SECOND EDITION
Stellar Atmospheres
Dimitri Mihalas
High Altitude Observatory
National Center for Atmospheric Research
W. H. FREEMAN AND COMPANY
San Francisco

Д.Михалас
Звездные
атмосферы
В 2-Х ЧАСТЯХ
1
Перевод с английского
С. И. ГРАЧЕВА и Д. И. НАГИРНЕРА
под редакцией
В. В. ИВАНОВА
«МИР»
МОСКВА 1982

ББК 22.632
М 69
УДК 524
Д. Михалас. Звездные атмосферы: Пер. с англ. — М.: Мир,
1982. — 352 с, ил.
Книга видного американского астрофизика представляет собой
учебное руководство по современной теории звездных атмосфер —
основы теоретической астрофизики, позволяющей на основе
наблюдений и анализа спектров звезд определять их химический состав и
физические условия в звездных атмосферах. Первое издание книги (1970)
приобрело за рубежом широкую известность. В новом издании
добавлен материал о движущихся атмосферах и звездном ветре, а остальные
главы переработаны с учетом последних достижений астрофизики.
В русском переводе книга разделена на две части. В I часть вошли
теория переноса излучения и образование атомных линий в условиях
локального термодинамического равновесия.
Для астрономов и физиков — специалистов и студентов старших
курсов.
Редакция литературы по космическим исследованиям,
астрономии и геофизике
© 1978 by W. Н. Freeman and Co.
© Перевод на русский
041(01)-82 язык, «Мир», 1982
1705040000-180 ^ -,
М -_-______ 90-82, ч. 1 © Перевод на русский
Димитрий Михалас
ЗВЕЗДНЫЕ АТМОСФЕРЫ
том 1
Научный редактор Л. В. Самсоненко
Мл. научный редактор В. Н. Соколова
Художник И. П. Козлов
Художественный редактор М. Н. Кузьмина
Технические редакторы Т. А. Максимова, Л. М Лихтером
Корректор Н. В Черникова
ИБ№ 3211
Подписано к печати 28.06.82. Формат 60x90'/it. Бумага офсетная Na1 Гарнитура тайме. Печать офсетная.
Объем 11 бум л. Усл. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 19,12. Изд. № 27/0567 Тираж 2000 экз. Зак.580 Цена 3 р. 10 к.
Набрано на фотонаборном комплексе в издательстве «Мир», 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2;
Отпечатано в Тульской типографии Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Тула, проспект им. В И. Ленина, 109.

Предисловие
редактора перевода
За последние два десятилетия лицо астрофизики радикально
изменилось. Было открыто множество объектов новых типов,
поняты пути эволюции звезд, стала проясняться картина эволюции
Вселенной как целого. На этом фоне глубокие изменения, которые
претерпела за эти годы физика звездных атмосфер, остались многими
не замеченными. Между тем и эта давно уже ставшая классической
область теоретической астрофизики выглядит сегодня совсем
иначе, чем лет 15 — 20 назад.
Огромные успехи были достигнуты как в понимании физики
процесса переноса излучения (в особенности это относится к
излучению в линиях), так и в разработке методов численного решения
системы уравнений, описывающих модель атмосферы. К
настоящему времени рассчитано большое число разнообразных моделей.
Это стало основой для определения из наблюдений важнейших
параметров звезд — эффективных температур, ускорений силы
тяжести на поверхностях звезд и химического состава их атмосфер.
Предлагаемая вниманию читателей книга написана известным
американским астрофизиком Д. Михаласом, в течение ряда лет
возглавлявшим комиссию по звездным атмосферам Международного
астрономического союза. Ему принадлежат важные результаты в
области теории звездных атмосфер, в частности, он — один из
создателей метода полной линеаризации, впервые позволившего
рассчитать самосогласованные модели звездных атмосфер (без
априорного предположения о наличии локального термодинамического
равновесия в атмосфере). Этот и другие результаты автора,
получившие всеобщее признание, нашли отражение в монографии.
Появление русского перевода книги Д. Михаласа позволит
широкому кругу наших астрофизиков (и физиков) составить
правильное представление о сегодняшнем уровне исследований в этой
области. Рассчитана она на астрономов и физиков — специалистов и
студентов старших курсов. Читать эту книгу не всегда легко, в ней
содержится очень много информации, но изучивший ее приобретет
по-настоящему глубокое знание предмета. Можно быть уверенным,
что в течение ближайшего десятилетия именно эта книга будет
являться основным стандартным литературным источником по
теории звездных спектров.
В. Иванов

Предисловие
к русскому изданию
Основная цель этой книги — изложить теорию переноса
излучения и теорию образования спектральных линий в звездных
атмосферах. Предпринята попытка дать связную картину исследований
последнего времени в тех областях, которым посвящена книга.
Однако ограниченность объема (и компетентности автора) сделали
невозможным обсуждение всех без исключения вопросов, которые
могут оказаться существенными для исследования звездных
атмосфер. Главное дополнение, сделанное во втором издании по
сравнению с первым изданием на английском языке, состоит в том, что
добавлены обсуждение переноса излучения в протяженных
расширяющихся средах и рассмотрение физики звездного ветра.
Поскольку все, что мы знаем о звездах, в конечном счете
получено из детального анализа их спектров, естественно, что развитие
теории переноса излучения уже давно было предметом усилий
многих астрофизиков-теоретиков. Эта теория служит одним из
краеугольных камней всей современной астрофизики. Вклад советских
астрономов в эту область был очень существенным. Лица,
изучающие данный предмет и пользующиеся английским языком, многим
обязаны переводам учебников, монографий и оригинальных
научных статей советских авторов, посвященных этим вопросам. Среди
многих приходящих в голову имен и работ нельзя не упомянуть
В. В. Соболева с его блестящими работами по расширяющимся
атмосферам, глубокие исследования математической структуры
проблем переноса, выполненные В. А. Амбарцумяном и В. В.
Ивановым, раннюю работу Н. А. Козырева по протяженным
атмосферам и важную работу Э. Р. Мустеля по моделям атмосфер. Многие
существенные направления, рассматриваемые в книге, берут свое
начало в исследованиях этих астрономов, и поэтому я особенно
счастлив видеть книгу переведенной на их родной язык. Мне также
очень приятно, что перевод сделает книгу более доступной для
советских студентов. Искренне надеюсь, что она поможет им в
исследовательской работе. Желаю им всяческих успехов в усилиях,
направленных на расширение и углубление нашего понимания физики
звездных атмосфер. Надеюсь увидеть те важные шаги вперед,
которые будут ими сделаны и которые тем самым скоро сделают эту
книгу устаревшей.

Предисловие к русскому изданию
7
Мне хотелось бы выразить здесь особую благодарность
В. В. Иванову за организацию перевода книги и за то, что он взял
на себя нелегкий труд по ее окончательному редактированию. Я
очень благодарен также С. И. Грачеву и Д. И. Нагирнеру за их
вклад в осуществление настоящего перевода.
Димитрий Михалас
Обсерватория Сакраменто Пик
США

Посвящается Барбаре:
в память о местах,
в которых мы побывали,
достопримечательностях,
которые мы повидали,
и счастливом времени,
которое провели вместе.
Предисловие
Со времени выхода в свет первого издания этой книги в
изучении звездных атмосфер происходил быстрый прогресс. С какого-то
момента мне стало ясно, что книга нуждается в переиздании. Одна
из главных причин создания нового варианта этой книги именно в
настоящее время — это желание описать значительные успехи,
которые были достигнуты в методах решения уравнения переноса в
движущихся средах и в теории звездного ветра. Как и в первом
издании, автор не ставил своей задачей охватить проблему со всех
сторон, а по-прежнему стремился рассмотреть лишь ограниченное
число задач, но зато с определенной степенью глубины.
С самого начала было ясно, что из-за острой нехватки времени
у студентов при нынешних перегруженных учебных планах по
астрофизике, (а это прямое следствие взрывоподобного роста наших
знаний о Вселенной) бессмысленно писать книгу, которая по
объему заметно превосходила бы первое издание. Поэтому, чтобы
добавить новый материал, пришлось экономить на изложении
старого и опустить как вопросы, представляющие узкий интерес, так и
те, которые лежат в стороне от главного направления
исследований, представляющих для настоящей книги первостепенный
интерес. В частности, поскольку сегодняшний студент получает свои
знания в области теории переноса излучения вероятнее всего из
курса звездных атмосфер, но ему важны ее применения и в других
физических ситуациях, я намеренно сместил центр тяжести в сторону
от применений только к звездам и изложил теорию переноса более
общим и полным образом. Я убежден, что глубокое понимание
теории переноса излучения, изложенной в этой книге, подготовит
студента к решению гораздо более широкого круга задач о
переносе излучения, будь то в применении к лабораторным
экспериментам или к атмосферам звезд и планет, к межзвездной среде,
рентгеновским источникам или квазарам. Далее, добавлены упражнения,
в которых учащемуся предлагается восстановить опущенные этапы
выводов формул или самостоятельно применить теорию к
простым случаям. Эти упражнения по большей части совсем просты, и
их4 решение занимает всего несколько минут. Однако некоторые из

Предисловие
9
упражнений в гл. 7 требуют для своего выполнения значительных
усилий и могут послужить неплохими курсовыми работами.
В идеале материал этой книги должен излагаться в курсе, на
который отводится два календарных квартала, причем главы 1 — 7 в
первой его половине, главы же 8 — 15 — во второй. Если курс
охватывает целый год (два семестра), к книге следует добавить
дополнительный материал по вопросам, представляющим интерес для
преподавателя и для студентов, заимствованный, например, из
области физики Солнца, звездной спектроскопии, пульсирующих
атмосфер, пекулярных звезд, анализа химического состава и многих
других. Если же курс рассчитан лишь на один семестр, рекомендую
опустить в первую очередь гл. 4 и 9, которые довольно
элементарны (и, возможно, уже излагались в курсах, изучавшихся ранее), и,
наконец, если необходимо, то и гл. 13 (которая не абсолютно
необходима для понимания основ теории образования линий).
В любом случае с неизбежностью придется оставить в стороне
многие увлекательные вопросы. И студенты, и преподаватель
могут испытывать чувство неудовлетворенности (которое испытывал
и я, когда писал эту книгу) от того, что не удается охватить более
широкий круг вопросов. Не раз я чувствовал себя в положении
путника из «Непройденного пути» Фроста [388], стр. 105 *, который
выбирает лишь один из двух в равной мере верных путей, твердо
зная при этом, что этот путь выведет его на правильную дорогу и
что ему не придется возвращаться, чтобы искать другую тропинку.
Мне остается лишь надеяться, что иные интересные пути учащиеся
откроют для себя сами и что поиски этих путей доставят им
истинную радость.
Теперь уже было бы невозможно перечислить всех тех, кто
помогал мне изучать звездные атмосферы и теорию образования
линий, и я не буду пытаться этого делать, ограничившись
выражением искренней благодарности всем, перед кем я в долгу. Было бы,
однако, непростительно, если бы я особо не поблагодарил Лоурен-
са Ауэра, Дэвида Хаммера и Джорджа Райбики, которые (как
коллеги, критики, учителя, сотрудники и друзья) сильно углубили и
расширили мои познания в той области, которой посвящена эта
книга. Далее хочу принести глубокую благодарность профессору
В. В. Моргану из Йеркской обсерватории. Его поддержка и
поощрение стимулировали большую часть исследований, выполненных
* Замечание о системе ссылок. Литература приведена в конце книги в
алфавитном порядке. В тексте номера ссылок приводятся в квадратных скобках, например,
[105].

10
Предисловие
мною в течение нескольких последних лет, а его мудрые советы
способствовали значительному их улучшению. Я признателен ему
также за то, что он поделился со мною своими мыслями о том,
какой ему — с той большой высоты, с которой он может смотреть
на эти вещи, — представляется природа научного метода.
Кроме того, хочу поблагодарить лиц, помогавших мне при
работе над этой книгой: Барбару Михалас — за прочтение и правку
рукописи и машинописи; Тома Холцера и Ричарда Клейна за
прочтение гл. 15 и сделанные по ней замечания и Дэвида Хаммера и
Поля Кунаша, прочитавших машинописный вариант и внесших
множество предложений и исправлений. Благодарю также Гордона
Ньюкирка за усилия, затраченные им как директором
Высокогорной астрофизической обсерватории на создание той обстановки, в
которой могла быть написана эта книга. Благодарю также
Паулину Франц, превратившую сотни страниц, исписанных моим
неразборчивым почерком, в нормальный машинописный текст, Кэтлин
Ауэр за составление указателя и Пата Брюэра из издательства
«Фримэн энд к ом пани» за эффективное и аккуратное наблюдение за
процессом производства книги.
Наконец, благодарю моего отца, М. Д. Михаласа, за внесенный
им ненамеренно (но бесценный) вклад, который он сделал, научив
меня примером своей жизни тому, что такое аитожетгосвуоса и фс\о-
п/иа.
Оксфорд, Англия
Октябрь 1977 г.
Димитрий Михалас

Предисловие к первому изданию
Изучение звездных атмосфер является во многих отношениях
одной из самых интересных и плодотворных областей современной
астрофизики. Не будет преувеличением сказать, что большая часть
того, что мы знаем о звездах и звездных системах, получено из
анализа их излучения. Но полагаться на эти сведения можно лишь
в том случае, когда методы анализа физически глубоко
обоснованы. Поэтому важно иметь надежный теоретический фундамент,
позволяющий с достаточной уверенностью делать те или иные
заключения.
В области исследования звездных атмосфер последнее
десятилетие было периодом бурного роста. С одной стороны, значительно
улучшилось качество и увеличилось количество наблюдательного
материала. Непрерывный поток данных обеспечивался не только
наземными обсерваториями, но и наблюдениями с баллонов, ракет
и спутников, что открыло широкие горизонты, скрытые от нас
прежде. С другой стороны, огромный прогресс был достигнут в
развитии теории. Совместными усилиями астрономов и физиков
были заполнены многие из брешей в понимании основных
физических процессов, происходящих в звездных атмосферах. Появление и
широкое распространение электронных вычислительных машин с
большой памятью и высоким быстродействием стимулировало
развитие новых мощных математических методов и позволило
применить их в весьма разнообразных случаях. В результате были
достигнуты колоссальные успехи, и наше понимание формальных и
принципиальных основ предмета стало более широким и глубоким.
Один из нежелательных побочных эффектов такого периода
бурного роста состоит в том, что практически все учебники,
имеющиеся по этой области астрономии, сильно устарели. И студенты,
и преподаватели вынуждены сейчас обращаться к большому числу
разбросанных по литературе статей, чтобы узнать о достижениях
последнего времени. По моему мнению, явно ощущается
потребность в новом учебном руководстве по этому предмету, и
настоящая книга представляет собой попытку дать такой учебник для
студентов старших курсов и аспирантов. Он основан на курсах,
которые я вел для аспирантов первого и второго годов обучения в
Принстонском, Колорадском и Чикагском университетах. В нем
дано то, что мне представляется минимальной теоретической
основой для лиц, которые хотят понимать литературу и вести исследо-

12
Предисловие к первому изданию
вания в этой области. Естественно, приводимый материал по
необходимости является результатом жесткого отбора. Работая над
этой книгой, я имел своей целью изложить основы теории,
которые можно освоить за два календарных квартала, в надежде, что
содержание третьего квартала нормального академического года
будет отдано преподавателем (и студентами) тем вопросам из
текущей литературы, которые представляют для него особый
интерес. Хотя основной упор делается на новейшие методы, в то же
время предпринята попытка дать обзор также и более старых
методов и результатов. Мне кажется, что студентам важно хорошо
знать эти классические методы, чтобы представлять себе пределы
применимости этих методов и делаемых на их основе заключений.
Разумеется, казалось заманчивым включить обсуждение более
широкого круга вопросов, но я отказался от этого, полагая, что
студенту важнее разобраться пусть в небольшом числе вопросов,
но глубоко, чем стараться получить поверхностное представление о
всей области. В соответствии с этим я намеренно ограничил
сравнение теории с наблюдениями небольшим числом принципиально
важных или же иллюстративных примеров. Более того,
обсуждение большей части теории ограничено тем, что можно назвать
классической задачей о звездной атмосфере, т.е. атмосферами,
находящимися в гидростатическом, лучистом и статистическом
равновесии. Этого материала достаточно для курса
продолжительностью в два квартала. В то же время мы понимаем эту задачу
достаточно хорошо, чтобы почти не прибегать к спекулятивным
построениям. Даже в рамках этой задачи я ограничил число
рассматриваемых методов. Например, лично я предпочитаю пользоваться при
решении задач о переносе излучения дифференциальными, а не
интегральными уравнениями. Поэтому, хотя метод интегральных
уравнений получил широкое применение и привел к ряду успехов, в
частности в руках группы исследователей из Гарвардско-
Смитсонианской астрофизической обсерватории, в этой книге он
обсуждается мало. Этот метод опущен, однако, не случайно. Дело
в том, что оба метода математически эквивалентны, и поэтому
достаточно рассмотреть лишь один из них. Кроме того, тот метод,
который выбран мною, кажется более обещающим для будущих
применений, например, в случаях, когда в атмосфере происходят
гидродинамические движения (именно здесь и проходит сейчас
передний край исследований в этой области). С другой стороны, как
показывает мой опыт, знания различных разделов физики у
студентов-астрономов часто неровные. Поэтому я без колебаний

Предисловие к первому изданию
13
включал обсуждение тех вопросов теоретической физики, которые
представляют особый интерес при исследовании атмосфер. Как бы
то ни было, надеюсь, что те, кто будет пользоваться этой книгой,
найдут ее для себя тем полезным первым наброском, который они
могут далее редактировать, изменять и расширять в соответствии
со своими потребностями.
Вильямс-Бей, Висконсин, США Димитрий Михалас
Ноябрь 1969 г.

Глава 1
Поле излучения
Из количественного анализа спектра звезды можно получить
сведения о том, как выходящее из звезды излучение распределено
по частотам. Наблюдаются обширные участки спектра, где
изменения с частотой происходят плавно — континуум, а также
спектральные линии, в которых зависимость от частоты очень резкая.
Взятый в целом, спектр содержит огромное количество
информации. Главной задачей теории звездных атмосфер является
разработка методов, которые позволили бы извлекать эту информацию.
Для этого нужно научиться описывать перенос энергии через
наружные слои звезды и предсказывать наблюдаемые характеристики
выходящего излучения. Используя известные законы физики,
которыми определяется взаимодействие излучения с веществом звезды,
мы йолучаем математические модели, на основе которых
рассчитываем теоретические значения доступных наблюдениям
характеристик спектра. После этого теория сравнивается с наблюдениями,
чтобы попытаться вывести заключения о физических условиях в
звездных атмосферах. Такого рода анализ может дать информацию
о строении оболочки (что существенно, так как эта оболочка
определяет граничное условие при исследовании структуры звезды), о
способах переноса энергии в атмосфере, об относительном
содержании химических элементов, скорости потери массы и о том, как
калибровать перевод наблюдаемых параметров (например, Му и
В — V) в величины, поддающиеся теоретической интерпретации
(светимость и температуру). Изучив большое число звезд, можно
установить связи между, скажем, химическим составом и
распределением звезд в пространстве, их кинематическими и динамическими
характеристиками. Эта информация служит средством,
позволяющим понять строение и динамику Галактики в целом.
Программа, в общих чертах намеченная выше, претендует на
многое, но осуществить ее нелегко. Данные наблюдений часто
добываются с трудом, имеют ограниченную точность и отражают
очень сложные физические структуры. Наши физические теории
зачастую весьма примитивны и, несмотря на это, могут приводить к
чрезвычайно сложным математическим задачам. Но решающее
значение имеет то, что сведения, которые извлекаются из звездных

П. Интенсивность
15
спектров, будут хорошим приближением к действительности лишь
в том случае, если положенная в основу физическая теория является
надежной и полной. Поэтому значительное внимание следует
уделить разработке такого подхода, который правильно учитывал бы
физическую суть дела.
В этой главе вводятся основные определения, необходимые для
описания поля излучения. Поле излучения рассматривается с трех
точек зрения, с использованием макроскопического,
электромагнитного и квантового описания. Каждый из этих подходов дает
полезную информацию, а взятые вместе, они создают полную картину
природы поля излучения. Поляризация не учитывается, однако мы
неизменно сохраняем предположение о возможной зависимости от
времени, с тем чтобы в дальнейшем иметь возможность вывести
уравнения радиационной газодинамики. В последующих главах
рассматривается, как излучение взаимодействует с веществом и
переносится через атмосферу (гл. 2), дается детальное обсуждение
атомных параметров, которые описывают способность вещества
поглощать излучение (гл. 4), и механизмов, определяющих
распределение атомов по имеющимся у них связанным и свободным
состояниям (гл. 5). Вслед за рассмотрением серой атмосферы —
задачи, которая служит идеальным испытательным полигоном для
различных методов и ясно показывает общий характер используемого
подхода к проблеме (гл. 3), излагаются общие математические
методы решения уравнений переноса (гл. 6). После этого обсуждается
центральная проблема всей книги — построение моделей атмосфер
(гл. 7). Затем изучаются физика формирования спектральных линий
при заданной модели (неподвижной) атмосферы (гл. 8 — 13) и
методы, используемые для определения химического состава и
физических характеристик звездных атмосфер. Далее анализируется
перенос излучения в движущихся атмосферах (гл. 14) и, наконец, все
упомянутое выше применяется к изучению звездного ветра (гл. 15).
1.1. Интенсивность излучения
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Удельная интенсивность излучения /(г, n, v, t) в точке г,
распространяющегося в направлении п на частоте v в момент времени
/, определяется следующим образом: количество энергии,
переносимое излучением в интервале частот (*>, v + dv) через элемент пло-

16
Гл. 1. Поле излучения
щади dS в пределах телесного угла da> за время dt, равно
d(f = /(Г, n, v, t)dS cosd dudvdt, (1.1)
где в —- угол между направлением пучка и нормалью к площадке
(т.е. dS cos в = п • dS) (рис. 1.1). Размерность / есть
эрг/(см2 с -Гц • ср). Введенная указанным образом удельная
интенсивность дает полное (с макроскопической точки зрения)
описание поля излучения.
В этой книге будут рассматриваться только одномерные задачи,
соответствующие плоской или сферической геометрии. Это
означает, что атмосфера будет считаться состоящей либо из однородных
плоских слоев, либо из однородных сферических оболочек. В случае
плоской геометрии будут использоваться декартовы координаты
С*\ У, z)y причем за плоскости постоянного z берутся плоскости,
соответствующие постоянной плотности среды. Зависимость всех
физических переменных от х и у можно тогда не учитывать, а
производные по х и у считать равными нулю. Чтобы задать п, принято
использовать полярный угол и азимут (0, ф). Тогда будем иметь
п ■ k = cos0, п ■ i = sin0 cos0, n • j = sin0 sin<£.
В случае одномерной плоской геометрии очевидно, что / не зависит
от ф. Поэтому можно написать / = I(z, 0, р, t). Считается, что z
возрастает с высотой в атмосфере (т.е. в направлении,
противоположном направлению силы тяжести). В случае сферической
геометрии положение в пространстве задается величинами (г, 6, Ф), но в
п
A,/// J
1ч я
1ч /
14 /
у! /
/ Ы УС
J Рис. 1.1. Пучок излучения, исполыуе-
/ мый при определении интенсивности из-
/ лучения. Вектор п дает направление рас-
/ пространения излучения, а 8 — единич-
/ ный вектор, перпендикулярный элемен-
dS У ту площади dS.

LI. Интенсивность
17
силу сферической симметрии I будет зависеть только от г = Irl.
Направление распространения излучения можно характеризовать
полярным углом и азимутом (0, 0), первый из которых отсчитыва-
ется в данном случае от полярной оси, определяемой единичным
вектором Р, направленным по радиусу. Поскольку в случае
сферической симметрии интенсивность не зависит от азимута, можно
написать / = /(г, 0, v, 0« Вместо пеоеменной в часто будет
использоваться \к ш cos 0.
Упражнение LL Воспользовавшись законом Снеллиуса
пх(р)$\пвх = п2(р) sin02 при подсчете энергии, протекающей через
единичную площадку на границе раздела двух преломляющих сред
с различными показателями преломления, показать, что величина
I(v)n~2{y) остается постоянной.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФОТОНОВ
Поле излучения можно описать также с помощью функции
распределения фотонов fR, которая определяется следующим
образом: /д(г, n, v, t)d<j)dv есть число фотонов в единице объема около
точки г в момент t с частотами в интервале (*», v + dv)> которые
распространяются со скоростью с в пределах телесного угла dco
около направления п. Каждый фотон имеет энергию hp. Число
фотонов, пересекающих элемент площади dS за время А, равно
fR(cdt)(x\ • dS)(dccdp)9 так что переносимая ими энергия составляет
d<? = {chp)fRdS cosddwdpdt.
Сравнение этого выражения с формулой (1.1) показывает, что
/(г, п, у, О = chpfR(r, n, v9 t). (1.2)
постоянство ИНТЕНСИВНОСТИ ВДОЛЬ ЛУЧА
Важное свойство удельной интенсивности состоит в том, что,
как следует из данного выше определения, интенсивность не
зависит от расстояния между источником и наблюдателем, если на луче
фения нет источников и стоков излучения. Действительно,
рассмотрим пучок лучей, которые проходят через элемент площади dS
в точке Р и через элемент dS' в точке Р' (рис. 1.2). Тогда
количество энергии bcf, протекающей через обе площадки, равно
8<f' = IvdS cosedwdpdt = Ь<?' = i;dS' cosd'dw'dpdt, (1.3)

J8
Гл. J. Поле излучения
Рис. 1.2. Геометрическое пояснение доказательства неизменности интенсивности
излучения вдоль луча. Точки РиР' находятся на расстоянии г друг от друга.
Площадка dS видна из Р' под телесным углом dw', а площадка dS' из Р — под углом du; 8
и$'- единичные векторы нормалей к dS и dS'.
где dw — телесный угол, под которым площадка dS' видна из
точки Р, a do)' — телесный угол, под которым dS видно из Р'.
Согласно рис. 1.2, do) = r~2dS' cos0' и d<a' = r~2dS cos0, где г
—расстояние от Р j\o Р'. Поэтому из равенства (1.3) немедленно
следует, что / = /', Отметим также, что из соотношения (1.3)
вытекает, что энергия, падающая на единичную площадку, убывает
обратно пропорционально квадрату расстояния от Р до Р'.
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Неизменность удельной интенсивности излучения вдоль луча
ведет к тому, что по измерениям количества энергии, падающей за
данное время в пределах определенной полосы частот на приемник
с известной собирающей поверхностью (и эффективностью
детектирования) от источника, который виден под некоторым известным
телесным углом, можно получить истинное значение /. Требование,
чтобы da) было известно, позволяет определять / только для
пространственно разрешенных источников, например для
туманностей, галактик, Солнца, планет и т.п.
В частности, в случае Солнца излучение в заданной точке
выходит в направлении наблюдателя под известным углом к локальной
нормали (в одномерной модели). Поэтому измерение вариаций
интенсивности излучения от центра к краю позволяет определить
угловую зависимость /. Отметим, что, вообще говоря, вдоль
разных лучей атмосфера просматривается не до одной и той же
глубины. Поэтому мы получаем угловую зависимость / не на каком-то
определенном уровне z внутри атмосферы, а лишь в некоторой
точке г б за ее пределами.

7.2. Средняя интенсивность и плотность
19
Упражнение 1.2. Угловой диаметр Солнца составляет 30'.
Примем, что из-за влияния земной атмосферы предельное разрешение
равно 1". Показать, что это ограничивает снизу то значение /х, до
которого можно точно получить /(/х), и определить это /imin.
1.2. Средняя интенсивность и плотность
излучения
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Как при физическом, так и при математическом описании поля
излучения удобно использовать различные угловые средние, или
моменты. Так, средняя интенсивность определяется как прямое
среднее (момент нулевого порядка) от удельной интенсивности по
всем телесным углам, т.е.
/(г, „, t) = (47Г)-1 $/(г, п, p. t)do). (1.4)
Размерность средней интенсивности — эрг/(см2 • с • Гц). Элемент
телесного угла do) равен do) = sin вdddcj) = -d\id<b. Если
рассматриваются одномерные атмосферы, то / не зависит от </>, и поэтому
2т 1 а 1
J(Z, г, t) = (47Г)"1 \d<t> j did(z> ii, v, t) = - j /(*, /x, is t)dii. (1.5)
0-1 -1
Это выражение применимо и при сферической геометрии, если
заменить z на г.
Чтобы рассчитать плотность энергии поля излучения в
интервале частот (у, v + dv), рассмотрим малый объем К, через который
со всех сторон протекает энергия. Количество энергии,
протекающей в пределах некоторого телесного угла do) через элемент
площади поверхности dS этого объема, равно
6 с? = /(Г, n, v% t)(dS cos6)do)dvdt.
Будем рассматривать теперь только те фотоны, которые имеются
в объеме V. Если длина их пути через V равна /, то время, в
течение которого они находятся в пределах К, есть dt = 1/с. Далее,
IdS cos0 = dVy где dV — бесконечно малый элемент объема К,
через который пролетают фотоны. Поэтому энергия в dVy
приходящая в пределах телесного угла do), равна
6 с? = с"1/(г, n, v. t)do)dvdV.

20
Гл. 1. Поле излучения
Интегрируя по всем телесным углам и по всему объему, получаем
полную энергию, содержащуюся в объеме V:
<f(r, vy t)dv = c~l[\ dV$duI(ry n, pt t)]dr. (1.6)
У
Если теперь перейти к предельному случаю бесконечно малого К,
то / перестает зависеть от положения в объеме V, и
интегрирования по объему и по углам можно выполнить по отдельности.
Монохроматическая плотность энергии излучения ER(xy р, t) =
= <f (г. v% t)/V равна, таким образом,
ER(x9 v, t) = c-l&I(r9 n, ,, ОЖо - ^ Лг, is о. (1.7)
Размерность ER — эрг /см3 • Гц. Полная плотность энергии
излучения (размерность эрг/см3) находится интегрированием по всем
частотам:
00 00
ЕЛ(Г, О = (£Л(Г, v% t)dv = (Ат/с) J /(Г, р9 t)dv = (4т/с)/(г, О- 0-8)
о о
ОПИСАНИЕ В ТЕРМИНАХ ФОТОННОГО ГАЗА
Легко показать, что полученные выше результаты согласуются
с описанием поля излучения как фотонного газа. По определению
fR(r, n, v, t)dvdw — это число фотонов в единице объема в
интервале частот dv, обладающих энергией hv и распространяющихся в
направлении п в элементе телесного угла do). Ясно, что плотность
энергии — это просто число фотонов, умноженное на энергию
одного фотона и проинтегрированное по всем телесным углам, т.е.
ER(r9 v, t) = hr§fR(rt n, is t)da>. (1.9)
Но, согласно формуле (1.2), hvfR = c~xL Поэтому формула (1.9)
тождественна формуле (1.7).
РАВНОВЕСНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
При термодинамическом равновесии поле излучения в
теплоизолированной полости однородно, изотропно, не зависит от времени
и имеет распределение по частотам, даваемое функцией Планка
В¥(Т) = {2НрУс2)/(еЫкТ - 1)

1.2. Средняя интенсивность и плотность
21
(см. [520], [392], стр. 365). Поэтому при термодинамическом
равновесии монохроматическая плотность энергии излучения равна
Е£(у) = (4ir/c)Bv(T). а полная плотность энергии излучения дается
законом Стефана:
эо
Е* = (8тгЛ/с3) J (ehv/kT - \)~xv4v = aRT\ (1.10)
о
где aR = 87г5£4/(15с3й3). Здесь, как и всюду в этой книге, величины,
вычисленные по соотношениям, справедливым при
термодинамическом равновесии, отмечены звездочкой.
Упражнение 1.3. С помощью подстановки л: = hv/kT вывести
закон Стефана, разложив (ех - I)"1 = е~х(\ - е~х)~1 в ряд по
степеням е~х. Сумма числового ряда, получающегося почленным
интегрированием степенного ряда, выражается через дзета-функцию
Римана [4], стр. 807.
Закон Стефана применим в недрах звезд и в глубоких слоях
звездных атмосфер, где перепады температуры на расстоянии,
равном средней длине свободного пробега фотона, чрезвычайно малы,
так что поле излучения становится изотропным и термализуется,
приближаясь к равновесному. У поверхности звезды поле излучения
становится сильно анизотропным и приобретает распределение по
частотам, сильно отличающееся от планковского, вследствие
крутых градиентов температуры и наличия свободной границы, через
которую фотоны уходят в межзвездное пространство. Здесь закон
Стефана уже неприменим.
ОПИСАНИЕ В ТЕРМИНАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Альтернативное описание поля излучения дается
электромагнитной теорией. Покажем, каким путем между макроскопическим и
электромагнитным описаниями поля излучения можно установить
полное взаимное соответствие. Электромагнитное поле
описывается уравнениями Максвелла (см., например, [331], гл. 6), которые в
гауссовых единицах имеют вид
divD = 4тгр, (1.11а)
divB = 0, (1.116)
rotE + --- = 0, (1.11b)
с dt

22
Гл. 1. Поле излучения
и 1 3D 47г . ,« «« v
rotH -__ = _]. (l.llr)
с d/ с
Напряженность электрического поля Е связана с электрической
индукцией D через посредство диэлектрической постоянной е, а
именно D = еЕ. Аналогичным образом магнитная индукция В
выражается через напряженность магнитного поля Н и магнитную
проницаемость \х соотношением В = дН. В вакууме е = \i = 1. В
уравнениях (1.11) р — плотность заряда и j = pv— плотность
тока, порождаемого зарядами, движущимися со скоростью V.
Напряженность электрического поля и магнитную индукцию можно
найти, зная скалярный потенциал ф и векторный потенциал А,
которые определяются следующим образом:
В = rot А, (1.12а)
Е = -Уф -!—. (1.126)
с Ы
Величина В, даваемая (1.12а), удовлетворяет уравнению (1.116), а Е
из (1.126) — уравнению (1.11в). Поскольку В вводится как ротор
А, дивергенцию А можно задать произвольно. Удобно выбрать ее,
наложив условие Лоренца
divA=l^. (1.13)
с bt
При таком выборе А уравнения Максвелла сводятся к
1 &ф
с2 Ыг
V^-Л-Й = "«то 0.14а)
V*A - А-^4 = -— J- (1.146)
с1 dt2 с
Решения этих уравнений можно записать в виде (см. [331], гл. 6;
[494], гл. 19)
*(г,0= jfr(rl,'r?|rfV' <115а>
A(r,,)=lK;''W';'')rfV| (1.15б)
с J lr - г' I
где, как указано, р и v в г' берутся с учетом запаздывания, т.е.

1.2. Средняя интенсивность и плотность
23
V = t - с-11 г - г' I. Этим учитывается конечность скорости
распространения электромагнитных волн.
Одно из наиболее важных решений уравнений Максвелла —
решение, описывающее монохроматические плоские волны в
вакууме, распространяющиеся в направлении п0 со скоростью с:
Е(г, О = Е0со$[2'к(кт\0 • г - pt)]9 (1.16а)
Н(г, О = H0cos[27r(A:n0 • г - pt)]9 (1.166)
где к = X"1 = v/c — волновое число. Векторы Е^, Н0, г^ образуют
взаимно ортогональную тройку, причем Н0 = n0 х Е^, откуда
следует, что 1Н01 = 1^1. Выражение, даваемое электромагнитной
теорией для мгновенной плотности энергии поля W(t)> имеет вид
W(t) = (Е D + В Н)/8тг. (1.17)
Усреднение по промежутку времени, равному периоду, приводит к
появлению множителя <cos2w/>r = 1/2. Пользуясь соотношениями
1Е^1 = 1Н01 и /х = е = 1 (в вакууме), приводим (1.17) к виду
W = <ЩфТ = £02/8тг.
Если использовать макроскопическое описание, то
монохроматическая плоская волна, распространяющаяся в направлении iTq,
определяемом углами (0О, ф0), имеет интенсивность
/(/г, ф) = I06(ji - /хо)6(0 - ф0),
где через 6 обозначена обычная дельта-функция Дирака.
Подставляя это выражение для I(jx, ф) в формулу (1.7), для плотности
энергии получаем ER = с"1^ — результат, интуитивно очевидный для
плоской волны, распространяющейся со скоростью с.
Следовательно, чтобы получить соответствие между двумя способами
описания, следует положить
^ = сЦ/%*. (1.18)
Ниже будет показано, что такой выбор ^ приводит к правильным
соотношениям между вектором Пойнтинга и тензором напряжений
Максвелла и величинами, соответствующими им при
макроскопическом описании. Полученные выше результаты применимы, строго
говоря, только к монохроматической плоской волне, но их легко
обобщить на поля, имеющие произвольную угловую и частотную
зависимость, произведя суммирование соответствующим образом
выбранных элементарных плоских волн.

24
Гл. 1. Поле излучения
1.3. Поток
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Определим поток излучения #(г, v, t) как такую векторную
величину, что &- dS дает тот эффективный темп, с которым
лучистая энергия протекает через произвольно ориентированную
площадку dS; иными словами, &ш dS — это лучистая энергия,
протекающая через dS за единицу времени в единичном интервале
частот. Заметим, что п • dS = dS cos0, где 0 — угол между
направлением распространения излучения п и нормалью к dS. Отсюда
немедленно обнаруживаем, что поток можно выразить через
удельную интенсивность, если воспользоваться формулой (1.1), так как
фигурирующая в ней величина 6 6? есть не что иное, как вклад пучка
излучения, распространяющегося в направлении п, в общий поток
энергии. Поэтому достаточно лишь произвести суммирование по
всем телесным углам, что дает
&{х, v,t) = §/(г, п, *,/)п</«. (1.19)
Размерность потока — эрг/(см2 ■ с ■ Гц).
В декартовых координатах будем иметь
0^, &у, &z) = ($Inxd<*9 §Inydo>, §Inzdu). (1.20)
где
do) = -d\id<\>> nx = (1 - /x2)1/2cos0, л = (1 - /x2)1/2 sin</>, nz = /x.
Если поле излучения зависит только от z и от /х, то ясно, что
энергия, переносимая противоположно направленными лучами через
площадку, нормаль к которой перпендикулярна к оси z, взаимно
компенсируется, и поэтому поток через эту площадку
тождественно равен нулю. В частности, в плоской атмосфере, однородной в
направлениях х и у, отличаться от нуля может только J^. Поэтому
нам нужен будет только этот компонент потока, и мы будем
называть его просто потоком, как если бы поток был скалярной
величиной, и писать
1
.Piz,p9t) = 2т \ I(z, ii, r9 t)vdfi. (1.21)
Таким образом, & является первым моментом интенсивности по
угповой переменной.

1.3. Поток
25
Упражнение 1.4. а) Показать, что если в атмосфере
интенсивность / не зависит от азимута ф, то потоки ^ и & равны нулю,
б) Показать, что в сферически симметричной атмосфере лишь
компонент JF отличен от нуля и дается формулой (1.21) с заменой z на
г. в) Вычислить & при I(jx) = ZInfin. Показать, что вклад в &
дают только члены нечетного порядка.
В астрофизике принято избавляться от множителя 7г, входящего
в формулу (1.21), вводя астрофизический поток
F(z, г, t) s тг"1^, is t).
Кроме того, если рассматривать поток как один из членов
последовательности моментов по ^t, то можно ввести эддингтоновский
поток
1
H(Z, р, /) - (4tt)-1^'(z, r9 t) = | [ I(z, м, р, t)iidn9 (1.22)
-1
выражение для которого по форме аналогично выражению (1.5)
для средней интенсивности.
ПОТОК ЭНЕРГИИ В ТЕРМИНАХ ФОТОННОГО ГАЗА
Те же выражения для потока энергии можно получить, исходя
из описания поля излучения как фотонного газа. Разность чисел
фотонов, пролетающих со скоростью с сверху и снизу через
единичную площадку, расположенную под углом 0 к лучу, за единицу
времени равна, очевидно,
N(r, v, t) = с$/Л(г, n, pt t) cos0rfw. (1.23)
Каждый фотон имеет энергию hv> и поэтому переносимая ими
энергия должна равняться
#(r, is О = chp§fR(r, n, г, f)nrfw. 0.24)
Если учесть соотношения (1.2), становится очевидным, что
выражение (1.24) тождественно (1.19).
Далее, фотоны с энергией hv> движущиеся в направлении п,
обладают импульсом hvx\/c. Поэтому выражение с-1^- dSdt есть
импульс, переносимый через площадку dS за время dt частицами,
движущимися со скоростью с. Отсюда следует, что плотность
импульса, связанного с полем излучения, равна Go = с~г&. Дальней-

26
Гл. 1. Поле излучения
шее обсуждение смысла этого результата дается в § 2.3, а в § 14.3
этот результат будет использован.
Упражнение 1.5. Проверить утверждение, что с~2#"
представляет собой плотность импульса; убедиться в правильности
размерности.
ВЕКТОР ПОЙНТИНГА
В теории электромагнитного поля поток энергии поля дается
вектором Пойнтинга
S = (с/4тг)(Е х Н). (1.25)
Если взять, как и в § 1.2, плоскую волну, то среднее по периоду
равно
<S)T = с<Е х Н>г/4тг = (с<£,2>гп0)/47г = сЕ^/Ь-к.
С другой стороны, если пользоваться макроскопическим
представлением, то поток, обусловленный плоской волной, равен
& = j/nrfco = $/06(п - n^nrfco = /0п0. (1.26)
Если теперь воспользоваться формулой (1.18), то становится ясно,
что поток J*; определенный формулой (1.26), тождествен <S>r.
Этот результат также йожно обобщить на случай поля излучения с
произвольным распределением по углам и по частотам.
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Энергию, приходящую от звезды к удаленному наблюдателю,
можно непосредственно выразить через поток &v% выходящий с
поверхности звезды. Предположим, что расстояние D от звезды до
наблюдателя много больше радиуса звезды г», так что все лучи,
идущие от звезды к наблюдателю, можно считать параллельными.
Энергия, получаемая единичной площадкой, перпендикулярной к
лучу зрения, от бесконечно малой площадки на поверхности
звезды, равна dfv = /„tfw, где dm — телесный угол, под которым видна
эта площадка, и Iv — удельная интенсивность излучения,
выходящего с поверхности звезды. С учетом геометрических соображений,
иллюстрируемых рис. 1.3, находим, что г = г* sin0, и поэтому
площадь бесконечно тонкого кольца на диске звезды равна
dS = 2-irrdr = lirrlndp, так что dw = 2тг(г*/£>)2м^- Излучение, ис-

1.3. Поток
27
К наблюдателю
Рис. 1.3. Геометрическая схема, поясняющая измерение потока излучения от звезды.
Круговое кольцо на поверхности звезды имеет в проекции на нормаль к лучу зрения
площадь dS = Irrdr = 2*r\ sin в cos QdB. Наблюдатель видит эту площадь под
телесным углом* du = dS/D2.
пускаемое этим кольцом в направлении наблюдателя, выходит под
углом в к нормали, так что соответствующее значение удельной
интенсивности будет /(г«, м» ")• Интегрируя по диску, находим
f9 = 2тг(г*ЛО)2[/(/■•. М. "Мм =
= (rJDY&ir„ v) = аЩг» ")/4, (Ь27)
где «♦ —угловой диаметр звезды. [В приведенном расчете
принималось, что излучение на поверхность звезды извне не падает, т.е.
/(г*, -д, v) = 0.] От точечных объектов (например, звезд) можно
измерить лишь поток. Поступающая энергия убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния (поскольку телесный угол, под
которым виден диск звезды, изменяется пропорционально D'2).
Если угловой диаметр известен, то абсолютный поток, измеренный
на Земле, можно пересчитать в абсолютный поток на поверхности
звезды.
Упражнение 1.6. Показать, что поток, выходящий через малое
отверстие из адиабатической полости (абсолютно черное тело),
равен &вв{у) = ttBv(T). Показать, что интегральный поток равен
&вв = Or7** ™е
oR = (c/4)aR = 2тг5А:4/(15Л3с3) = 5,67 • 10~5 эрг/(см2 • с • К4)
— постоянная Стефана.

28
i л. 1. Поле излучения
1.4. Тензор давления излучения
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
И ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА В ФОТОННОМ ГАЗЕ
Средняя интенсивность и поток представляет собой скалярную и
векторную величины, даваемые соответственно нулевым и первым
моментами удельной интенсивности по направляющим косинусам
углов между направлением распространения и осями координат.
Второй момент дает тензорную величину, которая представляет
собой тензор давления излучения (или тензор напряжений поля
излучения):
P(r, v% t) = c~l§I(r, n, p9 OnrWw, (1.28)
или в компонентах
P.(r, v, t) = c"^/(r, n, у, t)nfijdu. (1.29)
Размерность P есть эрг/(см3 • Гц). Очевидно, что
Р — симметричный тензор, т.е. Р~ = Р7.
Физическая интерпретация Р непосредственно следует из
описания поля излучения как фотонного газа. Действительно, переходя
от удельной интенсивности к функции распределения фотонов fR с
помощью соотношения (1.2), мы видим, что
Ри<Г> ". О = $ [fR(r, n, is t)cn$ х (hvn/c)do). (1.30)
Приведенное выражение дает, очевидно, поток импульса в у'-м
направлении на единицу времени, обусловленный излучением частоты
vy через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно /-
му направлению. Это в точности соответствует определению
давления в любой сплошной среде и тем самым оправдывает
использование термина «давление излучения».
Среднее арифметическое диагональных компонентов Р можно
использовать, чтобы ввести среднее давление излучения:

1.4. Тензор давления
29
Поскольку для любого единичного вектора п
п1 + п1 + п1 = !>
то
Я(г, v, t) = (3c)-ljl(r9 n, р, t)dw = ER(r, p9 /)/3. (1.32)
Однако следует подчеркнуть, что, несмотря на общность этого
результата, Р не дает истинного давления излучения, если только
поле излучения не является изотропным. Вообще говоря, поле
излучения в звездных атмосферах далеко от изотропного, и обычно
численный множитель, связывающий pR (скалярный параметр, кото
рый можно использовать для расчета сил лучевого давления) и
плотность энергии ERt превосходит 1/3 (см. ниже).
СВЯЗЬ ТЕНЗОРА ДАВЛЕНИЯ С ОБЪЕМНЫМИ СИЛАМИ
Изучим теперь связь между тензором давления излучения и объ
емными силами, вызываемыми полем излучения. Рассмотрим
элемент площади dS. Поток /-го компонента импульса поля излучения
в единицу времени через этот элемент равен Е P^rijdS, где
п. — направляющие косинусы нормали к dS. Интегрируя эту
величину по замкнутой поверхности S и применяя теорему Гаусса,
находим
Ф I PUnjdS = JI idPy/dXjWV = j(V - P)jV, (1.33)
Ь j V j v
где V — объем, охватываемый поверхностью S. Интеграл в левой
части дает поток /-го компонента импульса за единицу времени
через поверхность S. Тогда, рассматривая интеграл, стоящий справа,
мы видим, что величина (V • Р); должна представлять собой
скорость убывания /-го компонента плотности импульса, т.е.
c-^dJF/a/),-.
Итак, для поля излучения как такового (т.е. в отсутствие
поглощающего и излучающего вещества) будем иметь
dGR/dt = с"2[Э#(г, v, t)/dt] = -V • Р(г, р, /). (1.34)
Уравнение (1.34), по существу, совпадает с обычным
гидродинамическим уравнением движения для идеальной жидкости в отсутствие

30
Гл. 1. Поле излучения
внешних сил (см. § 15.1). В § 2.3 дается обобщение этого
результата, позволяющее учесть взаимодействие с веществом.
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В электромагнитной теории напряжения электромагнитного
поля описываются тензором напряжений Максвелла, который
определяется следующим образом:
dGcm/dt = V • Тм. (1.35>
Здесь Gem — плотность импульса, связанная с электромагнитным
полем. Компоненты Тм равны
7*f = \JEJEj + HPj - 1 8и(Е2 + Н*)]/4*. (1.36)
где б,у — символ Кронекера. Сравнивая формулы (1.34) и (1.35),
видим, что тензор напряжений Максвелла должен равняться взятому
с обратным знаком тензору давления излучения. Поучительно
проверить это заключение путем прямой выкладки.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в
направлении п0. Согласно макроскопическому определению давления
излучения, имеем
Р = c'^Inndo) = c-lI0$6(n - n^nncfo =
= c-^iyio = (£2/8тг)п0п0, (1.37)
что должно равняться Тм для плоской волны. Пусть имеется
электромагнитное поле, которое характеризуется направленным вдоль
п0 вектором Пойнтинга S. Помимо задания 0О, ф0 нам нужно
описать также поляризацию волны, фиксировав угол ф0 (рис. 1.4).
Угол ф0 показывает, насколько Е повернуто относительно S,
причем ф0 = 0, когда S лежит в плоскости, проходящей через п0 и к,
где к — единичный вектор оси z. Легко видеть, что
Ех = £0(sin^0sin</>0 - соьфъсоьф^оьв;), (1.38а)
Еу = -£'o(sin0ocos0o + cos^osin0ocos0Q), (1.386)
Ez = £0cos^0sinS0. (1.38в)
Упражнение 1.7. Вывести для Нх, НуУ Hz выражения,
аналогичные соотношениям (1.38).
Подстановка выражений (1.38) и соответствующих формул для

IА. Тензор давления
31
*» У
Рис. 1.4. Плоская электромагнитная волна, характеризуемая векторами Е и Н,
распространяется по вектору Пойнтинга S в направлении nQ. Угол ф0 характеризует,
насколько Е повернуто вокруг S относительно плоскости, определяемой п0 и к, где
к — единичный вектор оси z.
Н в (1.36) дает компоненты Тм. Например, для Т% находим
Т"= [Е\ + Н\ - | (Е1 + Я2)]/4тг =
= ^(sin2(90 - 1)/4тг = -£,gcos20o/47r. (1.39)
Усреднение по времени дает <7^г= — (£§/8тг)со82А0, т.е. -Я^.
Отметим, что конечный результат не зависит от ф0.
Упражнение 1.8. Вычислить остальные компоненты Тм и
показать, что Тм = - Р независимо от ф0.
Приведенные результаты показывают, что между
электромагнитной теорией и макроскопическим описанием поля излучения или
описанием его как фотонного газа существует полное соответствие.
Это соответствие окажется для нас полезным. Оно найдет
применение в § 14.3 и 15.3, где мы воспользуемся тем, что параметры
электромагнитного поля изменяются при преобразовании Лоренца

32
Гл. 1. Поле излучения
известным образом, и установим, как при этом преобразуются
величины, соответствующие этим параметрам поля при
макроскопическом описании поля излучения.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ: СИММЕТРИЯ, ИЗОТРОПИЯ, РАВНОВЕСИЕ.
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
В одномерной (плоской или сферически-симметричной)
атмосфере поле излучения не зависит от азимута. Поэтому тензор давления
становится диагональным:
Р(г, у, О =
/Pr 0 0\
( о рЛ о )
\ О 0 pR/
( *Pr - ER 0 0\
( 0 3pR - ER 0 ) , (1.40)
\ 0 0 0/
где
PR(Z, р, t) ш (4tt/c)K(z, р, t), (1.41)
а А' — второй эддингтоновский момент интенсивности:
1
K(z, r9t)m±[ I(z, м, р, t)ix2dii. (1.42)
Упражнение 1.9. а) При сформулированных выше условиях
вывести выражение (1.40). б) Показать, что при сферической
симметрии получается такое же выражение для Р,лесли использовать
тройку взаимно перпендикулярных ортов (г, 0, ф). в) Проверить, что
тензор (1.40) удовлетворяет соотношению (1.32).
Из формулы (1.40) ясно, что в случае одномерной атмосферы
для задания полного тензора давления излучения достаточно двух
скалярных величин: pR и ER. Далее, для таких атмосфер
производные по х, у или по 0, ф соответственно в плоском и сферическом
случаях тождественно равны нулю, и единственными ненулевыми
компонентами дивергенции тензора давления излучения являются в
случае плоской геометрии
(V ■ P)z= dpR(z,p,t)/dz, (1.43а)

1.4. Тензор давления
33
а при сферической геометрии
(V • Р)л = dpR(ry и, t)/dr + [3pR(r, р, t) - ER(r, р, t)]/r. (1.436)
В этой книге мы ограничимся рассмотрением лишь одномерных
задач, и если не считать приведенного в § 15.3 изложения вопроса об
уравнениях радиационной гидродинамики, полное тензорное
описание поля излучения не потребуется. Поэтому в дальнейшем для
краткости скалярную величину pR будем называть просто
давлением излучения.
Упражнение 1.10. Показать, что для произвольного
диагонального тензора А в сферических координатах
(V ■ А)г = дАгг/дг + (2АГГ - Аев - Афф)/г.
Пользуясь этим соотношением, вывести выражение (1.436).
В общем случае величина pR, определенная соотношением (1.41),
не равна Р, даваемому (1.32), но если поле излучения изотропно, то
эти две величины равны. Для изотропного поля интенсивность / не
зависит от /х, и формулы (1.7) и (1.41) немедленно дают
pR = ER/3, так что выражение (1.40) приводится к виду
(Pr о о\
Р(Г, v, Г) = ( 0 pR 0 I . (1.44)
\ 0 0 pj
Это означает, что когда поле излучения изотропно, тензор
давления излучения диагоналей и изотропен, и во всех расчетах его
можно заменять скалярным гидростатическим давлением или
исключить вовсе, перейдя от него к ER. Если поле излучения не только
изотропно, но и является термодинамически равновесным, то
монохроматическое давление излучения равно
/?*(z, р, t) = E*R(z, vy 0/3 = (4тг/Зс)ЯДГ), (1.45)
а полное давление излучения есть
p*R(z,t) = аТ*/Ъ. (1.46)
Этот результат первоначально был получен из термодинамических
соображений [160], стр. 55; [565], стр. 123.
Формулы (1.7) и (1.41) показывают, что pR представляет собой
среднее от /(/*), взятое с весом /х2, a ER — простое среднее. Если
интенсивность излучения имеет максимум в направлении, в кото-

34
i л. 1. Поле излучения
ром излучение выходит из атмосферы, то большие значения /х
входят в pR с ббльшим весом (вспомним, что хх = 1 при в = 0), и pR
будет больше своего предельного значения ER/3f
соответствующего изотропии. Экстремальное отклонение от изотропии имеет
место тогда, когда излучение оаспространяется в виде плоской волны.
Для волны, распространяющейся наружу, можно написать
/fe, р, /x) = /(z, рЩц - 1). Тогда K(z9 ») = J(z, ?) = #(*, г), и
pR(z, v) = ER(z, p). Ситуация близка к этому предельному случаю в
самых наружных слоях очень протяженных оболочек звезд (или в
туманностях), где поле излучения создается поверхностью звезды,
которая при наблюдении с больших расстояний занимает лишь
весьма малый телесный угол.
Упражнение 1.11. а) Показать, что для плоской волны,
распространяющейся вдоль одной из координатных осей, тензор давления
излучения имеет всего одну ненулевую компоненту, б) Показать, что
если угловая зависимость интенсивности имеет вид
/(/х) = /0 + /j/x, то тензор давления изотропен. Этот результат
имеет важное значение, так как выражение приведенного вида
хорошо описывает поле излучения в диффузионном пределе, который
имеет место на больших глубинах в атмосфере (ср. § 2.5).
Упражнение 1.12. Предположим, что наблюдатель находится на
расстоянии г от центра звезды радиуса г„, поверхность которой
равномерно яркая (т.е. / не зависит от /х). Вывести явные
выражения для У, Н и К через 0* = arcsin(r„/r) и показать, что
J = н = К в пределе при г/гш — оо.
ПЕРЕМЕННЫЙ ЭДДИНГТОНОВСКИЙ МНОЖИТЕЛЬ
Из полученных выше результатов следует, что отношение
/?/?(r, v, t)/ER(x, р, t) или АГ(г, р, t)/J(r, pt t) представляет собой
отвлеченное число, значение которого определяется степенью
изотропии поля излучения и в типичных случаях заключено между 1/3 и 1.
Ниже будет показано (§ 6.3), что в задаче о переносе излучения это
отношение можно использовать в некоторых численных методах
для уменьшения числа независимых переменных. Кроме того, его
можно использовать для замыкания системы моментных
уравнений, которые выводятся из уравнения переноса. Поэтому полезно
ввести переменный эддингтоновский множитель
f(T,P,t) т K(r9p9t)/J(r,r9t), (1.47)

1.4. Тензор давления
35
или в сокращенных обозначениях
Упражнение 1.13, а) Рассмотрим разложение вида
Дм) = А) + L ^м"- Показать, что если эта сумма содержит только
члены с нечетными л, то/ = 1/3. б) Предположим, что Д/z) s /j
при 0 ^ /х ^ 1 и /(д) ■ /2 при -1 < /х ^ 0. Показать, что здесь
тоже/ = 1/3. Такое представление / дает некоторое грубое
описание поля излучения звезды (двухпотоковое приближение), так как
можно положить /2//j — 0 на поверхности и /2//, — 1 в глубоких
слоях, в) Показать, что для слоя, протяженность которого в
плоскости х, у бесконечна, а по z конечна, / может быть меньше 1/3.

Глава 2
Уравнение переноса
Проходя сквозь газ, составляющий звездную атмосферу, излучение
взаимодействует с веществом, многократно поглощаясь,
переизлучаясь и рассеиваясь. Эти явления определяют, каким образом в
атмосфере происходит перенос излучения. В этой главе вводятся
макроскопические величины, которые характеризуют
взаимодействие излучения и вещества (§ 2.1), и выводится уравнение переноса,
описывающее перенос излучения в веществе (§ 2.2). Пользуясь этим
уравнением, можно рассчитать спектр излучения, испускаемого
звездой, и вычислить, каким образом зависимости поля излучения
от частоты и направления изменяются с глубиной в атмосфере.
Чтобы получить уравнения для моментов (§ 2.3), описывающее
динамические эффекты, вызываемые полем излучения, будет
выведено нестационарное уравнение переноса, но всюду в дальнейшем по
гл. 13 включительно рассмотрение будет ограничено
неподвижными атмосферами. В гл. 14 и 15 перенос излучения и вызываемые им
динамические эффекты будут рассмотрены для стационарных (т.е.
не меняющихся со временем) движущихся атмосфер.
2.1. Взаимодействие излучения и
вещества
ПРОЦЕСС ПОГЛОЩЕНИЯ С ПОСЛЕДУЮЩИМ ИЗЛУЧЕНИЕМ И ПРОЦЕСС
РАССЕЯНИЯ. РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ НИМИ
При взаимодействии излучения с веществом энергия может
выводиться из поля излучения или поступать в него за счет весьма
разнообразных физических процессов. Для начала эти процессы
достаточно охарактеризовать некоторыми макроскопическими
коэффициентами. Как будет показано в гл. 4 и 7, эти коэффициенты
определяются атомными сечениями элементарных процессов и на-
селенностями энергетических уровней атомов и ионов вещества
звезды. Целесообразно с самого начала проводить четкое различие
между «истинным» поглощением и излучением, с одной стороны, и
рассеянием — с другой, поскольку, как мы не раз убедимся, после-

2.1 Взаимодействие излучения и вещества
37
ловательно развивая теорию звездных атмосфер, физическая
природа взаимодействия между веществом атмосферы и излучением в
этих двух случаях совершенно разная. Однако важно понимать и
то, что в случае спектральных линий разграничение между этими
двумя процессами можно установить однозначно только тогда,
когда рассматривается переход лишь между какими-то двумя
определенными атомными уровнями, без учета каких бы то ни было
разрешенных переходов на другие уровни. Стоит только начать
рассматривать цепочки переходов между несколькими
взаимодействующими уровнями, как сразу появляются фундаментального
характера неоднозначности. Строго описать теперь данную линию
как образующуюся за счет «поглощения» или «рассеяния»
становится уже невозможным, да это и не нужно и едва ли
целесообразно. И тем не менее для дальнейшего существенно иметь
интуитивное представление о принципиальном различии между этими двумя
основными процессами, которое складывается из рассмотрения
ряда характерных примеров.
Процессами рассеяния можно назвать те процессы, в ходе
которых фотон взаимодействует с рассеивающим центром (вызывая,
возможно, изменение его внутреннего состояния возбуждения) и в
результате этого взаимодействия приобретает новое направление
полета и, вообще говоря, слегка изменяет свою энергию.
Существенно, ч го при этом процессе энергия фотона не превращается в
кинетическую энергию частиц газа. В противоположность этому
будем называть процессами поглощения те процессы, в которых
фотон исчезает, а его энергия (полностью или частично) превращается
в тепловую энергию газа. О таком процессе говорят, что здесь
произошла термализация фотона. Принципиальным с физической
точки зрения моментом, который следует отметить, является то, что
локальная энергетическая мощность испускаемого в процессе
рассеяния излучения зависит главным образом от интенсивности
рассеиваемого излучения (которое могло возникнуть в какой-то другой,
далеко расположенной точке атмосферы) и лишь слабо связана с
локальными значениями термодинамических параметров газа
(например, с его температурой). Напротив, при процессах поглощения
энергия фотонов непосредственно превращается в тепловую
кинетическую энергию газа, и потому эти процессы более тесно
связаны с локальными термодинамическими свойствами вещества.
Процесс, обратный поглощению, — тепловое излучение —
превращает энергию, запасенную в газе в виде тепла,
непосредственно в излучение. Поэтому процессы теплового поглощения и из-

38
Гл. 2. Уравнение переноса
лучения способствуют установлению локального равновесия между
излучением и веществом. Процессы же рассеяния позволяют
фотонам перемещаться из одной части атмосферы в другую, оставаясь
не связанными с локальными условиями. В результате происходит
делокализация процесса установления равновесия между газом и
излучением, так что на состоянии газа начинают сказываться
глобальные свойства атмосферы (например, наличие границ).
Чтобы проиллюстрировать развитые выше соображения,
рассмотрим следующие примеры, считая их типичными примерами
процессов рассеяния,
а) Взаимодействие фотона с атомом, находящимся в связанном
состоянии а> которое приводит к возбуждению верхнего уровня Ь
(при этом энергия фотона превращается во внутреннюю энергию
возбуждения атома), и последующее возвращение непосредственно
в состояние а с излучением фотона. Вообще говоря, излученный
фотон будет распространяться в направлении, отличном от
направления полета первичного фотона. Кроме того, и верхний, и нижний
уровни атома а и Ь в излучающем газе не бесконечно тонкие, а
будут иметь некоторые конечные ширины, обусловленные, например,
конечностью времени жизни обоих состояний из-за радиативных
переходов вниз или влиянием взаимодействия атома с частицами
окружающей плазмы. Следовательно, можно считать, что каждый
дискретный уровень состоит из некоторой совокупности
подуровней, причем с любого подуровня одного состояния возможны ради-
ативные переходы на любой подуровень другого состояния.
Поэтому если переход с верхнего уровня происходит не на тот
подуровень нижнего состояния, с которого произошло возбуждение, или
если происходит перераспределение возбужденных атомов с
первоначально возбужденных подуровней на некоторые другие
подуровни (скажем, вследствие того, что атом испытал упругое
столкновение с другой частицей), то энергия излученного фотона может
слегка отличаться от энергии первоначального фотона. Аналогичным
образом движение рассеивающих центров относительно
неподвижной лабораторной системы отсчета может изменять энергию
излучаемого фотона по сравнению с энергией первичного фотона, если
проекции скорости рассеивающего атома на направления
распространения возбуждающего и испускаемого фотонов различны, так
как при этом будет происходить дифференциальный доплеровский
сдвиг. (Пример: представим себе, что падающий фотон движется в
том же направлении, в котором ориентирована скорость рассеива-
теля V, а излученный фотон движется в противоположном направ-

2.1. Взаимодействие излучения и вещества
39
лении. У излученного фотона возникает красное смешение на
величину Ai> = —2v0v/c по сравнению с падающим фотоном.)
Изменения направления и частоты фотона при рассеянии описываются
функциями перераспределения (см. ниже). Отметим, что при таком
процессе передачи веществу сколько-нибудь значительной части
энергии фотона не происходит.
б) Рассеяние фотона на свободном электроне (томсоновское или
комптоновское рассеяние) либо на атоме или молекуле (рэлеевское
рассеяние). Томсоновское рассеяние можно рассматривать как
результат колебаний свободного заряда в электромагнитном поле
излучения, комптоновское рассеяние — как столкновение фотона со
свободной заряженной частицей, а рэлеевское рассеяние — как
результат резонанса между собственным «колебанием» связанной
системы и полем волны. Замечания, сделанные выше относительно
перераспределения и отсутствия прямой связи между лучистой
энергией и тепловым «резервуаром», в равной мере применимы и
здесь.
Аналогичным образом нижеследующие процессы можно
рассматривать в качестве примеров процессов теплового поглощения
(а противоположные им процессы — как тепловое излучение).
а) Фотон поглощается атомом и ионизирует его, т.е. отрывает
связанный электрон, давая ему возможность покинуть атом и
перейти с конечной кинетической энергией в континуум. При этом
процессе фотоионизации, или связанно-свободного поглощения,
фотон гибнет, а избыток его энергии над энергией связи электрона
переходит сначала в кинетическую энергию электрона, а в конечном
счете, после того как этот электрон испытает упругие
столкновения, устанавливающие тепловое распределение скоростей частиц,
поступает в общий тепловой «резервуар». Обратный процесс
захвата электрона на связанный уровень с рождением фотона, энергия
которого равна сумме кинетической энергии электрона и его
энергии связи, называется прямой радиативной рекомбинацией.
Очевидно, что путем этих процессов осуществляется двусторонний
обмен энергией между полем излучения и тепловой энергией,
запасенной в веществе.
б) Фотон поглощается свободным электроном, движущимся в
поле иона, что ведет к изменению кинетической энергии электрона
относительно иона. Если говорить на языке классической физики,
то после этого электрон удаляется от иона по другой
(гиперболической) траектории. Этот процесс называют свободно-свободным
поглощением, так как электрон не является связанным ни до, ни

40
Гл. 2. Уравнение переноса
после поглощения фотона. Обратный процесс, ведущий к
излучению фотона, называется тормозным излучением.
в) Фотон поглощается атомом, вызывая переход электрона из
одного связанного состояния в другое. Этот процесс называют
фотовозбуждением, или связанно-связанным поглощением. После
этого атом девозбуждается при неупругом столкновении с другой
частицей, причем разность энергий уровней превращается в
кинетическую энергию движения атома и столкнувшейся с ним частицы и
в конце концов пополняет запас тепловой энергии. О фотоне
говорят, что он погиб в результате ударного девозбуждения.
Обратный процесс ведет к появлению фотона в результате столкновения,
причем энергия черпается из тепловой энергии газа.
г) Фотовозбуждение атома с последующей ударной ионизацией
возбужденного атома. И здесь энергия фотона идет на увеличение
тепловой энергии частиц. Обратный процесс называют ударной,
или тройной рекомбинацией.
Чтобы проиллюстрировать ограниченность тех исходных
понятий, на которых основывалась приведенная выше аргументация,
рассмотрим теперь ряд неоднозначных случаев. Предположим, что
атом имеет три связанных уровня о, ft и с (в порядке возрастания
их энергии). Пусть произошло фотовозбуждение с а на с.
Предположим, далее, что с уровня с происходит радиативный переход
сначала на уровень ft, а затем с уровня ft на а. Такой процесс
называется флуоресценцией. При этом один фотон с энергией
hvac = Ес - Еа дробится на два фотона с энергиями hvab = Еь - Еа
и hvbc = Ес — Еь. Что произошло с первоначальным
фотоном — рассеяние или поглощение? Согласно нашему
первоначальному определению, он не был «рассеян», к тому же свойства
новых фотонов (например, вероятность их выхода через граничную
поверхность) могут быть совершенно не такими, как у
первоначального фотона, так что характер нелокальности поля излучения
испытывает изменение. В то же время тепловая энергия газа никак
не изменялась. В качестве другого варианта рассмотрим тот же
процесс, в котором однако, за ударным девозбуждением с — ft
следует излучение ft — а. О первоначальном фотоне можно сказать,
что он погиб (поглотился). Но появился ли испущенный фотон за
счет «теплового» излучения — ведь первоначальная энергия
почерпнута из поля излучения? Можно построить много других, более
сложных и тонких примеров, совместное рассмотрение которы
устанавливает те границы, в пределах которых процессы
поглощения и рассеяния целесообразно противопоставлять друг другу.

2.1. Взаимодействие излучения и вещества
41
На самом деле полностью непротиворечивая картина получает-
ся только тогда, когда выписаны полные уравнения
статистического равновесия (см. гл. 5), описывающие все возможные
процессы, как радиативные, так и ударные, которые связывают
произвольный уровень / с некоторым другим уровнем у. Эти уравнения
должны быть решены совместно с уравнениями, которые
описывают, как излучение поглощается, испускается и переносится через
атмосферу (т.е. с уравнениями переноса). Сделать это, вообще
говоря, очень трудно, и изложению методов, которые позволяют
успешно решить поставленную задачу, посвящена большая часть
настоящей книги. (Важность сказанного станет в полной мере ясной
лишь тогда, когда читатель изучит весь материал, содержащийся
по гл. 12. Тем не менее приведенные соображения следует в
дальнейшем все время иметь в виду.)
КОЭФФИЦИЕНТ ОСЛАБЛЕНИЯ
Для описания того, как вещество выводит энергию из поля
излучения, введем макроскопический коэффициент х(г, *\ 0>
называемый коэффициентом ослабления или непрозрачностью или иногда
(не совсем точно) полным коэффициентом поглощения. Этот коэф
фициент определяется следующим образом: элементарный объем
вещества с поперечным сечением dS и толщиной ds выводит из
пучка излучения интенсивности /(г, п, г, г), падающего по нормали к
dS и распространяющегося в пределах телесного угла do)y за время
dt в интервале частот dv количество энергии, равное
ЬЕ = x(r, n, v, г)/(г, n, v, t}dSdsdwdvdi. (2.П
Коэффициент ослабления равен сумме произведений атомных
сечений поглощения (см2) на концентрации поглошаюших частиц
(см-3), причем суммирование проводится по всем состояниям, из
которых возможно взаимодействие с фотонами частоты и.
Размерность х — см*1, так что \/\ — это расстояние, которое фотон
может пройти, прежде чем он выбудет из пучка, т.е.
1/\— средняя длина свободного пробега фотона (ср. §2.2)
Зависимость \ от частоты может быть весьма сложной. Вкла? в
нее могут давать тысячи или миллионы переходов (связанно-
связанных, связанно-свободных и свободно-свободных). Д.гч
неподвижных среду в которых на атомных масштабах отсутствуют
выделенные направления (обусловленные, например, магнитным по
лем), коэффициент ослабления изотропен. В движущихся средах он

42
Гл. 2. Уравнение переноса
зависит от углов из-за доплеровских смещений, которым
подвержена частота излучения в системе координат, связанной с
движущимся веществом, по сравнению с первоначальной частотой в
неподвижной (лабораторной) системе. Очевидно, что это доплеров-
ское смещение зависит от проекции вектора скорости на
направление падающего луча. В дальнейшем рассматриваются только
неподвижные атмосферы.
Как указывалось выше в этом разделе, иногда целесообразно
делать различие между «поглощением» и «рассеянием». Поэтому
введем объемные коэффициенты к(х, v, t) и a(r, v, t), описывающие
с помощью формул типа (2.1) скорость, с которой энергия
выводиться из пучка излучения за счет «истинного поглощения» и
«рассеяния» соответственно. Полный коэффициент ослабления дается
выражением
Х(г, р, 0 = k(r,v,t) + a(r9v,t). (2.2)
Иначе говоря, считается, что эти два процесса происходят
независимо и просто суммируются. На самом деле для описания того,
как энергия выводится из пучка, достаточно только х- Проводить
различие между к и а становится удобным главным образом при
введении коэффициента излучения.
При расчете х необходимо вводить поправку на вынужденное
излучение (см. § 4.1 и 4.3). Это квантовый процесс, при котором
наличие излучения стимулирует переход из верхнего состояния в
нижнее, причем число таких переходов пропорционально
произведению соответствующего сечения, населенности верхнего уровня и
интенсивности излучения. Так как скорость этого процесса
пропорциональна /(г, n, v9 t) и так как он эффективно ведет к некоторому
уменьшению непрозрачности, его удобно включать в х-
Вынужденное излучение происходит только тогда, когда излучающая система
находится в некотором определенном верхнем состоянии (неважно,
связанном или свободном). Поэтому при томсоновском рассеянии
(на свободных электронах) или при рэлеевском рассеянии
(происходящем через виртуальные состояния) вынужденное излучение
отсутствует, в спектральных же линиях вынужденное излучение
есть, даже если поглощение в линиях описывается коэффициентом
«рассеяния».
Если значение х0\ v> 0 [или А:(г, v, t) и а(г, у, /)] известно, то мы
имеем полное макроскопическое описание того, с какой
эффективностью вещество выводит энергию из пучка излучения. Однако
очень важно подчеркнуть, что эта «полнота» описания является ка-

2.1. Взаимодействие излучения и вещества 43
жущейся. Причина, по которой мы вынуждены сделать это
неприятное замечание, кроется в следующем. Простая картина, казалось
бы даваемая уравнением (2.1), нарушается вследствие того, что
населенности уровней, которые «определяют» эффективность
выведения энергии из поля излучения, давая вклад в \> сами в свою
очередь определяются полем излучения посредством
фотовозбуждений, фотоионизаций, радиативных переходов на нижележащие
уровни, радиативных рекомбинаций и других подобных процессов.
Таким образом, на самом деле взаимодействие поля излучения с
поглощающим веществом является нелинейным. Только что
описанная трудность остается (хотя и в более тонкой форме) даже
тогда, когда принимается, что населенности уровней можно
рассчитать по температуре и плотности, применяя в каждом данном
месте соотношения, справедливые при термодинамическом
равновесии. (Это — так называемое приближение локального
термодинамического равновесия, или ЛТР.) Причина состоит в том, что
температура определяется балансом между суммарной энергией,
излучаемой веществом и поглощаемой им, а потому зависит от общего
характера поля излучения и от того, как оно реагирует на основные
свойства атмосферы (например, на наличие границ, присутствие
рассеяния, градиенты ее параметров и т.п.). Замечания, сделанные
в этом абзаце, в полной мере применимы и к макроскопическому
описанию испускания излучения. Заметим также, что целиком
смысл этих замечаний прояснится, только когда мы значительно
продвинемся вперед в нашем изложении (см., в частности, § 5.1 и
5.3).
КОЭФФИЦИЕНТ ИЗЛУЧЕНИЯ
Для описания испускания излучения веществом звезды вводится
макроскопический коэффициент излучения (или излучателъная
способность) г? (г, п, pt t), определяемый следующим образом:
количество энергии, выделяемой элементарным объемом вещества,
имеющим поперечное сечение dS и толщину ds9 в интервале частот dp в
пределах телесного угла do) около направления п за время dt равно
ЬЕ = т?(г, п, р, t)dSdsdudpdt. (2.3)
Разномерность rj — эрг/(см3-ср-Гц-с). Как и в случае
непрозрачности, коэффициент излучения, обусловленный тепловыми
процессами, в неподвижных средах (без выделенных внешними
причинами направлений) является изотропным. В движущемся ее-

44
Гл. 2. Уравнение п?ре носа
ществе вследствие влияния доплеровского смещения коэффициент
излучения зависит от углов. Излучение, испускаемое при процессах
рассеяния, как правило, имеет явную угловую зависимость, даже в
неподвижных средах.
Для расчета коэффициента излучения надо произведения насе-
ленностей верхних уровней на соответствующие вероятности
переходов просуммировать по всем процессам, при которых могут
испускаться фотоны частоты v. При записи уравнения переноса
обозначение г) без каких-либо индексов обычно будет использоваться
для полного коэффициента излучения. Если в этом уравнении в
явном виде присутствуют члены, описывающие электронное
рассеяние, то rj будет относиться ко всем остальным видам излучения.
Индексы си/ .будут иногда использоваться для обозначения
континуума и линий соответственно. Здесь также следует отдавать себе
отчет в том, что простота этого описания обманчива — по тем же
причинам, которые были указаны выше при обсуждении
коэффициента поглощения.
В случае строгого термодинамического равновесия (ТР) между
коэффициентами излучения и поглощения существует важное
соотношение. Если рассмотреть теплоизолированную полость,
находящуюся в не изменяющемся со временем состоянии равновесия и
содержащую однородное вещество, то известно, что это вещество
будет иметь всюду в полости одну и ту же температуру (в
противном случае можно было бы придумать процессы, позволяющие
производить работу за счет градиента температуры, что
противоречит второму началу термодинамики). Далее, следует ожидать,
что поле излучения будет изотропно и однородно во всей полости
(включая и внутреннюю поверхность ее стенок), так как в
противном случае лучи, распространяющиеся в противоположных
направлениях, не были бы в точности одинаковыми, и в результате
возник бы направленный перенос энергии, за счет чего можно было
бы совершать работу, что опять-таки противоречит второму
началу термодинамики. Поэтому подсчет энергии, поглощенной и
излученной в интервале телесного угла dw и частоты dv элементом
вещества за время dt9 показывает, что для достижения
стационарного теплового равновесия (при котором разность между притоком
энергии к веществу и ее оттоком от него равна нулю) коэффициент
теплового излучения должен равняться
VW = *(г)/(п, v). (2.4)
Это соотношение называется законом Кирхгофа. В полости, нахо-

2.1. Взаимодействие излучения и вещества
45
дящейся в строгом ТР с температурой Г, интенсивность излучения
дается функцией Планка ЯД Г), так что
iTW = k*(p)Bv(T). (2.5)
Это — соотношение Кирхгофа —• Планка; результат получен нами
без привлечения данных о свойствах вещества, и поэтому он
справедлив (при ТР) для любого вещества. (Превосходное обсуждение
вопроса о взаимодействии вещества и излучения при ТР см. в [160],
стр. 199 — 206, и в статье Милна в [416], стр.93 — 96.)
Строго говоря, закон Кирхгофа — Планка применим только к
системам, находящимся в ТР. Однако если изменение параметров
вещества мало на расстояниях, которые фотон способен пройти,
прежде чем он погибнет при том или ином ударном процессе, а его
энергия перейдет в тепло (таково, например, положение в недрах
звезд), то можно ожидать, что соотношение (2.5) будет с высокой
степенью точности выполняться при локальных значениях
термодинамических переменных, определяющих состояние вещества в
данном месте. В таком случае можно написать
ч'(г,М) = АгЧг.^ОаДДг,/)]. (2.6)
В только что сформулированной гипотезе о локальном
термодинамическом равновесии (ЛТР) делается предположение, что во всей
атмосфере, вплоть до самых наружных ее слоев, населенности
связанных и свободных состояний атомов и ионов, коэффициенты
поглощения и излучения, словом, все термодинамические свойства
вещества те же самые, какими они были бы при ТР с локальными
значениями температуры и плотности. Однако интенсивность
излучения может отличаться от своего локального равновесного
значения, равного Вр[Т(г)]. Она находится решением уравнения переноса.
Такой подход явно внутренне противоречив, хотя выражения для
некоторых величин, справедливые при ЛТР, остаются в силе и в
общем случае, когда ЛТР нет. Например, соотношение (2.6)
сохраняет силу для коэффициента излучения в континууме даже при
отсутствии ЛТР, если только распределение скоростей рекомбиниру-
ющих (а в случае излучения при свободно-свободных
переходах — сталкивающихся) частиц максвелловское. Для излучения в
линии это соотношение не выполняется и, кроме того,
неприменима та формула для коэффициента поглощения, которая годится для
ЛТР. Предположение о существовании ЛТР — средство упростить
вычисления при построении моделей звездных атмосфер, и оно
широко используется. (Мы будем иногда пользоваться им, чтобы по-

46
Гл. 2. Уравнение переноса
лучить простейшую модель, на которой можно
проиллюстрировать основные математические методы решения задач переноса
излучения; реалистичные модели, построенные в рамках
предположения о ЛТР, обсуждаются в §7.2 — 7.4).
Однако следует подчеркнуть, что звездные атмосферы
представляют собой области, в которых градиенты параметров вещества
велики, и имеется открытая граница, через которую излучение
свободно выходит. Поэтому поле излучения сильно анизотропно и
значительно отличается от планковского. Когда поле излучения
находится путем решения нелокального уравнения переноса, исполь
зование предположения об ЛТР можно считать оправданным, если
можно показать, что некий механизм — обычно это столкновения
между частицами — приводит к населенностям, соответствующим
ЛТР. Как уже упоминалось выше и как подробно будет показано в
§ 5.3 и в гл. 7 и 11 — 14, обычно это не так. Наоборот, состояние
вещества определяется полем излучения, ввиду чего соотношение
(2.6) перестает выполняться. Поэтому в конечном итоге нам
придется обратиться к более общему анализу, когда
термодинамическое состояние газа и функция распределения фотонов,
описывающая поле излучения, находятся одновременно путем совместного
решения уравнений переноса и статистического равновесия.
Рассмотрим теперь излучение, рассеиваемое веществом. Чтобы
упростить обозначения, не будем явно указывать зависимость от t>
хотя все величины могут зависеть от времени. Как указывалось
выше, в процессе рассеяния могут изменяться и направление полета, и
частота фотона. Эти изменения описываются функцией
перераспределения
R(p'9 n'; vy r\)dv' dv(du' /4ir)(do)/4тг),
представляющей собой совместную вероятность того, что фотон
с частотой в интервале v'> v' + dv\ летевший в телесном угле du>'
около направления гГ, окажется после рассеяния в пределах
телесного угла do: около направления пив интервале частот v> v + dv.
Вывод явных выражений для функций перераспределения и
подробное их обсуждение будут даны в гл. 13, однако некоторые общие
свойства этих функций стоит отметить уже сейчас. Мы будем
нормировать R следующим образом:
00 00
—Ц (Ь du' <£ dui \ dv' \ dvR(v', П'; v, П) = 1. (2.7).
о о

2.1. Взаимодействие излучения и вещества
47
Знание функции перераспределения позволяет получить
нормированный профиль поглощения ф(р) и нормированный профиль
излучения ф(р) для процесса рассеяния. Из данного выше физического
определения ясно, что, если выполнить интегрирование по всем
частотам излучения и по всем углам, мы должны получить
вероятность поглощения излучения, падающего в телесном угле du' и в
интервале частот dv\ т.е. <$>(y')dv'du' /А-к. Поэтому
00
*И = ^Ф ЛИ dvR(?\T\'\v,n), (2.8)
'') = — ф du I dvR(v\ n'; pt П),
причем в силу соотношения (2.7) ф{р') нормировано следующим
00
образом: ( <t>(v')dv' = 1. Если полный коэффициент рассеяния
о
обозначить через <т0(г), то можно написать cr(r, v') = о0(г)ф(р').
Совместная вероятность того, что энергия <т0(г)/(г, гГ, v') будет
изъята из пучка излучения, распространяющегося в телесном угле
da)' на частоте р\ и окажется рассеянной в dw на частоте р, равна
, d<j)' do)
o0(r)R(p', n'; у, n)/(r, n', V')dv'dv — —.
Поэтому, проинтегрировав это выражение по всем начальным
углам и частотам, мы получим полное количество энергии,
излучаемой на частоте v в телесном угле Л*>, а именно
rjs(r, n, v)dv— =
47Г
00
= o0(r)dv^&> ^-\ *'/?(/, n'; ., n)/(r, n', /). (2.9)
Упражнение 2.1. Показать, что полная мощность излучения
f dp & dwrjir, n, р) равна полной энергии, изымаемой из поля
излучения за единицу времени 47га0(г) j ф(р')Лг, p')dp\ так что
процесс рассеяния консервативен.
Формула (2.9) полностью характеризует распределение
излучаемых фотонов по частотам и по углам. Рассматривать задачи
переноса с той степенью общности и точности , как это только что

48
Гл. 2. Уравнение переноса
описано, обычно нелегко, но задачу можно существенно упростить.
Например, если нас в первую очередь интересует перераспределение
по частотам, а не по углам, то можно принять, что функция /(г, п,
v) почти изотропна, и в формуле (2.9) заменить ее средней
интенсивностью /(г, *>). Тогда излучение в единичном интервале dvdw
будет равно
00
»?5(Г, v) = а0(Г) j R(V\ „)/(Г, v')dv\ (2.10)
О
где усредненная по углам функция перераспределения
R(v\ v) ж J_(h ]?(,,', n'; р, П)А>' =^-&R(p', П'; v, n)rfw (2.11)
дает вероятность перераспределения из интервала (*>', р' + dv') в
(р9 v + dv). Ее нормировка:
00 00
00
j dv' \ dvR(y\ v) = \ 4>{y')dv' = 1. (2.12)
0 о о
Зависимость R(v> v') от угла исчезает в результате интегрирования
либо по du', либо по do). Это следует из того, что R(y\ гГ; р, п)
зависит только от угла между п' и п (ср. § 13.2). Формулой (2.10)
вводится приближение, чрезвычайно важное для задач о переносе
излучения в линиях, поскольку в этом случае определяющее
влияние оказывает явление диффузии фотонов по частотам из
непрозрачного ядра линии (где они «заперты») в более прозрачные
крылья линии (откуда они могут выходить из атмосферы с тех
глубин, где / фактически еще почти изотропна). В приближении, когда
выполняется усреднение по углам, так называемый профиль
излучения, т.е.
ф(р) s r,(r, vy \ r?(r, v)dv,
о
дается выражением
00 у 00
ф(р) = j R(p\ v)J(r, v')dv'/\ 0(*')/(г, v'W% (2.13)
о о *
которое показывает, что распределение излучаемых фотонов по
частотам зависит от относительного частотного распределения
падающего излучения.

