Теория суперструн. Том 2. Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология - Шварц Дж., Виттен Э., Грин М.

Author: Шварц Дж. Виттен Э. Грин М.

Tags: физика математическая физика монография

Year: 1990

Similar

Введение в теорию суперструн

Аномалии и теория струн

Теория суперструн Т.1. Введение

Геометрические идеи в физике.

Text

М.Грин, Дж.Шварц, Э.Виттен
ТЕОРИЯ СУПЕРСТРУН:
ТОМ 2. ПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ, АНОМАЛИИ И ФЕНОМЕНОЛОГИЯ
М.:Мир, 1990.— 656 с.
Второй том двухтомной монографии известных специалистов (Англия, США),
посвященной наиболее передовой области современной математической физики.
Теория суперструн — это синтез глубоких идей теоретической физики и ряда
разделов современной математики. В ней частью решены, частью намечены пути
решения фундаментальных задач единой теории элементарных частиц и
гравитации. Материал тщательно отобран и включает наряду с теоретическими
результатами обсуждение экспериментальных данных.
Для математиков и физиков разных специальностей, аспирантов и студентов
университетов; может служить введением в теорию суперструн для
неспециалистов.
Оглавление
Предисловие 5
Глава 8. Одпопстлсвыс диаграммы в теории бозонных струн 7
8.1. Однопетлевые амплитуды для открытых струн 9
8.1.1. Пленарные диаграммы 14
8.1.2. Неориентируемые диаграммы 34
8.1.3. Непланарные петлевые диаграммы 3 9
8.2. Однопетлевые амплитуды для замкнутых струн 45
8.2.1. Тор 46
8.2.2. Модулярная инвариантность 53
8.2.3. Область интегрирования 57
8.2.4. Анализ расходимостей 59
8.2.5. Космологическая постоянная 63
8.2.6. Амплитуды с безмассовыми состояниями замкнутой струны 66
8.3. Другие типы диаграмм для неориентированных струн 67
8.3.1. Древесные диаграммы более высокого порядка 67
8.3.2. Вещественная проективная плоскость 72
8.3.3. Другие петлевые диаграммы 75
8.4. Резюме 77
Приложение 8.А. Э-функции Якоби 78
Глава 9. Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 84
9.1. Амплитуды для открытых суперструн 85
9.1.1. Амплитуды с М < 4 безмассовыми внешними состояниями 87
9.1.2. Пленарные диаграммы 89
9.1.3. Неориентируемые диаграммы 95
9.1.4. Ориентируемые непланарные диаграммы 97
9.2. Теории типа II 99
9.2.1. Конечность тороидальной амплитуды 101
9.2.2. Компактификация на тор 105
9.2.3. Низкоэнергетический предел однопетлевых амплитуд 109

9.3. Теория гетеротических струн 114
9.3.1. Тор с четырьмя внешними частицами 115
9.3.2. Модулярная инвариантность EsxEs и 50C2) -теорий 120
9.4. Вычисления в RNS-формализме 124
9.4.1. Модулярная инвариантность и GSO-проекция 125
9.4.2. Петлевые вычисления 130
9.5. Орбифолды и струны с твистами 132
9.5.1. Обобщение GSO-проекции 132
9.5.2. Струны на орбифолдах 134
9.5.3. Струны с твистами в десяти измерениях 140
9.5.4. Альтернативный взгляд на SO A6) + 50A6) -теорию 145
9.6. Резюме 148
Приложение 9.А. Следы по фермиошшм модам 149
Приложение 9.Б. Модулярная инвариантность функций Fi и <? 152
Глава 10. Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 155
10.1. Введение в аномалии 158
10.1.1. Аномалии в полевой теории точечных частиц 158
10.1.2. Калибровочная аномалия в D = 10-суперсимметричной теории 161
Янга — Миллса
10.1.3. Аномалии в теории суперструн 165
10.2. Анализ шестиугольных диаграмм 167
10.2.1. Аномалия пленарной диаграммы 170
10.2.2. Аномалия неориентируемой диаграммы 180
10.2.3. Отсутствие аномалий в непланарных диаграммах 182
10.3. Другие однопетлевые аномалии в теории суперстурн 184
10.4. Сокращение расходимостей для групп 50C2) 185
10.4.1. Дилатонные головастики и петлевые расходимости 186
10.4.2. Сокращение расходимостей 188
10.5. Резюме 190
Приложение 10. А. Альтернативная регуляризация 190
Глава 11. Функциональные методы в калибровке светового конуса 196
11.1. Струнный интеграл по мировым поверхностям 197
11.1.1. Аналоговая модель 197
11.1.2. Пропагатор свободной струны 199
11.1.3. Решеточное обрезание 202
11.1.4. Континуальный предел 206
11.2. Вычисление амплитуд 209
11.2.1. Вершины взаимодействия 209
11.2.2. Параметризация процессов рассеяния 213
11.2.3. Вычисление функционального интеграла 215
11.2.4. Амплитуды с внешними основными состояниями 220
11.3. Древесные амплитуды для открытых струн 222
11.3.1. Конформное отображение 223

11.3.2. Вычисление амплитуд 228
11.4. Древесные диаграммы открытых струн с возбужденными внешними 232
состояниями
11.4.1. Функция Грина на бесконечной полосе 233
11.4.2. Функции Грина для произвольных древесных амплитуд 234
11.4.3. Амплитуда в осцилляторных переменных 236
11.4.4. Общий вид коэффициентов Неймана 238
11.4.5. Коэффициенты Неймана для кубической вершины открытых 239
струн
11.5. Однопетлевые амплитуды открытых струн 242
11.5.1. Конформное отображение планарной петлевой диаграммы 242
11.5.2. Функция Грина 245
11.5.3. Пленарная однопетлевая амплитуда 246
11.5.4. Другие однопетлевые амплитуды 247
11.6. Амплитуды замкнутых струн 249
11.6.1. Древесные амплитуды 249
11.6.2. Однопетлевые амплитуды замкнутых струн 251
11.7. Суперструны 255
11.7.1. SUD) X С/A)-формализм 255
11.7.2. Суперпуанкаре-генераторы 259
11.7.3. Алгебра суперсимметрии в теории с взаимодействием 264
11.7.4. Дельта-функционал непрерывности 267
11.7.5. Сингулярные операторы вблизи точки взаимодействия 268
11.7.6. Члены взаимодействия 271
11.7.7. Древесные амплитуды открытых суперструн 274
11.8. Резюме 276
Приложение 11 .А. Детерминант лапласиана 277
Приложение 11.Б. Якобиан конформного отображения 286
Приложение 11.В. Свойства функций/„ 288
Приложение 11 .Г. Свойства SUD) -коэффициентов Клебша — Гордана 289
Глава 12. Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 291
12.1. Спиноры в общей теории относительности 291
12.2. Спинорные структуры на мировой поверхности 298
12.3. Топологически нетривиальные калибровочные поля 302
12.3.1. Касательное расслоение 302
12.3.2. Калибровочные поля и векторные расслоения 3 04
12.4. Дифференциальные формы 309
12.5. Характеристические классы 322
12.5.1. Неабелев случай 324
12.5.2. Характеристические классы многообразий 327
12.5.3. Эйлерова характеристика римановой поверхности 328
Глава 13. Низкоэнергетическое эффективное действие 331
13.1. Минимальная супергравитация плюс суперсимметричная теория Янга 333
— Миллса

13.1.1. N = 1 -супергравитация в десяти и одиннадцати измерениях 335
13.1.2. Супергравитация типа ИВ 339
13.1.3. Взаимодействующая система супергравитации и 347
суперсимметричной теории Янга — Миллса
13.2. Масштабная инвариантность классической теории 352
13.3. Анализ аномалий 357
13.3.1. Структура аномалий в теории поля 360
13.3.2. Гравитационные аномалии 362
13.3.3. Смешанные аномалии 365
13.3.4. Аномальные диаграммы Фейнмана 367
13.3.5. Математическое описание аномалий 370
13.3.6. Аномалии других типов 374
13.4. Явные формулы для аномалий 375
13.5. Сокращение аномалий 380
13.5.1. Супергравитация типа I без материи 380
13.5.2. Супергравитация типа IIB 381
13.5.3. Разрешенные калибровочные группы для N= 1 -теорий 381
суперструн
13.5.4. 50A6) X 50A6) -теория 387
Глава 14. Компактификация высших измерений 391
14.1. Волновые операторы в десяти измерениях 391
14.1.1. Безмассовые поля в десяти измерениях 392
14.1.2. Нулевые моды волновых операторов 394
14.2. Безмассовые фермионы 396
14.2.1. Индекс оператора Дирака 398
14.2.2. Учет калибровочных полей 401
14.2.3. Киральная асимметрия 403
14.2.4. Оператор Рариты — Швингера 405
14.2.5. Дальнейшие замечания 405
14.3. Нулевые моды антисимметричных тензорных полей 406
14.3.1. Антисимметричные тензорные поля 409
14.3.2. Применение к аксиомам в N= 1 -теории суперструн 410
14.3.3. «Ненулевые моды» 416
14.3.4. Внешняя производная и оператор Дирака 418
14.4. Теоремы об индексе на мировом листе струны 423
14.4.1. Индекс Дирака 424
14.4.2. Эйлерова характеристика 426
14.4.3. Нулевые моды конформных духов 427
14.4.4. Нулевые моды суперконформных духов 428
14.5. Нулевые моды нелинейных полей 429
14.6. Модели квантовых чисел фермионов 438
14.7. Сокращение аномалий в четырех измерениях 443
Глава 15. Некоторые сведения по алгебраической геометрии 447
15.1. Низкоэнергетическая суперсимметрия 448

15.1.1. Мотивировка 448
15.1.2. Условия ненарушенной суперсимметрии 450
15.1.3. Многообразия с группой голономии SUC) 453
15.2. Комплексные многообразия 455
15.2.1. Почти комплексные структуры 456
15.2.2. Тензор Нёйенхёйса 457
15.2.3. Примеры комплексных многообразий 461
15.3. Кэлеровы многообразия 467
15.3.1. Кэлерова метрика 468
15.3.2. Внешние производные 469
15.3.3. Аффинная связность и тензор Римана 470
15.3.4. Примеры кэлеровых многообразий 473
15.4. Риччи-плоские кэлеровы многообразия с группой голономии SU(N) 476
15.4.1. Метрика Калаби — Яу 477
15.4.2. Ковариантно постоянные формы 480
15.4.3. Некоторые многообразия с 5С/G\/)-голономией 481
15.5. Волновые операторы на кэлеровых многообразиях 484
15.5.1. Оператор Дирака 484
15.5.2. Когомологии Дольбо 487
15.5.3. Разложение Ходжа 489
15.5.4. Числа Ходжа 492
15.6. Уравнения Янга — Миллса и голоморфные векторные расслоения 494
15.6.1. Голоморфные векторные расслоения 495
15.6.2. Уравнение Дональдсона — Уленбек — Яу 497
15.6.3. Примеры 499
15.7. Когомологии Дольбо и некоторые приложения 507
15.7.1. Нулевые моды оператора Дирака 509
15.7.2. Деформации комплексных многообразий 511
15.7.3. Деформации голоморфных векторных расслоений 513
15.8. Разветвленные накрытия комплексных многообразий 515
Глава 16. Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 518
16.1. Один простой анзац 518
16.2. Спектр безмассовых частиц 524
16.2.1. Нулевые моды заряженных полей 525
16.2.2. Флуктуации гравитационного поля 528
16.2.3. Другие бозонные поля 531
16.3. Нарушение симметрии с помощью петель Вильсона 531
16.3.1. Варианты нарушения симметрии 533
16.3.2. Модель с четырьмя поколениями 537
16.4 Связь с обычными моделями великого объединения 542
16.4.1. Альтернативное описание нарушения симметрии 542
16.4.2. ^-соотношения между константами взаимодействия 543
16.4.3. Подсчет безмассовых частиц 547
16.4.4. Дробные электрические заряды 554

16.4.5. Обсуждение 558
16.5. Глобальные симметрии 559
16.5.1. Сохранение СР-инвариантности в суперструнных моделях 560
16.5.2. ^-преобразования в суперструнных моделях 561
16.5.3. Глобальные симметрии упрощенной модели 562
16.5.4. Законы преобразований полей материи 568
16.6. Топологические формулы для юкавских констант связи 570
16.6.1. Топологическая формула для суперпотенциала 572
16.6.2. Кинетические члены 578
16.6.3. Теорема о неперенормировке и ее следствия 579
16.6.4. Приложения к упрощенной модели 584
16.7. Другой подход к нарушению симметрии 586
16.8. Обсуждение 594
16.9. Перенормировка констант связи 598
16.10. Орбифолды и алгебраическая геометрия 602
16.11. Дальнейшие замечания 605
Библиография 607
Литература 617
Полевая теория струн 639
Литература 640
Предметный указатель 648
Предметный указатель
Аксионы 410—414 второго ранга 183
Аналоговая модель 197 Атъи—Зингера теорема 401, 422
Аномалии Адлера — Белла — Бетти числа 313,317, 427
Джакива 156 Бианки тождества 311, 451
— в теории суперструн 165—167 Бранса—Дакке скалярное поле 356
— глобальные 55, 158 Векторные расслоения 304
— гравитационные 184, 362—365 голоморфные 494—497
— калибровочные 160 U{\) 322
— неориентируемой диаграммы 180 Великое объединение 542—559
— планарной диаграммы 170 Вершинный оператор 14—16
— полевая теория 15 8—161 Вершины взаимодействия 209
— смешанные 365, 478 Вильсона петли 533, 543
— сокращение 366, 380 Внешняя производная 418
50A6) X 5ОA6)-теория 387, Волновые операторы 391
390 Гамильтониан 201, 203, 262
супергравитация типа I 380 Гаусса—Бонне—Черна теорема 422
II 381 Гауссов интеграл 20
— условие Весса—Зумино 371, 373 Гетеротические струны 114
Аномальные диаграммы Фейнмана Глобальные симметрии 559—570
367 Голоморфная функция 460
Антисимметричные тензорные поля Голоморфные координаты 457
407 Голономия 453, 476

Гомотопия 307
Гравитационное поле 528—531
Гравитино 450
Гравитон 431
Грина функция 23, 70, 74, 205, 245
Группа диффеоморфизмов 53
GSO-проекция 125—134
— обобщение 132—134
Действие в ОТО 352
с фермионами 353
— низкоэнергетическое эффективное
331
— обобщенное Максвелла 312
Дельта-функционал 267
де Рама теорема 314
Дилатино 450
— нарушение суперсимметрии 352
Дилатон 29, 31,450
Дилатонные головастики 185
Дирака индекс 398—403, 424—426,
548
— монополь 425
— оператор 398, 418, 424
— уравнение 424
Дифференциальные формы 309—322
гармонические 317
как безмассовые поля 393
Дольбо космологии 487, 507
— операторы 469
Доналъдсона—Уленбек—Яу
уравнение 497
Древесные амплитуды 67, 222, 232,
249
Дробные электрические заряды 554
Духи 21
Иерархии проблема 356, 397
Инстантон 308
Инстантонное число 325
Интеграл по импульсу 19, 50
траектории 197
Калаби—Яу метрика 477
Калибровочные поля 302—309
— функции 306
Калуцы—Клейна теория 431, 435
Касательное пространство 293
— расслоение 302—304
голоморфное 500
Квантование электрического заряда
554
Квантовая теория гравитации 64
Квинтика 467, 524
Киплинга векторы 432
— уравнение 431
Киральная асимметрия 397, 403
Киральность в 4& + 2 измерениях 159
10 измерениях 398
Ковариантная производная 293
Когомологии де Рама 314, 490
—Дольбо 487^89
число Ходока 492
— разложение Ходжа 489
Кольцо когомологии 318
Компактификация 105—109
— калибровочные симметрии 433
— на орбифолд 139
тор 105
— появление модулей 436
Комплексная структура 459
Комплексное проективное
пространство 463, 473
гиперповерхности 465
метрика 473
Комплексные многообразия 455—
467
деформации 511—513
разветвленные накрытия 515
Константа связи гравитационная 228,
350
Янга—Миллса 111
Конформная инвариантность 26
нарушение 173
Конформное отображение 223, 285
якобиан 286
Корреляционная функция 23, 33
Космологическая постоянная 63—66,
356, 571
Кросс-канал 31
Кэлеров потенциал 470

Кэлерова метрика 468
— форма 455
Кэлеровы многообразия 467—476
аффинная связность 470
оператор Дирака 484
риччи-плоские 476
тензор Римана 471
Кюннета формула 320
Лапласиан 277, 316
— вычисление детерминанта 277
— Лихнеровича 530
—Ходока—де Рама 316
Лист Мёбиуса 13, 34, 38, 95
Лиувиллевские моды 44
Лоренца генераторы 263
— преобразование 165, 293
Лоренц-инвариантность 165
Магнитные монополи 307, 312
Масштабная инвариантность 352—
355
Метод когерентных состояний 19
Многообразия замкнутые 314
— комплексные 455—467
— кэлеровы 467
— параллелизуемые 296
— римановы 462
— с группой голономии 51/C) 453
SU(N) 48\
— характеристические классы 327
Модулярная группа 47, 55, 57
генераторы 55
фундаментальная 57
— инвариантность 53—57, 120, 125,
152
Модулярные преобразования 54, 80'
Нарушение симметрии 531—539
— четности 155—157
Нёйенхёйса тензор 457
Неймана коэффициенты 238—240
Нелинейная сигма-модель 343, 415
Неориентируемые диаграммы 34—
39,. 95
— поверхности 13
Неперенормировки теорема 579
Непланарные диаграммы 13
Нулевые моды 149, 394, 405
— операторы Дирака 509
Мьюлендера—Ниренберга теорема
462
Однопетлевые амплитуды 9—154
для замкнутых струн 45—66
открытых струн 9—44
неориентируемые диаграммы
34
пленарные диаграммы 14
Оператор внешнего
дифференцирования 309
— твиста 34
— эволюции 28
Параллельный перенос 453, 472
Паули—Вилларса метод 171
Перенормировка 59, 208
Печея—Куинна симметрия 414
Пленарные диаграммы 13—21, 89
Понтрягина класс 324—328
— числа 327
Почти комплексные структуры 456
Проективная плоскость 72
Пропагатор открытой бозонной
струны 14
вклад духов 20
— с твистом 35
— свободной струны 199
— фермионный 166
Пуанкаре дуальность 319
— лемма 311
Пуассона формула 81
Разложение по нормальным модам
108
на решетке 203
Рариты—Швингера оператор 405
поле 394, 405
Распад протона 545, 552, 570
Расходимости 59
Регуляризация 160
— метод Паули—Вилларса 171
— планарной диаграммы 171
Решеточное обрезание 202

Римана—Роха теорема 493
Римановы поверхности 7, 328, 462,
499
RNS-формализм 124—132
7?-симметрия 562
Сингулярность 23, 24, 58, 98
— нормальная пороговая 24
SLB, Z) группа 54, 55
50A6) группа 141
50A6) X 50A6) группа 142—145,
149
— теория 145—148
Сокращение расходимостей 188
СР-инвариантность 369, 560
Спиновая связность 293—295, 521
Спинорные структуры 298—301
GSO-проекция 300
Спиноры 291
Стокса теорема 314
Струны с твистами 140—145
Супергравитация 333—351, 380
Суперзаряд 259—262
Суперпотенциал 571—575
Суперпуанкаре-генераторы 259
Суперсимметрия 262, 264—266, 448
— нарушение 352, 450
Тахион 31
Тейхмюллера параметры 463
Тетрада 293—295
Тор 46—52, 105, 115
Ультрафиолетовые расходимости
25—27, 62
Унитарность 9—11, 24
Флуктуации гравитационного поля
528
Фубини—Штуди метрика 474
Функциональный интеграл 215—219
?1/D) X С/A)-формализм 255—
258
Характеристические классы 322
неабелев случай 324
Хиггса поля 393, 542
Хиггсов дубяет 448
Хиггсовы бозоны 404
Хирцбруха сигнатура 421
Ходока разложение 489—492
— числа 492, 493
Чана—Патона множитель 167
Черна классы 322—326
для 5?/(Л/)-голономии 477
Саймонса форма 324, 328, 372
янг-миллсова и лоренцева
412
Шапиро—Вирасоро модель 251
Шварца-Кристоффеля
преобразование 224
Шестиугольные диаграммы 167
Эйлера класс 326—328
Эйлерова характеристика 327—
329,.422, 493
кэлерова многообразия 493
Эффективное действие 331—389
Юкавские взаимодействия 318, 568
Якоби функции 78
Якобиан 286, 287
Янга—Миллса уравнения 494—499

Предисловие
В последние годы произошло возрождение интереса к теории
струн, которая являлась источником вдохновения с момента
своего появления около двадцати лет назад. По-видимому, су-
существует большая потребность в систематическом изложении
современного состояния теории струн учебного характера. Мы
надеемся, что настоящая монография поможет удовлетворить
эту потребность. Дать исчерпывающий обзор такой широкой
области, как теория струн, едва ли возможно даже в двух то-
томах, до которых выросла наша монография. Мы вынуждены
были опустить много важных вопросов, в то время как часть
материала изложена очень кратко. Например, полностью опу-
опущена полевая теория струн (хотя содержание гл. 11 имеет не-
непосредственное отношение к полевой теории струн в калибровке
светового конуса). Не развита систематически конформная по-
полевая теория, хотя много подготовительного материала, необхо-
необходимого для чтения современных статей на эту тему, представ-
представлено в гл. 3 и других местах. Обсуждение распространения
струн в фоновых полях ограничено бозонными струнами, а мно-
многопетлевые диаграммы обсуждаются только в очень общем и
элементарном виде. Имеющиеся пробелы в изложении являются
проявлением человеческой слабости и желания не выходить зна-
значительно в общем объеме двух томов за 1000 страниц.
Мы надеемся, что эти два тома будут полезны широкому
кругу читателей — от тех, кем движет в основном любопытство,
до тех, кто в действительности хочет вести исследования по тео-
теории струн. Предполагалось, что первый том будет самостоя-
самостоятельным. В нем дано.исчерпывающее введение в основные идеи
теории струн, предполагающее предварительное знакомство
с физикой частиц и квантовой теорией поля. Во втором томе
рассматриваются более глубокие вопросы, включая изучение
однопетлевых амплитуд, эффективную полевую теорию при низ-
низких энергиях и аномалии. Здесь же приведены необходимые ма-
математические сведения из дифференциальной и алгебраической

Предисловие
геометрии, а также возможное приложение теории к феномено-
феноменологии частиц.
Мы считаем, что два тома настоящей монографии должны
удовлетворить требованиям, предъявляемым к углубленным
учебникам для аспирантов. Объем материала, возможно, не-
несколько превышает одногодичный курс. При этом лектору
предоставляется приятная возможность осветить те вопросы, ко-
которые он сочтет наиболее важными, и опустить остальной ма-
материал. Несмотря на все наши усилия, в тексте неизбежно со-
содержится большое число опечаток, неудачных обозначений и
других ошибок. Мы будем благодарны за все сообщения о до-
допущенных ошибках и исправим их в будущих изданиях.
Несколько человек оказали нам большую помощь, и мы
рады выразить им свою признательность. Кайл Гэри искусно и
старательно набрала значительную часть текста, а также помог-
помогла оформить текст в соответствии с требованиями издательства
Кембридж Юниверсити Пресс с помощью издательского пакета
программ ТЕХ, который мы использовали. Марк Горофф исполь-
использовал все свое знание вычислительной техники для решения
массы проблем, возникших в процессе работы. В работе с
компьютерами нам оказали также помощь Пол Киберд и Вадим
Каплуновски. Патриция Мойл Шварц составила предметный
указатель и сделала ряд полезных замечаний по тексту рукописи.
Харви Ньюман установил компьютерную связь между Пасаде-
Пасаденой, Принстоном и Лондоном, позволившую нам обмениваться
файлами с текстом. Джудит Уолрич помогла составить библио-
библиографию. Чедомир, Крнкович, Чиара Наппи, Райен Ром и Ларри
Ромэнс высказали критические замечания и предложения, по-
позволившие улучшить текст.
Посвящаем монографию нашим родителям.
1986 Майкл В. Грин
Джон Г. Шварц
Эдвард Виттек

8. Однопетлевые диаграммы
в теории бозонных струн
Обсуждения струнных амплитуд рассеяния в первом томе
настоящей монографии были ограничены древесными диаграм-
диаграммами. Они представляют собой приближения низшего порядка
к струнным амплитудам рассеяния. В принципе квантовые по-
поправки к древесным диаграммам или классическим результатам
должны быть получены из полевой теории струн при разложе-
разложении в ряд по теории возмущений. Но современный уровень на-
наших знаний не позволяет это сделать1). Исторически петлевые
диаграммы были построены из древесных посредством исполь-
использования условия унитарности. Эта унитаризация привела со вре-
временем к топологическому разложению, что кратко описано
в гл. 1.
Как было объяснено в гл. 1 и 7 (т. 1), древесные амплитуды
для струнных состояний на массовой оболочке можно пред-
представить с помощью функциональных интегралов по римановым
поверхностям, которые топологически эквивалентны диску (для
открытых струн) или сфере (для замкнутых струн). Поправки
более высокого порядка отождествляются с функциональными
интегралами по поверхностям более высокого рода. Важным
элементом при вычислении амплитуд рассеяния является корре-
корреляционная функция вершинных операторов, соответствующая
внешним частицам, испущенным с поверхности. Возможные то-
топологии мировой поверхности включают поверхности с вырезан-
вырезанными дырами, или «окнами» (для теорий типа I, где поверх-
поверхности имеют границы), или с присоединенными «ручками». Для
теорий с ориентированными струнами поверхности должны быть
ориентируемыми. Подобным образом для теорий, содержащих
только замкнутые струны, поверхности должны быть замкнуты.
По мере возрастания рода поверхности степень соответствую-
соответствующей константы связи также возрастает. Например, добавление
ручки к поверхности эквивалентно добавлению петли замкну-
замкнутых струн (как показано на рис. 8.1) и увеличивает порядок
диаграммы на множитель к2, где к — гравитационная константа
') В последние годы достигнут существенный прогресс в полевой теории
¦струн, см. литературу, добавленную при переводе.—Прим. ред.

8
Глава 8
связи. Вырезание окна в поверхности (что возможно только-
в теориях, которые содержат открытые струны) добавляет гра-
границу и, следовательно, увеличивает число внутренних открытых
струн (рис. 8.2,а). Порядок диаграммы увеличивается на g2 ~ к
для каждого окна, где g — янг-миллсовская константа связи.
Но присутствие окна не всег-
всегда соответствует добавлению
петли открытых струн. Напри-
Например, вырезание окна в сфере
является модификацией дре-
древесной амплитуды для замкну-
замкнутой струны (типа I), что при-
приводит к мировой поверхности,
топологически эквивалентной
диску с внешними частицами
из спектра замкнутой струны,,
которые присоединены к вну-
внутренним точкам поверхности
(рис. 8.2,6). Теория супер-
суперструн типа I основана на не-
неориентированных открытых и замкнутых струнах и поэтому
включает также неориентируемые поверхности.
Несомненно, эта топологическая классификация диаграмм
в теориях струн разительно отличается от классификации диа-
Рис. 8.1. Ручка, присоединенная к
мировой поверхности произвольной
топологии.
а б
Рис. 8.2. а — вырезание окна в мировой поверхности добавляет границу, что»
увеличивает число внутренних пропагаторов открытых струн; б — вырезание
окна в сферической мировой поверхности приводит к диаграмме, которая
топологически эквивалентна диску.
грамм Фейнмана в теории поля точечных частиц. В теориях
струн присутствует гораздо меньше диаграмм, которые необхо-
необходимо учитывать в каждом порядке теории возмущений, и не су-
существует содержательного разделения диаграмм на «голова-
«головастики», массовые вставки, вершинные поправки и т. д. На одно-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 9
петлевом уровне анализ интегралов по мировым поверхностям
легко проводится. Действительно, однопетлевые диаграммы
можно получить теми же операторными методами, которые мы
использовали для древесных диаграмм в гл. 7. За однопетлевым
уровнем анализ интегралов по мировым поверхностям включает
до некоторой степени изощренную математику, которую мы не
будем использовать в этой книге1).
В бозонной теории вычисления, основанные на ковариант-
ном операторном формализме, требуют тех же математических
приемов, что и вычисления, возникающие в калибровке свето-
светового конуса, по крайней мере в том случае, когда берутся такие
внешние состояния на массовой оболочке, которые обладают
исчезающими р+-компонентами импульса. При учете лоренц-
инвариантности амплитуды для внешних частиц, импульсы ко-
которых ограничены таким образом, полностью определяют об-
обсуждаемые амплитуды, если внешних состояний не очень много.
Несмотря на то что в большей части данной главы мы исполь-
используем ковариантный метод, очень похожая техника вычислений
применяется в задачах этого типа при использовании калиб-
калибровки светового конуса.
8.1. Однопетлевые амплитуды для открытых струн
В теориях точечных частиц однопетлевые диаграммы можно
выразить через древесные диаграммы с помощью условия уни-
унитарности без использования аппарата вторично квантованной
теории поля. Унитарность требует, чтобы амплитуды рассеяния
обладали подходящими линиями разреза как функции от ло-
ренц-инвариантных величин, построенных из внешних импуль-
импульсов. Эти разрезы возникают от тех областей импульсного про-
пространства, в которых промежуточные состояния находятся на
массовых оболочках. Например, на рис. 8.3, а представлено
уравнение унитарности для амплитуды с М входящими и N вы-
выходящими частицами. Заданный набор Р промежуточных физи-
физических состояний на массовой оболочке дает вклад в скачок на
линии разреза, величина которого пропорциональна произведе-
произведению амплитуды перехода частиц М-*-/3 на амплитуду перехода
P-*-N, проинтегрированному по разрешенной области фазового
пространства промежуточных частиц.
При разложении в степенные ряды по константе связи это
нелинейное уравнение связывает скачок однопетлевой ампли-
амплитуды с произведением двух древесных амплитуд. В этом случае,
изображенном на рис. 8.3, б, число промежуточных состояний Р
') См. литературу, добавленную при переводе.—Прим. ред.

10
Глава 8
равно двум. В частности, форма однопетлевой амплитуды, вклю-
включая ее нормировку, определяется через древесные диаграммы
с точностью до произвольной целой функции от этих инвариан-
инвариантов. В случае обычной теории поля эта произвольная целая функ-
функция соответствует произволу, связанному с процедурой перенор-
перенормировки. В калибровочно-инвариантных теориях поля необхо-
необходимо также избежать включения в петлевые диаграммы вкла-
вкладов от времениподобных или продольно-поляризованных кали-
калибровочных бозонов. Эти вклады можно устранить посредством
перехода к калибровке светового конуса или к унитарной кали-
калибровке или же их можно компенсировать введением духов Фад-
деева — Попова.
м+\
Скачок
\
Скачок
у
\
\
\
Рис. 8.3. а — унитарность приравнивает скачок амплитуды рассеяния (с М
входящими и N выходящими частицами) на пороговом разрезе (благодаря Р
промежуточным состояниям) произведению амплитуд рассеяния М -+• Р я
P-+N, проинтегрированному по фазовому пространству промежуточных со-
состояний; б — в одной петле унитарность связывает скачок петлевой диаграм-
диаграммы с интегралом от произведения двух древесных диаграмм по фазовому
пространству промежуточных двухчастичных состояний на массовой обо-
оболочке.
Аналогичные соображения применимы к построению одно-
петлевых амплитуд из древесных диаграмм в струнных теориях.
В этом случае требование реджевского поведения при больших
энергиях устраняет неопределенность, существующую в полевой
теории. Реджевское поведение требует исчезновения амплитуды
в определенных асимптотических режимах, причем добавление-
целой функции от импульсов к однопетлевым диаграммам неиз-
неизбежно нарушает это свойство.
Например, древесная диаграмма на рис. 8.4 иллюстрирует

• Однопет левые диаграммы а теории бозонных струн 11
взаимодействие Р -\- М -\- Q состояний открытой струны на мас-
массовой оболочке. Как показано на этом рисунке, ее можно фак-
торизовать таким образом, чтобы она имела вид амплитуды,
связывающей произвольную пару «возбужденных» состояний
с М состояниями на массовой оболочке. Не учитывая пока при-
присутствие нефизических состояний, однопетлевую амплитуду
можно получить путем сшивания возбужденных состояний, т. е.
посредством вставки пропагатора между начальным и конечным
возбужденными состояниями и суммирования по всем возмож-
возможным состояниям вместе с интегрированием по их импульсам.
В полной амплитуде необходимо просуммировать по петлевым
диаграммам с твистами, вставленными всеми возможными спо-
способами во внутренние пропагаторы петли.
2 Р Р+\ Р+М Р+М+1 P+M+Q-1
¦ P+M+Q
Рис. 8.4. Общая древесная диаграмма с Р + М + Q частицами в основном
состоянии, в которой выделена древесная диаграмма с двумя произвольными
возбужденными состояниями и М основными состояниями.
Точно так же, как в обычной теории поля, ковариантные
'формулы струнной теории описывают состояния с нефизической
поляризацией, циркулирующие по петле. Необходимо принять
меры, чтобы каким-то образом подавить их вклад. В ранних вы-
вычислениях струнных петлевых диаграмм распространение нефизи-
нефизических состояний устраняли путем вставки в пропагаторы до-
довольно сложного проекционного оператора на физические состоя-
состояния. Это гарантировало выполнение условия, что циркулирующие
частицы соответствуют только физическим состояниям; при этом
использовалась процедура, аналогичная некоторым ранним под-
подходам в теории Янга—Миллса. В более современном подходе
вместо этого в вычислениях используют духовые моды Фадде-
ева — Попова. Такой подход гораздо проще, и именно его мы
будем использовать при .проведении ковариантных вычислений.
Включение духовых мод в бозонной теории производится
совсем просто. Вершинные операторы, такие как тахионный вер-
вершинный оператор eikx, строятся только из Х& без духов, где
Х^(а, т) — координаты струны, определенные в гл. 2. Если фор-
формализм содержит духи, то подразумевается, что эти вершин-
вершинные операторы включают единичный оператор в духовом
•секторе фоковского пространства. В таком случае духи, цирку-
циркулирующие по петлям, могут компенсировать вклады от нефизи-
нефизических состояний. Причем это — их единственная роль.

12 Глава 8
Каким образом можно удостовериться, что духи действи-
действительно уничтожают вклады от нефизических состояний? Очень
важно обсудить этот вопрос, поскольку даже полностью удов-
удовлетворительный процесс вывода петлевых амплитуд из логи-
логически обоснованного исходного положения содержит элемент
догадки при формулировании правил Фейнмана, включающих
духи. Чтобы достичь определенного понимания в этом важном
вопросе, можно проделать вычисления в калибровке светового
конуса. В этом случае нет нефизических состояний, распро-
распространяющихся в петле, нет состояний, которые нарушают усло-
условие Вирасоро, нет нулевых состояний и духов. Все состояния
фоковского пространства в калибровке светового конуса соот-
соответствуют физическим распространяющимся степеням свободы.
Поэтому амплитуды в калибровке светового конуса явно уни-
унитарны или во всяком случае появляющиеся сингулярности
обусловлены физическими промежуточными состояниями. Из
нашего обсуждения будет достаточно ясно, что — по крайней
мере для процессов, которые просто рассматриваются в обоих
формализмах, — подход с использованием калибровки светового
конуса дает те же ответы, которые получаются при ковариант-
ном рассмотрении с духами. В конечном счете правила, вклю-
включающие моды Фаддеева — Попова, должны быть получены из
логически безупречного исходного предположения, возможно из
калибровочно-инвариантной нелинейной полевой теории струн.
Любопытной особенностью струнных теорий является то, что
могут возникать новые сингулярности из-за расходимостей сумм
по промежуточным состояниям. Эта особенность уже появля-
появлялась в древесных амплитудах, где, как мы видели в гл. 1 и 7, по-
полюсы в ^-канале возникали благодаря расходимостям в сумме
по полюсам s-канала. В случае петлевых диаграмм могут про-
происходить даже более удивительные вещи. Например, петля от-
открытой струны с подходящими твистами может привести к воз-
возникновению полюсов, соответствующих замкнутой струне. Имен-
Именно при попытке согласовать эти сингулярности с унитарностью
впервые обнаружилось значение критической размерности —
в критической размерности эти сингулярности соответствуют по-
полюсам гравитона, и поэтому (как обсуждалось в разд. 1.5.6) на
квантовом уровне последовательная струнная теория без грави-
гравитации представляется невозможной.
Простейшая однопетлевая диаграмма в теории открытых
струн соответствует процессу, для которого мировая поверхность
топологически эквивалентна кольцу или цилиндру с М внеш-
внешними состояниями, присоединенными к одной границе, как по-
показано на рис. 8.5. (Мировую поверхность с такой топологией;

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн
13
называют планарной диаграммой.) Точный смысл параметров,
описывающих кольцо и расположение присоединенных частиц на
М
3 3
Рис. 8.5. Планарная петлевая диа- Рис. 8.6. Неориентируемая однопет-
грамма с М частицами в основном левая диаграмма с М внешними ча-
состоянии. стицами имеет мировую поверхность
в виде листа Мёбиуса.
этом рисунке, объясняется ни-
ниже в данной главе. Путем до-
добавления к мировой поверхно-
поверхности нечетного числа твистов
можно построить другие одно-
однопетлевые диаграммы, связан-
связанные с неориентируемыми ми-
мировыми поверхностями, т. е.
с листами Мёбиуса, имеющими
только одну границу (как на
рис. 8.6). Используя четное
число твистов, можно описать
ориентируемые поверхности с
частицами, присоединенными
к обеим границам кольца, как
на рис. 8.7. Они называются
непланарными диаграммами.
Различные вклады в полную
однопетлевую амплитуду для
открытой струны должны быть
вычислены в отдельности, не-
несмотря на то что большая часть вычислений похожа для каж-
каждой из диаграмм. (В этом отношении теории ориентированных
Рис. 8.7. Непланарная однопетлевая
диаграмма, в которой К частиц при-
присоединены к одной границе и М — К
частиц —к другой.

14 Глава 8
замкнутых струн, которые содержат только одну диаграмму
в каждом порядке теории возмущений, гораздо проще.)
8.1.1. Планарные диаграммы
Рассмотрим открытые бозонные струны с групповыми кван-
квантовыми числами, описанными в разд. 6.1. Пусть п — размер-
размерность фундаментального представления калибровочной группы —
представления для зарядов, которые находятся на концах от-
открытой струны. Тогда теоретико-групповой множитель, соответ-
соответствующий планарной диаграмме (рис. 8.5), имеет вид
xX2 ... Км), (8.1.1)
где множитель п возникает из-за следа единичной матрицы раз-
размера nX't- соответствующей свободной границе кольца. Как
и в случае древесных диаграмм, матрицы %г должны иметь раз-
размер п X п и принадлежать фундаментальному представлению
алгебры любой из возможных групп (т. е. классических групп
SO(n), USp(n) и U(n)), если состояния соответствуют четным
массовым уровням. Эрмитовы матрицы для нечетных уровней
будут обозначаться буквой ц, как в разд. 6.1.
Для простоты и ясности в большинстве случаев мы рассмат-
рассматриваем процессы, в которых внешними состояниями являются
или тахионы (нечетный уровень), или безмассовые векторные
частицы (четный уровень), хотя по существу эту же технику
вычислений можно использовать для произвольных возбужден-
возбужденных состояний. В любом случае вершина для испускания ча-
частицы на массовой оболочке с импульсом kr в момент «вре-
«времени» т обозначается V(kr, т), где
V{kr, x) = eixL°V(kr, Q)e~"L\ (8.1.2)
Как и в гл. 7, мы будем часто использовать обозначение х = eix,
считая х вещественным, что соответствует викову повороту вре-
временной координаты. В этом случае вершина записывается
в виде
V(kn x) = XLaV(kn \)x~L\ (8.1.3)
Напомним, что помимо вершины (8.1.3) основным элементом
для построения древесных диаграмм в гл. 7 был пропагатор,
который для открытых бозонных струн имеет вид
A = (L0-irI. (8.1.4)
Чтобы сопоставить амплитуду диаграмме, изображенной на
рис. 8.5, припишем вершину (8.1.2) каждой внешней линии и
пропагатор (8.1.4) — каждой внутренней линии. Замкнутая петля

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн
15
представляется следом в фоковском пространстве для внутрен-
внутренних линий. Собрав все таким образом, получаем определенную
нами амплитуду
АРA, 2, ..., М) =
= gMGP $ dDp Tr (ЛУ (ku 1) AF (k2, 1) ... ЛК (kM, 1)). (8.1.5)
В ковариантном формализме, который здесь используется, след
берется по бесконечному числу бозонных осцилляторов с#, ц =
= 0, ..., 25, а также по осцилляторам Ъп и сп, соответствующим
духам. В калибровке светового конуса единственными модами,
Рис. 8.8. Обозначение кинематических переменных для вычисления планар-
ной петлевой диаграммы.
по которым проводится суммирование в следе, были бы попе-
поперечные осцилляторы ajj, i= I, ..., 24. Как и в обычной теории
поля, полюсы пропагаторов приводят к разрезам, связанным
с промежуточными состояниями на массовой оболочке.
Последовательность испускания частиц A,2, ..., М) соот-
соответствует порядку, в котором- они присоединены к границе
кольца на рис. 8.5. Цикличность следа обеспечивает зависи-
зависимость амплитуды только от циклического порядка частиц. Пол-
Полная однопетлевая планарная амплитуда включает сумму по
всем циклически неэквивалентным перестановкам внешних
частиц, каждая из которых снабжена Своим собственным

16 Глава 8
теоретико-групповым множителем. Кинематика этого процесса
иллюстрируется на рис. 8.8.
Как и в гл. 7, удобно использовать интегральное представ-
представление
A = (L0—\yl = \xL"~2dx (8.1.6)
для пропагатора открытой струны. Вершинный оператор испу-
испускания тахиона на массовой оболочке с импульсом k^{k2 = 2)
задается следующим выражением:
V0{k, l) = :e'*-*A):. (8.1.7)
Если испущенная частица является безмассовым векторным
бозоном, то вершинный оператор задается формулой
К(?, k, \) = l-X{\)eik-X{{), (8.1.8)
где ty — вектор поляризации, удовлетворяющий следующим со-
соотношениям t,-k = k2 =0. Как объяснялось в гл. 7, удобный
способ вычисления амплитуд с внешними векторными части-
частицами состоит в использовании вершинного оператора
V(k, ?, l)=exp{?-Z(l) + /?-Z(l)} (8.1.9)
с последующим удержанием только тех членов, которые ли-
линейны по ?. Эта вершина факторизуется на произведение мно-
множителей для каждого осциллятора, что облегчает вычисление
следов. (Это представление вершинного оператора будет также
использовано при обсуждении гетеротических струн в следую-
следующей главе.) Вершина (8.1.9) не нуждается в нормальном упо-
упорядочении, поскольку единственный множитель, зависящий от
порядка операторов, представляет собой экспоненту от t,2, не
дающую членов, линейных по ^1.
Давайте рассмотрим однопетлевую планарную диаграмму
с М внешними тахионами. Используя интегральное представ-
представление пропагаторов (8.1.5) и равенствоxLT (kr, \) = V{kr, x)xL°,
выражение для амплитуды можно записать в виде
1 М
АРA, 2, ...,Af) = g%>$ Y[dx^dDpTr[V0(ku x,)X
О г = 1
X V0(k2, Xlx2) ... Vo (kM, x, ... xu) wL°-2] =
1 1 M-l
\-%-\ U.TTetor-Pr+i)KU ...,Af), (8.1.10)
0 0 r=l

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 17
где
/A, .... M)^\dDpTv(V0(ku Pl) ... V0(kM, 9m))wl° (8.1.11)
= Xl ... xr, (8.1.12)
w = pM = x1 ... xM. (8.1.13)
В формуле (8.1.10) использовано следующее выражение для
якобиана перехода от переменных хг< параметризующих отдель-
отдельные пропагаторы, к переменным рг:
М ЛГ-1
^. (8.1.14)
Интегрирование по переменным рг проводится по интервалу
(w, 1) вещественной оси комплексной плоскости р.
Выражения (8.1.10) и (8.1.11) можно также получить с по-
помощью функциональных интегралов, описанных в гл. 1. При
таком выводе уравнений множитель /A, ..., М) отождеств-
отождествляется с корреляционной функцией вершинных операторов на
границе мировой поверхности. Для описания цилиндра можно
использовать координату lnp, как показано на рис. 8.9, а. Внеш-
Внешние частицы присоединяются к границе цилиндра Im(lnpr) = 0
в точках —Re(lnpr), по координатам которых проводится по-
последовательное интегрирование вдоль образующей окружности
от 0 до —In w. Другая граница цилиндра, к которой частицы
не присоединены, определяется уравнением 1тAпр) = я (т. е.
отрицательными значениями р). Используя циклическое свой-
свойство следа, оператор wLo можно циклически переставить в
(8.1.11), откуда, очевидно, следует, что подынтегральное выра-
выражение / инвариантно относительно одновременного преобразо-
преобразования всех переменных p—>-wnp. Это преобразование отождеств-
отождествляет точку р с точками wnp, где п — произвольное целое число,
равное числу обходов вокруг цилиндра. Следовательно, в этой
параметризации область комплексной плоскости р, соответ-
соответствующая мировой поверхности струны, имеет вид, изображенный
на рис. 8.9,6. Область расположена вокруг начала координат
и имеет вид полукольца с внутренним и наружным радиусами
соответственно ш и 1. Точки внутренней дуги отождеств-
отождествляются вдоль радиуса с точками наружной дуги, образуя таким
образом цилиндр.
Интеграл по импульсу в петле можно рассматривать как ту
часть следа в выражении для /, которая соответствует нулевой
моде. Каждый внутренний пропагатор в петле содержит

18
Глава 8
In с
In p2 In px
Рис. 8.9. a — мировая поверхность планарной диаграммы, изображенная в.
виде цилиндра в комплексной плоскости In p. Линии, отмеченные стрелками,,
необходимо отождествить. Цилиндр характеризуется длиной образующей
окружности In w и высотой я, а интегрирование по переменным частиц про-
проводится вдоль границы цилиндра Im(lnp) =0 при фиксированной последо-
последовательности частиц, соответствующей заданному множителю Чана — Патона.
б — диаграмма, изображающая мировую поверхность, которая соответствует
интегрированию по переменным рг. Внутреннюю и внешнюю дуги необходимо
отождествить, как показано стрелками, поскольку точки, отличающиеся на
множитель w, эквивалентны. В этом случае отрезки на положительной и от-
отрицательной частях действительной оси становятся границами цилиндра или
кольца.
множитель лгг°, зависящий от импульса пропагатора рг, где
pr = p-kl-k2- ... ~kr_1 = p + kr+ ...+kM, (8.1.15)
а р — импульс в петле. Это означает, что вся зависимость
подынтегрального выражения в (8.1.11) от импульса в петле

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 19
Р2/2
имеет вид ИГхг ¦ Интеграл от этого выражения представляет
собой D-мерный гауссов интеграл, который сходится после ви-
кова поворота, заменяющего временную компоненту р° на ip°.
(Это обычный шаг при вычислении диаграмм Фейнмана.) Вы-
Вычисление интеграла по импульсу проводится путем выделения
полного квадрата с использованием тождества
М / М
r<s
После этого гауссов интеграл вычисляется с помощью сдвига
импульса в петле р'' = р — Xr kr\n pr/ln w. В результате полу-
получаем
М 2/2 k k
\dDpl]xPrrl =(^*LY'2 TT (cs-;1/2exp С^1?il)) r' \ (8.1.17)
J ^11 V In w ) 11 I sr K V 2 In ai yj v ;
В этом выражении
csr = pjpr = xr+l ... xs. (8.1.18)
Для того чтобы вычислить следы по ненулевым бозонным
модам oft в (8.1.11), удобно использовать метод когерентных со-
состояний для гармонических осцилляторов, описанный в прило-
приложении 7.А. Напомним, что когерентное состояние определяется
следующим образом: | z) = exp (zar) | 0), где z — произвольное
комплексное число. Единичный оператор можно представить
с помощью когерентных состояний следующей формулой:
2z\z)e-uv{z\. (8.1.19)
Для доказательства достаточно заметить, что проекция коге-
когерентного состояния на базисные векторы в пространстве чисел
заполнения равна (т\г) = гт/л/т\. Поэтому вычисление ин-
интеграла по z приводит к равенству <m|/|n} — Sm, n, что и требо-
требовалось доказать. Отсюда вытекает, что след произвольного опе-
оператора К задается формулой
Tr(/Q = — \ d2ze~]z]2{z\K\z). (8.1.20)
После подстановки тахионных вершинных операторов
в (8.1.11) след сводится к произведению следов по каждому

20 Глава 8
гармоническому осциллятору
Тг(П(Й,, Р.) ¦ ¦ • V'Q(kM, PM)wL°) = ft ПоС (8.1.21)
где штрих означает, что множитель от нулевой моды в вершин-
вершинном операторе опущен. Духовые моды будут рассмотрены от-
отдельно. Используя (8.1.20) и правило xafa\ z) = \ xz), получаем
о М
r<s
к, (^ р;^ - ^ ир,г О]' {8л-22)
где второе выражение получено путем вычисления матричного
элемента, переставляя все операторы уничтожения вправо,
а операторы рождения влево и используя формулы для коге-
когерентных состояний, приведенные в приложении 7.А.
Гауссов интеграл (8.1.22) по комплексной плоскости можно
вычислить, используя следующую формулу:
2ze-c'z'Уаг+ьг) = 4- еаЬ1с, (8.1.23)
где а, Ъ и с — действительные числа. В результате произведе-
произведение по всем ненулевым модам имеет вид
п Srt-fio-'W- z
(8.1.24)
где закон сохранения импульса X $ = 0 использован в сле-
следующем виде:
м
k2r=-M. (8.1.25)
Существует также дополнительный вклад в множитель I,
возникающий от следа по духовым и антидуховым модам. Они
не появляются в формуле для тахионного вершинного оператора
(который обладает правильной конформной размерностью J = 1
без вклада духов), но дают вклад в пропагатор. В действитель-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 21
ности мы интерпретируем «Lo» в пропагаторе как полную вели-
величину La материи и духов LQ = Loa) + Loh, где
Lgh=I,n(c_nbn + b_ncn). (8.1.26)
Напомним, что в гл. 7 не учитывался вклад духов в Lq при оп-
определении пропагатора. Учет вклада духов в Lo в гл. 7 вряд ли
был бы оправдан, поскольку мы рассматривали начальные и
конечные состояния без духов и антидухов (это в точности те
состояния, которые уничтожаются Loh) и вершинные опера-
операторы, не содержащие духов. Тот факт, что при обсуждении дре-
древесных диаграмм учет духов является необязательным, не дол-
должен казаться удивительным, поскольку и в обычной теории
Янга — Миллса также необязательно включение духов Фад-
деева — Попова при определении древесных амплитуд. На одно-
петлевом уровне, даже если внешние вершинные операторы
являются тривиальными единичными операторами в духовом
секторе пространства Фока, духи могут циркулировать в петле
и давать существенный вклад.
Учет вклада Loh в Lo при определении пропагатора Д =
= (Lo—1)-' приводит к возникновению духового множителя
Lgh
Tr w ° . При этом необходимо немного подумать для определе-
определения того, что понимать под «следом». Сначала рассмотрим
вклад осцилляторов d и Ь\ и их сопряженных с~\ и Ь-\. Единич-
Единичный оператор в этом пространстве имеет вид
/,=|0, 0)@, 0| + |1, 0>A, 0| + |0, 1)@, 1| + |1, 1)A, 1|,
(8.1.27)
где состояния определяются собственными значениями опера-
операторов с_1&1 и Ъ-\С\ соответственно. Это подсказывает следующее
определение:
tr (a;c->*1+6-lCl) = l—w — w + w2 = (l — wf. (8.1.28)
Отрицательные знаки в правой части (8.1.28) требуют поясне-
пояснения. Их появление естественно, потому что состояния |1,0> и
|0, 1> являются фермионами. Так, например, trA, 0> <0, 11) =
= —<1,0|1,0> = —1. Аналогичным образом моды сп и Ьп при
п=1, 2, ... дают вклад A — wnJ. Таким образом, суммарный
вклад духовых мод сп и Ъп с п ф 0 имеет вид
Tr wL*k = П О - wnJ = [f (w)}2. (8.1.29)
l

22 Глава 8
Функция распределения f(w) была введена в разд. 2.3.5. На
языке интегралов по мировым поверхностям отрицательные
знаки в (8.1.28) соответствуют интегрированию по цилиндру
с периодическими граничными условиями по времени для ду-
духов и антидухов.
Что можно сказать относительно духовых нулевых мод?
В разд. 3.2.1 было показано, что духовые нулевые моды с0 и
Ьо реализуются в гильбертовом пространстве, двух состояний
|f> и ||>, соответствующих духовому числу ±1/2. Одно из этих
состояний является бозонным, а другое — фермионным, причем
учет их вклада тем же способом, что и раньше, привел бы к мно-
множителю 1 — 1=0. Этот результат не может быть правильным,
поэтому предположим, что при корректном определении петле-
петлевых диаграмм духовые нулевые моды не учитываются1). Ясно,
что пренебрежение вкладом духовых и антидуховых нулевых
мод совместимо с лоренц-инвариантностью, и в дальнейшем
мы увидим, что этот способ вычислений приводит к тому же
ответу, что и вычисления в явно унитарной калибровке свето-
светового конуса.
Объединение вкладов от нулевых и ненулевых мод (8.1.17) и
(8.1.24), а также вклада духов (8.1.27) приводит к результату
7A, ...)М) = [/(ш)]2-д(^-)В/2ехр{Е^г-^1пЦ. (8.1.30)
Отметим, что учет духов приводит к замене —D в (8.1.24) на
— (D — 2), т. е. они сокращают вклады двух из D координат.
Функции tyrs, появившиеся в (8.1.30), задаются соотношением
(,w), где
in^2J ^lw^(8-1.31)
Используя тождество
функцию л|з(с, w) можно записать в виде
. ., , ч 1-е ( In2с \ ТТ (l-wnc)(\-wnlc)
^
(8Л.ЗЗ)
*) Это предположение недавно подтвердилось по крайней мере для от-
открытых струн при рассмотрении калибровочно-инвариантной полевой теории
струн в фиксированной калибровке, но эти аспекты теории в настоящей мо-
монографии не рассматриваются.

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 23
Различные свойства функции т|з, включая ее связь с 6-функ-
циями Якоби, обсуждаются в приложении 8.А.
Величина In tyrs пропорциональна корреляционной функции
(X»(pr)Xv(ps)) для X, которая также является функцией Грина
уравнения Лапласа, зависящей от точек р, и р5 в комплексной
плоскости. Именно в таком виде она появляется в подходе, ос-
основанном на функциональных интегралах по мировым поверх-
поверхностям, который описан в гл. 1.
Функция In г|зГ5 имеет логарифмическую особенность при
cSr—*~l, что соответствует пределу pr—>-p.s. Эта сингулярность
представляет собой просто логарифмическую сингулярность дву-
двумерного пропагатора свободных бозонов на малых расстояниях.
Функция Грина удовлетворяет граничным условиям, соответ-
соответствующим периодичности петлевой диаграммы
i|),(cz0, w) = —i|)(c, w), (8.1.34)
при которой каждая точка р отождествляется с точкой wp. Ин-
Инвариантность г|з относительно этого преобразования доказана
в приложении 8.А. Это свойство устанавливает связь с формой
амплитуд рассеяния, возникающих в функциональных подхо-
подходах к теории струн.
Теперь можно выписать следующее выражение для одно-
петлевой планарной амплитуды, используя (8.1.10) и (8.1.30),
1 1 / АГ-1
ЛРA, 2, ..., M) = g*GP^U |J^0(pr
0 0 ^ г=1
^rs)kr-\ (8.1.35)
Перед обсуждением полученного результата кратко опишем,
как этот же ответ получается в калибровке светового конуса, по
крайней мере в том случае, когда все внешние частицы имеют
нулевые ^-компоненты импульса и тахионные вершинные опе-
операторы exp{ik-X} имеют простой вид. (Напомним, что оператор
Х~ в калибровке светового конуса имеет сложный вид.) В калиб-
калибровке светового конуса духовые моды отсутствуют, а Х^(а)
имеет только D — 2 независимых компонент вместо D компонент
(для ненулевых мод), и, таким образом, степень f(w) в (8.1.24)
равна —(D — 2). Это в точности воспроизводит вклад духов.
Схожесть вычислений в двух упомянутых подходах присуща
всем диаграммам, рассмотренным в данной главе.

24 Глава 8
Амплитуда (8.1.35) содержит все сингулярности по пере-
переменным
(8.1.36)
которые вытекают из условия унитарности в рамках теории воз-
возмущений. Они возникают в различных углах границы области
интегрирования. Например, полюсы по переменным srj возни-
возникают в пределе, когда точки, соответствующие частицам с ин-
индексами /, ..., /, сливаются на мировой поверхности, т. е. р/ ~
~ p/+i ~ ... ~ р/, что соответствует пределу хг —*-1 для г =
= /+1, ..., /. В этом пределе функции гр™ стремятся к нулю
как 1 — csr для / ^ г, s ^/. Для выявления характера сингу-
сингулярности полезно определить новые переменные цг(г = 1 +1, ...
..., /) следующим соотношением: г)г = р/ — рг и затем сделать
растяжку переменных цг с помощью общего множителя е, тогда
сингулярность будет соответствовать той области интегрирова-
интегрирования, где е->-0. Наиболее сингулярный член в интеграле по е
имеет следующий вид:
' Д efe'-'fes = fdee 2 , (8.1.37)
/<r<s</ О
где использовано равенство
~~ ' 7+1—7), (8.1.38)
вытекающее из (8.1.36) и определения массовой оболочки для
тахионов fer= 2. Главная расходимость возникает для тахиона
при su = —2. Разложение по степеням е остальной части
подынтегрального выражения приводит к полюсам, соответ-
соответствующим более высоким массовым уровням.
Амплитуда (8.1.35) содержит также обычные точки ветвле-
ветвления по инвариантным энергетическим переменным Su, которые
соответствуют порогу рождения пар промежуточных физических
состояний на массовой оболочке. Эти нормальные пороговые
сингулярности возникают в пределе хг — 0 и X/+i->-0 (/>/).
Новые сингулярности включают в себя сингулярности, которые
в обычной теории поля точечных частиц соответствовали бы
вершинным поправкам, массовым поправкам и головастикам.
В теориях струн все эти виды диаграмм Фейнмана соответ-
соответствуют различным углам области интегрирования для един-
единственной струнной диаграммы.

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 25
Собственноэнергетическая поправка к пропагатору, напри-
например, возникает от угла области интегрирования, который соот-
соответствует близости параметров частиц, находящихся по разные
стороны оператора собственной энергии. Случай одной испу-
испущенной частицы с одной стороны оператора собственной энер-
энергии является особым. Эта диаграмма дает вклад в радиацион-
радиационную поправку к массе внешней частицы. Если рассматривать
внешние частицы только на массовой оболочке (а мы пока
умеем работать только с такими диаграммами), то рассматри-
рассматриваемая диаграмма, изображенная на рис. 8.10, приводит к бес-
бесконечному выражению. Эти относительно тривиальные расходи-
расходимости в действительности не имеют отношения к конечности
Рис. 8.10. Вставка петли открытой струны во внешнюю тахионную линию-
приводит к расходимости, возникающей из-за внутреннего пропагатора на
массовой поверхности. Эта расходимость устраняется путем конечного сдви-
сдвига массы тахиона.
теории. Они отражают тот факт, что массы частиц сдвигаются
за счет радиационных поправок. Несмотря на это, изучение
способа вычитания этих расходимостей и получения правиль-
правильного конечного ответа является важным шагом при формулиро-
формулировании подходящих правил Фейнмана; этот вопрос был изучен
только недавно и не рассматривается в данной монографии.
Для внешних безмассовых векторных состояний расходимости
этого типа отсутствуют, поскольку калибровочная инвариант-
инвариантность запрещает появление масс у безмассовых векторных ча-
частиц. Это означает, что диаграмма собственной энергии обра-
обращается в нуль на массовой оболочке, который сокращает по-
полюс пропагатора, изображенного на рис. 8.10.
Из внешнего вида выражения для f(w) следует, что подын-
подынтегральное выражение в (8.1.35) может иметь особенность
в углу области интегрирования, где w-*-l, поэтому такая об-
область интегрирования требует специального рассмотрения.

26 Глава 8
В этой области функция wL° не обращается в нуль при боль-
больших LQ. Поскольку величина Lo = г/2р2 + N велика для состоя-
состояний с большой массой или с большим евклидовым импульсом,
то рассматриваемую область интегрирования можно считать
струнным аналогом ультрафиолетовой области. Однако суще-
существует другая более тонкая интерпретация.
Возвращаясь к формулам (8.1.5) и (8.1.35), нетрудно ви-
видеть, что выражение для амплитуды помимо множителей, зави-
зависящих от вершинных операторов, содержит также множитель
1
Ло = jj
о
Тг ш?о~2. (8.1.39)
Как будет показано ниже, остальные множители в (8.1.35) не
меняют существо вопроса. Множитель wL° = exp {Lo In w} яв-
является оператором, соответствующим распространению струны
в собственном времени —In w (которое положительно, по-
поскольку ш^ 1). Распространение открытой струны в собствен-
собственном времени — In да можно представить в виде функционального
интеграла по полосам шириной л, и длиной — Inw. Необходимо
также учесть след в формуле (8.1.39), что приводит к отожде-
отождествлению начального и конечного состояний струны (до и после
распространения в мнимом времени — \nw). Это отождествле-
отождествление превращает полосу в цилиндр. Вот почему множитель
(8.1.39) можно представить с помощью функционального ин-
интеграла по цилиндрам длины л) с длиной образующей окруж-
окружности — In ш в комплексной плоскости In p, как показано на
рис. 8.9, а также на рис. 8.11, а.
Переменная интегрирования w играет очень естественную
роль — она является единственным инвариантом, ассоциирован-
ассоциированным с конформной структурой на цилиндре. (См. разд. 3.3, где
обсуждаются эти понятия, хотя там в основном рассматривают-
рассматриваются замкнутые струны.) Однопетлевая диаграмма естественно
включает интегрирование по этому параметру, и именно этот
интеграл выделен в (8.1.39). Для w ~ 1 радиус цилиндра на
рис. 8.9, а очень мал, так что открытая струна распространяется
в течение очень короткого промежутка действительного времени.
Вот почему этот режим можно рассматривать как предел малых
расстояний.
Другой взгляд на описанную выше расходимость может воз-
возникнуть при использовании конформной инвариантности (кото-
(которая имеет место только в критической размерности!) для изме-
изменения размеров цилиндра на рис. 8.11, а в любое желаемое
число раз. В частности, мы можем считать, что цилиндр имеет

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 27
фиксированную длину образующей окружности 2л, и соответ-
соответствующую длину —2я2/1п w (именно эти значения будут исполь-
использованы в дальнейшем для более детального анализа). Такой ци-
цилиндр изображен на рис. 8.11,6. С другой стороны, рис. 8.11,6
можно рассматривать как диаграмму для замкнутой струны,
распространяющейся вбок в течение собственного времени
—2я2/1п w. В последнем случае естественнее интегрировать по
длине циллиндра, а не по длине образующей окружности. Тогда
lntv| "
,. ........... ^
¦ ' /
1
1
1
I .
д
Рис. 8.11. а — цилиндр длины л с длиной образующей окужности —\nw;
б — цилиндр длины —2я2/1п w с длиной образующей окружности 2я. Оба
цилиндра конформно эквивалентны.
предел а;—»- 1 больше не соответствует ультрафиолетовому пре-
пределу и становится «инфракрасным» пределом для долгоживу-
щих струн. Конечно, такая возможность рассматривать пределы
с разных точек зрения и интерпретировать ультрафиолетовый
эффект как инфракрасный не имеет аналога в обычной теории
поля, и это является одной из возможных интерпретаций отсут-
отсутствия ультрафиолетовых трудностей в теории струн. Причина,
по которой область w-*-\ гораздо предпочтительнее трактовать
как инфракрасную, а не как ультрафиолетовую, заключается
в том, что присутствие инфракрасных расходимостей имеет фи-
физическое объяснение, такое как вклад безмассовых частиц (или
тахионов), который не был учтен надлежащим образом; при
этом инфракрасные расходимости свидетельствуют не о непо-
непоследовательности теории, а наоборот, часто являются признаком

28 ' Глава 8
интересных физических явлений, таких как нарушение сим-
симметрии или удержание кварков. В противоположность этому на-
наличие неперенормируемых ультрафиолетовых расходимостей
свидетельствует о непоследовательности теории. Кроме того, тот
факт, что «ультрафиолетовую» расходимость при w ~ 1 можно
интерпретировать как инфракрасную расходимость, имеет сле-
следующее фундаментальное следствие: ультрафиолетовые расхо-
расходимости должны отсутствовать в теории, в которой физические
принципы, такие как суперсимметрия, позволяют предсказать
отсутствие инфракрасных расходимостей. Это будет основой для
понимания сокращения расходимостей в разд. 10.
Продолжим эвристическое исследование области вблизи
w = 1 и рассмотрим замкнутую струну, распространяющуюся
в течение собственного времени — \nq ~ —2n2/\nw между на-
начальным и конечным состояниями | i) и | />, которые по опреде-
определению обладают нулевым пространственно-временным импуль-
импульсом. Амплитуда этого процесса задается интегралом по соб-
собственному времени
\^-U, (8.1.40)
где U — оператор эволюции между начальным и конечным со-
состояниями. Этот оператор имеет вид
U = (/ | e<L°+r°-2> <2/'n ») | ;), (8.1.41)
где Lq -\- Lo — 2— оператор, обратный пропагатору замкнутой
струны (для физических внешних состояний Lq = L0). В нашей
задаче роль состояний |/> и |t> играют границы цилиндра, изо-
изображенного на рис. 8.11, к одной из которых добавлены вер-
вершинные операторы. Состояния |/> и |t> довольны сложны для
точного описания (за исключением тех свойств, которые были
только что приведены); в частности, их трудно (хотя и воз-
возможно) описать в фоковском пространстве. Все, что необходимо
знать в дальнейшем об этих состояниях, сводится к тому, что
|j> и |/> являются состояниями с нулевым импульсом, которые
неортогональны вакууму пространства Фока |0>. Если это так,
то после подстановки L0 = L0 выражение (8.1.41) при w ~ 1
(что означает очень большое собственное время) имеет следую-
следующую асимптотику:
), (8-1.42)
поскольку все другие состояния имеют большие значения Ьо и
поэтому дают вклады, экспоненциально затухающие по сравне-
сравнению с вкладом тахиона. Так как для тахиона с нулевым им-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 29
пульсом Lo = 0, при w-> 1 выражение (8.1.42) ведет себя экспо-
экспоненциально как ехр {—4n2/\nw}, а интеграл (8.1.40) расходится:
-. (8.1.43)
Следующим наиболее сингулярным вкладом в (8.1.41) после
вклада тахиона (8.1.43) является вклад дилатона. Поскольку
для дилатона Lo = 1, его вклад в (8.1.41) пропорционален вы-
выражению
Jf (8-1.44)
Покажем теперь, как получить эти результаты с помощью
строгого математического анализа выражения (8.1.35). Для ис-
исследования области вблизи w = 1 удобно перейти от координат
рг к координатам zr, определенным следующей формулой:
\nzr = 2invr, (8.1.45)
где
1п_^ (8.1.46)
r In w к '
(при этом vm = 1). Тогда интервал (w, 1) действительной оси р
отображается на внешнюю границу кольца в 2-плоскости с еди-
единичным радиусом, а интервал (—w,—1) отображается на вну-
внутреннюю границу радиуса
<7 = ехр йтт = ехр Bя2/1п w), (8.1.47)
который интегрируется от 0 до 1. Эта ситуация изображена на
рис. 8.5. Цилиндр на рис. 8.11,6 представляет собой мировую
поверхность в плоскости In z. Длина образующей окружности
цилиндра равна 2л, что соответствует изменению угла при об-
обходе границы кольца. Длина цилиндра равна
-im = _ J^l = _ In q. (8.1.48)
Поскольку точка ш = 1 отображается в точку q =0, воз-
возможная расходимость, которая нас интересует, в ^-параметри-
^-параметризации связана с дырой в центре кольца, стягивающейся в
точку1). Интегрирование по переменным zr, кроме zM=\,
4) Из рассмотренной ранее конформной эквивалентности кольца и ци-
цилиндра ясно, что конфигурация мировой поверхности в пространстве-вре-
пространстве-времени не обязательно имеет исчезающе малую дыру в пределе малого от-
отверстия в кольце.

30 Глава 8
проводится независимо от q вдоль внешней границы кольца. При
этом требуется сохранять их циклический порядок на границе.
Замена переменных в выражении для ЛРA,2, ..., М) в выра-
выражении (8.1.35) требует введения якобиана
АГ-1 М-1
dw
w
(8.1.49)
При такой замене переменных функция г|зГ5 преобразуется
просто. Это можно видеть, переписав ее через 9-функцию Якоби
0i (v|т) (8-функции Якоби описаны в приложении 8.А). Исполь-
Используя свойства 0-функций, перечисленные в приложении 8.А, полу-
получаем
¦ф (р, w) = —2лг" exp (in,v'2/%') ' , , ,. , (8.1.50)
a I a I tv i
X). \\) I Т, I
где
Поведение функций tyrs при переходе к новым переменным, оп-
определенным в (8.1.46) и (8.1.48), можно вывести, исходя из
трансформационных свойств функции 8] при модулярных пре-
преобразованиях (см. приложение 8.А). Результат имеет вид
г|)(р, w) = — ^' (J |т) = — — ехр (-ш2/т) г|з (г, 92) =
т Oj @ [ -г) т
оо
2я . ТТ 1 — 2G " cos
sin Jtv
In
Функция / (ay) = (8j @ | %')l2nwu&I13 также просто преобразует-
преобразуется при замене переменных (8.1.47), что следует из (8.А.25).
В выражение для струнных амплитуд входит следующая комби-
комбинация:
л * _ ч 10 л
\-*\ (8.1.54)
Подстановка преобразованных выражений в (8.1.35) приво-
приводит к альтернативной форме амплитуды, в которой поведение
вблизи значения w = 1 или q = 0 легко проанализировать, по-
поскольку функции 1пфB, <72) и f(q2) имеют хорошо определен-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 31
ные степенные разложения по q2 вблизи q = 0. После подста-
подстановки (8.1.49), (8.1.53) и (8.1.54) в формулу (8.1.35) амплитуда
рассеяния М тахионов принимает вид (в D измерениях)
1 М.-Х
АР{1, 2, ...,M) = GPgV-l\ Y[®(vr+l-vr)dvrX
о 1
о
.. ТТ Г . ТТ 1 - 2q2n cos 2itvrs + qin 1 r' s .. ,
X [[ sin nvrs}[ (l_ 2дJ ¦ (8.1.
r' s -_,
55)
где Vrs=vs — vr. Необходимо сразу отметить, что при D = 26
и только при этом значении, подынтегральное выражение имеет
степенное разложение вида \ dq (fQq~3 + f\q~2 +...], где /0,
/i, ... — функции внешних импульсов и vr. Оно представляет со-
собой степенной ряд по q, так как степени w и In q сокращаются
в подынтегральном выражении (8.1.55). Степени w сокращаются
только при D =26. Степени In q, которые сокращаются при лю-
любых D, возникают следующим образом: преобразование f(w)
в (8.1.54) дает степень 1—D/2, функции \|vs в (8.1.53) дают
степень М, якобиан перехода (8.1.49) — степень —М—1, а ин-
интегрирование (8.1.17) по импульсу в петле — степень D/2. Син-
Сингулярности амплитуды при q = 0 связаны с нулевым внутрен-
внутренним радиусом кольца, изображенного на рис. 8.5.
К этой же расходимости \ f0dq/q3 привело нас предвари-
предварительное рассмотрение амплитуды с учетом обмена тахионом
в канале, который можно назвать (с некоторой натяжкой)
«кросс-каналом». Неосновная сингулярность \ Д dq/q подобным
же образом связана с испусканием безмассового скалярного
состояния замкнутой струны (дилатона) с нулевым импульсом.
Для того чтобы понять, как процесс развивается в простран-
пространстве-времени, необходимо помнить не только то, что мировая
поверхность имеет вид вытянутого цилиндра, изображенного на
рис. 8.11,6, но и то, что тахион или дилатон, так же как и дру-
другие массивные состояния, являются квазиточечными частицами
с размерами порядка Ь,1). Следовательно, в пространстве-
*) Этот вопрос обсуждался в разд. 2.2.3.

32
Глава 8
времени расходимости возникают тогда, когда мировые поверх-
поверхности в виде вытянутого цилиндра стягиваются в узкую трубу.
Таким образом, соответствующая мировая поверхность имеет вид,
изображенный на рис. 8.12. В суперсимметричных теориях, ко-
которые не содержат тахио-
тахионов, расходимости, обуслов-
обусловленные безмассовыми дила-
тонами, вычисляются и ана-
анализируются в следующих
двух главах.
Амплитуды для внешних
массивных векторных со-
состояний можно изучить ана-
аналогичным образом с заме-
заменой вершин на операторы
испускания векторных ча-
частиц, определенные форму-
формулой (8.1.9). Вычисления
включают вычисление следа
по ненулевым модам вида
(8.1.11), но с вершинами ис-
испускания векторных частиц.
Интегрирование по импульсам приводит к формуле, обобщаю-
обобщающей (8.1.17):
Рис. 8.12. Расходимость однопетлевой
диаграммы для открытой струны мож-
можно проиллюстрировать такой конфигура-
конфигурацией мировой поверхности, когда из ди-
диска вытягивается длинная и тонкая ми-
мировая поверхность замкнутой струны,
исчезающая в виде диска в вакууме.
М
П
l<r<s<M
Хехр
(8.1.56)
а произведение матричных элементов, через которое выражается
след по ненулевым модам, обобщает формулу (8.1.24):
П
\r<s
r<s
X ехр( % ft, • ks -
\r<s
X
(8.1.57)

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 33
Объединение вкладов от нулевых и ненулевых мод дает
выражение для / в случае внешних безмассовых векторных со-
состояний
X
Г ? (*, ¦ *, In Ч> „ + (*, ¦ I, -к,-а <Ь + Sr ¦ SAJ]. (8.1.58)
Lr<s
где в экспоненте опущены члены, включающие ?г> поскольку
в амплитуду дают вклад только члены, линейные по компонен-
компонентам %г. Функция i|3rs в последнем выражении определена так же,
как и раньше, а другие функции определены соотношениями
Цгз = y\{csr, ад), где
Ц(с, i
и Qrs =
Q(c,
¦.
Sj)
= &{Csr,
1
ад),
1
In
( ln
v ln
где
w
с
w
A
"I c 1
1 j c 1
00
e 1 v
-cJ ! Zj
-?¦
Ml
i / aw 7 c
( 1 [ w''
wn/c
- wnlcf
'/c
' A
cw
I cay"-
(8.
cwn
- cwnJ
(8.
•]
1
1
1
.59)
.60)
Функции T]rs и &rs пропорциональны (X1 (pr) X' (ps)) и (Z (pr) j'(ps)
соответственно. Эти корреляционные функции связаны с функ-
функцией 'i|5, определенной формулой (8.1.33), следующими соотноше-
соотношениями:
Л (с, w) = c-§F\nq(c, ад), (8.1.61)
Q(C) w) = — с~ц(с, w). (8.1.62)
Окончательное выражение для амплитуды имеет вид
1 1 /М-1
1/М-1
0 ^ г=1
х (Йг)
(8.1.63)
где подразумевается, что необходимо оставлять только линей-
линейные по Ъ,г члены.

34 Глава 8
Трансформационные свойства функций r|rs и Qrs при преоб-
преобразовании переменных vr и т (или г, и ^, что эквивалентно) при-
приведены в приложении 8.А. Прямые вычисления с использова-
использованием этих свойств позволяют выразить амплитуду через коор-
координаты кольца и проверить, что она имеет ту же расходимость
в граничной точке q = 0, которая была найдена для амплитуды
с внешними тахионами. Это неудивительно, поскольку такое же
выражение для рассеяния М безмассовых векторных состояний
можно получить факторизацией амплитуды для 2М тахионов
по полюсам безмассовых векторных частиц в каналах, образо-
образованных парами тахионов. Конечно, из предыдущего эвристиче-
эвристического рассмотрения также следует, что расходимость не зависит
от конкретного выбора внешних состояний.
8.1.2. Неориентируемые диаграммы
На рис. 8.6 изображен пример диаграммы в виде листа Мё-
Мёбиуса, которая соответствует неориентируемой мировой поверх-
поверхности. Соответствующая амплитуда содержит теоретико-груп-
теоретико-групповой множитель
Gw = titr(^2 ... км). (8.1.64)
Множитель г\, представляющий собой зависящую от группы
часть оператора твиста (см. описание этого оператора
в разд. 7.1.6), равен: г\ = +1 для группы USpBn), ц =—1 для
группы SO(n) и х] = 0 для группы U(n). Теоретико-групповой
множитель для планарной амплитуды (8.1.1) содержит множи-
множитель tr(l)=«, который в случае листа Мёбиуса отсутствует.
Он был связан с внутренней границей кольца, изображенного
на рис. 8.5, которая не имеет аналога в рассматриваемом слу-
случае, поскольку лист Мёбиуса имеет только одну границу.
Диаграмма в виде листа Мёбиуса может быть получена
сшивкой древесных диаграмм, так же как и раньше, однако
в соответствующем месте необходимо вставить оператор твиста
Q. Чтобы получить полное выражение для амплитуды с задан-
заданным порядком частиц вдоль границы мировой поверхности, т. е.
когда Я-матрицы в теоретико-групповом множителе имеют фик-
фиксированный порядок, необходимо сложить вклады от диаграмм
с различным распределением твистов во внутренних пропага-
торах. При этом необходимо учесть любое нечетное число тви-
твистов, поскольку все они приводят к диаграммам в виде листа
Мёбиуса. Случай отсутствия твистов соответствует планарной
диаграмме, рассмотренной в предыдущем разделе, а любое чет-
четное положительное число твистов дает одну из ориентируемых

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 35
непланарных диаграмм, которые рассмотрены в следующем раз-
разделе.
Вклад в амплитуду от конкретной диаграммы, содержащей
оператор твиста в пропагаторе между частицами 1 и М, имеет
вид
AN(l, 2, ..., М) =
l)AV0(k2, 1) ••• AV0(kM, 1)), (8.1.65)
где, как описано в разд. 7.1.6, оператор твиста равен О, —
= (—l)^, N— оператор числа частиц, построенный из бозон-
ных (и духовых) мод. Выражение (8.1.65) отличается от фор-
формулы (8.1.5) только вставкой оператора твиста и заменой 6р
на Gn- Вычисляя, как и раньше, следы по осцилляторным мо-
модам, получим, что одно из следствий наличия оператора твиста
сводится к изменению знака переменной w = х\х2 ... Хм
в (8.1.24), но не в интеграле по импульсам нулевых мод, для
которого остается применимой формула (8.1.17). В результате
функция ty(cSr,w) в (8.1.33) заменяется на функцию tyN(csr, w),
которая определена следующим выражением:
^С л=1
(8.1.66)
Полученное выражение можно переписать в виде, аналогичном
(8.1.50):
где переменные \' и %' определены в (8.1.51) и (8.1.52). Множи-
Множитель Q=(—1)^ в (8.1.65) также приводит к замене f(w)-*-
-*-f(—w) как для а-осцилляторов, так и для духовых осцилля-
осцилляторов, поскольку N включает все моды.
Другие вклады в неориентируемую однопетлевую амплитуду
с тем же теоретико-групповым множителем возникают от пе-
петель с нечетным числом операторов Q, но с той же последова-
последовательностью частиц вдоль границы листа Мёбиуса. Эти диаграм-
диаграммы нетривиальным образом расширяют область интегрирования
по переменным рг, добавляя новые области. Например, диаграм-
диаграммы, дающие вклад в амплитуду с четырьмя внешними состоя-
состояниями, показаны на рис. 8.13. Четыре из них содержат по од-
одному пропагатору с твистом (включая диаграмму, рассмотрен-
рассмотренную ранее), а четыре остальные диаграммы содержат по три
пропагатора с твистами.

36
Глава 8
Мировая поверхность в виде листа Мёбиуса отображается
на полукольцо в верхней полуплоскости р, как показано на
а
2 3
1 4
2 3
2 4
2 3
3 4
Рис. 8.13. Вклады в однопетлевую неориентируемую диаграмму, показанную
на рис. 8.6, с четырьмя внешними частицами изображаются диаграммами
с мировыми поверхностями в виде листа Мёбиуса, причем порядок частиц
соответствует теоретико-групповому множителю tr(XiX2^.3^4). a — четыре диа-
диаграммы, содержащие по одному пропагатору с твистом; б — четыре диа-
диаграммы, содержащие по три пропагатора с твистами.
-Pi -Рг
Pi-
Рис. 8.14. Представление листа Мёбиуса в виде полукольца в комплексной
плоскости р. Точку р необходимо отождествить с точкой — о>р и таким обра-
образом отождествить между собой дуги кольца с измененной ориентацией, как
показано стрелками. При этом точка А отождествляется с А', а В— с В'.
Граница листа Мёбиуса изображается отрезками действительной оси от А
к В и от В' к А'.
рис. 8.14. В этом случае каждая точка р отождествляется с точ
кой —wp, и таким образом внутренняя и внешняя границы
кольца отождествляются между собой после изменения ориен-
ориентации, как показано стрелками. Единственная граница листа

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 37
Мёбиуса отображается на отрезки (Л, В) и (Л', В') действитель-
действительной оси. Различные диаграммы, изображенные на рис. 8.13,
дают вклады в полную амплитуду, причем все подынтегральные
выражения имеют одинаковый вид, но области интегрирования
по переменным рг различны. Для первой из этих диаграмм ин-
интегрирование по переменным рг проводится по интервалу (да, 1)
(между Л и Б) с фиксированной последовательностью частиц
A, 2, 3, 4). Для других диаграмм по крайней мере одна из пе-
переменных рг умножается на —1. В результате вклады отдель-
отдельных диаграмм объединяются таким образом, что в сумме интег-
интегрирование проводится по всей границе (l,w) и (—1,—w)
((А, В) и (В', А')) при фиксированной последовательности пе-
переменных.
Для изучения расходимости этого вклада в амплитуду в пре-
пределе w = 1 снова удобно перейти к переменным vr и т ((8.1.46)
и (8.1.48)). С использованием свойств функции tyN, приведен-
приведенных в приложении 8.А, ее можно записать в виде !)
W г„)=4я2 6t (-v/2 | т/2 - 1/2) _
\nq 6( @ | т/2 — 1/2)
= _ J^L sin ^L ТТ 1-2(-У7)"со8яу + 9Я (g { 68х
2
Функцию распределения также можно преобразовать, исполь-
используя формулу
i U <-*)]- = (^I2 Я~Ш [/ (- V?)]4. («Л .69)
которая является аналогом формулы (8.1.54) в случае неориен-
тируемых струн.
Выражение для суммы всех диаграмм, дающих вклады
в амплитуду с заданной циклической последовательностью ча-
частиц, имеет вид (при D = 26)
А,A,2, ..., M) = GNgMnM~12{2~MX
2 М~\ 1
0
\ 4
0 1 о q
nVsr ТТ 1 - 2 (- Vq)" cos nvsr + дП\ Г
—11 (i-(-vot j •
Г ,
') Здесь q = etnx (см. (8.1.48)). - Прим. ред.

38
Глава 8
где vSr = Vsi—vr. Снова в подынтегральном выражении степени
In q сокращаются при D = 26. Угловые переменные 2nvr теперь
изменяются от 0 до 4я, поскольку, для того чтобы обойти гра-
границу листа Мёбиуса, необходимо сделать два оборота.
Выражение для неориентируемой однопетлевой диаграммы
расходится также в граничной точке q = 0. Объяснение этой,
расходимости требует знания нескольких простых свойств листа
Рис. 8.15. а —простейшее изображение листа Мёбиуса, когда не вся граница
является видимой; б — поскольку граница представляет собой окружность,,
вблизи границы лист Мёбиуса можно изобразить в виде обыкновенного ци-
цилиндра, заканчивающегося «кросс-кэпом», который символически изображен
на рисунке; в — между границей и «кросс-кэпом» цилиндр может быть
сильно вытянутым.
Мёбиуса. Лист Мёбиуса нетрудно нарисовать и представить
в виде, показанном на рис. 8.15, а; при этом граница выглядит
немного спутанно и видна не полностью. При таком изображе-
изображении тот факт, что граница листа Мёбиуса в действительности
является обыкновенной окружностью, ускользает от внимания.
Как легко, видеть, вблизи границы лист Мёбиуса представляет
собой цилиндр. Этот цилиндр, конечно, не может заканчиваться
второй границей —он замыкается сам на себя, и возникает
такая конфигурация, которую довольно трудно нарисовать или

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 39
представить и которую иногда называют «кросс-кэп». Она
условно изображена на рис. 8.15,6. Что произойдет, если стя-
стянуть границу на рис. 8.15,6 в точку и склеить? Тогда получится
замкнутая, но не ориентируемая мировая поверхность — проек-
проективная плоскость RP2. Эта поверхность является мировой по-
поверхностью неориентированных замкнутых струн; она будет рас-
рассмотрена в разд. 8.3.1.
Поведение неориентируемой диаграммы для открытой стру-
струны при ш->-1, как показано на рис. 8.15,в, соответствует такой
конфигурации, когда замкнутая струна распространяется в те-
течение длительного собственного времени от открытой границы
к «кросс-кэпу». Тахионная расходимость не зависит от деталей
«начального» и «конечного» состояний «в кросс-канале», а за-
зависит только от массы тахиона (и дилатона), вот почему не-
ориентируемые диаграммы имеют ту же расходимость, что и
ориентируемые.
Формы подынтегральных выражений для неориентируемой
и планарной петель похожи между собой. В частности, функция
tyN связана с чр соотношением
/(г,92) = 2ф(Л-Л. (8Л.71)
Поэтому после замены переменных
q' = qW, г* = г1'2 (8.1.72)
в (8.1.70) формулы для планарной и неориентируемой петель
становятся очень похожими. (Из (8.1.45) следует, что замена
2—>-z1/2 соответствует замене \-*-\/2.) Тогда расходимости
ориентируемых диаграмм принимают ту же форму, что и расхо-
расходимости пленарных диаграмм. Этот факт важен при рассмот-
рассмотрении возможности сокращения расходимостей в сумме пла-
нарных и неориентируемых диаграмм. Мы не будем обсуждать
этот вопрос для бозонной теории, где наряду с расходимостью
l/q', связанной с испусканием дилатона с нулевым импульсом,
существо дела усложнено наличием ведущей расходимости l/q'3,
связанной с тахионом замкнутой струны. При рассмотрении
суперструн типа I в следующих двух главах мы покажем, что
расходимости l/q3 не возникают, поэтому важнее сконцентри-
сконцентрировать внимание на сокращении расходимостей l/q.
8.1.3. Непланарные петлевые диаграммы
Третий и последний класс однопетлевых диаграмм для от-
открытых струн, который необходимо рассмотреть, включает в
себя мировые поверхности, топологически представляющие собой
кольца с внешними частицами, присоединенными к внутренней

40
Глава 8
и внешней границам (см. рис. 8.7). Если допустить, что К внеш-
внешних частиц присоединены к внешней границе кольца, а (М—К) —
к внутренней, тогда диаграмма включает следующий теоретико-
групповой множитель:
Gr = tr(X,X2 ... KK)tr(KK+lKK+2 ... Ял,), (8.1.73)
где каждой границе соответствует по одному следу. Планарная
диаграмма, которая исследовалась в разд. 8.1.1. соответствует
вырожденному случаю К = 0.
При сшивании деревьев с целью получения петлевой ампли-
амплитуды возникает ряд членов с четным числом твистов, которые
дают вклад в амплитуды с одинаковым циклическим порядком
частиц вдоль каждой из двух границ. Например, вклады в че-
тырехчастичную амплитуду с теоретико-групповым множителем
Рис. 8.16. Вклады в непланарную четырехчастичную амплитуду с теоретико-
групповым множителем ^(Х1Х2)^(Х3Х!к). а, б — две диаграммы, содержащие
по два твиста: в—диаграмма с четырьмя твистами.
tr (Я1Я2)tr (^3^4) показаны на рис. 8.16. Эти вклады отличаются
только относительным порядком внутри пар частиц на разных
границах. Так же как и в случае неориентируемых диаграмм,
различные конфигурации дают амплитуды, представляющие со-
собой интегралы по различным областям от одного и того же вы-
выражения. Поэтому достаточно вычислить один из интегралов,
а затем соответствующим образом расширить область интегри-
интегрирования. В этом случае мировая поверхность амплитуды снова
отображается на полукольцо, описывающее цилиндрическую
мировую поверхность и изображенное на рис. 8.9. Два интер-
интервала вещественной оси между w и 1 и между —w и —1 пред-
представляют собой две границы цилиндра, к каждой из которых
присоединены по две линии внешних частиц. Тщательный ана-
анализ показывает, что диаграммы на рис. 8.16 в сумме накрывают
область w ^ pi, р2 ^ 1, —1 ^ рз, р4 ^ ¦—w в точности один раз.

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 41
Мы рассмотрим типичный пример, который дает диаграмма
с двумя твистами, изображенная на рис. 8.7. Она задается вы-
выражением (для внешних тахионных состояний на массовой обо-
оболочке)
Ат{\, 2, ..., К; К+1, .... М) =
= gMGT\dDpTr(QAV0(fib О ••• W0(kK, *) X
О ••• bV0[(kM, 1)). (8.1.74)
Отметим, что частицы с номерами 1, ..., К. присоединены к од-
одной границе, а частицы К-\- 1, ..., М — к другой. При вычисле-
вычислении следа в этом выражении множители Q можно исключить
путем коммутирования одного из множителей Q с вершинами
и пропагаторами, соответствующими одной границе, скажем
1, ..., К, до тех пор, пока он не дойдет до другого множителя
и не сократится, благодаря равенству й2 = 1. Единственным
следствием этого коммутирования является замена переменных
рг в (8.1.11) на —рг, т. е. замена —vr/x = In pr/2ni на —vr/x +
-f- 1/2 при г = 1, .... К. Если г и s принадлежат разным гра-
границам, то у переменных csr в (8.1.18) меняются также знаки.
В результате множители ty(csr,w) остаются без изменений,
если г и 5 принадлежат одной границе, в то время как при
свертке частиц на разных границах функции 1|з„ заменяются на
функции^, определяемые выражением
ч 1 + с ( In2 с N ТТ A + wnc) A + wn/c)
:' W) = ~7Г 6ХР ( 2ИП5-) 11 о -1т
Отметим, что замена с на —с производится только в множите-
множителях, возникающих от следов по осцилляторным модам. Диф-
Дифференциал импульсов в интеграле (8.1.17) не меняется и
остается таким же, как в случае планарной диаграммы.
Для всех вкладов в примере четырехчастичной амплитуды
переменные pi и р2 соответствуют внешним частицам, присо-
присоединенным к граничному отрезку между точками —1 и —w,
и умножаются на —1. Для первой диаграммы на рис. 8.16 вы-
выполнены неравенства р4 = w ^ р3 ^ р2 ^ pi ^ 1. Сумма других
диаграмм, приведенных на этом рисунке, заполняет оставшуюся
область интегрирования —1 ^ —pi, —р2 ^ —ш, w = р4 ^ рз ^
^ 1, которая соответствует случаю, когда частицы 1 и 2 при-
присоединены к одной из границ, а частицы 3 и 4 — к другой.

42 Глава 8
Общий результат для М частиц сводится к тому, что по двум на-
наборам переменных рг, связанных с каждой границей, интегриро-
интегрирование проводится независимо один раз вдоль границы, сохра-
сохраняя порядок частиц на каждой границе неизменным и фиксируя
значение одной из переменных, например рм, в точке w.
Как и раньше, геометрическое значение переменных инте-
интегрирования становится ясным после перехода к переменным
vr и т. Чтобы продемонстрировать это, воспользуемся прежде
всего трансформационными свойствами функции 1|)г, приведен-
приведенными в приложении 8.А, где доказана справедливость формулы
г_ ( 2п2\е4(у|т) =
V in w ) е{ (о | т)
Вклады в непланарную амплитуду, возникающие при различ-
различном расположении четного числа твистов во внутренних пропа-
гаторах, интегрируются по области переменных vr, которая
определяется областью изменения переменных рг. Когда эти
вклады складываются вместе для получения полного вклада,.
связанного с теоретико-групповым множителем (8.1.73), то в ре-
результате интегрирование по переменным vr проводится один раз
вдоль внешней и внутренней границ кольца независимо, сохра-
сохраняя циклический порядок частиц неизменным для каждой гра-
границы в отдельности (при этом значение vm фиксируется рав-
равным 1). Обозначив область интегрирования через R, получаем,,
что полный вклад непланарнои диаграммы в амплитуду, который
умножается на (8.1.73), при D = 26 имеет вид
м-\ 1
R г-1
х п <*«>''¦*• П (+>•*• П
(8.1.77)
Поскольку каждая из формул для чр и г|)г содержит множи-
множитель Aп<7)~\ полная степень In q от этих множителей равна
П (- In q)-"r-k' = (- In qf; (8.1.78)
таким образом, множители In q сокращаются, так же как и
в предыдущих вычислениях. (Этот результат не справедлив при

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 43
D ф 26.) В рассматриваемом случае возникает отличие из-за
множителя q~l/4 в формуле (8.1.76) для г|)г. Он приводит к по-
появлению множителя
П q~kr-W = q-4\ (8.1.79)
где
(ZJ (8Л.80)
•а также использован закон сохранения импульса ZfLi К = 0-
С физической точки зрения s представляет собой квадрат ин-
инвариантной энергии, связанной с каналом 1, ..., /С->/(+1, ...
...., М, в котором все входящие частицы принадлежат одной
границе, а все выходящие частицы — другой.
Поскольку подынтегральное выражение в (8.1.77) содержит
множитель q-s/4~3, а остальная часть является аналитической
¦функцией q2, вблизи точки q = 0 интеграл сходится при s <
<С —8. Если интеграл продолжить аналитически по s до зна-
значений —8 и далее,, то наличие расходимостей при интегрирова-
интегрировании по q приводит к тому, что по s возникают сингулярности
в точках s/4 = —2, 0, 2, ... . При D Ф 26 подынтегральное вы-
выражение содержит неисчезающую степень Ing, которая превра-
превращает сингулярности в точки ветвления. Это приводит к наруше-
нарушению унитарности, так как дает нетривиальные вклады в мни-
мнимую часть петлевой амплитуды, которые возникают из-за
скачков амплитуды на соответствующих линиях разреза и не
равны интегралам от древесных диаграмм по фазовому про-
пространству.
В предыдущих разделах приведено много причин, по кото-
которым в теории бозонных струн размерность D=26 предпочти-
предпочтительнее, чем D < 26. Только при D = 26 различные способы
квантования (например, ковариантное квантование и кванто-
квантование в калибровке светового конуса) приводят к одному и
тому же ответу. Именно в 26 измерениях сокращается конформ-
конформная аномалия, квантование в калибровке светового конуса дает
ковариантный ответ, а оператор BRST является нильпотентным.
Тем не менее скептически настроенный читатель может на-
настаивать на том, что старая схема ковариантного квантования
лриводит к лоренц-инвариантному спектру без духов в любой
размерности, меньшей 26. Почему этого недостаточно для по-
построения удовлетворительной теории с взаимодействием? То, что
¦было продемонстрировано выше, возможно, дает окончательный
ответ на этот вопрос. При D <С 26 действительно удается пост-
построить теорию свободных частиц и даже ввести взаимодействие на

44 Глава 8
древесном уровне, однако на однопетлевом уровне нарушается
унитарность >).
При D = 26 степени In q сокращаются, а сингулярности
в точках s/4 = —2, 0, 2, ... являются простыми полюсами.
В этом случае все вклады в мнимую часть амплитуды имеют
вид 6-функций от положений полюсов. Их можно согласовать
с унитарностью, если эти полюсы соответствуют физическим
состояниям теории. (Именно таким образом Лавлейс впервые
обнаружил необходимость условия D = 26.) Тот факт, что вы-
выражение для GT содержит следы по начальному и конечному
состояниям в s-канале в виде отдельных множителей, озна-
означает, что этот канал является синглетом по калибровочной
группе. Поэтому любые полюсы в s-канале, соответствующие
частицам, с групповой точки зрения представляют собой син-
глеты. Как и ожидалось, при изучении деформаций мировой
поверхности струны, изображенной на рис. 8.7, эти состояния
являются просто состояниями замкнутой струны. К тому же
положения полюсов согласуются с вычисленным ранее спек-
спектром масс замкнутых бозонных струн.
Зависимость подынтегрального выражения от s такая же,,
как зависимость, которая предполагалась при обсуждении воз-
возможной интерпретации расходимости планарной петли. В рас-
рассмотренном ранее случае были приведены аргументы в пользу
того, что расходимости можно интерпретировать как возникаю-
возникающие от состояний замкнутой струны, имеющих нулевой импульс
и исчезающих в вакууме; они похожи на расходимости, возни-
возникающие при рассмотрении непланарных диаграмм в случае
К = 0. Путем изучения факторизационных свойств вычетов
в полюсах амплитуды Ат, соответствующих замкнутой струне,
можно проверить, что спектр промежуточных состояний замк-
замкнутой струны в точности совпадает со спектром масс в теории
замкнутых струн. (Детали вычислений не приводятся из-за
сложности.)
Помимо полюсов, соответствующих замкнутым струнам,.
в s-канале присутствуют полюсы с синглетными квантовыми
числами, которые соответствуют открытым струнам. Эти по-
полюсы возникают в интеграле тогда, когда переменные в одном
из двух наборов vr (например, г= 1, ..., К), связанные со
*) Несмотря на это, добавление «лиувиллевских мод», которые возни-
возникают при квантовании с помощью функциональных интегралов и не сокра-
сокращаются при D < 26, возможно, позволит построить унитарную теорию.
Большинство подходов к этой проблеме показывает, что унитарная теория,
если она существует, не содержит безмассовых частиц, которые представ-
представляют основной интерес при рассмотрении дуальных моделей как моделей,.
включающих гравитацию и другие фундаментальные взаимодействия.

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 45
всеми частицами на одной из границ, принимают одинаковое
значение, не зависящее от величины q. Амплитуда в s-канале
имеет также двойные полюсы, соответствующие открытым стру-
струнам, которые возникают в пределе, когда координаты vr осталь-
остальных частиц в s-канале (г = К-\- 1, ..., М) также принимают
одинаковое значение.
Существует связь между полюсами, соответствующими от-
открытым и замкнутым струнам, которая возникает в пределе,
когда переменные vr на границе принимают одинаковое значение
для всех частиц, a #->0. Эта связь приводит к перемешива-
перемешиванию частиц из сектора замкнутых струн с синглетными состоя-
состояниями в секторе открытых струн. В частности, для калибровоч-
калибровочной группы U(n)= 5и(п)~Х U(l) существует безмассовое век-
векторное состояние открытой струны, связанное с множителем
U(l), которое с помощью описанного механизма может пере-
перемешиваться с безмассовым антисимметричным тензорным состоя-
состоянием замкнутой струны. Если это происходит, то они объединя-
объединяются таким образом, что за счет разновидности динамического
механизма Хиггса возникает массивное антисимметричное тен-
тензорное состояние. Однако, как уже было отмечено, группа U (п)
не согласуется с суперсимметрией в теории суперструн. Для до-
допустимых калибровочных групп SO(n) и USp(n) четные мас-
массовые уровни не содержат синглетов (они преобразуются по при-
присоединенному представлению). Нечетные уровни содержат син-
глеты, но ни один из синглетов не имеет той же массы, что и
состояния из спектра замкнутой струны. Таким образом, силь-
сильного перемешивания уровней не существует (по крайней мере
в рамках теории возмущений).
8.2. Однопетлевые амплитуды для замкнутых струн
Рассмотрим теперь однопетлевые амплитуды рассеяния
с внешними замкнутыми струнами. Если по петле распростра-
распространяется открытая струна, как на рис. 8.17, а, то амплитуду можно
построить таким же образом, как в предыдущем разделе при
анализе амплитуд для открытых струн; нужно просто заменить
вершинные операторы открытой струны для внешних линий на
вершинные операторы замкнутой струны. Поэтому мы ограни-
ограничимся случаем, изображенным на рис. 8.17,6, когда внешние
и внутренние линии соответствуют замкнутым струнам. Этот
случай выявляет новые очень важные свойства.
В теории ориентированных замкнутых бозонных струн диа-
диаграмма Фейнмана представляется мировой поверхностью, ко-
которая является замкнутой ориентируемой поверхностью рода /
(т. е. которая имеет I ручек), где / — число петель. Поскольку

46
Глава 8
для каждого значения / топология мировой поверхности един-
единственна, в каждом порядке теории возмущений необходимо
рассматривать только одну струнную амплитуду. В теории не-
неориентированных замкнутых струн унитарность требует вклю-
включения также и неориентируемых поверхностей (таких, как бу-
бутылка Клейна). В обоих случаях теоретико-групповой
множитель отсутствует. В настоящем разделе рассмотрена
только одна диаграмма, которая представляет собой ориенти-
ориентируемую поверхность рода 1=1, т. е. тор. Соответствующие
Рис. 8.17. Однопетлевые диаграммы для рассеяния замкнутых струн, а — рас-
распространение открытой струны в петле; б — распространение замкнутой
струны в петле.
амплитуды, так же как для петель открытых струн, можно по-
построить путем сшивания древесных диаграмм. Несмотря на то
что в рассматриваемом случае топология единственна, для
получения всей области интегрирования в операторном форма-
формализме необходимо учесть все возможные расположения внеш-
внешних частиц. Это обстоятельство уже возникало при анализе
древесных амплитуд для замкнутых струн в разд. 7.2.1. Оно
отражает тот- факт, что естественного упорядочения внешних
замкнутых струн на мировой поверхности не существует.
8.2.1.. Тор
Остановимся на амплитуде рассеяния М состояний замкнутой
струны на массовых поверхностях, которая представляет собой
тор. Те же аргументы, которые были приведены в случае от-
открытых струн, дают для амплитуды следующее выражение:
Ас(\, 2, ...,M) = xM\dDpTr(AV(ku l)AV(k2, 1) ... V (kM, 1))
(8.2.1)
при заданном циклическом порядке частиц. В этом выражении
А — пропагатор замкнутой струны, а V — вершинный оператор

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 47
замкнутой струны, который описан в разд. 7.2.1. В отличие от
открытых струн выражение (8.2.1) необходимо модифицировать.
Прежде всего необходимо просуммировать по упорядочениям
внешних состояний. Во-вторых, выражение (8.2.1) отличается от
правильного результата на бесконечный множитель, наличие
которого при первом рассмотрении может показаться удиви-
удивительным.
Используя функциональные интегралы по мировым поверх-
поверхностям, которые обсуждались в разд. 1.4, амплитуду рассеяния
для тора можно выразить через интегралы по мировой поверх-
поверхности тороидальной топологии, включая интеграл по всем воз-
возможным конформным структурам тора. В разд. 3.3 показано,
что конформные структуры на торе задаются одним комплекс-
комплексным параметром, для которого введены довольно тонкие дис-
дискретные отношения эквивалентности, соответствующие действию
модулярной группы SLB,Z). Как будет ясно из дальнейшего,
этот параметр в действительности совпадает с параметром т,
введенным в разд. 8.1. Ниже будет показано, что выражение
(8.2.1) содержит интегрирование по т без учета дискретного
SL B, Z) -отношения эквивалентности. В рассматриваемом фор-
формализме нам необходимо руками явно выделить действие груп-
группы SLB, Z). В гл. II развит формализм, в котором отношение
эквивалентности относительно действия группы SLB,Z) воз-
возникает автоматически, но этому формализму присущи другие
недостатки, в частности отсутствие явной лоренц-ковариантно-
сти. Формализм, удовлетворительный со всех точек зрения,
который надлежащим образом включал бы все физические
принципы, до сих пор не разработан; он, безусловно, представ-
представлял бы собой существенное развитие теории. В дальнейшем мы
неоднократно будем обсуждать роль модулярной группы, но
сначала необходимо провести математический анализ выраже-
выражения (8.2.1).
Вершинные операторы в выражении (8.2.1) соответствуют
произвольным физическим состояниям замкнутой струны. Про-
Простейшими примерами являются тахионные и безмассовые со-
состояния, обсуждавшиеся в разд. 7.2.1. Чтобы не усложнять
вычислений, мы обсудим только амплитуды с внешними тахио-
тахионами. Такие амплитуды иллюстрируют большинство существен-
существенных свойств теории. В случае внешних тахионов амплитуду
можно записать в виде
АсA, 2, ...,M) = (_
г=1

48 Глава 8
где
М1' 2 M) = \dDpTv(V(kvPl) ... V(kM, PM)wL°wZ«).
(8.2.3)
В этом выражении вершины для замкнутых струн определены
так же, как в G.2.11):
V {kr, pr) ^ V (kr, р„ р,) = VR D- kn рг) VL (~ kr, рг) . (8.2.4)
Здесь комплексные параметры рг и w выражаются через пере-
переменные zr, параметризующие пропагаторы, с помощью уравне-
уравнений, аналогичных (8.1.12) и (8.1.13):
pr = zi -.. гг, (8.2.5)
pM = w=z1 ... zM. (8.2.6)
Основную структуру тора как мировой поверхности можно
прояснить простыми преобразованиями (8.2.3). Пусть Я и Р—•
«гамильтониан» и «импульс» замкнутой струны, рассматривае-
рассматриваемой с точки зрения A + 1)-мерной квантовой теории поля. Они
связаны с Lo и Lo следующими соотношениями:
L0=;i(tf + P), 10 = -1(Я_Р). (8.2.7)
Таким образом, множитель wL°wL° в (8.2.3) принимает вид
(wwf/2(w/wf12. (8.2.8)
Если положить
ww = е~2у, w/w = епх, (8.2.9)
то без учета сложных вставок вершинных операторов выраже-
выражение (8.2.3) будет содержать множитель
Tr(e-yHeixP). (8.2.10)
Теперь видно, что ехр{—уН) представляет собой оператор, ко-
который описывает распространение замкнутой струны в мнимом
времени у. Матричный элемент </|ехр {—уЩ ]t> можно предста-
представить в виде функционального интеграла по цилиндру длины у
с длиной образующей окружности л; граничные условия на
концах цилиндра определены состояниями |t> и |/>, как пока-
показано на рис. 8.18, а. След Тгехр{— уЩ = ?г<г |ехр{—г/#}| i)
можно представить в виде функционального интеграла по тору,
полученному при склейке концов цилиндра, как показано на
рис. 8.18,6. В выражении (8.2.10) под знаком следа стоит до-
дополнительный множитель exp{txP}. Этот.оператор поворачивает

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн
49
замкнутую струну на угол х = 2а, таким образом, след в вы-
выражении (8.2.10) относится к тору, полученному в результате
склеивания открытого цилиндра, изображенного на рис. 8.18, а,
концы которого повернуты относительно друг друга на угол х.
Эта ситуация изображена на рис. 8.18, в. Именно таким спосо-
способом операторный формализм воспроизводит интегрирование по
мировым поверхностям струн. Комплексный параметр % = (х -\-
+ /г/)/2я представляет собой единственный инвариант, опреде-
6
в
Рис. 8.18. а — струна, распространяющаяся в мнимом времени между на-
начальным и конечным состояниями |t> и |/>; б — склейка концов цилиндра
дает тор, что соответствует взятию следа Тг е~уН; в — перед склейкой осно-
основание цилиндра повернули (добавили твист) на угол к.
ляющий конформную структуру тора; этот параметр уже появ-
появлялся в разд. 3.3. На самом деле х не является точным инва-
инвариантом, характеризующим комплексную структуру, и на него
необходимо наложить определенные дискретные соотношения
эквивалентности, как объяснено в разд. 3.3. Эти соотношения
необходимо наложить «руками», что приведет к изменению
формулы (8.2.2) и обсуждается в разд. 8.2.2.
В предыдущем рассмотрении мы пренебрегли вершинными
множителями в (8.2.3). Конечно, они являются существенными,
поскольку позволяют вставлять операторы в точки на мировой
поверхности, которые определяются переменными интегрирова-
интегрирования рг. Таким путем устанавливается связь между операторным
формализмом и функциональными интегралами по всем воз-
возможным мировым поверхностям и всем возможным расположе-
расположениям операторных вставок.
Теперь ясно, что импульс нулевой моды появляется таким же
образом, как в случае петель открытых струн (основное

50 Глава 8
отличие сводится к добавочным множителям 1/4 в коэффициен-
коэффициентах при р2 в Lq и Lq). Интегрирование по импульсу нулевой
моды в петле дает множитель, очень напоминающий множитель
в выражении (8.1.17):
М о/.
П
(8.2,»
где переменные csr = ps/pr определены через комплексные пе-
переменные рг так же, как в формуле (8.1.18).
Вычисление следов по осцилляторам включает алгебраиче-
алгебраические выкладки, похожие на выкладки для открытых струн.
В рассматриваемом случае возникает множитель Г^, заданный
выражением (8.1.24) для каждой ненулевой моды, движущейся
влево, который умножается на комплексно-сопряженную вели-
величину, соответствующую модам, движущимся вправо. Объедине-
Объединение этих множителей с множителем от нулевой моды в (8.2.11)
приводит к следующему выражению (при D = 26):
(8.2.12)
где функции %rs = %(Csr, w) по аналогии с фг$ задаются соотно-
соотношением
-е) тт A — wmc) A — wrl/c)
тт
Д
, (8.2.13)
a \n%rs пропорционален корреляционной функции (X1 (рг) X' (ps))
на торе.
Для изучения полученного выражения в переменных, опре-
определяющих структуру тора, полезно выразить % через 8-функцию
Якоби 0ь С этой целью определим переменные
Vr = iML) T = VM = j?i (8.2.14)
по аналогии с у' и р' в формулах (8.1.51) и (8.1.52) (таким об-
образом, Imvr = —1п|рг|/2я, а 1тт= — In | да |/2я). В этих пере-
переменных %rs = х (vsr, x), где
1[ (V | Т)
(8.2.15)

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн
51
и Vsr = vs — vr- Замена переменных интегрирования дает яко-
якобиан преобразования
М-1 М-1
r=l ¦ r=l
Подстановка выражения (8.2.12) в (8.2.2) и замена перемен-
переменных интегрирования приводит к формуле
ЛГ-1
^|ffo)|-48f^i5_V3X
|2 ' ' (W)l \\n\w\) Л
г=1
ЛГ-1
/ИГ48Д(Хг/'Л/2, (8-2.17)
4я Im X
где область изменения переменных рг задается неравенствами
0< | о> | = | рм | ^ | рм-11 sg .
... ==c|pi|^l. Полная ам- \?_
плитуда получается после
суммирования выражений
такого типа по всем воз-
возможным перестановкам
внешних частиц. Результат
представляет собой то же
выражение, но интегрирова-
интегрирование по переменным рг про-
проводится в области |да|^
^|Pr|=SS 1 без каких-либо
ограничений. Эта область
является кольцом, изобра-
изображенным на рис. 8.19.
Переменные интегриро-
интегрирования для амплитуды с од-
одной петлей замкнутой стру-
струны имеют простую геомет-
геометрическую интерпретацию на
торе. Если в ней разобрать-
разобраться, то становится ясным пра-
правильный выбор области ин-
интегрирования. Основная кар-
картина, которая при этом появится, представляет собой комплекс-
комплексную плоскость, в которой параметр t характеризует конформно
неэквивалентные геометрии на торе, а параметры уг описывают
Рис. 8.19. Отображение петли замкну-
замкнутой струны на поверхность тора пред-
представлено областью в виде кольца. Внеш-
Внешние частицы, отмеченные крестами, ин-
интегрируются по внутренней области
кольца с граничными условиями, кото-
которые отождествляют произвольную точ-
точку р внешней границы с точкой шр на
внутренней- границе.

52
Глава 8
положение r-й частицы на поверхности. Мы уже качественно
объяснили, как это происходит. Для того чтобы пояснить этот
вопрос на формальном уровне, заметим прежде всего, что
= x(v, t),
(8.2.18)
как показано в приложении 8.А. Таким образом, при заданном
х функция x(v, т) является дважды периодической функцией
по v с периодами 1 и т. Это означает, что комплексную пло-
плоскость можно разделить на параллелограммы, которые смещены
относительно друг друга на расстояния, кратные 1 и т, причем
на каждом параллелограм-
ме, изображенном на рис.
8.20, функция одинакова.
Поэтому можно считать, что
функция 1 определена на од-
одном из этих параллелограм-
параллелограммов с отождествленными
краями, т. е. на торе. Как
обсуждалось выше, если
т = (х -f iy) /2п, то тор, изо-
изображенный на рис. 8.20, по-
0
• 1+т
1
Рис. 8.20. Представление области инте-
интегрирования по переменным vr на торе.
Если переменная т определена соотно-
соотношением т= (* + ш)/2п, то тор полу-
получается при склейке противоположных
сторон параллелограмма высоты у и с
длиной горизонтальной стороны х.
лучается путем перемеще-
перемещения замкнутой струны вверх
на расстояние у и сдвига
вправо на расстояние х, что
в точности соответствует
оператору trexp{—yti +
+ ixP}.
В случае поверхности нулевого рода необходимо учитывать
SLB, С)-симметрию бесконечной плоскости. Поэтому возни-
возникает естественный вопрос о существовании аналогичной сим-
симметрии в рассматриваемом случае. Из рис. 8.20 сразу следует,
что ответ утвердительный. Положение центра параллелограмма
произвольно, а его форма и ориентация важны для описания
конкретного тора. В переменных vr указанный произвол озна-
означает, что все Vr можно сдвинуть на общую комплексную кон-
константу. В частности, значение одной из переменных vr можно
фиксировать, поэтому интегрировать по ней не нужно. В опера-
операторном формализме удобно положить vm = т. Фактически влия-
влияние симметрии [U{\)\2 учесть легче, чем симметрию SLB,C)
древесной амплитуды. В действительности для поверхностей
рода 1 не имеет значения, проводится ли интегрирование по
координате vm на торе или ее значение фиксируется, используя
свойство симметрии; это происходит потому, что рассматривав-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 55
мая группа имеет конечный объем, равный площади параллело-
параллелограмма Aтт), который можно компенсировать дополнительным
множителем (Im t)—1.
8.2.2. Модулярная инвариантность
Полученное выражение для тороидального вклада в ампли-
амплитуду рассеяния содержит интеграл по комплексному параметру
т, определяющему конформную структуру тора. В разд. 3.3 по-
показано, что, хотя выбор т однозначно определяет конформную-
структуру тора, обратное утверждение неверно. Если
\с d)
(8.2.19).
обозначает 2Х2-матрицу целых чисел с единичным детерминан-
детерминантом, то х и
, = wt±b (8.2.20>
ex + d v '
определяют торы с одинаковой комплексной структурой. Об-
Область интегрирования по т необходимо ограничить «фундамен-
«фундаментальной областью», которая включает каждую конформную-
структуру только один раз. В формализме, используемом здесь
для петлевых диаграмм, такое ограничение автоматически не
появляется, поэтому его необходимо ввести искусственно.
Хотя в разд. 3.3 содержится самосогласованный способ учета
симметрии SLB, Z), ниже мы рассмотрим альтернативный и
содержательный путь рассуждений. Действие Намбу — Гото ин-
инвариантно относительно перепараметризации мировой поверхно-
поверхности струны. Очевидными репараметризациями являются инфи-
нитезимальные преобразования
ст°^(та + Г(У), (8.2.21)-
а также репараметризации, возникающие при экспоненциаль-
экспоненциальном отображении этих преобразований. Конечно, инфинитези-
мальные репараметризации (8.2.21) генерируют связную группу,
как и любые другие инфинитезимальные преобразования. При
фиксировании калибровки в действии Намбу—Гото мы рас-
рассматривали только инфинитезимальные репараметризации.
Этого на самом деле было достаточно на древесном уровне.
В соответствии с классификационными теоремами группы диф-
диффеоморфизмов мировых поверхностей на древесном уровне
(диск и сфера для открытой и замкнутой струн соответственно)
являются связными и генерируются своими инфинитезималь-
ными преобразованиями.

-'54 Глава 8
Если род поверхности равен или больше единицы, то ситуа-
:ция меняется коренным образом: группа диффеоморфизмов в
этом случае является несвязной, и появляются такие диффео-
диффеоморфизмы мировой поверхности струны, которые не учиты-
учитываются фиксированием калибровки по методу Фаддеева—По-
Фаддеева—Попова. Как будет показано ниже, такими диффеоморфизмами
являются модулярные преобразования.
Отметим, что утверждение о несвязности группы диффео-
диффеоморфизмов тора основано только на топологических свойствах,
а вид метрики или конформной структуры на торе является при
этом несущественным. Наша задача состоит в том, чтобы вы-
выбрать стандартный тор и описать группу его диффеоморфизмов.
Рассмотрим тор, возникающий из отношения эквивалентности
в плоскости (сть ст2) (в данном разделе координаты мировой
поверхности обозначаются о\, а2, так как обозначение ст, т при-
привело бы к путанице с традиционным обозначением модулярного
параметра т). В предыдущем разделе мы параметризовали тор
комплексной переменной v с периодами 1 и т. Вместо комплекс-
комплексного параметра v можно использовать пару действительных па-
параметров CTi И СТ2
v = а, + а2х, (8.2.22)
каждый из которых имеет период, равный единице. Тогда отно-
отношение эквивалентности, входящее в определение тора, можно
записать в следующем виде:
(огь ог2) ~ (or, + п, ст2 + т), (8.2.23)
где п и т — произвольные целые числа.
Наше утверждение заключается в том, что описанный выше
тор допускает диффеоморфизмы, которые невозможно непре-
непрерывным образом трансформировать в тождественное преобра-
преобразование. Таковыми являются преобразования
(сть (т2) ->(a(Ti + ba2, ест, + da2), (8.2.24)
где а, Ь, с и d определяют элемент группы SL{2, Z). Действи-
Действительно, преобразование (8.2.24) совместимо с отношением эк-
эквивалентности (8.2.23) (эквивалентные, согласно отношению
(8.2.23), точки отображаются в эквивалентные точки) только
при целых а, Ъ, с и d. Кроме того, преобразование (8.2.24)
является обратимым взаимно однозначным отображением тора
на себя тогда и только тогда, когда ad-—bc= 1; при этом об-
обратное преобразование имеет вид
(<уи а2) -> (rfoj — Ь<у2, —ест] + аа2). (8.2.25)

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 5S
Таким образом, группу SLB,Z) можно рассматривать как
группу репараметризаций тора. Преобразование (8.2.24) можно-
получить непрерывным образом из единицы путем экспонен-
экспоненциального отображения инфинитезимальных репараметризаций
только при a = rf=l, 6 = с = 0. Произвольный диффеомор-
диффеоморфизм тора можно записать в виде (8.2.24) (для каких-то а, Ъ,
end) путем умножения его на диффеоморфизм, получаемый из
тождественного отображения непрерывным образом. Таким об-
образом, модулярная группа SLB,Z) (и ее многопетлевые ана-
аналоги) представляет собой ту часть репараметризационной ин-
инвариантности действия Намбу— Гото, которая не учитывается
при фиксировании калибровки по методу Фаддеева — Попова.
Особенно просто выглядят некоторые выделенные примеры
модулярных преобразований. Преобразование
-i о; <8-2-26>
меняет местами координаты ai и Ог с изменением знака. При
этом модуль т конформной структуры поверхности преобразует-
преобразуется по правилу
т-»>-1/т. (8.2.27)
Преобразование
/1 1\
(8.2.28)
приводит к сдвигу CTi на величину, зависящую от а2. Его дей-
действие на модулярный параметр имеет вид
т-»т+1. (8.2.29>
Довольно сложным способом можно доказать, что (8.2.27) и
(8.2.29) генерируют всю модулярную группу; таким образом,
при обсуждении модулярной инвариантности в ряде случаев до-
достаточно проверить соответствующее поведение только при этих
преобразованиях.
Хотя действие Намбу-—Гото с формальной точки зрения
инвариантно относительно инфинитезимальных преобразований,
эта инвариантность на квантовом уровне имеет место только-
в 26 измерениях, где аномалия сокращается. Несмотря на то
что SL B, Z) -инвариантность тороидальной мировой поверхно-
поверхности с формальной точки зрения является следствием репарамет-
ризационной инвариантности, необходимо задать вопрос, имеет
ли место эта инвариантность на квантовом уровне или она на-
нарушается за счет «глобальной аномалии», т. е. происходит

'56 Глава 8
«вантовомеханическое нарушение модулярной инвариантности.
В дальнейшем будет показано, что SLB,Z)-инвариантность иг-
играет решающую роль для отсутствия ультрафиолетовых расхо-
димостей в теории, поэтому аномалия, нарушающая SLB,Z)-
инвариантность, была бы катастрофической. Более того, по-
поскольку с геометрической точки зрения SL B, Z) -инвариантность
является глобальным свойством мировой поверхности распро-
распространяющейся струны, аномалия была бы серьезной трудностью
для геометрической интерпретации теории струн.
Покажем, что (в 26 измерениях!) подынтегральное выраже-
выражение для тороидальной диаграммы действительно инвариантно
относительно модулярных преобразований, поэтому аномалия
для группы SLB,Z) в одной петле отсутствует. Амплитуду
(8.2.17) можно записать в виде
А
A,2 М) = \ -j^- С (т) F (т), (8.2.30)
где мера (lmx)~2d2x и каждый из множителей С и F в отдель-
отдельности оказываются инвариантными относительно модулярных
преобразований. Инвариантность меры следует из того, что при
преобразовании х-^(ах + Ь)/(сх + d) справедливы следующие
соотношения:
d2x -»| сх + d Г4 dh, (8.2.31)
1тт^|ст + й!Г21тт. (8.2.32)
Справедливость этих соотношений устанавливается просто. Ин-
Инвариантность функции
F (х) = 4 (ккГ Im т U П йЦЛ П (Х«)*гЛ/2 (8-2.33)
при SL B, Z) -преобразованиях следует из того факта, что % яв-
является модулярной функцией единичного веса (как показано
в приложении 8.А), и из кинематического соотношения для та-
тахионных состояний замкнутой струны на массовой оболочке
^ kr-ks = -AM. (8.2.34)
Чтобы проверить инвариантность .F(t), необходимо преобразо-
преобразовать переменные vr в v'r = vr/(cT + d) одновременно с преобра-
преобразованием х в (ах -\-ЬI (сх + d). Интегрирование по комплексной
переменной v'r проводится по параллелограмму с верши-
лами в точках 0, (dx' — b), (a — Ъ + dx' — сх') и (а — сх'), ко-
который имеет площадь, равную 1га х'. Инвариантность преобра-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 57'
зованных функций при преобразованиях v'-^v'+l и v'-»-
-*-v' + t' позволяет переменные интегрирования v' сдвинуть та-
таким образом, что областью интегрирования станет фундамен-
фундаментальный параллелограмм, ограниченный прямыми @, 1) и
(О, х')\ таким образом, преобразованное подынтегральное выра-
выражение интегрируется по той же области в терминах х', по ко-
которой в терминах т брался интеграл до преобразования.
Инвариантность функции С(х), определенной выражением
«4зт Гт Т I f / „ \ 1 — 48 /q n оС\
е %\j(w)\ , кр.л.оО)
проверяется путем использования трансформационных свойств
|/(да)|, полученных из (8.1.54) (используя определения Inw =
= 2отт и In q2 = In w' = 2inx), которые приводят к соотноше-
соотношению
f (w) Г48 = I х' Г24 е4я Im x'\ f (wr) \~ш. (8.2.36V.
е4я Im т |
S..2.3. Область интегрирования
В предыдущих разделах мы описали конформную структуру
однопетлевой диаграммы в терминах комплексной переменной т
с положительной мнимой частью. Верхняя полуплоскость т ото-
отображается на себя при действии группы SLB, Z) довольно
сложным образом. Область R верхней полуплоскости, обладаю-
обладающая тем свойством, что любую точку верхней полуплоскости
можно отобразить единственным образом в R с помощью моду-
модулярного преобразования, называется фундаментальной областью
модулярной группы. Существует много способов разделить верх-
верхнюю полуплоскость на фундаментальные области. Обычный
и удобный способ показан на рис. 8.21. Одной из фундаменталь-
фундаментальных областей, которую мы будем рассматривать как «стандарт-
«стандартную», является область —1/2^ Ret ^ 1/2, 1тт>0, |т|2> 1„
обозначенная буквой F на рис. 8.21.
Выражение (8.2.17) для петлевой амплитуды, полученное-
при склеивании древесных диаграмм, включает интегрирование
по т по полосе 1шт > 0 и —1/2 ^ Ret ^ 1/2 в верхней полу-
полуплоскости. Однако это соответствует включению бесконечного
числа фундаментальных областей, которые отображаются друг
на друга при действии модулярной группы. Определенно инте-
интегрирование по т по всей полосе дало бы бесконечную и неуни-
неунитарную амплитуду (см. рис. 8.3,6), поскольку весь интеграл,
включая его скачок, учитывался бы бесконечное число раз. Это
означает, что выражение (8.2.17) не верно. Для того чтобы не
учитывать лишние вклады, интегрирование по х необходимо»

58
Глава 8
ограничить только одной фундаментальной областью модуляр-
модулярной группы, например областью F на рис. 8.21.
С очень большой натяжкой можно считать, что 1га т пред-
представляет собой мнимое время, в течение которого струна распро-
распространяется по петле. В этом смысле область малых 1га % можно
было бы рассматривать как «ультрафиолетовую» область малых
времен распространения, в то время как область больших
1тт — как «инфракрасную»
область. При таком описании
ограничение области интегри-
интегрирования фундаментальной об-
областью устраняет возможность
существования «ультрафиоле-
«ультрафиолетовых» расходимостей, но в то
же время существование «ин-
«инфракрасных» расходимостей,
связанных с безмассовыми ча-
частицами и тахионами, воз-
возможно.
В рассматриваемом подхо-
подходе описанное выше ограниче-
ограничение области интегрирования
должно быть наложено искус-
искусственно, но в любой последо-
последовательной теории, основанной
Рис. 8.21. Плоскость комплексной пе- на полевой теории струн (та-
ременной т. Кривые отделяют фун- кой как полевая теория В ка-
даментальные области модулярной ЛибРовке светового конуса),
ГсРаГяЬ\е?с™Ст"ьнойКОоТс0иРТт"е==Ко; это ограничение должно воз-
принимается в качестве «стандарт- Никать естественным образом,
ной» области. поскольку в полевых теориях
унитарность гарантирована.
Ограничение области интегрирования по % не имеет простой
интерпретации на уровне исходных пропагаторов, из ко-
которых составляется петлевая амплитуда. Для каждого отдель-
отдельного вклада в амплитуду интегрирование по параметрам zr
интегрального представления внутренних пропагаторов прово-
проводится в пределах, которые связаны между собой, когда пара-
параметр т ограничен областью F, а это означает, что петлевая
амплитуда не равна сумме петель отдельных частиц, состав-
составляющих спектр струны.
Можно показать, что обычные пороговые сингулярности
однопетлевой амплитуды рассеяния, которые необходимы для
унитарности, возникают от концевых точек интервалов инте-
интегрирования таким же образом, как и в случае открытых струн.

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 5Ф
В каждом канале возникают полюсы от той области интегриро-
интегрирования, в которой переменные, соответствующие частицам в за-
заданном канале, близки между собой на поверхности тора, т. е.
в пределе, когда часть переменных vSr—>-0. При vsr ~ 0 функ-
функция %rs принимает особенно простой вид
Xrs~2n\yrs\. (8.2.37)-
Область пространства параметров, в которой группа частиц
сближается, соответствует таким вложениям мировой поверх-
поверхности в пространство-время, при котором эта группа частиц
отделена от других частиц тонкой длинной трубой. Обычные
пороговые сингулярности возникают, когда параметр w близок
к нулю (или 1тт->-оо) благодаря обращению в нуль перемен-
переменных zr, соответствующих внутренним пропагаторам. Этому со-
соответствует такая пространственно-временная картина, когда от
мировой поверхности отходит пара длинных тонких труб, разде-
разделяющих группы внешних частиц.
8.2.4. Анализ расходимостей
Существует несколько пределов, в которых могут появиться-
расходимости. Одна из расходимостей связана с пределом, когда
все переменные vr, за исключением одной, близки друг к другу.
Это соответствует расположению петли на внешней тахионной
линии, причем сингулярность возникает от тахионного пропа-
гатора на массовой оболочке (рис. 8.10). Как и в случае петель
открытых струн, такие расходимости можно интерпретировать
как перенормировку массы тахиона. Хотя при получении пере-
перенормированной теории вне массовой оболочки возникают тех-
технические трудности, эти трудности носят такой же характер,,
как в аналогичной проблеме в теории поля точечных частиц.
Действительно существенная расходимость возникает в об-
области, где все частицы сходятся на торе, т. е. когда v™—>-О-
для всех г и 5. Сначала обсудим эту область с эвристической
точки зрения, как это было проделано для открытых струн. Рас-
Рассмотрим мировую поверхность струны, изображенную на
рис. 8.22, а, в виде сферы (древесная диаграмма) с внешними
вершинными операторами, которая связана длинной трубой
с тором без вставок вершинных операторов. Интегрирование по
длине горловины дает точно такую же расходимость \ dq/q3,.
J О
как в случае диаграмм для открытых струн. Коэффициент при
расходимости факторизуется, как показано на рис. 8.22, б.
С другой стороны, с точностью до конформного преобразования
метрики мировая поверхность, изображенная на рис. 8.22, а„

60
Глава 8
эквивалентна мировой поверхности с близко расположенными
частицами, когда vrs-+0 для всех г и s (как на рис. 8.22,в).
В самом деле, рассмотрим двумерную метрику
2 (8.2.38)
где а (г) — гладкая функция, ведущая себя как г2 при малых
г. Выбор
а (г) = sin2 r, 0<г<я, (8.2.39)
соответствует метрике на сфере. С другой стороны, выбор
а 5
Рис. 8.22. а — мировая поверхность струны с длинной горловиной, связываю-
связывающей древесную диаграмму с тором; б— представление коэффициента при
расходимости, возникающей при интегрировании вдоль горловины из-за рас-
распространения тахиона; в — мировая поверхность, конформно эквивалентная
мировой поверхности, изображенной на рис. 8.22, а, у которой отсутствует
тонкая горловина, а внешние состояния очень близки между собой.
а = const соответствует цилиндру. Комбинируя приведенные
выше метрики,
a(r) = sinV, 0<г<я-6;
2(л б) jt6<r<# v ;
а (г) = sin2(л — б), jt-
получаем (при малом б и большом R) сферу с тонкой и длинной
выходящей трубой. Рассмотрим теперь конформное преобразо-
преобразование метрики, которое отображает метрику (8.2.38) в плоскую
метрику на плоскости. Попытаемся записать метрику в виде
dr2 + а (г) dj>2 = Ь (г) (dr' (гJ + г' (гJ dj>2), (8.2.41)
тде b{r) и г'{г)—неизвестные функции, подлежащие определе-
определению. Тогда, избавившись от множителя b{r) в правой части

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 61
(8.2.41) с помощью конформного преобразования метрики, мы
получили бы стандартную плоскую метрику на плоскости ds2=
= dr'2 + r'2d<p2. Из (8.2.41) сразу следует, что для этого необ-
необходимо выполнение равенства a(dr'/drJ = (г'J, которое после
интегрирования дает
= ехр = ( \ dy/л/Ш). (8-2-42)
где го — произвольная константа интегрирования. Эту общую
формулу мы применим к метрике (8.2.40). В (8.2.40) нас инте-
интересует предел больших R, соответствующий очень длинной гор-
горловине на рис. 8.22, а. Для сравнения с формулами для петле-
петлевой амплитуды удобнее всего провести преобразование таким
образом, чтобы часть мировой поверхности, описываемая мет-
метрикой (8.2.40), отображалась на область, размер которой не
зависит от R. Для этого необходимо, чтобы в выражении
(8.2.42) г0 ~ R, а это в свою очередь означает, что область
г ^ п — б в (8.2.40) в терминах г' отображается в область
r's=:exp(—R/sin(n— б)). Таким образом, мы показали, что
область мировой поверхности с близко расположенными вер-
вершинными операторами, где vrs—>-0 для всех г и s, конформно
эквивалентна области с инфракрасной расходимостью, изобра-
изображенной на рис. 8.22, а.
Для более строгого математического исследования этой об-
области удобно определить переменные г\г следующими соотноше-
соотношениями:
er]r = vr-vM (8.2.43)
при г== 1, 2, ..., М — 2, где действительная переменная е рав-
равна |tim-i|, т. е.
¦nM_1 = eei* = vM-i-vM. (8.2.44)
Якобиан замены переменных имеет вид
М-1 М-2
Jld2vr = iz2M-3dzdj>Jld\r. (8.2.45)
Используя (8.2.37), подынтегральное выражение в амплитуде
(8.2.34) можно разложить по степеням е и получить главный
расходящийся вклад, который имеет вид
М-2 ч
) П ^ТЕ^- <8-2'46)
г=1

62 Глава 8
Как и для открытых струн в этом выражении присутствует
ожидавшаяся расходимость de/e3. Интегрирование по г\, дает
М-точечную функцию на сфере, в то время как интегрирование
по т дает амплитуду перехода вакуум — вакуум на торе (инте-
(интеграл по фундаментальной области модулярной группы без вста-
вставок вершинных операторов на торе).
Следующий член разложения подынтегрального выражения
дает расходимость вида \ de/e, соответствующую распростране-
распространению вдоль длинной горловины на рис. 8.22, а безмассового ди-
дилатона, а не тахиона. Коэффициент при этой расходимости
48 (8.2.47)
должен быть пропорционален связи дилатона с тороидальной
мировой поверхностью, т. е. однопетлевому вакуумному сред-
среднему для дилатона. Это можно увидеть явно, сравнивая приве-
приведенное выражение с формулой, полученной непосредственно из
однопетлевой амплитуды для замкнутой струны с одним внеш-
внешним дилатоном на массовой оболочке. Вершина испускания ди-
дилатона на массовой оболочке с нулевым импульсом имеет вид
Vd = X>r{1)XlvA); (8.2.48)
таким образом, однопетлевое вакуумное среднее для дилатона
(с к = 0) можно записать в виде
¦?- \d26p S ШТг о^*1** <*> ** <*»¦ <8-2-49>
Вводя обозначение г = ехр{2шг}, легко видеть, что приведен-
приведенное выражение пропорционально (8.2.47) с конечной константой,
пропорциональности, если предполагается, что интегрирование
по 2 ограничено одной фундаментальной областью.
Ограничение интегрирования по т одной фундаментальной
областью необходимо для согласия с формулой (8.2.47), хотя
оно и не содержится в определении амплитуды для дилатона,
поскольку ее номировка не определяется непосредственнЪ из
условия унитарности. Так как зависимость подынтегрального
выражения в (8.2.49) от импульса в петле имеет гауссов вид
|z|p2/4 ~ ехр{—я1ттр2/2}> вклад от области больших петлевых
импульсов подавлен за счет ограничения области интегрирова-
интегрирования по % фундаментальной областью, которая не содержит
область 1тт~0 (т. е. |z|~ 1). Рассмотренная расходимость
дает явный пример того, как ультрафиолетовые расходимости,
обычно связанные в полевой теории с петлевыми интегралами.

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 63
устраняются за счет модулярной инвариантности теории замкну-
замкнутых струн.
В разд. 3.4.6 было показано, что из инвариантности теории
-струн относительно преобразований Вейля следует равенство
нулю вакуумного среднего для дилатона на уровне древесных
диаграмм. Однако на однопетлевом уровне, очевидно, это не
верно. На самом деле вакуумное среднее не просто отлично от
нуля, а является бесконечным, поскольку интеграл (8.2.47) рас-
расходится в граничной точке 1тт—»-оо. Расходимость возникает
от главного члена в разложении подынтегрального выражения
в (8.2.49) по степеням zz. Этот член связан с тахионным со-
состоянием, циркулирующим по петле, и не имеет ничего общего
с ультрафиолетовыми свойствами амплитуды. В простганстве-
премени расходимости можно поставить в соответствие конфи-
конфигурации мировой поверхности в виде тора с очень большой
длиной образующей окружности.
8.2.5. Космологическая постоянная
В общей теории относительности к тензору энергии-импульса
материи можно добавить член Ag^v, где А — космологическая
постоянная, a g^v—метрический тензор пространства-времени.
Это слагаемое соответствует добавлению к действию Гильбер-
Гильберта— Эйнштейна (в D измерениях) следующего члена:
, (8.2.50)
где g = detg[iV. В классической теории нулевое значение кос-
космологической постоянной эквивалентно наличию дополнительной
плотности энергии, которая не генерируется существующей ма-
материей во Вселенной Астрономические данные свидетельствуют
о том, что четырехмерная космологическая постоянная фанта-
фантастически мала, менее 10~120 в единицах (масса ПланкаL. К со-
сожалению, даже если положить значение космологической
постоянной равным нулю в классической теории, изменение энер-
энергии вакуума из-за квантовых флуктуации в общем случае при-
приводит к огромному значению космологической постоянной в
обычных полевых теориях. В суперсимметричных теориях эти
вакуумные флуктуации исчезают и никаких квантовых попра-
поправок к космологической постоянной не возникает. Но в природе
суперсимметрия определенно нарушена, по крайней мере в мас-
масштабе энергий, связанном с нарушением симметрии слабых
взаимодействий, поэтому наблюдаемая малость космологической
постоянной является важным свойством, которое требует объ-
объяснения. Обычно физики, занимающиеся теорией элементарных

64 Глава 8
частиц, игнорировали эту проблему из-за отсутствия последо-
последовательной квантовой теории гравитации, но в теории суперструн
эта важная проблема, очевидно, должна возникнуть.
В теории струн на древесном уровне космологическая по-
постоянная исчезает. Это доказывается тем обстоятельством, что
при попытке квантования свободной струны, распространяю-
распространяющейся в плоском пространстве Минковского, не возникает ни-
никаких препятствий. В противоположность этому если попы-
попытаться рассмотреть распространение свободной струны в про-
пространстве с ненулевой космологической постоянной (например,
в пространстве Де Ситтера или анти-Де Ситтера), то возникает
трудность с нарушением конформной инвариантности по при-
причинам, обсуждавшимся в разд. 3.4. Допустим, что космологи-
космологическая постоянная в теории струн исчезает на древесном уровне,
и рассмотрим, что происходит на уровне одной петли.
Напомним сначала вычисление квантовых поправок к Л
в обычной полевой теории с точечными частицами. Выражение
для космологической постоянной задается суммой вакуумных
средних для энергии каждого сорта частиц. Эти квантовые по-
поправки к Л могут быть вычислены, исходя из добавки к кван-
квантовому эффективному действию (т. е. к свободной энергии),
которая имеет вид (8.2.50). В низшем порядке теории возмуще-
возмущений эта добавка зависит только от кинетических членов в дей-
действии полевой теории. Интегрирование по полевым степеням
свободы в производящем функционале приводит к следующему
выражению для Л, возникающему для одного сорта частиц
с массой т:
Л = ± i- In det (р2 + т2) = ± j \ -0Г In (р2 + т2), (8.2.51)
где знак «+» соответствует бозонам, а знак «—» — фермионам.
Это выражение является самым простым видом петлевой ам-
амплитуды, когда вершины взаимодействия отсутствуют, и совер-
совершенно очевидно, что оно расходится в отсутствие регуляриза-
регуляризации. Для того чтобы обсудить аналогичные вычисления в теории
струн, полезно переписать выражение для Л, используя следую-
следующую формулу:
In a = lim Г [ Щ- e~at - In el. (8.2.52)
Если не учитывать расходящуюся константу Ins, выражение
для Л можно записать в виде
\? (8-2-5з)

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 6S
(знак «—» соответствует бозонам, а знак «+» фермионам). Тот
факт, что интеграл расходится в пределе t — О, является при-
признаком наличия ультрафиолетовых расходимостей, которые в
обычных полевых теориях необходимо регуляризовать. Однако
в теории струн, как будет показано ниже, эта проблема не воз-
возникает.
Правдоподобным выражением для космологической постоян-
постоянной в теории струн является сумма вакуумных энергий для
каждого состояния струны. Эту сумму легко вычислить, по-
поскольку след пропагатора струны представляет собой сумму
пропагаторов для отдельных состояний. Пропагатор замкнутой
струны, введенный в разд. 7.2.1, можно записать в следующем
виде:
^ S TTF^0-1^-1- (8.2.54>
Для сравнения этого выражения с пропагатором точечной
частицы запишем
z — e2im == e2in(Re x + i lm х); (8.2.55)'
при этом d2z/\z\2 = 4n2d2x. Интеграл по Rex проецирует на
физический сектор состояний, удовлетворяющих равенству
Lo = l0, в то время как интегрирование по Im т соответствует
интегрированию по собственному времени в (8.2.53), причем
связь между х и t имеет вид t = na'Imt. Поэтому сумму вкла-
вкладов в космологическую постоянную, возникающих для каждого»
состояния струны, можно представить в следующем виде:
~~ 2 J BяJ6 ) п X Im x в
zN Z
Z Z
Z^) =
Z )
Если бы мы выбрали область интегрирования в (8.2.56) в.
виде полубесконечной ленты 0<1тт-<оо, —1/2^ Ret ^
s=: 1/2, то выражение (8.2.56) было бы очень похоже на
(8.2.53). Однако такой выбор неверен. Легко видеть, что подын-
подынтегральное выражение в (8.2.56) модулярно инвариантно, так
же как и выражение для вакуумного среднего дилатона. По-
Поэтому интегрирование по х должно проводиться только по одной
фундаментальной области модулярной группы, изображенной
на рис. 8.21. Такое ограничение интегрирования одной фунда-
фундаментальной областью не имеет простой аналогии в полевой
теории. Грубо говоря, исключение области вблизи 1га т =
== 0 (| г| —- 1) равносильно ультрафиолетовому обрезанию вкла-
вкладов состояний струны в энергию вакуума. В теории бозонной

66 Глава 8
струны космологическая постоянная имеет инфракрасные рас-
расходимости из-за наличия тахиона, но ультрафиолетовое обреза-
обрезание является важным отличием от случая точечных частиц.
Выражение (8.2.56) пропорционально вакуумному среднему
дилатона (8.2.47). Эта связь между космологической постоянной
и вакуумным средним дилатона представляет собой простейший
пример, иллюстрирующий общее явление. Добавление дилатона
с нулевым импульсом к произвольному процессу приводит к вы-
выражению, которое пропорционально производной амплитуды без
тахиона по натяжению струны. Это свойство тесно связано с по-
поведением при масштабных преобразованиях, которое обсуж-
обсуждается в разд. 13.2.
8.2.6. Амплитуды с безмассовыми состояниями
замкнутой струны
Ниже мы обсудим кратко однопетлевые диаграммы с без-
безмассовыми внешними состояниями замкнутой струны. Безмас-
Безмассовые состояния с тензором поляризации g^v имеют вершинный
оператор V^, который равен произведению левых и правых
сомножителей V^gV^L, где V^ и VvL соответствуют вершинам
испускания безмассовых состояний открытой струны, распро-
распространяющихся влево и вправо. Тензоры поляризации удобно
выбрать в виде произведений g^g*. При этом не происходит по-
потери общности, поскольку произвольный тензор можно записать
в виде суммы произведений векторов gj!v = ?„ g^gf,, ¦ Поэтому
полную амплитуду можно представить в виде суммы членов,
включающих факторизованные тензоры поляризации. Физиче-
Физические требования к внешним состояниям имеют вид?г-&г = 0=
— \T~kr и k2r = 0. Как показано в разд. 7.1.4, вершины, кото-
которые факторизуются на произведение вкладов ненулевых мод,
распространяющихся влево и вправо, могут быть записаны
в виде VR (g, -1 k, z) VL (l, i- k, z), где
V R (g, Yk'z)= exP № -Xr(z)+Z- Xr (z)/z) (8-2-57)
и Vl имеет аналогичный вид. Как и раньше, при вычислении
амплитуды будем удерживать только члены, линейные по ? и g.
Как в случае петель открытых струн, выражение для амплитуды
может быть получено либо ковариантным образом (с учетом
вклада соответствующих духовых мод в пропагаторы), либо
в калибровке светового конуса (когда внешние импульсы имеют

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 67
нулевые р+-компоненты и^=^ = 0). Поскольку в интегриро-
интегрирования по 2 и г левые и правые моды входят независимо, следы:
по ненулевым модам в выражении (8.2.1) представляются
в виде произведения следов для каждого типа мод. Каждый из
этих сомножителей имеет вид следа для петель открытых струн..
Интеграл по нулевым модам связывает левые и правые сте-
степени свободы, поэтому возникают множители, содержащие про-
произведение ^ и t
8.3. Другие типы диаграмм для неориентированных струн
В теориях с неориентированными открытыми или замкну-
замкнутыми струнами существуют дополнительные диаграммы, кото-
которые дают вклад в том же порядке теории возмущений, что
и диаграммы, рассмотренные до сих пор. Эти диаграммы де-
делятся на два вида: древесные диаграммы «более высокого по-
порядка» и дополнительные петлевые диаграммы. Под древесными
диаграммами мы понимаем диаграммы, у которых все сингу-
сингулярности имеют вид одночастичных полюсов. Под древесными
диаграммами более высокого порядка мы понимаем древесные
диаграммы, которые в теории возмущений имеют более высокий
порядок, чем обычные древесные диаграммы. Наличие древес-
древесных диаграмм более высокого порядка является специфической
чертой теорий, содержащих неориентированные открытые или.
замкнутые струны.
8.3.1. Древесные диаграммы более высокого порядка
В гл. 7 изучались струнные диаграммы, соответствующие
мировым поверхностям, которые топологически эквивалентны
диску. Если внешние состояния соответствуют открытым стру-
струнам, то такая диаграмма дает основной вклад в амплитуду
рассеяния и представляет собой обычную древесную диаграмму,,
которая просто описывается в операторном формализме. В слу-
случае, когда внешними состояниями являются два или более со-
состояний открытой струны и произвольное число состояний замк-
замкнутой струны, амплитуду можно изучать так же, как это
сделано в гл. 7. С этой целью выбирают два произвольных
внешних состояния открытой струны, называют их «начальным»
и «конечным» состояниями |i> и <f| и записывают древесную
амплитуду в виде
Л = (/|УАУАУ ... K|t), (8.3.1)
где А — пропагатор открытой струны, а V — соответствующий
вершинный оператор открытой или замкнутой струны.

68
Глава 8
Что произойдет, если рассмотреть диск с внешними состоя-
состояниями, соответствующими только замкнутым струнам, как изо-
изображено на рис. 8.23, а? (Аналогичные вопросы возникают для
диаграммы с одним внешним состоянием открытой струны и
произвольным числом внешних состояний замкнутой струны.)
Ясно, что такая диаграмма является древесной, поскольку если
ее разрезать для выявления промежуточных состояний, то обна-
Рис. 8.23. а — мировая поверхность, топологически эквивалентная диску, с
внешними состояниями, соответствующими только замкнутым струнам;
б — представление диаграммы, изображенной на рис. 8.23, а, в виде древес-
древесной диаграммы • для замкнутых струн с промежуточными состояниями,
соответствующими открытой струне; в — если изменить граничные условия,
отождествив диаметрально противоположные точки окружности (как пока-
показано стрелками), то диаграмма превращается в проективную плоскость. Эта
диаграмма дает вклад только в секторе неориентированных замкнутых струн
и приводит к изменению древесного вклада.
ружатся только одночастичные состояния. В зависимости от
способа разрезания мировой поверхности промежуточные со-
состояния могут соответствовать либо открытым, либо замкнутым
струнам, как показано на рис. 8.23,6. При рассмотрении рас-
рассеяния замкнутых струн диск представляет собой древесную
диаграмму более высокого порядка по сравнению с римановой
сферой, которая также дает вклад в рассеяние замкнутых струн,

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн
69
поскольку он содержит дополнительный множитель к ~ g2. Как
и другие диаграммы, рассматриваемые в настоящей главе, диск
имеет потенциальную расходимость, обусловленную испусканием
тахиона в вакуум. В пространстве параметров эта расходимость
связана с областью в виде диска бесконечного радиуса, кото-
который конформно эквивалентен диску конечного радиуса с близко
расположенными внешними частицами, как показано на
рис. 8.24, а. Соответствующая пространственно-временная кон-
конфигурация мировой поверхности в опасной области изображена
на рис. 8.24, б. Коэффициент при бесконечности должен иметь
вид сферической древесной
диаграммы для замкнутой
струны, умноженной на кон-
константу, зависящую от кон-
константы связи замкнутой
струны с диском.
Использование оператор-
операторного формализма для вы-
вычисления этой диаграммы
представляло бы значитель-
значительные трудности. Единствен-
Единственным достаточно простым
способом вычислений в этом
случае является подход, ис-
использующий функциональ-
функциональные интегралы по мировым
поверхностям, который раз-
развит во введении (разд.
1.4.4).
Рассматриваемую мировую поверхность различными кон-
конформными преобразованиями можно отобразить в множество
удобных конфигураций. Например, отображение
Рис. 8.24. а — опасная с точки зрения
расходимостей конфигурация диаграм-
диаграммы в виде диска с внешними замкну-
замкнутыми струнами; б — факторизация воз-
возможной инфракрасной расходимости.
р-г
(8.3.2)
отображает диск радиуса г в плоскости р в верхнюю полупло-
полуплоскость переменной г. Более удобным оказывается отображение
диска р—>- 1/р, когда мировая поверхность представляет собой
плоскость с вырезанным диском радиуса <7= 1/г-
Проблема вычисления амплитуды для замкнутых струн, свя-
связанных с такой мировой поверхностью, лишь немного отли-
отличается от задачи, рассмотренной в разд. 1.4.4, когда мировая
поверхность имеет вид сферы. Как и в том случае, амплитуду

70 Глава 8
можно записать в виде
м
\0г\>Ч г-1
X Д ехр | -j kr ¦ ksN (pr; ps, q2) j , (8.3.3>
r, s
где N— пропагатор, а множитель п возникает из-за теоретико-
группового следа, связанного с границей диска. В рассматри-
рассматриваемом случае пропагатор N(pr; ps, q2) представляет собой функ-
функцию Грина двумерного уравнения Лапласа на плоскости с вы-
вырезанным диском, которая удовлетворяет уравнению
d\N (p; p', q2) = 2я62 (р - р') (8.3.4),
с граничными условиями Неймана на крае диска, т. е. нормаль-
нормальная производная на границе должна обращаться в нуль:
cW(p; p', q2)/д\р\ = 0 при |р| = <7- Выражение для пропагатора,
удовлетворяющего этим условиям, легко получается с помощью
метода конформных отображений, который дает
N (р; р', а2) = In | р - р' | + In |-^ - 1 |. (8.3.5>
Символ TL'r s показывает, что бесконечные члены в выражении
(8.3.3), связанные с нормальным упорядочением, опущены. Это
значит, что расходящаяся часть в N(pr;pr,q2) (определяемая
первым членом в (8.3.5)), содержащаяся в множителе с г = sy
опущена, так что
N(Pr; pr, <72) = 1п -4~- 1 • (8.3.6>
РгРг
(На самом деле расходящаяся константа сокращается с беско-
бесконечной инфракрасной константой, которая опущена в (8.3.5),
точно таким же образом, как и в случае древесных диаграмм,
обсуждавшихся в разд. 1.4.4.)
Подынтегральное выражение в (8.3.3) инвариантно относи-
относительно группы преобразований, отображающей плоскость с вы-
вырезанным диском на себя. Эти преобразования образуют группу
SU(l, 1) и имеют вид
Рг-НРгХ^' (8-3J>
0/ +
?де аир — комплексные числа, удовлетворяющие соотношению-
аа — рр = 1, которое сводит число действительных параметров

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 71
ж трем. Для того чтобы проверить инвариантность относительно
указанных преобразований, полезно выписать преобразования
для различных множителей в подынтегральном выражении
(8.3.8)
Pr Ps фрг/q + а) (Pps/<7 + а) '
Чтобы избежать бесконечного нефизического вклада в ампли-
амплитуду, три переменные интегрирования можно фиксировать про-
произвольным образом аналогично тому, как инвариантность верх-
верхней полуплоскости относительно SL B, R) -преобразований ис-
использовалась в разд. 1.5.2 при обсуждении древесных амплитуд
для открытых струн.
Подынтегральное выражение для амплитуды инвариантно
также относительно масштабных преобразований
рг^е*рг, (8.3.11)
•если при этом радиус вырезанного круга преобразуется следую-
следующим образом:
q^e*q. (8.3.12)
Это утверждение очевидно, поскольку круг произвольного ра-
радиуса конформно эквивалентен верхней полуплоскости. Поэтому
амплитуду (8.3.3) можно записать в виде
м
2,..., Л1)~яя*-'$-^- \ (
О \pr\>q\r=\
Хб2(Рл-2,)б2(рв-г2) Д
(8.3.13)
При такой записи мы явно восстановили масштабную инва-
инвариантность амплитуды путем введения интегрирования по ра-
радиусу q, которое компенсируется делением на суммарный объем
группы SU{\, 1) и масштабных преобразований. Дельта-функ-
Дельта-функции фиксируют «калибровку», приравнивая две комплексные
леременные р, отмеченные буквами А я В, двум произволь-
дым значениям Z\ и z2 (это фиксирует четыре произвольных

72 Глава 8
калибровочных параметра). Объем К4 задается выражением
УА=*-г- |2^г т> (8.3.14)
I Рд Рв I I " РдРв I
поэтому множитель
6 ^"Ч! (Рд~22) (8.3.15)
инвариантен относительно действия группы SU(l, 1) и мас-
масштабных преобразований при любом выборе Л и В, а также z\
и 22. В частном случае, когда рл = pi = °°, a ps = р2 = 1, ампли-
амплитуда имеет вид
X J (
X П dPr-PJI^-PrpJ)*'-**/2. (8.3.16)
2<r< s<AI
В этой амплитуде двойные полюсы, соответствующие замкну-
замкнутым струнам, возникают от граничных точек, когда перемен-
переменные рг расположены близко на мировой поверхности. Имеются
также полюсы, соответствующие состояниям открытой струны,
которые возникают при приближении рг к границе диска. Кон-
Константу пропорциональности можно найти в принципе из условия
унитарности, которое состоит в том, что диаграмма должна
разбиваться на множители в соответствии с рис. 8.23,6 с пра-
правильными значениями вычетов в полюсах. Как и ожидалось,
интеграл по -радиусу расходится как \ dqq~3f(q2), т. е. имеет
ту же особенность, что и в случае планарной петли в разд. 8.1.1.
Главную расходимость можно приписать тахионному состоянию-
в пропагаторе замкнутой струны, взаимодействующему с ва-
вакуумом, как в случае петли открытой струны. Как и раньше,.
следующая расходимость, имеющая вид\ dqq~1f'(O), является ин-
инфракрасным эффектом и связана с дилатонным состоянием
в пропагаторе замкнутой струны.
8.3.2. Вещественная проективная плоскость
В дополнение к диаграммам в виде диска из предыдущего-
раздела в том же порядке по константе связи существует дру-
другой клад й амплитуду для замкнутой струны. Это вещественная

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 73
проективная плоскость RP2, которая представляет собой He-
ориентируемую поверхность. Сначала опишем это многообразие.
(Оно уже кратко обсуждалось в разд. 8.1.2.) Для обычной дву-
двумерной сферы S2 существует естественное вложение в трехмер-
трехмерное вещественное евклидово пространство — это множество
всех Xk, k= 1, 2, 3, удовлетворяющее равенству
S4 = 1- (8.3.17)
Чтобы получить плоскость RP2, наложим дискретное отношение
эквивалентности
хк**-хк. (8.3.18)
В то время как сфера S2 односвязна, фундаментальной группой
проективной плоскости RP2 является группа Zi (дискретная
группа с элементами ±1), причем из-за инверсии (8.3.18) мно-
многообразие RP2 является неориентируемым. Так же как S2, RP2
является древесной диаграммой в том смысле, что при ее «раз-
«разрезании» возникают только одночастичные промежуточные со-
состояния. Однако, как и в случае амплитуды взаимодействия
замкнутых струн с диском, амплитуда взаимодействия замкну-
замкнутых струн с RP2 имеет двойные полюсы. Поэтому она имеет бо-
более высокий порядок, чем обычные древесные амплитуды, опре-
определенные на S2.
Существует много способов построения амплитуды рассея-
рассеяния, соответствующей мировой поверхности в виде RP2. Ее
можно представить в виде древесной диаграммы для замкнутой
струны со вставкой пропагатора. Необходимую вставку пропа-
гатора можно описать, например, в калибровке светового конуса
как самодействие одной замкнутой струны (в гл. 11 дано соот-
соответствующее разъяснение). Проще, однако, построить связан-
связанные с RP2 амплитуды методом функционального интеграла по
мировым поверхностям, использованным в разд. 8.3.1 при об-
обсуждении диска с внешними замкнутыми струнами.
Из определения проективной плоскости следует, что RP2 яв-
является, грубо говоря, «половиной» S2. Сферу S2 после удаления
«точки на бесконечности», можно стереографически отобразить
на всю комплексную плоскость г. Как показано в гл. 1 и 7, про-
пагатор для свободного бозонного поля X^(z) в комплексной
ллоскости имеет вид
(X* (г) Г (z')> = - ~гГ In | г - z' |. (8.3.19)
В то время как комплексная плоскость (плюс точка на беско-
бесконечности) представляет собой S2, для получения RP2 необхо-
необходимо наложить дискретное отношение эквивалентности (8.3.18).

74 Глава 8
Допуская произвольную растяжку переменной z, отношение эк-
эквивалентности можно записать в виде
z ~ — q2/z. (8.3.20>
До тех пор пока нас не интересует «точка на бесконечности»,
одной «фундаментальной областью» этого преобразования яв-
является верхняя полуплоскость. С тем же успехом в качестве
«фундаментальной» области можно выбрать комплексную полу-
полуплоскость с вырезанным кругом радиуса q (как показано на
рис. 8.25). Это ясно из того, что верхний полукруг отображает-
Рис. 8.25. В качестве фундаментальной области преобразования г-э—q2/z
можно выбрать верхнюю полуплоскость (области А и В') или внутренность
единичного круга (области А' и В'). При этом преобразовании области А
и А' отображаются друг в друга, так же как области В и В'.
ся на нижнюю полуплоскость с вырезанным нижним полукру-
полукругом; таким образом, плоскость с вырезанным кругом эквива-
эквивалентна всей верхней полуплоскости. Хотя рисунок плоскости
с вырезанным кругом выглядит так же, как дисковая диаграм-
диаграмма, рассмотренная в разд. 8.3.1, для границы круга в случае
RP2 возникает отличие, так как диаметрально противополож-
противоположные точки отождествлены посредством соотношения (8.3.20).
Диск имеет гр'аницу (или является некомпактным, если гранич-
граничные точки удалены), a RP2 является компактным многообра-
многообразием без границы. Используя функцию Грина (8.3.19) в верх-
верхней полуплоскости и отношение эквивалентности (8.3.20), полу-
получаем функцию Грина для Х^ на RP2
(8.3.21)
По существу второй член в этом выражении представляет со-
собой вклад воображаемого заряда, который необходим для ин-
инвариантности функции Грина (8.3.19) при преобразовании:
(8.3.20). Это выражение применимо как в случае фундамен-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн
75
тальной области в виде верхней полуплоскости, так и в случае
•фундаментальной области в виде плоскости с вырезанным кру-
кругом радиуса q.
Вклад этой диаграммы в амплитуду получается тем же спо-
способом, что и вклад дисковой диаграммы из разд. 8.3.1. При этом
функция Грина N(p\p', q2) (заданная (8.3.5)) заменяется на
•функцию Грина
G(p;p/, q2) = N(p; p',-q2) (8.3.22)
(заданную (8.3.21)), которая удовлетворяет соотношению
G(p; р', <72)= G(—p;p',q2) при |р) = <7>тем самым отождествляя
диаметрально противополож-
противоположные точки на окружности. Со-
Соотношение между N и G напо-
напоминает способ получения функ-
функции Грина для диаграммы в
виде листа Мёбиуса tyN из
функции Грина планарной пет-
петлевой диаграммы -ф путем за-
замены q2 на — q'2 (8.1.71). По-
Поэтому выражение для вклада
в амплитуду от проективной
плоскости имеет вид (8.3.16)
с заменой q2 на —q2 и без об-
общего множителя п, поскольку
проективная плоскость не име-
имеРис. 8.26. Амплитуда в виде проек-
проективной плоскости имеет хорошо из-
известную расходимость, когда тахион
распространяется между сферой с
плитуда для проективной пло- присоединенными внешними линиями
ет границы. В частности, ам-
р
и проективной плокостью без внеш-
НИХ ЛИНИЙ.
скости имеет хорошо извест-
известную расходимость \ dq/q3, ко-
которая в этом случае соответствует конфигурации, изображенной
на рис. 8.26. Одинаковый вид рассматриваемой расходимости
с расходящимся вкладом от вставок замкнутых струн в диск
наводит на мысль, что при подходящих условиях эти вклады мо-
могут сокращаться. К этому вопросу мы вернемся в гл. 10.
8.3.3. Другие петлевые диаграммы
Для теории замкнутых ориентированных струн тор является
единственной возможной диаграммой порядка км. Но в любой
теории с неориентированными струнами необходимо рассматри-
рассматривать диаграммы для замкнутых струн, имеющие замкнутые He-
ориентируемые мировые поверхности. В одной петле им соответ-
соответствует мировая поверхность, известная под названием «бутылка

76
Глава 8
Клейна». Это следует из построения петлевой диаграммы для
замкнутых струн типа I путем сшивания древесных диаграмм и
вставок проекционного оператора '/2A + Т) во внутренние про-
пагаторы петли, где Т— оператор перестановок пространств ос-
осцилляторов, движущихся влево и вправо. Этот проекционный
оператор обеспечивает циркуляцию по петле тех состояний, ко-
которые симметричны относительно перестановки осцилляторов
а? и а!п, поэтому струна является неориентированной. Дей-
Действие проекционного оператора аналогично действию оператора
твиста в случае открытых струн. В результате петлевая диа-
диаграмма равна сумме членов со всеми возможными вставками
оператора перестановок Т. В тех членах, которые содержат
Рис. 8.27. Представление петлевых диаграмм с внешними замкнутыми стру-
струнами, а — бутылка Клейна; б — кольцо; в — лист Мёбиуса.
четное число операторов Т, след в подынтегральном выражении
для амплитуды для каждого номера осцилляторов разбивается
на произведение двух множителей аналогично тому, что проис-
происходит в теории ориентированных струн. Эффект нечетного числа
операторов Т внутри следа сводится к такой связи между ле-
левыми и правыми модами, что след по осцилляторам данной
компоненты берется по петле дважды во многом аналогично*
теоретико-групповому следу в случае листа Мёбиуса. Рассмат-
Рассматриваемые члены описывают мировую поверхность, которая то-
топологически является бутылкой Клейна. Амплитуды в виде бу-
бутылки Клейна в литературе еще не исследованы, поэтому об-
их поведении известно немного. До их исследования эти ампли-
амплитуды будут оставаться потенциальным источником беспокой-
беспокойства в теории суперструн типа I.
По терминологии, которая будет введена в гл. 11, бутылку
Клейна можно представить в виде древесной диаграммы, со-
содержащей два последовательных мгновенных взаимодействия,
уже упоминавшиеся в разд. 8.3.2 (см. рис. 8.27,а). Другая оче-
очевидная диаграмма, которую необходимо рассмотреть в этом же
порядке теории возмущений, нарисована на рис. 8.27, б и содер-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 77
жит две последовательные вставки открытых струн в пропага-
тор замкнутой струны. Мировая поверхность этого процесса то-
топологически эквивалентна кольцу, к внутренней области кото-
которого присоединены замкнутые струны. Наконец, существует
диаграмма, у которой вставка пропагатора открытой струны
в пропагатор замкнутой струны сопровождается мгновенным
самодействием, как показано на рис. 8.27, в. Эта диаграмма со-
соответствует мировой поверхности в виде листа Мёбиуса и также
имеет порядок хм. Вместе с тором описанные диаграммы исчер-
исчерпывают все виды однопетлевых диаграмм с внешними замкну-
замкнутыми струнами.
Три диаграммы, изображенные на рис. 8.27, образованы по-
последовательным вырезанием отверстий и вклеиванием кросс-
кэпов в мировую поверхность. Такой взгляд важен для исследо-
исследования возможности сокращения расходимостей различных диа-
диаграмм.
8.4. Резюме
В настоящей главе мы рассмотрели однопетлевые амплитуды
в теории бозонных струн, которые представляют собой кванто-
квантовые поправки низшего порядка к классической полевой теории
струн. При этом внимание акцентировалось на операторных ме-
методах построения амплитуд, но их можно также получить с по-
помощью функциональных методов. (Последние описаны в гл. II
в калибровке светового конуса.)
Существуют три типа однопетлевых диаграмм для открытых
струн. Пленарные диаграммы соответствуют мировым поверх-
поверхностям, которые в пространстве параметров имеют вид кольца,
к одной из границ которого присоединены частицы. Они расхо-
расходятся в граничной точке интегрирования по переменной w или
q, которые параметризуют конформную структуру кольца. Эта
расходимость соответствует такой пространственно-временной
конфигурации мировой поверхности, когда диск с присоединен-
присоединенными к его границе частицами соединен с диском без частиц
длинной тонкой трубой, описывающей дилатонное состояние
замкнутой струны с нулевым импульсом. Неориентируемые диа-
диаграммы, связанные с мировыми поверхностями в виде листов
Мёбиуса, расходятся по тем же причинам, при этом вместо
диска связь трубы с вакуумом осуществляется посредством
кросс-кэпа. Непланарные ориентируемые диаграммы расходи-
расходимостей не содержат. Описанные диаграммы содержат связанные
состояния замкнутой струны, которые возникают как сингуляр-
сингулярности в канале с вакуумными квантовыми числами. Только
в критической размерности (в данном случае D = 26) эти

78 Глава 8
сингулярности имеют вид полюсов в соответствии с унитар-
унитарностью.
В теории ориентированных замкнутых струн ситуация значи-
значительно проще. Единственная однопетлевая диаграмма соответ-
соответствует мировой поверхности, топологически эквивалентной тору.
Эту диаграмму можно определить непротиворечивым образом
только в критической размерности, поскольку только в этом
случае подынтегральное выражение в петлевом интеграле яв-
является модулярно инвариантным. Однако и здесь амплитуда
расходится из-за сингулярностей, возникающих в граничной
точке, где все внешние частицы на торе расположены близко
друг к другу. Как и раньше, особенность можно интерпретиро-
интерпретировать как инфракрасную расходимость, связанную с наличием
в теории тахионов или безмассовых скаляров.
В теориях с неориентированными струнами существует ряд
других квантовых поправок к амплитудам с внешними замкну-
замкнутыми струнами, которые соответствуют добавлению ручек или
вырезанию окон в мировой поверхности. Вырезание окна в
ориентируемой мировой поверхности древесной диаграммы для
замкнутой струны дает квантовую поправку, которая соответ-
соответствует перемешиванию состояний открытой и замкнутой струн
и не является петлевой диаграммой. Существует похожий вклад
от древесной диаграммы для замкнутой струны с неориентируе-
мой мировой поверхностью, которая представляет собой проек-
проективную плоскость. В дополнение к тору однопетлевые диаграм-
диаграммы с внешними замкнутыми струнами в теории неориентирован-
неориентированных струн можно классифицировать по топологии их мировых
поверхностей: бутылка Клейна, кольцо и лист Мёбиуса.
Приложение 8.А. 8-функции Якоби
Четыре 8-функции Якоби Qk{k=l, ..., 4) удовлетворяют
уравнению теплопроводности
1^1+^.,. (8.А„
Они определяются в виде сумм или произведений
оо
= 2/ (q2) q1'4 sin nv П A - 2q2n cos 2nv + q4n), (8.A.2)
n=\

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн
79
оо
= 2f, {q2) q1'* cos nv Д A -f- 2q2n cos 2nv -f- qin), (8.A.3)
oo
=/ с?2) П
1 cos 2nv+^4re)' (8-A-4>
сю
= f fa2) Д A - г^2"
cos
где
/ (q2) = П A - q2n) - F; @
), (8.A.5)
(8.А.6)
(8.A.7)
Символом 8'@|т) обычно обозначают производную по первому
аргументу (v):
^?^ (8.А.8)
V=0
Равенство бесконечных рядов и бесконечных произведений
(8.А.2) — (8.А.5) составляет содержание формулы тройного про-
произведения Якоби, которая приведена в разд. 3.2.4.
Функция 0] удовлетворяет важному условию периодичности
6i(v+ 1|т) = —e,(v|T),
0i (v + т |т) = — e-^-2iIlve, (v | т).
(8.А.9)
Другие функции 8Л удовлетворяют похожим соотношениям, ко-
которые вытекают из их определения.
Функцию if, возникающую в пленарных петлевых амплиту-
амплитудах, удобно выразить через функцию 0t с помощью следующей

Ш Глава 8
формулы:
? Till с- j j I O.zA.. 1U)
где
In 2 In p In q 2ni ,„ * , | ч
2jjt In ay ' 'in \n w ' \ • • )
откуда следует
In p v_ In w J_
2zit т ' 2(Jt т
(8Ал2)
При преобразовании р—>-аир (v->-v+t) функция ij)(p, ш) пре-
преобразуется следующим образом:
¦ф(и)р, ш) = ifi (p, ю), (8.А.13)
как вытекает из (8.А.9).
Аналогично функция г|)г задается следующей формулой:
^ A w)
'^6lA/f~v/i:|~1/T) (8.A.14)
е( (о | - i/т)
и удовлетворяет соотношению
¦ф7" (дар, w) = a|/ (p, w). (8.A.15)
Подобным же образом
l(rV/T|1/2~1/T) (8.A.16)
и удовлетворяет равенству
ф" (дар, ву) = ip" (p, да). (8.А. 17)
Функции 8б имеют простые трансформационные свойства
при модулярных преобразованиях. Например, преобразование
т-> 1/т легко анализируется с использованием формулы сум-

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струя 81
мирования Пуассона. Формула Пуассона имеет вид
оо оо
V1 e-nn2A+2tmAs _ _L_ enAs2 V1 e-nA~'m2-2inms (8 А 18)
П= — оо ш=— оо
Ее можно доказать, используя равенство Хт e2iu>m = ?„ б (г — д):
оо оо оо
е-л«2Л+2плЛ8 __ у С (}rg2inrmg-n,r2A+2rnAs (8 А 19)
— оо — оо
После взятия (гауссова) интеграла по г в правой части (8.А. 19)
получаем (8.А.18). Обобщение формулы (8.А.18) приведено
в приложении 9.Б. Трансформационные свойства 0ь определен-
определенной соотношением (8.А.2), при модулярных преобразованиях
можно получить из (8.А.18) путем отождествления А = h и s =
= —1/2 + 1/2т + v/т. Таким образом, получаем
(^|i)(^I(v|x), (8.A.20)
где
т] = е'^4. (8.А.21)
Нетрудно показать, что при модулярном преобразовании т->-
—>- тг —j— 1 функция 01 преобразуется следующим образом:
e,(v|T+l) = Tie,(vlT). (8.A.22)
Закон преобразования функции 8i при произвольном модуляр-
модулярном преобразовании
ах + Ь
сх + d
(8.А.23)
можно получить, комбинируя в различных соотношениях ча-
частные преобразования (8.А.20) и (8.А.22), что приводит к фор-
формуле
Коэффициент ц' является корнем восьмой степени из единицы,
причем определение того, какой именно корень необходимо вы-
выбрать при заданных а, Ь, с, d, представляет собой тонкую тео-
теоретико-числовую проблему. Из (8.А.24) следует закон преобра-
преобразования
0
= т, (ст + df2 е; (О | т). (8.А.25)

82 Глава 8
Другие функции 0Г удовлетворяют аналогичным соотношениям,
которые можно получить, подставляя в их выражение через 9i
формулу (8.А.24).
Полагая Ь — —с=1 и a = d = 0, получаем трансформа-
трансформационные свойства f(q2), которые вытекают из (8.А.7) и (8.А.25):
Аналогично функция распределения, возникающая при проведе-
проведении однопетлевых вычислений в теории неориентированных
струн, преобразуется в соответствии с формулой
(8.А.27).
Как следствие (8.А.24) можно получить трансформацион-
трансформационные свойства различных функций ip. Полагая а = О, Ь = \,
с = —1 и d = О, получаем
iiiz_^liz_lill = _ ijxei^i^ (v | т)/е; (о 1 т). (8.А.28).
При тех же значениях параметров использование связи (8.А.З)
между 8i и 8г дает
Наконец, использование (8.А.24) при а=1, 6=0, с = —2 и
d = 1 приводит к соотношению
6,(-у/т|1/2-1/т) = 2_ W/T6.(-у/21 т/4-1/2) (g д 3Q>
6] @ | 1/2 - 1/т) т 9j @ |т/4-1/2)
С помощью полученных выше формул выражение для функ-
функций ар можно записать в простом виде, используя переменные q
и z — exp {2mv}:
— 2q2n cos 2itv + qitl
\
. <72)- (8.A.31)
Аналогично функции apr и ap^ можно записать в виде
In
. (8-А.32)
¦ (8-А-зз>

Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 83
При вычислении петлевых амплитуд с внешними безмассо-
безмассовыми векторными состояниями встречаются также функции
r\(w,p) и Q(w,p), определенные выражениями (8.1.59) и (8.1.60).
Их вид при переходе от переменных р, w к переменным z, q2 (ко-
(который соответствует замене —v/t-»-v и —1/х-*-х) можно по-
получить, используя (8.1.61) и (8.1.62):
г) (р, w) = - хц' (z, q2), (8.A.34)
Q(p, w) = x2Q'(z, q2). (8.A.35)
Штрихи в этих уравнениях означают, что нулевые моды в пра-
правых частях опущены, например
г{ (р, ш) = т] (р, w) — -j——, (8.А.36)
Q' (p, w) = Q (p, w) + -~. (8.А .37)
Функцию % в (8.2.13), которая появляется в вычислениях
.для замкнутых струн, можно представить в виде
I, (v | т)
X (z, w) = х (v I т) = 2яе"я <Im v>2<
/IlllT
@|x)
(8.A.38)
Инвариантность х (8.2.18) при сдвиге переменной v^v+1
следует из того, что при этом преобразовании 8i просто меняет
знак (что вытекает из (8.А.9)). Инвариантность % (8.2.18) при
преобразовании v-^v + т также имеет место, поскольку изме-
изменение ] 011 в (8.А.9) компенсируется изменением экспоненциаль-
экспоненциального множителя в (8.А.38).
Из (8.А.24) следует, что функция % при преобразовании
(8.А.23) преобразуется с весом 1, откуда получаем
ат + Ь \ __ % (v | т)
. СХ + (
сх + d ) \cx
(8.А.39)
Это выражение завершает обсуждение формул, использованных
в однопетлевых вычислениях.

9. Однопетлевые диаграммы
в теории суперструн
В этой главе мы обсудим однопетлевые амплитуды в теории
суперструн. Для вычисления однопетлевых амплитуд в теории
суперструн с внешними состояниями на массовой оболочке при-
применяются операторные методы, использованные для вычисления
соответствующих диаграмм в гл. 8. Конечные выражения для
амплитуд имеют вид интегралов по мировым поверхностям, ко-
которые ориентируемы и замкнуты для суперструн типа II или
гетеротических струн. Теории суперструн типа I основаны на не-
неориентированных открытых и замкнутых струнах, поэтому их
мировые поверхности не должны быть ориентируемыми и мо-
могут иметь границы. Как и в случае бозонных струн, оператор-
операторный подход с помощью элементарных алгебраических преобра-
преобразований дает правильную меру. В других подходах, в которых
явно вычисляется сумма по геометриям, необходимо постоянно
следить за правильным определением и вычислением бесконеч-
бесконечных детерминантов, определяющих меру. Несмотря на это, по-
последние подходы обладают рядом преимуществ и определенно
являются предпочтительными при изучении многопетлевых
амплитуд.
Вычисления в калибровке светового конуса, основанные на
пространственно-временной суперсимметрии (гл. 5), и кова-
риантные вычисления, основанные на суперсимметрии мировой
поверхности (гл. 4), так же как для древесных диаграмм, су-
существенно отличаются в случае однопетлевых амплитуд в тео-
теориях суперструн. Для многих целей формализм светового ко-
конуса с явной пространственно-временной суперсимметрией более
экономичен, так как содержит меньше диаграмм, которые не-
необходимо вычислить для заданного процесса рассеяния. Напри-
Например, теории с ориентированными замкнутыми струнами (типа II
и гетеротическими) содержат только одну однопетлевую диа-
диаграмму, которая соответствует мировой поверхности в виде тора.
В ковариантном формализме с суперсимметрией мировой по-
поверхности существует несколько вкладов, которые необходимо

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 85
вычислить отдельно, а затем сложить. Эти вклады соответствуют
различным граничным условиям для фермионов на мировой
поверхности, соответствующей однопетлевому уровню. Способ
сшивания «спиновых структур» в этом примере и соответствую-
соответствующее обобщение на поверхности более высокого рода представ-
представляют собой ключевой вопрос для самосогласованности теории
суперструн. Этот вопрос рассматривается в настоящей главе и
более детально в гл. 14.
9.1. Амплитуды для открытых суперструн
Начнем наше рассмотрение с изучения петлевых амплитуд
для открытых суперструн. В этом случае вычисления относятся
непосредственно только к теории суперструн типа I, так как это
единственная теория, содержащая открытые струны. Однако со-
соответствующий анализ важен также для изучения петлевых диа-
диаграмм в теориях суперструн типа II и гетеротических струн.
В теориях типа II моды, распространяющиеся влево и вправо,,
математически описываются так же, как для открытых супер-
суперструн. Аналогично формулы для открытых суперструн приме-
применимы к правым модам в теориях гетеротических струн.
Для более глубокого понимания рассматриваемых теорий
очень поучительно не только выводить абстрактные формулы*
описывающие общие случаи, но также проводить вычисления
в конкретных примерах и использовать их характерные свой-
свойства. На практике это означает, что удобно сосредоточить вни-
внимание на амплитудах, внешние состояния которых являются
в теории основными, т. е. безмассовыми состояниями супер-
суперструн. Вычисления в случае массивных внешних состояний так-
также не содержат принципиальных трудностей, но необходимые
вершинные операторы являются более сложными.
В настоящей главе мы ограничимся примерами, содержа-
содержащими четыре или меньшее число внешних частиц. Такое огра-
ограничение является существенным. Когда рассматриваются, на-
например, М внешних состояний векторных частиц, каждая ча-
частица характеризуется вектором поляризации ^ и импульсом
$. При этом только М—1 импульсов k^i линейно незави-
независимы. В общем случае амплитуды зависят от лоренцевых инва-
инвариантов, образованных из векторов поляризации и импульсов
внешних частиц. При М ^ 6 инвариантный множитель может
включать антисимметричный тензор е (с десятью индексами,
поскольку Z) = 10), свернутый с импульсами и векторами по-
поляризации. Если М < 6, то такие члены невозможны, потому
что антисимметричный тензор может дать ненулевую свертку
только с линейно независимыми векторами.

«6 Глава 9
Упомянутые члены, содержащие е, представляют особый
интерес, так как они могут приводить к аномалиям в квантовой
теории. Отсутствие таких аномалий является важным условием
самосогласованности квантовой теории, приемлемой с физиче-
физической точки зрения. В гл. 10 явно вычислены аномалии, связан-
связанные с определенными шестиугольными струнными диаграммами,
а в настоящей главе мы рассмотрим только случай М ^ 4. При
М ^ 4 без ограничения общности можно использовать калиб-
калибровку светового конуса, описанную в гл. 5. Поскольку суще-
существует не более четырех линейно независимых векторов поляри-
поляризации и три независимых импульса для четырехточечной функ-
функции, всегда можно выбрать такую лоренцеву систему отсчета,
в которой в калибровке светового конуса все &+-компоненты век-
векторов обращаются в нуль. Тогда амплитуды, вычисленные в
этой системе отсчета, однозначно определяют общее выраже-
выражение для амплитуды в произвольной системе отсчета, как
в разд. 7.4. Для этого, записывая явно ковариантную формулу
для амплитуды, которая совпадает с результатом, вычисленным
в фиксированной системе координат, получаем обобщение ам-
амплитуды на случай произвольной системы отсчета.
В разд. 7.4.1 получены вершинные операторы, которые опи-
описывают рождение безмассовых суперструнных состояний в си-
системе отсчета с k+ = 0. В калибровке светового конуса векторы
поляризации удовлетворяют условию ?+ = 0; и, кроме того, так
же как в разд. 7.4, мы положим Z,- = 0. Конечные выражения
для вершинных операторов испускания безмассового бозона и
фермиона имеют вид
, (9.1.1)
VF (и, к) = (uaFa + uuFu) eik-x, (9.1.2)
где
Bl = Xl -\Sy4Sk!, (9.1.3)
Fa = (p+/2)ll2Sa, (9.1.4)
Fu = Bp+rm[(y ¦ XSf + |: (y'sfsy^S : k']. (9.1.5)
Можно записать петлевые амплитуды для открытых супер-
суперструн в том же общем виде, что и в гл. 8, а именно
А = gM J d10p Тг {AV A) AV B) ... АУ (М)), (9.1.6)

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 87"
где вершинные операторы V(r) обозначают либо Vb(?,,k), либо
Vf{u, к), а пропагатор, как и раньше, задается формулами
A-l = L0=--±p2+N, (9.1.7)-
W= S (a'-ncd + nStnSl). (9.1.8)
п=\
С каждым пропагатором можно связать также оператор твиста
Q =-(-!)* (9.1.9)
в зависимости от топологии диаграммы, которую мы хотим опи-
описать.
В ковариантных вычислениях гл. 8 в следе было необходимо
учитывать вклад духов Фаддеева—Попова. Несмотря на то что
духи входили в вершины тривиально, их вклад тем не менее
приводил к появлению в следе важного множителя [f(w)]~2.
В физической калибровке светового конуса, которая сейчас ис-
используется, духовые координаты отсутствуют, а следы берутся
только по модам Х'(о, т) и 5Л(ст, г).
9.1.1. Амплитуды с <М < 4 безмассовыми
внешними состояниями
Используя определенные выше выражения для пропагато-
ров и вершин рождения основных состояний, петлевые ампли-
амплитуды суперструн можно выразить через корреляционные функ-
функции аналогично тому, как в гл. 8 были выражены бозонные пет-
петлевые амплитуды, но теперь они будут содержать следы по
антикоммутирующим модам. Сюда входит след по фермион-
ным нулевым модам So. Как показано в приложении 9.А, если
этот след не содержит по крайней мере восемь мод So, то он
исчезает из-за тождества для суперсимметричного следа. По-
Поскольку вершина рождения бозонов в основном состоянии содер-
содержит не более двух мод So, Для получения ненулевого следа по
нулевым модам необходимо присутствие по крайней мере че-
четырех внешних бозонов. Это означает, что амплитуды, содержа-
содержащие один, два или три внешних бозона в основном состоянии
или без таких частиц, исчезают. Этот результат не зависит от
того, сколько внутренних пропагаторов содержат твисты, по-
поэтому, так же как для пленарных диаграмм, он имеет место
в случае непланарных и неориентируемых петель. Это также-
относится к различным теориям замкнутых суперструн, где-
следы по модам, распространяющимся влево и вправо, вычис-
вычисляются отдельно.

88 Глава 9
Аналогичные аргументы применимы к процессам с внешними
фермионами в основном состоянии, как, очевидно, и должно
быть, поскольку эти процессы связаны с бозонными амплиту-
амплитудами преобразованием суперсимметрии. Но причины тривиаль-
тривиальности амплитуд немного тоньше, поскольку вершины испуска-
испускания фермионов Vf содержат наряду с линейным по So членом
также член, кубический по So. Казалось бы, простой подсчет
степеней So говорит о том, что амплитуда с двумя внешними
фермионами и одним внешним бозоном может быть нетриви-
нетривиальной. Однако в действительности эта петля равна нулю по
другим причинам, которые объясняются ниже в этой главе.
Исчезновение однопетлевых диаграмм без внешних частиц
тесно связано с исчезновением энергии вакуума в одной петле
и, следовательно, космологической постоянной Л. Связь между
энергией вакуума и космологической постоянной объяснена
в гл. 8. Исчезновение квантовых поправок к космологической
постоянной присуще всем теориям с ненарушенной суперсим-
суперсимметрией. Если суперсимметрия остается ненарушенной во всех
порядках теории возмущений, то амплитуда без внешних частиц
должна исчезать также во всех порядках. Если в теории возму-
возмущений суперсимметрия нарушается, то результирующая космо-
космологическая постоянная почти неизбежно должна быть по-
порядка (масса ПланкаL, превышая экспериментальную границу
в 10120 раз!
Исчезновение петлевой амплитуды открытых струн с одним
основным состоянием открытой струны тривиально, поскольку
безмассовых состояний открытой струны с вакуумными кванто-
квантовыми числами не существует. Исчезновение петлевой ампли-
амплитуды с двумя безмассовыми внешними состояниями подразуме-
подразумевает исчезновение собственных энергий безмассовых частиц.
Для бозонов это свойство представляет собой естественное след-
следствие калибровочной инвариантности, в то время как для фер-
фермионов это следствие киральной симметрии. В каждом случае
просто не хватает степеней свободы для описания массивного
состояния1). Наконец, исчезновение трехчастичных амплитуд
очень напоминает теоремы неперенормируемости констант связи,
которые появляются в суперсимметричных полевых теориях.
') Безмассовый вектор имеет восемь состояний поляризации, в то время
как массивный требует девять. Безмассовый спинор Майораны — Вейля
имеет восемь поляризаций. Массивные спиноры не могут быть вейлевскими,
поскольку минимальное число их компонент равно 16. В каждом случае по
крайней мере в любом конечном порядке теории возмущений не существует
источника дополнительных мод, необходимых для придания масс этим ча-
частицам.

