fini, ce qui achève de prouver que R est compact.
Définissons maintenant une structure analytique sur R, qui induit sur R sa structure
analytique. Pour tout (i, fc) G I, munisons ri}k de la structure analytique pour laquelle
fitk est un isomorphisme analytique de Titfc sur D. Nous allons montrer qu'il existe
sur R une structure analytique (nécessairement unique) qui induit sur R sa structure
analytique et qui, pour tout (i,k) G J, induit sur 7"^ sa structure analytique. Il suffit
Chapitre 25 , § 6
Surfaces de Riemann et revêtements 331
pour cela de montrer que pour toute carte (U, 9) de R et pour tout (z,fc) G J, les
applications
*(tfnrilfc) —c, ^/ar'(2)) et fi,k(unritk)^c, z~o{{fi,krHz))
sont holomorphes; or c'est immédiat, car U D ritk C R et car /^ : C^fc —► .D* est une
carte de R. Nous munirons désormais R de cette structure analytique: alors R est
une surface de Riemann compacte, et elle est connexe puisque R est connexe et dense
dans R (l'ensemble R\R = J est fini).
Montrons enfin que p est analytique. Comme p est analytique sur R, il suffit
de vérifier Panalyticité de p en les points x^/c. Soit (i,k) G T. Comme i^/e est
un voisinage ouvert de xiyk dans R, Il s'agit de montrer que piyk est analytique. Or,
pik = (p~l o Wiyk ° /i,fc , d'où l'assertion, parce que tpi et /^ sont des isomorphismes
analytiques, et parce que w^k est analytique (c'est l'application D —► D, z »-► zeifc ).
Cela achève la construction du couple (#, p). On notera que pour tout (i,k) G J, l'entier
eiyk n'est autre que le degré topologique de p au point xiyk (vérification immédiate).
• Unicité à isomorphisme analytique près
Soit (Ri,pi) un autre couple répondant à la question. Il est immédiat que
l'application / : R —► R\, x ►—► x estjmalytique et injective; d'après la proposition 25.6.4, elle
se prolonge par continuité en fj R —► R\ , et ce prolongement / est un isomorphisme
analytique. L'application # = / répond donc à la question, et c'est la seule puisqu'une
telle application doit être continue. On notera que p\ o$ = p (autrement dit, pour tout
i G [1, JV|, Tisomorphisme # induit une bijection de (p)_1(î/i) sur (Pi)~1(lli) ) "
Soit B le complémentaire d'une partie finie d'une surface de Riemann T compacte
et connexe. Le théorème 25.6.1 signifie que la donnée d'un revêtement analytique à fibres
finies (R, B,p), avec R connexe, équivaut à la donnée d'une extension algébrique finie
du corps des fonctions méromorphes sur T.
Chapitre XXVI
SURFACES DE RIEMANN ET THÉORIE DE GALOIS
§ 26-1 Groupe fondamental et produits libres
26.1.1 Produit libre de groupes
Dans cette section, par défaut, les groupes seront notés multiplicativement.
Soit (Gi)iç.i une famille non vide de groupes. Pour tout i € J, on notera e* l'élément
neutre de Gi . On pose le problème universel suivant (qui se rattache à la notion générale
de somme directe dans une catégorie):
IVouver un système (A, {fa)iei), où A est un groupe et où fa est, pour tout
i, un morphisme de groupes Gi —> A, tel que pour tout groupe H et toute
(1) \ famille (fi)iei , où fi est, pour tout i, un morphisme de groupes Gi —> H ,
il existe un morphisme de groupes <p : A-+ H et un seul vérifiant <pofa = fi
pour tout i
Comme pour tous les problèmes universels, si un tel système existe, il est unique à
isomorphisme (unique) près ; en fait, si (A, {fa)iei) et {A1, (V>-)îej) sont deux solutions
du problème, soit respectivement <p : A —► A* et <p' : A* —► A les morphismes tels que
ip o fa = *0i pour tout i et que <p' o ^ = fa pour tout i. Alors <p et <p' sont des
isomorphismes réciproques l'un de l'autre.
Nous allons voir que ce problème universel admet une solution. Soit A = Ilie/G» la
réunion disjointe des Gi. Pour tout entier n > 1, appelons mot de longueur n (en
l'alphabet A ) tout couple de n-suites ((ii,..., in), (xi,..., xn)) tel que (ii,..., in) € In
et (xi,...,xn) € Ilifc=?^ifc • À l'entier n = 0, on fait correspondre le mot vide
égal au couple dont chaque coordonnée est l'application vide. Le mot vide sera noté
e, et on lui attribue la longueur 0. La longueur d'un mot fi sera notée long(fi).
L'ensemble des mots de longueur n sera noté Mn(A) (on a donc Mo(A) = {e}).
On notera M(A) = Un€N.Mn(j4). Sur l'ensemble M(A), on a une loi de
composition naturelle, que l'on note sans symbole, la concaténation, définie comme il suit:
e/i = fie = fi pour tout fi e M (A). Et si fi = ((n,... , in), (xi,... ,xn)) e Mn{A) et
/i' = (ii,... ,i^/), (x^ ... ,x'n,)) € Mn'(A) avec n > 1 et n' > 1, alors:
(2) fifi1 = ((ii,... ,in,ii,... ,i'n,), (xi,..., xn,xi,...,x'n,))
(donc fifi! € Mn+n'{A) ). Il est immédiat que cette loi de composition interne sur M(A)
est associative, admet e pour élément neutre, et est régulière à droite et à gauche
(en effet, pour tout fi e M(A), les applications M(A) —► M (A) : m »-► fim et
M (A) —► M(A) : m »—► m fi sont injectives). Ce n'est cependant pas une loi de groupe,
un mot d'ayant en général pas d'inverse. On pallie ce défaut en introduisant la notion
de mot réduit et des processus de réduction.
Définition 26.1.1
Dans les conditions ci-dessus, un mot \i = ((ii,..., in), (x\,..., xn)) 6 Mn(A) avec
n > 1 est dit réduit ssi Xk ^ e^ pour tout k e [1, n] et ik ^ û+i pour tout
k e [1, n — lj (7a deuxième condition étant automatiquement satisfaite si n = 1 j.
Soit A: e f*A . Définissons comme il suit des applications 1Zk et Sk de A4(j4)
dans M(A) : soit /x = ((il,- • -^n)»(xi,.. ■ ,xn)) e A1n(-A) ; si n < k ou si n > k et
Xfc 7^ eifc , alors ftfc(/z) = fi ; si n > k et x* = eik , alors ftfc(/z) = e si n = 1, et
sinon Uk(fi) = ((ji,. • ■, jn-i)(yi, • • •, î/n-i)), avec ^ = ie et ye = xe si £ < k , et avec
334 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
j£ = i£+1 et yt = xi+i si £ > k . Si n < k ou si n > fe et ik ^ ik+i , alors Sk{p) = /i ;
si n > k et û = ik+ï , alors 5fe(/i) = ((ji,... Jn-i)(yi, • • • ,2/n-i))> avec je = i/ et
yt = xe si £ < k, avec j* = ik et y* = x/tXfc+i , et avec je = z£+i et y* = X£+i si
£ > k . Enfin on conviendra que 7?*(e) = <Sfc(e) = e.
Cela étant fait pour tout k , en posant So = ^M(A) > °n obtient une famille
(3) ((ftfc)fc>i>(Sb)fc>o)
d'applications â4(j4) —► jM(j4). Nous appellerons opérateur de réduction toute applica-
tion M(A) —► Â4(A) composée d'un nombre fini d'applications de la famille (3). Soit p
un opérateur de réduction et soit /i 6 M (A) ; il est clair que si p(p) ^ /i (d'où /x ^ e ),
alors long(p(/i)) < long(/x). On vérifie facilement:
Lemme 26.1.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit p, € Mn(A) avec n > 1. Les
assertions suivantes sont équivalentes:
(I) Le mot p est réduit.
(II) Pour tout entier k € [l,nj , on a 7£fc(/i) = p et <Sfc(/x) = //.
(II) Pour tout opérateur de réduction p , on a p(p) = p .
Pour tout n e N , notons On = Sn-i o 1Zn . Pour tout n e N , posons
$n = 0X o • • • o ©n , et posons #o = IdA4(/t) • Soit p € Atp(-A), avec p > 0 ; il
est clair que #n(A*) = ^p(^) P°ur tout n > p. Soit l'application # : M(A) —► â4(j4)
qui, pour tout p € N , coïncide avec #p sur A^p(i4). On a alors:
Proposition 26.1.1
L'image de Vapplication $ définie ci-dessus est Vensemble des mots réduits, et on a
$ o $ = $, Le. 0 induit Videntité sur Vensemble des mots réduits.
Démonstration:
Pour tout (i, j) € N2 tel que i < j , nous noterons <pjj>7 = 0» o 0i+1 o . • • o Oj (donc
<Pi,i = ©i)-
La deuxième assertion découle de la première et du lemme 26.1.1. Pour établir la
première assertion, soit p € Mn(A), avec n € f^J, et montrons que $(p) est réduit.
C'est immédiat si n < 2. Supposons n > 3, et l'assertion vraie à tout ordre < n — 1.
Notons /x = ((ti,...,in)»(zi»---,Zn)) • Si p est réduit, d'après le lemme 26.1.1, on
a <P(p) = p , donc $(/i) est réduit. Plaçons-nous dans le cas où p est non réduit;
on déduit aisément du lemme 26.1.1 que l'ensemble des entiers k € [l,nj tels que
Ok{p) ^ /i est non vide: soit m le plus grand d'entre eux. Soit v = ym,n(p) • On a
#(/x)=#m(/i) =#m_i(i/),avec i/ = ©m(/i)- so^ m' le mot ((û,... ,im),(xi,... ,xm))
et soit /x" le mot tel que p = p1 p" (donc /i" = (wi>-• • >*n)> (^m+i, • • • ,xn)) si
m < n, et /i" = e si m = n). Il est clair que /x" est réduit et que im ^ zm+i . Si
m = 1, on en déduit que #(/i) = 1Zi(p) est réduit. Supposons désormais que m > 2.
Il y a deux cas possibles:
• Cas où Xm ^ eim . Alors nécessairement ïm_i = zm , et:
(4) v = c((zm)(xm_ia;m))/z''
où c = e si m = 2 et c = (ii,... ,ïm-2), (^i,- ■ ■ ,xm_2)) si m > 3. Comme /x" est
réduit et comme im ^ im+i , on voit que ©fc(^) = i/ pour tout k e [m,n - 1], d'où
#m_i(i/) = (#m_i o y?mi„_i)(j/) = <^n-i(^). Comme long(i/) = n - 1, l'hypothèse de
récurrence montre que #(/z) = $n-\(v) est réduit.
Chapitre 26 , § 1 Groupe fondamental et produits libres 335
• Cas où xm = eim . Il y a trois sous-cas possibles:
Premier sous-cas: m = n, i.e. //' = e
On a alors v = ((iu ... ,in-i), (*i,... ,xn-i)) et #(/*)= #n_i(j/) = #(V) (puisque
long(i/) = n — 1 ). L'hypothèse de récurrence montre directement que #(/z) est réduit.
Deuxième sous-cas: m < n et im-\ ^ im+i
Alors i/ = c((zm_i),(£m_i))/z" , où c est défini comme au premier cas. Comme //'
est réduit et zm_i ^ im+i, on voit comme au premier cas que #m_i(i/) = $n-\(v), ce
qui entraîne que #(/z) = $n-\(v) = $(v) est réduit.
Troisième sous-cas: m < n et im-\ = im+i
Soit //" le mot tel que fi" = ((im+i), (xm+i))/z'" ( donc \i"' = e ssi m = n - 1 ).
On a alors v = c((im+i), (xm_ixm+i))/i'", où c est défini comme au premier cas, et
cette fois-ci long(^) = n - 2 . Si m = n — 1 , on a #(/z) = #n_2(*') = #(^), donc $(jx)
est réduit d'après l'hypothèse de récurrence. Si m < n — 2, comme ïm+i ^ zm+2 et
comme de manière évidente //" est réduit, on voit à nouveau que Ok(v) = v pour tout
k € [m, n — 2] , donc comme au premier cas,
#(/i) = #m-lM = (*m-l ° Vm,n-2)(M) = *n-2(^) = #M
et d'après l'hypothèse de récurrence #(/z) est réduit ■
Dans ce qui suit, nous noterons A(A) le sous-ensemble des mots réduits dans M(A).
Il est muni d'une loi de composition interne naturelle, que nous noterons * , définie par:
(5) ( V {fi, v) € A(A) x A(A) ) n * v = ${fiv)
Pour tout i e I, on notera tpi l'application G* —► j!(j4), x »-► #(((z), (x))). On vérifie
immédiatement que ipi(xy) = 0i(x) *ipi(y) pour tout (x,y) € Gi x d, et que Vi est
injective.
Théorème 26.1.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, (A(À), *) est un groupe, et le système
((A(A), *),(ifri)iei) est solution du problème universel (1). De plus, le groupe A(A)
est engendré par Uieiipi(Gi).
Démonstra tion :
Première étape: montrons que (A(A), *) est un groupe.
Le mot vide e est élément neutre pour * .
Pour tout i e I et tout x e Gi, notons u^x = ((i),(x)), et soit giyX l'application
A(A) -► A(A), fi ►-► #(ui>x/i).
• Soit i £ I et soit (x,y) e GixGi. Montrons que pijXo^i>y = ^ixy . Soit fi e A(A).
Supposons /i = e;ona 9i,xy(v) = ${uitXy) et {gitX o g^y){fi) = $(ui}X$(uity)). Si
y = e*, on a uiiXy = uitX et #(uijy) = e , d'où
(tfi.x ° 9ity)(V>) = *(tti,x) = #(Uifaîy) = 0i,*yO)
Si y ^ e*, on a ${uitV) = ui|V et u^u^ = iiijXy , d'où {gi,x ° 9i,y){v) = 9i,xy(v) •
Supposons /i/e; soit m = long(/x), et notons fi = ((ii,... ,im), (xiy... ,xm)).
Alors 9i^xy(fi) = $(uitXyfi) et (&tX o gify)(fi) = $(uiiX$(uity fi)). Soit 1/ le mot tel que
/x = uiliXli/ : il est réduit, et s'il est ^ e (i.e. si m > 2 ), alors Î2 ^ i\.
Si i = z'i , on a S\(u^yfi) = ^i,^! ^, donc (puisque fi et v sont réduits)
(6) i£i,x^(ni>y /x) = {
l ^i,x^ si yxi = ei
336 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
d'où, puisque %2 ^ h si m > 2 :
uitXyXl v si yxi ^ ej et xyx\ ^ e*
,_ .. ,, NN , v si yxx ï a et xyxi = et
(7) $ uijX<P u^ ji)) = < .,
1 UjtXi/ si yxi = ei et xf ej
i/ si yx\ = Si et x = e*
D'autre part,
^i,xy M — ^i,xyxi ^ > Q OUI
(8) *(^ifxy M) = S
( i/ si xyxi = e*
En comparant (7) et (8), on constate que $(uiyXyfi) = $(uitX$(ui9y p)), c'est-à-dire
(îi,i°ft,y)M =9i,xy{V>)'
Si z ^ ii, on a S\(uify fi) = itijy ^ , donc
v>i,xUityii si y 7^ ei
si y = e,
d'où immédiatement:
^i,xy A* si y ^ et et xy ^ e*
fi si y ^ei et xy = e»
wi>x /x si y = ei et x ^ Ci
fi si j/ = ei et x = ei
D'autre part, puisque /x est réduit et i ^ ù , on a:
si xy ^ e»
si xy = t{
En comparant (10) et (11), on constate que $(uiiXy fi) = #(uitX#(ui)y/i)), c'est-à-dire
{9i,x ° 9itV)(lJ) =0t,*y(/i).
On a ainsi prouvé que (^itX ° <7i,y)(/i) = <7i,Iy(/x) dans tous les cas; comme {fi,iyxyy)
est arbitraire, on a donc:
(12) (Vt e I) (V(x,y) G G* x G* ) ^oj^ = pitXy
• Vérifions que tout mot réduit /i € -4(A) possède un inverse pour la loi * . En
effet, si /x = e, c'est évident, l'inverse est e. Si fi ^ e, soit m = long(/i), et
posons fi = ((ii,...,im),(£i,-..,£m)). Soit i/ = ((im,... ,n), (x^1,... ,xf*)) ; alors
v e A(A), et il est immédiat que fi *v = i> */i = e.
• Soit i € J, il est clair que ^i)Ci = Id^). Si x e Gi, d'après (12), et d'après
ce qu'on vient de voir, on a ^ o gix-i = gix-i o gitX = ^<|C. = Id^j , donc gitX
est une permutation de A(A), et on a {gitX)~l = 9iiX-i • On déduit alors de (12)
que l'application & : Gi —► ©/i(A) » z ^ &,x est un morphisme de groupes; comme
<7i,x(e) = $(uitX), on voit que Ker (</?*) = {e*} , donc ^ est injectif.
• Soit fi e M{A), de longueur m ; définissons TM de &a(a) Par A = Id,^) , et si
e^ fi= ((ii,..., im), (xi,..., xm)) :
(13) rM = 0ii,*i °--°^m,xm
(l'écriture (13) utilise à plein l'associativité de la loi o ). Compte tenu de (12) (et du fait
que gi>ei — Id/^) pour tout i e I et tout x e Gi ), on voit aisément que -T^^) = TM
pour tout fi e M(A) et tout k e N* , et que /$fc(M) = TM pour tout fi e M{A) et
tout k e M . En utilisant la proposition 26.1.1, on en déduit:
(14) (V(ieM(A)) ^ = r*w
I yii T **î
(9) UitX$(Ui,y /!)=«{
^ Uj)X /X
(10) «pk^Kj, /*)) = {
(il) *(*.«,, m) = {tti,*w/1
Chapitre 26 , § 1
Groupe fondamental et produits libres 337
Soit (fi, v) e M{A) x M(A). Il est immédiat que F^ = TM o Fv . Compte tenu de
(14), on en déduit:
((\/(fi,v)eM(A)xM(A)) ^0^ = %,)
(1 } \(v(n,v)eA(A)xA(A)) r.or^r^
On vérifie que TM(e) = /x pour tout fi 6 -4(^4). Il en découle que
(16) L'application A(A) —► &a(a) > A* '—> i~M est injeetive
• Nous pouvons maintenant montrer que la loi * sur A(A) est associative, ce qui
achèvera de prouver que {A(A), *) est un groupe. Soit (fi,v,p) € (A(A))3 . D'après
(15), on a, en utilisant l'associativité de la loi de groupe o sur &a(a) :
(17) r^^U)mp = rM#I/oTp = (r^oru)orp = r^o(ruorp) = rMoru*p) = rM,(I/,P)
D'après (16) et (17), on a donc fi * (y *p) = (fi mu) mp , ce qui clôt notre première étape.
Le groupe (A(A), m) sera simplement noté A(A).
Deuxième étape: génération du groupe A(A).
Soit fi e A(Â), de longueur m > 1, et posons /x = ((ii,... ,im), (xi,... ,xm)).
Compte tenu que A(A) est un groupe, on a:
(18) V = uiltXl *••• *uimtXm =^il(xi) * ••• *0im(xm)
donc yl(A) est engendré par Uieiipi(Gi).
Troisième étape: vérification de la propriété universelle.
Soit H un groupe, et pour tout i e I, soit fi : Gi —» H un morphisme de groupes.
Pour tout fi e M(A), de longueur m, posons f(p) = e si /i = e, et, si m > 1
et si /i = ((ii,...,im),(xi,...,xm)), posons f(fi) = /^(xi) • • • fim{xm). Soit v? la
restriction de / à -4(-A). Pour tout fi e M(A) et pour tout k eN , il est immédiat
que f(1Zk{p>)) = f{Sk{fi)) = f(fi), d'où f(fi) = f($(fi)) compte tenu de la proposition
26.1.1. Pour tout (fi,v) e M{A) x M{A), il est clair que f(fiv) = f(fi)f(v), d'où
f(fi)f(v) = f($(fiv)) = f{fi mu). Par suite, <p : /l(-A) —► H est un morphisme de
groupes. Il est immédiat que fi = <p°ipi pour tout i € I, et v? est le seul morphisme
satisfaisant ces conditions, parce que A(A) est engendré par U^/^tC^i) ^
Définition 26.1.2
Avec les notations et hypothèses du théorème 26.1.1, le groupe (A(A), m) est
appelé le produit libre de la famille de groupes (Gi)i^j , et sera noté XieiGi. Les
morphismes tpi seront appelés les morphismes canoniques des Gi dans %ieiGi.
On notera que le produit libre *ie/Gît est défini sans qu'il soit besoin de munir I
d'une quelconque relation d'ordre; pour toute bijection a de I sur un ensemble J,
posant Hj = Ga-\^) pour tout j e J , on a donc #tejGt = XjejHj . En particulier,
soit G et H deux groupes quelconques; pour tout ensemble J = {a, 0} de cardinal
2, considérons la famille de groupes (Ga,Gp) telle que Ga = G et Gp = W; alors le
groupe #jejGj ne dépend que de {G,H} • On convient de noter Ç/*W ce groupe. On
a donc G*H = H*G •
En utilisant la propriété universelle, on vérifie sans peine que le produit libre de
groupes est totalement associatif, en le sens suivant: soit (Je)eeL une partition de J,
alors il y a un isomorphisme de groupes canonique entre #ie/Gt et *£ez,(#ieJeGi)
(cet isomorphisme s'obtient simplement en parenthésant convenablement les mots). On
conviendra d'identifier *iG/Gi et *£eL(*ieJ*<?i) à l'aide de cet isomorphisme. En
particulier, si G , H et /C sont des groupes, on a (G* W)*/C = £*(H*/C).
Le produit libre de groupes généralise la notion de groupe libre construit sur un
ensemble non vide B (voir tome 1); de façon précise, pour tout b € B, soit 2£e> un
338 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
groupe isomorphe à Z (i.e. un groupe monogène infini), soit gi un générateur de 3Ê& ,
et soit 7b son image canonique dans Lb = #6çb2ê&- Le groupe Lb possède la propriété
universelle suivante, aisément déduite de la propriété universelle (1) du produit libre de
groupes:
{Pour tout groupe H et pour toute application f : B —♦ H, il existe un
morphisme de groupes (p : Lb —> H et un seul tel que <p(7&) = f(b) pour
tout be B
Il découle de (19) que Lb est isomorphe au groupe libre construit sur l'alphabet B.
Nous conviendrons d'identifier Lb et ce groupe libre, ce qui revient à identifier, pour
tout b € B , les éléments t/& et 75 .
Proposition 26.1.2
Avec les notations et hypothèses du théorème 26.1.1, soit /i e M(A) et v e M(A).
On a $(fiv) = #(//) *${y).
Démonstration:
En appliquant la deuxième relation (15) avec ($(ji), $(*/)), on a
(20) J*(i/) •#(!/) = J*(/i) ° J*(«>)
En tenant compte de (14), et en appliquant la première relation (15) avec (/i, v), il en
découle que
(21) -f*(i/)»*(i/) = r^o ru = rM„ = r^^
On déduit de (16) et (21) que fi +v = Q{p) *#(j/) = #(/u>) ■
Proposition 26.1.3
Avec les notations et hypothèses du théorème 26.1.1, soit fi € M(A) et soit p un
opérateur de réduction tel que p(/i) e A(A). Alors p(p) = #(/z).
Démonstration:
D'après ce qui précède (14), on a fp(M) = T^ , d'où I$(M) = -f#(p(/i» d'après (14).
D'après (16), on a donc #(/i) = #(p(/i)) ; mais $(p(fi)) = p(fi) car p(/i) est réduit. On
a donc bien p(fi) = <P(/x) ■
La proposition 26.1.3 montre que quel que soit l'ordre dans lequel on effectue des
opérations de réduction sur un mot /i € M(A) pour arriver à un mot réduit, le mot
réduit auquel on arrivera sera toujours le même, c'est $(/i). Ce résultat, conforme à
l'intuition, n'est cependant pas évident directement.
Conservons les notations et hypothèses de la définition 26.1.2. Soit i0 € / tel
que Gi0 = {ei0} . Il est immédiat que les ensembles %iei\{i0}Gi et ^îei^i sont
les mêmes, et que les lois de groupe de ^¥iej\[ioyGi et de ♦ie/Gi sont les mêmes.
On a donc (sans qu'il soit besoin d'abus de langage ni d'identification) l'égalité entre
groupes: *iG/\{i0}Gi =*ieiGi.
Comme les morphismes canoniques Gj —> ^teiGi sont injectifs, on en déduit
notamment que #ieiGi = {e} ssi Gi — {e*} pour tout i G I. Notons pour finir que si
I est un singleton {z0} , alors de manière évidente #ie/Gi s'identifie à Gio : en fait, le
morphisme canonique ipio : Gio —> #ie/Gt est alors un isomorphisme.
26.1.2 Le théorème de Van Kampen
Dans cette section, X désignera un espace topologique non vide séparé, localement
connexe par arcs et connexe, dans lequel on fixera une fois pour toutes un point-base b.
On considère un recouvrement ouvert {Ui)iei de X tel que b e Ui pour tout i e I et
que Ui n Uj soit connexe pour tout (i,j) € I x I (donc chaque Ui est connexe). Pour
Chapitre 26 , § 1
Groupe fondamental et produits libres 339
tout i € I, on notera 2* Pinjection canonique Ui —> X , et pour tout (z, j) e I x I,
on notera Xjj l'injection canonique Ui O f/j —► Ui ; il est clair que 2* ol^j = 2^ oî;-ti,
cette application n'étant autre que l'injection canonique Jij : UiHUj —► X . Pour tout
z € J, on notera Jifb = (Ii)b » ie- le morphisme de groupes Ili^^i) -> riijb(A') induit
par 2i, et on notera fa le morphisme canonique Tlitb(Ui) —► # j€/IIijb(C/j) (on rappelle
que Vî est injectif). Pour tout (z,j) € J x J, on notera Jitjtb = (ItjOJf • ^our tout
z € J , il est clair que J7i,i,6 = Idni b(Ui) • D'après la propriété universelle du produit libre
de groupes, il y a un morphisme de groupes et un seul
(22) G : *i€/nii6(t/i)—^n1|6(X)
tel que & o fa = Jiib pour tout i e I. Le théorème de Van Kampen, exposé ci-dessous,
permet de décrire le groupe fondamental U\fb{X) en fonction des groupes fondamentaux
nitb(f^i) (où i décrit J). C'est pratiquement le seul outil général non trivial connu pour
déterminer des groupes fondamentaux.
Pour abréger, si i e I, on notera Hi = ïïitb(Ui) et e* l'élément neutre de Hi ;
on notera A(A) = #ie/Wi et e l'élément neutre de A. On notera A — U^iHi et
M(A) l'ensemble des mots sur l'alphabet A, muni de la concaténation; on notera #
l'application M{A) —> A(A) qui, à tout mot, associe le mot réduit qui s'en déduit (voir
proposition 26.1.1).
Théorème 26.1.2
Avec les notations et hypothèses ci-dessus (donc Ui O Uj connexe pour tout (z, j) ):
(I) Le morphisme O défini en (22) est surjectif, donc IIi^X) est engendré par
UieiJi,bCHi) •
(II) Supposons en outre que pour tout (z, j, k) € P , l'ouvert Ui 0 Uj n Uk soit
connexe. Alors Ker (0) est le sous-groupe distingué M de A engendré par l'ensemble
des éléments de la forme p(i,j,c) = fa(Ji,j,b{c)) *i)j{{Jj,i,b{c))~l) > ou (m) décrit
I x I, et où, pour tout (i,j) fixé, c décrit Uitb{Ui H Uj).
Démonstration:
Dans cette démonstration, on accordera la plus grande attention à la signification de la tilde
d'un chemin: elle désigne la classe d'homotopie de ce chemin dans l'espace topologique où il est
spécifié que ce chemin prend ses valeurs.
• Assertion (I)
Soit r : [0,1] —> X un lacet d'origine b. En considérant un nombre de Lebesgue
du recouvrement ouvert (J1-1^))^/ du compact [0,1 ] , on voit qu'il existe une
subdivision (to,-.-,tn) de [0,1] (où n > 1 et où 0 = îq < t\ • • • < tn = 1 ) et une
application <p : [0, n - lj —► / telles que T( [U, U+i} ) C U^) pour tout i e [0, n - lj.
En particulier (l) , pour tout z € [l,n - 1| , on a T(^) € t/^i-i) H C/^i), et d'après
l'hypothèse on peut donc choisir un chemin 6i : [0, 1] —► £^(i_i) H f/^) d'origine 6
et d'arrivée .T(£t) (si n = 1, il n'y a pas de chemin à choisir). On notera Ai = Xi o 6i.
Pour tout i e [0, n - 1], soit 7* le chemin [0,1 ] —► t/^), r ►-> T((l - r)^ + r^+i),
et soit_i"i =1*07^ Rappelons que pour tout chemin C d'un espace topologique T, on
note C la classe d'homotopie de C. On a:
(23) f = iVi • ■ • TQ = d( 'AT-ii^Oiv^ • • • A( ^12or0
(l'expression (23) a lieu pour n > 3; si n 6 {1,2}, elle se simplifie, mais les résultats
ci-dessous demeurent valables). En réorganisant le parenthésage du second membre de
(23), on obtient:
(24) f - (/Vi *AT-i)(A^iiV2 5^T-2) • • • (A2I\ ^i)(2if0)
( ) Par convention, si (q, r) e Z2 avec q > r , on a (ç, rj = 0
340 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
Soit les chemins
Ln-î-rn-iM'^n-l), U-2 = (Ai-1 * Tn-2) * '4-2 , ••• , ^1 = (^2 * A ) • ' AX , L0 = di • A
Ce sont des lacets d'origine b dont les images sont respectivement contenues dans les
ouverts t/^n-i), £^(n-2)» • • • » ^(i)> ^(0) • Pour tout fc e [0, n-1] , on notera h le lacet
d'origine b de t^(fc) obtenu par corestriction de Lk à £^(/c) , i.e. tel que Lk = 2v?(fc)o//c;
on a donc Lk = J^(k)yb{h) • La relation (24) s'écrit:
(25) F = J^(n-l),6('n-l) Jv?(n-2),6('n-2) * * " J<p(l),b(ll) J<fi(0),b(lo)
ce qui équivaut à:
(26) f = 0 (VV(n-l)Cn-l) *^(n-2)('n-2) * ' ' ' *^(l)(^l) *^(0)(fc))
d'où la surjectivité de G . La dernière assertion (I) s'en déduit immédiatement.
• Assertion (II)
Pour (ij) € I x I et ce Ui,b(Ui n Uj), il est clair que p(z, j, c) € Ker (O), parce
que Jiyb o jrij6 = Jitb o Jjih , d'où 0 o Jib o ^-^ = O o JJ>6 o ^i6 , c'est-à-dire
Rappelons que l'élément neutre de IIi>b(X) est uj, = uj,, où u*, désigne le lacet
constant d'origine b dans X.
Soit £ e Ker (@) \ {e} . Il s'agit de montrer que £ e Af. En notant respectivement
$, lg et tu le groupe quotient ^-/j\f , son élément neutre et la surjection canonique
A —► G , il s'agit donc de montrer que tu(£) = lç .
On a un entier AT > 1, une suite (îi,..., i;v) € J^ et une suite ( Ci,..., Cjv), avec
Cfc € Wifc pour tout k , tels que
(27) t = i>iN{cN)* ••• •^ti(ci)
L'hypothèse @(f ) = u& signifie que:
(28) Jit,b{CN)JiN-ub{cN-l) ' ' ' Jii,bicl) = u&
Pour tout k e [1, AT], soit 7jt : [0,1] —► Uik un lacet d'origine b dans Uik tel que
Tib = Cfc , et soit A = lik o yk . Déterminons un lacet r : [0,1] —► X d'origine b
dans X et une subdivision (ro,..., r^) de [0,1 ] (avec 0 = to < • • • < r^ = 1 ) tels
que pour tout k € [1, N] , on ait 7fc(£) = T((l - £)rfc_! -h trk) pour tout t € [0,1 ] (un
tel lacet r existe). En vertu de (28), on a:
(29) f = /V ■ • • A = JiN,b{là) • • • Jit,&(7i) = u6
donc r est homotope à u& dans X. Soit /i : [0, l]2 —► X une homotopie de T à
Mb • Munissons R2 de la norme (x, y) ►-► || (x, y) || = Max(| x |, | y |). Soit un réel r/ > 0
nombre de Lebesgue du recouvrement ouvert {h~l(Ui))iei du compact [0, l]2. Soit
des subdivisions (so, • • •, $2m) et (to,... ,tn) de [0,1 ] de pas < r\ (où m > 1, n > 1,
0 = so < • • • < «2m = 1 et 0 = £0 < • • • < tn = 1 ), telles que la subdivision (sp)o<p<2m
raffine la subdivision (r^) et que h( [ spi sp+i ] x [ 0, t\ ] ) C Uik pour tous p e [0, m- lj
et k e [lyN] vérifiant [sp,sp+i] C [rfc_i,rjt] . On notera (ro,ri,... ,r^) la suite
d'entiers telle que srfe = r^ pour tout A; e f0, JVJ (donc 0 = r0 < ri < • • • < r^ = 2m ).
Pour fixer les idées, on supposera m>3, n>3 et n impair (dans les autres cas, la
démonstration est analogue). Il sera commode de poser s_i = 0 et $2m+i = 1 •
Introduction d'un pavage décalé (" mur de briques ")
À ces subdivisions (sk) et (te), nous associons le pavage décalé de [0, l]2 défini
comme il suit; soit C l'ensemble des couples (k,£) € [-1,2m] x [0, n - 1] pour lesquels
A; + £ est pair. Pour (k,() e C, soit Rky£ le rectangle [sfc,sjfc+2] x [**,t*+i] • La
famille {Rkyi)(k,i)ec est Ie pavage cherché. La figure 1 ci-dessous montre un tel pavage
pour m = n = 3 .
Chapitre 26 , § 1
Groupe fondamental et produits libres 341
L'application (A;,^) h-* Rke est une bijection de C sur l'ensemble des rectangles du
pavage. La réunion des ensembles des sommets des Rktt lorsque (fc, £) décrit C est
£^ = .F\ ({si,53,...,s2m-i} x {0,1}), où T = {sfc}fc€[o,2m] x {^}^€[0,n] • Tout
point P G T appartient à un, deux ou trois des rectangles du pavage: on notera Ep
l'ensemble {(sk,te) | (M) € C et P € Rt,t} . On notera ^ = .Fn (]0,1 [x [0,1] ) et
£ = {{skyte)}(k,e)ec • L'application C —► £, (fc,^) «-► (sk,te) est une bijection de C sur
l'ensemble des sommets inférieurs gauches des rectangles du pavage. Si P = (sfc, te) e £ ,
on notera Jtp = Rk £.
Figure 1
Le ||. ||-diamètre de chaque rectangle du pavage est < r\, donc chacun de ces rectangles
est contenu dans au moins un ouvert Ui. Vu la contrainte imposée à la subdivision (s2P),
on voit qu'il y a une fonction <p : £ —► I vérifiant les propriétés suivantes: Rp C £^(p)
pour tout P € £ , et <p(P) = ik pour tout P € £ de la forme (s2P, 0) avec pe [0, ra-lj
tel que [s2P,s2p+2] C [rfc_i,rfc] .
Introduction des lacets élémentaires
Nous allons maintenant définir des lacets élémentaires associés au pavage, obtenus
en utilisant la restriction de l'homotopie h aux côtés verticaux des rectangles et aux
segments des côtés horizontaux de ces rectangles définis par leur intersection avec £.
Ces restrictions de h ne sont pas des lacets, aussi pour obtenir des lacets, on insère des
chemins d'origine b et dont l'arrivée est un point de T^-.
De façon précise, pour chaque P € T^, l'ouvert Wp = ^QeEpU^Q) est connexe
puisque card(£p) € {1,2,3} . On fixe un chemin 6p de Wp d'origine b et d'arrivée
h(P). Pour toute partie non vide B de Ep , on notera 6ptB le chemin de Ciq^bU^q)
dont la corestriction à Wp est 6p .
Soit T^ = ^n(]0,l] x [0,1]). Pour tout P = {sk,tt) e T^ , le segment
Hp = [{sk-i,ti),(sk,ti)] de [0, l]2 est contenu dans exactement un rectangle du
pavage si U G {0,1} , et dans exactement deux si 0 < te < 1. On notera respectivement
FP, Op, fP et Pb l'ensemble {Q e £ \ HP C Rq} , l'ouvert r)QeFpU^{Q) , le chemin
[0,1] ->Op,t*-> h((l-t)sk-i+tSk,U) de Op , et le point (sk-uU) de T.
Remarquons que FP = JSp Pi iJpb . Pour tout P = {$k,U) € ^J , on définit alors le lacet XP
de Op par:
(30)
FP)*(fp*6p>tFp)
}P\FP
SI
SI
Sfc < 1 (i.e. si k < 2m)
Sk = 1 (i.e. si fc = 2m)
Nous dirons que P est l'extrémité-source du lacet Xp , et que Pb en est l'origine-source.
On a ainsi défini la famille (Ap)p^^-j des lacets élémentaires horizontaux associés au
pavage.
Soit ST = Sf n (] 0,1 [ x [0,1 [). Pour tout P = (sfc, t£) 6 ST , il est immédiat que
le segment VP = [ (sfc, t*+i)> (5*> **) ] est contenu dans exactement deux rectangles du
pavage. Notons respectivement GP , QP , #P et Pti l'ensemble {Q € 5 | VP C JIq} ,
l'ouvert r\QeGpU^Q) , le chemin [0,1] -► Qp , t ■-► h(sk, (1 -t)t£+i + tt*), et le point
342 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
(31)
MP
■{;
(skite+i) de y. Remarquons que GP = FPC)Fpt . Pour tout P € îT , on définit alors
le lacet fip de Qp par:
s(6p,GP)*(9p*6pt,Gp) si t*>0(i.e. si £ > 1)
0p * <5Pti,Gp si ^ = ° (ie- si £ = 0)
Nous dirons que P est Vextrémité-source de /zp , et que P* en est roriginesource. On
a ainsi défini la famille (lip)pç.y~ des Jacets élémentaires verticaux associés au pavage.
Mots admissibles définis par le pavage
Nous appellerons chaîne admissible (associée au pavage), ou bien toute suite de lacets
élémentaires de la forme (Apt,..., Ap2m) telle que pour tout fc € [1,2m - 1] , on ait
pk = (Pfc+i)b, ou bien toute suite de lacets élémentaires de la forme (l\,..., hm+i) telle
que, pour un entier v G [1,2ra-lJ, on ait lk = Xpk pour tout k € [1, i/ju [i/+ 2,2m+ 1]
et que /„+i = /zp„+1 , avec Pk = (Pfc+i)b pour tout A; € [l,j/ - lj U [j/ 4- l,2mj et
P„ = (P^+x)*1. Les deux types de chaînes ainsi définies seront respectivement dites
de la première forme et de la seconde forme (attention, pour une chaîne admissible
de la deuxième forme, l'entier v ci-dessus n'est pas quelconque, puisque le segment
[P^P^+i ] doit être un côté vertical d'un rectangle du pavage).
Il est clair que la donnée d'une chaîne admissible équivaut à celle d'une fonction en
escalier décroissante 0 : [0,1] —► [0,1] continue à droite, décroissante, constante sur
] s*, Sfc+i ] pour k e [0,2m — 1], dont l'ensemble des valeurs est de la forme {te,te+i}
avec 0 < £ < n — 1. Une telle fonction 9 est constante ssi la chaîne associée est de la
première forme, et a un unique point de discontinuité si elle est de la deuxième forme.
Figure 2
Rfelb* k>ui CABRI
L'ensemble des chaînes admissibles sera noté (£ ; il est fini, de cardinal u> + 1, où
l'on a posé u = |(2m + l)(n - 1) (rappelons qu'on a supposé n impair). On le
munira de l'ordre naturel induit par la relation d'ordre usuelle de l'ensemble des fonctions
[0,1] —► [0,1 ] ; cet ordre sera noté ■< . Il admet un élément minimum, correspondant
à la chaîne admissible (A(Slto)> • • > \s2m,o)) > et un élément maximum, correspondant à
la chaîne admissible (A(Sljl),..., \$2rn,i)).
En fait, l'ensemble ordonné (<£, ■<) est totalement ordonné. On notera v »-► Cv la
bijection croissante de [0,u;J sur <£. Les chaînes de la première forme sont Co,Cm ,
C2m+i, C3m+i) C4m+2) • • • > Gu • La figure 2 ci-dessus montre deux chaînes consécutives
Cq et C9+i dans les quatre cas possibles: Cq~\ de la première forme; Cq de la première
forme; C9+i de la première forme; Cq-\ , Cq et Cg+i de la deuxième forme. À
Chapitre 26 , § 1 Groupe fondamental et produits libres 343
toute chaîne admissible, on associe un ensemble de mots éléments de M (A) de la façon
suivante:
• Supposons d'abord la chaîne de la première forme, égale à (Apx,... , Ap2m), avec
pk = (Pfc+i)b pour tout k e [1,2m - lj . Pour tout A; € [1,2m], choisissons un
élément Qk € Fpk , posons jk = <p{Qk) » soit Qk l'unique élément de FPk tel que
Fpk - {Qk,Q'k}i et soit jk = <p(Q'k). Notons Q la suite (Qu... ,<?2m) • Formons
alors le mot
(32) Mq =ï>j2m(jj2mj>j^j)ï>j2m-1 (^4JWi))'''*i. (^iJi(^k))
• Si la chaîne est de la seconde forme, égale à (Xp1,..., \pu, /ip„+1, ^pu+2 > • • • > ^P2m+i )
avec i/ € [1,2m — 1] , on procède de même. Pour tout k e [1, */] U [2,2m +1] , on choisit
Qfc ^ Fpk , on note Q'fc l'élément de Fpk tel que Fpk = {Qfc,Q'fc} , on note jk = <p(Qk)
et jk = ^(QJt) ; pour k = */ + 1, on choisit Q„+i € Gpfc+1 , on note QJ,+1 l'élément de
Gpu+1 tel que GPt,+l = {Qv+i,Qf„+1} , on note ju+1 = y?(Q„+i) et #+1 = <p(QÎ,+i).
Notant Q la suite (Qi,..., Q2m+i), on forme le mot
(33) MQ =^2m+1 {Ji^i'^i^Zt)) 'fe+1 (^+1,j:+1(^))- -^ (J*j;(AM)
L'ensemble de tous les mots de la forme (32) ou (33) obtenus avec des chaînes
admissibles quelconques sera appelé i'ensembJe des mots admissibles associés au pavage.
Vérifions que pour tout mot admissible Mq , on a #(Mq ) € Ker (O). Vérifions-le
lorsque ce mot est de la forme (32) (s'il est de la forme (33), la vérification est analogue).
On a alors:
(34) £(Mq ) = 0iam(jiamiiim(A7L)) * • • • *1>h (jjuïS^))
et comme Q°ipjk = Jjk,b et Jjk,b°Jjkj'k = (Jjkj'k)b Pour tout * (rappelons que Jjkjk
désigne l'injection canonique Ujk H Uyk —► X), on déduit aisément de (34), en tenant
compte que (Jjk,jk)b(6pk,FPk s6pk,FPk) = ub pour tout k e [1,2m - lj :
parce que le chemin fp2m * (/p2m-i *(•••* /pj • • •) est de manière évidente homotope
au chemin [0,1 ] —► X , t h-> /i(£, 1) , qui n'est autre que u& .
Les chaînes admissibles minimum et maximum Co et C^-i ne donnent chacune
naissance qu'à un seul mot admissible, qu'on notera respectivement Wq et Wi . On
vérifie immédiatement que $(°Wi) = e (les lacets qui interviennent dans W\ sont tous
constants de valeur b ). Vu la contrainte imposée à la subdivision (sp), on a:
(36) <W>) = t/Uc'N)*--- *lMci)
où c'fc désigne, pour tout fc € [1, N] , la classe d'homotopie du chemin
(37) f(Srk,0) * (/(Srfc.1(0) •(••'• /(»rfc_1+1,0)) * ' ')
D'après (37), on a c'k = yk = Ck puisque /i(£,0) = T(t) pour tout te [0,1]. On
déduit donc de (27) et (36) que $(W0) = ^iN{cN) * • • ■ *^ii(ci) = £. En conclusion:
(38) W) = £ ; #CWi) = e
Opérations élémentaires sur les mots admissibles
Soit un mot admissible Mq , de la forme (32) ou (33). Si, pour un indice A;, on
remplace Qk par Qk (ce qui a pour effet de remplacer Qk par Qk , jk par jk et j£
par jk ), on obtient un mot admissible associé à la même chaîne admissible, qui est dit
déduit de Mq par une opération élémentaire. Montrons qu'une opération élémentaire
sur Mq laisse invariante la classe zh(#(Mq )) de $(Mq ) modulo M. Si Qk = Qk > ^
n'y a rien à prouver puisque Mq reste invariant. Supposons donc que Qk ¥" Q'k- P°ur
344 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
fixer les idées, supposons que Pk soit l'indice d'un lacet de la première forme dans la
chaîne admissible à laquelle est associé Mq ; ce lacet est donc Xpk ; soit M' et M" les
éléments de M(A) tels que Mq = M,i)jk(Jjk^k(X^k))Mn. Soit Q* la suite déduite
de Q en conservant tous les Qj sauf Qk , qu'on remplace par Q'k . La transposition
de Qk et Q'k change Mq en Mq* = M'tpjk(Jjkjk(\pk))M" . On en déduit facilement:
*{HQ.) = *(HQ)*{*{M"))-lm ((^(^^(ApJ)) *^(^,^(APfc))) *#(M")
ce qui s'écrit, en posant c = Xpk
(39) #(MQ0 = #(MQ) * ((<P(M,/))-1 •*&,#, c) *#(M"))
Par définition de Af > on a (#(M"))_1 *p(jkj^c) *#(M") € M. Il découle donc
de (39) que 07(#(Mq-)) = <â7(#(Mq )), ce qui achève de montrer que les opérations
élémentaires laisssent invariante la classe modulo M d'un mot admissible.
Fin de la démonstration
D'après ce qu'on vient de voir, la classe modulo Af d'un mot admissible ne dépend que
de la chaîne admissible C à laquelle il est associé; on notera X{C) cette classe. D'après
(38), on a X(Co) = t*7(£) et X{Cu) = w(e) = lç . Pour montrer que zu(£) = lç , ce qui
achèvera la démonstration, il suffit donc de montrer que X{CQ) = x(CQ+\) pour tout
q e [0, u; — lj. Fixons q 6 [0,u — 1|. Nous nous bornerons à traiter le cas où Cq-\ , Cq
et Cq+i sont de la deuxième forme, et où 2m + 1 <q<w -m (dans les autres cas, la
démonstration est analogue). L'unique lacet élémentaire vertical constituant de Cq est
alors de la forme yp , avec P = (s*, ^) e if vérifiant 2 < k < 2m - 3 et 1 < £ < n - 2.
Nous poserons:
(40)
Z0 = P
Y* = {8k,tt+i) (=* {Zo)*)
Z\ = (sfc+i,t/)
Vi = (sk+i,te+i)
Z2 = (Sfe+2,^)
V2 = (Sfc+2,^+l)(=(Z2)«)
Figure 3
Y0
2
>î
Y2
'o
Zi
2
h
Chapitre 26 , § 1 Groupe fondamental et produits libres 345
On a donc Z, = (Z2)b, Z0 = (Zi)b, Yx = (F2)b et Y0 = (yi)b. La chaîne C9+i
se déduit de Cg en y remplaçant la sous-suite {iiz0,^Zi,^z2) Par (Ayj,Ay2,/i£2). Le
rectangle Rk}t = fip admet Vp pour côté vertical gauche, Vz2 pour côté vertical droit,
Hzx U Jfz2 pour côté horizontal inférieur et Hy1 U Hy2 pour côté horizontal supérieur
(voir figure 3 ci-dessus). D'après les définitions, il est alors clair que:
(41) P e Gzo n FZl n FZ2 n GZ2 n Fy2 n FVl
Posons j = <p(P), et soit respectivement jo» Ji> J2» Ji » J2> J3 les éléments de J tels que:
f ^(Gzo) = {jjo} ; *(**) = {;,ji} ; v(Gz2) = {j,j2}
l v(FYl) = {jJ[} ; v(*Va) = {3J2} ; ^(Gz2) = O'.is}
On peut alors choisir des mots admissibles Mo et M\ , respectivement associés aux
chaînes Cq et C9+i , de la forme suivante, où M' et M" désignent des éléments
convenables de M(A) :
f Mo = M'MJjM'&JWjW*(&i))*i(JiJoŒZ))M"
Puisque Vj est un morphisme de groupes, on a:
(44) ^(^(A^)) • TpA<?i,h(*Zv)) * ^(Jij0(/^))= ^(Jija(A^)JiJi(A^)Jijo(MZb))
(45) V>>(^(/^)*^(^
Notons /x'Zo = Ij>i0 o/iZo, A'Zi = Xjj^AzJ, \'Z2 = ljj2(Xz2), ^ = Ijjfaz2),
Ay2 = ^^(Aya) et Ayx = Ijj^AyJ: ce sont des lacets d'origine 6 de C/j;. Soit
^0 — 6y0i{jy et ^1 = ôz2,{j} (rappelons ce que signifie cette notation: Aq et A\ sont
respectivement les chemins de Uj dont les corestrictions à Wy0 et Wz2 sont <5y0 et
8z2 )• Introduisons les chemins de Ui suivants: gZo = Ijj0(gz0), /^ = ^jji(fzi),
/z2 =Zjj2(fz2)> 9z2 = IJJ'3(9z2), /y2 =2i,jj(/ya) et /* = Jj,j;(/n)- Par
destruction des lacets 5. intermédiaires, on voit que:
(46) £ÂÏ^ = 2;7£/i£$£4> ; iS££ = 2Ï5£#a#t4i
Comme le rectangle iîp est contenu dans [/$ et simplement connexe, et comme les
chemins fZ2, fZi , gZo , <7^2, /y2 , /(^ sont définis par des restrictions de l'homotopie
h aux côtés de Rp , les chemins fZ2 • (fZi * gZo) et (7^ • (fy2 • /yj sont homotopes
dans Uj (on prendra garde que ces chemins ne sont pas des lacets), ce qui entraîne
fz2 f'zx 9'zo = 9z2 fv2 fyx > d'où' en reportant dans (45):
(47) ^ ^^S^A^ ^ _
Mais on a ji^= Jjjjpzo), ^^^(AzJ , A^ = JjiJ2(Xz2), Mz2 = Jjja(ÏÏf2) >
An = ^7,ii(A^i) et A'y2 = ^j,;2(Av2)- En calculant #(Af0) et #(Afi) à l'aide de la
proposition 26.1.2, on déduit alors de (44), (45) et (47) que #(M0) = $(M\) ; a fortiori,
on a X{Cq) = w($(M0)) = 07($(Mi)) = ^(Cç+i), ce qui achève la démonstration du
théorème de Van Kampen I
Corollaire 1
Avec les notations et hypothèses du théorème 26.1.2, supposons que UiDUjC\Uk est
connexe pour tout (i, j, k) e P , et que Ui O Uj est simplement connexe pour tout
(i,j) e I2 tel que i ^ j . Alors le morphisme G défini en (1) est un isomorphisme
du groupe A(A) = #ie/Wj sur le groupe TLitt>(X).
Démonstration:
En effet, on a alors p(i, j, c) = e pour tout (i,j) e I2 : si i = j , c'est directement
évident, et si i ^ j , cela découle de l'hypothèse supplémentaire faite dans Pénoncé du
346 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
présent corollaire. On a donc Ker (G) = {e} , et comme G est surjectif, c'est bien un
isomorphisme ■
Le corollaire suivant généralise la proposition 25.1.16:
Corollaire 2
Avec les notations et hypothèses du théorème 26.1.2, supposons que Ui O Uj fï Uk est
connexe pour tout (i,j, k) e J3 , et que Ui C\ Uj est simplement connexe pour tout
(i, j) e I2 . Alors X est simplement connexe.
Démonstra t ion :
En effet, l'hypothèse entraîne que chaque ouvert Ui est simplement connexe, donc
Tii = {a} . Or, tout produit libre de groupes réduits à leur élément neutre est réduit à
son élément neutre, d'où le corollaire ■
Il faut prendre garde que le théorème 26.1.2 et ses corollaires ne valent que pour des
recouvrements ouverts d'un espace topologique. Par exemple, si un espace topologique
X (séparé, connexe et localement connexe par arcs) est réunion de deux fermés connexes
Fi et F2 d'intersection non vide et simplement connexe, alors si b e i*\ H F2 , en général
ni,&(^0 n'est pas isomorphe à rii^Fi) *IIi>&(F2) (voir un exemple dans [17]).
D'autre part, la connexité des Ui H Uj est essentielle, comme on le voit avec le cercle
unité U recouvert par les ouverts J7i = (U \ {1} et £/2 = "J \ {—1}, dont l'intersection
n'est pas connexe: bien que U\ et U<i soient ici connexes et simplement connexes, le
groupe fondamental de U est isomorphe à IL.
Groupe fondamental des surfaces de Riemann compactes
Ci-dessous, pour tous éélments x et y d'un groupe G (noté multiplicativement), nous conviendrons
dénoter [x, y] le commutateur xyx~ly~1 de x et y .
Le théorème de Van Kampen permet de décrire le groupe fondamental d'une surface de Riemann
compacte connexe de genre g > 0 privée de n points (où n e N ). Le résultat est le suivant (voir par
exemple [2]):
Soit T une surface de Riemann compacte connexe de genre g . Soit n € N . Soit une suite
injective {xi)i<i<n de points de T. Le groupe fondamental de T\ {xi,...,x«} est isomorphe
au quotient du groupe libre engendré par 2g+ n générateurs ax,..., <xg , 61..... 69, c* , ..., cn par
le sous-groupe distingué engendré par Vêlement
[ai,6i]--[û9,69]c1--c„
En particulier, si n > 1, ce groupe est un groupe libre de rang g + n - 1 .
Si g = 0 , on retrouve le théorème 26.2.2.
Une autre application algébrique notable du théorème de Van Kampen est qu'il conduit à une preuve
du théorème de Schreier, que nous rappelons ici:
Soit G un groupe libre de rang fini n > 1 . Si H G est un sous-groupe de G d7indice fini r ,
alors H est aussi un groupe libre de rang uni, et son rang est 1 + (n - 1) r
La preuve par le théorème de Van Kampen utilise le fait suivant, que le lecteur prouvera à titre
d'exercice: soit Q un graphe fini connexe (cf. chapitre 8); réalisons-le comme espace topologique en
recollant des espaces homéomorphes à [0,1] qui matérialisent les arêtes du graphe (les extrémités de
ces espaces matérialisant les sommets du graphe); soit X l'espace topologique obtenu; alors le groupe
fondamental de X est libre de rang fini, le rang étant égal à a - « + 1, où o désigne le nombre des
arêtes et s celui des sommets. Par exemple, on voit aisément que l'espace X ainsi associé à un arbre
est simplement connexe.
§ 26.2 Théorème de Galois inverse continu
Préliminaires: indice d'un lacet dans le plan complexe
Au paragraphe 25.1 (exemples 25.1.3 et 25.1.18), nous avons évoqué la notion d'indice
d'un lacet en un point. Il convient ici de revenir plus en détail sur cette notion. Pour
cela, nous utiliserons le revêtement (C,C ,p), où p(z) = ez pour tout z G C.
Soit un lacet 7 : [0,1] —► C* , d'origine b = 7(0) = 7(1). Pour tout a G log(b),
rappelons qu'on note 7* le relèvement de 7 par p tel que 7*(0) = a . Si ao G log(b),
on a log(b) = ao 4- 2LttZ , et si k G Z, on a 7*0+2ifc7r = t£0 + 2i&7r, de sorte que
l'élément jErWiU) ~7*(0)) de ^ est indépendant du choix de a dans log(b).
Définition 26.2.1
Dans les conditions ci-dessus, on appelle indice de 7 en 0 Vêlement de Z égal
* SÏtt^*^) ~~ 7a(0)) Pom tout a € log(b) • Cet indice sera noté Ind(7,0). Si
£ G C et si on donne un iacet 7 : [0,1 ] —► C \ {£ } , on appellera indice de 7 par
rapport à £, et on notera Ind(7,f), Vindice Ind(7 - £,0), où 7 - £ désigne le
lacet [0,1] ->C* , t*-+7(t)-£.
Dans tout ce qui suit, " lacet " signifiera chemin défini sur [0,1] dont l'origine et
l'arrivée coïncident.
Proposition 26.2.1
Soit £ G C , et soit deux lacets 70 et 71 de C\{£} , d'origine a , supposés homotopes.
Alors Ind(7o,0 = Ind(7i,£)
Démonstration:
On se ramène au cas où f = 0. Soit une homotopie h : [0,1 ]2 —► C de 70 à 71 .
D'après le théorème de relèvement des homotopies (théorème 25.1.5), on a une homotopie
H : [0, l]2 —> C qui relève /i par p. Pour tout A G [0,1], soit respectivement h\
et H\ les chemins [0,1] -> C* , t »-> /i(t,A) et [0,1] -> C, t »-♦ H(t,X). Posons
a0 = F0(0) = H(0,0). On a -Ha(O) = a0 pour tout A G [0,1]. Il est clair que
pour tout À € [0,1] , le chemin h\ est un lacet d'origine b et H\ = {h\)l0 , d'où
Ind(/iA,0) = 2ï^(^a(1) -Ha(0)), donc l'application [0,1] -> Z, A •-► Ind(/iA,0)
est continue, donc constante. Comme on a i/0 = 70 et H\ = 71, on en déduit que
Ind(70ï0) = lnd(7i,0) ■
L'étude du théorème de Van Kampen nous a montré combien la mention précise
de l'espace d'arrivée d'un lacet est importante (la classe d'homotopie du lacet dépend
essentiellement de cet espace d'arrivée). Cependant, on peut surseoir à cette exigence
quand on travaille sur les indices de lacets par rapport à un point. On peut en effet
adopter sans inconvénient la convention suivante: soit £ G C, soit X un sous-espace
topologique non vide de C \ {£} , soit I l'injection canonique X —► C \ {£} , soit
7 un lacet de X , d'origine 6; on convient alors d'écrire Ind(7,£) au lieu de
Ind(Jo7,0.
Fixons £ G C. Soit un sous-espace topologique X connexe par arcs et localement
connexe par arcs de C \ {£} , et soit b G X . En raison de la proposition 26.1.4, on a une
application Ind^&.x : Ui^(X) —> Z telle que Indf^xCv) = In^(7,0 pour tout lacet
7 d'origine b dans X . La propriété fondamentale de cette application est donnée par:
348 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
Proposition 26.2.2
Soit £ € C . Soit X un sous-espace connexe par arcs et localement connexe par arcs
de C \ {£} ; soit b e X et V € X . Soit un chemin <p : [0,1 ] -> X d'origine b et
d'arrivée b'.
(I) L'application Ind^^x : Ui^iX) —> Z est un morphisme de groupes surjectif.
(II) Pour tout lacet 7 d'origine V dans X , on a Ind^x^) = Ind$t6tx( V7<?) •
Démonstration :
On se ramène au cas où f = 0 .
• Assertion (I)
Soit deux lacets 7 et 8 d'origine b dans X. Identifions-les aux lacets J07 et Jo£,
où I : X —► C désigne l'injection canonique. Utilisons le revêtement (C, C ,p), où
p(z) = e2 pour tout z . Soit a € log(6). On a (<$*7)* = <$*•(!) *7* » d'où:
(**7K(1) - (**7)î(0) = %i)U) " 7a#(0) = «7.(1,(1) - «72(1,(0) + «72(1)(0) - 7a#(0)
= ((^.(l)(l) - *72(1)(0)) + (7a#(l) " 7a#(0))
On en déduit:
lnd(«*7,0) = 2^î ((^(i)(l) -«•Yj(i)(0)) + 2^Ï(7:(1) -72(0)) = Ind(6,0)+Ind(7,0)
d'où, en passant aux classes d'homotopie: Indo^tf'y) = Indo,b(£) + Indo,b(7), donc
Indo,6 est bien un morphisme de groupes. Si 7 est le lacet [0,1 ] —► C , t »—► 6e27rit,
on voit immédiatement que Ind(7,0) = 1, donc le morphisme Indo,& est surjectif.
• Assertion (II)
Soit a 6 log(6). Soit / = </?*> et s0^ 9 = 7/m • On &:
(1) (2*±)Indo,6( V7# = ((V);(i)(l) - (V);(i)(0)) + (5(1) - 9(0)) + (/(l) - /(0))
Mais d'une part:
(2) 0(l)-s(O) = (27ri)Indo,6<(7)
et d'autre part:
(3) (V);(d(i) - (V);(i,(o) = (V)/(i)(i) - (v)}(i)(o) = vu) - vw = m - ni)
En reportant (2) et (3) dans (1), on obtient bien Indo,b(V7^) = Iado,6'(7) H
Soit J G C et r G R+ . Notons r le cercle de centre f et de rayon r. Soit
ri G R+ et r<i e R+ U {+00} tels que ri < r < r<i. Soit U la couronne ouverte
{z € C\r\ < \z — £ | < r2} On déduit immédiatement de l'étude des exemples 25.1.3 et
25.1.18 que pour tout b € T , les morphismes Ind^^r et Ind^^ sont respectivement
des isomorphismes de n^f) et de U\tb{U) sur (Z, -h). Les groupes ïlitb{r) et
111,6(17) sont donc monogènes infinis, respectivement engendrés par les restrictions à r
et à U du lacet [0,1 ] -> C , t »-► £ + (6 - £) e2i7rt.
Sphère de Riemann privée d'un nombre fini de points
Rappelons que pour tout (a,r) € C x U+ U {+00} , on note respectivement ^ r et
Da,r le disque fermé et le disque ouvert de C de centre a et de rayon r. Si a = 0,
on écrit Dr et Dr au jieu de D0 r et Do,r . Si r = +00 , Da,r est 1^ sont des voisinages
pointés de oo_dans C . Notre but est ici de calculer le groupe fondamental de la sphère
de Riemann C privée d'un ensemble fini de points.
Chapitre 26 , § 2
Théorème de Galois inverse continu 349
Lemme 26.2.1
Soit U un ouvert non vide de C connexe et simplement connexe. Soit a € U, et
soit un réel r > 0 tel que D^ C U. Soit b € Da,r \W , et soit 7 un iacet de U
d'origine b et d'image contenue dans Da,r \W , tel que Ind(7,a) e {-1,1} . Alors
le groupe Ui^{U \ {a}) est monogène infini (donc isomorphe à (Z, +) ), et 7 en est
un générateur.
Démonstration:
On va appliquer le théorème de Van Kampen à l'espace U muni du point-base b
et aux deux ouverts W\ = U \ {a} et W2 = D0,r • Pour tout A; € {1,2}, Notons
tpk ' Hi,b(Wk) —> Uiit,(Wi)*niib{W2) le morphisme canonique, Ik l'injection
canonique W\ n W2 —► Wk , et Jk = {Zk)b • Les hypothèses du théorème 26.1.2, assertion
(II), sont satisfaites, donc le morphisme O : U\tb{Wi) *IIij6(W2) —► Uitb{U) défini
en (1) du paragraphe 26.1 est surjectif, et Ker (0) est le sous-groupe distingué J\f
engendré par l'ensemble des éléments de la forme {4>\{J\{c)) *{ip2{J2{c)))~1} lorsque c
décrit le groupe IIi^^i n W2). Comme W2 est simplement connexe, Ili^Wb) est
réduit à son élément neutre, d'où Ilitb(Wi)*Iliti,{W2) = Ui^(Wi) et tpi = Idn1(b(v^i) •
Comme U est simplement connexe, le groupe Tli^U) est réduit à son élément neutre,
donc AT = Tlitb(Wi). On a Vi(Ji(c)) • (^(^(c)))"1 = il>i(Ji(c)) = Ji(c) pour tout
c € IIi>6(Wi H W2). On en déduit que le morphisme Jx : IIi>6(P^i n W2) -► n^Wi)
est surjectif.
Montrons que J\ est injectif. Par translation, on se ramène au cas où a = 0.
L'ouvert W\ n W2 est le disque ouvert pointé de centre a et de rayon r . D'après l'étude
ci-dessus, le morphisme Ixi&aib,Winw2 : n^Wi n W2) —► ^ est un isomorphisme, et la
classe d'homotopie de la corestriction de 7 à W\ n W2 engendre ni^VFi n W2).
Pour montrer l'injectivité de J\ , il suffit donc de montrer que pour tout lacet <p
d'origine b dans Wi n W2 tel que Ç- G Ker (Ji), on a lnd(v?,0) = 0. Soit donc
un tel lacet (p. L'hypothèse <p e Ker(J\) signifie que (p est homotope à zéro dans
W\ ; a fortiori, <p est homotope à zéro dans C , ce qui entraîne que Ind(<£, 0) = 0 ;
cela achève de prouver l'injectivité de J\ (nous avons utilisé la convention posée à la
suite de la proposition 26.2.1).
Finalement, J\ est un isomorphisme de IIi^Wi n W2) sur n^Wi). Comme la
classe d'homotopie de la corestriction de 7 à W\ n W2 engendre H\tbiW\ n W2), il en
découle bien que IIi^Wi) est monogène infini et engendré par 7 ■
Soit S — {ai,..., an} une partie finie de C , de cardinal n > 1. Soit U = C \ S .
Pour tout k e [l,nj, nous appellerons disque local de U au point ak le disque ouvert
Dajt,rfc , où rk = +00 si n = 1, et où rk = Min£€[i>nj\W(| a* - a* |) si n > 2 .
Définition 26.2.2
Dans les conditions ci-dessus, soit b e U. Soit k G [l,n]. On appelle générateur
local de U\tb{U) au point ak tout élément c de Hi^iU) de la forme 9<p:y(p, où 7
est un lacet de U d'origine bk d'image contenue dans le disque local de U en ak , où
ip est un chemin de U d'origine b et d'arrivée bk , et tel que Ind(7,afc) e {—1,1} .
D'après la proposition 26.2.2, la dernière condition dans la définition 26.2.1 équivaut
à: Ind(V7£,afc) € {-1,1}.
On complète la définition 26.2.2 ainsi: soit un réel e > 0 tel que Da,e soit contenu
dans le disque local de U en ak . Un générateur local c de II 1 ,&(£/) au point ak est
appelé un e-générateur local (de Uitb{U) en ak ) ssi il existe un couple (7, <p) vérifiant
les conditions de la définition 26.2.2 tel que de plus l'image du lacet 7 soit contenue dans
Dafc,e . Un tel couple (7, (p) sera alors appelé un e-représentant de c.
350 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
Soit un e-générateur local c = 8(p:ylp de U en ak . D'après le lemme 26.2.1 et le
théorème 25.1.2, pour tout ouvert VF de C connexe et simplement connexe, contenant
l'image de <p et contenant Dafc>e , le groupe Uitt,(W\{ak}) est monogène infini, engendré
par la classe d'homotopie de 8<p • (7 * (p) dans W \ {ak} •
Proposition 26.2.3
Avec les notations et hypothèses de la définition 26.2.2, soit Dafc,r* te disque local de
U en ak (où 0 < Tk < -foo ). Soit c un générateur local de Ui^{U) en ak . Pour
tout réel e e ) 0, r^ ] , Vêlement c est e-générateur local de U en ak .
Démonstration:
Soit un réel e tel que 0 < e < r/t . Soit 7 un lacet de U d'origine bk , d'image
contenue dans Dafc,rfc 1 vérifiant Ind(7,afc) = 5 € { — 1,1}, et soit un chemin if de U
d'origine b et d'arrivée bk , tels que c = $ip^ïp . Posons b'k = ak + 2i bfc-afc I (^fc — afc) •
Soit 6* (resp. 0) le lacet [0,1] -* 1/, t •-► a* + (6^ - afc)e2*i7r* (resp. le chemin
[0,1] -> C/, t^(l-t)6fc+tfe'fe). On a Ind(50*(<5*0)J = Ind(<5) = 5 , donc 50*(<5*0)
et 7 sont homotopes dans Dafc,rfc » d'où c = 3<psO60{p. En posant A = #•<£, cela
s'écrit c = 5A6 A. Comme l'image du lacet 6 de U est contenue dans le disque Dak,e ,
cela montre bien que c est e-générateur local de U en ak B
Corollaire
Avec les notations et hypothèses de la définition 26.2.2, soit f un homéomorphisme
de C sur lui-même. Alors Visomorphisme f^ : ïli^U) —> Ri,f(b)(f(U)) établit,
pour tout k e [1, nj, une bijection de Vensemble des générateurs locaux de U en ak
sur Vensemble des générateurs locaux de f(U) en f(ak).
Démons tra tion ;
Fixons k e (l,nj. Il suffit de montrer que l'image par f£ d'un générateur local
c de C/ en ak est un générateur local de f(U) en /(a^) (le corollaire s'en déduira
en réappliquant cette propriété à /_1 en /(a*) ). Soit D le disque local de f(U) en
f(ak). Soit un réel € tel que Dak,e soit contenu dans le disque local de U en ak et
tel que f(Dak,e) C -D. Soit (7, y?) un e-représentant de c. Alors /07 est un lacet
de f(U) d'image contenue dans D . Il est clair que f^(c) = s(f o (f) f o 7 / o <p est un
générateur local de f(U) en /(a*) ■
Théorème 26.2.1
Soit n un entier > 1 et soit {ai,...,an} une partie unie de C de cardinal n.
Notons U Vouvert C \ {ai,... ,an} . Soit b£U. Il existe une suite (ci,...,cn)
telle que Ck soit, pour tout k , un générateur local de U en ak , et telle que Uitb(U)
soit le groupe libre construit sur Valphabet {ci,..., cn} .
Démonstration:
Si n = 1, le théorème se réduit à la description du groupe fondamental de C * .
Nous supposerons donc n > 2 .
D'après le corollaire du lemme 25.1.3 (appliqué à la suite (ai,... ,an,b) ), on a un
homéomorphisme / : C —► C tel que f(b) = 0 et que /(a^) = e* '* pour tout
k e [l,nj ; par suite J? = f(U) est donné par i? = C \ Un. Pour tout k e [l,nj,
posons Cfc = e * » et soit i?fc l'ouvert de i? réunion de Di et de l'ensemble des rBie
quand (r,0) décrit (R+x ]H^^, ^ [)\{(1, *<*^)} . Pour tout (Jfc,*) € [l,nl2 avec
k ^ £ , l'ouvert fi^fie est connexe et simplement connexe. Pour tout (i,j, k) e [1, n]3 ,
l'ouvert QiC\Qjr\Qk est connexe. Pour tout ke [l,nj , l'ouvert !?fcU{Çfc-i} est connexe
Chapitre 26 , § 2
Théorème de Galois inverse continu 351
et simplement connexe. Il est clair que i? = Ui<fc<ni?fc et que 0 € C\i<k<n^k . Notons
Pour tout k € [l,n], soit Uk = <?(■#*:) • D'après ce qui précède, on a les propriétés
suivantes: les Uk sont des ouverts connexes dont la réunion est £/ ; on a b G rii<fc<n£/fc ;
pour tout A; e [l,n] , l'ouvert {/& U {a^} est connexe et simplement connexe; pour tout
{k,£) € [l,nj2 avec A; ^ £, l'ouvert Uk H C7* est connexe et simplement connexe; pour
tout (z, j, A;) e [l,nj3 , l'ouvert C7» H C/j fl £7* est connexe.
Pour tout A: € [l,n], soit un réel ek > 0 tel que Dafc,efc soit contenu dans le disque
local de U en a* et que Dafcj£fc C (7* U {a*} , soit un lacet 7^ de [/ d'origine 6^
et d'image contenue dans Dûfc,£fc vérifiant Ind(7fc,ajc) 6 {—1,1}, et soit un chemin
<Pk : [0,1] —> 17 d'image contenue dans £7*, d'origine 6 et d'arrivée fefc (on peut par
exemple choisir arbitrairement un point bk € Dafc,£:fc \W} et prendre pour 7 le lacet
[0,1 ] —► U, t »-* afc + (6fc — afc) e2*fc l7rt, avec s^ 6 {-1,1} ). Alors d'après le lemme
26.1.2, pour tout A; € fi,n], le groupe Ili^t/fc) est monogène infini, engendré par la
classe d'homotopie de la corestriction de 7fc à f/^ ; donc le groupe ïïi,b(Uk) est monogène
infini, engendré par la classe d'homotopie c'k de la corestriction de a<pk * (7fc *<Pfc) à
C/jt (cf. théorème 25.1.2). Le théorème de Van Kampen montre alors que Yi\^{U) est
un groupe libre à n générateurs, canoniquement isomorphe au groupe libre construit
sur l'alphabet {ci,... , cn} , où Ck = s<fkJk<Pk pour tout A: (rappelons qu'on convient
d'identifier ïli^U) avec ce groupe libre au moyen de cet isomorphisme canonique). La
construction même de c^ montre que c'est, pour tout k , un générateur local de U au
point a/c ■
Dans les conditions de la définition 26.2.2, définissons maintenant les générateurs
locaux de Hi^U) en 00. Pour tout réel r > 0 et tout £ € C, notons Doo,£,r la
couronne ouverte {z e C | | z — f | > r} ; on sait alors que pour tout bf € Doo,£,r , le
morphisme Ind^/^ ^ r : IIi^Dco^r) —► 2 est un isomorphisme. Nous appellerons
générateur local de U en 00 tout élément c de Tli^U) de la forme 5</?7<p,où <p est
un chemin de U d'origine b et d'arrivée f>oo , et où 7 est un lacet de U d'origine 600
d'image contenue dans une couronne de la forme Doo,b,r , elle-même contenue dans U,
et vérifiant Ind(7,6) € {-1,1} . On dira alors que (7, y?) est un r-représentant de
ce générateur local. On laisse au lecteur le soin de vérifier, par une méthode analogue à
celle de la proposition 26.1.6, que si c est un tel générateur local, alors pour tout réel
r > 0 tel que Doo,6,r C U, il existe un r-représentant de c 7, <p et feoo vérifiant ces
conditions tels que l'image de 7 soit contenue dans Doo,6,r et tels que c = s<pi<p.
