А.Н. ПАРШАКОВ
ОПТИКА
В КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧАХ
ИНТЕЛЛЕКТ
ДОЛГОПРУДНЫЙ
2IU

А.Н. Паршаков
Оптика в ключевых задачах: Учебное пособие / А.Н. Паршаков
— Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2016. — 256 с.
ISBN 978-5-91559-212-3
Наиболее современное пособие по оптике в рамках курса общей
физики.
Принципиально важные для понимания предмета темы
раскрыты в детальном разборе задач; наряду с классическими в учебный
процесс введены многие самые современные примеры. В
частности, оптика сред с отрицательным показателем преломления,
элементы рентгеновской оптики, принцип генерации ультракоротких
лазерных импульсов, спекяы, эффект Саньяка.
Разъяснение вопросов, традиционно включаемых в учебные
курсы, проведено заметно подробнее, чем в существующей
литературе, при всей компактности данного учебного пособия. Особенно
это относится к дифракции света и взаимодействию света с
веществом.
Для студентов и преподавателей физических факультетов и
технических университетов, физико-математических классов и лицеев.
ISBN 978-5-91559-212-3
© 2016, А.Н. Паршаков
© 2016, ООО «Издательский Дом
«Интеллект», оригинал-макет,
оформление

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора 4
Глава 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ФОТОМЕТРИЯ 5
1.1. Законы отражения и преломления 7
1.2. Отражение и преломление света на сферической
поверхности. Линзы 22
1.3. Фотометрия 55
Глава 2
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА 63
2.1. Интерференция света 64
2.2. Дифракция света 100
2.3. Поляризация света 137
Глава 3
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ.
ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА 167
3.1. Дисперсия света 167
3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления 183
3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка 198
Глава 4
КВАНТОВАЯ ОПТИКА 215
4.1. Тепловое излучение 215
4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного
излучения 232
Список литературы 255

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предлагаемое учебное пособие является третьим
выпуском из серии «Физика в ключевых задачах». Рассмотрены следующие
разделы курса общей физики: геометрическая, волновая и квантовая
оптика. В начале каждой главы кратко излагается теория
соответствующего вопроса, а затем рассматриваются задачи, иллюстрирующие
теоретические положения на конкретных физических примерах. Все
формулы приведены в СИ. Векторы обозначены полужирным
шрифтом (2Г, Я), а их модули — курсивом (Д Я). Автор стремился
исключить из текста второстепенные детали, чтобы
сконцентрировать внимание на ключевых положениях оптики, в частности на
вопросах, наиболее трудных для понимания. С этой целью широко
использованы различные модельные представления, частные
случаи, соображения симметрии и др. Впервые в учебной литературе
рассматривается оптика сред с отрицательным показателем
преломления. Показано, как возникает отрицательный показатель
преломления и как в этом случае изменяются формулы оптики.
Дан детальный разбор ряда новых задач, связанных с
получением и использованием лазерного излучения.
Автор выражает особую благодарность Л.Ф. Соловейчику за
помощь в подборе тематики задач и обсуждении их результатов.
Учебное пособие рассчитано на студентов технических вузов с
расширенной программой по физике (в рамках курса общей
физики) и может быть полезным также преподавателям общей физики.
Кроме того, его можно использовать для более углубленного
изучения физики в классах физико-математического профиля школ и
лицеев.

ГЛАВА
1
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
И ФОТОМЕТРИЯ
Простейшие оптические явления могут быть поняты в
рамках так называемой геометрической оптики, составляющей
раздел физической оптики, в которой рассматривается
распространение света в связи с его физической природой. Геометрическая
оптика получается в предельном случае коротких волн, длины которых
малы по сравнению с характерными размерами, определяющими
распространение света как электромагнитной волны в среде.
Основу геометрической оптики составляют четыре закона,
установленные опытным путем:
1) закон прямолинейного распространения света;
2) закон независимости световых пучков;
3) закон отражения света;
4) закон преломления света.
Прямолинейность распространения света означает, что в
прозрачной однородной среде свет распространяется по прямым
линиям (лучам). Закон независимости световых пучков состоит в том,
что распространение всякого светового пучка в среде совершенно
не зависит от наличия в ней других световых пучков, т. е. пучок,
прошедший через какую-либо область пространства, выходит из
нее одним и тем же независимо от заполнения ее другим светом.
При совместном распространении нескольких световых пучков
происходит их наложение друг на друга без каких-либо взаимных
искажений.
Согласно закону отражения света на плоской границе раздела
двух сред падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с
нормалью к границе раздела в точке падения, причем угол падения
равен углу отражения (углы отсчитываются от нормали в одном
направлении). Согласно закону преломления света на границе раздела

Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
двух прозрачных сред с показателями преломления п{ и п2
выполняется равенство
At, sin a = «2 sin fi.
Здесь п = c/v, с — скорость света в вакууме; v — скорость света в
данной среде; а — угол падения; /5 — угол преломления. Отсюда, в
частности, следует, что при падении света на оптически менее
плотную среду (п2 < «,), угол преломления может достигнуть 90°, т. е.
преломленный луч начинает скользить вдоль границы раздела и не
выходит во вторую среду (рис. 1.1). Предельное значение угла
падения ас определяется равенством
л,
sin ar = —
и при а > ас наблюдается полное внутреннее отражение. Это
название связано с тем, что происходит почти полное отражение
света.
a>ar
иоо%
Рис. 1.1
Перечисленные законы геометрической оптики автоматически
следуют из так называемого принципа Ферма, согласно которому
свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь,
которому соответствует наименьшее время распространения, либо
путь, оптическая длина которого минимальна. Если существует
множество таких путей, то они называются таутохронными
(требующими для своего прохождения одинакового времени). Из данного
принципа вытекает обратимость хода световых лучей, т. е., если при
движении от одной точки к другой свет выбирает некоторый путь, то
при обратном движении он выбирает точно такой же путь.

1.1.
1.1. Законы отражения и преломления —'у* 7
ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ
1.1 Л. Принцип Ферма. Получить законы отражения и
преломления света, исходя из принципа Ферма.
Получим вначале закон отражения. Для этого рассмотрим
ситуацию, когда свет должен попасть из точки А в точку Д испытав при
этом отражение от плоского зеркала (рис. 1.2).
Среда, в которой распространяется свет,
однородна, поэтому минимальность оптической
длины пути сводится к минимальности его
геометрической длины. Введем
вспомогательную точку А\ являющуюся зеркальным
отражением точки А. Тогда из рис. 1.2 сразу
следует, что самый короткий путь из точки А в
точку В с отражением от зеркала будет, если
отражение произойдет в точке С, для
которой выполняется условие а = а'.
Обратимся теперь к закону преломления.
Как и ранее будем полагать, что свет должен
попасть из точки А в точку Д но теперь эти
точки находятся по разные стороны границы
раздела двух сред (рис. 1.3). Не нарушая
общности задачи, можно считать, что показатель преломления первой
среды равен единице. Для оптической длины L ломаной,
соединяющей точки А и Д имеем
а Ь
L = + л -.
cos a cos /5
Причем, независимо от того, в какой точке С произойдет
преломление света, должно выполняться дополни-
,4 тельное соотношение
Рис. 1.2
a tg а + Ъ tg /3 = const,
(1.1)
Рис. 1.3
которое выражает условие постоянства длины
проекции ломаной АСВ на плоскость раздела сред.
Так как принцип Ферма требует минимальности
оптической длины, то необходимо потребовать
d£ _ a sin a nb sin/3 d/? _ ft .* -.
da cos2a cos2/? da

—/\j- Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
Дифференцируя дополнительное соотношение (1.1), получаем
Ъ d/3
0.
cos2 a cos2 /3 da
Сопоставляя это соотношение с (1.2), находим
sinar -nsin/3 = О,
а это и есть закон преломления света. В том, что этот закон
действительно выражает условие минимума оптической длины пути
светового луча, а не просто условие ее экстремума, можно убедиться,
исследуя знак второй производной d2L/da2, либо из геометрических
соображений.
1.1.2. Радиус кривизны светового луча. Исходя из закона
преломления света, показать, что радиус кривизны R светового луча при его
распространении в прозрачной изотропной среде с медленно
изменяющимся показателем преломления п определяется выражением
где производная берется по направлению
главной нормали N к лучу.
В неоднородных средах представление о
распространении света вдоль лучей
сохраняется, но сами лучи становятся
криволинейными. Рассмотрим среду, состоящую из
плоскопараллельных слоев с постоянными
показателями преломления ni (рис. 1.4), меняющимися
скачком от слоя к слою. Световой луч,
преломляясь на границах слоев, примет форму
ломаной линии. В силу закона преломления
при распространении света в такой слоистой
среде будут справедливы соотношения
Рис. 1.4
Пусть теперь число слоев неограниченно растет, а толщина
каждого из них неограниченно убывает. Тогда в пределе мы приходим к
неоднородной среде с непрерывно меняющимся показателем
преломления. Если показатель преломления мало изменяется на протя-

1,1. Законы отражения и преломления
жении длины световой волны, то можно
пренебречь эффектами отражения на границах
слоев и считать, что свет распространяется в
такой среде вдоль лучей, имеющих форму кри--
вых линий.
Примем за ось z направление,
перпендикулярное к слоям, расположенным вдоль оси х
Тогда под углом а нужно понимать угол между
осью z и касательной к лучу (рис. 1.5), причем
значения п и а будут связаны соотношением
N
Рис. 1.5
п sin a « const. (1.3)
По определению радиус кривизны R рассчитывается как
R
d£
(1.4)
где da — малое изменение угла а при перемещении вдоль кривой на
величину d5. Для определения производной da/dS найдем
дифференциал (1.3)
dn sin a + п cos a da = 0.
С учетом данного соотношения получаем
1 sin a dn
ncosa dS'
И, так как
dn dn
_____ — _____ РАС /У*
dn
—-
dN
dn .
—si
dz
(d-V — бесконечно малое перемещение вдоль нормали к лучу), то
для радиуса кривизны имеем
1 1 dn d
Данное соотношение показывает, что в неоднородной среде луч
изгибается в сторону наиболее быстрого изменения показателя
преломления. Если среда однородна (п = const), то кривизна 1/R
обращается в нуль, т. е. световые лучи прямолинейны.

10 —'и* Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
1.1.3. Преломление света в атмосфере Венеры. Найти радиус
кривизны световых лучей, пущенных горизонтально вблизи
поверхности Венеры, атмосфера которой состоит цз углекислого газа
СО2 с поляризуемостью молекул /3= 3,4 • КГ28 м3. Давление на
Венере PQ = 100 атм., температура t = 500 °С, ускорение свободного
падения gB = 0,84g3.
Как мы сейчас убедимся, показатель преломления газов зависит
от их плотности, которая в свою очередь сильно изменяется с
высотой. Это приводит к наличию градиента показателя преломления по
высоте и соответственно к искривлению световых лучей.
Для определения показателя преломления п и его зависимости
от высоты А воспользуемся известной формулой
п = у/е9
где е — диэлектрическая проницаемость газа, равная 1 + ж; ж —
диэлектрическая восприимчивость. Ее значение входит в
соотношение, связывающее поляризованность диэлектрика Р (дипольный
момент единицы объема) и напряженность электрического поля Е
световой волны Р = еее 02Г. Переменное электрическое поле световой
волны вызывает движение электронов внутри молекулы, что
приводит к появлению молекулярного дипольного момента /?моя,
пропорционального напряженности электрического поля рнол = Ре 0Е, где
/3 — поляризуемость молекулы. Так как собственные частоты
колебаний электронов в газах намного больше частот видимого света, то
можно пренебречь дисперсией и считать величщу /3 постоянной и
не зависящей от частоты световой волны. В силу связи поляризо-
ванности Р и дипольного момента одной молекулы Р = Л(^мол (п0 —
концентрация молекул), нетрудно получить
€ = 1 + 35=
Таким образом, для показателя преломления газов имеем
(1.5)
Полагая атмосферу Венеры изотермической, воспользуемся
известным распределением концентрации молекул по высоте

1.1. Законы отражения и преломления —"Хг 11
где значение концентрации при А = 0 равно
/и = 7,3 • 10~26 кг — масса молекулы СО2; Л — постоянная Больцмана.
После подстановки (1.6) в (1.5) находим искомую зависимость
показателя преломления от высоты
или для малых высот
Для определения радиуса кривизны луча воспользуемся
формулой, полученной в предыдущей задаче,
которая с учетом (1.7) для луча, пущенного горизонтально вблизи
поверхности планеты, примет вид
2л (О)2 (Ш2
/SPomgB '
где я(0) — показатель преломления на высоте А = О,
л(0):
После подстановки числовых данных имеем г « -140 км.
Знак «минус» указывает на то, что горизонтальные лучи
отклоняются к центру планеты, и так как г меньше радиуса Венеры («6050 км),
то горизонтальные и близкие к ним лучи не могут выйти за пределы
Венеры. В то же время возможна круговая рефракция, при которой
луч света огибает планету на некоторой высоте.

12 —»\у /ушдо 1. Геометрическая оптика и фотометрия
1.1.4. Нижний мираж. При каких градиентах температуры
воздуха у земной поверхности возможен нижний мираж?
Иногда вблизи земной поверхности из-за сильного нагревания
или охлаждения возникают большие градиенты показателя
преломления воздуха. Это приводит к искривлению лучей света, что
является причиной различного рода миражей, наблюдаемых в
атмосфере. Обычно наблюдается верхний или нижний мираж. При верхнем
мираже, помимо самих предметов, видны их изображения,
расположенные сверху; при нижнем мираже изображения получаются ниже
самого предмета. Нижний мираж наблюдается в пустынях и степях
в теплое время года, когда прилегающий к земной поверхности слой
воздуха сильно нагрет, а его плотность и показатель преломления
быстро возрастают с высотой. Из каждой точки предмета в глаз
наблюдателя всегда попадают прямые лучи, дающие обычное прямое
изображение. Но при больших градиентах показателя преломления
могут попасть также и лучи,
испытавшие значительное искривление.
Они дают обратное изображение
предмета, как в зеркале (рис. 1.6).
Роль зеркала играют сильно
нагретые нижние слои атмосферы с
малым значением плотности и пока-
-'•"*" ,,'' зателя преломления. Из-за того, что
,''' кривизна лучей возрастает при при-
.''' ближении к Земле и формируется
обратное изображение (это очень
похоже на полное внутреннее отраже-
ри 16 ние). Создается иллюзия водной
поверхности, в которой, как в
зеркале, видно изображение неба.
Аналогично объясняется и верхний мираж. Он наблюдается
зимой в холодных территориях, когда вблизи земной поверхности
образуется холодный слой воздуха, в котором показатель преломления
быстро убывает с высотой. В горах, хотя и очень редко, наблюдается
боковой мираж.
Вернемся к нашей исходной задаче. Из сказанного выше
следует, что для наблюдения нижнего миража необходимо, чтобы
показатель преломления воздуха п возрастал с высотой й. А так как показа-

1.1. Законы отражения и преломления —'ir 13
тель преломления воздуха напрямую связан с его плотностью р9 то
необходимо выполнение условия
an
(это не совсем «нормальное» условие, так как обычно плотность
воздуха убывает с высотой). Для определения условий выполнения
соотношения (1.8) воспользуемся уравнением
Менделеева—Клапейрона в форме
р RT,
где Р — давление; /л — молярная масса воздуха; R — универсальная
газовая постоянная; Т — температура. Из него находим
1 dp _ 1 dP I dT
р uh " Р dh T dA '
При механическом равновесии воздуха dP = —pgdh, где g —
ускорение свободного падения. Отсюда получаем
Такое распределение температур конвективно неустойчиво
(вспомним закон Архимеда). Для конвективной устойчивости, как
показывают расчеты, необходимо, чтобы градиент температуры не
превышал примерно одного градуса на каждые сто метров высоты.
1.1.5. Свет в зеркальном ящике. Светящаяся точка А находится
между тремя зеркалами (рис. 1.7, а). Зеркала 1 и 3 параллельны друг
другу, а зеркало 2 им перпендикулярно. Построить луч, который
после последовательного отражения в зеркалах вернется в исходную
точку.
Конечно, опираясь на закон отражения, можно путем
последовательных приближений построить требуемый ход луча, но это
слишком длинный путь. Нужна более радикальная идея. Для этого учтем,
что выходящие из точки А лучи будут падать на зеркала и
отражаться от них расходящимися пучками, давая всякий раз на своем про-

14
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
должении мнимые изображения. В нашем случае точка А даст в
зеркалах три мнимых изображения, расположенных симметрично
точке А относительно зеркал. Каждое изображение будет источником
для этих зеркал и даст, в свою очередь, новые изображения.
Нетрудно понять, что в данной задаче число изображений точки А будет
бесконечным. Поэтому будем строить их последовательно одно за
другим до тех пор, пока не выполнится условие задачи.
• А
Рис. 1.7
Точка А в первом зеркале даст изображение Ах (рис. 1.7, 6),
которое будет предметом для зеркала 2. При этом точки А и Ах
будут расположены симметрично относительно зеркала 1.
Изображение А} в зеркале 2 будет расположено симметрично точке Ах
относительно зеркала 2. Изображение Аъ точки А^ в зеркале 3 будет
расположено симметрично точке А^ относительно зеркала 3.
Поскольку изображение Ах получается на продолжении лучей,
отраженных зеркалом 7, изображение А^ — лучей, отраженных
зеркалом 2, изображение Аъ — лучей, отраженных зеркалом J, то на
изображении Аъ следует остановиться (по условию задачи луч
должен последовательно отразиться от всех зеркал по одному разу и
вернуться в точку А).
Прямая, соединяющая точки Аъ и А, определит направление луча,
отраженного зеркалом 3 в направлении точки А, В точку D
пересечения этой прямой с зеркалом 3 луч падает так, как будто он
выходит из точки А^ Поэтому прямая AJ) определит направление луча,
отраженного зеркалом 2 в направлении точки /). Аналогично, в
точку С пересечения этой прямой с зеркалом 2 луч падает так, как
будто он выходит из точки Av Тогда прямая АХС определит
направление луча, отраженного зеркалом 1 в направлении точки С. И для

1.1. Законы отражения и преломления
15
завершения хода луча осталось лишь направить луч из точки А в
точку В пересечения прямой А{С с зеркалом /. Из геометрических
соображений нетрудно убедиться, что в точках В, С и D
выполняется закон отражения (равенство углов падения и отражения).
Рис. 1.8
Решите самостоятельно следующую задачу. Построить луч, который
выйдя из точки А зеркального прямоугольного ящика (рис. 1.8, я),
пройдет через точку Д отразившись по одному разу от всех четырех
стенок. Точки А и В лежат в плоскости рисунка. Ответ представлен
на рис. 1.8, б.
1.1.6. Двухгранное зеркало. Сколько
изображений даст светящаяся точка 5,
находящаяся на биссектрисе
двухгранного зеркала с углом раствора а = 2я//1, где
л — целое число, большее единицы?
Обратимся к рйс. 1.9. На нем
обозначено: ]и2- зеркала; S —
источник света; S^ — л-е отражение в
первом зеркале; S^ — л-е отражение во
втором зеркале. Так как изображения
расположены симметрично
относительно соответствующего зеркала, то,
очевидно, все изображения
располагаются на окружности радиуса OS и сдви-

16
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
нуты относительно друг друга на один и тот же угол #. Понятно,
что, процесс построения новых изображений закончится, как
только изображение S® совместится с изображением S^, т. е.
изображения, создаваемые каждым зеркалом, повернутся на яг. Отсюда сразу
находим, что число всех изображений будет в два раза больше
отношения п/а. И если еще учесть, что два последних изображения
совмещены, то полное число изображений N будет равно
а
2п
1.1.7. Смещение фокуса фотоаппарата. Как сместится фокус
фотоаппарата, если между объективом и фотопленкой
перпендикулярно оптической оси поместить плоскопараллельную стеклянную
пластинку толщиной d с показателем преломления л? Считать объектив
сильно задиафрагмированным.
Так как объектив сильно задиафраг-
мирован, то следует рассматривать
только параксиальные лучи, идущие под
малыми углами к оптической оси.
Рассмотрим ход двух лучей — один совпадает с
оптической осью, другой идет к ней под
малым углом а (рис. 1.10). Для
упрощения расчетов в качестве второго луча
выберем такой луч, который после
преломления на передней поверхности
стеклянной пластинки пересечет оптическую ось на задней поверхности
пластинки. Из рис. 1.10 видно, что фокус фотоаппарата отодвинется
на расстояние SS' = OS — OS'. И так как
Рис. 1.10
OS \%a
OS'
то смещение фокуса составит
sin or
sin/3
- d An-\
A = a — = a .
n n
Если рассматривать точку S как предмет, а точку S' — как его
изображение, то видно, что кажущаяся толщина стеклянной
пластинки в параксиальных лучах, перпендикулярных поверхности пла-

1.1. Законы отражения и преломления
17
стинки, меньше истинной в п раз. На этом основан один из методов
определения показателя преломления стекла. Плоская стеклянная
пластинка рассматривается в микроскоп. Сначала микроскоп
устанавливают для наблюдения верхней поверхности пластинки, а затем
тубус микроскопа смещают вниз до тех пор, пока не будет
отчетливо видна нижняя поверхность пластинки (для удобства наблюдения
на поверхностях пластинки наносятся метки). И по отношению
истинной толщины пластинки к смещению тубуса определяют
показатель преломления.
1.1.8. Камень в воде. На краю бассейна глубиной Н стоит
человек и наблюдает камень, лежащий на дне. На каком расстоянии от
поверхности воды h видно изображение камня, если луч зрения
составляет с нормалью к поверхности воды угол а? Показатель
преломления воды п.
Если бы человек рассматривал камень,
находящийся на одной вертикали с его
глазами, то, очевидно, кажущаяся
глубина камня была бы меньше истинной
ровно в п раз (см. задачу 1.1.7). Теперь же
необходимо построить ход двух лучей,
выходящих из воды под близкими
углами а и а + da, и затем на их
продолжении найти изображение камня 5". Сам же
камень находится в точке S (рис. 1.11).
Из рис. 1.11 следуют равенства Рис. 1.11
Из них находим
(1.9)
tg(a + <Sar)-tga
Так как углы San S/3 малы по сравнению с а и Д то используя
разложение тангенса в ряд
1
tgGc +
COS2X
Sx,

18 —'Хг Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
вместо (1.9) получаем
-cosW (U0)
Воспользуемся теперь законом преломления п sin JS- sin а я
найдем его дифференциал: п cos flSf} = cos а За, Подставляя найденное
отсюда отношение 3/3к Зав (1.10), приходим к соотношению
. _ Н(cosor |
И если выразить теперь угол /? через а, воспользовавшись
законом преломления, то для h получаем
А = ,
Горизонтальное же смещение камня составляет
cos or
1.1.9. Стеклянный кубик. Можно ли увидеть что-нибудь через
две смежные грани стеклянного кубика? Показатель преломления
стекла п = 1,5.
Для того чтобы увидеть свет от источника S
(рис. 1.12) через две смежные грани кубика,
необходимо, чтобы луч, вошедший через одну
грань, не испытал полного внутреннего
отражения на другой грани. Чтобы убедиться при
каких условиях может произойти полное
внутреннее отражение, построим ход
какого-либо луча и найдем связь угла падения а
и угла, под которым луч может выйти в
воздух. Применим последовательно закон
преломления к двум граням кубика
Рис. 1.12
sin a
sin/?
п\

1.1. Законы отражения и преломления
19
Из этих равенств следует
siny = V/*2 -sin2 a.
И так как sin у не может быть больше единицы, для показателя
преломления получаем неравенство п2 £ 1 + sin2 а. Откуда видно,
что предельное значение показателя преломления, при котором свет
может выйти через две смежные грани кубика, равно V2. Для стекла
же п = 1,5, что явно больше V2, т. е. увидеть что-либо через две
смежные грани стеклянного кубика невозможно. Если же под
основание кубика ввести воду (п = 1,33), то теперь появляется
возможность выхода света через другую грань.
1.1.10. Стеклянный капилляр. Если смотреть на капиллярную
трубку сбоку, то видимый внутренний радиус будет равен г'. Каков
истинный внутренний радиус?
Для определения соотношения истинного внутреннего радиуса
капилляра и наблюдаемого достаточно построить ход двух лучей,
исходящих от какой-либо точки внутренней поверхности капилляра
S и выходящих через его внешнюю поверхность. Один из лучей
очевиден — это луч 7, идущий вдоль радиуса
капилляра (рис. 1.13). Если в качестве
второго взять луч, идущий под небольшим
углом к первому, то мы столкнемся с
довольно утомительными
тригонометрическими выкладками по определению точки
пересечения его продолжения с первым.
Поэтому возьмем луч, исходящий
перпендикулярно первому. Так как истинный
внутренний радиус капилляра г = OS
является малой величиной, то углы падения
и преломления на внешней поверхности
капилляра а и ft также малы, т. е. их
тангенсы примерно равны их синусам, или
самим углам. Тогда из рис. 1.13 следует
OS = г « CSft; OS' = r'-r~ CS{a-ft).
После деления этих равенств получаем
Рис. 1.13
г' -г а-
ft

20 —' \г //шее i. Геометрическая оптика и фотометрия
Если теперь учесть закон преломления а//5 « л, то окончательно
находим
г'
/• = —,
я
т. е. происходит зрительное увеличение внутреннего радиуса
капилляра, если его рассматривать сбоку.
1.1.11. Световод. Каким должен быть внешний радиус R изгиба
световода, сделанного из прозрачного материала с показателем
преломления я, чтобы при диаметре световода d, свет, вошедший в
световод перпендикулярно плоскости его поперечного сечения,
распространялся, не выходя через боковую поверхность наружу?
Понятно, что наивысшие шансы выйти из
световода имеет луч, входящий в него у внутреннего
радиуса (самый малый угол падения). И если этот
луч не выйдет при первом касании внешнего
радиуса световода, то при дальнейших отражениях угол
падения только увеличивается (рис. 1.14), что
сделает невозможным выход луча через внешнюю
поверхность. Таким образом, для достижения полно-
Рис. 1.14 го внутреннего отражения угол а должен
удовлетворять условию
sin а = —.
я
Кроме того, из рис. 1.14 видно, что
R-d
sin a = —-—.
Из этих двух равенств находим
/{ = </"
я-1
1.1.12. Угловая апертура световода. Прямолинейный длинный
цилиндрический световод изготовлен из прозрачного материала с
показателем преломления я. На одном из торцов световода
находится точечный источник освещения. Найти угол /? между крайними

1.1. Законы отражения и преломления
21
лучами, вышедшими через противоположный торец (угловая
апертура пучка света).
Рис. 1.15
Лучи от точечного источника света будут падать на боковую
цилиндрическую поверхность световода под разными углами в
интервале от 0 до я/2. Часть из них преломится на границе с воздухом и
выйдет из световода наружу (рис. 1.15), а часть испытает полное
внутреннее отражение и будет продвигаться через световод.
Очевидно, что отраженные один раз лучи больше нигде из световода не
выйдут и доберутся до противоположного торца. Угол, под которым
эти лучи выйдут через торец, и есть половина угловой апертуры
пучка. Запишем для них закон преломления (нормаль
перпендикулярна торцу световода)
«In (1/2)
cosarc
где ас — предельный угол полного внутреннего отражения от
боковой поверхности световода. Его значение
ас = arcsin —
Таким образом, имеем
sin[~] = ncosac = л-y/l - sin2 ac = yjn2 -1.
Отсюда находим угловую апертуру пучка света, проходящего
через световод
2 arcsin V/*2 -1, п < >/2;

22 —'!/■ Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
1.2. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ. ЛИНЗЫ
Естественно, отражение и преломление света на любой
криволинейной поверхности подчиняется уже известным нам
законам. В то же время на практике наиболее часто встречаются случаи
отражения и преломления именно на сферической поверхности.
Важнейшие из оптических инструментов или их составные части
относятся к так называемым центрированным оптическим
системам. Они представляют собой оптически однородные
преломляющие или отражающие среды, отделенные одна от другой
сферическими поверхностями, центры кривизны которых расположены на
одной прямой — главная оптическая ось. Обычно, если это не
может привести к недоразумениям, прилагательное «главная» будем
опускать. Поэтому есть смысл иметь готовые выражения,
связывающие положение предмета и его изображения с радиусом кривизны
сферической поверхности и свойствами сред.
Начнем с отражения света и будем рассматривать только
параксиальные лучи. С практической точки зрения это означает, что
размеры зеркала малы по сравнению с его радиусом кривизны К
Рассмотрим какой-либо луч, падающий на
вогнутое зеркало параллельно главной
оптической оси ОС (рис. 1.16, О — центр
кривизны сферической поверхности). После
отражения в точке В луч пересечет
оптическую ось в точке F. Так как угол падения а
мал, то OF-FB» FC. Отсюда сразу следует
вывод о том, что при малых углах падения
лучей, параллельных оптической оси, все
Рис. 1.16 отраженные лучи независимо от угла
падения пересекают оптическую ось в одной и
той же точке F (фокус зеркала), находящейся на половине радиуса
кривизны. Таким образом, фокусное расстояние сферического
зеркала/
/ = ±Д. (1.11)
Если же на зеркало падает параллельный пучок лучей под
небольшим углом к оптической оси, то после отражения он соберется

Y = в + 2а\
В
1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
в фокальной плоскости, перпендикулярной оптической оси и
проходящей через фокус зеркала.
Пусть теперь источник света
находится на оптической оси в некоторой точке
S на расстоянии а от зеркала между
фокусом и центром кривизны О (рис. 1.17).
Отраженный луч пересечет оптическую
ось в некоторой точке 5", которую
можно считать изображением точки 5, так
как саму оптическую ось можно взять в
качестве второго луча. Из рис. 1.17
вытекают равенства
23
Рис. 1.17
Следовательно,
И если полагать все углы малыми, то с учетом того, что угол
равен отношению дуги к радиусу, из последнего равенства следует
SC + S'C R'
Обозначая SC- a, 5"С = b9 получаем с учетом (1.11) так
называемое уравнение зеркала
I 1-1
(1.12)
Из (1.12) следует, что расстояние от изображения до зеркала не
зависит от угла у, т. е. все лучи, исходящие от предмета, после
отражения зеркалом собираются в одной точке.
Причем в силу симметрии зеркала это будет
справедливо и для точек, расположенных на
малых расстояниях от оптической оси. Для
построения изображения точки, не
находящейся на оптической оси (рис. 1.18), можно
воспользоваться тремя лучами: луч 1
проходит параллельно главной оптической оси и
после отражения от зеркала он пройдет че-
Рис. 1.18 рез фокус. Луч 2 проходит через фокус, по-

24
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
этому после отражения он пойдет параллельно оптической оси. И,
наконец, луч 3 можно послать через центр кривизны зеркала и
после отражения он вернется обратно по тому же пути. Точка
пересечения S' всех этих лучей и есть изображение точки S.
Аналогичным образом строятся изображения, если точка S
находится за центром кривизны зеркала (рис. 1.19, а) и между зеркалом и
фокусом (рис. 1.19, б). В первом случае изображение (5') получается
на пересечении лучей и является действительным, во втором — на
пересечении продолжения лучей, т. е. является мнимым.
Рис. 1.19
"1 а
Рис. 1.20
Рис. 1.21
Для всех рассмотренных случаев положения предмета формула
зеркала (1.12) остается справедливой, если ввести правило знаков:
если изображение находится с отражающей стороны зеркала (на всех
рисунках слева от зеркала), то расстояние Ь до изображения
считается положительным; если же за зеркалом — то отрицательным
(мнимое изображение). Более того, формула (1.12) работает и для
выпуклого зеркала. На рис. 1.20 приведено построение изображения
предмета в виде стрелки в выпуклом зеркале. При этом независимо от
положения предмета, его изображение является всегда мнимым
(расстояние Ъ < 0). Кроме того необходимо считать, что радиус
кривизны R, а значит, и фокусное расстояние/также отрицательны.

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы —'w* 25
Рассмотрим теперь преломление света на сферической
поверхности раздела двух прозрачных сред. Пусть источник света S
находится в среде с показателем преломления п{ и лучи, исходящие от
него, попадают в среду с показателем преломления п2 (рис. 1.21).
Радиус кривизны преломляющей поверхности СО — R. Исходящий
от источника под малым углом у к оптической оси луч после
преломления пересечет оптическую ось в точке 5", являющейся
изображением точки *У. По закону преломления
Пу sin а = «2 sin /3.
Так как мы рассматриваем только параксиальные лучи, то
последнее равенство приобретает вид
Кроме того, из рис. 1.21 следует £=<р+/39а=у+3. Таким
образом, равенство (1.13) запишется в виде
щу + щ8
или
Для малых углов имеем
SC S'C
SC S'C СО '
И обозначив SC = a, S'C = 6, СО- R, приходим к формуле
(1Л4)
Отсюда видно, что при заданной величине а расстояние до
изображения Ь не зависит от угла у, следовательно, все лучи, исходящие
из точки *У, после преломления соберутся в точке S'. Уравнение
(1.14) справедливо и для вогнутой преломляющей поверхности, если
ввести правило знаков:
1. Для выпуклой преломляющей поверхности радиус кривизны
положителен, а для вогнутой — отрицателен.
2. Расстояние до изображения Ь положительно, если источник
света и изображение находятся по разные стороны от преломляющей

26
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
поверхности (действительное изображение) и отрицательно, если
источник света и изображение находятся по одну сторону от
преломляющей поверхности (мнимое изображение).
3. Расстояние до предмета а положительно, если предмет
действительный, и отрицательно, если предмет мнимый. Этот случай
может иметь место, когда сам предмет является изображением,
полученным от какой-либо линзы или зеркала — в этих случаях лучи на
преломляющую поверхность идут сходящимся пучком.
Применяя последовательно выражение (1.14) для двух
сферических поверхностей (случай линзы), можно получить формулу
тонкой линзы. Однако для лучшего понимания физической природы
формирования изображения в тонкой линзе мы получим данную
формулу, исходя из принципа таутохронизма.
Пусть S точечный источник
света, расположенный на главной
оптической оси линзы, a S' — его
изображение (рис. 1.22). Согласно
принципу таутохронизма,
оптические длины всех лучей, вышедших
из S и собравшихся в 5',
одинаковы. Опишем из S и S', как из
центров, окружности с радиусами SA и
S'B соответственно. Тогда на
основании равенства оптических длин
лучей можем записать
где круглые скобки обозначают оптические длины лучей,
заключенных в эти скобки. Если лучи SE и ES' параксиальные, то можно
принять, что длина ломаной CED приближенно равна длине ее
проекции MN на главную оптическую ось. В этом приближении
предыдущее соотношение можно записать в виде
или
(1.15)
где точка L — проекция точки Е на главную оптическую ось.

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы -*\г 27
Для тонкой линзы приближенно
2 LB(EL)2
где jRj и i^ — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы.
Аналогично, при выполнении условия параксиальное™
справедливы выражения
(гт\2
BN
где через а и Ъ обозначены соответственно длины SA и BS'.
Подставляя написанные выражения в формулу (1.15), получим так
называемое уравнение шлифовщика линз
Если на линзу падают лучи, параллельные главной оптической
оси, то они соберутся в фокусе линзы F, удаленном от линзы на
фокусное расстояние/ Поэтому, если источник удалить в
бесконечность (а -» ©о), то величина Ъ совпадет с фокусным расстоянием/и
тогда уравнение (1.16) приобретает вид
или
Если же на линзу падает параллельный пучок лучей под
небольшим углом к главной оптической оси, то он соберется в фокальной
плоскости, перпендикулярной оптической оси и проходящей через
фокус линзы.
Уравнение тонкой линзы (1.17) ничем не отличается от
уравнения зеркала (1.12). Для того чтобы полученными выражениями можно
было пользоваться в случае любых тонких линз (собирающих и
рассеивающих) и при любом положении предмета и его изображения
примем для определенности следующее правило знаков.

28 —' \/" Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
1. Фокусное расстояние положительно для собирающих линз и
отрицательно для рассеивающих.
2. Для выпуклой преломляющей поверхности радиус кривизны
положителен, а для вогнутой — отрицателен.
3. Расстояние до изображения Ъ положительно, если источник
света и изображение находятся по разные стороны от преломляющей
поверхности (действительное изображение) и отрицательно, если
источник света и изображение находятся по одну сторону от преломляющей
поверхности (мнимое изображение).
4. Расстояние до предмета а положительно, если предмет
действительный, и отрицательно, если предмет мнимый. Этот случай
может иметь место, когда сам предмет является изображением,
полученным от какой-либо линзы или зеркала — в этих случаях лучи на
преломляющую поверхность идут сходящимся пучком.
Мы получили формулу тонкой линзы, исходя из предположения
о том, что оптические длины всех путей, которыми свет приходит из
одной точки в другую, одинаковы. На самом деле распространение
света подчиняется волновым законам. Наиболее явно волновые
свойства света проявляются в его интерференции и дифракции. И
именно благодаря интерференции волн, прошедших одинаковые
оптические пути, и возникает усиление волн, приводящее к
формированию оптического изображения.
Схематически тонкие линзы обозначаются в виде
стрелок, как показано на рис. 1.23: а — собирающая
линза (ее толщина в центре больше, чем у краев); б —
рассеивающая (ее толщина в центре меньше, чем у
краев). Для построения изображения точки, не находящейся
на главной оптической оси, достаточно воспользовать-
а б ся двумя из каких-либо трех лучей (рис. 1.24): луч 1
Рис. 1.23 параллелен главной оптической оси, поэтому после
преломления в линзе он пройдет через фокус за
линзой, если линза собирающая (рис. 1.24), или будет отклоняться от
главной оптической оси, так, как будто он выходит из фокуса перед
линзой, если линза рассеивающая (рис. 1.25); луч 2 проходит через
центр линзы, не отклоняясь (здесь обе поверхности практически
параллельны). И, наконец, луч 3 в случае собирающей линзы вдет
через фокус, расположенный по ту же сторону от линзы, что и точка S,
поэтому в результате преломления он оказывается параллельным
главной оптической оси; в случае, если линза рассеивающая, луч 3

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
29
идет в направлении фокуса, расположенного за линзой, и также после
преломления становится параллельным главной оптической оси. Бели
любые два из этих лучей пересекаются в некоторой точке S\ то
изображение будет действительным, если же пересекаются их
продолжения, то изображение будет мнимым. Как видно из рис. 1.24 и
1.25 действительное изображение может быть получено только
собирающей линзой, если предмет находится за фокусом, при этом
изображение перевернутое. Если же предмет расположен между
фокусом и линзой или линза рассеивающая, то изображение будет
мнимым и прямым.
L
о/
F
\
Рис. 1.24
•
•
F
1
\
•4
4
/\
Рис. 1.25
1.2.1. Параболическое зеркало. Ранее нами было показано, что
при отражении параллельного оптической оси сферического
зеркала пучка света он собирается в фокусе, только если пучок узкий.
При расширении пучка точка схождения отраженных лучей
приближается к вершине зеркала. В связи с этим возникает вопрос —
какова должна быть форма отражающей поверхности, чтобы
параллельный пучок света любой ширины собирался строго в одной
точке?

30
Глава L Геометрическая оптика и фотометрия
N у
Рис. 1.26
Нетрудно понять, что смещение точки схождения лучей при
отражении от сферического зеркала связано с постоянством
радиуса кривизны зеркала. Поэтому необходимо поискать такую
поверхность, радиус кривизны которой возрастал бы с удалением от
вершины зеркала. Одной из таких поверхностей является
параболоид вращения, сечение которого плоскостью, проходящей через его
ось, представляет параболу. Проверим наше предположение. Одно
из определений параболы говорит, что данная кривая является
геометрическим местом точек М{ху у) равноудаленных (рис. 1.26, а) от
данной точки F (фокуса) и от данной прямой NN' (директрисы),
т. е. MF = KM. Директриса проходит перпендикулярно оси
параболы на расстоянии р/2 от вершины параболы по другую сторону от
фокуса. На таком же расстоянии от вершины р/2 находится и
фокус параболы F. Величина р называется фокальным параметром
параболы и входит в ее каноническое уравнение у2 = 2рх. Не
составляет большого труда доказать, что касательная к параболе МС
и нормаль ML (рис. 1.26, б) в точке М(х9 у) являются
биссектрисами углов между фокальным радиус-вектором MF и прямой ММ\
параллельной оси х и проходящей через точку М. Для этого
достаточно показать, что длина CF равна величине радиус-вектора MF
(см. рис. 1.26, б). Найдем эти величины:
CF.JL- х_£
Ух V 2

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы —»\г 31
Подставляя сюда значение производной
взятой из канонического уравнения, находим
Аналогично, из рис. 1.26, б получаем
Опираясь на эти известные геометрические свойства параболы,
нетрудно понять, что, если направление ММ' является падающим
лучом света, то после отражения он пересечет ось параболы именно
в ее фокусе, независимо от положения точки падения.
Получить параболическое зеркало можно, если сосуд с ртутью
привести в равномерное вращение вокруг вертикальной оси (ось х).
В этом случае, как нетрудно показать, уравнение вертикального
сечения, проходящего через ось вращения, имеет вид
Ц
со
где со — угловая скорость вращения сосуда с ртутью. Из сравнения
этого уравнения с каноническим уравнением параболы у2 = 2рх,
находим фокусное расстояние такого зеркала
/=4 =
2 2со2'
1.2.2. Какое зеркало? Известны положения оптической оси
сферического зеркала АВ, светящейся точки 5 и ее изображения S'.
Найти графическим построением положение вершины зеркала и его
центра кривизны для случаев, изображенных на рис. 1.27.