Однопетлевые диаграммы, в теории суперструн 89
9.1.2. Планарные диаграммы
Амплитуды с четырьмя внешними основными состояниями
(любая комбинация фермионов и бозонов) являются первыми
примерами, дающими нетривиальные результаты. Конечно, для
унитарности это необходимо, поскольку амплитуды должны
им'еть мнимые части, соответствующие произведениям древес-
древесных амплитуд 2->-2, проинтегрированным по фазовому про-
пространству промежуточных состояний. Таким образом, нетриви-
нетривиальность древесных амплитуд подразумевает, что петлевые
амплитуды также должны быть ненулевыми. Соответствующие
вычисления оказываются относительно простыми, потому что
для наличия восьми степеней свободы So, обеспечивающих не-
нетривиальность следа по нулевым модам, используются все S-oc-
цилляторы в вершинных операторах. В этом случае вычисления
различных диаграмм с открытыми струнами являются простым
обобщением соответствующих вычислений в теории бозонных
струн.
Рассмотрим сначала четырехчастичную однопетлевую диа-
диаграмму только с внешними бозонами; тогда каждая вершина
имеет вид (9.1.1). Поскольку след по модам So равен нулю, если
нет по крайней мере восьми степеней So внутри следа, и каждый
вершинный оператор может дать не более двух степеней, дол-
должен иметь место максимальный случай. Единственный член
в (9.1.3) с двумя степенями So имеет вид — R'o!k!, где
R^-T^abSl (9.1.10)
Поэтому после взятия следа по So вершинные операторы не
дают больше членов, содержащих другие S-осцилляторы. След
по So приводит к появлению следующего множителя в ампли-
амплитуде:
где тензор t определен соотношением
tuuuuuuuu = Тг (/ф/./ф/.эду./ф/.у (9.1.12)
Вычисление этого тензора описано в приложении 9.А. Примеча-
Примечательно, что множитель К имеет в точности тот же вид, который
был найден в разд. 7.4.2 для четырехчастичных древесных
амплитуд. В одной петле выражение для тензора t возникает как
след по восьми модам So, в то время как в древесном приближе-
приближении вычисления имеют совершенно другой характер. Проведя
вычисления для бозонов, находим правдоподобным, что супер-
суперсимметрия обеспечивает для четырехчастичных однопетлевых

•SO Глава 9
амплитуд, содержащих фермионы, такой же кинематический
множитель, как и для древесных амплитуд. На самом дел это
должно иметь место, поскольку все множители К, найденные в
разд. 7.4.2, могут быть связаны друг с другом преобразованиями
суперсимметрии.
Рассмотрим теперь вычисление следа, связанного ненуле-
ненулевыми модами S". Поскольку они выпадают из вершинных опе-
операторов после взятия следа по So, пропагатор
¦L'-ldx, (9.1.13)
определенный (9.1.7) и (9.1.8), является единственным источ-
источником этих мод при вычислении однопетлевых диаграмм с че-
четырьмя безмассовыми векторными частицами. Поэтому вклад
в подынтегральное выражение петлевой амплитуды от следа
по ненулевым S" имеет вид
) A-шп)8 = [/(ш)]8, (9.1.14)
a = l n=l / n-i
где w = TLrxr. Этот след вычисляется очень просто, так как
каждый фермионный уровень имеет числа заполнения 0 или 1,
приводя к множителю 1 — wn для л-го уровня. Дополнитель-
Дополнительный знак минус возникает благодаря тому, что занятый уровень
содержит нечетное число фермионных мод. (Причина та же, что
и для духовых мод в разд. 8.1.1.)
После использования множителей б; в каждой вершине (тех
множителей, которые умножаются на exp{ik-X}) при вычисле-
вычислении следа по фермионным нулевым модам след по бозонным
модам имеет тот же вид, что и в разд. 8.1.1, но с D, равным 10,
поэтому результат можно сразу выписать. В калибровке све-
светового конуса след по поперечным осцилляторным модам дает
вклад
(П П даа'-»в») = [/(ш)Г8. (9-1.15)
г=1 п=1 /
Множители f(w) от бозонных и фермионных следов сокра-
сокращаются. Конечный результат для планарной петлевой ампли-
амплитуды с заданным циклическим порядком внешних безмассовых
частиц имеет вид
лрп, 2, з, wJ 5(П?)(^)П
?
(9.1.16)

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 91!
Здесь область интегрирования задается неравенствами w =
= Р4 ^ рз ^ Р2 ^ pi ^ 1. Функция lnoprs представляет собой
функцию Грина двумерного оператора Лапласа в р-гоюскости
(с граничными условиями Неймана), зависящую от точек рг и
ps на границе и введенную в разд. 8.1.1. Множитель К, опреде-
определенный формулой (9.1.11), является кинематическим, а множи-
множитель GP обозначает теоретико-групповой множитель tr^itatata),
введенный в гл. 6. Полная планарная петлевая амплитуда за-
задается суммой по всем нециклическим перестановкам внешних
состояний.
Тот факт, что множители f(w) в (9.1.16) сократились, яв-
является следствием взаимно однозначного соответствия между
модами а и 5, что в свою очередь является следствием про-
пространственно-временной суперсимметрии. Ниже в этой главе бу-
будет объяснено, как этот результат возникает в ковариантном
RNS-подходе.
Планарная петлевая амплитуда (9.1.16) расходится из-за
сингулярного поведения подынтегрального выражения вблизи
w = 1. Анализ почти идентичен анализу в разд. 8.1.1. Для вы-
выделения расходимости удобно перейти к переменным, выра-
выражающим амплитуду в виде интеграла по параметрам кольца.
Такие переменные введены в разд. 8.1.1:
zr = e^\ 9 = ехР(-1^г), (9.1.17)
где
v =-11Рл. (9.1.18)
r In w v '
Результат представляет собой интеграл по координатам частиц
zr вдоль внешней границы кольца и по радиусу отверстия q
и имеет вид
АР A, 2, 3, 4) = ?GPK \ -f- (
О \г <
1
^g'GpK^^-Fpiq2), (9.1.19)
о
где (как следует из вида \|vs, приведенного в приложении 8.А)
=\ (п
\r = l
A п
l<r<s<4
~\krks
X Д A - 2q2n cos 2я (ve - vr) + q4n) (9.1.20)
n=l J

•92 Глава 9
и 0 ^ vi ^ v2 ^ v3 ^ v4 = 1. (Другие множители выпадают, бла-
благодаря равенству Xr<s^r • ks = 0, справедливому для безмассо-
безмассовых состояний.) Здесь FP(q2)—аналитическая функция от q2
в окрестности точки q2 = О, поэтому она разлагается в ряд по
q2, который начинается с константы. В суперсимметричной тео-
теории расходимость в точке q = 0 слабее, чем в бозонной теории
(где интеграл по q имеет вид \ dqf(q2)lq3j. В гл. 8 показано,
что расходимость планарной диаграммы при q=0 можно ин-
интерпретировать как результат испускания тахиона или безмас-
безмассовой частицы в вакуум, т. е. обмена любой из этих частиц
в «кросс-канале». Суперсимметричная теория с GSO-проекцией
не содержит тахиона, поэтому самый сингулярный член связан
¦с безмассовым дилатоном, распространяющимся в кросс-канале,
и имеет вид \ dq/q, как было показано в гл. 8.
В ковариантном подходе планарная петлевая амплитуда
представляется суммой петли фермионов и петли бозонов. Каж-
дая из петель имеет расходимость вида \ dqf (q)/q2. Эта рас-
J 0
ходимость слабее, чем в теории бозонных струн, так как та-
тахиону замкнутой струны (до GSO-проекции) соответствует ус-
условие k2 = 4 вместо k2 = 8. После сложения петель получается
приведенный выше результат. Таким образом, условия GSO
приводят к более впечатляющему сокращению расходимостей,
чем аналогичные сокращения в суперсимметричных теориях то-
точечных частиц.
При вычислении петель с внешними фермионами исполь-
используется фермионная вершина Vf, заданная выражениями (9.1.2),
(9.1.4) и (9.1.5). В этом случае при интегрировании по внутрен-
внутренним импульсам петли возникают новые множители, содержа-
содержащие р+ (которые входят в целых степенях, так как число фер-
мионных вершин всегда четно). В амплитуду дают вклад только
те члены, для которых степень р+ в подынтегральном выраже-
выражении равна нулю. Это является следствием интегрирования по
импульсам, которое при интегрировании члена с множителем
(р+)п имеет вид
= \ dj> \ drrn+leini> [ d*pf (p2 + r2), (9.1.21)
2Я оо
0 0
где проведена замена р° на ip° (поворот Вика) и введены по-
полярные координаты р9 + ip° = гехр{$}. Во всех рассмотренных

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 93
лримерах функция f(p2) имеет вид wp\ Интеграл (9.1.21) ра-
равен нулю из-за интегрирования по ф, кроме случая п = 0. Те-
Теперь очевидно, что петлевые диаграммы с двумя фермионами
в основном состоянии имеют те же свойства, что и диаграммы
с бозонами. Для сокращения степеней р+ в подынтегральном
выражении необходимо включить четное число множителей
Fa и Fa. Поскольку Fa может дать не более одной моды So,
a Fa — не более трех, то вместе они могут дать не более че-
четырех мод So. Вот почему однопетлевая трехточечная функция
с одним бозоном и двумя фермионами может дать только шесть
So и равна нулю, как и в случае одних бозонов.
Четырехточечные однопетлевые амплитуды с двумя или че-
четырьмя внешними фермионами могут, конечно, дать нетривиаль-
нетривиальные результаты. В этом случае снова S-вклады разделяются за
счет нулевых мод, оставляя тривиальные следы по ненулевым
¦S?. Диаграммы с двумя бозонами и двумя фермионами бывают
двух видов: диаграмма с двумя соседними фермионами и диа-
диаграмма с двумя фермионами, между которыми вставлен бозон.
В каждом случае присутствуют по два слагаемых, не содержа-
содержащих степеней р+, которые дают вклад в подынтегральное выра-
выражение. А именно, существуют члены, в которых по две степени
So возникают от каждой вершины Vb (без сопутствующих сте-
степеней р+), три степени So — от одной из вершин Vf (с множи-
множителем (р+)~1/2) и последняя степень So — от другой вершины
VF (с множителем (р+I/2). Комбинация этих членов приводит
к выражению для полной амплитуды, которое имеет тот же вид,
что и бозонная амплитуда (9.1.16), но с заменой бозонного ки-
кинематического множителя К на множитель, который входит
в выражение для соответствующей древесной диаграммы с дву-
двумя фермионами и двумя бозонами из разд. 7.4.2. Подобным об-
образом диаграмма с четырьмя внешними фермионами дает тот
же результат (9.1.16), но с заменой кинематического множителя
на соответствующий этому случаю множитель из разд. 7.4.2.
В целом можно сказать, что амплитуда (9.1.16) описывает все
однопетлевые планарные диаграммы, если в каждом случае вы-
выбран соответствующий кинематический множитель К-
В гл. 8 было отмечено удивительное свойство, состоящее
в том, что расходимость планарных петель имеет и ультрафио-
ультрафиолетовую, и инфракрасную интерпретацию. С одной стороны,
соответствующее вычисление включает суммирование вкладов
в петле от бесконечного числа струнных состояний с произ-
произвольно большой массой и спином, а также интегрирование по
десятимерным импульсам. Специалист по квантовой теории поля
ожидал бы, что при этом появится ужасная ультрафиолетовая

94 Глава 9
расходимость. Поскольку петлевой интеграл содержит wL°, Lo =
= V2P2 + N, эти вклады соответствуют пределу Lo -*¦ 00, по-
поэтому все они имеют сингулярное поведение при до—>-1. В тео-
теории бозонных струн они на самом деле приводили к сильной
расходимости ~dq/q3. В терминах переменной w эта расходи-
расходимость экспоненциальна, так как q~x ~ ехр [2я2/A — до)] при
до— 1. Для суперструн более низкая размерность пространства-
времени и сокращение бозонных вкладов с фермионными (бла-
(благодаря суперсимметрии) ослабляют эту расходимость до dq/q,
что в кросс-канале соответствует испусканию дилатона в ва-
вакуум, как изображено на рис. 8.24, а и 8.26.
Путем замены w на q и изучения поведения интеграла вблизи
<7~>0 мы приходим к совершенно другой точке зрения на про-
происхождение особенности. В этом случае вместо ультрафиолето-
ультрафиолетовой особенности расходимость возникает как следствие испуска-
испускания безмассового скаляра (дилатона) из суперсимметричного
мультиплета, который затем поглощается вакуумом при нуле-
нулевом импульсе. Это важно для стабильности вакуума, поскольку
такая интерпретация расходимости зависит от одного скаляр-
скалярного состояния с нулевым импульсом, другими словами, это
инфракрасный эффект.
Добавление испускания дилатона с небольшим импульсом
к произвольному процессу эквивалентно взятию производной ш>
натяжению струны. Это очень фундаментальное свойство тео-
теории струн легко увидеть в подходе, основанном на интегралах
по мировым поверхностям. Вершина испускания дилатона с ну-
нулевым импульсом имеет вид 1)
VD(k = 0)= даХ1даХ*. (9.1.22)
Приведенное выражение пропорционально бозонной части дей-
действия для суперструны, которое умножается на натяжение
струны. На самом деле зависимость интеграла по мировым по-
поверхностям от натяжения струны возникает благодаря очень
простому множителю
e~s ~ ехр { - ~ J й2адаХ1даХ1} . (9.1.23)
Из (9.1.22) и (9.1.23) следует, очевидно, что производная от
интеграла по мировым поверхностям приведет к вставке дила-
дилатона с нулевым импульсом. Поэтому тот факт, что расходя-
расходящаяся часть петлевой амплитуды пропорциональна производ-
производной древесной амплитуды по натяжению струны, можно интер-
4) Это выражение следует из общей структуры вершин для безмассовой
замкнутой струны, приведенной в разд. 7.4.3, так как дилатон соответствует
следу тензора поляризации ?".

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 95
претировать как явное подтверждение того, что расходимость
возникает из-за испускания мягкого дилатона, переходящего
в вакуум. В этом случае в отличие от бозонной теории отсут-
отсутствует тахионное состояние замкнутой струны, поэтому причи-
причиной главной расходимости является дилатон.
9.1.3. Неориентируемые диаграммы
В теории суперструн типа I струны являются неориен-
тируемыми, поэтому на однопетлевом уровне необходимо рас-
рассмотреть также диаграммы с нечетным числом пропагаторов,
содержащих твисты (для которых мировые поверхности имеют
вид листа Мёбиуса). Так же как в бозонной теории, основное
•отличие от планарной петли сводится к замене w на —w в мно-
множителях, возникающих при взятии следов по осцилляторам не-
ненулевых мод. Вдобавок возникает множитель т] = +1. —1 или
О в зависимости соответственно от того, какая из групп USpBn),
SO(n) или U(п) выбрана. Как обсуждалось в разд. 8.1.2, пол-
полная неориентируемая однопетлевая амплитуда состоит из вкла-
вкладов, в которых нечетное число твистов распределено по внутрен-
внутренним пропагаторам всеми возможными способами. Полный вклад,
соответствующий конкретному теоретико-групповому множителю
(такому как tr(XiX2X3X4)), получается из диаграмм в виде листа
Мёбиуса, к границам которого присоединены частицы в за-
заданном циклическом порядке. Только после сложения всех диа-
диаграмм, включая сумму по всем нециклическим перестановкам
внешних состояний, получается полная неориентируемая ампли-
амплитуда.
След по фермионным модам S" в случае не более четырех
внешних частиц в основном состоянии вычисляется, как и рань-
раньше, очень просто, поскольку след по нулевым модам устраняет
зависимость вершин от ненулевых мод. Одно-, двух- и трехто-
трехточечные амплитуды равны нулю по тем же причинам, что и
в планарном случае. При четырех внешних состояниях след по
фермионным нулевым модам дает тот же кинематический мно-
множитель К, что и для пленарных амплитуд, поскольку операторы
твиста не меняют зависимость от нулевых мод. Так как этот
множитель сам по себе подчиняется бозе- или ферми-симметрии,
он не зависит от порядка внешних частиц. Введение оператора
твиста в след подынтегрального выражения амплитуды сводится
просто к замене w на —w в следе по ненулевым модам так же,
как в разд. 8.1.2. В результате след по ненулевым модам дает
множитель [/(—w)]8, который сокращается с таким же множи-
множителем в знаменателе от следов по бозонным модам а1п. Сум-
Суммарный вклад в четырехчастичную однопетлевую амплитуду с

96 Глава 9
данным циклическим порядком внешних состояний имеет вид
хИ1Ш П
при соответствующем выборе области интегрирования по р, ко-
которую проще всего описать после еще одной замены перемен-
переменных. Функция г^* определена и рассмотрена в приложении 8.А.
Ее логарифм 1пг|^5 пропорционален корреляционной функции
(Х'(рг)Х1'(р$)} для точек рг и ps, расположенных на границе
листа Мёбиуса. Теоретико-групповой множитель Gn определен
в разд. 8.1.2.
Переход к переменным vr и q приводит к выражению
Ан A, 2, 3, 4) = Ш^ОЫК $ -f- $ (П dv)
О R \r=l / r<S
\^, (9.1.25)
о
где
sin т(v^ -v^
о
n (- ?i/2)=S fпdVr) П
« Vr = l / l<r<s<
-ikr-ks
J
l<r<s<4
Область R, как и в бозонной теории, определена неравенствами
О ^ vi ^ V2 ^ v3 ^ V4 = 2. Поскольку функция Fm очень по-
похожа на функцию Fp (9.1.20), то, как и к разд. 8.1.2, естественно
перейти к переменным v'r = vr/2 и q'=qll\ Это позволяет объ-
объединить выражения для планарной и неориентируемой ампли-
амплитуд. Так как якобиан замены переменных тривиален, имеем
FN (- qx>2) = FN (- q'*) = 8FP (q'2), (9.1.27)
поэтому
1 1
3-FP(q% (9.1.28)
Полученная связь между планарной и неориентируемой петле-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 97
выми амплитудами означает, что их расходимости также свя-
связаны. Этот вопрос обсуждается в разд. 10.4.2.
9.1.4. Ориентируемые непланарные диаграммы
Однопетлевые диаграммы с четным положительным числом
пропагаторов с твистами описывают мировые поверхности, ко-
которые с топологической точки зрения представляют собой
кольцо с внешними состояниями, присоединенными к обеим
границам. Снова, как в разд. 8.1.3, полная амплитуда равна
сумме вкладов всех возможных распределений твистов по вну-
внутренним пропагаторам с нециклическими перестановками внеш-
внешних частиц по соответствующим границам. В случае четырех
внешних состояний алгебра вычислений (касающихся следов
по S-осцилляторам) сильно упрощается, как в случае только
что рассмотренных планарных и неориентируемых диаграмм.
Поскольку операторы твиста не меняют следа по нулевым мо-
модам, то возникают те же кинематические множители К, что и
раньше.
Рассмотрим рассеяние четырех частиц с вакуумными кван-
квантовыми числами в s-канале, которому соответствует теоретико-
групповой множитель \хCk{ki)ir(%3%i) (как обычно s = — (k\ -\-
+ k2J = —2k\-k2). В этом случае амплитуда состоит из вкла-
вкладов двух видов. Один вид содержит два пропагатора с тви-
твистами, как изображено на рис. 8.16, а, в то время как другой
вид (с другим циклическим порядком внешних состояний) со-
содержит четыре пропагатора с твистами, как изображено на
рис. 8.16,6. Каждая из таких диаграмм вычисляется путем
сшивания древесных диаграмм таким же способом, который
привел в разд. 8.1.3 к выражению для непланарной петлевой
амплитуды в бозонной теории через след от произведения вер-
вершин. После использования в каждой вершине по две нулевые
моды S-осцилляторов для образования кинематического множи-
множителя К остающаяся часть каждой из вершин снова принимает
вид exp{ikr-X@)}. След включает также суммирование по
остающимся модам S-осцилляторов. Как и в случае планарных
и неориентируемых диаграмм, множители в функции распреде-
распределения, возникающие от следа по ненулевым бозонным модам,
сокращаются с множителями от следа по фермионным нулевым
модам. Тогда выражение для амплитуды принимает вид
r<s
¦;,)*'•*.. (9.1.29)

98 Глава 9
Корреляционная функция между двумя точками рг и ps на раз-
разных границах мировой поверхности имеет вид 1пя|згз, поэтому
необходимо использовать функцию г|^ (определенную в
разд. 8.1.3), когда точки лежат на разных границах мировой
поверхности, и функцию tyrs, когда точки лежат на одной гра-
границе (что имело место для соответствующего процесса
в разд. 8.1.3). Границы мировой поверхности отображаются
в области (w,\) и (—1,—w) р-плоскости, причем частицы 1 и
2 присоединены к точкам соответственно — pi и —рг отрицатель-
отрицательной действительной полуоси, а частицы 3 и 4 присоединены
к точкам р3 и р4 = w положительной действительной полуоси.
Полная область интегрирования получается при сложении раз-
различных вкладов, как обсуждалось в разд. 8.1.3.
Переходя к переменным (9.1.17) и (9.1.18), удобным для
интегрирования по кольцу, получаем полное выражение для
амплитуды в виде
Ат{\, 2, 3, 4)= 16nYGrtf \ ^- \ dvxdv2dv,X
о о
X O,^)*1-*2 (ФГЖз)*''*4 WsO*"*4- (9Л -30)
Интегрирование по переменным vr проводится независимо вдоль
внутренней и внешней границ кольца с внутренним радиусом
q, причем положение четвертой частицы фиксируется в точке
V4= 1. Как и для бозонной теории, этот вклад является конеч-
конечным. В разд. 8.1.3 было показано, что поведение подынтеграль-
подынтегрального выражения вблизи <7=0 приводит к появлению ряда по-
полюсов, соответствующих замкнутой струне в s-канале. В рас-
рассматриваемом случае полюсы расположены в точках s/2 =
= —&г&2 = 0, 4, 8, ..., которые соответствуют состояниям
замкнутой струны для суперструн типа I. В согласии с выво-
выводами гл. 5 в спектре замкнутой струны отсутствует тахион.
В пространственно-временной картине основные вклады
в сингулярности s-канала дают такие конфигурации мировой
поверхности, которые имеют вид двух дисков, соединенных ме-
между собой длинной узкой трубой, с внешними состояниями,
присоединенными к границам дисков (так же как в случае не-
планарной петли в разд. 8.1.3). Точно такие же конфигурации
приводят к инфракрасной расходимости, когда внешние вер-
вершинные операторы расположены только на одной границе (т.е.
в случае планарной диаграммы). Когда вершинные операторы
расположены на обеих границах, импульс, передаваемый от од-
одной границы к другой, приводит к обрезанию потенциальной

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 99
инфракрасной расходимости. Инфракрасная расходимость воз-
возникает при s—*-0, и это приводит к полюсу, соответствующему
замкнутой струне.
Вычет в полюсе s = 0, который соответствует основному со-
состоянию замкнутой струны, пропорционален gAGTK. Из фор-
формулы (9.1.11), определяющей К, следует, что вычет, очевидно,
имеет четвертую степень по внешним импульсам. Это соответ-
соответствует ожидаемому результату, поскольку вычет должен быть
пропорционален суммам квадратов операторов взаимодействия
между частицами в супергравитационном мультиплете и парой
основных состояний открытой струны (частиц из янг-миллсов-
ского супермультиплета). Вычет включает оператор взаимодей-
взаимодействия гравитона с янг-миллсовским сектором, который имеет
тот же вид, что и в эйнштейновской теории. Учитывается также
взаимодействие антисимметричного поля B^v с мультиплетом
Янга — Миллса. Соответствующие операторы взаимодействия
содержат члены Черна — Саймонса, которые рассматриваются
в гл. 13. Там показано, что эти члены играют важную
роль, обеспечивая отсутствие аномалий в низкоэнергетическом
пределе.
Так же как в бозонной теории, амплитуда в s-канале содер-
содержит полюсы с синглетными квантовыми числами, соответствую-
соответствующие открытой струне. Но для групп симметрии, которые до-
допустимы в суперструнных теориях, безмассовые векторные
состояния с синглетными квантовыми числами отсутствуют. По-
Поэтому в теории нет механизма, который мог бы придать массу
антисимметричному тензорному полю аналогично механизму
бозонной теории с U(n) -симметрией Чана — Патона, рассмот-
рассмотренному в разд. 8.1.3. На самом деле такой механизм привел бы
к нарушению суперсимметрии.
9.2. Теории типа II
Каждый порядок теории возмущений для ориентированных
замкнутых струн содержит по одной диаграмме Феинмана. В од-
одной петле нетривиальные вклады дают только мировые поверх-
поверхности, топологически эквивалентные тору. В этом отношении
теории типа II гораздо проще теорий типа I, которые в одной
петле содержат несколько других диаграмм замкнутых струн,
как обсуждалось в разд. 8.3.3. След в подынтегральном выра-
выражении тороидальной диаграммы для замкнутой струны разби-
разбивается на произведение следов от мод, распространяющихся
влево и вправо (если пренебречь интегрированием по импульсу
нулевых мод в петле, которое связывает оба сектора). Как об-
обсуждалось в разд. 7.2.2, вершины замкнутых струн равны

100 Глава 9
произведениям вершин открытых струн для левых и правых мод,
причем каждый из множителей несет половину импульса испу-
испускаемой частицы. В частности, испускание безмассовых частиц,
соответствующих замкнутой струне (мультиплет супергравита-
супергравитации), дается произведением вершин для безмассовых состояний
открытой струны. В случае тороидальной диаграммы след по
осцилляторным модам двух секторов берется отдельно, по-
поэтому, за исключением множителей, возникающих от интегри-
интегрирования по импульсу, подынтегральное выражение равно
квадрату модуля подынтегрального выражения однопетлевои ам-
амплитуды для открытых струн. В результате тороидальная диа-
диаграмма с числом безмассовых внешних частиц М < 4 равна
нулю по тем же причинам, что и в случае петель открытых
струн. Для ненулевого следа необходимо наличие восьми фер-
мионных нулевых мод в каждом секторе, описывающем правые
и левые частицы. Каждая бозонная вершина может дать не
более двух таких мод. Аналогично вершинный оператор испу-
испускания фермионов может дать одну или три моды, при этом
оба типа вершин должны входить одинаковое число раз.
Как обсуждалось в разд. 8.3.3, ситуация в случае однопет-
однопетлевои диаграммы для неориентированных струн (типа I) в виде
бутылки Клейна сложнее, так как след не разбивается на про-
произведение следов для левых и правых мод. В результате, по-
поскольку оба множителя в вершинах содержатся внутри одного
следа, диаграмма не обязательно равна нулю при наличии двух
или более вершин.
В дополнение к исчезновению космологической постоянной
(М = 0), массовых поправок (М = 2) и поправок к константе
связи (М = 3) самой удивительной чертой теории является ра-
равенство нулю диаграммы с одним дилатоном, обладающим ну-
нулевым импульсом (Л1=1), которая представляет собой одно-
петлевую поправку к вакуумному среднему дилатона. Как об-
обсуждалось в разд. 3.4.2, в древесном приближении вакуумное
среднее дилатона исчезает из-за инвариантности действия
струны относительно двумерных преобразований Вейля. Но пет-
петлевые поправки к одноточечной функции дилатона в общем
случае не равны нулю. Действительно, в теории бозонных струн
было поиазано, что расходимость однопетлевых амплитуд
можно интерпретировать как испускание дилатона с нулевым
импульсом, переходящего в вакуум. Благодаря исчезновению
однопетлевого вакуумного среднего дилатона в теориях супер-
суперструн появляется соблазн предположить, что петлевая расходи-
расходимость также должна исчезать. Для проверки этого предполо-
предположения мы явно вычислим вклад тора в четырехчастичную
амплитуду.

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 101
9.2.1. Конечность тороидальной амплитуды
Поскольку тороидальные диаграммы с М < 4 безмассовыми
внешними частицами равны нулю, первой нетривиальной про-
проверкой конечности теории будет вычисление диаграммы с М = 4
безмассовыми частицами. (Из унитарности следует, что эта диа-
диаграмма отлична от нуля.) При однопетлевых вычислениях для
открытых струн в разд. 9.1 было показано, что в след по ну-
нулевым S-модам в случае четырех безмассовых внешних состоя-
состояний входят только множители из вершинных операторов. След
по остальным ненулевым модам легко вычисляется:
Тгш2Г/г5%5" = [/(ш)]8. (9.2.1)
Соответствующее вычисление для замкнутой струны приводит
к той же зависимости. Если выбрать тензоры поляризации внеш-
внешних частиц в факторизованном виде (т. е. ? В=5 ?в, где А,
В, ... — векторные или спинорные индексы, соответствую-
соответствующие испускаемым частицам), то след по нулевым S-модам, рас-
распространяющимся вправо, приводит к кинематическому множи-
множителю того типа, который описан в разд. 9.1, в то время как
след по остальным S-модам дает множитель (9.2.1). Анало-
Аналогично след по модам So. распространяющимся влево, приводит
к кинематическому множителю К, а остальные левые моды S«
дают множитель [/(ж)]8. В сумме следы по S-модам дают для
замкнутой струны кинематический множитель
Kct = KK (9.2.2)
и вклад в меру \,f(w) |16.
Поскольку было показано, что четырехчастичные однопетле-
однопетлевые диаграммы для открытых струн имеют те же кинематиче-
кинематические множители, что и соответствующие древесные амплитуды,
это верно и в случае четырехчастичных амплитуд для замкну-
замкнутых струн. Поэтому кинематический множитель Kci совпадает
с кинематическим множителем для древесной четырехчастичнои
амплитуды для замкнутых струн, построенной в разд. 7.4.3. Там
он выписан в виде
Амплитуды для теорий типа ПА и ИВ различаются одинаковой
и противоположной киральностью спиноров, связанных с двумя
множителями в (9.2.3).
Множитель |Дш)|16, возникший от следов по S-модам, пол-
полностью сокращается с функциями распределения для бозонных
мод. Функция распределения для мод aln, распространяющихся

102 Глава 9
вправо, имеет вид [f (ш) ] ~8 (как и в случае открытых струн) у
в то время как моды а'п, распространяющиеся влево, дают
комплексно-сопряженный множитель [f(w)]-s.
Остальные вычисления совпадают с вычислениями, прове-
проведенными в разд. 8.2.1 для тороидальной диаграммы с внешними
тахионами в теории бозонных струн. Имеется только несколько
небольших отличий. В рассматриваемом случае D = 10 вместо
26, что было учтено при обсуждении степеней f(w). Другой яв-
явной зависимости от D в формулах нет. Еще одно отличие, ко-
конечно, состоит в том, что теперь внешние состояния удовлетво-
удовлетворяют условию k2 = 0 вместо k2 = 2, что изменяет некоторые
множители. Например, множители в %rs, не зависящие от г и s,
теперь сокращаются (см. ниже), поскольку J^r<skr ¦ ks = 0.
Тем же способом, который описан в этой и предыдущей
главах, можно получить выражение для четырехточечной ампли-
амплитуды в произвольной теории суперструн типа II:
2, з, 4)_(?п ,?и(Птёг)'<'.*¦ з'4к (э-2-4>
где
/ A, 2, 3, 4) = J dl0p | w f* Tr [wNw~NV A, Pl) X
X V B, p2) V C, p3) V D, p4)] =
r<s
Полная область интегрирования получается после объединения
областей, соответствующих различным упорядочениям испущен-
испущенных состояний, так же как в разд. 8.2.1 в случае бозонных
замкнутых струн. Для каждого упорядочения переменные |рг|
имеют определенную последовательность. Но в полном выраже-
выражении для амплитуды интегрирование по переменным рг прово-
проводится по кольцу |ш| =s; |pr| =s; 1 независимо. Как и в разд. 8.2.3,.
будет показано, что область интегрирования по w необходимо
ограничить, чтобы не учитывать бесконечное число раз экви-
эквивалентные конфигурации мировых поверхностей. Как и в гл. 8,
удобно провести замену переменных
vr = In рг/2/я, т = In w/2in (9.2.6)
(при этом V4 = т). Тогда амплитуду можно записать в виде
АсA, 2, 3, 4) = (пк)*КеЛ ttSW^cW. (9.2.7)

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 103
где
r=l r<s
Интегрирование по переменным vr можно проводить по тору
только один раз, поскольку подынтегральное выражение, как
и в разд. 8.2.1, инвариантно относительно преобразований v-»-
->v + 1 и v-»-v + т.
Для того чтобы интегрирование по % включало каждую кон-
конформно неэквивалентную геометрию на торе только один раз,
его необходимо ограничить одной фундаментальной областью,
скажем фундаментальной областью F, описанной в разд. 8.2.3.
Но это имеет смысл лишь в том случае, когда любой выбор
области приводит к одинаковому ответу, т. е. когда подынтег-
подынтегральное выражение инвариантно относительно модулярных пре-
преобразований. Модулярная инвариантность тороидальной диа-
диаграммы для бозонных струн доказана в разд. 8.2.2, и ее необ-
необходимо проверить для случая суперструн типа II. Нарушение
модулярной инвариантности означало бы непоследовательность
теории с физической точки зрения.
Теперь мы покажем, что интеграл (9.2.7) инвариантен отно-
относительно модулярных преобразований %-*-(ax-\-b)/(cx-\-d), где
а, Ь, с, d — целые числа, удовлетворяющие уравнению ad —
— bc = \. Поскольку мера <^2т/AттJ модулярно инвариантна,
достаточно доказать инвариантность функции Fc(x). Как пока-
показано в гл. 8, пределы интегрирования по v зависят от т. По-
Поэтому для сохранения области интегрирования в виде фикси-
фиксированного параллелограмма необходимо дополнить модулярное
преобразование т преобразованием v ->¦ v/ (ex -\- d) для всех vr.
Тогда можно использовать формулу преобразования (см. при-
приложение 8.А)
с% + d) |cx + d| \ • • )
для доказательства следующего закона преобразования:
П (x,/^/2-HCT + drr<sWn (X,)W. (9.2.10)
r<s r<s
Но этот множитель инвариантен, поскольку 2r<s К ¦ ks = 0 из-
за отсутствия масс у внешних частиц. Остальная часть выра-
выражения для Fc(x) также инвариантна, так как преобразование
меры II^=1d2vr приводит к множителю |ст+с!|~6, который со-
сокращается с множителем, возникающим при преобразовании

104 Глава 9
Aтт)~3. Это означает, что, так же как для теории замкнутых
бозонных струн, интегрирование по % можно ограничить одной
фундаментальной областью. При выборе области F на рис. 8.21
в качестве такой области все возможные расходимости при
т = 0 исключаются.
Выражение для амплитуды имеет ожидаемые полюсы и нор-
нормальные пороги, которые диктуются унитарностью в различных
каналах. Как объяснялось в разд. 8.2.4, полюсы в каналах,
связанные с кластерами внешних частиц, возникают в пределе,
когда частицы сходятся вместе на поверхности тора. В про-
пространственно-временной картине этому соответствуют такие
конфигурации мировой поверхности, когда группы частиц от-
отделены длинной узкой трубой. В примере, который мы рассмат-
рассматривали, а именно в случае тороидальной диаграммы для супер-
суперструн с четырьмя безмассовыми частицами полюсы с нулевой
массой отсутствуют во всех каналах. Это согласуется с исчез-
исчезновением вершинных и собственноэнергетических диаграмм для
безмассовых состояний, поскольку эти диаграммы пропорцио-
пропорциональны вычетам в таких полюсах. Самым важным является тот
факт, что расходимость, связанная с интегрированием по vr, от-
отсутствует. В теории бозонных струн область, где все vr сходят-
сходятся, приводит к расходимости, поэтому очень важно проверить
именно эту область. Она исследуется так же, как в разд. 8.2.4,
путем перехода к переменным 1>, е и ф, определенным следую-
следующими соотношениями:
ET]r = vr — vu, r= 1, 2, . . ., М — 2,
*e'+ = vM_l-vM. (9.2.11)
Используя старые оценки для множителей %rs (и (е)^ kr' s = \)r
для полной зависимости от е вблизи е = 0 получаем выра-
выражение
SSw' <9-2Л2>
которое сходится. Поскольку область в пространстве парамет-
параметров вблизи е->-0 соответствует вставке дилатонного голова-
головастика, этого результата и следовало ожидать — нулевое значе-
значение амплитуды в виде головастика нарушало бы суперсим-
суперсимметрию.
Таким образом, мы показали, что тороидальная диаграмма
с четырьмя безмассовыми внешними частицами для суперструн
типа II конечна. Ясно, что этот результат распространяется на
.М-точечные тороидальные амплитуды. Действительно, если бы
одна из них расходилась, то в ней можно было бы выделить

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 105
безмассовый полюс в трехчастичном канале, вычет в котором
разбивался бы на произведение древесной диаграммы с М — 2
выходящими линиями и петли с четырьмя выходящими ли-
линиями. Поскольку древесная диаграмма конечна, петля должна
была бы расходиться, что противоречит только что получен-
полученному результату.
Вероятно также, что конечность результата распространяет-
распространяется на многопетлевые амплитуды, хотя аргументация в этом слу-
случае не такая строгая. Однопетлевые вычисления показали, что
расходимость, возникающая при сближении координат (vr)
к общему значению на мировой поверхности, отсутствует. Этот
факт связан с нулевым вакуумным средним для дилатона на
поверхности рода 1, так как область, в которой все vr прибли-
приближаются к общему значению, связана конформным преобразо-
преобразованием с мировой поверхностью рода 1, к которой присоеди-
присоединяется дилатон. С точки зрения пространственно-временной
суперсимметрии очень вероятно, что вакуумное среднее дила-
дилатона равно нулю во всех порядках; уже предпринимались
попытки доказать это утверждение, используя ковариантный
фермионный вершинный оператор, описанный в разд. 7.3.5. Пред-
Предположив, что это утверждение каким-то образом доказано, за-
зададимся вопросом, какие еще потенциальные трудности могут
появиться в петлевых диаграммах? Можно было бы ожидать
неприятностей от сингулярных пределов в геометрии, соответ-
соответствующих углам в пространстве параметров Тейхмюллера, ко-
которые представляют собой многопетлевой аналог параметра т.
Эти трудности снова были бы связаны со взаимодействием
с дилатоном и должны были бы отсутствовать благодаря про-
пространственно-временной суперсимметрии, хотя полное доказа-
доказательство в настоящее время еще не проведено.
9.2.2. Компактификация на тор
Приступим к исследованию петлевых диаграмм, возникаю-
возникающих в простейшем примере компактификации струны, а именно
компактификации на тор. Целью этого исследования частично
является демонстрация того, как модулярная инвариантность
сохраняется при компактификации, частично — подготовка к по-
последующему обсуждению низкоэнергетического предела теории
в четырех измерениях (при этой простой компактификации) и
частично — подготовка основы для последующего обсуждения
более реалистичных схем компактификации, основанных на
орбифолдах. Таким образом, рассмотрим ситуацию, когда
A0 — D) пространственных измерений в теории суперструн яв-
являются окружностями с периодическими граничными условиями

106 Глава 9
(X' та X1 + 2nR'); при этом решетка, образованная сопряжен-
сопряженными импульсами, является тривиальной кубической решеткой,,
задаваемой соотношением р' = m'/R'.
Компактификация на окружность описана в разд. 6.4.1. Для
прямого произведения 10 — D окружностей, которое дает тор
T10~D, обобщение проводится непосредственно. Поскольку кри-
кривизна тора равна нулю, в этом случае компактификация за-
затрагивает только нулевые моды разложения координат Х'(о, т),
где / нумерует компактифицированные измерения (/=1, ...
..., 10 — D). Поэтому вычисление петлевых диаграмм прово-
проводится так же, как и раньше, не считая изменений, связанных
с импульсом в петле. В частности, компонента импульса в на-
направлении / принимает только дискретные значения р' = m'/R',
где R1 — радиус, а т' — произвольное целое число. Таким обра-
образом, в определении интеграла по петле интегрирование по им-
импульсам в этих направлениях необходимо заменить суммиро-
суммированием. Анализ, проведенный в разд. 6.4.1, показал, что зам-
замкнутая струна характеризуется также степенями отображений,
которые равны числу оборотов струны вокруг каждой из цикли-
циклических координат. Поэтому в определение петлевой амплитуды
необходимо включить также суммирование по всем возможным
степеням отображений.
Начнем изучение эффектов, связанных с нетривиальной то-
топологией пространства-времени, с рассмотрения однопетлевых
диаграмм открытых струн. Гауссов интеграл по каждой из ком-
компонент импульса в петле, соответствующих компактифициро-
компактифицированным измерениям, раньше давал множитель
оо
wa'P2 dp = (- я/а' In wI12. (9.2.13)
В компактифицированной теории этот множитель необходимо
заменить на сумму
оо
-i ? wo-'>n4R\ (9.2.14)
т — — оо
Коэффициент 1/R является аналогом дифференциала dp в ин-
интеграле, поскольку он представляет собой разность импульсов-
р = m/R при переходе от одного значения т к следующему. Для
удобства радиус R выбран одинаковым для всех компактифи-
компактифицированных измерений. (В более общем случае компактное
A0 — D)-мерное пространство может являться тором, связан-
ным с менее тривиальной решеткой Л; тогда \d р заменя-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 107
егся на ЦреЛ-) Отношение множителей (9.2.14) и (9.2.13),
обозначенное через F\, можно записать в виде
где
в3@|т)= Z е^\ (9.2.16)
т= — <х>
а2 = а7/?2 (9.2.17)
является безразмерным параметром. Единственное изменение
заданной петлевой амплитуды для некомпактифицированной
теории, возникающее при тороидальной компактификации
A0 — D) измерений, состоит в появлении множителя {FiI0~D
в подынтегральном выражении.
Поведение 6з при замене переменных In ш->1п q = 2я2/1п w
вытекает из формулы преобразования для 8ь приведенной
в приложении 8.А (или может быть доказано непосредственно,
используя формулу суммирования Пуассона из приложения
8.А). Это дает
=% (о
К счастью, множитель F\ не приводит к появлению степе-
степеней In q в выражении для петлевой амплитуды. Введение мно-
множителя (F\)™~D в планарную и неориентируемую петлевые
амплитуды не изменяет их общие свойства. В области расходи-
расходимости (<7~>-0) появившийся множитель F\(a, 0) равен единице,
поэтому характер расходимости не меняется. Но формула
(9.1.27), связывающая подынтегральные выражения для планар-
ной петлевой амплитуды и неориентируемой амплитуды, больше
не справедлива, поскольку F\(a,—q^4)=/= F\(a, q).
Так как теперь теория содержит состояния замкнутой струны,
характеризующиеся ненулевыми степенями отображения, долж-
должны произойти изменения в спектре состояний замкнутой струны.
Это должно отражаться в структуре планарной диаграммы. По-
Поскольку положения полюсов замкнутых струн в s-канале за-
задаются разложением подынтегрального выражения по степе-
степеням q2, наличие изменений в спектре легко проверить. В дан-
данном случае ряд содержит дополнительные члены, возникающие

108 Глава 9
от (Fi)l0-D, поэтому положения новых полюсов задаются фор-
формулой
10-D
где п1 ¦—целые числа, возникающие при разложении (9.2.18).
Это тот же спектр, что и в теории замкнутых струн, компакти-
компактифицированных на тор (см. разд. 6.4.1), причем п' отождеств-
отождествляются со степенями отображения. (Все промежуточные со-
состояния в рассматриваемом примере имеют нулевые заряды
Калуцы — Клейна, так как р' = 0 для внешних импульсов.)
Рассмотрим теперь тороидальную диаграмму рассеяния
замкнутых струн при тороидальной компактификации. В этом
случае струны характеризуются произвольными степенями ото-
отображений, а разложение Х'(а,х) по модам имеет вид (см.
разд. 6.4.1)
X' (т, a) = X'R (т - а) + Х{ (т + а),
(9.2.20)
п ф 0
До компактификации интеграл по импульсу в каждом направ-
направлении давал множитель
Si
— ОО
w |ap2/2 dp = (а' Im т) 1/2, (9.2.21)
где да =ехр Bя/т). Теперь этот интеграл необходимо заменить
на двойную сумму по степеням отображений п и зарядам т
оо
1 V^
m, n= —оо
что приводит к появлению в подынтегральном выражении мно-
множителя {F2I0-D, где F2 — отношение (9.2.22) и (9.2.21). В этом
выражении экспоненты представляют собой части Lo и Го> ко-
которые могут быть получены из (9,2.20) так же, как в разд. 6.4.К
Отношение (9.2.22) и (9.2.21) можно записать в виде
F2 (а, т) = a (Im тI/2 X exp \—2inmn Re т - я (а2т2 + п2/а2) 1шт].
тп
(9.2.23)

Однапет левые диаграммы в теории суперструн 109
Важно, чтобы множитель (F2) 10~D не нарушал модулярную
инвариантность подынтегрального выражения для петлевой
амплитуды. Поскольку полная группа модулярных преобразо-
преобразований генерируется двумя преобразованиями т->-т+1 и %-*-
-> 1/т, достаточно проверить эти два случая. Инвариантность
F% при первом преобразовании тривиальна. В доказательстве
инвариантности относительно второго преобразования исполь-
используется обобщение формулы суммирования Пуассона на двой-
двойную сумму. Это доказательство, приведенное в приложении 9.В,
дает требуемую формулу
F2(a, x) = F2(a, -1/т). (9.2.24)
Таким образом, даже после компактификации тороидальная
диаграмма все еще обладает модулярной инвариантностью, не-
необходимой для последовательной интерпретации струнной тео-
теории. Отметим, что учет всех степеней отображений был решаю-
решающим для получения этого результата.
В только что описанном примере модулярная инвариант-
инвариантность не ограничивает допустимые радиусы R' компактного про-
пространства. В дальнейшем при обсуждении гетеротической
струны мы увидим, что в общем случае модулярная инвариант-
инвариантность накладывает жесткие ограничения.
9.2.3. Низкоэнергетический предел однопетлевых амплитуд
Тот факт, что в низкоэнергетическом пределе теория супер-
суперструн сводится к супергравитации, взаимодействующей с супер-
суперсимметричной теорией Янга — Миллса, является одним из
важнейших достоинств теории. Явные признаки этого были про-
продемонстрированы в разд. 7.4 на уровне древесных диаграмм тео-
теории возмущений вблизи плоского десятимерного пространства-
времени (т. е. для классической струнной полевой теории). Как
было показано, приведенные там трехчастичные вершины в точ-
точности совпадают с вершинами низкоэнергетической полевой тео-
теории для открытых струн типа I. В случае гетеротических струн,
как мы знаем, существуют также поправки, имеющие порядок
а', которые исчезают при низких энергиях. Для четырехчастич-
ных амплитуд мы нашли, что результаты низкоэнергетической
полевой теории умножаются на отношение Г-функций, которое
приближается к единице при низких энергиях.
Теперь можно рассмотреть соответствующий предел для од-
однопетлевых квантовых поправок, который должен сводиться
к однопетлевым поправкам подходящей суперсимметричной по-
полевой теории точечных частиц. Ясно, что если просто перейти
к низкоэнергетическому пределу в выражениях для петель

110 Глава 9
в плоском десятимерном пространстве (что эквивалентно пре-
пределу а'->0 в рассматриваемом порядке), то результат будет
иметь обычные расходимости полевой теории в высших размер-
размерностях. Бесконечный результат получается также при устране-
устранении дополнительных измерений путем компактификации на тор
и стремления радиусов тора к нулю (а-+<х>) до перехода
к низкоэнергетическому пределу. Если бы такая компактифи-
кация была возможна, то она дала бы последовательную струн-
струнную теорию в числе измерений, меньшем десяти. Этому пре-
препятствует то обстоятельство, что массы бесконечного числа
состояний замкнутой струны с ненулевыми индексами отображе-
отображения пропорциональны радиусу дополнительных измерений, по-
поэтому при обращении радиуса в нуль происходит конденсация
этих состояний на состояние с нулевой массой.
Нам хотелось бы рассмотреть совместный предел, в котором
10 — D измерений становятся бесконечно малыми и одновре-
одновременно состояния с ненулевой степенью отображения приобре-
приобретают бесконечно большую массу и отщепляются. Это происхо-
происходит в пределе
R-+0 и a'a2 = a'2/R2->0. (9.2.25)
Хотя считается, что компактификация на тор общего вида
не является физически реалистичной, этот метод иллюстрирует
соответствие между низкоэнергетическим пределом квантовых
поправок к полевой теории и петлевыми поправками в теории
точечных частиц в тех размерностях пространства-времени, в
которых они не расходятся. Одно выражение для струнной
петлевой амплитуды в низкоэнергетическом пределе дает сумму
всех диаграмм Фейнмана с одинаковой топологией. Это значит,
что если происходит сокращение расходимостей между различ-
различными диаграммами Фейнмана, то эти сокращения автоматиче-
автоматически происходят в теории струн.
Низкоэнергетический предел сектора открытых струн теорий
типа I дает N = 4-теорию Янга — Миллса1). Когда число
внешних основных состояний меньше трех, однопетлевая ам-
амплитуда равна нулю, что соответствует отсутствию перенорми-
перенормировки константы связи и массы низкоэнергетической теории в
произвольной размерности. Амплитуда для открытых струн
с четырьмя безмассовыми внешними состояниями имеет оди-
одинаковый общий кинематический множитель К для древесной
') Здесь используется терминология, согласно которой N = 4-теория
Янга — Миллса обозначает теорию в произвольной размерности D, хотя она
имеет четыре спинорных суперзаряда только в четырехмерном пространстве-
времени. Аналогичная терминология применяется также в случае N = 8-су-
пергравитации.

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 111
и однопетлевой амплитуд (а также, вероятно, для многопетле-
многопетлевых амплитуд). Тот факт, что теоретико-групповые множители
древесных амплитуд и планарных петлевых поправок также
пропорциональны, означает, что их сумму можно записать
в виде
АA, г, б, 4) — glot\\ gt T(l-a's~a't) + Ci' +--
(9.2.26)
где теоретико-групповой множитель tr(A,iA,2A,3A,4) опущен, С\ —
общая безразмерная константа, определяемая из условия уни-
унитарности, а /A) задана выражением
0 г=\
Точки в (9.2.26) отмечают наличие других квантовых поправок,
включая поправки от неориентируемых и многопетлевых диа-
диаграмм. Оказывается, что в низкоэнергетическом пределенеориен-
тируемые петли дают вклад того же вида, что и планарная
петля. Для непланарной петли древесная диаграмма с тем-
же теоретико-групповым множителем, что и у петлевой ампли-
амплитуды, отсутствует, но остальная часть выражения в низкоэнер-
низкоэнергетическом пределе имеет такой же вид, как в случае планар-
ной петли. В обоих случаях анализ очень похож на вычисления
для планарной петли и здесь не приводится.
Десятимерная константа связи Янга — Миллса gl0 имеет
размерность (длинаK, а константа связи go после компакти-
фикации 10 — D измерений определяется следующим соотно-
соотношением:
Для того чтобы в D измерениях определить предел, в котором
go конечна, а гравитационные эффекты отсутствуют, что соот-
соответствует однопетлевому результату теории Янга — Миллса, не-
необходимо, чтобы D-мерная гравитационная константа
^d = Xioa ~ —г- а (9.2.29)
обращалась в нуль. Этому соответствует предел R<-D-w)l2/a! -»-0.
Удобно рассмотреть специальный предел (9.2.25), когда
а'-»-0, а а фиксировано (в этом случае для обращения %d

112 Глава 9
в нуль необходимо выполнение неравенства D<6), но полу-
полученный ниже результат справедлив и в общем случае. В при-
приведенных ниже формулах число некомпактных измерений D
рассматривается как непрерывный параметр.
В пределе а'->-0 с фиксированным а степени i!prs в (9.2.27)
приближаются к нулю и поведение определяется в основном
сингулярной граничной точкой q ~ 1 (т. е. w = 2я2/1п '7 ~ °°)
при D < 6. При этом можно использовать следующую асимпто-
асимптотическую формулу:
Fl (а, Я)~а(-^У'\ (9.2.30)
а также асимптотику
^fs(c, tw) - A - лс) A - хю/х) ехр [ 21na/ J • (9.2.31)
Подставляя эти асимптотические разложения в выражение
для /A) и проводя алгебраические вычисления, получаем глав-
главный член в (9.2.27) в виде
-у) J ( Ц d4i J б Л - J] л
(9.2.32)
где переменные г}; определены соотношениями
Ti/ = vi —v,_,, (9.2.33)
y=±-D-A. (9.2.34)
Этот анализ можно использовать при получении выражения
для однопетлевой N = 4-суперянг-миллсовой амплитуды в про-
произвольной размерности D. Выражение (9.2.32) расходится в
четных размерностях при D ^ 8, что согласуется с вычисле-
вычислениями ультрафиолетовых расходимостей в N = 4-теории Янга —
Миллса. При D = 6 предел конечен, а при D = 4 выражение
расходится из-за инфракрасных эффектов. Функция /A) расхо-
расходится как (D—4)~2 вблизи D = 4, и такое поведение типично
для инфракрасной особенности в рассеянии на массовой обо-
оболочке четырех янг-миллсовых бозонов при размерной регуля-
регуляризации.
Аналогичным образом можно получить однопетлевые ампли-
амплитуды для N = 8-супергравитации из низкоэнергетических пре-
пределов для амплитуд в теории струн типа II. Только в D = 10
измерениях существует отличие между киральными и некираль-
ными теориями, поэтому обсуждаемая здесь достаточно три-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 113
виальная компактификация не различает теории типа ПА
и ИВ.
Однопетлевые диаграммы с меньшим чем четыре числом
внешних основных состояний в этом случае снова равны нулю,
и первая нетривиальная петлевая амплитуда имеет четыре
внешних безмассовых состояния. Для этой амплитуды сумму
древесных диаграмм и квантовых поправок можно записать
в виде
яп о Я 4)-^ К [ 4 ГA-а'8/4)ГA-а'</4)ГA-а'ц/4) ,
/щ, z, о, 1) «ю^с/\ stu ГA + а'5/4)ГA + а'*/4)ГA+а'и/4) ^
} (9-2.35)
где d\ — новая безразмерная константа, определяемая условием
унитарности,
4Ч? (9-2.36)
а Рс{х) определена в (9.2.8). Точки опять означают наличие
квантовых поправок более высокого порядка.
Низкоэнергетический предел снова можно рассматривать
при ос'->-0, сохраняя а и хд фиксированными. Как и в случае
амплитуды для открытых струн, петля расходится при D ^ 8;
при D <С 8 область интегрирования, дающая основной вклад
в (9.2.36), лежит вблизи Imt-^оо, поскольку в этом пределе
F2{a, т)~аAттI/2. (9.2.37)
Подстановка этой асимптотической формулы в (9.2.36) дает
(после небольших алгебраических выкладок) асимптотическую
форму g-O при а'-*~0:
1 Рз Р2
\
о
TV
\
+ t (p, — p2)]v+члены, симметризующие s, t и и, (9.2.38)
где у = D/2 — 4, как и раньше.
Можно показать, что это асимптотическое выражение для
?A) пропорционально асимптотическому выражению для f(I),
симметризованному по s, t и и, т. е.
gm ~ fw(s, t) + f\t, и) + /A)(«, s). (9.2.39)
Это значит, что g(I) также конечна при D = 6. При D ->- 4
-она имеет более мягкую инфракрасную особенность, чем fA),

114 Глава 9
благодаря сокращениям, возникающим при симметризации. Точ-
Точнее gm ~ (D — 4)-\ что является характерной инфракрасной
особенностью в гравитации при размерной регуляризации. В за-
заключение отметим, что и iV = 4-теория Янга — Миллса, и N = 8-
супергравитация конечны в ультрафиолетовой области при
D<8 и конечны в инфракрасной области при D > 4. Эти ре-
результаты получены выше гораздо более простым способом,
рассматривая пределы струнных амплитуд, чем их можно полу-
получить непосредственно из полевых теорий. '
9.3. Теория гетеротических струн
В гл. 6 показано, что степени свободы теорий гетеротических
струн, соответствующие внутренней калибровочной симметрии,
могут быть описаны либо бозонными, либо фермионными пере-
переменными. Вычисления древесной амплитуды в разд. 7.4.4 осно-
основывались на бозонной формулировке, и эту формулировку мы
будем использовать в настоящем разделе при изучении однопет-
левых амплитуд. Напомним, что в этом подходе внутренняя
калибровочная симметрия описывается шестнадцатью бозон-
бозонными координатами, распространяющимися влево, которые па-
параметризуют максимальный тор групп ЕаЖ.Е& или spinC2)/Z2.
Генераторы групп EaX.Ea или SOC2) можно разделить на
16 «нейтральных» генераторов, принадлежащих картановой
подалгебре, и 480 «заряженных» генераторов с зарядами, опи-
описываемыми 16-компонентным вектором К', который можно рас-
рассматривать как импульс Калуцы — Клейна, связанный с 16-мер-
16-мерным тором. Структура вершинных операторов для состояний
из янг-миллсова супермультиплета несколько отличается для
нейтральных и заряженных состояний. Соответствующая кон-
конструкция описана детально в разд. 6.4.3 и использовалась при
вычислении нескольких древесных амплитуд в разд. 7.4.4. Для
нейтральных состояний, принадлежащих присоединенному пред-
представлению картановой подалгебры или состояниям из супер-
супергравитационного мультиплета (которые являются синглетами
по отношению к калибровочной группе), внутренний импульс К'
равен нулю. Для 480 заряженных состояний вектор К', соответ-
соответствует корню калибровочной группы, К-К=2. Вершинные
операторы, связанные с заряженными состояниями, содержат
коциклические множители, которые обсуждались в разд. 6.4.4
и 6.4.5.
Если для описания правых мод, как и в предыдущих раз-
разделах, используется формализм калибровки светового конуса
с пространственно-временной суперсимметрией, то в случае ге-
гетеротических суперструн достигается такое же упрощение, что>

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 115
и1 для суперструн типа II. Как и для других суперструнных
теорий, амплитуды с меньшим чем 4 числом внешних основных
состояний исчезают из-за следа по правым модам So- Так же
как в других теориях, четырехчастичные амплитуды особенно
просты, поскольку вершинные операторы, связанные с правыми
модами, после взятия следа по So фактически сводятся к вер-
вершинам модели Венециано без каких-либо дополнительных мно-
множителей.
9.3.1. Тор с четырьмя внешними частицами
Так как простейший нетривиальный пример петлевой ампли-
амплитуды для гетеротической струны имеет четыре безмассовые
внешние частицы, мы рассмотрим именно этот случай. На одно-
петлевом уровне существует только одна диаграмма — торои-
тороидальная. Как и для суперструн типа II, мировая поверх-
поверхность должна быть замкнутой и ориентируемой, и тор пред-
представляет собой единственную возможность на однопетлевом
уровне.
Кинематика рассеяния такая же, как в гл. 8 (см. рис. 8.8).
Пространственно-временные импульсы испущенных состояний
обозначим 1AA=1, 2, ..., 16), а заряд r-го пропагатора Р!г
лмеет вид
P!r = P!-ZKl. (9.3.1)
Импульс в петле Р' суммируется по всем углам соответствую-
соответствующей решетки Л.
Однопетлевые амплитуды снова получаются путем «сшивки»
древесных диаграмм, что в случае четырех внешних частиц, как
и в (9.2.4), дает
(9.3.2)
Корреляционная функция /A,2,3,4) задается выражением
7A, 2, 3, 4) = Jd10pl«r Z wP421t[wnwn~-'V{\, p,)X
. (9.3.3)

116 Глава 9
Заметим, что в эту формулу включен множитель
так как суперструнный сектор не содержит константы, возни-
возникающей при нормальном упорядочении, в то время как бозон-
ный сектор содержит константу —1. Вершинный оператор
V(kr, pr) описывает испускание произвольной частицы в основ-
основном состоянии из спектра гетеротической струны. Поскольку
след по правым модам So исчерпывает всю зависимость от
S-мод в вершинах, вклад в след правых мод S" имеет вид [f{w)f,
как и для правых мод в теориях типа П.
Поляризационные тензоры второго ранга (включая спиноры)
для супергравитационного мультиплета удобно представить в
виде суммы произведений поляризационных векторов янг-милл-
сова супермультиплега (т. е. записать ^ = Тлп^Л1^ ^ =
=ZirtMrn^rrt' •••)¦ Таким путем получаем, что общий кинематиче-
кинематический множитель, возникающий от следа по фермионным нуле-
нулевым модам, равен сумме множителей того же вида, что и мно-
множитель К для случая открытых струн (мы будем рассматри-
рассматривать только один из этих членов, поэтому индекс п опустим).
С множителями ?r(i Х\ BГ) (ц = 0, ..., 9), которые связаны
с вершинами испускания гравитонов, можно поступить так же,,
как в случае вершин испускания векторных частиц для бозон-
ной теории открытых струн, т. е. использовать представление
exp [t,r • XL (г^)] и в конце вычислений удержать только члены,
линейные по ?г. Вершины испускания шестнадцати нейтральных
калибровочных частиц содержат множители типа |^Х^(гл), кото-
которые также можно представить в экспоненциальном виде
ехр [|р^ (гг)] и в конце вычислений оставить только члены, ли-
линейные по \г. Множитель %'г можно рассматривать как вектор
«поляризации» в дополнительных шестнадцати измерениях, ко-
который характеризует нейтральные калибровочные частицы.
Учитывая одновременно оба типа множителей, получаем удоб-
удобные формулы для описания произвольной комбинации гравито-
гравитонов и нейтральных калибровочных частиц. Поскольку правые
моды описываются суперсимметричным образом, их суперсим-
суперсимметричные партнеры также могут быть описаны путем соответ-
соответствующего изменения множителей К-
Интегрирование по десятимерному импульсу в петле р^
проводится так же, как в бозонной теории в разд. 8.2.1. Но
здесь появляется дополнительная зависимость подынтеграль-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 117
ного выражения от р из-за нулевой моды Xl
М о /.
r<s
Хехр Yj {(fer -ls — k,- lr) { 2"n^ i — т) - Ir ¦ Is 2 in i a, i } •
l<r<s<M
(9.3.5)
Это та же формула, что и в разд. 8.1.1, но с заменой хг на л/гг
и ?г на gr/2.
Сумма по дискретным значениям петлевых импульсов р^
вычисляется так же, как для непрерывных импульсов, а именно
путем выделения полного квадрата. Алгебраические вычисле-
вычисления, совпадающие с вычислениями в разд. 8.1.1, приводят
к формуле
еЛ r=\ r<s
Xexp
= ^ П exp {^
где использованы обозначения, возникающие при комплексном
сопряжении (9.2.6):
ysr = Ъ- у г, у г = - In ?г/2ш (г = 1, . .., М - 1), (9.3.7)
vM = х = — In w/2ni. (9.3.8)
Суммирование по решетке содержится в функции 2', опреде-
определенной формулой
2= Z е~Ш{Р+5)\ (9.3.9>
feA
где
1=уГ^ 1:+%) = у(Хк\: + i!t) (9.3.io>
г
г=1 г=1

'118 Глава 9
(члены, содержащие \г ¦ |г> опущены, поскольку вклад в ампли-
амплитуду дают только члены, линейные по %г).
Множители в следе от ненулевых мод, содержащиеся в
функции /, вычисляются таким же способом, как и в предыду-
предыдущих примерах. Функцию / можно разбить на два множителя
/ = /,Х/2, (9-3.11)
где множитель 1\ возникает от (распространяющихся влево
и вправо) пространственно-временных мод а\ и а{п вместе со
следом по фермионным модам S", в то время как множитель
/2 возникает от шестнадцати дополнительных координат ап,
распространяющихся влево.
Фермионный след дает множитель K[f(w)]B в /ь Множитель
(9.3.5), соответствующий импульсу нулевых мод, вместе с мно-
^жителями, возникающими от ненулевых мод в 1\, которые воз-
возникают в функции
Tr jexp Z iikr ¦ X (zr) + l-PL (zr))} ,
(9.3.12)
входящей в подынтегральное выражение петлевой диаграммы,
дает множитель, похожий на бозонный множитель для теорий
типа II. Результат имеет вид, напоминающий выражение для
открытой струны из разд. 8.1.1:
r<s
X exp {-1- (kr -l,-ks- ~Q f|rs + \t ¦ 1Д„) , (9.3.13)
где %rs = %(csr, w) аналогично определены функции f)rs и Qrs.
Функции firs и Qrs на самом деле пропорциональны корреля-
корреляционным функциям (X^(zr)X,j,{zs)y и (Х^{гг)Хр(г5)У соответ-
соответственно. Они отличаются от функций ц и Q, определенных в
гл. 8, только своими нулевыми модами (поскольку нулевые моды
взаимодействуют с координатами, распространяющимися влево
и вправо):
»/- -\ /- -ч In csr , lnlcsr|
¦4rs^y\(csr, w) = 4(csr, w) ^ + f
= Q(csr,
In»
1
In w
1 1
2
n | i
1
ln|
9,:
X
Ш \
1
iirx
Im
An
Vsr
1
1шг
(9.3.
(9.3
14)
.15)

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 119'
Множитель h, соответствующий дополнительным шестна-
шестнадцати измерениям, получается объединением (9.3.6) с множи-
множителями, которые возникают от нулевых мод. Прежде всего
имеется множитель г(К\,К2,Кз,Кь), который возникает от ко-
циклических множителей в вершинах испускания заряженных
янг-миллсовых частиц. За исключением того, что импульс Р1
принимает дискретные значения, вычисления, по существу такие
же, как для открытых струн, приводят к выражению
X ехр [{Кr -Is-Ks- Ь) 4rs + lr ¦ fAJ- (9.3.16)
Записав меру через переменные v,- и т,
м м-\
— -.—jj -г-Чг = - d2x d2vr, (9.3.17)
r=\
получим, что все четырехчастичные однопетлевые амплитуды
для безмассовых частиц содержатся в выражении
Ан A, 2, 3, 4) = (пкУёК J dh J Ц d\ A=^L.y± [f (w)r2i X
R r
X 2 exp J] ( 4- (kr -ls - ks ¦ I) r\rs+ (Kr -\s-Ks' lr) 4rs +
r<s
r<s
Из этой формулы можно получить описание любого процесса
с внешними основными состояниями путем приписывания г-му
состоянию ненулевого вектора t? для гравитона, ненулевого \Гг
для нейтральной частицы янг-миллсова мультиплета или /
для заряженной янг-миллсовой частицы и удерживая только
линейные по tr и |г члены, как было показано раньше.
Область интегрирования в (9.3.18) совпадает с областью
интегрирования для тороидальных диаграмм уже обсуждав-
обсуждавшихся теорий. Ключевой вопрос состоит в том, является ли
функция FH, определенная формулой
Ан A, 2, 3, 4) = (яхL гК \ -^^ FH (т), (9.3.19).
модулярно инвариантной. Перейдем к обсуждению этого во-
вопроса.

320 Глава 9
9.3.2. Модулярная инвариантность ESX,ES- и SO{32)-теорий
Хотя доказательство модулярной инвариантности во многом
следует по тому же пути, что и в случае теорий типа II, теория
хетеротической струны существенно отличается тем, что внут-
внутренняя симметрия включается посредством решетки Л. Это
•отражается в появлении множителя & в выражении для ам-
амплитуды. Модулярная инвариантность накладывает важные
ограничения на вид решеток.
Начнем обсуждение с доказательства того факта, что об-
область интегрирования по переменным vr можно ограничить
фундаментальным параллелограммом с периодами 1 и г в ком-
комплексной плоскости v. Для доказательства необходимо прове-
проверить инвариантность подынтегрального выражения относитель-
относительно преобразований
vr^vr+l, (9.3.20)
vr^vr + T, (9.3.21)
которые соответствуют преобразованиям zr —>¦ zrexp{2ni} и zr —>
->• wzr. Инвариантность всех множителей в амплитуде относи-
относительно первого из этих преобразований очевидна, за исключе-
исключением множителей в правой части (9.3.6), так как они являются
либо функциями |рг|, либо представляются в виде ряда по рг.
Но левая часть (9.3.6), очевидно, инвариантна относительно
преобразований zr->¦ zr exp {2ш'}, поскольку Рг — вектор корне-
корневой решетки, причем Р2г/2 является целым числом. Второе из
преобразований переменных vr (9.3.21) является преобразова-
преобразованием симметрии для всех функций, входящих в подынтеграль-
подынтегральное выражение для амплитуды. Для функций tfvs и %rs это сле-
следует из их свойств, перечисленных в приложении 8.А, в то
время как для других функций инвариантность является след-
следствием их определений через производные от i|vs. Инвариант-
Инвариантность^ при преобразовании (9.3.21) вытекает из его определения
путем сдвига 1прг на In w в экспоненте (9.3.9), что эквивалентно
сдвигу Р в экспоненте на вектор решетки Кг, оставляющему
•сумму неизменной. Это означает, что область интегрирования
по vr действительно может быть ограничена фундаментальной
областью в плоскости v таким образом, что она накрывает
тор в точности один раз.
Обратимся теперь к вопросу о модулярной инвариантности,
который в рассматриваемом случае содержит новые черты.
Для изучения поведения амплитуды при глобальных диффео-
диффеоморфизмах, генерируемых модулярными преобразованиями, до-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 12В
статочно рассмотреть два преобразования
т^т' = т+1, (9.3.22)
т->-т' = —1/т, (9.3.23)
поскольку они генерируют всю модулярную группу, как было-
описано в разд. 8.2.2. Первое из этих преобразований соответ-
соответствует переходу от w к шехр{2то}, что является частным слу-
случаем (9.3.20), соответствующим г = М. Для изучения поведе-
поведения амплитуды при втором преобразовании необходимо одно-
одновременно преобразовать переменные
v->v' = — v/t (9.3.24)
так, чтобы интегрирование по v' происходило по той же обла-
области, заданной с помощью преобразованной переменной т, что
и первоначальная область переменных v, заданная пере-
переменной т.
Различные функции, входящие в выражение для амплитуды,
имеют простые трансформационные свойства при такой замене
переменных. Преобразование гр (v, т), приведенное в приложе-
приложении 8.А, можно записать в виде
op (v, х) = 4" exp (^f-) г|> (v', г'). (9.3.25)
Аналогично из уравнений этого приложения следует
г, (v, т) = х' (т| (v', т') - 41) , (9.3.26)
Q (v, х) =т'2 (Q (v'f г') + -^~) ¦ (9.3.27)
Используя (9.3.14) и (9.3.15), легко проверить, что функции г\
и Q имеют простые трансформационные свойства
fj(v, T) = T'fKv', г'), (9.3.28)
Q(v, т) = г/2д(^, %'). (9.3.29)
Все рассмотренные до сих пор множители аналогичны мно-
множителям, которые возникали в теориях типа II. Обратимся
к множителю S, определенному соотношением (9.3.9), который
не имеет аналога в моделях, рассмотренных раньше. Для моду-
модулярной инвариантности амплитуды важно, что ^преобразует-
^преобразуется просто. В приложении 9.Б показано, что это происходит
только в том случае, если решетка Л самодуальна. Тогда 3?'

122 Глава 9
преобразуется следующим образом:
S?^3!(yr, х, 1г) = (тУ&(у'г, %', х%)е-Ш5\ (9.3.30)
где использовано равенство xS1 (vr, т, |г) =57 (vr> ^'> Х'К)> кото"
рое следует из определения S' в (9.3.10). Явное выражение для
inxS2 имеет вид
• -с2_ V (-w v n^sr i -i г !
l<r<s<4
_i_ rt/2ir • i, ^- - г' (/сг ¦ L - ks • b) iff-) ¦ (9-3-31)
Это выражение содержит вклады нулевых мод преобразован-
лых функций lnop(v^r, т'), v'i\(v'sr, т') и t'2Q (v^r, т'), которые
убираются преобразованиями (9.3.25) — (9.3.27). Таким образом,
3? в комбинации с другими множителями преобразуется по
простому правилу. То обстоятельство, что преобразование 2
выглядит просто только для самодуальных решеток, имеет ре-
решающее значение для теории. Уже было показано, что допусти-
допустимыми решетками являются те, которые соответствуют группам
с «четными» корнями (т. е. с корнями, квадрат которых ра-
равен 2). Мы покажем, что самосогласованность однопетлевых
амплитуд накладывает дальнейшие ограничения на самодуаль-
самодуальность. Как обсуждалось в разд. 6.4.7, единственными само-
самодуальными решетками 16-го ранга являются решетки Fie и
Fe + Га, связанные с группами spinC2) и Е8У(_Е8. Требование
модулярной инвариантности представляет собой первый дей-
действительно убедительный аргумент, приведенный нами в пользу
условия самодуальности. Рассуждения, основанные на сокра-
сокращении аномалий, приведенные в разд. 13.5.3, выделяют эти же
калибровочные группы для D = 10-теорий с N = 1-суперсим-
метрией.
Теперь можно объединить трансформационные свойства со-
сомножителей в подынтегральном выражении для амплитуды.
Прежде всего существуют множители, содержащие t|vs и соот-
соответствующие Мс внешним безмассовым состояниям, которые
имеют ненулевые Кг'-
П (*(*„., т))*'"** = (т')Мс П (*(*„., т))*'"*», (9.3.32)

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 123;
где использовано равенство Lji<r<s<iKr ¦ Ks — —y2jr=i (KrJ —
= — Mc. Каждый множитель r\rs дает %', а каждый множитель.
firs дает (т'J, поэтому Ми внешних незаряженных янг-миллсо-
вых состояний (т. е. состояний с Кг = 0 и ненулевыми |г) дают
общий множитель (%')Ми. Аналогично Мв внешних гравитонов
(с Кг = 0 и t,r Ф 0) дают множитель (т')М°> что следует из
трансформационных свойств г)„ и Qrs. Таким образом, в сумме-
каждый вид частиц дает множитель %', что в четырехчастичном
случае приводит к множителю (т'L-
Преобразование функции f(w) можно записать в виде
± [/ (и)]* = (г')2 ±r [f (шО]4 (9.3.33)
[/ (и)] (г)
(где ш'== ехр{4я2/1п ш}). Остальные члены в подынтегральном
выражении (9.3.18) имеют вид
П
r=l r<s
Аргументы, следующие за формулой (9.2.5), показывают, что
в точности эта комбинация инвариантна относительно модуляр-
модулярных преобразований.
Множитель (т')"~12 в (9.3.33) полностью сокращается во-
восемью степенями т' из преобразования 2 (9.3.30) пМс-\-Ми-\-
-f- MG = 4 степенями %' от других функций, поэтому подын-
подынтегральное выражение Fh{x) инвариантно относительно преоб-
преобразования т->—1/т.
Модулярная инвариантность подынтегрального выражения
снова позволяет интеграл по т ограничить фундаментальной
областью в плоскости т, в качестве которой удобно выбрать
область F на рис. 8.21. В этой области потенциальные расхо-
расходимости при т = 0 не возникают, что приводит к хорошо опре-
определенному выражению для петлевой амплитуды. Однако необ-
необходимо проверить на сходимость граничные точки, которые при-
приводили к расходимостям в бозоннои теории.
Опасной граничной точкой, очевидно, является точка, в ко-
которой частицы собираются вместе на поверхности тора, т. е.
предел, в котором vr ~ vs. Анализ этого предела похож на ана-
анализ, проведенный для теорий типа II в разд. 9.2.1, и включает
замену переменных (9.2.11) в амплитуде (9.3.18). Для простоты
предположим, что внешние состояния имеют ненулевой вектор-
Кг, поэтому члены с \г или \т отсутствуют. Выражение для:
S' (9.3.10) равно нулю при совпадающих рг, таким образом,.

124 Глава 9
3? не зависит от vr. Единственные изменения в анализе по
сравнению с анализом, проведенным для теорий типа II, со-
состоят в появлении множителей (tyrs)Kr'Ks в (9.3.18). Поскольку
i|Vs ~ vrs, они дают вклад (е) r<s г 5 = е~4 (где использовано
равенство К2Г = 2). Результат состоит в том, что вблизи гра-
граничной точки s = 0 петлевая амплитуда ведет себя следующим
образом:
где & задается формулой (9.3.9) при S' = 0. На первый взгляд
интеграл по т расходится в пределе 1тт—>¦ °о (w —>-0), где
3? ~ 1 (вклад члена с Р = 0 в (9.3.9)). Но интеграл по угло-
угловым переменным сокращает явно сингулярное поведение \/w,
в результате выражение для петлевой амплитуды оказывается
конечным. Этот результат непосредственно обобщается на слу-
случаи, когда внешние частицы описываются %г или t,r.
Тот факт, что петлевые амплитуды для гетеротической
струны имеют модулярно инвариантное подынтегральное выра-
выражение только для самодуальных решеток, имеет большое зна-
значение, так как ограничивает возможный выбор калибровочной
группы только двумя группами spinC2)/Z2 и Е8У,Е8, как объ-
объяснялось в гл. 6. В разд. 9.5.3 и 9.5.4 мы покажем, что отказ
от пространственно-временной суперсимметрии предоставляет
также возможность сформулировать модулярно инвариантную
теорию гетеротических струн без тахионов, основанную на ка-
калибровочной группе SOA6)X SOA6).
9.4. Вычисления в RNS-формализме
До сих пор .вычисления в этой главе полностью проводи-
проводились в калибровке светового конуса, описанной в гл. 5. Суще-
Существует несколько причин, по которым полезно провести вычис-
вычисления также в RNS-формализме, описанном в гл. 4, который
использует фермионные координаты, являющиеся простран-
пространственно-временными векторами, а не спинорами. С одной сто-
стороны, только в этом подходе мы знаем, как проводить явно
ковариантные вычисления (хотя в RNS-формализме можно ис-
использовать и калибровку светового конуса). С другой стороны,
благодаря отсутствию ограничения, возникающего при спе-
специальном выборе импульсов, возможно, существуют более
прямые обобщения на диаграммы с большим числом испущен-
испущенных состояний или на многопетлевые диаграммы, хотя соответ-
соответствующие амплитуды в настоящей монографии не рассматри-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн
125
ваются. Наконец,. изучение амплитуд рассеяния в RNS-форма-
лизме позволяет критически взглянуть на степень необходимости
использования GSO-проекции. Именно с этого вопроса мы нач-
начнем следующий раздел, прежде чем непосредственно присту-
приступить к петлевым вычислениям.
9.4.1. Модулярная инвариантность и GSO-проекция
Модель RNS замкнутых струн содержит безмассовую час-
частицу со спином 3/2. В последовательной теории безмассовая
частица со спином 3/2 должна взаимодействовать с сохраняю-
сохраняющимся суперсимметричным током (или отщепляться при низких
энергиях). Однако без GSO-проекции модель RNS не обладает
лространственно-временной суперсимметрией (и частица со спи-
спином 3/2 не отщепляется при
низких энергиях). Поэтому воз-
возникает естественное предполо-
предположение, что модель RNS с уче-
учетом взаимодействия непоследо-
непоследовательна, если не использовать
GSO-проекцию для получения
пространственно-временной су-
суперсимметрии или не ввести
какие-либо другие изменения
в модель с тем, чтобы устра-
устранить безмассовую частицу со
спином 3/2. Теперь можно
проследить, как это происхо-
происходит: модель RNS без проек-
проекции GSO или без проекции,
которая устраняет безмассовую частицу со спином 3/2, не яв-
является модулярно инвариантной на однопетлевом уровне.
Рассмотрим сначала фермионы в модели RNS, распростра-
распространяющиеся вправо. Напомним, что для замкнутой струны, 0 ^
^ а ^ я, фермионы могут подчиняться либо периодическим,
либо антипериодическим граничным условиям. Будем называть
эти граничные условия четными и нечетными граничными усло-
условиями соответственно и обозначать «+» и «—». Четные и не-
нечетные граничные условия приводят соответственно к фермио-
нам и бозонам. Если функциональный интеграл вычисляется на
торе, то граничные условия необходимо задавать более де-
детально, как на рис. 9.1. Как и в разд. 8.2.2, предположим, что
тор параметризуется условием v = Oi -\- g2x, поэтому фундамен-
фундаментальные периоды определяются преобразованиями a\-*-Oi-\-\
и 02-Х72 + 1. В направлениях oi и а2 граничные условия могут
(Г,
Рис. 9.1. Функциональный интеграл
на торе; фермионы могут подчинять-
подчиняться граничным условиям «-{-» или
«—» в направлениях оч и Ог.

126 Глава 9
быть периодическими или антипериодическими. Поэтому суще-
существуют четыре возможности, которые мы обозначим (++).
(-| ), (—+) и ( ), причем первый знак ± соответствует
поведению в направлении <л, а второй — в направлении ог- Че-
Четыре возможных вида граничных условий часто называют «спи-
«спиновыми структурами», что является специальным случаем бо-
более общего понятия, которое исследуется в гл. 14.
При отсутствии какой-либо проекции петлевые амплитуды
содержат множитель
Тте'уН (9.4.1)
(где у определяется выражением т = (х + iy) /2я, как и
в разд. 8.2.1), который соответствует распространению в мни-
мнимом времени у. Сейчас важно вспомнить, что в формулировке
квантовой статистической механики с помощью интегралов по
траекториям статистическая сумма фермионов вычисляется
с использованием антипериодических граничных условий в на-
направлении о2. Поэтому след (9.4.1) естественно представляется
в виде интеграла по траекториям с антипериодическими гранич-
граничными условиями в направлении ог- С другой стороны, если мы
хотим вычислить величину
Tr(-lfe~yH, (9.4.2)
где (—l)F — оператор, используемый в GSO-проекции для под-
подсчета числа фермионов на мировой поверхности по модулю 2,
то в этом случае необходимо использовать граничные условия
«+» в направлении сг2.
Поэтому при отсутствии GSO-проекции вклад сектора NS
в петлевую амплитуду соответствует граничным условиям
( ), в то время как вклад сектора R соответствует гранич-
граничным условиям (-| ). Комбинация статистических сумм с гра-
граничными условиями ( ) и (-| ) не является модулярно-
инвариантной. Модулярное преобразование (аь о^—Ксгг,—ы)
меняет ролями Gi и сг2, поэтому оно превращает граничные
условия (-) ) в ( [-). Чтобы получить модулярно-инва-
риантную теорию, вклады ( ) и (-| ) в модели RNS не-
необходимо дополнить граничными условиями ( [-). Но гра-
граничные условия ( \-) соответствуют статистической сумме
для NS-состояний (граничные условия «—» в направлении oi)
со вставкой оператора (—\)F (граничные условия «+» в на-
направлении сгг). Таким образом, одновременный учет граничных
условий (—•—) и ( 1-) в секторе NS на тороидальной миро-
мировой поверхности приводит к замене (9.4.2) на
(-1H^Я. (9.4.3)

Однопет левые диаграммы в теории суперструн 127
Это и есть GSO-проекция — проекция на состояния, четные от-
относительно действия оператора (—lO7'). Таким образом, на
однопетлевом уровне показано, что для сохранения унитарности
или по крайней мере для модулярной инвариантности в секторе
NS необходимо использовать GSO-проекцию. В то же время
в секторе R на однопетлевом уровне эти же аргументы не за-
заставляют нас использовать GSO-проекцию, поскольку комбина-
комбинация (И ), ( [-) и ( ) обладает модулярной инвариант-
инвариантностью.
Причина, по которой рассматриваемая комбинация является
модулярно-инвариантной, следующая. Модулярные преобразо-
преобразования (ei,<j2)-*~(aei-{-Ьо2, са\ + da2) меняют граничные усло-
условия и поэтому перемешивают условия (++), Н ), ( \-)
и ( ). Но граничное условие (++) модулярно-инвариантно
само по себе, так как граничные условия, соответствующие пе-
периодичности по обоим направлениям о\ и сг2, остаются такими
же и для линейной комбинации а\ и сг2. Модулярные преобра-
преобразования не могут перемешивать граничные условия (-| ),
( \-) и ( ) с условием (-|—(-) (так как последнее яв-
является модулярно-инвариантным), поэтому они должны пере-
перемешивать (-| ), ( {-) и ( ) между собой. Таким обра-
образом, можно пытаться построить модулярно-инвариантную тео-
теорию только с использованием граничных условий (-| ), ( \-)
и ( ). В такой теории GSO-проекция применяется только
к бозонам. Включение условия (+ +) означало бы использо-
использование GSO-проекции также для фермионов, но, поскольку усло-
условие (-|—|-) само является модулярно-инвариантным, модуляр-
модулярная инвариантность на однопетлевом уровне не заставляет нас
использовать GSO-проекцию для фермионов. На самом деле
более тонкие аргументы показывают, что аналог модулярной
инвариантности на двухпетлевом уровне требует использова-
использования GSO-проекции в секторе R, так же как в секторе NS. Мы
не будем обсуждать этот вопрос и довольствуемся приведен-
приведенным объяснением того, что GSO-проекция необходима в сек-
секторе NS 2).
') В разд. 4.3.3, где была введена GSO-проекция, мы отмечали, что
a priori общий знак оператора (—1)F определен плохо. Сейчас у нас имеется
однозначный способ его определения, а именно модулярная инвариантность.
При заданном выборе нормировки вклада ( ) в однопетлевую диаграм-
диаграмму, модулярное преобразование дает однозначный ответ для вклада ( \-)
с определенным знаком, который на самом деле соответствует знаку, приво-
приводящему к суперсимметричной теории без тахиона.
2) Возможно, более тонким способом из унитарности можно вывести не-
необходимость использования GSO-проекции в секторе R даже на однопетле-
однопетлевом уровне.

128 Глава 9
Если использовать GSO-проекцию в секторе R, то этот сек-
сектор будет описываться суммой интегралов по мировым поверх-
поверхностям с граничными условиями {-] ) и (++) по аналогии
с сектором NS. Складывая все вместе, получаем вклады ( ),
( Ь)> Н ) и (++). которые необходимо учитывать в тео-
теории с явной пространственно-временной суперсимметрией. Су-
Персимметричную форму теории с бозонами и фермионами, со-
содержащую GSO-проекцию, можно описать очень кратко: необ-
необходимо суммировать по всем возможным граничным условиям.
Многопетлевое обобщение этого утверждения использовано
в гл. 14.
В проведенном обсуждении имеется тонкость, которую сле-
следует отметить. Ясно, что для модулярной инвариантности не-
необходимо учесть секторы ( \-) и (-J ), если использован
сектор ( ) (в эти секторы переходит сектор ( ) при
модулярных преобразованиях). Однако не ясно, является ли
учет секторов ( 1-) и (-| ) вместе с сектором ( ) до-
достаточным для модулярной инвариантности. Действительно,
рассмотрим модулярное преобразование, отображающее ( )
в себя. Общий вид этого преобразования следующий: (сгьсгг)—>-
->-(<20i + Ьо2, со\-\-йо2), где числа а и d — нечетные, а Ъ и с —
четные. Такие преобразования оставляют граничные условия
( ) без изменения, но не очевидно, что это преобразование
не меняет интеграла по мировым поверхностям с граничным
условием ( ). Здесь может присутствовать аномалия. Один
из основных результатов следующего раздела заключается
в том, что на однопетлевом уровне в десяти измерениях такая
аномалия отсутствует. Этот результат доказан также в более
высоких порядках, но необходимый анализ довольно сложен
и в настоящей монографии не приводится.
Проведенные. рассуждения имеют несколько интересных
обобщений. При доказательстве использовалось предположение,
что теория должна содержать и бозоны, и фермионы (состоя-
(состояния NS и R), а также использовалось действие модулярной
группы на вклад сектора R для обоснования введения GSO-
проекции в секторе NS. Это предположение можно отбросить,
поскольку модулярные преобразования могут быть использо-
использованы для доказательства необходимости наличия в теории обоих
секторов R и N.S.
Ясно, что нельзя построить теорию с взаимодействием, со-
содержащую состояния только из сектора R (состояния из сек-
сектора NS возникают как полюсы при рассеянии двух состояний
из сектора R), поэтому возникает интересный вопрос: можно
ли построить последовательную (модулярно-инвариантную) тео-
теорию, основанную только на секторе NS? В такой теории един-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 129
ственными граничными условиями были бы ( ) (или ( )
и ( Ь) при использовании GSO-проекции). Хотя условие
( ) инвариантно относительно рассмотренной ранее пере-
перестановки о\ и 02, оно не инвариантно относительно других мо-
модулярных преобразований. Действительно, модулярное преоб-
преобразование (аь о2)-+(о\ + сг2, а2) преобразует ( ) в (+—),
доказывая, что при наличии состояний NFS должны присутство-
присутствовать состояния R. Тогда, конечно, можно использовать преды-
предыдущий аргумент для доказательства необходимости использо-
использования GSO-проекции по крайней мере в секторе NS.
Другое интересное применение модулярной инвариантности
имеет место в фермионной формулировке гетеротических теорий
с калибровочными группами SOC2) и ESXE&. В этом случае
необходимо решить, какие граничные условия использовать для
внутренних фермионов, которые несут групповые квантовые
числа. Рассмотрение, аналогичное проведенному выше (вклю-
(включая двухпетлевые аргументы для сектора R, которые читатель
найдет в литературе), показывает, что для модулярной инва-
инвариантности необходимо наличие аналогов обоих секторов R и
NS, а также аналога проекции GSO. В разд. 6.3 эти аспекты
теории мотивировались лишь частично.
В одном отношении проведенное обсуждение вполне удов-
удовлетворительно. Необходимость присутствия безмассовой частицы
со спином 3/2 при отсутстии суперсимметрии в модели RNS
(без GSO-проекции) приводит к затруднениям. По крайней
мере частично мы показали, какие трудности содержит теория
в таком виде. Однако обсуждение содержит и логический про-
пробел. Вместо изменения теории путем введения GSO-проекции
для восстановления пространственно-временной суперсимметрии,
нельзя ли модифицировать теорию таким образом, чтобы устра-
устранить безмассовую частицу со спином 3/2?
В действительности это возможно, если использовать отбро-
отброшенный ранее выбор. До сих пор мы рассматривали правые
фермионы отдельно. Модель RNS содержит также фермионы,
распространяющиеся влево, и они же присутствуют в гетероти-
гетеротических теориях в фермионной формулировке. Для определен-
определенности рассмотрим теорию типа II. Существует шестнадцать воз-
возможных видов граничных условий, которые мы обозначим (± ±;
=Ь ±), где первая пара знаков относится к левым модам, а вто-
вторая— к правым. Суперсимметричная форма теории соответ-
соответствует отдельному использованию секторов R и N.S и примене-
применению отдельных GSO-проекций для левых и правых мод. И это
единственный путь, приводящий к модулярной инвариантности,
если выбор граничных условий для левых мод не зависит от
выбора граничных условий для правых мод. Однако делать это

130 Глава 9
предположение нет необходимости, и если мы ослабим его, то
возможны другие способы достижения модулярной инвариант-
инвариантности. Самым очевидным модулярно-инвариантным способом
согласовать граничные условия для правых и левых мод яв-
является предположение, что левые и правые моды должны под-
подчиняться одинаковым граничным условиям. Таким образом, сово-
совокупность четырех граничных условий (-f- -f; + +), (-J ; -| ),
( \-; Ь) и ( ; ) является модулярно-инвариант-
ной. Любое действие модулярного преобразования на левые
моды сопровождается таким же действием на правые моды и
поэтому перемешивает эти четыре граничных условия.
Описанный способ построения приводит к теории, которая
не является суперсимметричной. На самом деле соответствую-
соответствующая теория вообще не содержит фермионов, поскольку левые
моды R (или NS) взаимодействуют с правыми модами R (или
NS), в каждом случае образуя бозоны. Из-за отсутствия фер-
фермионов (а также присутствия тахиона — он не удален из спектра
с помощью GSO-проекции!) описанная модель, возможно, имеет
небольшое практическое значение. Ей присущи недостатки мо-
модели Венециано, но, возможно, она в той же степени последо-
последовательна. Значение этой модели состоит в том, что она показы-
показывает существование двух способов обхода потенциальных труд-
трудностей, связанных с безмассовой частицей со спином 3/2 в
модели RNS: можно либо изменить теорию, сделав ее суперсим-
суперсимметричной, либо устранить безмассовую частицу со спином 3/2.
Существует ряд других унитарных теорий, которые можно
построить примерно таким же способом. В любом случае GSO-
проекция заменяется на проекцию, устраняющую безмассовую
частицу со спином 3/2 вместо установления пространственно-
временной суперсимметрии. Большинство таких теорий содер-
содержит тахионы, но одна модель с калибровочной группой
5ОA6)Х50A6) их не содержит. Мы не будем формулировать
эту теорию в контексте настоящего обсуждения, а вместо этого
опишем ее другим способом в одном из следующих разделов.
9.4.2. Петлевые вычисления
Вычисление суперсимметричных петлевых диаграмм в фор-
формулировке RNS требует сложения вкладов от всех возможных
граничных условий для фермионов или «спиновых структур».
В операторном подходе это достигается добавлением диаграмм
с фермионной петлей, построенных из фермионных операторов,
соответствующих модам с целым спином (сектор R), и диа-
диаграмм с бозонной петлей, построенных из фермионных опера-
операторов, соответствующих модам с полуцелыми спинами (сектор

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 131
NS). Кроме того, в каждом случае необходимо учесть вспомо-
вспомогательные проекторы (—\)F (условия GSO), обеспечивающие
пространственно-временную суперсимметрию. Конечно, в кова-
риантном подходе важно учесть духи и антидухи, связанные
с фермионными и бозонными модами.
Ковариантные вершины испускания бозонов не содержат
духовых мод, которые входят только через пропагаторы. Как
и в теории бозонных струн, весь вклад духовых координат сво-
сводится к тому, что они сокращают две степени функций распре-
распределения, возникающих от бозонных и фермионных мод. При на-
наличии внешних фермионов ситуация сильно усложняется, по-
поскольку вершины испускания фермионов содержат духовые
моды нетривиальным образом (см. разд. 7.3.5). Вычисление
многих основных диаграмм значительно проще проводится в
калибровке светового конуса.
Различные виды петлевых диаграмм с внешними безмассо-
безмассовыми векторными частицами строятся с помощью следующих
вершин испускания:
VR(k,Q = Z-'$elk-x (9.4.4)
для фермионной струны и
, 0 = (? • X + k ¦ 1K • ¦Ф) eik'x (9-4.5)
для бозонной струны. Использование проекционных GSO-one-
раторов х/2 (I + G) в петлях открытых струн с циркулирующими
бозонами и операторов '/2A + Г) в петлях с циркулирующими
фермионами дает четыре вклада в каждую из топологически
различных амплитуд для открытых струн (G и Г определены
в разд. 4.3.3). Поскольку гетеротическая струна суперсиммет-
суперсимметрична только по своим правым координатам, в этом случае
подсчет числа вкладов проводится таким же способом. (Если
внутренняя симметрия вводится в теорию посредством левых
фермионных мод, то аналог проекционного GSO-оператора
включает также различные граничные условия для этого сек-
сектора.) Аналогичный подсчет справедлив для теорий типа II
в отдельности для левых и правых мод и приводит к 16 вкла-
вкладам в однопетлевую диаграмму общего вида.
Амплитуды состоят из слагаемых, нарушающих или сохра-
сохраняющих четность. Нарушающие четность вклады возникают при
нечетном числе Г в фермионных петлях. Из-за следа по дира-
ковским нулевым модам нарушающие четность петли должны
содержать по крайней мере десять матриц -y^i чтобы получился
ненулевой результат, так как в противном случае наличие мат-
матрицы уи приводит к нулевому ответу. При этом возникает

132 Глава 9
десятимерный тензор е, индексы которого свертываются с линей-
линейно независимыми импульсами и векторами поляризации, связан-
связанными с испущенными частицами. Это означает, что необхо-
необходимо присутствие по крайней мере шести внешних векторных
частиц (поскольку наличие пяти частиц дало бы лишь четыре
независимых импульса и пять векторов поляризации). Именно
эта нарушающая четность часть гексагональной диаграммы мо-
может приводить к аномалиям. Этот вопрос обсуждается в сле-
следующей главе.
Обращение в нуль космологической постоянной для откры-
открытых суперструн (петля с М = 0) было доказано выше, исходя
из тождества для суперсимметричного следа (след по So).
В формализме RNS этот результат возникает при сокращении
трех ненулевых вкладов. Аналогичные причины приводят к об-
обращению в нуль космологической постоянной в гетеротических
теориях и теориях типа II. Теперь можно видеть, что это со-
сокращение происходит благодаря тождеству Якоби (разд. 4.3.3),
которое раньше использовалось для проверки наличия одина-
одинакового числа бозонных и фермионных состояний в спектре тео-
теории на каждом уровне. Складывая различные вклады анало-
аналогичным образом, можно доказать исчезновение двух- и трех-
частичных амплитуд рассеяния.
9.5. Орбифолды и струны с твистами
В настоящем разделе мы опишем обобщение проекции GSO,
которое имеет много интересных приложений. Его можно ис-
использовать для получения точно решаемой модели струнной
компактификации, которая почти так же проста, как компакти-
фикация на плоский тор, описанная в разд. 9.2.2. Это обобще-
обобщение можно также использовать для построения новой очень
интересной десятимерной струнной теории без тахионов, в ко-
которой пространственно-временная суперсимметрия отсутствует
или, возможно, присутствует на более глубоком уровне, но спон-
спонтанно нарушена.
9.5.1. Обобщение GSO-проекции
Рассмотрим теорию замкнутых струн с дискретной группой
симметрии F. Например, если компактификация проводится на
плоский тор, как в разд. 9.2.2, то F может просто представлять
собой дискретную группу симметрии тора; именно этот пример
мы рассмотрим в следующем разделе.
По мировой поверхности струны распространяются различ-
различные поля, такие как бозонные поля Х^(а\, ог) и, возможно, фер-

Однопет'левые диаграммы в теории суперструн 133
мионные поля. Обозначим произвольное поле, распространяю-
распространяющееся по мировой поверхности, через ^(ai,a2). Рассмотрим од-
нопетлевой интеграл по мировым поверхностям в виде тора, ко-
который можно считать определенным на плоскости (аь а2) с от-
отношением эквивалентности О\ ж о\ + 1 и <у2 ~ о2 + 1. Какие
граничные условия необходимо наложить на ^(gi, сг2)? Очевид-
Очевидный выбор имеет вид
ст2+1) = ^(<г„ <т2). (9.5.1)
Поскольку мы предполагаем существование дискретной группы
симметрии F, можно рассмотреть обобщение условий (9.5.1).
Мы можем выбрать два произвольных элемента g и h из F и
потребовать выполнения равенств
Ф (а, + 1, а2) = §ф (а,, а2), ф(ои о2+1) = кф (ст„ а2). (9.5.2)
В самом деле, из (9.5.2) следует
ghф(al, O2) = gф(<Уъ в2+1) = ф(а1+1, ст2+1) =
= Нф{о1+1, ста) = hgf (ст„ а2). (9.5.3)
Равенство первого и последнего выражений в (9.5.3) представ-
представляет собой ниоткуда не вытекающее требование, которое ско-
скорее всего приводит к противоречию, если не выполняется ра-
равенство
gh = hg. (9.5.4)
Предположим, что граничные условия выбраны таким образом,
что пары групповых элементов (g, h) удовлетворяют этому ус-
условию.
Если мы решаем рассматривать граничные условия {g,h),
то какие еще вклады должны быть включены для получения
модулярно-инвариантной теории? Как преобразуются g и h при
преобразовании(ар а2) -> (а[, о'2) = (аах + bo2, ca{ + da2)? Сдвиг
(av Ста) —^ (°"^ + 1 > а2) эквивалентен преобразованию (сть^г)-»-
-*~(e\-\-d, 02 — с), поэтому из (9.5.2) следует, что при этом
преобразовании поле ф преобразуется в gdh~ty. Аналогично при
преобразовании {а\, о2)^-(а[, а'2 + 1) поле ф преобразуется в
?~ЬНаф. В целом при интересующем нас модулярном преоб-
преобразовании пара (g,h) переходит в
c, g-bha). (9.5.5)
В частности, g' и h' коммутируют, если коммутируют g и h, по-
поэтому достаточно ограничиться рассмотрением коммутирующих
лар (g,h).

134 Глава 9
Конечно, если ограничиться случаем g = h = 1, то получится
теория, с которой мы начали. Однако, если мы хотим обобщить
первоначальную теорию, необходимо включить вклады с g, h ф
ф 1. Просто добавить к первоначальной теории произвольно
выбранный вклад {g, h) нельзя, так как это нарушило бы
модулярную инвариантность. Если мы хотим добавить какие-
либо новые вклады в исходный интеграл по мировым поверх-
поверхностям (g=h=\), то мы должны добавить модулярно-инва-
риантную комбинацию. Общая теория допустимых модулярно-
инвариантных комбинаций довольно сложна, в особенности,
если рассматриваются ограничения, возникающие на уровне
двух петель, но существует один простой и очевидный выбор.
Можно суммировать по всем граничным условиям (g,h), удов-
удовлетворяющим одному ограничению gh = hg. Правило суммиро-
суммирования по всем коммутирующим парам (g,h), очевидно, моду-
лярно-инвариантно, поскольку было показано, что модулярные
преобразования переводят такие пары друг в друга. Мы оста-
остановимся на этом выборе, который представляет собой одно из
обобщений GSO-проекции. Для достаточно сложных F суще-
существуют более тонкие выборы, но в тех случаях, которые рас-
рассмотрены ниже, суммирование по всем коммутирующим парам
(g, h) является единственной возможностью.
Как и при обсуждении GSO-проекции, выбор граничных ус-
условий модулярно-инвариантным образом не гарантирует, что
результирующие амплитуды будут модулярно-инвариантными.
Это связано с возможностью существования квантовых анома-
аномалий, которые приводят к тому, что квантовомеханические ин-
интегралы по мировым поверхностям в виде тора не обладают
полной модулярной инвариантностью, которая формально долж-
должна была бы следовать из граничных условий. Такие аномалии
не возникают (в десяти измерениях) при наличии GSO-проек-
GSO-проекции, но в более общих ситуациях, которые будут рассмотрены
ниже, модулярные аномалии могут появиться, и их устранение
накладывает важное ограничение.
9.5.2. Струны на орбифолдах
В разд. 9.2.2 обсуждалось распространение струн на много-
многообразии Af4X^6, где 7W4 — четырехмерное пространство Мин-
ковского, а Т6 — шестимерный тор. Такая компактификация
с математической точки зрения достаточно проста для анализа,
но далека от реальности. При этом остается ненарушенной
N = 4- или N = 8-суперсимметрии в четырех измерениях (в за-
зависимости от выбора исходной суперсимметричной теории), что
является плохим базисом для построения реалистической четы-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн
135
рехмерной теории. Простая тороидальная компактификация
приводит также к нереалистичным калибровочным группам и
представлениям для полей материи в четырех измерениях. Мы
рассмотрим компактификацию более общего вида, которая ма-
математически почти так же проста, но гораздо более реалистична.
Чтобы не вдаваться в абстрактные построения, рассмотрим
конкретный пример. Сначала рассмотрим специальный тор То
(рис. 9.2), получаемый следующим отождествлением точек
в комплексной плоскости z:
z^z+l ^z + e2i7li\ (9.5.6)
«Фундаментальная область» в комплексной z-плоскости со-
состоит из двух треугольников, изображенных на рис. 9.2. Спе-
/
Рис. 9.2. Триангуляционная решетка в комплексной плоскости z, которая ис-
используется при построении тора с Za-симметрией. При этом «фундаменталь-
«фундаментальная область» тора состоит из двух треугольников и содержит три точки,
неподвижные относительно действия группы Zz.
цифичной чертой этого тора является наличие группы симмет-
симметрии Z3, которая генерируется преобразованием
ao:z-*e2inl3z. (9.5.7)
На торе существуют точки, остающиеся инвариантными при
этом преобразовании. Это точки
z =-~j=r
(9.5.8)
при k = 0, 1, 2. (В комплексной плоскости только точка z = 0
инвариантна относительно преобразования (9.5.7), а другие
точки (9.5.8) при этом сдвигаются на векторы решетки, т. е. на
векторы, кратные 1 или ехр{2т/3}. Мы рассмотрим только
точки при k = 0, 1, 2, поскольку точки с другими значениями k
связаны с ними преобразованием (9.5.6).)

136 Глава 9
Рассмотрим три комплексные переменные zi, i = 1, 2, 3. При
отождествлении г» я» -г,- + 1 « г< + ехр {2ш/3} получаются три
тора Tt, i = \, 2, 3, изоморфные рассмотренному ранее. Произ-
Произведение Т =^1X^2X^3 является тором, действительная раз-
размерность которого равна шести (комплексная размерность
равна трем), и мы хотим рассмотреть распространение струны
в пространстве М4 X Т, или, точнее, в определенной модифика-
модификации этого многообразия.
Тор Т допускает 23-симметрию
a: Zi-^e^'^i, г= 1,2,3. (9.5.9)
Эта симметрия имеет З3 = 27 неподвижных точек (точек, инва-
инвариантных относительно действия группы слева), для которых
Zi принимает одно из значений (9.5.8). Обозначим группу Z3,
генерируемую преобразованиями а, буквой F.
Расширим (9.5.6) добавочным отношением эквивалентности,
которое состоит в отождествлении двух точек на Т, связанных
действием F. Обозначая координаты точки на Т через {zi), на-
наложим следующее отношение эквивалентности:
{Zi} « {e2in'3z{}. (9.5.10)
Пусть Z обозначает пространство T/F классов эквивалентности
точек Т по этому отношению эквивалентности; Z не является
многообразием, так как отношение эквивалентности (9.5.10)
вводит конические сингулярности в 27 неподвижных точках пре-
преобразования а (этот вопрос рассмотрен более подробно в
разд. 16.3). Из-за конических сингулярностей Z называют «ор-
бифолдом», а не многообразием. Хотя Z не является многооб-
многообразием, распространение струны в М4Х2, которое мы сейчас
рассмотрим, по-видимому, хорошо определено.
Рассмотрим сначала распространение точечной частицы на
Z (или на М4 X Z, но в действительности сейчас мы хотим рас-
рассмотреть именно Z). На Г точечная частица описывалась бы
волновой функцией if>(z<), принадлежащей гильбертову про-
пространству Ко- Сужение на Z = T/F означает, что мы налагаем
на волновую функцию -ф {zi) условие
q(ew%) = q(zi). (9.5.11)
Гильбертово пространство К состояний точечной частицы, рас-
распространяющейся в Z, является подпространством волновых
функций /Со, которое состоит из функций, подчиняющихся ус-
условию (9.5.11), или, другими словами, пространством состоя-
состояний, инвариантных относительно а. Проекционный оператор на
состояния, инвариантные относительно а, имеет вид
(9.5.12>

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 1ST
Он проектирует большое гильбертово пространство Ко на под-
подпространство состояний К частиц, распространяющихся в Z =
= T/F. Если Я представляет собой гамильтониан точечной
частицы, то статистическая сумма в Т имеет вид Тгехр{—|ЗЯ},
-а в Z = T/F она имеет вид Тг ехр{—$Н}Р.
Следуя этому методу рассуждений в теории струн, первым
шагом в обсуждении распространения струны в Z (или на са-
самом деле в М4Х2) должно быть изучение распространения
-струны в Т (соответствующее гильбертово пространство обсужда-
обсуждалось в разд. 9.2.2), а затем проектирование на ^-инвариантное
подпространство. Рассмотрим однопетлевую диаграмму, мировая
поверхность которой, как и в предыдущем разделе, является
параллелограммом в плоскости (о, т) с отождествленными
противоположными сторонами. Если струны распространяются
в Т, то функциональное интегрирование проводится по парал-
параллелограмму с периодическими граничными условиями. Если
вместо этого струны распространяются в Z = T/F, то, как
и для точечной частицы, мы должны спроектировать струнные
волновые функции на ^-инвариантные состояния. Как и в слу-
случае GSO-проекции, проекцию на состояния, инвариантные отно-
относительно F, можно произвести путем суммирования по гранич-
граничным условиям в направлении т, или, другими словами, путем
учета граничных условий A,1), A,а) и A,а2) и обозначениях
предыдущего раздела.
В случае точечных частиц описание заканчивается введе-
введением такой проекции, но в случае струн необходимо идти
дальше, так как сумма по граничным условиям A, 1), A,а) и
A,а2) не является модулярно-инвариантной. На самом деле
из (9.5.5) следует, что если задействованы три комбинации
A, 1), A,сб) и A,ос2) с равными весами, то необходимо, задей-
задействовать все девять комбинаций (ak, am), k, т = 0,1, 2 также с
равными весами. Необходимость включения новых вкладов в
чем-то аналогична тому, что модулярная инвариантность пред-
предписывает добавление R-сектора к NS-сектору, как показано в
разд. 9.4.1.
Существует альтернативное объяснение необходимости вклю-
включения новых секторов. Рассмотрим замкнутую струну в M4XZ;
при этом -М4 будем описывать стандартными координатами
Минковского xv, |х = 0, ..., 3, a Z — комплексными координа-
координатами zi, 1=1, 2, 3, введенными выше. Обычные граничные
условия для замкнутой струны имеют вид
а + л), zt (а + я)) = (*и (о), zt (a)). (9.5.13)
Но на Z точки {г,-} и {ехр Bиг/3) г»} эквивалентны, поэтому
вместо (9.5.13) мы можем рассмотреть замкнутые струны,

138 Глава 9
подчиняющиеся граничным условиям
(** (а + л), zt (a + я)) = (х»(а), е^Ч, (а)). (9.5.14).
Это соответствует граничным условиям, включающим оператор
твиста а в направлении о. Этот «твистованный сектор» необхо-
необходимо спроектировать на состояния, инвариантные относительна
F = Z3, что снова производится путем суммирования по гранич-
граничным условиям 1, а, а2 в направлении т. Для тора в плоскости
(а, г) вклад твистованного сектора состоит из членов с гранич-
граничными условиями (а, 1), (а, а) и (а, а2). Вдобавок множитель
ехр{2ш/3} в (9.5.14) можно заменить на ехр{4ш/3}, что соот-
соответствует струнам с оператором твиста а2 в направлении о. Про-
Проектируя этот сектор на ^-инвариантные состояния, получаем,
что необходимые добавки к интегралу по мировым поверхно-
поверхностям соответствуют включению членов с граничными условиями
(а2, 1), (а2, а) и (а2, а2). В целом состояния без твистов и два
типа твистованных секторов, спроектированные на ^-инвариант-
^-инвариантные подпространства, учитываются путем суммирования по всем
девяти возможным граничным условиям на торе.
Существует множество причин, по которым распространение
струны в М4Х2 представляется гораздо более реалистичной
моделью компактификации, чем распространение струны
в М4 X Т. Прежде всего компактификация на М4Х Z спонтанно
нарушает часть преобразований суперсимметрии. После ком-
компактификации на М4 X Z остаются ненарушенными только те
исходные преобразования десятимерной суперсимметрии, кото-
которые инвариантны относительно F, такие как ненарушенные че-
четырехмерные суперсимметрии. Если начать с N = 1 -суперсим-
-суперсимметрии в десяти измерениях, то компактификация на М4 X Т
приводит к Af = 4-суперсимметрии в четырех измерениях. Из
этих четырех суперсимметрий только одна инвариантна отно-
относительно F, поэтому компактификация на М4Х2 нарушает по-
потенциальную N = 4-суперсимметрию до N = 1, что гораздо
предпочтительнее с точки зрения феноменологии в четырех
измерениях').
') Для доказательства того, что в четырех измерениях выживает только
N = 1-суперсимметрия, можно привести следующие аргументы. Десятимер-
Десятимерная группа Лоренца SO(l, 9) имеет подгруппу SOA, 3)X5OF), где'
50A, 3)—четырехмерная группа Лоренца, a S0F) ~ SU(i)—подгруппа
50A, 9), коммутирующая с SOA, 3). Четыре суперсимметрии из четырех-
четырехмерной N = 4-суперсимметрии образуют векторное представление 4 группы
5t/D). При построении Z-орбифолда конкретный оператор симметрии а
выбран из подгруппы SUC) группы 50F) или SUD). Поэтому только-
один элемент представления 4 группы SUD) инвариантен относительно!
SUC), и именно этот элемент соответствует ненарушенной суперсимметрииг.

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 139
Другое желательное свойство компактификации на орби-
¦фолд вместо обычного тора состоит в том, что возникают
интересные возможности нарушения калибровочной симметрии.
Пусть G — десятимерная калибровочная группа. Пусть и — эле-
элемент группы G, подчиняющийся условию и3 = 1, т. е. генерирую-
генерирующий подгруппу Z3 в группе G. При построении орбифолда
вместо требования инвариантности состояний относительно пре-
преобразования а мы могли бы потребовать инвариантности отно-
относительно комбинации вращения и калибровочного преобразо-
преобразования
а = а-и. (9.5.15)
Все проделанное выше построение можно повторить, используя
преобразование а и группу F, которую оно генерирует, вместо
а и Р. С формальной точки зрения логика построения та же,
однако физика несколько отличается и даже более интересна.
Таким образом, возникает механизм одновременного спонтан-
спонтанного нарушения суперсимметрии и калибровочных симметрии.
Суперсимметрии, не коммутирующие с а, и калибровочные сим-
симметрии, не коммутирующие с и, спонтанно нарушаются.
Рассмотрим, например, теорию гетеротических струн с ка-
калибровочной группой Eg~XE8. Выберем и из первого сомножи-
сомножителя Еа. Как показано в приложении 6.А, Е8 содержит макси-
максимальную подгруппу ?8Х5GC). Центром SU{3) является груп-
группа Z3, генератор которой обозначим буквой и. Подгруппой Е8,
которая коммутирует с и, является ?6XSt/C). Поэтому ком-
пактификация на орбифолд с d = a-u нарушает ?8 до ?бХ
XS?/C) (оставляя вторую группу Е8 ненарушенной). Такая
компактификация более предпочтительна, чем обычная торои-
тороидальная компактификация, оставляющая ненарушенной группу
Е8 X Е8, так как группа ?6 подходит как четырехмерная группа
большого объединения, а Е8—нет. (Е8 не имеет комплексных
представлений, а векторное представление 27 группы ?6 предо-
предоставляет возможность разместить одно поколение кварков и
лептонов относительно экономичным образом.)
Вычисление спектра струны, распространяющейся в M4XZ,
несложно, но здесь оно будет опущено. При данном выборе и
существует 36 (!) киральных поколений кварков и лептонов,
преобразующихся по представлению 27 группы Е6; 9 из них
возникает из сектора без твистов, а 27 — из твистованного сек-
сектора. Очень привлекательной чертой теории является то, что
Если бы а вместо этого принадлежало подгруппе ?/C), а не SUC), то
суперсимметрия при редукции к четырем измерениям была бы нарушена
лолностью. По существу эти же аргументы будут играть важную роль в
тл. 15 и 16.

140 Глава 9
представление группы Е6, желательное с феноменологической
точки зрения, возникает автоматически и появляется много по-
поколений фермионов (на самом деле слишком много), которые
не нужно вводить каким-либо даже очевидным способом.
Если ограничиться компактификацией на орбифолды, кото-
которая оставляет ненарушенной N = 1 -суперсимметрию в четырех
измерениях, то физика орбифолдов очень похожа на физику,
возникающую при компактификации на многообразия с SUC)-
группой голономии, которую мы детально рассмотрим в гл. 15
и 16. На самом деле, как мы увидим в разд. 16.10, такие орби-
орбифолды можно рассматривать как предельные случаи определен-
определенных многообразий с SUC)-группой голономии. Являются ли
орбифолды «просто» предельными случаями или представляют
собой самый интересный случай, остается пока неизвестным..
9.5.3. Струны с твистами в десяти измерениях
В проведенном обсуждении орбифолды рассматривались с
точки зрения компактификации десяти измерений в четыре. По-
Понятие орбифолда можно также использовать при построении
интересных десятимерных струнных теорий, которые напоми-
напоминают модели, рассмотренные выше в разд. 9.4.1, но представ-
представляют больший интерес, так как одна из моделей свободна от
тахионов. Модель без тахионов представляет собой вариант ге-
теротической струны с калибровочной группой Es X Es или
SO C2), содержащий твисты. Ее можно построить, исходя из
любой из этих двух моделей; ниже мы рассмотрим модель
с группой Es X Es.
При построении орбифолда сначала необходимо выбрать
группу F, которая является группой симметрии уже известной
струнной теории. Какие группы симметрии допустимы для де-
десятимерной ?&Х?&-теории? Эта модель симметрична относи-
относительно группы Лоренца SO A,9) и калибровочной группы
Е8 X Ев- Если мы хотим построить пуанкаре-инвариантную
струнную теорию в десяти измерениях, то F должна коммути-
коммутировать с группой Пуанкаре. Единственным элементом группы
SO A,9), обладающим этим свойством, является поворот на
угол 2л
* = ехрBя/12). (9.5.16)
Можно попытаться построить конструкцию, похожую на орби-
фолд, исходя из группы .Fo » Z2, генерируемой х. Но эта кон-
конструкция допускает обобщение. Пусть у — элемент группы
?8Х^8 со свойством у2 = 1, и пусть z = ху. Тогда z2 = 1,.
а элемент z генерирует группу, изоморфную Z2, которую мы:

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 141
назовем F. Обсудим теорию, полученную из Е8 X ^-струнной
теории, с помощью твистов, генерируемых F, т. е. с помощью
проектирования на ^-инвариантные состояния и последующего
добавления «твистованного» сектора, необходимого для получе-
получения модулярной инвариантности, как и в предыдущем разделе.
Результирующая теория не является суперсимметричной (воз-
(возможно, ее следует интерпретировать как теорию со спонтанно
нарушенной суперсимметрией, которая выполняется на более
фундаментальном уровне), поскольку десятимерные суперсим-
суперсимметрии нечетны относительно z.
Оказывается, что существует только один выбор элемента у,
при котором конструируемая модель модулярно-инвариантна и
свободна от тахионов. Как показано в приложении 6.А, алгебра
Ли группы Е8 содержит алгебру 50A6) в качестве максималь-
максимальной подалгебры. Присоединенное представление группы Е8 раз-
разлагается на представления 120 Ф 128 относительно действия
подгруппы 50A6). Центр 50A6) содержит элемент, который
в фундаментальном представлении имеет вид
Уо 1. (9.5.17)
Относительно действия у0 представление 120 группы 50A6)
является четным, в то же время этот элемент можно выбрать
таким образом, чтобы представление 128 было нечетным. Пусть
в группе Е8 X Е8 элементы гД1' и у^ будут соответственно эле-
элементами первой и второй групп с приведенными выше свой-
свойствами. В рассматриваемой модели только один выбор у приво-
приводит к теории без тахионов; это следующий выбор:
У = У[1)ХУ[2). (9.5.18)
Конечно, у = 1 для всех синглетов группы Е8 X Е8.
Первый шаг в построении струнной теории с твистами со-
состоит в проектировании Е8 X ?8-гетеротической суперструны на
подпространство 2=1; затем для восстановления модулярной
инвариантности необходимо добавить «твистованный сектор»,
в котором граничные условия в направлении о содержат опе-
оператор твиста г, как и при построении орбифолдов.
Проекцию на подпространство 2=1 в обычном или нетви-
стованном секторе легко описать. При z~xy и х2 = у2 = 1
равенство 2=1 эквивалентно равенству х = у. Состояния
с х = 1 или х = —1 являются бозонами и фермионами соответ-
соответственно, а проекция означает, что в спектре Es X ^-теории не-
необходимо удерживать бозоны при у = 1 и фермионы при у =
= —1. Гравитино, например, имеет следующие значения: х =
= —1, у = +1; поэтому оно выпадает при проектировании, что

142 Глава 9
соответствует ожидаемому результату, поскольку безмассовая
частица со спином 3/2 не может существовать в теории без
суперсимметрии. Гравитону соответствуют значения х = у = 1,
поэтому он остается — рассматриваемая теория, как и другие
теории замкнутых струн, содержит гравитацию. Что является
калибровочной группой твистованной теории? Среди калибро-
калибровочных бозонов Es X ^-теории бозоны с у = 1 преобразуются
по представлению
A20, 1)фA, 120) (9.5.19)
при действии группы SO A6) X SO A6). Это присоединенное
представление группы SO A6) X SO A6), поэтому ненарушенной
калибровочной группой твистованной теории является группа
?0A6) X SOA6) (поскольку дополнительные безмассовые бо-
бозоны в твистованном секторе не возникают). Что касается без-
безмассовых фермионов, то состояниями из присоединенного пред-
представления Е8"ХЕ&, соответствующими у = —1, являются в точ-
точности те состояния, которые преобразуются по представлению
A28, 1)фA, 128), (9.5.20)
поэтому в секторе без твистов мы получаем именно эти безмас-
безмассовые фермионы.
Анализ твистованного сектора более сложен. При этом по-
полезно выбрать определенный способ описания теории, которую
мы хотим рассмотреть. Для левых мод мы используем фермион-
ное описание группы E8~X.ES с помощью двух групп левых
фермионов Я и X , А, В = 1, ..., 16. Для правых мод исполь-
используется явно суперсимметричный формализм калибровки све-
светового конуса, описанный в гл. 5. Таким образом, в теории при-
присутствует восемь правых фермионов Sa, преобразующихся по
одному из двух спинорных представлений группы SO (8) — по
представлению 8S, киральность которого будем считать поло-
положительной. Фермионы Sa в суперсимметричной форме теории,
построенной в гл. 5, подчиняются периодическим граничным
условиям
Sa(o + n) = Sa(a). (9.5.21)
Энергия основного состояния правых мод (включая как X*, так
и Sa) равна нулю. Основное состояние вырождено из-за кван-
квантования нулевых мод Sa и состоит из шестнадцати состояний,
преобразующихся по представлению 8V©8C группы SO(8).
В частности, в противоположность Sa безмассовые фермионы
имеют отрицательную киральность. Конечно, при проектирова-
проектировании на состояния с 2=-j-l остающиеся 5ОA6)Х5ОA6)-фер-
мионы преобразуются по представлению (9.5.20).

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 143
Приступим к построению твистованного сектора. В этом
секторе правые моды в направлении о подчиняются граничным
условиям, содержащим оператор твиста х, в то время как левые
моды в направлении о подчиняются граничным условиям, со-
содержащим оператор твиста у. Что это означает для правых
мод, относительно легко себе представить. Модами, нечетными
относительно поворота на 2л с помощью оператора х, являют-
являются моды Sa, поэтому граничные условия (9.5.21) заменяются
условиями
Sa(a+Jx) = -Sa(ff). (9.5.22)
Таким образом, в твистованном секторе «суперсимметричные»
фермионы Sa подчинены граничным условиям, которые анало-
аналогичны граничным условиям NS-сектора в RNS-формализме. По-
Поэтому можно заимствовать анализ из гл. 4. Основное состояние
|Я> правых мод невырожденно, и для него Lo = —1/2. По-
Поскольку для основного состояния левых мод, как будет пока-
показано, Го = 0, основное состояние правых мод устраняется после
наложения условия Lo = Lo. Что касается безмассовых состоя-
состояний правых мод, то они строятся так же, как и в гл. 4, путем
действия Sa-MOM с энергией + 1/2 на состояние |Я>:
| Qa) = Sii/2 |Q). (9.5.23)
Отметим, что состояния |Qa> имеют ту же киральность, что и
Sa, и противоположную киральность по отношению к безмас-
безмассовым фермионным состояниям нетвистованного сектора. Без-
Безмассовые бозоны в твистованном секторе отсутствуют.
Теперь необходимо обсудить левые моды в твистованном
секторе. Степенями свободы, нечетными относительно у, яв-
являются SO Aб)Х SO A6) -фермионы ХА и Яв, поэтому «твист»
означает необходимость изменения граничных условий для ХА
и Хв. Но при этом возникает затруднение. Фермионное построе-
построение Е8 X ^-модели, описанное в разд. 6.3.2, уже требует сум-
суммирования по всем возможным граничным условиям в направ-
направлении а для мод ХА и АА; при этом имеются следующие возмож-
возможности:
(РР), (РА), (АР) и (АА). (9.5.24)
Здесь, например, (РР) обозначает сектор, в котором все Я и
А,л периодичны по о. Поскольку мы уже суммируем по всем
возможным граничным условиям в направлении о до введения
«твиста» у, на первый взгляд оператор твиста просто перестав-
переставляет члены в (9.5.24) и не дает ничего нового. Для теории это
было бы гибельно, поскольку левый сектор без твиста содержит

144 Глава 9
безмассовый вектор (a-i|Q>), который в комбинации с пра-
правыми состояниями (9.5.23) привел бы к появлению в теории
безмассового спина 3/2 при отсутствии пространственно-вре-
пространственно-временной суперсимметрии.
Прежде чем сделать этот вывод, уместно более тщательно
обсудить проекцию типа GSO, используемую для получения
Е8 X ?8-симметрии в фермионном подходе. В разд. 6.3.2 опреде-
определены операторы [(—\)F> и (—l)F\ которые удовлетворяют сле-
следующим соотношениям:
(-l)V4 = -ХЛ (-lf\ (-lf'iB = +lB (-1)F\
(_1)V = +AA(-1)F2, (-l)p4B = -iB(-l)Ft. (9.5.25)
Там же показано, что приведенные свойства определяют (—1) '
и (—1)Рг только с точностью до знака. GSO-подобная проекция
на состояния со свойством (—1)F' = (—1)F2= 1 обеспечивает
?8Х ^8-симметрию в суперсимметричной теории с правильными
знаками, рассмотренной в разд. 6.3.2. Например, для основного
состояния левых мод |Q> в РР-секторе должны выполняться
равенства (— l)Fl = (— 1)F2= 1. Из рассмотрения модулярной
инвариантности ?8Х?8-теории в разд. 9.3.2 нам известно, что
в суперсимметричной форме теории выбор знаков, приводящий
к Е& X /^-симметрии, также приводит к модулярной инвариант-
инвариантности.
Теперь можно установить, что означает «твист» с преобра-
преобразованием у, который с первого взгляда просто переставляет че-
четыре сектора (9.5.24). Ответ заключается в том, что в твисто-
ванном секторе необходимо ввести противоположную проекцию;
поэтому, например, в твистованном РР-секторе для основного
состояния левых мод |Q> справедливы равенства (— l)Fl =
=(—1)F.2 = —1.Пр'и таком предположении низшие состояния
с (—l)Fl = (—1)Л = +1 имеют вид
|Qo») = ^-i/2^,/2|Q>. (9.5.26)
В гл. 6 было показано, что для основного состояния левых мод
?о = —1, поэтому для состояний |Qa6> имеем Lo = 0. Взаимо-
Взаимодействие с правыми состояниями (9.5.23) дает безмассовые
фермионы положительной киральности, которые преобразуются
по представлению A6,16) относительно группы SO A6) X SO A6).
Легко видеть, что при наличии противоположной проекции типа
GSO из гл. 6 левые твистованные (АР)-, (РА)- и (АА)-секторы
не дают каких-либо безмассовых частиц. Итак, объединение
полученных результатов для твистованных и нетвистованного

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 145
секторов дает безмассовые фермионы (не считая синглетов груп-
группы 50A6) X50A6)), которые преобразуются по представ-
представлению
A28, 1)_©A, 128)_0Aв, 16)+) (9.5.27)
тде индекс обозначает киральность в десяти измерениях.
Для обоснования утверждения о том, что в левом твисто-
ванном секторе необходимо произвести противоположную по
сравнению с обычной GSO-проекцию, выпишем модулярно-
инвариантный производящий функционал для этой теории. Он
пропорционален выражению
(9.5.28)
Внимательный читатель должен уметь вывести это выражение
и проверить его модулярную инвариантность. Первый член в
правой части (9.5.28) представляет собой вклад нетвистован-
ного сектора, спроектированного на состояния с z = -\-l. По-
Последние два члена соответствуют твистованному сектору. В дей-
действительности именно анализ модулярно-инвариантной фор-
формулы (9.5.28) оправдывает приведенную выше интерпретацию
левого твистованного сектора.
9.5.4. Альтернативный взгляд на S0A6) y^SOA6)-Teoputo
Теперь мы кратко опишем, как можно получить только
что построенную теорию, если правые моды описываются в
рамках RNS-формализма, а в то же время для описания группы
Е8 X Е8 (как и выше) используется фермионный формализм.
Построение суперсимметричной Es X ^-теории в разд. 6.3
включает проекционные операторы (—l)Fl и (—1) 2 Для каж-
каждого из четырех левых секторов АА, АР, РА и PP. В RNS-фор-
мализме имеется также GSO-проекционный оператор (—1) к
для правых мод. Определение общих знаков этих операторов
довольно сложно; суперсимметричная и ?8Х ^-инвариантная
форма теории включает выбор знаков, который проводится та-
таким образом, чтобы безмассовые калибровочные и гравита-
гравитационные супермультиплеты были четными.
Если описать правые моды в рамках RNS-формализма, то
каким образом можно получить 50 A6) X 50 A6)-теорию, кото-
которая была только что построена? Ответ сводится к соответствую-
соответствующему изменению знаков различных операторов типа GSO. Не-
Необходимые изменения знаков меняются от сектора к сектору

146 Глава 9
и имеют вид
сектор изменение
(R; А, А) и (NS; Р, Р), (~lf> и (-if*,
(R; Р, А) и (NS; A, P), (-1)"« и (-1)\ (9.5.29)
(R; А, Р) и (NS; Я, А), (-1)'* и (-1)*».
Можно показать, что такое изменение знаков является един-
единственным, приводящим к модулярно-инвариантнои теории без
тахионов. Изучим возникающий при этом спектр. В R-секторе
(пространственно-временные фермионы) имеем
-|-(массаJ = Мк = #-а, (9.5.30)
в то время как в NS-секторе (пространственно-временные бо-
бозоны)
-i-(MaccaJ = iVNs-4~ = ^~a- (9.5.31)
Здесь, как и в случае .ЕвХ-^в-теории, а = 1 для ЛЛ-сектора,
а = 0 для АР- и ЯЛ-секторов и а = —1 для ЯР-сектора. Сначала
исследуем возможность существования тахионов. Поскольку N
неотрицательно, для возникновения тахиона необходимо поло-
положить а = 1 и Я = 1/2. Но это означает, что A/ns = 0 в ЛЛ-сек-
торе. А это невозможно, так как (NS;^,^) является одним из
секторов, который остался без изменения. Как и в Е8 X ^-тео-
^-теории, A^ns в этом секторе имеет собственные значения 1/2,
3/2, .... Таким образом, тахионы отсутствуют.
Теперь исследуем безмассовые состояния. Из приведенных
выше правил следует, что единственными секторами, в которых
могут возникнуть эти состояния, являются (R;A,A) с N^ = 0,
и Л?=1, (R;P,A) и (R;A,P) с NR = N = 0, (NS;i4,4)
с Nns = 1/2 и JV = 1. При этом безмассовые бозоны возникают
только в последнем секторе и имеют следующие квантовые
числа:
(8V; I, 1)*X[(8V; I, !)©(!; 120, 1HA; 1, 120)]L. (9.5.32)
Здесь первая цифра относится к поперечной группе SO (8),
а две следующие — к двум множителям SO A6). Индексы R
и L относятся соответственно к правым и левым модам. Произ-
Произведение 8V X 8v = 35v©28© 1 дает гравитон, антисимметричный
тензор и дилатон, которые являются синглетами по калибро-
калибровочной группе. Другие члены дают поля из представлений

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 147
{8V; 120, 1)©(8V; I, 120), которые являются калибровочными по-
полями Янга — Миллса для группы SO A6) X 50A6). Заметим,
что в Еъ X .Ев-теории присутствуют дополнительные безмассо-
безмассовые векторные частицы, возникающие в секторах (NS; Р, А)
я (NS; Л, Р), которые преобразуются по представлениям
(8V; 128, 1)©(8V; I, 128), что необходимо для укомплектования
присоединенного представления группы Е% X Es. Произведенное
изменение множителей (—\)F в NS- и Л-частях этих секторов
запрещает возникновение в них безмассовых мод. Спектр этих
секторов начинается с состояний, удовлетворяющих равенствам
7VNS = 1 и n = 1/2, что соответствует уравнению (массаJ = 4.
Существуют два типа безмассовых фермионов в SO A6) X
X SO A6)-теории. Сначала рассмотрим состояния (Ц;А,А)
с Ns. = 0 и ft = 1. Описание левых мод с помощью фоковского
пространства должно иметь вид i|/1/2ij^1/2[ 0), чтобы выполня-
выполнялись соотношения (— l)fl = (— l)F2 = — 1 и JV = 1. Беря тензор-
тензорное произведение с правыми спинорами из представления 8S,
получаем общие квантовые числа (8S; 16, 16). Дополнительные
спиноры возникают в секторах (R; Р, Л) и (R;A,P) при N =
= N = 0. В этом случае существование оператора, обратного
к (—l)f, для состояний R подразумевает, что эти состояния
.должны быть спинорами из представления 8С противоположной
киральности. Основными Р-состояниями являются 128-компо-
иентные спиноры, а основными Л-состояниями с (—l)f=l
являются синглеты. В результате получаем безмассовые спи-
спиноры в представлении (8С; 128, 1)ф(8с; 1, 128). На этом опи-
описание безмассового сектора заканчивается.
Первые возбужденные состояния лежат только на «полшага»
выше основного состояния — другими словами, их масса опре-
определяется уравнением (массаJ = 4, что в два раза меньше
квадрата массы первых возбужденных состояний двух других
гетеротических теорий. Как уже отмечалось, эти состояния за-
задаются секторами (NS; Л, Р) и (NS;P,A) с Nns — 1 и N =
= 1/2. Состояния с Nns = 1 имеют вид ali|0) и bl-ii2bL\/2\0),
что соответствует представлениям 8V и 28 группы SO (8). Вме-
Вместе эти представления образуют 36-компонентный антисиммет-
антисимметричный тензор относительно массивной малой группы SO (9).
Таким образом, квантовые числа в этом случае равны C6;
128, 16) ©C6; 16,128).
Ясно, что SOC2)-, Е8ХЕ8- и SOA6)XSOA6)-теории тесно
связаны — их можно описать одними и теми же степенями сво-
свободы, но с различными граничными условиями. Многие физики
высказали предположение, что эти три теории на самом деле
могут быть различными вакуумными состояниями одной

148 Глава 9
фундаментальной теории. Очень вероятно, что это относится и
к теориям типа IIА и II В.
Таким образом, мы описали несколько модулярно-инвариант-
ных десятимерных струнных теорий, в которых суперсимметрия
нарушена модификацией граничных условий. (Помимо 50 A6) X
X 50 A6)-теории без тахионов и простой модулярно-инва-
риантной теории, но с тахионом, которая построена в конце
разд. 9.4.1.) Существует много вариантов рассмотренных кон^
струкций, которые приводят к модулярно-инвариантным деся-
десятимерным струнным теориям с тахионами. В ряде случаев та*
хионы заряжены относительно калибровочной группы.
Хотелось бы думать, что в теории с тахионами тахионное
состояние можно интерпретировать как нестабильность, которая
может привести к компактификации на стабильное состояние
без тахиона. В модели Венециано, по-видимому, этого не проис-
происходит по следующей причине. Рассмотрим модель Венециано
на многообразии МпУ(К, где К — компактное многообразие
размерности 26 — п. Рассмотрим тахион с импульсом pv-, каса-
касательным к Мп. Его вершинный оператор exp{ip-X} отщепляется
от компактных измерений и имеет стандартный вид независимо'
от выбора К, приводя к одному и тому же значению массы та-
тахиона. С другой стороны, в десятимерных модулярно-инвариант-
ных теориях с заряженными тахионами вершинный оператор
тахиона имеет совершенно другой вид и никоим образом не
отщепляется от компактифицированных измерений. В этих мо-
моделях масса тахиона определенно зависит от компактификации.
9.6. Резюме
Мы описали однопетлевые квантовые поправки в теориях
суперструн, используя формализм светового конуса с явной
пространственно-временной суперсимметрией. Как и в бозонной
теории, однопетлевые диаграммы открытых струн расходятся
из-за испускания в вакуум состояния замкнутой струны с нуле-
нулевым импульсом. Поскольку в теориях суперструн замкнутые
струны не содержат тахионов, эту расходимость можно пол-
полностью отнести на счет безмассового дилатона. Возможное со-
сокращение расходимостей планарной и неориентируемой диа-
диаграмм исследуется в следующей главе.
Однопетлевые амплитуды теорий типа II модулярно-инва-
риантны и конечны. Условие модулярной инвариантности однопет-
левого подынтегрального выражения накладывает ограничения
на возможные теории гетеротических струн. Суперсимметрич-
Суперсимметричные варианты этих теорий возможны только при самодуальных
решетках Г8 + Г8 или Г]6. Мы исследовали роль GSO-проек-

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 149
ции в модулярно-инвариантных теориях, а также некоторые
альтернативы, в которых вместо получения теорий с простран-
пространственно-временной суперсимметрией устраняется безмассовая
частица со спином 3/2. Полученные результаты привели также
к интересному подходу к компактификации высших измерений,
а именно к «орбифолдам», а также к построению теории гете-
ротических струн с калибровочной группой SO A6) X SO A6).
Последняя не содержит тахионов, несмотря на отсутствие су-
суперсимметрии.
Приложение 9.А. Следы по фермионным модам
В настоящем приложении мы приведем ряд свойств, которые
полезны в вычислениях, включающих следы по фермионным
нулевым модам.
Операторы нулевых мод So образуют шестнадцатимерное
пространство |i> и |d>, где состояния нормированы соотноше-
соотношениями (г|/) = бг и (a \b) = bui. Тождественный оператор в про-
пространстве So имеет вид
I = \i)(i\ + \a)(d\, (9. АЛ)
что приводит к следующему выражению для следа произволь-
произвольного оператора А в пространстве So:
trSo(A)=(i\A\i)-(a\A\a), (9.A.2)
где знак минус возникает из-за антикоммутативности фермион-
ных состояний | d> и <d |.
Действие операторов So на эти состояния приведено в
разд. 7.4.1 в терминах матриц у1ай, введенных в приложении 5.А:
Soa|d> = -^=YljO, (9.A.3)
Sn|t) = -J=-Y'-Ifl>- (9.A.4)
В гл. 7 также показано, что существует только один независи-
независимый тензор, квадратичный по So,
K'=iyabSa0Sl (9.A.5)
который представляет собой оператор, меняющий спиральность
состояния без изменения его числа заполнения. Действие Ro1
на эти состояния легко выводится путем последовательного

il50 Глава 9
применения (9.А.З) и (9.А.4), что дает
Ro! | k) = bik | i) - bik | j), (9.A.6)
rV i a) = — \ y% | b). (9.A.7)
'Операторы -Ro! удовлетворяют алгебре углового момента
Lao , ao J = о ao + о ао. — о ао — о Ro ¦ (9.А.о)
Формулы для действия произведений операторов Ro и So на
бозонные состояния можно получить последовательным приме-
применением выписанных выше формул. Например, произведение
двух Ro дает
Но ао |/п) = о о I/) — о о | г) — о о | у) + о о | г), (9.А.9)
/^o/co |a)^-r-l.Y Г J I b). (9.A.1U)
В петлевых вычислениях необходимо определять след от
произведений So. Очевидно, что для ненулевого результата не-
необходимо наличие четного числа операторов So- Так как любую
билинейную комбинацию So можно выразить через произведе-
произведение операторов Ro, достаточно рассмотреть следы от степеней
таких произведений.
Начнем со следа тождественного оператора, который, как
легко видеть при подстановке А = 1 в (9.А.2), равен нулю:
trSo (/) = б" - bdd = 8 - 8 = 0. (9.А.11)
•След от /?с/ равен нулю по тривиальной причине, поскольку
(k | Ro' | k) = 0 = (d | Ro' | a). (9.A. 12)
Бозонный вклад в trsSRo'Ro1) равен 2(д7*б" — d'V), что
следует из (9.А.9). Этот вклад сокращается со следом по фер-
мионному сектору, который вычисляется путем умножения
(9.А.10) на <d|:
trSo(^o/^o') = O. (9.A.13)
На самом деле рассматриваемый след равен нулю, если
только не присутствуют все восемь операторов So. Другими
словами, среди 28 операторов 1, So, Sg'So2, ..., So'S?2 ... So8
только последний имеет ненулевой след. Для доказательства
введем операторы «рождения» и «уничтожения»
Bl = (Si + /5о)/л/2,
Bt = (So - t"So)/V2 (9.A. 14)

Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 151
с антикоммутационным соотношением {В\, В^ = 1 и аналогич-
аналогичные операторы для трех остальных пар So. Тогда в терминах
собственных состояний [0> и |1> оператора числа частиц
B*B1 = iSoSl следы в секторе So — So имеют вид
tr A) —<0| 0> — <11 1>— 1 — 1=0.
(t)fI|0> —<1 \BtBi\ 1) = 0 — 1 = -1. (9.А.15)
В терминах So и So имеем tr(l) = O и tr(SoSo) = /. Обобщение
на случай произведения восьми операторов So имеет вид
tr (Soa'Soa2 . . . So"8) = г"' ¦ ¦ ¦ а>. (9.А. 16).
Первый неисчезающий след возникает при наличии четырех
сомножителей Ro (т. е. восьми степеней So)
tiiklmnpq = ir sXMRfRTRV). ¦ (9.A.17)
Общую структуру этого тензора можно вывести из (9.А.5) и
(9.А. 16). Очевидно, что он должен быть антисимметричен по
любой паре индексов i/, kl, mn и pq и симметричен относи-
относительно перестановки пар индексов между собой. Последнее
свойство вытекает после алгебраических преобразований с ис-
использованием (9.А.8) и того факта, что след от произведения
трех операторов Ro равен нулю. Полный тензор имеет вид
- bknblm) {bpibqi - dp/d") +
+ 45 членов, полученных антисимметризацией
по каждой паре индексов}. (9.А.18)>
Тензор е и два члена в фигурных скобках являются тремя не-
независимыми тензорными структурами, которые симметричны
относительно упомянутой выше перестановки индексов. Поэтому
коэффициенты перед ними можно вычислить, рассмотрев три;
специальных случая.

152 Глава 9
Тензор t возникает очень естественным образом от следа
по So в четырехчастичных однопетлевых вычислениях, но совсем
не очевидно, что этот тензор должен был появиться в гл. 7 при
вычислении соответствующих древесных диаграмм. На самом
деле возникает тот же тензор, а кинематический множитель К,
возникающий при вычислении бозонной древесной диаграммы
в разд. 7.4.2, можно записать в виде
Такое же соответствие кинематических множителей имеет место
также и в случае внешних фермионов.
Приложение 9.Б. Модулярная инвариантность функций F2 и 9?
В настоящем приложении мы докажем модулярную инва-
инвариантность функций F% и 3?. Поскольку модулярная группа ге-
генерируется преобразованиями т-э—1/т и т-»-т+1, причем
инвариантность относительно последнего преобразования оче-
очевидна в каждом случае, достаточно изучить поведение функций
F2 и 2? при замене переменных т->—1/т.
Начнем с вывода более общей формулы. Рассмотрим функ-
функцию &~{х) от вектора х = (х\, х2, ..., хр), определенную сле-
следующим соотношением:
Т(х) = ? ехр[-п(п + х)-А-(п + х)], (9.Б.1)
где А — положительно определенная матрица рХР- При сум-
суммировании компоненты вектора п пробегают все целые значе-
значения. Функция @~{х) периодична с целым периодом по каждой
компоненте @~(х) = @~(х + ei), где ei — вектор, /-я компонента
которого равна единице, а все остальные равны нулю. Поэтому
() можно разложить в ряд Фурье:
&~(х) = ? ^1ятшХ9{т), (9. Б. 2)
где обратное преобразование имеет вид
1
9(т) = \ й"хе-Пят-хТ (х). (9.Б .3)
о

дает
Однопетлевые диаграммы в теории суперструн 155
Подстановка определения У в правую часть этого уравнения
ттяет
йрх ехр [— л (п + х) • А ¦ (п + х) — 2m'm ¦ х] =
оо
= \ dpx ехр [— ш ¦ А ¦ х — 2гат • х] =
— оо
оо
^L ;vn^ ; j
— оо
= (det/iri/2exp[-jxm. A ¦ m], (9.Б.4)
где сумма по целым компонентам п вычислена путем расшире-
расширения области интегрирования по х на все пространство Rp и взя-
взятия гауссова интеграла. Подстановка полученного выражения
обратно в (9.Б.2) дает основное искомое тождество
У (х)"= Л ехр [— я(п + х) • А • (п + х)] =
= (det Л)~1/2 ? ехр[— мп ¦ А~1 ¦ m + inim- x]. (9.Б.5)
В качестве первого применения этого преобразования рас-
рассмотрим функцию, возникающую при тороидальной компакти-
фикации теорий типа II
F2 (а, т) = a (Im тI/2 Е ехр [—2шпхп% Re % — л (а2д2 + пЦаЛ Im т].
(9.Б.6)
Это частный случай (9.Б.1) ср = 2ил: = 0. Матрица Л имеет
вид
/аЧтт г Ret \
= .п _2Т
(9.Б.7)
Ret а Чшт/ v 7
и удовлетворяет тождествам
det Л = I т |2, Л~'(т) = Л(-1/т). (9.Б.8)
Последнее следует из равенств
1тA/т) = -1т(т/|т|2), (9.Б.9)
= Re(T/|T|2). (9.Б.10).

154 Глава 9
Подстановка в (9.Б.5) приводит к соотношению
F2 (a, %) = a (Im тI/2 V ехр (— пп • А ¦ п) =
п.
^Г(—ят • Л • т). (9.Б. 11)
Отсюда следует равенство F2(a, г) = F2(a,—1/т), которое и
требовалось доказать.
Рассмотрим теперь функцию i?(v, т, ?), определенную вы-
выражениями , ^
QP— У p-int(P+SJ CQ К I?1»
РеЛ
г=1 г=1
В этом случае формула (9.Б.5) применяется при р = 16, Ац =
= ftgij, где g*/ = Z!/!lieie/ — метрика на решетке Л, и Х; =
= X/li ^ei Подстановка в общую формулу дает
__ V e-int(P+SJ ___(lL__ у ^(M+Tsm-ints^ (9 Б 14)
V с ё
PsA
Это преобразование имеет простой вид только в случае само-
самодуальных решеток, для которых д/detg = 1 и Л* = Л.
Отметим, что в частном случае, когда Kr = 0 и ?^ = 0 для
внешних частиц, ? является просто 6-функцией на решетке
(которая описана в разд. 6.4.7). Если detg= 1, то формула
преобразования принимает вид
? ?рг=(-1^г)8 ? еЯ2рЧ1пч' <9-БЛ5>
Ре Л
где q = ехр {—от

10. Калибровочная аномалия
в теории суперструн типа I
Суперсимметричный янг-миллсовский мультиплет в десяти
измерениях нарушает четность, так как безмассовые фермио-
ны принадлежат спинорному представлению группы SOA,9),
имеющему только одну из двух возможных киральностеи. В кон-
контексте теории струн это означает, что калибровочные взаимо-
взаимодействия безмассовых фермионных состояний открытой супер-
суперструны нарушают четность. С формальной точки зрения нару-
нарушение четности происходит потому, что необходимо выбрать
одну из двух возможных GSO-проекций в секторе Рамона. По-
Поскольку открытые суперструны играют важную роль при по-
построении теорий замкнутых струн, большинство теорий замкну-
замкнутых струн также нарушает четность. В теориях типа I или ПВ
использование одной или другой GSO-проекций приводит
к нарушению четности в случае замкнутых струн точно так же,
как для открытых струн. Нарушения четности можно избежать
в теории типа ПА, так как одна GSO-проекция используется
для правых мод на мировой поверхности, в то время как про-
противоположная проекция GSO — для левых; при этом вся си-
система инвариантна относительно одновременных отражений
или преобразований четности на мировой поверхности и в про-
пространстве-времени. Эта модель не инвариантна относительно
отражений на мировой поверхности или в пространстве-времени
в отдельности. Гетеротические теории нарушают четность по
отношению к преобразованию пространства-времени (и по от-
отношению к преобразованию мировой поверхности), так как на-
нарушающий четность правый мультиплет взаимодействует с со-
сохраняющим четность левым мультиплетом.
Нарушающие четность калибровочные взаимодействия иг-
играют также важную роль в четырехмерных теориях — они яв-
являются основой SUB)X. U(\)-модели электрослабых взаимо-
взаимодействий. Нейтрино обладает отрицательной спиральностью,_
и его слабый гиперзаряд Y=—1, в то время как его античас-

156 Глава 10
тица — антинейтрино — имеет положительную спиральность и
слабый гиперзаряд Y = + 1-
В то время как калибровочные взаимодействия легких фер-
мионов в четырех измерениях нарушают четность, их гравита-
гравитационные взаимодействия четность сохраняют. В соответствии
с четырехмерной СРГ-теоремой для каждого фермионного со-
состояния с определенной киральностью существует античастица
с той же массой, но с противоположной киральностью. Грави-
Гравитационные взаимодействия фермионов зависят только от массы
и спиральности, поэтому в целом гравитационные взаимодей-
взаимодействия фермионов сохраняют четность. Но это не справедливо
в десяти измерениях, поскольку десятимерное СРГ-преобразо-
вание сохраняет киральность безмассовых фермионов. Таким
образом, гравитационные взаимодействия суперсимметричного
янг-миллсовского мультиплета, так же как калибровочные взаи-
взаимодействия, нарушают четность. При компактификации из де-
десяти измерений в четыре нарушение четности в низкоэнергети-
низкоэнергетических гравитационных взаимодействиях автоматически устра-
устраняется, но при подходящих условиях нарушающие четность
калибровочные взаимодействия остаются, как подробно пока-
показано в гл. 14. С другой стороны, по-видимому, невозможно по-
получить калибровочные взаимодействия в четырех измерениях,
которые нарушали бы четность, исходя из многомерной теории
с сохраняющими четность калибровочными взаимодействия-
взаимодействиями1). Таким образом, нарушение четности, которое почти не-
неизбежно происходит в десяти измерениях из-за присутствия
суперсимметричного янг-миллсова мультиплета, является важ-
важным положительным моментом при попытке описать природу с
помощью теории струн.
В то же время нарушающие четность калибровочные взаи-
взаимодействия могут приводить к непоследовательной теории. На-
Например, четырехмерные калибровочные теории с нарушающими
четность калибровочными взаимодействиями последовательны
только в том случае, если треугольная аномалия Адлера —
Белла — Джакива сокращается. Самая обычная возможная
аномалия представляет собой треугольную аномалию с тре-
тремя внешними калибровочными бозонами, изображенную на
рис. 10.1, а; может возникнуть также треугольная аномалия
с одним калибровочным бозоном и двумя гравитонами, хотя
последняя и менее привычна. Сокращение этих аномалий яв-
1) В действительности четность может быть нарушена спонтанно в про-
процессе компактификации, но это нарушение четности не проявляется в четы-
четырехмерных калибровочных взаимодействиях. Это будет ясно в гл. 14 из
анализа фермионных квантовых чисел, возникающих в четырех измерениях
после компактификации.

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 157
ляется важным элементом самосогласованности стандартной
теории электрослабых взаимодействий. Аналогичный вопрос в
десяти измерениях относится к шестиугольной диаграмме
с внешними калибровочными бозонами и гравитонами, изобра-
изображенной на рис. 10.1,6.
Из исследования шестиугольной диаграммы в десятимерных
суперсимметричных полевых теориях сразу следует, что в су-
супергравитации типа ПА возможная аномалия отсутствует (в
теории сохраняется четность); в то же время можно показать,
Рис. 10.1. а — в четырехмерных калибровочных теориях с калибровочными
взаимодействиями, нарушающими четность, аномалия может возникнуть в
треугольной диаграмме с внешними калибровочными бозонами, б — анало-
аналогичный вопрос в десяти измерениях относится к шестиугольной диаграмме
с внешними калибровочными бозонами или гравитонами.
что в супергравитации типа ИВ аномалии поразительным обра-
образом сокращаются при суммировании вкладов частиц с различ-
различными спинами. Изучение десятимерных теорий с N=l-cynep-
гравитацией, по-видимому, обнаруживает, что все они содержат
шестиугольные аномалии, например в шестиугольную диаграм-
диаграмму с одними внешними калибровочными бозонами дают по-
потенциально аномальный вклад глюино, причем их вклад не ра-
равен нулю для любой неабелевой калибровочной группы. Эти
вопросы подробно исследуются в гл. 13. Здесь же после крат-
краткого обсуждения аномалий в D = 10-суперсимметричной теории
Янга — Миллса мы изучим соответствующие вопросы в теории
струн. На самом деле мы изучим шестиугольную диаграмму
с внешними калибровочными бозонами в теории суперструн
типа I. При этом будет получен удивительный результат —
аномалия сокращается тогда и только тогда, когда калибро-
калибровочной группой является группа SO C2). В гл. 13 анализ меха-
механизма, приводящего к этому результату, покажет, что сокраще-
сокращение аномалии можно интерпретировать на теоретико-полевом

158 Глава 10
языке как существование дополнительных аномальных диа-
диаграмм помимо той, которая изображена на рис. 10.1,6. Эта
интерпретация предполагает, что другие шестиугольные анома-
аномалии также сокращаются в теории типа I с калибровочной груп-
группой 50C2), хотя соответствующие вычисления не проведены.
Она также указывает на возможное существование десятимер-
десятимерной теории суперструн без аномалий с калибровочной группой
Е&у^Е%; в действительности этот ключевой момент сыграл важ-
важную роль в открытии теории гетеротических суперструн, кото-
которая описана в гл. 6.
10.1. Введение в аномалии
Общее обсуждение значения и структуры аномалий в обыч-
обычных полевых теориях точечных частиц откладывается до-
разд. 13.2. Ниже мы ограничимся краткими предварительными
замечаниями, которые подготовят почву для вычислений в тео-
теории суперструн.
10.1.1. Аномалии в полевой теории точечных частиц
Аномалия представляет собой нарушение классического за-
закона сохранения, которое возникает из-за квантовомеханиче-
ских петлевых поправок. Аномалии важны в четырехмерной
квантовой полевой теории по различным причинам. Их интер-
интерпретация и значение сильно зависят от того, является ли ано-
аномальная симметрия глобальной или локальной. Определенные
глобальные симметрии с необходимостью должны быть нару-
нарушены по феноменологическим причинам, и эту функцию в ряде
случаев могут выполнить аномалии. С другой стороны, локаль-
локальные симметрии не должны быть нарушены за счет аномалий,
так как приводят'к неустранимым противоречиям.
Примером глобальной симметрии, которую желательно на-
нарушить, является классическая масштабная инвариантность
КХД с безмассовыми кварками. Ее необходимо нарушить (за
счет аномалии в тензоре энергии-импульса), для того чтобы
адроны могли возникнуть как связанные состояния с ненуле-
ненулевыми массами. Другой пример желательного нарушения гло-
глобальной симметрии также предоставляется КХД с п безмассо-
безмассовыми кварками. На классическом уровне в этой теории присут-
присутствует ?//.(п)Х Uitin) -симметрия, соответствующая независимым
вращениям левых и правых компонент кварков. Эту симметрию-
необходимо нарушить до диагональной SU(n)-подгруппы для
согласования с приближенной векторной SU(n) -симметрией на-
наблюдаемых адронов.

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 159
Ситуация совсем другая, когда квантовомеханические ано-
аномалии нарушают калибровочную симметрию. Калибровочная
инвариантность играет решающую роль в последовательной
интерпретации квантовой теории, содержащей калибровочные
поля. В частности, она ответственна за отщепление продольно
поляризованных калибровочных полей. Такие продольные со-
состояния должны отщепляться в физических процессах, если тео-
теория унитарна.
Теории, в которых калибровочные взаимодействия нарушают
четность, иногда называют киральными калибровочными тео-
теориями. Киральная калибровочная теория представляет собой
калибровочную теорию, в которой левые и правые фермионы
под действием калибровочной группы преобразуются по-раз-
по-разному. Пусть R и R обозначают представления калибровочной
группы для левых и правых фермионов соответственно. В четы-
четырех измерениях античастицами левых фермионов являются пра-
правые и наоборот. Поэтому ГСР-симметрия требует, чтобы в че-
четырех измерениях представление R было комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженным к R. Следовательно, в четырех измерениях киральные
калибровочные теории, в которых представления R и R раз-
различны, представляют собой теории, в которых представление R
является комплексным (т. е. неэквивалентно своему комплекс-
комплексно-сопряженному). Поэтому калибровочные группы, не имею-
имеющие комплексных представлений (такие как 50C2) и Е&У(,Е8),
не могут привести к киральной теории.
В большем числе измерений существо дела может сильно
измениться. В нечетном числе измерений не существует вейлев-
вейлевских фермионов, нет лево-правой асимметрии (нарушения чет-
четности) и нет аномалий. В четном числе измерений имеется важ-
важное отличие между tt н tt + 2 измерениями. В 4k измерениях
при k ~> 1 ситуация с точки зрения рассматриваемых вопросов
аналогична ситуации в четырех измерениях.
Действительно что-то новое происходит в случае 4& + 2 из-
измерений, и именно этот случай представляет интерес для теории
суперструн, поскольку размерность мировой поверхности равна
двум, а размерность пространства-времени — десяти! В 4k + 2
измерениях античастица левой частицы снова левая, поэтому
можно построить теории, содержащие фермионы только одной
киральности. Вот почему гравитационные взаимодействия в
4k + 2 измерениях могут нарушать четность. Кроме того, фер-
фермионы с заданной киральностью в 4k -f- 2 измерениях должны
принадлежать действительному представлению калибровочной
группы. (Если начать с комплексного представления Q, то ан-
античастицы будут принадлежать представлению Q, а вместе они
образуют действительное представление Q Ф Q.) Калибровочные

160 Глава 10
аномалии могут возникнуть тогда, когда представления ка-
калибровочной группы R и R для левых и правых .фермионов
различны, поэтому калибровочные взаимодействия нарушают
четность. Как мы уже отметили, в четырех измерениях пред-
представление R отличается от R тогда и только тогда, когда оно
является комплексным представлением. Как было сказано
выше, представления R и R в 4k + 2 измерениях всегда дей-
действительны, но не обязательно одинаковы, поэтому, представле-
представления R и R различны, калибровочные взаимодействия нарушают
четность и могут возникнуть калибровочные аномалии.
Существует много способов вычисления аномалий (т. е. ано-
аномальных дивергенций от токов, сохраняющихся на классиче-
классическом уровне) в обычной полевой теории. Эффективное действие
Г (Л) для поля Янга — Миллса Л^, взаимодействующего с ки-
ральным спинором if>, определяется следующим выражением:
exp [IT (А)] ~ J Zty ?>ф ехр { - J dxty ( '+2Г" ) Г ¦ Dty }, A0.1.1)
где Dp, — калибровочно-ковариантная производная, а A +
+ Гц)/2 — киральный проекционный оператор. Генератором ка-
калибровочных преобразований является оператор
Яц-Дг- 00.1.2)
и соответственно величина
является мерой нарушения инвариантности эффективного дей-
действия относительно калибровочных преобразований. Действи-
Действительно, вектор
4
является калибровочным током, индуцированным фоновым по-
полем, и
G = ?>,/". A0.1.5)
Таким образом, нарушение калибровочной инвариантности
(G=7^=0) есть то же самое, что и несохранение тока в фоновом
поле. Аномалию можно вычислить непосредственно, исходя из
функционального интеграла, если расходимости тщательным
образом регуляризованы. Оказывается, что в этом подходе ано-
аномалия возникает от фазы в фермионной мере. Альтернативный
способ вычисления аномалии заключается в непосредственном
вычислении соответствующих диаграмм Фейнмана.

Калибровочная аномалия в теории супереструн типа I 16J
В случае калибровочных токов вопрос, важный с физической
точки зрения, заключается в том, отщепляются или нет про-
продольные компоненты соответствующих калибровочных полей.
Самым прямым подходом к изучению этого вопроса является
рассмотрение диаграмм с внешними частицами, соответствую-
соответствующими калибровочным полям на массовой оболочке. Тогда
можно выбрать поляризационный вектор для одной из частиц,
продольным, оставив остальные поперечными и поэтому физи-
физическими, и проверить, равно ли нулю результирующее выраже-
выражение для диаграммы. Если оно равно нулю для всех S-матрич-
ных элементов, то теория свободна от аномалий. Поверхностные
аргументы могут легко привести к нулевому результату как
следствию классической симметрии. Для того чтобы не сделать
таких ошибок, связанных с неоправданными сдвигами перемен-
переменных интегрирования, необходимо тщательно регуляризовать рас-
расходящиеся интегралы до вычисления аномалии. (Это анало-
аналогично вычислению аномалии в алгебре Вирасоро, где неосто-
неосторожное обращение с расходящимися суммами также приводит
к неправильным ответам.)
Существует много методов регуляризации расходимостей
в квантовой теории поля, и все их можно использовать для вы-
вычисления аномалий. Среди них регуляризация Паули — Вил-
ларса, метод Фудзикавы подавления фермионных мод с боль-
большим импульсом в функциональном интеграле, размерная регу-
регуляризация (суперсимметричная или нет в зависимости от
того, что больше подходит), методы разделения точек и т. д.
Аномалии возникают в теориях, нарушающих четность, так как
в случае нарушающих четность калибровочных или гравита-
гравитационных взаимодействий все перечисленные схемы регуляриза-
регуляризации нарушают калибровочную инвариантность или общую ко-
ковариантность; при этом нарушение симметрии не всегда исклю-
исключается снятием регуляризации и известно как аномалия.
Результирующее выражение для аномалии, полученное любым
из этих методов, с точностью до несущественных членов совпа-
совпадает с тем, которое можно выделить в эффективном действии
в виде локального контрчлена. Истинной аномалией является
та, которую нельзя сократить добавлением таких контрчленов.
10.1.2. Калибровочная аномалия в D = 10-суперсимметричной
теории Янга—Миллса
Аномалии возникают только в нарушающих четность петле-
петлевых амплитудах, так как сохраняющие четность петлевые ам-
амплитуды можно регуляризовать таким образом, чтобы сохраня-
сохранялась калибровочная инвариантность и общая ковариантность*

162
Глава 10
Нарушающие четность амплитуды содержат тензор е, обуслов-
обусловленный вершинами взаимодействия киральных частиц в петле.
Вместо того, чтобы обсуждать общие свойства (к которым мы
вернемся в гл. 13), мы проиллюстрируем их конкретным при-
примером, представляющим большой самостоятельный интерес,
а именно янг-миллсовской калибровочной аномалией в D = 10-
суперсимметричной теории Янга — Миллса. Эту теорию, опи-
описанную в приложении 4.А, особенно уместно здесь рассмотреть,
так как она является частью
низкоэнергетического прибли-
приближения в суперструнных тео-
теориях, которые изучаются в сле-
следующем разделе. Анализ ано-
аномалии в этом случае поможет
нам развить много методов,
необходимых для вычислений в
теории струн. Он также пока-
покажет различия между этими
теориями.
Суперсимметричная теория
Янга — Миллса с D = 10 со-
содержит векторные калибровоч-
Рис. 10.2. Кинематические обозначе- НЫе ПОЛЯ В присоединенном
ния в шестиугольной диаграмме. представлении калибровочной
группы и спиноры Майорана —
Вейля также в присоединенном представлении. Рассмотрим
однопетлевую диаграмму с М внешними калибровочными части-
частицами на массовой оболочке и внутренними фермионными ли-
линиями, которая изображена на рис. 10.2. Формальное выражение
для этой диаграммы (с точностью до численного коэффициента,
который нас не интересует) имеет вид
A
м
. A0.1.6)
Теоретико-групповой множитель равен
Г = Тг(Лгй2 ... fM), A0.1.7)
где ai — заряд j-го испущенного бозона, a t—матрицы присо-
присоединенного представления калибровочной алгебры, так как
фермионы принадлежат именно этому представлению. Вектор
g? Fг) описывает поляризацию t-ro бозона. Поскольку тре-
требуется, чтобы бозон был физическим и находился на массовой
оболочке, должны выполняться равенства
.*i-b = V*j = 0. A0.1.8)

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 163
Импульсы внутренних фермионных линий равны
/>/ = />-?*/• A0.1.9)
Киральный проекционный оператор A +Гц)/2 введен для опи-
описания киральности циркулирующих фермионов. Такие проек-
проекционные операторы содержатся в каждом пропагаторе, но их
можно объединить в одном члене, как в формуле A0.1.6). Член
с е возникает от следа матриц Дирака, содержащего Гц, по-
поэтому только этот член имеет отношение к анализу аномалии^
Результат взятия следа, содержащего матрицу Гц, и выполне-
выполнения интегрирования должен содержать тензор е, свернутый
с десятью импульсами и векторами поляризации. Поскольку
только М—1 импульсов ki являются линейно-независимыми
(так как X kt = о), первым случаем, содержащим достаточное
число линейно-независимых kt и ?,-, чтобы привести к ненуле-
ненулевому результату, является случай М = 61). Поэтому шести-
шестиугольная диаграмма является простейшей потенциально ано-
аномальной диаграммой, и ниже мы ограничимся этим случаем.
Часть интеграла в амплитуде А6, содержащая Гц, линейно
расходится. (Это характерное поведение петлевых амплитуд,
приводящих к аномалиям.) Поэтому ее необходимо регуляри-
зовать. В методе Паули — Вилларса, например, производится
вычитание такого же выражения, в котором безмассовые пропа-
гаторы Т-р/р2 заменены на массивные пропагаторы Г-p-f-
/B 2)
/ )
Чтобы проверить наличие аномалии, будем считать, что один
из векторов поляризации (скажем, под номером 6) является
продольным, т. е. положим ?|? = k^. Тогда регуляризированный
интеграл можно вычислить явно, при этом полный ответ полу-
получается с учетом регуляризационного члена. Окончательное вы-
выражение для аномалии получается в пределе, когда масса в ре-
гуляризационном члене стремится к бесконечности т-^-оо.
В результате получаем конечное выражение для аномалии
G-T^...^...^ ¦•• №" ¦¦¦&. A0.1.10)
t
(Алгебраические детали опущены, поскольку они шаг за ша-
шагом повторяют выкладки, которые будут проделаны в разд. 10.2.1
при вычислении аномалии в теории струн.)
Описанный выше результат говорит о том, что D = 10-су-
персимметричная теория Янга — Миллса содержит аномалию
') Обобщение на произвольное четное число измерений имеет вид М ¦¦
= 1 + D/2.

164 Глава 10
при любом выборе калибровочной группы! Только в абелевом
случае, когда теория становится свободной, множитель Т может
быть равен нулю. Таким образом, сама по себе суперсиммет-
суперсимметричная теория Янга — Миллса в десяти измерениях не может
быть последовательной.
Теоретико-полевая аномалия пропорциональна следу A0.1.7),
в котором матрицы принадлежат присоединенному представле-
представлению калибровочной группы. В общем случае он не может быть
равен нулю. Кинематический множитель, на который умно-
умножается след в выражении A0.1.10), симметричен относительно
перестановки пяти внешних физических состояний. Таким об-
образом, если добавить члены с перестановками частиц, которые
требует бозе-симметрия, то пять индексов будут входить в след
симметричным образом. С учетом свойства цикличности следа
отсюда вытекает, что в аномалию дает вклад только полностью
симметризованный след. Для выделения этого члена удобно
ввести определение t= ^acJ"> гДе са — произвольные констан-
константы. Элемент t является произвольным элементом алгебры ка-
калибровочной группы. Поскольку след Тг(^6), полностью сим-
симметричен, он содержит всю необходимую теоретико-групповую
информацию. Такие следы можно связать с аналогичными вы-
выражениями, основанными на других представлениях алгебры.
Например, пусть Ха — матрицы фундаментального представ-
представления группы SO(n) и X = XI саХа. В этом случае матрица /
имеет п(п—1)/2 строк и столбцов, которые можно перенуме-
перенумеровать парой антисимметризованных индексов, пробегающих
значения от 1 до я. С другой стороны, матрицы % имеют раз-
размер пХп. Они связаны следующим соотношением:
tab, cd = ~2 (Kc^bd — Kfiad ~ ^ad^bc + hd^ac)- (ЮЛ. 11)
Используя символ Тг для обозначения следа в присоединенном
представлении и символ tr для обозначения следа в фундамен-
фундаментальном представлении, нетрудно показать, что
Tr t5 == {п — 32) tr X6 + 15trl4trX2. A0.1.12)
Аналогично для группы USp(n) имеем равенство
Tr^6==(n + 32)trl6+ 15trl4trA2, A0.1.13)
а для группы U(n) — равенство
/ A2. A0.1.14)
(Эти вопросы обсуждаются подробнее в разд. 13.5.3.) Таким
образом, среди всех классических простых групп только в од-

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 165
лом случае можно устранить tr А,6, а именно в случае группы
-50C2). (Это можно также проделать во многих других слу-
случаях, представляющих собой произведения простых классиче-
классических групп.) Необходимо, однако, подчеркнуть, что суперсим-
суперсимметричная теория Янга — Миллса аномальна и для этих групп,
так как член tr %А tr X2 остается. В следующем разделе мы по-
покажем, что эффекты, специфичные для суперструн, приводят
к сокращению таких членов для группы 50C2).
10.1.3. Аномалии в теории суперструн
В разд. 7.1.5 показано, что в теории струн присутствует
бесконечное число калибровочных инвариантностей, связанных
¦с отщеплением состояний с нулевой нормой. Продольная мода
безмассового векторного состояния ?-a_i|O; k) = L-i\O;k) пред-
представляет собой основной пример. Отщепление состояний с нуле-
нулевой нормой является одним из свойств последовательной и уни-
унитарной теории. Существует много способов изучения аномалий
в теории поля, причем с современной точки зрения не все они
просто обобщаются на теорию струн. Например, в теории поля
можно рассмотреть калибровочную инвариантность фермион-
ного детерминанта во внешнем калибровочном поле, но ана-
аналогичный вопрос в теории струн в настоящее время не может
быть задан, так как теория струн сформулирована на массовой
оболочке. Тем не менее методы изучения аномалий в теории
поля, которые обобщаются на теорию струн, существуют. В по-
полевой теории калибровочная инвариантность обеспечивает от-
отщепление продольной моды векторного мезона от 5-матрицы,
а при наличии аномалий этого отщепления не происходит. Та-
Таким образом, вопрос об аномалиях в теории струн можно све-
свести к вопросу о том, действительно ли продольная мода
безмассового векторного мезона отщепляется от 5-матрицы на
однопетлевом уровне. На самом деле в теории струн желательно
проверить отщепление всех состояний с нулевой нормой, но этот
вопрос до конца исследован только на уровне безмассовых
частиц, в связи с чем мы рассмотрим только этот случай.
Оказывается, что соответствующее исследование удобнее
провести в ковариантной калибровке. Полностью фиксирован-
фиксированная калибровка, такая как калибровка светового конуса, нару-
нарушает явную лоренц-инвариантность. В такой калибровке пре-
преобразование Лоренца включает компенсирующее калибровочное
преобразование, подобранное так, чтобы преобразованная тео-
теория находилась в той же калибровке, что и до преобразования.
Поэтому нарушение калибровочной инвариантности за счет
-аномалий проявляется в нарушении лоренц-инвариантности.

166 Глава 10
Не известно ни одного простого пути изучения этого явления
отчасти потому, что вершины в калибровке светового конуса
принимают простой вид только при исчезающих «+»-компонен-
тах импульсов и векторов поляризации, но при этом ограниче-
ограничении нарушающие четность амплитуды равны нулю и невоз-
невозможно проверить наличие аномалий. Поэтому мы ограничимся
ковариантной формулировкой теории.
Как и в теории поля, в теории струн можно дать формаль-
формальное доказательство отщепления продольной моды векторного
мезона от петлевой диаграммы. В теории струн такое формаль-
формальное доказательство может быть основано на сокращении про-
пагатора, как было кратко описано в разд. 7.1.5. Однако в,
петлевых амплитудах сокращение пропагатора должно произво-
производиться осторожно, так как оно могло бы привести к расходи-
расходимости, которая для получения конечного результата компенси-
компенсирует нуль, содержащийся в сокращенном пропагаторе. Именно»
это и происходит при вычислении шестиугольной аномалии
в теориях типа I.
Анализ калибровочной инвариантности древесных диаграмм
в теориях суперструн очень похож на анализ бозонной теории,,
проведенный в разд. 7.1.5. Рассмотрим в качестве примера
древесную диаграмму для открытой струны с фермионными
конечными состояниями и с испущенными безмассовыми век-
векторными состояниями. Правила вычисления таких диаграмм,
содержат фермионный пропагатор S = \/F0 = Fo/L0 и вершину ¦
испускания W{Z, k, 1) = i-ty(l)exp{ik-X{l)}. Если вектор поля-
поляризации г-го состояния положить равным импульсу, то вершину
можно записать в виде
W(kr, kr, 1) = kr • ф A) Vo (kr, l) = *V2[F0, V0(kr, 1)]. A0.1.15)
Как и в бозонной теории множители Fo в коммутаторе сокра-
сокращаются с соседними пропагаторами и приводят к исчезновению •
амплитуды. Этот аргумент не использует оператор GSO-проек-
ции — теория является калибровочно-инвариантной без привле-
привлечения пространственно-временной суперсимметрии.
В отсутствие GSO-проекции приведенный выше аргумент
остается в силе, даже если бы фермионный пропагатор имел
вид
\т — 1 — Fо +im fini ifib
вместо 1/Fq. Действительно, вершинный оператор-для продоль-
продольного векторного мезона можно записать в виде
-im, Vo), A0.1.17).*

' Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 167
поэтому пропагатор все еще сокращается. Это важно, по-
потому что, как и в теории поля, однопетлевую диаграмму удоб-
удобно регуляризовать с помощью вычитания фермионной петли
с m =#= 0. Описанная калибровочно-инвариантная регуляриза-
регуляризация1) показывает отсутствие однопетлевой калибровочной ано-
аномалии при отсутствии GSO-проекции. Это неудивительно, по-
поскольку без GSO-проекции в теории сохраняется четность. Од-
Однако все меняется, если ввести проекцию GSO. В этом случае
вершины содержат множители A+Г), и вершину для про-
продольного векторного мезона нельзя больше записать в виде
коммутатора с Fo — im, так как im коммутирует с A+Г),
a Fo преобразует A + Г) в A — Г). Как и в полевой теории,
наличие множителей Г делает регуляризацию невозможной, и
возникает возможность появления аномалии.
10.2. Анализ шестиугольных диаграмм
Шестиугольные диаграммы, отвечающие за чистую калиб-
калибровочную аномалию в теориях суперструн типа I, содержат
фермионные петли и шесть внешних янг-миллсовых частиц.
Поскольку эти частицы являются состояниями открытой стру-
струны, диаграммы делятся на три класса: планарные, неориенти-
руемые и непланарные, которые описаны в гл. 8 и 9. С каж-
каждой диаграммой связан свой теоретико-групповой множитель
Чана — Патона, который вводится по правилам, описанным
в разд. 6.1. Этот множитель строится из следов А-матриц, при-
принадлежащих фундаментальному представлению калибровочных
алгебр SO(n), USp(n) и U(n). Для планарных диаграмм он
имеет вид
lX2 ... Х6), A0.2.1)
где циклическая последовательность матриц внутри следа соот-
соответствует циклической последовательности, в которой испущен-
испущенные частицы присоединены к границе диаграммы. Как объяс-
объяснялось в предыдущих главах, множитель Чана — Патона стоит
перед динамическим выражением (которое описано ниже),
имеющим ту же циклическую симметрию. Для описания полной
планарной однопетлевой амплитуды необходимо добавить выра-
выражения, описывающие остальные 59 циклически неэквивалент-
неэквивалентных перестановок частиц. Множитель п возникает от следа
4) Эта регуляризация нарушает другие принципы струнной теории,
которые требуют равенства нулю интерсепта траекторий Редже m = 0, но
она сохраняет калибровочную инвариантность безмассового векторного ме-
мезона, а это все, что необходимо в данном случае.

168 Глава 10
единичной матрицы, которая связана с границей кольца без.
присоединенных к ней частиц.
Неориентируемая шестиугольная диаграмма имеет похожий
теоретико-групповой множитель. В этом случае мировая по-
поверхность (являющаяся листом Мёбиуса) имеет только одну
границу, к которой присоединены все частицы. В результате
множитель п отсутствует. Как и в разд. 8.1.2 и 9.1.3, теоретико-
групповой множитель, соответствующий листу Мёбиуса, имеет
вид
GK = i\tr(k1k2...X6), A0.2.2).
где множитель г\ возникает из-за наличия нечетного числа тви-
твистов, как объяснялось в разд. 6.1 (он равен —1 для группы.
SO(n), +1 для группы USp(n) и 0 для группы U(n)). В част-
частности, этот теоретико-групповой множитель соответствует диа-
диаграмме, в которой внешние частицы расположены в том же цик-
циклическом порядке, что и матрицы внутри следа, а твист встав-
вставлен между вершинами испускания частиц под номерами 6 и 1.
Другие диаграммы с одним, тремя или пятью твистами также
дают вклады с тем же теоретико-групповым множителем, если
испускаемые частицы расположены в том же циклическом по-
порядке вдоль границы листа Мёбиуса. Как и в петлевых вычис-
вычислениях из предыдущих глав разделение вычислений на части
с различным нечетным числом твистов является несколько'
искусственным с точки зрения вида мировой поверхности, для
которой единственным отличительным свойством является цик-
циклический порядок частиц на границе листа Мёбиуса. В исполь-
используемом нами операторном формализме сумма необходима для
получения правильной области интегрирования, соответствую-
соответствующей заданному циклическому порядку частиц. Как и в преды-
предыдущих главах, работу можно облегчить путем вычисления
только одного вклада и подходящего расширения области ин-
интегрирования. ч
Последний класс диаграмм включает непланарные диаграм-
диаграммы с двумя или четырьмя твистами, для которых теоретико-
групповой множитель имеет вид произведения следов
GT = tr A,^314) tr (X5X6). A0.2.3)
Для групп SO(n) и USp(n) все члены факторизуются на про-
произведение следов, содержащих 2 и 4 матрицы Хг, так как след.
нечетного числа матриц равен нулю из-за антисимметрии Я.
Для групп U(n) могут существовать также диаграммы с тремя:
частицами на каждой из границ мировой поверхности или
только с одной частицей на одной из границ. Так как группы
U{n), как было показано, не согласуются с суперсимметрией,.

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 169
:их можно не рассматривать (наличие аномалии является еще
¦одной причиной их непоследовательности). Любое конкретное
разбиение и упорядочение матриц Кг в групповом множителе,
таком как A0.2.3), соответствует нескольким диаграммам
с двумя или четырьмя твистами. Полная непланарная ампли-
амплитуда задается суммой всех неэквивалентных диаграмм.
Разделение амплитуды на три вида диаграмм очень есте-
естественно в теории суперструн типа I, так как каждый вид тео-
теоретико-группового множителя связан с мировой поверхностью
определенной топологии. В случае обычной полевой теории то-
точечных частиц правила Фейнмана не отличают пропагатор
-с твистом от пропагатора без твиста, поэтому все вклады имеют
одинаковый динамический множитель. Поскольку в этом случае
безмассовые фермионы, циркулирующие по петле, принадлежат
присоединенному представлению, аномалию удобнее выразить
через след от матриц в присоединенном представлении
Tr(^i ... ^6), как сделано в разд. 10.1.2. Однако там же было
отмечено, что такие следы можно выразить через следы от
матриц в фундаментальном представлении калибровочной груп-
группы. Последние можно классифицировать таким же образом,
как и в теории струн. В следующем разделе будет показано,
что решающим отличием между теоретико-полевыми вычисле-
вычислениями разд. 10.1.2 и соответствующими вычислениями в теории
струн является сокращение членов вида GT в случае струн бла-
благодаря эффектам, связанным с сектором замкнутых струн рас-
рассматриваемой теории.
Выражение для полной однопетлевой амплитуды задается
суммой членов, отвечающих трем типам топологий. Поскольку
непланарные диаграммы имеют отличную теоретико-групповую
структуру, они должны давать нулевую аномалию сами по себе.
Пленарные и неориентируемые диаграммы имеют одинаковую
теоретико-групповую структуру, поэтому они могут быть подо-
подобраны так, чтобы дать сокращающиеся вклады в аномалию.
Каждый из трех видов членов задается суммой четырех вкла-
вкладов, соответствующих четырем возможным выборам граничных
условий (спиновых структур), которые, согласно гл. 9, обозна-
обозначаются ( ), ( (-), D ) и (¦++). Эта комбинация диа-
диаграмм расходится как \ dq/q = 2я2 \ dw/w In2 w вблизи точки
q = 0 (или да = 1) как для планарной, так и для неориенти-
руемой диаграммы. Тот факт, что эта расходимость слабее рас-
расходимости в бозонной теории, является следствием сокращения
вкладов с граничными условиями ( ) и (-| ), т. е. вкла-
вкладов от бозонной и фермионной петель без множителей Г внутри
«следа. Каждый из вкладов от диаграмм с циркулирующими

170 Глава 10
фермионами или бозонами, включающий множитель Г, расхо-
расходится как \ dqlq. Из четырех типов членов (для каждой топо-
топологии) три вида ( ), (-J ) и ( Ь) дают сохраняющие
четность амплитуды, в то время как четвертый (-|—(-) дает не
сохраняющую четность амплитуду, поскольку он содержит мно-
множитель Гц в следе, что приводит к появлению тензора е.
В разд. 10.4.2 будет показано, что расходимости в сохраняю-
сохраняющих четность планарной и неориентируемой петлевых амплиту-
амплитудах сокращаются для группы 50C2). Хотя формализм калиб-
калибровки светового конуса очень полезен в изучении этого сокра-
сокращения, его нельзя без больших трудностей применить к анализу
нарушающих четность амплитуд. Потенциальные аномалии, ко-
которые мы хотим теперь изучить, возникают только от нарушаю-
нарушающих четность членов с граничными условиями (++)> поэтому
для соответствующих вычислений гораздо удобнее ислользовать.
ковариантный формализм гл. 4.
10.2.1. Аномалия планарной диаграммы
Формальное выражение для диаграммы Фейнмана, описы-
описывающей нарушающую четность часть фермионной петли с ше-
шестью внешними калибровочными частицами, имеет вид
ЛРA, 2, ..., 6) = g&GP\dlopTr{TSW(l)SWB) ... SW F)).
A0.2.4)
Здесь фермионный пропагатор задается соотношением
S = Fq/Lo. A0.2.5)
В выражении A0.2.4)
f = Г„(—1J"-»"Ч A0.2.6)'
поэтому оператор A+Г)/2 является GSO-проекционным опе-
оператором в фермионном секторе (как в разд. 4.3.3), а вершины
испускания безмассовых калибровочных частиц на массовой
оболочке имеют вид
W(r)-W(tr, К, 1) = ?г-г|)A)А-*A). (Ю.2.7)
Кинематика процесса показана на рис. 10.2. Необходимо также
включить фермионные и бозонные духовые моды в определение
пропагаторов, но их влияние на амплитуду сводится к сокра-
сокращению двух степеней функции распределения, как в случае
бозонной теории, описанном в гл. 8. Выражение A0.2.4) опи-
описывает член, в котором фермионная функция распределения.