2 J. h шимодеиипвии и мучения и ьещ<ства
44
В частном олуше, когда интенсивность не зависит oi частоты,
получаем так называемое естественное возбуждение, для которого
эо
ф*(») ~ \ R(v', »)dv\ (2.14)
О
11сли R(p', *') = Л'(^> "'), как jto имеет место в большинстве пред
етавляющих интерес случаев (ср. § 13.3), то ф*(р) = Ф(р). Это
значит, что при естественном возбуждении профиль излучения
совпадает с профилем поглощения (в общем случае этот результат
неверен!)- При термодинамическом равновесии возбуждение,
разумеется, является естественным. Именно этот случай и имеют обычно в
виду, говоря о естественном возбуждении. Существуют, однако, и
другие физические ситуации, когда получается тот же результат,
т.е. ф(р) = ф(р). В частности, предположим, что у атомов,
находящихся на возбужденном уровне, имеет место полное
перемешивание в пределах этого уровня, так что между частотами падающих
и рассеянных фотонов корреляция полностью отсутствует.
Тогда и те и другие фотоны имеют независимые друг от друга
распределения по частотам, пропорциональные профилю поглощения
Ф(р). О таком случае говорят, что имеет место полное перераспре
деление, или полная некогерентность. Этот случай в хорошем
приближении имеет место, например, тогда, когда во время
процесса рассеяния атомы испытывают столь сильные возмущения из-
за столкновений, что возбужденные электроны перераспределяются
по подуровням верхнего состояния случайным образом. В этом
случае вероятности поглощения и излучения (каждая из них
независимо от другой) пропорциональны числу подсостояний, доступных
для любой данной частоты в пределах линии [т.е. как раз величине
Ф(р)]9 и совместная вероятность поглощения с излучением R(p\ р)
является произведением этих двух независимых распределений, т.е.
R(p'> р) = Ф(р')Ф(р). При полном перераспределении коэффициент
излучения равен
ов
Ч*(Г, ") = o0(t)<j>{v) j <t>(p')J(r, p')dv't (2.15)
О
откуда ясно видно совпадение профилей поглощения и излучения.
Полное перераспределение является также хорошим приближением
в пределах доплеровского ядра спектральной линии. В задачах о
переносе излучения в линиях оно служит превосходным первым
приближением. При изложении теории образования линий вплоть до
гл. 13 будет допускаться, что имеет место полное перераспределе
ние.

50
Hi. 2. Уравнение переноса
Другой класс задач появляется тогда, когда в центре внимания
находится перераспределение испускаемого излучения по углам, но
допускается, что рассеяние является практически когерентным (т.е.
v1 = v). Такие задачи представляют интерес, например, при
изучении рассеяния света крупными частицами в планетных атмосферах
(в том числе и в земной атмосфере). Тогда можно написать
R(v\ п'; г, п) = £(п', п)Ф(у')8(р' - v), (2.16)
где о — дельта-функция Дирака и g — индикатриса рассеяния,
нормированная так, что
§
-^Ф *(n'f n)rf«' = 1. (2.17)
Два важных частных случая индикатрисы рассеяния — сферическая
{изотропное рассеяние)
£(п',П)= 1 (2.18)
и диполъная, или рэлеевская (описывающая томсоновское и рэлеев-
ское рассеяние),
g(n', п) = (3/4)(1 + cos2<i>), (2.19)
где собФ = п • п\ Индикатрисы рассеяния на крупных частицах
(т.е. таких, размеры которых соизмеримы с длиной волны
излучения) часто имеют чрезвычайно сложный вид и характеризуются
большими и быстрыми вариациями при изменении угла рассеяния
[312]; [359], гл. 4.
При когерентном рассеянии выражение (2.9) приводится к виду
т,5(Г, n, v) = а (г, v) ф /(г, n', v)g{X\\ П)^-. (2.20)
В спектральной линии когерентное рассеяние могло бы
происходить только тогда, когда нижний уровень перехода был бы
бесконечно тонким, верхний уровень не испытывал бы возмущений в
процессе рассеяния, а рассеивающие атомы покоились бы в системе
отсчета наблюдателя. В действительности это не так, и рассеяние в
линии гораздо точнее описывается предположением о полном
перераспределении (за иск точением далеких крыльев линии, где 0
медленно меняется в пределах интервала частот, соответствующего
доплеровским смешениям). С другой стороны, для рассеяния в
континууме (например, на электронах) распределение излучения по
частотам плавное, и и пределах типичных смещений по частоте, про-

2.2. Уравнение переноса
51
исходящих в процессе рассеяния, интенсивность практически
постоянна. По этой причине процессы рассеяния в континууме принято
рассматривать как когерентные (хотя близ спектральных линий
этого приближения может оказаться недостаточно). Кроме того,
поскольку влияние эффектов перераспределения по углам,
обусловленных тем, что индикатриса рассеяния рэлеевская, в звездных
атмосферах, как правило, очень малы, принято допускать, что
рассеяние в континууме является изотропным; поэтому
riHr, v) = <7(r, v)J(r, р). (2.21)
2.2. Уравнение переноса
вывод
Исследуем теперь задачу о переносе излучения. Возьмем инерци-
альную систему координат и рассмотрим, как в течение какого-то
определенного промежутка времени энергия протекает через
некоторый фиксированный объем. Примем, что поле излучения, вообще
говоря, изменяется со временем. Если предположить, что вещество
неподвижно, то х и rj будут изотропны (если не рассматривать
анизотропного рассеяния). В движущемся веществе следует учитывать
изменения частоты фотона и направления его движения (т.е. допле-
ровский сдвиг и аберрацию), обусловленные необходимостью
перехода от лабораторной системы отсчета к системе, движущейся
вместе с веществом. Указанные эффекты зависят от величины
п х v. Поэтому х и rj будут в этом случае явным образом зависеть
от углов.
Подсчитаем теперь энергию в интервале частот dp, проходящую
за время dt через элемент объема толщины ds и поперечного
сечения dS. Площадка dS перпендикулярна к лучу,
распространяющемуся в направлении п в пределах телесного угла do) (рис. 2.1).
Разность между количеством энергии, которая вытекает из объема (в
г + Дг в момент / + At) и втекает в него (в г и /), должна быть
равна притоку энергии за счет излучения вещества, содержащегося
в объеме, минус количество поглощенной энергии. Таким образом,
[Дг + Дг, n, v, t + At) - /(г, n, р, t)\dSdudvdt =
= [г? (г, n, i% t) - х(г, п, р, /)/(г, n, р, t)]dsdSdwdpdt. (2.22)
Пусть s — расстояние, отсчитываемое вдоль луча. Тогда
At = ds/'с, и
/(г + Дг, п, *>, / + At) = /(г, n, р, t) + [c-l(dl/dt) + (dl/ds)]ds.(2.23)

52
Г/i. 2. Уравнение переноса
/(г + Лг. n, v, / ч ДМ
/(Г. II, м. I)
Рис. 2.1. Элемент объема, содержащий поглощающее и излучающее вещество,
который рассматривается при выводе уравнения переноса.
Подставляя выражение (2.23) в соотношение (2.22), приходим к
уравнению переноса
( - г + 5 ) /(Г, П, pt t) = т?(Г, П, у, г) - х(г, П, у, /)/(Г, П, Р, 0.(2.24)
Производную по направлению можно выразить через производные
в направлении координатных осей
9s ds дх ds ду ds dz
dl dl dl
^"'Tx + ^Ty + ^Tz'
(2.25)
где (nx, nyy nz) — компоненты единичного вектора п. Поэтому
уравнение (2.24) можно переписать в виде
(М+ n v) /(r,n,„,,) =
= т/(Г, П, г, /) - Х(Г, n, v% /)/(Г, П, r, t). (2.26)
Для одномерной плоской атмосферы nz = dz/ds = cos0 = д, a
производные d/dx и Э/Эу тождественно равны нулю, и мы
получаем
В стационарном случае
iidl(z, п, у)/Л = y(z, п, *>) - xU, n, p)I(z, п, *>). (2.28)

2.2. Уравнение переноса
5?
Уравнение (2.28) есть стандартное уравнение переноса,
используемое при расчетах моделей плоских атмосфер. Координата z
возрастает в атмосфере вверх (т.е. по направлению к внешнему
наблюдателю). Для неподвижных сред у т\ и х вместо аргументов и, п, г)
остаются только (z, v). Заметим, что если rj vl \ заданы, то
уравнение (2.28) представляет собой линейное дифференциальное
уравнение первого порядка, которое можно решить при любых /х и v.
Когда в rj содержатся члены, описывающие рассеяние, уравнение
переноса превращается в интегродифференциалъное уравнение,
содержащее интеграл от / по углам и по частоте.
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА КАК УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
В кинетической теории основным уравнением, описывающим
перенос частиц, является уравнение Больцмапа. Мы сейчас покажем,
что уравнение переноса, по существу, является уравнением Больц-
мана для фотонов. Предположим, что имеется функция
распределения частиц /(г, р, г)> дающая число частиц в элементарном объеме
фазового пространства d3refip около точки (г, р). Проследим, как
изменяется / в пределах некоторого конкретного элемента фазового
объема за время di. При этом г- г + vdt и р-р+ Fdt, где
F — внешние силы, действующие на частицы. Элемент фазового
объема изменяется следующим образом:
(cfir)0(d>p)0 ~ {(Prd*p) = J[(d*r)0(d*p)0}9
где J — якобиан преобразования.
Упражнение 2.2. Показать, что с точностью до членов первого
порядка по dt якобиан преобразования элемента фазового объема
равен единице: J = 1.
Учитывая результат, сформулированный в упражнении 2.2, мы
видим, что элемент фазового объема деформируется, но его
фазовый объем остается неизменным. Если внешние силы F
непрерывны, то деформация элемента фазового объема тоже непрерывна, и
все частицы, первоначально находившиеся в элементе объема,
остаются в нем. Поскольку объем остается постоянным, не изменяется
и фазовая плотность частиц. Но если, кроме того, происходят
столкновения, то отдельные частицы могут перескакивать из
одного элемента фазового объема в другой с нарушением
непрерывности; при этом с соседними с ними частицами ничего не происходит.

54
Гл. 2. Уравнение переноса
Следовательно, изменение концентрации частиц в элементе
фазового объема должно равняться разности чисел частиц,попадающих в
этот элемент, и покидающих его за счет столкновений, т.е.
^+ д1дЛ+ dldZ+ д1дА +
dt дх dt ду dt dz dt
+ fv + fv + fv = (D , (2.29)
OPx y dpy Z dpz \Dt/ столки
или, в более компактных обозначениях,
% + (V ' V)/ + (F • V,)/ = (^) (2.30)
01 И \Vt/ столки
Для «газа», состоящего из фотонов (масса покоя которых равна
нулю), в отсутствие эффектов общей теории относительности
F SE 0, и распространение фотонов в инерциальной системе отсчета
происходит вдоль прямых с v = сп, а частота остается
постоянной. Функция распределения fR выражается через удельную
интенсивность излучения формулой (1.2). Аналогом «столкновений»
является взаимодействие фотонов с веществом, так что число
фотонов, появляющихся в элементе фазового объема, равно разности
между излучаемой и поглощаемой в нем энергией, деленной на
энергию одного фотона. Поэтому для фотонов уравнение (2.30)
принимает вид
(chv)-l[(dl/dt) + с(п • V)7] = [rj - xtyhp, (2.31)
что совпадает с уравнением переноса (2.26). По существу,
уравнение переноса есть уравнение Больцмана для сплошной среды, на
которую не действуют внешние силы, но которая подвержена
сильному влиянию столкновений. Как будет показано в § 2.3, моменты
уравнения переноса дают динамические (моментные) уравнения для
поля изучения, точно так же как моменты уравнения Больцмана
для газа дают уравнения гидродинамики.
СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В сферически симметричной среде интенсивность излучения не
должна зависеть от координат 0 и Ф, входящих в тройку
переменных (г, 0, Ф), определяющих положение точки в атмосфере, и от
азимутального угла ф, входящего в пару переменных (0, ф), опреде-

2.2. Уравнение переноса
55
ляющих направление распространения излучения относительно
локальной внешней нормали г. Поэтому /(г, n, v, t) переходит в /(г, 0,
v, г). Чтобы преобразовать общую форму уравнения переноса (2.24)
применительно к нашему случаю, нужно учитывать изменение 0
при перемещении вдоль луча, так что следует пользоваться общим
выражением ds = drx + rddd. Из геометрических соображений
ясно (рис. 2.2), что dr = cos0rfs и rdO = - sinbds (dd ^ 0 для любых
ds), так что
д Л д sin0 д д 1 - /х2 д
.. cos0 - = м - + - - -£ _, (2.32)
as or г дв or г o\i
где, как обычно, у. = cos0. Поэтому уравнение переноса для
сферически симметричной атмосферы имеет вид
= т;(г, i/, 0 - *(/-, i% /)/(г, ii, р, /)• (2.33)
В стационарном случае оно очевидным образом упрощается.
Отметим, что даже при заданных щ и х уравнение (2.33) является
дифференциальным уравнением в частных производных по г и д. Однако
это дополнительное усложнение можно обойти, используя
характеристики (в данном случае прямые линии), что сводит
пространственный оператор к обычной производной вдоль луча (см. § 7.6).
в + J0
Рис. 2.2. Геометрические соотношения
между переменными, используемыми
при выводе уравнения переноса в
сферически симметричной среде.

.56
Гл. 2. Уравнение переноса
Поэтому уравнение (2.33) по своей структуре, по существу, не
отличается or уравнения (2.28), и его можно решить столь же легко.
Упражнение 2.3. а) Рассмотреть атмосферу, которая
является аксиально симметричной, но не является сферически
симметричной (например, у звезды, сплюснутой из-за вращения). Показать,
что в этом случае /(г, п) = /(г, в, в, ф). б) Показать,что в общем
случае, когда /(г, п) = /(г, 0, Ф, в, ф) (например, у звезды,
сплюснутой из-за вращения и освещаемой звездой-спутником), уравнение
переноси в сферических координатах с учетом всех
пространственных переменных имеет вид
'!*{ дг у д1 4 -—ILL Lijl2*7 -
с dt ** <Vr * ЭД rsinG ЭФ " г~ Тц
actge а/
где
г дф
cos0sin0, a sb sin ф sin в
ОПТИЧЕСКАЯ ГЛУБИНА И ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКОВ
В дальнейшем до конца § 2.2 мы ограничимся рассмотрением
стационарного уравнения переноса для плоского случая [уравнение
(2.28)]. Положим di (z, v) ш - x(z, v)dz. Тем самым мы ввели
шкалу оптических глубин r(z, v). Величина г(z, v) определяет
интегральное (общее) поглощение вещества по нормали:
max
т(*. ") = [ х(г\ v)dz'. (2-34)
г
Знак минус в соотношении dr = - \dz введен для того, чтобы
оптическая глубина возрастала вглубь атмосферы, причем на
поверхности атмосферы (при z*= zmax) она равна нулю. Тем самым эта
величина служит мерой того, до какой глубины будет
просматривать вещество внешний наблюдатель [см. формулы (2.47) и (2.52)].
Вспоминая, что х "1 представляет собой среднюю длину свободного
пробега фотона, легко понять, что t(z, v) есть расстояние от zmax
до z, выраженное в длинах свободного пробега фотона частоты *>.
Далее, назовем функцией источников отношение полного
коэффициента излучения к полному коэффициенту поглощения:
S(z, v) - i|fc, r)/x(z9 v). (2.35)

2.2. Уравнение переноса
57
Для упрощения обозначений не будем пока указывать зависимости
от z и \х, а зависимость от частоты будем обозначать индексом v.
Тогда уравнение переноса запишется в стандартной форме
д(Э//Эт„) = Iv - Sv. (2.36)
Принимая во внимание то, о чем говорилось в § 2.1, можно
написать некоторые стандартные выражения для функции
источников, которыми мы воспользуемся, чтобы обсудить методы
решения уравнения (2.36). Предположим сначала, что имеет место стро-
ioe ЛТР. Тогда, согласно соотношению (2.6),
S, = Bv. (2.37)
Если мы имеем некоторую комбинацию теплового поглощения
и теплового излучения плюс вклад от члена, учитывающего
монохроматическое когерентное изотропное рассеяние в континууме
(например, за счет томсоновского рассеяния на свободных электронах
или за Счет рэлеевского рассеяния), то можно написать
X, = К + а„; (2.38)
тогда
S, = {kvBv + avJv)/(kv + а„). (2.39)
Для спектральной линии, налагающейся на континуум, имеем
Х„ = Хс + X/W = Хс + Х/Ф,. (2.40)
где хс и X/ коэффициенты поглощения в континууме и в линии
соответственно. Если принять, что доля е излучения в линии
обусловлена тепловыми процессами, а доля 1 — е — рассеянием с полным
перераспределением по частотам [см. формулу (2.15)], то можно
написать
vv = ХСА + Х/ФЛ^ + 0 - е) j 4>,J,dr]9 (2.41)
и тогда
= Ь,В¥ + (1 - £„) f 4>,J,dr, (2.42)
где г в хс/хг (В пределах линии величины, описывающие
континуум, можно считать не зависящими от частоты.) Формулы (2.39) и
(2.42) иллюстрируют появление в явном виде в выражении для

58
Гл. 2. Уравнение переноса
функции источников интегралов от интенсивности по углам и по
частоте. Это свидетельствует о том, что уравнение переноса
является интегро-дифференциальным. Следует подчеркнуть, что
функции источников, даваемые выражениями (2.37), (2.39) и
(2.42), — всего лишь иллюстрации. Они написаны по сути дела на
основе эвристических соображений, а физически строгий их вывод
можно будет дать только после того, как будут получены
уравнения статистического равновесия (гл. 5).
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Чтобы решить уравнение переноса, нужно задать граничные
условия. Для астрофизики фундаментальное значение имеют два
случая: а) конечный слой (плоская геометрия) или оболочка
(сферическая геометрия) конечной толщины и б) среда (например, звездная
атмосфера), имеющая по одну сторону свободную границу и
настолько толстая оптически, что по другую сторону ее можно
считать простирающейся до бесконечности, — так называемая
полубесконечная атмосфера.
Для конечного слоя геометрической толщины Z и оптической
толщины Tv (причем оптическая глубина отсчитывается от
границы, обращенной к наблюдателю) мы получим единственное
решение, если заданы интенсивности излучения, падающего на слой с
обеих сторон. Обозначив через в угол между лучом и нормалью,
направленной к наблюдателю, и положив д э= cos0, введем
функции /+ и /" следующим образом:
на верхней границе
/(О, /x,j>) = /-(м, р) - 1 ^ /х<0; (2.43)
на нижней границе
/(^,/х, ») = /+(м, р), 0< д < 1. (2.44)
Определение (2.43) сохраняет силу и для оболочки (с наружным
радиусом R и внутренним радиусом гс) при г = R.
Упражнение 2.4. а) Показать, что на внутренней поверхности
сферической оболочки (при г = гс) граничное условие имеет вид
/(гс, + м, v) = /(гс, -/х, v), если эта оболочка полая. Это так
называемое граничное условие Милна для планетарной туманности,
б) Если в центре полости имеется точечный источник (звезда),
испускающий излучение интенсивности 10, указанное в (а) граничное

2.2. Уравнение переноси
59
условие надо дополнить требованием /(гс,//, v) = /0(^)6(/х - 1).
в) Обобщить результаты (а) и (б) на случай, когда внутри оболочки
имеется непрозрачный источник радиуса rm (rm ^ гс), испускающий
излучение интенсивности /0(м', *>), где д' —косинус угла выхода
излучения с поверхности непрозрачного источника. Этот случай
служит моделью оболочки вокруг звезды, г) Показать, что в случае
(а) поток тождественно равен нулю во всех точках с г ^ гс.
В случае полубесконечной среды следует задать интенсивность
излучения, падающего на ее верхнюю границу [формула (2.43)].
При рассмотрении звездных атмосфер обычно принимают /~ = О
(очевидно, что так нельзя поступать, например, в случае двойной
звезды). В качестве граничного условия на нижней границе вместо
(2.44) при аналитических исследованиях нужно налагать
ограничение на скорость расходимости интенсивности при rv — оо. В
частности, мы будем требовать, чтобы
lim /(т,, ixt р)е~Т^ = 0. (2.45)
ти—оо
Причина выбора именно такого условия станет ясна из
последующего обсуждения. Другая возможность состоит в том, чтобы на
больших глубинах в атмосфере задать выражение I(tv9 ц9 v) через
локальное значение S(v) и градиент функции источников. Можно
задать и поток. Эти условия естественным образом вытекают из
физических соображений при диффузионном режиме, имеющем место
на глубинах, больших по сравнению со средней длиной свободного
пробега фотона.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
Прежде чем приводить формальное решение уравнения
переноса, полезно рассмотреть несколько простых примеров для случая
плоской геометрии.
а) Предположим, что среда представляет собой вакуум. Тогда
Х„ = vv = 0, и уравнение (2.28) принимает вид dl/dz = 0, откуда
Iv = const. Этот результат находится в согласии с доказанной в
§1.1 неизменностью удельной интенсивности при отсутствии
источников и стоков энергии.
б) Предположим, что вещество на частоте v излучает, но не
поглощает. Тогда уравнение (2.28) имеет вид fidl/dz = i?r, и интен-

60
Гл. 2. Уравнение переноса
сивность излучения, выходящего из слоя конечной толщины, равна
Z
/(Z, fi9 v) = I \ rj(z9 v)dz + /+(0, /x, v). (2.46)
о
Такая физическая ситуация имеет место при формировании
запрещенных линий в туманностях. Атомы могут возбуждаться,
переходя на метастабилъные уровни за счет столкновений. Поскольку
плотности в туманностях очень низки, вероятность того, что
произойдет еще одно столкновение, которое вызовет переход вниз,
очень мала. Поэтому атомы могут долгое время оставаться на ме-
тастабильных уровнях, не подвергаясь внешним воздействиям, что
ведет к накоплению на этих уровнях большого числа атомов. В
конце концов некоторые из них совершают «запрещенные»
переходы вниз, имеющие очень малую, но все же ненулевую вероятность.
При этом излучаются фотоны. Поскольку линия запрещенная,
вероятность поглощения пренебрежимо мала, и фотон выходит из
среды. Таким образом, фотоны рождаются за счет тепловой
энергии газа, а их гибели из-за поглощения не происходит.
в) Предположим, что вещество поглощает излучение, но не
испускает его. Тогда fidl/dz = — х/„» и если положить drv = xvdz> то
интенсивность излучения, выходящего из слоя конечной оптической
толщины Тр9 равна
7(0, /х, v) = /+ (Г„ м, *>)ехр(- 7». (2.47)
Формула (2.47) применима, например, к излучению, проходящему
через фильтр, в котором фотоны поглощаются, переизлучаясь в
какой-то другой частоте (например, в виде теплового излучения в
далекой инфракрасной области) или гибнут в результате
поглощения и их энергия переходит в кинетическую энергию частиц
поглощающей среды.
ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
Получим теперь формальное решение уравнения переноса.
Ограничимся случаем плоской геометрии. Если считать Su заданным, то
уравнение (2.36) — это линейное дифференциальное уравнение
первого порядка с постоянными коэффициентами, и поэтому у него
должен существовать интегрирующий множитель. Легко показать,
что этот множитель равен ехр( — т//х), так что
д(/,ехр(-т/м)]/3т„ = -мЧехр(-т». (2.48)

2.2. Уравнение переноса
61
Интегрирование уравнения (2.48) дает
/(7Р д, v) = /(r2, /х, ^)exp[-(T2-Tj)/^] +
+ - Г S,(0exp[-</ -Tx)/n]dt. (2.49)
Если S„ известно, то формула (2.49) дает полное решение задачи о
переносе излучения в плоском случае.
Формулу (2.49) можно применить к произвольной внутренней
точке полубесконечной атмосферы. При /г ^ 0 (восходящее
излучение) положим г, = tv и т2 = оо и наложим на поведение
интенсивности на бесконечности ограничение, выражаемое соотношением
(2.45). В результате получим
оо
/(г,, м. ") = ( 5Д/) ехр [-(/ - Tv)/(i]dt/v, О < м < 1. (2.50)
Г
I»
Для нисходящего излучения (— 1 < р < 0) положим г2 = 0 и
воспользуемся граничным условием на верхней границе /" = 0. Тогда
получим
т
/<т„а*.|0= (sr(0exp[-(r,-0/(-M)№/(-M). -U/i^O. (2.51)
Jo
Один из наиболее важных частных случаев формулы
(2.50) — это выражение для интенсивности выходящего излучения,
которое видит внешний наблюдатель (rv = 0):
оо
/(О, u.v)= [ S,(f) ехр (-t/ridt/p. (2.52)
о
Физический смысл формулы (2.52) состоит в том, что
интенсивность выходящего излучения представляет собой взвешенное
среднее от функции источников по лучу зрения. Весовой функцией
служит та доля энергии, излучаемой на каждой данной глубине /,
которая доходит до поверхности вдоль наклонного луча (оптическая
толщина вдоль которого равна //д). С математической точки
зрения формула (2.52) показывает, что интенсивность излучения явля-

62
Гл. 2. Уравнение переноса
ется преобразованием Лапласа от функции источников — факт,
которым в задачах некоторых типов можно воспользоваться для
нахождения S.
Многое можно понять, если принять, что функция источника
является линейной функцией глубины: 5Дг^) = S0v + Sutv. Формула
(2.52) дает тогда так называемое соотношение Эддингтона —
Барбъе
/(О, м, v) = S0v + SuJx = S„(r„ = fi). (2.53)
В силу этого соотношения интенсивность выходящего излучени
совпадает со значением функции источников на оптическом рас
стоянии вдоль луча зрения, примерно равном единице (напомним,
что ти — это оптическая глубина вдоль нормали, так что
единичное оптическое расстояние вдоль наклонного луча, идущего под
углом arccos/i, достигается при rv = /х). Соотношение
Эддингтона — Барбье широко использовалось при эмпирическом анализе
спектров Солнца и звезд. Оно служит основой многих методов
интерпретации спектров. В случае Солнца, когда на любой
фиксированной частоте можно наблюдать изменение интенсивности от
центра диска (р = 1) к краю (р. — 0), возможно (в принципе)
получить информацию о Sv(t) при 0 ^ ти < 1. Для звезд наблюдать
изменение интенсивности от центра диска к краю нельзя, но ясно, что
если проводить наблюдения на разных частотах (например, в
пределах спектральной линии), то единичная оптическая глубина будет
достигаться в более высоких слоях на тех частотах, где
непрозрачность высока (например, в центре линии), и в более глубоких
слоях — на тех частотах, где непрозрачность низкая (например, в
крыльях линии). Если при этом известна зависимость S^ от
частоты, то можно извлечь информацию о ее изменении с глубиной.
Например, при ЛТР S„ = В„, и изменением S, с частотой в пределах
узкой линии можно пренебречь. Поэтому в принципе можно
получить ход температуры с глубиной. Чрезвычайно полезное в
принципиальном отношении, соотношение Эддингтона — Барбье не
должно применяться без разбора, и использовать его буквально, т.е.
утверждать, что 7(0, д, v) совпадает с Sv(tv = р), нельзя, так как а)
значительный вклад в /ДО) всегда дают и другие глубины (так что
в задаче по самой ее сути имеется некоторая неопределенность) и
б) предположения, на которых оно основано, могут не
выполняться. Подробное обсуждение границ применимости соотношения
Эддингтона — Ьарбье'можно найти в [18], стр.121 — 130, и в [20],
стр. 20 — 30.

2.2. Уравнение переноса
63
Упражнение 2.5. Примем, что функцию источников можно
представить в виде разложения в степенной ряд с центром в точке г ,
именно
5(r) - S(rm) + S'(t)(t - г) + S»(t)(t - т)У2.
Вычислить интенсивность выходящего излучения и показать, что
выбор т^ = ц является оптимальным в том смысле, что он
обращает в нудь вклад в 7(0, /х) от S' и минимизирует вклад от S".
Другой пример, который поучительно рассмотреть, — это
конечный слой оптической толщины Г, в пределах которого S
постоянно и на который извне излучение не падает. Интенсивность
излучения, выходящего по нормали, равна 7(0, 1) = S(l - е1). При
Т> 1 имеем / = S. Этот результат физически вполне понятен, так
как излучение, которое покидает звезду, состоит из фотонов,
испускаемых на расстояниях, не превышающих средней длины
свободного пробега от границы слоя. Коэффициент излучения равен г;, а
средняя длина свободного пробега есть 1/х, и поэтому I = rj/x =
= S. При Т < 1 имеем е~ г * 1 - Г, и / * ST. Полученный результат
тоже физически ясен: в том случае, когда оптическая толщина
мала, просматривается весь объем. Поэтому энергия, излучаемая с
единицы поверхности, должна равняться коэффициенту излучения г\
(который рассчитывается на единицу объема), умноженному на
полную длину пути вдоль луча зрения Z, или / = t\Z = (n/\)(xZ) =
= ST. Отметим, что этот результат находится в согласии с
формулой (2.46).
УРАВНЕНИЯ ШВАРЦШИЛЬДА — МИЛНА
Интегрируя по углам удельную интенсивность излучения,
даваемую формапьным решением уравнения переноса, можно получить
компактные выражения для моментов интенсивности по угловой
переменной. Так, подставив выражения (2.50) и (2.51) в формулу
(1.4), для средней интенсивности получим
1 1 ОО
1 ° т V
о 'т:
х exp[-(f - tp)//i]* 4- f dp f S^rtexp[-(r, W)/(-M)]-* ■•] -(2.54)
-10

64
Гл. 2. Уравнение переноса
Выражение (2.54) приводится к более удобной форме, если
изменить порядок интегрирования и сделать подстановку w - ± 1/^
соответственно в первом ч втором интегралах. Тогда
1 f f exp[-HV-7„)]
«W = j J dtS^ J dw ir~ +
j *s-« I
+ » ЛЗД I A* ^-^ " '>, (2.55)
Интегралы no w имеют стандартный вид и называются первой ил
тегральной показательной функцией. Вообще, /2-я интегральна*,
показательная функция для любого натурального значения п опре
деляется так:
00 00
Еп{х) ш \ r"ex'dt = *"-' I t"e'dt. (2.56)
1 X
С помощью Ех(х) формулу (2.55) можно переписать в виде
оо
W = \ j S,(t}E}(\t, - r,\)dtr. (2 57)
О
Формула (2.57) была впервые получена К. Шварцшильдом и носи г
его имя. Статья Шварцшильда [416], стр. 35, является одной из
основополагающих работ по теории переноса излучения. Она
заслуживает внимательного чтения. Поскольку интеграл, фигурирующий
в формуле (2.57), очень часто встречается в теории переноса
излучения, для него используют операторное обозначение:
00
Агга ■ \ \ f№№ - r\)dt. (2.58)
Упражнение 2.6. а) Показать, что выражения (2.50) и (2.5!) эк
вивалентны следующему:
S
Г, П) = f ,(Г'
S
/(г, п) = Ч(г')ехр[-т(г, r')Jrf(lr'-rl),
О

2.2. Ьриьаение переноси 6.V
где
if -и
Г'Ы « Г ЛП, Т(Г, Г') * I v
[г'foil 5тал — расстояние до 1ра.ницы вдоль луча, распространяющегося
в направлении - п. Б но чу бесконечной среде для лучей,
направленных наружу, б1Пач --= <х>. 6) Путем подстановки приведенного выше
выражения в определение У (г) [формула (1.3)]. получить уравнение
Пайерлса:
JV) -= ^ \ b/tr')exp(-r(r\r)]/lr' - rl2j</V,
где у — объем, содержащий вещество.
Тем же способом, которым была получена формула (2.57),
можно вывести следующие выражения для Fv и Kv> впервые найденные
Милном [416], стр. 77:
00
W" 2 | S,(OE2«,- т,)А„-
Т
v
Г
-2J S,ii¥)E2{rr - /,)*„ (2.59)
О
*,(0 - ^ j ЗД*з<", ~ ',')*,• (2.60)
О
Можно ввести и соответствующие операторы:
ос
*#*)] - 2 f /(/)£2(* - т)А -
т
г
-2 f f(t)E2(T- t)dt, (2.6 i)

66
Гл. 2. Уравнение переноса
ХттЯ - 21 /(/)£,(!* -т1)Л. (2.62)
О
Упражнение 2.7. Вывести формулы (2.59) и (2.60).
Математические свойства интегральных показательных функций
подробно обсуждаются в |4], стр. 228 — 231, и в [161], приложение
1; свойства операторов Л, Ф и X рассмотрены в [361], гл. 2.
Некоторые из наиболее важных результатов указаны в следующем
упражнении.
Упражнение 2.8. а) Дифференцированием формулы (2.56)
доказать, что Е'п(х)= -Еп__х(х). б) Преобразовав выражение (2.56)
интегрированием по частям, показать, чтоЕп(х) = [ех - хЕпЛ(х)]/{п - 1)
при п > 1. в) Показать, что асимптотическое поведение Еп{х) при х
> 1 таково: Еп(х) ~ ех/х.
Физическая суть явлений переноса излучения становится яснее,
если рассмотреть линейную по г функцию источников S(t) = а +
4- Ьт. Если воспользоваться результатами, полученными при
выполнении упражнения 2.8, легко показать, что
Ат{а + Ы) = а + Ьт + [ЬЕ^т) - аЕ2(т)]/29 (2.63)
ФДя + Ы) = (4/3)6 + 2[аЕ3(т) - ЬЕ4(т)Ъ (2.64)
Хт(а + Ы) - (4/3)(я 4- Ьт) + 2[ЬЕ5(т) - аЕ4(т)]. (2.65)
Упражнение 2.9. Убедиться в справедливости формул
(2.63) — (2.65).
Из приведенных выражений (они Ьудут использованы в гл. 3 и
далее) следует ряд важных результатов, которые стоит отметить.
Во-первых, поскольку интегральные показательные функции
асимптотически стремятся к нулю как е~х/х, из формулы (2.63) ясно, что
У (г) = Ar(S) при т > 1 должно быть очень близко к локальному
значению S(t). Иначе говоря, применение оператора Л к линейной
функции источников в предельном случае больших оптических
глубин воспроизводит саму эту функцию источников. Напротив, на
границе Е7(0) = J и £3(0) = И, откуда A0(S) = (а/2) + ф/4). В
частности, при Ь - 0 имеем ./(0) = а/2 = S/2. Физически это
отражает тот факт, что У на поверхности есть среднее по двум полусфе-

2.2. Уравнение переноса
67
рам: одной, в которой излучения нет (извне излучение не падает), и
другой, в которой I = S (вследствие равенства нулю градиента 5).
Когда градиент S не равен нулю, 7(0) может быть как больше, так
и меньше 5(0), в зависимости от знака и величины этого градиента.
Вообще говоря, сильнее всего J будет отличаться от S на
поверхности. Во-вторых, из формулы (2.64) следует, что Н — Ъ/Ъ при
г > 1. Это значит, что поток на больших глубинах зависит только
от градиента функции источников (см. также § 2.5). Поток на
поверхности равен Н(0) = а/4 + Ь/6. Очевидно, что поток на
поверхности будет тем больше, чем быстрее функция источников
возрастает вглубь. Отметим также, что влияние градиента функции
источников (т.е. зависимость от Ь) на #(0) сильнее, чем на 7(0).
(Почему?)
Наконец, следует подчеркнуть, что решение уравнения переноса,
даваемое формулами (2.50) и (2.51) или (2.57) и (2.59), является
лишь формальным, и его кажущаяся простота иллюзорна.
Например, предположим, что функция источников содержит член,
описывающий рассеяние, как в выражениях (2.39) или (2.42). Тогда ясно,
что функция источников, которую нужно знать для расчета поля
излучения, сама зависит от поля излучения, а потому и от решения
уравнения переноса. В таких случаях получить / или J простой
квадратурой нельзя, приходится находить решение некоторого
интегрального уравнения или соответствующего ему
дифференциального уравнения.
Упражнение 2.10. Предположим, что функция источников имеет
вид (2.39). Показать, что Jv(t) удовлетворяет интегральному
уравнению
jvirv) = лТг|р,(д/,<0] + лт {[l - р,(0]в,(0)9
где
Сложности такого рода возникают и тогда, когда на решения
накладываются другие физические ограничения. Например, в §2.4
будет показано, что требование сохранения энергии ведет к тому,

68
Гл. 2. Уравнение переноса
что поле излучения и распределение температуры в атмосфере
оказываются связанными между собой. Таким образом, даже если
предположить, что имеет место строгое ЛТР, и-поэтому положить
Sv равным Bv и заранее считать его не зависящим от Jp9 то, вообще
говоря, пока поле излучения не найдено, определить ход
температуры Т(т), а вместе с ним и Ву[Т(тр)]9 нельзя. В этом случае функция
источников, которую необходимо знать для расчета поля
излучения, сама зависит от этого поля излучения. Когда рассматривается
более общая ситуация, в которой существования ЛТР заранее не
предполагается, эти проблемы становятся более тонкими и
сложными, так как здесь уже свойства вещества (его поглощательная и
излучательная бйособности и т.п.) непосредственно зависят от поля
излучения, поскольку оно определяет населенности уровней атомов.
Итак, проблема переноса излучения в реальных звездных
атмосферах существенно нелинейна. Изложение методов анализа сложных
взаимодействий только что описанного типа составляет основную
часть этой книги.
2.3. Моменты уравнения переноса
Рассмотрение угловых моментов уравнения переноса дает
результаты, имеющие глубокий физический смысл и очень полезные
математически. Основное нестационарное уравнение переноса (2.26)
можно переписать в виде
1 Э/(г, n, vt t) V-i Э/(г, п, р9 О
с ai—+ L "j Ц =
j
= rj(r, п, Р, t) - х(г, п, р, ОДг, п, р, /), (2.66)
где х — у-я декартова координата. Чтобы получить моментное
уравнение нулевого порядка, проинтегрируем уравнение (2.66) по
всем телесным углам tfo> и воспользуемся обозначениями.(1.4) и
(1.19), что дает
4тг d/(r, ру t) „ -п.,
с at
= <j> [т/(Г, n, pt t) - x(r, n, Pt t) I (r, n, p, t)]du. (2.67^

2.3. Моменты уравнения переноса
60
Здесь учтена возможность того, что хит; могут зависеть от
углов (как это имеет место для движущихся сред). Если уравнение
(2.67) проинтегрировать по всем частотам и воспользоваться
формулой (1.8), найдем, что
Щ^- + v.3»(Г. t) =
dt
оо
Ло[т/(г, п, р9 t) - х0\ n, v, t) I (r, n, vy 01- (2.68)
Это уравнение энергии для поля излучения. Оно очень напоминает
обычное уравнение энергии для движущейся непрерывной среды
(см. §15.1). Все члены в этом уравнении имеют непосредственный
физический смысл. Скорость изменения плотности лучистой
энергии со временем равна а) полной энергии, поступающей в поле
излучения за счет излучения вещества, минус б) полная энергия,
поглощаемая веществом из поля излучения, минус в) отток энергии
через поверхность, охватывающую элемент объема (дивергенция
потока). Если среда неподвижна, то х и г\ изотропны, и интегралы
в правой части упрощаются, что дает
—B12-L + V.jF(r. О «
dt
О»
f lv(r,",t)
= 4ж \ [г,(Г, г, /) - X(r, v, /)./(Г, у, t)\dv. (2.69)
О
Для стационарного поля излучения в одномерной плоской
неподвижной среде соотношение (2.67) приводится к стандартному
результату
dH(z, v)/dz = viz, v) - X(z, *>)/(z, ") (2.70)
или, если ввести более краткие обозначения и воспользоваться
формулами (2.34) и (2.35),
ЬИ/Ът = У - 5 . (2Л1)
V V
В случае сферической геометрии, воспользовавшись
соответствующим выражением для дивергенции, найдем (для стационарной не-

70
Гл. 2. Уравнение переноса
подвижной атмосферы)
Соотношения (2.70) — (2.72) будут неоднократно использоваться
при получении решений уравнения переноса, а соотношение (2.69)
будет использовано при выводе уравнений радиационной
гидродинамики (см. §15.3).
Упражнение 2.11. Получить соотношение (2.72) непосредственно
из уравнения (2.33).
Уравнение для момента первого порядка относительно /-й
координатной оси получается путем умножения уравнения (2.66) на л.
и интегрирования по tfw/c, что дает
1 Э^Дг, v9 t) yi дРи(г, г, t) =
:2 dt Ld dXj
= - $fo(r, П, v9 t) - x(r, n, v9 t)I{J9 n, v9 t)]ntdo)9 (2.73)
или в векторных обозначениях
= - fo(r, n, v9 t) - x(r, n, v, /)/(r, n, v9 t))t\do). (2.74)
с
Вспоминая, что плотность импульса поля излучения равна GR =
= $f/c2 (см §1.3), убеждаемся, что уравнение (2.74) аналогично
гидродинамическим уравнениям движения. Его можно рассматривать
как уравнение движения, выражающее баланс импульса поля излу
чения на частоте v. Выполнив интегрирование по всем частотам,
получаем уравнение для полного импульса излучения, которое
находит применение в уравнениях радиационной гидродинамики (см.
гл. 15):
1 Э^(г, t) „ „, ч
— — + V.P(r, t) =
с2 dt

2.3. Моменты уравнения переноса
71
а»
= -I drjdw h?(r, п, »9 t) ~ x(r, n, v, o/(r, n, v% /)jn. (2.75)
о
Согласно уравнению (2.75) скорость изменения плотности полного
импульса поля излучения со временем равна взятой с обратным
знаком силе, действующей на объем вследствие радиационных
напряжений (см. §1.4), плюс член, который описывает приобретение
(или потерю) импульса объемом в результате взаимодействия с
веществом [дальнейшее обсуждение см. после формулы (2.76)].
Уравнение (2.75), как и (2.68), учитывает возможность того, что
вещество движется. Если среда неподвижна, то интеграл от у\
обращается в нуль (это просто означает, что суммарная потеря импульса
веществом за счет изотропного излучения равна нулю, что физически
очевидно), а второй член приводится к интегралу от потока
1 Я15^ Y г t\ 1 (*
с2 dt с J
о
Физический смысл интеграла ь правой части уравнения (2.76)
легко истолковать следующим образом. Рассмотрим пучок
излучения интенсивности Л падающий на элемент поглощающего
вещества с поперечным сечением dS. Излучение падает под углом в к
нормали к dS. Энергия, поглощаемая веществом с коэффициентом
поглощения х в пределах телесного угла dw в интервале частот dv за
время Л, равна
dE = xJdScosOdsdu)di>dtt
где ds - dz/'cosв — длина пути наклонного луча через элемент,
имеющий по нормали толщину dz. Компонент импульса,
передаваемый веществу в направлении нормали, равен dEcosd/c. Поэтому
импульс, приобретаемый единицей объема за единицу времени,
составляет
(l/c)(cosddE)/dzdSdt = (l/c)xIcos$dwdr.
Интегрируя по всем углам и частотам, получаем в точности тот
интеграл, который стоит в формуле (2.76). Тем самым мы
показали, что этот интеграл представляет собой силу, с которой
излучение действует на вещество, находящееся в единичном объеме.
Для стационарного поля излучения в одномерной неподвижной

7?
Гл. 2. Уравнение переноса
плоскопарал.челъной среде соотношение (2.74) переходит в следую-
*»р.'±ш-*.хЬ,9)ЩЬ,). (2.77а)
dz С
гли, если его проинтегрировать по всем частотам,
bI^L = - ^ [ xfti „)//(*, *)dp. (2.776)
dz с J
о
Иначе это соотношение можно записать так:
aKf"K. x(z,v)H(z,v), (2.78)
dz
ИЛИ
dKv/brv = Hv. (2.79)
При сохранении тех же предположений в случае сферической
геометрии уравнение (2.74) можно привести к виду
-~ + -г (3*, - 7,) « xfHv, (2.80)
если воспользоваться выражением для (V • Р)г, указанным в
упражнении 1.10.
Упражнение 2.12. Вывести уравнение (2.80) непосредственно из
(2.33).
До сих пор моментные уравнения рассматривались нами в
первую очередь с точки зрения их динамического смысла. Однако в
стационарном случае их можно использовать и как средство для
решения уравнения переноса. Вводя моменты, мы избавляемся от
угловой переменной, и поэтому размерность подлежащей решению
системы уменьшается. Как было показано в §2.2, среднюю
интенсивность можно определить путем решения некоторого
интегрального уравнения (см. упражнение 2.10). Это дает функцию
источников, по которой с помощью квадратур можно определить моменты
более высоких порядков (например, поток). Возникает вопрос,
нельзя ли моментные уравнения свести к дифференциальным
уравнениям. Рассмотрение уравнений (2.71) и (2.79) сразу же выявляет
существенную трудность: уравнение для момента порядка п всегда

2.4. Условие лучистого равновесия
73
содержит момент порядка л + 1, и поэтому число неизвестных
функций всегда на единицу больше числа имеющихся для их
определения уравнений. Эта трудность известна под названием проблемы
замыкания: чтобы «замкнуть» систему, нужно каким-то
образом получить одно дополнительное соотношение между
моментами. Для решения уравнений переноса существуют разнообразные
методы, использующие моменты произвольно высокого порядка, в
которых условия замыкания вводятся применительно к случаю
(см., например, [361], стр. 90 — 101; [365]). Однако в этой книге мы
ограничимся только моментами Jv, Hv и Kv (исключение
встречается в §14.3), и система замыкается введением выражения.^ через Jv
и переменный эддингтоновский множитель fv, именно Kv = fvJv.
Множитель fv находится путем итераций и позволяет получить
приближенное условие замыкания точной системы (если итерации
сходятся, то замыкание также оказывается точным). С другой
стороны, в §6.3 будет показано, что уравнение переноса можно
переписать в форме, содержащей зависящие от угла переменные,
напоминающие среднюю интенсивность и поток, и что можно получить
точное замыкание для некоторого уравнения, содержащего
угловую переменную, напоминающего уравнения для моментов. Это
уравнение легко поддается дискретизации и решается численно.
Резюмируя, можно сказать, что решение уравнения переноса с
помощью моментов или эквивалентных им переменных удается
осуществить с помощью обладающей большой общностью и силой
методики, использующей дифференциальные уравнения
2,4. Условие лучистого равновесия
Глубоко в недрах звезды в ходе ядерных реакций
высвобождается энергия, которая диффундирует наружу и в конце концов
проходит через атмосферу звезды и выходит наружу, давая
наблюдаемое излучение. У нормальных звезд в самой атмосфере энергия не
генерируется. Через атмосферу вся энергия, которая в нее
поступает, просто переносится наружу. Когда процесс переноса не зависит
от времени, распределение излучения по частотам и то, какая доля
переносимой энергии приходится на лучистый и какая — на иные
механизмы переноса, может с глубиной изменяться, но полный
поток энергии строго сохраняется.
В тех слоях атмосферы, где происходит формирование спектра,
возможны два основных механизма переноса энергии —- лучистый
и конвективный (или какой-нибудь иной гидродинамический меха-

74
Гл. 2. Уравнение переноса
низм). Теплопроводность в этих слоях мала, и ею можно
пренебречь (она становится существенной в коронах, при температурах
порядка 106 К). Когда вся энергия переносится излучением, то
говорят, что имеет место лучистое равновесиех а в случае чисто
конвективного переноса — конвективное равновесие. Будет ли лучистый
перенос преобладать над конвекцией или нет, определяется
устойчивостью атмосферы относительно возникновения конвективных
движений.
Критерий устойчивости лучистого переноса был впервые
сформулирован К. Шварцшильдом [416], стр. 25, в одной из
основополагающих статей.по теории переноса излучения. Шварцшильд
сумел убедительно показать, что главным механизмом переноса
энергии в фотосфере Солнца служит лучистый перенос. Со времени
появления его работы было выполнено несколько исследований
устойчивости лучистого переноса для звезд различных типов.
Сводку результатов см. в [638], стр. 215; [И], стр. 449; [654], стр. 432.
Для звезд, подобных Солнцу, основное заключение сводится к
тому, что до оптической глубины в континууме порядка единицы
имеет место лучистое равновесие, а на больших глубинах
атмосфера становится конвективно неустойчивой. Конвективные зоны,
лежащие под наружной лучистой зоной, существуют у всех звезд
спектрального типа позже примерно F5. У звезд более ранних
спектральных типов лучистое равновесие имеется во всей наружной
оболочке звезды. В этой книге основное внимание уделяется
звездам ранних типов, и соответственно основной упор делается на
изучение режима при лучистом равновесии. Теория конвективного
переноса энергии в настоящее время еще недостаточно разработана, и
мы изложим (§ 7.3) лишь теорию длины пути перемешивания —
феноменологический подход, получивший широкое применение в
астрофизике.
Рассмотрим теперь некоторые следствия наличия лучистого
равновесия. Предположим, что среда неподвижна и поле излучения не
зависит от времени. Из приведенного в §2.1 обсуждения ясно, что
полная энергия, выводимая из поля излучения, равна
00 00
f Л^Аох 0\ W* п> ") = 47r f Х(Г, p)J(T9 v)dv% (2.81)
о о
где через х обозначен полный коэффициент ослабления. Полная
энергия, поставляемая веществом в поле излучения, равна [см. фор-

2.4. Условие лучистого равновесия
75
мулу (2.35)]
00 00
I dv$dvn (Г, *)= 4тг i х(г, ^)5(Г, v)dv. (2.82)
о о
Условие лучистого равновесия требует, чтобы полная энергия,
поглощаемая в некотором заданном объеме с веществом, была равна
полной излучаемой им энергии. Поэтому в каждой точке
атмосферы
оо
4тг f [щ(Г, v) - Х(г, r)J(r, v)]dv = 0, (2.83а)
о
или
00
4тг f x(r, v) I S(r, р) - /(г, v)]dv = 0. (2.836)
о
Упражнение 2.13. Предположим, что Sv дается выражением
(2.39). Показать, что в уравнении лучистого равновесия члены,
описывающие рассеяние, сокращаются, и оно принимает вид
j к, Bv{J)dv = j kvJvdv.
о о
При учете уравнения (2.83) соотношение (2.69) можно
переписать в другой форме:
V-F= 0. (2.84)
Итак, в случае плоской геометрии условие лучистого
равновесия эквивалентно требованию, чтобы производная потока по
глубине равнялась нулю, т.е. требованию, чтобы поток был
постоянным. Физический смысл соотношений (2.83) и (2.84) один и тот
же, но математически условие & - ^onst заметно отличается от
уравнений (2.83). При построении моделей атмосфер можно
пользоваться любым из этих двух соотношений.
Поскольку полный поток в плоской атмосфере постоянен, его
можно использовать в качестве параметра, описывающего
атмосферу. Часто используют эквивалентную потоку величину — эффек-

76
Гл. 2. Уравнение переноса
тивную температуру. Из упражнения 1.6 нам известно, что
интегральный поток с поверхности черного тела с температурой Т(К)
равен 5?вв = oRT*. Хотя излучение, испускаемое звездой, никоим
образом не является планковским, тем не менее принято вводить
эффективную температуру, равную температуре абсолютно
черного тела, испускающего такой же поток, как и звезда, т.е.
<Лф s \ &А- =4*\ Hvdv = L/AtR\ (2.85)
о о
Здесь L — полная светимость и R — радиус звезды. Считается, что
толщина атмосферы пренебрежимо мала по сравнению с R. Хотя
Г^ф не имеет прямого физического смысла, этот параметр удобен,
чтобы характеризовать атмосферу, так как обычно действительная
кинетическая температура Т равна Т^ примерно на той глубине,
откуда приходит излучение в континууме (т.е. на единичной
оптической глубине на тех частотах, где непрозрачность минимальна).
В случае сферической геометрии соотношение (2.84) дает
r^= const = L/4tt. (2.86)
В протяженной атмосфере однозначно выбрать радиус R и
однозначно ввести значение 7^ оказывается уже невозможным.
Поэтому в качестве определяющей величины следует рассматривать L
или г2& Однако иногда полагают R = r(rR = 2/3) и, пользуясь
этим радиусом, вводят соответствующее значение «Т^». Здесь
tr —росселандова оптическая глубина (см. §3.2).
Наконец, стоит вернуться к одному вопросу, который был
поднят при обсуждении формального решения. Предположим, что
непрозрачность kv не зависит от 7\ Тогда для физически разумных
зависимостей kv от v интеграл \kvBv(r)dv (дающий полную
излучаемую тепловую энергию) будет монотонно возрастающей функцией
7\ Поэтому если фиксируется полное тепловое излучение на каком-
то уровне, то тем самым фиксируется локальное значение Г. Тогда
из соотношения (2.836) (и из результата, сформулированного в
упражнении 2.13) ясно, что локальное значение Т определяется
средней интенсивностью, которая, как это следует из решения
уравнения переноса, зависит от глобальных свойств атмосферы. Таким
образом, температура в данной точке атмосферы в известной мере
определяется температурой во всех других точках и в то же время
сама дает вклад в установление поля температуры всюду в других

2.5. Диффузионное приближение
77
местах. Эта нелокальность задачи является результатом лучистого
переноса, в результате которого фотоны, перемещающиеся из
одной точки среды в другую, приводят к появлению имеющей
фундаментальное значение связи (или взаимозависимости) между
свойствами среды в этих точках.
2.5. Диффузионное приближение
На больших глубинах в полубесконечной атмосфере свойства
поля излучения и вид уравнения переноса становятся совсем
простыми. Можно непосредственно получить асимптотическое
решение, которое применимо во внутренних слоях звезды (разумеется,
за исключением конвективных зон). Это решение одновременно
дает внутреннее граничное условие в задаче о переносе излучения в
звездной атмосфере. Рассмотрим сначала свойства поля излучения.
На глубинах, значительно превышающих среднюю длину
свободного пробега фотона, излучение практически заперто, оно становится
почти изотропным и в конце концов приближается к
термодинамически равновесному, так что Sv — Bv. Выберем некоторую точку
rv > 1 в качестве начальной и разложим Sv в степенной ряд:
сю
SA) = £ (dnBJdr%tv - rvT/n\. (2.87)
п = 0
Вычислив по формуле (2.50) с помощью этой функции источников
удельную интенсивность излучения для 0 < /г ^ 1, получим
ZdnB
л = 0
= *ВД + М^+М2^ + .... (2.88)
Аналогичный результат для - 1 ^ /х < 0 следует из формулы
(2.51). Он отличается от выражения (2.88) лишь на члены порядка
e~T/fi. В предельном случае больших оптических глубин они
стремятся к нулю, и выражение (2.88) становится применимым на всем
промежутке — 1 ^ /х ^ 1. Подставляя (2.88) в интегралы, опреде

78
Гл. 2. Уравнение переноса
ляющие соответствующие моменты, находим
00
•W = J] (2п + 1)-* (d^B/dr?) =
= *ы + \т? + - (2-89а)
НЮ = j] (2л + 3)~' (d2"+lB/dT?+l) =
п = О
id»,
, . + .... (2.896)
3 «т..
п - О
1
ldfc.
= |^)+1--+.... (2.89в)
Отметим, что у моментов четных порядков /, и А^, сохраняются
лишь производные четных порядков, а у Hv — лишь нечетных
порядков.
Выясним теперь, насколько быстро эти ряды сходятся.
Производные можно (по крайней мере с точностью до порядка величины)
аппроксимировать отношениями соответствующих конечных
разностей, т.е. \dnBv/drny\ * B/rJJ. Тогда ясно, что отношение
последовательных членов этих рядов порядка 0(1/г^), или 0(1/<х„>2 * Az2),
где <х> — средняя непрозрачность на пути Az вдоль луча. Если
перейти к средней длине свободного пробега фотона l¥ « \/\v> то
множитель, определяющий скорость сходимости, становится
O^/Az2). Ясно, что сходимость очень быстрая. В
действительности оказывается, что полученная только что оценка является
консервативной. Кроме того, очевидно, что сходимость наиболее
быстрая на тех частотах, где вещество сильно непрозрачно.
Следует ожидать, что для звезды как целого Az будет составлять
заметную долю ее радиуса, скажем Az - 1010см, а <х> ~ 1 (что
означает, что средняя длина свободного пробега фотона равна 1 см),
так что множитель, определяющий скорость сходимости рядов,
будет порядка 10"20. Ясно, что в случае глубоких недр звезды
достаточно удерживать только главные члены.
Следовательно, в предельном случае больших оптических глу-

2.5. Диффузионное приближение
79
бин можно написать
/,0> **) - B,(tJ + /А (2.90а)
Jv{jv) - Bfr), (2.906)
ЯДг,) * (dB/dr^/i, (2.90в)
/ВД * ВД/3. (2.90т)
В формуле (2.90а) мы удержали два члена, чтобы учесть наличие
ненулевого потока [ср. формулу (2.90в)]. Отметим, что формулы
(2.906) и (2.90г) показывают, что
lim [KJlryjJLT) } = 1/3.
7 — оо
Это согласуется с результатом, которого следует ожидать для
изотропного излучения. Ниже будет показано, что отношение
анизотропного члена в /(г, /х) к изотропному при г —• оо стремится к
нулю, так что указанный предел действительно должен иметь место.
Интенсивность излучения, даваемая выражением (2.90а), получена
из формального решения уравнения переноса с функцией
источников вида
ад = ад + е„ - о dB/dr¥.
Поэтому формулы (2.90а) — (2.90г) должны избавить нас от
необходимости дальнейшего использования уравнения переноса. Легко
убедиться, что это действительно так, если заметить, что
подстановка выражений (2.90а) — (2.90г) в уравнение переноса (2.36) и в
уравнение (2.71) для момента нулевого порядка сводит их к одному
и тому же соотношению
d2B/dr2v = 0,
которое предполагается справедливым, а уравнение (2.79) для
момента первого порядка совпадает с (2.90в). Таким образом на
больших глубинах задача о переносе излучения фактически сводится к
одному простому уравнению
,^=_11^,^ (2.91)
"' з drv з XvbT dz
Ясно, что соотношения (2.90) и (2.91) можно использовать, чтобы
получить «внутреннее» граничное условие для уравнения переноса в
случае полубесконечной атмосферы, как уже упоминалось в § 2.2.

80
Гл. 2. Уравнение переноса
Уравнение (2.91) [как и соотношения (2.90а) - (2.9(h)| шиыьиюг
диффузионным приближением, в первую очередь из-за его
формального сходства с другими уравнениями диффузии, имеющими
вид
Поток = (Коэффициент диффузии) х (Градиент
соответствующей физической величины),
Например Ф = -кЧТ в случае теплопроводности. Коэффициент
(1/3) (1/х„) (дВ/дТ) иногда даже называют коэффициентом
лучистой теплопроводности. Этот термин вполне подходит, если
принять во внимание, что \/xv = lv представляет собой среднюю длит
свободного пробега фотона. Отметим, что уравнение (2.91)
выражает физическую суть приведенного выше результата: поток,
вычисленный путем применения оператора Ф к линейной функции ис
точников, зависит только от градиента S (см. обсуждение после
формулы (2.65)). Согласно формуле (2.91) уже только из того
факта, что звезда излучает энергию, следует, что температура в ней
должна возрастать с глубиной. Если Н заменить на L/4nR2, а
dB/dz — на актутгЯ и принять <х> « 1, то легко показать, что
температура в центре Солнца Тс должна быть порядка 6 • 106 К.
Этот результат согласуется со сделанным нами выше
утверждением, что первичным источником энергии звезд является выделение
термоядерной энергии в их центральных частях.
Обычное представление о диффузии — это медленная утечка из
резервуара большой емкости за счет постепенного просачивания.
Такое представление применимо и к предельному случаю лучистого
переноса — диффузии излучения. Диффузионное приближение
становится справедливым на больших оптических глубинах (т.е на
расстоянии многих средних длин свободного пробега от повер<-
ности). Поэтому, прежде чем фотон доберется до поверхности и
уйдет в межзвездное пространство, он проделает сложный путь,
испытав ряд последовательных актов поглощения и излучения,
перемежающихся со свободными пролетами.
Если соотношения (2.90а) — (2.90в) проинтегрировать по всем
частотам, то мы получим /(г, /х) * В(т) + 3/хЯ. Отношение членов,
описывающих изотропную и анизотропную составляющие
интенсивности, служит мерой скорости «дрейфа» в общем потоке излуче-

2.5. Диффузионное приближение
81
ния. Это отношение равно
Анизотропная составляющая ЗН
Изотропная составляющая В
= 2 ^Лф/^ж (ГэффУ. (292)
4 7Г 7Г \ Т )
Ясно, что на больших глубинах, где Т > Тэ^9 скорость «течения»
становится все меньше и меньше. Тот же результат следует из
физических соображений, основанных на несколько иной исходной
точке зрения. Если ttF — поток энергии, который уносится из
элементарного объема вещества фотонами, движущимися со
скоростью с, го скорость течения энергии в расчете на единицу
объема равна ttF/c. Запас энергии на единицу объема равен
AitJ/c * АжВ/Су так что
(Скорость течения энергии)/(3апас энергии) = F/4B = (7,эфф/Г)/4.
И снова мы видим, что диффузия (в интуитивном смысле,
описанном выше) имеет место на больших глубинах, где Т > 7^, тогда
как на поверхности, где Т » Г^ф, происходит свободный отток
лучистой энергии.

Глава 3
Серая атмосфера
Превосходным введением в изучение переноса излучения в
звездных атмосферах может служить задача о серой атмосфере.
Характер положенных в ее основу предположений таков, что эта
задача не содержит зависимости от физического состояния вещества и
сводится к решению некоторого сравнительно простого уравнения
переноса. В то же время задача о серой атмосфере показывает, как
можно добиться выполнения условия лучистого равновесия. Ее
решение можно связать с более общими и более реалистичными
моделями. Кроме того, можно получить точное решение этой задачи,
что обеспечивает стандарт, позволяющий оценивать различные
численные методы, которые могут использоваться и в более
сложных случаях.
3.1. Постановка задачи
Вводится упрощающее предположение, что коэффициент
поглощения вещества не зависит от частоты, т.е. х„ = Х- Это
предположение во многих случаях, разумеется, нереалистично. Однако, как
будет показано в последующих главах, у некоторых звезд
(например, у Солнца) коэффициент поглощения не очень сильно
отличается от серого (х„ = х) и, кроме того, за счет подходящего выбора
среднего коэффициента поглощения задачу о несерой атмосфере
можно частично свести к случаю серой атмосферы. Ввиду этого
полученное решение дает также полезное начальное приближение при
анализе несерых атмосфер.
Если принять х„ = х> то стандартное уравнение переноса для
плоского случая (2.36) принимает вид
ц(д1/дг) = /, - S„. (3.1)
Тогда, интегрируя по частотам и вводя обозначение
Г s I //*" (3.2)

3.1. Постановка задачи
83
и аналогично для 7, S, В и т.д., будем иметь
1х{д1/дт) = 7-5. (3.3)
Если наложить условие лучистого равновесия [уравнение (2.836)],
то должно быть
J xJvdv = j xS/fts (3.4)
о о
что в случае серой атмосферы переходит в 7 = S. Поэтому
уравнение (3.3) превращается в следующее:
fiidl/дт) = / - 7, (3.5)
формальное решение которого [см. (2.57)]
7(т) = Лт [S(0] = Лг [7(01 = \ ] JifWx Ot - r\)dt. (3.6)
о
Уравнение (3.6) — это линейное интегральное уравнение для 7. Оно
называется уравнением Милна, а саму задачу о серой атмосфере
иногда называют задачей Милна. Важно понять, что когда найдено
решение уравнения (3.6), то оно одновременно удовлетворяет и
уравнению переноса, и условию лучистого равновесия.
Определению таких решений в случае несерой атмосферы посвящена ббль-
шая часть гл. 7.
Если теперь дополнительно ввести предположение об ЛТР, то
Sv = Bv(T)y что в комбинации с условием лучистого равновесия
дает нам
7(г) = Sir) = В[Т(т)] = (ap7tyir. (3.7)
Таким образом, если задана функция 7(7), являющаяся решением
интегрального уравнения (3.6), то дополнительное предположение
об ЛТР позволяет посредством соотношения (3.7) связать
локальную температуру с полем излучения, удовлетворяющим условию
лучистого равновесия.
Ряд важных результатов можно получить с помощью моментов
уравнения (3.5). Взяв момент нулевого порядка и воспользовавшись
условием лучистого равновесия, будем иметь
dH/dT = 7-S = 7-7=0, (3.8)

84
Гл. 3. Серая атмосфера
иными словами поток постоянен. Момент первого порядка дает
dK/dT = Я. (3.9)
Поскольку Н постоянно, соотношение (3.9) приводит к точному
интегралу
К{т) = Нт + с =^Ft + с. (3.10)
Чтобы продвинуться дальше, надо найти, как связаны Дт) и К(т).
Это легко сделать, воспользовавшись обсуждением, приведенным в
§ 2.5, где было показано, что на больших глубинах интенсивность
излучения с высокой точностью можно представить в виде
/О*) = /0 4- /,/i,
откуда следует существование ненулевого потока, а также
вытекает, что К(т) = Дт)/3 при т > 1. Таким образом, из того, что
К(т) ~ Ft/4 при т > 1, можно заключить, что на больших
глубинах
Дт) со 3Fr/4, г > 1. (3.11)
Это означает, что средняя интенсивность изменяется с оптической
глубиной асимптотически линейно. Из общих соображений можно
ожидать, что поведение /(/) будет больше всего отклоняться от
линейного у поверхности [вспомним формулу (2.63)]. Это
подсказывает, что разумным общим выражением для У(т) окажется
Дт) = (3/4)F[r + д(т)} = Q/4)(oRT*m/ir)[T + д(т)]. (3.12)
Функция д(т), известная как функция Хопфа, подлежит
определению. Из уравнения (3.6) ясно, что д(т) является решением
уравнения
г + д(т) = | J [/ + g(t)]Ex(\t - T\)dt. (3.13)
Наконец, отметим, что, поскольку
lim [Дт)/Ъ - К(т)] = (F/4) lim [т + д(т) - т - 4с] = 0, (3.14)
7—00 7— 00
имеем 4с = <?(оо), и поэтому соотношение (3.10) можно переписать
в форме
К{т) = (F/4)[t + er(oo)]. (3.15)

3.2. Связь со случаем несерой атмосферы
85
Решение задачи о серой атмосфере состоит в нахождении q(r).
Если д(т) известно, то распределение температуры определяется
соотношением
Г4 = (3/4)7^ф[т + «7(7)], (3.16)
которое получается комбинированием формул (3.7) и (3.12).
Приближенные выражения для д(т) будут выведены в § 3.3, а точное
решение описывается в § 3.4. Сначала, однако, целесообразно
обсудить в общих чертах, как соотносятся между собой случаи серой и
несерой атмосфер и насколько далеко простирается соответствие
между ними.
3.2. Связь со случаем несерой атмосферы:
средние непрозрачности
В реальных звездных атмосферах непрозрачность (коэффициент
поглощения) испытывает сильные вариации с частотой, по крайней
мере если присутствуют спектральные линии. Хотя теперь и
существуют численные методы, позволяющие получать весьма
точные решения уравнений переноса в случае несерой атмосферы и
определять с высокой точностью температурную структуру таких
атмосфер, вычисления даже в лучшем случае остаются
трудоемкими, и важно понять, существует ли связь между случаями серой и
несерой атмосфер. В этом разделе будет показано, что такая связь,
хотя и в ограниченных пределах, все же существует и что, помимо
прочего, она позволяет по решению для серой атмосферы
определить с высокой точностью распределение температуры в глубоких
слоях атмосферы.
Сравним сначала между собой уравнения переноса для серой и
несерой атмосфер, выписав их рядом. Начав с уравнения переноса и
взяв его моменты нулевого и первого порядков, будем иметь
соответственно для несерой (а) и серой (б) атмосфер
м(Э//Эг) =x,(S, -/„),
rtdl/dz) = x(J - I),
QH/dz) = x,(S, - J„),
dH/dz = 0,
dK/dz = -xjiv,
dK/dz = -xH.
(3.17a)
(3.176)
(3.18a)
(3.186)
(3.19a)
(3.196)

86
Гл. 3. Серая атгносфера
Здесь переменные без индекса v обозначают интегральные
величины, как в формуле (3.2). Поставим теперь вопрос, нельзя ли
определить средний коэффициент поглощения х как некоторое
взвешенное среднее от монохроматического коэффициента поглощения
таким образом, чтобы проинтегрированное по частоте уравнение
переноса для монохроматической интенсивности или для одного из ее
моментов имело бы в точности ту же форму, что и в случае серой
атмосферы. Было предложено несколько возможных определений
Х-
ПОТОКОВОЕ СРЕДНЕЕ
Предположим, что мы хотим определить средний коэффициент
поглощения таким образом, чтобы добиться выполнения точного
соответствия между проинтегрированным по частоте
соотношением (3.19а) и уравнением для серой атмосферы (3.196). Если такое
среднее удастся построить, то соотношение К(т) = Нт + с опять
будет точным интегралом, как и в случае серой атмосферы.
Интегрируя уравнение (3.19а) по всем частотам, получаем
-dK/dz= ] xfivdv^XjH, (3.20)
причем второе равенство дает искомое сведение к уравнению
(3.196), если положить
XF=H-* j x/V*. (3.21)
Непрозрачность \F называется средней непрозрачностью,
взвешенной по потоку, или потоковым средним. Заметим, что такой
выбор среднего не сводит целиком задачу о несерой атмосфере к
серой атмосфере, так как при указанном выборе \
монохроматическое уравнение (3.18а) не переходит в уравнение (3.186). Кроме
того, существует еще та практическая трудность, что Ну заранее не
известно, и поэтому \F можно вычислить лишь после того, как
решено уравнение Ьереноса. Эту последнюю трудность можно
преодолеть, воспользовавшись при построении моделей и расчете xF
методом последовательных приближений. Хотя искомая цель
полностью и не достигнута, тот факт, что введение потокового
среднего сохраняет /Г-интеграл, является важным, так как из него следует

3.2. Связь со случаем несерой атмосферы
87
точное значение давления излучения [см. формулу (1.41)]. Отсюда
следует также, что получается точное значение и для механической
силы, порождаемой излучением, которая является градиентом
давления излучения. Таким образом, из соотношения (2.77) имеем
dpR/dr = -x}\dpR/dz) = (4tt/cxf) х
X ] XJtivdv = 4тг#/с = аТ*т/с, (3.22)
так что использование взвешенной по потоку непрозрачности
приводит к простому выражению для градиента давления излучения.
Этот результат имеет практическое значение при расчете моделей
атмосфер звезд ранних типов, поскольку у этих объектов
механическая сила, вызванная излучением, сильно влияет на
распределение давления (и плотности) в атмосфере, видоизменяя уравнение
гидростатического равновесия, а в случае стационарных
течений — гидродинамическое уравнение движения.
РОССЕЛАНДОВО СРЕДНЕЕ
Предположим теперь, что мы хотим получить правильное
значение интегрального потока излучения. Из соотношений (3.19)
следует, что этого можно достичь, если \ выбрать таким, чтобы
- ]xv-\bK/dz)dv = lHvdv = H= -x-\dK/dz), (3.23)
или, что то же самое,
X"1 = JXv-l(dK/dz)dp/ Т (3K/dz)dp. (3.24)
Здесь мы снова сталкиваемся с той практической трудностью, что
Ки заранее не известно, и поэтому до тех пор, пока уравнение
переноса не решено, вычислить входящие в (3.24) интегралы нельзя.
Однако среднее, определяемое формулой (3.24), можно
приближенно найти следующим образом. На больших глубинах в атмосфере
Kv — У/3, a Jv — Bv. Поэтому можно написать
дк/dz ~ j (dB/dT)(dT/dz).

88
Гл. 3. Серая атмосфера
Определим поэтому средний коэффициент поглощения \R так:
3 dz J Х„ эг J х, зг
1
или
(3.25)
ъ dz ) ьт ) ьт
о о
X*1 - 0г/4аЛП ? X;\bBv/dT)dv. (3.26)
Средний коэффициент поглощения \R называется росселандо-
вым средним в честь С. Росселанда, который его ввел. Отметим,
что поскольку это есть гармоническое среднее, то с наибольшим
весом в него входят те области, в которых коэффициент поглощения
наименьший и в которых вследствие этого переносится наибольшее
количество энергии, — очень полезная особенность. Использование
XR или среднего, определяемого формулой (3.24), не позволяет
свести уравнение (3.18а) к (3.186) и поэтому не дает возможности
перейти от несерой атмосферы к серой. С другой стороны, очевидно,
что приближения, которые были сделаны при получении формулы
(3.26), — это в точности те приближения, которые вводятся при
выводе диффузионного приближения (2.91), т.е.
я - -ll^^I
п*~ з х„ ЬТ dz '
поэтому использование \R не противоречит диффузионному
приближению. Следовательно, применение шкалы оптических глубин
тю основанной на росселандовом среднем, правильно описывает
асимптотическое поведение решения уравнения переноса и дает
правильное значение переносимого потока на больших глубинах. Это
означает, что на больших глубинах (fR > 1) распределение
температуры с высокой точностью дается соотношением
Г4 = (3/4)7^фф [fR + q(fR)] [см. формулу (3.16)]. Теперь становится
понятным, почему при изучении звездных недр используют россе-
ландовы средние непрозрачности. Отметим также, что, когда
применимо диффузионное приближение, можно написать простое вы-

3.2. Связь со случаем несерой атмосферы
89
ражение для градиента давления излучения, а именно
dpR/drR = (16aR7*/3cxR) {-dT/dzY (3.27)
Упражнение 3J. Вывести формулу (3.27).
Хотя на больших глубинах диффузионное приближение является
почти точным и дает те очень полезные результаты, которые
только что обсуждались, оно наверняка должно отказывать на
поверхности, и использование росселандова среднего не гарантирует
точного сохранения потока в верхних слоях, а также не дает
правильного распределения температуры и градиента давления излучения в
самых внешних частях атмосферы. Это обстоятельство надо ясно
осознавать, поскольку как раз в этих слоях и формируется спектр.
Именно они и представляют первостепенный интерес при анализе
звездных спектров.
ПЛАНКОВСКОЕ И ПРЯМОЕ СРЕДНИЕ
Можно выбрать несколько других выражений для среднего
коэффициента поглощения. Например, если мы хотим, чтобы
вводимое среднее давало правильное значение полной излучаемой
тепловой энергии, то нужно потребовать, чтобы
крш{] kfiv{T)dv)/B(T) = тг[ Т kfiv{T)dvVoRT*. (3.28)
Отметим, что здесь учитывается только истинное поглощение, а
рассеяние опущено. Непрозрачность кр называют планковским
средним. Достоинством его является то, что для вычисления кр нет
нужды решать уравнение переноса. С другой стороны, кр не
позволяет свести уравнение (3.18а) к (3.186), а (3.19а) к (3.196), и поэтому
оно не обладает теми достоинствами, которые есть у \F и \R. Тем
не менее некоторое дополнительное преимущество у этого среднего
все же есть.
В частности, близ поверхности звезды физический смысл
условия лучистого равновесия наиболее прямо выражается формулой
(3.4). При учете этого соотношения уравнение (3.18а) можно вблизи
поверхности свести к (3.186), если к удовлетворяет соотношению
? (kv -~k)(Jv - Bv)av = 0. (3.29)

90
Гл. 3. Серая атмосфера
Когда вещество становится оптически тонким (т.е. тр < 1 на всех
частотах), Jv делается почти постоянным, и значение интеграла в
(3.29) будет в_первую очередь определяться теми частотами, на
которых kv > к. Если Bv представить линейным по т разложением,
т.е.
в9(t) = ВД + (dB/dfKt - f) ~в,(т) + (dB/df)(k/kj(t, - т,),
то применив Л-оператор, мы найдем [см. формулы (2.57), (2.58) и
(2.63)]
■/„(f) - ад * -Bjwjryi +
+ (k/kv)(dB/df)[E3(rv)/2 + Tfifryi]. (3.30)
В пределе при т — 0 имеем ^(т) — 1 и Е3(т) — 1/2, так что первый
член дает - Bv(f)/2, а второй член мал, когда kv> к [это как раз
та область, которая входит в интеграл (3.29) с наибольшим весом].
Поэтому, чтобы уравнение (3.29) было справедливо, к должно
удовлетворять требованию, чтобы
Т kfijiv = к ? Bvdv. (3.31)
Это показывает, что планковское среднее — это то среднее,
которое лучше всего позволяет удовлетворить условию лучистого
равновесия вблизи границы.
Вместо этого можно было бы потребовать, чтобы средний
коэффициент поглощения был таков, чтобы получалось верное
значение полного количества поглощаемой энергии. Это приводит к
прямому среднему
~kj ш ] kvJvdv/J. (3.32)
о
Здесь также учитывается только истинное поглощение, а рассеяние
не принимается во внимание. Как и в случае хл пока не получено
решение уравнения переноса, рассчитать kj нельзя. Кроме того, kj
не позволяет строго свести к случаю серой атмосферы ни само
уравнение переноса для несерого случая, ни какое-либо из
уравнений для моментов (как это имело место и для планковского
среднего).
РЕЗЮМЕ
Мы убедились, что ни один из описанных выше средних
коэффициентов поглощения сам по себе не позволяет полностью свести за-

3.3. Приближенные решения
91
дачу для несерой атмосферы к задаче для серой атмосферы. И все
же средние непрозрачности позволяют получить полезную первую
оценку распределения температуры в звездной атмосфере, если в
качестве начального приближения принять T(fR) = 7* ^(f^) и
затем улучшать эту оценку с помощью процедуры коррекции,
построенной так, чтобы добиться соблюдения условия лучистого
равновесия в несером поле излучения. Средние коэффициенты
поглощения Х/г» кР и kj также используются в явном виде в некоторых
процедурах температурной коррекции.
Оглядываясь назад, следует отдавать себе отчет в том, что
задача о несерой атмосфере требовала слишком большого объема
вычислений, чтобы до появления быстродействующих ЭВМ к ней
можно было бы применить прямой подход. Использование \R и кр
давало практический метод для подхода к задаче, никак иначе не
поддающейся решению. На самом деле результаты, полученные
таким путем, несмотря на кажущуюся грубость используемого
приближения, часто не так уж плохи, как показывает сравнение с более
современными результатами. Выше были упомянуты только
некоторые из самых основных свойств средних коэффициентов
поглощения; дальнейшие сведения можно найти в [419] и [361],
§ 34 — 35.
3.3. Приближенные решения
ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭДДИНГТОНА
В § 2.5 было показано, что на больших глубинах в звездных
атмосферах имеет место соотношение / = ЗК. Кроме того, в § 1.4
было показано (ср. упражнение 1.13), что это соотношение
справедливо также для ряда других ситуаций, в том числе для двухпотоко-
вого приближения, дающего некоторое грубое представление поля
излучения вблизи границы. Исходя из этих результатов, Эддингтон
сделал упрощающее предположение, что J — ЪК повсюду в
атмосфере. Тогда точный интеграл К = Ft/4 + с позволяет заключить,
что в приближении Эддингтона J^t) = (3/4)Ft + с'. Чтобы
получить постоянную с', подсчитаем поток выходящего излучения и
приравняем его заданному значению. Поскольку, согласно формуле
(2.59), мы имеем
ДО) = 2 ? UFt + c^E2(T)dT = 2с'Е3(0) + Ы± - 2£4(0)1 ,
(3.33)

92
Гл. 3. Серая атмосфера
то, пользуясь соотношением £„(0) = 1/(л — 1) и потребовав,
чтобы F(0) = F, находим с' = 772. Таким образом,
Mr) = (3/4)F(r + 2/3). (3.34)
В приближении Эддингтона д(т) = 2/3. Если наложить условие
лучистого равновесия и сделать предположение об ЛТР, из формулы
(3.16) получим
^»1ПМ,(г+|)- (3.35)
Согласно формуле (3.35), отношение температуры на границе к
эффективной температуре равно Т0/Тэфф = (1/2)1/4 = 0,841, что
довольно хорошо согласуется с точным значением
г(/гэфф = (V3/4)* = 0,8114. Приняв S(t) = J^r) и подставив (3.34)
в формулу (2.52), можно рассчитать угловую зависимость
интенсивности выходящего излучения в приближении Эддингтона, что
дает
№ М) = | F J (г 4- |) м"!ехр(-г/м)А- = | F^ + |) . (3.36)
Это приводит к весьма специфической форме соотношения
Эддингтона — Барбье [см. формулу (2.53)]. Центр диска звезды,
видимый внешним наблюдателем соответствует 6 = 0°, или /и = 1.
А/иш диска соответствует в = 90°, или д = 0. Отношение
7(0, *ч)/7(0, 1), дающее интенсивность на угловом расстоянии
в = arccos/i в долях интенсивности в центре диска, называют
законом потемнения к краю. В приближении Эддингтона потемнение
к краю имеет вид
7^0, м^О, 1) = (3/5)0* + 2/3). (3.37)
Согласно этому результату, интенсивность на краю должна
составлять 40% от интенсивности центра диска. Наблюдения Солнца в
видимой области спектра действительно хорошо согласуются с
этим значением. Фактически именно это согласие и привело
К. Шварцшильда [416], стр. 25, к представлению о существовании
лучистого равновесия в наружных слоях атмосферы Солнца.
Сотасно формуле (3.35), Т = 7^ при т = 2/3. Этот результат
привел к широко используемому представлению, что эффективная
оптическая глубина формирования континуума есть г = 2/3, и
действительно, часто это довольно хорошая оценка. В пользу такого
представления можно заметить, что для фотона, излученного
наружу на т = 2/3, вероятность выйти через границу имеет величину

3.3. Приближенные решения
93
порядка е~°«67 * 0,5; это достаточно хорошо согласуется с
положением области, которую следовало бы интуитивно отождествить с
областью формирования континуума.
Упражнение 3,2. Соотношение Эддингтона — Барбье
показывает, что интенсивность /(0, д) характеризует S(t) при т(р.) ** /х.
Исходя из этого, показать, что средняя оптическая глубина,
характеризующая поток, равна <т> = 2/3.
Воспользовавшись приведенным в табл. 3.2 точным решением,
которое будет получено ниже, можно оценить точность величины
J^t). Оказывается, что наибольшая ошибка имеет место на
поверхности, где AJ/J = (JE - JT04HVJT0HH = 0,155. Как величина этой
ошибки, так и то, что она имеет место при г = 0, не вызывает
удивления, если вспомнить, что основное предположение, на
котором основан весь вывод, а именно J = ЪК, у границы, как
известно, не выполняется. Как мы знаем, функция У(г) должна
удовлетворять интегральному уравнению (3.6). Кроме того, нам известно,
что применение оператора Л сильнее всего сказывается при 7 = 0
(см. формулу (2.63) и последующее обсуждение). Отсюда следует,
что лучшее приближение к 7(т) можно получить по формуле
42)(т) = лд/^)] = ат[| *■(' + !)] =
= \ F[T+! ~ i Чт)+\ ад] • <3-38>
Если вспомнить свойства Еп(т)> становится понятным, что разность
между J£\t) и J^r) будет наибольшей на поверхности, где мы
находим 42)(0)//Д0) = 7/8. Новая оценка Т0/Тэфф составляет, таким
образом, (7/16),/4 = 0,813 (при точном значении 0,8114), а q(0)
уменьшается с 2/3 до 7/12 = 0,583 (точное значение 1/V3 = 0,577).
Таким образом, применение оператора Л привело к очень
существенному улучшению решения вблизи границы. Отметим,
однако, что при г — оо никакого улучшения решения нет — здесь
сохраняется первоначальное значение q = 2/3. В принципе,
последовательное применение оператора Л должно улучшать решение и в
конце концов привести к точному решению. Действительно, можно
показать, что lim Л"(1) = 0 [684], стр. 31, так что многократным
П — 00
применением оператора Л начальную ошибку е на любой
оптической глубине можно в конечном счете свести к нулю. Однако
сходимость слишком медленная, чтобы указанный метод имел практиче-

94
Гл. 3. Серая атмосфера
ское значение. Причина медленной сходимости в том, что
эффективная область влияния оператора Л порядка At * 1, и поэтому на
больших оптических глубинах ошибки исправляются «бесконечно
медленно». (С этой трудностью, связанной с Л-итерацией, мы не
раз встретимся в весьма разнообразных ситуациях; см. например,
§ 6.1 и 7.2.) Кроме того, уже второе применение оператора Л к
/^(г)приводит к появлению функций AT[En(t)], получение которых
требует громоздких вычислений [361] (формулы (14.50), (14.53),
(37.36) — (37.44)). Поэтому для отыскания решения должны быть
разработаны другие методы.
Упражнение 3.3. Пользуясь данными табл. 3.2, рассчитать отно
сительные погрешности J^r) и J£\r) и нанести их на график.
Требующиеся при этом значения Еп(т) можно найти в [4], стр. 245.
Упражнение 3.4. Показать, что, хотя J^t) было получено с
использованием предположения F = const, поток, вычисленный по
J^j) с помощью формулы (2.59), не является постоянным.
Построить график относительной погрешности AF (t)/F.
Упражнение 3.5. Применением оператора X [формулы (2.62) и
(2.65)] показать, что
Kf(j) = ^f[| г + I - I **) + 2£5(r)] .
Использовать этот результат для нахождения аналитического
выражения для переменного эддингтоновского множителя
Дт) ш К(т)/Дт). Показать, что Доо) = 1/3 и /(0) = 17/42 = 0,405.
По данным табл. 3.2 рассчитать относительную погрешность /(т)
[воспользоваться формулой (3.15)] и построить ее график.
Упражнение 3.6. Показать, что улучшенное приближенное
выражение для интенсивности выходящего излучения, получаемое при
использовании /р(т), имеет вид
'£'((),м) = \г{п + \*+ (т" + i"2) xln[(1 + ^и]
Сравнить этот результат и /^0, /х), даваемое формулой (3.36), с
точным результатом, приведенным в табл. 3.1, и изобразить
графически их относительные погрешности.
ИТЕРАТИВНАЯ ПРОЦЕДУРА УНЗОЛЬДА
Главный недостаток проис :\ры Л-итераций — ее неспособность
повысить точность решения на больших оптических глубинах. Ун-