32 -^i/» Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
S.
А В А
В
Рис. 1.27
Эта задача является обратной задаче построения изображения
при заданном положении сферического зеркала и его центра
кривизны. Поэтому будет нелишне воспользоваться информацией,
полученной из решения прямой задачи построения изображения в
сферическом зеркале. В данном случае полезно иметь в виду
следующие положения.
1. Луч, соединяющий точки S и S', пересекает оптическую ось в
центре кривизны сферического зеркала (точка О).
2. Луч, отраженный от зеркала в его вершине (точка С),
составляет с оптической осью тот же угол, что и падающий луч. Для
построения равных углов удобно ввести вспомогательную точку 5",
расположенную симметрично точке S (или S') относительно
оптической оси, и соединить прямой линией точку S" с точкой S (или S').
Точка пересечения С этой линии или ее продолжения с оптической
осью, очевидно, и является вершиной зеркала.
3. Перевернутое изображение создает только вогнутое зеркало и
изображение действительное. Прямое изображение может быть
создано вогнутым зеркалом, если точка S ближе к оптической оси,
чем точка S\ и выпуклым, если точка S находится дальше от оси,
чем точка S'. В обоих случаях изображение мнимое.
С учетом сказанного ответ задачи будет выглядеть так, как
отображено на рис. 1.28 (в случаях а и б изображение действительное, в
случаях в и г — мнимое).

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
В А
33
В А
Рис. 1.28
1.2.3. Ход луча в зеркале. Найти построением ход луча после
отражения в вогнутом и выпуклом сферических зеркалах (рис. 1.29,
где F — фокус, АВ — оптическая ось).
в
Рис. 1.29
В данной задаче, в отличие от предыдущей, у нас нет никаких
предварительных соображений относительно хода отраженного луча
(разумеется, кроме закона отражения). Поэтому разумно ввести
некоторый вспомогательный луч-проводник, ход которого нам
известен, и этот луч должен быть привязан к заданному нам лучу. Самый
простой вариант — взять луч, параллельный заданному, и он должен
пройти либо через фокус зеркала F, либо через центр кривизны О.
Рассмотрим вначале отражение от вогнутого зеркала. Возьмем
вспомогательный луч 1, параллельный заданному и проходящий через
фокус зеркала. Так как оба луча параллельные, то отраженные лучи

34
\
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
должны пройти через одну точку фокальной плоскости FF'. Но для
вспомогательного луча это точка нам известна, после отражения он
должен пойти параллельно оптической оси и пересечет фокальную
плоскость в некоторой точке D. Значит и заданный луч пройдет
через эту же точку (рис. 1.30, я). В качестве вспомогательного луча
можно взять луч 2, проходящий через центр кривизны зеркала
(точка О). Напомним, что центр кривизны находится на удвоенном
фокусном расстоянии от вершины зеркала. Этот луч после отражения
пойдет по старому пути и пересечет фокальную плоскость,
естественно, в той же точке Д что и луч 1.
Вспомогательные
2 лучи
Вспомогательные
лучи
/ 2
Рис. 1.30
Аналогичная ситуация имеет место и при отражении от
выпуклого зеркала, но только теперь через одну точку фокальной
плоскости должны пройти продолжения лучей (рис. 1.30, б).
1.2.4. Предмет в вогнутом зеркале. Действительное изображение
предмета в вогнутом зеркале превышает по своим размерам
предмет в три раза. После того как предмет отодвинули от зеркала на
Ад = 0,8 м, его изображение стало в два раза меньше предмета.
Найти фокусное расстояние зеркала.
Данная задача рассчитана на прямое применение формулы
сферического зеркала. Построение хода лучей имеет чисто прикладное
значение. Так как изображение действительное, то расстояние от

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
\
предмета до зеркала а превышает фокусное расстояние/ Обратимся
к рис. 1.31. Из него для первого положения предмета следует
h ax
3,
L
где А — высота предмета; Л,' — высота
изображения. Отсюда имеем
Ai=3fl,. (1.18)
Аналогично для второго положения
V °.
Л
h
Л'
Рис. 1.31
h a2 2*
Так как а2 = ax + Ал, то последнее равенство приобретает вид
Воспользуемся теперь формулой сферического зеркала
111 111
(1.19)
(1.20)
Из совместного решения системы уравнений (1.18)—(1.20)
после подстановки численных значений находим/= 0,48 м.
1.2.5. Сходящиеся лучи в выпуклом зеркале. Сходящиеся лучи
падают на выпуклое зеркало так, что их продолжения пересекаются
в точке, находящейся на
расстоянии /j = 0,4 м за зеркалом
(рис. 1.32). После отражения от
зеркала лучи расходятся таким
образом, что их продолжения
пересекаются в точке,
отстоящей от зеркала на расстоянии
/2 = 1,6 м. Обе точки лежат на
главной оптической оси
зеркала. Определить фокусное рас-
Рис. 1.32 стояние зеркала.
>
35

\
36 —»Ь- Глава L Геометрическая оптика и фотометрия
Хотя условие задачи абсолютно прозрачно, ее решение вызывает
определенные психологические трудности. Попытка же ее
графического решения приведет к значительным техническим трудностям.
Попробуем воспользоваться формулой сферического зеркала
iti-i.
Правда не очень понятно, что здесь принимать за величины а и Ь,
ведь ни о каком реальном предмете и его изображении не идет и
речи. И все становится прозрачным, если представить справа от
зеркала глаз. Теперь становится понятным, что точке 5" (см. рис. 1.32)
соответствует мнимое изображение, а точке S — мнимый предмет
(сам предмет является изображением, полученным от какой-либо
линзы или сферического зеркала — в этом случае лучи идут на
отражающую поверхность сходящимся пучком). Тогда в соответствии с
правилом знаков мы должны полагать а = -/2 = -0,4 м, Ъ = -1{ = -1,6 м
и из формулы (1.21) сразу получаем/= -0,32 м. Как и
предполагалось, величина / оказалась отрицательной, что также согласуется с
правилом знаков для выпуклого зеркала.
1.2.6. Рыбка в сферическом аквариуме. С каким максимальным
увеличением можно наблюдать рыбку, плавающую в сферическом
аквариуме?
Будем полагать размеры рыбки много меньше размеров
аквариума, чтобы можно было использовать приближение параксиальных
лучей. Чтобы не усложнять решение задачи, будем считать, что свет
выходит из воды прямо в воздух, исключив из рассмотрения стенку
аквариума. Кроме того, будем полагать, что глаз человека и рыбка
находятся на прямой, проходящей через центр аквариума. Таким
образом, мы можем сразу воспользоваться готовой формулой для
преломления света на сферической поверхности раздела двух
прозрачных сред
Ъ t
а Ъ~ R '
где Aij = л — показатель преломления воды (п = 4/3); п2 = 1 —
показатель преломления воздуха, R — радиус аквариума. Так как в
данном случае изображение рыбки является мнимым (находится
по одну сторону с самой рыбкой), то расстояние от передней стен-

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
\
ки до рыбки а положительно, а расстояние от передней стенки до
изображения Ь отрицательно (рис. 1.33). И так как преломляющая
поверхность вогнутая, то радиус кривизны R необходимо считать
отрицательным.
37
Рис. 1.33
Таким образом, формула, определяющая связь положения
рыбки и ее изображения, запишется в виде
п
а
1 1-я
где величины а, Ьк R теперь считаются положительными. Разрешая
это уравнение относительно расстояния от передней стенки
аквариума до изображения рыбки 6, получаем
aR
nR-a(n-l)'
(1.22)
Отсюда видно, что если рыбка находится ближе к передней стенке
аквариума (а < R), то ее изображение находится перед рыбкой, если
же рыбка плавает ближе к задней стенке (а> R), то ее изображение
находится за рыбкой. И только если рыбка находится точно в
центре аквариума (а = Л), то ее изображение находится в том же месте,
что и сама рыбка (Ь = а). Правда, если рыбка находится точно у
передней стенки (а = 0), то изображение также совмещено с самой
рыбкой (* = 0).

38 —'Х/1 Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
Разберемся теперь с увеличением рыбки
(см. рис. 1.33). Так как точки S^ S2 и центр аквариума О находятся
на одной прямой (луч этого направления не испытывает
преломления), то из подобия треугольников OS{S{ и OS{S2 следует
a~R
И после подстановки в данное выражение, справедливое при
любом положении рыбки на оптической оси, формулы (1.22) находим
зависимость увеличения рыбки от ее положения внутри аквариума
Г nR
nR-a(n-l)'
Этот результат говорит о следующем. Если рыбка находится у
передней стенки аквариума (а = 0), то увеличение Г = 1 (видим
рыбку такую, какая она есть и в том же месте). Если рыбка
находится в центре аквариума (а = R), то Г = п (видим рыбку в том же месте,
но увеличенную в п раз). И самое большое увеличение наблюдается,
если рыбка плавает у задней стенки аквариума а = 2Л
В этом случае
Если принять для воды п = 4/3, то максимальное увеличение
рыбки составит Г = 2 и видим мы ее на расстоянии 3R от передней
стенки аквариума, хотя сама рыбка находится на расстоянии 2R от
передней стенки.
1.2.7. Какая линза? Определить построением положение тонкой
линзы и ее фокусов, если известно положение оптической оси 00\
источника Sn его изображения *S" (рис. 1.34). Среды по обе стороны
линз одинаковы.
Начнем с рис. 1.34, а. Так как источник и его изображение
находятся по одну сторону от оптической оси, то это означает, что
изображение мнимое. Такое изображение могут создавать и собирающая

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
и рассеивающая линзы. Но в данном случае изображение S'
находится дальше от оптической оси, чем источник (увеличенное
изображение). Такие изображения дают только собирающие линзы,
когда источник находится между линзой и ее фокусом.
39
(У
СУ
•СУ
Рис. 1.34
Теперь, когда мы выяснили, с какой линзой имеем дело, можно
найти положение линзы и ее фокусов. Для этого воспользуемся
тремя лучами, ход которых нам известен.
S/
О ^
У
Bi
А
/
\
\
J^ Ч
F
г
СУ О
СУ
Рис. 1.35

40
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется;
следовательно, прямая, проходящая через источник 5 и его
изображение £' при пересечении с главной оптической осью, определит
положение линзы (рис. 1.35, а).
2. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, за линзой
пойдет через ее фокус; следовательно, луч SA за линзой пойдет так,
чтобы его продолжение прошло через изображение S'. Пересечение
этого луча с главной оптической осью определит положение одного
из фокусов линзы.
3. Луч, идущий до линзы через ее фокус, за линзой будет идти
параллельно главной оптической оси; следовательно, луч SB за
линзой пойдет параллельно оси 00' так, чтобы его продолжение
прошло через изображение S'. Продолжение луча SB до пересечения с
главной оптической осью определит положение второго фокуса.
Аналогично рассматриваются и остальные варианты (рис. 1.35,
1.2.8. Ход луча в линзе. Найти построением ход луча 2 за
рассеивающей и собирающей тонкими линзами (рис. 1.36, я, б), если
известны положение линзы, ее оптической оси OOf и ход луча 1. Среды
по обе стороны линзы одинаковы.
ч/
•СУ
Рис. 1.36
Воспользуемся идеей, рассмотренной в задаче 1.2.3. Для этого
введем вспомогательный луч —проводник, ход которого нам
известен, и этот луч привязан к падающим на линзу лучам. Пусть этот
луч параллелен заданному и проходит через центр линзы — так
называемая побочная оптическая ось. Рассмотрим вначале ситуацию с
рассеивающей линзой (рис. 1.37, я). Выберем в качестве побочной
оптической оси луч 1\ параллельный лучу 7. Точка А пересечения

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
41
его с продолжением луча 7, прошедшего линзу, даст нам положение
фокальной плоскости. Если теперь взять в качестве побочной
оптической оси луч 2\ параллельный лучу 2, то точка В пересечения его
с фокальной плоскостью и даст нам продолжение луча 2,
прошедшего через линзу.
Рис. 1.37
Аналогично решается и ситуация с собирающей линзой.
1.2.9. Сходящийся пучок лучей. Экран расположен на расстоянии
/= 21 см от отверстия, в которое вставлена тонкая линза радиусом
R = 5 см. На линзу падает сходящийся пучок лучей, в результате
чего на экране образуется светлое пятно радиусом г = 3 см, причем,
если линзу убрать, то радиус пятна не изменится. Чему равно
фокусное расстояние линзы /?
В условии задачи не сказано, о
какой линзе (собирающей или
рассеивающей) идет речь. Поэтому нам
придется рассмотреть оба варианта.
Предположим вначале, что в отверстие
вставлена собирающая линза. В этом
случае из рис. 1.38 видно, что радиус
светлого пятна на экране может
остаться одинаковым как при наличии,
так и при отсутствии линзы, если
экран расположен после точки
схождения лучей, прошедших линзу.
Правда, сама эта точка не является фоку- Рис. 1.38

42 —'!/■ Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
сом и расстояние CS не равно фокусному расстоянию, т. е.
воспользоваться непосредственно рисунком для определения / нельзя.
Остается единственный вариант — воспользоваться формулой тонкой
линзы. Но здесь, как и в задаче 1.2.5 о сходящихся лучах в
сферическом зеркале, нет реального предмета и его изображения.
Поэтому воспользуемся обратимостью хода лучей. Если послать свет
справа налево, то, очевидно, что точке S соответствует источник, а
точке *S" — его мнимое изображение. И для решения задачи
необходимо только определить расстояния СУ и CS'. Из подобия
треугольников следуют равенства
Из
них находим
г
CS
R
IR
+ R
1-CS
г
13,125 см;
CS'
R
CS
CS'-l
г
IR
R-r
52,5 см.
Осталось только подставить эти значения в формулу тонкой линзы
с учетом того, что расстояние от изображения до линзы
отрицательно (Ь = -52,5 см). Окончательно получаем/= 17,5 см.
Предоставляем самостоятельно показать, что ответ не изменится, если в
отверстие вставлена рассеивающая линза.
1.2.10. Перемещение линзы между предметом и экраном.
Собирающая линза дает изображение некоторого предмета на экране.
Высота изображения равна hv Оставляя неподвижным экран и
предмет, начинают двигать линзу к экрану и находят, что при втором
четком изображении предмета высота изображения равна й2. Найти
действительную высоту предмета А. Каково при этом минимальное
расстояние между предметом и экраном?
Стандартный путь решения этой задачи сводится к следующему.
Необходимо записать формулу тонкой линзы для двух положений
линзы с учетом постоянства расстояния между предметом и экраном.
Затем связать выражение для увеличения линзы с расстояниями
между линзой и предметом а и линзой и изображением Ь. В итоге
получится система уравнений, из которой можно найти высоту
предмета. Но это довольно длинный путь. Поэтому с целью упрощения
вычислений воспользуемся симметрией формулы линзы по
отношению к расстояниям от предмета до линзы и от линзы до изобра-

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы -*!#• 43
жения. С физической точки зрения это является следствием
обратимости хода световых лучей — источник света 5 и его изображение S'
могут поменяться местами. Точечный источник, помещенный в
точку 5", будет иметь свое изображение в точке S (поэтому точки S и S'
называются сопряженными). Можно утверждать, что если при
перемещении линзы получаются два изображения при неподвижных
предмете и экране, т. е. а + Ъ = const, то
«i=h\ *2 = V (1.23)
Тогда
h ax' h a2
Перемножая последнее равенство с учетом (1.23), имеем
Найдем теперь минимальное расстояние между двумя
оптически сопряженными относительно собирающей линзы точками LmSxi.
Из формулы тонкой линзы
I !-!
а* Ъ~ f
находим
L 9 а + Ъ
Легко показать, что данное выражение имеет минимум при
Ъ = 2/, т. е.
1.2.11. Система из двух линз. Две тонкие линзы с фокусными
расстояниями/j nf2 находятся на расстоянии /друг от друга, образуя
центрированную систему. Какой одной «эквивалентной» тонкой
линзой, дающей при любом положении предмета такое же по
величине изображение, можно заменить данную систему и где следует
поместить «эквивалентную» линзу?

44
Глава I Геометрическая оптика и фотометрия
1
Главным и единственным параметром тонкой линзы является ее
фокусное расстояние / Поэтому вопрос, поставленный в задаче,
сводится к определению фокусного расстояния системы из двух
тонких линз. Казалось бы, что решение этой задачи очевидно. Нужно
послать на систему линз параллельный оптической оси пучок лучей
и посмотреть, где он пересечет
оптическую ось после прохождения второй
линзы (рис. 1.39). Тогда расстояние от
первой линзы до точки S{ и будет
фокусным расстоянием системы.
Посмотрим, к чему это приведет. Пусть
первой линзой является линза с фокусным
расстоянием fv Первое пересечение оп-
Рис-1*35 тической оси произойдет в точке S{ на
расстоянии от второй линзы д2 = l~fv
Принимая точку S[ за предмет для второй линзы, находим
расстояние изображения от второй линзы
I
При этом мы воспользовались формулой тонкой линзы
-L-JL JL
Следуя логике наших рассуждений, за фокусное расстояние
следует принять величину
J * l-fx-A'
Но этот результат крайне сомнителен, так как он
несимметричен относительно величин/jH/2 (т. е. зависит от того, с какой
стороны падает свет). Если мы поменяем местами линзы, то получим
другое фокусное расстояние, чего, очевидно, не должно быть. В чем
наша ошибка? Ответ напрашивается сам собой: нужно так
определить понятие фокусного расстояния произвольной центрированной
оптической системы, чтобы его значение не зависело от того, с
какой стороны падает свет.

Внешние
преломляющие поверхности
/ \
И
\ I
Рис. 1.40
Н'
1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
Для этого кроме фокальных плоскостей следует рассматривать
еще так называемые главные плоскости центрированной оптической
системы. Это две сопряженные плоскости, перпендикулярные
оптической оси и отображающиеся друг в друга с поперечным
увеличением +1. Иными словами, если предмет находится в одной такой
главной плоскости, то его прямое изображение с увеличением,
равным единице, находится в другой главной плоскости. Напомним, что
поперечное увеличение — величина алгебраическая. Оно
положительно, если изображение прямое, и
отрицательно, если изображение
обратное. Как и для фокальных
плоскостей существует передняя
главная плоскость (Я),
принадлежащая пространству предметов, и
задняя главная плоскость (Я7),
принадлежащая пространству
изображений (на рис. 1.40 отображены
также внешние преломляющие
поверхности оптической системы и
ее фокальные плоскости F, F').
Тогда расстояние от передней
главной точки Я до переднего фокуса F называется передним
фокусным расстоянием / Расстояние от Я' до F' является задним
фокусным расстоянием /'. Если среда по обе стороны системы
одинакова, то / = /'.
В зависимости от устройства системы главные плоскости и
главные точки могут находиться как вне, так и внутри системы.
Нетрудно показать, что для тонкой линзы (как рассеивающей, так и
собирающей) главные плоскости Я и Я' совпадают с самой линзой, т. е.
предмет отображается сам в себя только, если он совпадает с самой
линзой. Это напрямую следует из формулы тонкой линзы. Таким
образом, новое определение фокусного расстояния никак не
противоречит тому, что мы уже знаем об одной тонкой линзе и обобщает
данное определение на произвольную центрированную оптическую
систему.
Мы привыкли к тому, что как в пространстве предметов, так и в
пространстве изображений используется одна и та же система
координат с общим началом. В то же время иногда с целью упрощения
вычислений удобно рассматривать разные системы координат, по-
45

46
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
лучающиеся из исходной путем параллельного переноса вдоль
главной оптической оси, и их начала могут не совпадать друг с другом.
Можно принять передний фокус /*за начало координат в
пространстве предметов, а задний фокус F' — за начало координат в
пространстве изображений. Кроме того, так как мы будем иметь дело с
системой линз, в которой расстояния отсчитываются от разных
точек и в разных направлениях, то нам следует договориться о правиле
знаков. Если направление отсчета совпадает с направлением
распространения света вдоль оптической оси, то соответствующая
абсцисса считается положительной', в противном случае она считается
отрицательной. То же будет относиться и ко всем направленным
отрезкам. Ордината считается положительной, если
соответствующая точка лежит выше оптической оси, и отрицательной, когда
точка расположена ниже.
В соответствии с принятыми
договоренностями формулу тонкой линзы
можно записать иначе. Из рис. 1.41 видно, что
расстояния хнх', отсчитываемые от
главных фокусов, в силу формулы тонкой
линзы подчиняются соотношению
Рис. 1.41
1
1
-JC
_1_
/'
что после упрощений приводит к формуле
(1.24)
Это так называемая формула Ньютона. Кроме того, из рис. 1.41
следует, что величины у к у' связаны между собой соотношением
/
(1.25)
Займемся теперь непосредственно нашей исходной задачей о двух
тонких линзах. Пусть А означает расстояние от передней фокальной
точки F2 второй линзы до задней фокальной точки F{ первой линзы
(рис. 1.42). Это расстояние называется оптическим интервалом и
полностью определяет взаимное расположение складываемых
оптических систем. Фокус F{ примем за начало координат в пространстве
предметов всей системы, а фокус F{ — за начало координат в про-

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы ^\г
странстве изображений той же системы. Пусть х, у — координаты
предмета, a xv yx — его изображения, даваемого первой линзой.
Тогда в силу соотношений (1.24) и (1.25) имеем
47
Примем это промежуточное
изображение за «предмет» для второй линзы.
Координаты этого предмета в
координатной системе с началом координат в точке
F2 будут х2 = хх - А, у2 = yv Если х\ у' -
координаты изображения, даваемого
второй линзой (а, следовательно, и всей си-
стемой двух тонких линз) относительно
начала F{> то
-x2x-f2i _--_.
к
F,
\
г
I
А
•*
А
1
к
\
i
f
Рис# 1#42
Исключая промежуточные координаты xv у, х2, yv получаем
(1.2о)
х
J2
—I
+ А • х
У ~—
+ А • х
Этими формулами устанавливается соответствие между точками
пространства предметов и пространства изображений. Оно
называется коллинеарным соответствием. Из формул (1.26) следует, что
конечным значениям х9 у соответствуют конечные значения х\ у\
Исключение составляют точки плоскости
fx2 + А • х = 0.
Каждая точка 1акой плоскости изображается бесконечно
удаленной точкой, а это и есть фокальная плоскость. Ее координата
Координату главной плоскости хн можно получить из второго
равенства (1.26), полагая у' = у:
(1.27)

48
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
Осталось найти фокусное расстояние системы как разность
координат главной и фокальной плоскостей
f-x -x /Л/Л,/2. АЛ
J В F д д д
И так как Д = /—/, — f2 (см. рис. 1.42), то окончательно получаем
А/г . 1 _ 1 1 /
В частности, при / = О
1 1 1
(1.28)
(1.29)
Рис. 1.43
т. е. оптическая сила сложной системы равна сумме оптических сил
составляющих систем. Это имеет место не только для двух тонких линз,
сложенных вместе, но и для систем, состоящих из зеркал и линз.
Частный результат (1.29) можно
получить также из элементарных соображений.
Рассмотрим две сложенные вместе
тонкие линзы (рис. 1.43). Пусть предмет
располагается в переднем фокусе первой
линзы. Тогда, очевидно, его изображение
будет находиться в заднем фокусе второй
линзы. И, применяя формулу тонкой
линзы в пренебрежении расстоянием между
линзами, сразу приходим к соотношению
(1.29). Если расстояние между линзами /равно сумме фокусных
расстояний /j nf2, то согласно соотношению (1.28) фокусное
расстояние системы равно бесконечности. Такая система называется
телескопической и осуществляется, например, в зрительной трубе.
И, наконец, рассчитанную нами «эквивалентную» тонкую линзу
следует разместить, очевидно, в передней главной плоскости
системы двух линз. Эта плоскость отстоит от первой линзы на расстояние
L = хн - /р так как координата передней главной плоскости
системы, определяемая выражением (1.27), была отсчитана от переднего
фокуса первой линзы Fv Таким образом, расстояние
«эквивалентной» линзы относительно первой линзы системы составляет

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
49
1.2.12. Жидкость в сферическом зеркале. В вогнутое
сферическое зеркало, лежащее горизонтально, налито немного воды. При
этом оказалось, что эта оптическая система при некотором
положении источника дает два действительных изображения на
расстояниях Ъх = 54 см и Ь2 = 36 см от зеркала. Определить радиус
кривизны зеркала R и расстояние а предмета от него, если показатель
преломления воды п = 4/3.
До сих пор мы имели дело с оптическими системами, в которых
формируется одно изображение. Откуда в данном случае
появляются два изображения? Такая ситуация возможна, если система
состоит из частей, обладающих разными параметрами и в формировании
изображения принимают участие пространственно разделенные пучки
света. Простейший пример — источник света около двух зеркал,
В нашей ситуации дело обстоит именно таким образом. Так как в
сферическое зеркало налито немного воды (т. е. вода не покрывает
всю отражающую поверхность зеркала), то систему можно разбить
на две подсистемы с разными фокусными
расстояниями и каждая подсистема
формирует свое изображение (рис. 1.44).
Периферийные участки зеркала, не покрытые
водой, имеют фокусное расстояние f3 = R/2.
Сложнее дело обстоит с центральной
частью зеркала, покрытой водой. Конечно,
можно провести детальный анализ хода
лучей, падающих на слой воды, отраженных
от зеркала и вновь проходящих воду в
обратном направлении. Но есть и более
простой путь — воспользоваться результатами
предыдущей задачи. В ней было показано,
что оптическая сила D сложной системы,
состоящей из близко примыкающих частей,
равна сумме оптических сил этих частей
Рис. 1.44
где /)3 = l/f9 — оптическая сила зеркала, Dn = \//Л — оптическая сила
тонкой плоско-выпуклой водяной линзы. С учетом того, что
П-\
/л

50 —'Х/1 Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
оптическая сила центральной части зеркала составит
Осталось только написать известные уравнения, связывающие
расстояния от предмета до зеркала и от зеркала до изображения с
оптической силой разных участков зеркала
I 1 = 1- I 1-1*
а* Ь, R' а* Ъ " Л'
Из этих уравнений находим
а = -— -р^ = 108 см.
1.2.13. Глубина резкости. Изображение предметов, удаленных от
фотоаппарата на расстояние от 2 до 4 м, получилось достаточно
резким при диафрагме 4. Определить глубину резкости (границы
резкости) при диафрагме 2 и <?.
Теоретически, если бы носитель информации, на который
фиксируется изображение, созданное объективом фотоаппарата, был
идеальным (т. е. одной точке пространства предметов соответствовала
бы одна точка пространства изображений), то резкими (четкими)
отображались только предметы, на которые был сфокусирован объектив.
На практике же при фотографировании на пленке (или другом
носителе информации) из-за конечной разрешающей способности
получаются резко изображенными не только предметы, на которые
сфокусирован объектив фотоаппарата, но также и предметы,
находящиеся несколько ближе и несколько дальше этого расстояния.
Глубина резко изображаемого пространства определяется
минимальным размером <?так называемого пятна резкости, т. е. той
области пространства изображений (пленки), при попадании в которую
отображающей точки изображение практически не изменяется.
Повышение глубины резкости при прочих равных факторах обычно
достигается за счет диафрагмирования объектива (т. е. уменьшения

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы
диаметра его прозрачной части). Под количественным термином
диафрагма понимают число d, равное отношению фокусного
расстояния объектива к его диаметру (или радиусу). Так как фокусное
расстояние очень близко к фиксированному расстоянию от
объектива до пленки Ь, то будем считать, что d * b/R, где R — радиус
прозрачной части объектива, ограниченной диафрагмой (т. е.
увеличение радиуса прозрачной части объектива приводит к
уменьшению численного значения диафрагмы). Кроме того, будем считать
объектив тонкой линзой, чтобы можно было воспользоваться
формулой тонкой линзы.
Обратимся к рис. 1.45, на котором обозначено: S — точка
пространства, на которую наведен объектив (ее расстояние до
объектива равно a), S' — изображение точки S на пленке (ее расстояние до
объектива равно Ь). Расстояния а и b связаны формулой тонкой линзы
51
и-*
(1.30)
где D — оптическая сила объектива (на рисунке отображены только
крайние лучи, ограниченные диафрагмой). При перемещении точки
S эти крайние лучи пересекают оптическую ось уже в других местах
(точке S2 соответствует точка Si, точке Sx — точка S[).
Рис. 1.45
Изображения точек Sx и S2 считаются резкими, если лучи,
формирующие точки S{ и Si* пересекают фотопленку в области пятна
резкости, ограниченного величиной 8 (зависит от характеристик
пленки). Тогда границы области резко отображаемого пространства
(величины а{ и а2) будут подчиняться соотношениям
1
1
ах b + Аб
а2 Ъ-

52 —'\r Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
где Ab — смещение отображающей точки вдоль оптической оси при
изменении расстояния до предмета. В силу малости величин Sn Ab
из рис. 1.45 следует равенство
Ab b9
откуда находим
(напомним: S — фиксированный минимальный размер пятна
резкости; d — диафрагма).
Таким образом, величины а{ и д2, определяющие границы
резкости, могут быть найдены из уравнений
1 ~ (1.31)
Данные соотношения означают, что при заданных
фиксированных величинах b, ShD глубина резкости (а{ — минимальное
расстояние до предмета, а2 — максимальное) зависит только от значения
диафрагмы d. Увеличение численного значения диафрагмы
увеличивает глубину резко изображаемого пространства. В то же время
диафрагмирование, увеличивая глубину резкости, приводит к
ухудшению резкости тех предметов, на которые был сфокусирован
объектив. Связано это с волновой природой света и будет рассмотрено
позднее в разделе дифракция на круглом отверстии.
Учитывая малость параметра S, выражения (1.31) и (1.32) можно
переписать в виде
ах Ь\ Ъ ) а2 Ь\ Ъ
При этом мы воспользовались приближенным равенством

1.2. Отражение и преломление света на сферической поверхности. Линзы —'Хг 53
для малых х. Или с учетом (1.30)
(1.33)
(1.34)
где а — расстояние до предмета, на который был сфокусирован
объектив фотоаппарата. Его значение, как следует из (1.33) и (1.34)
при а{ = 2 м, а2 = 4 м, равно
1
1
«2
a
_ 1
a
Sd,
b2 '
Sd
~ b2'
^2 8
а = —L-2- = - м.
ах + а2 3
Значение слагаемого Sd/ti1 можно найти, вычитая уравнения (1.33)
и (1.34)
b2 M
В этом случае значение диафрагмы равно 4. Для произвольных
значений диафрагмы d уравнения (1.33) и (1.34) удобно представить
в виде
fl!=8 + 84; ^"8 84'
Таким образом, при значении d = 2 имеем ^ = 2,3 м, а2 = 3,2 м;
при d = 8 — а{ = 1,6м, а2 = 8м.
1.2.14. Трехмерное изображение. Может ли объемное
(трехмерное) изображение быть геометрически подобным самому предмету?
На первый взгляд вопрос является излишним, так мы привыкли
к тому, что фотография всегда похожа на предмет. В данной же
задаче речь идет об изображении объемного предмета. В этом случае
нам необходимо показать, что отношение продольных и
поперечных размеров у изображения такое же, как и у предмета.
Обозначим поперечный и продольный размеры предмета через у
и Ajc, а соответствующие размеры изображения — через у' и Ах'
(рис. 1.46). Кроме того, наряду с поперечным линейным увеличени-

54
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
ем линзы Г = у '/у, введем также продольное увеличение у- Ах'/Ах.
Выразим теперь поперечное увеличение линзы через расстояние х
от предмета до переднего фокуса F и от изображения до заднего
фокуса х' (см. рис. 1.46)
/+*
Vl
Ах
X
•—-
F
1
О
у
<
Г
*
х'
Ах7
ГУ'
Рис. 1.46
В соответствие с формулой Ньютона/2 = хх' (см. задачу 1.2.11)
величину Г можно представить в виде
(1.35)
Г = J—.
Чтобы получить выражение для продольного увеличения у,
применим формулу Ньютона к точкам, находящимся на концах
предмета и изображения
/2 = (х + ДхКх' - Ах') = хх' + Ахх' - Ах'х - АхАх'.
Тогда отсюда находим
Ах' х'
у = = .
Ах х +Ах
Полагая, что Ах мало по сравнению с х (это условие станет
понятным чуть позже), получаем
Г-£. (1.36)
Из сравнения формул (1.35) и (1.36) находим связь
коэффициентов продольного и поперечного увеличений
Г = Г2. (1.37)

1.3. Фотометрия
\
Для того чтобы изображение было геометрически подобным
предмету, необходимо потребовать условие
у = Г. (1.38)
Очевидно, соотношения (1.37) и (1.38) могут быть выполнены
одновременно только тогда, когда у= Г = 1. Это означает,
во-первых, что для сохранения геометрического подобия предмет
обязательно должен изображаться в натуральную величину. Во-вторых,
геометрическое подобие объемного изображения возможно только
тогда, когда продольные размеры предмета малы по сравнению с
фокусным расстоянием линзы, а сам предмет должен находиться на
двойном фокусном расстоянии от линзы.
1.3. ФОТОМЕТРИЯ
Для характеристики интенсивности света, излучаемого
различными источниками (или отражаемого какой-либо
поверхностью), применяют следующие величины.
1. Сила света /. Это поток энергии излучения точечного
источника, приходящийся на единицу телесного угла
r dO
55
Рис. 1.47
где dO — световой поток в люменах (лм),
излучаемый в пределах телесного угла dQ
(рис. 1.47). Единица силы света — кандела
(кд), 1 кд = 1 лм/ср. Для протяженного
источника йФ — световой поток элемента
поверхности dS. Для изотропного источника,
очевидно, / = Ф/4я.
2. Светимость М. Это световой поток,
испускаемый единицей площади наружу по всем
направлениям в пределах телесного угла 2яг
стерадиан (рис. 1.48)
dO
dS'
Единица светимости люмен на квадратный
метр (лм/м2).
М

56
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
3. Яркость L. Она используется для характеристики излучения в
заданном направлении и определяется как
г йФ 1
Рис. 1.49
сю as cose9
где dO/(to = / — сила света, испускаемого
элементом Л5 в направлении, задаваемом углом в к
нормали (рис. 1.49). Единица яркости — кандела
на квадратный метр (кд/м2). Если сила света /
пропорциональна cos 0, то, очевидно, яркость
такого источника не зависит от направления L =
const. Это так называемый ламбертовский
источник. Его светимость и яркость связаны
соотношением
4. Освещенность Е. Ее определяют как световой поток,
падающий на единицу площади
Е = .
dS
Единица освещенности — люкс (лк), 1 лк =
= 1 лм/м2. Если площадка dS освещается
точечным источником с силой света /, то ее
освещенность
£ =
cosfl
г2 '
где г — расстояние до источника; в — угол
падения света (рис. 1.50).
Рис 1.50
1.3.1. Неизотропный источник. На высоте h = 1,0 м над центром
круглого стола площадью S = 1 м2 подвешен точечный источник,
сила света которого /так зависит от направления, что освещенность
всех точек стола оказывается равномерной и необходимой для
нормального чтения Ео = 50 лк. Найти вид функции 1(0), где в — угол
между направлением излучения и вертикалью, а также полный
световой поток, падающий на стол.

1.3. Фотометрия
Так как освещенность стола всюду одинакова Е = Ео, то в
соответствии со связью освещенности и силы света
57
1(0)
COS0'
где г- A/cos в (рис. 1.51). В этом случае сила
света точечного источника должна зависеть
от угла в по закону
Кб)
50
cos3 в cos3 в
кд.
Для нахождения полного светового
потока разобьем стол на узкие кольца
площадью dS9 видимые из источника под
бесконечно малым телесным углом <К1 (см. рис.
1.51). Тогда элементарный световой поток,
падающий в этом направлении
ПО)
cos3 в
Из рис. 1.51 следует:
da-— е- 2;rrsin^ rd^
" г2 "г2 cos0
а для (ЗФ имеем
£лА2
dO = °. 2пsin Odd,
cos3 0
После интегрирования по углу 0 от нуля до 0т, получаем
где
И окончательно
Ф
= E«S = 50 лм.

58
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
1.3.2. Светящийся купол. Равномерно светящийся купол,
имеющий вид полусферы, опирается на горизонтальную поверхность.
Определить освещенность в центре этой поверхности, если яркость
купола равна L и не зависит от направления.
Освещенность площадки AS
определяется полным световым
потоком, падающим на AS от всех
элементов светящегося купола. Для
определения светового потока
разобьем купол на бесконечно малые
кольцевые полоски площадью dS
(рис. 1.52). Из любой точки этого
кольца площадка AS в центре
горизонтальной поверхности будет
видна под телесным углом
Тогда в силу определения яркости элементарный световой
поток, падающий на AS, равен
dO = LAQdS,
где dS = 2#J?sin ORdS (см. рис. 1.52). Тогда
dO = inLAS sin в cos в йв.
Полный световой поток находим интегрированием по углу в от
нуля до я/2 при L = const
Ф = я LAS.
Таким образом, освещенность в центре горизонтальной
поверхности будет равна
Г Ф Т
1.3.3. Светящаяся плоскость. Ламбертовский источник имеет вид
бесконечной плоскости. Его яркость равна L. Найти освещенность
площадки, расположенной параллельно данному источнику.

L3. Фотометрия
Как и в предыдущей задаче для определения освещенности
площадки нам необходимо найти полный световой поток,
поступающий на площадку AS от всех элементов светящейся плоскости. Для
этого разобьем ее на тонкие кольца площадью d5, из каждой точки
которых площадка AS видна под телесным углом
59
АОГ.
(рис. 1.53). Тогда элементарный световой поток от площадки dS
составит
где
d<P = LA&cosOdS,
2nr sin вг de
dS
COS0
Для dO имеем
лл% j AS cos2 в 2яг2 sin Ode Л ГАс- Л Л^Л
dO = L = = 2#iASsin0cos0d0.
Г2 COS0
После интегрирования по в от нуля до я/2 находим
Ф = я LAS.
Соответственно освещенность
±

60
Глава 1. Геометрическая оптика и фотометрия
1.3.4. Проектор в круглой комнате. Вертикальный луч проектора
освещает центр потолка круглой комнаты радиуса R = 2 м. При этом
на потолке образуется небольшой зайчик площадью *У0 = 100 см2.
Освещенность зайчика равна Е = 1000 лк. Коэффициент отражения
потолка р = 0,8. Найти наибольшую освещенность стены,
создаваемую светом, отраженным от потолка. Считать, что отражение
происходит по закону Ламберта.
Для того чтобы освещенность зайчика была равна Е на него
должен падать световой поток Фо = ES0. После отражения от потолка
образуется полный световой поток Ф = pESQ. Тогда светимость
зайчика М = рЕ. И так как по условию источник является ламбертов-
ским, то его яркость
L = M рЕ
я я
Для определения освещенности стены выделим на ней узкое
цилиндрическое кольцо площадью dS, видимое из точки
расположения зайчика под телесным углом
, п, sin3 в
где в — угол, под которым видна любая
точка элемента d*Sno отношению к
вертикали (рис. 1.54). В силу определения
яркости световой поток, падающий на
кольцо &S от зайчика, находится как
cos0 =
як
Рис. 1.54
Тогда освещенность в любой точке
цилиндрической стены комнаты под
углом в к вертикали составляет
&S я
Нетрудно проверить, что максимальное значение множителя sin3
0cos 0 достигается при
0w=arctgV3.

1.3. Фотометрия
И после элементарных тригонометрических преобразований
находим
0,21 лк
(если, конечно, позволяет высота комнаты).
1.3.5. Яркость фонаря. Почему два одинаковых фонаря,
находящихся на разных, но небольших расстояниях, кажутся одинаково
яркими?
О яркости фонаря мы судим по освещенности изображения Е,
сформированного на сетчатке глаза. Величину Е можно определить
как отношение светового потока Ф, посылаемого фонарем в глаз, к
площади изображения на сетчатке 5"
Еш±.
S'
Если L — яркость фонаря, то световой поток Ф можно
определить как
Ф - LSQ,
где S — площадь излучения фонаря; Q — телесный угол, под
которым виден зрачок площадью а из места расположения фонаря на
расстоянии г от глаза (рис. 1.55),
61
Рис. 1.55
Таким образом,

62 —' \у» //шея 7. Геометрическая оптика и фотометрия
Отношение S'/S представляет собой квадрат увеличения,
даваемого глазом. Если бы показатель преломления п стекловидного тела
глаза был бы равен единице, то
S'
где d — глубина глаза.
Но так как п ф 1, то происходит сокращение видимой глубины
глаза в п раз (см. задачу 1.1.7). Поэтому освещенность изображения
в глазу составит
Отсюда следует, что освещенность сетчатки не зависит от
расстояния до фонаря. Поэтому одинаковые фонари, находящиеся на
разных расстояниях от человека, должны казаться одинаково
яркими. Это будет справедливо, если можно пренебречь поглощением
света в воздухе. При достаточно же большом удалении фонаря
величина изображения из-за дифракции не будет зависеть от расстояния
до фонаря и тогда освещенность сетчатки изменяется обратно
пропорционально квадрату расстояния.