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 171
дмеет вид [f(w)]8. Она сокращается с функцией распределения,
^возникающей от бозонных мод, точно так же как при вычис-
вычислениях в суперсимметричном случае с использованием калиб-
калибровки светового конуса. В рассматриваемом случае бозонные
и фермионные духовые вклады в петлевую амплитуду также
сокращаются.
Поскольку амплитуда A0.2.4) бесконечна, ее необходимо
регуляризовать. Как и в разд. 10.1.2 аномалия вычисляется
путем замены поляризационного вектора одной из испущенных
калибровочных частиц на ее импульс. Из-за того что рассмат-
рассматриваемая диаграмма в отличие от древесных диаграмм расхо-
расходится, сокращение пропагаторов не может быть использовано
в качестве аргумента в пользу калибровочной инвариантности
амплитуды. При этом не было бы учтено неизбежное отсутствие
калибровочной инвариантности в регуляризирующих членах.
С формальной точки зрения амплитуда A0.2.4) обладает
циклической симметрией относительно перестановки шести
внешних линий. Остается ли это справедливым после вычитания
расходимости с помощью регуляризующего члена, зависит от
конкретного выбора регулятора. Если последний нарушает цик-
циклическую симметрию, то ее можно восстановить, усреднив по
циклическим перестановкам частиц. Поскольку на современном
уровне развития струнной теории правила Фейнмана вводятся
несколько искусственно, чтобы удовлетворить условию унитар-
унитарности, а не вытекают из фундаментального принципа наимень-
наименьшего действия, не совсем ясно, каким требованиям, если они
существуют, должен удовлетворять метод регуляризации. К на-
настоящему времени изучено два различных метода регуляриза-
регуляризации расходимостей в диаграммах, относящихся к вычислению
аномалий. Оба метода приводят к одним и тем же условиям
сокращения аномалий, но они дают немного отличающиеся
формулы в том случае, когда аномалии нетривиальны. Одним
из методов является естественное обобщение метода Паули —
Вилларса на случай теории струн, а другой метод тесно связан
с методом Фудзикавы. Оба эти метода описаны в настоящей
главе. (Метод Паули — Вилларса детально описан в основном
тексте, а второй метод вынесен в приложение 10.А.)
Как уже упоминалось, метод Паули — Вилларса состоит
в вычитании из расходящейся диаграммы такой же диаграммы,
но с массивными фермионными пропагаторами, и последующим
переходе к пределу т-*-<х> в конце вычислений. Расходимости
можно подобрать так, чтобы они сократились, так как они пред-
представляют собой эффекты малых расстояний, которые не зависят
от наличия произвольных, но конечных масс. Поскольку регу-
ляризованные амплитуды конечны, простые преобразования,

172 Глава 10
такие, как сокращение пропагаторов, могут быть выполнены, не
приводя к ошибкам. Поэтому, так как эти преобразования не
дают аномалии в первоначальном выражении без массового па-
параметра, происхождение аномалии связано только с регуляри-
зующим членом. Как будет показано ниже, в пределе т->оо
возникает конечная ненулевая аномалия.
Чтобы применить метод Паули — Вилларса в теории супер-
суперструн, необходимо определить массивный фермионный пропага-
тор для струны. Так как Fa представляет собой обобщение вы-
выражения iT-p на случай теории струн, естественное определе-
определение имеет вид
Sm = _ ' . = F, ° t Ш» ¦ A0.2.8)-
F о — tin Lo + tn2 v '
Тогда регуляризующий член ЛрA, 2, . .., 6) получается из вы-
выражения A0.2.4) путем замены пропагаторов на оператор Sm,
определенный формулой A0.2.8). В отличие от регуляризации
Паули — Вилларса в обычной полевой теории, в теории струн
масса регулятора т никогда не может превысить всех масс
физических частиц, так как последние имеют неограниченный
спектр масс.
Если вводятся интегральные представления для множителей
(Lo + m2)-1, как в предыдущих вычислениях струнных ампли-
амплитуд, то в результате это приводит к появлению в петлевом
подынтегральном выражении дополнительного множителя wm.
Напомним, что до регуляризации интеграл в граничной точке
q = 0 или w = 1 расходится следующим образом:
dq/q =2я2 ^ dw/ln2w. A0.2.9)
Простое вычитание, члена А™ изменяет расходимость
dw A - wm')/\n2w ~ m2 J dw/\nw, A0.2.10)
который все еще расходится в точке w ¦= 1. Чтобы полностью
вычесть расходимость, необходимо взять комбинацию из трех
членов, такую как
Ар - 2 А? + Afm, A0.2.11)
где расходящиеся части в сумме дают интеграл
dw A - 2wm2 + w2m3)/ln2w ~ т4 J dw, A0.2.12>
который конечен в точке до = 1. Поскольку показано, что полу-
получено конечное выражение и можно выполнять обычные npeooV

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 173
разования, не имеет большого значения, использовали ли один
или два регуляризующих члена. (На самом деле оказывается,
что выражение для аномальной части Ар такое же, как и для
Ар т.) Имея это в виду, для простоты изложения в даль-
дальнейшем мы будем использовать выражение
Аре8 = АР-Ар - A0.2.13)
в качестве регуляризованнои амплитуды.
Регуляризованные амплитуды не удовлетворяют обычным
требованиям, предъявляемым к струнным амплитудам, так как
введение массового параметра т нарушает конформную инва-
инвариантность. В частности, наличие массивных пропагаторов в
регуляризующем члене нарушает калибровочное условие L\,
которое раньше обеспечивало отщепление продольных мод
внешних калибровочных частиц. Это как раз совпадает с ожи-
ожидаемым результатом от введения регулятора в амплитуду,
имеющую аномалию.
Процедура вычисления аномалии, возникающей из A0.2.13)
(точнее, из A0.2.11)), сводится к проверке на калибровочную
инвариантность каждой внешней линии путем поочередной за-
замены вектора поляризации на соответствующий импульс. Вы-
Выражение для Ар обладает циклической симметрией относительно
перестановки внешних частиц, поскольку Г можно перемещать
внутри следа с помощью простых преобразований, которые
можно выполнять в регуляризованном выражении. Однако Ар
не обладает циклической симметрией, так как Г расположена
за вершиной под номером 6 и не антикоммутирует с Sm. В ре-
результате шестая линия отличается от пяти других. В дальней-
дальнейшем мы покажем, что выбранная схема регуляризации обеспе-
обеспечивает калибровочную инвариантность всех внешних частиц,
за исключением шестой, которая должна нести всю ответствен-
ответственность за возникновение аномалии.
Начнем рассмотрение потенциальных аномалий, связанных
с частицами 1—5. Чтобы записать амплитуду АР в виде разно-
разности двух членов, в которых можно сократить пропагаторы с од-
одной из сторон рассматриваемой вершины, можно использовать
тождество
W(k, k, l) = k-q(l)eik-x^ = [F0, eik-xW]. A0.2.14)
В слагаемом Лр полезно записать A0.2.14) в виде
W(k, k, \) = [F0-im, V0(k, 1)]. A0.2.15)
Это также приводит к разности двух членов, в каждом из
которых пропагаторы, соседние с рассматриваемой вершиной,

J74 Глава 10
сокращаются. Если выбрать, например, для изучения линию под
номером 1, то два из этих четырех членов имеют вид
A0.2.16)
в то время как в двух других членах пропагаторы сокращаются
между частицами 1 и 2. След по фермионным нулевым модам
(матрицам Дирака) вычисляется очень просто, так как для полу-
получения ненулевого результата требуется наличие десяти матриц Г
из-за присутствия множителя Гц в Г. Необходимые матрицы
возникают от нулевых мод в пяти множителях FQ в числителях
пропагаторов и в пяти множителях if>(l) в вершинах. При этом
используются все фермионные моды вершин и числителей про-
пропагаторов. Используя равенство
trOnlV, ... Г|110) = 32еЦ1 ...,,,„ A0.2.17)
получаем, что результирующее выражение пропорционально ин-
интегралу
Рец, ... |X5v, ... vM • • • Ь6 {Р «ij «2 • • • Й5 X
X { Tr [Vo {k{) ±- Vo (k2) ...-ц
A0.2.18)
Множители Lo в знаменателях этого выражения содержат пять
импульсов р2, ..., рб, где pr = p — Ss=ifes- Поэтому после
сдвига p-+p-\-ki в определении петлевого импульса полученное
выражение перестает зависеть от k\ или ks. Таким образом,
каждый из этих двух членов должен обращаться в нуль, так
как в подынтегральном выражении недостаточно независимых
импульсов для свертки с тензором е. Анализ для линий 2—5
проводится так же.
Сдвиг в определении петлевого импульса может произво-
производиться только в регуляризованном выражении. (В нерегуляри-
зованном выражении для аномалии переопределение петлевого
импульса определенно несправедливо. Это является классиче-
классической ошибкой, приводящей к выводу об отсутствии аномалии.)
Вывод о том, что сумма этих членов равна нулю, справедлив,
но имеет небольшой пробел, так как каждое слагаемое содер-

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 175
жит произведение вершин Vo(&i, 1) и Vo(k6, 1) в одной точке
мировой поверхности (т. е. отсутствует промежуточный пропа-
гатор). Ликвидация этого пробела требует бесконечно малого
разделения вершин и последующего перехода к пределу совпа-
совпадающих точек. Это вычисление очень напоминает вычисление
аномалии с помощью метода разделения точек, который опи-
описан в приложении 10.А. Результат заключается в том, что каж-
каждый из двух членов в A0.2.18) дает одинаковый конечный
ответ, поэтому их разность действительно равна нулю.
Вычисление расходимости, связанной с линией под номером
6, немного отличается из-за присутствия рядом с вершиной
множителя Г. В этом случае удобно переписать соотношение,
которое использовалось в A0.2.18) (используя тот факт, что
{Fo, Г} = 0), в следующем виде:
Г = {FQ, Fo (A6) Г} = {Fo - im, Vo (k6) Г} + 2imV0 (k6) Г,
A0.2.19)
причем первое соотношение надо использовать в Ар, а второе —
в А™. Записывая таким образом выражение для аномалии,
снова получаем два члена с сокращающимися пропагаторами,
которые возникают из АР и А™. Попарно они обращаются в
нуль по тем же причинам, что и раньше, оставляя нетривиаль-
нетривиальный член, содержащий аномалию, который пропорционален вы-
выражению
XV0(k-a, l)fl±^V0(kb, 1)Г). A0.2.20)
След по матрицам Дирака снова включает матрицу Гц. ко-
которая требует наличия по крайней мере десяти матриц Г для
того, чтобы получился нетривиальный результат A0.2.17).
В действительности существует одиннадцать возможных источ-
источников этих Г-матриц. Матрица Г содержится в множителях Fo
у каждого из шести пропагаторов и в множителях i|)(l) у каж-
каждой вершины для частиц 1—5. Это означает, что один из членов
im в пропагаторе остается после взятия следа по матрицам
Дирака. (Все другие возможные члены, которые могли бы
остаться, линейны по фермионным осцилляторам dn и поэтому
равны нулю после взятия следа по dn-) Результат включает ли-
линейную комбинацию членов, возникающих от различных спосо-
способов выбора десяти Г-матриц из присутствующих одиннадцати
матриц. В каждом члене пять из Г-матриц свертываются

176 Глава 10
с пятью оставшимися тензорами поляризации, в то время как
другие пять Г-матриц свертываются с пятью из шести импульсов
v-ir-l
в пропагаторах pr = p — 2-ii=i *u поэтому след по матрицам Ди-
Дирака пропорционален выражению
, k),
A0.2.21)
где функция е(?, &) пропорциональна аномалии низкоэнергети-
низкоэнергетической теории и определена соотношением
"(Е. *) = ^...^...*Е1Г ¦¦•№¦•• С- (Ю.2.22)
Результирующая аномалия имеет вид
FP~ lim тЧЦ, k)GP\d^pTr(-r^—^V0(kl, 1) ... V0(k5, 1) X
где Td = (—\)hd-n'dn_ После этого вычисления становятся
очень похожими на вычисления петлевых амплитуд для бозон-
ной теоории в гл. 8 с тем отличием, что импульс в A0.2.23)
удовлетворяет равенству &r = 0, a D= 10.
Вычисление интеграла продолжается путем замены каждого
пропагатора его интегральным представлением (Lo + пг2)~1 =
_ i xu+m2~\ ^x^ g рассматриваемом случае преобразования,
описанные в разд. 8.1.1, связывают выражение для аномалии
с корреляционными функциями вершинных операторов. Эти
функции вычисляются в точках рг (где рг = х\ ... хг) кольца,
которое строится так же, как в гл. 8 и 9, путем отождествления
произвольной действительной точки р с точками wnp, где w =
= р6) а п — произвольное целое число. Используя соотношения
из разд. 8.1.1, можно показать, что
5
WP~ lim тЧ&, k)GP\^\(f\^-\w-4{\, ..., 6),
A0.2.24)
где
/A, .... 6)^\diapwP2i-2Tr(wNV0(ku Pl) ... V0(k6, p6)Td) =
^*'"*'' A0-2-25)
r<s

-- Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 177
а область интегрирования R задается неравенствами 1 ^
^ pi ^ ... ^р5^гу. Функция Inг|з(csr, w) (где csr = ps/pr),
определенная в разд. 8.1.1, является корреляционной функцией
между Х(рг) и X(ps). В этом случае множитель U(w)]2-D от-
отсутствует, так как след по фермионным модам (и связанкым
с ними духам) приводит к множителю
Тг (- ш")Е d-"'d" = [/ (w)f, A0.2.26)
который сокращается с функциями распределения, возникаю-
возникающими от следа по а-модам и их духам.
Из формулы A0.2.24) сразу следует, что в пределе т-^оо
основной вклад в интеграл дает область w ~ 1. Это соответ-
соответствует ожиданию того, что любая ненулевая аномалия возни-
возникает при компенсации бесконечности амплитуды в точке
w = 1 и нуля от сокращенного пропагатора. Для того чтобы
исследовать область вблизи w = 1, проще всего, как и в
разд. 8.1.1, перейти к новым переменным zr и q, определенным
соотношениями
Bяг In pr \
Тогда область, дающая основной вклад, лежит вблизи q ~ 0,
что соответствует стремлению к нулю радиуса отверстия в коль-
кольце. При этом преобразовании функция ^(csr,w) преобразуется
в f {zs/zr, q2) по правилу
[ (\fb{Zslz" q% (l0-2-28)
как показано в приложении 8.А. Объединяя полученное выра-
выражение с интегралом по импульсу (см. разд. 8.1.1)
П
r=\ <
A0.2.29)
можно выразить / через переменные zr и q:
= (~^M(p = 0nr(q^VQ(ku Zl) ... V0(k6, z6)Td)\p = 0),
A0.2.30)
т. е. представить в виде корреляционной функции для вершин
на границе кольца или цилиндра. Символ \р = 0> означает, что

178 Глава 10
вычисление проводится при нулевом импульсе. След относится
ко всем осцилляторным модам. Путем записи выражения для /
в последней форме A0.2.30) нам удалось представить всю за-
зависимость от q в виде, очень удобном для последующего
анализа.
Как и в разд. 8.1.1, мера интегрирования в переменных
кольца имеет вид
A0.2.31)
0" Nr=l
где vr = In zr/2in — lnpr/ln w (при этом v6 = 1). Замена пере-
переменных и подстановка выражения для / в A0.2.24) приводит
к выражению для аномалии
1/5 1
WP~ Пт е (?, к) m2GP \ ( ТТ dvr6 (vr+1 - vr) \ dwwm2~l X
X (p = 0 I Tr (q2NV0 (felt г,) ... Vo (k6, z6) Td) \ p --= 0). A0.2.32)'
Очевидно, что единственный вклад в след, который не обра-
обращается в нуль в пределе т-^оо, дает член с N = 0, поскольку
q стремится к нулю экспоненциально при ад->1, а N имеет
дискретные (целые) собственные значения. Это можно проде-
продемонстрировать явно, рассматривая интеграл пода'
(Ю.2.33)'
который равен \/tn2 при iV = 0, в то время как члены с нену-
ненулевыми N экспоненциально убывают при т-+оо, В результате
выражение для аномалии, возникающей от планарной петле-
петлевой диаграммы, имеет вид
, k) GP J Щ dvre(vr+1-vr)J<0 \Vo(klt z,) .. . F0(^6, 26)| 0)=
?, Й) GP J ( Ц rfvr6 (vr+1 - vr)) Д (z, - zr)*''**, A0.2.34)
0 V-l ' r <s

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 179
где zr = exp Bm'vr). Последний шаг очень похож на вычисление
•бозонной древесной диаграммы. При этом используется корре-
корреляционная функция, полученная для древесных амплитуд в
приложении 7.А. Полный вклад в шестиугольную калибровоч-
калибровочную аномалию от планарных диаграмм получается путем сум-
суммирования по перестановкам внешних линий.
Аномалия A0.2.34) имеет тот же вид, что и аномалия в су-
персимм-етричной теории Янга — Миллса в разд. 10.1.2, умно-
умноженная на множитель, напоминающий древесную диаграмму,
однако оба сравнения являются неточными. Калибровочная ано-
аномалия суперсимметричной теории Янга — Миллса в разд. 10.1.2
содержит след по матрицам присоединенного представления
калибровочной алгебры, в то время как в рассматриваемом
случае матрицы принадлежат фундаментальному представле-
представлению классической алгебры. В низкоэнергетическом пределе
&r <C V^ (где натяжение струны положено равным Г=1/я)
аномалия сводится к выражению, которое возникает от без-
безмассовой шестиугольной петли в суперсимметричной теории
Янга — Миллса, но с важным изменением в теоретико-группо-
теоретико-групповом множителе. Связь между теоретико-групповыми множите-
множителями можно понять следующим образом. Теоретико-полевой
след lr(t\t2 ... U) (с матрицами в присоединенном представле-
представлении) можно выразить через суперпозицию членов вида
tr(A,iA,2 ... Я6) и tr(Xi ... Я4Iг(Я5Я6) (включая другие переста-
перестановки) для любой классической группы, как показано в
разд. 10.1.2. Конкретные коэффициенты в этом разложении за-
зависят от группы. Если это разложение проведено, то члены
с шестью Я-матрицами внутри одного следа в точности соот-
соответствуют низкоэнергетическому пределу аномалии в теории
струн, возникающей от планарной и неориентируемой диа-
диаграмм, просуммированных по всем перестановкам внешних ли-
линий. Можно было бы ожидать аналогичного соотношения между
членами с произведением двух следов и аномалиями, связан-
связанными с непланарными диаграммами в теории струн. Однако,
как будет показано ниже в этой главе, именно здесь новые
эффекты теории струн приводят к сокращениям, которые имеют
место даже в низкоэнергетическом пределе.
Динамический множитель, на который умножается след, от-
отличается от древесной амплитуды в двух отношениях. Прежде
всего он содержит двойные полюсы в каналах, образованных
группами близко расположенных частиц. Например, имеются
двойные полюсы в канале, образованном частицами от 1 до k,
которые возникают в граничной точке области интегрирования,
где z\ ~ z2 ~ ... ~zt, к в то же время zk+\ ~ ... ~г6 = 1-
Кроме того, во всех каналах отсутствуют безмассовые полюсы,

180 Глава JO
что неудивительно, так как ненулевой вычет в таких полюсах
соответствовал бы аномалии в диаграмме, содержащей менее-
шести внешних безмассовых частиц. Заслуживает внимания то>
обстоятельство, что аномалия в теории струн содержит по-
полюсы, соответствующие ненулевым массам, в различных кана-
каналах. Путем факторизации в этих полюсах можно получить-
выражения для аномальных диаграмм, содержащих менее шести
внешних частиц, часть которых обладает массами. Эти диа-
диаграммы дают примеры аномалий калибровочной инвариантно-
инвариантности, связанных с массивными модами, которые обсуждались
в начале разд. 10.1.3.
В приложении 10.А вычисление аномалии повторяется с ис-
использованием регуляризации, которая обрезает пропагаторы
с помощью множителей ехр{—ЦгЬ0}, а в конце вычислений бе-
берется предел т),-->0. Эта процедура регуляризации эквивалентна
такому ограничению области интегрирования корреляционной
функции вершинных операторов, при котором величины In pr
никогда не могут совпасть. Минимальное значение 1прг — In pr+i
равно —Цг+i- Если регуляризовать так один пропагатор, то ре-
результат для аномалии будет иметь тот же вид, что и выраже-
выражение, полученное при регуляризации Паули—Вилларса. Если
все значения параметров т\г выбраны одинаковыми и, таким
образом, регуляризация для всех частиц проводится симмет-
симметрично, то получается другой результат. Функциональная форма
подынтегрального выражения является той же, но по перемен-
переменным vr, параметризующим частицы на границе диска, интегри-
интегрирование проводится по ограниченной области (по объединению-
областей R\ и R2, которые описаны в приложении 10.А).
10.2.2. Аномалия неориентируемой диаграммы
Аномалия, возникающая от неориентируемых диаграмм, вы-
вычисляется путем объединения методов разд. 8.1.2 для неориен-
неориентируемых бозонных петлевых диаграмм с методами предыду-
предыдущего раздела. Вклады в аномалию с заданным теоретико-груп-
теоретико-групповым множителем возникают от суммы нескольких диаграмм,
содержащих нечетное число пропагаторов с твистами. Взятие
следа по матрицам Дирака для нулевых мод совпадает со слу-
случаем планарной петлевой диаграммы, поэтому выражение для
аномалии снова сводится к структуре, очень похожей на соот-
соответствующую бозонную петлевую диаграмму. Это приводит
к следующему выражению для вклада в аномалию от неориен-
неориентируемой диаграммы, который имеет вид A0.2.32) с заменой

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 18 Г
q2 на —V<7 и zr на z\12, как в G.61):
WN~ lim eft, *)m2GJVUlTrfv,e(vr+1-v
»->« 0JV-i
A0.2.35)
где нормировка совпадает с нормировкой A0.2.32). В рассмат-
рассматриваемом случае подынтегральное выражение похоже на кор-
корреляционную функцию шести операторов Уо на границе листа
Мёбиуса, поэтому интегрирование по угловым переменным
vr=lnzr/2ju проводится последовательно от нуля до двух.
После перехода к пределу пг—>~оо и взятия интеграла по w
выражение для аномалии можно записать в виде
WN ~ е (?, k) GN $ Щ dvr@ (vr+I - vr)J X
x(оiv0{ku V^T) -..v0(k6, V^)Io) = i,Щ-wP, (Ю.2.36)
где произведена замена переменной *Jzr на zr (т. е. замена
vr/2 на vr, что дает множитель 32) и использовано равенство
Gjv==T]Gp/n. В результате полная аномалия с теоретико-груп-
теоретико-групповым множителем tr(A,i ... Я,б) имеет вид
W = WP + WN A0.2.37)
и равна нулю для калибровочной группы 50C2) и только
для нее.
Относительный множитель т]32/п в A0.2.36) имеет простую
интерпретацию в низкоэнергетической эффективной суперсиммет-
суперсимметричной теории Янга — Миллса, рассмотренной в разд. 10.1.2.
В последнем случае полная аномалия была пропорциональна
следу Тг te, который разлагается на следы от матриц фундамен-
фундаментального представления, например для группы SO C2) справед-
справедливо разложение A0.1.12). Член ntrA,6 в этом разложении возни-
возникает в низкоэнергетическом пределе планарной шестиугольной
диаграммы. Низкоэнергетический предел для любой неориен-
тируемой диаграммы дает член trA,6. Число таких диаграмм
равно числу способов, которыми нечетное число твистов можно
распределить по внутренним линиям шестиугольной диаграммы,
и равно 32. Каждая из этих диаграмм приводит к появлению
динамического множителя e(i,k) в аномалии, и после бозе-
симметризации возникает общий множитель 32. Последний член
15tr Я,4 tr Я,2 в A0.1.12) имеет теоретико-групповую структуру
непланарной диаграммы.

.182 Глава 10
10.2.3. Отсутствие аномалий в непланарных диаграммах
Теперь мы проанализируем непланарную шестиугольную
диаграмму и покажем, что она не содержит аномалии. Это не
должно нас удивлять, так как непланарные диаграммы не рас-
расходятся, и аргументы, основанные на сокращении пропагато-
ров, должны быть справедливыми. Проверим это утверждение
в деталях.
Вычисление рассматриваемых диаграмм, имеющих четное
число пропагаторов с твистами, включает тот же след по мат-
матрицам Дирака для нулевых мод, что и другие петлевые диа-
диаграммы. Выражение для аномалии снова напоминает выраже-
выражение для непланарной петли бозонной струны в разд. 8.1.3.
Основное отличие от предыдущих вычислений состоит в замене
множителей q2N в A0.2.32) на qw~slA (где s — инвариантный
квадрат энергии в синглетном канале), который равен нулю
в пределе q-^-Q для любых значений N. Точнее он стремится
к нулю при s < 0 и по определению приравнивается нулю для
всех других значений s путем аналитического продолжения.
Может показаться, что равенство нулю вклада в аномалию
от непланарной диаграммы противоречит вычислению аномалии
в суперсимметричной теории Янга — Миллса. Теоретико-полевая
аномалия всегда содержит члены вида tr(Xi ... %^^(Х5К6)
даже в случае группы SOC2), когда член tr(Xj ... Х6) отсут-
отсутствует. Решение парадокса заключается в том, что непланар-
ная петлевая диаграмма содержит безмассовые связанные со-
состояния замкнутой струны, кроме состояний из сектора откры-
открытой струны. Присутствие полюсов замкнутой струны в s-канале
•обсуждалось в разд. 8.1.3, где было показано, что эти полюсы
возникают благодаря множителю q~s/i. Это означает, что в низ-
низкоэнергетическом пределе теория содержит дополнительные
вклады, в которых основную роль играют безмассовые полюсы
замкнутой струны. Эти полюсы появляются именно в тех син-
глетных каналах, в которых аномалия полевой теории не равна
нулю, поэтому они могут привести к необходимому сокращению
аномалии. В гл. 13 мы исследуем это явление систематически
с точки зрения низкоэнергетической теории, а здесь мы сделаем
только несколько замечаний.
Обмен замкнутыми струнами в канале 5—6 возникает от
таких конфигураций, когда мировая поверхность имеет вид
длинной тонкой трубы, которая одним концом соединяется
с диском с двумя частицами, присоединенными к его границе,
а другим концом соединяется с диском с четырьмя частицами,
присоединенными к его границе. При низких энергиях безмас-
^совые частицы из спектра замкнутой струны выживают, по-

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 18JT
i
этому помимо ожидаемой аномальной шестиугольной диаграм-
диаграммы появляется древесная диаграмма, в которой пара калибро-
калибровочных частиц в одной вершине обменивается безмассовыми
частицами из спектра замкнутой струны с четырьмя калибро-
калибровочными частицами в другой вершине. Эта древесная диаграмма
аномальна, если происходит обмен частицей, соответствующей
антисимметричному тензорному полю В^, так как в этом слу-
случае можно получить тензор е, свернутый с десятью внешними
векторными индексами. Вершина, связывающая поле Buv с дву-
двумя калибровочными частицами, имеет вид d^B^tr (APFI1V), как
будет показано в разд. 13.5.3, где F&v — янг-миллсова напря-
напряженность, определенная через векторный потенциал А*, а квад-
квадратные скобки [...] обозначают антисимметризацию индексов..
Рис. 10.3. Древесная диаграмма с обменом квантом поля Вт между вер-
вершиной с двумя калибровочными частицами и вершиной с четырьмя кали-
калибровочными частицами. Эта древесная диаграмма возникает как часть низко-
низкоэнергетического предела непланарной струнной шестиугольной петлевой диа-
диаграммы и имеет аномалию, которая в точности сокращает обычную низко-
энергетическую шестиугольную аномалию.
В разд. 13.5.3 показано, что вершина, связывающая поле В^
с четырьмя калибровочными частицами, имеет вид е^., ...^,0Х
хви.ц2/.м*ш _ _ ^^.о древесная диаграмма с обменом В^
(рис. 10.3) состоит из нескольких членов, получаемых сверткой
полей Вру в каждой вершине с промежуточным пропагатором,
который содержит множитель 1/(fes + k&J. В древесной ампли-
амплитуде, соответствующей этой диаграмме, имеется один член
с аномалией, коэффициент при которой имеет в точности то
значение, которое необходимо для сокращения вклада от шести-
шестиугольной петлевой диаграммы. Возможно, появление аномалий
в древесных диаграммах является необычным свойством. Как
детально показано в гл. 13, это явление отражает тот факт, что
связь В с двумя калибровочными бозонами калибровочно-ин-
вариантна только тогда, когда В преобразуется нетривиаль-
нетривиально при янг-миллсовых калибровочных преобразованиях, в то
время как связь В с четырьмя калибровочными бозонами ка-
либровочно-инвариантна только тогда, когда поле В совсем не
преобразуется, и, таким образом, «интерференционный» член
между этими двумя вершинами, которым является диаграмма*

184 Глава 10
изображенная на рис. 10.3, нарушает калибровочную инва-
инвариантность независимо от того, какой закон калибровочного
преобразования предполагается для В.
10.3. Другие однопетлевые аномалии в теории суперструн
В предыдущих разделах было показано, что калибровочная
инвариантость на массовой оболочке или сохранение тока про-
проявляется в том, что амплитуды с внешними калибровочными
частицами должны обращаться в нуль при подстановке ?ц = k^
вместо одного из векторов поляризации. Аналогично если тен-
тензор поляризации для внешнего гравитона выбран в виде ^v =
= k\&v + &v?ii, то амплитуда должна быть равна нулю вслед-
вследствие отщепления продольно поляризованных гравитонов, что
требуется для сохранения энергии-импульса. Если этого не про-
происходит, то говорят о «гравитационной аномалии».
Как обсуждается ниже в разд. 13.3.2, шестиугольные диа-
диаграммы с внешними гравитонами могут приводить к гравита-
гравитационным аномалиям. В теории типа 1 эти диаграммы состоят
из нескольких топологически различных типов, которые опи-
описаны в разд. 8.3.3. В теории типа II единственной петлевой диа-
диаграммой для замкнутой струны является диаграмма с мировой
поверхностью в виде тора. Поскольку петлевая диаграмма ко-
конечна, скорее всего аргументы, основанные на сокращении про-
пагаторов, могут быть использованы для доказательства от-
отсутствия аномалии в диаграмме. Это соответствует результату,
полученному при вычислении аномалии в низкоэнергетической
теории (описанному в разд. 13.5.2), из которого следует, что
шестиугольные аномалии в точности сокращаются для той ком-
комбинации безмассовых состояний, которая соответствует теории
типа II. В этом же порядке по % замкнутые струны типа I мо-
могут взаимодействовать также с бутылкой Клейна, кольцом и
листом Мёбиуса. Поэтому если все аномалии для теории с ка-
калибровочной группой 50C2) сокращаются, как предположи-
предположительно следует из низкоэнергетического анализа в гл. 13, то
гравитационные аномалии, связанные с этими диаграммами,
должны сокращаться для группы 50C2), хотя для других
групп это может не иметь места.
В дополнение к аномалиям с одними внешними калибровоч-
калибровочными бозонами или одними гравитонами могут возникать «сме-
«смешанные аномалии» в диаграммах, содержащих одновременно
внешние гравитоны и янг-миллсовы частицы. Однопетлевыми
диаграммами этого типа (для суперструн типа I) являются
кольцо и лист Мёбиуса. Анализ низкоэнергетической теории

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 185.
в гл. 13 подсказывает, что эти аномалии также должны сокра-
сокращаться для группы SO C2).
Проведенный выше анализ относится к суперструнам типа I.
Однако, как будет показано в разд. 13.5, низкоэнергетический
анализ говорит о том, что аномалии сокращаются для гетеро-
тических теорий и теорий типа ПВ; на самом деле именно низ-
низкоэнергетический анализ аномалий стимулировал открытие ге-
теротических теорий. По-видимому в этих теориях петлевая диа-
диаграмма с шестью внешними частицами конечна, и аргументы,,
основанные на сокращении пропагаторов, доказывают равен-
равенство нулю всех аномалий. Поскольку конечность петлевой диа-
диаграммы связана с модулярной инвариантностью, по-видимому,,
существует явная связь между отсутствием десятимерных ка-
калибровочных и гравитационных аномалий и модулярной инва-
инвариантностью, которая соответствует инвариантности теории от-
относительно двумерных глобальных диффеоморфизмов торои-
тороидальной мировой поверхности.
10.4. Сокращение расходимостей для группы SO C2)
Напомним, что в гл. 9 были обнаружены расходимости вида^
\ dqjq и в планарной, и" в неориентируемой петлевых диа-
J 0
граммах. В каждом случае эти расходимости связаны с без-
безмассовыми дилатонными головастиками, изображенными на
рис. 10.4. Расходимость планарной петли пропорциональна ди-
латонному головастику, который вычисляется на диске, в то
время как расходимость неориентируемой петли пропорцио-
пропорциональна дилатонному головастику, вычисленному на RP2. Теперь,
мы найдем, при каких условиях (если такие условия суще-
существуют) эти расходимости сокращаются.
10.4.1. Дилатонные головастики и петлевые расходимости
Сначала мы кратко обсудим значение дилатонных голова-
головастиков в контексте предельной низкоэнергетической полевой
теории. Пусть ф обозначает дилатонное поле, a V(<p) — потен-
потенциальную энергию дилатона. Головастик определяется выра-
выражением
dV/дф, A0.4.1)
равенство которого нулю является одним из уравнений движе-
движения теории.
В четырех измерениях существует совсем мало суперсим-
суперсимметричных полевых теорий; при этом к ним можно добавить
скалярный потенциал V(<f>). В десяти измерениях также немного-

186
Глава 10
суперсимметричных полевых теорий, но из построения таких
теорий следует, что к десятимерной супергравитации невоз-
невозможно добавить потенциал V(<p) без явного нарушения супер-
суперсимметрии. Таким образом, в десяти измерениях дилатонный
головастик должен быть равен нулю как следствие суперсим-
суперсимметрии, хотя аналогичное утверждение в четырехмерной супер-
супергравитации не справедливо.
Поскольку расходимости в теории типа I связаны с дила-
-тонными головастиками, а дилатонные головастики нарушают
суперсимметрию, бесконеч-
бесконечности должны сокращаться
в суперсимметричных тео-
теориях. Теория типа I опреде-
определенно не является суперсим-
суперсимметричной (на однопетлевом
уровне) для всех калибро-
калибровочных групп, за исключе-
исключением группы 50C2), так
как суперсимметрия подра-
подразумевает общую ковариант-
ковариантность, а в гл. 13 будет пока-
показано, что для всех групп,
кроме 50C2), в теории при-
присутствуют гравитационые
Рис. 10.4. Расходимости пленарной и
аномалии. Однако, по-види-
неориентируемой диаграмм возникают от М0МУ (с У четом полученных
дилатонных головастиков на диске или выше результатов и резуль-
на RP2, как изображено на рисунках татов гл. 13), все эти ано-
а и б соответственно. малии сокращаются в слу-
случае группы 50C2), и, та-
таким образом, суперсимметрия в этом случае предположительно
имеет место. Если это так, то дилатонные головастики должны
сокращаться для группы 50C2), а также должны сокращаться
однопетлевые бесконечности. Именно этот вопрос мы сейчас
исследуем.
Читатель, возможно, удивляется следующему. Если мы по-
. лагаем, что дилатонный головастик сокращается между диском
и RP2 в случае группы 50C2), то почему мы не исследуем
прямо этот вопрос, а вместо этого пытаемся найти ответ на
него косвенным образом путем изучения однопетлевых беско-
бесконечностей? На самом деле дилатонный головастик на диске или
на RP2 представляет собой вакуумное среднее дилатонного
вершинного оператора (при нулевом импульсе) на соответ-
соответствующих мировых поверхностях. Соответствующее вычисление
для каждой мировой поверхности в отдельности несложно, не

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 187"
считая нормировки, и, как легко видеть, приводит к ненуле-
ненулевому ответу в каждом случае. К сожалению, в этой проблеме
решающее значение играют относительные нормировочные ко-
коэффициенты, которые трудно определить, поскольку они зави-
зависят от конечных множителей, которые в обоих случаях не
определяются после фиксирования калибровки по Фаддееву —
Попову. По-видимому, наиболее прямым способом определения;
правильной нормировки дилатонных головастиков на диске и
на RP2 является получение этих головастиков в качестве коэф-
коэффициентов при расходимостях ориентируемой и неориентируе-
мой петлевых диаграмм, нормировки которых известны из уни-
унитарности.
Обратимся теперь к математическому анализу. Выражения
для планарной и неориентируемой петлевых диаграмм, полу-
полученных в разд. 9.1.2 и 9.1.3, расходятся в граничных точках
q-*~0 (или <7'-»-0). Коэффициент при расходимости в любом из.
этих случаев пропорционален выражению
FP @) = ЦП О (vr+1 - vr) dvA Д (sin л К - v,)J°V4 (Ю.4.2)
где V4 = 1. (В анализ этого раздела полезно включить явную^
зависимость от а'.) Произведя замену v3 на
Х=
Sin Я (V3 — Vj) Sin JIV2
с якобианом
где у = exp{mvi}sinя(л>2— vi)/sinnv2, с помощью прямых вы-
вычислений можно показать, что
1 1 V;
FP @) = — \ dx \ dv2 \ (ivjX^01^ A — х)~а Im f———J . A0.4.5)*
0 0 0
Это выражение можно вычислить, используя соотношение
V2 V2
- и J в8'11 . , ,
о х-» J в»"«Ч-(*-1)«
1 —е:

188 Глава 10
которое легко интегрируется по л>2, что дает
|„м_.лч -a's(i _ х)~аЧ dx. A0.4.7)
Сравним этот результат с выражением для древесной диаграм-
диаграммы с тем же порядком внешних частиц, приведенным в
разд. 7.4.2, которое можно записать (с восстановленной зави-
зависимостью от а') в виде
Г (- a's) Г (- a't)
ГA— a's — a't) ~
1
= 2g2KGP ^~ J x~a's~l (I - х)~аЧ dx. A0.4.8)
о
Отсюда следует, что расходимость планарной петли пропорцио-
пропорциональна производной от древесной амплитуды
~Atree. A0.4.9)
10.4.2. Сокращение расходимостей
Неориентируемая петлевая амплитуда имеет в точности тот
же вид, что и планарная амплитуда, по с заменой q2 на —q2
и с другим коэффициентом. Следовательно, для определенной
калибровочной группы расходимости этих двух амплитуд могут
сократиться. Поскольку x[Gp = uGn для группы 50C2) (п = 32
и ц = —1), оба вклада вместе дают
AP + AN = 8n3g4KGP J ^-F{X), A0.4.10)
-i
где К = q2. Это выражение несингулярно, если предполагается,
что симметризация в точке Я, = 0 производится с помощью
симметричного обрезания — другими словами, если интеграл
понимается в смысле главного значения.
Приведенный аргумент в пользу конечности SO C2)-теории
является не совсем строгим. Степень отдельных расходимостей
зависит от выбора переменных. Если бы мы определили пере-
переменную q в выражении для неориентируемой петлевой ампли-
амплитуды по-другому, то с формальной точки зрения сокращение
расходимостей не имело бы места. По-видимому, использован-
использованный выбор переменной q' является естественным, так как он
приводит к подынтегральным выражениям для планарной и не-
неориентируемой петель, которые объединяются путем расшире-

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 189
здия области интегрирования. Вопрос, который действительно
необходимо решить, заключается в том, существует ли калибро-
;вочно-инвариантный способ регуляризации расходимостей пет-
.левых амплитуд, который удовлетворяет сделанному выбору.
Тот факт, что калибровочные аномалии также сокращаются в
одной петле для группы 50C2) (как обсуждается в этой главе
и гл. 13), является еще одним свидетельством выделенной роли
группы 50C2) в теориях типа I. Он также свидетельствует
о том, что доказательство сокращения расходимостей можно
провести строго.
Не существует принципиальных трудностей для рассмотре-
рассмотрения амплитуд с большим, чем четыре, числом внешних состоя-
состояний, однако явные вычисления представляют алгебраические
трудности, так как в общем случае множители в вершинах со-
содержат сложные вклады от фермионных ненулевых мод. На
самом деле для петель сА)>4 внешними бозонными линиями,
возможно, удобнее использовать ковариантный формализм,
основанный на полях г|^, несмотря на то что бозонные и фер-
мионные петли необходимо вычислять отдельно, а затем скла-
складывать.
Связь бесконечностей с дилатонными головастиками озна-
означает, что сокращение расходимостей, показанное для четырех-
частичных амплитуд, должно быть также свойством однопет-
левых амплитуд с произвольным числом внешних состояний.
Картины мировых поверхностей на рис. 8.12 и 8.15, в показы-
показывают, что сокращение расходимостей можно рассматривать как
¦сокращение вкладов диска (для планарной диаграммы) и дей-
действительной проективной плоскости (для неориентируемой диа-
диаграммы), которые связаны с мировой поверхностью длинной
узкой трубой. Эти конфигурации не могут зависеть от количе-
количества внешних состояний, присоединенных к мировой поверхно-
поверхности, и, следовательно, должны быть независимы от числа
внешних частиц. Этот аргумент должен быть применимым даже
в случае многопетлевых диаграмм. Если SOC2)-теория супер-
суперструн типа I содержит многопетлевые расходимости, то они
должны иметь совершенно другое происхождение.
В дополнение к описанным выше петлевым диаграммам, ко-
которые все имеют порядок g4, существуют другие диаграммы,
дающие вклады в потенциальные расходимости теории того же
порядка. Для бозонной теории они описаны в разд. 8.3.3. На-
Например, диаграмма в виде диска с внешними состояниями
замкнутой струны (рис. 8.23, а) имеет расходимость, которая
должна была бы сократиться с расходимостью диаграммы, опи-
описываемой проективной плоскостью. Аналогично все расходимо-
расходимости, связанные с бутылкой Клейна, и расходимости, связанные

190 Глава 10
с взаимодействием замкнутых струн, в котором внешние состоя-
состояния взаимодействуют с кольцом или листом Мёбиуса, должны
сокращаться. Рис. 8.27 показывает, что последнюю сумму рас-
ходимостей можно формально представить в виде последова-
последовательности диска и проективной плоскости. Поскольку локальное
поведение мировых поверхностей, которые отвечают за эти рас-
расходимости, идентично детально описанным петлевым диаграм-
диаграммам, кажется неизбежным, что для этой пары диаграмм сокра-
сокращение расходимостей будет происходить точно так же.
10.5. Резюме
В этой главе мы описали вычисление однопетлевых вкладов
в калибровочную аномалию в теории суперструн типа I. Эти
вклады изучались путем рассмотрения шестиугольных диа-
диаграмм, в которых внешними состояниями являются безмассовые
калибровочные частицы на массовой оболочке. Сокращение
этих аномалий необходимо для последовательности теории.
Вычисления в теории струн обобщают аналогичные вычисления
в полевой теории Янга — Миллса, которые также были кратко
описаны. Планарная и неориентируемая шестиугольные диа-
диаграммы с циркулирующими по петле киральными фермионами
приводят к аномалиям, имеющим одну и ту же форму. Требо-
Требование сокращения аномалий однозначно определяет калибро-
калибровочную группу — ею должна быть группа 50C2). Непланарные
диаграммы свободны от аномалий отдельно и независимо от
калибровочной группы. Этот факт тесно связан с тем обстоя-
обстоятельством, что непланарные диаграммы содержат связанные
состояния из гравитационного сектора. Для пояснения этого
сокращения мы упомянули, что при низких энергиях аномалия
непланарной шестиугольной диаграммы включает вклад от
обмена безмассовой частицей, соответствующей антисимметрич-
антисимметричному тензорному полю. В гл. 13 показано, что обмен такой
частицей может дать аномалию, которая в точности сокращает
аномалию с фермионной петлей и соответствующим теоретико-
групповым множителем.
Приложение 10.А. Альтернативная регуляризация
В этом приложении описан метод регуляризации шести-
шестиугольных струнных диаграмм, который можно интерпретировать
как «разделение точек» в вершинах на мировой поверхности.
Регуляризация достигается путем введения в пропагатор, несу-
несущий импульс рг, множителя ехр{—T]rLo}, где г\г — малый поло-
положительный параметр, который устремляется к нулю в конце

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 191
вычислений. Такое обрезание приводит к подавлению состоя-
дий с большой величиной Lo = ./V + Р2/2 в пропаггторе. По-
Поэтому он сильно напоминает метод, использованный Фудзика-
зой для регуляризации фермионных детерминантов путем по-
подавления мод с большим импульсом за счет гауссова обрезания
импульсов. В контексте теории струн этот метод подавляет
также состояния с большими массами. Измененный пропагатор
имеет вид
где г/г = ехр{—цг}, что означает, что отношение pr/p/—i всегда
меньше ехр{—цг}, поэтому точки рг и рг-\ не могут совпадать.
Эта регуляризация симметрична по всем внешним частицам,
если все шесть параметров цг выбраны одинаковыми. Такой
выбор устраняет из амплитуды все полюсы, так как в любом
из каналов, образованном внешними частицами, соответствую-
соответствующая совокупность переменных р не содержит близкие значения
рг на мировой поверхности. Альтернативная возможность, остав-
оставляющая большинство полюсов, состоит в таком выборе, когда
все переменные г\г равны нулю, за исключением одной, которая
соответствует сокращенным пропагаторам рядом с линией, чья
аномалия в данный момент исследуется.
Рассмотрим сначала случай общих значений цг- Поскольку
при такой регуляризации все внешние линии эквивалентны,
рассмотрим расходимость, связанную с линией под номером 6.
Как и раньше, аномалия появляется только в нарушающей чет-
четность амплитуде A0.2.4). Используя соотношение A0.2.14), ре-
гуляризованную аномалию задаем разностью двух членов
с сокращенными пропагаторами. Для случая планарной диа-
диаграммы ее можно записать в виде
WP ~ lim GP [ dwp (Тт Ге-W (?,, ku 1) f "*,""*" "¦.. Vo (k6, 1) rl—
-Tr[f°^Vfc, ku l)...lTfe, h, l)e~^V0(k6, 1)Г]).
A0.A.2)
Подстановка интегрального представления для каждого пропа-
гатора дает
WP~GP(WP+W2P), A0.A.3)

192 Глава 10
где
У\ Уъ
Wxp = lim ^ d10p jj Щ±- ... \ -^- Tr [wL°W (ku р,) ^ . • • X
X W (k5, Рз) F0W {h, p6) Г], A0.А.4)
Уг Уе
X ^ (й5, р5) F0W (kb, р6) Г]. A0.А.5)
В слагаемом Wp x6s=y6, в то время как в Wp X] = (/i.
И в Wp, и в Н^|> ш = Х!Х2 ... х6, а рг = Х] ... л:г. Отметим,
в частности, что в Wp
In w = In p3 — т]6, A0.A.6)
A0.A.7)
а в Wp
a;
След по матрицам Дирака вычисляется тем же способом,
который привел к A0.2.16), и дает члены, по форме похожие
на первое слагаемое в A0.2.16). Wp содержит интеграл
„ р,) ... Fo(^6, Рб)Г^), A0.А.8)
в то время как Wp содержит
X Tr (ш^-'Ко (К Pl) ... Ко (Л*, р6) Г„). A0.А.9)
В A0.2.16) интегралы этого типа объединены с регуляри-
зующими членами Паули — Вилларса, поэтому можно было
перейти к пределу %-»-0и произвести простой сдвиг петлевого
импульса, что привело бы к исчезновению каждого члена. В ис-
исследуемом случае важно рассмотреть петлевой интеграл до пе-
перехода к пределу. В обоих членах интегрирование по р содер-
содержит множители
r=\ r<s
A0.А.10)

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 193
Это означает, что множитель pv в A0.А.8) и A0.А.9) можно
заменить на член, линейный до д/дру, т. е.
p_^ _yfe ^ (Ю.А.11)
r In w dpv L-i In w '
После интегрирования по частям, мы видим, что только второй
член дает вклад в A0.А.8) и A0.А.9). Используя сохранение
импульса для исключения kl, в каждом случае члены, которые
остаются после свертки с тензором е, можно записать в виде
. (Ю.А.12)
В пределе г|г —*-0 это выражение дает основной вклад в инте-
интеграл в области интегрирования вблизи w = 1.
Слагаемое Wp теперь можно записать в виде
X \
r (wL°V0 (Pl) ...Vo (p6) Td). A0.A. 13)
Для того чтобы выделить область вблизи w = 1, удобно произ-
произвести еще одну замену переменных vr = In pr/ln w (r = I, ...
..., 5) и q = exp Bn2/In w). Отметим, что в этом случае q за-
зависит от V5, благодаря соотношению A0.А.6), из которого сле-
следует
V5 = = , A0.А.14)
0 In W In p5 — TN V '
поэтому
q = exp [-2л2 A - v5)/%]. A0.A. 15)
Эта переменная экспоненциально убывает при гN —>- 0, когда
разность 1—v5 конечна. Замена переменных приводит к сле-
следующим соотношениям:
^ \nwdvr (I O.A.I 6)
\nwdvr
9r
для г = 1, 2, 3, 4, в то время как для г = 5
-^?i = -L In2 wdv5,
Р Лб

194 Глава 10
поэтому мера интегрирования в A0.А. 13) принимает вид
K A0-АЛ8)
След в A0.А.13) в преобразованных переменных имеет вид
A0.2.30). Отметим, в частности, что все степени In да сокра-
сокращаются и результат пропорционален Xr=i ЛгАк- Так как q убы-
убывает экспоненциально быстро в пределе т]г->0, то, как и рань-
раньше, в результат дает вклад только член с N = 0:
Область интегрирования i?i обсуждается ниже. Выражение для
W2p имеет тот же вид, что и Wp, но с заменой т]6 в знамена-
знаменателе на rib заданное формулой A0.А.7). Соответствующая об-
область интегрирования R2 также отличается.
Выбор симметричной регуляризации означает равенство всех
у\г общему значению т] до перехода к пределу tj-^-O. В этом
случае область интегрирования для Wp в переменных рг задает-
задается следующим образом:
-2г| ... < р, - 5т) <-6т]. A0.А.20)
Используя соотношения v,-= In pr/ln да и A0.А. 14), получаем,
что область Ri задается неравенствами
l + vr_!^v5 + vr для г=1 6, A0.А.21)
где v6 = 1 и vo = 0. Аналогично область интегрирования ^2
в выражении для Wp с использованием соотношения A0.А.7)
принимает вид
Vi + Vf.j^v,. A0.A.22)
Обе области Ri и R2 не пересекаются, так как для области
Ri V!+vs^ 1, в то время как для области R2 vi+vs^ 1.
Подынтегральное выражение имеет тот же вид, что и при ре-
регуляризации Паули — Вилларса, но полная область интегриро-
интегрирования, полученная в результате сложения Wp и Wp, оказы-
оказывается меньше области интегрирования в случае регуляризации
Паули — Вилларса. Тем не менее оба метода дают полностью
совпадающий критерий для сокращения аномалий.
Результат особенно просто выглядит, если все значения г\г
для г ^ 5 положить равными нулю до перехода к пределу по

Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I 195
т]6. Тогда процедура несимметрична по внешним состояниям.
В этом случае W% = О, а результат для Wlp идентичен полной
аномалии A0.2.34), полученной методом Паули — Вилларса
(в котором внешние состояния также несимметричны). Ана-
Аналогично, приравнивая все цг, за исключением г\и нулю, получаем
равенство Wp = 0; тогда полная аномалия возникает от члена
Wp, который равен WP в A0.2.34). Каждый из этих частных
примеров эквивалентен регуляризации только одного из про-
пагаторов, соседнего с шестой вершиной, к которой присоеди-
присоединено продольное состояние.

11. Функциональные методы
в калибровке светового конуса
Вычисления в рамках теории возмущений, основанные на
операторном формализме и описанные в гл. 7—10, можно ис-
использовать тогда, когда по крайней мере одна из струн в каж-
каждой вершине взаимодействия представлена физическим состоя-
состоянием на массовой оболочке. Такой подход эффективен при вы-
вычислении древесных и однопетлевых амплитуд, но его нельзя
применить в случае многопетлевых амплитуд, так как послед-
последние обязательно содержат по крайней мере одну вершину, в
которой взаимодействуют три внутренние (и поэтому находя-
находящиеся вне массовой оболочки) струны.
В принципе систематическое получение правил для вычис-
вычислений произвольных диаграмм в теории струн должно опираться
на вторично квантованную полевую теорию струн. Такая тео-
теория развита в калибровке светового конуса для бозонных струн
и суперструн. Основные усилия направлены сейчас также на
формулировку ковариантных калибровочно-инвариантных прин-
принципов действия. Такая формулировка могла бы привести к
более глубокому пониманию геометрического смысла теории
струн.
В настоящей монографии мы не будем развивать струнную
полевую теорию, а вместо этого в данной главе будет развит
«первично квантованный» подход к правилам Фейнмана для
струнной полевой теории в калибровке светового конуса. По-
Помимо того, что этот подход демонстрирует по крайней мере не-
некоторые из составных частей струнной полевой теории, он об-
обладает рядом других достоинств. Эквивалентность первично
квантованных правил Фейнмана интегралам по мировым по-
поверхностям— единственному подходу к многопетлевым ампли-
амплитудам, который упоминался до сих пор, — важна для понимания
унитарности последнего подхода. Вместе с этим, хотя в преды-
предыдущих главах уделялось большое внимание конформной инва-
инвариантности и конформным отображениям, явное и обстоятель-
обстоятельное использование этих понятий в данной главе должно про-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 197
.лить на них новый свет. Большая часть вычислений в данной
главе будет ограничена бозонной теорией. В последнем разделе
мы опишем обобщение этих идей на формализм калибровки
светового конуса с пространственно-временной суперсимметрией.
11.1. Струнный интеграл по мировым поверхностям
Как и в теории точечных частиц структуру правил вычисле-
вычисления диаграмм, вытекающих из полевой теории, можно получить
в рамках первично квантованной теории. Основная идея состоит
в описании струнных амплитуд рассеяния путем обобщения
фейнмановского интеграла по траекториям из квантовой меха-
механики точечных частиц. В этом подходе амплитуда рассеяния
в теории струн описывается суммой по всем связным мировым
поверхностям с весом exp iS, соединяющим входящие и выхо-
выходящие струны. Мировая поверхность может иметь присоединен-
присоединенные ручки или вырезанные отверстия (в случае теорий с от-
открытыми струнами), которые соответствуют петлевым поправ-
поправкам вторично квантованной полевой теории.
11.1.1. Аналоговая модель
Начнем с описания цели данной главы. В разд. 1.4 приве-
приведена общая формула, выражающая струнные амплитуды рас-
рассеяния через интегралы по римановым поверхностям. Эти ин-
интегралы (с помощью гауссова интегрирования) можно свести
к интегралам по конечному числу параметров (модулярные
параметры поверхности и параметры, характеризующие поло-
положение вершинных операторов). В соответствии с этим, напри-
например, амплитуда рассеяния М тахионов в основном состоянии
(в теории бозонных струн) в произвольном порядке теории воз-
возмущений (т. е. с мировой поверхностью, имеющей произволь-
произвольное число присоединенных ручек или вырезанных отверстий)
имеет вид
ЛA, 2, ..., M) = \dn(zu z2, .... zM, у) X
Х ехРГ~ W S Pr-PsN(zr;zs,y)Y (ll.l.l)
Ч r>s _ /
Здесь Zi — координаты вершинных операторов, а у — модуляр-
модулярные параметры мировой поверхности. В соответствии с нашим
анализом в гл. 1 и 3 мера d\i должна определяться путем вы-
вычисления функциональных детерминантов струнных координат
X*1 и конформных духов Ъ, с. Здесь также N(zr; zs, у) — функ-
функция Грина уравнения Лапласа на мировой поверхности с

198 Глава 11
граничными условиями Неймана (нормальная производная от jV
на границе мировой поверхности, если она существует, равна
нулюI). Для внешних открытых струн 2,- являются точками на
границе мировой поверхности, в то время как в случае замк-
замкнутых струн внешние частицы присоединяются к внутренней
части мировой поверхности. По историческим причинам фор-
формула A1.1.1) (первоначально с неточным правилом опреде-
ния меры d\i) была известна как аналоговая модель.
Выражение A1.1.1) представляет собой замечательную
формулу, которая суммирует многое из того, что в настоящее
время известно в теории струн. Однако она имеет несколько
недостатков. Не очевидно, например, почему A1.1.1) согла-
согласуется с унитарностью. Не ясно также, какова связь, если она
существует, формулы A1.1.1) со стандартными предписаниями
для получения амплитуд рассеяния с помощью диаграмм
Фейнмана.
Наша цель в данной главе состоит в том, чтобы пролить
свет на эти вопросы путем вывода формулы A1.1.1) с помощью
стандартного квантовомеханического формализма, использую-
использующего гамильтониан в калибровке светового конуса. Рассматри-
Рассматриваемая техника была предложена Манделстамом. Она является
хорошо определенной квантовомеханической основой для вы-
вычислений в рамках теории возмущений. Правила вычисления
в этой калибровке теоретико-возмущенческих диаграмм можно
получить из эрмитова квантовомеханического гамильтониана,
поэтому унитарность гарантирована.
В этом методе струна рассматривается как квантовомехани-
ческая система, в которой взаимодействия между струнами за-
задаются таким способом, который обеспечивает унитарность
теории. Переменные интегрирования в A1.1.1) (координаты
вершинных операторов и модулярные параметры поверхности)
отождествляются с физическими параметрами, такими как вре-
времена взаимодействия и часть полного импульса /?+, которая
переносится промежуточными струнными состояниями. Недо-
Недостатком метода определенно является то, что лоренц-ковариант-
ность не является явной; ее доказательство будет одной из
наших целей. Другой недостаток заключается в том, что про-
происхождение калибровочной инвариантности и общей ковариант-
ковариантности (или их обобщений ня теорию струн) не проанализиро-
проанализировано; надлежащий анализ гтгается задачей для физики завт-
завтрашнего дня.
4) Это граничное условие соответствует результату, полученному в
разд. 2.1.3, а именно тому, что производная по а от Х^ (а, х) на концах
струны а = 0, я должна быть равна нулю.

Функциональные методы в калибровке светового конуса 199
В большой части настоящей главы мы будем обсуждать
теорию бозонных струн, а соответствующие результаты для су-
суперсимметричных струн будут кратко сформулированы в
разд. 11.7.
11.1.2. Пропагатор свободной струны
Чтобы проиллюстрировать некоторые тонкие вопросы, кото-
которые содержит функциональный формализм, полезно детально
рассмотреть пропагатор свободной струны. Согласно фейнма-
новскому подходу к квантовой механике, функциональный ин-
интеграл для свободного пропагатора, определяющего амплитуду
перехода из произвольного состояния |Xi(a)> в момент х\ в
произвольное состояние 1X2@)) в момент тг, имеет вид
G (X, {а), г,; Х2 (а), т2) =(Х21 $ 3>Х1 (а, т) X
Х
ехр(г $ dx\do2?\\Xv), A1.1.2)
где Х1(а,хА)^ХА(о), |Хд) = [Хд(а)) (Л=1, 2), \&Х1 (в, х) -
интеграл по всем поверхностям, соединяющим начальную и
конечную конфигурации струны, а ? — лагранжева плотность
для бозонной струны, которая подробно рассматривалась в
гл. 2. Часто для вычислительных целей бывает удобно произ-
произвести замену т—>—ix, и тогда можно считать, что параметры
струны образуют одну комплексную переменную (как сделано
в гл. 1 и 3)
p = x + io. A1.1.3)
Эта замена используется всюду в настоящей главе. Произведем
также изменение масштаба параметра а таким образом, чтобы
он пробегал значения
0<ст<2л|р+| A1.1.4)
с соответствующим изменением масштаба параметра т, при ко-
котором
*+=т/2яГ A1.1.5)
(это означает замену 2|р+|а на а и 2|р+|т на т). Как и раньше,
для удобства натяжение струны будет полагаться равным
Т= 1/я, (т. е. а'=1/2), а значение р+ для входящих струн
¦будет выбираться положительным. При этом
2я|р+| \
J йадаХ1даХ1\. A,1.1.6)

200 Глава 11
Состояния струны нормированы следующим образом:
(Х21 *,) s* $ ®X[G (X, (а), т,; Х2 (о-), т2) = 1. A1.1.7)
Напомним, что физические состояния замкнутой струны не
зависят от начала отсчета координаты а. Поэтому нормировка
физических состояний замкнутой струны |Х(а)>физ выражается
через состояния струны, на которые не наложено никаких огра-
ограничений, путем проектирования на подпространство состояний,
удовлетворяющих условию
A1.1.8)
В этом выражении состояние со сдвинутым аргументом Х(а
+ Сто) генерируется из состояния Х(а) следующим образом:
2я|р+
J
Bя|р+| \
ттч J daX'i{G)w^)lx{G))=
ALL9>
Результат интегрирования по а0 в A1.1.8) сводится к наложе-
наложению обычного дополнительного условия Lo = ?о на физическое
пространство состояний замкнутой струны. Из условия A1.1.8)
следует, что нормировка физического состояния удовлетворяет
уравнению
Физ(Х|Х)физ = —уЦгт Лто<Х(ст)|Х(ст + сто)>. A1.1.10)'
В вычислениях с замкнутыми струнами внешние состояния бе-
берутся без проектирования, а результат интегрируется по пере-
переменным каждой внешней струны. Поэтому результат отличается
на множитель 1/д/2яр+ в нормировке каждого внешнего со-
состояния замкнутой струны с импульсом рг. Кроме того, при
вычислении амплитуды рассеяния интегрирование по ст для
каждого внешнего состояния дает дополнительный множитель-
2яр+ для каждой замкнутой струны, что приводит к суммар-
суммарному множителю д/2яр+ , о котором необходимо помнить при_
получении ковариантной амплитуды рассеяния замкнутых
струн.

Функциональные методы в калибровке светового конуса 201
Функциональный интеграл необходимо определить таким
¦образом, чтобы он содержал регуляризацию расходимостей,
связанных с коротковолновыми модами. Эти бесконечности
можно учесть в определении константы связи g и фазы ампли-
амплитуды рассеяния. Для большей ясности запишем пропагатор
в виде
GlXAo), т,; Х2(ст), т2) = <Х2|ехр[-Р-*+]|Х,>, A1.1.11)
где t=t2 — ti ^ 0. Гамильтониан Р~ в калибровке светового
конуса, определенный в разд. 2.3.1, сопряжен с Х+ =т/2 и за-
задается в конфигурационном пространстве следующим выра-
выражением:
где Р (а) = X (а)/я = —г'б/6Х(а). Это выражение представляет со-
собой просто сумму гамильтонианов гармонических осцилляторов
для нормальных координат.
Волновая функция струны W, удовлетворяющая уравнению
является просто произведением бесконечного числа волновых
функций гармонических осцилляторов. Аналогично пропагатор
есть просто произведение функций Грина бесконечного числа
гармонических осцилляторов, где функция Грина для одного
гармонического осциллятора, соответствующего нормальной
моде х с частотой со, имеет вид (после поворота Вика в мнимое
время)
, 0; х2, t) =(^T^)(
csch й/j . A1.1.14)
В этом выражении х\ и х2 обозначают начальное и конечное
значения координаты х, a G(x,t;x',t') удовлетворяет урав-
уравнению
(я + |-)С(х, t; x', t') = b(t — t')b{x- x'), A1.1.15)
где
Нормировка выбрана таким образом, чтобы G (х\, 0; х2, t) рав-
равнялась 8(xi — Х2) при ? = 0, что соответствует нормировке

202 Глава 11
состояний A1.1.7). Множитель в A1.1.14), зависящий от х, пред-
представляет собой просто экспоненту от классического действия,
в то время как квантовомеханическая информация содержится
в множителе, независящем от х.
Функция Грина в теории струн соответствует бесконечному
числу осцилляторов с линейным частотным спектром. Произве-
ведение независящих от х членов расходится из-за множителя
(Ilmfi>mI/2 (гДе mm ~ т) ¦ Ниже мы опишем метод Гайлса и
Торна для регуляризации этой расходимости путем высокочас-
высокочастотного обрезания.
11.1.3. Решеточное обрезание
Для тщательного анализа расходимостей можно ввести вы-
высокочастотное обрезание путем замены непрерывного пара-
параметра а на одномерную решетку с шагом а. (Альтернативный
способ состоит во введении решетки по обоим направлениям о
и х, которые рассматриваются симметричным образом. Этот
способ приводит к тем же физическим результатам.) При этом
ожидается, что физические возбуждения струны имеют длину
волны, намного превосходящую а, поэтому теория струн возни-
возникает в непрерывном пределе. Координаты и импульсы в узлах
решетки определяются следующим образом:
Х} = Х1{1а), / = 0, 1, ...,М, A1.1.17)
Pj^-i-^T^aP'da), / = 0, I, ...,M, A1.1.18)
Л
где длина струны в направлении о равна
= Ма. A1.1.19)
Из периодических граничных условий для замкнутой струны
следует Хм = Хо, в то время как для открытой струны условие
исчезновения производной от X на концах струны принимает вид.
Хо = Х_1 и Хм = Хм-1. Интегралы по о заменяются на дискрет-
дискретные решеточные суммы
2яр+ М
0 7 = 0
а дХ(о)/до-*-(Х1+1 — Xi)/a. Поэтому решеточное выражение
для гамильтониана принимает вид
V' iCVi-X/J} Cii.i.2i>
/=.0

Функциональные методы в калибровке светового конуса 203
вместо A1.1.12). Эту систему М связанных гармонических
осцилляторов можно решить путем перехода к базису нормаль-
нормальных мод.
Для замкнутых струн координаты X/ и Р7 можно записать
через их моды Х1т и Р'т^—id/dX-m в следующем виде:
(M-1J/2
(AT-D/2
s x + l "F
A1.1.22)
(М1)/2
М1)
У
М д/я- -
/п= 1
(М—1)/2
р 1 \~* ~ ~
m=l (П.1.23)
где предполагается, что М нечетно. Частоты замкнутой струны
определяются следующим выражением:
cu^ = 2sin^-. A1.1.24)
Чтобы координаты были действительными, необходимо выпол-
выполнение равенств Х_т = Х^ и Р_т = Р*т. Операторы ат и ат>
определенные приведенными выше уравнениями, удовлетворяют
коммутационным соотношениям для гармонического осцилля-
осциллятора (нормированным так, чтобы в пределе т/М-*-0 они пере-
переходили в коммутационные соотношения для непрерывного слу-
случая)
К «*] = [<
A1.1.25)
В нормальных координатах гамильтониан можно записать
в виде (используя равенство Ма = 2пр+)
(M-D/2
f
(M-D/2 (М-0/2
A1.1.26)

204 Глава 11
где последнее слагаемое возникает от нормального упорядоче-
упорядочения операторов а (т. е. операторы рождения должны находиться
слева от операторов уничтожения). Для больших М этот член
можно аппроксимировать, используя соотношение
(M-U/2
А у с Jcot(/2M) + ОA/М) A1.1.27):
a <-> m a * ' na 6p
Расходящееся слагаемое пропорционально числу узлов ре-
решетки. Если данная аппроксимация применяется в случае ам-
амплитуд рассеяния, этот член имеет одинаковый вид для любой
диаграммы, дающей вклад в заданный процесс, так как полная
величина р+, а следовательно, полное число узлов фиксиро-
фиксированы. В результате множитель ехр (—Р~х/2) в амплитуде со-
содержит лоренц-неинвариантный множитель ехр [—2(D—-
—2)Мх/па]. Это физически несущественный общий фазовый
множитель (после перехода к действительному времени), в ко-
котором фаза пропорциональна площади мировой поверхности.
Этот множитель можно устранить путем вычитания из гамиль-
гамильтониана члена 4(D — 2) /an в каждом узле решетки, которое
является локальным вычитанием (т. е. не зависящим от М
и р+). Следующее слагаемое —1/6р+ нельзя изменить путем
локального вычитания, поэтому его величина имеет абсолютное
значение. В результате формула A1.1.26) определяет физиче-
физический спектр масс замкнутой струны. Например, квадрат массы
основного состояния равен
2p+p--p2 = -i^I, A1.1.28)
где Р~ обозначает теперь гамильтониан, в котором произведено
вычитание. Очевидно, что эта процедура дает то же выражение
для массы тахиона, что и метод регуляризации с помощью
^-функции, описанный в гл. 2.
Возбужденные моды получаются, как обычно, путем приме-
применения операторов рождения а_т и а_т к основному состоянию.
Эти состояния должны удовлетворять дискретному аналогу
условия A1.1.8). Это означает, что состояния должны быть соб-
собственными состояниями оператора 1\ который сдвигает X/
в Х/+/ и д/дХ] в d/dXi+j, т. е.
U~1atmU = aimexp{2nimI/M}, (И 129).
U~xalmU = От ехр {—2nitnJ/M},

Функциональные методы в калибровке светового конуса 205
где
(М-1I2
и=ехр {~1Г ? <f (e-»e« - в-в»)} {пЛ-30)
В континуальном пределе эти формулы сводятся к A1.1.9).
Соответствующий анализ для открытых струн немного от-
отличается из-за граничных условий. Координаты открытой
струны разлагаются в ряд по функциям cos тя f/ + ~о")/А1 ,
где 1 ^ m ^ М—1. Частоты мод открытой струны задаются
выражением
а выражение для гамильтониана, определенного формулой
A1.1.21), похоже на A1.1.26), но член, связанный с нормаль-
нормальным упорядочением, теперь имеет вид (D — 2) ^ а>т/а, где
ЛГ-1
-LV со° =J-(cot-^-0~^--!---V + O(l/M).
аЬ Л « ) па а 24р+
A1.1.32)
Окончательное выражение для Р~ имеет вид
ЛГ-1
\ па
A1.1.33)
Кроме слагаемого, пропорционального М, здесь присутствует
другой расходящийся член (—(D — 2)/а), который дает ло-
ренц-неинвариантный вклад в амплитуды рассеяния. Этот
вклад связан со свободными концами струны, и его можно
устранить путем локального изменения гамильтониана. Это
достигается добавлением к гамильтониану члена (D — 2)/2а
в каждой концевой точке струны. Самосогласованность этой
процедуры, следующую из вычислений пропагатора, необходимо
проверить для амплитуд с большим числом струн. Спектр со-
состояний открытой струны совпадает со спектром, полученным
в предыдущих главах, так как квадрат массы основного со-
состояния равен —(D — 2) /12.
При наличии решеточной регуляризации пропагатор струны
является хорошо определенным. Он задается произведением
функций Грина для отдельных осцилляторов (где каждая ком-
комплексная мода Хт описывает два независимых осциллятора,
соответствующих действительной и мнимой частям). Сравнивая
нормировки в A1.1.16) и A1.1.26), мы видим, что каждый

206 Глава 11
комплексный осциллятор с частотой <ит дает множительGam(Xim,
0; X2m, г) того же вида, что и A1.1.14), но с заменой t на х/а,
Х\ и х2 — на действительную и мнимую части Ximj X2m (m ф 0)
и с общим множителем 2. Функция Грина нулевой моды прини-
принимает вид (а/2я^)(о~2>/2ехр[— (х, — x2Jp+/t], поэтому пропагатор
замкнутой струны имеет вид
Gc(Xb 0; Х2> т) = С<@, 0; 0, t)exp(- (x' ~f)V ) X
(M-l)/2
X П exp(-(|Xlm|2 + |X2m|2)(Dmcoth((Dmt/a)
+ 2 Re (Xlm • X2m) com csch (comt/a). A1.1.34)
В функциональном интеграле не зависящий от X множитель
Gc@,0; 0, т) возникает (с использованием условий Дирихле
X; = Х2 = 0 в начальный и конечный моменты времени) из
(det A)~1/2, где А — оператор Лапласа на мировой поверхности.
Используя выражение для функции Грина осциллятора
A1.1.14), получаем явный вид этого множителя
?>-2
Д
m=l
11.1.4. Континуальный предел
Частоты замкнутой струны со^, заданные формулой A1.1.24),
удовлетворяют равенству
(M-U/2 (М-1)/2
П <= П 2sin^ = V^T. (П.1.36)
которое приводит к следующему соотношению для замкнутых
струн (с использованием равенства w?l = (o?I_m):
ЛГ-1
М-1
X'
@, 0; 0, t) = ] я-(«-') (^-) Д A - exp [-2co^t/a] )' X ^
- М-\ -jn(O-2)/2
m = l J J
я-(м-о (?_) Д [1 - exP;(-2mt/p+)] X
т=1
}(D~2V2- A1.1.37)

Функциональные методы в калибровке светового конуса 207
Расходящийся член в экспоненте — это как раз тот член, кото-
который обсуждался раньше и который можно исключить переопре-
переопределением гамильтониана. Единственная другая зависимость
от М содержится в множителе яB~Д)М/2, который можно исклю-
исключить локальным переопределением внешних волновых функций.
Тогда окончательное выражение имеет гладкий континуальный
предел.
Из дополнительного условия на состояния замкнутой стру-
струны (которые являются собственными состояниями оператора U
A1.1.30)) следует, что физический пропагатор в%ИЗ строится
по Gc путем симметризации, т. е.
С^из = -^ ? Gc ({X,,/}, 0; {Х2, /+/}, т). A1.1.38)
/=о
При вычислении амплитуды рассеяния сумму необходимо за-
заменить на интеграл по о, поэтому нормировка каждого внеш-
внешнего состояния должна включать множитель (аМ)~1/2 =
= Bлр+)-1/2, который обсуждался выше.
Чтобы понять, каким образом спектр состояний закодиро-
закодирован в пропагаторе, можно рассмотреть простой пример, в ко-
котором начальное и конечное состояния являются «точечными»,
т. е. Xlm = X2m = 0 для всех пгфО. Эти состояния автомати-
автоматически удовлетворяют дополнительному условию Lo = LOt так
как они уничтожаются оператором alm — <z'_m, что следует из
A1.1.22). В рассматриваемом примере после обращения про-
пагатора A1.1.34) в функцию от поперечных импульсов путем
фурье-преобразования по xi и х2 пропагатор приводится к виду
Gc ~ e-p2/4p+Gc @, 0; 0, 0). A1.1.39)
Из уравнения A1.1.37) следует, что Gc можно представить
в виде бесконечной суммы экспоненциальных членов
exp(—2Nx/p+) (где N — неотрицательное целое число), по-
поэтому вся зависимость от поперечного импульса содержится
в множителе ехр(—(p2-\-8N— 8)t/4p+). Вместо зависимости от
т в этом множителе можно перейти к зависимости от р~ с по-
помощью преобразования Лапласа
Pu 0; Р2, т). A1.1.40)
Замена переменной интегрирования на Ъ/2р+ приводит к функ-
функции от р2 (где pv — ковариантный D-мерный импульс), умно-
умноженной на 2р+. Эта функция имеет полюсы, которые

208 Глава 11
соответствуют всем состояниям замкнутой струны, которые взаи-
взаимодействуют с точечными внешними состояниями. Массы этих
состояний задаются положениями полюсов: (массаJ = —р2 =
— — Р2 + 2р+р- = 8N — 8. При вычислении амплитуд рассея-
рассеяния множитель 2р+ в числителе любого внутреннего пропага-
тора сокращается с компенсирующими множителями Bр+)~'''2
для каждой частицы, связанной с вершиной. При этом у каждой
внешней частицы, входящей в вершину, сохраняется множитель
Bр+)'12, что соответствует внешним состояниям, нормированным
обычным релятивистским образом.
Рассмотренный в предыдущем абзаце простой пример яв-
является сингулярным из-за точечного характера начального и
конечного состояний. Несмотря на это, рассмотренный пример
формально иллюстрирует основные свойства, характерные так-
также для пропагатора между физическими состояниями общего
вида.
При вычислении пропагатора для открытой струны исполь-
используется тождество
М-1 ЛГ-1
П<-П25!п-Ж = ^М, A1.1.41)
аналогичное A1.1.36), что приводит к похожей структуре не-
независящего от X множителя
, 0;0, f) { (Q
M-l
+)]
I
A1.1.42)
Расходящиеся члены в экспоненте — это те члены, которые
обсуждались раньше и которые можно исключить локальным
переопределением гамильтониана. Помимо этого, здесь присут-
присутствует нормировочный множитель Л4B-д)/4, который не убирает-
убирается локальной перенормировкой гамильтониана. Его следует от-
отнести к нормировочному множителю M^2-D)/8> волновых функ-
функций открытой струны. Поскольку пропагатор построен так, что
предел ^ = 0 дает правильно нормипованные состояния, ясно,
что этот зависящий от М множитель необходим для получения
правильно нормированных состояний.
Можно показать, по крайней мере на простых примерах, что
при вычислении амплитуд рассеяния на массовой оболочке эти
множители в комбинации с другими множителями в вершинах

Функциональные методы в калибровке светового конуса 209
приводят к конечному и лоренц-инвариантному континуально-
континуальному пределу только в критической размерности D — 26. Поэтому
в критической размерности нет необходимости в бесконечной
перенормировке волновой функции или константы связи. На
самом деле оказывается, что при проведении таких не завися-
зависящих от импульса перенормировок не возникает никаких проти-
противоречий, поэтому, как правило, в этой главе мы не будем сле-
следить за тем, как сокращаются расходимости при вычислении
амплитуд. (Но критическая размерность определенно играет
решающую роль в обеспечении лоренц-инвариантности ампли-
амплитуд.)
11.2. Вычисление амплитуд
Изучение пропагатора говорит о том, что скорее всего бес-
бесконечности, связанные с высокочастотными модами струны,
можно исключить путем переопределения фазы амплитуды и
нормировки волновых функций и константы связи. При вычис-
вычислении амплитуд рассеяния для определения функционального
интеграла мы будем использовать континуальный подход,
справедливость которого зависит от корректности такого под-
подхода к высокочастотным модам.
11.2.1. Вершины взаимодействия
Взаимодействия между струнами описываются процессами
разрыва или слияния струн, происходящими в точках струн.
Это означает локальность взаимодействия, которая представ-
представляет собой важное физическое требование, предъявляемое к
теории. С этим связано условие непрерывной эволюции коорди-
координат струн, поэтому вершина отлична от нуля только между
такими состояниями h и /2) для которых начальные и конечные
струны в совокупности совпадают. Эти утверждения не только
разумны с физической точки зрения, но являются также важ-
важной предпосылкой для получения результатов, согласующихся
с причинностью и лоренц-инвариантностью. Поэтому вершина
содержит функционал А, который представляет собой бесконеч-
бесконечное произведение б-функций Дирака, отождествляющих каж-
каждую точку входящих и выходящих струн. С помощью преобра-
преобразования Фурье этот функционал можно также выразить через
бесконечное произведение б-функций для нормальных мод.
Если п —¦ время взаимодействия, то состояния струны в мо-
моменты т1 = т/ — е и т2 = xi + е (где е — бесконечно малый про-
промежуток времени) связаны с помощью вершины взаимодей-
взаимодействия V, имеющей матричный элемент <2|F|1>. В бозонной

210 Глава 11
теории других множителей в вершине, кроме функционала А,
нет, поэтому в координатном базисе взаимодействие общего
вида можно записать следующим образом:
(Х\21 V | Ц) ~ А [Х)% (а) - Х\х (а)], A1.2.1>
где X/, {о) — поперечные координаты струны до взаимодействия,
а Х}2 (а) — после взаимодействия. Выбор вершины безусловно
является простым, но является ли он правильным и единствен-
единственным? Ответ на оба вопроса положителен. Один способ доказа-
доказательства заключается в тщательном анализе требований ло-
ренц-инвариантности. Вместо проведения этого доказательства,
которое с технической точки зрения довольно сложно, мы про-
проведем явное вычисление амплитуд рассеяния и покажем, что
результаты, полученные с их помощью, обладают нужными
свойствами (включая лоренц-инвариантность). В теориях су-
суперструн вершины содержат также дополнительные множите-
множители, в которые входят такие операторы, как функциональные
производные от функционала А по Хг(о) в точке взаимодей-
взаимодействия а = oi. Это различие между суперструнами и бозонными
струнами аналогично тому обстоятельству, что в теории Янга —
Миллса кубическое взаимодействие между калибровочными час-
частицами содержит производную, в то время как кубическое
взаимодействие скалярных полей ее не содержит.
Взаимодействия струн можно разделить на два класса
простым геометрическим способом в соответствии с тем, проис-
происходит ли слияние или разрыв струн во внутренних точках или
происходит соприкосновение концов струны.
1. Первый класс состоит из таких взаимодействий, когда две
граничные точки открытых струн соприкасаются и объединяют-
объединяются, или из обращенных во времени реакций, когда во внутрен-
внутренней точке струны происходит разрыв и образуются два новых
свободных конца. Например, вершина, описывающая объедине-
объединение струн 1 и 2 с образованием струны 3, имеет вид
+ ХЦа)-ХЦа)], A1.2.2)
где Х'г (or) — координаты r-й струны, причем Хг отличны от
нуля только при подходящих значениях а (эта параметриза-
параметризация более подробно описана в разд. 11.4.5). Такое взаимодей-
взаимодействие, изображенное на рис. 11.1, а, является струнным обобще-
обобщением кубического взаимодействия в теории Янга — Миллса, и
по этой причине ему приписывается константа связи g.
Тот же процесс слияния двух граничных точек описывает
такое взаимодействие, при котором открытая струна превра-
превращается в замкнутую, как изображено на рис. 11.1,6. Поскольку

Функциональные методы в калибровке светового конуса 211
это взаимодействие изменяет струны только локально, для по-
последовательности теории необходимо, чтобы соответствующая
константа связи совпадала с константой связи кубического
взаимодействия открытых струн. Например, благодаря этому
процессу, возникают полюсы, соответствующие замкнутым
струнам, в непланарных петлевых диаграммах, описанных в
гл. 8. Без этого вклада амплитуды не были бы лоренц-инва-
риантными.
2. Второй класс состоит из таких взаимодействий, когда две
внутренние точки соприкасаются таким образом, что входящие
струны мгновенно перестраивают свои части и образуют выхо-
выходящие струны. Примером служит взаимодействие, изображен-
изображенное на рис. 11.2, а, при котором две замкнутые струны объеди-
объединяются и образуют одну замкнутую струну или, наоборот, одна
Г\
Рис. 11.1. Струйное взаимодействие разрыва — слияния: а — взаимодействие
трех открытых струн. Это струнное обобщение кубического янг-миллсова
взаимодействия; б— переход между открытой и замкнутой струнами. В тео-
теориях типа I это взаимодействие связывает гравитационный и янг-миллсов
секторы.
замкнутая струна превращается в две. Это взаимодействие
представляет собой струнное обобщение кубического взаимо-
взаимодействия между гравитонами, поэтому ему приписывается гра-
гравитационная константа связи к. Это единственное взаимодей-
взаимодействие, которое возможно в любой теории замкнутых ориенти-
ориентированных струн (таких как теории суперструн типа II или ге-
теротические теории).
Другая вершина взаимодействия, возникающая при слиянии
внутренних точек струн, описывает процесс, в котором две вхо-
входящие открытые струны обмениваются своими сегментами с
образованием двух входящих открытых струн (рис. 11.2,6).
С локальной точки зрения для струн это то же взаимодействие,
что и на рис. 11.2, а, поэтому ему тоже приписывается грави-
гравитационная константа связи. Хотя это взаимодействие является
контактным, его не следует путать с контактными взаимодей-
взаимодействиями в полевой теории точечных частиц. Например, это

212
Глава 11
взаимодействие не дает вклада в процесс деления одной струны
на три, в то время как в теории Янга — Миллса контактный
член дает вклад в любой четырехчастичный процесс. Вклад кон-
контактного члена является существенным для получения лоренц-
5
в
Рис. 11.2. Обменные струнные взаимодействия: а — взаимодействие, при ко-
котором две замкнутые струны сливаются в одну или одна замкнутая струна
разрывается на две. Это струнное обобщение гравитационого взаимодей-
взаимодействия. Для теорий замкнутых ориентированных струн это единственное взаи-
взаимодействие в калибровке светового конуса; б — взаимодействие, при котором
пара открытых струн образует другую пару открытых струн; в — взаимо-
взаимодействие, при котором открытая струна сливается с замкнутой струной или
происходит обратный процесс; г — взаимодействие, при котором одна откры-
открытая струна перегруппирует свои сегменты; д — аналогичное взаимодействие
одной замкнутой струны.
инвариантных древесных амплитуд. Требование лоренц-инва-
риантности амплитуды рассеяния определяет константу связи
этого взаимодействия, которая должна быть равна g2, как будет
ясно из обсуждения, приведенного в разд. 11.3.1. В свою оче-
очередь эта константа связи связана с гравитационной константой
связи %, что приводит к следующему соотношению между гра-
гравитационной и янг-миллсовой константами связи:
¦Та2.
A1.2.3)

Функциональные методы в калибровке светового конуса
Существуют три другие возможные взаимодействия, вклю-
включающие соприкосновение внутренних точек струн. Одно из них
(рис. 11.2, в) описывает объединение замкнутой и открытой
струн с образованием одной открытой струны. На рис. 11.2, г
показано самодействие открытой струны, при котором две
внутренние точки соприкасаются и сегмент струны обращается.
Аналогичный процесс для неориентированной замкнутой стру-
струны изображен на рис. 11.2,5. Взаимодействия, которые иллю-
иллюстрируются рис. 11.2, в и 11.2,5, могут иметь место только в
теориях с неориентированными замкнутыми струнами. Это легко
вывести из невозможности закрепления стрелок на струнах для
придания им ориентации.
11.2.2. Параметризация процессов рассеяния
Рассмотрим амплитуды рассеяния начальных собственных
состояний импульса на массовой оболочке в конечные состоя-
состояния, которые также являются собственными состояниями им-
импульса и находятся на массовой оболочке. В конце вычислений
начальный и конечный моменты времени т< и т/ устремляются
к •—оо и +оо.
If.
Рис. 11.3. Представление мировой поверхности амплитуды рассеяния откры-
открытых струн в р-плоскости. Горизонтальные щели являются границами миро-
мировой поверхности, т. е. мировыми линиями конечных точек струн.
Мировую поверхность для таких процессов рассеяния, вклю-
включающих только открытые струны, удобно представить в виде
полосы, как показано на рис. 11.3. В этой параметризации го-
горизонтальной осью является ось т, т. е. в калибровке светового
конуса она пропорциональна времени, в то время как верти-
вертикальная ось определяет параметризацию о. Горизонтальные ли-
линии обозначают границы струн, на которых струнные коорди-
координаты удовлетворяют условию равенства нулю нормальной про-
производной от X. Поскольку координата X на обеих сторонах го-
горизонтальной линии принадлежит разным струнам, на этих
линиях она не является непрерывной.

214 Глава 11
Диаграмма на рис. 11.3 иллюстрирует объединение струн в
конечных точках и разделение струн с образованием новых гра-
граничных точек во «времена» взаимодействия т/. При вычисле-
вычислении амплитуды рассеяния по этим временам необходимо про-
провести интегрирование. Горизонтальные линии, которые соеди-
соединяют две точки взаимодействия, представляют собой петли, т. е.
они описывают разделение и последующую рекомбинацию
струн. Поэтому горизонтальные линии надо представлять себе
как щели, вырезанные в полосе таким образом, что внешняя
граница полосы является непрерывной линией, соответствующей
мировым линиям граничных точек внешних струн (при этом
входящая струна при т<->—оо и выходящая струна при
tf—>-+°° рассматриваются как отдельные точки). Теоретико-
групповой множитель для диаграммы, описывающей открытую
струну, получается путем приписывания границам полосы за-
зарядов (что совпадает с методом Чана — Патона, описанным в
разд. 6.1). Эти множители в настоящей главе опущены.
По предположению параметр ог r-й струны возрастает от
низа полосы к ее верху для входящих струн, в то время как
для выходящих струн он возрастает от верха к низу. Область
изменения параметра ог выбирается в виде отрезка 0 ^ or ^
^ я|ссг|, где величина аг определяется выражением
аг = 2р+, A1.2.4)
причем она положительна для входящих струн и отрицатель-
отрицательна— для выходящих. Преимущество этой нормировки пара-
параметров заключается в том, что полная ширина полосы оста-
остается постоянной во времени и не зависит от взаимодействий
струн как следствие сохранения р+, откуда следует равенство
Хг а,- = — 2л аь где i и / обозначают соответственно началь-
начальные и конечные частицы. Часто мы будем использовать один
параметр о с областью изменения 0^о^1^(а;. На заданной
внешней входящей струне г параметр о связан с параметром ог
следующим соотношением:
o = or+aQr, A1.2.5)
где стог — значение параметра а внизу струны. Для выходящих
струн соотношение имеет вид
а = -аг + <хОг. A1.2.6)
где стог теперь соответствует верхней точке струны. Петлевая
поправка, соответствующая открытой струне, к диаграмме для
открытой струны, которая представляется на рис. 11.3 горизон-
горизонтальной щелью в мировой поверхности, характеризуется двумя

Функциональные методы в калибровке светового конуса 215
значениями переменных т/ на концах щели и величиной пара-
параметра а (обозначаемой оь), равной расстоянию от щели до
нижней границы диаграммы. Таким образом, для каждой петли
существуют три дополнительных параметра, по которым необ-
необходимо провести интегрирование. Петли замкнутых струн, ко-
которые представляют собой ручки, присоединенные к мировой
поверхности, также можно представить в плоскости р = т + fa,,
но более сложным образом. При такой параметризации миро-
мировой поверхности метрика на мировой поверхности была выбра-
выбрана таким образом, что двумерная кривизна везде равна нулю,
за исключением точек взаимодействия, где кривизна (одномер-
(одномерной границы для мировых поверхностей открытых струн или
двумерных поверхностей для замкнутых струн) обращается в
бесконечность. При такой параметризации переменные интегри-
интегрирования имеют описанную выше физическую интерпретацию.
При вычислении функционального интеграла удобно отобразить
мировую поверхность на верхнюю комплексную полуплоскость
или на всю комплексную плоскость; при этом устанавливается
связь с более стандартными параметризациями римановых по-
поверхностей.
11.2.3. Вычисление функционального интеграла
Типичная функция Грина имеет структуру последователь-
последовательности вершин, между которыми струны распространяются сво-
свободно, а соответствующие пропагаторы имеют вид A1.1.2).
Времена взаимодействия должны интегрироваться по всей
области их значений. Функции Грина в пространстве импуль-
импульсов с присоединенными внешними пропагаторами вне массовой
оболочки получаются путем умножения амплитуды на
ехр [— Xr P7xrl^\ и интегрирования по временам хг, в которые
рождаются внешние струны на заданных конфигурациях миро-
мировой поверхности. Здесь р~ — с-число, которое равно значению
оператора Р7 в полюсе пропагатора соответствующей внешней
струны. С другой стороны, связная часть S-матричного элемен-
элемента получается путем умножения функции Грина на множители
ехр [—РГтг/2] для каждой внешней частицы г в начальное или
конечное время %г (=т,->--—оо или tf-»-oo). Этот множитель
отрезает внешние пропагаторы от функции Грина. Связная
часть S-матрицы не является релятивистски ковариантной ве-
величиной, так как она содержит кинематические множители, не-
необходимые для получения релятивистской меры в фазовом про-
пространстве, которая возникает при вычислении сечения рассея-
рассеяния. В координатах светового конуса релятивистская мера в

216 Глава 11
фазовом пространстве частицы на массовой оболочке с импуль-
импульсом pv имеет вид dD~2pdp+/a'^ (при этом р~ = (р2 + т2)/а), по-
поэтому ковариантная амплитуда А рассеяния М скалярных час-
частиц связана с S-матрицей соотношением
м
)-U2A(l,2, .... М).
A1.2.7)
Поскольку единственным следствием вставки вершин являет-
•ся появление А-функционалов, которые отождествляют коор-
координаты непосредственно перед и сразу после момента взаимо-
взаимодействия, результат можно выразить в виде одного функ-
функционального интеграла по всем поверхностям, соединяющим
начальные струны в момент времени т = т;->—оо и конечные
струны в момент времени х = Xf -+ оо. Заметим, что полная
амплитуда включает диаграммы с обоими упорядочениями вре-
времен взаимодействия т, как показано на рис. 11.3. При задан-
заданном теоретико-групповом множителе (т. е. при заданном по-
порядке внешних частиц вдоль границы струны) результат пред-
представляется в виде одного выражения, которое необходимо про-
проинтегрировать по всем возможным значениям переменных т/ и
Ol. Тот факт, что подынтегральные выражения диаграмм с раз-
различным упорядочением xi имеют одинаковый вид в тех точках,
где два значения Xi совпадают, является совершенно нетри-
нетривиальным и имеет место только в критической размерности.
Общее выражение для L-петлевой амплитуды рассеяния с М
частицами из спектра открытой струны (с М — 2 + 2L верши-
вершинами) имеет вид
А{\,2, ..., M) = G\ Д'dx,J[daLX
вершины петли
X \ П ^r, n^r (P'r. n) W (П .. Pi' «г. \), <" -2-
где G — теоретико-групповой множитель, соответствующий опи-
описываемому процессу (если он включает открытые струны).
В этом выражении функция W представляет собой амплитуду
рассеяния входящих и выходящих струнных состояний, описы-
описываемых модами Pr, n с импульсами Р\ (а), которые определены
выражением

Функциональные методы в калибровке светового конуса 217
где г обозначает струну, аи — номер моды. Эти внешние со-
состояния являются собственными состояниями операторов энер-
энергии РТ; последнее означает, что они являются собственными
состояниями импульса и соответствуют определенным числам
заполнения. Поэтому волновые функции внешних струн Wr яв-
являются произведениями осцилляторных собственных функций
для каждой моды, т. е. волновая функция состояния с числами
заполнения klnn, где и и i нумеруют моды, имеет вид
оо D-2
WJPI п)=--Ц Л Hki (P< n)exp[ — (Plr пJ/Ш, A1.2.10)
п=\ i = l г, п
где Нki —полином Эрмита от Р1г,п степени klr,n- Волновая
г, п
функция основного состояния струны (т. е. тахиона) является
просто произведением гауссовых множителей.
Функция W определяется функциональным интегралом
м
Г м 1 / м \
X ехр - Y, PTirli expf i ? J P'r (a) X1 (a, xr) da - J 2 dx da j,
A1.2.11)
где множитель cxpfi /^ \PlrXlrda\ преобразует внешние вол-
волновые функции из импульсного пространства в конфигура-
конфигурационное. Множители ехр [—РГтг/2] необходимы для преобразо-
преобразования функции Грина в амплитуду на массовой оболочке, а
множители Var являются обратными множителями, компенси-
компенсирующими множители 1 /д/аг в выражении (П.2.7) для кова-
риантной амплитуды. Лагранжева плотность для бозонной стру-
струны в калибровке светового конуса имеет вид
На функции Х1(а, т), по которым проводится интегрирование в
A1.2.11), наложены граничные условия дХ'/да = 0 вдоль
сплошных линий, т. е. на концах открытых струн. Все проведен-
проведенное обсуждение одинаково применимо и к замкнутым струнам,
для которых модифицируются только граничные условия, а
именно функции X' для замкнутых струн должны быть периоди-
периодическими.

218 Глава 11
Функциональный интеграл можно определить путем одно-
одновременной дискретизации переменных а и т с образованием
решетки, состоящей из конечного числа точек, что сводит
функциональный интеграл к произведению конечного числа
обычных интегралов. Альтернативное определение состоит в
том, что функциональный интеграл выражается через интегра-
интегралы от нормальных мод координат, для которых введено высоко-
высокочастотное обрезание с помощью решетки по а, как было сдела-
сделано при вычислении пропагатора. В любом случае функцио-
функциональный интеграл, который необходимо вычислить, имеет вид
произведения гауссовых интегралов с внешними источниками
при т = +оо, соответствующими в A1.2.11) линейным по
Х1{аг,1г) членам. В результате функциональный интеграл мож-
можно вычислить с помощью обычной процедуры дополнения до
полного квадрата. Это можно сделать путем записи содержащих
Х'(а, г) членов в экспоненте A1.2.11) в следующем виде:
? И da' da" ?¦}/>< (<О N @', тг; 0", тв) P's (a") -
Г, S К. Г, S
-n\dGd% (х1 (а, т) + 4 ? \ do'Plr (а') N (а', %;, а, тЛ А X
X (X1 {а, т) + \ ^ \ do"Pl (a") N (a", ts; а, х)Л \ , A1.2.13)
где Д — произведение —1/2jx2 на двумерный лапласиан, т. е.
В A1.2.13) поверхностные члены в моменты времени хг игно-
игнорируются. Они учитываются явным образом в определении
det Д, которое приведено ниже.
Требуется, чтобы функция Грина N(a, т; а', %'), которая
обратна оператору А, удовлетворяла уравнению
1Ш(о, т; а', тО = —?¦ 6 (а-о') 6 (т - т') + f (or, т), A1.2.15)
где f — произвольная функция. Для сравнения A1.2.13) с
A1.2.11) необходимо провести несколько интегрирований по
частям и использовать граничные условия Неймана для Х(а, т)
и функции Грина
-^ N (а, х; о', т') = g (а, т), A1.2.16)
где п обозначает нормаль к границе мировой поверхности (ко-
(которая совпадает с направлением а на концах струны и с на-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 219
правлением х для всех значений о в начальный и конечный мо-
моменты времени т,- и xf). Функция g(a, x) подчиняется закону
Гаусса. Интегрирование уравнения A1.2.15) и использование
da dxf {а, т) = ® dig {о, т). Бла-
годаря сохранению суммарного импульса, обусловленному инте-
интегрированием по нулевым модам X', ни g, ни f не влияют на
вид формул A1.2.13) и A1.2.11). Отметим, что N определена
только с точностью до произвольного решения уравнения Пуас-
Пуассона с источником f(a,x). Для замкнутых струн функция Гри-
Грина периодична по координатам а и о'.
Функциональный интеграл A1.2.13) является гауссовым по
переменным
X1' {а, х) ^ X' (а, х) + \ ? \ do'P'r (о') N (о', хг; о, х), A1.2.17)
поэтому с использованием формулы
J 2>Х1'(а, х)ехр{—лХ1'{о, х)АХ1'(а, т)) = [det A]-{D~2}'2 A1.2.18)
амплитуду W (Plr n, plr, a\ можно записать в виде
W = ^-2+2?[detA]-(D-2)/2nMI/2exP [- ЕР^/2] X
', тг; а", ха)РЦа")\. A1.2.19)
Г, S
Экспоненциальные множители в этом выражении можно объ-
объединить в явно ковариантное выражение, если выразить вре-
временные переменные хг, связанные с начальными и конечными
струнами, через функцию Неймана, используя соотношение
т=-ш Е S da'N ((т>т; ff/'т^' A1 -2-20)
г
где интеграл берется в начальное и конечное времена по вхо-
входящим и выходящим струнам. Для проверки этого уравнения
сначала заметим, что обе части уравнения удовлетворяют урав-
уравнению Лапласа при произвольных значениях т. Тот факт, что
нормальная производная от правой части A1.2.20) равна нулю
на концевых точках струны при произвольных т, является след-
следствием граничных условий A1.2.16) для N и сохранения р+.
Нормальная производная правой части при т-*-тг (=тг или
Xf, при этом 0 параметризует струну г) требует тщательного
анализа в той области интегрирования, где а' приближается

:220 Глава 11
к в и N сингулярна. Путем интегрирования A1.2.15) по малой
области вблизи точки а' = а при т-*-т> можно показать, что
этот вклад равен +1 при т = Xf и — Г при т = т«, что согласует-
согласуется с левой частью A1.2.20). Этот результат позволяет произ-
произвести в A1.2.19) следующую замену:
Z Р7хг = Щ Р7 \ da'N ((T' Хг] а'> Xs) =
11.2.4. Амплитуды с внешними основными состояниями
Для многих целей входящую или выходящую струну можно
рассматривать как одну точку в плоскости р. Например, оказы-
оказывается, что функция N (a, xr\ o',xs) (г фа), вычисленная на раз-
различных входящих или выходящих струнах, не зависит от о и о'
с точностью до членов, которые экспоненциально убывают с
|тг|. (Как и раньше, хг и xs равны xt для входящих струн или
х; для выходящих струн, а о и о' принадлежат соответственно
струнам г и s.) Если внешними состояниями являются основ-
основные состояния, то этими членами можно пренебречь. Они
становятся важными в том случае, когда внешними состоя-
состояниями являются возбужденные состояния, так как множитель
ехр (—ЛгхгР^/2) обеспечивает компенсирующее экспоненци-
экспоненциальное возрастание. В разд. 11.4 после нахождения явного вида
функции Неймана это станет очевидным. Если внешними со-
состояниями являются основные состояния, то интегрирование
по а' и а" в A1.2.19) и A1.2.21) членов с г Ф s проводится
тривиально и приводит просто к появлению множителей паг и
ясс.;. Эти множители умножаются на нулевые моды в
Р*(о') и Р\(а") в экспоненте A1.2.19). Вспоминая, что нуле-
нулевые моды имеют вид р'/па, получаем, что общим следствием
является сокращение степеней лес. Этот результат вместе с по-
показателем экспоненты A1.2.21) приводит к члену, содержаще-
содержащему лоренц-инвариантное произведение векторов pr-ps.
Члены с г = s содержат функцию Грина, вычисленную меж-
между точками одной струны в момент времени т,- или Xf. Функция
Грина N(o',xr; о",Хг) зависит от а' и о", но так, что зависи-
зависимость от вида диаграммы отсутствует, т. е. она не зависит от
¦аг, так как точки (о', хг) и (а", хг) находятся далеко от точек
взаимодействия. В результате после подстановки в A1.2.19) и
A1.2.21) интегрирование по о' и а" приводит к членам, содер-
содержащим (Р1Г.пУ (где п>0), которые не зависят от аг. Другим

Функциональные методы в калибровке светового конуса 221
источником зависимости от Plr, n являются внешние волновые
функции, имеющие вид A1.2.10). Поэтому для внешних основ-
основных состояний интегралы по Р1г,п (с п > 0) имеют гауссов вид
и приводят к изменению общего нормировочного множителя, не
изменяя зависимость от аг. Части функций Грина в A1.2.19) и
A1.2.21) с г = s, которые соответствуют нулевым модам, вмес-
вместе дают множитель
! S \ ), (П.2.22)
где использовано выражение для квадрата массы основного
состояния p2r — (D — 2)/12, к которому приводит суммирование
вакуумных энергий в A1.1.33).
Если внешними состояниями являются возбужденные со-
состояния, то главный член в функции Грина, вычисленной меж-
между точками на различных входящих или выходящих струнах
(т. е. член, который не убывает экспоненциально), не дает
вклада. Это является следствием равенства
dpir, nHki n (P'r,n) exp [- (P<, ny/2n] = 0 A1.2.23)
для kr, n?=0, где один множитель exp [— (р?, nfl^n\ возникает
от волновой функции, а другой такой же множитель возникает
от членов с г = s, упомянутых в предыдущем абзаце1). В этом
случае необходимо учитывать соответствующие ненулевые
моды в функции Грина, даже если они являются экспоненциально
малыми. Это является следствием того обстоятельства, что член
ехр (—Р^Хг/2) содержит большой компенсирующий множитель
ехр(—N(r)Xr/ar) (для открытых струн), где N(r) — число запол-
заполнения для г-й струны, который в точности компенсирует экспо-
экспоненциальное убывание функции Грина.
Объединение всех этих членов дает общее выражение для
L-петлевой амплитуды, описывающей рассеяние М тахионов на
массовой оболочке из спектра открытой струны:
ЛA, 2, ..., М) = gM-2+2?G J
вершины
X Д («гI/2ехр (\ ? рг ¦ PsN (а, тг; a', rs)\. A1.2.24)
г V r<s )
') С математической точки зрения равенство A1.2.23) является след-
следствием ортогональности волновых функций гармонического осциллятора для
основного и возбужденного состояний.

222 Глава 11
Но эта формула все же не учитывает все возможные петлевые
диаграммы, так как пока описан лишь способ учета отверстий в
мировой поверхности. Другие диаграммы, которые получаются
путем добавления ручек, описываются аналогичным образом.
Поэтому, как будет показано ниже, похожие формулы приме-
применимы в бозонной теории замкнутых струн.
Проблема вычисления произвольной диаграммы теперь сво-
сводится к проблеме вычисления оператора, обратного оператору
Лапласа А, точнее к вычислению функции Грина det А на под-
подходящем двумерном многообразии с заданными граничными
условиями Неймана. Этому вопросу посвящено большое число
математических работ. В случае древесных и однопетлевых
диаграмм решение можно записать в явном виде, и, конечно,
результаты совпадают с полученными в предыдущих главах на-
настоящей монографии. Действительная мощь функциональных
методов становится очевидной при изучении многопетлевых
амплитуд. Однако мы начнем с изучения древесных диаграмм.
11.3. Древесные амплитуды для открытых струн
На рис. 11.4 приведен пример струнной древесной диаграм-
диаграммы для взаимодействия М открытых струн. Диаграмма содер-
содержит М — 2 времен взаимодействия т/, одно из которых несуще-
несущественно, так как амплитуда зависит только от разностей меж-
между ними. Глобальная инвариантность относительно трансляций
по т приводит к сохранению энергии, что отражается в появле-
появлении в 5-матрице множителя б(ХлрГ)- Если число внешних
струн не слишком велико, то можно подобрать такое преобра-
преобразование Лоренца, что все р+-компоненты импульсов, за исклю-
исключением двух, обратятся в 'Нуль; при этом длины всех струн
вдоль о будут равны нулю, кроме одной входящей струны и
одной выходящей. В этом случае диаграмма принимает вид
ленты, которая не имеет горизонтальных границ, за исключе-
исключением своих краев, проходящих через точки 0=0 и па. В этой
частной лоренцевой системе отсчета функция Грина и функцио-
функциональный детерминант вычисляются особенно просто. Именно
это свойство стоит за простотой операторного формализма для
струны в калибровке светового конуса, который обсуждался в
предыдущих главах. Однако для использования этого метода
необходимо принять на веру, что в калибровке светового кону-
конуса сохраняется лоренц-инвариантность, и в любом случае этот
метод нельзя обобщить на многопетлевые диаграммы. По этим
причинам важно вычислить функцию Грина для общей древес-
древесной диаграммы, приведенной на рис. 11.4.

Функциональные методы в калибровке светового конуса
223
11.3.1. Конформное отображение
Вычисление функции Грина упрощается при использовании
инвариантности относительно конформных преобразований, с
помощью которых ее можно отобразить в верхнюю полуплос-
полуплоскость некоторой комплексной переменной z, где функция Грина
выписывается тривиальным образом. Граница струнной диаг-
\1
Рис. 11.4. а — струнная диаграмма для древесной диаграммы общего вида;
б — ее отображение в верхнюю г-полуплоскость.
раммы, включая горизонтальные щели, отображается непрерыв-
непрерывным образом на действительную ось плоскости г. Функция Гри-
Грина в плоскости z (которая имеет равную нулю нормальную про-
производную к действительной оси) легко вычисляется. Конформ-
Конформная инвариантность уравнения Лапласа обеспечивает При этом
тривиальность его обратного преобразования к переменным р.
Тот факт, что произвольную древесную диаграмму для струн
можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость

224 Глава И
2-плоскости, означает, что все струнные диаграммы конформно
отображаются друг на друга с помощью подходящего преобра-
преобразования. Это пример, иллюстрирующий теорему Римана, с кото-
которой мы встретились в разд. 1.4 при обсуждении ковариантного
метода вычисления струнных диаграмм. Конформная эквива-
эквивалентность древесных диаграмм является тем свойством, которое
отсутствует в случае петлевых диаграмм. Петлевые диаграм-
диаграммы зависят от «модулярных параметров», характеризующих
конформно неэквивалентные поверхности с одинаковой тополо-
топологией. Простым примером является параметр т для тора
(гл. 8, 9).
Подходящее отображение задается преобразованием Швар-
Шварца — Кристоффеля
м
р = т-|- la = 2 «г 1п (хт — z). A1.3.1)
г=\
Граница струнной диаграммы в плоскости р отображается при
этом в действительную ось плоскости z, как показано на
рис. 11.4. Малые полуокружности в верхней полуплоскости во-
вокруг сингулярных точек преобразования z = xr являются обра-
образами струн в начальный или конечный (очень большие) мо-
моменты времени т,- или т/ в зависимости от знака аг- В конце
вычислений эти моменты времени устремляются к ±°°, а ра-
радиусы полуокружностей ег — к нулю. По мере уменьшения ве-
величины z и обхода вокруг сингулярной точки хг по полуокруж-
полуокружности мнимая часть р изменяется на величину паг, которая
соответствует увеличению или уменьшению о в бесконечном
прошлом или будущем. Точки взаимодействия (р/ = т/ + /<Т/)
представляют собой точки поворота границы, изображенной на
рис. Л .4. Поэтому эти точки отображаются в точки yi, опреде-
определяемые уравнением для точек поворота dp/dz = Q. Таким об-
образом, точки у/ являются решениями следующего уравнения:
м
Если умножить это уравнение на все знаменатели, то получим
полином по у степени М—1. Но коэффициент при главном
члене равен нулю 2аг = 0, поэтому в действительности поли-
полином имеет степень М — 2 и М — 2 корней. Из этих корней только
М — 3 корня, соответствующие разностям т, имеют физический
смысл.
Описанное преобразование заданной струнной диаграммы
определено неоднозначно, поскольку верхнюю полуплоскость

Функциональные методы в калибровке светового конуса 225
можно отобразить на себя с помощью вещественного проектив-
проективного преобразования, т. е. SL B, R) -преобразования с тремя
произвольными независимыми параметрами. Это преобразова-
преобразование переводит точку z в
где ad — к=1, а а, 6, с и d — действительные числа. Это пре-
преобразование можно записать в другой удобной форме
Параметры у\ и г/2 являются неподвижными точками преобразо-
преобразования, в то время как ц представляет собой мультипликатор.
В интересующем нас случае преобразование является гипербо-
гиперболическим, откуда следует, что параметры ц, у\ и у2 должны
быть действительными и ri^l1). Неоднозначность преобразо-
преобразования означает, что три точки х2 можно фиксировать произ-
произвольным образом. При обычном выборе фиксируемые точки рас-
располагают в точках 0, 1 и оо, как сделано в гл. 7. После этого
остается М — 3 переменных интегрирования, соответствующих
числу моментов взаимодействия т/ в струнной диаграмме (после
вычитания одной переменной, которая несущественна благодаря
глобальной трансляционной инвариантности по времени).
В принципе М — 3 переменных хг можно представить в виде
функций от п (фиксируя одну из них) путем обращения рас-
рассматриваемого отображения, но в общем случае такой переход
очень сложен.
Рассмотрим подробнее отображение в случае четырех внеш-
внешних частиц (М = 4). Полагая Х\ = 1, х2 = оо, хъ = О и Ха — х,
получаем отображение
р = a. In A - z) + «з In z + а4 In (z - x) + Г„, A1.3.5)
где Го ¦— несущественная бесконечная константа. Подстановка
этого выражения в A1.3.2) позволяет определить образы z+ и
z_ точек взаимодействия pi и рг как решения квадратного урав-
уравнения
z± = -~-r. г- {l -f- (Y2 — Yi) x ± A }, A1.3.6)
где
Y2 = ^br. (П-3.7)
Д = х2 (vs - Уд2 + 2* ByiY2 - Ъ ~ Ъ) + 1 • A1 -3.8)
') Проективное преобразование называется эллиптическим, если у^ = у2,
|т)| = 1, или параболическим, если у% — yi = е, т) = 1 —ае и е->-0.

226
Глава 11
На рис. 11.5, а и 11.5,6 показаны две струнные диаграммы
в калибровке светового конуса, которые дают вклады в рас-
рассматриваемую амплитуду. Это единственные вклады с теоре-
теоретико-групповым множителем tr (АД2Я3Я4). При отображении
этих диаграмм в плоскость z переменная х принимает значения
) 1
ж
Рис. 11.5. Древесные диаграммы, дающие вклад в четырехчастичное рассея-
рассеяние. Диаграммы а и б соответствуют теоретико-групповому множителю
tr(XiX2X3X4) и имеют полюсы в s- и ^-каналах соответственно. Диаграммы в
и г соответствуют теоретико-групповому множителю tr(A,iA,2A,4A,3) и имеют
полюсы в s- и м-каналах соответственно. Последние три диаграммы соответ-
соответствуют теоретико-групповому множителю tr (ki%s^2^i); д и е имеют полюсы
в t- и ы-каналах соответственно; ж — четырехструнный контактный член,
точка ai отделяет часть струны 1, которая соединяется со струной 3, от той
части, которая соединяется со струной 4.
в области O^xsg: 1. Выражение для амплитуды включает ин-
интеграл по всем положительным значениям разности времен ме-
между двумя точками взаимодействия (t = T2 — ti), изображен-
изображенными на рис. 11.5, с, и по всем отрицательным значениям, кото-
которым соответствует рис. 11.5,6. Разность времен взаимодействия
дается выражением
t = Re[p(z+)-p(z_fl. A1.3.9)

Функциональные методы в калибровке светового конуса 227
Вклад в диаграмму, изображенный на рис. 11.5, а, содержит по-
полюсы по инварианту s = — (pi + P2J, которые появляются при
интегрировании в пределе, когда промежуточная струна рас-
распространяется в течении бесконечно большого промежутка вре-
времени. Граничная точка интегрирования по % на рис. 11.5, а
т = оо соответствует точке х = 0 (где z_ = 0). Другая гранич-
граничная точка интегрирования т: = О отображается в точку х, лежа-
лежащую между 0 и 1, которую мы обозначим через х0. Величина
х0 не является лоренц-инвариантной, так как она зависит от
значений аг. Поскольку значения г+ и z- не совпадают в точке
х = х0, значения а = —iImp в двух точках взаимодействия не
равны друг другу. Аналогично процесс, изображенный на
рис. 11.5,6, приводит к полюсам по инварианту t — — (pi + P4J
при интегрировании в пределе т: — — со, который соответствует
пределу х=\ (при этом z+=\). Обе рассматриваемые диа-
диаграммы имеют одинаковые подынтегральные выражения в тер-
терминах переменной х, поэтому полная лоренц-инвариантная
область интегрирования 0 ^ х ^ 1 получается после суммиро-
суммирования этих вкладов.
Диаграмма, изображенная на рис. 11.5, в, получается из диа-
диаграммы, показанной на рис. 11.5, а, путем взаимной замены
частиц 3 и 4, поэтому она содержит полюсы в s-канале. Отобра-
Отображение границы диаграммы можно получить из диаграммы, изо-
изображенной на рис. 11.5, а, с помощью подстановки х/(х— 1)
вместо х, что приводит к отрицательным значениям х в интер-
интервале хо/(хо— 1) s=S х =?: 0. Вклад от диаграммы, изображенной
на рис. 11.5, г, заполняет оставшиеся отрицательные значения на
оси х —оо ^ х ^ х0/{х0—1) и приводит к полюсам в м-ка-
нале (где и = — (pi + рзJ). Эти диаграммы объединяются
вместе и образуют лоренц-инвариантную часть амплитуды с тео-
теоретико-групповым множителем tr (Х1А2ХД3) •
Последние вклады в амплитуду показаны на рис. 11.5, дг
11.5, е и 11.5, дае и соответствуют теоретико-групповому множи-
множителю ^A1X3X2X4), причем их границы отображаются в область
1 ^ х ^ оо. В этом случае вклад, изображенный на рис. 11.5,5,
содержит полюсы в s-канале. По мере изменения переменной i
от оо до 0 переменная х изменяется от 1 до значения х-, при
котором две точки взаимодействия совпадают и по о, и по т.
Это происходит тогда, когда точки z_ и z+ совпадают, т. е.
когда А = 0. Последнее условие имеет два решения
х = х± = (Y2_VlJ (yi + Y2 — 2Y1Y2 ± 2 Vyi (Yi — 1) Y2 (Y2 — !))•
A1.3.10)
Диаграмма с полюсами в ы-канале (рис. 11.5, б) соответствует

228 Глава 11
области х+^х^оо. Амплитуды, изображенные на рис. 11.5,5
и 11.5, е, не переходят друг в друга непрерывным образом при
т = 0. В области между х+ и х- значения z+ и 2_ образуют
комплексно-сопряженную пару, и только одно из них (z_) ле-
лежит в верхней полуплоскости. Соответствующая этой области
конфигурация струны изображена на рис. 11.5, ж. Эта конфи-
конфигурация представляет собой четырехструнное контактное взаи-
взаимодействие, при котором две входящие струны касаются во
внутренней точке (о = аг), а возникающая при этом струна
делится с образованием двух выходящих струн. По значениям
О/ необходимо проинтегрировать от низа струны 1 до верха
струны 3. На рис. 11.5, ж изображены два листа, а вертикаль-
вертикальная сплошная линия обозначает разрез, по которому часть
струны 1, находящаяся ниже точки oi, соединяется со струной
3, в то время как остальная часть струны 1 соединяется со
струной 4.
В терминах переменной х все три вклада, изображенные на
рис. 11.5,<5, е, ж, имеют лоренц-инвариантные подынтегральные
выражения одного вида. Для того чтобы полная амплитуда
была лоренц-инвариантна, необходимо включить диаграмму, ко-
которая заполняет область между х = х„ и х = х+, с определен-
определенным коэффициентом. Это означает, что нормировка четырех-
четырехструнного мгновенного взаимодействия определяется через взаи-
взаимодействия, в которых две открытые струны объединяются в
одну. Подынтегральные выражения в диаграммах на рис. 11.5, д
и 11.5, ж имеют одинаковый вид в точке х = х-, поэтому их
вклады в амплитуду переходят друг в друга непрерывным об-
образом при правильной нормировке. Но вклад диаграммы на
рис. 11.5,ж включает интегрирование по о/ (т. е. по Imp/),
в то время как вклад диаграммы на рис. 11.5, д включает ин-
интегрирование по t (т. е. по Rep/). В результате для того, чтобы
компенсировать в мере множитель i, коэффициент в четырех-
четырехструнном члене должен быть равен ig2. Локально по а это че-
четырехструнное контактное взаимодействие является таким же,
как в случае слияния двух замкнутых струн с образованием
одной замкнутой струны. Это взаимодействие представляет со-
собой обобщение гравитационного взаимодействия на теорию
струн; тем самым показано, что гравитационная константа
связи % определяется через константу связи для открытых
струн (или янг-миллсову константу связи) g.
11.3.2. Вычисление амплитуд
Функция Грина в 2-плоскости задается решением уравнения
Лапласа с равной нулю нормальной производной к действитель-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 229
ной оси
N{z; z') = ln\z-z'\+ln\z-z"\. A1.3.11)
В выражение для амплитуды A1.2.24) входит функция Грина,
которая вычисляется между точками на различных струнах при
т = ± оо, т. е. когда z и z' равны хг, поэтому необходимо знать
только функции Грина N(xr;xs). Для использования этого ре-
результата переменные хг можно выразить через переменные ин-
интегрирования исходной струнной диаграммы, т. е. через хг, и
подставить в A1.2.24), но такая задача невыполнима. Гораздо
лроще произвести замену переменных интегрирования т/ в
A1.2.24) на хг. Для этого необходимо вычислить якобиан пре-
преобразования \d%i/dzr\.
После такой замены переменных интегрирования амплитуда
представляется в виде интеграла по М — 3 независимым пере-
переменным интегрирования хг. Ими являются просто переменные
Кобы — Нильсена, описанные в разд. 1.5.4 и 7.1.4. Множите-
Множителями, которые все еще необходимо вычислить, являются опре-
определитель det А, экспонента, содержащая функцию Грина, аргу-
аргументы которой соответствуют точкам на одной струне, и яко-
якобиан \dxifdZr\- Все эти выражения не зависят от внешних
поперечных импульсов. Так как экспонента в A1.2.24), содержа-
содержащая функцию Грина, является лоренц-инвариантной в терминах
переменных х,, произведение этих множителей также должно
быть лоренц-инвариантным и поэтому независимым от аг. Это
•означает, что результирующая ковариантная амплитуда рассея-
рассеяния А A, 2, ..., М) должна иметь вид
\йх2йхг ... dxM_2V(xb ..., xM)][\xr-xJr'Ps, A1.3.12)
r<s
где V—мера, не зависящая от аг. В обозначениях подразуме-
подразумевается, что переменные х\, хМ-\ и Хм фиксированы произволь-
произвольным образом.
Явное вычисление det А описано кратко в приложении 11.А,
а вычисление якобиана перехода от струнной диаграммы к
верхней полуплоскости — в приложении П.Б. Это приводит
к некоторому выражению для
^2^ A1.3.13)
и, таким образом, к мере интегрирования V- Результат сво-
сводится к тому, что в критической размерности (D = 26) мера
дает в точности множитель Цг (аг)~1/2, который необходим для
компенсации кинематических множителей при получении ковари-
антного выражения. Тот факт, что правильные кинематические

230 Глава 11
множители возникают только при вычислении меры в 26 изме-
измерениях, представляет собой еще один пример того, каким обра-
образом в теории возникает критическая размерность.
Для древесных диаграмм, так же как для однопетлевых
амплитуд, при вычислении V можно воспользоваться кратчай-
кратчайшим путем, который состоит в переходе к специальной лорен-
цевой системе отсчета. При этом подразумевается, что теория
является лоренц-инвариантной (что справедливо в-критической
размерности). Но этот метод не обобщается на случай много-
многопетлевых амплитуд (для которых вычисления в приложениях
11.А и 11.Б должны быть обобщены). Сначала рассмотрим спе-
специальный предел, в котором все струны имеют очень малый
импульс р+, за исключением двух, номера которых можно вы-
выбрать произвольно, например 1 и М (т. е. а, С cti, ам), и все
внешние поперечные импульсы равны нулю. При этом условие
нахождения на массовой оболочке имеет вид р~ ~—2/аг. Если
струна 1 находится в основном состоянии, то никакое из про-
промежуточных состояний не может быть возбужденным, так как
вершина взаимодействия любого возбужденного состояния
с двумя основными состояниями содержит степени поперечных
импульсов.
Тогда с помощью обычных квантовомеханических правил
легко выписать ковариантную амплитуду
оо
А{\, 2, ..., М) = Т{щ, ..., ам)\ dx2... dxM_2X
\
Хехр(-? р-1г\ЧЛ, (П.3.14)
где Y — нормировочный множитель, не зависящий от хг- В рас-
рассматриваемом частном случае инфинитезимальных аг уравне-
уравнение A1.3.2) для точек взаимодействия решается явно, что дает
М — 2 решений
Уг~хг-%К+°№)> г = 2, .... М-1, A1.3.15)
где
(х, — х.) (х — х,Л
г (к —х \ ' (ll.d.lb)
(Х1 ХМ)
Заметим, что М — 2 решений уг естественным образом ассоции-
ассоциируются со струнами, для которых значения а малы. Подстав-
Подставляя z = yr в A1.3.1), получаем (после простых алгебраических.

Функциональные методы в калибровке светового кониса 231
выкладок) выражение для тг через хг
xr = Re pr ~ щ In (хг — х{) — a. In (xr — хм) +
г-*Д A1.3.17)
где штрих означает, что член с s = г опущен. Таким образом,
( Af-l -j M-1
г=2
l<r<s<At
где множитель (хм — х\J компенсирует член с г= 1 и s = M
в экспоненциальном множителе.
Якобиан замены переменных интегрирования т/ на хг (при
фиксированных значениях х\, хм~\ и Хм) можно получить из
A1.3.17), что дает
д (Т2 ¦ • •
М-2
П
г=2
A1.3.19)
Подставляя полученные выражения в A1.3.14) и используя тот
факт, что
pr-ps~ar/as+aA, A1.3.20)
получаем следующее выражение:
Af-l
1, 2, .... М) =
Г=2
X
'X I (-«iH-1 — *l) (^М —
X J d лс2 djc3 ... dxM_2
— *M-l) I X
\xs-xrfr-ps. (П.3.21)
Его можно сравнить непосредственно с общим результатом для
ковариантной струнной амплитуды рассеяния A1.3.12). Опре-
Определим
М-2
. Г (аь ..., aM) = gM~2G | а, | П I е/аг |, A1.3.22)
г=2

232 Глава 11
где G — подходящий теоретико-групповой множитель, и кон-
константа связи g вставлена во все вершины взаимодействия.
Тогда
V (х„ ..., хм) = gM~W П в (хг+1 - хг) X
X I (хМ-1 — х{) (хм — ху) (хм — хм_х) |. A1.3.23)
Таким образом, амплитуда A1.3.12) сводится к форме Кобы—•
Нильсена, полученной в гл. 1 и 7.
11.4. Древесные диаграммы открытых струн
с возбужденными внешними состояниями
До сих пор явные вычисления проводились для процессов,,
в которых внешними состояниями являлись основные состоя-
состояния на массовой оболочке; в этом случае вычисления упро-
упрощаются, так как содержат только главный член функции Грина.
В данном разделе мы рассмотрим функции Грина более-
детально и получим выражения для древесных диаграмм откры-
открытых струн с произвольными внешними возбужденными состоя-
состояниями струны на массовой оболочке. Эти вычисления включают
явное выражение для кубических взаимодействий между про-
произвольными состояниями на массовой оболочке через осцилля-
осцилляторы, которые действуют в каждом фоковском пространстве
трех струн. Эта вершина обобщает вершины испускания, кото-
которые использовались в предыдущих главах (для описания испу-
испускания струны в одном фиксированном состоянии). Более общая
вершина создает основу для построения полевой теории взаи-
взаимодействующих струн в калибровке светового конуса (вопрос,,
который в настоящей монографии не рассматривается).
В рассматриваемом анализе удобно ввести отдельные пара-
параметризации для каждой струны
где
а значения \г отрицательны для всех струн независимо от того^
являются ли они входящими или выходящими. Для каждой
струны справедливы разложения по модам
оо
Xr(t|r)=xr+2E X^cosntt, (И.4.3>
п=1

Функциональные методы в калибровке светового конуса 233
11.4.1. Функция Грина на бесконечной полосе
Рассмотрим сначала функцию Грина одной свободно рас-
распространяющейся открытой струны, которой соответствует длин-
длинная полоса ширины jx|a|. Для этого случая введем обозначение
а = oci = —a2. Функцию Грина легко вычислить явно путем
отображения полосы на полуплоскость с помощью преобразова-
преобразования
? = p/a = lnz, A1.4.5)
которое отображает входящую струну в момент | = |,- в малую
полуокружность в верхней полуплоскости с центром в точке
2 = 0, а выходящую струну при | = gf— в «малую» полуок-
полуокружность вокруг точки z~l = 0 (т. е. в большую полуокруж-
полуокружность). При вычислении функции Грина между произвольными
точками вдали от z = 0 и г = оо начальное и конечное значе-
значения | можно положить равными бесконечности; тогда функция
Грина в г-плоскости задается выражением A1.3.11), которое
можно переписать в терминах переменной ? путем обращения
преобразования z = ехр %,, что дает
^полоса (or, т; а', г') = In | * - *' | + In | <* - е^" | =
оо
= 2 max (|, 1') — YjT е~п' l~1'' cos nTlcos ПТ1'- (*l -4-6^
n = \
Если точки t, и %' соответствуют начальному или конечному
моментам времени, то функцию Грина необходимо модифици-
модифицировать, так как на границе полуплоскости с вырезанными ма-
малыми полуокружностями необходимо наложить граничные усло-
условия Неймана. Для каждого экспоненциально убывающего члена
exp{ng} или ехр{га?'} существует дополнительный член, который
соответствует волне, отраженной от границы в начальный или
конечный момент времени, необходимый для того, чтобы функ-
функция Грина удовлетворяла граничному условию dN/dl = 0
в точках g; или If (с аналогичным условием для производной
по I'). При |, близких к |,-, в отраженной волне ехр{п|} заме-
заменяется на ехр{2п|г — ng}, и аналогичная замена производится
для | вблизи If (то же производится с экспонентами, содер-
содержащими |'). В конечном счете при | и |'-»-|« или & каждый
член, содержащий ехр {п?} или ехр {rig} ( удваивается, что дает
оо
, т; а', т') = 2тахШ, ?') - ? -ie-»[B-?'l cosmicosm/.
A1.4.7)

234 Глава И
11.4.2. Функция Грина для произвольных древесных амплитуд'
Вычислим теперь функцию Грина для древесной диаграммы
открытых струн общего вида, такой, как изображенная на
рис. 11.4. Отображение, связывающее плоскость z с плоскостью
р, задается формулой A1.3.1). Используя A1.3.11), легко полу-
получить главную часть функции Грина, вычисленной между точ-
точками рг и ps на входящих или выходящих струнах в моменты п
или tf, которые предполагаются большими. Поэтому, если г и s
принадлежат разным струнам, то главным является следующий
конечный член:
N(or, тг; <7S, ts) = 2 In | *, - *Д A1.4.8)
который не зависит от рг и ps. Этот член уже появлялся в пре-
предыдущем вычислении древесных диаграмм с внешними основ-
основными состояниями.
Когда обе точки принадлежат одной струне г, ситуация не-
несколько усложняется, так как в этом случае функция Грина
сингулярна приг)г = т]^. Поведение в основном такое, как будто
струна г является невзаимодействующей, поскольку точки на
мировой поверхности при ? = ?г находятся очень далеко от об-
области взаимодействия. Этот факт уже использовался при обос-
обосновании того, что для внешних тахионов члены с г = s в экспо-
экспоненте A1.2.19) дают вклад только в множители, входящие
в меру. В рассматриваемом случае требуется несколько бо-
более тщательный анализ, который включает рассмотрение точек
zr = xr-\- еехр{г<?г} и z'r = xr + eexp {1ф'г} на малой полуокруж-
полуокружности радиуса е вокруг точки хг. Эти точки отображаются
в точки tr = t'r = Tr/ar~\ne + Zs^ras!arln\xr-xs\ и \ = Фп
г\г = Фг- Члены в функции Грина, которые не убывают с \г,
имеют вид
N (ог, тг; а'г, тг) = 2% - 2 In 12 (cos цг - cos т^) | -
^4xr-xs\ + O(^). A1.4.9)
s фг
Первые два члена в правой части имеют тот же вид, что и
выражение для функции Грина на ленте A1.4.7), вычисленной
между двумя точками только в начальное или только в конеч-
конечное время.
Интегрируя A1.4.9) по ог и по а'г, получаем
афт

Функциональные методы в калибровке светового конуса 235
'Объединяя A1.4.8) и A1.4.9), находим
что совпадает с выражением A1.2.20) для т, которое получено
раньше.
Приступим теперь к рассмотрению полной функции Грина,
включая экспоненциально убывающие члены. Вычисленная ме-
между точками, расположенными далеко от начального или конеч-
конечного моментов времени для любой струны, функция Грина имеет
общее разложение
оо
N (ог, xr; as, xs) = — 6rs ? — cos m\r cos rvx\s +
2Nmnemlr+nls cos mx\r cos m\s. A1.4.12)
n, m=0
Первый член и 2Л^оо — единственные члены, которые не яв-
являются убывающими функциями от \г и \s. Они соответствуют
A1.4.8) и A1.4.9), поэтому
Бесконечный ряд членов с коэффициентами Nmn при m или
п Ф 0 состоит из убывающих функций от \г и \s.
Чтобы получить функцию Грина, вычисленную между точ-
точками на струнах при больших значениях начального или конеч-
конечного времени, полученное выражение необходимо снова изменить
таким образом, чтобы включить отраженные волны, которые
необходимы для удовлетворения граничных условий Неймана
на малых полуокружностях в z-плоскости. Как было пока-
показано, это приводит к удвоению каждого члена, содержащего
множитель ехр{п^г} или exp{n|s}. Это означает, что при \т и
Is = Ь ИЛИ If -»- — ОО
оо
N (orr, xr\ as, xs) = —6rsY,T cos nr)rcos
n=\
+ 8 ^ NZneml'+n%s cos пгцг cos nr]s + 2N^. A1.4.14)

236 Глава 11
11.4.3. Амплитуда в осцилляторных переменных
После подстановки выражения A1.4.14) для N в формулу
A1.2.19) для W можно выполнить интегрирование по а и а',
которое проектирует на моды Рг. Тогда амплитуда для произ-
произвольной древесной диаграммы (заданной формулой A1.2.8))
принимает вид
м-з
ЛA, 2 M) = gM~2G<\j Д dTjr({ar}, {т;}) J Д йР\, „X
/=i г, я, г
т п=\
Л- 01.4.15)
г, s m, п=0
Элемент объема У не зависит от поперечных импульсов и чисел
заполнения для внешних струн, поэтому его можно найти пу-
путем вычисления в простом частном случае; этот же метод будет
использован для вычисления вершины. При вычислении вер-
вершины открытых струн М = 3, поэтому переменные интегриро-
интегрирования xi отсутствуют.
Осцилляторное представление подынтегрального выражения
в A1.4.15) можно получить путем использования простран-
пространственно-временных волновых функций
Ш. »!#.»>. (п.4.16)
я, i
где klr, п— числа заполнения для струны с номером г. Понадо-
Понадобится также соотношение, показывающее, что
Пехр(-(Рг.»O4/|]= П wW.n)= П <tf.«|0> (П.4.17)
г, п г, i, n r, i, n
является произведением волновых функций основных состоя-
состояний для ненулевых мод внешних струн. Состояния |Р„/ яв-
являются собственными состояниями оператора импульса и могут
быть выражены через операторы рождения и уничтожения
при этом они являются собственными состояниями оператора
а„ + а-в с собственными значениями Р1п. Выполнено также ра-
равенство (Р'п11 Р„> = б (Р'п - Р'п1).

Функциональные методы в калибровке светового конуса 237
Подставляя полученные выражения для ^«(P'.n) и
ехр(— 2] (Рг„J/4«) в A1.4.15), импульсные множители Prm можно
заменить на arm + «lm. Тогда экспонента в A1.4.15) будет
содержать члены вида (arm + ar-m) ехр {mlr}, где em%r — экспонен-
экспоненциально малый множитель. Эти малые множители можно ком-
компенсировать множителями ехр (? Р^хг/2), которые становятся
большими после умножения на бра-состояния с ненулевыми чис-
числами заполнения. В результате в экспоненте остаются только
моды, соответствующие операторам рождения, а конечное вы-
выражение принимает вид (с использованием A1.4.16))
А(\, 2, ..., М) = gM-2GT {{klr, п) | ехр (- ? Р7хГ12\ X
NZnemlr+nl'aLm . ain 11 о), (Ц.4.19)
r, s m, n=0 '
где /V выражены через осцилляторные переменные, а ао = рг.
Тот факт, что экспоненциально малые множители в экспо-
экспоненте дают конечный вклад, легко показать путем протаскива-
протаскивания множителя ехр {—^PT^rl^) направо, используя соотно-
соотношение
ехр (- Р7гг/2) aLn = aLne~nxrfar eXp (- РГ%г/2); A1.4.20)
при этом зависимость от §г и §s в экспоненте сокращается.
Тогда возбужденные моды внутри РГ при действии на основное
состояние исчезают, оставляя множители ехрГтг(р^—1)/2аг),
Заметим, что если бы аннигилирующие моды оставались, то со-
соответствующие экспоненциальные множители в результате ока-
оказались бы все равно малыми, поэтому пренебрежение ими оп-
оправдано.
Члены в экспоненте A1.4.19), содержащие коэффициенты
iVoo, можно преобразовать, используя A1.4.13). При этом вклад
от 8rs^,r дает множитель, который сокращается с множителями
ехр{—Trp2/2arj. Использование A1.4.10) для выражения мно-
множителя ехр {тг/аг} = ехр {&} приводит к следующему полному
вкладу нулевых мод в экспоненту A1.4.19):
A1.4.21)
Подставляя полученное выражение в A1.4.19) и вспоминая, что
множитель J? = exp{iVoo} объединяется простым способом

238 Глава 11
с элементом объема, получаем
А A, 2, ..., М) = gM-2G J Лс2 Лс3 • • • ^^л!-2 Д I *' - х* \Pr'"s X
х Д {Xr-
r<s
X {{fcr, „} 1 ехр | i 2 ? ^™a-™ ¦ ai« ) I °>' 0* -4-22>
r, s m, n
где — P2r — %(Nr—1) — квадрат массы г-й струны. Здесь сделан
выбор xi = l, л:л1-1^0 и хм=<оо за счет использования оста-
остаточной SL B, R) -инвариантности отображения; X' обозначает
сумму без учета члена с т = п=0. Полученное выражение
явно сводится к амплитуде рассеяния тахионов на массовой
оболочке (для которых kn =0 и р2г = 2) в форме Кобы — Ниль-
Нильсена.
11.4.4. Общий вид коэффициентов Неймана
Функция Грина в 2-плоскости задается выражением A1.3.11),
которое переводится в р-плоскость путем обращения преобразо-
преобразования A1.3.1)
N (р; рО = In 12 (р) - г' (р') | + In | z (p) - z'* (p') |. A1.4.23)
Коэффициенты Неймана Nmn в A1.4.12) можно выразить
с помощью контурного интеграла в 2-плоскости, используя
функцию Грина A1.3.11) в z-шюскости, следующим образом:
Ненулевые коэффициенты Фурье (m,n=?t=0) в A1.4.12) имеют
вид
2Я
-|—j- e~mlr~nls \ diXr dr\s cos mr\r cos пц3 In (гг — г,), A1.4.24)
о
где два члена в функции Грина (In | zr — zs | и In | zr — z*s j) объ-
объединены путем расширения области интегрирования по г\г и v\s.
Представляя косинусы в экспоненциальном виде, получаем
один член следующего вида:
2л
1 Г ... , --^-^|п(г(у-гУ =
izs е~т^Т!1>{г$) , (П-4.25)
mn

Функциональные методы в калибровке светового конуса 239
где переход ко второму равенству включает интегрирование по
частям и последующую замену переменных интегрирования, при-
приводящую к интегралам в z-плоскости вокруг точек хг и xs. По-
Поскольку функции t,r(zr) и %s(zs) являются сингулярными при
zr = xr и zs = xs соответственно, интеграл дает ненулевой ре-
результат. Другие члены, возникающие при разложении косинуса,
содержат функции t,r (z*) или ?sB*), которые не имеют сингу-
сингулярности в этих точках и поэтому не дают вклада при гфэ.
При г = s они дают ненулевой вклад, который в точности со-
сокращает член с 8rs в A1.4.24). Поэтому выражение A1.4.25)
представляет собой полный результат для всех г и s. Этот ре-
результат также верен, когда m или п равно нулю.
11.4.5. Коэффициенты Неймана для кубической вершины
открытых струн
Выражение для вершины взаимодействия, связывающей три
открытые струны, в осцилляторном базисе можно получить из
A1.4.22), рассмотрев случай М = 3 и фиксируя х\ = 1, х2—0
и хз = °°. Вершину | V) можно определить в тензорном произ-
произведении осцилляторных пространств трех струн следующим вы-
выражением:
А(\, 2, 3)eg(tj,, *U Ч,п\У) =
?'AO)C».ain]j0>. A1.4.26)
В этом выражении время взаимодействия фиксировано некото-
некоторым значением т=то, которое определяется отображением
A1.3.1) для случая М = 3 (учитывая выбранные значения х\,
х2 и Хг):
р = chintz— l) + a2ln2. A1.4.27)
Точка взаимодействия р0 является сингулярной точкой отобра-
отображения, которая удовлетворяет уравнению
Т=Т + -?==0- (П.4.28)
Это уравнение имеет единственное решение
которое определяет ро, поэтому время взаимодействия равно
rln|ar|. (I I.4.30)
r=l

240 Глава 11
Коэффициенты Неймана для кубической вершины можно
вычислить явно, исходя из формулы A1.4.25), путем подста-
подстановки выражений для ?>, которые следуют из отображения
A1.4.27):
e-S' = ^—p, A1.4.31)
e-&2 = JJ—zd f A1.4.32)
. A1.4.33)
Коэффициенты Неймана можно вычислить, исходя из формулы
A1.4.25), путем разложения подынтегрального выражения в
ряд Тейлора и выделения вычетов в точках zr = xr и zs = xs.
Определим
<^=ЕСсА> (П.4.34)
5
где
9> = аф2 — а2^у. A1.4.35)
Хотя это и не очевидно, но функция 0* симметрична относи-
относительно циклических перестановок внешних состояний при учете
законов сохранения Xrar и ZlrPr- Справедливо также равен-
равенство
^ ^. A1.4.36)
a v '
ar a
где
a = a1a2a3. A1.4.37)
Коэффициенты Nrm и Nmn,получающиеся из формулы A1.4.25)
после подстановки формул A1.4.31) — A1.4.33), принимают вид
A1A39)
где а4 = аь Функции fm определены следующим образом:
f — ' r<OTv) — (-')""' Т(т-ту) =
'm от! Г (mv + 1 — т) ml Г A — mv)
= -^у (mv — 1) («Y — 2) ... (mv — m + 1). A1.4.40)

Функциональные методы в калибровке светового конуса 241
Эти функции можно интерпретировать как функции, устанавли-
устанавливающие соответствие между координатами входящих и выходя-
выходящих струн и струны в момент взаимодействия, как описано
в приложении 11.В.
Выражение для вершины при т = 0 получается из вершины,
описываемой формулой A1.4.22), путем сдвига по т с помощью
оператора ехр [?РГто/2]. При этом ничего не меняется, если
все три внешних состояния находятся на своих массовых обо-
оболочках, т. е. когда ^ГР7 = 0, что не является удивительным,
так как на массовой оболочке амплитуда инвариантна отно-
относительно трансляций по т. Результат имеет вид
ain
r, s m, п=\
Множитель ехр[^Рг то/2] можно протащить вправо от дру-
других экспоненциальных множителей в J V}, используя формулу
A1.4.20); при этом N преобразуется в N, где
л7г = Nrrr,emx°tar A1 4 42)
Мы используем также формулу
exp(E^to/2)|O) = expf—f^2/2a+Ц 1/«Л т0^ | 0>. A1.4.43)
V V. г ) )
Окончательное выражение для вершины при т. = 0 имеет вид
| F) = exp Г- т0 Е 1/«г + Ав) | 0N (Е РЛ, (П.4.44)
где
г, s ш, n=l r m
A1.4.45)
Вершина | V} представляет функционал
— -Х'з(сг)] в осцилляторном базисе. Это можно проверить не-
непосредственно, замечая, что | V) удовлетворяет равенствам
(Xl(a)-X3(o))W)=0, 0<ог<яа„ A1.4.46)
{Х2 (сг) - Х3 (or)) | V) = 0, яа! < or < я (ttl + а2). A1.4.47)

242 Глава 11
Кроме того, поскольку Р1(о) = —i8/8X'(a), вершина взаимо-
взаимодействия удовлетворяет условиям сохранения импульса
A1.4.48)
а2). A1.4.49)
Эти уравнения проверяются путем выражения координат и им-
импульсов (которые отмечены шляпками) через моды операторов
рождения и уничтожения и исключения мод операторов уни-
уничтожения протаскиванием их вправо от множителя ехр А.в. На
вершину взаимодействия в форме A1.4.41) легко наложить
условие нахождения внешних состояний на массовой оболочке,,
которому соответствует равенство нулю суммы ^Р7.
11.5. Однопетлевые амплитуды открытых струн
Рассмотрим теперь вычисление петлевых амплитуд функцио-
функциональными методами. Простейшим примером является планарная
однопетлевая диаграмма, которая в операторном формализме
обсуждалась в гл. 8. Все другие однопетлевые диаграммы от-
открытых струн можно вычислить аналогичным образом. При этом
необходимые изменения довольно просты и здесь детально не
описываются, так как ответы уже получены в гл. 8. В даль-
дальнейшем мы будем рассматривать только процессы с внешними
основными состояниями, чтобы не загромождать формулы.
11.5.1. Конформное отображение планарной
петлевой диаграммы
Рассмотрим амплитуду с М внешними тахионами и одной
петлей открытых струн. Струнная диаграмма в этом случае
имеет щель, которая соединяет две внутренние точки взаимо-
взаимодействия. С этой диаграммой связан теоретико-групповой мно-
множитель ntr(A,i ... 'км), где множитель п возникает от tr(l)^
соответствующего внутренней границе. Рассматриваемую диа-
диаграмму можно отобразить в верхнюю комплексную полупло-
полуплоскость многими способами. Например, можно провести такое
отображение, что внешняя граница снова будет отображаться
в действительную ось г, в то время как щель будет отобра-
отображаться в окружность в верхней полуплоскости. Это отображе-
отображение прекрасно обобщается на случай многопетлевых диаграмм.
Однако при наличии только одной петли несколько проще
использовать отображение, в котором внутренний струнный про-
пагатор разрезается, как показано на рис. 11.6. При таком
отображении внешняя граница отображается в один сегмент

Функциональные методы в калибровке светового конуса
243
положительной действительной оси, а внутренняя граница петли
отображается в сегмент отрицательной действительной оси. Из-
Извилистые линии, обозначающие разрез, отображаются в две
If.
а
Рис. 11.6. Отображение планарной петлевой диаграммы из р-плоскости (а)
на полукольцо в верхней г-полуплоскости (б). Внешняя граница диаграммы
отображается на отрезок положительной действительной оси между двумя
полуокружностями радиусов ri и гг, в то время как граница щели в р-пло-
р-плоскости отображается на отрезок отрицательной действительной оси z между
теми же полуокружностями. При отображении один из внутренних пропага-
торов разрезается вдоль волнистых линий, которые отображаются на вну-
внутреннюю и внешнюю полуокружности, и поэтому полуокружности отождест-
отождествляются.
полуокружности с радиусами г\ и г2 соответственно (при этом
г\ < г2), которые пересекают положительную действительную
ось в двух граничных точках образа внешней границы. Отож-
Отождествление извилистых линий на струнной диаграмме означает
отождествление двух полуокружностей.

244 Глава 11
Обозначая отношение радиусов как
rjr2 = w, A1.5.1)
требуемое отображение получаем в виде
м
р= ? аг[пор(xr/z, w)+ const, A1.5.2)
где функция г|з определена в гл. 8. Ее логарифм имеет вид
\п^(х, да) = 1п(—т=-) + — \-
\ s/x J 2 In w
оо
1пA-Л) + 1пA-ш7*)-21пA-ш")]; A1.5.3)
как показано в гл. 8, он пропорционален корреляционной функ-
функции (Х1(г)Х'(г')У. Периодичность функции -ф при сдвиге 1плг-»-
—>-In x-|-In да подразумевает, что точка z отождествляется со
всеми точками wnz (где п — произвольное целое число). Ото-
Отображение внешней границы в положительную ось z подобно
отображению для древесных диаграмм, так как о|з ~ (z — хг)
при хг ~ z. Внешние частицы отображаются в точки хг, кото-
которые располагаются между г\ и гг (и повторяются в интервалах
от wnr\ до wnr2 вдоль положительной оси). При отрицательных
2 у члена Xfii аг 'ц2 (хr/z)/^ 'n w появляется мнимая часть, по-
поэтому отрицательная ось z отображается в щель в плоскости р,
для которой величина а равна
?г-?^; A1.5.4)
таким образом, величина аа (т. е. ширина внутренней распро-
распространяющейся струны, которая на рис. 11.6 не разрезана) явно
выражается через w. Вся граница щели в плоскости р отобра-
отображается на интервал между точками z = —г\ и z = —г2, а так-
также на интервалы от —wnr\ до —wnr2 вдоль отрицательной оси.
В этом случае отображение р в z имеет произвол, связанный
с масштабными преобразованиями z (поскольку оно зависит
только от отношения радиусов г\ и г2), а не с полной группой
проективных преобразований. (В обозначениях A1.3.4) инва-
инвариантные точки фиксируются следующим образом: у\ = 0 и
у2 = оо, оставляя один произвольный параметр i\.)
Переменными интегрирования в плоскости р являются вре-
времена взаимодействия внешних частиц (из которых только
М — 2 независимы), два момента взаимодействия, связанных

Функциональные методы в калибровке светового конуса 245>
с петлей {ха и хь), и величина аа. Одно из времен можно фик-
фиксировать благодаря инвариантности относительно глобальных
трансляций по т. Это приводит к тому, что общее число пере-
переменных интегрирования равно М. После конформного отобра-
отображения этими переменными становятся w и М—1 переменных
хг в z-плоскости (одно из значений хг можно фиксировать, ис-
используя масштабную симметрию). Область интегрирования за-
задается неравенствами 0 ^ w ^ 1, wxm ^ х\ ^ ... ^.xm-i ^
^ хм, где Хм фиксировано произвольным образом и может быть-
выбрано, например, равным w (что сделано в гл. 8, где хт обо-
обозначались через рг и было положено pM = w). Отметим, что
расположения струн, соответствующие различным значениям.
w, конформно неэквивалентны.
11.5.2. Функция Грина
Необходимая функция Грина является решением уравнения
Лапласа внутри полукольца, изображенного на рис. 11.6, с гра-
граничными условиями Неймана на действительной оси, а также
условием отождествления двух полуокружностей. Построение
функции Грина можно рассматривать как задачу электроста-
электростатики (используя аналоговую модель из разд. 11.1.1), которую
можно решить методом воображаемых зарядов. В рассматри-
рассматриваемом случае требуется бесконечный ряд воображаемых за-
зарядов. Результат получается тот же, что и при вычислении
корреляционной функции (X'(z)Xi (z')> в гл. 8, а именно
N (z, z') = In К (Z'/z) |-|- In | Ч» №) |. A1.5.5)
Вблизи сингулярной точки z = г' эта функция сводится
к той же функции Грина, которая была получена для древес-
древесных диаграмм, но без конечных поправок. Однако те члены
в амплитуде, которые дают вклад в Ж A1.2.22), а именно
вклады, содержащие экспоненту от функции Грина, вычисленной
на точках одной струны в моменты % = со или ¦—со, чувстви-
чувствительны к тому обстоятельству, что первый член в A1.5.2) отли-
отличается от соответствующего выражения для древесных диа-
диаграмм. Рассматриваемая функция Грина содержит In j (г' -—
— z) (z' — z)/zz'| вместо 1п|(г' — г) (г' — z)\, поэтому при
z ~ z' N содержит дополнительный член —21п|,г|. Следова-
Следовательно, выражение для Ж A1.2.22) включает дополнительный
множитель
который равен Г1/-1*гГ' при ?) = 26.

•246
Глава 11
11.5.3. Планарная однопетлевая амплитуда
Вычисление однопетлевых амплитуд требует вычисления
произведения \dxi/dzr\ [det Д]<2~°>/2,Ж. Как и в случае древес-
древесных диаграмм существует простой способ вычисления этого
элемента объема (который не зависит от поперечных импуль-
импульсов), если предположить существование лоренц-инвариантности.
Прежде всего представим, что петля возникает при сшивании
М-частичной древесной диаграммы, как описано в гл. 8. Это
изображено на рис. 11.7. Широкие струны (с шириной ±яа)
Рис. 11.7. Представление планарной петлевой диаграммы, используемое при
вычислении элемента объема. У всех струн р+ = 0, за исключением одной
входящей и одной выходящей струн. Эти две струны сшиваются вместе,
а по времени разделения состояний проводится интегрирование.
начинаются и заканчиваются в конечные времена произволь-
произвольными состояниями; при этом временной интервал между этими
состояниями составляет тг. Петля строится путем взятия следа
по этим состояниям (включая интегрирование по петлевому
импульсу), что соответствует цилиндру с периметром %е. (Это
построение очень похоже на то, которое было использовано
при вычислении петлевых диаграмм в гл. 8 и 9.) Легко видеть,
что построенная картина конформно эквивалентна диаграмме,
которую мы хотим вычислить путем отображения струнной диа-
диаграммы в р-плоскости в г-плоскость, используя преобразование
z = ер/а. В этом случае струна отображается на полукольцо,
показанное на рис. 11.6, причем параметр w = Г\/г% отожде-
отождествляется с ехр{—Т?/а}. Элемент объема снова можно вычис-
вычислить путем рассмотрения специального случая, в котором внеш-
внешние струны в основном состоянии обладают очень малыми аг
и исчезающими поперечными импульсами. Как и в случае дре-
древесных амплитуд открытых струн, состояния, циркулирующие
по петле, не могут меняться в промежутке времени между
взаимодействиями с внешними частицами, поскольку для этого
лотребовались бы степени внешних поперечных импульсов.

Функциональные методы в калибровке светового конуса 24Т
Однако вместо следования по этому пути можно дать пря-
прямое определение элемента объема путем явного вычисления.
\dxi/dzr\ [det Д]<2-°>/2„#, как намечено в приложениях 11.А и
11.Б. Каждый метод дает одинаковое выражение для элемента
объема. Результирующая амплитуда имеет вид (для D = 26)
1 xM/w ж, хм_2
хм 1 хм хм
lxr, w)]pr-ps, (Ц.5.7>
что совпадает с выражением, полученным в разд. 8.1.1, где хм
было положено равным w. Граничная точка области интегри-
интегрирования, в которой амплитуда расходится, т. е. при ш->1,
представляет собой предел, когда длина щели становится малой
%а — т&->0. Это означает, что в данном подходе к петлевой
амплитуде расходимость петли открытых струн возникает как
эффект малых расстояний. Как показано в разд. 8.1.1, суще-
существует альтернативная интерпретация расходимости как инфра-
инфракрасного эффекта, возникающего благодаря испусканию мяг-
мягкого дилатона.
11.5.4. Другие однопетлевые амплитуды
Вычисление пленарной петлевой диаграммы можно обоб-
обобщить на непланарные и неориентируемые петлевые диаграммы
открытых струн довольно очевидным способом. В этом случае
струнные диаграммы описывают взаимодействия, в которых
струны, распространяющиеся внутри петли, переворачиваются
перед рекомбинацией. Когда оба внутренних пропагатора со-
содержат твисты, получается ориентируемая непланарная диа-
диаграмма, у которой частицы присоединены к обеим границам.
Эта диаграмма, изображенная на рис. 11.8,0, представляет
собой часть полной непланарной амплитуды, рассмотренной
в гл. 8. Там было отмечено, что полная амплитуда содержит
полюсы, соответствующие замкнутым струнам, в канале, обра-
образованном частицами 1 и 2. Можно показать, что в калибровке
светового конуса эти полюсы возникают от вкладов, изобра-
изображенных на рис. 11.8,6, которые содержат два последовательных
взаимодействия, превращающих открытую струну в замкнутую-
путем соединения концов открытой струны.
Локально по а новое взаимодействие идентично взаимодей-
взаимодействию, при котором две открытые струны сливаются в одну..
Как и ожидалось, это взаимодействие возникает при перекры-

248 Глава 11
тии открытой и замкнутой струн. Подходящее конформное пре-
преобразование в г-плоскость для процесса, изображенного на
рис. 11.8, имеет вид
к м
р = ? ar In о|> (xr/z, w)+ I ar In ф (xr/z, w), A1.5.8)
r=l r~K + l
где К частиц присоединено к внешней границе и М — К —
ж внутренней. В этом случае переменные хг внешних частиц,
Рис. 11.8. Два вида вкладов в однопетлевую непланарную диаграмму с од-
одной начальной и одной конечной открытыми струнами, а — струнная диа-
диаграмма с двойным твистом; б — вклад, имеющий полюсы, которые соответ-
соответствуют замкнутой струне. Заметим, что диаграмма а содержит два проме-
промежуточных состояния открытой струны, а б — одно промежуточное состояние
замкнутой струны. Две диаграммы становятся одинаковыми, когда времен-
временное разделение вершин исчезает.
присоединенных к одной границе струнной диаграммы, отобра-
отображаются на положительную действительную полуось z, а пере-
переменные частиц, присоединенных к другой границе, ¦— на отри-
отрицательную действительную полуось. Диаграммы, показанные на
рис. 11.8, дают вклады в амплитуду с одинаковым подынте-
подынтегральным выражением в переменных хг, но каждый вклад инте-
интегрируется по лоренц-неинвариантной области. Для того чтобы
лолучить полную лоренц-инвариантную область интегрирова-
интегрирования, вклады от обоих процессов необходимо сложить с правиль-
правильной относительной нормировкой. Этим определяется нормировка
.вершины открытая струна -<->- замкнутая струна через вершину
взаимодействия трех открытых струн. Из требования, чтобы обе
.диаграммы на рис. 11.8 имели одинаковый вид в общей гра-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 24Ф
ничной точке области интегрирования, сразу следует, что новой
вершине соответствует константа связи g. Это определение по-
похоже на способ, по которому нормировка четырехструнного
взаимодействия определялась при рассмотрении амплитуды для:
четырех открытых струн. Когда только один из внутренних про-
пагаторов содержит твист, возникает неориентируемая диа-
диаграмма, имеющая одну границу (лист Мёбиуса). Поскольку
амплитуды, связанные с этими диаграммами, уже были вычис-
вычислены в операторном формализме в гл. 8, в дальнейшем мы их
рассматривать не будем.
11.6. Амплитуды замкнутых струн
11.6.1. Древесные амплитуды
Мировая поверхность для древесных диаграмм замкнутых
струн характеризуется периодическими граничными условиями,,
как показано на рис. 11.9, на котором изображена амплитуда
рассеяния для М замкнутых струн. Кроме интегрирования по
времени взаимодействия, необходимо провести интегрирование
по а на внутренней струне, чтобы обеспечить распространение
только таких состояний, которые инвариантны относительно
глобальных сдвигов по координате ст. Поэтому точка взаимо-
взаимодействия теперь характеризуется двумя параметрами %i и сг/
или одним комплексным параметром р; = т/ + Ш/. (Предпола-
(Предполагается, что внешние состояния находятся в физическом подпро-
подпространстве и удовлетворяют A1.1.10).) Благодаря инвариант-
инвариантности относительно глобальных трансляций по т и по сг, одну
из (двумерных) точек взаимодействия можно фиксировать, в то
время как по остальным 2М — 6 параметрам необходимо про-
проинтегрировать. Древесные амплитуды для внешних замкнутых
струн в основном состоянии имеют вид
АсA, 2, ..., Л) = 4* (¦?)*-'$ n'^da^detA-'^^X
X ехр D- ? /V PsN (а, хг; с', %$\ . (И.6.1)-
Функцию Грина N можно вычислить путем конформного'
отображения струнной диаграммы на всю комплексную пло-
плоскость. Подходящее отображение снова задается формулой
(,11.3.1), но с комплексными параметрами zr вместо хг:
м
p = T-M(T=2>rlnBr-z). A1.6.2>

250
Глава 11
Концы струнной диаграммы при х = т,- или Xf отображаются
в малые окружности вокруг точек zr. Радиусы этих окружно-
окружностей исчезают при т» или Xf->oo. Ситуация здесь такая же, ка-
какая была рассмотрена в разд. 1.4.4. Там было показано, что
комплексную плоскость можно конформно отобразить на себя
с помощью SL B, С) -преобразований, поэтому существующего
Рис. 11.9. Отображение произвольной древесной диаграммы для замкнутой
струны в комплексную плоскость. Начальные и конечные струны отобра-
отображаются в точки zr, отмеченные крестиками.
произвола достаточно для фиксирования трех из комплексных
параметров zr. Остальные М — 3 комплексные переменные zr
интегрируются по комплексной плоскости. Именно это число
переменных интегрирования было получено выше при рассмот-
рассмотрении струнной картины.
Для конкретной струнной диаграммы, такой как на рис. 11.9,
переменные xi имеют определенный порядок. По разностям
между последовательными переменными xi необходимо проин-
проинтегрировать от 0 до оо. При отображении в z-плоскость этому
соответствует интегрирование по М — 3 независимым перемен-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 251
ным zr по части комплексной плоскости, которая не является
лоренц-инвариантной. Различным струнным диаграммам соот-
соответствуют разные упорядочения переменных -t/. Складывая раз-
различные вклады, получаем в качестве области интегрирования
всю комплексную плоскость z. Как в случае диаграмм откры-
открытых струн нетривиальным является то, что различные диаграм-
диаграммы объединяются гладко, и это на самом деле справедливо
только в критической размерности.
Поскольку струнная мировая поверхность не имеет границ,,
функция Грина имеет вид
N(z; z') = ln|z-z'|. A1.6.3)
Элемент объема снова может быть найден путем рассмотрения
специального случая, когда М — 2 струны имеют инфинитези-
мальные р+ и нулевые поперечные импульсы (и предполагая,
что результат является лоренц-инвариантным в 26 измерениях).
В целом вычисление \dti/dzr\ [det А]B-°>/2„# похоже на вычис-
вычисления в случае открытых струн, как показано в приложениях
11.А и 11.Б. При фиксированных значениях х\ = 0, хМ-\ = 1
и хм = оо в каждом случае элемент объема дает просто кине-
кинематический множитель JJra71/2. Результирующая ковариантная
амплитуда рассеяния принимает вид
М-2
2, ..., M)~4n(?f-2U П *Ч П
r=2
l<s<r<Afl
A1.6.4)
при z\ = 0, zM-i = 1 и Zm = оо, что совпадает с видом ампли-
амплитуды в модели Шапиро — Вирасоро, приведенной в разд. 7.2.1.
11.6.2. Однопетлевые амплитуды замкнутых струн
Рассмотрим однопетлевые амплитуды замкнутых струн..
В этом случае обсуждение аналогично обсуждению, проведен-
проведенному в разд. 11.5 для петлевой амплитуды открытых струн.
Соответствующая струнная диаграмма изображена на
рис. 11.10, а. Снова горизонтальные линии в прорезях должны
быть попарно отождествлены. Существует несколько различных
конформных преобразований, пригодных для отображения этой
области в комплексную плоскость. При одном из них диаграмма
отображается в верхнюю комплексную полуплоскость с выре-
вырезанным отверстием. Граница отверстия состоит из четырех сек-
секторов, причем противоположные пары отождествляются и воз-
возникает тор. При другом преобразовании мировая поверхность

-252
Глава 11
отображается в комплексную плоскость с двумя вырезанными
неконцентрическими кругами, границы которых отождеств-
отождествляются друг с другом с помощью проективного преобразования.
•Оба метода обобщаются на случай многопетлевых диаграмм,
но в случае однопетлевых диаграмм они являются излишне
¦громоздкими.
Рис. 11.10. Отображение однопетлевой диаграммы для замкнутых струн (а)
на кольцо в г-плоскости (б); отношение внутреннего и внешнего радиусов
кольца равно ri/гг = |ш|, произвольная точка г отождествляется с точка-
точками тпг, где п — произвольное целое число.
Самый удобный способ вычисления однопетлевой диаграммы
замкнутых струн состоит в разрезании струнной диаграммы
вдоль штриховой линии и ее конформного отображения на
кольцо в комплексной z-плоскости, которое изображено на
рис. 11.10,6. Это преобразование похоже на отображение, ис-
использованное для петель открытых струн. Внутренняя и внеш-
внешняя окружности (с радиусами г\ и г2) снова отождествляются,
т. е. произвольная точка z отождествляется со всеми точками
wnz, где \w\ = ri/r2. Фаза комплексного параметра w соответ-
соответствует тому, что две окружности, возникающие при разрезе
вдоль волнистых линий на рис. 11.10, а, необходимо отожде-
отождествить только с точностью до глобального сдвига параметра а.

Функциональные методы в калибровке светового конуса 253
Отображение записывается в терминах функции ty(zr/z,w)
следующим образом:
м
V f . i/i \ 1пг (гг/г)! __ In г In | zr \ \. ... „ -.
г=1
где функция г|з задана выражением A1.5.3). Ширина по пара-
параметру а внутренней распространяющейся струны (которая не
разрезана на рис. 11.10) определяется последним членом в
A1.6.5)
и
о„ = —'
Это соответствует мнимой части р, возникающей при обходе z
вокруг начала координат. (Сумма первых двух членов в A1.6.5)
регулярна при z = 0.) В общем случае при обходе вокруг
ручки параметризация содержит «твист», при котором измене-
изменение параметра сг равно
м
где использовано соотношение ty(wx, w) = ty(x, w). На самом
деле разность p(wz)—p(z) не имеет мнимой части.
Амплитуда задается интегралом по М — 1 парам параметров
ог и хг в точках взаимодействия, причем инвариантность отно-
относительно глобальных трансляций по т и по а можно исполь-
использовать для фиксирования одной точки взаимодействия. Кроме
того, необходимо проинтегрировать по ширине струны сг, рас-
расположенной под щелью, (аа) и по относительному твисту двух
внутренних пропагаторов (фа)- В целом это дает 2М действи-
действительных параметра, которые отображаются в М комплексных
переменных zr и w. Как и ожидалось, подсчет числа перемен-
переменных интегрирования совпадает с числом переменных интегри-
интегрирования для замкнутой римановой поверхности с М выделен-
выделенными точками и одной ручкой.
Область интегрирования по переменным zr, изображенная на
рис. 11.10, зависит от величины ш s= ехр{2ш'т}, поскольку она
определяет отношение радиусов кольца. Область интегрирова-
интегрирования по w (или т) требует более тщательного рассмотрения.
При этом важно, что конформное отображение A1.6.5) инва-
инвариантно относительно преобразований
т->т+1, A1.6.8)
т->— 1/т, lnzr->2ra"]nzr/Ino>, Inz-*2n/lnz/lnay, A1.6.9)

254 Глава 11
которые являются модулярными преобразованиями переменной
т. Связанное с ними преобразование переменных In г соответ-
соответствует преобразованию v->v/t в обозначениях гл. 8. В гл. 8
показано, что в правильном выражении для однопетлевого ин-
интеграла для замкнутых струн интегрирование по т должно
проводиться только по одной фундаментальной области, напри-
например такой, как обозначенная буквой F на рис. 8.21. Очень
важной проверкой формализма, развитого в настоящей главе,
является то, что область интегрирования должна правильно
описываться струнной диаграммой без лишних вкладов. Напом-
Напомним, что в предыдущих обсуждениях петлевых амплитуд замк-
замкнутых струн ограничение области интегрирования одной фунда-
фундаментальной областью было необходимо для обеспечения уни-
унитарности. Поскольку вычисления в калибровке светового конуса
в данной главе представляют собой приложения обычной кван-
квантовой механики, унитарность гарантирована, и неизбежно
должна возникнуть правильная область интегрирования. Лю-
Любая последовательная теоретико-полевая формулировка теории
струн, такая как формулировка, основанная из калибровке све-
светового конуса, гарантировано воспроизводит правильную об-
область интегрирования.
Функция Грина в 2-плоскости (как показано в гл. 8) имеет
вид
N(z, z') = \n%(z'Jz, w), A1.6.10)
где функция %, похожая на |if>|, определена в разд. 8.2.1. Она
дается выражением
inx(,,w) = in|l^+J?l^ +
(In! I - oin* | + In | 1 -wn/x\-2\n\ 1 -a»" |). A1.6.11)
Эта функция удовлетворяет требуемому условию периодичности
относительно преобразования x->wx. Множители в петлевой
амплитуде, не зависящие от поперечных импульсов, снова
можно вычислить либо путем рассмотрения специального слу-
случая, в котором внешние частицы обладают исчезающе малыми
аг и р'г> либо путем явного вычисления с использованием обоб-
обобщения методов, обрисованных в приложениях 11.А и 11.Б. Ре-
Результирующая амплитуда в точности совпадает с амплитудой,,
приведенной в разд. 8.2.1.
Хотя мы не будем вычислять многопетлевые диаграммы, не-
нетрудно подсчитать число переменных интегрирования, соответ-
соответствующих произвольной диаграмме. Например, рассмотрим про-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 255
десс рассеяния замкнутых струн с М внешними частицами
и L петлями (т. е. ручками). Добавление ручки, которая соот-
соответствует вставке пары отождествленных горизонтальных линий
на рис. 11.10, увеличивает число внутренних пропагаторов на
три. Обобщение рассуждения, проведенного в однопетлевом
случае, показывает, что с каждым из этих пропагаторов свя-
связано только два действительных параметра, поэтому общее
число действительных параметров, по которым необходимо про-
проинтегрировать, равно 6L + 2уИ— 6. Эти параметры в точности
совпадают с модулярными параметрами, с которыми мы впер-
впервые встретились в геометрическом подходе в разд. 3.4. Кон-
Конформная структура римановой поверхности рода L включает
3L — 3 комплексных параметра или 6L'—6 действительных па-
параметра, а М комплексных параметров или 2М действительных
характеризуют положения М внешних частиц на поверхности.
11.7. Суперструны
В настоящем разделе мы кратко опишем применение функ-
функциональных методов в калибровке светового конуса к вычис-
вычислению суперструнных амплитуд. Большая часть обсуждения
касается процессов рассеяния для открытых струн, а обобщение
на замкнутые струны проводится непосредственно. Основная
отличительная черта, которая возникнет при обсуждении, со-
состоит в том, что суперструнные взаимодействия не полностью
описываются Д-функционалами перекрытия, обеспечивающими
непрерывность координат в момент взаимодействия. Кроме
того, необходимо в точку взаимодействия вставить оператор,
чтобы взаимодействие было совместимо с лоренц-инвариант-
ностью и суперсимметрией.
Мы используем формализм калибровки светового конуса,
в котором пространственно-временная суперсимметрия является
явной. В этом случае условие инвариантности теории с взаимо-
взаимодействием относительно пространственно-временной суперсим-
суперсимметрии в значительной степени определяет вид взаимодействий.
Дополнительные ограничения, накладываемые лоренц-инва-
риантностью, просто определяют множитель в мере, который
является функцией от р+ (т. в. от а\.
11.7.1. SUD) X иA)-формализм
Вычисление функционального интеграла проще всего прово-
проводить после его выражения через интеграл по коммутирующему
(или антикоммутирующему) набору координат. Поскольку фер-
мионный SO (8) -спинор Sa(a) удовлетворяет антикоммутацион-

256 Глава 11
ному соотношению
{Sa(o), Sb(o')} = n6abd{o-of), A1.7.1)
он одновременно является координатой и своим сопряженным
импульсом. Второй спинор Sa (или Sa в случае теории типа ПА)
удовлетворяет аналогичному соотношению. Для теории типа ИВ
можно определить антикоммутирующие грассмановы коорди-
координаты Si + tSl, которые отличаются от своих сопряженных им-
импульсов S" — iS$. Однако для других суперструнных теорий
такого разложения, сохраняющего явную SO (8)-симметрию,
не существует (S и S являются неэквивалентными SO (8) -спи-
-спинорами в теории типа ПА, они зависимы в суперструнных тео-
теориях типа I, а в гетеротических теориях спиноры S совсем от-
отсутствуют.) В последних случаях можно ввести отличающиеся
«координаты» и сопряженные «импульсы» только с наруше-
нарушением явной spin(8)-симметрии. Наиболее прямой метод для
этого состоит в разложении переменных по отношению к
spin F)X spin B) ~ Sf/D)X U(l) -подгруппе. Группу spin F)
естественно рассматривать как группу вращений шести «внут-
«внутренних» пространственно-временных измерений, a U'A)—как
группу, связанную со спиральностью в обычном четырехмерном
пространстве-времени. Вложение выбирается таким образом,
что три восьмимерных представления spin(8) разлагаются сле-
следующим образом:
8V — бв+li + l-b A1.7.2)
8s-*-41/2 + 4_1/2> A1.7.3)
8c-*-4_i/2 + 4i/2, A1.7.4)
где индексы обозначают представления группы U(l), которые
можно рассматривать как четырехмерную спиральность. Ис-
Используя A1.7.2), получаем
Х1-*{Х', X*, XL), A1.7.5)
где / = 1, ..., 6, a R и L соответствуют правой и левой кираль-
ностям, т. е.
^ X7 + iX8), A1.7.6)
XL = -±=(Xi-iX8). A1.7.7)
т V2
Также
) + iSA+i(a)~QA(a), A1.7.8)
~bA(o)^-^!q^> (П.7.9)

Функциональные методы в калибровке светового конуса 257
где нижний индекс А = 1, ..., 4 преобразуется по представле-
представлению 4 группы SUD). Запись этого индекса вверху соответ-
соответствует представлению 4 группы SUD). Символ ~ означает,
что нормировка выбрана таким образом, что 0Л и Ад удовле-
удовлетворяют антикоммутационным соотношениям
{Ка (а), ев(с/)} = 6*6 (а - а'), A1.7.10)
(а), 9В (а')} = {Ял (а), 1В (а')} = 0. A1.7.11)
Второй грассманов Sf/D)-cnHHop 0л(ст) и его сопряженный
импульс Ка(о) определяются аналогично 5а(о). Проведенное
разложение, в котором шесть поперечных измерений отличаются
от двух других, является математическим приемом для опреде-
определения двух наборов грассмановых координат 0Л и 6Л. Однако
по отношению к пространственно-временным координатам такое
разделение является вполне естественным, поскольку в конеч-
конечном счете рассматриваемые теории могут иметь физический
смысл только в том случае, если шесть измерений компактифи-
компактифицируются и тем самым действительно выделяются среди всех
измерений.
Для открытых струн граничные условия, которым удовле-
удовлетворяют грассмановы координаты, имеют вид
Эл@) = 9л@), QA(n\a\) = QA(n\a\), A1.7.12)
поэтому разложение по гармоникам записывается в виде
Координаты 0Л и Э-4 являются независимыми функциями на
длине струны 0^ст^л|а|, так как экспоненты в A1.7.13) об-
образуют полный базис только на удвоенной длине. Это видно из
следующего соотношения:
ё^(ст) = 8л(-ст). A1.7.14)
Аналогично грассмановы импульсы для открытой струны имеют
следующее разложение:
'l A1.7.15)
— ОО —СО
где
ЯтЛ = —Х- 2—, A1.7.16)
что обеспечивает выполнение соотношений A1.7.10) и A1.7.11).

258 Глава 11
Моды 9 и X удобно нормировать путем определения фер-
мионных операторов рождения и уничтожения Rm и RmA
9m = —1=.— Rm, hmA = —т=—¦—-RmA, A1.7.17)
y2 a V2 яIa I
где
{Rm, RnB}=a6m+n,o6B, A1.7.18)
{RL Rn} = {RmA, RnB}=0. A1.7.19)
Эти моды содержат множитель л/а, связанный с безразмер-
безразмерными модами Sm, который важен при рассмотрении действия
генераторов группы Лоренца /+~ и /'~, так как эти генераторы
содержат множители хг = —id/dp+. Хотя Sa и За преобра-
преобразуются как компоненты спинора на мировой поверхности, коор-
координаты Эл и 9Л так не преобразуются. Множители л/а встав-
вставлены для упрощения громоздких обозначений в последующем
изложении.
Для замкнутых струн координаты 0Л и Эл имеют независи-
независимые разложения
^I, 6Л (а) = Е QAg-stman о if A1.7.20)
так же как импульсы
Ma^EW2'"'0''*1, Лл (а) = ? ЛтДв-«™»/1«I. A1.7.21)
— оо —оо
Соотношения АЛ' (а) = б/6Эл (а) и ХА (а) = б/60л (а) возникают
при отождествлении
Qi = ^Qt Qm = ±Qt A1.7.22)
1 — 1 ***
^тА — ' п\ a| QmA, ^тА = я | а | QmA> A1.7.23)
где
{Qt Qne} = {Qm, Qne} = абт+„, обв, A1.7.24)
а остальные антикоммутаторы равны нулю.
Струнные волновые функции теперь являются функциями от
6т и 6т, а также от импульсных мод Рт. Поэтому они могут
быть не более чем линейными функциями от каждой моды. Рас-
Рассмотрим, например, волновую функцию основного состояния

Функциональные методы в калибровке светового конуса 259
и(р'. 6о). Эту волновую функцию можно разложить в степен-
степенной ряд
и(х, 8^) = ы' + И^ + аы0Ллев +|аелвс^. -U2Qbqcqd +
Верхние индексы у компонент обозначают их ?/A)-спираль-
ность. На компоненты волновой функции накладываются сле-
следующие условия ТСР-самосопряженности:
«-'=«", иА- -1/2 = ы1/2*; A1.7.26)
„О —.ЛАВ*— J_p y/OCD /11 7 27^
иАВ—U — 2 ABCD ' \ll.l.4l)
После наложения этих условий видно, что волновая функция
основного состояния описывает восемь бозонных состояний
(с целыми спиральностями) и восемь фермионных состояний
(с полуцелыми спиральностями), что в точности соответствует
янг-миллсову супермультиплету в десяти измерениях.
11.7.2. Генераторы супергруппы Пуанкаре
Генераторы супергруппы Пуанкаре можно выразить через
Sf/D)X U(l)-координаты и импульсы. Для этого необходимо
провести разложение выражений для генераторов, которые вы-
выписаны в SO (8)-обозначениях в разд. 5.2.2, и нормировать об-
область значений а на отрезок 0^сг^я|а|. Оператор попереч-
поперечного импульса представляет собой просто интеграл от плотности
импульса
я1о|
pl= (j pl(a)da, A1.7.28)
где i пробегает восемь значений R, L и / (=1, ..., 6). Каждый
из двух SO (8)-суперзарядов Qa и Qa, которые составляют
один 16-компонентный суперзаряд Майораны — Вейля в десяти
измерениях, распадается на два SUD)-спинорных суперзаряда.
Таким образом, в теории типа ПВ два SO(8)-суперзаряда раз-
разлагаются следующим образом:
Qm-^(QmA, Qma), A1.7.29)
Qm-^{QmA, Qma), A1.7.30)
где M=l, 2. Значение индексов ± вскоре будет ясно.

260 Глава 11
Компоненты суперзарядов без точек выражаются в виде
интегралов по грассмановым координатам и импульсам
QtA= \ QtA{a)da, QtA= \ QtA{o)do, A1.7.31)
о о
где плотности зарядов равны
QtA (о) = -1е (а) Эл (о), QtA (а) = ¦?¦ в (а) ЬА (а) A1.7.32)
(при этом е(а)=1, если а > 0, и е(ос) =—1, если а<0), и
я|а| я| а|
Qu= J- QtA{o)do, <22+л= \ QtA{o)da, A1.7.33)
о о
где
QtA{a) = %A{a), QL(a) = lA(d). A1.7.34)
Компоненты суперзарядов с точками имеют более сложный
вид, поскольку они билинейны по осцилляторам, как обсуж-
обсуждалось в разд. 5.2.2. В SUD) -обозначениях они имеют вид
ОГл = 5 { V2 Р'АВ 0' - ± Г') 9* + 2яе (а) (> - ^) lA} do,
A1.7.35)
<&~ J {V2p^(P/ + ^//)9B + 2K8(a)(pL + lz/L)^}da)
о
A1.7.36)
A1.7.37)
я|о|
A1.7.38)
В приведенных выражениях матрицы ргАВ и рмв являются ко-
коэффициентами Клебша — Гордана группы SUD), которые опи-
описывают связь векторного представления с парой спиноров или
антиспиноров. Часть их необходимых свойств приведена в при-
приложении. 11. Г.

Функциональные методы в калибровке светового конуса 261
Суперзаряды удовлетворяют (анти) коммутационным соот-
соотношениям, необходимым для образования алгебры суперза-
суперзарядов:
{QmA, Qnb} = абвбм, n, A1.7.39)
{QtiA, QnB} = У2"рмУбм. n, A1.7.40)
{Qma,(Rb} = ^TpIabPI6m,n, A1.7.41)
{QmA, Qnb} = 2pL6M, Nb?, A1 -7.42)
{Qma, QnB} = 2Pr6ba6m, n, A1.7.43)
{QmA, Qnb} = 2H6M, n^, A1.7.44)
а остальные антикоммутаторы и коммутаторы равны нулю. По-
Подученные (анти) коммутационные соотношения представляют
•собой SUD)X. ?^A)-разложение Л^ = 2-супералгебры, которая
выписана в SO (8)-обозначениях в разд. 5.2.2. В ковариантном
виде она имела бы вид
{QM.Q^-r^&M,*. A1.7.45)
Выражение для гамильтониана в правой части A1.7.44) имеет
вид
л|а|
J {( ^/)}а. A1.7.46)
Для проверки замкнутости A1.7.44) важно наложить вспо-
вспомогательное условие N = fit для теорий типа II или N = ff—1
для гетеротической теории, где N я N — операторы чисел за-
заполнения, построенные из соответствующих видов осцилля-
осцилляторов.
Выражения для генераторов супергруппы Пуанкаре в гетеро-
гетеротической струнной теории получаются путем отбрасывания одной
из грассмановых координат (например, 0) в приведенных выше
выражениях и включения дополнительных членов, которые опи-
описывают внутреннюю симметрию (как обсуждалось в гл. 6).
В некиральной теории типа ПА выражения для генераторов те
же, что и в теории типа ИВ, но с перестановкой Эл и Яд.
В теориях типа I не все суперзаряды сохраняются (т. е. не
все они коммутируют с Я). Для открытых струн граничные
условия ограничивают суперсимметрию таким образом, что

262 Глава Л
сохраняются только средние суперзаряды
— я|о|
Q+= A/ir (Q^ ~Ь Q?) = Л/ 2 \ Qt{v)de, A1.7.47)»
-я ] a J
t— ,— п | а |
Q~= Л/у (Qf + Q2")= д/4- \ QT(o)da, A1.7.48)'
-я|а|
где опущенные индексы относятся к одному из представлений
4 или 4. В приведенных выражениях мы выразили заряды в
виде интегралов по двойной области интегрирования —я|а|<!
<!(т<;я|а|. Таким же образом для замкнутых струн типа I
условие симметризации двух фоковских пространств приводит
к соответствующему ограничению суперсимметрии.
Выражения для суперзарядов просто выписываются через-
соответствующие моды путем подстановки разложений коор-
координат и импульсов. Например, для открытых струн выражения
для зарядов Q~ имеют вид
Qa = Л/~2 [QiA "f" Q2A) =— У, (V 2 а_тРлв^?т + 2<х_т./?тл),
A1.7.49)'
A1.7.50).
а гамильтониан равен
A1.7.51)'
В этих выражениях' осциллятор бозонной нулевой моды опре-
определен равенством o.l0 = pi, а оператор Nор определен формулой
f R_mARAm) . A1.7.52>
В приведенном выражении константа, связанная с нормальным,
упорядочением, отсутствует, так как она сокращается от моды.
к моде при переходе от A1.7.46) к A1.7.52).

Функциональные методы в калибровке светового конуса 263
В теории типа ПВ соответствующие формулы имеют вид
оо
<Эп = -| ? W2 almpABQi + iatmQm^, A1.7.53)
A1.7.54)
и имеются эквивалентные формулы для Q2, в которых исполь-
используются операторы Q. Осциллятор бозонной нулевой моды в сек-
секторе замкнутой струны определяется равенством ai = plj2. Га-
Гамильтониан замкнутой струны равен
Hel s P~t = ± (р2 + 4Ncl + 4Nci), A1 -7.55)
где
A1.7.56)
с идентичным выражением для Nci, построенным по а™ и Qm.
Аналогичным образом генераторы группы Лоренца J^v, пе-
перечисленные в разд. 5.2.2, можно переписать в S(/D)X^A)-
формализме. Эти генераторы имеют вид
J = I -\- tL "t~ A > (ll.l.Ol)
где /^v и Ev-v заданы теми же выражениями, что и в гл. 5,
с поперечными векторными индексами, разложенными на
SUD)-компоненты 6, L и R. Спиновые части этих генераторов
задаются следующим образом:
(П-7.58)
-йтгг 2 /?-^/лв/?- A1J-59)

264 Глава И
= ~ivb Ё
я |а|
A1.7.61)
В последней формуле символ : : обозначает нормальное упо-
упорядочение ненулевых мод, в то время как нулевые моды анти-
симметризуются (т. е.-.ЯолЯо := (RoaRq — RoRoa)/2). Аналогич-
Аналогичные выражения для теорий замкнутых струн получаются путем
подстановки соответствующих разложений по модам.
Легко показать, что спиновые генераторы удовлетворяют
SO (8)-подалгебре полной десятимерной группы Лоренца
[К", Кы] = - iKa6ik + перестановки, A1.7.62)
хотя в теории в Sf/D)X f/(l)-формализме эта симметрия не
является явной. В частности, вращения, генерируемые операто-
операторами JLI и JRI, представляют собой симметрии, которые требуют
явной проверки. Эти вращения генерируют преобразования, ко-
которые перемешивают два неэквивалентных SUD) -спинора
^/ (П.7.63)
[/", <Эл] = 0; A1.7.64)
аналогичные соотношения выполняются для JRI. Гамильтониан
инвариантен относительно этих преобразований, поэтому
[/", Щ = [/«7, Н] = 0. A1.7.65)
11.7.3. Алгебра суперсимметрии в теории с взаимодействием
В бозонной теории взаимодействия были основаны на прос-
простом утверждении о том, что координаты струны непрерывны в
момент взаимодействия. Эти привело к тем же лоренц-инвари-
антным амплитудам, которые были получены в предыдущих гла-
главах с помощью операторных методов. Для суперструн непре-
непрерывности координат в (супер) пространстве недостаточно. В до-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 265
полнение к А-функционалу, обеспечивающему непрерывность,
вершина должна содержать оператор, который действует в точ-
точке разрыва или слияния. Например, будет показано, что взаимо-
взаимодействие трех открытых суперструн, которое в бозонной теории
полностью задавалось А-функционалом, имеет вид
gH @7) A [Z, (а) + Z2 (а) - Z3 (а)] A1.7.66)
в теории суперструн типа I. Совокупность суперпространствен-
суперпространственных координат обозначена Zr(o) = (Xlr(o), 8r (ff), 8r (ст)), a H{at)
•является оператором, построенным из Plr(o), вг (сг) и Эг (cr),
который действует в точке взаимодействия ai — noci (при пара-
параметризации, использованной в разд. 11.2.2). Как будет показа-
показано, оператор Й линеен по Р\ что делает его похожим на куби-
кубическое взаимодействие калибровочных частиц в обычной теории
Янга — Миллса.
Чтобы определить вид взаимодействия, оказывается удоб-
удобным работать в осцилляторном базисе, в котором вершину мож-
можно записать в виде тензорного произведения кет-векторов в
оспилляторных пространствах трех струн. Это обобщает выра-
выражение A1.4.44) для | V) в бозонной теории. Соответствующая
величина в теории суперструн обозначается через |#>, а
A1.7.66) записывается в осцилляторном базисе в виде
\H)=H\V)S, A1.7.67)
где | V}s — суперпространственный А-функционал A|Zi(cr) +
+ Z2(a) — Z3(a)] в осцилляторном базисе.
Вершина взаимодействия | Н) генерирует нелинейные пре-
преобразования в пространстве струнных состояний, так как она
отображает одну струну в пару струн. На самом деле она
эквивалентна кубическому взаимодействию в полевой теории
•струн. Хотя полевая теория струн не рассматривается в настоя-
настоящей монографии, наш подход к определению вида |#> эквива-
эквивалентен методу определения кубической вершины струнной по-
полевой теории в калибровке светового конуса. Точно так же как
в гамильтониане (или Р~) возникают поправки от взаимо-
взаимодействия, для того чтобы теория с взаимодействием удовлетво-
удовлетворяла алгебре суперзарядов, которая изоморфна A1.7.39) —
A1.7.44), в других генераторах супералгебры также должны
возникать члены от взаимодействия. В частности, поскольку
правая часть A1.7.44) теперь содержит гамильтониан взаимо-
взаимодействия, который действует на струнные состояния нелинейно,
левая часть также должна действовать нелинейно. В свою оче-
очередь это означает, что Q~ и Qa должны содержать члены

266 Глава 11
взаимодействия, которые можно представить (до порядка g)
кет-векторами
\Q-a) = Q~a\V)s A1.7.68)
и
| QJ> = QJ 11/>S A1.7.69)
соответственно.
Первый набор генераторов с учетом взаимодействия должен
удовлетворять алгебре суперсимметрии. Различные генераторы
состоят из приведенной ранее части, соответствующей свобод-
свободной теории, плюс член взаимодействия порядка g, который
сейчас рассматривается. (В генераторах возможно также при-
присутствие членов более высокого порядка, но здесь будут рас-
рассмотрены только члены порядка g.) Уравнениями, определяю-
определяющими эти члены, являются уравнения алгебры суперсимметрии,
которые разлагаются до порядка g. Единственными членами
в этом порядке являются перекрестные члены, содержащие
антикоммутатор главного члена в суперзаряде с членом взаимо-
взаимодействия порядка g. Разлагая уравнения таким образом, по-
получаем следующие условия:
? Q7AIQI) + I Q7b I Q~A) = 2б? | tf>, A1.7.70).
r r
ZQ7A\H)+ZHr\Q~A) = 0, A1.7.71).
I Q7AI Q~B) + I Q7BI Q~A) = Z Q7a I Qi> + Z Q7b IQX) = 0.
r r r r
A1.7.73),
В этих уравнениях генераторы с индексом г обозначают гене-
генераторы, определенные в предыдущем разделе, которые построе-
построены из координат и импульсов струны г. Поскольку члены взаи-
взаимодействия записываются в обозначениях трех фоковских про-
пространств, каждый из генераторов в нулевом порядке необходимо,
представить в виде суммы трех членов, каждый из которых
соответствует одному из трех фоковских пространств для струн.
Генераторы группы Лоренца J+~ и 11~ также содержат поправ-
поправки от взаимодействия, которые действуют нелинейно в простран-
пространстве струн, но здесь мы следить за ними не будем. Вместо этого
мы кратко опишем, как уравнения A1.7.70) — A1.7.73) опреде-
определяют вид членов взаимодействия, включая гамильтониан взаи-
взаимодействия |Я>. !

Функциональные методы в калибровке светового конуса 26Z
11.7.4 Дельта-функционал непрерывности
Выражение для | V}s можно найти, исходя из А-функциона-
.ла, теми же методами, с помощью которых был определен опе-
оператор | V} в бозонной теории (см. разд. 11.4.5). Результат имеет
вид
| V), = ехр{Дв + АР} 10)б ( Z р/) б ( Z «Д4) б(Еаг), A1.7.74)
где As представляет собой то же выражение A1.4.45) (построен-
(построенное из бозонных мод), что и раньше, в то время как фермионные
моды содержатся в операторе
Д,= Z ? KnRr-mARS-n + i t VrmR_mA®A. (П.7.75)
г, s = l m, «=1 r = l m = l
В этом выражении
вЛ = — (8f —8a) A1.7.76)
и обладает циклической симметрией благодаря б-функциям со-
сохранения в A1.7.74). Матрицы ?/"« связаны с Afm« следующим
соотношением:
A1.7.77)
ir A1.7.78)
«г
Хотя выражение A1.7.47) можно получить из функциональ-
функционального интеграла тем же путем, который привел к выражению
для | V} в бозонной теории, но проще проверить, что это выра-
выражение действительно представляет А-функционал путем иссле-
исследования непрерывности координат
(Z1(a)-Z3(a))|K)s = 0, 0<а<яо„-. A1.7.79)
(z2{a)~Z3(a))\V)s = 0, яа, < сх< л (о, +а2) A1.7.80)
:и сохранения импульса
) ™.lt (П.7.81)
-0, яа1<ст<я(а1+а2), A1.7.82)
где условия относятся как к бозонным, так и к грассмановым
леременным. Координаты и импульсы в A1.7.79) — A1.7.82)
.выражаются через операторные моды (о4, Rm и /?тл).

