Методы расчета теплового режима приборов - Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В.

Author: Дульнев Г.Н. Парфенов В.Г. Сигалов А.В.
Tags: электротехника компьютерные технологии теплотехника монография приборостроение теплообмен
ISBN: 5-256-00749-1
Year: 1990
Similar
Справочник конструктора РЭА. Общие принципы конструирования
Пьезоэлектрические резонаторы. Справочник
Компоновка и конструкции микроэлектронной аппаратуры
Конструирование узлов и устройств электронных средств
Text
                    A. В. \j И Г8 Л О В

ПН.Дульнев
В. Г Парфенов
А.В.Сигалов
Методы
расчета
теплового
режима
приборов
Москва^Радио и связь-1990

УДК 621.396.6.017.7.001.24:681.3
Дульнев Г. Н. и др. Методы расчета теплового режима приборов/Г Н
Дульнев, В. Г. Парфенов, А. В. Сигалов. —М.: Радио и связь, 1990. —312 с:
ил. —ISBN 5-256-00749-1.
Большое значение при проектировании приборов имеет моделирование
тепловых режимов. В монографии излагается метод поэтапного моделирования
тепловых режимов, показавший свою эффективность при разработке различных
электронных и оптико-электронных приборов. Его применение позволяет
выделить ограниченное число математических моделей, охватывающих многообразие
приборных комплексов, разработать для них вычислительные методики и
достаточно универсальное программное обеспечение. Описываются аналитические и
численные методы расчета температурных полей по моделям с сосредоточенными
параметрами, одномерным и многомерным моделям. Рассмотрены особенности
построения соответствующих программных комплексов. Излагаются методы
расчета температурных полей на различных конструктивных уровнях иерархии РЭА:
микросхемы и микросборки, ячейки на печатных платах, блоки.
Описываются аналитические и численные методы расчета тепловых режимов
подогревных термостатов. Приводятся примеры анализа теплового режима
различных элементов и устройств.
Для научных работников, занимающихся расчетом и проектированием систем
обеспечения нормального теплового режима приборов и приборных комплексов.
Табл. 7. Ил. 152. Библиогр. 121 назв.
Рецензент доктор техн. наук М. Б. Барабаш
Редакция литературы по электронике
Научное издание
Дульнев Геннадий Николаевич
Парфенов Владимир Глебович
Сигалов Алексей Викторович
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ПРИБОРОВ
Заведующий редакцией П. И. Никонов
Редактор Н. В. Ефимова
Переплет художника К- М. Просолова
Художественный редактор А. С. Широков
Технический редактор А. Н. Золотарева
Корректор О. Е. Иваницкая
ИБ № 1689
Сдано в набор 13.07.89 Подписано в печать 14.11.89 Т-16395
Формат 60X90Vie Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 19,5 Усл. кр.-отт. 19,5 Уч.-изд. л. 22,08
Тираж 6000 экз. Изд. № 22178 Зак. № 65 Цена 3 р.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Типография издательства «Радио и связь». 101000 Москва, ул. Кирова, д. 40
2304040000-022
Д 046@1)-90 Ш-9°
ISBN 5-256-00749-1 © Дульнев Г. Н., Парфенов В. Г., ОигаловА. В., 1990

ВВЕДЕНИЕ
В конце 50-х годов XX в. возникла острая проблема
обеспечения теплового режима РЭА, и для ее решения были
развернуты широкие исследования как в нашей стране, так и за рубежом.
Примерно на 10—15 лет позднее, в конце 60-х — начале 70-х
годов, аналогичные задачи встали и при создании различных
оптико-электронных и механических устройств: объективов
аэрокосмической оптики, твердотельных, полупроводниковых,
жидкостных и других типов лазеров, элементов волоконной и
интегральной оптики, конденсоров мощных осветительных систем,
гироскопов и т. д. В настоящее время сформировалась целая
отрасль науки и техники, в которой работает большое число
специалистов, занимающихся обеспечением тепловых режимов
различных приборных комплексов.
В последние годы исследования тепловых режимов приборов
стали развиваться в направлении создания методов теплового
проектирования, базирующихся на широком применении ЭВМ, и
разработки соответствующих частей систем автоматизированного
проектирования (САПР). Проектирование проводится на
основе моделирования теплового режима объекта. Для реализации
моделирования необходимо разрабатывать физико-математические
модели объектов, вычислительные методы, обеспечивающие
возможность проведения расчетов, а также соответствующее
программное обеспечение ЭВМ. Трудности, возникающие при
решении этих задач, вызваны большим разнообразием проектируемых
устройств, необходимостью рассмотрения процессов теплообмена
в сложных системах тел и движущихся хладагентов, а также
требованием получения в результате расчетов информации о
многомерных пространственных температурных полях объектов.
Опыт теплового проектирования различных сложных объектов
электроники, энергетики, оптико-электронных и механических
устройств показал эффективность применения для расчета
тепловых режимов подхода, названного методом поэтапного
моделирования. Его применение позволяет выделить ограниченное число
математических моделей, охватывающих многообразие приборных
3

комплексов, разработать для них вычислительные методики и
создать таким образом достаточно универсальное программное
обеспечение.
Обоснованию и развитию метода поэтапного моделирования,
особенностям его применения для расчета тепловых режимов
различных электронных и оптико-электронных устройств, методикам
численной реализации математических моделей и описанию
соответствующего программного обеспечения посвящена данная
книга.
Для правильного понимания принципов выбора материала о
численных и аналитических методах расчета авторы хотели бы
остановиться на особенностях их использования в настоящее
время. Примерно до начала 70-х годов основной объем расчетов
тепловых режимов проводился на основе аналитических методов,
которым было посвящено большинство опубликованных к тому
времени работ. В настоящее время по оценкам авторов свыше
половины расчетов ведется с применением ЭВМ при помощи
программ, реализующих те или иные 'численные методы. Вместе с тем
сохранили свое значение и аналитические методы, которые
используются сейчас в основном для лроведения прикидочных,
оценочных расчетов, позволяющих определить общий характер
влияния тех или иных конструктивных или режимных параметров
на тепловой режим проектируемого объекта. Выявленные таким
образом тенденции уточняются путем проведения анализа при
помощи численных методов. Поэтому одним из главных
требований, предъявляемых в настоящее время к аналитическим
решениям, является их «обозримость», позволяющая проектировщику
непосредственно «увидеть», как влияет тот или иной фактор на
тепловой режим. Соответственно в значительной степени
утратили свое значение громоздкие аналитические решения, для
реализации которых необходима ЭВМ. В связи с этим авторы
отбирали по возможности только те аналитические решения, которые
по их мнению удовлетворяют названным требованиям и
сохранили свое значение для расчета тепловых режимов и в настоящее
время.
Широкое распространение численных методов в процедурах
теплового проектирования вызывает необходимость их
достаточно подробного рассмотрения в предлагаемой книге. Однако
возникают большие трудности в изложении соответствующего
материала, так как для расчета тепловых режимов применяются
достаточно сложные вычислительные методики. В то же время
большинство специалистов по обеспечению теплового режима
приборов не имеют базового образования в области
вычислительной математики. Поэтому в идеале следовало бы начать
изложение с основ численных методов. Однако такой подход приводит
к значительному возрастанию объема книги и повторению уже
опубликованного материала. В связи с этим предполагается, что
читатель знаком с основами численных методов и их
применением для решения простейших задач теплообмена. Авторы, в
4

частности, предлагают для предварительного ознакомления
учебное пособие [30], которое может послужить введением к данной
книге. Вместе с тем многие специалисты в своей
профессиональной деятельности занимаются только счетом по готовым
программам. С учетом их интересов описание численных методов в
книге в значительной степени ориентировано на уровень расчетчика-
пользователя («эксплуатационщика») программ. С этой целью
в приложениях дано краткое описание наиболее
распространенных численных схем для простейших задач теплообмена, а в
основном тексте изложены главные идеи используемых
вычислительных методов и рассмотрены особенности построения
соответствующих программных комплексов.
Остановимся на общей структуре книги. Она начинается с
описания конструкции наиболее распространенных видов
радиоэлектронных и оптико-электронных приборов, термостатов,
уровней иерархии их компановки и особенностей постановок задач
теплового проектирования. Самостоятельный раздел посвящен
изложению метода поэтапного моделирования, в котором
приведены основные концепции метода, приемы его реализации для
анализа теплового режима сложных технических устройств, а также
методики получения оценок корректности процедур, выполняемых
при использовании метода. ^~^
Особое внимание уделено аналитическим и численным
методам расчета температурных полей по моделям! с
сосредоточенными параметрами, а также одномерным и многомерным
моделям. Материал излагается в следующей последовательности:
типичные задачи анализа тепловых режимов, требующие
использования соответствующих моделей, и способы перехода к ним от
реальных объектов; точные и приближенные аналитические
методы расчета по этим моделям с примерами их применения;
численные методы, с особенностями их программной реализации и
примерами расчетов тепловых режимов различных технических
устройств.
В заключение рассмотрены вопросы применения методов
поэтапного моделирования и моделей различной степени
детализации для анализа тепловых режимов электронной аппаратуры и
термостатов.

1. ОБЕСПЕЧЕНИЕ НОРМАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА
ПРИБОРОВ
1.1. РАДИОЭЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА (РЭА)
В настоящее время понятие радиоэлектронная аппаратура (РЭА)
включает электронные устройства различного функционального
назначения, например цифровую вычислительную аппаратуру,
приемопередающие устройства, устройства силовой электроники и
источники вторичного электропитания и др. Эти устройства
содержат в качестве элементной базы микросхемы и микросборки,
дискретные электроэлементы (резисторы, конденсаторы, дроссели),
полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы),
электровакуумные приборы и т. д. Отдельные устройства объединяются в
радиоэлектронные комплексы и системы, служащие для решения
различных задач.
Нормальное функционирование РЭА возможно лишь при
условии поддержания температур ее элементов в определенных
пределах. Изменение теплового режима оказывает влияние на
характеристики элементов и может привести к возникновению
физико-химических процессов, выводящих элемент из строя. При
этом дестабилизирующими тепловыми воздействиями являются
рассеиваемые при работе элементов мощности, изменения
температуры внешней среды и тепловые потоки от окружающих
прибор объектов. Поэтому на этапе конструкторского
проектирования РЭА при выборе вариантов конструкции и компоновки
наряду с задачами обеспечения монтажно-коммутационных
требований, помехоустойчивости, технологичности, вибропрочности
необходимо решать задачи обеспечения нормального теплового режима.
Применение новой элементной базы, позволяющей уменьшить
массу и объем устройств, во многих случаях увеличивает
удельные рассеиваемые мощности, что заставляет искать новые пути
решения задач обеспечения теплового режима. Часто требования
к тепловому режиму приводят к необходимости использования
систем охлаждения и термостатирования, конструкции которых во
многом определяют конструкцию самой аппаратура, причем мас-
6

согабаритные показатели и энергопотребление системы
охлаждения могут быть соизмеримы или превышать соответствующие
характеристики функциональных устройств.
Из сказанного вытекает, что проблемы комплексной
микроминиатюризации, унификации конструкций, повышения надежности
и автоматизации конструкторского проектирования РЭА
неразрывно связаны с разработкой эффективных систем охлаждения и
методов проектирования конструкций, обеспечивающих
нормальный тепловой режим.
Методы теплового расчета и проектирования электронной
аппаратуры будут в дальнейшем иллюстрированы примерами для
двух классов электронной аппаратуры: микроэлектронной (МЭА),
основой которой являются интегральные микросхемы и
микросборки, и мощных электронных СВЧ-приборов. Этот выбор
обусловлен следующими обстоятельствами. При анализе теплового
режима МЭА, компонуемой в конструкции с ярко выраженной
иерархической структурой (стойки, блоки, узлы на печатных
платах, элементы), широко используются основные принципы
расчета температурных полей в сложных системах тел. Применяемые
тепловые и математические модели описывают процессы
теплообмена на различных конструктивных уровнях с разной степенью
детализации: от определения средних температур блоков до
расчета трехмерных температурных полей в микросборках. Методы
|решения задач проектирования конструкций МЭА с учетом
требований к тепловому режиму также служат хорошей
иллюстрацией применения общих принципов системного подхода при
разработке устройств для охлаждения приборов. На примере устройств
СВЧ-электроники будут рассмотрены задачи расчета
пространственных температурных полей в системах тел сложной формы и
задачи расчета и проектирования жидкостных систем охлаждения.
При конструировании МЭА выделяют четыре иерархических
уровня компоновки [64].
1. Микросхемы, микросборки и дискретные электрорадиоэле-
менты, являющиеся элементной базой МЭА.
2. Функциональные ячейки, обычно представляющие собой
печатные платы, на которых компонуются элементы первого
уровня.
3. Блоки, объединяющие в одной несущей конструкции пакет
функциональных ячеек.
4. Многоблочные конструкции, в которых блоки компонуются
в общем несущем основании. Примерами таких конструкций
являются шкафы, стойки, пульты, стеллажи и монтажные рамы.
Иногда говорят о пятом уровне компоновки, под которым
понимают отсеки носителей, аппаратные помещения с
размещенными в них радиотехническими комплексами.
Иерархию перечисленных уровней компоновки иллюстрирует
рис. 1.1. В настоящее время важным направлением
конструирования МЭА является унификация базовых несущих конструкций,
направленная на сокращение номенклатуры изделий в пределах

Рис. 1.2. Гибридная интегральная
схема (микросборка)
Г 2 3
Рис. 1Л. Иерархия конструкции
микроэлектронной аппаратуры:
I — микросхемы, микросборки; 2 —
функциональная ячейка (печатная плата); 3 —
блок; 4 — многоблочная конструкция; 5 —
отсек, аппаратное помещение
Рис. 1.3. Компоновка микросхем на
теплоотводящей шине:
а — общий вид; б — крепление микросхемы
определенных классов устройств. Создание системы
унифицированных базовых несущих конструкций (БНК) позволяет на
основе ограниченного числа конструктивных элементов получать
разнообразные компоновочные решения. Классификация
уровней и примеры реализации БНК для разных типов аппаратуры
приведены в F4].
Рассмотрим спошбы обеспечения нормального теплового
режима некоторых вариантов базовых конструкций различных
уровней компоновки МЭА.
Полупроводниковые и гибридные интегральные микросхемы
(ИС) помещаются в стандартные корпуса, конструкции которых
определены ГОСТом [64]. Все элементы полупроводниковых ИС
выполнены в объеме и на поверхности одного кристалла.
Гибридная ИС (микросборка) представляет собой более сложную
конструкцию, собранную на основе диэлектрической подложки 2,
на которой устанавливаются навесные компоненты 1
(бескорпусные ИС, диоды, конденсаторы и др.) и располагаются пассивные
пленочные элементы (рис. 1.2). Подложка крепится к основанию
корпуса 4, и схема герметизируется с помощью крышки
корпуса 5. Отвод теплоты от элементов к корпусу осуществляется пу-

тем теплопроводности. Задачи анализа теплового режима таких
конструкций сводятся к расчету пространственных температурных
полей в системе многослойных параллелепипедов, а обеспечение
нормального теплового режима достигается путем выбора толщин
и материалов слоев, способов крепления навесных элементов,
размещения элементов на подложке. Задача отвода теплоты от'
корпуса решается на следующем уровне компоновки при установке
микросхем на плату, причем при большой рассеиваемой мощности
корпусы устанавливаются иногда вместе с радиатором (см.
рис. 1.4,6).
При компоновке микросхем и электрорадиоэлементов 2 на
печатной плате 3 для улучшения теплового режима могут
применяться кондуктивные теплостоки 1 в виде теплоотводящих шин
(рис. 1.3) и металлических оснований (рис. 1.4,а). Теплостоки
используются как для улучшения растекания теплоты по
поверхности платы, так и для отвода теплоты к охлаждаемым частям
корпуса 4 блока. В последнем случае специальными
конструктивными мерами должен обеспечиваться хороший тепловой контакт
с корпусом блока (рис. 1.4,а). В многослойных печатных платах
роль кондуктивных теплостоков могут выполнять металлические
экранирующие слои.
Функциональные ячейки на основе печатных плат
устанавливаются в блоки разъемной (см. рис. 1.1) или книжной ((рис. 1.5)
конструкции. На рис. 1,6 схематично показаны основные
варианты систем охлаждения блоков: естественное воздушное
охлаждение в герметичном корпусе (а); внутреннее перемешивание
воздуха в герметичном корпусе (б); естественная вентиляция блока
в перфорированном корпусе (в); принудительная вентиляция,
которая может осуществляться с помощью централизованной сис-
12 3
4 3 1
X X ^ХУУУУУУУУч\ХУХХХ)О
Рис. 1.4. Компоновка микросхем на
металлическом основании (а) и
установка на радиатор (б):
1 — микросхема; 2 — плата; 3 —
металлическое основание; 4 — корпус блока; 5 —
радиатор
п
а
?
а
а
а
m
а
а1
Рис. 1.5. Блок книжной конструкции

\
t
\
\
\
L
t
&
-*-
f
О
t
t
V
J
1
t
4
•
f
-?4-4-
Рис. 1.6. Схемы воздуш*
ного и кондуктивного
охлаждения блоков
темы воздушного охлаждения отсека, группы стоек и т. д. (г)
или с помощью вентиляторов, установленных в блоке; кондуктив-
ное охлаждение с отводом теплоты на корпус или охлаждаемое
основание (д).
Кроме перечисленных традиционных способов охлаждения,
применяют системы охлаждения с использованием тепловых труб.
В таких системах тепловые трубы являются элементами несущих
конструкций ячеек и переносят теплоту на периферию устройства
[22].
На уровне многоблочных конструкций в зависимости от
класса аппаратуры и объекта размещения применяют весьма
разнообразные варианты систем охлаждения. Наряду с приведенными
на рис. 1.6 схемами, используют и более сложные варианты
построения систем охлаждения. Например, для отвода теплоты из
объема герметичных/стоек вводят теплообменники, во внешний
контур которых поступает холодный теплоноситель. На рис. 1.7
показана конструкция шкафа с воздушным охлаждением, в
котором на задней стенке размещен теплообменник типа «воздух —
воздух» и охлаждается воздух, принудительно циркулирующий во
внутреннем объеме.
Примером одной из наиболее эффективных систем
охлаждения стоечной аппаратуры, приведенным на рис. 1.8, является
комбинированная кондуктивно-воздушно-жидкостная система
охлаждения приборного шкафа для морской аппаратуры. На каждом
этаже основание 3, на которое выведены кондуктивные теплосто-
ки ячеек 2, охлаждается водой 5. Кроме того, с помощью
вентиляторов / организовано вынужденное движение воздуха в
блоках, причем на входе в каждый этаж воздух охлаждается в
теплообменнике типа «воздух — жидкость» 4.
10

f
ою окЗ/S
t
t
t
¦
t
¦
/\/\i\y\/\j\/\/\j\
t
t
t
t
t
t
\
/\/\7YA / V \/\/V/
f
t
¦
¦
¦
/\АА/\/\/Л/\Л/\У
f
J
В03ДУШным охлаж- Рис. 1.8. Комбинированная система
^Г(°)ГеННИКОМ ТИПЭ охлаж^я приборного шкафа
/ — блоки; 2 — вентиляторы; 3 — теплооб-
менник
Более высокий уровень компоновки РЭА — радиотехнические
v^neKCH- °НИ объединяют Различные устройств и могут быть
установлены в отсеке самолета, передвижной аппаратной станции
стационарном помещении и т. д. На этом уровне рассматриваю^
™„яГеМЫ обеспечения нормального теплового режима, которые
решают задачи поддержания заданной температуры в отсеке ох-
?рао?стНвИаЯм и дрДВ0ДЭ ТеПЛ°Н0СИТеЛЯ (в0ЗДУха и«идКостн) к Ус-
Влияние теплового режима на работу МЭА проявляется в из-
ниГпомехГДН»ЫХ хаРактеРис™« аналоговых устройств^ сн'иж -
сивности пТяч ВмСТИ ЦИФР°ВЫХ Устройств, увеличении
интенсивности отказов. Изменение выходных характеристик, связан-
элементовМПмепРж7РйОИ завиСЙМОС™<> электрических параметров
ческой Smk? Ь пР°анализиР°вано путем расчета электри-
в ппостХГ ПРИ известных температурах элементов. При этом
^ются ня °ЛуЧае знач„ения электрических параметров
определяются на основе линейной зависимости, например
R(t)[\
@)], AЛ
a? Ri[o) ~~ электРическое сопротивление при температуре t0-
?ем^пГ ерапУрНЫЙ коэФФиВДент сопротивления; t - текущая
22!; Б°Лее СЛ0ЖН0Й задачей является учет изменения
ских схемР хаРактеристИК нелинейных элементов электриче-
страд МЭАЯяТДЛ6МЯ пРеоблалающими причинами выхода из
тов [64] Шп^и катастР°Фйческие отказы отдельных элемен-
в ЮЧ Надежность аппаратуры характеризуют вероятностью
11

безотказной работы р{%) и интенсивностью отказов Л(т) (г—
время). Интенсивность отказов определяется как число отказ)ав-
ших устройств AN в единицу времени Дт, отнесенное к общему
числу работавших к моменту т устройств:
A.2)
При постоянной интенсивности отказов (Л=const)
вероятность безотказной работы в течение времени т имеет
экспоненциальный закон распределения {96]:
р(т) = ехр(-Лт), A.3)
а среднее время работы до отказа тср=1/Л.
Интенсивность отказов функционально законченной части
аппаратуры может быть определена путем суммирования интенсив-
ностей отказов входящих в нее элементов, если их отказы
можно считать независимыми.
Интенсивность отказов существенно зависит от температуры.
Например, повышение температуры является основным фактором,
увеличивающим вероятность возникновения отказов в
полупроводниковом кристалле. Зависимость интенсивности отказов Л от
температуры t наиболее часто выражают в виде
A.4)
где Л (to) — интенсивность отказов при температуре #о; А—
множитель, показывающий во сколько раз возрастает интенсивность
отказов при увеличении температуры на каждые 10 К. Для
полупроводниковых приборов Л = 1,2 ... 1,5 [96].
Исходя из требований к надежности и допустимой
нестабильности параметров, при проектировании аппаратуры задают
допустимые температуры термочувствительных элементов и
допустимые перепады температур.
Конструирование /элементной базы МЭА (модулей первого
уровня — микросхем, микросборок, ЭРЭ) выполняется отдельно
or конструирования устройств. Поэтому на этом этапе
определяются допустимые температуры корпусов элементов, которые в
дальнейшем являются исходными данными для проектирования
систем охлаждения устройств. Допустимые температуры корпусов
находятся на основе анализа температурного поля микросхем,
микросборок и определения температур полупроводниковых^ кри-
сталлов, навесных^и пленочных элементовмшс?осборок^аметим^
чйпгасто^в технических условиюПш^элементы задается допусти-
мая температура окружающей среды, а не корпуса. Такой подход
я^яется_весьма некорректным, так как при одинаковой темпе-
ратуре окружающего воздуха, но различных условиях
конвективного и лучистого теплообмена с соседними платами, различных
условиях кондуктивного переноса теплоты по плате температуры
^°РПУС9?. элементов оказываются Да^ньши^ ~~ ' ~ "
Т1рй конструировании устройств процессы теплообмена должны
рассматриваться на всех уровнях компоновки — от функциональ-
12

ных узлов до многоблочных конструкций и отсеков. Выбор
систем) охлаждения каждого уровня должен проводиться с учетом
возможности отвода теплоты и наличия фоновых перегревов на
бдыcшшjj^кo^тpyI^вj^oм уровне:_/Поэтому, если это во?\
^ тепловое проектирование следует начинать с верхних\
(уровней и при переходе на более низкий иметь для рассматрива-]
jf модуля достоверную информацию о тепловых воздействи-у
й ~
з.р^^.щду ду^х
лектронные СВЧ-приборы предназначены для генерации,
усиления и обработки сигналов на частотах от единиц до тысяч
гигагерц и используются в системах связи и радиолокации.
В настоящее время широко применяются как
электровакуумные, так и полупроводниковые СВЧ-приборы, причем развитие
последних не привело к отказу от электровакуумных приборов,
которые используют для генерации и усиления электромагнитных
колебаний с большой выходной мощностью. Классификация,
современное состояние, примеры конструкций приборов СВЧ-элек-
троники рассмотрены в ([68]. Конструкции устройств различных
типов (клистроны, магнетроны, лампы бегущей волны — ЛБВ,
лампы обратной волны и др.) весьма разнообразны. Из-за различий
рассеиваемой мощности также существенно отличаются
конструкции систем обеспечения нормального теплового режима, в
которых может применяться кондуктивное, воздушное, жидкостное
и испарительное охлаждение. Поэтому приведем лишь некоторые
примеры теплонагруженных узлов электровакуумных СВЧ-прибо-
ров, иллюстрирующие необходимость расчета пространственных
температурных полей в телах сложной формы при
проектировании их конструкций.
На рис. 1.9 показана конструкция спиральной замедляющей
системы мини-ЛБВ. Спираль 2 установлена с помощью трех
керамических держателей 3 в металлическую оболочку 1. Система
оболочек 1, 5 и магнитов 4 помещена на медной стойке 6, в
которой в продольном направлении выполнены каналы 7 для прока-
А А
Рис. 1.9. Фрагмент
спиральной замедляющей
системы лампы бегущей
волны

А-А
Рис. 1Л0. Коллектор/
с принудительным
жидкостным
охлаждением
чивания охлаждающей жидкости. Тепловые потери распределены
по поверхности спирали и вызваны оседанием электронного
потока и высокочастотными потерями. От спирали тепловой поток
передается через -керамические держатели к оболочке 1,
растекается по системе оболочек, входит в стойку 6 и уносится
охлаждающей жидкостью с поверхности каналов 7. Термочувствительным
элементом является спираль 2, температура которой не должна
превышать допустимого значения. Поэтому для оценки
допустимой рассеиваемой мощности, выбора параметров конструкции и
расхода охлаждающей жидкости необходимо рассматривать
задачи расчета двух- и трехмерных температурных полей в
системе тел различной формы, через которую проходит тепловой поток.
Наиболее тешюнагруженными узлами мощных
электровакуумных СВЧ-прйборов являются коллекторы, в которых
рассеивается мощность отработавшего электронного лучка. Для их
охлаждения применяют жидкостные и испарительные системы, а также
используют тепловые трубы. На рис. 1.10 приведен пример
конструкции коллектора с принудительным жидкостным
охлаждением. Электронный пучок неравномерно оседает на внутренней
поверхности коллектора L Тепловой поток растекается по объему
коллектора, проходит через керамические держатели 4 в
оболочку 5 с пазами 2, в которых он снимается охлаждающей жидкостью.
В рассмотренных примерах охлаждающая жидкость обычно
циркулирует по замкнутому контуру и система охлаждения
прибора включает еще ряд элементов — насос, теплообменник, фильтр
и^аа^Ш^этбму задачи проектирования систем охлаждения мощных
ГСВЧ-приборов включают разработку замкнутых жидкостных сие
\тем охлаждения./ "" ~~~ ™ ~ "~~
1.2. ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ
Уровни иерархии оптико-электронных приборов. Этот тип
приборов широко применяется как индивидуально, так и в составе
приборных комплексов самого разнообразного назначения. Их
отличительной особенностью является проведение обработки ^вход-
ного сигнала как оптическими, так и электронными
устройствами. Специфическими для ОЭП источниками тепловых
воздействий являются источники излучения, попадающего в прибор через
14

опт
хгический канал и являющегося суммой полезного сигнала и
паЬазитных составляющих.
Юптико-электронный прибор — сложная система, составными
частями которой являются оптические и механические устройства,
лазеры, приемники излучения, электронные блоки, устройства
волоконной и интегральной оптики и т. д.
Тепловой режим ОЭП оказывает влияние как на качество и
надежность работы отдельных его узлов, так и на работу
прибора в целом. Поэтому анализ температурных полей входит
составной частью в общую процедуру проектирования прибора. Как и
в предыдущих случаях, при анализе теплообмена следует
придерживаться иерархического принципа построения моделей. При этом
иерархия уровней компоновки ОЭП для расчета теплового
режима должна быть согласована с иерархией описания ОЭП,
используемого при его проектировании. Анализ основных
принципиальных схем и конструкций ОЭП [92] позволяет выделить следую-
щи|^уровни иерархии, удовлетворяющие этому требованию '[41].
^^^^ервому^уровшо) относятся элементы прибора, которые не-
(возможно разд?литъ,~не нарушив их целостности (рис. 1.11,а), на-
/ пример детали оптических систем (зеркала Д 2, линзы, призмы,
( бленды 3, трубы объективов и др.), детали механических узлов
! (приводов сканирующих и следящих систем, различных преобра-
\ зователей и модуляторов), источников излучения (элементы твер-
\ дотельных лазеров, светодиоды, лампы накаливания), элементы
1 устройств волоконной и интегральной оптики и т. д.
-f.
Рис. 1.11.
Конструктивные уровни ОЭП

ЭЛ6МеНТЫ С индивидуальными
вого режима.^- индивидуальную систему обеспечения те?о-
На рис. 1.11,6 изображен зеркальный объектив ОЭП состЬя-
щии из корпуса 2 и двух зеркал 1, 3, и приемник излучения &с
индивидуальной системой охлаждения пре^ставляюще/ собой L
лиевыи криостат 4, окруженный экраном 5. На рис 1 12 а
представлен линзовый объектив с защитным элементом 4, бленда! 5
шиКТЛо6> 3 НЭ РИС- U2'6~ зеркально-линзовый, отличаю-
Г1 1 пВу входящих в них элементов и конструктивному
оформлению. Линзы 3 устанавливаются с помощью оправ 2 в
труоы 1 с цилиндрическими внутренними поверхностями
симметрично относительно осей труб. Малое зеркало 5 крепится к тру-
>ое ил^|^ш1ьшомуверкалу 7 с помощью пилонов 9
/Т-^етий Уровень^, иерархии — ОЭП, состоящий из отдельных
блоков второго уровня и элементов первого уровня и часто имеющий
свою систему обеспечения теплового режима. Прибор
представляет собой законченную конструкцию, выполняющую
определенную функцию. На рис. 1-11,0 схематически показана конструкция
van, состоящего из объектива 6 с блендой 2 и приемника
излучения 3 с индивидуальной системой охлаждения 1. Бленда и
объектив охлаждаются путем контакта с азотным сосудом 4 эти
узлы окружены двумя экранами 7 и 8, весь прибор помещен в кор-
(пус 5, ^г_—-_ г
/^-^Л?ТЛеРтом^УРо1нк^ можно отнести группу приборов и
устройств 1, расположенных в одном приборном отсеке или на
одной платформе 2 (рис. 1.11,г).
^ойа б0Лее высоких Уровнях приборный отсек или платформа с
Udll рассматриваются в составе объекта размещения
приборного комплекса.
16
Рис. 1.12. Линзовый (а) и зеркально-линзовый (б) объективы

\ Телевизионная камера космического аппарата. Типичным
представителем ОЭП может служить телекамера «Вега»,
входящая в состав телевизионного комплекса. Последний
предназначен для получения черно-белых и спектро-зональных
изображений ядра кометы Галлея, а также для управления поворотной
платформой, обеспечивающей наведение научных приборов на
ядро кометы. Телекамера, общая конструкция которой
представлена на рис. 1.13, установлена на платформе космического
корабля р, к «оторой она крепится с помощью кронштейнов 7 и 10. Она
сосрит из оптической системы, блока приемников излучения 6
и электронных блоков 5, установленных на кронштейне 7.
Оптическая система камеры состоит из большого 4 и малого
2 сферических зеркал, а также линз, установленных в корпусе
объектива. Малое зеркало установлено в оправе, которая с
помощью пилонов 3 соединяется с корпусом объектива. Для защиты
тыльной стороны малого зеркала от тепловых воздействий на ней
установлена теплоизолирующая крышка, выполненная на основе
экранно-вакуум.ной тепловой изоляции. Объектив о-кружен
блендой /, которая крепится к платформе с помощью
кронштейна 10.
Блок приемников излучения состоит из двух приемников ПЗС
и призмы. Температура приемников не должна превышать —40° С,
Охлаждение приемников осуществляется с помощью радиатора
S, с которым они связаны медными жгутами, закрытыми экранно-
вакуумной тепловой изоляцией для уменьшения теплопритоков.
Для защиты от воздействия окружающей среды телекамера
закрыта снаружи металлическим экраном и экранно-вакуумной
тепловой изоляцией.
Телекамера работает в открытом космическом пространстве в
течение четырех суток. При этом в течение первых двух суток
излучение Солнца попадает через входное отверстие на внутреннюю
поверхность бленды под углом 60°. Температура платформы мо-
Рлс. Ц.13.
«Вега-2»
Телекамера
10
17

жет меняться в интервале —20 ... 40° С. Кроме телекамеры /на
платформе расположены и другие приборы. Низкая фоновая
температура в открытом космосе (—269°С), высокая плотность
солнечного излучения B300 Вт/м2) и большие колебания темпера-
туры платформы могут являться причинами значительного
диапазона изменения температуры оптической системы, возникновения
перепада температуры между ее элементами, а также
неравномерного распределения температуры в оптических элементах. Эти
факторы приводят к появлению термических аберраций, главным
образом расфокусировки. Поэтому одной из важнейших задач,
связанных с проектированием телекамеры, является обеспечение
ее нормальной работы в различных режимах, при которой
термические аберрации не превышали бы допустимых значений [42,43].
Влияние теплового режима на ОЭП. Основной особенностью
задач обеспечения тепловых режимов ОЭП является
необходимость их решения с обязательным учетом функциональных
характеристик. Такое условие существенным образом отличает
задачи обеспечения тепловых режимов для оптико-электронных
приборов от аналогичных задач, возникающих при создании РЭА.
Действительно, в последнем случае основным ограничением, как
правило, является максимальное допустимое значение
температуры, которое определяется из соображений обеспечения требуемой
надежности. Неравномерность температурного поля в
радиоэлектронных аппаратах обычно не играет существенной роли. В ОЭП
ограничения на вид температурного поля вытекают из требований
на допустимые изменения функциональных характеристик,
возникающие под влиянием температурных возмущений их параметров.
Причем определение этих ограничений с учетом как отклонений
уровня температуры от номинального значения, так и неравно-
мерностей температурного поля часто является самостоятельной
сложной задачей, включающей анализ совместно протекающих
в оптико-электронных приборах и устройствах теплофизических,
термомеханических и термооптических процессов.
Рассмотрим, например, характер возмущений, вносимых в
объективы ОЭП изменениями уровней и появлениями неравно-
мерностей температурных полей [15, 102]. При первоначальном
расчете оптической системы предполагается, что ее
температурное поле равномерно, постоянно во времени и равно некоторому
«наиболее ожидаемому» значению, называемому номинальным.
Для номинального значения температуры берутся при расчете
показатели преломления материалов прозрачных элементов и
различные величины, характеризующие их хроматические свойства.
Необходимо также учесть, что любой показатель преломления
указывается по отношению к показателю преломления воздуха
при температуре 0° С и нормальном давлении. Однако показатель
преломления воздуха зависит как от его температуры, так и от
давления. Температуру воздуха обычно принимают равной
номинальному значению. Для давления также необходимо ввести
номинальное значение. Если это номинальное значение будет отли-
18

ч^ться от нормального, то необходимо пересчитать показатели
преломления материалов и использовать при оптическом расчете
уже скорректированные данные.
\В процессе работы прибор подвергается различным тепловым
воздействиям. В результате в оптической системе возникает в
общем случае сложное температурное поле, изменяющееся в-
пространстве и во времени и отклоняющееся от номинального
значения температуры. Кроме того, наряду с температурой может
изменяться и давление воздуха (например, при аэросъемке). Все
это приводит к ряду изменений в оптической системе.
Из-за теплового расширения материалов при наличии
равномерных в пространстве температурных полей изменяются
размеры системы: радиусы кривизны и толщины линз и зеркал,
расстояния между элементами >и т. д., а при неравномерных
температурных полях меняются и формы элементов. Например,
плоскопараллельная пластинка может превратиться в линзу, если
температура ее внутренней зоны отличается от температуры
периферии.
Из-за температурной зависимости показателя преломления в
прозрачных элементах возникают равномерные или
неравномерные отклонения показателей преломления от номинальных
значений. Кроме того, при неравномерном температурном поле в
элементе появляются термонапряжения, которые из-за
фотоупругого эффекта также вносят вклад в изменение показателя
преломления. Вследствие зависимости температурного коэффициента
показателя преломления от длины волны изменяются величины,
характеризующие хроматические свойства материалов (например,
коэффициент дисперсии Аббе).
Изменение температуры и давления воздуха в оптической
системе приводит к изменению его показателя преломления и
соответственно к пропорциональному изменению показателей
преломления всех материалов.
Перечисленные выше возмущения в оптической системе
вызывают появление дополнительных термических аберраций:
тепловой расфокусировки, термической сферической аберрации,
термической комы и т. д. — ив конечном итоге ухудшение качества
изображения [15, 102].
Тесная связь между тепловым режимом ОЭП и его
функциональными характеристиками приводит к тому, что специальный
выбор принципиальной схемы, вида и параметров конструкции
ОЭП является одним из важнейших путей обеспечения его
термостабильности. Таким образом, «тепловое» проектирование ОЭП
неправомерно отделять от его «функционального»
проектирования. В связи с этим иногда оказывается совершенно
неэффективным подход, при котором для уже разработанного прибора
определяют требования к его тепловому режиму, а затем пытаются
добиться их выполнения с помощью той или иной системы
обеспечения нормального теплового режима.
19

Другой особенностью решения задачи создания
термостабильных ОЭП является ее принципиально системный характер.
Действительно, при анализе процесса теплообмена в ОЭП
необходимо учитывать тепловые связи между различными входящими
в него устройствами — оптическими, механическими,
электронными, в которых протекают процессы различной физической
природы, определяемые функциональным назначением устройств. Это
обстоятельство приводит к тому, что при решении задачи
обеспечения теплового режима прибора приходится одновременно
рассматривать предлагаемые проектные решения для разных
устройств и варианты их общей компоновки и вносить в них
изменения, вытекающие из результатов рассмотрения теплового
режима всего ОЭП.
Значительное число ОЭП работает в нестационарном
тепловом режиме. Эта нестационарность может быть вызвана режимом
работы прибора. Например, часто лазер функционирует в режиме
работы сериями импульсов, при котором промежутки времени с
импульсами генерации чередуются с промежутками без
генерации. Другой причиной нестационарности является изменение
условий работы. В таких переменных условиях работает, например,
телекамера «Вега». Они связаны с переориентацией положения
камеры относительно Солнца в течение наблюдений.
При анализе теплового режима ОЭП для многих элементов
необходимо определять многомерные температурные поля,
поскольку некоторые тепловые эффекты (например, термооптические)
вызваны именно их неравномерностью. Задача осложняется тем,
что часто элементы имеют сложную неканоническую форму.
Квантрон твердотельного лазера. Рассмотрим в качестве
примера некоторые особенности обеспечения теплового режима
широко распространенного оптико-электронного устройства —
твердотельного лазерного излучателя.
Последний состоит из квантрона и различных оптических
элементов резонатора —зеркал 5, призм, линз 5 и т. д. (рис 1.14)
[8. 97]. Квантрон представляет собой устройство, включающее ак-
Рис. 1.14.
Твердотельный лазерный
излучатель
20

тйвный элемент 4, источник оптической накачки 2, отражатель 1
и элементы для спектральной фильтрации излучения (рис. 1.14).
В лазерных излучателях часто используются также элементы
для управления излучением — электрооптические 5, акустооп-
тические, пассивные или оптико-механические затворы,
нелинейные элементы для преобразования генерируемого лазерного
излучения в излучение удвоенной частоты 7, оптические вентили,
дисперсионные элементы и т. д.
В квантроне осуществляется преобразование подводимой
электрической энергии в энергию излучения оптической накачки и
поглощение излучения накачки в активном элементе, вызывающее
возникновение в нем инверсной населенности. В некоторых
лазерах может быть несколько квантронов, один из которых
входит в состав задающего генератора, а остальные — в состав
усилительных каскадов. Основная часть подводимой к лазеру
электрической энергии выделяется в виде теплоты в элементах его
квантронов.
Остановимся подробнее на конструкциях квантронов, а
также особенностях протекающих в них теплофизических и
термооптических процессов.
Основным функциональным элементом квантрона является
активный элемент. Наи-более распространенными видами активных
лазерных сред являются неодимовые фосфатные и силикатные
стекла, а также кристаллы алюмоиттриевого граната (АИГ), ка-
лий-гадолиниевого вольфрамата (КГВ), активированные
неодимом, гадолиний-скандий-галиевого граната (ГСГГ),
активированного ионами неодима и хрома, рубина [97].
Источниками оптической накачки обычно служат
газоразрядные ксеноновые или криптоновые трубчатые лампы, оси которых
параллельны оси активного элемента. Отражатель обеспечивает
передачу энергии излучения накачки от лампы к активному
элементу.
Квантроны могут отличаться друг от друга по числу ламп
накачки, виду и форме отражателя, форме активного элемента,
виду элементов, используемых для фильтрации излучения накачки
и улучшения теплоотрода, применяемому способу отвода
теплоты от элементов квантрона и т. д. Некоторые примеры
конструкций одноламповых и двухламповых квантронов представлены на
рис. 1.15.
На рис. 1.15,а изображен одноламповый квантрон с активным
элементом цилиндрической формы 1, полым отражателем 3 и
фильтром в форме пластины 4\ на рис. 1.15,6 — одноламповый
квантрон с полым отражателем 3 в форме «беговой дорожки»,
у которого активный элемент 1 помещен в лейкосапфировую
трубку 5, на рис. 1.15,в — двухламповый квантрон с отражателем 3
моноблочной конструкции, осуществляющим фильтрацию
излучения ламп накачки 2.
По способу отвода теплоты от элементов квантроны можна
разделить на четыре группы: с принудительным жидкостным ох-
21

Рис. L15. Конструкции квантронов твердотельных лазеров*
^\™?^?12 ь; 4 -фильтр; 5 - лейкосапфиро-
лаждением, с принудительным воздушным охлаждением; с
естественным охлаждением, со смешанным охлаждением.
В квантронах с жидкостным охлаждением отвод теплоты от
их элементов осуществляется путем вынужденного
конвективного теплообмена с хладагентами. Такое охлаждение позволяет
реализовать режимы работы лазера с наибольшими средними
мощностями накачки. В этом случае тепловой режим какого-либо
элемента квантрона полностью определяется действующими в нем
источниками теплоты и условиями теплообмена с хладагентом и
прямо не зависит от температур других элементов.
Теплообмен элементов квантрона с хладагентом при
принудительном воздушном охлаждении характеризуется более низкими
по сравнению с жидкостным охлаждением значениями
коэффициента теплоотдачи. При достаточно больших средних мощностях
накачки определение тепловых режимов элементов необходимо
проводить с учетом их взаимных тепловых связей.
В квантронах с естественным охлаждением теплообмен между
элементами происходит кондукцией, излучением и свободной
конвекцией, т. е. в тепловом отношении квантрон представляет
систему нескольких тел, находящихся во взаимном теплообмене.
Отметим, что в настоящее время к квантронам с естественным
охлаждением принято относить и устройства, у которых теплосъем
с внешней поверхности корпуса осуществляется путем
принудительного воздушного охлаждения. ,
В квантронах со смешанным охлаждением для разных
элементов применяются различные способы отвода теплоты.
Например, для лампы может использоваться принудительное воздушное,
а для активного элемента — принудительное жидкостное
охлаждение.
В процессе работы лазера при подаче на лампу напряжения
питания в ней возникает сильноточный газовый разряд.
Излучение возникающего плазменного столба распространяется в
осветительной системе и поглощается в активном элементе и других
элементах квантрона. Малая часть энергии поглощенного
излучения (обычно не более 10%) идет на создание инверсной
населенности в активной среде, а большая часть переходит в энергию
объемных и поверхностных источников теплоты. Определение про-
22

странственных распределений этих источников представляет
собой самостоятельную сложную задачу. Под воздействием
источников теплоты в элементах квантрона формируются
неравномерные температурные поля, которые зависят также от его
конструкции и применяемого способа отвода теплоты.
Характеристики генерируемого лазерного излучения
изменяются под влиянием теплового режима вследствие воздействия
двух основных механизмов, один из которых состоит в
возникновении в активном элементе термических аберраций, а второй —
в температурных изменениях спектроскопических параметров
активной среды [6, 76].
Появление термических аберраций происходит при
неравномерных температурных полях из-за температурных изменений
показателей преломления, влияния фотоупругого эффекта,
приводящего к возмущению оптической индикатриссы под действием
термонапряжений, а также из-за искажений формы активного
элемента, возникающих при его неравномерном тепловом
расширении. Эти процессы вызывают появление в активном элементе
тепловой линзы, теплового клина и т. д., а также наведенной
термической анизотропии, приводящей к изменению поляризации
проходящего через элемент генерируемого излучения. Кроме того,
возможно и разрушение активного элемента под действием
значительных термических напряжений.
Температурные изменения спектроскопических параметров
активной среды в основном связаны с температурными
зависимостями значений времен жизни на уровнях и их населенностей,
смещения центров линий люминесценции, а также увеличения
спектральной ширины линий и соответствующего уменьшения
поперечного сечения вынужденного перехода, происходящих при
возрастании температуры.
Из-за влияния перечисленных термических возмущений
параметров активного элемента могут существенно ухудшаться
характеристики генерируемого лазерного излучения. Отметим, что
з ряде случаев большую роль может играть и тепловой режим
других элементов квантрона, например ламп накачки (ПО].
Рассмотрим более подробно задачу обеспечения нормального
теплового режима квантрона с естественным охлаждением. При
отсутствии тепловых возмущений влияние квантрона на
характеристики генерируемого излучения проявляется через
термически невозмущенные распределения инверсной населенности и
коэффициента усиления, возникающих при поглощении излучения
накачки. При работе квантрона возникает термически
искаженное распределение инверсной населенности и меняется
коэффициент усиления, кроме того, появляются термические аберрации и
наведенная анизотропия. В результате, например, лазер,
обеспечивающий требуемые характеристики генерируемого излучения
при работе в режиме одиночных импульсов, может
неудовлетворительно функционировать в частотном режиме. Таким образом,
проектирование квантрона необходимо проводить на основе ана-
2а

лиза временных зависимостей характеристик генерируемого
излучения лазера, которые изменяются в процессе его работы. Эти
зависимости определяются как термически невозмущенными
распределениями инверсной населенности и коэффициента усиления,
так и упомянутыми выше тепловыми эффектами. Учет
совместного воздействия этих факторов достаточно сложен, поскольку,
как показывает практика, они изменяются одновременно при
варьировании вида конструкции квантрона с естественным
охлаждением или ее параметров. Поэтому при проектировании
необходимо рассматривать различные варианты конструктивных решений
квантрона, оценивая совместное влияние протекающих в нем
оптических, теплофизических, термомеханических и термооптических
процессов на характеристики генерируемого излучения.
1.3. СИСТЕМЫ ТЕРМОСТАТЙРОВАНИЯ
Термостатирование используется для различных элементов и
устройств: электронных схем, электронных аппаратов, кварцевых
резонаторов, нелинейных оптических преобразователей и
электрооптических модуляторов, объективов, активных элементов
лазеров, приемников излучения и т. д. Эти функциональные
элементы и устройства называются объектами термостатирования.
В процессе работы элемент или устройство подвергаются
внешним и внутренним тепловым воздействиям. Внешние тепловые
воздействия вызваны изменениями температуры окружающей среды
и тепловым потоком, поступающим к границе объекта,
внутренние — его собственными тепловыделениями. Под влиянием этих
тепловых воздействий происходит изменение теплового режима
объекта. Система термостатирования осуществляет тепловое
управление объектом с целью формирования в нем температурного
поля с требуемыми характеристиками.
Реальные термостаты весьма разнообразны по конструкции
[53, 121]. Однако любой термостат включает объект
термостатирования с регулируемым тепловым режимом, измерительный
преобразователь температуры (термоприемник), который в
литературе обычно называется датчиком, автоматический регулятор,
включающий схему сравнения, задающее устройство и регулирующий
орган, а также исполнительный элемент, осуществляющий
тепловое воздействие на объект. В качестве исполнительных
элементов используются электронагреватели, термоэлектрические
батареи, холодильные машины, газонаполненные тепловые трубы.
Иногда в одном термостате применяются исполнительные элементы
различных видов. Таким образом, термостат представляет собой
сложную систему автоматического регулирования теплового
режима объекта с распределенными параметрами.
На рис. 1.16 представлена условная обобщенная схема,
охватывающая довольно широкий круг термостатов, встречающихся в
приборостроении. Объект термостатирования 1 расположен в
камере термостата 2, выполненной из высокотеплопроводного ма-
24

6 Рис. 1.16. Обобщенная схема термостата
Рис. 1.17. Термостаты для электрооптического
затвора
а)
териала, для обеспечения равномерности теплового воздействия
иа объект термостатирования. На камере размещается
исполнительный элемент, в качестве которого могут выступать
поверхностный 4 или внутренний 9 электрический нагреватель,
термоэлектрическая батарея 6У теплосъем с горячих спаев которой
осуществляется при помощи радиатора 5, тепловая труба 8. Иногда
тепловое взодействие на камеру производится при помощи
хладагента, прокачиваемого через каналы 7, расположенные в
камере. Для уменьшения влияния внешних тепловых воздействий
камера окружается теплоизоляционной оболочкой 3.
Конструктивные реализации подогревных термостатов с двух-
позиционной схемой регулирования для термостатирования двух
вариантов конструктивного оформления электрооптического
затвора твердотельного лазера представлены на рис. 1.17,а,б. В
первом случае электрооптический затвор 1 прикреплен к кварцевой
капсуле 2 с помощью компаунда 7; капсула находится в
металлической камере (обойме) 3, покрытой тепловой изоляцией 5. На
поверхности камеры имеется нагреватель 4; весь термостат
помещен в кожух 6 и снабжен окнами 8 для прохождения
оптического излучения; к объекту термостатирования прикреплен
датчик температуры 9. В конструктивном варианте, представленном
на рис. 1.17,6, отсутствует кварцевая капсула (затвор прикреплен
непосредственно к камере), датчик расположен на камере.
Более подробно термостаты будут рассмотрены в гл. 7.
25

1.4. СИНТЕЗ ТЕРМОСТАБИЛЬНЫХ ПРИБОРНЫХ СИСТЕМ
Обеспечение нормального теплового режима. Работа приборов
происходит в условиях как внешних (со стороны окружающей
среды, объекта размещения и т. д.), так и внутренних
(тепловыделения в элементах) тепловых воздействий. Для обеспечения
требуемых выходных характеристик приборов необходимо применять
меры для компенсации влияния указанных воздействий. Это
достигается за счет специального выбора принципиальной схемы,
вида и параметров конструкции прибора, а также применением
систем обеспечения нормального теплового режима (СОНТР).
Последние представляют собой совокупность устройств,
обеспечивающих требуемые характеристики температурных полей
приборов за счет целенаправленной организации теплообмена, в
системе приборный комплекс — объект размещения —
окружающая среда.
Упомянутые приемы компенсации тепловых воздействий
позволяют со!здать термостабильные приборы, обладающие по
отношению к этим воздействиям требуемой устойчивостью
функциональных характеристик.
Способы достижения термостабильности за счет выбора
принципиальной схемы, вида и параметров конструкции можно
рассматривать только применительно к приборам конкретных видов.
Остановимся подробнее на СОНТР и рассмотрим наиболее
общие признаки, по которым обычно производят классификацию
этих систем.
Существуют общие и индивидуальные СОНТР. Общие СОНТР
предназначены для обеспечения теплового режима всего
приборного комплекса в целом, индивидуальные — для отдельных
приборов или устройств. Обычно индивидуальные СОНТР
применяются в тех случаях, когда требования к тепловому режиму
прибора, устройства, отдельного элемента или уровень
тепловыделений в них резко отличаются от аналогичных характеристик
других компонентов приборного комплекса. Например,
допустимая температура приемников излучения часто значительно ниже
допустимых температур остальных элементов, в отдельных
элементах электронной аппаратуры может происходить
значительное выделение теплоты, допустимый диапазон изменения уровня
температуры нелинейного элемента твердотельного лазера в ряде
случаев составляет -всего несколько десятых градуса Кельвина.
Среди СОНТР можно выделить также активные, пассивные и
комбинированные. К активным относятся СОНТР, понижающие
или повышающие уровень температуры приборного комплекса или
его отдельных компонентов по сравнению с температурой
окружающей среды или объекта размещения. Активные СОНТР
включают нагревательные устройства (электрические, радиоизотопные,
нагреватели, термобатареи) и холодильные устройства (газовые
холодильные машины, дроссельные холодильники,
компрессионные фреоновые холодильные установки, вихревые трубы, термоэлек-
26

трические батареи и т. д.). Пассивные СОНТР строятся на
основе использования тепловой изоляции, радиационных экранов, тер-
морегулирующих покрытий, тепловых труб, радиаторов, веществ
с фазовыми переходами и т. д.
Наконец, среди СОНТР целесообразно выделить
нерегулируемые и регулируемые системы. Последние предполагают
использование автоматического регулирования или газонаполненных
тепловых труб.
Тепловое проектирование. Современные приборные комплексы
включают разнообразные ОЭП, приборы точной механики,
радиоэлектронную аппаратуру и т. д. Повышение требований к их
основным параметрам, характеристикам конструкции и условиям
эксплуатации приводит к непрерывному усложнению связей
между различными приборами и их узлами, функциональных схем
п конструкций, технологий, применению новых материалов. При
проектировании все в большей степени используются различные
научные дисциплины. Происходит взаимопроникновение
электроники, оптики, механики, теплофизики и т. д. Все это делает
деятельность проектировщика качественно не похожей на работу
его коллег 50-х годов. Ситуация осложняется необходимостью
сокращения сроков разработок объектов новой техники.
Современные методы проектирования должны отвечать
возрастающей сложности решаемых задач. Стремление добиться
этого соответствия привело в последнее десятилетие к созданию
систем автоматизированного проектирования (САПР).
Использование САПР предполагает не только автоматизацию отдельных эта-,
пов проектирования или видов инженерных расчетов, но и увяз^
всего комплекса вопросов, возникающих при создании приббра.
Таким образом, автоматизированное проектирование основано на
применении системного подхода, характеризующегося
рассмотрением прибора или приборного комплекса в целом с учетом
связей между их подсистемами, в которых протекают
функциональные процессы различной физической природы.
Система автоматизированного проектирования должна давать
возможность разработчику анализировать, синтезировать и
оптимизировать проектируемый объект в режиме диалога.
Процедура анализа базируется на моделировании объекта.
Для реализации моделирования необходимо разрабатывать
физико-математическую модель объекта, вычислительные методы,
обеспечивающие возможность проведения расчетов, а также
соответствующее программное обеспечение для ЭВМ. Применение
системного подхода требует рассмотрения достаточно громоздких
физико-математических моделей и сильно затрудняет решение
этих задач.
Процедуры синтеза и оптимизации осложняются тем, что
число конструктивных параметров прибора или приборного
комплекса может изменяться от сотен до десятков тысяч в зависимости
от вида. Это обстоятельство исключает перебор возможных
сочетаний значений параметров в режиме «слепого» поиска. Следова-
27

тельно, необходима разработка специальных экономичных
способов организации поиска наилучшего варианта конструкции.
Для частичного устранения указанных выше трудностей,
возникающих при решении задач анализа, синтеза и оптимизации,
применяется блочно-иерархический метод проектирования, при
котором в процессе проектирования объект рассматривается
последовательно на разных уровнях иерархии с постепенно
нарастающей степенью детализации. При этом на каждом уровне
иерархии вводится значительно меньшее по сравнению с их
общим количеством число конструктивных параметров и
используются более простые по сравнению с полной
физико-математические модели.
В САПР прибора или приборного комплекса составной частью
входит подсистема теплового проектирования. Остановимся на
особенностях ее построения и взаимосвязи с другими
подсистемами.
В принципе блочно-иерархическое проектирование может
осуществляться как в направлении от высших уровней иерархии
объекта к ни'зши-м (сверху вниз), так и в направлении от низших
уровней к высшим (снизу вверх). Для теплового проектирования
наиболее целесообразным является движение сверху вниз. Это
вызвано тем, что тепловое проектирование на каком-то
определенном иерархическом уровне необходимо проводить с учетом
тепловых воздействий, зависящих от «тепловых» проектных
решений, принятых на более высоких иерархических уровнях.
Например, невозможно проектировать термостат для какого-то
функционального элемента, если отсутствует информация о тепловом
режиме расположенных рядом с ним устройств и всего объекта
размещения. Поэтому значительная часть теплового
проектирования проводится на этапе обоснования архитектуры всей
конструкции прибора или приборного комплекса и принципов
построения общей системы обеспечения нормального теплового
режима. Подчеркнем, что нарушение такого хода проектирования,
стремление сначала тщательно разработать какие-то задачи
обеспечения теплового режима для устройств низших уровней
иерархии, а к остальным приступить позднее по мере необходимости
может привести к ошибкам, на исправление которых потребуется
значительное время.
Другая важная особенность подсистемы теплового
проектирования касается характера ее связей с другими подсистемами при
осуществлении различных видов проектирования:
системотехнического, схемотехнического, конструкторского (рабочего) [1, 81].
В настоящее время ни у кого не вызывает сомнений то
положение, что в конструкторском проектировании эта связь должна
иметь характер взаимосвязи. И такая взаимосвязь в настоящее
время в той или иной степени обеспечивается. С гораздо
большим трудом осознается специалистами тот факт, что вопросы
обеспечения теплового режима должны учитываться при систе-
мо- и тем более схемотехническом проектировании в оптической,
28

механической, электрической и других подсистемах. Это выглядит
тем более странным, если учесть следующее обстоятельство.
Проектирование любого прибора начинается, как правило, при
условии, что его требуемые функциональные характеристики уже
достигнуты на лабораторных макетах. Задача проектирования
состоит, по существу, в том, чтобы «вписаться» в заданные
габаритные, весовые и энергетические ограничения, а также
добиться устойчивой работы в условиях эксплуатации,
обусловленных спецификой объекта размещения.
Возникающие при этом трудности в значительной степени
связаны с решением механических (обеспечение требований по
вибрациям, перегрузкам и т. д.) и тепловых (включая сюда и
обеспечение требований по климатике) задач проектирования.
Их решение может быть чрезвычайно затруднено или даже
невозможно при неудачно выбранной принципиальной схеме
прибора и элементов, на которых она реализуется. Например, выбор
чрезмерно чувствительной к температурным возмущениям
оптической схемы объектива или резонатора лазера может повлечь
за собой необходимость столь точной их термостабилизации, что
потребуется разработка соответствующей системы обеспечения
нормального теплового режима с неприемлемыми габаритными,
весовыми и энергетическими характеристиками. Авторы
неоднократно сталкивались на практике с подобными ситуациями.
Причем часто, к сожалению, понимание сделанных
проектировщиками ошибок приходило слишком поздно, уже в ходе проведения
тепловых испытаний.
При синтезе многих технических устройств часто удается
использовать прием, заключающийся в выборе подходящей
конструкции из множества базовых конструкций того или иного
технического устройства. Примером базовых конструкций являются
унифицированные ба!зовые несущие конструкции (БНК) для
М.ЭА, описанные выше в § 1.1. Некоторые базовые конструкции
квантронов твердотельных лазеров приведены на рис. 1.15. В гл.
7 будут рассмотрены базовые конструкции термостатов.
После выбора базовой конструкции, в рамках которой
возможно выполнение технического задания, на последующих стадиях
проектирования производится ее детальная проработка и
параметрическая оптимизация.
Для иллюстрации упомянутых выше особенностей
подсистемы теплового проектирования приведем в качестве примера
перечень операций, выполняемых при тепловом проектировании
МЭА на каком-то определенном иерархическом уровне
компоновки.
1. Выбор базовой конструкции, системы охлаждения, в
рамках которой возможно обеспечить требования к тепловому
режиму.
2. Выбор параметров базовой конструкции.
3. Компоновка модулей на рассматриваемом уровне с учетом
монтажно-коммутационных, функциональных, конструктивно-тех-
29

иологических и теплофизических требований (например,
размещение элементов на плате, плат в блоке, блоков в стойке).
4. Выбор режимных параметров системы охлаждения
(например, расходов теплоносителей).
5. Полный анализ теплового режима и проверка соответствия
температур в выбранном варианте конструкции требованиям
технического задания.
При решении задач 2—4 могут быть использованы некоторые
формальные процедуры оптимизации, например, при размещении
элементов или при распределении расходов воздуха между
платами, между блоками. В случае невыполнения требований
технического задания проводятся изменения режимных параметров
системы охлаждения, компоновки, конструктивных параметров или
выбирается иная базовая конструкция с последующим
повторением всех перечисленных этапов проектирования.
Основой теплового проектирования является моделирование
процессов теплообмена в приборах и приборных комплексах.
Используемые модели должны быть достаточно общими и
охватывать значительное многообразие конструкций, быть
реализуемыми математически и в то же время адекватными изучаемым
процессам, протекающим в конкретных объектах. Выполнение этих
противоречивых требований и составляет основную сложность
проблемы, решение которой изложено в последующих главах.
2. МЕТОД ПОЭТАПНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
2.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ПОЭТАПНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Рассмотренные в первой главе приборы и приборные комплексы
отличаются большим числом элементов» узлов, разнообразием
функциональных и тепловых связей между ними и представляют
собой сложные технические системы, включающие различные
оптические, механические и электронные устройства. Основным
методом проектирования сложных систем является блочно-иерархи-
ческий, при котором в процессе проектирования система
рассматривается последовательно на разных уровнях иерархии с
постепенно нарастающей степенью детализации [80]. Существует
естественное стремление найти такой метод анализа теплового
режима, который был бы адекватен блочно-иерархическому методу
проектирования, позволял бы с требуемой точностью получать
необходимую информацию о температурном поле объекта,
обладал бы общностью и единообразием подхода.
Опыт расчетов теплового режима различных сложных
объектов электроники [21, 32], энергетики [73], электротехники [2],
оптико-электронных систем [41] и т. д. показал эффективность
подхода, названного методом поэтапного моделирования [38].
Обоснование и развитие этого метода составит содержание по-
30

следующих глав, в которых также будет показано, что все
многообразие приборных комплексов можно свести к ограниченному
числу моделей, математическая реализация которых может быть
осуществлена аналитическими или численными методами.
Отличительной особенностью моделирования процессов
теплообмена, осуществляемого при проектировании, является
необходимость рассмотрения процесса одной и той же физической
природы для всего прибора или приборного комплекса. При этом
необходимо учитывать тепловые связи между элементами,
принадлежащими подсистемам более высоких уровней иерархии, в
которых протекают функциональные процессы различной физической
природы. Тепловая модель такой сложной системы в общем
случае представляет собой комбинацию многочисленных областей
сложной конфигурации с источниками и стоками теплоты, в
которых движутся потоки теплоносителей (газов или жидкостей).
Наиболее полная математическая модель теплового режима
объекта записывается в виде системы многомерных нестационарных
уравнений теплопроводности для твердых тел
CiPt^p-^VfriVTd + qvt, *«1,...,/, B.1)
ox
и уравнений энергии для потоков теплоносителей.
VfriVUt), I—I JL B.2)
с граничными условиями 1, 2, 3-го родов либо с условиями
сопряжения на границах 'раздела элементов. В уравнениях B.1),
B.2) использованы следующие обозначения: 7\-, Ui —
температуры твердых тел и теплоносителей; % — время; с — удельная
теплоемкость; (р — плотность; Я — теплопроводность; qv — объемная
плотность теплового потока; v — скорость движения
теплоносителя; /, L — число тел и потоков теплоносителей.
Реализация такой полной модели затруднительна даже с
применением современных ЭВМ, поскольку число элементов
нижнего уровня иерархии составляет обычно от нескольких сотен до
нескольких десятков^ тысяч. Возникающие трудности связаны как
с проблемой выбора метода решения и объемами требуемых
затрат машинного времени и памяти, так и с объемом исходной
информации, входящей в полную модель. Кроме того,
проектирование прибора или приборного комплекса проводится в
соответствии с их иерархической структурой. Анализ теплового режима на
каком-либо высшем уровне иерархии часто приходится проводить
в условиях, когда внутренняя структура подсистем этого уровня
еще детально не определена. Поэтому на высших уровнях
проектирования полную модель нельзя использовать из-за недостатка
информации.
При поэтапном методе моделирование теплового режима
проводится на основе последовательного использования тепловых и
математических моделей, соответствующих различным уровням
31

иерархии. На любом из уровней иерархии задачей анализа
является определение тех характеристик температурных полей
подсистем данного уровня, которые необходимы для нахождения
конструктивных параметров, соответствующих этому уровню
(например, среднеобъемных температур отдельных областей, средних
температур различных поверхностей). Внутренняя структура
подсистем учитывается через их обобщенные интегральные характе*
ристики, зависящие от конструктивных параметров данного
уровня. Основанием для применения такого метода анализа является
то, что особенности внутренней структуры подсистем
незначительно влияют на используемые при проектировании на данном
уровне характеристики их температурных полей. Например,
особенности расположения микросхем на плате какого-либо
электронного блока мало влияют на температурное поле тубуса
объектива, расположенного рядом с блоком. Указанное обстоятельство
используется и при анализе теплового режима подсистем
следующего уровня иерархии. Очевидно, что при проведении анализа
выделенной подсистемы целесообразно использовать уже
найденные на предыдущих этапах.характеристики подсистем более
высоких уровней.
Таким образом, моделирование теплового режима
проводится поэтапно с постепенным переходом от верхнего уровня
иерархии, включающего группу приборов, к нижнему, имеющему в
своем составе простейшие подсистемы — отдельные элементы,
которые невозможно разделить, не нарушив их целостности.
Сначала с минимально допустимой степенью детализации
рассматривается вся система в целом. На этом этапе обычно
определяются осредненные характеристики температурных полей тел или
групп тел и потоков теплоносителей. В случае, когда на первом
этапе ограничиваются анализом только среднеобъемных и сред-
неповерхностных температур тел, среднерасходных температур;
теплоносителей, их расчет проводится на основе моделей с
сосредоточенными параметрами. Кроме того, довольно часто для
некоторых тел, групп тел или потоков теплоносителей бывает
необходимо рассматривать одномерные распределения характерных
температур (например, распределения по длине осредненных в
поперечном сечении температур). В этой ситуации используются
одномерные модели.
Последующие этапы заключаются в выделении отдельных
частей системы с целью более детального анализа их
температурных полей. При этом часть объекта, рассматриваемая на
предыдущем этапе как область с эффективными параметрами, на
последующем этапе может анализироваться как подсистема,
имеющая сложную внутреннюю структуру. В граничные условия на
поверхностях, выделяющих подсистему, подставляют найденные
ранее осредненные значения тепловых потоков или температур;
окружающих тел и теплоносителей. Таким путем учитывают
взаимодействие рассматриваемой подсистемы с другими
подсистемами.
32

При реализации этих этапов так же, как и на первом этапе,
могут применяться модели с сосредоточенными параметрами или
одномерные модели. Кроме того, обычно наступает момент,
когда для увеличения степени детализации описания теплового
режима приходится для некоторых компонентов системы
рассматривать многомерные температурные поля и проводить анализ на
основе многомерной модели. При определении пространственных
температурных полей метод поэтапного моделирования
используется в различных вариантах. Например, можно сначала
преобразовать исходную многомерную модель в модель с
сосредоточенными параметрами или одномерную модель и определить
соответствующие осредненные характеристики температурных полей,
а затем решать многомерные уравнения для отдельных тел,
подставляя в их граничные условия уже известные осредненные
значения тепловых потоков или температур окружающих тел и
теплоносителей. При таком подходе многомерность модели
фактически обеспечивается путем решения многомерных задач для
одиночных тел. Особенностью других вариантов является
использование тех или иных промежуточных моделей, в которых для
нескольких тел одновременно рассматриваются многомерные
температурные поля. Таким образом, в этом случае приходится
решать многомерные задачи для систем тел.
Аналитические и численные методы расчета по моделям с
сосредоточенными параметрами и одномерным моделям, а также
методы решения многомерных задач для отдельных тел и
систем тел будут рассмотрены в гл. 3—5.
Изложенная общая схема поэтапного расчета
представляется качественно достаточно ясной и логично вытекающей из
общих принципов системного анализа и математической теории
сложных систем, рассматривающей процедуры агрегирования и
декомпозиции '[89]. При агрегировании производится
укрупнение исходной полной математической модели для расчета осред-
ненных характеристик. Процедура декомпозиции связана с
выделением группы компонентов из системы и составлением модели
Для более детального анализа.
Для практического использования метода поэтапного
моделирования недостаточно владеть общей схемой анализа, а
требуется уметь проводить построение приближенных тепловых и
математических моделей, описывающих тепловой режим исследуемых
объектов с требуемой степенью детализации, а также получать
количественные оценки погрешностей, возникающих в
результате применения этих моделей. Некоторые общие вопросы,
связанные с построением приближенных моделей и оценкой
погрешностей моделирования, будут рассмотрены в данной главе, а
конкретные виды моделей — в последующих.
Дадим общую характеристику способов, используемых при
яостроении приближенных моделей в методе поэтапного
моделирования. При проведении агрегирования (укрупнения) полной
математической модели реализуются следующие процедуры:
2-65 33

упрощение форм реальных исследуемых областей с
сохранением некоторых интегральных характеристик (площадей,
объемов, периметров, некоторых характерных размеров);
переход от подсистемы со сложной внутренней структурой,
включающей элементы с различными теплофизическими
свойствами, к квазиоднородной области с эффективными
теплофизическими свойствами;
замена сложных пространственно-временных распределений
внутренних тепловых воздействий более простыми;
понижение размерности уравнений, описывающих тепловой
режим отдельных подсистем и элементов, путем применения
операций осреднения.
При проведении декомпозиции на границе выделенной
подсистемы проводится замена пространственных распределений
локальных значений температур окружающих тел и теплоносителей
или тепловых потоков от этих тел осредненными значениями.
Например, при определении температурного поля Ti(x9 yf zf т) 1-го
тела вместо строгого задания граничных условий третьего рода,
описывающих его теплообмен на участке поверхности SiyU с
окружающими телами (/=1,..., /),
2 (qu + OHjTj) B.3)
используются приближенные граничные условия вида
B-4)
,n f
в которых <Г,>, (qij} — осредненные по участку границы Si,n
значения температур Tj и тепловых потоков Цц\
<f> = 51 J /(х>У>2> T^itndS; f-Th qu. B.5)
Подчеркнем, что отличие приближенных граничных условий
B.4) от точных условий B.3) заключается в том, что «истинные»
пространственные распределения <7гДя, yf z), Tj(x, у, z) заменены
на постоянные для данного участка границы средние значения
(ЧаУ, (Tj}. Эти средние значения плотностей тепловых потоков и
температур окружающих тел определяются на предыдущем
этапе моделирования.
В основе использования перечисленных приемов построения
упрощенных моделей лежит один и тот же принцип местного
влияния, который рассматривается в § 2.3.
Перейдем к описанию процедуры понижения размерности
уравнений полной математической модели, которая применяется
при построении укрупненных моделей и приводит к системам тел
и потоков теплоносителей с сосредоточенными параметрами.
Особенности перехода к одномерным приближениям будут
рассмотрены в гл. 4.
34

2.2. ПОНИЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ УРАВНЕНИЙ
В качестве укрупненной модели системы неупорядоченно
расположенных тел и потоков теплоносителей обычно применяют
модель с сосредоточенными параметрами, в которой состояние
элементов характеризуется не пространственным распределением
температуры, а одним или несколькими средними значениями
температуры. Рассмотрим переход от «полной» модели B.1), B.2)
к математической модели, представляющей систему
алгебраических (для стационарных задач) или обыкновенных
дифференциальных (для нестационарных) уравнений.
Применим к уравнениям B.1), B.2) оператор осреднения по
объему
tt()y( (x9y9z). B.6)
Используя теорему Грина [70], получаем для твердых тел
/==l,...,/, B.7)
а для потоков теплоносителей A=1,..., L)
С, -^ - J Xl grad U^dS-S d р, Uг vndS, B.8)
где Ciy Ci — полные теплоемкости; Pi — мощность; 5г-, Si — пло-
—>
щади поверхностей, ограничивающих объемы Vu Vi\ n — орт
внешней нормали к поверхности.
Введем обозначения: Sri—площадь поверхности твердых тел,
омываемых /-м потоком; 5/вх, 5гвых — площади поверхностей
входного и выходного сечений /-го потока (Sz=S'j+Sjbx+Szbhx).
Тогда, полагая, что кондуктивным переносом теплоты через SiBX и
SiBUX можно пренебречь по сравнению с конвективным, и вводя
среднерасходные температуры теплоносителя ?/*вх, ?/гвых
входящего и выходящего потоков, преобразуем B.8) к виду
С, J&L = J %г grad Uг пdS - сх Gx (UF* - С//х), B.9)
si
где Gi — массовый расход теплоносителя. f
Уравнения B.7) и B.9) выражают в интегральной форме
закон сохранения энергии для 1-го тела и 1-го потока
теплоносителя. Следующий шаг перехода к модели с сосредоточенными
параметрами заключается в' задании выражений для тепловых
потоков, проходящих через поверхности Si и S'i. Во многих случаях
оказывается возможным описать теплообмен между телами й
между телами и потоками с помощью тепловых проводимостей.
^ Разобьем поверхность каждого i-ro тела на участки Si,n (n=
h..., Ni) таким образом, чтобы тепловой поток между л-м уча-
1 35

стком поверхности i-то тела и пг-ы участком поверхности /-го
тела мог быть выражен в виде
Ри = °и (Ti s.n ~ Tjs.ndf B. Ю)
а тепловой поток Рц, передаваемый теплоносителю, записан так
Pti = ou(Tts.n-Uiv). B.11)
где Tis,n, TjS,m — средние температуры рассматриваемых
участков поверхностей; оц, оа — тепловые проводимости между
соответствующими участками поверхностей тел i и /, между
участком поверхности тела / и потоком теплоносителя /.
Заметим, что тепловая проводимость аи может быть
определена также по отношению к начальной {Tis,n—UiBX) разности
температур тела и потока.
Введение тепловых проводимостей и запись тепловых потоков
в форме B.10), B.11) является допущением, погрешность
которого можно снизить, увеличивая число выделяемых участков
поверхностей.
Подставив в B.7), B.9) выражения для тепловых потоков на
границах, придем к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений относительно осредненных температур
t Г
п=х [ /==
+ 2 *u(Uiv-Tts.n)\ +Р» /- I...., /; B.12)
J
2 *u(Uiv-Tts.n)\
1-1 J
В уравнения B.12), B.13) входят следующие неизвестные
величины: для твердых тел — среднеобъемная температура ТгУ и
средние температуры T\s,n участков поверхности, выделенных для
задания тепловых потоков к окружающим телам и
теплоносителям; для теплоносителей — среднеобъемная температура Uiy и
среднерасходная температура в выходном сечении UiBhLX.
Температура Uf* либо задается, если поток входит в систему
извне, либо рассчитывается по температурам DВЫХ выходящих
потоков, смешением которых образуется данный поток:
G?x?/P=2 GTXUTX. B.14)
Проблема замыкания системы уравнений. Число неизвестных
в системе B.12) — B.14) превышает число уравнений. Поэтому
для замыкания системы следует привлечь дополнительные
уравнения, устанавливающие связь между искомыми температурами.
Перечислим некоторые способы замыкания системы
уравнений модели с сосредоточенными параметрами. Наиболее простым
приемом является допущение о равномерности температурного по-
36

ля в телах. В этом случае полагают Tiv=Ti8,i = Ti8,2= ... —Tis,N
и вводят одну среднюю температуру тела Т{. Такой способ
замыкания использован при реализации поэтапного моделирования,
например, в [2, 32]. Как будет показано ниже в § 3.2, этот
подход правомерен, когда внутренние тепловые сопротивления малы
по сравнению с внешними.
В некоторых системах возможно провести дальнейшее
укрупнение модели: принять допущение о равенстве температур
некоторых тел, объединить их в «условные тела» и перейти к
рассмотрению модели с меньшим числом элементов. Этот подход
изложен в [34]. Предельный способ укрупнения заключается в
сведении системы / уравнений к системе двух уравнений для
рассматриваемого i-ro и «эффективного» тела [21]. Модели систем
тел и потоков теплоносителей с равномерными температурными
полями подробно рассматриваются в § 3.1.
Иногда для описания теплообмена данного тела с
окружающими телами и теплоносителями достаточно ввести его средне-
поверхностную температуру TiS=Tis,i= ... — Ti8>N, отличную в
нестационарном режиме или при наличии внутренних источников
от среднеобъемной T%v. В этом случае замыкание системы
уравнений осуществляют, вводя коэффициент неравномерности
температурного поля тела Wi, представляющий отношение среднепо-
верхностного и среднеобъемного перегревов. Такой способ
замыкания описывается в § 3.2.
При существенном отличии условий теплообмена на
отдельных участках тела и значительном внутреннем тепловом
сопротивлении возникает необходимость расчета средних температур
отдельных участков поверхности Ti8iU..., TiS,N. В этих случаях
для замыкания системы уравнений применяют следующий
подход. Строят точное или приближенное решение, описывающее
распределение температуры в t-м теле при наличии на участках
границы Si,n теплообмена с некоторыми условными средами,
имеющими пока неизвестные температуры Ti,n- Далее, проводя над
этим решением операции осреднения по поверхностям и по
объему, получают уравнения, которые связывают тепловые потоки
на участках границы S*,n и искомые температуры. В общем
случае такие уравнения имеют вид
si,n on
^,1,^,2 M, B.15)
где
fi.n = B ouTfs,m+ 2 oaUlV)lB au+ 2 of/).
Иногда для построения выражений вида B.15) применяют
какую-либо полиномиальную аппроксимацию температурного поля
в теле. Предполагая, что найденные соотношения между
средними температурами участков поверхностей и тепловыми потоками
37

остаются справедливы и для элемента, входящего в состав
системы тел, используют эти соотношения для замыкания системы
уравнений B.12), B.13). Например, в [91, 107] приведены
выражения, которые позволяют решать задачу замыкания при
анализе стационарного теплового режима системы тел с
одномерными температурными полями — стержней и дисков с боковым
теплообменом — и строить для такой системы модель с
сосредоточенными параметрами. В § 3.2 приведены эти соотношения, а
также рассмотрен вывод приближенных алгебраических
уравнений, связывающих средние температуры граничных поверхностей,
среднеобъемную температуру и тепловые потоки с граней для
пластин с двумерным и параллелепипедов с трехмерным
температурными полями.
Замыкание уравнений B.13), B.14) для потоков
теплоносителей сводится к установлению связи между температурами Uiv,
UiBX, UiBhLX. Наиболее часто используют допущения об идеальном
перемешивании теплоносителя в объеме Vi(UiBblx=Uiv) или о
линейном изменении температуры потока по длине канала {Uiv=
(?/4^)/2)
Задача замыкания системы уравнений, рассмотренная на
примере перехода к модели с сосредоточенными параметрами,
возникает при любом укрупнении первоначальной модели с помощью
осреднения исходных уравнений. Смысл замыкания укрупненной
модели заключается в приближенном восстановлении
информации о температурных полях, утраченной при проведении
осреднения. Адекватность такой модели, ее пригодность для расчета
осредненных температур и тепловых потоков при условии
адекватности исходной модели определяется корректностью принятых
способов замыкания.
Температура условной среды. При использовании метода
поэтапного моделирования для описания теплообмена некоторого
рассматриваемого иго тела с остальными телами и
теплоносителями удобно ввести понятие температуры условной среды.
Рассмотрим стационарный режим системы тел, причем не будем
разбивать поверхности тел i и / на N и М частей. Тогда уравнения
B.12) примут вид
р "V гт (Т ^ 71 ^ -4- "V о (Т #¦ / \ B 16)
/«1 U /-1
Выразим из B.16) температуру 1-го тела
Л +1 2 °а Tfs+ 2 °п uiv / 2 au + 2 **/• B-17)
\/=i /=i 111 4=i /-1 /
Вторая группа слагаемых в этом выражении соответствует
средневзвешенной температуре Т% всех тел, находящихся в
теплообмене с i-м телом
Тг = ( 2 <*и TfS + 2 or,! Viv) 11 2 *fJ + 2 ог«Л. B.18)
38

Эту температуру ?\ называют температурой условной среды,
которая окружает рассматриваемое ?-е тело. Первое слагаемое в
B.17)
/ / / L
: ои + s о
определяет перегрев i-го тела по отношению к температуре
условной среды. В частном случае Pi=0, температура i-ro тела в
стационарном режиме равна температуре условной среды, в
которой находится тело.
Понятие температуры условной среды можно ввести и для
отдельного участка поверхности Si,n t-ro тела с температурой
Tis,n- В этом случае тепловой поток на этом участке границы
записывается в виде
ft,n = Gin, 2 (TiS. n — Titn),
где Tin = B аи Tjs.m + 2 ои Ulv)loin, s — температура
условной среды у f-го участка поверхности n-го тела; a<n,:s=2a<j+
+2a« — тепловая проводимость от тела к условной среде.
При поэтапном моделировании с помощью укрупненных
моделей находят средние температуры 7\s,m, Uty, определяют
температуры условных сред для разных участков границы
рассматриваемой i-й части системы f*,n, я=1,..., :Nu а затем переходят
к более детальному анализу температурного поля i-й части
системы, используя при задании граничных условий
температуры Titn.
2.3. ПРИНЦИП МЕСТНОГО ВЛИЯНИЯ
В наиболее общей и простой форме принцип местного влияния
может быть сформулирован следующим образом: любое местное
возмущение температурного поля является локальным и не
распространяется на отдаленные участки поля [21, 40]. Благодаря
явлению местного влияния можно менее детально описывать
процессы теплообмена в удаленных от интересующего участка
областях системы. Отклонения истинных значений температуры от
среднего уровня, определяемого в результате моделирования при
осредненных пространственных распределениях параметров
процесса, рассматриваются как возмущения, носящие локальный
характер.
При использовании метода поэтапного моделирования на
основе принципа местного влияния реализуются следующие
процедуры: сложные пространственные распределения источников
теплоты заменяются более простыми; многосоставные подсистемы с
неоднородной структурой заменяются квазиоднородными
областями с эффективными теплофизическими свойствами; простран-
39

ственные распределения величин, описывающих теплообмен на
границах области (температур окружающих тел и
теплоносителей, коэффициентов теплоотдачи, тепловых потоков),
заменяются их средними значениями.
Как было отмечено выше в § 2.1, первые две операции
применяются при укрупнении полной математической модели, а
третья — при декомпозиции. Приведем ряд простейших примеров,
иллюстрирующих эти переходы.
На рис. 2.1 показано несколько областей различной
конфигурации, внутри которых распределены по любому закону
источники энергии одинаковой полной мощности. При исследовании
принципа местного влияния, проведенного в [36], выявлена
следующая закономерность: конфигурация области D, занятой
источником энергии, практически не влияет на характер
температурного поля в теле на расстояниях от центра области D того же
порядка, что и наибольший размер этой области.
Собранный из многих элементов узел электронного аппарата
состоит из различных материалов, теплопроводности которых
могут различаться на несколько порядков. На границе таких
материалов резко изменяется градиент температуры, но на
достаточном расстоянии от неоднородностей последние практически не
влияют на характер температурного поля.
Пусть в цилиндрической трубе равномерно распределен
источник энергии и условия теплообмена везде одинаковы. Тогда
изотермические поверхности (штриховые линии на рис. 2.2)
представляют собой концентрические цилиндры. Создадим локальное
возмущение коэффициента теплоотдачи на поверхности. В этом
случае на удалении от места возмущения изотермические
поверхности не изменяются и только в районе возмущения будут
отражать его характер.
Перейдем к более подробному рассмотрению особенностей
реализации способов преобразования исходных моделей на основе
Рис. 2.1. Иллюстрация
принципа местного
влияния:
1, 2, 3 — области различной
конфигурации; 4 — общий центр
областей
40
Рис. 2.2. Иллюстрация принципа местного
влияния:
а — одинаковые условия теплообмена на границе; б —
условия теплообмена с локальным возмущением
коэффициента теплоотдачи

принципа местного влияния. Остановимся на операциях,
связанных с заменой сложных пространственных распределений
внутренних источников теплоты и переходом к кв'азиоднородным
областям, которые выполняются при построении укрупненных
моделей. Осуществляемое при проведении декомпозиции осреднение
пространственных распределений величин, описывающих,
теплообмен на границах, будет рассмотрено в § 2.4.
Фоновые и собственные перегревы. Для обоснования
переходов, при которых осуществляется «сглаживание» распределений
внутренних источников теплоты в сложных системах тел, весьма
удобно использовать понятия фоновых и собственных
температур, введенные в [36, 40]. Поясним их на примере анализа
стационарного теплового режима в -сложной системе, который
описывается системой линейных уравнений B.1). Можно доказать, что
в любой точке г-й области системы стационарную температуру Т\
можно представить в следующем виде:
Tt (х, у, г) = Гср + 2 Fu (х, у, z) Pjf B.19)
/=i
где Гср — температура окружающей среды; Pj— общая мощность
источников теплоты в /-й части системы, Рц — тепловые
коэффициенты, которые в данном случае не зависят ни от температур, ни
от мощностей.
Коэффициент Fij отражает влияние /-го тела на тепловой
режим t-ro тела. Отметим, что хотя он не зависит от общей
мощности тепловыделений Pj в /-м теле, но' может изменяться >в
зависимости от вида пространственного распределения этой
мощности.
Запишем B.19) следующим образом:
Второе слагаемое в правой части B.20) #iC=FuPi называется
собственным перегревом 1-го тела. Этот перегрев возникает из-за
выделения теплоты в данном теле. Третья группа слагаемых
—сумма /б>гф= 2 FijPj определяет перегрев i-ro тела, вызванный
всеми остальными (кроме i-ro) источниками теплоты в системе.
Температура 7\-ф=Гср+'61гф называется температурным фоном в
/-й области, а Фгф — фоновым перегревом.
Анализ многочисленных конкретных задач показывает, что
довольно часто тепловой коэффициент F^ отражающий влияние
/-й области на ?-ю, слабо зависит от конкретного вида
пространственного распределения мощности Pj источников теплоты,
действующих в /-й области, а также от особенностей ее внутренней
структуры. Это обстоятельство позволяет проводить расчеты
распределения фоновых температур в весьма сложных системах с
источниками энергии.
41