3.3. Приближенные решения
95
зольд [638], стр. 141, предложил остроумный альтернативный
метод, который свободен от этого недостатка и допускает обобщение
на случай несерой атмосферы. Основная идея состоит в том,
чтобы, исходя из некоторой начальной оценки функции источников
В(т), получить методом малых возмущений уравнение для поправки
АВ(т), которая позволяет улучшить выполнение условия лучистого
равновесия.
Если по начальному приближению В(т) рассчитать поток, то
обнаружится, что он является некоторой функцией оптической
глубины //(т), а не точно постоянной величиной, если только В(т)
случайно не окажется точным решением задачи. Из уравнения для
момента первого порядка (3.9) имеем тогда
К(т) = \н(т')4т' + С. (3.39)
о
Если принять приближение Эддингтона J(r) = ЪК(т) и определить
С так, чтобы 7(0) = 2#(0) [см. формулу (3.34)], получим
Дт) * 3 j Щт')с1т' + 2#(0). (3.40)
о
Но из уравнения для момента нулевого порядка (3.8) мы имеем
В(т) = Дт) - dH(r)/dr9 (3.41)
так что
В(т) » 3 j H(r')dT' + 2tf(0) - dH(j)/dr. (3.42)
о
Соотношение (3.42) не может быть точным из-за тех приближений,
которые были сделаны при его выводе, но оно обладает
достаточной точностью, чтобы с его помощью рассчитывать возмущения.
В частности, предположим, что АВ(т) выбрано в точности так, что
поток, рассчитанный по В(т) + АВ(т), является постоянным. Тогда
В(т) + АВ(т) * 3 \ Hdr' 4- 2tf. (3.43)
о
Вычитая почленно (3.42) из (3.43), получаем выражение для Д5(т),
а именно
АВ(т) = 3 j AH(T')ch' + 2Д#(0) - dAH(T)/dr. (3.44)
Таким образом, если ошибки в значениях потока

96
Гл. 3. Серая атмосфера
АН(т) = Н - Н(т) известны, то можно рассчитать поправку АВ(т).
Эта поправка прибавляется затем к В(т) и вычисляются новые
значения потока, которые имеют новые (меньшие!) погрешности АН.
Процесс итераций продолжается до тех пор, пока Н не станет
постоянным и АВ — 0 при всех т. Уравнение (3.44) можно обобщить
на несерые атмосферы (см. уравнение (7.18)]. Процедура Унзольда
гораздо эффективнее Л-итераций, так как она обеспечивает
значительное улучшение решения и в глубоких слоях, и у поверхности.
Последнее утверждение доказывается в следующем упражнении.
Упражнение 3.7. Примем начальное приближение В(т) =
= ЗЩт + с), т.е. д(т) = с. а) Показать, что
АН(т) - Я - Я(т) = ! Н[ЕА(т) - сЕ3(т)].
Получить выражения для ДЯ(0) и d(AH)/dr. б) Применить
процедуру Унзольда и показать, что
ЛЯ(г) = ЗЯ[Й -с-\ сЕ2(т) + \ Ег{т) + | сЕ<(т) - \ 2?5(г)] .
в) Показать, что независимо от начального выбора с для
улучшенного решения #(0) = 7/12 = 0,583 (точное значение 0,577), а
<7(оо) = 17/24 = 0,708 (точное значение 0,710). г) Показать, что в
противоположность этому оператор Л, примененный к q s с, дает
q(0) = с/2 + 1/4 и <?(оо) = с. Первое согласуется со значением,
получаемым методом Унзольда, лишь при с = 2/3, а второе
показывает, что на больших оптических глубинах никакого улучшения
решения не достигается.
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ
Метод, который будет сейчас описан, дает возможность
получить как приближенные решения, так и точное решение задачи о
серой атмосфере. Кроме того (что еще важнее), в нем вводится та
фундаментальная математическая схема, которая служит основой
практически всех современных методов решения уравнений
переноса. Если определение У, даваемое формулой (1.4), ввести в
уравнение (3.5), то подлежащее решению уравнение переноса можно запи-

3.3. Приближенные решения
97
сать в форме интегродифференциального уравнения
* bJ^r = 1(Т>м) " \ ) /(г* ^ (3-45)
Существенная трудность при получении его решения связана с
наличием интеграла по углам. Однако определенные интегралы и, в
частности, интеграл в уравнении (3.45) можно найти численно с
помощью квадратурных сумм, представляющих собой суммы
произведений значений подынтегральной функции, вычисленных в
конечном множестве точек из промежутка интегрирования, на
соответствующие веса. Таким образом, введя {/*,) на [-1, +1], для
произвольной функции /(/х) можем написать
1 л
-1 j= -n
Числа fij называют уздами квадратурной формулы, а. — весами
квадратуры, /(иу) — дискретными ординатами. Выбрав какую-то
определенную квадратурную формулу, заменяем интегродифферен-
циальное уравнение переноса (3.45) системой уравнений
п
мда/^/Эт) = 7/ - 2 ]L °jIp'= ±1' "'' ±п*
(3.47)
где через It обозначено /(т, ц). Интенсивность излучения не
представляется более непрерывной функцией /*, а описывается
совокупностью пучков излучения, каждый из которых дает значение IQi) на
некотором определенном интервале. Из физических соображений
разумно ожидать, что при п — оо решение становится точным.
Точность квадратуры зависит как от числа точек, так и от их
расположения на промежутке интегрирования. Если точки
распределены по промежутку равномерно, мы получаем некоторую
формулу Ньютона — Котеса. Хорошо известным примером такой
формулы является формула Симпсона с узлами (д,) = (-1, 0, 1).
Лучше пользоваться формулой Гаусса, в которой в качестве 2 п
узлов на [-1, 1] выбраны корни полинома Лежандра порядка 2л.
Обсуждение построения и точности квадратурных формул увело бы
нас слишком далеко в сторону (см. [161], гл. 2). Ограничимся лишь
формулировкой следующего важного для нас результата: т-

98
Гл. 3. Серая атмосфера
точечная формула Ньютона — Котеса дает точные результаты для
многочленов степени до т - 1 (для четных т) или до т (для
нечетных /я), а m-точечная формула Гаусса является точной для
многочленов степени вплоть до 2т - 1. Для решения уравнения
переноса двойная формула Гаусса обладает преимуществами перед
обычной, или «простой», формулой Гаусса [619]. В двойной формуле
берутся две отдельные л-точечные квадратуры по промежуткам
-1^д^0и0</х< 1. На каждом из этих промежутков п узлов
даются корнями полинома Лежандра порядка п, область изменения
аргумента которого с [-1, 1] приведена к соответствующему
промежутку. Этот подход обладает тем достоинством, что /(г, +/i) и
7(т, -^) аппроксимируются независимо, и поэтому квадратурная
формула без труда может учесть тот физический факт, что
д-д) = о при т = О, тогда как /(+/*) остается конечным. В
обычной формуле Гаусса отсутствие непрерывности 7(/х) при /х = 0,
когда г = О, приводит к появлению значительных ошибок. Во всех
этих формулах точки выбираются симметрично относительно нуля,
так что vl_j = -/ху., г a_j = а у
Перейдем теперь к решению системы уравнений (3.47). Заметив,
что это система линейных уравнений первого порядка с
постоянными коэффициентами, будем искать решение в виде /, = g. ехр(-кт),
где gt и к подлежат определению. Подставляя в уравнение (3.47),
находим
п
8,(\ + к^ = \ £ ajgj = с, (3.48)
/ = -Л
так что gt = с/(1 + кр). Если воспользоваться этим выражением
для g( и еще раз подставить в уравнение (3.47) то выражение, в
форме которого ищется решение, т.е. /, = ^/ехр(-/:г), мы найдем
1 £ в/1 + Агм,)-1 = 1. (3.49)
j = -П
Это характеристическое уравнение, которое удовлетворяется
только при некоторых определенных значениях к, называемых
характеристическими корнями (или собственными значениями). Если
учесть, что a_j = а} и м_у = -/*/• уравнением (3.49) можно
воспользоваться для введения характеристической функции
Цк2)* 1 - £ а/1 - k2tf)-K (3.50)
У = 1

3.3. Приближенные решения
99
Корни Ту т.е. значения к, для которых Т(к*) = 0, являются
искомыми корнями характеристического уравнения. Если в формуле
(3.46) положить /(и) = 1, то легко убедиться, что
п п
j = -п у = 1
откуда следует, что к2 = 0 — решение характеристического
уравнения, т.е. Г(0) = 0. Имеется еще п - 1 ненулевой корень, в чем
можно убедиться следующим образом. Заметим, что при к1 = \ij2
функция Т имеет полюс, так что при этих значениях к2 она
обращается в бесконечность. При к2 = /х~2 - е, е > 0, имеем
Tik2) < 0, и поэтому, устремляя е к нулю, получаем ТЦс1) — -оо.
Аналогично при к2 - \i~2 Л- z имеем Tifc1) > 0, и Г— + оо при
е — 0. Отсюда ясно, что функция Г должна проходить через нуль в
пределах промежутка между двумя последовательными полюсами.
Поэтому п - 1 ненулевых корней должны удовлетворять
неравенствам
/хГ2 < к2 < м2"2 < - < к\_х < м;2,
где [ц(] занумерованы так, что /х, > /х/+1. Отметим, что
наибольшее из ц( должно быть меньше единицы, а поэтому наименьшее
ненулевое к2 больше единицы. Всего существует 2л - 2 ненулевых
значения к, образующих пары вида ±ki% i = 1, ... , п - 1.
Следовательно, система (3.47) имеет решение вида
а = 1
+ Л£ 1_в(1 - ад-'e-v]. (3.51)
п = 1
Найдем теперь частное решение, соответствующее корню к2 = 0. С
учетом формулы (3.11), показывающей, что У(т) на больших
оптических глубинах должно быть линейной функцией г, попробуем
искать частное решение в виде /, = Ыт + q). Подставляя это
выражение в систему (3.47), получаем
^ = "<+ i t, afly (3-52)
j = -п

100
Гл. 5. Серая атмосфера
Далее, заметим, что если в формуле (3.46) положить f(ji) = д, то
квадратурная сумма Zaj^j должна быть равна нулю. Поэтому
уравнение (3.52) будет удовлетворено при qi = Q + р..
Следовательно, частное решение есть Ifr) = Ь(т + Q + fx)t а общее
решение имеет вид
*■•(' Е^ЕЙИ
а = 1 а = 1
Далее следует определить 2л неизвестных постоянных Ьу Q и!±а.
Это достигается использованием граничных условий.
В случае слоя конечной оптической толщины Т заданными
функциями /а являются как /-. ■ 7(0, -/*,), так и If ж ЦТ, +/х,).
Поэтому для нахождения 2л неизвестных можно написать 2л уравнений
л -1
«о, -,,) = ед - ,, + Y,-nhj- +
а = 1
И
(V^ L e~k«T
a = 1
a = 1
где для улучшения обусловленности системы положено Ма =
= L_aek«T. Систему (3.54) можно решить стандартными методами
решения систем линейных алгебраических уравнений.
В случае полу бесконечной атмосферы, находящейся в лучистом
равновесии, в качестве граничных условий мы имеем Izt Е
з 7(0, —р) = 0 и требование, чтобы /(г) не расходилось
экспоненциально при т — -I- оо. Чтобы последнее условие удовлетворялось,
следует положить
L_a = 0, (3.55)
а граничное условие на наружной границе позволяет написать п

3.3. Приближенные решения
101
уравнений
Q - М, + £ La(\ - А:^)-1 = 0, i = 1, ... , /2. (3.56)
а = 1
Решение уравнений (3.56) дает п неизвестных Q и La. Наложим,
кроме того, требование, чтобы поток равнялся заданной величине
F. Таким образом, мы требуем, чтобы
1 я
2 J Uripdii = 2 £ «М = F. (3.57)
-1
у = -п
Подставляя выражения (3.53) (с L_a = 0), имеем
г " "
у = -л у = -л
а я 1 у = -л У
Из формулы (3.46) следует, что первая сумма равна нулю, вторая
равна 2/3, внутренняя же сумма в двойной сумме равна нулю, как
это следует из характеристического уравнения.
Упражнение 3.8. Проверить сделанные выше утверждения,
касающиеся значений сумм в формуле (3.58).
Таким образом, находим, что Ь = (3/4)F, как и следовало ожидать
согласно формуле (3.11). Отметим также, что использование
такого приближения при вычислении квадратуры автоматически
приводит к постоянному потоку. Окончательно полное решение для
полубесконечной атмосферы можно записать в виде
/,<т) = |f[t + е + м/ + £ Lf-*J (1 + kji)'l]9 i = 1, ... , п.
a = 1
(3.59)

102
Гл. 3. Серая атмосфера
Подставив выражения (3.59) в представление интеграла,
дающего 7(т), в виде квадратурной суммы, можно вычислить У(г).
Воспользовавшись характеристическим уравнением, получим
п - 1
7(т) = jf(t + Q + £ Lae~k^ , (3.60)
о = 1
и поэтому представление для q(r) в приближении дискретных
ординат имеет вид
п - 1
ЯЬ) = Q + £ L«€~kaT- <3-61)
а = 1
Упражнение 3.9. Вывести формулу (3.60).
Численные значения q(r) для п = 1, ... , 4 были получены Чан-
драсекаром [153] с использованием обычной формулы Гаусса и
Сайксом [619] — с использованием превосходящей ее по точности
двойной формулы Гаусса. В обоих случаях для q(0) получается
точное значение 1/VJ. Абсолютная величина максимальной
относительной погрешности определения J{r) при использовании обычной
формулы Гаусса составляет 9,0; 4,1; 2,7; 2,0% при п = 1, ... , 4
соответственно, а для двойной формулы Гаусса — 9,0; 1,8; 0,9%
соответственно при п = 1; 2 и 3. Приближенные значения #(оо), т.е.
Q, даваемые двойной гауссовой квадратурой, равны 0,71132 и
0,71057 при п = 2 и 3. Эти значения хорошо согласуются с
точным значением 0, 710446. Решение, получаемое при двойной
гауссовой квадратуре с п = 3, дает значение выходящей интенсивности
/(0, /x)/F со среднеквадратичной ошибкой всего 0,1%; при /х ^ 0,3
оно очень точное (0,02%). Следует подчеркнуть, что главное
достоинство метода дискретных ординат состоит в том, что в пределе
при п — оо он дает точное решение, а также в том, что он служит
исключительно мощным приближенным методом решения более
сложных задач.
Путем аналитических преобразований характеристического
уравнения с использованием граничных условий можно получить
несколько очень важных результатов, которые окажутся полезными в
нашей дальнейшей работе. Для упрощения обозначений введем
х = \/к и X = \/к2. Тогда характеристическую функцию,
определяемую формулой (3.50), можно переписать в следующих эквива-

3.3. Приближенные решения
103
лентных формах:
> = 1 J j = 1 J
Чтобы избавиться в выражении Т(Х) от дробей, умножим обе ча-
п
сти на YI 0х; ~ ^0- Это дает
Р(Х) ш J] Ц2 _ х)Т(Х) = £ ар* £ Ц? - *). (3.63)
у = 1 / « 1 у = 1
Полученное выражение, очевидно, есть многочлен порядка п - 1
по X. Но нам известно, что Т(Х) имеет п - 1 корень
Х{ = 1/fcf, ... , Хп _ j = I/** _ {9 так что Р(Л) должно иметь вид
С(Х - Х{) ... (X - Хп _ {). Чтобы найти постоянную С, заметим,
что коэффициент при Хп ~ 1в выражении (3.63) равен (-1)" ~ * х
п
х £ apf = (-1)"" V3. Это как раз и есть С. Таким образом,
имеем
Р(Х) = jt*! - Л)... (*„_! - А),
и поэтому
ПХ) = j [ "И" С*} - *)]/ П W- X). (3.64)
у -« 1 у * 1
Из формулы (3.62) видно, что ДО) = 1. Отсюда, полагая А' = 0 в
формуле (3.64), получаем полезный для дальнейшего результат:
Рассмотрим теперь интенсивность выходящего излучения
ДО, /х). Определим функцию S(/x) такую, что
ад - е - м/ + I А,о - м^1- <3-66>

104
Гл. 3. Серая атмосфера
Тогда граничное условие на поверхности [формула (3.56)] можно
записать в виде
7(0, -М.) = |/ЭД = 0. (3.67)
Распространим теперь определение S(ji) на все значения ц и
напишем
7(0, д) = |/Ъ(-м), /х ^ 0. (3.68)
Заметим, что при таком обобщении 7(0, -/*) не равно
тождественно нулю, но, вообще говоря, будет иметь ненулевые значения при
-д * М-/- Пользуясь S(/x), можно получить выражение для
7(0, -fi), которое не содержит в явном виде постоянных La и Q.
Избавляясь в равенстве (3.66) от дробей, получаем
5(м) П О " М = (Q - м> П <! - *«^ +
*а = 1 а = 1
+ Е £« П <* ~ М- <3-69)
/ = 1
/ * а
Выражение, стоящее в правой части, есть, очевидно, многочлен по
/х порядка п. Но S(£) имеет л корней др ... , itw. Поэтому этот
многочлен должен иметь вид С(д - /ах) ... {р. - fin). Чтобы найти С,
заметим, что коэффициент при \кп в правой части формулы (3.69)
равен (- \)пк1 ... кп _ ,, что и есть С. Следовательно,
П <М, - М) П ^/ " ">
л
П( = 1 < = 1
*. = (3.70)
J] (1 - к,ц.) п <*< - ^
i = 1
Подстановка (3.70) в формулу (3.68) дает искомое выражение для
7(0, fi). чПринято вводить функцию потемнения к краю H(ji):
H{Li) = 7(0, р)//(0, 0). (3.71)
[Отметим, что, в отличие от формулы (3.37), точкой, от которой
ведется отсчет, здесь является край, а не центр диска.] В приближе-

3.4. Точное решение
105
нии дискретных ординат из формул (3.68) и (3.70) находим
Hiii) = [J (1 + iirWU (1 + */")• ОЛ2)
1=1 /=i
Дальнейший анализ с использованием S(jjl) показывает, что можно
написать явные выражения для La и Q, выразив их через (д.) и
корни [kj (см. [161], стр. 78 — 79; [684], стр. 25).
Прежде чем закончить изложение метода дискретных ординат,
покажем, что #(0) = 1/V3 есть точное значение. Начнем с
замечания, что в л-м приближении
п - 1
■w=I f(q + £ l) =! F*<°>' <з-7з>
а = 1
тогда как из формулы (3.59) находим
п - 1
/„(0, 0) = |^(д + £ £в) = /„(О) (3.74)
а = 1
независимо от порябка приближения п. Поэтому заключаем, что в
точном решении 7(0) = 7(0, 0). Но из формул (3.68) и (3.70) имеем
/„(0, 0) =|^S(0) = !FMl ... мА ... *„ _ ,. (3.75)
Далее, комбинируя формулы (3.65), (3.75) и (3.73), приходим к
выводу, что независимо от порядка приближения п величина
qn(0) = 1/VJ. Следовательно, этот результат является точным.
3.4. Точное решение
Точные выражения для q(r) и HQi) можно получить переходом к
пределу п — оо в методе дискретных ординат [161], гл. 5; [361],
§ 27, с помощью принципа инвариантности [161], гл. 4; [361], § 28,
или прямым методом преобразования Лапласа [361], § 29; [684],
гл. 3. Мы приведем здесь лишь некоторые важнейшие результаты,
а за деталями читателю следует обратиться к указанной только
что литературе.
Существует несколько выражений для Н(р) ([361],
стр. 186 — 187). Для вычислений удобно следующее представление:
о

106
Гл. 3. Серая атмосфера
Расчет по этой формуле дает результаты, представленные в
табл. 3.1 [152], [518].
Таблица 3.1
Точный закон потемнения к краю для
серой атмосферы
/*
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
/(0, n)/F
0,43301
0,54012
0,62802
0,71123
0,79210
0,87156
А»
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
/(0, n)/F
0,95009
1,02796
1,10535
1,18238
1,25912
Значение #(оо) можно получить, если заметить, что, согласно
формуле (3.15), #(0)= Hq(oo)9 и потому, пользуясь (3.71), находим
(7(оо) = 1яО*)м^/х/|я(дЫ/х. (3.77)
Из явных выражений для Н{ц) можно получить, что
отсюда <?(оо) = 0,71044609 [519]. Наконец, можно написать в
замкнутой форме выражение и для q(j) [407]:
о
где функция H(ji) определена так же, как и выше, и
Z00 - [l - iMlng-rf] 2 + xV/4' °М)
Результаты, полученные путем численного расчета по формуле
(3.79), даны в табл. 3.2.

3.5. Поток, выходящий из серой атмосферы
107
Таблица 3.2
Точные значения для функции q(r)
т
0,00
0,01
0,03
0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
Ф)
0,577351
0,588236
0,601242
0,610758
0,627919
0,649550
0,663365
0,673090
0,680240
0,685801
т
0,8
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
5,0
00
Ф)
0,693534
0,698540
0,705130
0,707916
0,709191
0,709806
0,710120
0,710270
0,710398
0,710446
3.5. Поток, выходящий из серой атмосферы
Главное физическое предположение, сделанное в задаче о серой
атмосфере, состоит в том, что коэффициент поглощения считается не
зависящим от частоты. В таком случае условие лучистого
равновесия принимает вид S(t) т /(т), задача упрощается и сводится к
получению решения уравнения (3.6). Если, кроме того, принять, что
имеет место ЛТР, то В(т) = ал7*/т можно приравнять У(т); тем
самым мы приходим к формуле (3.16) для Дт). Интенсивность
излучения зависит от частоты, поскольку от частоты зависит функция
источников, которую мы принимаем равной Ву(Т(т)). Если функция
источников задана, то зависимость потока от частоты на любой
глубине можно рассчитать по формуле (2.59), которая в данном
случае принимает вид
Fv(r) = 2 ] Bv[T(t)]E2(t - r)dt - 2 ) Bv[T(t)] x
r 0
X E2(t - f)A. (3.81)
Температура входит в функцию Планка только в комбинации
Ир/(1сТ). Далее, отношение 7Xr)/7^, согласно формуле (3.16), есть
некоторая однозначная функция г, скажем 1//?(т). Поэтому формулу
(3.81) можно упростить, если ввести параметр а = hv/(kT^\
тогда можно написать, что hv/(kT) = ар(т). Выразив поток в тех же

1OS Гл. 3. Серая атмосфера
О 2 4 6 8 10 12
а
Рис. 3.1. Частотное распределение потока на нескольких глубинах в серой
атмосфере. (По [155], с разрешения.)
единицах, т.е. положив FJt) = Fv(r)dv/day и использовав
соотношение F = ^д^фф/7Г> можно переписать формулу (3.81) в виде
Fa(r) _ 4жк* J Г E2(t - r)dt _
F h3chR I J ехр[сф(0] - 1
T
- f *#-№ ]. (3.82)
Выражение в фигурных скобках является функцией только а и т,
и его можно вычислить раз и навсегда. Таблица значений FJj)/F
дана в [161], стр. 295, а график функции приведен на рис. 3.1. На
рис. 3.1 хорошо видно уменьшение энергии фотонов по мере их
распространения из глубины к поверхности. Например, при 7 = 0
наиболее часто встречающаяся энергия фотонов составляет лишь
около 75% значения этой величины при г = 1. Это прогрессирующее
покраснение фотонов в наружных слоях вызвано падением
температуры наружу, являющимся следствием существования лучистого
равновесия.
3.6. Атмосфера, мало отличающаяся от серой
Пользуясь соответствующим средним коэффициентом поглоще-

3.6. Атмосфера, мало отличающаяся от серой
109
ния, можно, по крайней мере приближенно, учесть малые
отклонения от серой атмосферы, сильно расширив тем самым область
применимости результатов, полученных для серой атмосферы.
Предположим, что изменение коэффициента поглощения с частотой на
всех глубинах одно и то же, так что можно написать
X, = Хс(1 + Ю - Хс7„> (3.83)
где
XcF = ] хЛ(1)*- <3-84)
о
В формуле (3.84) через F^ обозначен поток в серой атмосфере.
Средний коэффициент поглощения хс, определяемый формулой
(3.84), называют чандрасекаровым средним. Как мы увидим ниже,
этот средний коэффициент поглощения построен таким образом,
что позволяет оптимальным образом использовать информацию,
содержащуюся в решении задачи о серой атмосфере. В отличие от
потокового среднего [формула (3.21)] чандрасекарово среднее при
любой заданной зависимости непрозрачности от частоты (т.е. &р
или 7„) можно вычислить непосредственно, ибо F*p — известная
функция.
Рассмотрим теперь, как можно решить задачу о переносе
излучения в несерой атмосфере, пользуясь методом последовательных
приближений. Уравнение переноса в этом случае (в предположении
ЛТР) есть
V Щ = (х/х) (/„ - Bv) = (1+0,) (/, - В). (3.85)
Если предположить, что отклонения $v можно считать малыми, то
первое приближение к решению уравнения (3.8S) получим, положив
$v ж 0. Уравнение переноса переходит тогда в уравнение для серой
атмосферы
М !=*=- = 4!) - *„ (3.86)
решение которого уже известно. Чтобы получить второе
приближение, запишем
мИЮ/Эт = 1? - Bv + 0, (/</> - Bv)
или, если воспользоваться (3.86),
fidl^/дт = /<2> - Bv + QjaiSp/dT. (3.87)

по
Гл. 3. Серая атмосфера
Если потребовать, чтобы поле излучения, даваемое этим вторым
приближением, удовлетворяло условию лучистого равновесия, то
dF^/dr ш 0, где Я2) — интегральный поток. Тогда из уравнения
(3.87) находим
/2) _ в + JL [ QjFMdv = 0. (3.88)
о
Заметим, однако, что из формул (3.83) и (3.84) следует, что
х/ = хс] 0+ P№)d» = х/ + хЛ 0Л(1)^> <3-8°
или
j /3/?>Л = 0. (3.90)
Следовательно, условие лучистого равновесия для несерой
атмосферы, которая удовлетворяет условиям описанного выше
приближения, вырождается в соотношение /2) = В(т). Это означает, что
распределение Т\т) в серой атмосфере, где f — оптическая глубина в
шкале чандрасекарова среднего, будет в первом приближении
автоматически удовлетворять условию лучистого равновесия для
несерой атмосферы. Метод получения приближений более высоких
порядков описан в [161], стр. 296 и дальше.
Ограничиваясь первым приближением, интенсивность
выходящего излучения для несерой атмосферы можно вычислить по
формуле
7(0, /х) = ] Bv(T{r))exp(-7i77/x) (y/n)df9 (3.91)
а поток
F„(0) = 2 j Bv(T(r))E2(yj)yvdr. (3.92)
Если ввести параметр а ■ hp/(kT^)9 как это делалось в §3.5, и
написать
ядцт» = ад) ^"^gffi."* - *AWjF). (3.93)
то формулы (3.91) и (3.92) приводятся к следующей форме:
/,<Р, м) = Bv{TJ> j &в(т)ехр(-7,т/*0 х
X (y/n)df ш BJJ^{<x, у/р), (3.94)

3.6. Атмосфера» мало отличающаяся от серой
111
Fv(0) = 2*,(7у J bJj)E2(yvrbvdr = В9(Т^(а9 yv). (3.95)
Функция bjf) при любом заданном значении а имеет некоторый
вполне определенный вид, и поэтому функции сХ(а, /3) и ^(а, /3)
можно рассчитать раз и навсегда. Таблицы этих функций имеются
в [161], стр. 306 — 307.
Введенные только что функции У (а, /3) и ^"(а, /3) в свое время
сыграли важную роль в развитии теории звездных атмосфер.
Анализируя данные наблюдений, имевшиеся для Солнца, Мюнч [473]
сумел найти те значения уу9 которые лучше всего воспроизводили
наблюдаемые потоки и потемнение к краю. Было показано, что
они находятся в разумном согласии с зависимостью от частоты
коэффициента поглощения отрицательного иона водорода Н",
рассчитанной Чандрасекаром. Исследования такого рода привели к
надежному отождествлению Н" как основного источника
непрозрачности в атмосфере Солнца. Более подробное рассмотрение не-
прозрачностей дается в следующей главе.

Глава 4
Коэффициенты поглощения
В этой главе даются общие представления о квантовомеханиче-
ском расчете атомных коэффициентов поглощения. Автору
хотелось бы дать такое изложение, которое было бы вполне
замкнутым, но за недостатком места приходится предполагать, что
основные принципы квантовой механики на уровне [392], гл. 2 — 8,
все же известны.
4.1. Эйнштейновские соотношения для
связанно-связанных переходов
Рассмотрим сначала поглощение и испускание излучения
атомом при переходе между двумя связанными состояниями.
Предположим, что нижнее состояние (/) имеет статистический вес gi9 а
верхнее СО — £/• Существует три вида процессов такого рода. Их
обычно описывают с помощью соответствующих коэффициентов,
впервые введенных Эйнштейном [207].
Первый процесс — прямое поглощение излучения, приводящее к
переходу вверх с уровня / на уровень у. Скорость, с которой этот
процесс протекает, когда интенсивность излучения равна Iv% можно
следующим образом записать через эйнштейновский коэффициент
nfyyR^ia/Аж = лДОД///«/4т. (4.1)
Здесь nt(v)dv — число атомов в 1 см3 на уровне /, которые способны
поглощать излучение с частотами в интервале {у> v + dv).
Спектральная линия, соответствующая такому переходу, вообще говоря,
не является бесконечно тонкой. Из-за возмущений, вызываемых
окружающими атомами и ионами, а также из-за конечности
времени жизни на верхнем уровне будет существовать некоторый
разброс частот в линии, который будет описываться профилем
поглощения фр9 нормированным так, что \<t>vdv = 1. Таким образом, если
полное число атомов на уровне / равно ni9 то число тех атомов,
которые способны поглощать на частоте р9 есть njiy) = nff>v.
Совершая переходы с уровня / на уровень у, атомы поглощают фотоны с

4.1 Эйнштейновские соотношения
)13
энергией hv- — Е - Ег Полому темп убывания энергии из
падающего пучка излучения равен
<//„ - пЦВ^МжУФ^ (4.2)
i де av — макроскопический коэффициент поглощения (на единицу
объема), не исправленный за вынужденное излучение (см. ниже).
Для атомов, возвращающихся с уровня j на уровень /,
возможны два процесса. Первый из них — это спонтанный переход с
излучением фотона. Если через Ajt обозначить вероятность
спонтанного излучения за единицу времени, то скорость испускания энергии
равна
ту „(спонтанное) = п^АиНри/4тг)ф1/. (4.3)
Здесь профиль излучения фр определяет долю атомов на верхнем
уровне, который могут излучить фотоны с частотами из интервала
(у, v + dv). Другой возможный процесс, ведущий к возврату на
исходный уровень, — это переход, вызываемый полем излучения
(вынужденное излучение). Темп, с которым происходит такое
излучение, считается пропорциональным интенсивности падающего
излучения. Излучаемая энергия следующим образом записывается через
эйнштейновский коэффициент Bjt:
ту „(вынужденное) = п/В^р^/Л^ф^. (4.4)
Чтобы записать формулу (4.4), был использован тот факт, что
профиль вынужденного излучения такой же, как и спонтанного
излучения. Это можно показать из общих квантовомеханических
соображений [197], §62. Следует отметить, что спонтанное излучение
происходит изотропно. Вынужденное излучение пропорционально
lv и имеет то же угловое распределение, что и Iv. Поэтому
вынужденное излучение иногда рассматривают как отрицательное
поглощение, хотя это и не вполне корректно, так как, вообще говоря, фу
не совпадает с фу.
Коэффициенты AJi9 Bjt и В~ связаны между собой простыми
соотношениями. Это можно показать, подсчитав число актов
поглощения и излучения при термодинамическом равновесии (ТР). При
строгом ТР поле излучения изотропно и Iv ж Bv, где Bv — функция
Планка. Кроме того, при ТР населенности уровней / и j связаны
формулой Больцмана [см. формулу (5.5)]
(ПЛ =£ехр(-А*/*7). (4.5)

114
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
При ТР имеем также ф¥ = ф* = фр [см. формулу (2.14)]. Далее, при
строгом ТР любой переход вверх в интервале (*>, v + dv) должен в
точности уравновешиваться переходом вниз с излучением в этом
же интервале (детальный баланс). Поэтому число прямых и
обратных процессов в одном и том же интервале частот должно быть
равно:
*Г*Л = "jam + «7*А- <4-6>
Разрешая это уравнение относительно Ви, находим
в> ' 1^%в = МЙ* ехР(Л"/А:7) " '] ' (4Л)
/ I/ J Ji ij L 6ГЛ J
Но из статистической физики известно, что точное выражение для
функции Планка имеет вид Ви = (2hv3/c2)[exp (hv/kT) - I]""1.
Чтобы согласовать это выражение с (4.7), мы должны заключить, что
Ал ш (2кг*/с*)Вл (4.8)
и
Sfiij - SjBjr (4-9)
Эти соотношения не раз будут использованы в дальнейшем.
Следует подчеркнуть, что хотя соотношения Эйнштейна (4.8) и
(4.9) для простоты выводились из рассмотрения
термодинамического равновесия, эйнштейновские коэффициенты в
действительности определяются свойствами самого атома и не должны поэтому
зависеть от вида поля излучения. Поэтому приходим к
заключению, что соотношения (4.8) и (4.9) справедливы всегда. Интересно
отметить, что в свое время соображения, аналогичные указанным
выше, привели к осознанию того, что в природе должен
существовать процесс вынужденного излучения — факт, интуитивно не
очевидный с первого взгляда.
Упражнение 4.1. Показать, что для планковского поля
излучения при типичной температуре звездной атмосферы (~ 104 К) в
ультрафиолете, где hv/kT > 1, спонтанное излучение происходит
гораздо чаще вынужденного, а в далекой инфракрасной и
радиообластях, где hv/kT < 1, справедливо обратное.
Изложенное выше описание на языке микропроцессов можно
непосредственно перенести на уравнение переноса. Если происходят
только связанно-связанные переходы, то соответствующее уравне-

4.1. Эйнштейновские соотношения
115
ние переноса имеет вид
M1F = lnjAji*> ~ (п^' ~ лА^гКЛ"/4*)- (4.Ю)
Здесь мы, как это обычно принято делать, собрали вместе все
члены, содержащие Iv. Это позволяет ввести коэффициент поглощения
в линии, исправленный за вынужденное излучение:
и функцию источников в линии:
s _ пА,$>, _ ^_(МА - Л "' (Л 12)
s>- пм.-пм, - Л-м V • (4л2)
Уравнение переноса приводится тогда к стандартной форме (2.36).
Во многих случаях, представляющих астрофизический интерес,
справедливо упрощающее приближение полного перераспределения.
В этом случае фу ш ф^ и формулы (4.11) и (4.12) принимает вид
S, = (Рн%/с*)[п#/п# - I]"1. (4.14)
Эти выражения будут использоваться на протяжении большей
части этой книги. Исключение составляет гл. 13, в которой между фу
и фр будет проводиться различие. При ЛТР применима формула
Больцмана. Поэтому nJ/ni = (п/п)* = (g/g)exp(-hvi}/kT)y и
коэффициент поглощения принимает вид
**<"> = ^^ ф^ ~ ехр(-А^/А:7)]. (4.15)
Множитель [1 — ехр(-А^/А:7)] называют обычно поправкой за
вынужденное излучение. Однако, как ясно из формул (4.11) и (4.13),
это выражение для поправочного множителя справедливо только
при ЛТР. Аналогичным образом функция источников при ЛТР
принимает вид
5Г = (2Л^/с2)[ехр(Л^./А:7) - I]"1 ш В¥, (4.16)

116
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
как и следовало ожидать на основании соотношения
Кирхгофа — Планка [формула (2.5)].
Выражение (4.14) неявно содержит в себе решение уравнений
статистического равновесия (см. гл. 5), поскольку в него входит
отношение населенностей рассматриваемых уровней. Это отношение
удается выразить через одну термодинамическую переменную Т
только в случае Л ТР. В общем же случае оно будет зависеть от
температуры, плотности и поля излучения (на частотах всех
переходов атома). Поэтому выражение (4.14) мы будем называть
неявной формой функции источников. Альтернативный подход состоит
в том, чтобы явно, в аналитической форме, подставить в функцию
источников решение уравнений статистического равновесия.
Получающийся результат мы будем называть явной формой функции
источников. Как будет показано в гл. 7 и 11 — 14, эта последняя
форма гораздо эффективнее и удобнее.
4.2. Вычисление вероятностей переходов
Обратимся теперь к вычислению эйнштейновских
коэффициентов. Точнее говоря, выведем лишь выражение для вероятности
поглощения BiJf так как коэффициенты В . и AJt можно найти по Btj
при помощи соотношений (4.8) и (4.9). Этот расчет можно
произвести на трех последовательно более высоких уровнях приближения,
состоящих в следующем.
1) Классический атом и классическое электромагнитное поле.
Электрон считается затухающим гармоническим осциллятором,
возбуждаемым электромагнитным полем. Для коэффициента
поглощения получается универсальное значение, которое имеет
правильную размерность и для сильных линий оказывается достаточно
точным. Для слабых линий оно может давать ошибки на несколько
порядков.
2) Квантовомеханический атом и классическое электромагнитное
поле. Здесь можно получить правильные выражения для BiJ и BJit
величина же AJt в этой теории вообще не появляется (хотя она все
же верно определяется при помощи соотношений Эйнштейна).
3) Квантовомеханический атом и квантованное
электромагнитное поле. Здесь для всех трех коэффициентов правильные
результаты получаются автоматически, так что эта теория является
действительно полной.
В этом параграфе расчет сначала выполняется методом (1)
потому, что это интересно как в историческом отношении, так и для

4.2. Вычисление вероятностей переходов
117
общей ориентировки, а затем методом (2), чтобы получить
правильное выражение для BtJ. Применение метода (3) более сложно, и
привлекать его нет нужды, если мы готовы удовлетвориться
использованием соотношений Эйнштейна. Полное изложение i ретьего
метода можно найти, например, в [197], гл. 10; [293], §§7, 14, 17;
[418], гл. 22.
КЛАССИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Рассмотрим сначала электромагнитное излучение движущегося
заряда. Предположим, что частица имеет заряд е, скорость v и
ускорение V. Тогда, согласно классической электродинамике ([331],
гл. 9; [343], гл. 17; [494], гл. 20), электрическое и магнитное поля в
точке г, лежащей на большом расстоянии от зарядов, оказываются
равными
Е(г, 0 = (etf/AOsintf ■ 0, (4.17)
Н(г, 0 = (ev/c2r)sin$ • 0, (4.18)
л Л Л Л
где в — угол между ускорением V и г, а г, в и ф — единичные
векторы сферической системы координат, порождаемой v и г, и b
берется для момента времени /' = t - (г/г). Мощность излучения,
протекающего через площадку в 1 см2 (плотность потока), дается
вектором Пойнтинга [см. формулу (1.35)]
S = (с/4тг)Е х Н = (e2t>2/47rcV2)sin20 • г. (4.19)
Далее, интегрируя по сфере радиуса г произведение S • г/А, где
rfA = r2dQr = r2dfid<t> • г, и подставляя sin2 в = 1 - /х2, получаем
полную мощность, излучаемую во всех направлениях:
2-я I
P(t) = (e2v2/4irc3) \ d<\> \ (1 - fi2)dfj, = 2e2t;2/3c3. (4.20)
0 -1
В частности, для гармонического осциллятора можно написать
x(t) = x0cosw/, v(t) = - cousin ut и 'v(t) = - w2*0cos cot. Подставив
это в формулу (4.20), усреднив по периоду колебаний и заметив,
что <cos2wf> = Viy получим
(Р(о>)> = е2х2а>4/3с\ (4.21)
Так как осциллятор расходует энергию на излучение, его
колебания в конце концов затухнут. Это затухание можно описать, введя
представление о силе радиационного торможения, которую можно
рассматривать как силу, воздействующую на движущуюся частицу

118
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
со стороны ее собственного электромагнитного поля. Чтобы найти
эффективную силу торможения, примем, что работа, совершаемая
ею за единицу времени, равна убыли энергии осциллятора за то же
время. Тогда, согласно формуле (4.20), можем записать
F^ • v + 2e2v2/3c> = 0. (4.22)
Следовательно,
| FH3J1 • vdt + (2<?2/3c3)(v • v|'2- ] v • Mdt) = 0. (4.23)
Поскольку изменение v • v за период мало, внеинтегральный член
исчезает, и поэтому в среднем
ризл = (2<?V3c3)v. (4.24)
Величину v можно с хорошей точностью заменить ее значением для
незатухающего осциллятора, а именно v = — o^v, что дает
Ризл = -туч, (4.25)
где
у = 2е2ыуЪтс\ (4.26)
Постоянная у называется классической постоянной затухания из-за
формального сходства силы реакции излучения, даваемой
формулой (4.25), с силой сопротивления из-за вязкости.
Теперь можно рассчитывать коэффициент рассеяния для
классического осциллятора, находящегося в электромагнитном поле.
Согласно классическому описанию, их взаимодействие является
упругим рассеянием. Поэтому для вычисления энергии, рассеиваемой
осциллятором из падающего на него пучка излучения, достаточно
рассчитать, какая энергия излучается осциллятором,
возбуждаемым электромагнитным полем падающей волны. Уравнение
движения осциллятора с массой т и зарядом е, колеблющегося под
действием волны с амплитудой Е0 и частотой со, имеет вид
т(х + аф() = еЕ^ш* - тук. (4.27)
Установившийся режим описывается частным решением,
пропорциональным е'ш1 и имеющим вид
х = Re 2{е/т)У , (4.28)
or — cOq -I- lyw

4,2. Вычисление вероятностей переходов
119
откуда
х = v = Re —0- r-^-Л—. (4.29)
or — cog + /70?
Далее, подставляя (4.29) в (4.20) и усредняя по периоду, имеем
3m2c3 (со2 - аф2 + у2со2
Величину (4.30) следует отождествить с полной энергией,
изымаемой из падающего пучка за счет рассеяния. Чтобы найти долю
рассеянной энергии, предположим, что рассеяние происходит
изотропно, и положим /(/*, 0) = /05(/х - МоЖФ - 0о)- В § 1.2 было найдено,
что для достижения соответствия между макроскопическим и
электромагнитным описаниями поля излучения нужно принять /0 =
= сЩ/Stt. Итак,
<Р(о))) = <т(со)$М2 = o(w)(cE$/Sic) х
X f d4> j <ДО(р - До)6(ф - Фо) = (с£*/8тг)а(со). (4.31)
Сравнивая формулы (4.30) и (4.31), находим, что коэффициент
рассеяния равен
а(со) = (втЛ^/ЗлА4)^2 ~ «g)2 + tVI"1. (4.32)
Формулу (4.32) можно упростить, заметив, что поскольку для
частот видимого света у < со, то а(со) имеет резкий максимум
вблизи со * со0. Поэтому с хорошей точностью можно положить
СО2 ~ Ь>1 = (СО + COq)(cO ~ СО0> « 2С00(СО - СОф).
Подставляя нов (4.32) и учитывая выражение (4.26) для у, найдем
Ж€ У
"^ = 'тс (^--^ +~Ш (4'33)
Полное сечение можно получить, проинтегрировав (4.33) по всем
частотам, что дает
00 ОС
a^v=m-c ) V-W^bM^dv =

170
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
где х -■ 4ir(v - v^/y, и принято во внимание, что для всех
практических целей можно считать, что —^жр^/у = -оо. Полное сечение
рассеяния является мерой того, насколько эффективно энергия
изымается из падающего пучка. Второй сомножитель в формуле (4.33)
есть, таким образом, нормированный профиль линии, известный
под названием лоренцевского профиля (или профиля затухания).
Для наших теперешних целей достаточно ограничиться
рассмотрением полного сечения. Профили же будут подробно обсуждаться в
• л. 9.
Полученное выше классическое выражение предсказывает
одинаковую эффективность рассеяния для всех линий. Это и
неудивительно, поскольку в изложенной теории действительная структура
атома и природа уровней, между которыми происходит переход, не
учитываются. Квантовомеханическое рассмотрение показывает,
что сечения для различных переходов могут различаться на
порядки величины. Традиционный способ записи квантовомеханических
«начений полных сечений таков:
"..алн = (^2/mcVu$ (4.35)
где величина/^ называется силой осциллятора для данного
перехода. Образно говоря, Д можно рассматривать как «эффективное
число» классических осцилляторов, которое обеспечило бы
правильную величину оиот. В действительности /0 близки к единице лишь
для самых сильных линий. Сила осциллятора связана с
эйнштейновским коэффициентом B(J соотношением
".ют. = (teVmcVy = Ви(Н1>/4ж). (4.36)
КВАНГОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
Посмотрим теперь, как рассчитывается BiJ9 когда атом
описывается в рамках квантовой механики, а поле излучения — при
помощи классической электродинамики. Состояние атома
характеризуется волновой функцией \p(rv г2, ... гЛ, /), где гр г2, ...
. sN — координаты, описывающие связанные электроны.
Величина фф*(^гу . . .drN интерпретируется как вероятность обнаружения в
атоме электронов в элементах объема rfr,, . . . dxN около точек с
координатами гр . . . rN. Эти волновые функции являются решениями
уравнения Шредингера
Щ = /ЛЭ0/Э/, (4.37)
где Н — полный гамильтониан системы в операторной форме

4.2. Вычисление вероятностей переходов
121
(см., например, [418], гл. 8 — 10, где обсуждаются математические
выражения для гамильтониана). Оператор энергии Гамильтона
получается из классического гамильтониана согласно правилу
#(<7„ Р) - H(q, - ihd/dq), (4.38)
где qi и pi — пространственные координаты и импульсы
соответственно. Атом имеет определенные стационарные состояния
(описываемые собственными функциями оператора Гамильтона), в
которых энергия его постоянна. Для простоты допустим, что эти
состояния не вырождены. Тогда если НА — гамильтониан для атома,
который находится в стационарном состоянии j с энергией EJ9 то
НАф} = Мф/dt ш Ejtj9 (4.39)
откуда следует, что
фр) = ^{0)ехр (- iEjt/h). (4.40)
Поэтому общий вид решения можно записать следующим образом:
ф/Г, 0 = 0/г)ехр (- iE//h), (4.41)
где функции 0у удовлетворяют стационарному уравнению
и ортогональны друг другу, так что
ftfydT ш (ф*\ф;) =. 6.. (4.43)
Функцию, описывающую произвольное состояние системы в
момент t = 0, можно разложить по собственным функциям (которые
образуют полную систему):
*(0)= £ afo (4.44)
j
где aj = (ф*\ф(0)). Если система находится в произвольном
состоянии, описываемом волновой функцией ф(0), то вероятность
обнаружить ее в результате процесса измерения в определенном
состоянии j равна a* a j = I а} 12. Для любого момента / волновую функцию,
описывающую произвольное состояние, можно записать в виде
ф«) = £ apWjit) = £ а/0Фуетр (-/£//Л). (4.45)
j j
Вероятность обнаружить систему в определенном состоянии j
также будет равна \ар)\2.

122
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
Если атом не возмущается (т.е. Н ш НА)> то коэффициенты
Gj — постоянные. Если, однако, атом испытывает возмущение
некоторым потенциалом V, то эти величины будут меняться со
временем. Это изменение интерпретируется как переход атома из
одного состояния в другое. Примером такого возмущения служит
воздействие на электроны в атоме внешнего электромагнитного
поля. В первом приближении можно считать, что атом находится в
однородном меняющемся со временем электрическом поле
Е = Efioswt • Г. Предположение об однородности законно для
световых волн, длины волн которых X * Ю~5 см велики по
сравнению с характерными размерами атома, определяемыми радиусом
первой воровской орбиты а0 = 5 • 10"9 см. Потенциал электронов
атома в поле волны равен
V = е £ Е - г, ■ Е - d = £0cosa;fi • d, (4.46)
где d — дипольный момент атома. С учетом возмущающего
потенциала уравнение Шредингера приобретает вид
(НА + У)ф = тдф/dt. (4.47)
Подставляя сюда выражение (4.45) для ф, получаем
{НА + V) £ алЦ)фп{1) = ih £ Ь„фп + ih I а„дфп/д1. (4.48)
п п п
С учетом (4.39) уравнение (4.48) приводится к виду
п п
Это уравнение можно разрешить относительно а.,
воспользовавшись ортогональностью функций фп. Действительно, умножим
(4.49) на ф„ и проинтегрируем по всему пространству. Тогда
получим
/A £ *„exp[/(£m - Еп)(/П)(ф*т\фп) =
= £ an(t)exp[i(Em - Еп»/Щф*т\У\фп). (4.50)
п
Вводя обозначения ыпт = (Ет - En)/h и Утп ш <</>* | У\фп) и
принимая во внимание соотношение (4.43), из (4.50) находим
*„(')= («О"1 £ cin(t)Vmne'^. (4.51)

4.2. Вычисление вероятностей переходов
123
Для возмущения с потенциалом, определяемым формулой (4.46),
имеем
Vmn = (Edcoswof • <*;idi*n> =
= (£,fosu0f • dm„ - 2hmncosat = Итп(е'<" + e~ia% (4.52)
Величины dmn называется матричными элементами дипольного
момента. Подставляя выражение (4.52) в уравнение (4.51),
получаем
'ajt) = (/ft)"1 £ а^уН^шЦе" + в"*-). (4.53)
Сделаем теперь упрощающее предположение, что в момент t = О
атом находился в определенном состоянии к, и рассмотрим
промежуток времени Г, настолько короткий, что населенность этого
уровня за такое время заметно не меняется. Иначе говоря, мы
считаем, что в начальный момент ак(0) = 1 и ап(0) = 0 при всех
п Ф к. Кроме того, берется такое Г, что ak(t) * 1 при всех t ^ Г.
Тогда сумму в (4.53) можно заменить одним слагаемым
ajf) = {ih)-xhm^m^{ei(at + е-**). (4.54)
Ийтегрируя (4.54) по времени, получаем
а (/) = Ат*ГехР[*К*- «М - * + ехр[/(о^ + о>)/] - П (4 J5)
Поскольку нас интересуют процессы поглощения, возьмем Ет >
> Ек, так что штк > 0. Так как знаменатель первого слагаемого в
фигурных скобках обращается в нуль при а> = итк> то величина
am(t) будет принимать ббльшие значения, когда со « итк (т.е.
излучение с частотой, близкой к частоте линии, вызывает переходы
наиболее эффективно). Ясно, что вторым слагаемым по сравнению с
первым можно пренебречь. Тогда, обозначая х = со - итк и
образуя \ат\2 = alpm> получаем
\ajf)\2 = 4h-2h2mkx-hin2(xt/2) =
= ft'2E2\i ■ dmJtlfc-2sin2(tf/2). (4.56)
Формула (4.56) дает число переходов к ~> т(ъ расчете на один
атом, находящийся в начальном состоянии А:),вызываемых за время
/ излучением частоты v = со/2тг. Чтобы рассчитать полное число
переходов, нужно произвести суммирование по всем частотам,
которые могут вызывать такие переходы. Предположим, что про-

124
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
филь линии определяется функцией фр9 которая резко спадает,
обращаясь в нуль вне некоторого характерного интервала частот Д*>, и
что на этом интервале интенсивность излучения (а следовательно,
и £$ постоянна и равна Jv. Тогда, интегрируя по частоте v>
учитывая, что dv = й?о>/2тг = dx/2-к, и обозначая и ш xt/2y U ж хТ/2,
получаем и
Лкщ = (£^/4тгЛ2)|Г • Amk\2t j u-hin2udu. (4.57)
-и
Для теплового излучения характерный интервал частот Ар, на
котором интенсивность будет постоянна, имеет порядок kT/h * 1015
с-1, тогда как времена переходов / ж 10"8 с. Поэтому пределы ± U
в интеграле можно формально положить равными ±оо. Величина
этого интеграла, который имеется в стандартных таблицах, равна
7г. Далее, как было показано в §1.2, ER = 47rJ/c = /Г^/втг, и
поэтому
Л**= $*УП*с)\$ ■ 6mk\%t. (4.58)
Через эйнштейновский коэффициент Вкт это можно записать так:
Лт = BkmJvt, (4.59)
и поэтому
***,= «т2/Л%)|Г ■ dw,l2. (4.60)
Обычно нас будет интересовать поглощательная способность
больших количеств вещества. Если предположить, что по отношению к
пучку излучения атомы ориентированы случайным образом, то
<li • отк\2) = d2mk(cos2e) = d2mk/Z, так что окончательно можно
написать
Вкт = 8т^С/ЗЛ%. (4.61)
Выражение для коэффициента спонтанного излучения следует из
соотношений (4.8) и (4.9):
Лтк = (64ttV/3AcVL< (4.62)
Во многих случаях нижний и верхний уровни линии будут
вырождены (или мы можем сами сгруппировать несколько уровней,
образующих мультиплет). Тогда обычно производят
суммирование по всем подуровням к нижнего уровня / и по подуровням т
верхнего уровня j и вводят силу линии
ЗД.Л- I dlk. (4.63)
тк

4.2. Вычисление вероятностей переходов
125
Тогда можно записать
8/1л = (647rV/3/2C3)S(/,y) (4.64)
или, что равносильно,
gjB0= (327r4/3A2c)S(/,y), (4.65)
или же, согласно соотношению (4.36),
gjf0 = (^mv/lhe^SiiJ). (4.66)
Наконец, замечая, что S(/, j) есть сумма по всем верхним и нижним
подуровням, мы можем с помощью формулы (4.66) получить
выражение для полной силы осциллятора «линии», связывающей два
вырожденных уровня (или целого мультиплета линий,
связывающего две совокупности близко расположенных уровней). Пусть
п' — главное квантовое число нижнего уровня, а каждому
подуровню припишем число Г; пусть ли/ — соответствующие числа для
верхнего уровня. Тогда
8пЛ»'> ") = I Яп'гЛ*', I'm, /). (4.67)
ПРИМЕНЕНИЕ К ВОДОРОДУ
Атом водорода, этого наиболее распространенного во Вселенной
элемента, имеет самое простое строение. Для его волновых
функций и сил осцилляторов оказывается возможным получить точные
аналитические выражения. Каждое состояние атома водорода
характеризуется четырьмя квантовыми числами: главным квантовым
числом л, которое задает энергию; азимутальным квантовым числом
/, определяющим величину орбитального момента; магнитным
квантовым числом т, которое задает проекцию орбитального
момента на выделенную ось (ее обычно принимают за ось z), и
спиновым квантовым числом электрона s , равным ± Vi.
Для большинства атомных систем энергии в состояниях с
разными п и / различаются, но в случае водорода энергия зависит
только от главного квантового числа л, причем
Еп = - &/п2, (4.68)
где & — постоянная Ридберга
Я = 2тг2дя*4/Л2. (4.69)
Здесь fiH — приведенная масса, выражающаяся через массы прото-

126
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
на тр и электрона те следующим образом:
Мя1 s V + т;1- (4.70)
Волновая функция имеет вид (см. [392], гл. 5; [418], гл. 9 и 10)
+шт(г>*>4>) = Rni(r)YJX6t<t>), (4.71)
где Ур(в, ф) — сферическая функция (гармоника), выражающаяся
через присоединенные функции Лежандра, a Rnl — радиальная
функция, которую можно выразить через присоединенные
полиномы Лагерра и экспоненты. Эти функции нормированы таким
образом, что
] R2Jr)r2dr = 1, (4.72а)
о
f d<t> j dO Y™* (0, ф) YJ!' (0, ф) sin в = birbmm,. (4.726)
В равенстве (4.72a) г измеряется в единицах воровского радиуса:
aQ = Л2/4тг2е2/хя. (4.73)
Часто удобнее пользоваться функцией Pnl(r) = rRnI(r), физический
смысл которой состоит в том, что Р2п1 есть плотность вероятности
найти электрон на определенном расстоянии от центра атома.
Поскольку все состояния с одним и тем же п выпождены (т.е.
имеют одну и ту же энергию), необходимо ввести статистический вес
gn. Как правило, будет использоваться сила осциллятора/(л', п) для
всех переходов п' — п сразу. Статистический вес равен
gn = 2л2, (4.74)
что следует из того, что при заданном п допустимые значения /
заключены в пределах 0</<л— 1,а/я при каждом / меняется от
-/до /. Кроме того, каждому состоянию nlm соответствуют две
возможные проекции спина s = ± 1/2.
Упражнение 4.2. Вывести формулу (4.74).
Поскольку волновые функции известны в явном виде, для сил
осцилляторов можно вывести явные выражения:
г, / I/ ,ч 1 /1 *\ max (/,/') ,, , ,, |ч
/("', /'; п, I) = - 1—ъ - -j ) ,„ ' / °Чп', /'; п, /) (4.75)
3 \п 2 п2/ 2/ -I- 1

4.2. Вычисление вероятностей переходов
127
Л
п- - 1
/' = 1
Л' - 1
+ ^Г (/' + 1)а2(л',/';л, /' + 1)],
(4.76)
где
а2(л', /'; л, /) ^ (j />я,г(г)РлДг)гс/г) . (4.77)
Явное выражение для а впервые получил Гордон [254], а явная
формула для/(л', л) была выведена Мензелом и Пекерисом [417].
Обширные таблицы/(л', л) можно найти в [417] и [257]. Очень
удобная форма записи сил осцилляторов для водорода получается, если
их выразить через полуклассические значения, выведенные Крамер-
сом [363], а именно
«»'■">-зМтг-^Гйк (478)
Формула (4.78) отражает основную зависимость / от я'ия,
Точные значения / принято выражать через приближенные крамерсов-
ские fK в виде
Яп'9п) = £7(л',л)/^(л',л), (4.79)
где gj — так называемый множитель Гаунта. Все гаунтовские
множители — числа порядка единицы. Обширные таблицы #7(л', л)
даются в [60].
Упражнение 4.3. При помощи аналитических выражений для
водородных волновых функций, приводимых в учебниках квантовой
механики (см., например, [392], стр. 183), рассчитать значения сил
осцилляторов для La(n' = 1 — л = 2) и На(л' = 2 — л = 3).
Получить значения для каждой из величин /(л', Г; л, /) и по ним
найти/(л', л). Сравнить ваши значения с приводимыми в таблицах
(например, [9}, стр. 70).

128
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДОВ ДЛЯ ЛЕГКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
а) Метод Хартри — Фока. Если атом имеет более одного
электрона, то волновое уравнение в замкнутой форме решить уже
невозможно и приходится применять приближенные методы.
Реальный гамильтониан для атома с N электронами имеет вид
N V
Н = -(AV2m) £ V2- £ Ze1/ri + £ e2/\ri - r,l. (4.80)
Первое слагаемое представляет оператор кинетической энергии
электронов, второе — их электростатическую потенциальную
энергию в поле ядра с зарядом Ze и третье — их взаимное кулоновское
отталкивание. Именно из-за этого последнего члена и возникают
принципиальные трудности.
Одним из наиболее мощных методов получения приближенных
волновых функций является метод самосогласованного поля
Хартри — Фока. Согласно этому методу, сумма по парам
электронов заменяется суммой слагаемых Для каждого электрона,
являющихся сферически-симметричными средними. Превосходное
описание того, как рассчитывать это среднее, дается в [576], гл. 3 и 9.
Тогда получается, что каждый электрон движется в поле, которое
зависит только от расстояния от ядра, так что мы делаем замену
I eVIr,.-гу1 - £ КДг,). (4.81)
Действительный потенциал аппроксимируется, таким образом,
суммой потенциалов центрального поля. При центрально-
симметричном потенциале угловые переменные в уравнении Шре-
дингера можно отделить точно таким же образом, как и в случае
атома водорода. Для каждого электрона волновая функция имеет
поэтому вид
С/Дг, 0, ф; /I, /, т% s) = r-lPJr)Y?(fif Ф)Х($)9 (4.82)
причем используется та же нормировка, что и в (4.72). Функции Ui
называются электронными орбиталями. Уравнение для
радиальной функции каждой орбитали имеет вид (здесь г — в единицах а0,
Е — в ридбергах)
#PJdfl + [Еп1 + 2г-^эфф(г) - /(/ + 1)г-2]Рл/ = 0. (4.83)
Здесь 7эфф(г) — эффективный заряд ядра, действующий на
электрон при учете экранирования заряда ядра другими электронами

4.2. Вычисление вероятностей переходов
129
[он выражается через потенциалы центрального поля, входящие в
(4.81)]. Теперь считается, таким образом, что атом состоит из Л
таких орбиталей, и они используются для построения волновой
функции всей конфигурации.
Согласно принципу запрета Паули, какие-либо две ороитали не
могут иметь одновременно одинаковый набор четырех квантовых
чисел л, /, w, 5. Кроме того, волновая функция атома должна быть
сконструирована так, чтобы она была антисимметричной
относительно перестановки координат, описывающих любые два
электрона. На практике этим условиям можно удовлетворить, взяв
волновую функцию в виде определителя Слэтера ([576], гл. 12):
[/,(1) £/,(2) ... U,(N)
«r,.....r„> *
U2(\) U2(2) . . . U2(N)
UN(l) UN(2) ... UN(N)
(4.84)
где индексы функций нумеруют орбитали электронов, а их
аргументы — пространственные и спиновые координаты (те и другие
меняются от 1 до N).
Волновая функция рассчитывается методом последовательных
приближений. Действительно, Z^(r) сложным образом зависит
от интегралов от электронных орбиталей и в свою очередь
определяет эти орбитали. Поэтому начинают с приближенного набора
орбиталей, рассчитывают Z^, затем находят функции РпП заново
вычисляют Z3(M) и повторяют итерации до достижения сходимости.
Вычисления требуют значительных затрат машинного времени и
труда вычислителя, но лежат в пределах возможностей
современных вычислительных машин. К настоящему времени имеется уже
большое число волновых функций для широкого диапазона
атомных конфигураций.
Тот или иной конкретный спектральный терм можно
охарактеризовать определенными квантовыми числами, описывающими
атом как целое. В случае легких атомов это есть общий
орбитальный момент L (векторная сумма моментов lt отдельных
электронов), общий спиновый момент S (векторная сумма 8;) и полный
момент J, являющийся векторной суммой L и S. Такой тип связи
моментов отдельных орбиталей называется L — S-связыо, или
связью Рессела — Саундерса. Так как данные фиксированные
значения L, S и J могут получаться при различных комбинациях
индивидуальных векторов I, m и s, определяющих квантовые числа орби-

130
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
талей, полная волновая функция будет, вообще говоря,
представляться суммой определителей Слэтера, и выражение для нее может
поэтому быть очень громоздким.
При расчете вероятностей переходов обычно предполагается,
что начальное и конечное состояния отличаются только одной ор-
биталью, т.е. переход испытывает только один электрон. В этом
случае в матричном элементе г{. можно выделить множители, один
из которых определяется радиальными волновыми функциями
начального и конечного состояний, а другой зависит от орбитальных
и спиновых волновых функций. Поэтому выражение для силы
линии принято записывать в виде
S{n\L\S',J'\n,L, S, J) = а2е2о\п\ /'; п, 1)У(^)У(У). (4.85)
Здесь
^-(4/Lc- O-'Ci/V/'JV*-)2, (4-86)
О
где /max = max (/, /'). Множитель y{Jf) — есть сила мультиплета
(она зависит от nLS и n'L'S'), а множитель У (У) — сила линии
внутри мультиплета. Обширные таблицы У(Л() и У {У) можно
найти в [11], гл. 8 и приложение; [9], § 26-28; [250]; [251], а общие
формулы для расчета этих множителей приводятся в [534]; [535];
[572], § 10.8 — 10.10 и [191]. Обычно наиболее трудной частью
расчета является определение а2, однако серьезные усложнения
возникают также тогда, когда имеются отклонения от L — 5-связи.
б) Кулоновское приближение. Из-за сложности получения а2
методом Хартри — Фока желательно иметь приближенный метод,
применение которого было бы достаточно простым. Такой метод
был развит Бейтсом и Дамгаард [74], которые заметили, что часто
наибольший вклад в радиальный интеграл дает область больших
значений г, где электрон движется в почти кулоновском поле. В
этом случае интеграл можно вычислить приближенно при помощи
водородных волновых функций, в которых главные квантовые
числа выбраны таким образом, чтобы получилось наблюдаемое
значение энергии уровня. Если Z — величина заряда, входящая в
асимптотику потенциала, то требуемое эффективное квантовое число
п*= Z/e%, где еп1 — энергия уровня, отсчитанная от континуума и
измеренная в ридбергах. Обычно оказывается, что п*не есть целое
число. Бейтс и Дамгаард показали, что можно написать
<т(л;_ р / - 1; л;, /) - &(п;, i)S(n;_ 2, *;, iyz. (4.87)

4.3. соотношения Эйнштейна — Милна
131
Обширные таблицы функций & и S можно найти в [74] и [483].
Обобщение этого приближения дается в [389]. Ввиду его простоты
этот метод широко применялся в астрофизических исследованиях.
Подробные таблицы сил осцилляторов / в кулоновском
приближении даются в [264], стр. 363 — 441.
в) Экспериментальные методы. Во многих случаях точность ку-
лоновского приближения недостаточна, тогда как более
аккуратный квантовомеханический расчет слишком сложен для
выполнения. В таких случаях приходится определять силы осцилляторов /
экспериментально, что вдобавок дает стандарт для прямого
сопоставления с теоретическими расчетами с целью оценить точность
различных методов. Разработано множество различных способов
экспериментального определения сил осцилляторов. Краткое
описание некоторых наиболее часто используемых методов дается в [11],
стр. 300—310; [261], стр. 146— 149; [264], гл. 15.
Имеется огромное количество работ, содержащих как
экспериментальные, так и теоретические определения значений сил
осцилляторов или вероятностей переходов. Полная библиография этих
работ дается в [454], [230] и [231]. Критические сводки значений
вероятностей переходов (так сказать, их «лучшие значения») для
многих элементов, представляющих интерес для астрофизики, даются
в [453], [584], [670], [672] и [673].
Упражнение 4А. Рассчитать значения / для линий Не I Х5876
(2/? 3Р - 3d 3£>), Х6678 (2/7 1Р - 3d £>) и Х4471 (2р ЪР - Ad 3Z>),
воспользовавшись выражениями (4.66) и (4.85), значениями о1 в
кулоновском приближении, силами мультиплетов и силами линий из
таблиц. Сравнить результату со стандартными значениями из
[672].
4.3. Соотношения Эйнштейна — Милна
для континуумов
Обобщение соотношений Эйнштейна на свободно-связанные
процессы было дано Милном в статье [461], представляющей
значительный интерес. Рассмотрим процесс фотоионизации, в начале
которого имеется атом (или ион) в каком-то определенном связанном
состоянии (не обязательно основном). В результате такой
фотоионизации появляется ион в некотором определенном (возможно,
возбужденном) состоянии следующей, т.е. более высокой стадии
ионизации плюс свободный электрон, движущийся со скоростью v. Об-

132
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
ратным процессом служит рекомбинация свободного электрона при
его столкновении с ионом (находящимся в том конкретном
состоянии, которое упоминалось выше). В результате этого образуется
атом (в соответствующем состоянии). Процесс рекомбинации
может быть либо спонтанным, либо вынужденным, происходящим
под действием падающего излучения. Пусть п0 — концентрация
атомов, пх — концентрация ионов и«6- концентрация свободных
электронов. Электроны имеют максвелловское распределение
скоростей. Число электронов со скоростями в интервале (vf v + dv)
обозначим ne{v)dv. Пусть pvdv — вероятность фотоионизации
атома фотоном в интервале частот (у, v + dv). Тогда число фотои-
онизаций за время dt в этом интервале частот равно n^pj^vdt.
Обычный объемный коэффициент поглощения энергии av связан с
pv соотношением av ■ pvhv. Далее, пусть F(v)dv — вероятность
спонтанного захвата и G(v)dv — вероятность вынужденного
захвата ионами электронов со скоростями из промежутка (v, v + dv). Тог-
да число рекомбинаций электронов со скоростями (vf v + dv) за время
dt в 1 см3 равно
nxne[F(v) + G(v)Iv]vdvdt.
Энергия фотона, необходимая для ионизации атома (а тем
самым — и энергия фотона, излучаемого в процессе рекомбинации),
равна
hv = X/ + { mv\ (4.88)
где X/ — потенциал ионизации атома с заданного уровня с
появлением иона в рассматриваемом состоянии (т.е. разность энергий
этих двух состояний).
Заметим теперь, что при термодинамическом равновесии число
фотоионизаций должно в точности равняться числу
рекомбинаций. НО ПРИ ТР Iv as Вр, И ПОЭТОМУ
"<^А = ^ne(v)[F(v) + G(v)B¥]-!L, (4.89)
где звездочки указывают, что населенности термодинамически
равновесные; кроме того, было использовано соотношение (4.88),
позволяющее написать, что hdv = mvdv. Разрешая (4.89)
относительно Bv, находим
Bv = [F(v)/G(v))i[nfrvm/n;ne(v)hG(v)] - l}"1. (4.90)

4.3. Соотношения Эйнштейна — Милна
133
Это выражение надо сравнить с обычным выражением для
функции Планка, а именно Bv(T) = (2Л*>3/с2)[ехр (hv/kT) - I]'1. При
максвелловском распределении скоростей [см. выражение (5.2)]
ne(v)dv = пе(т/2ткТ)ЗЛ exp (-mv2/2kT)4irv2dv. (4.91)
Предвосхищая результаты гл. 5 [см. формулу (5.14)],
воспользуемся тем, что
(Vi)* = ne(g0/2gl)(h2/2irmkT)» exp (Xj/kT). (4.92)
Пользуясь формулами (4.88), (4.91) и (4.92), находим, что
n&vm/n*xne(v)hG(v) = (h2g0/Sirm2glv2) х
х [pv/G{v)]env/kT. (4.93)
Поэтому, чтобы выражение (4.90) переходило в формулу Планка,
должно быть
F(v) = (2hv*/c2)G(v)
и
pv = (%*m2v2gx/h2g0)G(v) = (41rc2w2^1/A^0^)F(t;). (4.95)
Это аналоги формул (4.8) и (4.9) для континуума. Здесь также
следует обратить внимание, что, хотя эти соотношения были
выведены из соображений, основанных на рассмотрении
термодинамического равновесия, величины pvf F(v) и G(v) в действительности
должны зависеть только от свойств атома, а поэтому формулы
(4.94) и (4.95) должны быть верны и в общем случае.
Важное значение только что полученных результатов
становится ясным, когда мы начинаем выписывать уравнение переноса.
Сделаем при этом предположение, что на рассматриваемой частоте
происходят только такие процессы фотоионизаций, о которых
говорилось выше. Обобщение на случай многоуровенного атома и
среды, содержащей атомы различных видов, с налагающимися не-
прозрачностями и коэффициентами излучения тривиально, так как
вклады от всех членов суммируются, и те выводы, к которым мы
сейчас придем, применимы тогда к соответствующим суммам.
Уравнение переноса имеет вид
И*^ = ~n<pvhvlv + nxne(v)[F(v) +
OZ
+ G(v)Iv](h2v/m). (4.96)

134
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
В этом уравнении значения п0 и п{ не обязательно должны
соответствовать Л ТР. Если мы хотим записать уравнение переноса в
стандартной форме, то ясно, что коэффициент поглощения,
исправленный за вынужденное излучение, должен быть
К = К " n,ne{v)[hG{v)/mpv])pvhv. (4.97)
Пользуясь формулами (4.88), (4.91), (4.92) и (4.95) и вспоминая, что
av = pvhvy находим
*„ = К - Ло*~Л"*гЧ. (4.98)
В формуле (4i98) п^ есть значение п^у соответствующее ЛТР. Оно
дается формулой (4.92) при имеющихся на самом деле значениях п1
и пе (т.е. это равновесная населенность, отвечающая имеющейся
ионной концентрации). В частном случае ЛТР, когда п0 ш л*,
к; = л0Ъ„(1 - e-h*'kT). (4.99)
Как и в случае связанно-связанных переходов, член (1 - e~hv/kT)
называют обычно поправкой на вынужденное излучение. Ясно,
однако, что это выражение справедливо только при ЛТР. В то же
время из формулы (4.98) видно, что вынужденное излучение всегда
происходит с той же скоростью, что и при ЛТР (если под п%
понимать ту же величину, что и выше). Это так и должно быть,
поскольку процесс рекомбинации есть процесс, при котором
происходит столкновение частиц, имеющих равновесное (т.е. максвеллов-
ское) распределение скоростей. Обратите внимание на отличие
ситуации в этом случае от результата, даваемого формулой (4.13) для
связанно-связанных переходов, где член, учитывающий
вынужденное излучение, вообще говоря, не имеет равновесного значения.
Когда отклонения от ЛТР влияют на непрозрачность,
обусловленную свободно-связанными переходами, они изменяют член,
учитывающий прямое поглощение. В него входит населенность п0,
которая, вообще говоря, не будет равна п$. Эти результаты будут
использованы, когда будут записываться члены, учитывающие
вынужденное излучение в уравнениях статистического равновесия [см.
формулу (5.63)], а также при записи общего выражения для
коэффициента поглощения [см. формулу (7.1)].
Возвращаясь к уравнению (4.96) и рассматривая член,
содержащий F(v), обнаруживаем, что коэффициент излучения равен
% = [hnxne(v)F(v)/mpp]a¥, (4.100)
что с помощью (4.88), (4.91), (4.92) и (4.95) можно переписать в ви-

4.4. Сечения поглощения в континууме
135
де
rjv = (2hv'/c2)n*ave-^/kT = nfa¥(\ - e~^kT)Bv = %(I), (4.101)
Таким образом, излучательная способность в континууме всегда
имеет значение, соответствующее ЛТР (если п£ определено так, как
указано выше), чего и следовало ожидать, поскольку
рекомбинация — это ударный процесс. Отметим, что этот вывод снова
приводит нас к закону Кирхгофа — Планка [формула (2.6)] и тем
самым несколько расширяет область его применимости. Обращаем,
кроме того, внимание на отличие от случая связанно-связанного
спонтанного излучения, для которого отклонения от ЛТР
проявляются непосредственно, если п. не совпадает с п*. Эти заключения
найдут применение при записи членов уравнений статистического
равновесия, учитывающих спонтанное излучение [см. формулу
(5.61)], а так^ке при записи общего выражения для коэффициента
излучения [см. формулу (7.2)].
Упражнение 4.5. Убедиться в справедливости формул (4.93),
(4.98) и (4.101).
4.4. Сечения поглощения в континууме
Сечения связанно-свободного поглощения можно рассчитать
квантовомеханически, пользуясь по существу теми же методами,
которые использовались в § 4.2 для связанно-связанных переходов.
Рассмотрим процесс поглощения при переходе из некоторого
связанного состояния п со статистическим весом gn в континуум в
интервале частот Ар. Свободные состояния имеют волновые
функции, характеризующиеся значением энергии свободного электрона
Еу и нормированы таким образом, что
<£" \Е) = 6(£" - Е\ (4.102)
так что вырождения нет. Поэтому по аналогии с формулой (4.65)
можно написать, учитывая также (4.36),
gnocvAv = (Sir2/3h2c)AE <£l d I п >2(Л*>/4тг), (4.103)
или
av = (87г3у/Зс£„)<£1с11л>2. (4.104)
Расчет волновых функций непрерывного спектра в этой книге рас-

136
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
сматриваться не будет. За информацией по этому вопросу
читателю следует обратиться к стандартным учебникам квантовой
механики, например к [197] или [418]. Далее, мы не будем вдаваться в
подробности расчетов на основе формулы (4.104). Однако их
результаты будут приведены. Ниже описывается один приближенный
метод нахождения av с помощью формулы (4.104) — метод
квантового дефекта.
Другое выражение для av мы получим, если примем, что каждое
состояние непрерывного спектра к имеет некоторую эффективную
силу осциллятора fnk для поглощения из связанного состояния я.
Если в интервале частот Av имеется А к свободных состояний, то
ау = (ire2/mc)fnk(Ak/Ap). (4.105)
Такая постановка вопроса удобна при расчете сечений для атома
водорода.
Метод квантового дефекта, развитый Ситоном и Берджессом
[566], [120], представляет собой аналог кулоновского приближения
для континуума. В этом методе используется тот факт, что
главный вклад в матричный элемент < ЕI d I п >2 часто дают те области,
где волновые функции можно считать кулоновскими при
соответствующем эффективном заряде. Рассмотрим поглощение из
связанного состояния (л, /) в континуумы (£*, / ± 1), где Е — энергия
свободного электрона. Пусть InJ — энергия ионизации этого
состояния, выраженная в ридбергах, и Z — заряд иона после отрыва
электрона. Введем эффективное квантовое число vnl, такое, что
1Ы = Z2/v*r Вообще говоря, vnl не будет равно главному
квантовому числу п той оболочки, к которой принадлежит электрон, так
что можно ввести квантовый дефект fi(v, I) ж п - vnl. Квантовый
дефект можно найти для любого уровня (nlSL), принадлежащего
некоторой серии и имеющего заданный спектральный тип,
определяемый квантовыми числами (ISL) (например, 3Р или AD). Введя
enl ss — \/vlnl% мы получаем возможность определить поведение ti(enl,
I) в функции епГ В благоприятных случаях ц является простой
функцией е (скажем, она постоянна или линейна по в). Тогда
принимается, что эту зависимость /х от е можно проэкстраполировать в
континуум (т.е. на е > 0), что дает ii'(e). Это значение определяет
свойства волновых функций непрерывного спектра. После этого
радиальный матричный элемент можно получить, пользуясь водоро-
доподобными волновыми функциями. Когда энергия оторванного
электрона равна k2 = Z2e (в ридбергах), сечение можно записать в

4.4. Сечения поглощения в континууме
137
виде
a(nl, к2) = 8,56 • Ю-«»[(/„, + k2)/I2J У C,.\g{vl\ еГ)\Чм\
г. i*i (4.106)
Здесь
g{vl;el') = [«р, /)]-*G(W;e/') х
х cos (тф/ + м'(е) + Х("/; «/')]), (4.107)
К„,/). 1 + 2р-з^ (4.108)
и G(j>/; е/') и х(^/; el') — табулированные функции [503].
(Замечание: в только что указанной работе [503] обозначения отличаются
от используемых нами. Наши обозначения соответствуют [120].)
Коэффициенты Сг — алгебраические множители, получающиеся
путем интегрирования по угловым и спиновым координатам. Они
табулированы в [120] для нескольких важных случаев и являются
аналогами множителя У(Л\У(У)% входящего в выражение (4.85)
для силы осциллятора связанно-связанного перехода.
Метод квантового дефекта, несмотря на его простоту, часто
дает сечения с очень хорошей точностью (см. {120], [503]). Он широко
использовался для целей астрофизики. Квантовые дефекты ц(е) для
ряда случаев даны в [503], где они используются для расчета
сечений и коэффициентов поглощения распространенных элементов в
звездных атмосферах (см. также [502]). Для краткости в этой главе
будет обсуждаться только поглощение водородом и гелием. Они
являются самыми распространенными составляющими звездного
вещества и обычно дают наибольший дклад в непрозрачность.
Указания, касающиеся других источников непрозрачности, будут
приведены в § 7.2.
ВОДОРОД
Простой путь получения сечений поглощения при связанно-
свободных и свободно-свободных переходах у водорода был
предложен Мензелом и Пекерисом [417]. Они ввели формализм, в
котором связанные состояния представляются вещественными (целыми)
квантовыми числами, а свободные —- мнимыми. Энергии
связанных состояний относительно континуума даются формулой (4.68),

138
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
из которой следует, что энергия перехода п' -~ п равна
Если свободное состояние характеризуется мнимым квантовым
числом iky то по аналогии
А'..=4(^)'+({)!]=^+{""!' <4'"°>
где первый член, очевидно, представляет собой энергию ионизации
из связанного состояния п', а второй — энергию свободного
электрона. Отметим, что к — оо при приближении к пределу
ионизации, а высоко в континууме к становится малым.
Выражение для силы осциллятора в континууме следует из
обобщения формул (4.78) и (4.79) и имеет вид
/"--5&Tbi(7* + p)",,"<"'-*)- <4Ш)
где gu — гаунтовский множитель для связанно-свободного
перехода. Выражения для гаунтовского множителя даются в [417], а
обширные таблицы его значений — в [352]. Около предела ионизации
gu немного меньше единицы, далее происходит медленный рост до
примерно 1,10 (в пределе при п' — оо) на расстоянии около 1 рид-
берга от порога, а затем gu убывает до малых значений в
рентгеновской области. Сечение поглощения можно теперь получить
подстановкой выражения (4.111) в (4.105), если заметить, что из (4.110)
следует, что
dk
— = -ЛА:3/2^. (4.112)
dv
В итоге находим
а - Tg2 НкЪ 32 1 М*'»*) (4 113)
тс 2<% Зтг^З п'5къ (Ир/3?)3 '
что с учетом формулы (4.69) можно привести к виду
_ 64xW° 1 jrilli^
(4.114)
где Jif = 2,815 • 1029. Таким образом, поглощение за счет связанно-
свободных переходов появляется скачком на частоте порога иони-

4.4. Сечения поглощения в континууме 139
зации vn = SI /hr2 и затем спадает с увеличением частоты как р~3
(если пренебречь медленным изменением гаунтовского множителя).
Сечение поглощения у порога равно
<*(*„, л) = ?,91 • 10-18л*п(л, О см2.
Объемный коэффициент поглощения звездного вещества можно
получить, умножив сечение для уровня п на число атомов водорода (в
1 см3) на этом уровне и просуммировав по всем уровням, с
которых возможно поглощение на данной частоте v (т.е. по всем л, для
которых рп ^ р). График коэффициента связанно-свободного
поглощения водорода, рассчитанный таким путем, имеет пилообразный
характер, показанный на рис. 4.1. Если не считать самых горячих
звезд, то ббльшая часть водорода находится в основном состоянии,
и скачок поглощения у Х912 А (1 ридберг) чрезвычайно большой.
-17
-18
-19
е
-20
-21
"0 2 4 6 8 Ю 12 14
I/A.mkm"1
Рис. 4.1. Коэффициент поглощения нейтрального водорода при ЛТР для значений
температуры Т = 12500 и 25 000 К. У границ полос фотоэлектрического поглощения
приведены значения квантового числа того состояния, при переходах из которого
они возникают. Ордината: сумма коэффициентов связанно-свободного и свободно-
свободного поглощения (в расчете на один атом); абсцисса: 1/Х, где X — в мкм.
J I I L
л = 1

•40
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
При 912 А $ X ^ 3647 А поглощение из основного состояния
происходить уже не может, и доминирующим источником
непрозрачности является фотоионизация с уровня п = 2 (бальмеровский
континуум). Аналогичным образом при 3647 А ^ X ^ 8206 А
невозможно поглощение уже с п = 1 и л = 2, и доминирующим
является континуум с п = 3 (пашеновский) и т.д. В действительности
зависимость коэффициента поглощения от частоты, показанная на
рис. 4.1, является идеализированной в том смысле, что существуют
еще серии линий, сходящихся к пределам серий у каждого из
порогов фотоионизации. Вблизи предела линии постепенно сливаются и
переходят в континуум. Свободно-связанное поглощение атомами
водорода служит главным источником непрозрачности в
атмосферах звезд спектральных типов А и В.
Рассмотрим теперь непрозрачность, обусловленную свободно-
свободными переходами в водородном газе. При этом процессе
свободный электрон, пролетая около протона, создает на какое-то
время дипольный момент, так что становятся возможны
поглощение и излучение фотонов (сопровождающиеся изменением энергии
электрона). По аналогии с расчетом связанно-свободного
поглощения введем мнимые квантовые числа и для начального, и для
конечного состояния, скажем ik и /7, такие, что если v — начальная
скорость свободного электрона и v — частота поглощенного
излучения, то
д?к~г = -mv2 (4.115)
2
и
@к-г + hv = ^/"2. (4.116)
Предположим, что поглощение происходит из интервала состояний
dk в интервал состояний dl = (dl/dv)Ap. Заменяя тогда в формуле
(4.105)/^ на/^cMr, а ДА: на dl, для коэффициента поглощения в
расчете на один ион и один электрон, движущийся со скоростью v,
получим
a(v9 v) = (<ire2/mc)fkldk(dl/dv). (4.117)
Соответствующее обобщение формул (4.78) и (4.79) имеет вид
__j64 1 /1 _ lV3gn.(*.') ,4 118)
где gp — статистический вес свободного электрона, для которого
квантовая статистика дает следующее выражение:
g = 2h-3(4Trm3v2dv) = (I6ir£? m2v/h*k*)dk, (4.119)

4.4. Сечения поглощения в континууме
141
причем второе равенство следует из соотношения (4.115).
Подставляя (4.118) и (4.119) в (4.117), получаем
, ч тге2 64 № (Я\3 gm{rt v) dl
^^) = 7^3^T6^7^fcJ "W^ (4Л20)
Пользуясь соотношением dl/dv = Л/3/2^, следующим из
формулы (4.116) при фиксированном к (или v), находим
a(M), WWluM. (4.121)
Полное сечение поглощения в расчете на 1 ион и 1 электрон
получается суммированием по всем начальным скоростям электронов,
причем считается, что распределение их скоростей максвелловское
[формула (4.91)]. Если воспользоваться формулой (4.69), приходим
к следующему результату:
гДе«£ш"" усредненный по максвелловскому распределению гаун-
товский множитель:
00
*ш(". О - 1 *ш<". v)e~udu, (4.123)
О
где и ж mv2/2kT.
Упражнение 4.6. Убедиться в справедливости формул (4.122) и
(4.123).
Подставив численные значения атомных постоянных, умножив
на концентрации электронов и протонов и введя поправку на
вынужденное излучение (отметим, что поскольку этот процесс
представляет собой столкновение, она всегда соответствует ЛТР при
имеющейся электронной и ионной концентрациях), получим
коэффициент поглощения
Аг,(своб.-своб.) = 3,69 • 10*£ш0>, t)v-*T-*nenp(\ - е'ыкТ).
(4.124)
Выражения для gm даются в [417], а обширные таблицы можно
найти в [85] и [352]. Поглощение за счет свободно-свободных
переходов при перемещении к низким частотам начинает играть все

142
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
большую роль по сравнению со связанно-свободным поглощением
из-за уменьшения при v — 0 числа уровней, с которых может
происходить фотоионизация. Кроме того, свободно-свободные
переходы становятся более существенными при высоких температурах,
поскольку, как можно убедиться на основании формулы (4.92), в
пределе кТ/\ИОН > 1 населенности связанных состояний ni
изменяются пропорционально пеп Т~у\ Поэтому отношение
коэффициентов поглощения за счет свободно-свободных и связанно-свободных
переходов в пределе высоких температур возрастает
пропорционально 7\ Свободно-свободные переходы являются основным
механизмом поглощения, например, у О-звезд.
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ИОН ВОДОРОДА
Вследствие большой поляризуемости водорода он способен
образовывать отрицательный ион, состоящий из протона и двух
электронов. Этот ион имеет всего одно связанное состояние с энергией
связи 0,754 эВ. Из-за низкой энергии связи при высоких
температурах Н" не существует (разрушаясь путем ионизации), но он широко
распространен в атмосферах звезд типа Солнца или более
холодных. Несомненно, что Н" служит важным источником
непрозрачности у таких звезд, что было осознано Паннекуком и Вилдтом.
Оказалось, что сечение поглощения иона Н~ велико, и хотя лишь
небольшая доля водорода находится в этой форме, непрозрачность,
обусловленная Н", з атмосферах холодных звезд является
основной.
Отрицательный ион водорода может поглощать и испускать
излучение как при связанно-свободных, так и при свободно-
свободных переходах, т.е.
И" + hv *± Н 4- e(v)9 (4.125)
где Vimv1 = hv - 0,754 эВ, и
Н + e(v) + hv т± Н + e(v')9 (4.126)
где Vimv'2 = Vimv2 + Ь. При свободно-свободном переходе
электрон, пролетающий вблизи нейтрального атома водорода, наводит
за счет поляризации на какое-то время дипольный момент,
который может взаимодействовать с полем излучения, вызывая
поглощение и испускание фотонов. Процесс связанно-свободного
поглощения имеет порог примерно при 16500 А (1,65 мкм), что
соответствует энергии отрыва электрона. Сечение достигает макси-

4.4. Сечения поглощения в континууме 143
мального значения (примерно 4 • 10"17 см2) при 8500 А и убывает
в сторону более коротких волн. Сечение свободно-свободного
поглощения становится примерно равным сечению связанно-
свободного поглощения вблизи 15 000 А (1,5 мкм) и возрастает в
сторону бблыних длин волн. Суммарный коэффициент поглощения
(рис. 4.2) имеет минимум примерно на 1,6 мкм. Хотя другие
процессы поглощения ведут к замыванию этого минимума, у
холодных звезд непрозрачность вблизи этой длины волны все же меньше
всего.
Определить сечения обоих упомянутых выше процессов трудно,
хотя это делалось как теоретически, так и экспериментально.
Чтобы добиться желаемой точности, требуются очень точные
волновые функции. Первые расчеты, которые дали достаточно точные
значения сечений, были выполнены Чандрасекаром и Брин [162].
Было показано, что они согласуются с эмпирически выведенными
значениями коэффициента поглощения в атмосфере Солнца, что
привело к надежному отождествлению Н~ как основного источника
непрозрачности в атмосфере Солнца (см. § 3.6). В настоящее время
имеются более точные значения сечений как связанно-свободных
[242], так и свободно-свободных переходов [604]. Они хорошо
согласуются с экспериментальными значениями.
5
4
Ъ з
S'2
в
1
О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Я, 1000А
Рис. 4.2. Коэффициент связанно-свободного и свободно-свободного поглощения Н"
при Т = 6300 К. Ордината: сечение (х 1026) в расчете на нейтральный атом Н и
единичное электронное давление ре = ngkT. Абсцисса: Х/1000, где \ — в "А.