268 Глава 11
Суперзаряды QA+ и Ql пропорциональны соответственно
интегралам от плотностей е(а)8л(ст) и Лд(сг). Это означает, что
грассмановы компоненты A1.7.79) — A1.7.82) эквивалентны со-
сохранению (+) -компонент плотностей суперзаряда на струнах
в момент взаимодействия при всех значениях сг.
Ситуация с (—)-компонентами суперзарядов не такая прос-
простая. Напомним, что Q~ и Q2 являются интегралами от квад-
квадратичных форм бозонных и фермионных координат и импуль-
импульсов; Д-функционал в вершине взаимодействия обеспечивает со-
сохранение плотностей этих зарядов при всех значениях а вне
сингулярной точки взаимодействия сг/ = яаь Однако область
вблизи о = oi необходимо рассмотреть более тщательно, так
как здесь многие операторы имеют сингулярность. Действие
оператора Y^rQ7 на \ Н) определяется решением уравнений
A1.7.70) — C1.7.73). Но необходимо изучить поведение операто-
операторов, которые сингулярны при о = oi.
11.7.5. Сингулярные операторы вблизи точки взаимодействия
То обстоятельство, что эволюция струнных координат яв-
является везде гладкой, за исключением точек разрыва или слия-
слияния, где некоторые операторы имеют особенности, не является
удивительным с точки зрения функционального подхода в ка-
калибровке светового конуса. Кривизна мировой поверхности в
точках взаимодействия бесконечна, в то время как во всех дру-
других точках она равна нулю. Существование таких сингулярно-
стей, которые в теории с взаимодействием играют решающую-
роль, является естественным с функциональной точки зрения.
Конформное отображение в верхнюю полуплоскость z приво-
приводит к параметризация, в которой кривизна мировой поверх-
поверхности нигде не имеет особенностей и все операторы хороша
определены. Поэтому существование сингулярных операторов
можно отнести на счет отображения.
Рассмотрим конформное отображение, которое отображает
верхнюю полуплоскость z в струнную диаграмму (на плоскость
р, где p = t + io)- В окрестности точки взаимодействия (z/ и
р/) отображение имеет точку ветвления, соответствующую ква-
квадратному корню, так как граница струны удваивается при пово-
повороте на себя, поэтому
(Z _ Z/) ~ с (р _ Р/I/2, A1.
где с — константа. Отсюда следует
~c(p-p;)-I/2. A1.7.84)-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 269
В теории операторы содержат множители (dz/dp)J, где J —
конформный вес оператора. Поскольку Р1 преобразуется с ве-
весом / = 1, это означает, например, что оператор
Р'(р) = ^Р1(г) A1.7.85)
расходится в окрестности точки взаимодействия. Операторы
9(.р) и 9(р) имеют такие же расходимости. С другой стороны,
операторы Х'1(р) и Х(р) имеют вес / = 0 и поэтому несингуляр-
несингулярны. (Законы преобразования б и Я будут ясны из дальнейшего
изложения, где приведены явные вычисления.)
Для большей ясности рассмотрим сначала поведение опе-
оператора (Р\ (а) — х'\ (сг)/я), определенного на струне 1 вблизи
точки взаимодействия а = itai,
оо
^ ? ^|F)s. A1.7.86)
Подстановка выражения для ] F>s и протаскивание операторов
уничтожения сквозь множитель ехр Лв приводит к выражению
p\+ ? а^е-гта/й1 + У 2 neinala'Ni +
TINnn№-m& > | К/s, (ll./.o/}
s=l m, re=l J
где операторы <?' определены в A1.4.35).
Можно показать, что последние два члена в предыдущем
уравнении расходятся в пределе е->-0, где г — положительный
параметр:
е = яа, —ст. A1.7.88)
Подставляя выражение для Nm из A1.4.42) и A1.4.38), полу-
получаем главную часть второй суммы в A1.7.87) (с использова-
использованием формулы Стирлинга) при е->-0
ff" у1 inolatjji _ 0^_ у (—1)" Jna/a, Г (—ftg2/ai) ^x, ^
пщ L-i п nai L-j ft! ГA — п ~ raa2/ai)
1 \ ' rinela, ^ __D_f__o-l/2 Л 1 7 89^
V^^ h^ V^ я (-2a) 8 ' ^И-ЛИа'
где
A1.7.90)

270 Глава 11
а а = акягссз, как и раньше. Для того чтобы надлежащим об-
образом определить бесконечную сумму, важно учесть, что е
имеет малую мнимую часть, что соответствует рассмотрению
оператора в точке, немного сдвинутой в область отрицатель-
отрицательных значений т.
Аналогичным образом из A1.4.39) следует, что при я-»-оо
Nnm ^"ЛЖ, A1.7.91)
и, таким образом, последний член в A1.7.87) также расходится
при е->-0и имеет вид
nNnme = е —Nm. A1.7.92)
Из полученных результатов следует
ei/2 (рг ((т) _ ± zj/ (a)) | V)s _ _L ^-z." i 7)s, A1.7.93)
где линейная комбинация бозонных осцилляторов Zl опреде-
определена следующим выражением:
1 |2аГ'/2 Ы а2ЦЛГ«) (Н.7.94)
Аналогичным образом получаем
gi/2 (pt г^л j L x'1 (a)
\ I * ' Я '
Выражение для Z< симметрично относительно циклической пе-
перестановки трех струн, что отражает то обстоятельство, что тот
же результат получается при рассмотрении действия операто-
операторов в окрестности точки взаимодействия на любой из струн,
хотя мы начинали с рассмотрения операторов, определенных
на струне 1.
Аналогичные подходы применимы к рассмотрению действия
грассмановых координат в точке взаимодействия. По существу
тот же анализ дает
e1/20f (сх) | V)S ~ ц?А | V)S, A1.7.96)
sl2Q?(o)\V)s~4YA\V)s, A1.7.97)
где
1 .
-2а
1/2 м._ _
г,т

Функциональные методы в калибровке светового конуса 271
Путем такого же анализа нетрудно показать, что операторы
Хг (а), Ял (о) и %а (о) не имеют сингулярностей в точке взаимо-
взаимодействия.
11.7.6. Члены взаимодействия
Теперь вернемся к рассмотрению уравнений A1.7.70) —
A1.7.73), которые являются уравнениями для определения Q-.
Подставляя | #) = #| V) и |<Э1) = $~Л| V), уравнения, содер-
содержащие Й, которые требуется решить, можно записать в виде
2 Q7AQb | V)s + I Q7bQ ~A I V)s = 26iH\ V)s, A1.7.99)
l l
2 Q I
r=l r=l
О О
ZAZHrQ-A\V)s = 0, A1.7.100)
)
в то время как A1.7.73) дает дополнительные ограничения на
|Q->.
Вторые члены в A1.7.100) и A1.7.101) равны нулю, если
рассматриваются матричные элементы между произвольными
состояниями на массовой оболочке (так как zlrHr = 0 для со-
состояний на массовой оболочке). Можно показать, что для та-
таких состояний 2r Q7H | V)s = 0. В свою очередь отсюда сле-
следует, что Й не может быть просто константой, так как
Цг Q71 V)s ф 0. Простейший способ доказать это заключается
в представлении Q7 в виде интегралов от плотностей. Например,
23 *
^p™fp'-iX")xB\do\V)s. A1.7.102)
V2 V л ) )
г=1 1+2+3
В этом выражении контуры интегрирования по струнам 1, 2 и
3 проходят их ширину дважды (рис. 11.11). Из сохранения
импульсов Рг(о), заданного формулами A1.7.81) и A1.7.82),
и из непрерывности координат Х'г (а) и QA(o), заданной форму-
формулами A1.7.79) и A1.7.80), в момент взаимодействия следует,
что интегрирование в A1.7.102) вдоль струн 1 и 2 сокращается
с интегрированием вдоль струны 3 везде, за исключением, воз-
возможно, сингулярных областей вблизи а = ±noci. Вблизи этих

272
Глава 11
точек в подынтегральном выражении доминирует главный член
(e)-'/i в (Р — Х'/п) и 9, который задан формулами A1.7.93),
A1.7.95), A1.7.96) и A1.7.97). Подстановка этих выражений в
< 11.7.102) дает
^ Z V
= 4 V2"
A1.7.103)
Тот факт, что результат задается вычетом в полюсе по е зави-
зависит от контура интегрирования, который на струне 3 сдвинут
\
3
2
1
2
Рис. 11.11. Контуры интегрирования для вычисления ^ _|Qr"|^/s- Пара-
Параметризация струн расширена таким образом, что область определения а уд-
удвоена: —л(«1+об2) ^ о =?= л(«1 + аг), поэтому точки взаимодействия
встречаются дважды: при а = яа4 и а = —Jiai.
немного в сторону положительных значений t, а на струнах 1
и 2 — в сторону отрицательных значений т, как показано на
рис. 11.11. Аналогично находим
A1.7.104)
SO(8)-компоненты генераторов группы Лоренца /'', действуя
на | V)s, также дают ненулевой результат. Например,
t
V)S = - i л/2"Yp'YI V)s.
A1.7.105)
~A Q2
Теперь мы можем найти множители Q~A, Q2 и Н, которые
входят в члены взаимодействия супералгебры A1.7.70) —
A1.7.73). Очень важно, что присутствие этих множителей не
влияет на сохранение суперзарядов Qa и Q+a. Это означает,
например, что мы должны потребовать выполнения равенства
[^lrQ?A, Н] = 0. Выполнение аналогичных соотношений также
необходимо для того, чтобы эти множители не нарушали дру- '

Функциональные методы в калибровке светового конуса 273
гие симметрии | V}s. Этого можно достичь путем построения
множителей из Z' и YA, которые определены соотношениями
A1.7.94) и A1.7.98).
Алгебраические уравнения A1.7.99) — A1.7.101) определяют
вид рассматриваемых множителей, характеризующих члены
взаимодействия в супералгебре. Результат имеет вид
q-a = Ya, A1.7.106)
Q2=^ABCDYBYCYD, A1.7.107)
BYcYD. A1.7.108)
В принципе в этих выражениях мы должны допустить суще-
существование общего множителя, который является независимой
функцией от аг. Только действие операторов /+ - и /'- может
характеризовать зависимость от р+ (т. е. зависимость от ос)
в вершине, так как только эти генераторы содержат производ-
производные д/др+. Таким образом, неизвестную функцию можно опре-
определить путем исследования замкнутости алгебры Лоренца.
Однако, поскольку общая функция не зависит от рассматривае-
рассматриваемых состояний, ее также можно определить, рассматривая от-
отдельные матричные элементы | Я>, например между основными
состояниями векторных частиц.
Найдя вид членов взаимодействия в осцилляторном представ-
представлении, можно перегруппировать множители, на которые умно-
умножается Д-функционал в точке взаимодействия, используя связи
A1.7.94) между Z' и (Pl(oi) ± Х"{<у,)/п) и A1.7.98) между
YA(ai) и 9Л((Т/). Как и ожидалось, вершина взаимодействия
линейна по оператору импульса P'(oi), что немного похоже на
кубическое янг-миллсово взаимодействие.
Другие виды взаимодействий между открытыми и замкну-
замкнутыми суперструнами, которые описаны в разд. 11.2.1 для бозон-
ной теории, можно получить таким же образом. Кубическое
взаимодействие между ориентированными замкнутыми супер-
суперструнами (типа II или гетеротическими) представляет особый
интерес, так как оно обобщает кубическое взаимодействие гра-
гравитонов в общей теории относительности. В теории типа II это
взаимодействие (обозначаемое |#>сг) в осцилляторном базисе
записывается в виде тензорного произведения кет-векторов в
левом и правом пространствах
A1.7.109)
где два множителя в правой части являются просто вершинами
взаимодействия в пространствах с тильдой и без тильды. При

274 Глава 11
такой записи предполагается, что вершина действует на состоя-
состояния, которые удовлетворяют дополнительному условию N — Я.
Таким способом можно получить все вершины взаимодействия,
которые используются при функциональном вычислении ам-
амплитуд рассеяния в калибровке светового конуса.
11.7.7. Древесные амплитуды открытых суперструн
Вычисление амплитуд в настоящем разделе проводится ме-
методами, которые обобщают методы, использованные для бозон-
ной струны в начале данной главы. В рассматриваемом случае
необходимо включить интегрирование по грассмановьш коор-
координатам и вставить операторы в вершины взаимодействия. Эти
операторы действуют как дополнительные источники, поэтому
теперь результат содержит свертки между внешними частицами
и точками взаимодействия. Мы не будем детально описывать
соответствующие вычисления, а просто выпишем результаты
для древесных диаграмм с внешними основными состояниями
открытой струны, полученные описанным методом.
Четырехчастичная амплитуда уже была получена путем со-
соединения пары \Н) пропагатором в осцилляторном базисе. Это
вычисление иллюстрирует тот факт, что в большинстве общих
случаев операторные методы являются гораздо более слож-
сложными, чем функциональные методы. Только когда все внешние
частицы, за исключением двух, имеют нулевые компоненты р+
своих импульсов, операторные методы являются более прос-
простыми.
Древесная амплитуда общего вида выражается в виде функ-
функции от нулевых мод
er^eri0. (п.7.110)
Эти переменные входят в выражение для амплитуды в комби-
комбинациях @rs, которые определены выражением
^ A1-7ЛИ)
где линии г и s присоединены к одной вершине в циклическом
порядке (т. е. по часовой стрелке вокруг вершины линия s рас-
расположена после линии г). Определим также следующие вели-
величины, связанные с заданной вершиной, содержащей линии
?*. = *ГР>.-*Л A1.7.112)
r + as), A1.7.113)

Функциональные методы в калибровке светового конуса 275
Кроме того, необходимо определить комбинацию множителей,
связанных с парой вершин, которые содержат частицы (г, s)
и (t,u):
24 arsatuBABCD
X {а™е?е™е?е?в - а^е^е&е&ей}. (i 1 л. 115)
Древесная амплитуда с М внешними частицами в основном
состоянии, которые расположены в заданном циклическом по-
порядке, имеет вид
ЛГ — I Af-I
Л{\, ...,M) = g>*->G\ Д dxre(xr+l-xr)(K.X.) П (xr+l-xr) X
г=2 г=1
х
perms
б4 f Zа
\ г
где G — теоретико-групповой множитель Чана — Патона, а
(К. N.) обозначает обычное подынтегральное выражение Ко-
Коба — Нильсена (при фиксированных значениях х\ = 0 и
Лм = оо)
K.N. = II (xs-xr)pr-ps. A1.7.117)
r<s
Сумма YupermsT определена следующим образом. Каждый
член суммы связан со своей древесной диаграммой, в которой
граничные частицы 1 и М фиксированы, а порядок остальных
частиц произволен. Сумма берется по всем возможным пере-
перестановкам промежуточных частиц (хотя полная амплитуда опи-
описывает процесс, в котором частицы расположены в циклическом
порядке, соответствующем множителю K.N.). Каждый член сум-
суммы сам является суммой по всем возможным спариваниям
соответствующей части вершин в древесной диаграмме без спа-
спаривания остальных вершин. Спаренным вершинам, которые
обозначены (г, s) и (t, и), соответствует множитель Krs;tu, в то
время как любой неспаренной вершине (г, s) приписывается
множитель /rs.
Выражение для амплитуды явно инвариантно относительно
преобразований суперсимметрии, генерируемых зарядами
<?+л = Хг аг8;? и qJ = ?]г д/дЭ? благодаря б-функциям сохране-
сохранения в A1.7.116). Проверка инвариантности амплитуды также
относительно преобразований суперсимметрии, генерируемых
зарядами Q-, является более сложной.

276 Глава 11
Тот факт, что результат содержит все возможные процессы
с основными состояниями, является достоинством формализма.
Для того чтобы получить амплитуду для конкретного набора
безмассовых внешних состояний, приведенное выражение не-
необходимо просто умножить на волновые функции ur (klr, Э^)
и проинтегрировать амплитуду по переменным вг, используя
правила интегрирования Березина \ dQ? = 0 и \dB?B?=l. При
желании результирующие амплитуды можно выразить через-
состояния, соответствующие компонентам в разложении волно-
волновой функции A1.7.25).
11.8. Резюме
В настоящей главе мы развили функциональный подход к
вычислению по теории возмущений струнных диаграмм в ка-
калибровке светового конуса. В этой калибровке вычисление
амплитуд рассеяния сводится к применению обычных квантово-
механических принципов. Обобщение метода интеграла по
траекториям для точечных частиц на случай струн использова-
использовано для вычисления пропагатора свободной струны и, следова-
следовательно, для получения спектра состояний свободной струны.
Этот метод затем был использован для вычисления древесных
диаграмм на массовой оболочке и однопетлевых амплитуд как
для открытых, так и для замкнутых струн. Большинство вы-
вычислений проведено для процессов с внешними струнами в
основном состоянии, но получено также общее выражение для
древесных диаграмм открытых струн с произвольными внешни-
внешними состояниями. Это привело к явному осцилляторному выра-
выражению для вершины, связывающей три открытые струны об-
общего вида. Полученную вершину вместе с аналогичными вы-
выражениями для других фундаментальных вершин в теории
можно использовать для определения взаимодействия между
струнными полями во вторично квантованной полевой теории
струн в калибровке светового конуса, которую мы не рас-
рассматривали.
Вычисление суперструнных амплитуд рассеяния кратко опи-
описано в суперсимметричном формализме в калибровке светового
конуса. Основные отличительные черты состоят в том, что
функциональный интеграл включает интегрирование по фер-
мионным координатам, а вершины взаимодействия больше не
являются А-функционалами перекрытия. В точке взаимодей-
взаимодействия возникает дополнительный оператор. Для кубического
взаимодействия открытых струн этот оператор линеен по про-
производным по X' (как кубическое взаимодействие в теорий

Функциональные методы в' калибровке светового конуса 277
Янга — Миллса), в то время как для кубического взаимодей-
взаимодействия струн типа II он билинеен по производным (как кубиче-
кубическое взаимодействие гравитонов).
Приложение 11.А. Детерминант лапласиана
В общем случае детерминант двумерного оператора Лапласа
является сингулярным. Поэтому необходима процедура регу-
регуляризации для корректного определения величины детерминанта.
Сингулярности возникают от нескольких источников. Суще-
Существует мультипликативная бесконечность, пропорциональная
ехр (площадь), которая встретилась при обсуждении пропага-
тора в разд. 11.1.4. Ее можно включить в общий фазовый мно-
множитель амплитуды рассеяния (когда т снова продолжается на
действительные значения). Поскольку площадь в пространстве
параметров не зависит от числа внешних струн, фаза одинакова
для всех процессов, а общая бесконечная фаза не влияет на
физику. Эта бесконечность является просто следствием беско-
бесконечности, связанной с нормальным упорядочением, которая об-
обсуждалась в разд. 11.1.3. Для мировых поверхностей с грани-
границей существует дополнительная бесконечность, пропорциональ-
пропорциональная ехр (периметр), которую, как было показано в разд. 11.1.4,
также можно убрать путем перенормировки струнного гамиль-
гамильтониана на концах струны.
Лапласиан также сингулярен в точках с бесконечной кри-
кривизной. В случае диаграмм для открытых струн одномерная
геодезическая кривизна границы бесконечна в точках взаимо-
взаимодействия и должна быть тщательно регуляризована. Для диа-
диаграмм замкнутых струн в точках взаимодействия бесконечна
двумерная кривизна. Эти бесконечности можно поглотить пере-
переопределением струнной константы связи. Кроме того, как пока-
показано в разд. 11.1.4, требуют перенормировки и струнные вол-
волновые функции. На самом деле эти бесконечные перенормиров-
перенормировки константы связи и волновой функции сокращаются друг с
другом при вычислениях, проводимых для физических процес-
процессов в критической размерности пространства-времени. Это яв-
является еще одной нетривиальной стороной понятия критической
размерности. Однако мы предпочитаем поглотить эти бесконеч-
бесконечности с помощью перенормировки параметров и исходить из
лоренц-инвариантности при определении критической размер-
размерности.
Все рассмотренные выше бесконечности связаны с двумер-
двумерной полевой теорией на мировой поверхности и не имеют отно-
отношения к бесконечностям квантово-полевой теории струн (кото-
(которые возникают от пределов интегрирования по положениям

278 Глава 11
точек разрыва или слияния струн, т. е. от формы двумерной по-
поверхности). Бесконечности в детерминанте возникают для дре-
древесных диаграмм, а также для диаграмм с произвольным чис-
числом петель. Нас интересует конечный результат, возникающий
после устранения всех расходимостей.
Конформное отображение струнной мировой поверхности в
верхнюю комплексную полуплоскость также сингулярно, и на
самом деле нас интересует произведение детерминанта на яко-
якобиан этого конформного преобразования. Якобиан будет опи-
описан в следующем приложении.
а. Древесные диаграммы для открытых струн
Метод вычисления детерминанта для древесных диаграмм
должен учитывать его аномальные трансформационные свой-
свойства относительно конформных преобразований. Поскольку де-
детерминант легко вычисляется в верхней полуплоскости, его вид
для конкретной струнной диаграммы можно получить, если из-
известно его поведение при конформных преобразованиях (так
как произвольную диаграмму можно конформно отобразить в
верхнюю полуплоскость). Конформное преобразование выра-
выражается в изменении масштаба двумерной метрики
?ар (а, т) -> /гар (а, т) = е~2ф <"• %а* (а, т), A1 .А. 1)
где Ф(о, т)—произвольная функция, определяющая конформ-
конформное преобразование. При таком преобразовании двумерная кри-
кривизна R меняется следующим образом:
Граница струнной диаграммы представляет собой кривую
.2a(s)==(x(s), a(s))., которая параметризуется параметром s.
Единичный вектор, касательный к кривой, имеет вид
ia = za/(hpyz zy)l/2, а нормальный вектор равен па = —еаР?р.
Геодезическая кривизна k является мерой того, насколько кри-
кривая отличается от геодезической линии, и определяется следую-
следующим выражением:
тде Va — ковариантная производная, содержащая символы
Кристоффеля.
Геодезическая кривизна границы ? изменяется при преобра-
преобразовании A1.А.1) следующим образом:

Функциональные методы в калибровке светового конуса 279
где переменные со шляпками вычислены по метрике И (а па
обозначает нормаль к границе).
В общем случае оператор Лапласа имеет вид
Его детерминант можно вычислить по формуле
In det'A = tr'In А, A1.А.6)
где штрих означает, что в определении det и tr нулевые моды
отброшены. Нулевые моды дают просто множитель б ~ (zlrpr),
связанный с сохранением поперечного импульса. Из A1.А.6)
следует
оо
In det' A = - J -у- tr' (е-'л), A1 .А.7)
Е
где е — параметр ультрафиолетового обрезания, который опре-
определяет регуляризованный детерминант и нарушает конформ-
конформную инвариантность классической теории. Обозначим собствен-
собственные значения А через Хп, т. е.
= Я„Ф„, Я„>0, A1.А.8)
где волновые функции Фп нормированы соотношением
(Фт, Ф„> = бт„. (П.А.9>
Подстановка собственных значений в A1.А.7) дает
оо
lndet'A=-J ^-Yle~t%n- (П.А.10)
Е
Стандартный путь решения этого уравнения заключается в рас-
рассмотрении его вариации при произвольном инфинитезимальном
изменении конформного множителя 8<р(а,х). При такой вариа-
вариации лапласиан изменяется на —2А6ф, поэтому изменения соб-
собственных значений равны
Подстановка вариаций в A1.А.10) дает
оо
б det' А = 2 J dt ?' <Ф„ б^ Ф„> -jL е~а" = - 2 tr' (б^ е~еА);
A1.А.12)

.¦280 Глава 11
таким образом, результат определяется свойствами оператора
¦ехр{—tA} («ядро оператора теплопроводности») при малых
«временах» t = e. Разложение этого оператора при малых t
имеет вид
ir {fe-tA) = \ d2z УЩ" f (г) (z | e~tA | z) ~ Г1 A (f) +
+ rU2B(f)+C(f) + O{t112), A1.A. 13)
где коэффициенты A(f), B(f) и C(f) известны как коэффициен-
коэффициенты Девитта — Сили, а формула применима для произвольных
функций f.
Это разложение можно получить, изучая оператор диффузии
G(z, z';t)={zf\e-^\z), A1.А. 14)
который удовлетворяет уравнению диффузии
-щ- - Д) G = 2лб (/ - О б2 (г - /). A1 .А. 15)
Это уравнение можно решить по теории возмущений вблизи ис-
исходной заданной метрики Н. Поскольку результат чувствителен
только к свойствам многообразия на малых расстояниях, всегда
можно выбрать конформную калибровку, в которой ha$ =
= ехр{2^*}6а|3. Тогда лапласиан принимает вид
-<?2-F, A1.А. 16)
где
V = (e~2*—l)d2. A1.А. 17)
'Оператор G определяется интегральным уравнением
G = G0+GQVG, A1.А. 18)
где Go — оператор диффузии в плоском пространстве
G0(z, z'; 0 = Dя0~1/2ехр(-|2-2/|2/40 A1.А. 19)
:в случае отсутствия границы (в противном случае Go должен
удовлетворять подходящим граничным условиям). Для получе-
получения решения уравнения A1.А. 18) по теории возмущений удоб-
удобно выбрать координаты, в которых
ф @, 0) = 0, даф @, 0) = 0 A1.А.20)
(при отсутствии границы); при этом в пределе ^->0 выражение
для G обрывается на членах, квадратичных по Go, т. ё.
G = G0+G0VG0 + O(tm). A1.А.2П

Функциональные методы в калибровке светового конуса 281
Мы не будем выписывать дальнейшие детали вычисления
коэффициентов (которые вычисляются теперь совсем просто).
Однако подстановка f = 6ф в A1.А.12) (с граничными усло-
условиями Неймана) приводит к выражению
- - б (In det' A) ~ tr' (Ъфе~^) [ d2z л/h дф -
2 4ite J
-^[ЛЬф + ^аШьф+^гфЩ + О^г),
A1.А.22).
где dl — дифференциал вдоль границы.
Уравнения (И.АЛ) — A1.А.4) определяют зависимость от ф-
различных функций, содержащихся в A1.А.22), поэтому послед-
последнее выражение можно проинтегрировать по ф:
In det' А |. — In det' A \. n = — [ d2z 4h e2* -\ \=- [ die* —
* ф=° 4ite J V 4V^e J
+ (члены, не зависящие от ф). (П.А.23)^
Первые два члена в правой части являются расходящимися чле-
членами, пропорциональными площади и периметру мировой по-
поверхности, о которых говорилось выше. С этого момента они
учитываться не будут. Величина In det'A при ф = 0 такая же,
как выражение для In det'A в z-плоскости с вырезанными ма-
малыми окружностями.
Поскольку формула (П.А.23) будет применяться к преоб-
преобразованиям z-плоскости в р-плоскость, мы рассмотрим плоскую
метрику /?аР = 6аР, которая соответствует z-плоскости. Чтобы
устранить сингулярные точки взаимодействия, мы вырежем
малые круги радиуса г/ вокруг точек р/, как показано на
рис. 11.12, а. Эти круги отображаются в полукруги (изображен-
(изображенные на рис. 11.12,6) в z-плоскости с центрами в точках Zi. Мы
также вырежем точки, соответствующие входящим и выходя-
выходящим струнам при т = ±оо, путем обрезания мировой поверх-
поверхности в точках т = хг, где |тг| велико, что также изображено
на рис. 11.12, а. Это соответствует вырезанию малых полукру-
полукругов из z-плоскости с центрами в точках z = xr и с радиусами
бг (см. рис. 11.12,6). Как обычно, удобно также выбрать
Ям = оо; при этом областью, которую необходимо вырезать,
вокруг Хм, является область \z\ >2 1/ем, где ем мало.
Поверхность является плоской, поэтому Аф = 0 во всех точ-
точках. В результате весь эффект конформного преобразования-
связан с окружностями вокруг вырезанных областей. Для:

282
Глава 11
плоской поверхности масштабный множитель выражается через
координаты до и после преобразования (соответственно г и р)
следующей формулой:
e* = |lH A1.A.24)
Прежде чем рассмотреть конформное преобразование
струнной диаграммы в верхнюю z-полуплоскость, рассмотрим
SLB, R)-преобразование, которое отображает верхнюю полу-
полуплоскость на себя. Как было показано в гл. 1, это преобразо-
преобразование является несингулярным конформным преобразованием.
Рис. 11.12. а — в мировой поверхности вокруг точек взаимодействия р/ вы-
вырезаны круглые отверстия. Существование начальных и конечных струн
ограничено временами хг, которые являются большими, но конечными;
б — образами отверстий вокруг точек р; являются полукруги радиусов 8;
с центрами в точках Z; на действительной оси г. Образами струн в момен-
моменты х, являются полуокружности радиусов ег с центрами в точках хг.
Простое применение формулы A1.А.23) приводит к выражению
для детерминанта в верхней полуплоскости с полукругами ра-
радиусов е/, вырезанными вокруг образов точек взаимодействия
(zi), и полукругами радиусов гг, вырезанными вокруг точек хг
(учитывая выделенность точки Хм)- При вычислении использует-
используется тот факт, что д2ф = О, поэтому первый член порядка е° в
A1.А.23) можно проинтегрировать по частям, что приводит к
граничным членам
\ ^гдафдф S <й*аШ A1 • А-25)
где контур проходит вдоль полуокружностей с центрами в
точках г = zt или гт. Результирующее выражение для детерми-

Функциональные методы в калибровке светового конуса 28S
нанта в z-плоскости, которое удовлетворяет A1.А.23), имеет
следующий вид:
In det'A |0=o= -g-^] lnep + члены, не зависящие от гр, A1.А.26)
p
где ?р обозначает сумму по всем значениям /иг.
Рассмотрим теперь конформное отображение z-плоскости на
струнную диаграмму (т. е. на р-плоскость), определенное фор-
формулой A1.3.1):
р= ? аг\п(хг-г), A1.А.27)
где использована инвариантность относительно трансляций по
т для фиксирования хм = оо и опущена бесконечная константа
в A1.3.1). Точки взаимодействия являются решениями уравне-
уравнения dpjdz = 0, что дает
м-\
У "г . = 0. A1.А.28)
rti (ZI~Xr)
Вблизи точки взаимодействия преобразование A1.А.27) имеет
точку ветвления, соответствующую квадратному корню, поэто-
поэтому вблизи р = р/
Р - Р/ = 4 ci B - 2/J, (! 1 -А.29>
где
A1.А.30);
ч~ дг*
Отсюда следует, что окружности радиусов г/ вокруг точек
взаимодействия в р-плоскости отображаются в окружности ра-
радиусов е/ в z-плоскости, где
In 6/ = 1 (In 2r, - In c7). A1.A.31)
Поведение функции <? вблизи точек взаимодействия имеет вид
1
A1.А.32)
Подстановка полученного выражения в A1.А.25) дает следую-
следующий вклад в In det'A:

284 Глава И
В приведенном выражении только второй член через константы
Ci зависит от формы струнной диаграммы. Другие вклады в
A1.А.23) возникают из A1.А.26) и члена, содержащего &. За-
Зависимость от С[ в этих членах сокращается, поэтому вся зави-
зависимость lndet'A от ci задается выражением A1.А.ЗЗ). Как упо-
упоминалось выше, зависимость от радиусов Г/ можно исключить
перенормировкой константы связи.
Другие вклады в In det'A идут от области, к которой при-
присоединяются внешние частицы. Вблизи произвольной точки
z = х2 (г ф М) отображение хорошо аппроксимируется сле-
следующей формулой:
р ~ аг In (z - xr), A1.A.34)
поэтому
/
где Т2—-большое время, в которое возникают входящие или
исчезают выходящие струны. Вблизи любой из этих точек
dp
a.
In, |Ur| ,. A1.A.36)
\z-xr\ v '
dz
В этом случае вклад A1.А.25) в A1.А.23) имеет вид
- ж \ <**'№ = - 12 Е1п ^ {и -А-37)
г
и одновременно следующий член в A1.А.23)
дает ненулевой вклад. Член с г = М имеет такой же вид, но с
противоположным знаком у In | алг 1 из-за обращения ориента-
ориентации контура интегрирования вокруг точки на бесконечности.
Наконец, источником зависимости от ег является Ж — вклад
самодействия r-й струны при т = т>, который определяется фор-
формулой A1.2.22)
2
О
а
D — 2
24
У] In er + члены, не зависящие от ег. A1. А.39)
При вычислении интеграла использована формула A1.4.9) для.
«функции Грина на ленте.

функциональные методы в калибровке светового конуса 285
Члены A1.А.37), A1.А.38) и A1.А.26) объединяются с In M
таким образом, что зависимость от гг при гфМ сокращается.
Благодаря обращению знака, связанного с контуром на беско-
бесконечности, вся зависимость от ем дает множитель х{м ~2I12. Этот
множитель необходим для сокращения сингулярного множителя
JJ | Хм _ Хг \Рг'рм ~ xft-W'2 в подынтегральном выражении
для амплитуды A1.3.12), который возникает при хм = °о.
Вместе с A1.А.ЗЗ) эти выражения определяют вид
[def A](/
( 4B-D)/24
(
Чтобы получить меру интегрирования для древесных диаграмм
открытых струн, этот результат необходимо объединить с вы-
выражением для якобиана.
б. Древесные диаграммы для замкнутых струн
Для замкнутых струн вычисления очень похожи на вычис-
вычисления в предыдущем случае, за тем исключением, что теперь не-
необходимо вырезать полные круги вокруг точек взаимодействия
Zi и точек z — zr, в которых присоединяются внешние частицы.
Результат сводится к тому, что все вклады в In def Д удваивают-
удваиваются, поэтому результирующее выражение для [def Л] ^-°^12Ж
возводится в квадрат.
в. Петлевые вычисления
В случае древесных диаграмм можно было определить меру
интегрирования путем рассмотрения конформных отображений.
Как показано в предыдущих главах, мировая поверхность пет-
петлевой диаграммы зависит от параметров Тейхмюллера, кото-
которые не меняются при инфинитезимальных преобразованиях
метрики. Это означает, что определение зависимости множите-
множителей в мере от этих параметров путем простого рассмотрения
конформных отображений, как было сделано для древесных
диаграмм, здесь невозможно. Простейшим примером петлевой
диаграммы является планарная петля открытой струны, рас-
рассмотренная в разд. 8.1.1 и 11.5. В этом случае зависимость от
параметра w = ехр{2я?т} невозможно определить с помощью
конформных отображений. Ниже мы просто приведем конечное
выражение, получающееся' после вычисления детерминанта

286 Глава 11
(при Хм = 1):
[def А]{2-Щ2Ж = П *гХ { TifV П ^ - Ш"Г2 Х
л=1
<и-А-41>
Приложение П.Б. Якобиан конформного отображения
а. Древесные диаграммы
Вычисление якобиана / особенно просто, если три произ-
произвольные точки хг фиксировать следующим образом: х\ = О,.
лгм_! = 1 и хм = °°. В этом случае якобиан
дх,
/= det-75-i- (П.Б.1)
имеет точно такую же зависимость от хг, как выражение
'2. (Н.Б.2>
Это следует из аналитичности и того обстоятельства, что оба
выражения имеют одинаковые сингулярности в точках совпа-
совпадения двух хг или двух точек взаимодействия, т. е. двух р/.
Совпадение сингулярностей следует из вида конформного
отображения A1.А.27). В результате комбинация /Ц/|с^~1/г
не зависит от хГ. Это важно, так как при D = 26 именно эта
комбинация содержится в произведении A1.А.40) и якобиана
/. Поскольку ^П/|с;Г1/2 не зависит от хг, эту комбинацию
можно вычислить с помощью особенно удобного выбора значе-
значений хг <^. хг+1. В этом случае связь между М — 3 точками взаи-
взаимодействия и Хг особенно проста, а именно
Р/ = р(^)~1п^ Z as+..., (П.Б.З)
где точки обозначают члены, не зависящие от хг для г ^ /. По-
Поэтому якобиан задается только диагональными членами. Диф-
Дифференцируя A1.А.27), находим
/= riV'lY/l, (П-Б.4)
1=2
где
Y/= Z «V (П.Б.б)

Функциональные методы в калибровке светового конуса
287
Дифференцируя A1.А.27) еще раз, получаем
дг1
Замечая, что Yi = «i и Ум-i = —ам, получаем
Л1-1
'П
7=2
д2р
дг2
-1/2
Л1-1
II <
г=»1
A1.Б.6)
A1.Б.7)
Очевидно, что полученный результат вместе с A1.А.40)
дает простой результат для меры только в критической размер-
размерности. Полагая D = 26, получаем
м
rrj j/aiB-D)/2 м „2 ТТ , .-1/2 /n R о\
J [aei AJ Ж = Хм М I аг | , (ll.b.oj
что является ожидаемым произведением кинематических множи-
множителей для внешних частиц и множителя {хм ¦—Х\) (хм—¦
— Xm-i) {хм-i — Х\), вычисленного при хм -> оо, хМ-\ = 1 и
Xi = 0. Бесконечный множитель х2м необходим для сокращения
компенсирующего нулевого множителя в подынтегральном вы-
выражении для амплитуды, как объяснялось выше.
В случае замкнутых струн вычисление якобиана очень по-
похоже, а предыдущий результат возводится в квадрат, так как
интегрирование является двумерным. Поскольку результирую-
результирующее выражение A1.А.40) для замкнутых струн также возводи-
возводилось в квадрат, с первого взгляда кажется, что в меру входят
квадраты требуемых кинематических множителей. Но мы уже
отметили, что интегрирование по координатам а внешних час-
частиц дает множитель 2п|аг| для каждой частицы. Вместе с мно-
множителем Bл|аг|)~1/2 в нормировке каждого состояния замкну-
замкнутой струны результат тем не менее пропорционален ожидае-
ожидаемому кинематическому множителю (при D = 26).
б. Планарная петлевая диаграмма
Как и при вычислении детерминанта, мы просто выпишем
результат вычисления якобиана для планарной петлевой диа-
диаграммы. Метод вычислений, приводящий к этому результату,
представляет собой сложное обобщение предыдущего метода
вычислений древесных диаграмм. Результат имеет вид
-1/2
дх_
dz
1П1
дг2
п
w I In w I
,1/2
A1.Б.9)

288 Глава 11
Комбинация этого выражения с A1.А.41) дает простой ко-
вариантный ответ только в критической размерности D = 26:
rI/V1. (И.Б.10)
После подстановки этого выражения в A1.2.24) (которое кон-
конкретизируется для рассматриваемого случая) получается то же
выражение для диаграммы, что и в гл. 8.
Приложение 11.В. Свойства функций fm
Функции /„, определенные выражением A1.4.40), можно пе-
переписать в следующем виде:
^-2) ... (пу-п+\). A1.В.1)
Они просто связаны с геометрическими свойствами струнной
диаграммы, что легко показать путем обращения отображения
струнной диаграммы в z-плоскость, которое задается, например,
формулой A1.4.27). Это позволяет выразить z через переменные
tr = ?r + Щг в подходящих областях р-плоскости. В области, со-
соответствующей струне 3,
где у = —cci/ссз. Это выражение можно записать в виде
0 = Yln(l+*e"), (
где
Функцию у(х) можно получить в виде ряда по х, используя
формулу Лагранжа. Для произвольной заданной функции |,
удовлетворяющей уравнению
произвольную функцию /(|) можно записать в виде
-?S-(f(a)*B(a)). 0LB.6)
n—l
Для решения уравнения A1.В.З) примем | = e1/Jv, a = 1,
<РШ=&, f(l) = lnl = y/y. В этом случае A1.В.6) дает
— л:-)- 2 xt."t/1|(/lv_/l)|'t...-i,if,lY^.
A1.В.7)

Функциональные методы в калибровке светового конуса 289
где My) определена формулой A1.4.40). Рассматриваемый ряд
сходится при
Условие A1.В.4) принимает вид
оо
In г = -?з + « - Y X /„ (Y) ent\ A1.B.9)
Этот ряд сходится в области определения струны 3. Аналогично
переменную z можно связать с координатой \,\ в области, со-
соответствующей струне 1, что дает
и с координатой "С,%\
(п.в. и)
п=1
Приложение П.Г. Свойства 5С/D)-коэффициентов
Клебша — Гордана
Матрицы р являются коэффициентами Клебша — Гордана,
которые связывают два представления 4 или Л с представле-
представлением 6 группы SUD). Они нормированы по аналогии с матри-
матрицами Дирака следующими соотношениями:
9'АС?'СВ + Р'АСР1св = 2SJ6". A1.Г.1)
SO (8)-матрицы yljb, определенные в приложении 5.Б, обра-
образуют спинорное представление группы 50(8) (которое по-
подробно описано в приложении 5.А). Они разлагаются по SUD)-
матрицам согласно формулам
((РЦ)Ав 0 \
М. и/)' A1Х-2)
о Л)

290 Глава 11
В основном тексте введено также следующее определение:
рв// = —
Для доказательства соотношений из разд. 11.7 полезно исполь-
использовать следующие тождества:
1 'CD, A1.Г.7)
= Т Чсве (рУ)лЯ. A1 .Г.8)
iabPcd] = ~ Т
Т sabcd^"> A1.Г.9)

12. Некоторые сведения
по дифференциальной геометрии
В первых одиннадцати главах этой книги мы попытались
дать введение в теорию струн в том виде, как она понимается
в настоящее время. Теперь мы обратим внимание на то, чтобы
установить связь с более привычной физикой. В этой главе
рассматриваются некоторые понятия дифференциальной гео-
геометрии, которые полезны для понимания общей теории относи-
относительности и теории Янга — Миллса даже в четырех измерениях,
а особенно нужны в десятимерной физике. Изложение в этой
главе сравнительно элементарно; его целью является главным
образом дать минимальные сведения, которые потребуются в
гл. 13 и 14. В гл. 13 мы обсудим теорию супергравитации
в десяти измерениях, являющуюся по крайней мере в рамках
теории возмущений низкоэнергетическим пределом десятимер-
десятимерной теории суперструн. В гл. 14 мы рассмотрим некоторые важ-
важные идеи, связанные с компактификацией от десяти к четырем
измерениям. Заключительные главы этой книги (гл. 15 и 16)
посвящены более специализированной математике и более спе-
спекулятивным идеям относительно компактификации.
12.1. Спиноры в общей теории относительности
В начале нашего обсуждения полезно подумать о взаимо-
взаимодействии спиноров с гравитационным полем. Эта задача имеет
огромное значение для струнных теорий, в которых присут-
присутствуют как фермионы, так и гравитация, и одного этого уже
достаточно для того, чтобы ее здесь рассмотреть. Кроме того,
обдумывание взаимодействия спиноров с гравитационным полем
заставляет изучить такие вопросы, аналоги которых для теории
Янга.— Миллса мы также хотим рассмотреть впоследствии.
Вопрос о взаимодействии спиноров с гравитацией рассматри-
рассматривается кратко в гл. 4 в связи с обсуждением двумерной супер-
супергравитации, но здесь мы изучим его подробнее.

292 Глава 12
На протяжении большей части этой главы мы рассматри-
рассматриваем многообразие М размерности п. Оно может быть наделено
метрикой евклидовой или лоренцевой сигнатуры. Когда нам
приходится делать какой-то определенный выбор, мы чаще
всего рассматриваем метрику евклидовой сигнатуры (положи-
(положительно определенную). Если надо рассмотреть глобальные то-
топологические свойства, то многообразие М обычно выбирается
компактным.
Мы хотим рассмотреть спинорные поля на многообразии М.
Причина того, что это не так просто сделать, заключается в
следующем. При переходе от одного набора координат х^ к дру-
другому набору x'v- векторное поле V^ преобразуется по закону
' ?^\ A2.1.1)
Vv ^V\
дх
Здесь матрица
Z = dx'»/dxv A2.1.2)
является в общем случае элементом группы GL(n,R) обрати-
обратимых вещественных матриц размера пХп. Вектор Vn преобра-
преобразуется по фундаментальному векторному представлению этой
группы. Самые первые формулы общей теории относительности,
описывающие взаимодействие материи и гравитации, требуют,
чтобы поля материи образовывали представления группы
GL(n,R). Физическое поле в некотором данном представлении
GL(n,R) преобразуется при замене координат с помощью мат-
матрицы Z A2.1.2), действующей в этом представлении. Представ-
Представления группы GL{n,R) — это тензоры. Из каждого представле-
представления группы GL{n,R) с помощью ограничения всегда получается
некоторое представление группы SO(n), так как SO(n) яв-
является подгруппой группы GL(n,R), но обратное неверно. Спи-
Спиноры образуют представление группы SO(n), которое не воз-
возникает из представления группы GL(n,R). Для описания взаи-
взаимодействия спиноров с гравитацией нужен модифицированный
формализм, в котором матрица Z заменяется 50 (п) -матрицей
(или в зависимости от сигнатуры SO(n—1, 1)-матрицей).
Необходимый первый шаг состоит в введении в каждой
точке х на многообразии М репера из ортонормированных ка-
касательных векторов е^{х), а = 1, ..., п. Здесь ц—индекс, ну-
нумерующий компоненты касательного вектора к М в точке х,
а индекс а — просто номер вектора е°(х). Ортонормированность
означает, что е° (х) еь^ (х) — ixfbt где ¦цаЬ — метрика плоского про-
пространства. Это равносильно соотношению
^(x)eav(x)=gliv(x), A2.1.3)

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 293
g^,, (л:) — метрический тензор на М, а %,(*) = ла&^ (л;).
Векторы е" образуют базис касательного пространства Тх, со-
состоящего из всех векторов, касательных к М в точке л:. Этот
репер обычно называют тетрадой. «Лоренцев» индекс а тетрады
поднимается и опускается с помощью лоренцевой метрики
Цаь, в то время как пространственно-временной индекс |i под-
поднимается и опускается с помощью метрического тензора g^y.
В выборе тетрады имеется большой произвол. Столь же
хорошим выбором, как е"(х), было бы еа (х) = Л?(лг) • еъ {х),
где Ааь — произвольное, зависящее от х преобразование Ло-
ренца. Такая замена тетрады называется локальным преобра-
преобразованием Лоренца. Именно это лоренцево преобразование
Al{x) в конце концов заменяет GL (n, R) -матрицу, фигурирую-
фигурирующую в обсуждении выше.
На первый взгляд не очевидно, что следует ввести тетраду;
полезность этого выясняется в процессе обсуждения. Но должно
быть ясно, что если мы собираемся ввести тетраду, то надо
обеспечить, чтобы формализм был инвариантен относительно
локальных преобразований Лоренца, так что физические на-
наблюдаемые не зависели бы от произвола в выборе тетрады.
Как и при рассмотрении любой другой локальной калибровоч-
калибровочной инвариантности, чтобы добиться локальной лоренц-инва-
риантности, необходимо ввести калибровочное поле a^bix) для
группы Лоренца SO(n—1,1) (или SO(n) в случае положи-
положительной сигнатуры). Здесь |i— индекс вектора, касательного
к многообразию, а а я Ь — SO(n—1, 1)-индексы. Калибровоч-
Калибровочное поле соц преобразуется при локальных лоренцевых преоб-
преобразованиях стандартным образом: сОц-^-Лсо^Л-1 — <3ЦЛ-Л-'.
Калибровочное поле локальной группы Лоренца обычно назы-
называется спиновой связностью.
Следует найти такой минимальный выбор спиновой связно-
связности, при котором введение тетрады и спиновой связности не
меняет содержание общей теории относительности. (В теории
струн общая теория относительности, конечно, модифицируется,
и предпочтительным может быть некоторый неминимальный
выбор спиновой связности. Но сначала важно понять минималь-
минимальный выбор.) Для начала поясним, как используется спиновая
связность. Ковариантную производную векторного поля V^ в
общей теории относительности обычно определяют, полагая
D^ = d%V» + TtvV\ где Itv — символы Кристоффеля. С дру-
другой стороны, как только введена тетрада, можно работать не
« V*(x), а с Vй (х) =е$.(х) У*(х). Величины Vй содержат ту же
информацию, что и F*\ так как последние всегда можно

294 Глава 12
восстановить: V11 (x)~ea(x)Va (x). В терминах Vй естественная
ковариантная производная имеет вид D^V1 = д^Уа -4- w^bV*. Если
требуется избежать модификации стандартного содержания об-
общей теории относительности, то два выражения для ковариант-
ной производной вектора У должны быть эквивалентны. Это
будет выполнено в том смысле, что будет справедливо соотноше-
соотношение ВцУ — е%О\,У^, если мы определим спиновую связность та-
таким образом, чтобы ковариантная производная тетрады была
равна нулю:
Здесь, как и в обычной общей теории относительности, кова-
ковариантная производная такого поля, как е°, с несколькими ин-
индексами определяется с добавлением членов, содержащих связ-
связность, для каждого индекса: D^e" = <5де° — Г^е° + сода&е*. Урав-
Уравнение A2.1.4) содержит как раз столько информации, сколько^
требуется, чтобы однозначно определить как символы Кристоф-
феля (получив при этом стандартные формулы), так и спино-
спиновую связность. Простейший способ убедиться в этом — заметить,
что A2.1.4) содержит (при переменных индексах ц, v и а) га3 не-
независимых уравнений, что равно общему числу независимых
компонент символов Кристоффеля и спиновой связности. Выте-
Вытекающая из A2.1.4) явная формула для спиновой связности в
этой книге не понадобится, но мы приводим ее для полноты из-
изложения:
- тeVb
< = тeva (<Vv - дА) - тe
•Следствием соотношений A2.1.3) и A2.1.4) (и правила Лейб-
Лейбница D^iAB) = (О^А)В-\- A (Dpi!), которое справедливо для
ковариантных производных) является тот факт, что D%gyy = О,,
как и в общей теории относительности.
Определив спиновую связность, мы можем составить калиб-
ровочно-ковариантную напряженность поля Rv.vab = д^^аь —
— <3v(»na6 + [<»ц, a>v]a- Эта напряженность имеет то же содержа-
содержание, что и тензор Римана R^-z, определенный обычным обра-
образом через символы Кристоффеля и их производные. На самом
деле из A2.1.4) следует, что Я^аь = е°е^Д.
С помощью спиновой связности нетрудно дать описание
взаимодействия спиноров с гравитационным полем. Как и в слу-
случае любого калибровочного поля, спиновая связность можег

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 295
взаимодействовать с полем г|з(х) в любом требуемом представ-
представлении калибровочной группы. В данном случае калибровочная
группа — это группа Лоренца, и мы выбираем в качестве ty(x)
лоле в спинорном представлении группы Лоренца. Если 2аь —
генераторы группы Лоренца в спинорном представлении, то ко-
вариантная производная поля л|з стандартным образом опреде-
определяется как
Я^ = <^ + Т<ад- A2-1.6)
Потребуем, чтобы при замене тетрады с помощью локального
преобразования Лоренца Л (л;) соблюдался закон г|э (#)->¦
-> Л (х) if (л;) ; тогда и ковариантная производная поля ty(x)
также преобразуется однородно: О^(х)-^А(х)О^{х).
Чтобы определить уравнение Дирака, нужны также гамма-
матрицы. Сначала вводим стандартные гамма-матрицы Га, от-
отвечающие плоскому пространству и удовлетворяющие соотно-
соотношению {Га, Гь} = 2цаь ')¦ Гамма-матрицы, отвечающие искрив-
искривленному пространству, определяются тогда как Т^(х) = е^(х) Та.
Они удовлетворяют соотношению {Til,(x),Vx(x)} =2gvy{x).
Вследствие A2.1.4) гамма-матрицы также ковариантно по-
постоянны в том смысле, что D^Tx = T^D^. Теперь уже ясно, как
•определить оператор Дирака. Он равен просто D = Г^/Эц, в точ-
точности так же как в калибровочных теориях.
Необходимо сделать еще несколько замечаний. Во-первых,
мы обсуждали минимальную спиновую связность, удовлетво-
удовлетворяющую уравнению A2.1.4). В общем случае полезно рассмат-
рассматривать также другие, неминимальные, спиновые связности, ко-
которые, как правило, зависят от других физических полей помимо
-метрики. Удобной мерой неминимальности некоторой немини-
неминимальной спиновой связности является так называемое «круче-
иие» Tpv, определяемое выражением
Ta^=D^-Dvel A2.1.7)
Кручение зависит только от спиновой связности, но не от сим-
символов Кристоффеля, так как (в силу симметрии по нижним
индексам величин r^v. входящих в определение ковариантных
производных) символы Кристоффеля в правой части уравнения
A2.1.7) сокращаются. По той же причине наиболее эффектив-
эффективный способ получения формулы A2.1.5) в случае минимальной
спиновой связности, т. е. без кручения, состоит в том, чтобы
4) При обсуждении дифференциальной геометрии ниже в этой книге мы
принимаем (как обычно в физической литературе), что матрицы Дирака Т*
являются эрмитовыми при пространственноподобных ц.

296 Глава 12
исходить из выражения A2.1.7) (при Г = 0), а не из соотноше-
соотношения A2.1.4).
В начале этого раздела мы уже объяснили одну причину,,
по которой необходимо ввести тетраду, чтобы описать взаимо-
взаимодействие спиноров с гравитационным полем. Есть и другая, бо-
более глубокая причина. Она появляется при рассмотрении то-
топологически нетривиальной ситуации. Выше мы предположили,,
что можно найти ортонормированный репер касательных век-
векторов, что, конечно, можно сделать локально, но глобально на
топологически нетривиальном многообразии в общем случае-
этого сделать нельзя. Например, на обычной двумерной сфере
(рис. 12.1), как утверждает
классическая теорема, нельзя
выбрать гладкое касательное
векторное поле, нигде не об-
обращающееся в нуль. Эта тео-
теорема часто формулируется как.
высказывание, что «нельзя при-
причесать бильярдный шар». Раз
нельзя найти и одного не
Рис 12.1. Нельзя «причесать волосы обращающегося в нуль век-
на сфере», или, другими словами, не- г ¦"
возможно найти нигде не равное торного ПОЛЯ на двумерной
нулю касательное векторное полена сфере, то тем более нельзя
поверхности обычной двумерной найти ортонормированный ре-
сФеРы- пер векторных полей, т. е. тет-
тетраду. На самом деле топологи-
топологически нетривиальные многообразия, на которых можно опреде-
определить всюду одну тетраду, встречаются сравнительно редко. Та-
Такие многообразия называются параллелизуемыми, и они, по-
видимому, не подходят для суперструнной компактификации.
Что же делать, если топологические проблемы не позволяют
определить тетраду всюду? Мы, конечно, можем задать тетраду
локально, так что мы покрываем М открытыми множествами
О(а), на каждом из которых вводим некоторую тетраду е°(о).
В областях перекрытия О(ар) = О(а) П О(р> Две тетрады е{а.) и
?(Р) с необходимостью связаны локальным преобразованием
Лоренца:
<?,«)(*) = Л(аР) (дс) е(Р) (дс). A2.1.8)
Появившееся в этой формуле локальное преобразование Ло-
ренца Л(ар)(х) называется функцией перехода. Само собой ра-
разумеется, если бы мы использовали другие тетрады е(а) и е<р>
в О(а) и О(р), мы получили бы другие функции перехода. Но
независимо от того, какие использовались тетрады и функции ¦
перехода, из A2.1.8) следует, что в области тройного перекры-

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 297
тия O(apY) — O(a) П 0(р> fl O(Y) функции перехода удовлетворяют
условию
= 1. A2.1.9)
Как же теперь ввести спиноры в этой, более трудной ситуации?
В каждом открытом множестве O(tt) введем спинорное поле i|)(a).
В областях перекрытия О(ар) потребуем, чтобы г|)(а) и г|)(р) опи-
описывали одну и ту же физическую ситуацию в том смысле, что
W*) = A(aP)(*)W*). A2.1.10)
Здесь Л — SO(n)- или SO(n—1, 1)-матрица Л, записанная в
спинорном представлении. Уравнение A2.1.10) имеет смысл
только в том случае, если в области тройного перекрытия вы-
выполняется соотношение
Л(ор)Л(р v)A(vo) = 1. A2.1.11)
На первый взгляд кажется, что все в порядке, так как A2.1.11)
представляется следствием равенства A2.1.9). Но необходимо
учитывать, что спинорное представление двузначно и приводит
к неопределенности в знаке, возникающей при переходе от Л
к А. Действительно, •—Л ничем не хуже +Л. Поэтому соотно-
соотношение A2.1.11) не следует только из условия A2.1.9); правая
часть соотношения A2.1.11) может оказаться равной —1 вме-
вместо + 1- Чтобы определить спиноры на непараллелизуемом мно-
многообразии М, надо попытаться выбрать знаки у всех Л(ар> та-
.ким образом, чтобы выполнялось соотношение A2.1.11). Если
это можно сделать, то говорят, что многообразие М допускает
спинорную структуру, или является спинорным многообразием.
(Если М неодносвязно, то может быть несколько неэквивалент-
неэквивалентных способов выбора знаков, согласованного с A2.1.11), и в та-
таком случае говорят, что М допускает несколько спинорных
структур.) Теория суперструн содержат фермионы, так что эти
теории могут быть определены только на спинорных многооб-
многообразиях. В двух и в трех измерениях любое ориентируемое много-
многообразие является спинорным; в этом и заключается причина
того, что понятие спинорного многообразия не слишком хорошо
известно физикам. В четырех и более измерениях «большин-
«большинство» (в любом разумном смысле) многообразий не являются
-спинорными, так что требование существования спинорной
-структуры есть важное ограничение на суперструнную компак-
тификацию.

298 Глава 12
12.2. Спинорные структуры на мировой поверхности
В предыдущем разделе мы рассмотрели распространение-
спиноров в искривленном пространстве. Совершенно аналогич-
аналогичная задача возникает в теории струн при изучении распростра-
распространения спиноров на искривленной мировой поверхности, как уже
обсуждалось в разд. 4.3.4. Там мы рассматривали только локаль-
локальные проблемы, а' сейчас мы возвращаемся к этому вопросу и
рассмотрим некоторые простые глобальные свойства.
Важное упрощение связано с тем, что группа вращений-
в двумерном пространстве является абелевой группой SOB)..
a 5
Рис. 12.2. a — компактная мировая поверхность струны с двумя замкнутыми:
кривыми Yi и Уг. на ней, из которых первая топологически тривиальна, а
вторая — нет; б — на поверхности рода k имеется 2k топологически незави-
независимых замкнутых кривых.
Она изоморфна группе U(l) комплексных чисел, по модулю»
равных единице. Пусть, как и в разд. 4.4.1, W — один генератор
группы SOB). Представление группы SO B) можно определить,,
задав собственное значение оператора W. В отличие от ситуа-
ситуации в размерности большей двух векторное поле V*1 не отвечает
неприводимому представлению группы SOB), а разлагается
на компоненты V+ и V~, отвечающие W= 1 и W ==—1 соот-
соответственно. Если поле У*1 вещественно, то V+ и V~ комплексно-
сопряжены друг другу. Подобным образом двухкомпонентное
спинорное поле г|)л имеет компоненты г|з+ и г|)~ положительной
и отрицательной киральности, которые отвечают W=l/2 и
W = —1/2 соответственно. Эти компоненты также сопряжены
друг другу, если спинор г|)л вещественный (майорановский).
Ограничимся для простоты рассмотрением ориентируемых
мировых поверхностей. Аналогичное обсуждение можно прове-
провести и в случае неориентируемых поверхностей, но это требует
большей осторожности и более точных определений. Рассмотрим,
мировую поверхность, представляющую собой компактную ри-
манову поверхность рода k (рис. 12.2). Мы хотим обсудить па-
параллельный перенос векторов и спиноров по таким замкнутым:,
кривым, как показанные на рис. 12.2, а кривые у\ и 72- Доста-

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 299
точно рассмотреть V+ и ty+, так как V~ и г|г~ преобразуются как
комплексно-сопряженные.
При параллельном переносе вокруг некоторой замкнутой
кривой у величина V+ преобразуется с некоторой фазой eia. Что
-же происходит с г|)+ при параллельном переносе вокруг у} Ис-
Исключая неопределенность в знаке, на этот вопрос легко ответить,
заметив, что произведение г|)+-г|)+ преобразуется как V+ и при
параллельном переносе вокруг у приобретает фазу е'а. Поэтому
г|)+ должно преобразовываться с множителем
Ve75"- A2.2.1)
Здесь возникает неопределенность, так как квадратный корень
имеет два знака. Если кривая у стягиваемая (подобно д>1 на
рис. 12.2, а), то неоднозначность можно разрешить следующим
способом. В пределе, когда у — очень малая замкнутая кривая,
векторы и спиноры не должны меняться при переносе вокруг у,
*если мы предполагаем, что спиновая связность несингулярна
(а это определенно имеет место в случае обычной спиновой
• связности, заданной соотношением A2.1.5) так, что метрика
ковариантно постоянна). Таким образом, для очень малой кри-
кривой а да 0, и параллельный перенос спиноров дает знак плюс
у корня квадратного в A2.2.1). Для любой стягиваемой кри-
кривой у, необязательно инфинитезимальной, знак квадратного
корня в A2.2.1) определяется из требования, что множитель
A2.2.1) является непрерывно меняющимся функционалом от у,
который становится положительным, когда у стягивается в
точку. С другой стороны, если у — топологически нетривиальная
^кривая (подобно у2 на рис. 12.2, а), то естественного способа
выбора знака в A2.2.1) не существует, и мы должны рассмат-
рассматривать обе возможности.
В более общем случае на поверхности рода k (рис. 12.2,6)
имеется 2k независимых нестягиваемых петель. Поэтому при-
приходится 2k раз делать выбор знаков, когда мы решаем, каким
•образом осуществлять параллельный перенос спиноров на по-
поверхности рода k. Всего имеется 22k возможных вариантов того,
как определить параллельный перенос спиноров на поверхность
рода k. (Если перевести это обсуждение на язык предыдущего
раздела, можно показать, что все 22k варианта совместны
с A2.1.11).) На поверхности рода k имеется 22fe спинорных
•структур.
Теперь мы можем достичь лучшего понимания GSO-проек-
¦ции, которая, как мы видели в гл. 4, дает суперсимметрию в
^NS-модели. Сначала рассмотрим подробно поверхность рода
«один. Как и в гл. 8 и 9, ее можно рассматривать как паралле-

300
Глава 12
лограмм в плоскости (а\, аг), у которого отождествлены про-
противоположные стороны. Это показано на рис. 12.3. На парал-
параллелограмме мы можем выбрать плоскую метрику, и в таком
случае вектор не меняется при параллельном переносе вокруг
замкнутых петель, стягиваемых или нестягиваемых. Поэтому
спиноры меняют знак на ±1 при обходе по замкнутой петле в
направлении а или с2. Имеются четыре возможных набора гра-
граничных условий для спиноров, которые можно обозначить
(++), ( (-), (-j ) и ( ), где первый и второй знаки
«+» или «—» указывают на поведение при параллельном пе-
переносе соответственно в направлении О\ или с2. Эти четыре на-
Рис. 12.3. Поверхность рода один, рассматривается как параллелограмм в
(сгь сг2) -плоскости с отождествленными противоположными сторонами.
бора граничных условий отвечают четырем спинорным струк-
структурам на поверхности рода один ').
Когда мы вычисляем однопетлевой интеграл по путям в тео-
теории струн, содержащей фермионы, то какую спинорную струк-
структуру мы используем? Для суперструн в RNS-формализме это
рассмотрено в разд. 9.4, где объяснялось, почему унитарность,
и модулярная инвариантность требуют GSO-проекции (или ка-
какой-нибудь другой подобной проекции, которая уничтожает
безмассовые частицы спина 3/2). Фермионы и бозоны возникают
в RNS-модели при выборе знака «+» или «—» соответственно
в граничных условиях в направлении оь Чтобы теория содер-
содержала и бозоны, и фермионы, надо суммировать по возможным-
граничным условиям в направлении оь GSO-проекция равно-
равносильна вставке (l-f(— l)F)/2 в интеграл по путям. Оператор-
4) Мы уже обсуждали эти граничные условия на поверхности рода 1
в гл. 9, хотя и не использовали язык спинорных структур. Как обсуждалось
там, если в теории имеется несколько различных типов фермионов, каждый
из них может отвечать разным спинорным структурам, возможно, с неко--
торыми корреляциями между различными выборами.

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 301
(—1)F обращает граничные условия по а2, так что GSO-встав-
ка оператора A+(—l)f)/2 есть указание суммировать по воз-
возможным граничным условиям в направлении аг. Собирая эти
факты вместе, получаем, что суперсимметричная теория с GSO-
проекцией на однопетлевом уровне получается с помощью сум-
суммирования по всем четырем возможным граничным условиям,
или, другими словами, по всем четырем возможным спинорным
структурам. Независимое суммирование по граничным условиям
как в направлении аь так и в направлении аг являлось бы,
формально говоря, прескрипцией, инвариантной относительно
Рис. 12.4. Поверхность рода два: а — с разрезом, разделяющим две ручки;
б ¦— с разрезом, обнаруживающим некоторое состояние, циркулирующее в
одной из петель.
модулярных преобразований, которые переставляют Oi и а2. Не-
Необходимо проверить это и убедиться, что нет аномалии относи-
относительно модулярных преобразований; это верно в критической
размерности, как мы видели в гл. 9.
Каково обобщение всего этого на случай поверхностей боль-
большего рода? Так как на однопетлевом уровне мы суммировали
по всем четырем спинорным структурам, можно было бы ожи-
ожидать, что на й-петлевом уровне мы должны суммировать по
всем 22k спинорным структурам. Действительно, раз мы решили
суммировать по всем спинорным структурам на однопетлевом
уровне, унитарность вынуждает нас делать то же самое и на
й-петлевом уровне. Если «разрезать» двухпетлевую диаграмму,
как на рис. 12.4, а, разделив ее на две однопетлевые, то уни-
унитарность, несомненно, заставляет независимо просуммировать
по четырем спинорным структурам каждой из двух поддиаг-
поддиаграмм, если это было сделано на однопетлевом уровне. Соеди-
Соединяя вместе две поддиаграммы, получаем суммирование по всем
4X4= 16 спинорным структурам на поверхности рода два.
Теперь мы можем ответить на вопрос, который мог привести
в недоумение читателя, когда в гл. 4 была введена GSO-проек-
ция. Благодаря тому, что в теории имеется сохраняющееся ди-
дискретное квантовое число (—1)F, в древесных диаграммах
можно, конечно, выполнить GSO-проекцию и рассматривать
только такие процессы, в которых внешние состояния четны

302 Глава 12
относительно (—l)f. Но что гарантирует нам, что частицы не-
неправильной G-четности (нечетные относительно (—l)f) не бу-
будут рождаться парами в петлевых диаграммах? Чтобы прове-
проверить, что этого не происходит, рассмотрим типичное струнное
состояние, циркулирующее вокруг петли X в диаграмме, подоб-
подобной изображенной на рис. 12.4,6. Указание суммировать по
всем спинорным структурам означает, что мы суммируем по
граничным,условиям фермионов, которые могут быть периоди-
периодическими или антипериодическими при обходе вокруг петли X.
Таким образом, струнное состояние на разрезе X может быть
либо R-, либо NS-состоянием, т. е. либо фермионом, либо бо-
бозоном. Суммирование по спинорным структурам означает так-
также, что граничные условия в направлении, ортогональном X,
могут быть либо периодическими, либо антипериодическими;
это и есть GSO-проекция. Таким образом, промежуточными со-
состояниями в петлевых диаграммах являются в точности те же
состояния, которые разрешены в качестве внешних. Нежела-
Нежелательные состояния не рождаются парами.
12.3. Топологически нетривиальные калибровочные поля
После рассмотрения понятий, связанных с мировой поверх-
поверхностью струны, вернемся к пространственно-временным объ-
объектам. Следующей нашей целью будет обсуждение топологи-
топологически нетривиальных калибровочных полей в пространстве-вре-
пространстве-времени. Необходимые здесь понятия вполне аналогичны тем, с
которыми мы встречались при обсуждении спинорных струк-
структур в п измерениях, поэтому мы начнем с переосмысления в
разд. 12.3.1 понятий векторов и спиноров в римановой геомет-
геометрии. Обсуждение калибровочных полей в разд. 12.3.2 проводит-
проводится в не столь абстрактной форме и является логически незави-
независимым, но более абстрактная точка зрения полезна, особенно
в приложениях к более трудным задачам.
12.3.1. Касательное расслоение
В каждой точке х некоторого гладкого многообразия М мы
имеем векторное пространство Тх, состоящее из касательных
векторов к М в точке х (рис. 12.5). Поле спина один, или век-
векторное поле V, представляет собой в каждой точке х элемент
V^(x) пространства Тх. В любом естественном смысле каса-
касательные векторные пространства Тх и 7V в различных точках х
и х' на М являются разными пространствами. Одно из них —
пространство касательных векторов в точке х, а другое—.
пространство касательных векторов в точке х'.

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 303
Хотя интуитивно представляется очевидным (рис. 12.5), что
векторные пространства Тх и 7V действительно не являются
одинаковыми, этот вопрос очень важен и заслуживает тщатель-
тщательного исследования. Можно было бы сравнить касательные век-
векторы в точке х с касательными векторами в точке х' с по-
помощью параллельного переноса вдоль некоторого пути у, веду-
ведущего из х в х''. Но такой параллельный перенос зависел бы от
произвольного выбора пути из х в х' и поэтому не являлся бы
естественной операцией.
Рис. 12.5. Касательное расслоение в двух точках х и х' на римановом
многообразии.
В каком смысле можно сказать, что два векторных простран-
пространства, таких как Тх и Тх-, вообще отличаются друг от друга?
В действительности любые два векторых пространства Т и Т
одинаковой размерности п изоморфны. Изоморфизм между
ними — это просто обратимое линейное отображение р: Т-+-Т.
Такие отображения, конечно, существуют, если Т и Т имеют
одинаковую размерность, но при этом есть много таких отобра-
отображений и нет естественного способа выбрать какое-то одно из
них. Естественный выбор изоморфизма между Т и Т был бы
возможен, если бы эти пространства были снабжены базисами
еа, а = 1, ..., п для Т и ёа, а = 1, ..., п для Т. Тогда мы опре-
определили бы изоморфизм из Т в Т соотношением р(еа) = ёа. В ри-
мановой геометрии, вообще говоря, нет естественного способа
выбрать базисы еа(х) в векторных пространствах Тх. Но в
разд. 12.1 мы видели, что хотя естественного способа сделать
это нет, но тем не менее очень полезно произвольным образом
выбрать базис еа(х), т. е. тетраду. В любой области О, в кото-
которой выбрана тетрада, векторные пространства Тх можно рас-
рассматривать как в некотором смысле одинаковые. Надо просто
выбрать произвольную точку ^еО и отобразить Тх на ТХо
с помощью обратимого отображения еа(х)^>-еа(хо). Хотя это
и не является естественной операцией, так как имеется зависи-
зависимость от произвольного выбора тетрады, но высказывание о
том, что различные пространства Тх могут рассматриваться как
одинаковые, приобретает какой-то смысл.

304 Глава 12
В общем случае, однако, как мы упоминали в конце
разд. 12.1, выбрать гладко меняющееся тетрадное поле по все-
всему топологически нетривиальному многообразию М невозмож-
невозможно. При этом мы не можем рассматривать векторные простран-
пространства Тх как одинаковые даже с помощью произвольного выбо-
выбора. Мы должны принять точку зрения, что векторное поле
Vv-(x) в каждой точке х принимает значение в другом (но глад-
гладко меняющемся) векторном пространстве Тх. Тогда получается
прототип одного чрезвычайно важного математического поня-
понятия. Векторное расслоение V над многообразием М — это се-
семейство векторных пространств Vx, по одному для каждой точ-
точки igjH, гладко зависящих от х. Векторное пространство Vx
называется слоем векторного расслоения V над точкой х. Клас-
Классическим примером векторного расслоения над М является при-
пример, который мы только что описали, — касательное расслоение
Т, слоем которого над каждой точкой является касательное
пространство Тх. Векторное расслоение называется топологиче-
топологически тривиальным, если, выбрав гладко меняющийся базис для
каждого пространства Vx, можно все их отождествить с VXo
для любой данной точки х0. Согласно этому определению, ка-
касательное расслоение Т является топологически тривиальным,
если можно выбрать одно тетрадное поле по всему многообра-
многообразию М; таким образом, то, что мы раньше называли паралле-
лизуемыми многообразиями, есть многообразия, касательные
расслоения которых топологически тривиальны. Каждое век-
векторное расслоение является тривиальным локально, так как ло-
локально всегда можно ввести аналог тетрадного поля.
Если касательное расслоение не является топологически три-
тривиальным, то, как и в разд. 12.1, лучшее, что мы можем сде-
сделать,— это покрыть М открытыми множествами О(а> и выбрать
тетраду е(а) в каждом множестве О(а>; эти тетрады будут свя-
связаны соответствующими переходными функциями на областях
перекрытия. Этот формализм совершенно аналогичен форма-
формализму, используемому в случае калибровочных полей, к чему
мы теперь перейдем.
12.3.2. Калибровочные поля и векторные расслоения
Наиболее элементарную формулировку понятий, связанных
с калибровочной теорией, начинают с калибровочной группы G
и полей материи tp'(x), преобразующихся по некоторому пред-
представлению R группы G. Здесь х обозначает точку пространства-
времени М, a t = 1, ..., п — индекс в представлении R. Затем
рассматривают локальные калибровочные преобразования, осу-,
ществляемые калибровочной функцией g(x), зависящей от точ-

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии
305
ки пространства-времени. Закон преобразования имеет вид
-ф* (x)-^gij(х)ty1 (х), где ^записана в представлении R.
Такая формулировка достаточна и совершенно удовлетвори-
удовлетворительна для калибровочных теорий в плоском пространстве-вре-
пространстве-времени или вообще в любой топологически тривиальной ситуации.
Под топологически тривиальным пространством мы понимаем
пространство, подобное евклидову пространству или открытому
шару в евклидовом пространстве, которое можно без разрывов
стянуть в точку. Но на топологически нетривиальном многооб-
многообразии М, подобном сфере или римановой поверхности с п руч-
ручками, обычная формулировка
калибровочной теории допус-
допускает очень важное обобщение.
Требуемая мотивировка по-
похожа на принцип эквивалент-
эквивалентности в общей теории относи-
относительности. Эта мотивировка
напоминает также обсуждение
в разд. 12.1 вопроса о том, как
ввести фермионы в топологи-
топологически нетривиальных ситуа-
ситуациях. Но здесь мы рассмотрим
ее более подробно. Мы уже
знаем, как формулируются ка-
калибровочные теории на топо-
топологически тривиальном про-
пространстве. Поэтому покроем М открытыми множествами О((Х),
каждое из которых топологически тривиально. Например,
если М — сфера (рис. 12.6), то достаточно двух открытых мно-
множеств, в качестве которых можно выбрать 0+ и О_, представ-
представляющие собой дополнения соответственно к южному и север-
северному полюсам. На каждом открытом множестве О(а) мы фор-
формулируем калибровочные теории обычным способом. На каждом
множестве О(а) вводится поле ty\a.)(x) в представлении R ка-
калибровочной группы. Закон калибровочных преобразований
имеет вид
*'«!)-»> g'/faMa), A2.3.1)
причем теперь мы имеем право использовать разные калибро-
калибровочные функции g'j(a) на каждом множестве О(а). Мы, конечно,
не хотим, чтобы поля -ф на различных множествах О(а) были
совершенно независимыми; необходимо наложить некоторые ус-
условия, отвечающие тому факту, что различные множества O(aj
склеены друг с другом в пространство М. Пусть О(ар> = О(а)Г)
Л О(C) — область перекрытия множеств О(а) и О(р). Потребуем,
Рис. 12.6. Покрытие сферы двумя
открытыми множествами О+ и О—

306 Глава 12
чтобы поле •ф(а) (х) на О(а) и поле i|)(p)(#) на Оф отвечали одной
и той же физической ситуации в области, где оба определены,
а именно на О(ар)- Разумеется, они отвечают одной и той же
физической ситуации в том и только в том случае, когда они
связаны некоторым калибровочным преобразованием g\ap). По-
Поэтому мы потребуем выполнения условия
для некоторой функции g<ap). (Мы опускаем здесь индексы,
отвечающие представлению R, которые встречались в пред-
предшествующих формулах). Функции g(a$) называются переход-
переходными функциями, что логично, так как они осуществляют пе-
переход между физически эквивалентными описаниями в области
перекрытия 0<ар). Аналогичные величины появлялись в нашем
обсуждении спиноров в искривленном пространстве-времени.
Имеется некоторое условие самосогласованности, которому
должны удовлетворять переходные функции, чтобы соотноше-
соотношение A2.3.2) имело смысл. Пусть O(apY) = O(a) Л О(р> Л Ow ¦—
область тройного перекрытия областей О(а), Оф и O(Y). Тогда
для самосогласованности A2.3.2) должно выполняться условие
на O(aPv)- Как преобразуются функции g(a$} под действием ка-
калибровочных преобразований? Рассмотрение соотношений
A2.3.1), A2.3.2) и A2.3.3) показывает, что закон преобразо-
преобразования, который надо постулировать, должен иметь вид
г<аэ>^ад«е)*даг <12-3-4)
Если можно так выбрать калибровочные функции g(a) в
A2.3.4), чтобы сделать переходные функции g(ap) равными еди-
единице, то различные поля i|)[a) будут равны друг другу в обла-
областях перекрытия, и наше описание сведется к обычному описа-
описанию, когда поле материи — обычное поле tyl{x), определенное
на всем многообразии М. Новизна в рассмотренном описании
возникает тогда, когда невозможно с помощью калибровочного
преобразования сделать переходные функции равными единице.
Чтобы проиллюстрировать, что все это означает, рассмот-
рассмотрим подробнее пример сферы Sn (рис. 12.6). Здесь имеется одна
область перекрытия О+_, состоящая из всех точек сферы, кро-
кроме северного и южного полюсов. Следовательно, имеется един-
единственная переходная функция g+~ O+--*-G. Она, конечно,
определена только с точностью до калибровочных преобразова-
преобразований: функция g+- калибровочно-эквивалентна g+g^ gZ1, где
g+ и g_ — произвольные калибровочные преобразования в 0+

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии
307
и О_. На первый взгляд может показаться, что с помощью
двух произвольных G-значных функций можно сделать одну
функцию g+~ равной единице. Если бы это было так, то обсуж-
обсуждаемое обобщение обычных калибровочных теорий было бы
пустым, по крайней мере в случае сферы Sn. Но это не так,
причем только вследствие топологических сложностей.
Область перекрытия О+_ содержит, в частности, экватор
2 « S"—1. Любую из функций g+, g_ или g+_ можно ограничить
на экватор, получив отображение S"^1 -*- G. Поэтому важно
кратко обсудить топологическую классификацию таких отобра-
отображений. Для любого k отобра-
отображение a: Sft->-G называется
топологически, или гомотопи-
чески, тривиальным, если его
можно продолжить до отобра-
отображения a: 5->G, где В — шар,
границей которого является
сфера Sk (рис. 12.7). Это дает
соотношение эквивалентности,
когда два отображения a: Sfe->-
->¦ G и Ъ: Sfe->-G считаются
эквивалентными, если произ-
произведение ab~l тривиально в ука-
указанном выше смысле. Классы
эквивалентности называются
гомотопическими классами и образуют группу, называемую
гомотопической группой nu{G). Возвращаясь к предыдущему,
мы теперь замечаем, что g+ и g_ тривиальны как элементы
Лп-1 (G), так как они имеют продолжения на 0+ и О-, вклю-
включающие северную и южную полусферы соответственно. Но для
функции g+- ничто нам этого не гарантирует. Переходная
функция g+~, вообще говоря, не может быть продолжена ни на
северную, ни на южную полусферу и определяет нетривиальный
элемент группы nn~i(G). Гомотопический класс отображения
g+- инвариантен относительно A2.3.4), так как g+- и g- гомо-
топически тривиальны. Но эта топологическая информация яв-
является единственным свойством g+ _, инвариантным относи-
относительно A2.3.4). (Действительно, если /: O+_-»-G лежит в том
же гомотопическом классе, что и gH , то g+ = f ¦ g+[_ можно
продолжить на 0+ и использовать в A2.3.4), преобразуя g+-
в /.) Поэтому калибровочные поля на Sn топологически класси-
классифицируются указанием элемента из nn-i(G). Для п = 2 и
G= U(l) имеем ai(U(l)) = Z, а нетривиальные калибровочные
поля называются магнитными монополями. В случае когда
п = 4, a G — любая простая неабелева группа, имеем
Рис. 12.7. Сфера S* является грани-
границей (k + 1)-мерного шара В. Для
любого пространства G отображение
a: Sk -*¦ G гомотопически тривиаль-
тривиально, если его можно продолжить до
отображения а: В -*¦ G.

308 Глава 12
() = Z, а нетривиальные калибровочные поля называются
инстантонами. Аналоги для больших значений п менее извест-
известны физикам. В случае пространств, отличных от Sn, топологи-
топологическая классификация калибровочных полей в общем случае
весьма сложна. Для десятимерного многообразия и калибровоч-
калибровочной группы Е& можно дать сравнительно простое решение, но и
оно использует понятия, выходящие за рамки данной книги.
В случае топологически нетривиального калибровочного по-
поля с переходными функциями g(a$), которые нельзя сделать
равными единице, необходимо работать с разными калибровоч-
калибровочными полями Л(СС) в каждом открытом множестве О(«) точно
так же, как мы поступали в случае заряженного поля материи
г|)(а). Как и заряженные поля, различные поля А(а) связаны
друг с другом калибровочными преобразованиями:
\(а) = ?<орИц(р)?(ар) ~ ^(аР)^(аР)- A2.3.5)
В топологически нетривиальной ситуации никакое из полей
А(а) нельзя продолжить на все пространство, не получив где-то
сингулярность типа дираковской струны. Но если выполняется
надлежащее обобщение условия квантования Дирака, то ди-
раковскую струну можно как угодно перемещать с помощью
калибровочных преобразований, а выбрав разные калибровки
в каждом множестве О(а), можно описывать физическую си-
ситуацию в каждой такой области в терминах несингулярного ка-
калибровочного поля Л(а). Аналогом условия квантования Дирака
служит условие согласованности, которому подчинены переход-
переходные функции в областях тройного перекрытия, так что это ус-
условие с самого начала включено в наше описание.
Суммируем предшествующее рассмотрение, так чтобы под-
подчеркнуть связь между описанием топологически нетривиальных
калибровочных полей и приведенным в разд. 12.3.1 обсуждением
касательного расслоения. Рассмотрим систему с топологически
нетривиальным калибровочным полем Лц, взаимодействующим
с заряженным полем г|). Как и выше, накроем пространство-
время простыми открытыми множествами О(а). Наблюдатели в
О (а) и 0@) могут согласиться с утверждением, что возможные
значения заряженного поля г|) образуют векторное простран-
пространство Vx- Но эти наблюдатели в 0<а) и в О(р) не могут согласо-
согласовать выбор базиса для Vx, так как топологически нетривиаль-
нетривиальная ситуация — это как раз такая ситуация, в которой не су-
существует гладко меняющегося базиса для Vx. Если выбран
базис для Vx, то поле г|)(х), являющееся элементом пространства
Vx, может быть описано волновой функцией "ф'(х), состоящей
из компонент, отнесенных к этому базису. Поскольку наблюда-
наблюдатели в О(С?) и в 0@) не могут согласовать выбор базиса, они

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 309
описывают одно и то же поле г|) с помощью разных волновых
функций я|^а) (х) и г|)('р) (х), и эти волновые функции связаны пе-
переходными функциями, которые осуществляют переход от ба-
базиса в О(а) к базису в О(Р). Но повторим еще раз: наблюдатели
в О(а) и в О(Р) согласны друг с другом в том, что в каждой точ-
точке х векторного пространства Vx существуют возможные значе-
значения заряженного поля я|з. Таким образом, существенным поня-
понятием является понятие векторного расслоения, т. е. семейства
гладко меняющихся векторных пространств Vx, по одному для
каждой точки х в М.
Для данного многообразия М и калибровочной группы G
классификация векторных расслоений на М с калибровочной
группой G является в общем случае, как мы уже отмечали,
очень сложной проблемой. Для многих задач существенно по-
понять простейшие топологические инварианты, ассоциированные
с векторными расслоениями. Такими инвариантами являются
характеристические классы. В разд. 12.5 мы обсудим характе-
характеристические классы, но сначала необходимо рассмотреть эле-
элементарные аспекты теории дифференциальных форм.
12.4. Дифференциальные формы
Рассмотрим антисимметричное тензорное поле Btlt2...ik_
с k индексами, которое задано на компактном многообразии М
размерности п. В математике такое поле называется й-формой,
или, иначе, дифференциальной формой степени k. Постулируем
для поля В калибровочное преобразование
± циклические перестановки}, A2.4.1)-
где тензор Aixi2...ik_l антисимметричен по всем k—1 индек-
индексам, а знаки в правой части выбираются так, чтобы обеспечить
полную антисимметричность тензора SB по всем индексам.
Чтобы избежать постоянно повторяющихся громоздких выра-
выражений в правой части соотношения A2.4.1), удобно определить,
оператор внешнего дифференцирования d. Его определение за-
заключается просто в том, что, действуя на любую дифференциаль-
дифференциальную форму, скажем на р-форму ф, этот оператор дает (р+ 1)-
форму с компонентами
- w.=ттг К V. tp+1 -
± циклические перестановки!. A2.4.2)»

310 Глава 12
Знаки в правой части выбираются так, чтобы обеспечить полную
антисимметричность компонент d^. Это определение позволяет
переписать A2.4.1) в сжатом виде ЬВ = dA.
На первый взгляд может показаться, что формулы A2.4.1)
и A2.4.2) вполне подходят для плоского пространства, но в слу-
случае искривленного пространства все обычные частные произ-
производные надо заменить ковариантными производными. Можно
•ожидать, что формула A2.4.2) заменится формулой
• Ф- ¦ — 0) D. ф. -+-
± циклические перестановки!, A2.4.3)
у
где D — ковариантная производная, определенная относительно
некоторой римановой метрики на М. Но формулы A2.4.2)
и A2.4.3) эквивалентны друг другу. Этот факт доказывается
в учебниках по общей теории относительности; его можно дока-
доказать непосредственно, исходя из определения ковариантной
производной и свойств аффинной связности. Например, если
Ф— 1-форма, то A2.4.3) дает
¦2 фф)и rf, fa (ф, 1,фк !ф1 + Ук
A2.4.4)
Мы воспользовались определением ковариантной производной
D$j и тем фактом, что в римановой геометрии аффинная связ-
связность Г*/ симметрична по нижним индексам i и /. Эквивалент-
Эквивалентность выражений A2.4.3) и A2.4.2) для р-форм при р> 1 до-
доказывается аналогично, хотя при этом приходится проследить
за большим количеством слагаемых. Эквивалентность выраже-
выражений A2.4.3) и A2.4.2), не зависящая от выбора метрики в опре-
определении A2.4.3), означает, что оператор d в выражении A2.4.2)
является общековариантным оператором, несмотря на то что
он определен без выбора метрики. Это означает, что он зависит
только от многообразия М как топологического (или гладкого)
многообразия. Только дифференциальные формы являются та-
такими полями, на которых можно определить разумный диффе-
дифференциальный оператор (а именно d), не зависящий от выбора
метрики, — в этом причина их важной роли в математике. Лю-
Любое свойство многообразия М, которое можно сформулировать
только в терминах свойств оператора d, автоматически является
топологическим инвариантом в силу только что установленных
¦фактов. Другие дифференциальные операторы, изучаемые в ма-
математике и физике (такие как, например, оператор Дирака),
зависят от выбора метрики, и извлечь из них топологические

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 311
инварианты (такие как индекс Дирака, который мы исследуем
в гл. 14) можно только с помощью весьма специальных рас-
рассуждений.
Далее, дифференциальная форма ф называется замкнутой,
если йФ = 0. Она называется точной, если Ф = da для некото-
некоторой дифференциальной формы а. Разумеется, если ф— форма
степени k (й-форма), то а должна быть формой степени k—L
Мы определили оператор d таким образом, что он может дей-
действовать на дифференциальные формы любой степени, так что
для данной р-формы форма йФ — это (р + 1) -форма, к которой
снова можно применить оператор d. Фундаментальный факт
заключается в том, что для любой формы ф выполняется усло-
условие d(dф) = 0. Этот фундаментальный факт можно выразить
равенством d2 = 0 или утверждением, что каждая точная форма
замкнута. Проверить равенство d2 = 0 можно непосредственно
из определения A2.4.2), нужно лишь внимательно проследить
за различными членами (полезно сначала поупражняться
с формами небольшой степени).
Используя равенство d2 = 0, легко видеть, что (р + 1)-форма
C = dB A2.4.5)
инвариантна относительно A2.4.1); более того, она удовлетво-
удовлетворяет тождеству Бианки dC = 0. Частный случай всего этого-
хорошо знаком из теории Максвелла. Если В оказывается
1-формой, его можно рассматривать как.абелево калибровочное
поле, и в таком случае A2.4.1)—стандартный закон калибро-
калибровочных преобразований, а Л в этом случае есть 0-форма.
Более того, в этом случае A2.4.5) представляет собой (с точ-
точностью до множителя 2) стандартное определение Сц = (<5,В/—
— djBi)/2 калибровочно-инвариантной напряженности поля,
а равенство dC = 0 эквивалентно стандартному тождеству
Бианки diCjk -f д\Сы — дкСц = 0.
Для тождества Бианки, которое мы только что установили,
имеется в некотором смысле обратное утверждение. Любая диф-
дифференциальная форма С, удовлетворяющая условию dC = 0v
локально может быть представлена в виде С = dB. Для произ-
произвольных р это утверждение известно как лемма Пуанкаре, для
малых р оно знакомо физикам из теории электромагнетизма.
В теории электромагнетизма хорошо известно, что из уравнения
Максвелла dF = 0 (где F — 2-форма, отвечающая напряженно-
напряженности электромагнитного поля) следует существование такой
1-формы А (вектор-потенциал), что F = dA. Точнее существо-
существование такой 1-формы гарантировано только локально, глобально
же могут возникнуть затруднения. Прототипом ситуации, когда
dF = 0, но вектор-потенциал не может быть определен всюду

312 Глава 12
без появления сингулярностей, является магнитный монополь
Дирака. Общей задаче обращения тождества Бианки (можно
.ли р-форму С, удовлетворяющую условию dC = О, глобально
представить в виде С = dB) мы ниже уделяем значительное
внимание, причина чего вскоре станет ясна.
Если найдена калибровочно-инвариантная напряженность С,
нетрудно сформулировать обобщение действия Максвелла. Оно
имеет вид
~ 2р! J 8 ' '•••§¦ Р ' " ' h ••• lp+i h ¦¦¦ ip+i == 2(p!J' ^ -4- '
где g — метрический тензор на многообразии М, а внутреннее
произведение определено соотношением (ф, г|з)= \ фА* ty-
В действительности это минимальное обобщение действия
Максвелла. Другое обобщение встретится в следующей главе.
Теперь как для целей настоящего рассмотрения, так и для
целей гл. 14 очень полезно понять, как устроены нулевые моды.
Под нулевыми модами мы подразумеваем те моды, которые,
согласно A2.4.6), имеют нулевое действие, но являются физи-
физическими модами, неустранимыми посредством калибровочного
преобразования A2.4.1). В гл. 14 мы обнаружим, что при ком-
пактификации до четырех измерений теории, определенной ис-
исходно в большем числе измерений, нулевые моды проявляются
в четырех измерениях в качестве безмассовых частиц. Матема-
Математические методы, которые будут развиты для изучения нулевых
мод, помогут нам также определить простейшие топологические
инварианты, ассоциированные с векторными расслоениями,
а именно характеристические классы.
Так как нулевая мода В должна иметь нулевое действие,
из A2.4.6) очевидно, что она должна удовлетворять условию
dB = 0. В то же время, так как мы считаем, что физическая
нулевая мода — это то, что нельзя устранить калибровочным
преобразованием, то имеем В ф dh. для любой (р—1)-формы
Л. Таким образом, число линейно независимых нулевых мод
р-форм — это число линейно независимых р-форм, которые
замкнуты, но не точны. Это число называется р-м числом Бетти
Ър. Мы определили число Ьр исключительно исходя из свойств
-оператора d, который, как мы знаем, не зависит от метрики
на М, так что целые числа Ър являются топологическими инва-
инвариантами. Это один из основных и легче всего вычислимых то-
топологических инвариантов многообразия М.
Эквивалентный способ сформулировать определение числа.
ibp состоит в следующем. Пусть Ср — векторное пространство,

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 31$
состоящее из всех замкнутых р-форм, т. е. р-форм а, удовлетво-
удовлетворяющих условию da = 0. Пусть Dp — векторное пространство,,
состоящее из всех точных р-форм, т. е. таких р-форм а, что
а = dp для некоторой (р—1)-формы р. Тогда Dp — подпро-
подпространство в пространстве Ср, так что можно определить вектор-
векторное фактор-пространство
НР(М; R) = Cp/Dp. A2.4.7).
(Для данных векторного пространства С и его подпространства.
D фактор-пространство Н = CjD определяется как простран-
пространство, состоящее из классов эквивалентности элементов С, когда
два элемента си с' из С считаются эквивалентными, если
c — c'^D.) Пространство Н" (М; R) называется р-й группой
когомологий многообразия М с вещественными коэффициента-
коэффициентами1). (Групповая структура в Нр(М; R)— это просто структура
аддитивной группы в Hp(M;R) как векторном пространстве.)
Связь между пространствами № и числами Бетти Ър очень-
проста: Ьр есть просто размерность векторного пространства
Нр (М- R).
Мы не можем здесь дать полное описание чисел Бетти и
групп когомологий, но еще задержимся на этой теме, чтобы
дать читателю некоторое представление об этом предмете, р-
Форму а можно проинтегрировать по любому р-мерному под-
подмногообразию Т в М. Для небольших р это хорошо известно фи-
физикам. Например, если р = 1, то мы имеем дело с 1-формой,
которая представляет собой абелево калибровочное поле А.
Его можно проинтегрировать вдоль любой кривой у и полу-
получить /v = \ Aidx1. Если р = 2, то мы имеем дело с 2-формой,
подобной напряженности электромагнитного поля, которую
можно проинтегрировать по любой двумерной поверхности S и
получить «магнитный поток через S»: Is= \ FijdH11, где dlL'1 —
элемент площади поверхности S. Это обобщается на случай
интеграла от р-формы а по произвольному р-мерному подмно-
подмногообразию Т с границей или без нее:
i1...,prf2i«-'p. A2.4.8)
') Упоминание о вещественных коэффициентах отражает тот факт, что-
на самом деле Нр имеет важное обобщение — классы когомологий с целыми"
коэффициентами. Это понятие, к сожалению, выходит за рамки настоящего*
рассмотрения, хотя оно и играет значительную роль в десятимерной физике..

314 Глава 12
Здесь dE''""'p — элемент объема на Т. Ниже мы будем поль-
пользоваться сокращенной записью выражения A2.4.8)
/r=Jo. A2.4.9)
т
Интегралы от дифференциальных форм подчиняются одной
важной теореме, известной как теорема Стокса. Пусть W —
лроизвольное компактное подмногообразие в М, dW — его гра-
лица. Пусть, далее, размерность W равна р + 1 и р — некоторая
р-форма. Тогда теорема Стокса утверждает, что
ip= \ р. A2.4.10)
W dW
.Для небольших р это хорошо знакомо по теории электро-
электромагнетизма.
Теперь мы обсудим связь между группами когомологий и
интегралами от дифференциальных форм по замкнутым под-
подмногообразиям. Под замкнутым подмногообразием мы пони-
понимаем просто компактное подмногообразие без границы. Пусть
•а — замкнутая р-форма, а Т — замкнутое подмногообразие в
М размерности р. Замкнутая р-форма а является элементом
пространства, которое мы обозначили Ср, так что ее класс
эквивалентности в Cp/Dp определяет элемент в Нр(М; R), на-
называемый классом когомологий формы а. Две замкнутые фор-
формы а и а' определяют один и тот же класс когомологий, если
¦а — а' = dp для некоторой (р—1)-формы р. В таком случае
J
o- Ja'= J rfp= $P = 0, A2.4.11)
дТ
так как дТ = 0. Таким образом, интеграл от замкнутой формы а
по замкнутому многообразию Т зависит только от класса кого-
когомологий формы а. В частности, если класс когомологий формы
а равен нулю, другими словами, если а = dp для некоторой
формы р, то \ а = 0 для всех замкнутых подмногообразий Т.
Знаменитая теорема де Рама устанавливает обратное утвержде-
утверждение. Если класс когомологий а не равен нулю, то всегда най-
найдется какое-нибудь замкнутое подмногообразие Т, для кото-
которого \ а Ф 0.
Если форма а такова, что \ а есть целое число для всех
J Т
Т, то говорят, что класс когомологий а целочисленный. Такие
классы дают связь между когомологиями де Рама, рассматри-

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 315
ваемыми здесь, и более сложными когомологиями с целыми ко-
коэффициентами, которые мы, к сожалению, не сможем изучить.
Фиксируем теперь замкнутую р-форму а, класс когомоло-
гий которой может быть нулевым или ненулевым, и рассмот-
рассмотрим 1(Т) = \ о, как функционал от замкнутого многообразия
Т. Если многообразие Т можно непрерывно деформировать в
Т', то 1(Т)= 1(Т'), так как в силу теоремы Стокса
С a— jja= jj a= \da = Q. A2.4.12)
Т V OW W
Здесь W, изображенное на рис. 12.8,— многообразие, соединяю*
щее Т и Т', так что dW = Т — Т' (знак минус означает, что Т
и Т входят в dW с противо-
противоположными ориентациями). W
Очевидно, что такое многооб- Т др,-..-».-..-¦^ггп:..-.г„.,,.;.дт>
разие W существует всегда, р!
когда Т можно деформировать
в Т. Рассмотренное свойство
является частным случаем не-
- J Рис. 12.8. Многообразие W соеди-
которого много более сильного няет «пленкой;, два многообразия Г
ограничения на 1{Т). Пусть и Г, которые могут быть деформи-
Т — любое замкнутое р-мер- рованы друг в друга.
ное подмногообразие, которое
является границей некоторого (р + 1)-мерного подмногообра-
подмногообразия W в М, так что dW = Т. Тогда
= U=\a=Wa = O. A2.4.13)'
J J «J
T dW W
Таким образом, если Т — граница, то интеграл по Т от любой
замкнутой формы равен нулю. Теорема де Рама снова дает
своего рода обратное утверждение. Если замкнутое подмного-
подмногообразие Т в М (и любое его кратное) не является границей
никакого подмногообразия в М на единицу большей размерности,,
то, согласно теореме де Рама, всегда найдется некоторая зам-
замкнутая дифференциальная форма а на М, такая что \ а Ф CL
J 1
Замкнутое подмногообразие Т в пространстве-времени М назы-
называют топологически нетривиальным, если Т не является грани-
границей какого-либо подмногообразия W в М.
Собирая эти утверждения вместе, получаем, что р-е число»
Бетти Ьр многообразия М равно числу независимых замкнутых
р-мерных поверхностей в М, которые топологически нетриви-
нетривиальны.

316 Глава 12
Существует и другой способ сформулировать эти идеи, ко-
который иногда оказывается полезным. Пусть а — р-форма, ко-
которая замкнута, но не точна; это означает, что da = 0, но
а ф dp для всех (р—1)-форм р. В силу последнего предполо-
предположения невозможно так выбрать р, чтобы величина
W = (a — dp, a —dp) A2.4.14)
обратилась в нуль. Хотя мы и не можем обратить в нуль W, но
можно так выбрать р, чтобы положительно определенная вели-
величина W стала настолько малой, насколько это возможно. Ва-
Вариационное уравнение, отвечающее минимизации W по р, имеет
вид d* (a — dp)=O, где d*—оператор, сопряженный операто-
оператору d относительно внутреннего произведения < , >. Точнее, как
нетрудно видеть, d* есть оператор, который, действуя на про-
произвольную р-форму ty, дает (р—1)-форму d*ty, определенную
¦соотношением
Так как d2 — 0, квадрат сопряженного оператора d*2 также
должен быть равен нулю, что легко проверить, воспользовав-
воспользовавшись соотношением A2.4.15).
Если положить у — ос — dp, то те факты, которые мы только
что узнали, можно суммировать утверждением, что любой
р-мерный класс когомологий (например, класс произвольной
замкнутой р-формы а) можно представить дифференциальной
формой у, удовлетворяющей уравнениям
dY = d*Y = 0. A2.4.16)
Но, поскольку оператор d отображает р-формы в (р + ^-фор-
^-формы, сопряженный ему оператор d*. отображает р-формы в
(р — 1)-формы, так что оператор
A = dd* + d*d A2.4.17)
отображает р-формы в р-формы. Оператор А называют лапла-
лапласианом Ходжа — де Рама, действующим на дифференциальные
формы. (Читатель может проверить, что, действуя на 0-формы,
являющиеся обычными функциями, оператор А представляет
собой обычный лапласиан.) Решение уравнения Да = 0 назы-
называют гармонической дифференциальной формой. Очевидно, что
любая форма у, удовлетворяющая уравнениям A2.4.16), яв-
является гармонической; таким образом, из того, что каждый
класс когомологий можно представить решением уравнений
A2.4.16), следует, что каждый класс когомологий можно пред-
представить гармонической дифференциальной формой.

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 317
Обратное также верно: каждая ненулевая гармоническая
форма представляет ненулевой класс когомологий. Чтобы это
доказать, предположим сначала, что y удовлетворяет уравне-
уравнению AY = 0. Тогда 0 = <y, (dd* + d*d)y} = {dy, dy) + (d*y,
d*y}. Поскольку < , > — положительно определенное внутреннее
произведение на дифференциальных формах, отсюда следует,
что y удовлетворяет уравнениям A2.4.16). В частности, это
означает, что y замкнута и поэтому является представителем
некоторого класса когомологий. Чтобы убедиться, что этот
класс когомологий не равен нулю, предположим обратное, т. е.
что у = dp для некоторой формы р. Тогда, так как у удовлетво-
удовлетворяет уравнениям A2.4.16), имеем 0 = (d*y, р> = (у, dp) =
= <7> т). откуда следует, что у = 0. Поэтому класс когомологий
гармонической дифференциальной формы у может равняться
нулю только в том случае, если сама форма у равна нулю.
Это завершает доказательство утверждения, что гармонические
р-формы находятся во взаимно однозначном соответствии с
р-мерными классами когомологий. В частности, р-е число Бетти
Ьр равно числу линейно независимых гармонических р-форм.
Часто бывает удобен другой способ сформулировать этот ре-
результат. Так как d2 =(d*J = 0, то А = S2, где S = d + d*. По-
Поскольку S—эрмитов оператор, он имеет такие же нулевые
моды, как и его квадрат А. В частности, нулевые моды опера-
оператора S можно выбрать так, чтобы они были дифференциаль-
дифференциальными формами определенной степени (так как это, очевидно,
можно сделать для оператора А, отображающего р-формы в
р-формы); тогда р-е число Бетти, или число гармонических
р-форм, — это то же, что число независимых р-форм, аннулируе-
аннулируемых оператором 5. Как эрмитов оператор первого порядка 5
напоминает оператор Дирака. Эта аналогия представлена более
точно в гл. 14.
Опишем теперь операцию, называемую внешним произведе-
произведением, которая очень важна для изучения дифференциальных
форм. Из двух данных тензорных полей А и В на многообразии
М можно получить новые тензоры, перемножая их и различны-
различными способами свертывая индексы. В случае дифференциальных
форм есть один особенно важный закон умножения, который
пригоден для изучения топологических свойств многообразия М,
так как в нем не используется метрический тензор. Если А и
В— р-форма и д-форма соответственно, то внешнее произведе-
произведение Л А В мы определим как (р + q)-форму вида
(А А В). , = . p\q\, [А. . В. , ± перестановки),
A2.4.18)

318 Глава 12
где в правой части производится суммирование по перестанов-
перестановкам, чтобы получилось выражение, полностью антисимметричное
по всем индексам р + q. Когда недоразумение маловероятно,
мы будем обозначать произведение А А В просто как АВ.
Внешнее произведение удовлетворяет соотношению
АЛВ = (-1)МВЛА, A2.4.19)
что можно проверить прямо из определения A2.4.18); един-
единственным слегка нетривиальным местом будет только знак
(—l)pq, возникающий из-за полной антисимметричности в опре-
определении внешнего произведения. Внешнее произведение и внеш-
внешняя производная подчиняются соотношению
d (А Л В) = (dA) ЛВ + (-1)рАЛ (dB), A2.4.20)
что также можно видеть из определений. Важное следствие ра-
равенства A2.4.20) состоит в том, что если формы А и В замкну-
замкнуты, то замкнута и форма А А В. Если А и В замкнуты, они
определяют соответственно р-мерный и ^-мерный классы кого-
мологий, а их произведение А А В, также замкнутая форма,
определяет (р -\-q) -мерный класс когомологий. Более того,,
класс когомологий формы А А В зависит только от когомологи-
когомологических классов форм А и В. Действительно, если заменить А
дифференциальной формой А = А + da того же класса кого-
когомологий, то AAB = AAB+(da)AB = AAB + d(aAB),.
а значит (так как d(a А В) отвечает нулю в когомологий) у
формы А АВ и А А В определяют один и тот же класс кого-
когомологий. Таким образом, внешнее произведение дает кор-
корректно определенный закон умножения на когомологических
классах. Для данных замкнутых р-формы и g-формы, представ-
представляющих элементы из Нр (М; R) и НЧ(М; R) соответственно, их
внешнее произведение определяет некоторый элемент из
Hp+i(M; R). Этот закон перемножения когомологических клас-
классов определяет структуру, называемую кольцом когомологий
многообразия М, и содержит намного больше информации,,
чем отдельные группы когомологий. Например, как мы увидим
в гл. 16, при подходящих условиях группы когомологий, точнее
их размерности, т. е. числа Бетти, определяют число безмассо-
безмассовых фермионов, в то время как кольцо когомологий определяет
юкавские взаимодействия.
Так как числа Бетти играют важную роль во многих аспек-
аспектах десятимерной физики, остановимся на обсуждении несколь-
нескольких их основных свойств. Простейшее свойство состоит в том,
что нулевое число Бетти Ьо всегда есть единица. Это легко по-
показать, заметив, что 0-форма — это просто обычная функция фг

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 319
а замкнутая О-форма ф, удовлетворяющая условию dj> = О,
должна быть постоянной функцией, скажем ^>= 1. Эта О-форма
замкнута, но Не точна. (В случае 0-формы равенство ф — da
означало бы, что а должна быть (—1)-формой!) Значит, с
точностью до нормировки существует ровно одна замкнутая, но
не точная О-форма, что и дает Ьо = 1 '). Другое фундаменталь-
фундаментальное свойство чисел Бетти состоит в том, что на компактном
ориентируемом многообразии М размерности п выполняется
соотношение Ьр — Ь„-р для любого р. Это легко доказать, отож-
отождествляя числа Бетти Ьр с числами нулевых мод лапласиана А,
действующего на р-формах. Пусть stl...in— тензор Леви-Чиви-
ты многообразия М. Это полностью антисимметричный тензор,
который помимо метрического тензора является единственным
ковариантно постоянным тензором (тензорным полем) на ри-
мановом многообразии общего вида. Имеется естественный
оператор *, называемый оператором дуальности Пуанкаре2),
который отображает р-формы в (п — р) -формы. Этот оператор
определяется условием, что для произвольной р-формы а
(п — р) -форма *а имеет вид
(*а). , = е. . 1п-Р+г-Ча 1р1 A2.4.21)
Он удовлетворяет равенству (*J=(—1)р(«-р), а также связан
с определенными выше операторами d и d* соотношением
d* =(•—l)"p+"+1*d*. Эти соотношения хоть и нетривиальны, но
легко могут быть проверены. Из указанных свойств следует
* А = * {dd* + d'd) = (- l)"p+1 * ((— 1)" d * d * + * d * d) =
= (_i)n"+1 ((_i)" * d * d + d * d *) * =
+ d*d)*=A*, A2.4.22)
так что оператор * коммутирует с лапласианом А. Поэтому
оператор * отображает гармонические р-формы в гармониче-
гармонические же (п — р)-формы и наоборот. Это и обеспечивает тот
факт, что Ьр = Ьп-р на компактном ориентируемом многообра-
многообразии М размерности п. Одним из следствий этого является утвер-
утверждение, что на таком многообразии Ьп = 13).
Еще одно фундаментальное свойство чисел Бетти относится
к их поведению, когда рассматривается произведение много-
') Здесь подразумевается, что многообразие М связно. Если же много-
многообразие состоит из нескольких отдельных связных кусков, нулевое число
Бетти &о равно, очевидно, числу этих кусков. — Прим. перев.
2) Его часто называют также оператором Ходжа.—Прим. перев.
3) Точнее Ьп = &0) ср. примечание 1 выше на этой странице. — Прим.
перев.

320 Глава 12
образий. Пусть Z\ и Z2 — два компактных многообразия, и
пусть Z = ZiXZ2. Пусть bp(Zi), bp(Z2) и bp(Z)— р-е числа
Бетти многообразий Zb Z2 и Z соответственно. Тогда формула
Кюннета утверждает, что
ЬР (Z) =?bk B,) bp_k (Z2). A2.4.23)
k = 0
Доказательство простое. Пусть а — гармоническая &-форма на
Zb а В— гармоническая (р— k)-форма на Z2. Тогда аЛВ—
гармоническая р-форма на Z, которая всегда отлична от нуля.
(Эта конструкция при различных значениях k и при всевозмож-
всевозможных выборах форм аир дает достаточно много гармонических
р-форм на Z, чтобы доказать, что bp(Z) по крайней мере не
меньше, чем правая часть A2.4.23).) Чтобы продемонстриро-
продемонстрировать, что в A2.4.23) имеет место точное равенство, а не нера-
неравенство, мы должны показать, что внешние произведения а Л В,
где а и В определены на Zx и Z2 соответственно, дают базис в
пространстве гармонических форм на Z. Это немедленно сле-
следует из того факта, что лапласианы на Z, Zx и Z2 связаны соот-
соотношением Az = Az, + Az2. Этот факт опять нетривиален, но до-
доказать его не трудно1). Каждый из этих операторов неотрица-
неотрицателен (a Az, и Az2 коммутируют между собой), так что нулевая
мода оператора Az должна одновременно быть нулевой модой
операторов Az, и Az2. Следовательно, гармоническая дифферен-
дифференциальная форма на Z есть всегда линейная комбинация выра-
выражений вида а Л В, где а и В — гармонические формы на Zx и
Z2 соответственно.
Рассмотрим кратко числа Бетти для некоторых простых
пространств. Одно общее утверждение состоит в том, что для
компактного ориентируемого многообразия размерности п вы-
выполняется условие Ьо = Ьп= 1- Если ограничиться компактны-
компактными ориентируемыми многообразиями, то сфера S" — единствен-
единственное пространство, , для которого все остальные числа Бетти
равны нулю. Что. числа Бетти сферы S", кроме Ьо и bn, равны
нулю, можно доказать, исследовав лапласиан. Кроме того, это
связано с другим определением чисел Бетти, которое было на-
намечено выше. Число Бетти Ьр — это число независимых р-мер-
ных подмногообразий У, не являющихся топологически триви-
тривиальными в том смысле, что У не есть граница R ни для какого
(р + 1)-мерного подмногообразия R. На сфере 5" каждое
р-мерное подмногообразие при 1 ^ р ^ п — 1 топологически
тривиально. (Иногда это выражают высказыванием, что
*) Читателю, желающему проверить это утверждение, рекомендуется
рассмотреть сначала случай, когда Д действует на 0-формах.

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии
3215
«нельзя заарканить сферу», рис. 12.9.) Таким образом, Ьр равно
нулю при 1 г=: р г=: п— 1. (Но точка на Sn представляет собой
нуль-мерное подмногообразие, не являющееся границей, а зна-
значит, й0 = 1; сама сфера Sn есть n-мерное подмногообразие, не
являющееся границей, так что Ьп= 1.) Числа Бетти для произ-
произведения сфер можно получить из формулы Кюннета. Например,
для обычного двумерного тора Т = S1 X S1 числа Бетти есть
bo=l, bi = 2, Ь2=1. Классическим результатом является
обобщение этого факта на случай компактной римановой по-
поверхности (или мирового листа струны!) с g ручками: Ьо = К
Ь\ = 2g, b2 = 1. Значение чис-
числа Ъ\ есть отражение того фак-
факта, с которым мы столкнулись
при обсуждении спинорных
структур на римановой по-
поверхности рода g: на такой
поверхности имеется 2g неза-
независимых нестягиваемых замк-
замкнутых кривых. В действитель-
действительности существуют вполне прак-
практичные методы, позволяющие
вычислить числа Бетти любого
разумного пространства, но в
этой книге мы не сможем их
изучить.
В заключение этого введения в теорию дифференциальных
форм приведем очень удобные, но несколько более абстракт-
абстрактные обозначения, которых мы до сих пор предпочитали избе-
избегать. Пусть М — n-мерное многообразие с локальными коорди-
координатами х1, i = 1, ..., п. Хотя эта точка зрения обычно не исполь-
используется в физической литературе, но «координаты» х' на много-
многообразии можно рассматривать как вещественнозначные функции
на нем, или, другими словами, как 0-формы. Поскольку х' — 0-
формы, их внешние производные являются 1-формами dxl. Так
как внешнее произведение 1-форм антисимметрично, имеем-
dxl Л dxf = —dx' Л dxl, или просто dxldxi = —dx'dx1 (если под-
подразумевается внешнее произведение). Формы dx1 образуют пол-
полный базис 1-форм на М (по крайней мере локально), а это озна-
означает, что любую 1-форму А можно представить в виде
Рис. 12.9. Петля на двумерной сфе-
сфере всегда является топологически-
тривиальной. В более общем случае-
р-мерная сфера S" на S" при 1 ==:
^ р < п всегда топологически три-
тривиальна.
A2.4.24)
где скалярные функции Ai(x!) представляют собой «компонен-
«компоненты» А в системе координат х!. Если считать, что А — абелево

322 Глава 12
калибровочное поле, то напряженностью является
F = dA = -j- (dtA, - d,At) dxl dx', A2.4.25)
или просто F = l/2Fiidxidx'. Заметим, что мы могли бы также
написать F = dx'dx'diAj, или F = dx'diA, если подразумевается,
что производная дь действует только на компоненты Л/, но не
на фундаментальные 1-формы dx' в разложении А = A,-dxf.
В более общем виде если ф — дифференциальная форма произ-
произвольной степени, то в том же смысле имеем d§ = dx'di<p.
12.5. Характеристические классы
Теперь в нашем распоряжении имеются необходимые сред-
средства, чтобы дать описание простейших топологических инва-
инвариантов, характеризующих топологически нетривиальные калиб-
калибровочные поля. Это характеристические классы. Рассмотрим
сначала случай UA) -калибровочного поля. Как и в разд. 12.3.2,
покроем наше многообразие М открытыми множествами О(а).
В каждом открытом множестве О(а) калибровочное поле — это
1-форма А(а). В этом случае уравнение A2.3.5) упрощается
(мы полагаем g(a$) = ехр (#«хр)) и переопределяем калибро-
калибровочное поле, поглощая множитель i, так, чтобы оно было ве-
вещественным) :
Здесь ф(а$) — гладкие функции на 0(о) П О(р>.
Калибровочно-инвариантная напряженность поля есть
F = dA(a). Напряженность является 2-формой, которая в силу
условия A2.5.1) (и d2 = 0) не зависит от а, поэтому она одно-
однозначно определена на всем М. Более того, тождество Бианки
dF = 0 означает, что F замкнута и, следовательно, определяет
элемент второй группы когомологий Н2(М; R) многообразия М
с вещественными коэффициентами. Класс когомологий формы
F/2n в Н2 (М; R) называется первым классом Черна рассмат-
рассматриваемого векторного U(I)-расслоения. (Векторное U(l)-рас-
U(l)-расслоение, т. е. векторное расслоение, калибровочная группа ко-
которого есть ?/A), часто называют комплексным линейным рас-
расслоением.) В топологически тривиальной ситуации имеем
F = dA для одной и той же определенной всюду 1-формы А.
В этом случае (согласно определению группы когомологий)
класс F в Я2 равен нулю, и первый класс Черна равен нулю.
В топологически нетривиальной ситуации калибровочное по-
поле на самом деле представляет собой семейство калибровочных
полей А(а), удовлетворяющих соотношениям A2.5.1). Два ка-

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 32S
либровочных поля, или, точнее, два семейства Л<а) и A(a) при-
принадлежат одному и тому же топологическому классу, если они
удовлетворяют соотношениям A2.5.1) с одинаковыми переход-
переходными ФУНКЦИЯМИ ф(а$) ') :
) = АФ)
Взяв разность этих уравнений, замечаем, что Л(а) — A(a) не за-
зависит от а и, таким образом, является 1-формой, определенной
всюду. Пусть В обозначает эту 1-форму. Имеем также соответ-
соответствующие напряженности F = dA и F = dA, а также их раз-
разность F — F = dB. Важный момент здесь в том, что так как
А(а) и А(а) не являются всюду однозначно определенными
(а меняются при переходе от О(р) к О(а) согласно A2.5.1)), то
равенства F = dA и F = dA не означают, что класс когомоло-
гий формы F или формы F равен нулю. Но так как В всюду
однозначно определена, то равенство F — F = dB означает, что-
F и F принадлежат одному классу когомологий. Другими сло-
словами, первый класс Черна является топологическим инва-
инвариантом.
Если первый класс Черна не равен нулю, т. е. F не равно
нулю в Я2 (М; R), то в силу теорем де Рама, рассмотренных
в разд. 12.4, всегда найдется замкнутое двумерное многообра-
многообразие Т в пространстве-времени, для которого
ф0- <12-5-3>
В этом случае условие квантования магнитного заряда Дирака,
примененное к Т, гарантирует, что 1(Т)—целое число, так что
класс когомологий формы Р/'2л всегда является целочисленным
элементом в H2(M;R). Первый класс Черна можно рассматри-
рассматривать как такое правило, по которому каждому двумерному
замкнутому многообразию Т сопоставляется целое число 1(Т).
Целые числа 1(Т) не могут изменяться при непрерывных дефор-
деформациях калибровочного поля. Последнее замечание — еще один
способ понять топологическую инвариантность первого класса
Черна.
') Точнее говоря, достаточно потребовать, чтобы переходные функции
8{а$) для Аа) можио выло продеформировать непрерывным образом в пе-
переходные функции g(ap) для Л(а), не нарушая в процессе деформации усло-
условия самосогласованности A2.3.3). — Прим. перев.

324 Глава 12
12.5.1. Неабелев случай
Теперь мы хотим обобщить понятие классов Черна на слу-
случай простой неабелевой калибровочной группы G. В этом слу-
случае потребуется немного более сложное рассмотрение. Калиб-
Калибровочное поле Аа(а) несет дополнительный индекс а, отвечаю-
отвечающий алгебре Ли группы G. Это поле можно рассматривать как
1-форму со значениями в этой алгебре Ли. Напряженность ка-
калибровочного поля теперь имеет вид Fa = dAa -f- fabcAb А Ас,
где fabc — структурные константы алгебры Ли группы G. Здесь
Fa можно определить как 2-форму со значениями в алгебре Ли.
Так как Fa имеет индекс, отвечающий алгебре Ли, напряжен-
напряженность является не калибровочно-инвариантной, а лишь калиб-
ровочно-ковариантной. Тождество Бианки не означает, что Fa
замкнута; вместо этого выполняется условие
0 = dFa + fabcA" AFC. A2.5.4)
Так как F" не является замкнутой формой, то нет и аналога
первого класса Черна. Легко показать, однако, что из A2.5.4)
следует, что 4-форма
Q=ZbabFa AFb A2.5.5)
а, Ь
замкнута, dQ = 0. Если нормировать генераторы G так, чтобы
tr ТаТь = 8аЬ, то A2.5.5) будет эквивалентно формуле
Q = Yja, bFa A Fb ¦ tr ТаТь. Вводя матричнозначные формы
А = 2 ТаАа, F=Z TaFa, A2.5.6)
получаем сокращенную запись
Q, = txFAF. A2.5.7)
След в формуле A2.5.7) берется по индексам Г-матриц, кото-
которые явно не указываются. Так как dQ — 0, форма Q опреде-
определяет элемент из Hi(M\R), известный как второй класс Черна
в случае калибровочного поля с калибровочной группой SU(N)
или как первый класс Понтрягина в случае группы SO(N).
Чтобы показать, что в топологически тривиальной ситуации
второй класс Черна равен нулю, введем 3-форму Черна — Сай-
монса юз, определяя ее в каждом множестве О(а) по формуле
2
co3(a) = tr A{a) A rf4(a) + -g-tr A(a) А А{а) А Ам. A2.5.8)
Здесь, как и в выражении A2.5.7), tvА /\А /\А — сокращен-
сокращенная запись для Аа А Аь A A°-tx TaTbTc. Из определений еле-

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 325
.дует, что tr F Л F = Ло3. В топологически тривиальной ситуа-
ситуации, когда юз однозначно определена всюду, это означает, что
второй класс Черна равен нулю. Чтобы показать, что второй
класс Черна — топологический инвариант, предположим, что
даны калибровочные поля А и А, принадлежащие одному топо-
топологическому классу. Другими словами, два семейства Л(а) и
А(а) удовлетворяют соотношениям A2.3.5) с одинаковыми пе-
переходными функциями g"(ap). Тогда для разности 8А = А—А
неоднородный член в законе преобразования A2.3.5) сокра-
сокращается, т. е. 8А является калибровочно-ковариантной 1-формой
подобно напряженностям F и F. Тогда 3-форма Z = ivbA/\
Л (F + F) — Y3tr 8А Л 6А Л 6Л однозначно определена, не за-
зависит от а, и после некоторых вычислений можно показать, что
trFAF — trFAF = dZ. Это означает, что классы когомологий
форм tr .FA F и trFAF равны, или, другими словами, второй
класс Черна одинаков для любых двух калибровочных полей
из одного топологического класса.
Как и в абелевом случае, если Й = tr F Л F не равно нулю
в когомологиях, то всегда найдется четырехмерное многообра-
многообразие Т, для которого интеграл
^\rFAF A2.5.9)
не равен нулю. Интеграл I(Т) есть величина, которую в КХД
называют «полным инстантонным числом» калибровочного
поля на Т, и, как известно из КХД, эта величина всегда есть
целое число. Следовательно, форма tr F Л F/8n2 всегда опреде-
определяет целочисленный элемент в Н4(М; R). Второй класс Черна
SU(N) -калибровочного поля (или первый класс Понтрягина
-SO (Af) -калибровочного поля) можно рассматривать как пра-
правило, сопоставляющее каждому замкнутому четырехмерному
многообразию Т некоторое целое число, а именно полное число
инстантонов на Т. Целые числа 1(Т) не могут измениться при не-
непрерывных вариациях калибровочного поля. Как и в предыду-
предыдущем обсуждении, это дает еще один способ понять, что второй
класс Черна есть топологический инвариант.
Обобщение на высшие характеристические классы не вы-
вызывает существенных затруднений. Если dul ... ak — любой сим-
симметричный инвариантный тензор ранга k в алгебре Ли группы
G, то положим
Й2*= Z Г* А • • • Л Fa» ¦ da,... ak. A2.5.10)

326 Глава 12
Из A2.5.4) следует.'что dQ2k = 0, когда dOi ...ak — инвариантный
тензор. Таким образом, Q2fe определяет элемент из H2k(M; R).
Очень важен случай, когда dUJ ... ak = strra] ... Tak, где str —
симметризованный след (симметризованный относительно всех
перестановок индексов аи ..., ak). В случае U(N)-калибровоч-
U(N)-калибровочного поля, если str — симметризованный след в фундаменталь-
фундаментальном представлении, класс когомологий формы Q2k называется
fe-м классом Черна (с вещественными коэффициентами). Если
не может возникнуть недоразумений, мы будем записывать
этот класс когомологий как Q2& = tr Fk, подразумевая в правой
части внешнее произведение. В случае калибровочной группы
U(N) все характеристические классы можно выразить через
линейные комбинации внешних произведений форм Q2k. Како-
Каково аналогичное утверждение в случае группы SO(N)? Для
группы SO(N) симметризованный след нечетного числа гене-
генераторов в фундаментальном представлении равен нулю, так что
Q2k (при сделанном выше выборе dOl ... ak) не равно нулю толь-
только при k = 2r для некоторого целого г. В этом случае класс
когомологий формы Q2fe называется г-ж классом Понтрягина
SO (N) -расслоения.
Для группы SOBN) в частном случае k = N помимо ука-
указанного выше имеется также следующий важный выбор коэф-
коэффициентов rfa,...oft- Для ортогональных групп присоединенное
представление совпадает с представлением антисимметричных
тензоров второго ранга, так что генераторы Та удобно обозна-
обозначить как T'i'(=—Т1'), i, l=\, ..., 2N, а напряженность поля
Янга — Миллса — соответственно как F'1' (= —F1'). Поэтому
антисимметричный тензор е^ ...i2N можно теперь рассматривать
как инвариантный тензор ранга N в алгебре Ли группы SOBN).
Используя этот тензор в A2.5.10), приходим к определению
замкнутой 2Лг-формы
п__J___p . / Л Р 9 5 I1V
^~ W.Dn)N l"-l2N Л...Л/ , (lz.i)Al)
когомологический класс которой в H2N(M;R) называется клас-
классом Эйлера векторного расслоения. Топологическую инвариант-
инвариантность высших классов Черна и Понтрягина и класса Эйлера
можно доказать с помощью методов, использовавшихся выше.
Характеристический класс tr F Л F можно определить для
любого векторного расслоения, структурная группа которого-
есть компактная группа Ли. Этот характеристический класс
можно определить, например, для векторного расслоения с ка-
калибровочной группой Еъ. В случае группы Е8 следующий после
tr F Л F характеристический класс {помимо внешних произве-

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 327
дений форм trFAF) дается 16-формой trF8, так как после
квадратичного инварианта, используемого в определении tr F Л
Л F, следующий симметричный инвариант а алгебре Ли группы
Е& — это инвариант восьмой степени.
12.5.2. Характеристические классы многообразий
Если даны многообразие М и векторное расслоение V, то
простейшими топологическими инвариантами являются рассмот-
рассмотренные характеристические классы. Их можно определить для
любого расслоения V. Особенно интересен случай, когда V —
касательное расслоение Т многообразия М. Как объясняется
в разд. 12.1 и 12.3, в этом случае естественное калибровочное
поле — это спиновая связность (о^ь, а калибровочно-ковариант-
ная напряженность R^b— это по существу тензор Римана. Для
касательного расслоения дифференциальные формы tvRAR и
в более общем виде tv R2k (в последнем выражении подразу-
подразумевается внешнее произведение) замкнуты, а их классы кого-
мологий являются топологическими инвариантами, не завися-
зависящими от выбора метрики на М. Класс когомологий формы trR2k,
согласно нашему общему рассмотрению, — это k-й класс Понт-
рягина касательного расслоения на М; обычно его называют
просто k-м классом Понтрягина многообразия М. Подобным
образом класс Эйлера A2.5.11) касательного расслоения обычно
называют классом Эйлера многообразия М. Если размерность М
равна 2п, то класс Эйлера — 2п-форма, которую можно про-
проинтегрировать по М и получить число
%(М)=\ц. A2.5.12)
м
Это число называется эйлеровой характеристикой многообразия
М; оно используется в гл. 14. Если размерность многообразия М
кратна четырем, то можно также получить некоторые числа
(называемые характеристическими числами), проинтегрировав
по М определенные характеристические классы или внешние
произведения характеристических классов. Эти числа назы-
называются числами Понтрягина; для нас они менее полезны. Эйлер
разумеется, первоначально определил эйлерову характеристику
(в двух измерениях) более элементарным способом: понятия
тензоров кривизны и дифференциальных форм были развиты
столетиями позднее.
Одно из приложений обсуждаемых понятий в теории струн
состоит в следующем. В N = 1-супергравитации в десяти изме-
измерениях одним из полей супергравитационного мультиплета
является 2-форма В. Обсуждаемые в . гл. 13 соображения,

328 Глава 12
связанные с сокращением аномалий/показывают, что калибровоч-
но-инвариантной напряженностью поля В является не Но = dB,.
а Н = dB + dKL — шзк- Здесь созк = tr A A dA + Vstr А ААА
А А — янг-миллсова 3-форма Черна — Саймонса (А — кали-
калибровочное поле), а созг = tg со Л Ло + 2/з1:г и Л со Л со — 3-форма
Черна — Саймонса, построенная из спиновой связности. Они
удовлетворяют соотношениям ёщу = tr F Л F, dco3z. = tr i? Л./?
соответственно. Тождество Бианки указывает, что dH0 = 0, от-
откуда следует, что Я удовлетворяет более нетривиальному тож-
тождеству
trRAR — trF A F. A2.5.13)
Так как в когомологиях dH равно нулю, тождество A2.5.13)
означает, что классы когомологий форм tr F Л F и trR/\R
равны друг другу. Когомологический класс trFAF — это пер-
первый класс Понтрягина SO C2)- или Es X .^-расслоения V, а
когомологический класс tr R Л R — первый класс Понтрягина
касательного расслоения Т. Тождество A2.5.13) означает, что
эти характеристические классы равны; это является важным
ограничением на топологию, которая выбирается при компак-
тификации.
12.5.3. Эйлерова характеристика римановой поверхности
В качестве другого интересного приложения этих результа-
результатов рассмотрим случай, когда М является многообразием раз-
размерности два — мировым листом S струны. В этом случае р-
формы существуют только для р ^ 2, а единственный нетриви-
нетривиальный характеристический класс касательного расслоения —
класс Эйлера. Интеграл от него по S дает эйлерову характе-
характеристику
^5"Ы A2.5.14)
С помощью двумерного тождества eilekl = gikg" — gilg'k выра-
выражение A2.5.14) переписывается в виде
X B) =^5 Vi*. A2.5.15)
где R — скалярная кривизна Риччи, и мы также восстановили в
A2.5.15) множитель -у/g — квадратный корень из детерминан-
детерминанта метрического тензора, который опускается в большинстве
наших формул. Из формулы A2.5.15) мы видим, что правая
часть есть топологический инвариант. Это утверждение было

Некоторые сведения по дифференциальной геометрии 329
сделано в гл. 3, когда объяснялось, почему возможное наличие
члена, пропорционального выражению в правой части равенства
A2.5.15), несущественно для квантования свободной струны.
Идентифицировав выражение A2.5.15) как интеграл от класса
Эйлера, мы получаем вполне удовлетворительное объяснение
того, что выражение в правой части равенства A2.5.15) является
топологическим инвариантом. Но развитый аппарат не является,
конечно, необходимым для того, чтобы установить этот част-
частный факт. Действительно, легко видеть, что -у/g R — локально
полная производная. Например, в разд. 3.1.2 мы нашли, что в
•системе координат, для которой gtl = Ьце*, имеем -y/g R = ? ф.
Тот факт, что -y/gR есть локально полная производная,
означает, что интеграл \-yfgR не может измениться ни при
Рис. 12.10. Если даны две поверхности: Si рода g\ и 22 рода g2, то удаляя
из каждой поверхности полусферу и переставляя получившиеся куски, мы
можем получить поверхность рода gi + g2 и поверхность рода нуль.
каких локальных вариациях метрики, а, значит, является топо-
топологическим инвариантом.
Легко получить значение эйлеровой характеристики для ри-
мановой поверхности произвольного рода. Пусть %{g) обозна-
обозначает эйлерову характеристику поверхности рода g. Для рода
нуль явное вычисление интеграла A2.5.15) для обычной сфери-
сферической метрики на S2 (если радиус равен г, то площадь равна
4лт2, а кривизна R = 2/r2) дает %@) = 2. Для рода один за-
замечаем, что на торе можно взять плоскую метрику. При таком
выборе метрики интеграл A2.5.15), очевидно, равен нулю, т. е.
Э(A) = 0. Для g> 1 величину %(g) легко найти с помощью ре-
рекуррентного соотношения x(gi) + %(g2) = x(gi+g2) + %@),
или (что эквивалентно)
2. A2.5.16)

330 Глава 12
Доказательство соотношения A2.5.16) легко провести с по-
помощью простых операций разрезания и склеивания, посред-
посредством которых, не изменяя полного интеграла от кривизны, мож-
можно из поверхности рода gi и поверхности рода g2 сделать по-
поверхность рода gi 4~ g? и поверхность рода нуль. Это показано
на рис. 12.10. Используя известные значения %(g) для рода
один и для рода нуль, из A2.5.16) выводим, что для любого
рода g имеем
() 2~2g. A2.5.17)
В гл. 14 мы снова выведем эту формулу, связывая эйлерову
характеристику с числами Бетти с помощью теоремы об индексе.

13. Низкоэнергетическое
эффективное действие
Спектр частиц в теории струн состоит из конечного числа
безмассовых состояний и из бесконечной «башни» массивных
возбуждений, масштаб масс которых характеризуется фунда-
фундаментальным параметром — натяжением струны, или наклоном
Редже. Как объяснялось в предыдущих главах, этот параметр
должен быть порядка массы Планка A019 ГэВ), чтобы грави-
гравитон взаимодействовал с обычной ньютоновской силой. Если тре-
требуется дать феноменологическое описание следствий теории
струн для низкоэнергетической физики, то совсем необязательно
явно описывать, что происходит с массивными состояниями. Вме-
Вместо этого естественно построить эффективное действие, целиком
основанное на полях, отвечающих только безмассовым или по
крайней мере очень легким степеням свободы. Такое описание
оказывается полезным не только для феноменологического
анализа, но также для выяснения определенных теоретических
вопросов, таких как наличие или отсутствие аномалий.
Бесконечный набор полей, отвечающих точечным частицам,
которые возникают в теории струн, состоит из конечного числа
безмассовых полей, которые мы пока будем обозначать все
вместе как фо, и бесконечного числа тяжелых полей, обозначае-
обозначаемых все вместе как фн. Теория струн в принципе должна до-
допускать описание в терминах динамики полей фо, фн, управляе-
управляемой некоторым классическим действием 8(фо,фн) (или на кван-
квантовом уровне некоторым квантовым эффективным действием).
В настоящее время нет по-настоящему удовлетворительного спо-
способа построить и изучить точное классическое действие
8(фо,фн)- Правильное понимание, по-видимому, должно вклю-
включать и понимание теоретико-струнного обобщения общей
ковариантности и янг-миллсовой калибровочной инвариант-
инвариантности и поэтому очевидно является важнейшей задачей,
которой, кстати, также уделялось много внимания в связи
с возродившимся в середине 80-х годов интересом к теории
¦струн.

332 Глава 13
Низкоэнергетическое эффективное действие 5эфф(<?о) для без-
безмассовых полей фо в принципе можно получить проинтегриро-
проинтегрировав по массивным полям, входящим в S(^>0, фн)'-
В принципе это не приближение, а просто первый шаг вычис-
вычисления точного фейнмановского интеграла по путям. В класси-
классическом приближении соответствующая процедура заключается
в исключении массивных полей фн из уравнений движения,
после чего остается меньшая система уравнений, включающая
только безмассовые поля. Это равносильно тому, что функцио-
функциональное интегрирование выполнено в древесном приближении.
Полный функциональный интеграл включает также диаграммы
с петлями массивных полей. Так описывается корректное
исключение этих степеней свободы из квантовой теории. Тогда
эффективное действие 5Эфф(^>о) можно рассматривать как ряд
по степеням ft, отвечающим числу включенных петель для фн.
Главный член, т. е. (Й.) "-приближение, отвечает описанному
выше классическому исключению полей фн.
Точное эффективное действие для безмассовых полей не
может не быть очень сложным и нелокальным. Даже в обыч-
обычной теории поля исключение массивных полей вносит нелокаль-
нелокальность, а в теории струн, если и можно на что-то рассчитывать,
так это на еще более сложную структуру, так как здесь объект,
отвечающий исключаемым из исходного классического дей-
действия степеням свободы, представляет собой на самом деле про-
протяженное тело — струну. Вся идея построения эффективного
действия для безмассовых полей состоит в том, что хотя точная
формула и оказалась бы лишь сложным и искуственным пере-
переписыванием точной теории, но можно получить полезные фор-
формулы с помощью последовательного разложения по числу про-
производных. В конце концов каждая производная вносит подав-
подавление лишней степенью отношения Е/М, где Е—-характерная
энергия процесса, а М — характерный масштаб масс в теории
струн. Таким образом, при обычных энергиях первые несколько
членов такого разложения должны давать прекрасное прибли-
приближение, хотя при этом и приходится жертвовать хорошей ультра-
ультрафиолетовой сходимостью точной струнной теории. На практи-
практике, так как мы в настоящее время не знаем приемлемого вида
действия S(^>o, фн), мы не можем реально построить низкоэнер-
низкоэнергетическое эффективное действие для безмассовых полей. Но
что мы можем сделать — это исследовать струнные S-матрич-
ные элементы и просто сконструировать классическое действие-
для безмассовых полей, которое бы их воспроизвело. Болеет

Низкоэнергетическое эффективное действие 333
того, в крайне низкоэнергетическом пределе главные члены
эффективного действия могут быть построены, исходя только
из принципов инвариантности: калибровочной инвариантности
и локальной суперсимметрии.
13.1. Минимальная супер гравитация плюс
суперсимметричная теория Янга — Миллса
Рассмотрим длинноволновое разложение эффективного дей-
действия S%$ более систематически. Нам надо разложить эффек-
эффективное действие по степеням параметра (длина)-1. На самом
деле каждая производная отвечает некоторой степени обратной
длины. С другой стороны, необходимо учитывать размерность
в единицах длины для различных полей. Кинетические энергии
свободных бозонов (дмфJ и свободных фермионов •фР'дм'ф
одинаково важны при больших длинах волн. Это можно учесть,
приписывая фермионам размерность (длина)-1'2. Если NanN; —
число производных и число фермионов в данном члене лагран-
лагранжиана, а
n = Nd + ±-Nf, A3.1.1)
то подсчет значения п дает точный способ вычисления степени
обратной длины при длинноволновом разложении теории. Чле-
Члены со все большими п становятся все менее важными по мере
увеличения длины волны. Лагранжианы минимальных супер-
супергравитаций в десяти измерениях, как мы увидим ниже, имеют
только члены с п = 2.
Чтобы другим способом увидеть, почему параметр п яв-
является естественным в супергравитации, рассмотрим общий
вид закона преобразований суперсимметрии. Пусть фт — про-
произвольная степень бозонного поля, а г|з отвечает произвольному
фермионному полю. Закон преобразований суперсимметрии
естественным образом принимает вид !)
бог|з ~ дфтц + fVn. A3.1.2)
Эти преобразования согласуются с выбранными значениями
числа п, если положить п = —1/2 для параметра суперсиммет-
суперсимметрии tj. Непротиворечивым образом можно потребовать, чтобы
закон преобразований суперсимметрии и уравнения движения
согласовывались со значениями числа п, и так можно найти
*) Здесь г\—инфинитезимальный грассманов (антикоммутирующий) па-
параметр преобразований. •— Прим. перев.

334 Глава 13
супергравитационные лагранжианы, у которых все члены имеют
п = 2. Обозначим такую главную часть лагранжиана через S2.
Члены с п = 2 важны, потому что они описывают основную
асимптотику при больших длинах волн. Возможные формы
лагранжиана S2 можно определить, основываясь только на су-
суперсимметрии и не обращаясь к теории струн.
К супергравитационным лагранжианам можно добавить
члены высших степеней S4, S6 и т. д. и соответственно добавить
члены высших степеней 62, 64 и т. д. в преобразованиях супер-
суперсимметрии. Действительно, в теории струн такие члены, конеч-
конечно, присутствуют. (По-видимому, возникают только члены с
четным п.) Если такие члены добавлены, то уже нельзя огра-
ограничиться какими-то определенными значениями п; попытки
замкнуть алгебру суперсимметрии заставляют добавлять члены
с все большими значениями п.
Прежде чем принять утверждение, что длинноволновое по-
поведение супергравитации определяется членами типа Ss, необ-
необходимо задаться вопросом: возможны ли члены более низкого
порядка? Члены типа So должны иметь вид \ dnx л/g V (ф), где
ф — некоторое скалярное поле. Члены типа Si должны иметь
вид \ dnx -\/gV (ф)г^. В четырехмерной супергравитации та-
такие члены возможны и в самом деле играют важную роль в фе-
феноменологии. В киральной десятимерной супергравитации по-
подобные члены несовместимы с суперсимметрией1). Попытка
модифицировать десятимерную супергравитацию, добавляя к об-
обсуждаемым ниже лагранжианам члены типа 50 и Sj (вместе с
преобразованиями суперсимметрии типа 6_i), не приводит к
успеху. (Легко проанализировать случай N = 1 -суперсиммет-
-суперсимметрии в десяти измерениях. Члены типа Si и б-i невозможны
вследствие условий киральности на поля, а тогда, как легко
видеть, члены типа So нарушают суперсимметрию. В четырех-
четырехмерном случае применима конструкция, использующая одно-
одновременно члены So, S[ и 6_i.) Невозможность добавить к лаг-
лагранжиану десятимерной супергравитации члены типа So играла
важную роль в наших рассуждениях в гл. 10. Возможный ди-
латонный головастик был бы пропорционален So (точнее
dV/дф), и его не должно быть, когда аномалия сокращается и
суперсимметрия не нарушена, так как So нарушает суперсим-
суперсимметрию. Это было главным пунктом в аргументах в пользу
того, что сокращение аномалий в суперструнах типа I с не-
необходимостью приводит к сокращению расходимостей.
4) Другая ситуация в некиральной теории типа ПА (см. [432]).

Низкоэнергетическое эффективное действие 335
13.1.1. N = 1-супергравитация в десяти
и одиннадцати измерениях
В этом разделе мы опишем N = 1 -супергравитацию в де-
десяти измерениях. Среди суперструнных теорий с N = 1 есть
теория суперструн типа I с калибровочной группой 50 C2) и
теории гетеротических струн с калибровочной группой Es X Es
или 50C2). В любом варианте безмассовый сектор состоит из
супермультиплета Янга — Миллса (Ам, %а) в присоединенном
представлении калибровочной группы и N= 1-супергравита-
ционного супермультиплета. Суперсимметричная теория Янга —
Миллса описана в приложении 4.А. Поэтому мы переходим
прямо к теории супергравитации, после чего рассмотрим си-
систему взаимодействующих супермультиплетов Янга — Миллса
и супергравитации.
Супергравитационный мультиплет состоит из гравитона, опи-
описываемого репером е^р антисимметричного тензора Bmn, кото-
который на языке, используемом в гл. 12, есть 2-форма скаляра
Ф, гравитино г|)м и спинора Я. Все спиноры майорана-вейлевские,
причем \рм — левый, а к — правый. Прописные буквы М, N, ...
обозначают десятимерные пространственно-временные коорди-
координаты, а Л, В, ... —локальные лоренцевы индексы, или индексы,
отвечающие касательному пространству1). Как обычно, е% обо-
обозначает матрицу, обратную efa, a e обозначает детерминант
матрицы репера е^. Матрицы Дирака для десятимерного про-
пространства-времени имеют вид
A3.1.3)
Здесь Гл — постоянные матрицы, удовлетворяющие условию
{Гл, Тв} = 2цАВ, A3.1.4)
в то время как матрицы Гм зависят от полей согласно A3.1.3).
Матрицы Iм — 32-мерные, так как 32 — минимальная размер-
размерность, необходимая для того, чтобы можно было реализовать
алгебру Дирака для десяти различных матриц. Но если приме-
применить их к киральному спинору, то они по существу умножают-
умножаются на проекционный оператор '/2A ±Гп), который проецирует
их на 16-мерное подпространство.
*) Здесь и в последующих главах обозначения несколько отличаются
от обозначений первых двенадцати глав. А именно, пространственно-времен-
пространственно-временные координаты там имели индексы ц, v и т. д., а здесь они имеют ин-
индексы М, N и т. д. Причина такого изменения в том, что в следующих гла-
главах мы рассматриваем расщепление координат на четырехмерные х^ и ше-
шестимерные у1.

336 Глава 13
Один из способов вывода действия N = 1-супергравитации
в десяти измерениях заключается в том, что сначала формули-
формулируют супергравитацию в одиннадцати измерениях, а затем де-
делают обрезание до D = 10. Одно из преимуществ такого
подхода состоит в том, что при другом обрезании получается так-
также теория супергравитации типа ПА. Формулировка одинна-
одиннадцатимерной теории представляет также и самостоятельный
интерес, хотя она, по-видимому, не является кандидатом на опи-
описание физической реальности.
В одиннадцатимерной супергравитационной теории участ-
участвуют только три различных поля: репер ель майорановское
травитино 1рм и 3-форма калибровочного потенциала AMnp-
(Индексы здесь 11-значные.) Так как в этом случае имеется
меньше полей, чем в десяти измерениях, формулы получаются
несколько более короткие. Мы ограничимся здесь просто тем,
что приведем эти формулы. Результат (выведенный Кремером,
Жулиа и Шерком; вид мультиплета был впервые указан На-
мом) состоит в следующем:
L eR е$ГШРЕ> ((° + )) У eF^
384~ ^М - : ^S+l-^1 W )\г -Т r)NPQR —
Л/2% Af, ... Afup р Л ПЧ1 «
3456 fMt ... М,ГМц ... MtA-MaMtoMu. (lOA.O)
Как обычно, символ Г с многими индексами обозначает
антисимметризованные произведения с единичным весом. На-
Например,
rAfAr = i-(rMrJV-rwrM). A3.1.6)
Подразумевается, что спиновая связность (омав дается реше-
решением уравнений поля, которые получаются в результате ва-
вариации по ней как по независимому полю. (Оно включает часть,
отвечающую кручению, которая содержит члены вида гр>Рф.)
Символ (Ьмав обозначает суперковариантную связность, пре-
преобразования суперсимметрии которой не содержат производ-
производных от инфинитезимального грассманова параметра. Она имеет
вид \
&МАВ = ®МАВ + Т ^PMABQ^- A3.1.7)
Рм/fPQ — ротор, или инвариантная напряженность поля АМмр,
F = 6dA, как обсуждалось в гл. 12, Fmmpq — суперковарианти-

Низкоэнергетическое эффективное действие 337
зация Fmnpq- (Это означает, что преобразования суперсиммет-
суперсимметрии для Fmnpq не содержат производных от параметра г\.)
Действие, имеющее вид интеграла от лагранжевой плотности
A3.1.5), инвариантно относительно локальных преобразований
суперсимметрии. Преобразования можно записать в терминах
инфинитезимального грассманова параметра г\(х), который за-
зависит от точки пространства-времени и преобразуется как
майоранов спинор. Эти преобразования имеют вид
К -„Л
Получив ответ для Z) = 11, можно получить и суперграви-
супергравитационные теории для D = 10 с помощью размерной редукции.
Для этого требуется лишь отбросить зависимость полей от од-
одной из пространственных координат и разложить одиннадцати-
одиннадцатимерные поля на десятимерные составляющие. Одиннадцатимер-
Одиннадцатимерный репер при редукции дает десятимерный репер, вектор и ска-
скаляр. А именно,
ем
(f *?)¦ (I3X9)
где для простоты мы использовали одни и те же обозначения
для десяти- и одиннадцатимерного реперов. Блок размера 10X1,
состоящий из нулей, получается в результате выбора калиб-
калибровки, использующего калибровочную свободу, связанную с пре-
преобразованиями Лоренца одиннадцатого и первых десяти измере-
измерений. 3-форма Amnp разлагается в десяти измерениях на 3-форму
Amnp и 2-форму BMn (которая отвечает Amnu)- Гравитино раз-
разлагается на два майорана вейлевских гравитино ¦ф^1(г = 1, 2) и
два майорана-вейлевских спинора %1 ъ D = 10. Два участника
каждой пары имеют противоположные киральности, что отра-
отражает лево-правую симметрию исходной теории в ?> == 11.
Состав полей, полученный при этой редукции, описывает су-
супергравитацию типа ПА в D = 10. Лагранжиан этой теории по-
получается, если проделать указанную декомпозицию для D = 11-
лагранжиана. Получающийся лагранжиан всегда удобно пред-
представить в виде, в котором эйнштейновский член появляется

338 Глава 13
в обычной форме записи (пропорционален скалярной кривизне).
Но описанная редукция дала бы в этом члене лишний множи-
множитель ф, получающийся при редукции из e = dete^. От этого
множителя можно избавиться, проведя рескейлинг десятимер-
десятимерного репера е^ на <?Y, где у — —(D — 2)-' = —1/8. Это вызы-
вызывает появление некоторых специальных степеней ф в других
членах лагранжиана.
Из супергравитации типа ПА можно получить N= 1-супер-
гравитацию в D = 10, если проделать обрезание, положив
Ам = Amnp — 0, а также ty*M — XL = 0. (R и L указывают на
правую и левую киральности.) Остающийся после этого лагран-
лагранжиан дается выражением вида
e~lLsa = - JLf R - 1 i*MP 4 4
-±XTMDMX - -^ (дмф/фJ - ^f- i?MTNTMh (д„ф/ф)
, л/2 % ,-3/4r, (-. yyMNPQR. | c-.N-nP.Q fX -. rNPQ-rM~\
-\ jg— ф HNPQ{tyMr ¦фя + Ь'ф 1 1|) — л/2у\)М1 I A)
+ (ферми-поляL. A3.1.10)
Члены с четырьмя фермионными полями все известны, и их
можно найти в литературе. Здесь подразумевается, что ^м —
левый майорана-вейлевский спинор, а К — правый майорана-
вейлевский спинор, который иногда называют «дилатино».
3-форма Я — ротор поля В, т. е. в обозначениях дифферен-
дифференциальных форм H = dB. Остальные поля — дилатон ф и, ко-
конечно, гравитон.
Преобразования суперсимметрии для этого действия можно-
вывести из преобразований для теории в ?> = 11. Но это тре-
требует некоторой аккуратности. Прежде всего только левоки-
ральная часть параметра ri отвечает выживающей симметрии,
так как одна из суперсимметрий в D = 10 пропадает при обре-
обрезании теории ПА до N = 1-теории. Киральность параметров су-
суперсимметрии согласуется, разумеется, с киральностью калиб-
калибровочного поля 1|>м- Более сложный вопрос возникает из-за
того, что получающийся закон преобразований не сохраняет
выбор калибровки A3.1.9). Чтобы не вступать в противоречие
с этим выбором калибровки, в определение преобразований
D = 10-суперсимметрии необходимо включить некоторый вклад
от D=ll локальных лоренцевых преобразований, восстанав-
восстанавливающих калибровочное условие е^\ = 0. В результате таких

Низкоэнергетическое эффективное действие 339
действий получаем
А X -„Л
о" Л-! тМ>
A3.1.1
-1 (Г • #) л + 4- ^"^Г^'лЯ^р + (ферми-поля)*,
+ (ферми-поляJ.
Члены вида (ферми-поляL в формуле A3.1.10) и члены вида
(ферми-поляJ в формулах A3.1.11) все известны.
Десятимерные теории супергравитации являются, конечно,
низкоэнергетическими пределами определенных струнных тео-
теорий. Дальнейшая размерная редукция дает разнообразные су-
супергравитации в различном числе измерений, меньшем десяти.
Если теория струн окажется корректной, это можно было бы
считать «объяснением» существования супергравитационных тео-
теорий для D ^ 10. Одиннадцатимерная супергравитация остается
загадкой. Трудно поверить, что ее существование — просто слу-
случайность, но в настоящее время трудно и высказать убедитель-
убедительную гипотезу о том, какова могла бы быть ее роль в общей
схеме.
13.1.2. Супергравитация типа IIВ
Размерная редукция D = 11-супергравитации дает теорию в
десяти измерениях с двумя суперсимметриями — супергравита-
супергравитацию типа ПА. Две суперсимметрии имеют противоположные
киральности, и теория в целом обладает лево-правой симмет-
симметрией, т. е. она «некиральная». Существует еще вторая N = 2-
супергравитация в D = 10, у которой обе суперсимметрии имеют
одинаковую киральность. Эта теория — супергравитация типа
ИВ — является, очевидно, киральной (лево-правонесимметрич-
ной). Ее нельзя получить посредством редукции или обрезания
из теории в большем числе измерений. Эта теория описывает
основную асимптотику низкоэнергетического поведения эффек-
эффективного действия теории суперструн типа ПВ. Благодаря этому
явная формулировка данной супергравитационной теории пред-
представляет особенный интерес.
Безмассовый спектр теории суперструн типа ПВ был уже
определен в разд. 5.3.2, где было обнаружено, что в терминах

340 Глава 13
представлений поперечной группы 50(8) физические степени
свободы имеют вид
(8v+8c)<g>(8v+8c) =
= A + 28 + 35V + 28 + 35С)В + (8, + 8S + 56S + Б»Л)Р. A3.1.12)
Напомним, что 35V — гравитон, а 35С — антисимметричный са-
самодуальный тензор четвертого ранга. Мультиплеты 56S отве-
отвечают двум гравитино, a 8S — паре майорана-вейлевских спино-
спиноров. Мультиплеты 28 отвечают паре антисимметричных тензоров
второго ранга.
Целью настоящего раздела является дать описание взаимо-
взаимодействующей супергравитации типа ПВ в явно ковариантном
виде. Для этого обозначим бозонные поля как е^, Аа, А^
и AMWPQ, где а = 1, 2. Самодуальность SO (8) -представления
35С, отражается в SO {9, 1)-самодуальности напряженности
FMN-PQf,~ 5d[MANPQR] в свободной ковариантной теории. На язы-
языке форм: F=*F. Простого ковариантного действия, из кото-
которого следовало бы такое уравнение движения, по-видимому, не
существует1). Кинетический член обычного типа \diOx (FMNPQRJ
описывает и самодуальную, и антисамодуальную напряжен-
напряженность поля. Простого способа так модифицировать это действие,
чтобы самодуальная часть отвечала распространяющимся физи-
физическим степеням свободы, а антисамодуальная — нет, не имеет-
имеется. Но теория допускает явно ковариантные уравнения движе-
движения. Таким образом, для этой конкретной теории гораздо легче
попытаться найти ковариантные уравнения движения, чем ко-
вариантное действие. В соответствии с этими соображениями
мы и будем действовать.
Задача нахождения действия с явной лоренц-ковариант-
ностью имеет аналог в случае суперсимметрии. Для многих су-
суперсимметричных теорий (включая рассматриваемую) неизве-
неизвестна суперпространственная формулировка «вне массовой по-
поверхности». Это означает, что нельзя написать действие с явной
суперсимметрией. Но всегда можно ввести суперполя «на мас-
массовой поверхности» и записать явно суперсимметричные урав-
уравнения движения. В самом деле, супергравитация типа ПВ-
представляет собой пример такой теории. Но чтобы не созда-
создавать, насколько это возможно, усложнений, мы сформулируем
теорию в терминах компонентных полей, а не суперполей.. Хотя
суперполевой подход весьма изящен, для него потребовалось бы
*) Такое действие для киральных супергравитаций при D = 6 и D = 10
было найдено Каваловым и Мкртчяном (Preprint YERPH, 938 (89)-86).—
Прим. перев.

Низкоэнергетическое эффективное действие 34 J
развить довольно сложный формализм, который не понадобится
больше нигде в этой книге. Поэтому мы его здесь не будем
рассматривать.
Вывод ковариантных уравнений поля супергравитации
типа ПВ основывается на двух соображениях. Первое касается
связи между уравнениями поля и преобразованиями суперсим-
суперсимметрии для полей. Прежде всего имеется очевидное требование,
что при суперсимметричных вариациях уравнений движения
должно возникать выражение, которое обращается в нуль на
уравнениях движения. Эти условия достаточно ограничительны,
так что если преобразования суперсимметрии известны и изве-
известно одно из уравнений движения, то все остальные также мо-
могут быть найдены. Но имеется еще более сильное требование.
Когда коммутатор двух локальных преобразований суперсим-
суперсимметрии применяется к полям, условие замыкания алгебры тре-
требует, чтобы результат отвечал комбинации локальных симмет-
симметрии теории, а именно общего координатного преобразования,
локального лоренцева преобразования, локального преобразо-
преобразования суперсимметрии и дополнительных локальных калибро-
калибровочных преобразований, связанных с «калибровочными полями»
Амы и Amnpq- Но поскольку мы имеем дело с формализмом
на массовой поверхности, когда нет вспомогательных полей,
необходимых для замыкания алгебры вне массовой поверхно-
поверхности, этот результат справедлив только в том случае, если удов-
удовлетворяются уравнения движения. Из этого факта можно из-
извлечь пользу. Это означает, что в процессе построения преоб-
преобразований суперсимметрии для полей с самосогласованной
калибровочной алгеброй одновременно можно получить и неко-
некоторые из уравнений движения. Соображения самосогласованно-
самосогласованности вместе с рассмотренными условиями, как оказывается (при
вычислениях), полностью определяют теорию!
В то время как описанные выше условия самосогласованно-
самосогласованности действительно полностью определяют теорию, другой фун-
фундаментальный принцип симметрии помогает так упорядочить
понятия и формулы, чтобы вычисления стали намного проще,
а результаты приобрели более изящный вид. Симметрия, кото-
которая здесь имеется в виду, это некоторая глобальная SU(l, 1)-
симметрия. (Некомпактная форма группы SUB), изоморфная
SLB, i?), которую мы встречали раньше при изучении кон-
конформных отображений единичного диска в себя. В частности
отображение z-+(az-{- b)/(cz + d) представляет собой несин-
несингулярное обратимое отображение единичного диска в себя, если
матрица ( ,1 принадлежит группе SU(\, 1).)

342 Глава 13
Глобальная SUA, 1)-симметрия супергравитации типа ПВ
представляет собой один пример некоторого общего явления
в расширенных супергравитационных теориях. В этих теориях
имеется некомпактная группа глобальной симметрии G с мак-
максимальной компактной подгруппой Я. Скалярные поля теории
отвечают фактор-пространству G/H. Отсюда, в частности, сле-
следует, что их число равно dim G — dim Я. В рассматриваемом
случае максимальная компактная подгруппа группы SU(l, 1) —
это группа U(l), и теория содержит 3— 1 = 2 скалярных поля.
Самый известный пример этого явления возникает в N = 8-су-
пергравитации в четырех измерениях, в которой имеется гло-
глобальная симметрия Е7,7. Группа Е7:7 есть некомпактная форма
группы Е7 с максимальной компактной подгруппой SU(8). Так
как группа Е7 имеет 133 генератора, а группа SU(8) — 63 гене-
генератора, отсюда следует, что в ./V = 8-супергравитации имеется
133 — 63 = 70 скалярных полей.
Поскольку число dim G — dim Я не отвечает размерности
представления группы G, необходимо предпринять дополнитель-
дополнительные усилия, чтобы получить глобальную G-симметрию таких
теорий в явном виде. Но это оправдывает себя. Подходящий для
этого метод почти (хотя и не в точности) аналогичен тетрадной
¦формулировке ОТО, когда гравитон описывается полем е^,. Это
поле, очевидно, преобразуется линейно относительно группы гло-
глобальной симметрии GL(D,R), являющейся подгруппой группы
общих координатных преобразований. (Группа действует только
на мировой индекс М.) Это некомпактная группа, максимальной
компактной подгруппой которой является SO(D). В тетрадном
формализме эта группа используется как отдельная локальная
симметрия — локальная лоренцева инвариантность. Независи-
Независимых распространяющихся калибровочных полей, отвечающих
этой симметрии, нет, так как кинетический член для связности
амАВ (аналогичный члену F2 в теории Янга — Миллса) не вво-
вводится. В результате можно воспользоваться локальной симмет-
симметрией, чтобы устранить D(D—1)/2 компонент поля е^, оставив
только компоненты, отвечающие фактор-множеству GL(D,R)/
/SO(D). Пока здесь больше степеней свободы, чем число физи-
физических поляризаций гравитона, так как еще не учитывались
локальные общекоординатные преобразования. Тщательный
анализ показывает, что их можно использовать, чтобы ограни-
ограничить рассмотрение D-—2 поперечными направлениями. Этого
можно добиться, например, выбрав калибровку светового ко-
конуса. Таким образом, физические поляризации гравитона на са-
самом деле отвечают фактор-пространству SL(D—2, R)/SO(D—2).
Зто свойство имеет место в случае гравитации, но не в случае

Низкоэнергетическое эффективное действие 34&
описания скалярных полей в терминах фактор-пространства. По-
Поскольку аналог общекоординатной инвариантности отсутствует,.
G/Я-описание скалярных полей оказывается более простым,
чем ОТО.
В соответствии со сделанными выше замечаниями попы-
попытаемся описать два скаляра в супергравитации типа ИВ с по-
помощью матрицы У", аналогичной реперу ем- Индекс а= 1, 2
отвечает представлению 2 группы SUA,1), а индекс а = ±
описывает два представления 0A) с «зарядами» U = ±1. Мат-
Матрица Vt комплексно-сопряжена У + ; Матрица типа 2X2 полей
V2 принадлежит группе SU(l, 1). Таким образом, имеем, в
частности,
i V^. = det V = 1. A3.1.13).
При глобальных SUA, ^-преобразованиях
Wa± = ma^V%, A3.1.14)
где map — постоянная матрица, принадлежащая алгебре Ли
группы SU(\, 1). При локальных 11A)-преобразованиях с ин-
финитезимальным параметром 2 (х) имеем
(В общем случае поле Фу заряда U удовлетворяет условию
бФу = Ш2Фу.)
SUA, 1)-инвариантная комбинация
QM = -u4V4dMVi A3.1.16).
играет роль {УA)-калибровочного поля, так как из A3.1.15)
следует
A7>
где мы воспользовались соотношением A3.1.13). Уравнение
A3.1.16) является аналогом формулы для спиновой связности
в терминах репера. Существует еще одна SUA, ^-инвариант-
^-инвариантная величина, которую можно построить из У±, а именно
Рм = -*а{У%дмУг. A3.1.18)
Это выражение, очевидно, имеет заряд U = 2, а комплексно-со-
комплексно-сопряженное выражение имеет U = —2. Если бы нашей задачей
было только дать описание нелинейной сигма-модели со ска-
скалярными полями, отвечающими SUA, 1)/UA), то это было
бы легко сделать. Лагранжиан был бы пропорционален

344 Глава 13
gMNPMP*N, Однако, как уже объяснялось, это выражение не
имеет хорошего обобщения в теории супер гравитации типа ПВ.
Как следует описывать другие поля в теории? Из ОТО нам
известно, что фермионные поля должны преобразовываться по
локальной, а не глобальной группе симметрии'). Поэтому мы
вводим поля X и г|эль которые отвечают представлениям 8S и
56S соответственно и имеют ?/A)-заряды, равные ?/ = 3/2
и U = 1/2 соответственно. Каждое из них на самом деле со-
состоит из двух полей, причем эти поля комплексно-сопряженные,
(Комплексно-сопряженные поля имеют заряды U = —3/2 и
11 =—1/2.) Тот факт, что X и tyM — вейлевские спиноры, вы-
выражается условиями Y\\X = % и Гцг|зм = ¦—-фм-
Для бозонных полей в случае ОТО удобней использовать
мировые индексы, а следовательно, для сигма-модели —¦
SU(l, 1)-индексы. Таким образом, два поля 28 описываются
SU{1, 1)-дублетом А'ми. Поле 4-формы AMNPQ является сингле-
том по SUA, 1) и, конечно, не заряжено по U(\). Из полей
A-mn и А-mnpq можно построить напряженности
A3.1.19)
iWiAF A3.1.20)
В последнее выражение включен нелинейный член, что будет
удобно впоследствии. Выражение A3.1.19), очевидно, опреде-
определяет напряженность поля, которая, как обычно, инвариантна
относительно преобразований 6Аш = 2д[мЬ-%\> Но выражение
A3.1.20) на первый взгляд кажется неинвариантным относи-
относительно этих преобразований. На самом деле оно инвариантно
при условии, что 4-форма потенциала одновременно преобра-
преобразуется по правилу
% A3.1.21)
конечно, в дополнение к обычным калибровочным преобразова-
преобразованиям
A3.1.22)
SU{1, 1)-дублет незаряженных по ?/A) напряженностей
можно заменить эквивалентным выражением, являющимся
SU(\, 1)-синглетом с зарядом ?/= 1. Соответствующая формула
имеет вид
A3.1.23)
*) Здесь имеются в виду локальные преобразования Лоренца. — Прим.
перев.

Низкоэнергетическое эффективное действие 345
Необходимо еще одно определение — определение ?/A)-кова-
риантной производной. Поле Фи заряда U имеет ковариантную
производную также заряда U, которая дается, выражением
ОмФи = (дм-Ш0м)Фи, A3.1.24)
где QM — связность, определенная соотношением A3.1.16). Это
обычное определение ковариантной производной, точно такое
же, как в случае электромагнетизма.
Итак, мы описали все, что необходимо для того, чтобы пред-
представить формулы для преобразований суперсимметрии в виде,
обладающем явной SU(l, 1)X ?/A)-симметрией, где SU(l, 1) —
глобальная, а ?/A)—локальная симметрии. Вывод или про-
проверку этих формул можно провести непосредственно (хотя это*
и требует длительных вычислений), и мы здесь не будем этого
проделывать. Локальные преобразования суперсимметрии по-
получаются в виде
= К (л'Г^Л* + 41-fjr^,) + компл.-сопр.,
а также
i\^MNP (ферми-поляJ,
4ь - 9TNPGMNP) V + (ферми-поляJ. A3.1.26)-
Отметим, что параметр суперсимметрии г\ имеет ?/A)-заряд.
U =1/2, такой же, как у поля гравитино tyM-
Легко проверить, что приведенные выше соотношения вос-
воспроизводят обычную алгебру суперсимметрии в линеаризован-
линеаризованном и глобальном пределе, т. е. для свободной теории. Прият-
Приятным свойством приведенных выше формул является то, что
в них входят единственно возможные структуры, совместные
с различными симметриями теории, — общекоординатной инва-
инвариантностью, локальной лоренц-инвариантностью, калибровоч-
калибровочными Ам- и Лмдгр-инвариантностями, локальной ^(^-симмет-
^(^-симметрией и глобальной S?/(l, 1)-симметрией. Нетривиальным упраж-
упражнением является проверка того, что численные коэффициенты.

346 Глава 13
лри различных членах в точности такие, как указано. На самом
деле условие замыкания алгебры полностью определяет как эти
коэффициенты, так и уравнения движения. Кроме того, боль-
большинство коэффициентов определяется из формул по нескольку
раз, к счастью, с одним и тем же результатом!
Замыкание алгебры дает уравнения движения для кираль-
ных полей теории, причем каждое из них удовлетворяет поле-
полевому уравнению первого порядка. Это фермионные поля X и "фм
и 4-форма потенциала Amnpq. Уравнение движения для 4-формы
Amnpq представляет собой условие F = -х-/7, где F отличается
¦от dA членами взаимодействия; F дается формулой A3.1.20).
(Имеется также член вида (ферми-поляJ, который мы опу-
опускаем.)
Другие уравнения движения можно получить, применив пре-
преобразования суперсимметрии к найденным уравнениям. Полу-
Получаем (пренебрегая вкладом фермионных полей)
г,Мп 1 2п nMNP
D PM = -24^ GMNPG
DPGMNP = PpGmnp - -f ixFMNPQRGPQ* - A3.1.27)
-f ixFMNPQR
- Run = PmP*n + PmPn + —
* [G
G*m GNPQ—§-gMNG Gp
Потенциально важным применением этих уравнений является
исследование спонтанной компактификации. При этом обычно
предполагается, что фермионные поля можно положить рав-
равными нулю. (Это единственно, что можно сделать в рамках
классического рассмотрения, хотя можно представить себе
«конденсат», образующийся квантовомеханически.) Для этой
цели достаточно иметь уравнения в том виде, в котором они вы-
выписаны выше (без вклада фермионных полей).
В заключение этого краткого введения в теорию суперграви-
супергравитации типа ИВ сделаем одно последнее замечание.
SU(I, 1)/U(I)-симметрия, оказавшаяся столь полезной в опи-
описанном выше построении, не сохраняется в суперструнном рас-
расширении теории типа ПВ. В частности, U(l)-группа вращает
две суперсимметрии между собой, но даже эта симметрия не
сохраняется в суперструнном расширении. Это замечание проще
всего понять, вернувшись к суперсимметричному суперструн-
суперструнному действию S = Si-\-S2, описанному в разд. 5.1.2. Там вве-
введены две суперпространственные грассмановы координаты
вд(т), А = 1, 2. Слагаемое Si обладает явной вращательной

Низкоэнергетическое эффективное действие 347
SOB)-симметрией, которая и есть рассматриваемая ?/A)-сим-
?/A)-симметрия, но слагаемое S2 (которое было очень важным в супер-
суперструнном анализе) этой симметрией не обладает.
13.1.3. Взаимодействующая система супергравитации
и суперсимметричной теории Янга — Миллса
Мы завершили наш обзор супергравитационных теорий в
десяти измерениях. Следующей нашей задачей является по-
построение взаимодействия N = \, D = 10-супергравитации, опи-
описанной в разд. 13.1.1, с А/=1, D = 10-суперсимметричной тео-
теорией Янга — Миллса. Напомним, что в приложении 4.А мы по-
показали, что сама по себе суперсимметричная теория Янга —
Миллса дается простым лагранжианом
т 4" %ГМ ФмХ)а. A3.1.28)
Это действие инвариантно относительно глобальных преобразо-
преобразований суперсимметрии
&Аам = ±г\ГмХа, бХа = -±ТшРаммЦ. A3.1.29)
Задача состоит в том, чтобы построить взаимодействие этой тео-
теории с супергравитацией, так чтобы получавшаяся система была
инвариантной относительно локальных преобразований супер-
суперсимметрии.
Напряженность поля Янга — Миллса определяется, как
обычно, формулой
A3.1.30)
а калибровочно-ковариантная производная — формулой
A3.1.31)
где fabc — структурные константы полупростой группы Ли. Ка-
Калибровочная константа связи g имеет при D = 10 размерность
(длинаK. На квантовом уровне условие сокращения аномалий
накладывает ограничение на выбор допустимой группы сим-
симметрии, но на классическом уровне любая полупростая группа
допустима.
Как и в разд. 12.5.1, введем матрицы Та, отвечающие генера-
генераторам группы и нормированные так, что tr (TaTb) = ЬаЬ, и опре-
определим матрицу потенциалов
A=ZTaAaMdxM A3.1.32)

348 Глава 13
и аналогично для «глюино» %. Напряженность поля Янга —
-Миллса в этих обозначениях описывается матричнозначной
2-формой F—YjFaTa, где
Fa = dAa + gfabcAb A Ac, A3.1.33)
что можно также сокращенно записать в виде
F = dA + gA2. A3.1.34)
Взаимодействие супермультиплета Янга — Миллса с муль-
типлетом супергравитации (только с членами с п = 2) одно-
однозначно определяется требованием локальной суперсимметрии.
Результат был получен в абелевом (группа U(\)) случае Чам-
седдином и де Витом и др., а также обобщен на неабелев слу-
случай Чаплином и Мантоном. Этот анализ требует больших и
утомительных вычислений, но здесь возникает и нечто новое.
Калибровочно-инвариантную напряженность поля 2-формы BMn
нужно (вместо # = dB) обобщить в виде
Я = dfl —-4=г о*, A3.1.35)
тде из — 3-форма Черна — Саймонса
cog = AaFa-\gfabcAaAbAc = AadAa + ^-gfabcAaAbAc, A3.1.36)
или эквивалентно
из = tr (ЛР - 1 gA3) = tr (AdA + 4 gA3) , A3.1.37)
как это описано в предыдущей главе. В то время как Н, оче-
очевидно, инвариантно относительно преобразований 6В = dA, ме-
менее очевидно, что оно обладает янг-миллсовой калибровочной
инвариантностью. Действительно, чтобы добиться калибровоч-
калибровочной инвариантности, необходимо постулировать нетривиальный
закон калибровочных преобразований для поля В. Это неожи-
неожиданно, поскольку В — незаряженное поле. При калибровочном
преобразовании
6A = dA + [A, A], A3.1.38)
где Л — инфинитезимальный матричный параметр, вариация
члена Черна — Саймонса равна
бсо3 = tr (dAdA) = da>l A3.1.39)
где
A3.1.40)

Низкоэнергетическое эффективное действие 349
Нижний индекс обозначает степень формы, а верхний показы-
показывает, сколько раз входит параметр Л. Теперь ясно, как добиться
калибровочной инвариантности. Если задать закон преобразо-
преобразования
\ A3.1.41)
для 2-формы потенциала, то 3-форма H = dB — х®3/л/2, оче-
очевидно, будет калибровочно-инвариантной. (Множитель х/д/2
в A3.1.35) исчезнет после рескейлинга переменных, описанного
ниже.)
Лагранжиан взаимодействия супергравитации и суперянг-
миллсовой теории имеет вид
е~ L = e~'Lsa (с модифицированной Hmnp) —
- | ф~ 3l4FaMNFMNa - 1 хаГм (Dm (со) xY ~
(F%p + FaNP) (ц,м + ±- V2 Г Ml) +
/
- W V2 х2
1 /K jl-3/4-a-^MNP птт
1g-V2x^> 'хГ %Hmnp —
^. A3.1.42)
Последнее слагаемое в этом выражении обращается в нуль при
а = b вследствие некоторого тождества, которое имеет место
для майорана-вейлевских спиноров при D = 10. Поэтому оно
отсутствует в абелевом случае.
Инфинитезимальные преобразования, обобщающие A3.1.29)
на случай искривленного пространства, даются следующими
формулами:
х [3 (ЯХа) Ц - | (ЯГ" V)
A3.1.43)
Преобразования полей 'супергравитации также подобны
A3.1.11), но с подстановкой модифицированной 3-формЫ Я
в выражения для 6Х и 8tyM. Кроме того, вариации получают

350 Глава 13
также дополнительные части:
A3.1.44)
После этих изменений локальная суперсимметрия чистой супер-
супергравитации обобщается на случай взаимодействующей системы
супергравитация плюс суперянг-миллсова теория.
Прежде чем перейти к дальнейшему обсуждению этих фор-
формул, сделаем некоторые переопределения полей, чтобы формулы
приобрели более красивый вид. А именно положим
фпе" = (фшK1*, A3.1.45)
Am =gAM , FMN = gFMN, A3.1.46)
atiew У 2 g2 nold „new У 2 g2 uold /iq i л-,\
УС л
Тогда уравнение A3.1.35) принимает вид
Н = с1В-щ. A3.1.48)
После перечисленных выше изменений обозначений, лагран-
лагранжиан взаимодействующей системы супергравитации и суперянг-
миллсовой теории принимает следующий вид:
е" 'L = - Ь *¦ - ??ф tr (^) - i (**/*)'
~ KTMDMl - 4 tr
r
¦y/2
+ -fV ^ (%rMNPx) hmnp -
16g20
- V2 ^rWPQrMA) Я^рС + (ферми-поляL. A3.1.49)
При формулировке этой теории мы ввели гравитационную кон-
константу связи к, которая в десяти измерениях имеет размерность
(длинаL, и калибровочную константу связи g, которая в де-
десяти измерениях имеет размерность (длинаK. Тогда на первый

Низкоэнергетическое эффективное действие 351
взгляд кажется, что теория характеризуется произвольным без-
безразмерным параметром X = g4/x,3. Более внимательное рассмот-
рассмотрение показывает, что это не так. Выражение A3.1.49) инва-
инвариантно при рескейлинге ф-^-сф, если g преобразуется как
?->g/л/с. Если требуется, g можно совсем исключить из лаг-
лагранжиана, определив ф' = ф (g2/x?12). (Множитель х3/2 несу-
несуществен-— он включен, чтобы сделать ф' безразмерным.) Та-
Таким образом, в теории супергравитации нет свободного без-
безразмерного параметра. Суть дела в том, что в лагранжиане
A3.1.49) ничто не определяет вакуумное среднее поле ф. В дей-
действительности мы имеем дело не с однопараметрическим се-
семейством теорий, параметризованным параметром X, а с одной
теорией с однопараметрическим семейством вакуумных состоя-
состояний. По крайней мере это вырождение имеет место на класси-
классическом уровне. На квантовом уровне оно может быть снято, а
может оставаться1). Для понимания физического содержания
теории крайне важно знать, как снимается вырождение или как
определяется вакуумное среднее ф, поскольку (например) фи-
физическая калибровочная константа, которая на самом деле рав-
равна g2ф, зависит от того, какой вакуум из однопараметрического
•семейства классических вакуумов имеет физический смысл.
Если рассматривается теория суперструн, а не теория су-
супергравитации, то важную роль играет еще один дополнитель-
дополнительный параметр ее', но по-прежнему в фундаментальных законах
•отсутствует произвольный безразмерный параметр, так как а'
•определяется в терминах g и к: к ~ g2la' (для суперструн
типа I) или х2 ~ g2ar (для гетеротических струн). Таким обра-
образом, в уравнениях теории струн произвольная фундамен-
фундаментальная безразмерная постоянная действительно отсутствует.
В разд. 3.4.6 мы уже сделали по существу это наблюдение дру-
другим способом, показав, что произвольный параметр, по-види-
по-видимому, присутствующий в струнной теории возмущений, есть
просто иллюзия, и его можно поглотить сдвигом значения поля
дилатона ф.
Чтобы избежать чересчур громоздких формул, в выраже-
выражении A3.1.49) мы не выписали явно члены вида (ферми-поляL.
Но один из них — последнее слагаемое в A3.1.42)—представ-
A3.1.42)—представляет особый интерес. В комбинации с членами %%Н и Я2 он дает
полный квадрат
^[^]\ A3.1.50)
') Это вырождение не может быть снято, если только не нарушена
спонтанно суперсимметрия, так как потенциальная энергия У(Ф), необходи-
необходимая, чтобы снять вырождение, как мы узнали выше, нарушает суперсим-
суперсимметрию.

352 Глава 13
В связи с рассмотрением нарушения суперсимметрии делались
предположения, что билинейная комбинация %Tmnp% может
приобрести вакуумное среднее за счет динамических эффектов.
Если это происходит, то можно ожидать, что и HMnp приобре-
приобретает компенсирующее вакуумное среднее, так что выражение
A3.1.50) обращается в нуль. Тогда в формуле преобразования
суперсимметрии для «дилатино» X индуцируется неоднородный
член. Это дает интересную схему нарушения суперсимметрии с
сохранением космологической постоянной, равной нулю по
крайней мере в определенном приближении. Это может быть
также разумное объяснение того, почему шесть измерений (три
комплексных измерения) должны свертываться. В настоящее
время, однако, для этих спекуляций нет убедительных осно-
оснований.
13.2. Масштабная инвариантность классической теории
Основываясь на выражении A3.1.49), мы уже сделали не-
некоторые замечания о значении вакуумного среднего поля ди-
латона. Здесь мы рассмотрим этот вопрос подробнее. Сначала
обсудим вкратце некоторые простые, но, возможно, непривыч-
вые свойства обычной ОТО, которая в D измерениях описы-
описывается действием
^ \»RMN. A3.2.1)
Эта теория не является масштабно-инвариантной, как квантовая
теория ') Но она масштабно-инвариантна как классическая тео-
теория. При преобразовании
gMN^t~2gMN A3.2.2)
(это масштабное преобразование, так как все длины умножают-
умножаются на t~l) стандартные формулы ОТО показывают, что Rmn
инвариантно, так что 5 преобразуется как
S^t~(D~2)S. A3.2.3)
На классическом уровне номировка S не имеет значения: она
не влияет на классические уравнения движения. Таким обра-
образом, ОТО является масштабно-инвариантой как классическая
теория. На квантовом уровне преобразование, подобное A3.2.2),
') За исключением случая двух измерений, когда A3.2.1) представляет
собой топологический инвариант.

Низкоэнергетическое эффективное действие 353
при котором действие умножается на некоторую постоянную, не
является симметрией. (Мы можем формально рассматривать
этот вопрос, хотя стандартная ОТО, вероятно, и не имеет смысла
как квантовая теория.) Это следует, например, из описания кван-
квантовой теории в терминах интеграла по траекториям.
Z=yiS'h. A3.2.4)
Очевидно, что изменение нормировки 5 не оставляет A3.2.4)
инвариантным. Хотя A3.2.2) не является симметрией, это пре-
преобразование имеет следствия в квантовой гравитации, которые
могут показаться несколько странными. Для описания класси-
классической теории требуются фундаментальные константы с (ско-
(скорость света) и х (гравитационная постоянная). Можно ожи-
ожидать, что в квантовой теории нужна новая фундаментальная
константа ft, но в действительности это не так. Из уравнений
A3.2.3) и A3.2.4) видно, что изменение значения h можно
скомпенсировать преобразованием A3.2.2), так что в кванто-
квантовой ОТО на самом деле нет фундаментальной константы % 1).
Чтобы описать взаимодействие с фермионами, надо ввести
репер вмА, который удовлетворяет соотношению gMN = г\АВемлемв
и, значит, под действием преобразований A3.2.2) преобразуется
как
емд->Г1еМА. A3.2.5)
Взаимодействие с фермионами
^tf + y^e^IVVl5) A3.2.6)
обладает той же классической масштабной инвариантностью,
если закон преобразования т|> имеет вид
1|>-^1/2г|>. A3.2.7)
Что же происходит в супергравитации? Рассматривая в ка-
качестве примера N = 1-супер гравитацию в формулировке
A3.1.49), читатель может заметить, что эта теория обладает
такой же классической масштабной инвариантностью, но теперь
мы должны приписать полю дилатона ф нетривиальный закон
преобразования. В самом деле, закон преобразования ф имеет
вид
Ф-^гЦ. A3.2.8)
') С этим утверждением трудно согласиться. Фактически А фиксируется
граничными условиями. — Прим. ред.

354 Глава 13
Таким образом, супергравитация обладает такой же классиче-
классической масштабной инвариантностью, как и минимальная ОТО,
Но имеется и существенное отличие. Хотя вакуумное среднее
поля ф в классической супергравитации произвольно, мы должны
приписать ф некоторое вакуумное значение1). Поэтому в деся-
десятимерной супергравитации масштабная инвариантность класси-
классической теории спонтанно нарушена. На классическом уровне
безмассовый дилатон ф можно рассматривать как голдстоунов-
ский бозон, отвечающий спонтанно нарушенной масштабной
инвариантности.
Квантовомеханически масштабная инвариантность не яв-
является реальной симметрией, так что ф лучше считать псевдо-
голдстоуновским бозоном. В таком случае можно ожидать, что
он приобретает массу. Этому препятствует суперсимметрия, по
крайней мере пока она не нарушена, так как ф входит в один
супермультиплет с гравитоном, который определенно не может
приобретать массу. В более общем виде суперсимметрия, как
отмечалось выше, запрещает не только массовый член для ф,
но и произвольный потенциал У{ф).
Забудем на время ограничения, связанные с суперсиммет-
суперсимметрией, и обсудим вместо них ограничения, возникающие вслед-
вследствие классической масштабной инвариантности. На классиче-
классическом уровне масштабная инвариантность допускает потенциал
частного вида
У(ф)~ф, A3.2.9)
хотя вследствие суперсимметрии в действительности такой
член в рассматриваемом лагранжиане отсутствует. Предполо-
Предположим, что некоторый потенциал генерируется за счет однопетле-
вых эффектов. Однопетлевые эффекты имеют порядок ft. При
масштабных преобразованиях ft изменяется: в десяти измере-
измерениях ее поведение, согласно A3.2.3) и A3.2.4), имеет вид
А -»- tsh. Таким образом, масштабная псевдосимметрия требует,
чтобы однопетлевой потенциал преобразовывался как ft, умно-
умноженное на A3.2.9), т. е. как ^5. В общем случае п-петлевой
вклад К(п) в эффективный потенциал может быть пропорцио-
пропорциональным hn, умноженному на ф, так что, если этот вклад не
равен нулю, он ведет себя как
У{п)(ф)~фы+\ A3.2.10)
*) Формулы сингулярны при Ф = 0. Точнее, вид кинетической энергии
(дмФ1ФJ показывает, что значение Ф = 0 лежит «бесконечно далеко» в
пространстве полей.

Низкоэнергетическое эффективное действие
355
Заметим, что вклады большего порядка в эффективный по-
потенциал при ^>-*-0 стремятся к нулю все быстрее. Непертур-
бативный вклад при ф-+0 будет, по-видимому, стремиться к
нулю быстрее любой степени ф: непертурбативные эффекты в
конце концов в режиме слабой связи (для малых ф) должны
стремиться к нулю быстрее, чем эффекты любого конечного по-
порядка теории возмущений.
LV(<r)
Рис. 13.1. Возможные варианты вида потенциала для поля а = —In Ф. По-
Потенциал может быть тождественно равным нулю (кривая A) на рисунке а);
при а -*¦ оо он может стремиться к нулю сверху (кривая B)) или снизу
(кривая C)) и при этом не иметь других нулей; он может также иметь
изолированный нуль в дополнение к нулю на бесконечности (б).
Какое поведение У(ф) было бы желательным или ожидае-
ожидаемым? (Это обсуждение в действительности нужно было бы
провести в контексте рассмотрения редукции к четырем изме-
измерениям, но для краткости мы будем работать прямо в десяти
измерениях.) Имеется возможность, что У(ф) тождественно
равно нулю, что описывается кривой A) на рис. 13.1, с. В этом
случае ф — безмассовая частица. Поскольку ф имеет универ-
универсальное взаимодействие с материей (например, посредством
связи F2$), это поле давало бы поправки к макроскопическим
гравитационным свойствам, которые могли бы быть астрономиче-
астрономически наблюдаемыми. Тогда оно должно было бы удовлетворять

356 Глава 13
довольно сильным экспериментальным ограничениям, аналогич-
аналогичным ограничениям на скалярное поле Бранса — Дикке ')¦
Если потенциал V(<j>) не равен тождественно нулю, то мы
сталкиваемся с многочисленными новыми вопросами. Мини-
Минимум У(ф)—это то, что обычно называется космологической
постоянной. Одной из главных задач в теории суперструн, не-
несомненно, является вопрос о том, почему космологическая по-
постоянная остается нулевой после нарушения суперсимметрии.
Вероятно, это тот вопрос, для ответа на который нашего со-
современного понимания не хватает наиболее очевидным образом.
Приведенные выше факты, касающиеся классической масштаб-
масштабной инвариантности, делают обращение в нуль космологической
постоянной еще более загадочным. Соотношение A3.2.10) по-
показывает, по-видимому, что независимо от того, что происходит,
потенциал У(ф) обращается в нуль при ф^-0. Так как значе-
значение ф = 0 лежит «бесконечно далеко», последующее рассмотре-
рассмотрение будет более понятным, если работать с полем о = —In ф.
Потенциал, который обращается в нуль при а-*-°о, может
стремиться к нулю сверху или снизу. Если V стремится к нулю
снизу, как это описывается кривой C) на ,рис. 13.1, а, то космо-
космологическая постоянная (абсолютный минимум V) отрицательна,
что весьма неприятно. Поэтому будем надеяться, что V стре-
стремится к нулю сверху. В таком случае одна из возможностей со-
состоит в том, что V == 0 достигается только при а-*-°о, что от-
отвечает кривой B) на рис. 13.1, а. Тогда в природе вообще нет
стабильного вакуума: а будет «скатываться вниз по склону» до
бесконечности. Такая идея впервые была высказана Дираком
в 30-х годах с целью описания того, что теперь называют проб-
проблемой иерархии. Идея Дирака заключалась в том, что большие
числа (такие как отношение планковской массы к массе про-
протона) растут во времени по мере того, как а скатывается по
склону. Хотя эта идея и имеет привлекательные стороны, но
экспериментальные ограничения на скорость изменения во вре-
времени констант связи делают маловероятной возможность того,
что природа устроена именно так. Другая возможность состоит
в том, что кроме нуля при а-*-оо потенциал V имеет изолиро-
изолированный минимум (в котором V = 0) при некотором конечном
') Помимо астрономических тестов наиболее сильные ограничения на
взаимодействие скалярного поля, подобного Ф, обусловлены следующим фак-
фактом. В космологических моделях вследствие взаимодействия ф с материей
его вакуумное среднее изменялось бы во времени. Механизм этого явления
объясняется в конце разд. 14.5. Изменение во времени среднего значения Ф
вследствие взаимодействия F2fr привело бы к изменению во времени по-
постоянной тонкой структуры, но эта возможность чрезвычайно сильно огра-
ограничена наблюдаемыми свойствами.