В качестве примера такой системы рассмотрим блок РЭА, в
котором расположены печатные платы с различными
элементами— микросхемами, микросборками и дискретными
электрорадиоэлементами. Для определения температуры какого-либо
элемента при строгой постановке задачи было бы необходимо учитывать
реальное пространственное распределение мощности
тепловыделений во всем блоке. Это распределение имеет весьма сложный .
характер из-за локализации тепловыделений в функциональных
элементах, имеющих различные формы и произвольным образом
размещенных на платах. Однако на основе принципа местного
влияния можно утверждать, что учитывать такое весьма
неравномерное пространственное распределение источников на всех
платах нет необходимости, поскольку оно мало повлияет на
искомую фоновую температуру для рассматриваемого элемента.
Поэтому для упрощения процедуры расчета целесообразно удобным
и разумным способом «размазать» мощности тепловыделений по
отдельным областям блока.
Часто при определении фоновых температур предполагают,
что мощности элементов равномерно распределены по каждой из
плат, представленной в виде однородной прямоугольной области
с эффективными свойствами. Находят фоновые перегревы,
создаваемые за счет мощностей источников на соседних платах.
Далее, рассматривая более детально распределение мощности на
одной выделенной плате, определяют составляющую фонового
перегрева, вызванную тепловыделениями на этой плате. И наконец,
анализируя тепловой режим отдельного элемента с учетом
особенностей его конфигурации и способа установки на плату,
находят собственный перегрев этого элемента. Изложенная схема
анализа теплового режима элементов в блоках РЭА будет
подробно рассмотрена в гл. 6.
Для приближенной оценки теплового режима элемента в
блоке при условии достаточно равномерного распределения
мощностей по объему блока можно ввести один фоновый тепловой
коэффициент /чф, не зависящий от распределения мощности по
платам и по элементам, и определить температуру элемента по
формуле [40]
Тг = Гср + FH Рг +^|ф (Р2 - Рг), B.21)
где Р2 — суммарная мощность тепловыделений в блоке; Pi —
мощность, рассеиваемая в данном элементе.
При анализе тепловых режимов сложных систем в ряде
случаев используется и осреднение временных распределений
источников теплоты. Рассмотрим, например, анализ теплового
режима блока РЭА, элементы и узлы которого работают по сложной
временной диаграмме. При определении фонового перегрева
некоторого элемента предполагается, что в остальных частях
системы действуют источники постоянной мощности, которая
определяется путем осреднения во времени мощностей периодически
включающихся источников. Собственный перегрев элемента нахо-
42

дится в соответствии с
характером временного
режима его функционирования.
Сумму фоновой
температуры и собственного
перегрева принимают в качестве
приближения для искомой
температуры элемента (рис.
2.3) [40].
Переход к модели
квазиоднородного тела. Замена рис нестационарные фоновый и
неоднородной области, СО- собственный перегревы
стоящей из элементов с
различными свойствами, квазиоднородным телом с эффективными теп-
лофизическими свойствами является весьма полезным приемом
построения укрупненных моделей в методе поэтапного моделирования,
так как позволяет существенно упростить математическое
описание температурного поля в этой области. Обычно модель
квазиоднородного тела применяют в случае, когда система состоит из
достаточно большого числа близких в конструктивном отношении
элементов, повторяющихся во всех измерениях, например
нагретой зоны РЭА кассетного типа, обмотки электрической машины,
зеркала оптической системы с облегчающими отверстиями и др.
Для подобных систем можно выделить так называемую
элементарную ячейку [21], т. е. минимальную часть конструкции,
повторяя которую в нескольких измерениях можно воспроизвести
всю конструкцию. Модель квазиоднородного тела не позволяет
провести детальный анализ распределений температуры в
элементарных ячейках. Однако с ее помощью можно найти
приближенные значения некоторых характерных температур системы,
например среднеобъемную температуру, осредненные значения
температур и тепловых потоков на границах тела или отдельных
элементарных ячеек. В дальнейшем может быть проведен
детальный анализ температурного поля внутри элементарной ячейки.
Строгое описание температурного поля неоднородной области,
состоящей из однородных компонентов со свойствами Яг, (ср)и
ах, дается системой уравнений теплопроводности для каждой из
однородных подобластей
!%ь B.22)
с условиями сопряжения на границах раздела компонентов
•к dTi
дп
дп
B.23)
или с условиями, описывающими лучистый и конвективный
перенос в газовой компоненте, если неоднородная система включает
подобласти, представляющие собой, например, воздушные
прослойки.
43

При замене неоднородной системы квазиоднородным телом с
эффективными теплофизическими свойствами температурное
поле последнего описывают уравнением
vr + ^f B.24)
а при задании условий на внешних границах плотность
теплового потока вычисляют по формуле
«--»*?. <2'25>
Эффективная теплопроводность АЭф определяется как
коэффициент пропорциональности среднего теплового потока <#>
среднему градиенту температур <V7>
^=-<?>/<Vr> B.26)
и находится либо экспериментально, либо методами обобщенной
теории проводимости [20, 26].
Для систем с регулярной структурой ХЭф определяют на
основе анализа переноса теплоты в элементарной ячейке. В этом
случае операцию осреднения в B.26). проводят в пределах
элементарной ячейки и задача сводится к нахождению теплового
сопротивления ячейки при переносе теплоты в определенном
направлении. Для получения простых приближенных зависимостей для
ЯЭф часто проводят искусственное дробление ячейки
изотермическими и адиабатическими поверхностями, в результате которого
ячейка представляется в виде совокупности участков с
параллельным и последовательным соединением тепловых сопротивлений,
вычисляемых по известным' формулам для стенок и газовых
прослоек. Далее приведен пример применения такого подхода для
определения эффективных теплопроводностей блока РЭА
кассетной конструкции.
Простейшей двухкомпонентной системой является совокупность
W пластин толщинами hu h2 со свойствами Хи (ср)и аи *=1| 2,
изображенная на рис. 2.4. Эта система является анизотропной.
Ее эффективные теплопроводности -Х± при движении теплового
потока в направлении х, перпендикулярном плоскости пластин
(рис. 2.4,а), и А, и при движении теплового потока в направлении
у, параллельном плоскости пластин (рис. 2.4,6), определяются
па формулам:
н = пх Хг + п2 Яа, B.27
где tii=hif(hi-\-fo2)—объемная концентрация йи компоненты.
Методы расчета эффективных теплопроводностей более
сложных неоднородных систем с различной структурой
рассматриваются в большом числе работ. С основными идеями обобщенной
теории проводимости гетерогенных систем и подходами к
расчету их переносных свойств можно ознакомиться в B0, 26].
44

а)
Рис. 2.4. Простейшая двухкомпонентная
система
Рис. 2.5. Распределение
температуры в неоднородном Тл(х}
и квазиоднородном То(х)
телах
При переходе к модели квазиоднородного тела возникает
методическая погрешность в расчете температурных полей
исследуемой системы. Приведем оценку этой погрешности для
простейшего случая. На рис. 2.5 показано стационарное одномерное
распределение температуры в системе пластин Тн(х) и в квазиодно-
родном теле То(х) при движении теплового потока в
направлении х. Используя точные аналитические решения для
стационарных распределений температуры в составной стенке и в
квазиоднородной пластине, нетрудно получить следующее выражение
для максимальной погрешности расчета локального значения
температуры:
max \TH(x)-T0(x)\ =
B.28)
N
vn± + п2
где
— температуры на границах системы х=0 и x=tx;
Приведенный пример показывает, что погрешность расчета
стационарных температур по модели квазиоднородного тела
зависит от различия свойств компонентов v=W^i, от соотношения
их концентраций rti и уменьшается пропорционально отношению
характерного «микроразмера» h (размера элементарной ячейки)
к «макроразмеру» lx: hJlx=l[N.
При решении нестационарных задач эффективную объемную
теплоемкость (ср)эф неоднородной системы рассчитывают по
аддитивной формуле
B.29)
а эффективную температуропроводность аЭф находят по формуле,
справедливой для однородного тела,
B.30)
45

Перенос зависимости а=Х/ср на неоднородную систему и ис-/
пользование для расчета температурных полей уравнения B.24^
требуют обоснования. В [39] проведено сопоставление расчетов
нестационарных температурных полей в системах пластин,
выполненных по модели квазиоднородного тела B.24), с численным
решением уравнений B.22), B.23) для системы тел. В
результате исследования получены оценки методической погрешности
расчета нестационарных температур при различных видах
воздействий на внешних границах системы.
Заметим, что возможны и иные подходы к определению
эффективных свойств квазиоднородного тела, которые приводят к
формулам, отличным от B.29), B.30). Эти подходы основаны на
выборе эффективных параметров (ср)эф, яЭф из условий
наилучшего совпадения некоторых конкретных характеристик
температурных полей квазиоднородного тела и неоднородной системы,
например средней температуры или теплового потока в
некотором сечении, количества теплоты, воспринятого телом при
заданном виде теплообмена на границе, и т. д. Примеры такого
«нетрадиционного» определения эффективных свойств содержатся в
[75, 118].
Пример расчета эффективной теплопроводности. Рассмот-
. рим типичную конструкцию блока РЭА кассетного типа, в котором на платах
расположено большое число однотипных элементов. Пусть нагретая зона
аппарата состоит из одинаковых или близких по конструкции элементов,
регулярным образом расположенных в пространстве (рис. 2.6,а). Такая система
обладает дальним порядком, т. е. позволяет выделить элементарную ячейку,
повторяя которую в трех измерениях можно получить исходную систему. На
рис. 2.6,а элементарная ячейка заштрихована, а на рис. 2.6,6 изображена
отдельно.
Выделим в элементарной ячейке следующие области в форме
параллелепипедов: часть монтажной платы /, элемент 2У воздушные зазоры 3—6.
Поскольку в реальной конструкции возможны некоторые различия размеров элементов
и отклонения от равномерного заполнения платы элементами, то элементарную
ячейку "будем характеризовать осредненными геометрическими параметрами.
Введем следующие обозначения (рис. 2.6,6): /я, Ля, Ня — размеры ячейки в
направлениях х, уt z\ /э, Аэ, h9 — размеры элемента 2\ h\—толщина платы L
Размеры воздушных прослоек обозначим U, Ли h{ (t = 3, 4, 5, 6). Например, Л4 —
зазор между элементами в направлении у; k — зазор между элементами в
направлении х.
Вследствие анизотропии конструкции для перехода к модели
квазиоднородного тела необходимо определить три значения эффективной теплопроводности
в направлениях х, у, z—Хх, А,у, Xz. При расчете тепловых сопротивлений
элементарной ячейки в направлениях х, у, z вводятся изотермические поверхности,
перпендикулярные направлению теплового потока, и адиабатические —
параллельные направлению теплового потока. Тепловые схемы ячейки,
представленные в виде параллельного и последовательного соединений сопротивлений
плоских стенок, показаны на рис. 2.6,в. Вывод расчетных формул для Хх, Ху, %z
подробно рассмотрен в /[36, 40]. Здесь приведем лишь окончательные выраже-
46

/^ А9
Рис. 2.6. Блок РЭА с упорядоченным расположением элементов (а),
элементарная ячейка нагретой зоны (б), тепловые схемы элементарной ячейки в
направлениях х, у, z (в)
ния, связывающие искомые эффективные теплопроводности с конструктивными
параметрами нагретой зоны и с теплопроводностями компонентов.
Плата имеет теплопроводность %и элемент — эффективные
теплопроводности Яэх, Хэу, Яэг; воздух — теплопроводность Яв. Предполагается, что зазоры
настолько узки, что свободная конвекция в них отсутствует. Пр"н расчете
эффективной теплопроводности воздушных прослоек следует учитывать
излучение. Поэтому, например, для прослойки 3 получим А,В2=&в + ал/&з, где hz —
толщина прослойки; ал—лучистый коэффициент теплоотдачи [21].
Аналогичным образом определяются эффективные теплопроводности остальных
воздушных прослоек.
На основании тепловых схем элементарной ячейки, приведенных на рис.
2.6,6, можно получить следующие выражения для эффективных теплопровод-
ностей нагретой зоны
— пг — /ig);
- пг - п3)A;
B.31)
47

где Ль Лз — объемные концентрации элементов / (плат) и 3 (воздушных
зазоров между элементами и соседними платами) /
B.32)
(
Пх, Пу—*«линейные концентрации» элементов 2 в направлениях х и у
%'х, %'у, %'г — эффективные теплопроводности фрагментов элементарной ячейки,
включающих элемент 2 и расположенные рядом воздушные зазоры 4, 5, 6,
= v* ny/[vx пх + A — пх)] + va A — пу);
= Vy n^/IVy % + 0 — %I + vy С1 — Л«); B.34)
: пх пу "f" vz (I — яЛ Лу);
При ином конструктивном исполнении нагретой зоны
значения эффективных теплопроводностей можно определить, используя
методы, изложенные в [36, 40].
Замена неоднородной нагретой зоны квазиоднородным телом
в форме прямоугольного параллелепипеда позволяет при
отсутствии конвективного переноса теплоты в объеме нагретой зоны
описать пространственное распределение температуры уравнением
дТ *
в 'котором функция qv(x, у, г), учитывающая распределение
мощности внутренних источников, рассчитывается путем осреднения
мощностей элементов по отдельным частям объема нагретой
зоны. Применение такой модели для расчета теплового режима
блоков РЭА рассматривается подробнее в гл. 6.
2.4. ОСРЕДНЕНИЕ УСЛОВИЙ ТЕПЛООБМЕНА
НА ГРАНИЦАХ ОБЛАСТЕЙ
Постановка задачи. Как указывалось в § 2Л, при использовании
метода поэтапного моделирования граничные условия (ГУ) для
рассматриваемой области составляются на основании значений
температур Т\ Гк и тепловых потоков ч\г^> полученных на
предыдущем этапе расчета. Однако модели предшествующих этапов
обладают недостаточной детализацией и не позволяют
определить пространственные распределения указанных величин. Как
правило, эти модели позволяют рассчитать лишь осредненные по
некоторым поверхностям Su (либо координатам) значения
температур (ТкУ, плотностей тепловых потоков <#&> либо
температур <Jk> условной среды:
kdS; / = Tf q, f. B.35)
48

Поэтому при поэтапном моделировании строгую постановку
краевой задачи для выделенной области системы заменяют
приближенной, задавая на участках границы Г\ средние
температуры (ГУ 1-го рода)
Лг* =<**>, B.36)
либо средние плотности теплового потока (ГУ 2-го рода)
-X
97
B-37)
дп
либо условные температуры окружающей среды (ГУ 3-го рода)
= 0. B.38)
Правомерность такой замены обосновывается принципом
местного влияния, согласно которому на достаточном удалении от
границы распределение температуры должно быть
нечувствительным к подобным возмущениям на границе. Ниже даются
полученные в [35] количественные оценки погрешности расчета
температурного поля, вызванной осреднением граничных условий.
Анализ проводится для линейных стационарных задач с не
зависящими от координат теплопроводностью А и коэффициентами
теплоотдачи ак на участках границы Г*. Исследование
проводится для ГУ 3-го рода
5]r =0, B.39)
где Tk — температура условной среды для &-го участка
поверхности Tk.
Полученные результаты в дальнейшем возможно
распространить и на ГУ 1-го рода, полагая >а&->оо, и на условие 2-го рода,
осуществляя предельный переход при а^-^О, f/r-^oo и aTk=qk=
= const.
Решение рассматриваемых линейных задач согласно
принципу суперпозиции может быть представлено в виде
Г(*) = Гн(х) + S7\*$, B.40)
—>
где Тн(х)—решение неоднородного уравнения при однородных
ГУ (fft=0); Tok{x) — решение однородного уравнения (qv=0)
при неоднородном ГУ на участке Г& и однородных условиях на
остальных участках границы Г,- (/=1,..., N, &#/).
Поэтому для оценки погрешности, вызванной осреднением
температуры среды, достаточно рассмотреть решение однородного
уравнения
^ B.41)
49

с однородными ГУ на участках Г,- на границы области D
Гл дТ -1 л B.42)
и неоднородными условиями B.37) или B.38) на одном участке
границы Г&. Погрешность расчета температурного поля при
одновременном возмущении граничных условий на всех участках
границы можно найти согласно принципу суперпозиции по
выражению B.40).
Обозначим символом ^(д:) решение задачи B.39), B.41),
B.42), а Т2(х) —задачи B.38), B.41), B.42) с осредненной
температурой среды. Погрешность #(x)=Ti—^2 удовлетворяет
уравнению B.41), однородным ГУ B.42) и следующему условию на
границе Г&
B.43)
где ATk(x) = Tk(x)—<ffe> — отклонение температуры среды от
среднего значения, называемое в дальнейшем возмущением
температуры среды.
Относительная погрешность. Перейдем к безразмерной
постановке задачи, выбрав в качестве масштаба длины характерный
размер области Г& осреднения граничных условий, а в качестве
масштаба погрешности — максимальное значение возмущения
Д7'&. Введем следующие безразмерные величины:
относительную погрешность
9ЙвФЙЛпах|ДГЛЙ1; B-44)
относительное возмущение температуры среды
B.45)
относительные координаты и критерии Био
x = x/lh; Bij^ajlJK /= 1 ЛУ.
Тогда задачу определения погрешности #(х) запишем в виде:
=BbA; B.46)
J!L + Bi,el =o, /=i,..., N;
on jrj
Относительная погрешность 0(x), вызванная осреднением
температуры среды, зависит от вида возмущения *Ч(*)> от критериев
50

Био и от геометрических факторов, число и вид которых
определяются размерностью и конфигурацией рассматриваемой
области D.
Рассмотрим переход к безразмерной постановке задачи в
случае, когда на участке Г* заданы граничные условия второго
рода:
= Ян> гДе Як = Як (х) либо qk = (qk).
дп
Решение Т\ (х), полученное при Як(х), сравнивается с
решением Т2(х) для осредненного потока <<7ь>. Относительную
погрешность 0' определим следующим образом:
ft/ /v> M7afo — rafo] /О А7\
V (Х) = —¦ , \ь^Ч
/ft max \qk(x) —
а граничное условие на 1\ в задаче для относительной
погрешности примет вид
дп
гк
max
Нетрудно показать, что относительную погрешность 0' можно
найти из решения задачи B.46), проводя предельный переход
в'E=вНто[вЙ/В1Л]
и полагая
Оценку погрешности для граничных условий 1-го рода B.36)
можно непосредственно получить из решения задачи B.46) при
больших Ви, обеспечивающих 8| Tk «0л.
Ниже проводится анализ решений задачи B.46) для
различных областей и даются рекомендации по оценке погрешности
осреднения температур в граничных условиях.
Возмущения на границе полупространства. Начнем с рассмотрения
двумерной задачи для полуограниченного тела (O^jc<oo, —оо<г/<оо). На
поверхности jc=O задано ГУ 3-го рода, в котором температура окружающей среды
имеет на некотором ограниченном участке относительное возмущение 6(#).
Относительная погрешность 6(х, у) является решением задачи
д2 9 а2 8
+ 0 <248>
ду2
дд 1
— —=^ + Bi в =
дх ^ JFo
ае
ду
=^ + Bi в =В19(у); 4=
дх ^ JF=o УУ) дх
= 0; B.49)
дг-м»
ае
ду
= 0.
51

Сопоставление решений задачи B.48), B.49) при различных возмущениях
8(|7) показало, что погрешность достигает наибольших значений при задании
следующего вида относительного возмущения температуры среды:
B.50)
0,
\у\>1.
Точное аналитическое решение задачи B.48) — B.50), полученное с
помощью косинус-преобразования Фурье [70], имеет вид
4Bi ? [I-cos(ю/2)]sin(ш/2)
•co*)cos((B</)du>.
B.51)
Анализ решения B.51) преследует две цели: во-первых, изучить, как
«отображаются» возмущения температуры среды на поверхности тела при
различной интенсивности теплообмена со средой, т. е. найти зависимость
относительной погрешности 9| —_ от критерия Bi; во-вторых оценить «затухание»
относительной погрешности при удалении от границы в глубь тела.
На рис. 2.7 показано распределение относительной погрешности 0@, у) на
границе тела при различных Bi. При выбранном виде возмущения погрешность
является четной функцией у и ее максимальное значение достигается при у=0.
На рис. 2.8 показано изменение максимального значения относительной
погрешности бтах(Зс) с удалением от границы. Значение погрешности зависит от
критерия Bi, поэтому чтобы оха.рактеризо>в<ать уменьшение погрешности при
удалении от границы, введем величину /(.?)= 9 (х, 0)/9@, 0), равную отношению
максимальной погрешности в плоскости х к ее значению на границе ?=0.
Зависимости f\(x), построенные при разных Bi, достаточно близки. На рис. 2.8
изображена область, в которой лежат f(x) при Bi=@,l ...20).
Зависимость максимальной относительной погрешности 9@,0) на границе
от Bi представлена на рис. 2.9 (кривая 1). При Bi<0,2 погрешность становит-
Рие. 2.7. Распределение
относительной погрешности 6 @, у) на
границе у=0 полуограниченного тела:
/ — Bi-w»; * — Bi-20; 3 — BI-*5; 4 — Bi»l
52
1,0
Рис. 2.8. Изменение максимальной
относительной погрешности при
удалении от границы:
/ — Bi=l; 2 — Bi=5; 3 — область значений

ся пропорциональной Bi, поэтому для малых Bi величина 6 легко может быть
рассчитана.
Для оценки погрешности, вносимой осреднением температуры среды на
участке Га поверхности полуограниченного тела, предлагается формула,
аппроксимирующая полученные результаты:
Й - О9В! р. ехр (- 2,31), 0,2 < Bi < 20. B.52)
9_! р.
,4 -f" Ы
Погрешность в', вызванная осреднением плотности теплового потока,
может быть оценена по формуле
mas W== 0,45 ехр (-2,17), 0<7<3. B.53)
Возмущение на границе ограниченного тела. Если размеры области
возмущения граничных условий сопоставимы с размерами тела, то при оценке
погрешности модель полуограниченного тела может оказаться неприменимой.
Погрешность осреднения ГУ зависит в этом случае от условий теплообмена на
других границах и от конфигурации тела. Найдем особенности
распространения возмущений ГУ в ограниченном теле из рассмотрения следующей задачи.
Дана двумерная область прямоугольной формы с размерами /*, 1У, на
границах которой происходит теплообмен с окружающей средой. На границе #=0
проводится осреднение температуры среды. Относительную погрешность 6(*,
у) находим из решения уравнения B.48) с граничными условиями
[д0
ox
U
0;
dy
B.54)
где BiA==<aft/ftA;?==*0, xlt yO, y\\ x=x/tv\ y=y/lv; h=lx/ly.
Возмущение Q(y) задается в виде B.50). Точное аналитическое решение
задачи B.48), BJ54) получено с помощью интегрального преобразования Фурье
по переменной у [70]. На рис. 2.9 представлены зависимости максимальной
относительной погрешности на границе х=0 от критерия Bix0 при h->oo для
ex
0 0,2 0,5 1 2 5 10
tj 0
0,2 Ofi
Рис. 2.9. Зависимость максимальной Рис. 2.10. Распределение максималь
относительной погрешности от уело- ной относительной погрешности
вий теплообмена на границе:
— полуограниченное тело; 2» 3, 4 —
прямоугольная область при hr+oo B — Biy0=»
-0; Biyl-*oo; 3 — BIy0=Biyl=0; 4 —
BW*»; BL,4->oo
р
9тах(*) в прямоугольной области:
i — h-+oo; 2 — h-l; 3 —Л-0,5; 4 — Л«0,25;
5 — Л«=0,1

различных предельных случаев условий теплообмена на границах */=0 и у='\.
Наибольших значений погрешность достигает при условиях Biy0=0, Biyi->oo, a
наименьших при Biyo=Biyi->oo. При этом для приближенной оценки
максимальной погрешности можно использовать результаты, полученные для
полуограниченного тела (кривая /). Изменение максимальной относительной погрешности
при удалении от границы х=0 показано на рис. 2.1Ю для различных
соотношений h=lx/ly. При А>|1 распределение погрешности несущественно зависит
от условий теплообмена на границе x=h и от значения h, поэтому можно
использовать результаты для h-+oo. При малых h влияние границы x=h
становится существенным, причем наибольшие погрешности имеют место в случае
адиабатического условия Biai = 0.
2.5. ПОГРЕШНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА
Определение характеристик погрешности математического
моделирования теплового режима является важной задачей,
поскольку ее решение необходимо для оценки достоверности выводов и
рекомендаций, получаемых при проектировании приборов, а
также для правильного выбора сложности физико-математической
модели, точности методики расчета и требований к качеству
исходной информации.
Общая погрешность любого этапа моделирования >ДМ
складывается из трех составляющих: погрешности
физико-математической модели Дф.м, погрешности ее математической реализации Др,
которую в дальнейшем будем называть погрешностью расчета,
погрешности Аи.д, которая вызвана неточным заданием исходных
данных, являющихся параметрами физико-математической модели,
. B-55)
Остановимся на каждой из составляющих подробнее.
Погрешность физико-математической модели вызвана
использованными при построении модели допущениями: упрощением
форм элементов, приближениями в описании процессов
теплообмена, предположениями о характере пространственно-временных
распределений температурных полей элементов, мощностей
источников и стоков теплоты, пренебрежением зависимости тепло-
физических свойств от температуры и т. д. К погрешности
физико-математической модели будем также относить составляющие
погрешности, вызванные допущениями, принимаемыми при
поэтапном моделировании температурных полей. Определение границы
этой погрешности в принципе может быть проведено путем
сопоставления результатов, полученных по применяемой модели, с
результатами, полученными по более сложной модели, в которой (
отсутствуют допущения исследуемой модели, подлежащие
анализу. Сложность такого подхода заключается в том, что при
сопоставлении необходимо обеспечить весьма малую погрешность
расчета как исследуемой модели, так и для более строгой.
54

Вклад некоторых допущений в погрешность Лф.м может быть
априорно найден путем проведения приближенной оценки
порядков значений перепадов температур, тепловых потоков и т. д.
Например, влияние допущения о равномерности температурных
полей в некоторых направлениях может быть определено на
основе анализа значений критериев неравномерности (см. § 3.2). При
анализе погрешностей, вносимых допущениями поэтапного
моделирования, можно использовать оценки, приведенные выше.
Часто исследование степени адекватности физико-математической
модели, в результате которого удается установить границу ее
погрешности Агф.м, оказывается более сложной задачей, чем
реализация самой модели. Отметим различие между погрешностью
Дф.м и ее границей Дгф.м. Обычно на практике нельзя определить
«истинную» погрешность Аф.м и приходится ограничиваться
вычислением какого-либо верхнего предела для нее, которым и
является Агф.м.
Погрешность расчета Ар имеет место при использовании для
реализации физико-математической модели приближенных
аналитически^ и численных методов. Строго говоря, Др отлична от
нуля и при расчете по точным аналитическим решениям, так как
во-первых, любые вычисления проводятся с конечным числом
значащих цифр, а, во-вторых, точные решения часто
представляются в виде рядов или содержат специальные функции, что
неизбежно приводит к погрешности при их вычислении. Однако в
большинстве случаев погрешность расчета для точных
аналитических зависимостей удается сделать пренебрежимо малой по
сравнению с другими составляющими погрешности
моделирования Аф.м и Аи.д. При использовании приближенного
аналитического решения граница его погрешности Дгр определяется путем
сопоставления с точным аналитическим или при его отсутствии с
численным решением. Границу погрешности расчета численным
методом можно оценить по правилу Рунге, основанному на
сопоставлении результатов численных расчетов, выполненных на
двух сетках разной густоты [57]. Наиболее часто проводят
расчеты на двух сетках, у которых все соответствующие шаги
отличаются в два раза. В приложении 1 рассмотрено применение
правила Рунге для оценки погрешности решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Существенный вклад в погрешность математического
моделирования, как правило, вносит составляющая Ди.д,
обусловленная неточностью исходной информации для
физико-математической модели. При моделировании процессов теплообмена
приходится задавать следующую исходную информацию: тешюфизиче-
ские свойства твердых тел, жидкостей и газов, коэффициенты
черноты поверхностей, коэффициенты теплоотдачи, контактные
термические сопротивления, скорости и расходы теплоносителей,
мощности источников теплоты и ряд других параметров. Многие
из перечисленных величин часто бывают известны с
погрешностью, достигающей десятков процентов.
55

При определении границы Лги.д обычно .используют приемы,
основанные на применении статистических представлений.
Рассмотрим их подробнее.
Обозначим параметры физико-математической модели,
влияние которых на погрешность Ди.д требуется проанализировать,
через *A),..., х<мК Для каждого параметра имеется интервал
неопределенности вида xo(m)±iA*(w), m=l,..., М, где *о(гп) —
некоторое среднее значение параметра, используется при расчете
теплового режима, a А#(т> — известная граница погрешности,
характеризующая неопределенность параметра x<w>. Рассчитываемая
величина Т зависит от параметров модели Т=Т(х<1\..., х(м)). В
качестве Т может выступать максимальная или минимальная
температура какого-либо элемента системы, перепад
температуры по какому-либо направлению, тепловой поток и т. д.
Рассчитываемая величина при средних значениях параметров равна
Го=Г(л:оA),..., #о(м))- Необходимо найти характеристики
отклонения Т от Го, возникающего при варьировании параметров х(т)
в своих интервалах неопределенности Хо(тп)±Ал;(т). При решении
этой задачи возможны два подхода: детерминированный и
статистический. При детерминированном ориентируются на самый
неблагоприятный случай и находят максимальное отклонение
Г0|. B.56)
|0|
.(т) ± Ддг(т)
При статистическом подходе полагают, что значение любого
параметра #<m> с одинаковой вероятностью может находиться в
любой точке своего интервала неопределенности #0(w)=bA#(m), и
соответственно отклонение АТ=Т—То рассматривают как
случайную величину с определенным (при большом числе
параметров М — нормальным) распределением. В «качестве границы для
AT принимают границу, которую AT не превзойдет с некоторой
вероятностью у, принимаемой обычно 0,95. Эту границу
обозначим через АГ0,95. Она всегда меньше, чем АТтлх.
Вероятностный характер ЛГо.эв не должен смущать,
поскольку такой же характер имеют границы погрешностей
экспериментальных данных [19], и поэтому нет смысла оценивать
по-другому погрешность математического моделирования. Определение
ДГо,9 5 проводится путем статистического моделирования на ЭВМ.
При помощи подпрограммы генерации псевдослучайных чисел
получают случайные наборы исходных данных (хп{х\ ..., хпШ)), я=
= 1,..., ЛГ, так что любое значение #n<m> выбирается случайным
образом из интервала неопределенности хо(т)±Дл:<т) в
соответствии с равномерным распределением. Для каждого я-го набора
значений параметров рассчитывается значение величины Т(хп^\...
(м)), ее отклонение от То
АТп = Т (*о> *<"•>) - Т D1 >, -, 4т)). <2-57>
я в результате получают выборку значений отклонений АТи...
56

..., ATN. На основе этой выборки определяется интервал, в
котором содержится 95% значений AT. Он имеет вид ([103]
ДГ±П; П=1,9бA+^ + ^т^M; B.58)
| Ц2(ДГпДЛ, B.59)
где «э — коэффициент, зависящий от вероятности гарантии {$.
При расчетах целесообразно брать !|3=0,99, при которой ир =
=2,33. Обычно в соотношении B.58) АГ<П. Если получается
ДГ, сопоставимое с П, то это означает, что наличие
неопределенности входной информации приводит к систематическому
смещению величины Т относительного «среднего» значения То.
В описанном подходе оценивалось общее воздействие
неопределенности всех параметров физико-математической модели на
погрешность Ди.д. Однако в ряде случаев целесообразно
провести анализ чувствительности модели к погрешностям задания
каждого из параметров. Это позволяет оценить вклад каждого из
факторов отдельно и выявить, какие параметры оказывают
наиболее существенное влияние на результаты моделирования и
подлежат уточнению. При проведении исследования
чувствительности обычно используют линейное приближение для зависимости
отклонения ДГ от параметров #A),..., #(м)
AT = а0 +а, (*A) -4й) + -. + ам (*(Л1) -*П- B-60)
Наиболее часто оценки производных пшждТ/дхМ находят путем
поочередного варьирования всех параметров относительно их
средних значений:
^ * [Т ( Л1\..., 4т) + А *(т)) - Т,]/Д xlm\ B.61)
или
атп^У \х0 »•••» Хо +А[Х / — У V ЛГо >•••» Xq — ДДГ I/4&Х ,
B.62)
т. е. проводят М+1 или 2М расчетов по исследуемой модели с
измененным значением одного из параметров ximK
Другой способ определения коэффициентов а0, аи..., ам
состоит в применении методов регрессионного анализа и теории
планирования эксперимента [3]. При этом проводят цикл
расчетов при различных комбинациях значений параметров, которые
обычно выбирают, используя дробные факторные планы [3]. Этот
путь позволяет наряду с оценками значений коэффициентов ат
получить оценки погрешности определения этих коэффициентов
и проверить адекватность линейного приближения B.60).
Перейдем к расчету границы общей погрешности
моделирования Агм При ее вычислении используются границы погрешностей
физической модели Дгф.м и математической реализации ДГР, а так-
57

же характеристики погрешности Ди.д: либо AT и П из B.58), либо
До, аи ..., ям, Ах^\..., Ах(т\ Определение границы Дгм
проводится также на основе статистического суммирования ее отдельных
составляющих. При этом погрешности Дф.м и Др считаются
равномерно распределенными соответственно на интервалах [—Дгф.м,
ДгФ.м] и [—ДГР, Дгр]|. Граница погрешности моделирования
Дгм,о.э5 находится либо по формуле [19]
(^) (^) |AT|, B.63
либо по формуле
щ
(Л?.мJ + (Др2+2 <(Д*"">J + Ы. B.64)
, Величина
V^jW с2-65
является границей для суммы погрешностей
физико-математической модели и математической реализации Дф.м+р=Дф.м+Др.
Границу погрешности Ди.д, вызванной неопределенностью
несходных данных, можно определить по формулам:
B.66)
B.67)
Отметим, что при определении границы Дгм можно
использовать и более точные методики. Однако на,практике это вряд ли
имеет смысл делать, поскольку такие характеристики
составляющих погрешности моделирования, как Дгф.м, Дгр, Д*(т), часто
оцениваются весьма неточно, а иногда назначаются просто из
полуинтуитивных соображений. Тогда грубое определение этих
характеристик полностью губит незначительный уточняющий
эффект более сложных процедур определения суммарной
погрешности.
Очевидно, что погрешность математической реализации
следует уменьшать только до таких значений, начиная с которых ее
вклад в погрешность моделирования становится пренебрежимо
малым по сравнению с Дф.м и Ди.д. Встречающиеся на практике
величины Ди.д позволяют сделать вывод о том, что нет смысла
добиваться значений относительной погрешности расчета,
меньших единиц процентов. Подчеркнем, что если в качестве
расчетной величины Т выступает какая-либо температура, то
относительная погрешность определяется по отношению к
характерному перегреву, например к перегреву над средой.
Остановимся на решении двух важных задач, часто
возникающих при сопоставлении результатов математического
моделирования и экслериментального исследования.
58

Первая из них заключается в проверке согласия
используемой методики моделирования с экспериментальными данными.
Итак, для расчетной величины Т найдена граница Дгм и имеем
основание считать, что истинное значение Ги содержится в
интервале Го±Дгм. С другой стороны, проведен эксперимент,
результаты которого имеют случайное рассеяние. После проведения
.обработки этих результатов наблюдений рассчитан доверительный
интервал вида Гэ±Дгэ(а), где а — значение доверительной
вероятности, обычно равное 0,95. Таким образом, мы имеем два
интервала для Ги, один из которых построен по результатам
моделирования, а другой — по результатам эксперимента. Требуется
установить, не противоречит ли расчетный интервал
экспериментальному. Для получения обоснованного ответа на этот вопрос,
необходимо привлекать методы теории проверки статистических
гипотез. Причем в зависимости от используемых статистических
моделей можно получать разные решения. Одна из разумных
постановок приводит к следующему решающему правилу: если
\Т0-Тд\< &гм+±А1(а), B.68)
то можно считать, что результаты моделирования
удовлетворительно согласуются с экспериментом. Это правило можно
применять в случае, когда для определения Гэ проведено не менее
четырех наблюдений, что обычно имеет место на практике.
Вторая задача состоит в определении значения границы для
суммы погрешностей физической модели и математической
реализации по известным результатам моделирования Го,
характеристикам погрешности Ди.д, а также экспериментальному
доверительному интервалу Гэ±Дгэ. При ее решении целесообразно
находить минимальную и максимальную оценку для Дгф.м+р.
Очевидно, что минимальную оценку можно получить, если в качестве
Дгм взять наименьшее значение, при котором начинает
выполняться условие согласования между результатами моделирования
и эксперимента B.68). Таким образом, из B.68) получаем
Лг— IT — Т1~*лг /9 fiQ\
2 э
и, учитывая B.63) или B.64), находим
(А<ь м-4- ) = ]/ (\ТО — ТЭ\ — 0,5 Д? — |ДТ|J— 1,2П2, B.70)
или
_ _
AГ0-Гэ|-0,5Д-- KI)*- 1,2 2 (атД*И))>.
т=1
B.71)
Если значение Дгм из формулы B.69) или подкоренные
выражения в B.70), B.71) окажутся отрицательными, то это может
59

Г±ЛГ3
л) t) * в)
Рис. 2.11. Построение оценок погрешности математического моделирования:
а — расположение исходных интервалов неопределенности; б — иллюстрация методики
получения минимальной оценки; в — иллюстрация методики получения максимальной оценки
свидетельствовать о недостаточной точности эксперимента или
завышенных оценках погрешности Ли.д.
При получении максимальной оценки границы погрешности
модели проводят следующие рассуждения. Для суммы
погрешностей Аф.м и Ар справедливо соотношение, вытекающее из их
определения,
Дф.м+р = Аф.м + Ар = То — Та — Ди<д. B.72)
Подставляя два крайних значения экспериментального
доверительного интервала Тэ—Агэ^Ги^Гэ+Агэ в B.72), находим
То — 7\ — Аэ — Ди.д ^ Аф.м+р ^ 7*0 ~~ Ть + Дэ — Аи.д- B.73
Таким образом, во всех случаях |Аф.м+р|^ |^о—7э|+Агэ+
+Дги.д, и, следовательно, -можно с запасом положить
B.74)
Отметим, что если предварительно определить АГР, то из
приведенных формул можно найти отдельно границу погрешности
физико-математической модели.
Построение минимальной и максимальной оценок
иллюстрирует рис. 2.11. На рис. 2.11,а представлены два интервала: для
результатов моделирования с учетом только неопределенности
исходных данных и экспериментальный. При нахождении
минимальной оценки мы подбираем Агф.м+р так, чтобы расширившийся за
счет нее интервал для результатов моделирования захватил
экспериментальный интервал ровно настолько, чтобы можно было
считать результаты моделирования удовлетворительно
согласующимися с экспериментом (рис. 2.11,6). Во втором варианте
(рис. 2.11,б) расчет ведется для наихудшего случая.
3. МОДЕЛИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
3.1. МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ТЕЛ И ПОТОКОВ
ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ
Постановка задачи. Как было отмечено в § 2.1, на начальных
этапах применения метода поэтапного моделирования проводят
расчеты средних температур выделенных подсистем и элементов
исследуемого объекта с помощью укрупненных моделей. Такие мо-
60

дели позволяют рассчитывать интегральные характеристики
процессов теплообмена (значения среднеобъемных и среднеповерх-
ностных температур, средних тепловых потоков) с учетом
взаимодействия между всеми подсистемами. Математическое описание
процессов теплообмена осуществляют системами алгебраических
и обыкновенных дифференциальных уравнений. В дальнейшем эти
модели для расчета средних температур выделенных областей
будем называть моделями с сосредоточенными параметрами, в
отличие от моделей с распределенными параметрами, которые
учитывают пространственные распределения температурных полей.
Практика показала, что для расчета средних температур по
моделям с сосредоточенными параметрами целесообразно
строить достаточно общие модели этого вида и разрабатывать для
каждой из них универсальное программное обеспечение,
позволяющее решать широкий круг конкретных технических задач.
Рассмотрим модель системы тел и потоков теплоносителей,
находящихся во взаимном теплообмене. В исследуемом объекте
выделим области трех видов: NT — твердых тел, температурные
поля которых считаются равномерными (Тг(т), ?=1,..., NT); Nm —
объемов с протекающими в них жидкими или газообразными
теплоносителями, имеющими среднерасходные температуры на входе
?Лвх(т) и на выходе ?Лвых(т) и осредненную по объему темпера-
ТУРУ ЭДОО (/=!,..., #ж); Ncp — сред с известными
температурами 7Ур(т), k=l,...9Ncp.
В твердых телах и в объемах с теплоносителями могут
действовать источники теплоты с полными мощностями PiT и PiK
соответственно. Твердые тела находятся в теплообмене друг с
другом, а также с теплоносителями и со средами. Тепловые потоки
PijT-Tt приходящие к данному телу i от соседних тел, от
теплоносителей Рцгж и от сред Рг/1т>ср, можно выразить через разности их
средних температур в виде:
Pir=olf<Tj-Tt), C.1)
Р1Г = аЬх (Ut - Tt); PIP = o?» (Tf - Tt),
где Oif-T, оцт-ж, Oihv'cp — тепловые проводимости между телами
i и /, телом I и теплоносителем /, телом I и средой &
соответственно.
Корректность зависимостей C.1) во многом определяется
выбранным способом определения величин тепловых проводимо-
стей. Способы вычисления конвективных, лучистых и контактных
тепловых проводимостей для разных типов приборов
рассмотрены в [21, 40, 112].
Уравнения модели с сосредоточенными параметрами. Общий
подход к построению уравнений теплового баланса путем
осреднения исходных дифференциальных уравнений полной модели С
распределенными параметрами был описан выше в § 2.2.
Поэтому, использовав выражения B.9), B.10) и C.1), запишем в
более простом виде уравнения теплового баланса для твердых тел
61

и теплоносителей. Поскольку мощность Р*т, выделяющаяся в
теле i, расходуется на его нагрев и передается окружающим телам
(т.т), теплоносителям (т.ж) и средам (т.ср), то уравнение
теплового баланса имеет вид
t=l,..., tfT, C.2)
где Сгт — полная теплоемкость тела и
Тепловые потоки OuTm(Ti—Ui)f переданные от тел i к
теплоносителю в объеме /, и мощность Лж расходуются на нагрев
движущегося теплоносителя. Поэтому уравнения теплового баланса
для потоков теплоносителей записываются в виде
C.3)
Здесь первое слагаемое в правой части соответствует тепловому
потоку, идущему на изменение температуры теплоносителя в
объеме / с полной теплоемкостью Сгж, а второе — тепловому потоку,
выносимому из объема при прохождении теплоносителя с
массовым расходом G/. Для газов, как правило, первое слагаемое
пренебрежимо мало в большинстве систем охлаждения.
В общем случае теплоноситель в объеме / может поступать из
других объемов (т=1,..., ЫЖу тф1) и из сред с известной
температурой (!fe=l,..., AfCp), т. е. на входе в /-й объем может
происходить смешение потоков теплоносителей с температурами UmBUX
•и TVp. Тогда температура Ufx рассчитывается из следующего
соотношения:
C.4)
Gml+ 2 Gkl, /=1,..., Nmf
где Gmu Gki — массовые расходы теплоносителей, втекающих в
/-й объем из m-го объема и Sfe-й среды.
Для замыкания системы {jNT+2Nx) уравнений C.2) — C.4) с
неизвестными температурами Т{ (i=l,..., Л^т), t/z, ^BX, Ufux
(/=1,... 9 Nx) следует добавить соотношения, связывающие
температуры Ut с температурами UiBX9 1//вых. Как было показано в
§ 2.2, эти соотношения можно получить на основе тех или иных
допущений о характере пространственного распределения
температуры теплоносителя в объеме. Например, при линейном
изменении температуры по длине канала справедливо равенство ?//=
62

= (t/zBX+l^BbIX)/2, а при интенсивном перемешивании
теплоносителя в объеме Ui=UiBblx. Обобщением этих соотношений
является выражение
которое и будем использовать в дальнейшем.
Величину Wi обычно оценивают из рассмотрения конкретных
модельных задач. Например, для одномерного течения в канале
длиной L с омываемым периметром f при постоянной
температуре стенок Т и местном коэффициенте теплоотдачи а средняя
массовая температура U(х) жидкости в сечении х равна [21]
U(x) = T + (f/BX =- Т) ехр (- Ьх)\ Ъ = (af/cGf2, C.5а)
где с и G — удельная теплоемкость и массовый расход жидкости.
Определив из этого выражения значение среднеобъемной
температуры UV=J Udx/L жидкости и температуры UBblx=U(L) на
о
выходе из канала, найдем из >C.5а) коэффициент
ipj = A - ехр (— Ы))-х - 1/Ы C.56)
Таким образом, модель системы тел и потоков теплоносителей
описывается системой (NT+.JV») обыкновенных
дифференциальных уравнений C.2), C.3) и 2ЫЖ алгебраических уравнений C.4),
C.5), содержащей искомые температуры Ти Ut, Ufx, UiBhLx. Для
полной постановки задачи задаются значения температур в
начальный момент
7*||т==о = Ti0; Ui\x=o = С/го- C-6)
В стационарном режиме, когда температуры твердых тел и
теплоносителей неизменны во времени (dTi(di;=0, dUifd%=0)y
приходим к системе (ЛУт+ЗЛГж) алгебраических уравнений. Число
уравнений можно уменьшить, если подставить выражения C.5)
для Ui и C.4) для UiBX в уравнения C.2), C.3). В результате
получим систему (ЛАг+^ж) алгебраических уравнений относительно
температур Т{ и UiBbIX:
уравнения для твердых тел (?=1,..., NT)
2 °?/т+ 2 °йж+ 2 ^ср 7-1-2
-2 ЧГA-Ь) 2 c™GmlU™*}
1=1
*?l?>? "( Nf TrAlr, C.7)
63

уравнения для теплоносителей (/=1, ..., Ыж)
( 2 ой* Ь + суд С,) иГ* - 2 of/* 71, +
= /? +1" cj* Gz - 2T oj/* A -^I ( 2P cV Gkl rAl cV Gf. C.8)
При записи системы C.7), C.8) в левых частях уравнений
сгруппированы коэффициенты при искомых температурах Tif Ufblxy а в
правых записаны члены, содержащие заданные температуры ?УР
и мощности. Видно, что по сравнению с исходной формой
записи системы (#т-(-3#ж) уравнений в C.7), C.8) усложнилась
структура матрицы системы уравнений, но зато сократилось
число уравнений, что в ряде случаев весьма существенно при
численной реализации модели. Заметим, что для частного случая
4pz= 1 (идеальное перемешивание теплоносителя в объеме /)
структура системы уравнений сильно упрощается.
Лучистые и конвективные тепловые проводимости зависят от
искомых температур взаимодействующих тел. Значения теплоем-
костей, мощностей и расходов теплоносителей также могут
зависеть от температур. Поэтому в общем случае получающиеся
системы алгебраических (для стационарного режима) или
обыкновенных дифференциальных (для нестационарного) уравнений
являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных
алгебраических уравнений теплового баланса обычно организуют
итерационный процесс, при котором определение очередного
приближения проводится путем решения системы линейных
уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности
рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей
итерации. При численном решении систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, описывающих нестационарный режим
системы тел, вычисляют значения зависящих от температуры
коэффициентов по температурам на предыдущем шаге по времени
или же используют известные методы решения задачи Коши для
систем нелинейных уравнений. Краткое изложение основных
численных методов решения систем уравнений моделей с
сосредоточенными параметрами и особенностей их программной реализации
дано в § 3.4.
Тепловые схемы. Пользуясь аналогией между процессами
переноса теплоты и электричества, модели систем тел часто
графически представляют в виде тепловых схем, в которых
применяются обозначения, принятые в электрических системах.
Изотермическим областям в тепловых схемах соответствуют узлы, тепловым
связям — ветви, содержащие сосредоточенные тепловые
сопротивления (проводимости). Мощности источников теплоты изобража-
64

ются символами источников тока. Принятым в электротехнике
символом «земля» часто обозначают «общую» точку схемы,
которая соответствует температуре окружающей среды,
относительно которой рассматриваются перегревы. При описании
нестационарных процессов теплоемкость Сг области с температурой Тг
изображают символом электрической емкости и включают в ветвь
между jf-м узлом и общей точкой, так как тепловой поток,
отводимый за счет изменения энтальпии («ток» в этой ветви) равен
CidTifdt. На рис. 3.1 показан фрагмент тепловой схемы, в
которой уравнение теплового баланса, соответствующее узлу с
температурой Т{, имеет вид
Pi - С, -^ + 2 ои (Г, - Tj) + ot ср (Тг - Гср).
Уравнения C.3) — C.5) для потоков теплоносителей в общем
случае не удается отобразить в виде тепловой схемы из-за
наличия в них членов, описывающих конвективный перенос теплоты
и смешение потоков теплоносителей. Исключение составляет лишь
случай, когда теплоноситель входит в объем / из среды, а после
выхода из него не участвует в теплообмене (например, опять
выходит в среду). Тогда средней температуре теплоносителя на
тепловой схеме ставится в соответствие узел, соединенный с общей
точкой ветвью с проводимостью CiGipVu так как тепловой поток,
передаваемый теплоносителю при его нагреве, равен ciGt(;UiBHX—
—Tcv)=ciGt(Ui—Гср)/^. Пример тепловой схемы с
теплоносителями рассмотрен далее (см. рис. 3.5).
Приведем примеры применения моделей с сосредоточенными
параметрами для описания теплового режима двух объектов:
подогревного термостата и вентилируемого электронного аппарата
кассетного типа.
Пример 3.1. На рис. 3.2 показана схема подогревного термостата,
включающая следующие элементы: объект термостатирования /, камеру с
нагревателем 3, датчик 2, корпус 4. Между объектом и камерой имеется прослойка 7,
а камера отделена от корпуса изоляцией 6. Объект может иметь локальные
связи 5 со средой. Простейшая модель, позволяющая исследовать динамику
работу термостата, строится в предположении о равномерности температурных
Рис. 3.1. Фрагмент
тепловой схемы модели с
сосредоточенными
параметрами
3—65
Рис. 3.2. Тепловая
модель подогревного
термостата
Рис; 3.3. Тепловая схема
модели подогревного
термдетата

полей объекта, камеры, датчика и корпуса и отсутствии теплоемкостей у
изоляции и локальных связей. Такая модель описывается следующей системой
уравнений:
для объекта (об)
Роб
стоб.к (Гоб -
бср (Тоб - Гср);
C.9)
для камеры (кам)
__r dTKSLM
[^ кам Ит +аоб.кам
для датчика (д)
СД ~jf- = акам.д
для корпуса (к)
ак ср
д.ср (Тор — Тд);
(Гср - Тк).
[(ЗЛО)
C.11)
C.12)
Мощность Ркам нагревателя, расположенного на камере, зависит от
температуры датчика ^д(т), а вид этой зависимости определяется реализованным
в термостате законом регулирования.
На рис. 3.3 изображена тепловая схема модели термостата (теплоемкости
в узлах не показаны, чтобы «е загромождать схему).
Математическую модель в ряде случаев еще более упрощают, пренебрегая
теплоемкостью корпуса или принимая в качестве теплоемкости СКам
суммарную теплоемкость камеры, корпуса и изоляции, а также вводя тепловую
проводимость «камера — среда», равную 0кам.ср=о"изСГк.ср/(аиз+огк.ср). На
основе такой модели из трех тел (объект, камера, датчик) удается получить
достаточно простые аналитические выражения для расчета средних температур в
установившемся режиме, времени выхода в режим, статической и динамической
погрешностей термостатирования. Эти расчетные формулы будут приведены
далее в гл. 7.
Пример 3.2. Рассмотрим тепловую и математическую модель для расче*
та стационарного теплового режима вентилируемого блока РЭА, состоящего
2cGn+}
Рис. 3.4. Тепловая модель вентили- Рис. 3.5. Тепловая схема модели
руемого блока Р&А блока РЭА
66

из N плат (рис. 3.4). На этапе анализа теплового режима всего блока
мощности источников Рп считаются равномерно распределенными по каждой из пла!
(/г== 1,..., ЛГ) и ставится задача определения средних температур плат Тп (л=
= 1, ..., N), воздуха в каналах между платами Un '(л=1, ..., N+1) и корпуса
блока Тк. Платы с элементами заменяются «нагретыми зонами» в форме
параллелепипедов. При записи уравнений теплового баланса учитывается лучи .-
тый теплообмен плат между собой (опп,п±\), плат с корпусом (сглп,к) и
конвективный теплообмен с воздухом (акп,п, окп,п+\). Предполагается, что
температура воздуха линейно возрастает по высоте каналов, т. е. коэффициент
1|)г = 0,5 в соотношениях C.5) и (С/Пвых—?/вхя)=2(*/«—U**n). С учетом
перечисленных допущений математическая модель записывается в виде следующей
системы BAf+2)-x алгебраических уравнений:
для плат (/г= 1,..., N)
Рп - < „+1 (Тп - Тп+1) + < „-1 (Тп ~ Тп_{) + <к (Тп - Г„) + у.
+ <п (Тп - Un) + < n+1 (Tn-Un+l); C.13)
для воздуха в каналах (л= 1,..., N+1)
2cGn (Un - Гср) - <п (Тп - Un) + <?_,, п (Тп_х - Un)\ C.14)
для корпуса
N N+1
S Рп - 2с ? Gn Шп - rcp) = о (Тк - Tcv). C.15)
п—\ п—\
Заметим, что в уравнениях C.13), C.14) при #=1 вместо температуры
Тп-1 и при n=N вместо Tn+i следует подставить температуру корпуса Гк.
Фрагмент тепловой схемы, соответствующей модели C.13) — (ЗЛ5),
показан на рис. 3.5. «Проводимости» 2cGn между узлами Un и Гср учитывают
тепловой поток, идущий на нагрев воздуха в канале (левая часть уравнения
(ЗЛ4)).
Простые расчетные формулы для оценки теплового режима
вентилируемого блока удается получить, если N плат заменить одной нагретой зоной с
равномерным температурным полем Гн.з и ввести одну среднюю температуру
воздуха в блоке UB. Тогда придем к системе трех алгебраических уравнений
относительно температур Гн.з, UB> Тк, решение которой приведено в гл. 6.
3.2. УЧЕТ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
В МОДЕЛЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Постановка задачи. В рассмотренных выше моделях тепловой
режим каждого из выделенных твердых тел характеризуется лишь
одной средней температурой Т{. Эта температура
отождествляется со среднеобъемной температурой T{V при записи теплового
потока, идущего на изменение энтальпии (ddTivldx), и с
поверхностными температурами Tis>n при записи тепловых потоков на
всех участках границы Gij(Tis— Tjs). Если температурное поле
тела существенно неравномерно, то такой подход оказывается
неправомерным. При этом, во-первых, полученное значение 7\-
3* 67

нельзя использовать на последующих этапах расчета при
задании граничных условий для соседних тел / из-за различия
температур Tis,n разных участков поверхности Sit а, во-вторых,
найденные значения температур тел Tiy Tjt тепловых потоков Pij
могут значительно отличаться от соответствующих истинных средних
значений из-за неадекватного описания теплообмена между
телами.
Уточнение модели с сосредоточенными параметрами может
быть выполнено введением в уравнения теплового баланса
различных температур Tiv, TiS>n (n=lt..., Ni) и записи
дополнительных уравнений, устанавливающих связь между этими
температурами.
В общем виде такая задача была сформулирована в гл. 2
как задача замыкания системы уравнений укрупненной модели.
Сейчас рассмотрим несколько способов ее решения. Начнем со
случая, когда средние температуры отдельных участков границы
Tis,n можно считать равными общей среднеиоверхностной
температуре Tis, отличной от среднеобъемной температуры Ггу. Такая
ситуация возникает, если условия теплообмена (коэффициенты
теплоотдачи и температуры условных сред) близки для всех
участков границы, но Т{УФТ{8 из-за действия внутренних
источников или из-за тепловой инерции тел, проявляющейся в
нестационарных процессах. Далее перейдем к более сложному случаю, в
котором на поверхности i-ro тела выделяется Ni участков,
различающихся условиями теплообмена и имеющих разные
температуры Tis,n.
Коэффициенты неравномерности. Учитывая различие средне-
объемной Tiv и среднеповерхностной Tis температур, записываем
уравнения теплового баланса для твердые тел C.2) в виде
Р!=Сг-2+Ъ о™ (TiS - TJS) + 2 °?/ж <Tts ~ Ui) +
?), /=1,...,WT. C.16)
k=i
Поскольку число неизвестных увеличилось на NT среднепаверх-
ностных температур TiSi то необходимо добавить NT уравнений.
При расчете теплового режима одиночного тела в среде с
температурой Т с помощью уравнения теплового баланса
^-f) C.17)
вводят коэффициент неравномерности температурного поля Ч1*,
который определяют как отношение среднеповерхностного и сред-
необъемного перегревов над температурой среды [40]:
q = (Ts-T)/(Tv-T). C.18)
Воспользуемся аналогичным приемом в случае системы тел.
Для этого преобразуем уравнения C.16) к виду, подобному C.17),
68

вводя рассмотренное в гл. 2 понятие температуры условной
среды Тс
PJ = Ct -~ + at'S (TiS - Tt), C.19)
где
"ср
ГТ:Т
Назовем коэффициентом неравномерности температурного
поля тела i9 находящегося в системе тел, отношение среднеповерх-
ностного перегрева над температурой условной среды к средне-
объемному:
C.20)
Аналогия между выражениями C.17), C.18) и C.19), C.20)
позволяет использовать для расчета Ч^- соотношения, полученные
для одиночного тела.
Если коэффициенты неравномерности Ч^ не изменяются во
времени и могут быть рассчитаны, исходя из геометрических
параметров тел, их теплофизических свойств и коэффициентов
теплоотдачи, то в качестве требуемых для замыкания модели C.16)
дополнительных уравнений можно записать следующие
уравнения, вытекающие из C.20):
if °иж Uг +
- Tis - (*, - 1) ( 2 °"
ts, i= 1 NT. C.21)
При произвольном изменении во времени температуры среды
в C.17) и при действии внутренних источников коэффициент
неравномерности Ч** является режимным параметром, т. е. зависит
от закона изменения Т (г) и Р(%) и изменяется во времени.
Однако в ряде случаев можно принять допущение о постоянстве W.
В простейшем случае одиночного тела коэффициент
неравномерности является строго постоянным для регулярных тепловых
режимов 1-го и 2-го родов [40, 120]. Проведенный в [120]
анализ показал, что выражения для коэффициентов
неравномерности в регулярных режимах можно применять и при исследовании
некоторых более сложных тепловых режимов. Там же приведены
оценки погрешностей расчета среднеповерхностных и среднеобъем-
ных температур одиночного тела при использовании постоянных
коэффициентов неравномерности.
69

Более сложная ситуация возникает при анализе теплового
режима системы тел. Однако в некоторых случаях использование
допущения о постоянстве коэффициентов неравномерности все
же позволяет более точно определить среднеповерхностные и
среднеобъемные температуры по сравнению с результатами
расчетов по модели, в которой температурные поля предполагаются
равномерными. Ниже будет рассмотрен пример 3.3, в котором
проводится расчет режима нагрева системы блоков РЭА с
постоянными во времени источниками теплоты в среде с постоянной
температурой. В достаточно сложных случаях внешних и
внутренних тепловых воздействий коэффициенты неравномерности
могут существенно изменяться во времени и быть как меньше, так
и больше единицы. Тогда вообще неоправдано усложнение модели
с сосредоточенными параметрами, связанное с введением
коэффициентов неравномерности, и приходится переходить к
одномерным или многомерным моделям.
Коэффициенты неравномерности для одиночных тел.
Приведем формулы для определения коэффициентов неравномерности
одиночных тел и соответствующие оценки погрешностей расчета
их среднеповерхностных и среднеобъемных температур.
В [66] получены выражения для расчета коэффициента
неравномерности ЧГ=ЧГР1 в регулярном режиме 1-го рода (нагрев или
охлаждение тела в среде с постоянной температурой). Для тел
различной формы эти соотношения можно обобщить с помощью
приближенной универсальной зависимости [40]
%г = (Н*+19МН + 1)-^; H = aSKI(kV), C.22)
где Н — обобщенный критерий Био; a=o/S — коэффициент
теплоотдачи; S, У—площадь поверхности и объем; К —
коэффициент формы тела:
для шара радиусом R
для ограниченного цилиндра длиной / и радиусом R
/Сц = [B,41/^J+(я//J]-1;
для параллелепипеда со сторонами h, U, U
Для тел более сложных конфигураций способы расчета
коэффициентов формы цриведены в [66].
В регулярном режиме 2-го рода (нагрев или охлаждение
тела в среде с линейно изменяющейся температурой)
коэффициенты неравномерности Чг=Чгр2 для трех канонических тел
определяются по формуле
^р2.U + «« ]-' .Г1 + fiL+H«11 , C.23)
где я=0, 1, 2 для пластины толщиной 2R, цилиндра и шара
радиусом R соответственно.
70

Для приближенной оценки WP2 можно также использовать
единую зависимость для тел различной формы
%* = A + 0,74#)-* ; H = aSKl(k V)9 C.24
где коэффициент формы К определяется по приведенным выше
формулам. -:
Пространственные распределения перегрева в стационарном
режиме в теле с равномерно распределенным внутренним
источником и в регулярном режиме 2-го рода описываются
идентичными уравнениями. Поэтому коэффициенты неравномерности Wct
для тел с внутренним источником при <7v=const в стационарном
режиме рассчитываются по формулам C.23), C.24), т. е. Чгст=
=Ч*"р2: '
4>ст = (Ts ст - f)/(Tv ст - ?) = %2. C.25)
Рассмотрим вопрос определения значений г|) в
нестационарном режиме .нагрева .внутренним источником, описываемым
уравнением C.17) при P=const и r=const.
Для нестационарного нагрева внутренним источником в
обобщенной теории регулярного режима [21, 40] вводится
коэффициент неравномерности Ч1"*, определяемый как отношение
разностей текущих и стационарных значений среднеповерхностной «и
греднеобъемной температур
(т) - Ts „)I(TV (т) - Ту ст) C.26)
и численно равный в регулярной стадии коэффициенту "ЧРрь Из
трех определений коэффициентов неравномерности C.20), C.25),
C.26) нетрудно получить следующее соотношение, связывающее
¦ = ^ст + (^ст- V) 7VcT~7V(T) - C.27)
Г„(т)-Г
Таким образом, даже при регуляризации температурного
поля тела с источником энергии коэффициент \Р, определенный как
отношение перегревов над условной средой C.20), является
режимным параметром и изменяется во времени. Из C.27) можно
сделать вывод, что погрешность расчета нестационарных
температур 7у(т) и Ts(x) по уравнению баланса C.17) при
постоянном Чг=Чгст=ЧгР2 зависит от различия между Ypi и 4^2. На
рис. 3.6 приведены зависимости ^Fpi и "ЧРрг от обобщенного
критерия Био Я, рассчитанные по универсальным зависимостям C.22),
C.24). На рис. 3.7 дано сопоставление зависимостей гРР2(Я) для
неограниченной пластины, цилиндра и шара с универсальной
зависимостью C.24).
Для количественной оценки погрешности расчета среднеобъ-
емной 7V(t) и серднеповерхностной Ts(r) температур по
уравнению баланса C.17) с использованием постоянного Ч?,
найденного по универсальной зависимости C.24), проведено сопоставле-
71

0,8
0,5
ОМ
0,2
Рис. 3.6. Зависимость коэффициентов
неравномерности в регулярном
режиме первого i|?pi и второго t|)P2
рода от обобщенного критерия Био:
^pi«
VP2
Рис. 3.7. Сопоставление
зависимостей i|)p2(tf) для неограниченной
пластины, цилиндра и шара с
универсальной зависимостью C.24):
1 — универсальная зависимость, цилиндр;
2 — неограниченная пластина; 3 — шар
ние такого приближенного расчета с точными аналитическими
решениями для пластины, параллелепипеда, цилиндра и шара с
равномерно распределенными внутренними источниками.
Относительная погрешность рассчитывалась по формуле >A8s(t) =
=-(Fnps(t) — 71ts(t))/G1tSct—Т), где Tws(%), T?s(%) — приближен-
ное (И точное решения; (TTsст—Т)=Р[о — стационарный
перегрев над средой.
На рис. 3.8 в качестве примера приведены зависимости 6s(Fo),
рассчитанные для параллелепипеда с отношением сторон 1\:1*:
:/3=1:2:2 по точному и приближенному решениям при разных
значениях критеря Я; Fo=ar//2i.
Анализ показал, что для трех канонических тел, а также для
параллелепипедов с соотношением сторон" hlh и hlh от 1 до 10 по-
0,8
0,6
OA
0,2
0,1
0,05
Рис. 3.8. Зависимость среднеповерх-
ностного перегрева 8s от Fo при
нагреве параллелепипеда:
/, 3, 5 — точное решение; 2, 4, 6 —
приближенное решение; /, 2 — #=0,4; 3, 4 —
Я=2; 5, 5 —Я^=4
72
Рис. 3.9. Зависимость погрешности
расчета относительного среднепо-
верхностного перегрева от
критерия Н t ;

грешности A6s(Fo) и A9f(Fo) увеличиваются с ростом Н и
немонотонно изменяются в зависимости от Fo. Зависимость
максимальной погрешности в интервале Fo=0,05... оо от критерия Н
показана на рис. 3.9. Из сравнения рис. 3.6 и 3.9 видно, что
погрешность |/А0| связана с различием Tpi и ^Fp2 и не превышает
значения |,(^р1_1рр2)/^р2|.
При расчете среднеповерхностных и среднеобъемных
температур в системе тел влияние на выделенное i-е тело со стороны
остальных тел, теплоносителей и сред можно учесть как
соответствующее изменение температуры условной среды Тг(%) в C.19).
Для анализа возможности расчета температур ftv(t), 7\s(t) по
модели C.19), C.20) с использованием для Ч^ выражений C.24)
проводилась оценка погрешности расчета температур одиночного
тела при переменной температуре среды. Для того чтобы
промоделировать рост температуры среды при нестационарном
нагреве системы тел, рассматривалось изменение ?г(т) по закону
Тi (т) — Тi о= {Тг ст—Ti о) A—ехр (—fhx)). Темп нагрева m
условной среды варьировался в интервале @,1 ... lO)mif где тг- =
=tyi<5ix/Ci — темп нагрева i-то тела. При этих условиях
относительная погрешность AQs расчета среднеповерхностной
температуры пластин, параллелепипедов, цилиндров и шаров не
превышала 15% при0<#<10.
Таким образом, при расчете нестационарного режима
нагрева системы тел с равномерно распределенными источниками
теплоты и одинаковыми условиями теплообмена на поверхностях Si
можно вводить в модель с сосредоточенными параметрами
коэффициенты неравномерности Ч^ и вычислять их по зависимости
C.24).
Внутренние тепловые проводимости. Систему уравнений C.19),
Т3.20) относительно температур TiVi Tis можно записать в более
удобной форме, если ввести понятие внутренней тепловой
проводимости 0вн*, которую определим как отношение теплового
потока Pis через границу тела к разности температур (T%v—7\)
Pisl(Tiv ~TiS). _ C.28)
Тогда система C.19), C.20) примет вид
dTiv
dx
т
i (Tiv - TiS) = 2 <rJ;T (Tts - TjS) +
%ж(Т?/) ?
Соотношения C.29) не только более компактны по форме, но
и позволяют построить матрицу системы уравнений с лучшей
степенью обусловленности.
73

Нетрудно показать, что параметры Ч^ и алт связаны простой
зависимостью:
¦i-O+a^a^,)-!. C.30)
Сравнение выражений C.24) и C.30) позволяет записать
формулу для расчета внутренней тепловой проводимости:
0,74 о
0,74i?« '
C.31)
из которой следует, что сгВнг не зависит от условий теплообмена
(от сц), а является функцией геометрических параметров и
теплопроводности тела. Подчеркнем, что этот вывод справедлив лишь
для случаев, когда коэффициенты неравномерности Wi можно
считать постоянными. В общем случае внутренние тепловые
проводимости 0внг, определенные согласно C.28), являются
режимными параметрами, т. е. изменяются во времени и зависят от
характера изменения температур.
На рис. 3.10 показан фрагмент тепловой схемы, которая
соответствует модели C.29).
Пример 3.3. В отсеке находятся четыре герметичных блока в форме
прямоугольных параллелепипедов размерами /х=0,2 м, /У=О,2 м, /2=0,3 м (рис.
3.11). Начальная температура блоков совладает е температурой воздуха в
отсеке ?Ср> которая поддерживается постоянной и равной 20° С. На поверхностях
блоков происходит лучисто-конвективный теплообмен со средой и лучистый
теплообмен блоков между собой. Тепловые проводимости в рассматриваемой
модели системы тел считаются не зависящими от температур и имеют следующие
значения: alcp=,o-2cp=2 Вт/К; о*зср = сг4ср = 3 Вт/К; ai2=cr34=i0,3 Вт/К; O\z=
= 024=0,6 Вт/К; 0-14=10*23 = 0.
В начальный момент во всех блоках включаются внутренние источники,
мощности которых не изменяются во времени и равны: Pi = 80 Вт, Р2=/45 Вт,
Рз = 60 Вт, Р4=20 Вт. Полные теплоемкости блоков имеют значения: {Сг}4г=1 =
=i(8; {>; 6; 6) • 103 Дж/К.
Рис. ЗЛО. Фрагмент тепловой схемы Рис. 3.11. Тепловая модель группы
модели с сосредоточенными пара- блоков в отсеке
метрами, учитывающей внутренние
тепловые сопротивления
74

Блоки будем считать квазиоднородными изотропными параллелепипедами с
эффективными теплопроводностями: Xi=A,2=2 Вт/(м»К); А,з=Я4=1 Вт/(м«К).
Требуется провести расчет нестационарного теплового режима системы
блоков до выхода в стационарный режим и найти время, через которое перегрев
наиболее нагретого блока будет отличаться от своего стационарного значения
«е более чем на 10%.
Расчеты выполним по двум различным моделям: по модели системы тел с
равномерными температурными полями, описываемой системой
M C.32)
и по модели, которая учитывает неравномерность температурных полей с
помощью внутренних тепловых проводимостей C.29),
Сначала найдем стационарные среднеповерхностные перегревы путем решения
соответствующей системы алгебраических уравнений. В результате получим
{>ct1s==:34,6 К, #CT2s=21,5 К, ftCT3s=21,l К, #CT4s = 9,8 К. Эти значения
получаются при расчете как по модели C.32), так и по модели C.33).
Для определения нестационарных перегревов по модели (-3.33) необходимо
найти внутренние тепловые проводимости авн.г. Воспользуемся формулой C.31)
для о*вн,г, в которой коэффициенты формы Кг рассчитываются следующим
образом:
Тогда получим следующие значения Kt и 0вн,г: /С<= [(jt/0,2J+ (я/0,2J-}-
+ (jt/0,3J]-1=l,64.il0-3 м2; аВн,г=2.0,2-0,2-0,3/@,74-1,64-10~3) =20 Вт/К, i=
«1,2; авн,г=Ь0,2.0,2.Ю,3/@,74.1,64.10-3) = 10 Вт/К, *=3,4;
Сравнение результатов расчетов нестационарных перегревов по моделям
C.32) и C.33) представлено в табл. 3.1 для момента т=3000 с, в который
перегревы составляют примерно 60% от своих стационарных значений.
Приведены значения перегревов ^(т), найденных при допущении о равномерности
температурных полей, а также среднеповерхностных 'O'ts(T) и среднеобъемных
#«-у(т) перегревов, рассчитанных с учетом внутренних тепловых проводимостей.
Рассмотренный пример показывает, что допущение о равномерности
температурных полей как бы уменьшает инерционные свойства системы тел с
внутренними источниками теплоты и расчеты по модели C.32) дают более
быстрый рост среднеповерхностных перегревов. Например, при расчете по
модели C.32) перегрев ^(т) достигает 90% своего стационарного значения при
т=7500 с, а при расчете по модели C.33) перегрев ^(т) —через 8500 с.
Таким образом, использование модели C.33) позволяет учесть различие
среднеповерхностных и среднеобъемных температур и более корректно описать
динамику нагрева системы тел.
75

Таблица 3.1
Таблица 3.2
а.
Номе
тела
1
2
3
4
Перегревы
*1 (*). К
20,4
14,8
15,2
6,4
&is (т), к
19,0
14,1
13,6
5,8
21,1
15,7
17,7
6,9
Перегревы
к
¦*f
Фу/
*а
Номер тела
/
36
48
36
48
37
37
35
2
34
22
23
30
23
23
22
S*
19
36
42
18
21
21
21
4
22
9
22
9
10
10
10
Расчет средних температур в системе стержней. Рассмотрим
стержень длиной / постоянного поперечного сечения S с
одномерным распределением температуры Т(х) (рис. 3.12). На
боковой поверхности стержня и на торцах я=0 и х—1 происходит
теплообмен с некоторыми условными средами, имеющими
температуры Т, То и Ti соответственно. В стержне действует
равномерно распределенный по длине источник теплоты с удельной
мощностью qv- Если плотность теплового потока в среду на
боковой поверхности можно записать в виде q=a(T(x)—f), то
стационарное температурное поле стержня описывается уравнением
[21]
М- af
с граничными условиями
dx
о.
*=о./
C.34)
C.35)
Где а — коэффициент теплоотдачи к условной среде; f —
периметр; 0о, oi — тепловые проводимости к условным средам на
торцах стержня.
Рис. 3.12. Стержень с боковым Рис. 3.13. Тепловые схемы замещения ,стерж-
теплообменом ня:
д —с равномерно распределенным источником; б —с
неравномерно распределенным источником
76

Параметр Ь можно выразить через полные тепловые
проводимости Gj к телам, находящимся в теплообмене с боковой
поверхностью, следующим образом:
Ь2 = аЦ{% S) = azlf(X SI) = v <jjl(XSl).
1
Точное решение уравнения C.34) имеет вид [21]
Т (х) = Сг sh bx + C2 ch bx + qv/(b2 X) + f. C.36)
Постоянные &, C2 и Cz=qvf(b2%)-\-T можно выразить через
температуры торцов стержня Т0=Т@), Ti=T(l) и его средне-
объемную температуру Tv, решив следующую систему тгрех
алгебраических уравнений:
Сг Jsh bx dxjl + С2 Jch bx dx/l + C3 = Tv.
о о
Тогда распределение температуры Т(х) в стержне удается
представить в виде линейной комбинации температур Го, Г*, Ту,
умноженных на заданные функции координаты х, а для тепловых
потоков на торцах стержня получаются выражения:
dT
XS
dx
C.37)
в которых параметры аи а2 имеют размерность тепловых прово-
димостей и рассчитываются по формулам:
xsgnbutm isgtitAg-i) bu C.38)
Проинтегрировав уравнение C.34) по длине стержня,
получим уравнение теплового баланса в виде
dT *° dT , C.39)
dx
dx
где P=qvSl — полная мощность; a2—тепловая проводимость от
боковой поверхности к условной среде.
Подставив выражения C.37) для тепловых потоков на торцах
стержня в уравнение баланса C.39) и граничные условия C.35),
получим систему трех линейных алгебраических уравнений
относительно среднеобъемной температуры Ту и температур торцов
Го, Те
«1 Wv- То) + а2 (Тг - То) - а0 (Тг - f 0); C.40)
% (Ту- Т{) + а2 (То - Тг) - ог (Tt - 77).
7?

