/
Tags: кристаллография
Text
Г. Л. БИР, Г. Е. ПИКУС
СИММЕТРИЯ
И ДЕФОРМАЦИОННЫЕ
ЭФФЕКТЫ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972
531.9
Б 64
УДК 548.0.53
Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках.
Г. Л. Б и р, Г. Е Пику с. Монография. Издательство «Наука»,
Главная редакция физико-математической литературы, М., 1972 г.
В книге подробно изложены разделы теории групп, которые находят при-
применение в физике твердого тела, и методы расчета спектров электронов и
фононов вблизи особых точек, основанные на использовании теории групп,
а также рассмотрены деформационные эффекты в полупроводниках, т. е.
эффекты, возникающие при деформациях, нарушающих симметрию кристалла.
Подробно изложен ряд новых вопросов, касающихся применения теории
групп в физике твердого тела, а также ряд разделов теории групп, детально
не рассмотренных ни в одной из аналогичных монографий, изданных в СССР
или за рубежом. Сюда относятся, например, теория проективных представле-
представлений и использование проективных представлений для построения представле-
представлений пространственных групп, правила отбора для пространственных групп
с учетом инвариантности к инверсии времени, использование метода инвариан-
инвариантов для построения спектров электронов, в том числе в деформированных
кристаллах. Из широкого круга деформационных эффектов наиболее подробно
изложены резонансные и оптические эффекты, которые непосредственно свя-
связаны со структурой спектра носителей тока. Подробно рассмотрена зонная
структура и ее изменение при деформации для полупроводников с решетками
алмаза, цинковой обманки, каменной соли и вюрцита, в которых кристалли-
кристаллизуются наиболее употребительные полупроводники Ge, Si, соединения А3Вб
и А2В6.
Книга предназначена для физиков — экспериментаторов и теоретиков, спе-
специализирующихся в области физики твердого тела и физики полупроводников.
Рисунков 72, таблиц 44, библиография 367 названий.
Вир Геннадий Левикович, Пикус Григорий Езекиелевт
СИММЕТРИЯ И ДЕФОРМАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
М., 1972 г., 584 стр. с и л л.
Редактор В. А, Григорова.
Техн. редактор С. Я. Шкляр. Корректор Л. Н. Боровика
Сдано в набор 14/XI 1971 г. Подписано к печати 18/V 1972 г. Бумага 60Х90У,в. Тип. № 1.
Физ. печ. л. 36,5. Усл. печ. л. 36,5. Уч.-изд. л. 38,46. Тираж 6600 экз. Т-07253.
Цена 2 р. 66 к. Заказ № 1316.
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы.
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.
2-3-6
109-72
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
ГЛАВА /СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 9
§ 1. Элементы абстрактной теории групп ...... 9
§ 2. Преобразования симметрии 17
§ 3. Точечные группы 27
§ 4. Группа вращений 35
§ 5. Решетки Браве 40
§ 6. Пространственные группы 58
ГЛАВА II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП СИММЕТРИИ ..... 63
§ 7. Теория представлений 63
§ 8. Неприводимые представления. Характеры .... 68
§ 9. Построение базисных функций неприводимых пред-
представлений. Произведение представлений 77
§ 10. Представления группы вращений 86
§ 11. Представления точечных групп 93
§ 12. Представления пространственных групп. Зона Брил-
луэна. Группа волнового вектора 104
§ 13. Проективные представления 119
§ 14. Проективные представления точечных групп . . .131
ГЛАВА III. СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 162
§ 15. Неприводимые представления и классификация тер-
термов. Нормальные колебания. Теория возмущений . 162
§ 16. Спинорные представления 181
§ 17. Электрон в периодическом поле 194
§ 18. Инверсия времени 204
§ 19. Правила отбора 218
§ 20. Определение линейно независимых компонент мате-
материальных тензоров 232
ГЛАВА IV. МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ 239
§ 21. Теория возмущений, fcp-мстод 239
§ 22. Движение электрона в кристалле во внешнем поле . 258
/§ 23. Представления пространственных групп в кубических
и гексагональных кристаллах. Распределение нор-
нормальных колебаний по неприводимым представ ie-
ниям 269
§ 24. Спектр электронов в кубических кристаллах с про-
пространственной группой OJj, O\t O\ 289
§ 25. Метод инвариантов 304
§ 26. Методы построения базисных матриц. Применение
метода инвариантов для определения спектра элек-
электронов в кубических кристаллах . .... 315
§ 27. Мелкие примесные центры и экситоны в полупровод-
полупроводниках ....... 340
* •¦*
ГЛАВА V. СПЕКТР В ДЕФОРМИРОВАННОМ КРИСТАЛЛЕ. . .374
§ 28. Изменение симметрии кристаллов при деформации . 374
§ 29. Изменение спектра при деформации 381
§ 30. Влияние деформации на вырожденные зоны в куби-
кубических кристаллах . . . . 393
§ 31. Спектр в кристаллах с решеткой типа вюрцита и его
изменение при деформации . 407
§ 32. Взаимодействие электронов с колебаниями решетки и
деформационный потенциал 426
ГЛАВА VI. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА СВОБОДНЫЕ НОСИТЕЛИ449
§ 33. Циклотронный и комбинированные резонансы в де-
деформированных германии и кремнии ...... 449
§ 34. Влияние деформации на кинетические эффекты . . 463
§ 35. Поглощение и отражение света свободными носите-
носителями в деформированных кристаллах 488
§ 36. Поглощение и отражение света при междузонных
переходах в деформированных кристаллах .... 504
ГЛАВА VII. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА ПРИМЕСНЫЕ
ЦЕНТРЫ И ЭКСИТОНЫ 513
§ 37. Спектр примесного центра в деформированном кри-
кристалле 513
§ 38. Влияние деформации на оптические свойства примес-
примесных центров 524
§ 39. Парамагнитный резонанс на мелких примесных
центрах 534
§ 40. Влияние деформаций на оптические свойства экси-
тонов в полупроводниках 545
ЛИТЕРАТУРА 574
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние годы теоретико-групповые методы
получили широкое распространение в физике твер-
твердого тела и использование этих методов стало необ-<
ходимым не только для теоретиков, но и для экспе-
экспериментаторов.
В то же время в большинстве книг по теории групп
по традиции основное внимание уделяется вопросам,
связанным с теорией атомов и молекул. Многие рабо-
работы, содержащие важные результаты, касающиеся при-
применения теории групп в физике твердого тела, не
нашли отражения ни в одной из этих книг.
Целью авторов этой монографии было написать
книгу, специально посвященную применению теории
групп в физике твердого тела, и в ней, с одной сто-
стороны, подробно изложить те разделы теории групп,
которые находят применение в теории твердого тела,
а с другой, — довести изложение до рассмотрения кон-
конкретных физических эффектов. При этом основное
внимание уделено деформационным эффектам, точ-
точнее— эффектам, возникающим при деформациях, на-
нарушающих симметрию кристалла, так как теория этих
эффектов может быть основана практически целиком
на теории симметрии.
Первая часть книги, включающая главы I—III,
посвящена изложению необходимых вопросов теории
групп. В отличие от других монографий, здесь после-
последовательно использован метод проективных представ-
представлений для построения представлений пространствен-
пространственных групп. В связи с этим подробно изложен класси-
классический метод Шура для построения проективных
представлений и подробно описаны их свойства.
5
Используя этот метод, мы построили проективные
представления всех точечных групп, с помощью кото-
которых можно легко получить матрицы представлений
всех пространственных групп.
Далее в этой части подробно рассмотрен вопрос
о роли инверсии времени и о правилах отбора для
пространственных групп с учетом инверсии времени.
Все эти вопросы ранее излагались только в оригиналь-
оригинальных статьях.
Вторая часть книги —главы IV, V — посвящена
описанию теоретико-групповых методов построения
спектров электронов или фононов вблизи особых то-
точек, в том числе спектра в деформированных кристал-
кристаллах. В этой части наряду с изложением так называе-
называемого ftp-метода, который является по сути модифика-
модификацией обычного метода теории возмущений для
вырожденного спектра, широко используется и метод
инвариантов. Последний метод не только имеет во
многих случаях методические преимущества при кон-
конкретных расчетах. В отличие от ftp-метода, основан-
основанного на приближении самосогласованного поля, метод
инвариантов фактически использует, помимо общих
основ теории симметрии, лишь.представление о суще-
существовании квазичастиц, которое не вызывает сомне-
сомнений, во всяком случае при достаточно мало^ числе
частиц, когда их взаимодействие не существенно. По-
Поэтому сопоставление результатов обоих методов дает
возможность установить, какие из выводов ftp-метода
действительно основаны на допущении о существова-
существовании самосогласованного поля, а какие фактически не
связаны с этим допущением. Например, использова-
использование двухзонной модели в ftp-методе основано на пред-
предположении о том, что самосогласованный потенциал
для электронов у дна зоны проводимости и у вершины
валентной зоны одинаков. Результаты, полученные ме-
методом инвариантов, показывают, что практически все
выводы, полученные на основе ftp-метода, сохраняют-
сохраняются независимо от указанного предположения.