Низкоэнергетическое эффективное действие 357
значении а, как показано на рис. 13.1,6. В этой возможности
нет ничего недопустимого, если не считать загадки, почему по-
потенциал V должен иметь такую форму. Кроме того, многие фи-
физики считают противоречащим интуиции постулировать, что
наш мир вырожден по энергии (нуль потенциала при конеч-
конечном а) с другим миром, «скатывающимся по склону».
13.3. Анализ аномалий
Обратимся теперь к изучению аномалий — вопросу, с ко-
которым мы встретились в первый раз в гл. 10.
Симметрии классической теории поля могут быть нарушены
некоторыми квантовыми эффектами, называемыми аномалиями.
Происхождение этих эффектов можно проследить, рассматри-
рассматривая определенные аномальные диаграммы с вставками клас-
классически сохраняющихся токов, для которых не существует ре-
регулятора, совместимого с одновременным сохранением всех
участвующих токов. Аномалии, нарушающие глобальные законы
сохранения, сказываются на
физическом содержании тео-
теории, но не делают ее несостоя-
несостоятельной. Аномалии же в ло-
локальных законах сохранения,
таких как калибровочная инва-
инвариантность или общая кова- п ,оп ,
г Рис. 13.2. Аномальная треугольная
риантность, делают теорию не- диаграмма с v-A-током в каждой
состоятельной. Такие анома- вершине,
лии могут возникать только в
нарушающих четность амплитудах (для сохраняющих четность
амплитуд всегда существует калибровочно-инвариантная регу-
регуляризация Паули — Вилларса).
Классическим примером ограничений на калибровочное
взаимодействие, необходимых для исключения аномалий, яв-
является SUB)X U(l)-модель электрослабых взаимодействий в
четырех измерениях. Кварки и лептоны образуют левые дубле-
дублеты и правые синглеты по «слабой» SUB). В этом случае имеет-
имеется аномальная фермионная треугольная диаграмма с V — Л-то-
ками в каждой вершине (рис. 13.2). Одновременного сохране-
сохранения токов во всех трех вершинах требовать нельзя, так что
единственная возможность избежать противоречия— сокраще-
сокращение суммы вкладов различных фермионов в теории. Например,
«ели выбрать три тока, несущие квантовые числа по U(\) (сла-
(слабый гиперзаряд У), то аномалия будет пропорциональна У3.
Следовательно, мы должны получить нуль, суммируя У3 по
всем левым кваркам и лептонам. Так как все поколения имеют

358 Глава 13
одинаковый набор квантовых чисел, достаточно рассмотреть-
только первое поколение. Обычное распределение гиперзарядов
имеет вид
Y(uL) = Y(dL) = 1/3,
Y(uL) = -4/3, Y(dL) = 2/3, A3.3.1)-
У(еГ) = УЫ = -1, Y(el) = 2.
Включая множитель 3, отвечающий числу цветов, для кварков
получаем tr(У3) ==—б, а для лептонов 1х(У3)=+6. Таким
образом, стандартные поколения действительно дают требуемое
сокращение, в то время как урезанная теория, состоящая толь-
только из кварков или только из лептонов, была бы несостоятель-
несостоятельной. Аномалии типов YT2 и YK2, где Т и к — генераторы SUB)L
и цветной группы соответственно, сокращаются аналогичным
образом. В стандартной модели есть также потенциальная ано-
аномалия в треугольной диаграмме с одним внешним генератором
гиперзаряда и двумя внешними гравитонами. Эта аномалия
пропорциональна tr Y (след опять берется по левым фермио-
нам) и также обращается в нуль для стандартного поколения
кварков и лептонов. Это тоже дает нетривиальное ограничение
на квантовые числа кварков и лептонов.
Первоначально сокращение аномалий понималось как тре-
требование, необходимое для перенормируемости стандартной
электрослабой теории. Если так понимать требование сокраще-
сокращения аномалий, то, предполагая, что теория струн верна, можно
было бы удивляться, почему аномалии кварков и лептонов дей-
действительно сокращаются в природе. Теория струн настолько
улучшает ультрафиолетовое поведение теории поля, что если бы
аномалии относились главным образом к вопросу перенорми-
перенормируемости, то теоретико-полевой анализ аномалий не имел бы
отношения к делу. Ведь нас в конце концов не беспокоит тот
факт, что по крайней мере одна неперенормируемая теория —
общая теория относительности — входит как составная часть в
низкоэнергетическое приближение к теории струн. Почему
тогда необходимо, чтобы сокращались аномалии кварков и
лептонов?
Реальный ответ на этот вопрос заключается в том, что, хотя
аномалии и можно рассматривать как ультрафиолетовый эф-
эффект, связанный с отсутствием калибровочно-инвариантной ре-
регуляризации для определенных диаграмм, их можно также
понимать и как инфракрасный эффект. Даже низкоэнергетиче-
низкоэнергетическую часть аномальной треугольной диаграммы (и ее «высоко-
«высокомерных» родственников) нельзя примирить с калибровочной'
инвариантностью и унитарностью. Эта точка зрения была-

Низкоэнергетическое эффективное действие 359
„должным образом оценена только под влиянием относительно
недавних работ по роли аномалий в составных моделях кварков
и лептонов. Но сказанное выше есть не более, чем уточнение
того утверждения, которое с самых первых работ на эту тему
считалось существенной частью всей истории с аномалиями,
а именно что аномалия — это нарушение калибровочной инва-
инвариантности, которое нельзя устранить с помощью добавления
к эффективному действию каких бы то ни было локальных
контрчленов и которое поэтому не может зависеть от каких-то
неведомых модификаций физики на малых расстояниях.
Наша цель состоит в том, чтобы получить ограничения для
суперсимметричных теорий в десяти измерениях, аналогичные
тем, которые были описаны
выше для стандартной моде-
модели. В гл. 10 мы вычислили ше-
шестиугольную однопетлевую ам-
амплитуду в теории суперструн
типа I, показанную на рис. 13.3.
Там был сделан вывод, что
единственная классическаг
янг-миллсова группа, для ко-
которой возможно сокращение
аномалии,— это группа SO C2).
Здесь МЫ рассмотрим НИЗ- рИс. 13.3. Шестиугольная диаграм-
КОЭНергетическиЙ анализ, КО- ма, которая дает аномалии в десяти
торый сделает этот результат измерениях,
более прозрачным, а также
покажет, что аномалии могут сократиться и для десятимер-
десятимерной N = 1-супергравитации с калибровочной группой Es~XEs.
Причина адекватности низкоэнергетического анализа только
что объяснена г). Этот анализ требует рассмотрения потенциаль-
потенциально аномальных процессов с внешними калибровочными бозона-
бозонами и с внешними гравитонами. Результаты, по-видимому, можно
проверить с помощью полного однопетлевого вычисления для
¦струн, но на практике до сих пор были выполнены только вы-
вычисления, описанные в гл. 10. Провести анализ, конечно, намно-
намного проще для низкоэнергетического эффективного действия, и
этот подход обладает тем преимуществом, что он не тре-
требует никаких знаний или предположений о природе или
') Точнее низкоэнергетический анализ адекватен для ответа на вопрос,
когда аномалии могли бы сократиться при добавлении подходящих коитр-
членов, но не для выяснения того, когда они действительно сокращаются,
что, как мы увидим, зависит от конкретных коэффициентов в определенных
членах, возможных в низкоэнергетическом лагранжиане.

360 Глава 13
о существовании возможных суперструнных теорий. В действи-
действительности именно так впервые появилась группа ESX.ES, прежде
чем стало известно, как включить ее в теорию струн.
13.3.1. Структура аномалий в теории поля
Аномалии представляют собой нарушение калибровочной
инвариантности и общей ковариантности. Чтобы исследовать
возможность возникновения аномалий, изучают эффективное
действие Г(Ам, gMN) для калибровочного поля Ам и гравита-
гравитационного поля gMN, которое получается после интегрирования
по всем другим полям. Ставится вопрос о том, является ли это-
эффективное действие калибровочно-инвариантным и обще-
ковариантным. (Эффективное действие Г не совпадает с рас-
рассмотренным ранее объектом 5эфф, так как оно получается после
интегрирования как по массивным, так и по безмассовым
модам.)
Ток, индуцированный данным фоновым полем Л, опреде-
определяется в терминах эффективного действия Г как
Jm = J^m- A3.3.2)
Рассмотрим вариацию эффективного действия Г (Л) при калиб-
калибровочном преобразовании 8АМ — DMA:
G = 6AT = tr ^ dxDMA (х) 6А\х) Г (Л). A3.3.3).
Интегрирование по частям показывает, что G = 0, если калиб-
калибровочный ток A3.3.2) ковариантно сохраняется. Таким образом,
если имеется аномалия, то калибровочные токи на самом деле
не сохраняются. Следствием несохранения таких калибровоч-
калибровочных токов является тот факт, что состояния, отвечающие не-
нефизическим поляризациям калибровочных полей, появляются:
в качестве полюсов S-матрицы, что означает нарушение унитар-
унитарности. В вычислениях в гл. 10 аномалия описывалась как взаи-
взаимодействие продольно поляризованного калибровочного поля.
с пятью поперечно поляризованными. Это в свою очередь озна-
означает, что продольная мода появляется как полюс двухпетлевой-
диаграммы с десятью поперечно поляризованными калибровоч-
калибровочными полями на внешних линиях, как показано на рис. 13.4,.
что несовместимо с унитарностью.
Рассмотрим шестиугольную диаграмму в десяти измерениях
только с калибровочными бозонами на внешних линиях. Суще-
Существует много способов свернуть калибровочные и лоренцевы
индексы внешних линий, и, следовательно, есть много инва-

Низкоэнергетическое эффективное действие 361
-риантных амплитуд, характеризующих шестиугольную диа-
Еграмму. Аномальное поведение возникает в действительности
только в тех амплитудах, которые нарушают четность (другие
можно регуляризовать калибровочно-инвариантным образом),
и только в амплитудах, которые полностью симметричны отно-
относительно перестановок калибровочных индексов внешних линий.
Последнее мы не будем пытаться здесь объяснить сколько-ни-
сколько-нибудь подробно, а лишь заметим, что это условие возникает
в любом вычислении аномалий по теории возмущений, так оно
Рис. 13.4. Если продольные моды нельзя исключить из однопетлевых диа-
диаграмм, то в двухпетлевых диаграммах они появляются как полюсы.
возникало, например, в гл. 10. Вследствие полной симметрич-
симметричности по калибровочным индексам все внешние калибровочные
бозоны можно без потери существенной информации опи-
описывать одним и тем же калибровочным генератором 7м). Ано-
Аномальные петлевые диаграммы с шестью внешними калибровоч-
калибровочными бозонами пропорциональны инвариантам шестого порядка,
полученным из Т. Десятимерная СРГ-теорема вынуждает нас
иметь дело только с вещественными фермионными представле-
представлениями, для которых след от нечетной степени Т равен нулю, так
что возможные инварианты шестого порядка имеют вид
trr6, trrtrf2, (trPK. A3.3.4)
Опишем более конкретно (например, следуя нашему опыту,
приобретенному в гл. 10) вид аномальных шестиугольных ам-
амплитуд. Удобно ввести обозначение Fq = dA для линеаризован-
линеаризованного приближения к напряженности поля Янга — Миллса; ли-
линеаризованное приближение адекватно, поскольку мы рассмат-
') Аномальные диаграммы с более чем шестью внешними калибровоч-
калибровочными бозонами в десяти измерениях не являются полностью симметричными
по калибровочным индексам, но они однозначно определяются в терминах
.аномальных шеститочечных амплитуд благодаря условиям согласованности
ЛЗесса—Зумино, описанным в разд. 13.3.5.

362 Глава 13
риваем наименьшее число внешних калибровочных бозонов, для
которого возникает аномалия. При линеаризованном калибро-
калибровочном преобразовании Ам-*-Ам-\-дкА. на одной из внешних
линий аномальная вариация шестиугольной амплитуды Г имеет
вид1)
6Г = ^ rfI0jc (ci tr AFl+ c2tr AFotr F\ + c3tr AF0(tr F20J'. A3.3.5)
В выражении A3.3.5) подразумевается внешнее произведение
дифференциальных форм, а подынтегральное выражение, со-
составленное из пяти 2-форм Fo, представляет собой 10-форму,
которую можно проинтегрировать по десятимерному простран-
пространству-времени. Аналогичная формула в четырех измерениях —
это хорошо знакомая аномалия 6T = trAF2, возникающая из
треугольной диаграммы. Три коэффициента си с2, с3, отвечаю-
отвечающие трем симметричным инвариантам A3.3.4), зависят от ка-
калибровочных квантовых чисел частиц, бегающих по шестиуголь-
шестиугольной петле. Обобщение аномалии до включения членов с более
чем шестью внешними калибровочными бозонами не означает
просто замены Fq на калибровочно-инвариантную напряжен-
напряженность F в выражении A3.3.5). Но поскольку аномалии старших
порядков сокращаются тогда и только тогда, когда сокращаются
аномалии в шеститочечной функции, явный вид выражения
A3.3.5) для некоторых целей несуществен. Для доказательства
того, что в любой теории аномалия имеет общий вид A3.3.5)
только с тремя коэффициентами с к, зависящими от теории, надо
показать, что добавляя, если необходимо, локальные контр-
контрчлены, аномалию в любом бозе-симметричном действии можно
привести к виду A3.3.5). Это доказательство носит несколько
технический характер, и мы ограничимся замечанием, что явные
вычисления, подобные вычислениям в гл. 10 или привычным
вычислениям четырехмерной аномалии, всегда приводят к ответу
указанного вида.
13.3.2. Гравитационные аномалии
Аномалии могут быть также в диаграммах Фейнмана с внеш-
внешними гравитонами. Такие аномалии называются гравитацион-
гравитационными и отвечают нарушению общей ковариантности. Нам уже
встречались гравитационные аномалии в двух измерениях (на
4) Добавля к Г локальный контрчлен вида tr AF0 tr AF%, при желании
можно сделать так, что коэффициент с2 будет стоять при tr \ ^
вместо более удобного варианта, который мы выбрали.

Низкоэнергетическое эффективное действие 363
мировом листе струны) в разд. 3.2.3. Теперь мы рассмотрим де-
*сятимерный случай.
Диаграммы, сохраняющие четность, можно регуляризовать
с сохранением общей ковариантности, так что гравитационные
аномалии возникают только для полей, гравитационное взаимо-
. действие которых нарушает четность, точнее для полей, кван-
квантовые числа которых по группе Лоренца таковы, что их взаи-
взаимодействия не могут не нарушать четность. В евклидовом
пространстве размерности D это происходит с частицами в ком-
комплексном представлении группы SO(D), так что лоренц-инва-
риантность запрещает' массовые члены и регуляризация Пау-
Паули ¦—Вилларса невозможна. Группа SO(D) имеет комплексные
представления только в том случае, если D равно 4k -j- 2 для
некоторого k, поэтому гравитационные аномалии могут возни-
возникать только в таких размерностях.
Аналогично калибровочной аномалии гравитационная анома-
аномалия в десяти измерениях в первый раз появляется в диаграмме
с шестью внешними линиями. Но анализ фейнмановских диа-
диаграмм в этом случае несколько длиннее, чем нам бы здесь хо-
хотелось, поэтому мы постараемся сформулировать результат в та-
таком виде, чтобы он звучал правдоподобно, а интересующийся
читатель может обратиться к литературе.
Аналогия между теорией Янга — Миллса и ОТО становится,
конечно, наиболее полной после введения спиновой связности
©мдв, являющейся в десяти измерениях калибровочным полем
для группы 50A0). На самом деле аналогия будет, возможно,
полнее всего, если рассмотреть в приближении слабого поля гра-
гравитационную волну специального вида
hMN = hMhNe'k-*. A3.3.6)
Любую плоскую волну можно записать как линейную комбина-
комбинацию плоских волн этого специального вида, так что мы не те-
теряем ничего существенного, рассматривая рассеяние гравита-
гравитационных волн в таком частном случае. Для волны этого спе-
специального вида линеаризованная спиновая связность равна
-x)MAB, A3.3.7)
где Мдв — генератор группы SO A0):
MAB = hAkB-hBkA. A3.3.8)
Спиновую связность A3.3.7) можно рассматривать как SO A0)-
калибровочное поле АМАВ, которое зависит от точки как husik'x,
а его SO A0)-содержание дается генератором МАВ группы
-50A0). Например, линеаризованный тензор Римана имеет вид
A3.3.9)

364 Глава 13
При таком подходе общая кинематика гравитационных анома-
аномалий оказывается похожей на кинематику калибровочных анома-
аномалий. Действительно, аномалия возникает только в канале, пол-
полностью симметричном по «групповым индексам» внешних
гравитонов, так что, как и в случае калибровочной аномалии,
имеются три возможные комбинации: trM6, trM4trM2, (trM2K.
Общий вид аномалии в эффективном действии также аналогичен
A3.3.5). Рассмотрим инфинитезимальное преобразование коор-
координат специального вида
хм-+хм + еоНме1к-х A3.3.10)
с малым параметром ео. Преобразуя метрику, согласно стан-
стандартным правилам ОТО, мы обнаруживаем, что гравитационное
поле остается в виде A3.3.6), но h подвергается калибровочному
преобразованию
hh k A3.3.11)'
В рамках той аналогии, которую мы пытаемся проводить между
калибровочными теориями и гравитацией, км является «векто-
«вектором поляризации» «калибровочного поля» A3.3.7). Таким об-
образом, A3.3.11) отвечает правильному закону преобразований
этого калибровочного поля при калибровочных преобразова-
преобразованиях. С другой стороны, зарядовая матрица A3.3.8) инва-
инвариантна относительно калибровочных преобразований A3.3.11)
в точности так же, как в линеаризованном приближении калиб-
калибровочной теории. Представляется правдоподобным, таким об-
образом, что общий вид аномальной вариации эффективного дей-
действия при координатных преобразованиях A3.3.10) очень близок
к тому, с чем мы встречались в случае калибровочной тео-
теории. Действительно, если ввести матрицу из алгебры Ли группы
SO A0) 9 = Ме0, то общая форма вариации эффективного дей-
действия примет вид
6Г = J Л (di tr etfo + d2 tr SR0 tr Rt + d3 tr QR0 (tr R20f).
A3.3.12)
Здесь Ro— 2-форма линеаризованной римановой кривизны,
определенная в A3.3.9); как и раньше, подразумевается внеш-
внешнее произведение пяти 2-форм, а след берется по SO A0)-индек-
A0)-индексам. Хотя эта формула очень похожа на формулу A3.3.5) для
калибровочной теории, конкретные выражения для коэффи-
коэффициентов di, скажем в случае шестиугольной аномалии, отвечаю-
отвечающей безмассовой частице спина 1/2, коренным образом отли-
отличаются от выражений для сь, что обсуждается более подробно»
ниже.

Низкоэнергетическое эффективное действие 365
Удалось ли нам или нет с помощью эвристических аргумен-
аргументов сделать это правдоподобным, но именно выражение
A3.3.12) есть общая форма гравитационных аномалий, возни-
возникающая в реальных пертурбативных вычислениях. Читатель,
желающий проследить, как выражение A3.3.12) возникает из
фейнмановских диаграмм, должен обратиться к литературе. Но
мы хотели бы подчеркнуть, что A3.3.12) является корректным
общим выражением для изменения шеститочечной амплитуды
при инфинитезимальных диффеоморфизмах, которые не обяза-
обязательно имеют специальный вид A3.3.10), использованный при
эвристическом рассмотрении. Если вместо A3.3.10) рассмотреть
общий инфинитезимальный диффеоморфизм
хм->хм+г)м(хы), A3.3.13)
то равенство A3.3.12) будет по-прежнему выполняться для
A3.3.14)
Гравитационные аномалии отвечают нарушению закона со-
сохранения энергии-импульса, точно так же как калибровочные
аномалии отвечают несохранению токов. При инфинитезималь-
ном координатном преобразовании вариация метрики равна
bgMN = Dm%n -\- Dц%м. Поэтому вариация эффективного действия
имеет вид
\ V In + DNlM) bTJbgMN. A3.3.15)
Ho 8T/8gMN есть 72<7\ш>, где (ТммУ — среднее значение тензора
энергии-импульса гравитационных полей. Таким образом, как
в случае A3.3.3), с помощью интегрирования по частям полу-
получаем
6Г= - \ dx^glNDM{T^\ A3.3.16)
так что гравитационная аномалия соответствует нарушению со-
сохранения тензора энергии-импульса.
13.3.3. Смешанные аномалии
Наконец, можно рассмотреть «смешанные аномалии» с внеш-
внешними калибровочными бозонами и гравитонами. Как и выше,
калибровочные бозоны описываются зарядовой матрицей Т,
а гравитоны — SO A0) -матрицей М. Так же как чисто калибровоч-
калибровочные аномалии и чисто гравитационные аномалии, смешанные ано-
аномалии возникают в каналах, полностью симметричных по зарядо-
зарядовым матрицам внешних калибровочных бозонов и аналогично

366 Глава 13
по 50 A0)-матрицам внешних гравитонов. Возникающие тео-
теоретико-групповые инварианты принимают вид (имея в виду,
что след нечетной степени матрицы Т или М в рассматриваемых
представлениях равен нулю)
trTHvM2, tvTHvM4, trT2(trM2J, (tr Г2J tr Л12. A3.3.17)
Общий вид смешанных членов в вариации эффективного дей-
действия при калибровочных и координатных преобразованиях (в
таких же обозначениях) дается выражением
6Г = J Л Oi tr AF0 tr tfo + >2 tr 9/?o tr Ft +
+ ez tr AFo (tr Rlf + e4 tr SRo (tr F20J), A3.3.18)
где коэффициенты е* зависят от деталей конкретной теории.
Сокращение аномалий в десяти измерениях означает, что все
десять коэффициентов d, d, и et должны равняться нулю.
Четыре слагаемых в A3.3.18) соответствуют инвариантам
A3.3.17). Читатель может спросить, почему опущены некоторые
другие, по-видимому возможные, члены, такие как
dl0x tr AFo tr Fl tr Rl, A3.3.19)
и подобные им члены, в которых калибровочные бозоны и гра-
гравитоны поменялись ролями. Ответ заключается в том, что члены
вида A3.3.19) можно исключить, заменяя их таким выражением,
как слагаемое с коэффициентом е4 в A3.3.18), если к эффектив-
эффективному действию Г добавить локальный контрчлен
Г = jj Л tr Ad A tr Fl tr carff», A3.3.20)
где со — спиновая связность, а А — калибровочное поле. Исполь-
Используя калибровочные преобразования
б (tr AdA) = d (tr AdA), б (tr wdw) = d (tr &da>) A3.3.21)
(и, конечно, калибровочную инвариантность напряженности fo
в используемом линеаризованном приближении), читатель мо-
может убедиться, что слагаемые вида A3.3.18) можно сократить
с помощью добавления локального контрчлена Г A3.3.20) и
смешанные аномалии можно привести к виду A3.3.18).
С физической точки зрения мы можем добавить к эффектив-
эффективному действию контрчлен A3.3.20) или любое другое локальное
выражение, так как вследствие локальности это не нарушает ни
унитарности, ни всех остальных физических принципов. Теория,
в которой аномалии могут быть уничтожены добавлением та-

Низкоэнергетическое эффективное действие 367
кого контрчлена, как A3.3.20), не является в действительности
аномальной, поскольку можно добиться калибровочной инва-
инвариантности и общей ковариантности, не нарушая никаких физи-
физических принципов. Впоследствии нам будет важна возможность
свободно распоряжаться некоторыми кажущимися потенциаль-
потенциальными аномалиями посредством добавления членов вида
A3.3.20).
13.3.4. Аномальные диаграммы Фейнмана
Отложим на время вывод детальных формул и обсудим те-
теперь общую картину сокращения аномалий с низкоэнергетиче-
низкоэнергетической точки зрения. Из общих соображений следует, что к об-
обсуждению аномалий имеют отношение только фейнмановские
диаграммы с безмассовыми частицами на внутренних линиях.
Диаграммы с массивными частицами на внутренних линиях
дают локальные амплитуды, аномальное поведение которых,
Рис. 13.5. Аномальная диаграмма, в которой два калибровочных бозона
(или гравитона) с одной стороны и четыре калибровочных бозона (или два
калибровочных бозона и два гравитона, или четыре гравитона) с другой
стороны обмениваются безмассовой 2-формой В.
если оно имеет место, несущественно, так как оно устранимо
посредством добавления к действию физически допустимых
локальных контрчленов. А какие диаграммы с безмассовыми
внутренними линиями существенны? Один вариант — это шести-
шестиугольная диаграмма на рис. 13.3; именно она наиболее очевид-
очевидным образом соответствует аномальной треугольной диаграмме
в четырех измерениях. В теории суперструн типа НВ суще-
существенны только шестиугольные диаграммы. Тем не менее мы
узнаем, что в сокращении аномалий в теории суперструн типа I
и в теории гетеротических струн играет роль другая аномальная
диаграмма, незнакомая нам в четырех измерениях. Это — диа-
диаграмма, показанная на рис. 13.5, в которой между глюонами
и гравитонами происходит обмен безмассовой 2-формой В.
В_заимодействие поля В с двумя глюонами уже фигурировало
в обсуждении N= 1-супергравитации в десяти измерениях.
Мы отмечали, что наивное определение напряженности поля В
как Но = dB на самом деле заменяется определением Н =
= dB — ir(AdA -f- 2/зА3), где добавлена янг-миллсова форма

368 Глава 13
Черна — Саймонса. Член Я2 включает в себя взаимодействие В
с двумя глюонами, а именно
S, = \ йюх Vi Ш0)ШР tr AMdNAP. A3.3.22)
Получить такую диаграмму, как на рис. 13.5, можно только,
если добавить к лагранжиану член, отсутствующий в мини-
минимальной супергравитационной теории и отвечающий взаимодей-
взаимодействию В с четырьмя калибровочными бозонами. Оказывается,
такое взаимодействие имеет вид
S2=^di0xB AtrF4. A3.3.23)
Заметим, что S2 инвариантно относительно калибровочных пре-
преобразований 8В = dA 2-формы В; чтобы доказать это, надо
проинтегрировать по частям и воспользоваться тем, что форма
tr F4 замкнута.
Мысль о присутствии в древесной диаграмме такой анома-
аномалии, как на рис. 13.5, может показаться неожиданной, если ду-
думать, что аномалии возникают только вследствие ультрафиоле-
ультрафиолетовых расходимостей в петлевых диаграммах. На самом деле
выражение A3.3.23) инвариантно относительно янг-миллсо-
вых калибровочных преобразований, если поле В инвариантно
при таких преобразованиях. Все это очевидно и естественно для
заряженного поля В. Но с другой стороны в разд. 13.1.3 мы вы-
выяснили, что член Н2, из которого получается A3.3.22), является
калибровочно-инвариантным, если только поле В не инвариант-
инвариантно относительно калибровочных преобразований. Суммируя,
получаем, что, хотя либо выражение A3.3.22), либо выражение
A3.3.23) само по себе калибровочно-инвариантно, лагран-
лагранжиан, содержащий оба этих члена, калибровочно-неинва-
риантен. Таким образом, комбинация этих двух взаимодействий,
появляющаяся на рис. 13.5, нарушает калибровочную инва-
инвариантность.
Нетрудно определить форму этого нарушения. При калиб-
калибровочном преобразовании 8А = dA выражение A3.3.22) изме-
изменяется на
US, = - J dwx Vi tr (AFMlf) DpHMNP. A3.3.24)
Если H2— единственный член в лагранжиане, в который входит
поле В, то уравнение движения для В имеет вид DpHmnp = 0.
В этом случае вариация A3.3.24) обращается в нуль, что отра-
отражает тот факт, что сам по себе член A3.3.22) не противоречит
калибровочной инвариантности. Но при наличии других взаи-

Низкоэнергетическое эффективное действие 369
модействий уравнение DpHMnp = 0 не выполняется. Вследствие
взаимодействия A3.3.23) это уравнение на самом деле заме-
заменяется уравнением DpHmnp = smna1a2...as^(Fa'A2 ¦¦¦ FA^A>), так
что выражение A3.3.24) принимает вид
6Si = - J d10x Vi tr (AF) A tr F\ A3.3.25)
что в точности совпадает с теми аномалиями, которые мы хо-
хотели бы сократить. Эквивалентный способ выразить это на
языке диаграмм состоит в том, что если подставить вершину
A3.3.24) в диаграмму на рис. 13.5, то DPHMNP сократится
с пропагатором поля В в этой диаграмме, что и даст выражение
A3.3.25).
Итак мы видим, что некое экзотическое явление, которое
с низкоэнергетической точки зрения выглядит как появление
аномальной древесной диаграммы, может привести к сокраще-
сокращению некоторых аномалий, обсуждавшихся выше. Для этого
требуется взимодействие вида A3.3.23), которого нет в мини-
минимальной супергравитационной модели, но в теории струн нали-
наличие таких членов взаимодействия не вызвало бы удивления.
Попытка сократить аномалии такими диаграммами, как на
рис. 13.5, имеет далеко идущие последствия. Основное сокра-
сокращение аномалий зависит от существования безмассового бозона
В, который может переходить в два или четыре глюона (или
гравитона при последующих обобщениях). После редукции к че-
четырем измерениям некоторые моды поля В останутся по-преж-
по-прежнему безмассовыми частицами, что мы подробно рассмотрим
в гл. 14. Таким образом, мы получим безмассовую бесспиновую
частицу а со связью с двумя четырехмерными безмассовыми
калибровочными бозонами. Как мы увидим, эта связь имеет
вид a tr FF, который встречается в аксионном решении пробле-
проблемы сильного нарушения СР-инвариантности. Поэтому вполне
возможно, что решение СР-проблемы может быть найдено
в описанном здесь механизме сокращения аномалий.
Какие же аномалии можно сократить таким способом? Ме-
Механизм сокращения аномалий требует, чтобы пропагатор поля В
не имел ни калибровочных квантовых чисел, ни квантовых чи-
чисел для группы SO A0), поэтому сократить можно только ано-
аномалии, в которых теоретико-групповые факторы, встречавшиеся
выше, факторизуются в произведение следов. Например, в слу-
случае полей Янга — Миллса мы можем рассчитывать на сокраще-
сокращение таким способом членов с trPtrT4 или с (trT2K, но не мо-
можем рассчитывать на сокращение членов, отвечающих tr Г6.
При достаточно большом числе независимых полей В мы
могли бы таким способом сократить все аномалии, кроме двух

370 Глава 13
неприводимых аномалий tr Г6 и tr M6. В действительности в деся-
десятимерном N = 1 -супергравитационном мультиплете есть только-
одна 2-форма В, и можно сократить только некоторые фактори-
зуемые аномалии, подобрав подходящие неизвестные члены
взаимодействия типа A3.3.23). Действительно, чтобы фактори-
зуемую аномалию можно было представить как вычет в полюсе,,
отвечающем одному полю В на рис. 13.5, она должна в общем
случае иметь вид
6Г = J dwx (tr AF0 + и tr6&>) Л (v tr Ft + w tr Rt +
+ x (tr Flf + у (tr RlY + z tr F\ tr Rl) A3.3.26>
с неопределенными коэффициентами и, v, w, x, у, z. Разумеется,
мы имеем право воспользоваться произволом, как в соотноше-
соотношении A3.3.20), и привести аномалии к такому виду. Таким обра-
образом, для сокращения аномалий требуется, чтобы неприводимые-
аномалии tr Т6 и tr Ms сокращались в шестиугольных диаграм-
диаграммах, а восемь факторизованных аномалий, параметризованных
выше с помощью с2, с3, d3, d4, eu e2, е3 и е4, можно было вы-
выразить через всего лишь шесть независимых коэффициентов
и, v, w, х, у, г. Кроме того, необходимо, конечно, чтобы послед-
последние параметры генерировались в теории струн с правильными
коэффициентами.
13.3.5. Математическое описание аномалий
В этом разделе (который не является строго необходимым
для понимания остальной части главы) мы хотим дать хотя бы
общее представление о том, каким образом аномалии с более
чем шестью внешними калибровочными бозонами и гравитона-
гравитонами определяются по шестиугольным аномалиям. Читатель, инте-
интересующийся подробностями, может обратиться к другим источ-
источникам.
Пусть G (Л) — изменение эффективного действия при калиб-
калибровочном или общекоординатном преобразовании Л. Таким об-
образом, если Г — эффективное действие, то
С(Л) = -^Г. A3.3.27)
В D измерениях G (Л) всегда представляет собой интеграл по»
всему пространству-времени от некоторой D^opMbi/i). Выше
мы встречали некоторые примеры таких форм Id. В интеграле
G = \ Id такая D-форма Id определена только с точностью до»
точной формы.

Низкоэнергетическое эффективное действие 371
Для аномалий существует важное условие самосогласован-
нбсти, называемое условием Весса — Зумино. А именно, утвер-
утверждается, что
6AlG (Л2) - 6a2G (Л,) = G (Л), A3.3.28)
где
Л = [ЛЬ Л2]. A3.3.29)
Необходимость этого условия очевидна из соотношений
Г?(Л)= блГ и A3.3.29).
Существует изящный способ решения условия самосогласован-
самосогласованности A3.3.28) в терминах калибровочно-инвариантной (D + 2)-
-формы /в+2. Поскольку мы предполагаем, что пространство-
время всего лишь D-мерное, (?-{-2)-форм в обычном смысле не
существует, так что /D+2 надо рассматривать как формальное
выражение. (На самом деле существует изощренная математи-
математическая интерпретация двух дополнительных измерений, требуе-
требуемых для существования (D -\- 2) -формы, но для наших целей
это не нужно.)
Прежде чем объяснить связь между (D +2)-формой /в+2
и аномалией G, напомним некоторые факты из гл. 12, касаю-
касающиеся общей структуры калибровочно-инвариантных дифферен-
дифференциальных форм. При янг-миллсовых калибровочных преоб-
преобразованиях 2-форма напряженности поля преобразуется по пра-
правилу 8F = [F, Л]. Поэтому 2т-форма типа iv(Fm) является
калибровочно-инвариантной вследствие тождества ir (АВ) =
= tr(BA), справедливого для форм четной степени. Если матри-
матрицы F записаны в вещественном представлении калибровочной
группы, то генераторам отвечают антисимметричные матрицы.
В этом случае tv{Fm) равен нулю, если m нечетное. Этот слу-
случай на самом деле представляет первостепенный интерес, по-
поскольку в D = 4k + 2 измерениях преобразование СРТ приво-
приводит к сопряжению в смысле свойств полей относительно калиб-
калибровочной группы, не изменяя киральности этих полей. Таким
образом, сумма произвольного представления и сопряженного
¦ему (если оно отличается) представляет собой вещественное
представление.
Как мы знаем, описание гравитационного поля в тетрадном
•формализме очень похоже на описание полей Янга — Миллса.
В частности, спиновую связность wMAB можно рассматривать
как янг-миллсов потенциал, аналогичный Ам- Ее можно записать
как 1-форму:
A3.3.30)
и, если опустить вниз один индекс с помощью метрики Минков-
ского, рассматривать как D X /^-матрицу в фундаментальном

372 Глава 13
представлении алгебры Лоренца SO(D—1,1). С помощью это»
связности строится D X /^-матрица 2-форм кривизны
R = асо + CD , A3.O.O1)
которая полностью аналогична 2-форме A3.1.34). Выражение
со2 обозначает как матричное произведение, так и внешнее про-
произведение 1-форм. При инфинитезимальном преобразовании
Лоренца, параметром которого служит SO(D—1,1)-матрица
в, имеем
6со = <2в+К®]> A3.3.32)
6R = [R, в]. A3.3.33)
Все это полностью аналогично янг-миллсовым калибровочным
преобразованиям.
Точно так же как и в янг-миллсовом случае, из форм
кривизны можно построить лоренц-инвариантные дифферен-
дифференциальные формы tr(^m). Так как R—-антисимметричная
матрица, эти формы обращаются в нуль, если т нечетное. Те-
Теперь можно описать наиболее общие возможные выражения
для /в+2. Они даются полиномами, составленными из калибро-
вочно-инвариантных комбинаций tv(Fm) и tv(Rm). Эти выраже-
выражения, содержащие янг-миллсову и гравитационную кривизны, до-
достаточны для описания наиболее общих аномалий, в которых
участвуют поля Янга — Миллса и гравитации. Так как F и R
являются 2-формами, общее число множителей F и R в каждом
слагаемом (D + 2)-формы равно 1 + D/2. Конечно, это возмож-
возможно только в том случае, если D четное. Но киральные поля, на-
нарушение четности и аномалии могут иметь место только при
четных D.
Объясним теперь, как (D + 2) -форма /в+2 связана с анома-
аномалией G. Любая форма типа tr(Fm) локально может быть запи-
записана в виде
tv (Fm) = da>2m_u A3.3.34)
где Bт—1)-форма co2m_i, которая полиномиальна по калиб-
калибровочным полям и их производным, называется формой Черна—
Саймонса. (Формы Черна — Саймонса введены в разд. 12.5.)
В случае т = 2 форма Черна — Саймонса определена явно соот-
соотношением A3.1.37). В общем случае имеем формулу
«Wi (Л) = т \ dttm-x tr (Л (dA + tA2)m~l). A3.3.35) .
о
Поскольку мы хотим рассматривать аналогичные выражения в
лоренцевом случае, введем символы e>2m-i, у-и co2m-i,L, индексы

Низкоэнергетическое эффективное действие 375
которых позволяют различать янг-миллсов и лоренцев случаи.
Так как tv(Fm) и tr(Rm)—точные формы, отсюда следует, что
любой составленный из них полином также есть точная форма.
Например,
tr (Fm) tr (Rn) = d [co2m_1;Ytr (*")] = d [tr (Fm) <**,_,, L]. A3.3.36)
Здесь мы воспользовались тем, что
d tr Fm = d tr Ra = 0, A3.3.37)
как следует из равенства A3.3.34) и из того, что d2 = 0.
Предположим теперь, что /д+2 есть некоторая (D-\- 2) -фор-
-форма, заданная в виде полинома от tr Fm и tr^m и, таким обра-
образом, калибровочно-инвариантная. Поскольку она является так-
также точной, мы можем написать
ID+2 = dID+1, A3.3.38)
где (D + 1)-форма /д+i определена с точностью до замкнутой
формы. Хотя /д+2 калибровочно-инвариантна, но ID+\ в общем
случае такой не является. Например, вариация 3-формы Чер-
Черна — Саймонса при калибровочном преобразовании, как было'
показано, равна dtr{AdA). Если вариация Id+\ при калибровоч-
калибровочном преобразовании не равна нулю, она всегда является точной.
Значит, можно написать
6ID+l=dlD. A3.3.39)
Это, в частности, обеспечивает калибровочную инвариантность
/в+2. Выражение /в представляет собой D-форму, линейную по
калибровочным параметрам Лив (на что указывает верхний
индекс). Эта величина задана не однозначно, а с точностью до
замкнутой формы, но она однозначно определяет интеграл
G=\Id, A3.3.40)
который представляет собой аномалию, связанную с /д+2.
Само построение обеспечивает, что G удовлетворяет усло-
условию Весса — Зумино A3.3.28). Чтобы доказать это, предполо-
предположим, что /)-мерное пространственно-временное многообразие М
можно представить как границу некоторой (D + l)"MePH°ii
области 2. (В математических обозначениях М = <Э2.) Один из
способов добиться этогр, если мы работаем в евклидовом про-
пространстве, состоит в том, чтобы добавить точку на бесконеч-
бесконечности, так что топологически М становится D-сферой SD. Тогда
в качестве 2 можно взять (D + 1)-мерный шар, для которого»

374 Глава 13
М = SD является его поверхностью. В таком случае аномалию
можно переписать следующим образом:
G (Л) = $ Id = J dlxD = бЛ J ID+l. A3.3.41)
MX 2,
Тогда из равенства [6Ai, 6Ai] =6A следует, что условие A3.3.28)
выполняется. Это имеет следующий смысл: D + 2-форма в
D = 2п измерениях состоит из п + 1 напряженности F и (или)
Я в каждом слагаемом. Поскольку F = dA-\-A2 и R = da +
+ со2, минимальное число полей, входящих в такое выражение,
также равно п + 1. Таким образом, «самые малые» аномальные
однопетлевые диаграммы — это диаграммы с п + 1 внешними
калибровочными полями. Но вследствие нелинейности F и R
эти формулы определяют также аномалии для диаграмм с
большим числом внешних калибровочных полей. В самом деле,
очевидно, что член с п -\- I калибровочным полем однозначно
определяет полную формулу с помощью замены dA -> F и
da -*- R. Следовательно, если аномалии с п -(- 1 калибровочной
частицей на внешних линиях выводятся с помощью явных вы-
вычислений диаграмм Фейнмана, то общую формулу можно полу-
получить без дальнейших вычислений.
13.3.6. Аномалии других типов
В дополнение к калибровочным и гравитационным анома-
аномалиям можно задаться вопросом: возможны ли аномалии, нару-
нарушающие локальную суперсимметрию в некоторых из тех деся-
десятимерных супергравитационных теорий, которые в остальном
свободны от аномалий? Хотя большинство специалистов в дан-
данной области считают это невозможным, убедительных аргумен-
аргументов пока не дано.
Выше мы рассматривали только инфннитезимальные калиб-
калибровочные и координатные преобразования. Отсутствие анома-
аномалий относительно таких инфинитезимальных преобразований вле-
влечет за собой отсутствие аномалий и для всех тех калибровочных
и координатных преобразований, которые можно получить непре-
непрерывной деформацией из тождественного преобразования. При
этом остается вопрос о возможных аномалиях в тех калибро-
калибровочных или координатных преобразованиях, которые невоз-
невозможно непрерывно деформировать в тождественное. Такие
«глобальные» аномалии представляют собой пространственно-
временной аналог аномалий в модулярных преобразованиях на
мировой поверхности. Имеется доказательство того, что про-
пространственно-временных глобальных аномалий не бывает в таких

Низкоэнергетическое эффективное действие 37Е>
десятимерных супергравитационных теориях, в которых сокра-
сокращаются пертурбативные аномалии, но это доказательство слиш-
слишком длинное, чтобы его можно было здесь изложить.
13.4. Явные формулы для аномалий
Выше мы обсудили общий вид аномалий в произвольной
десятимерной теории. Теперь мы рассмотрим вид аномалий, ко-
которые в интересующих нас случаях реально возникают из ше-
шестиугольных диаграмм.
Начнем с чисто гравитационных аномалий. Они возникают
в шестиугольных диаграммах только при наличии полей, пре-
преобразующихся по комплексным представлениям группы 50A0).
Например, майорана-вейлевский спинор X из мультиплета
N = 1, D = 10-супергравитации относится к 16-мерному спи-
норному представлению. Это комплексное представление с со-
сопряженным ему представлением 16. Подобный киральный гра-
гравитон может принадлежать представлению 144 или 144. При
D = 4k -f- 2 группа SO{D) также имеет комплексные бозонные
представления. Простейшим примером является самодуальный
или антисамодуальныи тензор ранга 2k + 1
M2k+i = ±
A3.4.1).
Важным примером является самодуальный тензор пятого ран-
ранга, встречающийся в супергравитации типа ПВ.
Явное вычисление гравитационных аномалий можно выпол-
выполнить в «минимальном» случае, рассмотрев петлю с 2& + 2
внешними гравитонами (для D = 4k-\-2). Здесь удобна регу-
регуляризация Паули ¦— Вилларса; аномалию тогда можно вычис-
вычислить, пользуясь тем же общим способом, что и в случае янг-
миллсовых аномалий. На практике необходимо применить ряд
приемов, чтобы успешно справиться с комбинаторикой. Остано-
Остановимся на этом, чтобы сообщить результаты.
Как мы узнали, гравитационная аномалия в десяти измере-
измерениях записывается в терминах инварианта шестого порядка
от SO A0) -матрицы М; возможны инварианты trM6, iv M4 tv М2
и (trVW2K. В более общем виде получаем, что в 4k + 2 измере-
измерениях мы сталкиваемся с инвариантами порядка 2k -f 2, такими
как tr M2k+2 и т. д. Чтобы наше рассмотрение больше соответство-
соответствовало принятой в математике терминологии, мы будем далее ис-
использовать обозначение R (как для 2-формы кривизны) вместо
М. Подчеркнем, однако, что, хотя R и возникает в некоторых
математических рассуждениях (как в разд. 13.3.5) в качестве

376
Глава 13
2-формы кривизны, индексы которой, отвечающие 2-форме,
затем явно не выписываются, для нас здесь R— просто мат-
матрица ').
Так как формулы для аномалий используют только функции
от инвариантных выражений tr(R2m), они зависят только от соб-
собственных значений антисимметричной /) X ^-матрицы R. С по-
помощью ортогонального преобразования такую матрицу можно
привести к виду
О
О
х2
О
О
Легко видеть, что в этом базисе
x2k+\
О
A3.4.2)
2Й+1
i = \
A3.4.3)
Поэтому данному симметричному полиному от 2k + 1 перемен-
переменной х^ который является четным по каждой из них в отдель-
отдельности, можно сопоставить инвариант от R порядка т по пра-
правилу
^"-^(-lytra21". A3.4.4)
Обозначим через /;/2, h/г и 1л аномалии для кирального
поля спина 1/2, кирального поля спина 3/2 и самодуального
тензора ранга 2k + 1 соответственно. Прежде чем выписать вы-
выражения для этих величин удобно исключить общий множитель
в каждой из этих формул; для этого мы определим
/l/2 = ¦
iBnyD%2
A3.4.5)
и подобным образом определим 13/2 и 1А-
*) Мы подчеркиваем это потому, что собираемся рассматривать соб-
собственные значения R — понятие, имеющее смысл для матриц, но требующее
•более абстрактной интерпретации в случае матричнозначных 2-форм.

Низкоэнергетическое эффективное действие 377"
Формула для гравитационной аномалии, скажем в случае
частицы спина 1/2 в 4k-\-2 измерениях при некотором данном
k, слишком сложна. Замечательно, что легче всего выписать
формулу, охватывающую одновременно все Dk -\- 2) -мерные
аномалии для всех k. Эта формула имеет вид
24 + 1 х.
2' A3А6>
Смысл этой формулы состоит в том, что для D = 4k + 2 изме-
измерений надо выделить однородные члены степени k + 1, чтобы
подстановка A3.4.4) дала полином от R порядка 2& + 2, что и
требуется в 4k + 2 измерениях !). Проделывая реально эту про-
процедуру, можно найти явный вид аномалии для малых k. Пола-
Полагая у-, = 72*», находим
1 __ J_V J L_V J Lv2__I_V _ _JL_V 7 ^ V3 I
6 2 "T" 180 4 ' 72 2 2835 6 1080 2* |1296 2 ' " ' "»
A3.4.7)
где использовано обозначение
2Й+1
/rHiytrir. A3.4.8)
Так, например, гравитационная аномалия, которую дает вейлев-
вейлевский спинор в О = 6 измерениях, имеет вид /i/г = -щ- У а +
+ -yjj- У|, откуда следует
г _ _ i {опу3 J_ Г J tr 7?4 + —- A
*) Здесь и ниже в терминологии допускается некоторая вольность.
А именно, под аномалией (Л/2 и т. п.) понимается та инвариантная (D + 2)-
форма, из которой можно построить выражение для собственно аномалии
в D измерениях, являющееся ?)-формой, как описано в разд. 13.3.5. — Прим..
перев.

378 Глава 13
Аномалии /3/2 и 1А описываются аналогичными симметрич-
симметричными функциями. В частности,
= 7i/2( — 1+2 Yj cosh я* j
— 1+22] cosh xt J =
= 7,/2 (D - 1 + 4F2 + ±Yt + -^Y6+ .. .). A3.4.10)
В важном случае, когда D = 10, для дальнейшего полезно за-
заметить, что
Уз/2 - /i/aje = 2835" Y6 + (-Щ - т) Г2У4 + ^1296" — T) Y2 =
4+ НОГ2). A3.4.11)
Наконец, аномалия для антисимметричного тензора описывает-
описывается выражением
1 yj х. 11 /7 1
= ~Т И 1Ж7 = ~"8"~Т72 + 145-Г4~Т
t = l '
- 140У|) + A3.4.12)
В дополнение к описанным выше чисто гравитационным ано-
аномалиям необходимы также формулы для аномалий в таких диа-
диаграммах, которые содержат как внешние гравитоны, так и внеш-
внешние калибровочные поля или только внешние калибровочные
поля. Такие аномалии характеризуются инвариантами, которые
составлены из зарядовой матрицы Т, обозначаемой далее через
F для согласования с математической терминологией, а также
из 50 A0)-матрицы R. Смешанные аномалии в 4k + 2 измере-
измерениях содержат члены, общий порядок по F и R каждого из
которых равен 2k + 2. Однопетлевые аномалии в диаграммах,
содержащих внешние калибровочные поля, возникают только
для петель, составленных из киральных полей, несущих янг-
миллсов заряд. В наших приложениях единственными безмас-
безмассовыми киральными полями, несущими калибровочные кван-
квантовые числа, являются вейлевские спиноры. Следовательно, надо
найти обобщение формулы только для 1\/2, содержащее зависи-
зависимость от напряженности поля Янга — Миллса. Оказывается, что

Низкоэнергетическое эффективное действие 379
искомое правило удивительно простое:
lm(F, R) = tr(eiF)T1/2(R), A3.4.13)
где Ii/2{R) — величина, составленная с помощью выражения
A3.4.6). Как и выше, смысл формулы A3.4.13) состоит в tomv
что в случае 4& + 2 измерений ее надо разложить по степеням
F и R и оставить только члены порядка 2k + 2.
След в выражении для tr eiF должен браться в том представ-
представлении, в котором лежат киральные поля спина 1/2. Если
tr F2m+1 = 0, как бывает для вещественных представлений, то
tr eiF можно заменить на trcos/7. Используя разложение в ряд
AlL^tr^2), A3.4.14)
а также разложение A3.4.7), можно получить и разложение
в ряд для li/2(F,R). Отметим, что формула A3.4.13) в частном
случае дает и чисто гравитационную аномалию. Первый член
ряда A3.4.14) — это tr(l) = n, где п — размерность представле-
представления, которому принадлежат киральные фермионы. Как можно
было ожидать, для чисто гравитационной аномалии играют роль
только число и спин таких полей. Остальные же их теоретико-
групповые свойства несущественны.
Из формул A3.4.7), A3.4.13) и A3.4.14) мы узнаем, что для
D = 2 аномалия дается выражением
а для Z) = 6 — выражением
/i/2 (F, R) = ±trF*l-±tTF2 tr # + ^ (JL tr # + -1->г Я2J) .
A3.4.16)
Аналогично при D=IO находим
IU2(F, ;?) = _7^ ^
- <13-4Л7>

380 Глава 13
Формулы этого раздела отвечают случаю аномалий для
комплексных вейлевских фермионов. Если в 8^ + 2 измерениях
мы хотим рассматривать майорана-вейлевские фермионы, то
необходимо результат разделить на 2.
13.5. Сокращение аномалий
Как мы видели, поля материи с киральными взаимодей-
взаимодействиями вызывают появление чисто гравитационных аномалий
в случае размерности пространства-времени, равной D = 4k -}- 2.
Киральные поля, встречающиеся в D = 10-супергравитации, мо-
могут быть трех типов, описанных в предыдущем разделе.
Для аномалий в десяти измерениях соответствующие члены
имеют шестой порядок по зарядовым матрицам F и R (на языке
разд. 13.3.5 аномалии описываются 12-формами). Теперь мы хо-
хотим узнать, происходит ли сокращение аномалий при объедине-
объединении различных вкладов. Поэтому можно отбросить общий для
различных вкладов множитель и сосредоточить внимание на вы-
выражениях для 73/2, h/2 и 1Л, определенных в предыдущем раз-
разделе. Сначала рассмотрим чисто гравитационные аномалии. Из
формул A3.4.7), A3.4.11) и A3.4.12) следует, что члены ше-
шестого порядка имеют вид
1 1 1 3
— 1835"?б ~ 1080~ У^ь ~ 1296
(/з/2)б = -2835 Г6 — Т080 Yjr4 + 1296
П \ — 496 v Л- 224 VV 64 V3
U Ah — — -2835" Y 6 "т~ 1Ш" Г 2/ 4 ~ Т296" Г ъ
13.5.1. Супергравитация типа I без материи
Легко рассмотреть случай супергравитации типа I без ка-
калибровочных взаимодействий (или теории суперструн типа I, со-
содержащей только замкнутые струны). Полями с аномальными
взаимодействиями в этих теориях являются безмассовое майо-
рана-вейлевское поле гравитино и безмассовое майорана-
вейлевское поле спина 1/2 противоположной киральности.
Сумма их вкладов в аномалию характеризуется величиной
"A (h/2 — /1/2). (Множитель 1/2 объяснен в конце предыдущего
раздела.) Поскольку (Т3/2 — /1/2N^0, аномалия в чистой
/V= 1 -супергравитации не сокращается. К вкладам от шести-
шестиугольных диаграмм необходимо добавить вклады, отвечающие
обмену полем В, описанные в разд. 13.3.4, которые подробнее

Низкоэнергетическое эффективное действие 381
исследуются в разд. 13.5.3. Но этот механизм не может при-
привести к сокращению членов вида У6. Следовательно, теории
струн (или, если уж на то пошло, никакой теории иного типа),
которая имела бы чистую N= I, D = 10-супергравитацию в ка-
качестве низкоэнергетического приближения и была бы свободна
от аномалий, существовать не может.
13.5.2. Супергравитация типа IIB
В случае супергравитации типа ПВ имеется комплексное
гравитино одной киральности, комплексный спинор другой ки-
ральности и поля с антисимметричным самодуальным тензором
напряженности. Полный вклад в аномалию этих полей дается
комбинацией h/2 — /1/2 +/л. Эта комбинация демонстрирует
«загадочное» сокращение — первое нетривиальное сокращение
аномалий, которое мы обнаруживаем в десятимерной теории су-
супергравитации или суперструн:
(/з/2)б-(/1/2)б + (/л)б = 0. A3.5.2)
Коэффициенты здесь в точности такие, чтобы сократились по
•отдельности члены трех разных типов. Сокращение в формуле
A3.5.2), где нет никаких произвольных параметров, значения
которых можно было бы подобрать, представляет собой весьма
замечательный факт, хотя он, возможно, не столь удивителен
в свете прекрасных свойств сходимости ориентированных одно-
летлевых суперструнных диаграмм.
13.5.3. Разрешенные калибровочные группы
для N = 1-теорий суперструн
В разд. 13.5.1 мы видели, что в чистой N = 1, D = 10-супер-
гравитации имеются аномалии, благодаря которым она не мо-
может быть низкоэнергетическим пределом некоторой безаномаль-
безаномальной теории струн. Введем теперь взаимодействие с супермульти-
плетом Янга — Миллса. В этом случае дополнительно имеется п
левых майорана-вейлевских спиноров, принадлежащих присо-
присоединенному представлению группы (п — размерность этого пред-
представления). Полная аномалия, обусловленная шестиугольными
однопетлевыми диаграммами, пропорциональна
7 = /а/2 (Я) - /i/2 (R) + /1/2 (F, R). A3.5.3)
Комбинируя A3.4.11) и A3.4.17) (и используя соответствие
A3.4.8)), выражаем эту величину через полином шестого

382 Глава 13
порядка')
24-48
Здесь мы используем для обозначения следа в случае калибро-
калибровочных полей символ Тг вместо символа tr, чтобы подчеркнуть,
что данный след берется в присоединенном представлении. Мат-
Матрицы кривизны являются, конечно, десятимерными и отвечают
фундаментальному представлению группы 0(9,1) или группы
0A0). Собственно аномалии даются выражениями вида G =
= \ /!о, где /'о построено из 1\2, как описано в разд. 13.3.5.
Аномалия A3.5.4) определенно не равна нулю при любом
выборе числа п. Но с помощью аномальных диаграмм, отвечаю-
отвечающих обмену полем В, можно получить вклад, сокращающий ано-
аномалию, при условии, что /i2 представимо в факторизованном виде-
X8, . A3.5.5)
где k — постоянная, а Х8 — полином четвертой степени по F и R,
Этот вопрос мы уже обсуждали в разд. 13.3.4, а здесь рассмот-
рассмотрим его подробнее. Прежде всего выясним условия, при которых
возникает факторизация.
Необходимым условием того, чтобы выражение A3.5.4) фак-
торизовалось в виде A3.5.5), является обращение в нуль коэффи-
коэффициента при tri?6. Здесь дело в том, что tr^?6 нельзя представить,
в виде комбинации выражений tr jR2 tr /?4 и (tr^?2K. При-
Причина заключается в том, что для группы SO A0) имеется неза-
независимый инвариант Казимира шестого порядка, который входит
в выражение trR6, вычисленное в фундаментальном представле-
представлении. Таким образом, необходимое условие факторизации анома-
аномалии A3.5.4) имеет вид п = 496, т. е. янг-миллсова группа долж-
должна иметь 496 генераторов. Это впервые дает возможный ответ
на вопрос: Сколько в природе янг-миллсовых симметрии? Если
N = 1-теория суперструн справедлива, то для анализа требуется
') Здесь авторы возвращаются к обозначениям разд. 13.5.5: /uj обозна-
обозначает инвариантную 12-форму (в разд. 13.3.5 в общем случае рассматрива-
рассматривались ?)-формы ID) в отличие от введенных на время обозначений /i/2, /3/2. —
Прим. перев.

Низкоэнергетическое эффективное действие 383
дополнительно 484 генератора симметрии, кроме тех, которые
уже получили экспериментальное подтверждение. Полагая п =
= 496 и умножая выражение A3.5.4) на 48, перепишем его в виде
г Я4 + -^- (tr R2f. A3.5.6)
Это выражение можно факторизовать в виде A3.5.5) только в
том случае, если TrF6 можно представить как линейную комби-
комбинацию выражений TrF2Tr/L и (TrF2K. Делая допущение, с по-
помощью элементарных вычислений можно непосредственно пока-
показать, что единственная возможность — случай, когда &=—1/30 и
^п^шТгЯK. A3.5.7)
Тогда находим
~
03.5.8)
Мы должны теперь задаться вопросом, для каких 496-мер-
496-мерных калибровочных групп выполняется условие A3.5.7). Сна-
Сначала рассмотрим группы SO(n). След в фундаментальном пред-
представлении группы SO(n) будем обозначать символом tr, а след
в присоединенном представлении — символом Тг. Можно полу-
получить конкретные формулы, связывающие два типа следов. Пусть
дан некоторый генератор F группы SO(n). В фундаментальном
представлении F — просто антисимметричная nXn-матрица Fac.
В присоединенном представлении F имеет вид
Fab, Ы = \ {Рас*!* ~ Fbc^ad ~ Fadfibe + fbdfiac). A3.5.9)
С помощью этой формулы легко найти, что
TrF2 = (n — 2)trF2, A3.5.10)
Tr F* = (n - 8) tr F* + 3 (tr F2J, A3.5.11)
Tr F6 = (n — 32) tr F6 + 15trF2trF* A3.5.12)
и т. д. Отсюда следует, что, например, в случае группы SO C2)
TrF6=15tri72tr/74. A3.5.13)
Это как раз тот случай, когда Tr F6 факторизуется, хотя группа
имеет независимый инвариант шестого порядка. Он просто не
вносит вклад в ТтF6. Этот инвариант дает вклад в tr/76, и его
нельзя факторизовать, но это для нас не имеет значения.

384 Глава 13
Из формулы A3.5.12) видно, что среди групп SO(n) группа
50C2) — единственная группа, для которой существует инва-
инвариант Казимира шестого порядка, но TrF6 можно все же факто-
ризовать1). Используя также соотношения A3.5.10) и A3.5.11),
обнаруживаем, что выполняется условие A3.5.7) с правильными
в точности коэффициентами! Наконец, размерность SO C2)
равна 31X32/2 = 496, как и требуется. Таким образом,.
50C2) — одно из решений.
Как это ни удивительно, но существует вторая 496-мерная
группа, удовлетворяющая условию A3.5.7). Поскольку размер-
размерность группы Es равна 248, прямое произведение двух таких
групп Eg X Е& имеет правильную размерность. Известно, что
группа Es не имеет независимых инвариантов Казимира четвер-
четвертого и шестого порядков. Это означает, что Тг Т74 пропорциона-
пропорционален (ТгF2J, а Тг/76 пропорционален (Тг/72K. Задача состоит
в том, чтобы найти коэффициенты пропорциональности. Элемен-
Элементарный метод решения состоит в том, чтобы заметить, что груп-
группа Е& имеет подгруппу 50A6), по отношению к которой присо-
присоединенное представление группы Es разлагается по правилу
248= 120 + 128, как объясняется в приложении 6.А. Здесь 120 —
присоединенное представление группы 50A6), а 128—спинор-
ное. Вычислить след легко для специальных 50 A6)-матриц как
в представлении 120, так и в представлении 128. С помощью
этих результатов можно найти коэффициент пропорциональ-
пропорциональности для суммы, которая отвечает представлению 248 группы
Е8. Таким способом находим
ТгЯ = 155-(ТгПг,
1 A3.5.14)
Какой вывод отсюда следует для прямого произведения Еа X ^8?
В этом случае Тг F2m означает Тг F2\m + Tr Ff", где индексы 1 и
2 относятся к двум сомножителям Ев. Следовательно, чтобы вы-
выполнялось соотношение A3.5.7), должно выполняться равенство
= JL (Tr F\ + Tr Ft) -jig- [(Tr F\f + (Tr Flf] -
-T4ioo(Tri7' + Tr^K- A3-5-15)
') TrF6 можно факторизовать также для группы SO(n) при малых л,
когда инвариант Казимира шестого порядка отсутствует, так что саму ве-
величину tr Fe можно выразить через tr F2 и tr F4, но число генераторов при
этом будет намного меньше, чем 496.

Низкоэнергетическое эффективное действие 385
Примечательно, что перекрестные члены сокращаются и равен-
равенство выполняется.
Соотношение '/зоТг F2 = tr F2 является тождеством для груп-
группы 50C2) (см. A3.5.10)). Мы находим полезным использо-
использовать эту формулу как, определение символа tr для группы
Еа~ХЕ8. (В последнем случае это совпадает со стандартным
определением следа tr для генераторов из подгруппы 5ОA6)Х
X 50A6), которая имеет 32-мерное фундаментальное представ-
представление.)
Можно было бы поинтересоваться, существуют ли другие
496-мерные группы, удовлетворяющие условию A3.5.7). Ответ
состоит в том, что имеются еще две группы. Это группы [f/(l)]496
и Е& % [?/A)]248. Для них условие A3.5.7) удовлетворяется три-
тривиальным образом, так как след для сомножителей обращается
в нуль. Не известно теорий струн, отвечающих какой-либо из
этих групп, и представляется совершенно невероятным, чтобы
какая-нибудь интересная теория могла основываться на одной
из них.
Обратимся теперь к источнику условия факторизации A3.5.5),
которое мы теперь запишем в виде /i2 = (tri?2—{тР2)Хц. Мы
уже обсудили значение условия факторизации в разд. 13.3.4, но
ввиду его фундаментальной важности вернемся к нему, чтобы
рассмотреть его более формально. В этом более формальном
рассмотрении будем считать аномалии формальными 12-фор-
мами, как в разд. 13.3.5.
Из того факта, что 1ц — точная форма, /j2 = dln, следует,
что Х8 точна, а значит, замкнута. (Глобальные свойства здесь
несущественны.) Далее, мы знаем, что tr R2 = da3L и trF2 =
= d(xKY, где @31. и созк — лоренцева и янг-миллсова формы
Черна — Саймонса, которые в янг-миллсовом случае опреде-
определены соотношением A3.1.37), а в лоренцевом случае—анало-
случае—аналогичным выражением, получающимся заменой А на спиновую
связность со. Следовательно, возможный выбор /ц имеет вид
A3.5.16)
При локальных калибровочных преобразованиях Х8 инва-
инвариантна, в то время как, согласно равенству A3.1.39), имеем
бсозу = daly Аналогично при локальных преобразованиях Ло-
Лоренца 6co3L = da>\L, где co^L = tr (edoo). Другой возможный выбор
/и имеет вид
/</;> = (tr#2-trF2)X7, A3.5.17)

386 Глава 13
где dX7 = Х&. Какой из этих выборов правильный? Статистика
Бозе требует, чтобы каждая из напряженностей входила равно-
равноправно. (Это дает «самосогласованную» форму аномалии, кото-
которая удовлетворяет условию самосогласованности Весса — Зу-
мино A3.3.28).) Поэтому надо выбрать линейную комбинацию
/п = j Ы - «ay) *8 + 4 (tr R2 - tr F*) X7 +
A3.5.18)
Здесь а — произвольный параметр, а последнее слагаемое отве-
отвечает неопределенности в определении /ц. Тогда можно опреде-
определить форму /ю соотношением 6/n=d/io, а форму Xl соотно-
соотношением 6Х7 = dXl. Это дает
по модулю точных форм, которые не важны для аномалии
G = \ /!о. Интегрирование по частям дает
G = D + a) J (ffl3L - О dX\ + (^ - a) J « - <) Xs.
A3.5.20)
В соответствии с обсуждением в разд. 13.3.4 мы хотим те-
теперь построить локальные вклады в; эффективное действие без-
безмассовых полей, которые могут дать аномалии в древесных диа-
диаграммах1). Как и выше, центральным вопросом является закон
преобразований A3.1.41). Было обнаружено, что структура су-
суперсимметрии во взаимодействующей системе «супергравитация
плюс суперянг-миллсова теория» требует, чтобы 2-форма В пре-
преобразовывалась под действием янг-миллсовых калибровочных
преобразований по правилу 6? = со]у. Единственное, что остает-
остается, — заменить такой закон преобразования на
6В = оо'у-<, A3.5.21)
поскольку тогда при добавлении к лагранжиану контрчлена
ДГ = J ВХ8 - D + a) J (co3L - *>зу) Х7 A3.5.22)
') Струнная интерпретация этих новых локальных вкладов состоит в
том, что они возникают после того, как в однопетлевых диаграммах прово-
проводится интегрирование по массивным модам. Таким образом, аномальные дре-
древесные диаграммы низкоэнергетической теории получаются, как в гл. 10, на
более микроскопическом уровне как петлевые вклады.

Низкоэнергетическое эффективное действие 387
аномалии сокращаются. Это выражение единственно с точ-
точностью до калибровочно-инвариантных членов.
Если вариация 8В кроме со^у должна содержать еще co'L,
то почему мы не обнаружили этого члена в разд. 13.1.2? При-
Причина состоит в том, что в низкоэнергетическом разложении co'L
имеет более высокий порядок, чем ш^у, поэтому этот член не
возникает в минимальном, урезанном до п = 2, варианте теории.
При переходе от янг-миллсовых выражений к их лоренцевым
аналогам мы заменяем калибровочное поле А на спиновую связ-
связность со. Но спиновая связность линейна по производным от тет-
тетрады, поэтому мы получаем члены более высокого порядка со-
согласно правилу A3.1.1). Это проявляется уже в минимальной
теории, где кинетические члены R и F2 имели степень п=2 каж-
каждый. Из модифицированной формулы преобразований A3.5.21)
следует, что калибровочно-инвариантная 3-форма напряженно-
напряженности A3.1.48) также должна быть заменена на
Я = dB + CD3L — ©зу. A3.5.23)
Отметим одно интересное следствие равенства A3.5.23). Взяв
внешнюю производную от A3.5.23), получаем
dH = tr R2 - tr F2. A3.5.24)
Три-форма Н должна быть хорошо определена глобально, так
как HmnpHmnp входит в выражение для плотности энергии. От-
Отсюда следует, что для любого замкнутого четырехмерного под-
подмногообразия Ма в десятимерном пространстве-времени М
имеем
\H=\ (tr R2 - tr F2) = 0. A3.5.25)
м, м,
Другими словами, класс когомологий 4-формы tr^?2 — tr F2 три-
тривиален.
Может показаться, что выбор АГ, необходимый для сокра-
сокращения аномалий, взят с потолка. Дело, конечно, в том, что в точ-
точности этот контрчлен должен с необходимостью возникать в эф-
эффективном действии для теорий суперструн типа SO C2) и
Еа X Е8.
13.5.4. SOA6)XSOA6)-reopuH
Теория SO A6) X SO A6) -гетеротических струн описана в
разд. 9.5.3, где также показано, что для нее выполняется условие
однопетлевой модулярной инвариантности. Здесь мы проверим
условие сокращения калибровочных и гравитационных аномалий
в соответствующем низкоэнергетическом действии. * В отличие

388 Глава 13
от других теорий струн без тахионов эта теория не суперсиммет-
суперсимметрична (или, возможно, ее следует интерпретировать как теорию,
в которой суперсимметрия спонтанно нарушена).
В противоположность другим теориям струн в SO A6) X
X SO A6)-теории однопетлевые амплитуды не являются конеч-
конечными, поскольку в отсутствие суперсимметрии дилатонные голо-
головастики вносят инфракрасные расходимости. Это может служить
поводом для беспокойства, но как показано в разд. 9.5.3, эта тео-
теория удовлетворяет условию однопетлевой модулярной инва-
инвариантности— условию отсутствия аномалий относительно гло-
глобальных диффеоморфизмов на мировой поверхности. В супер-
суперсимметричных вариантах гетеротической струны модулярная
инвариантность выполняется именно в тех случаях (SO C2) и
ЕвУ(Е8), когда сокращаются шестиугольные аномалии. Такая
связь наводит на мысль, что 50 A6) X SO A6) -теория должна
быть свободна от аномалий. Теперь мы проверим это предполо-
предположение и выясним, что происходит на самом деле.
Киральные поля SO A6) X SO A6) -теории состоят только из
майорана-вейлевских спиноров. В терминах физических поляри-
поляризаций, которые описываются поперечной группой 50(8) и груп-
группой внутренних симметрии 50 A6) X SO A6), эти поля отвечают
представлениям
(8,; 16, 16), (8С; 128, 1), (8С; 1, 128). A3.5.26)
Поскольку это все киральные поля, которые существуют, пол-
полная аномалия пропорциональна 12-форме, содержащейся в каче-
качестве соответствующей компоненты в выражении
/./, (F, R) = Tr (cos F) I,, (/?). A3.5.27)
Здесь Ti^cos/7) обозначает выражение
tri6 х 16 (cos F) - tr,28 x i (cos F) — tn x та (cos F), A3.5.28)
где индексы указывают на представление группы 5ОA6)Х
X 50A6), в котором надо записать матрицу 2-форм F, а отно-
относительные знаки являются отражением относительной кираль-
ности пространственно-временных спиноров.
Первое, что следует отметить относительно формулы A3.5.28),
это тот факт, что если разложить cos F в ряд 1 — l/zF2 -j- ..., то
член, отвечающий единичной матрице 1, обращается в нуль, по-
поскольку 16X16—128—128 = 0. Этот факт отвечает тому, что
число левых спиноров равно числу правых, и в результате чисто
гравитационная аномалия сокращается. В отличие от N = 1-тео-
1-теорий, в которых требовалось 496 спиноров, чтобы уравновесить
чисто гравитационную аномалию, идущую от гравитино, в рас-
рассматриваемом случае сокращение чисто гравитационных анома-

Низкоэнергетическое эффективное действие 389
лий не определяет общее число спиноров, а лишь требует, чтобы
<было равное число обеих киральностей. Тем не менее теория,
конечно, остается киральной, поскольку левые и правые спиноры
принадлежат разным представлениям калибровочной группы.
Разложение выражения A3.5.27) с помощью соотношений
A3.4.7) и A3.4.8) дает следующий результат:
- ? Тг р2 [-ШШtr
Как и в предыдущем разделе, попытаемся факторизовать это
выражение в виде {tr R2 -{- ktr F2)X8, где trF2 вычисляется в не-
некотором подходящем представлении. Поскольку tr./?4 нельзя вы-
выразить через tr R2 и в то же время отсутствует слагаемое вида
tr R2 tr R4, необходимо, чтобы Tr F2 = 0. Исследуем сначала это
последнее условие, а затем вернемся к остальной части выра-
выражения.
Рассмотрим единственную группу 50A6) в качестве калиб-
калибровочной группы. В этом случае с помощью элементарных вы-
вычислений, аналогичных тем, которые проведены в предыдущем
разделе, можно показать, что
trmF6 = 16 tr F6 + -J- (tr F2f — 15trF2tr F\
trI28F4 = 6 (tr F2J - 8 tr F\ A3.5.30)
tr128F2=16trf2,
где следы в правых частях вычисляются в фундаментальном
представлении 16. Используя индексы 1 и 2, чтобы различать
первый и второй сомножители 50A6), запишем
tr16 х ш/72 = 16 tr Ff + 16 tr F|,
trI28XIF2=16tr^) A3.5.31)
tnxmf^ietr/i.
Отсюда^следует, что
TrF2 = tr,6Xi6/:'2-tr128xi/;<2-trIxi28/72 = 0. A3.5.32)
Аналогичные вычисления дают
— (tr F? + tr Fl) (tr /="f + tr ^), A3.5.33)
JL Tr p* = | [(tr J72J + (tr Flf - tr F\ tr Fl\ - tr F\ - tr F\.
A3.5.34)

390 Глава 13
Подставляя A3.5.32), A3.5.33) и A3.5.34) в формулу A3.5.29) и
умножая на 48, получаем факторизованный результат:
(tr R2 — tr F\ - tr F22) Xs, A3.5.35>
где Xs = -9Г Tr FA дается формулой A3.5.34).
Так как в спектре 50 C6) X 50 A6) -теории содержится без-
безмассовая 2-форма BMn, мы можем теперь завершить доказатель-
доказательство сокращения аномалий с помощью в точности такого же
рассуждения, как и в предыдущем разделе. Потребуем, чтобы
янг-миллсовы и лоренцевы преобразования 2-формы имели вид
6В = a)iy - co'L; A3.5.36)
и построим калибровочно-инвариантную напряженность поля
Н = dB + <b3Z, — <взу. A3.5.37)
Здесь подразумевается, что след матриц в определениях форм
cojy и юзу берется в представлении A6; 1) + A, 16)группы5ОA6)Х
X 50A6). Как и раньше, Х7 определяется соотношением Ха =
= dX7, а контрчлен в эффективном действии дается такой же
формулой, как A3.5.22):
ДГ = \ ВХ8 - (-| + a) J (o>3l - Щу) Х7. A3.5.38)
В разд. 9.3 описана техника, позволяющая построить до-
довольно много модулярно-инвариантных десятимерных теорий
струн с тахионами. С помощью вычислений, аналогичных только
что описанным, можно обнаружить, что все эти теории оказы-
оказываются свободными от аномалий.

14. Компактификация
высших измерений
Поскольку суперструнные теории с необходимостью являют-
являются десятимерными теориями, любое обсуждение феноменологии
должно начинаться с рассмотрения вопроса, каким образом
наблюдаемая четырехмерная физика связана с лежащей в ос-
основе десятимерной физикой. Этому вопросу и посвящена на-
настоящая глава. Обсуждение проводится в константе теории
поля, но с акцентом на тех свойствах, которые зависят только
от допущений качественного характера, а не от численных де-
деталей и, таким образом, могут быть справедливы и в теории
струн. Наши усилия в этой главе будут направлены не на под-
подробную разработку моделей компактификации, а на то, чтобы
сформулировать постановку задачи и ввести некоторые важные
понятия.
14.1. Волновые операторы в десяти измерениях
Большая часть предшествующих глав посвящена распростра-
распространению струн в десятимерном плоском пространстве Минковско-
го М10, но с этого момента мы будем считать, что десятимерное
пространство-время — это более общее многообразие М. Возь-
Возьмем М вида Af4 X ^С, где Af4 — четырехмерное пространство
Минковского, а К — компактное шестимерное многообразие, ко-
которое, к сожалению, пока неизвестно. Точнее говоря, мы счи-
считаем, что вакуумное состояние является произведением М4 X К\
это необходимо, если мы хотим сохранить четырехмерную
пуанкаре-инвариантность. Разумеется, физические флуктуации
необязательно будут подчиняться той же форме прямого произ-
произведения, что и вакуумная конфигурация, но, как и во многих
других областях физики, понимание основного состояния являет-
является ключом к пониманию низкоэнергетических возбуждений. Дей-
Действительно, мы увидим, что огромное число разных физических
вопросов сводится к вопросам о топологии и геометрии много-
многообразия К. I

392 Глава 14
14.1.1. Безмассовые поля в десяти измерениях
Десятимерные индексы будем обозначать как М, N, Р =
= 1, ..., 10; десятимерные пространственно-временные коор-
координаты— как Xм, М—1, ..., 10. Индексами, касательными к
М4, будут |л, v, X =1, . . . , 4; координаты в пространстве М4 бу-
будем обозначать х^, ц = 1, ..., 4. Обозначениями индексов, ка-
касательных к К, будут служить, i, /, k = 5, . .., 10, а координа-
координатами в К будут у1, i = 5,..., 10.
Как обычно в дифференциальной геометрии, на данном
n-мерном римановом многообразии Q касательные векторы в
произвольной точке р е Q образуют n-мерное векторное про-
пространство Тр — касательное пространство в точке р. Ортого-
Ортогональные преобразования пространства Тр образуют группу
(группу касательного пространства), изоморфную (если сигна-
сигнатура метрики на Q положительна) группе SO (n). Группы ка-
касательного пространства для многообразий М4 X К, М4 и К —
это соответственно группы 50A, 9), 50A, 3) и 50F). Разу-
Разумеется, группа 50A, 3)Х5ОF) является подгруппой группы
50A, 9), где 50A,3) действует на первые четыре компоненты,
а 50F)—на последние шесть компонент 10-вектора для
50A, 9). Группа касательного пространства для многообразия
Q не совпадает с группой симметрии Q, которая может быть
больше или меньше. Многообразие Q может вообще не иметь
симметрии, но его группа касательного пространства зависит
только от сигнатуры и размерности. Касательная группа — это
группа симметрии для измерений, выполняемых в малой об-
области пространства-времени, и в этом качестве она входит в
«принцип эквивалентности» Эйнштейна.
«Спин» физического поля W в n-мерном пространстве-вре-
пространстве-времени определяется выбором представления X касательной груп-
группы. В любой данной точке р поля преобразуются по представ-
представлению X касательной группы. Это означает, что в десятимерной
физике можно ввести поле, компоненты которого (в любой дан-
данной точке р) преобразуются по любому представлению группы
50A, 9). Для установления связи между десятимерной и че-
четырехмерной физиками надо прежде всего осознать, что поле,,
имеющее простой спиновый состав в десяти измерениях, может
с четырехмерной точки зрения иметь достаточно сложный со-
состав спинов, поскольку простое представление группы 50A, 9)
может быть довольно сложным и приводимым как представле-
представление группы 50A, 3)Х5ОF). На практике имеется пять слу-
случаев, которые следует рассмотреть.

Компактификация высших измерений 393
1. Калибровочные поля
Калибровочное поле Ам преобразуется по векторному пред-
представлению 50A,9), и мы уже отмечали, что оно разлагается
относительно S0(\, 3)Х5ОF) как D,1)® A,6). Это равно-
равносильно высказыванию, что калибровочное поле Ам, М=\, ...
..., 10, в четырехмерном случае расщепляется на векторное
поле Лр,, ц == 1, .. ., 4, и скаляры Ac, i = 5, .. ., 10. Если пред-
предположить, что в десяти измерениях Ам было калибровочным
полем для некоторой калибровочной группы G, а следовательно,
преобразовывалось по присоединенному представлению G, то
и Лц, и Ас будут преобразовываться по этому представлению.
Это означает, что в десятимерной теории можно объединить
то, что с четырехмерной точки зрения выглядит, как калибро-
калибровочное поле Лц и поля Хиггса Л,- в присоединенном представ-
представлении. Здесь (а также в других примерах, обсуждаемых ниже)
мы на самом деле принимаем во внимание только спин; если
учесть зависимость от у, например для AfX(xv,yi), то мы полу-
получим бесконечное число четырехмерных полей.
2. Метрический тензор
Аналогично разлагается и метрический тензор gMN, M, N =
= 1, ..., 10. Компоненты gp,v, ц,, v = 1, ..., 4, образуют четы-
четырехмерный метрический тензор, в то время как компоненты
glxkt ц = 1, ..., 4, k = 5, ..., 10,— с четырехмерной точки зре-
зрения— поля спина один, a gmn, m, n = 5, ..., 10, — поля спина
нуль.
3. Дифференциальные формы
Другими безмассовыми бозонными полями, возникающими
в суперструнных теориях, являются антисимметричные тензор-
тензорные поля Ф.м м2...мк, которые антисимметричны по всем своим
индексам. Как говорилось в гл. 12, такое поле в математиче-
математической литературе называется ^-формой, или дифференциальной
формой степени k. Калибровочное поле можно рассматривать
как 1-форму (со значениями в некоторой алгебре Ли), но этот
случай ввиду его особой важности мы обсудим отдельно. Раз-
Разложение &-формы относительно 5ОA,3)Х 50F) имеет очень
простой вид: компоненты с q индексами, принимающими зна-
значения 1, ..., 4, и k — q индексами, принимающими значения
5, ..., 10, преобразуются по 50A,3) как ^-форма, а по 50F) —
жак (k — 9)-форма.

394 Глава 14
4. Дираковские поля
Для построения спинорного представления 5О(], 9) вво-
вводятся десять гамма-матриц Гм, М = \, ..., 10, которые-
удовлетворяют соотношению ГмГлг + ГдгГм = 2г\мы- Тогда гене-
генераторы группы 50A, 9) имеют вид 2Млг = [Тм, Гдг]/4. Для по-
построения спинора для SOA, 3) потребовались бы только четыре
гамма-матрицы -уц, ц = 1, . . . , 4. Первые четыре матрицы Гм
можно рассматривать как гамма-матрицы для SO A,3). Тогда
50A, 9)-определение генератора 2W для М, N = 1, ..., 4
совпадает со стандартной 50A, 3)-формулой o^v = [уц, \\>]/4 =
= Ynv/2, так что спинорное поле для 50A, 9) преобразуется
как спинор и для 50 A,3). Те же соображения (использующие
только последние шесть матриц Гм) показывают, что SOA, 9)-
спинор преобразуется как спинор для группы 50F). Сделанные
замечания следовало бы дополнить обсуждением киральности;
мы вернемся к этому важному вопросу ниже.
5. Поля Рариты — Швингера
Поле Рариты — Швингера tyMa имеет векторный 50 A,9)-
индекс М и спинорный индекс а. Мы уже рассмотрели разложе-
разложение относительно 50A, 3)Х 50F) для векторных и для спи-
норных индексов по отдельности, и теперь легко объединить ре-
результаты этих двух рассмотрений. Компоненты с М = 1, . .., 4
преобразуются как вектор-спинор (или как поле Рариты —•
Швингера) для 50A, 3) и как спинор для 50F), а компонен-
компоненты с М = 5, . .., 10 преобразуются как спинор для SOA, 3) и
как вектор-спинор для 50F).
14.1.2. Нулевые моды волновых операторов
После того как рассмотрено разложение десятимерных по-
полей согласно их спиновой структуре в четырех измерениях, сле-
следующим шагом должно быть определение масс полей с четырех-
четырехмерной точки зрения. В качестве характерного примера рас-
рассмотрим случай дираковского поля W, которое в десяти измере-
измерениях удовлетворяет уравнению
ю
0 = iDl0W = i S rMDMW, A4.1.1>
м=\
где Д10 — десятимерный оператор Дирака. Это уравнение можно
переписать в виде
0 = l(D4 + DKL. A4.1.2>

Компактификация высших измерений 395
Мы ввели здесь четырехмерный и внутренний операторы Ди-
Дирака
4 10
D4=?ruZV DK=Zr"Dp, A4.1.3)
ц=1 р=5
которые удовлетворяют очевидному тождеству
Dw = Dt + DK. A4.1.4)
Из уравнения A4.1.2) сразу ясно, что Dk. представляет собой
нечто вроде «массового» оператора, собственные значения кото-
которого с четырехмерной точки зрения являются массами фер-
мионов.
Ввиду уравнения A4.1.2) прежде всего возникает мысль
попробовать решить десятимерное уравнение Дирака с по-
помощью разделения переменных в терминах общих собственных
векторов для ZL и DK. Но это не проходит, поскольку операто-
операторы ZL и DK не коммутируют, а, наоборот, антикоммутируют,
так что их нельзя диагонализовать одновременно (кроме сек-
сектора, состоящего из нулевых мод оператора Ък). Правильной
процедурой является введение оператора четырехмерной ки-
ральности ГD> = 1Т1Г2Г3Г4 и переписывание уравнения A4.1.2)
в следующем, очевидно, эквивалентном, виде:
0 = 1(д< +DK)W, A4.1.5)
где ?>4 = ГD)Ль DK = TWDK. Теперь ?>4 и Ьк коммутируют, и
их можно диагонализовать одновременно. Рассмотрим полный
набор нормированных решений fi(yk) задачи на собственные
значения
Юкф((ук) = КФ1(у'11. (Н.1.6)
Уравнение Дирака A4.1.5) решается в терминах
где i|5,- должны удовлетворять условию
0 = (Ш4 + Хг)Ы^). A4.1.8)
Таким образом, в четырех измерениях каждое % выглядит как
фермион массы А,,-. Необходимо отметить, что операторы /34 и
ЪК в этих уравнениях эквивалентны стандартным операторам
Лирака Di и DK, так как Гц = tT<4>r№, ц, = 1, ..., 4 и ffe =
= ГD)Г*, k = 5, ..., 10, удовлетворяют правильным антиком-
антикоммутационным соотношениям для гамма-матриц на многообра-
-зиях М4 и К соответственно.

396 Глава 14
С учетом усовершенствования, приведшего к разделению
переменных A4.1.7), или без него основной вывод состоит в.
том, что именно нулевые моды оператора DK отвечают безмас-
безмассовым фермионам в четырех измерениях. С другой стороны,
ненулевые собственные значения уравнения Дирака на К, по-
видимому, порядка \/R, где R — радиус компактного простран-
пространства К. Величина \/R, по-видимому, порядка массы Планка
1019 ГэВ; если так, эти частицы вряд ли наблюдаемы. Все из-
известные фермионы в рассматриваемом приближении должны
быть безмассовыми частицами; они должны отвечать нулевым
модам оператора DK. Поэтому в последующем рассмотрении
много снимания уделяется выяснению вопроса, существуют ли
и почему существуют нулевые моды ?)#.
Замечания, аналогичные тем, которые сделаны выше для
дираковских полей, можно сделать и о полях Рариты — Швин-
гера, и о встречающихся различных бозонных полях. В каждом-
таком случае массы (с четырехмерной точки зрения) опреде-
определяются собственными значениями некоторого подходящего вол-
волнового оператора QK на многообразии К, и именно нулевые
собственные значения проявляются в четырех измерениях в су-
существовании безмассовых частиц. Разделение переменных, по-
подобное A4.1.7), в каждом случае можно произвести без особых
затруднений для безмассовых состояний и с несколько боль-
большим трудом для массивных. Нулевые собственные значения
оператора Ък и его аналогов для частиц других спинов играют
центральную роль во всех феноменологических рассмотрениях;
поэтому они будут предметом нашего основного интереса в
остальной части этой главы. Ниже мы последовательно рас-
рассмотрим нулевые моды фермионных операторов, нулевые моды
дифференциальных форм и нулевые моды возмущений калиб-
калибровочных и гравитационного полей. Мы разовьем также мно-
многие математические методы, которые важны для понимания фе-
феноменологии компактификации. Ближе к концу этой главы мы
применим все это, чтобы сформулировать результаты, которые
могут оказаться реалистической картиной квантовых чисел фер-
мионов в природе.
14.2. Безмассовые фермионы
После того как мы определили оператор Дирака, мы хотим
обсудить его нулевые моды, которые, согласно вводным заме-
замечаниям в начале главы, связаны с безмассовыми фермионами
в четырех измерениях. Прежде чем углубиться в математику,,
связанную с нулевыми модами, перечислим кратко эксперимен-
экспериментальные данные, для которых мы хотим найти описание. В при-

Компактификация высших измерений 397
роде наблюдается несколько поколений кварков и лептонов
спина 1/2. Они известны главным образом через их калибро-
калибровочные взаимодействия, которые определяются выбором пред-
представлений Vl и V r для фермионов левой и правой киральности
соответственно. Одним из самых важных фактов является то,
что представления VL и Vr не совпадают. Так, например, в тер-
терминах предполагаемой группы SUE) великого объединения
представление V L (для одного поколения) состоит из 5+10,
a V R состоит из 5 + 10. Поскольку из СРГ-теоремы следует, что
VR изоморфно представлению, комплексно-сопряженному V L,
утверждение о том, что Vl отличается от Vr, эквивалентно
утверждению, что VL реализует комплексное представление ка-
калибровочной группы (комплексное представление — это просто
такое представление, которое неизоморфно комплексно-сопря-
комплексно-сопряженному).
Наблюдаемые фермионы, конечно, имеют чрезвычайно ма-
малую массу по сравнению с масштабом масс великого объедине-
объединения или гравитации; в противном случае они не были бы наблю-
наблюдаемы. Почему это так? До тех пор пока калибровочные сим-
симметрии сохраняются, левый фермион может получить массу
только посредством спаривания с правым фермионом, несущим
такие же калибровочные квантовые числа (поскольку массив-
массивные частицы спина 1/2 имеют два состояния определенной спи-
ральности, которые должны иметь одинаковые калибровочные
заряды). Тот факт, что левые и правые фермионы преобразуют-
преобразуются относительно калибровочной группы по-разному, означает,
что они должны оставаться безмассовыми, пока калибровочная
группа не нарушена. В природе мы видим, что наблюдаемые
кварки и лептоны остаются безмассовыми вплоть до масштаба
масс порядка нескольких сотен ГэВ, на котором электрослабая
калибровочная группа нарушается до подгруппы, отвечающей
электромагнетизму. После этого фермионы будут в веществен-
вещественном представлении остающейся калибровочной группы, и они
могут получить и получают массы, за исключением, возможно,
нейтрино. Мы не знаем, почему масштаб нарушения симметрии,
отвечающей слабому взаимодействию, так мал по сравнению с
массой Планка; в этом состоит проблема иерархии. Но мы по
крайней мере понимаем причину малой массы кварков и леп-
лептонов в терминах малости массы W- и Z-бозонов; она заклю-
заключается в киральной асимметрии между левыми и правыми фер-
мионами, о которой мы говорили.
В природе могут существовать и другие фермионы, обра-
образующие вещественное представление калибровочной группы.
(Такие частицы определенно существуют, если теория супер-

398 Глава 14
струн правильна.) Если это так, то возможны очень большие
калибровочно-инвариантные массы для этих фермионов, и та-
такие массы, по-видимому, возникли, поскольку мы не наблю-
наблюдаем этих частиц. Есть все основания считать, что киральная
асимметрия — единственная причина, по которой мы вообще
можем наблюдать какие-либо фермионы, причем фермионы, ко-
которые мы наблюдаем,-— это в точности те фермионы, которые
имеют малую массу вследствие киральной асимметрии. Нашей
целью при изучении нулевых мод оператора Дирака в десяти
измерениях является попытка понять происхождение четырех-
четырехмерной киральной асимметрии.
14.2.1. Индекс оператора Дирака
Обратимся теперь к изучению десятимерного оператора Ди-
Дирака. Как мы узнали из приложения 5.А, размерность спинор-
ного представления для SOA0) или SOA,9) равна 25 = 32.
Кроме того, в случае лоренцевой сигнатуры {—|—Ь + + + + +
+ + } матрицы Дирака Гм, удовлетворяющие условию {Тм,
PV} = 2gMN, можно выбрать так, чтобы они были вещественны-
вещественными матрицами размера 32X32. Чрезвычайно важны операторы
киральности
Г<"» = Г,Г2... Гш,
= гГ1Г2Г3Г4, A4.2.1)
-гТбГ6... IV
Эти три оператора мы будем называть десятимерным, четы-
четырехмерным и внутренним операторами киральности соответ-
соответственно. Множители ±i введены для того, чтобы выполнялось
условие
(Г(Ю)J = (ГD)J = (p(JOJ = lf A4.2.2)
а также условие
Г(ю) = ГD)Г(*). A4.2.3)
Оба эти равенства в дальнейшем будут очень важны.
Как мы узнали в гл. 4 (при изучении GSO-проекции) и в
гл. 13 (при изучении десятимерной супергравитации), безмас-
безмассовые фермионы в десяти измерениях удовлетворяют условию
киральности, которое здесь мы выберем в виде ГA0) = +1. Тот
факт, что это условие можно наложить, зависит, помимо про-
прочего, от вещественности гамма-матриц, благодаря которой ГA0)
вещественна и ее собственные векторы могут быть собствен-
собственными векторами оператора СРТ. Наложение этого условия де-
десятимерной киральности в терминах редукции на многообразии
М* X К означает, что
ГD)==гда. A4.2.4)

Компактификация высших измерений
399
Равенство A4.2.4) устанавливает связь между четырехмерной и
внутренней киральностями.
Теперь можно задать наш главный вопрос: «Почему опера-
оператор Дирака на К может иметь нулевые собственные значения?»
В действительности вопрос о топологических условиях сущест-
существования нулевых собственных значений операторов Дирака яв-
является весьма обширным и очень интересным вопросом. В этой
книге мы будем иметь дело
только с простейшим тополо-
топологическим инвариантом, связан-
связанным с нулевыми собственными
значениями операторов Дира-
Дирака; им является индекс one-
ратора Дирака. Именно это
понятие оказывается непосред-
непосредственно связанным с кираль-
ной асимметрией в четырех из-
измерениях; чтобы описать это
понятие, определим «гамильто-
«гамильтониан»
H{iDKf. A4.2.5)
Так как [Я, Г(*>] = 0, собст-
собственные состояния для Я мож-
можно выбрать так, чтобы они
были в то же время собствен-
собственными состояниями оператора
Г<*>. Если Ячр = ?чр, то Я-
•iDxty — E-iDioSf, так что if и
/D/fip всегда вырождены по
энергии. Поскольку DKT^K) =
состояния -ф и
ф
Лк>=-1
Рис. 14.1. Собственные значения «га-
«гамильтониана» Н с ненулевой энер-
энергией спарены. Такого спаривания мо-
может не быть для нулевых собствен-
собственных значений. На рисунке моды по-
положительной и отрицательной ки-
ральности обозначены символами ®
и О соответственно; по вертикаль-
вертикальной шкале отложены собственные
значения Е для Н.
отвечают противополож-
противоположным собственным значениям Гот и являются линейно-неза-
линейно-независимыми, за исключением случая iDxty = 0. Следовательно
(рис. 14.1), собственные состояния Я с ненулевой энергией
всегда спарены. Для каждого состояния с rw = -|-l имеется
состояние с Г(л) = —1 и наоборот. Но состояния, отвечающие
нулевым собственным значениям, не обязательно спарены этим
способом. Обозначим число нулевых собственных значений опе-
оператора Ш/с с Г(л) = ±1 через п±. Тогда индекс оператора Ш^
определяется обычно как разность п+ —«_. Эту величину бу-
будем обозначать символом index Dr.

400
Глава 14
Индекс является важным понятием, так как он инвариантен
относительно произвольных гладких деформаций оператора DK,
сохраняющих его эрмитовость и основное соотношение
rw5# = —ВкТ<-к). Причина заключается в том, что никакая
гладкая деформация картины, изображенной на рис. 14.1, со-
сохраняющая спаривание при ненулевых Е, не может изменить
ту разницу в числе состояний, которая может иметься при Е =
= 0. При гладких деформациях спектра, сохраняющих спари-
спаривание при ненулевых Е, числа п+ и п~ могут изменяться, но
Е Е
О
о
о
С)
пк> = +1
= -1
ЛА> = + 1 Рк> = - 1
Рис. 14.2. Непрерывная деформация спектра гамильтониана Н, сохраняющая
спаривание при ненулевой энергии, может изменить п+ и ге~, но не может
изменить индекс, равный разности п+—я_. На рисунке изображен процесс,
когда пара состояний, первоначально имевших ненулевую энергию, прини-
принимает нулевую энергию, причем как п+, так и п_ изменяются на +1.
они изменяются обязательно на одну и ту же величину, как на
рис. 14.2, оставляя индекс инвариантным. Инвариантность ин-
индекса при гладких деформациях спектра означает, в частности,
что индекс является топологическим инвариантом.
Мы не упоминали пока о вакуумных средних калибровоч-
калибровочных полей, и в самом деле до сих пор мало что зависело от
того, присутствуют они или нет. Но если специально рассмот-
рассмотреть случай, когда вакуумное среднее калибровочного поля
равно нулю, то легко доказать, что индекс на шестимерном
компактном многообразии К равен нулю. (То же доказательст-
доказательство справедливо и в \k-\-2 измерениях для любого k, и мы бу-
будем интересоваться также случаем двух измерений, т. е. k = 0,
отвечающим случаю волновых операторов на мировом листе
струны.) Дело в том, что, так как гамма-матрицы вещественны,

Компактификация высших измерений 401
уравнение на нулевые моды оператора Вк инвариантно относи-
относительно комплексного сопряжения. Но матрица Г(к) чисто мни-
мнимая и при комплексном сопряжении меняет знак. Таким обра-
образом, если \р — нулевая мода Зк одной киральности, то ее ком-
комплексно-сопряженная г|)* — нулевая мода противоположной ки-
киральности. Поэтому комплексное сопряжение дает спаривание
между нулевыми модами противоположной киральности, обеспе-
обеспечивая равенство п+ = «_ и обращение в нуль индекса. Имеется
простое «физическое» объяснение этого результата в четырех
измерениях, которое мы рассмотрим немного ниже.
14.2.2. Учет калибровочных полей
До сих пор мы не рассматривали калибровочные поля, но их
учет существен. Рассмотрим калибровочные поля с калибро-
калибровочной группой / и со спинорами в некотором представлении
Q. Индекс оператора Дирака Dk можно определить тем же спо-
способом, и он по-прежнему будет топологическим инвариантом,
но теперь это означает, что индекс зависит от топологии К и от
всей топологической информации, заложенной в определении
вакуумного среднего калибровочного поля на К. Тем не менее
можно рассмотреть операцию комплексного сопряжения дираков-
ских волновых функций. Комплексное сопряжение по-прежнему
•обращает киральность, но теперь оно заменяет представ-
представление Q комплексно-сопряженным представлением Q*. Следо-
Следовательно, число нулевых мод в представлении Q с положитель-
положительной (или отрицательной) киральностью такое же, как число
нулевых мод в представлении Q* с отрицательной (или положи-
положительной) киральностью. Это означает, что индекс оператора
Дирака в представлении Q отличается только знаком от индек-
индекса в представлении Q*:
indexQDK = — mdexQ*DK. A4.2.6)
В частности, если Q вещественное или псевдовещественное
представление, так что Q и Q* эквивалентны, то индекс равен
нулю (в 4k + 2 измерениях). Но если Q — комплексное пред-
представление, то нет абсолютно никаких причин для того, чтобы
indexQ DK был равен нулю. Действительно, теорема Атьи — Зин-
Зингера об индексе дает формулу для этой величины. В двух изме-
измерениях (случай, относящийся к изучению волновых операторов
на струнной мировой поверхности 2) эта формула имеет вид
^\vQF. A4.2.7)
s
Здесь F — напряженность поля Янга—Миллса, рассматривае-
рассматриваемая как 2-форма, a trQ —след в представлении Q группы /.

402 Глава 14
Если группа / полупростая, то trQF = O и индекс равен нулю.
В общем случае величина A4.2.7) является топологическим
инвариантом в силу аргументов, приведенных в последнем раз-
разделе гл. 12. В случае шести измерений, который наиболее инте-
интересен при изучении компактификации, формула для индекса
имеет вид
\[trQFAFAF-jtrQFAtrRAR]. A4.2.8)
Здесь R — тензор Римана, рассматриваемый (так же как в за-
заключительных замечаниях гл. 12) как 2-форма с дополнитель-
дополнительным индексом алгебры Ли. Подынтегральное выражение в пра-
правой части A4.2.8) составлено из внешних произведений трех
2-форм т. е. является 6-формой, которую можно проинтегриро-
проинтегрировать по шестимерному многообразию К и получить в резуль-
результате число. Это число также является топологическим инвари-
инвариантом в силу аргументов, приведенных в последнем разделе
гл. 12. Второе слагаемое в A4.2.8) выпадает, если калибровоч-
калибровочная группа / полупростая, а если представление Q веществен-
вещественное, то обращаются в нуль оба слагаемых, поскольку симмет-
ризованный след нечетного числа генераторов в таком пред-
представлении равен нулю.
В этой книге мы не приводим доказательства формулы
A4.2.8), но здесь мы дадим качественное объяснение возникно-
возникновения такой формулы. С этой целью удобно сформулировать
понятие индекса альтернативным способом. Можно написать
indexQi5JC = tr(r«>exp —РЯ), A4.2.9)
где р — произвольное положительное число. Суть формулы
A4.2.9) в том, что состояния с ненулевой энергией встречаются
парами, причем для каждого состояния с Г(л) = +1 имеется
состояние с Т{К) = —1, и, следовательно, они сокращаются в ре-
результате взятия следа в A4.2.9). В этом выражении остаются
только вклады состояний с нулевой энергией, а они в точности
соответствуют нашему прежнему определению индекса п+ — «_>
След надо брать, конечно, только по состояниям в представле-
представлении Q. Одна из причин полезности выражения A4.2.9) заклю-
заключается в том, что если р взять очень малым, то величину
A4.2.9) можно вычислить с помощью высокотемпературного-
разложения в квантовой статистической механике. Действи-
Действительно, пусть х и у— две точки на многообразии К, и пусть
G(x, y;® = (x\e-W\y). A4.2.10)

Компактификация высших измерений 403
Тогда из A4.2.9) имеем
indexQDK = \ tr (G (*, *; р) Г<*>). A4.2.11)
тс
Поведение G (х, х; р) при малых р можно вычислить с помощью
различных знакомых физикам методов. Например, можно запи-
записать фейнмановский интеграл по путям, выразив G(x, x; |3)
в терминах путей, приходящих из х в х за мнимое время р. При
малых |5 основной вклад в интеграл вносят пути, которые не
уходят далеко от точки х. Это приводит к разложению
G(x, x; |5) по локальным функционалам от метрики и поля
Янга — Миллса, умноженным на степени р. Подставляя это
в формулу A4.2.11), неизбежно получаем выражение для
indexQD^ в виде интеграла \ О, где О — локальный функцио-
нал от метрики и поля Янга — Миллса. Но индекс, как извест-
известно, топологический инвариант. Единственными топологическими
инвариантами, которые можно записать как интегралы от
локальных функционалов, являются характеристические чис-
числа — интегралы от полиномов от напряженности поля Янга —
Миллса и тензора кривизны Римана. Следовательно, индекс
оператора Дирака дается выражением такого типа. Производя
разложение выражения A4.2.11) по |3, чтобы получить точную
формулу (при этом оказывается, что наиболее эффективным
приемом для вычисления является использование суперсиммет-
суперсимметричного интеграла по путям), приходим к выражениям A4.2.7)
и A4.2.8) в двух и шести измерениях.
14.2.3. Киральная асимметрия
Возвращаясь к интересующей нас физической задаче, на
первый взгляд можно подумать, что калибровочная группа /
б обсуждении формулы A4.2.8) должна стать основной калиб-
калибровочной группой в десятимерной теории. В таком случае мы
вряд ли получим интересный ответ, поскольку СРГ-теорема
требует, чтобы в десяти измерениях фермионы данной кираль-
ности обязательно были в вещественном представлении калиб-
калибровочной группы; суперсимметрия же требует, чтобы это было
присоединенное представление. Но выражение A4.2.8) нетри-
нетривиально только в случае комплексного представления.
Правильная интерпретация несколько другая. В десяти из-
измерениях мы начинаем с некоторой объединенной калибровочной
группы G. Затем включаем вакуумные средние калибровочных
полей из некоторой подгруппы / группы G. Для сохранения
лоренц-инвариантности в некомпактифицированных измерениях

404 Глава 14
нужно, чтобы вакуумные средние имели только компоненты
Ам калибровочного поля при М = 5, ..., 10. Как обсужда-
обсуждалось в предыдущем разделе, эти компоненты в случае четы-
четырех измерений играют роль хиггсовых бозонов. Их вакуумное
среднее нарушает группу G до подгруппы, коммутирующей с
группой /. Обозначим эту подгруппу через Н. Группа Н в че-
четырех измерениях выглядит как ненарушенная калибровочная
группа (или по крайней мере как группа, оставшаяся ненару-
ненарушенной на масштабе компактификации). Десятимерные ферми-
фермионы находятся в присоединенном представлении А группы G.
Оно имеет разложение относительно H®J вида
4~©Z.,®Q,, A4.2.12)
i
где Li и Qi — представления групп Я и / соответственно.
Для четырехмерного физика интересно не то, как фермионы
преобразуются относительно /, а то, как они преобразуются
относительно ненарушенной группы Н. Но между этими преоб-
преобразованиями может быть корреляция, так как /-представление
Qt может зависеть от Я-представления Lt. Четырехмерные без-
безмассовые фермионы в представлении L; группы Н возникают из
нулевых мод оператора Дирака в представлении Q, группы /.
Для четырехмерного физика интересно также не собственное
значение непосредственно оператора Т*-к), а собственное значе-
значение оператора ГD), который измеряет обычную спиральность
фермионов. К счастью, эти две величины равны вследствие
уравнения A4.2.4).
По причинам, которые уже обсуждались, нас интересует
в основном киральная асимметрия безмассовых фермионов.
(Под безмассовыми фермионами мы понимаем фермионы, ко-
которые приобретают массу только в результате низкоэнергетиче-
низкоэнергетического нарушения калибровочной симметрии.) Поэтому пусть
п2г и п1{ — числа мультиплетов с положительной и отрица-
отрицательной киральностями соответственно в представлении Li
группы Н. Киральная асимметрия определяется как NLiz=n.Li —
— nl-. Эта величина важна, поскольку именно отличие от
нуля величины киральной асимметрии препятствует тому, что-
чтобы неспаренные фермионы получили калибровочно-инвариант-
ные затравочные массы. Если NLt = 0, так что имеется равное
число левых и правых фермионов с данными квантовыми чис-
числами, то калибровочная симметрия не препятствует тому, что-
чтобы фермионы спарились и получили массы. В действительности
эксперимент показывает, что для каждого i либо ntt, либо пь1

Компактификация высших измерений 405
равно нулю, так что в природе фермионы, по-видимому, спари-
спарились и получили массы настолько, насколько это не противоре-
противоречит существованию ненулевой киральной асимметрии. В случае
когда L обозначает стандартное поколение кварков и лептонов,
киральную асимметрию называют обычно числом поколений
Ngen-
Теперь мы можем, наконец, выразить киральную асиммет-
асимметрию в четырех измерениях в терминах топологических инвари-
инвариантов для многообразия К. Фермионы, преобразующиеся отно-
относительно Н по представлению L,, преобразуются относительно
/ по представлению Qi, а фермионы, для которых ГD) = ±1,
имеют также ГGС> = ±1. Таким образом, получаем формулу
NLt = indexQtDK. A4.2.13)-
Эта формула имеет далеко идущие следствия в феноменологи-
феноменологических приложениях суперструн. После того как в процессе
последующего обсуждения нулевых мод бозонных полей будут
развиты еще другие математические методы, ближе к концу
этой главы мы вернемся к формуле A4.2.13) и вычислим вели-
величину A4.2.13) в одной весьма интересной ситуации.
14.2.4. Оператор Рариты — Швингера
Для оператора Рариты — Швингера можно провести анало-
аналогичное рассмотрение. Его индекс можно определить тем же
способом, что и индекс оператора Дирака, и он будет топологи-
топологическим инвариантом по тем же причинам. Как и в случае опера-
оператора Дирака, можно воспользоваться комплексным сопряжени-
сопряжением и доказать, что индекс оператора Рариты — Швингера ра-
равен нулю в 4& -f- 2 измерениях для полей Рариты — Швингера,
не имеющих калибровочных взаимодействий. В интересных де-
десятимерных теориях, по-видимому, не бывает заряженных полей
Рариты — Швингера, так что нетривиальный индекс в них не
возникает. Можно ожидать появления нулевых мод полей Ра-
Рариты— Швингера только при некоторых более детальных пред-
предположениях, таких как низкоэнергетическая суперсимметрия,,
которая рассматривается в гл. 16.
14.2.5. Дальнейшие замечания
Выше была найдена общая формула A4.2.13), относящаяся
только к асимметрии в квантовых числах между фермионами по-
положительной и отрицательной киральностей. Но этого достаточно
для того, чтобы предсказать те безмассовые фермионы, которые
являются безмассовыми в силу ненарушенных калибровочных

406 Глава 14
симметрии. Как это уже отмечалось, таковы все известные
легкие фермионы. Безмассовыми фермионами, которые не
предсказываются формулой A4.2.13), были бы, например, пары
семейство — антисемейство, которые могли бы иметь, но не
имеют калибровочно-инвариантные массы.
Причина того, что формула A4.2.13) для киральной асим-
асимметрии не является лишь теоретико-полевым ответом, но, как
можно ожидать, верна также в контексте теории струн, заклю-
заключается в том, что, как мы пытались подчеркнуть, описываемая
этой формулой киральная асимметрия инвариантна относитель-
относительно любых гладких деформаций теории. На языке статистиче-
статистической физики киральная асимметрия зависит только от «класса
универсальности» теории с калибровочной группой Н в четы-
четырех измерениях. Именно по этой причине наблюдаемая в при-
природе киральная асимметрия наряду с общей ковариантностью
и неабелевой калибровочной инвариантностью является, веро-
вероятно, одной из лучших подсказок о физике на малых расстоя-
расстояниях, которые дает нам эксперимент.
Можно себе представить, разумеется, что струнная константа
связи столь велика, что выталкивает вакуумное состояние в та-
такой «класс универсальности», который не виден с теоретико-по-
теоретико-полевой точки зрения. Если это так — то из нашего современного
понимания теории струн можно извлечь лишь очень мало фено-
феноменологических свойств. Но если природе все же угодно позво-
позволить нам добиться некоторого понимания феноменологии на ос-
основе сегодняшних знаний о теории струн, то киральная асим-
асимметрия почти наверняка является одной из тех вещей, которые
мы можем надеяться понять, причем именно потому, что она
зависит только от класса универсальности теории.
Наконец, обратим внимание на «физическое» содержание
уравнения A4.2.6), где утверждается, что indexQ = —indexQ*.
Ввиду формулы A4.2.13) это означает, что киральная асиммет-
асимметрия четырехмерных фермионов в представлении L ненарушен-
ненарушенной группы Н противоположна киральной асимметрии в комп-
комплексно-сопряженном представлении L*. Но этого и следовало
ожидать: это является следствием СРГ-инвариантности, так как
фермионы в представлении Q имеют античастицы противопо-
противоположной киральности в представлении Q*.
14.3. Нулевые моды антисимметричных тензорных полей
В этом разделе мы сосредоточим внимание на нулевых мо-
модах антисимметричных тензорных полей, называемых в мате-
математике дифференциальными формами. Большую часть необхо-
необходимых математических сведений мы уже получили в гл. 12.

Компактификация высших измерений 40Т
14.3.1. Антисимметричные тензорные поля
Пусть Biii2...i —р-форма, т. е. антисимметричное тензорное-
поле ранга р. Чтобы такое поле могло присутствовать в физи-
физической теории, необходима калибровочная инвариантность,
обеспечивающая «отцепление» времениподобных мод. Требуе-
Требуемая калибровочная инвариантность есть просто
6B = dA, A4.3.1)
где Л—(р—1)-форма, a d—внешняя производная, о которой
говорилось в гл. 12. Как выяснилось при изучении сокращения
аномалий в гл. 13, поле В при определенных условиях должно
нетривиально преобразовываться под действием янг-миллсо-
вых калибровочных преобразований и общекоординатных пре-
преобразований. С точки зрения стоящей перед нами задачи опре-
определения безмассовых состояний, возникающих в результате
компактификации до четырех измерений, рассмотрение этого
вопроса можно отложить.
Как показано в гл. 12, калибровочно-инвариантная напря-
напряженность поля, отвечающая формуле A4.3.1), является просто
(р + 1)-формой
C = dB, A4.3.2)
а аналог максвеллова действия имеет вид
(с г\
1 C
! )
С,
CgM ap+p+Ci < С, , =
2p! )8 ¦•¦? 't ¦¦¦ Vm°'i ¦••'p+i 2(p!J'
A4.3.3>
Здесь g — метрический тензор на многообразии М, а последнее
равенство определяет внутренне произведение <,> для (р+1)-
форм. В разд. 12.4 введен лапласиан Ходжа — де Рама
A=dd* + d*d A4.3.4)
и изучены его нулевые моды. Как указывалось, число таких ну-
нулевых мод (для р-форм) называется числом Бетти Ьр. В гл. 12
мы узнали, что нулевая мода оператора А на компактном мно-
многообразии К должна иметь нулевую напряженность:
dB = 0. A4.3.5)
Нас, конечно, интересуют те моды, которые удовлетворяют ус-
условию A4.3.5), но не являются чистой калибровкой:
В Ф dK. A4.3.6)
В гл. 12 показано, что классы эквивалентности р-форм В, удов-
удовлетворяющих условию A4.3.5) (В и В' считаются эквивалент-

-408 Глава 14
ными, если В— B' = dA), находятся во взаимно однозначном
соответствии с нулевыми модами оператора А. С учетом всего,
что мы уже узнали, естественно предположить, что при редук-
редукции десятимерной теории к четырем измерениям безмассовые
четырехмерные поля будут возникать из нулевых мод лапла-
лапласиана А. Теперь мы увидим, что это действительно так.
Относительно касательной группы SOA, 9) на многообра-
многообразии М компоненты поля В преобразуются по представлению
антисимметричных тензоров ранга р. Относительно же группы
50A, 3)X«SOF) (где два сомножителя являются касательны-
касательными группами на М* и К соответственно) компоненты В с п
индексами в области значений от 1 до 4 (касательные к М*)
ир — п индексами в области значений от 5 до 10 (касательные
к К) преобразуются как n-формы на М4 и (р — п) -формы на
К. Такие компоненты будем обозначать как (п, р — п) -формы.
Лапласианы Ходжа — де Рама на десятимерном многооб-
многообразии М=.М4Х^С и на сомножителях М4 и К обозначим со-
соответственно через Дю, А4 и Д*. Эти операторы удовлетворяют
тождеству
А10 = А4 + Ак, A4.3.7)
которое представляет собой аналог тождества A4.1.4) для спи-
спиноров. Уравнение движения, следующее из действия A4.3.3),
имеет вид
d'dB = 0. A4.3.8)
Здесь d* — обсуждавшийся в гл. 12 оператор, сопряженный к
d, который отображает р-формы в (р—1)-формы. Если В —
1-форма, то уравнение A4.3.8) представляет собой уравнение
Максвелла, которое в плоском пространстве имеет вид
d^id^Bv — dvBy,) = 0. Как и в теории Максвелла, уравнение
A4.3.8) можно упростить с помощью подходящего выбора ка-
калибровки. Калибровка
d*B = 0 (I4.3.9)
является обобщением лоренцевой калибровки д^В^ = 0 в
электродинамике. В лоренцевой калибровке, как известно,
уравнения Максвелла (в плоском пространстве) сводятся к
более простому виду ПВ№ = 0, где ? = dvdv — даламбертиан,
или волновой оператор. Подобным образом калибровочное ус-
условие A4.3.9) сводит уравнение A4.3.8) к уравнению АВ = 0,
так как А = dd* -\- d*d. В силу тождества A4.3.7) это дает
кM = 0. A4.3.10)

Компактификация высших измерений 409
В волновое уравнение A4.3.10) (п, р— л)-формы при разных п
входят независимо, так что каждый случай можно рассматри-
рассматривать по отдельности ').
Из уравнения A4.3.10) следует, что Л# играет роль опера-
оператора массы для четырехмерных полей. Число нулевых мод
оператора Д# для (п, р— «)-форм равно числу Бетти Ьр_„ для
К; это и будет числом безмассовых n-форм, возникающих в че-
четырех измерениях при редукции десятимерной теории на
м4хк.
Действительно, пусть дана гармоническая дифференциаль-
дифференциальная форма р на К, удовлетворяющая условиям dp = d*p = 0.
Можно предположить, что р нормирована так, что <р, р># = 1,
где < , }к — внутреннее произведение для дифференциальных
форм на К, определенное формулой A4.3.3). Введем анзац
A4.3.11)
где а — дифференциальная форма на многообразии М4, дина-
динамику которой мы будем исследовать. (Выражение „а — диффе-
дифференциальная форма на М4" означает, что все индексы а отве-
отвечают касательному пространству к М4, а ее компоненты не за-
зависят от координат в К-) а должна удовлетворять уравнению
0 = Д4а = {dcT + сГй) а, A4.3.12)
где В = аЛр удовлетворяют условию A4.3.10). Аналогично
калибровочное условие A4.3.9) сводится к требованию
d*a = 0. A4.3.13)
Объединяя уравнения A4.3.12) и A4.3.13), обнаруживаем, что
условия на а имеют вид
0 = d*da = d*a. A4.3.14)
Первое из них является уравнением, которое мы получили бы
из стандартного действия
S{i) = ^?rWl!l ¦ ¦ ¦ ?W"+4 - '„+.*/, - /Я+,=<Л, da)M</2(n\f
A4.3.15)
для n-формы а, распространяющейся на многообразии Af4
(здесь c = du). Второе из уравнений A4.3.14) представляет
собой (как уже обсуждалось в случае десяти измерений) усло-
условие, которое можно наложить, чтобы зафиксировать калибро-
калибровочную свободу в действии A4.3.15). Таким образом, в случае
') Как для 1-форм (абелевых калибровочных полей), так и для р-форм,
оператор dd* + d*d в плоском пространстве совпадает с оператором О.

¦410 Глава 14
анзаца В = а Л р, где р — гармоническая (р — п) -форма на К,
а описывается стандартным действием для я-форм на М*. Вы-
Выражение A4.3.15) можно получить и более прямым способом,
подставив просто анзац В = аЛр в действие A4.3.3). Эти за-
замечания подтверждают высказывание, что число безмассовых
«-форм, возникающих в четырех измерениях при компактифи-
кации на М4 X К, равно числу Бетти Ьр^п(К).
При п = 0 формула A4.3.15) представляет собой стандарт-
стандартную формулу для безмассового скалярного поля, распростра-
распространяющегося на М4. При п = 1 получается стандартное максвел-
ловское действие для безмассового бозона спина 1. Для боль-
больших значений п действие A4.3.15) не так хорошо знакомо, но
на самом деле его легко проанализировать. Например, если
¦п = 2, то формула A4.3.15) представляет собой просто необыч-
необычный способ описания свободного безмассового скалярного поля
в четырех измерениях. Чтобы это увидеть, определим 1-форму
Ун соотношением yv. = ell'va'tcvav Это соотношение между у и с
есть просто операция дуальности Пуанкаре, обсуждавшаяся в
разд. 12.4. Уравнение движения для 2-формы а, а именно
d*c = 0, в терминах у превращается в уравнение dy = 0. От-
Отсюда следует, что у = йф для некоторого скалярного поля ф.
(В случае некомпактифицированного четырехмерного простран-
пространства Минковского глобальных трудностей в определении ф не
возникает.) Тождество Бианки dc = 0 эквивалентно уравнению
d*y = Q, которое в терминах ф превращается в уравнение
Д<? = 0, A4.3.16)
которое представляет собой требуемое уравнение движения для
безмассового скаляра ф. Если п > 2, то можно показать, что
действие A4.3.15) не описывает никаких распространяющихся
степеней свободы в четырех измерениях.
14.3.2. Применение к аксионам в N = 1-теории суперструн
Теперь мы хотим обсудить некоторые приложения получен-
полученных выше результатов. Поскольку основные приложения ка-
касаются аксионов и проблемы сильного нарушения СР-инвари-
антности, мы сделаем сначала небольшое отступление, чтобы
напомнить эти вопросы.
Квантовая хромодинамика, представляющая собой SUC)-
калибровочную теорию, которая считается правильной теорией
сильного ядерного взаимодействия, допускает включение в ла-
.гранжиан топологического члена вида
A4.3.17)

Компактификация высших измерений 411
Такой член не меняет классических уравнений движения, но
влияет на квантовую теорию вследствие его вклада в функцио-
функциональный' интеграл в секторах калибровочных полей с ненуле-
ненулевым топологическим числом ( \ Ltopd4x ф 0 1, т. е. в так назы-
называемых инстантонных секторах. Влияние такого члена, если он
присутствует, было бы очень существенным, поскольку он дает
нарушение Р- и Т- (или СР) инвариантности. Имеется экспе-
экспериментальное ограничение, основанное на отсутствии электри-
электрического дипольного момента у нейтрона: 6/32зх2 ^ 10~9. Для
фундаментальной безразмерной константы это поразительно
малое значение, и проблема сильного нарушения СР-инвариант-
ности состоит в том, почему 9 так мала.
Для решения «проблемы сильного нарушения СР-инвари-
антности» привлекательна идея аксиона, особенно слабо взаи-
взаимодействующего «невидимого аксиона». Аксион представляет
собой просто безмассовый скаляр а с взаимодействием вида
т \ dAxa
Tr F^\ A4.3.18)
Точнее говоря, аксион — это скаляр, который был бы безмас-
безмассовым, если бы не было взаимодействия A4.3.18); стандарт-
стандартный анализ показывает, что взаимодействие A4.3.18) дает
аксиону массу порядка m^^/F. Поскольку говорить: «скаляр,
который должен был бы быть безмассовым», слишком трудно,
лучше сформулировать это так: аксион — это бесспиновое поле
с глобальной симметрией
а-^а + с A4.3.19)
(с — произвольная константа), которая нарушается только (или
в первую очередь) взаимодействием A4.3.18). Эксперимен-
Экспериментальное обнаружение аксиона очень сильно зависит от значе-
значения F, так как аксионная связь пропорциональна F~l. Для тех
потенциальных аксионов, с которыми мы встретимся ниже, ве-
величина F порядка массы Планка, так что они взаимодействуют
очень слабо.
После такого отступления вернемся к анализу нулевых мод
десятимерных волновых операторов. Мы сосредоточим внима-
внимание на особенно интересном случае десятимерных теорий с
N = 1-суперсимметрией. В этом случае в мультиплет десятимер-
десятимерной супергравитации входит 2-форма. Вследствие рассмотрений
в предыдущем разделе гармонические 0-, 1-й 2-формы на ком-
компактном пространстве К приводят к появлению безмассовых
2-, 1-й 0-форм в эффективной четырехмерной теории. Всегда
имеется одна гармоническая 0-форма (постоянная функция,

412 Глава 14
равная 1), как это обсуждалось в разд. 12.4, поэтому в эффек-
эффективной четырехмерной теории всегда получается точно одна
2-форма. Теперь мы найдем, что она имеет взаимодействие акси-
онного типа. Числа гармонических 1-форм и гармонических 2-
форм на К — это числа Бетти Ь\ и Ь2, для которых нет никаких
универсальных ограничений. В эффективной четырехмерной
теории содержится Ь, абелевых калибровочных полей в Ъ2 без-
безмассовых скаляров, происходящих из компонент десятимерной
2-формы В. Мы выясним, что только что упомянутые скаляры
также могут иметь при определенных условиях взаимодействия
аксионного типа. Возможно, интересно подчеркнуть, что так
как числа Ьг и Ь2 могут быть произвольно большими (при под-
подходящем выборе топологии многообразия К), то нет никакого
общего ограничения сверху на число безмассовых бозонов в
четырех измерениях, которые могут происходить из одного
поля В в десятимерной теории.
Объясним теперь, почему указанные безмассовые скаляры
могут иметь взаимодействия аксионного типа. Основная при-
причина уже упоминалась в разд. 13.5.3, где было отмечено, что
механизм сокращения аномалий в iV= 1-супергравитации в де-
десяти измерениях требует существования безмассовых бозонов,
которые взаимодействуют с двумя или четырьмя глюонами.
Для сокращения аномалий требуется обобщение минимально-
минимального действия, размерную редукцию которого мы рассмотрели
выше. Калибровочно-инвариантная напряженность поля 2-фор-
2-формы В есть не С = dB, как в формуле A4.3.2), а
II = dB — щ + a>L, A4.3.20)
где о у и а»1 — янг-миллсова и лоренцева 3-формы Черна — Сай-
монса, которые введены в разд. 12.5.2 и включены в определение
напряженности поля в разд. 13.1.3 и 13.5.3. Десятимерное дей-
.ствие A4.3.3) заменяется на
S~(#, Н). A4.3.21)
Рассмотрим сначала безмассовые скаляры, возникающие из
B,0)-форм, т. е. из компонент Вмы с М, N = 1, ..., 4. Безмас-
Безмассовая мода — это мода, волновая функция которой не зависит
от компактифицированных координат и описывается в четырех
измерениях в точности действием A4.3.21), где все индексы
относятся к касательному пространству для М*. Теперь мы
можем повторить точно те же шаги, которые привели нас к
уравнению A4.3.16), но с учетом изменений, отвечающих опре-
определению A4.3.20). Сначала запишем yli = ?v?axHvax. Уравнение
движения, вытекающее из действия A4.3.21), по-прежнему

Компактификсщия высших измерений 413
имеет вид d*H — О, и это опять дает dy = 0, откуда у = d<j>
для некоторого скалярного поля ф. Но тождество Бианки те-
теперь имеет вид не dH = 0, а
dH = trRAR-tvF A F. A4.3.22)
Для поля ф это дает не Оф = 0, а
? trFF, A4.3.23)
где содержится стандартное аксионное взаимодействие.
Скаляр ф мы называем модельно-независимым аксионом,
поскольку способ, которым он получен, не зависит от деталей
компактификации. Обратимся теперь к рассмотрению модель-
но-зависимых мод, которые возникают, когда второе число Бетти
для К положительно, скажем Ь2{К) = п. В таком случае на К
имеются гармонические 2-формы р?, k=l, ..., п, и, как в
A4.3.11), мы рассматриваем анзац
B=Zak(x»)h(ym), A4.3.24)
k
где аи — поля нулевого спина в четырех измерениях. В преды-
предыдущем рассмотрении для аи мы получили минимальное уравне-
уравнение Auk = 0. При каких условиях аи могут получить взаимодей-
взаимодействия аксионного типа?
Для простоты обозначений возьмем k, равное 1, и рассмот-
рассмотрим одну гармоническую 2-форму р и соответственно одно че-
четырехмерное поле а. Модификация A4.3.20) определения на-
напряженности поля не дает взаимодействия аксионного типа
для а. Но такие взаимодействия могут возникать вследствие
других членов, введенных в разд. 13.5.3 для сокращения ано-
аномалий. Это члены вида
AS = J В A tr Я Л tr F2. A4.3.25)
м
Члены A4.3.25) в действии приводят к изменению уравнения
поля В. Вместо уравнения
d*dB = 0 A4.3.26)
получаем
d*dB = * (tr F2 Л tr Я), A4.3.27)
где * — оператор дуальности Пуанкаре, который из 8-формы
tr F2 A tr F2 делает 2-форму.
Здесь возникает вопрос, дает ли уравнение A4.3.27) взаимо-
взаимодействие аксионного типа для четырехмерного поля с. Аксион
связан с двумя янг-миллсовыми напряженностями поля, в то

414 Глава 14
время как в правой части уравнения A4.3.27) их четыре. Но
если компоненты F, касательные к К, имеют вакуумные средние
(что в любом случае желательно, чтобы получить нетривиаль-
нетривиальный результат для киральной асимметрии фермионов), то, за-
заменяя один из сомножителей tr F2 в уравнении A4.3.27) его
вакуумным средним, можно получить взаимодействие того же
вида, что и для аксиона. Действительно, если
A4.3.28)
то в рамках анзаца A4.3.24) уравнение A4.3.27) в четырех из-
измерениях сводится к
Aa = 2ktrFF, A4.3.29)
что и дает аксионное взаимодействие.
Чтобы утверждать, что скалярное поле является аксионом,
недостаточно только указать взаимодействие с tr FF. Необхо-
Необходимо также показать, что этот скаляр безмассовый, если не
учитывать эффекты этого взаимодействия. Более удобный спо-
способ выразить то же самое состоит в том, чтобы заметить, что-
уравнение Да = 0 инвариантно относительно преобразований
а-^а + с, A4.3.30)
где с — постоянная. Преобразование A4.3.30) является в этом
контексте аналогом симметрии, введенной Печчея и Куинн в их
оригинальной работе о проблеме сильного нарушения СР-инва-
риантности. Симметрия типа Печчея — Куинн A4.3.30) нару-
нарушается связью с tr/2 в A4.3.29). Четырехмерный скаляр а бу-
будет вести себя как аксион и поможет в решении проблемы
сильного нарушения СР-инвариантности только в том случае,,
если связь с tr/72 является доминирующим эффектом, нарушаю-
нарушающим аксионную симметрию.
Очень слабые эффекты, отличные от /^-связи и нарушаю-
нарушающие симметрию Печчея — Куинн, могли бы испортить аксионо-
подобное поведение предполагаемого аксиона. Чтобы выяснить
этот вопрос, надо исследовать форму аксионного вершинного-
оператора и определить, действительно ли аксионная симмет-
симметрия имеет место в теории струн. В случае модельно-независи-
мой моды ф, все индексы которой касательны к .М4, представ-
представляется вероятным, что главные эффекты, нарушающие аксион-
аксионную симметрию, определяются инстантонами калибровочной
теории. В случае модельно-зависимого аксиона а ситуация

Компактификация высших измерений 415
сложнее, и в настоящее время она активно исследуется. Здесь
мы обсудим некоторые аспекты этой проблемы.
Мода а возникает при исследовании ориентированных бо-
зонных струн, и мы рассмотрим именно этот случай, поскольку
усложнения, связанные с суперструнами, несущественны для на-
настоящего обсуждения1). Чтобы проверить наличие симметрии
A4.3.30), необходимо точное теоретико-струнное рассмотрение,
так как нарушающие симметрию эффекты очень высокого по-
порядка по а' были бы достаточны, чтобы не позволить скаляру
а быть аксионом. Подходящим формализмом для точного рас-
рассмотрения является описание распространения струны на фоне
внешних полей, введенное в разд. 3.4. Распространение струны
на многообразии Af4 X К описывается некоторой подходящей
нелинейной сигма-моделью. Вершинный оператор для флуктуа-
флуктуации поля Bmn имеет вид
V. = jj ?PoeP»BMN {Хк) daXMdpXN. A4.3.31)
Это оператор в нелинейной сигма-модели, отвечающей отобра-
отображениям струнной мировой поверхности 2 в М4 X К- Подставляя
в формулу A4.3.31) анзац В(ХК) = а {х»-) $ (yk), где а — скаляр-
скалярное поле на М4, а |5 — гармоническая 2-форма на К, получаем
V = J d2aa {х») в^даУ'д^ц. A4.3.32)
Чтобы проверить симметрию а—>-а-\-с, надо выяснить, яв-
является ли выражение A4.3.32) инвариантным относительно та-
такого преобразования. Соответствующее изменение выражения
A4.3.32) имеет вид
dV = с J (Рае^д^д^,. A4.3.33)
Равно ли это нулю? Оказывается, что ответ состоит в том, что
выражение A4.3.33) обращается в нуль во всех порядках сиг-
сигма-модельной теории возмущений и, таким образом, во всех
порядках по а', но точно в нуль оно не обращается. Чтобы по-
показать это, заметим, что гармоническую 2-форму р локально
можно представить в виде
Р*/ = <ЭЛ-<3/Яг, A4.3.34)
*) В теории гетеротических струн дополнительные члены в рассматривае-
рассматриваемом ниже вершинном операторе V обращаются в нуль при нулевом импуль-
импульсе, а значит, несущественны. В теории суперструн типа I вершинный опера-
оператор имеет другой вид, но также обращается в нуль при нулевом импульсе.
Действительно, в последнем случае аксионная симметрия не нарушается
инстантонами на мировой поверхности и, по-видимому, является точной.

4!6 Глава 14
где К — некоторая 1-форма на Л'. Подставляя выражение
A4.3.34) в формулу A4.3.33), получаем
61/ = 2с J а2ве,а$да (к/дру1). A4.3.35)
Это равно нулю, так как представляет собой интеграл от пол-
полной дивергенции.
Но при выводе формулы A4.3.35) мы использовали пред-
представление A4.3.34), которое справедливо только локально.
Правильное общее утверждение состоит не в том, что 6V равно
нулю, а лишь в том, что 6V есть топологический инвариант,
который обращается в нуль, если отображение Ъ—^К, заданное
с помощью аа—>у1{аа), топологически тривиально. Как объяс-
объяснялось в разд. 3.4, с точностью до конечного порядка по а'
распространение струны на М4 X К описывается сигма-модель-
сигма-модельной теорией возмущений, в которой yl{oa) топологически три-
тривиально. Вне рамок теории возмущений сигма-модель, описы-
описывающая распространение струны, имеет инстантоны, точно так
же как в других квантовых полевых теориях. Точнее говоря,
инстантоны появляются, если второе число Бетти многообразия
К не равно нулю, так что в пространстве-времени есть тополо-
топологически нетривиальные двумерные подмногообразия, на кото-
которые струнный мировой лист (подходящего рода) можно отобра-
отобразить нестягиваемым образом. Это в точности ситуация, когда
существует обсуждаемая мода а. Другими словами, во всех
случаях, когда существует а, существуют и соответствующие ин-
инстантоны на мировой поверхности. Поскольку сигма-модельная
константа связи порядка ее', вклады инстантонов на мировом
листе будут порядка е~1/а ¦ Таким образом, симметрия Печ-
чея — Куинн для модельно-зависимых аксионов, связанных с
Ь2(/С), справедлива во всех конечных порядках по а', но не
точно.
Нарушение инстантонами на мировой поверхности симмет-
симметрии Печчея — Куинн для модельно-зависимых аксионов может
быть достаточно сильным, чтобы эти моды оказались несущест-
несущественными для низкознергетической феноменологии; тогда у нас
остается только одна модельно-независимая мода </>. Ока-
Оказывается, однако, что симметрия Печчея — Куинн для модель-
модельно-зависимых мод достаточно хороша, чтобы иметь одно заме-
замечательное теоретическое приложение, с которым мы встретимся
в гл. 16.
14.3.3. «Ненулевые моды»
До сих пор обсуждались только моды, которые мы называли
«нулевыми модами» и которые представляли собой моды с ну-
нулевым действием или с нулевой энергией. Но интересно обсу-

Компактификация высших измерений 417
дить также более общие решения уравнений движения, выте-
вытекающие из действия A4.3.3). Нулевые моды — это (нетриви-
(нетривиальные) решения уравнений движения, для которых С = 0. Те-
Теперь нашей задачей является изучение решений с С ф 0. Из
вариационных уравнений для действия A4.3.3) следует, что
d*C = 0. К этому надо добавить тождество Бианки dC = 0, ко-
которое следует из определения С = dB для напряженности поля
С. Поэтому решение уравнений движения с С Ф 0 характери-
характеризуется условиями
dC = d*C = Q. A4.3.36)
Другими словами, С (если оно не равно нулю) является гар-
гармонической {р + 1)-формой. С этим понятием мы уже хорошо
знакомы по обсуждению нулевых мод, которые были гармони-
гармоническими /7-формами. В частности, для компактного многообра-
многообразия К число линейно независимых решений уравнений A4.3.36)
является, как мы знаем, топологическим инвариантом — (р -\-
+ 1)-м числом Бетти Ьр+1.
Любопытно, может быть, что если нулевые моды отвечают
гармоническим /?-формам, то решения с ненулевой энергией от-
отвечают гармоническим (/?+ 1)-формам. По этой причине мате-
математические методы, которые нужны для изучения нулевых мод,
непосредственно переносятся на случай решений с ненулевой
энергией. Но необходимо подчеркнуть одну особенность. Реше-
Решение С уравнений A4.3.36) локально всегда можно записать
в терминах калибровочного потенциала В в виде С = dB. Это
обеспечивается, как говорилось в разд. 12.4, леммой Пуанкаре.
Можно ли глобально записать С как dB, или мы натолкнемся
на сингулярности, аналогичные дираковской струне? Ответ по-
получить нетрудно. На компактном многообразии К гармониче-
гармоническая дифференциальная форма, удовлетворяющая уравнениям
A4.3.36), всегда отвечает ненулевому классу когомологий, а
значит, не может быть представлена глобально в виде С = dB.
Таким образом, на компактном многообразии ненулевые моды
всегда представляют собой обобщение магнитного монополя
Дирака.
Если рассматривается компактификация на многообразии
М4 X К и (р+1)-е число Бетти многообразия К не равно
нулю, то при определении вакуумного состояния имеется воз-
возможность взять решение уравнений A4.3.36), отвечающее нену-
ненулевой энергии. Это означает введение монопольной структуры
в вакууме; анализ тождества Бианки dC = 0 показывает, что
«монопольная» напряженность является сохраняющейся величи-
величиной, которая не может изменятся во времени. В более тонкой
ситуации, с которой мы столкнулись при изучении сокращения

418 Глава 14
аномалий, когда тождество Бианки заменяется условием dC =
= tr I? Л R — tr F Л F, более тщательный анализ показывает,
что, для того чтобы избежать глобальных аномалий (потери мо-
модулярной инвариантности после компактификации), заряд моно-
поля должен подчиняться условию квантования. Оказывается
также, что в этом случае заряд «монополя» на самом деле не
является постоянной интегрирования, а может меняться динами-
динамически (при туннелировании) на целочисленные кванты.
14.3.4. Внешняя производная и оператор Дирака
Выше мы рассматривали нулевые моды волнового оператора
А = dd* + d*d. Поскольку d2 = d*z — О, этот оператор можно
определить также, как
A = S2, A4.3.37)
где
* A4.3.38)
— оператор первого порядка.
Являясь оператором первого порядка, естественно возни-
возникающим в римановой геометрии, 5 напоминает оператор Дира-
Дирака. Для приложений к проблемам поколений и квантовых чисел
фермионов нам важно понять точную связь между оператором
S = d-\-d* и оператором Дирака. Ниже мы предполагаем, что
К — многообразие размерности п.
Оператор S переводит р-форму в линейную комбинацию
{р—1)-формы и (р+1)-формы. Поэтому поле W, на которое
действует S, надо считать линейной комбинацией дифференци-
дифференциальных форм различной степени. Общая компонента поля W
представляет собой /?-форму, которая антисимметрична по ка-
касательным векторным индексам, где р может принимать любое
значение от 0 до п. Поле W всего имеет (в сумме по п) 2" ком-
компонент, так как каждый из п независимых касательных вектор-
векторных индексов может либо присутствовать, либо отсутствовать.
Это очень похоже на фермионную систему, в которой п одноча-
стичных состояний, соответствующих п независимым значениям
касательного векторного индекса. Таким образом, мы говорим,
что t-й одночастичный уровень заполнен, если и только если W
имеет индекс типа i, что означает, что он принимает значение L
Как в случае любой фермионной системы, удобно ввести опера-
операторы рождения и уничтожения фермионов. Так, пусть а* — опе-
оператор, рождающий индекс типа L Другими словами, щ* аннули-
аннулирует любую р-форму W, которая уже имеет индекс типа i; дей-
действуя на р-форму W, которая не имеет такого индекса, с,*

Компактификация высших измерений 419
делает из нее (р+ 1)-форму, добавляя индекс типа i. Соответ-
Соответствующая формула имеет вид
../р+,=7ТТ{^/Л-/р+,±
± циклические перестановки], A4.3.39)
где g— метрический тензор на многообразии К. Сопряженным
оператору а,-* является оператор а,-, который удаляет индекс
типа I (и аннулирует любую дифференциальную форму, кото-
которая не имеет такого индекса). Формула имеет вид
fen,.../p_1 = ^71.../p_1- (Н.3.40)
Операторы рождения и уничтожения, как обычно, удовлетво-
удовлетворяют соотношению [аг, a*j}=gij. Полезность операторов рож-
рождения и уничтожения определяется главным образом, тем, что
с их помощью можно получить довольно удобные формулы для
внешней производной d и сопряженной производной d*. Опера-
Оператор d рождает индекс типа i при дифференцировании поля, к
которому этот оператор применен, в направлении i, так что
d = gital*Dl. A4.3.41)
Здесь Dj — ковариантная производная. Напротив, оператор d*
удаляет индекс i при дифференцировании в направлении i, так
что
d' = giialDj. A4.3.42)
Комбинация этих формул показывает, что оператор 5 = d + d*,
который появился при изучении гармонических дифференциаль-
дифференциальных форм, имеет вид
S = gii(a* + ai)Di. A4.3.43)
В этой формуле появился очень важный оператор
Г, = (а, + аЛ. A4.3.44)
Эти матрицы заслуживают того, чтобы называться гамма-мат-
гамма-матрицами: они удовлетворяют стандартным соотношениям гамма-
матричной алгебры {Г;, Г/} = 2gi/. Может показаться удиви-
удивительным1), что можно определить также второй набор гамма-
матриц
Г, = /(а,-аД A4.3.45)
*) Это может и не показаться удивительным для читателя, ознакомив-
ознакомившегося с построением спинорного представления группы 50 BN) в прило-
приложении 5.А.

420 Глава 14
которые, как легко видеть, также удовлетворяют стандартным
соотношениям гамма-матричной алгебры. Кроме того, Г2- и Ti
взаимно антикоммутируют: {Гг, Г;} = 0. Для наших целей по-
полезней иметь два набора взаимно коммутирующих, а не анти-
коммутирующих гамма-матриц. Это всегда можно сделать, но
детали немного зависят от числа измерений, и мы ограничимся
теперь случаем, представляющим основной интерес, когда п
нечетное. Мы вводим два оператора киральности
... Г„,
J ~ A4.3.46)
2 ... Г„,
где фазовый множитель in(n~1)/>2 включен для того, чтобы квад-
квадрат Г(п) или квадрат Г(п) был равен единице. Определим теперь
второй набор гамма-матриц следующим образом:
Г,. = гТ<">-?г.. A4.3.47)
Легко проверить, что матрицы Г; удовлетворяют между собой
правильным антикоммутационным соотношениям для гамма-
матриц, но в то же время коммутируют с матрицами ГЛ.
Матрицы Г,- либо матрицы Г; могут рассматриваться как
«собственно» гамма-матрицы для SO(n). Один набор гамма-
матриц можно реализовать на полях фа с одним спинорным
индексом а, а значит, два набора коммутирующих гамма-мат-
гамма-матриц можно реализовать на полях Фар с двумя независимыми
спинорными индексами а и |3. С другой стороны, мы построили
два набора коммутирующих гамма-матриц, начиная с поля W,
представлявшего собой линейную комбинацию дифференциаль-
дифференциальных форм переменной степени. Поэтому поле Фар с двумя не-
независимыми спинорными индексами должно быть эквивалент-
эквивалентно линейной комбинации дифференциальных форм. Проверка
этого утверждения представляет собой просто упражнение из
теории групп SO(n). При первом знакомстве с уравнением Ди-
Дирака выясняется, что вследствие антикоммутационных соотно-
соотношений для гамма-матриц независимыми матрицами Дирака
являются антисимметризованные произведения
Ггл... ip = (Гг11\-2 ... Ytp ± перестановки)/^. A4.3.48)
В результате тензоры, которые можно образовать, перемножая
два спинора -ц и X, — это 0-форма %т\, 1-форма Я,Г,т], 2-форма
ЛГ^т] и в общем случае р-форма АТгу2..., t т] для любого
р ^ п. В рамках теории групп комбинирование двух спиноров
г\а и %$ — это то же самое, что комбинирование двух разных

Компактифи-сация высших измерений 421
спинорных индексов одного биспинорного поля Фар, у которого
два таких индекса. Это подтверждает, что поле Фар действи-
действительно эквивалентно линейной комбинации дифференциальных
форм с различными р.
Теперь мы можем воспользоваться этими сведениями, чтобы
лучше понять оператор 5. Напомним сначала общую струк-
структуру оператора Дирака. Обычно рассматривается спинорное
поле ф* со спинорным индексом а и, возможно, с дополнитель-
дополнительным янг-миллсовым индексом х. Тогда оператор Дирака имеет
вид ФК{?1р№ <14-3-49)
С учетом того, что поле, на которое действует оператор S, яв-
является, как мы знаем, биспинором ФаР, уравнение A4.3.43)
можно переписать в совершенно аналогичном виде
EФ)ар = Га^Фвр. A4-3.50)
Мы видим, что 5 есть в точности оператор Дирака, действую-
действующий на спинорное поле, имеющее дополнительный спинорный
индекс — второй спинорный индекс р поля Фар, который играет
роль «внутреннего» индекса, аналогичного индексу х в формуле
A4.3.49). Кроме того, в одном очень важном случае использо-
использования оператора S, с которым мы столкнемся ближе к концу
этой главы, второй спинорный индекс биспинорного поля возник-
возникнет именно в качестве индекса, отвечающего внутренней сим-
симметрии.
Поскольку 5 — разновидность оператора Дирака, естест-
естественно спросить, что в случае оператора S является аналогом ди-
раковского индекса, изучавшегося в разд. 14.2.1. Для опреде-
определения задачи об индексе вводится оператор «киральности» Т,
который антикоммутирует с S и удовлетворяет условию Г2 =
= +1. Полагая, что п+ и п_ — числа нулевых мод оператора 5
с Т =-\-\ и Т = —1 соответственно, определяем «индекс» как
п+ — п— Он является топологическим инвариантом по тем же
причинам, которые обсуждались в разд. 14.2.1. Но в случае опе-
оператора 5 имеется несколько возможных способов выбрать Т, и
они приводят к различным топологическим инвариантам.
Вариантом, наиболее полно соответствующим нашему рас-
рассмотрению оператора Дирака, является оператор Т = Г(п).
В этом случае индекс представляет собой топологический инва-
инвариант, известный как сигнатура Хирцебруха и часто обозначае-
обозначаемый символом ст. Можно показать, что сигнатура равна нулю в
4& + 2 измерениях, с помощью рассуждений, основанных на
комплексном сопряжении и подобных тем рассуждениям, которые
использовались в разд. 14.2, чтобы показать, что стандартный

422 Глава 14
индекс Дирака (без полей Янга —Миллса) равен нулю при:
таком числе измерений. Дело в том, что операторы рожде-
рождения— уничтожения а,-, а* по определению вещественны, по-
поэтому из соотношений A4.3.46) следует, что Г(п) и ?<"> вещест-
вещественны в Ak измерениях и чисто мнимые в 4fe + 2 измерениях.
Оператор S, очевидно, вещественный, так что в Ak -f- 2 измере-
измерениях комплексное сопряжение отображает нулевые моды опе-
оператора S с Г(п) =+1 в нулевые моды с Г("> = —1, что и дает
нулевой индекс а. С другой стороны, в Ak измерениях индекс ст
не обязательно равен нулю.
Другой возможный выбор оператора киральности, который
для целей этой книги намного важнее,— это f = inT(n) ¦ Г(я). При-
таком выборе индекс оператора 5 является топологическим
инвариантом, называемым эйлеровой характеристикой %. Это,
возможно, самый фундаментальный топологический инвариант
многообразия. Отметим, что оператор Т веществен как в Ak,
так и в Ak -\- 2 измерениях, т. е. эйлерова характеристика мо-
может быть отлична от нуля в любой четной размерности. Пока
неочевидно, что такое определение эйлеровой характеристики
как индекса оператора S совпадает с определением, данным в
конце гл. 12, где эйлерова характеристика многообразия опре-
определялась как интеграл по многообразию от некоторого полинома
от тензора кривизны. Это равенство представляет собой теорему
Гаусса — Бонне — Черна, которую можно получить как частный
случай теоремы об индексе Атьи — Зингера. В разд. 14.4 мы
сделаем это явно в двумерном случае.
Для эйлеровой характеристики многообразия К есть прос-
простое выражение в терминах чисел Бетти для К- Восстанавливая
определение Г(п) и Г(га), находим
Г = /"Г(")Г(") = (-1ГП (at + a;)(at-an = ti(-lft, A4.3.51)
i = \ г" = 1
где Mi = щ*щ — оператор числа фермионов i-ro сорта. Для
р-формы число заполненных состояний равно р, так что равен-
равенство A4.3.51) означает, что для р-форм Т =(—1)р.
Далее, нулевые моды оператора S — это гармонические диф-
дифференциальные формы, а число р-форм, являющихся такими
нулевыми модами, есть число Бетти Ьр. Следовательно, вклад,
р-форм в индекс оператора S равен ±ЬР, где знак выбирается
в зависимости от значения Т :f = +l или f = —1. Другими
словами, знак зависит от того, четно р или нечетно. Отсюда
следует, что эйлерова характеристика равна
%(K)=t(-Dpbp. A4.3.52)
р=0

Компактификация высших измерений 423
Это и есть искомая формула, выражающая эйлерову характе-
характеристику через числа Бетти. Необходимо отметить одну важную
особенность этого случая. При обсуждении индекса оператора
Дирака общего вида указывалось, что если п+ и п_ — числа
нулевых мод положительной и отрицательной киральности, то,
вообще говоря, топологическим инвариантом является только
п+ — П-, и можно ожидать, что либо п+, либо и_ равно нулю
в зависимости от того, положителен индекс или отрицателен.
Оператор S является исключением: оба числа п+ и п_ являются
топологическими инвариантами в случае оператора S и пред-
представляют собой сумму чисел Ьр для четных и для нечетных р
соответственно. В обычной римановой геометрии (в отличие от
более специализированных разделов, таких как изучение ком-
комплексных многообразий) оператор S — единственный известный
оператор, обладающий таким свойством. В гл. 16 мы увидим,
что существует по меньшей мере возможность того, что это
свойство связано с решением проблемы иерархии калибровоч-
калибровочных взаимодействий.
По аналогии с уравнением A4.2.9) сигнатуру <т и эйлерову
характеристику % можно записать в виде
а = Тг (Г<«> ехр - рД), A4.3.53)
Х = Тг(Г<п>П">ехр —РД),
где А = S2 играет роль гамильтониана. В дальнейшем мы
встретимся не совсем с оператором S, а с оператором 3 =
= S A -f- Г(п))/2, который есть просто оператор S, спроектиро-
спроектированный на подпространство гильбертова пространства, на кото-
котором Г(я) = +1. В этом секторе Т = Т, так что не имеет значе-
значения, какой оператор киральности используется в определении
индекса для S. Выбирая Т = Г("\ для индекса получаем выра-
выражение
index § = Тг (Г<"> A + Г<»>)/2 ехр - рД) = (а + %)/2. A4.3.54)
В 4& + 2 измерениях or, конечно, равно нулю, и выражение
A4.3.54) сводится к равенству
indexS = )c/2. A4.3.55)
Этот результат будет использован в последующем при исследо-
исследовании числа фермионных поколений.
14.4. Теоремы об индексе на мировой поверхности струны
Несмотря на то что главная наша цель в этой главе — выяс-
выяснить свойства волновых операторов в пространстве-времени, мы
«становимся здесь на обсуждении того, как некоторые понятия

424 Глава 14
возникают при анализе волновых операторов на мировом листе
струны, т. е. на компактной поверхности 2 рода g. Это позволит
нам проиллюстрировать в простой ситуации многие из тех идей,,
которые рассмотрены выше, а также те, которые будут введены
ниже. Как бы то ни было, соответствующие результаты имеют
разнообразные приложения в теории струн.
14.4.1. Индекс Дирака
Как и в гл. 3 и 4, многие существенные утверждения отра-
отражают тот факт, что в двух измерениях группа вращений SO B)
абелева. Любое ее неприводимое представление определяется
заданием собственного значения единственного генератора W
группы SO B). В наших приложениях это собственное значение
всегда будет целым или полуцелым. Спинор i|) имеет компонен-
компоненты положительной и отрицательной киральности я|з+ и г|з_, для
которых №=1/2 и № =—1/2. Аналогично ковариантная про-
производная Va имеет компоненты V+ и Д_, для которых W=+l
и W = —1. Применение оператора Дирака дает спинор Уф,
который, подобно 1(з, имеет компоненты с №=+1/2. Уравнение'
Дирака Vi|> = 0 в явном виде записывается как
v+i|3_ = 0, v_i|>+ = 0. A4.4.1)
Два уравнения A4.4.1) являются уравнениями для нулевых мод
отрицательной и положительной киральности соответственно.
Если числа линейно независимых решений первого и второго
уравнений A4.4.1) обозначить соответственно через п_ и п+, то
индекс Дирака можно представить в виде
index V = п+ — п_. A4.4.2>
Если ковариантная производная в уравнениях A4.4.1) построе-
построена только из спиновой связности без взаимодействия, скажем,,
с полем Янга — Миллса, то два уравнения A4.4.1) комплексно
сопряжены друг другу, так что п+ = и_, а индекс Дирака ра-
равен нулю.
Ненулевой индекс возникает в том случае, когда дополни-
дополнительно имеется калибровочное взаимодействие. Рассмотрим
спинорное поле tya, несущее янг-миллсов индекс а, отвечающий
некоторому представлению R калибровочной группы G. Калибро-
Калибровочное поле будем обозначать через Аа- Уравнение Дирака
имеет вид
V+4>°=0, у_г|^ = 0. A4.4.3>
Эти два уравнения по-прежнему комплексно сопряжены друг
другу, если представление R вещественное или псевдовещест-

Компактификация высших измерений 425
венное; в противном случае они не сопряжены. В такой более
общей ситуации индекс Дирака не обязательно равен нулю.
Он дается формулой, которая обсуждалась в разд. 14.2:
= -2^-|j trF. A4.4.4)
Здесь F — 2-форма кривизны, а след берется, конечно, в пред-
представлении R.
Величина A4.4.4), очевидно, равна нулю, если группа G по-
полупростая. Важна только компонента U A) группы G, поэтому
мы сосредоточимся на случае, когда группа G и в действи-
действительности есть UA) (или SOB)). Соответствующие калибро-
калибровочные поля, для которых правая часть равенства A4.4.4) не
равна нулю, имеют ненулевой поток магнитного поля, проинте-
проинтегрированный по Б, а следовательно, представляют собой обоб-
обобщение магнитного монополя Дирака. Согласно классическому
рассмотрению Дирака, магнитный заряд монополя, точнее пра-
правая часть равенства A4.4.4), должен быть целым числом, чтобы
было возможно взаимодействие монополя с заряженным полем,
таким как г|). Уравнение A4.4.4) в действительности дает дру-
другое доказательство закона квантования Дирака, поскольку его
левая часть определенно есть целое число.
Рассмотренное выше поле г)) могло взаимодействовать с лю-
любым U(I)-калибровочным полем, но один случай особенно инте-
интересен. На любом ориентируемом двумерном многообразии спи-
спиновая связность соа является SO{2)- или ?/A)-калибровочным
полем. Таким образом, в качестве U(I)-калибровочного поля
Ла в использованной выше конструкции можно выбрать просто
(оа. Это можно также немного обобщить: так как группа U A)
абелева, имеет смысл выражение
Аа = пщ, A4.4.5)
где п—произвольное целое или полуцелое число1). Вслед-
Вследствие нелинейности SO (М) -калибровочных преобразований при
/V > 2 выражение A4.4.5) имеет калибровочно-инвариантный
смысл в случае более чем двух измерений только для п = 1,
но в двух измерениях такого ограничения нет.
Выражение A4.4.5), безусловно, дает интересный пример
абелева калибровочного поля, поскольку оно не вносит ничего
') Число п должно быть целым или полуцелым, чтобы Аа удовлетво-
удовлетворяло условию Дирака квантования магнитного заряда при любом выборе
поверхности 2, хотя на некоторых поверхностях допустимы другие дробные
значения. Ниже мы увидим, что в естественно появляющихся приложениях
л всегда целое или полуцелое.

426 Глава 14
произвольного, не связанного с самой поверхностью Б. Мы уви-
увидим, что в этой специальной ситуации теорема об индексе
A4.4.4) имеет много интересных приложений.
В случае A4.4.5) напряженность калибровочного поля
e^v.Fwv равна просто умноженной на и/2 скалярной кривизне
Риччи R. Если через V(n) обозначить оператор Дирака, дей-
действующий на спиноры с «зарядом» п, то теорема об индексе при-
принимает вид
^JVF. A4.4.6)
Мы рассмотрим три интересных приложения формулы A4.4.6):
эйлерову характеристику, конформные духи и суперконформ-
суперконформные духи.
14.4.2. Эйлерова характеристика
Мы уже рассмотрели оператор S в 2л измерениях при лю-
любом п, индексом которого является эйлерова характеристика.
Мы обнаружили, что, согласно формуле A4.3.50), 5 представ-
представляет собой обычный оператор Дирака, действующий на поле
¦ф° со спинорным индексом а и с дополнительным «янг-милл-
совым» индексом, который является просто другим спинорным
индексом. В двух измерениях эта конструкция упрощается, так
как группа SO B) абелева. Индекс а принимает два значения,
соответствующих W' = 1/2 и W = —1/2 в терминологии преды-
предыдущего раздела. Оператор 5 имеет простой вид
0 V(-i/2)
где V(±i/2) ¦— операторы, индекс которых дается выражением
A4.4.6).
Чему равен индекс оператора S? Необходимо напомнить,,
что у нас было две возможности выбора, отвечающие tr e~^s*
и tre~psrf. Эти выражения соответствуют сумме и разности
двух операторов V(i/2> и V(-i/2>, фигурирующих в выражении
A4.4.7). Как видно из соотношений A4.3.53), эйлерова харак-
характеристика получается в последнем из двух вариантов. Таким
образом, имеем
X = index V(i/2) —index V(-i/2) = -^- jj R, A4.4.8>
где использовано равенство A4.4.6). Выражение A4.4.8) было-
уже получено в конце гл. 12 на основе другого определения

Компактификация высших измерений 427
эйлеровой характеристики, так что теперь мы видим, что эти
два определения эквивалентны, по крайней мере в случае мно-
многообразия размерности два. Эти два определения (прежде %
определялась как интеграл от определенного характеристиче-
характеристического класса, а теперь — как индекс оператора S) на самом
деле эквивалентны в любой размерности. Это можно устано-
установить при более полном изучении теоремы об индексе.
Теперь в нашем распоряжении имеется значительно больше
информации об эйлеровой характеристике, чем мы имели, когда
в первый раз определили ее в гл. 12. Например, теперь мы
знаем (из уравнения A4.3.52)), что
X=t (-DPV (H.4.9)
Р=о "
Для любого компактного связного многообразия Ьо = 1, а для
двумерного многообразия дуальность Пуанкаре дает Ь2 = 1.
В конце гл. 12 мы нашли, что эйлерова характеристика рима-
новой поверхности рода g равна 2— 2g. Объединяя эти резуль-
результаты, видим, что первое число Бетти для поверхности рода g
равно
bAg) = 2g. A4.4.10)
Как обсуждалось в разд. 12.2, 2g — число независимых нестяги-
ваемых петель на поверхности рода g. Таким образом, уравне-
уравнение A4.4.10) есть иллюстрация связи между числом Бетти Ьр
многообразия М и числом независимых топологически нетри-
нетривиальных р-мерных подмногообразий в М.
14.4.3. Нулевые моды конформных духов
В разд. 3.3 мы рассмотрели нулевые моды конформных ду-
духов и антидухов на компактной римановой поверхности рода
g. Волновые уравнения для духов с_ и антидухов Ь++ положи-
положительной киральности имели вид
V_b++ = 0, V_c_ = 0. A4.4.11)
Числа нулевых мод для Ъ- и с-полей на римановой поверхности
рода g обозначались в разд. 3.3 через Bg и Cg соответственно.
Мы обнаружили, что эти числа для небольших g ведут себя не-
несколько нерегулярно, но для разности Ag = Cg — Bg был най-
найден простой результат
Дв = 3A-я). A4.4.12)

428 Глава 14
Естественно ожидать, что разность Ag может быть индексом
некоторого оператора, и это объясняет, что поведение величи-
величины Ag проще, чем Bg и Cg. Теперь мы увидим, что это действи-
действительно так.
Прежде всего мы можем заменить второе из уравнений
A4.4.11) уравнением
V+c+ = 0, • A4.4.13)
где с+ комплексно сопряжено с_. Разность числа решений урав-
уравнения A4.4.13) и числа решений первого из уравнений
A4.4.11) мы интерпретируем как индекс некоторого оператора.
В рамках введенной выше терминологии оператор, который здесь
имеется в виду,— это просто Vo/2). Действительно, оператор
VC/2) действует на поле ф?, где а — спинорный индекс
(W = ±1/2), а индекс а — «калибровочный» индекс с W =
-— 3/2. Для компонент поля г|) положительной и отрицатель-
отрицательной киральности имеем W= 1/2 + 3/2=2 и W=—1/2 +
+ 3/2 = 1 соответственно. Эти компоненты можно отождест-
отождествить с полями Ь++ и с+ соответственно. Таким образом,
Ag = index Щ/2) = ^-\я. A4.4.14)
V
Интеграл в правой части равен 3/2 эйлеровой характеристики;
используя известное значение эйлеровой характеристики для ри-
мановой поверхности рода g, мы возвращаемся к результату
A4.4.12).
14.4.4 Нулевые моды с у пер конформных духов
Подобным образом можно исследовать нулевые моды су-
суперконформных духов, которые мы еще не рассматривали.
Правые моды состоят из духов -ус—1/2> и антидухов Р(+з/2) (ин-
(индексы обозначают собственные значения генератора W). Вол-
Волновые уравнения имеют вид
V_p(+3/2) = 0, V_Y_I/2 = 0. A4.4.15)
Аналогично бозонному случаю, рассмотренному в разд. 3.3, ну-
нулевые моды поля у отвечают генераторам суперконформных
симметрии, а нулевые моды поля р— тому, что можно назвать
«супермодулями». Если Ug и Vg — числа нулевых мод на по-
поверхности рода g для у и р соответственно, то, как и в чисто
бозонном случае, Ug и Vg ведут себя при малых g несколько
нерегулярно. Действительно, Uo =2 (что отвечает существо-
существованию в квантовом бозонном секторе суперструн безаномаль-
безаномальной группы симметрии с двумя нечетными генераторами G+i/г

Компактификация высших измерений 429
помимо LQ и L±i), в то время как U\ = 1 (единственная нуле-
нулевая мода на торе с плоской метрикой — это и = const) и
Ug = 0 при g>»l. Что касается Vg, то значения этого числа
таковы Vo = 0, V'i = 1, Vg = 2g при g > 1 l).
Мы не будем здесь доказывать все эти утверждения, а лгшь
отчасти проверим их, воспользовавшись теоремой об индексе,
чтобы вычислить разность Ag = Ug — Vg. Как и в бозонном
случае, эта разность ведет себя более спокойно, чем Ug и Vg.
Такие же рассуждения, как в бозонном случае, показывают, что
число Ag можно интерпретировать как индекс оператора V(i>.
Следовательно,
Ag = 2(l-g). A4.4.16)
Любопытно, что Ag в точности равно эйлеровой характеристи-
характеристике римановой поверхности.
14.5. Нулевые моды нелинейных полей
До сих пор мы рассматривали нулевые моды спиноров и
антисимметричных тензорных полей на фоне внешних калибро-
калибровочных и гравитационных полей. Такие нулевые моды связаны,
как оказывается, с многими плодотворными геометрическими и
топологическими идеями, лишь немногие аспекты которых были
нами рассмотрены. Изучавшиеся нами классические линейные
уравнения представляют собой с точки зрения теории супер-
суперструн лишь приближение, но для большинства исследовавших-
исследовавшихся вопросов это достаточно хорошее приближение, так как
большая часть наших выводов основывается только на очень
общих соображениях. Например, индекс Дирака зависит только
от класса универсальности теории, а нулевые моды дифферен-
дифференциальных форм остаются нулевыми модами для почти любых
калибровочно-инвариантных уравнений, которым эти поля мо-
могут удовлетворять, так как калибровочно-инвариантная напря-
напряженность поля нулевых мод обращается в нуль.
Обратимся теперь к рассмотрению других безмассовых де-
десятимерных полей — калибровочного и гравитационного по-
полей. Эти поля подчинены таким нелинейным уравнениям, как
•) Отметим, что числа Ui и Vi зависят от спинорной структуры (см.
разд. 12.2) на торе, которая проявляется в периодических или >антипериоди-
>антипериодических граничных условиях, которым удовлетворяют поля с полуцелым W
в параллелограмме, показанном на рис. 12.3. В случае так называемой нечет-
нечетной спинорной структуры (периодические граничные условия) t/i = Vi = 1,
что отвечает, как указано в тексте, постоянным полям. В остальных случаях
(антипериодичность хотя бы по одному направлению) Ui = Vi = 0. —
Прим. перев.

430 Глава 14
классические уравнения Эйнштейна и Янга — Миллса в отличие
от линейных уравнений на заданном фоне. Поэтому эти поля есте-
естественно называть нелинейными. Первый вопрос, который возни-
возникает при обсуждении волновых уравнений нелинейных полей, —
это вопрос о том, удовлетворяет ли в действительности пред-
предполагаемое вакуумное состояние М4X К нелинейным уравне-
уравнениям Эйнштейна и Янга — Миллса. Такое рассмотрение пол-
полностью отлично от того, что обсуждалось в нескольких послед-
последних разделах. Ответ на вопрос, удовлетворяет ли нелинейным
уравнениям данное пространство К с заданными вакуумными
средними полей материи, зависит не только от класса универ-
универсальности теории, но и от конкретного выбора действия. Ре-
Решающее значение имеет, например, то, описывается ли гравита-
гравитационное поле минимальным действием Эйнштейна — Гильберта
V'g /? или каким-то другим действием с поправками старших
порядков, определяемыми теорией струн. Поэтому ответ на во-
вопрос, какие пространства М4У(К удовлетворяют нелинейным
уравнениям, возникающим в теории струн, требует рассмотре-
рассмотрения совершенно другого типа, чем то, которое предложено
здесь.
Здесь же мы предположим просто, что найдено некоторое
подходящее вакуумное состояние МА X К, и зададимся вопро-
вопросом, какой спектр безмассовых частиц возникает в четырех
измерениях. В случае калибровочных и гравитационных полей
это означает, что их полевые уравнения линеаризуются вблизи
данного решения и исследуется спектр нулевых мод. Это рас-
рассмотрение с необходимостью основывается только на очень про-
простых и общих аргументах, поскольку мы не предполагаем, что
нам известны правильные уравнения калибровочных и гравита-
гравитационных полей. Мы предполагаем только, что калибровочное
и гравитационное поля описываются некоторыми калибровочно-
инвариантными и общековариантными уравнениями, для кото-
которых М4 X К является одним из решений. И действительно, важ-
важные выводы определяются только этим. Утверждения, завися-
зависящие от детального вида калибровочных и гравитационных
уравнений, не слишком интересны, если не научиться исполь-
использовать точные уравнения, возникающие в теории струн, так как
при этом почти любая ошибка оказывается неприемлемо боль-
большой. Мода, которая является нулевой модой с точностью до
1 %, соответствует частице, масса которой может иметь вели-
величину, равную 1 % массы Планка.
Напомним, что при рассмотрении безмассовых мод нелиней-
нелинейных полей координаты на М4 мы обозначаем через х&, ц =
= 1, ..., 4, координаты на К обозначаем через у', j — 5, ...
..., 10, а все десять координат вместе обозначаем как Xм, М =

Компактификация высших измерений 431
— 1, ..., 10. Первое общее утверждение, которое надо сделать
о компактификации на многообразии М4 X К, — это, конечно,
утверждение, что имеется ковариантность относительно преоб-
преобразований Пуанкаре на М4. Если исходная десятимерная тео-
теория была общековариантной, то четырехмерная группа Пуан-
Пуанкаре является на самом деле группой локальной симметрии, и
поэтому следует ожидать появления в четырехмерной теории
безмассового гравитона. Поскольку константа является нуле-
нулевой модой для 0-форм, безмассовая мода есть просто g^vlx7-),
где все индексы касательны к М4 и зависимость от у' отсут-
отсутствует. В общем случае это единственное безмассовое поле в че-
четырех измерениях, возникающее из компонент g^v десятимерной
метрики gMN- Аналогично предположим, что исходная десяти-
десятимерная теория обладает локальной симметрией относительно
калибровочных преобразований для некоторой калибровочной
группы G, а также что вакуумное среднее полей материи на К
нарушает G до некоторой подгруппы Н. Тогда постоянные вдоль
К моды Л? (х ) (с индексом а, пробегающим алгебру Ли под-
подгруппы Я) в четырех измерениях ведут себя, как безмассовые
калибровочные поля для Я, и в общем случае нельзя ожидать
возникновения других безмассовых мод из компонент калибро-
калибровочного поля, касательных к М4.
Более сложная ситуация возникает в случае, когда рассмат-
рассматриваются безмассовые моды компонент g^j метрического тен-
тензора с одним индексом, касательным к М4, и одним, касатель-
касательным к К. Исторически именно этот случай привел к открытию
теории Калуцы — Клейна и вплоть до настоящего времени вы-
вызывает появление многих последующих работ на эту тему. Без-
Безмассовые моды компонент gw- в четырех измерениях будут про-
проявляться как безмассовые частицы спина один, другими сло-
словами как безмассовые калибровочные бозоны. Такие частицы
возникают, если некоторая подходящая подгруппа группы ис-
исходной десятимерной общей ковариантности остается ненару-
ненарушенной при компактификации М4 X К. Чтобы понять, как это
может происходить, надо прежде всего рассмотреть описание
непрерывных симметрии в ОТО. При общекоординатном преоб-
преобразовании yk->-yk-{-eVk (у1) на К (где е — малый параметр,
a Vk — векторное поле) изменение метрики многообразия К
легко найти по стандартным формулам ОТО: Sg-t/- = e(DiV,- +
-\-DjVi). Таким образом, метрика на К остается инвариантной
при координатном преобразовании «/*->у4 + eVk, порождаемом
векторным полем V, если V удовлетворяет уравнению Кил-
линга:
DlV, + D,Vi = Q. A4.5.1)

432 Глава 14
Координатное преобразование, порождаемое вектором Кил-
линга V, оставляет метрику на К инвариантной, поэтому оно
является симметрией общековариантного уравнения для метрики
на К. Если изучается уравнение не для одной только метрики,
а для взаимодействующей системы, состоящей из метрики
на К и подходящих полей материи (таких как калибровоч-
калибровочные поля), то симметрия получается, если V можно сопроводить
некоторым подходящим преобразованием полей материи, кото-
которое оставляет инвариантными их вакуумные средние.
Если имеется несколько векторов Киллинга V'a, a=\, ..., п,
соответствующие преобразования координат порождают неко-
некоторую алгебру Ли. В общем случае
A4.5.2)
где fate — структурные константы некоторой алгебры Ли Я, ко-
которая порождает группу симметрии для К.
Рассмотрим теперь компактификацию десятимерной обще-
ковариантной теории на многообразии М4X К, предполагая,
что К имеет группу симметрии Я. Глобальное (т. е. не завися-
зависящее от координат на М4) вращение на К будет преобразова-
преобразованием координат (У\ ук)->(х^, ук + Yua&aVa), где еа — инфини-
тезимальные константы. Это глобальное преобразование не ме-
меняет метрику на МА X К, если Va — векторы Киллинга. Если
исходная десятимерная теория является общековариантной, то
можно рассматривать не только глобальные вращения на К,
но и вращения, зависящие от х^. Соответствующая формула
имеет вид
(/,/)-(/,/+Ееа(/L A4.5.3)
а
где параметры преобразований теперь не константы, а функ-
функции от х^. При работе с очень большими по сравнению с план-
ковской длинами волн, когда адекватно описание в терминах
только безмассовых полей, мы выбираем га{х^) медленно ме-
меняющимися функциями. Преобразования A4.5.3) будут тогда
симметрией для любой общековариантной теории, компактифи-
компактифицированной на УН4 X К, и в эффективной четырехмерной теории
они будут выглядеть как зависящие от точки на М4 локальные
калибровочные преобразования с калибровочной группой Я. По-
Поэтому в эффективной четырехмерной теории должны быть без-
безмассовые калибровочные бозоны для этой группы. Анзац, в ко-
котором они проявляются, имеет вид (в линеаризованном при-
приближении)
gn=ZAik(xi)aVla(y% A4.5.4)

Компактификация высших измерений 433
где Ау.(х?)—безмассовые калибровочные поля, которые возни-
возникают на М4. Чтобы проверить корректность анзаца A4.5.4),
достаточно заметить, что при калибровочном преобразовании
A4.5.3) поля Л? преобразуются правильным образом- 6Л^ =
a abcA
l t
Какие калибровочные симметрии могут возникать таким
способом в процессе компактификации на многообразии М4 \ К?
Этот вопрос мы рассмотрим подробнее хотя бы потому, что он
представляет исторический интерес, несмотря на то что выводы,
к которым это приводит, по-видимому, уже не имеют большого
значения в контексте теории суперструн. При обсуждении во-
вопроса о том, какие группы симметрии могут возникать, мы вре-
временно откажемся от ограничения десятью измерениями и будем
рассматривать компактификацию D -\-п) -мерной теории для
произвольного п. Вопрос о калибровочных группах, которые мо-
могут возникать в четырех измерениях, равносилен вопросу о том,
какую группу симметрии может иметь n-мерное многообразие
К- Пусть х — точка на К. «Орбита» точки х относительно группы
симметрии Я многообразия К — это множество Wx, состоящее
из всех точек в К, в которые можно перевести х с помощью дей-
действия группы. Говорят, что К — однородное пространство для
действия группы Я, если для каждой точки х орбита Wx пол-
полностью охватывает К', последнее равносильно высказыванию,
что для любой точки у на К существует некоторый элемент h
группы Я, такой, что h{x)= у. Из определений следует, что
независимо от того, является К однородным для действия груп-
группы Я или нет, каждая орбита Wx всегда обладает этим свой-
свойством. Максимальные возможные группы симметрии многооб-
многообразий данной размерности всегда возникают для однородных
пространств. Интуитивно это понятно, так как если К не яв-
является однородным пространством, то некоторые из измерений
многообразия «излишни», так как группа Я на самом деле дей-
действует в подмногообразиях Wx более низкой размерности. По-
Поэтому мы предположим, что К — однородное пространство.
«Малая группа»1) точки х на К — это подгруппа Яо группы
Я, оставляющая точку х неподвижной. Разность размерностей
группы Я и группы Яо равна dim Я—dim Яо = п, где п — раз-
размерность многообразия К- Причина заключается в том, что лю-
любой генератор группы Я, который не оставляет точку х непод-
неподвижной, сдвигает ее в некотором касательном направлении. По-
Поскольку имеется только и таких направлений, может существовать
самое большее п линейно независимых генераторов группы Я,
') Часто используются также эквивалентные термины: «стационарная
подгруппа», «подгруппа изотропии». — Прим. перев.

434 Глава 14
не оставляющих точку х неподвижной; если К — однородное про-
пространство, то число таких независимых генераторов должно быть
равно п, так как должен существовать какой-нибудь генератор
группы Н, который сдвигает х в любом заданном направлении.
С точностью до изоморфизма существует ровно одно про-
пространство, однородное для действия данной группы Н с данной
малой группой точки Яо. Такое однородное пространство удобно
определить как пространство, состоящее из элементов группы
Я, подчиненных соотношению эквивалентности, согласно кото-
которому два элемента а и & из Я считаются эквивалентными, если
а = bh0 для некоторого элемента /г0 из подгруппы Яо. Про-
Пространство классов эквивалентности называется фактор-про-
фактор-пространством Н/Но; оно является однородным для действия груп-
группы Я левым умножением: a-*-ha, где АеЯ, а^Н/Н0. Выбе-
Выберем элемент а пространства Н/Но, скажем а=\. Его малая
группа состоит из элементов йеЯ, таких, что h-\ = l-hQ для
некоторого h0 e Яо. Другими словами, малая группа изоморфна
подгруппе Яо. Единственность этой конструкции с точностью до
изоморфизма нетрудно доказать, но мы не будем здесь этого
делать.
Вместо того чтобы пытаться полностью определить макси-
максимальные группы симметрии для n-мерных многообразий К, за-
зададимся просто вопросом, при каких п возможна наблюдаемая
в природе группа калибровочной симметрии, а именно Q =
= SUC)X SUB)У( U(I). (Если требуется большая группа, то
п должно быть большим, чем то значение, которое мы опреде-
определим.) Пусть Q действует однородно ') на К, и пусть подгруппа
Qo— малая группа точки. Подгруппа Qo не должна содержать
целиком ни SUC), ни SUB), ни ?/A), поскольку в таком слу-
случае этот сомножитель в Q оставлял бы К инвариантным и не
был бы в действительности группой симметрии. Максимальной
подгруппой группы S?/C)XS?/B)X Щ1)> не содержащей це-
целиком ни одного из трех сомножителей, является SUB)X
Х^A)Х^A), где SUB) — «изоспиновая» подгруппа группы
SUC), а две группы U A) отвечают линейным комбинациям
«гиперзарядового» генератора группы SUC), коммутирующего
с «изоспиновой» подгруппой, произвольного генератора группы
SUB)u генератора U(I)-сомножителя в SUC)X SU{2)X ^(l).
(Существует бесконечно много неэквивалентных подгрупп
SUB)'X t/(l)X Щ1) группы Q, отвечающих разным неэквива-
неэквивалентным выборам генераторов двух U(l)-сомножителей, но мы
*) Это необщепринятое выражение. Обычно говорят, что Q действует
транзитивно на К, если К—однородное пространство для этого действия.—
Прим. перев.

Компактификация высших измерений 435
не будем здесь их классифицировать.) Итак, пространство с
SUC)X Sf/B)X ?/A)-симметрией будет иметь минимальную
возможную размерность, если малую группу выбрать в виде
Qo = SU{2) X ?/A)Х ^A). В таком случае Qo имеет размер-
размерность пять, в то время как размерность группы Q = SUC)X
XSU B)XU(l) равна двенадцати, поэтому размерность фак-
фактор-пространства, которая является наименьшей возможной раз-
размерностью пространства с SUC)X 5f/B)X ?/A)-симметрией,
равна 12 — 5 = 7.
Для теории суперструн этот результат в лучшем случае яв-
является лишь близким к попаданию. Имеется шесть компакт-
компактных измерений, а надо было бы иметь семь. Если не удается
с помощью компактификации из десяти в шесть измерений по-
получить группу SUC) X 5f/B)X ?ф)> т0 можно ли получить
по крайней мере какую-нибудь интересную подгруппу этой
группы? Действительно, существует единственное шестимерное
многообразие с SUC)X SUB) -симметрией (а именно,
CP2B)XS2, отвечающее малой группе Q0 = SU{2)XU(l)X
X U(\)), но это пространство не имеет смысла в теории супер-
суперструн, поскольку на этом многообразии нельзя определить спи-
спиноры (необходимые для этого понятия обсуждались в разд. 12.1).
Если бы можно было получить с помощью компактификации
хотя бы группу SUC)XSUB), то можно было бы думать об
описании физической картины с помощью теории суперструн
типа ПА, в которой имеется U (I)-калибровочный бозон в муль-
типлете десятимерной супергравитации, но сделать это не
удается, так как с помощью компактификации нельзя получить
даже группу SUC)X SUB).
Тот факт, что десяти измерений недостаточно, безусловно
не является единственной проблемой, возникающей при попыт-
попытках получить реалистическую калибровочную группу при ком-
компактификации. Другая важнейшая проблема состоит в том, что
независимо от того, с какого числа измерений мы начинаем,
невозможно получить реалистические квантовые числа фермио-
нов в четырех измерениях, если предполагается, что калибро-
калибровочные группы происходят целиком из симметрии компактного
многообразия тем способом, который мы обсуждаем. Можно
показать, что это следует из доказанной Атьей и Хирцебрухом
довольно сложной теоремы о нулевых модах оператора Дирака
на многообразиях с непрерывными симметриями. Но мы не
будем углубляться в обсуждение этой теоремы и ее приложе-
приложений в теории Калуцы—Клейна. С открытием безаномальных
теорий суперструн, в которых еще до компактификации имеют-
имеются калибровочные группы в десяти измерениях и которые обла-
обладают .привлекательной феноменологией (эта феноменология

436 Глава 14
обсуждается ниже в данной книге), исчезла необходимость пы-
пытаться получить калибровочные симметрии через компактифи-
кацию. Напротив, SO C2)- и ?s X-бе-теории имеют более чем
достаточно калибровочной симметрии, и проблема состоит в том„
чтобы правильным образом нарушить симметрию, а не в том,
чтобы получить больше симметрии.
До сих пор мы рассматривали нулевые моды полей, все
индексы которых касательны к МА, а также смешанные компо-
компоненты метрики g^k с одним индексом, касательным к М4, и од-
одним индексом, касательным к К- Остается обсудить нулевые
моды компонент метрики gu и калибровочного поля At со всеми
индексами, касательными к К- Вследствие большой сложности
уравнений для этих полей наше обсуждение будет кратким.
Компоненты gij и Л/ гравитационного и калибровочного по-
полей входят (возможно, вместе с другими полями) в нелинейные
уравнения, определяющие структуру многообразия К- Об этих
уравнениях мы ничего заранее не предполагаем, помимо того,
что они общековариантны и калибровочно-инвариантны. Может
случиться, что уравнения, определяющие структуру многообра-
многообразия К, фиксируют ее однозначно. В этом случае многообразие К
жесткое и низкочастотных осцилляции нет. С другой стороны,
может быть и так, что уравнения, определяющие структуру
многообразия К, не фиксируют ее однозначно. При решении
соответствующих уравнений могут возникнуть постоянные ин-
интегрирования <f>i. В математике такие постоянные интегрирова-
интегрирования обычно называются модулями; они аналогичны отчасти мо-
модулям римановых поверхностей, обсуждавшимся в разд. 3.3.
Не располагая другой информацией, нельзя сказать, сколько
вообще имеется модулей. Но если неопределенные постоянные
интегрирования возникают при нахождении структуры много-
многообразия К, то в эффективной четырехмерной теории они про-
проявятся в виде безмассовых частиц нулевого спина. Причина
состоит в том, что неизбежно возникает возможность рассмат-
рассматривать ситуацию, когда модули <?,¦ не совсем постоянны, а яв-
являются слабо меняющимися функциями <$>i{x%), где х% — коор-
координаты на М4. Как в обычном доказательстве теоремы Голд-
стоуна (которая описывает ситуацию, когда неопределенные по-
постоянные интегрирования для вакуума появляются вследствие
спонтанного нарушения симметрии), функции <t>i{x%) в низко-
низкоэнергетической теории возникают как безмассовые поля.
Возникновение модулей означает потерю предсказательной
силы теории, поскольку наблюдаемые величины, такие как по-
постоянная тонкой структуры и массы частиц, вероятно, зависят
от неопределенных постоянных интегрирования. С другой сто-

Компактификация высших измерений 43Т
роны, связанные с модулями безмассовые частицы, если они
действительно существуют, были бы интересным-и, возможно,
проверяемым предсказанием. Они вполне могли бы иметь уни-
универсальное взаимодействие с материей и вызывали бы тогда
наблюдаемые отклонения от обычного закона тяготения. По-
Помимо этого, если скаляр ф имеет универсальное взаимодействие
с материей, то его волновое уравнение в расширяющейся Все-
Вселенной будет типа
9, A4.5.5)
где р — источник поля ф, оператор, имеющий по предположе-
предположению ненулевое среднее во Вселенной. Усредняя уравнение
A4,5.5) по локальным неоднородностям во Вселенной и, следо-
следовательно, пренебрегая пространственными производными, его
можно свести на больших масштабах к уравнению
¦Ц^ = (Р>, A4.5.6).
где (р> — среднее значение р во Вселенной в данный момент
космического времени. Уравнение A4.5.6) требует изменения
ф во времени. Так как константы связи и отношения масс почти
наверняка зависят нетривиальным образом от поля ф (осо-
(особенно поскольку мы предполагаем универсальное взаимодей-
взаимодействие этого поля с материей), зависимость поля ф от времени
проявляется как зависимость от времени естественных «кон-
«констант».
Обсуждавшаяся связь между модулями и безмассовыми ча-
частицами имеет место как в классической (в приближении, когда
вакуум описывается классическими уравнениями, возникаю-
возникающими из теории суперструн), так и в квантовомеханической тео-
теории. (В точной теории вакуум определяется минимизацией не-
некоторого эффективного потенциала.) В классической теории
можно сделать одно общее утверждение. В силу соображений,
основанных на масштабных преобразованиях и описанных
в разд. 3.4.6 и 13.2, всегда имеется по крайней мере один мо-
модуль — среднее значение поля дилатона. Что касается точной
квантовой теории, то в настоящее время мы не можем сделать
какие-либо утверждения, но экспериментальные ограничения
для тех явлений, которые обсуждались в конце предыдущего
абзаца, показывают, что таких модулей не существует. Самые
сильные ограничения возникают в действительности вследствие
того, что изменение во времени естественных констант наблю-
наблюдать не удается.