On laisse également au lecteur le soin d'établir (ce qui ne présente aucune difficulté
importante) l'extension suivante du corollaire de la proposition 26.2.3:
Proposition 26.2.4
Si U est un ouvert de C complémentaire d'un ensemble uni {ai,..., an} avec n > 1,
si b € U et et si f est un homéomorphisme de C sur iui-même, alors pour tout
k € [l,n]|, Visomorphisme fâ : 111,6(17) -> Uij^b)(f(U)) établit une bijection de
l'ensemble des générateurs locaux de Uitb(U) en a* sur l'ensemble des générateurs
locaux de f(U) en /(a^)
Proposition 26.2.5
Quel que soit l'entier m > 0, le groupe des homéomorphismes de la sphère de Rie-
mann C est m + 1 fois transitif sur C .
Démonstration:
Le groupe des homographies de C est un groupe d'homéomorphismes qui est 3-
transitif. Nous pouvons donc supposer m > 3 .
352 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
Pour tout k e [l,nj , soit yk — e"^2, . Il suffit de prouver qu'étant donné une
suite injective (xi,... ,xm+i) dans C, il existe un homéomorphisme g de C sur
elle-même tel que f(xk) = yk pour tout k € [l,m] et que /(xm+i) = 00. Si
xm+i ^ 00 , on se ramène au cas où xm+i = 00 en tranformant la suite (xk)i<k<m par
rhomographie associée à la fraction rationnelle ^^ (où Z est une indéterminée).
Supposons donc que xm+i = 00. Soit / un homéomorphisme de C sur lui-même tel
que /(x*;) = yk pour tout fce[l,mj (corollaire du lemme 25.1.3). Prolongeons / en
une permutation g de C en posant g(oo) = 00. Alors g est un homéomorphisme de
C sur elle-même qui vérifie g(xk) = yk pour tout k e |l,m 4- lj M
Nous pouvons maintenant établir:
Théorème 26.2.2
Soit un entier n > 1, et soit {ai,..., an+i} une partie finie de C de cardinal n+1.
Soit U = C \ {ai,... ,an+i} , et soit b 6 U . Il existe une suite (ci,... ,cn+i)
d'éléments de ïliyb(U) telle que Ck soit} pour tout k e fl,n + lj, an générateur
local de Ui^{U) en a,k , telle que Ui^U) soit le groupe libre construit sur Valphabet
{ci,..., cn} , et qu'on ait cn+i = cn • • • Ci .
Démonstration:
Nous laisserons au lecteur le soin de traiter le cas où n = 1, qui est élémentaire.
Suposons donc n > 2 . Compte tenu des propositions 26.2.4 et 26.2.5, il suffit de prouver
1 1 v i x v 1 (2A:-1) Ln
la propriété dans le cas ou b = 0, ou an+i = 00 et ou dk = ^ e » pour tout
fc 6 [l,nj . Plaçons-nous dans ce cas. Le lecteur est prié de se reporter à la figure
4 ci-dessous. Fixons un réel € tel que 0 < e < \ sin(^L). Pour tout A; e [l,nj,
soit bk = (5 - £)e n » s°ft Ie chemin (^ : [0,1,] —> 17, t »-► t fefc et soit le lacet
7fc : [0,1] -> J7,t •-► afc -h (6fc - afc)e2i7rt. L'élément cfc = 'yllkVk de ni,0(tf)
est un générateur local de [/ en 02 , et on a Ind(7fc,afc) = 1. Pour tout k € [l,nj,
soit t/* la réunion du disque De et de l'ensemble des nombres de la forme r eia , où
(r,a) décrit (R+ x [<2fe;2^, ^2L ] ) \ {(I, i^i^L)} . En appliquant le théorème de Van
Kampen comme dans la démonstration du théorème 26.2.1, on voit que ïl\^{U) est le
groupe libre construit sur l'alphabet {ci,...,cn} .
Pour tout k € ïl,n], soit 6k et 9k les chemins de U définis par:
U : [0,1] ->U,t~fW-^
(4) S
\0k : [0,1] ^t/.t^^^-^-O+afct)^
et posons 6n+i = 61. On vérifie facilement que pour tout k e [l,nj, les lacets
A = Vfc * (lk * <£/fc)^et ^ = s<$/t+i • (0£ • 6fc) sont homotopes dans U . Par suite, en
tenant compte que s6kt>k = u0 (élément neutre de Uito{U) ) pour tout A; :
(5) < - aTi Tn (6n°7n) Ci oCvCi) • • • (<v72) £ «i
{ = s<$i 7^ <$i
où 7oo désigne le lacet d'origine 0 dans (7 défini par 7^ (t) = e2i7rt pour tout
te [0,1 ] . Or il est clair que s6i 7^ 6\ est un générateur local de U en 00 . En posant
Cn+i = 5£i7^£i, compte tenu de (5), on achève de définir une suite (ci,... ,cn+i)
répondant à la question ■
Chapitre 26 , § 2
Théorème de Galois inverse continu 353
Figure 4
Théorème 26.2.2 dans le cas où n = 5
Corps hilbertiens
Un corps commutatif K est dit hilbertien ssi pour tout groupe fini G, il existe une
extension finie galoisienne L de K telle que Gal(L/K) soit isomorphe à G. Nous ne
pouvons ici qu'évoquer le problème fondamental de la théorie de Galois appelé problème
de Galois inverse, qui est de savoir si le corps Q est ou non hilbertien. Comme une
méthode constante de l'Algèbre consiste à créer des outils algébriques abstraits parallèles
à des outils classiques d'Analyse pour retrouver dans un cadre algébrique abstrait des
analogues de théorèmes d'Analyse classiques, il nous a paru intéressant de montrer ici
pourquoi le corps C(X) (où X est une indéterminée sur C ) est hilbertien, ce qui est
connu de longue date mais constitue néanmoins un résultat non trivial (pour attaquer
le problème de Galois inverse évoqué ci-dessus, on a défini des substituts algébriques
aux groupes fondamentaux; mais cette méthode bute sur l'absence d'un l'analogue du
théorème de Van Kampen. Le lecteur pourra consulter [28]).
Théorème 26.2.3
Soit deux surfaces de Riemann compactes et connexes T\ et T2 ; pour tout i G {1,2},
posons Mi = Meroit\7;(7î) • Soit f : T\ —► T2 une application analytique non
constante, et soit /" : M2 —► .Mi, ^ •—> <p° f le C-plongement défini par f . Soit V
une partie finie de Ti contenant Vimage par f de Vensemble des points non réguliers
de f , soit B = T2\V et R = 71 \ f~l{V). Notons p Vapplication R -► B
induite par f. Alors (R,B,p) est un revêtement analytique, avec R connexe. Si
on considère M\ comme une extension de M2 à l'aide de /a, le groupe HutsiR)
est canoniquement isomorphe au groupe Autx2(A^i). En conséquencef l'extension
M\ de M2 est galoisienne ssi le revêtement (R,B,p) est galoisien, et s'il en est
ainsi, le groupe Auts(iî) est canoniquement isomorphe au groupe Gai (A41/Aï 2) •
354 SURFACES DE RIEMANN ET THEORIE DE GALOIS
Démonstration:
L'ensemble V est fini, donc f~l(V) est fini; donc B (resp. R ) est le complémentaire
d'une partie finie de T2 (resp. de 71 ); par suite les ouverts B et R sont connexes. Il
est immédiat que (R,B,p) est un revêtement analytique.
Pour tout o e Autb(R) » notons c l'unique prolongement par continuité de a à
T\ ; on sait que a existe et appartient au groupe conforme direct de 71 (proposition
25.6.4); comme p o a = p , il est clair que /o? = /. Si (p e M2 , on a donc
(6) <pof = (<pof)oa
d'autre part, d'après le théorème 25.5.4, l'application crB : Mi —> M\, g *-> g o et
appartient à Aut c (Ali). La relation (6) implique donc que cr* € AutA42(Afi) • On a
donc défini une application
(7) a : Auts(il) —> Aut.M2(A1i), ff^^
qui est manifestement un morphisme de groupes. La bijectivité de a et le théorème de
séparation (appliqué à T\ ) montrent facilement que a est injectif.
Montrons que a est surjectif. Soit r e Aut^2(A1i). D'après le théorème 25.5.4
appliqué à r et à r-1 , on a des applications analytiques non constantes À : 71 —> 71 et
p : 71 —► 71 telles que r(g) = go\ et r~l(g) = go y pour tout p € AI 1 ; en particulier,
go(Xofi) = go(iio\) = g pour tout p G AU , ce qui prouve, par une nouvelle utilisation
du théorème de séparation, que À et /x sont des bijections 71 —► 71 réciproques l'une
de l'autre. Donc À appartient au groupe conforme direct de 71 . L'hypothèse que
r e Aut.M2 (.Mi) signifie alors que <^o/oA = </?o/ pour tout tp € AÏ2 • En appliquant
le théorème de séparation pour M1, on en déduit que / o A = / . Donc X(R) C B , et
il est clair que l'application a : R —> B induite par À appartient à Auts(-R) • On a
alors À = a (car À est continue), d'où r(g) —goa — cr^{g) pour tout g € Ali, donc
r = <7B , ce qui prouve la surjectivité de a. En définitive, a est un isomorphisme de
groupes.
Soit n le cardinal commun des fibres du revêtement (i2, S, p). On sait que l'extension
M\ de M2 est finie de degré n . On sait que l'action de Auts(iî) sur chaque fibre de
p est régulière (donc le groupe Aut b (il) est fini de cardinal < n ), et qu'elle est
transitive ssi le revêtement (R, B,p) est galoisien; comme ces fibres sont finies de cardinal n ,
on voit que le revêtement (R,B,p) est galoisien ssi le groupe Auts(-R) est de cardinal
n. Puisque KutsiR) et Aut>f2(Afi) sont isomorphes, on en déduit que le revêtement
(R,B,p) est galoisien ssi [M\ : M2] = card(Aut^2(AJi)). Or cette dernière
condition est l'une des caractérisât ions des extensions algébriques finies galoisiennes. Donc
(R,B,p) est galoisien ssi l'extension M\ de M2 est galoisienne, et s'il en est ainsi, les
groupes Gal(Afi/Af2) = Aut,M2(Afi) et Aut^(il) sont isomorphes ■
Théorème 26.2.4
Soit X une indéterminée sur C . Le corps C(X) est hiîbertien.
Démons tration :
Soit G un groupe fini non réduit à l'élément neutre. Soit (g\,..., gn) (où n e N * )
une suite génératrice finie de G, avec des gi deux à deux distincts. Soit A le groupe
libre construit sur l'alphabet {01,..., <jn} • Pour tout i, l'image canonique de gi dans
A sera notée g* . Soit H le noyau du morphisme de groupes A —► G qui, pour tout i,
envoie g* sur gt. Par passage au quotient, on a un isomorphisme de groupes ^/fj ^G .
Soit ai,..., an_|_i une suite injective dans C , soit U = C \ {ai,..., an+i} , fixons
b e U , et soit (ci,..., cn+i) une suite vérifiant les assertions du théorème 26.1.4. Alors
il y a un isomorphisme de groupes (et un seul) & : A —> ïli^(U) tel que &(g*) = c*
pour tout i e [l,nj. Notons H = &(H). Alors W est distingué dans Uiib(U), et
Chapitre 26 , § 2
Théorème de Galois inverse continu 355
le groupe quotient ^itb{U)^ est isomorphe à G. Le théorème 25.1.12 s'applique
car U est localement connexe par arcs, connexe par arcs et semi-localement simplement
connexe, ce qui assure l'existence d'un revêtement universel °lt. Comme H est distingué
dans Iii^{U), on a donc un revêtement galoisien (Q, U, q), avec Q connexe, et un point
f3 e q~l{b) tels que qp(Ri,p{Q)) = H , et le groupe de Galois Autt/(Q) est isomorphe à
Tli,b{U)/'ft j donc à G (corollaire du théorème 25.1.11). D'après la proposition 25.6.1,
Q est muni d'une unique structure analytique telle que (Q, U, q) soit un revêtement
analytique (en fait, le revêtement universel ^ de U est muni d'une unique structure
analytique qui en fasse un revêtement analytique de U , et (Q,U,q) est une surface de
Riemann quotient de ^U, cf. les résultats du paragraphe 25.6).
Comme les fibres de q sont finies, et comme C \ U est fini, le théorème 25.6.1
s'applique. Il y a donc une surface de Riemann compacte et connexe Q dont Q est un
ouvert de complémentaire fini, et un prolongement q de q en une application analytique
Q —► C (nécessairement non constante, i.e. telle que^ (Q, C,ç) soit un revêtement
ramifié). Posons M = Merom~(Q) et Mo = Merom~(C). Le théorème 26.1.5 montre
alors que l'extension M de Mo est finie galoisienne, et que son groupe de Galois est
isomorphe à hutu{B), c'est-à-dire à G. Comme le corps Mo est isomorphe à C(X),
cela achève la démonstration ■
La sphère moins trois points
Dans ce^qui précède, le cas où n = 2 se ramène aux revêtements de la sphère de
Riemann C privée des trois points 0, 1 et oo. Ce cas est particulièrement (et
classiquement) important. Soit donc T la surface de Riemann C \ {0,1, oo} ; son groupe
fondamental est libre de rang 2 , ou, de manière équivalente, est engendré par trois
générateurs co , c\ et Cqo liés par la seule relation cqciCqo = 1. On peut alors
expliciter un revêtement universel et des générateurs du groupe fondamental de T. Un
revêtement universel est fourni par le demi-plan de Poincaré H = {z e C | 3(z) > 0}
(qui est analytiquement isomorphe au disque unité de C , mais d'un maniement plus
commode parce que ses automorphismes analytiques, qui sont les bijections induites par les
homographies de C associées aux matrices éléments de SL( 2, Z ), sont d'un maniement
plus aisé que ceux du disque unité). Le groupe Kut(H) peut être identifié à PSL( 2, Z ).
La construction explicite de T comme quotient de H est intimement liée aux questions
que nous abordons au chapitres XXVII, c'est-à-dire, en bref, à l'aspect modulaire de la
classification des surfaces de Riemann compactes connexes de genre 1.
Voici quelques très rapides indications sur cette construction. Soit f et g les
homographies associées à X -f- 2 et 2x+i • Elles forment une base d'un sous-groupe libre
de rang 2 , classiquement noté T(2), de PSL(2,Z). Le groupe f(2) est d'indice fini
égal à 6 dans PSL(2,Z), et il agit librement et discontinûment sur H (contrairement
à PSL(2,Z) qui, lui, agit discontinûment mais non librement sur H). La surface de
Riemann quotient ^/f(2) Peut etre identifiée à T. En fait, la fonction analytique sur
H qui permet d'expliciter ce quotient (c'est-à-dire dont les fibres sont exactement les
r(2)-orbites), que nous noterons ici J2 par commodité, s'avère être une variante de la
fonction J que nous introduisons au paragraphe 27.9; cette fonction J2 est algébrique
sur C(J). Nous verrons au chapitre XXVII que si r e H, la valeur J(r) est le paramètre
de Weierstrass de la surface de Riemann compacte connexe de genre 1 quotient de C
par le réseau de C de Z-base (1, r) ; la valeur J2(t) , elle, est le paramètre de Legendre
de cette surface de Riemann. L'explicitation et l'étude de J2 nécessitent l'arsenal de la
théorie des célèbres fonctions Thêta, dont nous avons donné un aperçu au tome 2. Les
ouvrages classiques [18] et [19] font une grande place à cette construction fondamentale;
pour T(2), on pourra aussi consulter [21].
Chapitre XXVII
SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Dans ce chapitre, nous allons compléter l'étude commencée au paragraphe 23.3, de la correspondance
entre surfaces de Riemann d'un corps de fonctions algébriques d'une variable sur un corps de base K
algébriquement clos, et des courbes algébriques planes sur K .
Le texte ci-après est auto-contenu, mais une certaine familiarité préalable avec le maniement des
espaces projectifs de dimension finie et à leurs sous-variétés linéaires projectives ne nuit pas à sa lecture.
Dans tout le paragraphe, K désigne le corps commutatifde base. Sauf confusion possible, l'élément
nul 0/c (resp. l'élément unité 1k ) de K sera noté 0 (resp. 1 ).
§ 27.1 Notions sur les espaces projectifs
Dans ce paragraphe, le corps K est commutatif quelconque.
Fixons un K -espace vectoriel V de dimension finie n + 1, avec n > 1 . L'ensemble des droites
vectorielles de V est appelé espace projectif issu de V , et sera noté Proj(V) . On a une surjection
canonique wv ' V \ {Ov} —► Proj(V), x »-»■ Kx , grâce à laquelle on identifie Proj(V) avec l'ensemble
quotient de V\{Oy } par la relation d'équivalence dont les classes d'équivalence sont les droites vectorielles
privées de {Ov} • Tout espace projectif de la forme Proj(W) , où W est un K -espace vectoriel de
dimension n + 1 , est appelé un espace projectif de dimension n . On notera dim(Proj(W)) = n .
Le groupe Ql*x(V) opère naturellement sur Proj(V) . Le noyau du morphisme, associé à cette
action, de OLjc(V) dans le groupe des permutations de Proj(V) , est le groupe K*ldy des homothéties
de rapport ^ 0 de V . On sait que le groupe quotient de OL/c(Vr) par AT*Idv est par définition le
groupe POL/c(V) . Par passage au quotient, l'action naturelle de QLk(V) sur Proj(V) définit donc une
action à gauche fidèle de PQLj^V) sur Proj(V) . Nous nous référerons constamment à cette action;
elle est 2-transitive. Les permutations de Proj(V) définies par les éléments de POLk-(V) s'appellent
les homographies de Proj (V) . Puisque l'action par homographies est fidèle, on peut sans inconvénient
identifier, au moyen de cette action, le groupe POL*(V) au groupe des homographies de Proj(V) : nous
ferons cette identification. Si V - Kn+1 , on écrit aussi POL(n + \,K) au lieu de PGL/c(Arn+1) .
Pour toute bijection linéaire / e OLk^V) , l'homographie image canonique de / dans PGL/c(V) sera
notée /♦ . D'après ce qu'on vient de voir, l'application
(1) nv : GLat(V) — *QLK(V), / —> /.
est un morphisme de groupes surjectif, de noyau K* Idv •
Une suite (Mi,..., Mp) de Proj(V) est dite projectivement libre ssi il s'agit d'une suite de droites
vectorielles linéairement indépendantes de V . En particulier, si p = 2 , (A/i,Af2) est projectivement
libre ssi Mi ^ Af2 • On appelle repère projectif de Proj(V) toute suite (A/i,..., Afn+2) dont toute
sous-suite à n + 1 termes est projectivement libre.
Théorème 27.1.1
Etant donné deux repères projectifs (A/i,..., Afn+2) et (M[,.. . ,A/^+2) de Proj(V) , il existe un
élément h € VQIik(V) et un seul tel que h{M{) = M[ pour tout i e [l,n + 2] .
Démonstration:
Pour tout t € [l,n + 2] , fixons e» e M» \ {Ov} et e\ € M/ \ {Ov} . En vertu de l'hypothèse, les suites
5= (ei,...,en+i) et B' = (e^,.. .,e'n+1) sont des bases de V. Soit (A;)i<t<n+i (resp. (A;h<i<n+i ) la
suite des coordonnées de en+2 dans B (resp. de e'n+2 dans B' ). En vertu de l'hypothèse, on a Xi ^ 0
et A'. ^ 0 pour tout t € [l,n+ 1] . Pour tout (n + l)-uple a = (ai,... ,an+i) € (Jf*)n+1 , soit fa l'unique
élément de QLk(V) tel que fa(e{) = a<ej pour tout i € [l,n+ 1] . Une homographie h € POLk-(V)
vérifie h(Mi) = M\ pour tout t € [l,n+ 1] ssi c'est Tune des (/<*)♦ ainsi définies. Pour a fixé, on
a (fa)*(Mn+2) = Àfn+2 s8* il existe p e K* tel que fa(en+2) = pe'n+2 » ie- ^ a*^i = pK Pour tout
ie [l,n + 1] . L'ensemble des a e (K*)"*1 vérifiant cette condition est la droite vectorielle de vecteur
directeur A = (^-)i<t<n+i • Les fa répondant à la question forment donc une droite vectorielle, et par
suite il y a une et une seule homographie h répondant à la question, c'est h = (/*)* H
Corollaire
Supposons que n = 1 (i.e. que V est de dimension 2). Le groupe POLk^V) opère finement 3-
transitivement sur Proj(V) , i.e. si (Afi,M2,M3) et (M{,M2,M3) sont deux Z-suites injectives de
Proj(V) , il existe un élément h e POL/c(V) et un seul tel que h(Mi) = Af/ pour tout i e {1,2,3} .
Coordonnées homogènes
Soit B = (ei,... ,e„+i) une base de V. Soit MeProj(K). L'ensemble Ch{M) des (n-1-l)-uples
A = (Al)1<i<n+i € (K*)n+1 \ {0} tels que wij] 1Alei) = M est une droite vectorielle privée
de {Ov} • Tout élément (Ai,..., An+i) de Ch(M) est appelé un système de coordonnées homogènes de
M relativement à la base B .
Soit alors une homographie h € PQLfc(V) . L'ensemble des / e QhK(V) telles que /♦ = h est une
droite vectorielle de Hom^(V) privée de {0} . L'ensemble des matrices de ces automorphismes / est
358 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
donc une droite vectorielle de 9Jln+i(K) privée de {0} . Toute telle matrice est appelée une matrice
de f dans B. Soit H Tune quelconque d'entre elles. Soit M et M' deux points de Proj(Vr) , et
soit X - (ii,...,Xn+i) et X' - (xi,...,a4+1) des systèmes quelconques de coordonnées homogènes
respectivement de M et de M' relatifs à B . On a alors l'équivalence:
(2) (M' = h(A/)) <^ (3peK+\ <(*')=,(#<*))
Il convient de noter que dans (2), le facteur p dépend de H , X et X' .
27.1.1 Sous-variétés linéaires projectives
Définition 27.1.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit d € [0, nj . On appelle sous-variété linéaire projective
de dimension d de Proj(V) tout ensemble de la forme W = wy{W\ {0v}) , où W est un sous-
espace vectoriel de dimension d + 1 de V . La sous-variété linéaire projective W est appelée une
droite projective ssi d — 1 , un plan projectif ssi d = 2 , un hyperplan projectif ssi d = n~ X .
Soit W une sous-variété linéaire projective de Proj(V) . Il est clair qu'il y a unicité du sous-espace
vectoriel W de V vérifiant la définition 27.1.1; ce sous-espace est W = {0V} Uc7"1(W) . Il est appelé
le sous-espace vectoriel projetant de W . Ce sous-espace est donc un plan vectoriel ssi W est une
droite projective et un hyperplan vectoriel ssi W est un hyperplan projectif. Les sous-variétés linéaires
projectives de dimension 0 sont les singletons. L'unique sous-variété linéaire projective de dimension
n est Pro j (V) . On convient de considérer 0 comme une sous-variété linéaire projective particulière, à
laquelle on attribue la dimension -1 , et de considérer que son sous-espace vectoriel projetant est {0v} .
Si W est une sous-variété linéaire projective de dimension d > 1 de Pro j (V) , d'espace projetant W ,
il est clair que W s'identifie canoniquement à Pro j (Vf) , et que la restriction de wv à Vy\{0v} n'est
autre que ww . Dans la suite, nous conviendrons d'identifier ainsi W et Proj(W).
Toute intersection de sous-espaces vectoriels de V est un sous-espace vectoriel de V ; compte tenu de
la convention qu'on vient de poser, on en déduit aidément que toute intersection de sous-variétés linéaires
projectives de Proj (V) en est encore une, le sous-espace projetant de leur intersection étant l'intersection
de leurs sous-espaces projetants. Étant donnée une partie quelconque £ de Pro j (V) , elle est contenue
dans au moins une sous-variété linéaire projective, à savoir Proj(V) ; l'intersection des sous-variétés
linéaires projectives de Proj(V) contenant S est une sous-variété linéaire projective, dite (projective-
ment) engendrée par S , et que nous noterons Varpro;j {£) .
Soit d€ [0,n] et soit une suite (Mi,.. .,Ma+i) projectivement libre dans Proj(V) . Alors la sous-
variété linéaire projective engendrée par {Mi,...,Md+\} est de dimension d (c'est immédiat). On la
notera varproj (M1,..., Md+i) au lieu de Varproj ({Mi,..., Md+1}) . Réciproquement, soit W une sous-
variété linéaire projective de dimension d . Les parties minimales de W qui l'engendrent projectivement
sont les parties de la forme {Mi,..., Md+i} , où (M\,..., Md+i) est une suite projectivement libre à d+1
termes de W. Les suites de ce type sont appelées les bases projectives de W . Les bases projectives
d'une droite projective W sont donc les suites de deux points de W distincts. Le lecteur vérifiera
facilement la proposition suivante:
Proposition 27.1.1
Soit S une partie non vide de Pro j (V) . La sous-variété linéaire projective engendrée par S est la
réunion des droites projectives de la forme Varproj {M\, M2) quand (A/i,M2) parcourt la partie de
E x S définie par M\ ^ M2 .
Soit (Wi)içi une famille de sous-variétés linéaires projectives de Proj(Vr) . Pour tout i € I, soit
Wi l'espace projetant de W< . Soit W = Varproj(Uie/Wi) . Alors l'espace projetant de W est £\ Wi .
On sait que dim(Wr1 + W2) = dimCtVi) + dim(W2) - dim(Wr1 n W2) pour tous sous-espaces vectoriels
Wx et W2 de V . On en déduit facilement qu'on a, pour toutes sous-variétés linéaires projectives Wi
et W2 de Proj(V) :
(3) dim(Varproj(Wi U W2)) = dim(W0 + dim(W2) - dim(Wi n Wa)
En particulier, pour n > 2 , si Wi et W2 sont deux hyperplans projectifs distincts (ce qui entraîne
immédiatement que leur réunion engendre projectivement Proj(V) ), alors Wi n W2 est de dimension
n- 2 , donc est non vide. Ainsi, si n = 2 , deux droites projectives de Proj(V) distinctes se rencontrent
en un point unique.
27.1.2 Points fixes des homographies
Soit h - /«, une homographie de Proj(V) , où / € OLk-(V) . Soit M = zvv(x) € Proj(V) , où
x€V\{0v} . On a h(M) = M ssi nov(f(x)) = M , i.e. ssi il existe X € K* tel que f(x) = Xx . Par suite:
,.v (L'ensemble des points fixes de h est la réunion des sous-variétés linéaires projectives dont les
^ \ sous-espaces projetants sont les sous-espaces propres de f
Si n — 1 et si h £ IdFro^(vr) > ie. si / £ K*ldy , alors admet exactement une droite vectorielle propre
si son polynôme caractéristique Polcar/(X) n'est pas séparable, deux droites vectorielles propres si
Chapitre 27 , § 1
Notions sur les espaces projectifs 359
Polcar/(X) est séparable et dissocié sur K , et aucun vecteur propre si Polcar/(A") est séparable et
tf-irréductible. Par suite:
{Si n = 1 et si h ^ Idproj(vo > alors h admet au plus deux points fixes. Elle n'en admet aucun, ssi
Polcar/(X) est séparable et K-irréductible; elle en admet un ssi Polcar/(A") n'est pas séparable;
elle en admet deux ssi Polcar/(X) est séparable et dissocié sur K .
27.1.3 Dualité
Soit V* le dual algébrique de V . Pour tout /f-espace vectoriel E de dimension finie N , et pour
tout k e JO, WJ , soit Gk(E) l'ensemble des sous-A'-espaces vectoriels de dimension k de E . Si N > 2 et
si k G |[-1,JV- lj , on notera £fe(Proj(£)) l'ensemble des sous-variétés linéaires projectives de Proj(£)
de dimension k (donc £_i(Proj(£)) = {0}). Pour toute partie S de V (resp. T de V* ), nous
noterons £± son orthogonal dans V* (resp. LT son orthogonal dans K ). Rappelons que pour tout
k € [0,n+ 1] , on a W e 0fc(V) ssi W-1 e Oh-i-j^V*) , et ^(tV1) = W , et de même W € 0n+i-fc(V*) ssi
W e Çfc(V) , et (L W)1 = W ; on en déduit que l'application Çk(V) — Gn+i-kfV) ,W ^WL est bijective,
sa bijection réciproque étant l'application Gn+i-k(V) -* Gk(V), W *-> XW .
Rappelons que deux sous-espaces vectoriels 5 de V et T de V* sont dits orthogonaux ssi 71 = S1 ,
ce qui équivaut à S = XT .
Des sous-variétés linéaires projectives 5 de Proj(V) et T de Proj(V) sont dites dua/es ssi leurs
espaces projetants respectifs 5 et T sont orthogonaux. Il en est ainsi ssi T = S± , ce qui équivaut à
5= LT . On notera S1 = wv(SL \ {0V}) et XT = wv. ( LT \ {0V-}). Donc S et T sont duales ssi
T = 51 , ce qui équivaut à 1T = S . On déduit facilement de ce qu'on vient de rappeler que pour tout
k e [-l,nj , l'application Çjt(Proj(Vr)) -» Çn_fc_1(Proj(Vr')), W »-> W1 est bijective, et que sa bijection
réciproque est l'application Gn-k-i(*rol(V)) -* 0fc(Proj(V)), W >-+ -"-W .
Si l'on identifie V et son bidual V* à l'aide de l'isomorphisme canonique, pour tout sous-espace
vectoriel Tde V* , l'orthogonal Tx de T dans V* s'identifie à 1T. Moyennant cette identification, la
dualité entre V et V* fait donc intervenir symétriquement V et V* : toute propriété du couple (V,V9)
équivaut à une propriété du couple (V*,V) , obtenue en remplaçant (V}Vm) par (V\V) . Il suffit donc
d'étudier les propriétés du couple (V, V*) . En passant aux espaces projectifs associés, on en déduit qu'il
suffit d'étudier les propriétés du couple (Proj(Vr),Proj(V)) pour obtenir les propriétés, équivalentes,
du couple (ProJCV^ProjfV)).
Soit W e Gk(*roj(V)), avec k e [-l,nl . On a W = Proj(V) ssi W1 = 0 , et de même W = 0 ssi
W1 = Proj(V*) . Si 1 < fc < n - 1 , toute base projective (#i,... ,^n-fc) de W1 est appelée un système
d'équations minimal de W . Étant donné un tel système et, pour tout i e [l,n - A:] , un élément & de
EV»(^*) » on a a^ors:
(6) W = {w(x)) | x € V \ {0V} et vi(*) = ••• = ^n-fc(i) = 0}
Par abus de langage, on exprime (6) en disant que W est défini par le système minimal d'équations
homogènes (pi = • • • = <pn-k = 0. En particulier, si fc = n-1 (i.e. si W est un hyperplan projectif), alors
Wx est un singleton et les systèmes minimaux d'équations homogènes de W sont formés d'une seule
équation (p = 0 , où <p est n'importe quel élément de WyîiW1) , ces formes linéaires <p étant toutes
tf'-proportionnelles entre elles. Lorsqu'on explicite les équations (6) dans une base (ei,... ,en+i) de V ,
on obtient par définition un système minimal d'équations homogènes de W dans la base (ex,... ,en+i) .
27.1.4 Complémentaire d'un hyperplan projectif
Dans les conditions ci-dessus, avec n quelconque > 2 , fixons un hyperplan projectif H de Proj (V) ,
d'espace vectoriel projetant H . Soit XLx(V;i/) le sous-groupe de GLk(V) formé des automorphismes
/ e OLfc(V) tels que /(x) - x € H pour tout x € V . L'application XLfc(Vr,/f) -► QhK(H), / — /||//
est un morphisme de groupes surjectif, dont le noyau sera noté T(V,H) . Par passage au quotient, ce
morphisme définit un isomorphisme de groupes XLxr(W)/T(vr,H) = QLK-(Zf) . Pour tout x e H et tout
<p e H1 \ {0v } , notons TV)X l'automorphisme y^y-\- <p{y)x de V (si x ^ 0V , c'est une transvection).
En fixant y?, on obtient une application H —► T(V,i/), x >-> T^tX qui est manifestement un isomorphisme
du groupe additif (H,+) sur le groupe T(VyH) . Transportons la structure de A'-espace vectoriel de H
sur T(VyH) à l'aide de cette bijection; on obtient ainsi une structure de K-espace vectoriel sur T(V,H) ,
dont la loi de groupe additif est la composition des applications; si on change (p en \ip avec À € K* ,
cette structure d'espace vectoriel est inchangée, car T^tX = t^a-i, pour tout x e H . On a donc ainsi
défini une structure canonique de K -espace vectoriel sur T(V, H) , isomorphe à celle de H . Désormais,
nous munirons T(V, H) de cette structure de K-espace vectoriel.
Il est immédiat que KLk{V,H) n K*ldv = {Idv} ; la restriction à ALk{V, H) du morphisme Tly
défini en (1) est donc injective, donc par restriction à T(V,H) , elle définit un isomorphisme de T(V, H)
sur un sous-groupe de paLK-(V) , que nous noterons &(V, H). La loi de groupe de V{V,H) sera notée
additivement, et on munira 2T(V, H) de la structure de K-espace vectoriel obtenue en transportant par
Uv la structure de K-espace vectoriel de T(V; H).
Il est clair que relativement à l'action naturelle, H et Proj(V)\W sont stables par V(V,H).
L'action de g^V, U) sur Proj(V) \H est transitive et régulière (i.e. le stabilisateur de tout point est
réduit à l'élément neutre), autrement dit elle définit sur Proj(V,#) \ 7i une structure d'espace a/ïïne
360 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
d'espace directeur 2T(V, 77). L'isomorphisme de K -espaces vectoriels de 77 sur T(V, 77) défini plus haut
est canonique; en le composant avec 77V , on obtient un isomorphisme canonique du Tf-espace vectoriel
H sur y(VtH), à l'aide duquel on peut remplacer l'action naturelle de 2F(V,H) sur Proj(V) \ H par
une action de 77 sur Proj(Vf) \ H : on obtient ainsi sur Proj(V) \ H une structure de Tf-espace affine
d'espace vectoriel directeur H. Cette structure sera appelée la structure naturelle d'espace affine de
Proj(V) \ H . Par défaut, lorsqu'on parle de la structure affine de Proj(V) \ H , c'est toujours à cette
structure qu'on se réfère. Les points de 7i sont alors appelés les points a l'infini de l'espace affine
Proj(V) \ H ; l'hyperplan H est appelé l'hyperplan à l'infini de cet espace affine.
Fixons <p € HL \ {0v}. Notons H\ l'hyperplan affine ^_1(lfc) dans V . La restriction de wy à
H\ définit une bijection vzy^ : 77i —► Proj(V) \ H . D'après les définitions ci-dessus, il est immédiat
que wv^ est un isomorphisme d'espaces affines d'espace directeur H . De plus, la restriction de Ily à
KLK(V,H) définit un isomorphisme du groupe XI#k-(V, 77) sur le groupe affine de Proj(Vr) \ H . Nous
noterons 77v,h cet isomorphisme.
Soit 71 - (m0; t\,..., en) un repère affine de 77i (i.e. m0 € 77i et (ei,..., en) est une base de H ).
Soit M0 = wy(m0) , et pour tout i e [l,nj , soit Qi = vjy(ti) et Mx = wy{rrii) , où m» = m0 + ti .
Les suites 7^,» = (Qi,... , Qn,M0) et 7£0 = (Mi,... ,MnjM0) sont des bases projectives de Proj(V)
à éléments dans Proj(V) \ H, dites associées au repère 71. La base ft^ a ses n premiers termes
dans H , et la base 7lQ est à termes dans Proj(V) \?i . Toute base projective de ProJCV") ayant ses n
premiers termes dans H (resp. à éléments dans Proj(V) \"H )) est associée de cette façon à un repère
affine de H\ et un seul.
Soit m = m0 -I- x\e\ + • • • + xnen G Hx , où (ji,... ,xn) € 7fn . Soit M = my(m). Un système de
coordonnées homogènes de M dans T^œ est (xi,..., xn, 1k) , et un système de coordonnées homogènes
de M dans 7l0 est (xi,.. .,xn, 1 - s) , où s = xi + • • • + xn . La suite (mi,... ,mn,mo) est une base
affine de H\ , et (xi,...,xn, 1 - s) est aussi un système de coordonnées barycentriques de m dans cette
base affine. La forme linéaire <p n'est autre que m*Q , où (mj,.. .,m*,mj) désigne la base duale de la
base Roo = (eii • • • ,en,rn0) de V . Une équation homogène minimale de H dans la base 7^ est donc
xn+1 = o (en notant (xi,..., xn,xn+i) les coordonnées d'un point général de V ).
Tout élément g € KLk(V,H) laisse U\ globalement invariant, et induit sur Hx une permutation
Tf-affine. Pour tout espace affine E sur K , notons GKk{£) le groupe affine de S . L'application
ALk-(V; H) -> QAk-(7/i ),/►-» /||//! est un isomorphisme de groupes. En composant 77v avec la réciproque
de cet isomorphisme, on obtient un isomorphisme de groupes canonique: QKk(Hi ) -+ QAk{*xo1{V)\H) .
Un élément / e QLk-(V) appartient à ALk-(V, 77) ssi sa matrice dans la base (mi,..., mn, mo) est de
la forme:
lo,...,o| iK )
où A e QÏ4(n,K) et B e Wlnii(K) . L'ensemble des matrices de la forme (7) est donc un sous-groupe de
QL(n + l,7f ) isomorphe au groupe affine de 77i et donc isomorphe au groupe affine OA(Proj(V) \ H).
Les homographies de Proj(V) éléments de ce dernier groupe affine sont exactement celles dont une
matrice dans la base (mi,..., mn,mo) est de la forme (7) (une telle homographie admet alors, dans cette
base, une seule matrice de la forme (7)).
Lorsque n = 1, les hyperplans projectifs de Proj(V) sont les singletons. Le choix de l'un d'entre
eux comme hyperplan à l'infini signifie alors qu'on a choisi un point à l'infini. Prenons en particulier
V = K2 ; soit (ci,e2) la base canonique de K2 et {e\,t*2) sa base duale. Soit <p — e\ . La droite
affine H\ — K x {1k} s'identifie canoniquement à K. Soit H le singleton de Proj(2, K) d'hyperplan
projetant 77 = Ker(<^) . Le plongement w,h : H\ -* Prol2(K) \H s'identifie à une bijection de K sur
Pro12(K) \ H ; en attribuant à ex a: l'unique élément de H , cette bijection se prolonge en une bijection
K -> Prol2(K) , dite canonique. On convient habituellement d'identifier K à Proj2(7f) à l'aide de
cette bijection. Moyennant cette identification, le groupe PQL(2, K) s'identifie alors canoniquement au
groupe des homographies de K , que nous avions noté H(2,7f) à la section 23.1.2.
Plongement d'un espace affine dans un espace projectif
Soit d un entier > 1. Rappelons comment tout espace affine de dimension finie d sur K peut
être plongé canoniquement dans un espace projectif de dimension d en tant que complémentaire d'un
certain hyperplan projectif.
Soit E un 7f-espace affine de dimension d , d'espace directeur E . On note le la fonction constante
E —► K égale à 1k et sis le 7£-espace vectoriel des fonctions affines de E dans K . On a une application
affine naturelle A : E —► V = si}, x >-* 6X , où 6X désigne la forme linéaire sis —> K, A ►-► A(x). Le K-
espace vectoriel sie est de dimension d + 1, donc son dual V est aussi de dimension d + 1 , et par
suite l'espace projectif Proj(V) est de dimension d. Soit <p la forme linéaire £ »-» £(l£> sur V. On
a ^_1(l/c) = 6{E) . On conviendra d'identifier E avec l'hyperplan affine 77i = ^_1(1) de V à l'aide
de A. Alors wy^{E) est le complémentaire dans Proj(V) de l'hyperplan projectif dont l'hyperplan
projetant est Ker(ip) . L'espace projectif Proj(V) ainsi construit s'appelle le projectiûé de E ; l'espace
vectoriel V s'appelle le vectorialisé de E . La forme linéaire (f s'appelle la forme linéaire canonique
sur le vectorialisé de E . Les points de H s'appellent les points à l'infini de E . Si / e K [E] est non
constante, la complétée projective de Sfy dans Proj(V) s'appelle la complétée projective canonique de
Vf , ou encore la projectiûée (canonique) de S/y .
Chapitre 27 , § 1
Notions sur les espaces projectifs 361
27.1.5 Isomorphismes entre espaces projectifs
Soit Vi et V2 deux /f-espaces vectoriels de même dimension finie n + 1 , où n > 1 . Tout
isomorphisme de K-espaces vectoriels / : Vj, —► V2 induit une bijection /. : Proj(Vi) —► Proj(V2) ; toute
bijection de cette forme /. est appelée un isomorphisme projectif de Proj(Vi) sur Proj(V2) (on
dit aussi correspondance homographique au lieu de isomorphisme projectif). L'identité d'un espace
projectif est un isomorphisme projectif. La composée de deux isomorphismes projectifs est un
isomorphisme projectif. La réciproque d'un isomorphisme projectif est un isomorphisme projectif. Si V\ = V2 ,
l'ensemble des isomorphismes projectifs de Proj(V) sur lui-même n'est autre que le groupe VQIsk(V)
des homographies de Proj(V) . Le théorème 27.1.1 montre immédiatement qu'étant données des repères
projectifs (Mi)i<j<n+1 et 0/Vi)i<i<n+i de Vi et V2 respectivement, il existe un isomorphisme projectif
et un seul g : Proj(Vi) -+ Proj(V2) tel que p(M») = Ni pour tout i.
Soit V un /f-espace vectoriel de dimension finie n+ 1 , où n > 1 , et soit B = (ei,..., e„+i) une base
de V . La bijection linéaire fs ■ Kn+1 —► V, (xi,...,xn+i) >-► XieH l-xn+ien+i induit un isomorphisme
projectif (/b). ' Vroj(Kn+1) -+ Proj(V) . Lorsqu'on applique cet isomorphisme, on dit qu'on identifie
Proj(V) à Proj(/fn+1) au moyen de B . Cette identification s'étend aux groupes projectifs
correspondants: l'application POL(n+l,K) = VQhK(Kn+1) -* POL/ctV), h •-» (/s).o/io(/fl)71 est un isomorphisme
de groupes.
§ 27.2 Hypersurfaces algébriques
27.2.1 Hypersurfaces algébriques affines
Soit E un espace affine de dimension finie d > 1 sur K , d'espace directeur E. Soit Xi,...,Xd
des indéterminées sur K . Pour l'instant, nous supposerons seulement K infini. On notera K[E]
la /T-algèbre des fonctions polynomiales de E dans K . Tout repère affine U = (0,ei,... , e<*) de £
détermine un isomorphisme de A'-algèbres de K [ Xi,..., Xd ] sur K [ £ ] , qui associe, à tout polynôme
# € tf [ A"i,..., Xd ] , la fonction polynomiale f : O + xiei + • • • + xded »-» P(xi,...,xd) (donc la #-
algèbre K [E] est un anneau intègre, nœthérien et factoriel, et ses éléments inversibles sont les fonctions
constantes non nulles). Si g G K[E] , le degré du polynôme Q qui lui correspond ainsi ne dépend que
de g et non du choix de 11. Le degré commun à tous les polynômes Q obtenus pour tous les choix de
U est appelé le degré de g ; on le note deg(#) .
Rappelons que pour tout anneau commutatif A, on désigne respectivement par spec(.A) et par
Specmax(>i) l'ensemble des idéaux premiers de A et l'ensemble des idéaux maximaux de A .
Les idéaux premiers non nuls minimaux de K[E] sont principaux, engendrés par un élément
irréductible défini de manière unique à /f'-proportionnalité près (voir [4], tome 1). Rappelons la
conséquence suivante du théorème des zéros de Hilbert (cf. [24]):
Théorème 27.2.1
Supposons K algébriquement clos. Soit P un élément irréductible de K[E] . Soit Sfp — P"1^) .
Notons %l l'idéal premier non nul minimal PK[E) de K[E\ et <p le morphisme de K-algèbres
canonique K[E] — Qp - K[£]/v .
(I) L'idéal de K[E] formé des fonctions nulles sur Sfc est ^3 .
(II) Pour tout x € ïfp , Vidéal 9Jlx de K[£\ formé des fonctions nulles en x est maximal, et
l'idéal mx = <p(9Jlx) de Qp est maximal L'application fy —► Specmax(Qp), x »-+ mx est bijective.
L'application 9> —► Specmax(A' [E] ), x »-♦ 27lx définit une bijection de fy sur l'ensemble des idéaux
maximaux de K\E) contenant ^J .
Définition 27.2.1
Avec les notations et hypothèses du théorème 27.2.1, on appelle hypersurface algébrique (affine)
irréductible de E toute partie de E de la forme ïfp = P_1(0) , où P est un élément irréductible
de K[E] . Si S = yP est une telle hypersurface, l'idéal PK[E] de K[E] sera appelé l'idéal
de S , et sera noté is . On appelle hypersurface algébrique (affine) toute partie de E de la forme
Sfjr = F_1(0) , où F est un élément non constant de K[E] .
D'après ce qui précède, si K est algébriquement clos, l'application qui associe son idéal à toute
hypersurface algébrique affine irréductible de E est une bijection de l'ensemble de ces hypersurfaces sur
l'ensemble des idéaux premiers minimaux non nuls de K{£] . La bijection réciproque associe, à un idéal
premier non nul minimal Ç , l'ensemble n瀫pÇ"1(0) , qui est égal à P-1(0) pour tout générateur P
de $P . On appelle degré d'une hypersurface algébrique affine S de E , et on notera deg(S) , le degré
commun aux polynômes P tels que i5 = PK [E] . Ce degré est donc toujours > 1 .
Si d — 1 , les hypersurfaces algébriques irréductibles de E sont les singletons. Si d > 2 , une telle
hypersurface est infinie. Si d = 2 , on l'appelle une courbe algébrique (affine); si d = 3 , une surface
algébrique (affine). Dans tous les cas, le complémentaire dans E d'une hypersurface algébrique affine
S est infini, et possède la propriété élémentaire suivante (c'est le bien connu théorème du prolongement
des identités algébriques, qui est vrai même avec K non algébriquement clos pourvu qu'il soit infini):
tout élément de K[E] qui s'annule sur E \S est nul.
Il est immédiat que les hypersurfaces algébriques affines irréductibles de degré 1 de V en sont les
hyperplans affines (les fonctions polynomiales de degré 1 sur E sont irréductibles).
Dans ce qui suit, nous supposerons K algébriquement clos.
Soit maintenant un entier m > 1 et une fonction F e K [E] de degré m (donc F est non constante).
Soit F^P^-P?* une décomposition de F en facteurs irréductibles dans K\E] (avec des P, deux
à deux premiers entre eux, r > 1 et q, > 1 pour tout i ). Il est clair qu'on a:
(i) sfF = u;=ïsfPl
Comme les Pi sont deux à deux premiers entre eux, on a Sfp, <£ yPj pour tout couple (ij) tel que
i^j (en effet, Sfp, c Sfp, entraîne que P{ divise P, donc que Pi et Pj sont iC*-proportionnels). De
plus, une autre conséquence du théorème des zéros de Hilbert, déjà cité, est que Vidéal de K[E] , qu'on
notera i^. , formé des fonctions nulles sur Sfc , est principal, engendré par Pi-Pr. Soit alors Q un
élément irréductible de K [ V ] tel que Sfç c Sfr ; on a F € \q , donc Q divise F , donc il existe un
unique indice j e [l,r] tel que Q — Pj . Donc à Ja numérotation des Pi près, la décomposition (1) est
la seule expression de 9f comme réunion d'hypersurfaces algébriques affines irréductibles deux à deux
distinctes. On dit que les SfPi sont les composantes irréductibles de Sfr • Elles sont en nombre fini, égal
à r , et d'après ce qu'on vient de voir, il n'y a aucune relation d'inclusion entre ces composantes. Si
d — 1 , les hypersurfaces algébriques affines sont les parties finies non vides.
Soit u G QKk(E) ; l'application au . K [E] -* K [E], / »-+ /ou-1 est un automorphisme de /^-algèbre,
qui respecte le degré. Si S désigne une hypersurface algébrique irréductible de E , d'idéal tp , on en
364 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
déduit que u(S) est une hypersurface algébrique irréductible de même degré, d'idéal <ru(ty) ; on en
déduit que u transforme toute hypersurface algébrique S en une hypersurface algébrique, et que les
composantes irréductibles de u(S) sont les transformées par u des composantes irréductibles de S .
Fonctions rationnelles sur une hypersurface algébrique affine irréductible
Soit S un espace affine de dimension d > 2 , d'espace directeur E , et soit S une hypersurface
algébrique irréductible de £, d'idéal ?p . On notera P un générateur de $J . L'anneau K{£\/y
est intègre (car if [£] est factoriel); on l'appelle i'anneau des fonctions polynomiales sur S, et on
le notera K[S] . Il est clair que les éléments de fz.q(S) s'identifient aux fonctions S —► K définies
par les restrictions à S des éléments de K[£] . Si g e K[S] et si x G S , on notera g(x) la valeur
en x de la fonction à laquelle g s'identifie. Le corps des fractions de if [S] est appelé le corps des
fonctions rationnelles sur S (bien que ses éléments ne soient pas des fonctions définies sur S ), et on le
notera K(S) . Soit c G K(S) . Nous allons montrer que c s'identifie avec une fonction à valeurs dans K .
Appelons point de régularité de c tout point x e S tel qu'il existe (o,b) G K[S] x (if [S) \ {0}) pour
lequel c= J et 6(x) ^ 0 . L'ensemble des points de régularité de c est appelé l'ensemble de définition de
c , et sera noté Reg(c) . Vérifions que cet ensemble est non vide: en effet, soit (a, 6) G AT [5] x (if [S] \ {0})
tel que c = § . Si la fonction b est constante, on a c€ K[S] , donc c s'identifie à une fonction définie
sur S ; si b est non constante, soit G € K[£] d'image 6 dans K [S] ; alors G i $? , donc S = Sfp £ Efc
(voir plus haut), donc S \ Sfc ^0 , d'où 0 ^ S\Sfc C Reg(c) . Si x G Reg(c) , et si (a,6) G if[5] x K[S]
et (ai,&i) e K[S\ x K\S] vérifient c = f = fj- avec 6(x) ^ 0 et 6i(x) ^ 0, il est immédiat que
|^|i = |î||^ . On note c(x) la valeur commune des §£§| pour tous les couples (a,b) e K[S] xK [S] tels
que c = f et 6(x) ^ 0 . On a ainsi défini une fonction Reg(c) —» K associée à c ; on l'appelle fonction
rationnelle définie par c . Montrons qu'on peut identifier cette fonction à c , i.e. que deux éléments c = £
et ci = f}- de if(S) (où (a,6) G JC [S] x (tf[S] \ {0}) et (ai.&i) G K [5] x (K [S] \ {0}) ) définissent la
même fonction rationnelle ssi ils sont égaux. Fixant ainsi c et c\ , et supposant que c et ci définissent
la même fonction rationnelle, soit F , G , Fi et Gi des antécédents respectifs de a , b , ai et &i dans
K[S] . Alors 5\Sfc C Reg(c) et 5\ SfGl C Reg(c) ; a fortiori, on a 5 \ SfGGl = (5 \ Sfc) n (5 \ SfGl ) C Reg(c)
Comme oi6-6ia s'annule sur S \ Sfcci » on voit que (FiG - FGi)GGi s'annule sur 5 , donc P divise
(FiG-FGi)GGi dans #[£] • Comme P est premier avec GGi , on en déduit que P divise FXG-FG\ ,
donc c = f = f1 = ci . On peut donc identifier c avec la fonction rationnelle qu'elle définit. Ce
raisonnement prouve même mieux: si deux fonctions rationnelles sur S coïncident sur un ensemble de
la forme S\yQ , où Qç.K[S] n'est pas divisible par P , alors elles sont égales.
Proposition 27.2.1
Dans les conditions ci-dessus, le corps K(S) est un corps de fonctions algébriques de d- 1 variables
sur K .
Démonstration :
Soit U = (0,ei,.. .,ej) un repère affine de E. Soit (xi,...,xd) des indéterminées sur K. Notons
V> l'élément (irréductible) de K[xi,...,Xd] qui exprime P dans 1Z. Comme 1> est non constant, il
existe i G |[l,nj tel que le degré partiel de V par rapport à Xi soit > 1. Quitte à renuméroter les ej ,
on peut supposer que le degré partiel de t/f par rapport à x* est > 1 .
Il est clair que la if-algèbre K[S\ est isomorphe à l'algèbre quotient R = K[*i **]/q , où l'on
a posé JÛ = ipK[xiy... ,Xd] • Soit p : /f[xi,. ■•iI</-i ] -♦ ■# le morphisme de /f-algèbres défini par
la restriction de la surjection canonique K[xi,...,Xd] —> R à K [xi,... ,x<f_i ] . Soit L le corps des
fractions de R . Puisque V est irréductible et dépend effectivement de xd , on voit que p est injectif.
Pour tout i G [l,dj , soit ^ = p(Xi) . On a R = K [^,... ,&] et £ = #(£!,...,&). D'après ce qu'on
vient de voir, la suite (£i,... ,£<*-i) est Jf-algébriquent libre. Il est clair que ^(£i> • ■ >£d) = 0 , donc &
est algébrique sur if [£i,... ,£<*_i ] . La proposition en découle. Il importe de noter que ce raisonnement
n'a pas utilisé l'hypothèse que K est algébriquement clos; en fait, si K est commutatif quelconque, on a
démontré que pour tout élément irréductible tp de K [xi,..., xd ] , le corps des fractions de la if-algèbre
quotient *"[*i xd\lri>K[xx,...txà\ est un corps de fonctions algébriques de d- 1 variables sur K ■
Conservons les notations et hypothèses de l'énoncé de la proposition 27.2.1. D'après le théorème
27.2.1, l'application S -+ specmax(if [5] ), x •-» mz est bijective. De plus, si x G 5, l'idéal maximal
mz est l'image canonique de l'idéal maximal SPÎX des fonctions polynormales ur S nulles en x . On a
P G Wlx , i.e. Çc SPÎar , et comme d > 2 , on a V ^ 90Î* (les éléments de degré 1 de OTX ne sont
pas deux à deux if*-proportionnels). Donc mr ^ {0} , i.e. K[S] ^ K(S) . L'anneau local (K [5] )[mx]
n'est donc pas un corps; son corps des fractions est K(S) . Il est clair, d'après les définitions, que cet
anneau local n'est autre que i'anneau des fonctions rationnelles sur S définies en x .
Définition 27.2.2
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, pour x e S, Vanneau local (K[S])[mx) est appelé
Vanneau local de S en x, et sera noté €X(S) . Les éléments de QX(S) sont appelés les fonctions
rationnelles sur S régulières en x .
Une fonction rationnelle sur S est dite régulière ssi elle est régulière en tout point de S . En tenant
compte que tout idéal maximal de if [51 est l'un des mz (théorème 27.2.1), l'exemple 23.2.1 entraîne:
Lemme 27.2.1
Dans les conditions de la définition 27.2.2, Vensemble des fonctions rationnelles régulières sur S est
la K-algèbre K[S] des fonctions polynomiales sur S .
Chapitre 27 , § 2
Hypersurfaces algébriques 365
Le lemme 27.2.1 justifie a posteriori la notation K [S] .
Toujours dans les conditions de la définition 27.2.2, soit xi et x2 deux points de S distincts. Alors
0X1 (S) <f_ 0I2 (S) . En effet, soit deux fonctions affines Ax et A2 sur S ne divisant pas P et telles que
A\(x2) = A2(x\) =0 et j4i(x!) = A2(x2) = 1/c ; soit Ai et A2 les images respectives de A\ et A2 dans
tf(5) . Alors 7= ^ G0X1(5)\0X2(5) , car pour tout (aua2)eK[S] x(K[S] \ {0}) tel que 7 = fi , on
a A2aj - Axa2 = 0 , d'où a\(x2) =* 0 , donc 7 n'est pas définie en x2 , alors qu'elle est définie en Xi .
27.2.2 Hypersurfaces algébriques projectives
Dans cette section, le corps K est supposé algébriquement clos. On fixe un entier n > 1 et un
/f-espace vectoriel V de dimension n+1. On munira V de sa structure naturelle d'espace affine sur
K . Soit (Xu..., Xn+i) des indéterminées sur K . Pour tout entier m > 0 , on notera (K [V] )m le K-
espace vectoriel des fonctions polynomiales homogènes de degré m de V dans K et (K[Xit..., Xn+i ] )m
le Jf-espace vectoriel des éléments homogènes de degré m de K[Xi,..., Xn+i ] . En prenant comme
graduation le degré usuel (défini plus haut), la tf-algèbre K[V) est graduée, la décomposition
correspondante étant K[V] = ^m^{K[V])m . Si B - (ci,... ,en+i) est une base de V , l'application qui,
à P Ç. K[X\,... ,A"„+i ], associe la fonction x = ^ a^e* •-► P(zlt. ,.,xn+i) est un isomorphisme
de K-algèbres graduées de K[Xi,... ,Xn+i ] sur K [ V ]~, qui envoie (tf [Xi,... ,Xn+i ] )m sur (K[V])m
pour tout meN.
Une hypersurface algébrique affine irréductible S = Sfp de V , de degré m (où P est un générateur
de is ), est appelée un cône algébrique irréductible ssi c'est une réunion de droites vectorielles, ce qui
équivaut à la condition que P est homogène de degré m . Les cônes algébriques de degré 1 de V en
sont les hyperplans vectoriels. Si H est un hyperplan vectoriel, les éléments P G (K[V])i tels que
\h = PK[V) sont les éléments de HL \ {0V-} •
Soit S = Vp un cône algébrique irréductible de V , de degré m (où P engendre i5 ). On a 0v G S .
Il est clair que OT0v = ®m>x(K[V] )m , d'où m0v =(^(em>i(ii,[Vr])m) . On voit alors que Pe(27î0v)m.
Comme n > 1 , l'idéal SDÎov de A^V] n'est pas principal, donc S ^ {0y} • Si n = 1 , nécessairement
m = 1 et S est une droite vectorielle (en effet, comme /f est algébriquement clos, tout polynôme
homogène de degré m > 1 en deux indéterminées sur K est le produit de m polynômes homogènes de
degré 1 , cf. ci-dessous).
Définition 27.2.3
Dans Proj(Vr) , on appelle hypersurface algébrique projective irréductible toute partie de la forme
C = wv(S\ {0v}) , où S est un cône algébrique irréductible de V . Par définition, le degré de C
(qu'on note deg(C) ) est le degré de S (on a alors S = {0v} ^Wyl{C) , donc S est déterminé de
manière unique en fonction de C). Le cône S est appelé le cône projetant de C .
Soit 5 et C vérifiant les conditions de la définition 27.2.3, soit P un générateur de is . Alors C
est non vide, puisque S ^ {0v} • Soit M e Proj(V) . Comme P est homogène, on a:
(2) (M€C) <=* {Wyl{M)C\Sï\b) <=> (wv1(M)cS)
Soit alors B = (ei,..., en+i) une base de V . En vertu de (2), on a M eC ssi l'un au moins des systèmes
de coordonnées homogènes (xi,..., xn+i) de M dans B vérifie P(E1<i<n+ix»gi) = 0 , et s'il en est ainsi,
alors on a P(Ei<i<n+iXiei) = 0 = 0 pour tout système de coordonnées homogènes de M dans B . On
dit que P(£i<i<n+lx<et) = 0 est une équation homogène irréductible de C (dans B).
Les hyperplans projectifs de Proj (V) en sont les hypersurfaces algébriques projectives irréductibles
de degré 1 .
Si n = 1 , les hyperplans projectifs de Proj(V) en sont les singletons.
Si Ji € PQLk-(V) et si C est une hypersurface algébrique projective irréductible de Proj(V) , l'image
h(C) est une hypersurface algébrique projective irréductible de même degré.
Soit F € K [ V \ , de degré m > 1 . L'ensemble Sfr est une réunion de droites vectorielles ssi
F G (K[V])m. On dit que Sfc est un cône algébrique ssi cette propriété est satisfaite. Comme
tout facteur dans K\V] d'une fonction polynomiale homogène non nulle est homogène, s'il en est
ainsi, on voit qu'avec les notations de (1), les Pi sont homogènes. On en déduit qu'une hypersurface
algébrique affine de V est un cône algébrique ssi ses composantes irréductibles sont des cônes algébriques
irréductibles.
Définition 27.2.4
Dans Proj(V) , on appelle hypersurface algébrique projective tout ensemble de la forme
C = wv(S\ {0v}), où S est un cône algébrique de V . S'il en est ainsi, on a S = {0y} u &vl{C) ,
donc le cône algébrique S est unique: on l'appelle le cône projetant de C .
Soit C - wv{S\ {Qv}) une hypersurface algébrique de cône projetant S - Sfc , où F G {K [ V] )m \ {0}
avec m > 1 ; soit P = PJ*1 • ••PJ?r une décomposition de F en facteurs irréductibles dans K[V) (avec
des Pi deux à deux premiers entre eux, r > 1 et cc{ > 1 pour tout i ). Pour tout i e [1, rj , soit Si = Sfp(
et Ct - wv(Si \ {Ov}) • Tout d'abord, comme F est homogène, on a l'analogue de (2):
(3) (MeC) *=» (c7-1(M)n5^0) *=» (wv1(M)cS)
Soit alors B = (ei,..., en+i) une base de V . En vertu de (3), on a M € C ssi l'un au moins des systèmes
de coordonnées homogènes (xi,... ,xn+i) de M dans B vérifie F(Ei<j<n+iXt6i) = 0 , et s'il en est ainsi,
366 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
alors on a F(Ei<i<n+iXiei) = 0 pour tout système de coordonnées homogènes de M dans B. On dit
que F(Ei<i<n+iXtei) = 0 est une équation homogène de C (dans B).
D'autre part, il est clair que
(4) c = u;=ïCi
et si (i,j) € [l,r]2 est tel que t ^ ; , on a Si <£ Sj , donc d (f. Cj . Soit Z une hypersurface algébrique
projective irréductible de Proj(V) contenue dans C , de cône projetant Z — ïfp , où P est irréductible.
Alors Z c S , donc il existe ; e [l,rj tel que P - Pj et Z = Sj , d'où Z = Cj . Par suite, ia
décomposition (4) est ia seuie expression de C comme réunion d'hypersurfaces algébriques projectives
irréductibles deux à deux distinctes. Les Ci s'appellent les composantes irréductibles de C . Elles sont
en nombre fini, et d'après ce qu'on vient de voir, il n'y a entre elles aucune relation d'inclusion.
Soit h € POLjcCV) , et soit C une hypersurface algébrique projective de Proj(V) ; alors h(C) est une
hypersurface algébrique projective, dont les composantes irréductibles sont les images par h de celles
de C.
• Si n = 1 , les hypersurfaces algébriques projectives de Proj(V) sont simplement les parties finies de
Proj(K). Plus précisément, soit alors F € (K[V])m\{0v} (où m > 1 ). Soit tf=(ei,e2) unebasede V.
Soit (Xi,X2) des indéterminées, et soit / l'élément de (K [X\,X2] )m tel que F(x\ei +x2e2) = /(xi,x2)
pour tout (xltx2) € K2 . Posons t = fy et /(Xi, X2) = ^^"c**™-^ , avec 0 < g < m et cq £ 0 .
Alors:
/(Xi, X2) = cqX?+qg{t), avec p(t) = tm~q + ^=7"' T* *""*"'
Si g = m , on a $(f) = lK , et /(Xi,X2) = CmXip . L'hypersurface yF est alors {tz7v(ei)} . Si q < m ,
soit une factorisation de g(t) dans #[*] de la forme:
j<o=n£î <«-&>*
avec s > 1, des £, deux à deux distincts et des fy > 1 (une telle factorisation existe parce que K est
algébriquement clos). On en déduit:
(5) f{XuX2) = **ïn£î<* - &*»>*
On déduit de cette étude:
{{w(£iei +e2),...,wv(Z9ei +e2)} si g = 0
{s7v(ei), w(£iei + e2),. • • ,w(6ei +e2)} si 1 < g < m
{o7v(ei)} si g = m
En conséquence:
(7) L'ensemble Vf est non vide et uni, de cardinal < m .
• Avec n quelconque, le complémentaire dans Proj(V) d'une hypersurface algébrique projective
n'est jamais une hypersurface algébrique (conséquence facile du théorème du prolongement des identités
algébriques, cité plus haut). Pour n > 2 , on vérifie facilement qu'une hypersurface algébrique projective
de Pro j (V") est un ensemble infini. Pour n = 2 , le théorème suivant est une forme faible du théorème
général de Bezout (qui sera étudié au tome 4)
Théorème 27.2.2
Supposons n = 2 . Soit des entiers q>\ et r > 1 . Soit F e {K [V] )q \ {0} et G e {K [ V) )r \ {0}.
Supposons que les courbes algébriques projectives C = wv(^f \ {0v}) et V = wv(Vg \ {0v}) soient
sans composante irréductible commune. Alors l'ensemble CnV est non vide, uni, de cardinal < qr .
Démonstration :
L'hypothèse que C et V n'ont pas de composante irréductible commune signifie que F et G sont
premiers entre eux dans K[V\ . Choisissons une base B = (ei,e2,e3) de V telle que F(ei) ^ 0 et
G(ei) ^ 0 (une telle base existe parce que K est infini).
Soit P = wv(ei) . On a P $ CuV. Soit H la droite projective wv((Ke2 + Ke3) \ {Qv}) . Toute
droite projective passant par P rencontre H en un unique point. L'application Proj(K)\{P} —► H qui
envoie tout point Q sur l'unique point commun à H et à la droite projective passant par P et Q sera
appelée projection de sommet P , et sera notée <p .
Soit XtYtZ des indéterminées sur K , et soit respectivement f et g les éléments de (K[Xt Y, Z])q
et de K[X, Y, Z])T qui représentent F et G dans B. On a alors des éléments a0,...,a,,60,.. .,6r de
K[Y,Z) tels que:
(8) /(X, Y, Z) = a0X< + a!**"1 + • • • + aq ; g(Xt Y, Z) = b0Xr + 61Xr*1 + • • • + br
• Supposons d'abord que r = 1 (par symétrie, le cas q = 1 s'en déduira). On peut alors modifier e2
et e3 pour que g = b0X , i.e. pour que V = H . Il est alors évident que CnV est défini dans B par
l'équation homogène aq(ye2 +ze3) = 0 . D'après (7), l'ensemble CnV est donc fini, de cardinal < q = qr .
• Supposons que q > 2 et r > 2 . Du fait que F et G sont homogènes, les ^ et les bj sont
homogènes; en fait, a» G (K [Y, Z\){ pour tout i € [0,g] et bj € (K[Y,Z])j pour tout j € f0,rj . De
plus, a0 ^ 0 et &o t* 0 puisque F(eO ^ 0 et G{e\) ^ 0 . Considérons alors f et g comme polynômes de
Chapitre 27 , § 2
Hypersurfaces algébriques 367
degrés q et r en X à coefficients dans K[Y,Z] , et formons leur résuitant (cf. [3]) Resuit(/,g) . Du fait
que c'est un polynôme de poids qr en les coefficients a» et bj , on déduit que Resuit(f,g) € (K [ Y, Z ] )qr .
Comme l'anneau A — K\Y,Z) est factoriel, si on avait Result(/,#) = 0 , il existerait un polynôme non
constant h e A [ X ] diviseur commun à / et g , donc F et G ne seraient pas premiers entre eux dans
K{V] , contrairement à l'hypothèse. Par suite Resuit(f,g) ^0. D'après (7), l'ensemble y?(CnV) est
fini, de cardinal < qr . D'après l'étude du cas r = 1, toute droite projective passant par P rencontre C
et V suivant un ensemble fini. Donc C n V est fini.
Soit r la réunion des droites projectives contenant au moins deux points de C n V. Ces droites
étant en nombre fini et le corps K étant infini, on peut alors modifier la base B de façon que P £ F,
en conservant la condition F(ei) ^0 et G(ej) ^ 0 . Nous supposerons faite cette modification; alors la
restriction de <p à C n V est injective. Comme <p(C n V) est de cardinal < qr , il en découle que CnV
est de cardinal < qr ■
Le théorème de Bezout faible donne immédiatement une très utile condition suffisante d'irréductibilité
d'éléments de K[V] :
Corollaire
Soit F€(K[V])d\{0} avec d>2, déûnie dans B par /(X,Y,Z) s (K[XtYtZ\)d . Si les éléments
§k > J£ * §7 de K[V] sont tous non nuls et définissent des courbes algébriques projectives sans
point commun, alors F est irréductible.
Démonstration :
Supposons que F = F\F2 , avec Fi et F2 éléments non constants de K[V] ; soit /» l'élément de
K[X,Y,Z] qui représente Fi ( i € {1,2}). Alors Fi et F2 sont homogènes, donc l'intersection des
courbes algébriques projectives qu'elles définissent est non vide (ou bien ces courbes ont au moins une
composante commune, ou bien on applique le théorème 27.2.2). Les formules
dX j2 dX +JldX * dY j2 dY +J1dY * dZ j2 dZ + Jl dZ
montrent alors que •§£ , |£ et f£ auraient au moins un zéro commun dans V \ {0} , en contradiction
avec l'hypothèse. Cette contradiction montre que F est irréductible ■
Conservons les notations et hypothèses du théorème 27.2.2. Le théorème général de Bezout projec-
tif, que nous n'étudions pas dans cet ouvrage, consiste à définir des multiplicités adéquates If,g(M) en les
points M € C r\V , de façon que l'on ait toujours X^A/eCnP J/\g(M) = qr . Cependant, lorsque r = 1
(auquel cas V est une droite projective), la définition correcte de 7>,g est accessible de façon élémentaire.
En effet, soit alors D le plan vectoriel projetant de D. La restriction Fp de F à D appartient à
(K[D])q et n'est pas nulle, puisque V n'est pas une composante de C . Elle se factorise donc sous la
forme F = \\l>\1 • • • V£* » avec s = card(C n V) , A € K* , Vi > 1 pour tout i et ^i > • • > ^j de degré 1
et deux à deux premiers entre eux. L'ensemble {K*il>i,...tK*il>s;i/ii...,i/s} est déterminé de manière
unique par K*F et V . Pour tout i e ([l,s]| , soit Mi le point de V tel que {Mi} = %k dans la droite
projective V. On a alors CnV = {Afi,...,Ma}. Comme on a ^Zili ^ = de^(F) = g , il est naturel
déposer lF,v(Mi) = v{ pour tout i. Si F est irréductible, pour tout M e C n V , l'entier If,v(M) ne
dépend que du couple (C,£>) ; on l'écrira Multc,i>(M) et on l'appellera la multiplicité d'intersection de C
et V en M . On a donc ^Kf€Cnt>M\iltc,v{M) = deg(C) . Si F est quelconque, et si Ci,...,C, sont les
composantes irréductibles de C , soit Fi l'élément homogène irréductible de K[V\ tel que Ci = Sfr, , et
soit A;» l'exposant de Fx dans les décompositions de F en facteurs irréductibles de K[V] : alors pour
tout M € C r\V , on a J>,t>(M) = ^"* fciMultc,,i>(M) , et bien entendu ^2KJçCnv^F,v{M) = deg(F) .
Soit /lePOLfc(V) et supposons F irréductible; alors pour toute droite projective V de Proj(V) et
pour tout M € CnV , on a mitCiV(M) = Hulth(c)MT>)W^)) (invariance de Multc.p par homographies).
La démonstration, élémentaire, sera laissée au lecteur.
Fonctions rationnelles sur une hypersurface projective irréductible
Dans ce qui suit, on suppose n > 2 . Soit C une hypersurface algébrique projective iréductible de
Proj(V) , de degré m > 1 , définie par un polynôme irréductible F € (K[V] )m , et soit S - Vf son
cône projetant. Il est clair que FK[V] = ^k€^F(K[ V] )k , d'où la décomposition en somme directe de
if-espaces vectoriels:
(9) K[S}=(Bi€NRi
où l'on a posé:
{(K[V\)i si i<m
<K\yUi/F(K[V))t-m SI i>TTl
La décomposition (9) fait de R = K[S] une /^-algèbre graduée (en convenant que pour tout i € N ,
les éléments de Ri sont de degré i ). Les éléments de K(S) (dont on rappelle que c'est le corps des
fractions de R ) ne peuvent s'interpréter comme des fonctions sur des parties de C. Cependant,
appelons élément de degré zéro de K(S) tout élément de la forme c = f tel qu'il existe i e N vérifiant
a e Ri et b e R%\ {0} . Les éléments de degré zéro forment un sous-corps de K(S) contenant K .
Ce corps sera noté K(C) . Cela dit, soit c e K(C). L'ensemble Reg(c) n'est pas réduit à {Ov}, car
368 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
une fonction polynomiale sur V nulle sur S \ {Ov} est nulle sur S . À cause de l'homogénéité, il en
découle que Reg(c) est la réunion d'un ensemble non vide de droites vectorielles contenues dans S . On
notera Regh(c) = wv(Reg(c) D (5 \ {Ov})) • Les éléments de Regh(c) s'appellent les points de C réguliers
pour c. Si Me Regh(c) , la fonction rationnelle définie par c sur S est constante sur rz~l(M) ; donc
c définit une fonction Reg(c) —► K , égale en tout point M à la valeur constante de c sur wvl{M).
Cette fonction sera appelée la fonction rationnelle définie par c dans C . D'après l'étude des fonctions
rationnelles d'une hypersurface affine, on voit que si deux fonctions rationnelles dans C sont les mêmes,
elles proviennent du même élément de K{C) . Nous pouvons donc identifier les éléments de K(C) aux
fonctions rationnelles qu'ils définissent dans C .
Fixons maintenant M eC . L'ensemble des fonctions rationnelles de C définies en M est une sous-
/f-algèbre de K{C) ; cette sous-algèbre est un anneau qui n'est pas un corps (en effet, comme C est
infini, il existe une forme linéaire A sur V nulle sur Wyl(M) u {Oy} mais non identiquement nulle sur
S , et d'autre part il existe une forme linéaire ji sur V non nulle en les points de wvl(M) ; alors £
est un élément non nul et non inversible de cette algèbre). Il est immédiat que l'ensemble des fonctions
rationnelles de C définies et nulles en M est un idéal maximal de cet anneau, et que c'en est l'unique
idéal maximal. Cet anneau est donc local. On l'appelle Vanneau local de C en M , et on le note €m(C) .