ГЛАВА
2
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Геометрическая оптика является приближенным
предельным вариантом, в который переходит волновая оптика, когда длина
световой волны стремится к нулю. Наиболее явно волновые
свойства света проявляются в его интерференции и дифракции.
Световая волна является поперечной электромагнитной волной, в
которой происходят колебания векторов напряженности электрического
поля Е и магнитного — К Как показывает опыт, физиологическое,
фотохимическое и другие действия света вызываются колебаниями
вектора Е — светового вектора, изменение которого в плоской
монохроматической волне описывается уравнением
Е = A cosicot -кх + а). (2.1)
Здесь к = 2я/А — волновое число; Я — длина волны; со — частота;
х — расстояние, отсчитываемое вдоль направления
распространения волны; А (или Ет) — амплитуда волны. Одной из главных
характеристик световой волны является ее интенсивность /— модуль
среднего по времени значения плотности потока энергии
где п — показатель преломления среды;
(е0, pi0 — электрическая и магнитная постоянные; с — скорость
света).
При нормальном падении электромагнитной волны с
напряженностью электрического поля Е на границу раздела диэлектриков с

64 -»Ь Глава 2, Волновая оптика
показателями преломления п{ и п2 возникают две волны:
отраженная с напряженностью
и преломленная с напряженностью
(2.3)
(эти соотношения вытекают из граничных условий, накладываемых
на вектор £, и закона сохранения энергии). Отсюда следует, что
преломленная волна не испытывает скачка фазы. Это же относится
и к отраженной волне, если отражение происходит от оптически
менее плотной среды (п{ > я2). Если же отражение происходит от
оптически более плотной среды (п{ < п2)9 то фаза отраженной волны
скачком изменяется на я.
По классическим представлениям излучение обычного
источника (светящегося тела) слагается из волн, испускаемых многими
атомами. Отдельные атомы излучают так называемые цуги волн
длительностью порядка 10~8 с и протяженностью около 3 м. Излучив
отдельный цуг волн, атом излучает через некоторое время
следующий цуг и так далее. Причем фаза нового цуга никак не связана с
фазой предыдущего цуга. Более того, монохроматическая волна,
описываемая выражением (2.1), представляет собой абстракцию.
Любая реальная световая волна образуется наложением колебаний,
заключенных в более или менее узком, но конечном интервале
частот Асо. Поэтому при наложении таких волн друг на друга фазовые
соотношения между световыми колебаниями изменяются
случайным образом. Такие волны называются некогерентными, что
существенно определяет результат их наложения друг на друга.
2.1. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Под интерференцией понимают перераспределение
светового потока в пространстве, в результате которого в одних местах
возникают максимумы, а в других — минимумы интенсивности.
Интерференция характерна для волн любой природы. Наблюдать
же интерференцию световых волн можно лишь при определенных

11. Интерференция света
65
условиях. Одно из главных условий — наличие когерентности, т. е.
согласованности протекания волновых процессов. Во многих
интерференционных схемах используют разделение тем или иным
способом световой волны, излучаемой одним источником света, с
последующим наложением полученных волн друг на друга. Образовавшиеся
после разделения вблны можно представить как бы исходящими из
двух точечных источников S{ и S2.
Исходная
щель
Экран
Рис. 2.1
На рис. 2.1 представлена схема классического опыта Юнга для
демонстрации интерференции на двух щелях. Для наблюдения
устойчивой картины интерференции от двух щелей необходимо
выполнение условий временнбй и пространственной когерентности.
1. Оптическая разность хода А = п(12 - 1{) складываемых
колебаний не должна превышать длину когерентности
где АД — интервал длин волн, испускаемых источником с длиной
волны А. Длина когерентности связана с длиной волны /ког = тА, где
т — значение порядка интерференции, при котором картина
интерференции исчезает. Кроме того, длина когерентности связана с так
называемым временем когерентности тК0Т — промежутком времени, в
течение которого случайные изменения фазы световой волны в
данной точке достигают значения порядка п. За это время волна
распространяется на расстояние порядка /ког = сткот.
2. Расстояние между щелями в d не должно превышать ширины
когерентности
и л

66 -*!/■ Глава 2. Волновая оптика
где (р — угловая ширина исходного источника относительно щелей,
за которыми находится экран. Под шириной когерентности
понимают характерное для данной установки расстояние между точками
поверхности, на которой отдельные участки волны в достаточной
степени когерентны между собой.
Временная когерентность связана с разбросом значений длин
волн или модуля волнового вектора к. Пространственная же
когерентность связана с разбросом направлений вектора к.
Пусть в точку А (см. рис. 2.1) приходят волны, напряженности
полей которых равны Ех и Е2. По принципу суперпозиции
напряженность результирующего поля равна их векторной сумме Е = Ех + Е2.
Экспериментально наблюдаемая интенсивность света в точке А
пропорциональна среднему значению квадрата напряженности (Е2) за
время, определяемое инерционностью приемника излучения
((Е, + E2f) =
Это выражение помимо суммы интенсивностей каждой из волн
содержит еще одно слагаемое, пропорциональное скалярному
произведению 2(ЕХЕ2)9 называемому интерференционным членом. Если
складываемые волны поляризованы во взаимно перпендикулярных
плоскостях, то это слагаемое в любой точке пространства равно нулю
и ни о какой интерференции не может быть и речи. В дальнейшем
будем считать, что оба вектора Ех и Е2 колеблются вдоль одной
прямой. Тогда можно отвлечься от векторного характера этих величин
и интерференционный член записывать как 2(ЕХЕ2). Если в точке
наблюдения складываемые колебания имеют вид
Ех я Ах cos(cot + ах); Е2 = А2 cos(cot + a2)
(значения ах и а2 зависят от положения точки наблюдения), то при
сложении этих колебаний получается гармоническое колебание той
же частоты
Здесь S = а2 - ах — разность фаз складываемых колебаний; А
амплитуда, квадрат которой определяется равенством
А2 =А1+А1

\
2.1. Интерференция света
Тогда интенсивность результирующего колебания
/ = 1Х + /2 + 2jTJlcos5.
При выполнении условий когерентности результат
интерференции определяется значением разности фаз S, которая зависит от
оптической разности хода А интерферирующих волн
S-— А
Если в рассматриваемой точке пространства оптическая разность
хода равна целому числу длин волн в вакууме
А = ±m^o (т = 0, 1, 2, ...), (2.4)
то в данной точке наблюдается интерференционный максимум. Если
А равна полуцелому числу длин волн в вакууме
67
= 0, I, 2, ...),
(2.5)
то в данной точке наблюдается интерференционный минимум.
При расчете оптической разности хода необходимо помнить
следующее. Если в каком либо месте происходит отражение от
оптически более плотной среды, то фаза волны скачком изменяется на яг,
или, как говорят, происходит «потеря» полуволны. Это означает,
что к вычисленной из геометрических соображений разности хода
следует добавить (или убавить) слагаемое Л/2.
2.1.1. Интерференция плоских волн. Направления
распространения двух плоских волн с одинаковой длиной волны Л составляют
малый угол <р/2 с нормалью к плоскости
экрана, на котором наблюдаются
интерференционные полосы (рис. 2.2). Найти
расстояние Ах между соседними
интерференционными полосами.
Обратимся к уравнению плоской
волны Е = A cos (cot - kx+ а), где
координата х отсчитывается вдоль направления
распространения волны. Так как мы хотим
найти картину распределения поля вдоль
экрана, нормаль к которому составляет Рис. 2.2

\
68 ^\г Глава 2. Волновая оптика
угол ±<р/2 с направлением распространения интерферирующих волн,
то нам следует переписать уравнение волны, заменив х на ±xsin (<p/2).
Таким образом, уравнения интерферирующих волн будут выглядеть как
Ех = Ai cos #f-facsinful+ #! ;
L J
sm|£] + a2 •
(2.6)
Е2 = U|£]
U
Колебания в этих волнах происходят не в одной плоскости, но
так как угол <р мал, то будем полагать, что эти волны поляризованы
в одной плоскости. При их сложении в каждой точке экрана с
координатой х возникает гармоническое колебание с амплитудой
А2 = At + Al + 2АгА2 cos А^Ы,
где
Tj- х + Дяг; Дат = а2 -<х{.
Распределение же интенсивности светового поля 1(х) в любой
плоскости, перпендикулярной оси z, будет иметь вид
где
При малом угле q> имеем
Lq> (х) « к<рх + Да.
Тогда пространственный период интерференции Дх найдем из
условия
ксрЬх = 2я —» Ах « —.
Отсюда следует, что чем меньше угол схождения
интерферирующих волн, тем зримее интерференционная картина (больше Ах). Так,

2.1. Интерференция света —»Ь- 69
чтобы Ах было порядка 1 мм при Л ~ 0,5 мкм, необходимо иметь угол
<р** 0,5 • 10~3 рад. Таким образом, малость угла схождения в реальной
оптике — необходимое требование.
2.1.2. Максимальный порядок интерференции. Определить
максимальный порядок интерференции для немонохроматических волн с
интервалом длин волн от Л до Л + АЛ.
Пусть S{ и S2 (рис. 2.3) — когерентные
источники, являющиеся действительными или
мнимыми изображениями источника S.
Допустим сначала, что излучение источника S
состоит из двух близких спектральных линий с
длинами волн Л и Л' = Л + ЗЛ одинаковой
интенсивности. Если начальные фазы источников Sx Рис. 2.3
и S2 одинаковы, то в центр картины (точка О)
лучи с длинами волн Я и Л' придут в одинаковых фазах и для
обеих волн выполнится условие максимума. В другой точке
экрана А, в которой разность хода А = тЛ' (т — целое число или
порядок интерференции), для длины волны Л' также будет
максимум. Если при этом А = (т + 1/2)Л, то в ту же точку А
интерферирующие лучи с другой длиной волны Л придут уже в
противоположных фазах, и для длины волны Л наблюдается минимум. При
этом условии в окрестности точки А светлые полосы с длиной вол-
ны Л' = Л+ SA наложатся на темные полосы с длиной волны Я. И в
итоге интерференционные полосы в указанной окрестности просто
исчезнут. Условие исчезновения полос, таким образом, есть
или
Пусть теперь свет от источника S непрерывно и равномерно
заполняет спектральный интервал (Л, Л + АД). В этом случае
интервал АЯ можно разбить на множество пар бесконечно узких
спектральных линий, находящихся на расстоянии АД/2 по шкале длин
волн. К каждой такой паре применима формула (2.7), если в ней

70 —'!/■ Глава 2 Волновая оптика
сделать замену 6Л -> ДЛ/2. Поэтому исчезновение
интерференционных полос произойдет для порядка интерференции
что вдвое больше, чем (2.7). Отношение Я к АЛ называют степенью
монохроматичности света, и именно эта величина определяет
максимально возможный (т. е. зрительно наблюдаемый) порядок
интерференции. Максимальная разность хода лучей, при которой еще
возможна интерференция, — длина когерентности
" АЛ*
Для белого света АЛ « Л, т. е. максимальный порядок
интерференции т « 1. Казалось бы, что в белом свете интерференционные
полосы не должны наблюдаться. Это действительно так, если
использовать такие приемники света как, например, фотоэлементы,
обладающие примерно одинаковой чувствительностью в различных участках
спектра. Но глаз — селективный приемник, т. е. его чувствительность к
различным длинам волн разная. Именно поэтому в белом свете глаз
может видеть около десятка интерференционных полос.
2.1.3. Сложение JV когерентных колебаний. Некоторое колебание
возникает в результате сложения iV когерентных колебаний одного
направления с одинаковым последовательным сдвигом фазы S.
Каково результирующее колебание?
С такой ситуацией приходится встречаться, например, в задаче о
формировании волновых пакетов. Но наиболее явно это проявляется
при рассмотрении интерференционных и дифракционных явлений.
Итак, требуется найти сумму большого числа Ангармонических
колебаний одного направления с одинаковой частотой со и амплитудой а,
каждое из которых сдвинуто по фазе относительно соседних на S
х = ]Г a cos [cot + (я -1)6].
Воспользуемся векторным способом представления
гармонического колебания х = a cos (cot + а). Такое колебание отображается
вектором длиной а, вращающимся с угловой скоростью со против

2.1. Интерференция света
часовой стрелки (рис. 2.4). Направление вектора образует с осью х
угол, равный начальной фазе колебания а.
71
Рис. 2.4
Рис. 2.5
В математическом плане обобщением данного способа
является использование комплексных чисел вида z = х + iy, где х и у —
вещественные числа; / = уРл — мнимая единица. Числа хи у наг
зываются, соответственно, действительной и мнимой частями
комплексного числа z и обозначаются символами х = Re z, у = Im £
Комплексное число z отображается точкой на плоскости хОу (рис. 2.5) с
координатами (х, у). При этом действительные числа
отображаются точками оси X {действительная ось), мнимые числа — точками
оси Y (мнимая ось). Кроме того, каждой точке (х, у) соответствует
определенный вектор р — радиус-вектор этой точки. Поэтому
комплексные числа можно представлять также в виде радиус-векторов
на плоскости.
В полярных координатах координаты любой точки плоскости
можно определить как
pcos<p\ y =
где
Расстояние р от начала координат до точки, изображающей
число, называется модулем комплексного числа z (обозначается \z\)
Число <р называется аргументом комплексного числа z. С
помощью классической формулы Эйлера
eif

72
Глава 2. Волновая оптика
любое комплексное число z с модулем р и аргументом <р можно
записать в следующей показательной форме
р (cos <р + / sin <р) - ре1*.
Мнимую единицу можно рассматривать как векторный
оператор, имеющий определенный физический смысл. Когда какой-либо
вектор умножается на / (т. е. оператор / действует на вектор), то
вектор поворачивается на угол яг/2 против часовой стрелки. Наряду
с комплексным числом z = х + iy можно ввести комплексно
сопряженное число z* = х — iy или в показательной форме z* = />ехр (-/V).
Нетрудно видеть, что zz* ~ р2. Произведение zz* называется
квадратом модуля комплексного числа z и иногда обозначается как |zp.
В соответствии с вышесказанным любое гармоническое
колебание типа х = a cos {cot + а) можно записывать в виде
х = асоьШ + а) = ReU/("'+a)].
Такое представление значительно облегчает решение многих
задач, связанных с исследованием колебаний. Для этого sin x или
cos л: заменяют функцией еы = ехр (/*), а для того, чтобы
вернуться к исходной форме записи — брать
мнимую часть решения в случае
синуса и действительную часть — в
случае косинуса.
В нашем случае векторную
диаграмму можно отобразить в виде
ломаной линии, состоящей из звеньев
одинаковой длины, причем каждое звено
образует угол S с предыдущим звеном
(рис. 2.6). Очевидно, результат
сложения имеет вид х = A cos {cot + а), где
А — амплитуда результирующего
колебания; а — его фазовый сдвиг
относительно первой компоненты a cos cot.
Из рис. 2.6 следует
N векторов длиной а
-■ = ОС sin y0 = ОС sin
Кроме того
ОС sin
| = OCsinf.

2.1. Интерференция света ~*\г 73
Из этих соотношений находим результирующую амплитуду
А я а
(2.8)
Величина фазового сдвига от, как видно из рис. 2.6,
определяется как
•■(МИН
где If} = 2# - Ж Отсюда находим
Таким образом, результирующее колебание запишется в виде
sin
1 ) I
х = а
е-
Заметим, что этот же результат можно получить, представив
косинусы в виде комплексных экспонент и вычислив сумму ряда как
сумму геометрической прогрессии
х =
+ e
is
eiNS/2 (e-
Выражения, стоящие в скобках в числителе и знаменателе, как
нетрудно убедиться из формулы Эйлера, равны соответственно
. . NS о . S
-2sin-—- и -2sin—.
Поэтому

74
Глава 2. Волновая оптика
Если теперь взять вещественную часть от jc, то получим прежний
результат.
Исследуем теперь поведение амплитуды результирующего
колебания (2.8) при большом числе колебаний N В этом случае сдвиг
фазы результирующего колебания а практически равен разности фаз
первого и последнего колебаний и составляет
а
8 NS
При этом
NS
а
Тогда выражение (2.8) можно представить как функцию
разности фаз первого и последнего колебаний
sin or
а
Так как интенсивность колебаний пропорциональна квадрату
амплитуды, то интенсивность суммарного колебания / можно
записать как
т sin2 яг
где /0 — интенсивность результирующего колебания при сложении
колебаний одинаковой фазы.
-2я
О л
Рис. 2.7
Злг а

2.1. Интерференция света -*!/■ 75
На рис. 2.7 представлена зависимость интенсивности /от
разности фаз первого и последнего складываемых колебаний а. Первый
(центральный) максимум интенсивности /0 наблюдается при а = О
(очевидный результат!). При а = ±тп (т = 1, 2, 3, ...)
интенсивность обращается в нуль (колебания взаимно гасят друг друга). При
а = (3/2)я наблюдается второй максимум с интенсивностью около
4 % от центрального, при а = (5/2)я — третий максимум —
интенсивность около 1,5 % и т. д.
2.1.4. Сложение колебаний эквидистантных частот. В предыдущей
задаче мы рассмотрели результат сложения N когерентных
колебаний одинаковых частот с одинаковым последовательным сдвигом
фазы. А что будет наблюдаться при сложении # колебаний с
разными частотами, равномерно заполняющими некоторый интервал с
одинаковым последовательным сдвигом частот Аса? Такая ситуация
возникает, например, при излучении лазера, генерирующего на
многих продольных модах.
Продольная мода представляет собой стоячую
электромагнитную волну, запертую между зеркалами открытого резонатора
(например, резонатора Фабри—Перо). В первом приближении моды
такого резонатора можно представить в виде суперпозиции двух
плоских электромагнитных волн, распространяющихся в
противоположных направлениях вдоль оси резонатора. Это сразу позволяет
определить собственные резонансные частоты резонатора v, если
наложить условие, что длина резонатора L должна быть кратной
целому числу полуволн Л, т. е. L = п(Л/2)9 п = 1, 2, 3, ... (такое
условие необходимо для того, чтобы напряженность электрического
поля стоячей электромагнитной волны на поверхности обоих зеркал
обращалась в нуль). Отсюда следует, что резонансные частоты
определяются соотношением
(с — скорость света). В соответствии с этим разность частот двух
последовательных соседних мод
Эту величину (и связанную с ней величину Асо = 2#Д v)
называют межмодовым расстоянием.

76
Глава 2. Волновая оптика
Лазеры, как правило, имеют тенденцию генерировать в много-
модовом режиме. Связано это главным образом с тем, что межмодо-
вое расстояние обычно меньше, а зачастую много меньше
спектральной ширины полосы усиления лазера. Например, если L = 1 м,
то Av = 150 МГц и при ширине полосы усиления твердотельного
лазера 300 ГГц число продольных мод составляет N = 2 • 103. Эта
последовательность импульсов получила название «гребенки»
эквидистантных частот. Таким образом, лазерный импульс можно
представить в виде набора N монохроматических волн (продольных мод),
разделенных по частоте интервалом A v = с/21. В простейшем случае
амплитуды этих мод Ео = А можно принять одинаковыми, и тогда
частотное распределение амплитуд представлено на рис. 2.8, а.
Гауссово распределение амплитуд в полосе шириной Aa;L, измеренной
на полувысоте, представлено на рис. 2.8, б.
|д^
Ыо,
II i
Рис. 2.8
Тогда в соответствии с принципом суперпозиции выражение для
полного электрического поля импульсного излучения на выходном
зеркале резонатора можно представить в виде
или в комплексной форме
(2.9)
где Ат — амплитуда /w-й моды; coQ — частота центральной моды;
Дю — межмодовое расстояние; <рт — фаза /и-й моды. Результат
интерференции мод зависит от частотного распределения амплитуд и
соотношения между фазами <рт.

2.1. Интерференция света
В обычных условиях фазы мод принимают случайные
значения. В этом случае лазерное излучение имеет хаотическую
амплитудную модуляцию, и при непрерывной генерации
интенсивность пучка / будет изменяться во времени случайным образом
(рис. 2.9).
11
Рис. 2.9
Известно, что наиболее вероятное значение амплитуды
системы, участвующей в N одинаковых гармонических колебаниях с
амплитудой А и случайными фазами, равно <Шау т. е. интенсивность
колебаний пропорциональна NA2. В то же время, вопреки
случайности, поскольку импульсы возникают из суммы N компонент,
равномерно распределенных в частотном диапазоне, суммарный сигнал
является периодическим с периодом тр = 1/Av, а каждый световой
импульс случайной формы обладает длительностью Атр9
приблизительно равной отношению 1/Av^, где AvL — Nkv, — полная ширина
линии генерации.
Предположим теперь, что генерируемые моды все еще имеют
одинаковые или сравнимые амплитуды и что в лазере каким-либо
образом созданы условия, при которых фазы различных мод
связаны определенным соотношением. Такие лазеры называются
лазерами с синхронизацией мод, а процессы, с помощью которых удается
связать фазы различных мод, — синхронизацией мод.

78 —'Ь- Глава 2. Волновая оптика
Рассмотрим для простоты случай, когда амплитуды всех мод
одинаковы Ат = Ео и все фазы принимают одно значение <рт = 0. Тогда
выражение (2.9) принимает вид
*-(*-1)/а
Е it) = Ео ]Г ехр [/ (a)ot + /иДюГ)] » Л (/) exp (toor), (2.10)
да=-(^-1)/2
где
m=(N-\)/2
ехр(//иДй>А (2.11)
/*=-(#-1)/2
Выражение (2.10) показывает, что функция E(t) может быть
представлена в виде синусоидальной волны с несущей частотой, равной
частоте центральной моды со0> причем амплитуда волны A(t)
зависит от времени. Нетрудно убедиться, что сумма, входящая в
выражение (2.11), является суммой геометрической прогрессии, поэтому
сразу запишем результат
(2Л2)
На рис. 2.10 приведена зависимость от времени величины а2 0)/Е}
ддя N = 7 генерирующих мод, где параметр A2(t) пропорционален
интенсивности пучка. Видно, что благодаря синхронизации фаз,
генерирующие моды интерферируют друг с другом и образуют цуг
равно отстоящих световых импульсов. Максимумы импульсов
приходятся на моменты времени, когда знаменатель в выражении (2.12)
обращается в нуль. Если за начало отсчета времени принять t = 0, то
первый максимум появится при / = 0и нетрудно понять, что его
значение составит А(О) = NE0. Следующий импульс появится, когда
в (2.12) знаменатель дроби вновь обратится в нуль, т. е. в момент
времени, определяемый соотношением &a)t/2 = к. Поэтому два
последующих импульса будут разделены временнйм интервалом
2л 1
где Av — межмодовое расстояние. Первый нуль функции A(t)
появится, когда в нуль обратится числитель выражения (2.12). Это про-

2.1. Интерференция света
изойдет в момент вымени, определяемый условием Nba)t/2 = я, что
позволяет найти ширину импульса Д^, измеренную на полувысоте
функции A2(t)
1
где AvL = Шсо/2я — полная ширина линии генерации. Для
сигналов гауссовой формы (см. рис. 2.8, б), как показывают расчеты,
длительность импульсов несколько меньше и составляет Ьтр = 0,44/(АГД v).
Рис. 2.10
Временною зависимость формы выходного сигнала нетрудно
понять, если воспользоваться векторным способом представления
гармонических колебаний. В соответствии с ним каждое слагаемое
в выражении (2.11) отображается вектором длиной Ео,
вращающимся с угловой скоростью т&о). При t = 0 все эти векторы совпадают
по направлению и их сумма равна NE0 (первый максимум). Так как
векторы вращаются с разной угловой скоростью Д<у, 2Д*у, ..., N&w,
то через время тр = 2n/{NLco) все JV векторов равномерно заполнят
пространство и их сумма обращается в нуль (первый минимум).
Следующее совпадение всех векторов произойдет, когда каждый
/и-й вектор с угловой скоростью mLco сделает m оборотов. Это
произойдет через время
_ mln _ In
р mLco Aco'

80 —'i/1 Глава 2. Волновая оптика
Таким образом, лазер с синхронизацией продольных мод
излучает периодическую последовательность импульсов с амплитудами,
превышающими в #раз амплитуду отдельной моды, соответственно
в N2 раз возрастает интенсивность излучения. Импульсы следуют
один за другим через время
1 _2L
необходимое для полного (двукратного) прохода импульса в
резонаторе. Длительность импульсов
т. е. она в N раз меньше интервала между соседними импульсами.
Рассмотрим в качестве примера лазер с расстоянием между
зеркалами L = 150 см, в котором синхронизируется N = 100
продольных мод. В этом случае оптические импульсы следуют с
интервалом тр = 10 не, а их длительность Атр = 100 пс. Такие импульсы
называют сверхкороткими.
Представленная картина формирования сверхкоротких
импульсов внешне очень напоминает дифракцию волны на решетки,
составленной из N щелей. Осциллирующее поведение пучка внутри
резонатора лазера можно представить в виде отдельного
сверхкороткого импульса, распространяющегося в прямом и обратном
направлениях внутри резонатора. В этом случае выходной пучок
состоит из последовательности импульсов, разделенных промежутком
времени, равным времени двукратного прохода пучка внутри
резонатора. Пространственная протяженность Л? светового импульса в
режиме синхронизации мод оказывается много меньше длины резо-
датора (например, для импульса с длительностью &тр = 1 пс имеем
Az = сктр = 0,3 мм, тогда как на практике длины резонаторов
составляют обычно десятки сантиметров).
Помимо резкого сокращения длительности сверхкоротких
импульсов следует отметить, что максимальная мощность в импульсе
пропорциональна N2E$, тогда как для мод, обладающих
случайными фазами, средняя мощность является просто суммой мощностей
отдельных мод и, следовательно, пропорциональна только числу
мод N. Таким образом, для одного и того же числа генерирующих
мод с амплитудами Ео отношение пиковой импульсной мощности в
случае синхронизации мод к средней мощности без синхронизации

2.1. Интерференция света
мод равно числу генерирующих мод, которое для твердотельных и
жидкостных лазеров может быть довольно большим (103—104).
Таким образом, синхронизация мод полезна для получения импульсов
не только с очень короткой длительностью, но также и с высокой
пиковой мощностью.
2.1.5. Опыт Юнга. От двух когерентных источников света Sx и 52,
расстояние между которыми равно d (рис. 2.11), получена система
интерференционных полос на экране, удаленном от источников на
расстояние а = 2 м. Во сколько раз изменится ширина
интерференционных полос, если между источниками и экраном поместить
собирающую линзу с фокусным расстоянием / = 25 см? Рассмотреть
два случая:
1) расстояние от линзы до
источников равно 2/;
2) источники находятся в
фокальной плоскости линзы.
Рассмотрим вначале ситуацию,
когда между источниками и экраном нет
линзы. Это классическая схема опыта
Юнга (см. рис. 2.11). Так как обычно
расстояние d между щелями Sx и S2 mho- рис 2и
го меньше расстояния до экрана, то угол
0< 1 (см. рис. 2.11) и разность хода интерферирующих лучей
можно записать как А = dft А так как в « х//, то для координат
максимумов на экране получаем:
81
тЛ
1, 2,
Откуда
При переходе к соседнему максимуму т изменяется на единицу,
a x,,^ — на величину Ах. Таким образом, расстояние между
интерференционными полосами (ширина полосы) составит
Ах = —
d
или
Ах = —,
w
(2.13)
о yf
где уг- d/l — угол, под которым видны обе щели из центра экрана.

82
Глава 2. Волновая оптика
Что же произойдет, если между щелями и экраном поместить
линзу с фокусным расстоянием / < /? Эта линза внесет
добавочную оптическую разность хода, что соответственно изменит
картину интерференции на экране. Прямой расчет этой добавочной
разности хода нам не удастся провести, так как нам ничего не
известно о параметрах линзы, кроме ее фокусного расстояния.
Поэтому воспользуемся тем, что мы знаем о линзах из раздела
геометрической оптики. Рассмотрим вначале случай, когда линза
помещена на двойном фокусном расстоянии от щелей. В этом
случае за линзой формируются действительные изображения
щелей, расстояние между которыми равно исходной величине d.
Расстояние от изображений до линзы равно / - 2/, а до экрана
соответственно / - 4/. Эти изображения формируют на экране систему
интерференционных полос с шириной Ах', которую можно найти
из (2.13), заменяя / на / - 4/
Ах'
Ширина этих полос будет меньше исходной ширины Ах (без
линзы) в //(/ - 4/) = 2 раза.
Поместим теперь линзу так, чтобы
щели S{ и S2 находились в ее фокальной
плоскости. В этом случае за линзой будут
сформированы две плоские волны,
падающие на экран и создающие на нем
интерференционные полосы с шириной Ах".
Эта ситуация была нами уже рассмотрена
в задаче 2.1.1. В ней было показано, что
ширина полос интерференции Ах" = Л/<р,
где <р — угловое расстояние между
направлениями плоских волн. Из рис. 2.12
находим <р « d/f (напомним, что угол <р «с 1) и
Рис. 2.12 Т0ГДа
Эта ширина меньше исходной Ах в ///= 8 раз.
Очевидно, в данной ситуации положение экрана не имеет
никакого значения, т. е. в любой плоскости за линзой и параллельной ей

2.1. Интерференция света
формируется одна и та же картина распределения поля в точности
совпадающая с той, которая формируется в области линзы.
2.1.6. Интерференционные схемы. Рассмотрим другие
интерференционные схемы, отличающиеся от схемы Юнга только способом
формирования когерентных световых волн.
Зеркало Ллойда
В этой интерференционной схеме (рис. 2.13) интерферируют две
волны — волна 1 исходит непосредственно от источника S (узкая
ярко освещенная щель) и волна 2, отраженная от плоского зеркала 3.
На экране Э образуется система интерференционных полос. Найти
длину волны света, если известно, что расстояние от источника до
экрана равно /, ширина интерференционных полос Ах, а после того,
как источник отодвинули от зеркала на А А, ширина полос
уменьшилась в г\ раз.
83
Рис. 2.13
Данная схема в точности похожа на схему опыта Юнга, только
теперь роль когерентных источников выполняет реальная щель S и
ее зеркальное изображение S'. Поэтому мы сразу можем
воспользоваться соотношением (2.13) из задачи 2.1.S, определяющим ширину
интерференционных полос
XI
(2.14)
где d = 2А. Откуда находим
2h
Дх'

84
Глава 2 Волновая оптика
После отодвигания источника на А А имеем
Аде
Вычитая последние два равенства, получаем
Зеркала Френеля
Здесь когерентные световые волны получаются при отражении
от двух зеркал, плоскости которых образуют между собой
небольшой угол а (рис. 2.14). Свет от ярко освещенной щели S,
параллельной линии пересечения зеркал, после отражения от них попадает на
экран Э. И там, где световые пучки перекрываются (область
интерференции), возникает интерференционная картина в виде полос,
параллельных щели S. При этом отраженные от зеркал пучки света
распространяются так, как будто они исходят от мнимых
источников S' и S", являющихся изображением щели S. Расстояние от линии
пересечения зеркал до щели равно а, до экрана — Ь. Найдем ширину
Ах интерференционных полос и их возможное количество.
Область
2а интерференции
L
Рис. 2.14
Ширину интерференционных полос можно найти из формулы
(2.14), полагая /= а + Ьи d= 2aa
2а

2.1. Интерференция света
Если щели находится далеко от бизеркал (а -> «>), то на них
падает плоская волна и тогда ширина полос Ах = Л/{2а) становится
независящей от положения экрана. Число возможных полос на
экране N найдем как отношение ширины зоны интерференции L к
ширине полосы Ах:
Ах
Из рис. 2.14 видно, что L = Ь2а. Таким образом
жг 4а2 аЪ
85
Л а + Ь'
Бипризма Френеля
В этой схеме для разделения исходной световой волны
используют двойную призму Бп (бипризму) с малым преломляющим углом в
(рис. 2.15). Поскольку преломляющий угол бипризмы очень мал
(порядка нескольких угловых минут), то, как мы покажем
несколько позже, все лучи отклоняются бипризмой на практически
одинаковый угол. В результате образуются две когерентные волны, как бы
исходящие из мнимых источников S' и S'% лежащих в одной
плоскости со щелью S. Данная схема полностью идентична
рассмотренной ранее схеме с зеркалами Френеля и единственное, что от нас
требуется — это рассчитать угол отклонения лучей бипризмой а.
Рис. 2.15

86
Глава 2. Волновая оптика
Для этого обратимся к рис. 2.16. Вследствие малости углов
падения (и преломления) закон преломления на передней и задней
поверхности призмы примет вид
Фх « п&[\ п#2 =02'. (2.15)
Кроме того, углы &{ и #2 связаны с
преломляющим углом призмы соотношением
#2=0.
(2.16)
Угол отклонения лучей на входе
призмы и на выходе, как видно из рис. 2.16,
составляет
С учетом соотношений (2.15) и (2.16) получаем а = (п - 1)0.
Звездный интерферометр Майкельсона
Во всех предыдущих рассмотренных схемах источником света
являлась яркая узкая щель, служащая источником когерентных волн.
Что произойдет при увеличении размеров (ширины) щели? Любой
реальный источник света (кроме лазеров) является источником
некогерентного излучения. Увеличение размеров источника приводит
к ухудшению контрастности интерференционных полос и даже к их
полному исчезновению.
Для понимания формирования интерференционной картины от
источника конечных размеров обратимся к схеме опыта Юнга.
Любой реальный источник можно представить в виде непрерывной
совокупности светящихся некогерентных линий. Рассмотрим вначале
две такие линии А и В, находящиеся на малом расстоянии / друг от
друга (рис. 2.17). Каждая линия формирует на экране свою
интерференционную картину. Результат наложения этих картин
определяется фазовым сдвигом одной картины относительно другой. В свою
очередь фазовый сдвиг этих картин в произвольной точке экрана Р
определяется теми путями, которые волны прошли от источников А
и В до точки Р, проходя через разные щели S{ и ST Для сравнения
этих путей нам, очевидно, нужна величина
Л =
- (BS2P)] - [(ASS) - (AS2P)].
(2.17)

2.1. Интерференция света
\
87
Рис. 2.17
В первой квадратной скобке стоит оптическая разность хода
лучей, исходящих из точки В и проходящих разные щели S{ и ST
Данная величина определяет характер интерференции этих лучей в
точке Р: максимум, минимум или какой-либо промежуточный случай.
Аналогично во второй квадратной скобке стоит оптическая разность
хода лучей, исходящих из точки А. Разность этих величин и
определяет результат наложения одной интерференционной картины на
другую. Если величина А равна нулю или мала по сравнению с Л, то
максимумы одной картины накладываются на максимумы другой.
То же самое происходит и с минимумами. В этом случае происходит
усиление интерференционных картин, а полосы интерференции
наиболее контрастны. При возрастании Л контрастность полос
ухудшается и когда Д станет равным Л/2, максимумы одной картины
накладываются на минимумы другой, а интерференционные
полосы исчезают. При дальнейшем возрастании А полосы
интерференции вновь появляются и периодически исчезают.
Итак, первое исчезновение интерференционных полос
происходит при условии
При А = Л, 2Д, ... полосы столь же контрастны, что и при А = 0.
Таким образом, для определения характера интерференционной
картины на экране нам нужна величина А, определяемая формулой
(2.17), Перепишем ее несколько иначе
А = (BSXP - AS^) - (BS2P - AS2P).

88
Глава 2. Волновая оптика
Из рис. 2.17 при малых I <к г (г — расстояние от источников до
щелей St и S2) следует
А = /cos**! -/cosor2 = /(cosor, -cosar2),
где а{ и a2 — углы, под которыми исходят лучи в направлении Sx и
S2 по отношению к линии АВ. Если пренебречь различием в
расстояниях от линий А и В до щелей S{, S2 и положить его равным г
(отрезок AS находится практически напротив щелей Sv *У2), то
-cosa2 » —
г
(d — расстояние между щелями). Тогда значение А можно записать как
где <р — угол, под которым виден отрезок / из места расположения
щелей.
Заполним теперь реальный источник
шириной / бесконечным множеством пар точечных
источников {АВ'), (Л", В")..., находящихся на
расстоянии 1/2 друг от друга (рис. 2.18).
Применим к этим парам точечных источников
полученные выше результаты. Для этого нужно только
заменить / на 1/2. Соответственно, величина А
станет равной А/2. И если А/2 = Л/2 или А = А,
то интерференционных полос от каждой пары
точечных источников не получится, они
создадут на экране равномерно освещенный фон.
Условие отсутствия интерференционной картины
можно записать через угол, под которым виден источник из места
расположения щелей
р = -. (2.18)
Условие хорошей контрастности интерференционных полос в
случае протяженного источника можно ориентировочно представить в виде
Рис. 2.18
или

2.1. Интерференция света
Формула (2.18) лежит в основе метода определения угловых
размеров звезд. Их угловые размеры настолько малы, что изображение
звезды в телескопе практически не отличается от изображения
точечного источника. Интерференционный же метод позволяет
определить угловые размеры звезд с хорошей точностью. Попытки
провести эти измерения, помещая экран с двумя щелями перед
объективом телескопа, оказались безуспешными. Полосы интерференции
оставались четкими даже при наибольшем расстоянии между
щелями из-за ограниченности диаметра окуляра телескопа. Майкельсон
преодолел эту трудность с помощью звездного интерферометра,
соединенного с системой зеркал (рис. 2.19).
89
Рис, 2.19
Расположенные напротив щелей Sx и S2 зеркала М{ и М2
неподвижны, а зеркала Mv MA можно одновременно раздвигать, меняя
расстояние h между ними. Это расстояние играет роль величины d в
формуле (2.18). Контрастность полос зависит от степени
когерентности световых колебаний на зеркалах Af3, M4, а ширина полос
определяется расстоянием между зеркалами Мх и Мг Раздвигая постепенно
зеркала Му МА, обнаруживают, что при определенном расстоянии h
между ними интерференционная картина исчезает. Остается только
по формуле (2.18) при d = А вычислить угловой размер <р.

90
Глава 2. Волновая оптика
Первой звездой, угловой диаметр которой удалось определить, была
Бетельгейзе {<р « 0,047//). И по параллаксу этой звезды определили ее
диаметр D « 9 • 108 км, что превосходит диаметр орбиты Марса.
2.1.7. Просветление оптики. Для уменьшения потерь света из-за
отражения от поверхностей стеклянных линз их покрывают тонкой
пленкой из прозрачного диэлектрика. При каком значении
показателя преломления пленки п' амплитуды световых колебаний,
отраженных от обеих поверхностей пленки будут одинаковыми? При
какой толщине пленки h отражательная способность стекла с
показателем преломления п в направлении нормалц будет равна нулю
для света с длиной волны Л?
При прохождении света через каждую преломляющую
поверхность линзы отражается примерно 4 % падающего света. Это
довольно немного. Но в сложных объективах, состоящих из большого
числа линз, суммарная потеря светового потока оказывается весьма
ощутимой (например, в призменном бинокле она составляет свыше
50 %!). С целью уменьшения этих потерь и применяется
просветление оптики, суть которого была описана в условии задачи.
Найдем показатель преломления
пленки, при котором амплитуды волн,
отраженных от обеих поверхностей
пленки при нормальном падении света,
были бы одинаковыми (рис. 2.20). Для
этого обратимся к формуле (2.2),
приведенной во введении к данной главе
Рис. 2.20
и запишем ее для волны, отраженной
от границы воздуха (и = 1) с пленкой
(л = «'),
„, г, 1 - и'
и для волны, отраженной от границы пленка — стекло (его
показатель преломления л),

2.1. Интерференция света
Пренебрегая многократными отражениями света, будем считать,
что амплитуды волн, падающих на обе границы одинаковы. Тогда
из равенства Е[ * Щ следует
1-я' п'-п , г- л ЛЛ
; ш — > п' = у/П * 1,22.
Таких твердых веществ со столь малым показателем
преломления не существует. Данная трудность может быть преодолена путем
применения двухслойных покрытий. Сначала просветляемая
поверхность стекла покрывается пленкой, показатель преломления
которой значительно больше показателя преломления стекла, а затем
пленкой с меньшим показателем преломления.
Определим теперь толщину однородной пленки, при которой
отраженные лучи будут находиться в противофазе, что и обеспечит
гашение колебаний. Это произойдет, если оптическая разность хода
двух отраженных волн на выходе из пленки будет равна полуцелому
числу длин волн в вакууме
Ъ , I, 2, 3, ...).
Здесь мы учли, что обе волны отражаются от оптически более
плотной среды и, значит, обе испытывают скачок фазы на п («потеря»
полволны). Отсюда находим
НУ
(219>
Наименьшая толщина пленки будет при т = 0 и составит
Соотношение (2.19) показывает, что толщина пленки зависит от
длины волны падающего света. Поэтому обычно просветление
оптики проводят для средней (желто-зеленой) области видимого спектра,
с которой поступает наибольшая энергия. Для краев же спектра
белого света коэффициент отражения заметно отличается от нуля,
поэтому объективы в отраженном свете кажутся пурпурными, что
соответствует смешению красного и фиолетового оттенков цветов. Кроме

92
\
Глава 2. Волновая оптика
того, у обычного света длина когерентности невелика («5Л), поэтому
пленка должна иметь толщину порядка нескольких длин волн.
2.1.8. Полосы равного наклона. Монохроматический свет от
точечного источника S проходит через отверстие в экране Э (рис. 2.21)
и, отразившись от тонкой плоскопараллельной стеклянной
пластинки Я, образует на экране систему интерференционных полос
равного наклона. Толщина пластинки й, расстояние между ней и
экраном /, радиусы /-го и к — го темных колец г( и гк. Учитывая, что
rt и гк много меньше /, найти длину волны света.
Рис. 2.21
Для расчета интерференционной картины воспользуемся
готовой формулой для оптической разности хода волн, отраженных от
обеих поверхностей пластинки (приведена в любом учебнике по
волновой оптике)
A = 2W>!2-sin20+y,
где в — угол падения лучей на поверхность пластинки. Так как
пластинка тонкая, то отраженные волны когерентны между собой и
тогда условие появления темных полос будет выглядеть как
2b>Jn2 - sin2 в + j = Гт + |Ъ (т = 0, 1, 2, ...).

2.1. Интерференция света
\
В нашем случае темные полосы — это кольца, так как условие
минимума выполняется для всех точек экрана, на которые падает
свет с одинаковым значением угла в (полосы равного наклона).
Радиусы этих колец, как видно из рис. 2.21 при малых в
г = 2кв. (2.20)
Запишем теперь условие минимума для двух разных колец,
образующихся под малыми углами вг и вк (им соответствуют радиусы гг и гк)
2Ъ^п2 -в,2 = 1Л; Ibyjn2 -вк2 = кЛ.
Отсюда нетрудно найти
или с учетом (2.20)
nil-к) '
93
4л/2 (/-*)'
2.1.9. Интерференция на клине. Свет с длиной волны Л = 0,55 мкм
от удаленного точечного источника падает нормально на
поверхность стеклянного клина. В отраженном свете наблюдают систему
интерференционных полос, расстояние между соседними
максимумами которых на поверхности клина Ах = 0,21 мм (рис. 2.22). Найти
угол между гранями клина и степень монохроматичности (Л/АЛ),
если исчезновение интерференционных полос наблюдается на
расстоянии /» 1,5 см от вершины клина.
Рис. 2.22

94 -J\r Глава 2. Волновая оптика
Так как точечный источник значительно удален от клина, то на
него падает практически плоский световой фронт. В данной
ситуации интерференционные полосы будут прямыми, параллельными
ребру клина, так как условие максимума выполняется для всех
точек клина с одинаковой толщиной (полосы равной толщины).
Запишем это условие для двух светлых полос с номерами к и к + 1,
полагая угол падения равным нулю,
Вычитая эти равенства, находим
2АЬп = Я.
Кроме того, из рис. 2.22 следует Дй = а Ах. Тогда угол между
гранями клина
Л* Л .
а = — = = 3 угл. мин.
Ах 2пАх
Степень монохроматичности Л/АЛ (см. введение к данному
параграфу) равна предельному порядку т интерференции, начиная с
которой полосы исчезают. Значение т по условию равно l/Ах.
Значит, степень монохроматичности определяется как
АЛ Ах
(чем больше данное значение, тем более монохроматичен свет).
2.1.10. Кольца Ньютона. Рассмотрим вначале «классический»
вариант колец Ньютона. Это кольцевые полосы равной толщины,
наблюдаемые при отражении света от поверхностей зазора между
стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой
линзой (рис. 2.23). Волна, отраженная от верхней плоской
поверхности линзы для обычных источников (не лазеров), некогерентна с
волнами, отраженными от поверхностей тонкого зазора, и участия в
образовании интерференционной картины не принимает. Поэтому
следует учитывать только волны, отраженные от поверхностей
воздушного зазора. В этом случае при нормальном падении света в
отраженных лучах будут наблюдаться светлые и темные кольца с
центром в точке соприкосновения линзы с пластинкой.