144
Га. 4. Коэффициенты поглощения
При ЛТР число ионов Н" в 1 см3 дается формулой Саха [см.
формулу (5.14)], которая имеет вид п* (Н~) = п(Н)реФ(Т), где
я(Н) — число атомов водорода в 1 см3, ре = пекТ, а Ф(7")
описывает зависимость степени ионизации от температуры. Поэтому при
ЛТР коэффициент поглощения можно записать в виде
АгДН-) = ар(Н-)п(Н)реФ(Т)(1 - е-Ыкт). Отклонения от ЛТР
могут проявляться как в рассчитываемых значениях л(Н~), так и в
поправочном множителе, учитывающем вынужденное излучение.
Поскольку коэффициент к*(Н~) пропорционален ре, ясно, что у
карликов Н~ будет более существенным источником
непрозрачности, чем у гигантов. Кроме того, так как электронная
концентрация в звездах типа G и более поздних типов зависит от содержания
металлов, у звезд II типа населения (имеющих низкое содержание
тяжелых элементов) Н" будет гораздо более слабым источником
поглощения.
ДРУГИЕ ИОНЫ ВОДОРОДА
Водород существует еще в двух формах, которые могут давать
значительный вклад в непрозрачность звездных атмосфер, а имен-
ко Н^и Н^. Положительный ион Н^ имеет один электрон, общий
для двух протонов. Сечения поглощения для него даются в [72] и
[117]. Поскольку концентрация Непропорциональна n(H)npt ион Н^
дает заметный вклад в общую непрозрачность только в той
области температур и давлений, где одновременно в заметных
количествах существуют и нейтральные, и ионизованные атомы Н, т.е.
там, где водород ионизован примерно наполовину. Эта область
характерна для звезд типа А, и Надает у них в видимой части
спектра вклад в непрозрачность около 10% (максимум поглощения Н^у
XI100 А замывается бальмеровским континуумом водорода).
Отрицательный молекулярный ион Н^г существует только при
сравнительно низких температурах, характерных для звезд типа М,
и на больших длинах волн его свободно-свободный континуум дает
заметный вклад в непрозрачность (тогда как связанно-свободным
поглощением можно пренебречь). При этом электрон,
пролетающий около молекулы Н2, на какое-то время создает наведенный ди-
польный момент за счет эффектов поляризации, и этот момент
может взаимодействовать с полем излучения. Континуум Н^
отчасти заполняет минимум коэффициента поглощения Н~ у 1,6 мкм.
Сечение свободно-свободного поглощения Нг дается в [592].

4.4. Сечения поглощения в континууме
145
ГЕЛИЙ
Гелий наблюдается в звездных спектрах в нейтральном и
однократно ионизованном состояниях. Поскольку потенциал ионизации
нейтрального гелия равен 24,58 эВ, он сохраняется до температур,
характерных для В-звезд, где водород уже сильно ионизован. У О-
звезд основным источником непрозрачности становится Не II.
Порог поглощения из основного состояния Не I лежит на X 504 А.
Для звезд типа В 0 и холоднее в ультрафиолетовой области спектра
X < 504 А доминирует поглощение Не I. Возбужденные состояния
гелия распадаются на две группы, синглеты и триплеты, и каждое
из состояний (л, /, s) имеет свою собственную энергию ионизации.
Грубо говоря, энергии ионизации лежат близко к водородным с
тем же п. Поэтому гелий дает по нескольку границ полос
непрерывного поглощения вблизи каждой границы поглощения водорода
(при п ^ 2). Поскольку энергия возбуждения даже самого нижнего
возбужденного состояния очень велика (19,72 эВ), гелий дает
заметную добавку к непрозрачности в видимой области звездных
спектров только у горячих звезд (типа В). Обычно гелий заметно
ионизуется еще до того, как его возбужденные состояния начинают
давать существенный вклад в непрозрачность. У небольшого числа
звезд содержание гелия по отношению к водороду аномально и
приближается к единице или даже больше. Здесь гелий может
преобладать в поглощении. Атом гелия — это система, состоящая из
трех частиц, и поэтому точные волновые функции получить нельзя.
Однако для получения приближенных волновых функций высокой
точности можно использовать целый ряд специальных методов
(см. [87], § 24 — 32; [577], § 18.1 — 18.3). Вариационный метод в
применении к основному состоянию был доведен до такого уровня
совершенства, когда он дает очень точные волновые функции.
Коэффициент поглощения из основного состояния, рассчитанный по
волновой функции высокой точности, полученной методом
Хартри — Фока, дается в [6031. Он хорошо согласуется с
экспериментальными значениями [311], Сечения поглощения с уровней 23S,
23Р, 2*S, 21Р были рассчитаны с использованием точных волновых
функций связанных состояний, найденных вариационным методом,
и волновых функций свободных состояний в приближении сильной
связи [332]. Для более высоких возбужденных состояний точные
сечения не опубликованы. Здесь можно использовать метод
квантового дефекта.
Ионизованный гелий — это водородоподобный ион с Z = 2.
Поскольку энергии водородоподобных ионов пропорциональны Z2,

146
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
частоты пределов ионизации vn здесь вчетверо больше, и предел
ионизации из основного состояния находится на Л 227 А. Этот
предел — доминирующая деталь далекого ультрафиолетового
спектра О-звезд, имеющих самые высокие температуры. У них
гелий становится уже двукратно ионизованным. Предел ионизации с
п = 2 у Не II совпадает с границей лаймановского континуума
водорода. Пределы ионизации с более высоких уровней с четными
квантовыми числами совпадают с пределами ионизации водорода
из состояний с п - л (Не П)/2, а с уровней с нечетными
квантовыми числами расположены между пределами ионизации у водорода.
Для Не II можно использовать водородные сечения, причем
сечения связанно-свободного поглощения больше в Z4 раз, а
свободно-свободного — в Z2 раз. При этом применимы
водородные гаунтовские множители, если рассматривать их как функции
v/vn. Не II влияет на спектр в видимой области только у звезд типа
ВО и более горячих.
Наконец, гелий может служить источником свободно-
свободного поглощения у холодных звезд. Сечения этого процесса
даются в [593], [340].
Упражнение 4.7. Рассчитать сечения фотоионизации Не I из
четырех состояний с п = 2, пользуясь методом квантового дефекта,
и сравнить эти результаты с указанными выше более точными
значениями.
4.5. Сечения рассеяния в континууме
Как упоминалось в гл. 2, излучение континуума может не
только поглощаться, но и рассеиваться. В первом случае фотоны
исчезают, а их энергия — по крайней мере частично -— пополняет собой
тепловую энергию, содержащуюся в газе. В процессе же рассеяния
фотон не исчезает, а только изменяет направление полета и,
возможно, слегка смещается по частоте. В этом разделе будут
приведены сечения двух наиболее важных процессов рассеяния.
TOMCOHOBCKOE РАССЕЯНИЕ
Рассеяние света свободными электронами называют томсо-
новским рассеянием. Классическое выражение для сечения этого
процесса можно получить непосредственно из формулы (4.32), если
заметить, что для несвязанного электрона резонансная частота о>0 и

4.5. Сечения рассеяния в континууме
147
параметр затухания равны нулю. Таким путем находим
ав = втг^/З/^с4 = 6,65 • 10"25 см2. (4.127)
Отметим, что это сечение не зависит от частоты. Томсоновское
сечение подтверждается квантовомеханическими расчетами в
предельном случае фотонов низких энергий, т.е. Ир < тс2. Для
фотонов высоких энергий (X < 1 А, рентгеновская область) следует
пользоваться формулой Клейна — Нишины [293], § 22; [392], стр.
433, которая дает меньшее сечение. На практике при изучении
звездных атмосфер отличием а от ов можно пренебрегать (за ис
ключением случая рентгеновских двойных).
При получении формулы (4.32) было выполнено усреднение по
углам, и поэтому угловая зависимость коэффициента рассеяния
выпала. На самом деле эта угловая зависимость дается дипольной
индикатрисой, определяемой формулой (2.19). В применениях,
связанных со звездными атмосферами, эту угловую зависимость почти
всегда можно не принимать во внимание и считать, что рассеяние
происходит изотропно. Мы пренебрегли также перераспределением
по частотам в лабораторной.системе отсчета, обусловленным доп-
леровскимй смещениями из-за движения электронов. Они будут
рассмотрены в гл. 13 (см. упражнения 13.5 и 13.6). В континууме
упомянутое только что перераспределение по частотам можно не
учитывать, но близ спектральной линии его учет может оказаться
необходимым. Электронное рассеяние является одним из самых
важных источников непрозрачности у горячих звезд (например, у
О-звезд).
РЭЛЕЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
Термин рэлеевское рассеяние означает рассеяние излучения
связанными системами, такими, как атомы или молекулы, на
частотах, много меньших частот переходов, характерных для данной
системы. Если и здесь воспользоваться формулой (4.32), то этот
процесс можно описать, поставив в соответствие истинным переходам
у рассеивателя эквивалентные классические осцилляторы с
соответствующими силами осцилляторов ftj и резонансными частотами
a)iJf равными истинным частотам переходов. Тогда при со <^ utj
формула (4.32) упрощается и дает
а(о?) = {ii:eAnm2cA)fij^/^l - а;2)2 =
= oJ^/Щ - и2)2. (4.128)

148
Гл. 4. Коэффициенты поглощения
Вдали от резонансной частоты а(и) изменяется как ы4, или как Х~4,
что приводит к сильной зависимости интенсивности рассеянного
излучения от цвета. Общеизвестным примером этой зависимости
служит голубой цвет неба, возникающий при рассеянии солнечного
света молекулами воздуха.
Рэлеевское рассеяние может быть существенно в атмосферах
звезд умеренных температур (спектральных типов G и К). В них
ббльшая часть водорода нейтральна и находится в основном
состоянии. Резонансные частоты, соответствующие лаймановским
линиям (1 -* л), лежат в далеком ультрафиолете, и фотоны
видимой области взаимодействуют с этими переходами за счет
механизма рэлеевского рассеяния. Макроскопический коэффициент
рассеяния получается суммированием по всем линиям и умножением на
концентрацию водорода в основном состоянии. Рэлеевское
рассеяние на нейтральном водороде может быть основным источником
непрозрачности при сравнительно низких температурах в области
высоких частот (см. графики в [97] и [651]). Кроме того, у звезд с
низким содержанием металлов (звезды населения II) число
свободных электронов (поставляемых главным образом металлами)
значительно уменьшено. Соответственно этому, уменьшается
непрозрачность, обусловленная Н", и поэтому роль рэлеевского
рассеяния сильно возрастает. Аналогичным образом может рассеивать
излучение и молекулярный водород Н2. Соответствующее сечение в
расчете на 1 молекулу [189] сравнимо с сечением рассеяния на
нейтральном водороде в расчете на 1 атом. При низких температурах
(например, у М-звезд) Н2 встречается гораздо чаще, чем атомарный
Н, и поэтому у них преобладает молекулярное рэлеевское
рассеяние.
Следует отметить, что для рассеяния в континууме никакого
аналога вынужденного излучения, имеющего место при процессах,
сопровождающихся поглощением, учитывать не нужно. Поэтому в
макроскопическом коэффициенте рассеяния нет поправочного
множителя того типа, что фигурирует в выражениях (4.98) и (4.99) и
учитывает вынужденное излучение.

Глава 5
Уравнения
статистического равновесия
Звездные атмосферы — это области высокой температуры и
низкой плотности. Поэтому газ в них состоит главным образом из
отдельных атомов, ионов и свободных электронов. В атмосферах
холодных звезд образуются также молекулы. Из-за низких
плотностей вещество всегда ведет себя как идеальный газ. Состояние газа
определено, когда известно распределение частиц по имеющимся
связанным и свободным энергетическим уровням, т.е. когда
известны населенности этих уровней. В этом случае имеется та
информация, которая нужна для вычисления давления газа, его плотности,
непрозрачности, излучательной способности вещества и т.д.
Чтобы найти населенности, нам придется иметь дело с
явлениями возбуждения и ионизации каждой из химических составляющих
газа. Один подход состоит в предположении, что можно применять
равновесные соотношения статистической механики и
термодинамики при локальных значениях температуры и плотности, т.е.
исходить из локального термодинамического равновесия (ЛТР). Как
мы убедимся, ЛТР обеспечивает чрезвычайно удобный метод
расчета функций распределения частиц. Однако одно из основных
свойств звездных атмосфер состоит в присутствии интенсивного
поля излучения, характер которого очень сильно отличается от
равновесного планковского распределения. Это поле излучения сильно
взаимодействует с веществом посредством радиативных
возбуждений и фотоионизаций (и обратных им процессов) и тем самым
отчасти определяет значения населенностей уровней у атомов газа.
Будет показано, что на самом деле состояние газа определяется ра-
диативными переходами. В этом случае населенности уровней
должны находиться из уравнений статистического равновесия, вид
которых определяется всеми микропроцессами, вызывающими
переходы с одного атомного уровня на другой.
Тот факт, что состояние вещества зависит от поля излучения,
вводит в теорию звездных атмосфер принципиальную трудности,
поскольку, как упоминалось в гл. 2, поле излучения в свою очередь
зависит от населенностей уровней через посредство коэффициентов
поглощения и излучения, влияющих на прохождение излучения че-

150
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
рез атмосферу. Таким образом, на самом деле требуется
полностью самосогласованное совместное решение уравнений
статистического равновесия и переноса излучения. Эта задача, вообще
говоря, трудная, и ее решение составляет основное содержание гл. 7, 11
и 12 этой книги. Пока же мы просто покажем, что есть серьезные
основания ожидать, что состояние вещества будет отклоняться от
того, которое должно быть при ЛТР. Поэтому ЛТР является в
лучшем случае вычислительным средством, ведущим к достижению
цели [т.е. позволяющим до конца рассчитать модель
атмосферы. —Ред.]. Если в том или ином частном случае
населенности уровней, полученные из общего анализа, т.е. путем
совместного решения уравнений статистического равновесия и
переноса, окажутся согласующимися с тем, что дается ЛТР, то
использование предположения об ЛТР является законным. Но для
широкого круга задач (в частности, для задач об образовании линий)
такого согласия, вообще говоря, нет (и в большинстве представляющих
интерес случаев нельзя заранее точно предсказать, когда оно
будет!).
5.1. Локальное термодинамическое равновесие
При термодинамическом равновесии состояние газа, т.е.
распределение атомов по связанным и свободным состояниям, при
посредстве обычных равновесных соотношений статистической
механики однозначно определяется двумя термодинамическими
переменными. (В качестве этих переменных мы выберем абсолютную
температуру Т и полную концентрацию частиц N.) Эти
соотношения не будут выводиться в полном объеме в этой главе, поскольку
их вывод легко найти в стандартных учебниках (см., например,
[565], гл. 12, 14 и 15; [И], гл. 3). Они будут лишь приведены в том
виде, который удобен для дальнейшего использования в этой книге.
Предположение об ЛТР утверждает, что те же самые соотношения
можно использовать для звездных атмосфер при локальных
значениях Г(г) и N(r), несмотря на градиенты этих величин,
существующие в атмосфере. Это простое предположение на самом деле
является очень сильным, так как оно означает, что вышеупомянутые
функции распределения предлагается рассчитывать без учета
состояния физического ансамбля, в котором находится данный элемент
вещества. Таким образом, считается несущественным, находится
ли вещество внутри термодинамически равновесной полости, в
атмосфере с сильным полем излучения или в струе, выбрасываемой

5.7. Локальное термодинамическое равновесие
151
двигателем космического корабля, несмотря на очевидное
несходство этих случаев! При ЛТР мы имеем дело с чисто локальной
теорией, которая никак не учитывает взаимное влияние состояния
одного элемента газа на состояние другого, скажем, за счет обмена
излучением (за исключением того влияния, которое может быть
вызвано некоторыми глобальными условиями, наложенными на
атмосферу, например, гидростатическим или лучистым
равновесием). Более того, при ЛТР абсолютная температура Т является
универсальной в следующем смысле. Одно и то же значение Т
применимо при расчете функций распределения скоростей атомов, ионов
и электронов, распределения атомов и ионов по уровням (формулы
Больцмана и Саха) и распределения теплового излучения по
частотам (функция Планка). Короче говоря, из предположения об ЛТР
следуют весьма далеко идущие выводы. Именно поэтому оно столь
эффективно уменьшает сложность уравнений, и в то же время
столь трудно поддается физическому обоснованию и столь часто
оказывается ошибочным.
МАКСВЕЛЛОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
При термодинамическом равновесии с температурой Т
вероятность того, что частица массы m имеет скорость в интервале (V,
v + rfv), дается распределением скоростей Максвелла
f{M)dvxdvydvz =
ехр[ - m(v\ + v\ + vl)/2kT]dvxdvvdvz. (5.1)
Вероятность того, что полная скорость лежит в интервале (t>,
v + dv), равна
f(v)dv = (-—) ехр( - mv2/2kT)4irv2dv. (5.2)
Эти распределения можно охарактеризовать наиболее вероятной
скоростью
v0 = (2kT/m)* = 12,85(Г/104Л)/; км/с, (5.3)
где А — атомный вес частицы. Родственными параметрами
являются среднеквадратичная скорость (v2)Vl = (3kT/m)Vl и
среднеквадратичная скорость любой компоненты (например, компоненты по
лучу зрения) {vl)Vl = (kT/m)Vl.
\2irkT)

152
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
ФОРМУЛА ВОЗБУЖДЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
При термодинамическом равновесии с температурой Т атомы
распределены по своим связанным состояниям в соответствии с
формулой возбуждения Больцмана. Пусть nijk — концентрация
атомов на возбужденном уровне / стадии ионизации j химического
элемента к. Пусть j — 0 обозначает нейтральные атомы,
7=1 — однократно ионизованные и т.п. Энергия возбуждения \ijk
отсчитывается от основного состояния атома. Пусть
gijk — статистический вес, приписываемый уровню для учета числа
вырожденных подуровней (например, U + 1 состояний с разными
m в отсутствие магнитного поля). Тогда, согласно формуле
Больцмана, населенность любого возбужденного уровня равна
("///"од)* = (£У$од)ехР( " Xijk/kTu (5.4)
где нижний индекс 0 означает основной уровень, а верхний индекс
* указывает на наличие Л ТР. Для любых двух возбужденных
уровней / и m
= (gmJk/gljk)zxp( - hvlm/kT)y (5.5)
где hvlm — энергия фотона, равная разности энергий уровней. При
расчетах ионизационного равновесия обычно требуется найти
полное число атомов в некотором конкретном состоянии ионизации,
которое можно записать в виде
NJk = I пик = я5Л*1 *</*ехр( - *чк/кТ) =
= ("'ojSiojJU^T), (5.6)
где
ЩТ)= 18ик^Р(-Хик/кТ) (5.7)
называется суммой по состояниям. При классическом анализе
спектров с прмощью кривых роста (см. §10.3 и 10.4) формулу (5.4)
принято использовать в виде
("HV = *</*ехР< - X0l/kT)/U^T). (5.8)
Получение сумм по состояниям требует громоздких расчетов, а

5.1. Локальное термодинамическое равновесие 153
для некоторых атомов и ионов (например, для редких земель)
сведения о структуре термов настолько неполны, что нам не хватает
необходимых данных. Имеются таблицы сумм по состояниям [11],
стр. 115 — 117, и их удобные аналитические представления с
помощью приближенных формул [103], [220]. Часто хорошей оценкой
служит просто значение g0Jk или сумма по нескольким нижним
состояниям. Отметим, что формально, согласно формуле (5.7),
сумма по состояниям расходится, если суммирование распространяется
на все связанные состояния (число которых бесконечно), так как все
члены суммы не меньше ехр( - \Ijk/kT) (где \IjK -— энергия
ионизации), а эта величина не равна нулю. Физически этой проблемы,
однако, не существует, так как на самом деле самые верхние
состояния не могут оставаться связанными, поскольку они испытывают
сильные возмущения под действием окружающих атомов и ионов.
Чтобы оценить этот эффект, можно принять, что связанными
являются только те состояния, которые содержатся в пределах
среднего объема, приходящегося на один ион. При концентрации
частиц N среднее расстояние между атомами равно г0 = (3/47г7У)1/з.
Для водородоподобного иона с зарядом Z радиус атома,
находящегося на уровне с главным квантовым числом л, равен гп = nhq/Z,
где а0 = 5,3 • Ю-9 см — боровский радиус. Если положить гп = г0
и выбрать в качестве типичного значения N « Ю15, то найдем, что
п « 30Z,/z, так что сумма явно конечна. Более точный расчет (см.
§9.4) показывает, что в плазме с концентрацией заряженных частиц
пе и температурой Т у ионов с зарядом Z потенциал ионизации
уменьшается на величину Ах « 3 • \0~%Zn^T~Vl эВ. Для водородо-
подобных энергетических уровней это дает л^ах « 4 • \0^п~УгТу\
или лтах ~ 60Z1/2 при пе ~ 1014 и Г - 104.
ФОРМУЛА ИОНИЗАЦИИ САХА
Над дискретными связанными состояниями атома имеется
континуум состояний, в которых электрон не связан и имеет
отличную от нуля кинетическую энергию. Энергия, на которой
начинается континуум, отсчитанная от основного состояния, называется
энергией ионизации \г Относительные числа атомов и ионов,
находящихся в последовательных стадиях ионизации, можно рассчитать
по формуле ионизации Саха, которую мы получим, распространив
формулу Больцмана на свободные состояния.
Рассмотрим процесс, при котором атом к-ю элемента
ионизуется из своего основного состояния с образованием иона на основном

154
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
уровне плюс свободный электрон в континууме, движущийся со
скоростью v. Энергия, необходимая для протекания этого процесса,
равна Хдол + тх)1/1 (где использованы обозначения, подобные тем,
которые применялись при обсуждении формулы Больцмана).
Статистический вес начального состояния есть g00k. Статистический
вес конечного состояния (ион + электрон) можно записать в виде
g(v) = goxk X ^ЭЛектрон- ЕсЛИ Че^е3 п0,\№ обозначить числ0 ИОНОВ
на основном уровне, около которых имеется свободный электрон
со скоростью, лежащей в интервале (t>, v + dv), можно применить
формулу (5.4), что позволяет написать
IW^oaJ* = ШЪ0М)е>Ч>1 - (ХГМ + \™2)/кТ]. (5-9)
Величину £электрон мы отождествляем с числом ячеек фазового
пространства, которые свободный электрон может занимать.
Согласно квантовой статистике, оно равно
Электрон = 2(dxdydzdpxdpydpz)/h\
где множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина
электрона. Возьмем такой элемент пространственного объема,
который содержал бы в точности один свободный электрон, и
подставим dxdydz = п~1. Элемент объема в пространстве импульсов
запишем через скорость электрона:
dpxdpvdpz = 4irp2dp = 4irm3v2dv.
5,
["0,Lk(V)/n0,0,k\* =
= S*m3h-*(g0AJ/g090tk)n;1 x exp[ - (xIM + ^mv2)/kr\v2dv. (5.10)
Далее, суммируя по всем конечным состояниям, т.е. интегрируя по
распределению скоростей электронов, получаем
Тогда формула (5.9) примет вид
х ехр( - xlt0J/kT) \ e-x2x2dx, (5.11)
= Sirm3h-3(g0Xk/g0Ak)(2kT/my/2 х
или, если вычислить интеграл,
"од* = п1иК\ (Ь2Л™ЬТ)^00.^0Хк)exp(XlAk/kT). (5.12)
Это и есть формула Саха в ее основной форме. Отметим, что при

5.1. Локальное термодинамическое равновесие
155
выводе нигде не использовалось условие, что первоначально
«атом» нейтрален. Поэтому формулу (5.12) можно обобщить так,
что она будет применима к двум любым последовательным
стадиям ионизации:
"W = "oV iX j (h2/2irmkT)^Hg0jk/g0j+ 1Л) ехр(Х/д/*Г). (5.13)
Если далее воспользоваться формулой Больцмана (5.4), мы
получим выражение для населенности любого состояния j в функции
температуры, электронной концентрации и населенности основного
состояния иона j + 1, а именно
nUk = "oj+ijP&ykSgoj+iJCiT'3'2*
х ехр[(Х/д - xijk)/kT\ ш
s »0j+i/*e*v№. (5.14)
Для того формализма, который будет нами применяться,
выражение (5.14) является наиболее удобным видом формулы Саха. Оно
будет использоваться в качестве определения ЛТР-населенностей в
общих уравнениях статистического равновесия, не предполагающих
заранее существования ЛТР (по этой причине индекс * у n0J+ { k и
пе опущен). Значение константы в системе СГС равно
С j = 2,07 • 10"16.
Воспользовавшись формулой (5.6), можем переписать (5.14) в
виде
- NJ+ukne%k(T). (5.15)
Далее, суммируя по всем связанным состояниям более низкой
стадии ионизации и пользуясь еще раз формулой (5.6), получаем
выражение для отношения полных чисел атомов в последовательных
стадиях ионизации:
tV"y+u>* = "ЛЩЪ/и^ТЯСр-™ х
х ехр(Х/д/А:Г) = n$Jk(T). (5.16)
Применяя несколько раз формулу (5.16) к последовательным
стадиям ионизации, можно получить выражение для доли атомов
химического элемента к в стадии ионизации j по отношению к полному

156 Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
числу атомов этого типа:
fjk(ne, Т) = (NJk/Nky =
+ (NJkUk/NJkkr ■ • • (W*
= П Mwni/j; n №(7-)]-
/ = j m = 0 / = m
ж PJk(ne, T)/Sk(ne, T), j = 1,..., Jk, (5.17)
где Jk — номер последней стадии ионизации рассматриваемого
элемента к. Заметим, что здесь предполагается, что сомножители с
/ = Jk (которые формально равны нулю) и в числителе, и в
знаменателе заменены на единицу.
Рассмотрение полученных результатов показывает, что если (пе,
Т) известны, то для любого химического элемента к по формуле
(5.17) можно определить долю его атомов, находящихся в любой
заданной стадии ионизации, а по формуле (5.15) —долю атомов,
находящихся на любом конкретном возбужденном уровне. Если,
кроме того, известна полная концентрация атомов этого элемента,
то можно получить абсолютные населенности уровней nijk. На
практике эта процедура удобна при расчетах линейчатых спектров
в предположении ЛТР, когда модель атмосферы, определяющая
ne(z) и T(z), задана. Однако при расчете самой модели величина
ne(z) обычно не известна, а известна полная концентрация частиц
N(z). Поэтому следует определить пе, а это означает, как следует
из формулы (5.17), что должна быть решена нелинейная система
уравнений. Рассмотрим поэтому методы решения этой нелинейной
задачи.
5.2. Уравнение состояния вещества,
испытывающего ионизацию,
в предположении ЛТР
Формулы Больцмана и Саха позволяют рассчитать долю любой
химической составляющей вещества, находящуюся в различных

5.2. Уравнение состояния вещества при ЛТР
157
стадиях ионизации, и соответствующее число свободных
электронов, поставляемых плазме. Звездные атмосферы состоят из смеси
элементов с сильно различающимися потенциалами ионизации.
Вообще говоря, некоторые из составляющих могут быть
нейтральными, тогда как другие однократно или многократно ионизованы.
Обычно переход от одной из стадий ионизации к следующей
происходит с ростом температуры довольно резко, и, как правило, та
или иная составляющая существует практически целиком лишь в
двух последовательных стадиях ионизации. Это представляет нам
чувствительный метод для диагностики температурной структуры
звездных атмосфер, так как отсюда следует, что отношение интен-
сивностей спектральных линий двух последовательных ионов
(например, Не I и Не II или Са I и Са II) будет быстро меняющейся
функцией температуры. Фактически именно это было той основой,
на которой Саха [546], [547], Паннекук [495], Пейн [501] и Фаулер и
Милн [222], [223] впервые дали объяснение спектральной
последовательности. В нормальных звездных атмосферах водород является
составляющей, далеко превосходящей по распространенности все
остальные. Следующим по распространенности идет гелий, причем
7V(He)/N(H) «0,1. Содержание по отношению к водороду более
тяжелых элементов гораздо ниже (относительно распространенно-
стей элементов в атмосфере Солнца см., например, [252]). При
типичных для солнечной атмосферы температурах (6000 К) водород
практически нейтрален, и электроны поставляются главным
образом «металлами», такими, как Na, Mg, Al, Si, Са и Fe. При более
высоких температурах, характерных для А-звезд (10 000 К),
водород ионизуется и становится основным источником электронов.
При очень высоких температурах, характерных для О-звезд и
ранних В-звезд, ионизуется гелий, и он поставляет заметную долю
электронов.
СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДА И ЧИСЛА ЧАСТИЦ
При расчетах моделей звездных атмосфер газовое давление
определяется из уравнения гидростатического равновесия. Поэтому
если р и Т заданы, то полная концентрация частиц N
известна — она определяется соотношением
Pg = NkT = (^атомы + "ионь, + "е)кТ = <tfN + Пе)кТ. (5.18)
Здесь 7VN означает концентрацию «ядер», т.е. атомов и ионов всех
типов. В уравнении (5.18) и в последующих формулах этого раздела

158
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
индекс *, означающий ЛТР, для упрощения обозначений
опускается. Обозначим через ак относительное содержание химического
элемента к, определяемое равенством Nk = ctkNs, так что
У ак = 1. Тогда равенство
Nk = ak(N - пе) (5.19)
выражает условие сохранения числа частиц (т.е. У Nk = 7VN).
к
Потребуем, кроме того, чтобы плазма была электрически
нейтральна. Тогда число свободных электронов равно суммарному
заряду ионов w условие сохранения заряда записывается в виде
Пе= I t JNJk= 1 Nk 1 Jfjfr«T) =
к j = \ к j = \
h
= (N- ne) I ak I jfjk(net П (5.20)
к y=l
Как отмечалось выше, если пе и Т известны, то N nfJk можно
вычислить непосредственно. Если же известны N и Г, то пе должно
находиться из некоторого нелинейного уравнения. До появления
электронных счетных машин эта проблема решалась с помощью
построения таблиц lgPg(T, lgpe) (здесь ре = пекТ)> по которым для
нахождения pe(Tf lgpg) можно было выполнить интерполирование.
Примеры таких таблиц даются в [11], стр. 30, и в [638], стр. 104.
Мы изложим другой подход, в основе которого лежит идея,
предложенная Л. X. Ауэром. Этот метод больше подходит для
машинных вычислений и по своему духу соответствует излагаемому в гл.
7 общему методу расчета моделей атмосфер. Но сначала
рассмотрим один поучительный пример, который позволит составить
представление о физической картине в предельных случаях.
Предположим, что газ состоит только из водорода (хн = 13,6 эВ)
и одного металла «М» с единственным ионизованным состоянием,
обладающим гораздо более низким потенциалом ионизации
(скажем, хм = 4 или 5 эВ) и с содержанием по отношению к водороду
ам < 1. При высоких температурах, когда водород заметно
ионизован, он будет поставлять большую часть электронов. При более
низких температурах водород нейтрален и пв определяется долей/м

5.2. Уравнение состояния вещества при ЛТР
159
ионизованных атомов металла. Число частиц всех типов равно
N = "нО + Jh) + «м^нО + /м>. (5-21)
а число электронов
Пе = Пр + "К+ = Ян(/н + ам/м>- (5-22>
Поэтому
/>/^ = (/н + «мШ1 + /н + V + /м)1- (5-23)
При достаточно высоких температурах/н — 1, и так как ам < 1,
то Pe/pg —' 1/2. При промежуточных температурах, когда
ам < /н < 1 и в то же время /м « 1, имеем pjpg • /н. При
низких температурах /н — 0, тогда как /м//н ► 1, и поэтому
p/pg — «iv/m* Таким образом, видим, что при высоких
температурах металлы практически несущественны при определении pe/pg,
при низких же температурах они играют решающую роль. В
частности, отмехим, что у холодных звезд ре пропорционально
содержанию металлов. Это существенно, поскольку главным
источником непрозрачности в холодных атмосферах является поглощение
ионом Н", а отношение л(Н~)/л(Н) пропорционально пе. Поэтому
у этих звезд содержание металлов определяет и непрозрачность.
Для газа из чистого вооороба уравнения (5.16), (5.19) и (5.20)
можно решить аналитически, что дает
пе(Н) = Ф^КЛЙн + 1УЛ ' Ч- <5-24>
Отсюда видно, что при фиксированном Т и низкой степени
ионизации пе ~~ NVl.
Упражнение 5.7. Вывести формулу (5.24).
Если в описанном выше двухкомпонентном газе ионизован только
металл (fH < ам), то имеем
^М)*Фм-МК^Фм+^(1 + 2ам)],/2-|(1+ам)}. (5.25)
Если ам < 1 и хм < Хн> из Ф°РМУЛ (5-24) и (5.25) мы получим
довольно хорошую оценку пе> если положим пе * пе(Н) + пе(М).

160
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Обратимся теперь к вопросу об определении пе по заданным
значениям (N, Т) с помощью итеративного метода линеаризации
(обобщение метода Ньютона). Мы опишем этот метод довольно
подробно, поскольку он является простым примером того подхода,
который будет использован нами в более сложных случаях (напри:
мер, при решении уравнений статистического равновесия и переноса
излучения в отсутствие Л ТР.). Единственным подлежащим
решению уравнением (в отличие от неравновесного случая, где
уравнений много, см. §5.5) является уравнение (5.20), в котором fjk(ne, Т)
дается выражением (5.17). Предположим, что имеется некоторая
начальная оценка электронной концентрации п°е. Предположим
также, что использование п°е для вычисления правой части в (5.20) дает
концентрацию п\ Ф п°е. Тогда ясно, что истинная концентрация
отличается от л°, так что можно написать пе = п°е + 8пе, где Ьпе надо
выбрать таким образом, чтобы уравнение (5.20) удовлетворялось
точно. Поскольку это уравнение нелинейное, точно определить Ьпе
нельзя, но в предположении, что bnjn^ < 1, оценку Ьпе можно
получить, разложив все величины с точностью до членов первого
порядка и разрешив уравнение относительно 6пе. Тогда будем иметь
п°е + Ьпе «
~ W - Л0 _ 6/дцл0 Т)] +(tf _ <)РЦ^' Т)] подПе
или е (5.26)
«лв- [C/V-я?)Ё-/f^lTl + Е- (Л^-Ло>-|^Л ~\ (5.27)
где
£(пе, Т) =
h
= Е <*А'Ч>7) £ JPjMe>T). (5.28)
к у= 1
Заметим, что функции Р(пе9 Т) и S(ne, Т) можно записать в виде
Pj«(»e>T)= П М^] = л?гЛПд(71 (5.29)

5.2. Уравнение состояния вещества при ЛТР
161
И
Sk(ne,T)= I Pjk(ne,T)= I n«k-JKjk(T). (5.30)
j = 0 j = 0
Значение bne, даваемое выражением (5.27), не является точным,
поэтому мы осуществляем итерацию этой процедуры: берем новую
оценку я° (новое) = п°е (старое) + Ьпе> с ней перевычисляем £ и
dt/dne и находим новое значение дпе.
Сходимость этой процедуры квадратичной (если
первоначальная оценка лежит в пределах области сходимости), так что если
первая относительная погрешность Ьпе/пе равна е, то последующие
итерации будут давать поправки порядка е2, £4, г* и т.п., откуда
следует, что можно быстро получить результат с желаемой
точностью. Стоит также заметить, что производную dt/dne можно
вычислить аналитически:
k j j
причем производные dPJk/dne и dSk/dne непосредственно
получаются из формул (5.29) и (5.30) и по подстановке в (5.31) приводят к
компактному выражению для dt/dne. Вообще же производные,
появляющиеся в процедурах линеаризации, можно приближенно
находить численно. Однако мы обычно будем иметь возможность
получать производные аналитически, и опьп показал, что за счет этого
процесс вычислений делается более управляемым.
Наконец, получив удовлетворительное значение пе, а попутно и
fJkf по формуле (5.15) можно рассчитать населенность любого
уровня:
nijk = NJ+Ukne^ijk(T) =
= ak(N - ne)njj+lk(net Щк(Т), (5.32)
чем и завершается расчет уравнения состояния при ЛТР.
Описанная выше процедура имеет более общее значение, чем
это указывалось до сих пор. Мы принимаем, что N и Т заданы. Но
эти величины определяются условиями гидростатического
равновесия и баланса энергии и в общем случае известны на любом кон-

162
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
кретном этапе расчета модели лишь приближенно. Как будет
показано в гл. 7, процедуру линеаризации можно применить ко всем
входящим в расчет переменным, а потому нам понадобится
оценить, как населенности уровней реагируют на возмущения 8N и 67".
Варьируя уравнение (5.20), получаем
пе + Ьпе = (N + 6N - пе ~ bne)t +
или, если принять, что пе есть решение уравнения (5.20) при
текущих значениях (7V, Г),
Ьпв = |"l + t - (N - ne)j^\ UbN +
+ (*-.;*,Л.(£)«+ (£)„-. (5.34,
причем dt/дТ здесь также можно найти аналитически. Далее, из
формулы (5.32) для bnijk можно получить выражение вида
8nijk = AfiN + А£Т + АгЬпе, которое с помощью (5.34) можно
упростить, приведя его к форме
Упражнение 5.2. Получить выражения для коэффициентов в
формуле (5.35) через PJk, Sk и $jjk и их производные.
Формулы (5.34) и (5.35) даю г информацию, которая
понадобится нам в §7.2 для выяснения того, как реагируют коэффициенты
поглощения и излучения (<5х, <$*?) на изменения в структуре модели
(67V, 6Т).
Упражнение 5.3. Показать, что 5NJk для последней стадии
ионизации элемента к имеет особенно простой вид, так как/УА. содержит
только Sk. Далее показать, что выражения для 6NJk для ионов
более низких стадий ионизации могут находиться по формуле (5.16)
рекуррентно и что эти выражения в комбинации с формулой (5.15)

5.3. Микроскопические условия для ЛТР
163
приводят к простым выражениям для Ьп -к, имеющим ту же форму,
что и в (5.35).
5.3. Микроскопические условия, необходимые
для существования ЛТР
Прежде чем обсуждать уравнения статистического равновесия,
стоит качественно рассмотреть, какие микроусловия требуются для
существования ЛТР. Интересный анализ этих условий можно
найти у К. X. Бёма [261], гл. 3. Мы сейчас кратко изложим и обсудим
как этот анализ, так и другой относящийся к этому вопросу
материал.
ДЕТАЛЬНЫЙ БАЛАНС
При термодинамическом равновесии скорость протекания
любого процесса в точности равна скорости протекания обратного ему
процесса, т.е. для каждого процесса имеет место детальный
баланс. Это очень жесткое требование. Рассмотрение детального
баланса оказывается очень полезным для получения соотношений
между коэффициентами вероятностей различных процессов
(напомним, что этот метод уже использовался в гл. 4). Процессы,
вызывающие переходы из одного состояния в другое (связанное или
свободное), можно разбить на два широких класса — радиативные и
процессы столкновений. Процессы столкновений — это те
процессы, за счет которых, согласно статистической физике,
устанавливается равновесие. Можно утверждать, что для них будет
существовать детальный баланс, если только распределение скоростей
сталкивающихся частиц равновесное (т.е. максвелловское). Ниже
будет показано, что для звездных атмосфер можно ожидать
выполнения этого условия. Более того, близкое утверждение можно
сделать и о процессах, которые хотя и сопровождаются излучением
фотона, но по своему характеру все же являются процессами
столкновений (например, свободно-связанные переходы, т.е.
фоторекомбинация, и свободно-свободное излучение). При расчете скоростей
протекания этих процессов, если это удобно, можно пользоваться
соотношениями, основанными на выполнении детального баланса.
В противоположность этому радиативные процессы (например,
фотовозбуждения, фотоионизации) непосредственно зависят от
характера поля излучения и будут находиться в детальном балансе,
только если интенсивность излучения изотропна и имеет планков-

164
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
ское распределение по частотам. Ниже будет показано, что в
звездных атмосферах это не так.
Если для некоторых из процессов детальный баланс имеется, а
для других отсутствует, то получающиеся в результате
населенности уровней будут определяться конкуренцией этих процессов и
могут более или менее сильно отличаться от равновесных. ЛТР будет
иметь место в очень глубоких слоях звездных атмосфер, где
плотности высоки и эффективность столкновений становится высокой, а
оптическая глубина настолько велика, что фотоны не могут выйти
из атмосферы, не испытав термализации, так что поле излучения
приближается к планковскому. Однако в наблюдаемых слоях
ситуация прямо йфотивоположна.
ХАРАКТЕР ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Звездную атмосферу нельзя считать замкнутой системой,
находящейся в равновесии при повсюду одной и той же температуре.
На самом деле имеет место противоположный случай: излучение
свободно выходит из поверхностных слоев звезды в практически
пустое пространство, а отсюда следует, что поле излучения
несомненно анизотропно и что в атмосфере есть большой градиент
температуры. Поле излучения в любой точке есть результат
совокупного действия процессов излучения и поглощения во всем том
(возможно, большом) объеме, в пределах которого фотон может
свободно пролетать от места своего излучения до рассматриваемой
точки. Этот объем может содержать как граничную поверхность и
пустое пространство за ней, что влечет уменьшение интенсивности,
так и слои с более высокой температурой и плотностью, в которых
зарождается интенсивное излучение. Поэтому поле излучения по
своему характеру является явно нелокальным и имеет абсолютное
значение интенсивности, ее распределение по направлениям и
частотный спектр, которые могут не иметь даже отдаленного
сходства с локальным равновесным распределением Bv(T). Поэтому
скорости протекания радиативных процессов могут быть далеки от их
равновесных значений, а значит, эти процессы будут стремиться
вызвать отклонения состояния вешества от ЛТР.
Поле излучения очевидным образом анизотропно из-за того,
что излучающие области видны под углом, меньшим 47г, а со
стороны лежащего рядом вакуума излучение практически не
происходит. Этот геометрический эффект можно описать введением
фактора дилюции W, по определению равного со*/47г, где
о>* — телесный угол, под которым виден диск звезды

5.3. Микроскопические условия для ЛТР
165
Упражнение 5.4. Показать, что
W=Z\{1 " П " {r*/r)1]Vl}> (5'36)
где г* — радиус излучающей поверхности и г — расстояние до
наблюдателя. Показать, что W = — (г*/г)2 при г+/г < 1.
4
Определенная таким образом величина W служит мерой того,
как плотность энергии излучения убывает с удалением от
источника излучения. Очевидно, что на «поверхности» звезды W = Уг (на
самом деле из-за потемнения к краю W немного меньше 1/2), но в
протяженной оболочке звезды W < 1 (а в планетарных
туманностях W ~ 10~14). При термодинамическом равновесии должно
быть W — 1, так что ясно, что детальный баланс радиативных
переходов в звездных атмосферах, вообще говоря, осуществляться не
может.
Кроме того, что поле излучения звезды дилютировано (W < 1),
оно имеет распределение по частотам, заметно отличающееся от
планковского. Согласно соотношению Эддингтона — Барбье,
интенсивность излучения, выходящего на частоте v, приближенно
равна функции источников Sv при тр — 1. Даже если бы Sv
равнялось Bv, то все же из-за того, что на одних частотах вещество
значительно менее прозрачно, чем на других (отношение
коэффициентов поглощения в линии и в континууме часто равно 103, а может
достигать и гораздо ббльших значений), излучение будет выходить
с сильно различающихся глубин, где температура существенно
разная. Поэтому поле излучения слагается из компонент с сильно
различающимися температурами излучения. Влияние градиента
температуры становится особенно сильным, когда hv/kT> 1, так как
тогда функция Планка изменяется как exp( — hv/kT) и делается
очень чувствительной к небольшим изменениям Т. Если бы мы
захотели описывать поле излучения, введя температуру излучения
TR(fi, р)9 такую, что /(г*, /х, v) = WB¥[Tr(ia9 р)] при д ^ 0, мы
обнаружили бы заметные изменения 7^ и с v> и с /х. Например, для
солнечного спектра TR изменяется от 4 800 К в видимой области до
~ 25 000 К в ультрафиолете, в континууме основного состояния
Не+. Резюмируя, можно сказать, что поле излучения показывает
чрезвычайно сложное поведение и условия, необходимые для
обеспечения ЛТР, не выполняются.

166
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ЭЛЕКТРОНОВ
В звездных атмосферах свободные электроны возникают при
фотоионизацкях и при ионизации столкновениями. Обратными им
процессами являются радиативная рекомбинация и тройные
столкновения, ведущие к захвату электронов на связанные уровни.
Находясь в континууме, электрон может испытывать упругие
столкновения с другими электронами и неупругие столкновения с атомами
и ионами (они приводят к возбуждению или отрыву связанных
электронов). Упругие столкновения перераспределяют энергию
между электронами и стремятся приблизить ее распределение к
равновесному, а поэтому устанавливают и максвелловское
распределение скоростей. Если же максвелловское распределение уже
достигнуто, то кинетическую температуру электронов можно принять
за локальную температуру. В другой стороны, неупругие
столкновения и рекомбинации мешают установлению максвелловского
распределения скоростей. В неупругих столкновениях принимают
участие лишь электроны, имеющие скорости из некоторого
определенного промежутка. Они стремятся изменить скорости
систематическим образом, значительно их уменьшая. Рекомбинации вообще
выводят электроны из континуума и прекращают их дальнейшие
упругие столкновения. Установится ли максвелловское
распределение скоростей или нет, целиком зависит от того, насколько быстро
идет термализация при упругих столкновениях по сравнению с
вызывающими возмущения процессами. Если она происходит гораздо
быстрее, чем срабатывают возмущающие процессы, распределение
скоростей будет очень близким к максвелл овскому-
Мерой скорости термализации может служить время релаксации
системы. Для частиц, которые взаимодействуют сами с собой, оно
равно (см. [598], гл. 5)
tc = mlA(3kT)*/[\ly9nee4Z4ln(D/p0)] с. (5.37)
Здесь D — дебаевский радиус (см. §9.4): D = кТ/$же2пеУЛ, а
р0 = e2/mv2 — прицельный параметр столкновения, дающего
отклонение на 90°. Рассмотрим теперь рекомбинации. Если
а — среднее сечение этого процесса, то среднее время между
рекомбинациями есть
tr = (No(v))-] = М-1о-1(тт/&кТ)* с, (5.38)
где N — концентрация частиц, с которыми электроны рекомбини-
руют. Два процесса, существенных для астрофизики, — это
а) Н + е - И" и б) Н+ + е - Н. При Т~ 6000 К (типичная
солнечная температура) он. ~ 3-Ю"22 см2 и ne/NH -~ 10"4. .При

5.3. Микроскопические условия для ЛТР
167
Т ~ 10 000 К имеем аИ ~ 6 • 10~21 см2 и пе/п ~ 1. Подставляя
эти значения в формулы (5.37) и (5.38), находим tr/tc -~ 105 для
процесса а) и tr/tc ~ 107 для процесса б). Таким образом, можно
заключить, что при условиях, характерных для звездных атмосфер,
свободный электрон будет между рекомбинациями испытывать
колоссальное число упругих столкновений, и поэтому рекомбинации
не будут заметно мешать установлению равновесного максвеллов-
ского распределения.
Рассмотрим теперь неупругие столкновения. Столкновения
электронов с атомами самого распространенного элемента —
водорода — происходят часто, но энергия возбуждения водорода
равна 10 эВ, а тепловая энергия электронов составляет 1 эВ.
Поэтому только 3 • 10"5 всех электронов имеют энергию, достаточную,
чтобы вызвать возЬуждение, а из них лишь какая-то малая доля
действительно его вызывает. Если взять типичное сечение
возбуждения, найдем, что (при 10 000 К) скорость неупругих возбуждений
того же порядка, что и скорость рекомбинации, т.е. очень мала по
сравнению со скоростью упругих столкновений. Следует также
рассмотреть столкновения с атомами других элементов, которые
можно сгруппировать следующим образом: а) щелочные металлы,
имеющие большие сечения, но низкие относительные содержания
(10~6); б) железо, имеющее многочисленные низкорасположенные
уровни и умеренную распространенность (4 • 10"5) и в) С, N и О,
которые имеют небольшие сечения, но большую относительную
распространенность (Ю-3). Большинство уровней у атомов групп
б) и в) метастабильны, так что ббльшая часть неупругих
столкновений затем компенсируется ударным девозбуждением. Не
учитывая этого эффекта, мы переоцениваем число неупругих
возбуждений. Учитывая различные факторы и пренебрегая
компенсирующим девозбуждением, Бём получил оценку (упругие столкнове-
ния)/(неупругие столкновения) ~~ 103 и поэтому пришел к
выводу, что имеет место максвелловское распределение скоростей,
которым определяется Те. Недавнее исследование [573] указывает
на то, что отклонения от максвелловского распределения в чисто
водородном газе могут иметь место в далеком хвосте (высокие
энергии), если а) степень ионизации очень низка (пе/пИ ^ 0,01) и б)
населенность основного состояния далека от равновесной. Эти
условия могут встречаться в солнечной хромосфере.
Наконец, можно поставить вопрос, имеют ли максвелловское
распределение скоростей также атомы и ионы атмосферы и
совпадают ли их кинетические температуры Тк с Те. Анализ этого вопро-

168
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
са [88] для чисто водородной атмосферы, состоящей из атомов,
ионов, электронов и излучения, в предположении, что существует
стационарное состояние и при учете обмена энергией между этими
четырьмя компонентами среды, показывает, что если пе > 1010 (это
условие с запасом выполняется в ббльшей части атмосферы) и
5 • 103 < Те < 105, то I Тк - Те\ < 10"37;. Поэтому можно смело
заключить, что одной и той же локальной кинетической
температурой можно пользоваться для всех частиц в большинстве областей
атмосферы.
ИОНИЗАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ
Степень ионизации звездного вещества определяется балансом
между фотоионизациями и ударными ионизациями, в одной
стороны, и радиативными и ударными (трехчастичными)
рекомбинациями — с другой. Изучим сначала относительные
скорости фотоионизации и ионизации столкновениями. Достаточно
получить только порядковую оценку.
Энергия, поглощаемая атомом, находящимся в связанном
состоянии /', в интервале частот dv около частоты v равна
47гJvoi^v)dv. Каждый фотон имеет энергию hv, и поэтому полное
число фотоионизаций составляет
— 00
п£.к = П;4тсИ-1 \ai{v)Jvv~4v. (5.39)
"о
Чтобы получить оценку Rik, подставим сечение водородоподобного
атома
а = (ire2/ mc) fclv\/vl,
где fc — интегральная сила осциллятора для континуума. Далее,
напишем
/„ = WBv(TR) = W(2hi>i/c2) £ ехр(-/1Й*/*Гл).
п = 1
Тогда
Rlk = (\67cWvl/mc*)fcW £ Ex{nhvQ/kTR). (5.40)
п = 1
Скорость ударных ионизации можно вычислить по о (v) — сечению

5.3. Микроскопические условия для ЛТР
169
ударной ионизации электронами со скоростью v:
00
л,.С,, = npe\o{v)№vdv. (5.41)
ч
Чтобы получить оценку, возьмем полуклассическую формулу Том-
сона (см. [684], стр. 120):
o{v) = З/^Я-'ИЛ'оГ1 - Е-% (5.42)
где Е = — mv2 — энергия рекомбинирующего электрона.
Подставляя выражения (5.2) и (5.42) в (5.41) и интегрируя, получаем
Сш = пе[\2ж^/с/{2тк^Р^]и^Е2(и^ (5.43)
где и0 = Нр0/кТ. В предельном случае, когда hv0 > kTR и
hv0 > кТе> в разложении (5.40) достаточно удержать только
первый член и использовать асимптотическое выражение
Е2(х) ~ Ех{х) ~ е~х/х при х — оо. Это дает
D ,_ А{2жгk)*hvlWTR Г. / 1 1 \"| ,__..
Для фотосферных слоев можно принять W * — , ГЛ « 7^. Ббм
получил оценки значений Rik/Cik для типичных случаев уровней с
потенциалами ионизации 1 эВ и 8 эВ при условиях, характерных для
наружных (г ~ 0,05) слоев Солнца и звезды типа О. В частности,
для Солнца он принял п =* 3 • 1012 и Т « 5 • 103, а для О-звезды
использовал пе » 3 • 101*, Г =* 3,2 • 104, получив в результате
значения Rik/Cik, приведенные в табл. 5.1. Ясно, что в звездных
фотосферах доминируют радиативные переходы, за исключением
случая высоко расположенных уровней при высоких температурах
и плотностях. На самом деле существенные для О-звезд уровни
имеют даже ббльшие значения хион, чем те, что указаны в табл. 5.1
(например, основное состояние Н — 13,6 эВ и основное состояние
Hel — 24,5 эВ), так что радиативные процессы тем более
преобладают. Таким образом, если Jv отклоняется от Bv, ионизационное
равновесие будет не таким, как при ЛТР. Отметим попутно, что в
короне, где Те ~ 2 • 106 К и TR ~ 6 ■ 103 К (для Солнца), а
представляющие интерес значения hv0 лежат около 300 эВ,
экспоненциальный множитель в формуле (5.44) становится очень малым и
преобладают ударные ионизации.

170
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
ТАБЛИЦА 5.1
Отношение скоростей радиативной и ударной ионизации
Хион - 8 эВ Хиок - 1 эВ
Солнце Ю3 2
О-звезда 20 0,2
Источник: по данным К. X. Бема, из сборника Stellar atmospheres, ed.
J L. Greenstein, Chicago, University of Chicago Press, 1960. [Имеется
перевод: Звездные атмосферы. Под редакцией Дж. Л. Гринстейна.
М.: ИЛ, 1963.]
Аналогичные оценки можно выполнить для скоростей
радиативной и ударной (тройной) рекомбинации. Оба эти процесса по
существу есть процессы столкновений, и в расчете на один ион они
происходят с той же скоростью, что и при Л ТР. Поэтому можно
воспользоваться аргументацией, основанной на рассмотрении
детального баланса, чтобы выразить скорости этих процессов через
равновесные значения скоростей обратных процессов. Можно по-
прежнему пользоваться выражением (5.44), за исключением того,
что отвечающая радиативным рекомбинациям температура есть
теперь Те9 а не TR и W = 1. В результате находим, что радиатив-
ные рекомбинации всегда перевешивают ударные*как в фотосфере,
так и в короне (в короне еще один механизм — диэлектронная
рекомбинация — доминирует над радиативной рекомбинацией).
Ионизационный баланс определяется, таким образом,
фотоионизацией и радиативной рекомбинацией. Чтобы установилось
равновесие, число ионизации должно равняться числу рекомбинаций:
nfiik = n^ki = n*R*k> причем последнее равенство следует из
рассмотрения детального баланса. Поэтому для основного состояния
00 00
n'0J/n0j = A*W\(hv)-la,BJLTR)dv/A*\№-laftJLT)dV =
"о "о
= w]e-xX-4x/]e-xx-4x= WE^hv^kT^/E^hv^/kT^ «
к1ц kTe
* W(TR/T)[txv(-hv0/kTR)/tx\>(-hvQ/kT}\9 (5.45)
причем опять использованы водородоподобные сечения. Если п^
подставить из формулы Саха (5.13), можно получить приближен-

5.3. Микроскопические условия для ЛТР
171
ную формулу ионизации
nenOJ + \/n0,j =
= W(2g0J+l/g0J х (2*mkTR/hy>(Te/TR)*exp(-Xlj/kTR), (5.46)
которая широко применялась, например, при изучении газовых
туманностей.
Чтобы проанализировать ионизационный баланс в звездных
атмосферах, теперь следует установить а) как выбирать Jv и б) какие
уровни являются определяющими. Бём предложил сравнивать
значения 4ir\(hv)~lkvJlfdp со значениями 4ir[(hp)~lkvBlfdv9 где
kv — полный коэффициент поглощения, обусловленный всеми
налагающимися друг на друга континуумами, a Jv — средняя
интенсивность, получающаяся путем расчета по моделям атмосфер с ЛТР.
Утверждается, что если эти числа равны, то гипотеза ЛТР
внутренне непротиворечива. Бём исследовал равновесие Fel~ Fell,
пользуясь моделью солнечной атмосферы, и нашел, что отношение
указанных коэффициентов скоростей протекания процессов равно
2,9 при f = 0,01; 1,3 при т = 0,05 и близко к единице при т ^ 0,1.
На этом основании предлагается сделать заключение, что ниже
f = 0,1 справедлива формула ионизации Саха.
В этой аргументации есть, однако, изъяны. Во-первых, ясно,
что интегральные вероятности переходов, просуммированные по
всем континуумам атома, могут искажаться эффектами взаимной
компенсации и частично погашаться, и вовсе не очевидно, к чему
приведет для любого конкретного уровня отличие двух интегралов
на заданную величину (скажем, некоторые уровни могут быть
перенаселены, а другие недонаселены, и интегралы могут сбалансиро-
ваться). Во-вторых, — и это гораздо важнее — в рассуждении
имеется порочный круг, если с самого начала для расчета Jv в качестве
Sv используется Ви, так как известно, что
Jv{r) = Ат №,(/,)] = ВДт) + O(e-V).
Тем самым мы вынуждаем Jv быть близким к Bv при rv> 1, и оба
интеграла становятся равными, хотя на самом деле это может
быть и не так.
Как будет показано ниже (см. § 7.5 и гл. И и 12), характерная
особенность процесса переноса излучения при отсутствии ЛТР
состоит в том, что доминирующим членом в функции источников
является член, обусловленный рассеянием, который слабо связан с
локальными тепловыми параметрами. В таких случаях 5^ может
сильно отличаться от Bv вплоть до больших оптических глубин

172
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
(практически до той глубины, с которой фотон не может выйти, не
испытав термализации, несмотря на высокую вероятность
рассеяния и низкую вероятность гибели). Далее, если попытаться найти
Sv, взяв в качестве начального приближения Bv, вычислив Jv и
использовав его для повторного вычисления Sv, а затем осуществив
итерации, окажется (см. § 6.1), что сходимость чрезвычайно мед-
ленная. Осуществив одну итерацию, мы с неизбежностью получаем
оценку Sv, которая очень близка к ЛТР, но она ложная. Для
распространения в глубокие слои информации о существовании
границы с помощью этой неэффективной итерационной процедуры
требуются дальнейшие итерации (возможно, тысячи их!). Каждая
итерация будет давать непрерывно продолжающееся и все
увеличивающееся отклонение от ЛТР, и когда будет достигнуто строгое
согласование между Sv и Jv, эти отклонения оказываются гораздо
больше и простираются гораздо глубже, чем на это указывает
первая итерация. Короче говоря, опыт показал, что оценки описанного
выше типа, в основе которых лежит одна итерация 2?„, никакой
ценности не представляют. Тот факт, что, казалось бы
правдоподобные соображения, основанные на таких оценках, ошибочны, в
большинстве классических исследований звездных атмосфер не
осознавался, и делались неверные заключения о справедливости
ЛТР. Мы вернемся в этому имеющему решающее значение вопросу
в гл. 7, И и 12. Дальнейшее его обсуждение дается также Томасом
[626], стр. 141 — 147.
Итак, мы показали, что в процессах ионизации излучение
доминирует над столкновениями. Если учесть неравновесный характер
поля излучения, то следует ожидать, что ЛТР не будет иметь
места, и поэтому надо с самого начала выполнять совместное решение
уравнений статистического равновесия и переноса излучения. Лишь
тогда, когда получено строго самосогласованное их решение,
появляется возможность решить, в каких областях ЛТР на самом деле
имеет место.
СОСТОЯНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
Как и в случае ионизации, следует выяснить, преобладают ли
для того или иного конкретного перехода ударные или радиатив-
ные процессы. Скорость радиативного возбуждения дается
выражением By\<l>vJpdv9 оценку которого мы получим путем замены Jv на
WBv. Для вычисления скорости ударного возбуждения
воспользуемся опять формулой (5.43) с заменой/с наД = B^hvmc/A^e2. Тогда

5.4. Уравнения без ЛТР
173
ТАБЛИЦА 5.2
Отношение скоростей ударного и радиативного возбуждения
\Х, А
Звезда^\
Солнце
3000
0,003
4000
0,007
5000
0,017
6000
* 0,035
7000
0,061
8000
0,099
9000
0,15
О-звезда 0,19 0,44 0,85 1,4 2,2 3,1 4,2
Источник: по данным К. X. Бёма, из сборника Stellar atmospheres, ed. J. L. Greestein, Chicago,
University of Chicago Press, 1960. [Имеется перевод: Звездные атмосферы. Под редакцией
Дж. Л. Гринстейна. М.: ИЛ, 1963.]
получим
tj = 2h(2WWE^-l)> (5'47)
где х = hvtj/kT. Бём вычислил это отношение для условий,
типичных для солнечной атмосферы и атмосферы О-звезды (при W = 1)
и получил результаты, которые приведены в таблице 5.2.
Видно, что радиативные переходы преобладают, за исключением
линий, лежащих в красной и инфракрасной областях спектра у
горячих звезд. Те же самые замечания о непланковском характере поля
излучения, которые были сделаны выше, применимы и к линиям
(даже в еще большей мере!). Поэтому мы снова приходим к
выводу, что должны совместно решаться уравнения статистического
равновесия и переноса излучения. Можно было бы подумать, что
ЛТР должно иметь место для линий в длинноволновой части
спектра — на том основании, что ударные переходы здесь
преобладают. Но, как будет показано в § 12.4, это не так, и на самом деле
именно в этих линиях эффекты отклонений от ЛТР часто
оказываются самыми большими!
5.4. Уравнения статистического равновесия
без предположения об ЛТР
Рассмотрим теперь уравнения статистического равновесия, или
уравнения стационарности, с помощью которых рассчитываются

174
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
истинные населенности связанных и свободных состояний атомов в
звездных атмосферах. Сделаем упрощающее предположение о
полном перераспределении в линиях (иначе говоря, профили
излучения и поглощения считаются совпадающими). Уравнения,
получаемые на основе этого предположения, будут использоваться нами
при обсуждении образования линий в гл. 12, а рассмотрение
эффектов частичного перераспределения будет отложено до гл. 13.
ОБЩАЯ ФОРМА
Рассмотрим элемент объема в движущейся среде. Изменение со
временем концентрации частиц химической составляющей к,
находящихся в некотором заданном (связанном или свободном)
состоянии /, будет определяться потоком частиц через ограничивающую
этот объем поверхность и темпом поступления из других
состояний j за счет радиативных и ударных процессов, так что
*!1* = - V • („ftv) + У (п^ - П1кРи). (5.48)
j * i
Здесь Ptj — полная вероятность перехода с уровня / на j. С
помощью формулы Гаусса можно показать, что первый член в
правой части представляет собой разность между числами частиц,
втекающих в единичный объем и вытекающих из него. Если
выполнить суммирование по всем состояниям частиц вида к и
обозначить Nk = £ nik, то получим уравнение неразрывности для этой
составляющей газа:
-£-* + V • (Nkv) = 0. (5.49)
Если уравнение (5.49) умножить на массу тк частиц вида к и
просуммировать по всем химическим составляющим газа, получим
стандартное гидродинамическое уравнение неразрывности:
^ + V • (pv) = 0, (5.50)
ot
где р = £ т^^ В стационарном случае уравнение (5.48)
упрощается и принимает вид
"не I ро - I w = -v' <«**>• <5-51>
J * * J * i

5.4. Уравнения без ЛТР
175
а для неподвижной атмосферы имеем (опуская индекс А:)
"/ 1 P'J~ I *?» = О- (5.52)
J * i J * '
Поскольку в этой книге по гл. 13 включительно рассматриваются
только неподвижные среды, мы будем иметь дело почти
исключительно с уравнением (5.52). Каким образом следует обращаться с
движущимися средами, рассматривается в гл. 14, а в гл. 15 будут
отмечены некоторые следствия того, что правая часть (5.51) не
равна нулю. Полная вероятность перехода Ptj содержит, вообще
говоря, как радиативные, так и ударные члены. Выпишем теперь их
подробно.
РАДИАТИВНЫЕ ЧЛЕНЫ
а) Связанно-связанные переходы. Введем две системы
обозначений (выражающих одну и ту же физическую суть), записав число
связанно-связанных переходов в единице объема за единицу
времени через эйнштейновские вероятности переходов и через сечения
поглощения. Первый способ записи удобен при аналитических
исследованиях упрощенных моделей атома, а второй позволяет записать
число связанно-связанных и связанно-свободных переходов в одной
и той же форме, хорошо приспособленной для расчетов моделей
атмосфер.
Рассмотрим переходы из связанного состояния / в более высокое
связанное состояние у, происходящие в линии с профилем
поглощения (и излучения) фи. Число переходов, вызываемых излучением
интенсивности Iv, падающим в интервале частот dv и в телесном угле
du, равно npfiljdvdu/A-K, или nfxii{y){]\vYxJvduidv. В неподвижной
среде фр изотропно, так что, проинтегрировав это выражение по
углам и по частотам, получим число актов поглощения в линии:
niRij = "iBv)<t>vJA = nPi?ij = n^^ij~Jij/hvij =
= n^a^vHhpr'J^v. (5.53)
В движущихся средах (гл. 14) можно рассматривать либо
сопутствующую систему отсчета, и в этом случае формула (5.53) остается
в силе, если под Jv понимать среднюю интенсивность для
наблюдателя, неподвижного по отношению к движущемуся веществу, или
систему отсчета наблюдателя. В этом случае ф зависит от углов,

176
Г л 5. Уравнения статистического равновесия
и двойной интеграл по углам и по частотам следует выписать в
явном виде. Аналогичное замечание применимо и к другим
выражениям для числа радиативных переходов в единице объема за
единицу времени, приводимым ниже.
Число актов вынужденного излучения равно
П;В.]ф^^ = Лу2у. = nJgfy/gjWv =
= njHT/hv^igfiLy/gfiy (5.54)
Число актов спонтанного излучения есть
rijAj^dv = прНу*и/с*)Вл = Лу(2Л^/с2)(47г/Л^)(^.а../^). (5.55)
Полное число переходов вниз равно сумме чисел спонтанных и
вынужденных переходов:
пЩ = nj(4ji + V(/> = n^/hv^a./g^lhvyd' + /.]. (5.56)
Штрих у R'yi подставлен для того, чтобы сохранить возможность
использовать обозначение J? 7 без штриха для другой величины.
Выражение (5.56) можно переписать в другом виде, выделив в правой
части множитель (п/п)* = gjtxpihVjj/kT^/gj, и тогда полное число
переходов вниз выразится так:
-Л - ; {% )Ч-«,■(* )' И *& (£ ♦'.).-"*] •
(5.57)
На первый взгляд выражение (5.57) кажется излишне
громоздким — ведь из-за быстрого убывания фи с удалением от vtj
множители (Лу)-1, р3 и ехр(-/и>/£7) можно вынести из-под
интеграла. Выражение для числа переходов вниз написано именно в
таком виде потому, что тогда оно имеет в точности ту же форму,
что и выражение для числа переходов вниз в континууме. Более
того, число ударных переходов вниз также будет в явном виде
содержать множитель (n/nj)*. В итоге если мы будем пользоваться
формулой (5.57), а не более простым выражением с
эйнштейновскими вероятностями, то в полных уравнениях статистического
равновесия получим более экономные обозначения.
Наконец, иногда удобно работать с числом нескомпенсирован-

5.4. Уравнения без ЛТР
177
ных переходов с уровня j на уровень /:
n{Aft + Bjy) - пРуГц ш HjAjtjp (5.58)
где множитель Z будем называть фактором радиационного
разбаланса (net radiative bracket, NRB). Множители
разбаланса — удобное средство для упрощения обозначений,
которое будет использоваться в гл. И и 12. Далее, Zy7 можно
переписать в виде
Z,, = 1 - Jiffiflu - nfifr/nfa = 1 - Jy/Sy, (5.59)
где Sy — функция источников в линии (не зависящая от частоты).
Гак как в фактор радиационного разбаланса входит только
отношение У к 5, часто оказывается, что в итерационных процедурах
он известен с гораздо более высокой точностью, чем сами
величины S или J. При благоприятных условиях использование
факторов радиационного разбаланса может значительно усилить
сходимость некоторых методов решений многоуровенных задач об
образовании линий. Если для какой-то линии i — j имеет место
детальный радиационный баланс, то Ztj = 0, и взаимное сокращение
соответствующих членов в уравнениях статистического равновесия
можно произвести аналитически (т.е. опустить Rtj и /?у/). Такое
положение имеет место, когда поле излучения в рассматриваемой
линии термолизуется. Это взаимное сокращение членов имеет
важное значение для упрощения уравнений статистического равновесия
(см. § 7.5).
б) Связанно-свободные переходы. Рассчитаем теперь число ра-
диативных переходов из связанного состояния / в континуум к.
Пусть 0Lik(y) — сечение фотоионизации на частоте *>. Тогда число
фотоионизаций получается делением энергии, поглощенной в
интервале dvy на соответствующую энергию фотона hv и
последующим интегрированием по всем частотам. Поэтому число
фотоионизаций равно
00
ntRik = л,4тг j aik(v){hv)- 4vdv. (5.60)
"о
Число спонтанных рекомбинаций можно рассчитать,
воспользовавшись рассмотрением детального баланса. При
термодинамическом равновесии число спонтанных рекомбинаций должно
равняться числу фотоионизаций, рассчитанному по формуле (5.60), когда

77*
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
a) Jv имеет равновесное значение (т.е. В) и б) введена поправка за
вынужденное излучение в условиях ТР путем включения множителя
(1 - e~hv/kT) (см. § 4.3). Поэтому если концентрацию ионов
обозначить через пк9 то
ВДХонт = npr]alkWhp)-4l,(l - e-t»'*T)dv. (5.61)
Рекомбинация — это процесс, в котором участвуют электроны и
ионы, и поэтому число актов рекомбинации пропорционально пкпе.
При заданной электронной концентрации и заданной температуре
Те, которая по определению описывает распределение скоростей
электронов, только что вычисленная скорость рекомбинации в
расчете на один ион должна годиться и при отсутствии ТР. Значит,
чтобы получить число актов спонтанной рекомбинации, не
предполагая состояния ЛТР, достаточно в формуле (5.61) заменить л* на
реально имеющуюся концентрацию ионов пк. Тогда
(М;,)спонт = »к (^) ** j aik(p)(hv)-%(l - е-ь/*ту„ =
"о
= пк (—) 4* \ 0Likiy№vY\7hvVc^e-hv/kTdv. (5.62)
"о
Напомним, что согласно формуле (5.14), (п/пк)* = neiik(T).
Поэтому оказывается, что число спонтанных рекомбинаций есть
произведение концентраций электронов и ионов на некоторую функцию
температуры (которая через посредство сечения зависит от свойств
атома).
Число вынужденных рекомбинаций можно рассчитать
аналогичным образом. При ТР
(МХжужд = n*A*]*ik{y){hv)- 1ВГ>»<кЧу. (5.63)
"о
Чтобы распространить этот результат на случай, когда ЛТР не
предполагается, а) заменим равновесную интенсивность излучения
Bv имеющимся реально значением Jv и б) используем реально
имеющуюся концентрацию ионов пк:
* °°
(М^вынужл = «* (J ) 4* j cxik{v){hv)-lJ^-^4v. (5.64)
"о

5.4. Уравнения без ЛТР
179
Следовательно, полное число рекомбинаций равно
Число рекомбинаций иногда выражают через коэффициент
рекомбинации <xRR(T), определяемый таким образом, что число
рекомбинаций, даваемое выражением (5.65), оказывается равным
nkne«RR(T)-
Сравнивая выражения (5.53) и (5.60), обнаруживаем, что при
записи полных уравнений статистического равновесия можно
унифицировать обозначения и записывать число любых радиативных
переходов вверх i — у, как в связанные состояния у, так и в
свободные, в виде nfty где
оо
*</ = 4*\ctij(vHhi>)-lJvdp, (5.66).
"о
а число любых радиативных переходов вниз j —> /, как следует из
сопоставления выражений (5.57) и (5.65), — в виде nj{n/nj)*RJi9 где
R.. = 4тг J oL^hvy^lhvVc1 + Jv)e-hv/kTdv. (5.67)
"о
Отметим, что при термодинамическом равновесии /?!. = R*...
УДАРНЫЕ ЧЛЕНЫ
Газ в звездных атмосферах представляет собой плазму,
состоящую из атомов, ионов и электронов, между которыми могут
происходить разнообразные столкновения, приводящие к возбуждению
и ионизации. В атмосферах холодных звезд, где вещество в
основном нейтрально, происходят многочисленные и играющие важную
роль столкновения с нейтральными атомами водорода. Однако по
мере того, как вещество становится заметно ионизованным, из-за
дальнодействующего характера кулоновского взаимодействия
начинают преобладать столкновения с заряженными частицами. Более
того, поскольку частота столкновений пропорциональна потоку
падающих частиц, а значит, их скорости, обычно достаточно
рассматривать лишь столкновения с электронами, так как при тепло-

180
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
вом равновесии их скорости в (тИА/теУЛ « 43А1/2 раз больше
скоростей ионов с атомным весом А.
Если через a^v) обозначить сечение процесса, приводящего к
переходу / —• j (где j может относиться и к связанному, и к
свободному состоянию) за счет столкновений с электронами со скоростью v,
то полное число столкновений будет равно
пру = пре j ou(v\№*>dv ш nfifltfj), (5.68)
где v0 — скорость, соответствующая пороговой энергии процесса,
т.е./я/;§/2 = Е0. Число переходов внизу — / можно немедленно
получить из рассмотрения детального баланса, так как распределение
скоростей электронов равновесное (т.е. максвелловское). Поэтому
мы должны иметь
при = nfjP (5.69)
откуда следует, что число переходов вниз равно
л.С\ = nJLn/nfCy = nfn.Jnfnfl^T). (5.70)
Как и в случае радиативных переходов, иногда оказывается
удобным ввести фактор ударного разбаланса (net collisional bracket)
Y.j и записывать некомпенсированное число ударных переходов
i — j(Ei < Ер в виде
itfVV - nPij - nfj, = прц\\ - Ь £] . (5.71)
Сечения aiJ9 необходимые для расчета чисел переходов,
находятся либо экспериментально, либо путем довольно сложных кванто-
вомеханических расчетов. Описание соответствующих методов
завело бы нас слишком далеко в сторону, и поэтому мы просто
отошлем интересующегося этим читателя к [410]. Существует
обширная литература, содержащая результаты (теоретические и
экспериментальные) для различных переходов, представляющих интерес
для астрофизики. Библиография этих работ время от времени
издается информационным центром Объединенного института
лабораторной астрофизики Колорадского университета и Национального
бюро стандартов США. (В этом центре непрерывно пополняемый
список ссылок на текущую литературу введен в память ЭВМ, с
которой возможна прямая связь.)
Как видно из формулы (5.68), нас больше интересуют полные
числа переходов при заданных сечениях, чем сами сечения. Изучим

5.4. Урити тп бсч ЛТР
181
поэтому немного подробнее qtj. Обычно сечения измеряют в
единицах va\, где а0 — боровский радиус, т.е. полагают oi} = -*a\Qir
Кроме того, Q. обычно табулируют в функции энергии
возбуждающей частицы. Поэтому, полагая mv2/2 =- Е и подставляя в (5.68)
выражение (5.2), находим
qit{T) = С0Т> J QifUikT)ue»du, (5.72)
где и = Е/кТи С0 = ira^Sk/mir)^ = 5,5 • 10 п. Если обозначить
х = и - и0, где w0 =г Е^кТ, то получим
<7,/Г) = С0Г/2 ехр (- Е</кТ)Т^Т)> (5.73)
где
Г/у(7) = J (ДО) ч **7)(х + u^e xdx. (5.74)
Упражнение 5.5. Убедиться в справедливости формул
(5.72) - (5.74).
Достоинство записи числа столкновений в форме (5.73) состоит в
том, что главная зависимость от температуры выделяется в виде
множителя Т/г ехр (- Е(/к7), а 1^(7) — медленно меняющаяся
функция Т.
Конечно, при практических применениях главный вопрос
состоит в получении надежных значений Qtj. Характерная для
астрофизики трудность состоит в том, чти для многих представляющих
интерес переходов кТ < Е0, так что число их чрезвычайно
чувствительно к значениям Q^ вблизи порога. К сожалению, при Е * Е0
получить достаточно точные сечения путем расчета нелегко, поскольку
приближения, приводящие к упрощениям, здесь неприменимы, а/?е-
зонснсы в сечении столкновения приводят к тому, что поведение Qtj
оказывается сложным. Когда значения Q~ удается получить, то
обычно их представляют той или иной простой аналитической
аппроксимацией, при применении которой интегрирование в формуле
(5.74) можно выполнить аналитически.
Для важных для астрофизики спектров Н, Hel и Hell имеются
измеренные с большой точностью сечения возбуждения и
ионизации из основного состояния. В отношении переходов,
начинающихся с возбужденных уровней, приходится полагаться на
теоретические расчеты. Для многих представляющих интерес атомов и ионов
можег оказаться, ч»о ипк^кпч сколько-нибудь надежных оценок нет

182
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
вовсе, так что может возникнуть необходимость прибегнуть к
грубым методам получения оценок числа переходов. Известно очень
полезное (хотя и весьма приближенное) выражение для числа
переходов через силу осциллятора, применимое в том случае, когда
переход является оптически разрешенным [639], а именно
С.. = СЛ7*[14,5/^/н /Е^]и0схр(- ujTJLu,), 0.75)
где и0 = Е^/kT, /н — энергия ионизации водорода, и для ионов
Г ,(и0) = max [g; 0,276exp (11^(11^]. (5.76)
Параметр g равен примерно 0,7 для переходов вида nl — пГ и
около 0,2 для переходов вида nl — n'V', п' Ф п [95]. Для нейтральных
атомов T^Wq) имеет другой вид (см. [47]). Следует подчеркнуть, что
формулы (5.75) и (5.76) дают в лучшем случае грубые значения, и
применять их следует с осторожностью. В частности, на
столкновения не распространяется правило отбора для дипольного
излучения А/ = ±1, и для других значений А/ сечения могут быть не
меньше, чем при Д/ = ±1, несмотря на то что величины /~ в ди-
польном приближении равны нулю. Для ударных ионизации
получена полуэмпирическая формула [402]
aik(E) = «g[2,5 WH'E^]\n{E/EJ[\ -
- йехр [- с(Е - EJ/EJ )/(£/£,,), (5.77)
которая для числа переходов дает
Сш = CpJ*[2%5Wv/E№44ud -ЬеТи^^)/*^ (5.78)
где f, Ъ и с — эмпирические параметры, специально подбираемые
для каждого типа атомов, и их = и0 + с. Другую приближенную
формулу можно получить, выразив сечение ударной ионизации
через сечение фотоионизации [73], стр. 374, что дает для числа
переходов [334], стр. 121,
Cik = 1,55 • 1013/i^-,/2^Wexp(-w0)/w0, (5.79)
где ol{v^ — сечение фотоионизации у порога и gt порядка 0,1; 0,2 и
0,3 при Z = I;4 2 и >2, соответственно (здесь Z — заряд иона).
Оговорки, которые были сделаны в отношении формулы (5.75),
применимы и к формулам (5.78) и (5.79).