438 Глава 14
14.6. Модели квантовых чисел фермионов
В этом разделе мы применим, наконец, развитые выше ме-
методы для построения некоторого класса моделей квантовых чи-
чисел безмассовых фермионов, возникающих в четырех измере-
измерениях после компактификации. Особенно следует отметить, с ка-
какой легкостью получаются в четырех измерениях несколько
«поколений» фермионов, тождественных по своим калибровоч-
калибровочным квантовым числам, несмотря на то что вначале мы имеем
один неприводимый мультиплет в десяти измерениях. Класс
моделей, которые будут здесь представлены, наиболее интересен
в случае гетеротической Е& X ^-теории, построение которой опи-
описано в гл. 6. Необходимые сведения о группе Е8 приведены
в приложении 6.А.
Пространство-время мы считаем десятимерным многообра-
многообразием Mi X К, где М4 — пространство Минковского, а К—неко-
К—некоторое компактное шестимерное многообразие. Из общих сооб-
соображений, обсуждавшихся в разд. 4.2.3, мы знаем, что если не
включить в рассмотрение вакуумное среднее ?"8Х ^-калибро-
^-калибровочного поля Лот, касательного к К, то киральная асимметрия
фермионных квантовых чисел в четырех измерениях будет равна
нулю. Поскольку киральная асимметрия зависит только от клас-
класса универсальности теории (именно поэтому она рассматри-
рассматривается нами как фундаментальная проблема!), ясно, что если
включить в рассмотрение вакуумные средние калибровочных
полей (не нарушая при этом Sf/C)X'5f/B)X ?/A)-симметрии),
то киральная асимметрия четырехмерных фермионов будет ин-
инвариантна относительно непрерывных вариаций этих вакуум-
вакуумных средних. Киральная асимметрия четырехмерных фермио-
фермионов может зависеть только от топологических инвариантов, свя-
связанных с калибровочными полями. Это ясно видно из формулы
для индекса A4.2.8), который обращается в нуль, когда калиб-
калибровочные поля топологически тривиальны.
Чтобы получить интересную модель четырехмерных фермио-
фермионов, на многообразии К надо выбрать топологически нетриви-
нетривиальную конфигурацию Еа X .^-калибровочных полей, не нару-
нарушая при этом St/C)X 5/7B)X ?/A)-симметрии. В зависимости
от свойств многообразия К имеется много возможностей выбора
того, что считать средним значением калибровочного поля. Раз-
Разные возможности в основном соответствуют классификации
векторных расслоений на К- Диапазон этих возможностей так
велик, что на первый взгляд не ясно, что выбрать за отправную
точку в построении интересной модели. Но одна интересная воз-
возможность возникает по аналогии с нашими рассмотрениями яв-
явлений на мировой поверхности в разд. 14.4.1. Когда рассматри-

Компактификация высших измерений 439»
вается шестимерное риманово многообразие К, всегда имеется
одно векторное расслоение, которое при этом обязательно под-
подразумевается. Это касательное расслоение. Калибровочное поле,
участвующее в параллельном переносе касательных векторов,—
спиновая связность атаь, которая в шести измерениях является
SO F) -калибровочным полем. Используя вложение группы SO F)
в ?8Х-^8, спиновую связность можно рассматривать как Е8 X
X -Ев-калибровочное поле. Таким способом мы получаем калиб-
калибровочное поле на К, которое можно использовать при компакти-
фикации и которое обладает тем привлекательным свойством,
что не вносит слишком большого произвола, а содержит лишь
информацию, которая и так присутствует при любом рассмотре-
рассмотрении шестимерного риманова многообразия.
Какое вложение группы SOF) в группу Е8\Е8 мы хотели
бы рассмотреть? Как обсуждается в приложении 6.А, группа Е8
имеет максимальную подгруппу SO A6), относительно которой
присоединенное представление для Es разлагается как 120 Ф
Ф 128, где 120 и 128 — соответственно присоединенное представ-
представление и представление спиноров положительной киральности
для SOA6). Группа SOA6) в свою очередь имеет максималь-
максимальную подгруппу SO(Ю)Х SOF), а последняя подгруппа SO F) —
именно та группа, которую мы будем использовать. Итак,
SO A6) -калибровочное поле мы возьмем в виде
0 0 \
о J (И-6Л>
с ненулевыми матричными элементами только в 6Х6-блоке в
правом нижнем углу, где мы помещаем спиновую связность со,.
В некотором смысле подгруппа SO F) группы Е& является
наименьшей (операторы Казимира, например, малы настолько,
насколько это возможно), поэтому указанное выше вложение
группы SO F) в один из двух сомножителей Е8 (совсем не за-
затрагивающее вторую группу Е8) можно считать минимальным
выбором. В действительности для такого выбора имеются ве-
веские теоретические основания. Так, например, уравнение, свя-
связанное с сокращением аномалий, а именно
dH = irRAR-trF Л F, A4.6.2)
накладывает топологические ограничения на возможные ком-
пактификации. Ограничение состоит в том, что правая часть,
представляющая собой определенную комбинацию характери-
характеристических классов, должна обращаться в нуль на уровне кого-
мологий. Это ограничение в точности выполняется при вложе-
вложении, заданном формулой A4.6.1). В этом случае правая часть

440 Глава 14
уравнения A4.6.2) тождественно равна нулю как дифферен-
дифференциальная форма, а не только в смысле когомологий. Так как
при других вложениях группы SOF) в Е&У(ЕЬ значение квад-
квадратичного оператора Казимира для SO F) было бы больше,
правая часть уравнения A4.6.2) не равнялась бы тождественно
нулю и, как правило, не обращалась бы в нуль даже в когомо-
логиях.
Если мы действительно выбираем вложение A4.6.1), то вто-
вторая группа Es остается ненарушенной, в то время как первая
группа Es нарушается до подгруппы, которая коммутирует
с 50F). Разложение ^-алгебры Ли относительно SO A0)X
xsoF)
248 = D5, 1)9A, 15)9A0, в)фA6, 4)9A6, 4) A4.6.3)
показывает, что подгруппа группы Es, коммутирующая
с SO F), — это в точности группа SO A0). Таким образом, наш
анзац нарушает Е& X Е8 до SOA0) X Е8.
Это уже значительный шаг к феноменологически приемле-
приемлемой модели. Группа Е& не является реалистическим кандидатом
на роль калибровочной группы большого объединения в четы-
четырех измерениях (поскольку она имеет только вещественные
представления), но группа SOA0) является таким кандидатом.
В самом деле, группа SO A0), как известно, является един-
единственным среди ортогональных групп разумным кандидатом для
объединения в четырех измерениях. Представление 16 группы
SO A0) замечательным образом включает в себя одно поколе-
поколение кварков и лептонов (вместе с одним ненаблюдаемым мас-
массивным левым нейтрино). Попытки использовать для объедине-
объединения другие ортогональные группы привели к огромным трудно-
трудностям. Группа SO A0), а не какая-либо другая ортогональная
группа, появилась выше не потому, что мы так специально
устроили, а потому, что SOA6)—максимальная подгруппа
группы Es, a 6 — число компактных измерений.
А как обстоит дело с киральной асимметрией? Из соотноше-
соотношения A4.2.13) мы знаем, как вычислить киральную асимметрию
фермионов, преобразующихся по некоторому представлению Qi
группы SO F) и соответствующему представлению Li группы
SO A0). Киральная асимметрия NLl фермионов, преобразую-
преобразующихся в четырех измерениях по представлению L,-, дается ра-
равенством
K, A4.6.4)
т. е. равна индексу оператора Дирака Вк на многообразии К
для фермионов, которые преобразуются по представлению Qi
группы SOF). В результате изучения оператора Дирака мы

Компактификация высших измерений 441
узнали также, что этот индекс не равен нулю только в том слу-
случае, если Qi в A4.6.4) есть комплексное представление. Разло-
Разложение A4.6.3) показывает, что единственные возникающие
комплексные представления группы SO F) — это 4 и 4. Фер-
мионы, преобразующиеся по SO F) как 4 (или 4), преобразуют-
преобразуются по SO A0) как 16 (или 16), так что киральная асимметрия
в четырех измерениях получается только для фермионов в этих
представлениях. Но это и к лучшему, поскольку, как отмеча-
отмечалось выше, представление 16 (или 16 в зависимости от приня-
принятых обозначений) есть подходящее представление фермионов
для моделей большого объединения, основанных на SO A0). Та-
Таким образом, описанная здесь конструкция автоматически дает
не только правильную группу SO A0), но и правильное пред-
представление фермионов 16, что является очень обнадеживающим
фактом.
Каким получится число поколений фермионов? В природе
до сих пор наблюдались три поколения (левые 16) и ни одного
антипоколения (левые 16). Теорема об индексе дает лишь число
Ngen, представляющее собой разность числа левых мультипле-
тов 16 и числа левых мультиплетов 16 в четырех измерениях.
Ничего удивительного, разумеется, не будет, если поколения и
антипоколения на некотором энергетическом масштабе спари-
спариваются и получают массы настолько большие, насколько возмож-
возможно. В этом случае число антипоколений при низких энергиях будет
равно нулю, а число поколений будет равно тому, что мы назы-
называем Ngen- Кажется, это действительно то, что происходит
в природе, так как антипоколения (зеркальные фермионы со
слабыми V + Л-взаимодействиями) не наблюдаются.
Согласно A4.6.4) и A4.6.3), полное число киральных по-
поколений Ngen равно индексу оператора DK в представлении 4
группы SOF). Такую задачу об индексе мы уже анализиро-
анализировали. Для группы SO F) 4 — представление спиноров положи-
положительной киральности. Оператор Дирака Вк, действующий на
поле i|)aa, где а — спинорный индекс, a a — янг-миллсов ин-
индекс, отвечающий представлению 4 группы касательного про-
пространства SO F), есть в точности оператор 5, который обсуж-
обсуждался в конце разд. 14.3.4. Его индекс дается формулой
A4.3.55):
index S = %(K)/2, A4.6.5)
где %(К) — эйлерова характеристика многообразия К. На са-
самом деле величина A4.6.5) — это не совсем то, что можно
идентифицировать как число поколений в четырех измерениях.
Разность между 16 и 16 зависит от выбора базиса в алгебре

442 Глава 14
¦Ли группы SO A0), и физики просто договорились определять
наблюдаемые фермионы как представление 16, а не как пред-
представление 16 группы SO A0). Таким образом, число поколений
в природе положительно более или менее по определению, по-
поэтому его следует отождествить с абсолютным значением вели-
величины A4.6.5):
(K) A4.6.6)
Это наш окончательный результат для числа поколений.
Выражение A4.6.6) дает интереснейшую возможность полу-
получить ответ на вопрос, почему природа решила повторять струк-
структуру, давая нам при низких энергиях несколько поколений фер-
мионов с одинаковыми калибровочными квантовыми числами.
Начиная с одного неприводимого мультиплета фермионов в де-
¦сяти измерениях, мы получаем, согласно выражению A4.6.6),
Рис. 14.3. Связная сумма А + В двух пространств А и В получается удале-
удалением полусферы в каждом пространстве и склеиванием их по границе.
несколько поколений в четырех измерениях, причем их число
¦определяется одним из действительно фундаментальных топо-
топологических инвариантов компактного многообразия К — его
эйлеровой характеристикой.
Эйлерову характеристику различных простых пространств
можно вычислить, воспользовавшись следующими средствами.
Прежде всего у нас есть формула A4.3.52) для эйлеровой ха-
характеристики:
? A4-6.7)
Для произведения пространств К = АУ,В имеем
A4.6.8)
Это равенство можно доказать, воспользовавшись формулой
Кюннета, обсуждавшейся в разд. 12.4, вместе с формулой A4.6.7)
или же используя описание эйлеровой характеристики как ин-
индекса оператора 5. Для связной суммы двух пространств А и В
(связная сумма А + В образуется, как показано на рис. 14.3,
удалением полусфер из А и из В и склеиванием последних
вместе вдоль получившихся границ) имеем
2. A4.6.9)

Компактификация высших измерений 443
Поправка —2 в формуле A4.6.9) — это эйлерова характеристика
двух полусфер, которые отбрасываются при образовании связ-
связной суммы. Формула A4.6.9) представляет собой n-мерное обоб-
обобщение формулы, которая использовалась в конце гл. 12 для
вычисления эйлеровой характеристики римановой поверхности
произвольного рода, и может быть доказана тем же способом.
Формулу A4.6.9) можно обобщить и получить поведение эйлеро-
эйлеровой характеристики в процессе произвольных разрезаний и склеи-
склеиваний и тем самым вычислить эйлерову характеристику любого
достаточно простого пространства.
Приведенных выше формул достаточно, чтобы рассмотреть
множество интересных примеров. Из разд. 12.4 нам известно,
что ненулевые числа Бетти сферы Sn суть Ьо = Ьп = 1. Поэтому
для К — S6 формула A4.6.7) дает % = 2 и одно поколение. Для
К = S2 X S4 формула A4.6.8) дает % = 4, что отвечает двум по-
поколениям. Для /C=S2X52X52 получаем % = 8, или четыре
поколения. Связная сумма К = А-\- В, где ^=B = S2X54,
имеет эйлерову характеристику я = 4 + 4 — 2 = 6, отвечающую
модели с тремя поколениями. Очевидно, что таким способом
можно получить любое число поколений. Без дополнительных
физических принципов нельзя предсказать число поколений. Но
все же очень приятно, что группа SO A0) и правильное пред-
представление для фермионов возникают естественным образом. Ма-
Маловероятно, чтобы эта удача была случайной, и очень может
быть, что связь между числом поколений и топологией много-
многообразия К есть зародыш будущего объяснения происхождения
аромата.
В гл. 16 мы исследуем улучшенный вариант рассмотренной
здесь модели, в котором группа голономии многообразия /Сесть
не SOF), a SUC). Ненарушенная SOA0)-симметрия, фигури-
фигурировавшая выше, увеличится тогда до группы Е6, а безмассовые
фермионы будут в мультиплетах 27 для .Ее, а не 16 для SO A0).
В литературе в последнее время обсуждались многие другие
возможные подходы для получения детальных моделей кванто-
квантовых чисел фермионов.
14.7. Сокращение аномалий в четырех измерениях
Имеется еще один вопрос, который мы хотим исследовать.
Теория свободна от аномалий, если эффективное действие инва-
инвариантно относительно калибровочных и общекоординатных пре-
преобразований. Если в некоторой теории такая инвариантность
имеет место точно, то она должна иметь место и в любом кор-
корректном приближении, таком, как редукция к эффективной низко-
низкоэнергетической четырехмерной теории после компактификации.

444 Глава 14
Таким образом, безаномальные десятимерные теории
должны редуцироваться в четырех измерениях к безаномальным
же четырехмерным теориям. Посмотрим, как это происходит.
Пусть Fa и Ro— вакуумные средние напряженности поля
Янга — Миллса и тензора Римана на К. Для настоящего ана-
анализа необязательно, чтобы фоновые поля удовлетворяли урав-
уравнениям движения, но необходимо, чтобы 4-форма
ivRl-trFl A4.7.1)
была равна нулю в когомологиях, так что тождество Бианки
<Ш = tr #§ — tr F§ A4.7.2)
имело бы решение. Пусть G — десятимерная калибровочная
группа SOC2), или Е8У(Е&, и пусть компоненты напряженности
F, имеющие вакуумные средние, лежат в некоторой подгруппе
/ группы G. Подгруппа Я, ненарушенная в четырех измерениях,
есть подгруппа группы G, коммутирующая с /. Присоединенное
представление А группы G разлагается относительно ЯХ/
в сумму вида
A**(BtLt®Q{, A4.7.3)
где Li — неприводимые представления группы Я, a Q,— непри-
неприводимые представления группы /. В частности
Е dim L* ¦ dim Qt-= 496. A4.7.4)
i
Рассмотрим теперь уравнение Дирака для десятимерного
поля «глюино» %, преобразующегося по представлению A4.7.3).
Согласно A4.1.4), десятимерное безмассовое уравнение Дирака
?>ю% = 0 можно записать в виде
D4% + DK% = 0, A4.7.5)
где D4 и DK —операторы Дирака на многообразиях М4 и К со-
соответственно. Согласно A4.2.8), киральная асимметрия четырех-
четырехмерных фермионов, преобразующихся по представлению L,- не-
ненарушенной группы Я, равна
я, = nf - nf = ^^з- J [trQ/3 _ | trQ,F0 tr Rl\. A4.7.6)
к
Символ tr<3x. означает, что след берется в представлении Q,-
группы Я.
Пусть Т — генератор группы Я. Тогда Р-аномалия для че-
четырехмерных фермионов в представлении Ц группы / есть

Компактификация высших измерений 445
1т?..Г3. Суммирование по i с я,- мультиплетами каждого типа
дает полную аномалию
/=?Мгд.Г3. A4.7.7)
В эту сумму могут давать вклад только комплексные представ-
представления, поскольку для вещественных представлений tr Т3 = 0.
Пусть X и У— генераторы (или произведения генераторов)
для Н и / соответственно. Из соотношения A4.7.3) тогда сле-
следует
E A4.7.8)
где Tr — след в 496-мерном присоединенном представлении груп-
группы G. Смысл уравнения A4.7.8) состоит в том, что сумма про-
произведений ivLt ¦ tvQi no i воспроизводит след в присоединенном
представлении группы G. Применим это к случаю, когда X
равно Т3, а У равно Fo или Fo3. Тогда сумма A4.7.7) с учетом
A4.7.6) принимает вид
^y A4.7.9)
Следующий шаг состоит в том, чтобы преобразовать выраже-
выражение Tr T3Fq3, используя тождество
^^TrJF2K A4.7.10)
из разд. 13.5.3, которое играет важную роль в сокращении ано-
аномалий. Применяя последнее равенство к произвольной линейной
комбинации аТ + $F0 и выделяя коэффициент при а3|33, полу-
получаем
ТгГ8^ = 1^Тг^оТг/«. A4.7.11)
При этом мы отбросили члены вида Tr TFQ и TrTF03, которые
обращаются в нуль, если группа Я полупростая. Более общий
•случай мы прокомментируем ниже. Подставляя выражение
A4.7.11) в формулу A4.7.9), находим
trtf2_trF2). A4.7.12)

446 Глава 14
Используя равенство tr R.I — tr F20 = dH и интегрируя по частям,
получаем нуль, так как
ТгГ^0 = ? ivL.THxQ.FQ A4.7.13)
i
и в силу тождества Бианки d trQ. Fo = 0.
В рассмотренном выше доказательстве мы использовали
предположение, что группа Я полупроста, чтобы отбросить опре-
определенные члены в выражении A4.7.11). На первый взгляд мо-
может показаться, что в противном случае U A) -компонента груп-
группы Н будет аномальной. Но этого не может быть, поскольку
калибровочно-инвариантное эффективное действие безаномаль-
безаномальной десятимерной теории должно оставаться калибровочно-ин-
вариантным и в любом корректном приближении. Что же мы
упускаем? Если группа Н не полупростая, возможно новое фи-
физическое явление. U(l)-компоненты группы Н могут получить
массы, поглотив некоторые из обсуждавшихся выше в разд. 14.3.2
скаляров, которые иначе были бы безмассовыми аксионами.
В точности тогда, когда кажется, что выражение A4.7.11) пред-
предсказывает аномалии для данного U(l)-калибровочного поля,
это калибровочное поле исчезает из низкоэнергетического
спектра, соединяясь с «аксионом» в массивный векторный ме-
мезон. Но мы не будем исследовать это явление; интересующийся
читатель может заняться этим в качестве упражнения или об-
обратиться к литературе.
Аналогично можно проанализировать четырехмерные сме-
смешанные калибровочно-гравитационные аномалии. Только что
упомянутое «ансионное» явление играет важную роль в этом
анализе, поскольку в любом случае четырехмерные смешанные
аномалии не возникают, если группа Н полупростая. Чисто гра-
гравитационные аномалии в четырех измерениях невозможны.

15. Некоторые сведения
по алгебраической геометрии
В гл. 12 и 14 мы развили простые методы дифференциаль-
дифференциальной геометрии и использовали их для того, чтобы получить не-
некоторые сведения о компактификации скрытых измерений, а
также о том, что происходит на струнной мировой поверхности.
Обратимся теперь к некоторым более специальным математиче-
математическим методам, использующим комплексные многообразия и ал-
алгебраическую геометрию. В этом случае также мотивировка
двоякая. Мировая поверхность струны представляет собой ком-
комплексное многообразие — риманову поверхность, и по мере раз-
развития теории струн более глубокое изучение явлений на миро-
мировой поверхности, вероятно, потребует привлечения более глубо-
глубоких аспектов алгебраической геометрии, которые уже начали
появляться в последних работах о многопетлевых диаграммах.
Кроме того, алгебраическая геометрия использовалась в недав-
недавних попытках сформулировать более реалистические модели
¦струнной компактификации.
В этой главе мы развиваем некоторые основные понятия
комплексной геометрии с примерами, которые отобраны исходя
из их роли в изучении явлений на мировой поверхности и в изу-
изучении компактификации. Мы не сможем, к сожалению, описать
в этой книге недавние работы по применению алгебраической
геометрии к многопетлевым диаграммам. Этот вопрос по-види-
по-видимому, еще недостаточно разработан, а необходимый математи-
математический аппарат слишком обширен, чтобы мы могли его изло-
изложить даже в такой довольно большой главе, как эта. Излагая
здесь по крайней мере некоторые элементарные основные све-
сведения, мы надеемся облегчить задачу тем читателям, которые
захотят почерпнуть дальнейшую информацию из других источ-
источников. Мы попытаемся дать умеренно полный обзор приложе-
приложений алгебраической геометрии к струнной компактификации.
Этот предмет вместе со свойствами мировой поверхности слу-
служит мотивировкой нашей математической работы в этой главе,
и он будет также темой следующей главы.

448 Глава 15
15.1. Низкоэнергетическая суперсимметрия
Поскольку анализ низкоэнергетической суперсимметрии
представляет собой такое приложение алгебраической геомет-
геометрии, которое мы исследуем подробно, представляется уместным
начать с обсуждения мотивировки для этого анализа.
15.1.1. Мотивировка
Одной из важных причин, побуждающих рассмотреть низко-
низкоэнергетическую суперсимметрию, является проблема иерар-
иерархии— вопрос о том, почему энергетический масштаб нарушения
симметрии слабых взаимодействий столь мал по сравнению с
более фундаментальными масштабами, такими как масса
Планка. Решение этой проблемы нам не известно, но одним из
необходимых моментов такого решения является, по-видимому,
то, что обычный хиггсов St/B)X ?/A)-дублет должен оста-
оставаться безмассовым на масштабе компактификации, причем с
чрезвычайной точностью '). Это заставляет серьезно задуматься.
Существует много механизмов (например, теоремы об индексе
и киральные симметрии), которые могут дать безмассовые за-
заряженные фермионы, но объяснить существование безмассовых
заряженных полей нулевого спина трудно. Безмассовыми явля-
являются голдстоуновские бозоны, но они всегда нейтральны отно-
относительно ненарушенных калибровочных симметрии. На самом
деле единственный известный способ объяснить существование
безмассовых скаляров состоит в том, чтобы постулировать су-
существование ненарушенной суперсимметрии низкоэнергетиче-
низкоэнергетического мира. При таком предположении безмассовые заряжен-
заряженные скаляры могут естественным образом возникать как супер-
суперсимметричные партнеры безмассовых заряженных фермионов.
Разумеется, если мы предполагаем, что хиггсов SU{2) y!_U(l)-
дублет будет в точности безмассовым в пределе ненарушенной
суперсимметрии, то очень малый, но не нулевой масштаб нару-
нарушения SUB) X ?/A)-симметрии в реальном мире должен быть
связан с малым масштабом нарушения суперсимметрии.
Другой стимул к изучению условий для ненарушенной су-
суперсимметрии состоит в том, что это дает один из способов на-
нахождения решений уравнений движения теории. Состояние с
<) Имеется и другая возможность, состоящая в том, что хиггсов
SUB) X ?/A)-дублет является не элементарным полем, а составным, кото-
которое образуется в результате динамического нарушения симметрии. Привле-
Привлекательность этой замечательной идеи сильно снижают неисчислимые феноме-
феноменологические трудности, и она пока не позволила достичь каких-либо инте-
интересных продвижений в теории струн.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 449
ненарушенной суп ер сим метр и ей в четырех измерениях всегда
удовлетворяет уравнениям движения. Это утверждение наибо-
наиболее очевидно в случае глобальной суперсимметрии, когда га-
гамильтониан неотрицательно определен и обращается в нуль
тогда и только тогда, когда суперсимметрия ненарушена. Это
утверждение верно и в супергравитации. Известные в настоя-
настоящее время компактификационные решения уравнений ограничи-
ограничиваются почти одними только состояниями с ненарушенной су-
суперсимметрией. Другие известные решения сравнительно просто
связаны с такими состояниями с ненарушенной суперсиммет-
суперсимметрией ').
Последней важнейшей причиной изучения конфигураций с
ненарушенной суперсимметрией является тот факт, что гипоте-
гипотеза о ненарушенной суперсимметрии очень ограничительна, но не
чересчур ограничительна для феноменологии. Точнее этим до-
достоинством обладает гипотеза о ненарушенной N = 1 -суперсим-
-суперсимметрии. Большая ненарушенная алгебра суперсимметрии не
привела бы к реалистической модели, так как в четырехмерных
суперсимметричных теориях с JV^ 2-суперсимметрией безмас-
безмассовые фермионы преобразуются всегда по вещественному пред-
представлению калибровочной группы, что находится в полном
противоречии с тем, что наблюдается в природе. Таким образом,
мы будем на самом деле интересоваться условиями для ненару-
ненарушенной N = 1-суперсимметрии.
Мы сосредоточим внимание на SO C2)- и ?8Х ^-теориях,
поскольку в них есть фундаментальные калибровочные поля и
могут возникать киральные фермионы в четырех измерениях.
Их феноменология, как мы увидим, весьма интересна, особенно
в случае группы ?8Х^. Но многие соображения, которые бу-
будут развиты ниже, могут быть применены также и к теориям
типа П. Для SO A6) X 50 A6) -теории вопрос о низкоэнергети-
низкоэнергетической суперсимметрии не стоит, поскольку эта теория не имеет
ненарушенной суперсимметрии даже в десяти измерениях.
Изучение условий ненарушенной суперсимметрии приведет
нас в увлекательную область алгебраической геометрии, пред-
предмета, который имеет приложения, как уже отмечалось, также
и на мировой поверхности. Тот факт, что в решении обеих за-
задач участвуют схожие математические методы, является на са-
самом деле одной из причин, позволяющих надеяться, что подход
к компактификации, основанный на алгебраической геометрии,
содержит рациональное зерно.
*) Например, можно получить спонтанное нарушение суперсимметрии в
случае орбифолдов (см. разд. 9.5.2); можно также нарушить суперсиммет-
суперсимметрию на многообразиях с группой голономии St/C), если работать со спи-
норными структурами, для которых нет ковариантно постоянного спинора.

450 Глава 15
15.1.2. Условия ненарушенной суперсимметрии
В теориях с локальной суперсимметрией инфинитезималь-
ный параметр преобразований суперсимметрии ^„(Х^) может
иметь произвольную зависимость от пространственно-времен-
пространственно-временных координат Xм. Для любого выбора i]a(X) существует соот-
соответствующий сохраняющийся суперзаряд Q. Мы хотим выде-
выделить из этого бесконечного числа сохраняющихся суперзарядов
те, которые генерируют ненарушенные суперсимметрии. Нена-
Ненарушенная суперсимметрия Q — это просто такой сохраняющий-
сохраняющийся суперзаряд, который аннулирует вакуммное состояние |Й>.
Утверждение, что Q аннулирует |Q>, эквивалентно утвержде-
утверждению, что для всех операторов U выполняется условие
<fi|{Q, t/}|Q> = 0. Это равенство определенно выполняется,
если U — бозонный оператор, поскольку тогда {Q, U} — ферми-
онный оператор. Таким образом, вопрос заключается в том, об-
обращается ли в нуль <fi|{Q, ?/}|Q> в случае, когда U — ферми-
онный оператор.
Но если U — фермионный оператор, то величина {Q, V} есть
просто 6U — вариация оператора V при преобразовании супер-
суперсимметрии, генерируемом суперзарядом Q. Кроме того, в клас-
классическом пределе 6U и <fi|S?/|Q> совпадают. Таким образом,
задача о нахождении ненарушенной суперсимметрии на древес-
древесном уровне равносильна задаче о нахождении таких преобразо-
преобразований суперсимметрии, для которых б?/ = 0 для любого ферми-
онного поля U. В классическом пределе достаточно проверить
это для элементарных фермионных полей.
В низкоэнергетической эффективной теории поля в десяти
измерениях элементарными фермионами являются только гра-
витино т|)м, «дилатино» % со спином 1/2 и глюино %а. Как об-
обсуждалось в гл. 13, их преобразования суперсимметрии имеют
вид
6ЦМ = 1ZV, + -з^ (iys - 9в?Г"г) 4HNPQ + (ферми-поляJ,
6%а = 1— TmnFmNj) + (ферми-поляJ, A5.1.1)
Ы = - -±=- (Г • дф) л + в t 2 TMNPJ)HMNP + (ферми-поляJ.
у2 Ф 8-у2 g Ф
Здесь ф — поле дилатона, F%N — напряженность поля Янга —
Миллса, a HMNP — калибровочно-инвариантная напряженность
поля антисимметричного тензора ВМы- В то время как значения
пространственно-временной метрики и поля дилатона ф мы мо-
можем задать произвольно, пытаясь удовлетворить условиям
бя|зм = б Я, = 8%а = 0, произвольные значения F и Я выбрать

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 451
нельзя: они должны удовлетворять определенным тождествам
Бианки. В минимальной десятимерной теории тождество Биан-
ки для Н есть dH — —tr F Л F, но, как мы видели в гл. 13,
в теории струн это тождество принимает вид
dH = trRA R-trFAF. A5.1.2)
Поскольку струнные поправки в уравнении A5.1.2) играют
важную роль в нашем рассмотрении, можно задаться вопросом,
действительно ли можно пренебречь другими теоретико-струн-
теоретико-струнными поправками в соотношениях A5.1.1). В принципе мы хо-
хотели бы найти вакуумные состояния не просто в предельной
низкоэнергетической теории поля, а в точной теории струн со
всеми ее массивными степенями свободы. Сделать это с по-
помощью непосредственного изучения теоретико-струнного обоб-
обобщения формул A5.1.1) слишком трудно: пришлось бы либо
исследовать преобразования суперсимметрии для всей бесконеч-
бесконечной башни массивных полей, либо, проинтегрировав по ним,
изучать бесконечный ряд поправок к соотношениям A5.1.1),
содержащих члены все более и более высокого порядка по
а'. В любом случае нужные уравнения в замкнутом виде неизве-
неизвестны. Несмотря на это, в разд. 16.6.3 мы сможем показать, что
результаты, которые мы получаем из предельной низкоэнерге-
низкоэнергетической теории поля, остаются справедливыми во всех конеч-
конечных порядках по а'.
Анализ соотношений A5.1.1) в общем случае весьма сложен,
поэтому мы упростим рассмотрение, предположив с самого
начала, что калибровочно-инвариантная 3-форма Я равна нулю,
а поле дилатона ф есть константа. После того как будут раз-
развиты некоторые необходимые методы, мы вернемся к этой за-
задаче в разд. 16.7 и найдем более общий класс суперсимметрич-
суперсимметричных вакуумных состояний с ненулевой Н и непостоянным ф.
В наших упрощающих предположениях условия нахождения
суперсимметричного генератора т), который оставляет вакуум
инвариантным, сводятся к
0 = 6ха = Гг'Ит). A5.1.3)
Таким образом, первое из этих уравнений утверждает, что ге-
генератор ненарушенной суперсимметрии т) должен быть кова-
риантно постоянным. Это исключительно сильное условие, так
как оно подразумевает условие интегрируемости [DM, Dw]t) =
= 0, или, другими словами,
RuNPQrP% = 0, A5.1.4)
где Rmnpq — тензор Римана.

452 Глава 15
Будем искать вакуумное состояние, для которого десятимер-
десятимерное пространство-время имеет вид Г4 X К, где Г" — максималь-
максимально симметричное пространство (пространство де Ситтера, анти-
де Ситтера или пространство Минковского), а К — компактное
шестимерное многообразие. Но теперь мы покажем, что из
уравнения A5.1.4) следует обращение в нуль четырехмерной
космологической постоянной, исключая тем самым возмож-
возможности, связанные с пространствами де Ситтера и анти-де
Ситтера. Напомним принятые нами обозначения: индек-
индексы М, N, Р касательны к десятимерному пространству-
времени, индексы [х, v, К касательны к Г4, а индексы i, /, k
касательны к К. Максимально симметричное пространство Т4
по определению имеет тензор кривизны вида Я^ар = W12)X
X (eVxgvg — gp.pgva)> гДе г — четырехмерная скалярная кривизна.
Из уравнения A5.1.4) для М, N = I, ..., 4 теперь немедленно
следует, что г = О, так что максимально симметричное прост-
пространство Г4 в действительности должно быть плоским простран-
пространством Минковского, как нам и требовалось.
Этот результат нетривиален, так как в четырехмерных
супер гравитационных теориях суперсимметрия не означает обя-
обязательно обращение в нуль космологической постоянной. Напри-
Например, ненарушенная N= 1 -суперсимметрия в четырех измере-
измерениях возможна как в пространстве Минковского, так и в про-
пространстве анти-де Ситтера. В то время как ненарушенная
суперсимметрия не приводит автоматически к обращению в
нуль космологической постоянной, в рассматриваемой нами си-
ситуации это происходит. Этот факт можно было бы рассматри-
рассматривать как феноменологическую удачу, но это мало затрагивает
реальную загадку космологической постоянной, заключающуки
ся в том, почему она обращается в нуль после нарушения су-
суперсимметрии.
Возвращаясь к уравнениям A5.1.3) и учитывая, что теперь
Г4 — плоское пространство Минковского М4, находим, что отве-
отвечающие М = 1, ..., 4 компоненты первого уравнения означа-
означают, что т) не должно зависеть от четырех компактифицирован-
компактифицированных координат. Таким образом, первое из уравнений A5.1.3)
сводится к некоторому утверждению о компактном шестимер-
шестимерном многообразии К: надо, чтобы на К можно было найти спи-
норное поле г\, которое ковариантно постоянно. В следующем
разделе мы исследуем следствия такого утверждения. С этого
начнется наша встреча с алгебраической геометрией, а в конце
концов мы разовьем методы, позволяющие исследовать и вто-
второе из уравнений A5.1.3).

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 453
15.1.3. Многообразия с группой голономии SUC)
Спиновая связность со на римановом многообразии К раз-
размерности п является в общем случае SO (n) -калибровочным по-
полем. При параллельном переносе вокруг стягиваемой замкнутой
кривой у физическое поле т|з преобразуется в ?/г|з, где
и = Рехр\ © • dx есть упорядоченная по пути вдоль у экспо-
нента от со. Эти SO (n) -матрицы U, которые можно получить
таким способом, всегда образуют некоторую группу Я, назы-
называемую группой голономии многообразия. (Я образует группу,
так как если параллельный перенос вокруг кривой 71 дает
•SO (n) -матрицу Uu а параллельный перенос вокруг кривой у2
Рис. 15.1. а — при параллельном переносе вокруг замкнутой кривой каса-
касательные векторы преобразуются посредством ортогональной матрицы, полу-
получающейся в результате интегрирования спиновой связности вдоль этой кри-
кривой; б — получающиеся матрицы всегда образуют группу, поскольку можно
взять композицию замкнутых кривых.
дает SO (п)-матрицу U2, то произведение \]\-и% возникает в ре-
результате параллельного переноса вокруг составной кривой
7i-Y2, показанной на рис. 15.1,6. Так как мы ограничились стя-
стягиваемыми петлями, мы определили, таким образом, локальную
группу голономии. Глобальные свойства появятся позднее.)
В общем случае Я совпадает со всей группой SO(n), но нас
будут интересовать случаи, когда это не так. В «физическом»
случае с п = 6 мы хотели бы найти условия, при которых К до-
допускает спинорное поле г\, удовлетворяющее уравнению D;t) =
= 0. Как и в калибровочных теориях, ковариантно постоянное
поле т) всегда возвращается к своему исходному значению в ре-
результате параллельного переноса вокруг стягиваемой замкну-
замкнутой кривой. Таким образом, группа голономии многообразия,
допускающего ковариантно постоянное спинорное поле т),
состоит из таких SO F) -матриц U, которые удовлетворяют

454 Глава 15
уравнению Ur\ = т). Какая подгруппа группы SO F) удовлетво-
удовлетворяет этому условию? Алгебра Ли группы SO F) изоморфна ал-
алгебре Ли группы S?/D), а спинорами положительной и отрица-
отрицательной киральностей для SO F) являются соответственно фун-
фундаментальное представление 4 и представление 4 группы S?/D)>).
Мы можем предположить, что т) имеет положительную кираль-
ность и, таким образом, принадлежит представлению 4 группы
SUD). Подгруппа группы SUD), оставляющая инвариантным
некоторый элемент в представлении 4, — это Sf/C). Действи-
Действительно, с помощью SUD)-преобразования мы всегда можем
привести Ti к виду
О
A5.1.5)
а ненарушенная подгруппа Sf/C) —это просто подгруппа' груп-
группы SUD), действующая на первые три компоненты.
Поскольку представление 4 группы SUD) содержит ровно
один 5?/C)-синглет, шестимерное многообразие К, группа го-
лономии которого есть в точности SUC), а не какая-либо ее
подгруппа, допускает ровно одно ковариантно постоянное поле
т) положительной киральности. Комплексно-сопряженное поле ц
является тогда единственным ковариантно постоянным спинор-
ным полем отрицательной киральности. Если в четырех измере-
измерениях нам нужна ненарушенная N = 1 -суперсимметрия, то груп-
группа голономии многообразия К должна быть в точности SUC).
Чтобы убедиться в этом, заметим, что если спинорные представ-
представления положительной и отрицательной киральностей для
SOA, 3) обозначить через 2 и 2', то представление 16-компо-
нентных спиноров положительной киральности для SOA, 9)
разлагается относительно ее подгруппы SOA,3) X SOF) или
SOA, 3)X_Sf/D) как 16 «B, 4)©B', 4J). Если оба пред-
представления 4 и 4 содержат одно ковариантно постоянное спинор-
ное поле, то ковариантно постоянные компоненты из представ-
представления 16 будут преобразовываться относительно SO A,3) как
2 0 2'. Но представление 2 Ф 2' (где представление 2' — комп-
')
Эти факты объяснены в приложении 6.А.
Это сводится к высказыванию, что в представлении 16 группы
50A,9) положительная (или отрицательная) SOA,3)-киральность связана
с положительной (или отрицательной) SO F)-киральностью, что эквивалент-
эквивалентно утверждению Г<4) = Г<*>, выведенному в разд. 14.2.1.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 455
лексно-сопряженное по отношению к 2, так как представление
16 группы SO A,9) вещественно, или иначе, так как два спи-
норных представления группы SO A,3) комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные) отвечает одному вещественному четырехкомпонентному
майорановскому спинору группы SOA,3). Поэтому Sf/C)-ro-
лономия многообразия К дает ненарушенную N= 1 -суперсим-
-суперсимметрию в четырех измерениях.
Следующая наша задача — понять, какого сорта многообра-
многообразия К допускают метрику с 5?/C)-голономией. Основным
•средством является тот факт, что если т) ковариантно по-
постоянно, то таким же является и любое тензорное поле, по-
построенное из произведений ц с самим собой. Одним из таких
тензоров является «кэлерова форма» /г./=fj Гг/п. Другой тен-
тензор, в некотором смысле даже более фундаментальный, — «ком-
«комплексная структура» /'/ = gikkkj. Наконец, нам встретится так-
также «голоморфная форма объема» ащн = цТцщ. Чтобы выяс-
выяснить, что это означает, когда многообразие допускает метрику
с 5^УC)-голономией, рассмотрим по очереди следствия, выте-
вытекающие из существования ковариантно постоянной комплекс-
комплексной структуры, ковариантно постоянной кэлеровой формы и ко-
ковариантно постоянной голоморфной формы объема. При этом
нам встретятся многие основные понятия алгебраической гео-
геометрии, которые имеют также и другие приложения, например
на мировой поверхности.
15.2. Комплексные многообразия
Вложение группы SUC) или UC) в группу SO F) можно
описать следующим образом. Хотя, разумеется, не существует
вещественного числа, квадрат которого равен —1, но легко
найти матрицу размера 2X2, квадрат которой равен —1, а
именно
I = {_{ 0). 05.2.1)
Матрица из группы UC)—это матрица комплексных чисел
размера 3X3
/ап ап а,3\
f/ = l a-2i а22 а2з A5.2.2)
с матричными элементами, являющимися комплексными числа-
числами пц. Заменяя мнимую единицу i вещественной 2Х2-матри-
дей /, представим комплексное число ац = Re ац + i Im fl;/

456
Глава 15
вещественной 2Х2-матрицей йц' = Re a,/ + /-Ima,/. Если пре-
превратить таким способом каждое комплексное число в веществен-
вещественную 2 X 2-матрицу, то комплексная 3 X 3-матрица U станет ве-
вещественной 6 X 6-матрицей ?7. Если матрица U унитарная, то
О — ортогональная матрица. Это и есть вложение группы U C)
в группу 50F).
В частности, UC)-матрица U = i (другими словами, мат-
матрица с матричными элементами 0,7 = 1-6,7) представляется та-
таким способом вещественной 6 X 6-матрицей
0 1 0 0 0 0
/ =
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
J
0
0
0
1
0
A5.2.3)
Если не считать единичной матрицы, матрица / является един-
единственной ?/C)- (или 5?/C)-) инвариантной матрицей в фунда-
фундаментальном представлении 6 группы 50F). Действительно,
чтобы некоторая матрица коммутировала со всеми матрицами
из UC), она должна быть константой в каждом неприводимом
представлении группы U C). Так как разложение представле-
представления 6 относительно U C) состоит лишь из двух слагаемых
(б^ЗФЗ), в представлении 6 группы 50F) имеются только
две матрицы, коммутирующие с подгруппой и C); это единич-
единичная матрица и матрица Т. В частности, матрицу I можно одно-
однозначно охарактеризовать (с точностью до нормировки) тем, что
она коммутирует с ?/C) и является бесследовой.
15.2.1. Почти комплексные структуры,
Вернемся теперь к нашему многообразию К с голономией
5?/C) и с ковариантно постоянным спинорным полем ц (у) по-
положительной киральности. Как и в конце предыдущего раздела,
на этом многообразии можно определить тензорное поле
Jli{y) = gik{y)r\{y)Ykj'x\(y)- При каждом у е К тензор /',- мож-
можно рассматривать как матрицу, действующую на касательные
векторы по правилу v'-^J'/v' для любого касательного вектора
v'. Рассматриваемая таким образом как матрица, действующая
на касательные векторы, матрица / будет вещественной, бес-
бесследовой и 5?/C)-инвариантной, так что / совпадает (при под-
подходящем выборе нормировки) с матрицей 7, определенной со-
соотношением A5.2.3). Матрица /, в частности, удовлетворяет

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 457
равенству (Я)'/ = —6'/, или в краткой записи Р — —1. Тензор-
Тензорное поле J (с одним ковариантным и одним контравариантным
индексами) на многообразии, удовлетворяющее условию Я =
= — 1, называется почти комплексной структурой.
Матрицу / или, что эквивалентно, матрицу 7 A5.2.3), ко-
конечно, нельзя диагонализовать над вещественными числами, но
ее можно диагонализовать над комплексными числами. На самом
деле матрица J дает i или —i на состояниях, лежащих в представ-
представлении 3 или 3 для группы GC). В любой точке у на многообразии
К имеется подходящий базис комплексных координат za, a =
= 1, 2, 3, и комплексно-сопряженных им координат za, а =
= 1,2, 3, в котором / имеет вид Iйь = 1&аь, JSB = — i&aB, а другие
компоненты равны нулю. Этот вид матрицы J мы будем назы-
называть каноническим. Относительно базиса у', i=l, ..., 6, в ко-
котором J имеет вид A5.2.3), координаты га можно определить
как zl = у1 + iy2, z2 = у3 + iy*, z3 == г/5 + iy6. Этот выбор коор-
координат za является однозначным, конечно, лишь с точностью до
преобразования из группы ?/C).
15.2.2. Тензор Нёйенхёйса
Для данного многообразия К с почти комплексной структу-
структурой J и любой данной точки р на К всегда можно найти
локальные координаты za, za, для которых / принимает кано-
канонический вид в одной этой точке р. Теперь мы хотим спросить:
«Можно ли так выбрать комплексные координаты, чтобы при-
привести / к каноническому виду не только в одной точке р, но и
в целом открытом множестве, содержащем р?» Координаты,
обладающие этим свойством, можно назвать локальными голо-
голоморфными координатами. Если локальные голоморфные коор-
координаты существуют (в окрестности каждой точки р^К), то
говорят, что почти комплексная структура / является интегри-
интегрируемой. Выяснение ответа на вопрос, какие почти комплексные
структуры интегрируемы, похоже, по крайней мере качествен-
качественно, на задачу, знакомую нам по общей теории относительности.
Предположим, что на многообразии К задано не тензорное
поле /'/ с одним ковариантным и одним контравариантным ин-
индексами, а симметричное тензорное поле gij с двумя ковариант-
ными индексами. (В большинстве приложений g — метрический
тензор, но в данный момент это неважно.) С помощью простой
линейной алгебры можно показать, что для любой данной точ-
точки р е К существует система координат, такая, что g прини-
принимает стандартный вид gn = 6;/ в точке р. (Это справедливо для
«локально инерциальных координат» в ОТО.) Мы хотим вы-
выяснить, можно ли найти координаты, для которых g имеет

458 Глава 15
стандартный вид не только в одной точке р, но и в целой окре-
окрестности этой точки. Такую систему координат можно назвать
плоской системой координат.
Чтобы определить, когда существует плоская система коор-
координат, требуются некоторые фундаментальные понятия. Можно
попытаться определить тензорное поле, составленное из произ-
производных от g. Оказывается, что по существу имеется только
одно такое тензорное поле — тензор Римана Rijki. (Все другие
можно сделать из R и его производных вместе с метрикой.) Не-
Необходимым условием существования плоской системы коорди-
координат в целой окрестности точки р является условие, чтобы R об-
обращалось в нуль в этой окрестности. (Это условие необходимо,
так как если существует система координат, для которой g-ц =
= б,-/, то, вычисляя Rijki в этих координатах, немедленно полу-
получаем Rijki = 0.) Не слишком трудно доказать и обратное: если
Rijkl = 0, то плоская система координат существует, по крайней
мере локально').
Теперь мы хотим провести аналогичные рассуждения в слу-
случае почти комплексной структуры J',-. Прежде всего попытаемся
определить новое тензорное поле, построенное из /'/ и ее про-
производных. По существу имеется одно такое тензорное поле —
тензор Нёйенхёйса
Nkt, = j\ («Э,/*/ - d,Jk,) - /', Ш\ - дА). A5.2.4)
Доказать, что N — тензор, можно непосредственно. Один из
способов состоит в том, что вводят на многообразии К произ-
произвольную метрику g и определяют величину
N\, = Jlt (D,Jk, - DtJki) - J'l W"t ~ DA), A5.2.5)
где Di — ковариантная производная, построенная с помощью
аффинной связности, вычисленной по g. Тогда N (как и любое
') Такая система координат может не существовать глобально. Она не
существует глобально, например, если К — тор или бутылка Клейна. Соот-
Соответствующее глобальное утверждение звучит следующим образом. Если
Rijki = 0 всюду на К, то можно покрыть К открытыми множествами 0^ л
на каждом Q(a) выбрать плоские координаты у\ау В областях пересечений
°(а) П °ф) координаты у1(а) и г/'(Р) связаны преобразованием г/[а)=М(аР) /1у'ф)+
+ 0(ар)', где (для каждой пары а, Р) Ща$) ~~ ортогональная матрица,.
а Ф(а$) — константа; Миф отвечают вращениям и трансляциям координат
соответственно. Координаты г/Lj и у^ отличаются (не более чем) на
вращение плюс трансляцию, поскольку это самая общая замена координат,
совместная с тем, что в каждой из этих координатных систем метрика имеет
стандартный вид. В случае комплексных многообразий именно произвольная
голоморфная замена координат играет роль Миф.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 459
другое выражение, составленное из / и ее ковариантных произ-
производных) — безусловно тензор. С другой стороны, воспользовав-
воспользовавшись определением ковариантной производной в ОТО и тем,
что Р = —1, получаем, что N = N. Таким образом, N — тензор,
составленный из / и ее производных без необходимости ис-
использовать вспомогательную метрику, причем тензор такого
вида по существу единствен.
Далее, как и в аналогичном случае в ОТО, если удается
найти локальные голоморфные координаты, в которых / имеет
стандартный вид в целой окрестности точки р, то вычисление N
в этой системе координат немедленно показывает, что N = 0.
Обратное утверждение представляет собой весьма трудную тео-
теорему Ньюлендера и Ниренберга. Согласно этой теореме, если
N = О, то для любой данной точки pei( в целой ее окрестно-
окрестности р можно найти локальные голоморфные координаты1). Та-
Таким образом, почти комплексная структура является интегри-
интегрируемой тогда и только тогда, когда N = 0. Интегрируемая
почти комплексная структура называется комплексной структу-
структурой. Многообразие К, наделенное комплексной структурой /,
называется комплексным многообразием.
Вообще говоря, локальные голоморфные координаты za на
комплексном многообразии существуют только локально (как и
в вещественном случае, обсуждавшемся в примечании на
стр. 458). Но комплексное многообразие по определению всегда
можно покрыть открытыми множествами Оа, на каждом из ко-
которых имеется локальная голоморфная система координат Z(a),
в которой комплексная структура / имеет стандартный вид
J\ = idab, Ju-b = -iba-b, A5.2.6)
а другие компоненты равны нулю. Как связаны г(аа) и г(ар>
в областях пересечений 0(О) П 0<р>? Очевидно, они должны
быть связаны заменой координат, сохраняющей стандартный
вид /. Легко видеть, что координатные преобразования, сохра-
сохраняющие стандартный вид /,— это голоморфные (аналитические)
преобразования za^-zb = zb(za) (т. е. zb являются функциями
') Определение локальных голоморфных координат легко сформулиро-
сформулировать в виде системы дифференциальных уравнений с частными производ-
производными на эти комплекснозначные функции. Тогда условие N = 0 оказывается
просто условием интегрируемости для этой системы (причем эта несложная
ситуация непосредственно сводится к теореме Фробениуса). Если / — веще-
вещественно-аналитический тензор, из условия N = 0 сразу следует существова-
существование максимального числа локальных решений рассматриваемой системы, т. е.
существование локальных голоморфных координат. Содержание сложной
теоремы Ньюлендера — Ниренберга состоит в том, что от предположения
о веществнной аналитичнсти можно на самом деле отказаться. — Прим.
лерев.

460 Глава 15
только от za, но не от комплексно-сопряженных z°). Таким обра-
образом, локальные голоморфные координаты 2," и z^ являются
голоморфными (аналитическими) функциями друг друга в об-
областях пересечений О(а) П 0<р). Обратное также верно и дает
альтернативный способ сформулировать понятие комплексного
многообразия. Пусть дано многообразие К размерности 2N.
Пусть К можно покрыть открытыми множествами О(а\ на каж-
каждом из которых можно найти локальные комплексные коорди-
координаты z"ay обладающие тем свойством, что в областях пересе-
пересечений О(а) П 0@) координаты г^„. являются аналитическими
функциями координат г". Тогда К—комплексное многооб-
многообразие. Чтобы доказать это, определим в каждом О(а> тензор
/(а) с одним ковариантным и одним контравариантным индек-
индексами, потребовав, чтобы в координатах z" его ненулевые ком-
компоненты имели вид J(afb = i6ab, haf^ = — i&as- В области
О (а) П О(р) имеем /(а) = /(р), поскольку тензор / инвариантен
относительно голоморфных замен координат. Так как /,а) = /<р)
в областях пересечений, все /(а) вместе определяют тензорное
поле, заданное глобально на всем К. Это тензорное поле пред-
представляет собой, очевидно, интегрируемую комплексную струк-
структуру, так как по построению мы имеем соответствующие ло-
локальные голоморфные координаты z(aa).
Причина введения понятия комплексного многообразия со-
состоит отчасти в том, что на таком многообразии можно дать
определение голоморфных (или аналитических) функций. Пусть
К—комплексное многообразие. Комплекснозначная функция /
на К называется голоморфной, если в каждой точке р и в лю-
любой системе локальных голоморфных координат / удовлетво-
удовлетворяет условию df/dza — 0. Это определение не зависит от выбора .
локальных голоморфных координат, поскольку любые две си-
системы локальных голоморфных координат связаны голоморф-
голоморфным координатным преобразованием. Многие знакомые теоре-
теоремы обычного комплексного анализа переносятся на эту более
общую ситуацию. Так, например, модуль непостоянной голо-
голоморфной функции не может иметь локального максимума. (Это
локальное утверждение, поэтому оно справедливо на произ-
произвольном комплексном многообразии как следствие хорошо зна-
знакомой теоремы на комплексной плоскости.) Отсюда следует, что-
на компактном комплексном многообразии (на котором любая
несингулярная функция имеет максимум) любая голоморфная,
нигде не сингулярная функция постоянна.
Вернемся теперь к нашей исходной задаче. Рассмотрим
2./У-мерное многообразие К, группа голономии которого есть не

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 461
S0BN), a U(N) или ее подгруппа. В любой точке Jce/C каса-
касательные векторы, которые преобразуются по векторному пред-
представлению группы SOBN), разлагаются относительно U(N) как
N®N. Существует единственная матрица J}(x), действующая
на касательных векторах в точке х и принимающая значения +г
или —i соответственно на векторах из N или ./V для U(N). Мат-
Матрица / определяет почти комплексную структуру. Так как / ин-
инвариантна относительно группы голономии, она ковариантно
постоянна. Поэтому все ковариантные производные от / обра-
обращаются в нуль; в частности, обращается в нуль тензор Нёйен-
хёйса. Таким образом, многообразие с С/(Лг)-голономией яв-
является комплексным многообразием.
15.2.3. Примеры комплексных многообразий
Не на каждом вещественном многообразии можно задать
комплексную структуру. Например, сфера S" допускает ком-
комплексную структуру в случае, когда п = 2 (как мы увидим
ниже), и не допускает ее в других случаях. С другой стороны,
если данное многообразие допускает комплексную структуру,
то может оказаться, что оно допускает несколько комплексных
структур, неэквивалентных друг другу. Два многообразия М и
N имеют один и тот же топологический тип, если можно найти
непрерывное взаимно однозначное отображение f:M-*~N.
В этом случае М и N считаются эквивалентными как веществен-
вещественные многообразия. С другой стороны, два комплексных много-
многообразия М и N эквивалентны как комплексные многообразия
только в том случае, если можно найти обратимое отображение
f : M-*~ N, которое является голоморфным в том смысле, что f
отображает локальные голоморфные координаты на М в ло-
локальные голоморфные координаты на N. Обычной ситуацией
является случай, когда какие-то многообразия эквивалентны
как вещественные многообразия и неэквивалентны как комп-
комплексные многообразия; в таком случае мы говорим, что на
одном и том же вещественном многообразии можно задать не-
неэквивалентные комплексные структуры. Приведем некоторые
примеры комплексных многообразий.
1. «Плоское пространство» и комплексный тор
Самым главным примером комплексного многообразия
комплексной размерности п является С"— декартово произве-
произведение п экземпляров комплексной плоскости С. Это то же
самое, что R2n — евклидово пространство размерности In, на-
наделенное комплексной структурой.

462 Глава 15
Теперь легко построить наш первый пример комплексного
многообразия с нетривиальной топологией. Пусть Г — решетка
в Сп (это в точности то же самое, что и решетка в R2n). Тогда
фактор-пространство Е = Сп/Т есть комплексное многообразие,
известное как комплексный тор. Голоморфная функция на ? —
это то же самое, что голоморфная функция на Сп, инвариантная
относительно решеточных трансляций. Непрерывно изменяя
выбор решетки Г, мы получаем многообразия Е одного тополо-
топологического типа, но с разными комплексными структурами.
2. Римановы поверхности
Следующий пример, играющий исключительно важную роль
в теории струн,— произвольное ориентированное риманово мно-
многообразие вещественной размерности два является комплексным
многообразием. (Случай рода один является частным случаем
предыдущего примера.) Таким образом, мировая поверхность
ориентированной замкнутой струны (в евклидовой формулиров-
формулировке) является комплексным многообразием. Чтобы доказать это,
рассмотрим риманово многообразие 2 вещественной размер-
размерности два с метрическим тензором gi,-. Если многообразие 2
ориентировано, то на нем определен ковариантно постоянный
антисимметричный тензор е,/, который можно нормировать так,
чтобы в локально инерциальных системах выполнялось условие
8i2 = +11). Этот тензор удовлетворяет знакомому тождеству
sikEki = —б1,-. В силу этого тождества тензорное поле /'/ = gik8ki
является почти комплексной структурой, так как J2 = —1.
Кроме того, из определения тензора Нёйенхёйса немедленно
следует, что этот тензор обращается в нуль в случае двух ве-
вещественных измерений или одного комплексного измерения2).
Следовательно, 2 — комплексное многообразие, и можно вы-,
брать локальную комплексную координату z, приводящую / к
стандартному виду (ненулевые компоненты / имеют вид
Jzz — — I2zz=i). Мы воспользовались здесь теоремой Ньюлен-
дера — Ниренберга, которая довольно сложна даже в случае
') В предыдущих главах антисимметричный символ 8 определялся как
тензорная плотность. Для целей этой главы удобней в определение включить
дополнительный множитель д/g > так что е становится настоящим тензором.
2) Чтобы доказать это, заметим, что в двух измерениях антисимметрич-
антисимметричный по / и / тензор d^J ¦ — dJ t всегда имеет общий вид EjiV, где в —
антисимметричный тензор, a Vk — некоторое векторное поле. Для /',- =
= glm?mi получаем, что тензор Wt, = 1 \ (djJ , — ^^l) симметричен по 1
и /, поэтому тензор Нёйенхёйса N }, —Wf, — W^ равен нулю.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 463
вещественной размерности два, для которого она была впервые
доказана Корном и Лихтенштейном.
Эти рассмотрения позволяют получить еще одно следствие,
которое широко использовалось в первом томе этой книги.
В системе координат z, z антисимметричный тензор е удовлет-
удовлетворяет соотношениям егг = e2z = 0, а также ziz = — e.zz = if (zz),
где / — некоторая функция. Так как тензор е вещественный и
не обращающийся в нуль, то / = е2? для некоторой веществен-
вещественной функции р. С помощью ег/ и /'/ можно восстановить метри-
метрический тензор: gij = eikjl!j. Зная, как выглядят / и е в коорди-
координатах 2, z, мы видим, что метрика принимает вид gZz = giz = 0,
gzz = gzz = l/2e2p- Для вещественных координат jc', опреде-
определенных соотношением z = х1 + J*2> метрика принимает вид
gii = e2P8i/. Существование на любой мировой поверхности
струны локальных координат, для которых gi,- = e2p6;/, мы ши-
широко использовали в первом томе. Теперь мы видим, что су-
существование таких координат эквивалентно утверждению, что
каждое ориентированное многообразие вещественной размер-
размерности два является комплексным многообразием.
Мы показали, что каждая риманова метрика g на ориенти-
ориентированной мировой поверхности стсруны Е индуцирует интегри-
интегрируемую комплексную структуру J. Кроме того, при вейлевских
преобразованиях метрики g->-e2^g антисимметричный тензор
преобразуется как e->-e2*e, так что комплексная структура
/'/ = giktkj при вейлевских преобразованиях остается инва-
инвариантной. Таким образом, индуцированная комплексная струк-
структура / одинакова для любых двух метрик g и g'=--e2^g, отли-
отличающихся на вейлевское преобразование. Это обычно форму-
формулируется как высказывание, что комплексная структура на
римановой поверхности зависит только от конформного класса
метрики или от конформной структуры, определяемой метрикой.
Но если две метрики на римановой поверхности 2 различаются
не просто на вейлевское преобразование, то они определяют две
различные комплексные структуры на Е. Всевозможные ком-
комплексные структуры на римановой поверхности дают параметры
Тейхмюллера, которые появляются (в различных воплощениях
в зависимости от формализма) в петлевых интегралах в теории
струн. Обсуждение в разд. 3.3 конформных структур на рима-
римановой поверхности данного рода можно теперь интерпретировать
как рассмотрение комплексных структур на такой поверхности.
3. Комплексное проективное пространство
Следующий пример комплексного многообразия сильно от-
отличается от предыдущего, но столь же фундаментален. Пусть
Z*. k = 1, ..., N + 1,— комплексные переменные, число которых

464 Глава 15
равно N + 1 и которые все одновременно не обращаются в нуль.
Для любого не равного нулю комплексного числа X семейство
{Z*} будем считать эквивалентным семейству {%Zk}. Классы
эквивалентности зависят от N независимых комплексных
переменных и образуют многообразие, называемое комплексным
проективным пространством CPN. Многообразие CPN ком-
компактное; чтобы убедиться в этом, заметим, что с по-
помощью подходящего выбора общего множителя можно
положить X,-=+/l Zk I2 = !• Если бы это было единствен-
единственным условием, можно было бы считать, что {Zk} определяет
точку на сфере S2N+l, которая определенно является компактной.
Поскольку надо удалить еще степень свободы, отвечающую фазе,
{Zk} « {eiaZk}, пространство CPN в действительности является
фактор-пространством сферы s2N+l по действию компактной
группы 0(\) комплексных чисел, равных по модулю единице.
Следовательно, CPN компактно. Компактность CPN можно до-
доказать также, заметив, что CPN эквивалентно однородному
пространству SU(N+ ^/UiNI).
Чтобы доказать, что CPN — комплексное многообразие, за-
заметим сначала, что если Z1 Ф 0, то общий множитель можно
выбрать так, что Z1 = 1. Тогда остальные Z', i = 2, . . ., N + 1,
образуют набор из N независимых комплексных координат. Но
эта система координат разрушается, когда Z1 = 0. В более
общем случае пусть О(о для ?=1, ..., N + 1 есть подмно-
подмножество в CPN с Z< ф 0. Множества Ощ, i = 1, ..., N + 1, обра-
образуют открытое покрытие многообразия CPN. В каждом подмно-
подмножестве О(о мы выбираем локальные комплексные координаты
Z(i) = Z!/Z{, I ^.j ^.N -\- I, j ф i. (Основная идея этого опре-
определения заключается в том, что координаты Z{i) инвариантны
относительно {Zk} ->¦ {XZk} и хорошо определены при Z' Ф 0.)
Чтобы доказать, что СРЫ — комплексное многообразие, надо
показать, что в областях О(,-> Г) О<г> координаты Z((-) являются
аналитическими функциями от Ъцу Но это именно так, по-
поскольку Zw = (zlfZl) Z(iy
В одном случае комплексное проективное пространство нам
уже знакомо: СР1 — это сфера Римана, или обычная дву-
двумерная сфера S2. Действительно, СР1 описывается двумя одно-
4) Мы будем обозначать локальные комплексные координаты строчными
буквами z". wb и т. д., за исклюением случаев, когда строгое соблюдение
этого условия было бы затруднительно. Однородные «координаты» на CPN
(которые не являются настоящими координатами, поскольку определены
только с точностью до общего множителя) будут обозначаться прописными
буквами Zi, Wj.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 465
родными координатами (Z, W). Если WФ О, полагаем W=l
с помощью выбора общего множителя и получаем комплексную
Z-плоскость. Если W — 0, то можно положить Z = 1 (в опреде-
определении пространства СР1 требуется, чтобы Z и W не были равны
нулю одновременно), так что это одна дополнительная точка,
«точка на бесконечности», которая должна быть добавлена к
комплексной плоскости, чтобы получить сферу Римана. Тот
факт, что в теории .струн на древесном уровне нет параметров
Тейхмюллера, соответствует утверждению, что СР1 имеет един-
единственную комплексную структуру. То же верно для CPN при лю-
любом N.
4. Гиперповерхности в CPN
Многие новые примеры комплексных многообразий могут
быть получены как подмногообразия в CPN. Простейшим спо-
способом это можно сделать, выбирая полином P(Zl, Z2, .. . , ZN+i),
который является однородным степени k в том смысле, что
P(U\ \Z\ ..., kZ»+1)=KkP(Z\ Z\ ..., ZN+l). Однородность
полинома Р означает, что уравнение Р = 0 имеет смысл в CPN.
Для общего полинома Р это уравнение определяет компактное
комплексное подмногообразие размерности N—1 в CPN, назы-
называемое гиперповерхностью степени k. Необходимое условие на
полином Р будет установлено ниже. При более общем подходе
можно рассмотреть п однородных полиномов Pi, t=l, ..., п,
степеней k\, ki, ¦ ¦ ¦, kn. Вследствие однородности полиномов Pi
уравнение Pi = Рч. = .. . = Рп = 0 имеет смысл в CPN. Для
п ^ N (и для общих Pi) это уравнение определяет компактное
комплексное подмногообразие размерности N — я в CPN, назы-
называемое полным пересечением гиперповерхностей.
Чтобы выяснить условие, которое надо наложить на поли-
полиномы Pi в описанной выше конструкции, рассмотрим аналогич-
аналогичную задачу в случае вещественных многообразий. Начнем для
простоты с х, (/-плоскости X и попробуем определить гладкое
подмногообразие размерности один, или, другими словами, кри-
кривую, с помощью уравнения f(x, у) = 0, где f(x, у)—некоторая
гладкая функция. Общая гладкая функция, такая как f(x, y) =
= у — х2, определяет гладкую кривую (в данном случае пара-
параболу). Типичным примером функции, которая приводит к кри-
кривой с сингулярностью, является f(x, у) — у2 — х2. В этом случае
кривая f(x, г/) = 0 состоит из двух прямых и имеет сингуляр-
сингулярность в точке х = у = 0, где две прямые встречаются друг с
другом. С аналитической точки зрения признак того, что кривая
f = 0 сингулярна в точке х = у = 0, заключается в том, что в
этой точке df/dx = df/ду = 0, или, другими словами, df = 0.
{Здесь d — внешняя производная, определенная в гл. 12.

466 Глава 15
Утверждение df = 0 равносильно утверждению, что все частные
производные функции / равны нулю.) Вблизи любой точки на
плоскости X, в которой df Ф 0, функцию / можно выбрать в ка-
качестве одной из координат. Следовательно, вблизи любой точки
на кривой f = 0, в которой df = 0, уравнение / = 0 эквивалент-
эквивалентно обращению в нуль одной из координат и определяет гладкую
кривую.
Эти соображения переносятся и на комплексный случай. Ги-
Гиперповерхность в CPN, определяемая нулями однородного по-
полинома Р, несингулярна, если ни в какой точке на этой гипер-
гиперповерхности частные производные dP/dZ1 не обращаются все в
нуль, другими словами, если уравнения Р = dP = 0 не имеют
решений, кроме Z1 = 0 (это не точка на CPN). Обобщение на
случай полного пересечения гиперповерхностей, определяемых
нулями однородных полиномов Pi, Р2, . .. , Рп, состоит в том,
что поверхность Р, = Р2 = ... = Рп = 0 несингулярна, если на
этой поверхности нет точки, в которой я-форма dP\ Л dP2 Л ...
. . . AdPn обращалась бы в нуль. Здесь также идея состоит в
том, что локально вблизи любой точки на CPN, где dP\ Л dP2 Л
Л... Л dPn Ф 0, в качестве части координат на CPN можно
выбрать Pi.
Для иллюстрации этих рассуждений рассмотрим кривую в
(вещественной) х,г/-плоскости, определяемую уравнением / = О,.
где / — полином, скажем f = х'г + уп — 1. Легко дать качествен-
качественное описание этой кривой; например, она компактна, если п
четное. Можно интересоваться аналитическим продолжением
этой кривой на комплексные значения х и у. Тогда можно рас-
рассмотреть уравнение хп + у" — 1=0, где теперь х и у — ком-
комплексные переменные. Над комплексными числами эта кривая, ко-
конечно, некомпактна независимо от п. Можно спросить, возможна
ли добавить «точки на бесконечности», чтобы компактифи-
компактифицировать ее. Это можно сделать, заменив хп + уп—1 однород-
однородным полиномом в СР2. Таким образом, мы вводим третью пе-
переменную z и рассматриваем однородное уравнение х" + уп —
— zn = 0, где х, у, z — однородные координаты в СР'2 (а значит,
тройка х, у, z отождествляется с Кх, Ху, %z для ненулевого ком-
комплексного К). Если z не равно нулю, то, выбирая общий мно-
множитель, можно взять z = 1, так что мы получаем снова урав-
уравнение х" + у"— 1=0 в комплексной плоскости. Но, работая
в СР2, мы имеем также и «точки на бесконечности», где z = 0
и хп + уп = 0. Отметим, что имеется ровно п таких точек.
Уравнение хп + у" — z" = 0 в многообразии СР2 определяет
компактное комплексное многообразие размерности один, кото-
которое должно быть римановой поверхностью некоторого рода. Ка-
Каков род этой поверхности? Как мы увидим в последующем раз-

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 467
деле этой главы, ответ заключается в том, что она имеет род
A)B)/2
()()
- Хотя комплексная структура многообразия CPN единствен-
единственна, для гиперповерхности в CPN это не так (за исключением
нескольких случаев). Пусть Р — однородный полином степени
л от N + 1 однородной координаты Z1, . .., Zn+1, и пусть Р' —
второй однородный полином той же степени п от N -\- 1 ком-
комплексной координаты W1, ..., WN+1. Уравнения Р = 0 и Р' = О
определяют комплексные многообразия Q и Q' одного тополо-
топологического типа, поскольку возможна гладкая интерполяция
между полиномами Р и Р'1). Но многообразия Q и Q' не обя-
обязательно имеют одинаковую комплексную структуру. Чтобы они
имели одинаковую комплексную структуру, должно существо-
существовать голоморфное отображение, переводящее Z' в W' и пре-
превращающее Р в Р'. Чтобы это отображение Z''-*¦ W> было обра-
обратимым, не имело полюсов и было инвариантным относительно
умножения всех Z' и умножения всех W на комплексное число,
¦оно должно быть на самом деле линейным.
В качестве примера, который будет интересен для нас
впоследствии, рассмотрим случай квинтики в СР4, определяе-
определяемой нулями полинома Р пятой степени от пяти переменных
Z1, . .. , Z5. Немного арифметики, и мы находим, что имеется
5-6-7-8-9/1-2-3-4 • 5 — 126 независимых полиномов пятой сте-
лени от пяти переменных. С другой стороны, линейная замена
координат определяется обратимой 5 X 5-матрицей с 25 не-
независимыми матричными элементами. Таким образом, число не-
независимых степеней свободы у полинома пятой степени, кото-
которые нельзя устранить переопределением координат, равно
126 — 25=101. Следовательно, комплексная структура квин-
квинтики в СР4 зависит по крайней мере от 101 комплексного па-
параметра. При N > 2 все комплексные структуры гиперповерх-
гиперповерхности в CPN могут быть найдены этим способом, поэтому ком-
комплексная структура квинтики в СР4 зависит в точности от 101
параметра.
15.3. Кэлеровы многообразия
На многообразии К с группой голономии U(N) (или SU(N))
можно определить естественную комплексную структуру /'/, что
явилось темой предыдущего раздела. В этом разделе мы
сосредоточили внимание просто на следствии обращения в нуль
4) Рассмотрим однопараметрическое семейство полиномов Pt = tP +
+ A—t)P', O^f^l. Когда t пробегает значения от нуля до единицы,
нули полинома Pt определяют однопараметрическое семейство многообразий,
которое начинается с Q и кончается многообразием Q', что и доказывает
совпадение топологического типа многообразий Q и Q'.

468 Глава 15
тензора Нёйенхёйса Nljk, построенного из J. Но U (N) -голоно-
мия означает не только, что тензор Нёйенхёйса равен нулю, но
и что /'/ ковариантно постоянен. Этот раздел мы посвятим
тому, чтобы проанализировать, что означает тот факт, что /'/
является ковариантно постоянным. В действительности мы обна-
обнаружим, что удобнее изучать не комплексную структуру J, а 2-
форму ktj = gikJhj, где g— метрический тензор. Утверждения о
ковариантной постоянности / или k эквивалентны, так как g
ковариантно постоянен. Метрика с (У(УУ)-голономией называ-
называется кэлеровой метрикой; многообразие, допускающее такую
метрику, называется кэлеровым многообразием, а 2-форма к
называется кэлеровой формой. В этом разделе мы найдем об-
общее локальное выражение для кэлеровой метрики и опишем
несколько основных примеров.
15.3.1. Кэлерова метрика
В системе локальных голоморфных координат za и комплек-
комплексно-сопряженных координат гй вектор а' имеет голоморфные
компоненты va и антиголоморфные компоненты va. Разложение
вектора v' на va и Vй соответствует, разумеется, разложению
фундаментального векторного представления группы S0BN)
в виде N (В N для U(N). Разделение на голоморфные и антиго-
антиголоморфные индексы инвариантно относительно голоморфных
замен координат и не зависит от выбора конкретной системы
голоморфных координат. Поэтому естественно разлагать тен-
тензорные поля на части с определенными числами голоморфных
и антиголоморфных индексов.
Например, метрический тензор ga в точке р^К инвариан-
инвариантен относительно действия группы U (N) в касательном прост-
пространстве в этой точке. Поскольку при N ~> 2 из N ® N или N ® N
невозможно сделать U (УУ)-синглет, g удовлетворяет условию
gab = gas = O. Кроме того, поскольку тензор g симметричен,
ga- = g-a. Используя равенство кц = gikJki и явный вид / в
локальных голоморфных координатах, находим, что kab = kuS =
= 0 и kaB = - igaB = - kBa.
Изучение дифференциальных форм дает другой пример,
когда важно разделять касательные векторные индексы на го-
голоморфные и антиголоморфные. Так, рассмотрим р-форму
¦ф*,г2...г ; напомним, что это ковариантный тензор ранга р, ко-
который антисимметричен по всем индексам. В случае комплекс-
комплексного многообразия естественно задать вопрос, сколько у р-фор-
мы г|; голоморфных индексов и сколько антиголоморфных. Для
многих целей важную роль играет понятие (р, q) -формы

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 469»
tya а ...а а а ...а , которая полностью антисимметрична по р го-
голоморфным и q антиголоморфным индексам. Мы примем такое
упорядочение индексов, при котором голоморфные индексы
(р, q) -формы всегда пишут сначала.
15.3.2. Внешние производные
На вещественном многообразии «внешняя производная» р-
формы \|з определяется как (р + 1)-форма
(dib). , . =——Гд. тЬ. • ± циклические перестановки.
/?1?2 •-¦ 'р+1 Р+1 'l '2 -•- «р+1
A5.3.1).
На комплексном многообразии это понятие можно усовершен-
усовершенствовать. Определим «голоморфную» внешнюю производную д,
которая отображает (p,q)-формы в (р+1, q)-формы, следую-
следующим условием: если -ф—(р,^)-форма, то <Эт|з—(р+1, q)-
форма:
± циклические перестановки. A5.3.2)
Так же как производная d, производная д удовлетворяет равен-
равенству д2 = 0. «Антиголоморфную» внешнюю производную д, ото-
отображающую (р, q) -формы в (р, <7+1) -формы, мы определим,
приняв, что если -ф—(р, </)-форма, то д\р—(р, ^+1)-форма:
± циклические перестановки. A5.3.3)
Множитель (—1)р включается для того, чтобы обеспечить ра-
равенство d = д + д. Благодаря этому из тождества d2 = О
следует
д2 = д2 = дд + дд = 0. A5.3.4)
Операторы д и д часто называют операторами Дольбо. Суще-
Существенно важное их свойство состоит в том, что эти операторы
можно определить только в терминах комплексной структуры
многообразия К, не вводя метрического тензора. Несмотря на
то что в их определении используются обычные производные, а
не ковариантные производные какого-либо типа, объекты (Эт|з и
<Эг|; преобразуются однородно при голоморфных заменах коор-
координат.

-470 Глава 15
Поскольку rf2 = 0, форма \|з, которую можно записать в виде
г|; = d%, автоматически удовлетворяет условию Л|з = 0. Лемма
Пуанкаре дает локальное обратное утверждение: если -ф — р-
форма, р>0 и с?-ф = 0, то локально -ф можно записать как
¦ф = й?х Для некоторой (р— 1)-формы %. Это утверждение имеет
аналог в случае комплексных многообразий. Если -ф—(р, q)-
форма, р > 0 (или q > 0) идт|з = О (или_<Эт|з = 0), то локально
¦ф можно записать как ч|з = д% (или \|з = <Э%), гДе X — (Р — 1> ?)-
форма (или (р, ^ — 1)-форма). Для комплексных многообразий
имеется и другое утверждение, не имеющее прямого аналога
в случае вещественных многообразий. Если -ф—(р, q) -форма,
р > 0, q > 0 и д\р = <Эт|з = 0, то локально г|5 можно записать как
у = дд%, где % — {р— 1, ^/— 1)-форма.
15.3.3. Аффинная связность и тензор Римана
Теперь мы можем дать общее локальное выражение для
метрики с голономией U(N). Ковариантно постоянный тензор
kij является A, 1)-формой, а не просто 2-формой, так как
выше мы отметили, что kab= ksS = 0. Далее, поскольку k кова-
ковариантно постоянна, она удовлетворяет условию dk = dk = 0.
Отсюда следует, что k можно записать локально в виде
k = —iddj>, A5.3.5)
где ф— @, 0)-форма, или, другими словами, скалярная функ-
функция; такая функция ф называется кэлеровым потенциалом. К.э-
леров потенциал определен неоднозначно: если F — произволь-
произвольная голоморфная функция, то ф = <р + F + F удовлетворяет
условию ддф = (Э(Эф. Локально это общий вид неопределенности
в определении ф.
С учетом соотношения kaB = — igaB между метрическим
тензором g и 2-формой k выражение A5.3.5) эквивалентно об-
общему локальному выражению
g =g =_?Ф_^ A5.3.6)
аЪ ba dzadzb
для метрики с голономией U(N). В действительности мы пока
выяснили только, почему метрику с U (N) -голономией локально
всегда можно записать в виде A5.3.6). Но обратное тоже вер-
верно: любая метрика, которая может быть записана в виде
A5.3.6) (причем Sab = gab = °) имеет группу голономии U(N).
Чтобы доказать это, полезно выяснить сначала вид аффин-
аффинной связности для кэлеровых многобразий. Легко находим, что

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 471
ненулевые компоненты аффинной связности r'jk = gil(d.gtk +
+ дь&ц - diSik)l2 имеют вид
rabc = ga%gca> Ц-с = ёаадвё-ы. A5.3.7)
Из такого выражения для аффинной связности следует (как
читатель может проверить!), что стандартная комплексная
структура / (с ненулевыми компонентами, равными /? =ibab,.
}йь = — *6ag) является ковариантно постоянной. Поскольку под-
подгруппа группы SOBN), относительно которой / инвариантна,,
есть U(N), ковариантная постоянность комплексной структуры
J означает, что группа голономии кэлерова многообразия есть
(самое большее) U(N); это завершает доказательство утверж-
утверждения, что метрики с голономией U(N) —это в точности кэле-
ровы метрики ').
Подобно аффинной связности тензор Римана сильно упро-
упрощается для кзлерова многообразия. Из определения
j i + г?тГ™ - T\mY% A5.3.8)
и выражений A5.3.7) немедленно следует, что R'/h отлично от
нуля только в том случае, если индексы i и / одного типа (оба
голоморфные или оба антиголоморфные). Тогда отсюда следует
(так как для метрики g имеем gab=gaB = 0), что Rmjkt =
= gmiR' -kl отлично от нуля только в том случае, если индексы
m и j противоположного типа. В силу общего для римановой
геометрии соотношения симметрии Rm\u = Ruimj получаем, что
Rmjki также отлично от нуля, только если индексы k к I проти-
противоположного типа. Таким образом, ненулевые компоненты тен-
тензора Римана имеют вид RaBcd- Общее циклическое тождество
римановой геометрии /?,-/« + Rjku + Rkin = 0 для кэлеровых мно-
многообразий сводится к утверждению
Ненулевые компоненты RaBcd, или, что эквивалентно, Rabci =
— ёаа%а5са, тензора кривизны кэлерова многообразия легко вы-
вычислить. Одна из получающихся формул имеет вид
') Точнее говоря, кэлеровы метрики уже определены в начале этого
раздела как метрики с голономией U(N). Здесь же имеется в виду, что>
свойство A5.3.6) эквивалентно тому, что группа голономии есть U(N).—
Прим. перев.

-472
Глава 15
Особенно полезное упрощение получается для тензора Риччи
Rbc=zRubac' который ввиду A5.3.10) равен
Rbc = -dc^-ba- A5.3.11)
Из формул A5.3.7) следует (по аналогии с подобной формулой
для вещественных многообразий), что Га^_ = d5 In det g. Следо-
Следовательно, формула для тензора Риччи принимает вид
A5.3.12)
который окажется полезным в дальнейшем.
Полученные выше ограничения на тензор Римана кэлерова
многообразия можно понять и интуитивно. Напомним, что на
общем римановом многообразии М размерности 2N тензор Ри-
Римана Rijki антисимметричен по k и /. При фиксированных i и /
он является антисимметричной
2jVX 2ЛА-матрицей, или, други-
другими словами, генератором груп-
группы 50 BN), который можно
обозначить Ran- (В явном ви-
виде R{ij) — матрица, матричный
элемент которой с номером Ы
есть Rijki)- Хорошо известное
соотношение [D,-, D;] Vk —
= RnkiVl показывает, что
Рис. 15.2. При параллельном перено- при параллельном переносе
се вектора V вокруг малой петли вокруГ малой петли (который
В ' ;"Ти™8^~™СЯ "аве" можно выразить через комму-
татор ковариантных производ-
производных [Di, D/], рис. 15.2) ка-
касательные векторы подвергаются вращению 50 BN) -матрицами
Rod. Если группа голономии для М есть U(N), то матрицы
Ran не являются общими 50 BiV) -матрицами. Они являются
U (N) -матрицами, вложенными в S0{2N) тем способом, кото-
который описан в разд. 15.2. Нетрудно указать, какие 50 B^)-мат-
B^)-матрицы Мы являются U(N) -генераторами. В обычном нашем
комплексном базисе условие имеет вид Mab = Mйь~0. Следо-
Следовательно, утверждение, что при фиксированных i и / матрица
Я an является U (N) -матрицей, равносильно утверждению, что
Rijab =RusB~O. При этих условиях параллельный перенос во-
вокруг инфинитезимальной петли дает U(N) -преобразование. Так
как петли конечного размера можно составить из инфинитези-
мальных петель, это необходимое и достаточное условие для
U (N) -голономии.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 473*
15.3.4. Примеры кэлеровых многообразий
Теперь мы опишем некоторые основные примеры кэлеровых
многообразий.
Наиболее фундаментальным примером является, конечно,
Сп — n-мерное комплексное пространство с координатами zk,
k=l, ..., п. Стандартная плоская метрика ds2 = ?ft | dzh f яв-
является кэлеровой, поскольку группа голономии (которая три-
тривиальна) есть подгруппа группы U{n). Кэлеров потенциал
можно выбрать в виде
f=Z\zk\2. A5.3.13)
k
Заметим, что этот кэлеров потенциал определен глобально на
всем многообразии С". Менее тривиальный пример — комплекс-
комплексный тор Е = Сп/Г, где, как и раньше, Г — решетка в Сп. Пло-
Плоская метрика на Е также является кэлеровой (группа голоно-
голономии по-прежнему тривиальна!), но кзлеров потенциал A5.3.13)
годится теперь только локально, поскольку он неинвариантен
относительно решеточных сдвигов.
Второй пример является основным в теории струн. Каждое
ориентированное двумерное вещественное риманово многообра-
многообразие является кэлеровым. В самом деле, ориентированное дву-
двумерное вещественное многообразие имеет группу голономии
50B) (или ее подгруппу). Поскольку группа 50B)—это то
же самое, что U(l), каждая метрика на ориентируемом дву-
двумерном многообразии является кэлеровой. Высказывание, что
метрику двумерного многообразия можно записать локально
в виде A5.3.6), представляет собой другую формулировку ут-
утверждения, что локально элемент длины такого многообразия
можно привести к виду ds2 = e2Pdzdz. (В соотношении A5.3.6)
подразумевается дополнительное, не очень глубокое утвержде-
утверждение, что локально всегда можно найти решение <j> линейного
уравнения d2<f>/dzdz = е2р.)
Еще один очень важный пример кэлерова многообразия —
пространство CPN. С точностью до нормировки существует
единственная метрика на CPN, инвариантная относительно уни-
унитарных преобразований N + 1 однородной координаты Z1, ...,
..., ZN+l. Эта метрика имеет вид
di = (ZV)-' (dZa - Za Щ-) (dZa -
A5.3.14)
Она подобрана так, чтобы быть инвариантной относительно рес-
кейлинга координат Za, так как Za определены в CPN только
с точностью до общего множителя. Эта метрика подобрана.

474 Глава 15
также еще и таким образом, что она обращается в нуль, когда
dZa (или dZa) пропорционально Za (или Za), поскольку точки,
отличающиеся на bZa ~ Za, эквивалентны в CPN и между ними
должно быть нулевое расстояние. Метрика A5.3.14), известная
как метрика Фубини — Штуди, явным образом инвариантна от-
относительно SU(N + ^-преобразований координат Za. Чтобы
убедиться, что метрика A5.3.14) кзлерова, достаточно заметить,
что в области, где ZN+l Ф 0, можно положить Zw+1 = 1 (подо-
(подобрав общий множитель); тогда обнаруживается, что метрику
Фубини — Штуди можно получить в этой области из кэлерова
потенциала ф = In (l + Ha=l ZaZaJ.
После того как мы выяснили, что CPN — кэлерово многооб-
многообразие, естественно спросить, является ли также кэлеровым мно-
многообразием гиперповерхность в CPN или пересечение гиперпо-
гиперповерхностей. На этот вопрос очень легко ответить. Комплексное
подмногообразие кэлерова многообразия всегда является кэле-
кэлеровым. Действительно, это следует из локального описания
A5.3.6) кэлеровои метрики. Если К—многообразие, a Q — его
подмногообразие, то метрика на К всегда индуцирует метрику
на Q: для измерения расстояний на Q надо просто использовать
метрику на К. Другими словами, индуцированная метрика gij
на Q — это то же самое, что метрика gu на К, за тем исключе-
исключением, что, рассматривая gij как метрику на Q, надо учитывать
только компоненты с индексами i и /, касательными к Q. Да-
Далее, если метрику на К можно записать в виде A5.3.6) через
вторые производные кэлерова потенциала, то это можно сде-
сделать и для индуцированной метрики на комплексном подмного-
подмногообразии Q; работать на Q означает просто, что надо вычислять
>d2f/dZadZb только для значений а и Б, касательных к Q.
Таким образом, всякое комплексное подмногообразие в CPN
является кэлеровым многообразием. Существует также и об-
обратное в некотором смысле утверждение. Каждое компактное
кэлерово многообразие (с небольшими ограничениями на топо-
топологический класс кэлеровои формы, которые мы ниже обсудим)
можно вложить в CPN. Но может оказаться, что такое вложе-
вложение данного кэлерова многообразия в CPN трудно описать.
Вложение в CPN определенно не всегда является самым эконо-
экономичным способом описания данного кэлерова многообразия.
Полное пересечение гиперповерхностей, обсуждавшееся в конце
предыдущего раздела, представляет собой особенно простой
пример комплексного подмногообразия в CPN, но «типичное»
комплексное подмногообразие в CPN таким способом получить
•нельзя. Относительно простой пример комплексного подмного-
подмногообразия в CPN, которое нельзя получить как полное пересече-

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 475^
ние гиперповерхностей, дает «скрученная кубическая кривая» в
СР3. Это подпространство в СР3, состоящее из точек, однород-
однородные координаты которых имеют вид (и3, u,2v, uv2, v3), где и и
v — комплексные числа, не равные одновременно нулю. По-
Поскольку можно считать, что и и v определяют точку в СР1,
скрученную кубическую кривую можно рассматривать как экзо-
экзотическое вложение СР1 в СР3. Не слишком трудно убедиться,
что эту кривую нельзя реализовать в виде полного пересечения.
Вернемся теперь к общей теории. Пусть К — кэлерово мно-
многообразие, на котором выбрана какая-то конкретная кэлерова
метрика g. Соответствующая кэлерова форма k, которая явля-
является замкнутой 2-формой, определяет некоторый элемент из
Н2(К; R) (второй группы когомологий де Рама многообразия
К с вещественными коэффициентами). Этот элемент называет-
называется кэлеровым классом кэлеровой метрики g. Точно так же, как
комплексное многообразие может допускать некоторое множе-
множество разных комплексных структур, кэлерово многообразие мо-
может допускать кэлеровы метрики с некоторым диапазоном воз-
возможных кэлеровых классов. Но кэлеров класс компактного
кэлерова многообразия всегда не равен нулю. Другими слова-
словами, глобально нельзя записать k как k = da, где а—1-форма.
Чтобы это доказать, покажем, что на кэлеровом многообразии
комплексной размерности N, т. е. вещественной размерности
2N, iV-кратное внешнее произведение кэлеровой формы k на
саму себя всегда пропорционально полностью антисимметрич-
антисимметричному тензору Леви-Чивиты ^tl...t2N- Напомним, что в любой
точке р можно выбрать стандартные комплексные координаты
za, для которых k = dzl A dzl + . . . + dzN A dz^. Отсюда лег-
легко вывести, что k A k Л ... Ak = ЛПе. Объем компактного мно-
многообразия есть V= \ е, причем величина не равна нулю. С дру-
другой стороны, если было бы k — da глобально, то мы бы
имели
((zA?;A ... Afe)=0. A5.3.15)
Значит, кэлеров класс компактного кэлерова многообразия
всегда не равен нулю.
Не каждое комплексное многообразие допускает кэлерову
метрику — имеются сильные топологические ограничения. На-
Например, чтобы компактное многообразие М было кэлеровым,
вторая группа когомологий Н2(М; R) должна быть ненулевой,
другими словами, второе число Бетти для М должно быть

476 Глава 15
положительным. В противном случае кэлеров класс гипотетиче-
гипотетической кэлеровой метрики на М автоматически обращался бы
в нуль, но мы только что видели, что кэлеров класс произволь-
произвольной кэлеровой метрики на компактном кэлеровом многообразии
не равен нулю. На самом деле все четыре числа Бетти компакт-
компактного кэлерова многообразия должны быть положительными,
так как класс когомологий «-кратного внешнего произведения
{k A k А ... Л k}n всегда не равен нулю при всех п ^ N. Дей-
Действительно, если бы n-кратное внешнее произведение можно
было записать в виде {k A ... Ak}n = dX, то для объема мно-
многообразия К мы имели бы ЛП • F = \ (dk) /\{k /\ ... Л k}N_n =
J К
= \ d (А. Л {k Л •¦¦ Л k}N_n) = 0, что невозможно. Есть много
примеров компактных комплексных многообразий, которые
нельзя наделить кэлеровой метрикой, поскольку некоторые из
их четных чисел Бетти равны нулю.
Локально ничто не может помешать определить кэлерову
метрику соотношением A5.3.6) на произвольном комплексном
многообразии, поэтому препятствие к существованию кэлеровой
метрики на данном комплексном многообразии является чисто
топологическим. В самом деле, локально любые два комплекс-
комплексных многообразия одинаковой размерности неотличимы друг от
друга.
15.4. Риччи-плоские кэлеровы многообразия
с группой голономии SU(N)
Если многообразие К допускает кэлерову метрику g, такая
кэлерова метрика не единственна. Мы можем взять произволь-
произвольное скалярное поле ф и определить новую кэлерову метрику g'
(которая будет иметь такой же кэлеров класс), полагая gaS=
== gaE -\- дадвф. Так связаны между собой любые две кэлеровы
метрики с одинаковыми кэлеровыми классами.
После того как мы выяснили основное содержание условия
U{N) -голономии, нам нужно теперь понять суть дополнитель-
дополнительных ограничений, связанных с 5^/(Л^)-голономией. Если дано
кэлерово многообразие К, допускающее в силу предшествую-
предшествующих замечаний бесконечное множество кэлеровых метрик, то
можно ли найти такую кэлерову метрику на К, группа голоно-
голономии которой есть не U(N), а SU(N)? Сравнительно легко ви-
видеть, что имеется топологическое препятствие для нахождения
такой метрики. Действительно, спиновая связность на кэлеро-
кэлеровом многообразии представляет собой U(N)- или SU (N) X

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 477
X ^A)-калибровочное поле; U(\)-часть спиновой связности —
это абелево калибровочное поле, которое можно обозначить че-
через А. Метрика с S?/(Af)-голономией на К была бы такой кэле-
ровой метрикой, для которой А является чистой калибровкой,
другими словами, что калибровочно-инвариантная напряжен-
напряженность поля F = dA обращается в нуль. Такая метрика сущест-
существует только в том случае, если U(\)-часть спиновой связности
топологически тривиальна. Наоборот, если спиновая связность
дает U(I)-ноле с нетривиальным квантованным магнитным по-
потоком, его нельзя исключить с помощью непрерывной вариации
кэлеровой метрики. Как обсуждалось в гл. 14, замкнутая 2-
форма F определяет элемент из Я2 (К; R)—второй группы ко-
гомологий де Рама для К с вещественными коэффициентами.
Этот элемент называется первым классом Черна с\ (К) много-
многообразия К. (На самом деле это первый класс Черна так назы-
называемого канонического линейного расслоения на К, которое оп-
определено в примере B) из разд. 15.6.3.) Многообразие К может
допускать метрику с голономией SU(N) только в том случае,
если с\ (К) =0.
15.4.1. 'Метрика Калаби — Я у
В 1957 г. Е. Калаби высказал предположение, что кэлерово
многообразие К с нулевым первым классом Черна всегда допу-
допускает кэлерову метрику с SU(N) -голономией. Точнее говоря, он
высказал предположение, что существует ровно одна (с точ-
точностью до постоянного множителя) метрика с SU(N) -голоно-
-голономией для любой данной комплексной структуры на К и любо-
любого данного кэлерова класса. Калаби доказал единственность
этой гипотетической метрики. Существование этой метрики
было доказано С.-Т. Яу двадцатью годами позднее. В силу этой
весьма трудной теоремы метрики с SU(N) -голономией в точно-
точности соответствуют кэлеровым многообразиям с нулевым первым
классом Черна. Это приводит к решающему упрощению при по-
поисках вакуумных состояний с ненарушенной суперсимметрией,
так как описывать метрики с SU(N)-голономией крайне трудно
(ни одна из них явно не известна, если не считать определен-
определенных сингулярных предельных случаев), но кэлеровы многооб-
многообразия с нулевым первым классом Черна можно найти, как мы
увидим, с помощью качественных методов.
Едва ли можно было бы дать здесь доказательство сущест-
существования метрик с SU(N) -голономией на кэлеровых многообра-
многообразиях с Ci = 0, но следующие факты, возможно, позволяют пред-
представить это в более правдоподобном виде. Мы знаем уже, что

478 Глава 15
многообразие с 5?/(Л^)-голономией допускает спинорное поле
т), которое ковариантно постоянно: Z),'n = OI). Для такого спи-
норного поля всегда выполняется условие [Di, Dj] ц = О, или
/?//*»Гыл = 0, A5.4.1)-
так что
/*' 0. A5.4.2)
С учетом гамма-матричного тождества T'Tkl = T'kl + g'kTl —
— gllTk и тождества для кривизны Rijki + Rtkij + ^«/* = 0 из со-
соотношения A5.4.2) следует
Г*/?/4т1 = 0. A5.4.3)
В действительности это означает, что Rik = 0. Таким образом,
метрика с 5?/(Л^)-голономией обязательно является риччи-пло-
ской.
Теперь мы установим это другим способом и одновременно
докажем обратное утверждение. На самом деле мы покажем,
что тензор Риччи кэлерового многообразия представляет собой
(с точностью до множителя) напряженность поля для U(\)-
компоненты спиновой связности. Напомним, как получается
вложение U(\) в SO{2N). Генератор группы U'A)—это в точ-
точности комплексная структура J1,-, ненулевые компоненты кото-
которой равны Jab=i6ab, JuB = — i6ab. Для данного SO BN) -гене-
-генератора (другими словами, антисимметричной матрицы Мы)
его U{\)-часть есть tr/M = MVV Но, как обсуждалось в свя-
связи с рис. 15.2, при параллельном переносе вокруг малой петли
в ^7-плocкocти векторы поворачиваются на матрицу /?<?/), мат-
матричный элемент которой с индексами kl равен Run; ?/( 1)-часть-
этой матрицы равна Fi,- = tr JR(in = RiikJlk. Это U(\)-часть
вращения, которому подвергаются векторы, параллельно пере-
переносимые вокруг малой петли в ^'-плоскости, а это и есть напря-
напряженность поля для U(I)-части спиновой связности. Следова-
Следовательно, ненулевые компоненты напряженности ?ц равны
Kb = ^Ва = Kabk/k = >КьСс ~ *J? A5-4-4>
но в то же время
ц -с = % ode = _? gcd = _я a A5.4.5)
КаЬ с sabdc& ^abcd° ^ab a x '
1) Выше мы установили это в случае S?/C)-ixwiohomhh, но это верно к
в более общем случае 5?/(Л^)-голономии. При вложении SU(N) в SOBN)y
фигурирующем в кэлеровой геометрии, спинорное представление группы
SOBN) всегда содержит некоторый 5?/(ЛГ)-синглет.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 479
Поэтому на самом деле FaB = 2iRaBcc. Сравнивая это с опреде-
определением тензора Риччи Яаь = ЯаСьс и используя кэлерово тожде-
тождество RacBc = — ЯаЪсс, окончательно получаем связь между тен-
тензором Риччи RaB и напряженностью поля FaB:
A5-4.6)
Таким образом, метрика с 56'(Лг)-голономией — это то же са-
самое, что риччи-плоская кэлерова метрика. Этот удовлетвори-
удовлетворительный результат дает нам первое указание на то, что поиск
вакуумных состояний с ненарушенной суперсимметрией озна-
означает в действительности поиск вакуумных состояний, удовлет-
удовлетворяющих уравнениям движения струнной теории поля. В конце
концов условие риччи-плоскости определенно является на боль-
больших расстояниях главным приближением для уравнений движе-
движения в рассматриваемых нами теориях!
Хотя мы и не можем доказать здесь существование таких
метрик на общих кэлеровых многообразиях с с\ = 0, мы можем
¦отметить несколько фактов, делающих это правдоподобным.
Выше мы видели, что тензор Риччи равен RaB =— дадв In detg
(см. A5.3.12)). Следовательно, условие ^!аб=0 состоит в том,
что In det g = F (za) + F (za), где F (za) — произвольная голо-
голоморфная функция от z". С помощью голоморфной замены коор-
координат za-+ za (zb) функции F локально можно придать любой
вид, скажем, принять F = 1/2. Следовательно, условие, опреде-
определяющее риччи-плоское пространство, локально имеет вид
In det ?=1. A5.4.7)
Здесь g должна быть, разумеется, кэлеровой метрикой, которая
локально описывается соотношением ёаъ = дадвф для некоторой
•скалярной функции ф. Поэтому, локально пытаясь найти риччи-
плоскую кэлерову метрику, мы тем самым пытаемся подобрать
¦одну скалярную функцию ф, удовлетворяющую одному уравне-
уравнению A5.4.7). Локально это может быть сделано. (Плоское про-
пространство, описываемое функцией ^ = Xl2;al2. представляет со-
собой одно из решений.) Можно ли решить указанное одно урав-
уравнение для одной неизвестной глобально — это другой вопрос.
Мы уже отмечали топологическое препятствие — С\ (К) должно
быть равно нулю. Доказательство Яу гипотезы Калаби означает,
что это единственное препятствие: кэлерово многообразие
¦с С\ = 0 допускает единственную риччи-плоскую кэлерову мет-
метрику для любого выбора комплексной структуры и кэлерова
класса.

480 Глава 15
15.4.2. Ковариантно постоянные формы
В целях дальнейших приложений сформулируем критерий
обращения в нуль первого класса Черна (ci = 0) другим спо-
способом. Мы знаем, что фундаментальное представление группы
50B^) разлагается относительно SU(N) как N(BN. Из анти-
антисимметричной комбинации N экземпляров представления N
группы SU(N) можно получить SU(N)-инвариант za{a2...aNr
который не является, конечно, U(N) -инвариантом. Если мы рас-
рассмотрим теперь Л^форму со на многообразии с SU(N) -голоно-
-голономиеи, у такого поля будет компонента, нейтральная относи-
относительно группы голономии, а потому инвариантная при парал-
параллельных переносах в случае многообразия с SU(N) -голономиеи,
но не в случае многообразия с U(N) -голономиеи. В действи-
действительности ковариантно постоянные Af-формы на многообразии
с SU(N)-голономиеи являются формами типа (N, 0) или @,N),
так как именно из произведения N ® N ® . . . ® N или N <8) N <8) . . .
. . . <g> N можно образовать синглет по SU(N). Таким обра-
образом, одним из существенных свойств многообразия с SU(N)-to-
лономией является существование ковариантно постоянной
(./V, 0) -формы со. Комплексно-сопряженная ей форма является
ковариантно постоянной @, N) -формой со. В терминах кова-
ковариантно постоянного спинора ц положительной киральности
форму со можно выразить в виде ац^2... iN = r?Yi{i2... iNx\. По-
Поскольку со ковариантно постоянна, она нигде не обращается
в нуль (если бы она была равна нулю в одной точке, то она
всюду обращалась бы в нуль). Обратное утверждение также
верно. Заряженное поле, взаимодействующее с топологически
нетривиальным калибровочным полем, всегда должно иметь
где-то нули. Поэтому если комплексное многообразие К допу-
допускает нигде не равную нулю Af-форму, то U(l)-часть спиновой
связности на К должна быть топологически тривиальной, а пер-
первый класс Черна для К должен равняться нулю.
Дифференциальная форма а типа (р, 0), удовлетворяющая
уравнению да = 0, называется голоморфной р-формой, поскольку
в локальных голоморфных координатах все компоненты формы
а являются голоморфными функциями. Ковариантно постоян-
постоянная (N,0) -форма на многообразии с SU(N) -голономиеи, несом-
несомненно, является голоморфной. На практике часто пытаются до-
доказать, что С\ = 0 для некоторого комплексного многообразия
К, разыскивая нигде не равную нулю голоморфную ./V-форму,
хотя достаточно было бы найти просто нигде не равную нулю
(N, 0)-форму, голоморфную или нет.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 481
15.4.3. Некоторые многообразия с SU(N)-aoAOHOMueu
Теперь мы приведем некоторые примеры многообразий К,
которые допускают метрики с 5?/(Л0-голономией. В первом при-
примере в качестве К возьмем компактную риманову поверхность
2. В этом случае вся спиновая связность представляет собой
U(\)-калибровочное поле. Чтобы спиновая связность была топо-
топологически тривиальным калибровочным полем, должно выпол-
выполняться требование \ F — 0, где F— напряженность ?/A)-поля.
Из рассмотрения, проведенного в гл. 14, мы знаем, что среди
всех компактных римановых поверхностей \ F равен нулю
только в случае тора. Таким образом, только тор допускает мет-
метрику с SU A)-голономией. В действительности метрика
с 5?/A)-голономией— это то же самое, что плоская метрика,
так как группа 517A) тривиальна. В случае вещественной раз-
размерности два доказательство Яу гипотезы Калаби означает как
раз, что тор допускает плоскую метрику, и мы определенно
знаем, что это верно.
Как найти примеры комплексных многообразий с с\ = О
в случае комплексной размерности больше единицы? Как об-
обсуждалось в разд. 15.2.3, некоторые из простейших примеров
комплексных многообразий даются полными пересечениями ги-
гиперповерхностей в CPN. Мы хотим определить, какие из этих
многообразий имеют С\ =0 и допускают метрики с 5!7(п)-голо-
номией. Для начала рассмотрим случай, когда задан один одно-
однородный полином Р степени k от N + 1 комплексной переменной
Z1, Z2, ..., ZN+l. Уравнение Р = 0 определяет гиперповерхность
Q в CPN'. При каких значениях k и N гиперповерхность Q будет
иметь с\ = 0? Мы ответим на этот вопрос по крайней мере от-
отчасти, указав для определенных k и N нигде не равную нулю
голоморфную (N—1)-форму.
Сначала будем работать в области на Q, в которой ZN+1 ф 0.
В этой области можно параметризовать Q координатами ха =
= Za/ZN+\ a = l, ..., N. Рассмотрим теперь голоморфную
(N— 1)-форму
со == dx\ A dx2 A ... Л dxN-xl{dPldxN). A5.4.8)
Здесь Р обозначает Р(х\ х2, ..., xN, 1). На первый взгляд
кажется, что определение со зависит от произвольным образом
выделенной координаты xN. Но в действительности мы должны
помнить, что на Q полином Р — константа (на самом деле
Р = 0 на Q), так что на Q имеем dP = 0. В явном виде

482 Глава 15
dP = Yja^ (dPjdxa)dxa. Поэтому на Q имеем (для любого т)
dxm/(dP/dxN) = —dxN/(dP/dxm) + ? f,dxl, A5.4.9)
i ф т, N
где вид функций ft можно узнать, но он не имеет значения. Под-
Подставляя выражение A5.4.9) в формулу A5.4.8) (члены, содер-
содержащие fidx\ выпадают, так как dx' A dx{ = 0), находим для лю-
любого т
v = (-lf-mdx! Л dx2 Л •. . dxm . . . Л dxM[{dPldxm). A5.4.10)
Символ dxm означает, что dxm должно быть опущено. Важность
выражения A5.4.10) не просто в том, что мы хотим рассматри-
рассматривать все хт равноправно. Исходное определение A5.4.8) формы
«о имеет кажущуюся сингулярность при дР/дхы = 0. Другой ва-
вариант выражения A5.4.10) показывает, что эта кажущаяся син-
сингулярность безопасна. Действительно, сама возможность запи-
записать со в виде A5.4.10) для произвольного т показывает, что,
пока ZN+1 — 0, со может быть сингулярна только в том случае,
если полиномы дР/дхт все равны нулю для т=\, . . ., N. Но,
как показано в примере 4 из разд. 15.2.3, полиномы дР/дхт ни-
никогда не обращаются в нуль одновременно на гиперповерхности
Р = 0, если эта гиперповерхность несингулярна. Из определения
ясно также, что со нигде не равна нулю, кроме может быть тех
мест, где ZN+l = 0.
Чтобы исследовать поведение при ZN+l = 0, предположим,
например, что Z1 ф 0, и определим координаты ут ~Zm/Zx, m =
= 2, ..., N + 1, или, другими словами, ут = хт- {ZN+l/Zl). Если
Р — однородный полином степени k, то Р(\,у2, ..., г/Л'+1) =
= Р(х\х2, ..., xN, 1) • (ZN+l/Zl)k. В терминах ут форма со при-
принимает вид
=(-\Гт {ZlIZN+l)N+l~kdy2/\dyz Л . . .dym. . . Л dy"+i/(dP/dtr),
A5.4.11
При выводе выражения A5.4.11) не надо учитывать члены, об-
обращающиеся в нуль при Р = 0, и члены, пропорциональные, на-
например, dyi\/\dyi. Воспользовавшись выражением A5.4.11), за-
замечаем, что если N + 1—k = 0, то со не имеет ни нуля, ни по-
полюса при ZN+X = 0, так что при этом условии мы находим нигде
не равную нулю (и несингулярную) голоморфную (N—1)-
форму. Для k ф N + 1 из выражения A5.4.11) видно, что со
имеет только нули и не имеет полюсов или имеет только по-
полюсы и не имеет нулей. Немного поработав дополнительно,
можно использовать тот факт, что на Q существует мероморф-

Некоторые сведения по алгебраической геометрии
ная (N— 1)-форма только с нулями и без полюсов или только
с полюсами и без нулей, чтобы показать, что ci(Q)^=Q если
Таким образом, гиперповерхность степени N+1 в CPN яв-
является относительно простым примером кэлерова многообразия
с С\ = 0. Чтобы построить еще другие примеры, рассмотрим п
однородных полиномов Pi, ..., Р„ степеней k\, ..., kn в СР1*
и примем, что Q — геометрическое место точек, где Pi = ...
... = Рп = 0. Пусть
со = dxl A dx2 А ... Л dxN~n/(det M), A5.4.12)
где М — я X «-матрица, матричные элементы которой равны
Mab = dPa/dxN~n+b. A5.4.13)
Как и раньше, xk = Zk/ZN+K Рассуждения, подобные приведен-
приведенным выше, показывают, что ш нигде не равна нулю и несингу-
несингулярна, если и только если
??. = Af+l. A5.4.14)
i=\
Этим способом мы получаем дополнительные примеры кэлеро-
вых многообразий с С\ = 0.
Как пример этого, мы видим, что кубическое уравнение
в СР2, такое, как уравнение Ферма X3 + У3 + Z3 = 0, опреде-
определяет риманову поверхность с ct = 0. Согласно предыдущему
обсуждению, топологически это должен быть тор. Уравнение чет-
четвертой степени в СР3, такое, как X4 + У4 + Z4 + W4 = 0 опреде-
определяет многообразие, которое допускает метрику с SUB)-толоно-
мией. Это многообразие известно как поверхность ДЗ. Можно
показать (с помощью методов, выходящих за рамки настоящего
изложения), что топологически это единственный пример мно-
многообразия, которое допускает метрику с 5?/B)-голономией. Что
касается многообразий комплексной размерности три, то есть
много топологических типов, допускающих метрики с группой
голономии SUC). Ввиду того что было сказано выше, приме-
примером такого многообразия будет гиперповерхность пятой степени
в СР4, которая описывается таким уравнением, как
IZ5a = 0, A5.4.15)
а=\
или более общим однородным полиномом пятой степени от пяти
переменных. В СР5 можно рассмотреть два кубических ^урав-
^уравнения или квадратное уравнение и уравнение четвертой сте-
степени. ' В СР6 мы можем рассмотреть две квадрики и кубику.

484 Глава 15
Наконец, в СР7 пересечение четырех квадрик определяет много-
многообразие, допускающее метрику с 5?/C)-голономией. Это един-
единственные примеры такого типа '). Но имеется много других кон-
конструкций многообразий с 5?/C)-голономией. Одну мы опишем
в разд. 16.10. В противоположность ситуации в комплексной
размерности два имеется огромное (возможно, бесконечное) ко-
количество примеров кэлеровых многообразий комплексной раз-
размерности три, для которых. С\ = 0. Приведенные только что при-
примеры являются лишь некоторыми из простейших.
15.5. Волновые операторы на кэлеровых многообразиях
Как подробно обсуждалось в гл. 14, физические свойства
теорий Калуцы — Клейна очень сильно зависят от нулевых мод
таких волновых операторов, как оператор Дирака и операторы
де Рама. Оказывается, на кэлеровых многообразиях эти опе-
операторы имеют весьма специфические свойства, и очень важно
в этих свойства разобраться.
15.5.1. Оператор Дирака
Начнем рассмотрение с оператора Дирака. Стандартные
гамма-матрицы Дирака Г' удовлетворяют соотношению
{Г', Т>} = 2g'i. На Химерном кэлеровом многообразии К алгебра
Дирака упрощается, если работать в локальных голоморфных
координатах z", a = \, ..., N, для которых gab = guB = 0. Гам-
Гамма-матричная алгебра тогда имеет вид
{Г2, Гь} = {га, Г5} = 0, {Га, TB} = 2gaB. A5.5.1)
С точностью до нормирующего множителя это обычная алгебра
фермионных операторов рождения — уничтожения; Г* можно
считать операторами рождения, а Р2 — эрмитово сопряженными
операторами уничтожения.
Спиноры, на которые действуют гамма-матрицы, можно по-
построить способом, знакомым нам по изучению свободных фер-
мионов. Начинаем с «фоковского вакуума» |Q>, который анну-
аннулируется операторами уничтожения: ra|Q> = 0, a=l, ..., N.
Остальными состояниями являются «одночастичные состояния»
I Qa) = ra | Q), «двухчастичные состояния» | QuB} = _ | qBu) =
*) Формально можно было бы найти другие примеры, удовлетворяющие
условию A5.4.14), используя линейные уравнения, но эти примеры в дей-
действительности не новые, поскольку линейное уравнение СР" соответствует
просто обращению в нуль одной из координат, что сводит исходную задачу
к задаче в СР"-1 с числом уравнений, меньшим на единицу.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 485
=ГаГ*О) и т. д. вплоть до совершенно заполненного состояния
'~2 *)
)
Нам надо изучить не просто спинорное представление группы
SOBN), которое мы только что построили, а спинорные поля,
зависящие как-то от координат za, za. Для общего спинорного
поля на К имеем разложение
•ф (za, f) = ф {га, 2а) \Q)+fB (га, f) Ть\п) +
+ фБ1{га,2й)тВТ'с\п)+.... A5.5.2)
На первый взгляд можно подумать, что поле ф, не имеющее
индексов, есть некоторое бесспиновое поле, но в действитель-
действительности это не обязательно так. Поле ф может взаимодейство-
взаимодействовать с U(\)-частью спиновой связности. Действительно, если
U(\)-генератор из U(N) нормировать так, чтобы представления
N и N группы U(N) имели U(\)-заряд, равный соответственно
+ 1 и —1, то операторы рождения Гй, преобразующиеся по U(N)
как N, будут иметь заряд —1. Заполненное состояние | Я> полу-
получается из фоковского вакуума |Я> действием N операторов
рождения, так что если q—?/A)-заряд состояния [fi>, то ?/A)-
.заряд состояния |Я> равен q— N. С другой стороны, состоя-
состояния |Я>и |Q> можно связать операцией комплексного сопря-
сопряжения. Эта операция меняет местами операторы рождения Тй
и операторы уничтожения Г°, а следовательно, меняет местами
пустое состояние jQ> и заполненное состояние |Я>. В то же
¦время комплексное сопряжение изменяет знак U(\)-генератора.
Мы заключаем, что заполненное и пустое состояния имеют про-
противоположные U(I)-заряды, так что q = N/2.
Таким образом, неправильно думать, что на общем кэлеро-
вом многообразии в разложении A5.5.2) ф — это то же самое,
что нейтральное бесспиновое поле. В общем случае ф не будет
нейтральным по отношению к U(l)-части спиновой связности.
Единственный вариант, когда ф есть то же самое, что бесспино-
бесспиновое поле — это случай, который нам особенно интересен — слу-
случай риччи-плоского кэлерова многообразия, на котором U(l)-
часть спиновой связности всегда тривиальна. В такой ситуации
Ф совершенно не чувствует спиновой связности как нейтраль-
нейтральный скаляр. Следовательно, мы можем выбрать ф постоянным.
"Тогда спинор ii|3==|Q> является одним из ковариантно постоян-
постоянных спинорных полей на многообразии с 5?/(Л^)-голономией,
.а другим является'ф = | Q).
Что касается фа в разложении _A5.5.2), то это поле имеет
один (коаариантный) антиголоморфный индекс, поэтому его

486 Глава 15
можно рассматривать как @, 1)-форму. (Это применимо только
для S?/(./V)-rcuioHOMHH; в противном случае фй имеет (У(^-за-
(У(^-заряд, не такой, как у обычной @, 1)-формы.) Поскольку <j>aB ан-
антисимметрично по двум своим антиголоморфным индексам, это
поле эквивалентно @, 2) -форме. Если продолжать в том же духе,
становится ясно, что состояния, которые получаются действием
k операторов рождения на «фоковский вакуум», эквивалентны
(О, k) -формам. Таким образом, спиноры на многообразии
с ^[/(ЛО-голономией — это то же самое, что @, k) -формы для
k = О, ..., N1). Операторы рождения, превращающие (О, Щ-
формы в @, &+1)-формы, являются гамма-матрицами, кото-
которые обращают киральность, поэтому @, k) -форма является спи-
спинором, киральность которого равна (—1)*.
Теперь нам надо исследовать оператор Дирака D = T'Dt.
Две из его собственных функций — это два ковариантно постоян-
постоянных спинора. Имеются ли другие? Стандартное вычисление по-
показывает, что
D2 = T'r'DiD, = A/2) {Г', Г'} DtD, + A/4) [Г, Г'] [Dt, D,] =
= Я?/)' + [Г', Г'][Г*, Tl]Rijkl/32. A5.5.3).
С помощью тождества
Г*ГУГ*Г* = Fim - (r'V' ± перестановки) +
выражение A5.5.3) приводится к виду
—D2 = —DtD' + R/4, A5.5.5)¦•
где R — скаляр Риччи. Для многообразия с 5[УC)-голономией
R = о, так что D2 = D{Dl. Оператор —DiD1 неотрицательно оп-
определен, и его собственные функции должны быть ковариантно
постоянными. Доказательство состоит в следующем: если
—DiD'ty = 0, то
D^jT|D>), A5.5.6)
а это возможно только в том случае, если Д-ф = 0. Спинорное
представление SOBN) не содержит 5?/(Л^)-синглетов, отличных
от фоковского вакуума и комплексно-сопряженного ему состоя-
4) Можно определить (р, q) -формы на любом комплексном многообра-
многообразии, так что эквивалентность спиноров и @, ft)-форм для многообразий
с SU(N) -голономией означает, в частности, что на таких многообразиях,
всегда можно определить спиноры, что является нетривиальным утвержде-
утверждением, как уже отмечалось в разд. 12.1.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 487
ния. Ковариантно постоянные спиноры должны быть синглетами
шо группе голономии, поэтому на многообразии, группой голо-
номии которого является SU(N), а не ее подгруппа, имеется
ровно два ковариантно постоянных спинора. Таким образом, на
многообразии с 5?/(Л^)-голономией собственными функциями
оператора Дирака, отвечающими нулевым собственным значе-
значениям, являются только ковариантно постоянные @,0)- и @,7V) -
формы.
Мы еще ничего не сказали о наиболее далеко идущем след-
следствии взаимосвязи между спинорами и @, k) -формами на мно-
многообразиях с 5?/(Л0-голономией. Рассмотрим подробнее опера-
оператор Дирака
D = TuDu + TaDa. A5.5.7)
Займемся первым слагаемым D+ = TaDa. Примененный к @, k)-
форме ^>=фй й Г ... Га*| Я) оператор б+ дает @, &+1)-форму:
± циклические перестановки") Га°. .. Га*| Я). A5.5.8)
Сравнивая выражения A5.5.8) и A5.5.3), видим, что оператор
В+ на самом деле эквивалентен оператору Дольбо д. Посколь-
Поскольку оператор Дирака эрмитов, он равен Ь==д-{-д\ где д* —
оператор, эрмитово сопряженный оператору д.
15.5.2. Когомологии Дольбо
Эти вопросы могут быть рассмотрены более «топологиче-
«топологическим» способом аналогично тому, как в гл. 14 рассматривались
когомологии де Рама. Форму гр, удовлетворяющую условию
дгр = О, будем называть д замкнутой формой, а форму гр, кото-
которую можно записать в видегр = <ЗА.,— <3-точной. Так как д =0,
каждая <3-точная форма d-замкнута. Кроме того, могут быть
и нетривиальные примеры д-замкнутых форм. Это значит, что
могут быть такие @, га)-формы гр, которые удовлетворяют усло-
условию <3ip = 0, но не могут быть записаны как ip = <3A.. Так же
как в определении когомологии де Рама, две д- замкнутые
@,/г) -формы -ф и г|/ естественно считать эквивалентными, если
их разность является тривиальной в том смысле, что гр — гр' = <ЗА.
для некоторой Я. Соответствующие классы эквивалентности
образуют векторное пространство, которое называется группой
когомологии Дольбо Н°'п(К) (групповой структурой здесь яв-
является аддитивная структура векторного пространства).

488 Глава 15
Некоторые стандартные рассуждения из теории ко гомоло-
гомологии де Рама легко переносятся на случай когомологий Дольбо.
Например если гр d-замкнута, но не_точна,, то нельзя так вы-
выбрать А, чтобы величина / = (ip — dX\ty — дХ) обратилась в
нуль. Но можно выбрать % так, чтобы минимизировать /. Ва-
Вариационное уравнение
61/61 = 0 A.5.5.9)
показывает, что форма i]/ = i|5 — д% удовлетворяет как урав-
уравнению ch|/ = 0, так и уравнению <3*г|/ = 0. Отсюда следует, что
в каждом классе когомологий Дольбо найдется решение i|/
уравнений <Эг|/= <Э*г|/= 0. И обратно, те же аргументы, что и в-
случае когомологий де Рама, показывают, что решение уравне-
уравнений <3ip = d*i|5 = O нельзя записать в виде "ф = д%, так что клас-
классы когомологий Дольбо на самом деле находятся во взаимно
однозначном соответствии с формами ip, удовлетворяющими ус-
условиям dip =<Э*г|5 = 0. Форма, удовлетворяющая уравнениям
chp = <3*г|5 = 0, очевидно, является нулевой собственной функ-
функцией «лапласиана»
АЪ=.дд* + д*д. A.5 5.10)
Как и в случае с когомологией де Рама, собственная функция г|>
лапласиана с нулевым собственным значением удовлетворяет
уравнению
(аЧ|аЧ) = о,. A5.5.п>
поэтому она должна удовлетворять уравнениям dip = <3*ij) = 0.
Объединяя все эти факты, получаем, что классы когомоло-
когомологий Дольбо находятся (как и в случае когомологий де Рама)
во взаимно однозначном соответствии с нулевыми модами лап-
лапласиана1). Кроме того, поскольку д2 = д*2 = 0, лапласиан Д^.
с точностью до нормировки совпадает с квадратом оператора
Дирака. Следовательно, группы когомологий. Дольбо Н°-п есть
в точности пространства @, га)-форм, аннулируемых операто-
оператором Дирака. В частности, обсуждение формулы A5.5.6) опре-
определяет пространства Н°'п для многообразий с SU(N)-ronOtiq-
мией: они одномерны при п = 0, N и нулевые в остальных слу-
случаях.
4) Может быть, следует напомнить, что во всех случаях, когда здесь it
ниже рассматриваются соотношения между когомологиями и нулевыми мо-
модами лапласианов, подразумевается (как и в случае когомологий де Рама),
что мы имеем дело с компактным многообразием. — Прим. переа.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 489
При изучении оператора Дирака в вещественной дифферен-
дифференциальной геометрии мы обнаружили лишь один инструмент
лредсказания нулевых мод — индекс Дирака. В кэлеровой гео-
геометрии формализм когомологий Дольбо предоставляет гораздо
.большие возможности для предсказания нулевых мод операто-
оператора Дирака, а следовательно, безмассовых частиц. Вместо одного
числа, способного предсказать нулевые моды,— индекса — мы
имеем N + 1 такое число, а именно размерности групп когомо-
когомологий Дольбо Н°<п, п = 0, ..., N. Последние зависят только от
комплексной структуры многообразия К, но не от выбора мет-
метрики на нем. В комплексной геометрии те свойства комплексно-
комплексного многообразия К, которые зависят только от его топологии и
комплексной структуры, очень похожи на обычные топологиче-
топологические свойства вещественных многообразий, хотя сложная струк-
структура комплексного многообразия в общем случае может зави-
зависеть от произвольных параметров. Таким образом, группы ко-
когомологий Дольбо должны рассматриваться как квазитопологи-
квазитопологические.
В качестве первой иллюстрации важности этого заключения
отметим, что обычная теорема об индексе никогда не может
лредсказать появления нулевых мод оператора Дирака обеих
киральностей — положительной и отрицательной. В веществен-
вещественной дифференциальной геометрии такая возможность пред-
представляется маловероятной1), в то время как в кэлеровой гео-
геометрии такая ситуация совершенно естественна. Например, на
многообразии с 5?/(./У)-голономией минимальный оператор Ди-
Дирака имеет, как мы обнаружили, две нулевые моды—@, 0)-
форму и @, N) -форму. При нечетных N (это оказывается инте-
интересующим нас случаем) эти состояния имеют противополож-
противоположную киральность. Данная ситуация становится «естественной»
благодаря именно тому факту, что нулевые моды оператора
Дирака соответствуют классам когомологий Дольбо, которые
являются квазитопологическими. В последующих обобщениях
роль когомологий Дольбо будет еще более важной.
15,5.3. Разложение Ходжа
До сих пор в кэлеровой геометрии мы изучали лишь
@, га)-формы. Теперь мы хотим изучить свойства (р, <7)-форм
для произвольных р и q.
J) В вещественной дифференциальной геометрии в случае 8k -\- 2 изме-
измерений имеется теорема о 22-индексе, которая иногда может предсказать, что
оператор Дирака имеет по нулевой моде каждой киральности. Но в веще-
вещественном случае нет личего, что было бы аналогично ситуации, возникающей
.в кэлеровой геометрии.

490 Глава 15
Определение групп д-когомологий немедленно переносится
на (р, q) -формы. Рассмотрим (р, q) -формы, которые являются
д-замкнутыми, но не д- точными. Считая две такие формы \|>
и г|/ эквивалентными, если их разность точна, получаем классы
эквивалентности, которые образуют группы когомологий Доль-
Дольбо Яр- я. Точно такие же рассуждения, как и выше, показывают,
что элементы пространства №•q находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с (p,q) -формами, аннулируемыми опера-
оператором Д;з = ЪЪ* + д*Ъ.
Уже не в первый раз мы встречаемся с группами когомоло-
когомологий, состоящими из гармонических дифференциальных форм.
В гл. 14 мы определили лапласиан A = dd*-\-d*d и заметили,
что группы когомологий де Рама НЪ (только в этом разделе
мы используем индекс D, отвечающий когомологий де Рама)
можно отождествить с гармоническими n-формами, т. е. «-фор-
«-формами, аннулируемыми оператором А. Можно спросить, какова
связь между «вещественным» лапласианом А и «комплексным»
лапласианом Ag. Ответ состоит в том, что на кэлеровых много-
многообразиях (но не на более общих комплексных многообра-
многообразиях) эти операторы связаны соотношением A-j = A/2. В част-
частности, они имеют одинаковые нулевые моды, так что класс ко-
когомологий де Рама является также и классом когомологий
Дольбо (в компактном случае. — Перев.) и наоборот. В веще-
вещественной дифференциальной геометрии классы когомологий де
Рама всегда можно считать порождаемыми /г-формами с опреде-
определенными п, но связь между когомологиями де Рама и Дольбо по-
позволяет сделать гораздо более точное утверждение в случае кэ-
леровой геометрии. Можно считать, что классы когомологий де
Рама кэлерова многообразия определяются (p,q)-формами с
определенными р и q. Математическое соотношение между
группами когомологий де Рама и Дольбо имеет вид
НЪ= ф Яр<?. A5.5.12)
p + q = n
Это утверждение называется разложением Ходжа.
Один из способов доказательства сформулированных выше
утверждений состоит в следующем. Напомним, что согласно;
разд. 14.3.4, комплекс де Рама дифференциальных форм про-
произвольной степени удобно описывать в терминах поля фар с
двумя спинорными индексами. В гл. 14 введены два набора
антиком мутирующих гамма-матриц Т1, Т1, i, /=1, ..., 2ЛГ,
удовлетворяющих соотношениям {Г', Г'} = {Г*, Г;} = 2g ',
{Т1, Т1} = 0. В кэлеровом случае эти два набора гамма-матриц..

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 491
становятся двумя антикоммутирующими наборами фермионных
•операторов рождения — уничтожения: (га, Гь} = {Га, Г6} =
= 2g ь. Голоморфные и антиголоморфные индексы удобно рас-
рассматривать симметричным образом, что было бы невозможно
с одним только набором гамма-матриц. Поэтому будем рас-
рассматривать
Тй и Ть A5.5.13)
как операторы рождения. Такой выбор симметричен относи-
относительно замены голоморфных индексов а на антиголоморфные
индексы о, если при этом Г *-»¦ Г. Мы вводим «фоковский ва-
;куум» |Q>, который аннулируется операторами уничтожения
Г" и Гй. A5.5.14)
Произвольное состояние
Г5' ... Г^Р» ... Tap-\Q) A5.5.15)
антисимметрично по р голоморфным и q антиголоморфным
индексам, так что мы отождествляем его с {p,q) -формой.
В разд. 14.3.4 мы определили оператор S, действующий на
<биспинорное поле i|)ap формулой
(•ЭД^Г^Ар. A5.5.16)
Выше мы задали алгебру Дирака таким образом, что
S представляет собой оператор д + д*, квадрат которого есть
Л-д, а нулевые моды являются поэтому классами когомологий
.Дольбо. С другой стороны, в гл. 14, используя несколько дру-
другое определение алгебры Дирака, мы интерпретировали тот же
самый оператор S как оператор d-\- d*, квадрат которого равен
А, а нулевые моды являются классами когомологий де Рама.
Поэтому связь между когомологиями Дольбо и де Рама уже
;доказана. Лучше, однако, не останавливаться на этом и явно
продемонстрировать, что оператор S2 отображает (p,q) -формы
в {p,q)-формы, а следовательно, его нулевые моды являются
¦формами с определенными р и q. В любом случае соответствую-
соответствующие формулы полезны сами по себе.
Биспинорное поле i|;ag является частным случаем более
общего объекта — спинорного поля tyax с дополнительным ин-
индексом х, на который действует некоторое поле Янга — Миллса.
Биспинор i|)ap есть тот частный случай, когда х оказывается до-
дополнительным спи норным индексом. Оператор 5, действующий
на i|5ap, представляет собой в точности оператор Дирака с ми-
минимальной калибровочной связью, причем полем Янга — Миллса,
.действующим на индекс 0, в нем служит спиновая связность.

492 Глава 15
Рассмотрим общий случай поля \рах с произвольным янг-
миллсовым индексом х и вычислим квадрат минимального
оператора Дирака T'Di, действующего на такое поле. Вывод со*
отношений A5.5.3) и A5.5.5) модифицируется, поскольку в ком-
коммутаторе ковариантных производных имеется дополнительный
член [Dt, Dj] ~ FfjTx, где Ff,- — напряженность поля Янга —
Миллса, а Тх — генераторы группы. Соотношение, обобщающее
A5.5.5), имеет вид
(iT'Dif = —DiD* + #/4 - ri!'F?iTx/4. A5.5.17)
Нам надо специализировать эту общую формулу на случай,,
когда индекс х является дополнительным спинорным индексом,
на который действует спиновая связность. В этом случае генера-
генераторы Тх равны [Tk, f'j/4, a Ffj есть Ri/ki. Кроме того, как мы
знаем из гл. 14, оператор (iT'D1J в этом случае представляет
собой лапласиан А, ассоциированный с когомологиями де Рама.
Следовательно, выражение A5.5.17) в этой ситуации сводится
к следующей формуле для лапласиана:
А = -DP* + Я/4 - Riikl [Г\ Г'] [Г*, f']/16. A5.5.18>
В случае кэлерова многообразия (не обязательно с SU(N)-to-
лономией), как мы знаем, ненулевыми компонентами тензора
Римана являются Яа5с^, так что последнее слагаемое в фор-
формуле A5.5.18) принимает вид ЯаШ [Га, ГЬ][ТС, Td]. Это выра-
выражение содержит по одному оператору рождения и уничтожения
каждого типа, а следовательно, отображает (p,q) -формы в
(p,q) -формы. То же верно и для ковариантных производных Dt
(так как U(N) -представление (р,д)-форм зависит от р и q, a Dt
содержит только U(N) -спиновую связность и не может изме-
изменить U(N)-представление). Поэтому А отображает (p,q)-формы
в (р, q) -формы, и гармонические формы можно выбрать так,.
чтобы они были формами с определенными (p,q)- Это завер-
завершает наше обсуждение разложения Ходжа.
15.5.4. Числа Ходжа
Для вещественных многообразий размерность группы кого-
мологий де Рама HnD называется числом Бетти Ъп. Аналогично в
кэлеровой геометрии размерность группы когомологий Дольбо
№-q называется числом Ходжа /ip'?. Из разложения Ходжа сле-
следует
Ьа= ? h"'"- A5.5.19>

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 493
Отсюда вытекает, что эйлерова характеристика кэлерова мно-
многообразия дается выражением вида
%= I (-1)в&„= Е (~l)p+qhp'q. A5.5.20)
п Р.?
Числа Ходжа подчиняются определенным простым ограниче-
ограничениям, которые легко вывести из A5.5.18). Во-первых, симмет-
симметрия относительно Г' -«->¦ Г' означает, что
hp-q = hq'p. A5.5.21)
Это равенство отражает тот факт, что выбор того, что считать
голоморфным, а что — антиголоморфным, произволен и ре-
решается по договоренности. Во-вторых, выражение A5.5.18)
инвариантно относительно замены операторов рождения на опе-
операторы уничтожения (что вызывает замену представления N
группы SU(N) на представление N). Отсюда следует, что
hP.q =hN-p,N-q_ A5.5.22)
Это неравенство определяет дуальность Пуанкаре в случае кэ-
леровых многообразий.
Обсудим теперь, как определить числа Ходжа в некоторых
простых случаях. Сначала рассмотрим компактную риманову
поверхность рода g. Числа Бетти, как мы знаем, равны Ьо =
= Ь2 = 1, Ь\ = 2g. Уравнений A5.5.19) и A5.5.21) достаточно,
чтобы получить ti>-° = hl> l = I, h1-0 = h0-l = g. Здесь й1-0 —
число глобально определенных голоморфных A,0)-форм, или,
другими словами, глобально определенных голоморфных диф-
дифференциалов a(z)dz. Тот факт, что это число равно g, пред-
представляет собой первоначальную формулировку теоремы Рима-
на — Роха.
В качестве второго примера рассмотрим многообразие комп-
комплексной размерности три, группа голономии которого есть в
точности SUC), а не ее подгруппа. В начале этого раздела мы
показали, что фермионные нулевые моды, являющиеся @, п)-
формами, должны быть ковариантно постоянными. Это означает,
что А0-° = Л3-° = 1 и hl-° = h2'° = 0. Остальные числа Ходжа,
которые не определяются условиями A5.5.21) и A5.5.22),— это
Л1л и Л2-1. Поскольку Л2- ° = Л°.2 = 0, число /г1-1 равно числу
гармонических 2-форм Ь2. Что касается числа й2>', оно тоже имеет
качественный смысл, с чем мы встретимся ниже, в результате
некоторых дальнейших применений когомологий Дольбо. Эйле-
Эйлерова характеристика многообразия, группа голономии которого
есть в точности SUC), равна х = 2(й1-1 — й2-1).

494 Глава 15
15.6. Уравнения Янга — Миллса и голоморфные
векторные расслоения
Уравнение A5.1.3) при упрощающем предположении
Н = d<j> = 0 дает два условия ненарушенной суперсимметрии.
Одно из них, 0 = DiT\, было предметом нашего рассмотрения
до настоящего момента. Обратимся теперь ко второму урав-
уравнению
О = Г"Р{;Х), A5.6.1)
где Fij — напряженность некоторого калибровочного поля Ян-
га — Миллса, которое является связностью в некотором век-
векторном расслоении X. Теперь мы можем изучить следствия это-
этого уравнения. Уравнение A5.6.1), записанное явно через опера-
операторы рождения — уничтожения, принимает вид
О = fa5rsS + FabYab + 2FaBTai) ц. A5.6.2)
Все три слагаемых в этом уравнении должны равняться нулю
по отдельности. Потребовав, чтобы первое слагаемое в уравне-
уравнении A5.6.2) равнялось нулю, если т) — фоковский вакуум, или
чтобы второе слагаемое равнялось нулю, если г| — совершенно
заполненное состояние, мы найдем, что
Анализ последнего слагаемого в уравнении A5.6.2) немного
сложнее; ТаЬ содержит один оператор рождения и один опера-
оператор уничтожения. Если ГаЬ действует на совершенно пустое
или на совершенно заполненное состояние г\, оператор уничто-
уничтожения должен уничтожить то, что создал оператор рождения,
или наоборот, так что Га r| = ± gabr\. Следовательно, обраще-
обращение в нуль последнего слагаемого в уравнении A5.6.2) равно-
равносильно условию
Мы будем предполагать, что поля вещественны в том смыс-
смысле, что A, 0)- и @, 1)-части калибровочного поля А эрмитово
сопряжены друг другу. В таком случае, чтобы удовлетворить
условию A5.6.3), достаточно потребовать, чтобы FuB = 0, по-
поскольку условие Fab = 0 получается из него комплексным со-
сопряжением. Локально нетрудно найти общее решение уравне-
уравнения /7_g = 0. Это уравнение означает, чтоО = Ш-, DA = [дй +
-f iAu, д-ь + iAB], а значит,
AB = idBV-V-\ A5.6.5)

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 495
где V — некоторая матричнозначная функция координат za,
2Р. Поскольку Аа эрмитово сопряжено Аа, это дает
Aa = idaV—l-V\ A5.6.6)
Здесь V* — матрица, сопряженная V, так что V* = V~l, если и
только если V унитарна. Уравнения A5.6.5) и A5.6.6) показы-
показывают, что или Аа, или Аа можно обратить в нуль с помощью
калибровочного преобразования, но в общем случае не одно-
одновременно. Одновременно они могут обратиться в нуль только
в том случае, если V унитарна.
Пусть / — заряженное поле, взаимодействующее с калибро-
калибровочным полем А. Тогда говорят, что / «голоморфно», если
Dsf = O. A5.6.7)
Условие интегрируемости для этого уравнения имеет вид
[?>-, DA=0. Ввиду соотношения A5.6.5) уравнение A5.6.7)
локально, эквивалентно равенству f = Vg, где g — голоморфная
функция в обычном смысле: dag = 0. Глобально же уравнение
A5.6.7) представляет собой важное обобщение элементарного
определения аналитической или голоморфной функции. Урав-
Уравнение A5.6.3) играет фундаментальную роль в комплексной
геометрии, так как оно приводит к такому обобщению обычного
комплексного анализа.
15.6.1. Голоморфные векторные расслоения
Проанализируем теперь значение уравнения A5.6.3) в гло-
глобальном отношении. Во-первых, отметим, что векторное расслое-
расслоение X, для которого калибровочное поле служит связностью, мо-
может быть, вообще говоря, топологически нетривиальным. По-
Поэтому в общем случае мы должны, как в разд. 12.3, покрыть
наше многообразие К открытыми множествами О(а), на каждом
из которых будет калибровочное поле Л(а). В областях перекры-
перекрытий О(а(,) = О (а) П О(р) поле Л(ай связано с полем Аф) калибро-
калибровочным преобразованием U(a$). В явном виде имеем
At (а) = ишА{ (p)t/(aPf • + idiUw) ¦ t/fap)-1 A5.6.8)
на 0(<zp). Из соотношения A5.6.8) следует, что f/(ap> = U(.f>a)~l-
Функции U(aff) называются переходными функциями расслоения
X. Самосогласованность соотношения A5.6.8) требует, чтобы
в областях тройного перекрытия O(apY) = 0<a) П Op П O(Y) пере-
переходные функции удовлетворяли условию согласованности

496 Глава 15
Переходные функции определены, конечно, неоднозначно. Под
действием калибровочного преобразования в каждом множестве
О (а), осуществляемого с помощью калибровочной функции ?/(а),
переходные функции ?/(ар) превращаются в столь же хорошие
переходные функции
О {а») = ЦаАарАр), ' A5.6.10)
которые точно так же удовлетворяют условию A5.6.9).
В ситуации, когда -Fag = O, поле А{Л) на каждом О(а) можно
записать, как в формуле A5.6.6), в виде
Au{a) = iduV{a)-V(a)-\ A5.6.11)
где теперь в разных открытых множествах О(а,> имеем разные
V(a). Подставляя выражение A5.6.11) в уравнение A5.6.8), на-
находим, что в каждом множестве О(ар> величина
удовлетворяет уравнению
WaP)-KaP)]"=0- A5-6.13)
Сравнивая A5.6.10) и A5.6.12), мы видим, что (если взять
U(а) = V(a)) функции t/('a|3) можно рассматривать как новые пе-
переходные функции для расслоения X. Уравнение A5.6.13) озна-
означает, что эти новые переходные функции голоморфны.
Векторное расслоение, в котором переходные функции можно
выбрать голоморфными, называется голоморфным векторным
расслоением. Таким образом, мы обнаружили, что решение урав-
уравнения A5.6.3) является голоморфным векторным расслоением.
Обратное также верно (хотя мы не будем здесь это доказы-
доказывать) . Если переходные функции (/(ар) для данного векторного
расслоения X над комплексным многообразием К можно вы-
выбрать голоморфными, то в X найдется калибровочное поле, удов-
удовлетворяющее уравнению A5.6.3). Такое калибровочное поле на-
называется голоморфным калибровочным полем или голоморфной
связностью.
Топологически два векторных расслоения X и Я с переход-
переходными функциями t/(a(j) и С^ар) считаются эквивалентными, если
U и О связаны так же, как в формуле A5.6.12). С голоморфной
точки зрения ситуация более сложная. Важность понятия голо-
голоморфного векторного расслоения в большой степени определяет-
определяется тем, что для таких расслоений можно дать обобщение (как
в уравнении A5.6.7)) понятия аналитической, или голоморфной,
функции. Голоморфные векторные расслоения с переходными
функциями U и О приводят к эквивалентным понятиям голо-

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 497
морфной функции только в том случае, если V(a) в A5.6.12)
можно выбрать голоморфными; только при этом X и X счи-
считаются голоморфно эквивалентными.
Голоморфная связность Ai в данном голоморфном векторном
расслоении не единственна. Столь же хорошо (в том смысле,
что уравнение A5.6.3) также выполнено) новое калибровочное
поле А\, @, 1)-часть которого имеет вид
A'u = GAuG-l-\-iduG-G-\ A5.6.14)
Не слишком трудно доказать, что любые две голоморфные связ-
связности А и А' в одном и том же голоморфном векторном рас-
расслоении связаны соотношением A5.6.14). Матрица G определена
глобально, поскольку А я А' как связности в одном и том же
расслоении должны иметь одинаковые сингулярности типа дира-
ковских струн; A,0)-часть для А' задавать не надо, поскольку
она связана с @, 1)-частью комплексным сопряжением.
Если G — унитарная матрица, то А' калибровочно эквива-
эквивалентно А, но в противном случае это не так. В общем случае
для G можно написать полярное разложение G = UP, где V
унитарна, а Р эрмитова. Унитарная часть несущественна, так
что можно просто считать, что матрица G эрмитова.
15.6.2. Уравнение Дональдсона — Уленбек — Яу
Теперь мы выясним следующий вопрос. Если дано голоморф-
голоморфное векторное расслоение X, то можно ли в этом расслоении
выбрать связность А, которая удовлетворяла бы не только усло-
условию A5.6.3), но и A5.6.5)? Это равносильно вопросу, можно ли
так выбрать эрмитову матрицу G в формуле A5.6.14), чтобы
эрмитова матрица H = gabFaB в уравнении A5.6.4) была равна
нулю в каждой точке на К. Можно ожидать, что локально
можно так подобрать одну эрмитову матрицу G, чтобы другая
эрмитова матрица Н обратилась в нуль. Можно ли сделать это
глобально — уже другой вопрос. Он требует, как обычно, топо-
топологического рассмотрения.
Если А — U(l)-калибровочное поле, то ответить на этот во-
вопрос совсем легко. В таком случае A, 1)-форма F калибровочно-
инвариантна и представляет первый класс Черна линейного
расслоения X. Пусть k — кэлерова форма на кэлеровом много-
многообразии К, размерность которого предполагается равной N.
Тогда можно проверить, что в этом случае Н дается выраже-
выражением
\)t. A5-6.15)

Глава 15
Следовательно, # = 0 тогда и только тогда, когда (N, N) -форма
Х = /7Л?Л ... 'A k обращается в нуль. С другой стороны,
f=\l. A5.6.16)
к
является топологическим инвариантом в том смысле, что при
фиксированных расслоении X и кэлеровом классе k величина f
не зависит от выбора калибровочного поля А на X. Решающую
роль здесь играет тот факт, что классы Черна являются топо-
топологическими инвариантами, или конкретнее, что класс когомо-
логий A,1)-формы F зависит только от топологии расслое-
расслоения X.
Таким образом, необходимым условием для того, чтобы на-
нашлась голоморфная связность А, для которой # = 0, является
требование, чтобы топологический инвариант
f=\trFAkA... Ak = (N-\)\2\H A5.6.17)
к к
обращался в нуль. Легко видеть, что это условие является
(в абелевом случае) также и достаточным. В абелевом случае
эрмитова матрица G в формуле A5.6.14) есть просто G = еат
где а — некоторая скалярная функция. Кроме того, если F'—
калибровочно-инвариантная напряженность поля А', то в абеле-
абелевом случае H' = gaEF'ab связана cH = ga5FaB соотношением
Н' = Н + Аа (где А = ga5dadB — обычный лапласиан). Чтобы
удовлетворить условию Н' = 0, надо найти такую функцию а,
что Аа = Н, а это возможно тогда и только тогда, когда-
SH = 0. Действительно, если грй — собственные функции лап-
к
ласиана А, отвечающие собственным значениям lk, то решение
уравнения Аа = Н должно иметь вид
A5.6.18>
Трудность в выражении A5.6.18) связана с тем, что %к может
обращаться в нуль для некоторых k. Выражение A5.6.18) пред-
представляет собой корректное решение уравнения Аа = Я, если и
только если <-фй | Я> = 0 всегда, когда %k = 0. В действитель-
действительности единственное нулевое собственное значение лапласиана А
соответствует постоянной функции 1, так что необходимое и до-

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 499
статочное условие справедливости выражения A5.6.18) имеет
вид
О = A\Н)=\Н, A5.6.19)
к
как и утверждалось.
В неабелевом случае, конечно, не так просто определить гло-
<бальные условия для существования решения уравнения A5.6.4).
Если А — U(yV) -калибровочное поле, то первое необходимое
условие состоит в том, что ?/A)-часть поля А должна удовлет-
удовлетворять только что сформулированным условиям. Дополнитель-
Дополнительное требование определяется теоремами, которые были недавно
доказаны Дональдсоном, а также Уленбек и Яу. Это требование
состоит в том, что голоморфное векторное расслоение X должно
быть стабильным. Это довольно умеренное топологическое огра-
ограничение, смысл которого мы не будем пытаться здесь прояснить.
В интересующих нас приложениях необходимое условие будет
очевидно из физических соображений.
Поскольку условия, которые мы обсуждали, связаны с нена-
ненарушенной суперсимметрией, естественно думать, что из них
должны следовать уравнения движения, в данном случае урав-
уравнения Янга — Миллса. Действительно, при Fa6 = .F^ = 0 уравне-
.ния Янга — Миллса D'Fu =0 сводятся к
g«4^ = 0' A5.6.20)
Из тождества Бианки DiFjk + DjFkl + DkFu = 0 в этой ситуа-
ситуации следует, что DaFBc = DcFBa, поэтому уравнения Кэлера —
Янга—Миллса A5.6.20) равносильны уравнениям DcgaiFaB = О,
которые определенно следуют из уравнения gaBFa5 = 0, которое
мы только что обсуждали.
15.6.3. Примеры
Рассмотренные выше понятия могут показаться несколько
абстрактными, поэтому мы приведем несколько конкретных при-
примеров, часть которых важна для дальнейших приложений.
1. Голоморфные векторные расслоения над римановыми по-
поверхностями
Как обычно, удобно начать со случая, когда рассматривае-
рассматриваемое комплексное многообразие представляет собой риманову
поверхность 2 (комплексной размерности один). Пусть Л —
произвольное калибровочное поле на 2. Тогда неизбежно

500 Глава 15
выполняется равенство FаЪ = 0 (так как на римановой поверх-
поверхности а и В имеют только одно возможное значение, а именно 2),
поэтому А определяет голоморфное векторное расслоение над 2.
Сказанное выше, возможно, создает несколько преувеличен-
преувеличенное представление о количестве голоморфных векторных рас-
расслоений над римановой поверхностью. Два калибровочных поля
А и А' могут определять эквивалентные голоморфные векторные
расслоения, если они отличаются на преобразование типа
A5.6.14); в самом деле, голоморфные векторные расслоения
данного топологического типа над данной римановой поверх-
поверхностью определяются конечным числом параметров. Этим во-
вопросом мы займемся в следующем разделе.
2. Касательное расслоение и его родственники
Чтобы дать следующий пример голоморфного векторного
расслоения, рассмотрим произвольное комплексное многообра-
многообразие К. Так называемое голоморфное касательное расслоение со-
состоит из касательных векторов, имеющих только A,0)-часть,
т. е. сечением голоморфного касательного расслоения является
векторное поле va только с голоморфным индексом.
Чтобы показать, что это — голоморфное векторное расслое-
расслоение, построим переходные функции в явном виде. Комплексное
многообразие К можно покрыть открытыми множествами О(а),
на каждом из которых имеются комплексные координаты г(аа).
В областях перекрытия 0<ар) координаты г", являются анали-
аналитическими функциями координат г^, что является одним из
способов сформулировать определение комплексного многообра-
многообразия. Следовательно, такие величины, как dz^Jdz^, являются
аналитическими функциями от г?а) (или от zt^. Рассмотрим
векторное поле v общего вида на К. В каждом открытом мно-
множестве О(Л) векторное поле v имеет компоненты vfa). В областях
перекрытий 0<ар) при переходе от координат г%^ к координатам
zfa) векторное поле v преобразуется по закону, знакомому из
ОТО:
Отсюда видно, что переходные функции касательного расслое-
расслоения имеют вид

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 501
Поскольку эти функции голоморфны, касательное расслоение
является голоморфным векторным расслоением.
Вместо рассмотрения векторного поля va с голоморфным ка-
касательным векторным индексом мы можем, например, рассмот-
рассмотреть дифференциальную форму wa типа A,0). При координат-
координатных преобразованиях она преобразуется как wa,a\ = (dzfaJ
jdz?a))wbi{iyr^eneVb перех°Дные Функции являются голоморфными,
так что дифференциальные формы типа A,0) принимают зна-
значения в голоморфном векторном расслоении, которое обычно
называют голоморфным кокасательным расслоением Q. В более
общем виде можно рассмотреть дифференциальные формы
wula2...a типа (р,0). Закон преобразования при переходе от
координат г?», к координатам zb(a) для них имеет вид
A5.6.23)
Переходные функции опять голоморфны, так что дифференци-
дифференциальные формы типа (р, 0) принимают значения в голоморфном
векторном расслоении, которое мы обозначим Qp.
На комплексном многообразии К комплексной размерности
N дифференциальная форма типа (N, 0) должна быть пропор-
пропорциональна dzxdz2 ... dzN. Поэтому дифференциальные формы
типа (N,0) образуют одномерное векторное расслоение, назы-
называемое каноническим линейным расслоением L многообразия
К. Первый класс Черна этого расслоения называется первым
классом Черна многообразия К. Если он равен нулю, L — три-
тривиальное линейное расслоение') и если К компактно, то у рас-
расслоения L существует единственное нигде не равное нулю и не
сингулярное голоморфное сечение со. (Голоморфное сечение три-
тривиального линейного расслоения эквивалентно голоморфной
функции, а на компактном комплексном многообразии К суще-
существует только одна ненулевая и несингулярная голоморфная
функция, а именно 1.) Эта нигде не равная нулю голоморфная
Л/-форма со выше играла одну из ключевых ролей при обсуж-
обсуждении многообразий с 56'(Л')-голономией.
') Это утверждение справедливо без дополнительных оговорок, если
К односвязно. Впрочем, такое же замечание надо сделать и по поводу того,
что из условия риччи-плоскости кэлерова многообразия следует, как говори-
говорилось в разд. 15.4, существование ковариантно постоянного спинорного по-
поля.— Прим. перев.

S02 Глава 15
3. Новые векторные расслоения из старых
Обобщение сделанных выше замечаний приводит к некото-
некоторому общему методу построения новых векторных расслоений
из старых. Пусть X—голоморфное векторное расслоение над
комплексным многообразием К. Пусть ?/<аз) — переходные функ-
функции для X. Если комплексная размерность расслоения X равна
п, то ?/(ар) — комплексные п X n-матрицы, или, другими сло-
словами, элементы группы GL(n,C). Пусть R — любое представ-
представление группы GL(n,C), а #(ар)— переходные функции i/(ap)>
записанные в представлении R. Тогда С<ар) являются голоморф-
голоморфными функциями, которые удовлетворяют тождествам, необхо-
необходимым, чтобы ?7(аЗ) были переходными функциями некоторого
нового голоморфного векторного расслоения XR.
В качестве t7(a3) можно взять, например, обратные транспо-
транспонированные по отношению к ?/<аз) матрицы. При таком выборе
#(ар) представляют собой переходные функции расслоения К,
которое называется дуальным или комплексно-сопряженным по
отношению к X1). Особенно важен также случай, когда R —
присоединенное представление группы GL(n,C). В этом случае
XR обычно обозначается как EndX и называется расслоением
эндоморфизмов расслоения X. Смысл такого названия в том, что
если Хр — слой расслоения X над точкой pel, то слоем рас-
расслоения XR над точкой р является пространство всех эндомор-
эндоморфизмов, или линейных преобразований векторного простран-
пространства Хр.
4. Прямая сумма
Другая фундаментальная операция — прямая сумма вектор-
векторных расслоений. Пусть X и У—произвольные голоморфные век-
векторные расслоения над К, слоями которых над точкой р являют-
являются Хр и Yp. Тогда мы определяем новое расслоение X <&> У, назы-
называемое прямой суммой X и У, полагая, что слой расслоения
ХФУ над р есть XP@YP — прямая сумма векторных про-
пространств Хр и Yp. Очевидно, что если ?/(ар, и У(«р) — переход-
переходные функции для X и У, то X®Y — векторное расслоение, пе-
*) Комплексно-сопряженным расслоением X чаще всего называют рас-
расслоение, переходные функции которого комплексно сопряжены переходным
функциям расслоения X. Таким образом, если X — голоморфное расслоение,
то X — антиголоморфное. Просто как векторные расслоения (если забыть
о голоморфности) двойственное расслоение 2 и комплексно-сопряженное
расслоение X изоморфны (это видно, например, когда переходные функции
U,aa j исходного расслоения X выбраны унитарными), но этот изоморфизм
не единственный. — Прим. перев.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 503
реходные функции которого имеют вид
о Vi
Аналогично можно определить тензорное произведение расслое-
расслоений X и У, обозначаемое X&Y, как расслоение, слой которого
над р представляет собой тензорное произведение векторных
пространств Хр и Ур.
5. Линейные расслоения над CPN
В качестве следующего примера рассмотрим линейные рас-
расслоения (или U(\)-расслоения) над комплексным проективным
пространством CPN. Напомним, что CPN можно описывать в
терминах ./V + 1 однородной координаты Z1, Z2, ..., ZN+1. По-
Покроем CPN открытыми множествами О(п), а= 1, ..., N -\-\, где
О {а) — область, в которой Za Ф 0.
Одномерные комплексные расслоения, т. е. линейные рас-
расслоения над CPN, определим теперь явно, указав переходные
функции V(ab) в областях перекрытия О(аь) = О(а)П О(Ь). Возь-
Возьмем произвольное целое число п и определим
V{ab) = {Zb/Za)n. A5.6.25)
Здесь, очевидно, У(ащ — голоморфные функции, и в областях
тройного перекрытия О(аьС) = 0<а> П О(Ь) П 0<о они удовлетво-
удовлетворяют условию V(ab) ¦ V(bC)' V(ca) = 1. Следовательно, они являют-
являются переходными функциями некоторого линейного расслоения
L(n) над CPN. Это все линейные расслоения над CPN, хотя мы
не будем пытаться здесь это доказать.
Опишем теперь явно, что такое сечение расслоения L(n),
или, другими словами, функция, принимающая значения в этом
линейном расслоении. Конкретно такую функцию можно опи-
описать, задав на каждом О (а), а=1, ..., Af-f-1, функцию
fia){Z , Z°), обладающую двумя основными свойствами. По-
Поскольку Zb — однородные координаты, мы требуем выполнения
условия
f{a)(XZb, XZ5) = f{a)(Zb,Zg). A5.6.26)
Кроме того, в областях перекрытия функции f(O> должны удов-
удовлетворять условию f(a) = V\ab)f(b). В силу явного вида переход-
переходных функций V(ab) последнее равенство равносильно утвержде-
утверждению Ba)"f(a)=B6)nfF), так что функция f = (Za)nfw не зави-
зависит от а. С другой стороны, / не обладает обычным свойством

504 Глава 15
однородности A5.6.26), а удовлетворяет соотношению
f (lZb, lZe) = Л,11/ (z\ Z?). A5.6.27)
Таким образом, чтобы описать некоторое сечение расслоения
L(n), мы можем обойтись без открытых покрытий и переход-
переходных функций и использовать одну функцию /, удовлетворяю-
удовлетворяющую не обычному условию однородности A5.6.26), а обобщен-
обобщенному условию A5.6.27).
6. Векторные расслоения над гиперповерхностями
В ходе феноменологических рассмотрений в гл. 16 мы обна-
обнаружим, что векторные расслоения над многообразиями с SUC)-
голономией могут играть важную роль в построении более или
менее реалистических моделей. Поэтому мы хотим построить
здесь некоторые примеры таких расслоений. Мы ограничимся
описанием некоторых примеров векторных расслоений над мно-
многообразием, представляющим собой один из простейших приме-
примеров многообразий с 5^/C)-голономией, а именно над гиперпо-
гиперповерхностью Q в СР4, которая определяется нулями полинома
Р пятой степени.
Начнем с явного описания касательных расслоений для СР4
и для Q. Касательное векторное поле va можно рассматривать
как генератор инфинитезимального преобразования координат
бга = va. Здесь в общем случае z° могут быть любыми комп-
комплексными координатами на любом комплексном многообразии
К- В случае многообразия СР4 самое простое описание связано
с выбором в качестве га стандартных однородных координат Z1,
Z2, ..., Z5, которые определены с точностью до общего множи-
множителя: Za « %Za. Если в случае многообразия СР4 мы пишем
стандартную формулу 8Za = W, а = \, ..., 5, то V (zbZc),
должны быть однородными функциями степени один (т. е.
Va{KZb, %Z~c) = KVa{Zb, Tc)). Это необходимо, поскольку фор-
формула 8Za = Vй имеет смысл только в том случае, если Za и Vй
имеют одинаковую однородность. Кроме того, одна из пяти
функций Vй лишняя, так как размерность СР4 равна всего лишь
четырем. Эту неопределенность можно исключить, заметив, что
уа и уа _j_ ^2.a должны считаться эквивалентными в СР4, по-
поскольку преобразование 8Za = %,Za тривиально в СР4.
Если надо рассмотреть касательное расслоение не для СР4,
а для гиперповерхности Q в СР4, то мы должны наложить усло-
условие, что векторное поле Vй касательно к этой гиперповерхности.
Последнее означает, что определяющее гиперповерхность урав-
уравнение Р = 0 должно быть инвариантно относительно преобразо-

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 505
вания 6Z"= V. Изменение Р при таком координатном преобра-
преобразовании равно 8Р =(dP/dZa)Va и должно обращаться в нуль,
чтобы поле V было касательным к гиперповерхности. Сумми-
Суммируя, получаем, что касательное векторное поле к гиперповерх-
гиперповерхности Q есть набор из пяти функций Vй (Zb, Zc), которые одно-
однородны степени один и подчиняются отношению эквивалентности
Va~Va + XZa A5.6.28)
и условию
^rFa = O. A5.6.29)
Последнее условие совместно с отношением эквивалентности,
так как для любого однородного полинома Р пятой степени
имеем Za(dP/dZa) = 5P, и эта величина обращается в нуль на
гиперповерхности Q.
Уравнения A5.6.28) и A5.6.29) описывают одно конкретное
голоморфное векторное расслоение над Q, а именно касательное
расслоение Т. Теперь мы опишем некоторые более общие комп-
комплексные векторные расслоения над Q, которые имеют такой же
топологический тип, но другую комплексную структуру. Чтобы
это сделать, рассмотрим возмущение уравнений, входящих в оп-
определение Т. Полезного способа изменить уравнение A5.6.28)
не существует, но это не относится к уравнению A5.6.29).
В уравнении A5.6.29) dP/dZa представляет собой при каждом
а полином четвертой степени от Zb. Пусть Ра, а=\, ..., 5,—
любые пять полиномов четвертой степени от Zb, удовлетворяю-
удовлетворяющие (на Q) условию
PaZa==0. A5.6.30)
Тогда уравнение A5.6.29) можно заменить уравнением
PaVa = Q. A5.6.31)
Это уравнение по-прежнему совместно с A5.6.28) в силу усло-
условия A5.6.30). При любом выборе пяти полиномов Ра (подчи-
(подчиняющихся условию A5.6.30)), уравнения A5.6.28) и A5.6.31)
вместе определяют голоморфное векторное расслоение Т над
Q. Оно эквивалентно расслоению Т топологически, но имеет
отличающуюся комплексную структуру. Получаем следующий
общий вид полиномов Ра, совместный с условием A5.6.30):
Ра = dP/dZa + PabcdeZbZcZdZe, A5.6.32)
где раьсае симметрично по четырем последним индексам, но
обращается в нуль, если его симметризовать по всем пяти

506 Глава 15
индексам. Небольшие вычисления показывают, что произвол
в выборе pabcde имеет 224 параметра, так что построенная голо-
голоморфная деформация расслоения Т зависит от 224 параметров.
Расслоение Т, так же как Т, представляет собой трехмерное
комплексное векторное расслоение (или SUC)-расслоение), так
как в каждой точке на Q вектор Vй в силу уравнений A5.6.28)
и A5.6.31) имеет три независимые комплексные компоненты.
Когда в следующей главе мы займемся поисками моделей с не-
ненарушенной суперсимметрией в четырех измерениях и калибро-
калибровочной группой SO A0), нас будут интересовать четырехмерные
расслоения над Q. В рассматриваемом случае некоторые четы-
четырехмерные расслоения над Q можно получить, отбросив либо
условие A5.6.28), либо A5.6.31). Оказывается, что гораздо ин-
интереснее отбросить условие A5.6.28), так что SUD) -расслоение
X над Q мы определяем, указав, что сечением расслоения X яв-
является набор из пяти функций Va, однородных степени один
и удовлетворяющих условию A5.6.31). Точнее для каждой точки
р на Q существуют четыре независимых решения уравнения
A5.6.31); они образуют векторное пространство, которое и яв-
является слоем расслоения X над точкой р.
При отказе от условия A5.6.28) не остается причин требо-
требовать выполнения условия A5.6.30). Поэтому мы больше не тре-
требуем, чтобы симметризация pabcde по всем пяти индексам давала
нуль. На первый взгляд кажется, что в pabcde имеется 5-E-6Х
X 7-8/1 -2-3-4) = 350 параметров, но число параметров, опреде-
определяющих комплексную структуру расслоения X, другое. После
того как условие A5.6.28) отброшено, индекс а у Vй или Ра уже
не имеет внутреннего смысла. Если взять любую 5Х5-матрицу
Л и подставить Ра = АаъРь в уравнение A5.6.31), то получится
расслоение, эквивалентное тому, которое получилось бы с ис-
использованием Ра. Поскольку Л имеет 5X5 = 25 компонент,
число независимых параметров, участвующих в определении X,
равно 350—25 = 325.
Топологически X построено так же, как ТФЬ (прямая сум-
сумма касательного расслоения Т и тривиального линейного рас-
расслоения L). Чтобы в этом убедиться, заметим, что топологиче-
топологический тип расслоения X не может зависеть от произвольных не-
непрерывных параметров pabcde- Таким образом, топологический
тип расслоения X можно определить, рассматривая случай
pabcde = 0. В этом случае мы замечаем, что X содержит три-
тривиальное линейное расслоение L (это та степень свободы, кото-
которую мы могли бы удалить с помощью отношения эквивалентно-
эквивалентности A5.6.28)), а ортогональное дополнение к L явно совпадает
с Г. В то время как топологически X эквивалентно расслое-
расслоению Т @ L, голоморфно это не так. Напротив^ X представляет

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 507
собой «голоморфную деформацию» расслоения Т © L, т. е. рас-
расслоение, которое можно получить из TQL с помощью непре-
непрерывного изменения комплексной структуры.
15.7. Когомологии Дольбо и некоторые приложения
Пусть К — кэлерово многообразие комплексной размерно-
размерности N. Мы определили оператор д, отображающий @,q) -формы
в @, о+1)-формы, указав, что если г|э есть @, а)-
_ 1а2 ' '• ац
форма, то @, q + 1)-форма dty имеет вид
(Ч«»-в,+. = ?ТГ3»,Ч-«,+1 + циклические перестановки.
A5.7.1)
Во многих отношениях оператор д очень похож на обычную
внешнюю производную d для вещественных многообразий, но
есть и важнейшие отличия. Одним из главных отличий является
тот факт, что д в отличие от d в присутствии полей Янга—¦
Миллса имеет обобщение, которое сохраняет существенное
свойство d=0.
Чтобы описать это обобщение, рассмотрим голоморфное
векторное расслоение X, наделенное голоморфной связностью,
так что напряженность поля Янга — Миллса удовлетворяет
условию /?5 = 0. Пусть \f> — некоторая @, q) -форма со значе-
значениями в X. Это означает, что г|)х антисимметрично по q
ata2...aq
антиголоморфным индексам а\, аг, ..., aq и, кроме того, несет
еще индекс х, отвечающий расслоению X. Определим калибро-
вочно-ковариантную внешнюю производную D, отображающую
@, q) -формы со значениями в X в @, q + 1)-формы со значе-
значениями в X, соотношением
(Dib), - _ =—|—T-D- г|)_ - ± циклические перестановки.
A5.7.2)
Таким образом, мы просто заменили в определении внешней
производной обычную производную да ковариантной производ-
производной Du. Так как для голоморфной связности в голоморфном
векторном расслоении выполняется условие [?>й, ^1=0, то Da
не хуже, чем да, обеспечивает условие В2 = 0.
Поскольку D2 = 0, можно обычным образом определить
группы когомологии. @,9)-форма ф со значениями в X счи-
считается D-замкнутой, если D-ip =0, и D-точной, если ij) = D% для

508 Глава 15
некоторого к. Классы эквивалентности @, <?)-форм, которые яв-
являются замкнутыми, но не точными, образуют пространство
Hq(X)— q-ю группу когомологий Дольбо со значениями в X.
Как обычно, Hq{X) можно также охарактеризовать как про-
пространство нулевых мод эрмитова оператора Б + 5* (где D* —
оператор, эрмитово сопряженный D).
Чтобы понять взаимосвязь с рассмотренным выше опреде-
определением когомологий Дольбо, заметим, что индекс х формы
i|)jS s может соответствовать произвольному голоморфному
векторному расслоению X. В частности, х может отвечать рас-
расслоению Qp дифференциальных форм типа (р, 0), которое опи-
описано в примере 2 разд. 15.6.3. В таком случае г):* _ —это то
же самое, что дифференциальная форма tya a _ с р
голоморфными и q антиголоморфными индексами. В этой си-
ситуации калибровочно-ковариантный оператор D — то же самое,
•что д- оператор, действующий на (р, q) -формах. Поэтому то, что
в разд. 15.5.3 обозначалось как Нр' ч, теперь записывается как
H
Рассмотрим пример. Для данного голоморфного расслоения
X над комплексным многообразием К группа когомологий
Н°(Х) допускает особенно простую интерпретацию. Элементом
из Н°(Х) является скалярное поле ф* со значениями в X, удов-
удовлетворяющее уравнению 0 = Dtyx. Точнее оно должно удовлет-
удовлетворять уравнению 0 = Datyx для всех а. Это уравнение мы уже
¦обсуждали (см. уравнение A5.6.7)). Если локально с помощью
калибровочного преобразования исключить все калибровочные
поля, входящие в Da, то уравнение принимает вид datyx = 0,
а это означает, что локально -ф^ представляют собой аналити-
аналитические в обычном смысле этого слова функции. На самом деле,
если X — тривиальное линейное расслоение L, то элемент из
Н°(Х) есть всюду голоморфная функция, которая должна быть
постоянной, если К компактно. Для более общего X группа
когомологий Н'д(Х) дает обобщение понятия всюду голоморф-
голоморфной функции. Например, пусть К—многообразие CPN, а X —
линейное расслоение L(n), определенное в предыдущем разделе,
где мы показали, что сечение расслоения L(n) представляет со-
собой однородную функцию / степени п от N -\- \ однородной
¦координаты Z1, ..., ZJV+1. Функция / является голоморфным
сечением расслоения Ь(п), если она является голоморфной
¦функцией координат Z'. Глобально определенная голоморфная
функция степени п от Z' должна быть полиномом /г-го порядка
tOT Z\ (Любая другая однородная голоморфная функция где-ни-

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 509
•будь имела бы сингулярности.) Для отрицательных п полино-
полиномов /г-го порядка, разумеется, не существует. Если п неотрица-
неотрицательное, то имеется (N + п) \fN\n\ независимых полиномов «-го
порядка от N -\- \ переменной, что и дает размерность простран-
пространства H°(L(n)).
Теперь мы кратко опишем некоторые приложения обобщен-
обобщенного понятия когомологий Дольбо.
15.7.1. Нулевые моды, оператора Дирака
Пусть К—многообразие с группой голономии SU(N). Тогда,
как мы узнали в разд. 15.5.1, спинорное поле на К представ-
представляет собой набор @, д)-форм, g = 1, ..., N. Спинорное поле
-ф* со значениями в некотором голоморфном векторном расслое-
расслоении X есть набор @, д)-форм г|^ й со значениями в X. Опе-
Оператор Дирака TlDi для таких полей представляет собой опера-
оператор Дольбо Б-{-Б*, что уже обсуждалось в случае, когда X
тривиально. Нулевые моды оператора Дирака являются нуле-
нулевыми модами оператора Дольбо; другими словами, они яв-
являются классами когомологий Дольбо, т. е. элементами группы
когомологий Hq(X).
С другой стороны, нулевые моды оператора Дирака приво-
приводят к появлению безмассовых фермионов в четырех измере-
измерениях. Именно это обусловливает наш интерес к когомологиям
Дольбо. В гл. 16 нам будут полезны некоторые общие утвер-
утверждения о когомологиях Дольбо многообразий с SU (N)-толош-
мией.
Первое общее утверждение состоит в том, что Hq(X) имеет
такую же размерность, как HN~q{X), где X— дуальное, или
комплексно-сопряженное по отношению к X, расслоение. Это
доказывается с помощью комплексного сопряжения. Комп-
Комплексно-сопряженная @, q) -форма "фд s s со значениями в X
дает (<7,0) -форму ty*axa a со значениями в X. Сворачивая
с ковариантно постоянной @, N) -формой оо на многообразии
с SU (N) -голономией
A5.7.3)
мы можем связав г|г* с @, N — <7)~Ф°Рм°й Ф со значениями в X;
ф удовлетворяет уравнению Дирака тогда и только тогда, когда
уравнению Дирака удовлетворяет -ф. Это доказывает, что на

510 Глава 15
многообразии с 5?7(Л^)-голономией Hq{X) и HN~q{X) имеют
одинаковую размерность. Последнее утверждение представляет
собой частный случай двойственности Пуанкаре на комплекс-
комплексных многообразиях.
С физической точки зрения при компактификации на мно-
многообразиях с 56гC)-голономией связь между Hq и Hz~q озна-
означает, что безмассовые фермионы, происходящие из H3~q и из
Hi, всегда СРГ-сопряжены. Поэтому достаточно рассмотреть
моды, происходящие, скажем, из Н° и Я1. Теория группы Я0
особенно проста в интересующем нас больше всего случае, т. е.
в случае, когда калибровочное поле можно выбрать так, чтобы
выполнялось уравнение A5.6.4), связанное с ненарушенной су-
суперсимметрией. Чтобы в этом убедиться, заметим, что элементы
из Я0 аннулируются оператором Дирака Г'Д, а следовательно,
и его квадратом, для которого мы получим формулу A5.5.17).
Для удобства повторим здесь эту формулу:
r'F^rlA. A5.7.4)'
Слагаемое R/4 можно отбросить, поскольку оно обращается
в нуль для многообразий с 56'(Л')-голономией. Кроме того,
когда мы имеем дело с Я0, последнее слагаемое тоже можно
отбросить, так как связь между спинорами и @, q) -формами
имеет такой вид, что (если поле Янга — Миллса удовлетворяет
условиям A5.6.3) и A5.6.4)) TllFij аннулирует @,0)-формы.
Поэтому на @,0)-формах имеем (гТ'ДJ =—Д-D'. Таким обра-
образом, нулевая мода \f> оператора Дирака должна аннулироваться
оператором —Д-D', а следовательно, она должна быть кова-
риантно постоянной. Практически это означает, что безмассо-
безмассовыми модами в четырех измерениях, происходящими из Н° (или
из Я3), являются только такие моды, как глюино, которые оче-
очевидным образом связаны с суперсимметрией и ненарушенными
калибровочными симметриями. Действительная сложность изу-
изучения фермионных нулевых мод на многообразии с SUC)-rono~
номией связана с исследованием группы когомологий Я1 (или,
что эквивалентно, Я2).
Для проверки некоторых предыдущих рассуждений напом-
напомним, что связь между формами и спинорами на многообразие
с 5^/C)-голономией такова, что киральность в шестимерном
смысле @, д)-формы равна (—\)q. Ввиду корреляции между
шестимерной и четырехмерной киральностями, описанной
в гл. 14, @, q)-форма и в четырехмерном смысле также имеет
киральность (—\)q. Таким образом, элементы из Я1 можно
рассматривать как левые фермионы в четырех измерениях,
а СРГ-сопряженные, которые происходят из Я2 (для комп-
комплексно-сопряженного расслоения), — как правые.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 511
15.7.2. Деформации комплексных многообразий
В этом и следующем разделах мы обращаемся к обсужде-
обсуждению связи между когомологиями Дольбо и деформациями комп-
комплексной структуры.
Пусть К—комплексное многообразие. Тогда на К имеется
тензорное поле Jl\, которое удовлетворяет уравнению
ЛЛп = -6т- A5.7.5)
а также условию обращения в нуль тензора Нёйенхёйса:
0 = Nkit, A5.7.6)
построенного из /. Локально можно найти голоморфные коор-
координаты za на К. В системе координат za, z6 ненулевые компо-
компоненты тензора / имеют вид
Мы хотим выяснить, можно ли деформировать комплексную
•структуру многообразия К до «близкой», но не эквивалентной
комплексной структуры. (В частном случае римановой поверх-
поверхности это переформулировка вопроса, которым мы в первый
раз задались в разд. 3.3, когда исследовали конформно неэкви-
неэквивалентные метрики на такой поверхности.) Итак, мы спраши-
спрашиваем, можно ли найти такое возмущение комплексной струк-
структуры /
Л-*7'й = /'* + х*, A5.7.8)
чтобы по-прежнему выполнялись ключевые уравнения A5.7.5)
и A5.7.6). Разумеется, если 7 получается из / с помощью диф-
диффеоморфизма или координатного преобразования на К, урав-
уравнения A5.7.5) и A5.7.6) будут выполняться, как они выполня-
выполнялись для /. Но в этом случае 7 определяет комплексную струк-
структуру, которая эквивалентна (с точностью до диффеоморфизма)
комплексной структуре, получающейся из /. Нас интересует
описание таких возмущений т, которые удовлетворяют уравне-
уравнениям A5.7.5) и A5.7.6), но не могут быть получены примене-
применением диффеоморфизма к /. Используя соотношения A5.7.7), не
слишком трудно показать, что из уравнения A5.7.5) следует
таь = та5 = 0, но оно никак не ограничивает ни та6, ни комп-
комплексно-сопряженное хйь. А что можно сказать об уравнении
в A5.7.6)? Используя определение A5.2.4) тензора Нёйенхёйса,
читатель может убедиться, что все компоненты тензора Nku
.автоматически обращаются в нуль, кроме

512 Глава 15
и комплексно-сопряженных компонент Nabc, которые, конечно,
обращаются в нуль, если обращаются в нуль компоненты
A5.7.9). Обращение в нуль компонент NaBs допускает простую
интерпретацию. Если хаъ рассматривать как @, 1)-форму со
значениями в голоморфном касательном расслоении Т, то усло-
условие Na6g = 0 равносильно условию
<?та = 0. A5.7.10)
Это показывает, что деформацию т комплексной структуры оп-
определяет некоторый элемент группы когомологий Я1 (Г).
Деформации /->-/ +т следует, конечно, считать тривиаль-
тривиальными, если их можно получить с помощью инфинитезимальной
замены координат
za->za = za + eva(z", 2е"), A5.7.11)
где е — малый параметр. Закон преобразования для / при та-
таких заменах координат определяется законом преобразования
тензоров в ОТО:
дх дх'
Отсюда находим, что закон инфинитезимальных преобразований
для ха имеет вид
ха^ха + гдиа. A5.7.13)
Это показывает, что если две разные деформации тензора /,
скажем % и %', имеют одинаковый класс когомологий в Я1 (Т),
то они определяют одну и ту же (с точностью до диффеомор-
диффеоморфизма) деформацию комплексной структуры. Объединяя все
эти результаты, мы видим, что все возможные деформации
комплексной структуры комплексного многообразия находятся
во взаимно однозначном соответствии с элементами Я1 (Т) —
группы когомологий Дольбо многообразия К со значениями
в голоморфном касательном расслоении Г.
Например, пусть К — риманова поверхность 2. Элемент из
Я1 (Г)—гармоническая форма г|з? с одним голоморфным век-
векторным индексом, который может иметь только одно значение,
а именно г, и одним антиголоморфным индексом @, 1)-формы,
который должен быть 2. Сворачивая с ковариантно постоянным
метрическим тензором, мы можем с -ф связать поле
Ьг-г = ёгг^, A5.7.14)
которое преобразуется подобно антидухам, возникающим в ко-
вариантном квантовании теории струн. Элемент из Н1(Т) экви-

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 513
валентен нулевой моде оператора Дирака, действующего на о|)?
или на Ьгг. Таким образом, мы находим, что инфинитезималь-
ные деформации комплексной структуры на 2 находятся во
взаимно однозначном соответствии с нулевыми модами антиду-
антидухового поля Ь. Приятно, что этим способом мы снова пришли к
результату, полученному впервые в разд. 3.3.
Рассмотрим другое важное приложение. Пусть К — много-
многообразие с группой голономии SUC). В этом случае с использо-
использованием голоморфной 3-формы ю находим, что элемент if>a5 из
Я1 (Т) эквивалентен B, 1)-форме
w=».,«,+%¦ <15-7Л5>
Поскольку со ковариантно постоянна, % — гармоническая форма
тогда и только тогда, когда гармонической является г|). Таким
образом, на многообразии с 5?/C)-голономией Я1 G) совпа-
совпадает с Я2*'. В частности, это означает, что число Ходжа h2 -1,
определенное как размерность группы когомологий Я2-', равно
числу комплексных параметров, участвующих в определении
комплексной структуры на К.
Например, пусть К — квинтика в СР4. В примере 4 из
разд. 15.2.3 мы видели, что комплексная структура на К опре-
определяется 101 независимым комплексным параметром полинома
пятой степени. Следовательно, К имеет ft2- ' = 101. Из
разд. 15.5.54 нам известно, что /гр-q = hq<р = /z3-p- 3~q и h°'° =
= /j3'° = l, /г1' ° =h2' ° = 0. После этого остается только найти
fti, 1 — число гармонических A, 1)-форм. На любом кэлеровом
многообразии всегда имеется по крайней мере одна такая фор-
форма— кэлерова форма. На гиперповерхности в CPN всегда име-
имеется ровно одна гармоническая A, lj-форма1), поэтому для та-
такого пространства /г1-' = 1. Следовательно, для такого прост-
пространства можно вычислить эйлерову характеристику. Она равна
Е+ A5.7.16)
Конечно, в нашем выводе этого равенства имеется пробел, так
как мы не доказали, что Л1>1 = 1. В последнем разделе этой
главы мы дадим независимое доказательство утверждения, что
для квинтики в СР* % = —200 (и, следовательно, Л1-1 = 1).
15.7.3. Деформации голоморфных векторных расслоений
В предыдущем разделе мы показали, что деформации комп-
комплексной структуры комплексного многообразия К связаны с
')¦ Кроме одного исключения- для случая N = 3.

514 Глава 15
Н1{Т), где Т — голоморфное касательное расслоение на К.
Здесь мы рассмотрим голоморфное векторное расслоение X над
К и дадим аналогичное описание деформаций комплексной
структуры расслоения X в терминах когомологий Дольбо.
Расслоение X можно описать, указав калибровочное поле
At, для которого Fa? = 0. В последнем уравнении существенна
только @, 1)-часть калибровочного поля. Если мы хотим рас-
рассмотреть возмущение расслоения, достаточно рассмотреть воз-
возмущение @, 1)-части поля А. Запишем Аа — Лй + бЛа, где
64а — инфинитезимальное отклонение, и выясним, выполняется
ли уравнение Fai = 0 в низшем порядке по 8А. Необходимое
для этого уравнение имеет вид DJbA^ — D^6Aa = 0, или в более
короткой записи D8A=0. Таким образом, форма 8А должна
быть D-замкнутой и, следова-
следовательно, определяет некоторый
класс когомологий Дольбо.
Поскольку бЛ представляет со-
собой @, 1)-форму в присоеди-
присоединенном представлении калиб-
Рис. 15.3. Четыре генератора фунда- ровочной группы, СООТВетству-
ментальной группы римановой по- ющая группа когомологий есть
верхности рода два. H[(EndX). (Напомним, что
EndX мы определили как рас-
расслоение, которое получается, если переходные функции записать
в присоединенном представлении.)
Пусть, например, X — тривиальное линейное расслоение над
римановой поверхностью 2 рода g. Тогда EndX тривиально, по-
подобно X, так что Hl(EndX) то же, что Я01. Для римановой
поверхности рода g эта группа когомологий, как мы знаем,
имеет размерность g\ так что голоморфные деформации комп-
комплексной структуры расслоения X зависят от g комплексных па-
параметров. Для них можно дать явное описание. Как показано
на рис. 15.3 в случае рода два, фундаментальная группа поверх-
поверхности рода g имеет 2g генераторов. Можно потребовать, чтобы
комплексное поле изменялось на произвольным образом задан-
заданную фазу при обходе вокруг любой независимой нестягиваемой
петли на 2. Поскольку имеется 2g независимых петель, воз-
возможные граничные условия зависят от 2g вещественных или от
g комплексных параметров. Так как граничные условия можно
изменять непрерывно, они не влияют на топологию' расслоения
X, но влияют на его голоморфную структуру (как мы доказали
с помощью вычисления Н1 (EndX)).
Рассмотрим другой пример. Пусть Т — голоморфное касатель-
касательное расслоение для некоторой квинтики в СР4. В примере 6 из

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 515
разд. 15.6.3 мы явным образом построили семейство голоморф-
голоморфных деформаций расслоения Т, зависящее от 224 комплексных
параметров. Хотя здесь мы этого не доказываем, но это все воз-
возможные непрерывные деформации расслоения Т, так что
Я1 (End Г) имеет размерность 224. Там же аналогичным обра-
образом построили 325-мерное семейство деформаций расслоения
X ~ Т Ф L, и это отвечает утверждению, что Hl(EndX) имеет
размерность 325.
15.8. Разветвленные накрытия комплексных многообразий
В этом заключительном разделе мы кратко и несколько эв-
эвристически опишем понятие разветвленного накрытия комплекс-
комплексного многообразия и поведение эйлеровой характеристики при
таком накрытии. Наша цель состоит в том, чтобы обогатить
наше понимание римановых поверхностей и комплексных мно-
многообразий и развить новый метод определения эйлеровой ха-
характеристики многообразия с 5?/C)-голономией.
Пусть k — стандартная кэлерова форма на CPN. Какие гар-
гармонические формы существуют на CPN? Помимо 0-формы 1 и
2-формы k мы знаем, что существуют гармонические формы, от-
отвечающие внешним произведениям k Л k, k Л k Л k и т. д.
вплоть до yV-кратного внешнего произведения (k Л k Л ...
... Ak)N. Хотя мы не пытаемся здесь это доказывать, но это
все гармонические формы на CPN; в частности, эйлерова харак-
характеристика CPN равна N -\- 1. Этот факт ниже нам понадобится.
Пусть X, Y и Z — однородные координаты для СР2. Рас-
Рассмотрим риманову поверхность 2, определенную однородным
уравнением
Z'l = Xn + Yn A5.8.I
в СР2. Мы хотим определить род этой поверхности и сделаем
это посредством вычисления эйлеровой характеристики.
Сами по себе X и У являются однородными координатами
на сфере Римана R ж СР1. Если Xn-\-Yn не равно нулю, то
уравнение A5.8.1) позволяет Z принимать п возможных значе-
значений при заданных X и Y. Таким образом, если бы уравнение
n = 0 A5.8.2)
X"
не имело корней, поверхность 2 состояла бы просто из п экзем-
экземпляров сферы R. Так как эйлерова характеристика сферы R
равна 2, эйлерова характеристика п экземпляров сферы R будет
равна 2п. ;
В действительности уравнение A5.8.2) имеет п корней на
сфере Римана. При Xn+Yn=/=0 уравнение A5.8.1) дает

516 Глава 15
п значений для Z, но при Хп-\- У" = 0 из уравнения A5.8.1) сле-
следует, что Z = 0. Поэтому эйлерова характеристика римановой
поверхности 2 не равна просто умноженной на п эйлеровой ха-
характеристике сферы R. Какова же необходимая поправка?
Пусть Р — множество из п точек на R, в которых выполняется
уравнение A5.8.2). Пусть R — P— сфера R, из которой эти
точки удалены, и пусть 2— Р — поверхность 2, из которой уда-
удалены соответствующие точки. Тогда 2 — Р действительно пред-
представляет собой п экземпляров многообразия R — Р, так что
эйлерова характеристика для 2 — Р есть умноженная на п эй-
эйлерова характеристика для R — Р:
P). A5.8.3)
Эйлерова характеристика сферы R есть 2. Эйлерова характе-
характеристика точки есть 1, так что для Р эйлерова характеристика
равна п. При склеивании пространств или при удалении из них
некоторых частей эйлерова характеристика ведет себя аддитив-
аддитивно '), поэтому
%{P) = 2-n. A5.8.4)
Таким образом, %B— Р) =пB — п). Вклеивая п точек, чтобы
восстановить 2 из 2 — Р, получаем
ХB) = ХB -Р) + %(Р) = пC - п), A5.8.5)
что определяет род римановой поверхности 2. В частности, при
п = 3 эйлерова характеристика равна нулю, а 2 есть поверх-
поверхность рода один, т. е. обычный тор. Это согласуется с тем фак-
фактом, что в разд. 15.4.3 мы нашли нигде не равную нулю голо-
голоморфную 1-форму на 2 в точности для п = 3.
Рассмотренная конструкция обычно описывается словами,
что 2 есть n-кратное накрытие римановой сферы R, ветвящееся
над п корнями уравнения A5.8.2); 2 получается, если взять п
экземпляров сферы R всюду, кроме точек ветвления, где надо
взять только один экземпляр сферы R.
Попробуем применить это в случае гиперповерхности Я
в СР3:
Wn = Xn + Yn + Zn. A5.8.6)
Сами по себе X, Y и Z представляют собой однородные коор-
координаты для многообразия М, изоморфного СР2, с эйлеровой ха-
') В конце гл. 12 такая аддитивность в частном случае доказана и ис-
использовалась для определения эйлеровой характеристики римановой поверх-
поверхности. В общем случае аддитивность можно доказать аналогичным образом
с помощью того факта, что эйлерова характеристика есть интеграл от поли-
полинома от тензора Римана.