Последняя часть книги — главы VI, VII — посвя-
посвящена рассмотрению ряда деформационных эффектов
в полупроводниках. Из весьма большого круга таких
эффектов мы основное внимание уделили оптическим
и резонансным явлениям, которые наиболее непосред-
непосредственно связаны со структурой спектра носителей тока
и ее изменением при деформации и позволяют наибо-
наиболее надежно определить этот спектр. Исключение со-
составляет § 34, где рассмотрено влияние деформации
на электропроводность полупроводников. Этот эф-
эффект, изучению которого посвящено наибольшее чис-
число работ, лежит в основе многих более сложных эф-
эффектов, широко применяемых для исследования
полупроводников, и используется в различных полу-
полупроводниковых приборах. Эффект пьезосопротивления
и вызываемые им различные «вторичные» эффекты,
например, концентрационные эффекты в собственных
полупроводниках, широко используются для создания
тензометров различных типов.
В отличие от первых двух частей книги, содержа-
содержащих общий материал, последняя часть посвящена бо-
более частным вопросам. Тем не менее мы считали по-
полезным включить эти разделы, так как они являются
хорошими примерами использования общих методов
для решения конкретных задач, непосредственно свя-
связанных с экспериментом, а кроме того, представляют
и самостоятельный интерес, поскольку деформацион-
деформационные методы исследования полупроводников получили
широкое распространение. Основное внимание в этом
разделе книги уделено теоретическим вопросам. Экс-
Экспериментальный материал, приведенный в виде таб-
таблиц и графиков, носит в основном иллюстративный
характер и далеко не полон.
При описании методов построения спектров и рас-
рассмотрении конкретных эффектов мы, естественно, не
могли рассмотреть все группы полупроводников. По-
Поэтому мы считали последовательным во всех этих раз-
разделах ограничиться рассмотрением наиболее изучен-
изученных и наиболее используемых в технике полупровод-
полупроводников: с кубическими решетками типа алмаза (Qe, Si)
и типа цинковой обманки и с гексагональной решет*
кой типа вюрцита. В последних структурах
7
кристаллизуется большинство полупроводниковых со-
соединений А3В5 и А2Вб. Кратко рассмотрены и кри-
кристаллы с кубической решеткой типа каменной соли.
Такую структуру имеют полупроводники PbSe, PbTe,
PbS и другие.
Литература, использованная при написании книги,
а также отдельные работы, существенно дополняющие
и расширяющие изложенный материал, приведены в
библиографии. Эта библиография, естественно, не
претендует на полноту. В библиографии указано, к
какому из разделов книги относится цитированная
литература. Поэтому в самом тексте ссылки на ори-
оригинальные работы, как правило, не приводятся.
Как мы уже сказали, сейчас владение методами
теории групп становится необходимым не только для
теоретиков, но и для физиков-экспериментаторов. По-
Поэтому авторы старались изложить материал в наи-
наиболее систематизированной и доступной форме. В ка-
какой мере это нам удалось — судить читателю.
В заключение считаем своим приятным долгом по-
поблагодарить Д. К. Фаддеева, Э. И. Рашба и Е. Л. Ив-
Ивченко, прочитавших рукопись полностью или частично
и сделавших ряд полезных замечаний.
Авторы
ГЛАВА I
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Симметрия тела характеризуется преобразованиями, кото-
которые совмещают его с самим собой.
Множество элементов симметрии обладает рядом свойств,
которые очевидным образом следуют из их определения. Так,
среди множества элементов симметрии всегда существует тож-
тождественное (или единичное) преобразование. Отсутствие других
элементов говорит об отсутствии какой-либо симметрии тела.
Если применить к телу последовательно одно за другим два
преобразования симметрии, то в результате оно снова совме-
совмещается само с собой, т. е. последовательное применение двух
преобразований симметрии есть также элемент симметрии тела/
Производя над телом одно из преобразований симметрии,
мы совмещаем его с самим собой. Совершая обратное преобра-
преобразование, мы снова совмещаем его с самим собой. Таким обра-
образом, наряду с каждым преобразованием симметрии существует
и обратное преобразование, входящее в число элементов сим-
симметрии, при этом последовательное применение прямого и об-
обратного преобразований эквивалентно тождественному преоб-
преобразованию.
Совокупность элементов, удовлетворяющих перечисленным
выше свойствам, образует группу.
Дадим определение группы. Группа & есть множество эле-
элементов g (конечное или бесконечное), которое обладает следую-
следующими свойствами:
1. Для всех элементов g e 9 *) определена операция умно-
умножения таким образом, что для любых g\ и #2, принадлежа-
принадлежащих &, существует gz^$ такое, что g\g2 = ?3. Таким образом,
операция умножения есть способ сопоставления двум элемен-
элементам группы ^, взятым в определенной последовательности,
третьего элемента группы.
Так, для операций симметрии умножение означает последо-
последовательное применение преобразований симметрии, при этом пер-
первой выполняется операция, стоящая справа. При этом в общем
*) Символ g е # означает: g принадлежит Ъ\ символ gE^ означает:
g не принадлежит $,
случае gig2 Ф g2gu Группы, в которых для всех элементов имеет
место равенство g\g2 = g2g\, называются коммутативными или
абелевыми.
2. Для произведения имеет место сочетательный закон
умножения, т. е. (g\g2)gs = gi{g2gs) *).
3. Среди элементов группы есть один и только один элемент,
который называется тождественным или единичным элементом е
и который обладает тем свойством, что ge = eg = g для всех
4. Каждый элемент группы g имеет обратный элемент g~l
такой, что gg~] = е. Тогда, используя пп. 2 и 3, легко показать,
что и g~*g = e.
Из определения обратных элементов следует, что
(яа-..*.)-*;:'...*.-'*-1- 0-1)
Действительно, имеем по определению (g\g2-. -gn){g\g2-. -gn)~l =
= е. Умножая это равенство слева последовательно на
&Г1' и» ••> 8п1> получим формулу A.1).
Перечисленные выше групповые постулаты как раз соответ-
соответствуют тем свойствам множества элементов симметрии, которые
были получены на основании наглядных представлений. Именно
то обстоятельство, что совокупность операций симметрии обра-
образует группу, и определяет выдающуюся роль теории групп в фи-
физике.
Примером группы, которая является основой в физических
приложениях теории групп, является группа квадратных матриц
А П'ГО порядка с отличным от нуля определителем Det А ф 0.
Если в качестве операции группового умножения матриц А и В
принять обычное правило умножения квадратных матриц
а в качестве единичного элемента выбрать единичную матри-
матрицу/с элементами 1ц = 6ij, где 6*j — символ Кронекера:
при / = /,
О/
-{1
О при / Ф /,
то легко убедиться, что все групповые постулаты будут выпол-
выполнены.
Условие Det А Ф О является, как известно, необходимым и
достаточным для того, чтобы матрица А имела обратную.
Число элементов, составляющих группу, может быть конеч-
конечным или бесконечным. В соответствии с этим группа называется
конечной или бесконечной. Для конечных групп число элемен-
элементов группы называется ее порядком h.
*) Это свойство является очевидным для преобразований симметрии.
ДО
Рассмотрим некоторые свойства конечных групп.
Возьмем какой-нибудь элемент gi из группы $ и составим
всевозможные произведения ggiy где g <= *$. Все эти элементы,
очевидно, принадлежат ^, число их равно порядку h группы 9.
Легко видеть, что множество ggi снова дает группу ^, но в дру-
другом порядке. Для этого достаточно показать, что среди элемен-
элементов ggi нет равных между собой. Действительно, из равенства
g\gi = g2gi следовало бы, что gx = g2.
Аналогично, совокупность элементов gflggt также дает всю
группу $, если g пробегает все элементы группы &, a gi — лю-
любой элемент группы.
Эти свойства группы оказываются весьма полезными, когда
нужно суммировать по группе некоторую функцию на группе,
т. е. функцию ф(^), зависящую от элементов группы g e ^, так
как на основании предыдущих свойств
О-2)
при любом фиксированном gi^$. Равенства A.2) очевидны,
так как суммы в левой и правой частях каждого равенства со-
содержат одни и те же слагаемые, но взятые в разном порядке.
Возьмем некоторый элемент g группы & и образуем последо-
последовательность элементов
е, g, g2> g\ ..., gk> ... A.3)
В силу конечности числа элементов в группе один из членов
этой последовательности должен появиться второй раз после
определенного числа степеней. Пусть первый повторяющийся
элемент есть gm = gp (при этом т> р). Очевидно, что р = О
и gm = е, так как при р > 0 мы имели бы gm~l = gp~\ т. е. эле-
элемент gm~l, равный gp~\ еще раньше появился бы в последова-
последовательности A.3) и gm не был бы первым повторяющимся эле-
элементом, что противоречит допущению.
Таким образом, первым повторяющимся элементом после*
довательности A.3) будет единичный элемент е.
Наименьшее число т, при котором gm = е, называется по-
порядком элемента g, а последовательность
е, g, g2, ..., gm~l A.4)
— его периодом. Легко видеть, что gm~l = g"*1, gm~2 = g~2 и т. д.
Если продолжить последовательность A.3) и для k > m, то
она будет периодически повторять период A.4). Период любого
элемента g A.4) образует циклическую группу*).
*) Группа, состоящая из элементов е, а, а2, ..., ап~х (ап = е), назы-
называется циклической. Как видно из определения, циклическая группа является
коммутативной.