Soit Mi et M2 deux points de C distincts. Alors 0^(0) <t €M2(C) ; en effet, fixons x{ € WyX{Mi)
pour tout i € {1,2}. Soit deux formes linéaires Ai et A2 sur V ne divisant pas F telles que
^1(^2) = ^2(^1) = 0 et Ai(xi) = A2(x2) = I*- , et soit Ai et A2 leurs images canoniques
respectives dans K(S) . Alors g = ^ € Cjv/j (C) ; mais g $ Gm2(C) car si ai et a2 sont deux éléments
homogènes non nuls de même degré de K[S] tels que g = fj , on a X2ai - \ia2 = 0 , d'où ax{x2) = 0 ,
ce qui prouve que g n'est pas définie en M2 .
§ 27.3 Points réguliers, points singuliers
Dans ce paragraphe, on suppose K algébriquement clos, et on donne un K -espace affine S de
dimension d > 2 , d'espace directeur E .
27.3.1 Polynômes de Taylor
Soit F € K[E] , de degré m > 1 . Il existe une suite unique (©f,o. • ,©F,m) telle que Bp,k soit,
pour tout k € fO, m]) , une application polynomiale £ —» (K [E] )k , et que pour tout (a,x) € £ x E , on ait
Il est clair que la constante ©f,o(û) est F(a) , et que ©F,m(a) ¥* ° • Soit 7£ = (0, ei,... ,ed) un repère
affine de V . Soit / le polynôme qui exprime F dans 11. On a alors:
(2) ( Vo 6 £ ) ( Vx = xici + • • • + xded € E ) (eF(i (o)) (x) = Y?Z*Xi |£(o)
avec la convention habituelle que J£-(a) désigne §£-(an) , où a^ = (a1}... ,ad) . Pour tout A: G [0,m] ,
et pour tout a e £ , le polynôme 0F,jt(o) s'appelle le fc-ième polynôme de Taylor de F en a . Notons
que 0F,i(a) € E* (où £" désigne le dual de E). On peut aisément expliciter les ©jt(o) en utilisant
la formule du multinôme. Si K est de caractéristique nulle, l'expression se simplifie, et on obtient la
formule bien connue:
O) (e,,(.))(,)- £ _L_ *-....^-pf^-w
{(a = (oi «d)€l^
et (1) se réduit alors à la classique formule de Taylor. Sous forme symbolique, (3) s'écrit:
(4) K*h)(*>=^Q> !£(<*>)
l'exposant [A;] de (4) signifiant qu'on applique la formule du multinôme en écrivant des puissances
ordinaires des x* mais que (§£-)j sera remplacé par |^ . Avec cette convention d'écriture symbolique,
la formule de Taylor (en caractéristique nulle) s'écrit: '
k=m /i=H \W
(5) ^ + »)-^) + E5(Ex*i«i'
it=i \i=i
Il est facile de vérifier que (3), (4) et (5) restent vraies si K est de caractéristique p > 0 pourvu que
p> m . En particulier, si K n'est pas de caractéristique 2 , la formule (20) est vraie pour k e {1,2} .
Cela dit, la caractéristique de K étant à nouveau quelconque, soit S = fy une hypersurface
algébrique irréductible de £ de degré m , où P est un générateur de i5 . Comme l'ensemble des
éléments de K[£] qui engendrent \s est K*P , la nullité ou la non-nullité d'un polynôme de Taylor
&p,k(a>) est une propriété qui ne dépend que de 5 et de a (si on remplace P par XP avec X e K* ,
alors 0ptjt est remplacé par A@ptfc ).
Soit rp une bijection affine de £ , de partie linéaire Ifi . On déduit de (1) que pour tout (b,y) e £xE ,
on a (puisque ^_1(6 + y) = V>_1(b) + ^ (y)):
fc=m
(Fo^-M(6 + y) = (iro^-1)(6) + ^f(eF,fc(^-1(6)))o^"1Vy)
fc=l
d'où immédiatement ©fo^-i,* = (&F,kWlW)) ° ^ Pour tout & ç £ (cette propriété est appelée
Vinvariance affine des polynômes de Taylor).
Définition 27.3.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit a € S . On dit que a est point régulier (ou encore,
point simple) de S ssi Bp,i(a) £ 0 , et que a est point singulier de S ssi &p,i(a) = 0 . Si a est
point simple de S , Vhyperplan affine a + Ker(©F(1(o)) est appelé Vhyperplan tangent en a à S .
L'hypersurface S est dite non singulière ssi tous ses points sont réguliers, singulière sinon.
D'après (2), on voit que
{Le repère % étant fixé quelconque, le point a est simple ssi (^ (o),..., <%£- (a)) ^ (0,..., 0) .
S'il en est ainsi, notant (a*)\<i<d les coordonnées de a dans 11 , une équation de Vhyperplan
tangent en a à S dans 11 est (xi - ai)^-(a) -I- • • • + (xd - fld)^(a) = 0
Si m = 1 , il est clair, d'après (19), que S est non singulière. Si m > 2 et si a est point singulier de
S , alors la fonction P n'est pas affine, donc les polynômes (Sp,k)2<k<m sont non tous nuls; le plus petit
370 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
des entiers k tels que Qp^ £ 0 s'appelle alors la multiplicité du point singulier a . Le point singulier
a est dit doubie ssi sa multiplicité est 2 , triple ssi sa multiplicité est 3 , et ainsi de suite. On convient
que la multiplicité d'un point simple est 1.
Soit v e [l,m| . Si K est de caractéristique nulle, le repère K étant fixé quelconque, avec les
notations de (3), on voit que a est de multiplicité v ssi toutes les dérivées partielles d'ordre < v de
f par rapport aux x» sont nulles en o et il existe au moins une dérivée partielle d'ordre v de f par
rapport aux Xi qui est non nulle en a .
Revenant au cas général, on déduit facilement de l'invariance affine des polynômes de Taylor que la
notion de point simple ou de point singulier est invariante par bijection affine, qu'une bijection affine
conserve la multiplicité d'un point singulier et transforme l'hyperplan tangent en un point simple en
Phyperplan tangent à l'hypersurface transformée au point transformé. Cette propriété des hyperplans
tangents en un point simple est appelée leur covariance affine.
Points réguliers et singuliers dans le cas projectif
Soit V un K -espace vectoriel de dimension n + 1 , avec n > 2 . Soit P e {K [V] )m (où m > 1 ),
supposé irréductible. Notons S = Sfc et C = wv{S\ {0v}) . Nous allons définir les points réguliers et
singuliers de C . L'étude qui suit, et les définitions qu'on va en déduire, sont indépendantes du choix du
générateur P de is . Du fait que P est homogène, si a e S\ {0y} , on voit que a est régulier sur S
ssi Ao est régulier pour tout A € K* . Le point 0y ne donne aucun point de C , mais notons que 0v
est régulier sur S si m = 1 et singulier si m > 2 . Ainsi 0v joue un rôle à part: tout cône algébrique
irréductible de degré > 2 l'admet pour point singulier.
Si M G C , d'après ce qui précède, ou bien tout point de Wyl(M) est simple sur S , ou bien tout
point de Wy1(M) est singulier sur S et alors il est immédiat que la multiplicité est la même pour tout
point de w'1(M) ). Si M est simple, l'hyperplan tangent à 5 en tout point de vj~1(M) est le même,
et c'est un hyperplan vectoriel, appelé l'hyperplan tangent à S le long de la génératrice Wy1(M)U{0y}.
Définition 27.3.2
Dans les conditions ci-dessus, un point M e C est dit régulier (ou simple) ssi les points de WyX(M)
sont simples sur S, et il est dit singulier si ces points sont singuliers. Lorsque M est singulier,
la multiplicité commune aux points de m y1 (M) sur S est appelée la multiplicité de M sur C.
Lorsque M est simple, l'hyperplan projectif de Proj(V) issu de l'hyperplan vectoriel de V tangent
à S le long de la génératrice WyX{M) u {Oy} est appelé l'hyperplan projectif tangent en M à C .
L'hypersurface C est dite non singulière ssi elle n'admet aucun point singulier, et singulière sinon.
Proposition 27.3.1
Dans les conditions de la définition 27.3.2, soit B = (ei,... ,en+i) une base de V. Soit f la fonction
polynomiale Kn+X -» K, (xi,... ,xn+i) »-♦ P(xiei H l-Xn+iCn+i) (rappelons que f est irréductible).
Soit M € Proj(V) , et soit a = a\ex-\- h an+1en+i € C7~1(M) .
(I) Si M est point simple de C , une équation homogène dans B de l'hyperplan tangent en M à
C est x1^(a) + .-.+xn+1^(a)=0.
(II) Supposons que la caractéristique de K est nulle ou ne divise pas m ; alors M est un point
singulier de C ssi J£(a) = • • • = g£^(a) = 0 .
Démonstration :
Pour que M soit point singulier de C , il faut et il suffit que
0 = /(a1,...,an+1)=|^(a) = ...= -^-(û)
Supposons d'abord que M soit point simple de C . Alors les J^- (a) ne sont pas tous nuls, et en
vertu de (6), une équation dans B de l'hyperplan tangent en a à 5 est:
f) f /■) f
(xi -ai)7r— (a) + ••• + (x„+i -an+!) (a) = 0
OX\ C7Xn+1
Mais d'après la formule d'Euler des polynômes homogènes, on a ol\-§£-{cl)-\ l-Qn+i ^ (a) — mP{d) =0,
donc l'équation ci-dessus se réduit à xij^-(a) h 1- xTO+i &f/ (Q) = 0 , ce qui constitue une équation
homogène de l'hyperplan projectif tangent en M à C . L'assertion (I) est donc prouvée.
Passons à l'assertion (II). La condition de l'énoncé est nécessaire pour que M soit point singulier
de C . Réciproquement, si elle est remplie, la formule d'Euler des polynômes homogènes donne:
i—n+1
Eof
d'où /(ai,...,a„+i) = 0 puisque ml* ^ 0 d'après l'hypothèse. Donc M 6 C et M est bien point
singulier de C ■
Chapitre 27 , § 3
Points réguliers, points singuliers 371
Théorème 27.3.1
Avec les notations et hypothèses de la proposition 27.3.1, il existe au moins un point simple sur C .
Démonstration :
Si m = 1 , on a vu que C est non singulière. Supposons m > 2 . Pour tout j € |l,n + 1} , soit ^ la
fonction polynomiale V —► K , x ~ ^2l<{< , StCt »-* J^-(zi, • • • »£n+i) > et soit Vj la fonction polynomiale
Kn+1 —► K, (xi,...,xn+i) »-+ ^(xi^i + t-in+i^n+i)- II s'agit de prouver que les \Pj ne sont pas toutes
identiquement nulles sur S\ {Ov} . Comme m > 2 , les îfy sont polynomiales homogènes de degré m- 1
sur V , donc nulles en Ov • Donc il s'agit de prouver que les tyj ne sont pas toutes identiquement
nulles sur S . Raisonnons par l'absurde, en supposant les Vj toutes nulles sur S . Alors chaque #, est
multiple de P , donc nulle puisque ^ est homogène de degré m - 1 et P homogène de degré m . On
en déduit que K est de caractéristique p > 0 , et que / G AT [x\,... ,x£+1 ) . Mais comme K est parfait
puisqu'algébriquement clos, il en découle que / est de la forme gp avec g polynomiale sur Kn+1 .
Donc il existerait Q € K [ V ] tel que P = Qp , ce qui est absurde puisque P est irréductible. Cette
contradiction achève la démonstration ■
Corollaire
Supposons que n = 2 . Avec les notations et hypothèses du théorème 27.3.1, Vensemble des points
singuliers de C est fini.
Démonstration :
Soit B = (ei,e2,e3) une base de V . Avec les notations de la démonstration du théorème 27.3.1,
les fonctions (#ih<»<3 ne sont pas toutes nulles. Soit j € {1,2,3} tel que &3^ 0 . Puisque ify est de
degré m - 1 , il est clair que les courbes algébriques projectives C et Ci = wvtffyj \ {Ov}) n'ont pas de
composante iréductible commune, donc leur intersection est finie (théorème 27.2.2); a fortiori, l'ensemble
des points singuliers de C est fini ■
L'invariance affine des notions de point simple ou singulier et la covariance affine affine des hyperplans
tangents en un point simple montrent qu'étant donnée une hypersurface algébrique projective irréductible
C de Proj(V) , une homographie h e Proj(V) transforme tout point simple M de C en un point
simple de h(C) , l'hyperplan tangent à C en un tel point M en l'hyperplan tangent à h(C) en h(M) ,
et transforme tout point singulier M de C en un point singulier de h(C) , les multiplicités de M sur
C et de h(M) sur h(C) étant égales. Ces propriétés s'appellent respectivement l'invariance projective
des notions de point simple ou singulier, l'invariance projective de la multiplicité d'un point singulier,
et la covariance projective des hyperplans tangents en un point simple. Au lieu de invariance (resp.
covariance) projective, on dit aussi invariance (resp. covariance) par homographies.
27.3.2 La Hessienne
Reprenons les hypothèses et notations de (1), en supposant m > 2 et que K n'est pas de
caractéristique 2. Pour tout a e S , la fonction 20r,2(a) est une forme quadratique sur E. Pour toute
base B de E , on notera Hessr,B(a) le discriminant de cette forme quadratique dans B . La fonction
HessF.s : S -* K est polynomiale de degré < (m - 2)d, et s'appelle la hessienne de F dans B. Si
m — 2, c'est une constante.
Soit xi,..., id des indéterminées sur K , et soit / l'élément de K [ x\,..., xd ] qui représente F dans
un repère affine 11 = (O; e\,..., ed) de E . Soit B la base (ei,..., ej) de E . D'après la remarque qui suit
(22), pour tout a € S , la matrice de la forme quadratique 20/?,2(a) dans B est (^f/z. (a))(t,j)egi,<fii2 •
Donc l'élément qui représente Hôssf.b dans TZ est det((3~^-)(i(j)G[j1(n]]2) . La matrice de 20^,2(a)
s'appelle la matrice hessienne de F en a dans B.
Soit B' une autre base de E , et soit P la matrice de passage de B à B' . Les propriétés élémentaires
des formes quadratiques montrent que Hessp.B' = (det(P))2HessF,B - La classe de /^-proportionnalité
de la fonction Hessr.s ne dépend donc que de F . En fait elle ne dépend que de la droite vectorielle
engendrée par F dans K[S] . Cette classe est donc soit {0}, soit une droite vectorielle de K[E]
privée de {0} .
C'est surtout en géométrie projective que la hessienne est importante. Soit V un if-espace vectoriel
de dimension finie n + l,avec n > 1. Soit une base B= (ci,...,cn+1) de V. Soit F e (K[V])m\{0} ,
avec m > 2 . Alors il est clair que HessF.s e (■^[V'] )m(m-i) . Montrons que si la caractéristique de
K est nulle ou ne divise pas m(m - 1) (ce qui entraîne qu'elle n'est pas 2 ), alors Hôssf.b ^ 0 . Pour
cela, supposons la base B choisie de façon que F(ei) ^ 0 pour tout i (c'est possible, parce que
aucune hypersurface algébrique projective ne contient V \5^r ). Soit X\,..., Xn+i des indéterminées sur K
et soit / l'élément de K[X\,..., Xn+i} qui représente F dans B . Pour tout t € [1, n+1] , le coefficient
d de Xtm dans / est ^0. L'expression Hess/r.B = det((^^r)i,j)€|li.n+ip) montre que le coefficient
de X™~2'-X^~î dans HessF,B est (m(m- l))n+1C! • .c«+i , donc est ^ o , d'où l'assertion. Si m = 2
(i.e. si F est une forme quadratique), alors Hess/rs n'est autre que le discriminant de cette forme
quadratique F dans B ; il est non nul ssi F est non dégénérée, et lorsque n > 2 , la non-dégénérescence
de F entraîne son irréductibilité (mais attention, la non-dégénérescence de F n'équivaut à son
irréductibilité que pour n = 2 ).
Supposons maintenant que m > 3 et que F est irréductible, donc définit une hypersurface algébrique
C de degré m de Proj {V) (on se place toujours dans le cas où la caractéristique de K est nulle ou
ne divise pas m(m - 1) ). Alors la classe de ^-proportionnalité de Hessp.B n'est pas réduite à {0},
372 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
ne dépend pas de B et ne dépend que de la classe de tf'-proportionnalité de F ; finalement, elle ne
dépend donc que de C . La classe de /(^-proportionnalité de tous les Hessp.s est donc une droite
vectorielle de (A^V] )m(m_i) privée de {0} ; cette droite vectorielle sera appelée la hessienne (tout court)
de C , et Thypersurface algébrique projective définie par l'un quelconque des éléments non nuls de cette
droite s'appelle Vhypersurface hessienne de C . Cette hypersurface contient l'ensemble des points
singuliers de C ; en effet, soit O un tel point singulier et soit B = (ei,... ,en+i) une base de E telle que
w(en+i)=0. Soit / l'élément de K[Xi,... tXn+1 ] qui représente F dans B. Si on ordonne / par
rapport à Xn+i , du fait que O est singulier, les coefficients de X™+1 et X™~f sont nuls; on en déduit
que tx$&n ! (°) = ° Pour tout » € [l,n + 1] , d'où HessF,s(0) = 0 .
Points d'inflexion d'une courbe algébrique projective irréductible
Dans ce qui suit, V désigne un /f-espace vectoriel de dimension 3 (rappelons que K est supposé
algébriquement clos).
Lemme 27.3.1
Soit C une courbe algébrique projective irréductible de Froj(V) de degré d > 2 , et soit V une
droite projective de Proj(Vr) . Soit F € (K[V])d irréductible qui définit C . Soit O G V ; on
suppose que O est non singulier sur C .
(I) Pour que V soit la tangente à C en O , il faut et il suffit que Multc,i>(0) > 2 . En conséquence,
pour que card(C n V) = d , il faut et il suffit que V ne soit pas une tangente à C .
(II) Supposons que d > 3, que K n'est pas de caractéristique 2 , et que V est la tangente en
O à C . Pour que Multc,z>(0) > 3 , il faut et il suffit que HessF.fl(O) = 0 ; en conséquence, si la
caractéristique de K est nulle ou ne divise pas d(d- 1) , on a Multc,z>(0) > 3 ssi O appartient à la
courbe hessienne de C .
Démonstration:
Prouvons l'assertion (I). Soit B = (ei,e2,e3) une base de V telle que O = wv(e$) et que V soit la
droite passant par O et wv(ei) • Soit X,Y,Z des indéterminées sur K . Le polynôme f e K[X,Y,Z]
qui représente F dans B est de la forme
f = a1(X,Y)Zd-1+a2(X,Y)Zd-2 + .- + ad(X,Y)
avec a* € (K[X, Y] )k pour tout k . Puisque O est point simple de C , on a ai ^ 0 , et puisque / est
irréductible et d > 2 , on a ad ^ 0 . Soit D le plan vectoriel projetant de V ; dans la base (ei,e3) de
D , la restriction FD de F à V est représentée par le polynôme g(X,Z) = f(X,0,Z) , d'où l'on déduit
que Multc,i>(0) est le plus petit des entiers k € Jl,<i| tels que ak(X,0) ^ o (l'ensemble de ces entiers
k est non vide sinon / serait divisible par Y ). On a ai{X, Y) = XX + yY avec (A, /x) € K2 \ {(0.0)}.
D'après ce qu'on vient de voir, on a Multc,i>(0) > 2 ssi A = 0 . Mais d'après la proposition 27.3.1, la
tangente en O à C admet dans B l'équation homogène XX + y.Y = 0 : on voit que cette tangente est
V ssi A = 0 , d'où la première partie de l'assertion (I). La deuxième partie de l'assertion (I) s'en déduit,
compte tenu que J^ Multc.p(M) = d (relation prouvée à la suite du théorème 27.2.2).
Prouvons maintenant l'assertion (II). L'hypothèse que K n'est pas de caractéristique 2 permet de
définir les polynômes HessF.s . Choisissons la base B = (ei,e2,e3) de V de manière que O = tcv(e3)
et que la tangente en O à C soit la droite passant par O et wv{e\). D'après ce qu'on vient de voir,
l'élément fe K[X,Y,Z] qui représente / dans B est de la forme:
/ = iiYZd~l + a2(X, Y)Zd~2 + • •. + ad(X, Y)
avec m e K* , afc € (K[X,Y])k pour tout k et ad £ o. Posons a2(X,Y) = aX2 + 20XY + ^Y2 , où
(a, fi,y) e K3 (ce qui est possible puisque K n'est pas de caractéristique 2 ). La matrice hessienne de
F en O dans B est:
( oc 0 ° )
(7) \P 7 (d-DM
lo (d-i)/* o J
donc HessF.B(O) = -(d - l)2n2a . Par suite, O est sur la courbe hessienne de C ssi a = 0 : or cette
condition est évidemment nécessaire et suffisante pour que Multc,i>(0) > 3 . Remarquons que s'il en est
ainsi, la forme quadratique 2%p,2{0) est représentée dans B par le polynôme 2(3XY+-yY2+2(d-l)nYZ ,
donc est divisible par Y ; autrement dit, si Multc,p(0) > 3 , alors V est une composante irréductible de
la conique d'équation homogène 20^,2 = 0 . La toute dernière assertion du lemme vient du fait que si la
caractéristique de K est nulle ou ne divise pas d(d - 1) , alors la courbe hessienne est bien définie ■
Définition 27.3.3
Soit C une courbe algébrique projective irréductible de degré d > 3 de Proj(V) . On appelle
point d'inflexion de C tout point M e C non singulier tel que Maltc,TM(M) > 3 , où Tu désigne la
tangente en M à C .
D'après l'invariance par homographies de la notion de point simple, la covariance par homographies
des tangentes en un point simple et l'invariance par homographies de Multc.i? (où C est une courbe
algébrique projective irréductible de Proj(V) et où V est une droite projective de Proj(Vr) ), on voit
que la notion de point d'inflexion d'une courbe algébrique projective irréductible de degré d > 3 est
Chapitre 27 , § 3
Points réguliers, points singuliers 373
invariante par homographies: toute homographie h e PQL/c(Vr) transforme tout point d'inflexion de
C en un point d'inflexion de h(C) . Si K n'est pas de caractéristique 2 , cette propriété se déduit
aussi du lemme 27.3.1, assertion (II), de la manière suivante; soit F € (K[V])d qui définit C , et soit
A = u, € POL/cCV) , où u e QIsk(V) . Alors h(C) est définie par Fou'1 , et d'après ce qui précède
la définition 27.3.1, pour toute base B de V.ona HessFou-i>fl(x) = (HessFtB(u-1(x)) ou"1 pour tout
x € V , ce qui montre que la courbe hessienne de C existe ssi celle de h(C) existe, et que s'il en est ainsi,
alors la courbe hessienne de h(C) est la transformée par h de celle de C .
Compte tenu du théorème 27.2.2, le lemme 27.3.1 entraîne:
Corollaire
Supposons que K n'est pas de caractéristique 2 . Toute courbe algébrique projective irréductible non
singulière C de Proj(V) de degré d > 3 admet au moins un point d'inflexion. Si la caractéristique
de K est nulle ou > d , alors l'ensemble des points d'inflexion de C est fini, de cardinal < 3d{d-2) .
Démonstration:
Soit F € {K[V])d irréductible qui définit C et soit B une base de V. Si Hess/r.e est multiple de
F dans K[X,Y,Z\ , alors d'après le lemme 27.3.1, tous les points de C sont d'inflexion (ce cas peut
effectivement se produire). Sinon, la courbe hessienne H de C est définie, et d'après le théorème 27.2.2,
compte tenu que F est irréductible, l'ensemble C n H est non vide et de cardinal < 3d(d - 2) (car les
5-hessiennes de F sont de degré 3(d- 2) ), d'où la première assertion, en vertu du lemme 27.3.1.
Supposons maintenant que K est de caractéristique nulle ou > d. Soit O un point d'inflexion de
C . Soit B — (ei,e2,e3) une base de V telle que O = w{e3) et que la tangente To en O à C soit la
droite projective qui passe par O et w{e\) . Soit X,Y,Z des indéterminées sur K et soit / l'élément
de ( K [ X, Y, Z ] )d qui représente / dans B. Notons v = Multc,T0(^) • Par hypothèse, on a v > 3 .
D'après le choix de B , on a g e {K [X,Y,Z\ )d-i et h e (K [X,Z})d-2 tels que / = Y g + Xuh , avec
0(0,0, 1k) 5^0 et 5(0, 1k-) ^ 0 . Un calcul facile donne:
|£(X,0,Z), fHX.OtZ), §t(X,0,Z)
HessF,8(X,Q,Z) = det
^^ft+^rffe, H(*,o,z), x»m
âz*
d
En développant ce déterminant suivant sa première ligne, on obtient
^-2;^,
HessFfl(A',0, Z) = -u(u - \)Xw-2h%L{X, 0, Z) + A""1 tp
oZ
avec ip e (K{XJZ])3d-l/.5 . On a donc hi e {K\X,Z] )3d-»-4 tel que HessF,0(A',O,Z) = Xv~'1h1 ,
avec /ii (0,0,1) =-i/(ï/-1)||(0, 0,1) = -1/(1/-l)(rf-2)p(0,0,1) . On a f£(0,0,1) = (d - 2)^(0,0,1) ï 0 et
1/(1/- l)Ztf ^ 0 , à cause de l'hypothèse sur la caractéristique de K ; par suite, hY (0,0,1) ^ 0 , ce qui prouve
que HessF,B(Â\0,Z) n'est pas multiple de f(X,0,Z) = X'/i dans K[X,Z\ ; a fortiori, Hessr.e n'est
pas multiple de F dans K[X,Y,Z] , donc d'après la première partie de la démonstration, l'ensemble
des points d'inflexion de C est fini et de cardinal < 3d(d- 2) ■
Remarque 27.3.1 :
Si d = 3 (avec C non singulière), il découle de l'étude ci-dessus qu'un point M e C non singulier
est d'inflexion ssi son intersection avec la tangente en M à C est {M} +
Lemme 27.3*2
Soit C une courbe algébrique projective irréductible non singulière de Pro j (V) , de degré d > 2 .
Pour tout N e C , notons Tn 1& tangente en N à C . Soit M G Proj(V) . L'ensemble des points
N eC tels que M e TJv est fini, non vide, et de cardinal < d(d - 1) .
Démonstration:
Soit F € (K[V])d qui définit C. Soit X,Y, Z des indéterminées sur K . Soit B = (elje2,e3) une
base de V telle que M = wv{e3) . Notons P l'élément de K[X,Y,Z] qui représente F dans B.
Les points N de C tels que M e TN sont les points communs à C et à l'ensemble Vz de Proj(V)
d'équation homogène |Ç = 0 dans B. Si Qz = f§ ^ 0 , alors P ne divise pas Qz dans K[X,Y,Z]
parce que le degré de <2z est d— 1 et P est irréductible de degré d. D'après le théorème de Bezout
faible projectif, on conclut que si Qz ^ 0 , alors C C\T>z est fini, non vide, et de cardinal < d(d - 1) .
Pour prouver le lemme, il suffit donc de prouver que Qz ^ 0 .
Raisonnons par l'absurde, en supposant Qz = 0. Les polynômes Qx = f£ et Qy — ff sont
homogènes de degré d-1 > 1 , donc représentent respectivement des éléments Fx et Py de (K [ V] )d-1 .
Remarquons que Qx ^0 et QY ^ 0 : en effet, si par exemple on avait Qy — 0, alors d'après la
formule d'Euler des polynômes homogènes, on en déduirait que dP ~ XQx ; si dix ^ 0 , cela contredit
l'irréductibilité de P ; si dix = 0 , i.e. K est de caractéristique p > 0 et p divise d , cela entraînerait
Qx = 0 , d'où P € K[XP,YP,ZP] , donc (puisque A' est algébriquement clos donc parfait) P serait une
puissance p-ième dans K[X,Y,Z] , à nouveau en contradiction avec l'irréductibilité de P. Ainsi Fx
et Fy définissent dans Proj(V) des courbes algébriques projectives Vx et Vy . Si ces deux courbes
ont une composante irréductible commune, leur intersection est infinie; si elles n'ont aucune composante
irréductible commune, leur intersection est finie et non vide (théorème de Bezout faible projectif). Dans
tous les cas, Vx nVy ^ 0 . Mais il est clair que tout point de Vx n Vy est singulier pour C , d'où une
contradiction puisque C est non singulière. Cette contradiction prouve que Qz ^ 0 ■
374 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Hypersurfaces projectives irréductibles et droites projectives
Supposons ici n > 2 et K algébriquement clos. Soit S une hypersurface algébrique projective
irréductible de degré m > 2 , définie dans une base B = (ei,..., e„+i ) de V par un polynôme irréductible
Pe(/qxlf...,*n+i])m.
Remarquons d'abord que toute droite projective de Proj(V) non contenue dans S rencontre S
en au plus m points (conséquence facile de (7) du paragraphe 2), Nous allons voir que les droites
suffisamment générales rencontrent S en exactement m points.
Notons O = wv(en+\) (c'est le point de coordonées homogènes (0,...,0,1) dans B). On suppose
B choisie de façon que O $. S . On sait que les J^- (i < i < n + 1) sont non toutes nulles. Quitte
à renuméroter les e{ , on peut supposer que ^p ^ 0. Soit M G S , de coordonnées hmogènes
(xi,...,xn+i) dans B (on a donc (xi,... ,xn) ^ (0,...,0) ). La condition d'élimination de A entre les
équations P{x\,..., xnt A) = &$[*■ (xi,...,xn, A) = 0 traduit que sur la droite projective passant par 0
et M , soit il existe un point singulier de S , soit il existe un point simple N de S tel que l'hyperplan
tangent en N à S passe par O . Ordonnons P en A"n+1 :
(8) P(Xl,...,XH.l)=Po(*l,...,*n)*^
avec Pfc G (K[Xi Xn+i ] )* pour tout k , On a Po G K* puisque O £ S . Considérons le discriminant
réduit ^(A\,...,Xn) = Discrd(P(Xn+1) . Du fait que le discriminant en degré m est isobare de poids
m(m-l) et que P* est homogène de degré k pour tout k , on déduit que A e (K [Xu ... ,Xn] )m(m-i)
Comme P est irréductible V Test aussi, donc A ^ 0 (noter que si 3^7— se réduit à Pm-\ , alors
,4 = eP™~1P™_1 avec e € {-1,1}). Si TV est un point simple de 5, appelons tangente à S en N
toute droite passant par N contenue dans l'hyperplan tangent en N à S . L'hypersurface algébrique
To de Proj(V) définie par A est la réunion des droites projectives joignant O à un point N € S et
des tangentes à S passant par O ; en tant qu'ensemble, elle est donc définie de manière intrinsèque; on
peut voir que l'élément de (K [ V] )m(m-i) défini par A dans B est aussi défini de manière intrinsèque,
i.e. indépendant du choix de B à ^-proportionnalité près. L'hypersurface To s'appelle le cône des
tangentes à S issu de O . Soit alors (cit...icn) G Kn tel que 4(ci,...,c«) ^ 0 (un tel n-uple existe).
Soit C le point de Proj(Vr) de coordonnées homogènes (ci,...,Cn,0) dans B. On vérifie aisément que
le polynôme P(ci,... ,Cn, A"n+i) G K[Xn+i] est de degré m et séparable. On en déduit que la droite
projective passant par O et C rencontre S en exactement m points, et n'est tangente à 5 en aucun
de ces points. On a donc prouvé:
Proposition 27.3.2
Soit S une hypersurface algébrique irréductible de degré m > 2 de Proj(V) . Soit Og Proj(V)\S.
Toute droite projective de Proj (V) passant par O et non contenue dans le cône des tangentes à S
issu de O rencontre S en exactement m points, qui sont simples sur S , et n'est tangente à S en
aucun de ces points.
§ 27.4 Lien entre Paffine et le projectif
Dans ce paragraphe, K est supposé algébriquement clos. On donne un JC-espace vectoriel de
dimension finie n + 1, avec n > 1. On fixe un hyperplan vectoriel H de V et une forme linéaire
(f e HL \ {Ov} . On note H\ l'hyperplan affine d'équation <p = 1 dans V . On note B = (ei,... ,en+i)
une base de V telle que en+i e #i , de sorte que 11 = (en+i,ci,...,en) est un repère affine de H\ .
On se propose de comparer les hypersurfaces algébriques affines de H\ et les hypersurfaces algébriques
projectives de Proj(V) .
Soit / e K[H\] \ {0} . Si / est constant, il est immédiat qu'il existe un seul élément constant de
JffV] qui prolonge / , on le notera »/. Si / est non constant, de degré m , il existe un élément de
(K[V])m et un seul qui prolonge / , c'est la fonction V — K, £ ►-> MO)m/(MC))-10 • On le note ./ .
Soit (Xi,. ..,Xn+i) des indéterminées sur K . Soit rp l'élément de K [A\,... ,Xn] qui exprime / dans
le repère U , et soit # l'élément de K'[X'l,...,Xn+i] qui exprime ./ dans B. On a:
(1) *(*! ^n+l) = Xr+1^f-r^- -^2_)
On dit que ♦/ est l'homogénéisé de / (relativement à <p). On notera que (p ne divise pas »/ .
Réciproquement, soit G ç (#[^) )M \ {0} , avec p > 1. Soit g l'exposant de <p dans G, i.e.
l'exposant de <p dans les décompositions de G en facteurs irréductibles de K [V] , et soit F = ip~qG .
On a F6(if[Vr])m\ {0} , avec m — ^ - q ; la restriction / de F à H\ est polynomiale de degré m ,
et on a ♦/ = F . On posera f = *G . On conviendra que *0 = 0 .
Soit /, /i et /2 des éléments de K[H\] , et soit G e (K [V] )„ \ {0} avec /x > 1 . Notons g
l'exposant de (p dans G. On a:
(2) *(./) = / ; .(/i/a) = (./i)(./a) ; .CG) = <p-«G
On en déduit que ♦ (*G) = G ssi g = 0 .
Supposons maintenant que n > 2 et que / est non constante, de degré m . Soit ip l'élément de
K [Xi,..., Xn ] qui exprime / dans le repère K , et soit & l'élément de K[X\t..., Xn+i ] qui exprime
F = ./ dans B. Pour tout k € |[0,mj , soit ipk la partie homogène de degré k de 0 (donc ipm ^ 0 ).
Notons S = fff , S = <fF et C = wv(5\ {0v}). On a:
(3) tf = A^-n Vo + X^-Vx + • • • + Xn+i0m-i + rpm
donc une équation de WnC dans B est 0m(zi, • • ,xn) = 0 . On dit que CnH est Vensemble des points
à i'infini de S , et C est appelée la complétée projective de 5 . les points à l'infini sont par définition
des droites vectorielles de V : ces droites vectorielles sont aussi appelées les directions asymptotiques
de S ♦ Notons que d'après (7) du paragraphe 27.2, si n = 2, l'ensemble des points à l'infini de S est
fini, de cardinal < m. Ces notions sont relatives au choix de l'hyperplan projectif ri . Nous avons
vu plus haut que la restriction de wv à Hx définit un isomorphisme wv,* ■ H\ -♦ Proj(Vr) \W de
/^-espaces affines d'espace directeur H . Il est immédiat que wy^iS) = C n (Proj(V) \ H) , autrement
dit S = G7-J,(Cn(Proj(V0\H)).
D'après (1), l'application K[H\] -* K[V], g *-* .g définit une bijection de K[Hi] sur l'ensemble
des éléments homogènes non multiples de <p de K[V] , et cette bijection respecte le degré et respecte
les produits. D'autre part, tout diviseur dans K[V] d'un élément homogène non multiple de (p est
un élément homogène non multiple de <p. Il en découle facilement que / est irréductible ssi ./ est
irréductible. Donc dans le cas général, les composantes irréductibles de la complétée projective C sont
les complétées projectives des composantes irréductibles de S .
Soit maintenant G un élément homogène de K[V] , non constant et non multiple de (p ; on a
»(*G) = G , donc G est irréductible ssi g =* G est irréductible. L'hypersurface algébrique de Hi définie
par g est appelée la trace de V = wvWg \{0v}) sur Hi ; cette trace n'est autre que Sfcni/i t et d'après
ce qu'on vient de voir, V est la complétée projective de sa trace sur Hx .
Proposition 27.4.1
Avec les hypothèses et notations de (3), supposons f irréductible. Soit /i65. Alors n est simple
sur S ssi M = wy^(fi) est simple sur C . S'il en est ainsi, i'hyperpian projectif tangent en M à C
est issu de l'hyperplan vectoriel de V qui contient Vhyperplan affine de H\ tangent en /x à 5 .
Démonstration :
Il n'y a quelque chose à prouver que si m > 2 . On se place donc dans ce cas. Utilisons un système
(xi,... ,i„) d'indéterminées sur K pour désigner les polynômes qui expriment les éléments de K {H\}
dans le repère TZ . D'après (1), pour tout i e [l,n] , on a:
u\ d* (X x \ - y—i ^ ( Xl x» \
(4) dxliXl x"+l)-^^^V%^r,''",^n77j
tandis que
» i£t<* «*'--w(]è7--ér)-*=?E*ë(]èr--]é7)
i=l
Soit C = (£i » • • • » fn) la suite des coordonnées de /x dans 11. Un système de coordonnées homogènes de M
dans B est £. = tti. • •. ,£n, 1) . On déduit de (4) et (5) que $£-(£.) = |£(0 pour tout i € Jl.nJ , tandis
376 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
q"e ro^rK.)=mV'K)-Eilî&^«) = -E!ir&^K) (car ^«) = °)- H en découle immédiatement
que les (•$jç-(Ç*))i<j<n+\ sont toutes nulles ssi les (•§£-(£)) \<j<n sont toutes nulles, d'où la première
assertion.
Supposons maintenant que /x est simple sur S. D'après ce qui précède, une équation homogène
dans B de l'hyperplan projectif tangent en M à C est alors (en notant (»h,...,rçn+i) les coordonnées
dans B d'un point général de V ): 53*~"(»?i - Ct»/n+i)^(0 = 0. La seconde assertion s'en déduit
immédiatement ■
Remarque 27.4.1 :
La proposition 27.4.1 ne doit pas faire oublier que S peut être non singulière sans que C le soit. Il
se peut en effet que C admette des points singuliers dans H et n'en admette pas dans Proj(V) \ H 4
Lien entre les corps de fonctions rationnelles
Reprenons les notations et hypothèses de (3). On va définir une application J -. K(S) —► K(C) .
Rappelons que K(C) est l'ensemble des éléments de degré 0 du corps K{S) , i.e. du corps des fractions
de R = K[S] = ei6N^i » où les R{ sont définis par (10) du paragraphe 27.2. Si p€ K[H1] , soit j0(g)
l'élément can(.p) (can(^))"d,fl(p) de K(C) , où can désigne la surjection canonique K[V] -» R ; cette
définition a un sens parce que can(ip) ^ 0 (puisque <p ne divise pas F ). On vérifie facilement que jfo
est un morphisme de A'-algèbres de K[H\] dans K(C). Son noyau est fK[V\ , donc par passage
au quotient, j0 définit un morphisme de if-algèbres injectif Jq : K[S] —* K(C). D'après la propriété
universelle du corps des fractions, J0 s'étend donc de manière unique en un K-isomorphisme J du
corps K(S) dans le corps K(C).
Proposition 27.4.2
Le K-isomorphisme J défini ci-dessus est bijectif; en conséquence, K(C) est un corps de fonctions
algébriques de n - 1 variabies sur K . Si x € S, et si M = wv^{x) , i'isomorphisme J vérifie
(J(7))(M) = 7(x) pour tout x G S , et J transforme l'anneau local CX(S) en l'anneau local (3m(C) .
Démonstration :
La seconde partie de la première assertion découle de la proposition 27.2.1. Pour montrer que J
est bijectif, il suffit de montrer qu'il est surjectif. Soit a et 0 deux éléments de K[V] homogènes de
même degré i, avec 0 £ F K [ V ] . Soit respectivement a et 6 les images canoniques de a et 0 dans
Ri , et soit c = | . Soit fc et £ les exposants de y dans a et 0 . Soit a0 = <p~ka et 0o = Kp~l0 . On
a alors deg(ao) + k = deg(/?o) +£ = i, d'où l'on déduit aisément que f = J(7o) , où 70 est l'élément de
K(S) défini par ^ . Donc J est surjectif, donc bijectif.
Pour tout a € K [S] , il découle immédiatement des définitions de .a et de J0 que pour tout x G S ,
on a (J0(ûr))(M) = a(x) . En passant au corps des fractions, si 7 € K(S) , on en déduit d'abord que 7
est définie en x ssi J(-y) est définie en M (donc J(€X(S)) =CA/(C) ), puis, que (J(7))(M) = -y(x) pour
tout x € 5 . Notons qu'au passage, on a prouvé que wv(V7(Reg(7)) = Regh(J(7)) \ W . ■
L'isomorphisme J défini ci-dessus ne dépend que de C et de (p (rappelons que <p est une équation
homogène minimale fixée de H). Nous le noterons ci-après $CrH> . Il est essentiel de rappeler ici que $c>lf
n'est défini que si <p ne divise pas F .
Nous pouvons maintenant voir ce que devient le lemme 27.2.1 dans le cas projectif:
Leznme 27.4.1
Supposons que n > 2 . Soit C une hypersurface algébrique projective irréductible de Proj (V) , de
cône projetant S = Sfr , où F € K [ V] )m \ {0} avec m > 1 et F irréductible. Les seules fonctions
rationnelles de C partout régulières sont les fonctions constantes.
Démonstration :
Soit B — (ci,... ,en+i) une base de V , et soit (y?i,..., <pn+i) sa base duale. On suppose B choisie
de manière que F(e{) ^ 0 pour tout i (ce qui est possible car K est infini); alors F n'est divisible par
aucune des formes linéaires <# . Soit X\,..., Xn+i, xi,...,xn+i des indéterminées sur A'. On notera &
le polynôme qui représente F dans B .
Soit 0 € K (C) partout régulière. À tout couple (c, d) d'éléments de K[V] homogènes de même
degré avec d non nulle sur Sfyr tels que g soit l'image canonique de J dans K(C) , on associe le
polynôme De K [Xi,... ,Xn+i ] qui représente le dénominateur d dans 5. L'ensemble a formé de
ces polynômes D et du polynôme nul est un idéal de K[Xi,...} Xn+i ) homogène (i.e. on a o = ©fc^a* ,
où afc = on(/r[X1,...,Xn+1])fc pour tout k). L'idéal b = a + FK[Xu...tXn+1] de if[^ Xn+1]
est homogène, contenu dans l'idéal maximal SPÎ0 engendré par {Xi,... ,Xa+i} , et l'hypothèse que g
est partout régulière signifie que le seul élément £ = (fi,..., £n+i) de JCn+1 tel que Q(Çi,...,£n+i) = 0
pour tout Q e b est 0 = (0,... ,0) . D'après le théorème des zéros de Hilbert, on a \/b = SPÎ0 , donc
on a un entier r > 1 tel que SDÎJ c b . Par définition de b , on a alors des éléments Gi,...,Gn+i de
(K [V] )r tels que pour tout i G [l,n + IJ , l'image canonique de yf dans K(C) soit p .
Soit T une indéterminée sur K{XU... ,Xn+i) . Utilisons le résultant iî des n+1 polynômes
#i = TX[- Gi,...,#n = TX^-Gn,#n+i = ^X^+1 - Gn+i considérés comme polynômes en (Xi,..., Xa+1 )
à coefficients dans K[T] (cf. par exemple [9] pour la définition et les propriétés élémentaires du
résultant). On écrira ^ = ^(T, Xl,..., Xn+i) . On a R € K [T] , le terme de plus haut degré de R étant
Chapitre 27 , § 4
Lien entre l'affine et le projectif 377
TN , avec N = (n+l)rn . Rappelons que si t € K , on a R(t) = 0 ssi il existe £ = (Çlt... ,£n+i) e Kn+l \{0}
tel que #t(*,£i, • •• >£n+i) = 0 pour tout t € [l,n + 1] . D'après cela, si t e K appartient à l'image de
g , on a R(t) = 0 . Donc l'image de g (qui est non vide) est finie, de cardinal < N . Soit {*i,...,*,}
l'image de g , avec les tj deux à deux distincts. On identifiera chaque U avec la fonction rationnelle
constante de valeur U qu'il définit sur C. On a (g - ti) • • • (g - tq) = 0 , et comme K(C) est un corps,
on en déduit qu'il existe j € [l,gl tel que g = tj ; donc g est bien constante ■
Supposons n > 2 , et soit C une hypersurface algébrique projective de Proj(V) , définie par
F € (K[V])m \ {0} , avec m > 1 . Soit H un hyperplan projectif de Proj(V) , d'hyperplan projetant
H , défini par <p € H1 \{0v} . Supposons que <p ne divise pas F . Soit 5 la trace de C sur l'hyperplan
Hx = y?"1 (1a:) de K . Soit H\ le projectifié canonique de H\ (voir section 27.1.4), et soit S la
complétée projective canonique de S. On laisse au lecteur le soin de vérifier qu'il y a un isomorphisme
projectif Hi -* Proj(V) et un seul qui induit l'identité sur Hi , et que cet isomorphisme transforme S
en C . Nous traduirons cela en disant que C s'identifie à la complétée projective canonique de S .
Le théorème 27.2.2 admet la conséquence suivante, que nous appellerons théorème de Bezout faible
affine:
Théorème 27.4.1
Soit E un plan affine sur K ; soit f € K[£] et g € K[S] , non constants, de degrés respectifs q et
t . Supposons que Vf et y9 soient sans composante irréductible commune. Alors l'ensemble fy n%
est fini (éventuellement vide), de cardinal < qr .
Démonstration :
Soit V le vectorialisé de S , et soit (p la forme linéaire canonique sur V . Soit respectivement
C et V les complétées projectives de Sfy et % dans Proj(V) . Elles sont définies par les éléments
*/ et *</ de K [V] , qui sont homogènes de degrés respectifs q et r , et non divisibles par (p. Les
composantes irréductibles de C et V sont les complétées projectives de celles de Sfy et % . Comme
Sfy et % sont sans composante irréductible commune, et comme ces composantes sont les traces sur
E des composantes irréductibles de C et V , on voit que C et V sont sans composante irréductible
commune. D'après le théorème 27.2.2, l'ensemble CnV est fini, de cardinal < qr ; donc / = (C\H)n(V\H)
est aussi fini, de cardinal < qr . Donc Sf/fi5^ = sv^W est aussi fini de cardinal < qr . Il importe de noter
que 9y n % peut être vide, comme le montre l'exemple élémentaire de deux droites affines distinctes et
parallèles de E ■
§ 27.5 Courbes algébriques planes irréductibles
Dans ce paragraphe, on suppose le corps K algébriquement clos. On donne un Jf-espace vectoriel
V de dimension 3. On considérera des courbes algébriques projectives de Proj(V) et des courbes
algébriques affines sur divers K-plans affines.
Les propositions 27.2.1 et 27.4.2 permettent de poser:
Définition 27.5.1
(I) Soit E un pian affine sur K . Soit r une courbe algébrique irréductible de S . On appelle genre
de r le genre qL/K du corps (de fonctions algébriques d'une variable sur K ) L = K{r) .
(II) Soit C une courbe algébrique projective irréductible de Proj(Vr) . On appelle genre de C le
genre qL/K du corps (de fonctions algébriques d'une variable sur K ) L — K(C) .
Il découle de la proposition 27.4.2 que le genre d'une courbe algébrique affine irréductible est égal
au genre de sa projectiûée canonique.
Nous donnerons plus loin une formule explicite pour le genre des courbes algébriques projectives
irréductibles non singulières.
Nous aurons besoin de préliminaires précisant l'étude entamée à la section 24.4.6.
Pôles des fonctions rationnelles
Proposition 27.5.1
(I) Soit r une courbe algébrique irréductible affine de S , définie par f e K[8] irréductible, et
soit 7 € K(r) . L'ensemble des points de non-définition de 7 est uni.
(II) Soit C une courbe algébrique projective irréductible de Proj(V) , définie par F € K[V]
irréductible homogène; soit g G K(C) . L'ensemble des points de non-définition de g est fini.
Démonstra tion :
Soit (RQ) € K[V] x (K[E] \f K[S\) tel que 7 soit l'imge canonique de £. D'après le théorème
27.4.1, l'ensemble S/^nr est fini. Or tout point de r\îfQ est point de définition de 7 , i.e. r\^Q c Reg(7) ,
donc r\Reg(7) est fini: l'assertion (I) est prouvée. L'assertion (II) se démontre de manière analogue,
en utilisant le théorème 27.2.2 ■
Avec les hypothèses et notations de la proposition 27.5.1, les points de non-définition de 7 (resp. de
g ) s'appellent les pôles de 7 (resp. de g ). L'ensemble des pôles est donc toujours fini. Cette propriété
ne s'étend évidemment pas aux hypersurfaces d'espaces affines ou projectifs de dimension > 3 .
Points simples et valuations discrètes
Dans tout ce qui suit, on donne une courbe algébrique projective irréductible C de Proj(V) , de
degré d, définie par F e (K[V])d \ {0} (donc F est irréductible). On notera L = K(C) . Pour toute
forme linéaire <p € V* non nulle ne divisant pas F , nous noterons: H? la droite projective de Proj (V)
d'équation homogène (p = 0 ; /f0lV , son plan vectoriel projetant ( H0tip = Ker(ip) ); i/9 , le plan affine
ip'1 (1k) de V ; rv , la trace de C sur H^ ; L9 , le corps K(r^) . Enfin on notera /„ l'élément de
K[HV] tel que .(/„) = F.
Proposition 27.5.2
Soit <p € V* \ {0} ne divisant pas F . Soit /x e r^ et M = E7v,9(/x) • Soit B = (ei,e2) une base de
i/0lV> et soit (£,77) les fonctions affines sur H^ donnant les coordonnées dans le repère (/x, e1(e2) •
Soit x et y les images canoniques respectives de £ et rj dans L9 . Les assertions suivantes sont
équivalentes:
(I) Le point /x est simple sur T9 (i.e., le point M est simple sur C ).
(II) L'anneau iocai 0^(1^) est l'anneau d'une valuation discrète de L^ sur K .
(III) L'anneau iocai ©a/(C) est l'anneau d'une valuation discrète de L sur K .
Si ces propriétés sont satisfaites, soit v l'élément de SRjc(L) teJ que Av = CM(r9) . Alors v est
l'unique élément w de 8Rk-(L9) tel que w(x) > 0 et w(y) > 0 .
Démonstration :
L'équivalence entre les assertions (II) et (III) découle de la proposition 27.4.2.
On posera r = rv et 0 = 0M (r) ; soit X et Y des indéterminées sur K . On notera / l'élément
de K[X,Y] qui représente fv dans le repère (/x5ei,e2). Alors K{T] =-K[x,y] et L^ = K(x,y) .
On a g<=K[X,Y] dévaluation > 2 et (a,(3)eK2 tels que f(X, Y) = qX + (3Y + g(X, Y) . L'idéal
maximal mM du point /x dans K[T] est engendré par {x,y} . L'idéal maximal de C est m^G = x€+yC.
Pour abréger, on écrira 97t au lieu de mM 0 . On a
(1) 0 = /(x,y) = ax + py + g{z, y)
• Supposons que \i est simple sur r . Alors (a, /?) ^ (0,0) . Supposons que /? ^ 0 (si a ^ 0 , le
raisonnement est analogue). On déduit donc de (1) que y e xC + C2 . Donc 971 = xC + OT2 . L'anneau
C est nœthérien, car c'est un localisé de l'anneau K[T] , qui est nœthérien puisque c'est un quotient
de K[t,i)] . On peut alors reprendre le raisonnement de la première partie de la démonstration du
théorème 23.3.7, qui permet de conclure que SDÎ = iC. Comme le corps des fractions de € est L9 , il
découle des théorèmes 23.1.2 et 23.1.3 que € est l'anneau d'une valuation dicrète de L^> , et comme 0
est une JC-algèbre, on en déduit qu'il s'agit d'une valuation discrète au-dessus de K. Il y a donc bien
380 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
un élément v e SRk-(Lv5) tel que 0 = Av . On a y G m , donc v(x) > 0 et v(y) > 0 . Donc (I) implique
(II). Soit alors w € SRk-(Lv,) tel que w{x) > 0 et w(y) > 0 . Alors K[x,y] cX, et il est clair que
cw n K[x,y] c mM , donc 0 c Aw . Comme 0 est maximal parmi les sous-anneaux de L^ qui ne sont
pas des corps (théorème 23.1.3), on voit que C = Aw , d'où w = v .
• Réciproquement, supposons que C est un anneau de valuation discrète, et montrons que /x est
simple sur r , ce qui équivaut à montrer que (a,/?) ^ (0,0) . Raisonnons par l'absurde, en supposant
a = 0 = 0 . Soit 9t l'idéal maximal de K[£,77] engendré par {£,77} . On a f(Ç,v) e 9Î2 . Considérons
le morphisme canonique
(2) K\T\ = K[z,y] = *K'*]//(«.*) #[{.>?] — *K'*l/w
Il est surjectif, et son noyau est m? . Donc par passage au quotient, le morphisme (2) définit un
isomorphisme de tf-algèbres rp : ^tx'yl/tu2 ~* KItil] /yp . Soit 1 et rj les images canoniques
de £ et 77 dans ^[É»7?] /<y\2 ; la restriction de V induit un isomorphisme de if-espaces vectoriels
mM/m2 *ê ^Aft2 , et | et 77 appartiennent à ^-/lyt2 • Une if-base de ^U.7?]/^ est (l*-,?,^) ,
donc £ et 77 sont iif-linéairement indépendants; donc dlm^Cm/*/m2 ) > 2 . Mais 97t est principal
(car l'anneau 0 est de valuation discrète), d'où il découle que mM = WlnK [x,y] est principal, ce qui
entraîne que les ^-espaces vectoriels m/*/m2 et ^^'^/nt = K sont isomorphes (rappelons que
K est algébriquement clos), ce qui est absurde. Cette contradiction montre que (a,/?) ^ (0,0) et donc
que n est point simple de f ■
Centre d'une valuation discrète
Soit A un anneau commutatif local, d'idéal maximal m , et et B un sous-anneau local de A ,
d'idéal maximal n. On a m n B c n . Nous dirons que A est au-dessus de B ssi m n B = n .
Proposition 27.5.3
Soit v e SRk-(L) . Il existe un unique point M € C tel que Av soit au-dessus de Oj\/(C) . Si M
est ce point, on a ®n(C) C Av , et c'est Je seul point de C possédant cette propriété; de plus, on a
0A/(C) = Av ssi M est point simple de C .
Démonstration :
Soit B = (ei,e2,e3) une base de V et (^1,(^2,^3) sa base duale. Nous supposerons B choisie de
façon que F ne soit divisible par aucune des formes linéaires ^i, ^2.^3 (un tel choix est possible). Pour
tout couple (i,j) e [1,3]2 , on notera gitj l'image canonique de ^i dans K(C) . Pour tous i,j, k dans
[1,31 , on a gij9j,k = gi,k , 9i,t = lfc et 9ijgj,i - Ik •
• Montrons que par renumérotation des ej , on peut se ramener au cas où v(git3) > 0 et ^(32,3) > 0 .
Supposons par exemple que «($1,3) < 0 et «(01,3) < v{g2)3) (si ^(02,3) < 0 et v(g2,s) < v(9i,s) , le
raisonnement est analogue). Alors v(g3tl) > 0 , et ^(52,1) = v(g2,3) + v(g3t\) — v(g2)s) - v(pi,3) > 0 . La
base {e'i,e2,ez) = {e2,es,ei) répond donc à la question.
• Plaçons-nous donc dans le cas où ^(51,3) > 0 et v(g2t$) > 0 . Dans le repère affine TZ = (e$tei,e2)
de HV3 , les fonctions affines donnant les coordonnées sont les restrictions £ et 77 à H^3 de *J- et
£* . Identifions L93 et L à l'aide du À"-isomorphisme $c,v* ' £93 —► L . Notons x et y les images
respectives de f et 77 dans L . On a v(x) > 0 et v(y) > 0, donc #[^3] = #[*>!/] C A . D'autre
part, x = 01,3 et y = g2<3 . Soit jx le point de i/93 de coordonnées (a = v?v(j),6= <^v(y)) dans 7^,
et soit M = G7v,93 (^) (rappelons que (pv désigne la surjection canonique de Av —*■ fCv , et que Kv = K
parce que tf est algébriquement clos). Notons SDÎ l'idéal maximal de Ca/(C) • On a v{x - a) > 0 et
v(y - 6) > 0 , d'où facilement: Ca/(C) c Av et SDÎ c Av , et par suite cv n Ca/(C) = SDÎ .
Soit /x' e /f93 distinct de /x, de coordonnées (a', 6') dans TZ. Soit Àf' = t*7v,vs(^') • Soit A une
fonction affine sur HV3 , ne divisant pas /^ , telle que yl(/x) = 0 et A(ti') ^ 0 (un tel choix de /l est
possible). Soit A l'image canonique de A dans L . Alors \ € Qm'(C) \Av , car v{\) = -v(A) < 0 (car A
est de la forme a(x-a) + 0(x-b) avec (a,P) € K2 ). Soit respectivement Ui et U2 les complémentaires
dans la droite à l'infini H^3 des points de ^-coordonnées homogènes (0,1^,0) et (1^,0,0). On a
Ui uU2 = H^3 . Pour tout point M' € Ui , l'image gx de yi ^yj dans iif(C) appartient à Ca/'(C) , mais
9i $ Av puisque v(gi) = -v(j^) — -v(x-a) < 0 . On voit de même que pour tout M' € U2 , l'image g2 de
ya-iy3 ^ans -^(C) appartient à Ca/'(C) , et que g2 $ Av . En définitive, on a prouvé que pour tout point
M' de C distinct de Af , on a CA/'(C) £ A • Soit M' € C tel que Av soit au-dessus de €m>(C) . Notons
201' l'idéal maximal de Ca/'(C) . Montrons que 0a/'(O C A • On a déjà SDÎ' = cv HCa/'(C) c A ; soit
g € Ca/'(C)\OT' ; si l'on avait v(g) < 0 , on en déduirait v(±) > 0 , donc ^ ç Ca/'(C)hA = SOÎ' , ce qui est
absurde; cette contradiction prouve que g e A , ce qui achève de prouver que Ca/'(C) C A • Il découle
de là et de ce qui précède que M est le seul point de C tel que A soit au-dessus de Ca/(C) • La toute
dernière assertion découle de la proposition 27.5.1. Il importe de noter que d'après cette démonstration,
(o, 6) est le seul élément (a', 6') de K2 tel que v(x - a') > 0 et v(y - b') > 0 ■
Définition 27.5.2
Dans les conditions de la proposition 27.5.3, le point M e C tel que CA/(C) C A sera appelé le
C-centre de v .
Chapitre 27 , § 5
Courbes algébriques planes irréductibles 381
Le C-centre de v défini ci-dessus généralise la notion de (x,y)-centre donnée à la section 24.4.6. De
manière précise, partons d'une base B — (ei,e2,e3) de V , de base duale ((pi,<p2i<pz) telle que F ne
soit divisible par aucune des (pi . Reprenons les notations x, y, çîj de la démonstration de la proposition
27.5.3, et pour abréger, posons tp = <p3 ; identifions L et L^ à l'aide de $c,<? • Supposons que x soit une
variable séparante de L. Soit X, Y des indéterminées sur K , et soit P(X, Y) e K [X, Y ] le polynôme
qui représente /y, dans le repère affine 11. Alors P(x,Y) est /f(x)*-proportionnel à irrK(X),v(Y) ; il
est clair que si Ton identifie Proj(V) à Proj(if3) à l'aide de la base B, la courbe C s'identifie au
(x,y)-modèle projectif de L défini à la section 24.4.6. Cela étant, soit v e SR/c(L) .
Supposons d'abord que M $ H^ , ce qui équivaut, comme on le déduit aisément de la démonstration
de la proposition 27.5.3, à K [T^] c A, , ou encore, à: v(x) > 0 et v(y) > 0 . La propriété " v(x - a) > 0
et (v(y - b) > 0 " caractérise à la fois M comme C-centre de v d'après la proposition 27.5.3, et comme
(x,y)-centre de v d'après ce qu'on a vu à la section 24.4.6.
Supposons maintenant que M € H^,. Soit (a, 0,0) un système de coordonnées homogènes de M
dans B . Supposons que a ^ 0 (le cas où a = 0 se traite de même en échangeant les rôles de t\ et
e2 ). On a alors M e H^ ; en appliquant la proposition 27.5.3 avec le repère affine (ei;e2,e3) de HVl
(dans lequel les coordonnées de M sont (f ,0) ), on voit que v(Q3,i) > 0 et v(g2ti - §) > 0 . On a donc
v(x) = v($i,3) < 0 . Si 0 ^ 0 , on en déduit que v(o2,i) = 0 , d'où v(y) = 1^(02,3) = v(02,i) + i>(pi,3) < 0 . Si
/? = 0 , alors v(g2,i) > 0 , donc v{y) = v(g2,3) = v(o2,i) + v(pi,3) > v(gi^) = v(x) . On voit donc que M est
le (x,y)-centre de v défini à la section 24.4.6.
On a donc prouvé que si x est une variable séparante de L , alors pour tout v € 8Kk(L) , le C-centre
de v coïncide avec son (x, y)-centre.
Remarque 27.5.1 :
Avec les notations de la proposition 27.5.3, soit M le centre d'un élément v de SRtf(L). Il se peut
que Oa/(C) ^ Av , et si c'est le cas, notant OT l'idéal maximal de 0A/(C) , en général on aura UTÎ ^ cv .
Par exemple, soit X, y, Z des indéterminées sur K ; prenons pour C la courbe définie, dans une base
(ei,e2,e3) de V , de base duale (v? 1,^2,^3) , par le polynôme F = X3 - £Y2 . La trace de C sur i/V3
est définie dans le repère (e3;ei,e2) par le polynôme X3 -Y2 . Soit v l'élément de SR/c(Z,) défini par
la branche primitive (t2,t3) (où t désigne une indéterminée sur K). Le centre de v est M = tuv(e3).
Une uniformisante de v est r = J . On vérifie facilement que r ^ Cm(C) , ce qui prouve que OT ^ cv ;
a fortiori, on a Oaj (C) ^ A 4
Théorème 27.5.1
Soit C une courbe algébrique projective irréductible de Proj(V) . Soit L = K(C) et soit Ec
l'ensemble des points singuliers de C . L'application Qc ■ SRk(L) —► C qui, à tout v e SRk(£) ,
associe son C-centre Ov , est surjective. Ses fibres sont finies, et elle induit une bijection de l?"1 (C\ Ec)
sur Ec\C . En conséquence, si C est non singulière, fie est bijective.
Démonstration :
Soit F un élément irréductible homogène de K [ V ] définissant C , et soit m son degré. Soit M eC .
Choisissons une base B = (ei,e2,e3) de V , de base duale ((pi,<p2,<ps) » vérifiant les conditions suivantes:
F n'est divisible par aucune des formes linéaires (pi ; M = 07^(^3) ; F(e0 ^ 0 pour tout i e [l,3j ; (un
tel choix est possible, car K est infini). Nous identifierons L^ avec L à l'aide du X-isomorphisme
#c,v>3 : L^s —» I*. Compte tenu de cette identification, posons x = 513 et y = 52,3 •
Soit X, Y des indéterminées sur K , et soit P le polynôme qui réprésente fV3 dans le repère affine
11 = {e$\ei,e2) de H^ . Ce polynôme P est irréductible et de degré m. Comme K est algébriquement
clos, les dérivées partielles f£ et |£ ne sont pas toutes deux nulles (si K est de caractéristique nulle,
c'est évident; si K est de caractéristique p > 0 et si les deux dérivées partielles étaient nulles, P serait
une puissance p-ième dans K[X, Y] , en contradiction avec son irréductibilité). Quitte si nécessaire à
échanger ei et e2 , on peut supposer que |£ ^ 0 . Puisque P(e2) = P(e2) ^ 0 , le degré partiel de P
en Y est m . On a donc ao 6 X* et des éléments ai,..., am de K [ X \ tels que:
(3) P(X, K) = a0Ym + 0l (X) y™"1 + • • • + am_! (X) y + am{X)
Puisque M = wv(c3) , ona am(0) = 0 . Comme P{e\) = F{e\) ^ 0 , le degré partiel de P en X est m .
Ainsi P dépend à la fois de X et y , et comme il est irréductible, il en découle que x £ K et y $ K .
Comme P est irréductible et P(x,y) = 0 , on a ±P(x,Y) = irrAr(x)>y(y) . Puisque f£ ^ 0 , on voit
enfin que x est une variabie séparante de L .
Soit w la valuation Vk(x),x,x ; il s'agit de montrer que l'ensemble des v e ^1^(l)(w) telles que
t;(y) > 0 est fini et non vide. On sait déjà que cet ensemble est fini, puisque ^2V(x)(w) es^ ^n^-
Soit I la clôture intégrale de Aw dans L . C'est un ^-module libre de rang m . On en déduit que
la norme Nj/^u, est définie, et que c'est la restriction à J de la norme NL/k-(x) (voir démonstration du
théorème 23.3.3). Mais notant hy l'endomorphisme z *-> yz du J£(x)-espace vectoriel L , on a
(4) (-l)mPolcarhy (Y) = Polmin,v (Y) = Irr*(l)(ï,(y) = i-P(x, y)
ao
et par suite:
(5) NIMu,(y) =NL/*r(x)(y) = i^H-ûm(X)
382 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Puisque am(0) = 0 , on voit que Nj/^w(y) n'est pas inversible dans Aw . Donc y n'est pas inversible
dans Z. Pour tout v € ^Ktx)W > soit qv = cv ni; c'est un idéal principal: soit gv € I tel que
qv = Pvl- On sait que l'anneau I est principal, n'est pas un corps (car WlKix\(w) ^ 0 ), et que ses
idéaux maximaux sont les qv . Les éléments inversibles de I sont donc les z G I tels que u(2) =0 pour
tout v € ^x,1^*)C10) * Comme y est non inversible dans B , il existe v e 9C^F{w) tel que v(y) > 0 .
Si M est point simple de C, d'après la proposition 27.5.2, on a v e SRtf(L) unique tel que
Ojtf (C) = A; ; comme il n'existe pas de relation d'inclusion entre deux anneaux Avx et AV2 pour
vi et v2 éléments de SRtf(L) avec vi ^ t/2 , on voit que v est le seul élément de SRk(L) de C-centre
M , La dernière assertion en découle ■
En revenant à la section 24.4.6, on obtient immédiatement:
Corollaire
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une va.ria.ble sur K , soit x une variable séparante
de L et soit y^€ L tels que L = K(x,y) . Soit r le (x,y)-modèîe projectif de L . L'application
C : SRk-(L) —» r qui associe a tout élément v de SRk-(L) son (x,y)-centre est surjective^ Ses fibres
sont finies, sa restriction à C-1(rreg) , où rr9q est Vensemble des points simples de r ), est une
bijection sur rreg . En conséquence, si r est non singulière, alors C est bijective.
Dans les conditions du corollaire ci-dessus, on voit donc que l'application 0 définie au théorème
23.3.7 n'est autre que la restriction de l'application C à l'ensemble noté V dans ledit théorème.
Soit à nouveau C une courbe algébrique projective irréductible de P*oj (V), et soit L = K(C). Si
V> € L , elle définit une fonction Regh(^) -► K et une fonction rationnelle ip : SRk-(L) -► K (rappelons
que Regh(C) est l'ensemble des points de définition de V sur C ). Il est naturel de rechercher les liens
entre ces deux fonctions. Notons SDÎt, l'idéal maximal de Cov (C) .
Soit v € SRjc(L) . Si v est pôle de \l> sur &Rk{L) , i.e. si ip £ Av , alors a fortiori v $ 0ov(C),
donc le C-centre Ov de v est pôle de tp sur C . Nous avons vu à la remarque 27.5.1 qu'on peut
avouée Av \ Cov (C) . Supposons que V € 0ov (C) , d'où if> € Av . Posons A = v>v(t/>) . Alors v(ip - A) = 0 , i.e.
il>{v) = 0 , d'où V-A € c„nOc>w(C) . Mais cwn0Ov(C) = 9Kv , donc (il>-\)(Ov) = 0 , c'est-à-dire ip(Ov) = A .
En résumé:
{Soit v € 8Rk(L) et tp € L . Si v est pôle de rp , alors Ov est pôle de ip sur C . Si i}> € €ov(Q ,
alors 4>(Ov) = ^(v).
D'après (6) et compte tenu de la proposition 27.5.2, si Ov est point simple de C , alors v est pôle
de V sur SRjc(I») ssi Ov est pôle de V sur C; s'il en est ainsi, il est naturel de prolonger la
fonction rationnelle V de C au point Ov en lui attribuant la valeur ook . En revanche si Ov est singulier, il
serait incohérent d'attribuer la valeur ook- en Ov à cette fonction; dans ce cas, les valeurs ip(v) pour
les v € SRk-(L) de C-centre v ne sont pas nécessairement toutes égales, donc on ne peut attribuer de
valeur naturelle, finie ou infinie, à V au point Ov .
Si C est non singulière et si V € L , on notera tp le prolongement de ip k C tout entier obtenu en
lui attribuant la valeur ook en ses pôles sur C . On déduit alors de (6), avec les notations du théorème
27.5.1:
(7) Pour C non singulière, (V^GL) î> = flc°Tp
Calcul du genre d'une courbe algébrique projective non singulière
Remarque 27.5.2 :
Du point de vue du lemme 27.3.2, le cas des droites projectives est particulier. Soit C une droite
projective de Proj(V) . Elle est non singulière, et la tangente à C en tout point est C . Ainsi il n'existe
qu'une tangente à C ; mais pour tout point M ç Proj(Vr) , l'ensemble des points N €C tels que M çTn
est égal à C , donc infini, lorsque M € C , et vide si M $C .
Le lemme 27.3.2 s'éclaire avec la notion de courbe duale d'une courbe algébrique irréductible non
singulière de degré d > 2 . On peut alors montrer que l'ensemble C* des tangentes à C est une courbe
algébrique irréductible de Proj(V) , de degré d(d - 1) . La notion de courbe duale peut aussi être
définie quand C est irréductible singulière, mais son degré est alors < d(d - 1) 4
Théorème 27.5.2
Soit C une courbe algébrique projective irréductible de Proj(V) , non singulière et de degré d . Le
genre de C est égal à V-Wd-7) .
Démonstration :
Pour tout M e C , on notera va/ l'élément de SRk-(L) de C-centre M .
Si d = 1 , il est immédiat que L est un corps de fractions rationnelles d'une variable sur K , donc le
genre est nul. Nous supposerons donc d>2. Soit F e (K[V])d qui définit C (donc F est irréductible).
Puisque F est irréductible et puisque d > 2 , aucune forme linéaire non nulle sur V ne divise F . Pour
tout M € Proj(V) , notons V\i l'ensemble des tangentes à C passant par M . En vertu du lemme
27.3.2, cet ensemble est fini et non vide; on notera C*SI la courbe algébrique projective de Proj(K) égale
à la réunion des droites éléments de Vm (la courbe C\t est par définition le cône des tangentes issues
de M à C). L'ensemble CnC^ est fini (lemme 27.3.2).
Chapitre 27 , § 5
Courbes algébriques planes irréductibles 383
Soit Mi e *roj(V)\C . Soit M2 G Proj(V)\(CuCj5/i) (un tel M2 existe parce que le complémentaire
d'une hypersurface algébrique est fini). Soit A une droite projective de Proj(V) passant par M2 ,
distincte de la droite (AfiM2) passant par M\ et Af2 , n'appartenant pas à V\/2 , et ne rencontrant
pas CnC][f (une telle ^ existe, puisqu'on n'élimine qu'un nombre fini de droites). Pour tout M € A ,
soit 6m la droite projective passant par M\ et M . L'application M »-> 6A/ définit une bijection de
4 sur l'ensemble des droites projectives de Proj(V) pssant par Afi . L'ensemble T des points de A
appartenant à l'une au moins des tangentes à C en un point commun à C et à la droite projective
(MiM2) est fini. Comme l'ensemble T>Mi est fini et comme l'ensemble C 0 A est fini, on peut choisir
M3€ A tel que M3 i C , Mz<£T , Mzi CMl et <$M3n(CnCM2) = 0 . On fixe M3 ainsi. Soit 5 = (ei,e2,e3)
une base de V telle que wv(ei) = Af* pour tout i, et soit (<pi,<^2,<^3) sa base duale. Aucune des (pi
ne divise F . Par construction, on a les propriétés suivantes: Mi $ C pour tout i ; aucune des droites
projectives Ai = (M2M$) , 42 = (M3Mi) et A$ = (MiAf2) n'est une tangente à C , donc chacune de
ces droites rencontre C en exactement d points; de plus, pour tout i € [1,3] et pour tout M eCnAi ,
la tangente en M à C ne passe pas par Af< .
Pour tout (i,j) e [1,3J2 , notons gitj l'image canonique de *f dans L . Du fait que d > 2 , aucun
des gij pour i'^ i n'est constant. Soit X,Y,Z,x,y des indéterminées sur K . Soit # l'élément de
K[X,Y,Z] qui représente F dans B ; pour tout t€ [1,3], soit P» l'élément de /ffx, y] qui représente
la trace Fvt dans le repère affine 7£» de HVi , où:
fti =s(ei;e2,e3) ; K2 - (e2;e3,ei) ; ft3 = (e3;e1,e2)
et soit Q* la partie homogène de degré d de Pi . En vertu du choix de B , chaque Ci est ^ 0 , sans
facteur multiple, et n'est divisible ni par x ni par y . On a donc une suite injective (Ai,..., A«i) € (i£*)d
et une constante a» G A"* telles que:
j=d
(8)
D'autre part:
(9)
Qt(x,y) = atJ|(y-Ai:r)
j=i
(Pi(*,y)=*(ljc,x,y)
P2(x,y) =$(ytlK,x)
( P3(x,y) = #(x,y, \k)
Çi(x,y) = £(0,x,y)
Q2(x,y)=$(y,0,x)
Q3(x,y) = £(x,y,0)
Pour tout i e [1,3]) . on notera U{ = tuvlVi (F^ ) • Pour tout j e [1, d] , on notera C, le point de Proj(V)
dont des coordonnées homogènes dans B sont (1k,A.,, 0) (on a donc CC\A\ = {Cj}i<j<d ), et on notera
Wj = wcj • Chacun des six éléments suivants de L :
dPi dPi dP2
(10) -^(02,1,03,1) ; -3-(02,1,03,1) ; -^-(03,2,01,2)
dP2 3P3 dP3
-^-(93,2,51,2); -^-(Sl.3,52,3) î -0JJ-(01,3, 02,3)
est non nul (c'est une simple conséquence du lemme 27.3.2 et non du choix de la base B). Il en découle
que chacun des six éléments gij , où (i,j) e [1,3J2 et i ^ j , est une variable séparante de L. Pour
abréger, la liste (10) sera notée Ci,2iCi,3;C2,3;C2,i;C3,i;C3,2 . En vertu du choix de B et du théorème
23.3.7, pour tout j £ [l,d] , hj = y2,i - A^ et p3i sont des uniformisantes de Vj .