Некоторые сведения по алгебраической геометрии 517
рактеристикой равной 3. Если бы уравнение
Xn + Yn + Zn = 0 A5.8.7)
не имело корней, то уравнение A5.8.6) просто определяло бы п
возможных значений W при данных (X, Y, Z). В действитель-
действительности уравнение A5.8.7) выполняется на римановой поверхно-
поверхности 2', которая изоморфна поверхности 2, рассмотренной выше.
(Уравнение A5.8.7) можно связать с уравнением для 2, умно-
умножив Z на корень п-й степени из —1. Гиперповерхность Н мож-
можно описать как n-кратное накрытие многообразия М та СР2,
ветвящееся над 2'. Эйлерова характеристика для М есть 3, так
что эйлерова характеристика для М — 2' равна 3 — пC — п), а
для Н — 2' она равна Ъп — п2 C — п). Наконец, эйлерова ха-
характеристика для Н равна
«(«2~4п + 6). A5.8.8)
Например, /СЗ-поверхность (п = 4) имеет % = 24.
Продвинемся еще на шаг дальше и рассмотрим гиперпо-
гиперповерхность Q в СР4, определенную уравнением
(j^ = Wn + Xn + Yn + Zn. A5.8.9)
Сами по себе W, X, Y и Z являются однородными координатами
для многообразия Af ж СР3 с эйлеровой характеристикой 4. Ги-
Гиперповерхность Q является n-кратным накрытием многообразия
N, разветвленным над множеством Н' и отвечающим уравнению
Wn + Xn + Yn + Zn = 0. A5.8.10)
Для Н' эйлерова характеристика дается формулой A5.8.8).
¦С помощью таких же рассуждений, как в предыдущем приме-
примере, получаем эйлерову характеристику для Q
) ) l0). A5.8.11)
Полагая п = 5, находим, что квинтика в С/54, которая допу-
допускает метрику с голономией SU{3), имеет % = —200. Последнее
находится в согласии с рассмотрением в разд. 15.7.2.

16. Модели с низкоэнергетической
суперсимметрией
В гл. 15 развиты некоторые основные методы алгебраиче-
алгебраической геометрии, в частности формализм, который нужен для
понимания различных вариантов компактификации, приводя-
приводящей к низкоэнергетической суперсимметрии в четырех измере-
измерениях. В данной главе мы применяем эти методы в целях до-
довольно подробного исследования свойств получающихся мо-
моделей.
Необходимо отметить, что при рассмотрении орбифолдов;
в гл. 9 мы уже обсуждали некоторые частные примеры моделей
с низкоэнергетической суперсимметрией. Точная связь орби-
орбифолдов с моделями, которые изучаются в этой главе, исследу-
исследуется в разд. 16.10.
16.1. Один простой анзац
В предыдущей главе мы сформулировали условия, при кото-
которых ненарушенная суперсимметрия сохраняется после компак-
компактификации из десяти измерений на М4 X К. Десятимерный спи-
спинор Т1„ генерирует ненарушенную суперсимметрию в четырех
измерениях, если преобразование суперсимметрии с парамет-
параметром Т1„ оставляет инвариантными элементарные фермионные
поля. Ограничение уравнений из разд. 15.1.2 на внутреннее про-
пространство К и отбрасывание фермионных полей дает
а) 0 = дф, = ± Dn + -^ (Г/*' - 9в{Г*'
б) о = бй, = --^(Г-<^)т) + /~ , Г"*т)Я|/», A6.1.1)
в) O = SX = -l
-у л/Ф
Здесь -ф, Л, и % — гравитино, дилатино и глюино соответственно;
ф — дилатон, а Н — калибровочно-инвариантная напряженность

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 519
лоля для 2-формы В. Эти уравнения надо дополнить тождест-
тождеством Бианки
dH = trR AR-trF AF. A6.1.2)
Рассматриваемые уравнения заметно упрощаются, если предпо-
предположить, что йф = Н = 0. Как мы увидим, при этом упрощаю-
упрощающем предположении остается достаточно много интересного
физического содержания, и мы подробно проанализируем эту
ситуацию прежде, чем пытаться сформулировать обобщения.
Действительно, чтобы рассмотреть обобщения, требуется более
мощный подход, который будет развит ниже.
При с?</>=Я=0 первое из уравнений A6.1.1) говорит нам, что
К—кэлерово многообразие с нулевым первым классом Черна,
.наделенное метрикой с 5?/C)-голономией, существование кото-
которой предсказывается доказательством Яу гипотезы Калаби.
Второе условие в A6.1.1)—пустое, когда d<j> = Н = 0. Послед-
Последнее, третье, условие говорит нам, что калибровочное поле А яв-
является голоморфной связностью в голоморфном векторном рас-
расслоении X и удовлетворяет уравнению Дональдсона— Улен-
бек —Яу.
Как только топология многообразия К фиксирована, метри-
метрика с 5?/C)-голономией на К определяется конечным числом
лараметров. Это параметры, определяющие топологический
класс кэлеровой формы и комплексную структуру на К. Подоб-
лым образом, если сделан выбор топологического класса рас-
расслоения X, то решение уравнения A6.1.1, в) зависит только от
конечного числа параметров, а именно параметров, входящих
в определение комплексной структуры расслоения X. Поэтому,
если сделаны все дискретные топологические выборы, то в на-
нашем распоряжении остается только конечное число непрерывно
^изменяющихся параметров, чтобы попытаться удовлетворить
уравнению A6.1.2). Поскольку для упрощения условий A6.1.1)
мы предположили, что Я = 0, из уравнения A6.1.2) следует
O = tvF AF-tvR AR. A6.1.3)
На первый взгляд уравнение A6.1.3) может показаться не мно-
многообещающим. Это уравнение представляет собой в действи-
действительности бесконечное множество условий, так как 4-форма
irFAF — trRAR должна обращаться в нуль в каждой точке
на /С. Как можно подобрать конечный набор параметров, оста-
остающихся после наложения условий A6.1.1), чтобы удовлетво-
удовлетворить уравнению A6.1.3)? Ожидать выполнения переопределен-
переопределенного набора условий, подобного A6.1.3), можно только в том

520 Глава 16
случае, если они выполняются очевидным образом, а для этого
требуется, чтобы между F и R существовала некоторая связь.
Как можно этого достичь? Мы используем частный случай
анзаца, введенного в разд. 14.6, чтобы получить разумную мо-
модель фермионных квантовых чисел. Как там отмечалось, спино-
спиновую связность со,- риманова многообразия К можно рассматри-
рассматривать как калибровочное поле. Калибровочной группой является
группа голономии Н многообразия К, которая в рассматривае-
рассматриваемом случае есть группа SUC). Если бы десятимерная калибро-
калибровочная группа была SUC), мы могли бы просто считать, что-
калибровочное поле At десятимерной теории равно спиновой
связности ш,-. Напряженность поля Янга — Миллса F равнялась
бы тогда тензору кривизны Римана R, и выполнялось бы усло-
условие A6.1.3) (с точностью до нормировочного множителя, кото-
который мы вскоре рассмотрим). На практике же десятимерная
калибровочная группа представляет собой не SUC), а горазда
большую группу. На самом деле самой интересной возмож-
возможностью является группа Е8 X Е8. Чтобы провести указанное
выше построение, надо выбрать 5^/C)-подгруппу Н' группы
Es X Е8 и положить Я'-калибровочные поля равными спиновой
связности. Выбор SUC)-подгруппы в EsXEs можно интерпре-
интерпретировать как вложение группы голономии Н в группу Е8ХЕ8,.
так что всю эту конструкцию мы будем описывать как «вложе-
«вложение спиновой связности в калибровочную группу».
По причине, которая ниже станет ясной, мы хотим выбрать
минимальное вложение. Поэтому мы выбираем максимальную
подгруппу SUC) Х-Еб, например, в первой Е8 и отождествляем
группу голономии Н с первым сомножителем1). Когда SUC)-
калибровочные поля совпадают со спиновой связностью, урав-
уравнение A6.1.3) выполняется с точностью до возможного нор-
нормировочного множителя, возникающего вследствие того, что-
следы trF AF и trR AR вычисляются в различных представле-
представлениях. Действительно, tr R Л R вычисляется в векторном пред-
представлении группы 50A, 9), которое относительно SUC) пре-
преобразуется как 3 Ф 3 Ф-синглеты. Для tr F A F ситуация слож-
сложнее. Мы должны вспомнить, что в гл. 13 мы определяли символ
tr в случае группы Е8 как обозначение одной тридцатой следа
в присоединенном представлении группы Е8. Напомним также
разложение присоединенного представления группы Е8 относи-
относительно SUC) ХЕв
248 = C, 27HC, 27) Ф (8, 1)®A, 78). A6.1.4>
') Требуемые в настоящей главе данные о группе ?8 описываются
приложении 6.А.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 521
Здесь (8, 1) и A, 78) — присоединенные представления групп
SUB>) и Е6 соответственно; C, 27) - тензорное произведение
фундаментального представления 3 для SUC) и фундаменталь-
фундаментального представления 27 для Е6, а C, 27) — комплексно-сопря-
комплексно-сопряженное ему произведение. Можно непосредственно показать,
что след квадрата SUC) -матрицы в присоединенном представ-
представлении 8 в три раза больше, чем след в представлении ЗФЗ. До-
Добавляя к этому 27 экземпляров представления 3 © 3, явно вид-
видных в A6.1.4), обнаруживаем, что след квадрата 5?/C)-гене-
ратора в присоединенном представлении группы Е8 в 3 -\- 27 =
= 30 раз больше, чем в представлении ЗФЗ для SUC). Этот
множитель 30 компенсирует тот факт, что ir F AF определено
как одна тридцатая следа от F Л F в присоединенном представ-
представлении для Е8. Следовательно, в уравнении A6.1.3) мы можем
интерпретировать trFAF как след в представлении ЗФЗ для
SUC). Поскольку trRAR представляет собой след в том же
представлении, условие A6.1.3) выполняется. Оно не выполня-
выполнялось бы, если бы мы выбрали неминимальное вложение SUC)
в Еау(Е$, поэтому мы вынуждены брать именно минимальное
вложение.
Вложение спиновой связности в калибровочную группу рас-
рассматривалось в гл. 14 просто для того, чтобы получить реали-
реалистическую модель фермионных квантовых чисел. В гл. 14 мы
рассматривали общее риманово многообразие с голономией
50F). Вложение группы голономии в группу Е8 с помощью
последовательности 50F) X 50A0) с 50A6) a Е8 нарушало
группу Es до 50A0). Это приводило к существованию кираль-
ных фермионов в представлениях 16 и 16 для 50A0), причем
чистое число поколений было равно половине эйлеровой харак-
характеристики многообразия К. Здесь мы рассматриваем частный
случай, когда группа голономии Н есть не 50F), а подгруппа
SUC). Ненарушенная подгруппа группы Е8 соответственно
больше: Е6, а не 50A0). Для группы Е6 число поколений опре-
определяется просто числом киральных мультиплетов 27, посколь-
поскольку представление 27 группы Е& разлагается относительно
50A0) как 27 х 16 Ф 10 Ф 1. Число поколений в ?6-модели,
получающейся, если в качестве К взять многообразие с SUC)-
голономией, должно быть равно половине эйлеровой характе-
характеристики— точно так же, как в более общих 50 A0)-моделях,
поскольку рассматриваемая здесь конструкция представляет
•собой частный случай того, что рассматривалось в гл. 14.
Действительно, в следующем разделе в процессе систематиче-
систематического изучения спектра безмассовых частиц мы восстановим

522 Глава 16
утверждение, что число поколений есть половина эйлеровой ха-
характеристики.
Поскольку утверждается, что рассматриваемая здесь конст-
конструкция дает вакуумные состояния с ненарушенной суперсим-
суперсимметрией, она должна также приводить к решениям уравнений
движения. Чтобы исследовать этот вопрос, рассмотрим вид эф-
эффективной низкоэнергетической теории поля для десятимерной
теории. Эффективный лагранжиан с точностью до поправок по-
порядка (а'J имеет вид
Зх2 иЧ | 1 ( п DMNPQ .D DMN , D2\ ,
+ фермионные члены. A6.1.5))
Все члены в формуле A6.1.5) можно вывести из пространствен-
пространственно-временной суперсимметрии (они описаны в гл. 13), но имеют-
имеются два исключения. Первое исключение состоит в том, что ло-
ренцев член Черна — Саймонса в выражении
H = dB+(aL — (aYM A6.1.6).
не нужен в минимальном лагранжиане супергравитации. Второе
исключение — взаимодействие RmnpqRmnpq + ... в выражении.
A6.1.5). Хотя эти два члена не необходимы для пространствен-
пространственно-временной суперсимметрии, можно показать (ценой значи-
значительных усилий), что они связаны друг с другом суперсиммет-
суперсимметрией, а потому если один из них есть, то должен быть и другой..
Можно также, что не очень трудно, вычислить трехточечные
связи в теории гетеротических струн на массовой поверхности,
(основные шаги объяснялись в разд. 7.4.4) и показать, что оба
поправочных члена генерируются с указанными коэффициен-
коэффициентами. (Аналогичное вычисление в теории типа I сложнее.) Даль-
Дальнейшее исследование струнных амплитуд рассеяния обнаружи-
обнаруживает, что следующие поправки в эффективном лагранжиане воз-
возникают в порядке (а'K. гДе встречается большое число таких,
членов, как /?4-взаимодействие.
Легко видеть, что в этом порядке наш анзац удовлетворяет
уравнениям движения. Например, уравнения Эйнштейна вы-
выполняются, поскольку тензор Риччи равен нулю для метрик с-
5С/C)-голономией (поправки к уравнениям Эйнштейна вслед-
вследствие членов R2 в A6.1.5) малы, так как D'Rijki = 0 для риччи-
плоской метрики). Подобным же образом уравнения Янга —
Миллса выполнены, поскольку (как мы выяснили в конце
разд. ,15.6.2) они следуют из уравнений A6.1.f). Немного бо-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 523
лее тонкий случай — уравнение для дилатона, которое (при на-
нашем предположении, что df = Н = 0) принимает вид
O = tTFtlFtl-tTRtlR", A6.1.7)
где tr RifRU = RijktRiikl (след в tr RnR4 берется по тем индексам
тензора Гцы, которые были опущены). Подобно A6.1.3) урав-
уравнение A6.1.7) не внушает доверия, если только нет какой-либо
•специальной связи между F и R. Вложение спиновой связности
в калибровочную группу дает такую связь, и уравнение A6.1.7)
действительно выполняется в этом случае.
Все это находится в согласии с нашим ожиданием, что со-
.стояния с ненарушенной суперсимметрией должны удовлетворять
уравнениям движения. Но выражение A6.1.5) справедливо с
учетом только поправок порядка (а'J, а мы хотим распростра-
распространить анализ на старшие порядки. После того как будут разви-
развиты подходящие методы, мы вернемся к этому вопросу и дока-
докажем, что решения уравнений движения можно построить во
всех конечных порядках по а', исходя из многообразий с SUC)-
голономией. При этом мы выясним также, как ослабить предпо-
.ложение о вложении спиновой связности в калибровочную груп-
группу и найти более общие решения.
Поскольку а' является фундаментальной постоянной, если
теория струн верна, какой смысл имеет разложение по степеням
¦а'? Многообразие с 5^/C)-голономией имеет радиус г, который
ме фиксируется уравнениями Эйнштейна. (Условие 5?/C)-голоно-
мии инвариантно относительно рескейлинга метрики ga-*-tgij.)
Все кривизны и напряженности полей обращаются в нуль для
больших г, причем безразмерным параметром разложения явля-
является ос'/г2. Наше предшествующее рассмотрение равносильно
проверке уравнений движения вплоть до членов порядка (а'/г2J.
Вложение спиновой связности в калибровочную группу не-
немедленно приносит ряд феноменологических дивидендов. Груп-
Группа Е$ не является подходящей калибровочной группой для ве-
великого объединения в четырех измерениях, поскольку она не
имеет комплексных представлений. На самом деле единствен-
единственной исключительной группой, которая имеет комплексные пред-
представления и поэтому подходит для великого объединения в че-
четырех измерениях, является группа Е6. Группа Е6 весьма выде-
выделена также и с точки зрения суперсимметрии. Она является
единственным кандидатом на роль калибровочной группы ве-
великого объединения, в котором естественное представление для
-фермионов 27 совпадает с естественным представлением для
хиггсовых бозонов, как должно быть при построении супер-
юимметричных моделей. Например, в случае группы 50A0)
•фермионь\ и хиггсовы бозоны естественным образом лежат

524 Глава 16
в представлениях 16 и 10 соответственно; они объединяются
в представлении 27 группы Е6.
В нашем построении группа Ее появилась не потому, что это-
та четырехмерная группа, которую нам хотелось бы получить^
а потому, что вложение спиновой связности в калибровочную
группу представляет собой простейший способ удовлетворить
необходимым уравнениям и автоматически нарушает симмет-
симметрию Es X Е& До группы Е6 X Es. Аналогично киральные супер-
мультиплеты возникают в представлениях 27 и 27 группы Ее,
являющихся единственными действительно подходящими пред-
представлениями не потому, что мы специально так сделали, а пото-
потому, что они являются единственными комплексными представ-
представлениями группы Е6, которые возникают в разложении A6.1.4)
алгебры Ли для Es.
Когда в этой главе нам понадобится конкретный пример
многообразия с S?/C)-голономией, им обычно будет квинтика
Q в СР4 — гиперповерхность, определенная нулями однородно-
однородного полинома пятой степени Р от пяти комплексных переменных
Z\,Z2, ..., Zs. Полином Р может иметь вид
P = Z\ + ZI + Z\ + Z\ + Z\ A6.1.8}
или быть каким-нибудь более общим, не столь симметричным
полиномом, таким как Р' — Yji Z\ + eZiZ2Z3Z4Z5. Как отмеча-
отмечалось в гл. 15, после исключения 25 степеней свободы, которые
поглощаются линейным переопределением переменных Z;, оста-
остается 101 независимый комплексный параметр, участвующий в
выборе полинома Р. Описание этого многообразия с помощью
полиномов позволит провести широкое изучение свойств моде-
модели. Полное пересечение k гиперповерхностей в CP3+k, также
описанное в гл. 15, можно изучать подобным образом, хотя мы
и не будем этого делать. В конце этой главы мы опишем со-
совершенно другой класс простых примеров многообразий с
5 0 C) -голономией.
16.2. Спектр безмассовых частиц
В этом разделе мы рассматриваем спектр безмассовых час-
частиц в эффективной четырехмерной теории, возникающей при
компактификации десятимерного мира на многоообразии с
SUC) -голономией. Мы будем предполагать, что спиновая связ-
связность вложена в калибровочную группу, хотя большая часть рас-
рассмотрения останется справедливой и после дальнейших обоб-
обобщений. Сначала мы рассмотрим безмассовые частицы, которые
возникают как нулевые моды полей, несущих Е8 X Ss-заряды,.
а затем мы обратимся к нейтральным полям.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 525
16.2.1. Нулевые моды заряженных полей
Поле глюино %ха имеет спинорный индекс а и индекс х, от-
отвечающий присоединенному представлению группы Е8 (или
Е& X Е8; для краткости мы сосредоточим внимание на одном
сомножителе Es, в который вложена спиновая связность).
В предположении, что в вакууме имеются только SUC) -калиб-
-калибровочные поля для максимальной подгруппы Sf/C)X Е$ cr Eg,
компоненты поля %, преобразующиеся по различным представ-
представлениям группы SUC), в уравнении Дирака расцепляются.
Синглетные по SUC) моды не зависят от вложения спино-
спиновой связности в калибровочную группу, а следовательно, яв-
являются спинорными полями на К. Спинорное поле я|)а на К
эквивалентно набору дифференциальных форм "фй - типов
(О, q). Нулевые моды оператора Дирака образуют группы ко-
гомологий Дольбо Я0-q и в четырех измерениях приводят к
возникновению безмассовых фермионов киральностей (—I)'.
Из разд 15.5.4 мы знаем, что Я0-1 = Я0'2 = 0, в то время как
Я0- ° и Я0'3 — одномерны и состоят из ковариантно постоян-
постоянных полей. Следовательно, для 5?/C)-синглетов имеется ровно
одна нулевая мода положительной киральности и одна отри-
отрицательной киральности. Разложение A6.1.4) алгебры Ли груп-
группы Es показывает, что синглетные по SUC) состояния преобра-
преобразуются по присоединенному представлению группы Е6, так что
только что идентифицированные моды представляют собой че-
четырехмерные глюино положительной и отрицательной кираль-
киральностей ]).
Обратимся теперь к несинглетам по SUC). Фермионы 1|э*,
преобразующиеся по некоторому представлению R для SUC),
можно рассматривать как спинорные поля со значениями в не-
некотором голоморфном векторном расслоении Xr, определяемом
представлением R. Дираковские нулевые моды отвечают груп-
группам когомологий Дольбо Hq(XR). Как показано в разд. 15.7.1,
H3-q связано с Hq посредством СЯГ-симметрии, а Я0 равно
нулю, когда R нетривиально. Поэтому интересные моды возни-
возникают из НЛ(ХК). Таким образом, мы имеем дело с @, ^-фор-
^-формой i|)g с индексом х, отвечающим некоторому представлению
R группы SUC).
В случае вложения спиновой связности в калибровочную
группу можно очень конкретно описать получающуюся струк-
структуру. Для мод, преобразующихся как 3 для SUC), янг-миллсов
*) Подобным образом десятнмерные глюино для второй группы ?а
имеют в качестве своих нулевых мод только четырехмерные глюино.

526 Глава 16
индекс эквивалентен голоморфному касательному векторно-
векторному индексу. Таким образом, в этом случае tyBx эквивалентно
(О, 1)-форме ¦vfj" с дополнительным голоморфным касатель-
касательным векторным индексом. Эквивалентным образом мы можем
связать ф с B, 1) -формой *OlOjS = ив1О]в> V» где ©„,„,„,— голо-
голоморфная 3-форма. Отвечающая B, 1)-форме ^ группа когомо-
логий есть Я2'1, а число нулевых мод есть число Ходжа /г2-1.
Разложение A6.1.4) алгебры Ли группы Е& показывает, что
моды, преобразующиеся по представлению 3 группы SUC), пре-
преобразуются по представлению 27 группы Е6, а следовательно,
мы показали, что число левых безмассовых мультиплетов 27
равно N27 = h2'1.
Полезно также альтернативное описание тех же мод в тер-
терминах tyBa. Поскольку а — касательный векторный индекс со
значениями в касательном расслоении Т, соответствующая
группа когомологий при таком описании есть Я1 (Г). Из
разд. 15.7.2 мы знаем, что Я1 (Г) обладает качественной зна-
значимостью: она параметризует инфинитезимальные деформации
комплексной структуры на К.
Перейдем теперь к полям, преобразующимся по представле-
представлению 3 группы SUC). В этом случае янг-миллсов индекс
является антиголоморфным касательным векторным индексом,
а значит, мы имеем дело с @, 1)-формой ^_б с антиголоморф-
антиголоморфным касательным векторным индексом Ь. Такое поле эквива-
эквивалентно A, 1)-форме фЬй = ёььФа^- Соответствующая группа ко-
когомологий есть Я1- !, а число дираковских нулевых мод есть
число Ходжа А1-'. Разложение ?8-алгебры Ли показывает, что
моды, преобразующиеся как 3 для 5С/C), преобразуются по
представлению 27 группы Е6; таким образом, мы выяснили, что
число безмассовых левых мультиплетов 27 в четырех измере-
измерениях равно Nzj = h1'1.
Число поколений есть N —\N21 — N^j\ = \h2'1— А1' |. По-
Поскольку это число совпадает с половиной эйлеровой характе-
характеристики, мы получили наш старый результат из разд. 14.6.
Наконец, рассмотрим моды, преобразующиеся по присоеди-
присоединенному представлению группы SUC). Разложение .Ев-алгебры
Ли показывает, что эти моды являются синглетами по Е6, так
что они не имеют никаких известных в настоящее время калиб-
калибровочных взаимодействий. Тем не менее оказывается, что они
могут играть важную роль в феноменологии. SUC)-расслоение
X, которое получается из касательного расслоения Т, если спи-

Модели с низкоэнергетической, суперсимметрией 527
новую связность записать в присоединенном представлении
группы SUC), обозначалось End Г в примере 3 из разд. 15.6.3;
это расслоение, слой которого в данной точке х е К состоит из
(бесследовых) линейных преобразований голоморфных каса-
касательных векторов в точке х. Дираковские нулевые моды обра-
образуют группу когомологий Дольбо Я1 (End Г). Качественный
смысл этой группы исследован в разд. 15.7.3. Если рассматри-
рассматривать Т как голоморфное векторное расслоение над многообра-
многообразием К (и не учитывать тот факт, что Т является голоморфным
касательным расслоением для К), то группа когомологий
Я1 (End Г) параметризует возможные деформации голоморф-
голоморфной структуры для Т.
В качестве примера рассмотрим квинтику Q в СР4 — гипер-
гиперповерхность, заданную нулями однородного полинома пятой
степени Р. В этом случае можно дать явное описание группы
Я2- ', так как, согласно объяснению в разд. 15.7.2 и 15.2.3, эле-
элементы из Я2-' соответствуют возмущениям полинома Р, кото-
которые нельзя поглотить линейными заменами координат. Эта
связь возникает потому, что выбор полинома Р определяет ком-
комплексную структуру на Q. Здесь мы подсчитаем явно существен-
существенные возмущения полинома Р. Взяв в качестве Р минимальный
полином пятой степени Р = ^z\, мы хотим сосчитать такие
возмущения 8Р полинома Р, которые нельзя поглотить линей-
линейными заменами координат 8Z,- = uj/Z/. Легко видеть, что возму-
возмущение вида дР = ZfZj, при любых i и / можно поглотить заме-
заменой координат bZi = —Z//5, так что существенные полиномы
8Р — это те полиномы, которые самое большее кубичны по каж-
каждой переменной Z*. Имеется несколько типов таких полиномов:
B0)
C0)
C0)
B0)
A)
z
z
z
z
z,
372
iZ2,
з7 7
?z22z
?z2z
z2z.
3>
A6.2.1)
Число в скобках перед каждым мономом в A6.2.1) — это число
мономов подобной структуры, получающихся из данного пере-
перестановками переменных Z;-. Складывая эти числа в A6.2.1), мы
видим, что деформация комплексной структуры на Q зависит
от 101 комплексного параметра, так что в рассматриваемой мо-
модели имеется 101 поколение. Связь фермионных поколений

528 Глава 16
с полиномами полезна не только для подсчета числа поколений,
но, как мы увидим ниже, и для многих других целей.
Факты, необходимые для подсчета других полей, также при-
приведены в гл. 15. На Q имеется ровно одна гармоническая A, 1)-
форма, а именно кэлерова форма, поэтому существует ровно
одно антипоколение. Таким образом число поколений равно
101 —1 = 100. Наконец, число синглетных по ?6 мод, воз-
возникающих из Я1 (End T), равно 224, что соответствует под-
подсчету определенных полиномов, обсуждавшихся в примере 6
разд. 15.6.3.
Появление выше безмассовых мультиплетов 27 и 27 можно
объяснить в терминах вещественной дифференциальной геомет-
геометрии: при вложении спиновой связности в калибровочную группу
безмассовые поколения и антипоколения возникают в вещест-
вещественной дифференциальной геометрии из гармонических р-форм
для четных и нечетных р. Но появление выше безмассовых
?6-синглетов при произвольном выборе полинома пятой степени
Р не имеет аналога в вещественной дифференциальной геомет-
геометрии: никакая теорема об индексе или другой топологический
инвариант вещественной дифференциальной геометрии не пред-
представляет такие моды. Их появление — одно из чудес алгебраи-
алгебраической геометрии.
16.2.2. Флуктуации гравитационного поля
В случае десятимерных полей, несущих Es X ^«-заряды, мы
нашли, что удобно подсчитывать нулевые моды фермионов. Бо-
зонные нулевые моды, конечно, связаны с ними ненарушенной
суперсимметрией. При обсуждении нулевых мод для других
полей мы найдем, что удобней рассматривать непосредственно
бозонные нулевые моды. Начнем с нулевых мод, которые воз-
возникают в флуктуациях гравитационного поля. Десятимерный
метрический тензор gMN имеет компоненты guv со всеми индек-
индексами, касательными к четырехмерному пространству Минков-
ского М4, компоненты gM- с одним индексом, касательным к
М4, и одним — касательным к компактному пространству К, а
также компоненты gi, с обоими индексами, касательными к К.
Первый случай является универсальным в теории Калуцы —
Клейна: единственной безмассовой модой, происходящей из
g^v, является четырехмерный гравитон.
Безмассовые моды, происходящие из gw-, являются в четы-
четырех измерениях калибровочными бозонами и находятся во
взаимно однозначном соответствии с непрерывными симмет-
симметрия ми многообразия К. Но многообразие, группа голономии ко-

Модели с низкоэнергетической, суперсимметрией. 529
торого есть SUC) (а не ее собственная подгруппа) '), никогда
не имеет непрерывных симметрии, так что из gw- не получается
никаких безмассовых мод. Чтобы это доказать, заметим, что
векторное поле V', генерирующее непрерывную симметрию,
должно удовлетворять уравнению Киллинга DtVj -\-DjVi = 0.
Отсюда следует, что 0 = ?><(?>; V,- + D,Vi). Но DiDiVi =
= D,D'Vi -)- RjkVk. Из уравнения Киллинга следует, что DlVi =
= 0, а из .S?/C)-голономии следует, что R,k=6. Поэтому век-
векторное поле Киллинга на риччи-плоском пространстве удовлет-
удовлетворяет уравнению 0 = D'DiVj. Отсюда следует равенство О —
= \ V'DlDtV]. Для компактного К интегрирование по частям
дает
0=\j(DiVl)(DiVj). A6.2.2)
к
Следовательно, векторное поле Киллинга V на компактном
риччи-плоском многообразии К должно быть ковариантно по-
постоянным. Но 5^/C)-голономия несовместима с существова-
существованием ковариантно постоянного векторного поля, поскольку от-
относительно SUC) вектор для группы SO F) разлагается как
3 © 3, что не содержит 5УC)-синглета.
Перейдем теперь к нулевым модам метрического тензора
gij пространства К. Такие моды отвечают вырождению вакуум-
вакуумного состояния, поэтому их легко найти. Отправной точкой на-
нашего построения вакуумного состояния была метрика на К с
голономией SU{3). Любая деформация метрики на К, которая
сохраняет тот факт, что группа голономии есть SUC), должна
отвечать какой-то нулевой моде волнового оператора, описы-
описывающего возмущения метрики, и, следовательно, безмассовой
частице в четырех измерениях. Но, с другой стороны, доказа-
доказательство Яу гипотезы Калаби дает точное описание возмуще-
возмущений метрики, сохраняющих 5^/C)-голономию. Они отвечают
деформациям комплексной структуры или кэлерова класса
на К.
Чтобы проверить эти утверждения, а также показать, что
нулевых мод, которые не сохраняют SU{3), нет, полезно вы-
выписать явное уравнение для возмущений метрики. В низшем
') Шестимерное многообразие, группа голономии которого является соб-
собственной подгруппой группы SUC), должно иметь очень простую струк-
структуру: у него должно быть такое накрывающее пространство, которое пред-
представляет собой либо тор, либо произведение тора и пространства КЗ —
единственного пространства с голономией SUB). Такие многообразия, по-
видимому, не подходят для феноменологии, поскольку, например, их эйле-
эйлерова характеристика равна нулю.

530 Глава 16
порядке по <х'/г2 уравнение для метрики gij на К представляет
собой уравнение Эйнштейна Нц=0. Используя разложение
g{j = g°j + hip где g° — риччи-плоский фон, а И.ц — возмуще-
возмущение метрики, получаем для h уравнение А/г = 0, где Л — опре-
определенный линейный оператор, который можно получить, линеа-
линеаризуя уравнения Эйнштейна около классического решения.
Этот оператор часто называют лапласианом Лихнеровича.
В калибровке D'hu—72?>/^'< = 0 рассматриваемое уравнение
имеет следующий явный вид:
0 = {Щи = -Djfhn - Risithst. A6.2.3)
В случае 5?/C)-голономии уравнения для компонент /iag и huS,
в A6.2.3) расцепляются. Более или менее легко видеть, что
уравнение для haB совпадает с уравнением на гармоническую
A, 1)-форму, которое дается лапласианом в разд. 15.5.3. На
самом деле нулевая мода haB отвечает вариации кэлерова
класса кэлеровой метрики на К. Несколько труднее показать,
что уравнение для huB, которое получается из A6.2.3), озна-
означает, что /г^ = gaah^ представляет собой элемент из //'(Г), а
потому отвечает деформации комплексной структуры на К.
Нулевые моды hub (или, что эквивалентно, деформации
комплексной структуры на К) являются комплексными и в че-
четырех измерениях приводят к появлению комплексных безмас-
безмассовых скаляров. Если спиновая связность вложена в калибро-
калибровочную группу, эти безмассовые скаляры находятся во взаимно
однозначном соответствии с безмассовыми мультиплетами 27Г
поскольку и те и другие определяются элементами группы
Н](Т). Например, в случае квинтики Q в С/54 деформации ком-
комплексной структуры находятся во взаимно однозначном со-
соответствии с тем же 101 мономом, обсуждавшимся выше. При
ненарушенной суперсимметрии безмассовые скаляры, возникаю-
возникающие из деформаций комплексной структуры на К, с необходи-
необходимостью являются скалярными компонентами безмассовых ки-
ральных суперполей, которые мы будем обозначать Х(а).
Что можно сказать о нулевых модах haS или гармонических
A, 1)-формах? В случае квинтики Q в CPi имеется единствен-
единственная гармоническая A, 1)-форма — форма Кэлера. Эта мода
имеет особое значение: она описывается анзацем haS = gaS и
поэтому отвечает общей дилатации на К. Таким образом, для
квинтики выбор кэлерова класса представляет собой просто вы-
выбор радиуса или объема. Другие гравитационные нулевые моды
определяют «форму» многообразия К.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 531
Гармонические A, 1)-формы, естественно, вещественны.
В случае ненарушенной суперсимметрии вещественные скаляры,
возникающие в четырех измерениях из нулевых мод для h g,
должны иметь псевдоскалярных партнеров, чтобы составлять
комплексный супермультиплет; ниже мы найдем этих партнеров.
16.2.3. Другие бозонные поля
Другие бозонные поля, которые должны рассматриваться
в N = 1 -супергравитации, — это дилатон ф и 2-форма ВМы
с компонентами В^, Вп1 и Вц.
Относительно ф и Buv здесь следует лишь немного добавить
к общим замечаниям в разд. 14.3.1. При компактификации на
JH* X ^С они всегда приводят к появлению одной скалярной и
одной псевдоскалярной мод соответственно с волновыми функ-
функциями, не зависящими от точки на К. Псевдоскалярная мода
имеет аксионоподобные взаимодействия. Эти моды вместе вхо-
входят в скалярную компоненту некоторого кирального супермуль-
типлета.
Что касается компоненты Buj, то из общих соображений
следует, что соответствующие нулевые моды являются с точки
зрения четырех измерений безмассовыми полями спина один и
находятся во взаимно однозначном соответствии с гармониче-
гармоническими 1-формами на К. Но на многообразии с 5(УC)-голоно-
мией гармонических 1-форм нет (группы когомологий Я0'1 и
Я10 равны нулю), поэтому нет и безмассовых полей, происхо-
происходящих из Bah
Наконец, рассмотрим компоненты Вц. Поскольку для много-
многообразия с 5?УC)-голономией Я2'° = #°>2 = 0, единственный не-
нетривиальный результат возникает для A,1)-компонент Ва5.
Соответствующие нулевые моды являются гармоническими
A, 1)-формами и в четырех измерениях приводят к появлению
вещественных безмассовых скаляров. В действительности это
те недостающие моды, которые дополняют неполные супермуль-
типлеты, встретившиеся нам при обсуждении гравитационных
флуктуации. Каждая гармоническая A, 1)-форма на К приво-
приводит к появлению гравитационной нулевой моды и нулевой
моды для В. Эти два типа мод связаны суперсимметрией и об-
образуют скалярные компоненты комплексных киральных супер-
мультиплетов У(р) в четырех измерениях.
16.3. Нарушение симметрии с помощью петель Вильсона
Вложение спиновой связности в калибровочную группу дает
простой способ удовлетворить уравнениям, необходимым для не-
ненарушенной суперсимметрии, и одновременно получить связь

532 Глава 16
с феноменологией. Принципиальным успехом является автома-
автоматическое появление разумной калибровочной группы Е6 с фер-
мионами и хиггсовыми бозонами в подходящем представле-
представлении 27. Кроме того, тот факт, что из более фундаментальной
объединенной структуры можно получить множество фермион-
ных поколений, означает, что проблема аромата в принципе
может иметь решение. В то же время имеются и бросающиеся
в глаза недостатки. Простые конструкции многообразий с
5?/C)-голономией дают слишком много поколений фермионов.
Например, квинтика в СРА дает 100 поколений; с помощью
подсчета полиномов можно показать, что полное пересечение
гиперповерхностей в CP3+N всегда дает по меньшей мере 64
поколения. Кроме того, хотя группа ?6 и является интересным
кандидатом для великого объединения в четырехмерной теории,
тем не менее феноменология определенно не допускает, чтобы
Еъ оставалась ненарушенной при низких энергиях. Мы должны
найти удовлетворительный способ нарушения Еъ при некоторой
очень высокой энергии до приемлемой низкоэнергетической
подгруппы.
Чтобы нарушить Е6, мы должны придать вакуумные сред-
средние полям, несущим ?-заряды. В теоретико-полевом пределе
единственными безмассовыми заряженными бозонами являются
?в-калибровочные бозоны. («Собственно струнные» моды имеют
в теоретико-полевом пределе положительный квадрат массы,
а имеющиеся в настоящее время средства не позволяют иссле-
исследовать состояния, в которых они имеют вакуумные средние.)
Разумеется, любое нетривиальное вакуумное среднее /^-кали-
/^-калибровочных бозонов нарушит Е6 до некоторой подгруппы. Но
в общем случае одновременно нарушается и суперсимметрия.
Поскольку основной причиной использования многообразий с
5^/C)-голономией является ненарушенная суперсимметрия, ме-
механизм нарушения Е6, который портит суперсимметрию, проти-
противоречит всей идее данной конструкции. Чтобы многообразия
с 5С/C)-голономией были применимы, мы должны найти способ
нарушить Ее, не нарушая суперсимметрию.
На первый взгляд представляется безнадежным делом пы-
пытаться добиться этого, не выходя за рамки упрощающего ан-
заца Aф = Н = 0, который позволил найти решения соответст-
соответствующих уравнений. В разд. 16.1 встречались такие уравнения,
как O = trF AF — trRAR и 0 = tr FuF1'— tr RaR1', которые
накладывают очень сильные ограничения на напряженность
поля Янга — Миллса F. Действительно, эти уравнения, по-види-
по-видимому, требуют, чтобы /^-напряженность была равна нулю. Как
же тогда можно нарушить Е6?

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 53$
Утверждение, что ^-напряженность Ft; равна нулю, на са-
самом деле означает, что локально ?6-калибровочное поле Л,-
является чистой калибровкой: At = diU-U~l. Другой вопрос, вер-
верно ли это глобально. Если многообразие К односвязно, то усло-
условие Fa = 0 гарантирует, что с помощью калибровочного преоб-
преобразования можно обратить в нуль калибровочное поле. Но есл!г
К не является односвязным, jti (К) Ф 0, то имеется более общая
возможность, которая появляется в электродинамике как эф-
эффект Бома — Ааронова. Пусть у— нестягиваемая петля в К, на-
начинающаяся и оканчивающаяся в некоторой точке х. Тогда
«петля Вильсона»
§ A ¦ dx A6.3.1)
является калибровочно-ковариантной величиной и, если Uy ф
ф 1, ее нельзя сделать равной единице с помощью калибровоч-
калибровочного преобразования. Пока выполняется условие ?ц = 0, f/Y
зависит только от топологического класса петли у в ni{K).
Если Uy не лежит в центре группы Ев, то Е& нарушается до
подгруппы, коммутирующей со всеми f/Y. Но ^-калибровочное
поле с Fa = 0 не вносит вклада ни в какие локальные уравне-
уравнения, такие как классические уравнения движения или условия
ненарушенной суперсимметрии, так что они по-прежнему вы-
выполняются, если выполнялись при Uy= 1.
16.3.1. Варианты нарушения симметрии
В типичной ситуации имеется много топологических классов
нестягиваемых петель у в пространстве-времени. Для каждой y
мы определяем Uy формулой A6.3.1). Такие Uy подчинены не-
некоторому важному общему ограничению. Пусть у и у' — две
различные нестягиваемые петли в К, начинающейся и оканчи-
оканчивающейся в одной и той же точке х. Групповая структура фун-
фундаментальной группы Я1 (К) определяется так, что произведе-
произведение у/> показанное на рис. 16.1, — это петля, которая проходит
сначала по у', а затем по у. Используя это определение, мы
видим, что
UyY = Рexp jj A • dx = (>exp jj A • dx\ (pexp J А ¦ dx\, A6.3.2)-
уу' \ у / \ у' /
так что на самом деле
Uyy' = Uy-Uy'. A6.3.3)»
Уравнение A6.3.3) можно охарактеризовать, сказав, что ото-
отображение y-*Uy есть гомоморфизм фундаментальной группы.

«34
Глава 16
в Е6. Как только сделан выбор такого гомоморфизма, группа
Е6 нарушается до подгруппы, коммутирующей со всеми калиб-
ровочно-ковариантными составными полями Uy.
М.ы можем явно определить возможные варианты наруше-
нарушения Ее, которые получаются с помощью этого механизма. Груп-
Группа Е6 содержит максимальную подгруппу SUC)C X SUC)L X
X SU C) R, где SUC)c-—цветовая группа сильных взаимодей-
взаимодействий, a SUC)L и SUC)r опи-
описывают слабые взаимодействия
левых и правых кварков соот-
у I ветственно. Группа слабых
взаимодействий SU{2)l вложе-
вложена в SUC)cXSUC)lXSUC)r
следующим образом:
Рнс. 16.1. Две петли у и у' «пере-
«перемножаются», как здесь показано.
Это — закон умножения в определе-
определении фундаментальной группы ni(K).
SUB)t
A6.3.4)
Генератор группы U(\)Y, отвечающий слабому гиперзаряду,
имеет вид
/1/3 N /4/3 N
У = @)® 1/3 ® -2/3 . A6.3.5)
V -2/3/ V -2/3/
Его можно записать как сумму SUC)l- и SUC)«-частей: У =
= YL+ Yr, где
1/3
1/3
-2/3
'4/3
A6.3.6)
-2/3
-2/3.
Рассмотрим сначала простейшую ситуацию, когда фунда-
фундаментальная группа многообразия К представляет собой цик-
циклическую группу Zn, которая генерируется некоторым элемен-
элементом у, удовлетворяющим условию у"—1- В этом случае нару-
нарушение симметрии определяется одним элементом U = Uy
группы Е6. Из соотношения A6.3.3) следует, что Un=\, так
гкак A6.3.3) означает, что {Uy)n = U4n = Ul = 1. Предполагая,

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 535-
что U коммутирует с SUC)XSUB)'X U(l), элемент U после
диагонализации его SU C) «-части можно привести к виду
A6.3.7)
Здесь а, р, у, б и е должны быть корнями п-й степени из еди-
единицы, чтобы обеспечить равенство ?/я=1. Чтобы U принадле-
принадлежало группе SUC)c XSUC)l X SUC)R, потребуем выполне-
выполнения условий а3 = 1 (тогда а определяет элемент центра группы
SUC)) и 768 = 1. Подгруппа группы Е6, коммутирующая с U
(или с любым другим одним элементом группы Е6), имеет ранг,
равный шести. Для общих значений фазовых множителей в фор-
формуле A6.3.7) ненарушенная группа есть SU{3)C XSU{2)L X
Х^A)Х^A)Х^A), где три сомножителя 0A) представ-
представляют собой Yl и диагональные 5С/C)й-матрицы. Таким образом,
в этом случае низкоэнергетическая теория состоит из стандарт-
стандартной модели плюс два дополнительных абелевых калибровочных
взаимодействия. Если такова группа, остающаяся ненарушен-
ненарушенной для общей матрицы вида A6.3.7), то в частных случаях
ненарушенные группы больше. Например, при у = Ь к без дру-
других специальных ограничений ненарушенная группа есть
SUC)cXSUB)LXSU{2)RXU(l) X^(l). Этот случай отве-
отвечает модели слабых взаимодействий с обобщенной лево — пра-
правой симметрией. Мы не будем здесь классифицировать все воз-
возможные случаи.
Хотя мы предположили, что фундаментальная группа много-
многообразия К порождается одним элементом U, подобные же ре-
результаты получались бы и в случае, когда фундаментальная
группа многообразия К абелева. Если группа Л$К) абелева, ТО'
различные Uy коммутируют друг с другом, так как из соотно-
соотношения A6.3.3) следует, что UyUy' = Uyy' = Uy'y = Uy'Uy. В та-
такой ситуации (предполагая, что группа SUC)C X SUB) l X
XU($y должна остаться ненарушенной) все Uy можно одно-
одновременно привести к виду A6.3.7). Но если группа п\(К) не-
абелева, то появляется существенно новая возможность. Если
y-*-Vy есть двумерное неприводимое представление группы
Jti (/С), ТО МОЖНО ПОЛОЖИТЬ
A6.3.8>

336 Глава 16
Здесь <j>y = detVy~1, a Y~>aY и Y-*PY представляют собой од-
одномерные представления группы п\(К), причем av является
кубическим корнем из единицы (определяющим элемент центра
группы SUC)) при всех Y- Эта структура оставляет ненарушен-
ненарушенной группу ранга пять, которая в отсутствие других ограниче-
ограничений на матричные элементы в выражении A6.3.8) имеет вид
SUC)cXSU{2)LXU(l)XU(l). Две подгруппы ?/A) отве-
отвечают YL и У/?, определенным формулой A6.3.6). На самом деле
это самая малая группа, до которой можно нарушить Еъ с по-
помощью одних только петель Вильсона, сохраняя ненарушенной
стандартную модель, поскольку каждая ?6-матрица, коммути-
коммутирующая с группой стандартной модели, коммутирует как с Yl,
так и с YR.
Таким образом, если Е6 нарушается только петлями Виль-
Вильсона, то должно существовать по крайней мере одно новое ка-
калибровочное взаимодействие, и имеется совершенно определен-
определенное предсказание, каким оно должно быть. С другой стороны,
вполне возможно, что играют роль также другие механизмы
нарушения Е6. Например, как мы увидим ниже, при ослаблении
предположения dj> = Н = 0 можно использовать плоские на-
направления суперпотенциала, чтобы нарушить Е6 до SO A0)
или SUE), сохраняя при этом ненарушенной суперсимметрию.
По этой и другим причинам очень интересно узнать, до ка-
каких низкоэнергетических групп можно нарушить SUE) или
50A0) с помощью петель Вильсона. На этот вопрос ответить
легко. В случае группы SUE) петля Вильсона U, оставляющая
ненарушенной стандартную модель, должна быть элементом
группы U(l), которая генерируется гиперзарядом. Такой эле-
элемент нарушил бы SUE) в точности до стандартной модели.
Для SO A0) рассмотрение несколько отличается. Группа
SOA0) содержит подгруппу S?/E)X^0)> где дополнитель-
дополнительная U(I) отвечает разности барионного и лептонного чисел
В— L. Любой элемент группы SO A0), коммутирующий с груп-
группой стандартной модели, коммутирует также и с В — L. Таким
образом, в SO A0)-моделях нарушение симметрии с помощью
петель Вильсона, оставляющее ненарушенной стандартную мо-
модель, оставило бы ненарушенной по крайней мере SU{3)CX
X SU B) l X U A) y X U A) b-l. Точно так же, как в случае груп-
группы Е6, нарушение симметрии с помощью петель Вильсона в слу-
случае группы SOA0) приводит к предсказанию по крайней мере
¦одного нового калибровочного взаимодействия; при этом любо-
любопытно, что эти новые взаимодействия различны.
Проведенное обсуждение показывает, что нарушение сим-
симметрии с помощью петель Вильсона может привести к более
или менее реалистической низкоэнергетической калибровочной

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 537"
группе. Теперь нужно найти примеры моделей с SU (З)-голопо-
мией и с достаточно большой фундаментальной группой, к ко-
которой можно применить проведенное выше обсуждение.
16.3.2. Модель с четырьмя поколениями
Если дано многообразие До с 5?7C)-голономией, являюще-
являющееся односвязным, то нарушить ?6 описанным только что спосо-
способом нельзя. Но очень часто многообразие Ко можно так моди-
модифицировать, чтобы получить многообразие с 5?7C)-голономией,
фундаментальная группа которого нетривиальна. Предполо-
Предположим, что Ко имеет группу симметрии F. Группа F автоматиче-
автоматически будет дискретной группой симметрии, поскольку мы дока-
доказали, что многообразие с 5?/C)-голономией не имеет непрерыв-
непрерывных симметрии. В этой ситуации естественно ввести отношение
эквивалентности, считая две точки х и у эквивалентными, если
У = fx для некоторого f e F. Такие классы эквивалентности об-
образуют новое пространство, которое мы обозначим /С = /Со//7
Это фактор-пространство К является многообразием, если
F действует свободно в том смысле, что для /ef и х е Ко
имеем 1хфх, если f?=l. Идея здесь в том, что многообразие
представляет собой топологическое пространство, которое
локально выглядит как евклидово пространство. Локальные из-
измерения в точке jeKo зависят от того, что х может иметь
образ fx, который считается эквивалентным х. Точнее они не
зависят от этого (а значит, K = Ko/F является многообразием),
если F действует свободно или fx — различные точки. С по-
помощью локальных измерений наблюдатель в точке х не может
обнаружить, что его считают эквивалентным другому наблюда-
наблюдателю в точке fx, если хф\х. Например, пусть Ко — обычное
трехмерное евклидово пространство с евклидовыми координа-
координатами Х\, Х2, Хз. Трансляция Г, определенная соотношением
T(xt) =Xi-\-a,i, i= 1, 2, 3, действует свободно, и если F — груп-
группа, порожденная этой трансляцией, то Ko/F— многообразие.
С другой стороны, пусть Р— преобразование четности: Р(х<) =
= —Xi. Тогда Р действует свободно везде, кроме точки xi = О,
которая является неподвижной точкой. Если F — группа Z%
порожденная преобразованием Р, то Ko/F имеет сингулярность
в точке Xj = О и многообразием не является.
В этом разделе мы будем предполагать, что F действует
свободно, так что К = Ko/F— многообразие1). Если группа
') Но в теории струн пространство^ Ko/F, по-видимому, имеет смысл,
даже если F не действует свободно, как мы узнали из рассмотрения орби-
фолдов в разд. 9.5.2. Связь между орбифолдами и многообразиями <г
5{/C)-голономией исследуется в разд. 16.10.

5538 Глава 16
голономии многообразия Ко есть SUC), то это справедливо
также для К, как мы докажем ниже. Но К не будет односвяз-
ным. Пусть у — некоторый путь на Ко, начинающийся в точке
х^К и заканчивающийся в точке fx для некоторого f^F.
Тогда у является замкнутой петлей в К, даже если (при f Ф 1)
она и не замкнута в Ко- В качестве f в этом построении мы мо-
можем выбрать произвольный элемент группы F. Более того, если
Ко односвязно, то топологический класс у зависит только от
выбора /. Следовательно, если Ко односвязно, то фундаменталь-
фундаментальная группа многообразия К есть Я] (К) ~ F.
Таким образом, мы можем построить многообразия К с
5?/C)-голономией, не являющиеся односвязными, если найдем
свободное действие дискретной группы F на односвязном про-
пространстве Ко с 5?7C)-голономией. Кроме того, любое неодно-
связное многообразие К с 5?/C)-голономией может быть по-
построено таким способом, причем Ко будет так называемым
универсальным накрывающим пространством для К, а Ржп,\{К)-
Наиболее простые конструкции многообразий с SUC)-ro-
лономией дают односвязные примеры. Это верно, например,
для гиперповерхности Q в СР4, заданной нулями однородного
полинома пятой степени, такого как
P = Z\ + Z\+ ...+ZI A6.3.9)
Как найти дискретную группу, действующую свободно на
этой гиперповерхности? Метрика с 5?7C)-голономией на квин-
тике однозначно определяется комплексной структурой (после
того как фиксирован кэлеров класс или объем). Комплексная
структура инвариантна относительно голоморфных замен коор-
координат. Чтобы найти голоморфное отображение многообразия Q
в себя, обычно ищут голоморфное отображение пространства
СР4 в себя, оставляющее инвариантной гиперповерхность Q.
Голоморфное отображение пространства СР4 в себя (без по-
полюсов или других сингулярностей) всегда является линейным
преобразованием Zi-*-Ai/Zj с некоторой матрицей Ац. Линей-
Линейные преобразования координат Zt определенно являются таки-
такими голоморфными отображениями Q в себя1), которые найти
легко; труднее показать, что ими все и исчерпывается. Кроме
того, линейные преобразования координат Z,- всегда оставляют
инвариантным кэлеров класс многообразия СР4 и, следователь-
«о, многообразия Q.
Линейные преобразования координат Zt, оставляющие Р
инвариантным и действующие на гиперповерхности Р == 0 сво-
') Если, конечно, они сохраняют полином Р.—Прим. перев.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 539*
бодно, можно найти без особых затруднений. Пусть Л является
преобразованием
A(Zt) = Zt+1, A6.3.10).
где по определению Z;+5 = Z,. Тогда, очевидно, А оставляет по-
полином Р инвариантным. Кроме того, А5 = 1, так что А порож-
порождает группу, изоморфную Z5.
Несколько менее очевидно, что А на гиперповерхности дей-
действует свободно. Неподвижная точка преобразования А на СР*
должна иметь координаты Zi, для которых Zi+i = KZi при неко-
некотором комплексном Я. (Возможность появления %ф\ возни-
возникает потому, что общий множитель у координат несуществен на
СР4.) Поскольку Z/+5 = Zi, отсюда следует, что Къ = 1, и легко
видеть, что точки на СР4, для которых Z,-+i = KZh не удовлет-
удовлетворяют уравнению Р — 0. Таким образом, хотя преобразование
Л и не действует свободно на СР4, но на гиперповерхности
Р = 0 оно действует свободно. То же верно и для А*, если k
не делится на 5, так что группа Z5, порождаемая преобразо-
преобразованием А, на гиперповерхности действует свободно.
Чтобы получить большую свободно действующую группу,,
примем, что а = e2isl/5 — корень пятой степени из единицы, и
определим преобразование В формулой
akZk. A6.3.11).
Тогда В5 = 1 и ВА — АВ (Л и В как преобразования коорди-
координат Zi удовлетворяют соотношению ВА = АВа, но фазовый
множитель а в СР4 несуществен). Поэтому Л и В вместе по-
порождают группу F, изоморфную группе Z5 X Z5. По аналогии с
нашими предыдущими замечаниями легко видеть, что АкВ1 не
имеет неподвижных точек на гиперповерхности, если k и / не
делятся на 5, так что F действует свободно.
Теперь мы исследуем многообразие К = Q/F, фундаменталь-
фундаментальная группа которого (поскольку Q односвязно) есть Z5 X Z$.
Первый вопрос, который следует задать: какова эйлерова ха-
характеристика многообразия К? Есть много способов ответить
на этот вопрос. Например, можно заметить, что эйлерову ха-
характеристику можно определить как интеграл от определенного
полинома от кривизны, рассмотренного в разд. 12.5.2. Для
шестимерного многообразия М он имеет вид
J . A6.3.12)-
м . -
Предположим теперь, что некоторое многообразие Ко (не обя-
обязательно одиосвязное) допускает действие., дискретной групп№

540 Глава 16
симметрии F из N(F) элементов. Если F действует свободно,
то Ко состоит из N(F) «фундаментальных областей» действия
группы F. Многообразие К = Ko/F состоит из одной фундамен-
фундаментальной области, некоторые границы которой отождествлены.
Чтобы вычислить эйлерову характеристику многообразия Ко по
формуле A6.3.12), надо выполнить интегрирование по всем
N{F) фундаментальным областям. Чтобы вычислить эйлерову
характеристику многообразия К по формуле A6.3.12), тот же
интеграл надо взять только по одной фундаментальной области.
Поэтому эйлеровы характеристики для К я Ко связаны соот-
соотношением
A6.3.13
Возвращаясь к гиперповерхности Q в СР4, допускающей свобод-
свободное действие группы F = Z5 X %s, мы можем теперь определить
эйлерову характеристику многообразия К = Q/F. Поскольку
X (Q) = —200, а N (F) = 5 X 5 = 25, имеем
-8. A6.3.14)
Таким образом, в физической модели, компактифицированной
на К, имеется |%|/2 = 4 поколений. Эта довольно простая мо-
модель с четырьмя поколениями, в которой есть естественная воз-
возможность нарушения Е6, поскольку щ (К) = Z5 X Z5, в даль-
дальнейшем будет широко использоваться в целях иллюстрации.
Полезно проверить тот результат, что х(^0 = —8, более
явно. С этой целью вычислим числа Ходжа №• q многообразия
К. Гармоническая (p,q) -форма на К есть то же самое, что гар-
гармоническая (р, q) -форма на накрывающем пространстве Q,
инвариантная относительно F. Отсюда следует, например, что
/jo, 1 __ /jo, 2 __ о На д^ поскольку на Q нет ни гармонических
@, 1)-форм, ни гармонических @, 2)-форм. С другой стороны,
на Q имеется единственная гармоническая A, 1)-форма — фор-
форма Кэлера. Она инвариантна относительно F (в противном слу-
случае K = Q/F не было бы кэлеровым многообразием), поэтому
К имеет Л1- ' = 1. Многообразие К имеет также Л0' ° = 1, как
и любое связное компактное комплексное многообразие, по-
поскольку постоянная функция является единственной гармони-
гармонической @, 0)-формой.
Чтобы вычислить Л2' ', подсчитаем деформации комплексной
-структуры на К- Определение многообразия К использует по-
.лином пятой степени Р, являющийся (Z5XZ5) -инвариантным,
так что можно рассматривать фактор-пространство гиперпо-
гиперповерхности Р = 0 по Z5 X Z5. Деформации комплексной струк-
структуры многообразия К отвечают (Z5 X ^s)-инвариантным воз-
шущениям полинома Р, которые нельзя поглотить заменой пере-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 541
менных. Легко видеть, что помимо Р имеются еще пять незави-
независимых (Z5 X Z5) -инвариантных полиномов пятой степени:
(а) Z\Z2ZS+ ...,
(б) Z]Z3Z4+...,
(в) Z\Z2Z\+..., A6.3.15)
(г)
(д)
Здесь «+ • ¦ •» обозначает добавление членов, получающихся
циклическими перестановками переменных Z,. Добавление лю-
любого из пяти полиномов A6.3.15) нельзя поглотить линейными
заменами переменных Z,, так что комплексная структура мно-
многообразия К — Q/F зависит от пяти комплексных параметров
и К имеет №<' = 5.
Теперь мы определили все независимые числа Ходжа для
К, кроме /i3>°. Из совместности со значением %{К) = —8 сле-
следует, что /г3' ° = 1. Действительно, на Q имеется единственная
голоморфная C, 0)-форма, а именно ковариантно постоянная
C, 0)-форма о, которая является отличительным признаком
многообразия с 5?/C)-голономией. На основе одного только
этого соображения можно заключить, что для К число h3' °
равно 1 или 0. Чтобы доказать, что /г3-0 = 1, надо показать, что
«) инвариантна относительно F = Z5 X Z5. В противном случае
К не имело бы голоморфной 3-формы и не имело бы Sf/C)-ro-
лономии.
Вместо того чтобы использовать методы, специально приме-
применимые к данному примеру, мы докажем общее утверждение, ко-
которое было сформулировано выше. Пусть Ко — произвольное
многообразие с 5?УC)-голономией, a F — любая дискретная
труппа, действующая свободно на Ко- Тогда К = Ko/F имеет
толономию SUC). Мы докажем это, показав, что /го>3(/С)=1,
так что на К существует голоморфная 3-форма.
Рассмотрим оператор Ъ, действующий на @, k) -формы.
Индекс эрмитова оператора D = d-\-d* называется арифмети-
арифметическим родом Л. Поскольку нулевые моды оператора D являют-
являются гармоническими @, k) -формами, киральность которых есть
(—l)ft, арифметический род равен А = Yuk (— 1)*^ ' . Подобно
индексу любого оператора, арифметический род можно выра-
выразить с помощью интегральной формулы, аналогичной формуле
A6.3.12). Те же рассуждения, что и в случае эйлеровой харак-
характеристики, можно использовать, чтобы доказать, что если Ко —
произвольное комплексное многообразие (без ограничения на

542 Глава 16
первый класс Черна), a F действует свободно, то арифметиче-
арифметический род для К связан с арифметическим родом для Ко соотно-
соотношением A(K) = A(Ko)/N(F).
Применим это к случаю, когда Ко имеет голономию SUC).
Тогда знание чисел Ходжа позволяет заключить, что А (Ко) = 0.
Соотношение А (К) = A (Ko)/N(F) в этом случае показывает, что
А(К) = 0. Поскольку К имеет /i°'° = 1 (как любое связное комп-
комплексное многообразие) и h°-' = /i°-2 = 0 (так как на Ко нет гар-
гармонических @, 1)-форм или @,2)-форм), обращение в нуль
числа А (К) означает, что К имеет /г°>3=1. Следовательно, К
имеет голономию SUC).
16.4. Связь с обычными моделями великого объединения
Петли Вильсона U, которые были введены для описания на-
нарушения Ее, во многих отношениях подобны обычным полям
Хиггса. Связь между ними имеет вид U = е1ф, где ф — хиггсов-
бозон в присоединенном представлении группы Е6. Естествен-
Естественное появление присоединенного представления весьма привле-
привлекательно, так как известно, что оно безусловно является подхо-
подходящим представлением для начальной стадии нарушения сим-
симметрии великого объединения. Но имеется и некоторое число
отличий от обычного великого объединения. Многие из них воз-
возникают вследствие того, что собственные значения для U
квантуются. Например, если фундаментальная группа много-
многообразия К есть щ (К) = Zn, то U удовлетворяет условию U" = 1
и ее собственные значения являются корнями п-й степени из
единицы. В противоположность этому собственные значения
обыкновенного хиггсова бозона ф в присоединенном представ-
представлении группы Е6 непрерывно зависят от произвольных констант
связи. Ниже мы исследуем связь с обычным великим объедине-
объединением, а в конце этого раздела сделаем некоторые выводы.
16.4.1. Альтернативное описание нарушения симметрии
Мы начнем с того, что дадим альтернативное описание ме-
механизма нарушения симметрии. Пусть Ко — односвязное много-
многообразие, a F — дискретная группа симметрии, действующая
свободно; пусть К = Ko/F. Обыкновенное поле г|з (х) на Ko/Fr
преобразующееся по некоторому представлению группы Е6г
эквивалентно полю гр (л:) на Ко, удовлетворяющему условию
= !>(*) A6.4.1)
для всех / е F. Рассмотрим теперь теорию с группой симметрии
?б (исходно ненарушенной). Условие A6.4.1) можно обобщить

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 543
тогда следующим образом. Для каждого р е F выберем эле-
элемент Uf e Е6 и потребуем, чтобы ф удовлетворяла не условию
A6.4.1), а условию
. A6.4.2)
Из этого уравнения можно вывести, что для любых /, f e F
выполняется условие
(х) = Urf (f'x) = ф (//'*) = f/ff4 (ж). A6.4.3)
Следовательно, условие A6.4.2) имеет смысл только в том
случае, если
U = Uff', A6.4.4)
или, другими словами, если отображение f-^Uf представляет
собой гомоморфизм группы F в Е6.
Это условие появлялось также при обсуждении нарушения
симметрии с помощью петель Вильсона, что указывает на неко-
некоторую связь между этим механизмом и условием A6.4.2). Дей-
Действительно, точную связь описать нетрудно. В предыдущем
разделе мы начинали с ?е-калибровочного поля Аи для кото-
которого Fij = 0. Несмотря на нулевую напряженность поля, нетри-
нетривиальные петли Вильсона могут сделать невозможным обра-
обращение в нуль поля Ai с помощью однозначного калибровочного
преобразования U. Но нулевая напряженность поля делает
возможным обращение в нуль поля Л; с помощью калибровоч-
калибровочного преобразования, которое не является однозначным. Такое
неоднозначное калибровочное преобразование вносит «твист»
в граничные условия, которым удовлетворяют заряженные поля,
а это проявляется в условии A6.4.2). Нарушение симметрии с
помощью петель Вильсона в точности эквивалентно формализму,
в котором ?б-калибровочное поле равно нулю в вакууме, но за-
заряженные поля удовлетворяют условию A6.4.2).
Это альтернативное описание делает очевидным, что при
описании вакуумного состояния мы можем взять произвольный
гомоморфизм f-*-U[\ в предыдущем разделе это могло быть
не очевидно. Как мы увидим, альтернативное описание очень
удобно для понимания также и других физических свойств.
16.4.2. Е6-соотношения между константами взаимодействия
Хотя мы и должны допустить, что исходная объединенная
группа спонтанно нарушена, для древесных констант связи четы-
четырехмерного великого объединения имеются важные следствия.
Мы хотим выяснить аналогичные вопросы в случае, когда объ-
объединение происходит не в четырех, а в десяти измерениях. Для

544 Глава 16
этого рассмотрим односвязное многообразие Ко с голономией
SUC). Находя свободно действующую дискретную группу сим-
симметрии F, мы формулируем физическое описание на фактор-
пространстве К — Ko/F; нарушение Е6 описывается выбором
гомоморфизма f-*~Uf группы F в Е6. Этот гомоморфизм отобра-
отображает F в дискретную подгруппу группы Е6, которую мы
обозначим F. Нарушенная калибровочная группа в четырех из-
измерениях представляет собой подгруппу G группы ?6, комму-
коммутирующую с F.
Представление 27 группы Е6 имеет разложение относительно
G X F вида
27 = ©,/?,® Г,, A6.4.5)
где Ri и Tt — определенные представления для G и F соответ-
соответственно. С точки зрения четырехмерной физики Tt представляют
лишь косвенный интерес, но Ri очень важны. Различные выборы
представлений Ri отвечают, например, «-кваркам или заряжен-
заряженным лептонам.
Чтобы найти безмассовые фермионы, мы ищем нулевые моды
оператора Дирака на К- (Требуемый оператор Дирака, разу-
разумеется, учитывает вложение спиновой связности в калибровоч-
калибровочную группу.) Нулевая мода оператора Дирака на К— это то же
самое, что нулевая мода на накрывающем пространстве Ко,
удовлетворяющая подходящему ограничению вида
ф (fx) = Urf (х), A6.4.6)
которое сформулировано выше в A6.4.2). Суть этого условия
состоит в том, что допустимые моды преобразуются по F точно
так же, как они преобразуются относительно F. Таким образом,
моды, преобразующиеся относительно группы G по представ-
представлению Rt, преобразуются (согласно формуле A6.4.5)) по пред-
представлению Ti относительно F, поэтому, согласно уравнению
A6.4.6), они должны преобразовываться и относительно груп-
группы F также по представлению Tt.
Прежде чем пытаться получить какие-то следствия из этого
утверждения, рассмотрим более простой случай, когда Еъ не
нарушена. Условие A6.4.6) сводится тогда к более элементар-
элементарному утверждению
i№) = !>(*), A6.4.7)
с которого мы начали этот раздел. Уравнение A6.4.7) означает,
что моды на Ко, которые остаются физическими при переходе
от Ко к К = До/Л являются модами, инвариантными относи-
относительно F. Пусть $ — нулевая мода уравнения Дирака на Ко,
преобразующаяся по представлению 27 группы Е6. Согласно

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 545
A6.4.7), если г|) не инвариантна относительно F, то ее не надо
учитывать в формулировке физики на К; если же она инвари-
инвариантна относительно F, то ее надо оставить. Если \р остается,
она приносит в четырех измерениях целый мультиплет 27 без-
безмассовых фермионов (положительной или отрицательной ки-
ральности), поскольку Еъ не нарушена.
Рассмотрим аналогичным образом уравнение A6.4.6), след-
следствия которого на первый взгляд менее прозрачны. Нулевая
мода -ф оператора Дирака на Ко в общем случае преобразуется
по некоторому представлению 7/ группы F. Уравнение A6.4.7)
означало бы, что i|) дает в четырех измерениях либо полный
мультиплет 27 для ?6, либо ничего в зависимости от того, яв-
является ли ip ?б-инвариантной. Уравнение A6.4.6) приводит к
более сложному результату. Если ip преобразуется по пред-
представлению Т, для F, то из уравнения A6.4.6) следует, что надо
оставить те компоненты из 27, которые также преобразуются
относительно F по представлению Т,-. В силу соотношения
A6.4.5) это означает, что надо оставить те компоненты, которые
относительно G преобразуются по представлению R,-.
Таким образом, данная нулевая мода i|) на Ко не приводит
к появлению полного ?6-мультиплета, когда вместо Ко теория
формулируется на К. Обращая рассуждение, предположим, что
нас интересуют безмассовые фермионы, преобразующиеся по
представлению Ri группы G. Согласно уравнению A6.4.5), они
преобразуются относительно F по представлению 71,-. Следова-
Следовательно, уравнение A6.4.6) утверждает, что эти моды происхо-
происходят из дираковских нулевых мод на Ко, преобразующихся отно-
относительно F по представлению Tt. Это означает, например, что
безмассовые «-кварки и безмассовые заряженные лептоны, если
они преобразуются по различным представлениям группы G,
происходят из различных нулевых мод оператора Дирака на
Ко- Это в свою очередь означает, что физический «-кварк свя-
связан группой Е6 не с физическими заряженными лептонами,
а с теми модами на Ко, которые нарушают условие A6.4.6) и
не имеют ничего общего с физикой на К-
В случае четырехмерных объединенных теорий часто за-
задается вопрос: «Какой заряженный лептон является партнером
«-кварка по SUE) (или по ?б)?» В контексте настоящего по-
построения на этот вопрос ответить нельзя, поскольку нет есте-
естественного способа распределить физические фермионы по SU E)-
или ?6-мультиплетам. Вопрос о том, какой лептон связан
с «-кварком по SUE), обычно возникает из-за тех следствий,
которые возникают для вероятностей мод распада протона.
Если «-кварк испускает Х- или У-бозон (SUE)-партнеры фо-
фотона, триплетные по цвету), то какой лептон может родиться?

546 Глава 16
В настоящем рассмотрении на последний вопрос отвечать не
надо, поскольку триплетных по цвету SUE) -партнеров фотона
не существует (они нарушают условие A6.4.6)). Так нару-
нарушается ?6! Протон, конечно, будет все же распадаться. Имеется
бесконечно много массивных векторных бозонов с такими же
квантовыми числами, взаимодействиями и массой того же по-
порядка, что у обычных Х- и У-бозонов. Но естественного способа
сказать, какой из них является SUE) -партнером фотона, не су-
существует. Вопрос о вероятностях мод распада протона по-преж-
по-прежнему имеет смысл, но данные, необходимые для ответа на него,
уже другие.
Когда классическая теория поля формулируется на Ко, она
приводит к различным четырехмерным полям ф\ преобразую-
преобразующимся по различным представлениям группы Е6 с множеством
разных ?6-инвариантных взаимодействий, таких как кубическое
взаимодействие Хцкф1ф'фк. Если же она формулируется на К =
= Ko/F, то классические взаимодействия представляют собой
те же Xijk (поскольку исходным пунктом является точно тот же
классический лагранжиан), но некоторые из полей ф1 (те, кото-
которые нарушают условие A6.4.6)) надо положить равными нулю.
Состояния ф и ф' на К, происходящие из одного и того же
?б-мультиплета на Ко, имеют взаимодействия, которые связаны
по Е&. Состояния ф и ф' на К, происходящие из разных ?6-муль-
типлетов на Ко, имеют взаимодействия, которые не связаны по
Ев, даже если теория формулируется на Ко и тем более если она
формулируется на К
Теперь мы можем применить эти сведения, чтобы прийти
к очень важному заключению. На Ко имеется только один муль-
типлет безмассовых ^-калибровочных бозонов в присоединен-
присоединенном представлении, поэтому калибровочные константы сильных,
слабых и электромагнитных взаимодействий в четырехмерном
мире удовлетворяют (на древесном уровне) стандартным Е6-со-
отношениям. Следовательно, обычное вычисление Джорджи —
Куинн—Вайнберга величины sin2 Э и масштаба объединения
остается справедливым и в этой ситуации. Это вычисление ве-
величины sin20, которое мы рассмотрим в общих чертах
в разд. 16.9, ^является, конечно, одним из значительных успехов
великого объединения.
Но так как физические кварки, разрешенные на К, не воз-
возникают на Ко как ?б-партнеры друг друга, их юкавские кон-
константы взаимодействия не подчиняются никаким /^-соотноше-
/^-соотношениям. Не существует ^-соотношений ни между массами квар-
кварков и лептонов, ни между массами и- и d-кварков. Но это и хо-
хорошо, поскольку такие соотношения связаны с неприятными
проблемами, особенно в таких моделях, как данная с простым

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 547
составом хиггсовых полей. (Единственные хиггсовы бозоны
с взаимодействием с кварками и лептонами происходят из муль-
типлета 27 группы Ее.)
Сделанные выше замечания сформулированы в терминах
теории поля, но они остаются справедливыми и в теории струн.
Действительно, рассуждение, касающееся справедливости ^-со-
^-соотношений между калибровочными константами, справедливо
в произвольной классической теории поля, сформулированной
на К = Ko/F, поэтому оно применимо, в частности, к бесконеч-
нокомпонентной классической теории поля, которую можно вы-
вывести из теории струн. Имеется одно аналогичное утверждение,
которое можно понять только с позиций теории струн. До нару-
нарушения группы ?8Х^8 калибровочные константы для двух групп
Е% равны. После вложения спиновой связности, скажем в пер-
первую группу Е8, что нарушает группу Е8 X Е8 до Е6 X Е8, остают-
остаются ли равными калибровочные константы для Е6 и для Е8?
В классической теории поля, вообще говоря, это не так. Напри-
Например, если F(i) и Fa) — напряженности поля для двух групп Е8,
то можно ожидать взаимодействия типа AL = tr F\\) ¦ tr F&).
В результате вложения спиновой связности в первую группу
Е8 это дало бы член вида AL = (tr Ffu) ¦ tr F^), который вносит
вклад в калибровочную константу для ненарушенной .Ее. не
влияя на калибровочную константу для Е6. В теории струн та-
такие поправки не возникают: Е6- и fs-константы равны. Это
можно доказать, воспользовавшись о-модельной формулиров-
формулировкой распространения для струны во внешних фоновых полях,
введенной в разд. 3.4, но эту тему мы не исследуем в данной
книге.
16,4.3, Подсчет безмассовых частиц
При подсчете безмассовых частиц, возникающих в резуль-
результате вложения спиновой связности в калибровочную группу,
мы встретились с одним интересным свойством, важность кото-
которого не была подчеркнута. Чистое число киральных мультипле-
тов 27 определяется теоремой об индексе как половина эйлеро-
эйлеровой характеристики многообразия К- Но после более тщатель-
тщательного рассмотрения мы обнаружили, что можем предсказать по
отдельности число 27-плетов левой и правой киральностей. Они
даются числами Ходжа А1-1 и h2-1 соответственно. Например,
для квинтики в СР4 мы обнаружили один 27-плет положитель-
положительной киральности и 101 — отрицательной киральности. С точки
зрения низкоэнергетической физики очень странно, что 27-плет
положительной киральности не спаривается, чтобы приобрести
массу, с 27-плетом отрицательной киральности. Это можно
понять только при изучении микроскопической структуры.

548 Глава 16
Неожиданное появление безмассовых частиц, существование ко-
которых трудно объяснить с низкоэнергетической точки зрения,
очевидно, представляет огромный интерес. Бросающимся в глаза
примером легкой частицы, малую массу которой трудно понять,
является хиггсов дублет, нарушающий электрослабую симмет-
симметрию. Поэтому естественно спросить, существуют ли после нару-
нарушения ?6 петлями Вильсона такие безмассовые частицы, отсут-
отсутствие масс у которых трудно объяснить в четырех измерениях.
Сначала мы рассмотрим этот вопрос в общем, а затем обсудим,
в какой степени мы реально можем получить какую-то полез-
полезную информацию о хиггсовом дублете.
Пусть дано представление Rt ненарушенной калибровочной
группы G, и пусть ftt и п~ — числа безмассовых фермионных
мультиплетов в четырех измерениях с положительной и отрица-
отрицательной киральностями, преобразующихся по представлению
Ri. Поскольку моды, преобразующиеся по представлению /?,-,
никак не связаны по группе Е6 с модами, которые преобра-
преобразуются по какому-то другому представлению R,, числа nf и nt-
не должны быть равны друг другу при i Ф /. На первый взгляд
может показаться, что, продолжая таким образом, мы придем
в четырех измерениях к совершенно случайному набору без-
безмассовых фермионов. Спасение заключается в том, что кираль-
ная асимметрия N. — п+—п~ есть индекс оператора Дирака
?>tj), который действует на фермионы, преобразующиеся относи-
относительно G по представлению Ri. Индекс Ni не зависит от i, если
Е6 нарушается только за счет петель Вильсона. Причина со-
состоит в том, что теорема об индексе дает выражение для ин-
индекса оператора Дирака в терминах некоторого полинома от
напряженности поля Янга — Миллса и тензора Римана; гло-
глобальные фазы, подобные тем, которые имеются в формуле
A6.4.6), или, что эквивалентно, петли Вильсона не дают вклада.
Тот факт, что Ni = N/, означает, что, если обращать внимание
только на киральную асимметрию, фермионы возникают в пол-
полных ?б-мультиплетах. Различия в числах nf, сокращающиеся
в комбинации^iV,, отвечают возможному существованию допол-
дополнительных безмассовых частиц в вещественных представлениях
группы G — частиц, существование которых загадочно с низко-
низкоэнергетической точки зрения.
Существуют такие частицы или нет, зависит от деталей кон-
конкретной модели. Как пример того, что может происходить, на-
напомним, что для любого компактного кэлерова многообразия
Ко имеем ft1-1 ^ 1, так как кэлерова форма- всегда является
гармонической A, 1)-формой. Во многих простых случаях h1-1
точно равна единице; например, это имеет место для квинтики

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 549
в СР4 и на самом деле для любого полного пересечения гипер-
гиперповерхностей в CP3+N. Посмотрим, что происходит в таких слу-
случаях.
Пусть F — свободно действующая группа симметрии мно-
многообразия /Со (сохраняющая комплексную структуру), и пусть
K—Ko/F. Гармоническая форма на К— это гармоническая
форма на Ко, инвариантная относительно F. Кэлерова форма
многообразия Ко всегда обладает этим свойством. Она является
единственной гармонической A, 1)-формой на К, так как, со-
согласно нашему предположению, на Ко имеется только одна гар-
гармоническая A, 1)-форма. Следовательно, ft1-1 {K) = h1-l(Ko) = 1.
Что касается числа h2'1 (К), то оно должно быть равно Ngen + 1,
где Ngen-—чистое число поколений в теории, сформулирован-
сформулированной на К-
Введем теперь петли Вильсона, отображающие F в дискрет-
дискретную подгруппу F группы Ев. Обозначая ненарушенную под-
подгруппу группы Е6 через G, разложение представления 27 для Е6
можно записать, как в A6.4.5), в виде
27 = ®iRi®Ti, A6.4.8)
где Rt и Ti — некоторые представления для G и F. Теперь мы
хотим вычислить числа nf безмассовых мультиплетов фермио-
нов положительной и отрицательной киральностей, преобразую-
преобразующихся относительно G по представлению Ri. Здесь nf и nf
равны соответственно числу гармонических A, 1)-форм и гар-
гармонических B, 1)-форм, которые преобразуются относительно F
по представлению Г,-. Так как теорема об индексе гарантирует,
что разность nf — nf = — Af не зависит от i, достаточно оп-
определить только nf. Упрощение возникает вследствие предпо-
предположения, что кэлерова форма является единственной гармони-
гармонической A, 1)-формой на Ко- Следовательно, для каждого i число
nf равно 1 или 0 в зависимости от того, вносит ли кэлерова
форма вклад в nf. Но мы знаем, что кэлерова форма преоб-
преобразуется по тривиальному представлению То группы F. Пред-
Представление Го может быть, а может и не быть одним из тех пред-
представлений группы F, которые появляются в разложении A6.4.8).
В первом случае примем, что Ro — представление группы G для
тех фермионов, которые относительно F преобразуются по пред-
представлению То. Для фермионов, преобразующихся по #0, имеем
п+ = 1, поскольку кэлерова форма дает вклад, поэтому п~ =
= Ngen-{' 1. Для фермионов, преобразующихся по представ-
представлению Ri при i ф 0, имеем nf = 0, следовательно, nj- = Ngen-

550 Глава 16
Проверим это для нашей упрощенной модели, основанной
на гиперповерхности Q в С/54, которая определяется нулями
полинома пятой степени Р, такого как Р = Z\ + Z% + ... + Z%..
Мы определили преобразования
Л: Zk^»Zk+l, A6.4.9>
В: Zk^akZk, A6.4.10)
где а = е21л/5. Они удовлетворяют соотношениям А5 = В5 = 1
и АВ = ВА, а поэтому порождают группу F % Z5 X Z$. В мо-
модели, основанной на К= Q/F, имеем Ngen =4.
Поскольку F—абелева группа, ее представления легко опи-
описать. Представление группы F является одномерным представ-
представлением, которое получается указанием значений для А и В,.
в качестве которых можно взять любые корни пятой степени
из единицы:
A = as, B = a\ A6.4.11)
где s и t — любые целые числа, удовлетворяющие ограничению-
0 ^ s, t ^ 4. Всего в группе F имеется 25 представлений. В зави-
зависимости от выбора петель Вильсона в разложении A6.4.8) мо-
может появиться любое представление Tt группы F, так что мы
можем рассмотреть и общий случай. Если Г,- — тривиальное
представление, то в силу предыдущего обсуждения мы ожидаем,,
что пТ = Ngen + 1 = 5. Если же Г, — нетривиальное представле-
представление, то мы ожидаем, что пт = 4. Проверим эти утверждения.
Ключом к решению является связь между элементами груп-
группы когомологий Я2>'(C) и полиномами пятой степени. В самом
деле, как мы видели в разд. 16.2.1, все 101 элемент из Н2-1 со-
соответствуют полиномам пятой степени, которые не более чем
кубичны по каждой из переменных Z,. Назовем их допустимыми
полиномами. Легко подсчитать безмассовые фермионы на ги-
гиперповерхности Q, преобразующиеся по данному представлению-
Г/, группы F. Надо просто исследовать допустимые полиномы
и узнать, сколько из них преобразуются по данному представ-
представлению группы F. Утверждение, что для тривиального представ-
представления п^" = 5, а для нетривиального nj — 4, равносильна
утверждению, что среди 101 допустимого полинома есть пять
инвариантных относительно F и по четыре полинома для каж-
каждого из 24 нетривиальных представлений группы F. На самом
деле мы уже указали пять инвариантных допустимых полино-
полиномов в разд. 16.3.2, когда мы явно вычисляли числа Ходжа для
К = Q/E. Теперь остается показать, что в каждом из 24 нетри-
нетривиальных секторов имеется ровно по четыре допустимых поли-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 551
нома. Общий случай мы оставляем читателю и сосредоточим
внимание на одном интересном примере.
Поскольку F порождается преобразованиями Л и В, выбор
гомоморфизма группы F в Е6 равносилен выбору двух петель
Вильсона Uа и Ьв- Мы рассмотрим пример, когда UA = 1 и
UB=(l)®\ а Ш а . A6.4.12)
V J V J
Это нарушает Е§ до лево — право-симметричного расширения
стандартной модели SUC)cX SUB)LXSUB)RX U(l)XuA)¦
Вспоминая, что представление 27 для Е6 имеет разложение_от-
носительно SUC)cXSU{3)lXSUC) R вида C,^1HA,3,3)®
© C,1, 3), можно легко определить, как различные кварки и леп-
тоны преобразуются относительно Ub- Действительно, возникают
все корни пятой степени из единицы. Для детального понимания
четырехмерных безмассовых фермионов, возникающих в этой
модели, необходимо изучить допустимые полиномы, инвариант-
инвариантные относительно А и преобразующиеся относительно В как
а\ t = 0,\, ..., 4. Мы привели в A6.3.15) пять таких полино-
полиномов, которые возникают для t = 0, так что наша задача состоит
б том, чтобы найти те полиномы, которые возникают для t^O,
в частности, показать, что их число всегда равно четырем. Че-
Четыре полинома, возникающие в каждом из четырех возможных
секторов, имеют следующий вид:
= 3:
№Z5
(z3lzl +
{z\z\zb
(z»z* +
№Л
(z\z\zb
+
¦ • •
+
+
+
...), ; — 2:
0'
(Z?Zf + • . .
B?z4z5+..
(ZfZ|Z4+..
(Z>ZJJ6 +
(z»z«+...)
(Z?ZfZ3+..
),
•)>
•)¦
,
¦).
•).
A6-4.13)
В каждом случае символ «+ ...» обозначает добавление чле-
лов, получающихся циклическими перестановками переменных.
Этот результат подтверждает, что в каждом секторе с t ф О
имеется четыре левых безмассовых мультиплета и ни одного

552 Глава 16
правого, в то время как для t = О имеется пять левых безмас-
безмассовых мультиплетов к один правый безмассовый мультиплет.
Обсудим теперь физические следствия. Выбор матрицы UB
был сделан, чтобы несинглеты по цвету имели t=?=0. Но неко-
некоторые из синглетов по цвету имеют t = 0. Следовательно, по-
помимо четырех ?6-поколений, которые в этой модели предска-
предсказывает теорема об индексе, мы получаем дополнительные без-
безмассовые частицы, представляющие собой синглеты по цвету.
На самом деле эти дополнительные состояния преобразуются
относительно группы слабых взаимодействий SUB)L X SU B) R
как A/2, 1/2) Ф @,0), поскольку это те представления, кото-
которые при нашем выборе UB отвечают сектору t = 0. Моды
в представлении A/2, 1/2) особенно интересны, так как они
имеют квантовые числа (и взаимодействия) обычных слабо-
взаимодействующих дублетов.
Рассмотрим теперь физическую проблему, к которой мы хо-
хотим применить полученные результаты. Одной из классических
проблем теорий великого объединения является так называе-
называемая проблема тонкой настройки. Почему слабо взаимодей-
взаимодействующий дублет является таким легким (его порядок массы не
больше 1 ТэВ) по сравнению с фундаментальными масшта-
масштабами масс великого объединения и гравитации? Такую его
легкость в отличие от легкости наблюдаемых кварков и лепто-
нов нельзя трактовать как следствие калибровочной инвариант-
инвариантности. Особое беспокойство по поводу этой проблемы опреде-
определяется тем, что триплетные по цвету скаляры, которые связаны
по группе великого объединения с обычными хиггсовыми бозо-
бозонами, должны быть чрезвычайно тяжелыми, так как иначе они
приводили бы к неприемлемо высокой скорости распада про-
протона.
В отсутствие суперсимметрии не известно разумного ответа
на эти вопросы в контексте четырехмерного великого объеди-
объединения1). В суперсимметричных теориях великого объединения
в четырех измерениях первая часть проблемы сильно облег-
облегчается: не так трудно объяснить легкость хиггсова дублета, по-
поскольку он Л?жит в одном мультиплете с фермионами, которые
могут быть легкими в силу разнообразных причин, и поскольку
теоремы о неперенормировках оставляют хиггсов дублет без-
безмассовым во всех порядках, если он был безмассовым на дре-
древесном уровне. Но в суперсимметричном великом объединении
]) Один из возможных подходов дают модели с динамическим нару-
нарушением симметрии слабых взаимодействий, но они связаны с огромными
феноменологическими трудностями и, по-видимому, практически несовместны
с великим объединением.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 553
очень трудно объяснить, почему хиггсов дублет легкий в то
время, как его триплетные по цвету партнеры сверхтяжелые.
В одном важном отношении суперсимметрия усложняет за-
задачу. В суперсимметричных теориях кварки имеют триплетных
по цвету партнеров, массы которых не могут быть больше мас-
масштаба нарушения суперсимметрии. Если суперсимметрия со-
сохраняется до низких энергий, то скалярные партнеры кварков
будут вызывать распад протона с неприемлемо высокой ско-
скоростью, если этому что-то не помешает. В обычном суперсим-
суперсимметричном великом объединении это предотвращается тем, что
постулируется дискретная симметрия, запрещающая нежела-
нежелательные взаимодействия. Это может быть, например, какая-то
^-симметрия X, относительно которой кварковые и лептонные
суперполя Q и L являются нечетными, а хиггсовы суперполя
Н — четными. Такая симметрия разрешает требуемые взаимо-
взаимодействия суперполей HLL и HQQ, а нежелательные взаимодей-
взаимодействия QQQ запрещает.
Исследуем теперь эти вопросы в контексте обсуждавшихся
выше суперструнных моделей. Без каких-либо специальных при-
приспособлений, а только с предпочтительным выбором дискрет-
дискретных параметров, определяющих способ нарушения симметрии,
мы получили безмассовые «хиггсовы бозоны», которые имеют
сверхтяжелых триплетных по цвету партнеров. Это дополни-
дополнительные безмассовые моды, которые не предсказывают теоремы
об индексе, но которые появляются при < = 0 в описанной выше
конструкции. Эта часть проблемы вызывает затруднения в су-
суперсимметричном великом объединении в четырех измерениях.
Остается объяснить, почему триплетные по цвету партнеры
кварков не приводят к распаду протона. Обычно это простая
часть проблемы: в рамках четырехмерной теории поля можно
произвольным образом постулировать нужные симметрии. Но
в данном случае такого произвольного выбора сделать нельзя.
Наоборот, мы должны найти нужные симметрии, например, об-
обнаруживая, что они автоматически появляются в случае неко-
некоторого подходящего многообразия с 5?/C)-голономией. Эти и
другие причины побуждают нас исследовать в разд. 16.5 гло-
глобальные симметрии, возникающие в струнной компактифика-
ции. Мы увидим, что наша упрощенная модель с четырьмя по-
поколениями в значительной степени приближается к тому, чтобы
иметь правильные глобальные симметрии, но не достигает их.
Вычисления по Джорджи — Куинн — Вайнбергу, описанные в
разд. 16.9, выявляют еще одну проблему в этой упрощенной мо-
.дели.
Полезно, по-видимому, объяснить другим способом, почему
шарушение симметрии с помощью петель Вильсона облегчает

554 Глава 16
задачу, связанную с получением легких хиггсовых дублетов со
сверхтяжелыми триплетными по цвету партнерами. Эта про-
проблема обычно возникает потому, что нужная иерархия масс для
скаляров получается только в том случае, если хиггсовы бозоны,
нарушающие симметрию великого объединения, имеют в точ-
точности правильные вакуумные средние. В типичной ситуации
стандартный электрослабый дублет будет безмассовым только
в том случае, если хиггсов бозон ф в присоединенном представ-
представлении группы великого объединения имеет в точности правиль-
правильные собственные значения; это искусственное требование, так
как такие собственные значения зависят от произвольных кон-
констант связи в исходном лагранжиане. Нарушение симметрии
петлями Вильсона накладывает своего рода условие квантова-
квантования на собственные значения ф, так как ф заменяется группо-
групповым элементом U, удовлетворяющим условию типа LJn=\. Не-
Неудивительно, что это естественное квантование хиггсовых соб-
собственных значений создает возможности решения проблемы
тонкой настройки.
16.4.4. пробные электрические заряды
Одна из тем разд. 16.4 — описание связи обсуждающихся
струнных моделей с обычным великим объединением. До сих
пор мы обсуждали аналоги большинства характерных предска-
предсказаний теории великого объединения, но одно еще предстоит рас-
рассмотреть. Одна из характерных черт великого объединения
состоит в том, что оно объясняет квантование электрического за-
заряда: включение четырехмерной теории в теорию с объединен-
объединенной группой G предсказывает, что квант электрического за-
заряда— это наименьший заряд, который возникает в любом из
представлений группы G. Настоящая причина такого предска-
предсказания заключается в том, что обычное нарушение калибровоч-
калибровочной симметрии хиггсовыми бозонами можно непрерывным об-
образом исключить, изменяя константы связи так, чтобы сделать
вакуумные средние хиггсовых полей равными нулю. Поэтому
должна иметься возможность для электрических зарядов гладко
переходить в такие заряды, которые разрешены в случае нена-
ненарушенной группы G, или, другими словами, в те заряды, кото-
которые встречаются в представлениях группы G. Но если фунда-
фундаментальная группа многообразия конечна, то вильсоновские-
петли U удовлетворяют условиям квантования типа U" = 1 и
их нельзя исключить непрерывным образом. Следовательно, во-
вопрос о квантовании электрического заряда должен быть рас-
рассмотрен заново.
В теории поля в противоположность теории струн наруше-
нарушение симметрии с помощью петель Вильсона не нарушает стан-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 555
_дартного квантования электрического заряда. Причина заклю-
заключается в том, что в теории поля переход от односвязного много-
многообразия Ко к фактор-пространству K = Ko/F означает просто,
что отбрасываются некоторые из состояний — те, которые не
удовлетворяют условию A6.4.2). Поскольку состояния на Ко
укладываются в мультиплеты для G, все они удовлетворяют
обычному условию квантования электрического заряда; поэтому
то же самое справедливо и для подмножества состояний, сохра-
сохраняющегося при работе на К и наложении ограничений A6.4.2).
Но в теории струн состояния на К = Ko/F не являются
просто подмножеством состояний, которые возникли бы, если
¦теория была сформулирована
на Ко- Нестягиваемые петли на
К мы рассматривали как тех-
техническое средство для объяс-
объяснения нарушения симметрии,
но они играют также важную
физическую роль. Замкнутая Рис 162. В случае неодносвязного
струна может обернуться во- многообразия замкнутая струна мо-
•круг такой нестягиваемой пет- жет намотаться на нестягиваемую
ли, как показано на рис. 16.2, петлю,
что дает новую ветвь физиче-
физического спектра, возникающую в том случае, когда теория форму-
формулируется на К, а не на Ко- В теории, содержащей только замкну-
замкнутые струны, замкнутая струна, обернувшаяся вокруг нестяги-
нестягиваемой петли, не может разорваться, поэтому наилегчайшее со-
состояние в этом секторе должно быть стабильным. Если радиус
многообразия К порядка г, то масса наилегчайшего состояния
в закрученном секторе будет порядка г/а'; таким образом, если
параметр разложения а'/г2 в теоретико-полевом описании мал,
то эти состояния будут иметь массы по крайней мере порядка
1/д/а' • Это означает, что в теории гетеротических струн, в ко-
которой замкнутые струны несут электрический заряд, квантова-
квантование электрического заряда необходимо проверить. В случае тео-
теории суперструн типа I, по-видимому, применимо обычное кван-
квантование электрического заряда.
Прежде чем приступить к вычислению, отметим некоторые
общие факты, которые накладывают ограничения на возмож-
возможный ответ. Пусть у — гомотопический класс некоторой замкну-
замкнутой струны в щ(К). Любые два состояния замкнутой струны,
лежащие в одном и том же гомотопическом классе, можно
связать друг с другом с помощью испускания и поглощения
«обыкновенных» замкнутых струн, поэтому их электрические
заряды должны отличаться на целое число. Разница между
--электрическим зарядом синглетной по цвету замкнутой струны

556 Глава 16
и целым кратным заряда электрона должна зависеть только от
гомотопического класса замкнутой струны. Пусть Цу — этот де-
дефект заряда замкнутой струны в гомотопическом классе у, т. е.
его отличие от целого значения. Когда две замкнутые струны
из гомотопических классов у и у' соединяются, они образуют
гомотопический класс уу'. Сохранение электрического заряда
означает, что при этом дефект заряда должен складываться,
поэтому
+ (П). A6.4.14):
Символ mod 1 в этом уравнении отражает тот факт, что \х, оп-
определено только с точностью до целого числа. Предположим
теперь, что фундаментальная группа многообразия К конечна.
Тогда для любого данного гомотопического класса у существует
некоторое целое число п, такое, что обертывание п раз вокруг
Y дает стягиваемую петлю, уп = \. Тогда из уравнения
A6.4.14) следует, что п-щ = 0(mod 1), или, другими словами,,
что |uY = k/n для некоторого целого k. Мы хотим вычислить
это k.
Чтобы это сделать, будем работать в рамках фермионной
формулировки Es X ^8-гетеротических суперструн, когда Е$ реа-
реализована на шестнадцати левых фермионах КА, А = 1, ..., 16.
Петлю Вильсона Uy можно диагонализовать, переходя к ком-
комплексному базису из восьми h, i = 1, . • •, 8, и их комплексно-
сопряженных А,, так что
U^l = e2inmilnXl A6.4.15)
для некоторых целых т,-. Поскольку оператор электрического
заряда Q коммутирует с Uy (иначе электромагнетизм был бы
спонтанно нарушен!), Q можно диагонализовать одновременно
с Uy:
Q%i = qtXi, A6.4.16)
где числа qi — электрические заряды для %i. Для простоты бу-
будем предполагать, что Uy и Q вложены в одну и ту же группу Es.
Так как дефект электрического заряда (^ является тополо-
топологическим инвариантом, чтобы его вычислить, мы можем рас-
рассматривать струну, взаимодействующую только с петлей Виль-
Вильсона U. Рассмотрим те %, которые лежат в NS-подобном сек-
секторе, где они удовлетворяют антипериодическим граничным
условиям. Для U=\ граничное условие имеет вид Xi(a + я) =
= —Я,-(о), и уровни энергии пропорциональны e = 2k-\-\, где-
k — произвольное целое число. Для более общего U граничное

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 557
условие имеет вид Я;(сг + л;) = —UXi(a), или в терминах базиса
A6.4.15)
Х{(а + л)=-е2Ыт'/\. A6.4.17)
Уровни энергии для % тогда имеют вид
+ l, A6.4.18)
где по-прежнему k — произвольное целое число. Дефект заряда
\1У есть просто электрический заряд «заполненного моря Ди-
Дирака», нормально упорядоченный путем вычитания значения
при mi = 0. Заряд Q, дираковского моря из фермионов типа Ki
с отрицательной энергией есть просто qit умноженное на «число
состояний с отрицательной энергией». Последнее, разумеется,
требует какой-то регуляризации, поэтому попробуем записать
это в виде
Qi = qtlim E e~eB"(mi), A6.4.19)
е->0 k<0
где множитель е~г k включен для того, чтобы регуляризовать
вклад состояний с очень большой отрицательной энергией.
После явного вычитания значения при mi = 0, выражение
A6.4.19) заменяется выражением
Qt = qi Hm Е {е~еЕь ^ - е~еЕ"@)). A6.4.20)
0?0
Для значений Ek, определенных выражением A6.4.18), сумму
и предел в формуле A6.4.20) легко вычислить, что дает
Qi = qimi/n. A6.4.21)
Суммируя выражения A6.4.21) по /, мы находим, наконец, зна-
значение дефекта заряда:
Е A6.4.22)
Мы видим, в частности, что обычный закон квантования элек-
электрического заряда, вообще говоря, не выполняется; ?,• Qimi
представляет собой целое кратное обычного кванта электриче-
электрического заряда1), но множитель \/п в A6.4.22) означает, что
струны, намотанные на нестягиваемую петлю, могут иметь
электрический заряд, который в п раз меньше, чем заряд
') При стандартном вложении цветовой группы 5?/C) в 50A6) или ?s
кварки трех цветов с qi = 1/3 и одним и тем же значением т дают цело-
целочисленный вклад в

558 Глава 16
других синглетных по цвету частиц, не подверженных конфайн-
менту.
Это завершает обсуждение квантования электрического за-
заряда. Однако осознание того факта, что квант электрического
заряда может быть меньшим, чем заряд электрона, немедленно
поднимает следующий вопрос: «Что происходит с монопо-
лями?» В любой U(I)-калибровочной теории на бесконечности
можно определить поле монополя Дирака. Квантовомеханиче-
ское взаимодействие монополя заряда g и заряженной частицы
заряда q непротиворечиво, если выполняется условие Дирака
g = 2л/q- (целое число). Если q в п раз меньше, чем заряд
электрона е, то g должно быть в п раз больше, чем обычный
квант Дирака 2я/е. Как это может быть?
В U(\)-калибровочной теории монопольное калибровочное
поле, определенное на бесконечности, нельзя продолжить на
все пространство без того, чтобы столкнуться с сингулярностью.
В начале 70-х годов Поляков и т'Хофт показали, что в четы-
четырехмерных объединенных теориях поле монополя всегда можно
«развернуть» и получить несингулярную конфигурацию, маг-
магнитный заряд которой равен кванту Дирака. Если же объе-
объединение происходит не в четырех, а только в десяти изме-
измерениях, то рассмотрение модифицируется. В этом случае мы не
можем развернуть монополь в четырехмерной объединенной ка-
калибровочной группе, поскольку ее не существует. Нарушение
симметрии с помощью петель Вильсона означает, что прибли-
приближение, в котором теория представляет собой четырехмерную
теорию с ?6-симметрией, не существует. Группа симметрии Е6
применима только в десяти измерениях, и мы должны попы-
попытаться развернуть монополь в десятимерной калибровочной
группе. Точнее говоря, в десятимерной теории надо начинать
с монополя Дирака не на сфере S2 на бесконечности, а на
S2y(K, где /*С —пространство Калуцы — Клейна. Его надо по-
попытаться продолжить без сингулярностей с S2 X К на R3 X К,
где R3 — обыкновенное трехмерное пространство. Топологиче-
Топологическая задача здесь совершенно другая, и нет никаких причин
ожидать того же ответа. Действительно, решение топологиче-
топологической задачи, требующее применения методов, которые мы не
можем здесь развить, показывает, что минимальный магнитный
заряд всегда равен п-2л/е, если минимальный электрический
заряд равен е/п.
16.4.5. Обсуждение
Мы видели, что нарушение симметрии петлями Вильсона
сохраняет достижения теорий обычного великого объединения.
По крайней мере, что касается подсчета состояний, состояния

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 559
укладываются в представления объединенной группы, возможно
с добавлением вещественных представлений. Справедливо обыч-
обычное вычисление величины sin2 0 по ренормгруппе. С другой сто-
стороны, имеются и некоторые интересные отличия. Юкавские
константы не удовлетворяют теоретико-групповым соотноше-
соотношениям (но удовлетворяют другим соотношениям, которые мы
ниже исследуем). Существуют новые возможности для решения
проблемы тонкой настройки. Квантование электрического и
магнитного зарядов не имеет обычного вида. Большинство от-
отличий между обычным великим объединением и нарушением
симметрии с помощью петель Вильсона коренится в том факте,
что петли Вильсона удовлетворяют естественному условию
квантования в противоположность хиггсовым бозонам, отве-
отвечающим нарушению симметрии в обычном великом объеди-
объединении.
Одной из главных привлекательных черт нарушения сим-
симметрии с помощью петель Вильсона является то, что не вво-
вводятся хиггсовы бозоны или хиггсов потенциал, а используется
только то, что уже имеется (если К неодносвязно). Другая
главная привлекательная черта состоит в том, что нарушение
симметрии с помощью петель Вильсона зависит только от ди-
дискретных выборов и поэтому имеет квазитопологическую при-
природу. Это открывает возможность того, что со временем удастся
объяснить нарушение симметрии петлями Вильсона исходя из
общих качественных соображений, а не на основе попыток ре-
решить трудную динамическую задачу.
Мы обсуждаем нарушение симметрии с помощью петель
Вильсона так, как будто это единственный механизм наруше-
нарушения симметрии великого объединения. Но имеется возмож-
возможность, что работают также другие механизмы. Ниже мы обсу-
обсудим другой механизм нарушения Е6, использующий плоские
направления суперпотенциала. Такой механизм может дать со-
совершенно естественное нарушение Ев до SO A0) или SUE).
Возможно, что лишь последняя группа должна нарушаться
с помощью петель Вильсона. Большая часть наших рассмотре-
рассмотрений без особых изменений переносится и на такие случаи.
16.5. Глобальные симметрии
При обсуждении проблемы тонкой настройки мы обнару-
обнаружили, что можно легко получить безмассовые хиггсовы дублеты,
имеющие сверхтяжелых триплетных по цвету партнеров, но для
удовлетворительного объяснения высокой стабильности протона
требуется какой-то механизм подавления кубического взаимодей-
взаимодействия кварковых суперполей. Одним из возможных механизмов

560 Глава 16
для достижения этого являются глобальные симметрии; они ин-
интересны также во многих других отношениях. Настоящий раздел
мы посвятим обсуждению глобальных симметрии, возникающих
на многообразиях с 5^C)-голономией. Начнем с некоторых об-
общих вопросов.
16.5.1. Сохранение СР-инвариантности
в суперструнных моделях
На многообразии К с группой голономии SUC) имеются
определенные ковариантно постоянные тензорные поля. Наибо-
Наиболее важные из них — кэлерова форма k, представляющая со-
собой A,1)-форму, и голоморфная форма объема ш, представ-
представляющая собой C,0)-форму. Если группа голономии многооб-
многообразия К есть SUC) (а не ее подгруппа), то с точностью до
нормировки k является единственной ковариантно постоянной
A, 1)-формой. Поэтому любая изометрия / многообразия К
отображает k в себя с точностью до множителя. Поскольку кэ-
кэлерова форма k вещественна, этот множитель равен ±1.
Если f'k = -\-k, то f сохраняет комплексную структуру
J'j = gimkmj и называется голоморфным отображением много-
многообразия К в себя. Оно отображает локальные голоморфные
координаты в локальные голоморфные координаты. С другой
стороны, если f-k = —k, то f является антиголоморфным ото-
отображением, которое изменяет знак комплексной структуры и
заменяет голоморфные координаты на антиголоморфные. Мно-
Многообразие с 5?/C)-голономией может допускать, а может не
допускать антиголоморфную изометрию. Например, гиперпо-
гиперповерхность в СР4, заданная нулями полинома
I)
A6.5.1)
инвариантна относительно антиголоморфного преобразования
Z,-->-Zf, если |л вещественно. Но она не обладает ни этой, ни
какой-либо другой антиголоморфной симметрией при общих
комплексных ц.
Качественное значение антиголоморфной симметрии обуслов-
обусловлено тем фактом, что 6-форму Леви-Чивиты е, соответствую-
соответствующую ориентации многообразия К, можно записать как е =
= k Л k'Ak. Таким образом, в случае трех комплексных из-
измерений преобразование, которое меняет знак формы k на об-
обратный, обращает ориентацию. С физической точки зрения это
отвечает тому, что антиголоморфные симметрии связаны, как
мы увидим ниже, с СР-инвариантностью.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 561
Рассмотрим теорию струи, компактифицированную на мно-
многообразии М4У(К. В десятимерных суперструнных теориях, за
исключением теории типа ПА, четность в десятимерном смысле
не сохраняется: эти теории не инвариантны относительно пре-
преобразований (даже если это изометрии), обращающих ориен-
ориентацию многообразия Л14ХК. Такие преобразования заменяли
бы безмассовые фермионы в представлении 16 касательной
группы SO A,9), которые имеются в теории, на фермионы
в представлении 16', которых в теории нет. Обращающая ориен-
ориентацию изометрия С многообразия К обращает ориентацию и
для М* X К, поэтому она не является симметрией теории. По-
Подобным образом обычное преобразование четности Р для не-
компактифицированных координат, а именно (t, x,y, г)->-
-*-(t, —х, —у, —г), обращает ориентацию пространства Mi,
а также М* X К, а следовательно, не является симметрией. Но
комбинация СР обращает ориентацию как для 7W4, так и для
К, поэтому она сохраняет ориентацию для М4У( К п является
симметрией. Поскольку это комбинация преобразования Р
с некоторой внутренней симметрией, связанной с комплексным
сопряжением, можно ожидать, что СР соответствует понятию
обычного СР, и это действительно так. Чтобы убедиться в этом,
заметим, что представление 16 группы SOA,9) разлагается от-
относительно 50A,3)Х 50F), как B, 4)©B',4)_, где 2 и 2' —
левые и правые спиноры для S0(l,3), a 4 и 4—спиноры по-
положительной и отрицательной киральностей для 50F). Преоб-
Преобразование Р меняет местами 2 и 2' для 50A,3), в то время
как обращающее четность преобразование С многообразия К
меняет местами 4 и 4. Следовательно, СР заменяет B,4) на
B', 4). Мультиплеты в представлениях 27 и 27 группы Е6 мы
получили из представлений 4 и 4 для 50F), поэтому СР за-
заменяет левые мультиплеты 27 на правые 27 и заслуживает на-
названия СР.
16.5.2. R-преобразования в суперструнных моделях
Рассмотрим теперь голоморфные симметрии, оставляющие
кэлерову форму k инвариантной. Голоморфное преобразование /
отображает C,0)-формы в C,0)-формы, поэтому оно должно
отображать ковариантно постоянную C,0)-форму со в себя
¦с точностью до множителя:
/.(» = е'Р(в A6.5.2)
для некоторого р. В разд. 16.3.2 мы показали, что р = 0, если f
действует свободно, но в общем случае это не верно. Величина

562 Глава 16
Р имеет качественное значение. Три-форма со связана с кова-
риантно постоянным спинором положительной киральности ц
соотношением ю*^ = т^Г^т). Очевидно, что f-т) = ±e'P/2/i. (Знак
выбирают произвольно, поскольку / определено только с точ-
точностью до поворота на 2л.) Ковариантно постоянный спинор т)
генерирует преобразования ненарушенной суперсимметрии. По-
Поэтому ненарушенные суперсимметрии преобразуются так жег
как т]. Если р Ф 0, то f не коммутирует с ненарушенными су-
персимметриями в четырех измерениях, а поворачивает их на
фазу е±1$12 для положительной или отрицательной киральности.
При рассмотрении четырехмерной суперсимметрии такую сим-
симметрию обычно называют /^-симметрией. Суперпотенциал W не
инвариантен относительно /^-симметрии, а изменяет фазу. В сле-
следующем разделе мы даем примеры голоморфных преобразова-
преобразований f, являющихся и не являющихся Асимметриями.
16.5.3. Глобальные симметрии упрощенной модели
Анализ глобальных симметрии на многообразиях с SUC)-го-
лономией приводит к удивительно богатой структуре. Чтобы
приобрести некоторый опыт, рассмотрим наш обычный случай —
квинтику Q в СР4— гиперповерхность, определенную нулями
полинома пятой степени. Для начала возьмем полином мини-
минимального вида
P = Z\ + Z\+ ... Z\. A6.5.3)
Чтобы найти симметрии гиперповерхности, мы ищем просто
линейные преобразования координат Z,, отображающие поли-
полином Р в себя с точностью до фазового множителя. Таких ото-
отображений много. Полином Р инвариантен относительно 120 пе-
перестановок переменных Zk.On инвариантен также относительно
фазовых преобразований Zk->amkZk, где а = е2гл15, а гпи — про-
произвольные элементы группы Z5 (целые числа по модулю пять).
Поскольку общий множитель у Zk несуществен в СР4, преоб-
преобразования со степенями {m,k) и {mk-\- 1} эквивалентны; только
четыре из пяти элементов mk являются независимыми. Полу-
Получаем группу симметрии из 120Х54 = 75 000 элементов. Это
группа симметрии модели со 100 поколениями, получающейся
из полинома A6.5.3).
Мы хотим узнать, какие из этих симметрии являются /Асим-
/Асимметриями, или, в более общем виде, как преобразуется отно-
относительно них голоморфная 3-форма со. В разд. 15.4.3 мы вывели
несколько явных выражений для ю. Одно из них, специализи-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 563
рованное для случая данного выбора полинома Р, имеет вид
со = dZx A dZ2 Л dZzjZ\. A6.5.4)
Используя этот вид формы со, получаем, что со меняет знак при
перестановке Z\ ¦<->¦ Z2 (где Zk для k>'2 фиксированы). Вслед-
Вследствие имеющейся перестановочной симметрии (которая неявна
в выражении A6.5.4) отсюда следует, что со нечетна относи-
относительно любых транспозиций. Следовательно, со нечетна отно-
относительно нечетных перестановок координат Zk и четна относи-
относительно четных перестановок. Таким образом, нечетные переста-
перестановки координат Zk являются Асимметриями в четырехмерном
смысле. Подобным образом из выражения A6.5.4) можно ви-
видеть, что относительно преобразования Z\-+amZ\ (остальные
Zk инвариантны) форма со преобразуется как со -*- атсо. Из пе-
перестановочной симметрии следует, что в более общем случае
относительно преобразования
Zk^am"Zk A6.5.5)
закон преобразования формы со имеет вид
со^а^со. A6.5.6)
Таким образом, преобразование такого типа является ^-сим-
^-симметрией, если Xi mk не равно нулю.
На самом деле нас больше интересуют симметрии модели
с четырьмя поколениями, основанной на использовании много-
многообразия Q/F, где F — группа Z5y(Z5, порожденная преобразо-
преобразованиями A (Zk) = Zk+i и B(Zk)— akZk. Если дано линейное пре-
преобразование U координат Zi, оставляющее Р инвариантным, то
при каких условиях оно дает симметрию не только для Q, но и
для Q/F7 На первый взгляд можно подумать, что требование
состоит в том, что U должно коммутировать с А и В. Если бы
это было так, то Q/F не имело бы симметрии, поскольку 5X5-
матрица, коммутирующая с А и В, должна быть пропорциональ-
пропорциональна единичной матрице, а такое преобразование несущественно
на СР\
Однако не верно, что U должно коммутировать с А и В,
чтобы давать симметрию на Q/F. Рассмотрим общий случай
многообразия Ко и симметрии U. Мы хотим узнать, является ли
U симметрией не только для Ко, но и для К = Ko/F, где F —
некоторая группа, действующая свободно на Л[о. Пусть х —
точка на Ко- На многообразии К точка х эквивалентна точке fx
для любого feF. Таким образом, действие преобразования U
имеет смысл на К только в том случае, если Ux совпадает (на К)
«с U-fx. Другими словами, U имеет смысл как преобразование

564 Глава 16
многообразия К только в том случае, если для каждого х^К
и для каждого f e F существует некоторое f ' е F такое, что
U-fx = f'-Ux. Иначе говоря, это означает, что UfLJ-1 для любого
f e F должно быть некоторым элементом /' из F.
Вернемся к нашему примеру, где /Со является гиперповерх-
гиперповерхностью, a F представляет собой группу, порожденную преобра-
преобразованиями А и В. Симметрия U модели с четырьмя поколениями"
должна быть линейным преобразованием координат Zk, удов-
удовлетворяющим условиям
UAU~l = AkBl, UBU~l= AmBn. A6.5.7)
Здесь k, I, т и п — целые числа, определенные только по мо-
модулю пять, так что их можно рассматривать как элементы груп-
группы Z5. Поскольку А и В удовлетворяют коммутационному со-
соотношению ВА = А В а, заключаем, что k, I, m и п с необхо-
необходимостью должны удовлетворять условию kn — lm = \. Это
означает, что матрица
(* ')
A6.5.8)
имеет единичный детерминант и, следовательно, принадлежит
группе SLB, Z5) 2Х2-матриц с матричными элементами из
Zb и с единичным детерминантом. По аналогии с SLB,Z) мы
можем называть эту группу «модулярной группой над Zs». Как
нетрудно подсчитать, эта группа имеет 120 элементов.
Для любого выбора k, I, m и п существует (с точностью до
нормировки) не больше одной матрицы U, удовлетворяющей
соотношениям A6.5.7). Действительно, если U и U обе удовлет-
удовлетворяют условиям A6.5.7) (с одинаковыми k, I, т и п), то U-lU
коммутирует и с А, и с В и, следовательно, должна быть про-
пропорциональна единичной матрице. Верно также, что некоторая
подходящая 5 X 5-матрица существует для любых k, I, m и п.
В самом деле, как и обычная модулярная группа, модулярная
группа над Z5 порождается матрицами
Чтобы показать, что для любого элемента группы SLB, Z5) су-
существует соответствующее линейное преобразование координат
Zk, достаточно найти линейные преобразования, соответствую-
соответствующие S и Т. Они имеют вид
S : Zk-+ Z a^Zj-s/Ь, A6.5.10)
т
f:Zk^a3k2Zk, A6.5.11)

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией. 565
что можно проверить. Ниже для упрощения обозначений мы
будем вместо 5 и Т использовать символы S и Т.
Пока мы установили только лишь то, что группа H=SLB, Z5)
нетривиальным образом меняет фундаментальную группу F
многообразия Q/F. Необходимо еще выяснить условия, при ко-
которых элемент группы Н является в действительности симмет-
симметрией многообразия Q/F, а также физический смысл тех элемен-
элементов из Н, которые не являются симметриями. С этой целью по-
полезно рассмотреть не один только конкретный полином Р, а
общий однородный полином пятой степени, инвариантный отно-
относительно F. Инвариантные полиномы перечислены в формулах
A6.3.15) при вычислении чисел Ходжа для Q/F. Общий инва-
инвариантный полином пятой степени имеет вид
Р (Z, Z6) = Со ? Z\ + С, (Z31Z2Z5+ . . . )+С2 {Z\Z^+...) +
+ С3 {Z\Z2Z\ +...) + С4 {Z\Z\Z^ +...) + CbZxZ^Z,Zb, A6.5.12)
где Ci — комплексные параметры. С помощью рескейлинга пе-
переменных Zk можно, например, положить Со=1, но остальные
пять параметров в Р действительно независимые в соответствии
с тем фактом, что данная модель имеет пять поколений (и одно
антипоколение).
При любом выборе параметров С,- уравнение ^ = 0 опре-
определяет многообразие, допускающее единственную метрику с
5?/C)-голономией. При переменных С; получаем пятипарамет-
рическое (параметры комплексные) семейство таких метрик.
Физически существование этого многопараметрического семей-
семейства метрик соответствует, как обсуждалось в разд. 16.2.2, су-
существованию пяти безмассовых суперполей в низкоэнергетиче-
низкоэнергетической теории. Пять независимых С; можно рассматривать как
физические поля. Пусть N — пространство параметров С;. Длин-
Длинноволновые осцилляции формы компактного многообразия Q/F
описываются суперсимметричной сигма-моделью для отобра-
отображений четырехмерного пространства-времени в N. Любая точка
на N отвечает возможному вакуумному состоянию. Важным
элементом понимания низкоэнергетической физики в рамках
нашей модели является определение вакуумных средних для С,-,.
или, другими словами, выяснение того, какая точка на ./V отве-
отвечает физическому вакууму.
Если U принадлежит группе Я, а полином пятой степени Р
инвариантен относительно А и В, то из соотношений A6.5.7)
следует, что UP тогда также является инвариантным относи-
относительно А и В. Таким образом, U индуцирует линейные пре-
преобразования параметров С,- и, следовательно, отображение

566 Глава 16
пространства N в себя. (Читатель может попробовать опреде-
определить, какие преобразования параметров С/ создают S и Т; для Г
это особенно просто.) Это означает, что Я отображает простран-
пространство параметров N в себя, и, следовательно, Я является груп-
группой симметрии нелинейной сигма-модели, основанной на N, а
значит, физической теории, которая основана на редукции де-
десяти измерений на M4y((Q/F). Таким образом, наша упрощен-
упрощенная модель с четырьмя поколениями имеет неабелеву группу
глобальных симметрии Я из 120 элементов!
Между моделями рассматриваемого типа и обычным вели-
великим объединением существуют, конечно, сильнейшие различия.
В обычном случае глобальные симметрии и особенно сложные
группы глобальных симметрии представляются несколько ис-
искусственными, а в нашем случае простейшая модель с доста-
достаточно малым числом поколений автоматически обладает до-
довольно сложной группой дискретных симметрии Я. Но боль-
большинство Я-симметрий спонтанно нарушены. Если выбрано
конкретное вакуумное состояние в четырех измерениях, соответ-
соответствующее конкретному выбору /""-инвариантного полинома (т. е,
конкретной точке в N), то Я нарушается до подгруппы, остав-
оставляющей этот полином инвариантным.
В группе Я имеется подгруппа Z2, которая никогда не на-
нарушается (в отсутствие петель Вильсона). Она порождается
преобразованием ф : Zk^>-Z-k. Это преобразование соответствует
в смысле записи A6.5.8) матрице
0 _,, A6-5.13)
которая является одним нетривиальным элементом центра
группы Я. Легко видеть, что это преобразование оставляет об-
общий полином вида A6.5.12) инвариантным. На первый взгляд
это очень похоже на то, чего мы хотели при рассмотрении
проблемы тонкой настройки в разд. 16.4. Появилась некоторая
22-симметрия, причем она появилась не по нашему желанию,
а потому, что фактор-пространство квинтики в СР4 по Z5 X -ZV,
всегда имеет 22-симметрию.
Некоторые частные выборы полинома дают большие нена-
ненарушенные подгруппы группы Я. Например, вернемся снова к
¦ случаю минимального полинома P = *?JZ\. Этот полином
инвариантен относительно неабелевой подгруппы группы Я,
состоящей из 20 элементов. Эта группа порождается преобразо-
преобразованием Т и преобразованием W: Zk-^-Zih- (Заметим, что
W2 = ф.) Группа Но, порожденная преобразованиями Т и W,
охарактеризуется соотношениями Т5 = W4 = 1, WT == T~lW.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 567
В силу A6.5.6) из предшествующего обсуждения заключаем,
что W является ^-симметрией (голоморфная 3-форма нечетна
относительно W), а ф и Т таковыми не являются.
Наиболее общая модель с четырьмя поколениями и с нена-
ненарушенной группой Но отвечает не минимальному полиному Р,
а полиному
P/=S2! + ^Z1Z2Z3Z4Z5. A6.5.14)
Говоря современным языком, предположение, что вакуум опи-
описывается полиномом Р, не было бы естественным, поскольку
это не выделено никакой симметрией (в модели с четырьмя по-
поколениями). Естественным является предположение, что ва-
вакуум определяется полиномом вида Р', так как это наиболее
общий вид (для модели с четырьмя поколениями), который
оставляет Но ненарушенной. Последнее утверждение равно-
равносильно наблюдению, что полиномы, которые в формуле A6.5.12)
входят с коэффициентами Сь С2, С3, С4, не инвариантны отно-
относительно Но. На самом деле они являются неинвариантными от-
относительно Т, так что выражение A6.5.14) можно выделить,
требованием ненарушенной глобальной Zs-симметрии, порож-
порожденной преобразованием Т.
Если включаются петли Вильсона, то ненарушенная симмет-
симметрия должна оставлять их инвариантными по модулю возмож-
возможных калибровочных преобразований. Например, петли Вильсо-
Вильсона, заданные уравнением A6.4.12), инвариантны относительно
Т, поэтому при таком выборе нарушения симметрии остается не-
ненарушенная 25-симметрия, которая оставляет выражение-
A6.5.14) технически естественным выбором вакуумного со-
состояния. Что касается преобразования W, то оно не оставляет
инвариантными петли Вильсона A6.4.12) (даже по модулю ка-
калибровочных преобразований), поэтому оно не является сим-
симметрией после такого нарушения Ее. Но преобразование-
ф = W2 является симметрией, если оно сопровождается подхо-
подходящим калибровочным преобразованием Уф. Необходимое ка-
калибровочное преобразование можно описать, указав, что эле-
элемент Ux ® U2 ® иъ группы SI/C)cXS?/C)lXS?/C)r отобра-
отображается в f/f1 ® ?/з®?/2; в группе Е6 существует элемент, кото-
который это осуществляет. Возможно, следует отметить, что Уф.
можно интерпретировать в четырех измерениях как обобщен-
обобщенное зарядовое сопряжение, которое заменяет кварки на анти-
антикварки и SUB)L на SUB)R, так что преобразование ф пред-
представляет собой нечто вроде симметрии зарядового сопряжения-

-'568 Глава 16
Ее появление является довольно естественным, хотя и не слишком
желательным свойством моделей, в которых S?/B) {.-симметрия
слабых взаимодействий расширена до группы Sf/B)z.X SUB)R:
16.5.4. Законы преобразований полей материи
Теперь мы определим, как преобразуются безмассовые за-
заряженные поля упрощенной модели относительно описанных
выше глобальных симметрии. Цель состоит в том, чтобы полу-
получить ограничения на юкавские взаимодействия. Основным
инструментом является связь между безмассовыми киральными
полями и полиномами. В самом деле, имеется взаимно одно-
однозначное соответствие между безмассовыми 27-плетами в четы-
четырех измерениях и допустимыми возмущениями 8Р полинома Р,
участвующего в определении модели. Мы рассмотрим случай,
когда Р имеет вид A6.5.14), так что имеется интересная нена-
ненарушенная группа дискретных симметрии.
В отсутствие петель Вильсона, нарушающих Ев, допустимы-
допустимыми возмущениями полинома Р являются полиномы, инвариант-
инвариантные относительно Z5 X Z5. Такие полиномы уже фигурировали
выше в рассмотрениях; они имеют вид
A6.5.15)
po = Z1Z2Z3Z4Z5.
Здесь обозначение «+.. .» указывает на добавление членов,
лолучаемых циклическими перестановками переменных. Для
каждого из полиномов A6.5.15) существует соответствующий
безмассовый мультиплет 27 в упрощенной модели, преобра-
преобразующийся относительно ненарушенной группы симметрии #о
способом, описанным в предыдущем разделе. Поэтому легко
указать закон преобразований для 27-плетов1). Обозначения
¦ф/г выбраны таким образом, что ор^ преобразуется относительно
Т как а*Ч|)?. В то же время W отображает ap& в г|)_ь, и все г|)<>
инвариантны относительно преобразования ф = W2.
') Ситуация не была бы такой простой, если бы мы имели дело с
/Асимметриями, так как скалярная и спинорная компоненты 27-плета пре-
преобразуются относительно ^-симметрии различно, и нам пришлось бы решить,
какая из них (если вообще какая-либо) преобразуется как соответствующий
полином. Получить ограничения на юкавские взаимодействия, возникающие
из ^-симметрии, довольно сложно, и лучше всего для этого использовать
4рормулу для юкавских связей, которая приведена в следующем разделе.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 569»
Это завершает описание закона преобразований 27-плетов
относительно Яо. В упрощенной модели имеется еще один муль-
типлет 27, отвечающий кэлеровой форме, который мы обо-
обозначим %. Поскольку кэлерова форма является четной относи-
относительно голоморфных преобразований, % инвариантно относи-
относительно Яо.
Обсудим теперь, что происходит после нарушения Е%. Инте-
Интересным для обсуждения примером является модель нарушения
Е6 согласно уравнению A6.4.12). При таком выборе вильсо-
новские петли не влияют на синглетные по цвету состояния,
преобразующиеся относительно SUB)l X SUB)R по представ-
представлению A/2, 1/2) Ф @, 0), и они описываются в соответствии со
сделанными выше замечаниями. Это — безмассовые хиггсовы
бозоны. Что касается других компонент из мультиплета 27, то
они описываются не полиномами A6.5.15), а более общими
полиномами A6.4.13). Для каждого SUC)C X SUB)L X
X SUB)R X U(\) X 0A)-мулътиплета, отличного от хиггсо-
вых бозонов, имеется четыре соответствующих полинома вместо
пяти полиномов A6.5.15) (это и есть утверждение, что имеются
дополнительные хиггсовы бозоны со сверхтяжелыми триплет-
ными по цвету партнерами). Мы оставляем читателю проверку
с помощью формул A6.4.13) того утверждения, что четыре по-
полинома в каждом секторе преобразуются относительно Т как
а2, а, а-1 и а~2.
Вспомним теперь из нашего обсуждения проблемы тонкой
настройки, что, для того чтобы запретить нарушающие барион-
ное число кубические взаимодействия кварковых и лептонных
суперполей, не запрещая при этом существования масс у квар-
кварков и лептонов, желательно найти такую глобальную симмет-
симметрию X, относительно которой кварки и лептоны преобразовыва-
преобразовывались бы нетривиально, а некоторые хиггсовы бозоны оставались
инвариантными. В суперсимметричном великом объединении в
четырех измерениях X можно постулировать произвольным обра-
образом, но в обсуждаемых суперструнных моделях X должно быть
найдено. Мы видим теперь, что глобальная симметрия Т упро-
упрощенной модели обладает многими, но не всеми требуемыми свой-
свойствами. Действительно, все кварки и лептоны преобразуются
нетривиально относительно Т, и имеются хиггсовы бозоны (воз-
(возникающие из полинома оро в A6.5.15), не имеющего аналогов в
других секторах), которые нейтральны относительно Т. Свойства
кварков и лептонов по отношению к Т таковы, что запрещают-
запрещаются большинство, но не все взаимодействия, нарушающие ба-
рионное число. Преобразование Т не запрещает кубическое
взаимодействие трех кварковых суперполей, преобразующихся
как а2, а2 и а или как а, а и а~'.

570 Глава 16
Может возникнуть вопрос, не препятствует ли распаду про-
протона 22-симметрия ф, которая обязательна для данной модели
с четырьмя поколениями (до нарушения Е6). В конце концов
именно 22-симметрия обычно постулируется для этой цели из
феноменологических соображений. Однако до нарушения Ее
тот факт, что ф всегда ненарушена, означает, что допустимые
возмущения определяющего полинома Р и, следовательно, все
безмассовые 27-плеты четны относительно ф, что не дает ника-
никаких ограничений на юкавские связи. Нарушение группы Е6 пре-
превращает ф в С-симметрию, как описано в предыдущем разделе,
а самое большее, что может сделать С-симметрия, это связать
распады протонов с распадами антипротонов. (Другие способы
нарушения Е6 совсем лишают нас ^-сохранения.)
В теории поля можно ожидать, что все юкавские связи, не
запрещенные ненарушенной симметрией, отличны от нуля.
Справедливо ли это и в теории струн? В следующем разделе
мы увидим, что на юкавские связи налагаются дополнительные
ограничения.
16.6. Топологические формулы для юкавских констант связи
В то время как четырехмерные теории великого объедине-
объединения с минимальным составом материи предсказывают опреде-
определенные соотношения между юкавскими константами, в случае
суперструнных моделей, как мы узнали, аналогичные формулы
не имеют места. Это совсем не плохо, так как соотношения
между юкавскими константами, выполняющиеся в некоторых
четырехмерных объединенных теориях, всегда были связаны с
трудностями. Тем не менее естественно задать вопрос, сущест-
существуют ли более или менее простые утверждения о юкавских кон-
константах связи, которые в суперструнных моделях заменяли бы
теоретико-групповые соотношения, не имеющие здесь силы.
Короткий обзор некоторых фактов о суперсимметрии ока-
окажется полезным как в этом, так и в следующем разделах. В че-
четырехмерных суперсимметричных теориях взаимодействия ки-
ральных суперполей Ф* описываются членами двух типов.
Имеются члены, которые записываются в виде интеграла по
всему суперпространству:
Lx = \^d%K (Ф\ Ф?)- A6.6.1)
Такие члены часто называют Д-членами. Имеются также чле-
члены, в которых используется интегрирование по фермионным
.координатам только одной киральности:
L2 = J (№W (Ф*) + компл.-сопр. A6.6.2),

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 571
Они называются -F-членами; здесь W—суперпотенциал, кото-
который должен быть (для суперсимметрии) голоморфной функ-
функцией комплексных суперполей Ф*. В противоположность этому
К в формуле A6.6.1) не должно быть голоморфной функцией
полей; действительно, голоморфная или антиголоморфная части
выражения A6.6.1) давали бы нуль после интегрирования по
d4Q. (В К и W могут быть члены с производными, в последнем
случае — с некоторыми ограничениями, но они играют лишь
второстепенную роль в низкоэнергетической физике, и мы не
должны их рассматривать.) В результате интегрирования по в
выражение A6.6.1) дает кинетическую энергию полей
где фк и ар* — скалярные и спинорные компоненты суперполей
Фк. Здесь gtj = d2K/d<{>1 дф/ представляет собой «метрику» в.
«пространстве скалярных полей». Таким образом, в результате
интегрирования в выражении A6.6.1) по d4Q обнаруживается,
что пространство скалярных полей является кэлеровым много-
многообразием с кэлеровым потенциалом К. После интегрирования
в выражении A6.6.2) по d2Q получаем юкавские члены и ска-
скалярный потенциал:
Л. A6.6.4);
Выражение A6.6.4) демонстрирует важную роль суперпотен-
суперпотенциала. В отсутствие других полей и взаимодействий условие-
ненарушенной суперсимметрии имеет вид dW/d<f>k = 0. Если
вводится взаимодействие с калибровочными полями, потен-
потенциальный член получает дополнительное слагаемое
bV=Z(Da)*. A6.6.5>
а
Здесь суммирование проводится по всем калибровочным гене-
генераторам; Da — функции от киральных полей материи, преобра-
преобразующиеся в присоединенном представлении калибровочной
группы. В перенормируемых теориях Da = (<j> | Та \ ф}, где Та —
калибровочные генераторы, действующие на поля материи ф.
Общий вид функции Da может быть намного сложнее. Ненару-
Ненарушенная суперсимметрия теперь требует помимо dW/дфк = О
выполнения условия Da = 0. В случае взаимодействия с супер-
супергравитацией выражение A6.6.4) становится более сложным; ус-
условия ненарушенной суперсимметрии и нулевой космологиче-
космологической постоянной' принимают вид dW/dj>k = W = Da = 0.

572 Глава 16
Из выражения A6.6.4) видно, что кубические члены в W не-
непосредственно приводят к взаимодействиям ^>i|n|) юкавского
типа. Но мы не можем связать эти члены с физическими юкав-
скими связями, если не введем правильную нормировку бозон-
ных и фермионных полей ф и ар. Нормировка ф и i|> определяется
кинетической энергией или в силу A6.6.3) квадратичными чле-
членами в К. Таким образом, для предсказания юкавских констант
в четырех измерениях мы должны научиться получать из исход-
исходной десятимерной теории как кубические члены ф^, так и
квадратичные члены
16.6.1. Топологическая формула для суперпотенциала
Найдем сначала формулу для кубических членов ^"ф-ф в эф-
эффективном четырехмерном лагранжиане (ф и \|з — бозонные и
фермионные компоненты киральных суперполей). Эту формулу
мы получим, считая исходной теорией десятимерную теорию
поля, а затем обсудим теоретико-струнные поправки. Формула,
которая будет найдена, справедлива не только тогда, когда спи-
спиновая связность вложена в калибровочную группу, но и в бо-
более общем случае, когда десятимерное калибровочное поле Л,-
представляет собой любую голоморфную связность в голоморф-
голоморфном векторном расслоении X, удовлетворяющую уравнению
Дональдсона — Уленбек — Яу-
Безмассовый фермион гф в четырех измерениях возникает
как нулевая мода исходного десятимерного поля глюино %. По-
Подобным образом ф происходит из нулевой моды в малых флук-
туациях десятимерного калибровочного поля Ai около его ва-
вакуумного значения. Таким образом, в десяти измерениях мы
должны искать взаимодействие вида А-%-%. Такое взаимодей-
взаимодействие найти нетрудно; это минимальное калибровочное взаимо-
взаимодействие
W = r**AW«.' <16-6-6)
где индексы х, у и z нумеруют присоединенное представление
группы Е8, a fXyz — структурные константы для Е8. (Взаимо-
(Взаимодействие A6.6.6) возникает, если раскрыть выражение для ко-
вариантной производной в действии Дирака %.5х;.) Лагранжеву
плотность A6.6.6) надо проинтегрировать по всем десяти коор-
координатам, чтобы получить функционал действия:
5= \ Lgauge. A6.6.7)
\ gauge
М'хК
Если мы хотим получить четырехмерный лагранжиан, который,
«чтобы получить S, надо интегрировать только по М4, то мы про-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 573
сто перепишем выражение A6.6.7) в виде 5=( ¦[ Ьапи„„
Это показывает, что четырехмерный лагранжиан, из которого
можно получить юкавские константы, имеет вид
%hyz- A6.6.8)
При выводе формулы A6.6.8) не понадобилось предположения
о 5?/C)-голономии, но теперь мы хотим ограничиться таким
случаем.
В разложении 16= B, 4) Ф B', 4) спинора для 50A, 9)
в терминах 50A, 3) Х50F) в четырехмерном смысле левыми
спинорами являются компоненты B', 4). Относительно предпо-
предполагаемой группы голономии 5?/C) компактного многообразия
К 4 преобразуется, как 1 Ф 3. Как мы видели в разд. 16.2, един-
единственные нулевые моды, возникающие из 5?/C)-синглетов,—
это глюино, юкавские связи которых определяются суперсим-
суперсимметрией и калибровочной инвариантностью. Поэтому мы сосре-
сосредоточим внимание на компоненте 3, которая эквивалентна (О,
1)-форме х| с дополнительным индексом х, отвечающим присо-
присоединенному представлению группы Es. Десятимерное калибро-
калибровочное поле At имеет A, 0)- и @, 1)-части, преобразующиеся
по SUC) как 3 и 3. Так как 5С/C)-синглет нельзя получить из
3X3X3, мы должны рассмотреть именно @, 1)-часть поля
Согласно теории группы SUC), единственным синглетом, ко-
который можно получить из 3X3X3, является полностью анти-
антисимметричная комбинация. Таким образом, даже без подроб-
подробного изучения алгебры Дирака из формулы A6.6.8) мы можем
получить выражение
41 = \ 1й'ь'с!ХугАЫ^гс' A6.6.9)
к
где s — антисимметричный тензор для 5?/C).
Выражение A6.6.9) представляет собой ответ на наш во-
вопрос. Если мы действительно знаем риччи-плоскую кэлерову
метрику на К и можем решить уравнение Дирака для нулевых
мод, то подставляя в выражение A6.6.9) волновые функции ну-
нулевых мод и интегрируя по К, получим юкавские константы
связи в четырех измерениях. При такой формулировке пред-
представляется, что вычисление величины A6.6.9) требует обшир-
обширных знаний о многообразии К. На самом же деле выражение

574 Гтва 16
A6.6.9) можно переписать в квазитопологическом виде, в кото-
котором его можно вычислить, используя только качественную ин-
информацию.
Полностью антисимметричная комбинация 5?/C)-индексов;
в выражении A6.6.9) равносильна внешнему произведению
(О, 1)-форм А и %. Действительно, три @, 1)-формы в A6.6.9)
по существу объединяются в @, 3)-форму. В топологической
формулировке подынтегральное выражение естественно явля-
является 6-формой или C, 3)-формой; C, 3)-форму можно полу-
получить из @, 3)-формы, которая неявно присутствует в A6.6.9),,
путем умножения на ковариантно постоянную C, 0)-форму,,
присущую многообразию с 5?/C)-голономией. Таким образом,
выражение A6.6.9) эквивалентно выражению
Lfuu = \ й Л Ах Л %у A %zfxyz, A6.6.10).
к
которое лучше проясняет суть дела.
Пусть даны киральные суперполя Ф* в четырех измерениях.
Каждое поле Фй отвечает гармонической @, 1)-форме ux.k) на5
К. Мы хотим вычислить кубический член в суперпотенциале
W = ^Ытф/гФ;фт -(-.... Для этого достаточно положить @,
])-формы А и % в выражении A6.6.10) равными «<*), ищ и щту
Тогда получим формулу для юкавских констант
Кы= \ й Л ufk) Л Ufa Л 'ufjxyz. A6.6.11)
к
В качестве проверки заметим, что выражение A6.6.11) пол-
полностью симметрично по k, l и т, что сначала не было очевидно.
Далее в нашем построении Щк) — гармонические @, ^-фор-
^-формы. Как гармонические формы они определяют элементы груп-
группы когомологий Дольбо Н1(Х), где X — голоморфное векторное
расслоение, участвующее в выборе вакуумного состояния. В са-
самом деле, выражение A6.6.11) инвариантно относительно пре-
преобразований вида
Щт) -> Щт) + DE(m), A6.6.12)
где D — калибровочно ковариантный оператор д. Чтобы прове-
проверить, что величина A6.6.11) инвариантна относительно преоб-
преобразований A6.6.12), надо показать, что
0 = \ со Л u*h) A Ufa Л De?Jxyz. A6.6.13>
к
Это можно доказать с помощью интегрирования по частям и ис-
лользуя тот факт, что Da = Пщь) ~0, так как ю и «<*) гармо-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 575
нические. Инвариантность относительно преобразований
A6.6.12) означает, что величина A6.6.11) зависит только от
классов когомологий форм Щк) в группе когомологий Дольбо
Н1{Х) (где X — голоморфное векторное расслоение, участвую-
участвующее в определении вакуумного состояния). Это в свою очередь
означает, что A6.6.11) представляет собой квазитопологиче-
квазитопологическую формулу. Для ее вычисления не надо знать риччи-плоскую
метрику на К: нужна только топология и комплексная струк-
структура многообразия К- Действительно, в формулу A6.6.11) вхо-
входят только голоморфная 3-форма w и волновые функции щк).
Голоморфная 3-форма зависит только от комплексной струк-
структуры многообразия К, но не от конкретного выбора метрики.
Часто ее можно описать явно, как это сделано в некоторых
примерах в разд. 16.5.3. Что касается волновых функций, то
поскольку нам не нужны явные волновые функции нулевых
мод, а только волновые функции, лежащие в правильном клас-
классе D-когомологий, решение задачи о нахождении подходящих
волновых функций также зависит только от топологии и комп-
комплексной структуры многообразия К. Поскольку формула
A6.6.11) является квазитопологической, она представляет со-
собой на самом деле вполне удобную формулу для суперпотен-
циала, хотя для ее вычисления (кроме некоторых частных слу-
случаев) требуются методы, которые выходят за рамки настоящего
изложения.
Почему, если не учитывать эстетические критерии, жела-
желательно иметь топологическую формулу для суперпотенциала?
В низкоэнергетическом мире есть много загадок, которые, очень
возможно, связаны с обращением в нуль, по крайней мере на
древесном уровне, некоторых юкавских констант связи. Приме-
Примерами являются крайняя легкость электрона и кварков из пер-
первого поколения, а также малость угла Кабиббо. Большинство
обычных подходов к проблеме обращения в нуль некоторых
юкавских констант связи основывается на попытках постулиро-
постулировать глобальные симметрии, из которых это следовало бы.
(В предыдущем разделе мы пытались найти, а не постулиро-
постулировали такие симметрии.) Этот подход не привел к исчерпываю-
исчерпывающим результатам; по-видимому, глобальные симметрии, объяс-
объясняющие обращение в нуль констант связи, которые действи-
действительно малы, обычно предсказывают обращение в нуль также и
тех констант связи, которые не являются малыми. В резуль-
результате того, что суперпотенциал дается топологической формулой
в рамках десятимерных суперструн, возникает возможность, что
некоторые юкавские константы связи обращаются в нуль по-
потому, что они запрещены из топологических соображений,,а не
вследствие симметрии. Топологические соображения, которые

576 Глава 16
могли бы вызвать обращение в нуль некоторых юкавских кон-
констант, не обязательно должны иметь нежелательные следствия
в других областях.
Общие формулы A6.6.9) и A6.6.11) несколько упрощаются
в случае, когда спиновая связанность вложена в калибровоч-
калибровочную группу. В этом случае безмассовые частицы в четырех из-
измерениях, которые возникают в присоединенном представлении
группы Es, преобразуются относительно ненарушенной группы
Е6 согласно представлениям 27, 27 или 1. Кубические связи для
суперполей, допустимые по ?б-инвариантности, имеют вид 273.
273, I3 и 1 •27-27.Вообще говоря, все они присутствуют и могут
быть получены из выражения A6.6.11). Например, безмассо-
безмассовые суперполя фр преобразующиеся по представлению 27 для
Е6 (здесь р — ?6-индекс, a k — индекс поколения), с микроско-
микроскопической точки зрения происходят из элементов «(fe)ag группы
когомологий НХ{ТI). Вследствие ?б-инвариантности члены
типа 273 в суперпотенциале должны иметь вид
W = kkim®P(kM№m)dpqr, A6.6.14)
где dpqr — кубический симметричный тензор, характерный для
Еь, а Шт — константы, которые мы хотим определить. Если
подставить u{k)aB в выражение A6.6.9), из SUC) -инвариантно-
-инвариантности следует, что касательные векторные индексы трех волновых
функций u,k)ag сворачиваются полностью антисимметричным
образом, так что выражение A6.6.9) в этом случае принимает
вид
Ktm= \ <udef®abcgaagbBgCCU(k)daU(l)bU{m)fc- A6.6.15)
К
Эта формула используется в разд. 16.6.4.
Аналогично суперполя Ф(оР, преобразующиеся по представ-
представлению 27 группы Е6, могут иметь кубические связи следующего
общего вида:
A6.6.16)
где опять dPqr — ?6-инвариант. Чтобы определить константы
Xfgft, напомним, что с микроскопической точки зрения <D<f> воз-
') Поскольку здесь можно запутаться в индексах, заметим, что один
какой-то элемент из Я1 (Г) был бы обозначен как иа Так как в Я1 (Г),
вообще говоря, имеется больше одного элемента, и несет еще и индекс поко-
поколения (k).

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 577
никают как гармонические A; 1)-формы «(f)ag. SUC)-инвари-
SUC)-инвариантность выражения A6.6.9) означает, что полная антисиммет-
антисимметричность по A, 0)-индексам должна подразумеваться струк-
структурными константами группы Еа, так что выражение A6.6.9)
в зтой ситуации сводится к выражению
ebuWfc- A6-6.17)
К счастью, некоторые простые свойства группы S?/C), показы-
показывают, что выражение A6.6.17) эквивалентно некоторому, го-
гораздо более естественно выглядящему выражению, а именно
внешнему произведению трех A, 1)-форм
ifgh = \ Щп А щв) А щн). A6.6.18)
к
Большим преимуществом этой формулы по сравнению с преды-
предыдущими является то, что она зависит только от классов кого-
мологий де Рама форм и в Н2 (К). (Поскольку выраже-
выражение A6.6.18) инвариантно относительно преобразований и->
—>- и + da, как мы говорили в разд. 12.4.) Когомологии де Рама
являются топологическими инвариантами, так что форму-
формула A6.6.18) в отличие от предыдущих — строго топологическая
и не зависит от выбора комплексной структуры на К-
Чтобы привести пример такого следствия топологических
формул для суперпотенциала, которое с низкоэнергетической
точки зрения было бы загадочным, предположим, что К не до-
допускает антиголоморфной симметрии, так что СР спонтанно на-
нарушена. В таком случае можно ожидать, что юкавские констан-
константы связи комплексные, и это будет верно для %ыт из выраже-
выражения A6.6.15), поскольку величины, входящие в это выражение,
являются комплексными. Но константы Xfgit в выраже-
выражении A6.6.18) вещественны, даже если СР нарушена, так как
A, 1)-формы, которые одни только и участвуют в выражении
A6.6.18), естественным образом являются вещественными.
Мы обсудили только юкавские связи суперполей, происхо-
происходящих из присоединенного представления группы Е8. Имеются
также другие безмассовые киральные суперполя, соответствую-
соответствующие деформациям комплексной структуры и кэлеровой формы
и обозначаемые как Х(а) и 7(g) соответственно. Хотя явно эти
поля мы не рассматривали, на самом деле они участвовали
в проведенном выше рассмотрении, так как, например, вели-
величины Xkim в выражении A6.6.15) зависят от комплексной струк-
структуры и, таким образом, от вакуумных средних для Х(гх).

578 Глава 16
Поэтому, например, формулу A6.6.14) правильнее было бы за-
записать в виде
W = Kklm (Х(а)) <^кММт)йрдг\ A6.6.19)
Разумеется, при разложении около вакуумного значения для
Х(а), которое должно быть каким-то образом определено, зави-
зависимость величин Шт от Х(а) даст при низких энергиях лишь
очень малый вклад. В то время как константы связей суперпо-
лей, полученные в этом разделе, зависят от комплексной струк-
структуры на К, они не зависят от выбора кэлеровой метрики и, сле-
следовательно, не зависят от У(р). Значение этого факта мы рас-
рассмотрим в разд. 16.8.
Читатель может спросить, не имеются ли помимо получен-
полученных еще такие члены в суперпотенциале, которые отвечают
связям Х(а) и У(р) только с самими собой. По крайней мере,
в случае, когда спиновая связность вложена в калибровочную
группу, такие члены возникать не могут. Действительно, напри-
например, член в суперпотенциале типа X3 дал бы член вида
\dW/dX\2 = \Х\4 в обычной потенциальной энергии V A6.6.4).
При этом X не могло бы иметь вакуумное среднее значение. Но
из классификации Калаби — Яу для метрик с 5?/C)-голоно-
мией известно, что комплексная структура и кэлеров класс
могут иметь произвольные значения, другими словами, что ва-
вакуумные средние значения для X могут быть произвольными.
(Здесь мы используем результат, который будет получен
в разд. 16.7, где будет показано, что решение уравнений теории,
по крайней мере в любом конечном порядке по а', можно по-
построить исходя из общей метрики с 5?/C)-голономией.) Ана-
Аналогичные рассуждения, использующие тот факт, что число без-
безмассовых 27-плетов является топологическим инвариантом, не
зависящим от вакуумного среднего для X, показывают, что свя-
связей вида Х-21-21 не существует, хотя глобальных симметрии,
запрещающих такие члены, может и не быть.
16.6.2. Кинетические члены
Знание суперпотенциала дает ключ к предсказанию того,
какие юкавские константы связи обращаются в нуль, и в этом
много физического содержания. Особая легкость некоторых
фермионов, малость углов смешивания и даже стабильность
протона, возможно, определяются тем, что некоторые юкавские
константы связи равны нулю. Но, для того чтобы получить для
кжавских констант количественные предсказания, помимо су-
суперпотенциала необходимо знать также D-члены в уравне-
уравнении A6.6.1). Общая стратегия получения формул для D-членов

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией • 57&
такая же, как в случае суперпотенциала. Исходя из точного
десятимерного действия, после интегрирования по компактному
многообразию К получают эффективное четырехмерное дейст-
действие. Таким способом можно получить формулы для кинетиче-
кинетических членов в эффективной четырехмерной теории. Если спино-
спиновая связность вложена в калибровочную группу, получающиеся
формулы носят топологический характер. Отчасти для кратко-
краткости, а отчасти потому, что теорема о неперенормировке, которая
обсуждается ниже, по-видимому, не имеет аналога в случае ки-
кинетических членов, мы не будем обсуждать детальную формулу
для кинетических членов в четырех измерениях, возникающую
после компактификации.
Но один простой факт о неперенормировке юкавских кон-
констант связи, несомненно, следует отметить. Если г — радиус
многообразия К, то в результате интегрирования по К коэффи-
коэффициенты при различных членах в эффективной четырехмерной
теории умножаются на подходящую степень г. Нетрудно ви-
видеть, что как калибровочные, так и юкавские константы связи
формально имеют порядок 1/г. Четырехмерные калибровочные
константы, которые не слишком малы, соответствуют такому
радиусу г, который не на много больше планковского радиуса;
тогда ненулевые юкавские константы формально имеют тот же
порядок величины.
16.6.3. Теорема о неперенормировке и ее следствия
При анализе суперпотенциала для полей материи в преды-
предыдущих разделах мы работали исключительно в терминах деся-
десятимерной теории поля. Это означает, что если г — радиус ком-
компактного многообразия К, то наши результаты справедливы
только в низшем порядке по а'/г2. Теперь мы покажем, что ре-
результаты, относящиеся к суперпотенциалу, на самом деле
справедливы во всех конечных порядках по а'/r2. (В некото-
некоторых случаях, по-видимому, имеются поправки, непертурбативно
малые при а'->0.)
Доказательство является удивительно простым. Радиус г
многообразия К представляет собой в действительности один
из модулей, участвующих в определении метрики с SU(З)-го-
лономией на К. Поэтому он соответствует в четырех измере-
измерениях безмассовому полю, которое мы также обозначим через г.
Суперпартнером для г является псевдоскаляр р, возникающий
как нулевая мода десятимерной 2-формы BMn. Этбт псевдоска-
псевдоскаляр при нулевом импульсе отщепляется вследствие той же абеле-
вой калибровочной инвариантности ЬВ = dA, которая вызывает
отщепление В при нулевом импульсе в исходной десятимерной

580 Глава 16
теории. Утверждение, что р отщепляется при нулевом импульсе,
равносильно утверждению, что р является аксионоподобной мо-
модой, которая управляется глобальной симметрией:
др = const. A6.6.20)
Эта симметрия обсуждается в разд. 14.3.2, где показано, что
она справедлива во всех конечных порядках по а'\ указано
также, что в теории гетеротических струн непертурбативно она
не выполняется. Суперсимметрия объединяет г и р в одно ком-
комплексное суперполе Y.
Суперпотенциал W является голоморфной функцией ком-
комплексных переменных, поэтому если он вообще зависит от г, то
он зависит от г и р в комбинации У = г + ip. Но W не может
зависеть от р, поскольку тогда р имело бы взаимодействия без
производных и аксионная симметрия была бы нарушена. Сле-
Следовательно, суперпотенциал W не может зависеть и от г. Та-
Таким образом, W не может зависеть от безразмерного парамет-
параметра а'/г2, поэтому его можно вычислить при а' = 0, что дается
теоретико-полевой формулой. (Могут возникать непертурбатив-
ные поправки, так как симметрия A6.6.20) выполняется только
в конечных порядках по а'.) В качестве проверки этого дока-
доказательства отметим, что, как из него следует, теоретико-поле-
теоретико-полевая формула для W не может зависеть от кэлерова класса
метрики, а это было уже обнаружено в разд. 16.6.1.
Такое удивительно простое доказательство сильнейшим об-
образом подымает значение выведенной выше топологической
формулы для суперпотенциала. Даже если сс'/r2 умеренно
мало, непертурбативные (связанные с инстантонами на миро-
мировом листе) эффекты, которые, согласно рассмотрению в
разд. 14.3.2, могут нарушать симметрию A6.6.20), будут очень
малы, так что топологическая формула для суперпотенциала
будет исключительно точной. Недавние исследования показали
в полном согласии с тем, что здесь сказано, что на многих (но
не на всех) многообразиях с 5?/C)-голономией непертурбатив-
непертурбативные эффекты действительно дают поправки к топологической
формуле, пропорциональные e~r'la', но соответствующий ана-
анализ занял бы здесь слишком много места.
Неперенормировка суперпотенциала имеет также удивитель-
удивительно сильные следствия. Мы уже встречали заманчивые указания
на то, что риччи-плоские кэлеровы многообразия со спиновой
связностью, вложенной в калибровочную группу, дают решения
уравнений движения теории струн. Это, безусловно, верно
в низшем порядке по а', в котором мы проверили уравнения
в разд. 16.1. Теперь легко показать, что это остается верным,

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 581
возможно с некоторым подходящим переопределением вакуум-
вакуумного состояния, во всех конечных порядках по а!.
Представим себе компактификацию десятимерной теории
на 7м X К, где Т4— некоторое четырехмерное многообразие, ко-
которое априори не предполагается четырехмерным пространст-
пространством Минковского. Десятимерная теория струн дает какую-то
эффективную теорию, описывающую физику на Т4. Мы хотим
показать, что, исходя из К, представляющего собой риччи-пло-
ское кэлерово многообразие (со спиновой связностью, вложен-
вложенной в калибровочную группу), мы можем найти решение исход-
исходных уравнений, по крайней мере во всех конечных порядках по
а'. Это решение имеет ненарушенную суперсимметрию, а Т4
является четырехмерным пространством Минковского. Доста-
Достаточно показать, что эти утверждения выполняются в терминах
эффективной теории на Т4, а не исходной десятимерной теории
поля.
В каждом порядке по а' теория струн дает поправки к урав-
уравнениям эффективной теории на 7м. Мы знаем, что эти поправки
¦сохраняют то свойство, что эффективная теория на Т4 является
суперсимметричной теорией1), но нам не известно, что прост-
пространство Минковского есть решение с ненарушенной суперсим-
суперсимметрией. Обсуждение, следующее за уравнением A6.6.5), сво-
сводится к тому, что необходимо показать, что в эффективной тео-
теории W = dW/d<f>k = Da = 0. Входящие сюда Da соответствуют
безмассовым Е6 X fs-калибровочным бозонам, так как по мас-
массивным бозонам можно проинтегрировать при определении
того, что мы понимаем под эффективной низкоэнергетической
теорией. Ненарушенная группа Е6У(Е8 обеспечивает обраще-
обращение в нуль членов Da, так что остается рассмотреть только ус-
условия W = dW/d<f>k = 0. Так как суперпотенциал W не полу-
получает вкладов, зависящих от а! (по крайней мере в конечных
порядках), эти условия будут выполнены, если они выполня-
выполнялись при а' = 0. Но это имеет место, поскольку мы уже прове-
проверили полевые уравнения в пределе низкоэнергетической теории
поля. Таким образом, по крайней мере во всех конечных поряд-
порядках по а', этим способом мы получаем решения уравнений дви-
движения теории. В следующем разделе мы рассмотрим одно инте-
интересное обобщение этих рассуждений.
Важно отметить, что приведенное выше доказательство
имеет макроскопический характер и ничего не говорит о том,
что происходит на микроскопическом уровне. Выше мы исклю-
исключили интегрированием массивные степени свободы, чтобы
*) В противном случае эта теория, содержащая при а' = 0 безмассовую
частицу спина 3/2, не была бы самосогласованной.

582 Глава 16
обсудить эффективную теорию для безмассовых степеней сво-
свободы. Это доказательство не гарантирует, что уравнения для
массивных полей не модифицируются поправками, зависящими
от а', или что такие поправки не сдвигают Их вакуумные сред-
средние. Доказательство гарантирует лишь, что, какие бы ни про-
происходили изменения в уравнениях или вакуумных значениях
массивных полей вследствие теоретико-струнных поправок, это
не влияет на вакуумную конфигурацию легких полей в четырех
измерениях.
Возможно, следует сформулировать это более явным обра-
образом. Рассмотрим компактифицированную теорию, которая в че-
четырех измерениях имеет массивные поля X,- и безмассовые
поля фт. Массовые члены в лагранжиане имеют вид
A6.6.21)
i '
Мы не включили, разумеется, массовые члены для безмассовых
полей фт. Обратимся теперь к теоретико-струнным поправкам
порядка (а')р для некоторого р. Их вклад, помимо прочего, мо-
может иметь вид членов, линейных по некоторым из полей:
AL == X МГ,- + ? р,ф,. A6.6.22)
i t
Каковы последствия таких изменений в теории? Решая урав-
уравнения
-^7 (LM + AL) = 0 A6.6.23)
для массивных полей, мы находим, что вакуумные средние для
Xi сдвигаются на величину
6Хг = ег/Л1?. A6.6.24)
При построении пертурбативного разложения вакуумного со-
состояния выражения A6.6.24) дают небольшое и безопасное из-
изменение вакуумных значений для Xt. Совершенно другая ситу-
ситуация возникает для величин р,- в выражениях A6.6.22). По-
Поскольку поля Ф1 безмассовые, ненулевое р/ формально должно
сдвигать ф/ на
A6.6.25)
В действительности этот сдвиг должен быть большим, но, по-
видимому, не бесконечным. Но не имеющий смысла вид урав-
уравнения A6.6.25) означает, что разложение вакуумного состоя-
состояния по теории возмущений около начальной точки, дающее
р/ ф 0, невозможно. Пертурбативные поправки, дающие ненуле-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 583
вые значения р/, дестабилизировали бы вакуумное состояние,
очень сильно изменяя его и делая неприменимой теорию воз-
возмущений.
Таким образом, мы показали, воспользовавшись теоремой о
неперенормировке для суперпотенциала, что в каждом порядке
разложения по а', начальной точкой которого является риччи-
плоское кэлерово многообразие, четырехмерный суперпотен-
суперпотенциал не изменяется, и поэтому вакуумные средние безмассовых
полей не сдвигаются. В использовавшихся выше терминах это
означает, что р/ равны нулю, а вакуум стабилен, хотя возможно
вакуумные значения массивных полей подвергаются малым ко-
конечным сдвигам. С другой стороны, теорема о неперенормировке
допускает возможность того, что при построении вакуумного ре-
решения в разложении по степеням а' могут возникать изменения
вакуумных значений массивных полей. В следующем разделе мы
явно продемонстрируем необходимость таких сдвигов в немного
другом контексте.
Необходимо отметить, что сдвиги массивных полей могут
включать поправки к форме метрики, так что наши рассужде-
рассуждения допускают возможность того, что, начиная с риччи-плоской
кэлеровой метрики и строя решение уравнений поля в разло-
разложении по а', мы можем прийти к такому решению, которое не
является риччи-плоским кэлеровым. Недавние вычисления по-
показали, что это имеет место.
Наш анализ является по существу пертурбативным; он
оставляет возможность того, что вне рамок теории возмущений
(с нарушением симметрии A6.6.20)) безмассовые моды будут
возбуждены, а вакуум дестабилизирован. Недавние исследова-
исследования, использующие взаимосвязи между различными теориями
струн, показывают, что этого не происходит, но мы не будем
здесь пытаться выяснить этот вопрос.
Тот факт, что теоретико-струнные поправки конечных по-
порядков не модифицируют суперпотенциал, напоминает то, что
в четырехмерной теории поля суперпотенциал не перенорми-
перенормируется во всех конечных порядках теории возмущений. Можно
спросить, остается ли суперпотенциал W неизменным в разло-
разложении по петлям теории струн. На однопетлевом уровне это
можно доказать полностью аналогично доказательству в гл. 9
того, что ньютоновская постоянная не перенормируется на од-
однопетлевом уровне (в некомпактифицированной теории). Непе-
Неперенормировка суперпотенциала W во всех конечных порядках
летлевого разложения представляется вполне правдоподобной,
но полного доказательства пока нет.
Использованные в этом разделе аргументы неприменимы к
кинетическим членам в лагранжиане, которые возникают из

584 Глава 16
интеграла по суперпространству \ d4QK- Различие состоит
в том, что К не является аналитической функцией суперполей;
на самом деле К зависит от радиуса компактного многообра-
многообразия, и именно отсюда возникает зависимость юкавских констант
от этого радиуса. Подобным же образом для четырехмерной
теории поля верно, что К перенормируется в теории возму-
возмущений.
16.6.4. Приложения к упрощенной модели
Одной из главных причин исследования топологических со-
соотношений для суперпотенциала было стремление понять, мож-
можно ли предсказать такие нули юкавских констант связи, кото-
которые не следуют из симметрии. Это действительно возможно, но,
так как анализ носит технический характер, мы ограничимся
лишь весьма специальным примером, который не потребует
использования всей силы топологических аргументов.
Мы снова обратимся к обычной нашей модели, отвечающей
квинтике Q в С/34. Как обычно, возьмем фактор-пространство
квинтики Q по группе F = Z5 X Zs, чтобы получить модель с
четырьмя поколениями. Если наложить дискретную симметрию
Т, определенную соотношением A6.5.11), то полином пятой
степени, определяющий Q, будет иметь вид A6.5.14). Не учи-
учитывая для простоты нарушение Ее, напомним, что пять безмас-
безмассовых 27-плетов в четырех измерениях соответствуют пяти по-
полиномам, которые даны формулами A6.5.15), и имеют закон
преобразования относительно глобальной симметрии Т, кото-
который описан там же.
Ясно, что глобальная симметрия Т накладывает ограниче-
ограничения на юкавские константы; в обнаружении таких ограничений
и состояла цель, с которой квантовые числа по Т были указаны
в формулах A6.5.15). Можно ли найти дополнительные ограни-
ограничения на юкавские константы? Юкавские константы выража-
выражаются квазитопологическим интегралом A6.6.15). В то время
как мы могли бы подвергнуть этот интеграл топологическому
рассмотрению, гораздо проще заметить, что вместо вычисления
интеграла на пространстве Q/F эйлеровой характеристики —8,
которое используется для того, чтобы получить модель с че-
четырьмя поколениями, мы можем вычислить этот интеграл на
односвязном накрывающем пространстве Q. Преимущество та-
такого способа действий состоит в том, что Q имеет огромную
группу симметрии, включая фазовые преобразования A6.5.5),
большая часть которой теряется, если мы работаем на Q/F.
Вычисляя интеграл A6.6.15) на Q, вместо вычисления на Q/F,
мы можем предсказать обращение в нуль некоторых членов,

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 585
которые согласуются со всеми симметриями на Q/F, но нару-
нарушают некоторые симметрии на Q.
Симметрии пространства Q, не являющиеся симметриями
пространства Q/F, можно назвать псевдосимметриями. Ис-
Использование псевдосимметрий для определения ограничений
на юкавские константы на Q/F представляет собой особенно
простой случай топологических рассмотрений.
Посмотрим теперь, как проводится такое рассмотрение.
В выражение A6.6.15) входят два явных сомножителя со и три
волновые функции щь), Щ1), и(т). Чтобы интеграл получился не-
ненулевым, произведение cD2uwu(/)u(m) должно быть инвариант-
инвариантным относительно преобразований A6.5.5). С учетом закона
преобразований A6.5.6) это означает, что произведение трех
функций и должно преобразовываться как
Ъ Пк ¦ Щк)Щ1)Щт). A6.6.26)
Это условие легко применить, так как функции и(т) находятся
во взаимно однозначном соответствии с определенными поли-
полиномами пятой степени и так же преобразуются под действием
преобразований A6.5.5). Работая вместо ы(т) с полиномами г|зт,
определенными в формулах A6.5.15), находим, что произве-
произведение
A6.6.27)
должно преобразовываться согласно A6.6.26), чтобы соответ-
соответствующая кубическая связь суперполей не обращалась в нуль.
С другой стороны, произведение A6.6.27) трех полиномов пя-
пятой степени представляет собой полином пятнадцатой степени.
Единственный полином пятнадцатой степени, который преобра-
преобразуется по закону A6.6.26), имеет вид
Z\Z\Z\Z\Z\, A6.6.28)
и мы заключаем, что кубическая связь суперполей из трех
поколений обращается в нуль, если в произведении трех соот-
соответствующих полиномов tyktyitym не появляется моном A6.6.28).
Теперь легко видеть, что разрешенными юкавскими связями яв-
являются
Ч>_2Ф,Ч>,. %%%> Ф-гФ-гФ-Р A6.6.29)
но связь
W-A A6.6.30)
запрещена. Замечательным в этом результате является то, что
выражение A6.6.30) сохраняет любую глобальную симметрию.

586 Глава 16
которую сохраняют связи A6.6.29). С точки зрения низкоэнер-
низкоэнергетического наблюдателя невозможность обнаружить взаимо-
взаимодействие A6.6.30), в то время как все взаимодействия A6.6.29)
присутствуют, весьма загадочна. Природа преподносит нам не-
некоторые очень похожие загадки в виде удивительно малых масс
кварков и лептонов и удивительно малых углов смешивания.
Мы видели, как одна такая загадка может иметь простое мик-
микроскопическое объяснение.
16.7. Другой подход к нарушению симметрии
В этой главе мы изучали следствия из уравнений A6.1.1)
для ненарушенной суперсимметрии в четырех измерениях, ко-
которые мы повторяем здесь для удобства:
а) о = 6% = 1d,t) + 32^ (Г/и - 9Й'Г") цНш,
б) o = fi* = -^<r.0#L+i^r<'V^, A6.7.1)
Наше рассмотрение целиком основывалось на одном простом
анзаце для этих уравнений, а именно на вложении спиновой
связности в калибровочную группу и на использовании условия
Н = дф = О. В то время как такой анзац удовлетворяет урав-
уравнениям A6.7.1), сами эти уравнения являются только при-
приближением для некоторых точных уравнений, включающих в
себя члены старшего порядка по а'. В предыдущем разделе
мы использовали теорему о неперенормировке для суперпотен-
суперпотенциала, чтобы показать, что поправки более высокого порядка
не приводят к возбуждению массовых полей и дестабилизации
вакуума, но возбуждают только массивные поля, и их можно
включить в малые пертурбативные поправки к вакууму.
Нельзя считать удовлетворительным ограничение простым
анзацем, который мы рассматривали выше, когда не очевидно,
что нет более общих возможностей. Мы теперь воспользуемся
теоремой о неперенормировке суперпотенциала, чтобы найти
более общие вакуумные состояния с ненарушенной N = 1 -су-
-суперсимметрией в четырех измерениях. Мы дадим лишь доволь-
довольно краткое введение в этот обширный и пока не вполне иссле-
исследованный предмет.
Рассмотрим компактификацию на .М4 X ¦К. где К — ком-
компактное шестимерное многообразие, радиус которого обозначим
через г. Рассмотрим разложение по степеням 1/г, или, точнее,
по степеням а'/г2. Наша цель состоит в том, чтобы сформулиро-

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 587
вать такие утверждения, которые выполняются по крайней
мере во всех конечных порядках по <х'1г2. Важно иметь в виду,
что г является динамической переменной и на самом деле одним
из четырехмерных полей теории. В действительности г связано
по суперсимметрии с аксионоподобной модой, которая фигури-
фигурировала в доказательстве теоремы о неперенормировке.
Сначала попробуем наложить условие Н = йф = 0 в урав-
уравнениях A6.7.1), но без вложения спиновой связности в калиб-
калибровочную группу. Из уравнения A6.7.1а) следует, что К должно
быть многообразием с 5?/C)-голономией. Заметим, что правая
часть уравнения A6.7.1а) содержит одну производную и имеет
порядок 1/л Уравнение A6.7.16) выполняется, если мы пола-
полагаем H = d<j> = 0. Что касается уравнения A6.7.1в), то его мы
уже рассматривали в разд. 15.6. Из этого уравнения следует,
что А является голоморфной связностью в голоморфном вектор-
векторном расслоении X над К и удовлетворяет уравнению
ga~bFaB = 0. A6.7.2)
Уравнение A6.7.2) вместе с условием голоморфности FaS = 0
мы будем называть уравнениями Кэлера — Янга — Миллса.
Десятимерная калибровочная группа (в наиболее интересном
случае это группа Es X ¦?») нарушается до подгруппы, комму-
коммутирующей с калибровочными полями, которые имеются в ва-
вакуумном состоянии. Вложение спиновой связности в калибро-
калибровочную группу представляет собой одно решение уравнения
A6.7.2); оно нарушает группу E8XES до Е6~ХЕ& (или, воз-
возможно, до ее подгруппы, если вводятся петли Вильсона). Но
уравнение A6.7.2) имеет много других решений. Согласно тео-
теоремам Дональдсона (в комплексной размерности два) и Улен-
бек — Яу (в комплексной размерности три и больше), обсуж-
обсуждавшимся в разд. 15.6.2, существует единственное решение
уравнения A6.7.2) в любом стабильном голоморфном вектор-
векторном расслоении X над К.
Существует много примеров таких расслоений. Так, в
разд. 15.6.3 мы построили нетривиальные четырехмерные голо-
голоморфные векторные расслоения над квинтикой Q в СР4. Мы
обнаружили, что такие расслоения X ранга четыре можно полу-
получить с помощью деформаций расслоения Т ® L, где Т — каса-
касательное расслоение для Q, a L — тривиальное линейное рас-
расслоение. Единственная голоморфная связность А на X, удов-
удовлетворяющая условию A6.7.2), представляет собой некоторое
SU D) -калибровочное поле. Поскольку группа Es содержит
максимальную подгруппу SO A0) X 50F) « SO A0) X SU D),
использование в вакуумном состоянии этого решения уравнения

588 Глава 16
A6.7.2) дает модель, в которой группа Es~X.Es нарушена до
SO A0)X Е8 (или до ее подгруппы, если вводится петля Виль-
Вильсона). Ниже этот пример хорошо иметь в виду,: хотя уравне-
уравнение A6.7.2) имеет много других решений; например, на кэлеро-
вом многообразии с А1-1 > 1 оно имеет абелевы решения, кото-
которые обсуждались в гл. 15.
При разложении по степеням 1/г естественно считать, что-
калибровочное поле А имеет порядок 1/г, так как оно появляет-
появляется в ковариантной производной D = d-\-iA. В то время как
правая часть уравнения A6.7.1а) имеет порядок 1/г, правая
часть уравнения A6.7.1в) имеет порядок 1/г2. Теоретико-струн-
Теоретико-струнные поправки, опущенные в уравнениях A6.7.1), имеют более
высокий порядок.
Взяв многообразие К с группой голономии SUC), с усло-
условиями Н = йф — 0 и с А, являющимися решением уравнения
A6.7.2), мы удовлетворим уравнениям A6.7.1). Чего же нам
еще не хватает? Уравнения A6.7.1) надо дополнить тождест-
тождеством Бианки A6.1.2), которое мы повторяем здесь для удобства:
dH = trRA Я-trFAF. A6.7.3)
Оно удовлетворяется при Н = О, если спиновая связность вло-
вложена в калибровочную группу, но не удовлетворяется в против-
противном случае. Именно этот пункт был причиной того, что в
разд. 16.1 мы ограничились случаем вложения спиновой связ-
связности в калибровочную группу.
Поскольку tr F /\F и tr /? Л /? представляют соответственно
вторые классы Черна для X и для касательного расслоения Т
на К и так как dH тривиально в когомологиях, условие A6.7.3)
имеет решение только в том случае, если
с2(Т). A6.7.4)
Это требование уже было отмечено в разд. 13.5.3 и 14.7. Если
требование A6.7.4) выполняется, то условию A6.7.3) можно
удовлетворить.
Правая часть уравнения A6.7.3) имеет порядок 1/г4, так
что тождество A6.7.3) совместно с выбором Н порядка 1/г3.
При таком выборе уравнения A6.7.1) на самом деле не удов-
удовлетворяются, но ошибка будет всего лишь порядка 1/г3. Наша
задача состоит в том, чтобы определить, можно ли так модифи-
модифицировать конфигурацию полей, чтобы уравнения A6.7.1) вы-
выполнялись до порядка 1/г3 включительно, а на самом деле и
во всех конечных порядках. При этом необходимо учитывать
зависящие от а' поправки к уравнениям A6.7.1).
На самом деле ошибка порядка 1/г3 в уравнениях A6.7.1)
есть струнный эффект порядка а'. Об этом можно догадаться

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 589
просто потому, что параметров разложения в действительности
является а'/r2, но мы проведем более подробное обсуждение.
Член tr R A R отсутствует в уравнении A6.7.3) в предель-
предельной суперсимметричной теории поля, сформулированной в
разд. 13.1.3; он имеет порядок а', хотя в формулах мы положи-
положили а' равным единице. Если исключить член tr R Л R из урав-
уравнения A6.7.3), то из него будет следовать, что с2(Х) = 0; в* ком-
комплексной размерности три решение уравнения A6.7.2) с
с2(Х) = 0, как мы увидим ниже, должно иметь F = 0l). В этом
случае уравнение A6.7.3) допускало бы выбор Я = 0. Таким
образом, именно эффекты порядка а' являются реальной при-
причиной того, что при попытках удовлетворить уравнению A6.7.1)
мы сталкиваемся с ошибкой порядка 1/г3. Эту ошибку надо про-
проанализировать с помощью общей теоремы о неперенормировке
для зависящих от а' поправок, которую мы обсуждали в пре-
предыдущем разделе.
В теории Калуцы — Клейна на компактном многообразии
радиуса г естественным масштабом масс является 1/г и появ-
появляется бесконечное число четырехмерных частиц с массами та-
такого порядка. Тот факт, что уравнение A6.7.1) выполнено в
порядке 1/г, означает, что четырехмерное гравитино в этом по-
порядке безмассовое. Его масса, если она вообще появляется,
возникает в порядке 1/г3 или в любом таком порядке, в кото-
котором не удается удовлетворить уравнению A6.7.1) (или его
струнному обобщению).
Четырехмерная теория с безмассовой частицей спина 3/2
должна быть суперсимметричной. Тот факт, что для очень
больших г гравитино является по существу безмассовым по
сравнению со всеми другими модами, означает, что компакти-
фикация из десяти в четыре измерения на М4 X К должна да-
давать четырехмерную теорию, которая суперсимметрична. На-
Нарушена ли спонтанно суперсимметрия или нет, это другой во-
вопрос. Если гравитино получает массу порядка 1/г3 (или более
высокого порядка), это должно допускать интерпретацию как
спонтанное нарушение суперсимметрии.
Как мы исследуем спонтанное нарушение суперсиммет-
суперсимметрии? Условие ненарушенной суперсимметрии можно кратко
') С точки зрения феноменологии, это, конечно, не очень интересно, так
как EsXE& останется ненарушенной. Включение в уравнение A6.7.3) члена
tr R Д R, делающее возможным использование нетривиальных решений урав-
уравнения A6.7.3) (подобных вложению спиновой связности в калибровочную
группу или более общим возможностям, исследуемым в этом разделе), яв-
является главным преимуществом теории струн по сравнению с предельной
низкоэнергетической теорией поля.

590 Глава 16
сформулировать в терминах суперпотенциала W; оно имеет вид
W = -?%¦ = О, A6.7.5)
дФк
где фк пробегает все киральные суперполя1). Уравнение
A6.7.5) немедленно показывает, что, для того, чтобы опреде-
определить, могут ли эффекты порядка 1/г3 и выше (другими словами,
эффекты порядка а' и выше) привести в действие спонтанное
нарушение суперсимметрии, мы должны исследовать суперпо-
суперпотенциал. Если зависящие от г поправки к поведению при боль-
больших г не включают в себя поправки к W, то они не могут вы-
вызвать спонтанного нарушения суперсимметрии. Но это как раз
такой вопрос, которым занимаются теоремы о неперенормиров-
неперенормировках. По крайней мере в конечных порядках нет никаких зави-
зависящих от а' (или от г) поправок к поведению при больших г
суперпотенциала. Так как рассматриваемая конфигурация обла-
обладает ненарушенной суперсимметрией в пределе очень больших
г, суперсимметрия должна оставаться ненарушенной во всех по-
порядках по 1/г. В проведенном выше рассмотрении уравнение
A6.7.1) удовлетворялось только с точностью порядка 1/г3, но
приведенные только что факты показывают, что должна
иметься возможность так подобрать метрику и разные другие
поля, чтобы эту ошибку исключить.
Зададим вопрос: что это рассуждение доказывает, а что нет?
Суть теоремы о неперенормировке для суперпотенциала состоит
в том, что все массивные моды исключаются и анализируется
эффективный суперпотенциал для безмассовых степеней сво-
свободы. Тогда простые соображения, использующие аксионную
симметрию, показывают, что этот суперпотенциал не получает
поправок, зависящих от г или от а'. Эти соображения гаранти-
гарантируют, что в каждом порядке по 1/г можно получить вакуумное
решение, в котором суперпотенциал не модифицируется, и по-
поэтому вакуумные средние безмассовых полей не сдвигаются.
Эти соображения ничего не говорят о том, как это вакуумное
решение выглядит с точки зрения массивных степеней свободы.
Если мы их не исключим, а оставим в рассмотрении, то завися-
зависящие от г поправки вполне могут сдвинуть вакуумные средние
этих массивных мод. Все это обсуждалось с несколько другой
точки зрения в предыдущем разделе.
') Имеется еще условие D" = 0, где а пробегает алгебру Ли. Струк-
Структура этого условия такова, что возможность ему удовлетворить устойчива
относительно небольших изменений D" при условии, что ненарушенная ка-
калибровочная группа полупростая. В этом случае не нужно рассматривать
его при обсуждении поправок к поведению для больших г.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 591
Обсудим теперь явное построение вакуумного решения по
теории возмущений по 1/г в низших ее порядках. Это позволит
нам также явно проиллюстрировать рассмотрения предыдущего
раздела. Десятимерные уравнения мы разлагаем по степеням
1/г, считая пространственно-временные производные и калиб-
калибровочные поля величинами порядка 1/г. Единственное уравне-
уравнение, которое мы имеем в порядке 1/г2, — это уравнение Эйн-
Эйнштейна
RtJ = 0. A6.7.6)
Оно удовлетворяется, если в качестве К взять риччи-плоское кэ-
лерово многообразие. В порядке 1/г3 имеем уравнения Янга —
Миллса
?>%=0, A6.7.7)
которые выполняются, если в качестве калибровочного поля
взять голоморфную связность в голоморфном векторном рас-
расслоении X, удовлетворяющую уравнению Дональдсона — Улен-
бек—Яу. В порядке 1/г4 имеется тождество Бианки A6.7.3),
которое надо дополнить уравнением движения для поля Я
<ГЯ = 0. A6.7.8)
Если предполагается, что с2(Х)= с?. (Т), то уравнения A6.7.3)
и A6.7.8) вместе имеют решение, которое единственно, если
(для минимизации энергии) мы выбираем Н ортогональным к
гармоническим 3-формам на К. В порядке 1/г4 мы в первый раз
встречаемся с уравнением для поля дилатона
U^ = trFtlFll — t[RtiRil, A6.7.9)
а также с некоторой модификацией уравнения Эйнштейна
A6.7.6), которую мы здесь не будем рассматривать, так как
уравнения A6.7.9) достаточно для того, чтобы проиллюстриро-
проиллюстрировать ключевые понятия.
На компактном многообразии К уравнение
U$ = J A6.7.10)
при произвольном / не имеет решения. Необходимо, чтобы
источник / был ортогонален всем нулевым модам волнового
оператора П. Если 1|з — такая нулевая мода, П-ф = 0, то (ис-
(используя эрмитовость оператора ?) из уравнения A6.7.10)
следует
0= [ -ф ? ф = [ i|j/. A6.7.11)
к к

592 Глава 16
Обращение в нуль выражения A6.7.11) для каждой собствен-
собственной функции о|) оператора ? с нулевым собственным значением
является необходимым и достаточным условием того, что урав-
уравнение A6.7.10) имеет решение').
Скалярный волновой оператор особенно прост: единствен-
единственной нулевой модой оператора ? является постоянная функция
1. Таким образом, требование A6.7.11), чтобы источник был
ортогонален нулевым модам волнового оператора, в этом слу-
случае сводится к условию
0 = J (tr FtiF" - tr RtjR% A6.7.12)
к
Теорема о неперенормировке для суперпотенциала, которая
предсказывает, что значения массивных полей можно так пере-
переопределить, чтобы получить вакуумное решение в разложении
по а', предсказывает, что условие A6.7.12) должно выполнять-
выполняться. Сейчас мы увидим, что действительно условие A6.7.12) яв-
является следствием топологического условия с2(Х)=с2(Т), а так-
также различных других условий, которые мы наложили, чтобы
удовлетворить уравнениям A6.7.1) в главном порядке по 1/г.
Заметим сначала, что
tr FtjF" = 2/V5 tr FabFuB + 2/VS tr FaBFub. A6.7.13)
Второе слагаемое в A6.7.13) можно переписать, используя
тождество
gaagbb tr р a_f_b = gaagbB tr p^p^ -^tfFAf, A6.7.14)
где k — кэлерова форма. Объединяя эти манипуляции, полу-
получаем формулу для действия Янга — Миллса
tr FifF4 = \ [2ё«*ёь-ь tr FabFuB + 2 tr (g™Fauf -2kAtrFAF].
к к
A6.7.15)
Последний член в правой части A6.7.15) является топологиче-
топологическим инвариантом, т. е. зависит только от топологического
класса кэлеровой метрики на К и топологического класса век-
векторного расслоения X2). Формула A6.7.15) показывает, что ре-
•) Требуемое здесь доказательство эквивалентно тому, которое дано
в разд. 15.6.2 для уравнения Да = Н.
2) Формула A6.7.15) показывает, что решение уравнений Кэлера —
Янга—Миллса, для которых tr F Д F тривиален в когомологиях, имеет
нулевое действие и поэтому должно иметь место равенство F = 0, как отме-
отмечалось выше.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 593
шение уравнений Кэлера — Янга — Миллса, которое предска-
предсказывается теоремами Дональдсона и Уленбек — Яу, в данном
топологическом классе имеет минимальное действие. Формула
A6.7.15) имеет аналог, в котором F заменяется на тензор Ри-
мана R. Подставляя A6.7.15) и его аналог в уравнение
A6.7.12), находим, что правая часть этого уравнения прини-
принимает вид
-2\)kAtr(FAF-RA R). A6.7.16)
Подставляя dH = tv(F/\F— R A R) в выражение A6.7.16),
интегрируя по частям и используя тот факт, что dk = 0, обна-
обнаруживаем, что выражение A6.7.16) равно нулю. Таким образом,
мы проверили, что уравнение A6.7.9) имеет решение.
Подведем итог тому, что было сделано, и сравним это с
общим рассмотрением, проведенным после выражения A6.6.21)
в предыдущем разделе. Массивные поля Xi в выражении
A6.6.21) с точки зрения нашего теперешнего обсуждения соот-
соответствуют ненулевым собственным значениям волнового опе-
оператора П. Безмассовые поля <f>k из предшествующего обсужде-
обсуждения отвечают нулевым модам г|> оператора П. Обращение в нуль
источников р/г в выражении A6.6.22) аналогично требованию
A6.7.11), чтобы источники в уравнении A6.7.9) были ортого-
ортогональны нулевым модам волнового оператора П. Равенство нулю
правой части уравнения A6.7.12) представляет собой условие,
которое обеспечивает, что возмущение tr F%- — tv Rjj не взаимо-
взаимодействует с безмассовыми полями, происходящими из нулевых
мод оператора ?; такое взаимодействие дестабилизировало бы
вакуум, вызывая спонтанное нарушение суперсимметрии.
Таким образом, общая идея заключается в том, что при раз-
разложении полевых уравнений по степеням 1/г в каждом порядке
мы получаем уравнение общего вида
? <х = /, A6.7.17)
где о — некоторое поле, ? — некоторый эллиптический оператор
€ дискретным спектром, а / — источник, зависящий от вакуум-
вакуумного состояния, построенного в более низких порядках по 1/г.
Условие того, что уравнение A6.7.17) имеет решение, состоит
в том, что / должно быть ортогонально всем нулевым модам
оператора П. Согласно теореме о неперенормировке для супер-
суперпотенциала, это всегда имеет место, что было явно проверено
в низших порядках, хотя мы и рассматривали только простей-
простейший случай.