11
Совокупность элементов группы 3, сама по себе составляю-
составляющая группу, называется подгруппой. Таким образом, период
каждого элемента g из группы 9 составляет циклическую под-
подгруппу 9. Для определения подгрупп группы & достаточно убе-
убедиться в том, что некоторая совокупность элементов группы
содержит все произведения своих элементов. Действительно,
сочетательный закон умножения имеет место для всех элемен-
элементов группы, в том числе, конечно, и для элементов рассматри-
рассматриваемой совокупности. Далее, поскольку рассматриваемая сово-
совокупность вместе с элементом g содержит и все произведения из
этой совокупности, то она содержит и все степени элемента g,
в частности и gm = е, где т — порядок элемента g. Таким об-
образом, эта совокупность содержит единичный элемент. Она со-
содержит и g~\ так как g~l = gm~l.
Покажем, что порядок подгруппы 2Г есть делитель порядка
группы (теорема Лагранжа).
Для доказательства этой теоремы рассмотрим некоторый
элемент gu принадлежащий группе ^, но не принадлежащий
подгруппе 2F группы ^, и образуем всевозможные произведения
справа fg\t f e 8Г или слева g\f соответственно. Эти совокуп-
совокупности STg] (или g\&~) называются правым (левым) классом
смежности элемента g\ по подгруппе ЗГ. Элементы fg\ принад-
принадлежат ^, но не принадлежат #". Действительно, если бы fg\
принадлежали 8Г, то и g\ принадлежало бы #", что противоре-
противоречит предположению. Возьмем теперь #2» не принадлежащий
ни #", ни совокупности &~gu и составим всевозможные произве-
произведения &~g2. Нетрудно видеть, что ни один из элементов fg2 не
содержится ни в f, ни в STgy Пусть, например, fig2 = /2^1,
fi9f2&&°\ тогда g2 = f7lf2g\> т- е- ?2 принадлежит совокупно-
совокупности iFgu что противоречит предположению.
Таким образом, совокупности (Fgx и &~g2 не пересекаются.
Продолжая этот процесс дальше, пока не исчерпаем всю группу,
мы получим, что вся группа 9 может быть разбита на комп-
комплексы, не содержащие общих элементов:
где / — некоторое целое число. Так как каждый класс смежно-
смежности STgi содержит число элементов, равное порядку 5 под-
подгруппы &~, то из A.5) следует, что
h = ls. A.6)
Число /, равное A/s, называется индексом подгруппы У относи*
тельно 9.
Поскольку период каждого элемента есть подгруппа с чис-
числом элементов, равным его порядку, то отсюда следует, что по-
порядок каждого элемента есть делитель порядка группы. Из A.6)
12
следует, в частности, что
gh = e A.7)
для любого ge^.
Если порядок группы есть простое число, то из сказанного
выше следует, что у такой группы нет подгрупп кроме тривиаль-
тривиальных: е и самой себя. В этом случае группа & является цикличе-
циклической группой.
Введем понятие о сопряженных элементах.
Элементы g\ и g2 называются сопряженными, если суще-
существует такой элемент х е ^, что xg\X~l = g2. Как видно из оп-
определения, свойство сопряженности является а) взаимным и
б) транзитивным, т. е.: а) если g\ сопряжено с g2, то и g2 сопря-
сопряжено с gu б) если g\ сопряжено с g2y a g2 сопряжено с g3, то
и g\ сопряжено с ?з-
Действительно: а) Из определения сопряженности g\ с g2
следует, что существует элемент х е & такой, что xg\X~x = g2>
откуда получим g\ = x~lg2x = (x~l)g2(x~l)~\ а так как х~х е ^,
то свойство взаимности доказано, б) Пусть xg\X"x = g2y yg2y~l =
=gz, где х, у ^.(S. Из второго равенства получим g2 = y~xg3y.
Подставляя g2 в первое равенство, имеем xg\X~l = y~xg3y или
yxg\(yx)~x = g3- Поскольку х, у^&, то и ух е &\ таким обра-
образом, сопряженность g\ и g3 доказана.
Из этих свойств следует, что сопряженные элементы в группе
образуют совокупности, называемые классами, при этом каждый
элемент встречается в одном и только одном классе.
Составив h произведений gg\g~x, мы получим все элементы,
входящие в тот же класс pgf что и элемент g\. Число элементов
класса р обозначим через hp. Среди произведений gg\g~x не все
будут различны. Покажем, что каждый элемент из класса р
встретится в совокупности gg\g~x одинаковое количество раз,
равное р
Пусть элемент g' встречается в этой совокупности р раз. Это
означает, что существует р элементов Х\, х2, ..., хр, образующих
множество X, таких, что л^лг1 = g'. Пусть элемент g" встре-
встречается q раз в совокупности ggig и у и #2, Уг> ---> Уя — эле-
элементы, образующие множество У, для которых выполняется ра-
равенство yg\y~l = g". Так как g' и g" относятся к одному и тому
же классу р, то существует go ^ ^ такое, что g' = gog"g^\ или
g" = gQlg'g0. Отсюда получим равенство (goy)g\(goy)~l= g,
которое означает, что в множестве X во всяком случае есть q
элементов вида gQy% {i = 1, ..., q), т. е. р ^ q. С другой сто-
стороны, совершенно аналогично можно получить, что в множе-
множестве У содержится р элементов g*^1^ (/=1, 2, ..., р), т. е.
q ^5 р. Отсюда следует, что p = q, т. е. каждый элемент
из класса р встречается в совокупности ggig~l одинаковое
13
количество раз, равное h/h{P. Поэтому
2 (L8)
где ф — любая однозначная функция на группе.
Все элементы одного класса имеют один и тот же порядок.
Действительно, если порядок элемента g есть т, т. е. gm = e>
то и (xgx~l)m = xgmx~l = e.
Тождественный элемент е образует класс сам по себе, так
как он не сопряжен ни с каким другим элементом.
В абелевых группах каждый класс состоит из одного элемен-
элемента, так как xgx~x = g при всех х.
Выше мы провели разбиение группы ^ на подгруппы и клас-
классы. Существенно отметить, однако, что классы (кроме единич-
единичного элемента) не являются подгруппами, так как не содержат
единичного элемента. С другой стороны, в общем случае и лю-
любая подгруппа группы $ содержит элементы разных классов,
но не обязательно полные классы. Особый случай представляют
инвариантные подгруппы группы ^.
Инвариантной подгруппой или нормальным делителем назы-
называется подгруьпа 91 группы ^, состоящая из полных классов
группы *§, т. е. для нормального делителя 91, если re91, то
grg~l e 91 при всех g e ^. Выше были определены правый и ле-
левый смежные классы по подгруппе У. Если У = 91 есть инва-
инвариантная подгруппа, то правый и левый смежные классы по
этой подгруппе совпадают. Действительно, правый смежный
класс элемента g Ш32 состоит из элементов eg = g, r2gt ..., ng
(г,-еЖ, / = 1, 2, ..., /; n = e). Но поскольку rt-g = gg-lr{g9 a
g~xrig = Гйб 91 по определению инвариантной подгруппы, то
r{g = grk. Поэтому когда гг- пробегает все элементы группы 9ty
то и Гь. пробегает те же элементы, но в другом порядке, т. е. со-
совокупности rig и grk совпадают и, таким образом, правые и ле-
левые классы смежности совпадают.
Рассмотрим два класса смежности 9lg\ и 9lg2 и выберем по
любому представителю g\ e 9lg\ и gi e 9tg2 из этих классов.
Легко убедиться, что произведение gxg2 при любых g\ e 9lg\ и
g2 e 9ig2 принадлежит классу смежности 9lg\g2-
Действительно, gx и g2 могут быть записаны в виде g\ = rig\
и g2= rkg2> где Г{ и rk — какие-то элементы, принадлежащие J2.
Тогда
так как rfk = gxrkg^l^Sl по определению инвариантной под-
подгруппы и rtr'k = т'ъ ^&. И наоборот, каждый представитель g
класса смежности 9lg\g2 может быть записан в виде про-
произведения представителей g\ e 9ig\ и ^2 ^ 9tg2i при этом
14
в качестве g{ можно выбрать rg\ и g2 в качестве g2- Таким
образом, всевозможные произведения g{g2, g\ e &gu g2 e Slgz
относятся к классу смежности 3lg\g2 и полностью исчерпы-
исчерпывает его.
Это свойство классов смежности по инвариантной подгруп-
подгруппе Я позволяет рассматривать каждый класс смежности dig как
элемент новой группы, называемой фактор-группой по под-
подгруппе 91, с законом умножения элементов &g\-&tg2 — &g\g2.
Ассоциативность определенного таким образом группового умно-
умножения классов смежности следует из ассоциативности группо-
группового умножения для элементов группы &.
Далее, каждый элемент фактор-группы 9lg имеет обратный
элемент — смежный класс 3tg~x. Так как произведение
r\gr2g~l = r\(gr2g~l)^&, то произведение dig на Sig~l дает ин-
инвариантную подгруппу 31, которая в фактор-группе играет роль
единичного элемента. Порядок фактор-группы равен числу
смежных классов по 31, т. е. индексу нормального делителя 31.
Введем понятие изоморфизма и гомоморфизма групп.
Две группы одинакового порядка 9 и § называются изо-
изоморфными, если между их элементами g е & и |g^ можно
установить такое взаимно однозначное соответствие gi <«-> gi, что
если g\ -*-*¦ g{ и g2 *-> g2, то и g\g2 *-> g\g2' Отсюда легко пока-
показать, что единичному элементу е из ^ соответствует единичный
элемент ё из § и что обратному элементу g~{ соответствует g.