Soit oj la différentielle - £^ de SKk{L) . En différentiant la relation P3(51,3,02,3) = 0 , on obtient
Cs.i d(0ii3) + Cs,2 d(02(3) = 0 , d'où:
(H)
d(02)3) d(pi,3)
Cs.i
C3.2
Soit M € U3 , de coordonnées homogènes (a,/3, \k) dans B. Puisque M est non singulier, on a
(^■(M)> tJ^W) 9e (0,0) . Supposons que ^(M) ^ 0 (le raisonnement est analogue si ^(M) ^ 0 ).
Cela signifie que £3,2(va/) ^ 0 ; alors gi(3 - a est une uniformisante de vm (théorème 23.3.7), et on
déduit donc de (11) que vm n'est ni zéro ni pôle de u . On a ainsi établi que u n'a ni zéro ni pôle sur
Sl^iUs) (notation Hc du théorème 27.5.1).
Soit j G [l,rf] . Nous allons calculer ord^w) . Pour cela, utilisons l'expression u = d^123) et
l'uniformisante 53,1 de wj . On a ffi**] = -03~,î d(03,i). D'autre part, puisque |^ G (iC[X,y, Z] )rf_i ,
en utilisant (9):
d'où, en prenant les images dans L :
(13)
Ç3,2 = 9X>3 Ç\,2 = 93l Çl,2
384 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Mais d'après le choix de la base B , on a vu que ^(Cj) ^ 0 , ce qui signifie que Wj(dt2) = 0 . Compte
tenu que w>(<j3,i) = 1 , on déduit donc de (13):
(14) ord., M = „,- (&L |îg2l) = «, (-|^) = *,,{£?) - «*«..■) = d - 3
En définitive, le diviseur de w est:
j=d
(15) div(cj) = V^(rf-3)t^
j=i
d'où Dgr(div(u;)) = d(d - 3) . Le genre ql/k- est donné par 2qL/K - 2 = Dgr(div(cj)) ; on a donc
20/,/* = d(d - 3) + 2 = (d - l)(d - 2), d'où enfin $L/K = t'-1?^"2? ■
Si d — 2 , la courbe C est appelée une conique propre. Si d = 3 (resp. d = 4 , d = 5 , d = 6 ), une
courbe algébrique projective irréductible C de degré d est appelée une cubique (resp. une quartique,
une quintique, une sextique) irréductible. Pour d > 7, on parlera de d-ique irréductible. Ainsi une
cubique irréductible non singulière est de genre 1 (donc c'est un modèle projectif d'un corps de fonctions
algébriques d'une variable sur K de genre 1 ); une quartique (resp. une quintique, une sextique) non
singulière est de genre 3 (resp. de genre 6 , de genre 10 ). On déduit de là que les corps de fonctions
algébriques d'une variable sur K dont le genre n'est pas de la forme (n-lHn-2) avec n entier > 2
n'admettent pas de modèle projectif non singulier. Ainsi un corps de genre 2 , ou 4 , ou 5 , n'admet pas
de modèle projectif non singulier. On prendra garde que même si un tel corps est de genre (n'l){n~2)
avec n > 4 , il n'admet pas nécessairement de modèle projectif non singulier; le cas des corps de genre
1 est, à cet égard, exceptionnel, puisqu'un tel corps a toujours un modèle projectif qui est une cubique
non singulière comme on l'a vu au paragraphe 24.5.
Pour le genre des courbes projectives irréductibles singulières, le lecteur pourra par exemple consulter
[13] ou [16].
Différentielles régulières d'une courbe non singulière
Reprenons toutes les notations et hypothèses du théorème 27.5.2 et toutes les notations de sa
démonstration. D'après le théorème 24.5.3, le tf-espace vectoriel flK,r»g(L) des différentielles régulières
de L sur K est de dimension ql/K . Nous allons déterminer une base de cet espace vectoriel, ce qui
généralisera le résultat de l'exemple 24.5.2. La question ne se pose que si d > 3 , on se place donc dans ce
cas. Un élément de K [91,3,92,3] n'a aucun pôle sur P^1(U3) . Soit j € [l,d] . On a 51,3 = 9â\ , donc
u>j(9i,3) = -1 ; on a 92,3 - 92,191,3 , et on a vu que 1^(92,1) = 0 (puisque Xj ^0 et g2,i - Xj est une
uniformisante de Wj ), donc 1^(52,3) = -1 • Pour tout h € K [x, y] de degré < d-3 , on déduit donc de (44)
que div(h(pi3,52,3)^) >: 0 , i.e. la différentielle ^91,3,92,3) w est régulière. Soit E le if-espace vectoriel
des éléments de degré <d-3 de K[x,y] . L'application ifr : E—> rtK,vç(L), h h-> /i(9i,3,92,3) w est K-
linéaire. Prouvons que xp est injective: comme u ^ 0 , le noyau de V est l'ensemble des h e E tels que
M3i,3,92,3) = 0 , i.e. c'est l'ensemble des h € E dont la fonction HV3 —» K associée à l'aide du repère II3
s4annule sur T93 , la trace de C sur HVz ; le noyau de if> est donc l'ensemble des éléments de E qui sont
multiples de P3(x,î/) ; comme P3 est de degré d , on voit que le noyau de ip est {0} , et rp est bien in-
jectif. Cela dit, il est immédiat que dimK{E) = 1 + 2 + - - + (d-2) = <d~1M<<-2? = ql/k = dim/c( nK^g(L)) ,
donc \l> est un isomorphisme de K -espaces vectoriels. On a donc prouvé:
C Dans les conditions du théorème 27.5.2 et de sa démonstration, une base du K-espace vectoriel
(!6) < nKiTag(L) est la famille (91,39*2,3 w)j «.»*&
^ ^ k+t<d-3
§ 27.6 Classification des cubiques projectives non singulières
Dans ce paragraphe, on suppose le corps K algébriquement clos, et on donne un tf-espace vectoriel
V de dimension n + 1 , avec n > 2 .
Soit d un entier > 1, et soit Cd(V) l'ensemble des hypersurfaces algébriques irréductibles de degré
d de Proj(V) . Le groupe POLa^V) opère à gauche de la manière naturelle sur C«f(V) ; en fait, soit
h e POLk-(V) et soit / G QhK(V) telle que f.=h. L'application P^po f~l est un automorphisme
de la /C-algèbre graduée K\V] , qui induit un automrphisme JC-linéaire de l'espace vectoriel {K [V] )d ;
cet automorphisme permute entre eux les éléments irréductibles de (K[V])d\ d'après la
correspondance bijective entre classes de /^-proportionnalité d'éléments irréductibles de K[V] et hypersurfaces
algébriques projectives irréductibles, on obtient ainsi une permutation ah de <£<* : à une hypersurface
C € Cd(V) , définie par un élément irréductible F e (K[V)d , la permutation ah associe l'hypersurface
(qui ne dépend que de h et C) définie par Fo/_1 , et qui n'est autre que h(C) . L'application h^ ah
définit donc l'action à gauche naturelle de POLk-(V) sur Cd(V) . Il est facile de voir que cette action
est fidèle, en vérifiant qu'étant donné deux points de Proj(V) distincts, il existe une hypersurface
algébrique irréductible de degré d qui passe par l'un et non par l'autre. Deux hypersurfaces algébriques
irréductibles C\ et Ci de degré d seront dites homographiquement équivalentes ssi elles sont dans la
même orbite, i.e. ssi il existe au moins une homographie h e PGLk(V) telle que h{C\) = C2 .
Cela dit, le problème naturel qui se pose est la caractérisation des orbites de cette action, autrement
dit, la détermination de conditions nécessaires et suffisantes pour que deux hypersurfaces algébriques
projectives irréductibles de degré d soient homographiquement équivalentes. Ce problème s'appelle la
classification à homographie près des hypersurfaces algébriques projectives de degré d. Le problème
est trivial pour d = 1 : deux hyperplans projectifs quelconques sont homographiquement équivalents.
Il est élémentaire pour d = 2 ; les éléments de <£2(V) son appelés les hyperquadriques projectives (de
Proj(V) ) si n > 4 , les quadriques projectives si n = 3 , et les coniques projectives si n = 2 . La
théorie de la classification des formes quadratiques sur un corps algébriquement clos résout la question;
on remarque qu'une forme quadratique de V étant donnée, elle est irréductible ssi son rang est > 3 ; s'il
en est ainsi, ce rang est attaché à la seule hyperquadrique qu'elle définit, et c'est un invariant projectif,
qu'on appelle le rang de cette hyperquadrique; on vérifie alors que deux hyperquadriques irréductibles
sont homographiquement équivalentes ssi elles ont même rang.
Mais pour des degrés d > 3 , la question devient hautement difficile, et n'est pas résolue pour l'instant.
On n'a que des informations très particulières et très partielles. Par exemple, il est immédiat que si deux
hypersurfaces algébriques irréductibles Ci et C2 sont homographiquement équivalentes, alors les corps
K(Ci) et K(C2) sont K-isomorphes. En effet, définissons C\ et Ci par des éléments F\ et F2 de
(K[V})d irréductibles; soit / e Proj(V) et soit h = /. tels que Ji(Ci) = C2. Soit Vi € K{Ci) définie
par ^ , où P et Q sont deux éléments homogènes de K[V) de même degré et où F\ ne divise pas Q.
Alors F2 ne divise pas Q°/-1 , donc n°Jfl\ définit un élément V>2 de K{Ci) , dont on voit aisément qu'il
ne dépend que de h et de ^i ; en posant xp2 = 9h{^\) , on définit une application Oh ■ K(C\) -♦ K(C2)
dont il est immédiat qu'elle est un K-isomorphisme (on obtient son isomorphisme réciproque par le même
procédé appliqué à f'1 au lieu de / ).
Par exemple encore, il est immédiat qu'une homographie entre deux hypersurfaces algébriques
irréductibles fait se correspondre bijectivement leurs points singuliers. Donc l'ensemble des
hypersurfaces algébriques non singulières est réunion d'orbites. Si n = 2 , une homographie entre deux courbes
algébriques irréductibles fait aussi se correspondre bijectivement leurs points d'inflexion. Mais cela ne
suffit pas, loin s'en faut, à résoudre le problème. Le cas des cubiques planes (i.e. n — 2 et d = 3 ) est le
dernier pour lequel on possède une réponse complète et satisfaisante. Toutefois on est allé très loin dans
l'étude, passablement difficile, des cas où n = 2 et d € {4,5} .
En liaison avec cette question, se pose le problème des homographies de Proj (V) qui laissent
globalement invariante une hypersurface algébrique irréductible C de Proj (V) . Elles forment un groupe,
que nous noterons Autproj(C). D'après ce que nous avons vu plus haut, on a une application
Aut proj (C) —> AntK(K(C)), h>-+0h
qui est visiblement un morphisme de groupes. En utilisant le fait qu'il n'y a aucune relation d'inclusion
entre les anneaux locaux des points de C , on voit facilement que le morphisme ci-dessus est injectif.
Lorsque d < 2 , le groupe Autproj(C) est infini. Le cas où n = 2 est assez bien connu: pour d = 3
et C non singulière, on a vu à la section 24.5 que le groupe Autproj(C) est infini. Mais pour d > 4 ,
nous avons signalé que le groupe Aut* (Jf(C)) est fini, donc a fortiori le groupe Autproj(C) est fini.
Dans tout ce qui suit, on suppose n = 2 et que la caractéristique de K est différente de 2 et 3
27.6.1 Le théorème principal
On donne des indéterminées X, Y, Z sur K . On se propose de classifier à homographie près les
cubiques irréductibles de Proj(V) . On laisse au lecteur, à titre d'exercice, le soin de vérifier qu'il n'existe
que deux classes de cubiques irréductibles singulières; dans une base B - (d, e2, e3) quelconque de V , les
deux classes sont respectivement représentées par les polynômes Pi = X3-Y2Z et P2 = X3 + Y3-3XYZ .
La cubique définie par Px admet un unique point singulier, qui est O = mv(e$) , et un seul point
d'inflexion, celle définie par P2 admet aussi un seul point singulier, qui est O = wv{z$) , et trois
points d'inflexion, qui sont alignés. Ces deux cubiques se distinguent aussi par la nature de leur point
singulier; en un point singulier, on peut définir des tangentes (ce que nous n'avons pas fait), et la cubique
386 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
définie par Pi admet une unique tangente en son point singulier (qui pour cette raison est dit point de
rebroussement), tandis que celle définie par P2 admet, en son point singulier, deux tangentes distinctes
(pour cette raison, ce point singulier est appelé un nœud simple). Les deux cubiques en question sont de
genre zéro. Sur chacune d'elles, la fonction rationnelle t représentée dans B par ^ est une variable,
i.e. le corps des fonctions rationnelles de la courbe est K(t) .
Le cas des cubiques non singulières est résolu par le théorème 24.5.4 et le théorème suivant:
Théorème 27.6.1
Dans les conditions ci-dessus, soit Ci et C2 deux cubiques projectives irréductibles non singulières
de Proj(V) . Pour que Ci et C2 soient homographiquement équivalentes, il faut et il suffit que les
corps K(Ci) et K(C2) soient K-isomorphes.
Démonstration:
• Soit C une cubique projective non singulière de Proj(V) , définie par F G (A*[V])3 irréductible.
Soit / un point d'inflexion de C (corollaire du lemme 27.3.1). Soit E=(ei,e2,e3) une base de V telle
que / = wy{e2) , que la tangente en / à C soit la droite passant par / et vj(e2) , et que O = w(e3) G C .
On a alors un polynôme / G K[X,Y,Z] qui représente F dans B de la forme:
(1) / = X3 - Z{aX2 - 2bXY + cY2) + 2Z2(AX + pY)
On a c ^ 0 , sinon le point / serait singulier. Quitte à remplacer e2 par -ye? , où 7 est une racine
carrée de 7 dans K , on peut donc supposer que c = 1k . En posant Y' = Y - bX - pZ , on obtient:
(2) / = X3 - Y'2Z - aX2Z + 2XXZ2 + Z(bX + nZ)2 = X3-Y'2Z + Z{o!X2 + 2b'XZ + c'Z2)
avec a' = -a -I- 62 , 6' = A + bfi et c' = y? . En posant X' = X + jZ , on arrive à:
(3) / = -Y'2 Z + X'3 + 7X'Z2 + <SZ3
avec 7 = - \- + 262 et 6 = ^— ^p- + 26'c' . Quitte, si nécessaire, à remplacer la base B par la base
(e2, ei + 6e2, -%ei + (m _ V)e2 + e3) > on conclut qu'on peut choisir la base B pour que
(4) /(x, r, Z) = -r2z + x3 + 7xz2 + <*z3
avec (7,6) G if2 (nous traduirons (4) en disant que son second membre est une forme de Weierstrass
de C). Soit T une nouvelle indéterminée sur K , et notons P l'élément T3 + 7T + <5 de A*(T] . Son
discriminant réduit 473 + 2762 est ^ 0 , car sinon P aurait une racine double A dans K , et alors le
point de coordonnées homogènes (A,0, 1k) dans B serait singulier sur C. Réciproquement, on vérifie
aisément que toute cubique projective représentée dans une base convenable par un polynôme / de la
forme (4), avec 473 + 27S2 ^ 0 , est irréductible non singulière.
• Ce préliminaire étant acquis, passons à la démonstration proprement dite. D'après ce qu'on a vu plus
haut, la condition est nécessaire. Réciproquement, supposons que K(Ci) et K(C2) soient ^-isomorphes.
D'après ce qu'on vient de voir, on a des bases Bi — (ei(1,e1)2,e1(3) et B2 = (ee,i,e2(2,e2(3) de V et des
couples (71,61) G K2 , (72,<52) G K2 vérifiant 47? + 27<5j ^ 0 et 47! + 27<5| ^ 0 , tels que pour tout
z G {1,2} , la courbe d soit représentée dans Bi par l'élément f = ~Y2Z + X3 +-yiXZ2 + 6{Z3 ; on
posera Pi(T) = T3 + 7iT + 6i , et on notera respectivement x{ et yi les éléments de K(d) définis à
l'aide de la base Bt par les fractions rationnelles de degré zéro | et |. Alors y2 = P(Xi) et il est
clair que K {Ci ) = K{xit yi) , donc (xi}yi) est un couple de Weierstrass de Li=K(Ci) (voir section 24.4).
L'invariant modulaire Jl^/jc est donc 7» = 4 3 727^a • L'hypothèse entraîne que 7i = 72 (théorème
24.5.4). Soit 7 la valeur commune de 7i et J2 . Fixons z G {1,2} . On a 7=1 ssi 61 = 62 = 0 (d'où
7i72 ^ 0 ), et si 7 ^ 1 , on a <5i<52 ^ 0 . On a 7 = 0 ssi 71 = 72 = 0 (d'où <M2 ^ 0 ), et si 7 ^ 0 ,
alors 7i72 ^ 0 . Si J = 1 , soit & une racine quatrième de -*- dans K : en remplaçant la base B{
par #J = (^eiti, 4rei,2,ei3) , le polynôme fi qui représente £ dans Bi est remplacé par un multiple de
g = -Y2Z + X3 + XZ2 . Si 7 = 0, soit & une racine sixième de j- dans K : en remplaçant la base B{
par fî; = (Aei.i, ^reti2,ei,3) , le polynôme fi qui représente d dans 5, est remplacé par un multiple de
0=-y2Z + X3+Z3 .
Supposons maintenant que 7 £ {0,1} . Soit A» = ^ et soit p une racine carrée de A3 dans K .
En remplaçant Bi par la base B\ = (y-e,(i, j-eit2,el>3) , le polynôme /< qui représente C{ dans 5{ est
remplacé par un multiple de g = -Y2Z + X3 V ^XZ2 + 4^77^3 •
Ainsi, dans tous les cas, on a trouvé des bases B\ et 52 de V et un même élément g G K[X,Y,Z]
qui représente Ci dans #i et C2 dans B2 . Soit /i l'homographie de Proj(V) définie par la Injection
linéaire de V qui envoie B'2 sur B[ : il est clair que h(Ci) = C2 , donc Ci et C2 sont homographiquement
équivalentes ■
On peut maintenant poser:
Définition 27.6.1
Supposons que la caractéristique de K est différente de 2 et 3 . Soit C une cubique projective
irréductible non singulière de Proj(V) . On appelle invariant modulaire de C l'invariant modulaire
JL/K , où L = K(C) . On le notera J(C) .
Chapitre 27 , § 6
Classification des cubiques projectives non singulières 387
Compte tenu du théorème 24.5.4, dans les conditions de la définition 27.6.1, le théorème 27.6.1
s'énonce ainsi:
/5v f Deux cubiques non singulières de Proj(V) sont homographiquement équivalentes ssi elles
\ont même invariant modulaire
Une cubique non singulière est dite harmonique ssi son invariant modulaire est 1 , et équiharmonique
ssi son invariant modulaire est 0 . Toute cubique harmonique (resp. équiharmonique) est définissable
dans une base convenable de V par le polynôme -Y2Z + X3 4- XZ2 (resp. par -Y2Z + X3 + Z3 ).
27.6.2 Plans affines à neuf points
Nous appellerons plan à neuf points un couple (E, A) , où E est un ensemble fini de cardinal 9 et où
A est un ensemble de parties de E à trois éléments, vérifiant la condition suivante: toute partie de E
à deux éléments est contenue dans un et un seul des éléments de A . Les éléments de A s'appellent les
droites de E . Remarquons qu'il existe au moins un tel plan: il suffit de prendre E = F* (où JF3 = ijzz )
et pour A l'ensemble des droites affines de F* muni de sa structure canonique de Fa-plan affine.
Soit donc un tel plan {S, A) . La définition même montre que deux droites de E se rencontrent en
au plus un point. Deux droites Ai et A2 de E seront dites parallèles ssi Ai = A2 ou Ai C)A2 = 0 , et
strictement parallèles ssi Ai n A? = 0 . Si (M, TV) € E x E avec M ^ TV , la droite de E passant par M
et TV sera notée Dr(M,TV) ; le point P € E tel que Dr(M, TV) = {M, AT, P} est appelé le milieu de la paire
{M, TV} , et sera noté Mi(M,TV) (on a donc Mi(M, TV) = Mi(TV,M) ). À chaque point M G E , est associée
une involution naturelle de E , qu'on notera sa/ , définie par sm(M) = M et, pour tout TV G E \ {M} ,
par sa/(TV) = Mi (M, TV) ; l'involution sa/ sera appelée la symétrie centrale de centre M . Il est clair que
M est le seul point fixe de sa/ . De façon purement combinatoire, on vérifie les propriétés suivantes:
(6) Par tout point de E , il passe exactement quatre droites de E .
(7)
{Soit une droite A de E et soit M e E \A . Il existe une droite de E et une seule passant
par M et parallèle à A .
(dans les conditions de (6), la droite passant par M parallèle à A s'appelle simplement la parallèle à
A passant par M ).
L'ensemble A est fini et non vide. Soit v son cardinal; en calculant de deux manières le cardinal de
l'ensemble des couples (M, À) G E x A tels que M e A , on voit que 4 • 9 = Su , d'où v = 12 . L'ensemble
E x E s'appelle ensemble des vecteurs liés de E ; si (M, TV) € E x E , on dit que M est l'origine et TV
l'extrémité de (M,N) . Sur £ x E , on définit une relation binaire, appelée équipollence: on dit que
(Mi,TVi) et (M2,N2) sont équipollents ssi Mi(Mi,TV2) = Mi(TV!,M2) .
À partir des seules propriétés (6) et (7), on démontre sans difficulté notable les propriétés suivantes:
(8)
(9)
{Le parallélisme est une relation d'équivalence sur A . Chaque classe d'équivalence contient
exactement trois droites et s'appelle une direction de E . Il y a donc quatre directions.
{L'équipollence est une relation d'équivalence sur E x E . Pour que (JW^TVi) et (M2,TV2)
soient équipollents, il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite: soit Mi = M2
et Ni = TV2 , soit Dr(Mi,M2) et Dr(TV!,TV2) sont parallèles, et soit Mi = Nx et M2 — N2 ,
soit Dr(A/i,TVi) et Dr(M2yN2) sont parallèles.
On définit alors l'ensemble des vecteurs libres de £ : c'est l'ensemble des classes d'équipollence de
vecteurs liés. Le vecteur libre défini par (M, N) € E x. E sera noté Mtf . L'ensemble des vecteurs libres
de E sera noté ^ .
(10) Les couples (M, M) (où M € E ) forment un vecteur libre.
Ce vecteur libre est appelé le vecteur libre nul, et noté "^ .
f n (Toute symétrie centrale de E transforme toute droite A de E en une droite de E , qui est
U1; \ parallèle à A.
(12) Soit (6? et M eE . Il existe un point TV eE et un seul tel que MU = $ .
Ce point sera noté M + f . Il est immédiat que M -î- Tf = M .
{Soit deux vecteurs liés (Àfi,M2) et (TVj,TV2) tels que Dr(Af!,M2) et Dr(Ni,N2) soient
parallèles, que Mi ^ M2 et Nx ^ TV2 . Alors il existe une unique permutation a G <52 telle
que M!M2 = lV<r(i)jTV<r(2j .
rSoit 4 = {Mi,M2,M3} une droite de E . On a:
388 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Soit £ e t \ {7f} ; pour tout M € E , la direction de Dr(M, M + £) est la même. Nous l'appellerons
direction de £ . On montre alors:
(Soit d une direction de E . Soit A\,A<2,A$ les trois droites de E de direction d ; pour
tout i € [1,3] , soit Ai — {Mi,i,Mit2,Mit3} , la numérotation étant choisie pour que Von ait
MijMij = M2,iM2,2 = Ma,1^3,2 • Il y a exactement deux vecteurs libres de direction d,
(15)
chacun étant constitué de 9 vecteurs liés; ces deux classes d'équipollence sont:
U^lUMit2tMitsh(Mit3tMi,i)tlMitiMil2)} et \4zU(Mi,2lMi,2)1(Mi,lMit3),(Mi,2Miti)}
À partir des propriétés ci-dessus, on détermine card( £*) : il y a 72 vecteurs liés à origine et extrémité
distinctes, donc d'après (15), il y a ^ = 8 vecteurs libres non nuls. Donc card(Tf) = 9 .
On déduit de (9):
(16) /Soit (Mi'M*>M3tNuN2tN3) <E E6 . Si on a MXM2 = WJ^ et M2M3 = f^Nl , aiors
À partir de (16), on voit qu'il existe une et une seule loi de composition interne sur ? , qu'on note
additivement, et qui vérifie la condition: ( V (Mi, M2, M3) € £3 ) MxM2 + M2M3 = M1M3 . Les propriétés
(6) à (16) permettent ensuite de prouver que ("?, +) est un groupe abélien, dont l'élément nul est Tf.
On notera encore T ce groupe abélien. Pour tout (M, N) € E2 , on a Mît + NAi = If . À l'aide de (13),
on voit que l'application
(17) ?x£ —£, (M,0—+M + £
est une action à gauche transitive et libre de T sur E (" libre " signifie que le stabilisateur d'un point
quelconque est réduit à {!?} . Rappelons qu'on dit aussi régulière au lieu de libre.).
On déduit de (14) que pour tout (Af,£) € £ x T , on a M + 3£ = M , d'où 3£ = 7f . Les éléments
non nuls de ~T sont donc d'ordre 3, d'où l'on déduit que t est isomorphe à (Z/3z,+)2 • Soit
F3= {0,1,2 =-1} le corps 2/32 . Le groupe T est muni d'une structure canonique de F3-
espace vectoriel: la loi externe F3 x ~£ x T associe, à tout (A,£) € IF3 x T x ~? , l'élément ( si A = 1 ,
l'élément Tf si A = 0 et l'élément —£ si A = - 1 . On munira ~£ de cette structure de Fs-espace
vectoriel, et cet espace vectoriel sera encore noté T . Le T-ensemble E devient alors un espace affine
sur le corps F3 , et comme card(£) = 9 , on voit qu'il s'agit d'un pian affine.
En définitive, on a prouvé que S est canoniquement un plan affine sur F3 , d'espace directeur ~ê .
Pour tout (M, N) e S2 , on vérifie immédiatement que Msm(N] + MPt = "(f . Par suite, pour tout
M e E , la symétrie centrale sa/ est une bijection affine de E , dont la partie linéaire est l'homothétie de
rapport -1 de T . Notons OA^f) le groupe affine de E et TAf3(£) son sous-groupe des translations.
On sait que le groupe OLf3(£*) est de cardinal 48 , donc Qhf3(E) est de cardinal 48• 9 = 432 . Le sous-
groupe BKf3(E) de GKf3(E) formé des bijections affines dont la partie linéaire est de déterminant 1
(i.e. appartient à 81tf3(?)), est d'indice card(Fj) = 2, donc est de cardinal 216. Le sous-groupe
HTf3(£) de SAf3(£) formé des bijections affines dont la partie linéaire est une homothétie vectorielle est
engendré par les symétries centrales de E et son cardinal est 18 . Il est non abélien (ce groupe est le
groupe des homothéties et translations de E).
Proposition 27.6.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessusf le groupe QKf3(E) est le groupe des permutations de E
qui laissent globalement invariant l'ensemble des droites de E (i.e. qui transforment toute droite de
E en une droite de E ) .
Démonstration :
On sait déjà que toute bijection affine de E respecte l'alignement. Réciproquement, soit a une
permutation de E qui transforme toute droite de E en une droite de E , et montrons que a e QKf3(E) .
En composant a avec une translation convenable de E , on se ramène au cas où a possède un point
fixe O . Plaçons-nous dans ce cas. On posera O = 0\ .
• Si a admet au moins quatre points fixes, des considérations élémentaires d'alignement montrent
que a = Ide .
• Supposons que a ^ Ide et que a admette un point fixe 02 ^ Ox . Alors le point Os = Mi(Oi,02)
est cr-fixe puisque la droite A = {Oi,02,03} est <r-invariante. Les seuls points fixes de a sont donc
Oi,02,03. Soit Mx € E\A, posons M2 = <r(Mx) . Pour t e {1,2}, soit M[ = Mi(Oi,Mt). Par
alignement, on a a{M[) = M'2 . En utilisant (10) (appliqué avec sol ), on voit que les droites Dr(Mi,M2)
et Dr(M[,M2) sont strictement parallèles. Donc la droite Dr(M!,M2) ne rencontre pas A , i.e. lui est
strictement parallèle ( A , Dr(A/i,M2) et Dr{M[,M'2) sont les trois droites d'une direction de E). Il
existe donc une transvection affine r et une seule qui laisse fixe chacun des points Oi,02,03 et qui
envoie Mi sur M2 . Alors r-1 o a est une permutation de E qui respecte l'alignement et qui fixe les
quatre points Oi,02,03 et Mx , donc r"1 o o = Ide , d'où a = r e aAF3(£) .
• Supposons que 0\ soit l'unique point fixe de a . Soit Mi et M2 deux points de E non alignés
avec 0\ . Il existe alors une transvection affine t de E qui fixe 0\ et qui envoie M\ sur M2 • Alors
la permutation 0 = r-1 oa de E respecte l'alignement et fixe 0\ et M\ , donc d'après ce qui précède,
elle appartient à OAF3(E) , d'où a = t 0$ £QKf3(E) ■
Chapitre 27 , § 6
Classification des cubiques projectives non singulières 389
27.6.3 Homographies d'une cubique non singulière
Nous allons maintenant compléter l'étude de la section 24.5.5 et préciser les indications de la
remarque 24.5.2. Revenons à une cubique projective irréductible non singulière C de Proj(V) , d'invariant
modulaire J , définie par (4) dans une base B de V , où / représente dans B l'élément F de (JffV] )3 ,
(18) (7,<5)=<
(0,1) si J = 0
(1,0) si J = l
! / 27J 27 J \ .,,,„,,
Toutes les coordonnées homogènes dont il sera question ci-dessous seront relatives à B . On notera T, U
des indéterminées sur K , et on posera P(T) = T3 + -yT + «5. On a donc 473 + 27<52 ^ 0 .
• Déterminons d'abord les points d'inflexion de C . On notera Te l'ensemble de ces points. D'après
le corollaire du lemme 27.3.1, le est fini, de cardinal < 9. Le point / = wv(e2) appartient à le . La
courbe hessienne V de C est définie dans 8 par
(r ex o 27z \ \
0 -2Z -2Y j =-8(3Xy2+37A-2Z + 9<5A-Z2-72Z3)
l 27Z -2V 27X + 6<5Z J /
On constate bien, comme prévu, que Hessp.s est non multiple de F dans K[X,Y,Z] . Nous poserons
D(T, U) - STU2 + 37T2 + 9ÔT - 72 ; soit Q(T) le polynôme obtenu en remplaçant U2 par P(T) dans
D(T, U), i.e. Q(T) = 3T4 + 67T2 + 126T - 72 . Puisque C est non singulière, on a Xc = C n P . Soit J
l'ensemble des couples (£,t;) g A*2 tels que Q(£) = 0 et r\2 ~ P(Ç) . Pour tout (£,t?) € J , le point AT^(Î,
de Proj(V) de coordonnées homogènes (£,77,1*) appartient à le , et l'application J -*Ic, (C»7?) •-♦ Nii77
définit une bijection de J sur Ic \ {1} . On a -|? = 12P(T) ; soit C une racine de P dans tf : la
tangente T k C au point M de coordonées homogènes (C,0, 1k) passe par / , donc THC = {J,M},
donc M £Ic , donc Q(0 ^ 0 ; cela prouve que Q{T) est séparable et n'a aucune racine commune avec
P(T) , d'où card(jT) = 8 = card(Xc \ {/}) , d'où card(Jc) = 9 . Soit £ une racine de Q(T) dans K ; la
droite projective définie par le polynôme homogène X - £Z passe par / et exactement deux des points
de le : on obtient ainsi quatre droites projectives passant par I, dont la réunion contient le . La
normalisation de l'équation de C sous la forme de Weierstrass (4) aurait pu être faite en remplaçant /
par n'importe quel autre élément de le ; par suite, pour tout point M e Te , les 8 éléments de Te se
répartissent deux par deux sur exactement quatre droites projectives issues de M . On en déduit que
pour tous éléments M\ e le et M2 € le distincts, la droite projective qui contient {Mi,M2} rencontre
Te \ {Mi,M2} suivant un singleton. Les points de le se répartissent donc trois à trois sur un nombre
fini de droites projectives de Proj(V). Soit A l'ensemble des parties de le qui sont l'intersection de
Te avec l'une (nécessairement unique) de ces droites projectives. Il est immédiat que (Je, A) est un plan
affine à 9 points.
Depuis / , on peut mener exactement trois tangentes à C autres que la tangente d'inflexion; leurs
points de contact admettent pour systèmes de coordonnées homogènes dans B les triplets (A, 0, 1k) ,
où P(A) =s 0 ; ils sont donc alignés. On se souvient que la forme quadratique 20^2(/) définit alors une
conique dégénérée, dont l'une des composantes irréductibles est la tangente en / . La matrice hessienne
de F au point / est, d'après (19):
(20)
0 0-2
k0 -2 0;
La conique dégénérée définie par 20f,2(/) est donc représentée dans B par le polynôme -4YZ. La
droite représentée par Z est bien la tangente d'inflexion à C en /, et celle représentée par Y est
la droite d'alignement des points de contact des trois autres tangentes à C issues de / . Cette droite
d'alignement sera appelée l'adjointe de I (relativement à C ), et sera notée /• . Il convient de noter que
/* ne dépend que de l'ensemble le et non de C : en effet, /* passe par les quatre conjugués harmoniques
de / par rapport à chacun des quatre couples de points de le \ {1} alignés avec / . Il est immédiat
que les adjointes de / et de deux autres points d'inflexion alignés avec / sont trois droites distinctes
et concourantes; leur point commun ne dépend que de la droite des trois points d'inflexion; ainsi, à
chaque droite A de Te passant par / , est associé un point *A , qu'il est d'ailleurs facile de calculer
explicitement (en utilisant la matrice hessienne (19) en un point d'inflexion), et que nous appellerons
le C-pôle de A ; lorsque A décrit l'ensemble des quatre droites de Te passant par / , les points *A
obtenus sont distincts, et il est immédiat que ces quatre points sont alignés sur /* . On en déduit:
{Depuis chaque point d'inflexion V de C , on peut mener à C exactement trois tangentes
autres que la tangente en ce point d'inflexion. Les trois points de contact de ces tangentes
sont alignés sur l'adjointe V* . Les C-pôles des quatre droites de Te passant par V sont
alignés sur l'adjointe de V .
L'ensemble Te engendre une configuration projective remarquable de Proj(V) , dont certains
éléments sont associés à Te seul et dont d'autres dépendent de C (la distinction n'est pas artificielle,
car nous verrons plus loin qu'il existe une infinité de cubiques non singulières qui admettent Te pour
390 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
ensemble de points d'inflexion). Les douze C-pôles des droites de le et les vingt-sept points de contact
des tangentes non inflexionnelles à C issues des points d'inflexion forment un ensemble de trente-neuf
points associés à à C , alignés sept à sept sur les neuf adjointes des points de le . Ces neuf adjointes, qui
concourent trois à trois en douze points, forment la configuration duale d'un plan affine à neuf points.
De façon précise, soit Ac l'ensemble des droites du plan affine à 9 points le et soit ZJ l'ensemble des
adjointes des points de le . Appelons droite de ZJ une partie à trois éléments formée de trois droites
projectives de Proj(V) concourantes; soit Ac cet ensemble de droites. Alors (X£,/l*) est un plan affine
à 9 points. Convenons d'identifier A* avec l'ensemble des douze C-pôles des éléments de A au moyen de
la bijection A ►-► *A . La bijection Te —► l£ , M »-» M* est affine; elle se comporte comme une corrélation:
pour tout (Af, A) e Te * Ac , on a M € A ssi *A € M* , donc cette bijection transforme des points alignés
de le en droites projectives de Proj(V) concourantes, et des droites de le concourantes en points
projectifs de Proj(V) alignés.
• Nous allons maintenant étudier le sous-groupe <Sc de POL^(Vr) formé des homographies h qui
laissent C globalement invariante. Notons Vtzc Ie sous-groupe de VQLk(V) formé des homographies
qui laissent Te globalement invariant. L'action naturelle de 9€jc sur Te est fidèle, en raison du théorème
27.1.1, car il est immédiat qu'il existe dans Te quatre points tels que trois quelconques d'entre eux soient
non alignés. D'après l'invariance projective de la notion de point d'inflexion, on a <êc c V€xc .
La représentation par permutations associée à l'action de Vtjc sur Te définit un isomorphisme de
3€jc sur un sous-groupe, qu'on notera S$zc > du groupe des permutations de Te • L'image de <Sc par
cet isomorphisme sera notée 0c . Comme toute homographie de Proj(V) transforme toute droite
projective en une droite projective, on déduit de la proposition 27.6.1 que Sfy jc c GA r3(Tc) .
L'homographie sj de Proj(V) dont une matrice dans B est diag(l/c, -1/c, 1/c) appartient à <âc ,
et induit sur Te la symétrie centrale s/ . Donc s/ e 0 c • Comme tous les points d'inflexion de C jouent
le même rôle, on en déduit que toute symétrie centrale de Te appartient à 0 c • Donc HTf3(Jc) C 0c •
En conséquence, le groupe 0c opère transitivement sur Te (cette transitivité était visible directement,
puisque pour tout point /' € Te , il existe une base B' de V dans laquelle C est définie sous la forme
(4)-(19)). Notant Sj le stabilisateur de / dans 0c , il est maintenant clair que 0c est le produit
semi-direct de TAf3(Te) et de 5/.
Dans ce qui suit, on notera i* (resp. iK ) une racine quatrième (resp. troisième) primitive de lj<
dans K , fixée une fois pour toutes. Pour tout (A,/i) € (K*)2 , on notera d\^ l'homographie de Proj(V)
dont la matrice dans B est diag(A,/x, \k) . Si d\^ 6 3Cjc , on notera dx(/1 l'image canonique de d\tfi
dans 9€zc ,
Proposition 27.6.2
Avec les notations ci-dessus, le groupe Si est 2-cyclique, engendré par s/ , si J £ {0,1} ; il est
A-cyclique} engendré par d_lA.lA. , si J = 1, et il est 6-cyclique, engendré par dj _lK , si J = 0 .
Démonstration ;
On a toujours s/ e Sj . Si J — 0 (resp, si J = 1 ), il est immédiat que d^lK±K e <êc , d'où
d.lKtlK € 0c (resp. a^.-i* € 0C ).
Réciproquement, soit a e Sj . Soit h l'élément de <Sc qui induit a sur Te , et soit u e OLk-(V)
telle que u. = h . Alors h(I) — ï et Fou est A"*-proportionnel à F ; de plus, h laisse globalement
invariante la tangente à C en J ; on en déduit facilement, en se plaçant dans la base B , que h est
de la forme d\^ avec (A,/i) e (K*)2 . Si J $ {0,1} , les seuls couples (A,/x) possibles sont (1k,1k) et
(l/c-l/c) > donc 5/ est 2-cyclique engendré par s/ . Si J = 1 , les seuls couples (A,/i) possibles sont
(ltf,lK),(ltf5-lK),(-ltf,iff),(-ltf,-iK') , donc Si est 4-cyclique, engendré par àiKl-iK . Si J = 0 ,
les seuls couples (A,/x) possibles sont (1*-, 1*), (Ik-,-1*-)» J*. !*). (Jk-,-1*), Jjo ^)» (^/o-1*) » donc 5'
est 6-cyclique, engendré par d-jK,_ljc ■
Corollaire
Dans les conditions ci-dessus, le groupe 0c est égal à HTf3(Xc) si J £ {0,1} , donc est alors de
cardinal 18 ; il admet HTf3 (le) comme sous-groupe distingué d'indice 2 si J = 1 , donc est aJors
de cardinal 36 ; et il admet HTf3(Xc) comme sous-groupe distingué d'indice 3 si J = 0 , donc est
alors de cardinal 54 .
27.6.4 Configurations de Hesse et groupe de Hesse
Conservons toutes les notations et hypothèses ci-dessus introduites depuis (18). Dans Proj(V) ,
nous appellerons configuration de Hesse toute partie S de Proj(V) à 9 éléments possédant la
propriété suivante: toute droite projective de Proj(V) qui passe par deux points de S rencontre S en
exactement trois points. Les traces sur un tel ensemble E des droites projectives de Proj(V) définissent
sur S une structure de plan affine à 9 points. Nous identifierons une configuration de Hesse $ avec le
plan affine à 9 points qu'elle définit, et nous noterons ^ le groupe des homographies de Proj(V) qui la
laissent globalement invariante. Comme il y a au moins 4 points de $ dont trois quelconques ne sont
pas alignés, le groupe Sfr est canoniquement isomorphe au groupe de permutations de 3> qu'il induit
(théorème 27.1.1): ce dernier groupe sera noté fi*.
D'après ce qu'on vient de voir, pour toute cubique projective irréductible C de Proj(V) non
singulière, l'ensemble Te des points d'inflexion de C est une configuration de Hesse, ce qui prouve
l'existence d'au moins une telle configuration. Il est immédiat que toute homographie h e PGLjc(V)
transforme une configuration de Hesse S en une configuration de Hesse, et que Wh(*) = h^h~l .
Chapitre 27 , § 6
Classification des cubiques projectives non singulières 391
En fait, nous allons voir qu'il y a une seule PQL/c(Vr)-orbite de configurations de Hesse. Pour cela,
fixons une base fî = (ei,e2,e3) de V . On vérifie que l'ensemble {A0, Ai, A2,B0,Bi,B2,C0,Ci,C2}
suivant, qu'on notera $B » et ou chaque point est repéré par un système de coordonnées homogènes dans
B , est une configurations de Hesse, que nous appellerons la B-conûguration de Hesse standard:
(22)
A0: ( 0,-1,1)
B0 : (-1, 0,1)
Co : (-1, 1,0)
Ai: ( 0 ,-jjpl)
Bi : (-j*. 0 ,1)
Ci : M*, 1 ,0)
A2: ( 0 ,-:)*,!)
M*, 0 ,1)
B2
C2
Mîr. 1 .°)
Théorème 27.6.2
Étant donné deux configurations de Hesse de Proj(V) , il existe au moins une homographie qui
transforme l'une en l'autre.
Démonstration:
Toutes les coordonnées homogènes utilisées dans cette démonstration seront relatives à la base B.
On notera X, Y, Z des indéterminées sur K .
Soit i une configuration de Hesse. Fixons une direction de i, et soit {Aq,Ai,A2} , {Bo,Bi,B2} et
{Co, Ci, C2} les trois droites de £ de cette direction, la numérotation étant choisie de façon que les droites
Dr(A0)Bi) et Dr(j4i,B0) de £ soient parallèles et que le point commun à Dr(A>,£0) et Dr(^i,Bi) s0^
C0 . D'après la géométrie d'un plan affine à neuf points, et quitte si nécessaire à permuter la numérotation
de Ci et C2 , les droites de $ sont alors nécessairement:
(23)
( Al^{A0,B2)C1}
^ = {B0,A2,C2}
{A0,AuA2} ;
{A0,B0,C0} i
A2^{Al)B0,Cl}
{Bo,Bi,B2}
Mi,Bi,C0}
43 = {A2,Bi,Ci}
^3 = {B2,Ai,C2}
{Co,Ci,C2}
{A2)B2)C0}
Soit /i G POL/f (V) telle que h(A0) = A0 , /i(Ai) = Ai , h(B0) = B0 et /i(Bx) = Bi (théorème 27.1.1).
Alors par alignement, on a /i(C0) = C0 •
• Montrons d'abord que h{A2) n'est pas le point P de coordonnées homogènes (0,1,0) ; raisonnons
par l'absurde: si on avait h(A2) = P , par alignement avec Co , le point h(B2) serait nécessairement
le point Q de coordonnées homogènes (1,0,0). D'après (22), les trois droites projectives contenant
respectivement {h(Ao),h(B2)} , {h(Ai),h(Bo)} et {h(A2), /i(Bi)} devraient avoir un point commun. Or
elles sont respectivement représentées dans B par les polynômes: Y -Z , X + ]2KY + Z , X + jKZ , et on
voit bien que ces polynômes sont AMinéairement indépendants, ce qui est absurde, donc h(A2) ^ P . On
en déduit (à cause de l'alignement avec Co ) l'existence de A € K \ {-l,-j/f} tel que h(A2) et h(B2)
admettent respectivement les systèmes de coordonnées homogènes (0, A, 1) et (A,0,1) .
• Les polynômes qui représentent les droites projectives contenant respectivement {h(A0),h(B2)} ,
{/i04i),/i(£0)} et {/i(i4a)f/i(£i)}f sont: -X + XY + \Z , X + î\Y + Z et j^AX - Y + \Z . D'après
(67), ces droites doivent avoir un point commun, ce qui entraîne, en annulant le déterminant des trois
formes linéaires, 2j^.A2+ 3^-1 = 0, donc A€ {-J^'i^A-} • Si A = ^j^ , on considère l'homographie
W € POLjc (K) représentée dans B par la matrice:
( iK o o
o jK o
1 1 -i* J
et on constate que l'homographie h! o h envoie respectivement Aq , Ai , A2 , B0 , Bi , B2 sur A0 ,
A2 , Ai , B0 , B2 , Bi , ce qui, à une permutation près, ramène au cas où A = -j^ . Nous traitons
donc le cas où A = -i2K ; or dans ce cas, il est clair que h(A2) = A2 et h(B2) = B2 ; par alignements, on
en déduit immédiatement que h(Ci) = Ci et h(C2) = C2 , donc h transforme $ en la ^-configuration
de Hesse standard ■
D'après le théorème 27.6.2, pour étudier le groupe des homographies d'une configuration de Hesse,
il suffit d'étudier le groupe des homographies de la ^-configuration de Hesse standard. Nous allons nous
atteler à cette tâche.
Pour tout m € K , soit Gm l'élément de (K[V])3\ {0} défini dans B par le polynôme:
(24) Pm = X3 4- Y3 + Z3 - 3mXYZ
et soit Cm la courbe algébrique projective de Proj(V) définie par Gm . On posera en outre ^ = XYZ
(où oo = ook ), on notera C» l'élément de K[X,Y,Z] représenté par #«, et £«, la courbe algébrique
projective qu'il définit. Il est clair que C» est décomposée en lesjrois droites joignant deux à deux les
points zuv{e\), voy{e2) et cav(e3) . Il est clair que si {m,m!) 6 K x K et m ^ m' (où K = K u {oo} ),
alors Gm et Gm' sont non if*-proportionnels. On a
(25)
?ïg-=3(X2-TnYZ) ; ^=3(Y2-mZX)
ÔZ
= 3(Z2 - mXY)
392 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
d'où immédiatement:
(26) Hess8(Gm) = -54 (m2(X3 + Y3 + Z3)) + (4 - m3)*yZ
Les polynômes définis en (25) sont tous non nuls, et on voit que les trois courbes algébriques projectives
qu'ils définissent ont une intersection non vide ssi m3 = 1 . On en déduit, à l'aide du corollaire du
théorème 27.2.2, que si m3 ^ 1, alors Gm est irréductible, puis, que Cm est irréductible et non singulière.
Si m = <€ {!*, jtf,:)*} , on a:
(27) *< = (* + C2^ + C2Z)(X + C2 iKY + C2^Z)(X + C2 i2KY + C2 iKZ)
donc Q est décomposée en trois droites n'ayant aucun point commun. Les composantes des 4 courbes
^G*, et Sfcc pour C € {1, jjo j2?} sont les douze droites projectives dont les traces sur $B sont les
droites affines de $B .
On déduit de (26) que si m € K*\ {1, jK, i*K} , alors l'ensemble des points d'inflexion de Cm est $B ,
la ^-configuration de Hesse standard.
Proposition 27.6.3
Avec les notations ci-dessus, si F € (K [V] )3 \ {0} est tel que $B c &f , il existe un unique élément
m € K tel que F soit K*-proportionnel à Gm . En conséquence, l'ensemble des cubiques projectives
irréductibles de Proj(V) contenant $B est {Cm} , où m décrit K*\{l,lK,i2K} .
Démonstration :
Soit * l'élément de K[X,Y,Z) qui représente F dans S. Si le polynôme # est non irréductible,
il n'admet aucun facteur irréductible de degré 2 donc est nécessairement décomposée en trois droites
distinctes, car les points de $B sont (projectivement) alignés trois à trois, et sur une conique irréductible,
il n'existe pas trois points alignés (théorème de Bezout faible); il en découle que &f € {£«>} U {Q}^3=1 .
On en déduit aisément que F est K*-proportionnel à G» ou à l'un des Gç , où £3 = 1 .
Supposons maintenant que F est irréductible; alors # n'est divisible par aucun des polynômes X ,
Y , Z . Les ensembles 3ynS/x , 3>rï6fy et Sff-nSfs sont finis, donc on peut fixer Mo € ^f\(^x^^yuSfz).
Soit (X0)Y0)Zq) un système de coordonnées homogènes de M0 dans B. On a A"0V0Zo ^ 0 ; posons
mo= 3T^^(*o+yo3 + zo) • Ona Gmo(Af0) = Pmo(Xo, *b,Zo) = 0 , donc {Af0}u*B c Cmo n$PF . Comme
F est irréductible et card({M0} U^s) = 10 , le théorème de Bezout faible montre que F et Gmo sont
K*-proportionnels (et donc Gmo est irréductible) ■
L'ensemble 9B des courbes Cm quand m décrit K s'appelle le 5-faisceau linéaire de Hesse (de
cubiques). D'après la proposition 27.6.3, ce faisceau est globalement invariant par le groupe 7ife .
De plus, H)a est le sous-groupe de FQLjf(V) qui laisse le faisceau 9B globalement invariant.
L'application K —► &B, m *-*■ Cm est bijective. L'action à gauche naturelle du groupe K$g sur 9B se
traduit par des morphismes de groupes
(28) H}b-^<B9b, h—><Th -, H}e—+<Skl /ih-^
Rappelons que $)%, est l'image naturelle de H$B dans le groupe 6>g; : ces deux groupes sont canoni-
quement isomorphes, l'isomorphisme canonique associant à toute homographie h de Proj(V) qui laisse
€ $B stable, la permutation induite par h sur $B . Comme HTf3(^b) c 9}% , le groupe #£e est
transitif sur $B , donc le groupe Hf est transitif sur $B . L'étude détaillée de l'action de Ka sur $B
est facilitée par le calcul de l'invariant modulaire des cubiques irréductibles du faisceau &B .
Proposition 27.6.4
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit me^\{l,j^,j^}. On a J(Co) = 0 , et, si m € K* :
_ (m3 + 8)3m3 _ f(m3+S)m\3
{ m) 64(m3 - l)3 " V 4(m3 - 1) )
Démonstration:
• Cas où m = 0
La cubique C» est représentée par Vq = X3 + Y3 + Z3 ; soit a une racine cubique de ^ et 6
une racine carrée de - ^ dans K . Le changement de variable linéaire qui transforme (X, y, Z) en
{bY + Z,bY - Z,aX) transforme V0 en la forme £{-Y2Z + X3 + Z3) , d'où immédiatement J(C0) = 0 ,
puisque C0 est définie dans une certaine base de V par la forme de Weierstrass -Y2Z + X3 + Z3 (la
cubique C0 est équiharmonique).
• Cas où m ^ 0
Le changement de variable linéaire qui transforme (X, Y, Z) en (X + Y, X - Y, Z) transforme ^m en
(29) Wx = 2X3 - 3mX2Z + Z3 + (6X + 3mZ) Y2
Le changement de variable linéaire qui transforme (X,Y,Z) en (A", Y, -^{-SX + Z)) transforme VTi en
-VT2 , où W2 est donné par:
(30) w^-Y'Z + S^-ljx'+^-^X'Z+^XZ'-^Z*
Chapitre 27 , § 6
Classification des cubiques projectives non singulières 393
Soit p une racine cubique de 8 ™m3) dans K . Le changement de variable linéaire qui transforme
(X,Y,Z) en (pX,Y,Z) transforme W2 en
(31) W3
-^^H1"?)^1^"
27m3
Pour arriver à une forme de Weierstrass, il reste à opérer une translation sur % . Le changement de
variable linéaire qui transforme (X,Y,Z) en (X - ^-(1 - -£s)Z, Y, Z) transforme W3 en W4 , où:
(32)
( w4 = -y2z + xB + 7xz2 + *z3
7--3m^i(16'8m +m)^ -2m)-24(m3-l)
6 - 27^ ("m6 + 6(4m3 " m<V + (~128 + 96m3 " 24m6 + 2m9)^) = "w^l")'
(le passage des deuxièmes aux troisièmes expressions de 7 et 6 de (32) se fait en utilisant p3 = 8 ™m3) ).
L'invariant recherché est donc, après simplifications, J(Cm) = 4yy?276i — ^(mS-iT3 "
Pour ce qui va suivre, il est utile de rappeler la nature du groupe PSL(2, F3) . L'action naturelle du
groupe OL(2,F3) sur l'ensemble G\ des quatre F3-droites vectorielles de F?, correspond à un morphisme
de groupes OL(2,F3) —► (Sç, dont le noyau est isomorphe au groupe multiplicatif Fj ; ce morphisme
induit donc un morphisme injectif POL(2, F3) -♦ &Çl , qui correspond à une action fidèle de POL(2, F3)
sur £i(F3) ; comme card(POL(2, F3)) = card(©ç,) = 24 , ce dernier morphisme est un isomorphisme. Il
est immédiat que la restriction de ce morphisme à PSL(2, F3) est un isomorphisme de PSL(2,F3) sur le
groupe alterné 21$, , lui-même isomorphe au groupe tétraédr&l 2C4 .
Soit un plan affine à neuf points S ; le groupe quotient SAf3(£)/OTf (S) est canoniquement isomorphe
à PSLf3(?) , donc au groupe tétraédral.
Nous pouvons maintenant étudier les actions de groupe (28).
Théorème 27.6.3
Le groupe 9y$B est le groupe SApaC^) , donc est de cardinal 216 , et admet HTf3(#b) pour sous-
groupe distingué. Le noyau commun des morphismes (28) est KTf3($B) , et en conse'quence, la
première action de groupe (28) induit une action fidèle du groupe quotient **r3($e)/mr3($0)
(isomorphe au groupe tétraédral) sur la droite projective K = Proj(Â"2) . Cette action est une action
par homographies. Dans 9B , il y & deux H$B orbites de cardinal 4 , une de cardinal 6 , et toutes les
autres sont de cardinal 12 .
Démonstration :
Nous noterons 71 le repère affine (Ao;£i,£2) de $B ,011 £1 = A0A1 et e2 = A0Bo . Soit
respectivement /ii et h2 les homographies de Proj(V) dont une matrice dans B est:
diagCJ^.l.l)
1 1 1
** 1 tic
On vérifie que h\ et h2 appartiennent à H^ , et que ç^ et çh2 fixent Ao , leurs parties linéaires
étant respectivement représentées dans la base {ei,e2) par les matrices
(33)
*-(ô I) : *-(:! 0)
Le groupe 8Lf3(^b) est engendré par {TX,T2} . Comme HTF3(^s)c^^b , on voit que SAf3(£b)c 9)$ .
L'involution s de $B qui fixe Ao et dont la partie linéaire envoie ei eur e\ et e2 sur -e2 fixe
A0 et Ai , envoie Bo sur C0 et envoie Bx sur Ci . L'homographie de Proj(V) qui a le même effet
sur les points A0 , Ai , Bo et Bx est h3 dont une matrice dans B est:
( \ 0 (T
0 -j„ 1
On constate que /i3(C0) £ $B , donc h3 £ HpB , d'où QKf3($B) ^ $ry$ . L'indice de SAf3(£b) dans
G*f3 ($b) étant 2 , il en découle que 9}g = SAf3 {$b) • Remarquons que cette partie de la démonstration
n'a pas nécessité la connaissance des invariants modulaires J(Cm)
On sait que quel que soit m € K \{l,iK,i2K} , le stabilisateur de Cm dans H}B contient le groupe
HTf3(^b) » lui est égal ssi J(Cm) $ {0,1} , est de cardinal 36 si J(Cm) = 1 et de cardinal 54 si J(Cm) = 0 .
Par (32), on a J(Cm) = 0 ssi m € Rq = {0, -2, -2iK, -2j£} , et j(Cm) = 1 ssi m6 - 20m3 - 8 = 0.
Soit r une racine carrée de 3 dans K ; alors des racines cubiques de 10 + 6r et de 10 - 6r dans K
sont respectivement ui — 1 + r et u2 = 1 - r . L'ensemble des racines de X6 - 20À"3 - 8 dans K est
Ri = {<*>i, djfWi, i*KviiV2i j/c^, i]cu2) • Ainsi, pour tout m e K\ ({l.d^.dj'} UiîoU -Ri) , le stabilisateur
394 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
de Cm dans H$B est V2fz($B) ; a fortiori, le noyau commun des morphismes (28) est KTf3($B) . Soit
h G H$B , défini dans B par une matrice (/**,j)<*,j)€Œi.312 € <H*(3, A") • Si m € K , la cubique h'1(Cm) est
définie dans 5 par le polynôme G = &m(hi,iX+ ^^+111^, h2,iX + h2,2Y+ h2,3Z,h3,iX+ h3i2Y+h3i3Z).
On sait que 0 = A^-i(Tn) , avec A € K * ; en développant G , on en déduit l'existence de (a,/?, 7,6) € A"4
indépendant de m \el que 0 = (am + (3){X3 + Y3 + Z3) - 3(7m + S) XYZ ; comme a est injectif,
nécessairement q6 - Px^1 ° • H en découle facilement que dans tous les cas, ç^"1(m) est l'image de m
par l'homographie de K définie par la fraction rationnelle ^y+f • ^e*a Prouve Dlen que l'action (28)
de 7ifB sur A" est une action par homographies.
La formule de l'orbite montre immédiatement que la H$B-orbite de Cm est finie et de cardinal
^ = 12 si m € K\({l,iK,i2K}uRo uRi), de cardinal ^ = 4 si m e Ro et de cardinal ^ = 6 si
m € -Ri . L'ensemble {Cm}m^00(1 j j2 ^ est réunion d'orbites (c'est l'ensemble des cubiques décomposées
du faisceau). On a /ii(Ci) = C^K,hi(C^K) = C^ ,/ii(Cj2 ) = Ci,MCoo) = c°° et MC») = Ci , d'où Ton
déduit que {Cm}mej^ij j* \ est une orbite. Le stabilisateur de Cm pour m € {00,1, j^-, j^} est donc de
cardinal 54 : les cubiques décomposées du faisceau se comportent comme des " cubiques équiharmoniques
dégénérées". Le lecteur vérifiera que quand m décrit Ro (resp. Ri , resp. {00, l,jK,j^} ),
l'intersection des stabilisateurs des Cm est HTF3(^B) . ■
Conservons les notations de la démonstration du théorème 27.6.3. D'après le théorème 27.6.9
(appliqué au plan affine à 9 points formé par l'ensemble des points d'inflexion d'une cubique irréductible non
singulière), toute cubique irréductible non singulière de Proj(V) est homographiquement équivalente à
au moins une cubique du faisceau ^5 . Si J € K , il découle de (5) que l'ensemble des cubiques Cm pour
m € K \ {1, jjp i2K) tel que J(Cm) = J est une H^e-orbite. D'après la proposition 27.6.4, l'ensemble des
m correspondants est l'ensemble des racines dans K du polynôme Qj(X) = (À"3 + 8)3X3 -647(A"3 - l)3 .
Ce polynôme admet donc 12 racines dans K (i.e. est séparable) ssi J # Ro u Ri ; s'il en est ainsi, il est
clair que
(34) OjW» Yl (X_m)
J(Cm)=J
Le polynôme Qj admet 6 racines dans K ssi J = 1, et en admet 4 ssi 7 = 0. On vérifie facilement:
(35)
Q0m=((X3 + 8)X)3= (n(X~°) ; Çi(*)=(*6-20*3-8)2= (I1(X~0)
(36)
Soit m€/f\({l,jj0:J^}uJRoUJRi),et soit T une transversale à gauche de H}B modulo le sous-groupe
dont l'image canonique est HTf3(^b) . Un calcul qui nécessite un peu d'attention donne:
(Qj<cm>W«I][(*-Çh(ro))
CeCU*,^} X K J
Considérons l'ensemble {(/c)ce{i,j ,ja }'(*K.»i)<ç,ii)€{ij ,j2}2} d'éléments de K(X) défini par:
(37) MX) = (X ; gc,T7W = C7?(^^7?)
Cet ensemble définit un sous-groupe d'homographies de K qui n'est autre que l'image du second mor-
phisme (73). D'après le théorème 27.6.3, ce groupe est isomorphe à 8*r3($B)/wrl3($B) , donc au groupe
tétraédral 2l4 . Pour son action naturelle sur K , il admet deux orbites à quatre éléments, une orbite à
six éléments, et toutes les autres orbites ont douze éléments. Les orbites à 4 ou 6 éléments sont dites
singulières. Ce sont (avec, rappelons-le, r2 = 3 , c^i = 1 + r et <ja = 1 - r ):
(38) Rn = {oo/r,lJ^,J^} ; ^0 = {0, -2, -2lK) -2j*} ; R1 = {wlf lKuu j^i,a;2, 1klj2, j*wa}
Remarque 27.6.1 :
Soit # une configuration de Hesse de Proj(Vr) . Soit D une droite projective de Proj(V) ne
rencontrant pas $. En considérant la structure affine canonique de Proj(V) \ D , on conclut que dans
tout #-plan affine £ , il existe une configuration de Hesse affine (c'est-à-dire, un pian affine à neuf
points dont les droites affines sont les traces des droites affines de S). En revanche, il n'existe pas de
configuration de Hesse euclidienne. C'est une conséquence du lemme général suivant, dont nous avons
emprunté la démonstration à M. Hée:
Lemme 27.6.1
Soit S un espace affine euclidien de dimension n > 2 . Soit M une partie unie de S de cardinal
> 4 telle que pour tout (M, N) € M x M avec M ^ N , la droite affine de S passant par M et N
rencontre M \ {M,N} . Alors M est aligné, c'est-à-dire est contenu dans une droite affine de S .
Chapitre 27 , § 6
Classification des cubiques projectives non singulières 395
Démonstration :
Notons d la distance de S. Soit M? l'ensemble des parties à deux éléments de M . Pour tout
7 € M2 , notons D7 la droite affine de E contenant 7 .
Raisonnons par l'absurde, en supposant M non aligné. L'ensemble r des couples (M,7) € M* M2
tels que M £ D7 est alors non vide et fini. À chacun de ces couples (M, 7) , associons le réel /(M, 7)
égal à la distance euclidienne de M à D7 . La fonction / : r —► R+ admet un minimum /1 > 0.
Soit (Af0,7o) € J" tel que /(M0,7o) = ^- Soit 70 = {N0,P0} . D'après l'hypothèse, on a un point
Qo € M \{N0,Po} tel que Q0 € P70 . Notons m0 la projection orthogonale de M0 sur P70 . Parmi
les points N0,P0,Q0 , il y en a au moins deux sur une même demi-droite fermée de X>70 d'origine
mo ; quitte si nécessaire à modifier les notations N0,P0lQo , on peut supposer que P0 et Qo sont
sur une même demi-droite de D70 d'origine m0 et que d(M0)Q0) < d(m0,Qo)« Soit k = jjit/°^o)
et l = jlPoffi) . Ona 0< Jt<l et 0</< 1. Des considérations élémentaires donnent alors
f(Po,{M0)Q0}) - £• /(m0,{A/o,Qo}) = ** • /(Mo>7o) = ^/z < /z, ce qui est absurde. Donc AI est non
aligné ■
Lorsque K — C , la configuration formée par les trois orbites singulières (38) est remarquable, elle
est représentée figure 1 ci-dessous (où l'on a pris r = y/3):
Figure 1
Pour ne pas encombrer la figure, nous avons seulement marqué, sans les
étiqueter tous, les sommets de l'hexagone régulier {i.KAKlK,iKitK<-LK,-LKlK,-i.KJlK)
27.6.5 Sous-groupes de n-torsion d'une cubique non singulière
Revenons à une cubique non singulière C définie par (4) dans une base B = (£i,£2>£3) fixée de
V , dont nous noterons (#1, #2 > ^3 ) la base duale. Toutes les coordonnées homogènes utlisées seront
relatives à B . Notons L = K(C) ; c'est un corps de fonctions algébriques d'une variable sur K ,
de genre 1 . Pour toute forme linéaire non nulle rp e V* \ {0} , notons V$ la droite projective de
Proj(V) de cône projetant Ker(^) . Pour toutes formes linéaires non nulles <p, rp sur V , soit G^^
l'image canonique dans L de •£ . Pour tout (ij) € |[1,3]2 , soit giti = GXifXi ; on pose x = 01]3 et
y = 92,3 . Le if-plan affine dont (£35^1,^2) est un repère sera identifié à son image canonique dans
Proj(V) , qui est le complémentaire de la droite à l'infini VX3 . La bijection canonique SRj<(Z,) -♦ C
donnée par le théorème 27.5.1 sera notée Q : v »-► Ov . Le C-centre Ov de v sera simplement appelé
son centre. Nous avons vu à la section 24.5.5 que 8Rk(L) est munie d'une loi canonique de groupe
abélien, que nous noterons ffl ; l'élément neutre e = Uoo est la valuation de centre /, unique point à
l'infini de C , de coordonnées homogènes (0,1,0), et qui est un point d'inflexion de C . La bijection fl
transporte la loi de groupe de SRk-(L) en une loi de groupe abélien de C , qu'on note + , dont l'élément
neutre est / . Rappelons que la loi ffl est caractérisée par:
(39) Vi fflv2 fflv3=e <=» v± + V2 + ^3 - 3e € Divpr(L/Ar)
et que si vi , v2 et v3 sont deux à deux distinctes, la condition (39) équivaut à l'alignement des points
Ovl , Ova et 0V3 dans Proj(V) .
Soit A une droite projective de Proj(V) , et soit tp e V*\{0} définissant A . Soit v € SR/c(L) . Pour
toute <p e V* \ {0} telle que Ov $ V^ , l'entier relatif v{G^^) est le même; en effet, soit y?i et <p2 dans
396 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
V* \ {0} avec Ov £ V^ U V^2 ; alors v{G^,2t^) = 0 et G^2ili, = G^^G^^ , d'où v{G^,2^) = v(G^uli,) .
Cet entier ne dépend évidemment que de A . On le notera JV(A,C) - U est clair que l'ensemble des
v € 8RK(L) tels que JV{A,C) ^ 0 est fi~1{AnC) , et que si JV(A,C) ^ 0, alors JV(A,C) > 0 . Le
diviseur positif ^v€gR (L) Jv{A,C)v. sera appelé le diviseur d'intersection de Zl et C , et noté D^c •
Soit v € SR/c(L) tel que JV{A,C) > 1, et soit \p € V* \ {0} telle que Ov $ rdD^ ; en revenant au
théorème 23.3.7, et en tenant compte de la relation (6) de la section 27.3.1, et de la proposition 27.4.1,
on voit facilement que viG^) = 1 ssi V^ n'est pas la tangente en Ov à C .
Proposition 27.6.5
Soit A une droite projective de Proj(V), définie par ip e V* \ {0} . On a D^tc - 3e = div(G*3,,/,) .
En conséquence, le degré de D^tc est 3 .
Démonstration :
Soit v € SR/c(L) . Si v ^ e , on a Ov ^ I, donc Ov $ Vx3 , et alors par définition, les coefficients
de v dans D&c et div(Gx3,j,) sont égaux. Si v = e , on a Ov £ T>x2 , donc le coefficient de e dans
D^c est e{GX2,4>) • Posons £ = Gx2,xx et 77 = G*2l*3 , i.e. £ = f et 77 = ± . On a y2 = x3 + 71 + 6,
d'où 77 = £3 4- 7^r;2 -|- 67?3 . Comme e(£) = 1 et e(rç) > 0 , on voit que e(rj) = 3 . Par suite, on a
e(Gx3,ii;) = e(Gxs,X2) + e(Gx2,ii>) — e(Gx2,\i>) -3, d'où la première assertion. La seconde en découle
immédiatement ■
Compte tenu de la remarque 27.3.1, on déduit aisément de ce qui précède:
Corollaire
Avec les notations et hypothèses de la proposition 27.6.5, on a card(zi n C) = 1 ssi A est la
tangente à C en un point d'inflexion M , et lorsqu'il en est ainsi, D^c = 3v , où v = H'1 (M) ; on a
card(4DC) = 2 ssi A est la tangente a C en un point M non d'inflexion, et lorsqu'il en est ainsi, en
notant AnC — {M,N} et w — i?_1(./V) , on a D^tc = 2ym+w_ ; enfin, on a ca.rd(Ar\C) = 3 ssi A n'est
pas une tangente a C , et lorsqu'il en est ainsi, on a D^tc — v±+V2,+v^ , où {vi,v2,va} = Q~x{Ar\C) .
Dans ce qui suit, pour tout entier n > 1 , nous noterons E(n) le sous-groupe de n-torsion de
(SRfc(.L), E) , i.e. le sous-groupe noyau du morphisme v i-> n • v = v EB-- fflv (somme à n termes).
Rappelons que pour tout point d'inflexion M de C , la droite adjointe de M est la droite
d'alignement des trois points de contact des tangentes issues de M à C autres que celle en M . On la note
M* , et ce n'est pas une tangente à C (voir début de la section 27.6.3).
Proposition 27.6.6
Le groupe E(2) est diédral de cardinal 4 . C'est fi~l({I} U (/• DC)) .
Démonstration :
Soit v € SRjc(L) \ {e} . Soit i> € V* \ {0} telle que Vj, soit la droite A joignant Ov et /. Notons
que 6 n'est sûrement pas la tangente en I à C . Si A est la tangente en Ov à C , on a D&£ —e-\-1y_
(corollaire de la proposition 27.6.5), donc le diviseur 2v + e-3e est principal (proposition 27.6.5), donc
v fflv = e. Réciproquement, supposons que v fflv = e. Soit w l'unique élément de SR/c(L) tel que
D&£ = ê + v + W ; alors les deux diviseurs v 4- w - 2e et 2v - 2e sont principaux, donc par différence, le
diviseur v-w est principal. Cela implique w = v car il n'existe aucun élément de L* ayant un seul pôle
tel que ce pôle soit simple (cf. début de la section 24.5.5: cette assertion y a été déduite du théorème de
Riemann-Roch). Donc A est la tangente en Ov à C (corollaire de la proposition 27.6.5). On a donc
montré que E(2) = J7-1({/} U (7* nC)) . Donc E(2) est de cardinal 4 ; ses éléments étant d'ordre 1 ou
2 , il est diédral ■
Proposition 27.6.7
Le groupe E(3) est de cardinal 9 , donc isomorphe à ( z/3z )2 . C'est Q~1{1) , où X est l'ensemble
des points d'inflexion de C .
Démonstration :
Soit v € SR/c(L)\{e} . Si Ov € T , on a D^>c = 3v , donc le diviseur 3v-3e est principal (proposition
27.6.5), donc v fflv fflv = e . Réciproquement, supposons que v fflv fflv = e . Alors le diviseur 3v~ 3e
est principal, i.e. 3v - 3e = div(/) , avec / € L* . On a / € 2(3e) . Mais 2(3e) est de if-dimension
3 (relation (46), section 24.5.5: c'est encore une conséquence du théorème de Riemann-Roch); on en
déduit qu'une if-base de ££(3e) est (1, y, 1) . On a donc / = ax + by + c , avec (a, b, c) e K3 \ {0} . Notons
rP = aXx + bX2 + cX3 (donc tp e Vm \ {0} ); alors 3v - 3e = div(G*3,^) = DA,C , où 4 = T\, . Donc OveI
et 4 est la tangente en Ov à C (corollaire de la proposition 27.6.5) ■
On peut montrer que pour tout entier n > 1 , le groupe E(n) est fini et isomorphe à ( z/nz )2 , donc
de cardinal n2 (voir par exemple [29]). Lorsque K = C , ce fait découle simplement de la description
du groupe (SR/c(L), m) , qui est alors isomorphe au 2-tore OJ2 (cf. corollaire du théorème 27.9.3).
Pour terminer ce paragraphe, signalons que les cubiques non singulières et certains aspects des
configurations de Hesse sont étudiés dans [6].
§ 27.7 Compléments sur la droite projective
27.7.1 Le birapport
Pour l'instant, le corps de base K est commutatif quelconque. On fixe un if-plan vectoriel V .
Le corollaire du théorème 27.1.1 a montré qu'il existe une seule POL/c(K)-orbite de 3-suites injectives
de Proj(V). Soit (Mi,...,M4) une 4-suite de Proj(V) telle que M x , M2 et M3 soient deux à
deux distincts. D'après ce qu'on a vu à la la section 27.1.5, il existe un isomorphisme projectif et un
seul V : Proj(V) -► K tel que
(1) V(M1) = Oif ; V>(M2) = ooK ; V(Af3) = 1*
Cet isomorphisme envoie M4 sur un élément A de K \ {0/c, 1/c} • On pose:
Définition 27.7.1
Dans les conditions ci-dessus, Vêlement i>{M4) de K (où tp est l'isomorphisme projectif défini par
(1)) est appelé le birapport de la suite (M\, M2, M3, M4) , et sera noté Brp(Mi, Af2, M3, M4) .
Considérons l'action à gauche naturelle du groupe POI#A-(Vr) sur l'ensemble 9&4(Proj(V)) des
4-suites (Mi,M2,M3,M4) de Proj(V) telles que Mi , M2 et A/3 soient deux à deux distincts. Cette
action est régulière en vertu du théorème 27.1.1. Le birapport permet de caractériser les orbites:
Proposition 27.7.1
(I) Dans Proj(V) , soit deux suites (M1,M2,M3,M4) et {NlyN2)N3)N4) élémentsde »4(Proj(Vr)) .
Pour qu'il existe h e VGLK(V) tel que h(Mx) = iVi , h{M2) = JV2 , h{M3) = -/Va et /i(M4) = N4 , il
faut et il suffit que Brp(Mi, Af2,M3,M4) = Brp(JVi, JV2, JV3, JV4) .
(II) Soit A e K ; il existe au moins une 4-suite (Mi,M2,M3,M4) élément de 2ô4(Proj(V)) teiie que
Brp(M!,M2,M3,M4) = A .