5.4. Уравнения без ЛТР
J83
АВТОИОНИЗАЦИЯ И ДИЭЛЕКТРОННАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ
В сложных атомах с несколькими электронами потенциал
ионизации определяется той самой низкой энергией, к которой сходится
последовательность связанных состояний с одним возбужденным
электроном (ей соответствует основное состояние иона). Если в
атоме возбуждены два электрона, это будет приводить к
состояниям, которые, вообще говоря, имеют энергии, лежащие и ниже, и
выше упомянутого выше предела ионизации. Ионы, находящиеся в
состояниях, лежащих выше предела ионизации, могут — с учетом
определенных правил отбора [172], стр. 371; [297],
стр. 173, — испытывать автоионизацию, порождая ион в основном
состоянии плюс свободный электрон. Возможен и обратный
процесс, так что если ион, находящийся в основном состоянии,
испытывает столкновение с электроном достаточно большой энергии,
может возникнуть атом с двумя возбужденными электронами.
Вообще говоря, этот процесс большого интереса не представляет, так
как дважды возбужденный атом будет немедленно снова
испытывать автоионизацию (типичные коэффициенты вероятностей
автоионизационных переходов Аа равны 1013 — 1014!), и их
равновесная концентрация будет мала. Однако в некоторых случаях
происходит стабилизирующий переход, при котором один из двух
возбужденных электронов (обычно тот, который находится на более
низком квантовом уровне) переходит с излучением на самый низкий
из доступных ему квантовых уровней, создавая тем самым
связанный атом с одним возбужденным электроном. Этот процесс может
служить эффективным механизмом рекомбинации. Он известен как
диэлектронная рекомбинация.
В частности, для иона химического элемента X, имеющего
заряд Z, мы рассматриваем процессы типа
Х+<*>(л, /) + е(Е, Г + 1) * X+<z~ \п\ I + 1; п\ Г), (5.80а)
за которыми следует стабилизирующий переход
X+<z- Щп'9 I + 1; п\ Г) - X+<z~ »(п, /; п" Г) + hv% (5.806)
в результате которого остается ион с зарядом Z — 1 в связанном
возбужденном состоянии. Например, для Не+ мы могли бы иметь
He+(l5) + е(Е, /"-hi)-* Не°(2/?; л", Г),
Не°(2/>; п\ Г) - He°(ls; л\ Г) + hv.
Если дважды возбужденное состояние обозначить через d,
конечное связанное состояние иона Z - 1 через Ь, а основное состоя-

184
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
ние иона Z через к, то число диэлектронных рекомбинаций в
состояние Ь из d можно записать в виде n^idb = л^/45, где
А5 — вероятность спонтанного стабилизирующего перехода вниз. В
хорошем приближении (в частности, для больших п") As = А(п\
I + 1; //, I) для иона с зарядом Z. В предельном случае слабых
полей излучения процессом, обратным (5.806), можно пренебречь, и
если А0 ~- вероятность перехода с автоионизацией, то nd можно
выразить ([73], стр. 258) через равновесную населенность nd:
пв = VVHo + <«,), (5.81)
где
*; = "SMtW ''ехр(-Хл/*7) ^ п^Ф^Т). (5.82)
Здесь \dk ~~" энергия состояния rf, отсчитанная от предела
ионизации.
Упражнение 5,6. Вывести выражение (5.82), применив формулу
Саха (5.14) к континууму к и связанному состоянию Ь и формулу
Больцмана (5.5) к состояниям bud.
Таким образом, число диэлектронных рекомбинаций из каждого
состояния d в любое состояние Ъ равно
"Ал = V^™/<AA + Аа)- (5.83)
Как и в случае радиативных рекомбинаций, часто оказывается
удобным ввести коэффициент диэлектронной рекомбинации aDR,
такой, что л*Л^ = nicne0LDRt Отметим, что отношение чисел
диэлектронных и радиативных рекомбинаций выражается только через
cxDR/cxRR9 а потому не зависит от плотности и является функцией
лишь температуры.
Диэлектронная рекомбинация в звездных атмосферах важна в
двух отношениях. Во-первых, просуммировав по всем состояниям
(л,/) и (п'9 /'), можно рассчитать полную скорость диэлектронной
рекомбинации. Как было показано в классической работе Бйрджес-
са [118], при высоких температурах этот процесс становится
чрезвычайно существенным. Например, при температурах Т ^ 106 К
скорость диэлектронной рекомбинации для Не+ превосходит
скорость радиативной рекомбинации в 102 раз, однако при Т £ 105 К
она становится меньше скорости радиативной рекомбинации. Б£рд-
жесс убедительно показал, что диэлектронная рекомбинация
является основным процессом рекомбинации в солнечной короне (где
Т m 2 • 106 К и я, - 108) и что именно этот механизм ответст-

5.4. Уравнения без ЛТР
185
вен за установление ионизационного равновесия в короне. При
расчете полной скорости диэлектронной рекомбинации приходится
производить суммирование по огромному числу состояний, причем
наиболее существенный вклад дают состояния с п" > п' и
/" ► / + 1. Эти высокие состояния имеют большие значения xdk.
Именно поэтому и нужны высокие температуры. Только тогда
экспоненциальный множитель в формуле (5.82) становится не
слишком малым, а диэлектронная рекомбинация — значительной
(иначе говоря, чтобы электроны имели энергию, достаточную для
протекания реакции (5.80а), значение кТ должно быть велико). При
суммировании приходится столкнуться с проблемой расходимости
при больших л", аналогичной той, которая имеет место для сумм
по состояниям, если только не рассматривать обе входящие в
формулу (5.83) вероятности As и Аа одновременно, приняв во
внимание, что при достаточно больших п" значение As
будет больше Аа. Расчет полной скорости диэлектронной
рекомбинации требует определения большого числа вероятностей
стабилизирующих переходов и сечений столкновений (чтобы рассчитать Аа
из рассмотрения детального баланса), а это сделать по меньшей
мере трудно. Была получена приближенная общая формула,
которая для большинства представляющих интерес ионов дает
результаты с терпимой точностью [119].
Дальнейшее исследование [121] показало, что в короне влияние
переходов, обратных (5.806), которые вызываются падающим на
корону фотосферным излучением, мало. Было также найдено, что
при достаточно высоких плотностях дважды возбужденные
состояния могут разрушаться за счет ударной ионизации. Отсюда можно
заключить, что в более глубоких слоях атмосферы (например, в
солнечной хромосфере и фотосфере) диэлектронная рекомбинация
не играет важной роли.
Другой случай, когда диэлектронная рекомбинация существенна,
характерен для ряда ионов (например, CIII и NIII), которые имеют
низко расположенные дважды возбужденные состояния (xdk < kT),
что ведет к накачке свободных электронов на избранные связанные
состояния. Замечательным примером служит состояние 2s2/?(1P0)3rf
иона NIII, расположенное всего на 1,16 эВ выше предела ионизации
с образованием NIV2s2 !S. Их этого состояния электроны
непосредственно переходят на уровни NIII2s23d, и тем самым создаются
знаменитые эмиссионные линии NIII Х4634-40 (3d — Зр) у звезд
класса Of [115], [429], [440]. В таких случаях оказывается, что
Аа > As, так что nd имеет равновесное (по отношению к имеющей-

18о
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
ся концентрации ионов) значение (5.82). С другой стороны, эти
процессы происходят достаточно глубоко в атмосфере, чтобы для
стабилизирующих переходов было нужно учитывать обратные
переходы, вызываемые излучением. Если состояние d характеризуется
квантовыми числами (/?',/', //), а состояние Ь — числами (п, I, L),
то полная скорость рекомбинации равна
nkRjb = /2hv*\ -1-
= *Л I *nrL'CnA(n\r9Lf;n9U)[l+ (-^-J -WK3.84)
n',l',L',L
где 7 — средняя интенсивность на частоте стабилизирующего
перехода. Дважды возбужденное состояние часто бывает настолько
размытым (из-за очень короткого времени жизни за счет
автоионизации), что интенсивность излучения, используемую для расчета/,
можно брать равной интенсивности континуума. Если xn.vv
зависит от L9 слабо, то можно ввести величину А*(п'', /';
п, /) = g{'] £ g{L')A{n\ /', L'\ п, /, L) и заменить ФлТ1/ на
L',L
ФпЧ, что дает
"А* =ЛЛ I ФяГ(Т)АЧп'.Г;п,1)[1+ (~р) \>rh <5-85)
п', Г
а число обратных переходов (вверх) b — d становится равным
"iftbd s пь I **("> /; л', Г)7лГ, (5.86)
где *•(*• /; п\ /') = Л*(л'/ /'; п, l)(grc2/2hv*g).
ПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
Обсудив все представляющие интерес процессы, мы можем
теперь собрать вместе все индивидуальные числа переходов, написав
одно полное уравнение вида (5.52) для каждого связанного
состояния / каждой стадии ионизации любой из химических
составляющих вещества. При этом а) не будем явно упоминать диэлек-
тронную рекомбинацию, так как выражение для ее скорости имеет
mom же вид, что и для радиативной рекомбинации, и будет
считаться, что учитываются оба процесса, и б) будет приниматься,
что все ионизации из возбужденных состояний иона j приводят к
появлению иона j + 1 лишь в основном состоянии (обобщение не
составляет труда, но усложняет и обозначения, и все обсуждение).

5.4. Уравнения без ЛТР
187
Тогда можно написать
Г < I Г < /
где числа радиативных переходов определяются выражениями
(5.66) и (5.67), ударных — формулой (5.68), а отношения населенно-
стей при ЛТР — формулой (5.5) для связанных состояний и
(5.14) — для связанных и свободных состояний. По одному такому
уравнению можно написать для каждого связанного уровня. Число
переменных (из-за присутствия среди них концентрации ионов пк)
на единицу больше числа уравнений. Если выписать уравнение
ионизационного равновесия
I nffl* + Cik) -пк£ (п/пкГ(Як1 + Са) = 0, (5.88)
i < к i < к
оказывается, что оно является следствием системы (5.87).
Упражнение 5.7. Показать, что уравнение (5.88) получается
суммированием (5.87) по всем связанным состояниям.
Поэтому, чтобы замкнуть систему, привлечем дополнительное
физическое условие. Когда рассматриваемое вещество представляет
собой малую примесь (т.е. оск/ан < 1), система будет замкнута,
если потребовать, чтобы полное число атомов и ионов (всех видов)
этого элемента было равно заданной доле полного числа атомов
водорода (нейтральных и ионизованных), т.е.
IX * - («*/«н>( I "/, н + "„) = о- <5-89>
Другая возможность замкнуть систему — привлечь условие
сохранения заряда (зарезервировав условие сохранения полного числа
частиц для иной цели). Оно позволяет написать
где NJk = У niJk. Окончательная система, описывающая все уров-

188
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
ни всех ионов всех элементов, имеет следующий вид:
(5.91)
где через п обозначен вектор, компонентами которого являются все
населенности уровней (число которых есть, скажем, Л ),
srf — матрица порядка Л и & — вектор, у которого отлична от
нуля только одна компонента [порождаемая (5.89) или (5.90)].
Чтобы конкретизировать эти соображения, рассмотрим случай,
еще достаточно простой, чтобы быть обозримым, и в то же время
достаточно сложный, чтобы представлять общий интерес для
приложений. Предположим, что имеется атмосфера, целиком
состоящая из водорода и гелия (с распространенностью Y по числу
атомов относительно водорода). Будем считать, что гелий
представлен тремя ступенями ионизационной «лесенки» Не0, Не+ и Не+ + ,
и допустим, что эти ионы имеют L0, L+ и 1 уровень
соответственно. Обозначим далее МНс = L0 + L+ + 1, т.е. Л/Не — полное
число состояний всех типов у гелия. Аналогично будем рассматривать
LH связанных состояний водорода, что дает всего Мн = LH + 1
состояний (с учетом протонов). Тогда если обозначить через X
ненулевые элементы, то матрица переходов srf имеет вид
L0 + 1
L0 + L4
Мне
Мне+1
мНе + мн
/х х •
/х X
1 X X
^~
• X
X
111
V
\о-
X
0
X
'■Г
X
хх-
X X
х х • • •
X
• X
1 1 •• • 1
с
1 1 • •
)
1
0
0
X
X
1
0
0
2
(
-у -у
X X
X X
X X
0 ()■
")
-У
X
X
X
0
°\
0
0
0
-у
X
X
Л
1
i-o
Мн
Мн, + Мн

5.5. Уравнения состояния при отсутствии ЛТР
18У
Первые L0 строк соответствуют уравнению (5.87) для Не0,
следующие L+ строк дают уравнение (5.87) для Не+, МНе-я строка — это
равенство (5.89), описывающее химический состав, последующие LH
строк дают уравнение (5.87) для Н, и последняя строка выражает
условие сохранения заряда. Вектор п имеет компоненты
п = [лДНе0), ... , л1о(Не°), яДИе*), ... , л1+(Не+),
л(Не+ + ), л,(Н), ... , л1н(Н), пр]т, + (5.92)
а
Я = (О,..., О, пе)т. (5.93)
При заданных значениях пе, Т и заданном поле излучения уравнение
(5.91) есть линейная система для л, которую можно решить
стандартными численными методами [526], гл. 9.
5.5. Уравнение состояния при отсутствии ЛТР
Из результатов, приведенных в предыдущих параграфах, видно,
что при ЛТР населенность любого состояния в данной конкретной
точке атмосферы является функцией лишь двух термодинамических
переменных, т.е. ni = n£N, 7), где Т — абсолютная температура в
этой точке. В противоположность этому в случае, когда ЛТР,
вообще говоря, отсутствует, полная система уравнений
стационарности показывает, что ni = nt(N, Г, Jy), где через Jv обозначена
средняя интенсивность излучения с частотой v (ее нужно знать для всех
частот в спектре), а Т есть теперь кинетическая температура,
описывающая только функцию распределения частиц по скоростям.
Теперь у нас появилось столько новых (фундаментальных!)
термодинамических переменных, сколько требуется, чтобы описать
распределение излучения по частотам. [Заметим, что если бы описание
этого распределения можно было упростить, например если бы
можно было написать Jv = WBv(T), то положение упростилось бы
колоссально. Однако в общем случае может потребоваться
рассматривать сотни новых переменных.] Подобно тому как это
имело место для уравнения состояния при ЛТР, уравнения
статистического равновесия, написанные без предположения об ЛТР, также
зависят от электронной концентрации пе нелинейно. Поэтому,
чтобы найти из них населенности уровней, потребуется процедура ли
неаризации. Однако теперь линеаризацию придется обобщить
таким образом, чтобы при этом учитывались также и изменения в
поле излучения. В § 7.5 мы убедимся, что такой подход дает нам

190
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
метод, который позволяет рассматривать уравнения переноса
излучения и статистического равновесия совместно и дает возможность
определить одновременно, каковы глобальная реакция газа на
изменения поля излучения и аналогичная реакция поля излучения на
изменение свойств вещества.
Прежде чем излагать процедуру линеаризации для общего
случая, целесообразно рассмотреть несколько примеров, которые ясно
иллюстрируют ту физическую суть, которая описывается
уравнениями статистического равновесия.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
Рассмотрим сначала атом, у которого всего один связанный
уровень. Этот атом может ионизоваться, причем электрон
переходит в континуум. Тогда имеется одно уравнение статистического
равновесия, которое (в пренебрежении вынужденным излучением)
гласит, что
пх/п\ = Г4тг ] {afiv/hv)dv + neqA/
L „0 J
/[4* j (fxjjhv)dv + n#2 . (5.94)
Отметим прежде всего, что когда электронная концентрация
становится очень большой, так что скорость ударных переходов
превосходит скорость радиативных переходов, то
lim (/1//1J) = lim (neqlk/neqlk) = 1,
Л- — 00 П g — ОО
т.е. имеется ЛТР. Далее, на очень больших оптических глубинах
Jv —• ВрУ и ясно, что пх/п\ — 1, т.е. если поле излучения строго
планковское, то, как и следовало ожидать, имеется ЛТР. Однако
здесь необходимо сделать два замечания, а) Чтобы получить ЛТР
для многоуровенного атома, Jv должно равняться Bv на частотах
всех переходов. Если среда прозрачна для какого-нибудь из
переходов, то ЛТР не будет иметь места (если только плотности не
настолько высоки, что преобладают столкновения), причем не только
для тех уровней, между которыми происходит упомянутый
переход, но и для всех других уровней. Дело в том, что поле излучения
на частоте каждого перехода влияет на населенности всех уровней
(см. ниже), б) У нас остался пока без ответа вопрос о том, насколь-

5.5. Уравнения состояния при отсутствии ЛТР
191
ко на самом деле должна быть велика «очень большая» оптическая
глубина [гарантирующая существование ЛТР. — Ред.]. Как
указывалось выше, выполнения условия rv ^ 1 еще не достаточно,
чтобы гарантировать, что Jv — Bv. На самом деле оптическая глубина
ту должна превосходить длину термализации, точные оценки
которой будут даны в гл. 7 и 11.
В предельном случае низких плотностей (например, для
туманностей) уравнение (5.94) переходит в следующее:
л/л; = ](auBv/hp)dv/](avJ/hp)dv. (5.95)
"О "О
Согласно этой формуле, если скорость рекомбинации превосходит
скорость фотоионизации, то уровень перенаселен, если же имеет
место обратное соотношение, то он недонаселен. Формула (5.95),
разумеется, эквивалентна формуле (5.46), часто используемой в
исследованиях туманностей. В короналъном случае мы имеем
Ге(~ 106 К) > 7^-6000 К), откуда следует, что ударные ионизации
преобладают над радиативными (см. формулу (5.44) и относящееся
к ней обсуждение), а радиативная и диэлектронная рекомбинации
(скорость и той и другой определяется значением Те) превосходят
ударную рекомбинацию. Поэтому
nxneqxk = n^ie(otRR + aDR),
так что
Vя i = QxA«rr + <*dr) = АП (5.96)
Таким образом, степень ионизации в короне зависит только от
температуры и не зависит от электронной концентрации, что очень
сильно упрощает исследование короны. Корональный и
небулярный случаи представляют крайние отклонения от ЛТР.
Рассмотрим теперь несколько многоуровенных задач.
Допустим, что eqjb объем, заполненный газом из чистого водорода,
который освещается очень сильно дилютированным излучением (т.е.
туманность). Следует ожидать, что практически весь водород будет
находиться в основном состоянии. Предположим, что во всех
резонансных линиях газ полностью непрозрачен (и потому имеется
детальный баланс). Далее примем, что вслед за фотоионизацией
атома из основного состояния происходят рекомбинации на все
уровни, но населенности возбужденных уровней настолько малы, а поле
падающего на газ излучения облапает столь большой дилюцией,
что а) фотоионизацией из этих состояний можно пренебречь, и б)

192
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
электроны, находящиеся на любом из возбужденных уровней,
совершают каскадные переходы вниз, темп которых определяется
эйнштейновскими коэффициентами AJi9 причем реабсорбции,
приводящей к возбуждению, нет (т.е. среда прозрачна в субординатных
линиях). Допустим далее, что плотности столь малы, что
столкновениями можно пренебречь. Тогда уравнение ионизационного
равновесия есть
"i*i* = п\ Е «**& *). (5.97а)
/ = 1
а уравнение сохранения числа частиц имеет вид
£ л, + пе = лн, (5.976)
/ = 1
где пн — (заданная) концентрация водорода, I — полное число име
ющихся связанных состояний и пе = п (чистый водород). Считает
ся, что Rlk выражено через Jv = WBV(TR), как в формуле (5.40). Для
каждого из связанных состояний его населенность можно выразить
через коэффициенты ветвления ajt = Ajt/ У Ajt и каскадные веро-
KJ
ятности pjj9 определяемые рекуррентно: р( + х ,- = at f { ,-,
у- 1
Pji = ал + £ Pjtflki ПРИ У = ' + 2, ... , /. Тогда для уровня / на
к « / + 1
ходим, что
= "faiuSi* Т) + Е /yWA 7)J. (5.98)
у - / + 1
Упражнение 5.8. а) Убедиться в справедливости приведенных
выше выражений для/т,, и вывести уравнение (5.98). (Указание:
начать с уровня / и последовательно спускаться вниз.) б) Показать,
что уравнения (5.97) и (5.95) приводят к квадратному уравнению
для пе, которое позволяет определить пе(пн, Г), а значит, и все //,.
в) Показать, что рп = 1(/ > 1). Дать физическую интерпретацию
этого результата.
С помощью формулы (5.98) можно рассчитать отношения насе-
ленностей уровней, а значит, и относительные интенсивности
линий в пределах серии. Например, можно вычислить относительные

5.5. Уривттч лми^чнич щш отсутствии ЛТР
193
интенсивности бапьмеровских линий (бальмеровский декремент)
/(Н,)/7(Ну) - l"kAk2h,K2)/(nr4J2hvjZ)
h сравншl 331 ем теоретические результаты с наблюдениями. Me
тод, который описыьается уравнениями (5.97) и (5.98) (в значитель
но детализированном и рафинированном виде!), служит основой
при исследованиях туманностей (см. [15]), гл. 23 — 25; [10], гл. 4;
[415], стр. 40 — ПО и [350], i л. 1 — 3).
Наконец, рассмотрим атом, имеющий три уровня— 1, 2, 3 (в
порядке возрастания энергии), находящийся в разреженной среде
(поэтому пренебрегаем столкновениями) и в ослабленном поле из-
лучения. Замечательный результат, касающийся такой системы,
составляет теорема Россе/шнда о циклических переходах, которая
утверждает, что число радиагивных переходов в направлении
1 — 3 -> 2 — 1 превышает число переходов в обратном
направлении 1 — 2 — 3 — 1. Следствием этого является систематическое
дробление фотонов большой энергии (скажем, фотонов далекого
ультрафиолета) на фотоны бо/fee низких энергий (видимой и
инфракрасной области). Гак, в туманности фотоны лаймановского
континуума подвергаются дроблению, поевращаясь, например, в фотоны
бальмеровского континуума плюс Ьа-фотоны (состояние 1 — 15,
состояние 2 — 2р, состояние 3 — континуум). Нетрудно рассчитать
отношение Я, .. 3 - 2 - /"i - 2 - з - г Число возбуждений 1 — 3 рав-
»ю /!|£1ЭШВ0'1з )• Из всех возбужденных атомов, находящихся в
состоянии 3, совершает переход вниз на уровень 2 доля
Лп/(Ап + А31), а из атомов, попавших на уровень 2, совершает
переход вниз на уровень 1 доля A2l/[A2] + B2yWB(p23)] (при этом
вынужденным излучением мы пренебрегаем). Поэтому
ПЯ =- "1*13И^1зМзИ21
11-3-2-1 Из2 + А^)[А^ + в2з1уВ(,2з)у
111 аналогичных соображений имеем
nR = п,Вп\УВ(уп)В^В(угг)Аъ,
Ч - 2-3 - 1
(5.99)
(5.100;
ТЛХ что
R >..,_, /Л, _ з - 2 - 1 = ЩВ12В(г>12)/А21] х
х 1В2гВ(р23)/А32][Аг1/(В1}В{рп))]. (5.1(H)

194
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
Если воспользоваться соотношениями между эйнштейновскими
коэффициентами и взять Bv в приближении Вина (hv/kT > 1), то
BuB(<vi)/Aji = ("/")*> и тогда формула (5.101) дает
R\ -2-3 - /^i - з - 2 - i = W < *> что и Доказывает теорему.
Понятно, что этот результат есть следствие того, что для цикла
1 — 3 -* 2 -— 1 коэффициент дилюции входит только один раз, а
для обратного процесса — дважды. Теорема Росселанда имеет
отношение и к звездным атмосферам, так как на некоторых глубинах
возможна такая ситуация, когда в резонансных линиях,
возбуждающих атомы на верхние уровни, среда непрозрачна (так что W = 1),
3. в субординатных линиях, возникающих при переходах с этих
уровней вниз, прозрачна. В этих случаях следует ожидать
систематического дробления фотонов.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
Как_уже упоминалось, если пе, Т и Jv заданы, общую систему
,^п = & можно решать как линейную систему относительно п. Но
на самом деле в ходе расчета модели атмосферы точные значения
этих переменных неизвестны (вспомните обсуждение уравнения
состояния при ЛТР), имеются лишь их текущие оценки в общем
итерационном процессе. Предположим, что эти переменные изменены
на величины Ьпе, § Г, Sjp и т.д., чтобы лучше удовлетворить
условиям энергетического и механического равновесия. Реакцию п на эти
изменения следует искать в вице
й,.«Ч+^.Г+ £««,.. ,5,0»
в к = 1 К
Здесь Jk, к = 1, 2, ... , К — средняя интенсивность на тех
дискретных частотах, которые выбраны для описания спектра. Эти
частоты берутся так, чтобы все интегралы по частотам можно было
заменить квадратурными суммами, т.е.
\F{v)dv= £ Y>J\vk). (5.103)
к = 1
Уравнение для 6п получается путем линеаризации исходных
уравнений (5.91) [из уравнений переноса можно найти аналогичные
линеаризованные уравнения, дающие фактически &/л(5Г, Ьпе, 5п);
см. § 7.5J. Уравнения вида (5.102) нужны в двух случаях: а) расчеты
моделей атмосфер, где в итерационном цикле могут изменяться все

5.5. Уравнения состояния при отсутствии ЛТР
195
переменные, и б) расчеты стационарных населенностей в многоуро-
венном случае при заданной модели атмосферы (когда пе, Т и
полная концентрация частиц фиксированы). Обсуждение процедуры,
относящейся к случаю б), мы отложим до гл. 12, а сейчас
рассмотрим только случай а). В случае б) можно использовать
специальный метод, который подсказывается рассмотрением численных
методов решения уравнений переноса, которые будут излагаться в
гл. 6.
Если х означает произвольную переменную, то, линеаризуя
уравнение (5.91), находим
где принимается, что п есть решение системы srfb = ^на данном
шаге (для обозначения можно было бы использовать индекс «нуль»
или что-нибудь в этом роде, но все стало бы выглядеть слишком
громоздко). Крайне важной особенностью этого подхода является
то, что все частные производные в уравнениях (5.104) и (5.102)
можно выписать в явном аналитическом виде (однако обратную
матрицу srf~x приходится рассчитывать численно). В результате
получается система, обладающая высокой точностью и надежностью.
Чтобы проиллюстрировать, как это делается, выпишем выражения
для некоторых типичных производных для моделей атомов,
обсуждавшихся в конце § 5.4. Более полные сводки формул такого рода
даются в [42] и [437]. В дальнейшем будет использоваться
вспомогательный вектор а э ЪзАЪх • п. Предположим, что выбрана
некоторая частота vk и мы хотим найти dn/dJk. Если не считать тех
«специальных» строк s£ которые описывают химический состав и
выражают сохранение заряда, будем в общем случае иметь
(ж) = -Arw^^)/hv^ j < '• (5Л05а)
(Ю = (4™*/л"*)[ £ «*ю + I <*№ х
j > i i < i
x (n/nfexpi-hv/kT)], (5.1056)
\W) a -(^^^/«/expl-V^. J>'< (5.105b)

196
Гл. 5. Уравнения статистического равновесия
откуда находим
*,. = [(d.w7dJk) • П]. =
х гМ1 - £ о^ИЛ;:- n{fi/nye-hv*/kT\\ . (5.106)
Теперь для искомой производной можем написать
^V (5.107)
Особенни поучительно рассмотреть случай, когда поглощение на
частоте vk может вызывать всего один переход (/ — j)9 а все
остальные a0(vk) равны нулю.
Упражнение 5.9. Показать, что в только что описанном случае
справедливо следующее выражение:
(jj),= Кг1"" ^;,)(4™*^*)/Л^ х
х [ni - nfii/nye-bk"*]. (5.108)
Этот простой результат ясно показывает, что, поскольку -о^"1,
вообще говоря, должна быть матрицей с не равными нулю
элементами, изменение поля излучения на любой частоте vk вызывает
изменение населенности любого /-го уровня, даже если при переходах на
этот уровень или с него фотоны сответствующей частоты не
могут поглощаться и излучаться. Разумеется, элементы stfj.x и
stfj:x могут быть малы, и тогда реакция будет слабой, но
принципиальный физический вывод остается все же в силе.
Аналогичные выражения для д/дпе и д/дТ даются в упомянутых выше
работах.

Глава 6
Решение уравнения переноса
Анализ реальных звездных спектров требует умения
рассчитывать поток излучения, выходящий из атмосферы, путем решения
уравнения переноса. Поэтому в этой главе мы обратимся к
численным методам решения задач переноса, основанным на
использовании уравнения переноса в дифференциальной форме. Будет
показано, что если решение уравнения переноса представить как
двухточечную краевую задачу и перейти в ней к разностным уравнениям,
то можно получить два чрезвычайно общих, гибких и мощных
метода его решения. Имеется много методов решения уравнения
переноса в интегральной форме, однако в этой книге мы их подробно
обсуждать не будем, поскольку они достаточно ясно изложены в
других работах (например, в [18], гл. 8), а также потому, что их
труднее приспособить к исследованию движущихся атмосфер (гл.
14). В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением
неподвижных одномерных плоскопаралаельных атмосфер. Более общие
задачи будут рассмотрены в гл. 7 и 14. Имеются веские соображения
физического и математического характера в пользу применения
именно тех методов, которые описываются в §6.3 (или их аналогов
для решения уравнения переноса в интегральной форме). Эти
методы специально разработаны таким образом, что позволяют
преодолеть определенные трудности, характерные для задач о переносе
излучения в тех оптически толстых средах, где роль рассеяния
велика. Чтобы разобраться в истинной природе этих трудностей, в §6.1
и 6.2 мы рассмотрим другие возможные в принципе (но
практически бесполезные) методы решения задачи.
6.1. Метод итераций: проблема учета рассеяния
Одной из фундаментальных физических трудностей, присущих
задачам переноса и проявляющихся при их решении, является
наличие рассеяния, которое ведет к тому, что поле излучения перестает
быть непосредственно связанным с мощностью локальных
источников и стоков и процесс* переноса фотонов становится
глобальным, гак что mi пол*- течения сказываются условия в атмосфере

198
Гл. б. Решение уравнения переноса
в пределах достаточно большой области. Именно из-за рассеяний
наличие свободной границы ощущается даже на больших глубинах
в атмосфере (jv > 1) и вызывает значительные отклонения средней
интенсивности Jv от локальных значений функции Bv, описывающей
тепловой источник. Чтобы упростить обсуждение, рассмотрим
случай простейшей функции источников, которая содержит компоненту,
описывающую тепловое излучение, и член, учитывающий
монохроматическое изотропное рассеяние, т.е.
S, = (kJBv + ovJ)/(kv + ov) = (1 - pv)Bv + P/„ (2.39)
где pv s av/(k + ov). Формальное решение стандартного уравнения
переноса
&1/дт¥ = /, - S, (2.36)
можно* выразить через Jv в виде (ср. упражнение 2.10)
Jv{rv) = Лт [SJ = Лт [Bv] + \T\pJLJ, - Bv)l
Если бы рассеяния не было (pv = 0), то Jv можно было бы найти
по значениям Bv, просто вычислив интеграл. Если же Pv Ф 0, нужно
решать интегральное уравнение относительно Jv. Один из
простейших методов отыскания решения этого уравнения, который
сразу же приходит в голову, — это метод итераций. Поскольку
известно, что Jv — Bv при rv — оо, применим этот метод к разности
Jv - Bv. Если бы pv было везде равно нулю, то разность Jv — Bv
равнялось бы Вр — Вр, где Bv{rv) = Лт [Bv]. Если же Pv не равно
нулю, то значение Bv — Bv можно рассматривать как начальное
приближение к^ —Вр и написать
(Jv - Bf» = (В, - В) + Ar[P¥(J, - Я )<°>] =
= ф9 - В) + \Т\р¥ф, - Вр)) =
= (Я - Я,) + Д(0. (6.1)
Находя последовательные приближения более высоких порядков,
получаем
</, - Я )<"> = (Я - Я,) + £ Д«\ (6.2)
где A s Лт [Р^А(/ " 2)]. На практике процесс итераций продолжают
до тех пор, пока не окажется выполненным какой-либо критерий
сходимости, например \\^n)/(Jv - В)Щ\ ^ £, где е < 1. Ясно, что
если HpJI < 1, то можно ожидать, что итерационная процедура

6.1. Метод итераций
199
(6.2) будет сходиться, так как последовательные поправки дЛ| дол-
жны быть порядка llpjl" относительно (/ - Вр). Если, однако, в
пределах большой области оптических глубин в атмосфере
\\pv\\ « 1, то итерационный метод оказывается неэффективным.
В звездных атмосферах имеет место как раз последняя
ситуация. Вероятность гибели фотона при одном акте взаимодействия с
веществом \у » 1 - р^ может быть очень малой в пределах
значительной области атмосферы. Например, у очень горячих звезд
главным источником непрозрачности в континууме в их внешних
слоях является электронное рассеяние, и Хг может быть порядка
10~4 вплоть до очень больдшх глубин в атмосфере (пока в конце
концов из-за роста плотности тепловое поглощение при свободно-
свободных переходах не начнет преобладать над электронным
рассеянием). У холодных звезд с низким содержанием металлов
водород в верхних слоях атмосферы нейтрален, а свободных электронов
мало, так что непрозрачность за счет рэлеевского рассеяния на Н и
Н2 превосходит непрозрачность, обусловленную Н". Поэтому pv
близко к единице вплоть до больших глубин (начиная с некоторого
уровня, возбуждение и ионизация водорода возрастают довольно
резко, и Х^ круто возрастает, приближаясь к единице). Для линий
соответствующий параметр термализации может быть
чрезвычайно малым, Х^ * 10~8 (см. гл. 11).
В подобных случаях при проведении итераций наблюдается
характерное явление — решение стабилизируется. При этом
последовательные приближения отличаются друг от друга лишь на
некоторый близкий к единице множитель, а величины Д изменяются
монотонно и от итерации к итерации остаются почти
постоянными. Хотя в таких случаях относительное изменение решения с
каждой итерацией и невелико (£ < 1), нет никакой гарантии, что^ля
достижения окончательного решения не потребуется, скажем, еще
1/е итераций. До сих пор рассуждение проводилось применительно
к интегральному уравнению, причем мы пользовались оператором
Л. Однако следует подчеркнуть, что точно такие же трудности
встретились бы и при получении итеративного решения уравнения
переноса в дифференциальной форме (в дальнейшем мы будем
называть Л-итерацией обе эти процедуры, даже если на самом деле
оператор Л и не используется). Медленная сходимость в методе Л-
итераций (при большой роли рассеяния. — Ред.) является фактом
принципиальной важности. Следует до конца уяснить себе, в чем
состоит физический смысл этого факта. С этой целью можно
рассмотреть следующий простой пример.

200
Гл. 6. Решение уравнения переноса
Предположим, что зависимость функции Планка от глубины
можно <: достаточной точностью представить яинейной функцией
*г(\> в *. + V. (б.«
и что Р„ не зависит от rv. Уравнение (2.7»), представляющее собой
нулевой момсн! уравнения переноса, при учете (Я.39) можно
записать в виде
ЭЯ/Эг. = .7 ~ S,. - \(JV - в,.). (6.4)
а уравнение, являющееся первым мочен fом уравнения переноса,
есть
аЛ;-'ЛГр :-: нг. (6.5)
Если воспользоваться приближением Эддингтона Кг = У/3 и под
ставить выражение для Н. из (6.5) в уравнение (6.4), то получим
Щ = \(Л-*,)=^~<Л-*Л (6-6)
Здесь второе равенство — следствие принятого нами для В¥
выражения (6.3). Решение уравнения (6.6) имеет вид
/, - Bv - or,e*p[-(3X.)''2Tj + /^expf + OX^rJ. (6.7)
Поскольку мы хотим, чтобы Jv - Bv при тр — оо, следует положить
/3„ = 0. Для нахождения ар используем граничное условие
Jv(0) = VI #„(0) ~ (37/дтД/^Т (второе равенство следует из
уравнения (6.5) в приближении Эддингтона). Поэтому из (6.7) получаем
/ДО) - av + а, = (Э//ЭтД/>/з = [ft, - «ДЗХ^У^Г. (6.8)
Итак, окончательно
х exp[-(3\)l/2rJ/^3" + (ЗХ„У/2]. (6.9)
Формула (6.9) позволяет понять физическую суть проблемы. Во-
первых, из нее видно, что на границе Jp может значительно
отличаться от Bri Рассмотрим для простоты изотермическую
атмосферу, т.е. nycib bv = 0 и Bv =s av. Тогда при т¥ - 0 будет
Поэтому когда \ < 1, то на границе Jv гораздо меньше*Вр. Во-
вторых, видно, что такое отличие от В простирается в атмосфере

6.2. Методы собственных значений
201
до больших глубин*, так как медленное стремление члена,
содержащего экспоненту, к нулю ведет к тому, что Jv — Bv только на
глубинах тр ;-> (Х,)~1/2. При учете того, сколь малы упоминавшиеся
выше значения X,, эти глубины оказываются действительно очень
большими. Когда Jv становится достаточно близко к Ву9 говорят,
что наступила нормализация. Поэтому величину Х~1/2 мы будем
называть глубиной термализации (в гл. 7, 11 и 12 это понятие
будет обобщено).
Интуитивное представление о глубине термализации можно
получить из следующих физических соображений. Ясно, что параметр
\ = *У(*> + а) """ это вероятность того, что фотон погибнет (т.е.
энергия его перейдет в тепловую энергию) при одном акте
рассеяния. Чтобы энергия фотона заведомо превратилась в тепло,
фотон должен испытать примерно п = 1/Х„ рассеяний. Если движение
фотона в атмосфере рассматривать как процесс случайных
блужданий со средней длиной свободного пробега А г (последняя должна
быть равна примерно единице), то полная оптическая толщина
слоя, через который фотон может пройти не погибнув, равна
пи2Дт = ДгХ~1/2« Х~1/2. Для фотонов, излученных на бблыпих
глубинах, вероятность того, что они выйдут из атмосферы, а не тер-
мализуются, мала (поэтому Jv — Ву). Фотонам же, которые
возникают на меньших глубинах, удается выйти, и в результате значение
Jr оказывается меньше равновесного (т.е. меньше В).
Теперь можно понять, почему, когда в качестве начального
приближения принимается Jv = Вр9 Л-итерация оказываются
неэффективными. Каждое последовательное приближение может
передать информацию об отклонении Jv от Bv лишь на расстояние до
Ат * 1, т.е. на расстояние среднего свободного пробега [напомним,
что Е{(Ат) убывает при Ат ► 1 как ехр(-Дт)/Дт]. Поэтому для
того, чтобы влияние границы на решение начало чувствоваться на
глубинах, сравнимых с глубиной термализации, следует произвести
Х~1/2 итераций (по порядку величины). Когда X, < 1, вычисления
по такой схеме становятся невыполнимыми, и мы приходим к
заключению, что в любом практически полезном методе наличие в
выражении для функции источников членов, описывающих
рассеяние, должно учитываться с самого начала, и в проце^ решения
эти члены следует учитывать каким-то прямым методом.
6.2, Методы, основанные
на решении краевой задачи «в лоб»
Характерная математическая трудность, встречающаяся при
решении уравнения переноса в дифференциальной форме, связана с

202
Г/i. 6. Решение уравнения переноса
природой граничных условий. Допустим, что применяется метод
дискретных ординат. Тогда интеграл но углу, дающий Jv,
заменяется квадратурной суммой. Предположим, что мы пытаемся
численно проинтегрировать получающуюся систему уравнений
//
li/til/dr = 1. - ~ Р V ajlj - (1 - Р)В, i = ±1 ,±/1.(6.10)
j = -л
Чтобы это сделать, нужно задать начальные значения /, для всех
значений /. Они определяются граничными условиями. Как было
указано в гл. 2, граничные условия распадаются на две группы:
/ДО) = 0, / = — 1, . . . ,-л, для излучения, идущего вниз
(-1 < ii ^ 0), и /,<Tnax) = g(jx) (например, g(ji) « В), i = 1, ..., л,
для излучения, идущего вверх (0 ^ \л ^ 1). Здесь через rmax
обозначена наибольшая глубина, реально учитываемая в полубесконечной
атмосфере. Проблема заключается в следующем. Пусть мы хотим
начать интегрирование с г = 0 и продвигаться шаг за шагом в
глубь атмосферы. Сделать это невозможно, так как мы не знаем
значений /ДО). Аналогично для rmax у нас отсутствуют значения
/ -(г ).
-1v max'
Таким образом, мы здесь имеем дело с краевой задачей для
системы порядка 2л. Можно было бы, например, задать набор
значений 1-((ттаз) и использовать их при интегрировании из глубины к
границе. Когда мы довели бы интегрирование до границы, то,
вообще говоря, обнаружили бы, что /.ДО) Ф 0. В принципе можно
было бы после этого взять другой набор значений I„fjm20) и путем
последовательных проб найти такие значения, которые приводили
бы к /„ ДО) = 0. На практике, однако, этот метод оказывается
сильно неустойчивым и может приводить к цели, только когда ттах
не очень велико. В этом можно убедиться следующим образом.
Как известно из рассмотрения задачи о серой атмосфере, метод
дискретных ординат приводит к экспоненциальным решениям
вида ехр(±Ат), где к порядка 1//х. В тех случаях, когда коэффициенты
(например, Pv) зависят от глубины, решение уже не является
суммой чистых экспонент, то тем не менее имеет экспоненциальный
характер, и его можно представить в виде Дт)схр(±кт)> где
/ — медленно меняющаяся функция г. В случае полубесконечной
атмосферы растущие экспоненты должны быть отброшены. Для
задачи о серой атмосфере это можно сделать явным образом, так как
в этом случае решение имеется в явном аналитическом виде. Но в
случае несерой атмосферы при переменных коэффициентах решение

6.3. Двухточечная краевая задача
203
удается получить только численно. Если начальные значения не
выбраны точно, то решение будет содержать как убывающие, так и
растущие экспоненты. Поэтому, вообше говоря, будут
присутствовать члены, пропорциональные ехр(Ат). Они называются
паразитными членами. Скорость их роста по порядку величины в ехр(2£т)
выше, чем у истинного решения. Таким образом, если начальные
значения имеют погрешность порядка е, то отношение паразитных
членов к истинному решению на противоположной границе будет
порядка £exp(2£7max) ~ £ • 10*Tm«. Ясно, что если только выбор
начальных значений не является очень хорошим (£ < 1), то
паразитные члены «забьют» истинное решение, и оно будет утеряно.
Следовательно, чтобы сохранить хоть какие-то следы истинного
решения, следует вести вычисления ел * ^rmax значащими цифрами.
Если в интегралах по углу используется квадратурная формула с
несколькими узлами fi.9 то некоторые д;. < 1, и потому некоторые
к > 1, так что даже при не слишком большом rmax & 10 при
использовании обычных электронных вычислительных машин истинное
решение будет утеряно. При г « 1 в континууме ттах в линиях могут
быть ~103 — 104, откуда следует безнадежность рассматриваемого
подхода. Резюмируя, можно сказать, что математическая природа
задачи требует использования такого метода, в котором с самого начала
явным образом учитывается, что граничные условия являются
двухточечными. Обратимся теперь к обсуждению именно таких методов.
Упражнение 6.L а) Решить систему (6.10) при р = 0, В = const
для 1± при ц± = ± Уг. Показать, что cfiJ/dr2 = 4(/ - В), и
написать точные выражения для J, /4 и /_, определив произвольные
постоянные общего решения иЪ граничных условий. Рассмотреть
случай /+(Tmax) = I-(Tmax) = В- Получить для него решение и
показать, что если на нижней границе ошибка е = 2*ехр(-2ттах), то к
поверхности она возрастает до £ = В. б) Обобщить рассмотрение
на более обший случай, Р = const Ф 0.
6.3. Двухточечная краевая задача
для уравнения переноса
В этом параграфе будут описаны два очень общих, гибких и
мощных метода решения задач переноса. В основе этих методов
лежит запись уравнения переноса в виде дифференциального
уравнения второго порядка с наложенными на его решение краевыми
граничными условиями. Большинство основных идей было введено

204
Гл. б. Решение уравнения переноса
в важной работе Фотрие [209]*. Рассматриваемые методы
оказались устойчивыми и удобными на практике. Каждый из них
обладает преимуществами перед другим в дополнительном (по
отношению к этому другому) диапазоне значений тех параметров, которые
определяют объем вычислений, необходимых для решения той или
иной задачи.
ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ВИДЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В случае плоскопараллельной геометрии можно написать два
уравнения, которыми определяется перенос излучения, идущего
вверх и вниз в направлениях ±д:
*мЭ/(*, ±М. *Vbz = х(*. v)[S(z, v) - /(*, dh/x, p)]t (6.11)
где считается, что значения д заключены в половинном интервале:
0 ^ 1Л ^ 1. Введем теперь симметричную и антисимметричную
комбинации:
и(г, р9 v) ш [/(*, м, v) + /(z, -/х, р))/2, (6.12)
y(z, /i9 v) ш [/(*, м, v) - /(z, -/*, ")]/2, (6.13)
которые сходны по характеру со средней интенсивностью и с
потоком соответственно. Для функций и и v можно получить два
уравнения первого порядка. Сложив два .уравнения (6.11), найдем
tfv(z, /х, v)/dz = x(z, v)[S(z, v) - u(z, /x, i')]; (6.14)
вычтя же их, найдем
ndu(z, м, v)/bz = -x(z, v)v(z, /x, v). (6.15)
Подставив далее уравнение (6.15) в (6.14), можно исключить v и
получить одно уравнение второго порядка для и
_JL2 АГ 1 ^%^>1 = м(г> м> „ _ S(z, г) (6.16)
x(z> *0 dz L xU. ") . fe J
или, вводя обозначение tfr. г <ir(z, у) = -х(*» *0Л и используя со-
* К моменту появления работы Фотрие подобные идеи были уже известны и
широко применялись (в частности в теории переноса нейтроноп). — Прим. ред.

6.3. Двухточечная краевая задача
лг
крашенную запись,
/Л>Ч/Эт* = v - s>- <6 17)
При написании уравнения (6.15) предполагалось, что функция Sr
симметрична относительно /х. Это справедливо для большинства
функций источников, которые будут нами рассматриваться,
например, для функций вида
Sp = *¥\4>yJ¥.dv' + 0, (6 18)
или
Sv = a J Д(*',*)/,.*' + 0,. (6.19)
Это предположение, однако, может быть неверным, ecjin
перераспределение по частоте зависит от угла рассеяния (в эгом случае
требуется другая методика, см. [460]) или если в атмосфере
происходят макроскопические движения (см. §14.1). В формулах (6.18) и
(6.19) величина а представляет собой фактически коэффициент
рассеяния, деленный на полный коэффициент поглощения, /3 —
мощность тепловых источников. Необходимо подчеркнуть, что указан-
ные выше выражения для Sv являются чисто иллюстративными. В
дальнейшем (см. §7.2 и 7.5) будут получены выражения, имеющие
члены сходного вида, которые, однако, содержат интенсивность на
всех частотах спектра (вследствие того, что должно выполняться
условие лучистого равновесия) или во всех линиях многоуровенно-
го атома. Тем не менее и в этих случаях развиваемые ниже методы
оказываются применимыми.
Заметим, что в противоположность уравнениям для моментов,
система которых незамкнута, уравнение (6.17) (впервые выведенное
Фотрие [209]) представляет замкнутую систему точных
уравнений, записанную для симметризованного среднего и^, зависящего
от угловой переменной. Ниже мы убедимся, что иногда выгоднее
избрать промежуточный путь, осуществляя замыкание уравнений
для моментов приближенно, с помощью переменных эддингтонов*
ских множителей.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Уравнение (6.17) должно решаться при граничных условиях,
заданных при т = 0 и г = rmax (где rmay обозначает толщину (или
полутолщину) конечного слоя или же — в случае полубесконечно'
атмосферы — некоторую достаточно большую глубину, где уже
применимо диффузионное приближение). При г = 0 величина

206
Гл. б. Решение уравнения переноса
/(О, -/*, v) = О, откуда следует, что 1^(0) = идД0), так что
/*Ч/ЭгЛ = М°>- (6-20>
При г = ттах задано /(гтах, + д, у) = /+(/х, *>). Но
так что
"Ч/^1 W = />• "> - «Аах)- (6-21)
Если при г = rmax справедливо диффузионное приближение, то
1 I АД I
(6.22)
так что
и
/Стах, Ч, к)
= 5ДТтах> +
1 |
х, |
dz
МТтах) = 5ДТтах).
3*
1
г = М
max у
дБ
V
dz
Ттах
(6.23)
Упражнение 6.2. а) Обобщить уравнение (6.20) на случай, когда
/(0, -fi, р) ф 0. б) Показать, что для случая симметричного слоя
(бесконечного по х и у) конечной (по z) оптической толщины rmax
второе граничное условие можно задать при т = ттгх/2 в виде
ди^/дгр = 0. Из этого следует, что здесь достаточно
рассматривать лишь половину слоя 0 < 7 ^ rmax/2.
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Преобразуем теперь дифференциальное уравнение (6.17) в
систему разностных уравнений, выполнив дискретизацию по всем
переменным. Выберем набор точек деления по оптической глубине (rj,
d = 1,2,...,/?, причем Tj < т2 < . . . < tD9 набор точек по
угловой переменной {цт}, m = 1, 2, . . ., М, и набор точек по частоте
(yj, л = 1, 2, . . ., N. Для любой величины g будем писать g(7rf,
*V vt) " £<//>/*• Заменим интегралы квадратурными суммами, так
что, например, выражение (6.18) примет вид
\ м
**> = «а, Е а«■**. I *««W + "*• (б-243)

6.3. Двухточечная краевая задача
207
Далее, сгруппируем точки по угловой и по частотной переменным в
единый набор значений, характеризуемых индексом /, так что
(М/> v) = (/*„,» О при i = т + (л - 1)М. Тогда (6.24а) приведется к
виду
s<* = «л I "V* А' + ^/> ' = Ь • • ., /• (6.246)
Аналогично вместо выражения (6.19) получим
S* = «* I ^г,,"*- + ^ '=!.•••. /• (6-25)
/' зв 1
Заметим мимоходом, что эти функции источников не зависят от
угла, и, следовательно, в нашей записи имеется избыточная
информация (ее можно устранить, если ввести переменные эддингтонов-
ские множители). В выражении (6.246) содержится еще некоторая
дополнительная (по сравнению с (6.25). — Ред.) избыточная
информация, обусловленная тем, что интеграл, описывающий рассеяние,
не зависит от v (а значит, и от /). Это обстоятельство будет
использовано ниже в методе решения рассматриваемых уравнений,
предложенном Райбики.
Далее, заменим производные конечными разностями, положив,
например,
(dX/dr)d+l/i - AXd+l/i/Ard+>/i = (Xd+i - Xd)/(rd+1 - Td), (6.26)
(d>X/dr% - [(dX/dr)d+ уг - (dX/dr)d_ lA)/l(Ard+ Vi + Ard_ й)/2]. (6.27)
Тогда, вводя обозначения
Ard* и.* s 2 (Xd± '•' + *'№**» " Z«l' (6,28)
A^.,-"4<AT</-*., + AV ./,/)• (6-29)
перепишем уравнение (6.17) в следующем виде:
+
А^-Л "~''' Ат*Л Ат</-и./
+ "дГ1 Н< + д~д7- — м«+1-< = и« ~ s" (6J0)
/ = 1, 2, . . ., /, rf = 2, . . ., D - 1. Величины Sdi определяются

208
Гл. 6. Решение уравнения переноса
формулами (6.246) или (6.25). На самом деле они могут имегь ,ааже
еще более общий вид (так что, например, в них будут содержаться
интенсивности на всех частотах спектра, см. §7.2 и 7.5). Дпя
каждого значения частотно-угловой переменной / и каждою из D — 2
значений оптической глубины имеется по одному уравнению вида
(6.30).
Если теперь ввести вектор ud размерности / с компонентами
(ud)i = udi% соответствующими различным значениям частотно-
угловой переменной / на данной глубине г^ то уравнение (6.30)
можно записать в виде матричного уравнения
-AA*-i + ВЛ/ ~ сЛ/+1 = Цг «.31)
Квадратные матрицы А^ и С^ размерности / являются
диагональными и служат конечно-разностным представлением оператора
дифференцирования. У матрицы В^ все элементы отличны от нуля.
При этом недиагональные элементы порождаются квадратурной
суммой, представляющей интегралы рассеяния в выражениях (6.24)
и (6.25), элементы же, лежащие вдоль главной диагонали,
представляют еще и оператор дифференцирования. Составляющие
вектора Ld — значения мощности тепловых источников. Можно
применить и более точное, чем в уравнении (6.30), разностное пред
ставление, воспользовавшись сплайнами [374], [442] или формулами
интегрирования Эрмита [34]. Впрочем, это не изменяет общего
вида уравнения (6.31) (хотя матрицы А^ и С^ могут перестать быть
диагональны ми).
Чтобы замкнуть нашу систему уравнений, воспользуемся
граничными условиями. Для верхней границы можно было бы
натесать
однако это равенство справедливо лишь с точностью до членов
первого порядка. Более точное условие (с учетом членов второго
порядка) можно получить [30] с помощью разложения Тейлора
и2 •-* и, + ATt/2(du/dT)l + AT}/2(J2u/dr2)l 2,
которое с учетом соотношений (6.17) и (6.20) дае<
Фь " U\)/AT4J = им + (Дгч/2^ <ми ~ S\)> (6 33-'
или в матричной форме
B,U, - C,U2 = L, (Ь.34

6.3. Двухточечная краевая задача
209
Аналогично, условие на нижней границе [формула (6.21)] дает
~ (4V'^«W- SDJ9 (6.35)
или в матричной форме
-A0uD , + Вйиу = LIV
(6.36)
Заметим, что А, = 0 и CD = 0.
Упражнение 6.3. Вывести формулы (6.33) и (6.35). Пользуясь
выражением (6.23): привести (6.35) к форме, которая годится при
использовании диффузионного приближения.
РЕШЕНИЕ ФОТРИЕ
Совокупность уравнений (6.3i), (6.34) и (6.36) имеет следующую
общую структуру:
-с,
А,
С,
в.
-о._
Ml \ /l: \
\
~^D- 1
Во., -С
AD В
D l/Wo-l/ \L"
I (6.37)
Каждый из указанных элементов является либо матрицей 1-го
порядка, либо вектором размерности /. Большая гиперматрица в
(6.37) (т.е. матрица, составленная из матриц. — Ред.) имеет
блочную трехдиагональную структуру, и решение этой системы
выполняется с помощью эффективной процедуры [209], включающей
прямой ход (последовательное исключение переменных) и обратный
(их подстановку). Согласно описанной схеме, каждое ud, по
существу, выражается через ud+l и подставляется затем в следующее
уравнение. Так, из уравнения (6.34) мы можем найти
"i = BfKSft + ВГ'Ц ш D,u2 + vv
Подстановка (6.38) в уравнение (6.31) при d = 2 дает
u2 = D2u3 + vv где
D2= <В2- AflxrlCv
"2 = (В2 - A2Dj)-ЧЦ + Ajrj).

210
Гл. 6. Решение уравнения переноса
Последовательно повторяя этот процесс, получим общее
соотношение
"</= DA+i + '* (б-39)
где
D*S(B„ ~ АД^Г'С,, (6.40)
причем d = 1, . . ., £>. Начав с d = 1, последовательно вычисляем
значения Dd и vd вплоть до d = D — 1. На последнем шаге (d = Z))
имеем CD ■ 0, и поэтому DD = 0 и uD ■ ?D [?D находится из
соотношения (6.41)]. Найдя uD, выполняем последовательные обратные
подстановки в уравнение (6.39) и находим u^, d = D - 1, . . . 2, 1.
Л/
Зная udmn> мы можем теперь вычислить Jdn ш £ bmudmn и функ-
т- 1
цию источников, содержащую интеграл по частоте от Jv\ например,
может быть
Sdn = <*dn I ^n^dn'Jdn' + ^л"
л'
Описанная процедура прогонки явным образом учитывает
члены, описывающие рассеяние, и двухточечные краевые условия.
Применение метода Фотрие показало, что он обладает высокой
устойчивостью и многими другими полезными особенностями.
Отметим, например, что на больших оптических глубинах система
стремится стать диагональной (члены с 1/Дт2 стремятся к нулю) и,
следовательно, Jd — S^, как и должно быть. Более того, мы
получаем J — S 4- fi2d2S/dr29 что автоматически приводит нас к
диффузионному приближению. Дискретизация по глубине, как правило,
выполняется таким образом, чтобы получался равномерный шаг
по lg т, причем обычно берут по 5 или 6 точек на один порядок по
т. Такой выбор обладает тем достоинством, что на таких частотах,
для которых значения коэффициента поглощения очень сильно
отличаются друг от друга (например, в центре линии и в
близлежащем континууме), все же получается разумное распределение точек
по глубине.
Для оценки затрат машинного времени, необходимого для
решения некоторой определенной задачи, можно подсчитать число
умножений, требующихся при решении системы уравнений. Решение
линейной системы уравнений порядка п требует 0(пъ) операций, так

6.3. Двухточечная краевая задача
211
что машинное время для метода Фотрие составляет TF — cDP =
= cDM^N3, где D — число точек по глубине, М — число точек по
углу и N — число точек по частоте. Ясно, что за любое ненужное
излишество в частотно-угловой информации приходится
расплачиваться и что представление этих переменных должно быть
настолько экономным, насколько это возможно. Если решается задача о
когерентном рассеянии, то 7V = 1, Л/, как правило, малб, и метод
Фотрие является оптимальным. Однако в других задачах число
частот может быть велико, потому что необходимо обеспечить
выполнение условий лучистого равновесия или статистического
равновесия для нескольких переходов. При этом угловая переменная, по
существу, не нужна, так как в уравнения, описывающие эти
дополнительные ограничения, входит только J\у а не и^. Избавимся
поэтому от информации об угловой зависимости, введя переменные
эддингтоновские множители/^ = K/Jv [44].
Проинтегрировав уравнение (6.17) по /*, получим
P(fJv)/dT] =J¥- S„ (6.42)
а из граничных условий найдем
W)/dT)0 = Л/ДО), (6.43)
Ш1
дт
= 1 (J_ I **, \\
(6.44)
где hv s ЯД0)/7Д0). Уравнения (6.42) — (6.44) можно дискретизи-
ровать точно так же, как и уравнения с угловой переменной.
Однако машинное время, необходимое для решения получающейся при
этом системы, составляет всего Г = cDN3, что свидетельствует о
значительной его экономии. Чтобы решить эти уравнения, нужно
знать зависимость fv от оптической глубины на всех частотах.
Поступим следующим образом, а) При любой заданной функции Sv
(например, если в качестве первого приближения взять Sv = В)
можно найти и из уравнения (6.17) для каждого фиксированного
значения угла и фиксированного значения частоты. В матричной
форме это уравнение выглядит так: TVu, = S/f где Т —
трехдиагональная матрица, а и, и S/ характеризуют изменение
соответствующих величин с глубиной (при фиксированном значении
частотно-угловой переменной), т.е. изменение с d компонентов udi и
Sdi соответственно. Решение одной трехдиагональной системы
порядка п требует выполнения 0(п) операций, так что время,
затрачиваемое на вычисление полной частотно-угловой зависимости
поля излучения при заданном Sy9 равно Т = c'DMN. б) Имея значе-

212
Гл. б. Решение уравнения переноса
ния udmn> мы далее вычисляем
fdn = Е bm^mUdmn/ £ M<W
Л„ = £ Ь^тиш/ Е &mMlmn-
Заметим, что даже если поле излучения известно с не очень
высокой точностью, эддингтоновский множитель определяется
гораздо точнее (например, если и известно с точностью до множителя,
зависящего только от глубины, то / получается точно), в) Далее,
зная fpf решаем уравнения (6.42) — (6.44) и находим Jpf используя
при этом явные выражения для Sv вида (6.24) или (6.25)
(переписанные так, чтобы в них входило J). После этого заново вычисляем
SJ;, пользуясь новыми значениями Jv. г) Поскольку величина Su,
найденная на этапе (в), отличается от использованной на этапе (а),
повторяем этапы (а) — (в) до достижения сходимости. Если L —
число таких итераций,, то полное время вычислений ТЕ = LicDN3 +
+ с'DMN), т.е. при не слишком большом L много меньше
cDM*N*. Как показал опыт, несмотря на большое разнообразие
физических условий в звездных атмосферах, этот метод всегда
обеспечивает чрезвычайно быструю сходимость (L обычно равно 3 или 4),
и поэтому достигается ощутимая экономия машинного времени
(примерно раз в десять). Заметим, наконец, что к уравнениям
переноса в каждой точке по глубине d могут добавляться и другие
уравнения, которые выражают необходимость выполнения тех или
иных дополнительных физических условий, например,
статистического, гидростатического или лучистого равновесия (см. §7.5).
Общая структура уравнения (6.31) остается при этом неизменной, так
как эти дополнительные условия содержат информацию,
относящуюся на каждом шаге лишь к одному или двум значениям глубины.
Поэтому если мы имеем С таких условий, то полное время
вычислений будет ТЕ = L[cD(N +Cf + с'DMN]. Этот результат имеет
прямое отношение к вопросу о том, каким методом лучше
пользоваться — методом Фотрие или же методом Райбики. К
обсуждению этого вопроса мы теперь и обратимся.
Упражнение 6.4. Выполнение этого упражнения требует
использования ЭВМ (малой мощности), а) Написать программу для
формального решения уравнения переноса, т.е. для нахождения и^ по
заданной функции источников Su (для фиксированного значения
угла, как было описано выше) и для расчета переменных эддингто-

6.3. Двухточечная краевая задача
213
новских множителей на всех глубинах. Использовать равномерный
шаг по Igr, начав с г = 10"3 и дойдя до т = 10 (брать по 5 или 6
точек на порядок). Для вычисления интеграла по углу применять
гауссовы квадратуры по половинным промежуткам [4], стр. 921.
Поэкспериментируйте с числом узлов по углу М для изучения
чувствительности эддингтоновского множителя к точности
квадратурной формулы, б) Написать программу для решения уравнений
(6.42) — (6.44) при заданных эддингтоновских множителях для
случая когерентного рассеяния, когда Sv = aJv + 13. Объединить обе
программы и исследовать сходимость процесса итераций при
а = 1 - £, /3 = е, г < 1, начав с /|р s 1. Рассмотреть случаи
е = 0Л; 0,01 и 10~4.
РЕШЕНИЕ РЛЙБИКИ
Как мы видели выше, вычисления методом Фотрие построены
таким образом, что для каждой глубины вся информация о
зависимости решений от частоты собирается вместе, а затем шаг за
шагом осуществляется переход от одной глубины к другой. Этот
метод позволяет рассматривать и тот общий случай, когда функция
источников зависит от частоты [см., например, выражение
(6.25)], как это имеет место при частичном перераспределении по
частотам. Однако при этом затраты машинного времени растут
пропорционально кубу числа точек разбиения по частоте. В
превосходной работе [543] Райбики указал, что в наиболее часто
рассматриваемом случае полного перераспределения ббльшая часть
информации о частотной зависимости является излишней, поскольку,
согласно (6.24),_для нахождения функции источников нужна лишь
одна величина J — \<t>vJvdv. Дав глубокий анализ задачи, Райбики
показал, что в этом случае схему вычислений можно перестроить
таким образом, что получится система уравнений такой же степени
эффективности и общности, как и в первоначальном методе
Фотрие, но требующая гораздо меньших затрат машинного бремени.
Вместо того чтобы описывать частотную зависимость
интенсивности излучения на заданной глубине, изменим порядок
группирования переменных и будем использовать векторы, которые
описывают изменение интенсивности с глубиной при фиксированном
значении частоты. Иначе говоря, введем теперь
U, = (иич u2j, . . ., uDl)T, (6.45)
где индекс / относится к определенному узлу разбиения по

214
Гл. б. Решение уравнения переноса
частотно-угловой переменной. Аналогично, положим
J = (/,, 72, . . ., JD)T.
Тогда для узла частотно-угловой переменной с номером /
уравнения (6.30), (6.33) и (6.35) запишутся в виде системы
T,u,+ U,J = К,, /= 1, . ..,/, (6.47)
где Т, — трехдиагональная матрица порядка D, представляющая
оператор дифференцирования при /-м значении частоты,
U/ — диагональная матрица, описывающая изменение с глубиной
коэффициента рассеяния [т.е. adi в формулах (6.24)], и К, — вектор,
описывающий зависимость от глубины теплового источника на /-й
частоте. Каждому значению частотно-угловой переменной
соответствует своя система уравнений (6.47). Кроме того, имеется D
уравнений, определяющих значения Jd:
I »,■**•«*■ ~h= 0, d= 1, ...,D.
(6.48)
Вводя гиперматрицу, охватывающую все значения частотно-
угловой переменной и все значения глубины, получим систему
следующей общей структуры:
/Т,
т2
им/им /км
(6.49)
';: ?/\j/ W
где диагональные матрицы V порядка D отражают зависимость от
оптической глубины весовых множителей и профиля коэффициента
поглощения, входящих в формулу (6.48). В случае, когда имеет
место (6.48), матрица Е — единственная матрица со знаком минус, а
у вектора Р все элементы равны нулю. Однако, как мы увидим в
§7.2, при расчете моделей атмосфер в предположении о наличии
ЛТР возникают более общие системы, имеющие ту же форму, что
и уравнение (6.49). Сравнение уравнений (6.49) и (6.37) показывает,
что, по существу, внешняя и внутренняя структуры этих уравнений
поменялись местами.
Решение системы (6.49) производится очень эффективно. Каж-

6.3. Двухточечная краевая задача
215
дую строчку гиперматрицы преобразуем, разрешив ее
относительно и,:
u, = Т-'К,- T-4J,J, / = 1,. . ., /. (6.50)
Умножим полученные выражения на V, и вычтем из последней
строки. Тогда /-й «элемент» последней строки обратится в нуль.
Проделав эту процедуру для всех значений /, получим
окончательную систему для J, а именно WJ = Q, где W — матрица порядка
£>, все элементы которой ненулевые:
W S Е - I VJ-'U,, (6.51)
i = 1
а вектор Q равен
Q = р- I V/T"1^ (652)
Решаем полученную для J систему. Это дает нам достаточную
информацию для нахождения S (т.е. хода изменения функции
источников с глубиной). Если потребуется, с помощью формулы (6.50)
можно восстановить полную частотно-угловую структуру поля
излучения, пользуясь уже найденными нами величинами Т~1К/ и
тпи..
Решение / трехдиагональных систем для получения величин и,
по (6.50) требует 0(D2I) = 0(D2MN) операций, а решение
окончательной системы требует 0(D3) операций, так что оценка полного
машинного времени дается выражением TR = cD2MN + c'D3.
(Замечание. Величины с в этом выражении не равны тем, которые
фигурируют в выражениях для Тп ТЕ и т.д.) В отличие от метода
Фотрие, для которого время счета пропорционально кубу числа
узлов по частотно-угловой переменной (т.е. А/з/У3), в методе Райби-
ки машинное время растет с MN линейно. Ясно, что, когда
требуется большое число точек по частоте, метод Райбики гораздо
выгоднее метода Фотрие (даже в варианте с переменными эддингто-
новскими множителями). Напомним, однако, что метод Райбики
применим лишь в том случае, когда в выражении для Sv интеграл,
описывающий рассеяние, можно выразить через зависящую только
от оптической глубины величину J, тогда как метод Фотрие
применим и в более общих случаях. В принципе и в методе Райбики
можно было бы использовать переменные эддингтоновские множители,
однако преимущества этого (если они вообще есть), вероятно,
очень малы, так как при этом пришлось бы использовать итера-

216
Гл. 6. Решение уравнения переноса
ции. Следует также подчеркнуть, что метод Райбики полностью
эквивалентен Методу, основанному на использовании интегрального
уравнения, которое может быть записано в виде u, = A,J 4- M/t где
матрицы \. появляются при аналитическом интегрировании
произведения ядерной функции на набор базисных функций,
представляющих J. Матрица Т:~' в сущности есть матрица Л,, и обращение Т,
обладает заметными преимуществами перед всеми другими
способами нахождения Л [34]. Иначе это можно выразить так: при
желании можно применять методы, использующие решение
интегральных уравнений, однако лелать это следует, используя для
нахождения Л. метод Райбики.
Упражнение 6.5. Написать программу для решения уравнения
переноса на ЭВМ методом Райбики для случая когерентного
рассеяния, когда Sv = olJv + /3, для тех же значений е, что и в упр. 6.4.
Заметим, что преимущества метода Райбики здесь не проявляются,
так как в этом случае в задаче имеется лишь одна точка по
частоте.
Наконец, упомянем о том, как в методе Райбики учитываются
различные дополнительные физические условия. Для каждого
такого условия, которое вводит в задачу существенно новую
информацию, требуется дополнительная новая переменная, подобная J,
которая определяется из соответствующего уравнения. Например, в
задаче о мультиплете (см, § 12.3) нам понадобится своя величина j
для каждого независимого перехода, а в задачах, где вводится
полный набор уравнений статистического равновесия, после их
линеаризации требуется по одной новой переменной на каждый уровень,
имеющийся в используемой модели атома, или на каждую линию
из набора возможных переходов (см. §12.4). Если полное число
переменных, описывающих налагаемые дополнительные условия,
равно С, то каждая матрица U должна состоять из С диагональных
матриц порядка D, расположенных в строку, тогда как каждая
матрица V будет состоять из диагональных матриц порядка D,
расположенных столбцом, а Е становится квадратной матрицей
размерности CD. В этом случае время счета при прямом решении
оказывается равным
Тр = cD2MNC + c'(DC)\
При С > 1 эта величина превосходит соответствуюшее значение
Гр и на первый взгляд кажется, что для решения систем, в кото-

6.3. Двухточечная краевая задача
217
рых учитывается большое число дополнительных условий, метод
Фотрие предпочтительнее (вот почему он применяется в §7.5 при
построении моделей звездных атмосфер без предположения об
ЛТР). Тем не менее при расчетах статистического равновесия
метод Райбики успешно применялся даже при больших значениях С.
При этом полная система решалась методом итераций (см. §12.4).
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТОКА
Для сравнения теории с наблюдениями необходимо
рассчитывать поток выходящего излучения. Это может делаться
множеством различных способов. Например, если применяется метод
Фотрие с переменными эддингтоновскими множителями, то значение
величины hv известно и поток можно вычислить непосредственно
из соотношения
ЯДО) = Л/ДО).
Если используется метод Райбики или метод Фотрие с угловой
зависимостью, то поток вычисляется так:
т
Другая возможность состоит в том, что, поскольку Sv известно,
для получения потока можно воспользоваться оператором Ф [см.
формулу (2.61)]: Fv(0) = Фо^Дг,,)]. На практике вычисления
производятся с использованием какой-либо квадратурной формулы,
которую можно выбрать по-разному (см., например, [141], [246], [8],
стр. 33). Если нужно найти поток во внутренних точках
атмосферы, можно применить к 5 оператор Фг или же из уравнения (6.15)
вычислить v(Td±Vi, цт9 рп) и найти
Hd± Уг.п = I *»ЛЛ± И» ^ О
m
(заметим, что этим способом поток определяется в точках,
расположенных в середине интервала между выбранными точками
разбиения по оптической глубине).

Глава 7
Модели атмосфер
7.1. Классическая задача о построении
модели атмосферы: предположения
и ограничения
Проблема построения моделей атмосфер состоит в создании
математических моделей, которые описывают физическое строение
звездной атмосферы и спектр испускаемого звездой излучения.
Поставленная в самом общем виде, эта проблема необычайно сложна,
и те физические и математические трудности, к которым она
приводит, в настоящее время преодолеть невозможно. Поэтому
приходится вводить ряд упрощений и рассматривать идеализированные
модели, являющиеся довольно далекими абстракциями. Такие
модели полезны в том отношении, что они позволяют лучше понять
существо дела, отвлекаясь от деталей. Целесообразно с самого
начала перечислить некоторые из налагаемых нами ограничений не
только потому, что это будет способствовать постановке задачи,
но и затем, чтобы это служило напоминанием о почти
безграничном числе захватывающих научных проблем, остающихся еще
неисследованными. Допущения, которые будут нами использоваться,
можно отнести к нескольким широким категориям.
а) Геометрия. Предполагается, что атмосфера состоит либо из
однородных плоскопараллельных слоев (если ее толщина мала по
сравнению с радиусом звезды), либо из однородных сферических
оболочек (если ее толщина составляет заметную долю радиуса; см.
§ 7.6). Предположение об однородности делает задачу одномерной
и тем самым сильно упрощает анализ, но вместе с тем исключает
из рассмотрения много интересных явлений, связанных с
мелкомасштабными структурами, наблюдающимися в солнечной атмосфере.
Для звезд информации о степени однородности их атмосфер почти
нет (см., впрочем, [261], гл. И), и можно лишь надеяться, что
одномерные модели дают некоторую «усредненную» (в
неопределенном смысле) информацию. Однако, поскольку процесс
«усреднения» нелинеен, вопрос на самом деле остается открытым, и вовсе
не ясно, всегда ли такие модели действительно дают имеющие
смысл средние характеристики (например, для хромосфер), хотя в
некоторых случаях они могут быть и удовлетворительными. В
частности, в атмосфере Солнца многие из неоднородностей
порождаются гидродинамическими явлениями, в конечном счете обуслов-

7.1. Классическая задача о построении модели
219
ленными конвективной зоной. У звезд без сильных конвективных
зон атмосферы и в самом деле могут быть однородными.
(Контрпример: Ар-звезды, показывающие большие вариации физических
свойств от одного участка поверхности к другому,
предположительно связанные с наличием сильных магнитных полей).
б) Стационарность. Будем предполагать, что атмосфера
находится в стационарном состоянии. Тем самым мы оставляем в
стороне обсуждение всех явлений, зависящих от времени, например
звездных пульсаций, ударных волн, изменений, происходящих со
временем в расширяющихся оболочках (новые, сверхновые),
явлений, связанных с нагревом атмосферы спутником в двойных
системах, переменных магнитных полей и т.п. В этой главе
рассматриваются только неподвижные атмосферы. В гл. 14 и 15 теория
распространяется на случай стационарного истечения (расширяющиеся
атмосферы). Будем предполагать, что уравнение переноса не
содержит зависимости от времени, а населенности уровней постоянны во
времени и определяются уравнениями статистического равновесия
(частный случай — ЛТР), выражающими равенство числа атомов,
покидающих некоторый уровень за счет всех микропроцессов, и
числа атомов, которые приходят на этот уровень.
в) Баланс импульса. В рамках определенного выше
стационарного состояния мы будем рассматривать либо гидростатическое
равновесие, при котором давление неподвижного газа в точности
уравновешивает силу тяготения, либо одномерные ламинарные
установившиеся течения. При этом не учитывается (возможно,
значительное) влияние магнитных сил, как крупномасштабных (таких,
как у Ар-звезд), так и мелкомасштабных (например, в солнечных
пятнах или в узлах концентрации общего магнитного поля Солнца).
Кроме того, мы пренебрегаем влиянием движений малых
масштабов, таких, как волны, и более крупных масштабов типа течений в
супергранулах, конвективных ячейках и т.д., а также еще более
крупномасштабными приливными возмущениями в тесных
двойных.
г) Энергетический баланс. Обычно мы будем предполагать, что
атмосфера находится б лучистом равновесии. Это предположение
требует и неподвижности атмосферы. В § 7.3 будет рассмотрено
влияние конвекции, однако лишь в самых общих чертах. В гл. 15
будет дано обобщение теории на случай установившихся течений и
произведен учет работы, совершаемой одномерным
гидродинамическим потоком. Для атмосферы Солнца существование сложных
движений надежно установлено наблюдениями (см., например,
[694], гл. 9 и 10, или [244], гл. 5). Хотя для звезд данные гораздо

220
Гл. 7. Модели атмосфер
беднее, почти не приходится сомневаться в том, что в атмосферах
многих звезд (например, сверхгигантов) сложные макроскопические
движения играют важную роль. Однако в своем нынешнем виде
теория не спрсобна вполне последовательно описывать детали
обмена энергией между полем излучения и гидродинамическими
движениями. Турбулентная диссипация при конвекции; возбуждение,
распространение и диссипация волн; эффекты, обусловленные
дифференциальным вращением; эффекты, вызываемые магнитными
полями и множество других явлений фактически целиком остаются в
стороне! Это принципиально важные явления, так как без них мы
не можем объяснить существование хромосфер и корон (в данной
книге эти области атмосфер будут рассматриваться лишь с
полуэмпирической диагностической точки зрения, поскольку
последовательного теоретического метода у нас нет). Существенные
ограничения на наши представления о звездных атмосферах налагаются
также и тем, что мы не умеем описывать тонкие явления обмена
энергией между радиативными и нерадиативными модами.
Разработка теории, которая позволяла бы правильно учитывать такие
взаимодействия, является, по-видимому, наиболее насущной из
проблем, лежащих на переднем крае исследований в этой области
астрофизики.
Однако, чтобы у читателя не сложилось слишком уж мрачное
представление о положении дел в настоящее время, надо сказать,
что прогресс был быстрым и продолжается во все более высоком
темпе. Поэтому разумно ожидать, что по крайней мере некоторые
из недостатков сегодняшней теории будут исправлены в недалеком
будущем. Более того, даже не выходя за рамки наложенных выше
ограничений, все же удается успешно предсказать многие
характеристики континуума и профили линий у многих (вероятно, даже у
большинства) звезд.
7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
В этом параграфе развиваются методы, которые можно
использовать для построения моделей плоских неподвижных
атмосфер с лучистым равновесием в предположении существования ЛТР.
Результаты таких расчетов будут описаны в § 7.4. Как говорилось
в гл. 5, предположение об ЛТР значительно упрощает расчет
модели (в этом можно убедиться, сравнив методы, излагаемые в
настоящем параграфе и в § 7.5). Мы критиковали использование ЛТР на
том основании, что оно не дает правильного описания
взаимодействия излучения и вещества в звездных атмосферах и совершен-

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
221
но не способно передать многих принципиально важных моментов
(в особенности касающихся образования линий). Но с
прагматической точки зрения модели с ЛТР позволяют рассматривать многие
эффекты (например, покровный эффект), которые существенны при
применениях расчетов моделей звездных атмосфер к интерпретации
показателей цвета, температур и светимостей звезд и т.п., но пока
не поддаются учету в моделях без предположения об ЛТР.
Поэтому в известном смысле эти два подхода дополняют друг друга:
теория, не использующая предположения об ЛТР, позволяет далеко
проникнуть в физическое существо проблемы, тогда как, приняв
ЛТР, мы получаем возможность составить предварительное
суждение о сложных сторонах моделей. Разумеется, конечная цель —
создание моделей, не опирающихся на предположение об ЛТР, но
достигших степени совершенства, доступной для любой из
современных моделей с ЛТР.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ И ИЗЛУЧЕНИЯ:
КОНТИНУУМЫ И ПОКРОВНЫЙ ЭФФЕКТ
Зависимость коэффициентов поглощения и излучения от
частоты в звездных атмосферах играет ключевую роль в определении
характера спектра выходящего излучения. Например, резкое
уменьшение потока по коротковолновую сторону примерно от X 3650 А у
А-звезд можно объяснить большим скачком непрозрачности,
обусловленным фотоионизацией водорода с уровня п = 2. Так как
вещество делается более непрозрачным, мы видим менее глубокие
слои атмосферы и потому регистрируем энергию, приходящую
только из лежащих ближе к границе более холодных слоев. Мы
уже видели (гл. 3), что задачу об атмосфере с зависящим от
частоты коэффициентом поглощения нельзя свести к серой задаче, как
бы ни выбирался средний коэффициент поглощения, и поэтому
необходимо с самого начала учитывать детальную зависимость
коэффициента поглощения от частоты. Как минимум должно
учитываться изменение непрозрачности в континууме, что позволяет
объяснить основные особенности распределения энергии в спектре
выходящего излучения. При более тонком анализе следует
принимать во внимание и влияние линий.
Непрозрачность на любой заданной частоте есть сумма
вкладов, обусловленных всеми возможными переходами (связанно-
связанными, связанно-свободными, свободно-свободными) всех
химических элементов, которые способны поглощать фотоны на этой
частоте. Из формул (5.53) и (5.60) видно, что коэффициент погло-

222
Гл. 7. Модели атмосфер
щения за счет прямого перехода /-ус уровня /' равен прЛу).
Вынужденное излучение возвращает энергию в первоначальный пучок,
причем скорость этого процесса пропорциональна /,. Поэтому (в
предположении совпадения профилей излучения и поглощения) в
непрозрачность вводится соответствующая поправка — из
коэффициента поглощения вычитается член, учитывающий вынужденное
излучение. Согласно формулам (5.54) и (5.64), эта поправка равна
произведению п}а1}(у) G{y), где G(y) = g./gj или G(v) = (n/rtj)* х
х exp (-hv/kT) для связанно-связанных и связанно-свободных
переходов соответственно. Обозначим через п*населенность
состояния / при ЛТР, даваемую обычной формулой Больцмана — Са*
[формула (5.14)] при реально имеющейся концентрации ионов. Тс
да, выполняя суммирование по всем уровням и процессам и
считая, что ЛТР, вообще говоря, отсутствует, для коэффициента
поглощения получаем
Х„ = II [п, " (g/g^n^jiy) + £ <Л/ - л;«-*''*ОалМ +
i j > i i
+ I ","*«**(". r)0 - e~h'/kT) + neoe, (7.1)
k
где четыре члена в правой части описывают вклады,
обусловленные соответственно связанно-связанным, связанно-свободным и
свободно-свободным поглощением и электронным рассеянием
(можно добавить и другие члены, описывающие рассеяние,
например рэлеевское). Чтобы рассчитать спонтанное тепловое излучение
(не предполагая ЛТР), воспользуемся выражениями (5.55) и (5.62)
для чисел переходов, что позволяет написать
ь = (2A,Vc2)[I ЕЛ;(«/*ЛМ + I *>ik(?)e-hv/kT +
/ j > i i
+ I "enkakk (". T)e-h"*T]. (7.2)
k
Отдельные члены справа и здесь описывают связанно-связанные,
связанно-свободные и свободно-свободные процессы. Излучение,
обусловленное рассеянием в континууме, будем описывать
отдельным членом в уравнении переноса. Формулы (7.1) и (7.2)
применимы без предположения об ЛТР. Если допустить, что имеет
место ЛТР, то они упрощаются и принимают вид
х;= [Ця/ЧМ+ I *>» +
/ j > i i

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
223
+ L V*«**("> Ш1 - e-h"kT) + лЛ, (7.3)
к
+ I Л/Ч*<") + Е ","*«**<". Г)]- (7-4)
I А:
Положив /г* = х* ~ л<,ае> видим, что ту* = £*£„, как это и должно
быть по соотношению Кирхгофа — Планка [формула (2.6)].
При ЛТР населенности уровней п* = n*(N, Г), и поэтому
X* = Х*(М Т) и ту* = r?*(N, Г), что упрощает расчеты и позволяет
легко произвести учет большого числа различных процессов
поглощения и излучения. Основными свободными параметрами,
входящими в расчет, являются параметры, описывающие химический
состав вещества. У звезд разных спектральных типов доминирующие
источники поглощения будут разными в зависимости от состояния
ионизации и возбуждения вещества. Так, для звезд солнечной
температуры и более холодных основной процесс связанно-свободного
поглощения обусловлен ионом Н~, у А-звезд — нейтральным Н, у
В-звезд значительный вклад начинает давать Не I, у О-звезд
важную роль играют Не II и многочисленные ионы легких элементов
(например, С, N, О, Ne, Si) [101], [319]. У звезд поздних типов
заметный вклад дают разнообразные отрицательные ионы атомов и
молекулы [109]; [73], гл. 4; [644]. Вклад в поглощение могут давать
буквально сотни или тысячи уровней. Со всей этой массой деталей
можно справиться, лишь приняв ЛТР, но даже и тогда требуются
обширные расчеты (см., например, [504]).
Свободно-свободное поглощение Не+, Не и Н существенно у О-
звезд. У А-звезд главный вклад в свободно-свободное поглощение
дает Н, на Солнце оно обусловлено Н~, а у М-звезд становится
существенным свободно-свободное поглощение Н^. Электронное
рассеяние является основным источником непрозрачности у О-звезд, а
рэлеевское рассеяние на Н и Н2 дает существенный вклад в
непрозрачность атмосфер звезд промежуточной температуры
(спектральные типы G и К). Весьма детальные и обширные расчеты непро-
зрачностей были выполнены группами исследователей в Киле и в
Лос-Аламосе, опубликовавшими многочисленные графики и
таблицы результатов (читателю следует внимательно их изучить; см.
[651]; [97]; [638], стр. 181-199; [184]). Ббльшая часть полученных в
Лос-Аламосе результатов имеет отношение к недрам звезд, но не-

224
Гл. 7. Модели атмосфер
которые касаются и звездных атмосфер. Весьма полное обсуждение
методов, использовавшихся в этих расчетах, можно найти в [14],
гл. 3. Хотя для континуумов расчеты подчас оказываются
трудоемкими, принципиальных трудностей здесь нет.
Кроме континуумов, непрозрачность звездного вещества
обусловлена вкладом от огромного числа — от тысяч Оо миллионов —
спектральных линий, как атомных, так и молекулярных.
Непрозрачность, обусловленная связанно-связанными переходами,
существенна для звезд всех спектральных типов. У звезд самых
ранних спектральных типов в ультрафиолете доминируют резонансные
линии Н, Не I, Не II и ионов легких элементов. У А-звезд
существенны лаймановские и бальмеровские линии водорода. Для звезд
типа Солнца важные эффекты вызываются линиями, нейтральных и
однократно ионизованных металлов и других атомов не слишком
большого атомного веса. У звезд поздних типов доминируют
молекулярные полосы (CN, СО, Н20 и т.д.). Главным параметром,
определяющим непрозрачность, обусловленную линиями, также
является химический состав газа. Кроме того, в модели входят
параметры, которые определяют ширины линий, например скорости
макроскопических движений в атмосферах (так называемая
микротурбулентность, см. § 10.3).
Влияние поглощения за счет связанно-связанных переходов на
звездную атмосферу известно под названием покровного эффекта»
Он оказывает решающее влияние как на вид спектра выходящего
излучения, так и на физическое строение атмосферы. Наличие
градиента температуры в атмосфере ведет к тому, что слои, от
которых приходит излучение в непрозрачных линиях, будут более
холодными и потому будут излучать меньше энергии. Присутствие
многочисленных темных спектральных линий в пределах некоторой
заданной фотометрической полосы (определяемой, например,
каким-то фильтром), очевидно, оказывает непосредственное
влияние на измеряемый поток. Этот эффект называют эффектом
блокировки. Поскольку полный поток в атмосфере должен
сохраняться, поток, блокируемый линиями, должен выходить на других
частотах. Поэтому величина энергии, излучаемой в тех областях
континуума, где этот поток переизлучается, поднимается выше
значения, которое она имела бы в отсутствие линий. Кроме того,
ширина той полосы в спектре, в пределах которой перенос энергии не
затруднен, из-за присутствия линий уменьшается. Поэтому, чтобы
переносился тот же поток, требуются более крутые градиенты
температуры. В результате температура в глубоких слоях возрастает

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
225
(эффект самообогрева). Наконец, линии изменяют температуру в
самых наружных слоях атмосферы. Подробнее эти эффекты будут
изучаться в § 7.4. Из сказанного ясно, что учет поглощения за счет
связанно-связанных переходов является существенным, и возникае-i
вопрос, как это можно сделать.
Самый непосредственный метод учета линий — прямой поОхоо,
при котором при вычислениях берется достаточное число точек по
частоте, чтобы описать профили рассматриваемых линий. В этом
методе зависимость коэффициента поглощения от частоты и от
глубины учитывается полностью. Его можно использовать лишь
тогда, когда в спектре доминирует всего несколько линий. Этот
прямой метод обладает тем недостатком, что у многих звезд
линейчатый спектр настолько сложен (в молекулярных полосах, на
пример, содержатся миллионы линий), что детальное описание
требует недопустимо больших затрат машинного времени. Поэтому
следует искать другие пути. Мы будем характеризовать их
термином статистические методы. В этих методах сложную частотную
зависимость непрозрачности, обусловленной линиями, в пределах
некоторой полосы пытаются заменить более простой
зависимостью, описываемой небольшим числом параметров. Самое простое
из всех возможных описаний — ограничить всю информацию
одним числом — средней непрозрачностью. В частности, можно
было бы рассматривать либо планковское среднее [см. формулу
(3.28)], либо росселандово [формула (3.26)]. Как следовало
ожидать, этот подход на самом деле не является удовлетворительным
(в точности по тем же причинам, что и в случае континуума), В
частности, хотя использование росселандова среднего вполне
оправданно на больших глубинах, где справедливо диффузионное
приближение (как это делается для учета вклада-линий в
непрозрачность в недрах звезд), вблизи поверхности этот метод имеет
тенденцию недооценивать непрозрачность и плохо аппроксимирует
истинный энергетический баланс в этих слоях [126]. Планковское
среднее не способно дать для потока на большой глубине его
диффузионное значение и сильно переоценивает непрозрачность на
поверхности. Это ведет к значительным ошибкам в получающихся
потоках и в температурной структуре модели.
Осознав недостаточность одной средней непрозрачности,
перейдем от детального спектра (рис. 7.1) к плавной функции
распределения непрозрачностей (рис. 7.2), являющейся обобщением
классической модели частокола, описываемой в § 7.4. Рассмотрим участок
спектра, достаточно узкий, чтобы гарантировать, что точное поло-

226 Гл. 7. Модели атмосфер
l~aI
У
J
\Г
и
к
V
Рис. 7.1. Схематическое изображение коэффициента поглощения, обусловленного
налагающимися друг на друга спектральными линиями. Для детального описания
изменения коэффициента поглощения с частотой потребовалось бы очень большое
число точек по частоте.
Рис. 7.2. Схематическое изображение функции распределения значений
непрозрачности для спектра, показаного на рис. 7.1. Для описания этого плавного распределения
достаточно сравнительно небольшого числа точек.
жение линии в его пределах несущественно (т.е. пусть другие
свойства, такие, как непрозрачность в континууме или планковская
функция, в пределах этого участка заметно не изменяются). Тогда
можно найти долю Р(Х) этого участка, занимаемую линиями, для
которых коэффициент поглощения Х/(^)> имеет значение, не
меньшее некоторого выбранного X, и построить график этой доли в
функции X. В результате получится плавная кривая, которую
можно хорошо аппроксимировать ступенчатой функцией, пользуясь
небольшим числом интервалов по X (возможно, разной ширины).
Такую процедуру можно выполнить для целого набора температур и
плотностей, получив тем самым описание изменения непрозрачно-

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
227
сти, обусловленной линиями, по всей атмосфере. Критическое
исследование этого подхода [126] показывает, что функции
распределения непрозрачностей дают превосходные результаты и с
удовлетворительной точностью воспроизводят потоки выходящего
излучения и физическую структуру атмосферы, которые получаются при
расчетах прямым методом.
Главный недостаток метода функций распределения
непрозрачностей состоит в том, что в нем неявно допускается, что
положения линий (по частоте) не меняются заметно с глубиной на
расстояниях порядка длины свободного пробега фотона (т.е. до
оптической глубины в континууме, равной единице). Решающее значение
для процесса переноса излучения имеет то, попадает ли линия
одного слоя атмосферы по частоте на линию или же на участок
континуума для слоя, лежащего выше. Дело в том, что во втором
случае фотоны могут свободно выходить, а в первом — нет. Заметные
изменения линейчатого спектра с глубиной, делающие метод
функций распределения непрозрачностей неприменимым, могут иметь
место в целом ряде случаев, например в следующих, а)
Молекулярные полосы двух различных молекул могут налагаться друг на
друга. Концентрация одной из этих молекул относительно другой
может быстро убывать или возрастать с глубиной. Хотя полная
непрозрачность, обусловленная обеими полосами совместно, может
и не меняться, положения двух групп линий могут при этом быть
совершенно разными, б) Сильная ударная волна в атмосфере
может вызвать резкое изменение состояния возбуждения и ионизации
газа на небольшом расстоянии. Линейчатый спектр по разные
стороны от фронта ударной волны может быть совершенно разным,
в) Смещения линий, обусловленные движением газа в
расширяющихся атмосферах, систематически сдвигают линии относительно
их положения в неподвижной среде. Это сильно сказывается на
балансе энергии и импульса вещества (см. §§ 14.1 и 15.4). В подобных
случаях нужно использовать либо прямой метод, либо такое
обобщение статистического подхода, которое каким-то образом
учитывает изменения в расположении линий по частоте. Недавно был
предложен [585] другой подход, называемый методом выборочной
непрозрачности (он основан на использовании непрозрачностей на
частотах, выбранных случайным образом). С вычислительной
точки зрения этот4 метод представляется более дорогим, чем метод
функций распределения непрозрачностей. Однако он свободен от
только что описанного недостатка и поэтому заслуживает
дальнейшего изучения.