Изоморфные группы, очевидно, полностью совпадают по
структуре и с точки зрения теории групп вообще не отличаются
одна от другой, хотя в действительности такие группы могут
отличаться по физическому или геометрическому смыслу их
элементов.
Более общим случаем соответствия между двумя группами
является гомоморфизм, при котором, в отличие от изоморфизма,
не требуется взаимно однозначного соответствия. Группа *§ го-
гомоморфна группе &~, если каждому элементу из группы ^ соот-
соответствует один элемент из группы #", а каждому элементу из
группы ЗГ может соответствовать несколько (по крайней мере
один) элементов из группы 9. При этом соответствие та-
таково, что если g\->f\ g2->h> gug2&$, /ь/2^#"\ то и
gig2 -> /i/2.
Гомоморфизм поэтому не является взаимным свойством.
Число элементов группы $, очевидно, больше числа элемен-
элементов группы ЯГ. В случае равенства числа элементов гомомор-
гомоморфизм превращается в изоморфизм.
Рассмотрим структуру группы 9. Возьмем множество эле-
элементов #i, е2, ..., еп s ^, которые соответствуют единичному
элементу е группы &г. Это множество & называется ядром гомо-
гомоморфизма. Покажем, что ядро гомоморфизма является инва-
инвариантной подгруппой группы &,
15
Прежде всего, произведение еге3 также содержится в $\ так
что & является подгруппой *§. Действительно, произведению еге3
из ^ в группе ЗГ соответствует е-е = е — единичный элемент,
а все элементы из ^, которым соответствует е в ЗГ> содержатся
в &. Чтобы показать, что & является инвариантной подгруп-
подгруппой ^, рассмотрим элемент gexg~x, где е%^.<?, a g — произволь-
произвольный элемент группы ^, которому в группе $Г соответствует эле-
элемент f. Элементу gexg~l в группе ST соответствует элемент
f{ef~l = е. Следовательно, элемент getg~l принадлежит <?, т. е. &
есть нормальный делитель *§.
Найдем теперь множество элементов из *3, которые соответ-
соответствуют какому-либо элементу / из ЗГ (по определению гомомор-
гомоморфизма существует по крайней мере один такой элемент). Пусть
g—какой-нибудь элемент из 3?, соответствующий элементу /
из группы &~. Видно, что и весь класс смежности по <$, т. е.
класс g<S, также соответствует /, так как каждому элементу ge%
соответствует в ЗГ элемент fe = f. Покажем теперь, что любой
элемент из группы &> который соответствует / е #~, принадлежит
классу смежности gS, Действительно, пусть g\ есть отличный
от g элемент группы, который соответствует элементу / из груп-
группы #"*. Рассмотрим элемент gig". В группе &~ ему соответствует
единичный элемент ff~l = e. Таким образом gig ^ <$, т. е.
gi e &g. Поэтому число элементов в ^, которые соответствуют
элементу f^3^t равно п — порядку подгруппы §', и все они об-
образуют сопряженный по & смежный класс g& группы (S. Такие
сопряженные классы целиком исчерпывают группу ^.
В отличие от изоморфизма, где имеется взаимно однозначное
соответствие между элементами двух групп &~ и ^, при гомо-
гомоморфизме имеется однозначное соответствие между элементами
групп ^ и ЯГ и n-значное соответствие между элементами
групп $Г и ^: каждому элементу /е#~ соответствует п эле-
элементов из ^, образующих смежный по & класс. При этом соот-
соответствие между элементами группы &~ и сопряженными клас-
классами является уже взаимно однозначным. Так как сопряженные
по & классы являются элементами фактор-группы, то отсюда
следует, что группа $Г изоморфна фактор-группе группы ^ по
подгруппе <S.
Если в группе ^ имеется подгруппа $Г такая, что каждый
элемент f^@~ коммутирует с любым элементом g^^, то гово-
говорят, что 2Г является центром группы <S. Подгруппа $Г является
при этом и абелевым нормальным делителем группы ^.
Рассмотрим две группы &~ и Ж с элементами /ef иАбЖ
Пары элементов (/, К) образуют новую группу ^ относительно
закона умножения (/ь h{) (/2, h2) = (fi/2> h\h2). Эта группа 9 на-
называется прямым произведением групп &~ и Ж\
Число ее элементов равно произведению числа элементов груп-
группы ЗГ на число элементов группы Ж Поскольку
i. h{)(ft h)~x = Ш~\ hhxhTx),
то число классов группы ^ равно произведению числа классов
группы ?Г и группы Ж
Если группы У и Ж имеют общим только один единичный
элемент е и все элементы группы &~ коммутируют со всеми эле-
элементами группы Ж, то группу *§ = ЗГ X 2& можно рассматри-
рассматривать как состоящую из элементов g = /А с законом умножения
= /Л/2А2==: (/1/2) (А|А2).
В дальнейшем мы будем иметь дело только с таким случаем
прямого произведения групп.
Для задания группы нужно перечислить все ее элементы и
указать закон их умножения. Для конечных групп это можно
делать в виде таблицы умножения. Однако в некоторых случаях
удобнее определять группу путем указания образующих эле-
элементов и определяющих соотношений между ними.
Действительно, каждый элемент конечной группы может
быть представлен в виде степени или произведения степеней
некоторого конечного числа ее элементов а, 6, с, ..., называе-
называемых образующими элементами группы. Эти образующие эле-
элементы связаны соотношениями вида
а?Ъ*ст ...=е9 A.9)
где р, q, г — некоторые целые положительные числа или нуль,
е — единичный элемент группы. Эти соотношения называются
определяющими соотношениями. Для групп симметрии они оп-
определяются взаимным расположением элементов симметрии.
Задание образующих элементов и определяющих соотноше-
соотношений полностью определяет группу. Так, например, циклическая
группа порядка п определяется одним образующим элементом а
и одним соотношением ап = е.
Для одной и той же группы образующие элементы можно,
вообще говоря, выбрать различными способами. Соответственно
будут отличаться и определяющие соотношения.
Очевидно, что если две группы можно сопоставить так, чтобы
они имели одинаковое количество образующих элементов и оди-
одинаковые определяющие соотношения, то эти группы изоморфны.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ
Рассмотрим теперь более подробно преобразования симмет-
симметрии. При преобразованиях, совмещающих тело с самим собой,
не меняется расстояние между двумя любыми точками тела,
поэтому такие преобразования могут быть составлены из
элементарных преобразований: 1) поворота вокруг некоторой
М
оси, 2) отражения в плоскости и 3) трансляции ta (параллель-
(параллельного переноса) на некоторый вектор а.
Поворот ct(a) определяется заданием направления оси вра-
вращения I и угла поворота а. Отражение а относительно некото-
некоторой плоскости определяется заданием плоскости отражения. При
преобразованиях трансляции на вектор а каждая точка сме-
смещается на вектор а.
Эти три элементарных преобразования имеют различные
многообразия неподвижных точек. Так, при вращении вокруг
оси неподвижными остаются все точки на оси, при отражении
в плоскости — точки на плоскости отражения, а преобразование
трансляции вообще не имеет неподвижных точек.
Отметим, что хотя отражения в плоскости и повороты вокруг
оси сами по себе имеют неподвижные точки, их произведения
в общем случае могут не иметь неподвижных точек. Например,
легко видеть, что два отра-
-г
Л
CL
жения в двух параллельных
, плоскостях ai и 02, расстоя-
^г-х ние между которыми равно
а, эквивалентны трансляции
на вектор 2а, т. е. 0201 =
2а = t2a (рис. 1).
Группа симметрии тел
Рис. 1. Последовательное отражение конечных размеров (напри-
в параллельных плоскостях. мер, атомов, молекул) не
может содержать среди сво-
своих элементов трансляцию, так как для тел конечных размеров
существует неподвижная точка, которой является центр тяже-
тяжести тела.
Группы симметрии, у которых при всех преобразованиях
группы сохраняется неподвижная точка, называются точечными
группами.
В точечной группе все оси вращения и плоскости отражения
пересекаются в неподвижной точке. Таким образом, группой
симметрии тела конечных размеров может быть только точечная
группа.
Группа симметрии таких неограниченных тел, как кристалли-
кристаллическая решетка, может содержать и трансляции, так как оче-
очевидно, что решетка может быть совмещена сама с собой при
параллельных переносах, так же как и при вращениях и отра-
отражениях.
Прежде чем переходить к рассмотрению различных групп
симметрии, рассмотрим основные свойства поворотов, отражений
и трансляций.
Последовательное произведение m поворотов вокруг одной
оси / на угол а есть поворот на угол та:
18
Если а составляет рациональную часть от 2я, например, если
а = 2я/п, где п — целое число, то п поворотов эквивалентно то-
тождественному преобразованию cnt (a) = ct (па) = ct Bя). Поэтому
совокупность поворотов на такие углы содержит конечное
число п элементов и образует циклическую группу, назы-
называемую Сп.
Если же а несоизмеримо с 2я, то среди поворотов с? (а) нет
равных между собой и они плотно заполняют все множество
поворотов вокруг заданной оси от 0 до 2л. Поэтому иррацио-
иррациональные от 2я углы поворота означают наличие аксиальной (или
осевой) симметрии. Такие группы содержат бесконечное коли-
количество элементов и допускают повороты на сколь угодно малые
углы.