Таким образом, система уравнений C.40) описывает
стационарный теплообмен стержня в рамках модели с
сосредоточенными параметрами и позволяет определить среднеобъемную
температуру 7V, совпадающую со средней температурой боковой
поверхности, и температуры торцов Го, Тг. Соотношения C.40)
получены на основе точного аналитического решения уравнения C.34).
Однако необходимо помнить, что это решение справедливо лишь
для случая, когда теплообмен с окружающими телами на боковой
поверхности стержня подчиняется закону Ньютона с неизменным
по длине коэффициентом теплоотдачи.
Система уравнений C.40) может быть графически
представлена на тепловой схеме в виде так называемой «схемы замещения
стержня» [91], содержащей три узла, которые соответствуют
температурам 7>, Го, Т\, и три ветви с «проводимостями» аи а2
(рис. 3.13,а).
Если внутренний источник неравномерно распределен по
длине стержня, то в эквивалентной тепловой схеме наряду с
мощностью Pv в узле Ту появляются мощности Ро, Pi в узлах Го, Г/,
причем Ру+Я0+Л=/> (рис. 3.13,6). Выражения для расчета
составляющих Pv, Po, Pi в зависимости от закона изменения gv==
= qv(x) получены в [91].
Для сплошного диска или кольца с одномерным
температурным полем Т(г) также можно получить систему алгебраических
уравнений, подобную C.40), и отобразить их с помощью
тепловой схемы замещения. Расчетные формулы для параметров аи
а2 схем замещения дисков приведены в .[107].
Пример 3.4. На рис. ЗЛ4 схематично изображена конструкция блока с
кондуктивными теплостоками, по которым осуществляется отвод теплоты от
плат / к охлаждаемому основанию 2. При анализе теплового режима такого
блока допущение о равномерности температурного поля платы является
неправомерным из-за существенного градиента температуры в направлении х,
перпендикулярном основанию, который приводит к сильному отличию температур
торцов плат, находящихся в теплообмене с основанием, и средних температур
поверхностей плат, участвующих в лучисто-конвективном теплообмене плат
между собой и плат с корпусом блока 3. Поэтому при построении модели
блока с теплостоками принимаются следующие допущения: платы заменяются
однородными пластинами с эффективной теплопроводностью Хп в направлении
х и толщиной бп; мощности Рп источников теплоты считаются равномерно
распределенными по каждой и-й плате, а температурные поля плат —
одномерными Тп(х); температурные поля корпуса Гк и основания блока То считаются
равномерными.
Температурные поля плат описываются одномерными уравнениями
T ,1я
дп lx 1У бп
п, п-\ + °п, п+\ + °пк)/1х h\
1Х
78

где On, n-ii On, n+ь cTrr< — тепловые
проводимости между соседЕими платами и
между л-й платой и корпусом; fn-i, fn+i —
средние температуры плат е номерами
(п—l)t (я+1); ^п — температура
условной среды у поверхности я-й платы.
Заметим, что при определении
температуры условной ереды в
дифференциальном уравнении для стержня использо(ваны
не локальные, а средние температуры
соседних плат. Это допущение позволяет ис
!
Рис. 3.-14. Тепловая модель блока
с кондуктивными теплостоками
пользовать при решении задачи полученные выше соотношения C.40) для
расчета средних температур и температур торцов стержней (плат).
На торцах плат, контактирующих с основанием, граничные условия имеют
вид
dTn
оп,о — контактная тепловая проводимость.
На верхних торцах х=1х лучистым теплообменом с корпусом можно
пренебречь
о.
Для корпуса и основания следует записать уравнения теплового баланса:
N
(Тя - Тк) + в (ГО~ГК
v«.cp *
где ак.сР, Оо.ср —тепловые проводимости от корпуса и основания в среды с
температурами Гор1 и Тем.
Если для каждой платы вместо дифференциального уравнения и граничных
условий записать систему трех алгебраических уравнений C.40), то в
результате получим систему (ЗЛГ+2) уравнений относительно температур Г», Г„@)
Т»A), я=1,...,ЛГ, Т, и Г,. Зная температуры Г., Г»@) и ТпA), можно
рассчитать одномерное температурное поле Г„(*) по тачному аналитическому ре.
шению C.36). Таким образом удается свести расчет одномерных стационарных
температурных полей системы плат к решению системы линейных
алгебраических уравнений.
™„пТ средних температур в системе параллелепипедов и
пластин, при описании теплового режима элементов в форме
прямоугольных параллелепипедов и пластин точность модели с
сосредоточенными параметрами можно повысить, если вместо одной
средней температуры рассматривать различающиеся между со-
оои средние температуры отдельных граней и среднеобъемную
температуру. Для прямоугольного параллелепипеда с трехмерным
температурным полем Т(х, у, г) (рис. 3.15) введем семь харак
79

1 Л-у
Рис. 3.15. Параллелепипед с
характерными температурами
TyD
/
У
Or/
Рис. 3.16. Пластина с характерными
температурами
терных температур: среднеобъемную Ту и средние температуры
шести граней ТМу Ты (lk=x, у, z), а для пластины с двумерным
полем Т(х, у) (рис. 3.16)—пять температур: среднеобъемную
Tv, совпадающую со средней температурой основной
поверхности, и средние температуры четырех торцов Тхо,..., ТуХ.
Соотношения, позволяющие вычислять эти средние
температуры в стационарном режиме, получим при следующих
допущениях: рассматриваемые тела являются однородными и
анизотропными и их теплопроводности А,*, %у, %z в направлениях х, у, z
постоянны; теплообмен с окружающими телами и средами может
быть описан с помощью закона Ньютона при постоянных в
пределах каждой грани коэффициентах теплоотдачи а&о, ш и
температурах условных сред У^о, Ты (&=#, у, z)\ мощности
внутренних источников qv равномерно распределены по объему.
Рассмотрим вывод системы алгебраических уравнений для
определения искомых средних температур параллелепипеда.
Результаты для пластины могут быть получены аналогичным образом.
Температурное поле параллелепипеда при сформулированных
допущениях описывается уравнением
дх*
ду*
с граничными условиями (\k—xt yy z)
C.41)
C.42)
Применим к уравнению C.41) оператор осреднения по
координатам у и z
Iyz[T]^^-ffT(xt у, z)dzdy = Tx(x).
lVlz о О
Тогда с учетом граничных условий C.42) на гранях у=0, 1У
и г=0, lz получим следующее обыкновенное дифференциальное
80

уравнение относительно средней в перпендикулярных оси х
сечениях температуры Тх(х):
--b\ (Тх - Тх) + qvl%x = 0; C.43)
2 (<*ho%olik+<*hi%inh)/K; C-44)
k—y, z
x= 2 {
k—y, г
Здесь "ЧРьо, 'Фы — коэффициенты неравномерности
температурного поля в сечении, перпендикулярном оси х, которые равны
отношению среднего перегрева на одной стороне к среднему
перегреву в сечении. Например, 'коэффициент Wyo по определению
равен
Будем считать, что коэффициенты неравномерности не зависят
от координаты х и могут быть оценены по формуле для плоской
стенки с внутренним источником
) C.45)
Подробный вывод уравнения C.43) дан в [4], в которой
также приведен анализ допущения о постоянстве коэффициентов
неравномерности и возможности их вычисления по C.45).
Поскольку математическая постановка задачи нахождения
распределения Тх(х) совпадает с рассмотренной выше
одномерной задачей C.34), C.35) для стержня с боковым теплообменом,
то для вычисления- тепловых потоков в среду на гранях х=0 и
х=1х можно записать выражения C.37), в которые будут
входить среднеобъемная температура параллелепипеда Ту и средние
температуры граней Тх0) Txh Аналогичным образом, применяя
операции осреднения в сечениях, перпендикулярных осям у и г,
можно получить уравнения, которые связывают тепловые потоки
с граней у=0, у=1у, 2=0, z=lz со средними температурами этих
граней и среднеобъемной температурой параллелепипеда. В
результате можно записать следующую систему шести
алгебраических уравнений:
°м (Тно - fk0) - alk (Tv - Tk0) + a2k (Tkl - Tk0); C.46)
- fhl) = alk (Tv - Tkl) + a2k (Tk0 -
где ]k=x, y, z\ Gkoyki=^ko}kiSh\ коэффициенты ахку a*h
вычисляются по фо)рмулам C.38), в которых параметр Ь определяется
согласно C.44), а величины Я, 5, / берутся для данного направлен
ния !fe.
81

Систему C.46) дополняет уравнение, выражающее закон
сохранения энергии для параллелепипеда, которое по аналогии с
C.40) можно представить в виде
wU~ 2 [<tik(Tv-Tk0) + alk(Tv-Tkl)]. C.47)
k—x,y, z
При графическом изображении модели с сосредоточенными
параметрами системе семи уравнений C.46), C.47)
соответствует тепловая схема замещения параллелепипеда, показанная на
рис. 3.17.
Подчеркнем, что система уравнений C.46), C.47) —
приближенная. Погрешность расчета средних температур граней и сред-
необъемной температуры вызвана допущением о независимости
коэффициентов неравномерности от координат и их расчетом по
C.45). Для оценки погрешности проводилось сравнение решения
системы C.46), C.47) с расчетом средних температур по
точному аналитическому решению задачи C.41), C.42).
Относительная погрешность определялась по формуле 8Т= (Т™™—Tkn)f
(Tl°nn —Tkn), fe=*f у, z\ л=0, /. Анализ показал, что
относительная погрешность 8Т не превышает 20% при изменении
критериев Био в интервале Bhn=®knlh/hk=Q,l ... 10, относительных
размеров /*/4= 1 ... 5 и относительных температур условных сред
7лпЫЫ2а=0 ... 5.
Приведем отличительные особенности решения задачи
расчета средних температур пластины, температурное поле которой
описывается уравнением
-у ¦> - ° C-48>
с граничными условиями вида C.42) при fa—x, у.
Среднеобъемная температура Ту и средние температуры
торцов ТхОу Тхи TyOi ТУ1 находятся путем решения системы четырех
уравнений вида C.46) при &=лс, у и уравнения баланса
qvlxlyh= S l(aik(Tv-Tk0) + alk(Tv-Tkl)] +
k~xt у
+ *lxty(Tv-Tz)9 C.49)
причем при вычислении коэффициентов aik, Ягь параметр bk
рассчитывается по формуле
nf k = x, у; пфк. C.50)
Если на гранях параллелепипеда или на торцах пластины
действуют равномерно распределенные поверхностные источники
теплоты, то в правые части соотношений C.46) для
соответствующих -граней следует добавить полные мощности этих
источников. На тепловых схемах замещения в этом случае добавятся
источники в узлах с поверхностными температурами. На рис. 3.18
82

Рис. 3.17. Схема замещения пар ал- Рис. 3.18. Схема замещения пласти-
лелепипеда ны
представлена схема замещения пластины при наличии
поверхностных источников на торцах х=0 и #=0.
Пример 3.5. С помощью рассмотренной модели можно провести расчет
стационарного теплового режима системы блоков из примера 3.3 (см. рис.
3.11) с учетом различия условий теплообмена на гранях, обращенных в среду,
и гранях, на которых происходит теплообмен между блоками. Размеры 1Х, 1У,
1г> эффективные теплопроводности Ххи ^уи ^zi и мощности Pi блоков
приведены в примере 3.3. Коэффициенты теплоотдачи на гранях, обращенных в среду,
найдем по формуле а=аг- ср/5г- сР, где а* Ср—полная тепловая проводимость
в среду, Si ср — площадь четырех граней ?-го блока, находящихся в
теплообмене со средой. Аналогичным образом определим коэффициенты теплоотдачи на
взаимодействующих поверхностях соседних блоков.
Для каждого блока рассматривается система семи уравнений C.46), C.47).
При этом в левые части C.46) при записи выражений для температур
условных сред входят средние температуры соответствующих граней соседних
блоков. В результате получается система 28 линейных алгебраических уравнений
относительно четырех среднеобъемных и 24 средних температур граней.
В табл. 3.2 приведены результаты расчета перегревов, выполненного с
помощью универсальной программы анализа стационарного теплового режима
системы тел. Эта программа позволяет проводить расчет стационарных средне-
объемных и среднеповерхностных температур в системе тел с равномерным
полем, стержней, пластин, параллелепипедов при произвольной структуре
тепловых связей между ними. В качестве входных данных программы задаются
параметры входящих в систему тел и информация о тепловых связях между
ними (номера связанных поверхностей и значения тепловых проводимостей). Из
?абл. 3.2 видно, что средние перегревы отдельных граней существенно
отличаются от среднеповерхностных температур Ф^, найденных в примере 3.3 в
предположении о равномерности температурного поля на всей поверхности блоков.
В табл. 3.2 для каждого параллелепипеда принята своя локальная система
координат, расположение которой показано на рис. 3.11. Грани
параллелепипедов 2=0, z=lz соответствуют передним и задним свободным поверхностям
блоков, грани #=0, у=1у — нижней и верхней поверхностям, а грани #=.0,
*=/«— левой и правой поверхностям. Следовательно, в тепловом
взаимодействии находятся следующие пары граней параллелепипедов (см. рис. 3.11): х=
83

= lx в теле 1 и х=0 в теле 2; г/ = /у в теле 1 и # = 0 в теле 3; у — 1у в- теле 2
и #=0 в теле 4\ х=1х в теле 3 и #=0 в теле 4. Средние температуры этих
граней выше, чем температуры граней, на которых происходит теплообмен со
средой. В последней строке приведены значения перегревов fts, найденных в
предположении равномерности температурных полей тел.
Таким образом, более корректный расчет средних температур граней
позволяет уменьшить методическую погрешность, возникающую при переходе к
этапу анализа температурного поля отдельного блока с приближенным
заданием граничных условий.
3.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Точные аналитические решения. Рассмотренные модели с
сосредоточенными параметрами описываются системами
алгебраических (для стационарных) и обыкновенных дифференциальных
(для нестационарных задач) уравнений. В случае систем
линейных алгебраических уравнений достаточно обозримые и удобные
для анализа расчетные формулы, как правило, удается
построить для моделей, содержащих не более трех-четырех тел. При*
меры аналитических выражений для расчета стационарных
средних температур будут приведены в гл. 6, 7 для ряда моделей РЭА
н термостатов. Если тепловые проводимости зависят от
температур и система уравнений становится нелинейной,* то обычно
удается найти решение, используя метод последовательных
приближений, т. е. уточняя на каждой итерации значения
коэффициентов и решая линеаризованную систему.
Точные аналитические решения нестационарных задач могут
быть построены лишь для моделей, описываемых системами N
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений при Af=
= 1, 2, 3, и в некоторых случаях N=4. Общее решение таких
задач имеет вид [59]
Tt (т) = ТТ + S си ехР (- Щ т)> <3-51)
где TiCT — стационарная температура или изменяющаяся
температура в квазистационарном режиме, не зависящая от
начальных условий; nij — корни характеристического полинома N-&
степени; Cij — коэффициенты, определяемые на основе начальных
условий. В случае нестационарных нелинейных задач используют
численные методы расчета.
Для получения простых оценок некоторых характеристик
нестационарных процессов часто используют точные решения,
описывающие нестационарный режим одиночного тела с
равномерным полем температур. Общее решение уравнения
Р(т) = С dT
84
+а(ГГ(т)) C.52)
dt

с начальным условием Т |t==0==70 при произвольных
зависимостях Р(т) и T(rz) имеет вид [21]
C.53)
где т=о/С — темп охлаждения тела.
Приведем несколько простых соотношений, описывающих
изменение температуры Г(т) в ряде важных частных случаев [21].
При охлаждении или нагреве тела без источников теплоты {Р =
=0) в среде с постоянной температурой Т перегрев над средой
изменяется по закону
C.54)
Если температура среды изменяется по линейному закону
)f+bT, то перегрев # (т) равен
^ C.55)
а при наступлении регулярного режима 2-го рода разность
температуры тела и среды становится постоянной и равной (—b/m).
При гармоническом изменении температуры среды ?(т) =
= fo+iAf cos сот в регулярной стадии температура тела также
изменяется по гармоническому закону, но с меньшей амплитудой
AT и отставанием по фазе q>:
T-9); C.56)
ДТ «= Д77A + ootym*I/2; ф = arctg (ю/m).
При нагреве тела внутренним источником постоянной
мощности Р в среде с постоянной температурой Т перегрев $=Т—Т
рассчитывается по формуле
#(т) = 00ехр(-тт) + #ст[1--ехр(-тт)], C.57)
где #Ст=Р/о — стационарный перегрев над средой.
Достаточно удобные расчетные формулы удается получить к
для нестационарного режима системы двух тел, который
описывается системой линейных уравнений вида
Pi = Сг 2± + а12 (Т, - Т2) + а1ср (Тг - f); C.58)
с начальными условиями Tl\x=o=Tw\ Г2^=0=20
Анализ такой модели представляет интерес по ряду причин.
Во-первых, при оценке нестационарных режимов многих
устройств применяют простейшую модель в виде системы «ядро —
нетеплоемкая изоляция — оболочка» {40], которая описывается
уравнениями C.58). В качестве примеров можно привести модель
85

электронного блока, включающую нагретую зону (индекс 1) и
корпус (индекс 2), или модель термостата из двух тел — объекта
(индекс 1) и камеры (индекс 2). Во-вторых, далее будет
рассмотрен приближенный метод расчета стационарного и
нестационарного режимов системы N тел — метод эффективного тела,
который сводится к решению систем двух уравнений вида C.58)
при определении температуры Гп(т;) каждого из тел. Наконец,
задачу C.58) рассматривают в качестве модельной при анализе
закономерностей нестационарного теплообмена в системе тел,
возможностей применения теории регулярного теплового режима
[40, 120].
Решение системы уравнений C.58) при произвольных
зависимостях Рг(т) и fi(-t) приведено в [59]. Для частного случая
постоянных мощностей и температуры среды это решение имеет вид
[21]
Ъх (т) =.7\ (т) - Т = df + L ехр (- пг1 т) + М ехр (- щ т), C.59)
м--в
а12
i&iCT — перегрев 1-го тела в стационарном режиме,
рассчитываемый по формуле
C.60)
Выражение для перегрева второго тела ^(т) записывается
аналогичным образом при соответствующей замене номеров тел.
Метод эффективного тела. При анализе теплообмена в
системе N тел с равномерными температурными полями часто
возникает задача построения простых приближенных аналитических
зависимостей для оценки стационарных и нестационарных
температур одного или нескольких представляющих интерес тел. Для
решения такой задачи в [33] предложен весьма простой
аналитический метод, названный методом эффективного тела и состоящий
в следующем. В системе \N тел выделяется одно тело /, перегрев
которого #j (т) = Tj (т) — Гср требуется найти, а остальные (N—1)
тел считаются связанными друг с другом идеальными тепловы-
36

ми связями aife-^oo (?, !fe=l, 2,..., 1ЛГ; ^/, &=т^/). Физически это
предположение означает, что (jN—1) тел сливаются в одно
«эффективное» тело с некоторой температурой ТЭ=Т{ (i=I, 2,...
..., N; }ф}). Мощность Рэ, полная теплоемкость Сэ и тепловые
проводимости со средой .<тэс и с телом /а,-э такого эффективного
тела определяются путем суммирования соответствующих
параметров объединенных тел:
Начальный перегрев /б1эо='О1э(О) определяется из условия
равенства при т=0 теплового потока между /-м телом и
эффективным 0j3(#jo—ftao) истинному значению теплового потока от тела
N
j в системе N тел 2 Ojnifyo—Фго). Поэтому начальный перегрев
Оэо принимается равным
,*eo- S *л*1о/°л- C.62)
Таким образом, система «Л/" обыкновенных дифференциальных
уравнений
^j ^j /=1,,,, Л^ C.63)
сводится к системе двух уравнений для /-го и эффективного тел
с начальными условиями #j@) =^о, ^(О) =/б1эо.
Решение системы C.64) при постоянных значениях
мощностей Pj и Рэ имеет вид C.60) для стационарного ^ст и C.59)
для нестационарного ^(т) перегревов, если индексы номеров тел
1 и 2 в этих формулах заменить на / и э соответственно.
Последовательно перебирая все тела /=1,..., ЛГ и объединяя
каждый раз остальные {N—1) тел в эффективное, можно
получить iV систем двух уравнений вида C.64) и найти перегревы
всех тел системы.
Как и любой приближенный подход, метод эффективного
тела не является универсальным, а имеет некоторую область, где
его применение оправдано. Подробное исследование погрешности
и определение границ применимости метода эффективного тела
выполнено в [33]. Здесь приведем лишь основные соображения,
используемые при определении области применимости метода.
Объединение {N—1) тела и переход к системе двух уравнений C.64)
позволяет найти точное значение перегрева ^(т) в двух случаях.
87

Во-первых, если параметры Pit Cit oiCp, оц одинаковы у всех тел
(i=lf 2,..., JV, цф}), то их перегревы равны друг другу и
совпадают с перегревом эффективного тела, т. е. <011='&2= ... =/&jv=
=/в1э. Во-вторых, если aj3<^<XjCp, то тело / оказывается
практически не связанным с остальными телами, и поэтому их
объединение в эффективное тело не влияет на перегрев ^(т), который
можно найти из решения одного уравнения теплового баланса для
тела / при Oj3=0. Из сказанного вытекает, что погрешность
расчета температур по методу эффективного тела должна зависеть
от различия параметров Р*, Сг, (Тгср, Oji тел системы и от
соотношений тепловых проводимостей между телами и тепловых иро-
водимостей между телами и средой.
Для характеристики неравномерности параметров тел
системы, которые обозначим обобщенным символом r—{Pif Ciy сгг-Ср,
он), вводятся коэффициенты /Cr=max|гг*|/min|Гг|. На основе
статистического анализа в [33] сделан вывод, что метод
эффективного тела целесообразно применять в случае, когда все
коэффициенты отклонения 1^Лг^2, а отношение тепловых
проводимостей w=Oj3Jojcp<.2. При этом в самом неблагоприятном
случае погрешность приближенного расчета перегревов ftj не
превосходит 15%. Заметим, что в реальных задачах все
сформулированные условия одновременно выполняются достаточно редко.
Например, некоторые мощности Pi или некоторые тепловые
проводимости оц могут быть равны нулю. Тогда формально Кр или
Ко стремятся к бесконечности, и, следовательно, параметры
системы являются предельно неравномерными. Однако несмотря на
это, метод эффективного тела может дать вполне приемлемый
результат при достаточно малых ^—ajs/ffj ср, что иллюстрирует
приводимый ниже пример 3.6.
Идея объединения нескольких тел системы в одно
«эффективное» тело может быть применена в более общем виде для
уменьшения числа рассматриваемых одновременно уравнений
теплового баланса при анализе теплообмена в системе тел. В [34]
предложен следующий приближенный подход, являющийся
развитием метода эффективного тела. В системе N тел выделяется М
эффективных тел (M<\N)f объединяющих группы тел или
состоящих из отдельных тел. Объединение в группы проводится на
основе анализа тепловых связей между телами. После расчета
температур этих эффективных тел рассматриваются отдельные
группы и определяются температуры тел внутри каждой группы при
известном изменении температуры условной среды. Такая схема
расчета логично вытекает из общих принципов поэтапного
моделирования и качественно обосновывается принципом местного
влияния. Количественные критерии для объединения тел в
группы приведены в [34]. Целью применения изложенного подхода
¦является не только уменьшение числа уравнений, что при
использовании численных методов может не играть столь существенной
роли, но и сокращение необходимой для расчета исходной инфор-
88

мации о тепловых проводимостях между телами. Действительно,
если в каких-то группах тел не предполагается проводить
анализа температур отдельных тел, то тепловые проводимости между
телами группы можно детально не рассчитывать, а лишь оценить
их величины, чтобы обосновать правомерность объединения тел
в данную группу.
Регулярный тепловой режим системы тел. Приближённый
анализ нестационарного теплового режима системы тел, в
которой действуют источники теплоты постоянной мощности, часто
проводят на основе применения обобщенной теории
регулярного режима, обоснованной в [21, 40].
Процесс нагрева системы тел с произвольно распределенными
источниками постоянной мощности Pi в среде с постоянной
температурой ГСр при постоянных коэффициентах теплоотдачи
разделяется на две стадии: иррегулярную (неупорядоченную) и
регулярную (упорядоченную). В регулярной стадии логарифм
разности стационарной 7VT и текущей нестационарной Г;(т)
температур в любой точке тела изменяется во времени по линейному
закону
In [7? - Г, (т)] = - т х + Gu C.65)
где т — темп нагревания системы; Gi — величина, зависящая от
координат выбранной точки ?-го тела.
Закон нагрева C.65) аналогичен по форме закону
охлаждения в среде с постоянной температурой в регулярном режиме
первого рода, но вместо перегрева 7\(т)—Тср над температурой
среды рассматривается «недогрев» до стационарной "температуры
TiCT—Ti(%). Показано, что темп нагрева численно равен темпу
охлаждения системы тел при идентичных условиях теплообмена со
средой и не зависит от характера распределения мощностей
источников Pi. Для одиночных тел и простейших систем тел темп
охлаждения пг может быть найден аналитическим путем [40, 66].
В более сложных случаях темп охлаждения (нагрева) системы
можно определить экспериментальным путем, например, в
режиме простого охлаждения в среде с постоянной температурой
предварительно нагретой системы. При этом темп охлаждения
рассчитывают по формуле
>
>m = ~lMilL= _^_1„(г(т)-Гср), C.66)
ах от
где #(т) — экспериментально найденное изменение во времени
перегрева в регулярной стадии охлаждения.
При приближенных расчетах нестационарного нагрева
системы тел с внутренними источниками в некоторых случаях можно
считать, что температурное поле системы тел входит в стадию
регулярного режима с самого начала рассматриваемого процесса.
Тогда нестационарный перегрев #* (т) = 71* (т)—ТСр i-ro тела
определяется по формуле
#Г [1~ ехр(-тт)],
89

где Фго и Фг67 — начальное и стационарное значения перегревов
соответственно.
Если начальная температура Ты всех тел одинакова и равна
температуре среды Гер, то ${0=0 и последняя зависимость
упрощается:
*i W = *Г [ 1 - ехр (- т т)]. C.67)
Соотношение C.67) широко применяют при анализе
нестационарного режима нагрева различных электронных устройств. При
этом перегревы bf1 находят из решения соответствующей
стационарной задачи при заданном распределении мощностей Р%у а
темп охлаждения т часто определяют экспериментально в
режиме простого охлаждения в среде с постоянной температурой.
Обоснование регуляризации теплового режима системы N тел
с источниками теплоты рассмотрим на примере задачи C.58),
описывающей нестационарный теплообмен в системе двух тел.
Точное решение C.59) содержит два зависящих от времени
слагаемых с экспоненциальными множителями ехр(—nt\x) и
ехр(—т2х). Поскольку mi<m2, то через некоторое время тР
первое слагаемое, убывающее медленнее, превысит по модулю
второе в заданное число раз. Следовательно, начиная с момента т=
=тр будет с заданной точностью выполняться соотношение C.66),
т. е. система вступит в регулярную стадию с темпом нагрева
т=ти Длительность иррегулярной стадии тР зависит в данном
случае от соотношения между показателями экспонент ти т2 и
коэффициентами L, М.
Для весьма распространенной в практических задачах
системы двух тел, состоящей из ядра (индекс 1), окруженного
оболочкой (индекс 2), в [40] приведены
оценки, которые позволяют оценить
длительность иррегулярной стадии тР
по сравнению с общей длительностью
переходного процесса ттах в
зависимости от отношений теплоемкостей
P = Ci/C2 и тепловых проводимостей
К=О2ср/в12 (проводимость «ядро — сре-
да» aicp=0). На рис. 3.19 показаны
графики, иллюстрирующие
зависимость тР/ттах=ф(Р, ^С). В качестве тР
принято время, через которое точные
значения перегревов отличаются от
вычисленных по приближенным
формулам регулярного режима не более
чем на 1%, а в качестве тШах — вре-
Рис 3.19. Зависимость отно- мя, через которое значения перегре-
шения длительности дорегу- вов отличаются не более чем на 1%
лярной стадии т* к времени от €ваих стационарных значений,
установления стационарного _ Л.
Для системы N тел теоретическая
0,02
режима Тст от параметров k
ир
90
оценка длительности иррегулярной

стадии требует определения собственных чисел т\, m2i ..., m,N и
коэффициентов С^ в решении C.61) и поэтому является крайне
затруднительной. В [40, 120] приведены некоторые общие
соображения по поводу влияния параметров системы на длительность
иррегулярной стадии.
В случае сильных тепловых связей между телами, когда
тепловые проводимости Gij намного превышают тепловые
проводимости в среду Gi cp, для приближенной оценки темпа охлаждения
т системы тел можно «объединить» все тела в одно тело с сум-
N
марной полной теплоемкостью С2 = 2 С* и проводимостью в
*—i
N
среду 02ср= 2 (Угср. Тогда темп т рассчитывается по формуле
/^. C.68)
Заметим, что формула C.68), строго справедливая лишь при
в ряде случаев позволяет получить вполне приемлемые
результаты расчета нестационарных температур и при
сопоставимых значениях ст^*, а* ср.
Приведем пример применения рассмотренных приближенных
методов расчета теплового режима систем тел.
Пример 3.6. Проведем расчет стационарного и нестационарного
теплового режима системы четырех блоков РЭА, описанной в примере 3.3, с помощью
метода эффективного тела и сопоставим с численным решением системы
четырех уравнений теплового баланса C.32).
Рассматриваемая система четырех тел имеет следующие параметры: Pi =
= 80 Вт, Р2=45 Вт, Р3=60 Вт, Р4=20 Вт; Ci = 8-103 Дж/К, С2=Б.1О3 Дж/К,
Сз=С4=б-103 Дж/К; G12=034=0,3 Вт/К, 01з=024=О,5 Вт/К, 014=02з==О;
0i ср = сг2 ср=2 Вт/К, (Хз ср=04ср=3 Вт/К. Начальная температура всех тел
одинакова и совпадает с температурой среды, т. е. •6iio=O, t=l,...,4.
Начнем с расчета стационарных перегревов Огст. Следуя методу
эффективного тела, выделяем сначала тело 1 и найдем для этого случая согласно C.61)
параметры эффективного тела, включающего остальные тела с номерами 2, 3,4:
/)э=Р2+Рз+/>4=45+60+20= 125 Вт; 0э.сР = сг2 сР+0з сР+04 ср = 2+3+3 =
= 8 Вт/К; 01э=012+01з==О,3-ЬЮ,5 = О,8 Вт/К.
Стационарный перегрев •д>\СТ вычислим по формуле C.60), заменив индекс
«2» индексом эффективного тела «э»:
#1 -
125 + 80A
#1 - 2 + 8A+2/0,8) =ЗЗМ-
Аналогично определим остальные перегревы Ф^, последовательно выделяя
тела с номерами 2, 3, 4 и объединяя остальные три тела в одно эффективное
тело. Результаты расчетов стационарных перегревов приведены в последней
строке табл. 3.3.
Перейдем к расчету нестационарных перегревов ^(т). Параметры Рэ, 01э,
0э.ср эффективного тела, объединяющего тела 2, 3у 4, найдены выше, а его
91

Таблица 3.3
Время t,' с
1500
3000

Стационарный режим
12
19
33
,4
>9
,2
12
20
34
,2
,4
,6
9
13
20
Р
,2
,6
,1
Перегревы,
9,7
14,8
21,5
10
16
22
К
р
,8
,4
,9
10
15
21
г
,2
,2
,1
4
6
И
Р
,6
,8
,1
•а-
4
6
9
ч
4
,4
,8
теплоемкость равна Св=С2+Сз+С4= E+6+6). 103= 17-103 Дж/К. Вычислим
вспомогательные параметры Л, Д mh m2i В, L, М, входящие в зависимость
C.59), которая описывает нестационарный перегрев ®i(%) в системе двух тел с
источниками теплоты. При использовании формулы C.59) опять заменим
индекс «2» на индекс «э» и учтем, что F*10=фэ()=0. Тогда получим следующие
значения параметров:
А = @,8 + 2)/8-103 + @,8 + 8)/17-103 = 0,87-10~3';
0,8
8.103.17.103
,2 =0,5 (о,87-Ю
:D,35+1,Ю).1О-
+ 8-f 2-8/0,8) = 1,77-Ю-7 ;
—4Л,77-
0,8-80
8.Ю» E,45 -3,25). КГ4.0,8
5,45.(-33,2).
= 45,5К;
5,45-3,25
3,25-33,2
+ 45,5= -
—45,5 +
5,25-3,25
= 3,5/С.
В результате получим следующую аналитическую зависимость,
описывающую изменение во времени перегрева тела 1, §i(t)=33,2—36,7 ехр (—3,25Х
X Ю-4 т) +3,5 ехр(-^5,45«10~4 т). Аналогичным образом строятся зависимости
О*(т) для остальных тел.
В табл. 3.3 приведено сопоставление результатов расчета Ф*111* по
приближенным зависимостям, найденным по методу эффективного тела, с численным
решением Ф^ системы четырех уравнений теплового баланса. Видно, что метод
эффективного тела дает хорошее совпадение с численным решением, несмотря
на достаточно сильную неравномерность параметров системы (например, Кр =
c=iDmax//?min=i80/20=4). Как было отмечено выше, это объясняется слабыми
связями между телами по сравнению со связями между телами и средой
(например, Hi=tfia/aicp=O,8/2=0,4).
92

3.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Рассмотрим отдельно решения задач определения стационарных
и нестационарных средних температур по моделям с
сосредоточенными параметрами.
Расчет стационарных средних температур. В общем случае
необходимо методом последовательных приближений решить
систему нелинейных алгебраических уравнений вида C.7)—C.8).
Система является нелинейной, поскольку тепловые проводимости
<Уцтл, вит'ж, cFiftTcp, массовые расходы Gmu Ghu а также мощности
источников Ргт, Лж могут зависеть от искомых температур.
Однако если перечисленные коэффициенты считать известными, то
система C.7) —C.8) превращается в систему Аг=#т+^ж линейных
алгебраических уравнений относительно температур тел Ti (i==
= 1,..., NT) и теплоносителей ?ЛВЫХ (/=1,..., NT). В дальнейшем
будем записывать такую систему в матричной форме
АХ = В, C.69)
где Х=(*ь *2,..., xN)T=(Tu ..., TNt, Uu ..., UNv)T — вектор-
столбец из N последовательно записанных неизвестных
температур тел и теплоносителей; В=FЬ..., bN)T — вектор-столбец
свободных членов; A=||anm|| — квадратная матрица коэффициентов
размерности NXN.
Выражения для коэффициентов матрицы апш и столбца
свободных членов Ьп нетрудно получить из уравнений C.7) при п^
^.iNT и C.8) при NT<.n^.\N, в которых уже сгруппированы
коэффициенты при неизвестных температурах.
При решении системы нелинейных уравнений теплового
баланса организуется итерационный процесс, на каждом s-м шаге
которого находится решение X<s>= (xi(s\..., *i/e)) некоторой
промежуточной линейной системы вида C.69), а коэффициенты этой
системы определяются с использованием найденных на
предыдущей итерации температур Х^-1>. То есть для определения
каждого приближения X<s> проводится линеаризация исходной
нелинейной системы.
Простейший способ линеаризации заключается в расчете
значений всех зависящих от температур величин (aZjT-T, оцт-ж,..., Pim)
по температурам предыдущего приближения и решении на
каждой итерации системы C.7) — C.8) с известными
коэффициентами. В качестве начального приближения Х<°> следует задать
значения температур, вычисленные по некоторым оценочным
формулам для рассматриваемых объектов или определенные на
основании каких-либо интуитивных соображений. Такой прием,
называемый методом простой итерации, хорошо работает в
случаях, когда отсутствуют достаточно сильные температурные
зависимости у величин, определяющих нелинейность. При наличии
сильных температурных зависимостей тепловых проводимостей,
расходов или мощностей описанный итерационный процесс
может не обладать сходимостью.
93

Во многих случаях удается достичь сходимости
итерационного процесса путем следующего искусственного «торможения»
изменения искомого решения от итерации к итерации. Новое
решение X(s) на 5-й итерации определяется по формуле
X(s)-(l-v)X(s^1) + TX, C.70)
где Х<«-1> — решение на предыдущей E—1)-й итерации; X —
решение линейной системы C.7), C.8), в которой коэффициенты
вычислены по температурам Х^-1); 7 — «замедляющий»
множитель — весовой коэффициент, принимающий значения из
интервала @, 1).
При 7=1 получаем из C.70) метод простой итерации. Путем
подбора значения у<1 можно замедлить изменение в
итерационном процессе приближений к решению и добиться плавного
подхода X<s> к искомому решению X нелинейной системы. Пример
использования такого приема описан в гл. 6 применительно к
расчету теплового режима блоков РЭА с естественным
воздушным охлаждением, когда расходы воздуха Gi, вызванные
свободной конвекцией, сильно зависят от искомых температур.
Другим, более сложным способом линеаризации системы
уравнений теплового баланса при наличии резких температурных
зависимостей является так называемая линеаризация по Ньютону.
Рассмотрим основную идею этого метода на примере системы
C.69), в которой коэффициенты матрицы апт зависят от
искомых температур (хи..., xN)T. Предположим, что найдены
приближенные значения ^i(s~1},..., xN(s~v на E—1)-й итерации.
Построим линейную систему уравнений для отыскания значений
X^=(x^s\..., atjv(s))t на 5-й итерации. Для этого представим
вектор-столбец неизвестных в виде
Х^-Х^ + ДХ^, C.71)
где ДХ<8> — вектор-столбец уточняющих приращений Axn(s) (n—
= 1,..., N) для приближений неизвестных на 5-й итерации.
Очевидно, что определение Ахп№ эквивалентно определению xn(s).
В методе Ньютона система линейных уравнений обычно
записывается относительно приращений Axn^sK Для получения этой
системы уравнений разложим в ряд Тейлора в точке Х^*
коэффициенты anm(s\ причем ограничимся только линейными
относительно Ахп^ членами разложения:
Подставив теперь выражения для коэффициентов апт^ вида
C.72) и для неизвестных хп^ вида C.71) в исходную систему
C.69) и отбросив члены второго порядка малости (произведения
Axn(s>AxrrSs)), получим требуемую нам систему линейных
уравнений относительно приращений Axn(s), л=1, ..¦, N:
A(S)AX(S) = B(S), C.73)
94

в которой коэффициенты матрицы А<«> и вектор-столбца B<s>
рассчитываются по формулам:
"п п - *•* пт "т
Линейность системы C.73) относительно приращений Axn{s)
следует из того, что все ее коэффициенты рассчитываются по
значениям искомых величин на предыдущей итерации.
При использовании любого из описанных итерационных
процессов необходимо задать условие прекращения итераций, при
выполнении которого последнее найденное приближение Х(8)
принимается за искомое решение Х= (хи..., xN) нелинейной
системы. Возможны два подхода к формулировке таких4 условий. При
первом подходе накладывают ограничение на величину,
характеризующую различие двух последовательных приближений X<s-1)
и X(s). Например, записывают условие прекращения итераций в
виде
max | х^ — х^*-1 > | ^ Д #тах, C.75)
п
ИЛИ .-:--
max X*Z*« <8*юах, C.76)
n
где Д#тах, б^тах — предельно допустимые значения абсолютной и
относительной погрешностей; хп — «масштаб» (например,
характерный перегрев) для п-й искомой величины.
Однако при таком подходе значения xn(s-u и xn{s) могут
оказаться близки вследствие медленной плавной сходимости
итерационного процесса, например при использовании формулы C.70)
с малым у. Поэтому часто целесообразно применять иной
подход, основанный на контроле значений невязок уравнений на
каждой итерации, т. е. анализировать значения
Л^5)= 2 а&ф-Ьр, п= 1,..., N. C.77)
Применительно к системе C.7), C.8) A6n(s) имеют смысл
дисбалансов мощностей в уравнениях теплового баланса. Условие
прекращения итераций можно сформулировать в виде
ограничения на допустимые значения Дйп(Ч Например*,
C.78)
Во многих задачах следует объединять оба подхода и требовать
выполнения обоих типов условий прекращения итераций
одновременно.
95

Таким образом, при любом подходе основной частью
алгоритма решения системы стационарных уравнений модели с
сосредоточенными параметрами является процедура решения
соответствующей линеаризованной системы.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
разделяются на две группы: прямые и итерационные методы. В
прямых методах решение находится за конечное число действий
и это решение было бы точным, если бы при выполнении
арифметических операций не было погрешностей округления, т. е.
если бы действия проводились с неограниченным числом знаков.
В итерационных методах решения линейных систем сначала
задается некоторое начальное приближение, а затем реализуется
повторяющийся процесс определения последовательных
приближений, в котором каждое последующее приближение находится
по одинаковому алгоритму на основе предыдущего.
Итерационные методы обычно применяют при решении линейных систем
большой размерности N с разреженными матрицами, которые
получаются при разностной аппроксимации краевых задач |[57, 99].'
Основными достоинствами итерационных методов решения
линейных систем являются простота алгоритма вычислений,
отсутствие необходимости хранить в памяти ЭВМ всю матрицу
коэффициентов и отсутствие накопления погрешностей в процессе
вычислений, а недостатком — большие затраты машинного времени.
Обычно на практике при использовании в методе поэтапного
моделирования моделей с сосредоточенными параметрами число
уравнений (число искомых средних температур) не превосходит
нескольких десятков. В таких случаях наиболее эффективным
является применение прямых методов, учитывающих структуру
матрицы решаемой системы линейных уравнений.
Наиболее распространенным прямым методом является метод
последовательного исключения Гаусса [57]. Он основан на
весьма простом приеме, которым многие интуитивно пользуются при
«ручном» решении систем линейных уравнений, и заключается в
последовательном исключении неизвестных хп из всех уравнений
с номерами т>/г, начиная с /г=1, и получении в конечном ито-
^е линейьиго уравнения -с одним неизвестным xn- Далее из пре-
иоразованной хистемы уравнений с треугольной матрицей в
обратном порядке находятся остальные неизвестные
xn-u...^.Сложности, возникающие при реализации этой процедуры, связаны с
накоплением погрешностей округления, вызванных
представлением чисел в ЭВ1М с ограниченным числом знаков. Для того
чтобы уменьшить накопление погрешностей в стандартных
программах, реализующих метод Гаусса, применяется специальная
процедура перестановки строк и столбцов матрицы (т. е. изменение
нумерации уравнений и неизвестных), которая называется
выбором ведущего элемента i[57]. Поэтому при решении на ЭВМ
систем линейных уравнений следует использовать программы
стандартного математического обеспечения. Остановимся на некото-
96

рых примерах использования программ прикладного
математического обеспечения ЕС ЭВМ, написанного на ФОРТРАНе [74],
для решения систем различного вида, получающихся при
анализе моделей с сосредоточенными параметрами.
При расчете по модели C.7), C.8) с произвольными
структурой тепловых связей и схемой движения потоков теплоносителей
получается матрица общего вида, в которой любой коэффициент
о>пт может быть отличен от нуля, так как любая пара элементов
модели с температурами хп и хт может иметь тепловое
взаимодействие.
Для решения таких систем применяется программа GELG,
реализующая метод Гаусса для систем с матрицами общего вида.
При этом в оперативной памяти следует хранить матрицу А с
№ элементами и вектор-столбец В с N элементами, а требуемое
для решения число арифметических действий
пропорционально ЛР.
Во многих практических задачах требуется решать линейные
системы с матрицами, имеющими не общий, а некоторый
специальный вид. Например, при анализе модели, содержащей только
твердые тела и описываемой уравнениями C.7) при а*/г-ж = 0,
система уравнений
-^12»
N
U12>
•O\N
cp
»' • • • >
N
2
N
cp
C.79)
/ 2 3 4
о
Матрица этой системы является симметричной, так как апт=
= атп=—оП7п, и для ее решения следует использовать
программу GELS. В этой программе учитывается симметричный вид
матрицы, благодаря чему требуется
хранить лишь массив из N(N+l)/2
элементов верхней треугольной части
матрицы, а также сокращаются
затраты машинного времени на решение
системы.
Другим важным видом матриц
являются так называемые ленточные
матрицы, у которых отличны от нуля
только коэффициенты апт, отстоящие
от диагонального коэффициента апп
4—65
Рис. 3.20. Вид ленточной
матрицы системы уравнений
модели вентилируемого блока
97

не далее чем на L позиций, т. е. лежащие внутри «ленты»,
расположенной вдоль диагонали. Такие матрицы имеют следующий
вид:
"«11 • • .«1.I+L О
\ \
\ \
\ \
\ \
йл, п—L \ йцп ^
А- \ Ч\ \ . C.80)
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
ам, N^L . . . aNN_
В качестве примера рассмотрим модель для расчета
теплового режима вентилируемого блока C.13), C.14) (см. пример 3.2).
Будем рчитать температуру корпуса Тк известной, а искомым
температурам плат Тш и воздуха Um присвоим следующую сквозную
нумерацию: xl=Vu х2 = Ти хъ = и2у х4 = Т2у...у xN-i = TM, xN =
— UM+u В результате получим систему iAf= BЛ1+1) линейных
уравнений с ленточной матрицей. Вид этой матрицы показан иа
рис. 3.20, а символами «х» отмечены отличные от нуля
коэффициенты. Как видно, в этом случае L=2, а ширина ленты равна
2L+1 = 5. Для решения систем с ленточными матрицами вида
C.80) предназначена программа GELB. В этой программе
матрица хранится в виде массива записанных по строкам
коэффициентов в пределах ленты, имеющей длину порядка BL+l)iV, a
число арифметических действий для решения системы (затраты
машинного времени) .возрастает пропорционально B L-\-lJN.
Таким образом, использование специальных программ для
решения систем с ленточными матрицами позволяет существенно
сократить затраты машинного времени и памяти при больших N
и L<(iV.
Отметим, что при работе со стандартными программами
решения линейных систем необходимо обращать особое внимание
на форму представления матриц коэффициентов и свободных
членов во входных данных подпрограмм. Этот вопрос с анализом
типичных ошибок подробно разбирается в [30].
Особенности программной реализации расчета стационарных
средних температур. В программах расчета стационарных
средних температур по нелинейной модели вида C,7), C.8)
организуется итерационный цикл, в котором: рассчитываются
коэффициенты системы уравнений, зависящие от температуры (тепловые
98

проводимости, мощности, расходы) на основе найденных на
предыдущей итерации значений температур 7\-, Ui\ на основе
принятого в программе описания структуры тепловых связей
проводится формирование двух массивов, соответствующих матрице А и
столбцу свободных членов В линеар-изованной системы
уравнений для текущей итерации; выполняется решение полученной
системы путем обращения к выбранной стандартной
подпрограмме, в результате которого находится очередное приближение для
искомых температур; проверяется условие завершения
итерационного процесса либо по различию решений Х^-1> и X<s> [см. C.75),
C.76)], либо по невязке тепловых потоков в уравнениях баланса
{см. условие C.78)].
Остановимся на способах представления входных данных для
модели C.7), C.8) при произвольной структуре тепловых связей.
Начнем с тепловых проводимостей а*,-™. В случае, когда каждое
тело взаимодействует со всеми остальными, все а^тт отличны от
нуля, и для описания связей можно использовать двумерный
массив, элементами которого являются оцтг. Однако обычно на
практике число взаимодействующих пар тел значительно меньше
максимально возможного значения N2T и поэтому большинство
проводимостей оц™ равно нулю. С целью сокращения объема
исходных данных и затрат машинной памяти целесообразно
приводить информацию только об отличных от нуля оцтл.
Для постоянных тепловых проводимостей эта информация
задается с помощью двух одномерных массивов с длинами 2NT.T и
NT.T, где JVt.t — число тепловых связей между телами. В первом
массиве последовательно записываются номера
взаимодействующих тел i и /, а во втором — соответствующие значения тепловых
проводимостей. Если же тепловая проводимость зависит от
температур, то во втором массиве задаются признак, определяющий
вид этой зависимости, и параметры для расчета ог^тт. В этом
случае длина второго массива возрастает. Конкретные виды
зависимостей для расчета афт(Ти Tj) могут быть, например,
описаны в соответствующих подпрограммах.
Аналогичным образом представляется информация о
тепловых связях между телами и жидкостями, телами и средами, а
также о движении потоков теплоносителей. В последнем случае
в одном массиве указываются пары номеров пг и / связанных
объемов (каналов), а в другом — массовые расходы Gmi.
Пример составления программы расчета для модели C.7), C.8) с
произвольной структурой взаимодействий между элементами
приведен в [30].
Расчет нестационарных средних температур. Определение
нестационарных температур по модели системы тел и потоков
теплоносителей, описанной в § 3.1, проводится путем решения
системы обыкновенных дифференциальных уравнений C.2), C.3) и
алгебраических уравнений C.4), C.5) 'относительно температур
Гф), i'=l, ..., NT, Ui(%)y №х(т), №*(%), 1=1 ..., ЛГж с началь-
4* ' 9!9

ными условиями C.6). Перепишем эту систему в следующем
виде:
i-1,..., Л/т; C.81)
/=1 #ж; C.82)
Ч i U*ux + A - ?,) t/P -1/4; C.83)
с?дО,^- 2Ж^д0го,Ч/Г= 2Р<*дбмПр(т), '=1>-, Л^ж; C.84)
m=l ft«l
TjltM)-^; t/||*-o«?/io. C.85)
Краткая характеристика численных методов решения
обыкновенных дифференциальных уравнений вида C.81), C.82) с
начальными условиями приведена в Приложении 1.
Остановимся подробнее на особенностях, возникающих при
анализе нестационарного теплового режима системы тел и
потоков теплоносителей.
Наиболее просты в реализации явные схемы, например схемы
Рунге — Кутта или явные многошаговые схемы [см. формулы
(П1.12), (П1.13), (П1.14)]. При применении этих схем сначала
из системы 2ЫЖ алгебраических уравнений C.83), C.84)
находятся температуры жидкости (<?ЛВХН, (?ЛВЫХ)^ при известных
температурах Of, 7Vp(tj) на /-м шаге по времени, а затем из
соответствующей явной разностной аппроксимации уравнений C.81),
C.82) определяются температуры 7V+1, LV+1 на текущем (/+1)-м
шаге. Такая процедура повторяется на каждом шаге по времени
(/=0, 1,..., /). Заметим, что если схема движения потоков
теплоносителей не содержит замкнутых контуров, то расчет
температур (UiBXK, (UiBm)i, /=1, ..., Ыж из системы уравнений C.83),
C.84) проводится по явным формулам в последовательности,
соответствующей движению теплоносителя от объема с заданной
температурой 7Vp(t) до выхода из системы каналов.
Недостатком явных схем является их условная устойчивость
(см. Приложение 1), которая при анализе теплового режима
некоторых видов систем тел и потоков теплоносителей может
приводить к неприятным последствиям. Рассмотрим этот вопрос на
примере решения нестационарной задачи C.58) для системы двух
тел.
Точное аналитическое решение C.59) содержит два члена с
экспоненциальными множителями ехр(—т\х) и ехр(—/n2T), при-
100

чем mi<m2. Как показывает теоретический анализ [104],
условие устойчивости явных схем для такой задачи имеет вид Дт^
^Агтах=В/т2> где В — константа, зависящая от вида явной
схемы. Из формул C.59) нетрудно увидеть, что возможно такое
сочетание параметров задачи, при котором тг^/Пь Например,
такое соотношение между темпами охлаждения т\ и т2 имеет
место при Ci>C2 -или при ai2>aic ai2>ia2c. В этих случаях общая
длительность переходных процессов в системе тел определяется
членом с «медленно затухающей» экспонентой ехр(—ягп;), а
допустимый шаг по времени Лттах = 5/т2 — «быстро1 затухающей»
экспонентой. В результате оказывается, что постоянная
времени системы T=l/mi намного превышает предельно допустимое
значение шага Ат: т>Ат. Тогда для расчета всего
нестационарного процесса требуется чрезвычайно большое число мелких
шагов по времени (например, несколько десятков тысяч), что
приводит к возр-астанию затрат машинного времени и к накоплению
погрешностей округления. Последнее обстоятельство является
наиболее неприятным и трудно устранимым.
При анализе нестационарного теплового режима системы N
тел указанные проблемы усугубляются с ростом числа N. Это
вызвано тем, что увеличивается различие между минимальным
mi и максимальным mN показателями экспонент в точном
решении (различие между минимальным и максимальным
собственными значениями матрицы А линеаризованной системы dXfd%=
=АХ [104]). Можно показать ![57], что различие между т\ и
mN возрастает с увеличением N даже при одинаковых
параметрах Си Gim, Oik.
Отметим, что при анализе нестационарного теплового режима
многих объектов по модели C.2) — C.6) часто оказывается, что
полные теплоемкости теплоносителей в каналах С*ж много
меньше полных теплоемкостей твердых тел Сгт. Например, Сгж«сСгт,
если в качестве теплоносителя используется газ, масса которого
в объеме / мала по сравнению с массами твердых тел. В этих
случаях следует рассматривать уравнения C.3) для потоков газа
в квазистатическом приближении, т. е. положить Cim=0 и
перейти от обыкновенных дифференциальных к алгебраическим
уравнениям для потоков газа.
Однако в некоторых случаях не удается пренебрегать даже
очень малыми теплоемкостями элементов модели, поскольку
динамика этих элементов определяет динамику всей системы.
Например, подобная ситуация возникает при анализе динамических
характеристик термостатирующих устройств, в которых
теплоемкости Сгт датчиков системы регулирования значительно меньше
теплоемкостей остальных элементов. Приемы, используемые при
численном моделировании динамики термостатов,
рассматриваются в гл. 7.
Рассмотренные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений, для которых характерное время переходных процес-
101

сов т во много раз превышает постоянные времени tjv = j
наиболее «быстро затухающих» экспонент в точном решении
линеаризованной системы, относятся к классу так называемых
жестких систем. При численном решении таких систем используют
специальные методы, описанные в i[104].
Опыт расчетов многих типов приборов показал, что при
решении системы уравнений C.2) — C.6) весьма эффективной
оказывается неявная схема Эйлера. Эта схема является безусловно
устойчивой, а расчет по ней сводится к решению на каждом шаге
по времени системы линейных алгебраических уравнений.
Остановимся на этой схеме подробнее, причем для упрощения
выкладок ограничимся анализом модели, состоящей только из твердых
тел и сред с заданной температурой (NT=N, Ыж=0).
Разностная аппроксимация уравнения C.81) с помощью
неявной схемы Эйлера имеет вид
W+1 _ г/ N
i = ri — 2j Gim \1 i — 1 m ) —
At m=l
N
- 2 °1kv (Tf1 — Tckp), C.86)
где 7У+1, 7V+1 — искомые температуры тел на (/+1)-м
временном слое; 7V — известная температура i-ro тела на /-м
временном слое; At — шаг по времени.
Если тепловые проводимости OimT''T, ffifeT*cp не зависят от
искомых температур, то уравнения C.86) образуют систему N
линейных алгебраических уравнений относительно температур {7V+1}?Li
на текущем временном слое. Эту систему можно записать в
матричной форме
GX/+1 = F/+\ C.87)
где G — матрица коэффициентов линейной системы размерности
NxN; F^+1 — вектор-столбец свободных членов, вычисленных на
(/+1)-м шаге по времени; Х^+1= GV+1,..., 7V+1)T ~
вектор-столбец неизвестных. Коэффициенты матрицы G и столбца F^'+1
вычисляются по формулам:
gu = с] /at + 2 о" + 2ср<%ср. ёгт = - °LT> i Ф ™->
т=\ k=l
Решение X^+1 линейной системы C.87) может быть найдено
на каждом шаге по времени с использованием стандартной
программы, реализующей метод Гаусса для систем с симметричной
матрицей.
Заметим, что при нулевых теплоемкостях (все С{т=0)
матрицы G и F переходят в матрицы А и В линейной системы C.69),
102

описывающей стационарный тепловой режим. Поэтому, задав
Сгт=0 (или Дт-^оо), можно за один шаг получить решение
соответствующей линейной стационарной задачи.
Если тепловые проводимости зависят от искомых температур,
то используют два подхода .к решению системы нелинейных
дифференциальных уравнений. Первый из них состоит в том, что на
каждом (/+1)-м шаге по времени значения проводимостей, теп-
лоемкостей, мощностей вычисляют по температурам, найденным
на /-м шаге Oim=Oim(Ti\ Ттз)9 и получают линейную систему
C.87). Такой прием является наиболее распространенным и в
большинстве практических задач вполне приемлемым. В случае,
когда тепловые проводимости, мощности или теплоемкости
имеют резкие температурные зависимости, применяют иной подход:
рассматривают в C.86) значения коэффициентов в текущий
момент Gim==Gjm(Ti^lt Тшэ+1), Pi=Pi(Tii+1) и т. д., а
получившуюся систему нелинейных алгебраических уравнений решают на
каждом (/+1)-м шаге каким-либо итерационным методом.
Например, можно использовать способы линеаризации,
рассмотренные выше применительно к стационарной задаче.
Особенности программной реализации расчета
нестационарных средних температур. При разработке программы расчета
нестационарных средних температур можно либо ориентироваться
на использование какой-либо стандартной программы решения
систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка, либо самостоятельно программировать выбранную
разностную схему. В прикладном программном обеспечении ЭВМ [74]
имеется ряд программ, реализующих различные схемы Рунге —
Кутта и многошаговые схемы. При использовании этих программ
пользователь должен наряду с управляющей головной программой
составить подпрограммы для вычисления правых частей
(функций /п(т, 7*1,..., TN)) системы уравнений вида (П1.17) и
подпрограммы, организующие вывод результатов расчета в заданные
моменты. Отметим, что в большинстве стандартных программ
реализована процедура автоматического выбора шага
интегрирования, основанная на оценке локальной погрешности на каждом
шаге по правилу Рунге (П1.16),
При программировании неявной схемы Эйлера вида C.86)
следует организовать цикл по времени, на каждом шаге которого
рассчитываются зависящие от температуры тепловые
проводимости, теплоемкости и мощности, формируются матрица G, вектор-
столбец FH линейной системы C.87) и находится решение этой
системы с помощью какой-либо стандартной программы. Если все
коэффициенты матрицы G не зависят от температур и не
изменяются во времени, то целесообразно до начала временного
цикла сформировать матрицу G, найти с помощью соответствующей
стандартной программы обратную матрицу G, а далее в цикле
по времени находить искомое решение путем умножения
матрицы G на изменяющийся во времени вектор F*+1: X^+1 = G~1F^+1.
Описание исходных параметров модели и алгоритм формирова-
103

ния матрицы G и вектора F*+1 аналогичны рассмотренным выше
для стационарной задачи.
Примеры программ расчета нестационарного теплового
режима системы N тел, использующих как неявную схему Эйлера,
так и стандартную подпрограмму метода Рунге—Кутта,
приведены в [30].
4. ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ
В случае, когда применение модели с сосредоточенными
параметрами не позволяет получить необходимую проектировщику
информацию о тепловом режиме исследуемого объекта, целесообразно
сделать следующий шаг: усложнить анализ и перейти к
одномерной модели. Применение одномерных моделей может быть
вызвано рядом причин.
Во-первых, часто встречаются элементы приборов, у которых
температурное поле имеет существенную неравномерность только
по какой-то одной пространственной координате, и эта
неравномерность влияет на их функциональные характеристики. Такая
ситуация особенно характерна для различных оптических
элементов. Например, неравномерность температуры по оси зеркала
приводит к его изгибу, который вызывает появление термических
аберраций в оптической системе G1]. Для иллюминатора, линзы,
активного элемента твердотельного лазера с жидкостным
охлаждением, электрооптического затвора существенна неравномерность
температурного поля по радиальной координате. Из-за этой
неравномерности в иллюминаторе и активном элементе возникает
тепловая линза i[76], в линзе — термическая сферическая абер-
рация и изменение фокусного расстояния [15, 102], у
электрооптического затвора изменяется коэффициент пропускания A3]. Для
поддержания криогенного уровня температуры оптической
системы часто используются проточные криостаты [85]. Оптическая
система окружается оболочками цилиндрической формы 1,2 с
размещенными на них трубками 5, по которым движутся пары
криогенной жидкости, помещенной в специальную емкость (рис.
4.1). Для обеспечения работоспособности оптической системы
необходимо обеспечить как заданную погрешность поддержания
уровня ее температуры, так и заданную неравномерность
температурного поля. Одним из источников этой неравномерности
является перепад температуры по длине оболочек, который
возникает из-за возрастания температуры пара при его движении по
трубкам и локальных теплопритоков в местах крепления
оболочек 4.
Во-вторых, в случае, когда целью анализа является
получение информации о характерных температурах — среднеповерх-
ностных, среднеобъемных, минимальных и максимальных,
применение одномерных моделей позволяет уменьшить погрешность их
104

Рис. 4.1. Схема проточного криос-
тата
Рис. 4.2. Стержень с переменным
поперечным сечением и боковым
теплообменом
определения. В рамках моделей с сосредоточенными параметрами
такую информацию можно получить, как было отмечено в гл. 3,
только с использованием различных коэффициентов
неравномерности, точность определения которых может быть недостаточной.
Подобные одномерные модели могут использоваться для
канонических тел при преимущественном изменении температуры по
какой-то одной пространственной координате (например, сфера и
сферическая оболочка, цилиндр и цилиндрическая оболочка при
условии зависимости температурного поля только от радиальной
координаты). Кроме того, существует (методика [121],
позволяющая вводить одномерные модели и для тел неканонической
формы. Она будет рассмотрена ниже.
Наконец, в случае системы тел использование одномерных
моделей позволяет уменьшить погрешность расчета ее теплового
режима за счет уточнения математического описания теплового
взаимодействия между телами. Такая ситуация возникает,
например, в задаче расчета теплового режима блока на печатных
платах с кондуктивным отводо;м теплоты на охлаждаемое основание
(см. рис. 3.14). Перепадом температуры по толщине плат и по
глубине можно пренебречь на этапе анализа теплового режима
блока, однако температурное поле по высоте плат 1 изменяется
существенно из-за отвода теплоты к основанию 2. Поэтому учет
неравномерности температуры по высоте всех плат позволяет
уточнить описание теплообмена между соседними платами,
торцами плат и основанием 2, платами и корпусом блока 3.
Рассмотрим основные виды тепловых моделей и
соответствующих одномерных уравнений, используемых для описания
теплового режима элементов и хладагентов с учетом их взаимного
теплообмена.
4.1. ТИПОВЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ
И ХЛАДАГЕНТОВ
Стержень с переменным поперечным сечением. Модель
стержня с переменным поперечным сечением, боковая поверхность
которого состоит в теплообмене с другими телами или хладагента-
105

ми, используется при описании теплового режима тел, для
которых можно выделить координату, по которой происходит
преимущественное изменение температурного поля, а также
внутренних и внешних тепловых воздействий. Тепловая модель
«обобщенного стержня» представлена на рис. 4.2. Температурное поле
стержня Т(х, т) равномерно в любом его поперечном сечении,
имеющем площадь S(x), и зависит только от времени и продольной
координаты х. В стержне могут действовать источники теплоты,
распределение которых описывается мощностью, выделяющейся
на единице длины qi{x, т), Вт/м. Боковая поверхность стержня
состоит в теплообмене с N элементами или хладагентами,
имеющими температурные поля Ти ..., TN. Тепловое воздействие я-го
элемента или хладагента может быть локализовано на участке
[хяПу хкп] боковой поверхности стержня, который
характеризуется периметром &п{х) части огибающей поперечного сечения
стержня, участвующей в теплообмене. В дальнейшем мы будем
полагать, что i?n(#)=0 при значениях х, лежащих вне интервала
[хнп, хкп], определяющего границы участка теплообмена по оса
х (рис. 4.2). Для вычисления теплового потока на единицу длины
стержня qn{x9 т), приходящего к его боковой поверхности от я-го
тела или хладагента, могут использоваться разные выражения,
соответствующие различным моделям их взаимного теплообмена.
Достаточно большое число случаев охватывает формула для
дп{х9 т) вида
Яп (х, т) = а, (х, Т, Тп) %п (х) [Ап (Г) - Вп (Тп)]9 D.1)
где Ап(Т), Вп(Тп) — некоторые функционалы от температурных
полей; ап — коэффициент теплоотдачи.
Остановимся на форме записи D.1) более подробно.
Рассмотрим несколько примеров. Начнем с описания конвективного
теплообмена стержня с омывающим его хладагентом, который
движется в направлении оси х и имеет распределение среднерасход-
ной температуры по длине канала U(x). В этом случае тепловой
поток q(xy т) часто записывается через локальную температуру
сте^ржня Т(х> т) и локальную •среднерасходную температуру
хладагента Щх, т) «в сечении х:
q (х, т) = а (х) [Т (х, т) - ?/ (х, т)] X (х), D.2)
т. е. здесь Ап(Т) = Т(х, т); Bn(U) = U(x, т). Кроме того,
встречается и определение теплового потока через локальную
температуру стержня Т(х) и среднерасходную температуру хладагента
на входе в канал ?/@), и тогда
q(x) = a (х) [Т (х) - U @)] X (х). D.3)
Второй пример связан с анализом лучистого теплообмена в
плоскости между двумя линзами и трубой объектива (см. рис.
1.12,а). При простейшей модели лучистого теплообмена
поверхности линз и трубы принимаются серыми, диффузными и
изотермическими с температурами, равными их средним температурам.
106

В этом случае результирующие лучистые тепловые потоки,
рассчитываемые по известным методикам [51], будут выражены
через средние температуры элементов, которые и выступают в
качестве функционалов Ап, Вп:
TJ; ' D.4)
Лучистый коэффициент теплоотдачи ал в выражении D.4)
является достаточно сложной функцией коэффициентов черноты
участвующих в теплообмене поверхностей и угловых коэффициентов
[40, 108].
Отметим, что, несмотря на достаточную общность, формула
D.1) отнюдь не охватывает все практические случаи. Например,
при реализации для рассмотренной полости между линзами и
трубой более точной модели лучистого теплообмена можно
выделить на поверхностях линз и трубы несколько изотермических
областей, приняв их температуры равными средним
температурам соответствующих участков. Тогда тепловой поток qn(x)
будет выражаться через среднюю температуру участка разбиения
стержня, в который попала точка х9 и через средние температуры
участков разбиения остальных элементов. Поэтому формула для
теплового потока будет иметь более сложный по сравнению с
D.1) вид. Более подробно на математическом описании бокового
теплообмена стержней остановимся ниже в § 4.2.
Уравнение для одномерного температурного поля стержня при
использовании соотношения D.1) имеет вид
-Ь, (х) %и (х) [Ап (Т) - Вп (Тп)}9 0<х<1. D.5)
Приведем примеры элементов, для описания теплового
режима которых применяется уравнение D.5).
Наиболее «естественным» является использование модели
стержня для элементов, имеющих протяженность по одной из
декартовых координат, значительно превышающую их размеры по
двум другим координатам, вследствие чего неравжжерность
температурного поля по последним двум координатам невелика. К
таким элементам относятся пилоны, при помощи которых
крепятся малые зеркала в объективах, кабели и жгуты, регулировочные
стержни, кондуктивные теплоотводы и т. д.
При анализе теплового режима элементов в форме тонкостенных
оболочек иногда неравномерностью температурного поля в
поперечном сечении (т. е. по толщине и периметру) можно
пренебречь, а основной интерес представляет распределение
температуры только по продольной координате г (рис. 4.3). Такие оболочки
107

Рис. 4.3. Тонкостенные оболочки различной формы с неравномерным по длине
температурным полем
могут иметь различные формы сечений, показанные на рис.
4.3,а—в, состоять из нескольких частей (рис. 4.3,г). К подобным
элементам относятся трубы объективов, бленды, оболочки
термостатов и криостатов, корпуса приборов и т. д.
Довольно часто встречаются элементы в форме тонких
плоских стенок, у которых можно выделить параллельную
образующим стенку плоскостям ось, вдоль которой происходит основное
изменение температурного поля (рис. 4.4). Примером подобного
элемента является плата, расположенная вертикально в блоке с
естественной вентиляцией, у которой при равномерном
распределении источников теплоты температурное поле существенно
изменяется по высоте из-за нагрева воздуха в каналах между
платами и уменьшения коэффициента теплоотдачи по длине канала.
В оптических системах имеются элементы в форме достаточно
тонких дисков, у которых температурное поле неравномерно в
основном по радиальной координате. В этом случае
используется уравнение для стержня D.5) при S(x)=2nxh. Такую модель
в ряде случаев можно использовать для описания теплового
режима линз и зеркал.
Наконец, весьма распространенными являются элементы в
форме полых цилиндров с произвольным поперечным сечением, у
которых температура изменяется главным образом по периметру
(рис. 4.5). Подобные модели применяются, например, для
описания теплового режима бленд и труб объективов при наличии у
ьих неосесимметричных тепловых воздействий.
Ох
Рис. 4.4. Элемент
конструкции в виде тонкой
плоской стенки
108
Рис. 4.5. Тонкостенные
оболочки с
неравномерным по периметру
температурным полем
Рис. 4.6. Модель
обобщенной криволинейной
стенки

Обобщенная криволинейная стенка и обобщенное одномерное
сплошное тело. Эти модели применяются для описания теплового
режима элементов, у которых температура изменяется
преимущественно по толщине или по мере удаления от центра элемента
к его поверхности. К простейшим из них относятся элементы,
имеющие каноническую форму: плоские стенки с температурным
полем, изменяющимся только по толщине, сплошные или полые
круговые цилиндры и шары с температурным полем, зависящим
только от радиальной координаты. Соответствующие уравнения
имеют вид:
для плоской стенки
для цилиндра
для шара
Для приближенного описания теплового режима оболочек
неканонической формы в {121] предложена специальная тепловая
модель, названная «обобщенной криволинейной стенкой
(оболочкой)». Остановимся на этой модели подробнее.
Рассмотрим замкнутую оболочку, внутренняя и внешняя
поверхности которой с площадями 54 и S2 являются
изотермичными и имеют температуры 7\ и Т2 (рис. 4.6). Внутри оболочки
любая изотермическая поверхность располагается между ее
внешней и внутренней поверхностями и имеет площадь S. Основная
идея предлагаемой методики заключается во введении
зависимости S(p) площади изотермической поверхности S от некоторого
единственного параметра р, называемого обобщенной
координатой. Подчеркнем, что, несмотря на такой «геометрический»
термин, параметр р в общем случае непосредственно не связан с
«обычными» пространственными координатами декартовой или
цилиндрической системы. Он изменяется в диапазоне [О, L],
причем значение р=0 соответствует внутренней поверхности
оболочки, a p=L — внешней поверхности. Величина L называется
определяющим размером геометрической модели объекта
(характерной толщиной криволинейной стенки). Вопрос о выборе
определяющего размера L и зависимости Sip) особо исследуется в
[121].
Поскольку предполагается, что площади изотермических
поверхностей зависят от единственного параметра р, то и
соответствующие этим поверхностям температуры зависят только от
обобщенной координаты р и времени т, и можно рассматривать
одномерное распределение температуры Т(р, т). Подчеркнем, что это
109

распределение вводится не с целью определения
пространственного распределения температуры в реальном элементе, так как
параметр р, как было уже отмечено, обычно не привязан к какой-
либо реальной пространственной координате. Целью
рассмотрения зависимости Г(,р, т) является получение характерных
температур реального объекта: среднеповерхностных ^(т), Т2(х) —
их можно положить равными Г@, т) и T(L, т) соответственно,
среднеобъемной ?V(t), которую можно найти по формуле
Tv W = 4" F(р> т) S (р) d р; V = IS (р>d р' D>9)
к о о
а также максимальной или минимальной температур и
перепада температуры в объекте.
При сделанных допущениях о зависимости площади
изотермических поверхностей от обобщенной координаты одномерное
уравнение для распределения Г(р, т) имеет вид
L- Dл°)
Граничные условия для уравнения D.10) записываются с
учетом того, что тепловые потоки qsi и qs2 с единицы поверхностей
оболочки Si и S2 определяются по формулам:
№1р52в=РЦ1- . D.11)
а р р=о, l
Перейдем к рекомендациям по выбору характерного размера
L и зависимости S(p). Очевидно, что для зависимости S(p)
должны выполняться условия
S @) = Sx; S (L)« S2. D.12)
Кроме того, целесообразно потребовать, чтобы объем
«модельной» криволинейной стенки был бы равен объему реальной
стенки V:
j\S(p)dp = l/. D.13)
о
Условия D.12) и D.13) оставляют достаточно широкие
возможности для выбора зависимости S(p).
Обычно зависимость S((p) представляется в виде полинома
второй степени [121]
S (р) = а + Ъ р + d p2, D-14)
у которого для определения трех коэффициентов а, &, d
используются три условия. D.12), D.13). Отсюда получаются
следующие соотношения:
¦dp2); p = —; D.15)
ПО

Отметим, что для оболочек канонической формы:
цилиндрической, шаровой, а также для плоской стенки — зависимость D.15)
является точной. Для них определяющий размер L совпадает с
реальной толщиной стенки. Для оболочек неканонической
конфигурации определяющий размер L рассчитывается по формуле
L = 2V/(SX + S2) при S2/Sx < 4. - D.16)
Рассмотренный прием перехода к одномерному приближению
для температурного поля можно применять не только для
элементов типа оболочек и стенок, но и для сплошных однородных
тел типа выпуклых многогранников. В этом случае также
вводится обобщенная координата р (рис. 4.7), но, в отличие от
оболочки, значение р=0 считается соответствующим «центральной»
точке реального элемента. Для тел правильной формы, имеющих
оси или плоскости симметрии, центральная точка совпадает с
центром тяжести тела.
Такое одномерное приближение целесообразно применять
только в случае, когда в центральной точке элемента его
температура достигает экстремального значения, а ее изменение
происходит в основном по мере удаления от центральной точки к
поверхности тела. Очевидно, что подобный характер распределения
температурного поля требует наличия соответствующей
симметрии в условиях теплообмена на поверхности реального тела.
Уравнение для одномерного приближения Г(р, т)
температурного поля сплошного тела также имеет вид D.10). Граничное
условие на поверхности (p=L записывается так же, как и для
криволинейной стенки, а граничное условие в центральной точке при
р=0 следует из условия экстремума температуры
dp
= 0.
p=o
D.17)
Для сплошных тел используется аппроксимация зависимости
площади изотермической поверхности от обобщенной координаты
S(p), отличная от D.14). Анализ показал [121], что для них
целесообразно применять аппроксимацию вида
0<p<L, D.18)
где 5 — площадь поверхности реального тела; п —
коэффициент, учитывающий его форму и называемый поэтому фактором
ММ
\
\
\
\
\
\
\V\\\\
5s
X
X
У
У
х
п
Рис. 4.7. Одномерная
модель сплошного тела
V
Рис. 4.8. Канал с потоком хладагента
111

формы тела. Выражение для фактора формы можно найти из
условия сохранения объема модельного и реального тел
n^SL/V-l. D.19)
Для плоской стенки, цилиндра и шара п=0, 1, 2 соответственно.
По выбору определяющего размера L предлагается
несколько рекомендаций. Если реальное тело близко по форме к шару,
цилиндру (при изменении температуры в основном по
радиальной координате), то в качестве определяющего размера
целесообразно взять радиус соответствующего равновеликого по
площади поверхности канонического тела. Равновеликость объема при
этом будет обеспечена выбором фактора формы согласно D.19).
Таким образом, для тел класса шара или цилиндра справедливы
соотношения:
где h — длина тела типа цилиндра.
Для тел, которые плохо вписываются в приближения
канонических форм, определяющий размер L следует вычислять по
формуле
Т = Т~-+Т^' D-21)
** bmin -Чнах
где Lmin, Lmax — минимальное и максимальное расстояния от
центра тела до его поверхности.
Более общий по сравнению с рассмотренными способ
определения L и п описан в [105]. Он основан на приближении
реального тела трехосным эллипсоидом или эллиптическим цилиндром.
Одномерный поток хладагента (теплоносителя). Рассмотрим
поток хладагента, движущийся в канале в направлении х и
омывающий поверхности N тел с температурами Т\>..., TN (рис. 4.8).
При описании «в одномерном приближении теплового .режима
хладагента вводится ереднерасходная в сечении х температура 1){х)
U(x) = ±S
US
и принимается, что тепловой поток между телом и хладагентом
в сечении х может быть выражен через температуру тела, сред-
нерасходную температуру хладагента и соответствующий
коэффициент теплоотдачи. Это допущение позволяет записать
уравнение энергии для распределения среднерасходной температуры
хладагента U (х, т) по длине канала в виде
- I *n(*. U, Tn)?6n(x)[An{U)-Bn(rn))t - D.22)
где G — массовый расход; vx — средняя по сечению канала ско-
112

рость движения жидкости; ап — коэффициент теплоотдачи;
3!п — омываемый периметр я-го тела; Тп — температура
поверхности п-то омываемого тела; Лп, Вп — функционалы, смысл
которых был пояснен при рассмотрении уравнения D.5); qv —
мощность внутренних источников в единице объема жидкости;
S — площадь поперечного сечения канала.
Для газообразных хладагентов при описании нестационарных
процессов, как правило, можно пренебречь в левой части D.22)
локальной производной dU/dx по сравнению с конвективной
производной vxdU/dx.
Математическая одномерная модель теплового режима
устройства представляет собой систему уравнений вида D.5), D.10),
D.22). Кроме того, в эту систему могут входить и обыкновенные
дифференциальные уравнения, соответствующие моделям с
сосредоточенными параметрами для отдельных тел и хладагентов и
описанные в гл. 3. Перейдем к рассмотрению основных видов
моделей тепловых связей между элементами и хладагентами и
математического описания этих связей.
4.2. ОПИСАНИЕ ТЕПЛОВЫХ СВЯЗЕЙ
В ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ
Опыт расчетов по одномерным моделям показал
целесообразность применения графического способа их представления,
который мы будем использовать ниже. Ряд обозначений, применяемых
на графических схемах, будет введен при рассмотрении
соответствующих видов тепловых связей. Поэтому сначала мы
ограничимся лишь общей характеристикой графического способа
представления тепловых моделей.
Объекту с одномерным распределением температуры типа
стержня, оболочки, сплошного тела, потока хладагента на
графической схеме сопоставляется отрезок, который далее
называется ребром. Объекту с равномерным распределением
температуры сопоставляется точка, которая далее называется вершиной.
В начале и в конце ребра также вводятся вершины, которые
соответствуют торцам стержня, внутренней и наружной поверхно-
С1ям оболочки, центральной точке и поверхности сплошного
тела. При составлении математической модели для каждого п-го
ребра записывается одномерное уравнение относительно
искомого распределения температуры по длине ребра Tnv{xn, t), а для
каждой вершины — уравнение теплового баланса, в которое
входит искомая температура вершины Гтв(т). Если рассматриваемая
вершина является началом >или концом ребра, то такое уравнение
теплового баланса получается на основе граничных условий для
соответствующего одномерного уравнения. Заданные
температуры элементов и хладагентов, к которым обычно относятся
температуры окружающей среды, также указываются на графических
схемах. Для них вводятся специальные вершины и ребра с
заданными температурами, на которых указываются обозначения со-
113

ответствующих заданных температур. Отметим, что подобные
графические способы представления одномерных моделей
использовались в ![45, 46] при анализе теплового режима криогенных
систем и в [88, 115,]! применительно к конструкциям летательных
аппаратов.
Перейдем к анализу видов тепловых связей, который
проведем на основе разбора примеров тепловых и математических
моделей ряда устройств.
Подогревной термостат. На рис. 4.9 представлена простейшая широко
используемая схема подогревного термостата: объект термостатирования 3
помещен в камеру 2, изготовленную из высокотеплопроводного материала,
окруженную теплоизоляционной оболочкой /. На камере расположены датчик 4 и
исполнительный элемент термостата — нагреватель 6. Термостат имеет
металлический корпус 5. При построении одномерной модели теплового режима
такого термостата для объекта термостатирования обычно используют модель
обобщенного одномерного сплошного тела, для камеры, датчика и корпуса —
модели тел с равномерным распределением температуры, для тепловой
изоляции — модель обобщенной криволинейной стенки. В простейшей модели
предполагается, что нагреватель имеет идеальную тепловую связь с камерой,
поэтому нагреватель и камера рассматриваются как одно тело с равномерным
температурным полем и их суммарной теплоемкостью. Так как перепад
температуры в тепловой изоляции существенно превышает перепад температуры
между наружной поверхностью изоляции и корпусом, будем считать тепловой
контакт между корпусом и изоляцией идеальным. При описании теплообмена
между остальными контактирующими элементами будем учитывать контактные
термические сопротивления.
В математическую модель теплового режима термостата входят следующие
уравнения:
для объекта термостатирования (об)
дТоб
соб9об д
~w ~г * "" ' D.23)
для камеры и нагревателя (кам)
dx -" акам об 1Г°б (Lo6> *) — Ткам] +
|@,т)-ГКам] + Рн(т); D.24)
для тепловой изоляции (из)
?цз Риз ~~Z == "^ I I «5Из Я.из "г I» 0 < г < ^из» D • 25)
от оиз or \ or )
для корпуса (к)
-^
-из*
dT ™ ад 5г
D.26)
для датчика (д)
ТГ = °«ам.д (Г«ам - Гд) + 0дср (Гср - Гд), D.27)
114

Рис. 4.9. Тепловая модель
подогревного термостата для электрооптиче-
ского затвора
Гс(г)
Рис. 4.10. Графическая схема модели
подогревного термостата
где qv об(р, т)—распределение источников теплоты в объекте термостатирова-
ния; аКам.об, акам.из, ак.ср, Од.кам, ад.ср — тепловые проводимости между
соответствующими элементами; 7ср — температура окружающей среды;
Рв(ъ)—мощность нагревателя, зависящая от сигнала регулятора. Выражение для
регулирующего воздействия имеет вид
P*W=f(Tn). D.28)
где функция /(Гд) отражает закон регулирования.
Граничные условия для уравнения D.23), описывающего температурное
поле объекта термостатирования, имеют вид
р=0
= 0;
= а
кам.об
D.29)
Для уравнения D.25), описывающего температурное поле изоляции,
внутренней поверхности г=0 задается условие
на
дг
D.30)
а в качестве граничного условия на внешней поверхности выступает уравнение
D.26) для корпуса, в которое входят производная дТиз/дг\гх=ь^у Тк(т) =
= 7^3 (?из, т); dTK/dx. Систему уравнений D.23) —D.28) с граничными
условиями D.29), D.30) необходимо решать при соответствующих начальных
распределениях температур.
На рис. 4.10 представлено графическое изображение описанной тепловой
модели подогревного термостата. Объекту термостатирования и тепловой
изоляции соответствуют ребра / и //; номера ребер мы будем обозначать
римскими цифрами, чтобы отличать от номеров вершин. Вершины /, 2У 4, 5
соответствуют концам ребер с температурами ГОб@, т), ГОб(?об, т), 71из@,1т), Тц3(ЬИЗу т),
причем вершина 5 отображает также корпус с сосредоточенной теплоемкостью,
так как из-за идеальной тепловой связи корпуса с наружной поверхностью
изоляции Гиз(?из, т) = Гк(т.). Камера и датчик представлены вершинами 3 и 6, а
окружающая среда — вершиной 7 с известной температурой rcp(t). Стрелками
с двумя концами ««->» на схеме обозначены тепловые взаимодействия между
двумя изотермическими поверхностями, которые в математической модели
задаются с помощью тепловых проводимостеи <r<j в уравнениях теплового
баланса для вершин — тел с сосредоточенными параметрами и в граничных условиях
для концов ребер.
115

Отличительной особенностью тепловых связей в рассмотренной модели
является то, что теплообмен между объектами описывается через температуры
вершин, т. е. температуры поверхностей стенок и сплошных тел, температуры
элементов с сосредоточенными параметрами. Таким образом, для одномерных
элементов имеет место только «концевое» тепловое взаимодействие, которое
математически описывается с помощью граничных условий третьего рода или
условий сопряжения с идеальной тепловой связью.
В основе тепловой модели подогревного термостата лежит «разомкнутая»
цепь одномерных элементов и элементов с сосредоточенными параметрами,
которой в математической модели соответствует разомкнутая цепь одномерных
уравнений теплопроводности и обыкновенных дифференциальных уравлений.
Причем в тепловой модели сбоку от цепи могут располагаться отдельные
элементы с сосредоточенными параметрами.
Жидкостная проточная система термостатирования. Распространенная
структурная схема жидкостной проточной системы термостатирования, в
которой в качестве исполнительного элемента используется электрический
нагреватель, представлена на рис. 4.11. В системе можно выделить следующие
основные функциональные элементы, существенные для описания ее теплового
режима: объект термостатирования 1, термостатируемый бак с корлусом 2, датчик
3, нагреватель 4, хладагент 6, трубопровод 5.
В математическую модель теплового режима системы термостатирования
входят как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и одномерные
уравнения в частных производных.
Для нахождения одномерного распределения среднерасходной
температуры хладагента, протекающего на различных участках трубопровода,
используется уравнение D.22). Выделим три участка трубопровода: первый
расположен от выходного сечения бака до начала второго участка, на котором
хладагент омывает объект термостатирования, третий — от конца второго до
входного сечения бака. Соответствующие уравнения имеют вид:
00x31 [lJ:4f + IT) =асТ.хл^(Гсх2-^)+ D.32)
L1<x<L2; D.32)
D.33)
где Ui(x, т), Tciiix, т) — одномерные распределения температуры хладагента и
стенки трубопровода на i-м участке; Тоъ(х> т) —.распределение температуры по
длине объекта термостатирования. Для распределений температуры в стенках
и в объекте записываются уравнения для стержня, аналогичные D.5):
CctPctSct———=-—I Летает—TJ— 1
I ЛетаетTJ 1+
+ аст хл S6i (Ut — Гст i) + Щ ср <?/*.cpG\ip — Т'ст ^), i = 1,2,3;
соб Роб *^об 7 —"~7 ' ^об *^об 7 I "f" аоб хл ^об (^2 — Т'об)» D.35)
116

Рис. 4Л1. Тепловая модель
жидкостной проточной
системы термостатирования
Рис. 4.12. Графическая схема модели
жидкостной проточной системы
термостатирования
где ас*.хл, аОбхл— коэффициенты теплоотдачи к хладагенту; а* Ср —
коэффициенты теплоотдачи в окружающую среду с температурой Гср(т).
Температурное поле хладагента в термостатируемом баке принимается
равномерным и описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
dU6
V6
&%
ахл.н (Гн - «/б) • D.36)
где о>хл.к и о*хл-н — тепловые проводимости между хладагентом в баке и
корпусом бака и нагревателем, имеющими равномерные температурные поля Тк(х) и
Ти(г) соответственно. Уравнения теплового баланса для корпуса и
нагревателя имеют вид;
dTR
dx
' = о.
*л.«
хл.н '
- Т*) + а
к.ср
D.37)
D.38)
где (Хк.ср—тепловая проводимость от бака в среду; Рн(т) —мощность
нагревателя, определяемая по соотношению D.28) в зависимости от значения
температуры датчика Гд. Уравнение для датчика записывается аналогично D.27)
д.ср
(^ср — ^д)»
D.39)
где о"д.хл и ад.Ср — тепловые проводимости между датчиком и хладагентом и
окружающей средой.
Рассмотрим граничные условия для одномерных уравнений D.31) — D.35).
Для уравнения D.31) записывается равенство температуры хладагента на
входе в первый участок трубопровода температуре хладагента в баке
1М0, т) = Уб(т), D.40)
а для остальных двух уравнений для хладагента — условия равенства
температур в общих сечениях разных участков трубопровода:
Ux(Llf x) = Ut(L1> т); U2(L2, x) = U3(L2, т). D.41)
117

На общих границах различных участков стенок каналов ставятся условия
сопряжения, соответствующие идеальному тепловому контакту между
участками:
>ст Г
дх
дТ,
ст,
= 1,2.
D.42)
D.43)
В начальном и конечном сечениях стенки трубопровода теплообменом
обычно пренебрегают:
дТст ,
дх
дТс
х=о
дх
= 0.
D.44)
На торцевых поверхностях объекта термостатирования ставятся граничные
условия третьего рода:
дх
дх
=°об.хл
D.45)
D.46)
На рис. 4.12 представлено графическое изображение описанной модели
жидкостной проточной системы термостатирования. Ребро / с вершинами / и ,
2 соответствует объекту термостатирования, ребра //, ///, IV — трем участкам
стенки трубопровода. Наличие у этих ребер общих вершин 4 и 5 отражает
условия сопряжения D.42) и D.43). Вершины 3 и 6, лежащие в концах ребер,
не взаимодействуют с другими вершинами и ребрами, что соответствует
граничным условиям D.44). Ребра У, VI, VII соответствуют трем участкам
потока хладагента. В отличие от ребер — твердых тел они обозначены
прерывистой линией с указанием * стрелкой направления движения хладагента. Общие
вершины 8 и 9 соответствуют общим сечениям соседних участков, а
вершина 7 — хладагенту в баке, имеющему равномерное температурное поле.
Остальные элементы с сосредоточенными параметрами отражены следующими
вершинами: 10 — корпус бака, И—датчик, 12 — нагреватель. Вершина 13
соответствует окружающей среде, температура которой считается заданной; для
удобства обозначения тепловых связей на схеме эта вершина изображена в
нескольких местах. В рассмотренной выше модели подогревного термостата
имело место только «концевое» тепловое взаимодействие ребер. В данной модели
появился новый вид теплового взаимодействия, поскольку ребра,
соответствующие одномерным потокам теплоносителя, взаимодействуют с ребрами,
соответствующими стенкам каналов или объекту термостатирования, не концами, а
полностью по всей длине, т. е. боковой поверхностью стержня. Такое
взаимодействие ребер далее будем называть боковым. На графических схемах оно
будет обозначаться двусторонней стрелкой. Температура окружающей среды
также воздействует на стенки каналов по всей боковой поверхности, что
показано на схеме такой же стрелкой, но уже как взаимодействие ребер и
вершин.
Особенностью рассмотренной математической модели является наличие
замкнутой цепочки одномерных уравнений и обыкновенных дифференциальных
уравнений.
118

Радиоэлектронный аппарат с кондуктивными теплостоками. Рассмотрим
одномерную модель РЭА с теплостоками, функционирующего в условиях вакуума,
конструкция которого была описана в гл. 3 (рис. 4.13). В отличие от
приведенной ранее модели с сосредоточенными параметрами, использующей тепловые
схемы замещения стержней, одномерная модель позволяет провести анализ
нестационарного режима, а также более корректно учесть лучистый теплообмен
между соседними платами и неравномерные распределения источников
теплоты по высоте плат. Поскольку выше достаточно подробно разбирались
одномерные тепловые и математические модели для двух устройств, то в данном
примере не будем приводить полную запись системы уравнений с граничными
условиями, а ограничимся только обсуждением способов описания теплообмена
между элементами конструкции (рис. 4.13) и графического представления
соответствующей модели, приведенного на рис. 4.14.
В предлагаемой модели температурные поля плат считаются одномерными
по высоте плат, и им на схеме соответствуют ребра I, II, III, концы которых
обозначены как вершины с номерами /—6. Температурные поля корпуса и
охлаждаемого основания блока считаются равномерными и отображаются на
схеме вершинами с номерами 7, 8. Вершины 9 и 10 соответствуют
окружающим средам у поверхности корпуса с температурой ГСр i и у основания с
температурой ГсР 2- Между платами происходит лучистый теплообмен. Для его
описания можно применять различные модели, например, использовать
приближение двух плоскостей с температурами, равными средним температурам
плат. Тогда полный лучистый тепловой поток между боковыми поверхностями
соседних плат рассчитывается по формуле
Рл = 5,67- Ю-8 en> „+1 Ф„, „+1 Sn (Т*п - Г„4+1), [D.47)
а плотность теплового потока, используемая в уравнении вида D.5),
считается постоянной по высоте платы, т. е. q=Pn!Sn. В выражении D.47) Тп> Tn+i—
средние температуры соседних плат; 8n,n+i —приведенный коэффициент
черноты; фп,п-и — угловой коэффициент излучения между платами.
В другой модели лучистого теплообмена предполагается, что зазор между
платами достаточно мал по сравнению с их высотой, поэтому локальные лу-
1 /2 г
Рис. 4.13. Тепловая модель блока
РЭА с кондуктивными теплостоками:
/, 2, 3 — платы с теплостоками; 4 —
охлаждаемое основание; 5 — корпус
Рис. 4.14. Графическая схема модели
РЭА с кондуктивными теплостоками
119

чистые тепловые потоки между платами выражаются через температуры точек
соседних плат, лежащих друг напротив друга:
q = 5,67» Ю~8 еп „. j [Г* (х) — ТАп • х (х)], D.48)
где Тп(х), Тп+\(х) — температуры соседних плат на высоте х> отсчитываемой
от основания блока; en,n+i—приведенный коэффициент черноты, определяемый
по формуле для двух бесконечных параллельных плоскостей.
Таким образом, в обоих случаях D.47) и D.48) имеем «боковое»
взаимодействие двух ребер, которое отображено на схеме двусторонней стрелкой, но
может иметь различное математическое описание при вычислении теплового
потока на боковой поверхности в уравнении вида D.5). Боковое
взаимодействие плат с корпусом также может быть описано различными моделями
лучистого теплообмена и отображается на схеме как взаимодействие боковой
поверхности ребер с вершиной 7. Теплообмен торцов плат с охлаждаемым
основанием и с корпусом через узлы крепления показан тепловыми связями
между соответствующими вершинами.
Линзовый объектно. Линзовый объектив, изображенный на 4.16, включает
три линзы 1, 2, 3> помещенные в трубу 4. Внешние поверхности линз /, 3 и
трубы находятся в теплообмене со средами, температуры которых на
дачном этапе расчета считаются заданными. Например, внешняя поверхность
линзы 1 состоит в теплообмене с внешней средой, линзы 3 — с приемным
устройством, трубы —с общим корпусом прибора. Как и в предыдущем
примере, ограничимся только общим обсуждением тепловой модели и ее
графического представления.
Предположим, что тепловые воздействия на объектив обладают угловой
симметрией, что позволяет рассматривать задачу расчета его температурного
поля в осесимметричном варианте. Предположим, что основной интерес
представляет неравномерность температуры для трубы по ее длине, а для линз —
по радиальной координате. При простейшей модели теплового режима,
позволяющей проанализировать эти неравномерности, для линз можно
использовать приближения дисков, а для трубы — тонкой цилиндрической
оболочки. В результате получим систему стержней, графическое представление
которой приведено на рис. 4Л6. Линзам соответствуют ребра /, //, ///, участкам
трубы — ребра IV, V, центральным точкам линз — вершины /, <?, 5, торцам
линз — вершины 2, 4, 6, местам крепления линз к трубе — вершины 7, 8f 9,
Рис. 4.15. Тепловая модель объ- Рис. 4.16. Графическая схема модели
ектива объектива
12,0

средам с заданными температурами 7\.pi(T), jTcp2(t), ГСрз(т)—вершины 10\
11, 12. Труба представлена в виде двух ребер, чтобы отразить тепловую
связь с торцом второй линзы как взаимодействие типа «вершина — вершина».
В представленной модели имеют место боковые взаимодействия между
соседними линзами, линзами и трубой, линзами и средами, трубой и средой, а
также концевые взаимодействия между точками трубы и торцами линз в
местах установки последних. Отметим, что у вершин /, 3, 5 отсутствуют
тепловые взаимодействия, поскольку эти вершины соответствуют центральным
точкам линз, в которых задаются граничные условия осевой симметрии,
выражающиеся в отсутствии радиального теплового потока.
Классификация видов тепловых связей между элементами и
хладагентами. Опираясь на разобранные примеры тепловых и
математических моделей конкретных устройств, дадим общую
характеристику одномерных приближений тепловых (режимов. При
этом для наглядности будем использовать терминологию и
образы их графического представления.
Итак, графическое отображение одномерной модели
теплового режима, включающей различные одномерные объекты и
объекты с сосредоточенными параметрами, представляет собой
совокупность ребер-элементов, ребер-хладагентов, вершин-элементов,
вершин-хладагентов, вершин-сред с заданной температурой,
между которыми имеют место разного вида тепловые
взаимодействия. На рис. 4.17 A—8) приведены основные виды теплового
взаимодействия, которое может происходить между двумя
объектами в одномерной модели. Дадим их краткую характеристику:
1. Тепловая связь между двумя вершинами —
изотермическими областями с температурами 7У*(т) и 7У(т) —
математически описывается следующим выражением для теплового потока
между ними: Рц=ац(Т?—Т;ъ).
2. Идеальная тепловая связь торцов стержней или
поверхностей оболочек отображается на схеме в виде общей вершины
двух ребер с температурными полями Тпр(хп, т) и Т^р{хт, т). В
общем случае в этой изотермической области i с температурой
7V (гг) = 7У> (Ln> т)=ГтР@, т) может действовать источник теп-
Рис. 4.17. Виды тепловых связей
121

лоты и быть сосредоточена теплоемкость С*. Тогда условия
сопряжения на границе двух ребер имеют вид
dT* p
di l
дх
-j-/
xn=Ln
дх
3. Тепловая связь между вершиной — концом ребра с
температурой Tnv(Lnj т) и любой другой вершиной с температурой
Тгъ(х) соответствует граничному условию вида
дхп
4. Теплообмен между боковыми поверхностями стержней
описывается путем задания выражения для плотности теплового
потока q в уравнениях типа D.5). Конкретный вид этих
выражений, как было показано выше на примерах, может быть
различным.
5. Теплообмен между боковой поверхностью стержня,
соответствующего стенке канала, и потоком теплоносителя описывается,
как правило, выражениями D.2) или D.3).
6. Тепловая связь между ребром и вершиной отражает
теплообмен боковой поверхности стержня с изотермической
областью. При этом в уравнении вида D.5) для стержня плотность
теплового потока записывается в виде q=&9? (Тп*\х, т)—Ггв(т)),
где Tnv(xf т) — локальная температура стержня; а, 2? —
коэффициент теплоотдачи и периметр, а в уравнении теплового
баланса для вершины тепловой поток Рп,и приходящий от боковой
поверхности ребра, рассчитывается по формуле
п
J agdx
о
где Tnv — средняя температура ребра; <тп,г — тепловая
проводимость между боковой поверхностью ребра и вершиной.
7. Переход хладагента из одного канала в другой
отображается на схеме в виде вершины, которая является концом одного
ребра — хладагента — и началом другого, а в математической
модели этому соответствует условие Unv(Ln, t)=?/wp@, т). Если в
одной вершине происходит смешение нескольких потоков
хладагента, то температура ?Лв(т), соответствующая температуре
образовавшегося на выходе из вершины потока, рассчитывается по
формуле U} (т) = S Gn Upn (Ln, т) / SG п.
п I п
8. Вход в вершину, являющуюся началом ребра, хладагента
из вершины, соответствующей среде с заданной температурой,
будем обозначать на схемах односторонней стрелкой.
122