228
Гл. 7. Модели атмосфер
ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
В неподвижной атмосфере весу вышележащих слоев
противостоит давление. По сути дела именно баланс этих двух сил и
определяет распределение плотности в среде. Таким образом,
Vp = pg, (7.5)
где полное давление р = р + pR [дин/см2] есть сумма газового
давления pg = NkT и давления излучения pR = (4-K/c)\Kvdv>
g — ускорение силы тяжести на поверхности (оно рассматривается
как основной параметр, описывающий атмосферу), наконец, р —
плотность (г/см3). Воспользовавшись обозначениями § 5.2, ее
можно представить в виде
р = (N - пе)тн% сскАк = (N - пв)т, (7.6)
к
где тн — масса «атома водорода vl Ак — атомный вес химического
элемента к с относительной распространенностью ак. Если ввести
в качестве новой независимой переменной массу т в столбе
единичного сечения, лежащую над данным уровнем, так что
dm = -Pflfe, (7.7)
то уравнение (7.5) можно переписать в виде dp/dm = gt откуда
получаем точный интеграл р(т) = gm + с. Возможность написать
такое соотношение является очевидным достоинством, и поэтому в
дальнейшем в качестве независимой переменной будет
использоваться w. Переход от z к т на уравнении переноса, по существу, не
сказывается. Если воспользоваться выражением (2.776) для
градиента светового давления, уравнение (7.5) можно переписать в
другой, более удобной форме:
00
-^ = 8 - — \ (Х»#>,. (7.8)
которая показывает, что механическая сила, вызываемая
излучением, стремится компенсировать силу притяжения. Это приводит к
тому, что градиент давления в атмосфере становится меньше.
Иначе можно сказать, что под действием поля излучения вещество
стремится «всплыть» вверх. Как было показано в гл. 1, градиент
давления излучения определяется потоком излучения в атмосфере.
Поэтому оказывается, что при заданной температуре ГЭфф значение

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
229
g будет ограничено снизу. При меньших значениях g сила давления
излучения превосходит силу тяжести, что приводит к сдуванию
вещества. В частности, Андерхилл [633] показала, что сила тяжести
будет превосходить радиационные силы* только если
g ;> 65(7^/104)4 см/с2. Ясно, что для Солнца (Тэфф * 6 • 103,
g « 3 ■ 104) силой давления излучения можно пренебречь, но она
становится очень существенной у О-звезд (7^ * 4 ■ 104, g « 104)
и у сверхгигантов, для которых g очень мало (и приближается к
#крит)- В действительности, как будет показано в гл. 15, у
некоторых О-звезд давление излучения в спектральных линиях в звездном
ветре превосходит g и разгоняет вещество до очень больших
скоростей (~ 3000 км/с).
Упражнение 7.1. Рассмотрим полностью ионизованное звездное
вещество, состоящее из водорода и гелия (с содержанием Y). а)
Показать, что величина пеое/р, которой дается нижняя оценка
непрозрачности, равна ое(\ + 2Y)/mH(l + 4У), б) Воспользовавшись
независимостью коэффициента электронного рассеяния от частоты,
показать, что сила тяжести превосходит силу, вызываемую
излучением, если выполняется условие g ^ g^?, где g^^ - ое(\ +
+ 2У)а/?Г4фф/стн(1 4- 4 У), в) Выразив этот результат в другой
форме, показать, что светимость звезды L должна быть
L ^крит* 3,8 • l04(Jt/^)LQ.
Для вычислительных целей (7.5) можно переписать в виде
разностного уравнения, содержащего величины, вычисленные для
глубин, которым соответствуют массы в столбе единичного сечения,
равные md и mdJr р а именно
NdkTd - /V№_, + (4т/с) £ wn(fdnJdn -
п = 1
-/*-1.,Л-i.»> = *<wrf-"»«/-■)• с7-9)
Здесь Kv выражено через среднюю интенсивность и переменный эд-
дингтоновский множитель, т.е. Kv = /„/„. Начальное значение
можно получить из уравнения (7.8), если учесть, что градиент
давления излучения выше границы атмосферы остается постоянным, и
поэтому
NxkTx = mx[g - (4тг/с)£ w„(xlt,f/Pi)Mi. J- (7л°)

230
Гл. 7. Модели атмосфер
Формулы (7.5) — (7.10) справедливы независимо от того,
находится ли атмосфера в ЛТР или нет.
Отметим, что если бы мы знали температурную структуру
атмосферы Т{т) и могли бы либо а) пренебречь давлением
излучения, либо б) оценить его вклад, пользуясь (7.8) и приняв его
равным (х/р)(^/?7,зфф/с), где х — соответствующий средний
коэффициент поглощения, то можно было бы сразу же получить
распределение плотности N(m). Тогда можно было бы рассчитать x*(W, Г),
rj*(N, Г), решить уравнение переноса и тем самым определить все
представляющие интерес свойства модели. Разумеется,
распределение температуры, вообще говоря, неизвестно, и теперь нам
надлежит обратиться к вопросу о том, как оно должно определяться.
ЛУЧИСТОЕ РАВНОВЕСИЕ: МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ ТЕМПЕРАТУРЫ
При заданном распределении температуры уравнение
гидростатического равновесия можно проинтегрировать описанным выше
способом и затем получить коэффициенты поглощения и
излучения. После этого, применяя метод, описанный в гл. 6 для решения
уравнения переноса при ЛТР
d2(f,J,)/di* = (У, - <+ neaeJv)/X; =
= (1 - neae/X$J¥ - (*;/*;)*, (7.11)
можно рассчитать интенсивность излучения на всех частотах и
глубинах. Для атмосферы, находящейся в лучистом равновесии,
полная поглощаемая веществом энергия должна равняться полной
теряемой им энергии. Поэтому при ЛТР
00 00
4т j [,; - (х; - neae)Jv]dv = 4тг j k*(Bt - Jv)dv = О, (7.12)
О О
или в дискретной форме (допуская также, что возможны
отклонения от ЛТР)
4*1 "„[„„- (Х„ ~ neoe)Jn] = 0. (7.13)
П
При лучистом равновесии полный поток 47гЯ = oRTA^ = const, и
его (или 7^) можно взять в качестве второго основного
параметра, характеризующего модель.
Вообще говоря, то распределение температуры, которое
обеспечивает лучистое равновесие, нам неизвестно. Если использовать

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
231
имеющуюся у нас оценку Т(т), мы, как правило, найдем, что поле
излучения не удовлетворяет соотношению (7.12) или (7.13).
Поэтому нужно путем итераций перестроить Т(т) таким образом,
чтобы в конце концов поле излучения стало удовлетворять условию
энергетического баланса. Определение Т(т) фактически и
составляет самую суть проблемы построения моделей атмосфер с ЛТР.
Можно выбрать одну из двух основных стратегий: а) осуществлять
коррекции температуры или б) искать решение уравнения
переноса, удовлетворяющее условию лучистого равновесия. В методах,
использующих коррекцию температуры, пытаются апостериорно
использовать информацию о поле излучения, рассчитанном по
данному Т(т), чтобы получить оценку такого изменения АТ(т),
которое обратило бы в нуль ошибки потока и производной потока
(что эквивалентно уравнениям (7.12) и (7.13), см. формулу (2.71)).
При втором подходе стараются с самого начала получить такое
уравнение переноса, что описываемое им поле излучения
автоматически удовлетворяет условию лучистого равновесия. Первый
подход (коррекции) был использован для решения задачи о несерой
атмосфере исторически первым, и соответствующие методы
сконструированы зачастую весьма искусно. Второй подход («условное
решение») тоньше и сильнее, он позволяет преодолеть недостатки,
оказывающиеся фатальными для методов «коррекции» при отказе
от предположения об ЛТР, позволяя тем самым глубоко
проникнуть в область задач очень большой сложности. Как это ни
неожиданно, идея отыскания «условного» решения уходит своими
корнями в методы, использовавшиеся для решения серой задачи. Однако
сначала рассмотрим коррекции температуры.
Первым и самым очевидным является так называемый метод
лямбда-итерации. В нем предполагается, что по заданному
распределению Т0(т) фактически находится Jv = АТ [BV(T0)] (откуда и
название метода) и что в результате условие (7.12) не
удовлетворяется. Допустим теперь, что зависимость Т(т), действительно
удовлетворяющая условию лучистого равновесия, есть Т(т) =
= Т0(т) + АТ(т) и потребуем, чтобы
00 00
J k;Bp(T0 + AT)dp = j k*Jrdv. (7.14)
О О
Пользуясь разложением Bv(T + А7") = В,(Т^ + АТ(дВр/дТ),
находим
ОО 00
ДГ ~ } *;[7, - B,(T0)]dv/\ k:(dB,/dT)Todv. (7.15)
О о

232
Гл. 7. Модели атмосфер
Следует подчеркнуть, что Jv в выражении (7.15) есть значение,
уже вычисленное по Bv(T0). Если все это проделать и после этого
перевычислить модель, взяв новое распределение температуры, то
обычно уравнение (7.12) будет удовлетворяться несколько лучше.
Однако эта процедура страдает от ряда серьезных недостатков.
а) Так как Jv = Лтv[Bp(T0)] = Ви(Т0) + 0(е~т>), то ясно, что в
глубине поправка температуры быстро стремится к нулю
независимо от того, насколько плохим на самом деле является решение в
этой области. Аналогичный результат у нас получался для случая
серой атмосферы.
б) Если изменение к*с частотой таково, что на одних частотах
непрозрачность гораздо больше (скажем, на несколько порядков
величины), чем на других, то и здесь метод перестает работать.
Причина этого в том, что те участки спектра, где непрозрачность
велика, дают в числитель вклад, который при больших тр стремится к
нулю, вклад же их в знаменатель оказывается гораздо больше
вклада всех остальных участков. В результате на тех частотах, где
коэффициент поглощения особенно велик, процедура Л-итерации
оказывается эффективной лишь до Атр ~~ 1.
в) Уравнение (7.12) накладывает некоторое ограничение лишь на
производные потока. Поэтому у нас нет никакой возможности
определить то действительное значение потока, к которому
решение сходится (если оно сходится).
г) Главный порок процедуры Л-итерации состоит в том, что в
ней игнорируется то влияние, которое величина А Г, найденная для
некоторой глубины т, оказывает на Jv{j') на всех других глубинах
(т.е. Jv заранее принимается фиксированным). Это с
неизбежностью приводит к ложным значениям AT. В действительности
Jv(t'v) = AT\BV{T + AT)]. Это означает, что на самом деле следует
решать интегральное уравнение для А Т. Ниже мы еще вернемся к
этому вопросу.
Когда причины того, почему Л-итерация не годится, были
осознаны, стало ясно, что нужно иметь такие методы, в которых
использовалась бы информация об ошибках как самого потока
(который дает прямую информацию о градиенте температуры в
глубоких слоях), так и его производной. Один такой метод был
предложен Люси [283], стр. 93. Он обобщил на несерый случай метод,
введенный Унзольдом для серой атмосферы (см. § 3.3). Если
используется шкала оптических глубин, основанная на планковском
среднем [формула (3.23)], так что dr = -k*dz, то точные момент-
ные уравнения, проинтегрированные по частотам, имеют вид
(величины без индекса v обозначают функции, проинтегрированные по

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
233
частоте)
dH/dr = (k*/k*p)J - В (7.16)
и
dK/dr = ix*F/k*p)Hy (7.17)
где кj — прямое среднее [формула (3.32)] и хр— потоковое среднее
[формула (3.21)]. Заметим, что в х^ вклад рассеяния учитывается, а
в других средних коэффициентах поглощения — нет. Выразив далее
К через / в приближении Эддингтона и скомбинировав уравнения
(7.16) и (7.17), можно получить выражение для В(т). Наконец, из
него методом возмущений можно найти уравнение для поправки
АВ(Т) = 4<jrT*AT/tt:
т
АВ(Т) = -d(AH)/dT + (Аг*/А:*)[3 j (x;/k*p)AH(rf)drf + 2АЯ(0)].
0 (7.18)
Здесь АН {г) = Н — Н(т). Первый член в правой части (7.18) есть
поправка, даваемая процедурой Л-итерации. Остальные члены
содержат ту новую информацию, за счет которой АВ в глубоких
слоях оказывается не пренебрежимо малым и ошибки в величине
потока на поверхности вызывают отклик на всех глубинах. Опыт
показал, что метод Унзольда — Люси весьма эффективен при
построении ЛТР-моделей с лучистым равновесием (однако
очевидного обобщения на случай, когда ЛТР не предполагается, у него нет).
Упражнение 7.2. Получить уравнения (7.16) и (7.17) и, применяя
аргументацию, аналогичную той, которая использовалась при
получении выражения (3.44), вывести соотношение (7.18).
Другой очень тонкий и удобный метод вычисления поправок
температуры был предложен Эвреттом и Круком [55], которые
вводят в рассмотрение возмущения как температуры, так и шкалы
оптических глубин. Это означает, что текущее распределение
температуры Г0(0 считается связанным с искомым распределением
температуры Т(т) (обеспечивающим лучистое равновесие) с
помощью двух соотношений: Т = Т0 + Тх и г = t 4- тх. Далее
уравнение переноса разлагается с точностью до членов первого порядка
относительно возмущений тх и Тг Затем из найденного таким
путем уравнения первого порядка для возмущений получаются мо-
ментные уравнения, что дает уравнения для т{ и Т{. Эти уравнения

234
Гл. 7. Модели атмосфер
(обобщенные таким образом, чтобы в них учитывались члены,
описывающие рассеяние 1421], и полученные с использованием
улучшенного условия замыкания [351]) имеют вид
00 00
т[ + т,({ x,'tfWj X,H°,dv) -
О о
00 оо
= (1 - ЛС/Нй) + 3"и \ xrV°, ~ B„(T0)]dv/\ XvH*vdv (7.19)
О о
и
00
Тх = ((1 + т,) j х,0 - P,)[J°. - Bv{T0)]dv - 3"(1 - Ж/Н0) х
О
00 00
х j хД1 - o,)H°,dv + т\ \ [ХД1 - рг) - x,p:\[J* -
О О
00
- Bv(T0)]dv]/\ х,(1 - p,№B,/dT)0d,, (7.20)
О
где штрих означает производную по Л Величины, снабженные
верхним или нижним индексом нуль, означают текущие значения, Н° =
оо
= f H°vdv, через Jif обозначен номинальный поток оТ^/Лтг и
о
Pv = ov/\v = ov/(kv + aj. Уравнение (7.19) представляет собой
линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно
7р которое можно проинтегрировать шаг за шагом, начиная от
Tj(0) = 0. Имея значения тх и т'{, из уравнения (7.20) можно затем
рассчитать Тх и таким образом получить Т(т) = Г0(0 + Tx(t) при
т = / + 7j(/). Опыт показывает, что поправка т{ приводит к
изменению температурной шкалы в глубоких слоях, тогда как влияние
Тх больше всего сказывается близ порерхности.
Методы Унзольда — Люси и Эвретта — Крука получили
широкое применение и оказались очень удобными при построении
моделей с лучистым равновесием и Л ТР. Если вычисления проводятся с
высокой точностью, то эти методы дают модели, имеющие
ошибки \AF/F\ и \ d In F/dr\ порядка 0,1%. Однако несмотря на то,
что использование этих методов коррекции температуры не
вызывает затруднений и они хорошо работают, у них имеется и ряд

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
235
серьезных недостатков, из-за которых в тех случаях, когда ЛТР
заранее не предполагается, эти методы становятся неэффективными.
Мы сейчас кратко опишем эти недостатки, что позволит понять
мотивы, которыми мы будем руководствоваться при обсуждении
методов, основанных на отыскании условных решений. Хотя эти
методы первоначально были развиты для рассмотрения тех
случаев, когда ЛТР заранее не предполагается, они чрезвычайно
эффективны также и для расчета моделей с ЛТР, и в настоящее время
предпочтение отдают именно им.
Во-первых, когда непрозрачность сильно изменяется с частотой,
методы коррекции температуры имеют тенденцию к стабилизации
поправок, а не к сходимости. Этот недостаток особенно серьезен,
когда мы пытаемся построить модели, учитывающие наличие
спектральных линий или большого скачка в континууме (например,
лаймановского скачка, обусловленного водородом). В этих случаях
процедуры коррекции температуры оставляют температурную
структуру самых наружных слоев практически неизменной,
поскольку температурный режим в этих слоях целиком определяется
интенсивностью излучения на тех частотах, где непрозрачность
велика (в оптически прозрачных областях поле излучения является
уже практически установившимся). Во-вторых, в этих методах
молчаливо предполагается, что основной переменной является
температура, и поэтому они не могут быть эффективными в тех случаях,
когда связь поля излучения с локальным тепловым ансамблем
слабая, например в тех атмосферах, где доминирует рассеяние или где
образование линий происходит не обязательно в условиях ЛТР
(почему это так, будет показано в § 7.5 и в гл. 11 и 12). Наконец, эти
методы не являются достаточно точными. Хотя ошибки в десятую
долю процента и кажутся малыми, следует иметь в виду, что
между условиями лучистого равновесия и статистического равновесия
существует большое сходство. Ошибки такой величины для
уравнений статистического равновесия могут быть совершенно
неприемлемыми. В частности, предположим, что рассматривается
континуум основного состояния, поглощение в котором превосходит
поглощение за счет других источников непрозрачности на несколько
порядков величины. Тогда условие энергетического равновесия требу-
00 00
ет, чтобы С a\Jvdv = [ a\Bvdv, а несбалансированное число
"о "о
радиативных переходов, входящее в уравнение статистического
ОО
равновесия, имеет вид ( ot\[bxJv — Bv\v~xdv, где через Ьх рбозна-
*0

236
Гл. 7. Модели атмосфер
чено отношение пх/п*лпя основного состояния. Если Ьх » 1, эти
два условия отличаются лишь довольно медленно меняющимся
функциональным множителем v~l. В предельном случае, когда
hp0/kT > 1 и у Bv и Jv характерная зависимость от частоты имеет
вид ехр (—Нр/кТ), значение обеих пар интегралов в основном
определяется вкладом от v « pQj и поэтому одно из этих условий
становится практически следствием другого. Поэтому ошибка в
несколько десятых процента в энергетическом балансе означает примерно
такую же ошибку в числе несбалансированных радиативных
переходов. Но скорости радиативных процессов могут превосходить
скорости ударных процессов на несколько порядков (см. обсуждение
этого в § 5.3). Поэтому эти ошибки могут оказаться по величине
гораздо больше всех других членов в уравнении стационарности,
что приведет к ложному равновесному решению.
Обратимся теперь к обсуждению тех методов, в которых
лучистое равновесие рассматривается как дополнительное условие,
накладываемое на искомое решение уравнения переноса. Эти методы
свободны от всех описанных выше недостатков.
Суть такого подхода состоит в том, что требование лучистого
равновесия вводится непосредственно в уравнение переноса, так
что оба уравнения — и лучистого равновесия, и переноса —
решаются совместно. В этих методах глобальный характер поля
излучения проявляется непосредственно. Иначе говоря, в них учитывается
то влияние, которое изменение температуры в одной точке
атмосферы оказывает на поле излучения в других точках, и наоборот.
Для упрощения изложения в остальной части этого раздела
членами, описывающими рассеяние в выражении для функции
источников, будем пренебрегать. Одна такая процедура была указана
Э. Бём-Витензе [283], стр. 99, которая предложила непосредственно
решать интегральное уравнение для AT:
оо оо
j к;Вр(Т + AT)dv = j k*v\rr[Bv(T + AT))dp. (7.21)
0 0
Мы приведем ее рассуждения в слегка видоизмененном виде,
используя принятые нами обозначения (см. также [32]). Чтобы
решить интегральное уравнение такого вида, прежде всего построим
матричное представление оператора Л. Введем дискретный набор
точек {г d}, d = 1, . . ., D, в которых мы хотим найти решение, и
представим изменение Bv(jv) на этой сетке аналитически с цо-
мощью интерполяционных (базисных) функций. Для этих базисных

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
237
функций интеграл
оо
W = \\ ЯД", - г,1)*,(',)Л, (7-22)
О
можно вычислить аналитически, что приводит к системе
j*>= i v, в<'. *+ м*» d=i А (7-2з)
в которой Md v описывает вклад в интеграл, даваемый
промежутком (td v, оо).' Подставляя выражение (7.23) в (7.21) и а) принимая,
что £*' не зависит от AT, б) полагая BV(T + AT) » Bv{r) +
+ (Э5/Э Г)Д Г и* в) вводя квадратуру но частоте с узлами [ vn},
л = 1, . . . ., N, получаем систему линейных уравнений для величин
£ Г £ ^*d,n(dB/dT)d,„(8dd. - Add.„)] ДГ/ =
= £ "e*J,W* + £ (Add,„-V)^J. ^=1 D- (7-24>
/1=1 rf' = 1
Упражнение 7.3. Проверить формулу (7.24).
Решение этой системы дает такое изменение температуры,
которым полностью учитывается глобальный характер поля
излучения. Поскольку мы пользуемся лишь линейным разложением Bv,
следует применить последовательные приближения, добившись
достижения сходимости, т.е. взять новые значения температуры и с
ними перевычислить Bv, ЭВр/дТ, к*и т.д., заново решить систему
и т.д. Если предположение а) выполняется, то можно ожидать
квадратичной' сходимости. У этого лодхода есть ряд недостатков. 1)
Расчет матрицы Л громоздкий и дорогой, а поскольку к*является
функцией Г, то для каждой итерации его нужно выполнять заново.
2) Можно рассчитать реакцию матрицы Л на изменения rv
(обусловленные изменениями к*с температурой), но это тоже требует
чрезвычайно громоздких расчетов и очень дорого (кроме того, здесь
возникают и проблемы устойчивости) (см., например, [347], [575]).
Метод, описываемый в последнем разделе этого параграфа,
позволяет преодолеть эти трудности. 3) Как в своей первоначальной

238
Гл. 7. Модели атмосфер
формулировке, так и в той форме, в которой он здесь описывался,
этот метод не гарантирует сходимости к заранее заданному
значению потока. Этого можно добиться, используя на нижней границе
диффузионное приближение, если потребовать, чтобы переносимый
поток имел правильное значение [32]. Положим при ту > td
/(т„ М) ~ B,(TD) +
1 дВ,
М 9В,
к; зт
dT
dz
dT\
dz
(T, - TD. ,)»
(7.25)
(7.26)
Интегрируя uo ц и по частотам, находим
1 дВ,.
Н
3 \) к: дТ )\dzY
(7.27)
чем фиксируется величина dT/dz в выражении (7.25) и значение
потока появляется в величинах Md v. Обращаем внимание на сходство
этого приема с использованным в случае серой атмосферы.
Упражнение 7.4. а) Вычислить элементы Add, матрицы Л,
приняв для Bv(jy) кусочно-линейную аппроксимацию на некоторой
дискретной сетке, т.е. полагая, что на [rd, rd+{]
В(т) = [Bd(Td+i -T) + Bd+i(T- Td))/(rd+i - rd).
б) Пользуясь формулами (7.25) и (7.27), получить выражение для
Md.
Упражнение 7.5. Составить программу решения на ЭВМ
уравнения (7.24) при коэффициенте поглощения, имеющем вид
ступенчатой функции: kv = к0 при v ^ р0 и kv = ак0 при v > v0. Перейти к
безразмерным переменным, введя параметр 0 = Лу0/АТэфф,
определяющий частоту скачка непрозрачности. Обращаем внимание на
то, что матрица Л и вектор Л/ в областях v < i>0 и v > v0 не
зависят от частоты (хотя и различны). Поэтому интегралы от Bv и
3Bv/dT по частотам можно найти аналитически, выразив их либо
через элементарные функции (пользуясь известным результатом
для промежутка (0, оо) и соответствующими разложениями для (О,
v0), если 0 <£ 1, или для (*>0, оо), если 0 > 1), либо через интегралы
Дебая [4], стр. 998. Решить задачу для нескольких значений а и /3,
взяв в качестве начального распределения температуры серое приб-

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
239
лижение (в шкале росселандовых оптических глубин). Сравнить
полученные результаты с теми, которые даются в [128], [605], [38].
Другой метод получения решения уравнения переноса,
удовлетворяющего дополнительному условию (условное решение), был
предложен Фотрие [283], стр. 108; [210]. Заметив, что лучистое
равновесие влечет соотношение
I "й*лЛ/1 "И*ХД*,= 1. (7.28)
п п
выполняющееся нЬ всех глубинах rf, он решает уравнение переноса
(6.30) или (6.42) с функцией источников
Sd„ = Bdn(l wn.k*dn,Jdn./Z wn,kdn.Bdn,), (7.29)
п' п'
где величины J рассматриваются как неизвестные. Обращаем
внимание на идейное сходство этого подхода с Тем, который
используется для решения задачи о серой атмосфере. В противоположность
описанному выше методу, в котором применяется интегральный
оператор переноса, метод Фотрие очень легко формулируется и
оказывается удобным для получения решения при использовании
описанных в гл. 6 методов, опирающихся на разностные уравнения.
В этом методе интеграл в формуле (6.24), описывающий
«рассеяние», теперь распространен на весь частотный спектр. Таким
образом, явно выражается тот физически важный факт, что поле
излучения на любой частоте на самом деле зависит от интенсивно-
стей на всех частотах. Пользуясь текущими значениями Bv и к*,
уравнение (7.29) и дискретизированную форму уравнения (6.42)
разрешают относительно Jv на всех глубинах. Эти значения
используются затем в уравнении (7.28), из которого находится новое
распределение температуры, удовлетворяющее этому уравнению
(путем линеаризации по А Г, вообще говоря, как Bv, так и £*, с
последующей итерацией). Так как коэффициенты поглощения и т.п. из-за
изменений в Т также будут изменяться, то весь этот процесс
должен повторяться до достижения сходимости.
В первоначальном варианте своего метода Фотрие в явном виде
не вводил в задачу заданный поток. Это, однако, легко сделать,
воспользовавшись формулой (7.27), чтобы фиксировать величину
\dT/dz\, входящую во внутреннее граничное условие [формула
(6.44)]. Если для решения системы пользоваться методом Фотрие,
то процедура оказывается дорогостоящей, так как число частот N
должно быть большим (от углов можно избавиться, введя перемен-

240
Гл. 7. Модели атмосфер
нь|е эддиягтонсвские множители). Если лучистое равновесие — это
единственное дополнительное условие, налагаемое на решение, то
выгоднее пользоваться методом Райбики, взяв в качестве J
величину, стоящую в (7.28) в числителе. Равенство, выражающее это
определение, заменяет здесь (6.48). Фотрие применил свой метод (и
с хорошими результатами) к расчету моделей, предназначенных
для описания континуума, как тех, в которых принимается ЛТР,
так и тех, где ЛТР не предполагается. Главный недостаток этогб
метода состоит в том, что неясно, как его обобщать, поскольку в
нем все внимание сконцентрировано на коррекции температуры
(чего в общем случае недостаточно).
Упражнение 7.6. Используя ЭВМ, применить только что
описанный метод а) для получения функции q(r) для серой модели;
начать с q{r) = с и испытать несколько значений с; и б) для расчета
модели с непрозрачностью, меняющейся скачком, см. упражнение
7.5 (см. также [128], [605], [38]). При решении задачи а) интеграл по
частоте следует вычислять по квадратурной формуле (точным
результатом не пользоваться — это сделало бы задачу тривиальной),
а окончательную систему уравнений решать методом Райбики.
Другой метод, в котором также используется сведение
уравнения переноса к разностным уравнениям второго порядка, был
предложен Ауэром и Михаласом [38]. Этот метод очень легко
обобщается на весьма сложные задачи и составляет основу методов,
описываемых в последнем разделе этого параграфа и в § 7.5 (для
задач, в которых ЛТР не предполагается). Если бы Т*(т) было в
точности тем распределением температуры в атмосфере, которое
обеспечивает лучистое равновесие, а В * есть соответствующая ему
функция Планка, то решение уравнения переноса
д2(//„)/дт1 = /„ - В?, (7.30)
удовлетворяющее в глубоких слоях условию
дг, \К ет)/ \ к; эт av* (7'31)
автоматически удовлетворяло бы и условию лучистого равновесия
I "nKnhn = Z "пКпКп- (7-32)
п п

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
241
На самом деле Т*(т) мы не знаем, есть лишь текущая
аппроксимация Т(т). Полагаем поэтому Г* (/я) = Т(т) + АТ(т) и,
пренебрегая изменениями к*, используем в (7.30) и (7.31) разложения
В* = Bv{T) + (дВ/дТ)АТидВ;/дТ = дВ/дТ + (д?В/дТ2)АТ, где
Д Г должно быть таким, чтобы
*Td = I w„k;„(Jdn - Bdn)/l w„kZ„(dBn/dT)d. (7.33)
n n
Дальше можно пойти двумя путями. Можно подставить в (7.30) и
(7.31) указанные только что разложения, исключить ДГ, пользуясь
(7.33), и решать систему
dT2 Jdn °dn \dTJdX
Е »„<**<(•>*,' - Bd,„.)
Х i^n^n-(3Bn,/dT)d (7'34)
л'
при соответствующем граничном условии, рассматривая Jdn, как
неизвестные.
Упражнение 7.7. Написать граничное условие, учитывающее
возмущение, в такой форме, из которой исключено AT.
Уравнение (7.34) очень напоминает систему Фотрие
(6.42) + (7.29). Здесь также имеется суммирование по всем
частотам. Все ранее сделанные в отношении метода Фотрие замечания,
касающиеся физического смысла уравнений, применимы и в данном
случае. Решение (7.34) одновременно удовлетворяет и уравнению
переноса, и условию лучистого равновесия (с точностью до членов
первого порядка). После того как найдены новые интенсивности, с
помощью уравнения (7.33) рассчитывается новое распределение
температуры. Если мы хотим найти лишь ДГ, эффективнее
пользоваться методом Райбики. При этом в качестве той переменной,
которая заменяет Т в дополнительном условии,, следует взять ДГ, а
вместо (6.48) использовать соотношение (7.33) (это тот подход,
который используется для атмосфер с ЛТР).
Как метод Фотрие отыскания условного решения, так и метод
линеаризации эквивалентны прямому решению интегрального
уравнения (7.21), но при практической peajtoaium они проще
использования уравнения (7.24). Хотя в методе линеаризации локальное воз-

242
Гл. 7. Модели атмосфер
мущение AT и вводится, сведения о средней интенсивности не
используются до тех пор, пока система не решена. Это обеспечивает
глобальную сходимость (но вовсе не есть Л-итерация). Кроме того,
этот метод не боится больших вариаций непрозрачности, так как
они влияют лишь на коэффициенты линейных алгебраических
уравнений, и, если не говорить о том, с какой точностью можно найти
решение этих уравнений, мы непосредственно получаем правильное
решение.
Упражнение 7.8. Повторить упражнение 7.6, пользуясь методом
линеаризации. Как и ранее, проверить результаты по указанным в
упражнении 7.6 литературным данным. Для решения системы
использовать метод Райбики.
МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Соберем теперь воедино различные моменты приведенного
выше обсуждения и обрисуем в общих чертах один хорошо
работающий метод построения моделей с ЛТР, который, как показывает
опыт, является общим, устойчивым и эффективным [35], [275].
Основная идея метода состоит в том, что система уравнений переноса
в сочетании с дополнительными условиями, выражающими
гидростатическое и лучистое равновесие, записывается через текущее
решение (которое удовлетворяет дополнительным условиям лишь
приближенно) и возмущения основных переменных (Г, N). Если
возмущения найдены, это позволяет добиться более точного
соблюдения дополнительных условий. В каждом уравнении
учитываются изменения, вызываемые этими возмущениями у всех
переменных, и то, как эти изменения в разных точках атмосферы
взаимосвязаны между собой.
Для начала нужно иметь некоторое исходное приближение,
описывающее структуру атмосферы. Примем распределение
температуры в шкале росселандовых средних оптических глубин tr вида
T4(tr) = - Тэ4фф[¥к + g(¥R)]. Как мы знаем, в глубоких слоях оно
дает асимптотически точный результат. Здесь д(т) может
соответствовать серому случаю или быть какой-нибудь другой
функцией, отличающейся от «серой», особенно близ поверхности. Ее
выбор определяется предшествующим опытом. После этого
уравнение гидростатики (7.8), записанное в приближенной форме:
dp/dm = g - (окТэ%ф/с)хя/р, (7.35)

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
243
интегрируется совместно с уравнением
dfR = (xR/p)dmt (7.36)
вытекающим из определения шкалы оптических глубин.
Интегрирование выполняется шаг за шагом, с использованием узлов {md),
d = 1, ... , D. Это дает значения (Nd, Td) в каждом из узлов.
Пользуясь методом, описанным в §5.2, из уравнения состояния находим
пе и n*(N9 Т) для всех уровней атомов и ионов. Затем по формулам
(7.3) и (7.4) в узлах [vn] рассчитываем \dn и rjdn и вычисляем
средние интенсивности Jdn и эддингтоновские множители fdn, исходя из
формального решения уравнения переноса (6.30) с заданной
функцией источников Sdn.
Это начальное решение дает достаточно информации, чтобы
можно было рассчитать градиент светового давления, входящий в
уравнения (7.9) и (7.10), которые поэтому становится возможным
проинтегрировать, что дает улучшенную оценку зависимости
полной концентрации Nd от глубины и новые значения ЛТР-
населенностей п * Далее, имея переменные эддингтоновские
множители, можно решить уравнения (6.42) — (6.44), представляющие
собой уравнение переноса в дискретной форме. С учетом (7.27) их
можно переписать так:
(/гЛп ~ /М'*т3,2, п = Vi„. (7.37а)
fd - 1. n^d - 1. п _ fdn f А _|_ А W +
-I- 1а.
\Дт</- 1/2,, ATd+ 1/2. л/ ^
+ L ^ + '■ " = (\ - ?*^e\jdn - Ъш, d = 2, ... , D - 1,
d + 1/2, n^Tdn V *dn / Xdn
(7.376)
и (при d = D)
^JDn^Dn ~ JD - 1, лЛэ - 1, rJ' ^Td - 1/2, n
= «Xj„l W,/dT)DH /I w„1xs! (dB/dT)DJ, (7.37b)
где
ATd ± i/2, л = j ^ * i. n/pd * i + Хл,//)Л] x I wrf ± , - md\, (7.38a)
Д^Л, = \ i^d - 1/2. » + Д^ + ./2, „)• (7-386)

244
Гл. 7. Модели атмосфер
Граничные условия записаны с точностью до членов первого
порядка лишь для простоты. Легко учесть и члены второго порядка.
Если бы мы решили уравнения (7.37), то обнаружили бы, что
условие лучистого равновесия, выражаемое формулой (7.13), не
удовлетворяется. Поэтому нужно таким образом изменить
температуру Т(т), чтобы условие лучистого равновесия стало
выполняться точнее, и осуществить затем итерации. Имеются две
трудности: а) задача является нелинейной и б) взаимосвязь глобальна.
Это означает, что любое изменение 8Td вызывает (в силу условия
гидростатического равновесия) изменение 8Nd, а следовательно, и
8xd, 8rjd и тем самым 8Jd,n при всех d' и п, т. е. повсюду в
атмосфере. Чтобы преодолеть эти трудности, линеаризуем уравнения,
заменив каждую из переменных х на х0 + 8х и удержав лишь члены
первого порядка по всем 8. Сила этого метода состоит в том, что
а) его можно применять при весьма различных дополнительных
условиях, наложенных на решение, и б) он приводит к системам,
которые учитывают влияние, оказываемое изменением какой-либо
переменной в некоторой заданной точке атмосферы на все другие
переменные во всех других точках. В частности, линеаризованные
уравнения переноса полностью описывают, каким образом
распространяется влияние изменения свойств вещества или поля излучения
в произвольной точке и как оно сказывается на решении в любой
другой точке. Линеаризованные уравнения переноса, записанные
для различных значений частоты, можно использовать для
последовательного исключения величин 8J из уравнений, выражающих
дополнительные условия (лучистого и гидростатического
равновесия), что приводит в итоге к системе уравнений для возмущений
«основных» переменных 8N и 5Г. Таким образом, линеаризуя
уравнение переноса (в предположении, что эддингтоновские множители
не изменяются), вдали от границ для каждой из частот vn имеем
4-
Д'
Td - 1/2, nATdn lATdn \Ard - 1/2, n ATd + 1/2, J
о - n-t)\
Mdn
+ fd + 1, n^d + 1, n
Ard + 1/2, ATdn
+ °dn^d - 1, n + bdn^dn + Cdn^d + 1, n ~ ^dn + "e, d°eJd) X
x ^ + 4*L + °_eldn 6„e d =
Х-dn X-dn Xdn
= $dn + (Jdn - "e.d^dn + VdHVxd„, (7-39)

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
245
(fdnJdn -fd-l. nJd - 1, nV(AT<< - 1/2, «ДW-
(fdnJdn ~ fd + 1, Jd + 1, я)/(Дг<* + 1/2, лДт<л)'
«dn + %*„>
[«*i + 2 ^"(A^ " i/2- r,/ATdn)V^d - 1, n + w^)>
[%/„ + 2 0*„(Лт</ + i/2, JbttobViPan + wrf + i, n)>
fld„ + CA>'
Хл/"*-
(7.40)
(7.41)
(7.42)
(7.43)
(7.44)
(7.45)
(7.46)
Отметим, что формулы (7.39) — (7.46) применимы как при ЛТР,
так и тогда, когда наличие ЛТР заранее не предполагается.
Упражнение 7.9. а) Вывести уравнение (7.39). б) Вывести
линеаризованную форму граничных условий на поверхности и в глубине
[формулы (7.37а) и (7.37в)]. См. также [437].
Если принять ЛТР, то в уравнении (7.39) вариации всех
величин, описывающих состояние вещества, выражаются через 6N и ЬТ.
Так, из формул (7.6) и (7.3) имеем
8pd = m(8Nd- 8ned), (7.47)
«Xj, = (dx*n/dT)d6Td + (ЭхУЗлД/Ч,* + ZOx*n/dn;)d6n*d. (7.48)
Аналогичный вид имеет и выражение для 8rjdn. В формуле (7.48)
оператор д/дТ действует лишь на Г, которое входит явно в
exp(-hi>/kT)f otkk(v, Т) и т.п.; то же относится и к д/дпе. Заметим
далее, что из формулы (5.35) получаются выражения вида
К* = (9п;/дТ)^Та + (dn*/dN)T\d6Nd (7.49)
и аналогично для 6пе d, так что линеаризованные представления pd,
Xdn и r]dn можно свести к выражениям типа
*Х1„ = (Эх;/ЭПл,|Л + (dx*n/dN)T\d8Nd. 7.50)
Конечный результат состоит в том, что (7.39) приводится к
формуле, содержащей возмущения в трех соседних точках (d - 1, df
где
<*w„ =
ft
dn
adn =
Cdn =
"dn =

246
Гл. 7. Модели атмосфер
d + 1), которая имеет следующий вид:
d =d - \ d = d - \ d1 = d - \
Аналогично линеаризованная форма условия лучистого равновесия
(уравнение (7.13)) имеет вид
I *nb(dn - "е, d°e)bJdn + £ ^n(JdndXdn ~ &U " °eJdn6netd) =
п п
а условие гидростатического равновесия (уравнение (7.9)) дает
(4х/с) J] "„(/«А -/,_,, „б/, _,,„) +
+ k{Tj>Nd + NJ>Td - Td_ xbNd_x - Nd_ lbTd_ ,) =
= *("»„ - wrf _ ,) - ^Л + Nd _ ,kTd _ , -
- (47Г/С) £ »n(fdnJdn -/,_,, „/„ _ ,, „). (7.53)
Л
В (7.52) д\ и 577 заменяются выражениями вида (7.50). Уравнение
(7.52) содержит сведения о физических условиях лишь в одной точке
(по глубине), а (7.53) — в двух таких точках.
Упражнение 7J0. а) Проверить формулы (7.52) и (7.53). б)
Линеаризовать граничное условие к уравнению гидростатического
равновесия, задаваемое на наружной поверхности.
Полная система уравнений, записанная для всех глубин и всех
частот, может быть приведена к такой форме, что для ее решения
становится возможным использовать метод Райбики. Положим
5J„ = (6Jlnf 8J2n> ... , 8JDn)T, /i=lf ... , TV, (7.54)
6T = (6ГР 6Г2, ... , STD)T9 (7.55)
6N = (8Nl9 6N2, ... , 8ND)T. (7.56)

7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР
247
Тогда уравнения (7.39), (7.52) и (7.53) дают
О
О U,
О
W,
W,
ч0
Тч
W.v
и
л
А
С
(7.57)
Каждый «элемент» в уравнении (7.57) — это квадратная матрица
размерности D. Первые N «строк» — это уравнения переноса,
предпоследняя «строка» — условие лучистого равновесия,
последняя — гидростатическое равновесие. Матрицы Т, U и V трехдиаго-
нальны, W, А и В диагональны, X, С и D двухдиагональны.
Векторы К, L и М дают ошибки в уравнениях переноса и в уравнениях,
выражающих лучистое и гидростатическое равновесия,
обусловленные тем, что для интенсивности излучения, температуры и
плотности используются их текущие аппроксимации. Уравнение (7.57)
решается путем подстановки в две последние строки величин 5Jn,
найденных (для одной частоты) из л-й строки. Таким образом,
находим
(7.58)
(7.59)
«Jn + (Tn-'Un)6N + (T-'VnWT = T„-'Kn
и, исключая 6J„, окончательно получаем систему вида
где
р = a- £w„Tn-4; q = b- Ewj-'v..
п п
R = С - £ХпТп-'ип; S = D - £XnTn->V,„
п п
F = L - EWJ^K,,; G = М - £XJ„-'K„.
п п
Из полученной в результате системы (7.59) находятся 6N и 6Т.
Имея 5N и 6Т, можно с их помощью получить новые плотности
и температуры, затем для каждой точки md решить уравнения и

248
Гл. 7. Модели атмосфер
получить новые значения для всех п * d и пе d [пользуясь
уравнениями (5.27) — (5.31) и применяя итерации до достижения
сходимости], а тем самым и новые значения \dn и r\*dn, которые в
свою очередь используются для получения формального решения
уравнения переноса, дающего новые значения Jdn и fdn (d = 1, ...
... ,D\ п = 1, ... , N). По этим значениям опять строится уравнение
(7.57), и вся процедура затем повторяется. По мере улучшения
решения Кл, L и М одновременно стремятся к нулю, а потому и 6N и
6Т-0.
Машинное время Т в расчете на одну итерацию возрастает с
ростом числа точек по частоте N и по глубине D так: Т =
= c2ND2 + с'(2D)3. Рост с N происходит линейно, так что можно
использовать много точек по частоте (например, для учета
покровного эффекта). На самом деле опыт показал [35], [275], что в
большинстве случаев решение можно сделать более экономным, если
допустить, что газовое давление pg при линеаризации остается
постоянным (как это имеет место, если в (7.9) члены, описывающие
давление излучения, пренебрежимо малы). Все разложения
переписываются тогда в форме 5х = (дх/dT)PgST + (dx/dpg)fbpg> где
(dx/3T)Pg = (dx/3T)N + (dx/dN)T(dN/dT)Pg ,
и непосредственно принимается, что 8pg = 0. Это позволяет
исключить последнюю строку системы (7.57) и решать ее только
относительно 8Т. Машинное время становится тогда равным Т =
= cND2 + c'D2. Только что описанный метод пока широко не
использовался, но его преимущества очевидны. В будущих
исследованиях по моделям атмосфер с ЛТР его, вероятно, будут
предпочитать другим методам'.
7.3. Конвекция и модели атмосфер звезд,
поздних спектральных типов
Перенос энергии в звездной атмосфере может производиться
либо излучением, либо конвекцией. На самом деле осуществляется
тот из этих процессов, который является более эффективным.
Общая картина такова: лучистое равновесие имеется у звезд
спектральных типов А и более ранних, конвекция же становится
существенной у звезд средних подтипов F, а у более поздних она
доминирует. Конвективные течения в звездных атмосферах являются
турбулентными (см., например, [90]) и характеризуются присутствием
сложной иерархии «вихрей» или «пузырей», движущихся и взаимо-

7.3. Конвекция и звезды поздних типов
249
действующих чрезвычайно сложным образом. Здесь возникает
множество очень сложных физических и математических задач, и
полной теории конвекции пока не существует. Поэтому мы
рассмотрим лишь феноменологическую теорию пути перемешивания,
которой описывается ряд основных физических сторон явления и
которая служит основой, позволяющей по крайней мере
проиллюстрировать эффекты, обусловленные конвекцией.
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ШВАРЦШИЛЬДА
Предположим, что имеется атмосфера, находящаяся в лучистом
равновесии. Выясним, испытывает ли элемент вещества,
смещенный из своего первоначального положения, действие сил,
стремящихся сдвинуть его еще дальше в направлении первоначального
смещения. Если да, то атмосфера неустойчива по отношению к
возникновению макроскопических движений и будет происходить
конвекция, если же нет, то движение будет затухать и прекратится,
так что будет иметь место лучистое равновесие. Основной
критерий устойчивости относительно появления конвекции был
установлен К. Шварцшильдом [416], стр, 25.
Рассмотрим небольшой элемент газа, положение которого
подверглось возмущению, сместившему его в атмосфере вверх на
расстояние Аг. Допустим, что а) движение происходит настолько
медленно, что по давлению элемент остается в равновесии с
окружающим его газом, и б) элемент не обменивается энергией с
окружающей средой (т.е. процесс является адиабатическим). Когда элемент
поднимается, давление падает, и поэтому газ расширяется. Его
плотность уменьшается на (Ар)Е = (dp/dr)AAr, где индекс Е
означает «элемент», а индекс А — «адиабатический». Если плотность
сместившегося в новое положение элемента меньше плотности
окружающего его газа, то на него будет действовать сила
плавучести и он будет продолжать подниматься. Таким образом, если
(dp/df)R — градиент плотности в окружающем газе, находящемся в
лучистом равновесии, то неустойчивость наступает, если
(Ар)Е = (dp/dr)AAr < (Ap)R = (dp/dr)RAr (7.60)
(следует помнить, что dp/dr < 0). Соотношение (7.60) можно
переписать в более удобной форме. В адиабатически расширяющемся
(или сжимающемся) элементе, который мы сейчас будем считать
состоящим из идеального газа, давление и плотность связаны
соотношением 1пр = у 1пр + С, тогда как в окружающей среде,
находящейся в лучистом равновесии (и также считающейся идеальным

250
Гл. 7. Модели атмосфер
газом) \пр = 1пр 4- In7"+ С". Пользуясь этими соотношениями
для нахождения (dp/dr)A и (dp/dr)R и потребовав, чтобы эти
градиенты давления были равны, из соотношения (7.60) находим, что
критерий неустойчивости Шварцшильда имеет вид
^(-^)„<(-^); -"
ИЛИ
V^ = (d\nT/d\np)R > (7 - 1)/т = (d\nT/d\np)A = ЧА. (7.62)
В звездных атмосферах из-за эффектов ионизации и влияния
давления излучения газ не является идеальным. Это можно учесть, введя
обобщающую у величину Г [160], стр. 57, и положив VA = (Г -
- 1)/Т, где Г, вообще говоря, не будет равно значению у для
идеального одноатомного газа, т.е. у = Cp/Cv = 5/3. Удобные
формулы для вычисления Г с учетом давления излучения и ионизации
даются несколькими авторами (см., например, [638], §56; [643];
[364]). Эти эффекты могут иметь большое значение. Они могут
чрезвычайно сильно уменьшать V^, а потому и то критическое
значение V^, при котором наступает конвекция. Действительно, для
идеального одноатомного газа V^ = (2/3)/(5/3) = 0,4, тогда как в
случае, когда давление создается только излучением, Г = 4/3, так
что V^ = 0,25. В условиях, когда происходит ионизация водорода,
Г может быть равно всего 1,1, так что V^ падает до 0,1! Эти
результаты очевидным образом свидетельствуют о том, что в зонах
ионизации водорода можно ожидать наличия конвекции. Это
заключение становится еще более определенным, если заметить, что
в предельном случае диффузионного режима —dT/dr =
= 3^x^/16^ Г3, что в силу условия гидростатического
равновесия дает V^ = 3ttFxRp/16o-RgpT4. Отсюда видно, что, когда
непрозрачность велика, для переноса в атмосфере потока F требуется,
чтобы лучистый градиент температуры был большим.
Непрозрачность звездного вещества становится велика тогда, когда
населенности верхних уровней водорода делаются заметными. Это
происходит примерно при тех же условиях, когда наступает ионизация,
вызывающая убывание Г. Эти два эффекта действуют
одновременно и приводят к тому, что лучистый градиент температуры в зоне
ионизации водорода оказывается определенно больше
адиабатического, так что наступает конвекция. Важная роль этих механизмов
и существование обширных водородных конвективных зон в
оболочках звезд были впервые осознаны Унзольдом [636].

7.3. Конвекция и звезды поздних типов
251
В звездах самых ранних типов водород практически полностью
ионизован во всей оболочке, и поэтому имеется лучистое
равновесие (существуют небольшие тонкие конвективные зоны,
обусловленные ионизацией Не и Не+ , но в них конвекцией переносится
лишь ничтожная доля полного потока). У А-звезд на небольших
глубинах (т * 0,2) начинает развиваться водородная конвективная
зона. У F-звезд конвективная зона простирается несколько глубже
и становится толще. У звезд спектральных типов от F2 до F5,
начиная с некоторой глубины в конвективной зоне, конвекция
переносит уже практически весь поток. У звезд все более поздних типов
конвективная зона простирается все глубже, а конвекция
становится более эффективной% У М-звезд конвективная оболочка
становится настолько протяженной, что определяет структуру звезды в
целом [396].
ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Основная физическая модель, используемая в теории пути
перемешивания, состоит в том, что перенос энергии в неустойчивом
слое осуществляется турбулентными элементами, движущимися
вверх и вниз сквозь окружающую их среду. Элементы, движущиеся
вверх (вниз), обладают избытком (дефицитом) тепловой энергии
относительно окружающего их вещества. Принимается, что,
пройдя некоторое характерное расстояние — длину перемешивания, эти
элементы плавно «рассасываются» в окружающей среде, передавая
ей весь тот избыток энергии, которым они обладают, или
поглощая всю недостающую им энергию. В результате возникает
прямой перенос энергии, и градиент температуры становится меньше
того, который имел бы место, если бы единственным механизмом
переноса энергии было лучеиспускание. Чтобы описать этот
процесс количественно, введем следующие градиенты температуры:
V^ — лучистый градиент, т.е. тот, который существовал бы, если
бы конвекции не происходило; VA — адиабатический градиент;
V£ — градиент температуры в конвективных элементах и V —
«истинный» градиент в среде в том ее конечном состоянии, когда
полный поток переносится совместно и излучением, и конвекцией.
Вообще говоря, мы будем иметь
VR> V > V£^ VA. (7.63)
Рассмотрим теперь элемент вещества, перемещающийся вверх.
Если 6Т— разность температур этого элемента и окружающего
его газа, то избыточная энергия, передаваемая единице объема,

252
Гл. 7. Модели атмосфер
когда элемент смешивается с окружающей средой, равна рСЬТ.
Рассматриваемая разность температур появляется из-за различия
температурных градиентов в элементе и в окружающей его среде.
Поэтому поток энергии, переносимый элементами,
перемещающимися на расстояние Аг со средней скоростью v, равен
^конв = РСР€ЬТ = pCpv[(-dT/dr) - (-dT/dr)E]Ar. (7.64)
На заданном уровне в атмосфере будут находиться элементы,
распределение которых по длинам пройденного ими пути будет
случайным. Усредняя по всем элементам, положим Аг = 1/2, где / —
длина перемешивания. Далее, пользуясь уравнением гидростатики
dp/dr = —pg и вводя шкалу высот по давлению Н =
= (-d\np/dr)~x = p/gp, можем переписать (7.64) в виде
^конв = { РСР ^<v - v£>//"- (7-65)
Чтобы оценить v> вычислим работу, совершаемую элементом под
действием сил плавучести, и приравняем ее кинетической энергии
элемента. Если 5р есть разность плотностей элемента и
окружающей среды, то сила»плавучести равна fb = —gdp. Уравнение
состояния дает lnp = In/? - In Г + ln/x, где р. считается переменным,
чтобы учесть эффекты ионизации и влияние давления излучения.
Поэтому можно написать rf(lnp) = d(\np) - Qd(lnT), где Q = (1 -
- д ln/i/Э \пТ)р. Потребовав, чтобы по давлению имело место
равновесие (5р = 0), будем иметь Ьр = —Qp5T/T, так что
Л = (gQp/T)6T = (gQp/T) X [(-dT/dr) - (-dT/dr)E]Ar. (7.66)
Таким образом, сила плавучести растет со смещением линейно.
Интегрируя по полному перемещению А и полагая А = //2, чтобы
учесть, что ищется среднее по всем элементам, пересекающим
рассматриваемый уровень, для средней работы, совершаемой
элементами, получаем
Л
w = \fbArd(Ar) = (gQPH/S)(V - VE)(l/H)\ (7.67)
о
Допустим теперь, что около половины этой работы тратится на
«трение», связанное с необходимостью расталкивать в стороны
другие турбулентные элементы, а вторая половина идет на
придание элементу кинетической энергии (т. е.— pv 2 ~ — vv). Тогда находим
v = (gQH/S)12 (V - V£)1/2 //#, (7.68)

7.3. Конвекция и звезды позОних типов
253
и поэтому, согласно формуле (7.65),
^конв = (gQHW2 {рСрТ)(Ч - V£)3 2 {i/H)\ (7.69)
Одна из неопределенностей такого подхода состоит в том, чго
неясно, как выбирать длину перемешивания /. Обычно принимают,
что / попросту равно //, умноженному на некоторую постоянную,
скажем 1 или 2.
Чтобы сделать теорию замкнутой, нужно иметь еше одно
соотношение, которое позволило бы выразить V и V£ через V^ и Ул.
Следуя Унзольду, это делают путем рассмотрения эффективности
конвективного переноса энергии. Когда элемент поднимается, его
температура превышает температуру окружающей среды (чем и
объясняется, что происходит перенос энергии). Этот избыток
температуры ведет к тому, что элемент будет терять некоторую
энергию, передавая ее окружающей среде за счет излучения. Эта потеря
энергии будет уменьшать избыточную энергию, запасенную в
элементе, а вместе с тем и энергию, высвобождающуюся при
«рассасывании» элемента в конце пути перемешивания. Введем поэтому
параметр эффективности, положив
Запас избыточной энергии в момент рассасывания элемента ,_ _лч
У = . . (7.70)
Потеря энергии за счет излучения за время жизни элемента
Запас избыточной энергии в элементе пропорционален V - V£ [см.
формулу (7.65)]. Если бы при движении элемента соблюдалось
условие адиабатичности, то его энергосодержание было бы
пропорционально V — V£. Следовательно, потери за счет излучения
пропорциональны (V - V^) - (V - V£) = V£ - V4, так что
у = (V - V£)/(V£- V4). (7.71)
С другой стороны, величины, стоящие в числителе и знаменателе
выражения (7.70), можно выразить через локальные значения
переменных. Так, для элемента объема V с избытком температуры дТ
запас избыточной энергии равен pCpV8T. Потери на излучение
зависят от того, является ли элемент оптически тонким или
оптически толстым. В предельном случае оптически тонкого элемента
скорость потери энергии будет равна 4ж\к£Л> причем потери
энергии происходят из объема V в течение времени l/v. Приняв, что на
протяжении этого времени среднее значение избытка температуры
составляет 6 Г/2, будем иметь
Тхонк = (pCpV6T)/[4ir(4oRT*/n) ><
X (6T/2)(xRV)(l/v)] = pCv/8aKThe, (7.72)

254
Гл. 7. Модели атмосфер
где через те обозначена оптическая толщина элемента с
характерным размером /, т.е. те = \RL Эта формула применима при те < 1.
В противоположном крайнем случае, когда те > 1, для определения
лучистого потока, теряемого элементом с характерным размером /
и флуктуацией температуры б Г, можно воспользоваться
диффузионным приближением, положив —dT/dr « ЬТ/1. Приняв, что
площадь поверхности элемента равна А, и взяв то же самое время его
жизни, что и раньше, будем теперь иметь
7ТОлст = (pCpV6T)/[(16aRT*/3xR) X
х (6T/f)A(l/v)] = (pCpv/\6oRT')lxR{V/A). (7.73)
Выбор V/A неоднозначен и служит еще одним источником
неопределенности в этой теории. Если допустить, что элементы
сферические, то V/A = 1/3 и
yroncr = \re(pCpv)/SoRT\ (7.74)
Интерполяционное выражение, описывающее переход от одного из
этих крайних случаев к другому, можно взять в виде
у = \pCpv/SoRT*] (\ + 1 А/те. (7.75)
Комбинируя формулы (7.71) и (7.75) и подставляя вместо v его
выражение (7.68), окончательно получаем
V*~ ^ = "V^T* Ъ_ ш
(V - ЧЕУ" PCp(gQHy/2(I/H) 1 + 1 т2
2 е
Последнее условие, которое нам следует наложить, состоит в том,
что излучение и конвекция, взятые вместе, должны переносить
требуемый полный поток, т.е.
*F = ^луч + ^конв = °RTm- (7-77>
Описанная выше теория пути перемешивания является
простейшей (и наиболее широко используемой в астрофизике) теорией
конвекции. Предложены многочисленные ее уточнения, имеющие
целью ввести в теорию нелокальную информацию. Попытки
описать здесь эти уточненные теории увели бы нас слишком далеко в
сторону. Интересующемуся этим читателю следует обратиться к
литературе (см., например, [594]; [595]; [450], стр. 237; [479] и
цитируемые в них работы).

7.3. Конвекция и звезды поздних типов
255
КОНВЕКТИВНЫЕ МОДЕЛИ АТМОСФЕР
Расчет конвективных моделей атмосфер сложнее расчета
моделей с лучистым равновесием (даже при принятии теории пути
перемешивания), так как здесь имеются два механизма переноса
энергии, которые должны быть в итоге сбалансированы таким
образом, чтобы обеспечить выполнение соотношения (7.77). Можно
поступить следующим образом. Предположим, что принято то или
иное конкретное распределение температуры, например серое в
шкале оптических глубин, основанной на росселандовом среднем.
Тогда, как и раньше, интегрируем шаг за шагом уравнения (7.35) и
(7.36). Для каждой точки можно вычислить V^ = V/?(74, /?, р ) и
V^ = VA(T9 р, pg). Если для какой-то точки окажется, что
выполняется условие неустойчивости, то нужно определить тот истинный
градиент V(V^ ^ V ^ V^), который удовлетворяет условию (7.77).
Если неустойчивость наступает достаточно глубоко, чтобы было
применимо диффузионное приближейие, то Fny4/F = V/V^ и
уравнения (7.77) и (7.69) дают
A(V - V£)^ = V/?- V, (7.78)
где А зависит только от локальных значений переменных. Добавив
(V - V£) + (V£ - VA) к обеим частям (7.78) и воспользовавшись
(7.76) для исключения V£ - V^, получаем кубическое уравнение для
х = (V - V£)1/2, именно
A(V - V£)3/2 + (V - V£) + В(У - V£)1/2 = VR-VA. (7.79)
Его можно решить стандартными методами, найдя корень л:0*
Таким путем мы получаем истинный градиент V = V^ + Вх0 + х% и
после этого переходим к интегрированию, рассматривая теперь Т
как функцию р. Если в некоторой точке конвекция прекращается,
следует вернуться к первоначальной зависимости T(¥R)
(перестроенной таким образом, чтобы она соответствовала текущим
значениям Т и tr) и далее продолжать интегрирование в зоне лучистого
равновесия.
В том случае, когда вещество заранее предполагается серым
(или — для несерого вещества — если конвективная зона находится
достаточно глубоко, чтобы было справедливо диффузионное
приближение, а вблизи поверхности известно истинное несерое
распределение температуры), приведенная выше трактовка является
практически точной. Пользуясь этим подходом для серых атмосфер,
Витензе [653] выполнила расчеты для широкого набора значений
эффективных температур и ускорений силы тяжести. Эта работа

256
Гл. 7 Модели атмосфер
позволила составить ясное представление о той роли, которую
конвекция играет в звездных атмосферах в пределах большей части
диаграммы Герцшпрунга — Рессела. Как правило, можно ожидать,
что самые наружные слои всегда будут находиться в лучистом
равновесии, так как плотность и непрозрачность в них малы, и
поэтому лучистый перенос эффективнее конвективного. В более глубоких
слоях непрозрачность и плотность возрастают, может происходить
ионизация, а потому может начаться конвекция. Конвекция будет
вызывать наибольшие эффекты у звезд с низкими эффективными
температурами (у них водород в наружных слоях практически
нейтрален) и большими ускорениями силы тяжести (что влечет
большую плотность и теплоемкость, а потому и высокую
эффективность переноса тепла конвекцией). Когда конвекция эффективна, ею
переносится практически весь поток и градиент V будет близок к
VA. Так, в недрах звезд конвекция столь эффективна (когда она
имеет место), что можно полагать V = V^ и полностью обойтись
без теории пути перемешивания. Когда же конвекция
неэффективна, истинный градиент V будет близок к V^ и значительная часть
потока может переноситься излучением. В таком положении
неопределенности теории пути перемешивания дают знать себя в
полной мере.
Когда конвективная зона расположена настолько близко к
поверхности, что диффузионное приближение, использованное при
выводе (7.78), неприменимо, то Fny4 надо рассчитывать путем
решения уравнения переноса для несерого случая. При этом следует
пользоваться той или иной итеративной процедурой коррекции
температуры. Во всех таких процедурах существенно учитывать
изменения F и /гконв, вызываемые изменениями температурной
структуры. Методы построения конвективных моделей,
основанные на обобщении процедуры Эвретта — Крука, были
использованы для изучения F-звезд главной последовательности [422],
сверхгигантов промежуточных типов [500] и М-звезд (от карликов до
сверхгигантов) [48]. Детальное описание машинной программы, в
которой учитывается конвекция, дается в [379]. Имеется обширная
сетка несерых моделей (4000К ^ Гэфф ^ 50000К, 2 ^ lgg ^ 5),
рассчитанных с учетом влияния конвекции (когда это было
необходимо) и покровного эффекта [247], стр. 377. Менее обширные сетки
конвективных моделей, построенных с учетом покровного эффекта,
можно найти в [512], [513], [514]. Обширные расчеты для гигантов
и сверхгигантов типа М, выполненные с учетом молекулярного
покровного эффекта, даются в [341], [342]. Солнечная конвективная

7.4. Modaiи с ЛТР Оля звезО ранних типов
257
зона изучалась как в приближении пути перемешивания [652] (см.
также [479]), так и в рамках более детальных гидродинамических
теорий [99], [100]. Недавно развиты методы расчета конвективных
моделей, использующие метод линеаризации, аналогичный
описанному в §7.2 [274], [275], [479]. Главное изменение в формулировке
метода состоит в использовании в качестве уравнения
энергетического баланса соотношения (7.77). Вводится дискретное
представление потока (см. стр. 207). Пользуясь сеткой {/*,, *>,) для угловой и
частотной переменных, можем написать
4тг £ wp}(ud м,, - udl)/Ard + , ,2>,. + ttFK0HB |„ + 1/2 = аЛГэ4фф. (7.80)
Конвективный uotqk можно рассматривать как функцию FK0HB =
= FK0IIB(/7, pg9 Г, V) [если эти переменные известны, то V£
получается по формуле (7.76), a FK0HB — из (7.69)]. Радиативный член
можно линеаризовать так же, как это делалось ранее. При
линеаризации конвективного члена полное давление фиксировано и
производные, входящие в выражение
^конв = С + &FM/dPiYipg + (dFKOm/dT)8T + OFKOHB/3V)6V,
(7.81)
рассчитываются численно. Чтобы привести его к выражению,
содержащему только 6Т9 вводится несколько приближений [274].
Разработаны практические процедуры для получения численных
решений [274], [275]. Улучшения сходимости можно было бы добиться и
введением наряду с членами, содержащими 5Г, также и членов с
67V, но, как уже описывалось выше, это оказывается дороже.
Теория конвекции, применяемая в настоящее время при анализе
звездных атмосфер, является лишь эвристической. Ведутся
активные работы по ее улучшению и созданию физической теории
конвекции. Когда появятся более точные трактовки конвекции, мы
станем понимать строение атмосфер звезд поздних типов
значительно лучше.
7.4. Результаты расчетов моделей атмосфер
с ЛТР для звезд ранних спектральных типов
Самая большая группа из имеющихся надежных моделей
атмосфер относится к солнечному спектральному типу и более
ранним. Поэтому мы ограничим свое внимание главным образом рас-

258
Гл. 7. Модели атмосфер
смотрением таких звезд. Для звезд более поздних типов еще
предстоит преодолеть множество трудных проблем, связанных с
молекулярным покровным эффектом и с гидродинамической структурой
атмосфер. К настоящему времени накопилась обширная литература
по плоскопараллельным моделям звездных атмосфер с ЛТР,
целиком описать которую здесь невозможно. Мы дадим лишь
несколько типичных ссылок. Рекомендуем читателю изучить эти статьи и
указанную в них литературу. Исчерпывающий список работ по
1965 г. можно найти в [506]. Многие из моделей, указанных в этом
списке, построены с использованием серого распределения
температуры в шкале средних оптических глубин. Обширные сетки несерых
моделей атмосфер с лучистым равновесием, построенных без учета
покровного эффекта, можно найти в [421], [608]. Для А- и В-звезд
главной последовательности и гигантов [423], [357], а также для
белых карликов [620], [412] рассчитаны модели, в которых
покровный эффект, обусловленный водородными линиями, учитывался на
основе «прямого подхода». Модели О- и В-звезд, учитывающие
покровный эффект, обусловленный линиями водорода и сильными
линиями наиболее распространенных легких ионов, рассчитанные
прямым методом, даются в [449]; [298J; [105]; [471]. Значительного
улучшения описания реальных атмосфер удалось достичь путем
учета (с помощью различных функций распределения
непрозрачности) покровного эффекта, вызываемого огромным числом
линий — от тысячи до миллионов. Предварительная модель
атмосферы Проциона (F5 IV) учитывала около 30 000 линий [612]. Теперь
опубликованы обширные сетки моделей, в которых
полуэмпирически учитываются сотни тысяч линий [247], [512], [513], [514].
Высшим достижением в этом направлении явилась недавняя
публикация моделей с 8000 К ^ Т^ ^ 50 000 К, 2 < \gg < 5, а также
модели солнечной атмосферы, в которых учтен 1 760 000 линий. Ниже
описываются некоторые из типичных результатов, полученных во
всех этих расчетах.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ
Конечной целью анализа звездных атмосфер является
построение математических моделей, которые описывают физические
свойства наружных слоев звезд. Рассчитав на основе описанных в
этой главе теоретических принципов детальные модели атмосфер,
затем сравнивают теоретические и наблюдаемые параметры
распределения энергии в спектре и стремятся поставить в соответствие

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних типов
2*9
реальной звезде некоторую конкретную модель. Таким путем
звезде можно приписать значения параметров, которые описывают
модель (^фф, lgg, химический состав). Сосредоточим сейчас внимание
на сравнении наблюдаемых и рассчитываемых теоретически
значений тех параметров, которые описывают особенности континуума,
отложив обсуждение линий до второй половины книги. У звезд
ранних типов спектроскопическая информация о величине ускорения
силы тяжести получается главным образом из исследования
профилей водородных линий (для которых механизмы уширения
чувствительны к плотности), а химический состав определяется путем
анализа интенсивностей линий. Поэтому сконцентрируем сейчас
внимание главным образом на определении эффективной температуры
и связанных с ней параметров, например болометрической
поправки. При сопоставлении теоретического и наблюдаемого
континуумов можно использовать разные подходы.
а) Можно сопоставлять спектр целиком. Тем самым
подразумевается, что имеется полное распределение энергии (включающее,
возможно, и спектральные области, недоступные наблюдениям с
поверхности Земли). В большинстве случаев такое сравнение
основывается на использовании относительного распределения энергии
в спектре, т.е. Fv/Fv, где р0 — некоторая заранее выбранная
частота. В небольшом числе случаев такое сравнение удается провести в
абсолютных энергетических единицах, используя и для звезды, и
для модели потоки в эрг / (см2 • с • Гс). Это обеспечивает
чрезвычайно важную проверку справедливости всей теории.
б) Можно пользоваться и более ограниченной информацией о
нескольких наиболее характерных деталях спектра. Например, у
звезд спектральных типов от А до О удобно использовать наклон
пашеновского континуума (3650 А ^ X < 8205 А). Этот участок
спектра называется так потому, что в этой области длин волн
главным источником непрозрачности у звезд ранних типов является
фотоионизация водорода с уровня п = 3. Две другие важные
детали — это бальмеровский скачок
DB = 2,51g[F,(X3650+)/F,(X3650-)]
и пашеновский скачок: Dp = 2y5\g[Fv(\S205+)/Fit(\8205')). Эти
параметры дают меру влияния дополнительных источников
поглощения у границ полос фотоионизации около указанных длин волн.
В частности, по коротковолновую сторону от бальмеровского
скачка из-за фотоионизации с уровня п = 2 водорода
непрозрачность велика, и поэтому излучение приходит к нам только из верх-

260
Гл. 7. Модели атмосфер
них относительно холодных слоев. В то же время по
длинноволновую сторону от скачка вещество гораздо более прозрачно, и мы
видим более глубокие и более горячие слои, которыми создается
большой поток. Результатом этого является довольно резкое
падение потока при прохождении через граничные частоты (на самом
деле спад не является резким из-за влияния поглощения в
перекрывающихся линиях соответствующих серий, которые сходятся к
границам серий). Наклон континуума можно вполне однозначно и
получить из наблюдений, и рассчитать. Однако нужно быть готовым
к исправлению наблюденных значений за межзвездное поглощение.
Нужно также иметь надежный стандарт абсолютного
распределения энергии (см. ниже). Трудности, связанные с калибровкой и
учетом покраснения, сказываются на «скачках» не столь сильно, так
как величины скачков определяются по очень узким участкам
спектра. Однако, хотя отношение потоков получается по моделям,
рассчитанным без учета покровного эффекта, без всяких затруднений,
из-за слияния линий вблизи границ серий эту абстрактную величину
реально измерить невозможно. Поэтому следует использовать
модели, учитывающие покровный эффект, и пользоваться для
получения наблюдаемых и вычисляемых распределений энергии
эффективно одинаковым способом усреднения по частотам — только тогда
сравнение их будет иметь смысл.
в) Наконец, можно пользоваться показателями цвета,
измеряемыми с помощью фильтров, вырезающих определенные участки
спектра. Цвета определяются легко и точно с помощью
стандартной наблюдательной методики. Если использовать
широкополосные фильтры, то такие измерения можно распространить на очень
слабые звезды. С другой стороньч, калибровать показатели цвета
по теоретическим моделям легче, когда полоса узкая, так как тогда
можно точнее учесть влияние покровного эффекта на модель. На
практике следует искать некоторого компромисса. Имеется
большое число цветовых фотометрических систем с разными
свойствами, во многих из которых изменяются параметры, специальным
образом подобранные для характеристики свойств конкретных
групп звезд (см., например, системы, описываемые в [516]).
Широко используемой системой, хорошо откалиброванной по моделям,
является система Стремгрена uvby.
Все сравнения моделей с наблюдениями основаны в конечном
счете на фундаментальной калибровке распределения энергии у
стандартной реальной звезды (или у нескольких звезд). Нельзя
переоценить ту важную роль, которую играет это основное сопостав-

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних типов
261
ление теории и наблюдений (см. также [516], стр. 241). Поскольку
определить apriori абсолютную эффективность системы
телескоп — спектрометр — приемник практически невозмож«о,
производят сравнение звезды со стандартным чернотельным
источником с известной излучательной способностью, пользуясь той же
наблюдательной аппаратурой. Описание подробностей этой
процедуры увело бы нас слишком далеко в сторону. Рекомендуем
читателю изучить литературу по этому вопросу (например, [261], гл. 2;
[484]; [485]; [486]; [285]; [487]; [286]; [287]; [288] и указанные в них
источники). У В-звезд главной последовательности и наклон паше-
новского континуума, и бальмеровский скачок сильно зависят от
ГЭфф, но нечувствительны к ускорению силы тяжести (см. рис. 7.3).
Поэтому оба этих параметра можно использовать для определения
Т
Примерно до 1968 г. между значениями Гэфф, получаемыми по
этим двум характеристикам, существовало серьезное расхождение
следующего характера. Если согласовать между собой
теоретический и наблюдаемый пашеновский континуумы, то наблюдаемый
бальмеровский скачок оказывается меньше вычисленного (если же
добиться согласия бальмеровских скачков, то слишком малым
оказывался наклон наблюдаемого пашеновского континуума).
Расхождение в Гэфф доходило до 3000 К, причем температуры по бальме-
ровскому скачку получились выше. Эта проблема была решена,
когда Хейес на Ликской обсерватории произвел новую калибровку
[285], [286] и показал, что имевшаяся ранее калибровка давала
слишком пологий пашеновский континуум. Новая калибровка дала
возможность очень хорошо согласовать наблюдаемый спектр с
теоретическим (см. рис. 7.4), и эффективные температуры,
находимые по этим двум параметрам спектра, оказались теперь
согласующимися между собой (см., например, рис. 3 в [682]). С помощью
этой процедуры можно установить шкалу эффективных температур
для В-звезд [682], [555]. Другая новая калибровка, произведенная на
Паломаре Оуком и Шилдом [487], за бальмеровским скачком
расходится с калибровкой Хейеса (и с моделями). Недавняя работа Хейе-
са и Латама [287], [288] определенно показала, однако, что
источником этого расхождения была ошибка в поправке за влияние
атмосферного поглощения в паломарских данных, и когда эта ошибка
была исправлена, ликские и паломарские результаты оказались
согласующимися между собой. Сравнение распределения энергии у
Веги с моделью, построенной с учетом покровного эффекта,
показано на рис. 7.5.

262
Гл. 7. Модели атмосфер
0,1 0,2 0,3
0,4 0,5 0,6 0,7
еэфф
Рис. 7.3. Бальмеровские скачки, рассчитанные по моделям атмосфер с ЛТР, в
функции эффективной температуры и ускорения силы тяжести. Ордината: бальмеров-
ский скачок в звездных величинах. Абсцисса: 0 .. = 5040/TJ^. Числа у
кривых — значения lg g.
У звезд спектральных типов позднее А при сопоставлении с
наблюдениями относительных распределений энергии в спектральных
областях, доступных наблюдениям с поверхности Земли, важно
учитывать покровный эффект. Например, из рис. 7.6 видно, что
модель атмосферы Проциона, рассчитанная с учетом покровного
эффекта [612], о которой упоминалось в начале этого параграфа,
очень хорошо согласуется с наблюдаемым распределением энергии,
тогда как модель, не учитывающая покровного эффекта, дает
завышенный поток. У звезд типов В и О влияние покровного эффекта в
видимой области невелико, однако в ультрафиолете оно становится

о
5*
"1
7
—
-
1
-1
[ о
•
лар*«
-
• ^^^^
1
^v
-L 1
• \
1
3,0 2,5 2,0 1,5
1/Л», мкм-1
1,0
Рис. 7.4. Сравнение распределения энергии у a Leo (B7V) но наблюдениям Хейеса
[285] (точки) с даваемым моделью атмосферы [1508] (сплошная линия), которая
лучше всего воспроизводит пашеновский континуум и имеет Т^. - 13000 К и lg g = 4.
Обратите внимание, что теоретический и наблюдаемый бальмеровские скачки
согласуются между собой. Ордината: относительный поток в звездных величинах.
Абсцисса: 1 А, где X — в мкм. По [285].
Рис. 7.5. Сравнение распределения энергии у основного стандарта — Беги (по
измерениям Хейеса и Латама [287], точки) с даваемым моделью, построенной с учетом
покровного эффекта, для которой 7^ = 9400 К и lg g = 4. Ордината:
относительный поток в звездных величинах. Абсцисса: 1/Х, где X — в мкм.

264
Гл. 7. Модели атмосфер
-0,20
0
ОДО
0,40
> 0,60
jj 0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
3200 4000 4800 5600 MOO 7200
Ь,А
Рис. 7.6. Распределения энергии согласно моделям с Г .. = 6500 К и lg g = 4,
построенным с учетом покровного эффекта (сплошная линия) и без него (штриховая
линия), в сопоставлении с распределением, наблюдаемым у Проииона (кружки).
Ордината: относительный поток в звездных величинах. Абсцисса: длина волны X в А.
По [612], с разрешения.
большим. Сравнения наблюдаемых распределений с моделями, в
которых покровный эффект в ультрафиолете игнорируется, будут
давать систематические ошибки (см. ниже).
Если пользоваться абсолютными потоками, то возможен
совсем другой подход к получению эффективных температур. Имея
абсолютную калибровку, можно определить истинное значение
энергии, излучаемой звездой на той или иной конкретной длине
волны. В частности, для Веги (aLyr), являющейся основным
звездным стандартом, среднее из значений, полученных на
обсерваториях Маунт-Паломар и Маунт-Гопкинс [287], дает поток у Земли,
равный fv = 3,50 • 10~20эрг/(см2 • с • Гц) при Х5556А. Для
любой другой звезды разность звездных величин Am этой звезды и
Веги (на этой длине волны) дает переводной множитель io-°-4Am,
на который следует умножить приведенный выще поток fv. Как
говорилось в § 1.4, поток, измеренный на Земле, можно перевести в
поток на поверхности звезды, если известен угловой диаметр
звезды. Угловые диаметры измерены для 32 звезд спектральных типов
от О5 до F8. Ими можно воспользоваться для построения шкалы
эффективных температур. Можно, например, вывести из
наблюдений абсолютный поток от звезды на некоторой определенной дли-

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних шипов
265
не волны и для получения 7~эфф подобрать модель, дающую тот же
поток. Сравнив полную излучаемую энергию с энергией,
наблюдаемой в видимом участке спектра, оказывается возможным получить
болометрическую поправку.
Однако такой метод обладает большими систематическими
ошибками, если неточно учитывается покровный эффект [190]. При
этом имеется тенденция приписывать звездам слишком высокие
значения Гэфф и слишком большие болометрические поправки.
Характер покровного эффекта в ультрафиолете иллюстрируется
рис. 7.7. В модели, построенной с учетом покровного эффекта
[449], наличие сильных линий Н, Не, С, N, О, Si, CI, Fe и т.д. в
области 912 А ^ X ^ 1600 А учитывается «прямым» методом.
Влияние покровного эффекта оказывается колоссальным.
Интегральный поток для этой модели, учитывающей покровный эффект,
соответствует Гэфф = 21 900 К. Однако из ультрафиолета линии
изымают и перераспределяют в область ббльших длин волн такой
поток, что распределение энергии здесь лучше всего соответствует
даваемому моделью, построенной без учета влияния линий, для
которой Гэфф = 24 000 К. Если бы для представления наблюдаемого
распределения энергии (будь то абсолютные значения потока или
наклон пашеновского континуума) мы пользовались моделями,
построенными без учета линий, то получающиеся эффективные
температуры были бы систематически завышены на 2100 К! На самом
деле модели, при построении которых линии учитываются
«прямым» методом, дают в лучшем случае нижнюю оценку величины
покровного эффекта, надежные же оценки эффектов такого рода
дали лишь недавние расчеты [381], в которых с помощью функций
распределения непрозрачностей были учтены миллионы линий.
Имея в виду эти трудности, нужно избегать пользоваться
моделями непосредственно. Вместо этого следует попытаться
использовать известные угловые диаметры звезд, распределения энергии в
видимой области спектра и полученные в последнее время заатмос-
ферные наблюдения в ультрафиолете для эмпирического
построения полного абсолютного распределения энергии [516], стр. 221;
[169]. При таком подходе возникают нетривиальные проблемы,
связанные с калибровкой в ультрафиолете и учетом межзвездного
покраснения, но, уделяя им достаточное внимание, их можно
преодолеть [96]. По интегральному потоку получается истинная
эффективная температура. Ее величина практически не зависит от какой
бы то ни было модели атмосферы. Сравнение эмпирического
абсолютного распределения энергии с распределением, даваемым мо-

■> 1 1 ■ ' ' 1 ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ 1 1 1 1 1 1 1 r 1 1 1 , , , , 1
1/A, mkm"1
Рис. 7.7. Потоки по моделям, построенным с учетом и без учета покровного эффекта [449]. Модель, построенная с учетом
покровного эффекта, дает полный поток, соответствующий 7*.. = 21900 К (0.ф = 0,23), но из-за того, что часть излучения из
ультрафиолета перераспределяется в видимую область, поток в ней значительно выше, чем для модели без покровного эффекта,
рассчитанной при той же температуре. Он соответствует потоку для модели без покровного эффекта с 74. = 24000 К
(0 .. = 0,21). Абсцисса: 1/Х, где X — в мкм. Ордината: Fp • 103 эрг/(см2 • с • Гц). По [449], с разрешения.