В кристаллической решетке, ввиду дискретности ее струк-
структуры, повороты на бесконечно малые углы невозможны, поэтому
в число элементов симметрии кристаллической решетки входят
только элементы конечных точечных групп.
Произведение любого числа поворотов вокруг различных
осей, пересекающихся в одной точке, есть также поворот вокруг
некоторой оси, проходящей через ту же точку.
Повороты вокруг различных осей в общем случае некоммута-
некоммутативны. Они коммутативны лишь в частном случае поворотов на
я вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, так как их про-
произведение есть также поворот на я вокруг третьей оси, перпен-
перпендикулярной им.
Пусть сь (а) есть поворот вокруг оси / на угол a, a f — любое
вращение. Покажем, что операция f^(a)f-1 есть вращение на
угол а вокруг новой оси //, в которую переходит ось I при пре-
преобразовании /:
/с, («) Г1 = *„(<*)• B.1)
Действительно, ось ft остается неподвижной при преобразова-
преобразовании /сДа)/, так как fct{a) f~l (ft) = /с,(a)I == fU Следовательно,
/с, (а)/ есть вращение вокруг оси fl. Покажем теперь, что
/сДа)/" есть вращение на угол а. Пусть х — произвольный
вектор, проходящий через ось / и перпендикулярный ей: х±1.
Тогда а = (х, сДа)*). Так как вращение f не меняет углов
между векторами, то fx-Lfl и угол поворота cfl(a), т. е. угол
между векторами fx и cfi(a)x = fci(a)f~'lfx = fci(a)x, равен
(fx, fct(a)x) = a.
Покажем теперь, что произведение двух поворотов на я
вокруг осей / и Г, угол между которыми равен ф, есть поворот
вокруг третьей оси I", перпендикулярной осям / и Г, на угол 2ф,
19
где f = cr(q>), l' = ct,,{(Q)l = fl.
Действительно, согласно B.1) cfl (я) ct (я) = fct (я) f~lct (я),
a cl{n)f~lcl(n) = f, поскольку вращение оси I" на я вокруг
перпендикулярной оси меняет ее направление на обратное.
Рассмотрим теперь основные свойства отражений. Двукрат-
Двукратное применение отражения в одной плоскости равно тождествен-
тождественному преобразованию:
о2 = е. B.3)
Последовательное применение поворотов и отражений приводит
к появлению новых элементов симметрии: зеркально-поворотных
преобразований sn.
Зеркальным поворотом sn называется пребразование, состоя-
состоящее из поворота сп и отражения о^*) в плоскости, перпендику-
перпендикулярной оси вращения:
= сЛаЛ, B.4)
так как легко убедиться, что повороты и отражения в плоскости,
перпендикулярной оси поворота, коммутируют.
Из B.4) следует, что
< = <?> <V, = *»- B.5)
При зеркальном повороте имеется только одна неподвижная
точка: это точка пересечения оси вращения и плоскости отраже-
отражения.
Особым случаем зеркально-поворотного преобразования яв-
является зеркальный поворот второго порядка; это преобразование
называется инверсией L
s2 = c2(Jh = i, i2 = e, ioh = c2t ic2 = ah. B.6)
Преобразование инверсии заключается в отражении каждой
точки пространства относительно некоторой точки, являющейся
точкой пересечения оси симметрии и плоскости отражения и на-
называемой центром инверсии.
При инверсии каждый вектор а меняет свое направление на
противоположное, ia = — а. Поэтому правовинтовая система ко-
координат при инверсии переходит в левовинтовую систему коор-
координат.
Из геометрического рассмотрения видно, что инверсия ком-
коммутирует со всеми поворотами и отражениями. Элементы точеч-
*) Плоскость отражения, перпендикулярная оси вращения, обозначается
обычно ал; если же плоскость отражения содержит ось вращения, она назы-
называется о».
20
ных групп, не содержащие отражений, т. е. вращения, назы-
называются элементами первого рода. Остальные элементы, содер-
содержащие отражения, называются элементами второго рода. Каж-
Каждый элемент второго рода h может быть представлен в виде про-
произведения некоторого вращения / на инверсию /:
Например,
*/ (Р) = <Vi (Р) = Ь* (я) с, (Р) = ict (я + Р). B.7)
Поскольку произведение двух вращений есть также враще-
вращение, то и произведение любого числа элементов первого рода
есть также элемент первого рода. Следовательно, вращения сами
по себе могут образовывать группу.
Произведение двух элементов второго рода есть элемент пер-
первого рода, поэтому произведение четного числа элементов вто-
второго рода есть вращение, а произведение нечетного числа
элементов второго рода есть также элемент второго рода.
Точечные группы, состоящие только из элементов первого
рода, называются группами первого рода, а группы, содержа-
содержащие элементы и первого, и второго рода, — группами второго
рода.
Для сопряженных элементов второго рода справедливы
соотношения, аналогичные B.1).
Если ct{a)—вращение на угол а вокруг оси /, а h — if —
любой элемент второго рода (f — некоторое вращение), то
hct (а) /Г1 = с_м (а) = см (- а). B.8)
Действительно,
hct (а) /Г1 = ifct (a) if1 = cfl (a) = с_м (а) = см (— а).
Аналогичным образом можно доказать и следующие равенства:
fst(a)f-l = sft(a), B.9)
fist(a)h-l = s_hl(a). B.10)
В частности, если учесть, что при a = 0 st (a) есть отражение
а в плоскости, перпендикулярной оси /, то из B.9) следует, что
Ы-1 = о', B.11)
где а' — отражение в плоскости, в которую переходит плоскость
а при вращении /.
Из B.11) следует, что произведение двух отражений в пере-
пересекающихся плоскостях а и а', угол между которыми равен ф,
есть поворот на угол 2ф вокруг линии пересечения этих плоско-
плоскостей. Действительно,
o'o = for]o = f\ B.12)
21
так как согласно B.8)
аЛ(а)(Г0 = ^(а) = ^(а). B.13)
Оси вращения (или зеркального поворота) и плоскости отра-
отражения, которые переводятся друг в друга при помощи одного
из элементов группы, называются эквивалентными. При этом
надо учесть, что зеркальный поворот и отражения в плоскости,
согласно B.8), B.10) и B.13), дополнительно меняют направле-
направление оси вращения на противоположное.
Из равенств B.1), B.8) и B.9) следует, что в один класс
сопряженных элементов входят повороты на одинаковые углы
вокруг эквивалентных осей или отражения в эквивалентных пло-
плоскостях.
Ось симметрии называется двусторонней, если повороты
вокруг этой оси на равные углы в противоположные стороны
сопряжены между собой. Как следует из B.1), B.8), B.9) и
B.13), для этого нужно, чтобы в точечной группе существовало
такое вращение, которое меняло бы направление оси вращения
на противоположное, или зеркально-поворотное преобразование,
в частности, плоскость отражения, не меняющая направления
оси вращения. Такими элементами могут быть вращения на
угол я вокруг перпендикулярной оси или отражения av в плоско-
плоскости, содержащей данную ось.
Рассмотрим теперь свойства трансляций.
Из определения трансляции следует, что последовательная
трансляция на векторы а и Ь есть трансляция на вектор а + Ь:
B.14)
Из B.14) следует также, что операции трансляции перестано-
перестановочны:
tatb = tbta = ta+b. B.15)
Преобразование, обратное трансляции tai есть трансляция t~a:
(ta)-l = t-a, B.16)
так как tj-a=e, где е — тождественное преобразование.
Из перечисленных свойств операций параллельного переноса
следует, что трансляции сами по себе образуют абелеву группу.
Группа трансляций изоморфна векторной группе &~, элемен-
элементами которой являются сами векторы а, 6, а групповой опера-
операцией является сложение векторов. Роль единицы в группе $Г
играет нулевой вектор; элементом, обратным а, является вектор
—а. Если все векторы из У лежат на одной прямой, то группа
называется одномерной, если все векторы лежат в одной плоско-
плоскости— двумерной, и если в группе У имеются три некомпланар-
некомпланарных вектора, то она называется трехмерной.
Группа симметрии неограниченного тела — пространственная
группа — может содержать повороты, отражения и трансляции,
22
поэтому элемент симметрии для неограниченного тела может
быть записан в виде
g = tar B.17)
или же
g = (r\a), B.17а)
где ta — трансляция на вектор a, a r — «поворотный» элемент:
вращение, отражение или зеркально-поворотное преобразование.
В пространственной группе возникают новые элементы сим-
симметрии: винтовые оси и плоскости скольжения. Винтовые оси
возникают в результате сложения вращений и трансляций.
Пусть г есть вращение ct(a).
Разложим вектор а на составляющие а,, и а±:
где ац||/, a a±A.l. Тогда
Преобразование ta с, (а) есть плоское преобразование, так как
оно оставляет в той же самой плоскости все точки, лежащие в
плоскости, перпендикулярной оси /.
Согласно теореме Шаля всякое плоское преобразование есть
либо чистый поворот вокруг некоторой оси Г, перпендикулярной
плоскости, при а ф О (точка пересечения этой оси с плоскостью,
являющаяся неподвижной точкой преобразования ta ct (а), на-
называется центром Шаля), либо чистая транс-
трансляция при а = 0.