Отметим, что во взаимодействиях, обозначенных на рис. 4.17
номерами 1У 3, 6, в качестве одной из вершин может выступать
элемент, хладагент или среда с заданной температурой.
На рис. 4.18 показана вершина-элемент с сосредоточенными
параметрами ?, участвующая во всех возможных тепловых
взаимодействиях. Для общего случая уравнение теплового баланса
для вершины записывается в виде
d% дхп
/ m
где индексы суммирования имеют следующий смысл: j —
вершины (элементы, хладагенты и среды), имеющие связь с данной
вершиной ц п — ребра, примыкающие к данной вершине; т —
ребра, взаимодействующие боковой поверхностью с данной вершиной.
На рис. 4.19 показан общий случай теплового
взаимодействия вершины-хладагента /, в которую втекает хладагент по
ребрам и из сред с заданной температурой и которая находится в
теплообмене с вершинами и ребрами, соответствующими
твердым телам. Для такой вершины уравнение теплового баланса
имеет вид
l -UJ), D.50)
/ i m
где индексом п обозначены температуры хладагента, втекающего
по примыкающим ребрам, индексом } — температуры хладагента,
втекающего из вершин, а индексы i и m указывают находящиеся
в тепловой связи вершины и боковые поверхности ребер
аналогично таким же обозначениям в D.49).
Выбор методики расчета теплового режима на основе
одномерной модели и ее программная реализация зависят от
конфигурации одномерной модели и характера тепловых связей. При
этом, как показывает практика, во многих случаях
нецелесообразно ориентироваться на модель общего вида с произвольными
конфигурацией и тепловыми связями. Более адекватным являет-
0TiO Or
Рис. 4.18. Вершина-элемент, участву- Рис. 4.19. Вершина-хладагент, участ-
ющая в различных возможных вующая в различных возможных
взаимодействиях взаимодействиях
123

ся подход, при котором для определенного вида технических
устройств выделяется класс характерных для них конфигураций
одномерных моделей и описаний тепловых связей.
Далее рассмотрение методов математической реализации
одномерных моделей будет проводиться последовательно в порядке
усложнения их конфигурации и тепловых связей.
4.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Область применения аналитических методов расчета
температурных полей по одномерным моделям в основном ограничивается
решением отдельных линейных уравнений D.5), D.10), D.22) и
некоторых простейших систем стационарных уравнений. Тем не
менее на этапе оценочных расчетов перепадов температур во
многих элементах приборов точные и приближенные аналитические
решения одномерных задач играют важную роль.
В данном разделе приведены некоторые простые
аналитические решения, описывающие стационарные температурные поля
оболочек, стержней, дисков, каналов с протекающим теплоносите-
лем. Эти решения, как показывает опыт авторов, весьма часто
приходится применять в инженерной практике при оценке
распределений температуры в элементах приборов различных
классов, что иллюстрируется приведенными ниже примерами. Кроме
того, дана краткая сводка сведений о точных и приближенных
методах решения одномерных нестационарных задач, изложенных
в литературе по теории теплопроводности.
Стационарное распределение температуры в сплошном теле.
Решение соответствующего D.10) стационарного уравнения
(дТ/дт=0) для сплошного тела при S(p)=S(p/L)n
dp \ \ L ) dp
может быть найдено путем двукратного интегрирования и
записано в виде
D.51)
Две постоянные интегрирования, появляющиеся при записи
выражений для неопределенных интегралов в D.51), находятся
из граничных условий.
Для однородного сплошного тела с равномерно
распределенной мощностью Цу и постоянной теплопроводностью \к, на
поверхности которого происходит теплообмен со средой по закону
Ньютона и действует поверхностный источник qs, стационарное
распределение температуры Т(\р) описывается следующей
параболической зависимостью:
124

При я=0, 1, 2 формула D.52) дает точное решение для
плоской стенки толщиной 2L с симметричным температурным полем,
сплошных цилиндра и шара радиусом L соответственно.
Приведем пример оценки перепада температуры в сплошном
теле с внутренним источником, иллюстрирующий переход от
реальной геометрии к обобщенной одномерной модели.
Пример 4.L Нелинейный элемент имеет форму параллелепипеда с
размерами а=1 см, 6 = 1,5 см, с=4 см. Требуется найти перепад
температуры между центром и поверхностью при действии равномерно
распределенного внутреннего источника с qv — 4-104 Вт/м3. Теплопроводность кристалла
Х=1 Вт/(м-К).
Поскольку отвод теплоты осуществляется в основном с четырех граней,
контактирующих с камерой термостата (см. рис. 7.15), основная
неравномерность температуры наблюдается в поперечном сечении (аХЬ) от центра к
периферии. Поэтому отнесем элемент к телам класса длинных цилиндров и
вычислим определяющий размер по формуле
I/
/— =
2пс 2пс
Из соотношения D.19) найдем фактор формы п
« = 1 = 1 = 1,67.
V abc
Перепад температуры между центром р = 0 и поверхностью p = L
элемента определим из формулы D.52):
ДГ - Т @) - Т (L) = 2Х(п+\) = °'48/С-
Как отмечалось выше, вопрос выбора определяющего размера решается
неоднозначно. Например, размер L можно вычислить из формулы D.21), в
которой ?min = a/2 и Lmax= (а2+Ь2)У2/2 — минимальное и максимальное
расстояния от центра элемента до охлаждаемой поверхности в его поперечном
сечении. Тогда получим ? = 2Lmin?max/(?min+?max)==6,4-10-3 м, фактор
формы п== 1,13 и перепад температуры ДГ=0,39 К.
Решение двумерной задачи для прямоугольной области aXb с
граничными условиями первого рода на всех сторонах дает значение перепада
температуры между центром и границей ДГ=0,4 К.
Стационарные поля оболочек. Для оболочек в форме плоской
стенки (п) толщиной L, цилиндрической (ц) и шаровой (ш)
стенок с радиусами i?i, R2 при равномерном распределении
мощности внутренних источников qv стационарные распределения
температуры описываются следующими зависимостями [108]:
, 0<x<L; D.53)
Тц(г)= fa- + С1ц1пг + С2ц, R}<r<R2; D.54)
Тш(г)= ^-H-^L + Ca,, Я,<г<Я2. D.55)
125

Постоянные Си С2 находятся из граничных условий. Например,
их можно выразить через температуры Ти Т2 граничных
поверхностей оболочки:
[т2 - Tt+-g:
= [т2 -
! -
Как мы увидим далее, такое представление постоянных в
виде линейной комбинации температур границ оказывается весьма
удобным при построении решений для моделей, включающих
несколько взаимодействующих одномерных объектов.
Для модели обобщенной криволинейной стенки, описываемой
уравнением D.10), в котором площадь изотермической
поверхности 5(р) задается зависимостью iD.14), также можно
построить точные- аналитические выражения Т(р), но эти выражения
будут, иметь очень громоздкий вид. Поэтому предложено
распределение температуры в криволинейной стенке представлять с
помощью следующей приближенной зависимости [121]:
\ 0<p<L,
а коэффициенты Си С2, С3 находить из системы трех
алгебраических уравнений, включающей ,дв.а граничных условия на
поверхностях оболочки р=0 и p=L и интегральное уравнение
теплового баланса, которое для стационарного режима имеет вид
dT
d9
XS(L) dT
P=o dp
p=L
Выражения для коэффициентов Си C2i Сз при различных
граничных условиях приведены в A21].
При расчете стационарного теплового режима систем тел,
включающих оболочки различной конфигурации без внутренних
источников теплоты, часто представляют интерес не
температурные поля в оболочках, а лишь их полные тепловые сопротивления
Для оболочек трех простейших форм тепловые
сопротивления рассчитываются по известным формулам:
*"-iH*»=i^ftat; ^-srli-k} D-56)
126

Для расчета теплового сопротивления криволинейных стенок
в [121] приводится довольно громоздкая зависимость,
полученная на основе параболической аппроксимации температурного
поля, а также рекомендуются еще две простые оценочные
зависимости:
D.57)
р_ L
25, S2
D.58)
При расчете определяющего размера L (толщины оболочки)
по формуле L=2Vf(Si+S2), рекомендуемой для оболочек с
отношением S2/Si<4, эти формулы принимают вид
z D'59)
n J
iS2). D.60)
Приведенные формулы могут быть успешно использованы для
оценки тепловых сопротивлений оболочек типа «многогранник в
многограннике», «труба в многограннике» и т. п.
Пример 4.2. Камера термостата в виде длинного цилиндра радиусом
Гц = 5 см окружена тепловой изоляцией с теплопроводностью ^=0,1 Вт/(м-К)
и помещена в корпус квадратного сечения со стороной а=20 см (рис. 4.20).
Требуется найти тепловое сопротивление изоляции R, приходящееся на
единицу длины цилиндрической камеры.
Для использования соотношений D.59), D.60) найдем параметры модели
криволинейной стенки, учитывая, что в двумерной области площади Si, S2
будут иметь смысл периметров, а объем V — площади поперечного сечения:
Si = 2n/"q = 0,31 м; S2=:4a=0,8 м (выполняется условие Ss/Si<4); V=a2—
—яг2ц=0,032 м2; L=2V7(Si+S2)=0,057 м. Тогда, используя для вычисления
R формулу D.59), получаем /?=1,03 К-м/Вт. Расчет
по формуле D.60) дает значение #=1,28 К-м/Вт.
В справочнике [1112] приведена формула для
расчета теплового сопротивления оболочки типа «круг в
квадрате», полученная путем точного решения
двумерной задачи:
1
In
= 1,21 К-м/Вт.
Таким образом, приведенный пример подтверждает,
что универсальные формулы D.59), D.60) вполне
пригодны для оценочных расчетов тепловых сопротивлений
стенок сложной конфигурации.
Рис. 4.20.
Теплоизоляционная оболочка
термостата
127

Стационарные поля стержней. Рассмотрим сначала стержень
постоянного поперечного сечения, на боковой поверхности
которого происходит теплообмен со средой, описываемый законом
Ньютона при а=const. Общее решение стационарного уравнения
^ - б2 [Т - 7ср (х)] + qv (х)!Х = 0; V = -Ц. D.61)
с переменными по длине стержня воздействиями Гер (я) и qv(x)
записывается в виде [59]
/(*V7*} dx~
Dб2)
Г \Х)
где W(x) =-qv(x)frr-b*Tcp{x); F(x) =fi (x) ft (x) -ft (*)/*(*).
a fi{x), U{x)—фундаментальная система решений
соответствующего однородного уравнения, в качестве которой можно
выбрать одну из двух пар функций: /i = exp(&A:), /г=ехр(—Ьх) или
/i=sh Ьх, f 2=ch Ьх.
Некоторые соотношения для расчета температурного поля
стержня постоянного сечения были приведены выше в гл. 3 при
рассмотрении тепловых схем замещения стержней. Поскольку
модель стержня часто применяется при оценках теплового
режима различных элементов приборов, приведем еще ряд простых
формул, которые будут использованы в последующих разделах.
Распределение температуры по длине стержня без внутренних
источников теплоты при известных температурах торцов 7|x==o=
— Го и T\x=i=Ti имеет вид
sh Ы sh Ы
D-63)
здесь и в последующих формулах 10=(Г—Гср) — перегрев над
постоянной температурой среды Гср=const.
Температурное поле стержня без источников, на торце #=0
которого задан перегрев Фо, а торец х—1 теплоизолирован,
рассчитывается по формуле
а тепловой поток Р, входящий при этом в торец х=0 и
рассеиваемый с боковой поверхности, цавен
Р = Ъ0% Sb th (W) = *<УЯ Sa X th (Ы). D.65)
Для полуограниченного стержня (/->оо) решение упрощается
и принимает вид
O(*) = O0exp(-fcc), P = WkSa%. . D.66)
128

Распределение температуры в стержне с равномерно
распределенным источником при теплоизолированном торце х=0 и
заданном перегреве fy на торце х=1 описывается зависимостью
. ch bx qwS I ch bx
Кроме стержня постоянного сечения достаточно удобные для
анализа решения позволяет получить модель стержня с
переменным сечением S(x)=axf описывающая, например, температурное
поле диска или тонкостенной оболочки с конической поверхностью
(см. рис. 4.3,6,г).
Стационарное уравнение теплопроводности для диска имеет
вид . . ,Л..*«а«ЯГ
4!L ?»y+-S--0. D-68)
где Ь2=(а/+а//)/(АЛ); 6 — толщина диска; а', а" —
коэффициенты теплоотдачи на двух сторонах диска.
Общее решение уравнения D.68) может быть найдено по
формуле D.62), но фундаментальными решениями соответствующего
однородного уравнения в данном случае являются
модифицированные функции Бесселя первого /o(br) и второго /Со (Ьг) рода
нулевого порядка [59]. Значения функций Бесселя табулированы
и приведены в справочной литературе, например в '[112],
Приведем несколько частных решений для часто
встречающихся на практике задач. Для круглого ребра без внутренних
источников теплоты при заданном перегреве Фо на внутреннем
радиусе Ri и теплоизолированном торце r=R2 решение имеет вид
Кг (bR2) /о (W?!) + h (bR2) /Со
а при /?2-^оо это решение переходит в
flW = flotfo(H/*o(W?i). D.70)
Тепловые потоки могут быть найдены с учетом следующих
соотношений: [I0(br)yr=bh(br)\ [Kv(br)]'r=—bKi(br)9 где Iu
Ki — модифицированные функции Бесселя первого порядка.
Распределение температуры в сплошном диске @<г<7?) с
равномерно распределенным источником и заданной
температурой TR на торце r=R имеет вид
Для стержней с переменными по длине коэффициентами
теплоотдачи а(х) или геометрическими параметрами &(х), S(x)
удается построить аналитические решения для некоторых
частных случаев этих функциональных зависимостей, используя
приведенные в справочнике [59] решения обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. Приведем примеры
применения решений для стержней и дисков.
5—65 129

Пример 4.3. Требуется оценить радиальный перепад температуры в
линзе диаметром 2J?=20 см, в которой поглощается тепловой поток с
поверхностной плотностью <7S = 100 Вт/м2. Линза считается диском постоянной
толщины 6=2 см. Предполагается, что торцевая поверхность линзы r=*R
имеет идеальную связь с корпусом, температура которого ?н—/20°С, а
боковые поверхности находятся в лучистом теплообмене с элементами, имеющими
средние температуры fcp = 10oC и f'ep = 25°C, коэффициенты теплоотдачи
равны а'=а"=5 Вт/(м2-К). Теплопроводность линзы А,= 1 Вт/(м-К).
Найдем температуру условной среды ?Ср у боковой поверхности:
'ер = (а' ?р + а" ?р)/(а' + а") = 17,5°С.
Вычислим параметр Ь= [(аЧа//)Дб]1/2=22,4 м-1 и /o(W)=/oB,24) =*
=2,7.
Используя решение D.71) и учитывая, что /0@) = 1, получаем выражение
для температуры в центре линзы:
f. е\ перепад по. радиусу составляет tf(O)—t(R)=4,7° С.
Пример 4.4. На плате установлены несколько рядов микросхем,
занимающих области в виде полос шириной 2/х=2 см и длиной /у = 20 см (рис.
4.21). Расстояние между соседними рядами 2LX = 6 см. Полная мощность
в каждом ряду Р—б Вт. Эффективная теплопроводность платы Я=Ю,8 Вт/
/(м-К), толщина 6 = 2 мм, коэффициент теплоотдачи на каждой из сторон
^=^'=10 Вт/(м2-К). Требуется найти максимальный перегрев платы в
зоне действия источников теплоты.
При решении задачи примем ряд допущений. Заменим ряды микросхем
плоскими источниками размерами 21Х1У с равномерным распределением
мощности <7s = P/B/x/y). Заметим, что во многих реальных задачах это допущение
оказывается неправомерным, так
как следует учитывать тепловое
сопротивление между корпусом и
платой и рассеяние теплоты с
развитой поверхности корпуса и
ножек микросхемы. Такая более
корректная модель будет
рассмотрена в гл. 6. Предположим, что
температурное поле платы
изменяется только в направлении оси
х, так как перепады температуры
по толщине платы малы
вследствие малости Bis = (а'+а")бД,,
а градиент в направлении оси у
отсутствует из-за равномерного
распределения мощности по
высоте ряда и пренебрежимо малых
тепловых потоков с торцов
платы. При одинаковых мощностях
рассеяния в каждом ряду вслед-
0 lx
-L 0
Рис. 4.21. Тепловая модель платы с
микросхемами:
/ — ряд микросхем; 2 — плата
130

ствие симметрии поверхности х—0 и x=±Lx являются
адиабатическими.
Температурное поле принятой модели платы с источником в области 0<
<x<Lx описывается уравнением для стержня D.61), в котором Ь2= (а'Н-
+а")Аб, распределение мощности задано функцией
==[ 4sl6 = p/i2lxh6) ПРИ
{ 0 при lx<x<Lx,
а граничные условия имеют вид
дТ
дх
дТ
дх
= 0.
x=Lx
Воспользуемся для области источника 0<.х<.1х решением D.67), а для
области lx<.x<.Lx — решением D.64):
ch Ьх qs ( ch bx
где через l&i=$(lx) обозначена пока неизвестная температура на границе
источника.
Из условия равенства тепловых потоков на границе областей / и 2
[0i/ii(/a;)='6i/ii(/x)] получим выражение для Фг:
qs thft^
*' - (а' + а") [th Ых + th Ь (Lx - lx)\
Тогда перегрев в центре источника рассчитывается по формуле
D.72)
Для наших исходных данных получим: ^s = 1250 Вт/м2; Ь = 1Ш м~2;
th 6 /ж=0,81; chb/x=l,7; th6(Lx—/х)=0,98 и перегрев в центре источника
равен О@) =43 К.
Стационарное температурное поле в канале с хладагентом.
Распределение среднерасходной температуры U(x) хладагента,
протекающего в канале с температурой стенки Т(х),
описывается уравнением
cpG — = u?(T-U), .0<*</ D.73)
ах
с граничным условием f/l^o—f/o.
Если известны зависимости Т(х) и а(х), то решение можно
найти по формуле [59]:
U(x)~exp[-f(x)]\uo+j^T(x)explf(x)]dx\, D.74)
I о cpg J
X „ /у\ СО
где /(х) = Г ' dx. При 7=const и a=const получим
о cpg
U(x) = T + (U0-*r)exp(-a3ix/cpG).] D.75)
5* 131

Если известна зависимость q(x)=u(T—U) для плотности
теплового потока, передаваемого от стенки в канал, то
распределение среднераеходной температуры хладагента рассчитывается по
формуле
Fj D.76)
cpu о
В частности, при q=const температура хладагента
изменяется по линейному закону
D.77)
а температура стенки Т(х) определяется по формуле
D.78)
Во многих реальных задачах для анализа одномерного
температурного поля элементов, омываемых потоком хладагента,
приходится совместно решать систему двух одномерных уравнений
для стенки канала и для потока жидкости относительно
-искомых функций Т(х) и U(x). Эти уравнения связаны членом
иЗ?(Т—С/), описывающим теплообмен между стенкой и
жидкостью. Приведем решение такой совместной задачи для -модели,
которая описывается уравнением D.73) для хладагента и
следующим уравнением для стенки канала (стержня постоянного
сечения, имеющего теплообмен на боковой поверхности только с
хладагентом)
XS— -a2{T-U) + ql = 0y 0<х<1. D.79)
dx*
Система двух уравнений D.73), D.79) приводится к одному
обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка
относительно функции Т(х). Это уравнение получается путем
дифференцирования D.79) по х и подстановки выражений для dU/dx
из D.73) и (T—U) из D.79):
/ U \ d8T f KS \ d*T . dT
\ a X ) dx3 \ cpG ) dx* dx
cvG
Общее решение Т(х) данного уравнения может быть записано
в виде
Т (х) = Ct ехр (уг xll) + С2 exp (y2 хЦ) + С3 + -J~, D.80)
где Yi,2 - --|-[1Т/1+4/(ЛВ2)]; A = XS!(a?l*); B=aZl/(cpG).
Безразмерные параметры А и В имеют смысл отношений
тепловых проводимостей вдоль стенки (Я5//), между стенкой и
жидкостью (<х<27), и «водяного эквивалента» icvG).
132

Зная Т (х), распределение температуры U(x) можно найти из
уравнения D.79):
V(x)-T{x)-^??--Jj!?. D.81)
Постоянные Си С2, С3 в D.80) определяются из системы трех
алгебраических уравнений, включающей два граничных условия
для уравнения D.79) и условие U@)=Uo для уравнения D.73),
которое можно с учетом D.81) сформулировать
относительно Т (х).
Если теплообмен на торцах стержня отсутствует, то
соответствующее частное решение системы D.73), D.79) имеет вид
B^ + BJT+l+B\^=l-exp(ytlc)——exp(Y2x)]\;
L Yi Y2 JJ
D.82)
{S7+ ЛБ2 [(D - 1) exp (Yl x)-D exp (y2 x) + 1]},
где x=x/l — относительная координата; безразмерные
параметры Л, 5, уи у2 были определены выше в D.80); D= (I—expуг)/
Пример 4.5. Камера проточного криостата (рис. 4.22) имеет форму
цилиндричевкой оболочки диаметром d=0,l м, длиной /=0,б м и толщиной
6=3-10~3 м. От экрана на камеру падает лучистый поток Р=20 Вт,
равномерно распределенный по ее наружной поверхности. Локальные тепловые
потоки по тепловым мостам в местах крепления камеры к наружному
корпусу сейчас не учитываются. На поверхности камеры с равномерным шагом
намотана трубка с внутренним диаметром dTP=4-10-3 м и общей длиной /тр =
=4 м. В трубку поступают пары азота при температуре С7о=80 К с массовым
расходом <7=3-'1О—4 кг/с. Коэффициент теплоотдачи в трубке считается
постоянным по длине и равным а=10 Вт/(м2-К). Удельная теплоемкость
азота ср=1070 Дж/(кг-К).
Теплопроводность материала камеры Я=
=400 Вт/(м-К). Требуется
оценить перепад температуры по
длине камеры, вызванный
нагревом хладагента.
Для использования модели
D.73), D.79) определим
омываемый периметр & как отношение
площади теплоотдающей
поверхности трубки л;?/тр/тр к длине
камеры /.
Вычислим параметры, вхо-
Y//////////77/7777/77/777/.
V///V////////7777/7/////A
X
лзз

я*/тр/тр//=0,1 м; A=kSla&P=l,5; B=*u&lfcPG=l.J56i Yl = 0,351; у2=—1,91;
?=0,33; qi=P/i=40 Вт/,м.
Подставляя в D.82) значения координат дг==О и x=lt найдем перепад
температуры в камере АТ=ТA)— Т@) = 160—157=3 К.
Температура азота на выходе из камеры U(l)=\U0+Р/сPG±=142 К.
Таким образом, несмотря на значительный нагрев хладагента^ перепад
температуры по длине камеры удается выровнить за счет ее высокой
теплопроводности.
Если попользовать допущение о постоянстве температуры стенки, то
можно оценить среднюю температуру камеры по следующему соотношению,
вытекающему из решения D.75):
Модель канала с постоянной плотностью теплового потока D.77), D.78)
в данном примере оказывается совершенно непригодной, так как, несмотря
на равномерное распределение по поверхности камеры падающего потока за
счет кондуктивного переноса вдоль стенки камеры, происходит
перераспределение теплового потока, отдаваемого хладагенту.
Стационарные поля в системах тел. Сначала рассмотрим
системы тел с одномерными полями температур, в которых
теплообмен между телами происходит лишь на граничных поверхностях
оболочек или на торцах стержней, а на боковых поверхностях
стержней задан теплообмен со средами, имеющими известные
температуры. Графическое изображение таких моделей
представляется схемами, в которых ребра имеют только «концевые»
взаимодействия между собой. Примером является рассмотренная в
§ 4.2 модель термостата (см. рис. 4.10). Согласно принципу
суперпозиции стационарное распределение температуры Тпр(х) по
длине каждого из ребер может быть представлено в виде
TPn(x) = Tlfnl(x) + T«.fn2(x) + fns(x), D.83)
где Ггв=ГпР@), Тэв=ТпЩп) —температуры вершин ?и/,
соответствующих концам ребра *=0 и x=ln\ fm(x), fm(x), fnz(x) —
частные решения соответствующеото D.5) или D.10)
стационарного уравнения, описывающего температурное поле я-го ребра.
Частные решения определяются при следующих условиях:
fm{x)—частное решение соответствующего однородного
уравнения при граничных условиях Гпр@) = 1 и Tnp(ln)=0\ fn2(x) —
частное решение соответствующего однородного уравнения при
7пр@)=0 и 7V(i/n) = l; fnz(x)—частное решение
рассматриваемого неоднородного уравнения при однородных граничных
условиях Гпр@) =Тп»Aп) =0.
Нетрудно убедиться, что при таком выборе частных решений
fni, fn2, fnz выражение D.83) действительно является решением
стационарного неоднородного уравнения D.5) или D.10) при
граничных условиях 7У@)=Ггв и Tnp(ln)=TjB. Пример записи
решения одномерного уравнения для стержня в виде D.83) пред-
134 !

ставлен выше формулой D.63). Частные решения находятся
независимо для каждого ребра, так как «боковые» взаимодействия
между ребрами в рассматриваемом случае отсутствуют. Что
касается пока еще неизвестных температур вершин 7V, ГД то их
следует определить так, чтобы удовлетворялись уравнения
теплового баланса для всех вершин, имеющие для рассматриваемого
класса моделей следующий вид:
thCcvk) D.84)
Тепловые потоки по ребрам можно с учетом D.83) выразить
через искомые температуры вершин и производные от уже
найденных частных решений:
Г = К № f'm (*) + Т) fn2 (х) + f* (x)]. D.85)
(XX
Тогда, подставив выражения D.85) для тепловых потоков в
уравнения баланса D.84), получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно температур вершин Г*в, ?=1,...
..., /. Решив эту систему уравнений, можно по формуле D.83)
рассчитать пространственное распределение температуры Tnv(x)
в каждом из ребер. Заметим, что изложенная методика при
достаточно большом числе вершин / не позволяет записать
окончательные выражения для расчета температурных полей в
аналитической форме, так как температуры вершин находятся путем
численного решения системы линейных алгебраических
уравнений. Однако если пренебречь погрешностью решения этой
линейной системы, то полученное решение исходной задачи можно
считать точным.
Более сложной является задача расчета стационарных полей
в моделях с «боковым» взаимодействием ребер. В этом случае
частное решение неоднородного уравнения /пз(я) в выражении
D.83) зависит от неизвестных температур Twp(x) ребер,
взаимодействующих с данным л-м ребром. Поэтому изложенная
методика расчета становится непригодной. Однако если при
определении температуры условной среды у боковой поверхности я-го
ребра допустимо вместо локальных значений Tmv(x)
использовать средние значения fmp температур взаимодействующих с ним
ребер, то возможно применить рассмотренную в 3.2 методику
расчета с помощью тепловых схем замещения стержней. При этом
наряду с температурами вершин 7V8 при формировании системы
алгебраических уравнений в качестве искомых величин
вводятся средние температуры стержней fmp. После определения
температур вершин и средних температур стержней с
использованием точных аналитических решений D.83) рассчитываются
пространственные поля Тпр(х). В случае моделей с «боковым» взаимо-
135

действием ребер, при котором тепловые потоки выражаются
через локальные температуры Тпъ{хп) « Тт^{хт), приходится
применять численные методы.
Нестационарные поля оболочек и сплошных тел. Методы
построения точных и приближенных аналитических решений
нестационарных одномерных задач теплопроводности для одиночных
тел подробно изложены в 'многочисленных монографиях и
учебных пособиях [9, 70, 117]. Поэтому приведем лишь краткую
характеристику этих методов и некоторые сведения, которые могут
служить в качестве «путеводителя» по указанным книгам при
выборе метода решения.
В общем случае нестационарное одномерное температурное
поле одиночной однородной оболочки описывается уравнением
D.10) с граничными условиями третьего рода
JE. + оо., (Г - ?о. i)\ « <7о, /, D.86>
а поле сплошного тела — уравнением D.10) с условием D.86) на
внешней поверхности р=/ и условием симметрии D.17) в
центре тела р=0.
Для построения точных аналитических решений необходима
найти собственные функции фь(р), являющиеся решением
задачи Штурма — Лиувилля [9]:
D.87)
Задача D.87) имеет бесконечное множество нетривиальных
решений фь(р), соответствующих набору положительных
значений \i\, fx2, — , Цку..., которые называются собственными числами
краевой задачи и образуют возрастающую последовательность..
Собственные функции щ(р) и собственные числа \ik для
одномерных задач в декартовой (S=const), цилиндрической (S~p) и
сферической (S~p2) системах координат для различных
сочетаний граничных условий 1, 2 и 3-го родов приведены в книгах по
теории теплопроводности {9, 70, 79].
Точное решение уравнения D.10) с начальным условием
Г(р, О)=Го(|р) при постоянной во времени мощности внутренних
источников flv(p), постоянных температурах сред То, Т\ и
тепловых потоках #о, Цг на границах записывается в следующем виде
[9]:
7(р, т) = Гт(р)+ ?ллехр(-^ат)Ф,(р), D.88)
где Гст(р) — распределение температуры в стационарном
режиме; а=Х/су; Ак — коэффициенты, вычисляемые по формуле
Ak - ) [Гст (р) - То (р)] Ф, (р) d р/|Ыа; ||ф,||2 - J ф>
136

В случае переменных внутренних #r(jp, т) и внешних ^о(т),
?o(ir), <7г(т) тепловых воздействий точное аналитическое ре-
Г( может быть получено с использованием теоремы
- аналитическом решении
постоянными воздействиями заменить
их заданными функциями времени <7v(t),... , qi{%) и выполнить
следующие преобразования:
•* i к*) у qo v*) , hi \t) тепловых воздействия
чтение Г(р, т) может быть получено <
Дюамеля [70]. Для этого необходимо
Гп(р, т, qv, То, Ти ?о, qi) с постоянньну
ат 0
?! С* - ^). ^7о (т - f), 9I (т, т')) d т'. D.89)
Точное аналитическое решение при внутренних и внешних
воздействиях, заданных в виде произвольных функций координат и
времени, может быть также построено с помощью метода
конечных интегральных преобразований [9]. Сущность метода
состоит в том, что к дифференциальному уравнению D.10) и
начальному условию Г|т===о=71о(р) применяют в о-бласти '[/i, h]
интегральное преобразование вида
eft(T) = JT(p, T)q>ft(p)dp D.90)
h
щ получают обыкновенное дифференциальное уравнение первого
щорядка относительно изображения искомой функции б()
с Р
+ Щ Qk = Fk W; 6. @) - J To (p) Ф& (p) d p, D.91)
l
в котором в правую часть Fk(%) входят функции, задающие
внутренние и внешние тепловые воздействия. Например, в случае
граничных условий D.86) Fu(x) имеет вид
pk W = J qv (Р, х) щ (р) d р + <f>k (h) [a0 f0 (т) + <7о (т)] +
D.92)
Определив изображение 0^A;) из задачи D.91)
] D.93)
о су
находят искомое нестационарное распределение температуры
(оригинал) по формуле обращения
. ПР> т)=2 0.(т)фА(р)/1Ы12. D.94)
Заметим, что при неоднородных граничных условиях решение
© виде D.94) может обладать очень медленной сходимостью
вблизи границ из-за того, что собственные функции
удовлетворяют однородным граничным условиям. Для ускорения сходимости
137

рядов вида D.94) целесообразно при построении решения
нестационарной задачи выделять, если это возможно, стационарное или
квазистационарное решение аналогично тому, как это сделано в
выражении D.88).
Эффективным методом решения одномерных нестационарных
задач является применение к дифференциальному уравнению
D.10) и граничным условиям преобразования Лапласа по
временной переменной т [70]
0(р, p) = L[T(p9 т)] = |Г(р, T)exp(-px)dT, D.95)
в результате которого получают обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка относительно изображения 8(р, р)
(«6)
с соответствующими граничными условиями. После нахождения
изображения осуществляют обратный переход в область
оригиналов Г(,р, т), который выполняют с помощью таблиц
преобразований и правил операционного исчисления, приведенных в [70].
Одним из основных достоинств метода преобразования
Лапласа (операционного метода) является возможность получения
приближенных асимптотических решений для малых и больших
моментов, которые значительно проще по структуре, чем точные
решения. Процесс построения таких решений основан на
теоремах операционного исчисления, из которых вытекает, что
бесконечно большим значениям параметра преобразования Лапласа р
соответствуют бесконечно малые значения переменной т, и
наоборот G0]. Поэтому для получения асимптотических решений,
сходящихся к точным при т-^0 или т->оо, проводят упрощение
точного выражения для изображения Э(р, р) при /?->оо или р->0
и получают соответствующие упрощенные выражения для
оригиналов.
Применение операционного метода к задачам
теплопроводности, и в частности построение асимптотических решений,
подробно рассмотрено в [70]. В [117] с помощью операционного метода
получено большое число решений одномерных задач для стенок
и стержней с боковым теплообменом при разнообразных
комбинациях внешних и внутренних тепловых воздействий.
Поскольку точные решения представляются в виде рядов или
несобственных интегралов, а также часто содержат специальные
функции (например, функции Бесселя для задач в
цилиндрической системе координат), то расчеты по ним в большинстве
случаев должны проводиться с помощью ЭВМ. Для проведения
оценочных расчетов очень удобно использовать графические
представления точных решений в виде зависимостей безразмерного
перегрева от относительной координаты p=ip//, числа Фурье Fo =
= ат//2, критериев Био Bi=>a//^, Кирпичева Ki = l/k(TТ)
138

Померанцева Po=qvl20(To—ГСР). Большое число таких
графических зависимостей для одномерных нестационарных задач
приведено в [90].
Для стержней постоянного сечения и дисков с боковым
теплообменом при постоянном коэффициенте теплоотдачи на боковой
поверхности также можно построить точные аналитические
решения нестационарных задач с помощью преобразования Лапласа
или метода конечных интегральных преобразований. В последнем
случае собственные функции выбираются так же, как для
плоской стенки или цилиндра, без учета бокового теплообмена.
Например, нестационарное температурное поле стержня или диска
при постоянных внешних и внутренних тепловых воздействиях
может быть представлено в виде A17]
Tip, т) = Гст(р)+|Лф*(Р)ехр[-(^+^jflT]. D.97)
Структура решения D.97) аналогична структуре решения D.88)
для стенок, но в показатели экспонент входит слагаемое,
учитывающее боковой теплообмен. Некоторые стационарные решения
Тст(р) были приведены выше [см. формулы D.62) — D.71)].
Для рассмотренных в § 4.1 моделей обобщенной
криволинейной стенки и одномерного сплошного тела при произвольных
зависимостях площади изотермической поверхности от координаты
<S(p) точные решения получить не удается. Приближенные
аналитические решения можно построить с помощью предложенной
в [121] методики, которая состоит в следующем. Изображение по
Лапласу в (ip, р) температуры Т(р, т) представляется в виде
полинома второго порядка относительно координаты р, т. е.
навязывается вид профиля поля для изображения
6 (Р, Р) = А (р) + В (р) р + С (р) р2. D.98)
Коэффициенты Л, В, С, зависящие от параметра преобразования
р, определяются так, чтобы аппроксимация D.98) удовлетворяла
двум граничным условиям при p=/i, р=/г и интегральному
уравнению теплового баланса оболочки. В ![121] этот прием
использован для анализа динамических характеристик различных звеньев
термостатов и позволил получить достаточно простые
приближенные выражения передаточных функций.
Методы построения приближенных решений нестационарных
задач, основанные на применении преобразования Лапласа по
Беременной т и последующем приближенном решении краевой
задачи в области изображений, подробно изложены в [116]'.
В ряде случаев нестационарное температурное поле при
нагреве или охлаждении тела может быть с достаточной степенью
точности рассчитано на основе обобщенной теории регулярного
теплового режима, изложенной в [36, 40]. Например, при
нагреве тела внутренними или поверхностными источниками теплоты
в среде с постоянной температурой Гср и при Г|т=о = 71ср при-
139

ближенное выражение для нестационарной температуры По т>
имеет вид ' r r KVi '
Т (р, т) - Гср = (Тст (р) - Гср) [ 1 - ехр (- m т)], D.99)
где Гст(р)—распределение температуры в стационарном
режиме; m — темп нагрева, численно равный темпу охлаждения в
регулярном режиме.
Точное значение темпа охлаждения пг находится на основе
выражения для первого показателя экспоненты в разложениях
внда D.88), D.97), соответствующего собственному числу \х\:
для стенок >и сплошных тел m=ni2ka, для стержней с
боковым теплообменом m= {\x2k+a2'/XS)a. Приближенное значение
темпа охлаждения однородного сплошного тела или
стенки может быть найдено с помощью универсальной
зависимости, связывающей темп m при конечном значении коэффициента
теплоотдачи а на поверхности тела, темп moo при а->-оо и
обобщенный критерий Био Н [40]:
?/ «-«о»
где ЧГ — коэффициент неравномерности, зависящий от критерия
H=uKSfXV [см. формулу C.22)].
Выражение D.99) для перегрева записано в предположении,
что регулярный режим наступает сразу в момент включения
источников, но, несмотря на это, оно часто позволяет рассчитать
нестационарные перегревы на значительном интервале времени
переходного процесса.
4.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Аналитические методы расчета позволяют реализовать лишь
простейшие одномерные модели. По существу удается получить
аналитические выражения обозримого вида лишь для решений
отдельных линейных уравнений вида D.5), D.10), D.22). При
переходе к системам таких уравнений круг задач, для которых
возможно эффективно использовать аналитические методы, еще
более сужается. Применение численных методов позволяет
реализовать одномерные 'модели для систем тел, структура которых
представляет собой -граф произвольной конфигурации с разными
типами тепловых взаимодействий, рассмотренных в § 4.2.
С основами математической теории численных методов
решения уравнений в частных производных — теории разностных
схем — можно ознакомиться, например, по [72, 98]. В [30]
рассмотрены основные понятия теории разностных схем, подробно
изложены методы численного решения одномерных уравнений
вида D.5), D.10), D.22) для отдельных тел и принципы их
программной реализации, приведены тексты программ. Краткое она-
140 :

сание численных методов, применяемых для решения отдельных
уравнений теплопроводности, дано в Приложении 2. Предметом
дальнейшего рассмотрения будут численные методы решения
систем таких\ уравнений, описывающих одномерные модели,
состоящие из нескрльких взаимодействующих элементов.
Построение разностной схемы для системы одномерных
уравнений проводится методом баланса, рассмотренным в
Приложении 2. Разностные уравнения строятся на основе записи
уравнений теплового баланса для всех элементарных объемов,
содержащих внутренние узлы сетки ребра и граничные узлы,
соответствующие вершинам — концам ребра. Для решения систем
нестационарных одномерных уравнений можно применять как явные,
так и неявные схемы. При этом обыкновенные дифференциальные
уравнения для тел с сосредоточенными параметрами
аппроксимируются с помощью явной или неявной схем Эйлера, а вершины,
соответствующие этим телам, рассматриваются как узлы
пространственной сетки.
При использовании явных схем любая искомая температура
на новом временном слое выражается через известные
температуры с предыдущего момента, и поэтому не возникает
специфических трудностей в решении задачи для системы тел по
сравнению с решением уравнения для одиночного тела.
По-иному обстоит дело при применении неявных схем или
решении системы стационарных уравнений. В этих случаях в
системе алгебраических уравнений разностной схемы «связаны» все
искомые значения температур в узлах сетки на ребрах и в
вершинах. Поэтому приходится решать систему уравнений с
разреженной матрицей, вид которой зависит от структуры тепловых
связей между элементами одномерной модели и в общем случае
отличается от трехдиагональной матрицы разностной схемы для
одиночного одномерного уравнения. Непосредственное решение
этой системы уравнений с помощью какого-либо универсального
прямого метода для матриц общего вида неэффективно и
приводит к значительным затратам машинного времени и памяти. Учет
особенностей структуры матрицы, связанных с тем, что для
каждого из тел аппроксимируются одномерные уравнения, позволяет
для различных типов одномерных моделей построить
эффективные алгоритмы решения разностных уравнений. Ниже
рассматриваются такие алгоритмы для одномерных моделей различной
структуры в порядке усложнения конфигурации их графических
схем.
Разомкнутые цепочки ребер-элементов. Начнем с простейшей
одномерной модели системы тел, графическая схема которой
представляет собой разомкнутую цепочку последовательно
соединенных элементов с одномерными или равномерными полями (рис.
4.23), а тепловые связи существуют только между соседними
вершинами. Теплообмен на боковой поверхности стержней может
в рассматриваемом случае происходить только со средами с
заданными температурами. Примером подобных систем являются
141

Рис. 4.23. Разомкнутая/ цепочка
ребер-элементов /
модели систем оболочек термостатов без учета датчика и
локальных связей, которые используют при анализе процесса выхода
термостата в режим. /
Аппроксимация дифференциального уравнения'
теплопроводности во внутренних узлах сетки и граничных условий на
внешних границах «рассмотрена >в Приложении 2. (Приведем пример
записи разностных уравнений для узлов на границах между
элементами в модели термостата D.23) — D.30). Сеточные функции,
соответствующие температурам объекта ТОб(х, т), камеры TK(t)
и изоляции Тиз(х, т), обозначим ^Обп, #к, #изп. Записывая
уравнения теплового баланса для граничного элементарного объема
объекта {ЬОб—(АОб/2), Lo6], камеры и элементарного объема
изоляции [0, Лиз/2] с учетом уравнений D.23) —D.25) и условий
D.29), D.30), получаем следующие разностные уравнения:
^об «->об N ( "об ы ~~ 4>б N— 1)'*с
— сОб Роб °6N,—2^-1 So6N ; D.101)
D.102)
~~ ^из 2/'^из + ак.из ( *из 1 ~~ ^к ) ~
>из1. < D.103)
Дт
Уравнения D.101) — D.103) связывают между собой искомые
температуры объекта, камеры и изоляции: в D.101) входят
неизвестные ^об jv-i, ^jo6iv, ?jk, в D.102) —ttobN, И к, #из1, е D.103) —
^к, ^'из1, #из2- Отсюда вытекает, что при сквозной нумерации всех
искомых температур вдоль цепочки ребер и вершин общая
система конечно-разностных уравнений имеет трехдиагональную
матрицу. Поэтому для решения такой системы можно
использовать алгоритм прогонки, изложенный в Приложении 2. Однако
при этом необходимо учитывать следующую особенность. На
практике часто встречается ситуация, когда коэффициенты taeSoe/Aoe,
Ок.об, сгк.из, Яиз5из/Аиз различаются на несколько порядков. Это
обстоятельство, как показывают теоретический анализ и
результаты численных расчетов [98], приводит к существенным
погрешностям в определении неизвестных температур, вызванным
ошибками округления при выполнении арифметических операций на
ЭВМ. Значительные трудности возникают и при вычислении
тепловых потоков по температурам соседних узлов, различающихся
на малые величины. Иногда потери точности удается избежать
путем организации вычислений с двойной точностью. Более об-
142

щим приемом является применение специальной модификации
алгоритма чпрогонки, которая называется потоковой прогонкой
(потоковым вариантом метода прогонки).
Идея по\гоковой прогонки заключается в построении системы
конечно-разностных уравнений относительно разностных
аналогов тепловых\потоков qn между элементарными объемами, с
температурами tn\tt tn+u определении из этой системы значений qn
и поеледующемх расчете неизвестных температур. Для применения
метода потоковой прогонки система разностных уравнений (П2.29)
записывается в в^де
- (ап + <_х + еп) tn + an_x f n_x + dn = 0, л = 2,... JV - 1;
D.104)
— (a^_i + eN)tN + a//_i tN-\ +dN = 0.
Анализируя структуру разностных уравнений, получаемых при
аппроксимации одномерных уравнений теплопроводности методом
баланса, например (П2.25) — (П2.27) или D.101) —D.103),
нетрудно убедиться, что такая форма записи всегда возможна, а
коэффициенты ап имеют смысл тепловых проводимостей между
элементарными объемами с температурами tn+i и tn.
Введем новую сеточную функцию qn=an\tn—tn+i),
представляющую собой разностный аналог теплового потока между
элементарными объемами. Введение такой дополнительной искомой
функции- позволяет построить новые .рекуррентные формулы для
вычисления qn и tn, которые получаются в результате
преобразования формул «обычной» прогонки и дают возможность
проводить расчеты при сильном различии коэффициентов ап без
потери точности. Приведем эти формулы без вывода, с которым
можно ознакомиться в [99]. Прямой ход прогонки состоит в
последовательном вычислении коэффициентов рп и гп (я=1,...
..., N—1) по формулам:
Px=aieil(ai + ei); r{ =ax d\l{a{ + ex);
Рп = <*п (еп + Рп-\Ж*п + еп + Рп-\); D-105)
rn = an (dn + rn-i)/(an + en + />n_i), n - 2, ... , Л^ - 1.
Затем вычисляются температура tN в последнем
элементарном объеме и тепловой поток qN-i через его границу:
qN-\ == (rjv-i eN - dN pN-i)/(pN-i + eN ), D.106)
а далее в обратном порядке рассчитываются температуры tn и
тепловые потоки qn в остальных узлах сетки:
Рп л , , I gn+i/"n — dn+iPn „_лг_9 1.
~Г ; , « —iV
+ е
п — ¦ fn+l Г ;
Рп-1 + Сп Рп-1 + еп

Замкнутые цепочки ребер-элементов. Перейдем
к рассмотрению метода решения системьг
одномерных уравнений для модели, графическая схема
которой представляет собой замкнутую/цепочку
ребер без бокового взаимодействия -между собой
(рис. 4.24). Такие модели применяются, например,
при анализе распределения температуры по пери-
Рис 4 24 Зам- метРУ замкнутых оболочек, показанных на рис. 4.5,
кнутая".цепочка при отсутствии лучистого теплообмена между внут-
ребер-злементов ренними поверхностями. В разностное уравнение
для любого элементарного объ^ка в этом случае
входят температуры соседних двух объемов, поэтому в общем виде
систему разностных уравнений можно записать следующим
образом:
0; D.108)
4==0, n^2, ... 9N-l; D.109)
+cNtN-.x+dN =0. D.110)
Эта система отличается от системы (П2.29) с трехдиагональ-
ной матрицей присутствием неизвестной температуры tN в
первом уравнении D.108) и t\ в последнем уравнении D.110). Для
решения систем вида D.108) — D.110) используется специальная
модификация алгоритма прогонки, называемая циклической
прогонкой ![99]. ^?\
Остановимся подробнее на построении алгоритма
циклической прогонки, поскольку аналогичные приемы будут
использованы далее при решении систем одномерных уравнений для
моделей с более сложной структурой. Идея циклической прогонки
заключается в том, что искомое решение {tn}Nn=i строится на
основе решений ?ь ..., iN-i и tit..., ?jv-i двух систем уравнений,
каждая из которых решается с помощью алгоритма обычной
прогонки. Искомые неизвестные tu ..., tN-\ находятся по формуле
«-1,.^-1, ^ D.111)
где tN — температура в N-м узле; in — решение системы (N—1)
уравнений, получающейся из D.108), D.109) при tN=0; 1n —
решение системы (i/V—1) уравнений получающейся из D.108),
D.109) при ^v=l и нулевых свободных членах dn=0, n=l,...
Нетрудно убедиться, что определенные по соотношению D.111)
температуры tn будут удовлетворять уравнениям D.108), D.109)
исходной системы. Неизвестную температуру frv следует
определить из условия выполнения уравнения D.110), которое не было
«задействовано» при нахождении решений in и 1п
вспомогательных систем. Подставив U и tN-i из D.111) в D.110), получим фор-
'мулу для вычисления frv:
+ cN tN_x
144

Таким образом, при реализации циклической прогонки
сначала при помощи двух «обычных» прогонок определяются
вспомогательные решения in, tn (л=1,..., N—l), затем вычисляется tN
по формуле D.112) и, наконец, рассчитываются остальные
искомые температуры tn при помощи соотношения D.111).
Конфигурации ребер-элементов типа «дерево». Рассмотрим
сначала цепочку |>ебер-элементов, одна или несколько вершин
которых имеют тепловую связь с отдельными вершинами, не
входящими в цепочку\(рис. 4.25). Примером ьтакой системы
является описанная в § \.2 модель термостата с датчиком (см. рис.
4.10). Непосредственно применить метод прогонки для расчета
температур ребер в данном случае не удается из-за того, что в
уравнение для вершины 2 входят, кроме температур вершин /
и 3, неизвестная температура вершины 4. Вершина 5
соответствует заданной температуре окружающей среды rCp(t). Однако
если выразить из уравнения для вершины 4 неизвестную
температуру /в4 через tB2 и заданную температуру ?в5=Гср(т), а затем
подставить это выражение в уравнение для вершины 2, то
получим трехточечное разностное уравнение с искомыми
температурами tBu t% tBs, и, следовательно, окажется возможным
применение метода прогонки для решения всей системы уравнений.
Этот достаточно очевидный прием исключения неизвестных, не
входящих в «основную» цепочку, можно обобщить на более
сложный случай систем ребер типа «дерево». Такие системы
представляют собой разомкнутую или замкнутую цепочку одномерных
элементов и элементов с сосредоточенными параметрами, отдельные
вершины которой имеют тепловые связи с вершинами ребер, не
входящих в основную цепочку и не взаимодействующих между
собой (рис. 4.26). При расчете температур в подобных системах
по неявной схеме целесообразно применять прием,
заключающийся в исключении из общей конечно-разностной схемы
неизвестных температур отдельно расположенных ребер («ветвей дерева»).
Получающаяся после этого система уравнений решается методом
прогонки.
Поясним методику реализации этого приема на примере
участка одномерной модели, представленного на рис. 4.26. Ребра
I и II принадлежат основной цепочке, ребро /// является ветвью,
свободный конец которой находится в теплообмене со средой. Ес-
Рис. 4.25. Цепочка ребер-элементов,
взаимодействующих с отдельными
вершинами
Рис. 4.26. Графическая схема
одномерной модели типа «дерево»
145

ли реализовать процедуру прямого хода прогонки для ребра ///
по направлению от «свободной» вершины 4 к вершин^ 5, то
можно получить разностное уравнение, в которое будут/входить
только температуры взаимодействующих вершин tBu tfa ^вз. Выразив
температуру */вз через tB\ и ,/в2 и подставив это выражение в
уравнения для вершин 1 и 2, получим систему разностных уравнений,
которая содержит только неизвестные основному цепочки и может
быть решена методом прогонки. После реализации прогонки по
основной цепочке находится температура ?вэ, и/далее по
рекуррентным формулам обратного хода прогонки для/ребра ///
рассчитываются остальные температуры всего ребра. /
|Мы рассмотрели методики численного расчета для
нескольких частных конфигураций 'моделей. На основе изложенных
приемов можно конструировать алгоритмы расчета и для других
встречающихся на практике систем, т. е. если выделен класс
приборов и определен соответствующий ему класс конфигураций
одномерных моделей, то можно подобрать для этого класса
специальный эффективный численный алгоритм. Такой путь
целесообразен, например, для подогревных термостатов [24],
жидкостных проточных систем термостатирования и др. Однако актуален
и подход, при котором разрабатывается универсальный алгоритм,
ориентированный на расчет систем с достаточно сложной
конфигурацией при произвольной структуре тепловых связей между
элементами.
Граф произвольной структуры без «бокового» взаимодействия
ребер. Рассмотрим одномерную модель, состоящую из / ребер-
элементов и М вершин, в которой «боковые» взаимодействия
ребер отсутствуют, а структура тепловых связей между вершинами
(элементами с сосредоточенными параметрами и концами ребер)
может быть произвольной (рис. 4.27). Экономичный метод
численного решения системы одномерных уравнений
теплопроводности, заданных на графе произвольной конфигурации предложен
в i[113]. Этот метод использован и в [115] при расчете
температурных полей в конструкциях летательных аппаратов.
Сущность метода состоит -в том, что в результате выполнения
прямого хода прогонки в обоих направлениях для каждого из /
ребер удается преобразовать разностные уравнения для вершин
так, что в них входят только температуры вершин-элементов и
вершин-концов ребер, взаимодействующих с данной вершиной. В
результате получается система алгебраических уравнений,
которая содержит только искомые температуры вершин и имеет
размерность значительно меньшую, чем исходная система разностных
уравнений для всех узлов сетки графа. После определения тем-
Рис. 4.27. Графическая схема одномерной
модели общего вида без бокового взаимодействия
ребер

ператур вершин рассчитываются на основе формул метода
прогонки температуры остальных узлов сетки для каждого ребра в
отдельности. Яёцо, что применение такого метода существенно
снижает (для реальных задач на один-два порядка) затраты
машинного времени и памяти по сравнению с непосредственным
решением всей системы разностных уравнений каким-либо
универсальным прямым методом.
Поясним подробнее процедуру получения системы
алгебраических уравнений относительно температур вершин. Эту
процедуру можно построить с помощью способа, аналогичного
рассмотренному в § 4.3 для расчета стационарных одномерных полей в
системе стержней с «концевым» взаимодействием [см. формулы
D.83) — D.85)J. Представим разностное решение tn в узлах
некоторого ребра в следующем виде:
D-113)
где U, tN — искомые температуры в первом и последнем узлах
ребра, соответствующих ограничивающим его вершинам; fnA), fnB),
/nC) — сеточные функции, которые находятся независимо для
каждого ребра методом прогонки при равных нулю или единице
значениях в граничных узлах данного ребра. Эти функции
определяют решением следующих систем разностных уравнений:
^J^^O; /<з> = 1 ; n = 2, ... , N- 1,
где аПу bn, сПу dn — коэффициенты системы разностных
уравнений вида (П2.29), аппроксимирующей уравнение
теплопроводности для рассматриваемого ребра.
Используя представление разностного решения tn в виде
D.113), можно выразить сеточные аналоги тепловых потоков на
границах ребра через искомые температуры вершин t\ и tN и
известные функции /пA), /nB), fnC). Например, для потока на
границе л:=0 получим
дх х=о h 'z
Тогда, подставив подобные выражения для тепловых потоков
в разностные уравнения теплового баланса для вершин,
аппроксимирующие D.49), получим систему алгебраических уравнений
относительно темшератур вершин. Решив эту систему и
определив температуры U и tN на концах всех ребер, можно согласно
D.113) рассчитать температуры tn во всех внутренних точках.
Системы ребер-элементов, взаимодействующих с
ребрами-хладагентами. Перейдем к рассмотрению моделей, в которых
учитывается 'боковой теплообмен тел с одномерным полем с
протекающим потоком хладагента, т. е. совместно решаются уравнения
D.5) и D.22). Сначала остановимся на.методе численного реше-
147

ния системы двух уравнений, описывающей одномерные
распределения температур стенки Т(х) и хладагента U(x)/no длине
канала: /
^ l(Z) C/j; D.114)
у
D.115)
На торцах канала х=0, х=1 задан теплообмен со средами,
имеющими температуры TcOt Tci, а температура хладагента на
входе равна Gвх, т. е. граничные условия для системы D.114), D.115)
имеют вид:
\*bSd-f+o0A(T-Tc0,el)} = 0; D.116)
U\x=o = UBX. D.117)
Для построения разностной схемы введем равномерную
пространственную сетку хп=(п—1)Л, л=1,..., N\ /i=//(JV—1). В
узлах сетки будем искать две сеточные функции tn и ип>
соответствующие температурам Т(хп) и U(xn). Разностная
аппроксимация уравнения вида D.114) с граничными условиями D.116)
рассмотрена в Приложении 2. При аппроксимации уравнения
D.115) воспользуемся схемой с разностью «против потока» [30].
В результате получим следующую разностную схему:
для граничного элементарного объема стенки (п=1)
^ ] D.118)
для первого узла в потоке жидкости
и{ = ивх; D.119)
для внутренних элементарных объемов стенки («=2,..., N—1)
X Sib? + qln -anX (i - tl)\ D.120)
для внутренних элементарных объемов жидкости {п=2,..., N—1)
CpG (^?- + ^Ц^) =«п^ « -и>); D.12!)
для граничного элементарного объема стенки (n=N)
bN-ipS(tlf-tlf_l)lh + ol (t'N-Tcl) =
- 4 tow - адг ^ («^ - 4) - с p S (^ - V)/At] ; D.122)
для последнего элементарного объема жидкости в схеме «против
потока» записывается уравнение D.121) при n=N.
на

В уравнениях D.118) —D.122) использованы обозначения
() () ЯМА/2)
() qq() /М)
Если сеточные функции Рп и wn представить в виде одного*
вектор-столбца неизвестных {(om}2Nm=u нечетные элементы
которого соответствуют температурам РПу а четные — температурам^
и'*п> то получим систему алгебраических уравнений с ленточной
матрицей, .показанной на рис. 4.28. Эта система 2N линейных
уравнений имеет пятидиагональную матрицу и может быть
решена, например, с помощью стандартной программы GELB [74],.
реализующий метод Гаусса для ленточных матриц. Другим
эффективным и достаточно удобным для программной реализации*
способом решения является применение метода матричной
прогонки [99]. Для применения данного метода неизвестные Ьп,-
и\ (л=1,..., N) в каждом узле пространственной сетки
представляются в виде векторной сеточной функции с двумя
компонентами Qn=(tn, «п)\ а система 2N уравнений D.118) —D.122)
записывается как система N матричных разностных уравнений'
в виде, аналогичном системе (П2.29) для одного одномерного*
уравнения:
2,..., дг-
D.123
—i +
0
где АПу Bny Cn — матрицы коэффициентов размерности 2X2;
Dn — вектор-столбцы правых частей размерности 2X1.
Выражения для коэффициентов матриц Лп, Вп, Cn, Dn нетрудно найтш
путем сопоставления системы D.123) с исходной системой
уравнений D.118) —D.122).
Решение 6П= (#п, ^п)т (л=1,..., N) системы матричных
разностных уравнений D.123) находится по рекуррентным
формулам, полностью аналогичным формулам (П2.30) — (П.2.32) алго-
1 2 J 4 5
XXX
О X
гн
Рис. 4.28. Ленточная матрица
системы разностных уравнений для пары
ребер «элемент-хладагент»
Рис. 4.29. Графическая схема
одномерной модели, включающей пары
ребер «элемент-хладагент» с
боковым взаимодействием

^ритма «простой» прогонки, только вместо операций над
скалярными коэффициентами ап, ЬПу сп, dn выполняются
соответствующие операции над матрицами Ап, Вп, Ся, Dn [99]. При этом
операции деления соответствует умножение слева на обратную
матрицу.
При решении системы уравнений для модели, которая
включает пары ребер-элементов и ребер-хладагентов, а также
отдельные ребра-элементы и вершины с произвольным характером
«концевых» взаимодействий (рис. 4.29), используют подход,
аналогичный описанному выше для системы ребер-элементов, а именно
решение разностных уравнений для каждой пары
«ребро-элемент— ребро-хладагент» ищется в виде
^ ^ ^ + ^) , D.124)
где ti, tN — температуры концов ребра; щ — температура
хладагента на входе в ребро; fn{i\ <Pn(i), (ь=1, 2, 3) —разностные
решения системы однородных уравнений, соответствующих D.120)
для я=2,..., N—1 и D.121) для л=2,..., N при следующих
граничных условиях:
для ^>,ФC>
/пD), фпD) — разностные решения системы неоднородных
уравнений D.120), D.121) при нулевых температурах на границах /iD) =
= ^D) = ф1D) = 0.
Решения fn(i\ q>w(i) находят независимо для каждой из пар
ребер-элементов и хладагентов, например, методом матричной
прогонки. Подставляя выражения D.124) в разностные
аппроксимации уравнений теплового баланса для вершин вида D.49) —
D.50), получают систему алгебраических уравнений
относительно неизвестных температур вершин произвольного графа. После
решения этой системы рассчитывают температуры во внутренних
узлах ребер по соотношениям D.124) при найденных
температурах ti, tNy Ui.
Кроме случая бокового взаимодействия ребра-элемента с
одним ребром-хладагентом, достаточно часто встречается ситуация,
когда ребро-элемент взаимодействует с двумя
ребрами-хладагентами, что имеет место, например, в объектах типа прямоточных
тсли противоточных теплообменников. Изложенный выше прием
решения системы разностных уравнений используется и в этом
случае. Отличия заключаются лишь в том, что строятся не
четыре, а пять вспомогательных решений и вводится еще одна
искомая величина — температура жидкости на входе во второй ка-
?*ал. Дополнительное вспомогательное решение находится при
условии равенства единице этой температуры.
150

Одномерные модели общего вида.
В наиболее сложных одномерных
моделях существуют ребра, которые
имеют боковые взаимодействия с
несколькими ребрами-элементами или
хладагентами. Примером является
представленная на рис. 4.16 модель
Объектива. В ЭТОЙ ситуации ИСПОЛЬ- Рис 4.30. Фрагмент графиче-
зуют три ОСНОВНЫХ ПОДХОДа. ской схемы одномерной мо-
При первом подходе составляется дели, имеющей боковое взаи-
чисто неявная схема для всей системы содействие трех ребер-элемен-
уравнений, в которой все
функционалы, описывающие боковое взаимодействие ребер, рассчитываются
на основе значений искомых температур с текущего момента.
В результате получается система разностных уравнений большого
порядка, и в самом общем случае ее приходится решать
непосредственно.
Второй подход состоит в том, что с учетом конкретных типов
конфигураций модели проводится сокращение числа неизвестных
в общей системе уравнений на основе использования методик,
аналогичных описанным выше. Например, в модели, показанной
на рис. 4.30, можно выразить температуры ребер /, //, /// через
температуры вершин 1 и 2 и некоторые вспомогательные
сеточные функции, определяемые из решения системы разностных
уравнений для отдельного рассматриваемого фрагмента схемы.
Тогда далее в общей системе алгебраических уравнений для всей
модели будут фигурировать только неизвестные температуры
вершин 1 и 2. При программной реализации такой подход является
целесообразным, если для определенного класса устройств,
требующих достаточно объемных теплофизических расчетов,
удается выделить соответствующий класс конфигураций одномерных
моделей.
Наконец, третий подход основан на применении смешанных
(«явно-неявных») схем, в которых в функционалах, описывающих
боковые взаимодействия, используются температуры с
предыдущего шага по времени. При этом в разностной аппроксимации
соотношений теплового баланса для элементарного объема f-ro ребра
можно при вычислении теплового потока qi~k=a2?)[T^(xni т) —
—Т*н(хт, т)] либо брать с предыдущего (/—'Г)-го шага по
времени обе температуры (t[7n и tf7m), либо температуру данного t'-ra
ребра брать на текущем шаге (rf^,n), а температуру
взаимодействующего с ним k-ro ребра — на предыдущем шаге (tlVm)-
Погрешность расчета при таком подходе растет с увеличением
тепловых проводимостей между взаимодействующими ребрами.
Поэтому при сильных тепловых связях этот подход оказывается
неприменимым. Например, при расчете охлаждаемых оптических
систем лучистые тепловые потоки между ребрами можно
рассчитывать, используя значения температур на предыдущем шаге, а
151

тепловые потоки между элементами и протекающими по ним
хладагентами приходится записывать с помощью чисто неявной ап-
лроксимации и применять для исключения неизвестных
рассмотренные выше приемы. В качестве критерия применимости
смешанной аппроксимации тепловых потоков между ребрами
можно использовать условие малости отношения изменения
температуры на одном шаге по времени к разности температур
взаимодействующих элементарных объемов: | Ни, т—«tf*, m| ^ \ th, n—
—#m»|.
При решении стационарных задач для моделей с
многократным боковым взаимодействием часто оказывается
целесообразным строить итерационный процесс, в котором температуры
ребер, взаимодействующих с данным, -берутся с предыдущей
итерации, т. е. тепловой поток вычисляется по соотношению qi-k=
Программная реализация численного расчета по одномерным
моделям. Рассмотрим особенности программной реализации для
достаточно общей одномерной модели, схема которой
представляет собой граф с произвольными числами ребер и вершин
(элементов и хладагентов) и произвольной структурой тепловых
связей между ними. Введем только одно ограничение:
ребро-элемент может взаимодействовать только с одним
ребром-хладагентом. Взаимодействие охлаждаемого одномерного элемента с
протекающим вдоль него потоком описывается системой уравнений
D.114), D.115). Структура остальных тепловых связей может
чбыть произвольной, т. е. допускается наличие разных типов
взаимодействий, представленных на рис. 4.17. Описываемый
программный комплекс применялся для анализа теплового режима
оптико-электронных приборов (в том числе с криогенным
охлаждением), подогревных термостатов, некоторых приборов точной
механики.
Остановимся сначала на форме представления исходных
данных, описывающих одномерную модель, поскольку эта форма во
многом определяет логическую структуру программы.
Для облегчения подготовки исходных данных целесообразно
представить исследуемую одномерную модель прибора в виде
графической схемы, правила построения которой рассмотрены
в § 4.2. После этого следует провести на графической схеме
сквозную нумерацию всех вершин и ребер (элементов и
хладагентов). Исходные данные разбиваются на три группы,
отражающие информацию о вершинах, ребрах и связях соответственно.
Информация о вершинах и ребрах вводится в порядке
возрастания их номеров. Для каждой из вершин задается признак,
определяющий ее тип (элемент, хладагент, среда с заданной
температурой), и вводятся соответствующие этому типу данные.
Например, в простейшем варианте для вершины-элемента
задаются мощность Ри полная теплоемкость Си начальная
температура ГВг0.
152

Для каждого ребра указывается признак, определяющий era
тип (элемент или хладагент), и вводятся данные, описывающие*
параметры ребра. Например, для ребра-элемента следует задать-
теплопроводность Яп, объемную теплоемкость (ф)п, площадь
поперечного сечения 5П, плотность мощности источников на
единице длины qin- Каждый из этих параметров может изменяться
по длине ребра, т. е. быть функцией координаты хп или
температуры ребра Тпр(х, т). Поэтому при организации этого ввода
для каждого параметра каждого ребра с помощью некоторого
признака различаются две ситуации: параметр является
постоянным или у параметра существует пространственно-временная или
температурная зависимость. Во втором случае пользователь
должен сам составить дополнительные подпрограммы-функции,,
которые описывают эти функциональные зависимости и к которым
производится обращение в процессе работы программы.
Отметим, что следствием предполагаемой общности исследуемой
модели является возрастание объема исходной информации.
Например, даже при большинстве постоянных параметров ребер
приходится вводить матрицу признаков, имеющих в данном случае
нулевые значения.
Формирование начальных распределений температур ребер, а
также начальных распределений параметров, зависящих от
температуры, проводится по соответствующим признакам либо
вводом и присвоением постоянных значений, либо формированием
соответствующих массивов в подпрограммах, составляемых
пользователем.
Третья группа исходных данных содержит информацию о
тепловых связях между элементами модели. Она имеет наиболее*
сложную структуру. Эту группу можно, в свою очередь, разбить
на четыре подгруппы. Первая подгруппа данных указывает
номера вершин, лежащих в начале и конце каждого ребра. Причем
для ребра-хладагента первым задается номер вершины, из
которой вытекает хладагент. Вся эта информация задается в
порядке возрастания номеров ребер.
Вторая подгруппа данных содержит информацию о связях
типа «вершина-вершина» (см. рис. 4.17): задаются номера
связанных вершин, признак наличия температурной зависимости
тепловой проводимости и значение тепловой проводимости, если оно не
зависит от температуры. Для связей между двумя
вершинами-хладагентами задаются номера вершин и расход хладагента,
подаваемого из одной в другую. При наличии температурной
зависимости тепловых проводимостей последние рассчитываются в
подпрограммах-функциях, составляемых пользователем для
конкретного класса задач и содержащих в числе входных данных
номера и температуры взаимодействующих вершин.
Наиболее сложной по своей структуре оказывается третья
подгруппа данных, описывающая теплообмен между боковыми
поверхностями ребер-элементов. Для каждой такой связи
задаются номера ребер, а также признак математического описания
153*

этой связи и соответствующие данному математическому
описанию исходные данные. Из приведенных в § 4.1 и § 4.2
примеров вытекает, что существует большое разнообразие
математических описаний бокового взаимодействия ребер, которые
определяются различными конкретными видами функционалов в
выражениях D.1) для тепловых потоков. Поэтому при создании
достаточно общих программ следует составить несколько
подпрограмм, учитывающих различные виды боковых взаимодействий.
Для подключения той или иной подпрограммы пользователь
задает соответствующее значение признаку бокового
взаимодействия.
Приведем пример. Достаточно часто встречается
математическое описание взаимодействия между боковыми поверхностями
ребер следующего вида. Ребро 1 на своем участке с
координатами [*iH, XiK] состоит в теплообмене с участком ребра 2У
имеющим координаты [х2я, х2к], и локальные тепловые потоки между
ними рассчитываются по формулам:
9l_2 (*,) » ai_2 S х-а \Т\ (х,) - Ц (*2)] ;
Тогда входными данными для соответствующей подпрограммы
будут значения xf, XiK, х2п, x2K, ai-2, &\-2.
В рассматриваемом комплексе программ наряду с
указанным видом бокового взаимодействия предусмотрены описания
взаимодействий, реализуемых при лучистом теплообмене между
параллельными плоскостями, коаксиальными цилиндрами и в
некоторых других простых конфигурациях, а также
взаимодействий, при которых тепловые потоки на боковой поверхности
выражаются через средние разности температур. Предусмотрена
возможность написания пользователем дополнительных
подпрограмм, задающих пространственно-временные и температурные
зависимости коэффициентов теплоотдачи на боковой поверхности
ребер.
Наконец, четвертая подгруппа данных по связям содержит
информацию о тепловом взаимодействии между боковой
поверхностью ребра и вершиной. Здесь указываются номера ребра,
вершины, координаты участка боковой поверхности ребра, а
также признак вида математического описания данной тепловой
связи и соответствующие ей параметры. Предусмотрены виды
бокового взаимодействия, аналогичные взаимодействиям между
ребрами, в которых зависящая от координаты температура
одного из ребер заменяется на температуру вершины.
Из приведенного описания входных данных видно, что для
достаточно общих программ они имеют сложную структуру и
большой объем. Поэтому наряду с разработкой и
использованием таких программ целесообразно применять и другой путь,
заключающийся в создании более «конкретных» программ,
ориентированных на расчет тепловых режимов определенных видов
154

приборов и учитывающих их конструктивные особенности. Прл-
меры более частных реализаций одномерных тепловых моделей
будут рассмотрены далее в гл. 6, 7.
Перейдем теперь к краткому описанию общей структуры
программы расчета температурного поля рассмотренной общей
модели. При численном решении используется описанный выше
алгоритм решения системы одномерных уравнений
теплопроводности и энергии на графе произвольной конфигурации, который
состоит в нахождении частных решений разностных уравнений
для отдельных ребер-элементов и пар ребро-элемент и ребро-
хладагент, определении температур всех вершин из системы
алгебраических уравнений теплового баланса и, наконец, расчете
температур во всех внутренних узлах сетки ребер.
В основе программы лежит цикл по времени, внутри которого8
происходит формирование матрицы и столбца свободных членов
линейной системы для искомых температур вершин, решение
полученной системы с помощью стандартной программы и
восстановление температурных полей ребер. Наиболее сложной
является программная реализация процедуры формирования матрицы-
и столбца свободных членов. Она основана на последовательном
переборе вершин, ребер и тепловых связей и записи
соответствующих вкладов в матрицу и столбец свободных членов. В цикле
«по вершинам» производится запись членов, содержащих
теплоемкости и мощности вершин. В цикле «по ребрам» проводится
определение частных решений разностных уравнений методом
прогонки (или матричной прогонки для пар элемент-хладагент)
и запись соответствующих членов в строки матрицы и столбца
с номерами, равными номерам вершин-концов ребер. В циклах
по связям производится запись тепловых проводимостей в
матрицу и членов, содержащих известные температуры вершинг
в столбец свободных членов.
Каждый из перечисленных циклов также может иметь
достаточно сложную структуру. Например, при определении частных;
решений для ребер организуются циклы по «боковым» тепловьш
связям типа «ребро-ребро» и «ребро-вершина» с целью
вычисления коэффициентов разностных уравнений для внутренних точек
ребер. При этом, как отмечалось выше, при описании бокового
взаимодействия рассматриваемого ребра температуры точек
соседних ребер или локальные тепловые потоки берутся по
результатам расчета на предыдущем шаге по времени.
Сформированная таким образом матрица при произвольной структуре
тепловых связей имеет общий вид, и поэтому система линейных
уравнений решается методом Гаусса.
В заключение приведем некоторые параметры описанной
общей программы, реализованной на ЭВМ СМ-4. При общем числе
вершин около 20 и числе ребер порядка 10 с числом точек на
одном ребре не более 100 и общем числе точек на ребрах не
более 500 требуемый объем оперативной памяти, определяемый
155

в основном различными рабочими массивами и массивами для
хранения распределенных параметров ребер, составляет около
50 К, а время расчета 100 шагов — по времени около 20 мин.
5. МНОГОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ
5.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МОДЕЛЕЙ
Моделирование теплового режима конкретного прибора
проводится поэтапно с постепенным переходом от верхнего уровня
иерархии, включающего группу приборов, к нижнему,
включающему отдельные элементы, которые невозможно разделить на
части, не нарушив их целостности. Многомерные математические
модели обычно используют либо на последнем этапе, когда
проводится определение температурных полей отдельных элементов,
либо на предпоследнем этапе, когда анализируется тепловой ре-
.жим узла, состоящего из элементов первого уровня иерархии.
Причина применения этих моделей заключается в
необходимости получения используемой при проектировании приборов
информации либо о пространственном распределении температуры
в элементах, либо об их некоторых характерных температурах
(максимальных, осредненных- по некоторым локальным участкам
поверхности или объема и т. д.). При определении многомерных
температурных полей возникают два типа задач.
Многомерные задачи для одиночных тел. Задачи первого типа,
называемые далее многомерными задачами для одиночных тел,
заключаются в решении какого-либо многомершго уравнения
теплопроводности для отдельной области при заданных граничных
условиях. Эта область может соответствовать либо одному
элементу первого уровня иерархии, либо узлу, который может быть
представлен в виде сплошного тела с кусочно-непрерывными теп-
лофизическими свойствами, либо блоку более высокого уровня
иерархии при использовании для него модели квазиоднородного
тела с эффективными теплофизическими свойствами. Рассмотрим
несколько примеров устройств, требующих решения подобных
задач.
На рис. 5.1 представлен кристалл, расположенный на
многослойной подложке. Тепловой контакт между отдельными слоями
\р
Рис. 5.1. Кристалл на многослойной Рис. 5.2. Пластина с локальным ис-
подложке тошшком
556

можно считать идеальным, рассматривая клеевую прослойку как
отдельный слой. Тогда для определения теплового режима
микросборки (нахождения максимального перегрева
полупроводникового кристалла над температурой корпуса) необходимо решать
трехмерное уравнение теплопроводности в декартовой системе
.координат вида
дТ д (* дТ \ , а /л'дГ \ . д (* дТ \ /Р- п
со — = — л — м [X — ) Н л — E.1)
У да дх V дх ) ^ ду \ ду ) дг \ дг )
для отдельной области, представляющей собой многослойную
структуру и имеющей форму системы параллелепипедов. На
верхней поверхности действуют локальные источники теплоты, а на
остальных поверхностях в общем случае задаются граничные
условия 3-го рода.
На рис. 1.3 изображена печатная плата с установленными на
ней элементами, температуры корпусов которых требуется найти.
Как будет показано ниже, для анализа стационарного теплового
режима платы с элементами необходимо решить вспомогательную
задачу о температурном поле платы с одиночным локальным
источником теплоты на ее поверхности. При ее решении перепадом
температуры по толщине платы пренебрегают и используют
тепловую модель пластины с двумерным температурным полем
Т(х, у), теплообменом на боковой поверхности и локальным
источником, занимающим область (xi<Cx<CX29 У±<.У<.У2)]
(рис. 5.2). Таким образом, для определения двумерного
распределения перегрева #(х, у), созданного источником, решают
уравнение
дх \ дх) ду \ ду ) 6 б ~~ '
в котором распределение плотности теплового потока q(x, у)
задается в виде
?<*.*)- 1р'<*-^&»-и>-*<*<*• *<*<л: E.3)
I 0, вне области источника.
На торцах платы задаются либо граничные условия 3-го рода,
либо условия отсутствия теплообмена.
При анализе теплового режима блоков РЭА кассетного типа
с плотной компоновкой и регулярной внутренней структурой
{см. рис. 1.5) широко используется тепловая модель
квазиоднородной нагретой зоны [40]. В этом случае задача расчета
теплового режима сводится к решению трехмерного уравнения
теплопроводности для анизотропного параллелепипеда с заданным
пространственно-временным распределением внутренних qvX
X (#, у, 2, т) и поверхностных qe{x, у, г, т) источников <и стоков
теплоты. Соответствующее уравнение имеет вид
157

а на гранях параллелепипеда используются граничные условия
3-го рода
^ } =qs,n, n = x,yyzy E.5)
в которых температуры условных сред Тп у каждой из граней
определяются на предшествующем этапе анализа теплового
режима устройства более высокого конструктивного уровня
иерархии (стойки, стеллажа, приборного отсека).
На рис. 1.9, 1.10 показаны элементы конструкции мощных
СВЧ-приборов с жидкостным охлаждением. При проектировании
этих приборов необходимо определять тепловые сопротивления
от участков поверхности, на которых происходит выделение
теплоты, к зонам, с которых осуществляется конвективный тепло-
съем. Для решения такой задачи следует рассчитывать
стационарные температурные поля в элементах конструкции. Поскольку
часто эти элементы обладают осевой симметрией, то
целесообразно рассматривать уравнение теплопроводности в
цилиндрической системе координат
*(JL)J(JL)o. E.6)
г дг \ дг ) г* дер \ д<р } дг \ дг
На участках с поверхностными тепловыделениями задаются
граничные условия 2-го рода, а на участках теплосъема — условия
3-го или 1-го рода.
Осевой симметрией обладают также и многие элементы
первого уровня иерархии ОЭП: линзы, зеркала, бленды, активные
элементы твердотельных лазеров, фильтры, баллоны ламп
накачки, трубы объективов и т. д. Постановка задачи определения
пространственных температурных полей для оптических
элементов обусловлена необходимостью учета при проектировании
прибора термооптических эффектов, описанных в гл. 1, а для
элементов конструкций — необходимостью анализа влияния их
термических деформаций на характеристики прибора. Для многих
оптических элементов характерно наличие внутренних
источников теплоты с неравномерным пространственным распределением
(в том числе и по угловой координате). Кроме того,
большинство задач приходится решать в нестационарной постановке.
Поэтому при анализе теплового режима рассматривают уравнение
теплопроводности в цилиндрической системе координат вида
дт г дг \ дг ) г* д<р \ д<р J дг \ дг
+ qv(r, Ф, Z, т) E.7)
с граничными условиями
-Я —
дп
E.8)
158
Ф> z)(T\s-T{r, ф, 2, т)).