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних типов 267
делью, имеющей то же самое (т.е. эмпирическое) значение Г^ф,
является поэтому крайне важным, так как позволяет проверить
предсказываемые моделью потоки, как абсолютные, так и
относительные. На рис. 7.8 для звезды «Leo типа В7 V [516], стр. 221,
показано такое сопоставление с моделью [381], построенный с учетом
покровного эффекта и соответствующей эффективной температуре,
полученной по интегральному потоку. Согласие превосходное, и
это служит сильным аргументом в пользу правильности новых
моделей.
В качестве примера крайнего случая влияния покровного
эффекта интересно рассмотреть распределения энергии в ультрафиолете у
Ар-звезд, полученные из наблюдений на ОАО-2. Ар-звезды — это
объекты, имеющие аномальное содержание определенных
элементов (например, Si, Mn, Сг, Eu, Sr), которое выше нормального в
102 + 103 раз. Эти звезды обладают сильными магнитными
полями и показывают изменения спектра со временем. Наблюдаемые
изменения магнитного поля хорошо объясняются моделью
наклонного ротатора, в которой магнитная ось наклонена к оси
вращения звезды. Спектральные вариации указывают на то, что
упомянутые выше элементы сконцентрированы в определенных зонах
или пятнах на поверхности звезды (см., например, [522], [125],
8 И ' ' ' ' I ' .' ' ' I ' ' ' ' I ' ' ' ' I ' ' ' ' I ' ' Н
и
q ЬО i i i i—i i i i—i—1 1 i i—i—; 1 i i ,—.—i i—i—i—i—,—1—1
1000 2000 3000 4000 5000 6000
Л, Л
Рис. 7.8. Сравнение эмпирического абсолютного распределения энергии у
a Leo (B7V) [516], стр. 221, с распределением, рассчитанным по модели,
построенной с учетом покровного эффекта [381] и имеющей эффективную температуру,
которая дается полным наблюдаемым потоком (12200 К). Согласие превосходное, и это
служит сильным аргументом в пользу правильности метода моделей атмосфер.
Ордината: абсолютный поток Ю'Д в эрг/(см2 • с • А) у Земли. Абсцисса: длина
волны X в А.

268
Гл. 7. Модели атмосфер
[194]). Сильно повышенное содержание тяжелых элементов создает
большой дополнительный покровный эффект в ультрафиолете
сверх того, который имеется у нормальных звезд. Этот эффект
наглядно проявляется в пекулярной (Si 3995) звезде 0Аиг (рис. 7.9), у
которой распределение энергии в видимой области соответствует
нормальной звезде того же цвета, тогда как в ультрафиолете [391]
оно отвечает распределению для более холодной звезды. Влияние
усиления поглощения в линиях на модели показано на рис. 7.10,
который воспроизводит, по крайней мере полуколичественно,
картину, которую можно видеть на рис. 7.9. Отметим, что эта
пекулярная звезда имеет более низкую температуру Г^ф, чем нормальная
звезда того же цвета (или звезда с тем же распределением энергии),
в видимой области, а полное распределение энергии у нее
отличается от распределения у нормальной звезды с той же Гэфф. В спектре
переменной звезды a2CVn типа Ар (Si — Сг — Ей) проявляется еще
один эффект. Изменения блеска в видимой области показаны на
8
-1.8 Г
-1,6Ь
-мЬ
-U к
-1.0Н
-0,6 к
-0,4 к
-0,2^
°Г
0,2 k
0,4 Ь
0,6h
0,8 h
1,0 h
Мднныс OAO-21 Наземные данные
J L
I I I I
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 '5000 5500 6000
о
Рис. 7 9 Сравнение относительных распределений энергии > пекулярной (Si 3995)
А-звезды в Aur (АОр, R - V = -0,08, крестики) и \ звезд 134 Таи (В9,5 V.
В - V - -0,07, сплошная линия) и 7 UMa (A0V, В - V - 0,00, штриховая линия)
[391]. Из-за более сильного покровного эффекта, обусловленного повышенным
содержанием тяжелых элементов у пекулярной звезды, распределение энергии у
в Aur не похоже на распределение энергии у нормальных звезд. В ультрафиолете оно
напоминает распределение энергии у более холодной звезды, а в видимой
области — у более горячей. Ордината: относительный поток в звездных величинах.
Абсцисса: длина волны в А. По [391], с разрешения.

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних типов
269
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000
о
Рис. 7.10. Модели с покровным эффектом {391], иллюстрирующие влияние
100-кратного увеличения содержания тяжелых элементов Обратите внимание на
сильное сходство с эффектами, показанными на рис. 7.9. Сплошная линия: Г = 14000 К,
нормальный химический состав; крестики: Т = 13090 К, содержание тяжелых
элементов увеличено в 100 раз; штриховая линия: Т = 11000 К, нормальный химический
состав. По [391], с разрешения.
рис. 7.11. Там же приведены данные, относящиеся к близкому
ультрафиолету, полученные на ОАО-2 [464]. Поведение звезды в
далеком ультрафиолете показано на рис. 7.12. Здесь изменения
происходят в прогпивофазе с изменениями в видимой области. Эти
результаты легко объяснить, приняв, что при фазе 0,0 покровный эффект
в ультрафиолете значительно усилен. Это вызывает уменьшение
потока в ультрафиолете и переизлучение этой энергии в области
бблыиих длин волн, что ведет к увеличению блеска в видимой
области. Эта интерпретация согласуется с тем фактом, что линии
редких земель достигают максимальной интенсивности при этой
фазе. В противоположность этому при фазе 0,5 наблюдаются области
атмосферы, где линии редких земель имеют минимальные
интенсивности. Поэтому покровный эффект в ультрафиолете
проявляется в это время меньше всего. При такой фазе поток боле$ свободно
выходит в ультрафиолете (вызывая там повышение блеска) и не
перераспределяется по видимой области, в которой соответственно
этому блеск уменьшается. Существование близ X 2960 «нулевой
длины волны», на которой вариации блеска отсутствуют, служит

270
Гл. 7. Модели атмосфер
I о ' ' I ' ' ' ' ' И
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Фаза
Рис. 7.11. Изменения блеска пекулярной (Si — G — Ей) А-звезды cr CVn в UBV и на
X 3317 А ( по измерениям на ОАО-2). По [464], с разрешения.
аргументом в пользу интерпретации, согласно которой вариации
блеска обусловлены дифференциальным покровным эффектом, и
свидетельствует против других объяснений, предполагающих,
например, общие деформации поверхности звезды.
Для большинства звезд детальных распределений энергии нет, а
имеется только гораздо более ограниченная информация, например
их показатели цвета, измеренные в какой-нибудь фотометрической
системе. Путем соответствующего подбора комбинации фильтров
можно получить такие показатели цвета, которые чувствительны к
эффективной температуре, ускорению силы тяжести и содержанию
металлов и позволяют определить величину межзвездного
покраснения. Например, в стремгреновской системе uvby, скажем для
звезд типов А — G, показатель цвета * — у является хорошим
индикатором температуры, величина сх = (и - у) - (v - b)
чувствительна к ускорению силы тяжести, a ml = (t; - b) - (b - у) — к
содержанию металлов. Чтобы извлечь информацию,
содержащуюся в этих величинах, систему следует прокалибровать с помощью
моделей атмосфер. Первый шаг при этом состоит в нормировке

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних типов
271
0,4 0,6
Фаза
Рис. 7.12. Изменения блеска a2CVn в ультрафиолете по измерениям на ОАО-2.
Ордината: скорость счета фотонов относительно фазы 0,0 (деление соответствует
10 %). Числа справа — эффективные длины волн фильтров (А). Обратите внимание
на то, что изменения потока в ультрафиолете происходят в противофазе
относительно изменений в видимой области. По [464], с разрешения.

272
Гл. 7. Модели атмосфер
наблюдаемых показателей цвета по тем, которые рассчитываются
по известным кривым пропускания фильтров. Если
Т((к) — пропускание фильтра в полосе /, то мы имеем
00 00
(' - Дабл = -2.51g[ j r,(X)F(X)rf\/ ( Tj(K)F(\)dk\ + к у, (7.82)
О о
где постоянная ktj учитывает неизвестную зависимость от X
пропускания системы телескоп — фотометр и кривую
чувствительности фотоумножителя. Стандартный метод определения ktJ состоит
в том, что в (7.82) используют наблюдаемые распределения энер
гии F(K) у реальных звезд с известными цветами (#' - у)набл и
добиваются того, чтобы рассчитанные и наблюдаемые цвета
согласовались между собой (см., например, [411], [488], [516], стр. 31, [516],
Ь - у
Рис. 7.13. Сравнение наблюдаемых (точки) стремгреновскнх показателей цвета (ср
b - у) для звезд главной последовательности, имеющих lg g * 4 ([516], стр. 17;
[516], стр. 45), с вычисленными по моделям атмосфер, построенным с учетом
покровного эффекта ([381], [516], стр. 271). Обратите внимание, что согласие в lg# хо
рошее. Это позволяет считать, что эффективная температура Г.. должна получать
ся в высокой точностью.

7.4. Модели с Л IP д ы звезд ранних типов
273
стр. 45). Второй шаг состоит в применении формулы (7.82) с
известными значениями к1} для расчета «наблюдаемых» показателей
цвета по зависимости потока от X, даваемой моделью. После этого
сравнение показателей цвета, наблюдаемых у звезд и рассчитанных
по моделям, позволяет оценить параметры звезды (см. рис. 7.13).
Покровный эффект здесь также играет важную роль а) из-за
эффектов блокирования излучения, приходящего в полосе пропускания
того или иного фильтра, и б) из-за того, что значение Гэфф у
модели зависит от эффектов, обусловленных влиянием линий. В случае
звезд поздних типов для оценки эффектов блокирования часто
оказывается необходимым проводить очень детальный синтез спектра
(см., например, [80], [81], [82], [83], [516], стр. 319). Для
нахождения Гэфф чрезвычайно ценными оказываются модели, построенные
с использованием весьма полных функций распределения непрозрач-
ностей [381]. В настоящее время значительные усилия направлены
на нахождение функций распределения непрозрачностей,
обусловленных поглощением на молекулах. Когда такие функции появятся,
станет возможным надежный анализ распределения энергии у звезд
поздних типов.
ТЕМИЬРА ГУРНАЯ СТРУКТУРА
Помимо выходящего потока в функции длины волны, модели
атмосфер дают изменение физических параметров атмосферы с
глубиной. В частности, модель дает распределение температуры в
атмосфере. Как указывалось в § 7.2, для моделей с ЛТР оно играет
ключевую роль. Обсудим теперь, как температурная структура
несерой атмосферы отличается от найденного в гл. 3 распределения
температуры в сером случае. Мы сосредоточим внимание на двух
характеристиках: а) отношении поверхностной температуры к
эффективной Т0/ Г^ф, которое для серой атмосферы равно 0,811, и б)
на так называемых эффектах самообогрева (back-warming). Чтобы
разобраться в физике дела, рассмотрим две идеализированные
задачи: 1) атмосферу со скачком непрозрачности в континууме и 2)
модель «частокола» для учета линий. Прежде всего представим
качественно, каковы должны быть эффекты, вызываемые скачком в
коэффициенте поглощения или сильными линиями.
Если коэффициент поглощения не зависит от частоты:
\;, = кс + а, а коэффициент излучения дается выражением
y\v — kcBv + oJv, то условие лучистого равновесия имеет вид
кс\ B,{TJdv = kc\J°vdp. (7.83)
о о

274
Гл. 7. Модели атмосфер
Члены в левой и в правой части, описывающие рассеяние, взаимно
сокращаются. Согласно соотношению Эддингтона — Барбье,
следует ожидать, что вблизи поверхности (т.е. при tv < 1)
1Ы° * Bv(tv * 1), и поэтому 7J * Уг BV(T^. Подстановка этого
выражения в формулу (7.83) дает обычный для случая серой
атмосферы результат 7^ * у2 7^. Предположим теперь, что на некоторой
критической частоте (например, у лаймановского предела) имеется
большой скачок непрозрачности, так что к = кс при v ^ v0 и
к = укс при v > i>0. Тогда равновесное состояние атмосферы будет
характеризоваться некоторой новой поверхностной температурой
7^, определяемой соотношением
kc\°Bv(T£dv + уке\В,(Т$Л> =
° 'о
= кс j Jvdv + укс j J9dv. (7.84)
0 "о
Принимая, что при v ^ v0 будет Jy * 7°^, т.е. пренебрегая влиянием
самообогрева и замечая, что при v > р0 поверхностное значение Jv
есть Jv ж ViBv, можем переписать соотношение (7.84) в виде
кс ]в9{Т№ ~ кс ]j*dr -
о о
оо оо оо
- кс[(у - 1) \Bf(T^dv + \J°vdu - у \Jrdv] ~
'о "о "о
00 00
~ ke\/>9dv- к a \Bv(T$dv +
оо' °
+ 1 [\ВЛТ*ь) - Bv(T$d>]. (7.85)
"о
Оба члена в фигурных скобках положительны. Поэтому приходим
к выводу, что Tq < Т0 и снижение температуры по сравнению со
случаем серой атмосферы тем больше, чем больше значение у.
Этот результат не является строгим, так как следует ожидать, что
в действительности Jp при v < v0 будет больше Т°и. Однако в
дальнейшем будет показано, что строгий анализ подтверждает
правильность сделанного заключения. Предположим, что ищется Т' (т,) в
некоторой точке в атмосфере, где rv > 1 при v > р0, но rv < 1 при

7.4 Модели с ЛТР для звезд ранних шипов
275
v < р0. Тогда средние интенсивности, входящие в величину,
стоящую в квадратных скобках в промежуточном выражении равенства
(7.85), близки к локальному значению функции Планка. Поэтому
эта скобка обращается в нуль, так что Т' (rv) равно Т0 для случая
серой атмосферы. Иначе говоря, температура вблизи поверхности
оказывается меньше, чем в случае серой атмосферы, только в тех
слоях, которые уже прозрачны у скачка.
Предположим теперь, что на частотах {у(} имеются
спектральные линии, дающие дополнительный вклад как в непрозрачность
(поэтому х„ = кс + о + У 1$), так и в слагаемые коэффициента
излучения, обусловленные тепловым излучением и рассеянием, так
что 41 v = kcBv + aJv + £ Ifrlefi, + (1 - c.)7J. Тогда условие
i
лучистого равновесия приводится к виду
кс ]в,{Т№ = кс \j*rdv -
о о
- [ I WW - Jv\ + I'd W - J)dv), (7.86)
/
где через Ji обозначена величина \<t>vJvdv для /-й линии и
А, — интервал частот, охватывающий эту линию. Здесь оба члена в
фигурных скобках также положительны, так что Т'0 должно быть
меньше Г0. В данном случае имеется дополнительная особенность,
состоящая в том, что влияние линий зависит от коэффициентов их
взаимосвязи с континуумом ег При J1TP (е/ = 1) имеем
J « Vi Bv{T'^y и в результате при /, > кс член, описывающий
охлаждение, становится большим. Поэтому при ЛТР покровный
эффект должен чрезвычайно сильно снижать поверхностную
температуру. Если же в линиях происходит чистое рассеяние (т.е. et — 0),
то точно так же как и в случае рассеяния в континууме, линии не
оказывают влияния на энергетический баланс и поверхностная
температура заметно не изменяется. Мы убедимся, что это заключение
подтверждается также детальным анализом, к которому мы теперь
и обратимся.
Полученным выше качественным результатам можно придать
количественную форму, если ввести в рассмотрение модель
частокола, предложенную Чандрасекаром [150] и получившую
дальнейшее развитие у Мюнча [474]. Она позволяет многое понять в по-

276
Гл. 7. Модели атмосфер
кровном эффекте. В этой модели принимается, что а)
непрозрачность в континууме не зависит от частоты (т.е. kv = к); б) линии
имеют прямоугольные профили постоянной ширины и
характеризуются одним и тем же для всех линий отношением непрозрачно-
стей в линии и в континууме /3 = I/ к и в) линии распределены по
спектру случайным образом, но в среднем равномерно, так что в
пределах заданной полосы частот долю wl занимает чистый
континуум, а доля и>2 = 1 — W, содержит континуум с наложенными на
него линиями. (Иначе можно сказать, что вероятность найти
линию на любой фиксированной частоте равна w2.) Наглядное
представление этой модели дает рис. 7.14, из которого становится
понятным, почему эту модель назвали «частоколом». (Если
величинам w, и vv2 придать слегка иной смысл, то с помощью этой
модели можно рассмотреть и тот случай, когда коэффициент
поглощения имеет скачок; см. ниже.) Если в качестве стандартной выбрать
оптическую глубину в континууме, то для частот континуума
будем иметь
lidfl»/dT = /<;> - Я„ (7.87а)
а в линии
lidlM/dr = (1 + /3)/<2> - (1 - с)/5у(2) - (1 + e/3)Bv. (7.876)
Проинтегрируем эти уравнения по всем частотам. Условившись,
что величины, описывающие поле излучения, которые не снабжены
индексом р9 представляют собой величины, проинтегрированные по
(р + 1)к
ас
Рис. 7.14. Модель частокола. Считается, что в линиях коэффициент поглощения в (3
раз больше, чем в континууме. Предполагается также, что вероятность обнаружить
линию на произвольной фиксированной частоте равна w2 = 1 - w l.
н-^U
а*

7.4. Моде, jи с ЛТР для звезд ранних типов 277
частотам, и учитывая относительные вероятности того, что
данный участок занят линией или континуумом, находим
lidfl])/dr = /<»> - wxB, (7.88а)
ndfl2)/dT = (1 + 0)/(2> - (1 - е)0Я2> - (1 + e0)w2B. (7.886)
Эти уравнения следует решать совместно с уравнением лучистого
равновесия. Оно получается путем интегрирования (7.88) по углам,
если потребовать, чтобы Я1} + Я2) = const, и имеет вид
7(1) + (1 + £0)У(2) = [w, 4- w2(] + е(3)]В. (7.89)
Рассмотрим сначала случай ЛТР (т.е. е = 1). Пусть у{ = 1 и
72 = 1 + /3. Тогда уравнения (7.88) принимают вид
ixdl^/dr = 7, (/(А) - и^В), / = 1. 2, (7.90)
где, согласно уравнению (7.89),
/ = 1 / = 1
Для решения этой системы воспользуемся методом дискретных
ординат, выбрав дискретизацию {/*,),/= ± 1, ..., ± л, такую, что
у« = I £ fl/0.. (7.92)
У = -я
Тогда, подставляя выражения (7.91) и (7.92) в (7.90), будем иметь
4i^L. = /</> */_ У 7 V в-/И,
/ = 1, 2; у = ±1 ±я. (7.93)
Если решение искать в виде
/">,. = См^-^/О + W7,). (7.94)
то найдем, что А: удовлетворяет характеристическому уравнению
I »тУт = Е wn,ym t «/О - *V/>2m). (7-95)
m - \ m - \ j = 1

278
Гл. 7. Модели атмосфер
Это уравнение имеет 2п - 1 ненулевых корня к2 (расположенных
между полюсами l//xf, ..., l/fi2 и у2/^.2, ..., y2/^2n)t а значит,
4л - 2 значения £ вида ± /:,. Кроме того, непосредственно видно,
что характеристическое уравнение имеет также корень к2 = 0.
Этому корню отвечает частное решение
ЦП. = bw,(r + Q + /х,./7/)> (7.96)
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой его в
уравнение (7.93). Общее решение (7.93) имеет, таким образом, вид
In - 1
М(т) = w.b (т + Q + Ь + V V~Afl,r +
2л - 1
+
а = 1
2л - 1
У Т-^^Г^-г) , / = 1, 2; / = ±1 ±п. (7.97)
Если потребовать, чтобы решение не возрастало экспоненциально
при г — оо, то нужно положить L_a. = 0 при всех а. Условие,
чтобы полный поток равнялся F, т.е.
F = 2 I I «у^. (7-98)
/ = 1 j = -Л
позволяет получить
2
* = ^/£ w/7-V (7.99)
/ = 1
Постоянная Q и постоянные La определяются из граничного
условия на наружной поверхности I®. (0) = 0, которое приводит к
линейной системе 2л уравнений для 2л неизвестных:
Q - м/Т/ + £ La/(\ - kji/y) = О,
а = 1
/ = 1, 2; i = 1, .... л. (7.100)

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних типов
279
Пользуясь формулами (7.99), (7.97) и (7.92), находим
3
— Fwt 2л - 1
/<0(г) = --А (г + Q + Y* Lfte-*o' х
/ . т i т « = 1
а из формулы (7.91) получаем
у = 1
2л - 1 2
*(г) = \f(t + Q + £ V"*-')/ J] »W. <7Л02>
В дальнейшем будет показано, что для модели частокола к/к R =
= 2 ^/яТт1' так что из выражения (7.102) видно, что
асимптотическое выражение для В(т), как и следовало ожидать, имеет вид
V*Ftr. Росселандовы оптические глубины тя превосходят г. В
предельном случае бесконечно сильных линий (у2 — оо) имеем
tr(t) = r/Wj, и из формулы (7-102) следует, что на больших
глубинах температуры должны быть выше. Это есть эффект
самообогрева. Очевидно, что он зависит главным образом от того, в какой
доле всего спектра может происходить перенос потока в
континууме.
Упражнение 7.11. а) Убедиться, что выражение (7.96) является
частным решением уравнения переноса. 0) Проверить формулы
(7.99), (7.101) и (7.102).
Как и в случае серой атмосферы, значение В(0) можно получить
в явном виде. Введем функцию
S(x) = Q - х + £ Le/(1 - kjc). (7.103)
Граничные условия (7.100) показывают, что S(x) = 0 в 2п точках
х = д/7/- Если далее в (7.103) привести все дроби к общему
знаменателю, умножив обе части этого равенства на произведение
2а? - 1 знаменателей, входящих в (7.103) дробей (т.е. на

280 Гл. 7. Модели атмосфер
?п-\
Я(х) = Л (I - ках))9 то произведение R(x)S(x) будет очевидно,
многочленом по х порядка 2л. Но нам известны 2п корней S(x),
Поэтому этот многочлен должен иметь вид
R(x)S(x) = С(х - *ц)-(* - д„)(х - м/т)-^ - м,/т)- Если
приравнять коэффициенты при хп в левой и в правой части
полученного выражения, можно получить С. Оказывается, что
С = кхк2^.к2п _ р и окончательно получаем
S(pc) = V»**- .J] [J (х - /х,/7/)/ П (1 - М- (7Л04)
откуда следует, что
5(0) = *г.-*2„ - itf-M'/V- (7-105)
Рассмотрим теперь характеристическую функцию
= I "„,7^ I atfbiyyi-XW (7.106)
где обозначено ^ = 1/Аг2. Приведем правую часть (7.106) к общему
знаменателю, умножив обе части (7.106) на произведение
знаменателей 2п дробей, стоящих в правой части. Получающаяся в
результате функция есть многочлен по X порядка 2л - 1. Но нам
известно, что Т(Х) имеет 2п - 1 ненулевой корень Хт = \/к2т, так что
этот многочлен должен иметь вид С{Х - Х^ . . . (X - <*2n-i)-
Чтобы получить С, следует приравнять коэффициенты при Х^~\
что дает
С=(-1)Ь-. £ wmrj, I -уу2 = (-1)2""' j I wm7^.
Поэтому имеем
ПХ) = ~ i *тгЩ (^-*)/П П ФУ2* - ^-(7.107)
т = 1 A: ss 1 /г/ = 1 у = 1

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних типов
281
Пользуясь вторым из равенств (7.106), получаем Г(0) =
= У wmym, а из формулы (7.107) имеем
ПО) = у I *тг№\ . . . р}п ■ кх. . . къ_х/у"]\
Комбинируя эти два выражения, находим теперь из формулы
(7.105)
S(0)=( t »тУ$Ч* I »тУтГ*- (7-Ю8)
m = 1 m = 1
Сравнение выражений (7.102) и (7.103) показывает, что
B(0) = ^FS(0)/£ wmY^ (7.109)
Поэтому приходим к заключению, что
B(0)/F = (Л/4)[( £ wmyj( I *тгМ'Л- (7.Н0)
Этот результат можно представить в другой форме, что позволяет
понять его физический смысл. Планковский средний коэффициент
поглощения равен
кр = В] \kfidv = B'^ktyfi + w2yB) = k(wx + w2y), (7.111)
а для росселандовой средней непрозрачности имеем
ОО
Ц = (dB/dT)1 [ k]}(dB/dT)dv =
о
= (dB/dT)lkl(wl + w2/y)dB/dT, (7.112)
или
kR = k(W] + w2/y)~\ (7.113)
Поэтому формула (7.110) приводится к виду
В (0VF =■■ (V3/4)(kR/kp),/: (7.114)
или
Т</Тт = (V 3/4)'^ V^),/8- (7-115)

*** Гл. 7. Модели атмосфер
Далее, в пределе при у — оо росселандово среднее (представляющее
собой гармоническое среднее) стремится к предельному значению
k/wx (что, по сути дела, отражает уменьшение эффективной
ширины той спектральной полосы, в пределах которой переносится
поток), тогда как планковское среднее неограниченно возрастает.
Таким образом, при ЛТР влияние непрозрачных линий приводит к
снижению температуры на границе (в принципе до очень низких
значений). Пример показан на рис. 7.15, где приведены графики
В(t)/F для серой атмосферы и одного из решений Мюнча с е = 1,
Wj = 0,8, vv2 = 0,2 и 7 = Ю. В данном случае В (О)//7 уменьшается
от значения 0,4330, соответствующего серой атмосфере, до 0,286,
т.е. Т(/ТЭфф спадает от 0,811 до 0,721.
Только что описанный анализ можно применить также к
атмосфере, у которой имеется скачок коэффициента поглощения на
некоторой критической частоте v0, за которым непрозрачность
возрастает в 7 раз. Применим для этого уравнение (7.90) при / = 1 и /= 2
*к областям v < i>0 и р^ р0 и обозначим w,£ = )Bvdv и w2B = j Вv d v .
0 "0
Мы должны далее предположить, что wx и w2 не зависят от глуби-
1,1
1.0
0,9
0,8
0,6
0,5
0,4
0,3
0,0 0,1 0.2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8
X
Рис. 7.15. Изменение с глубиной проинтегрированной по частотам функции Планка
при принятии модели частокола. Сплошная кривая: серая атмосфера (/3 = 1); точки:
У = Ю, Wj = 0,8, w2 = 0,2, е = 1 (ЛТР); треугольники: у = 1, w{ = 0,8, и>2 = 0,2,
е = 0 (чистое рассеяние). Обратите внимание на эффект самообогрева у обеих
моделей, учитывающих покровный эффект, на большое падение температуры у
поверхности в модели с ЛТР и на отсутствие поверхностного эффекта для модели с
рассеянием. По [474], с разрешения.

7.4. Модели с ЛТР для звезд ранних типов
283
ны. Например, можно взять значения, соответствующие
Т = Гэфф. Как было указано Мюнчем [261], стр. 38, это
предположение является грубым. Однако мы будем его использовать, так
как оно упрощает анализ, описывая в то же время основные
физические особенности явления. Рассмотрим результаты, показанные
на рис. 7.16. На нем приведены значения отношения Туг^ф,
даваемые расчетами несерых атмосфер с ЛТР. При всех 0эфф ^ 0,25
лаймановский континуум не учитывался. Для самых холодных
моделей величина отношения Т^/Т^ близка к его значению для серой
атмосферы. Это неудивительно, так как основным источником
непрозрачности является Н~, у которого зависимость коэффициента
поглощения от частоты слабая. При более высоких температурах
влияние бальмеровского скачка делается существенным и Т0
становится меньше, чем в случае серой атмосферы. При 0^ = 0,23 на
кривой имеется разрыв, обусловленный влиянием лаймановского
континуума, который учитывался, начиная с этой температуры.
При достаточно высоких значениях Гэфф водород становится сильно
ионизованным. Величина лаймановского скачка поэтому
уменьшается, одновременно максимум потока сдвигается за сачок. Поэтому
отношение Т</Тъ^ возрастает и опять приближается к своему
значению для случая серой атмосферы. При еще более высоких
температурах Tq/T^ снова падает из-за влияния скачков у Не I на X 504
А и у Hell на X 226 А.
Уменьшение поверхностной температуры, обусловленное лайма-
сэфф
Рис. 7.16. Отношение поверхностной температуры TQ к эффективной температуре
^эфф в Функш*и 0эфф = 5040/Гэфф. Разрыв около 0 .^ = 0,25 вызван учетом
лаймановского континуума в моделях с высокой температурой. Верхняя прямая дает
значение Т'о/Т'зфф Для серой атмосферы.

284
Гл. 7. Модели атмосфер
новским скачком, можно оценить с помощью формулы (7.115).
Допустим, что единственными источниками непрозрачности являются
связанно-свободное и свободно-свободное поглощения на водороде.
Для получения вклада от свободно-свободных переходов
воспользуемся формулой (4.124), просуммировав npvi{b - f) по всем
связанным уровням с«я= n'^^JkT ^ и = hv/kT. Если учесть формулы
(4.114) и (5.14), ввести поправку на вынужденное излучение и
положить гаунтовские множители равными единице, можно
представить коэффициент поглощения в виде
к* = Си\\ - еи)[\ + £ 2и]п-3схр(и1/п2)], (7.116)
п
причем первый член в квадратной скобке учитывает свободно-
свободное, а второй — свободно-связанное излучение. Так как рос-
селандово среднее является гармоническим средним, от добавления
лаймановского континуума оно практически не изменяется.
Поэтому достаточно рассчитать планковское среднее с учетом и без учета
лаймановского континуума и использовать полученные значения
для нахождения Г0 для этих двух случаев. Возьмем пределы
интегрирования в интеграле, входящем в (7.111), равными 0 и и0, где и0=
= uv когда лаймановский континуум отбрасывается, и и0 — оо,
когда он учитывается. Поскольку Bv = С'иге~и(\ - еи)\ будем
иметь
кр(и<) = С" [\-еио + £ 2wjAT3[l - exp(-w0 + n'hij]. (7.117)
Далее при вт = 0,23 имеем их = 2,3-0,23-13,6 = 7,2. Если и0 =
= оо, то экспоненциальные члены равны нулю тождественно, если
же и0 = и,, ими можно пренебречь, если только п Ф \ч так как
их > 1. Поэтому
кР(оо)/кр(их) = (1 + 2их £ гг3)/(1 +
п = 1
+ 2w, £ л"3) = (1 + 2,4^)0 4- 0,4м,). (7.118)
п = 2
При их = 7,2 находим, таким образом, что кр(оо)/кр(их) = 4,7,
откуда
Г0(с учетом Ьс)/Г0(без учета L,) = (4,7)18 = 0,825. (7.119)

7.4. Модели с ЛТР Оля звезд ранних типов
285
Экстраполируя до 0эфф = 0,23 результаты, приведенные на рис.
7.16 и относящиеся к случаю, когда лаймановский континуум не
учитывается, находим Tq/T^ « 0,65, а при учете лаймановского
континуума Т^Т^ * 0,56. Этому соответствует отношение
поверхностных температур, равное 0,865, что хорошо согласуется с
(7.119) (если принять во внимание все те приближения, которые
были сделаны). Следует отметить, что этот спад температуры
происходит лишь в самых поверхностных слоях, которые прозрачны в
лаймановском континууме. Уже на оптической глубине в видимой
части спектра, равной 10"4, лаймановский континуум непрозрачен, и
температуры по моделям, построенным с учетом и без учета
лаймановского континуума, практически одинаковы.
Еще одна иллюстрация эффектов выхолаживания при ЛТР за
счет континуумов и линий приведена на рис. 7.17. На нем показано
распределение температуры в модели атмосферы с Гэфф = 15000 К,
lg g = 4, состоящей из водорода, моделируемого атомом с двумя
уровнями и континуумом [40]. Такой атом может излучать в линии
LQ, в лаймановском и бальмеровском континуумах и в свободно-
свободном континууме. Температурное плато на 7 * 10300 К при
-4<lgr^ -2 расположено там, где оптическая глубина в
бальмеровском континууме еще мала, а в лаймановском континууме
уже велика. Этой температуре «Г0» соответствует отношение
«Г0»/Гзфф * 0,68. Это неплохо согласуется с тем, что дает рис.
1Ц1|МИ|1111|111|
= Ч
7\103К
о
| I IJM j I I III | I I I I | I I I I | М I I | I II
Рис. 7.17. Распределение температуры для моделей с ЛТР и без ЛТР, имеющих
Т .. = 15000 К и lg g = 4. Атмосфера состоит из водорода, который
представляется схематической моделью атома с двумя дискретными уровнями и континуумом
Этой моделью атома учитываются лаймановский. бальмеровский и свободно-
свободный континуумы и линия La. (Сплошная линия: ЛТР нет, линий нет;
штриховая: ЛТР, линий нет; пунктирная: ЛТР нет, L ; штрих-пунктирная: ЛТР, La.)
По [40], с разрешения.

286
Гл. 7. Модели атмосфер
7.16 для случая, когда лаймановский континуум не учитывается.
Учет лаймановского континуума снижает Т0 до 9400 К. Добавление
одной только линии La вызывает дальнейшее уменьшение
поверхностной температуры до 7800 К. Учет других линий привел бы к
еще большему выхолаживанию. Результаты, относящиеся к
атмосферам без ЛТР, будут обсуждаться в §7.5.
Если теперь рассмотреть линии, образующиеся за счет
рассеяния (е Ф 1), то полученные выше результаты радикально
изменяются. Обозначим X = 1 + £& и о = (w] + Хи^)1. Тогда формула
(7.89) принимает вид В = g(J^1) + ХУ<2)), а уравнения (7.88)
переписываются в форме
fidl^/dr = А" - w1a(/1> + X/2)), (7.88а')
^dl^/dr = у№ - (7 - vVjaX)/2* - п2а\Я1К (7.886')
Применение метода дискретных ординат приводит к
характеристическому уравнению [474]
1 - wxoG - (1 - wxo\yx)H + wxa(l - \yl)GH = 0, (7.120)
где
G = \ t "/0 + kv), (7.121a)
i = -n
H = \ t VU + WT)- (7-1216)
i--n
Уравнение (7.120) имеет In - 1 положительных корней ka. Для
В (г) получается следующее выражение:
В(т) = -4F(r + Q + J;' МУ'У I wMyJ„ (7.122)
а = 1 m
гдеМй = oLJpa(\ - GaYl + (\/у)Ма(На - I)1]. Здесь
постоянные La и константа С определяются из граничных условий /^(О) =
= 0, что дает
б + "'I' I LJl - Са)'(1 +W = М„ / = 1, • . ., п. (7.123а)
а = 1
Q + (7"2)-' ?£' LJHa - I)"1 (1 - kji/уУ = ц/у,
I, ж |
/ = 1, . . ., л (7.1236)

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
287
Упражнение 7.12. Убедиться в справедливости формул
(7.120) —(7.123).
Решение, полученное Мюнчем при wx = 0,8, w2 = 0,2, 7= 10и
е = 0, показано на рис. 7.15. Оказывается, что в этом случае
поверхностная температура лишь ненамного ниже ее значения для
серой атмосферы: B(0)/F = 0,4308, тогда как для серой атмосферы
0,4330. Итак, если линии образуются за счет рассеяния, то они по-
чти не оказывают влияния на поверхностную температуру.
Таким образом, влияние линий на поверхностную температуру
оказывается чувствительным к механизму формирования линии.
Эффект самообогрева, конечно, имеется и здесь', так как из-за
присутствия линий ширина полосы, в которой излучение может
свободно распространяться, уменьшается. Более того, этот эффект в
обоих случаях почти один и тот же, откуда следует, что
самообогрев определяется главным образом тем, какая доля спектра
оказывается заблокированной линиями, детали же процесса
образования линий сказываются мало. Важно понимать, что при наличии
ЛТР покровный эффект выхолаживает поверхностные слои (и
делает линии более темными). Однако линии, возникающие за счет
рассеяния, также являются темными (см. § 10.2), даже когда такого
спада температуры у границы и нет. Поэтому было бы неверно
утверждать, что значения Т0 у звездной атмосферы малы, только на
том основании, что у линий наблюдаются темные ядра. Вообще
говоря, линии могут и не быть непосредственно связаны с
локальным распределением температуры, а тогда их центральные
глубины не имеют никакого отношения к Т0. Мы еще вернемся к этому
вопросу, когда будет обсуждаться образование линий. Наконец,
интересно отметить, что при определенных условиях введение скачка
непрозрачности может вызывать локальный нагрев атмосферы (см.
[198]).
7.5. Звезды ранних спектральных типов:
модели с лучистым равновесием,
но без ЛТР
Методы и результаты, которые описывались до сих пор в этой
главе, основывались на упрощающем предположении о
существовании ЛТР. Обратимся теперь к более общей задаче построения
таких Моделей, в которых населенности уровней атомов и поле излу-

288
Гл. 7. Модели атмосфер
чения рассчитываются путем совместного решения уравнений
переноса и статистического равновесия. Чтобы в полной мере понять
трудности, присущие этой задаче, в идеале читатель должен
сначала усвоить материал гл. 11 и 12. С другой стороны, часть материа
ла, приводимого нами здесь, служит как бы фоном для этих глав.
Поэтому после изучения гл. 11 и 12 рекомендуем перечитать этот
раздел еще раз. В настоящем разделе мы будем при изложении
отчасти придерживаться «исторической» последовательности,
рассмотрев сначала те методы, которые позволяют рассчитывать
образование одних лишь континуумов, а затем уже — тот
окончательный метод, в котором учитываются и континуум, и линии.
Линейчатый спектр как таковой здесь описываться не будет (см.
§12.4), влияние же линий будет обсуждаться главным образом с
точки зрения энергетического баланса.
Фундаментальная трудность при построении моделей
атмосфер без априорного предположения об ЛТР состоит в том, что
населенности уровней в наружных слоях атмосферы определяются
главным образом радиативными процессами. Поэтому состояние
вещества слабо связано с локальными условиями в газе (т.е. с его
температурой и плотностью) и определяется нелокальной
информацией, которую содержит в себе поле излучения, реагирующее на
глобальные свойства атмосферы, в том числе на условия на
границах атмосферы. В дальнейшем будет показано, что
математическим выражением этой физической особенности служит тот факт,
что в функциях источников, неявно определяемых уравнениями
статистического равновесия, доминируют члены, описывающие
(некогерентное) рассеяние. Как уже было показано (§6.1), эти члены вы
зывают появление математических трудностей при решении задач о
переносе излучения.
При первых попытках построения моделей атмосфер без пред
положения об ЛТР использовалась некоторая итерационная
процедура, что позволило добиться успеха только для континуумов, в
которых члены, описывающие рассеяние, невелики. В методах,
которые стали пытаться использовать позже, уравнения переноса
решаются одновременно с уравнениями стационарности путем явного
введения информации, содержащейся в уравнениях стационарности,
в аналитические выражения для тех функций источников, которые
используются в уравнениях переноса. Члены, описывающие
рассеяние, вызывают ослабление взаимосвязи между состоянием
вещества и свойствами локального теплового резервуара и тем самым
одновременно способствуют появлению нелокальной информации в

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
289
условиях энергетического баланса. Поэтому добиться выполнения
условия лучистого равновесия становится нелегко. Как уже
отмечалось выше при обсуждении методов коррекции температуры (см.
§7.2), даже незначительные нарушения энергетического баланса
могут сильно сказываться на решениях уравнений статистического
равновесия. Поэтому необходимо иметь такие методы, которые не
только давали бы совместное решение уравнений переноса и
стационарности, но и одновременно позволяли бы обеспечить выполнение
условия лучистого равновесия. Первоначально этого добивались с
помощью некоторой процедуры линеаризации для одной только
температуры. Эта процедура эффективна, когда связь с
распределением температуры достаточно прямая (как это имеет место для
континуумов — за счет радиативных рекомбинаций). Однако для
линий эта процедура отказывает, так как здесь ни процессы
излучения, ни процессы поглощения непосредственно от температуры не
зависят. Для моделей, в которых учитывается влияние линий,
оказывается необходимым весьма радикальное обобщение, известное
как метод полной линеаризации. В этом методе все
представляющие интерес физические переменные рассматриваются как
равноправные и учитываются глобальные взаимосвязи всех переменных
в пределах всей атмосферы.
ИТЕРАТИВНОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ
ДЕТАЛЬНОГО БАЛАНСА В ЛИНИЯХ
При первых попытках построения моделей атмосфер без ЛТР
применялась итеративная процедура, в которой а) начинают с
некоторой оценки населенностей уровней (скажем, выбирают их в
соответствии с ЛТР), б) используют эти населенности для расчета поля
излучения и далее в) пользуются этим полем излучения для расчета
тех скоростей радиативных переходов, которые входят в уравнения
стационарности. Эти уравнения затем решаются, что дает новую
оценку населенностей уровней. На практике было найдено, что если
учитывать линии, то эта процедура лямбда-итерации не
срабатывает [283], стр. 217. Линии очень слабо связаны с локальными
условиями в газе (см. гл. 12), а непрозрачность в них очень велика.
Поэтому здесь мы сталкиваемся с очень трудной проблемой:
населенности уровней контролируются излучением, зарождающимся в
области, размер которой в оптических единицах очень велик. Точно так
же, как это описывалось в §6.1 для простейшей модельной задачи,
связанной с учетом рассеяния при решении уравнения переноса,
этот итеративный процесс почти стабилизируется на некотором

290
Гл. 7. Модели атмосфер
фиктивном значении, хотя сходимость еще не достигнута. При
этом последовательные итерации отличаются друг от друга очень
мало, несмотря на то что текущая оценка решения далека от
истинного решения.
Поэтому интересно выяснить, нельзя ли учитывать только
континуумы, игнорируя или по крайней мере отложив на время учет
линий. С континуумами положение существенно проще, так как
они а) тесно связаны с локальными тепловыми условиями (через
посредство рекомбинаций) и б) сравнительно прозрачны вплоть до
глубин, где плотности уже достаточно высоки, чтобы
гарантировать преобладающую роль столкновений (и тем самым —
существование ЛТР). Таким образом, для областей, оптическая
глубина которых невелика, встает вопрос о внутренней
непротиворечивости сделанных предположений. Одновременно появляется
надежда, что здесь итеративная процедура будет работать (эти
замечания не касаются лаймановского континуума, рассмотрение
которого столь же сложно, как и рассмотрение линий). Положительный
ответ на поставленный только что вопрос был дан Калкофеном
[283], стр. 175; [345]; [346]; см. также [424]. Он показал, что для
звезд ранних типов лаймановские и бальмеровские линии настолько
непрозрачны, что на тех глубинах, где происходит формирование
визуального континуума, для них следует ожидать выполнения
детального радиационного баланса. В этом случае числа связанно-
связанных радиативных переходов вверх и вниз практически
компенсируют друг друга. В частности, оказывается, что при
Г^ф * 104 К условие детального баланса выполняется на
оптических глубинах в континууме 75000£ 10*4. Отсюда следует, что,
прежде чем детальный баланс в линиях перестает выполняться,
континуум уже успевает сформироваться. Таким образом, задачу об
образовании континуума можно рассматривать практически
независимо (за исключением случая лаймановского континуума, который
почти столь же непрозрачен, как и линии). Это ценный результат,
так как он открывает возможность оценивать роль отклонений от
ЛТР из наблюдений одних лишь континуумов.
Математически детальный радиационный баланс в линиях
означает, что в уравнениях стационарности (5.87) можно аналитически
сократить (или, что эквивалентно, опустить) все пары членов
вида njR^ - nj(n/nj)*Rjr Тем самым из уравнений с самого начала
оказываются исключенными самые неприятные члены. Введенное
только что приближение физически отражает тот факт, что
возможность «увидеть» поверхность фотоны п* 1>чают в первую оче-

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
291
редь в наиболее прозрачных областях спектра (т.е. в континууме) и
что свободный выход излучения из атмосферы именно в этих
спектральных областях и создает отклонение от ЛТР на
наибольших геометрических глубинах в атмосфере. Следовательно,
упрощенная задача, в которой учитываются только континуумы,
правильно воспроизводит асимптотическое поведение на больших
глубинах и может служить исходным приближением при решении
задач, учитывающих члены, которые описывают линии.
На практике итерационная процедура учитывает отклонения от
ЛТР как малые возмущения состояния ЛТР. Сравнение формул
(7.2) и (7.4) показывает, что когда члены, соответствующие
линиям, опущены, то отклонения от ЛТР не сказываются на выражении
для коэффициента излучения (если под населенностью п* уровня /
при ЛТР понимать значение, определяемое формулой
Саха — Больцмана (5.14) при реально имеющихся, не обязательно
равновесных концентрациях ионов и электронов). Сравнение
формул (7.1) и (7.3) показывает, что если опять опустить линии, то
можно написать х„ = х* + &XV- Если обозначить bt = n/nf, то 6х=
= £ dfi*oLik(y)y где di = bi - 1. Допустим теперь, что на каж-
дом шаге вычислений считаются известными Т(т) и либо а)
значения bi для всех связанных уровней, либо б) скорости всех
переходов, связанных с континуумом. Уравнение гидростатического
равновесия можно тогда проинтегрировать обычным путем и затем
рассчитать концентрации электронов и ионов, пользуясь либо по
существу тем же формализмом, что и в §5.2 (лишь заменив всюду
п* на bft*), либо методом линеаризации из §5.5, в котором все
члены, содержащие ЬТ и 5Jk, положены равными нулю. Второй из
этих методов дает согласованные между собой текущие значения пе
и лион, первый же — нет, так как в нем не учитывается
нелинейность по пе в ударных членах. В упоминаемых ниже исследованиях,
где применялся этот итеративный метод, использовалась первая из
двух указанных только что возможностей, после чего
осуществлялись итерации до достижения сходимости.
Затем решается уравнение переноса
pdl/dz = -ОС + 5хХ + Кв* + "^Л> (7.124)
или
luii/dr, = /„ - *А - г/,. (7Л25>
где £„ = kyixl + Ю и f„ = пеа/(х* + <5Х(/). Можно использовать

292
Гл. 7. Модели атмосфер
любой метод, позволяющий правильно учесть член, описывающий
электронное рассеяние. Это дает новые значения интенсивностей,
которые используются для повторного вычисления скорости радиа-
тивных переходов. После этого снова решаются уравнения
стационарности, что дает новые значения br В силу предположения о
детальном балансе в линиях полные уравнения стационарности (5.87)
приводятся к виду
rf,.[4x j {ajv/hv)dv + I Сц) - l dfu =
о U * i ) (J * i )
= 4тг (Bv - Jv)(\ - e-ht"kT)(a/hp)dv, (7.126)
"o
где / — номер последнего связанного уровня и dt = b,, — 1. Как и
раньше, эти линейные уравнения можно разрешить относительно
величин dit если считать пе и яион фиксированными, или же можно
находить пе с помощью последовательных приближений, пока не
будет достигнута сходимость.
Упражнение 7.13. Убедиться в справедливости уравнения (7.126).
Отметим, что в отличие от соотношения (5.87) в него входят
члены, описывающие как возбуждающие, так и обратные им ударные
переходы.
Далее, чтобы добиться выполнения условия лучистого
равновесия, можно выполнить коррекцию температуры. В упоминаемых
ниже статьях это делалось методом Эвретта — Крука (формулы
(7.19) и (7.20)], тривиальным образом видоизмененным, чтобы
учесть более общую форму £„ и f, в формуле (7.125) (в частности,
то, что £*„ Ф 1 - ^). Получив уточненное распределение
температуры и уточненные коэффициенты Ьп можно заново решить
уравнение гидростатического равновесия и далее осуществить итерацию
всего процесса до достижения сходимости.
Был построен целый ряд моделей описанного выше типа. Цель
состояла в изучении влияния эффектов отклонений от ЛТР за счет
континуумов и в выявлении наблюдательных проявлений этих
отклонений [283], стр. 217; [348], [610], [425], [426], [427], [452]. В
самых первых из этих исследований были найдены очень
значительные изменения в бальмеровских скачках (они получились меньше).
Было высказано предположение [610], что этими эффектами, воз-

7.5. звезды ранних типов: модели без ЛТР
293
можно, объясняется существовавшее в то время несоответствие
между наблюдаемыми и теоретическими бальмеровскими скачками
(обсуждение этого см. в §7.4). Дальнейшие исследования, в
которых использовались более, совершенные модели атома и
уточненные сечения столкновений, показали, что отклонения от ЛТР
оказывают пренебрежимо малое влияние на бальмеровский скачок у
В-звезд главной последовательности (однако у сверхгигантов и
О-звезд эти эффекты остаются существенными). Расхождение же
между теорией и наблюдениями в конце концов было устранено за
счет изменения основной калибровки распределения энергии у Беги.
Тем не менее эти первые статьи имели большое значение, так как
они стимулировали интерес к проблеме и привлекли внимание к
тому, что отклонения от ЛТР могут вызывать доступные
наблюдениям эффекты в континууме. Мы немного отложим дальнейшее
обсуждение наблюдательных проблем и вернемся к нему чуть позже в
этом разделе.
Значения коэффициентов di9 дающих отклонения населенностей
уровней от равновесных, показаны для первых шести уровней
водорода на рис. 7.18 (для модели с Гэфф = 10000 К, Igg = 3). Видно,
что на самом деле на тех глубинах, которые характерны для
формирования континуума, отклонения довольно малы. Уровень п — 2
недонаселен, уровни же с п ^ 3 перенаселены. С ростом п значения
dn быстро убывают, так как а) эффективность ударной ионизации с
верхних возбужденных уровней становится большой, что
способствует приближению к ЛТР, и б) поле излучения на низких частотах
определяется свободно-свободными переходами, а они являются
чисто тепловыми, и это также содействует установлению ЛТР.
Уровень же п = 2 недонаселен из-за того, что при температурах,
характерных для рассматриваемой модели, для этого уровня
hvJkT > 1, и рост температуры с глубиной приводит к быстрому
1
росту Bv ~ exp(-hp/kT). Поэтому на поверхности Jv » — Ву(Тэф^)
превосходит BviJ^y и с этого уровня происходит усиленная
фотоионизация, как это следует из формулы (7.126). С другой стороны,
при п ^ 3 имеем hv/kT ^ 1, и равный 1/2 множитель дилюции у Jv
перевешивает влияние градиента температуры, так что Jv < Bv.
Уровни оказываются перенаселенными. На рис. 7.18 мы имеем dx =
= d2 в силу сделанного при расчете допущения, что для лайманов-
ского континуума имеет место детальный радиационный баланс. В
этом случае числа радиативных переходов в уравнении (7.126) при
к
/2=1 сокращаются аналитически, и оно принимает вид dx У Cxj =
J = 2

294
Гл. 7. Модели атмосфер
20
16
I2h
-8
I \ и 2 ^^^^ I
I 1 1 i
-2
1«Т4000
-1
Рис. 7.18. Отклонения населенностей от равновесных для семи первых уровней
водорода (модель атмосферы с 7\. = 10000 К и lgg = 3). Ордината дает d( • 102;
числа у кривых — номера уровнейГ Обратите внимание, что уровень п = 2 недонаселен,
а более высокие уровни перенаселены. Уровни п = 1 и п = 2 имеют одинаковые d. в
силу предположения о детальном балансе в лаймановском континууме.
- Yd djCyj. Отсюда следует, чтоd{ » d2, поскольку С12 > С^при
7 = 2
j > 2. Таким образом, ударное взаимодействие уровней я=1 ил =
= 2 позволяет верхнему уровню перенести величину отклонения
своей населенности от равновесной также и на нижний уровень.
Ближе к поверхности, где детальный баланс в лаймановском
континууме перестает выполняться, уровень п = 1 становится
перенаселенным (см. ниже). При более высоких температурах, характерных
для О-звезд (т.е. при Тэ^ > 35000 К), положение иное, так как
теперь уровень п = 2 перенаселен, а основной уровень п = 1 на тех
глубинах, где образуется лаймановский континуум, оказывается не-
донаселенным. Этого и следовало ожидать, исходя из
упоминавшегося выше характера зависимости от параметра hvy/kT^. Эти
результаты можно понять также [346], исходя из ожидаемого
изменения потока с глубиной в различных континуумах (напомним, что
dHv/drv = 7— SJ). Наконец, нужно подчеркнуть, что коэффициен-

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
295
ты неравновесности уровней di% полученные описанным здесь
способом, для расчета профилей линий использовать нельзя. Они, как и
следовало ожидать, дают фиктивные результаты, поскольку эти
населенности уровней не будут соответствовать значениям населен-
ностей при наличии линий [43].
ОБРАЗОВАНИЕ ЛАЙМАНОВСКОГО КОНТИНУУМА
В описанных выше расчетах принималось, что для лаймановско-
го континуума имеется детальный радиационный баланс. Но в
некоторой точке в наружных слоях атмосферы оптическая глубина в
лаймановском континууме должна будет стать малой и начнут
проявляться значительные эффекты, обусловленные выходом
излучения, что вызовет отклонение njRik от rifJR'kt Это поведет к
«отключению» уровня п = 1 от п = 2. Такое положение становится
особенно существенным при больших значениях 7^, когда из-за
высокой ионизации водорода лаймановский континуум настолько
ослаблен, что непрозрачность в нем уже не значительно, а лишь
ненамного больше, чем в визуальном континууме. Применение
итерационного метода к лаймановскому континууму оказывается
невозможным. Анализ этого вопроса позволяет понять важные
физические особенности задачи (и служит хорошей подготовкой к
обсуждению проблем образования линий). Мы убедимся, что
информацию, содержащуюся в уравнениях статистического равновесия,
следует учитывать, непосредственно вводя их решение в уравнения
переноса, что позволяет получить совместное решение этих двух
совокупностей уравнений (стационарности и переноса. —Ред.).
Рассмотрим следующую упрощенную задачу. В качестве модели
атома водорода возьмем атом с двумя связанными состояниями
и континуумом. Предположим, что отклонения от ЛТР имеют
место только для основного состояния. Пусть частота предела лайма-
новской серии есть v0. Будем рассматривать только частоты v > v0
и предположим, что hv^/kT > 1, так что вынужденным излучением
можно пренебречь. Если пренебречь также электронным
рассеянием и отличием гаунтовских множителей от единицы, то
коэффициенты поглощения из основного и из возбужденного состояния, а
также коэффициент поглощения за счет свободно-свободных
переходов имеют один и тот же «профиль» фр = (vq/p)3. Обозначив
пх = Ьхп% будем иметь \v = X(ft>v = ФХХ\ + Х*и)Ф„> где верхний
индекс * означает, что величина соответствует ЛТР, а нижним
индексом и отмечаются величины, описывающие вклад свободно-
свободного поглощения и континуума верхнего уровня. Аналогич-

296
Гл. 7. Модели атмосфер
ным образом т?„ = (v* + г}*)фи = ft? + Xu*)Bv<t>v. Пусть rfrn =
= "X(flz — элемент оптической глубины у головы континуума.
Тогда подлежащее решению уравнение переноса имеет вид
ndl/dr, = ф¥Ц9 - Srh (7.127)
где
S, = <х? + x:)V»ixf + хЭ = К1 - г)/Ь} + г]*,. (7.128)
г = х;/»,хГ + xj). (7.129)
Величина г обычно много меньше единицы, и суть уравнения
(7.128) состоит в том, что функция источников в лаймановском
континууме отличается от своего равновесного значения на
множитель 1/ftj. Допустим теперь, что отношение коэффициентов
поглощения г (и шкала оптических глубин т^ вычисляется с
использованием текущего значения bv но в уравнение (7.128) мы подставим
явное аналитическое выражение для l/bl9 получаемое из уравнения
статистического равновесия для основного уровня:
ое оо
\/Ъх = [4тг j (av/hv)Jvdv + C]/[4* \(a/hv)Bvdp + С\9 (7.130)
где С = С12 + Clk. Подстановка выражения (7.130) в (7.128)
показывает, что Sv имеет вид
*, = 7, (<W + *A- С7Л31)
Таким образом, функция источников есть сумма члена,
описывающего некогерентное рассеяние (так что интенсивности на всех
частотах континуума взаимосвязаны), и теплового члена (т.е.
члена, не зависящего от поля излучения). С помощью прямых
численных оценок [см., например, табл. 5.1 и формулу (5.44)] легко
показать, что тепловой член мал по сравнению с членом, описывающим
рассеяние.
Чтобы правильно решить систему уравнений (7.127) и (7.131),
необходимо воспользоваться каким-либо прямым методом
(например, методом Фотрие или Райбики), в котором надлежащим
образом учитывается член, дающий рассеяние. Если уравнения (7.127)и
(7.131) решены, то в принципе получено совместное решение и
уравнения переноса излучения, и уравнения статистического
равновесия. Так как член, описывающий рассеяние, входит в уравнение
переноса явно, правильное решение (при заданной зависимости
теплового члена от глубины) для всего интервала изменения оптичес-

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
297
кой глубины получается за один шаг и трудность, состоящая в
медленной сходимости лямбда-итерации, тем самым оказывается
обойденной. На практике итерации все же необходимы, так как
шкала оптических глубин и параметр г на каждом шаге вычислений
рассчитываются с использованием текущих оценок bv Однако опыт
показывает, что эти итерации сходятся мгновенно. Расчеты с
использованием метода описанного типа [426] показали, что для
В-звезд основное состояние в наружных слоях обычно оказывается
перенаселенным (хотя результаты, приведенные в указанной только что
работе, являются лишь схематическими, так как условие
энергетического баланса надлежащим образом учтено не было; позже мы еще
вернемся к этому вопросу).
Многое в рассматриваемой задаче можно понять, если
заметить, нто при hv/kT > 1 изменение Jv и Bv с частотой
(происходящее, грубо говоря, пропорционально ехр(- hv/kT)) характеризуется
настолько быстрым убыванием с ростом *>, что практически весь
вклад в интегралы, определяющие темп фотоионизации и
рекомбинации, дается областью v » v0. Поэтому эти интегралы можно
заменить на 47ги>0(а0/Л*>0)./0 и 47гн>0 (aQ/hv^B^ где н>0 —
соответствующий весовой множитель, и рассматривать перенос излучения лишь
на частоте предела ионизации v = v0 (см. также [195]). Если обозначить
е = C/^TrvVoteo/Ai^So + С), то
S0=(l-r)[(l-e)J0+eBJ + rB0~(\-e)J0+eB0i (7.132)
где ё = е + г. Уравнение переноса в приближении Эддингтона
имеет вид
j-^-w.-v <7133>
Считая, что ё постоянно, а атмосфера почти изотермична, так что
В0 в первом приближении таже постоянно, можем сразу же
написать решение уравнения (7.133) в виде [см. формулу (6.9)]
J0 = В0 [ё* + 1 - ехр[-/з?Го]}/(1 + ё*). (7.134)
Это выражение показывает, что а) поле излучения термализуется
только на глубинах ^ \/ёх/г и б) фактор отклонения от равновесия
на поверхности равен Ъ {(0) « ё~1/\ Так как ё < 1, отклонение от
ЛТР велико и простирается до больших глубин. Истинное
значение ё в том случае, когда преобладают столкновения (т.е. е > г),
оценить довольно трудно, так как плотность, а потохму и е
экспоненциально возрастают <: глубиной в атмосфере. С другой стороны,

298
Гл. 7. Модели атмосфер
параметр г почти не зависит от глубины, причем часто
доминирует. Например, при Т ~ 25000 К имеем г~ Ю-2 (см. {633],
стр. 193), и поэтому Ьх ~ 10, что согласуется с результатом
расчета. Резюмируя, можно сказать, что ту информацию, которая
содержится в уравнениях статистического равновесия, важно
непосредственно использовать при решении уравнения переноса. Далее,
если член, описывающий рассеяние, является доминирующим, то,
очевидно, добиваясь выполнения условия лучистого равновесия,
нужно быть очень внимательным.
Рассмотрим теперь метод частичной линеаризации. Он
довольно обший и служит подходящим средством для решения задачи об
образовании континуума в условиях лучистого равновесия, но при
отсутствии ЛТР. Этот метод, однако, перестает работать, когда
учитываются линии. (В этом случае следует использовать метод
полной линеаризации, описываемый в следующем разделе
настоящего параграфа.) Основная идея метода (см. [40], [41]) состоит в
непосредственном введении условий статистического равновесия в
уравнения переноса. Для этого они преобразуются аналитически
таким образом, что получаются явные выражения для функций
источников. С помощью линеаризации в уравнение переноса вводится
и условие лучистого равновесия. После этого в принципе все три
группы уравнений — уравнения переноса, статистического и
лучистого равновесия — решаются одновременно.
Уравнение переноса имеет вид
d2(fjv)/drl = /,-fo, + njAVx, = /, - S9, (7.135)
где (если опустить связанно-связанные переходы)
Х„ = £ (", - n*e-h»/k7)aik(p) +
^ I ^****(". 7)0 - е~Ык1) + пеоеУ (7.136)
к
% = (2h^/c2)e-»-kT Г I n'aik{v) + £ n/ip^v, 7)1 =
L I к -J
= B, [ l л>л(.0 + l пЛкоскк(у, 7)] (1 - е-""") = *JB, (7.137).
Разобьем теперь спектр на ряд характерных интервалов по частоте
(vi0 ^ v ^ рп) и предположим, что в каждом из них поглощение и
излучение в континууме / — к много больше, чем во всех остальных
континуумах. Например, можно считать, что на всех частотах, ко-

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
299
юрым соответствуют X < 912 А, преобладает лаймановский
континуум, в области 912 А ^ X ^ 3650 А доминирует бальмеров-
v кий континуум, при X > Х7, где Х7 соответствует пределу
ионизации с последнего связанного уровня, преобладает свободно-
свободный континуум и т.п. Выделим далее в коэффициентах
излучения и поглощения эти доминирующие члены, положив для
"/0 < V ^ Vi\
*/х„ = И;/(Я/ - n*e-^kT)]^i^=^JB/(bi - е-Ыкт)> (7.138)
где три величины %iv определены следующим образом:
Значения fv и tv вычисляются с использованием текущих значений
температуры и населенностей уровней, тогда как член (bt - e~hv/kT)
в выражении (7.138) следует заменить его аналитическим
выражением через интенсивность излучения, которое должно находиться
из уравнений статистического равновесия. Уравнение
статистического равновесия для уровня / имеет вид (см. уравнение (7.126))
ЬРш + I Сц) = Rki + Cik + I b,Cv, (7.140)
где Rik и Rki определяются, как обычно, выражениями (5.66) и
(5.67). Разрешая эти уравнения относительно bi - e~hu/kT, будем
тогда иметь
У*'
+ I (*, ~ е-*"*7)^ + Cik(\ - e-h»/k7)], (7.141)
У=1
</*0
так что если ввести f, = neoe/\v (и использовать для нахождения
этой величины текущие значения переменных), то функцию
источников в уравнении (7.135) для области (vi0 ^ v ^ j/.j) можно
записать в виде

300
Гл. 7. Модели атмосфер
где
Ф,.„ = 4iraik(p)/hv9
7,> = B/Dh9
*ь = (!Ф//А + I C^/D|V (7.143)
и £>/|; — это величина, стоящая в квадратных скобках в знаменателе
правой части (7.141). При расчете yiv и eiv также используются
текущие значения величин ft. для других уровней и текущие значения Jv
и Г в тех членах, куда они входят. Поэтому ясно, что значительная
информация в этом методе используется с запозданием. Отметим,
что eiv содержит перекрестный интервал, т.е. интеграл по тем
областям частот, которые лежат вне интервала (*>ю, vn), в котором по
предположению доминирует переход / — к. Обычно этот интеграл
мал по сравнению с интегралом, явно выписанным [в
(7.142).—Ред.] в члене, описывающем рассеяние. В уравнении
(7.142) наиболее существенные члены учтены непосредственно, но
так как информация, касающаяся других уровней, а также
содержащаяся в нелинейных членах, используется с запозданием, все же
требуются итерации. Наконец, осуществляя дискретизацию по
частоте, получаем уравнения вида
dHf^ydrl = Jk- м>* I "/V/ + *,А) - *Л. (7-144>
где для /-го перехода к лежит в интервале ki0 < к < кп.
Теперь нам нужно решить систему (7.144) при условии
лучистого равновесия, которое требует, чтобы
j ХДЛ - SJd, = £ и^хЛ "IE wk*k *
Допустим, что то значение функции Планка Bv, которое
обеспечивает выполнение лучистого равновесия, можно записать через
текущее значение В0, в виде Bv = В® + (Э2?9/Э7)ДГ. Подставляя это вы-

7.5. Звезды ранних типов, модели без ЛТР
301
ражение в уравнение (7.145), находим
ДГ= £ и^Л"£р (7-146)
где
(7.147)
/=*,n
£. = E E WkXuZufiufl/E» (7 148)
i-i *=*,
(0
*2 = E E ^^(3*0/37),. (7.149)
Поэтому уравнение (7.144) переходит в следующее:
dHf^Vdrl = (1 - fcy, -
- £/A,[2?° _ 0^0/37)^]. (7.150)
Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями
(7.37а) и (7.37в) (последнее в явном виде определяет значение
потока).
Система уравнений (7.150) обладает следующими
важными свойствами: а) В ней неявно содержатся уравнения
статистического равновесия и условие лучистого равновесия, в которых
радиативные члены записаны через новое (т.е. еще пока не
определенное) поле излучения. Поэтому решение этой системы
автоматически удовлетворяет обоим дополнительным условиям
(статического и лучистого равновесия. — Ред.). б) Взаимное сокращение
больших членов, описывающих рассеяние, в коэффициентах при
интенсивности излучения происходит аналитически [см., в частности,
формулу (7.147)] до решения уравнения переноса. Поэтому
остающиеся тепловые члены не подвержены влиянию ошибок из-за
неточного сокращения компенсирующихся членов при численном
расчете, в) Эти уравнения имеют стандартную форму Фотрие [уравне-

302
Гл. 7. Модели атмосфер
ние (6.31)], причем интенсивности на всех частотах взаимосвязаны.
Их можно решить, пользуясь обычной схемой исключения, давае
мой формулами (6.39) — (6.41). [Почему в этой задаче метод Фот-
рие эффективнее метода Райбики, несмотря на то что число частот
велико?]
Окончательное решение получается методом итераций. После
решения системы (7.150) и получения Jv с помощью (7.146)
исправляется распределение температуры. Затем с использованием новых
скоростей радиативных переходов решаются уравнения статистиче
ского равновесия, что дает новые населенности уровней. После эт(
го, пользуясь уточненными значениями т\у и х„, рассчитывают но
вые эддингтоновские множители, и вся процедура, начиная с
формулы (7.139), повторяется заново.
Методы описанного выше типа (они родственны методу эквива
лентных двухуровенных атомов в задачах об образовании линий;
см. § 12.2) были развиты Фотрие [211], Ауэром и Михаласом [40],
[41]. Формализм Фотрке внешне сильно отличается от описанного
выше, но по физическому смыслу состоит примерно в том же
самом. Эти методы были успешно применены для построения моде
лей, описывающих континуум у В-звезд, в том числе лаймановский
континуум, в тех случаях, когда использование лямбда-итерации
было бы совершенно безнадежно. Характерная особенность
состоит в том, что в наружных слоях основное состояние водорода
оказывается сильно перенаселенным (см. рис. 7.19). Это
обстоятельство имеет важные последствия, существенно сказываясь на
температурной структуре и на спектре испускаемого атмосферой излуче
ния (обсуждение см. ниже).
Описанный выше метод пытались применить и к случаям, когда
учитываются переходы в линиях [40], [41]. Учет линий существен,
поскольку а) они определяющим образом влияют на населенности
уровней и на энергетический баланс в атмосфере, и б) надежные
значения населенностей уровней, которые можно использовать для
расчета профилей линий (подлежащих сравнению с наблюдениями),
получаются только в том случае, когда при решении уравнений
статистического равновесия переходы в этих линиях учитываются
полностью. Важность этих эффектов иллюстрируется рис. 7.19 и 7.20
На рис. 7.19 видно, что учет La ведет к опустошению уровня
п = 2, который из слегка перенаселенного становится заметно не-
донаселенным. Уменьшение Ьх обусловлено падением температуры.
Сами же населенности пх изменяются мало (см. [40]). На рис. 7.20
виден такой же эффект у Ь7 ий„ появляющийся при учете На. Если

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
I
1
« о
-1
-2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2
ЧГ
Рис. 7.19. Коэффициенты отклонения населенностей двух первых уровней водорода
от равновесных для модели с Т^ = 1$000 К и lg g =■ 4 Штриховые линии:
учитываются только лаймановский, оальмеровский и свободно-свободный континуумы.
Сплошные линии: учитывается также линия La. Оптические глубины, служащие
абсциссой, измеряются непосредственно у бальмеровского скачка по длинноволновую
сторону от него. По [40], с разрешения.
бы мы рассчитали профиль На, пользуясь значениями
населенностей, которые получаются при пренебрежении переходами в линиях
(они подобны приведенным на рис. 7.18), мы обнаружили бы, что
имеется ложная эмиссия в ядре линии (так как уровень п - 3 был
бы сильно перенаселен по отношению к уровню/? = 2). Если же
линию учитывать с самого начала, то это увеличивает населенность
уровня п = 2 за счет населенности п = 3. В результате появляется
сильная линия поглощения (сравнение с наблюдениями будет
обсуждаться в § 12.5).
Если при определении температурной структуры учитываются
линии, то вышеописанный метод работает плохо. Так, в [40]
распределение температуры при учете La скорее стабилизировалось,
чем сходилось к точному, а в [41] решение, полученное с учетом ли-

304
Гл. 7. Модели атмосфер
2.°L__L_I ■—|—■—l '—l—г
1,8 Г \
Г \h2
ь>
ь2
"ь2
0,8 h /
0,6 k
I i I i I i I i I . I i I i I
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Ц X
Рис. 7.20. Коэффициенты отклонения населенностсй второго и третьего уровней
водорода от равновесной для модели с 7^ = 15000 К и lg g = 4. Пунктир:
учитываются только лаймановский, бальмеровский, пашеновский и свободно-свободный
континуумы. Сплошные кривые: учитывается также На. Шкала оптических глубин
та же, что и на рис. 7.19. По [40], с разрешения.
нии На (которая образуется примерно на тех же глубинах, что и
лаймановский континуум), имело тенденцию к сильной
неустойчивости. Причины этих неудач удается выявить, и оказывается, что
они связаны с принципиальными недостатками используемого
метода. 1) Многие члены в уравнениях вычисляются с запаздыванием,
а взаимодействия между переходами учитываются лишь
итеративно, вместо того чтобы с самого начала учитываться коллективно.
2) Зависимость многих переменных (например, непрозрачности) от
температуры в этой процедуре линеаризации игнорируется. 3)
Наконец, что важнее всего, заранее принимается, что температура
является в некотором смысле самой главной переменной задачи.
Такое предположение годится при рассмотрении континуумов, так
как из-за радиативной рекомбинации они сильно связаны с темпе-
1.6 h
1,4 f-
1,2

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
зо:
ратурой. Однако, как отмечалось выше, оно совершенно не годится
для линий, поскольку в этом случае темп излучения и поглощения
прямо не связан с распределением температуры. Рассмотрим
теперь весьма общий и мощный подход, который позволяет
полностью преодолеть эти трудности.
МЕТОД ПОЛНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
С физической точки зрения расчет модели звездной атмосферы
без априорного предположения об ЛТР состоит в нахождении для
каждой точки среды средней интенсивности излучения в
зависимости от частоты и в определении температуры и плотности
вещества и распределения атомов и ионов по всем связанным состояниям.
Эти функции распределения должны быть так<2вы, чтобы
одновременно строго удовлетворялись условия энергетического равновесия,
баланса импульса (т.е. в данном случае — условие
гидростатического равновесия), условия стационарности населенностей уровней
и условия сохранения заряда и числа частиц. Чтобы этого
добиться, важно учитывать два физических соображения, в свете которых
следует строить обобщенный метод. Во-первых, ни одна перемен-
нал не является более «фундаментальной», чем любая другая, так
как все они взаимосвязаны. Поэтому решение на заданной глубине
(в точке md) представляет собой вектор
Фа = Vv Jv -> jk> *> Т> ni> nv •••> "l)T> d = 1. — A (7.151)
где D — число точек по глубине, К — число частот и L — полное
число рассматриваемых связанных уровней (всех видов). (Заметим,
что в векторе \f/d в том виде, как он приведен, имеется избыточная
информация; например, если заданы все величины 7, то значения п1
можно получить из уравнений стационарности. Однако на практике
представляет интерес вся эта информация, и поэтому мы будем ее
сохранять.) Взаимосвязь между всеми этими переменными
сложная, и каждая из них зависит практически от всех остальных.
Например, в § 5.5 уже было показано, что изменение интенсивности
излучения на любой частоте приводит к изменению населенностей
всех связанных состояний [формула (5.108)]. Далее, любое
изменение поля излучения вызывает изменения локальной температуры,
плотности и т.д. Во-вторых, взаимосвязь между переменными в
пределах вс$й атмосферы глобальная, так что изменение любой
переменной в данной точке вызывает изменение всех остальных
переменных во всех других точках. Так, если произвести локальное

306
Гл. 7. Модели атмосфер
изменение населенностей уровней, то это изменит коэффициенты
излучения и поглощения вещества. Поскольку интенсивность
удовлетворяет уравнению переноса, поле излучения изменится при этом
по всей атмосфере. Когда функция источников определяется
главным образом процессами рассеяния, информация распространяется
в веществе на большие расстояния и глобальный характер
взаимодействия становится гораздо более резко выраженным. Метод,
действительно адекватный имеющейся ситуации, должен поэтому
рассматривать все переменные как равноправные, полностью
учитывать все связи между физическими переменными, обусловленные
налагаемыми физическими условиями, и принимать во внимание
взаимодействие каждой из переменных со всеми остальными в
каждой точке атмосферы. Это взаимодействие описывается
уравнениями переноса и условиями баланса энергии и импульса.
Чтобы получить решение фф требуется иметь К + L + 3
уравнений. В качестве этих уравнений можно взять К уравнений
переноса (Jk> к= 1, ..., К), уравнение гидростатического равновесия (7V),
уравнение лучистого равновесия (7), условия сохранения полного
числа частиц (пе) и L уравнений статистического равновесия,
определяющих населенности уровней. Должно быть задано также
полное содержание различных химических элементов и использовано
условие сохранения полного заряда (л,, ..., nL) в точности в том
виде, как записано в § 5.4 (см. уравнения (5.91) — (5.93)).
Существенная трудность, с которой мы здесь сталкиваемся, состоит в том,
что эти уравнения нелинейны и должны, вообще говоря, решаться
с помощью некоторой итерационной процедуры. В частности,
предположим, что искомое (но пока нам неизвестное) решение фё
можно выразить через текущее (но не являющееся точным)
решение yj/°d в виде фа = ф% + Ьфа. Выберем далее S\pd так, чтобы все
уравнения удовлетворялись точнее. Это значит, что если все
налагаемые нами условия компактно записать в виде \^фд) = 0, то мы
потребуем, чтобы f^g + Ьф^ = 0, и разрешим эту систему
относительно Ьфа путем ее линеаризации:
W) + I з^-.^ = °- (7Л52)
Если уравнения переноса переписать как разностные уравнения, а
дополнительные условия — в виде квадратурных сумм, то
величины f будут определяться системой алгебраических уравнений, а
линеаризованная система приводится к стандартной блочной трехдиа-

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
307
тональной форме [уравнение (6.31)]. Решая ее методом
последовательного исключения неизвестных, мы учитываем (с точностью до
членов первого порядка вполне последовательно) взаимное влияние
переменных в одной из точек дискретизации по глубине на
положение во всех остальных точках, причем в конечном счете
принимается во внимание и то, какие наложены граничные условия.
Глобальный характер задачи, таким образом, полностью учитывается.
Описанный только что метод полной линеаризации является
обобщением метода, описанного в § 7.2. В нем принимается во
внимание большее число дополнительных физических условий,
наложенных на решение, а также рассматривается более обширная
совокупность основных физических переменных [42]. Как и ранее,
введем дискретизацию по глубине [md] и дискретизацию по частоте
[рп]. Допустим, что начальное приближение к решению ф%, d = 1,
..., £>, уже получено (скажем, в предположении ЛТР). Уравнения
переноса и здесь имеют вид (7.37а) — (7.37в). Их линеаризованная
форма также уже выписывалась [см. формулы (7.39) —
(7.47) и результаты упражнения 7.9; см. также [437], стр. 22 —
32]. Существенное отличие состоит в том, что для х.и^ теперь
следует пользоваться общими выражениями (7.1) и (7.2), так что
*Xdn = (dX/dT)jTd + (Эх/ЭлДК, + £ &X/Bnflnitd. (7.153)
Аналогичное выражение справедливо и для 5rjdn (подробные
выражения для всех этих производных можно найти в [437], стр. 51 —
57). Далее, населенности уровней не рассматриваются более как
функции (N, Г), а считаются теперь независимыми переменными,
связанными с Г, Jv и т.д. посредством уравнений стационарности.
В качестве уравнений гидростатики и лучистого равновесия
будем опять брать уравнения (7.9) и (7.13), линеаризованная форма
которых дается (7.53) и (7.52) соответственно, причем для bxnd
следует использовать выражение (7.153) и аналогичное выражение для
drjdn. Условие сохранения числа частиц можно записать в виде
Nd + ne,d + £ nLd. (7.154)
Если взять ту же водородно-гелиевую смесь, которая описывалась
в § 5.4, и обозначить через Y содержание гелия относительно
водорода (по числу атомов), то формулу (7.154) можно переписать в бо-

308
Гл. 7. Модели атмосфер
лее простом виде:
nj = пы + (1 + У)[яА1, + f МНИ, (7.155)
что после линеаризации дает
-6Nd + 6ne_d + (1 + У)[влЛ</ + £ &iid(H)] =
i=i
= ^ " "e.rf " (1 + *)["„.* + £ W/>d(H)]. (7.156)
Наконец, уравнении стационарности и условие сохранения заряда
имеют вид, приведенный в § 5.4, а их линеаризованная форма
такова [см. формулы (5.102) — (5.104)]:
bnd - (df\/dne)j>ned - @n/dTybTd - £ (dn/dJkWdk, (7Л57)
где для любой переменной jc
IT e ^ Lit --asr"J (7158)
[см. формулы (5.105) — (5.108) и выражения, приводимые в [42] и в
[437], стр. 38 —47]. Здесь предполагается, что п является решением
текущей системы £*h = 3.
Полная система имеет следующий общий вид:
- A<M/-i + вл- с^+1 = td (7Л59)
и может быть решена с помощью стандартной схемы исключения
Фотрие.
Упражнение 7J4. а) Изобразить структуру матриц А, В и С,
обозначая их ненулевые элементы через х, точно так же, как это
было проделано в § 5.4 в отношении уравнений стационарности.
Показать, что ниже строки, выражающей гидростатическое
равновесие, матрицы А и С имеют лишь нулевые элементы и всюду,
кроме этой строки, отличаются друг от друга [см. [450], стр. 130].
б) Для типичных звезд число точек по глубине D ~ 70, число
частот К ~ 100, а число налагаемых условий L + 3 ~ 15.
Показать, что несмотря на большое значение К, применение схемы ис-

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
309
ключения Фотрие оказывается более экономным, чем
использование схемы Райбики.
В выписанной выше системе Ld представляет собой вектор
невязок условных уравнений (т.е. уравнений, выражающих лучистое
равновесие, гидростатику и т.п. —Ред.) при использовании в них
текущих значений yj/°d. При Ld — О поправки 6\pd — 0. Мы уже
подчеркивали физические следствия полной линеаризации.
Математические уравнения внутренне непротиворечивы, и их использование
эквивалентно применению обобщенного метода Ньютона. Поэтому
сходимость, если она имеет место, должна быть квадратичной. На
практике такая скорость сходимости не достигается, так как после
того, как каждая совокупность поправок 6ф определена и введена в
решение, необходимо перевычислить по формальному решению эд-
дингтоновские множители (которые при линеаризации принимались
неизменными), пользуясь текущими оценками функций источников,
как это делалось и в случае ЛТР. Тем не менее каждая
последующая итерация часто обеспечивает уменьшение величин 6ф на
порядок, и процедура в целом оказывается устойчивой и эффективной.
Она позволяет легко справиться с решением физических задач,
одолеть которые с помощью других описанных выше методов
невозможно. Представляется, что в настоящее время метод полной
линеаризации является наилучшим методом решения задач о расчете
моделей звездных атмосфер без предположения об ЛТР. Этот
метод позволяет справиться с весьма общими задачами, в которых
рассматривается много уровней, много линий и много химических
элементов и учитывается целый ряд физических ограничений.
Причина эффективности этого метода в том, что в нем допускается
возможность любых взаимодействий между всеми переменными
вместо априорных предположений о зависимости всех величин
лишь от ограниченной выборки переменных (например, от Г).
Метод полной линеаризации был с полным успехом применен
для построения моделей в интервале температур от А-звезд [42],
[43], [368], [224] до О-звезд [436], [45]. В более ранних
исследованиях, выполненных до введений метода переменных эддингтонов-
ских множителей [44], использовалось приближение Эддингтона
(т.е. одноточечная квадратура по углу). Эти расчеты были
вытеснены более поздними вычислениями. Имеется обширная сетка
моделей атмосфер О- и В-звезд [430], [432]. В этих расчетах
отклонения от ЛТР учитывались для пяти нижних уровней водорода, двух
первых уровней Hel и Hell и для некоторого «среднего легкого

310
Гл. 7. Модели атмосфер
иона» (который представляет С, N и О), имеющего пять стадий
ионизации, в каждой из которых есть только основной уровень. В
этих моделях обычно учитывается шесть переходов в водородных
линиях: LQ, Ц, Ц, На, Н^, иРау О-звезд и На, Н3, Н7, Ра, Р^
и Ва у В-звезд (для лаймановских линий у этих звезд можно
принимать детальный баланс). В расчетах найдено физическое строение
атмосферы и определены параметры континуума и профили линий
Н.
ВЛИЯНИЕ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ ЛТР НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Отклонения от ЛТР влияют как на непрерывный, так и на
линейчатый спектр излучения, порождаемого звездной атмосферой. В
этом разделе обсуждение будет касаться лишь континуума. По
моделям атмосфер звезд ранних типов имеется достаточно данных,
чтобы выявить как те области диаграммы Герцшпрунга — Рессела,
где отклонения от ЛТР приводят к существенным эффектам, так и
те, где ими можно пренебрегать. В настоящее время в моделях,
построенных без предположения об ЛТР, покровный эффект не
учитывается Поэтому будут сравниваться между собой модели без
покровного эффекта, построенные в рамках предположения об
ЛТР и без этого предположения, с целью выявить
дифференциальные эффекты (которые, как следует предполагать, можно затем
использовать в качестве поправок к значениям параметров,
полученным по ЛТР-моделям с покровным эффектом). Обширные сводки
результатов по скачкам континуума и по показателям цвета в
стремгреновской системе даются в [430], [516], стр. 241, а целиком
распределения энергии приводятся в [432]. Мы дадим здесь сводку
некоторых наиболее важных из этих результатов. За дальнейшими
подробностями отсылаем читателя к указанной только что
литературе.
Для В-звезд (15 000 К ^ Тт ^ 30 000 К) влияние отклонений
от ЛТР в видимой области спектра обычно оказывается малым у
звезд главной последовательности, но становится существенным у
гигантов и сверхгигантов (т.е. при низких ускорениях силы
тяжести). Влияние отклонений от ЛТР на показатели цвета показано
на рис.7.21. Видно, что точки, относящиеся к моделям с ЛТР и без
ЛТР, при заданном ускорении силы тяжести лежат на одних и тех
же кривых, но положение точек, изображающих модели с данной
температурой 7^, слегка различается. Поэтому если отклонения
от ЛТР не учитывать, то оценки Т 4Л будут содержать системами-

7.5. ЗвезОы ранних типов: модели без ЛТР
311
0,10 р- U.5
0,20
0,30
0,40
0,50
-0,11 - 0,10 -0,09 -0,08 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 я1
Ь -у
Рис. 7.21. Теоретические показатели цвета в системе Стремгрена для моделей с ЛТР
и без ЛТР. Ордината: и - Ь. Абсцисса: Ь - у. Значения показателей цвета,
соответствующие ЛТР, представлены кружками и шриховыми кривыми, а в отсутствие
ЛТР — точками и сплошными кривыми. Числа у кривых — значения lg g; у точек,
соответствующих отдельным моделям, приведены значения Т'эфф/Ю3-
ческую ошибку. Для звезд главной последовательности (lg g = 4)
эта ошибка пренебрежимо мала, однако при lg g = 3 ошибки
составляют около 200 К, а при lg g = 2,5 близки к 500 К. Эти
ошибки невелики, но они систематические и для некоторых приложений
могут оказаться существенными. Влияние отклонений от ЛТР на
скачки континуума у лаймановского, бальмеровского и пашеновско-
го пределов (DL, DB и Dp) у В-звезд довольно значительно. Лайма-
новский скачок за счет отклонений от ЛТР у большинства В-звезд

U 2
Гл. 7. Модели атмосфер
увеличивается, так как основной уровень перенаселен ф1 > 1), и
поэтому поток при X < 912 А уменьшается. Эти изменения
существенны, когда для этих звезд делаются оценки полного выхода
энергии в далеком ультрафиолете. Бальмеровские же скачки у В-
звезд за счет отклонений от ЛТР обычно уменьшаются, поскольку
Ь2 < 1, а Ьг > 1, так что из-за отклонений от ЛТР скачок
коэффициента поглощения у бальмеровского предела уменьшается. Паше-
новский скачок почти не изменяется, так как и Ь3, и ЬА больше
единицы, и отношение коэффициентов поглощения остается примерно
тем же, что и при ЛТР. На графике, дающем зависимость DB от
b - у (или какого-нибудь другого отношения потоков), точки,
соответствующие моделям с ЛТР и без ЛТР, при заданном значении
ускорения силы тяжести лежат на одной и той же кривой, но
слегка смещены друг относительно друга (напоминаем рис. 7.21). Если
определение значений Гэфф у звезд производится с помощью такой
диаграммы, то и здесь отклонения от ЛТР приведут к
систематическим ошибкам в оценках Гэфф. Эти ошибки пренебрежительно малы
для звезд главной последовательности, но составляют около 350 К
при lg g = 3 и около 500 К при lg g = 2.
Для получения по континуумам прямых наблюдательных
доказательств отклонений от ЛТР упоминавшиеся выше результаты не
подходят, так как они не позволяют сделать различие между
случаями, когда ЛТР есть и когда его нет. Стром и Калкофен [611]
указали, что чувствительным наблюдательным индикатором
отклонений от ЛТР служит параметр ф = Dp/DB9 в чем можно убедиться
на основании рис. 7.22 и 7.23. Модели с ЛТР предсказывают
значения ф около 0,16 ■*- 0,17 независимо от ускорения силы тяжести,
тогда как модели без ЛТР приводят к гораздо ббльшим значениям
Фч которые возрастают с уменьшением ускорения силы тяжести.
Этот эффект был найден из наблюдений [583]. Для сверхгигантов
значения ф систематически больше, чем для звезд главной
последовательности с тем же значением DB. В калибровке совокупности
наблюдаемых данных имелись некоторые трудности, так что
можно было произвести только дифференциальное сравнение. Эти
затруднения с появлением новой калибровки Веги должны стать
преодолимыми. Кроме того, отклонения от ЛТР оказывают большое
влияние на ультрафиолетовые континуумы А-звезд [587], [588]. Для
этих звезд найдено, что основные состояния CI и Si I сильно недо-
населены, и поэтому поток, получающийся на основе расчетов с
ЛТР, занижен во много раз. Удовлетворительное согласие с заат-
мосферными наблюдениями для этих звезд удается получить,
только когда учитываются отклонения от ЛТР.