2.1. Интерференция света
\
Рис. 2.23
Условия усиления или ослабления света определяются
оптической разностью хода лучей 7 и 2, которая, в свою очередь, зависит от
толщины зазора А (см. рис. 2.23). Из геометрических соображений
следует
(2.21)
где г — радиус какого-либо кольца (при этом мы явно
воспользовались тем, что г <& R). Если мы говорим о темном кольце, то для его
образования должно быть выполнено условие
1, 2, ...),
(2.22)
где дополнительное слагаемое Л/2 в левой части обусловлено
«потерей» полуволны при отражении от пластинки. Из (2.21) и (2.22)
находим радиус fc-ro темного кольца
гк=>/кИу (£ = 0, 1, 2, ...).
Аналогичный расчет дает для радиуса к-то светлого кольца в
отраженном свете значение
-4-ДЛ.
Нетрудно сообразить, что в проходящем свете темные и светлые
кольца поменяются местами.
95

\
96 Jy Глава 2. Волновая оптика
Бели зазор между линзой и пластинкой заполнить прозрачной
жидкостью с показателем преломления л, меньшим показателя
преломления стекла, то, очевидно, выражение (2.22) изменится на
(к - О, 1, 2, ...)
и тогда радиусы темных колец уменьшатся и станут равными
Посмотрим, что будет происходить с кольцами Ньютона при
удалении линзы от пластинки. Каждое кольцо можно определить
как линию, вдоль которой разность хода между интерферирующими
лучами постоянна. Тогда легко видеть, что при удалении линзы от
пластинки «кольца постоянной разности хода» будут сжиматься к
центру картины. При этом центр картины будет попеременно то
темным, то светлым.
Найдем теперь ширину колец Ньютона А г в зависимости от их
радиуса г в области, где А г «: г
Так как номера колец достаточно большие, то
Таким образом,
у/пЯ гЛЯ ЛЯ
Дг « = —г- = .
2к 2г2 2г
Рассмотрим «модификации» схемы формирования колец Ньютона.
• На вершине сферической поверхности плосковыпуклой линзы
имеется сошлифованный плоский участок радиуса г0, много
меньший радиуса линзы R (рис. 2.24). Теперь толщина воздушного
зазора h станет равной

11. Интерференция света
С учетом условий r0, r <к R это выражение приобретает вид
*2Д 2Д'
Тогда ддя радиусов, например, светлых колец имеем
97
Рис. 2.24
Рис. 2.25
• Кольца Ньютона получаются между двумя плосковыпуклыми
линзами, прижатыми друг к другу своими выпуклыми
поверхностями (рис. 2.25). Радиусы кривизны линз R{ и 1^. Наблюдение ведется
в отраженном свете.
Данную ситуацию можно представить как наложение двух
картин, отображенных на рис. 2.23 с разными радиусами кривизны.
Таким образом, для толщины зазора имеем
(2.23)
и тогда радиус к-то темного кольца

98
Глава 2. Волновая оптика
• Пусть теперь плосковыпуклая линза с радиусом кривизны R{
положена на вогнутую сферическую поверхность с радиусом
кривизны J?2 (рис. 2.26). Интерференция наблюдается в отраженном свете.
Рис. 2.26
В этом случае, очевидно, данная ситуация сходна с ранее
рассмотренной, только теперь радиус кривизны вогнутой поверхности
следует считать отрицательным. Тогда для толщины зазора в
соответствии с формулой (2.23) имеем
. г2 г2
а для радиуса fc-ro темного кольца получаем
-ЯЙГ-
• Очень тонкая двояковыпуклая линза с радиусами кривизны Rx
и^и диаметром d плавает на поверхности жидкости с показателем
преломления, большим показателя преломления линзы п (рис. 2.27, а).
Какая картина будет видна в отраженном свете?
Так как по условию линза тонкая, то в формировании
интерференционной картины принимают участие лучи, отраженные от обе-

2.1. Интерференция света
99
их поверхностей линзы. Для того чтобы не загромождать рисунок,
отобразим только ту часть, которая касается одной поверхности линзы
с радиусом кривизны Rx (рис. 2.27, б). Тогда для толщины той части
линзы Ар которая участвует в формировании оптической разности
хода, находим
7
Й1
-1
г \^
i
Рис. 2.27
Соответственно для аналогичной толщины Л2 второй части
линзы имеем
Запишем теперь условие формирования к-то светлого кольца
Подставляя в эту формулу значения hx и Л2, находим радиус к-то
светлого кольца
V4 «U4J'
т. е. будет видна картина, похожая на кольца Ньютона.

100 -J\r Глава 2. Волновая оптика
2.2. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Дифракцией называется совокупность явлений,
наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородно-
стями и связанных с отклонениями от законов геометрической
оптики. Между интерференцией и дифракцией нет существенного
физического различия. Оба явления связаны с перераспределением
светового потока в пространстве в результате суперпозиции волн.
В то же время по историческим причинам перераспределение
светового потока в результате суперпозиции волн, возбуждаемых
конечным числом когерентных источников, принято называть
интерференцией. Если же когерентные источники расположены
непрерывно, то это перераспределение называют дифракцией.
Различают два вида дифракции. Если источник света и точка
наблюдения расположены от препятствия, на котором происходит
дифракция, настолько далеко, что лучи образуют параллельные пучки,
то это дифракция в параллельных лучах или дифракция
Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля. Характер
дифракции зависит от безразмерного параметра
Л2
рт1Х'
где h — некоторый характерный размер отверстия или щели, на
котором происходит дифракция; / — расстояние от препятствия до
экрана; Л — длина волны. Если этот параметр много меньше
единицы, то мы имеем дело с дифракцией Фраунгофера, если он порядка
единицы, то это дифракция Френеля. Если же этот параметр много
больше единицы, то оказывается применимым приближение
геометрической оптики.
Вообще говоря, для описания
дифракционных явлений не требуется вводить никаких
новых принципов. Данная задача сводится к
нахождению решения уравнений Максвелла
при определенных граничных условиях.
Однако такой подход представляет большие
математические трудности. Поэтому во многих
случаях, имеющих большой практический
интерес, оказывается вполне достаточным
Рис. 2.28 приближенный метод решения задачи о рас-

2,2. Дифракция света —' w- 101
пределении светового потока, основанный на принципе Гюйгенса-
Френеля. Согласно этому принципу каждый элемент dS волновой
поверхности S (рис. 2.28) служит источником вторичной
сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине
элемента dS и убывает с расстоянием г от источника до точки наблюдения
по закону 1/г. Таким образом, колебание в любой точке Р,
вызванное элементом d5, можно записать в виде
dE = & к (<р) cos {cot - kr) dS.
Здесь множитель а0 определяется амплитудой светового колебания в
месте нахождения элемента dS\ к = 2я/Д — волновое число; со —
частота колебания. Коэффициент К{<р) зависит от угла <р между
нормалью к элементу dS и направлением от элемента dS на точку Р.
При <р = О этот коэффициент максимален, при <р = я/2 обращается в
нуль. Многие практически важные дифракционные задачи можно
решить, не уточняя конкретного вида зависимости К(<р).
Результирующее колебание в точке наблюдения Р представляет
собой суперпозицию колебаний dE от всех элементов dS,
расположенных на поверхности S
cos Ы - kr) dS. (2.24)
s r
Это выражение дает математическую формулировку принципа
Гюйгенса—Френеля. В то же время вычисления по формуле (2.24) в
общем случае представляют собой весьма трудную задачу. Однако в
случаях, обладающих определенной симметрией, нахождение
амплитуды результирующего колебания может быть сведено к
алгебраическому или графическому сложению (последнее особенно наглядно).
Рассмотрим для иллюстрации задачу о распределении
интенсивности плоской световой волны при дифракции Фраунгофера от узкой
щели шириной b (рис. 2.29). Поместим за щелью собирающую
линзу, а в ее фокальной плоскости — экран. Разобьем мысленно
открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели
бесконечно узкие одинаковые по ширине зоны-полоски площадью dS
(если эти зоны-полоски имеют конечную ширину и такую, что
разность расстояний от их краев до точки Р равна Л/2, то они
называются зонами Френеля). Вторичные волны, посылаемые этими зонами
в направлении, определяемом углом (р, создадут на экране колеба-

102 —»Ь- Глава 2. Волновая оптика
ния с одинаковой амплитудой сЫ, так как линза собирает в
фокальной плоскости плоские (а не сферические) волны. В связи с этим
множитель 1/г в выражении (2.24) будет отсутствовать. Если же
ограничиться малыми углами дифракции, то коэффициент К(ф) в (2.24)
можно считать постоянным.
LW I I
Рис. 2.29
Проведем суммирование вторичных волн с помощью векторной
диаграммы. Каждое колебание, приходящее от зоны-полоски имеет
одинаковую амплитуду &4, но эти колебания от соседних зон имеют
одинаковый небольшой сдвиг фазы 8в, обусловленный разностью
расстояний от краев зоны до точки Р и зависящий от угла
дифракции <р. Таким образом, нам необходимо сложить графически
цепочку векторов сЫ, одинаковых по модулю и повернутых относительно
друг друга на один и тот же угол SO,
При q> - 0 (т. е. в центре экрана) разность фаз всех соседних
векторов 86 = 0 (напомним, что линза — система таутохронная). В этом
случае векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 2.30, а.
Амплитуда результирующего колебания А^ равна сумме амплитуд Л4
складываемых колебаний — это нулевой максимум. Если угол <р таков,
что разность хода лучей, приходящих от краев щели, Л = ftsin q> = A/2,
то полный сдвиг фазы первого и последнего колебаний,
приходящих от краев щели, равен п (колебания находятся в противофазе).
Соответственно векторы 6А располагаются вдоль полуокружности
длиной 4) (сумма их моделей не может измениться!). Это
отображено на рис. 2.30, б. Следовательно, результирующая амплитуда равна
2AJn, что меньше амплитуды при <р = 0. Увеличим еще угол <р до

2,2. Дифракция света
103
значения, при котором разность фаз колебаний от краев щели станет
равной 2я. В этом случае разность хода А = Ь$\п<р=Аи векторы &4
расположатся вдоль окружности (рис. 2.30, в). Результирующая
амплитуда станет равной нулю — первый минимум. Затем при дальнейшем
увеличении угла <р, при котором b sin q> = ЗЛ/2, колебания от краев
щели станут отличаться по фазе на Зя. При этом сумма векторов дА
обойдет полтора раза окружность диаметра А{ = (2/ЗяЦ> (рис. 2.30, г).
Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума,
следующего за нулевым (центральным).
Рис. 2.30
Если интенсивность центрального максимума принять за /0, то
интенсивность первого максимума 1{ = (2/3/г)2/0 « 0,045/0.
Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных
максимумов. В итоге получается следующее соотношение:
Соответствующая картина распределения интенсивности света в
зависимости от sin ^ представлена на рис. 2.31. Обратим внимание

104
Глава 2. Волновая оптика
на то, что центральный максимум значительно превосходит по
интенсивности остальные максимумы и в нем сосредоточивается
основная доля светового потока, проходящего через щель.
-гх/ь -гх/ь -х/ь
Кроме того, мы нашли угловое положение как максимумов, так
и минимумов интенсивности. Условие
bsin<p = ±kA (Jfc = l, 2, 3, ...)
определяет угловое положение минимумов (при к = 0 всегда
наблюдается максимум), а условие
bsin<p = ±
И)
Л (к = 1, 2, 3, ...)
определяет положение максимумов при дифракции Фраунгофера на
щели шириной Ъ.
Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия представляет
большой практический интерес, так как оправы линз и объективов
в оптических приборах, а также диафрагмы имеют обычно круглую
форму. Дифракцию наблюдают по той же схеме, что и дифракцию
Фраунгофера на узкой щели (см. рис. 2.29), только вместо ширины
щели Ь необходимо учитывать диаметр отверстия D.
Дифракционная картина имеет вид центрального светлого пятна, окруженного
чередующимися темными и светлыми кольцами. Подавляющая часть
(около 84 %) светового потока, проходящего через отверстие,
попадает в область центрального светлого пятна (кружок Эйри).
Интенсивность первого светлого кольца составляет всего 0,75 %, а второго —

2.2. Дифракция света
\
105
0,41 % от интенсивности центрального пятна (соответствующее
распределение интенсивности света в зависимости от sin q> приведено
на рис. 2.32). Поэтому в первом приближении дифракционную
картину можно считать состоящей из одного лишь светлого пятна с
угловым радиусом, определяемым формулой
1,22^.
Это пятно является по существу изображением бесконечно
удаленного точечного источника света, уширенным дифракцией от краев
круглого отверстия диаметром D.
-U2V0 О 1,22Я/£>
Рис. 2.32
Одним из важнейших спектральных приборов является
дифракционная решетка — стеклянная или металлическая пластинка, на
которую нанесено много равноотстоящих штрихов шириной Ъ с
периодом d (постоянная решетки). Дифракционную (точнее
дифракционно-интерференционную) картину наблюдают по методу Фра-
унгофера, т. е. в параллельных лучах, а практически — в фокальной
плоскости линзы (рис. 2.33). Эта картина имеет вид резко
выраженных темных и светлых полос, параллельных краям решетки.
Условие главных максимумов
(ifc = 0, I, 2, ...).
Условие главных минимумов
1, 2, 3, ...).

106
Глава 2, Волновая оптика
F
Рис. 2.33
Условие дополнительных минимумов, располагающихся между
главными максимумами с номером к
d sin q> = ±
•-ttU
6- - -О — -2fc£ - -О - —О- —
. _ < _ _о_ - Ю — —О-
Рис. 2.34
(£ = 0, 1, 2, ...; m-1, 2, 3, ..., ЛГ-1),
где N — число штрихов решетки. Между
дополнительными минимумами
располагаются добавочные максимумы,
интенсивность которых при достаточно
большом N пренебрежимо мала (менее 5 %
ох интенсивности главных максимумов).
Поэтому практически наиболее
важными являются главные максимумы.
Дифракция рентгеновского излучения
на кристаллической решетке твердого тела
описывается формулой Вулъфа—Брэгга
2d sin а = ±тЛ (т = 1, 2, 3, ...),
где а — угол скольжения; d — расстояние между кристаллическими
плоскостями, в которых атомы расположены наиболее плотно (рис. 2.34).
2.2.1. Зоны Френеля.
• Плоская световая волна с длиной волны Л падает нормально на
диафрагму с круглым отверстием, которое открывает первые N зон
Френеля для точки Р на экране, отстоящем от диафрагмы на рассто-

2.2. Дифракция света —'w* Ю7
яние Ь. Найти интенсивность света 10 перед диафрагмой, если
известно распределение интенсивности света на экране /(г), где г —
расстояние до точки Р.
Рассмотрим вначале общий случай падения на диафрагму с
круглым отверстием сферической световой волны от точечного
источника S, находящегося на расстоянии а от диафрагмы (рис. 2.35). Так
как волновая поверхность, которой мы перекрываем отверстие,
симметрична относительно прямой SP, то целесообразно разбить
волновую поверхность на кольцевые зоны с центром на оси отверстия.
Данные зоны выберем так, чтобы разность расстояний от краев
каждой зоны до точки Р была равна Я/2. Эти кольцевые полоски и есть
зоны Френеля в данном случае.
Зона Френеля
С НОМерОМ /77
Рис. 2.35
Рис. 2.36
Найдем внешний радиус /и-й зоны Френеля rm. Из треугольника
ASB на рис. 2.36 находим г2 **а2-{а — А )2. Так как обычно й <к я, то
Совершенно аналогично из треугольника АВР на рис. 2.36 находим
(при этом мы пренебрегли величинами тЛ и hb по сравнению с
расстоянием до экрана Ь. Кроме того, сумма величин ha и hb, как
следует из рис. 2.36, должна быть равна тЛ/2:
. , тЛ

108
Глава 2. Волновая оптика
Подставляя сюда найденные значения ha и hb, находим внешний
радиус /и-й зоны Френеля
аЪ
а + Ь
тЛ.
При падении на отверстие плоской волны (а -» «>)
(2.25)
(2.26)
Так как световой поток с интенсивностью /0, прошедший за
диафрагму, весь попадает на экран с распределением /(г), то должно
выполняться равенство
4=J/(r)d£,
где интегрирование ведется по всей площади экрана, а значение rN в
соответствии с формулой (2.26) равно JbNA. В качестве элемента dS
целесообразно взять тонкие плоские кольца радиуса г и шириной dr.
Тогда dS = 2flrdr. Таким образом, для /0 получаем
bNA
//(r)rdr.
• Плоская монохроматическая
световая волна с интенсивностью
0 р /0 падает нормально на
поверхности непрозрачных экранов,
показанных на рис. 2.37. Найти зави-
Рис. 2.37 симость от угла а интенсивности
света / в точке Р:
а) расположенной за вершиной угла экрана (рис. 2.37, а);
б) для которой закругленный край экрана совпадает с границей
первой зоны Френеля (рис. 2.37, б).
Рассмотрим вначале экран, отображенный на рис. 2.37, а.
Данный экран перекрывает одинаковую угловую долю всех зон
Френеля, находящихся на плоском фронте волны. Это означает, что
амплитуда колебаний в точке Р может быть вычислена как
1пУ

2.2. Дифракция света —' w- Ю9
где 4, — амплитуда колебаний на самом фронте волны. Квадрат
этой амплитуды равен интенсивности /0. Значит, интенсивность
колебаний в точке Р составляет
■(•-=!
2
/п
Приближенный знак равенства поставлен из-за того, что мы
пренебрегли дифракцией от краев экрана.
В случае, отображенном на рис. 2.37, б, для нахождения
амплитуды А в точке Р нам придется просуммировать ряд
А = Ах +{-А2 +4 "Л +•.■)(!- j£)> (2.27)
где Ат — амплитуда колебаний от /w-й зоны Френеля. Этот ряд
составлен из следующих соображений. Площади зон Френеля (при
достаточно малых т)
LS = nrl ~ nrl_x = лЛЬ
практически одинаковы (Ь — расстояние от экрана до точки Р). Но
амплитуды колебаний, приходящих в точку Р от этих зон,
монотонно и слабо убывают из-за увеличения расстояния до точки Р и
увеличения угла (р между нормалью к зоне и направлением на точку Р.
Кроме того, фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р соседними
зонами, отличаются на я, поэтому векторы-амплитуды соседних зон
противоположны по направлению.
Представим ряд (2.27) несколько иначе
^(4-4+4--0 + |^-4+Л|-..-)- (2.28)
Перепишем выражение в первой скобке
A) .... (2.29)
В сипу монотонности убывания амплитуд можно считать
приближенно

110 —'w* Глава 2. Волновая оптика
и тогда каждая скобка в (2.29) обращается в нуль, поэтому
Данный результат означает, что амплитуда колебаний от всего
фронта волны Aq равна половине амплитуды от первой зоны Френеля
(очень неожиданный результат). Для второй скобки в (2.28) имеем
Следовательно,
Но значение ^/2 и есть амплитуда колебаний от всего фронта
волны Aq. Поэтому
■-*(•♦£)•
Соответственно интенсивность колебаний в точке Р составляет
• Плоская световая волна с Л = 640 нм и интенсивностью /0
падает нормально на круглое отверстие радиуса R = 1,20 мм. Найти
интенсивность в центре дифракционной картины на экране,
отстоящем на расстояние Ъ = 1,50 м от отверстия.
Если бы в отверстии умещалось какое-то небольшое целое
число зон Френеля N, то задача сводилась бы к суммированию ряда
где знак «плюс» перед AN соответствует нечетному N, а знак «минус» —
четному К Нетрудно сообразить, что при N четном А « 0, а при N
нечетном А « А1 » 1А^ Ц> — амплитуда колебаний на самом фронте
волны). В нашем же случае значение N, найденное из (2.26) составляет
"■fr1-3-

2.2. Дифракция света -Jw 111
Поэтому нам придется разбить фронт волны на очень узкие
кольцевые зоны площадью SS (не зоны Френеля). Амплитуду
колебаний, создаваемых каждой из таких зон-полосок, изобразим
вектором SA. Причем вследствие увеличения расстояния до точки Р
каждая последующее колебание будет отставать по фазе от предыдущего
на небольшой угол 80. Изобразив отставание по фазе поворотом
каждого вектора SA против часовой стрелки на угол 86, получим
цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая
амплитуда А в точке Р.
На рис. 2.38 показан результат сложе- ^-Л--~~>^
ния некоторого произвольного числа век- /
торов ЗА, так называемая спираль Френеля //
(если бы все векторы SA и сдвиг фазы 86 I /
были одинаковы, то эта спираль превра- ! ,'
тилась в окружность). Здесь в — сдвиг \ \
фазы колебаний последнего вектора SA от \\
первого, Ао — амплитуда колебаний от \
всего фронта волны. Если в = п, то мы
наблюдаем результат действия первой
зоны Френеля (по ее определению!). В Рис. 2.38
связи с этим для произвольного, но не
очень большого числа зон Френеля N (даже не целого), полагая
спираль близкой к окружности, имеем 6 = nN. Из рис. 2.38 находим
А = 2Д) sin
nN
Соответственно,
/ = 4/0sin2^- = 2/0(l-
Подставляя сюда значение
имеем

112
\
Глава 2 Волновая оптика
2.2.2. Зоны Френеля на стеклянной пластинке. Плоская световая
волна с Л = 0,60 мкм падает нормально на достаточно большую
стеклянную пластинку, на обратной стороне которой сделана
круглая выемка (рис. 2.39). Для точки наблюдения Р она представляет
собой первые полторы зоны Френеля. При какой глубине выемки
АЛ интенсивность света в точке Р будет:
а) максимальной;
б) минимальной?
Н ЛЛ
Рис. 2.39
Рассмотрим вначале ситуацию при
отсутствии стеклянной пластинки. На рис.
2.40 отображены векторы-амплитуды
колебаний: А$ — от всей волновой поверхности
(это половина амплитуды от первой зоны
Френеля); А
Френеля; ^
этом выполняется равенство: Ао
Поместим теперь на пути волны
плоскопараллельную стеклянную пластинку с
показателем преломления п и толщиной Л.
Эта пластинка внесет оптическую разность
хода Aq = h(n - 1), одинаковую для всех зон Френеля. Поэтому все
векторы-амплитуды повернутся на одинаковый угол и в итоге
картина распределения амплитуд не изменится. Если же в пластинке
сделать выемку толщиной АЛ, приходящуюся только на первые полторы
15 — от первых полутора зон
'— от всех остальных зон. При
А15 +
Рис. 2.40

2.2. Дифракция света -'Ь- 113
зоны Френеля, то это приведет к неодинаковому повороту векторов-
амплитуд. Тогда колебания, проходящие через выемку, начнут
опережать по фазе остальные колебания, поскольку их оптический путь
уменьшится на А = Ыг(п — 1), что соответствует сдвигу по фазе на
S = 2пА/Л и повороту вектора Ах5 на этот угол по часовой стрелке.
а. Для получения максимума интенсивности (или амплитуды)
нужно повернуть вектор АХ5 до совпадения с вектором А$ (рис. 2.41, а)9
т. е. на угол S = (3/4)# + 2/яяг (т = О, 1, 2, ...). Тогда из условия
находим
Рис. 2.41
б. Чтобы получить минимум интенсивности, необходимо
повернуть вектор А15 на угол S = (7/4)я + 2тл (т - 0, 1, 2,...) (рис. 2.41, б).
Следовательно, теперь должно быть выполнено условие
ТЯ+ 2/ИЯ ss _£.ДЛ(л-1).
4 Я
Откуда находим
) и = 0, 1, 2, ....
Л— 1 \ о
2.2.3. Зоны Френеля с линзой. На длиннофокусную собирающую
линзу с ирисовой диафрагмой падает параллельный пучок
монохроматического света. На расстоянии b от линзы помещен экран, на
котором наблюдаются дифракционные кольца. При каких радиусах
диафрагмы R центр колец будет темным и при каких светлым, если
фокусное расстояние линзы равно/?

114
Глава 2. Волновая оптика
Понятно, что освещенность в центре дифракционной картины
зависит от числа зон Френеля, умещающихся в отверстии
диафрагмы. Для расчета числа зон поступим таким же образом, как и в
задаче 2.2.1 (зоны Френеля). Разница лишь только в том, что теперь
сферическая волна будет не расходящейся, а сходящейся в точке S'
(рис. 2.42). Это означает, что выпуклую дугу АО на рис. 2.36
необходимо заменить на вогнутую (со стороны источника) и строить зоны
Френеля для точки Р на вогнутой сферической поверхности АО.
Тогда расстояние ОР (см. рис. 2.42) следует принять за Ь, а
расстояние S'O — за а = / Из треугольника AS'В на рис. 2.42 находим
rl
Рис. 2.42
Аналогично из треугольника АВР
(при этом мы пренебрегли величинами тЛ и hb по сравнению с Ь).
Откуда
Кроме того, как следует из рис. 2.42, в соответствии с методом
зон Френеля модуль разности величин hf\i hb должен быт равен тЛ/2:

2.2. Дифракция света —'w- 115
Подставляя сюда значения hf и hb> находим внешний радиус
m-й зоны Френеля
(2.30)
Полагая этот радиус равным радиусу отверстия диафрагмы R,
находим число зон Френеля
т ■
■-М-
Если число зон нечетное, то в точке Р наблюдается максимум,
если же число зон четное, то — минимум.
2.2.4. Гладкий шарик вместо объектива. Известно, что яркий
источник можно сфотографировать, поместив между ним и
фотопластинкой гладкий непрозрачный шарик (опыт Поля).
Определить размер изображения А' при следующих параметрах: длина
волны Л = 0,55 мкм, диаметр шарика D = 40 мм, расстояние между
шариками а = 12 м, расстояние от источника до фотопластинки
Ъ = 18 м, размер источника А = 7 мм. Определить минимальную
высоту неровностей h^^ хаотически покрывающих поверхность
шарика, при которой изображение будет испорчено.
Данная задача имеет прямое отношение
к так называемому пятну Пуассона. Это
светлое пятно в центре геометрической тени
за круглым непрозрачным диском. Если
диск перекрывает лишь несколько зон
Френеля, то интенсивность в центре
геометрической тени почти такая же, как при
отсутствии диска. Это непосредственно следует
из спирали Френеля (рис. 2.43). Если диск
закрывает, скажем, полторы зоны
Френеля, то результирующий вектор А^ при
полностью открытой волновой поверхности
можно представить как сумму двух векторов: А^ = Ах 5 + А^. Так как
первые полторы зоны закрыты, то остается только вектор А^ — от
всех остальных зон. А он по модулю лишь немного меньше вектора А^.
Все это означает, что можно получить изображение яркого источ-
Рис. 2.43

116 —' Ь- Глава 2. Волновая оптика
ника (правда не очень хорошего качества), используя в качестве
объектива преграду в виде круглого шарика или диска. Естественно
в данном случае можно воспользоваться и формулой для
увеличения линзы Г
Г = 4-=-->*' = Л-= 10,5 мм.
ha a
Для получения резкого изображения
необходимо, очевидно, чтобы высота
неровностей на поверхности шарика была
меньше ширины зоны Френеля, по
которой проходит край непрозрачного экрана.
Чтобы понять это обратимся к рис. 2.44,
на котором отображен непрозрачный диск,
перекрывающий т зон Френеля и
неровности на его поверхности, хаотически
располагающиеся в пределах (т + 1)-й зоны
Френеля. Амплитуду колебаний в точке Р
за преградой можно записать в виде
) + Am+2-Am+i+.... (2.31)
Рис. 2.44
Какой ставить знак перед первым слагаемым не имеет значения,
так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды
(знаки остальных слагаемых привязаны к знаку первого слагаемого). Здесь
(Ат + !> — среднее значение амплитуды колебаний от (т + 1)-й зоны
Френеля, равное примерно Ат + х/2. Но и сумма всех остальных
слагаемых в (2.31) также **Ат + /2. И освещенность в точке Р в данном
случае резко падает.
Таким образом, нам осталось только оценить ширину /и-й зоны
Френеля Ал Найдем вначале значение т, полагая радиус зоны
равным половине диаметра шарика D
D
ab
а + Ъ
тЛ
т
АаЬЛ
100.
Тогда
m
аЬА
Am

2.2. Дифракция света
Таким образом, высота неровностей hndn на поверхности шарика
должна удовлетворять условию
аЬЛ Л л
01мм
2.2.5. Зонная пластинка. Точечный источник
монохроматического света расположен перед зонной пластинкой на расстоянии а.
Изображение источника формируется на расстоянии Ъ от
пластинки. Каково ее фокусное расстояние?
Существует еще более эффективный способ получения
изображения источника, заключающийся в использовании так называемой
зонной пластинки. Если в преграде, стоящей на пути световой волны
открыть только нечетные зоны Френеля, то векторы-амплитуды от
этих зон, имея одинаковое направление, дадут при сложении
вектор, превосходящий во много раз по модулю векторы А$ (от всей
волновой поверхности) и А{ (от первой зоны Френеля). Такую
систему называют зонной пластинкой (точнее амплитудной зонной
пластинкой). Ее можно изготовить, начертив на листе бумаги темные
кольца, а затем сфотографировать их в уменьшенном масштабе.
Внутренние радиусы колец должны быть пропорциональны
квадратным корням из последовательных нечетных чисел, а внешние —
из четных. Тогда получится пластинка, центр которой светлый.
Можно изготовить аналогичную пластинку с темным центром.
Ширина всех колец должна быть велика по сравнению с длиной волны.
Тогда при надлежащих размерах колец пластинка со светлым
центром будет удалять из волнового фронта все четные, а пластинка с
темным центром — все нечетные зоны Френеля.
Более того, интенсивность света в точке наблюдения можно еще
увеличить в четыре раза, если изменить на п фазы вторичных волн,
исходящих от всех зон Френеля с четными (или нечетными)
номерами — так называемая фазовая зонная пластинка. Ее можно
изготовить путем травления поверхность стеклянной пластинки, если
глубина зон травления будет удовлетворять условию Ыг(п - 1) = (2т + 1)Я
(т = 0, 1, 2, ...).
Усиление интенсивности света зонной пластинкой аналогично
фокусирующему действию обычной линзы. Более того, расстояния
от пластинки до источника — а и «изображения» — Ъ связаны тем
же соотношением, что и соответствующие величины для линзы.

118 -»Ь Глава 2. Волновая оптика
В этом легко убедиться, если формулу (2.25) из задачи 2.2.1
переписать в виде
Выражение в правой части можно рассматривать как 1//, где/—
фокусное расстояние
где гг — радиус первой зоны Френеля,
г\ =
Но в отличие от линзы, зонная пластинка — система не таутох-
ронная. Колебания, приходящие в точку наблюдения от соседних
открытых зон, отличаются по фазе на 2яг (разность хода Л). Кроме
того, в отличие от линзы зонная пластинка имеет несколько
фокусов. Точка, положение которой определяется по формуле (2.32), есть
основной фокус. Это точка, для которой зоны, начерченные на
пластинке, совпадают с зонами Френеля. Следующие фокусы
получаются, если в первой зоне, начерченной на пластинке, укладывается
3, 5, ..., (2k + 1) зон Френеля, т. е. когда
л=(2*+1Ы-
Следовательно, положение фокусов высших порядков
определяется из формулы
Знаку «плюс» соответствуют действительные фокусы, а знаку
«минус» — мнимые. Эти фокусы оказываются более слабыми по
сравнению с основным.
2.2.6. Отражательная зонная пластинка. Требуется изготовить
отражательную зонную пластинку на вогнутом сферическом зеркале
кольцевыми зонами Френеля. Найти радиус т-й зоны rm, если ис-

2.2. Дифракция света -*Ь- 119
точник света и точка наблюдения расположены на оси зеркала на
расстояниях аи b соответственно от его вершины, причем а <*
гт <*: а, где R — радиус кривизны поверхности зеркала.
м
Рис. 2.45
Так как поверхность сферического зеркала не является волновой
поверхностью, все точки которой имеют одинаковую фазу, то
условие построения /я-й зоны Френеля (рис. 2.45) будет выглядеть
следующим образом
\Ш + MS') - (SA + AS')\ = ^, (2.33)
где SA = a, AS' = й, а величины SM и MS' находим из рис. 2.45
С учетом того, что h «с аи гт<& а находим
г
5z.-h; S'M
Значение h находим из соотношения
г2 = R2 -(Л-
2ЛА -> И - ^.
Подставляя вычисленные значения в (2.33), получаем

120
Глава 2. Волновая оптика
Этот результат можно получить и проще, если в принятом
приближении строить зоны Френеля не на поверхности зеркала, а на
поверхности сходящейся волны, отраженной от зеркала, с радиусом
кривизны я' = MS'. Значение а' можно найти из формулы
сферического зеркала
1
1
I JL_A __
a a'~~ R~* a'~ R~ V
Если же теперь воспользоваться формулой (2.30) из задачи 2.2.3
(там как раз обсуждается случай с вогнутой сферической волновой
поверхностью) и заменить /на а\ то приходим к прежнему результату.
2.2.7. Принцип работы линзы. Каким образом происходит
формирование линзой оптического изображения?
Построение изображений, основанное на законах
геометрической оптики, не позволяет ответить на ряд важных вопросов,
например, какова яркость изображения, действительно ли оно подобно
предмету, какова разрешающая способность линзы и ряд других.
Рассмотрим вначале распространение плоской световой
волны через тонкую плоско-выпуклую линзу вдоль ее оптической
оси (рис. 2.46). Так как линза считается тонкой, то
распространение света внутри линзы будет происходить по законам
геометрической оптики. То есть, чтобы определить изменение световой волны
от плоскости z = 0_ на входе в линзу до
плоскости z - 0+, примыкающей к
линзе справа, достаточно найти изменение
фазы волны вдоль луча S, проходящего
через линзу на расстоянии х от
оптической оси. Примем значение фазы волны
при входе на плоскую поверхность
линзы (плоскость z = 0_) за нуль. Тогда для
луча, проходящего вдоль оптической оси,
фаза волны составит <р\х ш 0 = р0 = кп\
(п — показатель преломления линзы;
Aq — толщина линзы на оптической оси,
к = 2яг/Л — волновое число). Для
произвольного луча S фаза волны в плоскости
Z = 0+ равна <р = fc/iA + к(^ - А). Первое
Рис. 2.46 слагаемое соответствует изменению фазы
к S
О
\
д
)
i
i
i
i
i
i
i
z

-v
2.2. Дифракция света Jb- 121
на пути Л внутри линзы, второе — вне линзы на пути Aq - Л. И так
как значение имеет только относительное изменение фазы А<р в
плоскости z = 0+, то
где, согласно рис. 2.46,
Д - До = -R + >/Л2 - х2;
if — радиус кривизны сферической поверхности линзы. При
достаточно малых х <*: R для Д^> получаем
^-х2. (2.34)
Данное выражение означает фактически, что сферическая
поверхность линзы заменяется параболической. Если ввести
обозначение
J "и-Г
то формула (2.34) приобретает вид
^(x^-JLjc*. (2.35)
2/
Величина/является фокусным расстоянием линзы, а точка /"на
оптической оси, отстоящая на расстояние / от линзы, — главный
фокус линзы.
Таким образом, при нормальном падении плоской световой
волны распределение фаз колебаний на выходе из линзы в плоскости
z в 0+ описывается формулой (2.35). Из нее следует, что колебания
в любой точке, отстоящей на расстояние х от оптической оси,
опережают по фазе колебания в точке х = 0, расположенной на
оптической оси. Заполним теперь в соответствии с принципом Гюйгенса-
Френеля плоскость z = 0+ вторичными источниками S\
излучающими сферические волны. Нетрудно сообразить, что колебания,
созданные всеми этими вторичными источниками в главном фокусе
линзы F, оказываются синфазными. Действительно, отставание по
фазе волны, исходящей от любого расположенного в точке х вто-

122 -J\r Глава 2. Волновая оптика
ричного источника S' (рис. 2.47), от волны, распространяющейся
вдоль оптической оси, равно
Это отставание в точности компенсирует начальное опережение
по фазе, возникшее при прохождении волны через линзу для любой
точки х [см. формулу (2.35)]. Именно синфазность колебаний в
точке F приводит к резкому усилению амплитуды световой волны,
падающей на линзу от бесконечно удаленного источника. Таким
образом, точка F является изображением бесконечно удаленного
точечного источника света.
Рис. 2.47
Пусть теперь точечный источник S находится в фокальной
плоскости линзы на расстоянии £ от оптической оси (рис. 2.48, а).
В области значений х, малых по сравнению с фокусным
расстоянием, амплитуду колебаний в сферической волне можно считать
постоянной величиной. Распределение фаз колебаний в плоскости z = 0.
на входе в линзу

«i
0
X
f
/\ У
z«<L
Si
^ F'
z-0+
2.2. Дифракция света -*\г 123
Рис. 2.48
Заменяя, как и ранее, сферический волновой фронт
параболическим, находим
где
И, принимая фазу колебаний на оптической оси за нуль, для
tp_(x) имеем
<р
к
—-
2го
(2.36)
Если рассматривать только малые углы падения волны на линзу а
(sin а « £/г0), то в этом случае г0 «/, и тогда (2.36) переходит в
it
#_М * -fecsinar + — jc2.
При распространении света через линзу возникает
дополнительная разность фаз Ар, определяемая выражением (2.36). Тогда на
выходе из линзы распределение фаз волны в плоскости z = 0+
приобретает вид
<р+ Ос) = <р_ (х) + Ар Ос) = -к sin ax.
Отсюда, очевидно, следует, что разность фаз в любой плоскости
F'F\ расположенной за линзой под углом а к плоскости z — 0+

124 —'i/1 Глава 2. Волновая оптика
равна нулю. Таким образом, мы приходим к замечательному
результату: волна со сферическим фронтом FF от точечного источника,
расположенного в фокальной плоскости линзы, преобразуется
линзой в волну с плоским фронтом F'F'. Причем направление волны
определяется положением источника в фокальной плоскости.
Разумеется, верно и обратное утверждение: плоская волна, падающая на
линзу под углом а к оптической оси, преобразуется линзой в
сферическую волну, которая фокусируется в точку £ в фокальной
плоскости на расстоянии £ = fa от оптической оси (рис. 2.48, б).
Оценим размер изображения бесконечно удаленного точечного
источника. От него на линзу падает плоская волна вдоль
оптической оси. Свет, проходящий «мимо» линзы диаметром Д не
представляет интерес, так как не участвует в формировании
изображения. Все происходит так, как будто линза задиафрагмирована
непрозрачным экраном с отверстием диаметра D. Плоская волна, пройдя
через отверстие-диафрагму, уже не является плоской: за отверстием
будет наблюдаться дифракционная картина, имеющая вид
центрального светлого пятна (кружок Эйри), окруженного темными и
светлыми кольцами. В кружке Эйри концентрируется подавляющая доля
светового потока. Как уже отмечалось во введении к данному
разделу, угловая полуширина кружка Эйри относительно диафрагмы
определяется соотношением
Sin <р = 1,22 —. (2.37)
D
Это пятно и является по существу изображением бесконечно
удаленного точечного источника света. Оно не является точкой, как
следует из законов геометрической оптики. Его радиус
(полуширина пятна Эйри) в соответствии с (2.37)
С увеличением диаметра линзы размер пятна уменьшается, но
не стягивается в точку. Это связано с тем, что бегущие волны не
могут образовать в сумме световое поле, которое бы резко
изменялось на расстояниях порядка длины волны. Пятно, размер которого
существенно меньше длины волны, получить в принципе
невозможно. Средняя интенсивность света в пределах пятна превышает
интенсивность падающей волны во столько раз, во сколько площадь

12. Дифракция света -i\/> 125
линзы So = nD2/A больше площади пятна S = я^. Таким образом,
средняя интенсивность волны в пятне Эйри оказывается равной
(2.38)
Для линзы диаметром 1 см с фокусным расстоянием 10 см
выигрыш от фокусировки для зеленого света (Л = 500 нм) может составить
///0« Ю6! Формула (2.38) определяет среднюю интенсивность света в
пределах пятна Эйри. Максимальную же интенсивность света в
фокусе линзы можно получить прямым суммированием амплитуд
колебаний от все!Х вторичных источников, заполняющих плоскость z = 0+.
Синфазность колебаний в точке F означает, что все элементарные
векторы, составляющие спираль Френеля, выстраиваются в коллине-
арную цепочку векторов (см. введение к данному разделу). Длина
полувитка первой спирали Френеля равна яА$, где А$ — радиус
спирали, равный амплитуде волны, падающей на линзу. Число зон
Френеля /и, укладывающихся на линзе диаметром Д можно определить
из формулы (2.26) задачи 2.2.1, полагая в ней rm = D/2, b =/:
..
4Я/
Тогда суммарная амплитуда от т зон Френеля
а интенсивность света в фокусе линзы составит
" °16Д2/2'
что, естественно, больше, чем средняя интенсивность в пятне Эйри.
И в заключение данной задачи рассмотрим вопрос о
разрешающей способности объектива и глаза. Каково минимальное угловое
расстояние между двумя удаленными одинаковыми
некогерентными точечными источниками, при котором их можно воспринимать
через объектив как раздельное изображение двух точек?
Вследствие волновой природы света изображение точки,
даваемое линзой, имеет вид дифракционных колец — результат дифрак-