Рис. 5.3. Зеркала с облегчениями (а) и с жидкостным
охлаждением (б)
Отметим, что форма области по координатам г, z, в которой
ищется решение уравнений E.6), E.7), может быть сложной.
В ряде случаев при анализе теплового режима линз и зеркал
можно использовать тепловую модель плоского диска с боковым
теплообменом, которой соответствует уравнение для области в
форме круга или кольца вида
дТ 1 д I -л дТ \ . 1 д (л дТ \ ос -4- ос" /ф р™ i
дх г дг \ дг I г2 dtp \ д(р / о
E.9)
Особую сложность для расчета представляют собой зеркала
с облегчениями (рис. 5.3,а) или с жидкостным охлаждением на
тыльной стороне, осуществляемым по сложной системе каналов
(рис. 5.3,6). У таких зеркал облегчения и каналы часто имеют
неосесимметричную форму, которую к тому же неудобно
описывать в цилиндрической системе координат.
На рис. 1.17 представлен термостат для электрооптического
затвора в форме косоугольного параллелепипеда. Применяются
также электрооптические затворы и модуляторы и других форм
(рис. 5.4). Определение их многомерных температурных полей
проводится с целью последующего анализа термооптических
эффектов. В модуляторах часто бывает необходимо учитывать
наличие внутренних источников теплоты, возникающих из-за по-
0 z
Рис. 5.4. Электрооптические затворы и модуляторы
159

глощения в объеме проходящего через них лазерного излучения,
а также анизотропию теплопроводности. Их тепловой режим
описывается уравнением E.4) с граничными условиями E.5),
которое необходимо рассматривать в области сложной формы,
образованной из параллелепипеда и «пристроенных» к нему
треугольных призм.
В лазерной технике широко применяются нелинейные
элементы, используемые для преобразования лазерного излучения
основной частоты в излучение с удвоенной частотой. Обычно они имеют
форму прямоугольного параллелепипеда, и их тепловой режим
описывается моделью E.4), E.5). Такую же задачу необходимо
решать при' анализе теплового режима активных элементов в
форме прямоугольного параллелепипеда.
Моноблочные или полые отражатели квантронов
твердотельных лазеров имеют форму цилиндра с поперечным сечением
неканонической конфигурации (см. рис. 1.14, 1.15). Их тепловой
режим описывается уравнением E.1).
В прецизионных системах термостатирования часто
приходится анализировать неравномерность температурных полей
различных замкнутых камер, в которых располагаются объекты
термостатирования. Обычно эти оболочки имеют форму либо полого
прямоугольного параллелепипеда (рис. 5.5,а), либо полого
цилиндра (рис. 5.5,6), и их тепловой режим рассчитывается путем
решения уравнений E.1) и E.7) в соответствующих областях.
Примером прямоугольной оболочки является кварцевая капсула,
представленная на рис. 1.17,а, в которой расположен
электрооптический затвор. Иногда перепадом температуры по толщине
оболочки можно пренебречь. В этом случае допустимо решать
двумерные уравнения типа E.2) или E.9), в которых возму-
а)
h
Рис. 5.5. Камеры термостатов
160

щающие тепловые воздействия на оболочку учитываются через
пространственные распределения коэффициентов теплоотдачи на
боковой поверхности, температуры условной среды и мощности
источников теплоты. Двумерные области образуются при этом
соответствующими плоскими развертками камер (рис. 5.5,в,г).
На основе анализа приведенных примеров можно дать
краткую, не претендующую на исчерпывающую полноту
характеристику многомерных моделей для одиночных тел, используемых
при анализе теплового режима приборов, по ряду признаков,
существенных с точки зрения выбора методики расчета
температурного поля.
По виду уравнения, из решения которого находится
температурное поле, можно выделить стационарные и нестационарные
модели, использующие декартову или цилиндрическую системы
координат, в двухмерной или трехмерной постановке. Причем в
двухмерных моделях часто учитывается теплообмен на боковой
поверхности и рассматриваются уравнения для пластины илц
диска. Отметим, что во многие уравнения входят неравномерные
пространственные распределения источников и стоков теплоты,,
а в качестве граничных условий наиболее часто используются
условия 3-го рода при наличии неравномерно распределенных
поверхностных источников, коэффициентов теплоотдачи и
температур сред. ',
По форме области, в которой ищется решение, можно
выделить модели, в которых используют: тела канонической формы —
параллелепипеды, сплошные и полые цилиндры, прямоугольники,
круги и кольца; тела, поверхность которых образована
пересечением координатных поверхностей в декартовой или
цилиндрической системе координат, к которым относятся, например, системы
параллелепипедов (см. рис. 5.1), прямоугольные камеры
(рис. 5.5,а); тела вращения с произвольной формой образующих
поверхностей (рис. 5.6); тела типа прямых цилиндров с
поперечным сечением произвольной конфигурации (рис. 5.7); тела,
состоящие из параллелепипедов и треугольных призм (рис. 5.4).
По однородности теплофизических свойств области можно
выделить модели, приводящие к однородным изотропным или
анизотропным телам и к неоднородным телам с кусочно-непрерыв-
Рис. 6.6. Тела вращения с произвольной формой
образующих
6-65
Рис. 5.7. Моноблочный от-
ражатель твердотельного
лазера

ными свойствами. Последние, как видно из приведенных
примеров, появляются при рассмотрении узлов, состоящих из
элементов, выполненных из разных материалов, при наличии идеального
теплового контакта между элементами.
Многомерные задачи для систем тел. Задачи второго типа,
называемые далее многомерными задачами для систем тел,
заключаются в решении системы уравнений, в которую наряду с
одним или несколькими многомерными уравнениями
теплопроводности входят одномерные уравнения теплопроводности или
энергии, а также обыкновенные дифференциальные уравнения,
соответствующие моделям элементов с сосредоточенными
параметрами. Особенностью математических постановок этих задач
является то, что в граничные условия для многомерного
уравнения, описывающего температурное поле Ti(x, у, г, т) t-ro тела,
входят неизвестные пространственные распределения Tj(x, у, г, т)
или средние температуры других тел или потоков хладагента.
В случае уравнений для пластин и дисков неизвестные
температуры других тел могут входить в члены уравнений, описывающие
боковой теплообмен.
Подобные задачи обычно возникают при анализе теплового
режима некоторых блоков второго уровня иерархии. Примером
такого блока является объектив ОЭП (см. рис. 1.12). Он имеет
две отличительные особенности. Во-первых, объектив
представляет собой систему, состоящую из сравнительно небольшого
числа «крупных» элементов нижнего уровня иерархии. Во-вторых,
для большинства элементов объектива необходимо находить
многомерные температурные поля. На основе этих полей
определяется влияние теплового режима на характеристики прибора.
При анализе теплового режима объектива возможно использовать
метод поэтапного моделирования в различных вариантах.
Например, при подходе, используемом на предыдущих уровнях
иерархии, предполагают, что на температурное поле любого
конкретного оптического элемента основное влияние оказывают только
интегральные характеристики температурных полей других
элементов объектива. Это допущение позволяет сначала рассчитать
средние температуры элементов, а затем на их основе провести
анализ температурных полей в отдельных элементах. Таким
образом возникают рассмотренные выше многомерные задачи для
отдельных тел. Особенностью других вариантов моделирования
является решение системы уравнений, которая включает
обыкновенные или одномерные дифференциальные уравнения для одних
элементов и многомерные уравнения для других элементоз.
В наиболее сложном случае последний и предпоследний этапы
анализа объединяются и проводится непосредственное решение
системы многомерных уравнений для всех элементов модели
объектива, которую в достаточно общей постановке можно записать
следующим образом:
CiPi-T^-V^V^ + ^S, т); E.10)
162

дП ^ t /el
т —>
i. T)
E.11)
где индексы /=1,...,т соответствуют элементам объектива;
индексы / = m +1,..., М соответствуют телам и средам с найденными
на предыдущих этапах расчета температурами; а^ — локальные
коэффициенты теплоотдачи; а — постоянная Стефана—Больцма-
на; fa — коэффициенты, описывающие лучистый теплообмен
между элементами объектива с учетом многократных
диффузных и зеркальных отражений. Коэффициенты р^- зависят от
геометрии системы, коэффициентов черноты, зеркального и
диффузного отражений. Они определяются по методикам,
изложенным в [51]. Первая сумма в правой части соотношения E.11)
описывает конвективный и контактный теплообмен между
элементами объектива, вторая — лучистый теплообмен, а третья —
внешние тепловые воздействия со стороны тел и сред с
найденными на предыдущих этапах расчета температурами.
Другим примером блока второго уровня иерархии, при
анализе теплового режима которого часто целесообразно решать
многомерную задачу для системы тел, является квантрон
твердотельного лазера (см. рис. 1.14). В отличие от объектива в этом
случае основной интерес представляет многомерное
температурное поле только одного элемента первого уровня — активного
элемента. Однако опыт расчетов показал, что для его
определения также необходимо предусматривать возможность
реализации различных вариантов метода поэтапного моделирования. При
этом для одних тел, например активного элемента, моноблочного
или полого отражателя в математической модели, как правило,
рассматриваются многомерные температурные поля, для других,
например лампы накачки, корпуса квантрона, в ряде
случаев допустимо рассмотрение полей меньшей размерности, вплоть
до равномерных. Для квантронов с естественным охлаждением
математическая модель в общем виде совпадает с системой
E.10) — E.11). В квантронах с принудительным охлаждением
хладагент обычно протекает в кольцевых каналах,
расположенных вокруг тепловыделяющих элементов, в направлении оси
квантрона. В этом случае временная зависимость температуры
хладагента на входе в канал определяется из расчета всего
контура охлаждения квантрона, выполняемого на предыдущих
этапах анализа. Теплообмен между хладагентом и поверхностью
элементов обычно описывается в рамках приближения
совместной задачи при условии изменения коэффициента теплоотдачи
и температуры хладагента только по длине канала. Таким обра-
6* 163

зом, многомерная математическая модель теплового режима
квантрона с принудительным охлаждением представляет собой
систему многомерных уравнений теплопроводности E.10) и
одномерных уравнений энергии
(^ ^)==|а,,^(Г,--^), E.12)
а в граничные условия E.11) добавляются члены, учитывающие
теплообмен с хладагентом на поверхности твердых тел.
В [12] рассмотрена обобщенная модель блока РЭА,
представленная в виде квазиоднородной нагретой зоны в форме
прямоугольного параллелепипеда и корпуса, состоящего из набора
прямоугольных пластин. Конвекция воздуха в блоке учитывается
путем введения распределенного по объему нагретой зоны стока
теплоты. Математическая модель представляет собой систему
трехмерного уравнения теплопроводности для нагретой зоны,
одномерного уравнения энергии для воздуха и двухмерных уравне-
ший для пластин, образующих корпус. Такая задача также
является примером многомерной задачи для системы тел.
Еще одним примером многомерной задачи для системы тел
является анализ теплового режима электрооптического1" затвора
(см. рис. 1.17,а), основанный на совместном решении системы
двух многомерных уравнений, описывающих пространственные
поля кристалла и капсулы.
5.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
При расчете пространственных температурных полей в элементах
приборов по моделям, описанным в § 5.1, в основном применяют
численные методы. Это связано с тем, что численные методы
позволяют проводить расчет температурных полей в телах сложной
формы и в системах тел, учитывать любые
пространственно-временные изменения внутренних и внешних тепловых воздействий,
а также температурные зависимости и пространственную
неоднородность теплофизических свойств. Аналитические решения
наиболее часто используют для расчета температурных полей в
телах канонической формы (пластины, параллелепипеды, цилиндры
и цилиндрические оболочки) при постоянных теплофизических
свойствах материалов и при определенных ограничениях на вид
граничных условий. Существуют также приближенные
аналитические методы, которые позволяют строить решения для
областей сложной формы [94] и для нелинейных задач [48, 61].
Отметим, что большинство точных аналитических решений
пространственных задач записывается в виде рядов или
интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные
или табулированные специальные функции. Поэтому расчеты по
таким аналитическим решениям могут быть проведены лишь с
применением ЭВМ. .
164 '

Точным и приближенным аналитическим методам решения
многомерных краевых задач теплопроводности посвящены
десятки учебников и монографий и сотни статей. Поэтому здесь не
ставится задача дать даже краткий обзор существующих методов
и анализ областей их рационального применения. С этими
вопросами можно познакомиться по [9, 70, 79] для точных и по
[9, 48, 60, 116] для приближенных аналитических методов. Здесь
ограничимся обсуждением границ применимости некоторых
методов и приведем примеры точных и приближенных
аналитических решений, которые используются далее в гл. 6 для
анализа теплового режима электронных устройств.
Наиболее аффективным методом построения точных
аналитических решений в ограниченных телах канонической формы
является метод конечных интегральных преобразований [9,70].
Общая схема применения этого >метода была изложена в § 4.3 для
одномерных нестационарных задач [см. D.90) — D.94)]. Для
многомерных задач отличие состоит в том, что собственные функ-
ции <рк(х) находятся путем решения соответствующей
многомерной задачи Штурма — Лиувилля. Для однородных тел
канонической формы собственные функции многомерной задачи
определяются как произведения собственных функций одномерных задач с
соответствующими парами граничных условий: например, для
параллелепипеда Цп,т,к(х, yf Z)=yxn(xL)ym{yL)zk(z). ПрИ ЭТО-М
на граничные условия многомерной задачи накладывается
следующее ограничение: на каждой ограничивающей область
координатной поверхности должны быть заданы либо условия 1-го рода,
либо условия 2-го рода, либо условия 3-го рода с постоянными
на каждой поверхности коэффициентами теплоотдачи. Начальное
распределение температуры Т0(х, у, г),
пространственно-временные распределения мощностей внутренних qv(x, у, г, т) и
поверхностных qs(x, у у z, х) источников в принципе могут быть заданы в
виде любых функций. Однако при построении решения надо будет
проинтегрировать эти функции по области их определения с весом
<Pn,m,fc(*> */> 2), как это сделано в соотношениях D.91) — D.93).
При решении методом интегральных преобразований
стационарных задач возможны два подхода. Первый из них состоит в
том, что интегральное преобразование применяется по всем
пространственным переменным:
%,тл = $Т{х, у, z)(pn,m,k(x,y,z)dxdydz. E.13)
V
В результате получается алгебраическое уравнение для
изображения dn,m,k> после решения которого искомая функция Т(х, у, z)
находится по формуле обращения
Wq^ttO^W EЛ4)
При другом подходе интегральное преобразование применяют
по двум (для трехмерных задач) или по одной (для двухмерных
165

задач) пространственным переменным. В результате приходят к
обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка
относительно изображения \Qn>m{z), зависящего от одной
пространственной переменной, по которой не проводилось преобразование.
После нахождения аналитической зависимости для изображения
®п,щ{г) записывают искомое решение Т(х, у, г) в виде
Т (*, у, г) = 2 2 вя. m (z) <рхп (х) (фто (уI\\<рхп\\2 [|Ф„т||2. E.15)
Ниже приводятся примеры -применения первого и второго
подходов для определения температурных полей пластины и
параллелепипеда с локальными источниками теплоты соответственно.
Если по какой-либо координате область является
неограниченной (или полуограниченной), то по этой координате можно
применить интегральное преобразование в бесконечных
(полубесконечных) пределах [70], а в формуле обращения для Т(х, у, г)
вместо ряда будет записан интеграл. Пример такого решения
также рассматривается ниже при определении температурного
поля неограниченной пластины с локальными поверхностными
источниками.
Приближенные аналитические методы решения применяют в
двух ситуациях. Во-первых, их используют с целью получения
более простых и удобных для расчета решений Т(х, у, z, т)
пространственных задач, для которых можно построить и точные
аналитические зависимости. Во-вторых, с помощью приближенных
методов в ряде случаев можно решить задачи, для которых не
удается найти точных решений. Ряд ставших уже
«классическими» приближенных методов рассмотрен в [9]. В [4] предложены
два приближенных метода — метод осреднения и обобщенный
метод Канторовича, которые позволяют получить достаточно простые
по форме решения для тел канонической формы с различным
распределением источников теплоты. Примеры таких решений
приведены в данном параграфе. В [48] изложены приближенные
методы решения нелинейных задач, базирующиеся на вариационной
постановке задачи. В [94] развиты вариационные методы
решения задач теплопроводности в телах сложной формы, в которых
подбор базисных координатных функций проводится методами
алгебры логики. Заметим, что многие приближенные аналитические
методы решения сложных задач (например, предлагаемые в [94|)
сближаются с численными методами, поскольку решение задачи
представляется в виде аналитической зависимости,
коэффициенты которой находятся путем численного решения систем
алгебраических уравнений.
В настоящее время в связи с развитием вычислительной
техники уменьшилось практическое значение аналитических методов,
которые не позволяют быстро провести «ручные» расчеты по
простым зависимостям. Однако при решении* на ЭВМ задач
проектирования и оптимизации конструкций, требующих многовари-
166

антных расчетов, могут
играть существенную роль
преимущества
аналитических методов, связанные с
меньшими затратами
машинного времени и требуе- /
мыми ресурсами памяти. х'
Рассмотрим несколько
примеров аналитических
решений, иллюстрирующих
применение упомянутых
выше методов.
Параллелепипед с
локальными источниками теп- Рис< 58 Многослойный параллелепипед с
ЛОТЫ, При анализе теплово- локальными поверхностными источниками
го режима микросборок час- теплоты
то применяют тепловую
(модель многослойного параллелепипеда с локальными
источниками теплоты на верхней грани, теплообменом на нижней грани
и теплоизолированными боковыми гранями (рис. 5.8).
Математическая модель, описывающая стационарное температурное поле,
имеет вид
E.16)
E.17)
| и иг j v vi __, q ? __ 1 г.
дФ dz* ~~ ' ->•••>.
dz
z=0
, У)\
л:=0
= 0:
E.18)
E.19)
3, E.20)
г/=0 ду У=*у
где ^(х, у, г)—распределение перегрева в i-ы слое
с теплопроводностью Я*; а — коэффициент теплоотдачи к условной
среде на нижней грани; q(x, у)—распределение поверхностной
•плотности мощности источников.
На основании принципа суперпозиции можно получить
решение для одного локального источника /, а затем найти
температурное лоле параллелепипеда с / источниками путем
суммирования перегревов. Тогда функция qj(x, у) для одного источника
задается в виде
Г"»
11х ~ *л]) A [у - у,А - 1 [у - yj2]);
Ни]
__ fl, w>0;
10, гг<0,
E.21)
167

где Ps — мощность /-го источника; х^и *&, Hju Уп — координаты
границ источника; Дл^—Х/г—Xju ^Уз =*Уз2—уц.
Применим к уравнению E.16) и граничным условиям E.17)—^
E.19) интегральное преобразование по переменным х и у:
, У,
о о
где фжп, ц>ут — собственные функции, соответствующие
граничным условиям 2-го рода E.20) [9]:
ф*п = cos цп х; цп 1Х = 0, я,..., (п - 1) я,...
<p»m = a>spTOt/; pro/j, = O, я,..., (т-1)я,...
В результате получим для изображения №п,т{г) следующую
задачу:
E.23>
E.24)
dz*
d&l
n, m
dz
eei
dz
(\l 1 А*"ЬМ * 1 /' 1
1 " E.25
0,
E.2&)
где Qjn,m — изображение функции qj (x, y):
Q 4РУ C0S (^n ^io) COS (Pm уЛ) X
X sin (^ AXj/2) sin
9 u = x, y. ; E.27>
D
Подчеркнем, что для первых собственных чисел |xi=O и Pi=O
в выражении E.27) следует раскрыть неопределенности.
Например, Qh,i=Pj.
Решение уравнения E.23) для каждого t-ro слоя можно
представить в виде
Вя. «(*) = { 0n7m (*|_i) Sh [уп,т (гй - Z)] +
+ &п,т (Zi) Sh [yn,m (Z- ft-i)]}/8h [Yn.m fe - Z|_i)]f E.28)
где 0г'п,т(^) —пока неизвестные изображения перегревов на
границе слоев; zo=O; eHn,m(Zi-i) =Wn,m(Zi-x).
Подставив решение E.28) в граничные условия E.24) — E.26),
получим систему (/+1) алгебраических уравнений относительно
168 '¦

изображений 0^,^@), Qln,m(zi),..., WnM1*) • Для однослойного
(/=1) или двухслойного (/=2) параллелепипеда из этой системы
нетрудно получить аналитические выражения для изображений
6Vm(z). В случае большего числа слоев следует численно решить
систему линейных алгебраических уравнений и найти
изображения перегревов. Заметим, что эта система имеет трехдиагональ-
ную матрицу, поэтому решение можно найти по рекуррентным
•фармулам метода прогонки (см. Приложение 2).
После определения изображений 8*n,mB<) по формуле
обращения осуществляется переход к оригиналу—искомому
распределению перегрева:
*f (х, У> z) = ]рS %,m (г) <рхп (х) Ът (у)/||фяп||2 ||qUI2. E.29)
я=1
Чтобы найти перегрев О* 2 (х> У> г) ПРИ действии всех
поверхностных источников Pj (/=1,...,/), следует выполнить
суммирование перегревов, создаваемых каждым локальным источником:
j
0*2 (х9 у, г) « 2 0|(л:,ч>, z, Ph xj0, yj09 &xj, &yj). E.30)
/=i
Если параллелепипед состоит из одного слоя (/=1, 0<.z<.lz),
яю аналитическое выражение для изображения i0n,w имеет вполне
обозримый вид, поэтому приведем решение для этого случая:
t^ *? ИФПЧФ!!1
В случае малых относительных размеров источников (Axj/lx<tl
-Cl, АУэ/1у<.1) ряды имеют медленную сходимость, что приводит
ж затруднениям при практическом использовании выражений
E.29), E.31). Вместе с тем для малых источников, достаточно
удаленных от границ л;=0, 1Х, У=0, 1У, влияние краев подложки на
перегрев становится несущественным. Поэтому для определения
перегревов этих источников можно перейти к модели
неограниченной пластины, поместив начало координат в центр
рассматриваемого источника / (рис. 5.9). Тогда в силу симметрии можно
рассмотреть задачу для области (О^Жоо, 0^#<оо) и вместо
условий E.20) ввести граничные условия
дх
дх
ду
^1 =0, E.32)
.а функцию qj(x, у) записать в виде
qj (*, У) - АЯ/А A [х] - 1 [х - A Xj/2]) A [у] - 1 [у - ду,/2]). E.33)
169

Ах
А
Рис. 5.9. Неограниченная
пластина с локальным
поверхностным источником
теплоты и трехмерным
температурным полем
Переход в область изображений в данном случае выполняется
с помощью интегрального косинус-преобразования Фурье в
бесконечных пределах [Z0]
0(z, [х, Р) = —
, У, z)cos(iix)cos(f>y)dxdyf
E.34)
о о
и изображение функции qj(x, у) находится по формуле
QJ Ь> Р) = J2PJ о sin (l*A Xj/2) sin
E.35)
Решение задачи для изображения 0 (z, \i, p) полностью
аналогично полученному выше для ограниченного параллелепипеда,
а обратный переход в область оригиналов производится
следующим образом:
П ОО оо
ft (я, у, z) = — Г Г0(г, ii, P) cos (их) cos
E.36)
о о
Тогда, например, для однослойной пластины распределение
перегревов от локального источника описывается выражением
O(jc, У, г):
х
sin (;гД jc;/2) sin (pAyj/2) cos (tu лс) cos
E.37)
Заметим, что выражение E.37) можно получить из E.31),
изменив положение начала координат и осуществив предельный
переход ПрИ Цп—М'П-1=Ац = я//х->0, рт— рт-1=Ар = я//2/-^0.
Температурное поле пластины с локальными источниками.
При анализе теплового режима микросхем и микросборок на
печатной плате или микроблоков, установленных на общее
основание, температурное поле платы (основания) часто описывают с
помощью модели пластины с локальными источниками теплоты и
теплообменом на боковой поверхности. Двухмерное стационарное
170

распределение перегрева в пластине ®(х, у) находят путем
решения уравнения
E.38)
где 1Х, 1У — размеры пластины (см. рис. 5.2); б — толщина
пластины; Xxt hy — эффективные теплопроводности в направлении осей
л: и у; а — сумма коэффициентов теплоотдачи с обеих сторон
боковой поверхности (a = const); q(x, у)—поверхностная плотность
теплового потока от локальных источников, равная нулю вне зон
расположения источников и постоянная в пределах зоны действия
каждого /-го источника:
У)= 2 ЧЛ*> У)\ E.39)
q (^ у) = J рз/& *;д^ ПРИ *п <х< *л. У л
1 0, вне зоны источника.
При необходимости учета теплообмена на торцах пластины
рассматривают граничные условия 3-го рода
Во многих практически важных случаях теплоотдачей с
торцов можно пренебречь по сравнению с теплоотдачей на боковой
поверхности и тогда граничные условия имеют вид
di? dv1 dij л / с л 1 \
= » = =0. E.41)
дг=О ал: *—*.
дх
ду
ду
Применив к уравнению E.38) конечное интегральное
преобразование по переменным х и у
е„.* = /У j4 (х, у) Флп (х) <рут (у) dxdy, Г5.42)
о о
получим алгебраическое уравнение для изображения Qn,m
(- Хх ц* _ by Р? - a/б) Qn,m + Qn,ml8 = 0, E.43)
в котором |xn, pm — собственные числа; Qn,m — изображение
функции <7(*, У)-
В случае граничных условий E.41) собственные функции
имеют вид E.22). Для граничных условий E.40) собственные
функции определяются следующим образом [9]:
Фх» (х) = \1п lx cos fan x) + Bi^o sin {]xn x)\
+ Л + BlJ; E.44)
= ax гIJ %x,
-n »*
171

собственные числа \in находятся из решения трансцендентного
уравнения
ctg (|iB 1Х) = (|гД II - В{ЛО B
а собственные функции фут и собственные числа рт
определяются «совершенно аналогично с соответствующей заменой lx, Bixo, Bixi
на /у, Biyo, Biy/.
Выполняя обратный переход в область оригиналов, получаем
следующее выражение для искомого распределения перегревов:.
• (*.*)- 2 2 ,
При граничных условиях E.41) изображение Q?n,m для одного
/-го источника имеет вид E.27) и тогда перегрев рассчитывается
по формуле
X cos (^n ^-o) cos (Pm yj0) cos ((гл х) cos (Pm y), E.46>
где jxn=:(n— l)n/lXf &m={m—l)nlly. При выводе выражения
E.46) выполнены .преобразования по раскрытию
неопределенностей типа 0/0, соответствующих слагаемым с первыми
собственными числами [Л1 =0 и pi = 0.
Для расчета перегревов малых источников, удаленных от
торцов пластины, целесообразно использовать модель
неограниченной пластины (/х->-оо, 1у-*-оо). Для этой модели при
расположении начала координат в центре источника (рис. 5.10)
распределение перегрева описывается зависимостью
Решение E.47) строится с помощью интегрального косинус-
преобразования Фурье аналогично найденному выше решению-
E.37) для трехмерной задачи.
Температурное поле пластины с локальным источником.
Приближенное решение. В [31] с помощью изложенного в [4]
обобщенного метода Канторовича получено достаточно простое по*
форме приближенное аналитическое решение задачи E.38),.
E.39), E.41). Это решение для одного источника мощностью Р с
координатами центра *о, Уо и размерами Дх, Ау записывается в
виде
* (*. У) = Р fx W fy Ш<*А ^ Д у), E.48>
172

где функции fx, /у, зависящие от безразмерных параметров п=
= и//^ uo = uo/iu\№=&ullu\ Bu = al2u/6Xu{ti=xf у), рассчитываются
по формулам
fu —
Fu ch (pu и), при «?[0,«0-Д и/2];
Ftt ch (pu u) - ch [/?u (u -Ъо + Д u/2)] + 1
при и e [w0 — Ди/2, щ + Д w/2];
^u °h (Pu ") — °h [pu (w — uo + A w/2)] +
+ ch [pu (u — u0 — Д w/2)] при и е [и0 + Д a/2, 1];
Fu = 2 sh (pu д"й) ch [/?u A — uo)]/sh pu, здесь и = х,у\
E.49)
V%)
/ J'
Как показывает сопоставление с точным решением E.46),
погрешность расчета перегрева Ф^о, уо) в центре источника по
приближенному решению E.48) не превышает 15% при 0,05^
Д1 0В10
Температурное поле параллелепипеда со ступенчатым
источником. Для расчета теплового режима электронных блоков
кассетного типа с плотной компоновкой узлов часто используют
модель квазиоднородного параллелепипеда с эффективными тепло-
проводностями (см. § 2.3). При этом мощности источников
считают распределенными по областям, имеющим форму
параллелепипедов и соответствующим отдельным функциональным ячейкам
или группам ячеек. Стационарное температурное поле такой
модели блока описывается трехмерным уравнением тешюпроводно-
2AZ
Ф,у)
Рис. 5.10. Неограниченная пластана Рис. 5.11. Параллелепипед со сту-
с локальным поверхностным источ- пенчатым источником теплоты
ником теплоты и двухмерным
температурным полем
173

сти с внутренним источником, занимающим «ступенчатую»/
область шириной 2Д2 с центром в точке я=0, # = 0, г=го (рис./о.П),
^ —+^у—+ ^z -^7 + ^A [*-*о + Д2]-1 [z-zo-Az]) = O.
E.50)
На гранях параллелепипеда происходит теплообмен со средой,
описываемый законом Ньютона. Из-за симметрии граничные
условия в направлениях осей х и у примут вид:
ди и=о
а по оси z симметрия температурного поля отсутствует
2=0, lz
В [4] методом осреднения получено приближенное решение
задачи E.50) — E.52), которое имеет вид
h*i th (^Г; В^
«г/ \ 2 / J » ХУ1Х
U = -J-
— 1]— 1 (z-zo
sh bz (lz — z0 + А г) — sh bz (lz -20-
,
, ch 6Z (/г — г0 + Д г) —• ch bz (lz — Zo — Ziz) #
ch bz lz
K = {h2 + l)thbzlz+2h; h = bzXz/az;
Ъ\ = 2 (ax ly % + ay lx %)/(%z tx ly) ;
При равномерном распределении источников теплоты по всему
объему параллелепипеда, когда 2o=tAz=O,5/z, выражение для
температурного поля существенно упрощается. Если поместить
начало координат в центр параллелепипеда (—lz/2^z^lz/2), то
функция fz в формуле E.53) принимает вид
174

5.3. кОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Общая характеристика численных методов расчета. Процедура
численного решения многомерного уравнения теплопроводности
включает те же этапы, что и для одномерного уравнения:
замену исходной области непрерывного изменения переменных
пространственно-временной сеткой, построение разностной схемы,
решение системы разностных уравнений. Однако реализация
каждого этапа в многомерном случае значительно усложняется.
Остановимся на особенностях каждого этапа подробнее.
Построение временной сетки не вызывает затруднений.
Сложнее обстоит дело с пространственной сеткой. Если использовать
для построения разностной схемы метод баланса, то
пространственную область необходимо разбить на элементарные объемы.
Очевидно, что по сравнению с одномерным случаем, где
элементарный объем всегда является отрезком, в многомерном случае
имеется гораздо большее число видов этих объемов. Например,
двухмерную область можно разбить на элементарные объемы
прямоугольной (рис. 5.12,а), треугольной (рис. 5.12,6) формы или
какие-либо более сложные (рис. 5.12,в). Форма области во
многом определяет вид элементарных объемов. Например, область,
изображенную на рис. 5.13, неудобно разбивать на элементарные
объемы прямоугольной формы, а удобнее использовать
треугольные.
Кроме выбора вида элементарного объема, трудности
возникают и при проведении разбиения области на объемы и задании
информации об этом разбиении в виде исходных данных для
ЭВМ. В одномерном случае достаточно было задать массив шагов
по пространственной координате, поскольку на его основе можно
было определить координаты всех узловых точек и границ
элементарных объемов. В многомерном случае объем полной
информации о разбиении области резко возрастает и ее
непосредственный ввод в ЭВМ нецелесообразен из-за большой вероятности
появления ошибки при подготовке данных. Поэтому необходимо
разрабатывать специальные алгоритмы и соответствующие про-
Рис. 5.12. Разбиение двухмерной
области на элементарные объемы в
форме прямоугольников (а),
треугольников (б), трапеций (в)
Рис. 5.13. Пример области, удобной
для разбиения треугольными
элементарными объемами
175

граммы, с помощью которых информация о разбиении
формировалась бы непосредственно в ЭВМ в автоматическом режиме.
Форма области в значительной степени определяет/вид
элементарного объема, а он накладывает, в свою очередь/
ограничения на метод построения разностной схемы. Действительно,
рассмотренный в приложении 1 для построения конечно-разностных
схем метод баланса удобно, как правило, применять для
элементарных объемов, которые ограничены поверхностями,
параллельными ортогональным координатным поверхностям. Для
декартовых координат — это прямоугольники в двухмерном случае и
параллелепипеды в трехмерном, для полярных координат —
кольцевой сектор и т. д. Для таких элементов можно по простым
формулам определить тепловые потоки, протекающие через их
границы, выражения для которых входят в конечно-разностную схему.
Однако при использовании, например, треугольных произвольно
ориентированных элементарных объемов возникают проблемы как
с размещением узловой точки внутри объема, так и с методикой
расчета тепловых потоков через его границы. Поэтому при
использовании таких объемов для построения разностной схемы
¦применяют не метод конечных разностей, а метод конечных
элементов, основывающийся на вариационной постановке задачи
теплопроводности. Он будет рассмотрен ниже. Для ряда
рассматриваемых далее трехмерных задач целесообразно применять
сочетание методов конечных разностей и конечных элементов. Кроме
того, в последние годы получает все большее распространение
метод граничных элементов [67].
При применении и метода конечных разностей, и метода
конечных элементов к многомерным задачам система разностных
уравнений имеет большой порядок, и для ее решения в общем
случае отсутствует эффективный алгоритм типа алгоритма
прогонки, используемого для одномерных задач. Это обстоятельство
особенно осложняет решение нестационарных уравнений,
поскольку при использовании неявных разностных схем приходится
на каждом шаге по времени иметь дело с системой линейных
уравнений относительно искомых температур большого порядка,
а число шагов по времени в реальных задачах может достигать
нескольких тысяч. Поэтому для ряда конкретных случаев
многомерных задач разработаны специальные методики и приемы,
позволяющие сократить затраты машинного времени и требуемого
объема оперативной памяти ЭВМ для решения систем
разностных уравнений. Они будут рассмотрены ниже.
Составление конечно-разностных уравнений. Явная и неявная
схемы. Для определенности сначала будем рассматривать
уравнение теплопроводности в декартовых координатах. В этом
случае в качестве элементарных объемов для двухмерных и
трехмерных задач используют соответственно прямоугольники и
параллелепипеды. Кроме того, в качестве элементарных объемов,
лежащих на границе области, можно применять прямоугольные
треугольники или прямые призмы, у которых сторона или грань,
176

Vi
,Sn+,/2
Хп+t
a)
Рис. 5.14. Разбиение трехмерной области элементарными объемами в форме
параллелепипедов и прямых призм с треугольным основанием
лежащие напротив прямых углов, являются граничными, а
остальные стороны или грани параллельны координатным осям или
плоскостям (рис. 5.14,а и б). Для таких элементарных объемов
расчет тепловых потоков через их поверхности не вызывает
затруднений. Тепловой поток Рп+т через грань элементарного объ-
ма, лежащую между узлами с координатами (хп, ут> Zk), (xn+\,
Ушу Zk), рассчитывается по формуле:
E.56)
где Яп+1/2 — эффективная теплопроводность вдоль отрезка,
соединяющего узлы; Sn+i/2 — площадь грани; tn,m,k, tn+i,m,k — сеточные
функции разностного решения в узлах.
При использовании граничных условий 3-го рода тепловой
поток через грань площадью SNy лежащую на границе области и
содержащую узел (xnj Ут> ?&)> записывается в виде
Pa = *SN(tNtmtk -Гср). E.57)
Использование указанных элементарных объемов накладывает
определенные ограничения на виды областей, для которых
применение конечно-разностных схем наиболее эффективно с точки
зрения удобства составления алгоритма расчета и его программ-
Рис. 6.15. Области, удобные для Рис. 5.16, Неравномерная сетка в
применения конечно-разностных схем простейшей двумерной области
177

вл/н
на
ной реализации. Некоторые из таких областей представл/ны
рис. 5.15,а—в. /
Рассмотрим методику составления конечно-разносных схем
на примере нестационарной двухмерной задачи. Возьмем
простейшую область прямоугольной формы (рис. 5.16), в которой
требуется найти решение уравнения
дх
с граничными условиями третьего рода
E.59)
и начальным условием Т\х==о = То(х, у).
Введем неравномерную пространственную сетку, показанную
На рИС. 5.16: {Хп, ym}N'Mn=l,m=U hXn=Xn+l—Xn; hym = ym+\—ym, И
равномерную сетку по времени: {tj}Jj=o; tj = /At. Грани
элементарных объемов расположим посередине между узловыми точками.
Учитывая соотношения вида E.56) для тепловых потоков
через грани, записываем конечно-разностное уравнение для
внутреннего элементарного объема, содержащего точку (хПу ут)'.
n-J (h
4 At
= J J qv(x,y)dydx
*n_l/2 Ут-1/2
tn-\-\,m~~lntm
(ft —if \
hn—i
x
V n,m - 1п,т—\) I (/l?i + ^n—l)
/g ggv
Здесь множители (hn + hn-i)l2 и {hm + hm-\)\j2 соответствуют
«площадям» граней элементарного объема, через которые проходит
тепловой поток.
Уравнение E.60) записано для неявной схемы. Заменяя в
правой части индекс времени / на (/—1), получаем явную схему.
С помощью метода баланса несложно составить разностные
уравнения и для граничных элементарных объемов. При этом в
уравнениях теплового баланса следует учитывать тепловые
потоки на границе области в окружающую среду, выражения для
которых вытекают из граничных условий E.59) и записываются в
виде E.57). Например, для лежащего в угле AХ, 0) элементарного
объема hXyN-\hy\/4 с учетом тепловых потоков в среду с
178

двух4 смежных граней получается следующее разностное
уравнение:
ср
Дт
+
^L+ j j qv{Xyy)dydx. E.61)
xN—\/2 °
Аналогичным образом метод баланса применяется и в более
сложных ситуациях, например, для элементарных объемов,
подобных изображенному на рис. 5.15,а вокруг точки (п, т).
Следует лишь аккуратно записать выражения для всех
составляющих тепловых потоков с учетом фактических площадей граней и
объема элементарной ячейки. При этом в выражениях для ,кон-
дуктивных тепловых потоков участвуют значения температур в
соседних узлах, а в остальных выражениях используется только
температура #n>m в данном узле. Заметим, что без применения
метода баланса вопрос аппроксимации граничных условий в
угловых точках вообще неясен, так как непонятно, в каком из двух
граничных условий аппроксимировать производную. С помощью
метода теплового баланса несложно получить и разностные
уравнения для граничных треугольных элементов, у которых стороны,
образующие прямой угол, параллельны координатным осям.
В случае использования явной схемы алгоритм решения
системы разностных уравнений не имеет существенных особенностей
по сравнению с одномерным случаем. Он сводится к
повторяющимся вычислениям сеточной функции tjn,m на новом /-м
временном слое по явным формулам, в которые входят значения tf-~ln,m
на предыдущем временном слое. Недостатком многомерной явной
схемы, как и в одномерном случае, является наличие ограничения
на шаг по времени, связанного с необходимостью выполнения
условия устойчивости. Например, для двухмерной задачи при
граничных условиях 1-го рода это условие имеет вид [98]
Гк
Неявная схема является безусловно устойчивой, однако ее
реализация сложнее, поскольку на каждом временном шаге
приходится решать систему уравнений относительно (NM) значений
температуры tjn,m на новом временном слое. Рассмотрим подробнее
структуру системы разностных уравнений неявной схемы.
В E.60) неизвестные температуры обозначены как элементы
двухмерного массива Vn,m. Однако при записи линейной системы
уравнений всем неизвестным надо присвоить сквозную нумерацию
и представить их в виде одномерного массива — вектор-столбца.
179

Такая перенумерация позволяет представить систему разностных
уравнений в общепринятой матричной форме записи систем ли-
нейных алгебраических уравнений и воспользоваться стандартными
программами их решения. Выполним перенумерацию по
горизонтальным прямым слева направо и снизу вверх. В этом случае
неизвестные нижней горизонтальной прямой обозначаются #i, thy ..
..., tiN, неизвестные второй горизонтальной прямой Лн-ь »• >?W и
т. д. Общая формула пересчета индексов п, т двухмерного
массива в индекс k одномерного массива для прямоугольной области
имеет вид: k=(m—\)N+n.
После введения новой нумерации формируются матрица А и
столбец свободных членов D линейной системы AT = D. Если
рассмотреть какую-либо k-ю строку матрицы А, то входящие в
нее ненулевые коэффициенты будут соответствовать
температурам, записанным в уравнение теплового баланса для k-я
элементарной ячейки. Из введенной нумерации и схемы вытекает, что в
балансе k-и внутренней ячейки участвуют только температуры
узлов с номерами k—1, k, k+1, k—Л/", \k+N. В балансах
граничных ячеек участвует еще меньше температур. Это означает, что в
любой строке матрицы А коэффициенты, отстоящие от диагонали
далее чем на N, равны нулю:
А =.
ц
\ \ \
ak,k-N flfc.fe ak,k+N
0 \ \ \
__ aM—NtM(N—\) ..MMN,MN
Все ненулевые коэффициенты лежат в пределах ленты
шириной 2Af+l, осью которой является главная диагональ матрицы. В
пределах ленты также могут встречаться нулевые коэффициенты.
Для прямоугольной области структура матрицы внутри ленты
является упорядоченной, однако если рассмотреть область более
сложной формы, например изображенную на рис. 5.15, то
ленточный характер матрицы сохранится, но ненулевые коэффициенты
будут более сложным образом расположены внутри ленты.
Отметим, что матрица А является симметричной, и поэтому
достаточно формировать и хранить в памяти ЭВМ только верхнюю часть
ленты. Симметрия матрицы вытекает из условия согласования
тепловых потоков между соседними элементарными объемами.
Если организовать перенумерацию неизвестных «по
вертикалям», двигаясь снизу вверх и слева направо, то ширина ленты для
рассматриваемой прямоугольной области равнялась бы 2М+1.
Очевидно, что для экономии машинной памяти, а для многих
алгоритмов и машинного времени, выгоднее иметь минимальную
ширину ленты. Поэтому следует проводить перенумерацию вдоль
той координаты, по которой берется меньшее число узловых точек.
Таким образом, при использовании неявной схемы сначала в со-
180

ответствии с принятой перенумерацией неизвестных проводится
формирование ленты матрицы А и столбца свободных членов D,
а затем с помощью обращения к какой-либо стандартной
программе решения линейной системы уравнений с ленточной матрицей
находят искомые значения температуры.
При наличии каких-либо нелинейностей в дифференциальном
уравнении или в граничных условиях применяются те же приемы,
что .и для одномерной задачи (см. Приложение 2), и приходится на
каждом шаге по времени решать линейную систему уравнений
(при итерациях—решать многократно) с меняющейся от шага
к шагу (и от одной итерации к другой) матрицей.
Основной проблемой при реализации неявных схем является
быстрый рост затрат машинного времени и памяти с
увеличением числа узловых точек в расчетной области. Например, при
использовании специальных модификаций метода Гаусса для
ленточных матриц число арифметических операций для решения
системы уравнений пропорционально L2K, где К — общее число
узловых точек в области, равное числу неизвестных в системе;
L — ширина ленты матрицы. Особенно неприятно это для
нестационарных нелинейных задач. Для сокращения затрат
машинного времени были разработаны конечно-разностные схемы,
у которых эти затраты на каждом шаге по времени
пропорциональны числу узловых точек К. Такие схемы называются
экономичными. Из экономичных схем наибольшее распространение
в практике расчетов тепловых режимов приборов получила
локально-одномерная схема [98].
Локально-одномерная схема. Локально-одномерная схема
является «типичным представителем» широкого класса схем,
применяемых для решения многомерных задач и задач расчета
совместно протекающих процессов, описываемых несколькими
уравнениями (например, уравнениями теплопроводности и диффузии
или уравнениями Навье — Стокса и энергии для потока
жидкости). Отличительной особенностью этих схем является сочетание
сильных сторон явных схем (малые затраты машинного времени
на один шаг по времени) и неявных схем (безусловная
устойчивость) .
В таких схемах протекание многомерного физического
процесса на каждом временном шаге представляется как результат
последовательной реализации соответствующих одномерных
процессов, каждый из которых начинается от распределения поля,
возникшего после окончания предыдущего одномерного
процесса. На основе такого представления, называемого расщеплением
задачи по пространственным переменным, моделирование
одномерных процессов проводится с помощью неявных схем, а
последовательное действие процессов учитывается по существу явным
образом, т. е. решение многомерной задачи сводится к расчету
на каждом шаге по времени набора одномерных задач,
решаемых в случае уравнения теплопроводности методом прогонки.
Применение неявной аппроксимации одномерных задач обеспе-
18!

чивает устойчивость схемы, а общее число арифметических
действий оказывается пропорционально числу узловых точек,
поскольку алгоритм прогонки обладает этим свойством.
Аналогичный подход используется и для задач расчета
нескольких совместно протекающих процессов, в которых на
каждом временном шаге расщепление проводится по физическим
процессам, т. е. последовательно решаются отдельные уравнения
со своими граничными условиями, а значения величин,
определяемых из других уравнений, берутся из уже полученных на
данном или предыдущем временном шаге полей. После
расщепления по физическим процессам отдельные многомерные задачи
можно далее расщеплять и по пространственным координатам.
Описанная методика внешне весьма проста, однако ее
конкретное воплощение, связанное с решением вопросов о том, «что
можно и как нужно расщеплять», во многих случаях связано с
серьезными трудностями и требует от расчетчика достаточно
высокой математической квалификации и хорошего понимания
физики исследуемого процесса.
С обоснованием допустимости применения
локально-одномерной схемы можно ознакомиться в [98]. Здесь ограничимся
только ее кратким описанием на примере решения задачи E.58) —
E.59). Рассмотрим сначала один шаг по времени от момента
tj-i до момента tj, предполагая пока, что в момент tj-i
распределение Т(х, уу Xj-\) известно. При использовании расщепления
вместо решения исходного уравнения Т(х, у, %j) определяют
решение следующей системы из двух вспомогательных уравнений:
Г* (*, у, т,т1) = Т (х, у, т,-!), * E.63)
g-a*t;^<x<Vi E.64)
Т(х,у,т^г) = Т*(х,у,%д. E.65)
Нетрудно показать, что при достаточно малом шаге по
времени At = tj—Tj-i распределение Т(х, у, п) будет близко к
искомому распределению Т(х, г/, tj). Отметим, что при решении
записанной системы сначала находится решение уравнения E.62),
а затем с использованием его в качестве начального условия
для уравнения E.64) определяется решение Т(х, у, т?), которое
и можно считать приближением для Т(х, у, т/). На основе
расщепления E.62) — E.65) можно построить следующий алгоритм
вычисления распределений Т(х> у, т) в дискретные моменты ti,
-Т2,... ,tj. На первом шаге решается система E.62) — E.65) при
Т*(х, у, 0)=Т0(х, у) и находится Т(х, у, ti), которое берут за
приближение для Т{х, у, %\). Второй шаг проводится также
путем решения на промежутке времени [ть тг] системы E.62) —
182

E.65), но в качестве Г*(л:, у, х\) используется T(xf yt ti). В
результате находится Т(х, у, тг), которое принимается за
приближение для Т(х, у, тг), и на его основе делается третий шаг и
т. д., т. е. вместо условия E.63) используется условие
Г* (.г, у, tj-J = Т (х, у, tj-J при / > 1. E.66)
Допустимость использования описанной методики неочевидна,,
поскольку по мере движения во времени будет происходить
накопление погрешности. Однако можно доказать [98], что при
уменьшении шага по времени Лт Т(х, у, %j) будет стремиться к
Т(х, у, tj).
Пока мы провели дискретизацию только по времени. Для
получения локально-одномерной разностной схемы необходимо
провести дискретизацию задачи E.62), E.64) по пространственным
переменным с использованием неявных схем:
* .• 1
пт пт CL , ,* л,* ,* ч , Чу /г г»у\
п,т п,т
hi V "+1>m n'm n-'-m' cp
-^ ^^ = — IV , t - 2 // +V Л . E.68)
У.
Рассмотрим структуру получившейся системы
конечно-разностных уравнений и методику ее решения. Система E.67) для
t*n,m фактически распадается на не связанные между собой
подсистемы, в каждую из которых входят неизвестные,
принадлежащие какой-либо из прямых, параллельных оси х. Эти подсистемы
решаются путем прогонок «по горизонталям» в направлении оси.
х, причем на каждом шаге по времени такие прогонки
выполняются М раз. Аналогично система E.68) распадается на
«вертикальные» подсистемы, которые решаются прогонками в направлении
у, выполняемыми N раз. Таким образом для определения
значений температуры Рп,т на новом временном слое сначала на
основе распределения ti-ln,m прогонками в направлении х находится
промежуточное распределение /*n,m, не имеющее
самостоятельного значения, а затем на основе этого распределения с помощью
прогонок в направлении оси у вычисляется окончательное
распределение на новом временном слое.
Процедуре составления системы конечно-разностных уравнений
локально-одномерной схемы целесообразно дать следующую
физическую интерпретацию. На первом этапе область заменяется
набором теплоизолированных между собой горизонтальных
стержней (рис. 5.17,а), для каждого из которых методом баланса
записывается соответствующая неявная схема, учитывающая
граничные условия задачи на вертикальных границах #=0 и х = 1х
как граничные условия для торцов стержней. Подчеркнем, что
при составлении уравнений баланса для нижнего и верхнего
горизонтальных стержней их боковой теплообмен со средой учиты-
183

Адиа&аты
У
h
0
А]
V
'А
ч
*/
XN X
Рис. 6.17. Иллюстрация процедуры реализации
локально-одномерной схемы
вать не надо. Поэтому система уравнений для первого и
последнего горизонтальных рядов элементарных объемов m=il и т=М
полностью идентична системе для внутреннего ряда. На втором
этапе аналогичным путем составляются разностные уравнения
для вертикальных стержней (рис. 5.17,6).
Для простой области прямоугольной формы описанная
процедура составления разностной схемы на основе ее физической
интерпретации не сильно облегчает работу по сравнению -с
формальным путем,-однако для более сложных областей (рис. 5Л5,а) она
оказывается весьма полезной и позволяет избежать ошибок.
Аналогичным образом локально-одномерная схема строится
для области в форме параллелепипеда. В этом случае вычисления
на каждом шаге по времени проводятся в три этапа путем
прогонок в направлениях х, у и г. После прогонок в двух
направлениях находятся промежуточные распределения температуры, а
после третьей прогонки — окончательное решение на данном
временном шаге. Заметим, что мощность внутренних источников qv
при расщеплении уравнения теплопроводности можно относить
либо к одному из направлений, как это было сделано выше, либо
распределять с некоторыми весовыми коэффициентами между
отдельными направлениями. Например, для трехмерной задачи в
каждое из одномерных уравнений можно записать член gv/3.
Локально-одномерную схему можно использовать и для
ступенчатых областей, границы которых образованы в двухмерном
случае прямыми, параллельными координатным осям, а в
трехмерном — плоскостями, параллельными координатным
плоскостям (рис. 5.18). Например, с помощью локально-одномерной
схемы можно рассчитывать температурные поля прямоугольных
оболочек. Отметим, что при анализе теплового режима замкнутой
прямоугольной оболочки в двухмерном приближении на основе
уравнения для пластины (см. рис. 5.5) необходимо делать
циклические прогонки, поскольку адиабатические стержни получаются
замкнутыми.
Локально-одномерная схема естественным образом
переносится и на цилиндрическую систему координат. В этом случае
промежуточные прогонки осуществляются соответственно по ради-
Ш

Рис. 5.18. Область, допускающая Рис. 6.19. Иллюстрация процедуры
применение локально-одномерной реализации локально-одномерной
схемы схемы на графах
альной, угловой и осевой координатам. По угловой координате
при изменении ф в интервале [0, 2я] выполняется циклическая
прогонка.
Кроме тел, поверхности которых образованы плоскостями,
параллельными координатным, локально-одномерная схема
может применяться и для некоторых областей с более сложной
границей. Для ряда таких областей предложена
локально-одномерная схема на графах [114]. Поясним ее на примере двухмерной
области, представленной на рис. 5.19. Анализ показывает, что для
такой области нельзя делать отдельно горизонтальные и
вертикальные прогонки, а необходимо формировать каждый «прогоноч-
ный» стержень из двух частей: вертикальной и горизонтальной,
соединенных между собой граничным треугольным элементом.
Таким образом, на каждом шаге по времени делаются прогонки по
направлениям, указанным на рис. 5.19. При этом процедуру
нельзя разделить на два этапа «вертикальных» и «горизонтальных»
прогонок, но в каждом узле сетки разностное решение находится
дважды при решении задачи для двух пересекающихся
«ломаных» стержней.
Описанную методику можно применять и для областей более
сложной формы. Например, использование схемы на графах
позволяет рассчитать нестационарное трехмерное температурное
поле кристалла электрооптического затвора, показанного на рис.
5.4. В этом случае прогонки на графах в плоскостях,
параллельных плоскости хОу, сочетаются с «простыми» прогонками в
направлении оси z.
Остановимся на важной особенности использования локально-
одномерной схемы, связанной с выбором шага по времени Ат.
Поскольку схема является безусловно устойчивой, то со стороны
устойчивости ограничений на шаг по времени нет. Однако
ограничения вызываются другими причинами. В приложении 1
отмечено, что для получения правдоподобных решений на грубых
сетках схема должна обладать свойством консервативности. Явная и
чисто неявная многомерные схемы обладают этим свойством,
так как их решения удовлетворяют соотношениям теплового
баланса для всех элементарных объемов области.
Локально-одномерная схема не является консервативной, поскольку на каждом
этапе ее реализации используются неполные соотношения тепло-
185

о
вого баланса для элементарных
объемов,, учитывающие перенос
c*=o теплоты только в каком-то од-
ном направлении. По этой при-
б
| ^ р р
«, Уср ix х чине при неудачном выборе
шага по времени можно получить
Uk'n ^^о^зГа„ГГлаокПа°льВ„Рое: правдоподобные по порядку вели-
одномерной схемы чины, но совершенно неверные
решения.
Приведем иллюстрирующий это обстоятельство пример.
Рассмотрим двухмерную задачу в прямоугольной области (рис. 5.20),
у которой внутренний источник распределен только в половине
области, а теплообмен со средой происходит лишь на нижней
границе у = 0. Предположим, что соотношение размеров области
1х/1у=№. Тогда отношение постоянных времени ху для
вертикальных стержней и %х для горизонтальных стержней Ту/тя — ОДМ.
Общее время протекания нестационарного процесса нагрева всей
области определится большей постоянной времени т*.
Рассмотрим, как будет происходить расчет по локально-одномерной
схеме с шагом по времени Ат, равным Зг^т*. Мощность qv в
области источника разделим поровну между двумя одномерными
разностными уравнениями. Тогда после прогонок в направлении
оси у в области 0<х<.1х/2 получим поле, совпадающее со
стационарным распределением в вертикальном стержне с мощностью
<7у/2, а в области 1х/2<х<с1х температура совпадет с
температурой среды Гср. Это связано с тем, что расчет по неявной схеме
для стержня с шагом Ат, превышающим его постоянную
времени, дает стационарное решение соответствующей одномерной
задачи, т. е. после вертикальных прогонок на каждом шаге по
времени будет повторяться одно и то же распределение температуры,
не имеющее ничего общего с истинным распределением.
Приведенный пример показывает, что при использовании
локально-одномерной схемы нужно тщательно подбирать значение
шага по времени, ориентируясь в большинстве случаев на
скорость изменения температурных полей в стержнях
адиабатического разбиения с наименьшими постоянными времени. При
проведении расчетов целесообразно анализировать не только
«итоговое» температурное поле, создавшееся после всех прогонок, но
и распределения, получающиеся в ходе реализации первого или
второго этапов временного шага. Различие между
окончательными и промежуточными температурными полями, как правило, че
долхсно превышать изменений температуры за один шаг по вре-
*мени или по крайней мере иметь тот же порядок величины.
Решение стационарных многомерных задач. При решении
многомерных стационарных задач применяют два подхода. При
первом составляется и решается система конечно-разностных
уравнений для стационарной задачи. Эта система получается из
E.60) обнулением левых частей уравнений, так как дТ/дх=0.
Структура матрицы такой системы уравнений полностью совпада-
.186

ет с рассмотренной выше для неявной схемы. Это подход в
основном целесообразно применять в двухмерном случае, решая
систему конечно-разностных уравнений прямым методом.
Сложнее обстоит дело с трехмерными задачами, поскольку
первый подход приводит к большим затратам машинного
времени и памяти. В этом случае можно применять другой подход,
который называется «счетом на установление» и заключается в
определении стационарного решения путем моделирования процесса
выхода в стационарный режим нестационарного температурного
поля, рассчитываемого по какой-либо экономичной схеме. Общие
затраты машинного времени при счете на установление равны
произведению числа шагов по времени / на затраты на одном
шаге. При использовании экономичных схем затраты на расчет
поля на одном шаге пропорциональны числу узлов сетки /С.
Поэтому общие затраты машинного времени с увеличением числа узлов
пространственной сетки растут медленнее, чем при решении
стационарной системы с ленточной матрицей. Кроме того, при счете
на установление нет необходимости хранить в памяти матрицу Л,,
содержащую KL элементов. Однако, как было указано выше, при
применении локально-одномерной схемы возникают свои
сложности с выбором шага по времени. Практика показывает, что для
трехмерных задач нельзя заранее однозначно решить вопрос о
выборе первого или второго подхода и приходится для конкретных
классов задач, особенно если планируется проводить большой
объем расчетов, анализировать различные схемы в ходе пробных
расчетов.
Выбор вида конечно-разностной схемы. Были рассмотрены три
вида конечно-разностных схем: явная, неявная и локально-одно-
мерная. Каждая из них имеет свои достоинства и недостатки,
которые были отмечены выше. В настоящее время в литературе отч
сутствуют исчерпывающие рекомендации для выбора схемы,
обеспечивающей получение решения конкретной задачи с заданной
погрешностью при минимальных затратах машинного времени или
памяти. Поэтому ограничимся только отдельными замечаниями,
которые могут оказаться полезными при выборе методики
решения для конкретной задачи.
В большинстве книг обычно исследуется поведение затрат
машинного времени при стремлении погрешности решения к нулю,
и для этого случая делается вывод о преимуществе экономичных
схем, представителем которых является локально-одномерная
схема. Однако при оценке затрат ресурсов ЭВМ необходимо
исходить из того, что общая погрешность моделирования
теплового режима складывается из погрешности физической модели Дф.м,
погрешности численного расчета Др и погрешности Ди.д,
обусловленной неточностью исходных данных (см. гл. 2). Погрешность
Др целесообразно уменьшать только до таких величин, начиная с
которых ее вклад в общую погрешность моделирования
становится пренебрежимо малым по сравнению с Дф.м и Ди.д.
Встречающиеся на практике значения Ди.д позволяют сделать вывод о том,
• 187

что нет смысла добиваться значений относительной погрешности
численного расчета Др, меньших единиц процентов (Ар
определяется в относительной форме по отношению к характерным
перегревам). Этот вывод согласуется с выводом, сделанным в [61],
где предлагается брать Ар=1...5%. Поэтому предпринимаемые в
отдельных работах попытки получать «верную» третью
значащую цифру в области анализа тепловых режимов приборов
представляются напрасной тратой «сил.
Для приведенного диапазона значений погрешности и следует
рассматривать вопрос о требуемых для решения задачи ресурсах
ЭВМ. При такой постановке каждая схема будет иметь свою
область применения, где она обеспечивает минимальные затраты
машинного времени для заданного значения погрешности.
В частности, вывод о малой пригодности явных схем из-за их
условной устойчивости, который делается во многих работах,
представляется спорным. При исследовании многих достаточно
быстропротекающих процессов шаг по времени ограничен сверху
по соображениям требуемой точности для любой схемы до
предела, при.котором выполняется условие устойчивости явной схемы.
Поскольку затраты машинного времени для определения
температуры в одной пространственной точке на одном шаге по
времени по явной схеме значительно меньше, чем по неявной или
локально-одномерной, то в этой ситуации явная схема имеет
преимущество.
Указанные обстоятельства можно проиллюстрировать
примером из [44], в которой сравнивались затраты машинного времени
для решения одномерной задачи
дх* '
-Д^г-1 -0; f ДЁг + BiG^ =0; e|Fo==0 = 0
дх |лг=о \ дх /х=\
по явной и неявной схемам при равномерной пространственной
сетке с шагом h. Путем проведения численного эксперимента на
ЭВМ при заданных значениях Я и Bi для явной и неявной схем
подбирался максимально допустимый временной шаг, при котором
относительная погрешность численных решений не превосходила
бы заданного значения б, и выяснялось, какая из схем более
эффективна. В результате были построены области значений h а
Bi предпочтительного применения явной и неявной схем. Они
изображены на рис. 5.21, для 6=1 и 2%. В этой же работе даны
и общие предложения по методике сопоставления затрат
машинного времени для различных схем.
Опыт авторов в расчетах тепловых режимов позволяет
сформулировать следующие рекомендации относительно выбора схем
для многомерных задач.
Для двухмерных задач следует принимать во внимание
возможность применения явной, неявной и локально-одномерной
188

0.05 0,1 0,15
Рис. 5.21. Области предпочтительного
применения явной (/) и неявной B)
схем для погрешностей, равных 1% (а)
и 2% (б)
схем. Кроме того, в ряде
случаев более эффективна еще
одна экономичная схема
расщепления —
продольно-поперечная [57]. Для каждой из
этих четырех схем можно
привести примеры
соответствующих практических задач.
Для трехмерных задач
приводится выбирать между
явной и локально-одномерной
•схемами. Неявная схема
применяется очень редко из-за
больших затрат машинного
времени и требуемого объема
памяти. Действительно, в
реальных задачах число пространственных точек составляет
несколько тысяч, а число шагов по времени — несколько сотен. Поскольку
на каждом шаге по времени приходится решать систему
нескольких тысяч уравнений с ленточной матрицей, имеющей ширину
ленты L порядка нескольких сотен, то затраты машинного времени
становятся неприемлемыми. Для некоторых задач эффективным
приемом является применение комбинации неявной и локально-
одномерной схем, когда по одному направлению делается
расщепление, а получающаяся после этого двухмерная промежуточная
задача решается по неявной схеме. На этом приеме остановимся
подробнее при рассмотрении метода конечных элементов.
Программная реализация конечно-разностных схем. Общая
структура программ расчета многомерных нестационарных задач
во многом похожа на структуру программы для одномерной
задачи [30]. В основе программы лежит цикл по времени,
внутри которого происходит решение соответствующей данному
временному шагу системы уравнений. Процедура решения зависит от
вида используемой конечно-разностной схемы.
Для явной схемы вычисления искомых температур
проводятся по явным формулам, в которые входят значения температур
на предыдущем временном слое. Расчетные формулы
различаются для внутренних, граничных и угловых точек сетки. Вычисления
реализуются в программе с помощью соответствующих операторов
цикла, которые для областей сложной формы могут быть
довольно громоздкими. Однако в целом программы, реализующие
явную схему, являются наиболее простыми и их разработка обычно
не вызывает затруднений.
При использовании локально-одномерной схемы каждый шаг
по времени состоит из двух (для двухмерных задач) или трех
(для трехмерных задач) частей, в которых находятся
распределения температуры, получающиеся после проведения прогонок по
какому-то одному направлению. Поскольку при этом для каждого
направления нужно перебирать все параллельные ему стержни
189

адиабатического разбиения области, то внутри каждой из частей
организованы циклы по номерам точек разбиения в плоскости,
перпендикулярной направлению прогонки. Программа получается
обычно более сложной, чем при использовании явной схемы.
Наконец, при неявной схеме внутри временного цикла
проводится в соответствии с принятой сквозной нумерацией
температур в узлах формирование матрицы и столбца свободных членов
линейной системы разностных уравнений, после чего
обращаются к какой-либо стандартной программе решения линейных
систем. Форма представления матрицы определяется требованиями
используемой стандартной программы. Как правило, при этом
программы для области сложной конфигурации сложнее
программ, реализующих явную или локально-одномерную схемы.
Для областей канонических форм существенных отличий в
сложности программ нет.
Для тел канонической формы разнообразие постановок задач*
(см. § 5.1) обусловлено различиями в видах
пространственно-временных распределений параметров задачи: объемных и
поверхностных источников теплоты, коэффициентов теплоотдачи, темпе*
ратур окружающих сред. Существует возможность разработки;
достаточно универсальных программ, предусматривающих
возможность задания пользователем различных видов распределений этих
параметров. Например, при нахождении
пространственно-временных распределений различных параметров задачи можно
предусмотреть в программе обращения к соответствующим
подпрограммам-функциям, которые пользователь должен составлять сам;
применительно к интересующей задаче.
Другой путь состоит в том, что в программе
предусматривается задание различных конкретных видов
пространственно-временных распределений параметров, а пользователь лишь указывает
требуемый ему вид зависимости и вводит ее числовые параметры.
При таком подходе в качестве исходных данных пользователь
вводит совокупность управляющих признаков, с помощью которых в
программе производится выбор необходимых видов тепловых
воздействий в уравнении теплопроводности и в граничных условиях.
Гораздо сложнее обстоит дело с телами сложной формы,
которая в основном и определяет особенности программы. Опыт
авторов показал,.что в этом случае при составлении универсальных
программ возникают существенные трудности и приходится
ориентироваться на довольно узкие классы тел. Для областей
произвольной сложной формы универсальные программы
целесообразно разрабатывать на основе метода конечных элементов.
Пример 5.1. Анализ теплового режима
электрооптического затвора. Электрооптический затвор, заключенный в
металлическую камеру термостата, представлен на рис. 1.17,6. При работе затвора на
охватывающие его электроды / (рис. 5.22) подается высоковольтное
напряжение и электрическое поле, возникающее в зоне кристалла 2 между
электродами, изменяет оптические характеристики материала. Эта зона 2
называется зоной электрооптического эффекта или модуляционной зоной.
190

Рис. 6.23. Пространственная сетка
для электрооптич^еского затвора
Рис. 5.22. Электрооптический затвор:
/ — электроды; 2 — зона
электрооптического эффекта
В [58] рассмотрена процедура определения основных требований к
системе термостатирования, являющихся исходными данными для ее
проектирования. Она реализуется на основе временных зависимостей максимального
перегрева кристалла Отах(т) и среднего перегрева модуляционной зоны над
температурой камеры, а также среднего по длине кристалла перепада
температуры между центром и поверхностью в зоне электрооптического
эффекта АГц.п. При определении этих характеристик теплового режима затвора
необходимо рассчитывать его трехмерное температурное поле путем решения
уравнения ср-—.
дх
(х, т) с граничными и начальным условиями
-А,-
дп
в области, имеющей форму косоугольного параллелепипеда.
Наличие внутренних источников теплоты в затворе вызвано
поглощением проходящего через него лазерного излучения. Их распределение
неравномерно по пространственным координатам даже при равномерном
распределении интенсивности в поперечном сечении пучка лазерного излучения. Ха-
рактер временной зависимости qv {х, %) обусловлен режимом работы лазе-
—*
ра. Коэффициент теплоотдачи а(х) неравномерен по поверхности кристалла,
поскольку с одной ее части теплообмен с камерой происходит через слой
компаунда, а с другой—через воздушный зазор (см. рис. 1,17,6). С учетом
конфигурации исследуемой области целесообразно выбрать сетку, представленную
на рис. 5.23.
Для решения поставленной многомерной задачи для одиночного тела
можно использовать либо явную, либо локально-одномерную схему на
графах. Причем в данном случае, как показывают оценки, ограничение на шаг по
времени для явной схемы, вытекающее из условия устойчивости, не является
обременительным. Время установления стационарного теплового режима
затвора составляет несколько сотен секунд, а максимально допустимый по
условию устойчивости шаг по времени для реальной пространственной сетки —
порядка одной секунды. Поэтому даже при наиболее неблагоприятном для
явной схемы виде нестационарного режима выигрыш в машинном времени при
применении локально-одномерной схемы несущественен. Этот вывод для рас-
191

Рис. 5.24. Результаты
расчета температурного
поля электрооптического
затвора (указаны пере*
гревы .над температурой
камеры в градусах по
Кельвину)
сматриваемого примера подтверждается сопоставлением результатов
расчетов по обеим схемам.
В качестве примера можно привести следующие данные, дающие
представление о требуемых для расчета ресурсов ЭВМ. При пространственной
сетке, включающей 4000 узлов, время расчета процесса до выхода в
стационарный режим составило на ЭВМ ЕС-1040 при явной схеме 12 мин (было
сделано 200 шагов по времени), при локально-одномерной схеме на графах
10 мин (80 шагов по времени).
На рис. 5.24 представлено стационарное температурное поле в среднем
продольном сечении затвора при общей мощности тепловыделений в
кристалле, равной 1 Вт. Показаны изотермические линии и указаны соответствую*
щие им значения перегревов над температурой камеры.
5.4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Разработка хорошей программы, реализующей метод конечных
элементов (МКЭ), является достаточно сложной задачей,
требующей привлечения высококвалифицированных специалистов по
вычислительной математике. Кроме того, в настоящее время в
стране существуют уже разработанные программные комплексы.
Поэтому обычно специалист по тепловым режимам должен уметь
только правильно применять готовые программы. В связи с этим
при описании МКЭ остановимся только на тех вопросах, без
понимания которых затрудняется грамотная эксплуатация
программного обеспечения.
Основные концепции МКЭ. Сущность МКЭ рассмотрим на
примере двухмерной стационарной задачи теплопроводности в
области D произвольной формы
W-° E-69)
E.70)
Величины Я, qv, a, qs могут быть заданы в виде произвольных
функций координат х, у, в том числе и кусочно-непрерывных
функций.
Метод конечных элементов основан на определении
температурного поля путем приближенного решения соответствующей
вариационной задачи. Для формулировки этой задачи напомним по-
192
T(THf(*T
дх \ дх I ду \ ду
при граничных условиях 3-го рода

нятие функционала. Оператор / [Т] называется функционалом,
заданным на некотором множестве функций, если каждой
функции Т(х, у) из этого множества по некоторому правилу ставится
в соответствие численное значение /[Г]. Иными словами,
функционал является как бы «функцией от функции». В практических
приложениях обычно встречаются функционалы, заданные в виде
некоторых интегралов, в подынтегральные выражения которых
входят функции Т(х, у).
Многие краевые задачи теплопроводности эквивалентны
задачам отыскания функций, доставляющих минимум некоторым
специально сконструированным функционалам. Задача отыскания
функции, минимизирующей функционал, называется
вариационной. На основе перехода от краевых дифференциальных задач к
вариационным развиты многие приближенные аналитические
методы решения задач теплопроводности. С ними можно
познакомиться в [48, 60]. Здесь приведем вариационную формулировку
рассматриваемой краевой задачи E.69), E.70) без
доказательства. Задача решения уравнения E.69) с граничными
условиями E.70) эквивалентна задаче определения функции Т(х9 у),
минимизирующей функционал 1[Т(х, у)] вида
+ l{~raT2~qsT)dL EJ1)
Наиболее широко распространенный прием получения
приближенного решения вариационных задач состоит в следующем.
Приближение для искомой функции t(x, у) разыскивается в
виде
м
*(*,#)-2 ajm(x,y), E.72)
m=l
где am — неизвестные постоянные коэффициенты, а /m —
известные функции пространственных координат. Если подставить t(x,
у) в функционал E.71), то можно провести интегрирование по
пространственным переменным и получить величину /, зависящую
уже не от неизвестной функции, а от неизвестных коэффициентов
разложения ат : 1=1 (аи ..., #м).
Для определения приближенного решения вариационной
задачи в виде E.72) следует найти значения аи •••, Дм,
обеспечивающие минимум «обычной» функции нескольких переменных,
которые определяются из решения системы уравнений
^ = 0, т=1,...,М. E.73)
Центральным местом в изложенном подходе к решению
вариационной задачи является выбор координатных функций
разложения fm{x, у) (т=1,... ,М). Метод конечных элементов оснр-
7-65 193

ван на использовании
описанной схемы приближенного
решения при специфическом
выборе вида координатных
функций fm(Xf у).
Построение координатных
функций проводится в МКЭ
после разбиения области опре-
^ деления искомой непрерывной
хь х величины на N подобластей,
Рис. 5.25. Разбиение двухмерной облас- называемых элементами, и
ти на треугольные элементы фиксации в них М узловых
точек, выбираемых обычно на
границах элементов. Поясним методику построения координатных
функций на примере простейшего способа разбиения двухмерной
области треугольными элементами с узлами в вершинах
треугольников (рис. 5.25). Температурное поле tM(x, у) в каждом п-м
элементе аппроксимируется зависимостью вида
*<"> (х, у) = U Ф1П) (х9 у) + tj4>)n) (х, у) + tk № (х, у), E.74)
где tu tj, tk — искомые значения температуры в соответствующих
узлах элемента; <р*(п), ф*<п>, ф^п> — три функции, которые
удовлетворяют следующим условиям:
Ф^ vty» Ул == *» Ф/ \%и Hi)== Ф/ \%ъ.у Ую == Ф E.75)
Ф& v^ft» Ум яя 1» ф& \%i> Ун == фй \%ji Ум === 0#
Эти функции называются функциями формы л-го элемента.
Каждая из них равна единице в одном из узлов и нулю во всех
остальных. Очевидно, что в данном случае в качестве функций
формы можно взять линейные функции координат
.(/l) /у{") „I A^^V Лш r^^it 1 — lit»
где коэффициенты а{п\ b{n\ Ci{7^ находятся из условий вида
E.75).
В общем случае могут использоваться более сложные
элементы с большим числом узлов. Тогда для каждого элемента
используется аналогичная E.74) аппроксимация, для которой вводится
столько функций формы в виде полиномов, сколько в нем
содержится узлов. Каждая из функций формы равна единице в одной
«своей» узловой точке и нулю во всех остальных узлах. В этом
случае при использовании разложений, подобных E.74), в
каждой точке области D «работают» только функции формы того
элемента, в который попадает точка, а на общей границе двух
элементов значение t (х, у) можно рассчитывать по любой из двух
совокупностей функций формы.
194

Таким образом, при описанном подходе в качестве неизвестных
коэффициентов в разложении E.72) выступают искомые
температуры в узловых точках.
Значение функционала / можно представить в виде суммы
N
где /?п> вычисляется путем интегрирования по я-му элг-
менту разбиения с использованием разложения, подобного E.74).
В результате интегрирования / оказывается зависящим только от
неизвестных температур в узлах элементов: /=/(/ь ..., ?м), а
уравнения E.73), вытекающие из условия минимума /, принимают
вид
д1(п)
= 0, m=l,...,Af.
E.76)
Они и являются алгебраическими уравнениями разностной схемы
МКЭ относительно искомых температур в узлах.
Остановимся коротко на особенностях основных этапов
реализации мкз.
Выбор вида элемента и разбиение области. Первый этап
включает выбор вида элементов и -способа расположения в них узловых
точек, разбиение области на элементы, а также определение
функций формы. При решении двухмерных задач применяются
элементы различного вида: треугольные (рис. 5.26,а), четырехугольные,
(рис. 5.26,6), элементы с криволинейными границами (рис.
5.26,в), с узловыми точками, расположенными по границам
элементов (рис, б.26,г). При решении трехмерных задач элементы
могут быть выбраны в виде тетраэдров (рис. 5.27,а),
косоугольных параллелепипедов (рис. 5.27,6), призм с треугольным
основанием (рис. 5.27,в) и др.
Для двухмерных задач, встречающихся при анализе
теплового режима приборов, довольно часто используются наиболее
простые рассмотренные выше линейные треугольные элементы с
узлами, расположенными в их вершинах. Название «линейные»
у этих элементов обусловлено тем, что при наличии на границе
В)
Рис. 5.26. Виды двух- Рис. 5.27. Виды трехмерных элементов
мерных элементов ¦ '
7*

трех узлов допустимо применять только функции формы щ{п^(х,
у), линейные по координатам.
Применение более сложных элементов позволяет
.использовать для аппроксимации температурного поля в элементе
полиномы более высоких степеней. Отметим, что при построении
функций формы, кроме сформулированных выше условий на их
значения в узловых точках («единица в одном узле и нуль в
остальных»), необходимо обеспечивать непрерывность
аппроксимации на границах смежных элементов. 'Методика получения
функций формы для различных видов элементов рассмотрена в
[50, 100].
В современных программных комплексах, реализующих
расчет температурных полей по МКЭ, иногда предусмотрена
возможность применения различных элементов. Для конкретной
задачи вид элемента определяется пользователем по каталогу
элементов, применяемых в данном программном комплексе.
После выбора вида элементов проводится разбиение области
на элементы. На рис. 5.25 представлено разбиение двухмерной
области на N треугольных элементов. Отметим, что вершины одних
треугольников не должны находиться на сторонах других
треугольников, т. е. каждый элемент разбиения должен содержать три
узла. Общие вершины треугольников образуют узлы
пространственной сетки, в которых определяется температура. После разбиения
вводится сквозная нумерация элементов и узлов. Номер узла в
общем случае не связан с номером элемента. Однако, как и в
случае неявной конечно-разностной схемы, нумерация узлов влияет
на ширину ленты матрицы линейной системы разностных
уравнений [100].
Полная информация о выполненном разбиении может быть
описана в программе следующим образом: задаются массивы
«координат всех узлов {jcm}Mm=i и {ym}Mm==i в порядке их нумерации;
для каждого л-го элемента указываются по три номера узлов,
лежащих в его вершинах; для каждого п-го элемента указывается
признак, определяющий принадлежность его сторон внешней
границе области. Номера узлов в вершинах и признаки
принадлежности сторон границе удобно задавать в виде табл. 5.1.
Такую таблицу можно задать в виде матрицы размерности
AN, которую часто называют индексной матрицей. Предложенный
способ полностью описывает выполненное разбиение на
элементы и нумерацию узлов и не содержит избыточной информации.
Таблица 5.1
Номер
элемента
Номер узлов
Признак принадлежности
старон границе
196

Таким образом, простейший, но наиболее трудоемкий способ
реализации процедуры разбиения состоит в ручном разбиении
области на треугольные элементы, нумерации всех элементов и
узлов и дальнейшем вводе в качестве исходных данных программы
массивов координат узлов и индексной матрицы. Однако обычно
эта процедура автоматизируется. На особенностях автоматизации
остановимся ниже.
Формирование и решение системы разностных уравнений. На
втором этапе производится формирование !матрицы и столбца
свободных членов линейной системы разностных уравнений. Эта
процедура всегда выполняется автоматически на основе
параметров исходной задачи, а также информации о разбиении области,
представляемой обычно в указанной выше форме. Алгоритмы
формирования матрицы рассмотрены в [30, 100]. Отметим
только, что процедура построения системы разностных уравнений в
МКЭ отличается от метода конечных разностей. При построении
конечно-разностной схемы рассматривается уравнение теплового
баланса для элементарного объема, построенного вокруг узла
сетки, и сразу получается соответствующее уравнение общей
системы. В случае МКЭ в любое уравнение системы E.76) входит
сумма производных от функционалов, вычисленных для различных
элементов. Поэтому при составлении каждого уравнения надо
производить суммирование «вкладов» от разных элементов. Из-за
этой особенности процедура построения системы уравнений МКЭ
менее наглядна, чем в случае конечных разностей.
При разумной нумерации узлов матрица линейной системы
разностных уравнений имеет ленточный вид. Для решения
системы, выполняемого на последнем третьем этапе, в программных
комплексах могут предусматриваться различные подпрограммы,
реализующие как прямые, так и итерационные методы. Выбор
того или иного метода и выдача директивы на использование
соответствующей подпрограммы иногда возлагается на
пользователя. Из прямых методов хорошо зарекомендовал себя на практике
и получил широкое распространение метод квадратного корня
[50, 57]. При числе узлов пространственной сетки порядка
нескольких тысяч его целесообразно применять в первую очередь.
При более мелкой сетке определенных рекомендаций дать нельзя
и приходится пробовать и сравнивать между собой различные
методы.
Особенности решения нестационарных задач. Метод конечных
элементов можно применять и для решения нестационарных
задач. При этом для построения численных схем используются
различные подходы [50, 100]. В многочисленных книгах по методу
конечных элементов, имеющих практическую направленность,
отсутствуют строгие математические обоснования сходимости тех
или иных предлагаемых схем для нестационарных задач, а также
сравнительный анализ их достоинств и недостатков,
позволяющий выбрать схему для решения конкретной практической
задачи. Поэтому ниже без доказательств кратко излагаются два на-
197

иболее простых, но достаточно распространенных приема
получения численных схем метода конечных элементов для решения
нестационарных задач. Проиллюстрируем их на примере задачи
дт - / д*т д*т
дх \ дх* ду*
решаемой при граничных условиях E.70) и треугольных
элементах разбиения двухмерной области.
Оба подхода основаны на том, что в функционал / из E.71)
вместо члена qv(x, у) записывается член [qv(xy у)—ср — ]. Да-
дх
лее проводится дифференцирование © уравнениях E.76), при ко-
/ ч дТ
тором предполагается, что член qv(x, у)—ср— является не за-
дх
висящей от искомых значений температур узловых точек
функцией. В результате этого в m-м уравнении системы E.76)
появляется член, имеющий вид
—• I Фт0 (х> у) dx dy, E.77)
где суммирование ведется по всем треугольникам, содержащим
m-й узел с температурой tm.
Для получения требуемых уравнений нужно в E.77) выразить
производную dTldx через производные по времени от искомых
температур узловых точек. При этом используют один из двух
следующих приемов.
При первом подходе исходят из аппроксимации температуры в
п-м элементе вида E.74), в которой tu tj9 h считаются теперь
функциями времени. Тогда в качестве приближения для дТ/дх
используется соотношение
-?*-¦? Ф'п> <*. у) + -fj- ч4п) (*• у) + ^т Ф*"' С У)- <5-78)
С учетом E.77) и E.78) вместо системы алгебраических
уравнений для стационарной задачи E.76) получают систему
обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом в т-е уравнение
системы наряду с производной dtm\dx входят производные по
времени температур всех узлов в треугольниках, содержащих
m-й узел.
При втором подходе Qm из E.77) трактуется как мощность
источников, отнесенная к m-му узлу. В связи с этим в качестве
приближения для дТ/дх берется значение производной по
времени от температуры т-го узла:
HLJh E.79)
дт dx
В случае применения соотношения E.79) рассмотренным выше
путем также получают систему обыкновенных дифференциальных
уравнений. Однако, в отличие от первого подхода, в т-е уравне-
198

ние системы входит только производная от температуры т-го
узла.
Отметим, что кроме производных от искомых температур в
полученные системы дифференциальных уравнений входят и
сами температуры. В матричном виде эти системы уравнений
записываются следующим образом:
где С, G—«квадратные матрицы размерности МхМ; F — вектор-
столбец правых частей; —1, t — вектор-столбцы искомых тем-
I dx\
ператур и их производных по времени. Заметим, что матрица G и
вектор-столбец F совпадают с соответствующими матрицей и
вектор-столбцом системы уравнений E.76) для стационарной
задачи.
При использовании соотношений E.78) матрица С является
ленточной и имеет такую же структуру, как и G, а при
использовании соотношений E.79) матрица С является диагональной.
Дальнейшее построение численной схемы связано с
дискретизацией по времени, при которой производные в вектор-столбце
I—| заменяют конечными разностями (Рт—P~lm)fA"t9 а искомые
температуры в вектор-столбце t берут либо с предыдущего (/—>1)-
го, либо с текущего /-го момента, получая соответственно явную
или неявную схемы. Эти схемы имеют такие же сравнительные
достоинства и недостатки, как и в случае конечно-разностных
методов.
Заметим, что второй из рассмотренных подходов хотя и
выглядит менее корректным, но в ряде случаев оказывается
предпочтительным. Опыт расчетов показывает, что при использовании
первого подхода в некоторых задачах получаются осцилляции
численного решения даже при расчете по неявной схеме. При
применении неявных схем, построенных на основе второго
подхода, таких противоречащих физическому смыслу эффектов в
численных решениях не наблюдается.
Применение неявной схемы МКЭ для решения трехмерных
нестационарных задач часто бывает затруднительно из-за больших
затрат оперативной памяти и машинного времени. Поэтому при
решении трехмерных нестационарных задач в некоторых часто
встречающихся на практике классах областей можно и
целесообразно применять МКЭ в сочетании с локально-одномерной
схемой. К таким областям относятся, в частности, рассмотренные в
§ 5.1 тела вращения с произвольной формой образующей (см.
рис. 5.6) и тела типа цилиндров с поперечным сечением
произвольной формы (см. рис. 5.7). Рассмотрим для примера
методику решения нестационарного трехмерного уравнения E.7) в
цилиндрической системе координат в области, показанной на "рис.
5.28. Проводя расщепление по угловой координате ср, получаем
199

Рис. 5.28. Разбиение на
элементы тела вращения с
произвольной формой
образующей
следующую систему из двух вспомогательных уравнений,
решаемых на каждом шаге по времени [tj-i, Tj] :
Ф, г); E.80)
дх г дг \ дг
Ф (г, 2, Ф, 0) = Г (г, z, ф, 0); * (г, z, ф, т/в1) - ш (г, z, ф, тм);
^и/ _ X d2w
дх г*
E.81)
W (Г, Z, ф, T/^i) - fl1 (Г, Z, ф, Ту).
При пространственной дискретизации области используется
сетка, показанная на рис. 5.28. Форма элементов разбиения в
сечении сложной формы должна быть подходящей для
использования мкэ.
Таким образом, на первом этапе каждого временного шага
необходимо решать уравнения E.80) в двухмерной области
сложной формы (координата ф здесь выступает как параметр).
Соответствующие разностные решения находятся с помощью МКЭ.
На втором этапе путем циклических прогонок по оси ф
решаются одномерные уравнения E.81), учитывающие перенос теплоты
по углу, и определяется окончательное решение на данном
временном шаге.
Для цилиндров с произвольной формой поперечного сечения
на первом этапе схемы расщепления решается двухмерная
задача в плоскости поперечного сечения, а на втором этапе
проводятся прогонки вдоль оси z, параллельной образующей
цилиндрической поверхности.
Особенности программной реализации МКЭ. Существенным
достоинством МКЭ является возможность составления программ
численного расчета полей в областях сложной конфигурации,
которые проще по логической структуре и по заданию исходных
данных, чем программы, реализующие метод конечных разностей
для таких областей. В программе решения задачи методом
конечных элементов в соответствии с рассмотренными выше
этапами его применения выполняются следующие основные процедуры:
разбиение области на элементы, нумерация узлов и формирование
на этой основе индексной матрицы; формирование матрицы и
вектор-столбца системы разностных уравнений; решение системы
разностных уравнений; расчет температур и тепловых потоков в
200

различных точках элементов разбиения, проводимый на основе
принятой аппроксимации температурного поля в элементе.
Основные трудности, возникающие при создании достаточно
общей программы, реализующей МКЭ, связаны с
автоматизацией первой процедуры. (Это довольно сложная задача, и, как
правило, ее программное решение дается пользователю в готовом
виде. Однако практика показывает, что для грамотной
эксплуатации программного обеспечения пользователь должен иметь
представление о применяемых в нем алгоритмах. Поэтому далее мы
рассмотрим только принципы автоматизации первой процедуры,
иллюстрируя их на примере двухмерной области произвольной
формы при треугольных элементах разбиения.
Как уже было отмечено выше, простейший, но наиболее
трудоемкий способ состоит в ручном разбиении области на
треугольные элементы, нумер-ации узлов и в дальнейшем вводе в ЭВМ
в качестве исходных данных массивов координат узлов и
индексной матрицы. Однако в реальных задачах число узлов и элементов
может составлять несколько сотен или тысяч и поэтому
построение расчетной сетки вручную и ввод больших массивов чисел
нецелесообразны из-за больших затрат времени на их подготовку
и большой вероятности появления ошибок. При автоматизации
процедуры построения сетки требуется разработать алгоритм, в
котором исходной информацией является сравнительно
небольшое число данных, описывающих геометрию области сложной
формы и густоту сетки, а на выходе получаются массивы координат
всех узлов сетки и индексная матрица.
Для конкретных конфигураций можно составить частные
подпрограммы, реализующие построение сетки на основе данных о
размерах области и шагах по осям координат. Однако для
практических приложений больший интерес представляют
универсальные программы автоматического разбиения областей различной
сложной формы.
В литературе предложены различные способы описания
геометрии и алгоритмы дискретизации областей для МКЭ [50, 100].
Наибольшее распространение получил следующий подход.
Область сложной формы разбивается вручную на подобласти,
которые называются «макроэлементами». Эти подобласти должны
достаточно хорошо описывать геометрию расчетной области.
Обычно макроэлементы выбирают в форме треугольников, и
неправильных четырехугольников, но иногда используют и подобласти, ог- .
раниченные кривыми второго порядка. Число таких
макроэлементов обычно невелико (несколько единиц или десятков), и
поэтому это разбиение можно описать путем задания координат
узлов макроэлементов и некоторой условной нумерации
макроэлементов и их узлов.
Затем реализуется автоматическое разбиение каждого из
'макроэлементов на элементарные треугольные элементы. Для этого
в исходных данных лишь указываются параметры,
характеризующие густоту сетки в каждом из макроэлементов.
201

Приведем два примера автоматизации разбиения. В первом
используются макроэлементы в виде неправильных
четырехугольников (рис. 5.29). Для каждого из них задается следующая
информация: номера узлов в вершинах и признаки принадлежности
сторон границе, числа дроблений на отрезки &i, k2 по двум
смежным сторонам, а также вводятся массивы координат вершин всех
•четырехугольников. Каждый из макрочетырехугольников
автоматически разбивается на маленькие четырехугольники прямыми,
проходящими через точки разбиения противоположных сторон на
равные отрезки. Полученные четырехугольники, в свою очередь,
разбиваются короткими диагоналями на элементарные
треугольники. В результате число треугольников в каждом
макроэлементе равно 2^i^2. Заметим, что при таком способе для общих
сторон макроэлементов должна задаваться одинаковая кратность
дробления.
Другой способ автоматизации разбиения иллюстрирует рис.
5.30. Здесь в качестве-макроэлементов взяты треугольники.
Информация о них задается почти в таком же виде, как и для
«элементарных» треугольников (массивы координат вершин и
индексная матрица), но с одним отличием. Для каждого
•макротреугольника указывается еще одно число — кратность дробления k.
Если ?=0, то треугольник не дробится и принимается в качестве
конечного элемента. При k = l путем соединения центров сторон
проводится разбиение макроэлемента на четыре подобных
треугольника. При i&=2 каждый из полученных четырех
треугольников еще раз разбивается на четыре подобных и т. д., т. е.
число полученных из макроэлемента треугольников равно 4ft.
Кратность дробления соседних макроэлементов может различаться не
более чем на единицу. При этом, чтобы избежать появления
«лишних» узлов на стороне треугольника с меньшей кратностью
дробления, автоматически проводится построение еще
нескольких треугольников. Для этого узел, лежащий на стороне
треугольника, соединяется с противоположной вершиной, как это
показано на рис. 5.30 штриховыми линиями. Достоинством
описанного способа разбиения является возможность резко сгущать
сетку в областях с большими градиентами температур.
Рис. 5.29. Разбиение
области, представленной
четырехугольными
микроэлементами
202
к=0
Рис. 5.30. Разбиение
области, представленной
треугольными
макроэлементами
Рис. 5.31.
Автоматизация нумерации
{узлов

В процессе автоматического разбиения области проводится и
нумерация получившихся элементов разбиения. После этого
возникает задача оптимальной перенумерации узлов с целью
уменьшения ширины ленты матрицы. В ряде случаев такую
перенумерацию целесообразно проводить последовательно вдоль
направлений, содержащих меньшее -число узлов. В некоторых
программах нумерацию проводят последовательно в пределах каждого
макроэлемента в порядке их обхода, но при этом в
треугольниках, лежащих у границ макроэлементов, могут возникать
большие разности номеров узлов.
Можно предложить и другие подходы. Например, хорошо
зарекомендовал себя для решения многих практических задач
следующий способ перенумерации узлов. Узел номер 1 выбирают
где-либо на границе области. Далее номера 2, 3 и т. д.
присваиваются узлам, которые соединены с узлом 1 стороной
элементарного треугольника (рис. 5.31). После того как пронумерованы
все узлы, соединяющиеся с узлом 1, в качестве «опорного»
берется узел 2 и продолжается нумерация узлов, соединенных с ним
и не пронумерованных ранее. Подобная процедура
последовательной нумерации узлов, соединенных с имеющим наименьший из
ранее присвоенных номеров, продолжается до полной нумерации
всех узлов расчетной области.
S.5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ
ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ТЕЛ
В литературе по теории разностных схем недостаточное
внимание уделено анализу и методам решения систем многомерных
уравнений параболического типа, в которых неизвестные
функции связаны между собой через граничные условия. Поэтому при
расчете теплового режима приборов по многомерным моделям
для систем тел приходится опираться на опыт предыдущей
работы и результаты численного эксперимента, учитывая в основном
два фактора: затраты машинного времени и памяти, необходимые
для решения задачи; трудоемкость разработки программы.
Для решения систем многомерных уравнений
теплопроводности можно применять три основных вида схем [44]: явные,
неявные, а также смешанные, в которых на любом временном шаге
температурное поле какого-либо тела находится по неявной
схеме, но с применением информации о температурных полях других
тел системы с предыдущего временного слоя. Кроме того,
возможны и алгоритмы, в которых используются в различных частях
системы разные схемы. Например, при общей смешанной схеме
температурные поля некоторых тел системы могут рассчитываться
по явным схемам.
С точки зрения затрат машинного времени, требуемого для
получения численного решения, имеющего конечное значение
относительной погрешности, каждая схема имеет свою область
применения. Этот вывод аналогичен сделанному в § 5.3 при анали-
203

зе способов решения много-мерных задач для одиночных тел.
Однако, как показывает практика, область применения явной и
неявной схем в реальных задачах для систем тел меньше, чем
области применения смешанной схемы.
Для неявной схемы это вызвано тем, что увеличивается
размерность задачи и соответственно резко возрастают затраты
машинного времени для решения на каждом шаге по времени
линейной системы уравнений. Как показывает опыт, в большинстве
трехмерных задач для систем тел неявную схему практически не
удается применять.
Сужение области применения явной схемы объясняется тем, что
среди тел системы часто находится тело, выполненное из
материала с высокой температуропроводностью и имеющее малый
характерный размер по какой-либо пространственной координате,
из-за которого ограничение на значение шага по времени по
условию устойчивости явной схемы получается очень жестким.
В такой ситуации разумной альтернативой явным и неявным
схемам являются смешанные схемы, которые показали свою
эффективность в большинстве решенных авторами многомерных
задач для систем тел. В смешанных схемах при аппроксимации
граничных условий для г-го тела вида
-о,
:
—»
либо температуры окружающих тел Тг(х9 т), либо тепловые
потоки qu=au(Ti(xy %)—Ti(x, %)) от этих тел берутся на основе
распределений, найденных на предыдущем (/—1)-м шаге по
времени, т. е. при записи уравнений теплового баланса для граничных
элементарных объемов ?-го тела тепловые потоки записываются
в виде qu=cLu(Uii—Щ*~~1) или qu=\cLii(Uii~l—и^).
Проведенное в :[44] на модельных задачах исследование ряда
видов смешанных схем позволило сделать вывод о том, что
лучшие результаты дает смешанная схема, в которой для «развязки»
тел системы берутся значения тепловых потоков между телами с
предыдущего временного слоя. Смешанная схема является
условно устойчивой, так как при вычислении тепловых потоков
используются температуры предыдущего временного слоя, однако
для большинства практических задач ограничение на шаг по
времени для смешанной схемы значительно (на порядок и более)
слабее, чем для явной.
Приведенные рассуждения о преимуществах смешанных схем
носят весьма качественный и субъективный характер. Для
практики большое значение имеют процедуры, позволяющие на
начальном этапе решения конкретной задачи сопоставить затраты
машинного времени для тех или иных разностных схем со
сложностью и трудоемкостью их программной реализации и выбрать
оптимальный в данной ситуации алгоритм. Некоторые подходы к
построению методики сопоставления затрат машинного времени
204