Démonstration:
Soit respectivement V et 0 les isomorphismes projectifs Proj(K)^A" qui envoient (Mi,M2,M3)
et (Ni,N2,N3) sur (0/c,oo/c, 1/c) . On a r\ = 0"1 o V> e PQL/c(V) . Si V(M4) = 0(JV4), on voit que t?
transforme la suite (Afi, Af2,M3,M4) en (Ni,N2)N3)AT4) . Inversement, supposons avoir trouvé /i €
POL/c(V) qui transforme la suite (Mi,M2,M3, Af4) en (</V"i,JV2, JV3, JV4) . Alors nécessairement Ôoh = rp,
d'où h = rj, d'où ip(M4) = (0 o h)(M4) — 6(N4) . On a donc prouvé l'assertion (I).
Passons à l'assertion (II). Choisissons une base (ei,e2) de V . Posons:
(2) Mi=G7v(e2) ; M2=wv{^\) ; M3 = w(ei -I- e2) ; M4 = w(Aei+e2)
On vérifie que Brp(Af!,M2,M3, Af4) = A . On remarquera que des systèmes de coordonnées homogènes
dans B des M» ainsi définis sont, dans l'ordre: (0,1); (1,0); (1,1); (A, l) (où 0 = 0*- et 1 = 1/c ) ■
Soit une base #=(ei,e2) de V. Soit une suite (Mi,M2, Af3, Af4) élément de ^4(Proj(V)) . Pour
tout i € [1,4] , soit (Xi, Yi) un système de coordonnées homogènes de M» dans B . Nous allons expliciter
la valeur de A = Brp(Mi, M2, M3,M4) . Pour tout (i,j) € [1,4]|2 , notons Aij le déterminant XiYj-XjYi .
Par hypothèse, A2>3 , A3,i et Aii2 sont ^ o . Soit Oi = t*7v(e2) , 02 = &v(ei) et 03 = tzv(ei + e2) .
Les définitions montrent que l'homographie i\ de Proj(V) qui envoie (Mi,M2,Af3) sur (Oi,02,03)
envoie M4 sur tz7v(Aei -l-e2) si A ^ oo/c , et sur wy(ei) si A = oo/c . Une matrice de ij dans 0 est:
2,3 -^1^2,3
L,3 X2A\
Donc un système de coordonnées homogènes de rç(M4) dans B est {Aii4A2>3, ^1,3^2,4) ,
( -na23 Xj^a.a ï
d'où:
(3)
Brp(M1,M2,M3,M4) = <
Ai,4A2<3
AÏ<3A2A
X\ X4 I
n ni
-^1 ^31
Y1 Y3 1
00/e
1*2
\Y2
\x2
1 Vb
*3
v3
*4
v4
si Af4 = M2
En convenant de poser ^ = oo* pour tout a e A"* , la première formule (3) est valable dans tous les
cas. Si les M» sont tous distincts de N2 (i.e. si Yi ^ 0 pour tout i), notons x{ = y>- pour tout i
(autrement dit, x< est la coordonnée de ta^(Mi) relativement au repère affine (e2;ei) de la droite
affine de V d'équation <p = 1/c , où y> désigne la forme linéaire sur V" nulle en ei et valant 1/c en
e2 ). La première formule (3) s'écrit alors, en notant " : " la division dans K* :
(x4 ~xl){x3 -x2)
(4)
Brp(A/x, M2,M3,M4) =
X4 — X\ X3 — Xi
x4~x2 x3~x2 (x4 - x2){x3 - xi)
La formule (4) justifie le nom de birapport.
Soit maintenant deux A-plans vectoriels Vi et V2 . On dit qu'une bijection / : Proj(Vi) -► Proj(V2)
conserve le birapport ssi on a Brp(/(Af1),/(Af2),/(Af3),/(M4)) = Brp(Mi, Af2,M3,M4) pour toute suite
(M»h<t<4 élément de ^(Pro^V)) .
398 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Proposition 27.7.2
Soit deux K-plans vectoriels V1 et V2 . Pour qu'une bijection h : Proj(Vi) -» Proj^) soit un
isomorphisme projectif, il faut et il suffit qu'elle conserve le birapport.
Démonstration: _
Il suffit de la faire lorsque Vi = V et V2 — K . Plaçons-nous dans ce cas. La condition est nécessaire
en vertu de la proposition 27.7.1. Réciproquement, supposons que h conserve le birapport. Soft
Mi = /i-1(0/c) , M2 = h~1(ooK) et M3 = /i-^l*). Soit 77 la bijection projective Proj(V) -► K
qui envoie (Mi,M2,Àf3) sur (0/c,cx)/c, 1k) • Les formules (3)-(4) montrent immédiatement que pour tout
A € K , on a Brp(0/c,ocjc,lf<:, A) = A . On en déduit que 77 n'est autre que l'application
Proj (V) —- K, M .— Brp(M!, Af2> Af3, M)
Pour tout M e Proj(V) , on a
Brp(0/c, ook, I/o M A*)) = Brp(Mi, M2, M3, M) = Brp(0/o oc*, l/c, r?(M))
d'où t?(M) = h(M) . Donc /i = r\, et /i est bien une bijection projective ■
Rappelons qu'une homographie h € VQLk(V) distincte de l'identité a au plus deux points fixes (cf.
(5), section 27.1.1). Lorsqu'elle en a deux, la notion de birapport permet de la décrire:
Proposition 27.7.3
(I) Soit h € POLfc(Vr)\{IdProj(V)} ayant deux points fixes Mx et M2 distincts. Il existe un unique
scalaire A e tf \ {0,1} tel que Brp(M1,M2,A/,/i(M)) = A pour tout M € Proj(V) \ {Mlt M2) .
(II) Inversement, soit M\ et M2 deux points de Proj(V) distincts, et soit A € K* . Il
existe une homographie et une seule h € POLk(V) telle que Brp(Af!,M2, Af, h(M)) = A pour tout
M € Proj(V) \ {Mi,M2} . Cette homographie est distincte de l'identité ssi A ^ 1 . C'est une
involution distincte de l'identité ssi K nfest pas de caractéristique 2 et A = -1 .
Démonstration :
• Assertion (I):
Choisissons une base B = (ei,e2) de V telle que M\ = 07^(^2) et M2 = tav(ei) . Les matrices
dans B des automorphismes de V au-dessus de h sont diagonales. Soit diag(a,6) l'une d'elles. Soit
M = wv(e2+zei) , où z € K* . Alors /i(M) = cav(e2 -I- §z) . D'après (3), on a Brp(Mi,M2,M,/i(M)) = A ,
avec A = 5 • Il est clair que A ^ 0 , et on a A^l car h n'est pas l'identité. L'unicité de A est évidente.
• Assertion (II):
Choisissons la base B de V comme ci-dessus. L'unicité de h est évidente. On vérifie que
l'homographie h issue de l'automorphisme de V dont une matrice dans B est A répond à la
question. On a ho h = IdPr0j(v) ssi A2 = 1 , donc h est une involution distincte de l'identité ssi A = -1 et
-1^1, cette dernière condition signifiant que K n'est pas de caractéristique 2 ■
Homographies d'une partie de Proj(V) à quatre éléments
Soit (Mi,Af2, Af3,M4) une 4-suite injective dans Proj(V) . Notons A = Brp(Mi, Af2,M3,M4) , d'où
A € K \ {O/cl/c} . Nous allons déterminer le sous-groupe de Proj(V) formé des homographies qui
laissent invariant l'ensemble {Mi }i<t<4 . Nous nous bornerons au cas où K est algébriquement clos et
de caractéristique différente de 2 et 3 .
Il découle de ce qui précède que ce sous-groupe est canoniquement isomorphe au sous-groupe r de
©4 formé des permutations a telles que Brp(Mtr(i), Ma(2), Ma(3),M<r(4)) = Brp(Mi, M2,M3,M4) . Notant
e l'élément neutre de <54 , Soit 3K le sous-groupe {e, (l,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)} de <54 , i.e.
l'unique sous-groupe distingué de cardinal 4 de S4 (isomorphe au groupe de Klein à 4 éléments). Les
formules (3)-(4) montrent que % c r , et que l'image de l'application
S4 —► K, a>—►Brp(M<r(1),M<r(2),M<r(3),Ma(4))
est l'ensemble
Considérons l'ensemble Ç des éléments de POL(2,Ar) définis par les (2,2)-matrices carrées à éléments
dans K suivantes:
c :) • r. !) -cd- (.: :) • c -:) ■ (.: 0
Autrement dit, Ç est l'ensemble des homographies de Proj(2,/Q représentées par les éléments suivants
de K(X) (où X désigne une indéterminée sur K ):
(7) x* * *• x • i-x • x • x-i
On vérifie que £ est un sous-groupe de POL(2, K) isomorphe à <33 , appelé groupe du birapport. On
voit donc que l'ensemble (5) est la ^-orbite de A pour l'action naturelle de Ç sur Proj(2, K).
Soit C e K . Le groupe stabç(C) est l'ensemble des g € G tels que A soit un point fixe de g.
Les points fixes de l'homographie représentée par l-X sont ^ et ook ■ Les points fixes des autres
Chapitre 27 , § 7
Compléments sur la droite projective 399
éléments de Q\{e} , dans Tordre indiqué dans (7), sont respectivement les ensembles de racines dans K
des polynômes
X2 - 1 ; X2 - X + 1 ; X2 - X + 1 ; X2 - IX
i.e. les ensembles {1,-1}, {-d^.-j2^} et {0,2}. On voit que si C i {0,oo/c, 1, |, 2,-1, -iK, -j^} , alors
la <?-orbite de C est de cardinal 6 . Outre ces orbites générales, il y a les trois (/-orbites singulières:
(8) ^ = {0,00^,1} ; /?! = {-l,i,2} ; Q0 = {" JK, - J*}
On conclut que si A £ i?0 u i?i , l'ensemble (5) est de cardinal 6 , donc r = 3K ; si A € /?i , l'ensemble (5)
est J?i , et r est l'un des trois sous-groupes 4-diédraux de ©4 ; et si Ae/?0, l'ensemble (5) est J?0 , et
r = 2t4 (le groupe tétraédral). De façon plus précise, si A £ Q0^Q\ , le groupe T est l'ensemble des
permutations g qui laissent globalement invariantes chacune des trois paires {{1,2}, {3,4}} , {{1,3}, {2,4}}
et {{1,4}, {2,3}} . Si A = -1 (resp. A = \ , A = 2 ), le groupe r est le sous-groupe 4-diédral de <54
formé des permutations a qui laissent globalement invariante la paire {{1,2}, {3,4}} (resp. la paire
{{1,3}, {2,4}} , la paire {{1,4}, {2,3}} ). L'orbite Q\ est appelée /'orbite harmonique, et i?0 est appelée
l'orbite équiharmonique. Les éléments de J?i (resp. Qq ) sont appelés les birapports harmoniques (resp.
les birapports équiharmoniques).
L'application qui associe, à tout g € G, Tautomorphisme FhFoj-1 du corps K(X) , est un
isomorphisme de Q dans le groupe Aut/c(Jf (X)) (théorème 22.3.2). Soit Ç° son image. L'ensemble
K(X)[Ç°Ï des éléments de K(X) invariants par Ç° est un sous-corps contenant K . Comme le groupe
Ç° est fini, le corps K(X) est extension galoisienne de K(X)[Ç°] , de groupe de Galois Ç° , Il est clair
que K ^ K(X)[G°] . D'après le théorème de Luroth (théorème 22.3.3), il existe A € K(X) \K tel que
K(X)lç°ï = K(A) , et si Ao est un tel élément, les autres sont ceux de la forme *^+j , où (a, 6,c, d) € K4
et ad-bc^Q . Il est facile de déterminer un tel A :
Proposition 27.7.4
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, on a K(X)W\ = K{A) , où:
A_ (X2-X + l)3
((X + 1)(X-2)(2X-1))2
Les fibres de la fonction rationnelle A : K —> K définie par A sont les Ç-orbites.
Démonstration:
Le groupe Ç est engendré par {#1,32} » où gx et g2 sont respectivement définies par gx = l — X et
02 = "ïtx • Un calcul élémentaire montre que Ao gx = Aog2 = A , donc
(9) K(A) C K(X)[Ç°]
Il est clair que Deg{A) = 6, donc d'après le théorème 22.3.1, on a [K(X) : K(A)] = 6. Mais
[#(/!) : A'CA')^0} ] = card(£°) = 6 , donc l'inclusion (9) est une égalité.
On voit immédiatement que A~l(Q) = Q0 , A~1(ock) = nx et A~l(\) = J?» .
Soit T une indéterminée sur K(X) . D'après le corollaire 2 du théorème 22.3.1, on a
(10) irrx.jfoi) (T) = ^--L-j ((T2 - T + l)3 - A ((T 4- 1)(T - 2)(2T - l))2)
et comme 4op = 4 pour tout p e G , la factorisation de irzx,K(A)(T) sur K(4) est:
irrx,^,(T) = n(T-Xo9) = (T-X)(T-(l-X))(r-l)(r-T^)(T-^)(T-]^T)
Soit C e K\ {0,00^, J} . En substituant C à A au second membre de (10), on obtient un polynôme de
degré 6 en T , dont aucune racine dans K n'appartient à J?0 U J?i U/?» . Soit A Tune de ces racines.
On a donc A £ {0,1} , donc on peut substituer A à X dans la factorisation ci-dessus; le résultat de cette
substitution est la substitution de C à, A dans (10), ce qui montre que l'ensemble des racines dans K
de (T2 - T+ l)3 - C((T+ l)(T- 2)(2T- l))2 est la £-orbite de A ; comme A £ J?i , il en découle que
^_1(C) est la ^-orbite de A ■
Soit une partie Z = {Mi}1<^<4 de Proj(V) à 4 éléments. D'après tout ce qui précède, l'application
@4 —>K, <r<—>^(Brp(M<r(i),Mtr(2),M(y(3),M<r(4)))
est constante. Nous noterons Ab(Z) cette valeur constante.
Proposition 27.7.5
Soit Z et Z' deux parties de Proj(V) à 4 éléments. On a Ab(Z) = A*(Z') ssi il existe h € VQLK(V)
teiie que /i(Z) = Z' .
Démonstration :
Posons Z = {Mi}i<i<4 et Z7 = {Mt/}1<i<4 . La condition est nécessaire en vertu de la proposition
400 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
27.7.2. Inversement, supposons que A*(Z) = A*(Z') = C . On a C ^ £ , parce que ^_1(ï) = A» et
aucun élément de Q^ n'est le birapport de 4 points deux à deux distincts. Soit A = Brp(À/i, Af2,M3, M4) .
En vertu de l'hypothèse, on a une permutation a e ©4 telle que A = Brp(M^(1),MJ,(2),M^3), Af^(4)) .
D'après la proposition 27.7.2, on a /i e POLtf(V) telle que h(Mi) = AT(i) pour tout i € fl,4j . Il est
clair que h{Z) = Z' ■
Soit 0 = (e1,e2) une base de V . Soit P(X) = X4 - <rxX* + <72X2 - <73A" + <74 un élément séparable
de K[X) (où A" désigne une indéterminée sur K ); soit Z l'ensemble {my(e2 + Cei)}cetf,P(C)=o ■ On
a -4b(2) = ook ssi les birapports des points de Z , ordonnés de façon quelconque, sont harmoniques.
Écartons ce cas. Pour calculer Ab(Z) en fonctions des (r{ , on choisit une numérotation (zi)i<i<4 des
zéros de P dans K , et on utilise (87). En posant zitj = z» -z^ pour tout (i,j) , on a ^(Z) = 757 , avec:
J N = (z4,l)2(z3i2)2 - 24,1*3,224,223,1 + (24,2)2(23,l)2
1 D = (z4fiZ3,2 + Z4(223)iJ (z4)iZ3(2 ~ 2Z4>2Z3)i J (2Z4fiZ3(2 - Z4)2Z3,1 J
(l'hypothèse Ab(Z) ^ oo/c signifie que D ^ 0 ). Un calcul élémentaire de polynômes symétriques donne:
(11) N= -3(7id73 +<72 + 12(74
On a ensuite £> = 27£(^) , où G(X) = (X - O^iX - 02)(X - 03) et où:
01 =ZX 22+23*4 î 92=Z1Z3+Z2Z4 î #3 = ^l *4 + 22*3
Un calcul facile donne 0(A") = X3 - a2X2 + (<7i<73 - 4<74)À' - o\+ 4(72(74 - (72(74 (c'est une bien connue
résolvante de Lagrange des polynômes de degré 4 ), d'où:
(12) D - -27(72(74 + 9<7i(72<73 - 2a\ + 72<72<74 - 27<72
d'où l'expression cherchée:
(-3<7i<73+(72 + 12a4)
(13) A\Z) =
(-27(72(74 +9(7i(72t73 -2o\ + 72<72(74 - 27(7^)
Soit maintenant Q(X) = X3+7X+<5 un élément séparable de A^A"] , et désignons par Z l'ensemble
{tuv(ei)} u {c7v(e2 + Cei)}cetf ,Q(C)=o • Ecartons le cas où les birapports des points de Z , ordonnés de
façon quelconque, sont harmoniques (cas où Ab(Z) = ooK ; ce cas se produit ssi (5 = 0). Pour calculer
Ab(Z) en fonction de (7,6) , on choisit une numérotation (z!,Z2,z3) des racines de Q(X) dans K , et on
utilise Brp(Mi,M2,M3,M4) = fJEff » °ù l'on a posé M; = C7v(e2+2iei) pour 1 < i < 3 et M4 = tav(ei).
On obtient ainsi immédiatement:
(14) ^>-"FF
27.7.2 Classes de conjugaison des homographies d'une droite
Dans cette section, on donne un if-plan vectoriel V et on suppose le corps K algébriquement clos
et de caractéristique différente de 2 .
Soit h € VQLK(V) . Pour tout / € QLK(V) tel que h = /„ , il est clair que le scalaire ^[^ est
le même. Il ne dépend donc que de H . On notera I (h) ce scalaire, et on l'appellera Vinva.Tia.nt de h .
Si / € Q1*K(V) et /♦ = A , on voit que le discriminant réduit de Polcar/(A") est 4det(/) - (Tr(/))2 .
D'après (5) (section 27.1.1), on en déduit que h a un unique point fixe ssi h ^ ld9xoiiv) et I (h) - 4 , et
que si I (h) ^ 4 , alors h a deux points fixes distincts. Remarquons que l(ldPr0j(V)) = 4 .
Théorème 27.7.1
Avec les hypothèses ci-dessus, les ciasses de conjugaison de POL/c(Vr) sont: ies ensembies l_1(0 >
pour f e K \ {4} ; l'ensemble {Id*roJ(v)} , et l'ensemble l_1(4) \ {ldrro^^V)} ■ L'ensemble des involu-
tions distinctes de l'identité est l_1(0) .
Démonstration :
Fixons une base B = {e\,e2) de V . On notera O0 = zvv(e2) , 0<x> = &v(ei) et Oi = wy{e2 +ei) .
Pour toute matrice M e OL(2,Ar), on notera /a/ l'élément de OL/c(V) de matrice M dans B et
^Af = (/m)* • On note X une indéterminée sur K . Pour tout \ e K* , on notera respectivement D\ ,
T\ et 7 les éléments suivants de OL(2, K) :
*-«*(*,!) •. r,=(; *) ; /=(; ;)
Pour tout (e A:, l'ensemble l"x(0 est non vide et non réduit à l'identité. En effet, soit A une
racine dans K de F^X) = (X + l)2 - ÇX , d'où A^O. Si £?M,ona A^l,et l'homographie hDx ,
où £>a = diag(A, 1) , est distincte de l'identité et admet C pour invariant. Si f = 4 , l'homographie /i^
est distincte de l'identité et admet pour invariant 4 .
Chapitre 27 , § 7
Compléments sur la droite projective 401
La définition de I montre facilement que si deux homographies sont conjuguées dans PaL/c(V) , elles
ont même invariant. Il s'agit de montrer la réciproque.
• Soit h € POL/c(Vr) , d'invariant 4 et distincte de l'identité. Soit M^ son unique point fixe, soit
Mo € Proj(V) \ {Me»} i et soit Mx = h{M0) . Soit g l'homographie de Proj(Vr) qui envoie la suite
(Moo,Mo, A/i) sur la suite (Ooo,Oo,Oi) . L'homographie h' = ghg~l fixe O^ , envoie 00 sur Oi , et
admet pour invariant 4 . Ces conditions entraînent que h' = h^ • Cela prouve que l_1(4) \ {Id»roj(V)}
est la classe de conjugaison de hrx dans PQLk-(V) .
• Soit h € PQLk{V) , d'invariant £ ^ 4 (ce qui implique que h n'est pas l'identité). Soit M0 et M»
ses points fixes. Notons g une homographie de Proj(V) qui envoie la suite (Mo.Mqc) sur la suite
(O0,Ooo) , et soit h' = ghg'1 . Il existe alors A7 € K* tel que /i' = hox, ; de plus, I (h') ~\ (h) = £ , d'où
F((A') = 0 . Soit (Ai,A2) une liste des racines de F^(X) dans K ; on a, AiA2 = 1 . Or, hxx est /ia2 sont
conjuguées dans POLa-(V) , car h\2 = hfhXlhi . On en déduit que ft est conjuguée dans POL/c(Vr) à
hox • Cela prouve que l-1(£) est la classe de conjugaison de /i£>Xl •
Puisque K est de caractéristique ^ 2 , d'après la proposition 27.7.2, l'homographie hpx est une
involution distincte de l'identité ssi Ai = A2 = -1 , ce qui a lieu ssi £ = 0 . Notons que F^(X) est
séparable ssi Ç$ {0,4} ■
Dans les conditions du théorème 27.7.1, une homographie de Proj(V) distincte de l'identité est dite
parabolique ssi elle a un unique point fixe, et loxodromique ssi elle a deux points fixes. Les homographies
involutives distinctes de l'identité seront simplement appelées les involutions de Proj(V) .
Les involutions de Proj(V) jouent un rôle important dans POLj^V) . Donnons-en quelques
propriétés faciles (en utilisant le théorème 27.7.1, on se ramène à des homographies de la forme hpx et
hrx , et la vérification est alors facile).
Étant donnés deux points Mi et M2 de Proj(V) distincts, il existe une unique involution les
admettant pour points fixes: c'est l'unique homographie h telle que Brp(Mi,M2,M,/i(M)) = -1 pour
tout M e Proj(V) \ {Mi, M2} (proposition 27.7.3).
Étant donnés trois points Ni , N2 et M de Proj(V) distincts, l'unique homographie h qui fixe
M et échange N\ et N2 est une involution: en effet, h2 fixe alors les trois points Ni , N2 et M , donc
est l'identité. On déduit de là qu'une homographie qui échange deux points distincts Ni et AT2 est une
involution: car une telle homographie admet au moins un point fixe M , qui est forcément distinct de
Ni et N2 .
Soit une homographie loxodromique h , de points fixes Mi et M2 . Soit gi une involution. Pour que
hgi soit une involution, il faut et il suffit que pi échange Mx et M2 , et s'il en est ainsi, hgi échange
Mi et M2 . En conséquence, il y a une infinité de couples (pi,p2) d'involutions tels que h — gxg2 .
Soit une homographie parabolique h , de point fixe M . Soit gi une involution. Pour que hgi soit
une involution, il faut et il suffit que 91 (M) = M , et s'il en est ainsi, hgi fixe M . En conséquence, il
existe une infinité de couples (pi,p2) d'involutions tels que h — gig2 .
Les deux dernières assertions entraînent que les involutions engendrent le groupe WLk(V) .
Soit M € Proj(V) et £ e K . On déduit de la preuve du théorème 27.7.1 qu'étant donnés deux
points distincts Ni et N2 dans Proj(V) \ {M} , il existe une homographie h qui fixe M , envoie Ni
sur JV2 et telle que I (h) = £ (avec les notations de ce théorème, on se ramène au cas où M = Oqo )•
Ce qui précède permet de redémontrer que le groupe POL/c(Vr) (qui est égal à PSL/c(Vr) puisque K
est algébriquement clos) est simple; en effet, soit h une homographie distincte de l'identité appartenant
à un sous-groupe distingué G de PQL/c(Vr) . Si h est une involution, alors toute involution appartient à
G et donc G = POLif(V) d'après ce qu'on vient de voir. Si h n'est pas une involution, soit M e*rol(V)
tel que h(M) = N ^ M . Alors h(N) £ {M, N} . Soit une homographie h' d'invariant £ qui fixe N et
envoie h(N) sur M ; alors h' e G (théorème 27.7.1), donc h'h € G ; mais h'h est une involution, car
(h'h)(M) = N et (h'h)(N) = M , ce qui ramène au premier cas, donc G = POL/c(Vr) .
Soit quatre points (Mi)i<i<4 de Proj(V) distincts. Les paires {Mi,M2} et {M3,M4} sont dites
conjuguées ssi Brp(Mi, M2, M3,M4) = -1. Cette relation entre paires est symétrique. D'après la
proposition 27.7.3, les paires {Mi,M2} et [M^.Ma] sont conjuguées ssi l'involution qui fixe Mi et M2 échange
M3 et M4 . Les couples (Mi,M2) et (M3,M4) sont dits conjugués ssi les paires {Mi,M2} et {M3,M4}
sont conjuguées. Cela étant, soit deux involutions gi et g2 , de paires de points fixes respectives T\ et
T2 . On a Ti = T2 ssi gi - g2\ si g\ £ g2 , alors gig2 - g2gi ssi ^1 n^ = 0 et les paires Ti et T2
sont conjuguées (l'assertion est immédiate en regardant l'action de gig2 et de g2gi sur Ti et T2 ).
27.7.3 Groupes finis d'homographies d'une droite projective
Dans cette section, nous supposerons le corps K algébriquement clos et de caractéristique nulle.
Puisque K est algébriquement clos de caractéristique nulle, pour tout entier n > 1 , le groupe des
racines n-ièmes de 1 dans K est n-cyclique, et c'est l'unique sous-groupe fini de cardinal n de K* ;
nous le noterons Ujc.n • On notera X une indéterminée sur K .
Soit G un sous-groupe fini de PaL/c(V) , de cardinal n > 2 . Nous appellerons G-orbite singulière
toute G-orbite dans Proj (V) de cardinal < n . Il est clair que la réunion Oq des G-orbites singulières
est la réunion des ensembles de points fixes des éléments de G\ {IdPr0j(V)} » ^onc cette réunion est un
ensemble fini non vide, et a fortiori, l'ensemble des G-orbites singulières est fini et non vide. Les G-orbites
non singulières seront dites ordinaires.
402 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Rappelons qu'un groupe fini est dit tétraédrai ssi il est isomorphe à 2l4 , octaédral ssi il est isomorphe
à <S>4 , et icosaédral ssi il est isomorphe à 2C5 .
Dans tout ce qui suit, on donne un K-pIan vectoriel V .
Sous-groupes finis cycliques
Théorème 27.7.2
(I) Soit deux points Mx et M2 de Proj(V) distincts, et soit n e N* . Il existe un unique sous-
groupe fini de cardinal n de VGLk(V) qui fixe Mx et M2 , et ce groupe est n-cyclique. Les orbites
singulières de ce groupe sont {M\} et {M2} .
(II) Soit G un sous-groupe uni de POLk(V) qui fixe un point M2 € Proj(V) . Alors G fixe un
point Mi € Proj(K) \ {M2} , et G est cyclique.
(III) Tout sous-groupe cyclique de POL/c(Vr) a deux points fixes.
Démonstration :
• Assertion (I):
Soit une base B = (ei,e2) de V telle que Mi = O0 et M2 = O» (notations de la preuve du
théorème 27.7.1). Identifions le droite affine £ = e2 + Ke\ de V avec Proj(K) \ {Ooo} (voir fin de la
section 27.1.4). Le point O0 s'identifie donc au point e2 , et le stabilisateur de Ooo dans PQLk-(V)
s'identifie au groupe affine OXk(£) de la droite affine £ . Le stabilisateur de e2 dans QXk(£) n'est
autre que le sous-groupe des homothéties de centre e2 de £ , lui-même canoniquement isomorphe au
groupe multiplicatif K* . On sait que Ujcjn est l'unique sous-groupe de cardinal n de K* et qu'il est
cyclique. Les orbites non-singleton du groupe d'homothéties de centre e2 et de rapport appartenant à
U/^n dans £ sont les ensembles {e2 + Cx^i)c^K,n » ou x € ^* ^ A*®; on vo^ clue ces orbites sont de
cardinal n.
• Assertion (II):
Soit une base B = (ei,e2) de V telle que M2 = Ooo • Reprenons la droite affine £ ci-dessus, et
identifions à nouveau le stabilisateur de Ooo dans POL/c(V) au groupe affine QXk(£) . Le groupe G
s'identifie alors à un sous-groupe fini G de QKk(£) ■ Soit n = card(<?) ; soit lj une (/-orbite dans £ (pour
l'action naturelle de G )- L'isobarycentre / de u est bien défini, parce que K est de caractéristique
nulle, et il est immédiat qu'il est fixé par G. D'après l'assertion (I), le groupe G est donc n-cyclique.
• Assertion (III):
Soit g un élément d'ordre fini de POL;c(V) . Il admet au moins un point fixe, qui est évidemment
fixe par le groupe G engendré par g . D'après l'assertion (II), le groupe G admet deux points fixes ■
Corollaire
Soit neN* . Les sous-groupes n-cycliques de PQL/f (V) forment une classe de conjugaison de sous-
groupes. Les homographies paraboliques de Proj(V) sont d'ordre infini.
Démonstration :
D'après le théorème 27.1.1, étant donné deux sous-groupes n-cycliques de POLa-(V) , il y a au moins
une homographie qui envoie la paire des points fixes de l'un des sous-groupes sur celle de l'autre. La
première assertion du corollaire en découle immédiatement. Le sous-groupe engendré par une
homographie parabolique a un point fixe unique, donc n'est pas fini d'après l'assertion (III) du théorème 27.7.2,
d'où la seconde assertion du corollaire (assertion qui pouvait être vérifiée directement, car une
homographie parabolique s'identifie à une translation distincte de l'identité dans la droite affine complémentaire
dans Proj(V) de son unique point fixe (cette dernière propriété serait fausse en caractéristique > 0 ,
car alors une translation distincte de l'identité est d'ordre fini égal à la caractéristique) ■
Remarque 27.7.1 :
Il faut prendre garde que deux homographies de même ordre fini > 3 ne sont pas nécessairement
conjuguées dans POL/c(V) . En fait, soit n un entier > 3 . Une homographie est d'ordre fini égal à n ssi
son invariant est de la forme C + C_1 + 2 , où C est une racine primitive n-ième de 1 dans K . Lorsque
C parcourt l'ensemble de ces racines primitives, C + C"1 décrit l'ensemble des racines dans K d'un
polynôme séparable *n(A") e1[X] de degré %4>{ri) , où 4> désigne l'indicateur d'Euler (on identifie Q
au sous-corps premier de K ). Plus précisément, soit <&n(X) le n-ième polynôme cyclotomique (il est
de degré <f>(n) et appartient à Z[X] ); posons Y = X + £ ; soit Vn(X) l'unique polynôme de degré
\4>{n) tel que &n{X) = X^^n)^n{Y) . Alors #n est le polynôme cherché. On en déduit que le nombre
de classes de conjugaison d'homographies d'ordre fini n est \4>{n) . En particulier, si n = 5 , il y a deux
classes de conjugaison: si h est une homographie d'ordre 5 , alors h et h'1 ne sont pas conjuguées 4
Sous-groupes finis diédraux non abéliens
Théorème 27.7.3
Soit G un sous-groupe fini n-cyclique de VQLk(V) , avec n > 3 . Soit lj une G-orbite de cardinal
n dans Proj(V) . Il existe un sous-groupe diédral de cardinal 2n de POL/c(Vr) et un seul dont G
est un sous-groupe et dont uj est une orbite. Ce groupe possède deux orbites de cardinal n , une
orbite de cardinal 2 , et toutes les autres orbites sont ordinaires. Lorsque uj varie, on obtient ainsi
tous les sous-groupes de cardinal 2n de POL/c(Vr) dont G est un sous-groupe et dont les éléments
n'appartenant pas à G sont des involutions.
Chapitre 27 , § 7
Compléments sur la droite projective 403
Démonstration :
On choisit une base B = (ei,e2) de V telle que O0 et O^ soient les points fixes de G (notations
du théorème 27.7.1). Le groupe G s'identifie alors au sous-groupe G du groupe affine de E = e2 + Kt\
formé des homothéties de centre e2 et dont le rapport appartient à Ua> . On identifiera Proj(V)\{0oo}
à S . On a un A e K* tel que u = {Mç}C€uK n , où Mç = e2 4- C*ei pour tout C •
• Existence:
Soit /z = A2 . Pour tout Ç € Ua> , soit uç l'involution de Proj(K) représentée dans B par la
fraction rationnelle ^ . Elle échange e2 + C£_1^€i et e2 +£Aei pour tout £ € Uk> \ {1} . On vérifie
aisément que V» = G u {ticket)*.,, est un sous-groupe diédral de cardinal 2n de POL/c(V) , dont u;
est une orbite. L'ensemble {O0,Ooo} est une de cardinal 2 , l'ensemble u' = {e2 + Crç^i}ceU*r,„ » où rç
désigne une racine primitive 2n-ième de 1 dans K , est une D^-orbite à n éléments, et on voit que
u ^ u/ et que toutes les D^-orbites autres que u , u' et {O0,Ooo} sont de cardinal 2n (noter qu'on a
u' - {e2 - CAei}c€UK.n ssi n es* impair).
• Unicité et dernière assertion:
Soit V un sous-groupe de cardinal 2n de VQl.K(V) dont G est un sous-groupe, et dont les éléments
n'appartenant pas à G sont des involutions. Soit g un générateur de G . Soit u € V \ G ; alors P est
engendré par {u, g} , et u est une involution. Si on avait ug = pu , il est clair que P serait isomorphe
au produit direct de G et de C/ = {e,u} (où l'on a posé e = Idpr0j(V) ); comme ug $ G , l'ordre de up
serait 2 , donc g serait d'ordre 2 , contrairement à l'hypothèse que n > 3 . On a donc ug ^ gu . On a
upu = g* avec fc entier premier avec n , car G < T>. On a (ptO(Oo) = (u0fc)(Oo) = u(O0) , et de même
(gu)(0oc) = u(Ooo) , donc {O0,Ooo} = {u(O0),ti(Ooo)} . Comme ug ^ gu y on en déduit que u échange O0
et Ooo , et par suite u est représentée dans B par une fraction rationnelle de la forme £ , avec b e K* .
Soit /? une racine carrée de b dans K . L'ensemble 1? = e2 + {C/?eiKeU*.„ est à la fois une P-orbite et
une G-orbite. Supposons que u soit aussi une X>-orbite; alors u(u>) = u . Si /? € u;, on voit que u est
l'une des uç de la première partie de la preuve, d'où V = Vw . Si 0 $ u (ce qui implique que n est
pair), on a des éléments £i et Ç2 de QJ/c,n distincts tels que u échange M^ et M^2 , d'où 6 = CiC2^ ;
donc u est encore l'une des involutions u^ , d'où D = Vw ■
Corollaire
Soit n un entier > 3 . Les sous-groupes diédraux de cardinal In de POL/c(Vr) forment une classe
de conjugaison de sous-groupes.
Démonstration :
Il s'agit de prouver que deux sous-groupes diédraux de PQLj^V) de cardinal 2n sont conjugués.
Soit V\ et T>2 deux tels sous-groupes, et soit respectivement G\ et G2 leurs sous-groupes n-cycliques.
Comme G\ et G2 sont conjugués (corollaire du théorème 27.7.2), on est ramené au cas où G\ — G2 •
Plaçons-nous dans ce cas, et posons G = Gt . En revenant aux notations de la deuxième partie de
la preuve du théorème 27.7.3, on voit qu'il suffit de prouver qu'étant donnés b e K* et b' e K* , les
involutions w et w' représentées dans B par les fractions £ et ^ se déduisent l'une de l'autre par
un automorphisme intérieur qui conserve globalement G . Soit 7 une racine carrée de 4- dans K , et
soit h l'homographie représentée dans B par la fraction yX . Alors hGh~x = G et hwh'1 = h' , donc
l'automorphisme intérieur de POL/c(Vr) défini par h répond à la question ■
Sous-groupes finis diédraux abéliens, octaédraux et tétraédraux
Le cas des sous-groupes diédraux abéliens, c'est-à-dire de cardinal 4 , de POL/c(V) , doit être traité
à part. Cela nécessite quelques propriétés supplémentaires des involutions. Étant donné une involution
h de Proj(V") , nous appellerons point de h toute partie de Proj(Vr) de cardinal < 2 stable par h .
Si {a,6} désigne la paire des points fixes de h , les points de h sont donc les paires {M,h{M)} pour
M € Proj(K) \ {a, 6} , et les singletons {a} et {6} .
Lemme 27.7.1
Dans Proj(V) , deux invoiutions distinctes ont un point commun et un seul.
Démonstra tion :
Soit f et g deux involutions distinctes. Avec les notations du théorème 27.7.1, on peut supposer
que la paire des points fixes de / est {Oo,0oo} , et que O^ n'est pas un point fixe de g . Identifions
Proj(K) \ {Ooo} à la droite affine S = e2 4- Kei de la manière habituelle. Les points fixes a et b de g
appartiennent à € , notons respectivement a et 0 leurs abscisses dans le repère affine (e2;Ci) . Comme
{Oc©} n'est pas un point de g, les points communs k f et g sont à chercher parmi les ensembles
{M, M7}, où M e £ a pour abscisse dans (e2;ei) un élément X de K et où M' a pour abscisse -A
(ces ensembles sont en effet les points de / autres que {O»} ) ; une telle paire est un point de g ssi
Brp(a, 6, Af, M') = -1 , ce qui équivaut à: A2 = a/? ; cette condition détermine un ensemble {M, M'}
unique, d'où le lemme. On notera que M ^ M' ssi q/? ^ 0 , c'est-à-dire ssi {a,b) n {O0}Ooo} = 0 , et que
s'il en est ainsi, on a {M, M'} n {a,6} = {M, M'} n {O0,Ooo} = {0,6} n {O0,Ooc} =0 ■
Nous appellerons triplet conjugué (ou: triplet harmonique) de Proj(V) tout ensemble de trois
parties de Proj(V) à deux éléments formant deux à deux des paires conjuguées; ces trois parties à deux
éléments sont donc nécessairement deux à deux disjointes. D'après le lemme 27.7.1, étant donné deux
404 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
parties Ci , Ci de ProJ(Vr) à deux éléments conjuguées entre elles, il existe une et une seule partie à
deux éléments C3 de Proj(V) telle que {Ci,C2,C3} soit un triplet conjugué.
Fixons une base B = (ei,e2) de V , et reprenons les notations du théorème 27.7.1. On identifiera
ProJCK) \{0oo} avec la droite affine S — e2 + Ke\ de V de la manière habituelle. On utilisera le repère
affine (e2;ei) de £: le point d'abscisse A dans ce repère sera noté N\ , ou même A si aucune confusion
n'en résulte. En reprenant la démonstration du lemme 27.7.1, on vérifie immédiatement que l'ensemble
(15) T8= {{Oo^OooliNnN-tliN^tN^}}
où i/c désigne une racine quatrième primitive de 1 dans K fixée une fois pour toutes, est un triplet
conjugué. Nous l'appellerons le B-triplet conjugué canonique.
Proposition 27.7.6
Soit {Ci,C2,C3} et {0i,C2,C3} deux tripîets conjugués de Proj(K) . Il existe une homographie
h e POL/cCV) telle que h(d) = C\ pour tout i € (1,3] .
Démonstration:
Il surfit de montrer qu'il existe une homographie h qui envoie Ci sur {0o,0oo}, C2 sur {JVi,JV_i}
et C3 sur {Nlk,N-lk } . Soit h une homographie qui envoie Ci sur {00,0»} et un point de C2 sur
Ni (théorème 27.1.1). Du fait que h conserve le birapport, on déduit, en utilisant le lemme 27.7.1, que
h répond à la question ■
Étant donné un triplet conjugué T = {Ci)C2)C3} , nous dirons qu'une homographie de Proj(K) le
laisse invariant ssi elle permute entre elles les parties d . L'ensemble de ces homographies forme un
sous-groupe de POL/^V), que nous appellerons le groupe des homographies de T . Le sous-groupe de
ce groupe formé des homographies laissant chaque Ci invariant sera appelé le fixateur de T .
Soit deux tripîets conjugués T = {Ci,C2,C3} et V - {C^,C2,C3} , et soit une homographie h de
Proj(V) qui envoie Ci sur C[ pour tout i (proposition 27.7.6). Il est clair que l'automorphisme
intérieur g »-► hgh~l de POL/c(Vr) transforme le groupe des homographies de T (resp. le fixateur de
T ) en celui de T' ; ainsi, les groupes d'homographies (resp. les fixateurs) des tripîets conjugués sont
tous conjugués entre eux.
Théorème 27.7.4
(I) Soit T = {Ci,C2lC3} un triplet conjugué. Le groupe G? des homographies de T est octaédral.
Le fixateur Fr de T est diédral de cardinal 4 , c'est Vunique sous-groupe diédral de cardinal 4 de
Gr qui soit distingué. L'ensemble Ci uC2 uC3 est une GT-orbite singulière, et les orbites singulières
de FT sont Cx , C2 , C3 .
(II) L'app/ication qui, à tout triplet conjugué de Proj(V) , associe son groupe d'homographies
(resp. son fixateur) est une bijection sur l'ensemble des sous-groupes octaédraux (resp. diédraux de
cardinal A) de VQLk(V) .
Démonstration :
• Assertion (I):
Puisque les groupes d'homographies (resp. les fixateurs) des tripîets conjugués sont tous conjugués
entre eux, il suffit de la prouver lorsque T est le triplet Tb défini par (15), dont on reprend les notations.
Il est immédiat que le fixateur Fre de Tb est {e,tii,u2,u3} , où e est l'identité et où ui , u2 , u3
sont respectivement définies par les fractions -X , ^ et - £ ; c'est bien un groupe diédral de cardinal
4 . Soit tp le morphisme de groupes GrB —* &rB défini par l'action naturelle de GrB sur l'ensemble
TB . Son noyau est FTb , d'où FTb < GTb . Le morphisme V est surjectif, car son image contient les
transpositions des trois paires éléments de Tb ', en effet, l'homographie définie par ±kX fixe {0o,0<»}
et échange {JVi,ALi} et {NLk, AL1x} , et l'homographie définie par %*~ fixe {NLk , ALi|f} et échange
{0o»0oo} et {Ni,N-i}. Il en découle que GrB est de cardinal 24 et que le groupe quotient Gtb/Gtb
est isomorphe à <53 .
Il y a quatre paires {W, W) de parties de cardinal 3 complémentaires l'une de l'autre de l'ensemble
OctB = {0oi0oo>Ni,A/_i,NLk)N_Lk} telles que W et W rencontrent chacun des ensembles {0o,0oo},
{Ni,N-i} et {N±k,N_Lk} suivant un singleton. Notons DglB l'ensemble de ces quatre paires (cet
ensemble sera appelé l'ensemble diagonal de T). Il est clair que GjB laisse Dgl5 globalement invariant.
Pour des raisons combinatoires évidentes, l'action naturelle de GrB sur Dgl5 est fidèle: si h € GrB induit
l'identité de Dgl5 , elle fixe chaque point de Octe , donc c'est l'identité d'après le théorème 27.1.1. On
a donc un morphisme injectif de GjB dans le groupe de permutations <£>DgiB , et comme le cardinal de
chacun des groupes est 24 , ce morphisme est un isomorphisme. Donc GrB est octaédral, ce qui entraîne
que FTb est son unique sous-groupe distingué diédral de cardinal 4 . Cette étude montre que Octs est
une orbite de GrB , donc c'est bien une orbite singulière. La réunion des ensembles de points doubles
des éléments de FrB est Oct& , donc les seules orbites singulières de FrB sont {0ch0oo}, {Ni,N-i} et
{NlK,N.tK}.
Chapitre 27 , § 7
Compléments sur la droite projective 405
• Assertion (II):
Soit deux triplets conjugués distincts: leurs paires constituantes étant les orbites singulières de leurs
fixateurs, ces fixateurs sont distincts; a fortiori, leurs groupes d'homographies sont distincts (puisque les
fixateurs en sont les uniques sous-groupes distingués diédraux de cardinal 4 ).
Soit D un sous-groupe diédral de cardinal 4 de POLk^V) ; soit u\ , u2 , u3 les trois involutions
de D ; pour tout i € (1,3] , soit C» la paire des points fixes de m . Alors T = {Ci,02,^3} est un
triplet conjugué, puisque deux involutions distinctes sont permutables ssi leurs paires de points fixes
sont conjuguées. Du fait que D est abélien, chaque ensemble d est £>-stable, donc D est contenu
dans le fixateur Fr ; puisque les deux groupes sont de cardinal 4 , on conclut que D = Fr .
Soit G un sous-groupe octaédral de PQL/c(V) • Soit D son unique sous-groupe distingué diédral
de cardinal 4 . Soit T le triplet conjugué des paires de points fixes des trois involutions de D . Du fait
que D est distingué dans G , on voit que G laisse T globalement invariant. Donc G est contenu dans
le groupe d'homographies Gr , et comme les deux groupes sont de cardinal 24 , on a G — Gr , ce qui
achève la démonstration ■
Avec les notations de la preuve ci-dessus, il est aisé d'expliciter les 24 éléments de GrB ; ce sont
les homographies définies par les fractions suivantes, où les lignes donnent respectivement l'identité, les
involutions tétraédrales, les involutions non tétraédrales, les éléments d'ordre 3 et ceux d'ordre 4 :
(16)
X
-X
x
X + Lk
X-iK
LkX
X
' X
"X
X + 1
l-X i/cX-l
ifc
X-l'1+X' X-LK '
X-l Lk+X iK-X
X+1 ' ±K-X ' LK+X '
1 + X X-l 1-±kX
-IkX
i/fX + 1
* + i*
X-l X
-i*
"X+1 ' X + i*
. itfX + 1
1 + X
l-X
i*
X + 1
X-l
l-X' X+1' X-itf X + i*
En tenant compte de ce qui précède l'énoncé du théorème 27.7.4, on a:
Corollaire 1
Les sous-groupes octaédraux fresp. diédraux de cardinal 4 ) de FGLjr(V) forment une classe de
conjugaison de sous-groupes.
Soit maintenant T un triplet conjugué de Proj(Vr) et soit Dgl son ensemble diagonal. Le groupe
/Y des homographies de T qui induisent sur Dgl des permutations paires est un sous-groupe tétraédral
de PQLk-(V) ; c'est l'unique sous-groupe tétraédral laissant T globalement invariant, nous l'appellerons
le groupe tétraédral de T. Réciproquement, soit r un sous-groupe tétraédral de POLa-(V) ; soit D son
unique sous-groupe distingué diédral de cardinal 4 . Soit T le triplet conjugué des paires de points fixes
des trois involutions de D . Du fait que D est distingué dans r , on voit que r laisse T globalement
invariant. Donc r est contenu dans le groupe tétraédral /y » et comme les deux groupes sont de cardinal
12 , on a r = rT . On en déduit facilement:
Corollaire 2
Les sous-groupes tétraédraux de FGLk(V) forment une classe de conjugaison de sous-groupes.
L'application qui, à tout triplet conjugué, associe son groupe tétraédrai est une bijection sur
l'ensemble des sous-groupes tétraédraux de PQL/c(V) .
Le sous-groupe tétraédral du groupe GrB défini par (16) est défini par les fractions suivantes (où les
lignes donnent respectivement l'identité, les involutions et les éléments d'ordre 3 ):
(17)
X
-X
X + iK
X - ix
X *' X
X-J. LK + X ijç-X
fcX + l ' LK-X
X-l X-l*
ik
1 + X
l-X
X + 1
i* +X ' n X+1 ' X + ±*
Soit ^ et r des racines carrées de 2 et 3 dans K . Le groupe GrB a trois orbites singulières:
l'ensemble octB ci-dessus, une orbite à 8 éléments Cub8 , et une orbite à 12 éléments DeB :
(18)
i
Cube={^(l + £2iK)(l + £3r)},
I * V A//(ei,ea)6{-l,l>8 l KK ' > (f.OCQO.a]] x{-1,1}
(19)
Les orbites singulières du groupe tétraédral de Tb sont octs et les deux ensembles Tetrs et Tetrjj :
*i/,.. ,_.w, . . -xl Tetr^ = {^-(l-£2i^)(l + £2r)}
Tetr8 = {^-(l + e2i*)(l + e2r)}
,e2)€{-l,l}a
^)6{-l,l}2
406 SURFACES DE R1EMANN ET COURBES PLANES
Sous-groupes finis icosaédraux
Dans ce qui suit, on note e = IdPr0j(V) • ®n désigne par p une racine primitive cinquième de 1
dans K , choisie une fois pour toutes. Alors p + p'1 est racine de X2 + X - 1 . On note q la racine
carrée de 5 dans K telle que p -H p"1 = *§*■ . On pose a = |(p - p-1) et 0 = ±(p2 - p~2) . On a:
(20) a2=-^(9 + 5) = (p + p-1-2)-1 ; 02 = i(ç - 5) = (p2 + p"2 - 2)"1 ; a2 + /?2 = -1 ; a0«-±
Rappelons (théorème IX. 1 du tome 1) qu'un groupe non réduit à l'élément neutre engendré par deux
éléments 5 et T qui vérifient S5 = T2 = (ST)3 - 1 est isomorphe au groupe icosaédral. Si (S, T) est
un tel couple, remarquons que (S~l,T) en est un autre. En effet, en prenant l'inverse de (ST)3 = 1 ,
on trouve TS~1TS~1TS~1 = 1 ; en multipliant cette dernière à gauche par T, puis la relation obtenue
à droite par T , on obtient bien (S-*T)3 = 1 .
Remarquons qu'une homographie h e PGLjr(V) est d'ordre fini égal à 3 ssi l(/i) = 1 ; en effet, si on
représente h par une fraction *xtd avec a<* ~ ^c ~ 1 » ^a condition I (/i) = 1 équivaut à la propriété que
le polynôme caractéristique de la matrice à coefficients dans K
(21)
»-c :)
est soit X2 - X + 1 , soit X2 + X + 1 , ce qui équivaut encore à la condition: H3 € {I2, -h) (on est en
caractéristique nulle, donc H3 e {-hih} entraîne H diagonalisable)
Soit s l'homographie de Pro j (V) définie dans B par la fraction pX . En utilisant la propriété
qu'on vient de rappeler, et le fait que les involutions sont les homographies d'invariant nul, on détermine
facilement l'ensemble Q des involutions h de Proj(V) telles que (sh)3 = e ; définissons en effet h par
une matrice de la forme (21), avec a + d = 0 et -a2 - 6c = 1. On vérifie que I (sh) = 1 ssi a2 = a2 et
bc = P2 . Pour tout £ € K* , soit ^ l'involution de Proj(V) définie par la fraction *-*ax-a • Alors
(22) Û=M«6*.
Théorème 27.7.5
li existe des sous-groupes icosaédraux dans FGLjr(V) . Ces sous-groupes forment une classe de
conjugaison de sous-groupes.
Démonstration :
Pour tout £ € K* , soit Gç le sous-groupe de POL#(V) engendré par {s,t^} . Il n'est pas réduit à
{e} , et par construction, on a s5 = t2 ~ (st()3 = e , donc il est icosaédral. Pour achever la démonstration,
il suffit de montrer que tout sous-groupe icosaédral de PGLjt(V) est un conjugué de G\ . Soit G' un sous-
groupe icosaédral de PQLjr(V) . Soit {s',*'} une partie génératrice de G' telle que s'5 = t'2 = (s't')3 - e .
On a une homographie h\ de Proj(V) telle que /i^/ij"1 = 5 , avec £€{-1,1} (corollaire du théorème
27.7.2 et remarque 27.7.1). Soit t" = M'/^1 ; puisque *'2 = (s'et')3 = e , on a t"2 = (st")3 = e , donc
t" — tç avec £ e K* . Soit 9 l'involution définie par —jç . On a gt^g = ti et gsg = s-1 , donc gG^g = Gi
car Gi est engendré par {s"1,^} . Comme h\G'h^1 = G^ , on voit que l'homographie u = p/ii vérifie
hG,u~1=Gl M
Avec les notations de la preuve du théorème 27.7.5, le groupe icosaédral G\ est appelé le groupe
icosaédral de Klein associé à B . Soit c\ = p + p-1 et C2 = p2 -I- p~2 , soit r une racine carrée de 3 . En
utilisant les points doubles des éléments stx , t\ , t\st\ et p de G\ (où 9 correspond à -| ), on a:
{r?2 = {epfci/r}o<fc<4,£€{-i1i}U{pfc(c2 +£i/c<7Q)}o<*:<4,£e{-i,i} U{p*(ci +£i/eg0)}o<fc<4,£€{-i,i}
!?5 = {0,00/f, (capfc)o<fe<4,(C2Pfc)o<fc<4}
Détermination de tous les sous-groupes finis d'homographies de la droite
Revenons maintenant aux conditions générales du début de la présente section, i.e. le corps K est
algébriquement clos de caractéristique nulle, et dim/c(Vr) = 2 .
Théorème 27.7.6
Les seuls sous-groupes finis de PaL/c(V) sont ses sous-groupes finis cycliques, diédraux, tétraédraux,
octaédraux et icosaédraux.
Démonstration:
Les sous-groupes finis de cardinal < 3 sont cycliques. Soit T un sous-groupe fini de POLK(Vr) de
cardinal 7 > 4 . Notons O la réunion de ses orbites singulières. Pour chaque orbite singulière Q et pour
tout point M € Q , le stabilisateur de M dans T est cyclique de cardinal > 2 , dépendant seulement de
J? ; ce cardinal sera appelé Vordre de cette orbite: son produit par card(J?) est 7 (formule de l'orbite).
Cela dit, soit v le nombre des orbites singulières et rangeons ces orbites par ordres croissants, en une
Chapitre 27 , § 7
Compléments sur la droite projective 407
suite (/?i,...,/?„) . Pour tout i e [l,i/] , soit n» l'ordre de J?i et Ui = card(J?i) , d'où 7 = n^i . On a:
i=i/ t=i/
(24) card(O) = Y^ card^) = 7 Y^ —
t=i t=i
Chaque élément de f\ {e} a exactement deux points fixes puisque c'est une homographie d'ordre fini
(corollaire du théorème 27.7.2). Le théorème de Burnside sur le nombre des orbites (corollaire 1.6, tome
1) donne donc v = ^(2(7 - 1) -1- card(O)), d'où en tenant compte de (24):
(25)
-/-2(i"9+èii c'est"à'dire ÈO-i)-2^)
Aux notations près, on retrouve l'équation (IX.34) du tome 1, proposition IX. 14, et on conclut donc que
les seuls entiers v et les seules suites M = (7; n1} n2, .., n^) possibles sont:
' v = 2 -, M = (7; 7,7) avec 7 entier quelconque > 4
u s 3 ; M = (2n;2,2,n) avec n entier quelconque > 2
(26)
i/ = 3 ; Af=(12;2,3,3)
v = 3 ; Af = (24; 2, 3, 4)
i/ = 3 ; Af = (60;2,3,5)
• Si 1/ = 2 et M = (7; 7,7), il est immédiat que r est 7-cyclique; les deux orbites singulières sont les
singletons formés par les deux points fixes du groupe.
• Cas où u = 3 et Af = (2n; 2, 2, n) :
Si n = 2 , le groupe r est de cardinal 4 et tous ses éléments autres que e sont d'ordre 2 , donc
c'est un sous-groupe diédral abélien.
Supposons maintenant n > 3 , et soit {a, /?} = J?3 ; les stabilisateurs de a et /? sont n-cycliques donc
sont égaux puisqu'un sous-groupe cyclique de Proj(K) fixe deux points. Soit C le groupe n-cyclique
égal à chacun de ces stablisateurs. Alors fii est nécessairement une C-orbite puisqu'aucun élément
de C n'a de point fixe hors de {a, /?} . On voit que les éléments de r \ C sont d'ordre 2 ; d'après le
théorème 27.7.3, le groupe r est donc diédral de cardinal 2n .
• Cas où M= (12; 2,3,3):
Compte tenu que toute homographie ^ e a exactement deux points fixes, on voit que r \ {e} est
formé de 3 involutions et de 8 éléments d'ordre 3 , ces derniers répartis en 4 sous-groupes 3-cycliques.
Ces 4 sous-groupes 3-cycliques forment une classe de conjugaison de sous-groupes (ce sont les 3-Sylow de
r ). On fait opérer r à gauche par conjugaison sur l'ensemble des 4 sous-groupes 3-cycliques; l'action
est transitive; le noyau du morphisme défini par cette action ne peut être que {e} ou un sous-groupe
3-cyclique; c'est {e} , puisqu'aucun sous-groupe 3-cyclique n'est distingué. Ainsi r est isomorphe à
l'unique sous-groupe de cardinal 12 de <&4 , qui est 2l4 : c'est donc un sous-groupe tétraédral.
• Cas où M =(24; 2,3,4):
Comme ci-dessus, on voit qu'il y a dans r exactement 4 sous-groupes 3-cycliques, qui forment une
classe de conjugaison de sous-groupes. En faisant opérer r à gauche par conjugaison sur ces 4 sous-
groupes, on obtient un morphisme de groupes dans un groupe isomorphe à ©4 . L'action est transitive,
donc ce morphisme a un noyau de cardinal 1, 3 ou 6 . Si ce noyau était ^ {e} , l'ensemble de ses
éléments d'ordre 3 serait de cardinal 1 ou 2 . C'est impossible puisque chaque élément d'ordre 3 de f
a au moins 4 conjugués (puisque les 4 sous-groupes 3-cycliques sont conjugués). Donc ce morphisme
est injectif. Comme card(r) = card((S4) = 24 , on voit que f est isomorphe à <54 , i.e. est octaédral.
• Cas où M = (60; 2,3,5) :
Les éléments de T\{e} sont d'ordre 2 , 3 ou 5 . On a u>i = 30 , u2 — 20 et u3 = 12 . Compte tenu
que tout élément de r\ {e} a exactement deux points fixes, un décompte facile montre que les ensembles
Q2 » Q3 et Q5 , respectivement formés des éléments de r d'ordre 2 , 3 et 5 , sont de cardinaux 15 , 20
et 24 ; de plus, il est clair que les 15 involutions forment une classe de conjugaison de r (on le déduit du
fait que les stabilisateurs de deux points d'une même orbite sont conjugués). Faisons opérer T à gauche
sur Q2 par conjugaison; le stabilisateur Gu d'une involution u e Q2 est de cardinal 4 , c'est donc un
2-Sylow, et il n'a que des éléments d'ordre < 2 , donc c'est un groupe diédral abélien; comme Gu abélien
et que c'est le commutant de u dans r , c'est aussi le commutant de chacune des trois involutions de
Gu , et ces trois involutions sont les seules dont Gu est le commutant. Il est clair que tout 2-Sylow
de r est un des Gu ; l'application u *-+ Gu est donc une surjection de Q2 dans l'ensemble 52 des
2-Sylow de r , dont les fibres sont de cardinal 3 ; donc card(S2) = 5 ; l'ensemble S2 est une classe de
conjugaison de sous-groupes. On fait opérer à gauche r sur S2 par conjugaison; l'action est transitive,
d'où un morphisme ip de T dans un groupe isomorphe à ©5 ; l'entier m = card(Ker(^)) divise 12.
Comme toute involution de r a 15 conjugués dans r , on voit que m est impair, donc m e {1,3} ; on
a m ^ 3 car tout élément de Q3 a au moins 10 conjugués dans r (du fait que card(£>2) = 20 , on
déduit aisément qu'il y a 10 3-Sylow dans r ). Donc m = 1 , i.e. ip est injectif. Donc r est isomorphe
à l'unique sous-groupe de cardinal 60 de ©5 , qui est 2l5 ; autrement dit, r est icosaédral ■
Corollaire 1
Les sous-groupes octaédraux et icosaédraux de POL/c(Vr) sont maximaux parmi les sous-groupes
finis de PQhK(V) .
408 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Démonstration :
Cela découle immédiatement du fait qu'aucun groupe diédral ne contient un groupe octaédral ou
icosaédral ■
Corollaire 2
Soit Q une orbite dans Proj(V) , de cardinal u > 3 , d'un sous-groupe fini G de POL^(K) . Soit G'
le groupe des homographies de Pro j (V) qui laissent J? giobalement invariante. Si G est cyclique,
G' est l'unique sous-groupe diédral de cardinal 2lj contenant G . Si G est tétraédral et u = 6 ,
alors G' est l'unique groupe octaédral contenant G . Dans tous les autres cas, on a G' = G .
Démonstration :
Puisque card(tf) > 3 , le groupe G' est fini (théorème 27.7.1), et il est clair que G c G' et que i?
est une G'-orbite. Si G est octaédral ou icosaédral, le corollaire 1 ci-dessus montre immédiatement que
G = Gf . Vu l'hypothèse, seuls restent à considérer les cas où G est diédral, cyclique ou tétraédral.
• Supposons G diédral de cardinal 2n ; nécessairement n > 3 (car les orbites d'un groupe diédral
de cardinal 4 sont de cardinal 2 ) et n = u ; si G' est diédral, comme J? est une G'-orbite, on a
card(G') = 2u = card(G) , d'où G = G'. Si G' est tétraédral, ses éléments ^ e sont d'ordre 2 ou 3 ,
et comme G a des éléments d'ordre n , cela implique n € {2,3} . On a n > 3 , donc n = 3 . Mais les
orbites d'un sous-groupe tétraédral de PGLjf (V) sont de cardinal 4 , 6 ou 12 , d'où une contradiction.
Donc dans ce cas, G — G1.
• Supposons G cyclique, et soit r l'unique sous-groupe diédral de cardinal 2u qui le contient; alors
fi est une T-orbite, et d'après ce qu'on vient de voir, r est le groupe des homographies qui laissent Q
globalement invariante, donc G' — r .
• Supposons G tétraédral. Alors n e {4,6,12} , et les seules possibilités sont: G' = G , ou G' est
octaédral, ou G' est icosaédral.
Soit r l'unique sous-groupe octaédral de FQLk(V) contenant G (l'existence et l'unicité de ce sous-
groupe se déduisent aisément du corollaire 2 du théorème 27.7.4). Donc G' est octaédral ssi G' = T .
On ne restreint pas la généralité en supposant que r et G sont respectivement définis par (16) et (17).
Les T-orbites sont de cardinal 6 , 8 , 12 ou 24 , donc si G' - r , on a n € {6,12} ; en examinant (101)
et (102), on voit que n = 6 ssi Q = Octs , et que si n = 12 , alors J? n'est pas une T-orbite. Par suite,
on a G' — T ssi n = 6 .
Supposons G' icosaédral. Puisque les orbites d'un groupe icosaédral sont de cardinal 12 , 20 ou
30 , nécessairement n = 12 . Le stabilisateur dans G (resp. dans G' ) d'un point de J? est de cardinal
2 (resp. de cardinal 5); comme 2 ne divise pas 5 , c'est impossible. Donc G' n'est pas icosaédral, ce
qui achève la démonstration ■
Un sous-groupe icosaédral de POL/c(Vr) contient cinq sous-groupes tétraédraux, qui forment une
classe de conjugaison de sous-groupes.
Orbites polyédrales sur le corps des complexes
Dans cette sous-section, le corps de base est C . La sphère de Riemann C sera munie de l'ensemble
de ses cercles anallagmatiques, i.e. les cercles ordinaires plus les droites complétées par le point oo ( noua
appellerons ces dernières les cercles-droites). On prend V = C2 , et on identifie C au complémentaire
du point à l'infini de ProJCV) de la manière habituelle. On utilise la projection stéréographique de
la sphère unité de l'espace C x R muni de la structure euclidienne canonique sur C . Par projection
stéréographique, les géodésiques de la sphère euclidienne unité, i.e. ses grands cercles, donnent la famille
des cercles anallagmatiques pseudo-orthogonaux au cercle unité U (ce dernier est en pointillé sur toutes
les figures ci-dessous). Ces cercles anallagmatiques seront appelés les géodésiques de C .
• La figure 2 ci-dessous montre les orbites Octg , Cube et Deg . Le lecteur justifiera les alignements
indiqués en pointillé et les complétera par symétrie. Les lignes en trait continu sont des géodésiques. Il
y a trois géodésiques qui passent par exactement quatre points de Octs : le cercle unité ii, et les axes
réel et imaginaire (complétés par oo ), Il y a six géodésiques, dont deux passant par oo , qui passent
par deux points de Octs et par quatre points de Cubs ; les quatre autres géodésiques de cette seconde
famille sont des cercles dont les centres sont les points de Octs \ {0, oo} ; l'ensemble des points communs
à ces six dernières géodésiques est Octs u Cuba : par chaque point de Cubs , il en passe trois, qui font
entre elles en ce point des angles multiples de ~ , et par chaque point de 0cta , il en passe deux, qui
sont orthogonales en ce point. L'ensemble des points communs à une géodésique de la première famille
et une de la seconde famille est Octs u Des • par chaque point de Des , il passe une géodésique de la
première famille et une de la seconde famille, qui sont orthogonales en ce point; par chaque point de
octs , il passe deux géodésiques de la première famille, orthogonales en ce point et deux de la seconde,
orthogonales en ce point, et le décalage angulaire entre ces deux faisceaux orthogonaux est de J .
Les ensembles octs et Cubs sont transformés par la projection stéréographique d'un octaèdre
régulier et d'un cube duaux l'un de Vautre, i.e. les diamètres de la sphère unité qui passent par les
sommets de l'un passent par les centres des faces de l'autre. Ces deux polyèdres réguliers, inscrits dans
la sphère unité, ont aussi même sphère inscrite, ce qui se vérifie trivialement.
Les points de Octs , Cuba et Des sont respectivement signalés par O, D et un petit disque noir.
Compléments sur la droite projective 409
• Les orbites J75 , J?3 et J?2 sont respectivement les transformées par projection stéréographique
de l'ensemble des sommets d'un icosaèdre régulier et d'un dodécaèdre régulier duaux l'un de l'autre
et de l'orbite à 30 éléments (sur la sphère unité) du groupe (icosaédral) des rotations qui les laissent
globalement invariants; nous avons représenté ces orbites figure 3 ci-dessus, en prenant q = y/E et
p = • s . Les points de J?5 et J?2 sont respectivement indiqués par le symbole par un petit
disque grisé et par un petit disque noir. On part de l'orbite J?5 (correspondant à l'icosaèdre), qui
s'obtient trivialement à partir du pentagone régulier inscrit dans QJ passant par 1 . Il y a exactement
15 géodésiques de C , dont 5 passant par oo , qui passent par exactement 4 points de J?5 . Ce sont les
quinze cercles anallagmatiques représentés en trait plein sur la figure. Ces 15 géodésiques se rencontrent
en exactement 62 points, qui sont les éléments de J?5 u J?3 U J?2 ; par chaque point de J?5 , il en passe
5 , qui font entre elles en ce point des angles multiples de ^ ; par chaque point de J?3 , il en passe 3 ,
qui font entre elles en ce point des angles multiples de ^ ; par chaque point de J?2 , il en passe 2 , qui
sont orthogonales. Les dix géodésiques ne passant pas par oo ont pour centre un point de fi5 , chaque
point de D5 \ {0, oo} étant le centre d'un seul de ces cercles.
La place nous manque ici pour aller plus loin dans l'analyse de cette remarquable configuration, sur
laquelle nous reviendrons au tome 4 en étudiant les pavages de la sphère. Le lecteur est invité à chercher
les relations géométriques entre orbites différentes, qui se traduisent sur la figure par des cocyclicités et
des alignements (au sens ordinaire). Par exemple, il existe 60 géodésiques passant par quatre points
de J?5 et quatre de J?2 (par chaque point de J?5 , il passe 10 de ces géodésiques), et il existe 40
droites ordinaires joignant un point de J?5 \ {0, oo} à exactement deux points de fi2 (par chaque point
de J?5 \ {0, oo} , il passe 4 de ces droites).
L'icosaèdre et le dodécaèdre dont J?5 et J?3 sont les projections stéréographiques sont duaux l'un de
Vautre, i.e. les diamètres de la sphère unité qui passent par les sommets de l'un passent par les centres
des faces de l'autre. Ces deux polyèdres réguliers, tous deux inscrits dans la sphère unité, ont aussi même
sphère inscrite (ce qui se vérifie géométriquement sans calculs, de manière extrêmement élémentaire).
La figure 4 ci-dessous illustre ce phénomène (les faces de l'icosaèdre et du dodécaèdre ont été ouvertes).
Chapitre 27 , § 7
Figure 2
410 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Figure 3
V
V
\
Rfell** ioui CABRI
Figure 4
à V
KémUté k»i* MATHEMATICA
§ 27.8 Corps de genre zéro
Dans ce paragraphe, le corps de base K sera supposé parfait.
27.8.1 Compléments sur l'extension des scalaires
Proposition 27.8.1
Soit L un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K . Fixons une clôture
algébrique Q de L . Notons K la clôture algébrique de K dans J? . Soit K1 un corps intermédiaire
entre K et K . Alors iftfL est un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K* , et
on a %KtL/Ki = Ql/k ■
Démonstration:
On sait (théorème 24.3.2) que le corps composé KL est un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur ~K , et que gL/A- = Qrl/R • Le corps K* est parfait, et le corps composé IOL est un corps
de fonctions algébriques d'une variable sur K* . Le morphisme canonique if* ®K L -► K®k L est injec-
tif, donc le morphisme canonique if8®*-!,-+if'L est bijectif, i.e. if8 et^L sont linéairement disjoints sur
K , donc KlL est régulier sur if* (voir paragraphe 24.1). Comme K est la clôture algébrique de if8
dans Q , on a Qk*l/k* = %Rl/R i donc Skil/k* = $l/k ■
Fixons maintenant une clôture algébrique K de K . Soit V un if-espace vectoriel de dimension finie
n+1 , où n > 1 , et soit V = K®kV . L'application if-linéaire canonique V —>V, x >-+ 1k®x est injective.
Son image sera considérée comme le sous-ensemble de if-rationalité de V . Une if-base de V sera dite
K-rationnelle ssi elle est de la forme (l®£ih<t<n+i , où (e<) est une if-base de V . Soit X\,..., Xn+i des
indéterminées sur K . Un élément de_K[V] est représenté par un élément de K [Xi, .^,Xn+i ] dans
au moins une base if-rationnelle de V ssi cela a lieu dans toute base if-rationnelle de V . L'ensemble
des éléments vérifiant cette propriété est une sous-if-algèbre de la if-algèbre if [V] , que nous noterons
if [V] , et qui est isomorphe à if [X\,... ,Xn+i ] . _Nous dirons que les éléments de if [V] sont les
fonctions polynomiales à coefficients dans K sur V (sous-entendu: _d ans ]es_bases if-rationnel les de
V ). Pour tout entier d > 0 , les éléments du if-espace vectoriel if [V] n (if [ V] )d seront appelés les
fonctions polynomiales homogènes de degré d à coefficients dans K sur V ; cet espace vectoriel sera
noté (if [V] )d , il est isomorphe à (K[X\,..., Xn+i ] )d . La décomposition if [V] = 0d6iM(# [V] )d fait
de if [V] une if-algèbre graduée. Il est clair que ~K[V] s'identifie à 1< ®k K\V\ .
Les_éléments de if [V] irréductibles dans KJV] sont appelés les éléments absolument irréductibles
de if [ V ] . Dans une base if-rationnelle de V , ils sont représentés par les polyjiômes absolument
irrréductibles de if [Xi,...,Xn+i ] . Une hypersurface algébrique irréductible de V sera dite définie
sur K (sous-entendu: relativement à V ) ssi elle est asociée à un élément absolument irréductible de
if[V] . Si S est une hypersurface algébrique de_y définie sur if ,_d'idéal ^p engendré par PeK[V]
absolument irréductible, l'idéal premier ^P = V$C\K\V] de K\V) est principal, engendré par P.
L'anneau quotient K[V)fo est appelé i'anneau des fonctions polynomiales à coefficients dans K sur
S , et son corps des fractions est appelé le corps des fonctions rationnelles à coefficients dans if sur S :
on notera respectivement if [S] et K_^S) cet anneau et ce corps. L^idéal Vp s'identifie à if $ k V i
comme le foncteur if <&K est exact, la if-algèbre K[S) s'identifie à K®KK[S] .
On laisse au lecteur le soin de vérifier que la démonstration de la proposition 27.2.1 s'adapte sans
difficulté (on y remplace le repère affine par une base if-rationnelle et l'irréductibilité de i> par une
absolue irréductibilité), d'où la propriété:
/^ f Soit S une hypersurface algébrique de V définie sur K . Alors K(S) est un corps de
\ fonctions algébriques de n variables sur K .
Le plongement V ~> V permet d'identifier les ïf-algèbres if ®/cHom/c(V) et Hom^(Vr) ; en particulier,
Hom/c(V) , qui s'identifie à 1/c ®k Hom^ (V) , pourra aussi être considéré comme une sous-if-algèbre de
Hom^(Vr) (la if-algèbre des endomorphismes if-linéaires " à coefficients dans if " relativement à V);
dans toute base if-rationnelle de V , les endomorphismes de V à coefficients dans if sont caractérisés
par la propriété d'être représentés par des matrices_éléments de SPÎn+1(if) . Alors QLk{V) s'identifie
à un sous-groupe de QLr(V) . Une homothétie de V est à coefficients dans if ssi elle provient d'une
homothétie de V ; autrement dit, avec les identifications ci-dessus, on a if Idp nHom/c(Vr) = if Idv . Il en
résulte que l'application canonique QL^(V) -♦ POL^(V) donne, par passage au quotient, un morphisme
de groupes injectif POL/f(Vr) -+ PQL# (V) ; nous identifierons PaL/c(Vr) à un sous-groupe de POL^(Vr) à
l'aide de ce morphisme.
On a un diagramme commutatif, où les flèches sont les applications canoniques:
V \ {0} . v \ {0}
(2) 1 1
Proj(V) ► Proj(V)
et^la flèche du bas est injective, puisque deux éléments de V\ {0} sont^ if *-proportionnels ssi ils sont
if -proportionnels. On identifiera donc Proj(V) à une partie de Proj(V) à l'aide de l'injection de (2).