Определим положение центра Шаля и угол
поворота вокруг оси Г. На рис. 2 точки / и /'
показывают точки пересечения осей I и V
с перпендикулярной им плоскостью. При пре-
преобразовании ta сДа)точка V остается на ме-
месте, а / сдвигается на вектор aL% Как видно рис> 2 Плоское
из рис. 2, угол поворота вокруг оси V о! = а. преобразование
Для определения положения центра Шаля ta Lct (a),
нужно из точки / провести вектор а± и затем
из конца вектора aL и точки / провести прямые под углом
р = (я — а)/2 к вектору а±. Точка их пересечения и даст центр
Шаля V.
Таким образом, ta ct(a) = ct,{a), и преобразование g=tacl(a)
можно записать в виде
? = VV(a)' BЛ8)
23
Преобразование, заключающееся в повороте вокруг оси V на
угол а и последующей трансляции на вектор аь параллельный
оси поворота (рис. 3,а), называется винтовым, а ось V назы-
называется винтовой осью. Винтовые преобразования, очевидно, не
имеют неподвижных точек.
- \
а) б)
Рис. 3. а) Винтовое вращение, б) Скользящее отражение.
Плоскости скольжения есть результат действия отражений и
трансляций вдоль плоскости. Пусть г есть отражение в некото-
некоторой плоскости а. Разложим опять а на две составляющие —па-
—параллельную аи и перпендикулярную а± по отношению к пло-
плоскости а:
Как было показано выше (см. рис. 1), ta a = ai9 где оч— отра-
отражение в плоскости, параллельной а и отстоящей от нее на
расстоянии aJ2. Поэтому
g = tato\. B.19)
В этом случае преобразование g заключается в отражении
в плоскости ai и последующей трансляции на вектор щ> парал-
параллельный плоскости отражения (рис. 3,6). Это преобразование
называется скользящим отражением, а плоскость а — пло-
плоскостью скольжения.
Таким образом, в общем случае каждый элемент простран-
пространственной группы является либо винтовым движением, либо
скользящим отражением, частным случаем которых являются
либо чистые трансляции, либо чистые вращения или отражения
в плоскости.
В один класс сопряженных с ta элементов входят трансляции
на векторы, которые могут быть получены из вектора а путем
применения всех «поворотных» операций г точечной группы, так
как элемент rtar~K есть трансляция на вектор гй\
rtar-l = tra. B.20)
Действительно, последовательное применение преобразований
rtar~l к точке с радиусом-вектором х дает
rtar~lx = г (г~!ж + а) = х + га,
т. е. результирующее преобразование есть перенос на вектор га.
Из B.20) следует, что
rta = trar. B.21)
Из B.21) получается правило умножения элементов g{ = t гх
Vl'«/2 = '«, (ГЛ2) Г2 = '«Л.«/1Г2'
Г2. С2'22)
или в обозначениях B.17а)
(г, I а,) (г21 а2) = (г,г21 а, + r^J. B.22a)
До сих пор мы рассматривали элементы симметрии геомет-
геометрически, указывая перемещения точек при преобразованиях. Но
эти преобразования можно описывать и методами аналитиче-
аналитической геометрии. Положение каждой точки можно описывать за-
заданием ее декартовых координат х{ = х, у, z в некоторой вы-
выбранной координатной системе. При преобразовании симметрии
точка перемещается в новое положение, координаты которого
в той же координатной системе будут xj = je', y\ z\ Задание
закона преобразования координат точки при ее перемещении,
т. е. зависимости х\ от х, у, г, дает аналитическое выражение
для элемента симметрии.
Для преобразований точечной группы начало координат
удобно выбирать в неподвижной точке. Тогда всякое преобразо-
преобразование точечной группы г описывается линейным однородным пре-
преобразованием координат:
х или *; = ЦЯ„(г)*„ B.23)
где 0t{r) — вещественная матрица 3X3.
Поскольку повороты и отражения не изменяют длин векто-
векторов и углы между ними, то матрица Ш удовлетворяет условиям
ортогональности:
%Msi(rHlsk(r) = 6ik. B.24)
Уравнения B.24) означают, что сумма квадратов элементов
каждого столбца матрицы <?fl равна 1, а произведение каждого
26
столбца на другой равно нулю. Такие матрицы называются орто-
ортогональными.
Из B.24) следует, что
2 &и (г) ®sk (r) = m)ik = btk9 B.26)
где Si—матрица, транспонированная по отношению к<з%, т. е.
матрица, у которой строки переставлены со столбцами,
&и = ЯИл B.26)
Уравнение B.25) означает, что
">=«-'(г), B.27)
т. е. для ортогональных матриц транспонированная матрица
равна обратной. Из B.27) следует, что u{MM)ik = 6th, откуда
для ортогональных матриц получаются соотношения ортогональ-
ортогональности не только по столбцам B.24), но и по строкам:
2 Я* (г) Я*, (г) = 6*. B.28)
Выше рассматривалось преобразование координат точки
в неподвижной системе координат при преобразованиях симмет-
симметрии. Рассмотрим теперь, как изменяются координаты неподвиж-
неподвижной точки А при применении операции симметрии к самой си-
системе координат. Пусть в системе координат xyz координаты
точки А есть (х, уу г). Перейдем к новой системе координат
x'y'z, получаемой из системы координат xyz преобразованием г.
Очевидно, что координаты точки А (х\ у', z') в новой системе
координат х'у'г' будут равны координатам вектора гЧА в ста-
старой системе координат, так как при одинаковом вращении и
системы координат, и самого вектора А его координаты в этой
системе не меняются. Следовательно, согласно B.23) и B.27)
координаты точки А в новой системе координат x'y'z' будут
равны
*; = (r-'*),= 2 Я(г-1)ьхв=*% &(r)sixs. B.29)
Видно, что матрица преобразования координат неподвижной
точки при вращении координатной системы является транспони-
транспонированной по отношению к матрице оЖ (г) B.23), описывающей
изменение координат при движении точки в неподвижной си-
системе координат.
Так как определитель транспонированной матрицы Det <$==
= Det Л, то из B.25) следует, что (Det#J= 1, т. е. Det#= ±1.
Легко показать, что для вращений определитель матрицы St
равен 1. Единичному преобразованию соответствует единичная
матрица / с элементами hu = бгл. Преобразованию инверсии, из-
изменяющему знаки у координат точки на противоположные, соот-
26
ветствует матрица — /. Определитель этой матрицы, очевидно,
равен — 1. Поскольку произведению преобразований, как будет
показано ниже, соответствует произведение матриц, а опреде-
определитель произведения матриц равен произведению определите-
определителей, то определитель матрицы любого элемента второго рода
равен —1.
Рассматривая точечную группу преобразований методом ана-
аналитической геометрии, мы получаем группу ортогональных ма-
матриц St.
Если определить групповую операцию как обычное умноже-
умножение матриц, то видно, что группа матриц^(г) изоморфна точеч-
точечной группе преобразований ^, так как матрица преобразования
<$?(r2ri) равна произведению матриц <а% (г2) <з% (г,). Действитель-
Действительно, при х" = г2гхх = г2х' имеем
Следовательно,
B.30)
Операции трансляции можно также задавать преобразова-
преобразованием координат. При этом операции трансляции ta соответствует
прибавление к радиусу-вектору точки х вектора а:
х' = х + а, х[ = хг + аг B.31)
Всякое преобразование B.17) tar, состоящее из поворотного
элемента г и трансляции на вектор а, можно записать в виде
неоднородного линейного преобразования координат:
*' = а + <ад*, B.32)
где Si — ортогональная матрица, соответствующая поворотному
преобразованию г.
§ 3. ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
Рассмотрим теперь возможные типы точечных групп.
Все точечные группы могут быть построены из простейших
групп Сп путем присоединения новых элементов симметрии: по-
поворотов вокруг других осей и отражений в плоскостях. При этом
добавление одного из новых элементов влечет за собой появле-
появление других элементов симметрии.
Следует подчеркнуть, что для получения конечной точечной
группы присоединение новых элементов симметрии не может
быть произвольным; например, новые оси симметрии могут пе-
пересекаться со старыми не под произвольными углами.
Действительно, произведение двух вращений на углы, соиз-
соизмеримые с 2я, вокруг осей, пересекающихся под произвольным
27
углом, есть вращение вокруг третьей оси на угол, который
в общем случае несоизмерим с 2я, что, как обсуждалось в § 2,
приводит к бесконечной группе.
Именно это обстоятельство и является причиной существова-
существования конечного числа типов точечных групп.
Существует всего 14 типов конечных точечных групп; это
группы Cn, S2n, Cnh, CnVy Dn, Dnh, Dnd, 7\ Tdy Th, O, Ohy Y, Y
Группа Сп. Это группа поворотов вокруг оси на углы — k
(ft = 0, 1,2, ..., /2 — 1). Группа циклическая, число классов рав-
равно числу элементов п. Группа Сп определяется одним образую-
образующим элементом а = сп и одним определяющим соотношением
ап = е. C.1)
Группа Cnh- Группы Cnh имеют ось /1-го порядка и перпенди-
перпендикулярную ей плоскость отражения on (рис. 4,а). Группа Спн
имеет 2п элементов: п элементов группы Сп
ckn (ft = 0, I, ..., /i-l)
и п зеркально-поворотных преобразований
При четных п в группе имеется инверсия *' = <fft?jj/2. Все эти
группы абелевы, так как повороты вокруг оси коммутируют
с отражениями в перпендикулярной плоскости. Число классов
равно числу элементов. Группа Сол s= C8 состоит из двух элемен-
элементов: е и ал.