при использовании явной, неявной и смешанной схем для
систем тел предложены в [44]. Эта методика основана на анализе
модельных одномерных задач для системы пластин, отражающей
ряд существенных особенностей реальной задачи.
Перейдем к особенностям программной реализации моделей
для систем тел. Приведенные в § 5.1 примеры многомерных
задач для систем тел показывают, что даже устройства одного
класса (квантроны, объективы, термостаты и т. д.) весьма
разнообразны как по комбинациям и конструкции элементов, из которых
они состоят, так и по структуре тепловых связей между ними.
Опыт разработки программ для решения подобных задач
показывает, что процедура их составления и отладки весьма
трудоемка, продолжительна и требует привлечения
высококвалифицированных специалистов. Поэтому неприемлемым является подход,
при котором для каждой конкретной конструктивной схемы
устройства данного типа должна составляться новая программа
расчета, совершенно не связанная с программами для других его
конструктивных схем. При использовании моделей с
сосредоточенными параметрами и одномерных моделей это требование
учитывается довольно легко из-за меньшей связи этих моделей с
особенностями конкретных конструкций и поэтому удается
разрабатывать достаточно универсальные программы, по которым
можно проводить расчеты не только разных конструктивных
вариантов одного типа приборов, но и вообще приборов разных видов.
Многомерные модели для систем тел весьма подробно описывают
тепловой режим устройства и в силу этого сильно «привязаны» к
особенностям конкретной конструкции. Эта привязка модели
переносится и на программу.
Опыт расчетов показывает, что наиболее рациональным
путем, позволяющим добиться частичной унификации программ для
решения многомерных задач для систем тел, является
использование модульного принципа их построения. При его применении
программа расчета для конкретной конструкции устройства
данного вида собирается из готовых модулей, образующих
программный комплекс для устройств рассматриваемого вида. С точки:
зрения возможности разработки программных комплексов с
использованием модульного принципа большее преимущество
имеют явные и смешанные схемы, поскольку при их применении
процедура программирования становится на порядок проще па
сравнению с неявными схемами. Кроме того, при использовании
явных и смешанных схем многие программные модули являются
общими для программных комплексов, реализующих эти схемы.
Рассмотрим структуру и состав таких программных
комплексов. Они включают модули трех видов. Модули первого вида
реализуют неявные или явные схемы для решения уравнений
теплопроводности, соответствующих отдельным элементам
устройства. При разработке этих модулей предусматривается, что
сеточные аналоги коэффициентов теплоотдачи, распределений
поверхностных источников теплоты, температуры окружающей среды на
205

каждом временном шаге формируются с помощью специальных
подпрограмм.
Такие подпрограммы являются модулями второго вида,
которые реализуют различные алгоритмы учета теплового
взаимодействия между элементами устройства, например, путем расчета
соответствующих тепловых потоков.
Модули третьего вида предназначены для автоматизации
отдельных этапов перехода от параметров реальных конструкций к
входным данным программ первого и второго видов. К ним
относятся, например, программы, выполняющие автоматическое
построение пространственной сетки для элементов сложной формы.
Очевидно, что модули второго и третьего видов являются
одинаковыми для программных комплексов, реализующих явную или
смешанную схемы.
В любом программном комплексе должна предусматриваться
возможность пополнения его новыми модулями всех трех видов,
соответствующими новым элементам и типам тепловых связей
или обеспечивающими лучший сервис.
Отметим важное обстоятельство. Сборка программы расчета
теплового режима для конкретной конструкции устройства
данного типа из готовых модулей требует о«т пользователя
достаточно высокой квалификации и хорошего^ знания всего
программного комплекса. Эксплуатация такого программного комплекса
резко отличается от эксплуатации рассмотренных выше программ
для расчетов по моделям с сосредоточенными параметрами,
одномерным моделям или многомерным моделям для одиночных
тел в сторону гораздо большей сложности. Опыт работы с
подобными комплексами показывает, что для их нормального
функционирования необходимо выделять специалиста высокой
квалификации, обеспечивающего поддержку программного обеспечения,
даже если не проводятся работы по расширению его
возможностей.
Пример 5.2. Анализ теплового режима квантронов
твердотельных лазеров с естественным охлаждением.
Некоторые варианты конструкций квантронов представлены на рис. 1:14, 1Л6.
Практика проектирования показывает, что анализ их теплового режима
целесообразно проводить на основе решения многомерной задачи для системы тел [29].
Остановимся кратко на особенностях используемой тепловой модели, которая
представляет собой систему взаимосвязанных в тепловом отношении тел, в
которых распространение теплоты происходит путем теплопроводности.
Образующие всех цилиндрических поверхностей элементов квантрона
параллельны одной прямой — оси квантрона. В зависимости от формы сечения
цилиндрических поверхностей элементов плоскостью, перпендикулярной оси
квантрона, их можно разбить на две группы. Первую группу образуют
элементы, имеющие форму сечения в виде круга, кольца или прямоугольника. К
таким элементам относятся активные элементы, некоторые виды трубок,
расположенных вокруг активного элемента, баллоны ламп накачки (рис. 5.32,а).
206

а)
Рис. 5.32. Элементы ивантрона
Элементы второй группы, например моноблочные отражатели, имеют сечения
неканонической формы (рис. 5.32,6).
Теплопроводность и удельная теплоемкость материалов элементов квантро-
нов могут существенно изменяться с температурой в процессе работы лазера.
Например, теплопроводность лейкосапфира, из которого изготавливаются
моноблочные отражатели, изменяется от 40 Вт/(м»К) при температуре 25° С до»
22,5 Вт/(м-К) при температуре 200°С. Поэтому в тепловой модели учитывается
температурная зависимость тепло физических свойств.
В процессе работы лазера в элементах квантрона происходит объемное и
поверхностное поглощение излучения лампы накачки, описываемое
пространственными распределениями объемной и поверхностной плотностей теплового
потока. При использовании рассматриваемого комплекса программ моделирования
теплового режима квантронов временные и пространственные распределения
объемных и поверхностных источников теплоты предполагаются заданными.
Расчет этих пространственных распределений проводится с помощью
специального комплекса программ, основанного на использовании метода Монте-
Карло [54]. Предусмотрены временные распределения источников теплоты,
соответствующие наиболее общему режиму работы сериями импульсов.
Теплообмен квантрона с окружающей средой и соседними телами
происходит на внешней стороне поверхностей корпуса и элементов квантрона. Условия
этого теплообмена определяются особенностями конструкции и эксплуатации
оптико-электронного прибора, 6 котором используется квантрон. Анализ
внешнего теплообмена квантрона проводится на предыдущих этапах моделирования
теплового режима прибора. Поэтому внешние тепловые воздействия на
квантрон считаются заданными через соответствующие пространственно-временные
распределения тепловых потоков, коэффициентов теплоотдачи и температур
условных сред.
Перенос теплоты между элементами квантрона осуществляется
теплопроводностью, излучением и конвекцией. Вклад каждого механизма в общий
теплообмен зависит от конструкции квантрона.
Перенос теплоты теплопроводностью вносит существенный вклад, когда
конвекция в пространстве между элементами отсутствует. Это условие
выполняется при воздушных зазорах толщиной порядка 1... 2 мм и менее, которые
имеют место в большинстве случаев. При описании этого теплообмена в узких
кольцевых каналах вектор плотности теплового потока считается
перпендикулярным поверхностям элементов, а перенос теплоты вдоль канала не
учитывается. При описании теплообмена в каналах сложной формы, характерных
для полых отражателей i(cm. рис. 1Л5), используется соответствующее
многомерное уравнение теплопроводности для неподвижной газовой среды.
207

При расчете переноса теплоты излучением поверхности/Элементов
считаются серыми, диффузно отражающими и излучающими. Описание
теплообмена излучением в полостях сложных форм, характерных Аля полых
отражателей, проводится в трехмерном приближении. Результирующий тепловой поток
для 1-го участка разбиения поверхности &-го элемента квантрона с площадью
AS*ft и температурой Тгк рассчитывается по формуле /
К=Л 2WpJS.-[Gl)*-(r»)*]ASi. E-82)
т=\ n=i
где М — число элементов квантрона; Nm — число участков разбиения; а —
постоянная Стефана — Больцмана.
Коэффициенты ргпьт находятся из решения следующей системы
алгебраических уравнений, которая получается при анализе лучистого теплообмена в
системе тел методом сальдо,
м Nm 1 _ «"
¦ РЯ-?1214_^,ЯРЙ,-,йвН; E-83)
т
6, /=1,2,.-.,, М; 1 = 1,2,..., Nk; /=1,2,tiiiNtt
где 84, гпт — коэффициенты черноты участков поверхностей;
Ф^ы — угловые коэффициенты для участков разбиения поверхностей,
определяемые по известным формулам, приведенным в [51].
При описании свободно-конвективного теплообмена в полости отражателя
предусматривается использование многомерных распределений коэффициентов
теплоотдачи. Практика расчетов показывает, что для определения
коэффициентов теплоотдачи допустимо применять соотношение для теплообмена в
неограниченном пространстве. При этом температура газовой среды 7V, которая
входит в соответствующие соотношения для конвективных тепловых потоков,
определяется из системы уравнений теплового баланса конвективных потоков
от всех участков поверхностей полости:
2 2 Ql= 2 2 «Ц*1 -Tr)AS? = 0, E.84)
где Qik.v — конвективный тепловой поток от t'-ro участка разбиения &-го
элемента с площадью A5l"ft и температурой TV, а^ т — конвективный коэффициент
теплоотдачи. Локальные коэффициенты теплоотдачи находятся из
критериальных соотношений, приведенных в [108].
Математическая модель теплового режима квантрона с естественным
охлаждением представляет собой систему уравнений вида E.10) — E.1.1). Для ее
решения в программном комплексе предусмотрено использование явной и
смешанной схем. Модули программного комплекса первого вида реализуют явные
и неявные схемы решения уравнений теплопроводности для отдельных
элементов квантрона при различных пространственных сетках. Вдоль своей оси квант-
рон разбивается перпендикулярными ей плоскостями.
Для элементов с каноническими формами поперечного сечения
предусмотрено использование соответствующей регулярной сетки в прямоугольной или
цилиндрической системе координат (рис. 5.33) или треугольной сетки с
произвольной ориентацией сторон треугольников. Если элемент имеет сложную
208

Рис. 5.33. Пространствен- Рис. 5.34. Пространственное разбиен-ие эле-
ное разбиение элементов мента квантрона неканонической формы
квантрона канонических
форм
форму сечения, то в нем используется только .нерегулярная треугольная сетка
(рис. 5.34). Для элементов с регулярной сеткой применяются явная или ло-
кально-однюмерная конечно-разностные схемы. Для элементов с неправильной
треугольной сеткой в поперечном сечении используются либо явная схема
метода конечных элементов, либо описанная в § 5.4 неявная схема, в которой
применяется расщепление по координате, изменяющейся вдоль оси квантрона,
а в поперечном сечении берется неявная схема метода конечных элементов.
Температурные зависимости теплопроводности и удельной теплоемкости
материалов элементов квантрона описываются с помощью аппроксимационных
полиномов.
Модули второго вида реализуют алгоритмы учета теплового
взаимодействия элементов квантрона излучением, конвекцией и теплопроводностью в
узких кольцевых каналах. Каждому механизму теплообмена в определенной
полости соответствует свой программный модуль. В модуле лучистого
теплообмена для заданной конфигурации полости и заданного вида пространственного
разбиения поверхностей рассчитываются угловые коэффициенты, путем решения
системы уравнений E.83) определяются коэффициенты рг"пАт, а также на
каждом временном шаге находятся результирующие лучистые тепловые потоки
по формулам E.82). В модуле, описывающем свободно-конвективный
теплообмен, для заданного пространственного разбиения на основе
соответствующих критериальных соотношений производится вычисление локальных
коэффициентов теплоотдачи, определение температуры газовой среды в полости из
уравнения E.84) и, наконец, расчет конвективных тепловых потоков.
Аналогичные функции выполняют модули, учитывающие кондуктивный теплообмен в
узких каналах.
К модулям третьего вида относятся, например, программы, выполняющие
автоматическое построение нерегулярной треугольной сетки для поперечных
сечений элементов и формирование индексных матриц, используемых при
построении системы разностных уравнений метода конечных элементов. Кроме
того, имеются программы, выполняющие построение индексных матриц, которые
отражают структуру тепловых связей между элементами квантрона при
заданных пространственных сетках. Эти матрицы используются в модулях рас-
209

чета тепловых потоков. Специальная программа осуществляет формирование
сеточных аналогов распределений источников теплоты для модулей первого
вида на основе выходных данных упомянутой выше программы расчета
источников теплоты с помощью метода Монте-Карло. /
Комплекс использовался для анализа тепловых/режимов при
проектировании квантронов различных конструкций: с полым •отражателем, с полым
отражателем при помещении активного элемента в трубку из
высокотеплопроводного материала, с моноблочным отражателем и т. д., с использованием
различных активных сред — стекла, активированного неодимом, алюмоиттриевого
граната, гадолиний-скандий-галиевого граната, калий-гадолиниевого вольфра-
мата и т. д., при различных временных режимах работы. При этом на основе
результатов расчета изменяющихся во времени трехмерных температурных
полей элементов квантрона определялись уменьшение коэффициента усиления в
активной среде, термические аберрации, возникающие в активном элементе,
и вносимые ими возмущения в оптический резонатор и, наконец, изменения
выходной энергии лазера [77].
В качестве примера моделирования теплового режима, проведенного с
помощью описанного комплекса программ, приведем результаты расчета
нестационарного температурного поля однолампового квантрона, представленного на
рис. 5.35.
Общая мощность источников теплоты составляет 17S0 Вт. Распределение
тепловыделений по элементам следующее: активный элемент — 24 Вт, лампа
накачки— 115 Вт, моноблочный отражатель — 31 Вт. Квантрон находится в
окружающей среде с температурой 20° С. В начальный момент все элементы
квантрона имеют температуру, равную температуре окружающей среды.
При анализе теплового режима для активного элемента, отражателя и
лампы накачки рассматривались трехмерные температурные поля. Общий вид
пространственного разбиения в поперечном сечении квантрона представлен на рис.
5.36. Реальная пространственная сетка включала 690 узлов. Время расчета
процесса до выхода на стационарный режим на ЭВМ ЕС-1055 составило порядка
30 мин A\20 шагов по времени). На рис. 5.37 показано распределение
температуры в среднем сечении квантрона через 40 с после начала работы.
Пример 5.3. Анализ теплового режима объективов
оптико-электронных приборов. Некоторые варианты конструкций
объективов представлены на рис. 1.12. В ряде случаев анализ их теплового режима
необходимо проводить на основе решения многомерной задачи для системы тел
[7]. Рассмотрим применяемые при этом тепловые и математические модели.
Форма элементов объектива считается осесимметричной. Для них
предусматривается рассмотрение как трехмерных температурных полей, так и полей
меньшей размерности. Распределения температур условных сред, коэффициентов теп-
Рис. 5.35. Одноламповый квантрон:
1 — корпус; 2 — лампа накачки; 3 —активный элемент; 4 —
моноблочный отражатель

Рис. 5.36. Пространственное
разбиение однолампового квантрона
100
Рис. 5.37. Результаты расчета
теплового режима квантрона
(указаны перегревы над температурой
окружающей среды в градусах по
Кельвину)
лоотдачи, тепловых потоков, объемных источников внутренних тепловыделений
могут зависеть от времени, пространственных координат и не обладать осевой
симметрией. В тепловых моделях учитываются температурные зависимости
теплопроводности и удельной теплоемкости.
Модели и методики расчета процессов теплообмена между элементами
объектива в целом аналогичны рассмотренным выше для квантронов.
Специфика объективов проявляется в конфигурации полостей между элементами,
алгоритмах расчета угловых коэффициентов.
Для решения системы нестационарных многомерных уравнений
теплопроводности, описывающей тепловой режим объектива, в программном комплексе
предусмотрено использование явной и смешанной схем. При пространственном
разбиении элементов по угловой координате используется равномерная сетка.
По остальным пространственным координатам для тел правильной
цилиндрической формы (защитные элементы, фильтры, тубусы) применяется
неравномерная прямоугольная сетка, для других тел (линзы, зеркала) — нерегулярная
треугольная сетка. При использовании нерегулярной треугольной сетки
аппроксимация пространственных операторов уравнения теплопроводности проводится на
основе метода конечных элементов.
В случае применения смешанной схемы расчет температурных полей
элементов цилиндрической формы проводится по локально-одномерной схеме, для
линз и зеркал используется описанная в § 5.4 неявная разностная схема,
основанная на сочетании расщепления по угловой координате с методом конечных
элементов. Смешанная схема строится путем учета связей между элементами
через значения тепловых потоков с предыдущего временного слоя. Однако
такой подход неэффективен для некоторых сильных тепловых связей, которые
имеют место, например, в случае теплового взаимодействия линзы или
зеркала с тубусом через оправу. Эти связи необходимо учитывать, выражая
тепловые потоки через значения температур с текущего момента, т. е. используя
удля них неявную аппроксимацию. 'Применение локально-одномерной схемы
позволяет при такой неявной аппроксимации исключить неизвестные температуры
211

тубуса из общей системы конечно-разностных уравнений. С этой целью для
тубуса сначала делаются прогонки по осевой и угловой координатам, во время
которых температуры точек оправ знать не нужно, а затем из каждой цепочки
конечно-разностных уравнений для температур точек тубуса и точки оправы,
лежащих на одном радиальном луче, исключаются температуры точек оправы.
Программный комплекс для анализа теплового режима объективов
построен аналогично рассмотренному выше комплексу для квантронов. Его описание
приведено в [7].
В качестве примера моделирования теплового режима, проведенного с
помощью этого комплекса программ, приведем результаты расчета
нестационарного осесимметричного температурного поля объектива конденсора, тепловая
модель которого изображена на рис. 5.38.
Лампа 8 установлена между зеркалом Д закрепленным в оправе 9, и
линзовой системой, состоящей из линз 3, 4, 5, закрепленных в тубусе 6. Для
снижения тепловых нагрузок на линзовую систему между ней и лампой
установлен фильтр 7. Оправа зеркала и тубус установлены в корпусе конденсора
2. Мощность источника излучения составляет 200 Вт. Конденсор находится в
окружающей среде с температурой равной 20° С. В начальный момент все
элементы имеют температуру, равную температуре среды. Ось z объектива
конденсора параллельна вектору силы тяжести.
При моделировании теплового режима объектива проводилось совместное
решение системы нестационарных многомерных уравнений теплопроводности
для его элементов. Эта система состояла из четырех двухмерных уравнений для
линз и зеркала с оправой, трех одномерных уравнений для фильтра, тубуса и
корпуса, а также обыкновенного дифференциального уравнения для баллона
лампы, температурное поле которого предполагалось равномерным.
Соответствующая программа расчета была собрана из семи модулей первого вида,
реализующих решение уравнения теплопроводности для осесимметричных
элементов и элементов с одномерным температурным полем, трех модулей второго
вида —модулей расчета лучистого теплообмена, конвективного теплообмена в
плоской прослойке и в полости сложной формы (между зеркалом и фильтром) —
и ряда модулей третьего вида.
Общий вид пространственного разбиения объектива представлен на рис.
5.39. Реальная пространственная сетка включала 215 узлов. Время расчета про-
/ 2
1 /
3 4
1 I
I
II
,9 в
Л \
7 6
Рис. 5.38. Объектив конденсора
Рис. 5.39. Пространственное
разбиение объектива конденсора
212

Рис. 5.40. Результаты pac-
чета теплового режима
объектива конденсора (указаны
температуры в градусах по
Цельсию)
цесса до выхода на стационарный режим на ЭВМ ЕС-1040 составило 16 мин
(было сделано 600 шагов по времени). Стационарное температурное поле
объектива конденсора показано на рис. 5.40.
6. РАДИОЭЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА
6.1. ПОЭТАПНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО
РЕЖИМА РЭА
Методы расчета теплового режима радиоэлектронных устройств
различных .классов излагаются в [14, 16, 21, 36, 40, 47, 95, 96] >и
многочисленных периодических изданиях.
При поэтапном анализе теплового режима аппаратуры,
показанной на рис. 1.1, отдельные этапы расчета обычно
соответствуют иерархическим уровням компоновки конструкций: первый
уровень —микросхемы и микросборки, отдельные
полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы), резисторы и т. д.; второй —
функциональные ячейки на основе печатных плат с
установленными на них элементами первого уровня; третий — блоки,
объединяющие в общей несущей конструкции совокупность плат;
четвертый — многоблочные конструкции типа стоек, шкафов;
пятый — совокупность многоблочных конструкций и отдельных
блоков в стационарном помещении или в приборном отсеке.
Для проведения расчета теплового режима всей конструкции
с учетом взаимного влияния модулей различных уровней
иерархии необходимо начинать моделирование с последнего (верхнего)
5-го уровня, на котором учитываются мощности всех источников,
внешние тепловые воздействия от окружающей среды,
характеристики общей системы охлаждения приборного комплекса.
Далее проводится последовательное рассмотрение процессов
теплообмена в элементах всех 1-х конструктивных уровней (к,=4, 3,
213

2, 1). При этом согласно основной идее поэтапного
моделирования на каждом г-м уровне для задания граничных условий
используются температуры условных сред, найденные на основе
анализа модели более высокого ((й+1) -го уровня.
Если при конструировании отдельных модулей иго уровня не
располагают информацией о компоновке (i+l)-ro уровня,
достаточной для определения температур условных сред, то
анализируют перегревы i&i=Ti—Т% относительно некоторой
температуры условной среды f<. Далее, исходя из требований к допустимым
температурам элементов 1-го уровня 7\-доп, определяют
допустимую температуру этой условной ?реды: Г<д°п=71*доп—<h.
Итак, на начальном этапе анализа теплового режима РЭА,
представленной на рис. 1.1, рассматривают весь приборный
комплекс. Целью расчета на первом этапе является определение
средних поверхностных Tbj и объемных TVj температур
отдельных блоков или групп блоков, средних температур VVi
выделенных в отсеке объемов воздуха и температур ?/квх, C/KBbIX потоков
газа или жидкости на входе и выходе выделенных участков
системы охлаждения комплекса. Для решения этой задачи наиболее
часто используется модель с -сосредоточенными параметрами
вида C.2) — C.5). При необходимости учета различия средних
температур отдельных поверхностей блоков TSj,i,..., TSj,n блоки со
сложной внутренней структурой заменяются квазиоднородными
телами с эффективными теплофизическими свойствами, а далее
для них записываются уравнения вида C.29) или C.46).
Найденные на первом этапе средние температуры TSj> UVi
используются при вычислении температур условных сред Т%)П для
каждого /г-го участка поверхности тела / (блока, стойки), тепловой
режим которого предполагается более детально рассмотреть на
следующем этапе расчета.
Примеры применения модели с сосредоточенными
параметрами для анализа теплового режима группы электронных блоков в
отсеке содержатся в [14], в которой рассматривается расчет и
проектирование систем терморегулирования подвижных
радиоэлектронных комплексов.
На втором этапе расчета выполняется анализ распределения
температур в отдельных многоблочных конструкциях (стойках,
шкафах) при известных температурах условных сред у
поверхностей и температурах входящих потоков воздуха или жидкости. В
зависимости от конструктивных особенностей используется либо
модель с сосредоточенными параметрами, позволяющая
рассчитать средние температуры блоков [32], либо модель с
распределенными параметрами, в которой стойка заменяется
совокупностью квазиоднородных областей с эффективными свойствами и
распределенными по объему источниками и стоками теплоты {55].
Последний тип моделей применяется для систем с регулярной
структурой и позволяет рассчитать пространственное
распределение температуры в квазиоднородных областях, образующих
модель стойки.
214

Конкретным методикам расчета теплового режима стоек РЭА
с различными системами охлаждения посвящено большое число
статей. Отметим, что для стоек с воздушным охлаждением
-возникают достаточно сложные проблемы расчета распределения
расходов воздуха как при принудительной, так и при естественной
вентиляции. Например, в [83] предлагается методика расчета
расходов воздуха на различных этажах стойки с принудительной
вентиляцией, учитывающая эффекты «подсоса» воздуха через
неплотности лицевых панелей блоков. В [56] изложена
оригинальная методика расчета фоновых перегревов в стойках с
естественным воздушным охлаждением, базирующаяся на результатах
ограниченного числа экспериментальных исследований,
выполненных на тепловом макете базовой несущей конструкции.
Третий этап моделирования состоит в расчете средних
температур (или распределений температур) плат в блоке при
известных на основании предыдущего этапа температурах условных
сред у стенок корпуса блока и температурах входящих в блок
теплоносителей. Конечной целью данного этапа является получение
информации, необходимой для детального анализа на четвертом
этапе температурных полей отдельных плат с элементами.
На четвертом этапе находятся средние температуры корпусов
элементов (микросхем, дискретных электрорадиоэлементов), а
также температуры участков платы под элементами,
температуры воздуха у элементов. При анализе температурного поля
платы с элементами используется найденная ранее информация о
средних температурах соседних плат, температурах и скоростях
воздуха в каналах между платами.
Наконец, на пятом этапе рассчитывается пространственное
распределение температуры в интегральных и гибридных
микросхемах, полупроводниковых приборах с целью определения
температур кристаллов и других элементов 'микроэлектронной
технологии. В этом случае задача сводится к расчету трехмерного
температурного поля в неоднородной области с локальными
источниками теплоты. В зависимости от выбранной тепловой
модели при задании граничных условий используют либо найденную
на четвертом этапе среднюю температуру корпуса микросхемы,
либо температуры участка платы под микросхемой и воздуха
около ее корпуса. В § 6.2—6.4 рассматриваются методики
реализации 3, 4 и 5-го этапов описанной схемы поэтапного анализа
теплового режима РЭА.
6.2. БЛОКИ КАССЕТНОЙ КОНСТРУКЦИИ
Основные базовые схемы систем охлаждения блоков кассетной
конструкции приведены на рис. 1.6. Рассмотрим методики
расчета теплового режима блоков, применяемые на третьем этапе
описанной выше общей схемы моделирования. Сначала
остановимся на способах приближенной оценки средних температур
блоков с воздушным охлаждением, а затем перейдем к описанию
215

более строгих и информативных моделей, расчеты по которым
•можно провести лишь с применением ЭВМ.
Оценка средних температур нагретой зоны, воздуха и
корпуса. На рис. 6.1 представлена тепловая модель блока с воздушным
охлаждением. Реальные платы с элементами заменены
пластинами с размерами 1Х, 1У и с эффективными толщинами dn, которые
определяются из условия равенства объемов платы с элементами
и гладкой пластины {40]:
где 6П — толщина платы; Vnz—суммарный объем всех
элементов, установленных на n-ю плату.
При этом эффективная ширина Ьп канала между двумя
соседними пластинами равна bn=hn—dn, где hn — шаг установки плат
с номерами (я—1) и я.
Для приближенной оценки теплового режима блока вводят
понятия средней температуры нагретой зоны f3 (среднеповерх-
ностной температуры всех плат), среднеобъемной температуры
воздуха ?7В и ореднеповерхноетной температуры корпуса блока.
Тк. При этом считают, что все каналы имеют одинаковую
ширину &, а источники теплоты с суммарной мощностью Р$
распределены по всем платам равномерно. В вентилируемых блоках
расход воздуха G2n считается равномерно распределенным по всем
каналам. Кондуктивные связи пластин с корпусам через
элементы конструкции не учитываются.
Стационарный тепловой режим такой упрощенной модели
блока описывается системой трех уравнений теплового баланса [40]:
для нагретой зоны ? ^f
(fe - UB);
F.
F.2
для корпуса
Ps - 2cG2 (UB - Ulx) = aK. cp <f, - Гср);
для воздуха
а3.в (Г3 - f/B) + crB.K (fK - GВ) = 2cGs (i/B - GBBX), F.3)
где '(хлз.к — лучистая тепловая проводимость между нагретой
зоной и корпусом; (Тз.в, >ав.к — конвективные тепловые проводимости
Рис. 6.1. Схематичное
изображение блока с
воздушным охлаждением
216

между нагретой зоной и воздухом, между воздухом и корпусом;
(Гк.ср — суммарная тепловая проводимость от корпуса в среду с
температурой Гср; G2 — массовый расход воздуха, входящего в
блок с температурой DBBX.
В уравнениях F.2) и F.3) при записи выражения для
теплового потока^ уносимого воздухом из блока, предполагается, что
температура UB равна полусумме среднерасходных температур на
входе UBBX и на выходе /Уввых из блока, т. е. ?/ввых— ?/ввх=2(С7в—
—?/ввх). Заметим, что, строго говоря, среднеобъемная
температура воздуха -и осредненная по объему блока среднерасходная
температура воздуха отличаются. Однако при приближенной
оценке теплового режима блока это различие в рассматриваемой
методике не учитывается.
Из системы уравнений F.1) — F.3)_ нетрудно получить
аналитические выражения для температур f3, fK, UBf которые
приведены, например, в )[21]. Основная сложность анализа состоит в
выборе адекватных способов расчета тепловых проводимостей и
расхода воздуха при естественной вентиляции. Различие реальных
условий теплообмена в блоках и тех модельных условий, для
которых определяются тепловые проводимости, является
основным источником погрешности расчета средних температур по
рассматриваемой модели. Рассмотрим способы определения
тепловых проводимостей и расчета средних температур для различных
схем охлаждения блоков.
Все тепловые проводимости вычисляются на основе формул
вида Gг=аг5г, где щ — соответствующий коэффициент
теплоотдачи; Si — площадь поверхности, на которой происходит
теплообмен. Вводятся следующие характерные площади поверхностей:
•SK — площадь поверхности корпуса; 8Л3 — площадь излучающей
поверхности нагретой зоны; S3.Bi — площадь внутренней
поверхности нагретой зоны, омываемой воздухом в каналах; S3.B2 —
площадь наружной поверхности нагретой зоны, обращенной в
сторону корпуса. Эти площади вычисляются по формулам:
S"s=2(lxly + txlz+lylz); F.4)
S,.Bi = 2 (N - 1) ljy; S3.B2 - 2lJy + 2Nd (lx + lv).
Коэффициент теплоотдачи излучением ал3.к между нагретой
зоной и корпусом определяется по соотношению для тела в
оболочке, а коэффициент теплоотдачи сск.ср на поверхности корпуса
находится путем суммирования лучистой и конвективной
составляющих, вычисленных для модели пластины в неограниченном
пространстве [21]. При оценочных расчетах в [40] рекомендуется
принимать ал3.к=6 Вт/(м2-К) и ак.ср=9 Вт/(м2-К) (при
свободной конвекции на наружной поверхности).
Тепловая проводимость сг3.в представляется в виде суммы
тепловых проводимостей к воздуху на внутренней и наружной
поверхностях нагретой зоны: (r3.B=a3.Bi+;ff3.B2. Способы расчета коэффи-
217

циентов теплоотдачи <x3.bi и а3.в2 зависят от выбранной модели
конвективного теплообмена.
В блоках с герметичным корпусом отсутствует приток
воздуха из среды i(G=0). В каналах между платами и в зазорах
между нагретой зоной и корпусом происходит свободно-конвективное
движение воздуха, вызванное разностью температур воздуха в
отдельных областях блока. Однако поскольку в рассматриваемой
упрощенной модели вводится лишь одна средняя температура
воздуха, то задача расчета скоростей движения воздуха в
герметичном блоке не ставится, а для определения тепловых прово-
димостей принимаются некоторые дополнительные допущения.
Так, в [40] под Ов понимается как средняя температура воздуха
в каналах, так и средняя температура воздуха в зазорах между
нагретой зоной и корпусом. Коэффициент теплоотдачи а3.в1
предлагается вычислять по формуле для стабилизированного
ламинарного течения в плоском канале, т. е. а3.в1=4,12.у&, и, принимая
теплопроводность воздуха Я=0,027 Вт/('М-К), получаем <z3Bi =
=0,11/*.
Конвективные ^коэффициенты теплоотдачи в прослойках а3.в2
и сьв.к -в [40] предлагается считать одинаковыми и равными
2Вт/(м2-К).
Из системы уравнений F.1)—F.3) при G=0 получаются
следующие выражения для искомых средних температур:
р
Va = (Р2 - ол3.к G8 - fк)) /(ов.к + Гк).
С учетом принятых выше приближенных значений
коэффициентов теплоотдачи можно получить зависимости для оценки
температур, содержащие только мощность Р% и геометрические
характеристики блока J40}:
Та - Гср + (Гк - Гср) A+СА), F.6)
где А, С—безразмерные параметры, вычисляемые по формулам:
л ! , 5 4555
Рассмотренная модель содержит противоречие, связанное с
влиянием эффективной ширины каналов Ь на температуру
нагретой зоны. Если при неизменном шаге установки плат (d+b)
уменьшить ширину каналов 6, то тепловая проводимость Оз.вь
•218

вычисляемая из соотношения а3.в1=4,12А,/&, возрастет, а
остальные проводимости не изменятся. Следовательно, расчетная
температура уменьшится, что противоречит реальности. Однако
согласно [40] при Ь=3... 15 мм средняя квадратическая
погрешность расчета пе|регрева «нагретой зоны по F.6) составляет
около 15%, что вполне приемлемо для предварительной оценки
температур.
При неравномерном распределении мощностей Рп по платам
для оценки различия средних температур Тп отдельных плат в
[40] рекомендуется соотношение
Г» - Гвр + (TV-Top) @,88 + 0, 12**0;
F 7)
где Крп — коэффициент неравномерности распределения
мощностей по платам; Р — средняя мощность, приходящаяся на одну
плату.
Более строгий анализ теплового режима герметичного блока
можно провести, учитывая в модели движение воздуха.
Результаты такого анализа, позволяющие оценить среднюю
температуру нагретой зоны при равномерном распределении мощности,
приведены в [21, 40] в виде графических зависимостей.
Для оценки теплового режима блока с естественной
вентиляцией модель F.1) — F.3) необходимо дополнить уравнением,
связывающим^ расход воздуха G2 со среднеобъемным перегревом
воздуха (UB—Гср), и положить UBBX=Tcp. Это уравнение
вытекает из условия равенства перепада давлений из-за «самотяги»,
возникающей при нагреве воздуха в объеме блока, и потерь
давления на гидравлическое сопротивление:
где р, р — коэффициент объемного расширения и плотность
воздуха, вычисленные при температуре С/в; |вх, ?вых — коэффициенты
местного гидравлического сопротивления перфорированных дна
и крышки корпуса; g — коэффициент гидравлического
сопротивления в каналах нагретой зоны; v, vo — средняя скорость
воздуха в каналах и скорость воздуха в перфорационных отверстиях,
связанные с массовым расходом G2 соотношениями:
где Kn — коэффициент перфорации (отношение площади
перфорационных отверстий So к площади основания LxLy).
Коэффициенты гидравлического сопротивления зависят от скоростей v, vo
и вычисляются по формулам, приведенным в [52].
219

Средний коэффициент теплоотдачи а3.в1 при конвекции в
плоском канале с учетом начального участка можно определить из
критериальной формулы [21]:
8,24 VUTX при 1Х < /н;
при /я>/н, /н = 0,0Ы>2Л>.
Таким образом, задача определения средних температур в
блоке с естественной вентиляцией сводится к решению системы
нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
Гз, Ов, 7к, G^. Чтобы избежать решения такой нелинейной
системы, можно воспользоваться следующим практическим приемом
приближенной оценки_температур Г3 и Тк D0]. Перегревы в
перфорированном блоке Фз, ^к находятся путем умножения
перегревов Фгз, О^к в аналогичном герметичном блоке на коэффициент
л(/Сп), зависящий от коэффициента перфорации Кп'
\ = 73 - 7ср = Ф3а; % = Гн - Тср = ?ка. F.9)
Графики зависимостей а(Кп), приведенных в [40, 86, 96],
представлены на рис. 6.2. Как видно, данные, взятые из разных
источников, отличаются примерно на 30 ...40% при Лп=0,1 ... 0,3.
В случае принудительной вентиляции блока расход воздуха
«02 считается заданным. Коэффициенты теплоотдачи <z3.bi, а3.в2,
<Хв.к определяются по соответствующим критериальным формулам
для вынужденной конвекции. Эмпирические формулы для
расчета а3.в1 в каналах между платами приведены в [65, 95]. В
случае ламинарного течения в достаточно гладких каналах можно
использовать соотношения F.8).
Расчет средних температур плат. Более детальное описание
теплового режима блока предполагает расчет средних
температур отдельных плат Тп (/1=1,..., N), воздуха в каналах между
платами Un, а также оценку перепада температур по высоте плат
из-за нагрева воздуха при движении в каналах. В этом случае
тепловую модель блока представляют в виде системы N
параллельных пластин с размерами 1Х> 1У,
толщиной dny образующих (N+1)
канал шириной Ъп и заключенных в
корпус прямоугольной формы (см.
рис. 6.1).
Сначала рассмотрим блоки с
воздушным охлаждением, считая,
что кондуктивные связи плат с
корпусом незначительны и теплообмен
0,8
0,6
ОЛ
0,2
0,1 0,2 о,з o,k /гя осуществляется только конвекцией
пп _ ' и излучением. В такой модели про-
Рис. 6.2. Зависимости величины ТТЛЛЛТТ тлттттлл^„Лттп „ *тт~~л л~,™,
,а от коэффициента перфорации цессы теплообмена в блоке описы-
#п; / — данные [40], 2—[86], ваются системой алгебраических
3 — .[96] уравнений теплового баланса для
320

плат, воздуха в каналах и корпуса, записанными относительно их
средних температур Тп, Un, Тк. Мощность Рп, рассеиваемая
платой, передается излучением соседним платам с номерами i(/i+l)
и (п—1) и конвекцией — воздуху в каналах с номерами п и
(п+1):
Рп = <n-i (Тп - T"n_i) + <„+! (Тп -
+ oKn,n(fn-Un)+oln+x (Гп-Т7л+1) + <&(Г»- 7К). F.10)
Тепловой поток, переданный воздуху в п-м канале от плат с
номерами (п—1) и п, расходуется на нагрев воздуха
<п (Тп -17») + окп-{.„ (frt_, - Un) = 2cGn (Un - Vl\ F.11)
здесь предполагается, что по длине канала ^температура воздуха
изменяется линейно, т. е. С/Пвых—?/пвх=2(С/п—?/пвх).
Суммарная мощность всех плат равна сумме тепловых
потоков, уносимых воздухом из вентилируемых блоков и
передаваемых в среду с поверхности корпуса блока:
N N-{-1 __ __
2 Рп = 2с 2 Gn (Un - U™) + ак.ср (Тк - Гср). F.12)
/1=1 П=1
Для герметичных блоков первый член в правой части F.12)
отсутствует. В записанных уравнениях теплового баланса
использованы обозначения: aKn,n, oKn, n+i — конвективные тепловые
проводимости от платы к воздуху; слп,п±1 — лучистые тепловые
проводимости между платами; алп.к — лучистая тепловая
проводимость от платы к корпусу; сгк.ср — суммарная тепловая
проводимость от корпуса в среду; Gn — массовый расход воздуха в л-м
канале.
Для замыкания системы уравнений F.10) — F.12) в случае
герметичного блока необходимо ввести соотношение для
температур воздуха на входе в каналы, образованные соседними
платами. В простейшем приближении эти температуры можно
определить как средневзвешенные между температурами
соответствующих плат и корпуса:
/ВХ W П—1^Т П—1 + TnSTn -\- TKSKn)
Un = у (О. 1О)
5Т тх—х + STn \ S
где STn> S Tn_i — площади торцевых поверхностей плат; SKn —
площадь участка корпуса, соответствующего п-му каналу.
Для блоков с естественной или принудительной вентиляцией
температура воздуха на входе равна температуре окружающей
среды: Un*x=Tcp (л=1,..., N+1).
Для блоков с естественным воздушным охлаждением
математические модели наряду с приведенными уравнениями теплового
баланса содержат алгебраические уравнения, которые вытекают
из закона сохранения импульса для потоков воздуха и
связывают скорости движения воздуха в каналах vn с перепадами
температур. В зависимости от принятой схематизации процессов сво-
221

бодно конвективного движения воздуха в объеме блоков
возможны различные подходы к составлению таких уравнений. Как уже
отмечалось, реальные процессы свободно конвективного
теплообмена в блоках существенно сложнее, чем те модельные
процессы, которые исследовались при получении данных по
интенсивности теплообмена и гидравлическому сопротивлению в условиях
свободной конвекции. Поэтому выбранные расчетные
соотношения для коэффициентов теплоотдачи а и коэффициентов
гидравлического сопротивления ? в большинстве случаев являются
наиболее существенным источником методической погрешности.
При расчете средних скоростей воздуха vn в каналах
герметичного блока в зависимости от величины критерия Рэлея Ra* =
= {$gb3(T—U)Prfv2)b/lx можно использовать одну из двух
моделей.
При м^лых Ra*, соответствующих узким и длинным каналам,
можно считать, что в вертикальных каналах реализуется
гидродинамически стабилизированное ламинарное течение с
параболическим профилем скорости. Тогда потери давления на трение в
каналах рассчитываются по формуле |[52]
о
п
и для каждой пары вертикальных каналов записываются
следующие уравнения баланса давлений
./1= 1, ...,#, F.14)
где р, ip, ]хп — коэффициент объемного расширения, плотность и
динамическая вязкость воздуха, вычисленная при температуре
Un\ Uv,n, Uv,n+i — среднеобъемные температуры воздуха в п-м
и (я+1)-м каналах.
Отметим, что среднеобъемные температуры воздуха Uv,n
отличаются _от осредненных по высоте канала среднемассовых
температур Пп. В случае стабилизированного ламинарного течения
в плоском канале с одинаковыми температурами стенок Tw
температуры Uy и U связаны соотношением [40] Tw—?/у=— (Tw—
—U), которое в первом приближении можно использовать для
определения температуры 1/^,п_на основе значений температур
Un, Тп, Тп^и полагая Tw=(Tn+Tn-i)l2.
Для определения JV+1 скоростей vn систему N уравнений
F.14) следует дополнить уравнением, вытекающим из закона
сохранения массы:
ЛЧ-1
2 pvnbn = O. F.15)
Заметим, что при наличии достоверных данных об увеличении
гидравлического сопротивления за счет выступов в каналах и
изменения направления движения воздуха при входе и выходе из
222

каналов между платами следует ввести соответствующие
поправки в уравнения F.14).
В рассмотренном приближении при расчете скоростей vn
учитывалось гидродинамическое взаимодействие всех каналов.
Однако допущения, принятые при описании движения воздуха,
оказываются неправомерными в случае достаточно широких каналов
между платами. В этой ситуации можно использовать методику
расчета, основанную на модели одиночного канала в
неограниченном пространстве. Она заключается в следующем.
Предполагается, что воздух поднимается в каналах, образованных
платами, а опускается в зазорах между вертикальными торцевыми
поверхностями плат и стенками корпуса. Причем процесс движения
воздуха развивается независимо в каждом из каналов. При
таких упрощениях тепловой поток от платы к воздуху, входящий в
уравнение теплового баланса F.10), определяется по формуле
Рп,п - окп.п (Тп - Uf) = а„, nljy (Тп - и™).
Средний коэффициент теплоотдачи а рассчитывается по
формуле для одиночного канала [40]:
Отметим, что коэффициент теплоотдачи ап,п в выражении для
теплового потока Рп,п определен по отношению к разности
средней температуры платы и температуры воздуха на входе в канал,
для которой имеет место соотношение F.13).
Средняя скорость движения воздуха в канале в данном
случае находится по формуле [40]
где параметр х определяется как отношение среднего и
локального коэффициентов теплоотдачи %=«/а=аЬ/4,12Я.
В перфорированном блоке с естественной вентиляцией
скорости воздуха определяются из уравнения
^ ^-тсрIж, F.18)
где |n, |nBX, 1пвых — коэффициенты гидравлического
сопротивления в каналах на входе и на выходе из блока; vno — скорость
воздуха в перфорационных отверстиях; Lx — высота блока.
Для блоков с принудительной вентиляцией скорости воздуха
vn (расходы Gn) обычно определяются из гидравлического
расчета независимо от теплового расчета, хотя в некоторых случаях
нагрев воздуха может оказать влияние на распределение
воздуха по каналам.
223

Таким образом, задача анализа теплового режима блока по
рассмотренным моделям сводится к решению системы
алгебраических уравнений. Система является нелинейной. вследствие
зависимости тепловых проводимостей от температур и решается
итерационным путем. На каждой итерации последовательно
рассчитываются скорости воздуха_ Vn,_ тепловые проводимости олп,п±и
окп,пу влпк и Tejwnepajypbi Тп> Un, Гк. В качестве нулевого
приближения Гп@), ?/п@), Тк@), целесообразно брать значения
температур, найденные по рассмотренным выше приближенным
зависимостям F.6) — F.8). При расчете теплового режима блоков с
естественным воздушным охлаждением может возникать расходимость
итерационного процесса^ из-за существенной зависимости
скоростей vn от температур Un. Этого можно избежать путем
использования «замедляющего множителя», т. е. путем вычисления на
каждой итерации температур Гп, Пп по формулам:
где Гn^-, _pnis~l) — значения температур на предыдущей
итерации; Г*п, П*п — значения температур, полученные при решении
системы уравнений теплового баланса на данной итерации. Как
показал опыт расчетов, «замедляющий множитель» 7
целесообразно брать равным 0,3 ... 0,4.
На основе расчета средних температур плат Тп и воздуха Un
можно выполнить приближенную оценку изменения температуры
по высоте плат Тп(х), вызванного нагревом воздуха в каналах и
изменением локальных коэффициентов теплоотдачи на
начальных участках каналов. Подчеркнем, что в приводимых ниже
соотношениях не учитывается кондуктивный перенос теплоты вдоль
платы в направлении х, который для плат с достаточно высокой
теплопроводностью может приводить к существенному
перераспределению температуры Тп(х).
Итак, предположим, что среднемассовые температуры воздуха
в каналах Un(x) изменяются по высоте линейно
Un (х) = ?/°х + 2 (Un - U?) x/lx, F.19)
а плотность теплового потока от п-й платы к соседним платам и
воздуху постоянна по ее поверхности и равна qn = Pn/txly. Тогда
для некоторой элементарной площадки, расположенной на п-й
плате на высоте х, можно записать следующее уравнение
теплового баланса:
qn = *п.п (х) [Тп (х) - Un (х)] + ал,п+1 (х) [Тп (х) - Un+i (x)) +
+ <„_! (Tn (x)—T.n-i) + <я+1 (Тп (х) - Tn+I)f F.20)
где <an,n, an,n+i — локальные коэффициенты теплоотдачи от п-й
платы к воздуху в n-м и (я+1)-м каналах, которые можно
найти, например, из соотношений F.8); алп, п-ь алп> n+t — лучистые
коэффициенты теплоотдачи, которые можно в первом
приближении принять равными 6 Вт]/(м2-К). Заметим, что при записи вы-
224

ражений для лучистых тепловых потоков введено еще одно
более слабое по сравнению е упомянутыми выше допущение. Оно
состоит в том, что используются средние температуры соседних
плат Гп-i и Гп+1 вместо температур, осредненных с учетом
распределения локального углового коэффициента.
Подставив в F.20) выражения F.19) для температур
воздуха Un(x), нетрудно получить формулу для расчета Тп(х).
Для расчета температурных полей в блоках с воздушным
охлаждением можно применить и более сложные модели, в которых
увеличивается степень детализации описания температурных
полей плат. Например, в [106] предложена модель, в которой для
каждой п-й платы и я-го канала рассматриваются одномерные
уравнения теплопроводности и энергии, описывающие
распределения температур Тп(х) и Vn(x) по высоте блока, а также
учитывается неизотермичность корпуса. Для реализации этой
одномерной модели системы тел в [106] разработана экономичная
численная методика расчета.
В ![21] рассмотрена обобщенная тепловая модель блока, в
которой нагретая зона заменяется квазиоднородным анизотропным
параллелепипедом с эффективными теплофизическими
свойствами и распределенными по объему источниками и стоками тепло*
ты. Распределение температур в такой модели блока
описывается системой уравнений
где кх, ку, kz — эффективные теплопроводности нагретой зоны по
осям х, yf z\ av — объемный коэффициент теплоотдачи, Bti/(m3-K),
учитывающий теплообмен с воздухом внутри нагретой зоны;
vx — осредненная по сечению нагретой зоны скорость движения
воздуха в направлении оси х.
На поверхностях нагретой зоны ставятся граничные условия
3-го рода, которые учитывают теплообмен с корпусом и
воздухом в зазорах. Для корпуса рассматривается двухмерное
уравнение теплопроводности, которое описывает температурное поле
пластин с теплообменом на боковой поверхности. Методика
численного расчета по такой модели приведена в [12].
В [18, 69] предложены модели вентилируемых блоков, в
которых теплообмен плат с воздухом описывается путем
приближенного решения сопряженных задач конвективного теплообмена.
Основная идея этих моделей состоит в том, что распределение
температуры воздуха в поперечном сечении канала задается в виде
полинома, коэффициенты которого находятся из уравнений
теплового баланса и условий сопряжения на границах каналов. Это
позволяет описать теплообмен плат с воздухом, не используя ко-
8—65 225

зффициенты теплоотдачи, найденные для условий симметричного
нагрева каналов и отличающиеся от реальных коэффициентов
теплоотдачи в каналах с различными температурами соседних
плат. Такой подход позволяет повысить точность расчетов
теплового режима блоков с существенно неравномерной тепловой
нагрузкой отдельных плат.
В заключение остановимся на анализе теплового режима
блоков с кондуктивными теплостоками (см. рис. 3.14). В таких
конструкциях температурное поле плат имеет существенную
неравномерность в направлении оси х, перпендикулярной
охлаждаемому основанию, к которому отводится тепловой поток по тепло-
стокам. При формулировке математической модели для плат
записываются одномерные уравнения теплопроводности, которые
учитывают перенос теплоты по плате в направлении xf
теплообмен с соседними платами за счет конвекции и излучения в
зазорах, выделение теплоты внутренних источников. Платы
представляются в виде квазиоднородных пластин, у которых
эффективная теплопроводность в направлении оси х определяется с учетом
металлических шин (теплостоков). В гл. 3 в качестве примера 3.4
рассмотрена одномерная модель блока с теплостоками и
методика ее реализации с помощью тепловых схем замещения стержней.
I Другим способом анализа теплового режима блоков с
теплостоками является применение модели квазиоднородного тела при
ау=0, в которой теплообмен с охлаждаемым основанием
учитывается путем задания соответствующего граничного условия на
поверхности параллелепипеда #=0.
Пример 6.1. Требуется провести расчет теплового режима герметичного
блока, состоящего из семи одинаковых вертикальных плат и имеющего
следующие параметры: размеры плат /* = 0,2 м, /у=0,15 м; шаг установки плат
(d+b) =,0,0I5 м; размеры корпуса блока Lx=0,22 м, Ly = 0,17 м, LZ=Q,13 м.
Размер нагретой зоны U в направлении, перпендикулярном плоскости плат,
вычисляется по формуле lz = Nd+(N—l)b> где iV —число плат;
d--эффективная ширина плат с элементами; Ь — эффективная ширина каналов между
платами (di=d2= .:=d7=d; Ь2=Ьз— ... =b).
Первые три платы рассеивают мощности Pi=P2=Pz:=Z Вт, а остальные
четыре — мощности р4=Рб=Рв=Р7=6 Вт. Тогда суммарная мощность,
выделяющаяся в блоке, равна Р^=30 Вт. Блок находится в среде с температурой
20° С.
Рассмотрим два варианта значений эффективной ширины плат и каналов
при одном и том же шаге установки плат (d+b)= 0,015 м, которые
соответствуют разной высоте элементов, установленных на платах, или разным
коэффициентам заполнения плат: 1) Ь'=0,01 м, d'=0,005 м; 2) Ь"=0,005 м, <Г=0,Ш м.
Первый вариант с большей шириной каналов обеспечивает более благоприятные
условия для развития свободной конвекции в блоке.
Сначала проведем оценку средних температур по изложенным выше
приближенным методикам, а затем сравним эти результаты с результатами
расчетов, выполненных на ЭВМ по модели F.10) — F.15). Вычислим характерные
площади поверхностей по F.4):
226

площадь внутренней поверхности нагретой зоны, омываемой воздухом,
58 в1 = 2.6-0,2-0,15 = 0,36м2;
площадь наружной по»верхности нагретой зоны
5з.в2 =2-0,2-0,15+ 2,7-0,005.@,2+ 0,15) = 0,0845 м«;
5з.в2 =2.0,2-0,15 + 2.7-0,ОЬ@,2 + 0,15) = 0,109 м*
площадь излучающей поверхности нагретой зоны
( 5JK)' = 2.@,2-0,15 + 0,2.0,095 + 0,15-0,095)=0,126 м*;
( S*K)"=2.@,2-0,15 + 0,2.0,1 + 0,15-0,1) = 0,13 M2;
площадь корпуса
5К = 2.@,22-0,17 + 0,22-0,13 + 0,17-0,13) = 0,176 м*.
Определим вспомогательные параметры Л и С, входящие в формулы F.6),
для двух вариантов ширины каналов:
«
0,0845 + @,055-0,36/0,01)
»ш1 + PjJZ6. 1043-
^ 0,109 + @,055-0,36/0,005) ' '
С- 4'55-0'176 =1,36;
0,176 + 3.0,126-1,085
¦ 4,55-0,176
0,176 + 3.0,13-1,043
Найдем средние температуры корпуса, нагретой зоны и воздуха по F.6):
tK = 20 + 30/(9-0,176) = 38,9°С;
для случая широких каналов (br = 0,01 м)
t'b = 20+ C8,9 — 20).A + 1,36-1,085) = 66,8°С;
иъ = 20 + C8,9 - 20). A + 1,36) = 64,6°С;
для случая узких каналов F"=0,005 м)
^з = 20+ C8,9-20).A + 1,37.1,043) = 65,9° С;
«з == 20 + C8,9 - 20).A + 1,37) = 64,8°С.
Таким образом, при расчете по F.6) изменение ширины каналов между
платами практически не влияет на перегревы нагретой зоны и воздуха, причем
уменьшение ширины каналов приводит даже к незначительному снижению
перегрева нагретой зоны, что противоречит физическому смыслу.
Используя соотношение F.7), можно оценить средние температуры плат,
рассеивающих разные мощности. Средняя мощность P=Pj,IN=30/7^=4,29 Вт.
Коэффициенты неравномерности распределения мощности равны: Крп***
= Рп/Р=2/4,29=0,47 при л=1, 2, 3; Крп = 6/4,29= 1,4 ири л=4, 5, 6, 7,
** 227

Таблица 6.1
Исходные данные
/>' = 0,01 м,
Р«=4,29 Вт,
л«1,...,7
Ъ"=0,005 м,
РЛ=4,29 Вт,
л=1,...,7
6'=0,01 м,
=2 Вт,
Р4= ... врг- ;
=6 Вт
&"=<Ш5 и,
*=2 Вт,
= 6 Вт
Результаты
расчета
?», °с
й», °С
Уп-Ю2, м/с
г», °с
и», °С
Vn'lO2, М/С
г», °с
пп, °€
и»-10*, м/с
пп, °С
0»-1О», м/с
1
53,4
54,1
5,3
57,5
60
3,7
48,2
50,2
1,9
Л1'7
54,4
2,3
2
58,5
56,2
7,4
63,4
63,9
4,9
53
53,3
4,8
57,4
59,5
3,7
3
60,2
56,9
7,8
66,2
1:1
56,5
56
7,6
62,4
64,4
5,1
4
60,7
56,9
7,8
67
65,6
5,3
62
57,9
9,5
68,3
67,8
6,1
5
60,2
56,2
7,4
66,2
63,9
4,9
63,3
57,9
9,5
69,9
67,7
6
6
58,5
54,1
5,3
63,4
60
3,7
62,2
56,2
7,6
68,1
64,2
4,9
7
53,4
57,5
56,9
61,9

Среднее

значение
57,8
55,7
6,8
63
63,1
4,6
57,4
55,2
6,8
62,8
63
4,7
Тогда, например, при средней температуре нагретой зоны
ние температуры плат равны:
67,5° С
сред,88 + 0,12;КРп) =
= 20 + F7,5 — 20).@,88 + 0,12-0,47) = 64,5°С при п= 1,2,3;
^ = 20 + F7,5 — 20).@,88 + 0,12.1,4) = 69,8°С при п = 4,5,6,7.
Рассмотрим результаты расчета средних температур плат 1п и воздуха в
каналах пп> полученные путем решения системы уравнений F.10) — F.15) при
указанных выше параметрах блока и коэффициентах черноты плат 8=0,9 и
корпуса 8=0,8. В табл. 6.1 сначала приведены значения температур 1п (я=
= 1, ...,7), пп (я=.2,... ,7) и средних скоростей vn для равномерного
распределения мощностей по платам при двух значениях ширины каналов 6, а
затем— при неравномерном распределении мощностей. Под значением
температуры ?п указано значение температуры пп и скорости vn в канале между
платами п и (я+1).
6.3. ЯЧЕЙКИ НА ПЕЧАТНЫХ ПЛАТАХ
Рассмотренные выше модели блоков позволяют рассчитать
средние температуры fn, Un или распределения температур ^(л:),
Un{x) плат и воздуха при допущении о равномерности
распределения мощности Рп по каждой плате, которая представляется в
виде однородной пластины с эффективной толщиной dn.
Дальнейшая детализация анализа теплового режима электронной
аппаратуры состоит в определении температур корпусов отдельных
228

элементов на платах с учетом особенностей их установки и
реального распределения мощностей по элементам. На этом этапе
рассматривается модель платы, на которой установлены /
элементов, рассеивающих мощности Pj (/=1,..., /1 для элементов,
расположенных на одной стороне, и /=/i+lf..., / — на другой
стороне платы). На плате могут быть расположены
металлические теплостоки, а элементы установлены с радиаторами для
интенсификации теплоотдачи с корпуса. Целью расчета является
определение температур корпусов элементов Tj, причем
температурные поля корпусов на данном этапе анализа считаются
равномерными. Схематическое изображение платы с элементами
представлено на рис. 6.3.
Изложим два подхода к решению поставленной задачи:
сначала рассмотрим приближенную методику «ручного» расчета с
помощью графиков и простых аналитических зависимостей, а
затем — более строгую методику расчета, ориентированную на
использование ЭВМ.
Оценка температуры элемента на плате. При определении
температуры Tj корпуса элемента, установленного на плату и
рассеивающего мощность Pjt необходимо учитывать следующие
процессы теплообмена: конвективный теплообмен с воздухом и
лучистый теплообмен с соседней платой на поверхности корпуса
элемента; теплообмен элемента с участком платы {AXjAijj) под
элементом за счет кондуктивного переноса по выводам, лучисто-
кондуктивного теплообмена через воздушную прослойку (для
корпусов со штыревыми выводами) или контактного
теплообмена через клей, пасту (для корпусов с планарными выводами);
растекание теплового потока по плате от зоны проекции элемента
Sjf=AXjAtfj и его рассеяние с боковой поверхности платы; приток
теплоты по плате к участку установки /-го элемента от участков
8{=АХгАуи на которых установлены другие тепловыделяющие
элементы (?=1,..., /; iV=/).
Согласно принципу суперпозиции [21] выражение для
температуры корпуса элемента Tj можно записать следующим образом:
f*& . F.21)
где Tj — «фоновая» температура, т. е. температура, которую имел
бы /-й элемент без тепловыделений при наличии лучистого
теплообмена рассматриваемой платы с соседними платами,
конвективного теплообмена с воздухом в каналах; О# — собственный
перегрев /-го элемента над температурой условной среды за счет
рассеяния мощности элемента Pj\ &ц — наведенный перегрев /-го
элемента над температурой условной среды, вызванный кондук-
тивным притоком теплоты по плате от i-ro элемента с мощностью
Pi при «выключенных» остальных источниках.
Примем допущение о том, что фоновая температура Tj
совпадает с фоновой температурой участка платы под элементом на
229

i
\ им
&
\
У h
бк-пп
Рис. 6.3. Схематичное изображение Рис. 6.4. Схема соединения тепловых
платы с элементами проводимостей, используемая при
определении собственного перегрева
элемента
высоте Xj и может быть оценена на основе выполненных на
предыдущем этапе расчетов температур соседних плат и воздуха в
каналах. Из соотношения F.20), полагая мощность собственных
тепловыделений на плате qn равной нулю, получаем следующую
формулу для оценки фонового перегрева платы на высоте х:
2 + o$U2fo)]/(a? + ctf + a? + aK2)9 F.22>
где Tu T2, И и 1^2 — температуры платы и воздуха в канале с
левой A) и с правой B) стороны от рассматриваемой платы; аль
ал2, акь ак2 — соответствующие коэффициенты теплоотдачи.
Перейдем к оценке собственного перегрева Ф#. Величина Ъ#
формируется за счет выделения мощности Pj, часть которой Р^иш
растекается по плате и сбрасывается с ее поверхности, а другая
часть (Pj—Рзпл) рассеивается непосредственно со свободной
поверхности корпуса элемента. Соотношение этих тепловых потоков,
зависит от величин тепловых проводимостей «корпус — среда»
(Тк-ср (здесь и далее индекс / опущен), «корпус — плата» сы-пл,.
а также проводимости аПл-ср, характеризующей растекание
теплового потока от зоны проекции элемента на плату и его
рассеяние с поверхностей платы в среду. Схема соединения этих
тепловых проводимостей представлена на рис. 6.4. Выражение для
собственного перегрева элемента согласно этой схеме можно
записать в виде
i
«к-ср + 0/*к-пл +
F.23)
Тепловая проводимость сгк-ср складывается из конвективной
проводимости от корпуса элемента к воздуху акк-ср и лучистой
проводимости от корпуса к соседним платам алк-ср. Исходя из
особенностей геометрии корпуса элемента и его установки на
плату, рассчитывают площади SK и S-* корпуса элемента,
участвующие в конвективном и лучистом теплообмене соответственно. По*
критериальным соотношениям определяется конвективный коэф-
230

фициент теплоотдачи ак, а по законам лучистого теплообмена —
коэффициент теплоотдачи излучением ал. Тогда тепловая
проводимость сгк-ср определяется по формуле ак-ср=ал5л+ак5к. Если
элемент устанавливается с индивидуальным радиатором, то
увеличение теплоотдающей поверхности учитывается путем
соответствующего увеличения тепловой проводимости «корпус — среда».
Тепловая проводимость «корпус — плата» зависит от способа
крепления элемента на плате и рассчитывается с учетом
переноса теплоты по выводам и через зазор между дном корпуса и
платой. Вопрос определения ак-пл подробно рассмотрен в [93].
Экспериментальные данные по определению локальных
коэффициентов теплоотдачи для типовых корпусов микросхем приведены в
[84,95, 109].
Наибольшая сложность заключается в определении тепловой
проводимости (Тпл-ср. Наличие многих элементов на плате
приводит к тому, чтов разных ее местах условия теплоотдачи различны,
причем установленные элементы в зависимости от их типа могут
как интенсифицировать теплоотдачу в данном месте платы, так
и затруднять ее. В рассматриваемой приближенной методике не
будем учитывать эти особенности, считая, что на всей плате
условия теплоотдачи одинаковы и характеризуются постоянными
коэффициентами теплоотдачи си и аг с каждой из сторон платы.
Плату будем считать однородной пластиной с толщиной бис
эффективной теплопроводностью Я. Заметим, что при
определении теплопроводности к печатных плат необходимо учитывать
наличие металлизированных участков печатного монтажа, что
приводит к существенному увеличению эффективной
теплопроводности. Например, при теплопроводности текстолитовой основы
около 0,3 Вт/(м-К) эффективная теплопроводность многослойных
печатных плат может составлять 10 ... 15 Вт/(м-К).
Для расчета тепловой проводимости <тПл-ср необходимо решить
двухмерную стационарную задачу теплопроводности для
пластины с локальным источником теплоты и определить перегрев в
зоне источника. Математическое описание такой задачи имеет вид
дх*
ду* }
^
qjx.y)
б
[
\
{ 0, вне области источника,
дх
дх
ду
ду
-о9
y=h,
где 1Ху 1У — размеры пластины; Дх, Ау — размеры источника; х0,
у о — координаты центра источника с мощностью Р.
В гл. 5 получено точное аналитическое решение этой задачи
для пластины ограниченных и неограниченных (/х->оо, 1у-*оо)
размеров, а также приведено приближенное аналитическое реше-
.— 231

ние для ограниченной пластины. Соответствующие решения
#(#, у) имеют вид, представленный соотношениями E.46), E.47)
и E.48).
Приведем результаты расчетов по точному аналитическому
решению E.46), которые представлены в виде безразмерных
графических зависимостей, удобных для оценочных расчетов.
Для сокращения числа параметров задачи введем некоторые
ограничения. Будем считать, что источник теплоты имеет форму
квадрата {Ах—Ау=А) и расположен в центре квадратной
пластины размерами lx=ly=l. При практических расчетах
прямоугольный источник теплоты следует приводить к квадратному,
исходя из равенства их площадей, т. е. принимать (Д= (\АхАуI/2*
Расчеты показывают, что для элементов, у которых размеры
сторон отличаются не более чем в 2—2,5 раза, выполнение такого
преобразования не приводит к существенной погрешности. При
принятых допущениях результаты расчетов можно представить
в виде графиков зависимости 9=<Ь//втах==1/!(В1*, //Л);
¦'max"
Яб
где •&о='&(^о, Уо)—перегрев в центре источника теплоты; Bi* —
критерий Био; #гаах — величина, имеющая смысл перегрева
источника теплоты при теплоотдаче только на участке поверхности
(ДМу).
Отношение Фо/Фтах представляет собой коэффициент,
характеризующий уменьшение перегрева за счет растекания теплоты по
плате. Проанализируем характер зависимостей, приведенных на
рис. 6.5. При Bi*-^oo отношение Фонтах стремится к единице, так
как при интенсивной теплоотдаче или малой теплопроводности
растекания по плате не будет и тепловой поток будет
непосредственно сбрасываться в среду с поверхности источника. ПриВ1*->-
->0 отношение Фо/Фтах стремится к отношению площадей источ-
&
0,8
0,2
О
•
——
-Z—-
^*
15
"
у
№1*
15
10
5
Т1 2 4 6810° 2 ¦ 4 6 8Ю1 2 Bi* Ю"г 2 4 6 810й 2 4 6 Bi*
\
\
\
s
Ч
Рис. 6.5. Зависимость относительно- Рис. 6.6. Зависимость критической
го перегрева 0=<б|о/дтах в центре величины отношения //А от числа
локального источника теплоты на Bi*
пластине от критерия Bi* и
отношения //А
232

яика и платы ((А//J. Это связано с тем, что при &->оо или
происходит полное растекание теплоты по плате, что приводит к
равенству температур во всех ее точках. С ростом числа Bi*
кривые Фо/Фтах для разных отношений размеров //1А сближаются
между собой, переходя в кривую для /Д-*-оо. Это свойство отражает
тот факт, что, начиная с определенной величины 1/А (для
каждого Bi* своя критическая величина //А), увеличение размеров
пласты не изменяет перегрева Фо, так как теплота дальше не
растекается.
Проводя расчеты по рассмотренной модели, можно найти
пределы растекания теплового потока от источника теплоты по
плате при различных значениях Bi*. Для этого были определены
отношения размеров D/А)Кр для разных Bi*, при которых перегрев
*&(хоУ /)='&(/, Уо) составляет 5% от перегрева в центре источника
^0=^(^0, Уо). Результаты расчетов в виде зависимости (//А)Кр=
=/(Bi*) представлены на рис. 6.6. Если реальные размеры
платы больше, чем /Кр, полученной из этой зависимости, то можно
считать, что источник теплоты расположен на пластине
неограниченных размеров и использовать соответствующие этому
случаю решения.
Полученные результаты позволяют оценить искомую тепловую
проводимость (Тпл-ср, которая по определению равна отношению
теплового потока РПл, входящего в плату от поверхностного
источника мощностью Р, к перегреву участка платы под источником:
<Wcp = PuJ% = (Р - «i #о A2)/<V
Здесь из полной мощности Р вычитается тепловой поток едФоА2,
уходящий с участка площадью А2 в сторону, на которой
расположен источник.
С учетом того, что Р= (зд+к^ФтахД2» получим соотношение
для расчета тепловой проводимости <тПл-ср, в которое входит
величина Э^Фо/Отах, определяемая из рис. 6.5:
а - («1 + <%) "Ртах А2 — <*i ®о А2 а2 /tti + «2 „ \
°пл-ср = Т = А Г «1 •
щ \ в /
Для случаев, когда допустимо считать плату пластиной
неограниченных размеров, можно предложить простые аналитические
расчетные соотношения для оценки перегревов, создаваемых
локальным источником. Заменим прямоугольный источник теплоты
круглым_источником радиуса i?, исходя из равенства их площадей:
R—AjVп. Тогда задача сводится к определению одномерного
температурного поля Ф(г) (в полярных координатах),
создаваемого круговым источником теплоты на бесконечной пластине.
Математическая постановка задачи имеет вид
Ш «о- F.26)
а
r>R,
233

а решение этой задачи записывается следующим образом (см,
§ 4.3): _ _ ^^V
в области источника (r<R)
*(г)-#Л iM + р- fl- -АШ ; F.27)
за пределами источника (r>.R)
*г)=^?^' <6-28>
До @а )
где Ьц — перегрев на границе r=R кругового источника,
определяемый по формуле
f K(bK)*(bR)]i. F29)
b=V(a1 +
/о, /Co, /1, Ki — модифицированные функции Бесселя
соответственно нулевого и первого порядка.
Связь между числом Bi*—(iai+ci2)A2/^6 и безразмерным
произведением bR выражается соотношением Bi*=n(bRJ. Поэтому
результаты расчетов по приведенным решениям также можно
представить в виде безразмерных зависимостей /&@)l/'0>max=/(Si*).
При выводе выражений F.27) — F.29) предполагалось, что
источник теплоты равномерно распределен в окружности радиусом
R. Более простые зависимости получаются, если считать, что во
всех точках области источника 0<Zr<ZR одинакова температура,
а не плотность теплового потока, т. е. /&@)='6>(Я)=/в|. Тогда в
области r>R температурное поле описывается зависимостью
F.28), а средний перегрев $='&r в области источника можно
найти из уравнения теплового баланса
dr
Kl(bR) . F.3G)
Ко (bR) '
Из F.30) следует, что перегрев Ф равен
Г1+ 2**<»*> Г1 . F.31)
L bRK0(bR) J
На рис. 6.7 приведены результаты расчетов перегревов #@)
и ^(R) по F.27) и F.29), а также среднего перегрева в области
источника Ф, найденного из решения F.31), для различных
значений числа Bi*={a\+a2KxR2/№>=n(bRJ. Все перегревы
отнесены к величине /dimax=^ai+ia2):n^2. Представленные
результаты можно использовать для расчета тепловой проводимости апл-ср-
по F.25). Например, если использовать решение F.31), то
тепловая проводимость <7пл-ср вычисляется следующим образом:
опл Ср = (Р — ctj я a vy/tr = ос2 jt R -)- % 2 я R fi» Ь . (о. о*)
/С© (Ь /?)
234

Рис. 6.7. Зависимости относительных
перегревов кругового источника на
неограниченной пластине от
критерия Bi*
2 -
3-е-
Это соотношение используется
в отраслевом стандарте [86]
при расчете собственного
перегрева по F.23).
в
0,8
0,2
у
/
У
s
/
у
/
/
/
У
У
/
У
70~; 2 Ч- 6 810° 2 4 6 8ЮТ Z Si*
Рассмотрим теперь методику расчета наведенных перепревов
fl-ij. Определим долю мощности i-го элемента, идущей в плату и,
следовательно, участвующей в создании наведенного перегрева.
Ее значение определяется по формуле
Pi
Ч^к-ц
Од л—ср
Для расчета наведенного перегрева можно воспользоваться
полученными решениями для ограниченной или неограниченной
пластины, причем значение мощности иго элемента следует
умножить на коэффициент Кь
Для приближенной оценки наведенного перегрева Ъц следует
вычислить собственный перегрев Ф« по F.23), а затем
воспользоваться решением F.28), которое описывает уменьшение
перегрева при удалении от области источника:
F.33)
здесь Гц — расстояние между центрами источников i и /; Ri —
эквивалентный радиус ?-го элемента.
Методика численного расчета температур элементов на плате.
Перейдем к описанию методики расчета, более строго
учитывающей взаимное влияние элементов на плате и теплообмен с
окружающими платами и воздухом в каналах. Тепловой моделью
платы с элементами является прямоугольная пластина размерами
ixt ly и толщиной б с эффективными теплопроводностями Я*, %у>
на которой с двух сторон расположены /=/i+/2 элементов с
равномерными температурными полями Tj и мощностями Pj (см.
рис. 6.3).
Для каждого из элементов записывается уравнение теплового
баланса, согласно которому мощность Pj передается путем
лучистого теплообмена соседней плате со средней температурой Тц
путем конвективного теплообмена — воздуху с температурой
Ui(xj), а также уходит в плату на участке установки элемента
(тепловой поток Pj пл):
Pj - о? (Г, - Тг ) + о) [Т§ - Uг (*,)] + Pj пл, F.34)
235

где / — индекс стороны платы '(/=1 для элементов с номерами
/^/i и 1=2 при />/i); олэ, aKj — лучистая и конвективная
тепловые проводимости от корпуса элемента.
Тепловой поток Р,-Пл, идущий от элемента в плату, равен
°j-nn(Tj-TMS)9 F.35)
где ГПЛ; — средняя температура участка платы (AXjAyj) под /-м
элементом; а^_пл — тепловая проводимость «элемент—плата».
Температурное поле платы считается двухмерным и
описывается уравнением теплопроводности с / локальными источниками
теплоты:
пл . д2 Тлл а (гр ()
а на торцах пластины теплообменом либо пренебрегают, либо
ставят граничные условия, описывающие теплообмен с корпусом
блока.
В F.36) лучистый и конвективный теплообмен на двух
поверхностях платы учитывается путем введения температуры условной
среды Т и коэффициента теплоотдачи к этой условной среде а,
которые определяются следующим образом:
Т (xj) = [а? 7\ + о? Т2 + а? Ux (xs) + ак2 U2 (*,)]/ а ; F.37)
где аД щк — лучистый и конвективный коэффициенты
теплоотдачи от платы со стороны /.
На участке расположения /-го элемента (AxjAt/j) в плату
входит тепловой поток Р^-пл, а коэффициент теплоотдачи щ с
соответствующей стороны на этом участке следует считать равным
нулю. Однако при решении F.36) коэффициент теплоотдачи к
условной среде а удобнее считать постоянным по поверхности
пластины, т. е. не учитывать изменений условий теплообмена в
местах установки элементов, приводящих к разрывной функции
а (а:, у). Вместе с тем при совместном решении уравнений
теплового баланса F.34) и уравнения для пластины F.36)
необходимо, чтобы в краевой задаче F.36) тепловые потоки, входящие в
плату в местах расположения элементов, были равны потокам
Pjnn из уравнений F.34). Этого можно достичь, если при
задании функции q(xf у) на участках поверхности платы,
соответствующих проекциям элементов, ввести некоторые условные
мощности источников P*j, определяемые следующим образом:
Р) = Pj пл + *i A xj A yj (Тпл j - Тг), F,38)
где Тг — температура условной среды на стороне /; щ —
коэффициент теплоотдачи к этой условной среде. Эти величины опреде-
236

ляются аналогично Т и а, но учитывается теплообмен только с
1-й стороны платы.
Второе слагаемое в правой части F.38) соответствует
тепловому потоку, который уходил бы с участка поверхности платы
^AXjAyj) с температурой TUnj в сторону /, если бы в этом месте
отсутствовал реальный элемент /, а вместо него стоял локальный
плоский источник с мощностью P*j.
С учетом введенных согласно F.38) условных мощностей
локальных источников P*j функция q{x, у) в уравнении F.36)
имеет вид
L
в зоне проекции /-го элемента;
( 0, вне зоны проекции /-го элемента.
Согласно принципу суперпозиции, для температур Tunj
участков платы под элементами можно записать выражение
j
Т п § = Та (я*) + У FiP* F.40)
ПЛ 3 Ф \ J' • ЛшЛ 13 I 9 \ /
1=1
где Тф(Х])—фоновая температура, создаваемая соседними
платами и воздухом в каналах; Fij — тепловой коэффициент от
площадки (AXiAyi), занятой источником i9 к площадке (AXjAyj).
Тепловые коэффициенты Fij (i, /=1,..., /) рассчитываются на
основе решения уравнения F.36). При этом для расчета F^
полагают Т=0 и Р*т=0 для всех тфЬ и находят перегревы Ьцу
создаваемые одним источником L Тогда тепловые коэффициенты
определяются по формуле Fij=$ij/P*i. Температурный фон Тф(х^)
определяется из решения уравнения F.36) при температуре
условной среды ?, рассчитанной согласно F.37), и при q(x, y)—0.
Если принять допущения об однородности пластины и
постоянстве коэффициента теплоотдачи, то для расчета двухмерного
температурного поля при нахождении тепловых коэффициентов
можно использовать точное и приближенное аналитические
решения, приведенные в гл. 5. В противном случае задачу
определения температурного поля Tnd(x, у) следует решать численно.
Например, при наличии на поверхности платы металлических шин
(кондуктивных теплостоков) тепловые коэффициенты Fij можно
найти путем численного решения двухмерной задачи
теплопроводности в прямоугольной области с теплопроводностью Я=
=Х(х, у), заданной в виде кусочно-постоянной функции.
После определения тепловых коэффициентов F^ и фоновой
температуры Тф(х^) задача расчета температур корпусов элементов
сводится к решению системы 4/ алгебраических уравнений
F.34), F.35), F.38), F.40) относительно неизвестных Tjy Tnjljj
Pj™> P*j (/=1,..., /). Эту систему 4/ уравнений можно путем
237

ряда подстановок свести к системе / алгебраических уравнений
относительно условных мощностей P*j, после решения которой
рассчитываются все остальные неизвестные.
Используя найденные средние температуры корпусов Tj или
температуры ТаЛ} участков платы под элементами и
температуры воздуха U(xj) около элементов, можно перейти к
следующему этапу — расчету температурного поля внутри элементов и
определению температур кристаллов полупроводниковых микросхем.
Пример 6.2. Требуется рассчитать собственный перегрев корпуса
микросборки, в которой рассеивается мощность Р=0,3 Вт, имеющего следующие
параметры: размеры проекции корпуса на плату Д*=1,4«!10-2 м, Л#=1,9'Г0~*2м;
площадь части поверхности, на которой происходит лучистый и конвективный
теплообмен с условной средой «S=5,2-/10—4 м2. Коэффициенты теплоотдачи к
условной среде равны: на поверхности корпуса ал + ак=120 Вт/(м2«К); на
поверхностях платы ai = a2=l'5 Вт/(м2«К). Тепловая проводимость между
корпусом и платой ак-пл=2-10-2 Вт/К. Микросборка установлена на плату с
толщиной 6=2-10~3 м и теплопроводностью А,.
Проведем расчет для двух значений Я'—!0,i5 Вт/(м-К) и X"=J5 Вт/(м-К),
соответствующих различной степени металлизации платы печатным монтажом.
Найдем размер А эквивалентного квадратного источника Д=A,4-10-2Х
X 1,9*10-2I/2= 1,62«:10-*2 м, и вычислим значения критерия Bi* при теплопро-
водностях платы %' и V:
(Bi*)' = A5 + 15);A,62- Ю-2 J/@,5.2.1(Г3) = 8;
(В1*Г= A5+ 15).A,62.10-2J/E-210-3) = 0,8.
Считая, что размеры платы достаточно велики, найдем по графику на
рис. 6.4 относительный перегрев 0='#о/'191тах (для случая //Д-м»): при (Bi*)'=
= 8 0/=О,58, при (Bi*)"=0,8 6 = 0,17. Определим тепловую проводимость
о*пл-ср по формуле F.25) аПл-ср='(а1 + а2)А2/9—ai-A2:
(апл,ср)' = A5+15).A,62Л0-2J/0,58-15A,62Л0-2J=9,8.10-3 Вт/К,
(апл_с)" = A5 + 1б).A.62.КГ2J/0,17- 15A,62-10~2J = 4,3-Ю~2 Вт/К.
Тепловая проводимость от свободной поверхности корпуса о~к-ср=(ал-Ь
-f aK)S== 20-6,2•10-4=10-2 Вт/К. Подставив найденные значения тепловых про-
водимостей в формулу F.23) для собственного перегрева корпуса, получим
®- ю-2+ A/2. ИГ+ 1/9,8. КГ3)-1
, Л 91 \гг
v - 10—2 Н-A/2-10—2 + 1/4,3-10—2)—J -J1>1K>
т. е. при более высокой теплопроводности платы за счет улучшения условий
растекания теплоты по плате собственный перегрев снижается примерно на
40%.
6.4. МИКРОСХЕМЫ И МИКРОСБОРКИ
При проектировании интегральных микросхем и гибридных
микросборок требования к тепловому режиму необходимо учитывать
при выборе конструкции корпуса, геометрических параметров и
238

материалов корпуса и подложки, размещении компонентов
схемы на подложке. Задача теплового расчета на этом этапе
состоит в определении температур кристаллов интегральных схем (ИС),
пленочных резисторов и других компонентов микроэлектронной
технологии, расположенных на подложке. На рис. 6.8 приведена
схема распространенной конструкции микросборки (МСБ) в ме-
таллостеклянном корпусе, на примере которой рассмотрим
методики расчета теплового режима микросборок. К металлическому
основанию 3 с помощью слоя клея 2 крепится подложка 1. На
подложке при помощи либо клея, либо шариковых выводов
устанавливаются кристаллы 5. Сверху конструкция закрывается
металлической крышкой 4У которая приваривается к основанию
корпуса.
Тепловые и математические модели. Существуют различные
подходы к построению тепловых моделей микросборок [5, 10, 11,
47, 62, 95, 96]. Сначала остановимся на подходе, при котором
предполагается, что поверхность корпуса МСБ является
изотермичной, а ее температура Тк находится без анализа процессов
теплообмена внутри микросборки. Методы определения температур
корпусов элементов, установленных на плату, рассмотрены в
§ 6.3.
В данном случае при анализе температурного поля МСБ
рассчитывают перегревы Ф=Г—Тк над температурой
изотермической поверхности корпуса. Для конструкции, изображенной на
рис. 6.8, обычно пренебрегают теплоотдачей со стороны
свободной поверхности подложки и с ее торцов и считают, что
тепловой поток от источников (кристаллов и пленочных резисторов) в
основном переносится кондуктивным путем через подложку и
клей к основанию корпуса. Тогда для расчета трехмерного
температурного поля применяют модель многослойного
параллелепипеда с локальными источниками теплоты на верхней грани и
теплообменом на нижней грани [11, 47, 96] (см. рис. 6.8).
Математическое описание этой модели дается системой уравнений
E.16) — E.21). Расчеты трехмерного температурного поля в
подложке на основе точного аналитического решения, полученного
Рис. 6.8. Схематичное изображение Рис. 6.9. Модели многослойного па-
конструкции МСБ в металлостеклян- раллелепипеда, используемые при
ном корпусе расчете температурного поля
микросборок:
а — двухслойная; б — трехслойная
239

в § 5.2 и представленного в виде двойного ряда, могут быть Аро-
ведены «а ЭВМ. С учетом тепловых сопротивлений «кристалл —
подложка» Rkp-п температуры кристаллов TKPjj определяют по
формуле Ткр,э=Тп(Хэ, уь 0)+/у?кР-п, где Tti(xjy yjf 0)
—температура на поверхности 2=0 подложки в центре локального
источника с координатами Xj, у у, Pj — мощность тепловыделений в
кристалле.
Тепловое сопротивление Якр-n зависит от способа установки
кристалла на подложку (использование клея, припоя, шариковых
выводов). При наличии прослойки толщиной бпр с
теплопроводностью Япр*. ^?кр-п=бпр/(ЯпрАл:Ду), где Ах, Ау— размеры
кристалла. Более сложные случаи крепления кристалла рассмотрены,
например, в [47].
Для конструкции, изображенной на рис. 6.8, модель
многослойного параллелепипеда можно использовать в двух вариантах.
1. Модель параллелепипеда из двух слоев (подложка 1 и
клей 2 с толщинами U9 /2 и теплопроводностями Х\, Яг), на
нижней грани которого z=li~\-i2 задаются условия идеального
контакта с изотермическим основанием (рис. 6.9,а).
2. Модель трехслойного параллелепипеда (подложка /, клей 2,
основание 3) с заданием постоянной температуры на наружной
поверхности основания ^=/i+/2+^3 (рис. 6.9,6). В этой модели
по сравнению с предыдущей учитывается тепловое
сопротивление при растекании теплового потока в основании корпуса с
теплопроводностью %ъ И ТОЛЩИНОЙ /з.
При необходимости расчета пространственного распределения
температуры в кристаллах ИС, а также при анализе теплового
режима более сложных конструкций МСБ, включающих
несколько подложек на общем основании, применяют модели систем
параллелепипедов разных размеров, образующих конфигурации
типа «ступенчатых пирамид» (рис. 6.10). В [25] предложено
приближенное аналитическое решение, описывающее температурное
поле в такой системе тел, а в [119] изложена методика
нахождения точного решения, базирующаяся на точных аналитических
1
1
)
I
г
1
j
Рис. 6.10. Модель микросборки в
виде системы параллелепипедов
тина «ступенчатой пирамиды»
240
Рис. 6.11. Пример пространственного
разбиения конструкции МСБ
конечными элементами в виде
прямоугольных параллелепипедов:
/ — крышка корпуса; 2 — кристалл; 3, 5 —
клей; 4 —основание корпуса; 6 —
подложка