126 —'Ь- Глава 2 Волновая оптика
ции на оправе линзы. Так как около 84 % проходящего через линзу
светового потока приходится на центральное светлое пятно, то на
остальные окружающие его кольца можно не обращать внимания.
Бели расстояние между центрами изображений некогерентных
источников мало по сравнению с размерами центральных светлых
пятен, то наблюдаемая картина практически не отличается от
изображения одного источника. Как говорят — объектив не разрешает
рассматриваемые точки. Если же увеличивать расстояние между
центрами светлых кружков, то между ними появляется темный провал
(первый дифракционный минимум), и это будет восприниматься как
раздельное изображение двух светящихся точек — говорят, что
объектив разрешает эти точки.
Существует количественный критерий разрешения — критерий
Рэлея. Согласно данному критерию два точечных некогерентных
источника считаются разрешенными, если центр дифракционного
светлого пятна от одного из них совпадает с ближайшим к центру
минимумом дифракционной картины от другого. Ранее уже
указывалось, что угловое расстояние минимума первого темного кольца
от светлого центра дифракционной картины определяется
формулой (2.37). Для оценки же углового расстояния удаленных объектов
можно воспользоваться формулой
?тш * 7Г (239)
В этом случае результирующая картина распределения
интенсивности изображения показана на рис. 2.49, где провал составляет
около 25 % от максимума интенсивности (ориентировочно
принимается, что глаз человека способен различить две близкие точки,
если максимумы освещенности в местах их геометрических
изображений превосходят интенсивность посередине между ними не
менее чем на 15 %). Таким образом, выражение (2.39) и можно
принять за минимальное угловое расстояние <pmin между разрешаемыми
точками.
Глаз при рассматривании удаленных предметов действует в
принципе так же, как и объектив. Поэтому формула (2.39) применима и
к глазу при условии, что роль величины D играет диаметр зрачка.
Полагая D « 3 мм, Л = 0,55 мкм, находим

2.2. Дифракция света
\
где ^ — максимальный угол дифракции, соответствующий
наибольшему порядку максимума. Из этих формул получаем
5sin% 2,868
127
Этот результат удивительно хорошо согласуется с
физиологической оценкой разрешающей способности глаза, связанной со
структурой его сетчатки. За единицу остроты зрения врачи принимают
остроту зрения такого глаза, который разрешает угол в одну угловую
минуту (60 угловых секунд). В этом плане достойна восхищения
способность живого организма приспосабливаться к окружающим
условиям и в процессе эволюции достигать максимума того, что
принципиально допускается законами природы!
Рис. 2.49
Заметим, что результат (2.39) можно использовать для оценки
дифракционной расходимости пучков света с ограниченным
диаметром, например, в результате прохождения плоской световой волны
через отверстие (диафрагму), лазерных пучков и др.
2.2.8, Дифракционная решетка. Свет с длиной волны Л = 535 нм
падает нормально на прозрачную дифракционную решетку. Найти ее
период, если один из фраунгоферовых максимумов возникает под
углом дифракции <рк = 35е и наибольший порядок максимума равен пяти.
Запишем данные задачи через условие главных максимумов душ
решетки
d sin <pk = кЛ;
(2.40)
= 5А,

128 -А/- Глава 2. Волновая оптика
Из возможных значений к < 5 необходимо выбрать самое малое, но
такое, чтобы sin ^^ был не больше единицы. Нас устраивает к = 3.
Тогда из (2.40) находим
2,8 мкм.
2.2.9. Разрешающая способность решетки. На дифракционную
решетку шириной L и периодом d падает нормально свет с длиной
волны Я. Какова наименьшая разность длин волн, разрешаемых
данной решеткой в спектре к-ю порядка?
Разрешающая способность решетки R по определению
R- Л
где 5Л — наименьшая разность длин волн спектральных линий,
при которой эти линии воспринимаются еще раздельно, т. е.
дифракционные картины на экране зрительно воспринимаются
раздельно. В данном случае также принимается критерий Рэлея, по
которому главный максимум одной спектральной линии совпадает
с первым добавочным минимумом другой линии.
Согласно критерию Рэлея необходимо, чтобы максимум к-то
порядка для линии с длиной волны Л + 8А, определяемого
формулой (см. введение к данному разделу)
dsiatp = k(A + SX),
совпал с первым добавочным минимумом линии с длиной волны Я.
Положение данного минимума определяется формулой
I * + -тг ]
при m = 1 (N — число штрихов решетки). Итак, необходимо
потребовать выполнение равенства
Ш+ «)«(* +
Откуда
kN kL'

2.2. Дифракция света -А/» 129
а разрешающая способность решетки
2.2.10» Грампластинка. Над центром изношенной граммофонной
пластинки помещен точечный источник света на высоте hx = 1 см.
Глаз наблюдателя, расположенный на расстоянии а = 110 см от оси
пластинки и на высоте А2 = 10 см, видит, помимо геометрического
изображения источника, систему дифракционных полос на
поверхности пластинки. Определить расстояние между ними Ах, если
расстояние между бороздками d = 0,5 мм. Длина волны 0,55 мкм.
Рис. 2.50
Для начала попытаемся понять, каким образом формируется
картина дифракционных полос на поверхности пластинки. В
данном случае поверхность грампластинки является отражательной
дифракционной решеткой, в которой диафрагируют не
проходящие, а отраженные лучи. Отражательную решетку можно
представить как систему маленьких зеркал, расположенных в одной
плоскости с периодом d (рис. 2.50). Каждое маленькое зеркальце
является источником вторичной отраженной волны. Очевидно,
профиль штрихов между зеркальцами (до определенных
пределов) не имеет значения (штрихи формируют беспорядочное
диффузное отражение). Сформированное всеми зеркальцами
излучение образует главный максимум, если разность хода отраженных
лучей А = кЛ (к = 0, 1, 2, ...). Из рис. 2.50 видно, что разность хода
лучей 1 и 2 составляет А = */(sin <р0 - sin ф). Таким образом, условие
формирования главных максимумов при дифракции на
отражательной решетке имеет вид
d (sin Po - sin <pk) = кА, (к = 0, 1, 2, ...), (2.41)

130
Глава 2. Волновая оптика
где <р0 — угол падения; <рк — угол, под которым идут отраженные
лучи, образующие максимум Л-го порядка. Заметим, что, если
устремить d -> оо (отражение от «хорошего» зеркала), то <рк = <р^ т. е.
работает обычный закон отражения. При отражении от
отражательной решетки максимумы формируются под разными углами,
удовлетворяющими условию (2.41). Все это очень похоже на дифракцию
при наклонном падении в проходящих лучах на обычной
прозрачной решетке, для которой формула (2.41) также работает.
Обратимся теперь к рис. 2.51, на котором под осью х
понимается радиальное направление на поверхности грампластинки с
началом в ее центре (точка О). Пусть в точке Р с координатой х видна
светлая полоса. Эта полоса представляет максимум к-то порядка,
определяемый условием
d(sin<pl -si
(2.42)
При переходе к следующему максимуму к + 1-го порядка углы
<рх и <р2 получают небольшие приращения 8<рх и 8<р2 и тогда условие
максимума запишется в виде
С учетом малости углов 8<рх и 8<р2 данное соотношение
переходит в
(* + 1)Л. (2.43)
(2.44)
Вычитая (2.42) и (2.43), имеем

22 Дифракция света -*\* 131
Это соотношение определяет угловое перемещение максимумов.
Для определения линейного перемещения максимумов по
пластинке введем расстояние максимума от центра пластинки хх = hx tg <рх и
расстояние от максимума до основания перпендикуляра,
опущенного на пластинку из глаза Xj = h2 tg <р2 (см. рис. 2.51). Эти
расстояния связаны соотношением
хх+х2 =а -> hitg^l+h2 \%<р2 = п = const.
Дифференцируя последнее равенство, получаем
(2.45)
где любое слагаемое определяет линейное перемещение
максимумов по пластинке
cos <рх cos <р2
Из системы уравнений (2.44) и (2.45) находим
ЛЬ cos2 <px
rf^ cos q\ + /^ cosJ ^2J
Тогда расстояние между максимумами
Aj ЛЬ^ cos ^|
Sx
cos2 ^ rf(A2 cos3 q\ + Й1 cos3
Вычисления можно упростить, заметив, что углы <рх и ^2 мало
отличаются от угла падения <р0, соответствующего «правильному»
отражению света от пластинки. Заменив <рх и <р2 на <р0, находим
При этом
(см. рис. 2.51) или

132 -l\r Глава 2. Волновая оптика
Тогда окончательно
1 СМ.
Очевидно, при освещении грампластинки (или CD-диска)
естественным (белым) светом на ее поверхности наблюдаются цветные
полосы.
2.2.11. Спеклы. При когерентном освещении
случайно-неоднородных объектов с оптически грубой поверхностью, таких, например,
как шероховатая поверхность или прозрачная среда с
флуктуирующим в пространстве показателем преломления, в рассеянном поле
формируется так называемая спекл-структура. Она представляет
собой результат интерференции световых волн от различных участков
отражающей или пропускающей поверхности, от чего освещенная
поверхность кажется наблюдателю пятнистой. Оценить
минимальные размеры спеклов в поперечном и продольном сечениях.
Рис. 2.52
Рассмотрим оптическую схему наблюдения спекл-картины в поле
дифракции лазерного пучка на шероховатой поверхности (рис. 2.52).
На этом рисунке обозначено: 1 — источник света; 2 —
случайно-неоднородная поверхность; 3 — схематический ввд продольного сечения
слоя спекл-структуры. Волны, отраженные от отдельных неоднород-

2.2. Дифракция света —»Ь- 133
ностей поверхности объекта, взаимно когерентны, если радиус
пространственной когерентности р на поверхности объекта превышает
диаметр освещенной области А Это достигается уменьшением
углового размера в освещающего источника, поскольку р « Я/0, где Я —
средняя длина волны света. Кроме того, разность оптических путей любой
пары элементарных волн, приходящих в точку наблюдения Р, должна
быть меньше длины временной когерентности излучения Я2/ДЯ, где
ДЯ — ширина спектрального интервала излучения. При выполнении
этих условий элементарные волны, рассеянные отдельными
элементами излучаемой поверхности, интерферируют, и результирующая
амплитуда поля в произвольной точке Р определяется с учетом
случайных фазовых сдвигов и амплитуд каждой элементарной волны.
Для определения минимальных размеров спеклов в поперечном
сечении разобьем освещаемую поверхность объекта на пары нео-
днородностей и зафиксируем постоянное значение расстояния / до
плоскости наблюдения. Интерференция волн от этих пар неодно-
родностей, как в схеме опыта Юнга, приводит к образованию полос
с периодом Дх = Al/d, где d — расстояние между неоднородностями
(см. задачу 2.1.5). Когерентные наложения таких полос различного
периода и различной ориентации от всех пар неоднородностей и
приводят к образованию спекл-картины. Наименьший период этих
полос SL „^ соответствует неоднородностям на краях освещенной
области с расстоянием d = Д поэтому
. Я/
Для определения продольных размеров спеклов один из
элементов, на которые мы разобьем поверхность объекта, выберем
напротив точки наблюдения Р, а другой — на некотором расстоянии d от
первого, при котором разность хода волн до точки Р будет равна
(т + 1/2)Д, где т — некоторое целое число (рис. 2.53). При
сложении колебаний от данных источников в точке Р будет наблюдаться
интерференционный минимум. Из рис. 2.53 следует
Откуда при Я < / находим

134 —'\j- Глава 2 Волновая оптика
При смещении точки Р перпендикулярно освещаемой
поверхности следующий минимум появится на расстоянии / + <?N, для
которого должно выполниться условие
2
(2.47)
Рис. 2.53
Из (2.46) и (2.47) при <УЙ «с / нетрудно найти расстояние между
соседними минимумами в продольном направлении
*= d2 •
Очевидно, минимальный продольный размер спекла <?„
наблюдаться при d = D/2. Откуда
будет
°\\min "
Эта величина совпадает с расстоянием между соседними
минимумами в продольном сечении картины дифракции Френеля на
круглом отверстии диаметром D.
Из выражений для <5>х и £j следует, что спеклы, как сгустки
световой энергии, имеют вытянутую форму вдоль направления
распространения света от рассеивающего объекта (при / > D).
Рассмотренная на рис. 2.52 картина формирования спеклов в
свободном пространстве называется объемной спекл-картиной и
требует наличия лазерного излучения. С использованием
изображающих оптических систем возможно и наблюдение субъективных
спекл-картин, для которых условия когерентного освещения объек-

2.2. Дифракция света -* W» 135
та существенно менее требовательные. Одна из таких схем
приведена на рис. 2.54.
Ц
Рис. 2.54
На этом рисунке свет от источника некогерентного излучения 1
проходит через рассеивающую среду 2, а спеклы наблюдаются в
плоскости изображения оптической системы 3. Контрастная спекл-
картина формируется, если радиус когерентности освещающего
излучения на рассеивающей среде превышает диаметр апертуры
оптической системы. Субъективные спекл-картины, формируемые по
схеме рис. 2.54, хорошо видны при наблюдении уличных фонарей
через запотевшее стекло. Эту же схему можно рассматривать в
качестве модели наблюдения космических объектов через турбулентную
атмосферу Земли.
Спекл-картина несет информацию о поверхности объекта, в
частности, о ее форме и пространственном положении. Смещение или
деформация поверхности объекта влекут за собой соответствующее
пространственное перемещение объективной и субъективной спекл-
структур. Измерение этих перемещений позволяет определить
смещение самой поверхности.
2.2.12. Дифракция рентгеновского излучения.
• Узкий пучок рентгеновских лучей с длиной волны Л падает под
углом скольжения а = 60° на естественную грань монокристалла
NaCl, плотность которого р = 2,16 г/см3. При зеркальном отраже-

136
Глава 2. Волновая оптика
Id sin a = тЛ -> Л =
нии от этой грани образуется максимум второго порядка (т = 2).
Определить Л.
Для определения длины волны обратимся к формуле Вульфа—
Брэгга
2dsina
т
Видно, что все сводится к нахождению межплоскостного
расстояния d. В кристалле поваренной соли NaCl ионы Na+ и СГ
расположены в узлах кубической решетки (рис.
2.55). Ее элементарная ячейка
(многогранник, трансляциями которого может
быть без пропусков и перекрытий
заполнена вся бесконечная решетка)
представляет прямоугольный
параллелепипед со сторонами d х d х Id. Ее
объем К== 2d3. Значение этого объема
входит в выражение для плотности
Рис. 2.55
где fi = 48 г/моль — молярная масса NaCl;
число Авогадро. Тогда отсюда находим
6,02-1023 моль"1 -
2,8.1(Г10 м.
И окончательно
2- 2,8-1040 sin 60е
2,43-10"10 м.
• При прохождении узкого пучка рентгеновских лучей с
длиной волны Я = 17,8 им через поликристаллический образец, на
экране, расположенном на расстоянии /= 15 см от образца,
возникает система концентрических дифракционных колец-максимумов.
Определить радиус светлого кольца, соответствующего второму
порядку отражения от системы плоскостей с межплоскостным
расстоянием d = 155 пм.

2.3. Поляризация света —'w" 137
Происхождение дифракционных светлых колец связано со
следующим. Среди множества беспорядочно ориентированных
кристалликов найдется очень много кристалликов с такими ориентациями, что
при заданной длине волны Л будет выполнено условие Брэгга—Вуль-
фа. Лучи, испытавшие брэгговское отражение от таких
кристалликов, образуют поверхность конуса, ось которого направлена вдоль
падающего луча, а угол раствора определяется межплоскостным
расстоянием d (см. рис. 2.56, на котором показано отражение от
отдельного микрокристаллика; сам микрокристаллик изображен в виде
зеркальца). Так как эти расстояния образуют дискретный набор, то
за образцом возникает дискретное семейство конусов с общими
вершиной и осью.
Рис. 2.56
Согласно рис. 2.56 г =* /tg 2аг, где а — угол скольжения,
определяемый формулой Брэгга—Вульфа 2rfsin a = тЛ. Из этих формул
получаем
/tg
[»-(£)]■
• 3,5 см.
2.3.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
В поляризации света явно проявляется поперечность
колебаний светового вектора Е. Несмотря на то, что световые волны
поперечны, они обычно не проявляют асимметрии относительно луча.
Это обусловлено тем, что в естественном свете (т. е. свете,
испускаемом обычными источниками) совершаются колебания в самых раз-

/Т\
Луч
138 —'!/■ Глава 2. Волновая оптика
личных направлениях, перпендикулярных лучу (рис. 2.57).
Колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг
друга. Волну, в которой направление колебаний светового вектора Е
упорядочено каким-либо образом, называют поляризованной. Если
колебания вектора Е происходят только в однор плоскости
(плоскость поляризации), то это плоско — (или линейно)
поляризованный свет. Плоско поляризованный свет
можно получить из естественного с помощью
поляризаторов, которые свободно пропускают
колебания, параллельные плоскости пропускания
поляризатора {плоскость поляризатора) и полностью или
частично задерживают колебания,
перпендикулярные этой плоскости. Поляризатор, задерживающий
перпендикулярные к его плоскости колебания
только частично, называют несовершенным.
Если вектор Е поворачивается вокруг луча, периодически
изменяясь по модулю, то это эллиптически поляризованный свет. При этом
если смотреть вдоль луча, конец вектора Е описывает эллипс (если
эллипс вырождается в окружность, то это свет, поляризованный по
кругу). Эллиптическая поляризация является наиболее общим
типом поляризации, переходящим при определенных условиях в
линейную и круговую поляризации. В зависимости от направления
вращения вектора Е различают правую и левую эллиптическую
поляризацию. Если смотреть навстречу распространению волны и
вектор Е при этом поворачивается по часовой стрелке, то это правая
поляризация, в противном случае — левая.
VI/
Рис. 2.57
Естественный
свет
Поляризованный
свет
Рис. 2.58
Поляризованный
свет
Одна из главных идей, помогающих понять распространение
поляризованного света, заключается в следующем. Волну с
эллиптической поляризацией всегда можно разложить на две распространяющие-

2.3. Поляризация света —'w- 139
ся в одном направлении когерентные плоско-поляризованные волны с
взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. Естественный
же свет можно представить как наложение двух некогерентных
плоско-поляризованных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями
поляризации (рис. 2.S8). Справедливо и обратное утверждение.
Данное представление значительно упрощает анализ многих вопросов.
Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. Пусть в
направлении оси z распространяется световая волна с произвольной
поляризацией. Данную волну можно представить в виде двух
линейно поляризованных волн, плоскости колебаний которых взаимно
перпендикулярны
JSJ, = Е^ cos {cot - kz); EL = Eo± cos (cot -kz + S).
Здесь значок «||» относится к некоторой выделенной плоскости,
проходящей через луч, а значок «1» — к перпендикулярной ей
плоскости; 2L и Ео — амплитуды колебаний в рассматриваемых
взаимно перпендикулярных плоскостях; 5 — сдвиг фазы колебаний. Если
8=/(/), то волны некогерентные и при их сложении получаем
естественный свет. Если S = const, то в общем случае мы имеем дело с
эллиптически поляризованной волной. Значения JL и Ео связаны с
интенсивностью волны
где п — показатель преломления среды;
Помимо плоско-поляризованного и естественного света
существует и частично-поляризованный свет, который можно представить
в виде наложения двух разных по интенсивности некогерентных
плоско-поляризованных волн с взаимно перпендикулярными
плоскостям поляризации. Если пропустить частично поляризованный свет
через поляризатор, то при вращении поляризатора вокруг
направления луча интенсивность прошедшего света изменяется в пределах от
4шхдо ^min> примем переход от одного значения к другому
совершается дважды за период. Данный свет можно также рассматривать
как смесь естественного и поляризованного света (рис. 2.59).

140
Глава 2. Волновая оптика
Частично поляризованный
свет
Естественный
свет
Поляризованный
свет
Рис. 2.59
Частично поляризованный свет характеризуют степенью
поляризации
» max "~ min
'min
Здесь /пол — интенсивность поляризованной составляющей; /0 —
полная интенсивность частично-поляризованного света, которую
можно представить как /0
. Для плоско-поляризованного
0 ^ Ш
света /пал = /0, значит, степень поляризации Р = 1, для
естественного света /пол = 0 и тогда Р =* 0. Для эллиптически поляризованного
света понятие степень поляризации не применимо.
При падении линейно-поляризованного света с амплитудой
колебаний Е на границу раздела двух прозрачных диэлектриков с
показателями преломления пх и п2 возникают две волны: отраженная с
амплитудой Е' и преломленная с амплитудой Е". Для них
существуют так называемые формулы Френеля
Е[ _ щ cosa - «2 cos/? E^ _ /^cosar-^cosyg u
Е ' £j cos/3'
. Щ
(2.48)
cos a
cos a
n2cosa-¥nl cos/5'
Эти соотношения вытекают из граничных условий,
накладываемых на векторы напряженности электрического поля Е и
магнитного Я В них значок «1» относится к составляющей,
перпендикулярной плоскости падения, а значок «||» — к составляющей, параллель-

2.3. Поляризация света —' W 141
ной плоскости падения, а — угол падения, /3 — угол преломления.
При а = Р = 0 (нормальное падение) формулы (2.48) переходят в
формулы (2.2) и (2.3) и исчезает разница между волнами,
поляризованными в плоскости падения и перпендикулярной к ней. С
использованием закона преломления
sincr rw
соотношения (2.48) приобретают вид
E" _ 2cosorsin/?< Щ_ 2cosa$in)g
EL " sin(a + >5) ' JEj, " $in(a + J3)cos(a -/В)'
Данные соотношения позволяют определить коэффициент
отражения линейно-поляризованного света, плоскость поляризации
которого перпендикулярна плоскости падения — pL и
параллельна ей — ру
(2.50)
Из этих формул ввдно, что при падении под углом Брюстера я?Бр, для
которого выполняется условие tg a^ = njnx (при этом сс^* Р~ л/2),
коэффициент отражения р^ - 0, т. е. отраженный свет будет
полностью линейно-поляризованным в плоскости, перпендикулярной
плоскости падения (закон Брюстера).
Коэффициент отражения при нормальном падении света R
называют отражательной способностью и при пх = 1, п2 = п его
значение с учетом формул (2.48) составляет
«-ИТ-

142 -* Ь- Глава 2. Волновая оптика
В этом случае коэффициент пропускания света
При прохождении плоско-поляризованного света с
интенсивностью /0 через поляризатор выполняется закон Малюса
I = /0 cos2 <р,
где / — интенсивность света, выходящего из поляризатора,
плоскость пропускания которого составляет угол <р с плоскостью
колебаний падающего света. Если же на поляризатор падает естественный
свет с интенсивностью /0, то из поляризатора выходит свет с
интенсивностью / = /q/2 (это сразу следует из того, что естественный свет
представляет собой наложение двух некогерентных
плоско-поляризованных волн одинаковой интенсивности с взаимно
перпендикулярными плоскостями поляризации).
При прохождении света через прозрачные оптически
неизотропные кристаллы наблюдается двойное лучепреломление. Внутри
кристалла свет делится на две линейно-поляризованные волны,
распространяющиеся в общем случае с разными скоростями и в разных
направлениях. Одна волна обыкновенная (о) поляризована
перпендикулярно плоскости падения и имеет показатель преломления п0.
Для нее выполняется закон преломления. Другая волна —
необыкновенная (е) поляризована в плоскости падения, имеет показатель
преломления пе и для нее может не выполняться закон
преломления. Направление, вдоль которого обе волны распространяются с
одинаковыми скоростями, — оптическая ось кристалла. Такое
поведение характерно для так называемых одноосных кристаллов. В
двухосных кристаллах обе волны необыкновенные.
Наибольший практический интерес представляет
распространение света перпендикулярно оптической оси. При этом условии нет
пространственного разделения обыкновенной и необыкновенной
волн, но на пути Л возникает разность фаз
Если на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно
оптической оси, падает нормально плоско-поляризованный свет,

2.3. Поляризация света
\
143
плоскость поляризации которого составляет угол 45° с оптической
осью, то на выходе из пластинки появляется в общем случае
эллиптически поляризованный свет. Связано это с тем, что эллиптически
поляризованный свет всегда можно представить как сумму двух
взаимно перпендикулярных колебаний. Вид и ориентация эллипса
зависят от амплитуд обыкновенной и необыкновенной волн и их
разности фаз 8.
Для наблюдения интерференции поляризованных волн,
вышедших из кристаллической пластинки, используется схема,
представленная на рис. 2.60. На нем обозначено: S — обычный источник
света; Р — поляризатор; К— кристаллическая пластинка; Р' —
анализатор (второй поляризатор). Если источник S — лазер, то
поляризатор Р не нужен. Угол между плоскостью пропускания
поляризатора (плоскость колебаний прошедшего через него света) и оптичесг
кой осью пластинки 00' обычно составляет 45е (это необходимо
для наблюдения наиболее отчетливой картины интерференции).
Если угол между плоскостями пропускания Р и Р' равен нулю,
то из системы выходит свет с интенсивностью
где S — разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей,
прошедших кристаллическую пластинку; / — интенсивность падаю-

144 -JU Глава 2. Волновая оптика
щего на кристаллическую пластинку поляризованного света. Если
угол между плоскостями пропускания Рк Р' равен я/2 (скрещенные
поляризаторы), то из системы выходит свет с интенсивностью
(заметим, что интенсивности 1[ и /„' в сумме дают интенсивность
падающего света /).
Оптическую анизотропию можно вызвать и искусственным
путем. Мерой анизотропии служит разность показателей преломления
обыкновенного и необыкновенного лучей п0 - пе. Например, при
одностороннем сжатии (растяжении)
по-пе= kcr,
где <т— механическое напряжение, коэффициент к зависит от свойств
вещества. Для анизотропии, вызванной внешним электрическим
полем с напряженностью Е,
где В — постоянная Керра.
При пропускании линейно-поляризованного света через
оптически активные вещества происходит поворот плоскости
поляризации на угол
где / — толщина оптически активного слоя; а — постоянная
вращения. При изменении направления движения света угол поворота
изменяет знак. Для растворов оптически активных веществ
а = [а]с9
где [а] — удельная постоянная вращения; с — концентрация
оптически активного вещества.
Способностью поворачивать плоскость поляризации обладают и
оптически неактивные вещества, находящиеся во внешнем
магнитном поле с напряженностью Н (эффект Фарадея). При этом угол
поворота плоскости поляризации
<р = VIE,
где К— постоянная Верде. Направление вращения зависит только от
направления магнитного поля и не зависит от направления света.

2,3. Поляризация света —' w- 145
2.3» 1. Характер поляризации. Какой характер поляризации имеет
электромагнитная волна, проекции вектора Е которой на оси х и у,
перпендикулярные направлению ее распространения,
определяются уравнениями:
1) Ех = Ео cos(a)t - kz), Еу = Ео cosf cot - kz + у j;
2) Ех я £"0 cos(fi>/ - fe), £,, я Ео cos(cot -kz + я);
3) Ех = E0cos(a)t-kz), Еу = Ео coslcot-kz + — J.
Здесь волновой вектор Л направлен вдоль оси г правой системы
координат.
Для определения вида поляризации необходимо получить
уравнение линии, по которой движется конец вектора Е в плоскости хну.
Для первого варианта, очевидно
(2.51)
так как
Еу
sla)t-kz + — \ = -
Уравнение (2.S1) является уравнением окружности с радиусом
Ео и центром в начале координат. Это означает, что свет
поляризован по кругу (рис. 2.61, а), причем вектор Е вращается по часовой
стрелке (ось z направлена из чертежа). В этом легко убедиться, если
положить аргумент cot - kz равным нулю (Ех - Е, Еу- 0), а затем
немного увеличить время. При этом Ех убывает, а Еу становится
отрицательным.
'"А.
/ x
б
Рис. 2.61

\
146 —i\r Глава 2. Волновая оптика
Во втором случае имеем Ех = —Еу, а это означает, что колебания
вектора Е в плоскости х, у происходят вдоль прямой линии у = -х
(рис. 2.61, б). Значит, мы имеем дело с плоско поляризованной волной.
Несколько сложнее дело обстоит с третьим вариантом. Запишем
выражение для Еу в виде
Данное уравнение нетрудно переписать
Это, как следует из аналитической геометрии, есть уравнение
эллипса, повернутого относительно осей х, у на угол 45°, причем
большая полуось эллипса равна
а малая полуось —
(рис. 2.61, в). Значит, мы имеем дело с эллиптической
поляризацией. Нетрудно убедиться, как и в первом случае, вращение вектора Е
происходит по часовой стрелке.
Если в качестве взаимно перпендикулярных плоскостей,
обозначенных индексами (||, 1), выбрать направления полуосей эллипса
(т. е. повернуть эллипс на угол 45°), то уравнения складываемых
волн будут выглядеть несколько иначе
- kz)\ Е± = Ео±
где

2.3. Поляризация света —' w- 147
причем Eq + E$l = 2E$. Последнее соотношение означает, что, как
и следовало ожидать, интенсивность результирующей волны не
зависит от способа ее представления.
2.3.2. Анализ поляризованного света. Как отличить естественный
свет от света, поляризованного по кругу, и от смеси естественного
света со светом, поляризованным по кругу?
Известно, что в линейной поляризации света легко убедиться с
помощью поляризатора, способного давать полностью линейно
поляризованный свет (всякий такой поляризатор в дальнейшем будем
называть николем). При вращении николя вокруг направления луча
интенсивность проходящего света будет изменяться, и если при
некотором положении николя свет полностью гасится, то свет
линейно поляризован.
Если падающий свет естественный или поляризованный по
кругу, то интенсивность проходящего света не будет изменяться. Для
отличия одного случая от другого необходимо перед николем
поставить так называемую пластинку в четверть волны. Это
кристаллическая пластинка, вырезанная из одноосного кристалла (например,
кварца) параллельно его оптической оси, и ее толщина такова, что
дополнительная разность хода между обыкновенным и
необыкновенным лучами равна Я/4. При этом разность фаз между лучами
составляет я/2. Если исходный свет был поляризован по кругу, то
разность фаз между любыми двумя взаимно перпендикулярными
колебаниями равна ±я/2. Наличие кристаллической пластинки в
четверть волны внесет дополнительную разность фаз ±я/2,
результирующая разность фаз будет нуль или л и свет станет линейно
поляризованным. А его можно полностью погасить поворотом николя. Если
падающий свет естественный, то он останется таковым и после
прохождения пластинки Я/4 и никакого гашения света при повороте
николя не будет. Если же интенсивность меняется, но не падает до
нуля — это частично поляризованный по кругу свет (или смесь
естественного и поляризованного по кругу).
Допустим, что падающая волна поляризована эллиптически. Если
поставить николь, то при его вращении интенсивность проходящего
света в двух положениях (отличающихся друг от друга на 180°) будет
максимальна, а в перпендикулярных к ним положениях
минимальна. Эти положения определят направления главных осей эллипса
колебаний. После этого на пути падающего света поставим плас-

148 —»\л Глава 2. Волновая оптика
тинку Я/4, оптическая ось которой ориентирована параллельно
одной из главных осей эллипса. Тогда после прохождения через
пластинку свет станет поляризован линейно и может быть погашен
поворотом николя.
Теперь нетрудно сообразить, как поступить, чтобы отличить друг
от друга:
1) эллиптически поляризованный свет;
2) смесь естественного света с линейно поляризованным светом
(отчасти линейно поляризованный свет);
3) смесь естественного света с эллиптически поляризованным
(отчасти эллиптически поляризованный свет).
Необходимо поместить на пути света пластинку Я/4, а за ней
николь. Если вращением пластинки вокруг луча можно найти такое
положение, при котором свет, прошедший через нее, можно
погасить последующим вращением николя, то падающий свет был
эллиптически поляризован. Если это сделать не удается, то мы имеем
дело либо со смесью естественного света с линейно
поляризованным, либо со смесью естественного света с эллиптически
поляризованным. Чтобы отличить друг от друга эти два последних случая, на
пути света ставят сначала один николь и устанавливают его на
минимум интенсивности проходящего света. Затем перед николем
помещают пластинку в четверть волны. Вращением пластинки и
николя снова добиваются минимума интенсивности. Если этот
минимум получает при прежнем положении николя (или поворотом его
на 180°), то мы имеем смесь естественного света с линейно
поляризованным. Если же для получения минимума требуется повернуть
николь на некоторый угол, — то это смесь естественного света с
эллиптически поляризованным.
2.3.3. Соприкасающиеся поляроиды.
Плоская световая монохроматическая
волна с интенсивностью /0 падает
нормально на систему из двух
соприкасающихся поляроидных полуплоскостей
• • • %\ (рис. 2.62). Плоскости пропускания
' поляроидов взаимно перпендикулярны.
Какова интенсивность света в точке Р,
расположенной в плоскости, перпен-
1 р дикулярной поляроидам и проходящей
Рис. 2.62 через границу их раздела, если свет:
)

2.3. Поляризация света —'\у 149
1) естественный;
2) поляризован по кругу;
3) линейно поляризован в плоскости, составляющей угол ср с
плоскостью пропускания одного из поляроидов? Считать, что в
поляроидах нет поглощения света разрешенной поляризации.
Вспомним, что при любом типе поляризации света его можно
представить как наложение двух поляризованных во взаимно
перпендикулярных плоскостях волн с некоторой разностью фаз S. Если
эта разность фаз зависит от времени, то мы имеем дело с
естественным светом. Если S = ±я/2, то это свет, поляризованный по кругу.
Если S = О или /г, то это линейно поляризованный свет. Поэтому
представим колебания в падающей на поляроиды волне в виде
£0|| = EQ cos cot; Eo± = EQ cos (cot + S), (2.52)
где значок «||» относится к составляющей, параллельной плоскости
пропускания одного из поляроидов, а значок «1» — к
составляющей, ей перпендикулярной; Ео — максимальное значение
напряженности электрического поля в каждой из поляризованных волн.
Для величин Ео, /0 существует связь
/0 * х {El cos2 cot) + x {El cos2 (cot + 6)):
Так как среднее от квадрата косинуса в любом случае равно 1/2, то
h=xEl (2.53)
(напомним, что коэффициент х = VfoM) )•
Каждый поляроид пропускает только одну из составляющих в
выражении (2.52) и если бы поляроид был бесконечным, то поле за
ним в точке Р было бы равно либо К, либо Ео. Но так как
поляроиды полубесконечны и точка Р находится какхраз под границей их
раздела, то в данную точку приходит только половина того и другого
колебания. Таким образом, электрическое поле в точке Р имеет вид
Е
y E± = -^-cosfo/ + S).
Тогда для интенсивности света в данной точке получаем
X (Щ)
cot) + (cos2

150 ~J\r Глава 2. Волновая оптика
или, с учетом (2.53),
'4-
Если падающий свет линейно поляризован, то его можно
представить в виде
Ео = Ео cos <р cos cot; EOi = Ео sin q> cos cot.
Тогда свет, прошедший поляроиды, имеет составляющие
£,! = Ео cos q> cos cot; E± = Eo sin p cos <yf
и для интенсивности получаем прежний результат независимо от
угла <р и типа поляризации
2.3.4* Зоны Френеля и поляризаторы. Плоская
монохроматическая волна естественного света с интенсивностью /0 падает
нормально на круглое отверстие, которое представляет собой первую зону
Френеля для точки наблюдения Р. Найти интенсивность света в точке
Р, если отверстие перекрыть двумя одинаковыми поляризаторами,
плоскости пропускания которых взаимно перпендикулярны, а
граница раздела проходит:
1) по диаметру отверстия;
2) по окружности, ограничивающей первую половину зоны
Френеля.
Если граница раздела проходит по диаметру отверстия, то мы
можем воспользоваться результатом предыдущей задачи. При этом
нужно только учесть, что амплитуда колебаний Е от первой зоны
Френеля в два раза превышает амплитуду колебаний от всего
фронта волны Ео
Е = 2Е0.
Таким образом, интенсивность света в точке Р будет в четыре
раза больше, чем от всего фронта волны (она в соответствие с
предыдущей задачей равна /q/4)

13. Поляризация света
151
Пусть теперь граница раздела поляризаторов проходит по
окружности, ограничивающей первую половину зоны Френеля.
Представим колебания в падающей волне, как и в предыдущей задаче, в виде
£0|| = Ео cos cot; Ео± = Ео cos (cot + S),
(2.54)
где значок «||» относится к составляющей, параллельной плоскости
пропускания одного из поляроидов, а значок «1» — к
составляющей, ей перпендикулярной; Ео — максимальное значение
напряженности электрического поля в каждой из поляризованных волн.
Ее значение связано с интенсивностью падающей волны /0
cos2 cot
cos2 (cot + S))
Если вспомнить принцип построения
результирующего колебания от первой зоны Френеля
(см., например, задачу 2.2.1), то амплитуда коле-
баний от каждой половины первой зоны Френе-
ля равна (рис. 2.63)
" V2
Так как каждый поляризатор пропускает
только одну из составляющих в выражении (2.S4), то
для интенсивности света в точке Р получаем
Рис. 2.63
/ = х (Я* cos2 cot) + x (El cos2 (cot + 8)) =
[(cos2 cot) + (cos2 (cot + S))] = 2XEl = 2/0.
Заметим, что полученные результаты будут справедливы и для
волны, поляризованной по кругу.
Изменим несколько постановку задачи. Пусть теперь плоская
поляризованная по кругу монохроматическая волна с длиной Л и
интенсивностью /0 падает на диск, вырезанный из идеального
поляроида с показателем преломления п. Диск закрывает для некоторой
точки Р одну зону Френеля. Какова должна быть толщина диска d,
чтобы интенсивность света в точке Р была максимальной? Найти
эту интенсивность.