Группа Cnh является прямым произведением групп Сп и Cs:
Cnh = CnXCs, C.2)
а для четных п = 2р
= Сп X С {у
где Ci — группа, состоящая из двух элементов е и I.
Группы Cnh определяются двумя образующими а = сп и
b = ahn соотношениями
ап = е, Ь2 = е, ab = ba. C.3)
Для четных п в качестве образующего элемента b может быть
выбрана инверсия L
Группа Sn образована степенями зеркального поворота: е> sn,
52=с?, s3n = ohcl и т, д. Если п нечетно, то группа 5П имеет
порядок 2п, так как s*rt = с2? = е, a s? = оп = oh. Таким обра-
образом, если п нечетно, то группа Sn содержит в качестве независи-
независимых элементов сп и с?д, т. е. является группой Спи. Поэтому при
нечетных п группы Cnh фактически язляются циклическими
группами S2n.
28
В случае четного п группа Sn имеет порядок я, так как
sn — cn — et поэтому в эту группу не входят отдельно поворот
сп и отражение вь. и sn выступает в качестве независимого эле-
элемента, а группа Sn состоит из степеней s% {k = 0, I, ..., п— 1).
При этом s^ = c2^. Группа S2 есть введенная выше группа С*.
Группа S2p изоморфна группе С2р и определяется одним об-
образующим элементом а = s2p и условием а2? = е.
8) В)
Рис. 4. Элементы симметрии точечных групп, a) Cnh\ б) C8t>; e) D2\ г) D3h*
д) Dsd-
Группа Cnv- Группы Cnv имеют ось п-го порядка и п плоско-
плоскостей отражения, проходящих через эту ось (см. рис. 4, б, где изо-
изображено расположение элементов симметрии для группы C3v).
Эти группы содержат 2п элементов, п из них есть элементы
группы Сп, а остальные являются отражениями в п вертикаль-
вертикальных плоскостях. Ввиду наличия плоскости отражения, проходя-
проходящей через ось сп, эта ось является двусторонней, т. е. повороты
ck и cn-k сопряжены.
Если п нечетно, то при поворотах с\ {k = 0, 1, ..., п — 1) все
плоскости gv совмещаются друг с другом, поэтому все отражения
29
в плоскостях av входят в один класс. Если п четно, то при пово-
поворотах с% плоскости av совмещаются друг с другом через одну,
поэтому отражения в плоскостях при четных п = 2/7 разбиваются
на два класса по р отражений в каждом.
Если п четно, то группа С2р, v имеет р + 3 класса: р—1 клас-
классов (c*pi c~pk) F = 1, ..., р—1), класс с?р, единичный эле-
элемент е и два класса по р отражений в плоскостях c\pevc^pk,
c2Pavc2Pk> где fc = 0, 1, ..., p-1, a o'v = cnov.
Если п = 2р + 1 нечетно, то все плоскости эквивалентны и
отражения в них входят в один класс; кроме того, имеется еще
р классов поворотов (c$p+v ?^+,) (&=1, ..., р) и класс, со-
состоящий из единичного элемента, т. е. всего имеется р+2 класса.
Группы Cnv также определяются двумя образующими: а=сп
и Ь = av. Из B.13) следует, что ovcna0 = c~l =с%~1, поэтому
образующие элементы в группах Cnv связаны соотношениями
ап = е, Ь2 = е, ba = an-lb. C.4)
Группа Dn. Группы Dn имеют в качестве элементов симмет-
симметрии ось n-го порядка и п перпендикулярных ей осей второго
порядка (мы будем обозначать их через и2). Система осей для
группы D2 показана на рис. 4, в. Группы Dn содержат 2п элемен-
элементов: п элементов группы Сп и п поворотов вокруг осей второго
порядка. Ось n-го порядка является двусторонней из-за наличия
перпендикулярных осей второго порядка. Группы Dn изоморфны
группам Cnv, изоморфизм осуществляется соответствием сп+-+сп,
и2 *-* (ь. Аналогично группам Cnv й группах Dn при нечетном п
все оси второго порядка эквивалентны. В слуттп* четного п оси
второго порядка совмещаются друг с другом через одну и
имеются два набора по /г/2 эквивалентных осей второго порядка.
Распределение элементов по классам аналогично группе Cnv.
Группы Dn определяются двумя образующими а = сп и Ь = и%%
которые удовлетворяют соотношениям C.4).
Группы Dnh. Группы Dnh получаются из группы Dn добавле*
нием плоскости отражения ал, перпендикулярной оси n-го по-
порядка. В группе Dnh имеется An элементов: 2п элементов группы
Dn и 2п произведений типа u2oh> которые согласно B.12) есть
отражения av в плоскостях, проходящих через ось сп и оси вто-
второго порядка и2. Таким образом, присоединение горизонтальной
плоскости отражения приводит к появлению п вертикальных
плоскостей отражения, проходящих через ось n-го порядка. По-
Поэтому к группе Dnh можно прийти и из групп Cnv или Сп^, до-
добавляя плоскость отражения Oh или ось второго порядка соответ-
соответственно. Расположение элементов группы DSh показано на
рис. 4, г. 4/г элементов группы Dnh включают п поворотов
с? F = 0, 1, ..., /г— 1), п поворотов на я вокруг осей второго
порядка u2ckn (все эти элементы входят в группу Z)n), n зеркаль-
30
но-поворотных преобразований skn = ahckn и п отражений в вер-
вертикальных плоскостях <уос*.
Поскольку он коммутирует со всеми элементами группы Dn,
то Dnh может быть представлена в виде прямого произведения
Dn на группу Cs:
Dnh = &п X Cs.
Поэтому число классов в группе /)пл равно удвоенному числу
классов в группе Dn, а сами классы Dnh получаются умноже-
умножением элементов классов группы Dn на е и ал.
При четном п группа Dnn содержит инверсию Cnl2(yh~c2ah~
= i, поэтому при п = 2р группа D2p, л может быть записана
в виде прямого произведения:
&2р, h == D2p X Ct-
Группы Dnh определяются тремя образующими: а = сПу b = и2
и с = ah или i при четных п\ они удовлетворяют соотношениям
ап = е, Ь2 = е, с2 = е, ba = an~lb, ac = ca, cb = bc. C.5)
При нечетном п группа Dnh изоморфна группе D2n и ее можно
определить двумя образующими: а = sn, b = u2. Определяющие
соотношения подобны C.4):
а2я = е, 62 = ^, ba = a2n~lb.
Группы Dnd. Группы Dnd получаются из групп Dn путем до-
добавления п «диагональных» плоскостей отражения, проходящих
через ось п-то порядка посредине между двумя осями второго
порядка (см. рис. 4,C, где показаны оси и плоскости симметрии
группы Dzd).
Группа Dnd содержит 4я элементов: кроме 2п элементов груп-
группы Dn появляются еще 2п новых элементов, получаемых из
элементов группы Dn умножением на отражение оа в диагональ-
диагональных плоскостях. Эти 2п элементов состоят из п отражений о&
в различных плоскостях c^od и из п произведений вида одог.
Произведение о&и2 согласно B.12) можно переписать в виде
oaU2 = Od<yvOh = OhC2n = S2n> так как ti2 = ovOh, a GdOv есть по-
поворот вокруг оси сп, являющейся линией пересечения плоско-
плоскостей ov и Gdy на угол, равный удвоенному углу между соседними
плоскостями av и а^, т. е. на угол 2п/2п = я/м. Все остальные
произведения типа odu2ckn (k = 0, 1, ..., п— 1) являются зер-
зеркально-поворотными преобразованиями s^+l. Следовательно,
ось сп в группе Dnd становится зеркально-поворотной осью по-
порядка 2п.
Поскольку отражения в диагональных плоскостях переводят
оси второго порядка друг в друга, то все оси второго порядка
эквивалентны, так же как и все плоскости отражения. Зер-
Зеркально-поворотные преобразования s|«+1 и S2nk~l сопряжены
31
друг с другом. Поэтому при четном п = 2р группы D2p,d содер-
содержат 2р + 3 классов: е, $%, р—1 классов по два поворота во-
вокруг оси я-го порядка, класс из 2р = п поворотов вокруг осей
второго порядка, р классов по два зеркально-поворотных преоб-
преоб^+I *k1 (k 0 1 2 1)
разования вида
и s
~*k-1
рр р
(k == 0, 1, 2, ..., р—1) и класс
из п = 2р отражений ad в диагональных плоскостях.
В случае нечетного п = 2р + 1 в группе D2p+it d имеется ин-
инверсия, так как в этом случае для каждой оси второго поряд-
порядка и2 есть одна плоскость а<*, перпендикулярная этой оси. В слу-
случае нечетного п группа D2p+if d поэтому может быть записана
в виде прямого произведения:
D2p+\, d == D2p+\ X Сi»
Поэтому в группе D2p+ifd имеется 2(р + 2) = 2р-f 4 классов,
получаемых из р + 2 классов группы D2p+i умножением на е и
инверсию L
Группа Dnd может быть получена добавлением оси второго
порядка и2 или плоскости отражения av к группе S2n. Поэтому
группы Dnd имеют два образующих элемента: а = s2n — зер-
зеркально-поворотную ось порядка 2п и b = и2 — ось второго по-
порядка, которые связаны соотношениями
Таким образом, группа Dnd изоморфна группе D2n.