решениях задачи для одиночного параллелепипеда и
использующая итерационный процесс «сращивания» решений в зонах
контакта.
При существенной неизотермич.ност.и корпуса, влияющей на
температурное поле подложки, целесообразно проводить более
строгое описание теплового режима с учетом кондуктивного
переноса теплоты по корпусу с реальной конфигурацией,
неоднородных условий теплообмена корпуса со средой, локального отвода
теплоты по выводам и т. д. Подобные модели МОБ могут быть
реализованы лишь с помощью численных методов. Примеры
применения численных методов для расчета пространственных
температурных полей в конструкциях МСБ содержатся в {10, 62,
63, 95].
Весьма детальное описание пространственного распределения
температуры в МСБ дано в [5] с помощью метода конечных
элементов. Принятая в [5] тепловая модель представляет собой
трехмерное неоднородное тело, состоящее из контактирующих
между собой параллелепипедов, каждый из которых обладает
своими теплофизическими свойствами. При численном решении
используются конечные элементы в виде прямоугольных
параллелепипедов. Пример пространственного разбиения показан на рис.
6.11. Такой подход позволяет достаточно детально описать
конструкцию, представленную на рис. 6.8, а также конструкции МСБ,
залитых теплопроводным компаундом, учесть различные
способы отвода теплоты от корпуса. Однако численная реализация
трехмерной модели 1МСБ требует значительных затрат
машинного времени и памяти. Для уменьшения общего числа узлов
сетки приходится использовать неравномерное разбиение со
сгущением сетки около локального источника. При этом для каждого
источника проводится расчет создаваемого им распределения
перегревов на своей, «подстроенной» под него сетке, а затем
-выполняется суммирование перегревов от всех источников.
Отметим, что при задании граничных условий в
рассмотренной модели используются температура воздуха у свободной
поверхности корпуса и температура участка платы под корпусом,
найденные на предыдущих этапах расчета.
Можно предложить и некоторый «промежуточный» вариант
тепловой модели, который учитывает реальную конфигурацию
корпуса и условия теплообмена на его поверхности, позволяет
рассчитать распределение температуры по корпусу, но не
требует совместного расчета температурных полей в подложке и
корпусе. В такой модели температурное поле корпуса находится при
задании в месте крепления подложки равномерного
распределения входящего теплового потока. Найденное распределение
температуры основания корпуса задается в качестве граничного
условия при анализе температурного поля подложки вместо
равномерной средней температуры корпуса Тк. Заметим, что во многих
случаях температурные поля дна и крышки корпуса
целесообразно считать двухмерными, т. е. пренебрегать перепадом темпера-
241

туры по их толщине и описывать уравнениями для пластины с
боковым теплообменом. /
Рассмотренные тепловые и математические модели относились
к наиболее простым и распространенным конструкциям МСБ,
подобным представленной на рис. 6.8. Однако в настоящее время в
связи с увеличением мощности, рассеиваемой кристаллами ИС,
используются и более сложные конструкции. Соответствующие
многочисленные примеры конструкций с кондуктивно-воздушным
и кондуктивно-жидкостным охлаждением приведены в {95]. На
рис. 6.12 показаны два варианта конструкций корпуса МСБ,
особенностями которых является наличие индивидуальных (рис.
6.12,а) или групповых (рис. 6.12,6) кондуктивно-конвективных
теплоотводов, предназначенных для увеличения тепловых связей
кристаллов с охлаждающим потоком воздуха. Расчет тепловых
режимов подобных сложных конструкций проводится на основе
использования численных методов. В [95] описаны
соответствующие тепловые модели и приведены примеры расчетов.
Оценка перегрева кристалла на подложке. Рассмотрим
методику приближенной «ручной» оценки температуры кристалла на
подложке МСБ. Перегрев над температурой среды, окружающей
корпус МСБ, может быть рассчитан ш> формуле
где Р — мощность рассматриваемого кристалла; Р2 —
суммарная мощность всех источников в корпусе МСБ; 7?Кр-п — тепловое
сопротивление «кристалл — подложка»; R* — тепловое
сопротивление от участка установки кристалла к основанию, которое
считается изотермическим; i?K-cp — тепловое сопротивление
«корпус — среда», учитывающее как теплоотдачу со свободной
поверхности корпуса, так и перенос теплоты через плату.
При записи F.41) предполагается, что рассматриваемый
источник находится на подложке вне зоны влияния остальных
источников, а их мощность (Ps—Р) влияет только на уровень
температуры корпуса. Зависимости для оценки размеров зон
влияния локальных источников на подложке приведены в [96].
Тепловое сопротивление J?K-cp зависит от корпуса, способа его
установки на плату, параметров платы и условий теплообмена со
ГШ1уШ1\
а)
Рис. 6.12. Конструкции микросборок с локальными (а) и групповым (б) ков>
дуктивно-конвективными теплоотводами:
/ — кристалл ИС; 2 — подложка; 3 — выводы корпуса; 4 — корпус; 5 — кондуктивно-кон-
вективный теплоотвод; 6 — теплопроводный компаунд
242

средой. Это тепловое сопротивление может быть найдено путем
оценки перегрева корпуса по методике, изложенной выше в § 6.3.
Значения RK-cp для стандартных корпусов при разных условиях
теплообмена приведены в [47].
Тепловое сопротивление \R* может быть найдено решением
трехмерной задачи E.16) — E.21) для двухслойной системы
«подложка— клей». При достаточно малых размерах источника Ал:,
д# и цри толщине подложки iz, существенно меньшей ее
размеров tx, 1Уу можно перейти к модели неограниченной пластины
/лГ->оо, 1у-+оо) с локальным поверхностным источником и
трехмерным температурным полем (см. рис. 5.9). При этом
собственный перегрев источника не зависит от места его расположения на
подложке.
Для удобства обобщения результатов расчета сопротивления
R* и представления их в графической форме перейдем от
двухслойной модели к модели однородного параллелепипеда с
теплопроводностью к\. Такой приближенный переход можно
осуществить двумя путями.
Первый подход состоит в том, что вместо слоя клея толщиной
/2 с теплопроводностью Х2 вводится дополнительный слой
подложки с теплопроводностью Л,1 и толщиной AZi, которая определяется
из условия равенства тепловых сопротивлений на единицу
площади поперечного сечения. На нижней границе такой
однородной пластины толщиной /z=/i+A-/i ставится граничное условие,
описывающее идеальный контакт с изотермической поверхностью
корпуса:
¦Ufd-A/t = 0 , А 1г = /2 VA*. F-42)
Другой способ учета теплового сопротивления клеевой
прослойки в однослойной модели заключается в задании на нижней
поверхности подложки граничного условия 3-го рода с
коэффициентом теплоотдачи a=Wfe
+al =0. F.43)
дг Jz-=/1
Эти два варианта перехода от двухслойной модели к
однослойной иллюстрирует рис. 6.13.
Отметим, что оба описанных приема перехода к однослойной
модели приводят к методической погрешности. В первом случае
введение дополнительного слоя толщиной Ali>h (при Я1>Яг)
приводит к занижению перегревов источника из-за улучшения
условий растекания теплового потока. Как показал анализ, этим
приемом целесообразно пользоваться лишь при AZi//i<0f5. Во
втором случае введение коэффициента теплоотдачи а всегда
приводит к некоторому завышению перегревов, так как при этом
вообще не учитывается растекание теплового потока в слое клея
толщиной h. Однако на практике в конструкциях, подобных
изображенной на рис. 6.8, толщина слоя клея i2 в несколько раз
меньше толщины подложки h и теплопроводность подложки %\
243

4
J L
/ I
-Ж
(
a)
Рис. 6.13. Два варианта перехода от двухслойной модели к однослойной с
граничными условиями 1-го (а) и 3-го (б) рода на нижней поверхности
подложки
больше теплопроводности клея %2- Поэтому существенного
растекания теплового потока в слое клея не происходит и переход
к однослойной модели с граничным условием третьего рода
оказывается правомерным, что иллюстрирует пример расчета 6.3.
Точное аналитическое решение $(х, у, г), описывающее
температурное поле неограниченной пластины с локальным
источником, получено в § 5.2 и имеет вид E.36). Тепловое
сопротивление R* определим как отношение перегрева над температурой
основания в центре источника /&0=='в1@, 0, 0) к мощности Р=
= qAxAy: #*=<&0/jP.
Сначала рассмотрим случай граничных условий 1-го рода на
нижней грани 2==4(ia->oo). На основе перехода к безразмерной
постановке задачи перегрев источника можно представить в
виде §0=§qlzlh и искомое тепловое сопротивление найти по
формуле R*='&a/(qAxAy)=filz/AxAyX. Здесь комплекс qtzf% равен
перегреву, который возник бы при отсутствии растекания
теплового потока в направлениях хну; комплекс lz/AxAyX равен
тепловому сопротивлению плоской стенки с толщиной lz и площадью
поперечного сечения АхАу; безразмерный параметр р учитывает
уменьшение теплового сопротивления за счет растекания
теплового потока (ip<l).
Параметр р зависит от относительных полуразмеров
источника Kx=Ax/Blz) и Ky=Ay/Blz). Графики этой зависимости
представлены на рис. 6.14. Параметры К\ и /Сг соответствуют
большему и меньшему из значений Кх> Ку: Ki=max{Kx, Ky}\ #2 =
=тт{Кху Ку}. Штриховая кривая приведена для квадратного
источника (Кх=Ку).
Отметим, что при уменьшении размеров источника (Ax<^tz>
Ay<g.lz) перегрев fto перестает зависеть от толщины подложки lZr
а определяется только размерами 'Ах, Ау и теплопроводностью X*
Это предельное значение перегрева можно найти на основе
модели локального источника на поверхности полуограниченного
244

0,15 -
О 02 0,4 0,6 0,8
а)
0,5 1,0 1,5 2,0 /Г;
Рис. 6.14. Зависимость величины р от параметров Ki=max(Kx, Ку) и /С2
тт(Д'ж, Ку)
тела. При сопоставимых размерах Да:, Ау можно перейти к
эквивалентному круговому источнику радиусом г= (АхАу/пI/2 и
воспользоваться известным соотношением для теплового
сопротивления от диска на поверхности полуограниченного тела Г1121:
Я*#/Р1/DгЯ)
()
Рассмотрим теперь случай, когда теплообмен на нижней
грани описывается условиями 3-го рода. Решение уравнения
теплопроводности для неограниченной пластины с локальным
источником можно представить в виде безразмерных зависимостей
относительного перегрева от относительных размеров и критерия Bi=
= а4Д. Анализ показал, что для обобщения результатов
удобно в качестве масштаба перегрева выбрать перегрев в центре
локального источника при граничных условиях 1-го рода на
нижней грани, который можно оценить по графикам на рис. 6.14.
Обозначим этот перегрев Фоо (перегрев при а->оо). Для
уменьшения числа параметров
рассмотрим квадратный источник (Ах=
=Ду) »и в-ведем параметр К=
=Ax/Btz).
На рис. 6.15 представлены
зависимости относительного
перегрева в центре локального
источника 0=й/'б1оо от критерия Bi =
= alz/X при различных значениях
параметра /С. При уменьшении
Bi (т. е. при ухудшении
теплообмена на нижней грани) на
изменение перегрева оказывают
влияния два эффекта. Во-первых,
происходит увеличение теплового
сопротивления на границе, что
ведет К росту перегревов. Bo-ВТО-
рых, наблюдается более сильное
растекание теплового потока в на-
правлениях ХИу, ЧТО ПрИВОДИТ К
4 6 8J0'1 2
Рис. 6.15. Зависимость относитель-
ного пеРегРева в=д/Ф. в центре
локального источника от критерия
ш при различных значениях пара-
метра К
245

увеличению площади поверхности, с которой рассеивается тепловой
поток, и способствует снижению теплового сопротивления на
границе. В результате перегревы источника растут при уменьшении
Bi значительно медленнее, чем они росли бы при отсутствии
растекания теплового потока. Из рис. 6.15 видно, что при
достаточно малых относительных размерах источника (/С<0,5)
уменьшение критерия Bi от оо до 0,5 вообще практически не влияет на
значение перегрева 8. Это связано с тем, что ухудшение условий
теплообмена «компенсируется» улучшением растекания
теплового потока по теплоотдающей поверхности.
При достаточно больших размерах источника {К>5) можно
при Bi>0,5... 1 пренебрегать растеканием теплового потока и
применять для оценки перегрева соотношение Ф — а \ -*- -\ ) =
- \ Я а J
При малых Bi (Bi<;0,l) можно использовать модель пласти-
яы с двухмерным температурным полем -©(л:, у), рассмотренную
в § 6.3.
Таким образом, тепловое сопротивление JR* подложки при
конечном значении коэффициента теплоотдачи на нижней грани
может быть оценено по формуле
#* = Р« lz
ХАхАу '
где параметр ip определяется по графику на рис. 6.14, а параметр
*в — по графику на рис. 6.15. Чтобы использовать график 6.15 для
прямоугольных источников с различными размерами Ах и Дг/,
можно параметр К определять по формуле К= {Uti&y) l/2/2lz.
Описанная методика расчета позволяет оценить собственный
перегрев кристалла (т. е. перегрев без учета влияния «соседних»
кристаллов, размещенных на той же подложке), когда возможно
использование двухслойной модели с упомянутыми выше
ограничениями на соотношение толщин и теплопроводностей слоев.
Однако часто возникает необходимость оценок по более сложным
моделям, в которых учитывается взаимное влияние
тепловыделяющих компонентов и допускается наличие многих слоев с
произвольным соотношением их теплопроводностей и толщин.
Например, в некоторых конструкциях для улучшения растекания
теплового потока от кристалла вводится специальная
высокотеплопроводная прокладка, которой в модели должен соответствовать
отдельный слой. Для проведения инженерных расчетов по таким
моделям в [49] предложен оригинальный приближенный метод
определения тепловых сопротивлений в многослойных структурах с
локальными источниками теплоты, названный методом эквива-
. лентов.
Пример 6.3. Рассмотрим пример использования полученных зависимостей
для оценки перегрева кристалла на подложке. Пусть кристалл имеет размеры

Д#=А#=1 мм и рассеивает мощность Р=0,2 Вт. Кристалл установлен на*
подложку толщиной /i =Ю,6 мм. Толщина слоя клея между подложкой и
корпусом /2=0,2 мм, а его теплопроводность Л2=0,8 Вт/(м-К). Требуется
определить перегрев подложки в месте установки кристалла при двух значениях*
теплопроводности подложки Vi=il Вт/(м-К) и X"i = 10 Вт/(м-К).
Плотность теплового потока под источником равна q=P/AxAу=0,2/ @,00.1 X
Х0,001)=2-105 Вт/м2.
Вместо тонкого слоя клея введем эффективный коэффициент теплоотдачи от
подложки к основанию а=Х2//2=4000 Вт/(м2-К).
Относительный полуразмер источника — параметр К—0,5/0,6=0,83. Сначала
проведем расчет для подложки с малой теплопроводностью %\. Найдем критерий
БГ=4000-0,6-10-3/1=2,4. По графику 6Л4,а найдем при /Ci=/C2='0,83
коэффициент р«0,65. Тогда при Bi-^oo перегрев dTO=iP^/iAi=0,65.2-105-0,6-il0-3/l =
=78 К.
По графику 6.Г5 при Bi'=2,4 найдем перегрев при конечном значении
а:О=еОсо = 1,15-78=90 К.
Если учесть тепловое сопротивление путем увеличения толщины подложки
на A/1 = /2ViA2=0,26-10-3 м, то получим /(=0,5/@,6+0,25) =0,59. Тогда из
графика 6.14,а получим Р~Ю,53 и перегрев О=0,53-2-105-0,85- 10~3/l=90 К, что
совпадает с расчетом, выполненным выше.
Теперь оценим перегрев для случая подложки с большой теплопроводностью
X"i. Вычислим критерий Вг"=<4(Ю0-0,6.10-3/10=0,24 и перегрев Ого = 0,65Х
Х2-105-0,6.10-3/Ю=7,8 К. Далее при /С=0,83 и Bi"=0,24 найдем 9=\1,6.
Тогда #=е#оо = 1,6-7,8= 12,4 К.
Если учесть тепловое сопротивление на границе путем увеличения толщины
подложки на A/i = ^"iAs=2,5-10 м, то получим /С=0,5/@,6+2,5) =10,16.
Тогда из графика 6.14,а получим р«0,17 и определим перегрев по формуле О=
=,0,17-2-105- B,5+0,6) -10-3/10= 10,4 К, что лишь на 20% ниже, чем значение-
перегрева, найденное путем более строгой оценки.
Приведем результаты расчета по модели многослойного параллелепипеда
ограниченных размеров /x = /y=10 мм с использованием точного аналитического-
решения E.29). При этом в случае трехслойной модели введем еще один слой —
основание корпуса толщиной /3=1,5 мм с теплопроводностью Яз=20 Вт/(м-К).
При анализе двухслойной модели «подложка—клей» с идеальным контактом'
с изотермическим основанием получены значения перегревов {К=88К и О"»
= 12 К, соответствующие двум рассматриваемым значениям теплопроводности
подложки. При расчете по трехслойной модели «подложка — клей — основание»-
с изотермической наружной поверхностью основания получены следующие
значения перегревов над температурой основания: #'=89,2 К, F1'/=12,5 К.
Некоторое увеличение перегревов по сравнению с двухслойной моделью связано с
учетом дополнительного теплового сопротивления при растекании теплового
потока в основании.
6.5. ТЕПЛОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ РЭА
Тепловым проектированием назовем ту часть проектирования
конструкции, которая позволяет обеспечить требования к
нормальному тепловому режиму аппаратуры. Задачи теплового
проектирования РЭА решаются поэтапно в соответствии с иерархическими
247

уровнями конструирования. На каждом этапе параметры
конструкции и системы охлаждения выбирают, исходя из требований
к характерным температурам модулей (конструктивных единиц)
данного уровня. Например, при разработке конструкции и
системы охлаждения стойки исходными данными являются
требования к допустимым средним температурам блоков и
температурам теплоносителей на входе в блоки. Эти допустимые
температуры, в свою очередь, определяются при анализе теплового
режима блоков и плат на основе требований к допустимым
температурам корпусов элементов. Допустимые температуры корпусов
элементов находят при анализе температурных полей ИС и МСБ.
Тепловое проектирование на каждом этапе включает решение
следующих основных задач: выбор базовой конструкции и схемы
системы охлаждения; выбор параметров конструкции и системы
охлаждения; расчет температурных полей на данном уровне и
проверку выполнения требований к допустимым температурам;
оптимизацию параметров конструкции и системы охлаждения.
На начальном этапе проектирования для выбора базовых
конструкций и их основных параметров необходимо иметь методики,
использующие ограниченную информацию о рассеиваемых
мощностях, допустимых температурах, условиях эксплуатации и
ограничениях на габариты. Например, при тепловом
проектировании блоков возникают задачи выбора базовой схемы системы
охлаждения и основных параметров конструкции в условиях, когда
отсутствует информация о распределении мощностей по
отдельным платам и их размещении в блоке. Исходными данными для
решения этой задачи являются суммарная мощность Pv
выделяемая в блоке, максимальная температура среды ТсРу размеры
ячеек на печатных платах /х, 1у Кроме того, задаются некоторые
ограничения: например, предельно допустимые га-бариты блока
LXy Lyy LZy или ограничения на расходы воздуха при
принудительной вентиляции, или требования герметичности корпуса и т. д.
В [16, 21, 96] приведены вероятностные зависимости, которые
устанавливают связь между перегревами нагретой зоны блоков
Тн.з—Тср и удельным тепловым потоком Р2/5н.з на единицу
площади наружной поверхности нагретой зоны. Такие зависимости
построены для блоков в герметичном корпусе с естественным
воздушным охлаждением и с внутренним перемешиванием воздуха
и для блоков в перфорированном корпусе с естественной и с
принудительной вентиляцией. На основе этих зависимостей можно
проводить выбор той или иной базовой схемы системы
охлаждения блока.
На основе описанных в § 6.2 моделей блоков получены более
детальные зависимости, которые связывают мощность Р2,
максимальный из средних перегревов плат fmax=niaxi|Fn—^cp'l и
п
п
основные параметры конструкции блока. Рассмотрим подход к
построению таких зависимостей. Будем считать, что в блоке
расположены одинаковые платы с эффективной толщиной dy выде-
248

ляющие одинаковые мощности P=P^/\N и находящиеся на рас-
стоянии b друг от друга. Пусть максимальная из средних
температур плат fmax зависит от М конструктивных и режимных
параметров dm: Tmax=fi(ai, ..., пм). Из всей совокупности
параметров {am}Mm=i выберем несколько основных параметров ат (т==^
= 1,..., ЛГо), значения которых наиболее существенно влияют на
искомую характеристику теплового режима блока. Для всех ос-
тальных (неосновных) параметров От (/n==Mo+l> —, Щ зада-
дим диапазоны их возможного изменения [ammln, Ятшах].
Выбор основных и неосновных параметров должен быть
проведен на основе предварительного математического
моделирования. При этом целесообразно использовать методы планирования
эксперимента.
Для построения искомых зависимостей при каждой
фиксированной совокупности значений основных параметров
выполняется многократный расчет fmax для L случайных наборов значений
неосновных параметров. Совокупность полученных случайных
значений {Гтах,г}ьг=1 подвергается статистической обработке, и
находятся оценки математического ожидания ?l[fmax] и дисперсии
/>{Гтах]. Эти оценки определяют наиболее вероятный тепловой
режим при заданных основных параметрах и возможные
отклонения температуры из-за различия в неосновных параметрах.
Анализ показал, что для обобщения результатов
целесообразно, ввести параметр 0, равный отношению перегрева центральной
платы к мощности, приходящейся на единицу площади ячейки,.
Введение в качестве искомой характеристики теплового режима
параметра 9 позволяет перевести мощность Р и температуру
среды ГСр в группу неосновных параметров, сократив тем самым
число основных параметров.
Приведем зависимости величины 8 от основных параметров
для блоков с герметичным и перфорированным корпусом при
естественном воздушном охлаждении и для блоков с
принудительной вентиляцией (см. рис. 1.6,а,в,г). В качестве основных
параметров выбраны: для герметичных блоков — эффективная
ширина канала Ь и высота платы 1Х; для блоков с естественной
вентиляцией— Ь, 1Х и коэффициент перфорации /Сп; для блоков с
принудительной вентиляцией — ширина канала b и массовый расход
воздуха в одном канале G. Остальные параметры изменялись в
следующих диапазонах: 1У=О,15... 0,25 м, коэффициенты
черноты 8=0,7... 0,9, температура среды Гср = 10 ... 60° С, мощности
Р=2... 10 Вт (для естественного воздушного охлаждения) и Р=
= 5... 30 Вт (для принудительной вентиляции). Результаты
расчетов приведены на рис. 6.16. Сплошные кривые соответствуют
оценкам математического ожидания величины 6, а штриховые
проведены на расстоянии, равном среднему квадратическому
отклонению от значения ?[6] для двух крайних кривых.

0,02
2 3 ^ GJOkHr/c
д)
0,01 0,02 0,03 в,М
г)
Рис. 6.16. Зависимости безразмерного
параметра 0 от основных параметров
герметичного блока (а), блоков с
естественной (б—Яи=0,1; в-/Сп=0,2; г—/Сп=
= 0,3) и принудительной (д) вентиляцией:
1 — L=0,l м; 2 — L=0,2 м; 3 — L=0,3 м
После выбора базовой конструкции решение задач
компоновки модулей, корректировки конструктивных и режимных
параметров проводится в режиме диалога на ЭВМ путем сочетания
неформальных процедур перебора и анализа вариантов с
формальными процедурами оптимизации. Математическим обеспечением
этого этапа проектирования являются пакеты прикладных
программ, которые реализуют методики расчета теплового режима на
различных конструктивных уровнях аппаратуры.
Информационное обеспечение включает базы данных по свойствам
материалов, параметрам типовых конструктивных элементов,
характеристикам «тепловой элементной базы» (радиаторы, вентиляторы,
теплообменники, тепловые трубы и т. д.). Примером промышлен-
ио тиражируемой подсистемы автоматизированного
моделирования тепловых режимов РЗА является система ПРАМ-9,
реализующая тепловые расчеты аппаратуры с естественным и принуди-,
тельным воздушным охлаждением {17].
Опыт решения реальных задач проектирования показывает,
что определяющую роль играет неформальный перебор и анализ
вариантов конструкций, проводимый человеком. При этом
задача автоматизированной подсистемы теплового проектирования —
дать пользователю инструмент для оперативного расчета
температурных полей с требуемой степенью детализации, позволяющий
быстро и удобно вносить коррекции в описание исследуемой
конструкции. Однако при решении отдельных задач весьма
эффективным является применение формальных процедур оптимизации.
В качестве примера приведем две задачи: размещение элементов
в устройстве (микросхем на плате, плат в блоке, блоков в
стойке) и оптимизацию распределения расходов воздуха в системах
с принудительной вентиляцией.
250

Рассматриваемая задача размещения элементов исходя и$
требований к тепловому режиму ставится следующим образом.
Имеется N элементов, рассеивающих различные мощности Рп
(я=1,..., N). Эти элементы могут быть размещены в М фикси-
рованных позициях (M^\N). Требуется найти вариант
размещения, при котором достигается минимум выбранной целевой
функции ф (критерия оптимизации): <р-ишп. В качестве критерия <#
могут быть выбраны, например, следующие функции:
среднее значение температуры элементов
среднее квадратическое отклонение температур Тп от их
среднего значения
[N _ -11/2 i
2 (Та-ТJ\ N;
n=l J /
максимальная температура элементов
Решение задачи размещения путем перебора всех вариантов^
с расчетом температур для каждого из них не представляется
возможным, поскольку число вариантов размещения
пропорционально 'f[Mlf(M—N)l]. Поэтому возникает задача разработки
экономичных алгоритмов размещения. В [37] предложены такие
алгоритмы для критериев q>i и ф2. Эти алгоритмы основаны на
том, что согласно принципу суперпозиции температура Тп
элемента /г, установленного в позицию 4 может быть найдена по
формуле
Тфг+ 2FHPhuh F.44>
где Тф{ — температурный фон в позиции i; Рад> — мощность
элемента к, установленного в позицию /; Рц — тепловой
коэффициент между позициями / и <?. Задача расчета температур при
размещении решается в линеаризованной постановке, т. е.
коэффициенты Fji считаются не зависящими от распределения
мощностей Рп и рассчитываются один раз для случая равномерного
распределения мощностей по установочным позициям.
В [37] показано, что для критерия ф1 на основе найденных
значений F^ (/, «1=1,..., М) можно сразу рассчитать номера
позиций /, в которые следует устанавливать элементы с заданными
мощностями Pfe. В случае критерия фг в ![37] предложен алгоритм,
основанный на последовательном улучшении размещения путем
парных перестановок элементов. Выбор лучшей парной
перестановки на каждом шаге этого алгоритма осуществляется с
использованием F.44).
251

При размещении элементов в электронном устройстве
необходимо совместно учитывать коммутационные и тепловые
требования. Во многих случаях коммутационные требования при
размещении состоят в минимизации длин связей (электрических соеди-
нений) между элементами: D = 2 2 Lnh dt(n)t / (&), где
— число соединений между элементами п и к\ йцП),кк) —
длина соединения между позициями i и /, в которые размещаются
элементы пик.
Можно предложить различные алгоритмы размещения,
которые учитывают как тепловые, так и коммутационные требования.
Например, можно ввести критерий Д являющийся комбинацией
«теплового» и «коммутационного» критериев: /=ci<p+?2A где
С\, с2 — некоторые весовые коэффициенты.
Однако практика показала, что целесообразно решать задачу
размещения иным образом, выбирая в качестве целевой функции
один из критериев и накладывая ограничения на значения
другого критерия. В качестве примера такого подхода рассмотрим
процедуру размещения плат в блоке с учетом тепловых и
коммутационных требований.
Сначала проводится размещение плат на основе
коммутационных требований (критерий D) с использованием алгоритмов,
изложенных, например, в [81]. В результате получается вариант
размещения с оптимальной суммарной длиной связей Дорь
Далее выделяют группы элементов, внутри которых допустимо
делать перестановки, исходя из тепловых требований. Для этих
групп элементов выполняют улучшение размещения на основе
критериев <рь <рг или фз и анализируют увеличение суммарной
длины связей по сравнению с оптимальными значениями (\Д?) =
=D—Z)oPt). Если это увеличение длины превышает предельно
допустимые значения, то соответствующие варианты размещения
отвергаются. После оптимизации размещения по тепловым
требованиям можно провести улучшение «коммутационного»
критерия D за счет перестановок элементов с достаточно'малыми
мощностями, что не оказывает существенного влияния на тепловой
режим. Заметим, что если число установочных позиций М
превышает число размещаемых элементов ЛГ, то эффективным приемом
улучшения теплового режима при размещении является
увеличение расстояний между элементами с большой мощностью за счет
пропуска «пустых» позиций между ними.
Примером другой задачи, для решения которой целесообразно
использовать процедуры оптимизации, является выбор
оптимального распределения расходов воздуха в аппаратуре с
принудительной вентиляцией. Рассмотрим блок с принудительной
вентиляцией (см. рис. 1.6,г). Требуется найти расходы воздуха Gn
(я=1,... ? N+1) в каналах между платами, при которых
суммарный расход воздуха G^^UGn минимален, а температуры
п
252

корпусов всех элементов не превышают своих допустимых
значений Г/Оп.
Данная задача оптимизации сформулирована следующим
образом. В качестве целевой функции выбрана сумма модулей
отклонений температур наиболее «критичных» элементов от своих
допустимых значений
ЛЧ-1
Ф= 2 \TM-Tf^\cjin)> F.45)
где Tj(n) — температура элемента / в канале п\ с — весовой
коэффициент, равный 1 при 7^>Г,-Д0П, и равный 0,2 при Г3<Г,А0П.
При суммировании в F.45) для каждого канала выбирается
только один самый «критичный» элемент, для которого разность
(Tj—Г,доп) максимальна.
Расходы воздуха в каналах Gn определяются из условия
минимума целевой функции q)=(p(Gi,..., Gn+i). Расчет температур
элементов на платах в вентилируемом блоке проводится по
изложенной выше в § 6.2 и 6.3 методике, а минимизация целевой
функции выполняется методом наискорейшего спуска [81].
Изложенная методика расчета оптимального распределения расходов
воздуха проверена при решении реальных задач.
¦7. ТЕРМОСТАТЫ
7.1. ВЫБОР ТЕРМОСТАТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Базовые конструкции термостатов. Первым этапом процедуры
теплового проектирования прибора, рассмотренной в § 1.4,
является определение базовой конструкции СОНТР, в рамках
которой возможно выполнение требований технического задания.
На последующих этапах производится детальная проработка
СОНТР путем параметрической оптимизации выбранной базовой
конструкции.
При определении базовой конструкции термостата
необходимо установить вид исполнительного устройства (элемента) и
функциональную схему реализации теплового воздействия
исполнительного устройства, число ступеней термостатирования, закон
регулирования, а также тип и место установки датчика [27, 28,
53]. Остановимся на особенностях выбора базовой конструкции,
опираясь на ряд классификационных признаков термостатов.
Рассмотрим объекты с пренебрежимо малыми собственными
тепловыделениями. По расположению заданной температуры
стабилизации Гст относительно диапазона изменения температуры
окружающей среды '[Гсрт1п, Тсршах] термостаты для этих
объектов делятся на подогревные (ГСт>Гсртах), реверсивные (Гсрт!п<
<Гст<ГсРтах) и охлаждающие G1СТ<ГСТт1п).
253

В качестве исполнительных элементов применяются: в подогт
ревных термостатах — электронагревательные устройства, в
реверсивных — термобатареи или холодильные машины с
электронагревателями, в охлаждающих — термобатареи или холодильные
машины. При этом различают термостаты, у которых основное
тепловое взаимодействие исполнительного элемента происходит
либо с высокотеплопроводной камерой, либо с газообразной или
жидкой средой.
В термостатах первого вида теплообмен между камерой 3 и
объектом 1 может быть реализован различными способами,
которым соответствуют базовые функциональные схемы,
представленные на рис. 7.1. Теплообмен между объектом 1 и камерой 3
происходит в основном благодаря теплопроводности через
элементы крепления 2 объекта 1 к камере 3 (рис. 7.1,а); на рис.
7.1,6 объект 1 отделен от камеры 3 газовой или жидкостной
прослойкой 7; на рис. 7.1,в для увеличения интенсивности
теплообмена между камерой и объектом и степени равномерности
теплового воздействия на объект организовано перемешивание газа
или жидкости в прослойке 7 между объектом и камерой; на рис.
7.1,г для увеличения равномерности теплового воздействия
объект 1 может помещаться в дополнительную теплопроводную
камеру 5; на рис. 7.1,C прослойка 7 между основной и
дополнительной камерами может быть заполнена кипящим хладагентом.
В термостатах второго вида исполнительное устройство
воздействует на газообразную или жидкую среду, которая, в свою
очередь, взаимодействует либо непосредственно с объектом, либо
с окружающей его теплопроводной камерой. В последнем случае
могут быть использованы способы организации теплообмена
между камерой и объектом, аналогичные представленным на рис.
7.1,а,б,б.
При непосредственном взаимодействии среды с объектом
возможны -базовые функциональные схемы, изображенные на рис.
7.2: теплообмен между средой 7 и объектом 1 происходит
благодаря свободной конвекции (рис. 7.2,а), перемешиванию газа или
жидкости (рис. 7.2,6), процессу кипения (рис. 7.2,в), прокачке
теплоносителя через рабочую камеру (рис. 7.2,г).
о)
Рис. 7.1. Базовые функциональные схемы термостатов при взаимодействии
исполнительного элемента с камерой:
/ — объект термостатирования; 2 — элементы крепления объекта к камере; 3 —камера; 4 —
тепловая изоляция; 5 — корпус; 6 — исполнительный элемент; 7 — прослойка, заполненная
газом или жидкостью; « — дополнительная камера
254

Рис. 7.2. Базовые функциональные схемы термостатов при взаимодействии
исполнительного элемента с газообразной или жидкой средой:
1 — объект термостатирования; 3 — камера; 4 — тепловая изоляция; 5 — корпус; 6 —
исполнительный элемент; 7 — прослойка, заполненная газом или жидкостью B — элемент креп-
•ления не показал)
В реверсивных и охлаждающих термостатах в рабочей
камере иногда располагается используемый в качестве холодильного
устройства теплообменник 6, в который подается хладагент с
низкой температурой из постороннего независимого источника (рис.
7.3). В этом случае изменение управляющего воздействия может
осуществляться путем регулирования расхода хладагента. С
целью интенсификации теплообмена в термостатах может
производиться оребрение объекта или окружающей его дополнительной
камеры.
Объекты термостатирования с источниками теплоты.
Остановимся на особенностях термостатирования объектов, для которых
нельзя пренебречь их собственными тепловыделениями. В
зависимости от функциональных свойств и режимов работы этих
объектов могут возникать различные типы задач.
Пусть термостатируемый объект с постоянной мощностью
тепловыделений Р работает в течение достаточно длительного
промежутка времени и по условиям эксплуатации прибора
допускается не рассматривать изменение функциональных
характеристик объекта от момента начала его работы до установления
стационарного перегрева. Это обстоятельство позволяет решать
задачу термостатирования, считая перегрев объекта над камерой
или хладагентом постоянным, и определять температуру камеры
или хладагента Гк(хл) из соотношения
^к(хл) ==71ст"-^>/аоб.к(хл) » G-1)
где (ОГоб.к(хл) — тепловая проводимость между объектом и камерой
или хладагентом.
Рис. 7.3. Реверсивный термостат с хладагентом
из независимого источника:
/ — объект термостатирования; 2 — камера; 3 —тепловая
изоляция; 4 — корпус; 5 — емкость, заполненная газом
или жидкостью; 6 — теплообменник; 7 — нагреватель

В зависимости от температуры Гк(хл) следует предварительно
решить вопрос о выборе исполнительного элемента: если ГК(ХЛ)>
>71сРтах, то термостат будет подогревной, при Tcpmin<TK{XJl)<
<Гсртах —реверсивный или охлаждающий, а при ГК(хл)<Гсрт1п —
охлаждающий.
Вид термостата уточняется на последующих стадиях
проектирования, когда будет определена (Уэкв.ср — эквивалентная
тепловая проводимость от объекта в окружающую среду,
учитывающая теплопотери через камеру и изоляцию, электрические
провода и т. д. (очевидно, что <тЭКв.ср<сгоб.к). Например, для
охлаждающих термостатов при наиболее низкой температуре
окружающей среды rcp=71cpmin температура объекта То6 за счет его
собственных внутренних тепловыделений должна превышать
значение Гст, т. е. требуется выполнение неравенства
Р>°эш.с*(Тст-Т™"). G.2)
Аналогичным образом уточняется предварительное решение о
выборе подогревного термостата, для которого должно быть
обеспечено неравенство
^ст-^рах). G.3)
Для реверсивных термостатов справедливо условие
G.4)
В случае необходимости реализации реверсивного или
охлаждающего термостата можно применять термобатарею или
холодильную машину. Практика показывает, что использование
термобатареи целесообразно при перепаде температур между
исполнительным устройством и окружающей средой, не превышающем
ШОК ([27]. Примем температуру исполнительного устройства
равной температуре камеры, а температуру окружающей среды
равной ее максимальному значению.
Тогда получаем условие
7?рах-7к(хл)<100, G.5)
которое можно использовать для проведения первой приближен*
ной оценки возможности применения термобатареи.
Схема принятия решения при предварительном выборе
исполнительного устройства в термостатах для объектов без
тепловыделений и объектов с постоянными тепловыделениями,
работающих в стационарном режиме, приведена в табл. 7.1 )[27].
Для объектов с постоянными тепловыделениями этот выбор в
значительной степени зависит от коэффициента теплоотдачи из
G.1), который определяется способом организации теплообмена
между объектом и камерой (или хладагентом). Практика
показывает, что понижение уровня Тксхл) обычно ведет к усложнению
конструкции термостата, увеличению габаритов и
энергопотребления. При заданных значениях Тст и Р температура ГК(хл)
может быть повышена путем увеличения проводимости <тОб.к(хл). Как
256

Таблица,7.1
Критерий выбора
/ср
<юо
>
Т/к
р Т/
>100
Вид
исполнительного устройства

Электронагреватель

Термобатарея
Холодильная
машина
Холодильная
машина или ее
комбинация с
электронагревателем
будет показано ниже, такое увеличение приводит обычно к
уменьшению длительности пускового режима и к возрастанию
динамической погрешности термостатирования.
Аналогичные вопросы возникают и при выборе изоляции. Ее
увеличение ведет к уменьшению влияния возмущающих тепловых
воздействий на объект и погрешности термостатирования, но в
то же время может вызвать нарушение неравенств G.3) или
G.4) (за счет уменьшения проводимости (Ькв.ср) и усложнить
конструкцию термостата.
Эти тенденции следует принимать во внимание при
проектировании термостата. Отметим, что во многих случаях разработчик
избавлен от проблемы выбора способа теплосъема, поскольку он
в значительной степени предопределен спецификой объекта
термостатирования. Например, особенности крепления объекта к
камере могут определяться условиями обеспечения требуемой
механической прочности или электрической изоляции,
непосредственный контакт объекта с жидкостью может быть исключен из-за
гигроскопичности объекта и т. д.
Кроме рассмотренных выше объектов с постоянными
тепловыделениями, работающих только в стационарном режиме,
встречаются объекты с иными требованиями к их тепловому режиму.
Рассмотрим объект, который выводится системой
термостатирования на уровень температуры Тлст, поддерживаемый с
погрешностью ±Ат1. В определенный момент т=тн.ф начинается
функционирование термостатируемого объекта и в нем появляются
тепловыделения, промежуток времени функционирования
объекта равен Тф. В момент окончания функционирования объекта
Тк.Ф=Тн.ф+Тф его температура переходит на уровень Г2СТ,
обеспечиваемый системой термостатирования с погрешностью ±ДТ2
(рис. 7.4). В течение всего промежутка времени работы объекта
его функциональные характеристики должны лежать в заданных
пределах. Поэтому разность температур ЛТ объекта в начале и
конце его работы не должна превосходить заданной величины
±Лф, которая находится по допустимым температурным уходам
функциональных характеристик
!ДГ|=тах:
9-^65
± Aa)-(Т2СТ ± Д2)| < Дф.
G.6)
257

Рис. 7.4. Изменение температуры
объекта термостатирования с
тепловыделениями
Рис. 7.5. Изменение температуры
активного элемента
Промежуток времени Тф может превышать время
установления стационарного перегрева объекта над камерой при
постоянстве ее температуры, но допустимы и существенно
нестационарные режимы работы, при которых объект функционирует
периодически с малыми длительностями тф. К подобным объектам
относятся, например, электрооптические и нелинейные элементы,
используемые в лазерной технике [8] (см. § 1.2). При
проектировании систем термостатирования для таких объектов
возможны различные подходы. Например, можно попытаться обеспечить
равенство Т1Ст=Т2ст, при выполнении условия для погрешностей
|АТ1+'Дт2|^Дф. Однако реализация подобных систем
сопряжена со значительными техническими трудностями, поскольку
требует организации понижения температуры камеры (или
хладагента) в промежутках времени функционирования объекта.
Другой подход возможен в ситуации, когда максимальный перегрев
объекта над камерой (или хладагентом) не превосходит Аф.
Тогда можно смириться с непостоянством во времени температуры
объекта при его работе и обеспечить системой
термостатирования только допустимые отклонения этой температуры от
соответствующих изменяющихся во времени средних значений, чтобы в
целом выполнялось условие G.6); такой прием рассмотрен в
[58, 82].
Другим объектом с тепловыделениями является активный
элемент твердотельного лазера, -который в частотном режиме с
периодом Тп генерирует излучение с высокой спектральной яркостью
и стабильностью. В течение импульса накачки длительностью гн
258 -

происходит повышение температуры активного элемента из-за
появления в нем объемного источника теплоты (рис. 7.5).
Процесс нагрева происходит практически адиабатически, поскольку
длительность импульса накачки тн составляет порядка 10~3... 10~4с.
За один импульс температура активного элемента Га.э
увеличивается на несколько градусов. Импульс генерируемого излучения
лазера имеет длительность 10~9 с и развивается спустя
определенное время после начала импульса накачки (ближе к его
концу), когда температура активного элемента уже заметно
изменилась (на рис. 7.5: T=to+flTn— начало импульса накачки; т=
=Т1+ятп — начало импульса генерации; т = то+Тн + ятп—
окончание импульса накачки, я=0, 1, 2, ...). Для обеспечения требуемых
спектральных характеристик необходимо, чтобы температура
активного элемента в течение развития импульса генерируемого
излучения отличалась для различных импульсов накачки не более
чем на заданную величину Дд, составляющую примерно 10~2 К.
Поскольку длительность импульса генерируемого излучения
мала, то можно говорить просто о различии температур спустя
заданное время после начала импульса накачки (рис. 7.5):
| Га.э (TTl) — Га.э (т2) |< Ад', '| 7*а.э (ti)—Га.э (т3) | <Дд. В ДАННОМ СЛу-
чае поставлено требование точного периодического «повторения»
(воспроизведения) температуры объекта, которая в промежутках
между контрольными моментами может изменяться весьма
значительно по сравнению с допускаемой погрешностью
воспроизведения.
Для объектов с пренебрежимо малыми тепловыделениями
определение параметров термостата на основе анализа
соотношения G.1) не имеет смысла. В этом случае необходимо
учитывать более сложные соображения, связанные с обеспечением
требуемой погрешности термостатирования и длительности
пускового режима. Соответствующий подход будет рассмотрен ниже для
подогревных термостатов.
Ошибка термостатирования и система автоматического
регулирования температуры. Ошибкой (погрешностью)
термостатирования называется максимальное отклонение температуры
объекта от температуры стабилизации (номинальной температуры)
при работе в заданном диапазоне изменения температуры
окружающей среды [53]
Дт = тах|Гоб~Тст[. G.7)
Для широко используемого в настоящее время диапазона
изменения температуры окружающей среды —50...+60° С ошибка
Дт<0,05 К соответствует прецизионным термостатам, Дт =
=0,05 ...0,5 К — термостатам средней точности и, наконец,
погрешность, превышающая 0,5 К, — грубым термостатам [53].
Кроме того, для характеристики точности термостата
используется так называемый коэффициент термостабилизации kT [27]:
отношение допускаемой ошибки термостатирования к ширине ди-
9* , 259

апазона изменения температуры окружающей среды A7cp=
*т = Дт/А71ср- G.8)
Прецизионным термостатам соответствует ^т^2-10~3,
термостатам средней точности 2-10~3^Лт^10~2, грубым — &т>10~~2.
Иногда вместо коэффициента термостабилизации используется
обратная ему величина — коэффициент термостатирования ЛСт
[53]:
^ст = -^- = ^~ • G.9)
По числу ступеней термостатирования различают
одноступенчатые и многоступенчатые термостаты. Среди многоступенчатых
наибольшее распространение получили двухступенчатые. В
прецизионных термостатах обычно применяют многоступенчатое тер-
мостатирование. При этом погрешность поддержания
температуры стабилизации внешним термостатом обычно составляет 0,5 ...
... 1 К.
В термостатах используются автоматические регуляторы с
позиционным, пропорциональным, интегральным, пропорционально-
интегральным и другими законами регулирования. Наибольшее
распространение в термостатах, используемых в
приборостроении, получили системы с позиционным и пропорциональным
регулированием. Для грубых термостатов обычно применяются
наиболее простые двухпозиционные регуляторы, для термостатов
средней точности — более сложные в реализации пропорциональные
регуляторы. Прецизионные термостаты требуют сложных
законов оегулирования.
В качестве измерительных преобразователей температуры
используются (в порядке убывания распространенности) [121]: тер-
ммт- б
Рис. 7.6. Способы монтажа датчика на камере:
/ — датчик; 2 — наполнитель; 3 — камера
260

морезисторы, термопары, манометрические и биметаллические
преобразователи, транзисторные преобразователи (диоды и
триоды), жидкостные (ртутные) стеклянные термометры и
термоконтакторы. Характеристики этих преобразователей и рекомендации
по их применению даны в [111, 121]. Датчик может быть
установлен либо на объекте, либо на камере (или в хладагенте). Как
показывает практика и результаты расчетов, в первом случае в
термостате возникает значительная динамическая погрешность.
Поэтому наиболее распространен второй способ установки датчика
(на камере или в хладагенте). Правда, при этом не устраняются
сложности, связанные с уменьшением статической погрешности,
которая будет рассматриваться ниже. Важным является выбор
способа монтажа датчика на камере, некоторые варианты
которого для терморезисторов типа ММТ-6 и СТЗ-19 приведены на
рис. 7.6,а и б соответственно. Эксперимент и расчет показывают,
что он может оказать существенное влияние на погрешность тер-
мостатирования.
7.2. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ
РЕЖИМОВ ТЕРМОСТАТОВ
Определение конструкции термостата, обеспечивающей
выполнение технического задания, проводится обычно путем
многократного анализа теплового режима выбранной базовой конструкции
термостата при различных вариантах исходных данных. Иными
словами, «параметрическое» проектирование ведется методом
«перебора», в ходе которого на основе результатов анализа
конструкции при каком-то наборе значений параметров проводится их
корректировка для перехода к следующему набору значений. При
этом целесообразно применять метод поэтапного моделирования,
при котором в процессе проектирования термостат
рассматривается с постепенно нарастающей степенью детализации.
Особенности анализа теплового режима прибора с
регулируемой СОНТР вызваны необходимостью включения в его
тепловую и математическую модель соответствующих описаний
системы автоматического регулирования. Отметим некоторые
последствия этого включения.
По температуре датчика ведется управление достаточно
мощными тепловыми воздействиями. Поэтому для проведения
адекватного анализа теплового режима всего устройства приходится
использовать для датчика довольно подробные модели его
тепловых связей с другими элементами термостата и окружающей
средой. Значительно усложняет тепловую и математическую
модели необходимость учета даже сравнительно слабых тепловых
связей объекта регулирования с внешней средой. Датчик и
различные конструктивные элементы, через которые реализуются
локальные тепловые связи, имеют весьма малые размеры и
теплоемкости по сравнению с другими элементами устройства. Поэто-
10е—65 261

му в общую модель термостата входят тела с постоянными
времени, различающимися на несколько порядков, что (см. § 3.4)
создает определенные трудности при использовании численных
методов расчета. На практике большое распространение
получили регуляторы с нелинейным законом регулирования, что
приводит к существенной нелинейности математической модели
термостата.
Наконец, при проектировании регулируемой СОНТР основной
интерес представляет анализ различных нестационарных
процессов: пускового режима, автоколебательного режима, переходных
процессов при действии различных возмущающих воздействий и
т. д. Поэтому наиболее полная математическая модель
термостата представляет систему нестационарных многомерных
уравнений вида E.10) — E.12), дополненную уравнениями для
регулирующего воздействия. Реализация такой модели весьма
затруднительна даже с применением современных ЭВМ. К тому же
большое число параметров этой модели сильно усложняет процедуру
проведения упомянутого выше параметрического проектирования.
Поэтому оно проводится в несколько этапов.
На первом этапе используется модель с сосредоточенными
параметрами. Исходными данными для такой модели являются
сравнительно небольшое число обобщенных характеристик
элементов термостата: полные теплоемкости, тепловые проводимости,
параметры закона регулирования и исполнительного устройства
и т. д. При математической реализации моделей с
сосредоточенными параметрами в ряде важных для практики случаев
удается применить точные или приближенные аналитические методы
и получить достаточно обозримые выражения для описания
различных режимов работы термостата. Анализ этих выражений
позволяет определить в первом приближении значения
перечисленных выше обобщенных характеристик элементов термостата или
сузить первоначальные диапазоны их возможных значений.
На втором этапе проектирования обычно используется
одномерная модель. Она позволяет более детально учесть размеры
отдельных элементов, их материалы, локальные тепловые связи
объекта и датчика и т. д. Появляется также возможность
определения среднеповерхностных, максимальных и среднеобъемных
температур. Одномерная модель, как правило, реализуется с
помощью -численных методов. Таким образом, на втором этапе
проектирования проводится определение ряда различных
конструктивных параметров термостата и уточнение некоторых величин,
уже найденных на первом этапе. Отметим, что при
использовании как модели с сосредоточенными параметрами, так и
одномерной модели осуществляется анализ замкнутой системы
автоматического регулирования теплового режима объекта.
На третьем этапе проектирования анализируется тепловой
режим объекта термостатирования и некоторых других элементов
термостата путем решения многомерной задачи для одиночного
тела или системы тел, т. е. число рассматриваемых элементов со-
262

кращается по сравнению с одномерной моделью, но их тепловой
режим описывается с большей степенью детализации [23].
Обычно на этом этапе не проводится расчет замкнутой системы
регулирования, а ее действие учитывается путем использования для
температур некоторых элементов (например, камеры термостата)
временных зависимостей, определенных на предыдущем этапе
проектирования. Наиболее часто встречающейся задачей анализа
третьего этапа является исследование неравномерности
температурного поля объекта термостатирования, вызванной
пространственной неравномерностью условий теплообмена на его
поверхности, а также изменениями во времени температур соседних
элементов термостата.
Рассмотрим, например, подогревной термостат для
электрооптического затвора, представленный на рис. 1.17,6.
Температурное поле камеры и входного окна примем равномерным. Тогда
тепловой режим кристалла описывается уравнениями:
- собРоб -^ = Яоб V2 ^б + qv (x, т); G.10)
л Об / \ trjn I '74 Q, / \1 /*Т 1 f \
лоб Г _ == аоб.к \Х) U об1Г0* -«к "h\VJ> Vе**/
дп гоб оо
Г? ?р G \О\
об|т=0"~~ 'об» \'' *¦ )
где <хОб.к(*) — пространственное распределение коэффициента
теплоотдачи между объектом и камерой; ГОб, Гк — средние во
времени температуры объекта и камеры перед началом работы
затвора; ФкСг) — малое изменение во времени температуры камеры
относительно среднего значения Тк. Величины fO6, TK и
временная зависимость 'вк(т) определяются на предыдущем этапе
проектирования. Пространственная неравномерность коэффициента
теплоотдачи вызвана условиями крепления затвора к камере: с
одной части поверхности кристалла теплообмен с камерой
происходит через слой компаунда, а с другой — через воздушный зазор.
В рассмотренном примере анализ теплового режима
необходимо проводить на основе решения многомерной задачи для
одиночного тела. Однако встречаются и ситуации, когда приходится
решать многомерную задачу для системы тел. Они возникают в
нескольких случаях. Во-первых, иногда объект
термостатирования состоит из нескольких элементов и для описания его
теплового режима не удается использовать модель квазиоднородного
тела. Примером подобного объекта является электрооптический
затвор с капсулой (рис. 1.17,а). Во-вторых, для достаточно
«габаритных» объектов термостатирования с характерным размером
порядка нескольких десятков сантиметров часто приходится
изготавливать из-за ограничений по массе довольно тонкостенные
камеры, на которых к тому же весьма неравномерно
размещаются сравнительно небольшие исполнительные элементы (например,
пленочные нагреватели). В этом случае при исследовании
неравномерности температурного поля объекта приходится рассматри-
10°* 263

вать его совместно с камерой, описывая тепловой режим
последней в одномерном или двухмерном приближениях. Наконец,
уточнение анализа влияния тепловых связей объекта термостатиро-
вания с окружающей средой на его температурное поле иногда
требует введения в математическую модель теплового режима
уравнений, описывающих распределение температуры в элемен-
jax термостата, через которые реализуются эти связи. Ниже, в
§ 7.4, будет рассмотрен пример такого термостата для
нелинейного элемента, представленного на рис. 7.15.
Итак, на третьем этапе проектирования проводится детальная
проработка конструкций камеры, крепления объекта термостати-
рования к камере, элементов, через которые реализуются
локальные тепловые связи, определяются места установки
исполнительных элементов и датчика и т. д.
Перейдем к рассмотрению особенностей процедуры
параметрического проектирования для широко распространенной
конструкции подогревного термостата с двухпозиционным регулятором
и базовой функциональной схемой, приведенной на рис. 7.1,а—в.
В настоящее время эта конструкция наиболее полно исследована
[53, 101].
7.3. ПОДОГРЕВНЫЕ ТЕРМОСТАТЫ. МОДЕЛЬ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Математическая модель. Конструкция типичного подогревного
термостата схематично представлена на рис. 7.7. При описании
методов расчета теплового режима для модели с
сосредоточенными параметрами ограничимся аналитическими приближенными
методами.
Исследование подогревных термостатов с использованием
модели с сосредоточенными параметрами позволяет получить ряд
Рис. 7.7. Тепловая модель
подогревного термостата:
/ — объект термостатирования; 2 — камера;
3 — нагреватель; 4 — датчик; 5 — тепловая
изоляция; ? —корпус; 7 — локальные
связи с окружающей средой объекта и
датчика
264
Рис. 7.8. Зависимость величины
управляющего воздействия от
температуры датчика

соотношений, описывающих различные режимы работы
термостата, и выявить характер влияния отдельных параметров на
качество работы устройства.
Обычно рассматривается простейшая трехемкостная тепловая
модель термостата, в которой выделяются три тела с
равномерными полями температуры — объект термостатирования (об),
камера (к), датчик (д). Теплоемкостью изоляции и корпуса
пренебрегают, их тепловые сопротивления учитываются в тепловой
проводимости между камерой и внешней средой, тепловую связь
между нагревателем и камерой считают идеальной. В этом случае
тепловой режим термостата описывается системой уравнений,
являющейся частным случаем общей модели с сосредоточенными
параметрами C.2), приведенной в § 3:
^f = <Wk (Тп- Тоб) + аоб.ср Gср - Гоб); G.13)
7 " а°бк (Г°б" Тн) +*"-ср (Гср" т«]+°кд (Гд" Т"]+
н.д); G.14)
ад.к(Тн-Гд) +ад.ср (Твр-Гд), G.15)
при начальных условиях
Т*об | т=о = ^kU^o = ^дк-о = Тсг GЛ6)
Для простоты рассуждений мощность тепловыделений в объекте
принята равной нулю РОб = 0. Зависимость мощности нагревателя
Р{Та, Гн.д) от температуры датчика ТА и температуры установки
(настройки) датчика Гн.д определяется законом регулирования и
при релейном регуляторе имеет вид (рис. 7.8)
при Гд - Гн.д< - Ъ или при - 6<ГД - Гн.д<6; ~? >0
О при Гд—Гн.д>6 или —
где Ь — зона неоднозначности регулятора; Ртах—мощность
.нагревателя.
При проектировании термостата необходимо анализировать два
основных процесса, характеристики которых определяют качество
его работы: квазистационарный режим автоколебаний и пусковой
режим, т. е. процесс выхода термостата в автоколебательный
режим. В автоколебательном режиме исследуется погрешность
термостатирования, а в пусковом режиме — длительность.
переходных процессов. Кроме того, часто представляет интерес и анализ
реакции термостата на различные возмущающие воздействия,
например на резкое изменение температуры окружающей среды.
265

Рассмотрим основные приближенные аналитические
соотношения для анализа автоколебательного и пускового режима.
Начнем с автоколебательного режима.
Составляющие погрешности термостатирования. В [53, 101]
показано, что приближенное выражение для температуры
объекта термостатирования в автоколебательном режиме, найденное из
решения системы G.13) — G.16), имеет вид:
5ПобМ-еГн.д + A-.8)Гср + ^ + Лоб/(т), -1</(т)<1; G.18)
е = A +ад.ср/ад.к)A +оОб.ср/аоб.к)-1> GЛ9)
где /)(т) — некоторая периодическая (с периодом тп) функция
времени, максимальное значение которой равно 1, а минимальное
—1, отражающая форму автоколебаний: ЛОб — амплитуда
автоколебаний, а смысл члена Ф^об будет пояснен ниже. Выражение
G.18) строится как сумма стационарного решения системы
G.13) — G.16) fO6, определяемого в предположении
«идеального» регулирования
Гоб = еГи.д + A--е)Гср, G.20)
и нестационарного отклонения 'б'об(т) искомой температуры от
этого стационарного решения
Фоб (*) - Тоб (т)-Т„в - Ф$3 + A«f (т). G.21)
Таким образом, член /0смОб имеет «смысл постоянного во времени
смещения среднего уровня автоколебаний относительно значения
Гоб. Представление в виде G.18) временной зависимости для
температуры объекта позволяет выделить в погрешности термостата^
рования различные составляющие. Остановимся сначала на
понятии ошибки (погрешности) термостатирования. В [87] ошибкой
термостатирования называется максимальное отклонение
температуры объекта термостатирования от номинальной при работе
термостата в заданном интервале окружающих температур.
Отметим, что указанное отклонение существенно зависит от
температуры окружающей среды. Поэтому представляется
целесообразным при проведении проектирования термостата разделить
понятия ошибки термостатирования и максимального значения этой
ошибки. В связи с этим ошибкой (погрешностью)
термостатирования далее будем называть отклонение температуры объекта от
Номинальной температуры и, кроме того, рассматривать
максимальное значение отклонения.
Ошибку термостатирования Ат(т), используя соотношение
G.18), можно представить в виде (рис. 7.9)
А, (т) - ^ (t) - Т„ = ?об - Тст + 03 + A06f (т), G.22)
где Тст — заданная температура термостатирования. Составляющая
Дст = Гоб-Гст + Ооб G.23)
называется статической погрешностью термостатирования. Она
определяет отклонение среднего значения температуры объекта
266

Иов
/К
rl4 CM
!
( АСт
/
\
Аттах
Л
/
\^^ j
Дот
Т
Гс, -
Рис. 7.9. Составляющие ошибки термостатирования
от номинальной температуры. Статическую погрешность можно
представить в виде суммы двух слагаемых
Дет = Дет + #об; Дет = Тоб-ТСТУ G.24)
где Дкст является составляющей статической погрешности,
обусловленной, как будет показано ниже, статическими свойствами
конструкции термостата, а составляющая #смоб определяет
постоянное во времени смещение среднего уровня автоколебаний
температуры объекта относительно значения fO6 и зависит от
параметров регулятора и динамических свойств конструкции.
Далее для краткости -составляющую Дкст будем называть
статической погрешностью стационарного режима, а Ф^об — постоянным
смещением автоколебательного процесса.
Составляющая
*диН(т) = Лоб/(т) G.25)
называется динамической ошибкой термостатирования, а ЛОб —
амплитудой динамической ошибки термостатирования.
Максимальное значение погрешности термостатирования
Дт max = Шах |Дт| = max |Д?т + *S| + Аоб max. G.26)
Статическая погрешность стационарного режима. При
рассмотрении стационарного теплового режима термостата с
идеальным регулятором полагают, что в камере находится
постоянно включенный нагреватель «мощностью Р, равный
Р -У Ртах, У = Р1Ртах, G.27)
где у — скважность работы нагревателя в термостате, а
температура датчика равна температуре настройки. Заменяя в
системе G.13) — G.16) РGД, Гн.д) на Ру 7Д на Гн.д и определяя ее
стационарное решение, получаем следующие соотношения:
Гоб==еГ„.д + A-е)Гср; G.28)
ак.д+ад,ср гг стд.ср ^ .
1 у и-Д ~ * ор>
ак.д °к.д
Р = *об.к (Тк-Тоб)
ак.Ср
•Пр)-
G.29)
G.30)
267

Из выражения G.28) для ГОб следует ряд вйжных выводов.
Видно, что даже в «идеальном» термостате (нагреватель
постоянно включен, температура датчика точно поддерживается на
заданном уровне Гн.д) температура объекта оказывается зависящей
от температуры окружающей среды, которая может изменяться в
интервале [Гер1", ГСРтах]. Положим для определенности, что
температура настройки датчика Гн.д выбрана равной
номинальной температуре объекта Тст : Тп.л=Тст. Зависимости ГОб от Гср при
е>1 и е<С;1 для этого случая представлены на рис. 7.10,а, б. Их
можно трактовать следующим образом. Значение е,
превышающее 1, достигается при ад.ср/ад.к>1аОб.ср/аоб.к, т. е. в ситуации,
когда датчик имеет большую относительную тепловую связь с
внешней средой в сравнении со связью с камерой, чем объект
термостатирования. Датчик «стремится» поддержать собственную
температуру на уровне Гн.д—Гст и в соответствии с этим
стремлением задает значение средней мощности Р. Поскольку датчик
сильнее связан с окружающей средой, чем объект, то он будет
устанавливать для компенсации своих теплопотерь в окружающую
среду значение Ру большее, чем это необходимо для обеспечения
равенства температуры объекта номинальной температуре, т. е.
объект будет «перегрет» по отношению к температуре Тст. И этот
перегрев будет тем больше, чем ниже температура окружающей
среды, поскольку при этом различие в теплопотерях в
окружающую среду датчика и объекта будет проявляться сильнее (рис.
7.10,я). Аналогично в случае е<1 датчик слабее связан с
окружающей средой, чем объект, он будет задавать меньшее значение
Р, и это приведет к тому, что температура объекта окажется ниже
номинальной температуры (рис. 7.10,6). Выражение G.28) для
температуры объекта при 71н.д=ГСт принимает вид
Too - Гст + (в - 1) (ТТ - Гср) + (е-1) (Гст-7Трах), G,31)
и, таким образом, статическая погрешность стационарного
режима равна
Дет - fo6-TCT - (е-1) (Г??-Гвр) + (е - 1) (Гст-7?рах). G.32)
Ее максимальное значение составляет
ст|тах;
|в-11 (ГсТ - 7?pin) + |e - 11 (Пт-
G.33)
?>/
7-min
а)
h
Тег
'ср 'ср
5)
Рис. 7.10. Зависимости статической погрешности стационарного режима от
температуры окружающей среды
268

Обычно разность (ГСршах—Тсртп) на порядок превосходит
разность (Гст—ГСршах), что позволяет вместо G.33) записать
|Аст|тах= |8-1| (Tcmpax-r?pin). G.34)
Рассмотрим методы уменьшения составляющей статической
погрешности Дкст. Из соотношений G.32), G.34) видно, что
статическую погрешность стационарного режима можно полностью
устранить, если подобрать тепловые проводимости, обеспечивающие
равенство 8=1. Однако такой подход практически нереализуем
из-за большой неопределенности результатов расчета тепловых
проводимостей для реальной конструкции термостата. Таким
образом, легко подбираются нужные значения проводимостей, но
не удается обеспечить «воплощение» этих значений в реальную
конструкцию. Указанное обстоятельство будет
проиллюстрировано в § 7.5 при рассмотрении примера расчета термостата для
электрооптического затвора.
Другой подход заключается в выборе температуры настройки
датчика Гнд, отличной от номинальной температуры Гст и
обеспечивающей равенство Toq = TCt при Тср= (Tcvmax-\-Tcpmin)/2
Тш+ = Тп/в *^L Gcmpin + Tcmpax). G.35)
Подставляя значение^Гнд из G.35) в формулу G.28) для ГОб,
получаем зависимость ГОб от Гср, представленную на рис. 7.10,6
Тое « Гст- A -8) (TcmPin + ПТ) /2 + A -е) Гср.
Максимальная статическая погрешность стационарного режима в
этом случае составляет
Таким образом, ее можно уменьшить вдвое по сравнению со
случаем Тв.я=Тст [см. формулу G.34)]. Однако этот подход
требует знания величины <е, и поэтому его трудно реализовать на
практике по тем же причинам, что и первый. Кро-ме того, и снижение
статической погрешности незначительно.
Более существенное уменьшение статической погрешности
(примерно в б... 10 раз) достигается применением в термостате
специального компенсационного нагревателя, предложенного в
[53]. Компенсационный нагреватель устанавливается на датчике
и управляется тем же регулятором, что и основной. Его можно
применять только в тех термостатах, где обеспечено выполнение
условия е>1 (при е<1 следует использовать компенсационный
охладитель). Выше было отмечено, что причиной возникновения
статической погрешности при е>1 является чрезмерно сильная
тепловая связь датчика с окружающей средой, из-за которой он
устанавливает слишком большую среднюю мощность
нагревателя. Компенсационный нагреватель «подогревает» датчик, и в
результате ему не приходится включать основной нагреватель на
излишне длинные промежутки времени.
269

Отношение мощностей основного и компенсационного
нагревателя В = Ртах/Рк называется коэффициентом компенсации. В [53]
показано, что подбором величины В можно обеспечить
выполнение условия е=1; там же получено выражение для
соответствующего значения В через тепловые проводимости. Однако в
реальных термостатах значение В определяют по причинам,
изложенным выше, не на основе расчета, а подбирают
экспериментальным путем непосредственно на термостате с помощью изменения
сопротивлений соответствующих регулируемых резисторов в цепях
основного и компенсационного нагревателей.
Отметим, что для обеспечения условия применения
компенсационного нагревателя е>1 необходимо применять ряд
конструктивных решений, позволяющих изменять различные тепловые
проводимости в нужных направлениях. Например, из G.19) для г
видно, что при прочих равных условиях следует улучшать
тепловую связь объекта с камерой, увеличивая тепловую проводимость
(Тоб.к-
-Обычно компенсация статической погрешности применяется в
термостатах средней точности и прецизионных термостатах. В
случаях, когда по каким-либо причинам не удается использовать
компенсационный нагреватель, целесообразно на основе
имеющихся диапазонов тепловых проводимостей с помощью G.19),
{7.32) оценить возможные значения статической погрешности
стационарного режима.
Динамическая погрешность и постоянное смещение
автоколебательного процесса. Расчет этих составляющих погрешности тер-
мостатирования рассмотрен в [53, 101] при использовании двух
разных приближенных аналитических методов. Формулы,
полученные в [101], имеют более простой вид. Поэтому ниже мы более
подробно остановимся на их выводе. Соотношения, полученные в
[53], будут приведены без вывода.
Введем в рассмотрение величины Фоб, Фк и Фд — отклонения
температур соответствующих элементов от их значений, получен?
ных выше в приближении стационарного режима термостата с
идеальным регулированием:
«обМ = 71об(т)-Гов; ^(т) = Гк(т)-7гй; % (т) - Тя (т) - Гя.д.
G.36)
Подставив в G.13) — G.15) выражения G-36), получим систему
уравнений для отклонений
= 0об.к (*. - «об) - <Wcp *об; G.37)
аоб.и (%б - %) + ак.д (*д - Он) - ав.ср % +
+ °об.н (^об - 7\) + ак.ср (Т'ср — ^
-Тк) + Р (Од, 0) Рщ (т) + Р (*д, 0); G.38)
С а (д *)° *д' G'39)
270

где Р($х, 0) — зависимость
мощности нагревателя от отклонения
<0«д=Гд— Гн.д, определяемая
согласно двухпозиционному закону
регулирования G.17), а Рк(т) —
сумма тепловых потоков, уходящих от
камеры к объекту, датчику и
окружающей среде.
Заменим в правой части
уравнения G.38) переменный
тепловой поток Рк(т) постоянным
тепловым потоком, определяемым
по стационарным значениям
температур
Гк-Тоб) + ой.ср(Гк-Г(
Рис. 7.11. Временные
зависимости отклонений
температур объекта, камеры и
датчика от их стационарных
приближений
ср
(f —Т ) — Р
G.40)
Последний переход в G.40) вытекает из системы стационарных
уравнений для получения ГОб и 7V При таком допущении,
которое будет обсуждаться ниже, -система уравнений для отклонений
на одном периоде автоколебаний примет вид:
> — Ф««) — <Wp.n ®пп \ G«41)
об
об.ср ^об !
ddK (-Л 0<T<Ti;
Л
G.42)
G.43)
ГДе- тп — период автоколебаний; момент т=0 соответствует
отключению нагревателя, а момент t=ti включению нагревателя (рис.
7.11).
Решение системы G.41) — G.43) должно удовлетворять
условиям периодичности:
<>об @)=^об <*„); *к (°) - % (тп); *д @) - *д W. G-44)
и условиям непрерывности в моменты переключения нагревателя:
^ G-45)
При принятых допущениях температура камеры в
автоколебательном режиме изменяется по линейному закону (рис. 7.11), и
решение уравнения G.42) может быть записано в виде
где #ктах>
Us
" + (Лпаж-Р)(*- Ъ
— максимальное и
G46)
минимальное значения откло-
271

нения дк(т) в моменты т=0 и t=iti соответственно. Эти значения
подлежат определению в дальнейшем.
Общее решение уравнения G.43) для датчика имеет вид [см.
соотношение C.53)]
+ ехр (- тд т) J (ад.к/Сд) % (т) ехр (тд т) dx% G.47)
X*
где тд= (ад.к+ад.ср)/Сд — темп охлаждения датчика; т* —
начальный момент рассматриваемого промежутка времени; 'Ок(т)—
временная зависимость, определяемая соотношениями G.46).
Учитывая, что в моменты отключения (т=0) и включения (т —
=Ti) нагревателя температура датчика отклоняется от
температуры настройки на значения ФД(О)=Ь и '&A(ti)=—Ь, из G.47)
нетрудно получить решения, которые описывают изменения
отклонения датчика Фд(г) на участках охлаждения и нагрева
камеры. Характер зависимости 'Од(т) показан на рис. 7.11.
Примем, допущение, что тепловая инерция датчика мала, т. е.
его постоянная времени 1/тд существенно меньше времени
остывания ti и нагрева Т2=тп—ti камеры. Тогда в решении для Фд(т)
можно пренебречь слагаемыми с экспоненциальными
множителями и считать, что при приближении к моментам х\ и тп
температура датчика изменяется по линейному закону (рис. 7.11), т. е.
наступает регулярный режим 2-го рода. На участках линейного
изменения температуры выражение для ^(т) имеют вид:
G.48)
T1<t<tn. G.49)
Из условий G.44), G.45) следует, что fy»(Ti) =—-Ь; -&д(тп) = *•
Подставляя эти значения в G.48), G.49), нетрудно разрешить их
относительно дк1", ¦©к81 и найти выражение для амплитуды
колебаний температуры камеры
А.= —2 -?—=Ь дк дсрЧ Рша*Сд , G.50)
2 ««.к 2Мод.« + ад.Ср)
а также для постоянного смещения
дшах + дш,п Сд {Ртях_Гр)
2 С„ (ад.к + адср) '
Формула G.50) имеет простой физический смысл: первое
слагаемое характеризует влияние зоны неоднозначности регулятора,
а второе — отставание температуры датчика от температуры ка-
(меры, возникающее вследствие его тепловой инерции,
272

Из G.47) следует, что длительности промежутков времени
охлаждения х\ и нагрева х2 камеры связаны с амплитудой
колебаний Ак соотношениями
% * - ft™*)« 2 Ск Ли/Р ; G.52)
Ч = Ск (Сах - Cin)/(Praax - ^ = 2 Ск Лк/(/>юал - Р).
Тогда период автоколебаний тп с учетом G.41) равен
*„ = 2Ск Ртях AJP (Ртах-Р). G.53)
Перейдем к определению амплитуды и постоянного смещения
автоколебаний температуры объекта. Для этого подставим
выражение G.46) для Фк(т) в уравнение G.41). Решение этого
уравнения теплового баланса для объекта будет иметь вид,
аналогичный G.47). Для получения простых приближенных зависимостей
рассмотрим случай, когда объект обладает большой тепловой
инерцией, т. е. его постоянная времени Тоб=1Моб = Соб/(сГоб.к+
+ стоб.ср) существенно превышает период автоколебаний. Тогда,
используя в решении для <&Об(т) разложение в ряд Тейлора
экспоненциальных множителей и ограничиваясь членами,
содержащими малый параметр mO6t в первой степени, получаем
выражения для отклонения температуры объекта:
; G-54)
G-55)
где
11 = «"оСк/Кб-к + °об.ср)- G-56)
Функции Фк(т), определяемые соотношениями G.54), G.55),
имеют экстремумы ¦б'обтах и ¦въбтШ в моменты t=Ti/2 и t=Ti+T2/2
соответственно. Учитывая G.52), находим
( ^р ) ( ^ )
Отсюда амплитуда ЛОб и постоянное во времени смещение О
автоколебаний температуры объекта равны:
G.57)
°об.ц
\ С« ) V + Vcp ¦
Если допущение о большой тепловой инерции объекта неправо-
»мерно, то простую оценку амплитуды колебаний ЛОб молено по-
273

лучить, заменив линейное изменение температуры камеры ^(т)
гармоническими колебаниями с той же амплитудой Ак и
периодом тп. В этом случае амплитуда колебаний температуры
объекта описывается выражением
Ч2Л~1/2, G.59)
в котором Л к и тп определяются по формулам G.50), G.53).
Выражение для постоянного смещения остается прежним.
Полученные простые формулы для характеристик
автоколебательного режима термостата позволяют проводить анализ свойств
динамической погрешности.
Подчеркнем допущения, принятые при выводе приближенных
соотношений. Во-первых, предполагалось, что изменения
тепловых потоков от камеры к объекту, датчику и к среде малы по
сравнению с суммой их средних значений
if» CV Т1 \ _L гг CV Т* \ |
I vo6.k \л к * об/ ~т~ д.к \л к •* д/ «
+ ^к.ср (Тв - Тср) -~Р\1Р - бх (т) < 1 G.60)
Во-вторых, постоянная времени датчика должна быть мала по
сравнению с промежутками времени охлаждения и нагрева
камеры:
+ Од.ср) min (тх, т2)] = б2 < 1. G.61)
Эти два допущения использованы при выводе выражений
G.50), G.53) для Ак и тп. Выражение G.57) для амплитуды ЛОб
справедливо при дополнительном допущении о большой
постоянной времени объекта
*п Кб.ц + °0б.сР)/С0б = бз < 1. . G.62)
Погрешность расчета по приближенным формулам оценивалась
путем сравнения с результатами решения задачи G.37) — G.39),
полученного методом «припасовывания» точных аналитических
решений для промежутков времени нагрева и охлаждения. При
бг^0,2, 52^0,3, 63^О,5 относительная погрешность расчета
амплитуды и постоянного во времени смещения автоколебаний по
G.57), G.58) .не превышает 15%, а при 6i^0,2; S2^0,3; 63>О,5
и 0,2^xi/t2^5 погрешность расчета ЛОб по G.59), Осм0б по G.58)
не превышает 25%. Анализ параметров встречающихся на
практике конструкций термостатов показал, что сформулированные
ограничения выполняются для достаточно широкого класса
объектов. -<*8ЯЯИ88
Для анализа свойств отклонения ФобСт) перепишем формулы
G.53), G.57) —G.59) в виде
:-Р)
274
+т
); G.63)

л __ qo6.K л т _ стоб.к уA — У) Рта
°таз: У
Т _
аоб.к + аоб.ср ад.«*
G.64)
G.65)
Л = аоб.«/(аоб.н + °об.ср) ; I = ад.к/(ад.к + ^д.ср) ;
Лоб = Л« [l + (Тд(а2зг^0' у У]72 =
Асм
06
2СК
-тдЧA-2Т).
Максимальное во времени отклонение [Фоб!1* равно
G.66)
G.67)
G.68)
Из соотношений G.64) — G.67) вытекает, что |дОб|Г
монотонно убывает с уменьшением параметров аОб.к, Ьу Сд и возрастает с
уменьшением ад.к. Зависимость ^об!11 от скважности у~1 и
отношения z=CK/Pmax имеет немонотонный характер. Общий характер
изменения ЛОб, #смоб и |0Об|г от у представлен на рис. 7.12.
Из соотношений G.64) — G.67) вытекает, что при заданном
значении отношения г = Ск/Ртах минимальное значение | 'О'об |г
достигается при 7=1/2. При 7=1/2 в полном соответствии с
качественными соображениями постоянное смещение Ф^об обращается
в нуль. Отметим, что факт достижения величиной |<б1об|г
минимального значения при 7 = 0>5 согласуется с выводами,
сделанными в других работах, в частности в [53]. При отклонении 7 ог
значения, равного 0,5, |/в1Об|г моно- .
тонно возрастает, причем
зависимость [Фоб]1" от величины 7
симметрична относительно значения 7==0>5
при 0<7<1.
При фиксированном 7
зависимость |дОб|г от отношения z =
= СК/Лпах может иметь
немонотонный характер. В частности, в
диапазоне достаточно малых значений
z выполняется условие тОб>тп, и
для Лоб можно использовать
формулу G.64). В этом случае суще- Рис 712
ствует «оптимальное» значение
отношения г, обеспечивающего мини-
|1>о/
ФсмОб и
ра у
Зависимости Лоб,
о©|г от
парамет275

мальное значение | -в-об |г. Оно определяется из условия
д\'&об\г1дг=0, из которого вытекает
G.69)
При возрастании отношения z до достаточно больших
значений амплитуда автоколебаний ЛОб стремится к величине, равной
Ь\\ [см. формулу G.66)], а постоянное смещение Ф^об убывает
до нуля. Таким образом, и [Фоб!1* убывает до значения, равного
ЬЦ.
Отмеченные особенности зависимости (Фоб!11 от у и отношения
z = CK/Pmax позволяют указать методику выбора мощности
нагревателя и теплоемкости камеры, обеспечивающих минимум
максимального значения | О0б |г во всем диапазоне изменения
температуры окружающей среды.
Очевидно, что мощность нагревателя Ртах следует выбирать
так, чтобы интервал изменения значений у—[утт, -утах],
соответствующий изменению температуры окружающей среды в
диапазоне |TCpmin, ГСртах], имел бы центром значение v = 0,5, т. е.
должно выполняться равенство
G-70)
При наличии условия G.70) |ФОб|г будет принимать
«минимальное значение при температуре окружающей среды, для которой
Y=0,5, а максимальное значение | #Об |г будет достигаться в обеих
крайних точках интервала [Гсрт1п, Гсртах]. Несоблюдение условия
G.70) будет приводить к нарушению равенства значений в
крайних точках и возрастанию максимального значения | Оов Iг,
достигаемого теперь в какой-то одной из крайних точек интервала
[Ti Т]
[cp, ср]
При определении величины теплоемкости камеры Ск можно
идти двумя путями.
В первом случае выбирается достаточно большое значение
теплоемкости и получается [ФобI1, достаточно близкое к своему
«предельному минимальному значению, равному ЬЦ. Недостатком
такого подхода является то, что из-за большой теплоемкости
камеры может получиться значительной длительность пускового
режима тР, выражение для которой будет получено ниже.
Во втором случае пытаются ориентироваться на локальный
минимум |0у>б|г. Довольно часто в диапазоне сравнительно малых
значений Ск для Аов справедливо соотношение G.64), и тогда
можно находить значение Ск, используя формулу G.69):
ИЛИ Y = Ymas- G-71)
276

После определения Ск из G.71) необходимо рассчитать тп по
формуле G.63), проверяя выполнение условия Тп^Стоб, а затем
из соотношений G.64), G.67), G.68) вычислить при v^Ymax или
V=7min значение |0Об|г. Если при этом получается достаточно
малое | -в'об |г, то найденное из G.72) значение Ск можно принять
в качестве первого приближения.
Процедуру определения Ск необходимо рассматривать для
каждого конкретного термостата. При выборе величины Ртах
обычно используется следующий общий прием. В интервале
|Tcpmin, 7Cpmax] выбирается некоторое «опорное» значение
температуры окружающей среды, при котором полагают 7=0,5. Далее
рассчитывают для этой температуры среднюю мощность Р и
определяют Ртах ИЗ СООТНОШеНИЯ
Лаа, = 2Р. G.72)
Затем находят значения ymzx и Vmm в интервале [Гсрт1п, ГСршах] и
проверяют наличие условия G.70). Используя соотношевия
G.28) — G.30), можно показать, что выполнение условия G.70)
достигается при выборе опорного значения температуры в
середине интервала [ГсртШ, 7"сртах]. Рассмотрим такой подход подробнее.
Поскольку основной тепловой поток от камеры идет через
изоляцию, а температура камеры близка к температуре
стабилизации, то среднюю мощность Р можно оценить по формуле
? = <WrcT^Tcp). G-73)
Полагая Гср= GтШСр+ГтахСр)/2, находим
При ГСр = 7'шахср средняя мощность Р и скважность у будут
иметь минимальные значения
Лшп = ак.ср (^ст^^ср ); G.74)
Ymin^ l^+ Vycp — i^cp ;/Uct — 'cp Л ,
а при rcp = 7lmincp — максимальные значения
ик.ср К1 ст l cp / ,
шах i + 2(r
Если, например, взять Гтахср=50° С, Гт1пср=—50° С, 7СТ = 60°С
ТО ПОЛуЧИМ Ymin = 0,085, a Ymax==0,915.
Для уменьшения величины максимального во времени
отклонения | ^об |г термостат должен функционировать со значениями
V, по возможности близкими к 0,5. Из формул G.74) и G.75)
следует, что на ширину интервала изменения у существенно влияет
277

разность (Гст—Гтахср). Для сужения интервала [ymmf Ymax] ее
необходимо увеличивать. В частности, в [53] рекомендуется брать
значение (Гст—Гтахср) ^7 К.
В [53] приближенные аналитические выражения для Осм0б и
Лоб получены путем использования метода гармонической
линеаризации, при котором нелинейная характеристика регулятора
заменяется линеаризованным выражением, а функция /(т) из G.18)
полагается равной
f (T) = sin(ot. G.76)
В результате выведены следующие соотношения:
Лоб = Лдт! V\+<*Ч11 (|1Л+со2т'б) ; G.77)
К = (Тд 12 Лпах Ь%К °к.ср Л Sin пуI /3 ;
со = [B1 Ртах тк/яан.ср Ь) (sin пу/тк тдJ] • /в;
«S8 = 4«S"/E, G.78)
где О^д определяется из решения трансцендентного уравнения
А I Л.СМ t аСМ
arcsin ^ arcsin *- = зх Bу— 1); G.79)
^д ^д
Тк = Ск/огк.ср, а т|, |, тд, Тоб находятся по формулам G.65).
Формулы G.77) — G.79) имеют довольно громоздкий вид и,
судя по виду приближения для f(x) G.76), должны давать
удовлетворительные результаты для значений у, не слишком близких
к 0 или 1. Их недостатком является отсутствие предельного
перехода при стремлении зоны неоднозначности регулятора b к нулю.
Действительно, при Ь=0 из G.77) имеем ЛОб=0, однако ясно, что
и в этом случае автоколебания в системе будут существовать.
Пусковой режим. При анализе пускового режима
определяется время установления на объекте термостатирования
температуры стабилизации с заданной погрешностью. При строгом решении
задачи длительность пускового режима тр берется от начального
момента т=0, когда температуры всех элементов термостата
равны температуре окружающей среды, до момента T=tP, начиная с
которого отклонение Ат(т) температуры объекта от номинальной,
становится меньше допустимой ошибки термостатирования Аттах
(рис. 7.13,а): |ДТ(т) | ^ДТтах; т^тр. Обычно при определении тР
делают ряд упрощающих допущений, выделяя в пусковом
режиме два этапа [53].
Первый этап заканчивается в момент т=ть когда
температура датчика достигает значения ТСТ + Ь и происходит первое
отключение нагревателя. При этом полагают, что в момент t = ti
температура камеры практически достигает своего среднего
значения, которое она имеет в установившемся автоколебательном
режиме. В дальнейших расчетах пускового режима пренебрегают
278

Рис. 7.13. Временные зависимости
температур объекта, камеры и
датчика в пусковом режиме
малыми колебаниями температуры камеры и считают, что
начиная с момента t=-ti она имеет постоянное значение, равное Тк{%\)
(рис. 7.13,6). Тепловую инерцию датчика при анализе первого
этапа обычно не учитывают, считая его постоянную времени
пренебрежимо малой. В соотношении теплового баланса для камеры
пренебрегают тепловым потоком от камеры к датчику.
На втором этапе длительностью %% температура объекта
«подтягивается» к заданному уровню за счет его теплообмена с
камерой (рис. 7.13,6).
Заметим, что при таком приближенном определении *тр не
учитывается возможный «выброс» температуры объекта за значение
Гст + Аттах в процессе установления автоколебаний (рис 7ЛЗ,а
и б). Таким образом, на первом этапе решается система
уравнений
б """J
— аоб.к V* к ' об) + аоб.
ср (* ср
* об) »
°об.«
к.ср
ср
ад<ср
);
G.80)
G.81)
G.82)
— 7^1 =7 |X==O = TC , G.83)
где Рф — мощность, подаваемая в нагреватель термостата в
пусковом режиме. Если форсированный пусковой режим не
предусмотрен, ТО Рф = Рщах.
279
- 9 7

Отметим, что решение системы двух уравнений G.80), G.81)
было рассмотрено в гл. 3. Подставляя выражение для Гк(т) в
соотношение G.82) и приравнивая температуру датчика значению
Тст+Ь, получают уравнение для определения ть
ЕГнСО + A-ОГор-Гет+й. G.84)
На втором этапе решается уравнение G.80) при t>lti с
условиями
Tool^x, = Тоб (тх); Тц « Тп К) = const, G.85)
где значение ТОб(х\) определено на первом этапе. Значение тг
находится из уравнения
^об(^ + ^)-Пт-АГХ' G-86)
а общая длительность пускового режима вычисляется по формуле
тр = тх + т2. G.87)
Рассмотрим реализацию описанной процедуры. Начнем с
анализа первого этапа. Стационарные решения системы G.80), G.81)
имеют вид
7»ст ^ Т 4-
к.ср » 'i об.ср к.ср ' об.ср
Ц = аоб.к/(аоб.к + аоб.ср)-
Подставляя выражения G.88) в соотношение C.59), получаем
зависимости для температур объекта и камеры
G.89)
уГ1 ехр(-/п1т) +
+ —2*- ехр(-/п2тЛ;
/Л2 — /Wj J
о
exp(m2t)l+^* Г
т2 — J
¦- 1- ехр(-тат)], . G.90)
где тпх и тпч определяются по формулам C.59). С учетом
зависимости G.90) уравнение G.84) принимает вид
\
.ср /
Г | f-1
* 1°к.ср H-Voe.ep T т2-тх \С„ °„.ср+
G.91)
ак.срТ ^"об.ср
- J-Л ехр (- ma Tjl + Тср = Тст + 6.
^К / J
Наиболее простую формулу для оценки %\ можно получить, счи-
280