0,10
Рис. 7.22. Теоретические значения параметров, характеризующих скачки
континуумов по моделям с ЛТР и без ЛТР, которые соответствуют звездам поздних
подклассов В. Ордината: ф = Dp/Dg. Абсцисса: бальмеровский скачок DB. Точки,
соединенные сплошными линиями: значения параметров цри отсутствии ЛТР. Точки,
соединенные штриховыми линиями: значения параметров при ЛТР. Числа у
кривых — значения lg g.
0,25
0,24
0,23
0,22
0,21
0,20
0,19
0,18
0,17
0,16
щ>шхя^
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
Рис. 7.23. То же, что и на рис. 7.22, но для звезд средних подклассов В.
Заштрихована область, соответствующая моделям с ЛТР при различных значениях g. Кривые
дают значения параметров при отсутствии ЛТР (числа у кривых — значения
ускорения силы тяжести g).

314
Гл. 7. Модели атмосфер
Для О-звезд (Гэфф ^ 30000 К) влияние отклонений от ЛТР на
параметры визуального континуума и на показатели цвета гораздо
более существенно. Как говорилось ранее, у этих звезд основное
состояние водорода оказывается недонаселенным. Поэтому поток в
лаймановском континууме возрастает и лаймановский скачок
уменьшается. В противоположность этому в ионизационном
континууме основного состояния Не II (X < 227 А) из-за отклонений от
ЛТР поток уменьшается, поскольку уровень п = 1 у Не+
перенаселен (см. [45], [432]). Эти изменения имеют значение при оценке
энергии, поставляемой О-звездами, скажем, в туманности или в
межзвездную среду. Самое значительное изменение в видимой
области состоит в том, что бальмеровский скачок, даваемый
моделями без ЛТР, примерно на 0,07 звездной величины- больше (при
lg g = 4), чем DB по моделям с ЛТР, и с изменением ускорения сиг
лы тяжести изменяется лишь незначительно. В то же время для
моделей с ЛТР при малых g скачок отрицателен (см. рис. 7.24).
Абсолютные значения бальмеровских скачков, полученные без
предположения об ЛТР, находятся в прекрасном согласии с
наблюдениями О-звезд, если принять калибровку Веги по Хейесу (что теперь
представляется правильным). Кроме того, дифференциальное по-
0,00 Ь
?зфф> Ю3К
Рис. 7.24. Теоретические бальмеровские скачки у О-звезд. Ордината: DB в звездных
величинах. Абсцисса: 7V»/103. Сплошные кривые: модели без ЛТР. Штриховые
кривые: модели с ЛТР. Числа у кривых — значения Igy. По [45], с рафешения.

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
315
ведение бальмеровских скачков, полученных без ЛТР при низких и
при высоких значениях ускорения силы тяжести, согласуется с
наблюдениями, а при наличии ЛТР такое согласие отсутствует [405].
Такое же заключение справедливо и в отношении изменения
значений DB при переходе от О-звезд к звездам типа ВО [45]. Оба этих
результата не зависят от калибровки и служат сильным
подтверждением правильности расчетов, не базирующихся на ЛТР. То, что
бальмеровский скачок остается почти постоянным по величине для
моделей без ЛТР, но заметно уменьшается при переходе к моделям
с ЛТР, приводит к очень большим различиям в вычисленных
показателях цвета (скажем, (и - Ь) и ф - у)) для этих двух групп
моделей [516], стр. 241. При самых высоких температурах
расхождение в Г^ф при заданном значении (и -Ь) составляет около 15000 К.
Сравнение значений Гэфф, полученных по показателям цвета, с
найденными по интенсивностям линий гелия подтверждает
результаты, найденные без предположения об ЛТР. Такого рода сравнения
можно было бы сделать значительно более тонкими за счет
использования большого количества разнообразных данных, а также
за счет того, что сравнение О-звезд с В-звездами можно
производить дифференциально (тем самым избавившись от проблем,
связанных с калибровкой) (см. также обсуждение в [516], стр. 241).
Резюмируя, можно сказать, что отклонения от ЛТР оказывают
значительное влияние на параметры визуального континуума у О-
звезд и у гигантов и сверхгигантов типа В, а у звезд главной
последовательности типа В они пренебрежимо малы. Отклонения от
ЛТР вызывают очень большие изменения потока в лаймановском
континууме водорода и в резонансных континуумах некоторых
легких ионов, таких, как CI и Si I. Для звезд более поздних типов
следует изучить отклонения от ЛТР у иона Н~. При имеющихся в
настоящее время оценках скоростей существенных здесь процессов
[556], [188] ожидаемые эффекты [607] пренебрежимо малы для G- и
К-звезд главной последовательности и гигантов (см. также [491],
[492]). Практически ничего не известно о возможной роли
отклонений от ЛТР у звезд других типов (например, у М-гигантов или
сверхгигантов). Для оценки этих эффектов предстоит проделать
большую работу. Наконец, ждет исследования и проблема учета
отклонений от ЛТР при рассмотрении покровного эффекта.
ТЕМПЕРАТУРНАЯ СТРУКТУРА: МЕХАНИЗМ КЭРЕЛЯ И ЭФФЕКТЫ,
ВЫЗЫВАЕМЫЕ ЛИНИЯМИ
Как было показано в гл. 3, в серой атмосфере температура
монотонно убывает наружу, имея предельное значение

316
Гл. 7. Модели атмосфер
ТУ^эфф = 0,811. Далее, в несерой атмосфере, в которой имеется
большой скачок непрозрачности или сильные линии, при
предположении об ЛТР граничная температура оказывается ниже своего
значения в серой атмосфере (исключения: линии, образующиеся за
счет рассеяния, не сказываются на граничной температуре; в
некоторых специальных случаях «новые» источники поглощения могут
вызвать небольшое повышение температуры). Резюмируя, можно
сказать, что одно из основных заключений, касающихся атмосфер с
ЛТР, находящихся в лучистом равновесии, состоит в том, что
распределение температуры есть функция, монотонно убывающая
наружу. Распределение температуры часто имеет плато на тех
глубинах, где доминировавший ранее переход (например, бальмеровский
континуум) становится оптически тонким, тогда как другие
переходы (например, лаймановский континуум и лаймановские линии) еще
совершенно непрозрачны. За этим плато следует ряд других, с
крутыми спадами температуры между ними, расположенными там,
где непрозрачные переходы последовательно становятся оптически
тонкими.
Для атмосфер без ЛТР положение совершенно иное. Обычно
распределение температуры у них имеет минимум, после которого
температура растет наружу. Основная причина того, почему так
происходит, была указана Кэрелем [142]; [283], стр. 169, который
обратил внимание на сходство физических условий в наружных
слоях звездных атмосфер с условиями в туманностях, окружающих
звезды. Допустим, что энергетический баланс целиком
определяется поглощением и излучением при переходах лишь с одного уровня
(например, из единственного связанного состояния Н~ или из
основного состояния водорода). Тогда при ЛТР условие лучистого
равновесия можно записать в виде
п* ] afiv{TJdv = п* ] avJvdv = n*W \ *JB£TR)dvy (7.160)
"о ,;о 'о
где в последнем равенстве введено параметрическое представление
J\, через фактор дилюции W и температуру излучения Тр. Так как
W < 1, ясно, что Г0 < TR. В частности, если W = 1/2 и TR - Т^>
то Т0 близко к значению для серой атмосферы. Только что
найденный результат получился потому, что мы постулировали
ЛТР. Предположим теперь, что допускаются отклонения от ЛТР.

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
317
Тогда
"Г J «AW* = Vr I «//& = bxn\w ] <xfijLTRydv. (7.161)
"0 "0 "0
В предельном случае низких плотностей коэффициент отклонения
от ЛТР определяется скоростями фотоионизации и рекомбинации
[см. Формулу (5.95)] и
00 00
Ьх = \(*¥B¥/hv)dv/\(f*¥J¥/hv)dv. (7.162)
"О о
Поэтому, комбинируя (7.161) и (7.162), имеем
ОО 00
\avBv(T0)dv/\ccvBv{T^v-4v =
= ]*¥Bv(TR)dv/\*Bv{TR)v-4v, (7.163)
откуда видно, что Т0 = TR независимо от значения W. Таким
образом, следует ожидать, что обычно температура будет падать от
Т = ^ф вблизи т « 1 до значения Гт1п, примерно равного
граничной температуре в сером случае, а затем возрастать до значения
Г0, причем Гт^ < Т0 < Гэфф. Эти результаты можно
интерпретировать и иначе, пользуясь понятиями «количества» и «качества»
излучения [239]. Именно, при ЛТР значение Т0 фиксируется плотное-
тью энергии (т.е.количеством) излучения. Когда ЛТР нет,
плотность энергии может быть ниже своего равновесного значения, но
каждый фотон имеет энергию, характерную для TRi и поэтому все
же способен ионизовать вещество и поставлять в него избыточную
энергию, величина которой в расчете на акт ионизации также
характеризуется TR [см. также [240]].
Для Солнца Г^ф = 5900 К, и по оценке Кэреля Т0 = TR « 5600
К, тогда как Tmin « 4800 К (серое значение). На основе детального
расчета солнечной модели с лучистым равновесием Фотрие получил
f211l ^min * 4700 К и Г0 « 5200 К. Аналогичные эффекты имеют
меСто и для О- и В-звезд, у которых главным источником нагрева
поверхностных слоев является лаймановский континуум.
Например, на рис. 7.17 видно, что температурная структура ЛТР-
атмосферы с Т^ = 15000 К, lg g = 4 имеет плато при 10400 К,
где лаймановский континуум непрозрачен, а все остальные
прозрачны. За ним следует резкий спад до Т0 — 9400 К, происходящий,

318
Гл. 7. Модели атмосфер
когда вышележащие слои становятся прозрачными в лаймановском
континууме. Для модели без ЛТР температура при
10~4<5 < 10~2 лежит ниже ее значения при ЛТР (потому что для
бальмеровского континуума Ь2 < 1, и поэтому эффективность
нагрева понижена). Распределение температуры при отсутствии ЛТР
имеет минимум около 10100 К и затем растет наружу до
Т0 ~ 10350 К, что на 1000 К выше значения температуры на
поверхности при ЛТР. Совпадение этого значения Т0 с бальмеровским
температурным плато при ЛТР является, вероятно, случайным.
Дать априорную оценку подходящего значения TR в лаймановском
континууме трудно, так как в отличие от континуума Н~, который
почти серый, в лаймановском континууме непрозрачность быстро
уменьшается с ростом частоты. Это приводит к тому, что
излучение высоких частот, имеющееся на поверхности, зарождается в
более глубоких и более горячих слоях и характеризуется ббльшими
значениями TR. Окончательный результат получается путем
некоторого усреднения TR по частотам. Аналогичные результаты
получаются и при других эффективных температурах [40], [211].
Детальное обсуждение роли различных конкретных переходов можно
найти в указанных работах.
Рассмотрим влияние линий на энергетический баланс при
отсутствии ЛТР. (Рекомендуем читателю еще раз перечитать этот
материал после того, как будет изучена гл. 11.) Качественное
представление о том, каких результатов следует ожидать, можно сразу
же получить из рассмотрения выражения для функции источников в
линии, контролируемой столкновениями (см. § 11.2), а именно
S,- = (1 - sl)Ji + efi¥, (7.164)
где 7 — средняя интенсивность Jv, усредненная по частотам с весом
фр (профиль поглощения и излучения в линии). Из соображений,
совершенно аналогичных тем, которые привели к формуле (7.86),
получаем результат [625], лишь тривиально отличающийся от
найденного при обсуждении (7.86), несмотря на то что функция
источников в линии содержит член, учитывающий некогерентное (в
отличие от когерентного в рассмотренном ранее случае) рассеяние.
Поэтому приходим к тому же заключению, что и ранее: при ЛТР
(г = 1) происходит значительное уменьшение граничной
температуры, но когда е < 1, линии почти не оказывают влияния на
граничную температуру. Эти соображения подтверждаются прямыми
расчетами [448] для такой модели частокола, в которой учитывается
возможность изменения континуума под влиянием линий со стро-

7.5. Звезды ранних типов: модели без ЛТР
319
гим соблюдением лучистого рановесия. В этой работе считается,
что сила линий остается неизменной, что будет верно, например,
для резонансных линий преобладающего иона данного элемента
(например, Call в солнечной атмосфере).
Весьма детальный расчет покровного эффекта без принятия
ЛТР для солнечной атмосферы [17] приводит к заключению, что
для самосогласованной модели 7~min « 4330 К и что подъем
температуры с приближением к поверхности, вызываемый механизмом
Кэреля для континуума, сильно подавляется линиями. Для звезд
ранних типов влияние линий на энергетический баланс можно
исследовать по моделям без ЛТР, построенным с помощью метода
полной линеаризации (см. указанную выше литературу).
Выявляется несколько интересных результатов. Например, рис. 7.17
иллюстрирует влияние учета (одной только) линии La в дополнение к лай-
мановскому континууму. При ЛТР граничная температура
уменьшается примерно на 1600 К — с 9400 К до 7800 К. В случае же
отсутствия ЛТР граничная температура поднимается до Т0 « 10350
К (благодаря нагреву за счет лаймановского континуума), а
добавление La вызывает уменьшение температуры до 9800 К — всего на
одну треть того, что имеется при ЛТР. Этот результат
неудивителен, так как е < 1. Окончательное распределение температуры при
отсутствии ЛТР довольно сложно.
Еще более интересный пример показан на рис. 7.25,
иллюстрирующем важную роль взаимодействия между линиями и континуу-
Рис. 7.25. Распределение температуры
согласно моделям с ЛТР и без ЛТР, для
которых 7\. = 15000 К и lg g = 4.
Атмосфера состоит из водорода, который
представляется схематической моделью
атома с тремя связанными уровнями и
континуумом. Этой моделью атома
учитываются лаймановский, бальмеров-
ский, пашеновский и
свободно-свободный континуумы и линия На.
(Сплошная кривая: ЛТР нет, линий нет;
штриховая: ЛТР, линий нет; пунктирная:
ЛТР нет, На; штрих-пунктирная: ЛТР,
Н .) По [41], с разрешения.

320
Гл. 7. Модели ат\ь^фер
мами. Здесь принята модель атома водорода с тремя уровнями.
Рассматривалось образование первых трех континуумов плюс
свободно-свободный континуум и На [41]. Лаймановские линии не
учитывались, поскольку они образуются в самых наружных слоях,
тогда как На формируется примерно на той же глубине, что и лай-
мановский континуум, и может с ним взаимодействовать. При
ЛТР На уменьшает поверхностную температуру от ее значения при
учете одних только континуумов, равного 9400 К, до примерно
8900 К. Однако если ЛТР не предполагается, то учет На повышает
температуру на границе от примерно 10500 К (значение,
получающееся, когда учитываются только континуумы) до 11200 К. Этот
результат никак нельзя назвать классическим! Линия сама по себе
дает отрицательный вклад в энергетический баланс (т.е. вызывает
охлаждение). Но в то же время она служит эффективным каналом
перехода атомов на уровень п = 2, где поле излучения вызывает
сильный нагрев. Таким образом прямое влияние
линии — охлаждение — перевешивается косвенным влиянием линии
на баланс энергии в континууме — возможность, на которую
указал Кэрель [143]. Добавление более высоких бальмеровских линий и
линий пашеновской серии [42] поднимает температуру еще больше.
Эффект, обусловленный одной линией На, примерно равен эффекту
18
30000 К
ГН
U НеН
I
Не I/
V
_J L
J_
-7 -6 -5 -4 -3 -2-10 1
lg т
Рис. 7.26. Распределения температуры у
моделей с Г .. = 30000 К. Ордината:
Г/103. Абсцисса: логарифм количества
вещества на луче зрения в г/см2.
Сплошная кривая: модель без ЛТР с учетом
линий. Штриховая кривая: модель без
ЛТР с учетом одних только
континуумов. Пунктирная кривая: модель с
ЛТР. Черточками на кривых отмечены
те точки, в которых оптическая глубина
равна единице для наиболее
непрозрачной области указанного около черточки
перехода (когда указано название иона»
имеется в виду континуум его основного
состояния). По [436], с разрешения.

7.6. Протяженные атмосферы
321
от добавления Н^ и Ра, а остальные линии вызывают лишь
незначительный дополнительный рост температуры. Последний пример
показан на рис. 7.26, где приведено распределение температуры для
модели с Г^ф = 30000 К, lg g = 4 [436], в которой учитывались
линии La, Ц, L , На и Ра. Для модели с ЛТР температура убывает
наружу монотонно. Распределение температуры для модели без
ЛТР, в которой учитываются только континуумы, показывает ее
рост наружу за счет нагрева лаймановским континуумом Н и
континуумом основного состояния Hel и Hell. Модель без ЛТР,
построенная с учетом линий, показывает усиление роста температуры
за счет влияния бальмеровских линий, за которым следует спад,
вызываемый лаймановскими линиями.
Разнообразие и сложность только что описанных эффектов
подчеркивает необходимость большой осмотрительности при
проведении физически последовательного анализа. Не считая Солнца, для
которого имеются довольно детальные исследования, изучение
покровного эффекта в звездных атмосферах без ЛТР едва только
начато, и здесь еще предстоит проделать большую работу.
7.6. Протяженные атмосферы
До сих пор при построении моделей предполагалось, что
атмосфера состоит из плоскопараллельных слоев. Это служит
превосходным приближением, когда характерный масштаб изменения
плотности с высотой в атмосфере мал по сравнению с радиусом
звезды. Однако многие звезды, в частности сверхгиганты и звезды
Вольфа — Райе, имеют протяженные атмосферы, толщина
которых составляет заметную долю радиуса звезды. В качестве первого
приближения мы предположим, что эти атмосферы сферически-
симметричны. Тот факт, что атмосфера является протяженной,
влечет важные физические и наблюдательные следствия. Так,
звезды с протяженными оболочками имеют распределение энергии в
континууме с яркостной температурой, аномально низкой по
сравнению с температурой возбуждения, определяемой по
спектральным линиям. Другими словами, распределение энергии по частотам
у этих звезд более плоское, чем у звезд главной последовательности
того же спектрального типа (имеющих компактные плоские
атмосферы), и у них наблюдается избыток излучения в инфракрасной
области и дефицит в ультрафиолете. У звезд с протяженными
оболочками наблюдения почти всегда свидетельствуют о наличии
быстрого расширения атмосферы, так что здесь следует рассматри-

322
Гл. 7. Модели атмосфер
вать динамические модели, которые учитывают гидродинамические
эффекты. Такие модели будут изучаться в гл. 15. Пока же мы
займемся более ограниченной задачей о решении уравнения переноса
излучения в неподвижных протяженных оболочках.
В протяженной разреженной атмосфере на больших расстояниях
от находящегося в глубине диска звезды излучение становится
сильно дилютированным и по преимуществу распростряняется в
пределах узкого конуса с осью, направленной по радиусу (этот
конус опирается на диск). Из всего этого следует, что температурная
структура атмосферы должна быть совершенно не такой, как в
плоской модели, и что должны появиться математические
затруднения, обусловленные пикообразной зависимостью интенсивности
излучения от направления. Уравнение переноса, которое подлежит
решению, имеет теперь вид (см. § 2.3)
txdl/dr + г- »(1 - u^dl/dfi = Vu- хЛ> (7Л65)
а его моменты записываются так (см. § 2.4):
r~2d(r2Hv)/dr = % - хЛ (7.166)
и
дК/дг + г-\ЪК9 - Jv) = -XvHy (7.167а)
ИЛИ
Э(/Л)/Эг + /-W, - \)Jv = -XvHv. (7.1676)
Ясно, что эти уравнения сложнее и оперировать с ними труднее,
чем с их аналогами для плоской геометрии. Например, уравнение
(7.165) является уравнением в частных производных , содержащим
явным образом две независимые переменные. Далее, из моментных
уравнений не получается какого-либо простого результата, если
мы, к примеру, исключим Hv из уравнений (7.166) и (7.167) (хотя
несколько позже будет описано преобразование, которое все же
позволяет свести эти два уравнения к одному комбинированному мо-
ментному уравнению весьма привлекательного вида). Моментные
уравнения можно было бы решать, по крайней мере приближенно,
если бы удалось найти достаточно точное соотношение между Kv и
У, как это было возможно в плоском случае. Хотя на большой
глубине, где поле излучения изотропно, fv и стремится к 1/3, однако
вблизи поверхности/, — 1 (напоминаем упражнение 1.12). Поэтому
непосредственное применение приближения Эддингтона, которое в
плоском случае дает исключительно хорошие результаты, вблизи
поверхности не будет оправданным даже грубо. Как было указано

7.6. Протяженные атмосферы
323
Мак-Кри [413] и Чандрасекаром [148], для разреженной атмосферы,
окружающей центральную звезду радиуса г,, можно построить
разумную аппроксимацию, если ввести угловые средние от
интенсивности излучения, рассчитанные по отдельности для промежутка
\лщ <* IX < 1, где /х, ш (1 - rj/r2)72, и для промежутка
-1 ^ \к ^ /х, (см. также [403]). Однако этот метод работает,
только если значение г* можно выбрать вполне однозначно. Для
протяженных фотосфер значительной плотности и не пренебрежимо
малой оптической толщины этот метод перестает работать (см.,
впрочем, [635]). Поэтому неудивительно, что разработка
эффективных общих методов решения задач переноса излучения при
сферической гЬОметрии так затянулась. Достаточно общий и гибкий
численный метод, дающий прямое решение уравнений
(7.165) — (7.167), будет изложен в этом параграфе несколько позже.
Для рассмотрения серого случая приближенное решение будет
получено путем простой сшивки асимптотических результатов для
двух упомянутых выше предельных режимов. Это решение
послужит нам отправным пунктом при оценке влияния протяженности
атмосферы на распределение энергии в спектре выходящего
излучения.
СЕРЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ АТМОСФЕРЫ
Задача о сеоой сферической атмосфере, в которой имеются
локальное термодинамическое и лучистое равновесия, решалась
приближенно Козыревым [360] и Чандрасекаром [148]. Недавно Хаммер
и Райбики [323] получили численные результаты высокой точности.
Если прдположить, что х„ = X» и проинтегрировать уравнения
(7.166) и (7.167) по всем частотам, то, опустив индекс v у величин,
проинтегрированных по частотам, получим
r~2d(r2H)/dr = 0, (7.168)
d{fJ)/dr + г-ЧЗ/ - 1)7 = -ХЯ, (7.169)
причем при написании уравнения (7.168) было использовано
условие лучистого равновесия
00 00
JV*" = JVA = *у- (7Л70)
о о
Следствием уравнения (7.168) является интеграл полного потока
г2Н = Н0= Ь/16тг2, (7.171)

324
Гл. 7. Модели атмосфер
где L — светимость звезды. Введем оптическую глубину,
измеряемую в радиальном направлении от произвольного достаточно
большого внешнего радиуса R:
r(r)= jX<r')A". (7.172)
г
В глубине атмосферы (т.е. при г < Rt т > 1), как можно ожидать,
поле излучения становится изотропным и/— 1/3. В этом
предельном случае уравнение (7.169) переходит в следующее:
dJ/dr = -Зх# = -3Х/-2Я0, (7.173)
интегрирование которого дает
т
7(т) = #0(3 \г~2(!т' + С). (7.174)
о
Если бы при г = 0 можно было использовать обычное граничное
условие эддингтоновского типа, то было бы
/(0) = 2Я(0) = 2H0/R\ так что
т
7(т) = Д-2#0[3 ((flVr2)*-' + 2]. (7.175)
о
Этот результат принадлежит Чандрасекару [148]. Если далее
сделать предположение об ЛТР, то rjv = \vBv = xBv, и из уравнения
(7.170) следует, что У(т) = В(т) = оТ*/ж. Этим равенством
определяется распределение температуры в атмосфере. Уравнения (7.174)
и (7.175) справедливы только на больших глубинах. Вблизи
поверхности осуществляется режим свободного распространения фотонов
(без взаимодействия с веществом. —Ред.) и/— 1. В этом случае
уравнение (7.169) принимает вид
d(r2J)/dr = -Хг2Н = -ХЯ0, (7.176)
откуда
J (г) = г-2Н0(т + С). (7.177)
В пределе при/ = 1 будет 7(0) = #(0) = H0/R2, и формула (7.177)
переписывается в виде
7(г) = г~2Н0(т + 1). (7.178)
Следует ожидать, что это соотношение будет справедливо только
при т < 1, г « R.
Если принять степенной закон изменения коэффициента погло-

7.6. Протяженные атмосферы
325
щения, т.е. х = Спг~п> как это делалось в первоначальных работах
[360], [148], то удастся продвинуться существенно дальше. Как
было отмечено Козыревым, в случае расширяющихся атмосфер
имеются серьезные физические аргументы в пользу именно такого
выбора, так как уравнение неразрывности (см. § 15.1) требует, чтобы
произведение pvr2, где р — плотность иу- скорость расширения,
было постоянно. В предельном случае очень быстрого расширения,
когда v > ^убегания (как это на самом деле и наблюдается), вещество
движется практически с постоянной скоростью, так что р ~ г~2.
Можно ожидать, что непрозрачность пропорциональна некоторой
степени плотности (например, в случае электронного
рассеяния — ее первой степени, а для свободно-свободных
переходов — квадрату плотности). Поэтому она изменяется как
некоторая степень 1/г. Подставив степенное выражение для х в
(7.172) и положив для простоты R - оо, получим
Т(г) = Спг-(» ~ *>/(„ - 1). (7.179)
Принимая во внимание формулу (7.179), заключаем, что
предельной формой зависимости У(т) при г — 0, т > 1 является
/- [3(л - \)/{п + 1)]#(/-27, (7.180)
формула же (7.177), справедливая при т < 1, остается без
изменения. Поэтому заманчиво осуществить интерполяцию между этими
двумя предельными случаями. Одна дается выражением [387]
у(т) = ЗЯо.^1Гт 1^Ц1. (7.181)
г2 п + 1 L 3 п - 1J
Сравнение с численными расчетами показало, что формула (7.181)
обеспечивает высокую точность. Используя то, что J и В равны, и
обозначая через Т1 температуру при т = 1, можем переписать
формулу (7.181) в виде
™-г^[Ьз^/[,+|^т]Г <7|82)
Из формулы (7.182) вытекает важное характерное отличие
сферического случая от плоского, а именно: в протяженной атмосфере при
т — 0 температура стремится к нулю, а не к конечному значению.
Отсюда следует, что вклад внешних холодных слоев, которые
занимают большой объем, будет усиливать поток излучения в
длинноволновой области и будет приводить к тому характерному
уплощению распределения энергии в спектре, о котором упоминалось
выше.

326
Гл. 7. Модели атмосфер
Поток, приходящий к наблюдателю, расположенному на
большом расстоянии от центра звезды, можно рассчитать, пользуясь
координатной системой (/?, z), показанной на рис. 7.27. Прицельное
расстояние р — это расстояние между заданным лучом и
параллельным ему лучом, проходящим через центр звезды;
z —расстояние вдоль луча, измеренное от плоскости, проходящей
через центр звезды перпендикулярно центральному лучу. Примем,
что ось z направлена к наблюдателю, и формально поместим
наблюдателя при z = о° (это оказывается удобным при вычислении
интегралов). Координаты р и z связаны с полярными координатами
г и в следующим образом: z = rcosti, р = rsin0, причем г = (р2 +
+ z2)Vl. Если фиксировать значение р, то уравнение переноса
излучения вдоль этого луча в направлении роста z будет иметь вид
di/dz = Vv- хЛ> С7-183)
что следует из простейших соображений. Формальное решение
уравнения (7.183) для интенсивности излучения при z = °°, т.е.
выходящего вдоль луча с прицельным расстоянием/?, можно написать
непосредственно:
00
1,(р, оо) = j в„(Т{р, г))ехр [-т(р, г)]х(Р. z)dz, (7.184)
Наблюдатель
(г = оо)
Рис. 7.27. Системы координат, используемые при решении уравнения -переноса в
случае сферической геометрии.

7.6. Протяженные атмосферы
327
где т(р, z) — оптическая глубина, отсчитываемая от z = » вдоль
луча по направлению к звезде.
Упражнение 7.15. Путем замены переменных выразить
производную d/dz\p через производные по сферическим координатам и
показать, что уравнение (7.183) равносильно уравнению (7.165). В
системе координат р и z лучи р = const являются характеристиками
дифференциального уравнения в частных производных, которое
вдоль этих прямых сводится к обыкновенному дифференциальному
уравнению.
Полный поток, получаемый наблюдателем в расчете на единицу
площади приемника, равен
оо
lv = 2тг£>-2(/Др, oo)pdp. (7.185)
о
Следуя Козыреву [360] (см. также [61], стр. 165), сделаем в
интеграле (7.184) замену переменных в = arccos z /г и вместо т(р, z)
будем писать т(р, в). При степенном законе изменения
непрозрачности будем иметь т(р, в) = С^~{п ~ ])фп(в), где
в
фп(в) = jsin"-20'tf0'. (7.186)
о
Тогда
■к
1,<Р. ») = С„р-« ' »\Bv(T(p, 0))ехр1-т(р, 0)]sin" " 4d6. (7.187)
О
Подставим выражение (7.187) в формулу (7.185) и произведем после
этого еще одну замену переменных, а именно вместо/? = rsin0
введем величину 7 (г)—радиальную оптическую глубину,
определяемую равенством (7.179). В результате получим
2
00
lv = т(Л,/Л)2 (Д,(Г(г))т~" " '*»*, (7.188)
О
где в качестве Rx выбрано то значение радиуса, при котором 7=1,
и
Фя(т) = 2Jexp[-(/i - l)7^(0)/sin"-1 в] sin Odd. (7.189)
о"
Упражнение 7.16. Вывести формулы (7.186), (7.188) и (7.189).
Исходя из закона изменения температуры, определяемого
формулой (7.182), по формуле (7.188) можно рассчитать поток, выходя-

328
Гл. 7. Модели атмосфер
-1,0
-0,5
0
О
+ 0,5
в?
«Л 1,0
V
1,5
2,0
2,5
'''•••...Д>Си/э)
•»,
* _
^ 11 I
\ X
\ 1
\
\
1 L__._l
Чо
3,0
2,0
1,0
Рис. 7.28. Сплошная кривая: поток излучения Fv, выходящего из серой сферической
атмосферы с Тх = 5 • 104 К и л = 2. Штриховая кривая: кривая чернотельного
излучения с цветовой температурой Г,, имеющая при X = 5000 А тот же наклон, что
и кривая Fy. Обратите внимание на ультрафиолетовый и инфракрасный избытки у
Fv по сравнению с Bv(Tc). Пунктирная кривая: чернотельное излучение при
температуре Т = Т(т = Уз), характерной для плоской атмосферы. Абсцисса: 1/Х, где X — в
мкм. По [61], стр. 165, с разрешения.
щий из серой сферической атмосферы при конкретных значениях
характерной температуры атмосферы Тх и показателя л,
определяющего степень протяженности атмосферы (л — оо соответствует
переходу к плоским моделям; малым значениям п соответствуют
атмосферы большой протяженности). Из наблюдений
определяются цветовые температуры Тс в области длины волны Хс, для чего
используются измерения показателей цвета в той или иной
цветовой системе. Их находят также по спектрофотометрическим
градиентам. В обоих случаях, по существу, определяется наклон
континуума. Ван Блерком [61] рассчитал Г. при
\ = 5000
А для

7.6. Протяженные атмосферы
329
различных моделей с Тх = 50000 К. Он нашел, что Гс/104 = 5 при
п = оо, а при п = 10; 5; 3 и 2 соответственно Гс/104 = 4,3; 3,5; 2,2
и 1,2. Это показывает, что увеличение протяженности атмосферы
приводит к эффектам, аналогичным тем, которые вызываются
уменьшением ее температуры. Так, для модели с Тх = 50000 К и
п = 3 распределение энергии в потоке почти совпадает с
распределением для модели с Г, = 30000 и п = 5. Основываясь на этих -
результатах, можно понять, почему у сверхгигантов и звезд WR
цветовые температуры ниже, чем у звезд главной последовательности
того же спектрального типа. Ясно также, что эффекты
протяженности атмосферы вносят неоднозначность в выбор модели
строения атмосферы звезды, поскольку почти одинакового согласия с
наблюдениями можно добиться, пользуясь различными моделями,
отличающимися друг от друга своей температурой и
протяженностью — характеристиками, оказывающимися в какой-
то мере взаимозаместимыми. Частотная зависимость потока
излучения, выходящего из протяженной серой атмосферы, показана на
рис. 7.28, где она сравнивается с функцией Планка при температуре
Тс (где Тс — цветовая температура потока при Хс = 5000 А) и с
функцией Планка при Т(т = 2/3) (распределение излучения,
которое выходило бы из плоской атмосферы). Ясно видно, что
излучение, выходящее из протяженной атмосферы, имеет резко
выраженный дефицит потока в ультрафиолете и инфракрасный избыток
по сравнению с плоской атмосферой той же характерной
температуры. По отношению же к планковской функции при Тс (т.е. при
той температуре, которая была бы приписана звезде по данным
наблюдений) распределение энергии в потоке обладает как
инфракрасным, так и ультрафиолетовым избытком. Этот результат
есть проявление существенно неоднородного характера поля
излучения в протяженных атмосферах, обусловленного большими
перепадами температуры в пределах оболочки. Более близкие к
реальности несерые модели, построенные без предположения об ЛТР,
будут рассмотрены после изложения общего метода решения
уравнения переноса.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ПРИ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Для решения уравнения переноса при сферической геометрии
применялось большое число различных методов. Козырев [360] и
Чандрасекар [148] пользовались видоизмененными вариантами
приближения Эддингтона, которое, однако, приводит к большим ошиб-

330
Гл. 7. Модели атмосфер
кам вблизи поверхности. В последующих работах [154], [679], [680]
зависимость интенсивности излучения от угла аппроксимировалась
с помощью разложения по сферическим гармоникам, но лишь до
второго порядка. Как было убедительно показано Чепменом [163],
эти методы не могут правильно описывать поле излучения, так как
у поверхности оно приобретает пикообразный характер с резким
максимумом в радиальном направлении, так что/^— 1 (см. [163],
рис. 1 или [323], рис. 6). Предлагались методы [130], [255], [507], в
которых в уравнении (7.165) используются конечные разности как
по угловой, так и по пространственной координатам (родственные
S^-методу, используемому в теории ядерных реакторов [127]).
Однако эти методы становятся непригодными, когда дискретные
сферические оболочки становятся оптически толстыми. Поэтому они
должны быть дополнены специальными приемами, которые
позволили бы сделать их пригодными для расчета моделей звездных
атмосфер.
Описываемый ниже метод, который является достаточно
общим, устойчивым и эффективным, основан на использовании
дифференциального уравнения. В нем метод Фотрие используется
для нахождения решения вдоль лучей с определенными
прицельными расстояниями (касательных к дискретным оболочкам), что
позволяет выявить угловую зависимость интенсивности,
необходимую для вычисления переменных эддингтоновских множителей
[323] по уже найденной ц каком-то приближении функции
источников. Затем при известных эддингтоновских множителях
используется схема метода Фотрие для решения комбинированного моментно-
го уравнения, для получения которого применяется изящное
преобразование, введенное Ауэром [32]. Другой путь может заключаться
в получении решений непосредственно с помощью метода типа
Райбики [442] (если входящий в выражение для функции источников
интеграл, описывающий рассеяние, не зависит от частоты). Был
предложен и равносильный этому метод, использующий
интегральное уравнение [558].
Рассмотрим сначала моментные уравнения. Будем считать все
переменные функциями г и v и введем радиальную оптическую
глубину dTv - -xvdr. Тогда эти моментные уравнения имеют вид
d(r2Hv)/dru = r\Jv - Sv\ (7.190)
biSvJv)/b7v - (3/, - 1У,/х/ = Л,. (7.191)
где предполагается, что S имеет представление самого общего ви-

7.6. Протяженные атмосферы
331
да:
S„ = *v\R(r\v\v)Jv,dv' + /3,. (7.192)
В задаче о чисто непрерывном спектре в выражении для Sv
присутствовал бы лишь член, описывающий монохроматическое
рассеяние, и оно было бы^ проще. При рассмотрении уравнений (7.190) и
(7.191) имеются две существенные трудности, а) Непосредственное
исключение Н не приводит к простому уравнению. Получается
довольно сложное уравнение, в которое входят производные как
первого, так и второго порядка, б) Член уравнения (7.191),
содержащий множитель (х/)"1, обладает той особенностью, что он
быстро возрастает с приближением к поверхности (напомним, что
коэффициент поглощения х„ рассчитан на единицу объема, и поэтому
из-за изменения концентрации частиц он изменяется на несколько
порядков величины). Этот член делает систему неустойчивой. Обе
эти трудности можно преодолеть путем ведения [32] фактора
сферичности qv, определяемого равенством
In(r^) = j[(3/, - l)/r'/J<*" + lnrc2, (7.193)
rc
где г — некоторый «радиус ядра», соответствующий самому
глубокому слою, рассматриваемому при отыскании решения. Ясно,
что если известно/,,, то qv находится легко. Введение множителя qv
позволяет переписать уравнение (7.191) в форме
b{fvq/2Jv)/drv = q/2Hv. (7.194)
Если (7.194) подставить в уравнение (7.190), то мы придем к
комбинированному моментному уравнению
±-\1ЪШЩ =r\Jv-Sv) (7.195)
или после введения новой переменной dXv = -qvxvdr = qvdrv,
d2if,q/2J,)/dXl = q;'r\Jv - Sy). (7.196)
Упражнение 7.17. Проверить, что выражение (7.193) позволяет
свести уравнения (7.190) и (7.191) к (7.195).
Для получения условия на верхней границе обозначим
A,- \l(R,fi,p)fid^/\l(R,li,p)dti. (7.197)

332
Гл. 7. Модели атмосфер
Тогда из (7.194) будет следовать, что
WvQ/2Jv)/dXv]r = R = hyjv\ ш R. (7.198)
Условие на нижней границе получается применением
диффузионного приближения в той же форме, что и для плоского случая:
Я(гс)= (х;х\ЬВ¥/дг\)гП. (7.199)
Входящий сюда градиент фиксируется требованием, чтобы интеграл
от Hv(rc) по всем частотам был равен полному потоку
Нс = L/\6ir2r2c. Тогда
WvQ/2Jv)/bXv]r ш Гс =
00
= г2сНс\х; \dBv/dT)/ jх-\3Bv/dT)dv]r . Гс. (7.200)
о
Диффузионное приближение, а потому и равенства (7.199) и (7.200),
будут справедливы, если средний свободный пробег фотона
X~l < eR, где е — некоторое малое число. Этому критерию всегда
можно удовлетворить, выбрав слой гс достаточно глубоко в
атмосфере. При других физических условиях (например, в случае
туманностей) на нижней границе можно наложить другие граничные
условия [374].
После введения набора дискретных значений радиуса {rd}, d =
= 1, . . . D, где R = rx > r2 > ... > rD = rc, и частоты \vn),
n = 1, . . . N, можно производные заменить конечными
разностями (используя, например, сплайны [374], [442] или формулы Эрми-
та [34]), а интеграл по частоте, входящий в выражение для функции
источников (если таковой имеется), представить квадратурной
суммой. Уравнения (7.196), (7.198) и (7.20Q) примут тогда ту же
стандартную трехдиагональную форму, что и уравнение (6.31). Их
можно решить с помощью обычной схемы исключения Фотрие.
Счетное время зависит от параметров так: Тм = cDN3. Отсюда видно,
что этот метод особенно эффективен, когда функция источников
целиком определяется тепловыми источниками или содержит
только интеграл, описывающий когерентное рассеяние (тогда N = 1). В
только что описанной вычислительной схеме интеграл рассеяний в
выражении для функции источников фигурирует явным образом.
Поэтому здесь обеспечивается правильный учет глобальных
свойств решения, определяемых процессами термализации.
Для выполнения указанных выше вычислений необходимо знать
эддингтоновские множители/^. Их легко найти, если известна
угловая зависимость интенсивности излучения на всех глубинах. Чтобы

7.6. Протяженные атмосферы
333
получить необходимую нам информацию, для каждого значения
частоты последовательно решаем уравнение переноса вдоль
различных лучей с прицельными расстояниями из некоторого набора (/?,}.
Этот набор включает лучи, касательные к каждой из дискретных
оболочек, а также содержит дополнительно еще С значений
прицельного расстояния. Последние выбраны так, чтобы
соответствующие лучи пересекали ядро, в частности, среди них имеется р = О
(ему соответствует луч, проходящий через центр). Имеющаяся
здесь геометрическая ситуация поясняется рис. 7.29. Прицельные
расстояния снабжены индексом /, / = 1, . . . , /, где / = D + С;
р{ = О означает центральный луч, рс — последний луч, проходящий
внутри ядра (т.е. рс < гс)\ рс + { = гси pj = R. Каждый луч с
прицельным расстоянием pi пересекает все оболочки с rd ^ р., эти
точки пересечения определяют набор значений z-координаты {zdi)9
d = 1, . . . Dr Здесь Dtr = D + С 4- 1 - / при / > С и Dt; = D при
/ ^ С. Далее, zdi = (г\ -р})у] Из рисунка видно, что луч pi
пересекает сферу с радиусом rd под углом, косинус которого равен
Наблюдатель
»
Рис. 7.29. Сетка дискретизации (/?, г), используемая при решении уравнения
переноса при сферической геометрии. Лучи с прицельными расстояниями [p;.j проводятся
параллельно центральному лучу таким образом, чтобы они касались сферических
оболочек, выбранных для описания зависимости различных физических величин от
глубины в атмосфере. Пересечения лучей с концентрическими сферами определяют
набор значений z вдоль каждого луча.

334
Гл. 7. Модели атмосфер
Ы = virj, р,) = irl - pbV2/rd = ^А*- Поэтому если мы найдем
сначала решения вдоль всех лучей (/?,) и выберем частное значение
гф то знание изменения Iv(zdi, р) с /, / = 1, . . . 1Ф равносильно
тому, что мы получили зависимость от fi величины Iv(rd, /х),
известной нам при значениях /х = ndi, i = 1, . . . , Id, из интервала
1^/х^О. Здесь Id = I + 1 - d. Ясно поэтому, что описанное
выше решение, получаемое последовательно вдоль различных лучей
зрения, позволяет определить необходимые нам эддингтоновские
множители. Остроумная геометрическая схема, использованная
здесь для получения сведений об угловой зависимости из получен
ных решений, в действительности не является тривиальной и
существенно опирается на симметрию задачи, которая позволяет
считать все точки на данной сфере эквивалентными. При
отсутствии строгой сферической симметрии задача становится гораздо
более сложной.
Рассмотрим теперь луч с определенным значением р.. Уравнение
переноса излучения вдоль этого луча имеет вид (z ^ 0)
±dl*(z9p„ v)/dz = ri(r9 v) - X(r, v)I±(z,pi9 v\ (7.201)
где знаки 4- и - относятся соответственно к излучению, идущему
к внешнему наблюдателю и от него, а в качестве пространственной
переменной у rj и \ взято г с учетом, что г = r(z, pt) = (/>? + z2)/2.
Введя оптическую глубину вдоль луча dr(zf р,, v) = - \(r, v)uz,
положив S(r, v) = rj(r, v)/\{r, v) (причем rj и x считаются известными
величинами) и введя переменные, напоминающие среднюю
интенсивность и поток:
u(z, /?,, v)= [7+fe /V v) + 7-fe pi% r)]/29 (7.202)
viz, p„ v) = [7+fe p, v) - 7"fe p„ p)]/2, (7.203)
получим систему уравнений второго порядка
d2u(z, Р? v)/br\z, р? v) = life pi9 v) - S(rfe p,), v\ (7.204)
а на верхней границе граничное условие
dwfe р^ v)/3t{z, p,, v)\„ = w(zmax, p,, ?), (7.205)
где zmax = (Л2 - P2)/2. Вид граничного условия на нижней границе
зависит от того, пересекает ли луч ядро (rD = гс) или же проходит
мимо него и пересекает плоскость z = 0. В первом случае
используется диффузионное приближение, как это делалось при получении
равенства (7.200). Во втором соображения симметрии показывают,

7.6. Протяженные атмосферы
335
что i>(0, рп и) = О, и поэтому
dwfe /?, v)/dr{z, p?v)\ z = 0 = 0. (7.206)
Уравнения (7.204) — (7.206), переписанные в форме разностных
уравнений, образуют (при известной S) единую трехдиагональную
систему стандартной формы Фотрие, и их можно решить с
помощью обычного алгоритма. Время вычислений при N значениях
частоты, С лучах, пересекающих ядро, и D значениях радиальной
оптической глубины равно TR = cN[DC + ££>,] « c'ND2 при
D > С. Найдя полное решение wdin s u(zdi9 pi9 vn)9 вычисляем
моменты, как это описано выше:
Jdn= I и^Дя, (7-207)
/ = 1
*dn= £ "$»W (7-208>
/ - 1
а тем самым и эддингтоновский множитель/^ = Kdn/Jdn. Здесь
величины w представляют собой соответствующие веса
квадратурных формул, которые находятся аналитически путем
интегрирования моментов кусочно-полиномиального представления функции
u(rd, д). При этом в качестве узлов берется набор ifidi),
порождаемый пересечениями лучей {р,} со сферой радиуса rd. Используя
новые значения эддингтоновских множителей, заново решаем мо-
ментные уравнения, и этот процесс повторяется до достижения
сходимости. Опыт показывает, что сходимость здесь очень
быстрая.
Упражнение 7.18. а) Написать конечно-разностные
аппроксимации уравнений (7.204) — (7.206). б) Вывести граничное условие на
нижней границе с точностью до членов второго порядка,
распространив разностную аппроксимацию уравнения (7.204) по другую
сторону от центральной плоскости z = 0 и использовав симметрию
и относительно этой плоскости.
Когда в выражении для функции источников интеграл,
описывающий рассеяние, выражается просто через / (или, в случае
рассеяния в линии, через У) и не зависит от частоты (зависимость от
частоты имеется при частичном перераспределении по частоте),
итерационной процедуры, заключающейся в поочередном решении

336
Гл. 7. Модели атмосфер
уравнений переноса вдоль лучей и моментных уравнений, можно
избежать, построив схему прямого решения типа Райбики [442].
Вдоль каждого луча для каждого значения частоты имеем трехдиа-
гональную систему вида
Т>,„ = U J + W,.„, (7.209)
где / = 1, ... /; п = 1, ... N; J(d = 1, ... D) описывает изменение J
с глубиной [ср. с уравнением (6.46)], a uin — изменение u(z, pf vn)
вдоль луча. Эту систему можно разрешить относительно uin и
результат uin = CinJ + Din подставить в формулу, определяющую
J (см. (7.207)). В результате получится система, определяющая J.
Время вычислений по этому методу TD = cND3 при D > с. Детали
этой процедуры, которая является общей, устойчивой и
экономичной, можно найти в указанной выше статье.
МОДЕЛИ ПРОТЯЖЕННЫХ АТМОСФЕР ЗВЕЗД РАННИХ ТИПОВ
Несерые сферические модели атмосфер, находящихся в ЛТР,
были построены для ядер планетарных туманностей [130], [131],
[376], а также для О- и В-сверхгигантов [136], [325], [376], [441],
[442], [559], [516], стр. 241, причем использовались различные
методы расчета. Модели с учетом отклонений от ЛТР для обоих
классов объектов приводятся в [376], [441], [442], [516], стр. 241. При
построении всех этих моделей предполагалось, что имеется
гидростатическое равновесие, а большая протяженность атмосферы
возникает из-за почти полной компенсации гравитационных сил за счет
действия давления излучения на вещество. На самом деле
имеются убедительные свидетельства того, что протяженность
атмосферы почти всегда связана с крупномасштабным расширением и
что от статических моделей можно ожидать в лучшем случае
лишь качественной информации. Динамические модели, построить
которые гораздо труднее, будут обсуждаться в § 15.4.
В случае протяженной атмосферы необходимо учитывать
изменение силы тяжести с расстоянием от звезды. Поэтому если массу
звезды обозначить через J(, то уравнение гидростатического
равновесия примет вид
dp/dr = -pGJT/r1 + (4тг/с) ? xjivdv. (7.210)
Если ввести росселандову среднюю непрозрачность \R, интеграль-

7. б. Протяженные атмосферы
337
ный поток Н = L/167T2/-2 и параметр
о
то получим
dpg/d(\/r) = p[G^- 7^ХЛ/4тср]. (7.212)
Как и в случае плоских атмосфер, влияние давления излучения
приводит к увеличению шкалы высот в атмосфере (а следовательно, и
ее протяженности). Параметр Г = yx^/^cpG^ есть отношение
силы светового давления к силе тяжести. В предельном случае,
когда непрозрачность определяется только электронным рассеянием,
получаем верхнюю границу критического отношения L/JS, при
котором сила светового давления в точности уравновешивает силу
тяжести, а именно (£/^)крит = 3,8 • lO4L0/^0 (см, упражнение
7.1). Будем обозначать значение Г, полученное для случая чисто
электронного рассеяния, через Ге. Для протяженной оболочки
понятие «радиуса» звезды (а следовательно, и эффективной
температуры) становится неоднозначным. Обычно в качестве характерного
радиуса пользуются значением гУг, при котором tr = 2/3.
Для ядер планетарных туманностей влияние силы светового
давления очень существенно, поскольку оценки L и ^для этих
объектов [279] непосредственно приводят к значениям Г в диапазоне
0,8 < Те < 0,93. Далее можно показать, что абсолютная
геометрическая толщина атмосферы Аг пропорциональна
£^ФФ = Ю " F)G^/R2]~l. Это означает, что при заданном
значении #эфф относительная толщина атмосферы Ar/R для звезд малых
радиусов, таких, как ядра планетарных туманностей, будет
больше. Так, согласно нескольким приводимым в [130], [131] моделям,
толщина атмосферы оказывается сравнимой или даже
превосходящей радиус «ядра» звезд (глубины, большие т = 10). Влияние
протяженности атмосферы этих звезд проявляется в сильном снижении
их цветовых температур по сравнению с эффективными
температурами. При \ =■ 5000 А отношение Т/Т^ для некоторых из
моделей составляет всего 0,3. Распределение энергии в спектре з целом
обнаруживает характерное уплощение, описанное выше для серых
моделей (в видимой области спектра распределение энергии,
согласно несерым моделям, можно очень точно представить
распределением, рассчитанным для серых моделей с п от 3 до 4 [61], стр. 165).
Более плоские распределения энергии в спектрах, предсказываемые
этими моделями, очень напоминают распределения, имеющиеся у

338
Гл. 7. Модели атмосфер
звезд WR (хотя на самом деле параметры моделей L, Jt ъ R для
этих звезд другие).
Для О-сверхгигантов и звезд Of получить распределение энергии
в непрерывном спектре и воспроизвести наблюдаемые эмиссионные
линии, пользуясь плоскими моделями, невозможно (см. [376]).
Отсюда следует, что атмосферы таких звезд должны быть протяжен-
-0,14 -0,13 -0,12-0,11 -0,10-0,09-0,08-0,07-0,06-0,05-0,04-0,03-0,02 m
ь-у
Рис. 7.30. Показатели цвета в системе Стремгрена и - Ъ и Ъ - у согласно моделям
с ^ = 60 Jt^. Пустые кружки и треугольники: модели с ЛТР; сплошные кружки и
треугольники: модели без ЛТР. Точки, соответствующие моделям с одинаковыми
значениями 7".., соединены отрезками. Числа у точек — значения параметров,
описывающих фактор эффективности светового давления 7- Кружки: у = у{; приведены
значения уг Треугольники: -у = 1 + у2 exp (-tr); приведены значения у2. По [376],
с разрешения.

7.7. Модели атмосферы Солнца
339
ными. С другой стороны, расчеты эволюционных треков для звезд
соответствующих масс неизменно приводят к значениям Ге < 0,5.
Ввиду того что радиусы этих звезд велики, это означает, что
протяженность их атмосфер должна быть несущественна [136]. Однако
поглощение в спектральных линиях может значительно увеличить
общую величину светового давления на вещество [102], [144].
Считается, что именно этот механизм и ответствен за образование
звездного ветра у звезд типа О (см. § 15.4). В ряде работ [376],
[441], [442], [516], стр. 241, были предприняты попытки
смоделировать эффекты, вызываемые увеличением силы светового давления,
путем введения в уравнение (7.212) произвольно задаваемого
фактора эффективности светового давления 7, который подбирается
таким образом, чтобы максимальное значение Г возросло до величин,
близких к единице (в самом крайнем из рассмотренных случаев
принималось Гтах * 0,995). Хотя рассчитывать такие модели из-за
неустойчивости вычислительных алгоритмов, которая
непосредственно отражает физическую неустойчивость этих атмосфер,
оказывается трудно, все же методом полной линеаризации был найден ряд
решений (как в предположении об ЛТР, так и с учетом отклонений
от ЛТР). Следует, однако, подчеркнуть, что при таких
экстремальных значениях Г гидростатическое равновесие весьма
маловероятно. Поэтому необходимо рассматривать динамические модели.
Модели, подобные только что описанным, годятся лишь для того,
чтобы продемонстрировать характер влияния сильного увеличения
шкалы высот в оболочке. Протяженность атмосферы сильно
влияет на наблюдаемые параметры, такие, как показатели цвета (см.
рис. 7.30), что ведет к сильному покраснению звезды при
увеличении, размера ее атмосферы. Показатели цвета для моделей с ЛТР и
без ЛТР заметно различаются, так как при ЛТР у бальмеровского
скачка имеется ложная эмиссия (обусловленная механизмом Шусте-
ра, см. § 10.2). Детальное обсуждение всех особенностей
распределения энергии в спектрах таких звезд можно найти в указанной
выше литературе.
7.7. Полуэмпирические модели
атмосферы Солнца
Все, что излагалось до сих пор в этой книге, было связано с
разработкой методов, позволяющих делать заключения о физических
свойствах атмосфер на основе анализа звездных спектров путем
сопоставления их с моделями. Наши сведения о звездах, которые вое-

340
Гл. 7. Модели атмосфер
принимаются нами всего лишь как светящиеся точки, крайне
ограничены как в количественном, так и в качественном отношении и
далеко не полны — главным образом из-за низкой интенсивности
приходящего от них света. Однако для одной звезды, а именно
Солнца, у нас есть исключительная возможность получать
информацию с очень высоким пространственным, временным и
спектральным разрешением в огромном диапазоне энергий — в
рентгеновском, ультрафиолетовом, видимом, инфракрасном и радио-
диапазонах. В то время как диски звезд недоступны наблюдениям, в
солнечной атмосфере мы можем различать структуры размером
порядка 150 км, так что удается наблюдать весьма разнообразные
мелкомасштабные образования. Далее, возможны измерения поля
скоростей и напряженности магнитного поля. Поэтому Солнце
предоставляет уникальную возможность для проверки наших
теоретических методов. Путем полуэмпирического анализа, который
лишь в малой степени опирается на теорию, здесь удается
получить очень большое количество сведений. Поэтому из такого
анализа можно получить указания на то, в каких направлениях должно
идти усовершенствование тех сторон теории, где вводимые в ней
упрощения излишне велики. Можно сказать, что многие (хотя и не
все) важнейшие шаги вперед в теории звездных атмосфер связаны с
попытками понять природу солнечных явлений. Не раз расширение
и углубление возможностей сопоставления теории и наблюдений
Солнца заставляли вносить радикальные изменения в сложившуюся
картину истолкования явлений. Но многое остается еще загадкой, и
поэтому можно ожидать еще более значительного продвижения
вперед.
Нет никакой надежды на нескольких страницах сколько-нибудь
полно суммировать все огромное количество сведений, известных о
солнечной атмосфере. Читателю надлежит обратиться ко многим
имеющимся превосходным работам, в частности к [224], [694], [11],
гл. 9 и 10 — за общими сведениями, к [628], [19], [20] —- за
детальной информацией о хромосфере и к [94], [20] — за сведениями о
короне. Цель приведенного ниже изложения будет заключаться лишь
в том, чтобы дать краткую сводку некоторых основных
структурных свойств солнечной атмосферы, которые могут служить
отправной точкой и ориентиром при построении более реалистичной
картины строения звезд вообще.
Если говорить об основных морфологических чертах, то
солнечную атмосферу можно подразделить на четыре основных части: а)
фотосфера — непрозрачный диск, непосредственно видимый нами;

7.7. Модели атмосферы Солнца
341
б) хромосфера —- область, простирающаяся примерно на 2500 км
над краем диска, порождающая характерный эмиссионный спектр
водорода; в) корона — разреженная слабосветящаяся внешняя
оболочка, впервые обнаруженйая во время затмений; наконец, г)
солнечный ветер -— область, в которой происходит сверхзвуковое
истечение вещества, протекающего мимо Земли. Распределение
температуры в атмосфере изображено в общих чертах на рис. 7.31. В
фотосфере температура убывает наружу, достигая минимального
значения около 4200 К. При характерных для фотосферы
температуре (Т ~ 5 • 103 К) и ускорении силы тяжести (g ~ 3 * 104)
высота однородной атмосферы составляет около 120 км. Это
расстояние видно с Земли под углом 0,15", что намного ниже типичного
предела разрешения, обусловленного влиянием земной атмосферы.
В результате Солнце представляется нам имеющим четко
очерченный край, которому соответствует высота Л = 0 км на шкале оси
абсцисс рис. 7.31. В нижней и средней хромосфере температура
поднимается примерно до 8000 К, а затем растет до достижения
плато около 30 000 К. Далее идет очень тонкая переходная об-
Область
температурного
минимума
Нижняя корона
1,5 • 106 2 • 10*
28000 75000
JL
1000
2000
3000
Высота, км
4000
5000
6000
Рис. 7.31. Температура в функции высоты в солнечной атмосфере. Нуль-пункт
шкалы высот на этом графике соответствует единичной тангенциальной оптической
глубине на краю диска (соответствующая радиальная оптическая глубина
3,7 • 10~3). Этот нулевой уровень расположен примерно у отметки 4-340 км
'5000
по шкале рис. 7.32 и табл. 7.1. По [20], с разрешения.

342
Гл. 7. Модели атмосфер
пасть, в которой температура резко поднимается до корональных
значений порядка 1,5 106 К. В короне шкала высот равна
примерно 50 000 км, что составляет заметную долю солнечного радиуса.
Поэтому корона простирается на большие расстояния от Солнца.
Оказывается, что, даже если бы корона была неподвижна, она все
же обволакивала бы Землю, причем концентрация частиц была бы
заметной.
Описанное только что распределение температуры было
получено главным образом из анализа солнечного спектра, на который
характер распределения температуры влияет в сильнейшей степени.
Спектральные детали в каждой из спектральных областей
формируются в атмосфере в пределах некоторого характерного интервала
высот (см. рис. 7.32), и так как появилась возможность
исследовать с космических аппаратов спектр в широком диапазоне длин
волн, наши сведения о температурной структуре Солнца
существенно улучшились. В спектральной области от 1685 А до 350 мкм кон-
зоооо
20000
15000
* 10000
8000
6000
4000 К
Серия Лаймана
Lp
Лаймановский континуум
(740-500А)
Яаймановский
континуум
(912-740А)
Ра
Крылья La
f *
'Ж
Но
Инфракрасный триплет Call
* Н и К Call
f
CI(llOOA) *2
f *С1(1239А) о
*С1(И44А)
2400
2000
1600
1200
800
400
Рис. 7.32. Температура в функции высоты в солнечной атмосфере. Отрезки со
стрелками указывают места, где достигается единичная оптическая глубина в различных
линиях и континуумах (в их наиболее и наименее прозрачных участках). По [645], с
разрешения.

7.7. Модели атмосферы Солнца
343
тинуум возникает в фотосфере, а в линиях оптическая глубина,
равная единице, достигается на высотах, изменяющихся от фотосферы
(для крыльев линий) до хромосферы (в центрах линий). В спектре
диска линии с длинами волн X ^ 1900 А в подавляющем
большинстве наблюдаются в поглощении, переход же к эмиссионым
линиям происходит к области 1700 А ^ X ^ 1900 А. Излучение в
континууме в диапазоне 1525 А ^ X ^ 1685 А приходит от
области, переходной от фотосферы к хромосфере, а при X < 1525 А
является преимущественно хромосферным. При 504 А ^ X < 912 А
наблюдается эмиссия лаймановского континуума, при X < 504 А
эмиссия определяется континуумом Hel. Хромосферные
эмиссионные линии присутствуют по крайней мере до 288 А (резонансная
серия Hell). Корональные эмиссионные линии становятся
сильными примерно с 800 А и присутствуют до рентгеновской области
включительно. В инфракрасной области глубже всего атмосфера
просматривается на длине волны около 1,6 мкм, где находится
минимум непрозрачности, обусловленной Н~. Что касается еще
больших длин волн, то вблизи 300 мкм проявляется область
температурного минимума. В радиодиапазоне, начиная с X = 100 см и
далее, излучение континуума является полностью корональным. (На
сантиметровых и более коротких волнах корона полностью
прозрачна.) Вне диска хромосферу и корону можно наблюдать в
сильных эмиссионных линиях, либо пользуясь специальной
аппаратурой, либо при специфических обстоятельствах, таких, как затмения.
Таким путем было получено огромное количество данных.
Для оценки физических условий в солнечной атмосфере по
описанным выше данным применялись весьма разнообразные способы
анализа. Очень мощным средством является изучение потемнения
к краю. Как мы видели в § 3.3, из соотношения
Эддингтона — Барбье следует, что определяющий вклад в /ДО, yi)
дает Sv{tv « д). Поэтому, производя сканирование от центра к
краю (0 < \к < 1), мы просматриваем область глубин 0 ^ rv s 1.
Предположим, что мы считаем функцию источников равной
функции Планка. Вводя обозначение ВДт^/ТДО, 1) = бДт,), имеем
Ф» = /Д0,м)//Д0, 1) = |бДг,)ехр(~г»с/г>. (7.213)
Если далее принять, что bv можно представить как линейную
комбинацию некоторых функций с неопределенными коэффициентами,
то можно затем вычислить получающиеся интегралы и выразить
Ф^ через эти коэффициенты. Подбирая значения коэффициентов из

344
Гл. 7. Модели атмосфер
условия наилучшего согласия между теоретической и наблюдаемой
функцией Ф^, мы получим выражение для bv. Например, если взять
к
то получим
Ф»= E***!m*. (7.215)
к
Таким образом, представляя наблюдательные данные с помощью
выражения (7.215), получаем значения ак% а следовательно, и bv. В
конечном счете, если нам известно /ДО, 1), мы получаем Bv(tJ), а
значит, и T(tv). Имеются весьма обширные данные о потемнении к
краю, охватывающие область от ультрафиолета до
радиодиапазона.
На практике реализация описанной процедуры встречается с
многочисленными трудностями. Например, даже большие по
величине флуктуации физических параметров не сказываются на
результатах наблюдений, если они происходят в тех областях, оптическая
толщина которых вдоль луча зрения много меньше единицы.
Поэтому мы ничего не можем узнать о такого рода неоднородностях.
Аналогичные замечания справедливы и для горизонтальных неод-
нородностей, размер которых лежит ниже предела разрешения,
определяемого методикой наблюдений. Кроме того, совершенно
ясно, что мы получаем лишь незначительную информацию о
глубинах с ти > 1. Для малых глубин также существует некоторый
предел, определяемый качеством изображения края диска. Типичному
разрешению в 1" отвечает замывание примерно в 0,001 солнечного
радиуса, чему соответствует /х * 0,05. Поэтому на каждой данной
длине волны мы ограничены интервалом 0,05 < ти < 1. Далее,
данные наблюдений обладают ограниченной точностью, число
коэффициентов разложения в формулах (7.214) или (7.215), которые
дают реальную информацию, также ограничено. Например, если
данные обладают точностью ± 1%, то можно получить самое
большее три коэффициента [98]. Попытки использовать большее
число таких коэффициентов приводят к тому, что хотя
наблюдаемый ход Ф{) описывается хорошо, но у bjj) появляются большие и
резкие колебания. Разработаны численные методы (например,
алгоритм Прони), которые автоматически ограничивают число
коэффициентов такой величиной, которая оправдана точностью
наблюдательных данных [669]. Пробные функции в формуле (7.214) мож-

7.7. Модели атмосферы Солнца
345
но выбрать большим числом способов, причем каждый из них
одинаково хорошо воспроизводит наблюдаемую Фг. Однако, вообще
говоря, значения bv> а следовательно, и T{tv) будут получаться
различными. Между решениями с трехчленной параметризацией
возможны расхождения в значениях температуры порядка ±200 К.
Такие расхождения в некоторых случаях могут оказаться
существенными. Например, доминирующим состоянием ионизации атомов
железа в солнечной атмосфере является Fe + . При помощи формулы
Саха легко показать, что ошибка в ± 200 К вносит в населенности
нижних состояний Fel (лежащих на 7,9 эВ ниже ионизационного
предела) неопределенность около А1п/? « 0,25 или примерно в 60%.
Таким образом, даже если принять, что все другие этапы анализа
спектра были абсолютно точными, все же в оценках содержания
элементов из-за неопределенностей одной лишь модели будут
иметься существенные ошибки.
Диапазон глубин, доступных для исследования по наблюдениям
потемнения к краю, можно расширить, если использовать
различные длины волн. Тогда нам придется пересчитывать кривые
зависимости T(tv) с одной частоты на другую, что можно сделать, если
известна зависимость коэффициента поглощения от частоты, т.е.
хМ/хО'станд)- Сдругой стороны, можно потребовать, чтобы
различные кривые Г(г„) соответствовали единой зависимости Г(Л), и
обратить процедуру, что позволит получить зависимость коэффициента
поглощения от частоты. Исследования такого рода (например,
[517]) показали, что эмпирически определенная зависимость
коэффициента поглощения от частоты согласуется с гипотезой, что
основным источником непрозрачности является Н" (хотя в
ультрафиолете необходимо учитывать и другие источники поглощения,
главным образом линии).
Другой метод, который можно использовать для определения
температурной структуры — это изучение зависимости
абсолютных значений интенсивности в центре диска от частоты. С
появлением точных измерений абсолютных интенсивностей в
ультрафиолете с космических аппаратов этот метод по своему значению
превзошел изучение потемнения к краю. Обширная сводка и
обсуждение имеющихся наблюдательных данных даются в [646]. Сущность
используемого метода исследования заключается в построении
моделей по следующей схеме: 1) принимается какое-либо
распределение температуры, 2) интегрируется уравнение гидростатического
равновесия и 3) решаются совместно уравнения переноса излучения
и уравнения статистического равновесия для соответствующих ато-

346
Гл. 7. Модели атмосфер
мов (например, Н, Не, С, Si) и рассчитываются абсолютные
интенсивности выходящего излучения. Принятая зависимость Т(И)
видоизменяется затем таким образом, чтобы добиться оптимального
воспроизведения всех имеющихся наблюдательных данных. Таким
путем был построен ряд последовательно все более точных
моделей, начиная с утрехтской стандартной модели фотосферы [283],
стр. 239, которая вскоре уступила место билъдербергской модели
атмосферы по континууму (АСВ) [248]. Учет выполненных из-за
пределов атмосферы наблюдений в ультрафиолете привел к
чрезвычайно удачной гарвардско-смитсонианской стандартной модели
атмосферы (HSRA) (основные ее характеристики приведены в
табл. 7.1) [249]. Последующая работа привела к появлению новой
ТАБЛИЦА 7.1
Гарвардско-смитсонианская стандартная атмосфера*
г5000
1,00 -8
2,00 -8
3,16 -8
6,31 -8
1,00 -7
2,00 -7
3,16 -7
6,31 -7
1,00 -6
2,00 -6
3,16 -6
6,31 -6
1,00 -5
2,00 -5
3,16 -5
6,31 -5
1,00 -4
2,00 -4
3,16 -4
6,31 -4
1,00 -3
2,00 -3
3,16 -3
6,31 -3
И, км
1860
1850
1840
1830
1820
1790
1769
1690
1620
1430
1230
947
840
720
654
588
577
515
487
447
420
379
352
311
Т, К
8930
8750
8630
8450
8320
8090
7910
7630
7360
6720
6180
5590
5300
4910
4660
4280
4170
4205
4250
4330
4380
4460
4525
4600
pg, дин/см2
1,52 -1
1,54 -1
1,56 -1
1,62 -1
1,69 -1
1,88 -1
2,10 -1
2,76 -1
3,76 -1
1,00 0
3,79 0
2,92 +1
6,69 +1
1,87 +2
3,37 + 2
6,34 + 2
8,68 +2
1,34 +3
1,77 +3
2,65 +3
3,46 4-3
5,12 +3
6,65 +3
9,81 +3
ре, дин/см2
4,82 -2
4,84 -2
4,92 -2
5,10 -2
5,34 -2
5,88 -2
6,44 -2
7,50 -2
7,85-2
6,85 -2
6,00 -2
6,80 -2
6,77 -2
4,43 -2
3,96 -2
5,11 -2
6,12 -2
9,09 -2
1,20 -1
1,81 -1
2,37 -1
3,53 -1
4,65 -1
6,86 -1
Пр/[пр + n(h
5,11 -1
5,05 -1
5,06 -1
5,05 -1
5,09 -1
5,02 -1
4,86 -1
4,09 -1
2,80 -1
7,99 -2
1,72 -2
2,26 -3
9,13 -4
1,41 -4
2,46 -5
7,65 -7
2,26 -7
2,13 -7
2,47 -7
3,40 -7
4,06 -7
5,43 -7
7,11 -7
8,87 -7

7 7 Модели атмосферы Солнца
347
ТАБЛИЦА 7.1
(продолжение)
т5000
1,00 -2
2,00 -2
3,16 -2
6,31 -2
1,00 -1
2,00 -1
3,16 -1
6,31 -1
1,00 0
2,00 0
3,16 0
6,31 0
10,00
20,00
• Запись :
И, км
283
241
212
168
138
92,6
63,1
22,6
0,0
-25,3
-37,1
-51,4
-60,8
Г, К
4660
4750
4840
5010
5160
5430
5650
6035
6390
7140
7750
8520
8880
-76,7 9390
1,16 -8 означает 3,16
pg, дин/см2
!,27 +4
1,87 +4
2,41 +4
3,54 +4
4,56 +4
6,61 +4
8,31 -1-4
1,12 -1-5
1,31 +5
1,54 +5
1,65 +5
1,78 +5
1,86 +5
2,00 +5
ИГ8. По [249],
ре, дин/см2
8,95 -1
1,33 0
1,78 0
2,81 0
3,95 0
7,04 0
1,13 +1
2,65 +1
5,64 -Ы
2,35 +2
6,26 +2
1,81 +3
2,61 +3
5,00 +3
с разрешения.
V^p +
1,09
1,46
2,13
4,42
8,49
2,47
5,29
1,58
3,65
1,55
4,04
1,11
1,67
2,79
n(h
-6
-6
-6
-6
-6
-5
-5
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-2
модели («Модель М»), которая чрезвычайно хорошо воспроизводит
огромное количество наблюдательных данных. Постоянно ведется
улучшение этих моделей. Существенное продвижение вперед будет
достигнуто тогда, когда будут учтены данные затменных
наблюдений Солнца и будут до конца использованы возможности метода
построения синтетического линейчатого спектра. Следует иметь в
виду, что разработка подобных полуэмпирических моделей все еще
сталкивается со многими фундаментальными трудностями. Одной
из них, вызывающей наибольшее беспокойство, является то
обстоятельство, что, как следует из наблюдений, исследуемые слои
содержат большое количество мелкомасштабных образований и
далеки от однородности. Некоторые трудные вопросы остаются, по
существу, без ответа. В какой мере значения, приписываемые
физическим переменным в любом конкретном слое одномерной модели
хромосферы, представляют средние свойства этого слоя? Какова
величина флуктуации каждой из физических характеристик около ее
среднего значения? Коррелируют ли между собой флуктуации
различных физических характеристик? Решение этих вопросов является
насущной необходимостью, так как одномерные модели — это то
лучшее, на что мы можем надеяться в случае звездных хромосфер.

348
Гл. 7. Модели атмосфер
Правомочность таких моделей будет либо подтверждена, либо
поставлена под сомнение в зависимости от ответов на вопросы,
сформулированные выше применительно к солнечной хромосфере.
Распределение плотности в короне, которая является оптически
тонкой, можно вывести из распределения яркости света,
рассеиваемого свободными электронами, после соответствующего учета
того, что наблюдаемая яркость есть результат интегрирования вдоль
луча зрения (см., например, [94]). Распределения плотности в
короне были определены для экваториальных и полярных направлений
в зависимости от фазы солнечного цикла [477]. Типичное значение
электронной концентрации у основания короны порядка 108см~3.
То, что температура короны должна быть очень высока, впервые
было осознано Гротрианом, который предположил, что две
широкие слабые полосы поглощения, которые видны в спектре короны,
представляют собой очень сильные линии соднечного спектра Н и
К Call, «замытые» томсоновским рассеянием в электронном газе
очень высокой температуры. Эта мысль была в дальнейшем
подтверждена отождествлением (сделанным Эдленом) эмиссионных
корональных линий с переходами в атомах, находящихся в высоких
стадиях ионизации, например [FeX] (Х6374) и [FeXIV] (Х5303).
Современные определения температуры короны согласуются друг с
другом и дают характерные значения температуры около 1,5 • 106К.
Эти методы основаны на а) анализе тепловых ширин линий, б)
расчете ионизационного равновесия (причем учитывается диэлектрон-
ная рекомбинация!) и в) определении температуры по тепловому
излучению в радиодиапазоне. Рентгеновские наблюдения выявили
вблизи активных областей чрезвычайно горячие участки (с
температурами в несколько миллионов градусов). См. [20] и [94].
Распределения температуры, представленные на рис. 7.31 и 7.32,
очевидно, очень мало похожи на классические распределения,
получающиеся согласно моделям, построенным в предположении
лучистого или конвективного равновесия. Это свидетельствует о
несостоятельности классического подхода для внешних слоев атмосферы.
Классические модели правильно описывают структуру фотосфер-
ных слоев, где формируются визуальный континуум и крылья
линий (а также очень слабые линии). Однако, поскольку температура
растет наружу, нужно привлечь какие-то новые явления и найти
соответствующий механизм нагрева (ясно, что механизм Кэреля не
может быть причиной нагрева, так как Те становится много
больше Г^ф). Бирманом [89] и Шварцшильдом [564] была высказана
мысль, что в солнечной конвективной зоне могут генерироваться
акустические волны, которые затем распространяются наружу,

7.7. Модели атмосферы Солнца
349
превращаются в ударные волны и передают свою энергию вещест-
TT.v, разогревая его до высоких температур. Конкретный механизм
образования акустических волн был предложен Лайтхиллом [394].
В последующих исследованиях было обращено внимание также на
роль магнитогидродинамических волн, так как во внешних слоях
солнечной атмосферы имеются значительные магнитные поля.
Кроме того, открытие того факта, что обширные участки
поверхности Солнца совершают колебания с периодом около 300 с,
указало на еще один нерадиативный механизм подвода энергии, которая
может расходоваться на разогрев вещества. Проблемы генерации,
распространения и диссипации волн являются сложными, и
рассматривать их отнюдь не легко. В этом направлении было выпо
лнено громадное число работ. Превосходный обзор этой области
исследований был дан Стейном и Лейбачером [602] (см. также
[20]). Вполне последовательной картины того, как происходит
нагрев, не создано, однако исследования последнего времени
указывают на то, что пятиминутные колебания в самом деле могут
разогревать верхнюю хромосферу и корону, тогда как для разогрева
нижней хромосферы требуются колебания более коротких
периодов. Оценки значений истинного притока механической энергии
можно получить путем сравнения полуэмпирических распределений
температуры с моделями, построенными в предположении
лучистого равновесия (см., например, [17] или [380]), если рассчитать
энергию, необходимую для обеспечения имеющегося нагрева.
Трудности, встречающиеся на этом пути, заключаются в том, что 1) в
области минимума температуры температура, согласно
эмпирическим моделям, получается меньше минимального значения Г,
даваемого радиативными моделями, и 2) малые ошибки в определении
Т в этой области (скажем, ± 100 К) ведут к неприемлемым
ошибкам в оценках величины притока энергии. Предстоит проделать
еще большую работу, чтобы получить эмпирические и
теоретические температуры с необходимой точностью.
Наличие температурных плато, за которыми следует быстрый
рост температуры, можно понять, исходя из теории тепловой
неустойчивости газа. По сути дела газ нагревается за счет притока
механической энергии, а охлаждается за счет радиационных потерь, и
эти процессы находятся в равновесии (см. [628] и [20]). Потери
становятся наибольшими тогда, когда какой-либо вид атомов достигает
почти полной ионизации, что тем самым оказывает на газ термо
статируюшее влияние и поддерживает его температуру на почти
постоянном уровне. Так, основное охлаждение в нижней хромосфе-

350
Гл. 7. Модели атмосфер
ре обеспечивается водородом, за счет чего температура газа
поддерживается в пределах примерно от 7000 К до 8000 К. Когда из-за
слишком сильной ионизации водород становится
малоэффективным охлаждающим агентом, начинают преобладать потери за счет
Hel и Hell, и температура подскакивает до примерно
20000 — 30000 К. Наконец, когда и гелий становится почти
полностью ионизованным, основную роль начинают играть потери на
ионах С, N, О, Ne, Mg и Si, которые оказывают сильное
охлаждающее действие при температурах свыше 105 К. В области крутых
градиентов температуры важным становится перенос энергии за
счет теплопроводности, и окончательный температурный профиль
является результатом совместного действия всех этих механизмов.
Поскольку Солнце—рядовая звезда-карлик типа G, очевидно,
следует сделать вывод, что наличие хромосферы, короны и
звездного ветра должно быть общим свойством звезд вообще.
Имеются многочисленные свидетельства того, что это действительно так.
Например, в спектрах большинства звезд, у которых есть
конвективные зоны, наблюдаются эмиссионные хромосферные
компоненты линий Н и К Call (см. § 12.2), причем у многих звезд, которые
моложе Солнца, обнаруживаются очень активные хромосферы.
Крайним проявлением этого служат звезды типа Т Тельца, у
которых большинство сильно выделяющихся деталей спектра возникает
в «сверххромосфере» и очень плотном звездном ветре. Потеря
массы за счет звездного ветра, в особенности у сверхгигантов ранних
типов и у звезд WR, является надежно установленным фактом
(оценки ее темпа достигают 10~6 ■*■ Ю-5 ^0/год). По сравнению с
таким ветром солнечный ветер (скорость потери массы
» 1О~14^0/год) кажется совсем слабым.
Солнечная атмосфера служит для нас своего рода розеттским
камнем, который помогает нам понять богатую «литературу» о
множестве поразительных явлений на звездах. Изучение этих
явлений в свою очередь позволяет распространить то, что мы знаем
для одного случая, на чрезвычайно широкий диапазон физических
условий. Далее, посредством изучения большого числа звезд можно
надеяться по поведению всего их ансамбля сделать заключения об
эволюции всех рассматриваемых явлений у конкретного члена
этого ансамбля, такого, как наше Солнце, на промежутках времени,
недоступных исследованию другими способами (миллиарды лет).
Исследования на стыке двух областей, солнечной и звездных
атмосфер, ведутся очень активно и приносят богатые плоды [344]. Вне
сомнения, они будут служить мощным стимулом в дальнейшем
развитии наших представлений о звездных атмосферах.

Содержание часты 1
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к русскому изданию 6
Предисловие 8
Предисловие к первому изданию 11
Глава 1. Поле излучения 14
1.1. Интенсивность излучения > 15
1.2. Средняя интенсивность и плотность излучения 19
1.3. Поток 24
1.4. Тензор давления излучения 28
Глава 2. Уравнение переноса 36
2.1. Взаимодействие излучения и вещества 36
2.2. Уравнение переноса 51
2.3. Моменты уравнения переноса 68
2.4. Условие лучистого равновесия 73
2.5. Диффузионное приближение 77
Глава 3. Серая атмосфера 82
3.1. Постановка задачи 82
3.2. Связь со случаем несерой атмосферы: средние непрозрачности 85
3.3. Приближенные решения 91
3.4. Точное решение 105
3.5. Поток, выходящий из серой атмосферы 107
3.6. Атмосфера, мало отличающаяся от серой 108
Глава 4, Коэффициенты поглощения 112
4.1. Эйнштейновские соотношения-для связанно-связанных переходов 112
4.2. Вычисление вероятностей переходов 116
4.3. Соотношения Эйнштейна — Милна для континуумов 131
4.4. Сечения поглощения в континууме 135
4.5. Сечения рассеяния в континууме 146
Глава 5. Уравнения статистического равновесия 149
5.1. Локальное термодинамическое равновесие 150

352
Содержание части I
5.2. Уравнение состояния вещества, испытывающего ионизацию, в
предположении ЛТР 156
5.3. Микроскопические условия, необход имые для существования ЛТР 163
5.4. Уравнения статистического равновесия без предположения об ЛТР 173
5.5. Уравнение состояния при отсутствии ЛТР 189
Глава 6. Решение уравнения переноса 197
6.1. Метод итерациий: проблема учета рассеяния 197
6.2. Методы, основанные на решении краевой задачи «в лоб» 201
6.3. Двухточечная краевая задача для уравнения переноса 203
Глава 7. Модели атмосфер 218
7.1. Классическая задача о построении модели атмосферы:
предположения и ограничения 218
7.2. Модели с лучистым равновесием и ЛТР 220
7.3. Конвекция и модели атмосфер звезд поздних спектральных типов 248
7.4. Результаты расчетов моделей атмосфер с ЛТР для звезд ранних
спектральных типов 257
7.5. Звезды ранних спектральных типов: модели с лучистым равновесием,
но без ЛТР 287
7.6. Протяженные атмосферы 321
7.7. Полуэмпирические модели атмосферы Солнца 339