152 -J\* Глава 2. Волновая оптика
Наличие поляроидного диска с показателем преломления п
внесет дополнительную разность фаз только в ту часть фронта волны,
которая находится в пределах первой зоны Френеля. Вспомним
теперь, что колебание от первой зоны Френеля отличается по фазе от
колебаний всех остальных зон на я. Теперь становится понятным,
что для получения максимальной интенсивности поляроидный диск
должен внести именно эту разность фаз, а точнее
Значение этой разности фаз определяет дополнительную
разность хода лучей, прошедших поляроидный диск
д - Дд?-— = (п - \)d.
2п
Таким образом, толщина диска должна быть равна
j (2т + 1) Л ж л 1 л
-г-"» Iff e U, 1, Z, ... .
Ну, а какова будет интенсивность в точке Р? Для этого
обратимся к рис. 2.64, а, на котором отображены максимальные значения
векторов колебаний в падающей волне от первой зоны Френеля с
амплитудой 2Е0 и всех остальных зон с амплитудой Ео (эти
значения достигаются в разное время, так как взаимно
перпендикулярные составляющие этих волн имеют вид Еcos cot n Ecos (cot + S)9
где S = я/2 — разность фаз). После прохождения диска фаза волны,
прошедшей поляроид, изменяется на обратную и исчезает одна из
ее составляющих, перпендикулярная плоскости пропускания
поляроида (рис. 2.64, б).
Рис. 2.64

2.3. Поляризация света -* \f 153
Тогда для интенсивности волны в точке Р имеем
7 = z(9Eo cos2 cot) + z{El cos2 tor + 8))
Так как интенсивность падающей волны с напряженностью Ео>
поляризованной по кругу, составляет 70 = х^1 (это в 2 раза
больше, чем для неполяризованной волны той же напряженности), то
7=570.
Заметим, что если бы поляроид изменил только фазу волны без
отсечения одной из ее составляющих, то интенсивность
увеличилась бы в 9 раз.
2.3.5. Несовершенные поляризаторы. На пути естественного
пучка света поместили два несовершенных поляризатора. Оказалось,
что при параллельных плоскостях пропускания поляризаторов эта
система пропускает в rj раз больше света, чем при скрещенных
поляризаторах. Найти степень поляризации Ро каждого поляризатора
в отдельности и всей системы Рсист при параллельных плоскостях
пропускания поляризаторов.
Естественный свет, прошедший несовершенный поляризатор,
является частично поляризованным, так как в нем присутствуют
разные по интенсивности плоско поляризованные во взаимно
перпендикулярных плоскостях волны. Интенсивность волны,
поляризованной в плоскости пропускания поляризатора — /ш, в плоскости,
перпендикулярной плоскости поляризатора — 7^. Если /^ = О,
то это совершенный поляризатор, если Itt^n = 7^, то данное
устройство не является поляризатором. По определению степень
поляризации Р рассчитывается как
р _ max "~ ''min
Если на несовершенный поляризатор направить свет,
поляризованный в плоскости пропускания с интенсивностью 7, то из него
выйдет свет с интенсивностью 7„ = аг,|7; если же направить свет,
поляризованный перпендикулярно плоскости пропускания с
интенсивностью 7, то из него выйдет свет с интенсивностью 7Х = aj (для
совершенного поляризатора коэффициенты а* = 1, а± = 0). Тогда с

154 ~*\г Глава 2. Волновая оптика
использованием коэффициентов агц и aL степень поляризации
одиночного поляризатора можно записать в виде
а для системы двух поляризаторов при параллельных плоскостях
пропускания
Данные выражения можно упростить, если рвести обозначение
ее = ccJcc^
(2.55)
ОГ + 1
~2~{. (2.56)
Значение а можно найти из следующих соображений.
Направим на систему двух несовершенных поляризаторов естественный
свет, который можно представить в виде двух взаимно
перпендикулярных волн с интенсивностью /. Тогда, очевидно, при
параллельных плоскостях пропускания поляризаторов из системы выйдет свет
с интенсивностью
(2.57)
а при скрещенных поляризаторах
I± = a^aj + а±а]{19 (2.58)
причем по условию
£-*. (2.59)
Из системы уравнений (2.57)—(2.59) нетрудно получить
уравнение для определения коэффициента а
(2.60)

2.3. Поляризация света ~"\г
Если возвести в квадрат соотношение (2.55), то получаем
155
Значения {а - 1) и {а + 1) можно найти из (2.60), преобразуя
данное уравнение к полному квадрату. Тогда
Выражая а из соотношения (2.55)
«7 +
и подставляя полученное выражение в (2.56), находим
2.3,6. Стопа Столетова. Узкий пучок естественного света падает
под углом Брюстера на стопу Столетова, состоящую из N толстых
стеклянных пластин. Найти степень поляризации прошедшего пучка.
Понятно, что нам необходимо, прежде всего, понять, что
происходит после прохождения одной пластины, а затем мы сможем
обобщить результат и на произвольное
число пластин. На рис. 2.65
отображен ход лучей при
прохождении света через одну пластину и
характер поляризации всех лучей
(стрелками показано направление
колебаний вектора Е в плоскости
падения, точками —
перпендикулярно ей). Нетрудно сообразить,
что если угол падения а для
верхней поверхности пластины
является углом Брюстера, то и угол /?
для нижней поверхности также
будет углом Брюстера, для кото- Рис. 2.65

156 -*\г Глава 2. Волновая оптика
рого выполняется равенство ягБр + J3 = я/2. Это сразу следует из
закона преломления sin ar/sin /0 = л и закона Брюстера tg ягБр = я.
Пусть напряженность электрического поля в падающей волне —
Е9 в волне, прошедшей первую границу (верхняя поверхность
пластины) — Ev а в волне, прошедшей вторую границу (нижняя
поверхность пластины) — Е2. По определению степень поляризации
р _
max "~ min
Anax + ^mln
где за 1пп можно принять интенсивность составляющей волны,
параллельной плоскости падения /,, а за /^ — интенсивность
составляющей, перпендикулярной плоскости падения. И так как
интенсивность волны пропорциональна квадрату напряженности, то
\2
р2
х- ч~"' (2.61)
(символами «||» и «1» обозначены составляющие поля, параллельные
плоскости падения и перпендикулярные ей). Таким образом, степень
поляризации волны, прошедшей первую границу составляет
(2.62)
а)"
где значения Е{ и Е{ определяются формулами Френеля (2.49),
приведенными во введении в данный раздел. В соответствии с ними
„ г 2 cos a sin /31 „ „ 2 cos a sin /5
Так как падающий свет является естественным, то для него EL = fj.
Кроме того, при а = ягБр значение

2.3. Поляризация света —»\^ 157
С учетом этих замечаний
-^-cos(or-£), (263)
что дает
р l-cos2(a-0)
После несложных тригонометрических преобразований с учетом
закона преломления (sin a/sin JS = л) и закона Брюстера (tg аБр = п)
находим
cos(a-/?) = -^y = /. (2.64)
Таким образом, для Рх имеем
(2.65)
1-v2
где ^определяется равенством (2.64).
Перейдем теперь ко второй границе, на которую свет падает под
углом Брюстера для данной границы. Степень поляризации света Р2
после прохождения данной границы в соответствии с (2.61)
■ч*г
а отношение Е2 /JE» в силу формул Френеля связано с отношением
или с учетом (2.63)
-Ь-ш cos2 («-/?) = у2.
Е\

158
Глава 2. Волновая оптика
Тогда для Р2 получаем
(2.66)
Из сравнения выражений (2.65) и (2.66) легко увидеть, что после
прохождения л-й границы степень поляризации станет равной
Так как стопа Столетова из W пластин содержит п = 2N границ,
то степень поляризации прошедшего света составляет
и с ростом числа пластин возрастает (правда при этом уменьшается
интенсивность прошедшего света за счет отражений и при большом
числе пластин из стопы выйдет только половина падающего света).
На рис. 2.66 приведена диаграмма зависимости P(N).
0,8
0,6
0,4
0,2
D
4 6
Рис 2.66
10
N
2.3.7. Поляризатор с поглощением. При падении естественного
света на некоторый поляризатор проходит Т]Х = ЗО% светового пото-

2.3. Поляризация света —'\г 159
ка, а через два таких поляризатора — tj2 = 13,5 %. Найти угол ^
между плоскостями пропускания этих поляризаторов.
Из условия задачи сразу следует вывод о том, что каждый
поляризатор не только Поляризует свет, но и часть его поглощает (если
бы не было поглощения из поляризатора вышло бы ровно половина
светового потока естественного света). Обозначим коэффициент
поглощения (долю поглощенного света) через к. Тогда из первого
поляризатора при йадении на него естественного света
интенсивностью /0 выйдет свет с интенсивностью
Из второго поляризатора выйдет свет с интенсивностью
/2 = /t (1 - ifcW <р = 1(1 - к)2 /0 cos2 <р.
По условию задачи нам задано
h h
Из этих уравнений, исключая коэффициент поглощения, находим
cos2 <p = \^q> = arccosf
2.3.8. Поляризатор и частично поляризованный свет. Частично
линейно поляризованный свет рассматривается через николь. При
повороте николя на 60° от положения, соответствующего
максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в два раза. Найти степень
поляризации падающего света.
Степень поляризации по определению можно представить как
Р- г 1полг , (2.67)
где /пол — интенсивность поляризованной составляющей; /^ —
интенсивность естестЁенной (неполяризованной) составляющей. При

160 -* Ь- Глава 2 Волновая оптика
первом положении николя, соответствующем максимальной
яркости пучка, через него проходит вся поляризованная составляющая и
половина неполяризованной составляющей, т. е. интенсивность
прошедшего света составит
При повороте николя на 60° относительно первого положения
интенсивность света составит
/2=/n<WIcos26<r+ij
По условию /2 = /j/2, т. е.
1/пая +!/.„.
Откуда находим /пол = /^ и тогда в соответствии с формулой (2.67)
ч-
2.3.9. Система из трех поляризаторов. Два николя Nx и N2
повернуты один относительно другого на угол а. Между ними помещен
третий николь Ny На систему падает параллельный пучок неполя-
ризованного света интенсивностью /0. Предполагая, что
необыкновенный луч проходит через каждый николь без потерь, найти
ориентацию николя N3 относительно первого, при которой
интенсивность проходящего света максимальна, и найти эту интенсивность.
Обозначим угол, на который нужно повернуть николь N3
относительно николя JVj, как /3 (рис. 2.67). Тогда интенсивность света,
прошедшего эту систему, в соответствии с законом
Малюса составит
fi/
I = l-I0cos2/3cos2(a-/3).
Найдем максимум этой функции угла Д
Нетрудно убедиться, что это произойдет при условии
Рис. 2.67

2.3. Поляризация света
161
Поэтому возможны два решения
-т- и интенсивность / = -/0 cos4 ~;
/? = —-— и интенсивность / = -Io sin4 —.
Поместим теперь между николями Nx и N2 вместо николя N3
пластинку из одноосного кристалла, вырезанную параллельно
оптической оси и вносящую разность хода Я/2 между обыкновенным и
необыкновенным лучами. Какой угол /В должна составлять
оптическая ось пластинки с направлением пропускания первого николя,
чтобы свет не прошел эту систему?
После прохождения первого николя свет станет линейно
поляризован и при любом положении второго николя (кроме угла в 90°)
из системы выйдет свет. Для того чтобы свет не вышел, необходимо
повернуть плоскость колебаний света, прошедшего первый николь
так, чтобы она стала перпендикулярной плоскости пропускания
второго николя. Эту задачу и должна выполнить кристаллическая
пластинка в полволны. Ее толщина h должна удовлетворять условию
М \ И» 1 О €
по ~пе)~ "*Т» Л» = 1, J, J, ... .
2
На выходе из такой пластинки между обыкновенной и
необыкновенной волнами возникает разность фаз S = л (точнее тя). Это
значит, что свет, вышедший из нее, остается линейно
поляризованным, однако, направление колебаний вектора Е повернется на угол,
в два раза превышающий угол между плоскостью поляризации
падающего света и главным сечением пластинки 00', симметрично
главному сечению (рис. 2.68, а).
Рис* 2.68

162 —ш\т Глава 2. Волновая оптика
Обратимся теперь к рис. 2.68, б. На нем обозначено: Nx —
направление пропускания первого николя, N2 — второго, направление АВ
перпендикулярно Nv а пунктирными линиями обозначено
положение главного сечения пластинки. Очевидно, для поворота
плоскости колебаний из положения N{ в положение АВ 1 N2 необходимо,
чтобы главное сечение пластинки было ориентировано по
биссектрисе угла AONX или угла N{OB, ему дополнительного до п. Это дает
Л К п\ а п
п\ а
)
2.3.10. Кристаллическая пластинка и анализатор.
Монохроматический поляризованный по кругу свет с интенсивностью /0 падает
нормально на кристаллическую пластинку, вырезанную
параллельно оптической оси и вносящую разность фаз S между
обыкновенным и необыкновенным лучами. За пластинкой находится
поляризатор, плоскость пропускания которого составляет угол <рс
оптической осью пластинки. Найти интенсивность света за анализатором.
Мы знаем, что свет, поляризованный по кругу, можно
представить как две линейно поляризованные волны с взаимно
перпендикулярными плоскостями колебаний
Ех = я cos art; Ey = asmcot, (2.68)
суммарная интенсивность которых
a69)
Заметим, что выражение (2.68) описывает левополяризованный свет.
После прохождения через кристаллическую пластинку,
сообщающую разность фаз <?, уравнения колебаний принимают вид
Ех =acoso)t; Ey = д sin (#/ + £).
Примем направление оптической оси кристаллической пластинки
за ось х. Тогда после прохождения анализатора, плоскость пропус-

2J. Поляризация света -J\j- 163
кания которого 00' составляет угол <р с оптической осью пластинки
(рис. 2.69), выйдет результирующее колебание
Е - IJ^cos^ + i^sin^ = acoswtco$<p + asmiwt + 8)sm<p.
Его интенсивность
= х°2 (cos2 cot cos2 <p + 2cos0?sin0>cosfitf sin W + <У) + sin2 psin2 {cot + £)),
что после усреднения дает
Учитывая (2.69), получаем
окончательно
!
I = ~ /0 (1 + sin 2p sin S). (2.70)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. б= я/2, <р == я/4. В этом случае после прохождения кругополя-
ризованного света он становится линейно поляризованным и так
как его плоскость колебаний совпадает с плоскостью пропускания
анализатора, то он должен весь пройти через систему. В
соответствии с (2.70) / = /0, что и ожидалось.
2. S = я: В данном случае после прохождения кристаллической
пластинки свет останется поляризованным по кругу, но сменится
направление вращения вектора Е и при любой ориентации
анализатора через него должна пройти только половина падающего света.
Именно это и следует из (2.70).
2.3.11. Интерференция поляризованного света. Между двумя
скрещенными николями помещена кристаллическая пластинка
толщиной h = 0,045 мм с показателями преломления пе = 1,55, п0 = 1,54.
Пластинка вырезана параллельно оптической оси кристалла и
ориентирована так, что направление пропускания первого николя
составляет угол (р = 30е с ее оптической осью. На систему нормально
падает естественный свет с длиной волны Л = 600 нм и
интенсивностью /0. Найти интенсивность света, прошедшего через систему.

164 —'%/• Глава 2, Волновая оптика
В данной задаче используется классическая схема наблюдения
интерференции поляризованного света (см. рис. 2.60) с тем
отличием, что угол <р между плоскостью пропускания поляризатора
(первого николя) и оптической осью
кристаллической пластинки не равен 45°. Примем
главные направления кристаллической
пластинки за координатные оси х, у (рис. 2.70).
Направления пропускания поляризатора и
анализатора обозначим символами Р и А
(угол между ними равен я/2). Пусть ампли-
Рис. 2.70 туда света> вышедшего из поляризатора,
равна а. Эта плоско поляризованная волна
разделяется на обыкновенную и
необыкновенную волны с амплитудами колебаний вдоль оси х — a cos <p и вдоль
оси у — asm (р. Причем между этими колебаниями появится
разность фаз
8 h{nn)
Из этих колебаний анализатор пропустит колебания с
амплитудами
-acospsinip;
При сложении этих колебаний с разность фаз 8 получается
колебание с амплитудой А, определяемой соотношением
А1 = а\ + а! + 2^02 cos<? = (ах + c^f - ^\<h. ^ т
или после подстановки значений а{ и а2
Л2 = a2 sin2 2? sin21.
Нам осталось только связать амплитуды а и А с интенсивностью
падающего неполяризованного света /0 и интенсивностью
поляризованного света /, вышедшего из системы. Так как поляризатор (пер-

2.3. Поляризация света —*\г 165
вый николь) пропускает только половину естественного света с
интенсивностью /0, то
1 2
2^ '
где
(второй множитель 1/2 появился из-за усреднения (cos2 cot)).
Интенсивность же поляризованного света, вышедшего из системы
/ = (1/2)% А2. Отсюда следует
1 .2 2 S
2 ° 2
и так как
х-2пи( \ 3
то /»0,19/0.
2.3.12. Вращение плоскости поляризации. Узкий пучок плоско
поляризованного света проходит, двукратно отражаясь, через
правовращающее положительное
вещество, находящееся в продольном маг- и
нитном поле с напряженностью Н
(рис. 2.71). На какой угол
повернется плоскость поляризации
вышедшего пучка, если длина трубки
с веществом равна /, его постоянная рис-2-71
вращения а, постоянная Верде К
Оптически активное вещество является правовращающим, если
вращение плоскости поляризации света происходит по часовой стрел-
ке, если смотреть навстречу лучу. Термин положительное вещество
означает, что вращение плоскости поляризации в продольном
магнитном поле составляет правый винт относительно вектора К
В нашей задаче, если смотреть навстречу вышедшему свету и
положительное направление угла отсчитывать по часовой стрелке,
то естественное вращение дает положительный угол поворота <р= al
(при обратном движении луча угол меняет знак). Магнитное же

166 -*\* Глава 2. Волновая оптика
вращение дает отрицательный угол поворота (смотрим против
вектора Н). Этот угол не зависит от направления луча и суммируется при
каждом его отражении, поэтому <р = -VIHN. В итоге угол поворота
составит
<р = al - VIHN = I (a - VHN),
где N — число отражений.

ГЛАВА
3
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
С ВЕЩЕСТВОМ. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
3.1.
ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
3.1.1. Показатель преломления
Рассчитать зависимость показателя преломления от
частоты проходящей электромагнитной волны.
С точки зрения атомарных представлений всякую среду можно
рассматривать как вакуум, в который вкраплены атомы вещества.
При прохождении электромагнитной волны атомы становятся
источниками вторичных сферических волн, распространяющихся между
атомами со скоростью света в вакууме. В связи с этим возникает
закономерный вопрос: почему в среде свет движется медленнее, чем
в вакууме? При отражении и преломлении света основной интерес
представляет фазовая скорость^ так как именно она определяет
показатель преломления. Для того чтобы понять как происходит
изменение фазовой скорости рассмотрим прохождение световой волны,
например, через тонкую стеклянную пластинку (рис. 3.1). Выделим
внутри пластинки бесконечно тонкий слой толщиной их.
Электрическое поле падающей волны Е с некоторой частотой со раскачивает
электроны данного слоя. Ускоренно движущиеся заряды начинают
излучать свое поле йЕ, часть которого dE' распространяется против
оси х и участвует в формировании отраженной волны, другая часть
йЕ" участвует в формировании преломленной волны. Фазы
колебаний dE' и dE" отличаются от фазы колебаний Е (вспомним про
вынужденные колебания). Следующий слой cbc формирует свою
добавку к &Е' и dE" и т. д. В итоге из пластинки выходит волна,
сдвинутая по фазе относительно исходной волны на некоторую
величину Д<р, зависящую от частоты исходной волны <в. Этот сдвиг фазы

168 —' Ь- Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
колебаний эквивалентен тому, что эффективная скорость света в
среде v становится меньше скорости света в вакууме с. Так
возникает показатель преломления п = с/и.
Допустим, что в вакууме вдоль оси х распространяется плоская
монохроматическая волна Е = Ео exp [i(a>t - kx)]9 на пути которой
перпендикулярно оси х находится тонкий плоскопараллельный слой
толщиной (be, заполненный неподвижными атомами. Обозначим
поверхностную плотность атомов (их число на единицу
поверхности) как /7. В поле световой волны атомы приобретают
изменяющиеся во времени дипольные моменты и излучают как точечные диполи
Герца. Для наших целей достаточно знать поле излучения такого
диполя в его волновой зоне. Воспользуемся готовой формулой для
поля излучения точечного диполя, изменяющегося по
гармоническому закону (см., например1)
£ = М^ехр[/Ы-Ы],
(3.1)
где р0 — амплитудное значение дипольного момента атома; г —
расстояние от диполя до точки наблюдения Р\ в — угол между
вектором р0 и направлением на точку наблюдения. Для определения поля
бесконечной плоскости диполей заменим суммирование
интегрированием.
Выделим в тонком слое толщиной 8х кольцо с внутренним
радиусом р и наружным р + dp (рис. 3.2). На элементарной площадке
1 См.: Паршаков А.К Электромагнетизм в ключевых задачах.

3.1. Дисперсия света —'х/- 169
dS = Inpdp находится rjdS = NdSSx диполей (N — объемная
плотность диполей, или число атомов в единице объема). На это
число нужно умножить выражение (3.1) и проинтегрировать по
всей бесконечной плоскости, помня, что изменяется как
расстояние г, так и угол ft Но мы поступим несколько иначе и
воспользуемся методом зон Френеля. Как нам уже известно, результирующая
напряженность поля всех диполей будет равна половине
напряженности поля, возбуждаемого диполями только центральной зоны
Френеля. Так как эта зона достаточно мала, то в ее пределах
можно полагать sin в « 1 и тогда напряженность поля бесконечной
плоскости будет равна
ш l_poa>2NSx
2 42
И н*
(3.2)
где интеграл берется по первой зоне Френеля.
Рис. 3.2
Из рис. 3.2 следует, что г2 = р2 + х2 и для фиксированного х
имеем рйр- г dr. Тогда выражение (3.2) переходит в
f/l/2

170 —'1/' Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
где Л = 2яс/(о — длина волны излучения диполя. Отвлечемся пока
от всех постоянных множителей, включая и ехр (icot), и рассмотрим
только интеграл
J exp(-ftr)dr = -^
Выражение в квадратных скобках, как легко убедиться, равно -2
(произведение кЛ/2 = я, а ехр (-in) = -1). Тогда, собирая все
опущенные множители, имеем
8Е"
4е0с2
или
(3.3)
Таким образом, для получения окончательнрго выражения для
поля бесконечной плоскости диполей нам осталось только
установить связь между падающей электромагнитной волной и дипольным
моментом атомов слоя.
Пусть в каждом атоме находится по одному оптическому
электрону. В процессах с участием света этот электрон ведет себя как
гармонический осциллятор с массой т и частотой со0. Уравнение
его движения под действием гармонической силы без учета
затухания имеет вид
т(£ + 0)1%) = -еЕ0 ехр dot),
где % — отклонение электрона от равновесного положения; Ео —
амплитуда поля, действующего на электрон; со — частота этого поля.
Установившееся решение последнего дифференциального
уравнения хорошо известно
туе)* - со )

3.1. Дисперсия света -»Ь 171
Множитель перед экспонентой дает нам амплитуду колебаний
электрона, а ее произведение на заряд электрона как раз и есть
амплитуда дипольного момента />0. Таким образом,
(3.5)
т[щ -а?
Тогда выражение (3.3) для электрического поля бесконечной
плоскости гармонически колеблющихся диполей приобретает вид
SE" = -/ Ne!Ef ,ч ехр [/far - кх)]бх. (3.6)
2€0ст{й)$-со2)
Теперь обратимся собственно к расчету показателя преломления
пластинки п. Бели бы пластинка никак не влияла на проходящее через
нее поле, то электромагнитная волна распространялась бы по закону
Е = Ео ехр [/ (cot - toe)] * Ео exp \ico (t - -11. (3.7)
Что произошло бы, если бы волна проходила через пластинку с
меньшей скоростью? Если бы пластинки не было, то волна
прошла бы расстояние 8х за время Sx/c. А поскольку кажущаяся
скорость распространения v = с/п, то потребуется добавочное время
St=(n- l)Sx/c (за пластинкой волна снова имеет скорость с).
Учтем добавочное время на прохождение пластинки, заменив время t в
(3.7) на t - (п — 1)6х/с. Тогда поле волны, прошедшей пластинку
толщиной Sx, будет иметь вид
или
Е = ехрГ-Ыл- 0— ]е0 exp|/L/ --11. (3.8)
Отсюда можно сделать вывод о том, что поле за пластинкой
получается умножением поля при отсутствии пластинки на фазовый
множитель
ехр -ia) (п - 0— = ехр(iSq>),
L с J

172 -*Ь. Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
где 8<р = —со(п — \)8х/с — изменение фазы колебаний волны,
возникающее из-за задержки при прохождении света через пластинку (фаза
именно запаздывает на величину со(п - 1)8х/с поскольку в
экспоненте стоит знак «минус»). При достаточно малых 8х и \п — 1| <*: 1
выражение (3.8) нетрудно представить в виде
Первый член этого выражения есть просто поле падающей
волны, а второй член можно интерпретировать как добавку к полю за
пластинкой, обусловленную ее колеблющимися зарядами. Но у нас
уже есть выражение (3.6), полученное путем прямого расчета поля
колеблющихся зарядов пластинки. Естественно, должно быть
выполнено равенство
Ео expU (at - kx)\ = Ео ехр[/ (cot - be)].
2eQcm(o)Q -co2)
Откуда находим
^—fi 2Y
2еотщ-а)2)
Напомним, что данное выражение получено нами в
предположении невзаимодействующих атомов и молекул среды, что
выполняется для не очень плотных газов. Кроме того, мы пренебрегли
затуханием колебаний электронов в атоме. Учет затухания
колебаний приводит к тому, что в выражении (3.4), а, следовательно, и в
выражении (3.9) для показателя преломления вместо (&% - со2)
должно быть (col -co2 + liyco), где у— коэффициент затухания, и тогда
<ЗЛ0>
2е0т(щ -со + liyco)
Таким образом, учет затухания приводит к тому, что показатель
преломления становится комплексной величиной! Что это означает?
Представим показатель преломления через его действительную и
мнимую части
я -* л - iz>

3.1. Дисперсия света -^w- 173
где п — вещественный показатель преломления; х > 0 называется
показателем поглощения среды. В этом случае выражение (3.8)
примет вид
-Х&— 1ехрГ-Ыл -1)— Ъо expf/L/ - -11,
из которого следует, что при прохождении через среду
электромагнитная волна затухает.
Обычно (как, например, у стекла) поглощение света очень мало
(X < п). Однако, когда частота со близка к со0, резонансный член
(col ~ в>2) становится малым по сравнению с Ну со и показатель
преломления становится почти чисто мнимым. В этом случае
поглощение является основным эффектом. Именно поглощение дает в
солнечном спектре темные линии, что позволяет установить
резонансные частоты атомов, а, следовательно, и химический состав солнечной
атмосферы.
Формула (3.10), или ее более простой вариант — формула (3.9),
предсказывает еще один интересный эффект. Пусть со много
больше о)0. Такой случай возникает, например, при облучении веществ
типа стекла или угля рентгеновскими лучами. Собственные частоты
их атомов много меньше частоты рентгеновского излучения. В этом
случае второе слагаемое в (3.9) становится отрицательным, а,
значит, показатель преломления меньше единицы и скорость
электромагнитной волны становится больше скорости света в вакууме.
Ничего страшного здесь нет. Показатель преломления при некоторой
частоте может быть как больше, так и меньше единицы. Это просто
означает, что сдвиг фазы выходящей волны либо больше нуля, либо
меньше нуля. Кроме того, то, что фазовая скорость v оказалась
больше с, не означает, что возможна передача сигналов со скоростью,
большей с. Скорость передачи сигналов, как и энергии,
определяется не фазовой v = со/к, а групповой скоростью и = dco/dk. Найдем
эту скорость, полагая в дисперсионной формуле (3.9) со0 « 0. Тогда
/1 = 1--^-, (3.11)
со
где
д = Ne2 , 0
"" 2е0т

174 "-*\г Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
По определению волновое число
Тогда, с учетом (3.11),
V С
кш°-Л
С (ОС
Откуда прямым дифференцированием нетрудно получить
" d* Лйа)
т. е. групповая скорость все-таки меньше с!
В соответствии с использованными нами допущениями
формулами для показателя преломления (3.9) или (ЗЛО) можно пользоваться
при условии, что второе слагаемое по модулю много меньше
единицы, т. е. п незначительно отличается от единицы. Если это условие
нарушается, то, естественно, приведенные формулы являются
неверными. В этом случае для расчета показателя преломления
воспользуемся его связью с диэлектрической проницаемостью вещества п = yfqu,
полагая ju » 1. Известно, что е = 1 + ае, где ж — диэлектрическая
восприимчивость, которая входит в коэффициент
пропорциональности между поляризованностью Р (дипольный момент единицы
объема) и напряженностью электрического поля в среде Е
Р = яе0Е = pN.
Здесь р — дипольный момент атома (молекулы). Так как мы уже
знаем величину дипольного момента р = р0 exp (icot), где р0
определяется формулой (3.5) при наложении поля, изменяющегося по
гармоническому закону Е = EQ exp (icot), то для е нетрудно получить
c = li Ne2
e0m(w$-a)2)
и, соответственно,
<ЗЛ2>

3.1. Дисперсия света -Aj- 175
При условии
Ne2 <и\е^т(а)1 -п
выражение (3.12), естественно, переходит в (3.9).
Обратимся теперь к расчету показателя преломления плазмы.
В ней электроны могут рассматриваться как свободные частицы с
частотой собственных колебаний, равной нулю. Полагая в (3.12)
cdq = 0, получаем
(3.13)
где тр — так называемая плазменная частота,
Из (3.13) видно, что при со < сор показатель преломления
становится чисто мнимым. А это означает, что длинные электромагнитные
волны не могут рарпространяться в разреженной плазме и могут
проникать только в тонкий поверхностный слой, испытывая от него
полное отражение. На этом, кстати, основан метод определения
концентрации электронов в плазме. Например, при зондировании
разреженной плазмы радиоволнами различных частот было обнаружено,
что волны с частотой, меньшей v0 = 400 МГц, не проходят через
плазму. Это возможно при такой концентрации электронов, когда
со <, сор. Тогда из (3.14) находим концентрацию свободных электронов
2,0105 1/м3.
3.1.2. Показатель преломления в мощных световых пучках.
Полученные в предыдущей задаче формулы для показателя преломления
свидетельствуют о его независимости от напряженности
электрического поля и соответственно от интенсивности волны. Связано
это с тем, что отклик среды (ее поляризация) пропорционален
внешнему воздействию (электрическому полю). Таким образом, световая
волна не изменяет характеристики среды. Следствием этого
является линейность волйового уравнения и справедливость принципа
суперпозиции: световые волны распространяются в среде «не заме-

л
176 —' w1 Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
чая» друг друга. Так обстоит дело при распространении волн малой
амплитуды, когда напряженность электрического поля
пренебрежимо мала по сравнению с внутриатомным полем, действующим на
электроны атома. Для сравнения — напряженность поля в
излучении «обычных» источников (ламп накаливания, нагретого газа и др.)
не превосходит величины порядка 104 В/м. Напряженность же поля,
например, в атоме водорода
«1,5-10" В/м!
В достаточно слабых полях смещение электронов атома от
положения равновесия оказывается малым, что приводит к линейной
зависимости смещения от силы, действующей на электрон со
стороны поля. В этом случае электрон ведет себя как гармонический
осциллятор. В сильных же полях смещение электрона уже нельзя
считать малым. Соответственно, нельзя предполагать линейную
зависимость силы /, возвращающей электрон в положение
равновесия, от его смещения £. В данном выражении должны появиться
малые нелинейные поправки. Если ограничиться рассмотрением
только изотропных сред, то, очевидно, нелинейные поправки не
должны содержать четные степени смещения (только в этом случае
изменение знака смещения не изменит величину силы).
Ограничимся введением кубической поправки, пропорциональной третьей
степени смещения, и будем полагать
где к > 0 и /3 — некоторые константы, причем второе слагаемое в
этом выражении много меньше первого. В этом случае уравнение
колебаний оптического электрона атома в поле гармонической
волны без учета затухания примет вид
т$ + Ц - р? = (~е)Е0 cos cot.
Перейдем от уравнения для смещения £ к уравнению для
поляризации среды Р. Для этого умножим его на (-e)N (N — число
осцилляторов в единице объема) и поделим на т
(3.15)
^Р
mN2e2 m

3.1. Дисперсия света -*\г 177
Здесь со0 — собственная частота малых колебаний осциллятора,
Малость нелинейной поправки
позволяет воспользоваться при решении нелинейного
дифференциального уравнения (3.1S) методом последовательных приближений.
Идея метода заключается в том, что решение представляется в виде
где PQ(t) — нулевое приближение, a Px(t) < P0(t) — малая поправка к
нулевому приближению. Нулевое приближение является решением
линейного уравнения, получающегося из (3.1S) при отбрасывании
нелинейного слагаемого
Ne2
Ро + й%Р0 =—E0 cos art. (3.16)
in
Решение данного уравнения нам уже известно
Ро (t) = &оеоЕо cos cot, (3.17)
где х — диэлектрическая восприимчивость среды в слабом
электрическом поле, являющаяся функцией частоты,
Ne2
еот(а)о -о)2)'
Она определяет закон дисперсии в линейном приближении.
Подставим теперь значение Р = Ро + Рг в (3.15). Тогда с учетом
(3.16) приходим к уравнению для нахождения поправки Рг
(значение Ро нам уже известно)
Так как Р{ < Ро, то в правой части данного уравнения можно
отбросить все члены, содержащие P{(t). В этом случае, воспользо-

178 Jw Глава 3, Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
вавшись явным выражением для P0(f), приходим к линейному
дифференциальному уравнению для P{(t)
которое, с учетом тригонометрического равенства,
з , 3 cos cot + cos 3cot
cos cot в ,
4
сводится к следующему
Px + afa = £*№№L(3GQ*a>t + cos За»/).
Решение данного уравнения, очевидно, представляется суммой
гармонических колебаний с частотами со и Зсо
() Р&14Е1 (3 cos cot cos3cot }
1Ш" 4mN2e2 [а>% -co2 co\ -9a>2)'
В итоге находим окончательное выражение для Д/) = P0(t) + Px(t)
в первом приближении
Р (t) = е0 «о (1 + i\El) Ео cos cot + l^El cos 3cot, (3.18)
где
- 9a>2)'
Согласно (3.18) изменяющееся со временем по гармоническому
закону с частотой ю электрическое поле возбуждает в среде
колебание поляризации, уже не являющееся гармоническим. Спектр
функции P(t) содержит кроме компоненты частоты со также
компоненту утроенной частоты. Это колебание приводит к переизлучению на
частоте Зсо — генерация третьей гармоники. Кроме того, изменяется
диэлектрическая восприимчивость среды х на частоте со

3.1, Дисперсия света -^у- 179
В ней появляется добавка, пропорциональная квадрату
напряженности электрического поля, т. е. пропорциональная
интенсивности волны. Диэлектрическая восприимчивость определяет
диэлектрическую проницаемость и соответственно показатель
преломления среды
п = VI + я = ^(l + ed^ +
Полагая поправку к линейному показателю преломления
малой, находим зависимость показателя преломления от
напряженности электрического поля
где п2 = х0Ь{/2п0 — некоторая константа, величина которой и знак,
зависят от свойств среды.
3.1.3. Самоканализация светового пучка. Пучок излучения
рубинового лазера (Л = 0,694 мкм) кругового сечения радиусом R = 3 мм
проходит через слой сероуглерода толщиной / = 10 см.
Интенсивность пучка по сечению имеет вид / = /0(1 - r/R) при г й R и / = 0
при г > R, где г — расстояние до оси пучка. Показатель
преломления сероуглерода зависит от напряженности электрического поля
п = По + г^Е] (п0 = 1,63, п2 * 0,2 • 10~19 В2/м2). Оценить пороговую
мощность лазера, выше которой начнется сжатие пучка.
Так как интенсивность света в лазерном пучке максимальна на
оси пучка и спадает к краю, то показатель преломления
нелинейной среды также уменьшается от оси к краям. В этом случае среда
становится подобной собирающей линзе, что может привести к
самофокусировке луча. Разумеется, фокусирующему воздействию
нелинейной среды препятствует дифракционная расходимость пучка.
В обычной (линейной) среде с показателем преломления п0 пучок
диаметром d с плоским волновым фронтом не может
распространяться, оставаясь параллельным пучком постоянного сечения.
Такой пучок может быть представлен суммой плоских волн различных
направлений, причем в этой сумме заметную амплитуду имеют лишь

180 —' Ь- Глава 3, Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
волны, направления которых по отношению к оси пучка
ограничены утлом
(3.19)
Рассмотрим теперь изменение направления движения световых
лучей за счет наличия радиального градиента показателя
преломления среды. Ранее, в задаче 1.1.2, была получена формула,
определяющая радиус кривизны луча в неоднородной среде
где йв — малое изменение угла движения луча при его перемещении
на dS. Производная от In n берется по нормали к лучу. Так как лучи
движутся практически параллельно оси пучка, то выражение (3.20)
можно записать в виде
йв d (л v
— = — (ln/i),
дх йг
где х — координата вдоль оси пучка; г — расстояние от его оси.
Для определения зависимости п(г) обратимся к связи
интенсивности света / и амплитуды напряженности электрического поля Ео
(см. введение к гл. 2)
/ = ±сло*<Л2- (3.21)
2
Отсюда находим
где
Поскольку величина
"о
то
In п (г) ■
101
ап2 (\jO
«о Ч л;'

3.1. Дисперсия света ^\r
В этом случае
(знак «минус» показывает, что лучи отклоняются к оси пучка).
После интегрирования находим зависимость углового отклонения луча
от толщины среды
Приравнивая это значение углу дифракционной расходимости
(3.19), находим максимальное значение интенсивности /0, при
которой лазерное излучение распространяется в нелинейной среде без
дифракционной расходимости (самоканализация пучка)
Л
Осталось только связать /0 с мощностью пучка Р
Р = \l(r)2nrdr ]
Таким образом, для пороговой мощности получаем значение
что для сероуглерода при данных условиях составляет Рпор « 3 МВт.
При превышении пороговой мощности начнется сжатие
(самофокусировка) лазерного излучения. Из волновых соображений
следует, что минимальный поперечный размер области концентрации
электрического поля не может быть меньше длины волны. Отсюда
можно оценить максимально достижимое значение напряженности
электрического поля. Из (3.21) следует
Р — IS = ~cfU£nEnS)
2
где S = пЛ2/4. Откуда
«6-Ю10 В/м.

182 -* Ь- Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
3.1.4. Рентгеновод. Для передачи рентгеновского излучения
применяют так называемый рентгеновод, представляющий собой
полый стеклянный капилляр, в котором захват рентгеновских квантов
происходит за счет полного «внутреннего отражения». Оценить,
каким должен быть внутренний диаметр капилляра и его радиус
изгиба для рентгеновских лучей с энергией Е = 10 кэВ. Принять
концентрацию «свободных» электронов в стекле N « 1029 м""3.
Известно, что для видимого света полное внутреннее отражение
наступает, когда свет проходит из оптически более плотной среды в
менее плотную, например, из стекла в воздух. Для рентгеновского же
излучения показатель преломления стекла меньше единицы. А это
означает, что возможно «полное внутреннее отражение»
рентгеновского излучения при его падении из воздуха в стекло, что можно
использовать для передачи рентгеновского излучения по полым
стеклянным капиллярам.
Оценим, прежде всего, значение показателя преломления стекла
для рентгеновского излучения и воспользуемся для этого формулой
(3.12) из задачи ЗЛ.1
"f
Значение частоты рентгеновского излучения определяется
энергией его квантов и составляет
с"1.
„«£ = Ц 1,
h 0,659-КГ15 эВ-с .
Это значение гораздо выше частот собственных колебаний
электронов в атоме стекла, поэтому для показателя преломления можно
записать более простую формулу
и после подстановки числовых значений имеем п « 1 - 0,72 • 10~А
Для наступления полного внутреннего отражения (рис. 3.3) угол
скольжения рентгеновских лучей в не должен превышать
предельного значения вт определяемого из закона преломления
sin or = n -» cos#w = п.

3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления -JY* 183
Откуда находим вт « 1,2 • 10"~3. Это значение накладывает
ограничение на диаметр капилляра d: дифракционное уширение пучка
^дифр Д°лжно укладываться в разрешенный диапазон углов
скольжения, в этом случае дифракционная
расходимость пучка оказывается
полностью скомпенсированной
фокусирующим эффектом полного внутреннего
отражения. Дифракционная угловая
расходимость пучка определяется как
^> Рис. 3.3
где Л = 2яс/а) = 1,25 • 10~10 м — длина волны рентгеновского
излучения. Откуда находим
d » А « ю-7 м.
Для определения допустимого радиуса изгиба капилляра R
воспользуемся результатом решения задачи 1.1.11
1i\ — 1Л ,
только нам нужно теперь заменить п на 1/л. Таким образом, для
допустимого радиуса изгиба капилляра получаем
R > « 14 см.
л-1
3.2. ОПТИКА СРЕД С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
3.2Л. Отрицательная групповая скорость. Могут ли групповая и
фазовая скорости направлены противоположно, и к каким следствиям
это приводит?
Обратимся к соотношению Рэлея, связывающему групповую
и = do/dk и фазовую v = a>/k скорости
и = »-Л^, (3.22)
ал

184 J\# Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
и рассмотрим падение электромагнитной волны из вакуума в
некоторую среду с показателем преломления п = c/v. Длина волны в
вакууме Ло связана с длиной волны в среде Л соотношением
Откуда
1Ц, = Лс. (3.23)
Продифференцируем данное равенство по v:
(Ц, йЛ
dv dv
Тогда, с учетом (3.23), получаем
сЛ dA) dЛ
+ V—— * С ,
v dv dv
или
X^^^v—. (3.24)
с dv dv
Для случая нормальной дисперсии (du/cU0 > 0) из (3.24)
следует, что
v—> Л -» Л— < v.
dv dЛ
Тогда из соотношения Рэлея (3.22) находим, что и > 0, т. е.
групповая скорость совпадает по знаку с фазовой. При аномальной
дисперсии (du/cU0 < 0) из (3.24) следует
dX * «dv
v—< Л -» Л—> v.
dv dЛ
Это означает, что знаки фазовой и групповой скоростей
противоположны. Что же из этого следует? Направление групповой
скорости связывают с направлением переноса волной энергии, а
фазовая скорость определяет направление движения фронта волны.
Таким образом, при отрицательной дисперсии фронт волны движется
противоположно направлению переноса энергии! Такие среды
называют веществами с отрицательной групповой скоростью.