тая, что изменение температуры камеры на первом этапе
происходит по линейному закону
G.92)
Формулу G.92) можно получить из уравнения G.91), заменяя
экспоненциальные множители их линейными приближениями.
На втором этапе рассматривается уравнение
= аоб.к [Тц (тх) - 70б] + аоб.ср (Гср - 70б), т > т1э G.93)
с начальным условием Toq\x=Xx=^To6{xi). Решение уравнения
G.93) имеет вид
- A - г)) Гср) ехр [ - тоб (т - тх)]; тоб = (аоб.к + аоб.ср)/Соб, G.94)
где ro6(Ti) определяется из соотношения G.89), a T*(%\) из
G.82) при Гд = Гст + Ь:
Ти К) = Гст/? + 6/С + Гср - Гср/? ^ Гст/^ + Тор - Гор/С. G.95)
Подставляя выражения G.94), G.95) в уравнение G.86) и ;решая
его относительно тг, находим
т2 = Соб 1п [(лЦ) - 1] (Гст - Гср) - Гоб fa) + Гот ш G.96)
ак.об + аоб.ср А^ах + [(Л/У~1](Гст~ГСр)
Используя в пусковом режиме нагреватель очень большой
мощности, можно уменьшить время %\ практически до .нуля. Для
%2 существует предельное значение тПред, которое будет являться
и предельно минимальным значением длительности всего
пускового режима. Эту предельную величину можно получить, считая,
что температура камеры скачкообразно принимает значение
7k(ti), и полагая поэтому в G.96) jT06(ti) =Гср:
ан.об + аоб.ср АГХ + [(Л/0 - П (Тот - Тср)
Важной задачей является уменьшение длительности пускового
режима. В [53] предложен метод ее решения, заключающийся в
повышении температуры камеры, при которой происходит первое
отключение нагревателя. В этом случае после отключения
нагревателя температура камеры начнет уменьшаться, а температура
объекта будет продолжать увеличиваться (рис. 7.13,в). Очевидно,
момент отключения нужно выбрать так, чтобы произошел
одновременный выход температур камеры и объекта на их средние
стационарные значения. Формулы для определения значения ti, a
также для предельной минимальной длительности пускового
режима приведены в [53]. Отметим, что t\ зависит от температуры
окружающей среды, и поэтому реализация описанной методики
приводит к значительному усложнению устройства.
11—65 28 Г

7.4. ПОДОГРЕВНЫЕ ТЕРМОСТАТЫ. ОДНОМЕРНАЯ
И МНОГОМЕРНАЯ МОДЕЛИ
Одномерная модель. Наиболее простая одномерная модель
теплового режима подогревного термостата была рассмотрена в
§ 4.2. Эта модель может быть усложнена без существенной
модификации методики численного расчета. Для этого, во-первых, с
целью получения лучшего описания реальных процессов
рассматривается более полная основная цепочка одномерных элементов и
элементов с сосредоточенными параметрами (на рис. 4.10 —
основная цепочка имеет вид: объект — камера — изоляция —
корпус). При рассмотрении термостата, представленного на рис.
1.17,а, необходимо ввести в основную цепочку одномерное
уравнение для капсулы.
Во-вторых, применяется более общая модель для датчика.
Допускается, что термоприемник может располагаться не только на
камере, но и на объекте термостатирования (см. рис. 1Л7,а).
Последний вариант установки термоприемника применяется в том
случае, когда информация о температуре объекта используется не
только для автоматического регулятора термостата, но и для
какой-либо дополнительной следящей системы, компенсирующей
температурный уход функциональных характеристик объекта
термостатирования. Таким образом, необходимо учитывать
теплообмен датчика с камерой или объектом термостатирования (в
зависимости от места установки), с соседним по отношению к камере
или объекту элементом ¦основной цепочки ¦ (например, пр'И
установке термоприемника на кристалл — с капсулой, см. рис. 1.17,а), а
также с окружающей средой через электрические выводы.
Теплообмен с элементом установки и соседним к нему элементом
описывается с помощью соответствующих тепловых проводимостей,
методики расчета которых приведены в [111,121].
Теплообмен с окружающей средой обычно так же, как и в
модели с сосредоточенными параметрами, учитывается путем
введения соответствующей тепловой проводимости. Принимая во
внимание отмеченные обстоятельства, уравнение для температуры
датчика записываем в виде
Сд -—^ = оэ.у.д GVy — 7"д) + ас.э.у.д (Гс.э.у — Тп) + ад.Ср (Тср — Тд) ,
G.98)
где Тс.э.у — температура элемента термостата соседнего по
отношению к элементу установки; аэ.у.д, сгс.э.у.д — соответствующие
тепловые проводимости.
На первый взгляд, описанная одномерная модель подогревного
термостата даже с использованием для датчика более сложного
по сравнению с D.27) уравнения G.98) представляет собой
систему одномерных уравнений типа дерева (причем в
наипростейшем варианте), и для ее решения можно применять соответствую-
282

щую численную методику, описанную в § 4.4. Однако этот подход
неправильный. Причина заключается в том, что в общую систему
уравнений входит уравнение для датчика, имеющего постоянную
времени, на несколько порядков меньшую по сравнению с
постоянными времени других элементов термостата и с характерным
временем исследуемых тепловых процессов. Температуру датчика
необходимо определять весьма точно, поскольку по ней
производится управление мощным тепловым воздействием т. е. возникает
ситуация, похожая на описанную в гл. 3 с жесткими системами
обыкновенных дифференциальных уравнений. Указанные
обстоятельства приводят к тому, что при использовании методики
расчета, описанной в § 4.4, приходится вести расчет с весьма малым
шагом по времени. Это вызывает сильное возрастание затрат
машинного времени и накопление вычислительных погрешностей в
численном решении.
Практика показывает, что для проведения анализа тепловых
режимов приборов с управляемыми СОНТР необходимо
разрабатывать специальные алгоритмы расчета, учитывающие
отмеченные особенности их математических /моделей, и соответствующие
программы.
При расчете теплового режима подогревных термостатов
целесообразно использовать для пускового и автоколебательного
режимов различные значения шага по времени. Переход от
одного значения шага к другому осуществляется автоматически .после
первого отключения нагревателя. Переход от известных значений
искомых температур в /-й момент т3- к их значениям в (/+1)-й
момент tj+i осуществляется следующим образом. Для уравнений
элементов термостата, входящих в основную цепочку,
записывается неявная конечно-разностная схема, в которой мощность
нагревателя определяется по температуре датчика в
предыдущий момент tj. Решение системы конечно-разностных уравнений
для элементов основной цепочки проводится с помощью
алгоритма потоковой прогонки, поскольку у элементов могут сильно
различаться теплопроводности. При определении температуры
датчика в момент тя-i температуры элемента установки и
соседнего элемента считаются постоянными и равными их значениям
в предыдущий момент tj, и при этом условии находится точное
решение уравнения G.98) на промежутке времени [tj ]
G.99)
=T/ +[1 -ехр (-тддт)] X
Дт =
Кроме описанного алгоритма, можно применять и
приведенную в [24] методику, использующую итерации для определения
температуры датчика.
п* 283

Поскольку для расчета тепловых режимов подогревных
термостатов целесообразно разрабатывать специальные .программы,
то их входные данные можно сделать более простыми и
удобными для пользователя по сравнению с входными данными
«программ, ориентированных на реализацию моделей общего вида
(см. § 4.4). В частности, во входных данных программы,
реализующей описанную выше методику расчета для простейшей
модели подогревного термостата, не нужно предусматривать
задание обширной информации о номерах взаимодействующих
вершин, поскольку конфигурация системы уравнений уже определена,
а достаточно указать соответствующие тепловые -проводимости.
Во входных данных выделяются в отдельные группы параметры
объекта термостатирования, датчика, регулятора и т. д. Для
элементов термостата с одномерными температурными полями
'Предусматривается задание коэффициентов аппроксимаций площади
изотермической поверхности D.14) или D.18).
С ломощью численных методов реализуются и более сложные
одномерные модели термостатов. Например, в простейшей
одномерной модели подогревного термостата тепловая связь
нагревателя с камерой считалась идеальной, и не было ^предусмотрено
наличие компенсационного нагревателя. Использование
численных методов расчета позволяет ввести в модель эти нагреватели
как тела с равномерным температурным полем. Графическая
схема такой одномерной модели термостата приведена на рис. 7.Н.
Исполнительному и компенсационному нагревателям
соответствуют вершины 8 и 9. Остальные обозначения аналогичны сделанным
на схеме, изображенной на рис. 4.10.
Методика численного расчета для этой модели во многом
аналогична рассмотренной выше для .простейшей модели со
следующими изменениями. Несколько усложняется алгоритм решения
системы конечно-разностных уравнений для элементов основной
Рис. 7.14. Графическая схема
одномерной модели подогревного
термостата с компенсационным
нагревателем:
/ — ребро-объект (с вершинами 1 и 2);
II — ребро-изоляция (с вершинами 4 и 5);
3 — вершина-корпус; 6 — вершина-датчик;
7 — вершина-окружающая среда; 8 —
вершина-исполнительный нагреватель; 9 —
вершина-компенсационный нагреватель
284
Y//////////Z/1////////ZA
¦ ^.
У'
-2
-3
-5
-6
Рис. 7.15. Термостат для
нелинейного элемента

цепочки и исполнительного нагревателя. Он строится при
помощи -приемов, описанных в § 4.4. При определении температуры
датчика в момент tj+i температуры всех перечисленных выше
элементов считаются постоянными и равными их значениям в
предыдущий момент Tj, и при этом условии находится точное решение
системы уравнений для датчика и компенсационного нагревателя
•на промежутке времени [tj, tj+i].
Одномерные модели некоторых конструкций подогревных
термостатов имеют 'конфигурацию, отличную от рассмотренной
выше конфигурации термостата для электроо-птического затвора
(рис. 7.14). На рис. 7.15 изображен -подогревной термостат для
нелинейного элемента. Кристалл 1 помещен в камеру 3, на
которой находится нагреватель 2 и датчик 5. Термостат имеет окна
4 для прохождения лазерного излучения, тепловую изоляцию 6 и
корпус 7. Особенностью данного термостата является наличие
сильных тепловых связей объекта с окружающей средой через окна.
Поэтому необходимо учитывать распределение температуры <по
толщине окна. Для объекта термостатирования нужно
анализировать неравномерность температурного поля либо -по длине, либо
в плоскости, перпендикулярной направлению распространения
излучения. Графические схемы соответствующих одномерных
моделей термостата представлены на рис. 7.16,а, б. Они отличаются
видами взаимодействий ребра-объекта // с ребрами-окнами /, ///
и камерой — вершиной 7. Теплоизоляции, как обычно,
соответствует ребро IVу а корпусу и датчику — вершены 10 « 11; 12 —
вершина — окружающая среда. Методика численного расчета
подобных моделей в целом совладает с рассмотренными выше.
Некоторые особенности имеют место при решении системы
конечно-разностных уравнений для объекта, окон, камеры,
теплоизоляции и корпуса. Например, в модели, представленной на рис.
7.16,а, ребро-объект и ребра-окна обладают сильными боковыми
тепловыми связями с вершиной-камерой. Поэтому алгоритм, в
котором это боковое взаимодействие учитывается путем расчета
бокового теплового потока на основе значений температур с
предыдущего момента, .применять нецелесообразно. Приходится
использовать прием выделения системы уравнений для температур
вершин, аналогичный рассмотренному в § 4.4 для двух ребер-
элементов с боковым взаимодействием. Такой же подход
применяется и для модели, представленной на рис. 7.16,6, для учета
бокового взаимодействия ребер-окон с вершиной-камерой. При
этом боковой тепловой поток для объекта берется с предыдущего
момента, поскольку теплообмен между окнами и объектом
достаточно слабый.
Таким образом, используя описанные вычислительные приемы,
можно строить алгоритмы расчета для достаточно сложных
одномерных моделей (подогревных термостатов.
Многомерная модель. Как было отмечено в § 7.2, анализ
таких моделей сводится к решению многомерной задачи для от-
285

'ср
Рис. 7.16. Графические схемы одномерных моделей подогревного термостата для
нелинейного элемента
дельного тела-объекта термостатирования лри сложных граничных
условиях [см. задачу G.10) — G.12)] или для системы тел,
включающей обычно объект термостатирования, детали
крепления объекта к камере и элементы термостата, через которые
реализуются локальные тепловые связи объекта. Рассмотрим ряд
примеров.
В термостатах для электрооптических затворов,
представленных на рис. 1.17, необходимо анализировать пространственно-
временное распределение перегрева кристалла над камерой,
рассчитываемого в предположении, что температура камеры
постоянна во времени (т. е. пренебрегая колебаниями темлературы
камеры во времени). Для затвора, помещенного в термостат,
изображенный на рис. 1.17,6, это исследование без учета локальных
тепловых связей проводится на основе решения многомерной задачи
для одиночного тела в форме косоугольного параллелепипеда при
неравномерном пространственном распределении коэффициента
теплоотдачи. Для затвора, находящегося в кварцевой капсуле
(см. рис. 1.17,а), в случае пренебрежения локальными
тепловыми связями приходится решать многомерную задачу для
системы из двух тел — затвора и капсулы.
Аналогичное исследование следует проводить и для
нелинейного элемента, тер*мостат которого представлен на рис. 7.15.
Здесь также возникает многомерная задача для системы трех
тел: кристалла и двух окон (если, конечно, нельзя, используя сим-
286

метрию конструкции, рассматривать только половину кристалла
и одно окно).
Общая методика численного решения многомерных задач
была описана в гл. 5. Ее используют и для термостатов.
Специфика термостатов проявляется в ориентации модулей
соответствующего программного комплекса на характерные для них типовые
элементы (тела) и тепловые связи [23]. Например,
предусматривается наличие модулей, в которых реализуются различные
разностные схемы для решения уравнения теплопроводности в
областях типа оболочек. Обычно рассматриваются оболочки
прямоугольной или цилиндрической формы при использовании для
описания их теплового режима двухмерных или трехмерных
моделей. Имеются также модули, в которых запрограммированы
разностные схемы для расчета температурных полей в типовых
деталях термостата, вызывающих появление локальных
тепловых связей и т. д.
При решении многомерной задачи для отдельного тела
(например, затвора, представленного на рис. 1.17,6) применяют
один из подходящих модулей для решения уравнения
теплопроводности в области соответствующей конфигурации.
Программа для решения многомерной задачи для .системы тел
собирается из нескольких модулей. Например, в программе для анализа
теплового режима затвора с капсулой (см. рис. 1Л7,а)
используются модули, реализующие разностные схемы для кристалла в
форме косоугольного параллелепипеда и трехмерной оболочки
прямоугольной формы, а также модуль, отражающий тепловые
связи между капсулой и затвором. Программа для анализа
теплового режима нелинейного элемента с окнами (см. рис. 7.15)
собирается из модулей для расчета температурных полей
объекта термостатирования и деталей, через которые реализуются
локальные тепловые связи, в форме (Прямоугольных
параллелепипедов и модулей для учета тепловых связей между этими
элементами термостата.
7.5. АНАЛИЗ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ТЕРМОСТАТА
ДЛЯ ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКОГО ЗАТВОРА
Рассмотрим термостат для затвора без капсулы, представленный на рис. 1.17,6.
Упрощенная конструктивная схема этого термостата с указанием основных
размеров деталей приведена на рис. 7Л7. Затвор* изготовлен из дигидрофосфата
калия (А,= 1^2 Вт/(м-К); С=850 Дж/(кг-К); р=2200 кг/м3), камера из
инвара (Л,= 13,8 Вт/(м-К); С=460 Дж/(кг-К); р=8100 кг/м3), теплоизоляция из
пенопласта (Я,=0,04 Вт/(м-К); С=1200 Дж/(кг-К); р=200 кг/м3), корпус из
дюралюминия (А,=210 Вт/(м-К); С=900 Дж/(кг-К); р=2700 кг/м3).
Кристалл крепится к камере с помощью компаунда (А,=1 Вт/(м«К); С= 1050
Дж/(кг-К); р= 1300 кг/м3). Диапазон изменения температуры окружающей
среды —60...+60° С, номинальная температура *Ст=70°С. В качестве
датчика температуры используется терморезистор ММТ-б при способе монтажа
типа А, указанном на рис. 7.6,а. В качестве наполнителя, заполняющего простран-
287

3 4 5 6 7
\\\ \ \
08
¦йя__
Рис. 7.17. Термостат для электрооптического затвора:
1 — электрооптический затвор; 2 — камера; 3 — нагреватель; 4 — тепловая изоляция; 5 —
датчик; 6 — корпус; 7 — компаунд; 8 — окна
ство между датчиком и камерой, применяется теплопроводная паста КПТ-8.
Зона неоднозначности двухпозиционного регулятора составляет 6 = 0,4 К.
На первом этапе проектирования анализ теплового режима проводится с
помощью модели с сосредоточенными параметрами. Теплоемкости элементов
термостата имеют следующие значения: СОб = 2,7 Дж/К; Ск = 9,7 Дж/К; Сд =
— 3-Ю-2 Дж/К. Остановимся на расчете тепловых проводимостей.
При определении теплового сопротивления между затаором и камерой, как
показывают простейшие оценки, достаточно учитывать перенос теплоты только
через компаунд. Его значение вычисляется по приближенной формуле D.60)
Доб.к=б,65.10-7/@,8-1,85.10~4-2,1.7-10~4) = 11,4 К/Вт; аОб'к=!/Яоб.к =
== 1/11,4=0,088 Вт/К. По этой же формуле рассчитывают тепловое
сопротивление изоляции: ^Из = 2,'44-10-5/0,04.3,8-10~3.|5,46-10-3==25,8 К/Вт. Тепловая
проводимость между камерой и средой без учета пренебрежимо малого теплового
сопротивления корпуса определяется из соотношения 0к.ср=.!(^из+Л/а5Нар)~1,
где а — коэффициент теплоотдачи между поверхностью термостата и
окружающей средой; SHap — площадь его наружной поверхности, т. е. ак.ср= B5,8+
+1/10-7,8-Ю-8) = 0,026 Вт/К.
Тепловую проводимость между датчиком и камерой целесообразно
определять экспериментальным путем. В табл. 7.2 приведены экспериментально
найденные значения проводимости сгд.к для терморезисторов типа ММТ-6 и
СТЗ-19 при способах монтажа, представленных на рис. 7.6, и двух видах
наполнителя: теплопроводной пасты КПТ-8 и эпоксидного клея К-3<00. Выбранным
способу монтажа и наполнителя соответствует ад.к = 0,014 Вт/К.
Локальная связь объекта с окружающей средой реализуется через
высоковольтный электрический вывод, представляющий из себя провод 0 5,2 мм с
изоляцией ив фторопласта толщиной 2 мм и медной жилой 0 1,2 мм, а также
через окно 0 10 мм и толщиной 2 мм, изготовленное из оптического стекла
(Я«1 Вт/(м-К)). Локальная связь датчика с окружающей средой реализуется
через два электрических вывода 0 0,3 мм с изоляцией из фторопласта
толщиной 0,1 мм и медной жилой 0.0,1 мм. Оценки проводимостей о*Об.ср и сгд.Ср
проводятся с использованием моделей стержней с боковым теплообменом. При
этом возникает значительная неопределенность в результатах расчетов,
вызванная неточным заданием тепловых сопротивлений между элементами, через
которые реализуются локальные тепловые связи, и остальными элементами
288

Таблица 7.2
Тип датчика
ММТ-6
СТЗ-19
Способ
монтажа
Наполнитель
КПТ-8
К-300
КПТ-8
к-зоо
7
1
1
А
14±0
,8±0
,2±0
,4±0
,5
,4
,2
,1
Б
стк>д.1О*,
1б±1
9,5±0
2,8+0
2,4+0
Вт/К
,5
,7
,4
в
13+1
8+1
1,9±0
1,7±0
,5
,2
Сд-10», Дж/К
30+5
24±1
термостата, а также приближенным описанием теплообмена электрических
лроводов с окружающей средой после их выхода из корпуса термостата.
Соответствующий анализ показывает, что проводимость о~Об.ср лежит от 0,0013 до
0,0025 Вт/К, а ад.еР — от 0,00026 до 0,00045 Вт/К.
После определения всех тепловых проводимостей необходимо выбрать
«опорное» значение температуры окружающей среды, найти соответствующую
этому значению среднюю мощность Р и, принимая у^ОД рассчитать мощность
нагревателя Ртах. Взяв в качестве опорного значения температуры
окружающей среды пентральную точку диапазона ее изменения /Он —0°С, по формулам
G.28) — G.30) вычислим
*об== 1,023- 70 + A — 1,023). 0 = 71,61°С;
@,014 + 0,00036) 0,00036
Р = 0,088 G1,8 — 71,61) + 0,014 G1,8 — 70) + 0,026 G0 — 0) == 1,85 Вт.
Отметим, что определение Р па наиболее простой формуле G.73) дает
значение Р = 0,026« G0—0) =1,82 Вт. Поэтому вполне допустимо ее использование
в практических расчетах. Из соотношения G.72) находим Ртах=2«1,82=
=3,64 Вт. При изменении температуры окружающей среды от 60 до •—60° С
у изменяется от Ymin=l/{2+i[60-J(—60)]/G0—60)}=0.09 до Ymax = l[+G0—
—60) /F0+60) ] / [ 1 +2 .."G0—60) / F0+60) ] = 0,91 [см. G.74), G.75)].
Перейдем к анализу погрешности термостатирования. Начнем со
статической погрешности стационарного режима. Отметим, что проводимости аОб.ср и
<?д.ср, входящие в G.19) для величины е, определяющей эту погрешность,
были найдены со значительной неопределенностью. Можно считать, что
«истинные» значения 0Об.ср и ад.Ср лежат 'в приведенных выше интервалах [0,0013;
0,0025] и [0,00026; 0,00045]. Минимальное значение е можно найти, если
взять минимальное значение проводи-мости 0д.ср и максимальное значение
проводимости 0об.сР : emin ==A+2,6«10-4/0,014)/A+2,5-10/0,088) =0,9904.
Таким образом, имеем случай 8<1, которому соответствует зависимость
статической погрешности стационарного режима от температуры окружающей сре-
289

0,5 0,6 OJ 0,8 0,9 у
Рис. 7.18. Зависимости |ftCMo6| и
от параметра 7:
1, 4 — зависимости |^смоб| (V)
рассчитаны по G.64)—G.67); 3,
G77)G79) 2 6
Аоб(у)
р F)G.67); 3, 5 — по
G.77)—G.79); 2, 6 — с помощью
численного метода
ды, представленная на рис. 7.10,6.
Максимальная статическая погрешность
стационарного режима составляет
G.34) : | Лкст| max = 10,9904—11 • [60—
—(—60)] = 1,15 К. Если подставить в
G.19) максимальное значение
проводимости сгд.ср и минимальное значение
проводимости аоб.ср, то можно оценить
максимальное значение е:?тах=A +
+ 4,5-10-4/0,014)/A + 1,3-10-3/0,088) «
= 1,0123. При этом изменяется по
сравнению со случаем 8=0,9904 как знак
статической погрешности стационарного
режима, так и характер ее зависимости
от температуры окружающей среды.
Максимальная статическая погрешность
стационарного режима будет составлять
| Акст | тах= | 1,0123—11 .j[60—(—60)] =
= 1,45 К. Приведенные оценки
показывают нереальность компенсации
статической погрешности стационарного режима подборо!М соответствующих прово-
v димостей.
Перейдем к анализу динамической погрешности и постоянного смещения
автоколебательного процесса. При этом будем использовать два вида
приведенных выше приближенных формул, а также результаты расчетов с помощью
численных методов.
Начнем с выражений G.63) — G.67). Период автоколебаний тп, найденный
по формуле G.63), при 7=0,5 составляет
1 ( 2-0,4-9,7 ЗЛО-2 Л
ТД-0,5A — 0,5) \ 0,975-3,64 + 0,014 +• 0.00026 } ~~ 1б'5 с#
Поскольку в данном случае постоянная времени объекта, равная тОб =
==Соб/(о"об.к + 0об-ср) ==2,7/@,088-1-0,0045) =30 с, примерно в два раза
превышает период автоколебаний, то амплитуду автоколебаний можно вычислять по
формуле G.64). Постоянное смещение определяется по формуле G.67). На рис.
7.18 представлены соответствующие зависимости амплитуды ЛОб и постоянного
смещения ФсмОб от 7- Видно, что по мере приближения температуры
окружающей среды к границам диапазона ее изменения происходит значительный рост
амплитуды по сравнению с ее минимальным значением при 7 = 0,5. Например,
при *ср = *тахср значение ЛОбG = 0,91) в 2,8 раза превосходит значение
Лоб G=0,5), соответствующее ^Ср:=0оС. Кроме того, постоянное
смещение l6iCMo6, равное нулю в середине интервала [*mincP, fmaxcp] при
7=0,5, также увеличивается при уходе температуры окружающей среды от
опорного значения fOn=0°C. Вблизи границ диапазона [fmincp, ?maxcp] значение
§смоб примерно в 5... 6 раз превосходит амплитуду автоколебаний.
Приведем результаты расчетов по G.77) — G.79). Период автоколебаний,
определенный из соотношения G.77) при у=Юу5, составляет
2.0,975-3,64-373
3,14.0,026-0,4
290

Зависимости ЛОб(т) и $смОб(у), рассчитанные по G.77) — G.79), для
использования которых решалось трансцендентное уравнение G.79), представлены
на рис. 7.18. Там же приведены результаты расчетов, выполненных путем
решения системы уравнений G.13) — G.16) с помощью численных методов.
Период автоколебаний при численном расчете для Y —0,5 составил тп=21 с.
Из представленных зависимостей видно, что результаты расчетов по
приближенным аналитическим формулам находятся в согласии с результатами,
найденными с применением численных методов. Причем большая близость к
результатам численного расчета имеет место у приближенной аналитической
методики G.63) —G.67).
Максимальное значение ошибки термостатирования для данной
конструкции термостата, определяемое по формуле G.26), составляет: |Ат|тах =
= тах|Акст + Осмоб|+Лтахоб = 1,15+0,81+0,28=2,24 К. Очевидно, что
максимальное значение величины |Дкст + Осмоб| будет достигаться для s=8min =
=0,9904 при температуре'окружающей среды, равной ?Cp = ?mincp (см. рис.
7.10,6).
Рассмотрим анализ пускового режима термостата от начальной
температуры, лежащей в середине диапазона изменения температуры окружающей
среды ^о=О° С. Сначала из уравнения G.91) найдем значение Ть Используя
формулы C.59), определяем mi и т2:
ти2 = — @,0455 + Т/0,04552 - 4 -0,0099- 0,00924);
m1-=2,l4.l0 c~l ; m2 = 42,7.l0-3 с .
Из соотношений G.82), G.88) находим
I = 0,014/@,36- Ю-3 + 0,014) = 0,975; г|= 0,088/@,088 + 0,0034) = 0,963.
Предполагая, что форсированный пусковой режим не предусмотрен, полагаем
Рф=ртах=з,64 Вт. Из решения уравнения G.91), проводимого при найденных
значениях ть т2, ?, "Л, Рф, определяем Ti = 400 с. При этом температура
объекта в момент т=т1 = 400 с, вычисляемая по формуле G.89), составляет
/об D00) = 0 + 0,963-3,64/@,026 + 0,963-0,0034)X
4" О,О427-ТоО21 ехр(-0,002Ь400) +
21 ехр(-0,0427.400)]=69,1°С.
Оценка длительности второго этапа тг, проводимая по фор'муле G.96),
показывает, что значением т2 можно пренебречь. Это вытекает также и из того
факта, что различие между температурой объекта в момент t=Ti и
номинальной температурой уже не превосходит At max: |fO6(ti)—?Ст| = |69,1—70| —
= 0,9<2,24 К. Отметим, что расчет значения Ti по формуле G.92) дает Ti =
= G0—0,4—0)-9,7/3,64-0,975= 192 с. То есть использование допущения о
линейном изменении температуры камеры на первом этапе приводит в- данном
случае к значительной погрешности. Таким образом, длительность пускового
режима, определяемая по приближенным аналитическим формулам, составляет
тр==400 с. Расчет длительности, проведенный с использованием численных
методов, дает значение тр=300 с.
291

Предельное минимальное значение длительности пускового режима,
определяемое по формуле G.97), равно
т 2,7 / 0,963.G0-0O0,975 \
пред 0,088 + 0,0025 \ 2,24+ @,963/0,975-1) G0-0) )
На втором этапе проектирования анализ теплового режима проводится на
основе одномерной модели термостата, в которой рассматриваются одномерные
температурные поля для объекта и изоляции. При переходе к одномерному
приближению для объекта термостатировакия используется зависимость DЛ 8) для
площади изотермической поверхности. Из соотношений D.21), D.19) находим
LO6=2(l/10,6+l/5.1)-1 = 6,5 mim; по&= 8,72-10~4.0,65- 10/l,44- Ю-6—il =2,9.
Для тепловой изоляции квадратичная зависимость D.14) переходит в
линейную АЯ5(р)^аша+Ькф.
По формулам DJ16), DЛ5) находим 1Из = 5 мм, аиз=Д26-102 м2, ЬИз=0,28Х
Х102 м2. Отметим, что величины L06, Лоб, Ьиз, аиз, Ьиз входят во входные
данные соответствующей программы, реализующей описанную выше методику
численного расчета. Результаты, полученные на основе анализа одномерной
модели, находятся в согласии с приведенными выше данными, определенными по»
приближенным аналитическим зависимостям.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШ И ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основные понятия и определения. Рассмотрим задачу решения
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
= /(?, Т)\ 0<т<ттах, (П1.1)
с начальным условием
Г|Т=0 = Г0, (П1.2)
где /(т, Т)—произвольная функция аргумента т и искомой функции Т(х). В
дальнейшем будем подразумевать под т время, а под Т(%)—температуру.
Задача (П1.1), (П1.2) называется задачей Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка. При численном решении задачи
область непрерывного изменения аргумента О^Ст^Ттах заменяется дискретным
множеством {tj}jj=q, называемым временной сеткой. В случае равномерной
сетки шаг по времени постоянен: At==Tj+i—T3==const и Tj = /At, /=1,...,/.
Вместо задачи определения непрерывной функции Т(х) ставится задача отыскания
дискретного множества значений функции 7^=Г(т^) в узлах сетки. Это
множество {Tj}Jj=i называется сеточной функцией точного решения.
Простейший способ построения методики численного решения уравнения
(П1.1) основан на замене производной dT/dx конечной разностью
= /+1 ~~ s -f б;- (Дт), (П1.3)
292

где 63-(Ат)-Ю при Ат->0. Эта величина 6j называется погрешностью
аппроксимации производной конечной разностью. Используя разложение функции Т(%)
в ряд Тейлора около точки т^, можно найти выражение для б^:
Ат
т. е. б;(Ат)^ЛАт, где y4=const при достаточно малых Ат. Такое неравенство
часто записывают в символической форме 6j(At)=0 (At).
Подставляя выражение (П'1.3) в (П1.1) и пренебрегая малой величиной 6j,
получаем следующее уравнение:
'(«/+! - ЩIЬл = / (tj, uj). (П1.4)
Поскольку в (П1.4) не учитывается величина 6j, то в результате решения
этого уравнения можно найти не точные, а лишь приближенные значения
сеточной функции, которые и обозначены щ.
Множество значений {«jHj=i называется разностным, или численным
решением. Алгебраические уравнения, которые записываются вместо исходного
дифференциального уравнения и связывают искомые значения сеточной функции
разностного решения, называются разностными уравнениями. Система
алгебраических уравнений, путем решения которой находятся все искомые значения
{ttj}Jj=(b называется разностной схемой. Например, для рассмотренного
простейшего способа аппроксимации производной разностная схема записывается в
виде
а вычисление значений сеточной функции щ+i проводится последовательно в
порядке возрастания номера / по явным формулам.
Погрешностью численного решения г§ называется разность значений
сеточной функции точного решения Tj и численного решения uj:&j = Tj—Uj.
Если при достаточно малых шагах по времени начинает выполняться неравенство
|в;| = |Г/ —и/| <СДт*\ С = const, (П1-6)
то говорят, что разностная схема сходится со скоростью 0 (Ат?) или
численный метод имеет порядок точности #, т. е. понятие порядка точности
характеризует скорость убывания погрешности численного решения при измельчении
временной сетки.
При анализе сходимости разностной схемы рассматривают два свойства:
аппроксимацию и устойчивость.
Погрешностью аппроксимации oj?j разностной схемы называется невязка
(разность левой и правой частей), которая возникает при подстановке в
разностные уравнения вместо Uj сеточной функции точного решения Tj. Например,
для рассматриваемой схемы (П1.4)
Если выполняется неравенство |i|)j|^BAtp; 5=eonst, то говорят, что
разностные уравнения аппроксимируют дифференциальное уравнение с
порядком 0 (Атр) или разностная схема имеет р-й порядок аппроксимации.
Таким образом, погрешность аппроксимации ifj характеризует различие
между уравнениями для функций Tj и м,-, а погрешность численного решения
Bj — различие между решениями этих уравнений Tj и Uj.
293

Разностная схема обладает устойчивостью, если при ограниченной
погрешности аппроксимации ^ погрешность численного решения 8j также остается
ограниченной для всех моментов tj, т. е. выполняется неравенство
где D — постоянная величина, не зависящая от шага Ат. Если схема устойчива
при любых значениях шага Дт, то она называется безусловно устойчивой. Если
же условие устойчивости выполняется лишь при некотором ограничении на
допустимое значение шага (Ат<Аттах), то схема называется условно
устойчивой.
Для иллюстрации понятия устойчивости рассмотрим задачу решения
простейшего линейного однородного уравнения
dT
-^ = -т-Г; r|Ts=0 = 7V (Ш.9)
Точное решение имеет вид 7^ = Г(т,)=Гоехр(—mxj). Разностное решение
Wj, найденное по схеме (П1.5) при f(t, Г)=—тГ, можно записать в виде Uj =
==Mi_1— Armuj-i = Uj-\ A—Дтт) =Т^(\—Ахт)К
Нетрудно увидеть, что разностное решение остается ограниченным и не
превышает Го- при Ат^2/т, а при Ат>2/т разностное решение щ
представляет собой колеблющуюся знакопеременную функцию, причем амплитуда
колебаний неограниченно возрастает с ростом номера /. Таким образом, разностная
схема (П1.6) при решении задачи (П1.9) является условно устойчивой, а
условие устойчивости имеет вид Ат^2/т.
Основная теорема теории разностных схем [98] связывает свойства
сходимости, аппроксимации и устойчивости и формулируется следующим образом.
Если разностная схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с
порядком Р и является устойчивой, то разностное решение сходится к
сеточной функции точного решения со скоростью 0 (Дтр), т. е. схема имеет порядок
точности р.
Явная и неявная схемы Эйлера. Рассмотренная простейшая схема (П
1.5),которая получается при замене производной в момент %j конечной разностью
(П1.3), называется явной схемой Эйлера. Термин «явная» означает, что все
искомые значения щ i(j = l /) последовательно вычисляются на основе
известных значений и$-\ в предыдущий момент. Явная схема Эйлера имеет
первый порядок аппроксимации и условно устойчива.
Если в разностном уравнении (П1.4) оценку производной /(т, и) (правую
часть) записать для момента tj+ь в который ищется решение щ+и то
получим неявную схему Эйлера:
= /(т/+ь и/+1); / = 0,..., 7-1. (ШЛО)
Подчеркнем, что в разностных уравнениях (ШЛО) искомая функция
входит как в левую, так и в правую части, поэтому в общем случае для
определения Uj+\ приходится решать на каждом шаге по времени нелинейное
алгебраическое уравнение относительно щ+\. Лишь в случае линейной
относительно и функции f(x, u)=a(%)+b(x)u удается получить для щ+\ явную
расчетную формулу.
Неявная схема Эйлера также имеет первый порядок аппроксимации, но, в
отличие от явной схемы, является безусловно устойчивой. Это достоинство не-
294

явной схемы во многих случаях компенсирует дополнительные трудности,
возникающие при решении уравнений (ШЛО) относительно iij+\.
Общим недостатком схем < Эйлера является невысокий — первый — порядок
точности. Более высоким порядком точности обладают схемы Рунге — Кутта и
линейные многошаговые схемы.
Схемы Рунге — Кутта. Семейство схем, называемых схемами Рунге — Кутта,
строится на основе аппроксимации следующего выражения, получающегося при
интегрировании (П1.1) на отрезке [tj, %j+\]:
Т/-Н
Tf+X-Tj = J /(т, Г(т))*т. (П1.11)
При построении различных схем применяются разные способы
приближенного вычисления интеграла в правой части (П1.11). Для вычисления оценок
/(т, Т) в промежуточных точках интервала [Xjt tj+i] используются
приближенные значения искомой функции uW в этих точках, которые находятся по явным
формулам, аналогичным (П1.5).
Например, в охеме Рунге — Кутта второго порядка точности интеграл
рассчитывается на основе значений функции / в точках tj и tj+ь а
приближенное значение u^**T (xj+i) находится по явной схеме Эйлера:
( /+1, ««>)] Ат/2, (Ш. 12)
где иМ = щ+1кхЦхз, щ).
Широкое распространение получила схема Рунге — Кутта четвертого
порядка точности, которая записывается следующим образом:
«/+!— «/='[/to. «j
где ф)=
Схемы Рунге — Кутта (П1.12), (П1.13) являются явными, так как позволяют
определить искомое значение сеточной функции щ+г на основе известного
значения щ путем расчета по нескольким явным формулам. Явные схемы Рунге —
Кутта условно устойчивы. Например, для модельной задачи решения
однородного уравнения теплового баланса (П1.9) условие устойчивости для схемы
(П1.12) имеет вид Ат<2/т, а для схемы (П1ЛЗ) —Ат^2,8/т. Известно
достаточно большое число схем, относящихся к семейству схем Рунге — Кутта, с
которыми можно ознакомиться в [57, 104].
Линейные многошаговые схемы (схемы Адамса). В схемах Рунге —Кутта
повышение порядка точности достигается вычислением оценок производной
/(т, и) в нескольких точках текущего интервала [т^, Tj+i]. Другим приемом
повышения порядка точности является использование при вычислении Uj+i не
только значения tij> но и нескольких других значений tij-u «j_2,..., Wj-a+i в
предшествующие моменты. Схемы, в которых для вычисления искомого
значения сеточной функции в текущий момент используются значения сеточной
функции на нескольких предыдущих шагах, называются многошаговыми.
При построении многошаговых схем также исходят из равенства (П1.11),
но для приближенного вычисления интеграла применяют иной прием. На
отрезке [tj_ft+i, xj] (&>2) функция /(т, Т) аппроксимируется полиномом,
проходящим через известные точки /(tj-a+i, wj-u+i), ,.., f(%j, и$). Далее полином пре-
295

должается на отрезок [xh %i+l] и вычисляется интеграл в правой части (П1.11).
В результате получается разностная схема, которую в общем виде можно
записать так:
k
*/+1 - uj = Дт Б ат f (Vm+1, «._m+1), (Ш. 14)
т=\
где ат — некоторые весовые коэффициенты, зависящие от числа точек k, по
которым выполнена аппроксимация функции ^(т, Т).
Схемы вида (П1.14) являются явными. Если при построении полинома
ввести в рассмотрение еще одно значение f(xj+i, Uj+i), то получим неявную схему
вида
k
uJ+l - uj = Дт 2 am f (Tf_mM, a/wn+1), (П1.15)
m—0
в которой, в отличие от (П1.14), суммирование начинается от т=0 и в
правую часть которой входит искомое значение и^+ь При использовании неявных
схем значение Uj+i на каждом текущем шаге находится путем решения
нелинейного уравнения (Шд15) каким-либо итерационным методом.
Таким образом, повышение порядка точности в многошаговых схемах
происходит благодаря использованию информации о поведении искомой функции
на нескольких предыдущих шагах по времени. Порядок точности зависит от
числа значений функции /(т, и), используемых в правых частях (П1Л4) и
(П1.15). Схемы (П1.14) имеют порядок точности k, а схемы <(П'1Л5)—i(&+1).
При реализации вычислений по многошаговым схемам часто применяют
алгоритм прогноза-коррекции (схему предиктор-корректор). Сущность схем
прогноза-коррекции состоит в том, что на каждом шаге по времени находят
несколько приближений ы<°), Ф\..., i/<s> к искомому решению щ+i. Нулевое
приближение м<0> определяют по явной схеме вида (П1.14). Последующие
приближения m<s> E = 1, ..., S) находят из уравнения (П1.15), используя в правой
части при вычислении f(Tj+b mj+i) оценку искомой функции и^~1) на предыдущей
итерации:
k
u(s) = uj + Дт 2 am f (т._т+1, a/_m+1) + Дт a0 f ( t/+1, u^1 >).
m=l
Приведем для примера простейшую схему прогноза-коррекции, основанную
на двухшаговых явной и нея/вной схемах Адамса, имеющих второй порядок
точности [57]:
= и, + Дт J-|- / (т;. и,) - -^-f (V
( {Sl))+
Число итераций S в схемах прогноза-коррекции либо фиксируют
(полагая обычно S=t2 или 5=3), либо определяют из условия достижения
заданного различия \и^—м^-1)).
Оценка погрешности численного решения. Для практической оценки
погрешности численного решения наиболее часто применяют следующий прием,
называемый правилом Рунге. Проводят расчеты на двух сетках, шаги которых
отличаются вдвое Ati = 2iAt2, и находят две сеточные функции {u{,j}Jj=o и
296

. Далее сравнивают разностные решения uu и u2ti в одинаковые
моменты Tj = Ti=/ATi = ?AT2 и оценивают погрешность решения 82,* по
формуле
где р — порядок точности схемы.
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотренные выше схемы для решения одного уравнения (П1.11) можно обобщить на
решение задачи Коши для системы N обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
lf
n
с начальными условиями
Т I = Т л п=\ N, (П1.18)
где Тп{%) — искомые функции; /п(т, Гь ... >TN) —заданные функции времени
% и температур Th ..., 7#.
Разностные схемы для задачи (Ш.17), (П1.18) записываются аналогично
схемам для одного уравнения, если ввести векторную искомую сеточную
функцию Uj и векторную заданную функцию F(tj, Uj) с N компонентами:
Г ./1 \ hJl Vh(v> «и'...,. %/П
и7= : ; fj== : = :
L UN.j J LfNj] LfN(V> «l/»...» %/J
Например, схема Рунге — Кутта второго порядка !(П1.12) для системы
двух уравнений вида (П1Л7) записывается следующим образом:
/.
где мA>ь w2A) — промежуточные оценки искомых функций в точке tj+ь
вычисляемые по явным формулам Эйлера
т* «ь/, «2,/);
т/' «Ь/, «2./).
Таким образом, численное решение задачи Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений на основе явных схем Рунге — Кутта,
явных многошаговых схем или схем прогноза-коррекции сводится к
последовательному определению искомых значений игл-ь M2,j+i>..., Mjv,j+i по явным
формулам. Такие схемы являются условно устойчивыми. Для анализа условий
устойчивости рассматривают матрицу производных от правых частей fn по
искомым функциям ип'
дих
dfN
ди2
du
N
(П. 1.10)
297

Можно доказать, что условие устойчивости для явных схем решения
системы уравнений имеет вид Ат^В/|Лтах, где Цтах — максимальное по модулю
собственное число матрицы (П1.19), а В—константа, зависящая от выбранной
схемы [104].
Особенности применения неявных схем для решения системы уравнений
теплового баланса, а также трудности, возникающие при использовании явных схем
из-за ограничений на допустимый шаг по времени, рассматриваются в § 3.4.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Построение разностных схем. Методы построения разностных схем для численно-»
го решения задач теплопроводности рассмотрим на примере одномерного
нестационарного уравнения для стержня с боковым теплообменом
дТ д2Т
ср = Я — ctyT-f qv(x, т) (П2.1)
с граничными условиями
= 0; Гх-~^ + аг1 =0 (П2.2)
I дх }х=1
дх
и начальным распределением температуры
Т\Ха0*=Т0 (х). (П2.3)
Введем в области определения искомой функции [0<л:</]Х[0<т<Ттах]
равномерные пространственную и временную сетки:
Сеточную функцию точного решения в узлах (хп, tj)
пространственно-временной сетки обозначим Tin = T(xn> Tj), а сеточную функцию разностного решения
и'».
Существуют различные способы построения разностных схем, алпроксими^
рующих задачу (П2.1)—(П2.3), т. е. систем алгебраических уравнений для на*
хождения значений искомой сеточной функции изп\ /г= 1,..., Л/*; /=0,...,/.
Сначала рассмотрим процедуру получения разностных уравнений на основе
аппроксимации производных в дифференциальном уравнении и в граничных
условиях приближенными выражениями, содержащими значения сеточной
функции. Эти выражения легко получить из разложений в ряд Тейлора:
298

Простейшие аппроксимации производных, входящих в постановку задачи
(П2.1) — (П2.2), можно записать в виде:
= ( Т'п - П~1)/Дт + 0 (Лт); (П2.4)
(^+1 + _,)/ + () (П2.5)
дТ
дх
о.
¦ + 0(А);
/. т.
(л). (П2.6)
Подставляя выражения (П2.4), (П2.5) - в дифференциальное уравнение
(П2.1) и пренебрегая погрешностями аппроксимации порядка малости 0 (Ат) и
О (h2), получаем разностные уравнения для внутренних узлов пространственной
сетки (л=2, ...,ЛГ— 1)
(П2.7)
Заменив пространственные производные в граничных условиях (П2.2)
конечными разностями (П2.6) и отбросив погрешности аппроксимации порядка
малости 0 (А), получим разностные уравнения для граничных узлов:
0; X N hN +0^ = 0. (П2.8)
Рассмотрим методику расчета значений сеточной функции и*п с помощью
записанной разностной схемы. Разностные уравнения ДП2.7) при n=2,...,JV— 1
и два уравнения (П2.8) образуют систему линейных алгебраических уравнений
относительно N искомых значений сеточной функции {un}Nn=*i на /-м
временном слое. В начальный момент т=О значения сеточной функции определяются
из (П2.3) точно: иоп = Топ — Т$(хп), л=1, ..., N. Далее при известных и°п
можно решить систему уравнений (П2.7), (П2.8) при /=1 и найти все значения
{uln}Nn=i в момент t=Ti=At. Затем аналогичным образом рассчитываются
{u2n}Nn*=i при известных {uin}Nn=i и т. д. Таким образом, процедура расчета
искомой сеточной функции vJn состоит в последовательном решении на
каждом /-м шаге по времени системы N линейных алгебраических уравнений
относительно {usn}Nn=u в которые входят найденные на предыдущем шаге
значения и5~1п. Эффективный численный алгоритм решения этой системы
уравнений—метод прогонки будет рассмотрен ниже.
Из выражений (П2.4) — (П2.6) для производных следует, что разностные
уравнения (П2.7) аппроксимируют дифференциальное уравнение (П2.1) с
первым порядком по времени и вторым по пространственной координате, а
разностные уравнения (П2.8) аппроксимируют граничные условия (П2.2) с
первым порядком по пространственной координате.
Метод баланса (интегро-интерполяционный метод). Рассмотрим еще один
весьма эффективный метод построения разностных схем, наиболее часто
применяемый на практике — метод баланса или интегро-интерполяционный метод.
Основная идея этого метода имеет ясную физическую интерпретацию и
заключается в следующем. Расчетная область O^x^l разбивается на N непересе-
299

кающихся элементарных объемов (ячеек), каждый из которых содержит одну
узловую точку. Исходное дифференциальное уравнение интегрируют по
каждому элементарному объему, в результате получают уравнения теплового
баланса, выражающие закон сохранения энергии в интегральной форме для
элементарных объемов. Для тепловых потоков, входящих в эти уравнения
теплового баланса, записывают приближенные выражения через значения
искомой сеточной функции шп. При записи выражений для тепловых потоков
на границах х=0 и х=1 двух крайних элементарных объемов используют
граничные условия. Построенная таким образом система алгебраических
уравнений теплового баланса и представляет собой разностную схему для
определения искомых значений сеточной функции.
Применим метод баланса для решения стационарной задачи (дТ/дх=0),
соответствующей задаче (П2.1), (П2.2). Разобъем одномерную область [0, /]
на N элементарных объемов, вводя границы объемов xn±i/2=Xnzbhl2
посередине между узлами хп и хп±\. В результате получим (N—2) внутренних
объема длиной А и два граничных объема длиной А/2: [О, А/2], 1[*2—А/2, х2+
+А/2], .... [/-А/2, /].
Интегрируя соответствующее уравнению (П2.1) стационарное одномерное
уравнение по длине внутреннего элементарного объема [xn-i/2, ^n+1/2],
получаем:
_1А_аг\ . *пГ12.
хп+1/2
Для тепловых потоков на границах #n±i/2 запишем приближенные
выражения
тп+1-тп / дТ
( дТ \ хп+1/2
*") + $ [qv(x)-avT)dx. (П2.9)
n_l/2 h
(П2.10)
а при вычислении интеграла в (П2.9) будем считать, что в пределах
элементарного объема Т(х)^Тп.
Тогда разностный аналог уравнения теплового баланса (П2.9) для
внутренних элементарных объемов примет вид
()() + ()h 0 (П211)
где
I хп+\/2
*х-\/2
Интегрируя стационарное уравнение по длине граничных объемов [О, А/2]
и [/—А/2, /], получаем следующие уравнения теплового баланса:
дТ \ ( дТ \ Л^2
дх ]h/2 V ^^/00
V дх )l \ OX //-ft/2 /jJfc/2
300

— («2 - Щ) + (ЙУ\ ~ «V «l) Y =
Выражая тепловые потоки на границах х=0 и х=1 из условий (П2.2) и
используя для тепловых потоков на границах объемов x=h/2 и #=/—h/2
приближенные соотношения (П2.10), записываем разностные аналоги уравнений
(П2.12) в виде:
(« ) + ( ) = 0;
h
где qvu Qvn—средние значения функции qv(x) по длине граничных
объемов.
Система алгебраических уравнений (П2.11), (П2.13) представляет собой
разностную схему для определения численного решения стационарной задачи
{un}Nn=*\. Полученные разностные уравнения выражают закон сохранения
энергии для конечных элементарных объемов так же, как дифференциальное
уравнение выражает закон сохранения для бесконечно малого объема [х, х+
+dx]. Поэтому одним из важных свойств метода баланса является то, что
получаемое численное решение {un}Nn=i удовлетворяет закону сохранения
энергии для любой группы элементарных объемов и, следовательно, для всей
расчетной области. Так, например, сложив все уравнения (П2Л1) при п==2,....
..., N—1 и (П2.13), получим диоюретный аналог закона сохранения для всей
области [0, /]:
/ JV-l \ / N-l \
0,5^+2 qVn + 0,5qVN\h-avl0Mi+ 2 un + 0,5uN \h—auN = 0.
\ n~2 / \ n==2 /
(П2.14)
Здесь первая группа слагаемых равна полной мощности внутренних
источников, вторая — тепловому потоку в среду с боковой поверхности, а слагаемое
Шя учитывает тепловой поток в среду на торце х=1. Все слагаемые отнесены
к единице площади поперечного сечения и имеют единицу измерения ватт на
метр в квадрате.
Рассмотренное свойство называется консервативностью разностной схемы и
имеет место при любом числе узловых точек, а не только в предельном
случае N-^oo (A-+-0). Таким образом, даже полученное на грубой сетке решение
удовлетворяет точному интегральному балансу вида (П2.14), в котором
средние температуры элементарных объемов считаются равными ип.
Сопоставим разностную схему (П2.11), (П2ЛЗ), построенную методом
баланса, со схемой (П2.7), (П2.8), примененной к стационарной задаче (и$п—
—ип*~1=0; Шп=ип). Разностные уравнения (П2.7) и (П2.11) для внутренних
узлов совпадают, если в качестве среднего значения qvn принимать значения
qv(Xn) в центре элементарного объема. Разностные уравнения (П2.13) для
граничных узлов, в отличие от (П2.8), содержат дополнительные слагаемые
(qvn—avun)hj2\ и=1, N, которые учитывают мощность внутренних источников
и боковой теплообмен стержня на длине граничного элементарного объема Я/2.
Формальный анализ погрешности аппроксимации для разностных уравнений
(П2.13) показывает, что имеет место второй порядок аппроксимации по
пространственной переменной, т. е. |tpn. | =0 (ft2); я=1, N. Таким образом, метод
баланса позволяет построить более точную аппроксимацию граничных условий
301

по сравнению с простой заменой пространственных производных конечными
разностями, как это сделано в (П2.8). Заметим, что при использовании простейшей
аппроксимации (П2.8) в разностной схеме как бы «теряется» мощность {qv\-\-
+qvN)h/2 и не учитывается тепловой поток av(ui+uN)h/2 с боковой
поверхности в прилегающих к торцам стержня элементарных объемах длиной ft/2
каждый.
Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами.
Рассмотрим особенности» построения разностных схем для уравнений с переменной
теплопроводностью Х=Х(х) вида
d f dT \
[Ь jT + () 0 (П2.15)
Как показано в [98], преобразование этого уравнения к виду
:0, (П2.16)
ил- ил ил
с последующей аппроксимацией производных в (П2.16) конечными разностями
может привести к разностным схемам, решение которых не удовлетворяет
сеточному аналогу закона сохранения энергии. Поэтому для задач с переменными
коэффициентами следует использовать метод баланса.
В методе баланса тепловой поток qn+\/2 на границе между элементарными
объемами с центрами в узлах хп и xn+i рассчитывается следующим образом:
dT
dx
<П2Л7)
где Rn,n+\—тепловое сопротивление между сечениями хп и хп+и взятое для
единицы площади поперечного сечения стержня; Хп+\/2 — эффективная
теплопроводность участка [хп, xn+i]:
S
I xn
Для приближенного вычисления эффективных теплопроводностей A,n±i/2
часто используют соотношения
ИЛИ
Я„±1/2 « 2Я (хп) X (*я±1>/р. (*») + * (*«±i)]. (П2.20)
Формула (П2.20) получена в предположении, что участок между узлами
состоит из двух однородных частей с теплопроводностями Х(хп) и X{xn±i) и
длинами h/2. Тогда, суммируя последовательно соединенные сопротивления,
получаем
h h h
Rn,n±x - Xn±1/2 ~ 2X(xn) +2Ц*П±1)'
Таким сбра^ом, разностные уравнения, аппроксимирующие
дифференциальное уравнение (П2.15), записываются в виде, аналогичном (П2.11), но с учетом
различия эффективных теплопроводностей A,n+i/2> ^n-i/2-
302

Если решается задача с переменным по длине коэффициентом теплоотдачи
av==av(^), то при использовании метода баланса в уравнении вида (П2.21)
для п-го элементарного объема следует в качестве av принимать среднее
значение
|+ 1 /
J av (х) dx \ (л:Л+1/2 - *я_1/2),
*n-l/2 J/
а в случае достаточно гладкой функции av(x) можно полагать avn
Применение метода баланса для нестационарных задач. Дискретный аналог
закона сохранения энергии для элементарного объема в нестационарном
случае получим путем интегрирования уравнения (П2.1) по элементарному объему
[*n-i/2, Хп+1/2] и по временному интервалу [tj-ь ^1- Точное равенство имеет
вид:
*пр12 У дТ _ л \ У Г/ дТ \ ( дТ \
ср J J dx dx = J I Я -I л —- I +
*л—1/2 T/—1 T/—l|_ ^X '*nJ№№ 'xn—l/2
xn+l/2 1
+ J (Vv (x* T) — vvT)dx\d т. (П2.22)
Для аппроксимации левой части (П2.22) предположим, что значение
температуры в узловой точке хп распространено на весь элементарный объем:
Т{х, 1)**Т{хп, х). Тогда
xn+l/2 Tj fir
Ф J j* dxdx&cphfth — T^y (П2.23)
Для аппроксимации правой части необходимо ввести предположение
относительно изменения во времени температур Т(хп, т), Т{хп±ь х) на интервале
[tj_i, Tj]. Используют следующее допущение:
V
J T(xnt x) dx & (а Т'п + A - а) Т^1) Ат, (П2.24)
где а —весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до 1.
Используя соотношения (П2.10) для тепловых потоков и допущения
(П2.23), (П2.24), получаем на основе (П2.22) следующее разностное
уравнение:
Ф h ' =
+ 0 ~ <*) I — (uJn~+i — 2и?~1 + uJnz\) — avhuj^1 \ + g^nht (П2.25>
где
I т/ *«+i/2
Х/-1 *я-1/2
303

Интегрируя уравнение (П2.1) по временному интервалу и по длине
граничных элементарных объемов *[0, Л/2], '[/—Л/2, /], можно получить разностные
уравнения, аппроксимирующие граничные условия (П2.2) для нестационарной
задачи:
для левого граничного элементарного объема (я=1)
+о -о) [j- («г1 - «г1) - «к -j «г1 ]+4>т; <П226>
для правого граничного элементарного объема (n=N)
г х А # 1 ,
h uiN-
T- (П2'27)
Явная, неявная схемы и схема Кранка — Николсона. В разностные уравнения
^П2.25) — (П2.27) входит весовой коэффициент а, при различном выборе
которого получаются схемы, обладающие различными свойствами. Если положить
<г=0, то в правые части уравнений будут входить только температуры м^'п,
ui-ln-\, ui-ln+i на (/'—i1)-m временном слое, а в левую часть — искомая
температура Шп на новом /-м временном слое. Поэтому в результате получится
явная схема, в которой каждое искомое значение шп рассчитывается по явной
формуле, в которую входят найденные ранее значения темлературы на
предыдущем шаге по времени. Формулы для расчета и*п при n=2, ...,N—1
получаются из (П2.25) при а=0, а формулы для и\ и u*N — из (П2.26) и
(П2.27) соответственно.
Любая схема с- о?=0 является неявной, так как в каждое разностное
уравнение вида (П2.25) для /г=2,... ,JV—-1 входит по три неизвестных
значения wjn-i, Wn, uJn+\, а в уравнения (П2.26) и (П2.27)—по два
неизвестных uh> w2 и uiN, u'n-i- Поэтому при 0=^0 на каждом шаге по времени
требуется решать систему N линейных алгебраических уравнений
относительно искомых температур {ujn}Nn=\, что, разумеется, сложней, чем вести
вычисления Шп по формулам явной схемы.
Однако наряду с достоинством, состоящим в простоте вычислений,
явная схема имеет и существенный недостаток. Он заключается в том, что
явная схема условно устойчива, т. е. расчеты можно вести только при
значениях шага по времени Дт, не превышающих некоторое максимально
допустимое значение. Для явной схемы, получающейся из (П2.25) — (П2.27) при
<jr=O, условие устойчивости имеет вид
ah \-i
—) • <П2'28>
Если условие устойчивости не выполняется, то возникает так называемая
«раскачка» или «разболтка» решения, которая приводит через несколько
единиц или десятков шагов по времени к появлению колеблющегося разностного
решения Шп с возрастающей от шага / к шагу (/4-1) амплитудой, которое
не имеет ничего общего с искомым решением Т*п.
304

Максимально допустимое значение шага явной схемы Дттах
пропорционально Я2 и поэтому резко убывает при измельчении пространственной сетки.
Кроме того, для областей с неоднородным распределением теплофизическнх
свойств ограничение на шаг вида (П2.28) определяется максимальными
значениями а и Я, что также может привести к слишком малому допустимому
значению Ат. Расчет с малым шагом Ат не только требует большого числа
шагов /, и следовательно, больших затрат машинного времени, но и в ряде
случаев приводит к накоплению погрешности из-за ошибок округления.
Неявные схемы безусловно устойчивы при 0^0,5, т. е. при любом Ат в
этом случае не возникает катастрофически развивающейся погрешности
численного решения. Обычно используют схемы с весовыми коэффициентами
0=11 и а=0,5. Первую из них называют чисто неявной, так как в правой
части уравнений (П2.25) — (П2.27) в этом случае отсутствуют температуры
ш~\ с предыдущего шага по времени. Вторую @=0,5) называют схемой
Кранка — Николсона. Схема Кранка — Николсона имеет второй порядок
точности по времени, а чисто неявная — первый ([98]. Однако это теоретическое
преимущество схемы Кранка — Николсона часто снимается недостатком,
который состоит в том, что при расчете по этой схеме могут появляться
ограниченные по амплитуде колебания в разностном решении, не соответствующие
физическому смыслу задачи ![30]. Чтобы таких колебаний не возникало,
также требуется вводить ограничение на значение шага по времени Ат.
Поэтому более широкое применение получила чисто неявная схема. Рассмотрим
теперь метод расчета температур по неявным схемам.
Метод прогонки. Как следует из разностных схем (П2.11), (П2.13) или
(П2.25) — (П2.27), расчет искомых значений сеточной функции {un}Nn=i
стационарного решения или {ujn}Nn=i по неявной схеме '@=^0) для
одномерных задач сводится к-решению системы N линейных алгебраических
уравнений специфического вида. В (N—2) уравнения этой системы входят по
три неизвестных ия-ь «n> un+i (n=2,... ,JV—1), а в два уравнения — по паре
неизвестных щ, и2 и uN-u uN, Для изложения алгоритма решения такой
системы линейных уравнений запишем ее в следующем стандартном виде [98]:
01 «2 + Mi + 4 = 0;
п = 2,..., N - 1: апип+х + Ьпип + сп ип_х + dn = 0; (П2.29)
здесь порядок записи уравнений соответствует порядку нумерации узлов
сетки (элементарных объемов), для которых эти уравнения построены.
Выражения для коэффициентов ап> Ъп> сп, dn нетрудно получить путем
соответствующей группировки слагаемых в (П2.25) — (П2.27).
В матрице коэффициентов системы (П2.29) отличны от нуля лишь
коэффициенты, лежащие на главной диагонали (Ьп) и прилегающих к ней нижней
и верхней диагоналях (сп> ап), т. е. рассматриваемая система разностных
уравнений имеет тр ехд иагональную матрицу. Для решения таких систем
применяют модификацию метода исключения Гаусса, называемую методом
прогонки [98]. В алгоритме прогонки учитывается специфический вид матрицы
и не выполняются действия над нулевыми коэффициентами, предусмотренные
в алгоритме метода Гаусса для матриц общего вида.' Приведем без вывода
305

рекуррентные формулы алгоритма прогонки, по которым находится решение
системы (П2.29).
Сначала последовательно рассчитываются вспомогательные коэффициенты
fn, gn (п=<1,..., JV—1) по формулам:
81 = — di/bi>
fn = -«*/(**+ en/rt_i);
fo- -(dn + cng^ftbn + cnfn-i), « = 2,..., JV—1. (П2.30)
Далее определяется последнее неизвестное и*:
%= -(dN +CNeN-l)/(bN + CNfN-l)- (П2.31)
Затем рассчитываются остальные неизвестные ил-_ь Ил_2. -.., Щ в
порядке убывания их номеров по рекуррентной формуле
Un = fnUn+i + gn, л = #-1,..., 1. (П2.32)
Число арифметических операций алгоритма прогонки пропорционально
числу неизвестных N и примерно равно 9N. Заметим, что в алгоритме
последовательного исключения Гаусса для матриц общего вида число действий
пропорционально N3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Автоматизация проектирования оптико -электронных приборов/Под ред,
Л. П. Лазарева. — М.: Машиностроение, 1986. — 216 с.
2. Ага О. Б., Дульнев Г. Н., Полыциков Б. В. Тепловое моделирование
электротехнических .устройств//Инж.-физ. журн. — 1981. — Т. 40, № 6. — С.
1062—1069.
3. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование
эксперимента при поиске оптимальных условий. — М.: Наука, 1976. — 280 с.
4. Акаев А., Дульнев Г. Н. Новый приближенный аналитический метод для
решения краевых задач теплопроводности/Тр. ЛИТМО. Приближенные
методы решения задач теплопроводности и их приложение в технике. — Л.:
ЛИТМО, 1972. —Вып. 70. —С. 3—48.
5. Анализ температурных полей МЭА с помощью объемных конечных
элементов/Спокойный Ю. Е., Савин Н. В., Сибиряков В. В., Павлов А. Л.//Инж.-
физ. журн. —1987. —Т. 52, № 1. —С. 163—164.
6. Ананьев Ю. А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного
излучения. — М.: Наука, 1979. — 328 с.
7. Баранцев В. В., Дульнев Г. Н., Пар фен аз В. Г. Моделирование тепловых
режимов объективов оптико-электронных приборов//И«ж.-физ. журн. —
1988. — Т. 54, — № 6. — С. 995—1002.
8. Белостоцкий Б. Р., Любавский Ю. В., Овчинников В. М. Основы лазерной
техники. — М.: Сов. радио, 1972. — 408 с.
9. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. — М.:
Высшая школа, 1982.— 327 с.
10. Бодарев А. Д., Ломоноз А. Ф., Фролова Е. А. Моделирование теплового
режима корпусных микросборок с помощью ЭВМ//В опросы
радиоэлектроники. Сер. ТРТО.—1984. —Вып. 2. —С. 3—10.
И. Боскис И. А., Гидалевич В. Б. К расчету стационарных температурных
полей в элементах и узлах микроэлектронной РЭА//Вопросы
радиоэлектроники. Сер. ТРТО. —1973. —Вып. 3. —С. 89—102.
12. Бутько Е. Ф., Дульнев Г. Н., Парфенов В. Г. Реализация обобщенной
тепловой модели радиоэлектронного аппарата численным методом//Инж.-физ.
журн. — 1981. — Т, 40, № 5. — С. 876—882.
306

13. Бутько Е. Ф., Парфенов В. Г. О влиянии теплового режима на работу
электрооптического модулятора//Изв. вузов СССР. Сер. Приборостроение.—
1981. — Т. 23, № 12. —С. 78—82.
14. Володин Ю. Г., Малюков Г. В. Конструирование систем
терморегулирования подвижных радиоэлектронных комплексов.—М.: Сов. радио, 1977.—
128 с.
15. Волосов Д. С. Фотографическая оптика. — М.: Искусство, 1978.— 543 с.
16. Глушицкий И. В. Охлаждение бортовой аппаратуры авиационной
техники.— М.: Машиностроение, 1987. — 184 с.
17. Горохов С. М., Бодарев А. Д., Притулин Г. А. Система моделирования
тепловых режимов РЭА автоматизированными методами ПРАМ-9//Вопро-
сы радиоэлектроники. Сер. ТРТО. —1984. — Вып. 3. —С. 94—95.
18. Горохов С. М., Ломонов А. Ф. Приближенное решение стационарной
задачи сопряженного теплообмена при свободной конвекции в вертикальных
каналах РЭА//Вопросы радиоэлектроники. Сер. ТРТО. — 1983. — Вып. 3-—
С. 93—104.
19. ГОСТ 8.207—76 ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями.
Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.
20. Дульнев Г. Н. Коэффициенты переноса в неоднородных средах: Учебное
пособие. —Л.: ЛИТМО, 1979. —64 с.
21. Дульнев Г. Н. Тепло- и массообмен в РЭА. — М.: Высшая школа, 1984.—
247 с.
22. Дульнев Г. Н., Беляков А. П. Тепловые трубы в электронных системах
стабилизации температуры.—М.: Радио и связь, 1985. — 96 с.
23. Дульнев Г. Н., Егоров В. И., Парфенов В. Г. Математическая модель
термостата и ее численная реализация//Инж.-физ. журн. — 1980. — Т. 38,
№ 6. —С. 1099—1105.
24. Дульнев Г. Н., Егоров В. И., Парфенов В. Г. Расчет тепловых режимов
систем термостатирования численным методом//Изв. вузов СССР. Сер.
Приборостроение. —1985.—Т. 28, № 7. —С. 88—92.
25. Дульнев Г. Н., Ермолина Э. И. Тепловое сопротивление системы парал-
лелепипедов//Инж.-физ. журн. — 1976. —Т. 30, № 5. —С. 876—883.
26. Дульнев Г. Н., Заричняк Ю. П. Теплопроводность смесей и
композиционных материалов. — Л.: Энергия, 1974. — 264 с.
27. Дульнев Г. Н., Коренев П. А., Спокойный М. Ю. Автоматизированный
выбор функциональной схемы термостата//Изв. вузов СССР. Сер.
Приборостроение. — 1984. — Т. 27, № 10. —С. 90—95.
28. Дульнев Г. Н., Коренев П. А., Шар коз А. В. Синтез термостатирующях
устройств. I. Базовая модель термостата//Инж.-физ. журн. — 1986. — Т. 5),
№ 3. —С. 504—508.
29. Дульнев Г. Н., Михайлов А. Е., Парфенов В. Г. Моделирование тепловых
режимов квантронов твердотельных лазеров//Инж.-физ. журн. — 1987. —
Т. 53, № П. —С. 107—113.
30. Дульнев Г. Н., Парфенов В. Г., Сигалов А. В. Методы решения на ЭВМ
задач теплообмена. — М.: Высшая школа, 1989.
31. Дульнев Г. Н., Полыциков Б. В., Левбарг Е. С. Температурное поле
пластины с локальным источником тепла и теплообменом на торцах//Вопросы
радиоэлектроники. Сер. ТРТО.—1976.—-Вып. 1.—-С. 98—102.
32. Дульнев Г. Н., Полыциков Б. В., Потягайло А. Ю. Разработка алгоритма
иерархического моделирования процессов теплообмена в сложных радио*
электронных комплексах//Радиотехника. — 1979. — Т. 34, № П. —С. 49—54.
33. Дульнев Г. Н., Потягайло А. Ю. Нестационарный тепловой режим
системы тел с внутренними источниками энергии//Тр. ЛИТМО. Расчет
температурных полей твердых тел и систем/Лен, ин-т точной механики и
оптики.—1976.—Вып. 86. —С. 13—28.
34. Дульиев Г. Н., Потягайло А. Ю., Ушаковская Е. Д. Численно-аналитический
метод расчета температурных полей в сложных объектах/Депломассооб-
мен-VT. Материалы VI Всес. кокф. по тепломассообмену. — Минск, 1980.—
Т. 9. —С. 56—61.
307

35. Дульнев Г. Н., Сахова Е. В., Сигалов А. В. Принцип местного влияния
в методе поэтапного моделиро1*ания//Инж.-физ. жу-рн. — 1983. — Т. 45,
№ 6. —С. 1002—1008.
36. Дульнев Г. Н., Семяшкин Э. М. Теплообмен в радиоэлектронных
аппаратах.—Л.: Энергия, 1968. —360 с.
37. Дульнев Г. Н., Сергеев А. О. Размещение теплонагруженных элементов в
радиоэлектронном устройстве//Инж.-физ. журн. — 1987. — Т. 52, № 3. — С.
491—495.
38. Дульнев Г. Н., Сигалов А. В. Поэтапное моделирование теплового режима
сложных систем//Инж.-физ. журн. — 1983. — Т. 45, № 4.— С. 651—656.
39. Дульнев Г. Н., Сигалов А. В. Температуропроводность неоднородных
систем. I. Расчет температурных полей//Инж.-физ. журн. —1980. — Т. 39,
№ 1. —С. 126—133.
40. Дульнея Г. Н., Тарновский Н. Н. Тепловые режимы электронной
аппаратуры.—Л.: Энергия, 1971. —248 с.
41. Дульнев Г. Н., Ушаковская Е. Д. Тепловое и математическое
моделирование оптико-электронных приборов//Инж.-физ. журн. — 1984. — Т. 46, № 4.—
С. 659—666
42. Дульнев Г. Н., Ушаковская Е. Д., Цуканова Г. И. Термооптические
процессы в зеркально-линзовых объективах. 1. Схема синтеза термостабильного
телескопа//Инж.-физ. журн.—1987. —Т. 52, № 5,— С. 827—833.
43. Дульнев Г. Н., Ушаковская Е. Д., Цуканова Г. И. Термооптические
процессы в зеркально-линзовых объективах. II. Поэтапное моделирование
термооптических лроцсесон//Ияж.-физ. журн.— 1987. — Т. 53, № 1. — С. 101—
106.
44. Егоров В. И., Михайлов А. Е., Парфенов В. Г. О выборе вида разностной
схемы для решения системы уравнений теплопроводности. I. Явная и
неявная схемы. II. Смешанная схема//Инж.-физ. журн. — 1986. — Т. 51, № 2.—
С. 346—348.
45. Житомирский И. С, Романенко В. Г. Решение задач теплопроводности,
связанных с лучистым и конвективным теплообменом на графах//Вопросы
гидродинамики и теплообмена в криогенных системах. — 1974. — Вып. 4.—
С. 23—28.
46. Житомирский И. С, Романенко В. Г. Методика теплового и
гидравлического расчета нестационарных режимов в сложных криогенных системах//
Тепловые процессы в криогенных системах. — Киев: Наукова думка, 1986.—
С. 55 — 64.
47. Закс Д. И. Параметры теплового режима полупроводниковых микросхем.—
М.: Радио и связь, 1983. —125 с.
48. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.:
Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.
49. Захаров А. Л., Асвадурова Е. И. Расчет тепловых параметров
полупроводниковых приборов: Метод эквивалентов. — М.: Радио и связь, 1983. —
184 с.
50. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. — М.: Мир,
1975. — 544 с.
61. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением: Пер. с англ. — М.: Мир,
1975. — 936 с.
. 52. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. — М.:
Машиностроение, 1975. — 558 с.
53. Ингберман М. И., Фромберг Э. М., Грабой Л. П. Термостатирование в
технике связи.—М.: Радио и связь, 1979. — 143 с.
54. Исследование распределения мощности внутренних источников тепла в
элементах осветителя/В. А. Гурьянов, В. Г. Парфенов, Л. А. Савинцева,
А. В. Шарков//Изв. вузов СССР. Сер. Приборостроение. — 1981. —Т. 23,
№ 8. —С. 92—96.
55. Исследование температурного поля электронных аппаратов стоечного
исполнения/Г., Н. Дульнев, В. В. Гасанова, Б, В. Полыциков, А. Ю. Потягай-
ло//Изв. вузов СССР. Сер. Приборостроение. — 1979. — Т. 22, № 12. —С.
65—70/
308

56. Кабанова И. В., Назарета О. В. Метод анализа фоновых перегревов
аппаратуры с естественно-конвективным охлаждением//Вопросы
радиоэлектроники. Сер. ТРТО.— 1983. — Вып. 2. —С. 12—17.
57. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.
58. Камач Ю. Э., Овчинников В. М., Парфенов В. Г. Обеспечение нормального
теплового режима электрооптических затворов//Оптикомеханич.
промышленность. — 1984. — № 2. — С. 54—57.
59. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям:
— М.: Наука, 1976. — 576 с.
60. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего
анализа. — М. — Л.: Физматгиз, 1962. — 708 с.
61. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. — М.:
Наука, 1975. —228 с.
62. Коздоба Л. А. Математическое моделирование тепловых режимов
интегральных полупроводниковых микросхем//Вопросы радиоэлектроники. Сер.
ТРТО.—1982. —Вып. 1. —С. 3—16.
63: Коздоба Л. А., Мишутин В. Г. Тепловые режимы и термические
сопротивления объемных анизотропных структур//В опросы радиоэлектроники. Сер.
ТРТО. — 1984. — Вып. 2—С. 11—21.
64. Компоновка и конструкции микроэлектронной аппаратуры. Справочное по-
собие/П. И. Овсищер, И. И. Лившиц, А. К. Орчинский и др.; Под ред.
Б. Ф. Высоцкого, В, Б. Пестрякова, О. А. Пятлина. — М.: Радио и связь,
1982. — 208 с.
65. Конвективный теплообмен в плоскостных блоках на микросхемах. Ю. Е.
Спокойный, Е. В. Кайдаш, В. М. Лернер и др.//Вопросы радиоэлектро.ники.
Сер. ТРТО.— 1971. — Вып. 3. — С. 17—26.
66. Кондратьев Г. М. Регулярный тепловой ' режим. — М.: Гостехтеориздат,
1954. — 408 с.
67. Крауч С, Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого
тела: Пер. с англ. — М.: Мир, 1987.-328 с.
68. Кукарин С. В. Электронные СВЧ-приборы. — М.: Радио и связь, 1981.—
271 с.
69. Ломонов А. Ф., Зюганов П. Ю. Приближенное решение стационарной
задачи сопряженного теплообмена при принудительном воздушном
охлаждении в вертикальных щелевых каналах РЭА кассетной конструкции//Вопро-
сы радиоэлектроники. Сер. ТРТО. — 1985. — Вып. 2. —С. 92—101.
70. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967.— 600 с.
71. Максутов Д. Д. Изготовление и исследование астрономической оптики.—
М.: Наука, 1984. —272 с.
72. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977. —
456 с.
73. Математическое моделирование теплового режима ротора криотурбогене-
ратора/И. А. Глебов, Г. Н. Дульнев, А. Ю. Потягайло, А. В. Сигалов//Изв.
АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. — 1982. — № 2. —С. 70—78.
74. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. Пакет научных подпрограмм/Ин-т
математики АН БССР. —Минск, 1973.
75. Маэваль, Бах, Хегемиер. Континуальная модель диффузии в слоистых сре-
дах//Теплопередача. — 1976. —Т. 98, № 1. —С. 145—152.
76. Мезенов А. В., Соме Л. Н., Степанс*з А. И. Термоптика твердотельных
лазеров.—Л.: Машиностроение, 1986.— 199 с.
77. Михайлов А. Е., Парфенов В. Г., Савинцева Л. А. Тепловой режим и
энергия излучения твердотельных лазеров различных конструкций//Изв. вузов
СССР. Сер. Приборостроение.-^! 987. —Т. 30, № 4. —С. 82—86.
78. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. —
М.: Наука, 1978.—352 с.
79. Мучник Г. Ф., Рубашов И. Б. Методы теории теплопроводности. Ч. 1.
Теплопроводность.— М.: Высшая школа, 1970. — 286 с.
80. Норенков И. П. Введение в автоматизированное проектирование
технических устройств и систем. — М.: Высшая школа, 1980. — 311 с.
< 309

81. Норенков И. П., Маничев В. Б. Системы автоматизированного
проектирования электронной и вычислительной аппаратуры. — М.: Высшая школа»
1983.-272 с.
82. Обеспечение нормального теплового режима нелинейных элементов/В. И.
Егоров, Ю. Э. Камач, В. М. Овчинников, В. Г. Парфенов//Оптико-механич.
промышленность. — 1983. — № 8. — С. 8—10.
83. Опарина Л. А., Тарновский Н. Н. Расчет воздухораспределения в стойках
для телевизионной аппаратуры при автономной вытяжной вентиляции//Тех-
ника средств связи. Сер. Техника телевидения. — 1981. —Вып. 2.— С. 99—
106.
84. Определение локальных коэффициентов теплообмена микросхем с
принудительным воздушным охлаждением/В. Б. Гидалевич, Ю. П. Мироненко,
Ю. Е. Спокойный и др.//Вопросы радиоэлектроники. Сер. ТРТО. — 1983.—
Вып. 3. — С. 3—9.
85. Оптимизация теплового режима криостата/А. В. Бойцев, Л. Ш. Олейников,
А. О. Сергеев и др.//Изв. вузов СССР. Сер. Приборостроение, — 1986. —•
Т. 29, № 12.-С. 78-81.
86. ОСТ 4.ГО.012.032. Аппаратура радиоэлектронная. Блоки на микросборках,
микросхемах и дискретных электрорадиоэлементах. Методы расчета
тепловых режимов. — Ред. 2—79.
87. ОСТ 4.ГО.299.002. Термостаты подогревные малогабаритные. Методика
расчета. Ред. 1—73.
88. Панкратов Б. М. Тепловое проектирование агрегатов летательных
аппаратов.— М.: Машиностроение, 1981. — 175 с.
89. Первозванский А. А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, агрегирование и
приближенная оптимизация.—М.: Наука, 1979. — 344 с.
90. Пехович А. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. —
Л.: Энергия, 1976. —352 с.
91. Полыциков Б. В., Ушаковская Е. Д. Схемы замещения одномерных
областей с распределенными источниками тепла//Изв. вузов СССР. Сер.
Приборостроение,—1981.—Т. 23, № П. —С. 92—96.
92. Проектирование оптико-электронных приборов/Под ред. Ю. Г. Якушенко-
ва. — М.: Машиностроение, 1981.—263 с.
93. Расчет внешней тепловой проводимости плоских корпусов интегральных
микросхем с планарными выводами/В. И. Киселев, В. Ф. Чукин, И. Г.
Дубровская и др.//Вспросы радиоэлектроники. Сер. ТРТО. — 1983. — Вып. 2.—
С. 17-27.
94. Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебра логики и интегральные
преобразования в краевых задачах. — Киев: Наук, думка, 1976. — 288 с.
95. Резников Г. В. Расчет и конструирование систем охлаждения ЭВМ. —
М.: Радио и связь, 1988. —224 с.
96. Роткоп Л. Л., Спокойный Ю. Е. Обеспечение тепловых режимов при
конструировании РЭА.—М.: Сов. радио, 1976.— 229 с.
97. Рябов С. Г., Торопкий Г. Н., Усольцев И. Ф. Приборы квантовой
электроники.— М.: Радио и связь, 1985. — 280 с.
98. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. — 656 с.
99. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.—
М.: Наука, 1978. —592 с.
100. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1979. —392 с.
101. Синтез термостатирующих устройств. III, Минимизация погрешности тер-
мостатирования/Г. Н. Дульнев, П. А. Коренев, А. В. Сигалов, А. Н. Солу-
нин//Инж.-физ. журн. — 1986. — Т. 51, № 5. —С. 774—781.
102. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. — М.: Машиностроение,
1969.—672 с.
103. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и
математической статистики. — М.: Наука, 1969. — 512 с.
104. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений: Пер. с англ./Под ред. Д. Холла и Д. Уатта. —М.: Мир, 1979.—
310 с.
310

105. Столяров А. С. Ярышев Н. А. Определяющий размер и фактор формы для
сплошного однородного тела//Инж.-физ. журн.— 1973. — Т. 24, № 3. — С.
507—514.
106. Стоян Ю. Г., Путятин В. П., Элькин Б. С. Оптимизация блоков РЭА по
динамике теплового режима и компоновочным характеристикам. —
Препринт.— Харьков, 1983. — 40 с.— (Ин-т пробл. машиностроения АН УССР,
№ 183).
107. Тарновский Н. Н., Ушаковская Е. Д. Тепловые схемы, отображающие
одномерный перенос тепла в телах и их теплообмен со средой//Изв. вузов
СССР Сер. Приборостроение. — 1980. — Т. 23, № 7. —С. 81—84.
108. Теория тепломассообмена/С. И. Исаев, И. А. Кожинов, В. И. Кофаинов и
др.; Под ред. А. И. Леонтьева. — М.: Высшая школа, 1979. — 496 с.
109. Теплоотдача корпусов микросхем при естественном охлаждении/В. Б. Ги-
далевич, В. Ф. Давыдов, В. Н. Мешков и др.//Вопросы радиоэлектроники.
Сер. ТРТО. —1979. —Вып. 3. — С. 20—23.
110. Торопкин Г. Н. Основы надежности изделий квантовой электроники. — М.:
Радио и связь, 1983. —240 с.
111. Точность контактных методов измерения температуры/А. Н. Гордоз,
Я. В. Малков, Н. Н. Эргардт, Н. А. Ярышев. — М.: Изд-во стандартов,
1976. —231 с.
112. Уонг X, Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров: Пер.
с англ. — М.: Атомиздат, 1979. — 216 с.
113. Фрязинов И. В. Алгоритмы решения разностных задач кг графах//Журн.
выч. матем. и матем. физ. — 1970. — Т. 10, № 2. —С. 474—477.
114. Фрязинов И. В. Экономичные аддитивные схемы с уравнениями на
графах.—Препринт.—М.: 1971. — 32 с.— (Ин-т прикл. матем. АН СССР,
№ 10).
115. Хохулин В. С. Метод исследования теплового режима конструкций
сложной конфигурации//Инж.-физ. журн.— 1975. — Т. 29, № 1.—С. 140—145.
116. Цой П. В. Методы расчета задач тепломассопереноса. — М.: Энергоатомкз-
дат, 1984. —413 с.
117. Шашков А. Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его
применение. — М.: Энергоатомиздат, 1983.—280 с.
118. Шиммел, Бек, Доналдсон. Эффективный коэффициент
температуропроводности многослойного композитного материала//Теплопередача. — 1977.— Т.
99, № 3. —С. 130—136.
119. Элькин Б. С. Расчет стационарного температурного поля в системах
разнородных областей//Проблемы машиностроения. — 1984. — Вып. 21. — С.
59-63.
120. Ярышев Н. А. Теоретические основы измерения нестационарных
температур.—Л.: Энергия, 1967.-300 с.
121. Ярышев Н. А., Андреева Л. Б. Тепловой расчет термостатов. — Л.:
Энергоатомиздат, 1984.— 176 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
1. Обеспечение нормального теплового режима приборов ..... 6
1.1. Радиоэлектронная аппаратура (РЭА) 6
1.2. Оптико-электронные приборы 14
1.3. Системы термостатирования 24
1.4. Синтез термостабильных приборных систем 26
2. Метод поэтапного моделирования 30
2.1. Сущность метода поэтапного моделирования 3D
2.2. Понижение размерности уравнений 35
2.3. Принцип местного влияния 39
2.4. Осреднение условий теплообмена на границах областей . '. 48
2.5. Погрешность математического моделирования теплового режима 54
3. Модели с сосредоточенными параметрами 60
3.1. Модель системы тел и штоков теплоносителей 60
3.2. Учет неравномерности температурных полей в моделях с
сосредоточенными параметрами 67
3.3. Аналитические методы расчета 84
3.4. Численные методы расчета 93
4. Одномерные модели 104
4.1. Типовые одномерные модели элементов и хладагентов . . . 105
4.2. Описание тепловых связей в одномерных моделях . . . . 113
4.3. Аналитические методы расчета 124
4.4. Численные методы расчета 140
5. Многомерные модели 156
5.1. Основные виды моделей 156
5.2. Аналитические методы расчета 164
5.3. Конечно-разностные схемы для (многомерных задач . . . . 175
5.4. Метод конечных элементов 192
5.5. Численные методы решения многомерных задач для систем тел 203
6. Радиоэлектронная аппаратура 213
6.1. Поэтапное моделирование теплового режима РЭА . . . . 213
6.2. Блоки кассетной конструкции 215
6.3. Ячейки на печатных платах 228
6.4. Микросхемы и микрооборки 238
6.5. Тепловое проектирование РЭА - 247
7. Термостаты 253
7.1. Выбор термостатирующих устройств 253
7.2. Особенности моделирования тепловых режимов термостатов . . 261
7.3. Подогревные термостаты. Модель с сосредоточенными параметрами 264
7.4. Подогревные термостаты. Одномерная и многомерная модели . 282
7.5. Анализ теплового режима термостата для электрооптического
затвора 287
Приложение 1. Решение задачи Коши для обыкновенных
дифферециальных уравнений 292
Приложение 2. Разностные схемы для одномерных задач
теплопроводности 298
Список литературы 306