Cette partie sera appelée i'ensembie des points K-rationnels de Proj(F) . Cette inclusion de Proj(V)
412 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
dans Proj(V) est compatible avec les actions naturelles de VQTjk(V)_ sur Proj(V) et de POL/^V) sur
Proj(K)• L'identification de POL/c(Vr) à un sous-groupe de POI#^(V[) vue plus haut revient à identifier
une homographie de Proj(V) avec Tunique homographie de Proj(V) qui la prolonge. Les éléments de
PQLa-(V) seront appelés les homographies de Proj (V) à coefficients dans K . Pour qu'une homographie
h de V soit à coefficients dans K , il faut et il suffit qu'il existe / € Homjc(V) telle que /♦ = h ; de
manière équivalente, il faut et il suffit qu'il existe une base if-rationnelle de V dans laquelle h soit
représentable par une matrice élément de 9Dîn+i(if) , et s'il en est ainsi, cette condition est satisfaite
dans toute base if-rationnelle de V . __
Soit alors C une hypersurface algébrique projective irréductible de Pro^V) , de cône projetant S .
On dit que C est définie sur K ssi S est défini sur K . Supposons cette condition satisfaite. On peut
reprendre sans changement la construction donnée à partir des relations (9) et (10) de la section 27.2.2
permettant de définir le corps des fonctions rationnelles (à la section 27.2.2, pour cette construction,
l'hypothèse que K était algébriquement clos n'avait pas servi). On obtient ainsi un sous-corps de K(C)
attaché à C , et que nous noterons K(C)_\ de façon précise, soit Vf l'idéal de S . Soit 9p = K\V) n Vp ;
pour tout A: € N , soit <pfc = ^ n (if [V] )k ; alo£S ty = ed^Vk , et la if-algèbre intègre K [S] est
graduée par la décomposition K [S] = SfcgN (k: [ vj )fc/«pfc . Alors K{C) est le sous-corps du corps des
fractions de K\S) formé des éléments de la forme § , où (a,6) € K [S] x (if [S] \ {0}) et où c et d
sont homogènes de même degré.
Nous allons décrire concrètement if(C) . Fixons P € K [V] absolument irréductible qui engendre
?p , et soit une base if-rationnelle B = (ci,... ,en+i) de V telle que C ne soit pas Thyperplan projectif
d'équation xn+i = 0 dans cette base (une telle base existe, il suffit de renuméroter convenablement
une base if-ratinnelle quelconque). Soit Xi,...,Xn+i des indéterminées sur if, et soit F Télément
de K[Xii...,Xn+i] qui représente P dans B. Alors Xn+Ï ne divise pas F dans if [A"i,.... A"n+I ] .
Pour tout t € [l,n+ 1] , soit X{ Télément de if [S] présenté par X{ dans B ; on a donc «¥rt+i £ 9? , et
les Xi sont homogènes de degré 1. Pour tout i € [l,nj , soit f, = ■^L- ; on a & € if(C).
Proposition 27.8.2
Dans les conditions ci-dessus, on a if (C) = if (£i,..., f„) .
Démonstration:
Soit / e if (C) . D'après la description de if (C) donnée plus haut, on a deux éléments C et D de
if [Xi,... ,An+i] , homogènes de même degré m, tels que D{Xi,.. .,Xn+1) ^ 0 (i.e. D{X\,..., Xn+i)
non divisible par F ), et que
- _ C(Xi,... ,/¥n.|.i)
En divisant, dans la fraction ci-dessus, le numérateur et le dénominateur par (/frt+1)m , on obtient
/= i$i:::±fl »d'ou /^«i to ■
Corollaire
Soit C une hypersurface aJgébrigue projective irréductible de Proj(V). Aiors if(C) est un corps
de fonctions algébriques de n - 1 variabies sur if .
Démonstration:
Replaçons-nous dans les conditions de la démonstration de la proposition 27.8.2, dont nous reprenons
les notations. Soit i1,...,in des indéterminées sur if. Soit y?(xi,... ,x„) = F(x1}... ,xn, 1) (donc
V? € if [xi,... ,x„ ) . Puisque Xn+i ne divise pas F dans if {X\,..., A"n+1 ] , le polynôme tp est non
constant. En divisant la relation F(Xi,..., Xn+i) = 0 par (#n+i)p » où p est le degré de F , on a
V>(£i>• •• >£n) = 0 . On a <p = *F et F = •# , donc l'absolue irréductibilité de F entraîne celle de ^ . En
choisissant un indice i € [l,n] tel que le degré partiel de tp en i» soit > 1, on raisonne alors comme
dans la proposition 27.2.1 pour montrer que le corps if(£i,. •. ,£n) est canoniquement if-isomorphe au
corps des fractions de la if-algèbre quotient de if [xi,..., xn ] par l'idéal premier engendré par tp , et on
conclut que (^)j€jifn]]\{i} est une base de if-transcendance de if (Ci,- •• ,fn) = K(C) ■
Actions du groupe de Galois Gai (If, if)
Dans tout ce qui suit, nous noterons G — Gai (if/if) .
On a une action à gauche naturelle G x F-» V, (<7, x) *-* a • x de G sur V - ~K<S>k V , caractérisée_par
a (A<8>0 = 0"(A)8>£ pour tout (<7, A,£) €£x if x V . Si (e^... ,en+1) est une base if-rationnelle de V et
si x = 2Ji«<n.+i ^e* avec ^ ^ C*ans ^ ' a^ors ax ~ Si<i<n-ti <7^,)e* • P°ur tout °" € ^ ' *a bijection
i^it-i de V permute entre elles les if-droites vectorielles de V . Il en résulte une action naturelle de
G sur Pro j (K)_, que nous noterons encore (<7, M) *-> a • M . Il est immédiat que J_'ensemble des points
fixes de ProiKV) pour cette action est Projjy) (identifié à une partie de Proj(V) à l'aide de (2)). Si
(ei,... ,en+i) est une base if-rationnelle de V , les éléments de Proj(Vr) sont ceux qui admettent dans
cette base au moins un système de coordonnées homogènes (Ai,..., An+1) € ifn+l .
On a une action à gauche naturelle G x ~K[V] -* K[V], {o,f) ^ a f de G sur ~K\V] , où a j
désigne la fonction polynomiale x •-> a{j{<j~^ • x)) . Si (ei,... ,en+1) est une base if-rationnelle de V ,
et si F e K[Xi,...,Xn+i ] représente / dans cette base, alors a • / est représenté par le polynôme
déduit de F en appliquant a à chacun de ses coefficients. Il en découle immédiatement que l'ensemble
Chapitre 27 , § 8
Corps de genre zéro 413
des points fixes de 7c\V) pour G est if [F] . Si on identifie 7C[V] àJ(®K K_[V} , l'action de G
s'identifie à l'action telle que a (A$ f) = a{\) <S> Ç pour tout (a, \,Ç) € G * K x K [V] .
Soit alors P un élément de degré p_^ 1 de K [V] , absolument irréductible, et soit S l'hypersurface
algébrique de V qu'il définit. L'idéal Vfi = P~K[V] de T([V] est (/-invariant. On a donc, par passage
au quotient, une action à gauche naturelle de G sur K[S] — ~K[V]fo , dont il est immédiat qu'elle passe
au corps des fractions K{S) de K[S] . Notons que S est globalement (/-invariant. Si de plus P est
homogène, l'action de G sur 7? [5] préserve chaque composante homogène, donc elle induit une action
à gauche de G sur le corps if(C) , où C est l'hypersurface algébrique de Proj(K) de cône projetant S .
Cette action sera encore dite naturelle. Si on identifie K[S] à if®* if [S] , l'action de G sur K[S]
s'identifie à l'action de G sur ~K®KK[S} telle que <r-(A,0 = <7(A)<8>£ pour tout (<r,\,£) eG*~KxK[S] .
Compte tenu que le foncteur if ®k est exact, cela rend évident le fait que la if-algèbre des invariants
de G dans K\S] est K\S) . Notons que comme le cône S est globalement (/-invariant, l'hypersurface
C est globalement (/-invariante.
Théorème 27,8.1
Dans les conditions ci-dessus, soit C une hypersurface algébrique projective irréductible de Proj(Vr)
définie sur K . Soit L = K{C) . Le corps if (C) est isomorphe à K ®/c L . En conséquence, on a
Ln K = K , et L est un corps de fonctions algébriques de n - 1 variables sur K . Enfin, L est le
corps des invariants de G pour l'action naturelle sur K{C) .
Démonstration :
• Considérons le diagramme suivant , où les flèches sont les morphismes canoniques de if-algèbres:
TCtoKK[S) ► K®KK(S)
(3)
7f[S] ► Te($)
Ce diagramme est commutatif. On a vu avant l'énoncé du théorème 27.8.1 que <p est bijectif. Comme
TC est algébrique sur K , la tf-algèbre ~K[K(S)] est le corps composé JCqK(S) = 7f (5) , donc ip est
surjectif. Enfin j est l'injection canonique et J est injectif, parce que le foncteur K®k est exact.
Montrons que i/f est injectif. Par réduction au même dénominateur, un élément de K®kK{S) peut être mis
sous la forme Ç = J^!^ *<® £ . où r > 1, g € K [S] \{0} , et où A. € ~K et fi € K [S] pour tout i . Soit
£ un tel élément tel que rp(Ç) = 0 , i.e. ~ S!-i ^* = ° * Alors S=i ^f* ~ ° • Mais H est clair
que 5Z*~i Ai/» = <^(5Z*~i At ® /j) ; comme <^> est bijectif, il en découle que Yl^i Ai ® /< = 0 ; donc
£ = ./( JZ1<i<r A* &> /i) $ (l ® ^\ — 0 , d'où l'injectivité de V • Donc i> est bijectif.
Rappelons que if (C) (resp. tf (C) ) est le sous-corps de if (S) (resp. de ~K(S) ) formé des quotients
d'éléments d'une même composante homogène (K[S])m (resp. (K[S])m , où m décrit N . Pour tout
k € N , on a ip{{K^K {K [S] )fc) = (tf [S] )fc : on_en déduit facilement que ~K(Ç) = xp(K®K K{C)) . Donc
V» induit un if-isomorphisme de K &*- L sur L = K(C) . En particulier, K et L sont linéairement
disjoints sur if , i.e. K n L = K .
• Prouvons lesjdernières assertions.
On sait que K{C) est un corps de fonctions algébriques de n-1 variables sur K (proposition 27.4.2).
Comme K(C) — KL est algébrique sur L , on en déduit que degtr^C^) = n - 1 . Soit {ti,... ,tn_i) une
base de transcendance de L sur K. Le foncteur K®k étant exact, et K <S>k K{ti, •- - ,in-i) étant
canoniquement isomorphe à A"(éi, ..., tn-i) , la dimension du K{t\,..., tn-i)-espace vectoriel L est égale
à la dimension du K(ti,... ,tn_i)-espace vectoriel KL ; cette dernière étant finie, L est une extension
finie de K(tit... ,tn-i) , donc L est bien un corps de fonctions algébriques de n - 1 variables sur K .
Montrons que L est le corps des (/-invariants dans K(C) . Il est d'abord clair que tout élément de L
est (/-invariant. Identifions K(C) avec K®kL. Soit (ei)t€/ une base de L comme if-espace vectoriel.
Alors (ê7)ie/ = (1 ® eOte/ est une ^-base de ~K <g>K L . Soit £ = 5ZiG/ Ai ® e* = Hie/ ^^ €Î%L, où
Ai € if pour tout i et où les Ai sont nuls sauf un nombre fini; et supposons que £ soit (/-invariant.
Pour tout <7 e (/ , on a £ = (7(0 = ^2ieI^(K) ® e* = 5Zi6/ ^(A.OëT, d'où cr(Ai) = Ai pour tout i . Ainsi
les Ai sont (/-invariants, donc appartiennent à ifjd'où fei®.L = L,ce qui achève de prouver que L
est le corps des (/-invariants dans K(C) ■
414 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Théorème 27.8.2
Avec les notations K , Q et V ci-dessus, supposons n — 2 (i.e. dim^V) = 3 ). Soit V= K®k V .
Soit C une courbe algébrique projective irréductible de Proj(V) , définie sur K . Notons L = K(C).
L'application fie > SR#(L) -*C, v *-* 0V déûnie au théorème 27.5.1 est équivariante pour les actions
de G sur SR#(X) et sur C (l'action sur C ayant un sens puisque C est globalement G-invariante).
En d'autres termes, pour tout v e SR#(L) , pour tout <7 € G , on a 0OV — a Ov . En conséquence,
si un point v € SRr(L) est K-rationnel, son C-centre Ov est K-rationnel, et dans le_cas où C est non
singulière, fie établit une bijection de l'ensemble des points K-rationnels de SR#(L) sur l'ensemble
C n Proj(V) des points K-rationnels de C .
Démonstration :
Soit v e 8Rk(L) et a e G • On sait que l'anneau A*.v est (r(Av) . Notons M = 0V • Il découle
facilement des définitions que l'anneau local G„.m(C) est <7 • (0A/(C)). On a 0A/(C) c Av , d'où
<Vm(C) = <r • (0Af (C)) C <r(A,) = A*.v
Puisque C„.m(C) c A<,.v , c'est que a • M est le C-centre de a • v . Si C est non singulière, l'application
fie est bijective, et on a Aw = 0ow(C) pour tout w e SR#(L) . Alors si v € 8Rr(L) et a € G , on a
a -Ov — Ov ssi Aff.v = Av , donc ssi a • v = v ; d'où la dernière assertion ■
Dans la suite de ce paragraphe, nous nous proposons de caractériser les corps de fonctions algébriques
d'une variable sur K de genre zéro. On sait que si K = K , ces corps sont les corps de fractions
rationnelles d'une variable sur K (voir exemple 24.5.1).
27.8.2 Coniques associées à un corps de genre zéro
Pour abréger, dans ce qui suit, nous appellerons corps de genre zéro sur K tout corps de fonctions
algébriques d'une variable régulier sur K et de genre zéro.
Un polynôme homogène de degré 2 en trois indéterminées sur un corps commutatif sera appelé une
forme quadratique ternaire sur ce corps.
Rappelons qu'étant donné un corps i? algébriquement clos et un J?-espace vectoriel E de dimension
3 , on appelle conique (projective) propre de Proj(£) toute courbe algébrique projective irréductible
de degré 2 de Proj(£) . Si Q est de caractéristique 2 et si F € (fi\E\ )2 \ {0} , la courbe algébrique
projective définie par F est une conique propre (autrement dit, F est irréductible) ssi les formes
quadratiques ternaires qui représentent F dans les bases de E sont non dégénérées, i.e. de discriminant
£ o . Cela a lieu ssi il existe au moins une base de E dans laquelle cette condition est satisfaite. Les
homographies de Pro j (E) permutent entre elles les coniques propres, et cette action est transitive: deux
coniques propres de Pro j (E) sont toujours homographiquement équivalentes.
Dans cette section, on reprend un corps commutatif de base K parfait, et on fixe une clôture
algébrique K de K .
Proposition 27.8.3
Soit L un corps de genre zéro sur K . Pour tout diviseur D e Div(L/K") avec Dgr(D) > 0 , on a
dimK(%{D)) = 1 + Dgr(£>) . Il existe D e Div(L//Q tel que D t 0 et Dgr(£>) = 2 .
Démonstration:
• Première assertion:
Si K est algébriquement clos, la relation indiquée est élémentaire puisqu'alors L est un corps de
fractions rationnelles d'une variable sur K (voir relation (15) du paragraphe 24.2). Si K ^ K , soit
L = Te ®k L . On a q^/k = 8l//c = ° • Soit D € Div(L/K) avec Dgz(D) > 0 . Notons T5 le diviseur sur
8Rjf(L) image de D par l'application R* définie en (19) du paragraphe 24.2. D'après la proposition
24.2.2, on a Dgr(D) = Dgr(£>) , d'où Dgr(D) > 0 ; d'autre part, d'après la proposition 24.3.9, on a
&imjf(2(D)) = dimjf(2(0)) . Donc &imK(2(D)) = dim^^U)) = 1 + Dgr(D) = 1+Dgr(£>) .
• Seconde assertion:
Soit A un diviseur canonique. On a Dgr(ZÏ) = 2gL/A- - 2 = -2 . D'après la première assertion, on a
dimL(-4) = 3 . Soit / € 2(-A) \ {0} ; soit D = div(/) - A . Alors D £ 0 , et Dgr(£>) = -Dgr(A) = 2 ■
Avec les notations et hypothèses de la proposition 27.8.2, soit D e Div(L/K) avec Dgr(D) = 2.
D'après cette proposition, on a dim/c(££(£))) = 3 .
Dans toute la suite du paragraphe, sauf mention contraire, K est supposé de caractéristique ^ 2
Proposition 27.8.4
Soit L un corps de genre zéro sur K . Soit D e DLv(L/K) avec Dgr(£>) = 2 . Pour toute K-base
(x,y,z) de 2{D) , la famille (x2,y2,z2,yz,zx)xy) engendre le K-espace vectoriel %{2D) .
Démonstration:
Notons d'abord que l'assertion est vraie avec au moins une base de %{D) ssi elle est vraie avec toute
base de ££(£>) .
Chapitre 27 , § 8
Corps de genre zéro 415
Soit / € 2(D) \ {0} ; la multiplication par / (resp. par /* ) définit un isomorphisme de if-espaces
vectoriels entre 2(D) et ££(£> + div(/)) (resp. entre %{2D) et 2(2£> + 2div(/)) ). La propriété à prouver
est vraie pour D avec une base (x,y, z) de 2(Z>) ssi elle est vraie pour D + div(/) avec la base
(/z, /y, /*) de D + div(/). Comme D + div(/) >r 0 , il suffit de prouver la propriété avec D >: 0 .
Supposons donc D >z0 . Il se présente trois cas:
• Premier cas: D — v + u>, avec v € SR/c(L) , w € SR/c(L) , v ^ tu et d„ = d^, = 1 .
Comme dirn*-(#(£)) = 2 , on peut choisir y e 2(v) \K ; alors y possède un unique pôle, qui est v , et
qui est simple, et il est clair que y € 2(D) . De même, on construit z € &(D) admettant un unique pôle,
qui est w , et qui est simple. En posant x = 1 , il est alors immédiat que (x2,xy,xz,y2,z2) est une suite
K-linéairement indépendante de £(2D) , et comme dimx(%(2D)) = 5 , l'assertion voulue en découle.
• Deuxième cas: D = 2v , avec v € SR/e (L) et dv = 1 .
On choisit corne ci-dessus y € #(£>) admettant un unique pôle, qui est v , et qui est simple. On
pose z = y2 et x = 1 . Alors (x2,xy,xz,yz,z2) est une suite if-linéairement indépendante de ££(2£>) , et
comme ci-dessus, l'assertion visée en découle.
• Troisième cas: D = v , avec v G SR/c(L) et d„ = 2 .
Par hypothèse, le corps résiduel JCV est une extension quadratique de K . Soit t une uniformisante
de v; soit p £ K.v de degré 2 sur A". Alors (l,p) est une if-base de JCV . Soit £ et ?? dans .Av
dont les classes résiduelles dans Kv soient respectivement 1 et p. Posons x = 1 , y = tÇ et z = ty ;
on a v(Ç) = v(tj) = 0 , donc v(y) = v(z) = 1 . Soit (A,/i, i/) e /f3 tel que Ax + /zy + v z = 0 . Comme
v(y) = v(z) s i , on a A = 0 , d'où //£ -|- vr\ = 0 après division par t. En prenant les classes résiduelles
dans £„ , on obtient /z = i> = 0 ; donc (x, y, 2) est une if-base de ££(D) . Par une méthode analogue,
compte tenu que dim/c(££(£>)) = 5 , on voit que (x2,xy,xz,yz,y2) est une if-base de #(2D) , ce qui achève
la démonstration (on notera que l'hypothèse que K est de caractéristique jk 2 n'a pas servi) ■
Soit L un corps de genre zéro sur K . Soit X , Y , Z des indéterminées sur if . A tout couple
(D, B) , où D € Div(L/if ) est de degré 2 et où B — (x, y, z) est une if-base de if (D) , on va associer une
classe de /^-proportionnalité de formes quadratiques ternaires en (X, Y, Z) sur K . Puisque la famille
(x2,y2,z2,yz,zx,xy) engendre le if-espace vectoriel #(2£>) qui est de dimension 5 , et puisque K n'est
pas de caractéristique 2 , l'ensemble des éléments (A,p, v,a,/?,7) G if6 \ {0} tels que
(4) Ax2 -I- py2 -I- vz2 + 2ayz -I- 2/3zx + 27xy = 0
est une if-droite vectorielle privée de l'origine. Lorsque (A, p, 1/, a,/?, 7) décrit cette droite vectorielle
épointée, la forme quadratique ternaire
(5) XX2 + nY2 + vZ2 + 2olYZ + 20ZX + 2-yXY
décrit une droite vectorielle épointée dans le if-espace vectoriel des formes quadratiques ternaires en
(X,Y,Z) sur if. Ces formes quadratiques sont dites associées à (D,B) (sous-entendu: et à L . S'il y a
risque de confusion, on dira que ces formes quadratiques sont associées à (L, D,B) ).
Proposition 27.8.5
Soit L un corps de genre zéro sur K . Avec les notations et hypothèses ci-dessus, les formes
quadratiques (5) sont non dégénérées.
Démonstration :
Soit Q une des formes quadratiques (5), associée à un couple (D,(x,y,z)) comme ci-dessus. On a
donc la relation (4). Soit I = ~K ®K L. Soit ~D = R*(D) , où R* est l'application BKK(L) -+ SR^(L)
définie en (19) du paragraphe 24.2. Identifions K et L aux sous-corps ÂT<8>1 et 1<8>L de T (de
sorte que L = ifL). On a 2D = 2D ; la proposition 24.3.9 montre que (x, y, z) est une if-base de
2(D) et que (x2,y2,z2,yz,zx,xy) est une partie génératrice du ^F-espace vectoriel ££(2Z)) . Supposons
Q dégénérée. Alors Q est non irréductible dans JCIX.Y.Z] =~K 8>/c K[X,Y,Z\ ; il existe donc deux
éléments (aiA.ci) et (a2,62,c2) de ~K \{0} tels que Q = {aiX+b1Y+c1Z){a2X+b2Y+C2Z) . On déduit
donc de (5) que (a1x+b1y + Ciz){a2x + b2y + c2z) - 0 . Comme L est un corps, on a aix + biy + Ciz = 0 ou
a2x + 62y + c2z = 0 , ce qui est absurde puisqu'on a vu que x , y et z sont ïf-linéairement indépendants.
Cette contradiction montre que Q est non dégénérée ■
Dans tout ce qui suit, si V est un if-espace vectoriel, et si B — (ei)ie/ désigne une base de V , nous
noterons B — (ë7)t€/ la if-base (1 <g> e») de V — K <&k V .
Dans_les conditions de (4),_les formes quadratiques ternaires (5) définissent donc, relativement à
la base B — (x*,y*,z*) de 2{D) duale de B , une unique conique propre de Proj(#•(£>)) , qui par
construction même, est définie sur if . On vérifie facilement que cette conique ne dépend pas du choix
de la base B . Cette conique sera notée T^.d , et sera appelée la conique associée à (L, D) . Lorsque D
varie, nous dirons simplement que les coniques rL)D sont les coniques associées à L .
Proposition 27.8.6
Soit L un corps de genre zéro sur K . Soit C = Fl,d une conique associée à L , où De Div(L/if )
est de degré 2 . Le corps L est K-isomorphe à K(C) .
416 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Démonstration:
Soit B = (x,y, z) une if-base de 2(D) et soit B* sa base duale.
• Montrons d'abord que L = if(f,^) . Comme (f,*,l) est une base de D -f div(z) , et comme
D + div(z) >: 0, on est ramené au cas où D t 0 et où z = 1 . Plaçons-nous dans ce cas. Il s'agit
de prouver que L = K(x,y) . Les diviseurs des pôles de x et y sont ^ D , donc [L : if(x)] < 2 et
\L : if (y)] < 2 . Si L = if(x) ou L = if (y) , la propriété est prouvée. Supposons que L ^ if(x) et
L £ if (y) . Alors | L : if (x) ] = | L : K(y)\ = 2 ; pour établir que L = if (x,y) , il suffit donc de prouver que
y £ if (x) . Raisonnons par l'absurde, en supposant que y e K(x) ; alors if (x) = if (y) , et comme x et
y sont transcendants sur K , on a (a,6,c,rf) € if4 tel que ad - 6c ^ 0 et y = gjg (théorème 22.3.3).
Comme |L : K{x)\ = |L : K{y)\ = 2 = Dgr(£>) , les diviseurs des pôles de x et y , qui sont tous deux
-< D , sont tous deux égaux à D (formules (14) et (15) du paragraphe 23.3); si l'on avait c ^ 0 , aucun
pôle de x ne pourrait être pôle de y , donc c = 0 ; par suite, y = ax + 0 avec a = 5 et 0 = 2 » en
contradiction avec la if-indépendance linéaire de (x,y, 1) . Cette contradiction montre que y £ if(x) ,
d'où L = if(x,y) .
• Soit (A,^,i/,a,0,7) € if6 \ {0} vérifiant (4), et soit Q la forme quadratique ternaire (5). Elle n'est
divisible par aucun polynôme de degré 1 en (À",Y, Z) , donc toute forme linéaire ^.0 sur ££*(£>) définit
un élément ^ 0 de if [S] . Soit S le cône projetant de C . Identifions 2(D) (resp. #(£>) ) avec son
bidual. Soit x,y,z les éléments de if [S] définis par x , y et z (c'est-à-dire, définis par la suite (x,y,z)
identifiée à la base duale de B ). D'après la proposition 27.8.2, on a if(C) = if(§, f) . De manière
précise, soit (£,77) des indéterminées sur if; alors le morphisme de if-algèbres K[£,rç] -♦ if(C) qui
envoie (£,77) sur (§,§) admet pour noyau l'idéal q engendré par <2(f,rç, 1) , donc définit un morphisme
injectif K[i,v]/q -» if(C) ; ce morphisme se prolonge donc en un plongement du corps des fractions de
tf[*.i]/, dans if (C) , dont l'image est if(§, f ), et cette image est K(C).
L'unicité de Q à /^-proportionnalité près signifie que les éléments V homogènes de K[X,Y,Z] tels
que &(x,y,z) = 0 sont les multiples de Q (attention, l'idéal de K[X,Y,Z] formé des polynômes nuls
en (x,y,z) n'est certainement pas homogène, i.e. il n'est pas engendré par Q ). Soit alors le morphisme
de if-algèbres p : if[£,77] ~* L Qui envoie (£,77) sur (f,*); soit V = V'fé»7?) un élément non nul,
de degré m , du noyau de ce morphisme; alors le polynôme homogène V(X,Y,Z) = ZmV>(^, £) vérifie
$(x,y}z) = 0, donc est multiple de Q . En déshomogénéisant, on voit que V € q ; on en déduit que
Ker(p) = q . Donc par passage au quotient, p définit un morphisme injectif K[t,v)/q -* L , dont l'image
es* K[ f » £] » ce morphisme injectif se prolonge en un plongement du corps des fractions de K[tM]/q
dans L , dont l'image est K (f, J ) , c'est-à-dire L d'après la première partie de la démonstration. En
composant l'isomorphisme L —► K[t,'i]/q ainsi obtenu avec l'isomorphisme k[i,n]/q —► if(C) obtenu
plus haut, on a un if-isomorphisme L —► if (C) . Le if-isomorphisme ainsi construit est le seul qui envoie
(f,*) sur (§,*). ■
Avec les notations et hypothèses de la proposition 27.8.5, on sait (voir proposition 24.3.9) que %(D)
s'identifie à Tt ®K 2(D) = 5(5), et donc 2*(D) s'identifie à 7<®K 2*{D) = %*(D) . Nous pouvons
appliquer les résultats de la section précédente en prenant £*(£>) comme if-espace vectoriel de if-
rationalité dans ££*(£>) .
Proposition 27.8.7
Soit L un corps de genre zéro sur K . Soit D et D' deux diviseurs de degré 2 sur SR/c(L) . Il
existe des bases 5=(x,y,z) de £(D) et B' = {x',y',z') de ££(D') telles que les formes quadratiques
ternaires associées à {D,B) et à (D',B') soient K*-proportionnelles.
Démonstration:
Reprenons les notations de la démonstration de la proposition 27.8.5. Les diviseurs 75 et ~D' de
SRjf(L) sont de degré 2. Comme L est de genre zéro, D-D' est principal (proposition 24.2.1). D'après
la proposition 24.3.9, on a donc D - D' € Divpr(L/if). Soit f e L* tel que D = D' + div(/). Soit
B = {x,y,z) une if-base de 2(D) . Soit x' = fx , y' = /y et z' = /z . Alors (x'.y'.z') est une if-base de
££(D'). Pour tout élément (A, /z, t>, q, 0,7) de if6 \ {0} vérifiant (4), on a
Ax/2 -I- y,y'2 + t>z/2 + 2ayV + 20zV + 27x'y' = /2(Ax2 -I- /zy2 -f fz2 + 2ayz + 20zx + 27xy) = 0
La proposition en résulte immédiatement ■
On déduit de l'étude ci-dessus:
Proposition 27.8.8
Soit L un corps de genre zéro sur K . S'il existe un diviseur D € Dlv(L/if ) de degré 2 tel que
la conique rLjo admette un point K-rationnel, alors cette propriété est vraie pour tout diviseur
D e Div(L/if ) '.
Démonstration :
C'est une conséquence immédiate de la proposition 27.8.7 ■
On sait que tout corps de fractions rationnelles d'une variable sur if est de genre zéro (exemple
24.3.2). Nous allons voir sous quelle condition la réciproque est vraie.
Chapitre 27 , § 8
Corps de genre zéro 417
Corps de genre zéro déployés
Définition 27.8.1
Supposons K parfait de caractéristique quelconque. Un corps de genre zéro sur K sera dit déployé
ssi c'est un corps de fractions rationnelles d'une variable sur K .
D'après cette définition, si K est algébriquement clos quelconque, tout corps de genre zéro sur K
est déployé.
Si A est un corps de fonctions algébriques d'une variable régulier sur K , un point v e SRj<-(yl) est
dit K -rationnel ssi d„ = 1 , i.e. ssi Kv = K . Si on note ~Â = K®kA et R l'application BRr(A) -> SRk(VI)
définie en (3) du paragraphe 24.1, on voit que v est /{"-rationnel ssi R~l{v) est un singleton, l'unique
élément de ce singleton étant alors un point if-rationnel de SR#(yl) .
Proposition 27.8.9
Le corps K étant parfait de caractéristique quelconque, soit L un corps de genre zéro sur K . Alors
L est déployé ssi SR/c(L) admet un point K-rationnel.
Démonstration :
Si L = K{t) avec KL, alors pour tout a € K , la valuation va = VL,t,x-a est un point if-rationnel
de SR/c (L) (noter que v» = VL^,oo est aussi un point if-rationnel).
Réciproquement, soit v un point if-rationnel de SRjc(L). Posons D — v. On a dim/f(2{D)) = 2
(proposition 27.8.2). Comme K c %(D) , on peut choisir / € %(D)\K . Nécessairement, div(/) = -v+u>,
avec w € SR/c(L) et v £ w. D'après les formules (14) et (15) du paragraphe 23.3 (appliquées avec le
sous-corps K(f) de L ), on a alors \L : K(f)] = dv = 1, donc L = K(f) , et L est déployé ■
À partir d'ici, on revient à l'hypothèse que K est algébriquement clos de caractéristique ^ 2 .
Théorème 27.8.3
Soit L un corps de genre zéro sur K . Pour que L soit déployé, il faut et il suffit que les coniques
associées a L admettent des points K-rationnels.
Démonstration:
En caractéristique ^ 2, toute conique propre projective est non singulière (c'est immédiat).
Soit D un diviseur de degré 2 sur SR/c(L) . Soit C la conique projective /Y.d • D'après le théorème
27.8.2, l'application fie ■ SR/e(/f(C)) -*■ C établit une bijection de l'ensemble des points if-rationnels
de 8R^-(A'(C)) sur l'ensemble des points /f-rationnels de C . Or, le corps K(C) s'identifie à ~K®k L = L
(proposition 27.8.6). L'application R : SR#(L) -► SR/c(L) (définie en (3) du paragraphe 24.1) établit
une bijection de l'ensemble des points if-rationnels de SR#(L) sur l'ensemble des points if-rationnels
de SR/c(L) . Compte tenu de ces bijections, la proposition 27.8.9 montre que L est déployé ssi C admet
un point if-rationnel ■
Soit L un corps de de genre zéro sur if . Identifions if et L à leurs images dans le corps L — K®kL >
de sorte que L — KL . On a vu que pour tout corps if intermédiaire entre if et ~K , le corps if "L est
un corps de genre zéro sur if . Nous dirons qu'un tel corps if9 déploie L ssi K*L est déployé.
Proposition 27.8.10
Dans les conditions ci-dessus, supposons L non déployé. Il existe une extension quadratique if* de
K dans K qui déploie L .
Démonstration :
Soit C la conique projective associée à un diviseur de degré 2 sur SRk-(L) . Soit X,Y,Z des
indéterminées sur K et soit Q une forme quadratique ternaire sur if , de la forme (5), définissant C
dans une base B* de 2m(D). En vertu de l'hypothèse, le polynôme \X2+iiY2+2yXY est if-irréductible,
d'où \pi ■£ 0 . Soit £ une racine dans ~K de XX2 +27X + /Z dans ~K ; alors iffl = if (0 est une extension
quadratique de if , et le point de coordonnées homogènes (£,1,0) dans B* est if "-rationnel et appartient
à C , donc if" déploie L ■
Remarque 27.8.1 :
Soit V un if-espace vectoriel de dimension 3 et V — K <8>/c V . Si une conique projective C de
Proj(V) définie sur if admet un point if-rationnel M0 , en coupant C par les droites de Proj(Vr)
définies sur if et passant par M0 , on en obtient une représentation paramétrique définie, dans une base
if-rationnelle quelconque de V , par un triplet (/, p, h) de polynômes à coefficients dans if , de degré
< 2 et if-linéairement indépendants, en une variable t. Il est clair qu'on obtient ainsi une bijection de
K sur l'ensemble des points if-rationnels de C , en faisant varier t dans K = if u{ock-} (pour t = 00 k ,
on considère (t~2fit~2g)t~2h) ) 4
27.8.3 Classification des corps de genre zéro
Rappelons que if est supposé parfait de caractéristique ^ 2 ; on note ~K une de ses clôtures
algébriques.
Soit Vi et V2 deux if-espaces vectoriels de même dimension finie n+1 , avec n > 1 . Soit Qi (resp.
Q2 ) une forme quadratique sur Vx (resp. V2 ). On dit que Qi et Q2 sont semblables ssi il existe
A € if * et une bijection if-linéaire / : Vi —► V2 tels que Q2 o f = Q\ . L'entier n étant fixé, la relation
418 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
binaire ainsi obtenue s'appelle similitude entre formes quadratiques. Elle est est réflexive, symétrique et
transitive. Pour que deux formes quadratiques sur Vi et V2 soient semblables, il faut et il suffit qu'il
existe une base B\ de Vx et une base B2 de V2 telles que les matrices représentant Q\ et Q2 dans
Vx et V2 soient if*-proportionnelles.
Soit maintenant L un corps de genre zéro sur K . Soit X, Y, Z des indéterminées sur K . Soit
Q = Q(X,Y,Z) est une forme quadratique ternaire donnée par (5), associée à L, relative à un couple
(D,B) où D est un diviseur de degré 2 sur SRk(L) et où B = (x,y, z) est une if-base de £(D) . Le
forme Q sera identifiée avec la forme quadratique qu'elle définit sur le dual <£*(D) de ££(£>) au moyen
de la base duale B* de B . On peut aussi identifier_ Q avec la forme quadratique qu'elle définit sur
le dual #*(£>) de 2(D) au moyen de la base duale B de B. Lorsque nous considérerons Q comme
forme quadratique sur ££*(£>) , nous la noterons Q . Le cône projetant de T^p est donc Q (0) .
L'étude conduite à la section 27.8.2 montre que lorsque (D,B) varie, les formes quadratiques Q
obtenues sont toutes semblables entre elles. En fait:
Théorème 27.8.4
(I) Soit L et L' deux corps de genre zéro sur K . Pour que L et V soient K-isomorphes, il faut et
il suffit que les formes quadratiques associées à L et celles associées à L' soient toutes semblables.
(II) Toute forme quadratique ternaire non dégénérée en (X, Y, Z) est semblable à une forme
quadratique associée à un corps de genre zéro sur K .
Démonstration :
On note X, Y, Z des indéterminées sur K .
• Assertion (I):
Supposons que les formes quadratiques associées k L et L' soient toutes semblables. On peut
alors trouver des couples (D,B) et (£>',£'), où D et D' sont des diviseurs de degré 2 sur SRk(L) et
8R/c(L/) , et où B et B' sont des bases de %(D) et Ï£(D') , tels que les formes quadratiques ternaires Q et
Q' sur K en (X,Y,Z) associées à L et V au moyen de (D,B) et de (£>',£') soient /^-proportionnelles.
Soit £,rç des indéterminées sur K . Notons Q. l'idéal de if [£,*?] engendré par Q(£,rç, 1) ; c'est aussi
l'idéal engendré par Q'(£,t?, 1) . Soit C et C les coniques rLiD et rL,D' • D'après le corollaire de la
proposition 27.8.2, les corps K(C) et if(C') sont tous deux if-isomorphes au corps des fractions de
k[t,>il/q . D'après la proposition 27.8.6, les corps L et L' sont respectivement if-isomorphes à K(C)
et if (C) . Donc L et V sont K-isomorphes.
Réciproquement, supposons que L et V sont if-isomorphes. Soit <p : L —> L' un if-isomorphisme.
On en déduit (voir début du paragraphe 24.2) une bijection tp* : SR/f(L') -+ 8R/c(L) et un isomor-
phisme de groupes <p\ : Div(L'/K) -» Div(L/if) , tel que ^(div(p)) = div(^_1(g)) pour tout g € L'* ,
qui conserve le degré et transforme tout diviseur >: 0 en un diviseur >: 0 . Soit D' est un diviseur
de degré 2 sur SR/c(L') et soit D — ipi(D'). Les propriétés qu'on vient de rappeler montrent que
V(<£(D))= 2(D') . Soit #=(x,y,z) une if-base de 2(0) et soit B' la base (¥>(x),¥>(y),v?(z)) de <£(D') .
Alors les formes quadratiques ternaires Q et Q' associées à L dans (D,B) et à L7 dans (£)',#') sont
if*-proportionnelles, ce qui achève de prouver l'assertion (I).
• Assertion (II):
Soit Q une forme quadratique ternaire non dégénérée sur K en (X,Y,Z) , donnée par (5). On
a (A,^,i>) ^ (0,0,0) ; comme K a au moins trois éléments, on peut trouver (oi,6i,a2,62) € if4 , avec
aib2-a2bi ^ 0 , tel que ni aiX+biY ni a2X+b2Y nedivise XX2 +nY2 +27ÀT . Donc quitte, si nécessaire,
à remplacer Q par une forme quadratique semblable, on peut supposer que À/z ^ 0 (le lecteur vérifiera
qu'on peut même supposer Xfiu ^ 0 , car les if-droites projectives ont au moins quatre points). Soit V
un if-espace vectoriel quelconque de dimension 3 et V = K®kV • Alors Q est absolument irréductible,
donc dans la base (£1,62.^3) = (êT.ê^.ëi") de V (où (ei,e2,e3) est une base fixée de V ), elle représente
une conique propre projective C de Proj(V) , qui, par construction, est définie sur K . C'est une
courbe algébrique projective non singulière, dont on notera S le cône projetant. Soit L = if (C) . Alors
L est de genre zéro sur K ; en effet, le genre de L sur K est égal à celui de Z = ~K ®k L sur K , on
a L = if(C) , et if(C) est déployée sur K (puisque K est algébriquement clos), donc de genre zéro.
Soit (e\,£2,el) la base duale de (ei,e2)e3) . Les e* appartiennent à K[V] . Soit X,y,Z les éléments
de K [S] définis par E\,e'2)El . Ils sont ^ 0 , car Q n'est divisible par aucun des monômes X , Y et
Z . Posons x — ^ , y = % et z = 1 . Alors x G K(C) , 3/ e /f(C) , et la suite (xty, 1) est ^-linéairement
indépendante. On a
(6) \x2 + m2 + v + 2ay + 2/?x + 27xy = 0
et on sait que L — K{x,y) . Soit Dx (resp. Dv ) le diviseur des pôles de x (resp. de y ) sur 8R/c(L) ,
Comme Xp ^ 0 , en utilisant la if-indépendance linéaire de (x,y, 1) , on déduit facilement de (6) que
\L : K(x)\ = [L : if(y)l = 2 , donc £>x et £>y sont de degré 2 . On déduit de (6) que x et y ont mêmes
pôles avec mêmes multiplicités, i.e. Dx et Dy sont un même diviseur D de degré 2 . Par construction,
div(x) +Z)>:0 et div(y) +_D t. 0 , donc (x,y, 1) est une A'-base de £{D) . D'après (6), la conique TL}d
est définie par Q dans la if-base de %*(D) duale de (x,y, 1) , ce qui achève la démonstration ■
Soit V un if-espace vectoriel de dimension 3 et $ désigne une forme quadratique sur V . Soit <P
l'unique forme quadratique sur V = K <g>/c V qui prolonge * ; elle est caractérisée par la propriété que
pour toute base B de V , la matrice de $ dans S est égale à celle de # dans B ; autrement dit, si
# est représentée dans B par une forme quadratique ternaire Q , la forme # est représentée dans B
Chapitre 27 , § 8
Corps de genre zéro 419
par Q . Cela dit, il ne faut pas confondre les groupes O(Q) et O(Q) ; en fait, O(Q) = O(Q) C\QLk(V) , en
identifiant QLk(Y) à son image par l'injection canonique Hom/c(Vr) -► Hom^(V) = K ®k Hom^(^) .
Théorème 27.8.5
Soit L un corps de genre zéro sur K. Soit D un diviseur de degré 2 sur SRk(L) et B=(x,y)z)
une base de 2(D) ; soit Q la forme quadratique ternaire sur K associée a (L, D, B) . Il y a alors un
isomorphisme entre le groupe Aut/e(L) et le groupe PO(Q) s SO(Q) .
Démonstration :
Si on change de diviseur de degré 2 , Q est remplacée par une forme quadratique semblable, ce qui
ne change pas SO(Q) à isomorphisme près. Il suffit donc de prouver le théorème avec un diviseur de
degré 2 particulier. Soit D un diviseur de degré 2 quelconque, et soit (x, y, z) une if-base de %{D) ;
en remplaçant D par D + div(z) et (x,y,z) par (§, J, 1), on se ramène au cas où D ^ 0 et où 2 = 1.
On supposera donc que D £ 0 et que #(£>) a été muni d'une K-base B = (s, y, 1) . Quitte à changer
(x, y) en (ax + 6y + c, a'x + 6'y -I- cf) avec (a, 6, c, a', &', c') € /f6 convenable tel que ab' - a'b ^ 0 , on peut
supposer que la forme quadratique Q est donnée par (5), avec Xfiu ^ 0 (c'est une conséquence du fait
que toute if-droite projective a au moins quatre points). Alors les diviseurs des pôles de x et y sont
tous deux égaux à D . Nous noterons B* = (X,y,Z) la base duale de B dans 2*{D) et B* = (X,y.'Z)
la base de ££•(£>) qui en est issue. Rappelons que Q est identifiée avec la forme quadratique qu'elle
définit sur ££•(£>) au moyen de B* , et qu'on note Q la forme quadratique sur ££•(£>) qui la prolonge.
On notera C = i"b et S le cône projetant de C. Le dual de %*{D), i.e, le bidual de ££(!>), s'identifie à
££(£)) ; de même, 2(D) s'identifie au dual de Ï£*(D) . On notera respectivement x, y, î les éléments de
K [S] définis par x,y, 1 (ces derniers étant considérés comme formes linéaires sur ££•(£) ). Alors il y a
un if-isomorphisme p du corps L sur if(C) , qui envoie (x,y) sur (f,f) (proposition 27.8.6). Nous
identifierons L et if (C) à l'aide de p.
Considérons le morphisme canonique rz : 0(Q) —► PO(Q), où PO(Q) désigne le groupe quotient de
O(Q) par le sous-groupe {-Id,Id} ( Id désigne l'automorphisme identité de <£*(D) ). Puisqu'il s'agit de
groupes orthogonaux en dimension 3 , le groupe 0(Q) est le produit direct de ses sous-groupes 80(Q)
et {-Id, Id} ; la restriction w+ de w à SO(Q) est donc un isomorphisme sur PO(<2) ; nous identifierons
PO(Q) et SO(Q) à l'aide de w+ .
Pour (a, A) e Aut/c(L) x Div(L/if) , notons a • A — (a~1)l(A) (voir début du paragraphe 24.2: si
A = ^2 ^vîi, alors a • A — y^ nvvoa~l — y^ n^u). L'application Aut/c(L) x Div(L//C) —► Div(L/if)
est une action à gauche de Aut/c(L) sur D±v(L/if) ; les permutations de Div(L/if) associées à cette
action sont des automorphismes de groupe, qui respectent le degré et la relation d'ordre ^ .
Soit (7 € Aut/c(L) . Comme Dgr(D) = Dgr(<7-£>) (= 2) , l'ensemble &a = {v? e L* |a- D- D = div(<^)}
est non vide; c'est donc une if-droite vectorielle épointée (i.e. privée de 0 ). Soit alors (p 6 $a ; pour
tout / € <£(D) , on a <r(/) € 2(<r • D) , d'où p<r(/) € <£(D) ; l'application i^,, : <£(D) - <£(£>) : / ~ ?*(/)
est un automorphisme du X-espace vectoriel 2(D) . Posant {x\y\z') = (uv,<r(i),w^,<r(y)Jus?i<r(l)) , il est
immédiat que
(7) Ax/2 -1- ^y'2 + vz'2 + 2ay'z' + 2/?2'x7 + 27X7y7 = y?2a (Ax2 + /zy2 -I- i/z2 -I- 2ayz -I- 2/?zx + 27xy) = 0
ce qui implique que Qo (tuV5(tr) = \Vt<r avec \Vi<r € if* (où tuiPl„ désigne le transposé de uV(tr ). On
définit ainsi des fonctions {p >— u^i<T et \p *-* \^>a sur $„ . Il est clair que pour tout (a, <p) e K* x $a ,
on a uov,,<r = ouVi<r et \atPia = a2Av,tr . Montrons que A^,^ est un carré dans K . Pour cela, prenons les
discriminants de Q o 'u^ et de X^Q dans une base quelconque de <£*(D) , par exemple la base B* .
Soit U la matrice de 'u^* dans la base B* . Soit V\ le discriminant de Q dans 5 . Le discriminant
de \)0Q dans 5 est Aj>tr£>i , et celui de Qo tuVi<r est (det^))2^ ; donc \%y0V^ = (det(t/))2X>i , d'où
A* „ = (det(C/))2 car T>i ^ 0 (la forme Q est non dégénérée), d'où \Vt<r = (A^det(C/))2 : c'est bien
un carré dans K . On en déduit qu'il y a exactement deux éléments (p de $„ tels que AVi<r = 1 ; si
9 est l'un d'eux, l'autre est -9 ; un tel élément $ vérifie Q o tuey<r = Q , i.e. lU0^ € O(Q) . Comme
O(Q) = 30(Q) U (-SO(Q)) , un et un seul élément de {'u^, -'u*,,} appartient à SO(Q) . On le notera
&r . L'unique élément (^ de $a tel que p^ = tu<fit<r sera noté ^ . Comme a était arbitraire, on a défini
des fonctions a »-» 0* et <j >-> ga sur Aut^(^) •
Soit maintenant u et t dans Aut/c(£) . On a & D - D = div(^) , d'où:
(8) t(<7D)-tD = t- div(^) = div(r(0<,))
En additionnant membre à membre (8) avec r • D - D = div(^) , on obtient:
(9) div{9T<r) = (tv) D-D = T{aD)-D = div(Or) + div(r(^)) = div(6T r{90))
Il existe donc un unique cT,<, e K* tel que cTya9TT(0(7) - 9TO , d'où cT,a uCr<reT r(ev),r<r = '"d^.rtr • En
appliquant les deux membres de cette égalité à / € L* , on obtient:
(10) «0r.Mf) = CTl<ïeTT{90)T{aU)) = Cr^Br t{B0 <7{f)) = CTy<TU9r iT(ue.,.(/))
d'où Wdr<r,T<r = cTt<TuoT<T °^9a,<r • En transposant, on en déduit:
(id
3t» = cT,<,g, o jr
420 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Comme gT , g„ et gTO appartiennent à SO(Q) , du fait que -Id £ 80(Q) , la relation (11) entraîne
cTt<r = 1. Finalement gTO = gagT pour tout (<7,r) € Aut/c(L) x XyitK(L) . D'où un morphisme de groupes
(12) E : Aut*(L) —>SO(Q), a—>&,-»
• Montrons que £ est injectif. Soit a € Ker(£) . On a alors e € {-1,1} (ne dépendant que de a ) tel
que 6<r(r~1{f) = ef pour tout / € 2(D) . Comme a(l) = 1 , on voit, en prenant / = 1 , que 6a - e\t ,
d'où (t(/) = / pour tout / € if(Z?) . Comme L = ff(z.y) et comme {z,y, 1} c #(£>), on conclut que
a — IdL . D'où l'injectivité.
• Montrons que £ est surjectif.
Soit V = V € SO(Q) , où </? € QLk(<£(£>)) . Soit t£ (resp. ^) le tf-automorphisme Id-^® V (resp.
Id^ <g> v? ) du tf-espace vectoriel £e(D)* =1<®k 2*(D) = #•(£) (resp. de 2(B) ). Puisque V € SO(Q) ,
pour toute forme linéaire t sur #(£>) telle que Q{£) - 0 , on a Q{£o<f>) = 0 . Pour tout f € 2(D), notons
| l'élément de K[S] défini par £ , étant entendu que f est considéré comme forme linéaire sur %*(D)
(on identifie %(D) à son bidual). L'identification de L avec if(C) à l'aide de p donne alors:
(13) (V* €*(/>)) £ = i
Rappelons que */>„ désigne l'élément de PQL/e(^(-D) ) issu de tp. On a V*(0 = C, donc */>„ induit
une bijection Vq \ C -> C * L'application ~K(C) -► if(C), / »-► / o Vq est un if-automorphisme, qui laisse
K(C) globalement invariant, donc qui induit un /f-automorphisme a de K{C) = L . On va prouver que
i> = ga = i7((7"'1) , ce qui prouvera la surjectivité de £ .
Du fait que V» = V » on a:
(14)
(V£€£e(£>))
d'où la formule fondamentale:
(15)
En particulier:
(16)
( V (f, rç) €*(/>)
a(z) =
£o-0 =
x (2(0) \ {0})
V>Qr)
*(y) =
= v>(0
'G
. ^M
vfa)
v(i) v(i)
Par une méthode analogue à celle de la preuve de la proposition 27.6.5, on montre:
(17) 0>D- D = divMl)) = div
(¥)
(c'est pour avoir aisément (17) qu'au départ, on a choisi (z,y) tels que \pv ^ 0 ). On en déduit
l'existence de ce K* tel que $„ — c^p- , d'où, à l'aide de (16), en posant u = ueVt<T :
(18) u(x)=e^alx) = c^^=e£gï ; etdemême: «(y) = c S> ; u(l)«c^
1 1 y>(l) 1 1 1
En tenant compte de (13), on déduit de (18) que u = ap, d'où g„ = op . Comme i> € 80(Q) et
0* € 80(Q) , on a c — 1 (rappelons que -Id £ 80(Q) ). Donc ^ = 5,, comme attendu.
• En conclusion, X" est un isomorphisme. C'est l'isomorphisme cherché ■
Remarque 27.8.2:
Soit V un if-espace vectoriel de dimension 3 , et soit__V = K <8>/f V . Par définitions, la classification
projective K-rationnelle des coniques propres de Proj(V) définies sur K est la caractérisation des
POL/c(Vr)-orbites dans l'ensemble de ces coniques. Le théorème 27.8.4 signifie que la classification des
corps de genre zéro sur K à AMsomorphisme près équivaut à la classification projective /^-rationnelle
des coniques propres de Pro j (V) définies sur K +
Lien avec les algèbres de quaternions
Nous supposons toujours le corps K parfait et de caractéristique ^ 2 .
Nous renvoyons au tome 2, chapitre XIX, pour la définition et les propriétés essentielles des K-
algèbres de quaternions. Rappelons que la classification des if-algèbres de quaternions équivaut à celle
des espaces quadratiques non dégénérés de dimension 3 sur K (l'espace quadratique associé à une telle
algèbre étant l'espace des quaternions purs muni de la restriction de la norme réduite); qu'une algèbre de
quaternions est dite déployée ssi elle est isomorphe à SPÎ2(K) ; que l'algèbre de quaternions Hq associée
à une forme quadratique ternaire Q non dégénérée est déployée ssi Q admet un vecteur isotrope ^ 0 ;
et que le groupe u{Vq)/k* (où U(A) est le groupe des éléments inversibles de Hq ) est canoniquement
isomorphe à SO(Q) . On a ainsi un lien très étroit entre les trois objets suivants: corps de genre zéro sur
K , formes quadratiques ternaires non dégénérées sur K et algèbres de quaternions sur K . À l'aide
des formes quadratiques Q associées à un corps L de genre zéro sur K au moyen d'un diviseur D
Chapitre 27 , § 8
Corps de genre zéro 421
de degré 2 et d'une base B de 2(D) , on obtient ainsi des isomorphismes entre le groupe Aut/c(L) et
les groupes 80(Q) (donnés par le théorème 27.8.5); en associant à une de ces formes Q une algèbre
de quaternions Hq , on a ainsi un isomorphisme entre les groupes Aut/c(L) et w(#q)/k" : dans le cas
déployé, on retrouve ainsi Tisomorphisme entre Autjc(L) et POL(2, K) (voir tome 2, théorème XV.6 et
ses conséquences). Remarquons que d'après ce qu'on vient de rappeler, Hq est déployée ssi la forme Q
admet un vecteur isotrope ^ 0 , ce qui équivaut à dire que la conique Fp.s admet un point rationnel.
Retour sur le théorème de Lûroth
Les résultats de ce paragraphe peuvent être utilisés pour retrouver théorème de Lùroth (théorème
23.3.2), de façon indépendante de celle donnée au chapitre 22, au moins quand le corps K est parfait (on
pourrait adapter la méthode ci-après avec un corps de base K quelconque, mais cela obligerait à revoir
le langage et les résultats du chapitre 24 dans le cas d'un corps de base non nécessairement parfait).
Nous supposerons donc K parfait et de caractéristique quelconque. Soit L un corps de fonctions
rationnelles d'une variable sur K. Soit F un sous-corps de K contenant K et ^ K ; alors F est un
corps de fonctions algébriques d'une variable sur K . Posons L — K <8>k L et F = K ®/c F . Le corps
F s'identifie à un sous-corps de L , et il est clair que F est un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K . D'autre part L est un corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K , donc est
de genre zéro. D'après la formule de Riemann-Hurwitz:
(19) -2 = 2*-m - 2 = (28^ - 2) [1: 7] + Drg (Ram^)
Comme Drg(Ramjv^) > 0 , on déduit de (13) que §p/R = 0 . Donc qF/K = qp/R = 0. Ainsi F est
un corps de genre zéro sur K . Comme L est un corps de genre zéro sur K déployé, 8KK(L) a un
point if-rationnel v0 . Alors w0 =91l,f(vo) est un point /{"-rationnel de SR/c(F) (car K = KVQ est une
extension de fCWo et K c fCWo , d'où JCuo = K ). Puisque SR/c(F) a un point K-rationnel, c'est que F
est déployé, ce qui achève de redémontrer le théorème de Luroth pour K parfait.
§ 27.9 Courbes planes et surfaces de Riemann complexes
Dans tout ce paragraphe, le corps de base est K — C .
27.9.1 Structure analytique des courbes planes non singulières
Topologie des espaces projectifs complexes
Soit V un C-espace vectoriel complexe de dimension n+ 1 , avec n > 1. On le munit de sa structure
topologique usuelle, i.e. la topologie des normes. On munit alors Proj(V) de la topologie quotient: par
définition, une partie u de Proj(V) est ouverte ssi Wyl(u) est un ouvert de V \ {0} . Dans tout ce
qui suit Proj(V) sera systématiquement muni de cette topologie.
Proposition 27.9.1
Dans les conditions ci-dessus, l'application wv > V \ {0} -> Proj(V) est ouverte, et l'ensemble
Gv = {(*, y) € (V \ {0}) x (V \ {0}) | wv(x) = mv{y)} est fermé dans (V \ {0}) x (V \ {0}) .
Démonstration :
Soit u un ouvert de V \ {0} ; on a WyX{wv{ijj)) = U\çk»(\u) . Comme les homothéties de rapport
^ 0 de V induisent des homéomorphismes de V\{0} sur lui-même, on voit que wvl{wv{u)) est ouvert,
donc wv(u) est un ouvert de Proj(V) .
Soit (ei,...,e„+i) une base de V , et soit (ej,...,e*+1) sa base duale. Pour tout (i,j)€ [l,n+ lj2
avec *<;, soit f{j la fonction (V\ {0}) x (V\ {0}) -► C : (x,y) *-> e*(x)e*(y) - e*(y)e'(x) . Les fij sont
polynomiales donc continues, et Gv = n(t,j)6Hi,n+iii2,t<j(/i7/(0)) » donc Gv est fermé dans V \ {0} ■
Corollaire
L'espace projectif Proj(V) est compact et connexe.
Démonstration :
D'après ce qui précède, l'application wv : V \ {0} —> Proj(V) est continue et ouverte, et le
graphe Gv de la relation d'équivalence qui définit la topologie quotient sur Proj(V) est fermé dans
(V \ {0}) x (V \ {0}) ; il est bien connu que cela entraîne que l'espace Proj(V) est séparé. Comme
V \ {0} est connexe (puisque dimc(V) > 2 ), la continuité de wv entraîne que Proj(V) est connexe.
Soit v une norme de V ; la sphère unité S» = {x e V \ v(x) = 1} de V est une partie compacte de
V \ {0} , et il est clair que wviS^) = Proj(K) ; domme wv est continue et Proj(V) est séparé, il en
découle que Proj(V) est connexe ■
Soit B= (ei,... ,en+i) une base de V et soit (cî,...,ej+1) sa base duale. Pour tout te[l,n+ll,
soit Hi Thyperplan projectif de Proj(V) d'équation e* = 0 , et soit Vb,x = P*oj (V) \ H{ . Soit £Ba
l'hyperplan affine de V d'équation e* = 1 . La restriction de wv à Ss,i définit une bijection Eb,x -* Us,i ;
cette bijection envoie tout point de £s,i de coordonnées affines (^j)i<j<n+i,j£i dans 72.» sur le point de
coordonnées homogènes (£j) dans B , où f j = Xj si j ^ i et & = 1. Le lecteur vérifiera sans peine que
cette bijection est un homéomorphisme quand on munit £b,î de sa topologie usuelle de C-espace affine
de dimension finie et Ub,x de la topologie induite par Proj(V) ; dans toute la suite, nous conviendrons
d'identifier £b,x et Ub,x à l'aide de cette bijection. Nous dirons que les £b,î sont les ouverts a/fines de
Proj(V) définis par B.
On a Proj(V) = Ui<i<n+i£B,i ; on en déduit facilement que Proj(V) est séparable, donc métrisable
puisqu'il est compact.
Soit C une hypersurface algébrique projective de Proj (V) , définie par une équation F = 0 , où
F e (K [ V] )m \ {0} avec m > 1. Alors C est une partie fermée, donc compacte, de Proj(V) . En effet,
soit S le cône projetant de C , et soit S„ la sphère unité de V relative à une norme fixée v . Comme F
est polynomiale donc continue sur V , le cône S est fermé dans V , donc S„ n S est une partie fermée
donc compacte de Su . Il est clair que C = wv(Su C\S) , donc par continuité de wv , l'ensemble C est
bien un compact de Proj(V) . On peut prouver que C est connexe par arcs, mais c'est moins évident.
Nous allons le prouver pour n = 2 . Nous laisserons au lecteur le soin d'en déduire la propriété pour n
quelconque, ce qui n'est pas très difficile (on coupe C par des plans projectifs complexes).
Continuité de l'application c-centre et conséquences
Supposons désormais que n = 2 . Soit C une courbe algébrique irréductible de Proj(V) , de degré
m > 1, définie par un élément irréductible P de (C[V] )m . On note L — C(C)
D'après le théorème 27.5.1, dont nous reprenons ici les notations, l'application
(1) tfC:SRc(L)— C, vk—Ov
qui associe à tout v e SRc(^) son C-centre Ov , est surjective, et elle est bijective si C est non singulière.
On sait aussi SRç(£) est munie canoniquement d'une structure de surface de Riemann complexe (i.e.
de variété analytique complexe de dimension 1 ), et cette surface de Riemann complexe est compacte et
connexe (voir chapitre 25).
L'application fie va nous permettre de retrouver les résultats de la section 25.5.3 de manière plus
intrinsèque.
424 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Théorème 27.9.1
Avec les hypothèses et notations ci-dessus, l'application fie définie en (1) est continue.
Démonstration :
Soit #=(ei,e2>e3) une base de V, et soit £\,£ï,£z les ouverts affines de Pro^V) associés. Soit
(y^ijV^. f3) la base duale de B . On suppose B choisie pour que P ne soit divisible par aucune forme
linéaire ipi ; pour tout (i,j) e |[1,3J2 , on note giyj l'image canonique de ^ dans L = C(C) . On note
* = 0i,3 et y = 02,3 •
Pour tout / e L , on notera / la fonction SRc(^) -> C définie par / . D'après la définition même
de la topologie de SRç(L), les fonctions / sont continues.
En se reportant à la preuve de la proposition 27.5.3, on voit que
(2)
{ fÇ1(e2) = {vea^c(L)
v(02,i) £ ° et v(93,i) > 0} = {v e SRc(L)
v(9i,2) > 0 et 1/(33,2) > 0} = {v € SRc(L)
vfai.s) > 0 et v(02>3) > 0} = {v € SRc(L)
^(i/)€Cet ^i(w) eC}
g^iiv) eCet 33,2 (v) eC}
x(v) e C et 7(v) € C}
Par continuité des fonctions #,j , on déduit de (2) que fiç1{Sx) , fi^1(€2) et Z?^1^) sont des ouverts
de SRc(£) ; ces ouverts recouvrent SRc(L) puisque Proj(K) = £1 u£2U£3 . Il suffit donc de montrer que
les restrictions de fie à chacun des ouverts fi^1{Si) sont continues. Par changement de numérotation,
il suffit de le montrer pour i = 3 . D'après la preuve de la proposition 27.5.3, la restriction C3 de fic
à u>3 = n^iSz) fait correspondre, à tout v € u/3 , le point de £3 de coordonnées (z(v),y(i/)) dans
le repère affine 7£3 = (e3;ei,e2). Comme x et y sont continues sur SRç(L) , la continuité de C3 en
découle ■
Corollaire
Toute courbe algébrique projective de Proj(V) en est une partie compacte et connexe par arcs.
Démonstration :
Soit d'abord C une courbe algébrique projective irréductible de Proj(Vr), et posons L — C(L) . La
courbe C est l'image de l'application fie » dont on vient de voir qu'elle est continue. Comme SRc(L)
est connexe par arcs, on en déduit bien que C est connexe par arcs. On a déjà vu avant le théorème
27.10.1 que C est compacte, mais c'est aussi redonné par ce qui précède puisque SRc(£) est compacte
et Proj(Vr) est séparé.
Soit maintenant C une courbe algébrique projective quelconque; raisonnons par récurrence sur le
nombre u de ses composantes irréductibles. On vient de voir que la propriété est vraie pour v — 1 .
Supposons la propriété vraie à l'ordre v - 1 , avec v > 2 , et montrons-la à l'ordre v . Supposons donc
que C = Ui<t<i/Ct , où les C, sont les composantes irréductibles de C . D'après l'hypothèse de récurrence,
l'ensemble r = Ui^^-i est compact et connexe par arcs. Il est d'ailleurs clair que r est une courbe
algébrique projective de Proj(V) . D'après la première partie de la preuve, Cu est compacte et connexe
par arcs. D'après le théorème de Bezout faible, on a Cv n r £ 0 ; donc C = F u^ est compacte et
connexe par arcs ■
Au début de la section 25.5.3, nous avons vu que toute courbe algébrique projective complexe
irréductible et non singulière est munie d'une structure analytique définie directement, que nous avons
appelé structure analytique naturelle de la courbe. Munie de cette structure, C est une surface de
Riemann complexe compacte et connexe.
Théorème 27.9.2
Soit C une courbe algébrique projective irréductible non singulière de Proj(K) . Soit L = C(C) .
L'application fie de (1) est un isomorphisme analytique de SRc(L) sur C . En conséquence, L
s'identifie canoniquement au corps des fonctions méromorphes sur C , et au moyen de cette
identification, la bijection réciproque de fîc s'identifie à Ja bijection C -* SRç(L) du théorème 25.5.3,
assertion (III).
Démonstration:
En vertu de l'hypothèse et du théorème 27.9.1, l'application fie est bijective et continue. D'un
autre côté, C est un espace séparé. On en déduit que fic est un homéomorphisme. En reprenant la
démonstration du théorème 25.5.7, le lecteur vérifiera aisément que fie est analytique; c'est donc un
ismorphisme analytique (proposition 25.2.8).
Soit M le corps des fonctions méromorphes sur C . On sait que M s'identifie canoniquement au
corps des fonctions méromorphes sur 8Rç(M) . De même, L s'identifie canoniquement au corps des
fonctions méromorphes sur SRç(L) (théorème 25.5.3, assertion (II)). Soit v : C -» SRc(A4) l'isomorphisme
analytique fj, *-* valM du théorème 25.5.3, assertion (III). Alors tp = Vo fie est un isomorphisme
analytique de SRc(L) sur SRC(JM) , donc l'application V" ■ M-+L,f>-*foxl> est un C-isomorphisme. Les
identifications indiquées s'en déduisent (on identifie SRc(L) à 8Rc(A/f) à l'aide de tp et L à M à
l'aide de ^) ■
Chapitre 27 , § 9
Courbes planes et surfaces de Riemann complexes 425
27.9.2 Cubiques planes non singulières
Surfaces de Riemann complexes compactes connexes paraboliques
À la suite de la proposition 25.6.3, nous avons signalé (sans démonstration) que toute surface de
Riemann complexe connexe est une surface quotient de l'une des surfaces C, C et Di (où Di est
le disque unité ouvert de C ) par un groupe d'autmorphismes analytiques de cette surface qui opère
librement diiscontinûment sur elle. Les surfaces quotients de C s'appellent les surfaces de Riemann
paraboliques.
Pour tout f € C , nous noterons t^ la translation C-»C,z»->z + f. Pour tout sous-groupe additif
G de C , nous noterons Tg le groupe des translations de C de la forme t^ avec £ e G ; l'application
£ »-» t( est alors un isomorphisme de G sur Tg .
Rappelons qu'un sous-groupe additif G ^ {o} de C est discret ssi soit G = Zu avec u € C\{0} , soit
G = Zoji+Zlj2 i où (uJi%u>2) est une R-base de C. On dit que G est discret de rang 1 dans le premier cas,
discret de rang 2 dans le second cas. Dans le langage du chapitre XIII du tome 2, les sous-groupes additifs
discrets de rang 2 de C en sont les réseaux. Il est immédiat qu'étant donné un tel sous-groupe discret G ,
le groupe Tg est un groupe d'automorphismes analytiques de C qui opère librement discontinûment (sur
C ), et on voit aisément que la surface de Riemann quotient ^ /T(7 (qui est toujours connexe) est
compacte ssi G est de rang 2 .
Proposition 27.9.2
Les seuls groupes d'automorphismes analytiques de C opérant librement discontinûment et teis que
la surface de Riemann quotient de C par ce sous-groupe soit compacte sont les groupes de la forme
Tg , où G est un réseau de C . En conséquence, les seules surfaces de Riemann complexes compactes
connexes paraboliques sont celles de la forme ^/tg > °" ** est un réseau de C .
Démonstration :
Soit T un tel sous-groupe. Les automorphismes analytiques de C sont les similitudes z *-+ az + 6 ,
où (a, 6) € C* x C (le théorème de Weierstrass sur les points singuliers essentiels montre que ces
automorphismes sont nécessairement polynomiaux; on conclut en remarquant qu'étant donné un polynôme
P{X) 6 C [X] de degré n > l , pour tout A € C de module suffisamment grand, le polynôme P(X) - X
admet n racines distinctes). Soit s : z *-* az + b une similitude élément de T ; si a jk 1 , elle admet
un point fixe unique, donc T n'opère pas librement. Cela prouve que T est contenu dans le groupe
des translations de C . Il existe donc un sous-groupe additif G de C tel que T = Tg . On a G £ {0} car
C n'est pas compact. Comme ^/?G est compacte, G n'est pas discret de rang 1 . Donc G est soit
discret de rang 2 , soit partout dense dans une R-droite vectorielle de C , soit partout dense dans C .
Dans les deux derniers cas, Tg n'opérerait pas discontinûment. Donc G est discret de rang 2 ■
Fixons maintenant un réseau G = Zu\ + Zu2 de C , où {uj\,u>2) est une R-base de C . Soit Le le
corps des fonctions méromorphes sur la surface de Riemann Sfc = ^Y Tg * Nous identifierons Sfc avec
SRç(£) au moyen de l'application canonique qui associe, à tout v e SRcW > l'unique point fj, € Sfc tel
que v = valM (théorème 27.10.2). Nous noterons <pg : C —► Sfc la projection canonique. D'après la
proposition 25,6.3, l'application / *-*■ f o ipG établit un C-isomorphisme du corps Lq sur le corps des
fonctions méromorphes C -♦ C dont le groupe des périodes contient G ; ces dernières seront appelées
les fonctions méromorphes G-périodiques sur C ; le corps des fonctions méromorphes G-périodiques sur
C sera identifié à Le à l'aide de cet isomorphisme. Lorsqu'on aura affaire à une fonction méromorphe
G-périodique / sur C, on parlera de zéros ou de pôJes de / dans C (resp. dans Éfc ) sein qu'on
considérera / comme fonction méromorphe sur C ou sur Sfe ; la multiplicité d'un zéro ou pôle C € C
de / considérée comme fonction méromorphe sur C est alors égale à la multiplicité du zéro ou pôle
ipGik) de / considérée comme fonction méromorphe sur Sfc •
Rappelons que Sfc étant compacte et connexe, les seules fonctions holomorphes sur 9g sont les
fonctions constantes (corollaire 3 de la proposition 25.2.6).
Nous aurons besoin du classique lemme suivant:
Lemme 27.9.1
Avec les notations ci-dessus, soit g une fonction méromorphe G-périodique non constante sur C .
Soit div(g) = ^21<i<rmifG{oçi^ , où r € N* , où les ai sont des éléments de C deux à deux distincts
et où rrii € Z* pour tout i . Alors ^1<.< rrita, ç <-* •
Démonstration :
Pour tous nombres complexes f et rj, notons [f,rç] le R-segment d'origine f et d'extrémité 7?,
paramétré R-linéairement de £ à 77.
Quitte à échanger ui et u2 , on peut supposer que 9(j^) > 0 .
Pour tout a € C , soit ro le contour orienté
[a,a -f ui] \j[a + LJiid + LJi +cj2] U [a-f-u^ -f <j2»û + ^2} U [a + u^.a]
Choisissons a pour que sur Ta , il n'y ait ni zéro ni pôle de g (c'est possible car les ensembles des
zéros et des pôles de g sont localement finis). D'après l'hypothèse sur lj\ et u}2 , le contour ra tourne
dans le sens direct. Quitte si nécessaire à rajouter aux a* des éléments de convenables de G , on peut
426 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
supposer que tous les a» sont intérieurs au contour ro . Le théorème des résidus ordinaire donne:
(3)
D'autre part, à cause de la G-périodicité de g :
2tt1 / g(z) Z^
Jr« i=i
icité de g :
/ ^d*=/ (*+»>ywd2: f ^d*= [
I 9(z) I 9\z) I 9\z) I
J [a+ut2,a+u;i+u>2] J [a,a+u>i] «/[o+wi.o+wi+uî] J [a
d'où, par différence:
1 / z9'(z) _, l f z9'(z) , 1 /
(4) 2^ï/ ^^u^-^avec:^— / d* ; ,2 = — /
(z + a;i)g'(z)
d'où, par différence:
Mais à cause de la G-périodicité, on a i/! € Z et i/2 € Z (ce sont des indices de lacets). D'après (3) et
(4), on a JZ1<i<r mai = ficJi - u2w2 € G , d'où le lemme ■
Considérons la fonction de Weierstrass pc = p € Lg associée à G :
dz
c_c, ,~JL + £ (_L__J,)
(5)
z-
ujeG\{0)
(où p(cj) = 00 pour tout lj € G ). Nous ne la noterons pc qu'en cas de risque de confusion. Si G ne
peut faire aucun doute, nous la noterons simplement p. Les propriétés élémentaires de la fonction p
sont bien connues et se déduisent du classique théorème des résidus des fonctions analytiques complexes
d'une variable (voir par exemple [7]); elle est paire, l'ensemble de ses pôles dans C est G , chaque pôle
est double. Sa dérivée p' est impaire, elle est donnée par:
(6) (V26C) p'(,) = -2^—l—
u/€G
On pose classiquement:
(7) ex = -uji ; e2 = -uj2 ; e3 = -(ui + v2) ; 92 = 60 \_. u~4 î 03 = 140 ^ u/
-6
1/
u;€G\{0} u/6G\{0}
"1/
On montre alors que l'ensemble des zéros de p' est <pG ({ei,e2.e3}) , que p{e\), p(e2) , p(e3) sont deux
à deux distincts, et que p vérifie l'équation différentielle:
(8) (V2 e C) p'2(z) - 4p3(2) - y2p(2) - 03 = 4 (p(z) - pie,)) (p(z) - p(e2) (p(z) - p(e3))
Puisque les pie*) (1 < i < 3) sont deux à deux distincts, il découle de (7) que
(9) 9l ~ 27<?| * 0
Le corps Lg est une extension finie de C(p) puisque p est un élément non constant de Lg • La relation
(8) montre que p' est de degré < 2 sur C{p) . Mais comme p' est impaire non nulle et que tout élément
de C(p) est une fontion paire, il est clair que p' $ C(p) , donc p' est de degré 2 sur C(p) .