3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления -*!/• 185
Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны из
вакуума на плоскую границу раздела с какой-либо средой. При входе
волны в среду фронт волны остается плоским, но изменяется
направление его движения. При этом очевидно, точка пересечения
фронта падающей волны с границей раздела должна двигаться
вместе с точкой пересечения фронта преломленной волны с границей
раздела. На рис. 3.4, а отражен ход проникновения волны в среду с
нормальной дисперсией (пунктирными линиями отображено
положение фронта волны в различные моменты времени). Из этого
рисунка, кстати, легко получить закон преломления
(положительные значения углов а и fi отсчитываются в одном
направлении).
Рис. 3.4
Пусть теперь волна проникает в среду с аномальной дисперсией
при противоположном направлении фазовой и групповой
скоростей (рис. 3.4, б). В этом случае условие совместного движения точки
пересечения фронтов падающей и преломленной волн с границей
раздела сред приводит к парадоксальному выводу: преломленный и
падающий лучи располагаются по одну сторону от нормали к
преломляющей поверхности! При этом закон преломления остается
неизменным, если считать, что показатель преломления становится
отрицательным.
Посмотрим теперь, какими свойствами должна обладать среда, в
которой групповая скорость электромагнитной волны является от-

186
\
Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
рицательной. Распространение электромагнитной волны в веществе
определяется его диэлектрической е и магнитной /л
проницаемостью. В частности, квадрат фазовой скорости электромагнитной
волны в безграничной изотропной среде определяется соотношением
v2 = с2/п29 где п2 = £//. Обратимся к уравнениям Максвелла при
отсутствии в среде токов проводимости
М1--М;
(3.25)
где для достаточно слабых и медленно изменяющихся во времени
полей в изотропных средах, не содержащих сегнетоэлектриков и
ферромагнетиков
В
D = ее0Е.
Для плоской монохроматической волны, распространяющейся
вдоль оси z, все величины пропорциональны exp [-i(a)t - kz)h где
вектор к совпадает по направлению с фазовой скоростью. Тогда
соотношения (3.25) можно переписать только через Е и Н
[кЕ] =
[кН] = -ющЕ.
Из этих выражений сразу следует, что, если * > 0 и /* > 0, то
векторы Е% Ни к образуют правую тройку (рис. 3.5, а), а если е < О
и ju < 0, то — левую (рис. 3.5, б).
1 П ^ ^'
а
т п
Рис. 3.5

3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления
187
Плотность потока энергии, переносимой электромагнитной
волной, определяется вектором Пойнтинга
П = [£#],
(3.26)
направление которого совпадает с групповой скоростью. В
соответствие с (3.26) направление групповой скорости образует с
векторами Е и Я всегда правую тройку. Теперь, из рис. 3.5, а следует, что
для веществ с£>0и//>0 направления фазовой и групповой
скорости совпадают, а для веществ с одновременно отрицательными
значениями е и ju направления фазовой и групповой скорости
противоположны (см. рис. 3.5, б). Такие вещества следует считать
веществами с отрицательным показателем преломления.
«Необычный» ход преломленного луча в среде с е < 0, ju < О
нетрудно понять из граничных условий для электрического и
магнитного полей на границе раздела сред
я.
(3.27)
где индекс «1» относится к вакууму, а
индекс «2» — к среде с
диэлектрической проницаемостью е и магнитной //.
Эти равенства должны выполняться
независимо от знаков е и //. Из (3.27)
следует, что тангенциальные компоненты
полей сохраняют свое направление и
величину, а нормальные к границе
раздела сред компоненты полей не только
изменяются по величине, но при е < О и ju
< О, изменяют и знак (рис. 3.6). Таким
образом, векторы Ей Я испытывают
зеркальное отражение относительно
границы раздела сред. То же самое
происходит и с вектором к,
В веществах с отрицательным значением групповой скорости
должен наблюдаться обращенный эффект Доплера. Пусть,
например, приемник излучения, находящийся в такой среде,
движется навстречу излучателю А, испускающему колебания с
частотой а?0 (рис. 3.7). В этом случае частота, воспринимаемая прием-
Рис. 3.6

л
188 —*\r Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
ником Д будет меньше wQ, а не больше, как это было бы в
обычной среде.
Рис. 3.7
В настоящее время существуют композитные искусственные
кристаллы (метаматериааы), построенные из элементов
макроскопического размера, погруженных в однородную среду с малым
поглощением электромагнитного излучения. Подбирая размер, форму и
концентрацию макроскопических элементов, из которых состоит
данный метаматериал, можно в достаточно широких пределах
изменять его диэлектрическую (е) и магнитную (ju) проницаемости.
И особенно интересен тот факт, что при этом можно обеспечить
одновременно отрицательные значения е и //.
3.2.2. Отрицательный показатель преломления. Как изменятся
формулы оптики при отрицательном показателе преломления?
В предыдущей задаче отмечалось, что при одновременно
отрицательных значениях диэлектрической е и магнитной ju проницае-
мостях следует считать показатель преломления п также
отрицательным. Посмотрим теперь, как изменятся формулы оптики, в которые
входит величина показателя преломления я? Большинство законов
и формул электродинамики и оптики соответствуют случаю, когда
тот или иной материал заведомо немагнитен, т. е. характеризуется
магнитной проницаемостью // = 1. Это соответствует так
называемому «немагнитному приближению», в котором показатель
преломления п = у[е. Что изменится, если полагать п = yfejl при // * 1? Для
ответа на этот вопрос нам следует обратиться к общим
соотношениям, характеризующим поведение электрического и магнитного
полей при переходе границы раздела сред.
Рассмотрим вначале отражение и преломление плоской
электромагнитной волны на границе раздела двух сред, характеризуемых

3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления
189
диэлектрической и магнитной проницаемостью. Фазовая скорость
электромагнитной волны определяется как
При прохождении волной различных сред с постоянным, но
различным показателем преломления частота волны не изменяется. Факт
сохранения частоты в линейной стационарной системе является, по
сути, законом сохранения энергии для световых квантов (есть и другие
соображения, свидетельствующие о сохранении частоты).
Неизменность частоты электромагнитной волны со приводит к тому, что
волновое число к становится зависящим от показателя преломления
, со (о
к=—= —л
nkQ,
где к — волновое число в среде; к0 — в вакууме.
Рис. 3.8
Ранее уже отмечалось, что поперечную электромагнитную волну
можно представить как суперпозицию двух волн, поляризованных
во взаимно перпендикулярных плоскостях. Выберем в качестве
таковых плоскость падения и перпендикулярную к ней плоскость. На
рис. 3.8, а отображена ситуация, в которой вектор Е
перпендикулярен плоскости падения, а на рис. 3.8, б — находится в плоскости

л
190 -J\r Глава 3, Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
падения. Пусть уравнения падающей волны для электрического и
магнитного полей имеют вид
Е = Ео ехр [-/ (cot - kr)]; Н = Но ехр [-/ Ы - kr)), (3.28)
причем между амплитудами этих волн существует связь
которую можно представить в виде
Щ=±-Ей, (3.29)
Z
где
120*J£ (3.30)
называют волновым сопротивлением среды. Оно имеет размерность
Ом и является уникальной характеристикой среды, наряду со
скоростью света в ней. Аналогичные (3.28) выражения можно записать
для отраженной (£', #') волны и преломленной (Е", Н").
В ситуации, отображенной на рис. 3.8, я, для вектора Е должно
быть выполнено граничное условие Ех =*= Е2, которое с учетом
принципа суперпозиции запишется в виде
Аналогичное соотношение можно записать и для вектора Н в
ситуации, представленной на рис. 3.8, б
Я, TJ / ГГ ft
т £1 = XI .
Поскольку дальнейшие действия для обеих поляризаций
одинаковы, ограничимся соотношением (3.31). Пусть в какой-то момент
времени условие (3.31) выполнено. Однако оно сразу же нарушится,
если зависимость от времени не будет одинаковой для всех трех
полей. Это означает, что частота всех трех волн должна быть
одинаковой (об этом уже говорилось ранее). Из поперечности волн и
параллельности векторов 2?, Е' и Е" следует, что все три волновых
вектора Л, к* и к" лежат в одной плоскости — плоскости падения.
Направим в этой плоскости вдоль границы раздела сред ось Ох.
Вдоль данной оси (у = z - 0) произведение кг в формулах (3.28)

3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления
191
переходит в kxx. Таким образом, граничное условие (3.31) сводится
к равенству
Ео exp (/foe sin а) + 2?0' exp (/foe sin or') = £<J'exp (ik"x sin /3),
где
, со t „ со
К = — Ну \ К = — J&2 •
С С
Для того чтобы данное равенство было выполнено при любых х,
необходимо, очевидно, потребовать равенство показателей всех
экспонент
—1\ sin а = — л. sin а' = — п, sin/3. (3.32)
с с с
Отсюда получаем закон отражения а = а' и преломления
Л
sin/? ^
Пусть для первой среды ех > 0 и рх > 0, а
вторая среда имеет отрицательные значения я2
и //2. В этом случае, как уже говорилось ранее
(см. задачу 3.2.1), п2 < 0 и тогда в соответствии
с законом преломления (3.33) следует полагать
угол преломления /3 < 0, так как он отсчитыва-
ется против направления отсчета угла падения.
Эта ситуация отражена на рис. 3.9. Заметим,
что векторы Д Я и к в падающей волне
образуют правую тройку векторов, а в преломлен-
ной волне — левую!
И в заключение рассмотрим интересный случай, когда свет
переходит из среды с ех > 0, цх > 0 в среду, в которой е2 = —е{ и ju2 > —/av
В этом случае л в -1, соответственно а = -Д т. е. луч испытывает
преломление на границе раздела сред, но отраженный луч
отсутствует (это рассмотрено подробно в следующей задаче 3.2.3).
Примером такой системы является плоскопараллельная пластина
толщиной d с п ~ -1, находящаяся в вакууме (рис. 3.10). Видно, что
такая пластина может фокусировать в точку S' излучение точечного
источника 5, находящегося на расстоянии / < d от пластины.
рис. 3.9

192
Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
л-1
Рис. 3.10
Конечно, факт фокусировки точечного источника света также в
точку, расположенную по другую сторону от пластинки, не
означает, что эта пластинка является линзой. Такая пластинка
представляет идеальный оптический прибор, который переносит изображение
предмета из пространства объектов в пространство изображений без
всяких искажений. Но такой перенос возможен только для
предметов, находящихся на расстоянии не большем, чем толщина
пластины. Эта пластина не есть линза в обычном смысле, так как она не
фокусирует в точку параллельный пучок лучей, приходящий из
бесконечности. Что касается настоящих линз, изготовленных из такого
вещества, то ход лучей представлен на рис. 3.11.
Рис. 3.11

3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления ^Хг 193
Как видно, выпуклая и вогнутая линзы «поменялись местами»,
т. е. выпуклая линза стала рассеивающей, а вогнутая — собирающей.
3.2.3. Формулы Френеля. Как изменятся формулы Френеля при
/л* 1?
Начнем со случая, когда электрическое поле перпендикулярно
плоскости падения (см. рис. 3.8, а). Выписывая граничные условия,
мы будем сокращать экспоненциальные осциллирующие
множители в выражениях для полей Б9 Н и оставлять только амплитудные
значения полей. Это обусловлено равенством частот и
соотношением (3.32) из задачи 3.2.2.
Так как при регистрации электромагнитной волны происходит
измерение напряженности электрического поля, то имеет смысл
ввести амплитудные коэффициенты отражения г и прозрачности 4
через отношение амплитуд электрического поля
Если окажется, что один из них будет отрицательным, то это
будет означать просто фазовый сдвиг волны на я\
Итак, для ситуации, отраженной на рис. 3.8, а, граничное
условие для вектора Е имеет вид
£0+£0'»££ (3.34)
а для вектора Н
-Яо cos а + Щ cos а = -Щсо&/3.
В силу связи Н и Е [см. формулу (3.29) из задачи 3.2.2]
последнее равенство можно записать в виде
i 4i (3-35)
Система уравнений (3.34) и (3.3S) с помощью введенных
коэффициентов пл d сводится к следующей
—-
Z2

194 -A^» Глава З. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
Ее решение имеет вид
& cos/3
(3.36)
— cosa
2j— cosa
- cosor+
Г"—
(3.37)
cos0
где индекс «1» означает поляризацию электрического вектора Е
перпендикулярно плоскости падения, а значение Z подчиняется
формуле (3.30).
Сравним выражеьшя (3.36) и (3.37) с аналогичными
выражениями в «немагнитном приближении»
1
/цсоьа -
2л. cosa
Обратимся к случаю поляризации электрического вектора в
плоскости падения (см. рис. 3.8, б). В этом случае граничные условия
для векторов En Hзапишутся в виде
EQ cos а - Eq cos a = jE^cos /3;
или с использованием амплитудных коэффициентов отражения и
прозрачности
l±L А.
zx =z2

3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления
После решения данной системы уравнений получаем
195
— cosa- — I cos/?
2г
cosa-
£l
-; (3.38)
-=- cosa
cosa
2.P-cos«
Ecosa + .P-
-. (3.39)
Аналогичные выражения в немагнитном приближении имеют вид
1i
cos a
При нормальном падении электромагнитной волны (а = /5 = 0),
когда исчезает различие в поляризации, для коэффициента
отражения имеем
JL _L'
zx+z2
в немагнитном приближении
г0 =
Подведем предварительные итоги.
1. Для сред с отрицательным показателем преломления в законе
преломления значение п = 4е следует заменить на п = y[ejuy причем
перед п должен быть знак «минус».

196
Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
2. В формулах Френеля величину п-у/е следует заменить не на
п = у[е/л, а на
где Z — волновое сопротивление среды.
3. Условие отсутствия отражения на границе раздела сред
заключается не в равенстве показателей преломления сред, а в
равенстве их волновых сопротивлений. При этом следует подчеркнуть,
что при отрицательных е и ju волновое сопротивление Z, в отличие
от я, остается положительным.
Обратимся теперь к закону Брюстера. В немагнитном
приближении тангенс угла падения аБр, при котором отраженный свет
полностью поляризован перпендикулярно плоскости падения (Г| = 0),
равен отношению показателей преломления сред
= К
Данный закон имеет довольно
простое обоснование. Пусть плоская
электромагнитная волна падает из вакуума
на границу однородной изотропной
среды (рис. 3.12) и ее электрический
вектор параллелен плоскости падения.
Эта волна возбудит в среде дипольную
волну, которую можно рассматривать
как волну поляризации. Если волна
падает под углом Брюстера, то
преломленный луч ОС будет
перпендикулярен отраженному лучу ОВ.
Электрический вектор в среде Е",
перпендикулярный преломленному лучу, возбуждает дипольные моменты атомов,
параллельные отраженному лучу. Но вдоль колебаний дипольного
момента диполь Герца не излучает. Значит, в направлении ОВ
атомы среды ничего не излучают и отраженная волна просто не может
возникнуть.
Рис. 3.12

3.2. Оптика сред с отрицательным показателем преломления —»Ь- 197
А что же будет в магнитном приближении? Условие отсутствия
поляризации, параллельной плоскости падения, в соответствии с
формулой (3.38) имеет вид
Zj cos<z « Z2 cos/3 -> cosa = Zcos>6, (3.40)
где Z — относительное волновое сопротивление сред,
z{
Присоединим к (3.40) также закон преломления
sin a = n sin /3, (3.41)
где /I — относительный показатель преломления,
После несложных тригонометрических преобразований из
системы уравнений (3.40) и (3.41) находим
Заметим, что подкоренное выражение не изменяется при
одновременной смене знаков е и /и одной из сред. Приведенная точная
формула для угла Брюстера соответствует исчезновению
параллельной поляризации отраженного света. В то же время из формулы
(3.36) следует, что возможно также и исчезновение
перпендикулярной поляризации (г± = 0). Для данного значения угла Брюстера
должны быть выполнены соотношения
Zcosa = cos/?;
(3.43)
sina = nsin/3.
В немагнитном приближении (Z= l/n) данные соотношения не
могут быть выполнены одновременно, т. е. условие rL = 0
реализовать невозможно. В магнитном же приближении появляется
возможность исчезновения и перпендикулярной поляризации
отраженного света. Нетрудно увидеть, что соотношение (3.43) отличается от

198 —'b- Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
(3.40) заменой ZHa 1/Z Тогда для определения угла Брюстера нам
необходимо только в (3.42) произвести замену Z-» 1/Z В этом
случае имеем
Таким образом, отражение под углом Брюстера имеет место
всегда, при любых значения проницаемостей, но только для одной из
двух возможных поляризаций падающего света. При этом для угла
«полной поляризации» нужно пользоваться той из формул (3.42) или
(3.44), в которой подкоренное выражение положительно.
3.3. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА В ОПТИКЕ.
ЭФФЕКТ САНЬЯКА
Эффект Доплера в оптике отличают от аналогичного
эффекта в акустике два обстоятельства
1. Для электромагнитных волн нет особой среды, служащей их
носителем. Поэтому доплеровское смещение частоты
электромагнитных волн (сигналов) определяется только относительной
скоростью источника и приемника. При движении источника
периодических сигналов с частотой v0 со скоростью и, составляющей угол а
с линией наблюдения, приемник сигналов воспринимает частоту
1—cos or
с
2. В отличие от акустического эффекта Доплера при а = 90°
наблюдается поперечный эффект Доплера
Поперечный эффект является чисто релятивистским и связан с
замедлением хода движущихся часов. В нерелятивистском случае,
когда v «с с
,1 + —cos дм.
Ч с )

3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка
\
199
3.3.1. Инвариантность фазы волны. Показать, что в различных
инерциальных системах отсчета фаза электромагнитной волны в
вакууме является инвариантом и, исходя из этого, определить, как
преобразуется частота волны со и волновое число к.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К\
движущиеся друг относительно друга вдоль осей х и х' со скоростью и,
причем начало отсчета времени выберем так, что в момент
совмещения начал координат обеих систем время t = f' = 0. Пусть вдоль
осей х и х' распространяется плоская монохроматическая
электромагнитная волна (рис. 3.13). Значения частоты этой волны и
волнового числа в условно неподвижной Я-системе равны со и к, а в
АГ'-системе соответственно ф'.ж к'. Нанесем на одном из горбов
этой волны, проходящим начало координат в обеих системах в
момент времени t = t' = 0, метку 1 и будем полагать фазу колебаний
волны в месте нахождения этой метки равной нулю срх =ср{ = 0. Это
значение фазы переносится в обеих системах отсчета вместе с
волной с одинаковой скоростью с.
К К'
Рис. 3.13
Расположим в этих системах отсчета двух неподвижных
(относительно системы отсчета) наблюдателей К и К\ находящихся при
t - t' = 0 на некотором расстоянии друг от друга (см. рис. 3.13).
Пусть каждый наблюдатель ведет подсчет числа проходящих мимо
него горбов волны, начиная от прохождения мимо него метки 1.
В некоторый момент времени эти наблюдатели встречаются, и

200 -* Ь- Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
мимо них проходит горб волны с меткой 2, значение фазы
которой в АТ-системе q>2 = cot — kx, а в jKT'-системе фг s <*>'*' ~ *'*'•
Значения координат и времени соответствуют одному и тому же
событию — встрече наблюдателей. Наблюдатель К насчитает число
горбов, равное отношению разности фаз волны в точках 1 и 2 к 2п
_<Р2-(Р\ _ mt-kx
2п = 2п '
а наблюдатель К' насчитает N' горбов
2п 2п '
Но число этих горбов должно быть одинаковым! (Если мы
наблюдаем за движущейся линейкой, на которой нанесено N делений,
то независимо от характера движения линейки число делений
остается неизменным, измениться может только лишь расстояние
между ними.) Отсюда следует, что
a>t-bc = a>'t'-k'x'. (3.45)
Воспользуемся теперь преобразованиями Лоренца,
выражающими связь координат и времени одного и того же события в К- и
К '-системах
х' + vt'
г
После подстановки значений х и / в (3.45) приходим к равенству
vx'
• со* г' - к'х'.
Для выполнения этого равенства при любых значениях х' и V
потребуем, чтобы коэффициенты при х' и f в обеих частях были
равны. Из равенства коэффициентов при V получаем
со kv ,
а),

3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка
а из равенства коэффициентов при х' имеем
Отсюда находим
201
<р' а . ; к'
или с учетом связи со = ск
с \ с
3.3.2. Радиолокатор. Радиолокатор работает на «несущей»
частоте (о. Какую частоту, отраженного излучения зафиксирует этот же
радиолокатор, следящий за самолетом, движущимся в
произвольном направлении со скоростью и?
Свяжем с радиолокатором неподвижную /Г-систему, а
движущуюся К '-систему свяжем с самолетом, и пусть оси х, х' будут
параллельны вектору скорости самолета v (рис. 3.14). На самолет
падает и отражается от него
излучение, которое в К' — системе
имеет частоту
О)'
1-ygCOSff
(3.46)
где <р — угол между осью х и
направлением на самолет в
^-системе; р = v/c.
В #'-системе самолет играет
роль передатчика сигнала, который
Рис. 3.14

202 -JW Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
фиксирует радиолокатор. И, казалось бы, что «движущийся» со
скоростью -t> радиолокатор зафиксирует частоту
(3.47)
где у/ - <р + л — угол, под которым виден радиолокатор по
отношению к вектору скорости самолета. Но это только на первый взгляд.
На самом деле за счет релятивистских эффектов направление на
радиолокатор в АГ'-системе составляет угол у/' * уг. Связь этих углов
можно найти из релятивистского закона сложения скоростей
«,._■£♦» (3.48)
применив его к распространению света от самолета к
радиолокатору. В нашем случае их = с cos у/, их = ccosyr'. Тогда формула (3.48)
примет вид
cos уг =
откуда
(3.49)
Теперь формула (3.47) примет вид
со = а)
Если же учесть (3.49), то получаем окончательное значение
частоты отраженного сигнала, зафиксированного радиолокатором
(3.50)
При v<k с выражение (3.50) упрощается
со* « o)(l-/Scosipf « a)(l-2/3cos<p).

3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка JU 203
Отметим, что при <р — п/2 (самолет летит перпендикулярно
направлению на радиолокатор) никакого смещения частоты
отраженного сигнала не наблюдается.
Изменение частоты принимаемого сигнала v* по отношению к
частоте v, на которой работает радиолокатор, позволяет легко
определить скорость приближающегося самолета. При сложении
испускаемого и принимаемого сигналов возникают биения с частотой Av,
равной, как известно, разности v — v*. В этом случае, полагая в
формуле (3.50) <р = 0, находим
cAv
Пусть, например, радиолокатор работает на частоте v = 600 МГц,
а частота биений Av = 1 кГц. Тогда скорость приближающегося
самолета
т "« = **> км/ч'
3.3.3. Поперечный эффект Доплера. Вдоль оси х
распространяется со скоростью v = 1,3 • 106 м/с слабо расходящийся пучок атомов
водорода. Излучение атомов фиксируется в направлении,
перпендикулярном оси х При каком максимальном угле расхождения
пучка поперечный эффект Доплера еще не будет маскироваться
продольным эффектом?
При движении атомов под углом а к оси х будет наблюдаться
как поперечный, так и продольный эффект Доплера. Продольный
эффект обусловлен наличием проекции скорости атомов и sin а на
направление наблюдения. В соответствии с формулой Доплера
-ЪУ
sma
относительный сдвиг частоты при и«с определяется как
Av v . v
— «—sinor * —a.
v с с

204
Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
Такое же выражение получается и для сдвига длины волны
излучения
АД v
— »-
Л с
(3.51)
Изменение же длины волны за счет поперечного эффекта
Доплера определяется выражением
(3.52)
Из сравнения (3.51) и (3.52) следует, что для наблюдения
поперечного эффекта на фоне продольного необходимо
выполнение условия
~ » U-106
Зеркало
Отсюда видно, что даже при столь малом
отклонении направления излучения от
перпендикуляра к скорости излучающих атомов
поперечный эффект Доплера начинает
маскироваться гораздо более сильным продольным
эффектом. Это делает невозможным
наблюдение поперечного эффекта в чистом виде. Для
отделения поперечного эффекта Доплера
можно использовать то, что знак АД зависит от
знака и, а знак SA — не зависит. В связи с этим
Айвсом было предложено направлять в
спектрограф не только свет, непосредственно
излученный атомами, но и свет, отраженный от
зеркала, перпендикулярного линии наблюдения
(рис. 3.15). В этом случае продольные допле-
ровские смещения АД для атома и его
изображения в зеркале будут равны по величине, но
противоположны по знаку. При отсутствии
поперечного смещения SA в спектрографе
наблюдались бы две линии Д + АД и Д - АД,
расположенные симметрично относительно исходной

3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка -/W 205
линии Л. Однако, эта симметрия нарушается поперечным эффектом
Доплера, дающим смещение 5А одного знака всегда в
длинноволновую сторону спектра. Таким образом, в эксперименте наблюдаются
две линии А{ = А + АД + SA и А^ — А — АЛ + SA, что позволило
отделить поперечный эффект от продольного
Поперечный эффект Доплера является чисто релятивистским
эффектом и поэтому его экспериментальное наблюдение явилось
первым прямым доказательством релятивистского замедления хода
движущихся часов.
3.3.4. Движущееся зеркало. Электромагнитное излучение падает
перпендикулярно движущемуся с нерелятивистской скоростью v <*: с
зеркалу. Направление излучения параллельно скорости зеркала. Как
изменится объемная плотность энергии отраженной волны, если для
падающей волны эта величина равна w?
Изменение плотности энергии волны происходит за счет
изменения частоты волны и изменения объема пространства,
занимаемого волной. Выделим в падающей на зеркало с площадью S
цуг волн длиной /. Тогда объемная плотность энергии падающей
волны
W
где W— энергия волны в объеме F= IS.
С квантовой точки зрения электромагнитная волна
эквивалентна потоку фотонов с энергией hco (h — постоянная Планка; со —
частота волны). И если в объеме К находится # фотонов, то
Nha)
а плотность энергии в отраженной волне будет
где со' — частота отраженной волны; /' — длина отраженного цуга.

206 -JU Глава 3. Взаимодействие излучения с веществам. Эффект Доплера
В задаче о радиолокаторе (3.3.2) нами было получено выражение
для частоты отраженной от движущегося зеркала волны. При ее
нормальном падении
Осталось только рассчитать длину отраженного цуга. Для этого
обратимся к рис. 3.16.
Рис. 3.16
Пусть в момент времени t = О голова падающего цуга касается
зеркала. Если процесс отражения длится время t, то длина
отраженного цуга составит
/' = с/ + d/.
Время отражения цуга можно найти из условия
»t = .
С C-V
За это время зеркало пройдет путь
vl
c-v
Тогда
/' = <* + * = /-
c~v
(3.53)
(3.54)

3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка —'w* 207
Таким образом, плотность энергии в отраженной волне составит
NhQ)y CJ -' 1-4-1. (3.55)
/о c + v v с)
Заметим, что этот результат можно получить, опираясь только
на волновые представления. Известно, что при поглощении света в
случае нормального падения свет оказывает давление Р, равное
плотности энергии излучения Р = w. Очевидно, в случае отражения от
движущегося зеркала
р = w + w'.
При перемещении зеркала на величину х это давление
производит работу А = PSx, которая должна быть равна изменению энергий
волны, т. е.
wlS = w'l'S + (w + w')Sx.
Откуда с учетом (3.53) и (3.54) нетрудно получить результат (3.55).
При падении света на приближающееся зеркало, очевидно,
w' = w 1 + 4— L
V с)
3.3.5. Скорость света в движущейся жидкости. Найти в первом
приближении с учетом дисперсии скорость света v в жидкости,
движущейся от источника со скоростью V. Принять, что в
неподвижной жидкости скорость света равна с/п{А), где Я — длина волны
света в неподвижной жидкости.
Так как скорость света в жидкости не равна скорости света в
вакууме с, то для ее определения следует воспользоваться
релятивистским законом сложения скоростей
где значение Л' измерено в движущейся системе отсчета и из-за
эффекта Доплера не равно длине волны света Я, испускаемого непод-

208 —'w- Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
вижным источником. Таким образом, наша задача сводится к
определению зависимости п(Л') по известной зависимости п(Л).
При малом изменении длины волны АЛ
п(Л + АД)
аЛ
В системе отсчета, связанной с движущейся от источника света
со скоростью V <сс жидкостью, частота света v изменится и станет
равной
v 1--
Тогда
и так как Л = c/(nV), то
Ау пУ
v ~ с 3
с
/IV2
..дАП.д^.
V С
Теперь для показателя преломления имеем
/I V d/2
——.
После подстановки этого значения в (3.S6), получаем
с
V s
•(•♦-£]
с
или, оставляя слагаемые только первой степени по V/c, после
несложных преобразований
с „Л 1 Дел'!
л v л2 л (U;
3.3.6. Ретранслятор. Для одновременной передачи множества
сигналов используют геостационарный спутник Земли в качестве
ретранслятора. Оценить какое количество телефонных каналов с

3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка -* \г 209
шириной полосы Д/ = 3 кГц можно одновременно передавать по
такой линии связи на средней частоте v = 10 ГГц. Принять
среднюю концентрацию свободных электронов плазмы на пути
сигналов п0 = 10й 1/м3. Влиянием ионов пренебречь.
Предположим, что источник испускает короткий сигнал в
диапазоне частот Av (ширина полосы испускания). Так как на пути
сигнала находится плазма, то из-за дисперсии сигналы на разных
частотах проходят путь до спутника и обратно за разное время. Это
означает, что процесс приема испущенного сигнала занимает
конечный временной интервал Дг. На рис. 3.17: 1 — испускаемый
сигнал; 2 — интервал времени приема сигнала Дг. Так как сигналы,
заполняющие данный интервал, имеют разные скорости, то его
величину нетрудно оценить из чисто геометрических соображений (об
этом чуть далее). С другой стороны в этом же временном интервале
должен уложиться волновой пакет в частотном диапазоне Av,
который должен быть связан с Аг, исходя из волновых соображений.
/ 2
I
Аг
Рис. 3.17
Для определения связи временного интервала Аг и диапазона
частот A v рассмотрим простейший случай суперпозиции двух
монохроматических волн с немного отличающимися частотами и
волновыми числами. Пусть каждая волна задана уравнениями
£ = acos(a)t-kx);
£2 = acos[(co + &u))t - (к + Д£)х],
где Дох со, Ак < к. Тогда результирующее колебание будет иметь вид
f» 2acos -~f--r-;
Данное выражение можно рассматривать как уравнение
плоской волны, амплитуда которой изменяется по закону

210 -I\a Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
Подобное образование и есть волновой пакет. За ширину
данного пакета можно принять удвоенное расстояние, на котором
амплитуда А изменяется от максимума до нуля (рис. 3.18). Отсюда сразу
следует
ДЛДх » 2я.
(3.57)
Это чисто волновое соотношение, справедливое для любых волн.
Оно означает, что чем меньше ширина волнового пакета Ах, тем
больший интервал волновых чисел А& (соответственно больший
интервал частот Дю) требуется для того, чтобы сформировать данный
пакет. Так как волновой пакет перемещается в пространстве с
групповой скоростью
Асо Ах
и
то соотношению (3.57) можно придать несколько другой смысл
AvAr -1. (3.58)
Данное соотношение означает, что время прохождения
волнового пакета At через фиксированную точку пространства обратно
диапазону частот A v, из которых сформирован данный пакет.
Именно оно и позволит нам определить полный диапазон частот, в
котором будут размещены все телефонные каналы с шириной полосы А/.
Осталось только оценить интервал времени приема сигналов Аг.

3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка ~^\г 211
Время прохождения сигнала до спутника и обратно
г-2£, (3.59)
где L — расстояние до геостационарного спутника, которое
нетрудно найти, опираясь на законы механики L « 36 • 106 м. Для расчета
групповой скорости воспользуемся ее определением
где
, о с
к = —; и = -;
v п
п — показатель преломления;
dn
1 = dfc = d (а>пп + й)
и йсо da)\ с
или
dv
Зависимость показателя преломления плазмы от частоты нами
была определена ранее (см. задачу 3.1.1)
где
v .
р
Плазменная частота ур при заданной концентрации электронов
равна 2,8 • 106 Гц. И так как vp <а v то выражение для показателя
преломления упрощается
(3.61)

212
л
Глава 3. Взаимодействие излучения с веществам. Эффект Доплера
Таким образом, из выражений (3.S9) и (3.60) находим
21/
Тогда интервал времени приема сигналов в диапазоне частот Д v
приближенно составит
21 d/i A
Дг « ——-Av.
с dv
Откуда, учитывая волновое соотношение (3.S8), находим
(Av) =2Z
И окончательно для принятого закона дисперсии (3.61) имеем
С V
р
или
Разделив это значение на ширину телефонного канала А/= 3 кГц,
находим количество одновременно передаваемых по такой линии
связи каналов
3.3.7. Волоконный кольцевой интерферометр. В волоконном
кольцевом интерферометре, принципиальная схема которого приведена
на рис. 3.19, свет от источника
монохроматического излучения 1 попадает на
светоделительную пластинку 2
(полупрозрачное зеркало), которая
формирует две встречные волны,
распространяющиеся в волоконном оптическом
световоде 5. Фотоприемник 4 регистрирует
интерференционную картину
(фактически интерференционная картина
существует уже на делительном зеркале). При
Рис. 3.19 вращении всей установки вокруг оси,

3.3. Эффект Доплера в оптике. Эффект Саньяка —'I* 213
перпендикулярной к плоскости рисунка, происходит сдвиг
интерференционной картины по отношению к картине, формируемой
неподвижным устройством (эффект Саньяка). Рассчитать фазовый
сдвиг встречных волн, обусловленный вращением контура.
Попытка рассмотреть задачу как проявление эффекта Доплера
является принципиально ошибочной: для эффекта Доплера
необходимо наличие относительного движения источника и приемника
излучения. А в данном случае источником и приемником является
одно и то же тело — делительное зеркало. Поэтому будем
рассматривать эффект Саньяка в рамках специальной теории
относительности как следствие релятивистского закона сложения скоростей —
линейной скорости вращения интерферометра и фазовых скоростей
встречных волн.
Запишем выражение для длины пути 1± волн,
распространяющихся в произвольной среде с фазовой скоростью иф в
лабораторной (неподвижной) системе отсчета К (знак «плюс» соответствует
волне, направление которой совпадает с направлением вращения,
знак «минус» — волне, распространяющейся в противоположном
направлении)
/* ^inRtRut*. (3.62)
Здесь R — радиус кольца; О. — угловая скорость его вращения; Г* —
время распространения встречных волн при обходе кольца
где в соответствии с релятивистским законом сложения скоростей
(с — скорость света). Подставляя в (3.63) выражения (3.62) и (3.64),
нетрудно найти

214 -Jw Глава 3. Взаимодействие излучения с веществом. Эффект Доплера
В итоге разность времен распространения встречных волн в
АТ-системе составит
А,-Г-Г-
Для вычисления разности фаз встречных волн на делительном
зеркале перейдем в мгновенную инерциальную систему отсчета К\
связанную с полупрозрачным зеркалом. В соответствии с
преобразованиями Лоренца разность времен распространения встречных волн
в системе отсчета К' будет равна
c2{l-R2Q2/c2f
Разность фаз встречных волн на делительном зеркале составит
%nR2Q.v
где v — частота источника излучения. Из данного выражения
следует, что разность фаз встречных волн, обусловленная эффектом
Саньяка, не зависит от фазовой скорости волн, а зависит от
частоты. В частности, в оптическом диапазоне, где иф = с/п9 разность фаз
не зависит ни от показателя преломления среды л, заполняющей
интерферометр, ни от закона дисперсии dn/йЛ. Для
электромагнитных волн v = с/Л, поэтому
Интеграл от разности фаз за время вращения позволяет найти
угол поворота интерферометра, что используется для целей
навигации в волоконных оптических гироскопах.
Надежно наблюдаемый в эксперименте и инженерной практике
эффект Саньяка является прямым подтверждением релятивистского
закона сложения скоростей.

ГЛАВА
4
КВАНТОВАЯ ОПТИКА
Квантовая природа излучения заключается в том, что
излучение и поглощение света веществом происходит не
непрерывно, а конечным порциями — квантами. Кроме того и
распространение света в пространстве происходит отдельными порциями,
причем энергия кажцой такой порции определяется формулой Планка
е - ho) (h— постоянная Планка). Эти порции (частицы) называют
квантами света или фотонами. Как и для обычного
электромагнитного излучения к фотонам применимо понятие поляризации.
Своеобразие формулы е = hw проявляется в том, что по классическим
(волновым) представлениям энергия должна быть связана не с
частотой ш, а с амплитудой колебаний. В актах взаимодействия с
веществом (но не между собой) фотоны могут поглощаться, испускаться
и рассеиваться. При этом выполняются законы сохранения энергии
и импульса. 6 то же время, в отличие от обычных частиц для
фотонов не существует закона сохранения числа частиц.
4.1. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Тепловое излучение за счет внутренней энергии тел
является единственным видом излучения, которое может находиться в
равновесии с излучающими телами.
Интенсивность теплового излучения характеризуется величиной
плотности потока энергии — энергетическая светимость R (Вт/м2)
ДФ
где tsW — энергия, испускаемая с поверхности AS за время Д/ по
всем направлениям; ДФ = bW/ЬЛ — поток энергии.

\
216 —*\у Глава 4. Квантовая оптика
Для характеристики излучения (отражения) света в заданном
направлении существует понятие яркости
dO
где dO — поток энергии, излучаемой площадкой Д5, в пределах
телесного угла dQ в направлении полярного угла в относительно
нормали к площадке AS. Единицей яркости служит кандела на
квадратный метр (кд/м2). Источники, яркость которых одинакова по всем
направлениям, — ламбертовские. Для них R = nL.
Самыми простыми закономерностями спектрального состава
обладает излучение так называемого абсолютно черного тела,
которое по определению полностью поглощает падающее на него
излучение всех частот при любых температурах Г. В дальнейшем все
энергетические величины, относящиеся к излучению абсолютно
черного тела, будем снабжать символом «*».
Спектральное распределение энергии характеризуют
спектральной плотностью энергетической светимости (испускательная
способность)
dm
где dR0 — поток энергии, испускаемой единицей поверхности в
интервале частот (со, со + da>). Соответственно, полная энергия по всем
частотам
оо
r^dm.
Спектральную плотность энергетической светимости г можно
выражать и как функцию длины волны Я, выбирая интервалы dco и
сЫ такими, чтобы в них находилась одинаковая энергия
где с — скорость света в вакууме.
Спектральная плотность энергетической светимости абсолютно
черного тела г* связана со спектральным распределением объемной

4.1. Тепловое излучение —'W 217
плотности энергии теплового излучения w(w9 T) (Дж • с/м3)
соотношением
tf-fwfa T),
где
v ' л; do '
— объемная плотность энергии в пространстве, приходящейся
на интервал частот (со, со + da>) при заданной температуре Г.
Величину w(o), T) можно рассматривать как функцию
распределения при расчете среднего значения любой функции частоты <р(ш)
Спектральное распределение объемной плотности энергии и>О, Т)
связано с числом электромагнитных колебаний dna в единичном
объеме в интервале частот (со, со + da>)
w(o), T)da>**dnm(e),
где
. co2dco
(e) — средняя энергия, приходящаяся на одно электромагнитное
колебание. Если величину (е> принять равной кТ (к — постоянная
Больцмана), то получаем формулу Рэлея—Джинса
Данная формула приводит к «ультрафиолетовой катастрофе»,
согласно которой абсолютно черное тело должно мгновенно
испустить всю свою энергию в виде импульса коротковолнового
электромагнитного излучения. Причина этого заключается в
предположении равномерного распределения энергии по степеням свободы.

218 -J\/- Глава 4. Квантовая оптика
Правильное выражение для г* получено Планком в
предположении, что электромагнитное излучение должно испускаться
порциями энергии е = ha. Тогда для средней энергии, приходящейся на
одно электромагнитное колебание, получается
Соответственно функции w(cd9 Т) и г* принимают вид
(О*
Hod
гм = •
ha3
1
4*V
Из последней формулы сразу следуют законы теплового
излучения абсолютно черного тела.
• Закон Стефана—Больцмана:
R' = оТ\
где а — постоянная Стефана—Больцмана,
а =
60c2h3
• Закон смещения Вина:
где b — постоянная Вина,
Inftc
**** =5,67 Ю-8 Bt/(m2-K4).
Г— и
Рис. 4.1
Лт — наиболее вероятная
длина волны излучения (длина
волны, на которую приходится
максимум излучения при температуре
Г, рис. 4.1). Для тел, не
являющихся абсолютно черными, закон
Стефана—Больцмана записывают в
виде R = rioTAy где 0 < г) < 1 —
степень черноты.

4.1. Тепловое излучение —' W 219
4.1.1. Три плоскости. Посередине двух параллельных плоскостей
с температурами Т{ и Т2 находится третья плоскость. Какова ее
температура, если все три плоскости абсолютно черные?
Каждая плоскость является не только источником излучения, но
и его приемником. Причем, так как плоскости являются абсолютно
черными, они поглощают всю падающую на них энергию.
Неизменность температуры средней плоскости обеспечивается равенством
плотностей потоков энергии, поступающих от крайних пластин, и
ее собственного потока излучения
<тТх4 + аТ24 = 2сгТ4
(множитель 2 справа введен из-за того, что средняя пластина
излучает в обе стороны). Откуда находим
1/4
4.1.2. Поток тепла между двух плоскостей. Определить плотность
теплового потока, передаваемого от одной параллельной пластины
к другой, если температура пластин Т{ и Г2, а степень черноты —
соответственно щ и rj2. Площадь каждой пластины S, зазор между
пластинами много меньше их размеров.
Если мы сейчас определим плотность потока тепла,
передаваемого от одной пластины к другой, как разность плотности потока
излучения каждой из пластин, то мы совершим ошибку. В отличие
от предыдущей задачи в потоке излучения, идущего от каждой
пластины, присутствует как ее собственное излучение, так и
отраженное излучение, формирующееся от соседней пластины. Связано это
с тем, что пластины не являются абсолютно черными. Собственный
поток излучения каждой из пластин равен соответственно щаТ4 и
щаТ4. Значительно сложнее дело обстоит с отраженными
потоками, так как происходит их многократное отражение. Обратимся,
например, к первой пластине и будем полагать, что ее излучение
было включено в некоторый момент времени. Вначале появится
плотность потока щ<тТ£. Затем это излучение отражается от второй
пластины с коэффициентом отражения 1 - щ, попадает на первую
пластину, отражается от нее с коэффициентом отражения 1 - щ и т. д.

220 —»W Глава 4. Квантовая оптика
Таким образом, плотность потока излучения, идущего от первой
пластины и сформированного данной пластиной, определится как
Но необходимо учитывать, что от первой пластины отражается и
излучение, сформированное второй пластиной. Нетрудно
сообразить, что его можно найти как
(4-2)
Выражения, стоящие в квадратных скобках (4.1) и (4.2),
являются суммой сходящейся геометрической прогрессии со знаменателем
q = (1 - rj2)(l - щ) < 1 и значение этой суммы равно 1/(1 - д).
Таким образом,
Полный поток, идущий от первой пластины ко второй, равен
Аналогично находим полный поток, идущий от второй
пластины к первой (для этого нужно просто заменить индекс 1 на 2 и
наоборот)
ф21
S
И в итоге, вычитая выражения (4.3) и (4.4), получаем
(44)

4.1. Тепловое излучение Jb 221
4.1.3. Две полости с отверстиями. Имеются две полости 1 и 2 с
малыми отверстиями одинакового радиуса г = 5,0 мм и абсолютно
отражающими наружными поверхностями. Полости отверстиями
обращены друг к другу, причем
расстояние между отверстиями / = 100,0 мм / 2
(рис. 4.2). В полости 1 поддерживают /^>у
температуру Тх = 1250 К. Найти уста- \j£A /
новившуюся температуру в полости 2 **
Считать, что абсолютно черное тело Рис. 4.2
является ламбертовским излучателем.
Условием теплового равновесия в данном случае является
равенство потоков энергии, выходящей из полости 2 и проникающей в
нее. Из полости 2 выходит поток энергии R^AS = aTJAS (AS = яг2 —
площадь отверстия). Для расчета потока энергии, проникающей в
отверстие второй полости из первой, воспользуемся понятием
яркости. Эта величина как раз и вводится для определения потока
энергии в заданном направлении. Пусть яркость отверстия 1 равна Lv
Тогда в направлении отверстия 2 по определению яркости идет
поток энергии LXARAS9 где AQ = AS/12 (полагаем, что оси отверстий /
и 2 совпадают). Кроме того, так как по условию задачи отверстия
являются ламбертовским излучателями (их яркость не зависит от
направления), то
п п
Таким образом, условие теплового равновесия принимает вид
oT%AS s
Откуда находим
1^ = 280 К.
4.1.4. Медный шарик. Медный шарик радиусом г = 10,0 мм с
абсолютно черной поверхностью поместили в откачанный сосуд,
температура стенок которого поддерживается близкой к
абсолютному нулю. Начальная температура шарика То = 300 К. Через какое

222 -JW Глава 4. Квантовая оптика
время его температура уменьшится в tj — 1,5 раза? Удельная
теплоемкость меди с = 380 Дж/(кг • К), ее плотность р = 8,9 • 103 кг/м3.
Будем полагать, что температура шарика за счет излучения
падает достаточно медленно и успевает выровняться по объему шарика
(иначе нам придется решать дифференциальное уравнение
теплопроводности с заданными граничными и начальными условиями).
Составим для этого случая уравнение теплового баланса
где т — масса шарика,
-
йТ — малое изменение температуры за время d/ за счет излучения.
Значение излучаемого тепла SQ при температуре шарика в данный
момент времени равно произведению энергетической светимости
аТА на площадь поверхности шарика 4ят2 и d/
(знак «минус» поставлен из-за того, что тепло уходит от шарика).
Таким образом, приходим к дифференциальному уравнению
-cmdT = 4xr2T4dt.
Интегрируя данное уравнение с учетом начального условия Г= Го,
получаем
Откуда находим
4.1.5. Теплоемкость полости. Полость объемом К= 1 л заполнена
тепловым излучением при температуре Г= 1000 К. Какова ее
теплоемкость Су?