594 Глава 16
16.8. Обсуждение
В предыдущем разделе приведены аргументы в пользу того,
что по крайней мере во всех конечных порядках по а' сущест-
существуют более общие состояния с ненарушенной суперсимметрией.
Исходным пунктом в общем случае является многообразие К
с 5?/C)-голономией и связность Кэлера — Янга — Миллса в
голоморфном векторном расслоении, второй класс Черна кото-
которого такой же, как у касательного расслоения на К. Чтобы все
это немного конкретизировать, вернемся к нашему привычному
примеру — квинтике Q в СР4. В действительности мы обсудим
модель с четырьмя поколениями, которая основывается на фак-
фактор-пространстве такой гиперповерхности по Z5 X %5-
Если мы вкладываем спиновую связность в калибровочную
группу, то получаем ?6-модель с одним мультиплетом Сх в
представлении 27, пятью мультиплетами D*a) в представлении
27 и с некоторым числом безмассовых ?б-синглетов Е(т). Здесь
х — ?6-индекс, а (а) и (от)—индексы аромата для 27-плетов и
синглетов соответственно. В данный момент нас будут интере-
интересовать те .Еб-синглеты, которые возникают из Я1 (End T), когда
касательное расслоение Т вложено в ?8Х^8. Имеются также
такие ?6-синглеты, которые происходят из деформаций комплек-
комплексной структуры и кэлерова класса на К, но в этом разделе их
мы рассматривать не будем.
Вложение спиновой связности в калибровочную группу со-
соответствует наложению условий С == D = Е = 0. Это дает ва-
вакуумное состояние, в котором суперпотенциал W удовлетво-
удовлетворяет условиям
W = ^ = 0 ¦ A6.8.1)
и суперсимметрия не нарушается. Зададимся теперь вопросом,
можно ли, исходя из условий С = D = Е = 0, найти такие
«плоские направления», в которых суперпотенциал тождествен-
тождественно равен нулю. Если это так, то сдвиг в этих плоских направ-
направлениях дает новые решения уравнений A6.8.1), так что в этом
случае помимо состояний, полученных с помощью вложения
спиновой связности в калибровочную группу, в пространстве
полей есть и другие близкие точки с ненарушенной суперсим-
суперсимметрией.
В обычных моделях иизкоэнергетической суперсимметрии
такие плоские направления часто возникают. Но в рассматри-
рассматриваемой ситуации, если стать на низкоэнергетическую точку зре-
зрения, это кажется маловероятным. Рассмотрим сначала одно
плоское направление, в котором возбуждается ровно один ?V

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 595
синглет Е. Так как Е является безмассовой модой, отвечающей
некоторому ненулевому элементу из Hl(EndT), в суперпотен-
суперпотенциале нет члена Е2. Но и нет никаких очевидных причин, по ко-
которым суперпотенциал не может иметь членов других порядков:
Ek, k = 3, 4, 5, ... . A6.8.2)
Существование плоского направления, по-видимому, потребо-
потребовало бы обращения в нуль бесконечного числа коэффициентов,
для чего нет никаких очевидных причин. Тем не менее в при-
примере 6 из разд. 15.6.3 мы явным образом построили голоморф-
голоморфные деформации Т голоморфного касательного расслоения Т на
К. В начале предыдущего раздела мы показали, что (по край-
крайней мере во всех конечных порядках по а') для построения
нового вакуумного состояния с ненарушенной суперсимметрией
можно использовать любое голоморфное расслоение X с таким
же вторым классом Черна, как у Т. Расслоение Т, которое яв-
является деформацией расслоения Т, конечно, имеет такой же
второй класс Черна, как Т, так что его можно использовать
в этой конструкции.
В этом примере число параметров, входящих в определение
Т, равно числу безмассовых ?6-синглетов Е(т), поэтому построен-
построенные таким способом новые вакуумные состояния находятся
во взаимно однозначном соответствии со всевозможными зна-
значениями Е{т). Следовательно, все вклады в суперпотенциал
вида A6.8.2), которые отвечают взаимодействию мод Е{т)
только друг с другом, равны нулю (во всяком случае, во всех
конечных порядках по а'), каким бы неправдоподобным это ни
казалось с низкоэнергетической точки зрения. Таким образом,
мы обнаружили первый пример плоских направлений в супер-
суперпотенциале модели, полученной компактификацией на Q. Эти
плоские направления оставляют ?6 ненарушенной, так как мы
рассматривали только ?б"синглеты.
Более интересны, возможно, такие плоские направления, ко-
которые дают нарушение Е6. Эти направления должны отвечать
возбуждению 27- и 27-плетов D*a) и Сх. В этом случае в супер-
суперпотенциале имеются члены взаимодействия. Действительно,
выше даны топологические формулы для членов
dxyzCxCyCz, dxyzDx{a)Dy{b)Dtc). О6-8-3)
Одно только то, что у нас есть формула для связей С3 и D3, не
гарантирует, что эти связи не равны нулю. Возможно, читатель
почувствует, что надо быть начеку, после того как ему сказали,
что ?3-связи, для которых также выведена общая топологиче-
топологическая формула, в этой конкретной модели все равны нулю. Но

596 Глава 16
в этой модели С3- и Л3-связи не равны нулю '). На первый
взгляд можно подумать, что наличие'суперполевых С3- и D3-
связей препятствует существованию плоских направлений, ко-
которые отвечают возбуждению С или D. Но это не так; С3- и
?K-связи исключают большинство плоских направлений, но не
все, ограничивая тем самым возможные способы нарушения ?V
Относительно максимальной подгруппы 50A0) У, U(I)
группы Е6 представление 27 для Е6 разлагается как
27 ~ 16~'ф102®Г4, A6.8.4)
где верхний индекс есть ^ A) -заряд. Из соотношения A6.8.4)
легко видеть, что сохраняющая 50A0) y^U(l) связь типа 273
должна иметь следующий общий вид:
273» 16-16-10® 10-10-1. A6.8.5)
Заметим, что выражение A6.8.5) не содержит членов, кубич-
кубичных или квадратичных по 1 для 5ОA0). Поэтому если D3 —
единственный член в суперпотенциале W, который надо учиты-
учитывать, а 1 для 50A0) — единственная ненулевая компонента
в D, то W = dW/дф = 0. Мультиплет С в представлении 27
имеет разложение, аналогичное разложению A6.8.4). Он также
содержит компоненту, синглетную по 5ОA0), а ^-инвариант-
^-инвариантное взаимодействие С3 также не опасно в том отношении, что
оно не портит плоского направления, в котором возбуждена
только эта компонента в С.
Пусть с и d — синглетные по 5ОA0) компоненты в С и D
соответственно. Мы видели, что в минимальном суперпотенциа-
суперпотенциале вида С3 -f- D3 остаются плоские направления, в которых с и
d имеют вакуумные средние, поэтому Е6 нарушается до 5ОA0).
Помимо суперпотенциала, мы должны рассмотреть также чле-
члены (DaJ в потенциальной энергии, где а пробегает алгебру Ли
группы ?вХ?в, чтобы получить ненарушенную суперсиммет-
суперсимметрию. Из условия обращения этих членов в нуль следует просто,
что если с имеет вакуумное среднее, то и d должно его
иметь2). Принимая во внимание минимальный суперпотенциал
') В случае С3-связи это легко доказать. Один 27-плет С возникает и*
одной гармонической A, 1)-формы на К — кэлеровой формы. Суперполевая
С3-связь по нашей формуле связана с интегралом \ k A к А к, который
определенно не равен нулю. Что касается /K-связей, то хотя нам и удалось
найти для них ограничения с помощью симметрии и псевдосимметрий в
разд. 16.6.1 и 16.6.4, но доказательство того, что они отличны от нуля, тре-
требует применения более мощных методов, чем те, которые развиты здесь.
2) Зависящие от а' поправки могли бы повлиять на величину необходи-
необходимого отношения cjd, но в остальном они безопасны.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 597
и члены (DaJ, происходящие из калибровочных взаимодей-
взаимодействий, заключаем, что этим и исчерпываются возможные пло-
плоские направления.
Существуют ли действительно эти плоские направления, на-
нарушающие Ев до 50A0)? С низкоэнергетической точки зрения
это кажется маловероятным. Хотя члены С3 и D3 допускают
такие плоские направления, но бесконечное число суперполевых
связей типа
C'DXE, (CXDXJ A6.8.6)
и т. д. разрушило бы плоские направления, нарушающие Е6.
Как и в обсуждении членов A6.8.2), представляется малове-
маловероятным с низкоэнергетической точки зрения, что все эти ко-
коэффициенты равны нулю. Тем не менее это так (во всех конеч-
конечных порядках по а'). Необходимая здесь аргументация в точ-
точности аналогична рассуждениям по поводу членов A6.8.2).
В примере 6 из разд. 15.6.3 мы построили расслоения X ранга
четыре над Q как деформации расслоения Т Ф L. Число пара-
параметров в конструкции расслоения X такое же, как число пара-
параметров в плоских направлениях, разрешенных минимальным
суперпотенциалом и фаJ-связями. Из существования этих
расслоений X следует существование расширенного семейства
возможных вакуумных состояний. Связность Кэлера — Янга —¦
Миллса на X представляет собой SUD) -калибровочное поле,
вложение которого в группу Es нарушает Es до 50A0) точно
так же, как в тех выводах, к которым мы пришли при обсуж-
обсуждении плоских направлений в суперпотенциалах.
Таким образом, теорема о неперенормировке для суперпо-
суперпотенциала приводит к новому механизму нарушения симметрии;
оставляя N = 1 -суперсимметрию ненарушенной, мы можем вос-
воспользоваться этим механизмом, чтобы нарушить Е6 до группы
50A0), которую, если нужно, можно нарушить дальше с по-
помощью петель Вильсона. Используя голоморфное расслоение
ранга пять, а следовательно, вложение SU E) -калибровочного
поля в Es, можно нарушить Es до SUE); это опять можно
объединить с петлями Вильсона. Мы не будем строить здесь
примеров стабильных голоморфных векторных расслоений
ранга пять над многообразиями с 5?/C)-голономией, но та-
таких примеров имеется много. Феноменология этих 50A0)-
и 5U E) -моделей весьма интересна, хотя пока мало иссле-
исследована.
В заключение отметим еще раз, что все наши рассмотрения
оправданы только в конечных порядках теории возмущений по
а'. Есть указания на то, что вне рамок теории возмущений

598 Глава 16
теорема о неперенормировке для супер потенциала нарушается
на уровне инстантонов на мировой поверхности. Ясной же кар-
картины следствий этого явления пока еще нет.
16.9. Перенормировка констант связи
Константы связи на масштабе великого объединения можно
связать с константами связи при обычных энергиях с помощью
стандартных вычислений по ренормгруппе. Если бы мы знали
правильную схему струнной компактификации, то мы знали бы
все исходные константы связи на масштабе объединения. Но
мы этого не знаем. Даже не зная всех микроскопических под-
подробностей теории, часто из общих соображений можно опреде-
определить некоторые из исходных соотношений между константами
связи. Одним из основных результатов, полученных
в разд. 16.4.2, было то, что, как мы показали, в рамках теории
Калуцы — Клейна с нарушением симметрии великого объеди-
объединения, осуществляемым петлями Вильсона, древесные калибро-
калибровочные константы (но не юкавские константы) удовлетворяют
стандартным теоретико-групповым соотношениям. Поэтому спра-
справедливо вычисление величины sin2 8ц? и масштаба объединения
по Джорджи — Куинн — Вайнбергу. Здесь мы обсудим его след-
следствия.
Обозначим константы связи для сильных, слабых и электро-
электромагнитных взаимодействий через аз, аг и ает соответственно1).
Стандартная формула для ренормгруппы имеет вид
1 М
— 631п
A6.9.1)
= a
'GUT
Здесь Маит — масштаб масс объединения, \i — масштаб, при
котором наблюдаются взаимодействия, ааит — константа связи
на масштабе объединения, a b3, b2 и bem — однопетлевые коэф-
коэффициенты бета-функций. Это можно представить в виде формул
i) Таким образом, аз — константа связи для цветовой группы SUC),
а а.г — для группы SUB)b.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 599
для масштаба объединения и для угла 8ц?:
-1 8 _,
Маит ает - "з «3
In
n
(О Ч »
Ьет-ТЬа)/2я A6.9.2)
+ ^ F2 - Ьа) In -^
Удобно выбрать ц = М№, тогда экспериментальные значения
приближенно равны cqJ = 128, а~' =9.
В случае fe-моделей с низкоэнергетической суперсиммет-
суперсимметрией имеем
b 3F +1
1
д3_9,
&2 = 3^+уД2-6, A6.9.3)
bem = 8F +ZQ2-6C.
Здесь F — число полных семейств и антисемейств (киральных
мультиплетов в представлениях 27 и 27 по Е6), Аз — число три-
плетных и антитриплетных по цвету киральных супермульти-
плетов, которые не попадают в полные ^б-мультиплеты, А2—•
число киральных супермультиплетов, являющихся слабыми
дублетами и не попадающих в полные ?6-мультиплеты, ? Q2 —
сумма квадратов электрических зарядов киральных суперполей,
не входящих в полные ?6-мультиплеты, а С — сумма квадратов
зарядов легких положительно заряженных калибровочных бо-
бозонов (для стандартной модели вклад дает только W+ и С =
= 1). Мы немедленно замечаем, что при F ^ 4 ?6-модели с низ-
низкоэнергетической суперсимметрией имеют Ь3 > 0 и испорчены
полюсами Ландау. Если F = 4, то а~' стремится к нулю при
10u±1 ГэВ. Так как экспериментальные данные требуют, по-
видимому, чтобы было .Р^З1), мы заключаем, что ?6-модели
с низкоэнергетической суперсимметрией должны иметь ровно
три поколения (и ни одного антипоколения).
Рассмотрим сначала случай, когда в качестве низкоэнерге-
низкоэнергетической калибровочной группы выступает такая группа, как
') Феноменологически приемлемую модель для F=2 почти, но не совсем
удается построить. В такой модели нет ^-кварка, но он заменяется дополни-
дополнительным б'-кварком с зарядом —1/3. Этот б'-кварк вместе со всеми извест-
известными фермионами точно укладывается в два 27-плета для Ее, но такие
модели, по-видимому, исключаются наблюдениями 6-кваркового распада, а
также реакции е+е--+ЬБ.

600 Глава 16
SUC) XSUB) XU(l) X ^A). в которой к стандартной мо-
модели добавляются только дополнительные нейтральные токи.
Если допустить, что киральные суперполя образуют полные
мультиплеты по Е6, то получается sin2 8м? = 0,206, что хорошо
согласуется с экспериментом, а также \g(MG[JT/Mw) = 15,8.
Последнее значение для Маит является вполне разумным, хотя
этот вопрос требует некоторых пояснений.
В четырехмерных моделях великого объединения любое зна-
значение Маит, лежащее между приблизительно 1015 ГэВ и массой
Планка, можно считать приемлемым. Но в константе теории
Калуцы — Клейна все совершенно по-другому. Например, соот-
соотношение g2 ~ х2/а', которое имеет место в теории гетеротиче-
ских струн, означает, что струнный масштаб (а')~1/2 не может
быть много ниже массы Планка (поскольку калибровочные
константы в природе порядка единицы). Если допустить (как
мы поступали в этой главе), что компактификация и наруше-
нарушение симметрии великого объединения — это одно и то же, то
в области выше Mgut, но ниже струнного масштаба мы имеем
дело с десятимерной теорией поля. Так как последняя является
неперенормируемой, то эффективные константы связи будут
быстро расти при переходе к высоким энергиям. Замечая, что
аоит ~ 1 и требуя, чтобы струнная константа связи на струн-
струнном масштабе не была намного больше единицы (это требова-
требование не является строго логическим, но, мы надеемся, что оно
справедливо), заключаем, что MGut не может быть много
меньше, чем МПланк- Полученное выше значение Маит, веро-
вероятно, лежит вблизи нижнего предела тех значений, которые мы
хотели бы рассматривать. Это означает, что калибровочные бо-
бозоны вряд ли вызовут распад протона с наблюдаемой ско-
скоростью, хотя можно только догадываться, с какой скоростью
будет осуществляться распад протона за счет триплетных по
цвету партнеров кварков.
Выше мы предполагали, что Дг = А3 = 0. Чтобы объяснить
массы кварков и лептонов, не вызывая распада протона, можно
ввести дополнительные хиггсовы дублеты в неполных мульти-
плетах. В суперсимметричных моделях потребовалось бы два
хиггсовых дублета: один — для массы «-кварка, и один — для
массы d-кварка. В ?6-модели хиггсовы дублеты, которые долж-
должны взаимодействовать с кварками и лептонами, вполне могут
преобразовываться по представлению 27 группы Е6. Фермион-
ные партнеры таких хиггсовых бозонов имеют треугольные ано-
аномалии, которые можно сократить с помощью включения других
хиггсовых дублетов, возникающих из мультиплета 27. На самом
деле описанный в разд. 16.4.3 механизм получения безмассовых
хиггсовых дублетов со сверхтяжелыми триплетными по цвету

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 601
партнерами позволяет избежать аномалий именно таким спо-
способом. К сожалению, предсказания для Mgut и для sin28«7 зна-
значительно ухудшаются вследствие включения хиггсовых бозонов
в неполных ?б-мультиплетах. Например, если включить два
хиггсовых дублета, происходящих из некоторого мультиплета
27 группы Е6, и еще два из мультиплета 27, то мы получим
\g(MGUT/Mw)=12,9 и sin2 9^ = 0,25.
До сих пор мы рассматривали модели, в которых к низ-
низкоэнергетической группе 5f)C)X SUB)l X ^A) добавляются
только нейтральные токи. Имеется несколько других инте-
интересных примеров. Одним из наиболее интересных примеров
является лево — право-симметричное расширение стандартной
низкоэнергетической модели до группы 5?/C)Х SUB)l X
X SUB) R X U(l) X ^A)- На самом деле мы с необходи-
необходимостью получаем этот вариант, если примем описанный
в разд. 16.4.3 механизм получения безмассовых хиггсовых дуб-
дублетов без партнеров, триплетных по цвету, и если мы хотим по-
получить безмассовые хиггсовы дублеты, способные взаимодейст-
взаимодействовать как с «-кварками, так и с d-кварками. К сожалению,
лево — право-симметричное расширение стандартной модели по
ренормгруппе дает неприемлемые предсказания. В отсутствие
одиночных хиггсовых бозонов получаем sin2 Qw = 0,27 и
\g(MaUT/Mw) = 23,7. Одиночные хиггсовы бозоны уменьшают
Маит, но, к сожалению, при этом sin28r возрастает.
Другая возможность состоит в том, чтобы использовать бо-
более общие вакуумные состояния, описанные в предыдущем раз-
разделе, чтобы нарушить Е6 до SO A0). При этом одна из привле-
привлекательных черт связана с тем, что в ^-поколении
27 ~ 1601001 A6.9.4)
компоненты 10 Ф 1 экспериментально не наблюдаются, так что
в Яб-моделях в любом случае надо предположить, что такие
частицы получают большие массы, чем другие, возможно мас-
масштаба ТэВ. Использование плоских направлений для наруше-
нарушения Е6 до 5ОA0) может привести к этому автоматически.
Если Е6 нарушается до 5ОA0) с помощью плоских направ-
направлений, то исчезает вклад компонент 10 Ф 1 в ренормгрупповые
вычисления. Если отбросить этот вклад, то изменение величин
A6.9.3) соответствует замене F-+2F/3. В результате приемле-
приемлемым становится значение F = 4, а возможно, даже F = 5. В од-
нопетлевом приближении предсказания для sin2 Qw и Маит не
изменяются и поэтому по-прежнему приемлемы.
Другая заманчивая черта 50 A0)-моделей состоит в том,
что если все заряженные киральные суперполя преобразуют-
преобразуются как 16 для SO A0), то перенормируемые взаимодействия,

602 Глава 16
нарушающие барионное число, отсутствуют, поскольку суперпо-
суперполевая связь 163 запрещена по 50A0). (Могут еще быть нару-
нарушающие барионное число члены размерности пять, происходящие
из суперполевых связей 164; они могут вызывать затруднения в
зависимости от таких вопросов, как значение Mgut.) Но в этом
случае не ясно, откуда могут появиться массы кварков и лепто-
нов. Если мы хотим получить массы кварков и лептонов обыч-
обычным способом из кубических связей для суперполей, то необхо-
необходимо иметь хиггсовы бозоны, происходящие из мультиплета 10
для 50A0). Если они не сопровождаются легкими партнерами,
триплетными по цвету (которые могут вызывать распад прото-
протона), то они портят ренормгрупповые предсказания точно так
же, как в ?6-моделях. Одна возможность состоит в том, что
имеются непарные хиггсовы бозоны, происходящие из мульти-
мультиплета 10 для 50A0) (непарные в том смысле, что их 50A0)-
партнеры сверхтяжелые), но ренормгрупповые предсказания
сохраняются благодаря тому, что хиггсовы вклады уравнове-
уравновешиваются вкладами дополнительных непарных цветных трипле-
триплетов, происходящих из мультиплетов в представлениях 16 и
16 группы 5ОA0). Осуществление этой потенциально привле-
привлекательной возможности было бы впечатляющим проявлением
чудесной силы алгебраической геометрии и когомологий Доль-
бо (или теории струн). Другое недавнее предложение, пока еще
мало изученное, состоит в том, что массы кварков и лептонов
могут возникать не из членов в суперпотенциале, а из взаимо-
взаимодействий, мягко нарушающих суперсимметрию.
16.10. Орбифолды и алгебраическая геометрия
Простейшей моделью компактификации из десяти измерений
в четыре является компактификация на плоском шестимерном
торе Т. Такая схема компактификации, обсуждавшаяся в гл. 6
и 9, с точки зрения низкоэнергетической феноменологии далека
от реальности. Шестимерный вещественный тор, фигурировав-
фигурировавший в наших предшествующих рассмотрениях, с точки зрения
настоящего обсуждения естественно рассматривать как трех-
трехмерный комплексный тор
Г~С3/Г, A6.10.1)
где Г — решетка в трехмерном комплексном пространстве С3.
С такой точки зрения Т — комплексное многообразие комплекс-
комплексной размерности три с нулевым первым классом Черна. Оно
допускает плоскую метрику, группа голономии которой являет-
является подгруппой группы SUC), на самом деле тривиальной.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 603
В разд. 9.5.2 мы изучали распространение струн на орби-
фолдах как обобщение случая распространения на торе. На
этом пути нам удалось получить модель компактификации, ко-
которая являлась точно решаемой и почти такой же простой, как
компактификация на тор. В этом разделе наша цель состоит
в том, чтобы объяснить связь между орбифолдами и многооб-
многообразиями с 5{/C)-голономией и в то же время описать новый
метод построения многообразий с 5{7C)-голономией.
Как и в разд. 9.5.2, примем, что z— комплексная перемен-
переменная, а То — тор, получающийся отождествлением точек z fa
fa z + 1 fa z -f- e2*3 в комплексной z-плоскости. Этот конкрет-
конкретный тор Го допускает действие группы Fo fa Z3, порожденной
преобразованием
z -><zz, A6.10.2)
где a = e2in'3. Пусть z,-, i= 1,2,3 — три комплексные перемен-
переменные, a Ti — тор, получающийся с помощью отождествления
Zi fa Zi -\- \ fa Zt -\- е21л/3 в комплексной z'-плоскости. Тогда
комплексный тор Т = Т\ X Т2 X ^з допускает действие группы
F fa Z3, порожденной преобразованием
z,-*-oz,, / = 1, 2, 3. A6.10.3)
Как объяснялось в разд. 9.5.2, преобразование A6.10.3) имеет
27 неподвижных точек, и, следовательно, топологическое про-
пространство
X = T/F A6.10.4)
не является многообразием.
Теперь мы опишем, как модифицировать X, чтобы получить
комплексное многообразие с нулевым первым классом Черна.
Пусть Р — множество, состоящее из 27 неподвижных точек.
Если мы исключим эти точки из Т, то получим некоторое мно-
многообразие, которое обозначим Т — Р; оно является комплекс-
комплексным, но не компактным. Вследствие аддитивности эйлеровой
характеристики имеем
х(Р) = 0-27 = -27. A6.10.5)
Здесь мы используем тот факт, что эйлерова характеристика
точки равна единице, так что %(Р) =27. Группа F состоит из
трех элементов и действует свободно на Т — Р, поэтому
(Т — P)/F является многообразием, причем
X ((Г - P)/F) = (-27)/3 = -9. A6.10.6)
Поскольку группа F действует на Zk голоморфно, комплексная
структура многообразия Т — Р инвариантна относительно F и

604 Глава 16
(Т—P)IF является комплексным многообразием. Кроме того,
нигде не обращающаяся в нуль голоморфная 3-форма
со = dzi Л dz2 Л dz3 A6.10.7)
на Т — Р, очевидно, инвариантна относительно преобразования
A6.10.3), поэтому она имеет смысл и на многообразии
(Т — P)/F, которое, следовательно, имеет первый класс Черна,
равный нулю.
Разумеется многообразие (Т — P)/F не является компакт-
компактным: оно имеет 27 «дырок» там, где первоначально из Т были
удалены точки. Но эти дырки можно заполнить подходящими
многообразиями с Ci = 0. Необходимый объект представляет
собой трехмерное комплексное многообразие, которое мы обо-
обозначим через У. В терминологии примера 5 из разд. 15.6.3 У
представляет собой глобальное пространство расслоения
L(—3) над СР2. Многообразие У допускает метрику с SUC)-
голономией, которая (в отличие от большинства таких метрик)
может быть описана явно, хотя мы и не будем этого делать.
Эйлерова характеристика многообразия У есть 3. Вклеивая
в каждую из 27 «дырок» в (Т — P)/F по экземпляру многооб-
многообразия У, мы получаем компактное и несингулярное многообра-
многообразие Z, которое является комплексным многообразием с С\ = 0
(так как этими свойствами обладают (Т — P)/F и У). Из адди-
аддитивности эйлеровой характеристики следует, что
X (Z) = х ((Г - P)/F) + 27 • % (У) = - 9 + 27 X 3 = 72. A6.10.8)
Таким образом, если спиновая связность вложена в калибро-
калибровочную группу, компактификация на 1 дает модель с 36 поко-
поколениями киральных фермионов в четырех измерениях.
Отличные от нуля числа Ходжа пространства У есть h°- ° =
= /г'. 1 = h2>2 = 1 '). В частности, риччи-плоская кэлерова мет-
метрика на У зависит от одного вещественного параметра — его
«радиуса». Когда мы вклеиваем по экземпляру У в каждую
«дырку» в (Т — P)/F и, таким образом, строим компактное
многообразие Z, радиусы п, i= 1 27, всех 27 экземпляров
пространства У также являются свободными параметрами.
В пределе, когда п->-0, мы восстанавливаем «орбифолд» Z =
= T/F, который рассматривается в разд. 9.5.2. Как там указано,
хотя Z и не является гладким многообразием, распространение
струн на Z, по-видимому, хорошо определено. Правильное чис-
число поколений, а именно 36, возникает и в орбифолдных вычис-
') Они совпадают с числами Ходжа для СР2, так как многообразие У,
•являясь глобальным пространством линейного расслоения L{—3) над СР2,
стягивается на СР2.

Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 605
лениях при условии, что учитываются вклады «твистованных
секторов».
Таким образом, распространение струны на орбифолде Z
можно понимать как специальный предел rt->-0 в описании
распространения струны на гладком многообразии Z с SUC)-
голономией. Специалисты по теории поля могут счесть необхо-
необходимым провести разрешение особенностей пространства Z, за-
заменяя эти особенности экземплярами многообразия У, — про-
процедура,, известная в алгебраической геометрии под названием
«раздутия» особенностей. В теории поля явное разрешение осо-
особенностей происходит при вычислении значений +72 для эйле-
эйлеровой характеристики и +32 для числа поколений. На самом
.деле примечательно, что струнное вычисление автоматически
дает поправочный член +3 X 27 в выражении A6.10.8) (как
вклады твистованных секторов), даже если разрешение особен-
особенностей явно не проводится.
Во многих отношениях орбифолды являются самыми про-
простыми примерами многообразий с 5СC)-голономией; их глав-
главные соперники — полные пересечения гиперповерхностей в CPN.
Можно себе представить, что со временем будут обнаружены
физические принципы, которые выделяют этот особенно про-
простой случай, и даже если этого не произойдет, весьма интерес-
интересно иметь точно решаемый пример.
Ответ 36 для числа поколений не является очень привлека-
привлекательным. Но есть множество вариантов описанной выше конст-
конструкции, которые дают более разумные ответы. Тор Т и дискрет-
дискретную группу F можно заменить другими комплексными торами
и другими действиями дискретных групп и построить некото-
некоторое число аналогов орбифолда Z и соответствующего многооб-
многообразия с разрешенными особенностями Z. Несколько таких приме-
примеров дают четыре поколения, если спиновая связность вложена
в калибровочную группу, а при ослаблении предположения, что
спиновая связность вложена в калибровочную группу, возникает
много других возможностей. К сожалению, серьезное обсужде-
обсуждение этого вопроса увело бы нас слишком далеко.
16.11. Дальнейшие замечания
Физика элементарных частиц дарит нам много нерешенных
проблем. Если этими задачами заниматься в контексте компак-
тификации десятимерной теории струн, то большинство загадок
можно перевести в вопросы о компактном многообразии К. Для
•большей части мы можем составить словарь для перевода
вопросов о наблюдаемых физических явлениях в вопросы
о компактном многообразии К. Мы попытались дать читателю

606 Глава 16
представление о том, как мог бы выглядеть такой словарь, хотя
мы и опустили многие вопросы (например, обсуждение масс ней-
нейтрино). Несомненно, мы пока не имеем правильного понимания
многих вопросов в этом словаре. Но в нем имеется одна бро-
бросающаяся в глаза пустая страница или даже глава. Это отсут-
отсутствие понимания того, почему космологическая постоянная
равна нулю. По этому поводу нет пока никаких идей, которые
можно было бы принять безусловно. Весьма вероятно, что бу-
будущее развитие теории струн в большой степени будет зависеть
от успехов в понимании космологической постоянной или же от
отсутствия таковых. Вполне возможно, что, для того чтобы
сформулировать правильную модель нарушения суперсиммет-
суперсимметрии и объяснить большинство физических явлений при низких
энергиях, потребуется понять, почему космологическая постоян-
постоянная равна нулю после нарушения суперсимметрии. Мы можем
надеяться самое большее на то, что описание, данное в этой
главе, окажется некоторой идеализацией той картины, которая
может появиться на основе такого понимания 1).
Конечно, проблема космологической постоянной — лишь
одна из наиболее бросающихся в глаза таинственных загадок.
На самом деле хотя нам многое известно о теории струн, но
главная ее суть остается скрытой. Нам не известно, какие прин-
принципы объединяют все те неожиданные совпадения, которые де-
делают возможной теорию струн. Мы не знаем, почему распростра-
распространяющиеся струны, т. е. континуальные интегралы по мировым
поверхностям, являются правильной основой для обобщения не-
абелевых калибровочных теорий и общей теории относительно-
относительности. Ответы на подобные вопросы могут прийти с таких направ-
направлений, откуда их пока никто не ждет.
') Недавно наметился некоторый прогресс в понимании проблемы кос-
космологической постоянной, связанный с учетом нетривиальных топологических
конфигураций в квантовой гравитации, так называемых дочерних вселенных,
см. [5]; другой подход к этой проблеме использует дополнительные времени-
подобные измерения, см. [11]. — Прим. ред.

Библиография
Глава 8
Построение петлевых амплитуд началось сразу после полу-
получения М-частичных древесных диаграмм в дуально-резонансной
модели (до того как поняли значение критической размерности
и условия на массу основного состояния). Сначала появилась
•статья Киккавы, Сакиты и Вирасоро [337], за которой быстро
последовали операторные конструкции Бардакчи, Халперна и
Шапиро [45] и Амати, Боуча и Жерве [27], после которых по-
появилось много других работ. Анализ расходимостей планарной
однопетлевой амплитуды в терминах 9-функций впервые был
описан Неве и Шерком [200, 398], а анализ всех однопетлевых
диаграмм для открытых струн был проведен Гроссом, Неве,
Шерком и Шварцем [263]. Значение критической размерности
для получения унитарных непланарных амплитуд впервые было
показано Ловлейсом [360], который правильно предположил,
что в критической размерности должен присутствовать дополни-
дополнительный набор отщепленных состояний.
Бринк и Олайв [77] построили проекционный оператор на
физические состояния на массовой поверхности, который позво-
позволил им вычислить унитарные однопетлевые амплитуды в кри-
критической размерности [78]. Их результаты теперь можно полу-
получить более простым способом путем включения духовых мод, и
именно этот способ мы использовали для вычислений в
разд. 8.1.1.
Систематическая факторизация непланарных диаграмм в
терминах состояний замкнутой струны проведена в работах
[112] и [106]. Шапиро [465] и Адемолло и др. [4] дали интер-
интерпретацию расходимостей планарных петлевых диаграмм для
открытых струн в терминах испускания в вакуум тахионного и
безмассового дилатонного состояний и устранили эти расходи-
расходимости путем перенормировки натяжения струны. Однопетле-
вая амплитуда для замкнутых струн вычислена Шапиро [464],
который также прояснил значение модулярной инвариант-
инвариантности.

608 Библиография
Ром рассмотрел космологическую постоянную, возникающую
на однопетлевом уровне [429]. Она обсуждается также в статье
[416]. Диаграммы в виде диска и проективной плоскости с
внешними состояниями замкнутой струны рассмотрены Грином
и Шварцем [250].
Глава 9
До оценки значения пространственно-временной суперсим-
суперсимметрии было проделано лишь несколько вычислений петлевых
амплитуд в RNS-модели; сначала появилась статья Годдарда и
Вальца [225], а затем еще несколько статей [79, 106, 234, 506].
Используя формализм калибровки светового конуса с про-
пространственно-временной суперсимметрией (описанный в гл. 5),
Грин и Шварц вычислили четырехчастичные однопетлевые
амплитуды для открытых суперструн в теориях типа I [240],
как описано в разд. 9.1, и петлевые амплитуды для замкнутых
струн в теориях типа II [242], как описано в разд. 9.1.2. Они
проанализировали и интепретировали расходимости петлевых
амплитуд для открытых струн и показали конечность петлевых
амплитуд для замкнутых струн.
Креммер и Шерк рассмотрели компактификацию теории сво-
свободных замкнутых бозонных струн на тор [115], и вычислили
непланарную петлю для откр-ытых струн в компактифицирован-
компактифицированной теории, продемонстрировав существование связанных со-
состояний с ненулевой степенью отображения. Тороидальная ком-
пактификация суперструнных теорий, описанная в разд. 9.2.2,
рассмотрена Грином, Шварцем и Бринком [241], которые рас-
рассмотрели также предел, в котором компактифицированные из-
измерения имеют радиусы, исчезающие вместе с обратным на-
натяжением струны, что приводит к вычислению однопетлевых
амплитуд в пространстве-времени с размерностью Z> ^ 10 для
N = 4-теории Янга — Миллса и N = 8-супергравитации; соответ-
соответствующие результаты приведены в разд. 9.2.3.
Влияние граничных условий с твистами на нарушение су-
суперсимметрии рассмотрено в цитированной выше статье Рома
[429], где рассмотрено также влияние нарушения суперсиммет-
суперсимметрии на космологическую константу.
Гросс, Харви, Мартинец, Ром [269] и Яхикодзава [526]
вычислили однопетлевые амплитуды для гетеротической струны
и продемонстрировали их модулярную инвариантность и ко-
конечность. Даже в модулярно инвариантной десятимерной теории
модулярная инвариантность может нарушаться при компакти-
фикации, как показал Виттен [521]. В этой статье сформули-
сформулирован критерий, при котором модулярная инвариантность со-

Библиография 609
храняется цри компактификации, а также показано, что раз-
различные модели замкнутых суперструн модулярно инвариантны
во всех порядках теории возмущений.
Диксон, Харви, Вафа и Виттен ввели понятие орбифолда
[145]. Модулярно инвариантные десятимерные струнные теории
без пространственно-временной суперсимметрии построены в
статьях [26, 146, 454]; модель без тахиона, описанная в
разд. 9.5.3, построена в статьях Диксона, Харви [146] и Алва-
рец-Гауме, Гинспарга, Мура, Вафы [26].
Глава 10
Здесь мы упомянем лишь небольшую подборку из обширной
литературы по аномалиям в теориях точечных частиц. Вопрос
об аномалиях в полевой теории был поднят в статьях Стейн-
берга [468] и Швингера [452]. Изучение аномальной треуголь-
треугольной диаграммы с одним аксиальным током и двумя векторными
токами было начато в пионерских работах Адлера [5], Белла,
Джакива [61] и Бардина [49], что привело к анализу аномалий
в законах сохранения калибровочных токов [70, 211, 265].
Работы по аномалиям в теории Янга — Миллса и гравитации
в высших размерностях, которые имеют непосредственное от-
отношение к гл. 13, упоминаются в тексте самой главы.
Возможность существования шестиугольных аномалий в
теории суперструн типа I обсуждалась в статье [512], где вы-
высказано предположение, что аномалии возникают во всех тео-
теориях типа I. В той же статье, в которой впервые исследовались
гравитационные аномалии, Алварец-Гауме и Виттен [21] обна-
обнаружили сокращение аномалий в (десятимерной) супергравита-
супергравитации типа ПВ. Эта работа, а также комментарии Фридана и Шен-
кера, стимулировали исследование аномалий в суперструнных
теориях. Анализ аномалий шестиугольной диаграммы в теории
суперструн типа I, описанный в разд. 10.2, проведен Грином и
Шварцем [252]. Грин и Шварц [249] дали также интерпрета-
интерпретацию результатов в терминах эффективной низкоэнергетической
теории (что описано в гл. 13). Этот анализ указывает на воз-
возможность сокращения аномалий в Es X^s-суперструнной тео-
теории, которая в свою очередь привела к открытию гетеротиче-
ской струны Гроссом, Харви, Мартинецем и Ромом [267]. От-
Отсутствие аномалий в модулярных преобразованиях для гетеро-
тической струны {268, 269] тесно связано с отсутствием калиб-
калибровочных и гравитационных аномалий.
Глава 11
Идея использования методов функционального интегрирова-
интегрирования для изучения теории струн возникла сразу после появления

610 Библиография
теории струн [300,215]. Этот подход оказался полезным для
построения древесных, однопетлевых и многопетлевых диа-
диаграмм открытых бозонных струн [11, 12, 320,. 323—325, 360].
Результирующее выражение для амплитуд соответствует ана-
аналоговой модели Фарли и Нилсена [171]. Хотя эти работы в
большей своей части правильные, они являются неполными, так;
как не учитывают духовые моды Фаддеева — Попова. Только-
после статей Полякова [417, 418] стало ясно, каким образом
использовать ковариантные функциональные методы интегри-
интегрирования по мировым поверхностям струны, чтобы правильно-
учесть локальные симметрии. Сейчас это направление превра-
превратилось в самостоятельную ветвь исследований, которая для со-
соответствующего ей изложения требует отдельной монографии..
Параллельно развивался функциональный метод вычислений
в калибровке светового конуса. Этот метод основывается на
описании свободных струн, которое дано Годдардом, Голдстоу-
ном, Ребби и Торном [226] (и которое приведено в гл. 2), и
был использован Манделстамом для описания взаимодействую-
взаимодействующих бозонных струн [368]. Он разработал методы вычислений
древесных диаграмм в теории бозонных струн [365—368], опи-
описанные в разд. 11.3, с помощью которых можно получить вер-
вершину взаимодействия трех произвольных состояний открытой
струны, введенную Адемолло и др. [2]. Манделстам также при-
применил эту технику к RNS-струнам [367]. Метод решеточного-
обрезания теории предложен Гайлсом и Торном [219, 476].
Торн также отметил то обстоятельство, что расходимости со-
сокращаются между внешними волновыми функциями и верши-
вершинами [476].
В калибровке светового конуса лоренц-инвариантность не
является явной, и Манделстам доказал ее для открытых бо-
бозонных струн в критической размерности ?)=26 [369]. Функцио-
Функциональные методы в калибровке светового конуса использовались,
также в однопетлевых вычислениях [31, 32, 368].
Вычисление множителей в мере, возникающих от функцио-
функционального детерминанта и якобиана конформного отображения
струнной диаграммы в верхнюю полуплоскость, проведено Ман-
Манделстамом [370] для древесных, однопетлевых и многопетлевых
диаграмм открытых и замкнутых бозонных струн. Вычисление-
функциональных детерминантов основано на методе Маккина
и Зингера [383] и Алвареца [14] (см. также [155]).
Функциональный метод в калибровке светового конуса мож-
можно использовать для определения амплитуд вне массовой по-
поверхности. Амплитуды для «точечных» состояний вне массовой
поверхности изучались Грином [235, 237—239]. Они тесно свя-
связаны с амплитудами для токов вне массовой поверхности, кото-

Библиография 611
рые изучались Шварцем [445—447], Корриганом, Фарли [111}
для открытых струн и Грином, Шапиро [236] для замкнутых
струн.
Каку и Киккава [326, 327] и Креммер и Шерк [113, 114}
использовали бозонную трехструнную вершину в качестве осно-
основы для построения полевой теории взаимодействующих струн
в калибровке светового конуса. Этот вопрос также обсуждался
в работе [293]. Грин и Шварц обобщили конструкцию на ку-
кубические взаимодействия открытых суперструн [243], а вместе с
Бринком— на замкнутые суперструны типа ИВ [244]. Единое
описание в калибровке светового конуса, использующее
SUD) X ?/A)-формализм построено Грином и Шварцам [248].
Четырехчастичные суперструнные амплитуды вычислены в ра-
работе [248], а М-частичные амплитуды построены Манделстамом
[371].
Глава 12
Связь спиноров с гравитационным полем описана в учебни-
учебниках по общей теории относительности (см., например, [483}
с. 365—374). Относительно простое объяснение того обстоятель-
обстоятельства, что спинорную структуру нельзя определить на произ-
произвольном римановом многообразии, можно найти в работе [282].
Интерпретация этого через глобальные аномалии в квантово-
механическом интеграле по траекториям дана в работах [194,
521]. Часть элементарных свойств спинорных структур на ми-
мировой поверхности более подробно обсуждается в работе [454].
Статьи [14, 15] являются отличными источниками сведений по
двумерной геометрии мировых поверхностей.
Изложение для физиков некоторых понятий данной главы
можно найти в работах [159,394]. Очень естественным обобще-
обобщением обсуждаемых идей являются когомологии с целыми коэф-
коэффициентами, относительно простое изложение которых содер-
содержится в работах [69, 253]. Более детально характеристические
классы и расслоения описаны в работах [306, 385]. Некоторые
применения когомологии и характеристических классов с це-
целыми коэффициентами к теории струн содержатся в работах
[490, 521, 522]. Многие упомянутые здесь работы имеют отно-
отношение также к гл. 14—16.
Глава 13
N = 1, D = 4-супергравитация впервые была построена в ра-
работах [127, 188], а JV = 1, D = 11-супергравитация была предло-
предложена Намом [392] и построена Креммером, Жулиа и Шерком

612 Библиография
[118]. Теория, объединяющая N = 1, D = 10-суперсимметрич-
ную теорию Янга — Миллса [80, 223] и N = 1, D = 10-супер-
гравитацию, в абелевом случае построена в работах [62, 95],
а в неабелевом случае — в работах [96, 99]; N = 4, D = 8-тео-
рия супергравитации приведена в работе [119]. Обзор теорий
супергравитации можно найти в работах [202, 481, 493].
В статье Нама [392] высказано также предположение о су-
существовании двух N = 2, D = 10-супергравитаций и теорий су-
суперструн (теперь эти теории известны как теории типа ПА и
ИВ). Супергравигация типа IIB впервые подробно рассмотре-
рассмотрена в работе [245], а дальнейшее развитие получила в статьях
[298, 449, 450]. Обсуждение в разд. 13.1.2 основано на работе
[450]. Возможные феноменологические следствия суперграви-
супергравитации типа ИВ обсуждаются в работе [272].
Ранняя история аномалий обрисована при обсуждении лите-
литературы для гл. 10. Важное недавнее развитие включает изучение
калибровочных аномалий в высших размерностях [181 —184,
258, 466], а также введение в гравитационные и смешанные ано-
аномалии [21]. Литература по этому вопросу обширна. Из недавних
статей упомянем [15, 24, 25, 50, 59].
Сокращение аномалий в супергравитации типа ИВ, а также
несокращение аномалий в супергравитации типа I впервые было
продемонстрировано в работе [21]. В статье [249] в терминах
эффективной полевой теории показано, что струнные эффекты
могут приводить к сокращению аномалий в N=\-теориях с
калибровочными группами 50C2) или Е8ХЕ8. Механизм со-
сокращения аномалий после компактификации части измерений
обсуждается в работах [251,514]. В тексте мы не могли обсу-
обсудить подробно глобальные аномалии. Детальное изложение
этого вопроса можно найти в работе [521]. Механизм сокраще-
сокращения аномалий для теории с калибровочной группой SO A6)X
XSOA6) приведен в работах [26, 146].
Глава 14
Ссылки на раннюю историю теорий типа Калуцы — Клейна
и их приложений к теории струн приведены в библиографии к
гл. 1 и обзорной статье [435]. Хорошая подборка старых и но-
новых статей по теориям типа Калуцы — Клейна содержится в
книге [28].
Четырехмерные объединенные теории являются важной от-
отправной точкой для построения единых теорий в 4 -J- п измере-
измерениях. Статья [411] представляет собой раннюю попытку объеди-
объединения кварков и лептонов. Великое объединение в смысле объ-
объединения всех известных калибровочных взаимодействий в рам-

Библиография 613
ках единой калибровочной группы было начато с SU E) -модели
[212], за которой последовали модели с калибровочными груп-
группами 50A0) [199, 213] и ?6 [1, 273—275]. Большинство из
этих статей, а также многие другие перепечатаны в сборнике
[533].
Связь безмассовых четырехмерных частиц с нулевыми мо-
модами волновых операторов в 4 + п измерениях предложена в
статье [507]. В этой статье высказана также гипотеза о том,
что квантовые числа (и заряды) безмассовых фермионов могут
быть получены из топологических инвариантов компактного
многообразия. В дальнейшем последний вопрос обсуждался в
статьях [98, 100, 348, 409, 425, 485, 498, 519]. Проблема фер-
мионных квантовых чисел была явно сформулирована как
проблема индекса в работах [498,519]. Невозможность полу-
получения киральных фермионов из теорий в 4 + я измерениях без
элементарных калибровочных полей для нечетных п была до-
доказана в работе [507], для п, кратных четырем, — в работе [498]
и для п вида 4й + 2 — в работе [519]. Обсуждение последнего
случая основывается на теореме, первоначально доказанной в
работе [38]. Теории с элементарными калибровочными поля-
полями в 4 + м измерениях рассматривались в работах [98, 100,
348, 409, 425, 485, 498, 519]. Вложение спиновой связности в ка-
калибровочную группу и сопоставление числа фермионов эйлеро-
эйлеровой характеристике было предложено в работе [519] и при-
применялось в теории струн (в более специализированном кон-
контексте, о котором сказано в гл. 15 и 16) в работе [86]. Бли-
Ближайшим предшественником этой идеи в четырехмерных теориях
является «ортогональное объединение по семействам» [208,
504] или его ?8-аналог [55].
Идеи решения проблемы нарушения СР-четности с помощью
аксионов были развиты в статьях [135, 341, 414, 484, 503]. Ма-
Материал раздела 14.3.2, касающийся аксионов (и дополнительные
вопросы, которые не рассматривались) содержится в работах
[142, 489, 514].
Ссылки на дифференциальную геометрию на мировой по-
поверхности струны приведены в библиографии к гл. 12.
Существует связь между теоремами об индексе и супер-
суперсимметричной квантовой механикой, которая была показана в
работах [510,511]. В работах [22, 194] эта связь была исполь-
использована для доказательства теоремы Атьи — Зингера об индексе
с помощью интеграла по траекториям. Ориентированное на фи-
физиков доказательство обобщения теоремы об индексе на случай,
когда областью значений индекса являются характеры группы
симметрии, приведено в работе [519] для непрерывных симмет-
симметрии и в работе [229] в общем случае.

614 Библиография
Вопрос о том, действительно ли «константы» в природе не
зависят от времени, важен для теории струн, так как если бы
масса дилатонного поля в природе строго равнялась нулю, то
«константы» менялись бы во времени. Аргументы в подтвержде-
подтверждение этого кратко приведены в конце разд. 14.5, а более подроб-
подробно—в книге [483], с 622—631. (Там обсуждается скалярное
поле Бранса—Дикке, которое сильно напоминает дилатонное
поле.) То обстоятельство, что изменение констант в природе не
замечено, является основной причиной, свидетельствующей о
том, что дилатон не является строго безмассовым. Изменение
гравитационной константы со временем впервые предложено в
работах [143, 144] как подход к тому, что теперь называется
проблемой иерархии. Прямое экспериментальное доказательство
того, что гравитационная константа меняется со временем бо-
более медленно, чем предполагал Дирак, было проведено совсем
недавно [287]. Ограничения на изменение во времени других
констант гораздо строже; имеется хороший обзор на эту тему
[158]. Безмассовый или очень легкий дилатон мог бы также
проявиться в лабораторных проверках теории гравитации. К это-
этому относятся два типа экспериментов. Если дилатон не является
строго безмассовым, то должны наблюдаться видимые откло-
отклонения от закона 1/г2 убывания силы гравитационного взаимо-
взаимодействия. Экспериментальная ситуация в этом вопросе довольно
сложна; см. обзор [221]. Если дилатон является в точности без-
безмассовым, он все равно может проявляться при проверках прин-
принципа эквивалентности на лабораторных расстояниях [290, 351].
Глава 15
Отличным коротким введением в комплексные многообра-
многообразия является [101]. Более детальное изложение содержится в
книге [488] на относительно элементарном уровне, а на более
углубленном и исчерпывающем уровне — в книге [257]. Геомет-
Геометрия комплексных многообразий является одним из аспектов
алгебраической геометрии, которую можно строить над более
общими полями; соответствующее обобщение представляет ин-
интерес для теории чисел и может оказаться важным в теории
струн. Изложение более абстрактной точки зрения на алгебраи-
алгебраическую геометрию (в возрастающей степени трудности) содер-
содержится в работах [334, 460, 280]. Начальные сведения о ком-
комплексных многообразиях для физиков содержатся в работах
[17,294]. Во многих последних статьях голоморфная геометрия
находит широкое применение при описании мировых поверх-
поверхностей [26, 60, 68, 91, 196, 374]. Среди многих работ по рима-
новым поверхностям упомянем [63, 178, 391].

Библиография 615
Связь между ненарушенной суперсимметрией и ковариантно
постоянными спинорными полями отмечена в работе [507]. При-
Применение десятимерных теорий, приводящих к многообразиям с
SUC) -группой голономии, развивалось в работе [86] и после-
последующих статьях, которые можно найти в библиографии к
гл. 16. Гипотеза Калаби содержится в работе [83], а доказа-
доказательство Яу — в работе [530]. Обобщение Дональдсона — Улен-
бек — Яу гипотезы Калаби на случай теории Янга — Миллса
•содержится в статьях [149, 479].
Примеры комплексных многообразий и голоморфных век-
векторных расслоений, приведенные в тексте книги, являются стан-
стандартными, за исключением векторных расслоений над гиперпо-
гиперповерхностями в CPN, которые описаны в примере 6 из разд. 15.6.3.
Эти расслоения были построены как продолжение (не опубли-
опубликованное) статьи [523]; в разд. 16.7 они используются для по-
построения 50 A0)-моделей.
Глава 16
Компактификация на многообразия с 5^/C)-группой голо-
жшии впервые изучалась в работе [86], где было получено
большинство из наших утверждений о спектре безмассовых час-
частиц. Мы описали только простейшие примеры многообразий с
SUC)-группой голономии; дальнейшие примеры можно найти
в работах [469,531]. Применения нарушения симметрии с по-
помощью петель Вильсона к низкоэнергетическим константам
¦связи и к проблеме тонкой настройки изучались в работах [75,
455, 518]. Этому предшествовала статья [297], в которой ис-
использовалась петля Вильсона с непрерывной областью возмож-
возможных значений. Нарушение симметрии с помощью петель Виль-
Вильсона для допустимых значений электрического и магнитного за-
зарядов исследовалось в работе [490]. Наше обсуждение гло-
глобальных симметрии в компактифицированных моделях во мно-
многом следует работе [518]. Ренормгрупповое вычисление в
разд. 16.9 приведено в работе [137]. Дополнительные феномено-
феноменологические вопросы обсуждались в работах [93, 126, 137, 140,
162, 333, 396, 415], а также во многих недавних статьях.
Топологическая формула для суперпотенциала (в пределе
полевой теории) была введена в работе [469]. Эта формула
успешно применялась как для положительных эйлеровых ха-
характеристик [470], так и для отрицательных [88]. Выражения
для D-членов в пределе полевой теории содержатся также в
статье [470]. Теорема о неперенормируемости суперпотенциала,
говорящая о том, что формула, полученная в пределе полевой
теории, не имеет поправок в конечном порядке по ос', была

616 Библиография
доказана в работе [253]. Было показано, что вне рамок теории
возмущений при определенных условиях эта топологическая
формула не справедлива [142]. Последний результат в тексте
не объяснялся, хотя некоторые подготовительные сведения мож-
можно найти в разд. 14.3.2. В статье [381] приведен аргумент в
пользу того, что суперпотенциал не имеет поправок в конечных
порядках по Ь.
В разд. 16.6.3 и 16.7.8 изложен макроскопический подход к
предсказанию существования вакуумных решений [142, 523].
Хотя мы не обсуждали это в тексте, но к этому вопросу возмо-
возможен микроскопический подход с точки зрения вычислений для
ст-модели такого типа, которая описана в разд. 3.4 (в бозонной
теории); а-модели, возникающие при компактификации супер-
суперсимметричных струнных теорий на многообразия с Sf/C)-груп-
Sf/C)-группой голономии обсуждались в работах [84, 86, 87, 303, 457]-
В библиографии к гл. 3 приведены дополнительные ссылки, в.
которых обсуждается роль а-моделей в теории струн.
Ранние вычисления бета-функций в а-моделях, основанных
на риччи-плоских кэлеровых многообразиях [17—20] (при ин-
интерпретации в терминах теории струн, как это сделано в цити-
цитированных выше статьях), указывают на то, что эти многообра-
многообразия дадут решение уравнений струнной теории. Четырехпетлевые
вычисления в а-модели [259] дали ненулевую бета-функциюг
которая исследована в работах [190, 419] и для которой, в
частности, было показано, что результаты согласуются с ре-
результатами, которые можно извлечь из анализа струнных
амплитуд рассеяния, полученных в работе [270]. Было показа-
показано [395], что рассматриваемый контрчлен имеет интерпретацию
(в терминах переопределения вакуума), которую мы описали в
разд. 16.6.3 и 16.7.8 с макроскопической точки зрения [523].
Обобщенная схема нарушения симметрии, которая кратко опи-
описана в разд. 16.7.8, была проверена путем прямых вычислений
по теории возмущений [524]. Вычисления для орбифолдов
[148, 278], помимо того, что они представляют интерес по дру-
другим причинам, явились проверкой схемы нарушения симметрии
с совершенно другой точки зрения.
Ультрафиолетовая конечность сигма-моделей, основанных
на гиперкэлеровых многообразиях, также явилась предметом
интенсивного изучения [347, 389]. В статье [43] приведен аргу-
аргумент в пользу ультрафиолетовой конечности этих моделей вне
рамок теории возмущений.
Другие подходы к обобщениям вложения спиновой связност»
в калибровочную группу использованы в работах [58, 304, 471].
Детальное обсуждение предельной низкоэнергетической супер-
супергравитации, которая может возникнуть при компактификации

Библиография 617
струн, можно найти в статье [126]. Дополнительные ограниче-
ограничения по сравнению со стандартной моделью от легких калибро-
калибровочных бозонов, которые возникают в некоторых схемах ком-
пактификации, обсуждаются в работе [124]. Имеются общие
обзоры низкоэнергетической феноменологии [166, 310, 453]. Не-
Недавно в статье [256] сделана попытка построения детальной
реалистической модели.
Литература
1. Achiman Y. and Stech В. A978), Quark-lepton symmetry and mass scales
in an E6 unified gauge model, Phys. Lett. 77B, 389.
2. Ademollo M., Del Giudice E., Di Vecchia P. and Fubini S. A974), Coupl-
Couplings of three excited particles in the dual-resonance model, Nuovo Cim.
19A, 181.
3. Ademollo M., D'Adda A., D'Auria R., Napolitano E., Di Vecchia P., Glioz-
zi F. and Sciuto S. A974), Unified dual model for interacting open and
closed strings, Nucl. Phys. B77. 189.
4. Ademollo M., D'Adda A., D'Auria R., Gliozzi F., Napolitano E., Sciuto S.
and Di Vecchia P. A975), Soft dilatons and scale renormalization in dual
theories, Nucl. Phys. B94, 221.
5. Adler S. L. A969), Axial-vector vertex in spinor electrodynamics, Phys.
Rev. 177, 2426.
6. Adler S. L. and Bardeen W. A. A969), Absence of higher-order correc-
corrections in the anomalous axial-vector divergence equation, Phys. Rev. 182,
1517.
7. Affleck I., Dine M. and Seiberg V. A985), Dynamical supersymmetry
breaking in four dimensions and its phenomenological implications, Nucl.
Phys. B256, 557.
8. Aharonov Y. and Cosher A. A986), On the origin of the universe in the
context of string models, Phys. Lett. 166B, 289.
9. Ahn Y. /., Breit J. and Segre G. A985), The one-loop effective Lagran-
gian of the superstring, Phys. Lett. 162B, 303.
10. Ahn Y. J. and Breit J. D. A986), On one-loop effective Lagrangians and
compactified superstrings, Nucl. Phys. B273, 75.
11. Alessandrini V. A971), A general approach to dual multiloop diagrams,
Nuovo Cim. 2A, 321.
12. Alessandrini V. and Amati D. A971), Properties of dual multiloop ampli-
amplitudes, Nuovo Cim. 4A, 793.
13. Alessandrini V., Amati D. and Morel B. A972), The asymptotic behavior
of the dual Pomeron amplitude, Nuovo Cim. 7A, 797.
14. Alvarez 0. A983), Theory of strings with boundaries. Fluctuations, topo-
topology and quantum geometry, Nucl. Phys. B216, 125.
15. Alvarez 0., Singer 1. and Zumino B. A984), Gravitational anomalies and
the family's index theorem, Commun. Math. Phys. 96, 409.
16. Alvarez 0. A986), Differential geometry in string models, in Workshop
on Unified String Theories, 29 July—16 August, 1985, eds. M. Green and
D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 103.
17. Atvarez-Gaume L. and Freedman D. Z. A980) in Unification of the Fun-
Fundamental Particle Interactions, eds. S. Ferrara et. al. (Plenum Press).
18. Alvarez-Gaume L. and Freedman D. Z. A980), Kahler geometry and the
renormalization of supersymmetric sigma models, Phys. Rev. D22, 846.

618 Библиография
19. Alvarez-Gaume L. and Freedman D. 1. A981), Geometrical structure and
ultraviolet finiteness in the supersymmetric a-model, Commun. Math.
Phys. 80, 443.
20. Alvarez-Gaume, Mukhi S. and D. Z. Freedman. A981), The background
field method and the ultraviolet structure of the supersymmetric nonlinear
ff-model, Ann. Phys. (N. Y.) 134, 85.
21. Alvarez-Gaume L. and Witten E. A983), Gravitational anomalies, Nucl.
Phys. B234, 269.
22. Alvarez-Gaume L. A983), Supersymmetry and the Atiyah — Singer index
theorem, Commun. Math. Phys. 90, 161.
23. Alvarez-Gaume L. A983), A note on the Atiyah — Singer index theorem,
J. Phys. A16, 4177.
24. Alvarez-Gaume L. and Ginsparg P. A984), The topological meaning of
non-Abelian anomalies, Nucl. Phys. B243, 449.
25. Alvarez-Gaume L. and Ginsparg P. A985), Geometry anomalies, Nucl.
Phys. B262, 439.
26. Alvarez-Gaume L., Ginsparg P., Moore G. and Vafa С A986), An
0A6) X 0A6) heterotic strnig, Phys. Lett. 171B, 155.
27. Amati ?>., Bouchiat C. and Gervais J. I. A969), On the building of dual
diagrams from um'tarity, Nuovo Cim. Lett. 2, 399.
28. Appelquist Т., Chodos A. and Freund P. G. 0. A987), Modern Kaluza —
Klein Theory and Applications, (Benjamin — Cummings).
29. Ardalan F. and Arfaei H. A986), Critical dimensions from loops in a
string sigma model, Phys. Lett. 175B, 164.
30. Aref'eva I. Y. and Volovich I. V. A985), Spontaneous compactification
of 0C2) superstrings, Phys. Lett. 158B, 31.
31. Arfaei H. A975), Volume element for loop diagram in the string picture
of dual models, Nucl. Phys. B85, 535.
32. Arfaei H. A976), Theory of closed interacting strings, Nucl. Phys. В112,
256.
33. Atiyah M. F. and Singer I. M. A968), The index of elliptic operators:
I, Ann. of Math. 87, 484.
34. Atiyah M. F. and Segal G. B. A968), The index of elliptic operators: II,
Ann. of Math. 87, 531.
35. Atiyah M. F. and Singer I. M. A968), The index of elliptic operators: III,
Ann. of Math. 87, 546.
36. Atiyah M. F. and Singer I. M. A968), The index of elliptic operators: IV,
Ann. of Math. 93, 119.
37. Atiyah M. F. and Singer I. M. A968), The index of elliptic operators: V,
Ann. of Math. 93, 139.
38. Atiyah M. F. and Hirzebruch F. A970) in Essays in Topology and Related
Subjects, ed. A. Haefliger and R. Narasimhan (Springer-Verlag, New
York).
39. Bailin D. and Love A. A985), Compactifications of anomaly-free ten-di-
ten-dimensional supergravity, Phys. Lett. 157B, 375.
0. Bailin D. and Love A. A985), Cosmological instability in ten-dimensional
supergravity, Phys. Lett. 163B, 135.
41. Bailin D., Love A. and Wong D. A985), Supergravity limit of superstring
theory and Friedmann — Robertson — Walker cosmology, Phys. Lett. 165B,
270.
42. Bailin D., Love A. and Thomas S. A986), Dimensional reductions of
superstring theory. Nucl. Phys. B273, 537.
43. Banks T. and Seiberg N. A986), Nonperturbative infinities, Nucl. Phys.
B273, 157.
44. Barbieri R., Cremer E. and Ferrara S. A985), Flat and positive poten-
potentials in N = 1 supergravity, Phys. Lett. 163B, 143.

Библиография 619
45. Bardakfi K-, Halpern M. В. and Shapiro I. A. A969), Unitary closed loops
in Reggeized Feynman theory, Phys. Rev. 185, 1910.
46 Bardakfi К A974), Dual models and spontaneous symmetry breaking,
Nucl. Phys. B68, 331.
47. Bardakci K. A974), Dual models and spontaneous symmetry breaking II,
Nucl. Phys. B70, 397.
48 Bardakfi К A978), Spontaneous symmetry breakdown in the standard
dual string model, Nucl. Phys. B133, 297.
49. Bardeen W. A. A969), Anomalous Ward identities in spinor field theories,
Phys. Rev. 184, 1848.
50. Bardeen W. A. and Zumino B. A984), Consistent and covenant anomalies
in gauge and gravitational theories, Nucl. Phys. B244, 421.
51. Barger V'., Deshpande N. G. and Whisnant K. A986), Phenomenological
mass limits on extra Z of ?б superstrings, Phys. Rev. Lett. 56, 30.
52. Barger V., Deshpande N. G., Phillips R. J. N. and Whisnant K. A986),
Extra fermions in Ee superstrings theories, Phys. Rev. D33, 1912.
53. Barr S. M. A985), Harmless axions in superstring theories, Phys. Lett.
158B, 397.
54. Barr S. M. A985), Effects of extra light Z bosons in unified and super-
string models, Phys. Rev. Lett. 55, 2778'.
55. Bars I. and Giinaydin M. A980), Grand unification with the exceptional
group Es, Phys. Rev. Lett. 45, 859.
56. Bars I. A985) Compactification of superstrings and torsion, Phys. Rev.
D33, 383.
57. Bars I. and Visser M. A985), Number of massless fermion families in
superstring theory, Phys. Lett. 163B, 118.
58. Bars /., Nemeschansky D. and Yankielowicz S. A986), Torsion in super-
strings, in Workshop on Unified String Theories, 29 July — 16 August,
1985, eds. M. Green and D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 522.
59. Baulieu L. A986), Anomaly evanescence and the occurrence of mixed
Abelian-non-Abelian gauge symmetries, Phys. Lett. 167B, 56.
60. Belavin A. A. and Knizhnik V. G. A986), Algebraic geometry and the
geometry of quantum strings, Phys. Lett. 168B, 201.
61. Bell I. S. and Jackiw R. A969), A PCAC puzzle: я°->-уУ in the a-model,
Nuovo Cim. 60A, 47.
62. Bergshoeff E., De Roo M., de Wit B. and Van Nieuwenhuizen P. A982),
Ten-dimensional Maxwell — Einstein supergravity, its currents, and the
issue of its auxiliary fields, Nucl. Phys. В195, 97.
¦63. Bers L. A972), Uniformization, moduli and Kleinian groups. Bull. Lon-
London Math. Soc. 4, 257.
64. Binetruy P. and Gaillard M. K. A986), Radiative corrections in compacti-
fied superstring models, Phys. Lett. 168B, 347.
65. Binetruy P., Dawson 5., Hinchcliffe I. and Sher M. A985), Phenomeno-
logically viable models from superstrings, Nucl. Phys. B273, 501.
¦66. Bonora Z.., Pasti P. and Tonin M. A985), Cohomologies and anomalies
in supersymmetric theories, Nucl. Phys. B252, 458.
•67. Bonora L. and Cotta-Ramusino P. A986), Some remarks on anomaly
cancellation in field theories derived from superstrings, Phys. Lett. 169B,
68. Bost J. B. and Jolicoeur T. A986), A holomorphy property and critical
dimension in string theory from an index theorem, Phys Lett. 174B, 273
69. Bott R. and Tu L. A983), Differential Forms in Algebraic Topology
(Springer-Verlag). [Имеется перевод: Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциаль-
Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Наука, 1989.]
70. Bouchiat,C, Iliopoulos J. and Meyer P. A972), An anomaly-free version
of Weinberg's model. Phys. Lett. 38B, 519.

620 Библиография
71. Boulware D. G. and Deser S. A985), String-generated gravity models,
Phys. Rev. Lett. 55, 2656.
72. Bowick M. ]., Smolin L and Wijewardhana L. С R. A986), Role of
string excitations in the last stages of black-hole evaporation, Phys. Rev.
Lett. 56, 424.
73. Braden H. W., Frampton P. H., Kephart T. W. and Kshirsagar A. K.
A986), Limitations of heterotic-superstring phenomenology, Phys. Rev.
Lett. 56, 2688.
74. Brans C. and Dicke R. H. A961), Mach's principle and a relativistic
theory of gravity, Phys. Rev. 124, 925.
75. Brett J. D., Ovrut B. A. and Segre G. A985), Ee symmetry breaking in
the superstring theory, Phys. Lett. 158B, 33.
76. Breit J. D., Ovrut B. A. and Segre G. A985), The one-loop effective
Lagrangian of the superstring, Phys. Lett. 162B, 303.
77. Brink L, Olive D. and Scherk J. A973), The gauge properties of the
dual model Pomeron — Reggeon vertex: Their derivation and their conse-
consequences, Nucl. Phys. B61, 173.
78. Brink L. and Olive D. A973), Recalculation of the unitary single planar
dual loop in the critical dimension of space time, Nucl. Phys. B58, 237.
79. Brink L. and Fairlie D. B. A974), Pomeron singularities in the fermion
meson dual model, Nucl. Phys. B74, 321.
80. Brink L, Schwarz J. H. and Scherk J. A977), Supersymmetric Yang-Mills
theories, Nucl. Phys. B121, 77.
81. Burgess C, Font A. and Quevedo F. A986), Low-energy effective action
for the superstring, Nucl. Phys. B272, 661.
82. Burnett T. H., Gross D. J., Neveu A., Scherk J. and Schwarz I. H. A970),
Renormalized self-energy operator in the dual-resonance model, Phys.
Lett. 32B, 115.
83. Calabi E. A955), On Kabler manifolds with vanishing canonical class,
algebraic geometry and topology, in Algebraic Geometry and Topology:
A Symposium in Honor of S. Lefschetz (Princeton University Press),
p. 78.
84. Callan С G., Friedan D., Marlinec E. J. and Perry M. J. A985), Strings
in background fields, Nucl. Phys. B262, 593.
85. Campbell B. A., Ellis J., Enqvist K., Nanopoulos D. V., Hagelin f. S. and
Olive K. A. A986), Superstring dark matter, Phys. Lett. 173B, 270.
86. Candelas P., Horowitz G., Strominger A. and Witten E. A985), Vacuum
configurations for superstrings, Nucl. Phys. B258, 46.
87. Candelas P., Horowitz G., Strominger A. and Witten E. A985), Super-
string phenomenology, in Symp. on Anomalies, Geometry, Topology,.
March 28—30, 1985, eds. W. A. Bardeen and A. R. White (World Scienti-
Scientific, Singapore), p. 377.
88. Candelas P. A985), Lecture at the Jerusalem Winter School.
89. Castellani L. A986), Non-Abelian gauge fields from 10-»-4 compactifi-
cation of closed superstrings, Phys. Lett. 166B, 54.
90. Castellani L, D'Auria R., Gliozzi F. and Sciuto S. A986), On the com-
pactification of the closed supersymmetric string, Phys. Lett. 168B, 47.
91. Catenacci R., Cornalba M., Martellini M. and Reina С A986), Algebraic
geometry and path integrals for closed strings. Phys. Lett. 172B,
328.
92. Cecotti S., Derendinger J. P., Ferrara S., Girardetlo L. and Roncadelli M.
A985), Properties of ?6 breaking and superstring theory, Phys. Lett.
156B, 318.
93. Cecotti S., Ferrara S., Girardello L. and Porrati M. A985), Lorentz
Chern — Simons terms in N = 1 AD supergravity consistent with super-
symmetry and string compactification, Phys. Lett. 164B, 46.

Библиография 621
94. Cecotti S., Ferrara S., Girardello L., Pasquinacci A. and Porrati M.
A986), Matter couplings in higher derivative supergravity, Phys. Rev.
D33, 2504.
95. Chamseddine A. H. A981), N = 4 supergravity coupled to N = 4 matter
and hidden symmetries, Nucl. Phys. B185, 403.
96. Chamseddine A. H. A981), Interacting supergravity in ten dimensions:
The role of the six-index gauge field, Phys. Rev. D24, 3065.
97. Chang D. and Mohapatra R. N. A986), A superstring inspired low-energy
electro-weak model, Phys. Lett. 175B, 304.
98. Chapline G. F. and Slansky R. A982), Dimensional reduction and flavor
chirality, Nucl. Phys. B209, 461.
99. Chapline G. F. and Manton N. S. A983), Unification of Yang —Mills
theory and supergravity in ten dimensions, Phys. Lett. 120B, 105.
100 Chapline G F and Grossman B. A984), Dimension reduction and mass-
less chiral fermions, Phys. Lett. 135B, 109.
101. Chern S. S. A967). Complex Manifolds Without Potential Theory
(D. V. Nostrand Co., Princeton).
102. Cho Y. M. and Fre.und P. G. O. A975), Non-Abelian gauge fields as
Nambu — Goldstone fields, Phys. Rev. D12, 1711.
103. Choi K. and Kim J. E. A985), Harmful axions in superstring models,
Phys. Lett. 154B, 393.
104. Choi K. and Kim J. E. A985), Domain walls in superstring models, Phys.
Rev. Lett. 55, 2637.
105. Choi K. and Kim J. E. A985), Compactification and axions in ESXE&
superstring models, Phys. Lett. 165B, 71.
106. Clavelli L. and Shapiro J. A. A973), Pomeron factorization in general
dual models, Nucl. Phys. B57, 490.
107. Clavelli L. A986), Proof of one-loop finiteness of type-I SO C2) super-
string theory, Phys. Rev. D33, 1098.
108. Cohen ?., Ellis J., Gomez G. and Nanopoulos D. V. A985), Superstring
compactification and supersymmetry breaking, Phys. Lett. 160B, 62.
109. Cohen E., Ellis /., Enqvist K. and Nanopoulos D. V. A985), Scales in
superstring models, Phys. Lett. 161B, 85.
110. Cohen ?., Ellis #., Enqvist K. and Nanopoulos D. V. A985), Experimen-
Experimental predictions from the superstring, Phys. Lett. 165B, 76^
111. Corrigan E. F. and Fairlie D. B. A975). Off-shell states in dual reson-
resonance theory, Nucl. Phys. B91, 527.
112. Cremmer E. and Scherk J. A972), Factorization of the Pomeron sector
and currents in the dual resonance model, Nucl. Phys. B50, 222.
113. Cremmer E. and Gervais J. L. A974), Combining and splitting relativistic
strings, Nucl. Phys. B76, 209.
114. Cremmer E. and Gervais I. L. A975), Infinite component field theory of
interacting relativistic strings and dual theory, Nucl. Phys. B90, 410.
115. Cremmer E. and Scherk J. A976), Dual models in four dimensions with
internal symmetries, Nucl. Phys. B103, 399.
116. Cremmer E. and Scherk J. A976). Spontaneous compactification of space
in an Einstein —Yang —Mills—Higgs model, Nucl. Phys. B108, 409.
117. Cremmer E. and Scherk J. A977), Spontaneous compactification of extra
space dimensions, Nucl. Phys. B118, 61.
118. Cremmer E., Julia B. and Scherk J. A978), Supergravity theory in 11 di-
dimensions, Phys. Lett. 76B, 409.
119. Cremmer E. and Julia B. A979), The SO (8) supergravity, Nucl. Phys.
B159, 141.
120. Cremmer E., Scherk J. and Schwarz J. H. A979), Spontaneously broken
N = 8 supergravity, Phys. Lett. 84 B, 83.

622 Библиография
121. Cremmer Е., Julia В., Scherk J., Ferrara S., Girardello L. and Van Nieu-
wenhuizen P. A979), Spontaneous symmetry breaking and Higgs effect
in supergravity without cosmological constant, Nucl. Phys. В147, 105.
122. Daniel M. and Mavromatos N. E. A986), The heterotic string and super-
symmetric counterparts of the Lorentz Chern — Simons terms, Phys. Lett.
173B, 405.
123. del Aguila F., Blair C, Daniel M. and Ross G. G. A986), Superstring
inspired models, Nucl. Phys. B272, 413.
124. del Aguila F., Blair G., Daniel M. and Ross G. G. A987), Analysis of
neutral currents in superstring inspired models, Nucl. Phys. B283, 50.
125. Derendinger J. P., Ibanez L. E. and Nilles H. P. A985), On the low-
energy d = 4, N = 1 supergravity theory extracted from the d = 10,
N = 1 superstring, Phys. Lett. 155B, 65.
126. Derendinger J. P., Ibanez L. E. and Nilles H. P. A986), On the-
low-energy limit of superstring theories, Nucl. Phys. B267, 365.
127. Deser S. and Zumino B. A976), Consistent supergravity, Phys. Lett.
62B, 335.
128. de Wit and Freedman D. Z. A977), On SO (8) extended supergravity,
Nucl. Phys. B130, 105.
129. de Wit B. and Nicolai H. A982), N = 8 supergravity with local SO(8)X
XS<7(8) invariance, Phys. Lett. 108B, 285.
130. DeWitt B. S. A967), Quantum theory of gravity. I. The canonical theory,
Phys. Rev. 160, 1113.
131. D'Hoker E. and Phong D. H. A986), Length-twist parameters in string
path integrals, Phys. Rev. Lett. 56, 912.
132. D'Hoker E. and Phong D. H. A986), Multiloop amplitudes for the boso-
nic Polyakov string, Nucl. Phys. B269, 205.
133. Diamandis G. A., Ellis J., Lahanas A. B. and Nanopoulos D. V. A986),
Vanishing scalar masses in no-scale supergravity, Phys. Lett. 173B,
303.
134. Dimopoulos S. A981), Softly broken, supersymmetry and SU(b), Nucl.
Phys. B193, 150.
135. Dine M., Fischler W. and Srednicki M. A981), A simple solution to the-
strong CP problem with a harmless axion, Phys. Lett. 104B, 199.
136. Dine M., Rohm R., Seiberg N. and Witten E. A985), Gluino condensation
in superstring models, Phys. Lett. 156B, 55.
137. Dine M., Kaplunovsky V., Mangano M., Nappi C. R. and Seiberg N.
A985), Superstring model building, Nucl. Phys. B259, 549.
138. Dine M. and Seiberg N. A985), Couplings and scales in superstring mo-
models, Phys. Rev. Lett. 55, 366.
139. Dine M. and Seiberg N. A985), Is the superstring weakly coupled? Phys
Lett. 162B, 299.
140. Dine M. and Seiberg N. A985), Is the superstring semiclassical, in Work-
Workshop on Unified String Theories, 29 July— 16 August, 1985, eds. M. Green
and D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 678.
141. Dine M. and Seiberg N. A986), String theory and the strong CP pro-
problem, Nucl. Phys. B273, 109.
142. Dine M., Seiberg N., Wen X. G. and Witten E. A986), Nonperturbative
effects on the string world sheet, Nucl. Phys. B278, 769
143. Dirac P. A. M. A937), Nature 139. 323.
144. Dirac P. A. M. A938), A new basis for cosmology, Proc. Roy. Soc A
165, 199.
145. Dixon L., Harvey J., Vafa С and Witten E. A985), Strings on orbifolds,
Nucl. Phys. B261, 678.
146. Dixon L. and Harvey J. A986), String theories in ten dimensions without
spacetime supersymmetry, Nucl. Phys. B274, 93.

Библиография 623
147. Dixon L, Harvey L, Vafa С and Witten E. A986), Strings on orbi-
folds II, Nucl. Phys. B274, 285.
148 Dixon L Friedan D. Martinec E. and Shenker S. A987), The conformal
field theory of orbifolds, Nucl. Phys. B282, 13.
149. Donaldson S. A983), An application of gauge theory to four dimensional
topology, J. Diff. Geom. 18, 279.
150. Drees M., Falck N. K- and Gluck M. A986), The electroweak sector in
superstring models, Phys. Lett. 167B, 187.
151. Duff M. J., Nilsson B. E. W. and Pope С N. A985), Kaluza — Klein
approach to the heterotic string, Phys. Lett. 163B, 343.
152. Duff M. J., Nilsson B. E. W., Warner N. P. and Pope С N. A986),
Kaluza — Klein approach to the heterotic string II, Phys. Lett. 171B, 170.
153. Duff M. J., Nilsson B. E. W. and Pope С N. A986), Gauss —Bonnet
from Kaluza — Klein, Phys. Lett. 173B, 69.
154. Duff M. J. A986). Hidden string symmetries? Phys. Lett. 173B, 289.
155. Durhuus В., Nielsen H. В., Olesen P. and Petersen J. L. A982), Dual
models as saddle point approximations to Polyakov's quantized string,
Nucl. Phys. В196, 498.
156. Durhuus В., Olesen P. and Petersen J. L. A982), Polyakov's quantized
string with boundary terms, Nucl. Phys. 198, 157.
157. Durhuus В., Olesen P. and Petersen J. L. A982), Polyakov's quantized
string with boundary terms (II), Nucl. Phys. 201, 176.
158. Dyson E. J. A978), in Current Trends in the Theory of Fields,
ed J. E. Lannutti and P. K. Williams, AIP Conference Proceedings No. 48,
(Oxford University Press), p. 163.
159. Eguchi Т., Gilkey P. B. and Hanson A. J. A980), Gravitation, gauge
theories and differential geometry, Phys. Reports 66, 213.
160. Ellis J., Enqvist K-, Nanopoulos D. V. and Sarkar S. A986), Primordial
nucleosynthesis, additional neutrinos and neutral currents from the super-
string, Phys. Lett. 167B, 457.
161. Ellis J., Gomez С and Nanopoulos D. V. A986), Axions, dilatons and
Wess — Zumino terms in superstring theories, Phys. Lett. 168B, 215.
162. Ellis /., Gomez С and Nanopoulos D. V. A986), No-scale structure from
the superstring, Phys. Lett. 171B, 203.
163. Ellis J., Engvist K-, Nanopoulos D. V. and Zwirner F. A986), Obser-
vables in low-energy superstring models, Mod. Phys. Lett. Al, 57.
164. Ellis J., Gomez C, Nanopoulos D. V. and Quiros M. A986), World sheet
instanton effects on no-scale structure, Phys. Lett. 173B, 59.
165. Ellis J., Nanopoulos D. V. and Quiros M. A986), On the axion, dilaton,
Polonyi, gravitino and shadow matter problems in supergravity and su-
superstring models, Phys. Lett. 174B, 176.
166. Ellis J. A986), From the Higgs to superstring phenomenology, Proc. of
the Lake Louise Winter Institute, p. 225.
167. Ellis J., Nanopoulos D. V., Petcov S. T. and Zwirner F. A987), Gauginos
and Higgs particles in superstring models, Nucl. Phys. B283, 93.
168. Englert F. A982), Spontaneous compactification of eleven-dimensionaf
supergravity, Phys. Lett. 119B, 339.
169. Enqvist K-, Nanopoulos D. V. and Quiros M. A986). Cosmological diffi-
difficulties for intermediate scales in superstring models Phys Lett. 169B,
343.
170. Evans M. and Ovrut B. A. A986), Splitting the superstring vacuum de-
degeneracy, Phys. Lett. 174B, 63.
171. Fairlie D. B. and Nielsen H. B. A970), An analogue model for KSV
theory, Nucl. Phys. B20, 637.
.172. Fairlie D. B. and Martin D. A974), Green's function techniques and
dual fermion loops, Nuovo Cim. 21A, 647.

624 Библиография
173. Fayet P. and Iliopoulos J. A974), Spontaneously broken supergauge
symmetries and Goldstone spinors, Phys. Lett. 51B, 46.
174. Fayet P. A977), Spontaneously broken supersymmetric theories of weak,
electromagnetic and strong interactions, Phys. Lett. 69B, 489.
175. Fischler W. and Susskind L. A986), Dilaton tadpoles, string condensates
and scale invariance, Phys. Lett. 171B, 383.
176 Fischler W and Susskind L. A986), Dilaton tadpoles, string condensates
and scale invariance II. Phys. Lett. 173B, 262.
177. Foda O. and Helayel-Neto J. A. A986), A coset space compactification
of the field theory limit of a heterotic string, Class, Qauntum Grav. 3,
607.
178. Ford L. R. A951), Automorphic Functions (Chelsea, New York). [Имеется
перевод более раннего издания: Форд Л. Р. Автоморфные функции. —
М. —Л.: ОНТИ, 1936.]
179. Forgacs P. and Manton N. S. A980), Space-time symmetries in gauge
theories, Commun. Math. Phys. 72, 15.
180. Frampton P. H., Goddard P. and Wray D. A971), Perturbative unitarity
of dual loops, Nuovo Cim. ЗА. 755.
181. Frampton P. H. and Kephart T. W. A983), Explicit evaluation of anoma-
anomalies in higher dimensions, Phys. Rev. Lett. 50, 1343.
182. Frampton P. H. and Kephart T. W. A983), Consistency conditions for
Kaluza — Klein anomalies, Phys. Rev. Lett. 50, 1347.
183. Frampton P. H. and Kephart T. W. A983), Analysis of anomalies in
higher space-time dimensions, Phys. Rev. D28, 1010.
184. Frampton P. H. and Kephart T. W. A984), Left-right asymmetry from
the eight-sphere, Phys. Rev. Lett. 53, 867.
185. Frampton P. #., van Dam H. and Yamamoto K. A985), Chiral fermions
from compactification of 0C2) and ?(8)® ?(8) string theories, Phys.
Rev. Lett. 54, 1114.
186. Frampton P. H., Moxhay P. and Ng Y. 1. A985), One-loop finiteness in
0C2) open-superstring theory, Phys. Rev. Lett. 55, 2107.
187. F-ampton P. H., Kikuchi Y. and Ng Y. J. A986), Modular invariance in
closed superstrings, Phys. Lett. 174B, 262.
188. Fretdman D. Z., Van Nieuwenhuizen P. and Ferrara S. A976), Progress
toward a theory of supergravity, Phys. Rev. D13, 3214.
189. Freedman D. Z., Gibbons G. W. and West P. С A983), Ten into four
won't go, Phys. Lett. I24B, 491.
190. Freeman M. D. and Pope C. N. A986), Beta-functions and superstring
compactifications, Phys. Lett. 174B, 48.
191. Freeman M. D. and Olive D. I. A986), The calculation of planar one-
loop diagrams in string theory using the BRS formalism, Phys. Lett.
175B, 155.
192. Freund P. G. O. and Rubin M. A. A980), Dynamics of dimensional re-
reduction, Phys. Lett. 97B, 233.
193. Freund P. G. O. and Oh P. A985), Cosmological solutions with «ten into
four» compactification, Nucl. Phys. B255, 688.
194. Friedan D. and Windey P. A984), Supersymmetric derivation of the
Atiyah — Singer index and the chiral anomaly, Nucl. Phys. B235 [FS111,
395.
195. Friedan D., Shenker S. and Martinec E. A985), Covariant quantization
of superstrings, Phys. Lett. 160B, 55.
196. Friedan D. and Shenker S. A987), The analytic geometry of conformal
field theory, Nucl. Phys. B281, 509.
397. Friedan D. and Shenker S. A986), The integrable analytic geometry
of quantum string, Phys. Lett. 175B, 287.

Библиография 625
198: Friedan D.t Martinec E. and Shenker S. A986), Conformal invariance,
supersymmetry and string theory, Nucl. Phys. B271, 93.
199. Fritzsch H. and Minkowski P. A975), Unified interactions of leptons and
hadrons, Ann. Phys. 93, 193.
200. Frye G. and Susskind L. A970), Removal of the divergence of a planar
dual-symmetric loop, Phys. Lett. 31B, 537.
201. Frye G. and Susskind L. A970), Non-planar dual symmetric loop graphs
and the Pomeron, Phys. Lett. 31B, 589.
202. Gates S. J., Grisaru M., Rocek M. and Siegel W. A983), Superspace or
One Thousand and One Lessons in Supersymmetry, (Benjamin/Cummins).
203. Gates S. J. and Nishino H. A985), New D = 10, N=\ supergravity
coupled to Yang — Mills supermultiplet and anomaly cancellations, Phys.
Lett. 157B, 157.
204. Gates S. J. and Nishino H. A986), New D = 10, N = 1 superspace
supergravity and local symmetries of superstrings, Phys. Lett. 173B, 46.
205. Gates S. J, and Nishino H. A986), Manifestly supersymmetric О (a')
superstring corrections in new D = 10, N = 1 supergravity Yang — Mills
theory, Phys. Lett. 173B, 52.
206. Gava E., Iengo R., Jayaramin T. and Ramachandran R. A986), Multi-
loop divergences in the closed bosonic string theory, Phys. Lett. 168B,
207.
207. Gell-Mann M., Ramond P. and Slansky R. A978), Color embeddings,
charge assignments, and proton stability in unified gauge theories,
Rev. Mod. Phys. 50, 721.
208. Gell-Mann M., Ramond P. and Slansky R. A979), Complex spinors and
unified theories, in Supergravity, ed. P. van Nieuwenhuizen et al. (North-
Holland), p. 315.
209. Gell-Mann M. and Zwiebach B. A984), Spacetime compactification due
to scalars, Phys. Lett. 14IB, 333.
210. Gell-Mann M. and Zwiebach B. A985), Dimensional reduction of space-
time induced by nonlinear scalar dynamics and noncompact extra di-
dimensions, Nucl. Phys. B260, 569.
211. Georgi H. and Glashow S. L. A972), Gauge theories without anomalies,
Phys. Rev. D6, 429.
212. Georgi H. and Glashow S. L. A974), Unity of all elementary-particle
forces, Phys. Rev. Lett. 32, 438.
213. Georgi H. A974), The state of the art—gauge theories, in Proceedings
of the American Institute of Physics, 23 ed. С. Е. Carlson, p. 575.
214. Georgi H., Quinn H. R. and Weinberg S. A974), Hierarchy of interac-
interactions in unified gauge theories, Phys. Rev. Lett. 33, 451.
215. Gervais J. L. and Sakita B. A971), Functional-integral approach to dual-
resonance theory, Phys. Rev. D4, 2291.
216. Gervais J. L. and Sakita B. A973), Ghost-free string picture of Vene-
ziano model, Phys. Rev. Lett. 30, 716.
217. Gildener E. and Weinberg S. A976), Symmetry breaking and scalar bo-
bosons, Phys. Rev. D13, 3333.
218. Gildener E. A976), Gauge-symmetry hierarchies Phys. Rev. D14, 1667.
219. Giles R. and Thorn С. В. A977), Lattice approach to string theory, Phys.
Rev. D16, 366.
220. Gilkey P. B. A975), The spectral geometry of a Riemannian manifold,
J. Diff. Geom. 10, 601.
221. Glashow S. A986), The fifth force, proc. of the 1986 Moriond workshop.
222. Ghozzi F., Scherk J. and Olive D. A976), Supergravity and the spinor
dual model, Phys. Lett. 65B, 282.
223. Gliozzi P., Scherk J. and Olive D. A977), Supersymmetry, supergravity
theories and the dual spinor model, Nucl. Phys. B122, 253.

626 Библиография
224. Goddard P. A971), Analytic renormaNzation of dual one-loop amplitudes,
Nuovo Cim. 4A, 349.
225. Goddard P. and Waltz R. E. A971), One-loop amplitudes in the model
of Neveu and Schwarz, Nucl. Phys. B34, 99.
226. Goddard P., Goldstone J., Rebbi С and Thorn С. В. A973), Quantum
dynamics of a massless relativistic string, Nucl. Phys. B56, 109.
227. Gomez C. A986), Topologically non-trivial gauge configurations and the
heterotic string, Phys. Lett. 168B, 212.
228. Gomez C. A986), Modular invariance and compactification of the moduli
space, Phys. Lett. 175B, 32.
229. Goodman M. and Witten E. A986), Global symmetries in four and higher
dimensions, Nucl. Phys. B271, 21.
230. Goodman M. A986), Proof of character-valued index theorems, Commun.
Math. Phys. 107, 391.
231. Goroff M. H. and Sagnotti A. A985), Quantum gravity at two loops,
Phys. Lett. 160B, 81.
232. Goroff M. N. and Sagnotti A. A986), The ultraviolet behavior of Ein-
Einstein gravity, Nucl. Phys. B266, 709.
233. Govindrajan T. R., Jayraman Т., Mukherjee A. and Wadia S. R. A986),
Twisted current algebras and gauge symmetry breaknig in string theory,
Mod. Phys. Lett. Al, 29.
234. Green M. B. A973), Cancellation of the leading divergence in dual
loops, Phys. Lett. 46B, 392.
235. Green M. B. A976), Reciprocal space-time and momentum-space singula-
singularities in the narrow resonance approximation, Nucl. Phys. B116, 449.
236. Green M. B. and Shapiro J. Q. A976), Off-shell states in the dual model,
Phys. Lett. 64B, 454.
237. Green M. B. A976), The structure of dual Green functions, Phys. Lett.
65B, 432.
238. Green M. B. A977), Point-like structure and off-shell dual strings, Nucl.
Phys. В124, 461.
239. Green M. B. A977), Dynamical point-like structure and dual strings,
Phys. Lett. 69B, 89.
240. Green M. B. and Schwarz J. H. A982), Supersymmetric dual string
theory (III). Loops and renormalization, Nucl. Phys. B198, 441.
241. Green M. В., Schwarz I. H. and Brink L. A982), ЛГ = 4 Yang —Mills
and N = 8 supergravity as limits of string theories, Nucl. Phys. B198,
474.
242. Green M. B. and Schwarz J. H. A982), Supersymmetrical string theories,
Phys. Lett. 109B, 444.
243. Green M. B. and Schwarz J. H. A983), Superstring interactions, Nucl.
Phys. B218, 43.
244. Green M. В., Schwarz J. H. and Brink L. A983), Superfield theory of
type (II) superstrings, Nucl. Phys. B219, 437.
245. Green M. B. and Schwarz J. H. A983), Extended supergravity in ten
dimensions, Phys. Lett. 122B, 143.
246. Green M. B. A983), Sypersymmetrical dual string theories and
their field theory limits — a review, Surveys in High Energy Physics 3,
127.
247. Green M. B. and Schwarz J. H. A984), Covariant description of super-
strings, Phys. Lett. 136B, 367.
248. Green M. B. and Schwarz J. H. A984), Superstring field theory, Nucl.
Phys. B243, 475.
249. Green M. B. and Schwarz J. H. A984), Anomaly cancellations in super-
symmetric D = 10 gauge theory and superstring theory, Phys. Lett. *149B,

Библиография 627
250. Green М. В. and Schwarz J. H. A985), Infinity cancellations in SOC2)
superstring theory, Phys. Lett. 151B, 21.
251. Green M. В., Schwarz J. H. and West P. С A985), Anomaly-free chiral
theories in six dimensions, Nucl. Phys. B254, 327.
252. Green M. B. and Schwarz J. H. A985), The hexagon gauge anomaly in
type I superstring theory, Nucl. Phys. B255, 93.
253. Greenberg M. J. A967), Lectures on Algebraic Topology (Benjamin).
254 Greene B. R., Kirklin К. Н. and Miron P. J. A986), Superstring models
with SI/E) and SOA0) unifying groups, Nucl. Phys. B274, 574.
255. Greene B. R., Kirklin K, #., Miron P. J. and Ross G. G. A986), A three
generation superstring model, Nucl. Phys. B278, 667.
256. Greene B. R., Kirklin K- H., Miron P. I. and Ross G. G. A986), A super-
string inspired standard model, Phys. Lett. 180B, 69.
257. Griffiths P. and Harris I. A978), Principles of Algebraic Geometry (Wi-
ley-Interscience). [Имеется перевод: Гриффите Ф., Харрис Дж. Принци-
Принципы алгебраической геометрии. В 2-х т. — М.: Мир, 1982.]
258. Grimm R. and Marculescu S. A974), The structure of anomalies for
arbitrary dimension of the space-time, Nucl. Phys. B68, 203.
259. Grisaru M. Г., van de Ven A. and Zanon D. A986), Four-loop ^-function
for the N = 1 and N = 2 supersymmetric non-linear sigma model in two
dimensions, Phys. Lett. 173B, 423.
260. Grisaru M. Т., van de Ven A. E. M. and Zanon D. A986), Two-dimen-
Two-dimensional supersymmetric sigma models on Ricci flat Kahler manifolds are
not finite, Nucl. Phys. B277, 388.
261. Grisaru M. Т., van de Ven A. E. M. and Zanon D. A986), Four loop
divergences for the N = 1 supersymmetric nonlinear sigma model in two
dimensions, Nucl. Phys. B277, 409.
262. Gross D. J., Neveu A., Scherk J. and Schwarz J. H. A970), The primitive
graphs of dual-resonance models, Phys. Lett. 31B, 592.
263. Gross D. ]., Neveu A., Scherk J. and Schwarz J. H. A970), Renorma-
lization and unitarity in the dual-resonance model, Phys. Rev. D2, 697.
264. Gross D. J. and Schwarz J. H. A970), Basic operators of the dual-reso-
dual-resonance model, Nucl. Phys. B23, 333.
265. Gross D. J. and Jackiw R. A972), Effect of anomalies on quasi-renorma-
Ii7able theories, Phys. Rev. D6, 477.
266. Gross D. J. and Perry M. J. A983), Magnetic monopoles in Kaluza—•
Klein theories, Nucl. Phys. B226, 29.
267. Gross D. J., Harvey J~. A., Martinec E. and Rohm R. A985), Heterotic
string, Phys. Rev. Lett. 54, 502.
268. Gross D. J., Harvey J. A., Martinec E. and Rohm R. A985), Heterotic
string theory (I). The free heterotic string, Nucl. Phys. B256, 253.
269. Gross D. /., Harvey J. A., Martinec E. and Rohm R. A986), Heterotic
string theory (II). The interacting heterotic string, Nucl. Phys. B267,
lo.
270. Gross D. J. and Witten E. A986), Superstring modifications of Einstein's
equations, Nucl. Phys. B277, 1.
271. Gunaydin M., Romans L. J. and Warner N. P. A985), Gauged N = 8
supergravity in five dimensions, Phys. Lett. 154B, 268.
272. Gunaydin M., Romans L. J. and Warner N. P. A985), IIB or not IIB:
That is the question, Phys. Lett. 164B, 309.
273. Gursey F. and Sikivie P. A976), E7 as a universal gauge group, Phys.
Rev. Lett. 36, 775.
274. Gursey P., Ramond P. and Sikivie P. A976), A universal gauge theory
model based on ?7> Phys. Lett. 60B, 177.
275. Gursey F. and Sikivie P. A977), Quark and lepton assignments in the E7
model, Phys. Rev. D16, 816.

628 Библиография
276. Outh A. H. and Туе S. Н. A980), Phase transitions and magnetic mono-
pole production in the very early universe, Phys. Rev. Let. 44, 631; erra-
erratum 963.
277. Guth A. H. A981), Inflationary universe: A possible solution to the ho-
horizon and flatness problems, Phys. Rev. D23, 347.
278. Hamidi S. and Vafa С A987), Interactions on orbifolds, Nucl. Phys.
B279, 465.
279. Han С W., Han S. K., Jun J. W., Kim J. K. and Koh I. G. A986), Ab-
Absence of leading divergence in the parity-odd one-loop amplitude of
type-I SOC2) superstring theory, Phys. Rev. D34, 1219.
280. Hartshorne R. A977), Algebraic Geometry (Springer-Verlag). [Имеется
перевод: Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.]
281. Harvey J. A. A986), Twisting the heterotic string, in Workshop on Uni-
Unified String Theories, 29 July—16 August, 1985, eds. M. Green and
D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 704.
282. Hawking S. W. and Pope С N. A978), Generalized spin structures in
quantum gravity, Phys. Lett. 73B, 42.
283. Hawking S. W. A978), Spacetime foam, Nucl. Pbys. B144, 349.
284. Hawking S. W., Page D. N. and Pope С N. A979), The propagation of
particles in spacetime foam, Phys. Lett. 86B, 175.
285. Hawking S. W., Page D. N. and Pope C. N. A980), Quantum gravita-
gravitational bubbles, Nucl. Phys. B170, 283.
286. Helayel-Neto J. A. and Smith A. №.A986), A possible role of gravitino
condensates in superstring compactification, Phys. Lett. 175B, 37.
287. Hellings R. W., Adams P. J., Anderson J. D., Keesey M. S., Lau E. L.,
Standish E. M., Canuto V. M. and Goldman I. A983), Experimental test
of the variability of G using Viking lander ranging data, Phys. Rev.
Lett. 51, 1609.
288. Henneaux M. A986), Hamiltonian formulation of d = 10 supergravity
theories, Phys. Lett. 168B, 233.
289. Hewett I. L., Rizzo T. G. and Robinson I. A. A986), Low-energy pheno-
phenomenology of some supersymmetric ?e-breaking patterns, Phys. Rev. D33,
1476.
290. Holding S. C., Stacey F. D. and Tuck G. J. A986), Gravity in mines —
an investigation of Newton's law, Phys. Rev. D33, 3487.
291. Holman R. and Reiss D. B. A986), Fermion masses in ?8Xf8 super-
string theories, Phys. Lett. 166B, 305.
292. Holman R. and Reiss D. B. A986), Fermion masses and phenomenology
in SOA0) or SUE) superstring compactifications, Phys. Lett. 176B, 74.
293. Hopkinson I. F. L., Tucker R. W. and Collins P. A. A975), Quantum
strings and the functional calculus, Phys. Rev. D12, 1653.
294. Horowitz G. A986), What is a Calabi — Yau space?, in Workshop on
Unified String Theories, 29 July—16 August, 1985, eds. M. Green and
D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 635.
295. Horvath Z., Palla L., Cremmer E. and Scherk J. A977), Grand unified
schemes and spontaneous compactification, Nucl. Phys. B127, 57.
296. Horvath Z. and Palla L. A978), Spontaneous compactification and «mo-
nopoles» in higher dimensions, Nucl. Phys. B142, 327.
297. Hosotani Y. A983), Dynamical gauge symmetry breaking as the Casimir
effect, Phys. Lett. 129B, 193.
298. Howe P. S. and West P. С A984), The complete N = 2, d = 10 super-
gravity, Nucl. Phys. B238, 181.
299. Howe P. S., Papadopoulos G. and Stelle K. S. A986), Quantizing the
N = 2 super sigma-model in two dimensions, Phys. Lett. 174B, 405.
300. Hsue C. S., Sakita B. and Virasoro M. A. A970), Formulation of dual
theory in terms of functional integrations, Phys. Rev. D2, 2857.

Библиография 629
-301. Hubsch Т., Nishino Н. and Рай J. С. A985), Do superstrings lead to
quarks or to preons?, Phys. Lett. 163B, 111.
•302. Hubsch T. A987), Calabi — Yau manifolds: motivations and constructions,
Commun. Math. Phys. 108, 291.
303. Hull C. M. and Witten E. A985), Supersymmetric sigma models and the
heterotic string, Phys. Lett. 160B, 398.
304. Hull C. M. A986), Sigma model beta-functions and string compactifica-
tions, Nucl. Phys. B267, 266.
305 Hull С. М. A986), Anomalies ambiguities and superstrings, Phys. Lett.
167B, 51.
:306. Husemoller D. A966), Fibre Bundles (Springer-Verlag). [Имеется пере-
перевод: Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.—М.: Мир, 1970.]
307. Ibanez L. Е., Едрег С. and Munoz С. A985), The low-energy supersym-
supersymmetric spectrum according to N = 1 supergravity GUTs, Nucl. Phys. B256,
218.
308. Ibanez L. E. and Nilles H. P. A986), Low-energy remnants of superstring
anomaly cancellation terms, Phys. Lett. 169B, 354.
309. Ibanez L. E. A985), Phenomenology from superstrings, in proc. of the
First Torino Meeting on Superunification and Extra Dimensions (World
Scientific), p. 189.
310. Ibanes L. E. A986), Some topics in the low energy physics from super-
strings, CERN preprint Th. 4459/86.
311. Ibanez L. E., and Mas J. A987), Low energy supergravity and super-
string-inspired models, Nucl. Phys. B286, 107.
312. Ida M., Matsumoto H. and Yazaki S. A970), Factorization and duality
of multiloop diagrams, Prog. Theor. Phys. 44, 456.
313. Imbimbo С and Mukhi S. A986), Chiral fermions and the Witten index
for the compactifeid heterotic string, Nucl. Phys. B263, 629.
314. Ho K. A985), Manifestly supersymmetric path integral formulation of
the superstring field theories, Phys. Lett. 164B, 301.
315. Itoyama H. and Leon J. A986), Some quantum corrections to Calabi —
Yau compactification, Phys. Rev. Lett. 56, 2352.
316. Jacob M. editor. A974), Dual theory, in Physics Reports, Reprint Vo-
Volume I, (North-Holland, Amsterdam, 1974).
317. Jevicki A. A986), Covariant string theory Feynman amplitudes, Phys.
Lett. 169B, 359.
318. Joshipura A. S. and Sarkar U. A986), Phenomenologically consistent
discrete symmetries in superstrings theories, Phys. Rev. Lett. 57, 33.
319. Kaku M. and Thorn С. В. A970), Unitary nonplanar closed loops, Phys.
Rev. Dl, 2860.
320. Kaku M. and Yu L. A970), The general multi-loop Veneziano amplitude,
Phys. Lett. 33 B, 166.
321. Kaku M. and Scherk J. A971), Divergence of the two-loop planar graph
in the dual-resonance model, Phys. Rev. D3, 430.
322. Kaku M. and Scherk I. A971), Divergence of the ЛГ-loop planar graph
in the dual-resonance model, Phys. Rev. D3, 2000.
323. Kaku M. and Yu L. A971), Unitarization of the dual-resonance ampli-
amplitude. I. Planar iV-loop amplitude, Phys. Rev. D3, 2992.
324. Kaku M. and Yu L. A971), Unitarization of the dual-resonance ampli-
amplitude. II. The nonplanar JV-loop amplitude, Phys. Rev. D3, 3007.
325. Kaku M. and Yu L. A971), Unitarization of the dual-resonance ampli-
amplitude. III. General rules for the orientable and nonorientable multiloop
amplitudes, Phys. Rev. D3, 3020
326. Kaku M. and Kikkawa K. A974), Field theory of relativistic strings.'
I. Trees, Phys. Rev. D10, 1110

630 Библиография
327. Kaku M. and Kikkawa К. A974), Field theory of relativistic strings.
II. Loops and pomerons, Phys. Rev. D10, 1823.
328. Kalb M. and Ramond P. A974), Classical direct interstring action, Phys..
Rev. D9, 2273.
329. Kallosh R.E. A985), Ten-dimensional supersymmetry requires Es X Es or
SOC2), Phys. Lett. 159B, 111.
330. Kallosh R. E. and Nilsson В. Е. W. A986), Scale invariant d = 10
superspace and the heterotic string, Phys. Lett. 167B, 46.
331. Kaluza Th. A924), On the problem of unity in physics, Sitz. Preuss. Akad.
Wiss. Kl, 966. [Имеется перевод: Калуца Т. К проблеме единства фи-
физики,— В сб. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979.},
332. Kalyniak P. and Sundaresan M. К. A986), Symmetry-breaking scenarios
of Wilson-loop broken Ев, Phys. Lett. 167B, 320.
333. Kaplunovsky V. A985), Mass scales of the string unification, Phys. Rev.
Lett. 55, 1036.
334. Kendig K. A977), Elementary Algebraic Geometry (Springer-Verlag).
335. Kent A. A986), Conformal invariance, current algebra and modular in-
variance, Phys. Lett. 173B, 413. '
336. Kephart T. and Frampton P. A983), Analysis of anomalies in higher
space-time dimensions, Phys. Rev. D28, 1010.
337. Kikkawa K-, Sakita B. and Virasoro M. A. A969), Feynman-like diagrams
compatible with duality. I. Planar diagrams, Phys. Rev. 184, 1701.
338. Kikkawa K. A969), Regge cut from a nonplanar duality amplitude, Phys.
Rev. 187, 2249.
339. Kikkawa K-, Klein S. A., Sakita B. and Virasoro M. A. A970), Feynman-
like diagrams compatible with duality. II. General discussion including
nonplanar diagram, Phys. Rev. Dl, 3258.
340. Kikuchi Y., Marzban С and Ng. Y. A986), Heterotic string modifications
of Einstein's and Yang —Mills actions, Phys. Lett. 176B, 57.
341. Kim J. E. A979), Weak-interaction singlet and strong CP invariance,
Phys. Rev. Lett. 43, 103.
342. Kim J. K., Koh 1. G. and Yoon Y. A986), Calabi —Yau manifolds from
arbitrary weighted homogeneous spaces, Phys. Rev. D33, 2893.
343. Klein O. A926), Quantentheorie und fflnfdimensionale Relativitatstheorie,
Z. Phys. 37, 895.
344. Koba Z. and Nielsen H. B. A969), Reaction amplitude for p-mesons
a generalization of the Veneziano — Bardakgi—Ruegg — Virasoro model,,
Nucl. Phys. B10, 633.
345. Koba Z. and Nielsen H. B. A969), Manifestly crossing-invariant para-
metrization of n-meson amplitude, Nucl. Phys. В12, 517.
346. Kodaire K- A985), Complex Manifolds and Deformation of Complex
Structures (Springer-Verlag).
347. Коган Я. И., Морозов А. Ю., Переломов А. М. О конечности N = 4
суперсимметричных сигма-моделей. — Письма в ЖЭТФ, 1984, т. 40,
вып. 1, с. 38—41.
348. Koh I. G. and Nishino H. A985), Towards realistic D = 6, N = 2 Ka-
Kaluza—Klein supergravity on coset ?V/SOA2)X Sp(l) with chiral fer-
mions, Phys. Lett. 153B, 45.
349. Kolb E. W. and Slansky R. A984), Dimensional reduction in the early
universe: Where have all the massive particles gone?, Phys. Lett. 135B,
378.
350. Kolb E. W., Perry M. J. and Walker T. P. A986), Time variation of
fundamental constrants, primordial nucleosynthesis, and the size of extra
dimensions, Phys. Rev. D33, 869.
351. Kreuzer L. B. A968), Experimental measurement of the equivalence of
active and passive gravitational mass, Phys. Rev. 169, 1007.

Библиография 631
352 Labastida J. M. F. A986), Equivalence of dual-field theoretical limits of
superstring theories, Phys. Lett. 171B, 377.
353. Lam С S. and Li D-X. A986), Modular invariance and one-loop finite-
ness of five-point amplitudes in type-II and heterotic string theories,
Phys. Rev. Lett. 56, 2575.
354. Lang W. and Louis J. A985), 16/16 supergravity coupled to matter: The
low energy limit of the superstring, Phys. Lett. 158B, 40.
355. Lazarides G., Panagiotakopoulos С and Shafi Q. A986), Phenomenology
and cosmology with superstrings, Phys. Rev. Lett. 56, 432.
356. Lazarides G., Panagiotakopoulos С and Shafi Q. A986), Baryon asym-
asymmetry, stable proton and n — n oscillations in superstring models, Phys.
Lett. 175B, 309.
357. Linde A. D. A982), A new inflationary universe scenario: A possible so-
solution of the horizon, flatness, homogeneity, isotropy and primordial mo-
nopole problems, Phys. Lett. 108B, 389.
358. Lorenzo F. J., Mittelbrunn J. R., Medrano M. R. and Sierra G. A986),
Quantum mechanical amplitude for string propagation, Phys. Lett. 171B,
369.
359. Lovelace С A970), Af-loop generalized Veneziano formula, Phys. Lett.
32B, 703.
360. Lovelace C. A971), Pomeron form factors and dual Regge cuts, Phys.
Lett 34B, 500.
361. Luciano I. F. A978), Space-time geometry and symmetry breaking, Nucl.
Phys. B135, 111.
362. Maeda K. A986), Cosmological solutions with Calabi — Yau compactifica-
tion, Phys. Lett. 166B, 59.
363. Maeda K. and Pollock M. D. A986), On inflation in the heterotic super-
string model, Phys. Lett. 173, 251.
364. Mahapatra S. and Misra S. P. A986), Fermion condensates and weak
symmetry breaking in a superstring-based model, Phys. Rev. D33, 3464.
365. Mandelstam S. A973), Interacting-string picture of dual resonance mo-
models, Nucl. Phys. B64, 205.
366. Mandelstam S. A973), Manifestly dual formulation of the Ramond-model,
Phys. Lett. 46B, 447.
367. Mandelstam S. A974), Interacting-string picture of the Neveu—
Schwarz — Ramond model, Nucl. Phys. B69, 77.
368. Mandelstam S. A974), Dual-resonance models, Phys. Reports C13, 259.
369. Mandelstam S. A974), Lorentz properties of the three-string vertex Nucl.
Phys. B83, 413.
370. Mandelstam S. A986), The interacting-string picture and functional in-
integration, in Workshop on Unified String Theories, 29 July—16 August,
1985, eds. M. Green and D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 46.
371. Mandelstam S. A986), Interacting-string picture of the fermionic string,
in Workshop on Unified String Theories, 29 July—16 August, 1985,
eds. M. Green and D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 577.
372. Mangano M. A985). Low energy aspects of supersting theories, Z. Phys.
S. 28, 613.
373. Mani H. S., Mukherjee A, Ramachandran R. and Balachandran A. P.
A986), Embedding of SUE) GUT in SOC2) superstring theories, Nucl.
Phys. B263, 621.
374. Manin Yu. I. A986), The partition function of the Polyakov string can
be expressed in terms of theta-functions, Phys. Lett. 172B, 184.
375. Мант Ю. И. Статистическая сумма струны Полякова выражается че-
через тэта-функции. — Письма в ЖЭТФ, 1986, т. 43, вып. 4, с. 161—163.
376. Manton N. S. A981), Fermions and parity violation in dimensional re-
reduction schemes, Nucl. Phys. В193, 502.

632 Библиография
377. Manton N. S. A986), Dimensional reduction of supergravity, Ann. Phys.
167, 328.
378. Marcus N. and Sagnotti A. A984), A test of finiteness predictions for
supersymmetric theories, Phys. Lett. 135, 85.
379. Marcus N. and Sagnotti A. A985), The ultraviolet behavior of N = 4
Yang — Mills and the power counting of extended superspace, Nucl. Phys.
B256, 77.
380. Маркушевич Д. Г., Ольшанецкий М. А., Переломов А. М. Вакуумные-
конфигурации в суперструнах, связанные с полупростыми алгебрами
Ли.— Письма в ЖЭТФ, 1986, т. 43, вып. 2, с. 59—62.
381 Martinec E. A986), Nonrenormalization theorems and fermionic string
finiteness, Phys. Lett. 171B, 189.
382. Matsuoka T. and Suematsu D. A986), Gauge hierarchies in the E8 X E^
superstring theory, Nucl. Phys. B274, 106.
383. McKean H. P., Jr. and Singer I. M. A967), Curvature and the eigevalues.
of the Laplacian, J. Diff. Geom. 1, 43.
384. Miao L. A986), The 6-structure in string theories: superstrings, Phys..
Lett. 175B, 284.
385. Milnor J. W. and Stashetf J. D. A974), Characteristic Classes (Princeton
University Press). [Имеется перевод: Милнор Дж., Сташеф Дж. Харак-
Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.]
386. Mohapatra R. N. A986), Mechanism for understanding smail neutrino,
mass in superstring theories, Phys. Rev. Lett. 56, 561.
387. Mohapatra P. K. A986), Realization of the discrete group in Ee and the
possible low-energy gauge groups in superstrings, Phys. Lett. 174B, 51.
388. Moore G. and Nelson P. A986), Measure for moduli. The Polyakov
string has no local anomalies, Nucl. Phys. B266, 58.
389. Morozov A. Yu. and Perelomov A. M. A986), Hyperkahlerian manifolds,
and exact beta functions of two-dimensional JV = 4 supersymmetric sigma
models, Nucl. Phys. B271, 620.
390. Miiller-Hoissen F. A985), Spontaneous compactification with quadratic
and cubic curvature terms, Phys. Let. 163B, 106.
391. Mumford D. A975), Curves and Their Jacobians (University of Michigan
Press).
392. Nahm W. A978), Sypersymmetries and their representations, Nucl. Phys.
B135, 149.
393. Nandi S. and Sarkar U. A986), Solution to the neutrino-mass problem irr
superstring E6 theory, Phys. Rev. Lett. 56, 564.
394. Nash С and Sen S. A983), Topology and Geometry for Physicists, (Aca-
(Academic Press).
395. Nemeschansky D. and Sen A. A986). Conformal invariance of supersym-
supersymmetric (j-models on Calabi — Yau manifolds, Phys. Lett. 178B, 365.
396. Nepomechie R. /., Wu Y. S. and Zee A. A985), New compactifications
on Calabi —Yau manifolds, Phys. Lett. 158B, 311.
397. Nepomechie R. I. A986), Chern — Simons terms and bosonic strings,
Phys. Lett. В171, 195.
398. Neveu A. and Scherk J. A970), Parameter-free regularization of one-
loop unitary dual diagram, Phys. Rev. Dl, 2355.
399. Neveu A. and Schwarz I. H. A971), Factorizable dual model of pions,.
Nucl. Phys. B31, 86.
400. Neveu A. and Schwarz J. H. A971), Quark model of dual pions, Phys.
Rev. D4, 1109.
401. Neveu A. and Scherk J. A972), Gauge invariance and uniqueness of the-
renormalization of dual models with unit intercept, Nucl. Phys. B36, 317.
402. Nielsen H. B. and Olesen P. A970), A parton view on dual amplitudes,
Phys. Lett. 32B, 203.

Библиография 633
403. Nilles H. P. A984), Supersymmetry, supergravity and particle physics,
Phys. Reports 110, 1.
404. Nilles H. P. A986), Supergravity and the low-energy limit of superstring
theories, (CERN preprint Th. 4444/86).
405. Nilsson B. E. W. and Tollsten A. K. A986), Superspace formulation of
the ten-dimensional coupled Einstein — Yang — Mills system, Phys. Lett.
171B, 212.
406. Nilsson B. E. W. and Tollsten A. K. A986), The geometrical off-shell
structure of pure N = 1; d= 10 supergravity in superspace, Phys. Lett.
169B, 369.
407. Nilsson B. E. W. A986), Off-shell d= 10, N = 1 Poincare supergravity
and the embeddibility of higher-derivative field theories in superspace,
Phys. Lett. 175B, 319.
408. Nishino H. and Gates S. J. A986), Dual versions of higher-dimensional
supergravities and anomaly cancellations in lower dimensions, Nucl. Phys.
B268, 532.
409. Olive D. and West P. A982), The N = 4 supersymmetric Es gauge
theory and coset space dimensional reduction, Nucl. Phys. B217, 248.
410. Palla L. A978), Spontaneous compactification, in Proceedings of the
1978 Tokyo Conference on High Energy Physics, p. 629.
411. Pati J. С and Salam A. A973), Unified lepton-hadron symmetry and
a gauge theory of the basic interactions, Phys. Rev. D8, 1240.
412. Pati J. С and Salam A. A974), Lepton number as the fourth «color»,
Phys. Rev. D10, 275.
413. Paton J. E. and Chan H. M. A969), Generalized Veneziano model with
isospin, Nucl. Phys. B10, 516.
414. Peccei R. D. and Quinn H. A977), CP conservation in the presence of
pseudoparticles, Phys. Rev. Lett. 38, 1440.
¦415. Pilch K. and Schellekens A. N. A985), Fermion spectra from super-
strings, Nucl. Phys. B259, 637.
416. Polchinski J. A986), Evaluation of the one loop string path integral,
Commun. Math. Phys. 104, 37.
417. Polyakov A. M. A981), Quantum geometry of bosonic strings, Phys. Lett.
103B, 207.
418. Polyakov A. M. A981), Quantum geometry of fermionic strings, Phys.
Lett. 103 B, 211.
419. Pope С N., Sohnius M. F. and Stelle K. S. A987), Counterterm counter-
counterexamples, Nucl. Phys. B283, 192.
420. Preskill I., Frampton P. H. and van Dam H. A983), Anomalies and
fermion masses in D dimensions, Phys. Lett. 124B, 209.
¦421. Quiros M. A986), On the effective potential and gravitino mass determi-
determination in compactified superstring models, Phys. Lett. 173B, 265.
422. Rabin J. M., A986), Chern — Simons and Wess — Zumino terms in string
theory, Phys. Lett. 172B, 333.
423. Raby S. and Slansky R. A986), Compactification of closed bosonic
strings, Phys. Rev. Lett. 56, 693.
424. Ramond P. A971), Dual theory for free fermions, Phys. Rev. D3, 2415.
425. Randjbar-Daemi S., Salam A. and Strathdee S. A983), Spontaneous com-
compactification in six-dimensional Einstein — Maxwell theory, Nucl Phys.
B214, 491.
426. Randjbar-Daemi S., Salam A., Sezgin E. and Strathdee J. A985), An
anomaly-free model in six dimensions, Phys. Lett. 151B, 351.
427. Rebbi C. A974), Dual models and relativistic quantum strings, Phys.
Reports C12, 1.
428. Restuccia A. and Taylor J. G. A986), On the construction of higher
loop closed superstring amplitudes, Phys. Lett. 174B, 56.

634 Библиография
429. Rohm R. A984), Spontaneous supersymmetry breaking in supersymmetric
string theories, Nucl. Phys. B237, 553.
430. Rohm R. and Witten E. A986), The antisymmetric tensor field in super-
string theory, Ann. Phys. 170, 454.
431 Romans L. J. A985), New compactifications of chiral N = 2, d = 10
supergravity, Phys. Lett. 153B, 392.
432. Romans L. J. and Warner N. P. A986), Some supersymmetric counter-
counterparts of the Lorentz Chern — Simons term, NucJ. Phys. B273, 320.
433. Romans L. J. A986), Massive N = 2a diipergravity in ten dimensions,.
Phys. Lett. 169B, 374.
434. Sakai N. and Senda I. A986), Vacuum energies of string compactified
on torus, Prog. Theor. Phys. 75, 692.
435. Salam A. and Strathdee I. A982), On Kaluza — Klein theory, Ann. Phys.
141, 316.
436. Schellekens A. N. A986), Anomaly cancellation in ten dimensions and
beyond, Phys. Lett. 175B, 41.
437. Scherk J. A971), Renormalization in the dual resonance model. Its ar-
arbitrariness in the general case and for unit intercept, Nucl. Phys. B29,
357.
438. Scherk J. A971), Zero-slope limit of the dual resonance model, Nucl.
Phys. B31, 222.
439. Scherk J. and Schwarz J. H. A974), Dual models for non-hadrons, Nucl.
Phys. B81, 118.
440. Scherk J. and Schwarz J. H. A974), Dual models and the geometry of •
space-time, Phys. Lett. 52B, 347.
441. Scherk J. A975), An introduction to the theory of dual models and
strings, Rev. Mod. Phys. 47, 123.
442. Scherk J. and Schwarz J. И. A979), How to get masses from extra
dimensions, Nucl. Phys. B153, 61.
443. Scherk J. and Schwarz J. H. A979), Spontaneous breaking of supersym-
supersymmetry through dimensional reduction, Phys. Lett. 82B, 60.
444. Schwarz J. H. A973), Dual resonance theory, Phys. Reports 8, 269.
445. Schwarz J. H. A973), Oif-shell dual amplitudes without ghosts, Nucl..
Phys. B65, 131.
446. Schwarz J. H. and Wu С. С A974), Off-mass-shell dual amplitudes (II),
Nucl. Phys. B72, 397.
447. Schwarz J. H. A974), Off-mass-shell dual amplitudes III, Nucl. Phys.
B76, 93.
448. Schwarz J. H. A982), Superstring theory, Phys. Reports 89, 223.
449. Schwarz J. H. and West P. C. A983), Symmetries and transformations
of chiral ЛГ = 2, D = 10 supergravity, Phys. Lett. 126B, 301.
450. Schwarz J. H. A983), Covariant field equations of chiral N = 2, D = 10
supergravity, Nucl. Phys. B226, 269.
451. Schwarz J. H. A985), Superstrings. The First Fifteen Years of Super-
string Theory, in 2 volumes (World Scientific, Singapore).
452. Schwinger J. A951), On gauge invariance and vacuum polarization,.
Phys. Rev. 82, 664.
453. Segre G. С A985), Low energy physics from superstrings (Cargese sum-
summer school lectures).
454. Seiberg N. and Wilten E. A986), Spin structures in string theory, Nucl.
Phys. B276, 272. 8
455. Sen A. A985), Heterotic string in an arbitrary background field, Phys.
Rev. D32, 2102.
456. Sen A. A986), Local gauge and Lorentz invariance of heterotic string;
theory, Phys. Lett. 166B, 300.

Библиография 635
457. Sen A A986), сг-model approach to the heterotic string theory, in Work-
Workshop on Unified String Theories, 29 July—16 August, 1985, eds. M. Green
and D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 497.
¦458 Sen A A986) Superspace analysis of local Lorentz and gauge anomalies
in the heterotic string theory, Phys. Lett. 174B, 277.
459. Sen A. A986), Central charge of the Virasoro algebra for supersymmetric
sigma models on Calabi —Yau manifolds, Phys. Lett. 178B, 370.
460. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. В 2-х т. — М.:
Наука, 1988.
461. Shafi Q. and Wetterich С. A983), Cosmology from higher-dimensional
gravity, Phys. Lett. 129B, 387.
462. Shapiro J. A. A970), Electrostatic analogue for the Virasoro model, Phys.
Lett. 33B, 361.
463. Shapiro J. A. A971), Nonorientable dual loop graphs and isospin, Phys.
Rev. D4, 1249.
464. Shapiro J. A. A972), Loop graph in the dual-tube model, Phys. Rev.
D5, 1945.
465. Shapiro J. A. A975), Renormalization of dual models, Phys. Rev. Dll,
2937.
¦466. Sierra G. and Townsend P. K- A984), Chiral anomalies and constraints
on the gauge group in higher-dimensional sypersymmetric Yang — Mills
theories, Nucl. Phys. B222, 493.
467. Slansky R. A981), Group theory for unified model building, Phys. Re-
Reports 79, 1.
468. Steinberger J. A949), On the use of subtraction fields and the lifetimes
of some types of meson decay, Phys. Rev. 76, 1180.
469. Strominger A. and Wilten E. A985), New manifolds for superstring
compactification, Commun. Math. Phys. 101, 341.
470. Strominger A. A985), Topology of superstring compactification, in Work-
Workshop on Unified String Theories, 29 July—16 August, 1985, eds. M. Green
and D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 654.
471. Strominger A. A986), Superstrings with torsion, Nucl. Phys. B274, 253.
472. Tanii Y. A985), Absence of the supersymmetry anomaly in heterotic
string theory, Phys. Lett. 165B, 275.
473. Taylor T. R. A985), Hidden sector of superstring models: An effective
Lagrangian analysis. Phys. Lett. 164B, 43,
474. Thierry-Mieg J. A985), Remarks concerning the ?8 X Es and D16 string
theories, Phys. Lett. 156B, 199.
475. Thierry-Mieg I. A986), Anomaly cancellation and fermionisation in 10-,
18- and 26-dimensional superstrings, Phys. Lett. 171B, 163.
476. Thorn С. В. A986), The theory of interacting relativistic strings, Nucl.
Phys. B263, 493.
477. Thorn С. В. A986), Introduction to the theory of relativistic strings,
in Workshop on Unified String Theories, 29 July—16 August, 1985, eds.
M. Green and D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 5.
478. Townsend P. K. and Sierra G. A983), Chiral anomalies and constraints
on the gauge group in higher-dimensional supersymmetric Yang —Mills
theories, Nucl. Phys. B222, 493.
479. Uhlenbeck K. and Yau S. T. A986), preprint.
480. Vafa С A986), Modular invariance and discrete torsion on orbifolds,
Nucl. Phys. B273, 592.
481. Van Nieuwenhuizen P. (Ш81), Supergravity, Phys. Reports 68, 189.
482. Veneziano G. A974), An introduction to dual models of strong inter-
interactions and their physical motivations, Phys. Rev. C9, 199.
483. Weinberg S. A972), Gravitation and Cosmology (Wiley-Interscience).

636 Библиография
[Имеется перевод: Вейнберг С. Гравитация и космология. — М.: Мир,
1975.]
484. Weinberg S. A978), A new light boson?, Phys. Rev. Lett. 40, 223.
485. Weinberg S. A984), Charges from extra dimensions, Phys. Lett. 125B,
265.
486. Weinberg S. A984), Quasi-Riemannian theories of gravitation in more
than four dimensions, Phys. Lett. 138B, 47.
487. Weiss N. A986), Superstring cosmology: Is it consistent with a matter-
dominated universe?, Phys. Lett. 172B, 180.
488. Wells R. 0., Jr. A980), Differential Analysis on Complex Manifolds,
(Springer-Verlag). [Имеется перевод первого изд.: Уэлс Р. Дифферен-
Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир. 1976.]
489. Wen X. G. and Witten E. A986), World-sheet instantons and the Pec-
cei —Quinn symmetry, Phys. Lett. 166B, 397.
490. Wen X. G. and Witten E. A985), Electric and magnetic charges in super-
string models, Nucl. Phys. B261, 651.
491. Wess J. and Zutnino B. A971), Consequences of anomalous Ward identi-
identities, Phys. Lett. 37B, 95.
492. Wess J. and Zutnino B. A974), Supergauge transformations in four di-
dimensions, Nucl. Phys. B70, 39.
493. Wess J. and Bagger J. A983), Supersymmetry and Supergravity, (Prin-
(Princeton Univ. Press). [Имеется перевод: Весе Ю., Беггер Дж. Суперсим-
Суперсимметрия и супергравитация.—М.: Мир, 1986.]
494. Wetterich С. A982), SOA0) unification from higher dimensions, Phys.
Lett. 11 OB, 379.
495. Wetterich С A982), Spontaneous compactification in higher dimensional
gravity, Phys. Lett. 113B, 377.
496. Wetterich C. A983), Massless spinors in more than four dimensions,.
Nucl. Phys. B211, 177.
497. Wetterich С A983), Dimensional, reduction of Weyl, Majorana and Ma-
jorana — Weyl spinors, Nucl. Phys. B222, 20.
498. Wetterich С A983), Chirality index and dimensional reduction of fer-
mions, Nucl. Phys. B223, 109.
499. Wetterich С A984), Discrete symmetries in Kaluza — Klein theories,
Nucl. Phys. B234, 413.
.500. Wetterich С A984), Dimensional reduction of fermions in generalized
gravity, Nucl. Phys. B242, 473.
501. Wetterich C. A985), Spontaneous symmetry breaking and fermion chira-
chirality in higher-dimensional gauge theory, Nucl. Phys. B260, 402.
502. Wetterich С A985), Fermion mass predictions from higher dimensions,
Nucl. Phys. B261, 461.
503. Wilczek F. A978), Problem of strong P and T invariance in the presence-
of instantons, Phys. Rev. Lett. 40, 279.
504. Wilczek F. and Zee A. A979), Princeton preprint, unpublished.
505. Wilczek F. and Zee A. A982), Families from spinors, Phys. Rev. D25,-
553.
506. Winnberg J.-O. A975), Recalculation of the single planar dual fermion
loop, Nucl. Phys. B94, 205
507. Witten E. A981), Search for a realistic Kaluza — Klein theory Nucl.
Phys. B186, 412.
508. Witten E. A981), Dynamical breaking of supersymmetry, Nucl. Phys.
509. Witten E. A982), Instability of the Kaluza — Klein vacuum, Nucl. Phys.
B195, 481.
510. Witten E. A982), Constraints on supersymmetry breaking:, Nucl. Phys.
B202, 253.

Библиография 637
511. Witten Е. A982) Supersymmetry and Morse theory, J. Diff. Geom, 17,
661.
512. Witten E. A983), D = 10 superstring theory, in Fourth Workshop on
Grand Unification, eds. P. Langacker et al. (Birkhauser), p. 395.
513. Witten E. A983), Global aspects of current algebra, Nucl. Phys. B223,
422.
514. Witten E. A984), Some properties of 0C2) superstrings, Phys. Lett.
149B, 351.
515. Witten E. A985), Cosmic superstrings, Phys. Lett. 153B, 243.
516. Witten E. A985), Dimensional reduction of superstring models, Phys.
Lett. 155B, 151.
517. Witten E. A985), Superconducting strings, Nucl. Phys. B249, 557.
518. Witten E. A985), Symmetry breaking patterns in superstring models,
Nucl. Phys. B258, 75.
519. Witten E. A985), Fermion quantum numbers in Kaluza — Klein theory,
in Shelter Island II: Proceedings of the 1983 Shelter Island Conference
on Quantum Fields Theory and the Fundamental Problems of Physics,
eds. R. Jackiw et al. (MIT Press, Cambridge, Mass.), p. 227.
520. Witten E. A985), Global gravitational anomalies, Commun. Math. Phys.
100, 197.
521. Witten E. A986), Global anomalies in string theory, in Symposium on
Anomalies, Geometry, Topology, March 28—30, 1985, eds. W. A. Bardeen
and A. R. White (World Scientific, Singapore), p. 61.
522. Witten E. A986), Topological tools in ten dimensional physics, in Work-
Workshop on Unified String Theories, 29 July— 16 August, 1985, eds M. Green
and D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 400. With an appendix by
R. E. Stong, Calculation of Qf/"'" (K (Z, 4)).
523. Witten E. A986), New issues in manifolds of SUC) holonomy, Nucl.
Phys. B268, 79.
524. Witten L. and Witten E. A987), Large radius expansion of superstring
compactification, Nucl. Phys. B281, 109.
525. Wu Y.-S. and Zi Wang A986), The time variation of Newton's gravita-
gravitational constant in superstring theories, Phys. Rev. Lett. 57, 1978.
526. Yahikozawa S. A986), Evaluation of the one-loop amplitude in heterotic
string theory, Phys. Lett. 166B, 135.
527. Yamamoto K. A985). Saving the axions in superstring models, Phys. Lett.
161B, 289.
528. Yamamoto K. A986), The phase transition associated with intermediate
gauge symmetry breaking in superstring models, Phys. Lett. 168B, 341.
529. Yasuda O. A986), Higher derivative terms and zero modes in D = 10
supergravity, Phys. Lett. 169B, 64.
530. Yau S. T. A977), Calabi's conjecture and some new results in algebraic
geometry, Proc. Natl. Acad. Sci. 74, 1798.
531. Yau S. T. A985), Compact three dimensional Kahler manifolds with zero
Ricci curvature, in Symp. on Anomalies, Geometry, Topology, March 28—
30, 1985, eds. W. A. Barden and A. R. White (World Scientific, Singa-
Singapore), p. 395.
532. Zee A. A972), Axial-vector anomalies and the scaling property of field
theory, Phys. Rev. Lett. 29, 1198.
533. Zee A. A982), Unity of Forces in the Universe (World Scientific).
534. Zumino B. A975), Supersymmetry and the vacuum, Nucl. Phys. B89, 535.
535. Zumino В., Wu Y. S. and Zee A. A984), Chiral anomalies, higher dimen-
dimensions, and differential geometry, Nucl. Phys. B239, 477.
536. Zwiebach B. A985), Curvature squared terms and string theories, Phys.
Lett. 156B, 315.

638 Библиография
Литература, добавленная при переводе1)
1. Alvarez-Gaume L., Gomez С, Moore G. and Vafa С. A988), Strings in
the operator formalism, Nucl. Phys. B303, 455, 1988; Fermionic strings in
the operator formalism, Nucl. Phys. B311, 333.
2. Alvarez-Gaume L. A989), Topics in conformal field theory and string
theory. Lectures given at NATO School in Mathematical Physics, Montreal,
Canada, Jul 1988. CERN preprint CERN-TH-5287/89.
3. Antoniadis I. A988), Status report on four-dimensional strings. Invited
talk given at 24th Int. Conf. on High Energy Physics, Munich, West
Germany, Aug. 4—10, 1988 CERN preprint CERN-TH-5199/88.
4. Callan С G. and Thorlacius L. A989), Sigma models and string theory.
Princeton Univ. preprint Print-89-0232.
5. Coleman S. A988), Why there is nothing other than something? Nucl.
Phys. B302, 431.
6. Frampton P. H. and Volovich I. V. A989), p-adic strings. Phys. Rept. 197, 1.
7. D'Hoker E. and Phong D. H. A988), The geometry of string perturbation
theory. Rev. Mod. Phys. 60, 917.
8. Lerche W., Schellekens A. N., Warner N. P. A989), Lattices and strings.
Phys. Rept. 179, 1.
9. Katanaev M. 0., Volovich I. V. A990), Two dimensional gravity with
dynamical torsion and strings, Ann. Phys. 197, 1.
10. Nilles H. P. A988), Towards a standard string model. Lectures given at
Int. School of Subnuclear Physics, The Superworld III, Erice, Italy, Aug
7—15, 1988. Munich, Max Planck Inst. preprint, TUM-TH-101/88, Oct 1988,
27 p.
11. Попов А. Д. Киральные фермионы в суперструнах в d = 10,11 суперграви-
супергравитации с дополнительными времениподобными измерениями, ТМФ, 75, 237
A988).
12. Schwarz J. Н. A988), Superconformal symmetry in string theory. Lectures
presented at the 1988 Banff Summer Institute on Particles and Fields,
Banff, Canada, Aug 14—27, 1988. Cal Tech preprint, CALT-68-1503.
13. Vafa С and Warner N. A989), Catastrophes and the classification of con-
formal theories. Phys. Lett. B218, 51, 1989.
14. Veneziano G. A988), Topics in string theory. CERN preprint CERN-
TH-5019/88.
15. Verlinde E. and Verlinde H. A988), Lectures on string perturbation theory.
¦Presented at Spring School and Workshop on Superstrings, Trieste, Italy,
Apr 11—22, 1988. Princeton Advanced Study Inst. preprint, LASSNS-
HEP-88/52.
16. Witten E. A988), The search for higher symmetry in string theory. Lecture
given at Mtg. on String Theory of the Royal Society, London, England,
Dec. 1988, Princeton Advanced Study Inst. preprint IASSNS-HEP-88/55.
]) Список литературы содержит обзоры основных направлений развития
теории суперструн в 1987—1989 гг. Обзоры по полевой теории струн вклю-
включены в дополнительную литературу, приведенную на с. 643. — Прим. ред.

Полевая теория струн
Полевая теория струн является областью очень активных
исследований, которую мы не отразили в этих двух томах. Она
включает формулировку теории струн как вторично квантован-
квантованной полевой теории, основанной на функциональных струнных
полях. Чтобы отразить это направление исследований, практиче-
практически потребовался бы третий том. Несмотря на наше решение не
развивать струнную полевую теорию в настоящей монографии,
мы чувствуем, что было бы полезно перечислить некоторые из
статей, посвященных этому предмету.
Большинство ранних работ по струнной теории поля осно-
основывалось на формулировке, использующей калибровку свето-
светового конуса. Многие вопросы, относящиеся к этому подходу,
обсуждаются в гл. 11. Основными работами, в которых была
развита большая часть подхода, являются статьи Каку и Кик-
кавы [40,41] и Креммера и Шерка [14, 15].
Обобщение подхода к полевой теории струн, использующе-
использующего калибровку светового конуса, на случай теории суперструн
содержится в статьях Грина, Шварца и Бринка [29—31]. Одно
интересное наблюдение в этих статьях состоит в том, что га-
гамильтониан взаимодействия задается антикоммутатором под-
подходящей компоненты суперзаряда, соответствующей световому
конусу, с самой собой. Более того, оба оператора однозначно
определяются (при правдоподобных предположениях) требо-
требованием замкнутости алгебры.
Хотя формулировка теории в калибровке светового конуса
может быть правильной и полной, существует много вопросов,
на которые она не отвечает. Возможно ковариантная формули-
формулировка с очень большой группой калибровочных инвариантностей
необходима для ответа на многие самые глубокие вопросы, ка-
касающиеся геометрии компактификации, существования или не-
несуществования пространственно-временных сингулярностей, и
другие. Такая формулировка должна выявить фундаментальные
принципы, лежащие в основе теории струн. Вопрос о том,

640 Полевая теория струн
окажется ли ковариантная струнная полевая теория правильным
подходом к пониманию логической структуры струнной теории,
остается открытым. Такой взгляд определенно является самым
консервативным подходом к этой проблеме. Гораздо более ра-
радикальный подход описан в работе [22].
Раннее исследование ковариантной струнной полевой теории
в «старые времена» теории струн содержится в статье [49].
После возрождения интереса к теории струн первый важный шаг
на пути построения ковариантных полевых теорий струн сде-
сделал Зигель [67, 68], который показал, что важную роль должен
играть BRST-оператор. Около 1985 г. это направление стало
быстро развиваться в пионерских работах Бэнкса и Пескина [6],
Зигеля и Звибаха [69] и Неве и Веста [52—57], которые по-
построили калибровочно-инвариантные полевые теории свободных
струн. Многие другие статьи, в которых развиваются калибро-
калибровочно-инвариантные полевые теории свободных струн, перечис-
перечислены в приведенном ниже списке литературы. Калибровочно-
инвариантная нелинейная полевая теория открытых бозонных
струн была предложена в работе [77] и проинтерпретирована в
терминах кольца некоммутативных когомологий. Другие под-
подходы к линейным калибровочно-инвариантным полевым теориям
струн предприняты в статьях [32, 33, 56]. Многие важные
статьи, существующие только в виде препринтов, ниже не при-
приведены.
Литература
1. Aratyn H. and Zimerman A. N. A986), On covariant formulation of the
free Neveu — Schwarz and Ramond string models, Phys. Lett. 166B, 130.
2. Aratyn H. and Zimerman A. H. A986), Gauge invariance of the bosonic
free field string theory, Phys. Lett. 168B, 75.
3. Aratyn H. and Zimerman A. H. A986), Differential form formulation of
the Neveu — Schwarz and Ramond free field string theories, Nucl. Phys.
B269, 349.
4. Aulakh С S. A986), Consistently truncated open superstring, Phys. Lett.
1758, 297.
5. Awada M. A. A986), The gauge-covariant formulation of interacting
strings and superstrings, Phys. Lett. 172B, 32.
6. Banks T. and Peskin M. E. A986), Gauge invariance of string fields,
Nucl. Phys. B264, 513.
7. Banks Т., Friedan D., Martinec E., Peskin M. and Preitschopf C. A986),
All free string theories are theories of forms, Nucl. Phys. B274, 71.
8. BardakqiK. A986), Covariant gauge theory of strings, Nucl. Phys. B2I7,
561.
9. Baulieu L. and Ouvry. S. A986), Quasi — Yang — Mills structure for the
open bosonic string, Phys. Lett. 171B, 57.
10. Bengtsson A. K. H., Brink L, Cederwall M. and Ogren M. A985), Uni-
Uniqueness of superstring actions, Nucl. Phys. B254, 625.
11. Bengtsson I. A986), Hamiltonian treatment of free string field theory,
Phys. Lett. 172B, 342.

Полевая теория струн 641
12. Carson L. and Hosotani У. A986), Line functional and string field theory,
Phys. Rev. Lett. 56, 2144.
13. Chappell Gv Л and Taylor J. G. A986), On gauge invariant bosonic
strings, Phys. Lett. 175B, 159.
14. Cremmer E. and Gervals I. L. A974). Combining and splitting relativistic
strings, Nucl. Phys. B76, 209.
15. Cremmer E. and Gervais J. L. A975), Infinite component field theory of
interacting relativistic strings and dual theory, Nucl. Phys. B90, 410.
16. Das S. R. and Rubin M. A. A986), A Tomonaga — Schwinger — Dirac for-
formulation for string theories, Phys. Lett. 169B, 182.
17. Date G. D. Giinaydin, M., Pernici M., Pilch К and Van Nieuwenhuizen P.
A986), A minimal covariant action for the free open spinning string field
theory, Phys. Lett. 171B, 182.
18. de Alwis S. P. and Ohta N. A986), Fully gauge-invariant field theory of
free superstrings, Phys. Lett. 174B, 383.
19. de Alwis S. P. and Ohta N. A986), All free string theories are theories
of-BRST cohomology, Phys. Lett. 174B, 388.
20. Floratos E. G., Kazama Y. and Tamvakis К A986), On the relation bet-
between the gauge-covariant formulation of string field theories, Phys. Lett.
166B, 295.
21. Friedan D. A985), On two-dimensional conformal invariance and the field
theory of strings, Phys. Lett. 162B, 102.
22. Friedan D. and Shenker S. A986), The integrable analytic geometry of
quantum string, Phys. Lett. 175B, 287.
23. Friedan D. and Shenker S. A987), The analytic geometry of conformal
field theory, Nucl. Phys. B281, 509.
24. Friedan D. A986), String field theory, Nucl. Phys. B271, 540.
25. Gervais J.-L. A986), Group theoretic approach to the string field theory
action, Nucl. Phys. B276, 339.
26. Giddings S. A986), The Veneziano amplitude from gauge invaraint string
field theory, Nucl. Phys. B278, 242.
27. Giddings S. and Martinec E. A986), Conformal geometry and string field
theory, Nucl. Phys. B278, 91.
28. Giddings S., Martinec E. and Witten E. A986), Modular invariance in
string field theory, Phys. Lett. 176B, 362.
29. Green M. V. and Schwarz J. H. A983), Superstring interactions, Nucl.
Phys. B218, 43.
30. Green M. В., Schwarz J. H. and Brink L. A983), Superfield theory of
type (II) superstrings, Nucl. Phys. B219, 437.
31. Green M. B. and Schwarz J. H. A984), Superstring field theory, Nucl.
Phys. B243, 475.
32. Hata H., Itoh K., Kugo Т., Kunitomo H. and Ogawa K. A986), Manifestly
covariant field theory of interacting string I, Phys. Lett. 172B, 186.
33. Hata H., Itoh K., Kugo Т., Kunitomo H. and Ogawa K. A986), Manifestly
covariant field theory of interacting string II, Phys. Lett. 172B, 195.
34. Hata H., Itoh K, Kugo Т., Kunitomo H. and Ogawa K. A986), Covariant
string field theory, Phys. Rev. D34, 2360.
35. Hata H., Itoh K-, Kugo Г., Kunitomo H. and Ogawa K- A986), Pregeo-
metrical string field theory: creation of space-time and motion, Phys.
Lett. 175B, 138.
36. Hopkinson J. F. L, Tucker R. W. and Collins P. A. A975), Quantum
strings and the functional calculus, Phys. Rev. D12, 1653.
37. Horowitz G. T. and Strominger A. A986), Origin of gauge invariance in
string theory, Phys. Rev. Lett. 57, 519.
38. Horowitz G. Т., Lykken J., Rohm R. and Strominger A. A986), Purely
cubic action for string field theory, Phys. Rev. Lett. 57, 283.

642 Полевая теория струн
39. Itoh К., Kugo Т., Kunimoto H. and Ooguri H. A986), Gauge invariant
local action of string field from BRS formalism, Prog. Theor. Phys. 75,
162.
40 Kaku M and Kikkawa K. A974), Field theory of relativistic strings.
I. Trees, Phys. Rev. D10, 1110.
41. Kaku M. and Kikkawa K. A974), Field theory of relativistic strings..
II. Loops and pomerons, Phys. Rev. D10, 1823.
42. Kaku M. A985), Locality in the gauge-covariant field theory of strings,
Phys. Lett. 162B, 97.
43. Kaku M. A986), Gauge field theory of covariant strings, Nucl. Phys. B-267,
125.
44. Kaku M. and Lykken J. A985), Supergauge field theory of superstrings,
in Symp. on Anomalies, Geometry, Topology, March 28—30, 1985,
eds. W. A. Bardeen and A. R. White (World Scientific, Singapore),
p. 360.
45. Kazama Y., Neveu A, Nicolai H. and West P. С A986), Symmetry struc-
structures of superstring field theories, Nucl. Phys. B276, 366.
46. LeClair A. A986), Fermionic string field theory, Phys. Lett. 168B, 53.
47. LeClair A. and Distler J. A986), Gauge invariant superstring field theory,
Nucl. Phys. B273, 552.
48. Marcus N. and Sagnotti A. A986), String field theory and equations of
motion, Phys. Lett. 178B, 343.
49. Marshall C. and Ramond P. A975), Field theory of the interacting string:
The closed string, Nucl. Phys. B85, 375.
50. Meurice Y. A986), About the uniqueness of covariant string field theory,
Phys. Lett. 173B, 257.
51. Nakawaki Y. and Saito T. A972), Field theory of dual-resonance model,
Prog. Theor. Phys. 48, 1324.
52. Neveu A., Schwarz J. H. and West P. С A985), Gauge symmetries of the
free bosonic string field theory, Phys. Lett. 164B, 51.
53. Neveu A. and West P. C. A985), Gauge symmetries of the free supersym-
metric string field theories, Phys. Lett. 165B, 63.
54. Neveu A.. Nicolai H. and West P. С A986), Gauge covariant local formu-
formulation of free strings and superstrings, Nucl. Phys. B264, 573.
55. Neveu A., Nicolai H. and West P. С A986), New symmetries and ghost
structure of covariant string theories, Phys. Lett. 167B, 307.
56. Neveu A. and West P. C. A986), The interacting gauge covariant bosonic
string, Phys. Lett. 168B, 192.
57. Neveu A. and West P. С A986), Gauge covariant local formulation of
bosonic strings, Nucl. Phys. B268, 125.
58. Ohta N. A986), Covariant second quantization of superstrings, Phys. Rev.
Lett. 56, 440.
59. Ohta N. A986), Covariant quantization of superstrings based on Becchi —
Rouet —Stora invariance, Phys. Rev. D33, 1681.
60. Ooguri H. A986), String field theory with spacetime supersymmetry; Phys.
Lett. 172B, 204.
61. Peskin M. B. and Thorn С. В. A986), Equivalence of the light-cone formu-
formulation and the gauge-invariant formulation of string dynamics, Nucl. Phys.
B269, 509.
62. Pfeffer D., Ramond P. and Rodgers V. G. J. A985), Gauge invariant field
theory of free strings, Nucl. Phys. B276, 131.
63. Raby S., Slansly R. and West G. A985), Toward a covariant string field
theory, in proc. of the Lewes String Theory Workshop (World Scientific),
p. 246.
64. Ramond P. A986), A pedestrian approach to covariant string theory,
Suppl. Prog. Theor. Phys. 86, 126.

Полевая теория струн 643
65. Sciuto S. A969), The general vertex function in dual resonance models,
Nuovo Cim. Lett, 2, 411.
66. Senda I. A986), Light-cone field theory of closed bosonic strings com-
pactified on a torus, Phys. Lett. 174B, 267.
67. Siegel W. A984), Covariantly second-quantized string II, Phys. Lett. 149B,
157; 151B, 391.
68. Siegel W. A984) Covariantly second-quantized string III, Phys. Lett.
149B, 162; 151B, 396.
69. Siegel W. and Zwiebach B. A986), Gauge string fields, Nucl. Phys. B263,
105.
70. Taylor J. G. and Restuccia A. A985), European Physical Society meeting,
Bari, Italy.
71. Terao H. and Uehara S. A986), Covariant second quantization of free
superstring, Phys. Lett. 168B, 70.
72. Terao H. and Uehara S. A986), Gauge invariant actions and gauge fixed
actions of free superstring field theory, Phys. Lett. 173B, 134.
73. Terao H. and Uehara S. A986), Gauge invariant actions of free closed
superstring field theories, Phys. Lett. 173B, 409.
74. Thorn С. B. A985), Comments on covariant formulations of string theo-
theories, Phys. Lett. 159B, 107.
75. Thorn С. В. A986), The theory of interacting relativistic strings, Nucl.
Phys. B263, 493.
76. Tseytlin A, A. A986), Covariant string field theory and effective action,
Phys. Lett. 168B, 63.
77. Witten E. A986), Non-commutative geometry a-nd string field theory, Nucl.
Phys. B268, 253.
78. Witten E. A986), Interacting field theory of open superstrings, Nucl. Phys.
B276, 291.
79. Yamron 1. P. A986), A gauge invariant action for the free Ramond
string, Phys. Lett. 174B, 69.
80. Yoneya T. A985), Space-time local symmetry of string field theory, Phys.
Rev. Lett. 55, 1828.
SI. Zwiebach B. A985), Gauge invariant string actions, in Workshop on
Unified String Theories, 29 July—16 August, 1985, eds. M. Green and
D. Gross (World Scientific, Singapore), p. 607.
Литература, добавленная при переводе1)
1. Alvarez-Qaume /.'., Gomez С. and Reina С. A987), Loop groups, grassma-
nians and string theory, Phys. Lett. 190B, 55.
2. Alwis S. P. A987), Remarks on the relation between different (open)
string field theories, Phys. Lett. 189B, 405.
3. Alwis S. P., Grisaru M. T. and Mezincescu L. A987), Ward identities in
open string field theory, Phys. Lett. 197B, 96.
4. Арефьева И. #., Волович И. В. Калибровочно-инвариантное действие
взаимодействующих бозонных струн. — ТМФ, 1986, т. 67, с. 477.
5. Aref'eva I. Ya. and Volovich I. V. A987), General relativity invariance
and string field theory ICTP preprint, IC/87/62.
6. Aref'eva I. Ya. and Chekhov L. O. A987), Closed string fields as para-
parameters of extra gauge symmetry of open string field theory, ICTP pre-
preprint, IC/87/62.
^ ') Приведенный список литературы по полевой теории струн, добавлен-
добавленный редакторами перевода, включает в себя в основном работы, вышедшие
в 1987—1989 гг.

644 Полевая теория струн
7 Aref'eva I. Ya. and Volovich I. V. A986), String field algebra, Phys. Lett.
182B, 312.
8. Aref'eva I. Ya. A988), String field theory, lectures given at Int. Summer
School on Conformal Invariance and String Theory, Poiana Brasov, Ro-
Romania, Sep. 1—12, 1987, in: Conformal Invariance String Theory, eds.
P. Dita and V. Geordescu, Academic Press, INC.
9. Aref'eva I. Ya. and Medvedev P. B. A988), Field theory of open super-
strings in the fermionic ghost representation, Nucl. Phys. B130, 101.
10. Aref'eva I. Ya. and Medvedev P. B. A988), Truncation, picture-changing
operation and space-time, supersymmetry in NSR string field theory,
Phys. Lett. 202B, 510.
11. Aref'eva I. Ya. and Medvedev P. B. A989), Anomalies in Witten's field
theory of the NSR string, Phys. Lett. 212B, 299.
12. Awada M. A. and Chamseddine A. H. A987), Closed string (field) theory
and grassmannians. 1. Zurich, ETH preprint, ETH/PT/87-3.
13. Awada M. A987), Functional loop spaces, grassmannians, and reparamet-
rization invariant string field theory, CERN preprint, CERN-TH-4709.
14. Bang-Gui Liu and Chen Yi-Xin A988), A new gauge and brst invariant
interacting closed bosonic string field theory, Class. Quant. Grav. 5,
L119.
15. Banks T. and Martinec E. A987), The renormalization group and string
field theory, Nucl. Phys. B294, 733.
16. Bardakci K. A988), A geometrical approach to string field theory, Nucl.
Phys. B284, 334.
17. Bars I. and Yankielowicz S. A989), The string field embedded in a loop
space geometry, Phys. Lett. 196B, 329.
18. Baulieu L, Bergshoeff E. and Sezgin E. A988), Open BRST algebras,
ghost unification and strnig field theory, Nucl. Phys. B307, 348.
19. Bluhm R. and Samuel S. A989), The off-shell Koba-Nielsen formula,
Nucl. Phys. B323, 337.
20. Bochicchio M. A987), Quantization of the bosonic string field theory,
Phys. Lett. 188B, 330.
21. Bogojevic A. R. A987), BRST invariance of the measure in string field
theory. Phys. Lett. B198, 479.
22. Bowick M. J. and Rajeev S. G. A987), The holomorphic geometry of
closed bosonic string theory and diff SJSi, Nucl. Phys. B293, 348.
23. Bordes J. and Lizzt F. A988), Computation of amplitudes in the discre-
tized approach to string field theory, Phys. Rev. Lett. 61, 278.
24. Carow-watamura U. and Watamura S. A988), N string vertex, canonical
forms and bosonization, Nucl. Phys. B302, 149.
25. Castellani L. A988), String field theory as general relativity of loops,
Phys. Lett. 206 B, 47.
26. Castellani L. A988), Infinite dimensional free differential algebras and
string field theory, Nucl. Phys. B317, 46.
27. Chen W. and Yue Yu A988), Free heterotic string field theory, Phys. Rev.
D35, 3915.
28. Chen Yi-Xin and Bang-Gui Liu A988), A covariant open bosonic string
field theory including the endpoint and midpoint interaction, Z. Phys.
C39, 547.
29. LeClair A., Peskin M. E. and Preitschopf C. R. A988), String field theory
on the conformal plane. 1. kinematical principles, Nucl. Phys. B317,
411.
30. LeClair A., Peskin M. E. and Preitschopf С R. A989), String field theory
on the conformal plane. 2. generalized gluing, Nucl. Phys. B317, 464.
31. Clarizia A. and Pezzella F. A987), BRST invariant mixed string vertex
for the bosonic string, Nucl. Phys. B301, 499.

Полевая теория струн 645
32 Clarizia A. and Pezzella F. A988), N reggeon vertex for the Neveu —
Schwarz string, Nucl. Phys. B298, 636.
33. Di Vecchia P. M. Frau, Lerda A., Sciuto S. A987), N string vertex and
loop calculation in the bosonic string, Nucl. Phys. B298, 527.
34. Eskin A. A988), Conformal transformations and string field redefinitions,.
Phys. Lett. 206B, 612.
35. Jiyu Feng A988), New solutions and symmetries of the purely cubic bo-
bosonic string field theory, Caltex preprint CALT-68-1475.
36. Freeman M. D. and West P. A988), Ghost vertices for the bosonic string
using the group theoretic approach to string theory, Phys. Lett. 205B, 30.
37. Greensite J. (San Francisco State U.), Klmkhamer F. R. A989), An ap-
approach to general covariance in string space of brst string field theory,
Phys. Rev. D39, 2317.
38. Gross D. J. and Jevicki A. A987), Operator formulation of interacting
string field theory. 3. NSR superstring, Nucl. Phys. B293, 29.
39. Hata H. and Nojiri M. A987), A new symmetry in covariant open string
field theory, Phys. Rev. D36, 1193.
40. Holman R. and Sen S. A987), Gauge invariant closed string field theory
and the Virasoro-Shapiro amplitude, FERMILAB preprint, Print-87-0430.
41. Hori T. A987), Generalization of general relativity to the space of closed
strings, Phys. Lett. 194B, 487.
42. Horowitz G. T. A987), Introduction to string field theory, lectures deli-
delivered at the ICTP Spring School on Sypersymmetry, Supergravity and
Superstrings, Trieste, Italy, Apr 1 —11, 1987, and Theoretical Advanced
Study Inst., Santa Fe, N. Мех., Jul 5 — Aug 1, 1987 Santa Barbara
Preprint, UCSB-TH-87-38.
43. Horowitz G. T. and Martin S. P. A987), Conformal field theory and the
symmetries of string field theory, Nucl. Phys. B296, 220.
44. Horowitz G. T. and Witt D. M. A987), Toward a string field theory in-
independent of space-time topology, Phys. Lett. 199B-, 176.
45. Horowitz G. Т., Morrow-Jones J., Martin S. P. and Woodard R. P. A987),
New exact solutions for the purely cubic bosonic string field theory, Phys.
Rev. Lett. 60, 261.
46. Hosoya A. and Itoyama H. A989), The vertex as a Bogolyubov trans-
transformed vacuum state in string field theory, Nucl. Phys. B313, 116.
47. Ho K. and Onogi T. A987), One loop integration region in closed light
cone string field theory, Prog. Theor. Phys. 78, 135.
48. Itoh K. and Kunitomo H. A988), Covariant string field theory on ZB)
orbifold, Prog. Theor. Phys. 79, 953.
49. Iwazaki A. A987), Restrictions on gauge parameters in open string field
theory, Prog. Theor. Phys. 78, 990—995.
50. Jevicki A. A987), Construction of interacting string and superstring field
theory, Int. J. Mod. Phys. A3, 299.
51. Jevicki A. A987), Three lectures on string field theory, Lectures presented
at Summer Workshop on Particle Physics and Cosmology, Trieste, Italy,
Jun 29 — Aug 7, 1987, Brown Univ. preprint, BROWN-HET-640.
52. Jimenez F. and Sierra G. A988), Quenched string field theory Phys.
Lett. 202B, 58.
53. Kaku M. A988), Why are there two brst string field theories?, Phys Lett.
200B, 22.
54. Kaku M. and Lykken J. A988), Modular invariant closed string field the-
theory, Phys. Rev. D38, 3067.
55. Kaku M. A988), Geometric derivation of string field theory from first
principles, closed strings and modular invariance, Phys. Rev. D38, 3052.
56. Karchev N. I. A987), From the first to the second quantized string the-
theory, Phys. Lett. 212B, 158.

646 Полевая теория струн
57. Knecht M. A987), Witten type interaction of strings with unequal lengths,
Orsay preprint, IPNO/TH 87-49.
58. Krasnikov N. V. A987), Quantum field theory with infinite component
local fields as an alternative to the string theories, Phys. Lett. 195B, 377.
59. Kugo Т., Kunitomo H. and Suehiro К A987), BRS invariance of string
vertex on general ghost vacuum, Prog. Theor. Phys. 78, 923.
60. Kugo T. A987), Lorentz transformation in the light cone gauge string
field theory, Prog. Theor. Phys. 78, 690.
61. Kugo Т., Kunitomo H. and Suehiro K. A989), Nonpolynomial closed
string field theory, Kyoto preprint, KUNS-965.
-62. Kugo T. and Terao H. A988), New gauge symmetries in Witten's Ra-
mond string field theory, Phys. Lett. 208B, 416.
63. Leblanc Y. A987), String field theory at finite temperature, Phys. Rev.
D36, 1780.
64. Lechtenfeld 0. and Samuel S. A988), Gauge-invariant modification of
Wittens's open superstring, Phys. Lett. B213, 431.
65. Manes J. L. A988), An anomalous transformation in string field theory,
Nucl. Phys. B303, 305.
66. Mansfield P. A988), The closed strings in Witten's open string field the-
theory, Nucl. Phys. B317, 187.
67. Morris T. R. A988), From first to second quantized string theory, Phys.
Lett. 202B, 222.
68. Morrow-Jones J. A987), Lorentz transformations as in ner derivations in
string field theory and the associativity anomaly revisited, Nucl. Phys.
B296, 313.
69. Neveu A. and West P. A987), Group theoretic approach to the pertur-
bative string S matrix, Phys. Lett. 193B, 187.
70. Neveu A. and West P. A988), Group theoretic approach to the open
bosonic string multiloop S matrix, Commun. Math. Phys. 114, 613.
71. Nojiri M. and Nojiri S. A987), A gauge invariant action containing both
open and closed string fields, Prog. Theor. Phys. 79, 284.
72. Oh Ph. A987), Coset representation of closed loop space in string field
theory, Phys. Lett. 196B, 336.
73. Ohrndorf T. A987), Witten's string field theory on a hyperelliptic curve,
Phys. Lett. 203B, 55.
74. Ohrndorf T. A988), From conformal quantum mechanics on bordered
Riemann surfaces to covariant string field theory, Nucl. Phys. B301,
460.
75. Potting R. and Taylor C. A989), The midpoint transformation in Wit-
Witten's string field theory, Nucl. Phys. B316, 59.
76. Preitschopf С R. A987), Oct 1987. The gluing theorem in the operator
formulation of string field theory, Maryland Univ. preprint UMD-EPP-
88-087.
77. Rakowski M. and Thompson G. A987), On the associativity anomaly in
open string field theory, Phys. Lett. B197, 339.
78. Ramond P., Rodgers V. G. J. and Viswanathan R. R. A987), The explicit
gauge invariance of the free closed bosonic strings and open fermionic
string, Nucl. Phys. B293, 293.
79. Redlich A. N. A987) Gauge fixing in string field theory using the Po-
lyakov path integral, Nucl. Phys. B304, 129.
80. Romans L. J. A987), Operator approach to purely cubic string field the-
theory, Nucl. Phys. B298, 369.
81. Saadi M. and Zwiebach B. A989), Closed string field theory from poly-
hedra. MIT preprint, MIT-CTP-17. '
82. Sakai K. A988), Off-shell amplitude in Witten's bosonic string field
theory. Prog. Theor. Phys. 80, 294.

Полевая теория струн 647
83. Samuel S. A987) Introduction to string field theory. City Coll., N. Y.,
preprint, CCNY-HEP-87/9.
84. Samuel S. A987), Covariant off-shell string amplitudes, Nucl. Phys.
B308, 285.
85. Sathiapalan B. A987), The off-shell vertex in conformal field theory and
string field theory, Phys. Lett. 201B, 454.
86. Samuel S. A988). Mathematical formulation of Witten's superstring field
theory, Nucl. Phys. B296, 187.
87. Sazdovic B. A987), Equivalence of different formulations of the free
Ramond string field theory, Phys. Lett. 195B, 536.
88. Shapiro J. A. and Thorn С. В. A987), BRST invariant transitions bet-
between closed and open strings, Phys. Rev. D36, 432.
89. Shapiro J. A. and Thorn С. В. A987), Closed string — open string transi-
transitions and Witten's string field theory, Phys. Lett. 194B, 43.
90. Shapiro J. A. A987), Closed strings and Witten's string field theory,
Rutgers Univ. preprint, RU-87-46, 1.
91. Siopsis G. A987), Hamiltonian formulation of string field theory, Phys.
Lett. 195B, 541.
92. Strominger A. A987), Closed string field theory, Nucl. Phys. B294, 93.
93. Strominger A. A987), Lectures on closed string field theory, Delivered at
ICTP School on Superstrings, Trieste, Italy, Apr 1 — 15, 1987, Princeton,
Advanced Study Inst. preprint, IASSNS-HEP-87/28.
94. Srednicki M. and Woodard R. P. A987), A world sheet regularization for
Witten's string field theory, Phys. Lett. 196B, 55.
95. Thorn С. В. A987), Calculations in perturbative field theory, in Proc. of
Conf. Perspectives in String Theory, Copenhagen, Denmark, Oct 12—16,
1987.
96. Thorn С. В. A989), String field theory, Phys. Rept. 175, 1.
97. Uehara S. A987), On the covariantized light cone string field theory,.
Phys. Lett. 190B, 76.
98. Uehara S. A987), On the «covariantized light cone» string field theory. 2,
Phys. Lett. 196B, 47.
99. Yoneya T. A987), String coupling constant and dilaton vacuum expecta-
expectation value in string field theory, Phys. Lett. 197B, 76.
100. Wendt C. A989), Scattering amplitude for Witten's open superstring field
theory, Nucl. Phys. B314. 209.
101. Zwiebach B. A988), A note on covariant Feynman rules for closed
strings, Phys. Lett. B213, 25—29.
102. Zwiebach B. A988), Constraints on covariant theories for closed string
fields, Ann. Phys. 186, 111.
103. Zwiebach B. A988), Closed string couplings with modular properties,
Nucl. Phys. B317, 147.

Предметный указатель
Аксионы 410—414
Аналоговая модель 197
Аномалии Адлера — Белла — Джаки-
ва 156
— в теории суперструн 165—167
¦— глобальные 55, 158
— гравитационные 184, 362—365
— калибровочные 160
— неориентируемой диаграммы 180
— пленарной диаграммы 170
— полевая теория 158—161
— смешанные 365, 478
— сокращение 366, 380
SOA6) X 5ОA6)-теория 387,
390
супергравитация типа I 380
II 381
—• условие Весса—Зумино 371, 373
Аномальные диаграммы Фейнмана
367
Антисимметричные тензорные поля
407
— второго ранга 183
Атьи—Зингера теорема 401, 422
Бетти числа 313, 317, 427
Бианки тождества 311, 451
Бранса—Дикке скалярное поле 356
Векторные расслоения 304
голоморфные 494—497
1/A) 322
Великое объединение 542—559
Вершинный оператор 14—16
Вершины взаимодействия 209
Вильсона петли 533, 543
Внешняя производная 418
Волновые операторы 391
Гамильтониан 201, 203, 262
Гаусса—Бонне—Черна теорема 422
Гауссов интеграл 20
Гетеротические струны 114
Глобальные симметрии 559—570
Голоморфная функция 460
Голоморфные координаты 457
Голономия 453, 476
Гомотопия 307
Гравитационное поле 528—531
Гравитино 450
Гравитон 431
Грина функция 23, 70, 74, 205, 245
Группа диффеоморфизмов 53
GSO-проекция 125—134
— обобщение 132—134
Действие в ОТО 352
с фермионами 353
— низкоэнергетическое эффективное
331
— обобщенное Максвелла 312
Дельта-функционал 267
де Рама теорема 314
Дилатино 450
— нарушение суперсимметрии 352
Дилатон 29, 31, 450
Дилатонные головастики 185
Дирака индекс 398—403, 424—426,
548
— монополь 425
— оператор 398, 418, 424
— уравнение 424
Дифференциальные формы 309—322
гармонические 317
—¦ — как безмассовые поля 393
Дольбо космологии 487, 507
— операторы 469
Дональдсона—Уленбек—Я у уравне-
уравнение 497

Предметный указатель
649
Древесные амплитуды 67, 222, 232,
249
Дробные электрические заряды 554
Духи 21
Иерархии проблема 356, 397
Инстантон 308
Инстантонное число 325
Интеграл по импульсу 19, 50
траектории 197
Калаби—Яу метрика 477
Калибровочные поля 302—309
— функции 306
Калуцы—Клейна теория 431, 435
Касательное пространство 293
—¦ расслоение 302—304
голоморфное 500
Квантование электрического заряда
554
Квантовая теория гравитации 64
Квинтика 467, 524
Киллинга векторы 432
— уравнение 431
Киральная асимметрия 397, 403
Киральность в 4k + 2 измерениях 159
10 измерениях 398
Ковариантная производная 293
Когомологии де Рама 314, 490
— Дольбо 487—489
число Ходжа 492
— разложение Ходжа 489
Кольцо когомологии 318
Компактификация 105—109
— калибровочные симметрии 433
— на орбифолд 139
тор 105
— появление модулей 436
Комплексная структура 459
Комплексное проективное простран-
пространство 463, 473
— гиперповерхности 465
метрика 473
Комплексные многообразия 455—467
¦ деформации 511—513
—¦ — разветвленные накрытия 515
Константа связи гравитационная 228,
350
Янга—Миллса 111
Конформная инвариантность 26
нарушение 173
Конформное отображение 223, 285
якобиан 286
Корреляционная функция 23, 33
Космологическая постоянная 63—66,
356, 571
Кросс-канал 31
Кэлеров потенциал 470
Кэлерова метрика 468
— форма 455
Кэлеровы многообразия 467—476
аффинная связность 470
оператор Дирака 484
риччи-плоские 476
— — тензор Римана 471
Кюннета формула 320
Лапласиан 277, 316
— вычисление детерминанта 277
— Лихнеровича 530
— Ходжа—де Рама 316
Лист Мёбиуса 13, 34, 38, 95
Лиувиллевские моды 44
Лоренца генераторы 263
— преобразование 165, 293
Лоренц-инвариантность 165
Магнитные монополи 307, 312
Масштабная инвариантность 352—355»
Метод когерентных состояний 19
Многообразия замкнутые 314
— комплексные 455—467
— кэлеровы 467
— параллелизуемые 296
— римановы 462
— с группой голономии SUC) 453
SU{N) 481
— характеристические классы 327
Модулярная группа 47, 55, 57
генераторы 55
— — фундаментальная 57
— инвариантность 53—57, 120, 125,
152
Модулярные преобразования 54, 80:
Нарушение симметрии 531—539
— четности 155—157
Нёйенхёйса тензор 457
Неймана коэффициенты 238—240
Нелинейная сигма-модель 343, 415
Неориентируемые диаграммы 34—39,.
95
— поверхности 13
Неперенормировки теорема 579
Непланарные диаграммы 13

«650
Предметный указатель
Нулевые моды 149, 394, 405
— операторы Дирака 509
Мьюлендера—Ниренберга теорема 462
Однопетлевые амплитуды 9—154
для замкнутых струн 45—66
— открытых струн 9—44
неориентируемые диаграммы
34
планарные диаграммы 14
Оператор внешнего дифференцирова-
дифференцирования 309
— твиста 34
— эволюции 28
Параллельный перенос 453, 472
Паули—Вилларса метод 171
Перенормировка 59, 208
Печея—Куинна симметрия 414
Планарные диаграммы 13—21, 89
Понтрягина класс 324—328
— числа 327
Почти комплексные структуры 456
Проективная плоскость 72
Пропагатор открытой бозонной стру-
струны 14
• вклад духов 20
— с твистом 35
— свободной струны 199
— фермионный 166
-Пуанкаре дуальность 319
-—• лемма 311
Пуассона формула 81
по нормальным модам
Разложение
108
на решетке 203
Рариты—Швингера оператор 405
поле 394, 405
Распад протона 545, 552, 570
Расходимости 59
Регуляризация 160
— метод Паули—Вилларса 171
— планарной диаграммы 171
"Решеточное обрезание 202
Римана—Роха теорема 493
Римановы поверхности 7, 328 462
499
RNS-формализм 124—132
й-симметрия 562
"Сингулярность 23, 24, 58, 98
— нормальная пороговая 24
SLB,Z) группа 54, 55
SO A6) группа 141
SO A6) X SO A6) группа 142—145,
149
— теория 145—148
Сокращение расходимостей 188
СР-инвариантность 369, 560
Спиновая связность 293—295, 521
Спинорные структуры 298—301
GSO-проекция 300
Спиноры 291
Стокса теорема 314
Струны с твистами 140—145
Супергравитация 333—351, 380
Суперзаряд 259—262
Суперпотенциал 571—575
Суперпуанкаре-генераторы 259
Суперсимметрия 262, 264—266, 448
— нарушение 352, 450
Тахион 31
Тейхмюллера параметры 463
Тетрада 293—295
Тор 46—52, 105, 115
Ультрафиолетовые расходимости 25—
27, 62
Унитарность 9—11, 24
Флуктуации гравитационного поля
528
Фубини—Штуди метрика 474
Функциональный интеграл 215—219
SU D) XU(l) -формализм 255—
258
Характеристические классы 322
неабелев случай 324
Хиггса поля 393, 542
Хиггсов дублет 448
Хиггсовы бозоны 404
Хирцбруха сигнатура 421
Ходжа разложение 489—492
— числа 492, 493
Чана—Патона множитель 167
Черна классы 322—326
для SU{N) -голоном ии 477
Саймонса форма 324, 328, 372

Предметный указатель
651
—¦ — —. янг-миллсова и лоренцева
412
Шапиро—Вирасоро модель 251
Шварца-Кристоффеля преобразова-
преобразование 224
Шестиугольные диаграммы 167
Эйлера класс 326—328
Эйлерова характеристика 327—329,.
422, 493
— — кэлерова многообразия 493
Эффективное действие 331—389
Юкавские взаимодействия 318, 568
Якоби функции 78
Якобиан 286, 287
Янга—Миллса уравнения 494—49&

Оглавление
Предисловие 5
Глава 8. Однопетлевые диаграммы в теории бозонных струн 7
8.1. Однопетлевые амплитуды для открытых струн 9
8.1.1. Пленарные диаграммы 14
8.1.2. Неориентируемые диаграммы ,34
8.1.3. Непланарные петлевые диаграммы 39
8.2. Однопетлевые амплитуды для замкнутых струн 45
8.2.1. Тор 46
8.2.2. Модулярная инвариантность 53
8.2.3. Область интегрирования 57
8.2.4. Анализ расходимостей 59
8.2.5. Космологическая постоянная 63
8.2.6. Амплитуды с безмассовыми состояниями замкнутой струны 66
8.3. Другие типы диаграмм для неориентированных струн 67
8.3.1. Древесные диаграммы более высокого порядка 67
8.3.2. Вещественная проективная плоскость 72
8.3.3. Другие петлевые диаграммы 75
8.4. Резюме 77
Приложение 8.А. 9-функцин Якобн . 78
Глава 9. Однопетлевые диаграммы в теории суперструн ...... 84
9.1. Амплитуды для открытых суперструн 85
9.1.1. Амплитуды с М < 4 безмассовыми внешними состояниями 87
9.1.2. Планарные диаграммы 89
9.1.3. Неориентируемые диаграммы 95
9.1.4. Ориентируемые непланарные диаграммы 97
9.2. Теории типа II 99
9.2.1. Конечность тороидальной амплитуды 101
9.2.2. Компактификация на тор 105
9.2.3. Низкоэнергетический предел однопетлевых амплитуд . . 109
9.3. Теория гетеротических струн . . 114
9.3.1. Тор с четырьмя внешними частицами 115
9.3.2. Модулярная инвариантность EsX.Es- и 5ОC2)-теорий 120
9.4. Вычисления в RNS-формализме 124
9.4.1. Модулярная инвариантность и GSO-проекция 125
9.4.2. Петлевые вычисления 130
¦9.5. Орбифолды и струны с твистами 132
9.5.1. Обобщение GSO-проекции 132
9.5.2. Струны на орбифолдах 134

Оглавление 653
9.5.3 Струны с твистами в десяти измерениях 140
9.5.4. Альтернативный взгляд на SO A6) + SO A6) -теорию . .145
9.6. Резюме 148
Приложение 9.А. Следы по фермионным модам . . _. 149
Приложение 9.Б. Модулярная инвариантность функций F2 и 9? . . 152
Глава 10. Калибровочная аномалия в теории суперструн типа I .... 155
10.1. Введение в аномалии 158
10.1.1. Аномалии в полевой теории точечных частиц 158
10.1.2. Калибровочная аномалия в D = 10-суперсимметричной тео-
теории Янга — Миллса 161
10.1.3. Аномалии в теории суперструн 165
10.2. Анализ шестиугольных диаграмм . 167
10.2.1. Аномалия планарной диаграммы 170
10.2.2. Аномалия неориентируемой диаграммы 180
10.2.3. Отсутствие аномалий в непланарных диаграммах . . . 182
10.3. Другие однопетлевые аномалии в теории суяерстурн . . . 184
10.4. Сокращение расходимостей для групп SO C2) 185
10.4.1. Дилатонные головастики и пеглевые расходимости . . . 185
10.4.2. Сокращение расходимостей 188
10.5. Резюме 190
Приложение 10.А. Альтернативная регуляризация 190
Глава 11. Функциональные методы в калибровке светового конуса . . .196
11.1. Струнный интеграл по мировым поверхностям 197
11.1.1. Аналоговая модель 197
11.1.2. Пропагатор свободной струны 199
11.1.3. Решеточное обрезание 202
11.1.4. Континуальный предел 206
11.2. Вычисление амплитуд . . 209
11.2.1. Вершины взаимодействия 209
11.2.2. Параметризация процессов рассеяния 213
11.2.3. Вычисление функционального интеграла 215
11.2.4. Амплитуды с внешними основными состояниями .... 220
11.3. Древесные амплитуды для открытых струн 222
11.3.1. Конформное отображение 223
11.3.2. Вычисление амплитуд 228
11.4. Древесные диаграммы открытых струн с возбужденными внешни-
внешними состояниями 232
11.4.1. Функция Грина на бесконечной полосе 233
11.4.2. Функции Грина для произвольных древесных амплитуд 234
11.4.3. Амплитуда в осцилляторных переменных 236
11.4.4. Общий вид коэффициентов Неймана 238
11.4.5. Коэффициенты Неймана для кубической вершины откры-
открытых струн 239
11.5. Однопетлевые амплитуды открытых струн 242
11.5.1. Конформное отображение планарной петлевой диаграммы 242
11.5.2. Функция Грина 245
11.5.3. Планерная однопетлевая амплитуда 246
11.5.4. Другие однопетлевые амплитуды 247
11.6. Амплитуды замкнутых струн 249
11.6.1. Древесные амплитуды 249
11.6.2. Однопетлевые амплитуды замкнутых струн 251
11.7. Суперструны ... . 255
11.7.1. S{/D) X ?/A)-формализм .....".. 265

654 Оглавление
11.7.2. Суперпуанкаре-генераторы . 259
11.7.3. Алгебра суперсимметрии в теории с взаимодействием . . 264
11.7.4. Дельта-функционал непрерывности 267
11.7.5. Сингулярные операторы вблизи точки взаимодействия 268
11.7.6. Члены взаимодействия 271
11.7.7. Древесные амплитуды открытых суперструн 274
11.8. Резюме . 276
Приложение 11.А. Детерминант лапласиана 277
Приложение 11.Б. Якобиан конформного отображения 286
Приложение 11.В. Свойства функций fm 288
Приложение 11.Г. Свойства 5(УD)-коэффициентов Клебша — Гордана 289
Глава 12. Некоторые сведения по дифференциальной геометрии . . . .291
12.1. Спиноры в общей теории относительности 291
12.2. Спинорные структуры на мировой поверхности 298-
12.3. Топологически нетривиальные калибровочные поля 302
12.3.1. Касательное расслоение 302
12.3.2. Калибровочные поля и векторные расслоения 304
12.4. Дифференциальные формы 309-
12.5. Характеристические классы 322
12.5.1. Неабелев случай 324
12.5.2. Характеристические классы многообразий 327
12.5.3. Эйлерова характеристика римановой поверхности . . . 328-
Глава 13. Низкоэнергетическое эффективное действие 331
13.1. Минимальная супергравитация плюс супер симметрична я теория
Янга— Миллса , 333-
13.1.1. N = 1-супергравитация в десяти и одиннадцати измере-
измерениях 335
13.1.2. Супергравитацня типа НВ 339>
13.1.3. Взаимодействующая система супергравитации и супер-
суперсимметричной теории Янга — Миллса 347
13.2. Масштабная инвариантность классической теории 352
13.3. Анализ аномалий 357
13.3.1. Структура аномалий в теории поля 360
13.3.2. Гравитационные аномалии 362
13.3.3. Смешанные аномалии 365-
13.3.4. Аномальные диаграммы Фейнмана 367"
13.3.5. Математическое описание аномалий 370
13.3.6. Аномалии других типов 374
13.4. Явные формулы для аномалий 375-
13.5. Сокращение аномалий 380
13.5.1. Супергравитация типа I без материи 380
13.5.2. Супергравитацня типа ИВ 381
13.5.3. Разрешенные калибровочные группы для N = 1-теорий
суперструн . 381
13.5-4. SOA6) Х5ОA6)-теория .387
Глава 14. Компактификация высших измерений .391
14.1. Волновые операторы в десяти измерениях 391
14.1.1. Безмассовые поля в десяти измерениях 392:
14.1.2. Нулевые моды волновых операторов . 394
14.2. Безмассовые фермионы 396-
14.2.1. Индекс оператора Дираки . 39S
14.2.2. Учет калибровочных полей 401

Оглавление 655
14.2.3. Киральная асимметрия 403
14.2.4. Оператор Рариты — Швингера . 405
14.2.5. Дальнейшие замечания . 405
14.3. Нулевые моды антисимметричных тензорных полей 406
14.3.1. Антисимметричные тензорные поля 407
14.3.2. Применение к аксионам в N = 1-теории суперструн . . 410
14.3.3. «Ненулевые моды» 416
14.3.4. Внешняя производная и оператор Дирака 418
14.4. Теоремы об индексе на мировом листе струны 423
14.4.1. Индекс Дирака . 424
14.4.2. Эйлерова характеристика . • 426
14.4.3. Нулевые моды конформных духов 427
14.4.4. Нулевые моды суперконформных духов 428
14.5. Нулевые моды нелинейных полей 429
14.6. Модели квантовых чисел фермионов 438
14.7. Сокращение аномалий в четырех измерениях 443
Глава 15. Некоторые сведения по алгебраической геометрии ..... 447
15.1. Низкоэнергетическая суперсимметрия . 448
15.1.1. Мотивировка 448
15.1.2. Условия ненарушенной суперсимметрии 450
15.1.3. Многообразия с группой голономии SUC) 453
15.2. Комплексные многообразия 455
15.2.1. Почти комплексные структуры 456
15.2.2. Тензор Нёйенхёйса 457
15.2.3. Примеры комплексных многообразий 461
15.3. Кэлеровы многообразия . 467
15.3.1. Кэлерова метрика 468
15.3.2. Внешние производные 469
15.3.3. Аффинная связность и тензор Римана 470
15.3.4. Примеры кэлеровых многообразий 473
15.4. Риччи-плоские кэлеровы многообразия с группой голономии
SU(N) 476
15.4.1. Метрика Калаби — Яу 477
15.4.2. Ковариантно постоянные формы 480
15.4.3. Некоторые многообразия с SU(N) -голономией 481
15.5. Волновые операторы на кэлеровых многообразиях 484
15.5.1. Оператор Дирака 484
15.5.2. Когомологии Дольбо 487
15.5.3. Разложение Ходжа . 489
15.5.4. Числа Ходжа 492
15.6. Уравнения Янга — Миллса и голоморфные векторные расслоения 494
15.6.1. Голоморфные векторные расслоения 495
15.6.2. Уравнение Дональдсона — Уленбек — Яу . .... 497
15.6.3. Примеры 499
15.7. Когомологии Дольбо и некоторые приложения 507
15.7.1. Нулевые моды оператора Дирака 509
15.7.2. Деформации комплексных многообразий 511
15.7.3. Деформации голоморфных векторных расслоений . . . 513
15.8. Разветвленные накрытия комплексных многообразий .... 515
Глава 16. Модели с низкоэнергетической суперсимметрией 518
16.1. Один простой анзац . . . . : 518
16.2. Спектр безмассовых частиц 524
16.2.1. Нулевые моды заряженных полей 525

656 Оглавление
16.2.2. Флуктуации гравитационного поля 528
16.2.3. Другие бозонные поля 531
16.3. Нарушение симметрии с помощью петель Вильсона 531
16.3.1. Варианты нарушения симметрии 533
16.3.2. Модель с четырьмя поколениями 537
16.4. Связь с обычными моделями великого объединения 542
16.4.1. Альтернативное описание нарушения симметрии .... 542
16.4.2. ?6-соотношения между константами взаимодействия . . 543
16.4.3. Подсчет безмассовых частиц 547
16.4.4. Дробные электрические заряды 554
16.4.5. Обсуждение 558
16.5. Глобальные симметрии . 559
16.5.1. Сохранение СР-инвариантности в суперструнных моделях 560
16.5.2. ^-преобразования в суперструнных моделях 561
16.5.3. Глобальные симметрии упрощенной модели 562
16.5.4. Законы преобразований полей материи 568
16.6. Топологические формулы для юкавских констант связи . . . 570
16.6.1. Топологическая формула для суперпотенциала .... 572
16.6.2. Кинетические члены . 578
16.6.3. Теорема о неперенормировке и ее следствия 579
16.6.4. Приложения к упрощенной модели 584
16.7. Другой подход к нарушению симметрии 586
16.8. Обсуждение . 594
16.9. Перенормировка констант связи 598
16.10. Орбифолды и алгебраическая геометрия 602
16.11. Дальнейшие замечания 605
Библиография 607
Литература 617
Полевая теория струн 639
Литература 640
Предметный указатель 648
Научное издание
Майкл Грин, Джон Шварц, Эдвард Виттен
ТЕОРИЯ СУПЕРСТРУН. Том 2.
Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология

SUPERSTRING THEORY
Volume 2
Loop amplitudes, anomalies and phenomenology
Michael B. Green
Queen Mary College, University of London
John H. Schwarz
California Institute of Technology
Edward Witten
Princeton University
Cambridge University Press
Cambridge
New York New Rochelle Melbourne Sydney
1988

М.Грин, Дж.Шварц, Э.Виттен
Теория
суперструн
В двух томах
Том 2
Петлевые амплитуды, аномалии
и феноменология