Le diviseur des pôles de p (considérée comme fonction méromorphe sur Sfc ) dans d!v(Lg/C) est
2<pG(0) , donc est de degré 2 . D'après la formule (15) de la section 23.3, on a donc \LG : C(p)| = 2.
Comme p' est de degré 2 sur C(p) , on conclut:
(10) Lg=C(p,p')
ce qui redonne une propriété bien connue qu'on peut obtenir par voie élémentaire.
Soit X, Y des indéterminées sur Lg . Le polynôme à coefficients dans C :
(H) F(X) = \ (4X3 - g2X - g3) = (X - p(ci )) (X - p(e2)) {X - p(c3))
est séparable; posant y = 2p' et x = p , on a y2 = F(x) , Lg = C(z, y) et |L<? : C(z)| = 2. D'après
l'exemple 24.3.3, le corps LG est de genre 1 sur C , autrement dit ia surface de Riem&nn complexe Sfc
est de genre 1 . On voit alors que (rr,y) est un couple de Weierstrass de Lg (cf. section 24.5.5). On a
F{X) = X3 + yX + S , avec 7 = -*f et <5 = -^ . L'invariant modulaire de Lg est donc donné par:
n^ j *73 - g2
(12) JLc/C ~ 473 + 27** " *ï-270g
Dans ce qui suit, nous noterons B — (ei1£2)e3) la base canonique de C-espace vectoriel C3 et w
l'application canonique C3 \ {0} -► Proj(C3) ; nous identifierons C2 avec l'ouvert affine de Proj(C3)
image du plongement C2 -» Proj(C3), (£,7?) ►-» w((^r), 1)) (nous dirons que (£,77) sont les coordonnées
a/fines du point «?((£, 77,1) ).
Chapitre 27 , § 9
Courbes planes et surfaces de Riemann complexes 427
$G ■ C — CG, 2 —► ( J
U
Soit Cg la cubique non singulière de Proj(C3) définie dans la base B par le polynôme # , avec
(en notant X ,Y , Z des indéterminées):
(13) #(X, r, Z) = y2Z - (4X3 - g2XZ2 - g3Z3)
Soit I le point de Cg de coordonnées homogènes (0,1,0) dans B . Munissons Cg de sa loi de groupe
naturelle 4- d'élément neutre / (voir section 24.5.5). Rappelons comment on obtient M3 = Mi + M2
à partir de M\ € Cg et M2 €Cg - on détermine le point M de Cg tel que M\ , M2 et J soient alignés,
et alors M3 est le point de Cg tel que / , M et M3 soient alignés, étant entendu que des points N\ ,
N2 , N3 de Cg sont dits alignés ssi: ou bien ils sont deux à deux distincts et alignés dans Proj(C3) ,
ou bien deux au moins d'entre eux sont égaux à un même point N et le troisième est sur la tangente
en N à Cg -
D'après le théorème 27.9.2, l'application fiCc '• &g -> Cg est un isomorphisme analytique, et Lg
s'identifie à C(Cc) • Compte tenu de toutes les identifications dont nous sommes convenus, on voit
facilement, à l'aide de la description de fie donnée dans la preuve du théorème 27.9.1, que ficG
s'obtient comme il suit: soit z € C ; si z € G , alors ficciVGiz)) = / ; et si z$G , alors ficc (<^g(^)) est
le point de Cg de coordonnées affines (p(z), p'(z)) (en ce sens, on peut dire que le couple (p, p') fournit
une représentation paramétrique de Cg)-
D'autre part, les définitions et l'étude de la section 24.5.5 montrent que ficc ea^ un isomorphisme
de groupes quand on munit Sfc de la loi de groupe ffl définie comme il suit: si //i € 9b , M2 € &G et
^3 € Sfc , on a ^3 = ^1 ffl ^2 ssi le diviseur /£^ + £2 - <Pg{0) - /f3 est principal.
Théorème 27.9.3
Dans les conditions ci-dessus, la loi de groupe ffl est la loi de groupe quotient de (C,+) par Je
sous-groupe G , et i'application
' I si z€G
.w((pW,p'W,i)) si ziG
est un moTphisme du groupe (C, +) dans le groupe (Cg, + ) , de noyau G .
Démonstration :
D'après l'étude précédente, on a #g = fie ° Vg et fie est un isomorphisme de groupes. Par
construction, on a ^G1(/) = G. Tout revient donc à démontrer que #g est un morphisme de groupes.
Le noyau dur de la preuve consiste à vérifier que pour tous z € C\G et * € C \ G tels que z + t £ G ,
les points #g(^) , *gW et $g(-z - t) sont alignés dans Proj(C3) (le reste de la preuve sera laissé au
lecteur). Soit z et t ainsi. Soit la matrice M e 27t3(C) définie par:
(p(z + t) -p'{z + t)
Piz) p'(z)
p(0 p'W
Il s'agit de prouver que det(Af) = 0 . Soit (a, 6) € C2 tel que p'(z) - ap(z) - 6 = p'(t) - ap(t) -6 = 0 (il
existe au moins un tel couple). Le diviseur des pôles de / == p' - ap~ b est 3<^>g(0) , car val0(p') = -3
et valo(p) = -2 . Comme <pg(z) et <PG(t) sont des zéros de / sur 5fc , il y a un élément u e C unique
tel que div(/) = -3(?g(0) + <Pg(z) + yc(Q + yg(tt) • D'après le lemme 27.9.1, on a s — z + t + u € G , d'où
0 = /(u) = /(s - z - t) = /(-z - 0 • En définitive, en tenant compte que p est paire et p' impaire, on a
les relations linéaires p'(z) - ap(z) - b = p'(t) - ap(t) - b = -p'(z + t) - ap(z + t) - b = 0 , ce qui entraîne
bien que det(M) = 0 ■
Rappelons que la relation det(M) = 0 de la preuve du théorème 27.9.3 entraîne immédiatement la
formule d'addition de la fonction p , valable pour tous z € C \ G et t e C \ G tels que z + t $ G :
(on obtient aisément (15) en calculant la somme des racines de l'équation aux abscisses de l'intersection
de Cg avec la droite des points $g(z) , #g(*) et #g(-* -t) )•
En raison du théorème 27.9.3, pour tout réseau G, la notation ^/tg désignera la surface de
Riemann quotient de C par tg munie de la structure de groupe quotient de (C, +) par G . Par abus
de langage, on écrit souvent ^/q au lieu de ^/tg •
En définitive, ce qui précède prouve que
Corollaire
Avec les notations et hypothèses du théorème 27.9.3, la bijection ficG est à la fois un isomorphisme
analytique de Sfe = ^/tg sur ^ et un Isomorphisme de groupes de 9b sur (Cg, 4- ) .
Le groupe quotient ^Iq est abélien, isomorphe au 2-tore U x U (voir tome 2, chapitre XIII;
attention, le groupe V est noté multiplicativement). En particulier, c'est un groupe divisible, Le. pour
tout n € N* , l'endomorphisme £ •-► nf du groupe est surjectif. De plus, il est immédiat que le noyau
de cet endomorphisme est isomorphe à U„xUn (donc est de cardinal n2 ). On obtient ainsi, lorsque
(14) M =
il
428 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
K =s C , une preuve des assertions signalées sans démonstration à la suite de la proposition 27.6.7, ainsi
qu'une nouvelle preuve de cette dernière.
Les surfaces de Riemann compactes connexes de genre 1 sont paraboliques
Théorème 27.9.4
Soit & une surface de Riemann complexe compacte et connexe de genre 1 . Tout revêtement universel
de y est an&lytiquement isomorphe à C ; en conséquence, & est analytiquement isomorphe a ^/tg »
où G est un réseau de C .
Démonstration:
D'après la proposition 27.9.2, tout revient à prouver la première assertion. Notons L le corps des
fonctions méromorphes sur y . Soit (U,ïf,p) un revêtement universel de Sf. Nous savons qu'il est muni
d'une structure canonique de surface de Riemann, pour laquelle la projection p est analytique (voir
proposition 25.6.1). Comme y est de genre 1 , il existe sur y une (l,0)-forme différentielle régulière
(donc holomorphe), unique à C*-proportionnalité près. Une telle forme u est sans zéro, car son diviseur
est de degré 2g - 2 où g est le genre, qui est 1 , donc ce diviseur est de degré 0 (si (x, y) désigne un
couple de Weierstrass de L sur C , on peut prendre u = -^ ).
Première étape: relèvement de u>
Nous allons relever u en une (l,0)-forme différentielle sur U . Soit O = (Oi,ipi)i€j un atlas analytique
de Sf. Quitte à la remplacer par un atlas équivalent convenable, on peut supposer que pour tout i € / ,
l'ouvert <fi(Ui) de C est un disque, et qu'on a p~l(0t) = Uj€jtUij , où les Uitj sont des ouverts de U
deux à deux disjoints, et où, pour tout j € Ji , la projection p induit un isomorphisme analytique p»,j de
Uitj sur Oi . Dans ces conditions, la famille °U = (ipi °Pi,j)iei,jeJi = (V,t,j)t6/1jej, est un atlas analytique
de U. Cela dit, soit (/0i€/ la (l,0)-cochaîne différentielle qui définit u relativement à l'atlas O (en
d'autres termes, pour tout i €/, la restriction de u à O; est fid(ipi)). Alors (/< opijheijçj, est une
(l,0)-cochaîne différentielle de U associée à l'atlas °U ; elle définit donc une (I,0)-forme différentielle sur
U , que nous noterons u . Par définition, pour tout (i,j) (où i € I et j € Ji ), la restriction uitj de u à
Uij est gij d{tpxj) , où gitj = fi optj . Comme u n'a ni zéro ni pôle, on voit que u n'a ni zéro ni pôle,
i.e. u est holomorphe et sans zéros. C'est le relèvement de u cherché.
Deuxième étape: intégration globale de la forme différentielle relevée
Étant donné un ouvert V de U , appelons primitive de u sur V toute fonction holomorphe / :
V -+ C telle que la restriction de u à V soit d/ . S'il existe de telles primitives, et si V est connexe,
il est clair qu'elles se déduisent de l'une d'entre elles par l'addtion d'une constante complexe arbitraire.
Nous allons montrer que u admet une primitive sur U tout entier.
Sur chacun des ouverts Uitj , il existe une primitive hitj de u (car 4>i,j{Ui,j) est un disque ouvert
de C , et car toute fonction complexe holomorphe sur un disque admet une primitive sur ce disque).
Soit <25 l'ensemble des germes (en les divers points de U ) de primitives de u muni de la topologie
des germes (rappelons que par définition, si g € <25 , un système fondamental de voisinages ouverts de g
dans (5 est l'ensemble des parties de la forme {germy(/)}yev , où / est une fonction holomorphe sur un
voisinage ouvert V de x dans U dont le germe en x est g , et où, pour tout y e V , on a noté germv(/)
le germe de / en y). Soit w : 35 —► U la projection naturelle (qui, pour tout x € U , associe le point
x à tout germe en x ). Du fait que deux primitives sur un ouvert connexe qui coïncident en un point
sont égales, et du fait que deux primitives sur un tel ouvert diffèrent d'une fonction constante, on déduit
sans peine que {&,U, w) est un revêtement. Comme U est connexe, simplement connexe et localement
connexe par arcs, w est un homéomorphisme (corollaire du théorème 25.1.6). Soit E la fonction # —► C
qui associe, à tout germe g de primitive de u en un point x € U , la valeur commune des /(x) pour
les fonctions holomorphes / qui représentent g . On voit alors que la fonction h = Eow'1 : U —► C est
une primitive de u sur U .
Comme u = d/i est sans zéro, on voit que h est un homoémorphisme local de U dans C . D'autre
part, comme toute fonction holomorphe non constante sur une surface de Riemann connexe, c'est une
application ouverte. Donc (U,h(U),h) est un revêtement analytique.
Troisième étape: relèvement d'une loi de groupe de y
Considérons sur y la loi de groupe (Sf, + ) associée à un couple de Weierstrass, et soit / son
élément neutre. L'application y x y -► Sf, (x, y) •-» x + y est continue (pour tout (a, b) e Sf x y, il
existe des cartes locales (Sa,qa) , (Sb,qb) et (Sc,qc) de y, en a et b et c = a -f b respectivement,
telles que l'application qa(Sa) x qb(Sb) -+ qc(Sc), (z,t) -* qc(qZl(z) -f qb~l(t)) soit rationnelle; voir section
24.5.5). Nous allons relever la loi de groupe + en une loi de groupe de U . Fixons O e p~x{I) . L'espace
topologique produit UxU est, comme U , connexe, localement connexe par arcs et simplement connexe,
donc d'après le théorème 25.1.7, l'application continue 6 : U x U -> Sf : (x, y) »-» p(x) -î-p(y) se relève de
manière unique en une application continue O : U x U —► U telle que G(0,0) — O et p o B = 9 . En
utilisant l'assertion d'unicité dans le théorème 25.1.7, on voit que pour tout (x,y,z) e U x U x U , on a:
(16) 0(e(x,y),z) = 0(x,9(y,z)) ; 0(0,x) = G (x, O) = O ; 9(x,y) = 9(y,x)
Chapitre 27 , § 9
Courbes planes et surfaces de Riemann complexes 429
En convenant, pour tout a € 9 , de noter a' l'opposé de a pour la loi + , notons I l'involution a^ a'
de ïf. D'après le théorème 25.1.7 , l'application lop de U sur Sf se relève de manière unique en une
application continue M : U -*U telle que M(O) = O et poM=îop. En utilisant l'assertion d'unicité
dans le théorème 25.1.7, on voit que pour tout x € U :
(17) 0(x,M(x))=6>(M(x),x)=O
On déduit alors de (16) et (17) que O est une loi de groupe abélien sur U , d'élément neutre O . Cette
loi de groupe sera notée additivement .
Quatrième étape: la primitive globale trouvée est un morphisme de groupes
Quitte si nécessaire à ajouter à h une constante convenable, on peut supposer que h(0) = 0 . Nous
allons montrer que h est un morphisme de groupes de (C7, +) dans (C, +) .
• Montrons d'abord que u est invariante par les translations de (Sf, + ). Pour tout a € Sf, notons
t0 la translation x •-» x + a de Sf, et notons Oa l'atlas analytique (t0'(£/i))te/ de ^ i où a' désigne
l'opposé de a dans (Sf, + ) .
Si 7 est une (l,0)-forme différentielle sur ^, et si fa)içi est la (l,0)-cochaîne différentielle qui la
définit relativement à l'atlas O, la famille fa o t0)»€/ es* une (l,0)-cochaîne différentielle associée à
l'atlas Oa ; elle définit une (l,0)-forme différentielle sur Sf, que nous noterons 7a . Il est clair que si 7
est holomorphe (resp. sans zéro), il en est de même de wa . De plus, pour tout (a, b) e Sf x S/*, on a
(18) (7o)b = (76)o = 7c où c = a 4- 6
Cela dit, pour tout a € Sf , la (l,0)-forme différentielle u>0 , comme u = u/ , est holomorphe et n'a pas
de zéro; il existe donc A0 € C* tel que ua = \au). L'assertion d'invariance de u par translations que nous
avons en vue est que u = ua pour tout a . En appliquant (18) à u , on voit aisément que l'application
A : Sf —► C, a •-» Aa est un morphisme du groupe (y + ) dans le groupe multiplicatif C* . L'holomorphie
de u = d/i, et le fait que <j n'a pas de zéro, montrent que A est une fonction holomorphe (il est immédiat
que A peut localement s'écrire comme quotient de deux fonctions holomorphes ne s'annulant jamais).
On sait que sur une surface de Riemann compacte connexe, toute fonction holomorphe est constante
(corollaire 3 de la proposition 25.2.6). Donc#yl est constante, et sa valeur constante ne peut être que 1
puisque c'est un morphisme du groupe (y, + ) dans le groupe C* . On a donc bien prouvé que ua = u
pour tout a € ïf .
• Pour tout x e U , notons t* la translation y h-* x + y du groupe (U, +) . Pour toute (l,0)-forme
différentielle w sur U et pour tout x € U , on définit comme ci-dessus la forme différentielle wx , et on
a encore, pour tout (x, y) € U x U :
(19) (Wx)y = (W»)z = Wx+y
L'invariance de a> par translations et la construction même de u montrent alors que u est aussi
invariante par translations dans (C/, +) , i.e. qu'on a ux = u pour tout x € U . Fixons alors y € U .
D'après l'invariance de u = d/i par translations, la différentielle de la fonction holomorphe
(20) Hy : U —► C , x h-♦ h{x + y) - h(x) - h(y)
est nulle; donc , Hv est localement constante, donc constante puisque Sf est connexe. Comme Hy{0) = 0 ,
la constante est nulle, i.e. /i(x + y) = /i(x) + /i(y) pour tout x e U . C'est vrai avec tout y £ U , donc /i
est bien un morphisme de groupes de (C/,+) dans (C,+) .
Fin de la démonstration
D'après ce qui précède, h(U) est à la fois un sous-groupe de (C, +) (donc 0 e h{U) ) et un ouvert
de C . On a donc h(U) — C (car si D est un disque ouvert de centre 0 et de rayon > 0 contenu dans
h(U) , on a nD c h(U) pour tout entier n > 1 ). Nous avons vu à la deuxième étape que (17, h{U), h) est
un revêtement. Comme h(U) = C est connexe, simplement connexe et localement connexe, on voit que
h est un homoéomorphisme de U sur C (corollaire du théorème 25.1.6). Comme h est analytique, on
en déduit que h est un isomorphisme analytique de U sur C , ce qu'il fallait démontrer ■
D'après le corollaire du théorème 27.9.3 et le théorème 27.9.4, les surfaces de Riemann complexes
compactes et connexes de genre 1 sont, à isomorphisme analytique près, les surfaces de Riemann
complexes de la forme ^ q , où G est un réseau de C . Pour que cette description des surfaces de Riemann
complexes compactes connexes de genre 1 soit complète, il reste à voir à quelle condition deux réseaux
Gi et G2 de C conduisent à des surfaces de Riemann ^/d et ^/g2 analytique ment isomorphes.
Définition 27.9.1
Deux réseaux Gi et G2 de C sont dits semblables ssi il existe a e C* tel que G2 = aGi . La
relation binaire " les réseaux G\ et G2 sont semblables " entre réseaux de C est appelée similitude.
Il est immédiat que la similitude est une relation d'équivalence sur l'ensemble des réseaux de C .
Théorème 27.9.5
Soit des réseaux Gi et G2 de C . Les surfaces de Riemann complexes yGï - ^/d et ^g2 = ^IG2
sont anaiytiquement isomorphes ssi les réseaux Gi et G2 sont semblables.
430 SURFACES DE RIEMANN ET COURBES PLANES
Démonstration :
Supposons d'abord que G\ et G2 sont semblables. Soit a e C* tel que G2 = aG\ . Pour tout
i € {1,2} , soit git2 et gi>3 les nombres complexes g2 et g3 définis par (7), mais avec d à la place de
G . Il est clair que
(21) 02,2 = û"49l,2 î 52,3 = û"601,3
En appliquant la formule (12), on en déduit:
(22) JL°'/C = a-"^,,-^) = 9?.2-275Î,3 = Jl°^
donc les surfaces de Riemann SfGl et Sfc2 sont analytiquement isomorphes (théorèmes 24.5.4 et 25.5.4).
Supposons maintenant que S/*^ et Sf<?2 sont analytiquement isomorphes. Pour tout i € {1,2},
soit pi la surjection canonique C —» S^ , de sorte que (C, Sfc,,Pt) est un revêtement analytique. Soit
/ : SfGl -* &g2 un isomorphisme analytique, et soit g = f~l . D'après le théorème 25.1.7, on a un unique
relèvement de / o px (resp. de g o p2 ) en une application continue # : C —► C (resp. V : C —» C )
telle que #(0) = 0 et p2 ° # = / ° Pi (resp. #(0) = 0 et pi o # = g o p2 ). Il est clair que # et V
sont analytiques. L'assertion d'unicité dans le théorème 25.1.7 montre que #o# = $oîP = Idc . Ainsi
$ et !P sont des bijections analytiques réciproques l'une de l'autre de C sur lui-même. On sait que
les automorphismes analytiques de C sur lui-même sont les similitudes, i.e. les bijections de la forme
z »-► az + b , où (a, 6) € C* x C . Comme #(0) = 0 , on voit qu'il existe a € C* tel que $(z) = az pour
tout z € C . Comme Gi = p~1(0) pour tout i € {1,2} , que p2 o $ = / o p1 et px o ty = g o p2 , on voit que
aGi = G2 , donc Gi et G2 sont semblables ■
En combinant le corollaire du théorème 27.9.3 et des théorèmes 27.9.4 et 27.9.5, on voit alors qu'on
a prouvé le théorème suivant, qui résout le problème de la classification à isomorphisme analytique près
des surfaces de Riemann complexes compactes et connexes de genre 1 :
Théorème 27.9.6
Pour tout réseau G de C , la surface de Riemann complexe ^Iq est compacte connexe de genre 1 .
Réciproquement, pour toute surface de Riemann complexe Sf compacte connexe de genre 1 , il existe
un réseau G de C tel que &g soit analytiquement isomorphe à ^ q , et l'ensemble des réseaux
qui satisfont cette condition est une classe de similitude de réseaux de C .
Le théorème 27.9.6 est parfois appelé théorème de Torelli. Il implique des propriétés non triviales
de la célèbre fonction J. Donnons quelques rapides indications sur cette fonction. Soit H le demi-plan
de Poincaré, i.e. H = {z e C | 3(z) > 0} . C'est une surface de Riemann complexe simplement connexe
analytiquement isomorphe au disque unité ouvert. Toute homographie de C issue d'une matrice élément
de 8L(2,Z) laisse H globalement invariant, donc induit un automorphisme analytique de H . On montre
facilement que le groupe Kut(H) des automorphismes analytiques de H est le groupe des permutations
induites par les homographies issues d'éléments de SL(2, Z) (cf. par exemple [7]). Pour tout r € H ,
soit G2(r) et 63(7") les nombres g2 et p3 de (7), mais avec le réseau G de Z-base (l,r) . On pose:
1 ^ S23(t)-27S32(t)
On montre sans grande difficulté que la fonction J : H -» C ainsi définie est analytique et invariante par
Aut(if) , i.e. J o h = J pour tout h € Aut(ff) . Le théorème 27.9.6 entraîne alors aisément que J est
surjective, et ses fibres sont exactement les Aut(//")-orbites. Ce résultat peut s'obtenir par des méthodes
directes purement analytiques, fondées sur le théorème des résidus ordinaire (voir par exemple [22] ou
[27]). Mais la mise en œuvre précise de ces méthodes est toujours délicate.
Signalons pour finir que la classe de similitude du réseau de Z-base (1, i) correspond aux cubiques
complexes harmoniques, i.e. d'invariant modulaire 1 , et la classe de similitude du réseau de Z-base
(1, j) correspond aux cubiques complexes équiharmoniques, i.e. d'invariant modulaire 0 . Les relations
J(i) = 1 et J(j) = 0 se vérifient directement de manière élémentaire.
Chapitre XXVIII
GROUPES POLYÉDRAUX ET ÉQUATION DE HALPHEN
Dans tout le chapitre, K désigne un corps commutatif.
§ 28.1 Fractions rationnelles et théorie de Galois
28.1.1 Introduction
Soit L un corps de fractions rationnelles d'une variable sur K . On s'intéresse aux
sous-corps de L contenant K dont L est extension finie galoisienne finie. Ces sous-corps
sont dits cogaloisiens (cf. paragraphe 23.4). À la section 22.3.2, dont nous reprenons les
notations, nous avons défini une action à gauche • de GL(2,i<') sur L :
(1) Si M=(ac fy et feL, alors M*/=^^
Fixons une variable t de L sur K; pour tout M e GL(2,if ), notons ^pu l'unique
if-automorphisme de L qui envoie t sur M"1 •£. Si plusieurs variables de L sur K
sont en jeu, pour éviter toute ambiguïté, nous noterons <£t,M au lieu de c/?m • Le résultat
de l'application d'un automorphisme a e Aut jf(L) à un élément / € L sera noté <r-f.
D'après le théorème 22.3.2, l'application OL(2,AT) —► Aut/<-(!/) , M »-► (^m-1 est un
morphisme de groupes surjectif et de noyau K*l2 , donc qui induit un isomorphisme
(2) PGL( 2, K ) -^ Autjc(L)
À tout sous-groupe fini G de PGL(2,K), associons le sous-corps, noté Inv£,(G) ou
Z,'GJ , de L formé des éléments G-invariants. L'application G »-► L'G1 établit une bijec-
tion entre l'ensemble des sous-groupes finis de PGL(2,K) et l'ensemble des sous-corps
cogaloisiens de L. Pour tout G , le groupe de Galois Gal(L/LfGl) est l'image de G par
le morphisme (2); nous conviendrons pour toute la suite d'identifier les groupes Autk{L)
et PGL( 2, K) à l'aide du morphisme (2), ce qui permet d'écrire: G = Gal(L/L^).
Soit G un sous-groupe fini de PGL(2,K). D'après le théorème 22.3.3 (de Luroth),
il existe u G L\K tel que L'G' = K(u), et l'ensemble des éléments U\ € K tels que
LlGl = K{u\) est {M • u}a/éql(2,k) • De plus (corollaire 2 du théorème 22.3.1), si T
désigne une indéterminée sur L et si u = ^fô où A e K[T] et B e K[T] sont
deux polynômes premiers entre eux, le polynôme minimal IrrtL[G)(T) est (lf(iz))*-
proportionnel à A(T) - uB(T). Comme L = L^(t) , le t-degré absolu Deg (u) est
égal à [L : K(u)\, donc le polynôme Irrt ^(T) est normal sur ; on a donc un
élément À G K(u)* (unique, et de £-degré absolu < 1 ), tel que
(3) lrrtittol (T) = X (A(T) - uB(T)) = fj (T - g ■ t)
Un tel élément u sera appelé un invariant primitif de G .
La détermination des sous-corps cogaloisiens de L se ramène donc à celle des sous-
groupes finis de PGL(2,lf). Un tel groupe fini G étant donné, la détermination de
sera complète ssi on connaît un invariant primitif de G. La relation (3) et l'étude
qui la précède donnent immédiatement une réponse à cette seconde question:
Proposition 28.1.1
Soit L un corps de fractions rationnelles d'une variable sur K , muni d'une variable
t. Soit G un sous-groupe uni de PGL( 2, K ), de cardinal n . Posons
H(T-9(t)) = Tn + y£akTn-k
g£G k=l
432 GROUPES POLYEDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
Alors pour tout k e [1, n] tel que a^ £ K , on a L^' = K(dk).
Exemple 28.1.1 :
Soit un entier n > 1. Supposons If algébriquement clos, et que la caractéristique
de K est nulle ou ne divise pas p. Soit G le sous-groupe n-cyclique de PGL(2,K)
engendré par l'homographie associée à ÇT, où Ç est une racine primitive n-ième de 1
dans K . On a de manière évidente I1,gg(T~0**) = Tn~tn • Donc lIG] = K(tn) • Soit
P le groupe diédral de cardinal 2n engendré par les homographies associées à ÇT et
£ . On a EU^CT - 9 ' t) = T2n - (tn + rn)rn + 1, donc L™ = K(tn + t"n) 4
Mais la proposition 28.1.1 est un outil fruste, qui ne donne en général pas de manière
directe les " bons " invariants primitifs. Nous verrons ci-dessous une méthode plus
subtile, mais qui ne s'applique qu'avec un corps de base K algébriquement clos
28.1.2 Invariants primitifs et orbites
Dans cette section, nous supposerons K algébriquement clos. Soit L un corps de
fonctions rationnelles sur K, muni d'une variable t. Soit r un sous-groupe fini de
PGIi(2,K), de cardinal n. Nous utiliserons l'action naturelle de POL(2,K) sur K.
Nous noterons F = L^' . Si g e T et si A e K, il est nécessaire de distinguer le
transformé de A par l'homographie g du transformé de A par l'élément de Aut/c(L)
défini par g (en effet, l'automorphisme g de L fixe A, mais l'homographie g, elle, ne
fixe que deux points de K. Nous noterons donc g • /, comme à la section précédente,
le résultat de l'application à / e L de l'automorphisme g, et ^(A) le transformé de
A e K par l'homographie g. Ces conventions seront conservées dans tout le chapitre.
Puisque K est algébriquement clos, on a POL(2,K) = PSL(2, K). La restriction
à SL(2,K) du morphisme naturel GL(2,K) —► Aut/c(L) est surjective; en notant I2
la 2-matrice carrée unité sur K, on a Ker($) = {J2,—J2} , et l'isomorphisme (2) est
déduit de # par passage au quotient.
Soit G = <P~l(r) (le groupe G est appelé le groupe binaire associé à f); c'est un
sous-groupe fini de SIi(2,K), de cardinal 2n. Soit {Mg}9^r une transversale de G
modulo {/2> ~h} . Pour tout g G r, soit
Si £ G L et (#, /i) € T x T, on pose £V(<?,£) = -c^f -h ag , et on note e^(gih)
l'élément de {-1/c, 1k} tel que MgMh = ^{g,h)Mgh . Si f G L , on pose:
(4) ^<£)=n^,o
ger
Si £ € T, on pose:
(5) Xîrfo)=n **(**)
her
Rappelons que la norme NL/F est donnée par
(V£GL) NL/F(0 = n»"*
Pour z € # , un calcul facile permet d'expliciter Afz(t) = NL/K(t-z) (en remarquant
Fractions rationnelles et théorie de Galois 433
Chapitre 28 , § 1
que g(z) = ook ssi cgz + d^ = 0 ):
Mw-n(»-('-'))»n(»-«-')-n(^t-*)
fler nar ner ^ 9 ^ 9 /
<?er
n *
^\ 9(*)*ooK
d'où, après réduction:
dot — 6q -f ^Cnt — za
<?er
—cgt -f a5
-c^t + ag
(6)
W)
1
Vs(t)
/
/
FI (c^2 + ^) Fz(t) , avec:
*■«(*) =
n (*-*(*» n (-k*+m)
On note que .Fz(£) € K[t) , le £-degré étant n - card({# e r \ g(z) = oo/<:}). En
particulier, Tz{t) est de t-degré n ssi oo/c £ Orbr(z), et si oo € Orbr(^) , alors le t-
degréde Tz(t) est n —card(Stabr(oo/<:)) (l'orbite Orhp(z) est bien entendu l'orbite
pour l'action de r sur K par homographies).
Lemme 28.1.1
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit cr e T et z e K . On a:
Démonstration;
Pour tout g e r, en tenant compte que MaMg = t{a,g)Mag , on obtient
^(ag,t)
(7)
°'Vv{9,t) = eof(<j,g)
V*(9,t)
On en déduit immédiatement la première relation en formant le produit des relations (7)
quand g parcourt T.
Soit C le facteur dans la grande parenthèse de la première relation (6). Comme
J\fz(t) e K et C e K, en appliquant g à la première relation (6) et en tenant compte
de la première relation prouvée, on obtient:
(8) -^-Mz{t)-^-v^T)
('■•F.(O)
C(Py(M))wfr-^(t))
Xiri<7)iMt)
Mais C ^ 0. En simplifiant (8), on a relation voulue ■
Proposition 28.1.2
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, supposons n pair. Alors Xv est un
caractère de degré 1 de T, c'est-à-dire un morphisme du groupe r dans le
groupe multiplicatif K* .
Démonstration:
L'associâtivité de la loi de groupe de r montre que si (pi, p2,g) € T x r x r , on a:
(9) €2r(pip2,#) = €*(Put>2)e*(Pup2g))ev(P2,9)
En fixant (pi,p2) et en formant le produit des relations (9) quand g décrit r , puisque
n est pair, on obtient Xv{p\p2) = (cy(pi,p2))n Xsr(pi) X2KP2) = Xj(pi) Xsr(p2) ■
434 GRO UPES POLYEDRA UX ET EQ UATION DE HALPHEN
Nous pouvons maintenant établir le résultat fondamental qui donne l'explicitation
attendue de i'r' (dans l'énoncé, il va de soi que les orbites considérées sont relatives à
l'action de r sur K par homographies):
Théorème 28.1.1
Supposons K algébriquement clos. Soit L un corps de fonctions rationnelles d'une
variable sur K , muni d'une variable t. Soit T un sous-groupe fini de POL( 2, K ),
de cardinal n.
(I) Soit (a, 6) € K2 tel que Orbr(a) ^ 0rbr(6). Posons u = y$ • Alors
Z,Irl = K(u), et les fibres de la t-fonction rationnelle ïït sont les r-orbites dans K .
(II) Soit (a,b,c) e K3 tel que les orbites Orbr(a), Orhp(b) et Orbr(c) soient
deux à deux distinctes. Alors les éléments Tait), Fb{t) et Fc(£) de K[t] sont
K-linéairement dépendants.
Démonstration:
• Assertion (I):
Pour tout c e K , notons uc = card(Stabp(c)).
Notons d'abord que si c € K est tel que ook £ Orb^(c), la définition même de
Tc{t) montre que
(io) m) = ( n (t-z)
\z€0rbr(c)
où v = card(Stabr(c)). En particulier, degt(.Fc(£)) = n = i/ccard(Orbr(c)).
De même, soit c e K tel que ook € Orbr(c). Alors il existe fi € K* tel que
(n) fc(t)=nl n (t~z)
\zeOTbr(c)\{ooK}
et on a degt(.Fc(*)) = vc (card(Orbr(c)) - 1).
Puisque Orbr(a) ^ Orbr(b), on a Orhp(a) D Orbp(b) = 0, donc d'après ce qui
précède, les éléments Fait) et ^(t) de #[£] sont premiers entre eux, et l'un d'eux
au moins est de t-degré n. Donc Deg (u) = n, d'où [L : if(u) 1 = n. Mais la seconde
formule du lemme 28.1.1 montre immédiatement que u € L'rI , d'où K(u) C L'r' .
Comme [L : rJ = card (r) = n, on en déduit que L'rl = /f(u).
Pour tout (c,z) e K2 e K et tout a € T, on a (a • ^c)(<z) = .Fc^"1^)) • On
en déduit, avec la seconde formule du lemme 28.1.1, que la fonction rationnelle ut est
constante sur chaque T-orbite. Soit u une T-orbite, soit c € w, et soit À la valeur
constante de ut sur u . Le cas où A = ook se ramène au cas où À = 0 en considérant
£ au lieu de u . On supposera donc A € K .
Supposons d'abord que eu ^ {ook} • Soit c€ur\K . On a À = 0 ssi fc(t) = Fa(0 ;
s'il en est ainsi, les définitions montrent que ïï^l(0) = u. Supposons maintenant que
A ^ 0. Alors les T-orbites Orbr(a), Orbr(b) et Orbr(c) sont deux à deux distinctes,
donc les éléments Ta(t), Tb{t) et Fc(t) de K[t] sont deux à deux premiers entre
eux. Posant v = |^|$ , on a L[rl = K(v) = K{u - A). D'après le théorème 22.3.3, on
a (a, /?, 7, S) e K4 , avec a<5 - £7 ^ 0 , vérifiant tz - A = 2ï±|. On en déduit:
(ouFa(t) + f3fc(t))Tb(t) = (Fa(t) « Ajr6(t))(7jra(f) + 6Fc(t))
et par suite Tc(t) divise (7^(0 - (7^4-a)Fi(O) • On a 7 ^ 0 car Tc(t) et Fb(i) sont
premiers entre eux. Puisque ut — X est nulle sur oj , on voit que Tc(t) et Fa(t)-AFfe(t)
sont non premiers entre eux. Il en découle que a = 0, sans quoi Ta{t) et Fi(^)
ne seraient pas premiers entre eux. Donc u - A = ^ffi\ ; d'après ce qu'on a vu plus
Chapitre 28 , § 1
Fractions rationnelles et théorie de Galois 435
haut, on a donc (u - X)t (0) = uj , Le. u^l(X) = u).
Supposons maintenant que u; = {ook-} . Si c Ç if est tel que ut(c) = À, alors
ook & Orbr(c) , donc par la première partie de la démonstration, w^^A) = Orbr(c),
ce qui est absurde puisque 5e(oo#) = À . Cette contradiction montre que u^l(X) = u>.
Cela achève de prouver que les fibres de ïït sont les /^-orbites.
• Assertion (II):
Les orbites Orbr(a), Orhp(b) et Orbr(c) sont deux à deux disjointes. Quitte s'il
le faut à changer les notations, on peut donc supposer que ook £ Orbr(a). Alors
degt(.Fa(t)) = n. Les éléments u = ^â et v = ^& sont des T-invariants primitifs.
Il existe donc (a, /?, 7,6) G if4 , avec a6 - 0*y ^ 0 , tel que u = ^Jf , d'où
(12) (7^(0 + S^c(t))^a(t) = (afa(t) + /î^6(*))^cW
Comme ^(0 et ^c(0 sont premiers entre eux dans K[t\ , on déduit de (12) que
Fe(t) divise £(t) = "iTa{t) + f>Th{t). Mais deg(^»(0) = n et deg(£(t)) < n , donc il
existe A G if* tel que A.Fc(t) = 7^(0 4- â^iW ■
Conséquences en caractéristique nulle
Dans cette sous-section, nous supposerons K algébriquement clos et de
caractéristique nulle. Les sous-groupes finis de POL(2,if) = PSL(2,if) sont alors décrits par
les résultats de la section 27.7.3. Nous avons vu qu'ils appartiennent à l'un des types
suivants: cyclique, diédral, tétraédral, octaédral ou icosaédral. De plus, les sous-groupes
cycliques de cardinal donné (resp. diédraux de cardinal donné, tétraédraux, octaédraux,
icosaédraux) forment une classe de conjugaison de sous-groupes de PGL( 2, K ) .
Soit A et i~2 deux sous-groupes finis de PGL(2,if), supposés conjugués. Soit
g e PGL(2,if ) tel que aTia~l = J2. Si U\ est un invariant primitif de /\ , il est
immédiat que U2 = & • U\ est un invariant primitif de T2 .
Par suite, pour obtenir et étudier les invariants primitifs des sous-groupes finis de
PGL(2,if), il suffit, pour chaque type de sous-groupe fini, d'obtenir et étudier les
invariants primitifs d'un groupe particulier de ce type. On notera X une indéterminée
sur L = K(t). On identifiera K et Proj(if2) de la manière habituelle.
Dans ce qui suit, nous utiliserons certains résultats des paragraphes 27.6 et 27.7. Il
sera entendu que pour exploiter ces résultats, on prendra, pour if-plan noté V dans
lesdits paragraphes, le if-plan K2 , et pour if-base B de V la base canonique de K2 .
• Groupes n-cycliques ( n > 2 )
Soit Cn le sous-groupe n-cyclique de PGL(2,if ) engendré par l'homographie
associée à la fraction ÇX , où C est une racine primitive n-ième de 1 dans K. Les deux
Cn-orbites singulières sont les singletons {0} et {00 k} . On a:
(13) T0(t) = tn ; Fi(t) = tn-1
D'après le théorème 28.1.1, un Cn-invariant primitif est donc ^^ = 1 — t~n . Par suite,
tn est aussi un Cn-invariant primitif; on retrouve le résultat de l'exemple 28.1.1.
• Groupes diédraux de cardinal 2n ( n > 2 )
Soit Dn le sous-groupe 2n-diédral de PGL(2,if ) engendré par les homographies
associées aux fractions ÇX et -^ » °ù C es^ une racine primitive n-ième de 1 dans K .
Les orbites singulières sont {0,00}, l'orbite u de 1, et l'orbite u/ de 77, où r\2 — (.
On a, avec un certain /i G if* :
(14) To(t)=fitn ; T1(t) = (tn-l)2 ; ^(t) = (tn +1)2
En revenant à (6), on voit que /i = (-l)nC V = -1. Un invariant primitif est donc
/i j^ =tn+t~n-2. Donc tn + t~n est un invariant primitif. On retrouve le résultat
436 GROUPES POLYEDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
de l'exemple 28.1.1. La relation if-linéaire (qui est unique à if-proportionnalité près)
qui lie les trois polynômes (14) est évidemment:
(15) 4/b(0-^i(*) + ^(0=0
Parmi les groupes diédraux, celui de cardinal 6 (donc isomorphe à ©3 ) qui
apparaît dans l'étude du birapport joue un rôle particulier. Il s'agit du groupe GBir des
homographies associées aux fractions:
1 1 X-l X
(16) X] 1_X; x; i-x ' x ' i-x
Nous avons vu à la section 27.7.1 que les trois orbites singulières de ce groupe sont:
{0, ook,1}, {-1,^,2} et {-Jk.-Jk'} • En revenant à (6), on voit que:
r^0(*) = -*2(*-i)2
(17) |.F2(t) = (« + l)2(«-2)2(t-i)2
U-jKW = ('2-< + i)3
On en déduit les GBir-invariants primitifs suivants:
(t2 - t + l)3 (t2 -t-i-1)3 (t + l)2(t-2)2(2t-l)2
t2(t -1)2 5 (t+l)2(t-2)2(2t-l)2 5 t2(t-l)2
et on retrouve tous les résultats de la proposition 27.7.4.
Pour obtenir la relation if-linéaire (unique à if*-proportionnalité près) qui lie les
polynômes (17), on procède par identification. Soit (£1,^2,£3) € K3 \ {0} vérifiant
£o^o(0+£i-?r2(0 +£2^-^(0 = 0 . Par identification des termes dominants, £2+£3 = 0 .
Par identification des coefficients de t4 , on a -4£i — 3£2 + 24£3 = 0 ; d'où cette relation:
(18) 27^o(t) - 4F2(0 + 4^-j* (*) = 0
• Groupes tétraédraux
Ici, nous disposons de deux sous-groupes tétraédraux explicites particulièrement
simples: celui donné à la section 27.6.4, défini par (37) de cette section: nous le noterons
GTetrh ; et celui donné par (17), section 27.7.3, que nous noterons GTetrk •
Traitons d'abord le cas du groupe GTetrh • Les orbites singulières sont données par
(38) de la section 27.6.4. Rappelons qu'on a choisi r e K tel que r2 = 3, et qu'on a
posé ui = 1 + r et u>2 = 1 — t . On a aisément w\ -f u;3 = 20 et uifu^ = -8 , d'où, en
utilisant (6) et Texplicitation (37) du paragraphe 27.6:
r^(t) = 8(t3-i)3
(19) l JT0(t) = t3(*3 + 8)3
l^Wl(t) = (*3 -u,3)2(t3 -a;3)2 = (t* - 20 *3 - 8)2
d'où les GTetrh-invariants primitifs suivants:
*3(t3 + 8)3 (*6-20*3-8)2 (*6-20t3-8)2
( } (*3-l)3 5 *3(t3 + 8)3 ; *3(*3 + 8)3
Le premier des invariants (20) est celui dont la fonction rationnelle associée, divisée par
64, définit l'invariant modulaire des cubiques du faisceau linéaire de Hesse (voir section
27.6.4). Par identification, la relation if-linéaire qui lie les polynômes (19) est:
(21) 8^i(t)-^0(0 + ^(0 = 0
Traitons maintenant le groupe GTetrk • Les trois orbites singulières sont: les orbites
Tetrk et Tetrk' données par (19) du paragraphe 27.7, et
Octk = {0,oo*, 1,-1,1,-1}
Chapitre 28 , § I
Fractions rationnelles et théorie de Galois 437
En notant a et a' des points quelconques respectivement de Tetrk et Tetrk', et en
supposant que jk = \(~^ + ÎKr) ? on obtient, en utilisant (6) et l'explicitation (17) du
paragraphe 27.7:
jT0(t) = -^2(t4 - l)2
(22) { Fa{t) = (t4 - 2±Krt2 + l)3 = (*4 - 2(1 K - j&)*2 + l)3
Fa.(t) = (*4 + 2±*rt2 + l)3 = (*4 + 2(Ja- - j?,)*2 + l)3
d'où les GTetrk-invariants primitifs:
(t*-2±Krt* + l)3 (*' + 2ijcrt2 + l)3 (t4 -f 2LKrt2 + l)3
^ tf^-l)* ' t2(t*-\)2 ' (t4-2ijcr^ + i)3
Par identification, on voit que la relation if-linéaire qui lie les polynômes (22) est:
(24) 12LKrFo(t) - Ta(t) + T*.(t) = 0
• Groupes octaédraux
Ici encore, nous avons deux explicitations d'un groupe octaédral: l'unique groupe
octaédral contenant GTetrh » que nous noterons G0cth ; et le groupe octaédral, que nous
noterons G0ctk » défini par (16) du paragraphe 27.7. Remarquons que l'orbite singulière
de cardinal 8 d'un groupe octaédral est la réunion des deux orbites de cardinal 4 de
l'unique groupe tétraédral qu'il contient.
Traitons le cas de G0cth • D'après ce qui vient d'être dit, ses orbites singulières
de cardinal 6 et 8 sont Octh (l'orbite notée R\ dans (38) de la section 27.6.4) et
Cubh = Tetrh U Tetrh', où Tetrh et Tetrh' sont respectivement les orbites notées
Roc et R\ dans (38) de la section 27.6.4. On a, avec un certain fi € K* :
po(<) = M*3(<3-l)3(*3 + 8)3
1 ' \^Wl(t) = (t6-20t3-8)4
d'où l'invariant primitif:
(fi - 20*3 - 8)4
K } t3(t3-l)3(t3 + 8)3
À titre d'exercice, le lecteur calculera /i, l'orbite u^ de cardinal 12 de G0cth et la
relation if-linéaire entre ^(t), ^^(t) et Tu,2(t).
Traitons le cas de G0ctk • On utilise les orbites singulières, de cardinaux respectifs
6 , 8 et 12 , qui sont Octk , Cubk = TetrkUTetrk', et la seconde orbite donnée par
(18) du paragraphe 27.7, que nous noterons Dek. En utilisant (6) et l'explicitation (16)
du paragraphe 27.7, on obtient (en notant a un point de Cubk et b un point de Dek ):
r^o(o = *4(*4-i)4
(27) l Ta(t) = ((*4 + l)2 + 12t4)3 = (ts + Ut4 + l)3
[fb(t) = (t* + l)2(ts-m* + l)2
d'où les Goctk-invariants primitifs:
(t* + 14*4 + l)3 (*4f l)2(t8-34*4 + l)2 (*4 + l)2(t8 - 34*4 + l)2
( ] *4(*4-l)4 5 *4(*4-l)2 5 (*8-34*4 + l)3
Par identification, on a la relation if-linéaire liant les polynômes (27):
(29) 108JF0(*) - fa(t) + Tb(t) = 0
• Groupes icosaédraux
Nous noterons GiCOSk le groupe icosaédral qui a été noté G\ à la suite du théorème
27.7.5. Ses orbites singulières, de cardinaux respectifs 30, 20 et 12 , sont données par
les relations (23) du paragraphe 27.7. Nous les noterons respectivement Ok, Dodk et
438 GROUPES POLYEDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
Icosk . On note p une racine primitive cinquième fixée de 1 dans K . On reprend les
notations Ci,C2,a,/?,g de (20) du paragraphe 7.7, et on note r une racine carrée de 3
dans K. On notera a un point fixé de Dodk. On a donc:
{Ok = {epklK}o<k<4,ee{-i,i}U{pk (c2 +£iA-ça)}0<fc<4,ce{-i,i} u {Pk (ci + ^KQ0)}o<k<4,c€{-i,i)
ICOSk = {0, OO/C, (cip*)o<]k<4, (C2pk)o<fc<4}
Calcul de T^t)
Les cinq éléments de GlcoSk qui envoient 0 sur oo# sont celles définies par les
fractions ^ , où A; décrit [0,4]. En utilisant (6), on a immédiatement:
(31) m) = nt5(t*-ci)5(t5-4f
avec fj. = -p10 = —1. Posant s* = cf + c2 pour tout fceM* ,ona si = -l, S2 = 3 ,
et Sk = Sfc-2 - Sfc-i pour tout k > 3 , d'où s5 = -11. D'autre part, cic2 = -1. Donc:
(32) jF0(t) = -t5(t10 + ltt5 - l)5
Calcul de T±K (t)
On a:
[ ?i.K (t) = (tw + l)2(t10 - Stt5 + Pi)2(t10 - S2t5 + P2)2 , avec :
(33) l Si = (c2 + ±qa)5 + (c2 - iqa)5 ; Px = (c2 + Lqaf{c2 - ±qaf
( S2 = (Cl + Lqf3)5 + (Cl - ig/3)5 ; P2 = (Cl + Lqf3)5(ci - i<?/?)5
Modulo X2 + X - 1, on a les congruences:
X2 = -X 4- 1 ; X3 = 2X - 1 ; X4 = -3X + 2 ; X5 = 5X - 3
d'où, à partir de C\ = *^± et c2 = — ^^ :
{r2 _ -q+3 . 3 __ _ o . 4 _ -3q+7 . 5 _ 5q-ll
r2 _ £±3 . 3 _ _„ _ 9 . .4 _ 3£±I • ^5 __ 5q+ll
c2 ~ 2 ' C2 — 9 ^ ? c2 — 2^ ' C2 — 2
En tenant compte que g2 = 5 , a2 = -jq{ç + 5), f32 = ^(g - 5), et que 52 se déduit
de Si en y remplaçant q par -g , on déduit facilement de (34) que Pi = P^ = — 1, et:
Si = 22(c| - 50c^a2 + 125c2a4) = -261 - 125g ; S2 = -261 4- 125g
Posons u = t5 . On a:
(t/2 - Siu 4 Pi)(u2 - S2u + P2) = (u2 + 261 u - l)2 - (125)2q2u2
= u4 4 5221/3 - 10006u2 - 522u 4 1
En reportant dans (33), on obtient:
_ iK(t) = (*10 + l)2 (t20 + 522 *15 - 10006*10 - 52215 4 l)2
(35) ^
= (t30 + 522125 - 10005120 - 10005110 - 52215 + l)
f*ul
2
Calcul de ^(t)
Transformons d'abord les expressions des points de Dodk. On suppose r choisie
telle que jK = -5(1 - ijrr) (si K = C , on prend r = >/3 et q = y/E). On a alors
Dodk = {-pkDx{p,e)}(kz{oM ^{-pkD2(p,e)}fkeio,4i , avec:
l«e{-i,i> J\«€{-i,i>
D1(pye) = -±((l + p)c2+eiKrqap*) ; D2(p,e) = -I((l + p2)ci + eiKrq(3p)
Chapitre 28 , § 1 Fractions rationnelles et théorie de Galois 439
Les deux corps cyclotomiques Q(5k) et Q(p) sont galoisiens sur Q, de degrés
respectifs 2 et 4; leur intersection est Q, sans quoi Q(jj<:) serait Tunique sous-corps
de Q(p) quadratique sur Q, i.e. ce serait Q(q), ce qui n'est manifestement pas vrai.
Donc Q(Jk) et Q(p) sont linéairement disjoints sur Q. Le corps composé Q(p, j/c)
est galoisien de degré 8 sur Q (de groupe de Galois isomorphe au groupe U2 x LI4 ),
et il est clair qu'il contient Dodk. Soit g l'automorphisme de Q(ix,p) qui envoie p
sur p2 et 3k sur i2K . On a a(q) = -q, <t(ci) - c2, v(c2) = cx, a(LKr) = -tKr,
cr(qa) = ç/3, d'où D2(p, -e) = cr(Di(p,£)). Il suffit donc de calculer Di(p,e). Vu que
1k= -5U- ±*r) et j£ = -i(HiKr),ona:
Di(pA) = ~((l+p)(f? + i?) + ±Kr?{p-p-1))
= -1(p2(i + p)2 + W(p2-i))
= -^2(l+p)(l + p+i/cr(p-l)) = -^2(l + p)(l-ixr + p(l + i^r))
= />2(l+/>)32/.(J2K + p)
On obtient de même: £>i(p, -1) = p2(l 4- p)Jk(Jk 4- p). Par suite, en posant £5 = u :
J] (t + /A(p,e)) = (« + (1 + p)6 j *(& + P)5) (u + (1 + P)5iJc(iK + P)5)
f fc€l0,4l
\«€{-l,l>
= u2 4- 5iU -h Pi, avec :
(36) s1 = (i+p)5(jjc(jW)6 + dk(d* + /9)6) ;^ = ((i + p)2(p+Jif)(p + ^))6
On a immédiatement:
(l + ^)2(p + JK)(p + d?r) = (l + P)2)(P2-P + l) = V
d'où Pi = (—p2)5 = — 1. D'autre part, en développant les puissances cinquièmes par la
formule du binôme, en regroupant et en utilisant jjf + j/i^-1:
(p + 12K)5 + iïc(p + die)5 = -2 (1 - 5p + 5p2 + 5p3 - 5p4)
d'où en reportant dans Si dans (36):
Si = -2(1 + p)5 (l-5p + 5p2 + 5p3 - 5p4)
= -2(2 + 5p + 10 p2 + 10 p3 + 5/94) (1 - 5/j + 5p2 + 5p3 - 5p4)
= -2 (52 + 20p- 30p2 - 30p3 + 20p4)
= -2(52 + 20Cl-30c2)
Sans nouveau calcul, en utilisant l'automorphisme a, on déduit de ce qui précède:
[J (t + pkD2(p, e)) = u2 + S2u + P2
/ fce|Io,4i
\«€{-l,l>
avec S2 = cr(Si) et P2 = a (Pi), d'où: S2 = -2(52 4- 20c2 - 30 ci) et P2 = -1. En
utilisant c\ 4- c2 = cic2 = -1 et c2 -h c2 = 3 , on obtient enfin:
Ta(t) = ((u2 + 5iu + Pi)(^2 4- S2u 4- P2))3
= (u4 4- (5! + S2)u3 + (Pi + P2 4- 5i52)w2 4- (5ift + S2Px)u + PiP2)3
d'où après réductions:
(37) Fa{t) = (*2° - 228t15 +494*10 + 228*5 + l)3
440 GROUPES POLYEDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
On déduit de (26), (29) et (32) les invariants primitifs suivants du groupe GIcoSk :
TLK{t) _ (t30 + 522125 - 10005t20 - 10005110 - 522*5 + l)2
~^W~ *5(t10 + 11*5 - l)5
fa(t) _ (t20-228*15+494*10 + 228*5 + l)3
~J^t)~ t5(*10 + m5-l)5
^i*M _ (*3° + 522^25 ~ 10005 f20 - 10005110 - 52215 -h l)2
fa(t) " (*2<> - 228*15 + 494*10 -h 22815 + l)3
Par la technique déjà utilisée pour les précédents groupes polyédraux, on obtient la
relation AMinéaire, unique à /^-proportionnalité près, qui lie F$(t), f±K(t) et Ta{t) :
(38) TLk (t) - Ta(t) + 1728T0(t) = 0
28.1.3 Questions de rationalité
Dans cette section, nous supposons toujours K algébriquement clos de caractéristique
nulle, et nous considérons un sous-corps k de K. On identifiera Q au sous-corps
premier de K. On donne un corps L de fonctions rationnelles sur K, muni d'une
variable t, et X une lettre qui servira d'indéterminée sur tout corps que nous aurons à
considérer. On note A = «(£).
Rappelons (cf. section 27.8.1) que l'injection canonique k2 —► K2 se prolonge un un
isomorphisme canonique de if-espaces vectoriels K<^kk2 —► K2 , qui permet d'identifier
les K-algèbres K ®K Hom/c(«2) et Hom/<-(/f2). En particulier, 1# <g>K UomK(n2) sera
identifié à Hom«(«2). Alors PGL(2,«) s'identifie à un sous-groupe de POL(2, K). On
a un diagramme commutatif, où les flèches sont les applications canoniques:
*! \ {0} • K> \ {0}
(39) | j
Proj(*2) ► Proj(AT2)
et la flèche du bas est injective, puisque deux éléments de «2\{0} sont /^-proportionnels
ssi ils sont K*-proportionnels. On identifiera donc Proj(«2) à une partie de Proj(if2)
à l'aide de l'injection (39). Cette inclusion est compatible avec les actions naturelles de
POL(2,AT) sur Proj(if2) et de PGL(2,k) sur Proj(«2).
Cela dit, soit T un sous-groupe fini de POL( 2, k ). C'est donc un sous-groupe fini
de POL(2,Ar). Soit u un T-invariant primitif dans A. Alors K{u) C L^ , et
|[i : L^ J = card(r) = [A : «(u)] = Deg (u) = [L : K{u)\
d'où if (u) = L'r', i.e. u est un T-invariant primitif de L .
Rechercher les sous-corps cogaloisiens de A équivaut donc à rechercher ceux des
sous-groupes finis de POL(2,iC) qui sont contenus dans POL(2,«) (et éventuellement,
de déterminer leur répartition en classes de conjugaison dans PGL(2,«) , mais nous
n'aborderons pas ce second problème, sauf une brève allusion dans le cas des involutions).
Nous dirons qu'un groupe fini est réalisable sur un sous-corps k de if ssi PGL(2,«)
admet des sous-groupes isomorphes à ce groupe.
Groupes cycliques
Soit n un entier > 2. Rappelons que nous notons Vx,n le groupe des racines
n-ièmes de 1 dans K. Comme la caractéristique est nulle, ce groupe est n-cyclique.
L'ensemble Vn des racines primitives n-ièmes de 1 dans K est l'ensemble des racines
Chapitre 28 , § 1
Fractions rationnelles et théorie de Gaiois 441
dans K du polynôme cyclotomique $n(X). La caractéristique étant nulle, on sait que
$n(X) eZ[X] et que $n(X) est irréductible dans Q[X] et dans Z[X] . On notera
Kn le corps cyclotomique Q(VK)n) = QÇPn) \ il est égal à Q{Q pour tout Ç eVn;
il est galoisien sur Q , le groupe de Gaiois Gal(ifn/Q) étant isomorphe au groupe Qn
des éléments inversibles de l'anneau 2/nZ . On a deg($n) = [Kn : Q] = <f>(n), où <f>
désigne l'indicateur d'Euler.
Traitons d'abord le cas où n = 2 . On a alors $2^) = X + 1 et Kn = Q . On sait
qu'une homographie h G PGL(2,if ) est une involution (i.e. est d'ordre 2 exactement)
ssi l(/i) = 0 (voir paragraphe 27.7). Les éléments d'ordre 2 de POL(2, k) sont donc
les homographies représentables (sous-entendu: dans la base canonique de K2 ) par une
matrice M € GL(2,«) de trace nulle. On a vu au paragraphe 27.7 que les involutions
de PGL(2,if ) en forment une classe de conjugaison. Cependant les involutions de
PGL(2,«) n'en forment pas une classe de conjugaison; par exemple, les involutions de
PGL(2,Q) représentées par les matrices M\ et M2 ci-dessous
Mi = diag(l,-l) ; M2 =
ne sont pas conjuguées dans PGL(2,Q). Soit k^ le sous-groupe des carrés dans
le groupe multiplicatif k* . Pour une homographie h e PGL(2,«) donnée, la classe
modulo k^2} du déterminant des matrices éléments de GL(2,«) qui représentent h
ne dépend que de h , cette classe est donc un invariant de conjugaison des involutions
de PGL(2,«). Le lecteur vérifiera que c'est cet invariant qui détermine les classes de
conjugaison d'involutions de GL(2,«).
Supposons désormais n > 3. Alors <f>(n) est pair > 2, et le groupe Qn est muni
d'une involution naturelle, distincte de l'identité, induite par la bijection f »—► —f de
l'anneau ^/nZ • Cette involution détermine une involution In e Gal(Cn/Q), qui
associe (~l à £ pour tout Ç G U/^n • Le corps des invariants de Xn dans Kn sera noté
Cn . On a donc [ Kn : Cn ] = 2 , et Cn est galoisien sur Q , de degré \4>{n). Il est facile
de décrire Cn : dans K(X), pour tout k e N , posons Sk = Xk +X~fc (donc 5o = 2 ).
Notons y = 5i. On a la relation de récurrence Sk = YSk-i — Sk-2 pour tout A: > 2 ;
on en déduit l'existence et l'unicité, pour tout k e N , d'un polynôme Qk(X) € Z [X] ,
de terme dominant Xk , tel que Sk = Qk(Y) - Cela dit, on a </>(n) = 2e avec e e N
Écrivons:
fc=2e
(40) *n(X) = *2e + E c^2e""
Alors &n(X) est réciproque, car n > 3, i.e. on a C2e = 1 et c^ = C2e-k pour tout
fc G |l,e - 1]. On a donc X"ein(X) = Sn + ce + EjZi"1^5* Formons alors le
polynôme
fc=e-l
(41) *n(X)=Qn(X) + ce+ £ cfeQ*(X)
fc=i
Alors Cn est le corps des racines de ^n(X) dans if. Pour tout ( € Vn , le polynôme
minimal de £ sur Cn est X2 — Q\{QX + 1. Notons Qn l'image de l'application
Vn -► #, C^C + C"1 ; on a card (Qn) = ±0(n) = e, et
(42) *»w= n^-7?)
Enfin, le polynôme #n(^0 est normal, i.e. Cn = Q{rj) pour tout 77 e Qn •
Ces préliminaires étant acquis, soit h € PGL(2,«) d'ordre n. Il existe une matrice
M e 9JÎ2(k) qui représente h dans la base canonique de K2 telle que Mn = al2 , avec
a e K* et que Mk £ K*l<i pour tout entier naturel k < n . Alors M est diagonalisable
0-0
442 GROUPES POLYEDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
(car la caractéristique est nulle) et admet dans K deux valeurs propres distinctes A et
fi, car n > 2 . On a Àn = /in = a, Tr(M) = A + // € k et det(M) = A/x € «;.
L'invariant de /i est:
_ (Tr(M))2 A M
d'où l(/i) - 2 = £ + f € «. Il est clair que ^eVn, donc Q(l(/i) - 2) = Cn C *.
Réciproquement, supposons que Cn C k . Soit £ 6 7\ . Posons t/ = C + C-1 i on
a 77 G Cn , et 77 + 2 ^ 0, car n > 3. Pour tout A € K* , l'homographie ft. associée
à la fraction W+^Vy*"—* appartient à PGL(2,k) ; elle est d'ordre n, car les valeurs
propres de la matrice
(43) M(A)=(^+12)A -0 + 2)*2)
sont ^(C + 1) et |(1 4- C-1) » et leur rapport est (. Donc PGL(2, n) contient des
sous-groupes n-cycliques. On a donc prouvé:
(dâ\ /^J n — ^' Pour c*ue ^e 8rouPe PGI-(2,k;) contienne des sous-groupes n-
' [cycliques, il faut et il suffit que Cn G k .
Lorsque n > 3, on a 4>{n) = 2 (ce qui équivaut h Cn = Q) ssi n € {3,4,6}
(rappelons que K3 = K6 = Q(jj<:) et K4 = Q(i/<r) ). Compte tenu de l'étude des
involutions faite plus haut, on déduit donc de (44):
,,-v (Les seuls entiers n > 2 tels que le groupe PGL(2,Q) contienne des sous-
\groupes n-cycliques sont 2 , 3 , 4 et 6 .
Groupes diédraux
Nous conserverons les notations ci-dessus. Soit k un sous-corps de K. Soit n un
entier > 2 ; cherchons si PGL(2, k) contient des sous-groupes diédraux de cardinal 2n .
Si n = 2, le corps k = Q répond à la question, car le groupe d'homographies
associées aux fractions de l'ensemble {X, —X, ^, — -^ ] est diédral de cardinal 4 .
Supposons maintenant n > 3. D'après (44), une condition nécessaire pour que k
convienne est que Cn C n. Réciproquement, supposons que Cn C k . Soit C € Pn • Soit
rç = C + C"1 et £ = r7 + 2. Soit # l'homographie d'ordre n de PGL(2, *) associée à
la fraction ;^ • Cherchons les involutions ft G PGL(2,k) telles que hgh~l = <7-1 .
Définissons # par la matrice par la matrice G = M(l) (cf. (43)). En représentant h
par une matrice H € GL( 2, « ) :
*=(° -«)
la condition nécessaire et suffisante sur h est qu'il existe m e K* tel que i/G = rnG'H ,
où l'on a posé:
m *-(_;!)
On obtient les conditions nécessaires et suffisantes
(47) (m - l)a£ = 0 ; (m - l)(cÇ - a) = 0 ; mcf = af + 6 ; m(a£ + 6) = c£
Comme f ^ 0 et (a, c) ^ (0,0), les deux premières conditions (47) donnent m = 1.
Les deux dernières se réduisent alors à
(48) ai + 6 - ci = 0
Il suffit donc de choisir (a, 6, c) € «3 vérifiant (48) et a2 + 6c ^ 0 pour avoir /i#/i = (?~x.
Soit (a, c) G «2. Définissons 6 par (48), alors a2 + bc ^ 0 ssi a2 + £c2 - £ac 7^ 0 ; il
Chapitre 28 , § 1
Fractions rationnelles et théorie de Galois 443
y a une infinité de couples (a,c) qui conviennent. Pour chacun de ces couples {a,c),
on a gn = h2 = (hg)2 = Id, donc le groupe engendré par {g, h} est diédral de cardinal
2n et est contenu dans k. On a donc prouvé: PGL(2,«) contient des sous-groupes
n-cycliques. Compte tenu de (44) et (45), On en déduit:
n > 3 , pour que le groupe PGL( 2, k ) contienne des sous-groupes diédraux
cardinal 2n , il faut et il suffit que Cn C n .
(49)
\de.
,_n, (Les seuls entiers n > 2 teJs que Je groupe PGL(2,Q) contienne des sous-
\groupes diédraux de cardinal 2n sont 2 , 3, 4 et 6 .
Notons que l'existence du groupe du birapport (voir étude de la proposition 27.7.4)
montre directement que PGL( 2, Q ) admet des sous-groupes diédraux de cardinal 6 .
• Passons au cas des groupes tétraédraux, octaédraux et icosaédraux.
Observons d'abord que d'après l'étude des paragraphes 27.6 et 27.7, les groupes
PGL( 2, Q(ix) ) et PGL( 2, Q(1k) ) admettent des sous-groupes tétraédraux, le groupe
PGL(2,Q(itf)) admet des sous-groupes octaédraux, et le groupe PGL(2,Q(p)) (où
p G V$ ) admet des sous-groupes icosaédraux.
Nous allons maintenant prouver que le groupe PGL(2,Q) ne contient pas de sous-
groupe tétraédral (donc non plus pas de sous-groupe octaédral) ou icosaédral, et donner
des indications sur la famille des corps sur lesquels les groupes tétraédraux, octaédraux
et icosaédraux sont réalisables.
Cas des groupes tétraédraux et octaédraux
Soit r un sous-groupe tétraédral de PGL(2,Q) ; nous allons aboutir à une
contradiction. On a deux éléments u et h de r, d'ordres respectifs 3 et 2 , tels que uh soit
d'ordre 3, donc d'invariant 1. Soit U un élément de SDÎ2(Q) qui représente u. Soit
5 l'homographie associée à la matrice
5-(j -j), <■**-*--(;;;)
Alors s est d'ordre 3 , on a Se SPÎ2(2), et S3 = —12 . Puisque u et 5 sont conjuguées
dans PGL(2,if ), on a un scalaire X e K* tel que U et XS soient semblables dans
2Dt2(AT); alors det(U) = A2det(5), donc A2 e Q. Mais u2 = u'1 est d'ordre 3,
et u~lh est d'ordre 3; les matrices U2 et X2S2 sont semblables dans Wl2(K) et
appartiennent à SDÎ2(Q), donc, d'après une propriété bien connue, elles sont semblables
dans SDÎ2(Q). On a donc des éléments a et 77 de PGL(2,Q), d'ordres respectifs 3
et 2 , tels que an soit d'ordre 3 , et que <r soit associée à la matrice S2 . Soit
'-(* -«)
un élément de 3JÎ2(Q) auquel 77 est associé. Un élément de PGL(2,if ) est d'ordre
4 ssi son invariant est 2 . Comme an est d'ordre 4 dans PGL(2,k) , donc aussi dans
PGL( 2, K ), on a I(<tt?) = 2 , ce qui équivaut à (a -h 6 - c)2 4- a2 -f 6c = 0 , c'est-à-dire à:
(51) 2a2 + b2 -h c2 -h 2a6 - 2ac - 6c = 0
ou encore, à:
(52)
(a + 6-ic) +(a~c) +r2 = 0
ce qui implique visiblement a = 6 = c = 0,en contradiction avec ad — bc / 0 . Cette
contradiction montre bien l'impossibilité de l'existence de r, comme attendu.
On notera que les éléments non neutres d'un groupe tétraédral sont d'ordre 2 ou
3 ; chacun d'eux est donc, à titre individuel, réalisable sur Q, et pourtant un groupe
tétraédral n'est pas réalisable sur Q .
444 GRO UPES POLYEDRA UX ET EQ UATION DE HALPHEN
Pour étudier les sous-corps de K sur lesquels le groupe tétraédral 2l4 est réalisable, considérons la
liste des représentations irréductibles de ce groupe, donnée par exemple dans le tome 2, chapitre XIX.
Soit k un sous-corps de K , et soit k la clôture algébrique de k dans K . On observe que la seule
représentation irréductible fidèle de degré 3 sur « est celle réalisée dans Thyperplan vectoriel V de «4
d'équation x\ + x^ +xa -I- x* = 0 , comme sous-représentation de la représentation naturelle de <2>4 dans
V (par permutation des coordonnées); on voit, en prenant (xi,x2,Z3) pour coordonnées dans V , que
la seule forme quadratique sur V invariante par 2t4 (en fait par <54 ) est, à k*-proportionnalité près:
Q(Xi,I2,X3) =X? +X% + X^ + (X! +X2 + X3)2
Cette forme quadratique est de rang 3 et visiblement invariante par <54 . Soit une autre forme
quadratique Q' sur V , de rang 3 et invariante par 2C4 . Chacune des formes Q et Q' définit un isomorphisme
du K-espace vectoriel V dans son dual V* ; en les composant, on obtient un automorphisme / de V ,
qui commute à l'action de 2l4 . La représentation de 2C4 étant irréductible, / ne peut être qu'une
homothétie (lemme de Schur, cf. tome 2), donc Q' est ^-proportionnelle à Q .
À la forme Q , est associée une conique C de Proj(«3) définie sur Q , dont on voit qu'elle n'a aucun
point Q-rationnel. Le corps Q(C) est de genre zéro sur Q et non déployé. Ce qui précède montre, à
l'aide du théorème 27.8.5, que le corps Q(C) est le seul corps de genre zéro sur Q dont le groupe
de Q-automorphismes contienne un groupe tétraédral (et il contient un sous-groupe octaédral). Si C
admet un point «-rationnel, le groupe des /c-automorphismes de k(C) est isomorphe à PQL(2, k) , donc
d'après le théorème 27.8.5, le groupe <2>4 est réalisable sur k . Réciproquement, si 2l4 est réalisable
sur k , il est isomorphe à un sous-groupe de Aut «(«(*)) (où t est une indéterminée sur k ); soit Ci une
conique définie sur k attachée à L = «(£) au moyen d'un diviseur D de degré 2 sur 8RK(L) ; alors
Aut,c(L) s'identifie à un sous-groupe de 80(Qi) , où Qi est une forme quadratique définissant Ci dans
Proj(2? (D)) ). Cette conique a un point K-rationnel puisque L est déployé sur k (théorème 27.5.3),
et elle est invariante par S4 , donc Qx est semblable à Q ; donc C admet un piont «-rationnel. En
conclusion, 2l4 est réalisable sur un sous-corps k de K ssi C a un point K-rationnel, et lorsqu'il en
est ainsi, S4 est réalisable sur k . On retrouve bien que 2C4 n'est pas réalisable sur Q et qu'il l'est,
par exemple, sur Q(i/c) ou 0(jA-) .
Cas des groupes icosaédraux
Soit r un sous-groupe icosaédral de PGL(2,k). Comme il admet des éléments
d'ordre 5, avec les notations introduites dans le cas des groupes cycliques, on a
nécessairement C5 C r. Si q désigne une racine carrée de 5 dans ^,ona C5 = Q(q). On
peut voir que la condition C5 C k ne suffit pas pour réaliser un groupe icosaédral sur k .
Nous avons vu plus haut que la condition Q(p) (où p est une racine primitive cinquième
de 1 dans K) suffit. Mais il n'existe aucun groupe icosaédral dans PGL(2,«).
On a un résultat voisin de celui sur les groupes tétraédraux (nous laisserons les détails au lecteur).
Le groupe 2Cs peut être réalisé sur Q(q) (on retrouve les deux représentation (absolument) irréductibles
conjuguées de la table des caractères de 2l5 (voir tome 2, chapitre XX). Le lecteur trouvera dans le
paragraphe XIX.4 (tome 2) et dans l'exercice 18 du chapitre XIX, une construction explicite de ces
représentations, à partir d'une réalisation du groupe binaire associé à 215 comme sous-groupe des
éléments inversibles de l'algèbre des A'-quaternions de Hamilton à coefficients dans Q(q) . On conclut
que si k est un sous-corps de K , alors 2l5 opère sur un corps de genre zéro défini sur k ssi Q(g) c /c,
et ce corps de genre zéro sur k est déployé ssi -1 est une somme de deux carrés de k , i.e. ssi l'algèbre
de quaternions définie ci-dessus est déployée sur k .
Remarque 28.1.1 :
Nus avons vu que PGL( 2, Q( jK) ) et PGL( 2, Q(±k) ) contiennent des sous-groupes
tétraédraux, et que PGL(2,Q). Les corps Q(j/c) et Q(±k) sont quadratiques sur
Q; cela montre qu'il n'existe pas de plus petit sous-corps k de K tel que PGL(2,«)
admette des sous-groupes tétraédraux +
§ 28.2 L'équation de Halphen
Dans tout ce paragraphe, le corps K sera supposé algébriquement clos et de
caractéristique nulle.
28.2.1 Introduction
Soit t une indéterminée sur K. Dans [15], Halphen a posé le problème suivant:
étant donnés des entiers m, n, p > 2, trouver les triplets (P,Q,R) d'éléments non
nuls de K[t] qui vérifient:
(1) Pm + Qn + Rp = 0
Ces triplets seront appelés solutions de (1). Les solutions (P,Q,R) de (1) telles que
pgcd (PjQ^R) = 1 seront appelées ses solutions réduites (il est entendu que les pgcd
sont pris dans K[t] ). Il est clair que si (P^Q^R) est une solution réduite, alors
pgcd (P,Q) =pgcd (Q,R) = pgcd {P,R) = 1
Les triplets (£, C, 77) G (K*)3 tels que £m + Çn + rf = 0 seront appelés les solutions
triviales de (1) (une solution triviale est donc une solution réduite).