4.1. Тепловое излучение -Jb» 223
Из термодинамики известно, что теплоемкость при постоянном
объеме равна производной по температуре от внутренней энергии
системы при постоянном объеме
\BTJy
В нашем случае внутренняя энергия U равна энергии теплового
излучения внутри полости, которую можно представить как
произведение объемной плотности энергии Wua объем полости К В свою
очередь объемная йлотность энергии излучения связана с
энергетической светимостью стенок полости R* соотношением W- 4R*/c.
В итоге для U имеем
с с
И окончательно после взятия производной получаем
Cv=—<tT3V = 3 нДж/К.
с
4.1.6. Критерий Вина. Вином была получена формула для
спектрального распределения объемной плотности излучения абсолютно
черного тела
-**/[£).
где f{co/T) — некоторая функция отношения частоты к температуре.
Показать с ее помощью, что:
а) наиболее вероятная длина волны Лт ~ \/Т\
б) максимальная спектральная плотность энергии
пропорциональна Г5.
Так как величина w(a), T) является функцией распределения
энергии по частотам, то наиболее вероятная длина волны
соответствует максимуму этой функции, аргументом которой должна
являться не частота, а длина волны. Поэтому вначале преобразуем
функцию w(a), T) так, чтобы ее аргументом была длина волны. Для
этого определим бесконечно малый интервал частот и длин волн
так, чтобы выполнялось равенство энергии в данных интервалах
w(e>, T)dm = w(Af Т)йЛ -> w(A, T) = w(a>9 T)^.
(Li

224 -*\г Глава 4. Квантовая оптика
Воспользовавшись связью длины волны и частоты (со = 2яс/Л)>
получаем
йсо 2пс
(U = Л1
(знак «минус» можно убрать, так как он показывает только то, что
увеличение длины волны приводит к уменьшению частоты). Таким
образом,
или
w(A, T) = -^jF(AT), (4.5)
At
где FtyT) — некоторая функция произведения Л Т.
Для определения длины волны Ят, на которую приходится
максимум функции м>(Л, Г), найдем производную dw/йЛ и положим ее
равной нулю
$£. s 2L р' UT) - 4" F ОТ) = Л- [MF* (ЛТ) - 5^ (ЛТ)] = О
(U Л5 Л6 Л6
(знак «'» означает, что производная берется по аргументу ЛТ). Это
уравнение имеет вид xF'(x) — 5F(x) = 0, где jc = ЛТ. В любом случае
корень этого уравнения х равен некоторому числу Ъ. Отсюда следует
, , 1
Подставляя значение Дда в (4.5), получаем
4.1.7, Число фотонов. Определить среднее число фотонов в
единице объема полости, заполненной равновесным излучением
абсолютно черного тела, при температуре Т = 300 К.
Для того чтобы понять, что от нас требуется, обратимся к
формуле Планка для спектрального распределения объемной плотности
энергии теплового излучения
со3 ha)

4.1. Тепловое излучение —'W 225
Если ее умножить на интервал частот йсо, то мы получим
энергию всех электромагнитных колебаний частоты со в интервале
частот ((У, со + dco) в единице объема. Но каждое электромагнитное
колебание и есть фотон, энергия, которого равна hco. Отсюда
следует, что число фотонов в интервале частот (со, со + dco) в единице
объема
Ат _ w(co9 T)dco _ 1 соЧсо (46)
Естественно, для определения числа фотонов всех частот
необходимо проинтегрировать соотношение (4.6) по частотам от нуля до
бесконечности (конечно, бесконечно больших частот не
существует, но их вклад в интеграл пренебрежимо мал, поэтому мы и
выбираем такой интервал частот)
o)2dco
*ехр|
Для вычисления интеграла введем переменную х - Нсо/кТ. Тогда
кгТг 7 x2dx
П а , 3 3 I— .
л Ъгс' %е -1
Сюда входит табличный интеграл (его значение равно 2,405, см.
например, [1]) и после подстановки значений всех констант
получаем
п - 90 ST3 s 5 5. Ю8 рта""3
4.1.8. Формула Планка. Опираясь на формулу Планка для
спектральной плотности энергии единичного объема w(co, T) найти
среднее значение частоты {со), среднее значение энергии фотонов (е) и
наиболее вероятное значение энергии фотонов при заданной
температуре Г.
Как уже отмечалось во введении к данному разделу, функцию
w(co9 T) следует рассматривать как функцию распределения при рас-

л
226 -* W Глава 4. Квантовая оптика
чете среднего значения любой функции частоты <р(со). Тогда среднее
значение частоты излучения можно найти как
оо А л
с со асо
f cow dco
wcha
Введем переменную х = Hm/kT. Тогда
x3<bc
Данные интегралы являются табличными (верхний равен 24,9,
нижний — пА/\5) и для (со) получаем
Среднее значение энергии фотонов можно определить как
отношение всей энергии единичного объема излучения jwdco к числу
о
фотонов л, найденному в предыдущей задаче
h 7 со3 dco
45)-
'
Данные интегралы являются табличными (после замены х = hco/kT)
и для <£> имеем

4,h Тепловое излучение -J\* 227
Под наиболее вероятным значением энергии следует понимать
значение энергии, которым обладает наибольшее число фотонов.
Это означает, что нам нужно иметь распределение числа фотонов
по частотам nw. Значение этой функции можно найти из формулы
(4.6) предыдущей задачи, если данную формулу переписать в виде
л 1 a)2da)
Отсюда видно, что
w2
-(§)-'■
Для определения ее максимума найдем производную dnjdco и
положим ее равной нулю. В результате после введения переменной
х = Псо/кТ приходим к трансцендентному уравнению
2-х = 2е~х.
Корень этого уравнения можно найти любым из известных
методов: х0 « 1,6. Откуда находим наиболее вероятную энергию
фотонов to» = 1,6ЛГ.
вер
4.1.9. Шарик над плоскостью. Над плоскостью, зачерненной с
обеих сторон, на высоте Л расположен центр шарика радиуса а<к А,
являющегося источником равновесного теплового излучения с
температурой Го. Найти стационарное распределение температуры на
плоскости. Считать, что фон теплового излучения отсутствует и
теплопроводностью вдоль плоскости можно пренебречь.
Так как можно пренебречь теплопроводностью вдоль
плоскости, то температура Г в области любого бесконечно малого элемента
плоскости dS определяется равенством потока энергии,
поступающего от нагретого шарика йФш, и излученного элементом dS потока
энергии <1Ф по обе стороны зачерненной плоскости. По закону
Стефана— Больцмана

228 -*\г Глава 4. Квантовая оптика
В силу симметрии задачи положение кольцевого элемента
плоскости dS будем задавать только расстоянием г от него до
основания перпендикуляра, опущенного на плоскость из центра шарика
(рис. 4.3). По определению яркости поток энергии, поступающий
на элемент dS от бесконечно малого элемента шарика (15Ш
<12ФШ = LdadSmcosa.
Здесь L — яркость шарика; сЮ — телесный угол, под которым виден
элемент dS из места расположения элемента dSm,
«to
остальные обозначения ясны из рис. 4.3. Так как по условию радиус
шарика а <*: А, то угол а можно заменить на угол #?, под которым
виден элемент dSm из центра шарика по отношению к
перпендикуляру к плоскости, а угол в отсчитывать от нормали к плоскости к
направлению на центр шарика.
Рис 4.3
В этом случае
Кроме того, так как шарик является ламбертовским
излучателем, то его яркость L связана с энергетической светимостью аТ$
соотношением
COS0

4.1. Тепловое излучение -гЬ> 229
Таким образом, для потока энергии, излученного элементом
шарика с!2Фш, получаем
— -^d-^cosp.
Интегрируя данное выражение по всем элементам шарика,
получаем полный поток энергии, поступающий на элемент плоскости dS
* (А2+г2)3/2
(мы учли, что dSm cos <p представляет собой проекцию элемента dSm
на экваториальную плоскость шарика). И теперь из условия
теплового баланса
2<тГ4 (r)dS =
)3/2
* (А2+г2Г
находим радиальное распределение температуры по плоскости
аЧ Г
4.1.10. Нагрев шарика Солнцем. Линза со светосилой 1 :4 (это
отношение диаметра линзы D к ее фокусному расстоянию /)
собирает солнечный свет на поверхность черного шарика, находящегося
в вакууме. До какой температуры Г может нагреться шарик, диаметр
которого равен диаметру изображения Солнца? Считать Солнце
черным телом с температурой Тс = 6000 К.
Как и в предыдущей задаче, температуру шарика можно
определить из условия равенства потока энергии, падающей на шарик и
излученной им. Если принять температуру шарика одинаковой, то
его полный поток энергии, излучаемый по всем направлениям
Фш = <гТ44яг2.
Так как по условию диаметр изображения Солнца равен
диаметру шарика, то на шарик падает только та часть излучения Солнца,

230 —'w- Глава 4. Квантовая оптика
которая проходит через линзу. Пусть линза видна с поверхности
Солнца под телесным углом
SQ,
пР1
4L2
(рис. 4.4). В этом случае на нее из всей мощности излучения Солнца
аТ^АпВъ падает только часть излучения, пропорциональная SQ./An.
Таким образом, на линзу падает поток излучения
Ф =
Рис. 4.4
Осталось только определить радиус шарика. Из рис. 4.4 следует
г Be rRr
Тогда условие теплового баланса приводит к равенству
Откуда
4.1.11. Эффективная температура лазерного излучения. Лазер на
рубине излучает в импульсе длительностью Л/ = 0,5 мс энергию Е =» 10 Дж в
виде почти параллельного светового пучка сечением AS = 1 см2.

4.1. Тепловое излучение -*\г 231
Рабочая длина волны лазера Л = 694,3 нм, ширина линии АЛ = КГ3 нм.
Определить по спектральной плотности излучаемой энергии
эффективную температуру 7^ лазерного излучения. Под эффективной
температурой понимается температура абсолютно черного тела, при
которой его спектральная плотность излучения г* такая же, как и у
лазера на частоте со.
Исходя из представлений об эффективной температуре, мы
должны представить излучение лазера так, как будто оно исходит из
площадки AS абсолютно черного тела в перпендикулярном к ней
направлении в пределах телесного угла АО. в интервале частот Аса.
Значение AQ определяется углом дифракции 0дафр на выходном
отверстии лазера (рис. 4.5)
2*(1 -
4/rsin2
АЧТ
Лазер
Рис. 45
Полагая
где d — диаметр выходного отверстия лазера, находим
4Д5
Из определения яркости для абсолютно черного тела (это лам-
бертовский источник) следует, что энергия излучения в
перпендикулярном направлении с площадки AS в пределах телесного угла АО.
за время А/ в интервале частот Асо равна
п

232 -J\r Глава 4, Квантовая оптика
где г*, согласно распределению Планка, дается формулой
ha3 1
-1
(k — постоянная Больцмана; ft — постоянная Планка). Таким
образом, для энергии лазерного излучения получаем
или, с учетом связи со = 2пс/А, Аю = 2лгсАД/>12,
Осталось только решить это уравнение относительно 7^. Для
этого оценим вначале выражение в квадратных скобках
Этот результат означает, что показатель экспоненты много меньше
единицы. Тогда, разлагая экспоненту в ряд, получаем
7т 2AJr Л А - 1Л7 тг
4,7 • 10 К.
Столь колоссальное значение эффективной температуры
обусловлено тем, что энергия излучения сосредоточена в очень узком
спектральном интервале.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Идея Планка о том, что излучение и поглощение света
веществом происходит не непрерывно, а порциями (квантами)
позволила объяснить закономерности теплового излучения. Более ра-

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения —»w- 233
дикальная и законченная форма была предложена Эйнштейном,
который считал, что и распространение света в пространстве
происходит отдельными порциями — фотонами. Идея фотонов не являлась
простым возвратом к ньютоновской корпускулярной теории света,
так как фотонам свойственна интерференция и дифракция. Фотоны
обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами
(в этом проявляется их корпускулярно-волновой дуализм).
Если фотоны обладают энергией е = ho, то в соответствии с
теорией относительности они обладают и импульсом. Связь
энергии Е и импульса р для свободно движущейся со скоростью v
частицы массы т определяется соотношениями
£-/>с=етс; /> = 4*>-
с1
Так как скорость фотона v = с, то его энергия связана с
импульсом е = рс. Это соотношение, во-первых, говорит о том, что фотон
не обладает массой и, во-вторых, позволяет выразить импульс
фотона через волновой вектор
о 2п
— = —
с Л
следующим образом:
Взаимодействие фотонов с электронами металла (фотоэффект)
определяется уравнением Эйнштейна
ha) = A + -nw2m,
где А — работа выхода электрона; vm — максимальная скорость
фотоэлектронов.
Процесс упругого рассеяния фотона неподвижным свободным
электроном (эффект Комптона) описывается законами сохранения
энергии и импульса
hw + тс2 = ha' + cjp2 + m2c2;
hk = p + hk'.

234 ^\г Глава 4, Квантовая оптика
Из данных соотношений следует значение разности длин волн
фотона до — Л и после — Л' рассеяния
дд s д>: - л = Лс (1 - cos(9) = 2ЛС sin21,
где Яс = 2nh/mc — комптоновская длина волны частицы массой /и,
на которой происходит рассеяние рентгеновского излучения; в —
угол рассеяния.
4.2.1. Длина волны фотона. Найти длину волны фотона,
импульс которого равен импульсу электрона с кинетической
энергией Ek = 0,30 МэВ.
Импульс фотона р связан с его энергией соотношением р = е/с.
И, так как энергия фотона определяется его длиной волны е = 2яЬс/А,
то для длины волны фотона имеем
где р — импульс фотона, равный импульсу электрона.
Таким образом, нам осталось только связать импульс электрона р
с его кинетической энергией Ek. Значение этой энергии близко к
значению энергии покоя («0,5 МэВ), поэтому воспользуемся
релятивистскими соотношениями
£2-Д2=Л4; Ек=Е-тс\
где Е — полная энергия электрона массой т. Из этих соотношений
находим
И окончательно
Inch
Переведя электрон-вольты в джоули (1 эВ = 1,6 • 10~19 Дж),
получаем Л = 2,2 • 10~12 м.

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения -'l/' 235
4.2.2. Импульс пластинки. Короткий лазерный импульс света с
энергией Е = 7,5 Дж падает на зеркальную пластинку с
коэффициентом отражения р = 0,60. Угол падения в = 30°. Найти импульс,
переданный пластинке.
Из закона сохранения импульса следует, что импульс,
переданный пластинке Ар, должен быть равен разности импульсов фотонов р,
падающих на пластинку, и отраженных от нее р'
Ар = р - />'.
Причем этот импульс при заданной полной энергии излучения Е
не зависит от спектрального состава излучения. Импульс каждого
фотона зависит от частоты (он равен hco/c), но так как число
падающих фотонов в интервале частот {со, со + dco), в котором
сосредоточена энергия dE^, обратно hco (равно AEJhco), то импульс всех фотонов
> &Ет hco E
hco с с'
Обратимся к рис. 4.6. На нем
отображены вектор импульса падающих
фотонов р = Е/с, вектор импульса отраженных
фотонов р' = рЕ/с и вектор Ар = р - р'.
По теореме косинусов
с
+ р2 -
С учетом того, что q>:
чаем окончательно
п - 20, полу-
Рис 4.6
Ар = — Jl + рг + 2р cos 20.
с
4.2.3. Давление света. Найти с помощью корпускулярных
представлений силу светового давления в следующих случаях:
1. Плоский световой поток с интенсивностью /(Вт/м2) освещает
половину зеркальной поверхности шара радиуса R.
Расчет силы давления проводится, исходя из второго закона
Ньютона. Согласно этому закону сила равна изменению импульса
всех фотонов, падающих в единицу времени на данную площадку.
Поэтому вначале, исходя из условий падения и отражения, рассчи-

236 -^\^ Глава 4. Квантовая оптика
тывается изменение импульса одного фотона. Затем с учетом
энергии излучения, падающей на площадку, подсчитывается полное число
фотонов и находится суммарное изменение импульса фотонов.
В отличие от предыдущей задачи угол
падения фотонов на поверхность шара
является переменным (изменяется от нуля
до л/2). Поэтому разобьем поверхность
шара на элементы dSB виде сферических
колец с радиусом г = R sin ft и шириной
RdO (рис. 4.7). При зеркальном
отражении каждый фотон с импульсом р = hco/c
передаст элемешу dS импульс Др = 2рсо& ft,
направление которого образует с осью х
угол ft И в силу симметрии нам будет
необходима только х-проекция этого импуль-
рис. 4.7 са Дрх = 2р cos2 ft Число фотонов d#,
падающих ежесекундно на элемент dS,
можно выразить через отношение интенсивности падающего излучения /
к энергии одного фотона
ПО)
Здесь dScos ft— проекция элемента dSna направление,
перпендикулярное излучению; значение dS = 2nR2sw. ftdft Тогда согласно
второму закону Ньютона сила, действующая на элемент dS, будет равна
изменению импульса всех фотонов, падающих на элемент dS в
единицу времени
dF = ApxdN = 2—cos2 6—2nR2 sinftcosftdft =
с ho
j
с
Интегрируя это выражение по ft от нуля до я/2, находим
/ 2
с
Заметим, что точно такой же результат получается и для
полностью поглощающей плоской поверхности площадью nR2.

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения -*Ь- 237
2. Плоская абсолютно матовая поверхность с площадью S и
коэффициентом отражения, равным единице, освещается световым
потоком с интенсивностью / (Вт/м2), падающим нормально.
Равенство единице коэффициента отражения означает, что
каждый фотон отражается без потери импульса (р = р'). Термин
«абсолютно матовая поверхность» означает, что
вероятность отражения одинакова для всех
направлений. Иначе можно сказать, что в
любом направлении при одинаковом
бесконечно малом телесном угле dQ отражается
одинаковое число фотонов. Так как падающий
поток света однороден по сечению, то нам
достаточно рассмотреть, что происходит при
отражении света от любого малого элемента
поверхности AS. Поэтому выделим на
поверхности S небольшой элемент Д*У, на который
ежесекундно падает AN фотонов с энергией hco (рис. 4.8). В силу
изотропности отраженного излучения из этого числа фотонов в
направлении da отражается число фотонов равное
где
IAS
hco
В качестве элементарного телесного угла удобно взять
<Ш = 2п sin в d$
(мы проинтегрировали истинный элементарный телесный угол в
сферической системе координат сЮ = sin в de dip по азимутальному
углу <р от нуля до 2я). Число ежесекундно падающих на площадку
AS фотонов с энергией hco равно
IAS
hco
Проекция изменения импульса каждого из этих отраженных
фотонов на направление, перпендикулярное площадке AS (нас
интересует именно это значение), равна
ЬОО /л Л\
= (1 + COS0).
с

238
Глава 4, Квантовая оптика
Тогда согласно второму закону Ньютона
&F = 6p±dN = —^-(1 + cos в) sin 0d0,
с
что после интегрирования по углу в от нуля до nil дает
Соответственно для всей поверхности S имеем F = 3/5/2с. Этот
результат можно было предугадать заранее, так как абсолютно
матовая поверхность занимает промежуточное положение между
плоской зеркальной поверхностью и абсолютно черной.
3. Свет от точечного изотропного источника мощностью Р
падает на идеально зеркальную пластинку с радиусом Я Источник
находится над центром пластинки на расстоянии / от нее (рис. 4.9).
Рис. 4.9
Симметрия задачи говорит о том, что в качестве бесконечно
малой элементарной площадки <LS следует выбрать тонкое кольцо
радиусом г и толщиной dr с центром под источником света. В предыдущих
задачах было показано, что сила давления не зависит от
спектрального состава излучения, поэтому будем полагать, что все фотоны имеют
одинаковую энергию hco. Тогда полное число фотонов,
распространяющихся ежесекундно от источника мощностью Р во всех направлени-

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения -* Ь- 239
ях N = Р/Ло* Из этого числа в направлении площадки dS1, которая
видна под телесным углом сЮ = 2я sin Odd летит diV= (N/4n)d£l
фотонов. Изменение импульса одного фотона составляет ^ = 2(hco/c) cos 0.
Таким образом, сила давления на элемент dS согласно второму
закону Ньютона будет равна
Р
dF = ApdN = —sin0cos0d0.
с
Осталось только проинтегрировать по углу в от нуля до
некоторого максимального угла вт% определяемого условием
В итоге получаем
4.2.4. Эффект Доплера. Исходя из представлений о фотонах, как
о квантах излучения, получить формулу для эффекта Доплера.
Рассмотрим вначале неподвижный источник света. При
испускании фотона изменение внутренней энергии источника (это его
энергия покоя) должно быть равно энергии фотона
где £0, Eq — энергия покоя источника до и после излучения; со —
частота фотона.
Пусть теперь источник движется со скоростью v и излучает
фотон под углом в к направлению v (рис. 4.10, а). Запишем законы
сохранения энергии и импульса
Здесь Е и Е' — полная энергия источника до и после излучения;
е = Ьсо' — энергия фотона; р и р' — импульс источника до и после
излучения; рф — импульс фотона. Возведем первое из этих уравне-

240
Глава 4. Квантовая оптика
ний в квадрат, а второе представим в скалярном виде,
предварительно умножив его на с2 (рис. 4.10, б)
с2р'2 = с2р2 + с2р\ - 2рфрс2 cos0.
Источник
света
Рис. 4.10
После вычитания этих уравнений с учетом релятивистской
связи энергии и импульса
Е2-р2с2=Е2
приходим к уравнению для определения е (именно сюда входит
частота фотона)
Ef =El~ 2Ee + 2рфрс2 cos 0.
Так как/?фс = е, а р = Ev/c2, то данное уравнение можно записать
в виде
или, с учетом связи
оно будет выглядеть как
щ, 2e(l-/3co&6)
где 0 - v/c.

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения -*W 241
Для массивного источника отношение
И поскольку
Ео - Eq =hct)] e = Псо\
то искомая релятивистская связь частоты неподвижного и
движущегося источника запишется в виде
l-J3cose
Для нерелятивистского источника (J3 < 1)
<у' = ем 1 + —cos0|.
(4-7)
' = ем 1 + —
Заметим, что результат (4.7) можно получить также,
воспользовавшись преобразованием Лоренца для энергии Е частицы с
импульсом р
где v — скорость движущейся системы отсчета; в — угол в
неподвижной системе между направлением движения фотона и
скоростью источника. Учитывая, что для фотона Е-Псо- рс, приходим к
соотношению
l-[-|COS0
где со — частота света в неподвижной системе отсчета; со* — в
движущейся вместе с источником. У нас же источник движется
относительно наблюдателя. Поэтому необходимо заменить со' <г+ со н тогда
приходим к (4.7).

242
Глава 4. Квантовая оптика
4.2.5. Фотоэффект. Никелевый шарик, играющий роль
внутреннего электрода сферического вакуумного фотоэлемента, освещают
моноэнергетическим электромагнитным излучением различных длин.
Полученные вольтамперные характеристики представлены на рис. 4.11
(данные характеристики построены в таком масштабе, что значение
тока насыщения во всех случаях оказалось одинаковым). Найти с
помощью этих графиков соответствующие длины волн.
-0,5
1,0 U, В
Очевидно, искомую длину волны можно найти только из
уравнения Эйнштейна для фотоэффекта, записанное через длину волны
2я%с
1
(4.8)
где А — работа выхода (дли никеля А = 4,84 эВ); vm — максимальная
скорость фотоэлектронов, которой соответствует максимальная
кинетическая энергия. Казалось бы, что для ее определения
достаточно измерить задерживающую разность потенциалов U3, т. е.
определить показания вольтметра, при которых ток фотоэлемента
обращается в нуль. Именно так обстоит дело, если катод и анод фотоэлемента
изготовлены из одного материала. Если же эти электроды
изготовлены из разных материалов (что обычно и бывает), то определение
задерживающей разности потенциалов усложняется. В этом случае
начинает играть заметную роль контактная разность потенциалов,
возникающая при контакте разных металлов (катод и анод образуют
единую цепь). Причем контактная разность потенциалов
определяется разностью работ выхода электронов из материала катода и
анода и не зависит от материала промежуточных проводников. Если бы
контактной разности потенциалов не было, то при напряжении между
катодом и анодом, равным нулю, все фотоэлектроны вне зависимо-

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения —'Х/" 243
сти от начальной скорости достигали бы анода, и мы уже имели бы
ток насыщения.
Наличие контактной разности потенциалов приводит к сдвигу
вольтамперной характеристики по оси U, зависящему от знака
контактной разности потенциалов. Бели ее знак таков, что она
тормозит вылетающие из катода электроны, то приходится прикладывать
внешнее напряжение, компенсирующее тормозящую контактную
разность потенциалов, и начало горизонтального участка (ток
насыщения) сдвигается вправо в сторону положительных значений
показания вольтметра. Если же контактная разность потенциалов не
тормозит, а ускоряет фотоэлектроны, то вольтамперная характеристика
фотоэлемента смещается влево. Очевидно, в обоих случаях
значение задерживающего напряжения можно найти как
где значение U2 соответствует напряжению, при котором
устанавливается ток насыщения, а значению Ux соответствует нулевой ток
фотоэлемента (см. рис. 4.11). Отметим, что положение точки 2
зависит только от контактной разности потенциалов, положение же
точки 1 — от частоты падающего света. Значит, и задерживающая
разность потенциалов Uz тоже зависит от частоты падающего света.
Определив (73, мы тем самым находим максимальную кинетическую
энергию фотоэлектронов
Подставляя это выражение в (4.8), находим
- 2пЬс
~ A + e{U2-Uxy
что после подстановки численных значений дает Л = 196, 213 и 224 нм.
4.2.6. Рентгеновское излучение. В сплошном рентгеновском
спектре интенсивность излучения /я с длиной волны До = 50 пм зависит
от напряжения {/на рентгеновской трубке следующим образом: при
напряжениях U, равных 29, 28, 27, 26 (кВ), значение интенсивности
1Л в относительных единицах составляло соответственно 10,0; 6,0;
3,0 и 1,4 единиц. Вычислить по этим данным постоянную Планка h.

244 —'\i- Глава 4. Квантовая оптика
Метод определения постоянной Планка, основанный на
измерении коротковолновой границы тормозного рентгеновского
излучения, является наиболее точным. Его называют методом изохро-
мат. Заключается этот метод в том, что спектрометр для
рентгеновского излучения устанавливают так, чтобы в счетчик попадало
излучение одной и той же определенной длины волны, и измеряют
интенсивность 1Л в зависимости от приложенного к рентгеновской
трубке напряжения К Построим эту зависимость, используя
данные в задаче условия, и экстраполируем ее до пересечения с осью
абсцисс.
h
ю
25 26 27 28 29 30 £/,кВ
Рис. 4.12
Из рис. 4.12 находим значение соответствующего напряжения
UQ = 25 кВ, при котором значение 1Л обращается в нуль. При этом
напряжении излучение с длиной волны i0 = 50 пм становится
коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра. Это,
конечно, не означает, что рентгеновское излучение исчезает —
исчезает излучение с этой длиной волны, а остается излучение с ббль-
шими длинами волн. В данном случае энергия световых квантов hco
значительно превышает работу выхода А и тогда уравнение
Эйнштейна принимает более простой вид
ha)=-mv2m.
Эту формулу можно интерпретировать и иначе: не как переход
энергии светового кванта в кинетическую энергию электрона, а на-

4.2, Корпускулярные свойства электромагнитного излучения —'\л 245
оборот, как переход кинетической энергии электронов, ускоренных
разностью потенциалов U, в энергию квантов, возникающих при
резком торможении электронов в материале антикатода. По этой
причине процесс возникновения рентгеновских квантов называют
иногда обратным фотоэффектом.
Приравнивая кинетическую энергию электронов работе
электрического поля через ускоряющее напряжение, получаем
2nhc cU
Эта формула определяет минимальную длину волны, с которой
могут испускаться рентгеновские лучи при заданном напряжении
на трубке. В нашем случае Ло = 50 пм, Uo = 25 кВ. Используя эти
данные, находим
Джс.
4.2.7. Взаимодействие фотона с атомом. Фотон с длиной волны
Л = 17,0 пм вырывает из внутренней оболочки покоящегося тяжелого
атома электрон, энергия связи которого Е^ - 69,3 кэВ. Найти
импульс, переданный атому в результате этого процесса, если электрон
вылетает под прямым углом к направлению налетающего фотона.
При взаимодействии фотона с электроном
атома, последний получает практически всю
энергию фотона, так как масса атома много
больше массы электрона. Импульс же,
который получает атом рй, можно найти из закона
сохранения импульса (рис. 4.13):
р.
1
Ре +4=
Р.
Рис. 4.13
где />ф = Но/с — импульс фотона; ре — импульс
электрона. Для его определения нам следует
решить: какой формулой (релятивистской или нерелятивистской)
связан импульс электрона с его энергией? Обратимся к закону
сохранения энергии
Па) ш Ее + Есъ ->Ее=Пп)~ Еа

А
246 —'!/■ Глава 4. Квантовая оптика
и оценим величину
2££ 103 эВ.
Тогда с учетом 2ГСТ = 69,3 кэВ электрону достанется около 3,6 • 103 эВ,
что гораздо меньше его энергии покоя («0,51 МэВ). Поэтому
воспользуемся нерелятивистской связью энергии и импульса
Таким образом,
что составляет »95 кэВ/с. Здесь с — скорость света, а не секунда (так
часто выражают импульс микрочастиц).
4.2.8. Взаимодействие фотона со свободным электроном. Показать,
что свободный электрон не способен поглощать и испускать фотоны.
Чтобы понять это рассмотрим с точки зрения законов
сохранения энергии и импульса процесс поглощения фотона свободным
покоящимся электроном. Из закона сохранения энергии следует
ho) + тс2 = Су/р2 + т2с2,
где р — импульс электрона после поглощения фотона. В силу
закона сохранения импульс электрона должен быть равным импульсу
поглощенного фотона/? = Па/с. После подстановки этого значения в
закон сохранения энергии и возведения в квадрат, приходим к
равенству Ihcomc2 = 0, что, очевидно, невозможно, так как ни со, ни т
не равны нулю. В силу эквивалентности различных инерциальных
систем отсчета получаем, что и движущийся свободный электрон не
способен поглотить фотон. Нетрудно понять, что свободный
электрон не имеет права и излучать фотон (этот процесс является
обратным поглощению).
Полученный результат в некотором смысле тривиален. Наше
доказательство молчаливо предполагало, что масса электрона до и
после взаимодействия остается той же самой. Это значит, что
внутреннее состояние электрона при этом не изменяется. В этом случае

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения -J\j- 247
полная энергия электрона при испускании фотона может только
возрастать за счет отдачи во время испускания. Испущенный фотон
в свою очередь несет положительную энергию. И если бы
испускание фотона было возможно, то оно сопровождалось бы нарушением
закона сохранения энергии.
В то же время при рассмотрении фотоэффекта мы полагали, что
свободный электрон может полностью поглотить фотон. Не
противоречит ли это только что доказанному утверждению о
невозможности поглощения или испускания фотона свободным электроном?
На самом деле никакого противоречия нет. Оно возникает из-за
неудачной терминологии. «Свободный электрон в металле» на
самом деле не свободен. Для электрона металл является
потенциальной ямой. И фотон взаимодействует не только с электроном, но и
со всем металлом в целом. Импульс фотона воспринимается как
электроном, так и металлом, энергия же фотона передается только
электрону, так как масса металла может считаться бесконечно
большой. Напротив, упругое рассеяние фотона свободным электроном
(или который может считаться таковым) вполне возможно; это
наблюдается при эффекте Комптона.
4.2.9. Эффект Комптона
• Фотон с энергией ha) рассеялся под углом в на покоившемся
свободном электроне. Определить угол <р, под которым вылетел
электрон отдачи (по отношению к направлению налетевшего фотона).
На рис. 4.14 отображен закон сохранения
импульса при рассеянии фотона на свободном
электроне hk = hk' + р. Здесь hk — импульс
налетающего фотона (его модуль равен hey/с);
hk' — импульс рассеянного фотона, р — импульс
электрона отдачи. Из рис. 4.14 находим
Ьк
Рис. 4.14
fc'sinfl
k-k'cose
sin0
—--COS0
(4.9)
(при выводе данного соотношения мы воспользовались тем, что
к = 2я/Л). Связь длин волн исходного (Л) и рассеянного фотона (Л')
определяется формулой Комптона

248 ~*\г Глава 4, Квантовая оптика
где Лк = Inn/me — комптоновская длина волны электрона массой /и.
Найдем отсюда отношение
и подставим его в (4.9):
sind
С учетом того, что
/I
после упрощений находим
ct« x
тс2
Определим, как угол <р зависит от импульса р электронов отдачи
и энергии налетающих фотонов е = hco. Для этого обратимся к
закону сохранения энергии
€ + тс2 = е' + с^р2 + т2с2
(е' — энергия рассеянных фотонов). Из данного равенства нетрудно
найти
(е - *') {е - е' + 2тс2) - р2с2. (4.10)
Кроме того, из рис. 4.14 следует
е'2 = /с2 + е2 - 2/>с cos ^ (4.11)
(мы учли, что hk = ^/с, АЛ' = £'/с). Из (4.10) и (4.11) находим
(в - е')(е + тс2) = pee cos (р.

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения
Так как разность энергий фотона равна кинетической энергии
электрона отдачи Ek, то
Поскольку
249
cosp = —-
РС\ €
Ек = cyjp2 + т2с2 - тс2,
окончательно получаем
Jp2 + т2с2 - тс [% тс2 Л
р \ Ь(о)
• В результате столкновения фотона с
покоившимся свободным электроном углы, „
под которыми рассеялся фотон и отлетел
электрон отдачи, оказались одинаковыми
и угол между направлениями их разлета
2а ~ 100% Найти длину волны
налетевшего фотона.
Так как углы, под которыми рассеялся
фотон и отлетел электрон отдачи,
одинаковы, то закон сохранения импульса в
проекциях на оси х, у (рис. 4Л5) примет вид
Ьк = (hk' + p) cos a;
р = ft*',
Рис. 4.15
(4.12)
где р — импульс отлетевшего электрона. Таким образом, из закона
сохранения импульса следует связь волновых чисел налетевшего к и
рассеянного *' фотонов
hk = 2hk'cosa. (4.13)
Воспользуемся законом сохранения энергии, который после
сокращения на скорость света, примет вид
hk'

250 -I W Глава 4. Квантовая оптика
Исключив отсюда величины р и Ък' с помощью соотношений
(4.12) и (4.13), приходим к уравнению для импульса налетающего
фотона Ък
Ък If Ък V
Ък + тс = + J + т2с2.
2 cos or V\2cosary
Откуда нетрудно найти
.. 2cosar-l
Ък = тс— .
1-cos яг
И окончательно с учетом связи к = 2я/Л получаем
2пЪ 1 - cos а * 1 - cos a
Я«
/ис
2 cos а -1 к 2 cos а - Г
4.2.10. Регистрация комптоновского излучения. Фотоны с
длиной волны Я = 0,14 нм испытывают комптоновское рассеяние на
угол q> = 60е к первоначальному направлению. Для регистрации
рассеянного излучения применяется рентгеновский спектрограф,
работающий по методу интерференционного отражения Брэгга—Вульфа
от кристаллической пластинки. При какой минимальной толщине
пластинки D можно обнаружить изменение длины волны
рассеянного излучения (комптоновское смещение) в первом порядке, если
постоянная кристаллической решетки d = 0,1 нм?
При комптоновском рассеянии рентгеновское излучение
содержит как исходную длину волны, так и смещенную компоненту. Для
их пространственного разделения было использовано
интерференционное отражение Брэгга—Вульфа от кристаллической пластинки.
Дифракцию рентгеновского излучения в кристалле можно
рассматривать как результат зеркального отражения от системы N
параллельных кристаллических плоскостей (рис. 4.16). Согласно
критерию Рэлея, спектральные линии с разными длинами волн
считаются пространственно разрешенными, если главный максимум одной
спектральной линии совпадает с первым минимумом другой линии.
Угловое положение главных максимумов при
интерференционном отражении Брэгга—Вульфа определяется известной формулой
2tf sin 0 = ±кА, (к - 1, 2, 3, ...). (4.14)

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения
/Уволн
\
251
Рис. 4.16
Определить угловое положение минимумов отраженного
излучения можно из следующих соображений. В излучении присутствует N
волн, отраженных от всех N кристаллических плоскостей. Разность
фаз двух соседних отраженных волн составляет
Так как каждое отраженное колебание можно отобразить
вектором, смещенным по фазе по отношению к соседнему на Дог, то для
выполнения интерференционного минимума N волн необходимо,
чтобы сумма всех значений Да была кратна 2п
А»
(4.15)
где к' — некоторое целое число, не равное N9 2N,.... Условие
интерференционного минимума (4.15) можно записать в виде
~-
(4.16)
где к — порядок интерференционного максимума; т = 1, 2,..., N— 1.
Итак, согласно критерию Рэлея, необходимо, чтобы угловое
положение максимума Аг-го порядка для длины волны Л + ДА, опреде-

252 -*Ь- Глава 4. Квантовая оптика
ляемое формулой (4.14), совпало с первым минимумом линии Д,
определяемым формулой (4.16)
Откуда находим минимально разрешимое значение АД
и соответственно необходимое для этого число кристаллических
плоскостей
Очевидно, минимальная толщина D кристаллической пластинки
спектрографа, позволяющая обнаружить комптоновское смещение
АД в первом порядке, будет равна
где d — постоянная кристаллической решетки. И нам осталось
только воспользоваться известной формулой для комптоновского
смещения длины волны при рассеянии на угол <р
АД « (1 - cos^) = siir --.
тес тес 2
Таким образом, минимальная толщина кристаллической
пластинки составляет
О s— = 11,6 нм.
4.2.11. Рассеяние фотона на электроне в магнитном поле. Фотон с
энергией, превышающей энергию покоя электрона в rj = 1,5 раза,
испытал лобовое столкновение с покоящимся свободным
электроном, который находится в однородном магнитном поле. В
результате электрон стал двигаться по окружности радиусом R = 2,9 см.
Найти индукцию В магнитного поля.

4.2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения —'\г 253
В данной задаче нам с самого начала придется воспользоваться
законами релятивистской динамики, так как энергия фотона
превышает энергию покоя электрона. Обратимся ко второму закону
Ньютона
где F = e[vB\ — сила Лоренца; р — импульс
электрона; е — его заряд. Так как сила
перпендикулярна скорости, то она не совершает
работы, соответственно не изменяет
энергию электрона и модуль импульса. В этом
случае электрон движется по окружности
радиуса R с постоянной скоростью v.
Рассчитаем производную dp/dt. Для этого
обратимся к рис. 4.17, на котором отмечены два
близких положения электрона, разделенных
временем St и расстоянием SS. Перенесем Рис. 4.17
вектор р2 в точку 1 (|р2| = \рх\ = р) и найдем
изменение импульса
Тогда
Sp pSS
St**R6t'
В пределе получаем
и второй закон Ньютона в проекции на нормаль п примет вид
Откуда находим значение индукции магнитного поля
eR

254 —'\г Глава 4. Квантовая оптика
Таким образом, для определения В нам необходимо найти
только импульс электрона после взаимодействия с фотоном. Для этого
обратимся к законам сохранения энергии и импульса, полагая, что
рассеянный фотон движется назад
е + тс2 = Е + е'; - » р .
с с
Здесь е = rjmc? — энергия налетающего фотона; е' — энергия
рассеянного фотона; Еир — энергия и импульс отлетевшего электрона.
Из этих уравнений находим
Добавим к этому уравнению связь импульса и энергии
релятивистской частицы
Тогда из последних двух уравнений, исключив энергию Е,
нетрудно найти
2//07 + 1)
Р = тс
2*7 + 1
И окончательно для 5 получаем
lr\ +1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иродов ИЛ Задачи по общей физике: Учеб. пос. для вузов / И.Е.
Иродов. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. — 432 с.
2. Задачи по физике: Учеб. пос. / И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А.
Кутузова и др. / Под ред. О.Я. Савченко. — М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1988. — 416 с.
3. Иродов НЕ. Задачи по квантовой физике: Учеб. пос. для физ. спец.
вузов / И.Е. Иродов. — М.: Высшая школа, 1991. — 175 с.
4. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пос. для вузов. В 3 ч.
Ч. 2: «Электричес1ъо и магнетизм. Оптика» / Под ред. В.А. Овчинки-
на. - М.: Изд-во МФТИ, 2000. - 368 с.
5. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пос. для вузов. В 3 ч.
Ч. 3: «Атомная и ядерная физика. Строение вещества» / Под ред. В.А.
Овчинкина. — М: Изд-во МФТИ, 2001. — 432 с.
6. Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи. —
М: Высщая школа, 2001. — 669 с.

Учебное издание
Заявки на книги присылайте по адресам:
zakaz@id-inteUect.ru
solo@id-inteUect.ru
id-inteUect0mail.ru
тел. (495) 579-96-45
В заявке обязательно указывайте
свои реквизиты (для организаций) и почтовый адрес!
Подробная информация о книгах на сайте
http://www.id-inteUect.ru
Книжный магазин «Интеллект» в МФТИ
тел.(495)408-73-55
Александр Николаевич Паршаков
ОПТИКА
В КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧАХ
Компьютерная верстка — ИД «Интеллект»
Ответственный за выпуск - Л.Ф. Соловейчик
Формат 60x90/16. Гарнитура Ньютон.
Печ. л. 16. Тираж 500 экз. Зак. № 348
Бумага офсетная JNfe 1, плотность 80 г/м2
Издательский Дом «Интеллект»
141700, Московская обл., г. Долгопрудный,
Промышленный пр-д, д. 14,
тел.(495)617-41-85
Отпечатано способом ролевой струйной печати
в АО «Первая Образцовая типография»
Филиал «Чеховский Печатный Двор»
142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpd.ru, E-mail: sales@chpd.ru, т. 8(499)270-73-59