Nous verrons ci-après que la recherche des solutions réduites non triviales équivaut au
problème, résolu au paragraphe 28.1, de trouver les sous-corps cogaloisiens de L = K(t),
et que l'explicitation des solutions réduites de (1) est liée à la détermination de polynômes
Ta introduits au théorème 28.1.1 associés aux orbites singulières des groupes polyédraux.
Les restrictions m > 2 , n > 2, p > 2 , et P, Q et R non constants s'imposent d'elles-mêmes: si
l'un des entiers m , n ou p est 1 , la résolution de (1) est triviale. Supposons m , n et p tous > 2 , et
soit (P,Q,R) une solution de (1) avec, par exemple, PQ ^ 0 et R constant. Si R — 0 , la résolution de
Pm -|- Qn = 0 est triviale en décomposant P et Q en facteurs premiers. Si R ^ 0 , montrons que P et
Q sont constants; pour cela, raisonnons par l'absurde, en supposant P et Q non tous deux constants
(ce qui entraîne qu'ils sont tous deux non constants). Soit a = deg(P) et 0 = deg(Q) , d'où a > 1 et
0 > 1 . On a ma = n0 . Puisque Pm + Qn = 1 , les polynômes p"1-1 et Qn~x sont premiers entre eux
dans K [t] . En dérivant la relation Pm 4- Qn + Rp = 0 , on obtient (puisque R est constant):
mpm-lp/ = _ngn-lg/
et comme la caractéristique est nulle, il en découle que p"1-1 divise Q' et Q71'1 divise P' . Par suite,
(m - 1)q < 0 - 1, d'où (m - 1)^ < /? - 1. Comme 0 > 1, on peut diviser par 0 , et on en déduit que
(m-l)^<l-^<l, d'où m + n > mn , ce qui est absurde car m > 2 et n > 2 . Cette contradiction
montre que P et Q sont constants.
Retenons que si (P,Q,R) est une solution de (1) (i.e. un triplet vérifiant (1) tel que PQR ^ 0 j,
aiors P , Q et R sont tous trois non constants ssi au moins l'un d'eux est non constant.
Halphen a étendu l'équation (1), en en cherchant des solutions dans des corps de
fonctions elliptiques sur K, ou même dans certains corps (de fonctions algébriques d'une
variable sur K ) de genre > 2 (en fait, des corps de fonctions dites fuchsiennes). Dans
le langage des surfaces de Riemann, lorsque K = C (seul cas envisagé par Halphen),
on peut voir que la question se ramène à la suivante: trouver les revêtements ramifiés
galoisiens de C par C (équation (1) proprement dite, seul cas que nous aborderons
ici), ou par des surfaces de Riemann compactes connexes de genre 1, ou par certaines
surfaces de Riemann compactes connexes de genre > 2.
La notation L = K(t) sera conservée dans toute la suite du présent paragraphe.
28.2.2 L'équation de Halphen trigonométrique
Le cas le plus simple est celui où m = n = p = 2 . En remplaçant R par LkR , on
est ramené à l'équation, que nous appellerons e'quation de Halphen trigonométrique:
(2) P2 + Q2 = R2
dont on cherche les solutions (P,Q,R) en éléments non nuls de K [t] . Cette équation
se traite comme l'équation diophantienne de même forme. Il est clair que ses solutions
sont les triplets (DP,DQ,DR), où D e K[t) \ {0} et où (P,Q,R) est une solution
446 GROUPES POLYEDRAVX ET EQUATION DE HALPHEN
(4)
réduite. Une solution réduite non triviale évidente, dite trigonométrique, est:
(3) P0(t)=t ; Qo(t) = \(t2-l) ; Ro(t) = \{t2 +1)
Soit (P,Q,R) une solution réduite non triviale. On a P2 = R2-Q2 = (R-Q)(R + Q).
En décomposant P, P—Q et P+Q en facteurs premiers dans if [t] , et en remarquant
que R — Q et P -f Q sont premiers entre eux, si P est normalisé, on arrive à:
P = ]î[(t-a4r
q = 5 f Ane - °i)2Qi -A_1 n<* - aJ2ai)
\ i€l ieJ )
\R=\[ xw - °«)2ai+a_i w - a«)2ai )
V. V i€l i€J /
avec À G K* , où les a* sont des éléments de K deux à deux distincts, où r et les
ai sont des entiers > 1, et où I et J sont deux parties de fl,r] complémentaires
l'une de l'autre. Réciproquement, pour tout système (A,r, (ai)i<i<r, J, J) vérifiant ces
conditions, (4) définit une solution réduite de (2) telle que P est normalisé. Il est
clair qu'on obtient toutes les solutions réduites de (2) en multipliant par des éléments
arbitraires de K* les solutions réduites ainsi obtenues.
Soit une solution de la forme (4). Posons u = XY\i€l{t — a,i)ai ]liej(* ~~ aï)~ai et
^ = A-1Ili€j(^^)2ai. On a ueK{t)\K et i/>eK[t] \ {0} , et:
(5) P = u<P ; Q = ±(u2-l)iJ, ; P = i (u2 + l) $
donc en ce sens, la solution (3) engendre toutes les autres.
Soit maintenant les fractions rationnelles:
(*\ f=p3= 4*2 • a= QK (*2~*>2 . h = p° - 4*2
w J Ri (*2 + l)2 ' 9 R2 (t2 + l)2 ' Q2 (t2-l)2
On a [L : K(f)] = Deg (/) = 4 (rappelons que L = K(t) ). Soit P le sous-groupe
de Autjf(L) engendré par les deux homographies a et r définies par les fractions —T
et ^ (où T désigne une indéterminée sur K). Il est immédiat que P est un groupe
diédral de cardinal 4 (groupe de Klein à 4 éléments). On constate que / G
Comme [L:I/[rl] = card(P) = 4, on conclut que L^ = K(f). On verrait de
même que L^ = K(g) = if (/i). Nous verrons que c'est là un cas particulier d'une
propriété des équations de Halphen générales.
28.2.3 Solutions réduites de Péquation de Halphen
Fixant les entiers m, n et p, tous > 2 , reprenons l'équation de Halphen (1).
Dans cette section, sauf mention explicite du contraire, solution réduite signifiera
solution réduite non triviale.
La recherche des solutions réduites de (1) se scinde en deux problèmes: d'abord,
donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le triplet {m,n,p) pour que
(1) admette au moins une solution réduite; ensuite, si cette condition est remplie, décrire
l'ensemble des solutions réduites.
Soit (P,Q,R) une solution de (1) (pas forcément réduite), et soit H € K [t] \ K.
Alors (P o H, Q o H, R o H) est une solution, qui est réduite ssi (P, Q, P) l'est. Nous
dirons que (P o H, Q o H, R o H) est déduite de (P, Q, P) par substitution de H à t.
Chapitre 28 , § 2
L'équation de Halphen 447
Homogénéisât ion
Soit (X, y, T) un triplet d'indéterminées sur K . Conformément aux notations
introduites au début du paragraphe 27.4, si F G K [T] , nous appellerons homogénéisé de
F l'élément homogène de K[X,Y] noté *F, égal à 0 si F = 0 et à Ydeg<F>F(£)
si F^O. Inversement, si G G # [X,Y} d , on pose *G = 0 si G = 0, et si G ^ 0,
on note *G l'élément G(T, 1) de K[T] , et on l'appelle le déshomogénéisé de G. La
déshomogénéisation est donc une spécialisation. Pour tous éléments F,F\,F2 de -K"[T]
et tout élément G de if [X, Y }d \ {0} , rappelons que:
(7) *(.F) = F ; .(F,F2) = (.F!)(.F2) ; ,(*G) = r"«G
où g est l'exposant de Y dans G, i.e. dans les décompositions de G en facteurs
irréductibles de K[X, Y] .
Définition 28.2.1
Nous appellerons solution homogène réduite de (1) tout triplet {F, G, H)
d'éléments de K [X,Y\ homogènes, non constants et deux à deux premiers entre eux tels
que Fm + Gn + H« = 0
Soit (F, G, H) est une solution homogène réduite de (1); on a immédiatement:
(8) m deg(F) = n deg(G) = p deg(tf)
d'autre part, Y divise au plus l'un des polynômes F,G,H dans K[X,Y] . Soit q
l'exposant maximum de Y dans F, G, i/ , et pour fixer les idées, supposons que Yq
divise H . Posant P = *F, Q = *G et fl = *# , il est clair que Pm + Qn + Rp = 0
(la déshomogénéisation est une spécialisation). Comme P et Q sont non constants,
R n'est pas constant non plus, i.e. on a nécessairement q < deg(H). Il est immédiat
que P , Q et R sont deux à deux premiers entre eux. Donc (P, Q, R) est une solution
réduite de (1). Nous dirons que c'est la solution réduite associée à la solution homogène
réduite (F,G,H).
Réciproquement, soit (P, Q,P) une solution réduite de (1). Posons:
(9) a = degt(P) ; /? = degt(Q) ; 7 = degt(*)
Il est clair que ma , n/3 et jry ne sont pas deux à deux distincts et que si deux d'entre
eux sont égaux, le troisième leur est inférieur ou égal. Pour fixer les idées, supposons
que ma = n/3 = N > jyy (les autres cas sont analogues). En remplaçant t par y dans
l'équation Pm 4- Qn + Rp = 0 et en multipliant par YN , on obtient, en vertu de (7):
(10) (*P)m + (,Q)n + YN^(,R)P = 0
Soit £ le plus petit entier > 1 tel que p divise Ni. Posons:
(11) F=+P{Xi,Yi) ; G=+Q{Xi,Yi) ; H = Y^~^R(X\Ye)
On a alors:
(12) Fm + Gn-fifp = 0
et les éléments F, G et i/ de K[X,Y] sont homogènes, non constants et deux à
deux premiers entre eux, i.e. (F,G,H) est une solution homogène réduite de (1); elle
sera dite associée à (P, Q, R).
Soit «Sred(m,n,p) l'ensemble des solutions réduites de (1) et <Sredh(ra, n,p)
l'ensemble des solutions homogènes réduites de (1). Soit respectivement # et & les applications
Sred(ra,n,p) —► Szeah(m,n,p) ; <Sredh(ra, rc>p) —► Sred(m, n,p)
qui envoient toute solution réduite (resp. homogène réduite) sur sa solution homogène
réduite associée resp. sur sa solution réduite associée). On a #0 & = ldst%àh(m)n,p) » et
si 5 = (P, Q,P) € «Sred(m,n,p) , alors (& o$)(s) se déduit de s par substitution de te
à t, où ^ est le plus petit entier > 1 tel que m, n et p divisent Max(^ma,^n/?,^n7)
448 GROUPES POLYEDRAUX ET ÉQUATION DE HALPHEN
(avec a, 0 et 7 définis par (9)). En particulier, $ est surjective et & est injective.
L'image de & est l'ensemble des solutions réduites telles que £ = 1, i.e. telles que m , n
et p divisent Max(ma,n/?,p7). Nous l'appelerons l'ensemble des solutions régulières
de (1), et nous le noterons «Sreg(ra,n,p). La restriction de $ à «Sreg(m,n,p) est une
bijection sur 5redh(™>™>p) » dont la bijection réciproque est définie par ^. On notera
que «Sred(ra, n,p) ^ 0 ssi 5reg(m,n,p) ^ 0. En conséquence:
(13) Si (1) admet des solutions réduites, elle admet des solutions régulières.
L'intérêt de l'homogénéisation est qu'on a une action à gauche naturelle du groupe
SL( 2, K ) sur Szedh(m, niP) • Soit en effet S = (F, G, H) une solution homogène réduite
de (1). Soit M e SL(2,tf). On notera:
a* *-(;»)
Soit 0m l'automorphisme de la if-algèbre graduée K [ X, Y ] qui associe, à tout
polynôme W(X, Y), le polynôme W(dX - bY, -cX + aV). Posons:
M • S = (9M(F),9M(G),gM(H))
L'application SL( 2, AT ) —► «Sredh(ra, n,p), (M, 5) »—► M • 5 est l'action à gauche désirée.
Avec les notations de (9), soit (P,Q,R) la déshomogénéisée d'une solution homogène
réduite S = (F, G,H) de (1); posons a = degt(P), 0 = degt(Q), 7 = degt(il), et
N = Max(ma, nfi^py). Alors la déshomogénéisée de M • 5 est:
,,^ // ,in/A-6\ , ,k„{ dt-b \ , ^£Lnf dt-b \\
(15H(-ct+û)mPv^^J'(-ct+o)"g(^^J'(-c<+a)Piî(^^JJ
L'application SL(2,K) x 5reg(ra,n,p) —► 5reg(m,n,p), (M, s) »—► &{M •#($)) est une
action à gauche de SL(2,if) sur «Sreg(m, n,p), équivalente à la précédente. Nous la
noterons (M, 5) >-► M.s , et nous l'appellerons Faction par homographies.
Dans toute la suite, si 5 = (P,Q,R) est une solution réduite de (1), on notera Jf3
l'entier Max(mdegt(P),ndegt(Q),pdegt(iî)) .
Solutions régulières équivalentes
Munissons K* de sa structure de groupe multiplicatif. Soit £3(771, n,p) le sous-
groupe du groupe produit (K*)3 formé des triplets (£, £, 77) vérifiant £m = Çn = Vp •
Si cela n'introduit pas de confusion, on écrira £3 au lieu de £3(771, n,p). Pour toute
solution (P, Q, #) de (1) et tout (f, £,77) € £3 , il est clair que (ÇP,ÇQ,vR) est une
solution, qui est réduite (resp. régulière) ssi (P, Q, -R) l'est. On définit ainsi une action
à gauche de £3 sur <Sreg(m,n,p).
Soit 53(m, n,p) le stabilisateur de (m,n,p) pour l'action naturelle de ©3 sur N3 .
Sauf risque de confusion, on écrira 53 au lieu de 53(771, n,p). On a une action à gauche
naturelle de 53 sur 5reg(m,n,p), qui associe, à toute permutation cr G 53 et toute
solution régulière (Pi, P2, P3), la solution (P<7-i(i), P<r-i(2)> P<r-*(3)) » qui est évidemment
régulière, et que l'on notera cr* (Px,P2,P3) • Il est clair que 53 est réduit à l'élément
neutre dans les cas octaédral et icosaédral, que c'est ©3 si (myn,p) = (2,2,2), et que
dans les autres cas, c'est le groupe à deux éléments engendré par une transposition.
Les actions à gauche de SL(2,if) et de £3 (resp. et de 53 ) sur 5reg(m, n,p) sont
permutables. Mais celles de Gz et de 53 ne le sont pas.
En combinant ces trois actions, on obtient une action à gauche du groupe produit
Sh(2,K) x (£3 m 53) sur 5reg(m,n,p) , où txi signifie: produit semi-direct relatif à
l'action de 53 sur £3 obtenue par restriction de l'action naturelle de 53 sur K3 ; à
tout élément
((M,(£,C,77),a)(P,Q,iî)) e (SL(2,ff) xfox 53) x 5reg(m,n,p)
Chapitre 28 , § 2
L'équation de Halphen 449
cette action associe a * (M.(ÇPXQ,vR)) - Les orbites de cette action conduisent à la
notion de solutions régulières équivalentes:
Définition 28.2.2
Deux solutions régulières (Pi,Qi,J?i) et (P2,Q2,R2) de (1) sont dites équivalentes
ssi il existe M G SL( 2, K ), (£, C, rç) € Gs et a e S$ tels que:
(ft,02,/Î3) = tT*(M.(ePi,CQi,»?fli))
L'équivalence entre solutions régulières est donc une relation d'équivalence, dont les
classes sont les orbites du groupe SL( 2, K ) x (£3 ix S3).
Solutions primitives
Ce qui précède montre que l'étude des solutions réduites de (1) se ramène à celle
de ses solutions homogènes réduites, ou, de manière équivalente, à celle de ses
solutions régulières. Nous nous intéresserons donc essentiellement aux solutions régulières.
Remarquons que Vensemble des solutions régulières est stable par Vopération de
substitution: si (P,Q,R) est une solution régulière, alors pour tout H € K[t] , la solution
(PoH,QoH,RoH) est régulière.
Définition 28.2.3
On appelle solution primitive de (1) toute solution réduite qui ne peut être obtenue
par substitution à t d'un polynôme de degré > 2 dans une autre solution réduite.
Supposons tSred(^i, ft>p) 7^ 0, c'est-à-dire «Sreg(m,n,p) ^ 0. Alors le minimum des
entiers N(p,q,r) pour (P, Q,R) décrivant «Sred(m, n,p) est bien défini. Il est immédiat
que toute solution réduite (P,Q,R) telle que N(p,q}r) soit égal à ce minimum est
primitive. Nous verrons ci-après que ce minimum est le cardinal d'un groupe polyédral.
Exemple 28.2.1 :
Reprenons l'équation de Halphen trigonométrique (2). La forme (4) de ses
solutions montre qu'aucun triplet de polynômes de degré < 1 n'est solution. La solution
trigonométrique (3) est régulière. Le minimum défini ci-dessus est 2, et la solution (3)
est régulière et primitive +
Triplets platoniciens
Nous conviendrons ici d'appeler triplet platonicien tout triplet (^,712,713) d'entiers
naturels > 2 vérifiant l'inégalité £. + J_ + J- > 1 m Un tel triplet sera dit ordonné
ssi ni < ri2 < 713 . Par permutation des termes, les triplets platoniciens ordonnés
engendrent tous les triplets platoniciens. Une étude élémentaire, analogue à celle menée
pour la proposition IX. 14 du tome 1, montre que les triplets platoniciens ordonnés sont:
• les triplets (2,2, n), avec n > 2 quelconque.
• les triplets (2,3,3), (2,3,4) et (2,3,5).
Les triplets platoniciens déduits de (2,2, n) par permutation (où n est donné) seront
dits n-diédraux. Les autres triplets platoniciens seront dits polyédraux: ceux déduits de
(2,3,3) (resp. de (2,3,4), de (2,3,5)) seront dits tétraédraux (resp. octaédraux,
icosaédraux).
Pour tout triplet platonicien 2T= (nl5 712,723), il existe un entier N > 4 unique tel
que ^■ + ^7 + ^ = 1 + ^- Nous le noterons Ng-. Il vaut 2n si 2T est n-diédral, 12 si
2T est tétraedral, 24 si 2T est octaédral et 60 si 2T est icosaédral.
Equation de Halphen et ramification
Dans ce qui suit, nous utiliserons la bijection naturelle K —► SRk(L) définie en (26)
de la section 23.1.2. Rappelons que cette bijection associe, à tout a € K, la valuation
450 GROUPES POLYEDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
discrète normalisée VL,t,T-a » Que nous noterons va , et envoie ook sur la valuation
^L,t,oo 1 Que nous noterons Vqq (voir les notations Vtv au paragraphe 23.1).
Proposition 28.2.1
Soit (P,Q,R) une solution réduite de (1); posons N = >f(p,Q,H) . On a:
1 1 1 , 2
— + - + - >1 + T7
m n p N
En conséquence, le triplet 2T = (m,n,p) est platonicien, et on a N > N3-.
Démonstration:
Il suffit de prouver l'inégalité indiquée: les autres assertions en découlent
immédiatement.
Posons a = degt(P), (3 = degt(Q) et 7 = degt(R). Pour fixer les idées, supposons
que N = ma = n/3, d'où py < N . Posons:
pm
d'où / = 1 -h ^p . Le t-degré absolu de / est N (car la solution est réduite), donc
[L : K(f)] = AT (théorème 22.3.1). Nous allons étudier le diviseur de ramification
RamL/K(f) et utiliser la formule de Riemann-Hurwitz (voir section 24.3.4).
Pour tout b e K , nous noterons Wb = Vx(f)jtb » et nous noterons Woo = Vx(f)j}0o ■
Pour tout w e SR/^/f (/)), nous reprendrons la notation B^ définie en (61) de la
section 24.3.4. D'après (17) de la section 23.3.2, la t-fonction rationnelle ft : K —► K
correspond, par la bijection K —► &Rx(L), à l'application de restriction et normalisation
^L}K(f) : SRtf(L) —► SR/c(^(/)) • De plus, pour tout b € K et tout a e K tels que
ft(a) = b (i.e. tel que ^LtK(f)(va = w&), on sait interpréter l'indice de ramification
t{va,Wb) en termes de la fonction ft (voir l'étude de la section 23.1.2: si a G if et
b G K, alors e(vai Wb) est la multiplicité de a comme t-zéro de ft — b, qui est la valeur
absolue du t-degré de / — b si a = 00k ', si a e K et b = 00k , alors e(va, W&) est la
multiplicité de a comme £-pôle de ft ), qui est la valeur absolue du £-degré de / — b si
a = ook ).
Soit respectivement: (ai)i<i<q , (bi)i<«<r > (ci)i<i<* des listes injectives des zéros
de P, Q et R dans K. Pour tout i€ [1,^1 (resp. |l,rj, [1, s] ), soit az (resp. ft ,
7i ) la multiplicité de a* dans P (resp. de bi dans Q, de c* dans R). On a donc:
i=ç i=r i=s
(17) ]£>< = <* ; £ft=/? ; £^ = 7
i=l t=l i=l
On posera S = £™€SRk(K(/))\{uo,^oo} B" •
• Premier cas: N > py
On a 2ftL)/<:(/)(wo) = {^ai}i<i<ç , et e(vai, w0) = ma» pour tout i 6 (l,g], d'où:
(18) B„0 = ^K - 1)
2=1
Comme / - 1 = ^ , on a de même t(vb.,wi) = nft pour tout i € [l,r], et:
i=r
(19) BW1 = £(nft - 1)
i=l
On a alors &£*#(/) (^oo) = {ci}i<z<* u {^oo} et e(voo,u>oo) = N - jry. Pour tout
Chapitre 28 , § 2 L'équation de Halphen 451
i G [l,s] , on a e(vc<,tUoo) = P7z » d'où:
(20) ^ = JV - IV ~ 1 + J^(p7i " 1)
En tenant compte que Ql/k = Qk(/)/k = 0 (puisqu'il s'agit de corps de fractions
rationnelles sur if ), et en utilisant (18), (19) et (20), les théorèmes de Riemann-Hurwitz
(théorèmes 24.3.6 et 24.3.7) donnent:
2N - 2 = B„0 + B*, + B^ + B
i—q i=r i=8
= £ + AT-p7-l + ^K - 1) + £(n& - 1) + £(p7z " X)
i=l i=l i=l
= ma + n/3 -h p7 — q — r - s + N — P7 — 1 + S
= 3JV-g-r-5-l + B
On en déduit:
(21) q + r + s = N + l + B
d'où, puisque q < a, r < /? et s < 7 et puisque a = ^ , /? = ^ et 7 < ^ :
(22)
JVf — + - + -)>a + /3 + 7 + l>g + r + s + l = iV + 2 + B
\m n p/
En divisant par N, on obtient bien
(23) i + i + ^1 + l
m n p TV
L'égalité a lieu ssi les conditions suivantes sont satisfaites: a = g, /? = r, 7 = 5, B = 0
et 7 = ^ - 1 ; en d'autres termes:
(oa\ jL'égalité dans (23) a lieu ssi: P, Q et R sont séparables, N = (7 + l)p, et
^ ' yes seuls points de branchement de 91l,/<:(/) sont ^0 > ^1 et Wœ •
On notera que si les conditions (24) sont satisfaites, alors la solution (P, Q,R) est
régulière, et on a e(voo, Woo) = N — py = p, donc les indices de ramification au-dessus
de wo (resp. w\, w^ ) sont tous égaux à m (resp. à n, à p).
• Second cas: N = p7
Dans ce cas, la solution (P,Q,R) est régulière.
On a alors 9tLt/c(/)(u,«>) = {c*}i<*<* et e(vCi5^oo) = Pli pour tout i G (l,sj, d'où:
(25) B^ = ^(pr, - 1)
i=i
D'autre part, en notant Xj fi et 1/ les coefficients directeurs de P, Q et iî, on a
Am + /in + i/p = 0, d'où ft(ooK) = -%- = 1 + Ç i {0,1, ook} ; de plus, on a toujours
£(^ai>wo) = mai pour tout z G II,9] et e^, wi) = nfa pour tout i G [l,r], donc
B^ et B^ sont toujours donnés par (18) et (19). Un calcul analogue à celui du premier
cas donne:
(26)
W[ — + - + -) =a + /3 + 7><7 + r + s>iV + 2 + B
\m n p )
d'où à nouveau (23); et cette fois-ci, l'égalité a lieu ssi B = 0 et q = a, r = f3 et
5 = 7; autrement dit:
, . (L'égalité a lieu ssi P , Q et R sont séparables et les seuls points de branche-
^ ' [ment de Sft,z,,j<:(/) sont wç>, W\ et Wqo .
On notera que si les conditions (27) sont satisfaites, les indices de ramification au-dessus
de wq (resp. w\ , Wqq ) sont tous égaux à m (resp. à n, à p ) M
452 GROUPES POLYËDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
On déduit aussitôt de (24) et (27):
Corollaire
Soit 9" = (m,n,p). Si 2T n'est pas platonicien, l'équation (1) n'a pas de solution
réduite. Si V est platonicien, une solution réduite (P,Q,R) vérifie M^q^R) = Ng-
ssi elle satisfait les conditions suivantes: P, Q et R sont séparables; les seuls points
de branchement de 2^l,K(/) (où f = — ^f ) son^ w° ' Wl e^ w°° ' e^ ^es m^ces de
ramification au-dessus de wq (resp. de w\, de w^ ) sont tous égaux à m (resp. à
n , à p). S'il en est ainsi, la solution (P,Q,R) est régulière et primitive.
Proposition 28.2.2
Supposons le triplet 2T=(m,n,p) platonicien. Soit (P,Q,R) une solution réduite
de (1) telle que N^q^r) = N^r- Soit f = ~^f • L'extension L de K(f) est
galoisienne; le groupe r = Q*1(L/K(f)) est diédral, tétraédral, octaédral ou icosaédral
selon que le triplet 2T est diédral, tétraédral, octaédral ou icosaédral. L'ensemble des
racines de P (resp. de Q , de R) dans K est une orbite singulière de r de cardinal
m (resp. de cardinal n , de cardinal p), éventuellement privée de {ook} >
Démonstration:
D'après le corollaire de la proposition 28.2.1, les points de branchement de 2ftz,,K(/)
sont wo , wi et w^ , et les indices de ramification au-dessus de w0 (resp. de w\ ,
de Wqc ) sont tous égaux à m (resp. à n, à p). Soit L* une clôture galoisienne de
L sur K(f) (dans une clôture algébrique fixée Q de L). Soit v* G Sft^J K,*s(wo).
D'après le théorème 23.4.3, on a e(v*,wo) = m. Par transitivité des indices de
ramification, en notant v = 91l»,l(i;B) , on a m = z(v^,wo) = t(v*,v)t(v, wq) = mt{v*,v),
d'où e(v*,v) = 1. On montre de même que pour tout v$ £ SRk(L^) au-dessus de
w\ ou Wqo , en posant v = 31u,l{v^) » on a e(^B>v) = 1 • D'après le théorème 23.4.3,
les éléments de SR/f(L) \'3€L1^ff\({wo,wi,w00}) ne sont pas points de branchement de
2ftLjjL . En définitive, L* est non ramifiée sur L . Compte tenu que QL/K = 0 , la formule
de Riemann-Hurwitz pour l'extension LB de L donne alors 2gLn/L — 2 = — 2 [L* : L] ,
ce qui implique L^ = L puisque gL« L > 0 . On a donc prouvé que L est galoisienne sur
K(f). Si on identifie r = Qa.l(L/K(f)) à un sous-groupe de PGL(2,if ) (voir
section 28.1.1), l'action naturelle de J1 sur SRk(L) correspond, par la bijection naturelle
K —► SRjc(L) , à l'action de r sur K par homographies. Les orbites singulières de cette
action sur 8KK(L) sont w0 =^I^(/)(^o), ^i = &!**(/) fai) et ^oo = ^L]k(/)(woo) ;
on sait que le stabilisateur d'un point de o>o (resp. de u\ , de cjoo ) est m-cyclique
(resp. n-cyclique, p-cyclique). Par suite, l'action de r par homographies sur K admet
exactement trois orbites singulières, dont les stabilisateurs des points sont
respectivement m-cycliques, n-cycliques et p-cycliques. Notons-les Om , On et Op de façon
qu'elles correspondent respectivement à cjo > ^i et cJqo . D'après la description des
sous-groupes finis de POL(2, K) et de leurs orbites singulières, on voit que F n'est
pas cyclique, et qu'il est diédral, tétraédral, octaédral ou icosaédral selon que le triplet
9" = (m,n,p) est diédral, tétraédral, octaédral ou icosaédral. Dans la démonstration de
la proposition 28.2.1, nous avons vu que si z e K , on a vz € ^%K(f)^w^) ss* P(z) = ^ »
vz G 9ftl!jc(/)(u,i) ssi Q(z) = 0, et vz e $tL]K(f)(w<x>) ssi R(z) = 0- La dernière
assertion en découle ■
Proposition 28.2.3
Supposons le triplet 2T = (m,n,p) platonicien. Les solutions réduites (P,Q,R) de (1)
telles que N(p&fR) = Ng- sont régulières et primitives. L'ensemble Smin(m,n,p) de
ces solutions est non vide, c'est une (SL( 2, AT ) x (£3 cxj 53))-orbite de 5reg(m, n,p).
Chapitre 28 , § 2
L'équation de Halphen 453
Démonstration:
Posons N = Nsr- et X = «Smin(m,n,p). D'après le corollaire de la proposition
28.2.1, toute solution appartenant à M est régulière et primitive. Il est immédiat que
N(p,q}r) est un SL(2, if )-invariant (i.e., la fonction (P, Q, R) ■-> N^q^r) est constante
sur chaque SL( 2, if )-orbite). Il s'agit donc de prouver que M ^ 0 , et que deux éléments
de A4 se déduisent l'un de l'autre par application d'un élément de SL( 2, K ) x (£3 txi S3).
• Existence
Soit r un sous-groupe fini de PGL(2,if ) dont une liste des cardinaux des orbites
singulières dans K , pour l'action par homographies, soit (m, n, p). Un tel sous-groupe
existe, et on a card (P) = N. Puisqu'il y a trois P-orbites singulières, P n'est pas
cyclique. Notons Om , On et Op ces trois orbites singulières, rangées de façon que leurs
cardinaux respectifs soient ^ , ^ et ^ . Posons:
(28) #(t) = n (* - 0 ; *w= n (* - 0 ;e« = n <* - «
€€Om\{oojf} e€0n\{oo*} ^€Op\{ook}
Fixons a G Om , 6 € On et c € 0P. Par définition des Tz (relation (6) du paragraphe
28.1), les polynômes $m , î?n et 0P sont if*-proportionnels respectivement à ^a(0 »
^i(t) et Tc{t). D'après le théorème 28.1.1, deux quelconques d'entre eux sont K-
linéairement indépendants, et les trois sont if-linéairement dépendants. Donc il existe
des éléments À , /i et v de if* tels que À#m + ii$n + vGp — 0. Soit respectivement
£ , £ , r^ des éléments de if* tels que fm = À , Ç1 = ji et rf — v. Posons:
(29) P = £$ ; Q = <# ; P = r?0
Alors Pm -f <2n 4- Rp = 0, les polynômes P, Q , R sont deux à deux premiers entre
eux, leurs degrés a, /?, 7 appartiennent respectivement à {^> ^ - 1} » (lT> ^ ~ *}
et {f, f - 1}, et on a a + /3 + 7 € {AT(£ + I + £),*(£ + ± + I) - 1}, c'est-à-dire
a + /S + 7 € {iV -h 2, iV -h 1} . Ainsi (P, Q, iî) est une solution réduite de (1), et par
construction, on a N(p,q,r) = N. Donc (P,<2,P) e M .
• Unicité modulo Paction de SL(2,if ) x (Ç3 m S3)
Soit (Pi,Qi,Ri) et (P2,Q2,iî2) deux solutions de (1) appartenant à M . Posons
/1 = — ^r et /2 = — -^r . On sait que L est extension galoisienne de chacun des sous-
corps Fi = K(fi) et P2 = if(/2). Notons A = Oal(L/Fi) et P2 = Gal(L/P2). Les
groupes /\ et P2 sont tous deux de cardinal N , et pour l'action sur if par
homographies, ils admettent tous deux trois orbites singulières, que l'on peut ranger dans un ordre
tel que leurs cardinaux soient ^ , ^ et ^ . D'après les résultats du paragraphe 27.7, les
groupes A et P2 sont conjugués dans PGL( 2, if ) = PSL( 2, if ). Soit h G PSL( 2, if )
telle que P2 = /iPi/i-1 . Soit 0i,m , Oi,n et OiiP une numérotation des trois orbites
singulières de i~i dans if choisie comme indiqué ci-dessus, mais en outre de façon que
l'ensemble des racines de Pi (resp. de Q\, de R\) soit Oi,m \ {oo/f} (resp. 0\>n ,
0\}P ) (la possibilité de cette numérotation découle de la proposition 28.2.2). Posons
02,m = h(Ohm), 02)U = h(Ohn) et 02lP = h(OltP). Alors 02,m , 02,n et 02)P
sont les orbites singulières de P2 , et leurs cardinaux respectifs sont ^L , ^ et — . Les
ensembles de racines de P2 , Q2 , iî2 dans if sont ces orbites, mais on ne sait pas
dans quel ordre (sauf si m, n et p sont distincts, c'est-à-dire si on est dans le cas
octaedral ou icosaédral: dans ces deux cas, S3 est réduit à l'élément neutre, donc les
ensembles sont dans le bon ordre, i.e. sont respectivement C*2,m , 02>n et 02)P). Soit
une matrice Me SL(2,if) définissant h. Notons M.(Pi,Qi,Ri) = (Pi,QÏ,#ï).
Alors P]1 est if *-proportionnel à ILgOî m(* "" z) î de même, QÎ est if *-proportionnel
à Y[zeo2n{t - z), et iq est if*-proportionnel à riz€02 (^ "" 2) • ^n a ^onc a ^ $3
et (A,/i,i/) € (if*)3 tels que <x • (P^QÏ, Jl!|) = (AP2,//Q2,^^2) • Comme on a
454 GROUPES POLYEDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
(P^)m + (Q\)n + {R\)p = 0, en notant (£,(,77) le triplet déduit de (A,/i,i/) par
application de a , on a:
(30) £mP2m + CQ2 + ^2 = °
Mais on a aussi
(31) P2m + Q£ + iî£ = 0
Puisque P2 ? Q2 , #2 sont deux à deux K-linéairement indépendants, il découle de
(29) et (30) que £m = Cn = Vp • °n en déduit bien que les solutions (PuQuRi) et
( Pi» Q2, #2 ) sont équivalentes ■
Définition 28.2.4
Soit 9" = (m,n,p) un triplet platonicien. On appelle solution minimale de (1)
toute solution réduite (P, Q, R) telle que N(p}q}r) — Ng-.
Ce qui précède montre que si (m, n,p) est un triplet platonicien, la détermination des
solutions minimales de (1) se ramène à la détermination de l'une d'entre elles. Il suffit
en effet de construire un sous-groupe fini P particulier de POL(2,K") non cyclique de
cardinal N = Ng- et dont les trois orbites singulières, rangées dans un ordre convenable,
aient pour cardinaux ^ , ^ et ^ . Désignant par Om , On et Op ces orbites ainsi
rangées, il existe des éléments À, /i et v de K * tels que (P, Q, R) = (À#, //#, v0) soit
une solution minimale de (1), où #, îP et @ sont donnés par (28). De telles explici-
tations ont été obtenues au paragraphe 28.1 pour tous les types de groupes polyédraux.
Le tableau suivant donne le triplet ($,#,0) pour chaque groupe explicité. Pour tout
entier n > 2 , on note Goiedr(rc) la réalisaton du groupe diédral de cardinal 2n utilisée
en (14) du paragraphe 28.1. Les groupes GBir, GTetrh, GTetrk, G0cth , Glc0sk sont
ceux introduits au paragraphe 28.1. Les triplets (m,n,p) choisis pour ces groupes sont
respectivement: (n,2,2); (3,2,2); (2,3,3); (2,3,3); (2,3,4); (2,3,4); (2,3,5). On
a désigné par r une racine carrée de 3 dans K , telle que Jk = — ^(1 — i/cr) •
Groupe
GDiedr(rc)
Gbit
GTetrh
GTetrk
Gocth
Goctk
Gîcosfc
Triplet (*,#,©) 1
$ = tn ; V = tn -1 : 9 = tn + 1
4> = t2 -t+l ; tf «t(t-l) ; 9 = (t+l)(t-2)(t-^\ = t3 - ^t2 - -t + 1
* = *6 - 20*3 - 8 ; V = *3 - 1 ; 0 = *(*3 + 8)
$ = t(t4- 1) ; $ = t4-2LKrt2 + 1 ; 0 = *4 + 2iKrt2 + 1
$ = *12 -66*9 + 180*6-320*3 -1-64 ; V = t(t3 — l)(t3 H- 8) ; 9 = t6 -20t3-8
£ = (*4 + l)(*8-34*4 + l) ; # = *6 + 14*4 + l ; 9 = t(t4-l)
$ = i30 -f 522125 - 10005120 - 10005110 - 52215 + 1
V = t20 - 228*15 4- 494*10 + 228*5 4- 1
e = t(t10 + in5-i)
Génération des solutions réduites par les solutions minimales
Dans ce qui suit, on fixe un triplet platonicien 9~= (m,n,p). Nous allons voir qu'à
partir d'une solution minimale particulière, on peut obtenir toutes les solutions réduites
de (1). L'idée que nous utiliserons pour cela est contenue dans le lemme d'Abhyankar
Chapitre 28 , § 2
L'équation de Halphen 455
(théorème 23.4.4). Ce lemme est probablement la traduction algébrique correcte du
théorème de Briot et Bouquet auquel Halphen fait allusion dans son mémoire [15].
Rappelons que K est de caractéristique nulle et algébriquement clos; ces hypothèses
vont être déterminantes dans ce qui suit. Rappelons aussi que L = K(t).
Nous poserons N = N$. Nous fixerons une fois pour toutes une solution minimale
(P, Q,R) de (1) associée à un sous-groupe P fini de cardinal N de pol(2,AT) ayant trois
orbites singulières, tel que ook n'appartienne à aucune P-orbite singulière, et tel que
pour une numérotation convenable (Om, On, Op) des orbites singulières, leurs cardinaux
respectifs soient ^»^»~- Les degrés respectifs a,/?,7 de P,Q,R vérifient alors:
(32) ma = n/3 = py = N
et on a P = À$, Q = 11& et R = vQ , avec À , \i et v dans K* , et avec
(33) #w=n<'-*); *(o=n<*-o; ©c)=n(«-o
É€0m É€0n £€Op
Pour décrire les solutions de (1), il suffit d'en décrire les solutions régulières. Le
lecteur vérifiera sans peine, à partir de (15), qu'en transformant une solution régulière
par une homographie convenable, on obtient une solution régulière (Po, Qo> Rq) telle que
(34) Max(degt(P0),degt(Qo),degt(iîo)) = m degt(P0) = ndegt(Q0) = p degt(iîo)
Une solution réduite de (1) sera dite ultrarégulière ssi elle est régulière et vérifie la
condition (34). Ainsi la solution minimale (P,QyR) fixée ci-dessus est ultrarégulière.
D'après ce qu'on vient de voir, pour décrire les solutions de (1), il suffit d'en décrire les
solutions ultrarégulières.
Fixons donc une solution ultrarégulière (PoyQo,Ro) de (1). Notons
(35) a0 = degt(P0) ; fo = degt(Q0) ; 70 = degt(Po) ; iV0 = rna0 (= nfo = P7o)
Fixons une indéterminée x sur K , une clôture algébrique i? de K(x) et une lettre
T , qui nous servira d'indéterminée sur n'importe quel corps que nous aurons à considérer.
Soit /o = — -^r et f — — 7^- • Le polynôme minimal de t sur K(fo) (resp. sur
K(f) ) est (AT(/o))*-proportionnel à à P0m(T) + foR%(T) (resp. (tf(/))*-proportionnel
à Pm(T) + fR?(T) ). Les polynômes
(36) W0(T) = P^(T) + xR%(T) ; W(T) = Pm(T) +xRp(T)
(éléments de (K(x)) [T] ) sont donc irréductibles sur K(x), de degrés respectifs iV0 et
N. Déplus, K(t) étant extension galoisienne de K(f) (avec Qal(K(t)/K(f)) = T),
le polynôme W(T) est normal sur K (x).
Nous fixerons une racine yo de Wq(T) dans Q et une racine y de W(T) dans
Q. Il est immédiat que l'unique K-isomorphisme de K(t) sur K(y) qui envoie t
sur y envoie / sur x ; on en déduit que K(y) est extension galoisienne de K(x),
avec Qal(K(y)/K(x)) ^f et donc [K(y) : K(x)\ = N. D'autre part, l'unique K-
isomorphisme de K(t) sur K (yo) qui envoie t sur y0 envoie /o sur x. On a donc
lK(yo):K{x)] = N0.
Pour tout £ € K, soit respectivement tt^ , t;^ et v9 les éléments V/^)^.^ ,
Vjr(y)lV,T-É et VftT(yo),yo,T-^ de SRj<;(#(:r)), SR^(^(î/)) et SR/cWîto)) ; de même,
soit Woo = VK(x)iXiOOK , Voo = V^(y)tl/t00|C et i4, = Vrif(V0))1A)iOOK .
La description attendue de la solution (PoyQo,Ro) dépend de l'analyse de la
ramification des extensions K(y) et K (yo) de K(x).
Nous savons que l'application $tK(t)tK(f) : srk(K(ï)) —► SRjf(if(/)) admet
exactement trois points de branchement, qui sont les valuations de K (f) correspondant (par
l'application £ »-+ Vrt(/),/,£ ) aux points 0, 1 et 00 # de K. De plus, les indices de rar
mification au-dessus de ces valuations (tous égaux car l'extension est galoisienne) valent
respectivement m, n, p. Donc l'application ^tK(y)iK(x) : s*K(K(y)) —► BRk(K(x))
456 GROUPES POLYËDRAUX ET EQUATION DE HALPHEN
admet exactement trois points de branchement, qui sont tuo , wi et ttfoo » et que les
indices de ramification au-dessus de ces points sont respectivement tous égaux à m, à
n et à p.
D'autre part, l'application 9tK(t),K(M : SR#(K(t)) —► SRjf (ff(/o)) admet parmi
ses points de branchement les valuations de K(fo) correspondant (par l'application
f *-> ^K(/o)Jo^ ) aux points 0, 1 et oojc de K. Notons (a?)i<i<9 (resp. (&°)i<i<r,
(d-)i<i<s ) une liste des zéros de Pq (resp. de Qo , de Ro ) dans K distincts, et notons
(Q?)i<i<9 » (/??)i<*<r et (7?)Ki<a les listes des multiplicités de ces zéros. D'après (18),
(19) et (25), les valuations au-dessus des points issus de 0, 1 et oo sont celles qui
correspondent respectivement, par l'application f »-► VK{t),t£ , aux points a® avec indices de
ramification ma*} , aux points tf avec indices de ramification n/3f , et aux points c° avec
indices de ramification jry? (on est dans le second cas de la démonstration de la
proposition 28.2.1). Donc l'application (3iK{y0),K{x) '• srk(K(Vo)) —► SRk(#(x)) admet parmi
ses points de branchement wç>, w\ et tv^ ; les points au-dessus de wç> (resp. de w\ ,
resp. de Wqc ) sont v^,..., v2q (resp. v^,..., v%r , resp. v^, •.., vj?, ), avec indices de
ramification respectifs maj,..., maj (resp. n/îj,..., n/?J? , resp. p7^,..., P7J ). Nous
verrons ci-dessous que les éventuels autres points de branchement de (3iK{y0),K{x) n'ont
pas besoin d'être précisés.
Proposition 28.2.4
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, on a K(y) C K(yo).
Démonstration:
Bien que ce ne soit pas indispensable, nous allons d'abord traiter le cas où K(yo)
est galoisienne sur K{x). Le cas général relèvera en effet de la même idée, mais après
localisation.
• Cas où l'extension K(yo) de K(x) est galoisienne
Considérons le diagramme de corps suivant, dans lequel les flèches sont les inclusions:
K(yo,y)
/ \
(37) K(y0)
K{y)
\ /
K(x)
Le corps K(yo,y) est évidemment le corps composé K(yo) 0 K(y) dans i?. Comme
K(yoiy) est une extension finie de K(x), c'est un corps de fonctions algébriques d'une
variable sur K.
Soit u e SRK(K(yo,y)) ; posons:
®>K(yo,yhK(y) i ^yo = ^K(y0)y)tK(y0) i ^x = ^K(y0,y),K(x)
( ny =
1 ny>* =
^K(y)yK(x) i ^yo,* = ®>K(y0),K(x)
(38)
Considérons les valuations:
(39) v= 7ly(u) ; v° = ftyju) ; ir= nx{u)
On a alors v= Kv,x(y) = ^yo,x(r°).
Si v ^ {woiWiiWoo} , alors d'après l'analyse préliminaire des ramifications, on a
e(y, v) = 1. Si v = w0 , alors e(v, w) = m, et v° est l'une des valuations v%. , donc
e(r° ,v) est de la forme maj pour un certain i € [l,g]. Dans tous les cas, on voit que
e(v, w) divise e(r° , v). D'après le lemme d'Abhyankar (théorème 23.4.4), on en déduit
que e(u, v° ) = 1.
Cela a lieu quel que soit u € BRK(K(yo,y)). Donc 7lyo n'a aucun point de
branchement. Puisque K est algébriquement clos de caractéristique nulle, d'après le théorème
Chapitre 28 , § 2
L'équation de Halphen 457
24.3.7, le diviseur de ramification de K(yo,y) sur K(yo) est nul, donc, compte tenu
que K(yo) est un corps de genre zéro sur K , la formule de Riemann-Hurwitz (théorème
24.3.6) se réduit à 2g - 2 = -2 [K(y0iy) : K(y0)], où g est le genre de K(y0,y) sur
K. Il en découle que [K(y0,y) : K(y0)] = 1, i.e. K(y0,y) = tf(yo) > c'est-à-dire
/if(y) C tf(y0).
• Cas général
Le lemme d'Abhyankar ne s'applique plus directement. Pour se ramener au contexte
de ce lemme, on va localiser en passant aux complétés. Reprenons u e SR/f(if(yo,y)),
et les notations (38) et (39). Complétons respectivement les corps K(x), K(yç), K(y)
et K(yo1y) par rapport aux valuations v, v° , v et u. Posons ç = Tr,v, Co = 2V° ,v»
0 = Ju>r, 0o = 2ii,v° et tp = XttfV (notation It. de la proposition 24.4.4). On déduit de
(37) un diagramme des corps complétés:
(#(yo,y))u
0o/ \0
(40) (*(%))*>
(*(y))i
ÇO N ' Ç
(K(x))v
D'après la transitivité des applications T. , signalée après le lemme 24.4.4, le diagramme
(40) est commutatif. De la même manière qu'au cas précédent, on déduit de l'analyse
préliminaire des ramifications que dans tous les cas (que °w soit élément de {wo, w\, iv^}
ou non), e(v,v) divise e(v°,w). Notons e = e(u,r) et e0 = e(u,v°). D'après la
proposition 24.4.4, on a:
[(%:lni(ç)]=e(y,ir,) ; [(K&o))r° : lm(ç0)] =c(v°,irf)
[(tf(y^y))u • im(fl)] = e ; [(K^y))u : lm(0o)] = *o
La multiplicativité des degrés dans les tours d'extensions appliquée dans le diagramme
(40) donne, en notant d le degré de (K(yo,y))u sur Im(V>) :
(41) ee(r,y) = e0e(r° ,nv) = d
Comme e(v, w) divise e(r° ,°w), on déduit de (41) que eo divise e . Or d'après la
proposition 24.4.4, l'extension (K(yo,y))u de (K(x))yr est galoisienne cyclique, donc tous les
corps intermédiaires entre (K(x))v et (if(yo,2/))u sont des extensions galoisiennes
cycliques de (K(x))wi et pour tout diviseur d' de d, il existe un et un seul de ces corps
intermédiaires sur lequel (AT(yo,y))u soit de degré d' ; si L\ et L2 sont deux de ces
corps intermédiaires, sur lesquels (K(yoyy))u est respectivement de degré d\ et d2 , on
a Li C L2 ssi cfo divise di . Comme eo divise e, on déduit de là que lm(0) C lm(0o) •
Par suite, on a y G lm(0o), d'où aisément K(yo,y) C Im(#o) • D'après ce qu'on a vu à
la suite du lemme 24.4.4, l'image de 0o est fermée dans (K(yo,y))u . Mais K(yo)y) est
dense dans son complété; il en découle que Im(#o) = (^(yo>y))u , c'est-à-dire: e0 = 1 ;
en d'autres termes, u n'est pas ramifiée sur K(yo) en v° .
C'est vrai pour tout choix initial de u 6 SR/c(if(y0,y)), donc 7lyo n'admet aucun
point de branchement. On en déduit comme au premier cas que K(yo,y) = K(yo) H
458 GROUPES POLYÉDRAUX ET ÉQUATION DE HALPHEN
Théorème 28.2.1
Dans les conditions de la proposition 28.2A, la solution (Po,Qo,Rq) est un triplet
de la forme
(Halph) {ÇoD"(t)P (<p), CoD0(t)Q (<p), ^D^{t)R (<p))
où (£o>Co,rço) G (K*)3 avec $ = Co = Vo > et où V = % e K(t) avec (p non
constante, C et D dans K[t] et premiers entre eux, et <pt(ooK) ^ OmuOnUOp .
Démonstration:
En reprenant toutes les notations de la preuve de la proposition 28.2.4, on a donc
y € K(yo). On a donc un couple (C,D) € K[t] x K[t] , unique à facteur de K* près,
avec C et D premiers entre eux et non tous deux constants, tels que y = D\ \ • On a:
(42) K{x) C K(y) C K(y0)
Posons d = [K(yo) : tf(y)]. Comme \K{y) : tf(:r)] = N et [tf(yo) : K(x)] = AT0 , il
découle de (42) que AT = 7V0d. À la tour (42), correspond un diagramme commutatif
pour les surfaces de Riemann (toutes trois isomorphes h K):
8RK(K{y0))
(43) V
SRK(K(x)) ^— SRK(K(y))
où vo, p et wq sont les applications de restriction et normalisation. Comme les trois
corps sont des corps de fonctions rationnelles d'une variable sur K, on sait^qu'en fait
w, wo et p se ramènent respectivement aux fonctions rationnelles K —► K égales à
/(y)„> /o(yo)yo et <p(yo)yo-
Soit des numérotations (ai,..., aa), (&i,..., b/3) et (ci,..., c7) des orbites
singulières Om , On , (9p . On a:
(44)
Notons ce fait essentiel que
(45) t£> £ t*o ^{wo, «>i, Woo}) ' c'est-àrdire (pt(ooK) £OmUOnUOp
la cause première en est qu'on a choisi la solution (Po, <2o> #0) ultrarégulière; c'est pour
avoir (45) que l'on avait fait ce choix.
Comme C{T) — yD(T) est, à un facteur multiplicatif près dans K(y)* , le polynôme
minimal de yo sur K{y), il est de degré d. D'après (45), pour tout j e [l,aj , on a
<Pyo(°°K) ^ a>j , et par suite le polynôme C(T) - cijD(T) est de degré d.
Soit i e [l,gj. On a p(i^9) = ^ , avec j 6 [l,aj . On a vu que e(v£0, wo) = rna^
et e(vai, wo) = m . Par transitivité des indices de ramification, on en déduit:
(46) t{vlvvaj)=a»
Fixons maintenant j e [1,a] ; alors p~l(vaj) ^ 0, et pour tout v®0 € p~l(vGj), on
sait que a° est un yo-zéro de (p — a,j, et que l'indice de ramification donné par (46) est la
multiplicité de a® comme yo-zéro de (p — a,j. Donc le polynôme C{T)—djD{T) admet
a° pour zéro avec la multiplicité a® . D'après la formule de ramification, on a:
(47) £ a°=d
r wôl(w0) = p~l{{vai,.
^o1(u,i) = p"1(Hi.-
[wô1(w00) = p-1({vCl,.
■•,Vaa}) = {v°ao,.
•.«6/f }) = {«%.-•
-,^}) = Ko,--
••,<}
•,4}
•.^0}
Chapitre 28 , § 2
L'équation de Halphen 459
Comme le polynôme C(T)-djD(T) est de degré d, on déduit de (47) que sa factorisation
dans K[T] est:
(48) C(T) - ajD(T) = fc, JJ (T - a°)a? avec ^ € K*
p(v°0)=vaj
i
Comme (48) est vraie pour tout je[l,a], en vertu de (33), en posant k = fci • • • ka et
en tenant compte que les ensembles p~~l(vaj), où j décrit [l,a], forment une partition
de {va°}i<*<Q > on en déduit:
D°(T)P(ip(T)) = XDa(T) f[ (<p(T) - aj = A f[ (C(T) - atD{T))
j=i j=i
( \
j=Ot
= XkU
J'=1 \^("°o)=<S )
(49) {
n p-oïf
i=q
=\kH(T-a<>r
i=l
Comme Po(T) est K*-proportionnel à n!=ï (^ ~~ a?)Û< > ^ découle de (49) qu'il existe
£o € K* tel que
(50) P0(T) = toD"(T)P(<p(T))
On démontre de la même manière l'existence de £o e K* et 770 € K* tels que
(51) Ço(T) = CoD0(T)P(^(T)) ; i^T) = r^IX'{T)B{<p(T))
Comme ma = n/3 = py = N, l'équation Pq" + Qo + ^o = ° et 'es relations (50) et (51)
entraînent DN(T)($Pm(<p(T)) + $Q(tp(T)) + rgR(<p{T))) = 0 . Puisque ^(T) est
AT-transcendant et D(T) / 0, il en découle:
(52) $Pm + <;FQn + viïRp = o
Puisque Pm + Qn+Rp = 0 et puisque Pm , Qn et Rp sont deux à deux K-linéairement
indépendants (théorème 28.1.1), on déduit de (52) que ^ = Co1 = Vo • Compte tenu
de (50) et (51), le théorème est donc entièrement démontré ■
Réciproquement, tout triplet de la forme (Halph) avec <p G K(t) \ K telle que
<?t(°oj<:) £ OmU0nUOp, est une solution ultrarégulière de (1). On a donc décrit toutes
les solutions ultrarégulières de (1). Les solutions régulières sont les solutions équivalentes
aux solutions ultrarégulières, et l'étude du début de la présente section montre comment
toute solution réduite non régulière se déduit d'une solution régulière (une solution non
régulière devient régulière en remplaçant t par t£ avec £ entier > 2 convenable). En
définitive, on a donc obtenu toutes les solutions réduites de l'équation de Halphen (1).
Si l'on s'en tient aux solutions réduites, le phénomène constaté dans le cas particulier
m = n = p = 2 (formule (5) de la section 28.2.2) n'était donc bien qu'un cas particulier
du fait général décrit dans l'énoncé du théorème 28.2.1.
On notera enfin que le théorème 28.2.1 redonne la proposition 28.2.3.
28.2.4 L'équation de Fermât
Dans cette section, nous revenons aux solutions quelconques de (1) (non nécessairement réduites),
i.e.les triplets (P,Q,R) d'éléments de K [t] vérifiant (1) et tel que PQR ^ 0 . Considérons l'équation
(1) sous l'hypothèse où m = n = p > 2 , i.e.
(53) Pm + Qm + Rm = 0
Nous dirons que (53) est l'équation de Fermât associée à l'entier m . Les résultats précédents permettent
immédiatement d'en donner les solutions. En effet, soit (Po,Qo,#o) une solution; soit D un pgcd de
Po , Qo , Ro dans K[t] ; soit P=^,Q=^,fl=^. Alors (P,Q,R) est une solution réduite de (53).
D'après le corollaire de la proposition 28.2.1, si la solution (P,Q,#) est non triviale, le triplet (m, m, m)
est platonicien, i.e. m = 2 , et on connaît alors toutes les solutions de (53) (cf. section 28.2.2). Donc:
460 GROUPES POLYEDRAUX ET ÉQUATION DE HALPHEN
Théorème 28.2.2
Si m > 3 , les seules solutions de l'équation de Fermât (53) en éléments non nuls de K[t] sont les
triplets (£DXD,t)D) , où D e K[t] \ {0} et où (£,C,*?) est une solution triviale.
Voici une autre preuve du théorème 28.2.2. Soit donc m un entier > 3 . Dans l'espace projectif
Proj(A'3) , considérons la courbe algébrique C définie, relativement à la base canonique de K3 , par le
polynôme # = Xm+Ym+Zm . Comme la caractéristique est nulle, il est immédiat que # est irréductible
et que C est irréductible non singulière. Donc C est de genre g — <m~1Mm-2? > \ (théorème 27.5.2).
Si (53) admettait une solution réduite non triviale, C admettrait une représentation paramétrique
rationnelle propre sur K ; on en déduirait facilement que K(C) est un sous-corps de L = K{t). Donc
d'après le théorème de Lùroth, K(C) serait un corps de fractions rationnelles d'une variable sur K ,
donc serait de genre 0 , i.e. g = 0 , ce qui est absurde. D'où le théorème.
Lethéorème 28.2.2 entraîne facilement:
Corollaire
Soit m , n , p des entiers > 2 , soit d leur pgcd dans N , et soit M le pgcd dans N de m' = Ç ,
n' = J et P' = 5 • Si d > 3 (ce qui entraîne que le triplet (m,n,p) n'est pas platonicien), les
solutions de (1) sont les triplets (ÇH^,ÇH&,t)H*) , où (CC»7?) est une solution triviale et où
HeK[t}\{0}.
28.2.5 Retour à l'équation de Halphen générale
Reprenons l'équation (1) avec m , n , p entiers > 2 de pgcd 1 ou 2 dans N . Les résultats du
paragraphe 28.2.3 décrivent les solutions réduites, mais ils ne donnent pas d'informations sur les solutions
non réduites. Bornons-nous à quelques indications fondées sur des exemples. Puisque le triplet (2,3,4)
est platonicien, on a U , V et W dans K [t] non constants tels que U2 + V3 + 2WA = 0 . Posons:
Z = U2+W* (=-V3-W4) ; P=±KU6Z ; Q = -U6V ; R = U2W
Alors les polynômes P , Q et R sont non constants (on a Z ^ 0 car U2, V3 et W* sont deux à deux
tf-linéairement indépendants). Comme Z - WA = U2 et Z + WA = -V3 , on a Z2 - W* = -U2V3 , d'où
p2 + Q3 + ^6 = Q
alors que le triplet (2,3,8) n'est pas platonicien. Dans cet exemple, P , Q et R ne sont pas premiers
entre eux dans leur ensemble, et le pgcd dans N de 2 , 3 et 8 est 1 .
D'autre part, soit (m,nyp) un triplet d'entiers >2 (platonicien ou non); soit (P,Q,R) une solution
réduite non triviale de (1). Soit u le ppcm de m, n et p dans N. Alors pour tout polynôme non
constant D € K[t] , le triplet (D~ P,D$Q}Dr R) est solution non réduite de (1). Mais lorsque (m,n,p)
est platonicien, les solutions non réduites ne sont pas toutes obtenues de cette manière; par exemple,
soit U = 1 + t et V = -(1 + t + t2) . On a U3 + V3 + t2W = 0 , avec W = 3 + 6t + 6t2 + 3t3 + t4 .
En posant P = tW2 , Q = UW et R = VW , on a P2 + Q3 + R3 = 0, et il n'existe aucune solution
réduite (Pi,Qi,i?i) de l'équation de Halphen correspondant au triplet platonicien (2,3,3) telle que
(P)Q)R) = (D3P1)D2Q1,D2R1) avec DeK[t]\{0}.
En définitive, on voit que l'équation de Halphen (1), si l'on cherche des solutions non réduites, est
trop faible, i.e. admet beaucoup de solutions, dont la classification semble malaisée, et cela, que le
triplet (m, n,p) soit platonicien ou non. Dans [15], Halphen étudie son équation pour des triplets non
platoniciens, mais en introduisant des conditions restrictives particulières. Il est amené à chercher des
solutions non polynomiales; il obtient ainsi des résultats intéressants en cherchant des solutions dans des
corps de fonctions elliptiques. Nous ne pouvons ici que renvoyer à son mémoire. C'est vraiment dans le
cadre des solutions polynomiales réduites non triviales que cette équation est remarquable, puisqu'elle
aboutit à un parallélisme très esthétique avec la théorie des groupes polyédraux. C'est aussi dans ce
cadre qu'on obtiendrait des liens étroits, que nous n'avons pu développer dans cet ouvrage faute de place,
entre l'équation de Halphen et la théorie des polynômes invariants des groupes binaires polyédraux.
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INDEX DE NOTATIONS
ssi : si et seulement si
N : ensemble des entiers naturels
^J : ensemble des entiers naturels non nuls
2 : anneau des entiers rationnels
2 : ensemble des entiers rationnels non nuls
Q : corps des rationnels
Q+, Q>_ : ensemble des rationnels > 0 (resp. < 0 )
Q ,QI : groupe multiplicatif des rationnels non nuls (resp. > 0 )
IR : corps des réels
IR+, R+ : ensemble des réels > 0 (resp. < 0 )
R+ , R_ • ensemble des réels > 0 (resp. < 0 )
C : corps des complexes
C : groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls
OJ : groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 (cercle unité)
S : base des logarithmes népériens
X : nombre complexe de carré -1 et d'argument §
j : racine cubique de 1 dans C d'argument ^
^ : l'inclusion stricte
E\ F : la différence des ensembles E et F
[., .] ; [.,.[ ; J., •[ ; ]., -1 : intervalles dans Z
(fj : les nombes binômiaux ( a complexe, n entier naturel)
(ai)iei : la famille
{ai}i€l : l'ensemble image de l'application i •-» a,
f\ : la restriction de / à A
f\ : la corestriction de / à l'ensemble B
/Il : l'application induite par / sur la partie / -stable A
X : . . . produits cartésiens d'ensembles (éventuellement munis d'une structure), produits de nombres
/ : E ► F : / est un isomorphisme de E sur F (pour une certaine structure)
&/F '• l'objet quotient de l'objet E par le sous-objet F (pour une certaine structure)
X ~—► a : on spécialise x en o
pgcd ( , ) ppcm ( ) : le plus grand commun diviseur, le plus petit commun multiple
<j> : Fonction d'Euler sur N* ( <t>{m) est le nombre d'entiers naturels < m et premiers avec m )
3t(.), 9(.) I la partie réelle et la partie imaginaire (des nombres complexes)
Id, Id* : l'identité, l'identité de l'ensemble • (si cet ensemble est mentionné)
card ( . J : le cardinal
Max, Min, Sup, Inf : le maximum, le minimum, la borne supérieure, la borne inférieure
©m &E ■.... le groupe des permutations de degré n , le groupe des permutations de l'ensemble E
2tn,2lB: groupes alternés
Orb^r(a) ' orbite de a pour l'action du groupe G
UAiM(A) : le groupe des éléments inversibles de l'anneau A
Spec(A) : spectre (premier) de l'anneau commutatif A
Specmax(-<4) : spectre maximal de l'anneau commutatif A
DbTr(S1M) :moduledes iî-dérivations de S dans M (R— sous-anneau S et M = un 5-module)
Gal(£/F) : groupe de Galois de l'extension galoisienne E de F
[ 1? : .F J : degré de l'extension finie E du corps commutatif F
Homx(E) : l'algèbre des endomorphismes du K -espace vectoriel E
dim : la dimension
Ker ( ) : le noyau
Ini( ) : l'image
464 Index des notations
det : le déterminant
deg ( ) : le degré (d'un polynôme, d'une fraction rationnelle)
Deg(/) : degré absolu de la fraction rationnelle /
degtr^-(L) : degré de transcendance du corps L sur le corps K
K [ X ] , A [ S ] :. polynômes en X à coeff. dans K , A -algèbre engendrée par S (suivant contexte)
K (X ) : fractions rationnelles en A" à coefficients dans K
K [[ X ]] : séries formelles en A" à coefficients dans K
K((X)) : corps des séries formelles méromorphes sur le corps K en l'indéterminée X
Val : Valuation ordinaire des séries formelles méromorphes d'une variable
K [[X\,.. . , Xn ]] : séries formelles à coefficients dans K en les indéterminées Xi,..., Xn
Matb(u) : la matrice de l'endomorphisme u dans la base B
Matg^u) • la matrice de l'appplication linéaire u dans les bases B et C
Tr(u) : La trace de l'endomorphisme u (en dimension finie) ou d'une matrice carrée
TTq/a : La trace de la ,4-algèbre libre de dimension finie B
Nb/A : La norme de la ,4-algèbre libre de dimension finie B
Resul t : le résultant
Discrd : le discriminant réduit
K : la sphère de Riemann du corps K (obtenue en rajoutant à A" un élément oo/c )
SR/t(L) : . . . surface de Riemann du corps L de fonctions algébriques d'une variable sur K parfait
31l,F •' application de restriction et normalisation de 8Rk(L) sur SR/c(F)
DlV"(L/i^) : groupe des diviseurs du corps de fonctions algébriques d'une variable L sur K
Dgr(D) : degré du diviseur D
DlVpir(L//f ) : groupe des diviseurs principaux de L sur K
div(/) : le diviseur de la fonction algébrique /
e(v, w) : l'indice de ramification de la valuation discrète v sur la valuation discrète w
f (v, w) : le degré résiduel relatif de la valuation discrète v sur la valuation discrète w
dv : le degré résiduel absolu de la valuation discrète v
Ay : l'anneau de la valuation discrète v
K,v : le corps résiduel de la valuation discrète v
Raxcii/p : le diviseur de ramification de L sur F
Cv : le centre de la valuation discrète v
Ql/K '• Ie genre du corps de fonctions algébriques d'une variable L sur K
Q(C) : le genre de la courbe algébrique projective C (sur K algébriquement clos)
€Ik(L) : espace des différentielles du corps L sur K
fi(^(T) : espace des (0, informes différentielles de la surface de Riemann complexe T
fl (7") : espace des (1,0)-formes méromorphes de la surface de Riemann complexe T
Cl ° om(T) : espace des (1,0)-formes holomorphes de la surface de Riemann complexe T
PlT03 (V) : espace projectif issu de l'espace vectoriel V
PGIi/<'(Vr) : groupe projectif de l'espace vectoriel V (issu de OL/c(V) )
PSL/<-(V^) : groupe projectif spécial de l'espace vectoriel V (issu de SLk{Y) )
PGL(n, K) : autre notation pour POL*(Jfn)
PSL(n, K) : autre notation pour 98hK(Kn)
f(x) ► £ : la fonction / admet en a la limite l
x—>a
log(z) : ensemble des logarithmes du complexe non nul z
Log : détermination principale du logarithme
arg(z) : ensemble des arguments du complexe non nul z
Arg : détermination principale de l'argument
ni,0(^) '• groupe de Poincaré de l'espace topologique T au point a
Ind(7, f ) : indice du lacet 7 par rapport au point C » où C € C et £ non dans l'image de 7
R5 : rayon de convergence de la série formelle complexe (en une indéterminée) S
Dr : dans C , disque ouvert de centre 0 et de rayon r (où r € R+ )
INDEX D'AUTEURS CITES
Uindex indique la ou les pages où est cité J'auteur mentionné
Abhyankar 67,68,455,457
d'Alembert 281
Artin 144,145
Banach 304,305
Bezout 366,367,373,377,392,424
Borel 265,330
Cech 296
Chevalley 179
Dedekind 57
Dolbeault 285,305,307
Euler 370,373,402,441
Fermât 145
Frobenîus 1,24
Galois... 33,97,101,103,110,144,204,232,234,240,246,326,327,328,347,353,355,399,412,
431,439,441
Gauss 281
Green 286
Halphen 39,445,446,449,455,459
Hamilton 444
Hasse 173
Hée 394
Hesse 390,391,392,394,396
Hilbert 200, 363,376
Hurwitz 107,108,141,143,204,205,421,450,451,452,457
Jacobi 20
Klein 192,207,398,406,446
Kronecker 26
Krull 63
Lagrange 102,400
Lebesgue 221,223,245,265,285,286,287,288,330,339,340
Legendre 355
Leibniz 19
Leray 303
Liouville 87,158,253,259
'Luroth 36,54,83,88,107,109,399,421,431
Mac Lane 28
Nakayama 166
Nœther 182
Ostrowski 41
466 Index des notations
Picard 117
Poincaré 212,355,430
Puiseux 178
Rado 265
Riemann omniprésent
Roch (Riemann-Roch) 109,164,179,182,188,190,196,198,396
Schreier 144,145,346
Serre 173
Severi 33
Steinitz 7
Taylor 154,155,156,161,166,287,288,290,291,317,369,370
Torelli 430
Tychonoff 268
Van Kampen 218,244,338,339,345,346,347,349,351,352,353
Weierstrass 195,196,197,198,202,207,386,389,392,393,425,426,428
Weil 173,179,187
Zariski 108, 136, 176, 199
Zorn 4,7
INDEX ALPHABETIQUE
Adèle
anneau des -s 179
Adjointe
droite-d'un point d'inflexion 389
Algébrique
fonction 87
Anneau
local en un point (cas affine) 363
local en un point (cas projectif)... 368
d'une vaiuation 40
de vaiuation discrète 44
sous~de vaiuation discrète 48
de fractions d'un anneau intègre—63
Atlas
analytique 247
équivalents 248
Base
de transcendance 6
de transcendance pure 11
de transcendance séparante 23
Branchement
point de- 85
Canonique
classe 129
Carte
254
spéciale 275
couple de-s réduites 261
Centre
d'une vaiuation 40
(*,¥)-- 177
C-- 380
Cochaîne
291
(0,1)- -différentielle 297
(1,0)- -différentielle 308
Cocycle
291
Cohomologie
de Cech 296
Comaximaux
idéaux- 61
Complétion
associée à une vaiuation discrète.. 153
Composante irréductible
d'une hypersurface affine 363
d'une hypersurface projective 365
Cône
projetant 365
Conforme
groupe-direct 257
Contractile
espace toplogique- 213
Corps
de fonctions algébriques 13
de fonctions hyperelliptiques 90
hilbertien 353
régulier 40
Crochet
de deux dérivations 19
Décomposition
groupe de- 98
Degré
absolu d'une fraction rationnelle 33
de transcendance 9
d'un diviseur 117
résiduel absolu 83
résiduel relatif 83
topologique 262
Dénominateur
t-- 154
Dérivation
17
Développement
t- - de Taylor 155
Différentielle
forme-exacte 126
forme-rationnelle 125
forme-régulière 189
forme-de Weii 187
(0,l)-forme- 298
(1,0)-forme- 308
Discriminant
d'un polynôme 74
réduit 74
idéal-d'une algèbre 76
Diviseur
117
de ramification 143
des pôles 117
des zéros 117
principal 117
Échange
théorème d'- de Steinitz 7
Équiharmonique
birapport- 399
cubique- 387
Espace
projectif 357
topoiog-ique simplement connexe.. 210
Évitement
d'idéaux premiers 168
Extension
d'Artin-Schreier 144
de type fini 3
ramifiée 85
-s linéairement disjointes 110
transcendante pure 11
468
Index alphabétique
Fonctions algébriques
87
corps de- 13
Fonction rationnelle
sur une hypersurface affine 364
sur une hypersurface projective... 367
Générateur local
349
Genre
129
d'une courbe algébrique 379
topologique 319
Groupe
de décomposition 98
d'inertie 98
fondamentai 212
Harmonique
birapport- 399
cubique- 387
Hesslenne
371
Homographie
58,357
Homotopie
209
équivalence d'- 214
Hyperelliptique
corps de fonctions-s 90
Hyperplan
tangent 369
Hypersurface
algébrique affine 363
algébrique projective 365
Indice
de ramification 40
d'un couple de sous-espaces 181
d'un lacet 347
Inductive
limite-d'espaces vectoriels 294
Inertie
groupe d'- 98
Inflexion
point d'- 372
Invariant
de formes cubiques ternaires 200
modulaire 197,386,425
primitif 431
Localisé d'un anneau intègre
suivant une partie multiplicative ... 64
Linéairement disjointes '
extensions- 110
Limite
inductive d'espaces vectoriels 294
Modèle
K- 141
projective 149
Modulaire
invariant- 197,386,425
Monodromie
action de- 105,235
groupe de 237
Mot
333
Multiplicité
d'intersection 367
d'un point d'une hypersurface 369,370
d'un zéro ou d'un pôle 87,128
Numérateur
t- 54
Paramètre
de Legendre 355
de Weierstrass 355
iocai 82
Paramétrisation
iocaie 175
Partition
de l'unité 283
Platonicien
triplet- 449
Pôle
d'une droite de points d'inflexion . 389
d'une fonction algébrique 87
d'une fonction rationnelle 379
Primitif
invariant- 401
plongement- 174
Produit
fibre de revêtements 227
libre de groupes 337
Projectif
espace 357
modèle 176
Projective
limite- 149
sous-variété linéaire- 358
Projetant
cône- 365
sous-espace- 358
Ramification
formule de- 84
indice de- 40
simple 107
Ramifiée
extension- 85
Rationnel
point-d'une surface de Riemann... 115
Régulier
corps- 13
point-d'une hypersurface 369,370
Relèvement
221
Répartition
anneau des- 179
Index alphabétique
469
Résiduel
corps-d'une valuation 40
degré-absolu 83
degré-relatif 83
Résidu
d'une forme différentielle 162
théorème des-s algébrique 172
Rétracte
par déformation 216
Résultant
de deux polynômes 74
de plusieurs polynômes 376
Revêtement
218
analytique 325
galoisien 232
ramifié 262
universel 240
Riemann
sphère de- 58,252
surface de- 50
surface de-complexe 251
surf de-définie par un polynôme... 92
théorème de- 184,315
Riemann-Hurwltz
théorème de- 143
théorème de-dans le cas galoisien . 204
Riemann-Roch
théorème de- 188
Section
221
Singulier
point-d'une hypersurface 369,370
Sphère de Riemann
58,252
Surface de Riemann
50
algébrique 267
complexe 251
définie par un polynôme 92
elliptique 327
hyperbolique 327
parabolique 327,424
quotient 327
sous- 251
Support
d'un diviseur 117
Tangent
hyperplan- 369
Transcendance
base de 6
Ultramétrique
inégalité triangulaire- 39
Uniformisante
44
Valuation
39
anneau d'une- 40
au-dessus d'un corps 43
discrète 40
anneau de-discrète 44
discrète normalisée 40
sous-anneau de-discrète 48
triviale 39
-s équivalentes 39
Variable
50
séparante 125