Группа Г. Группа Т есть группа вращений^ совмещающих
тетраэдр сам с собой (рис. 5,а). Эта группа имеет три взаимно
Рис. 5. Элементы симметрии кубических групп, а) Г; б) О; в) Та.
перпендикулярные оси второго порядка, соединяющие середины
противоположных ребер тетраэдра, и четыре оси третьего по-
порядка, проходящие из каждой вершины тетраэдра на центры
противоположных граней. Группу Т можно получить из груп-
группы D2 присоединением оси третьего порядка. Группа тетраэдра
имеет 12 элементов: е, Зс2> 4с3 и 4^ три оси второго порядка
эквивалентны, так как переходят одна в другую при вращениях
32
вокруг оси третьего порядка; оси третьего порядка также экви-
эквивалентны, так как переходят одна в другую при поворотах во-
вокруг осей с2. Все элементы группы Т распределяются по четы-
четырем классам: е, (Зс2), Dг3), D4)- Группа Т определяется двумя
образующими: осью второго порядка а = с2 и осью третьего
порядка b = Сз- Для того чтобы получить соотношения между
этими элементами, определяющие их взаимное расположение,
учтем, что остальные оси второго порядка получаются из а при
помощи поворотов вокруг любой из осей третьего порядка
с'2 = с3с2с~{> с2—с2с2с~2\ а поскольку оси с2 и с2 взаимно пер-
перпендикулярны, то произведение с2 и с2 дает поворот на я во-
вокруг третьей оси с2 = с2съ т. е. аЬ~ха = баб". Это приводит
к следующим определяющим соотношениям для группы Т:
а* = е, 63 = е, ЬаЬ = аЬ2а:> C.7)
Все элементы группы Т выражаются через образующие эле-
элементы следующим образом:
с2 = а, с'2 = ЬаЬ2, с$ =
с3 = Ь, с'3 = аЬа, с% = аЬ, с'3" = Ьа; C.8)
cf = аЬ2а, cf = Ь2а, с»'2 = аЬ2, с2 = Ъ2.
Группа Th получается из группы Т добавлением инверсии,
с центром инверсии в центре тетраэдра:
Так как c2i = Oh, то в группе 7\ появляются три взаимно пер-
перпендикулярные плоскости отражения. Кроме того, появляются
зеркально-поворотные преобразования s6 и s|, так как
c3i = c3c2ah^clGh = sl и Ф = Ф2аЛ = 56,
т, е. оси третьего порядка превращаются в зеркально-поворот-
зеркально-поворотные оси шестого порядка. Число классов в группе вдвое больше
числа классов в Г, т. е. равно 8. Эти классы сопряженных эле-
элементов получаются из классов группы Т умножением на е и и
Группу Th можно определить двумя образующими элементами
а = с2 и 5 = se.
Так как вращение Se переводит ось с2 в с" = sQc2s~l, a c3 = sl
переводит ось с2 в с2=с3с2с~1 и с'2с2=с'2, то sas~2 = as~la~\ от-
откуда получаем определяющие соотношения для группы Th:
а2 — е, s6 = e, sas = as2a. C.9)
Группа О — группа поворотов, совмещающих куб с самим
собой. Она содержит три оси четвертого порядка, проходящие
через центры противоположных граней, четыре оси третьего
2 ГЛ Л. Вир, Г, Е. Пикус 33
порядка с3, проходящие через противоположные вершины куба,
и шесть осей второго порядка щ, проходящих через середины
противоположных ребер (рис. 5,6).
Эта группа может быть получена добавлением оси третьего
порядка к группе D4. В группе О оси одинакового порядка экви-
эквивалентны, все они двусторонние. В группе О 24 элемента, рас-
распределенных по пяти классам:
(е)9 Dс3, 4<ф, (Зс4, Зсз), (Зс2), Fи2). (ЗЛО)
Группа октаэдра имеет два образующих элемента, за кото-
которые могут быть выбраны поворот вокруг оси четвертого порядка
а = с4 и поворот вокруг оси третьего порядка b = с3, которые
удовлетворяют следующим соотношениям:
а4 = е, Ь* = е9 аЬа=*Ь2; C.11)
последнее соотношение следует из того, что u2 = (abJ = e. Все
остальные элементы в группе октаэдра могут быть выражены
через различные степени и произведения этих образующих эле-
элементов:
с 4 = а, с\ = bab2, с'[ = b2ab,
с\ = а2, cf = 6а262, cf = b2a2b,
г$ = а3 г'3 = h2n r — oh2
с4 а, с4 о а, с4 а^ , C 12)
и2 = &Ь, u'2 = a2ba\ u'2' 2 ?
Группа Та есть полная группа симметрии тетраэдра. Допол-
Дополнительно к элементам группы Т она содержит отражения в пло-
плоскостях, проходящих через две вершины и середину противопо-
противоположного ребра (см. рис. 5, в). В группе Та 24 элемента; 12 эле-
элементов группы Т
е, Зс2, 4с3, 4cj,
шесть отражений в плоскостях ва и шесть зеркально-поворотных
преобразований s4 и s\. Эти зеркальные повороты появляются,
как и в группе D^d, так как плоскости отражения для осей вто-
второго порядка являются диагональными. Поскольку плоскости
симметрии содержат оси с3. то в группе Та, в отличие от груп-
группы Г, эти оси являются двусторонними. Зеркальные повороты s4
и s3, как и в группе D2d, сопряжены и входят в один класс. По-
Поэтому все элементы группы Та распределены по пяти классам:
(в), Dс3, 4с2), Fа), Cs4, 35з), (Зс2).
Группа Та изоморфна группе О, между их элементами мож-
можно установить соответствие: s4 -«-> с4, с3 <*-> Сз и и2 -«-> а. По-
Поэтому определяющие соотношения для группы Та такие же, как
34
и для группы О, если в качестве образующих выбрать а = s4,
Ъ = сз, и определяются уравнениями C.11). Все элементы груп-
группы Та выражаются через образующие по C.12).
Группа Oh есть полная группа симметрии куба. Она полу-
получается добавлением к О центра инверсии:
oh = oxct.
Число элементов группы Oh равно 48. Оси третьего поряд-
порядка — пространственные диагонали куба; как и в группе Tdf они
превращаются в зеркально-поворотные оси шестого порядка,
при этом появляются три плоскости отражения ад, перпендику-
перпендикулярные осям четвертого порядка; кроме того, появляются шесть
плоскостей отражения а<*, проходящих через каждую пару про-
противоположных ребер. Число классов в группе Oh равно 10; пять
из них совпадают с классами группы О, остальные получаются
из них умножением на инверсию i. Это классы:
(/), Dse, 4s§). Cs4,3S3), C<т„), Fа,).
Группа Oh также может быть получена добавлением инверсии
к группе Та:
Oh=TdXCt.
В качестве образующих группы Oh можно выбрать поворот
сА = а и зеркальный поворот Se = s. Эти элементы удовлетво-
удовлетворяют следующим определяющим соотношениям:
a4 = et s6 = e> as* = ssa, sa3s = a. C.13)
Третье из этих соотношений есть условие коммутации инвер-
инверсии i = 53 с ?4, а последнее следует из того, что элемент
sa3 = s6c\ = ic\c% как легко убедиться, есть отражение в одной
из плоскостей а<*, a e2d = e.
Каждый элемент группы Oh является либо элементом груп-
группы О, либо является произведением какого-либо элемента груп-
группы О на инверсию i = s3. Поэтому половина элементов груп-
группы Oh выражается через образующие а и & по формулам C.12),
где Ъ нужно заменить на s2, а остальная половина получается
умножением их на инверсию s3.
Группы икосаэдра Y и Yh, как будет показано в § 5, не мо-
могут входить в группу симметрии кристаллов, поэтому их мы рас-
рассматривать не будем.
§ 4. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ
Рассмотрим теперь группу симметрии сферы — сферическую
группу Ж, которая состоит из всевозможных поворотов на про-
произвольные углы вокруг любой из осей, проходящих через центр
сферы, и содержащую, таким образом, непрерывное множество
элементов. Эта группа называется также группой вр1а1цений.
8* 35
Хотя сама группа вращений не входит в группы симметрии кри-
кристаллов, она существенна во многих приложениях теории твер-
твердого тела, поэтому здесь будут кратко рассмотрены основные
:войства этой группы.
Каждый элемент группы Ж — поворот ct (qp) — характери-
характеризуется направлением оси вращения I и углом поворота ф. По-
зорот С/(ф) будем описывать вектором ср с компонентами срх,
fy и фг, направленным по направлению оси поворота 1\ длина
зектора ф равна углу поворота ф:
Поэтому каждый элемент группы вращения является функцией
грех параметров фЛ, ф^ и фг, которые удовлетворяют нера-
неравенству
Ьф?. + ф! <2я.
В качестве трех независимых параметров, характеризующих
вращения, часто используют углы Эйлера 6, ф и ф.
Все доказанные в § 1 общие теоремы, относящиеся к конеч-
конечным группам и основанные на групповых свойствах, применимы
и к группе вращений, если в эти теоремы не входит число эле-
элементов группы.
В сферической группе все оси вращения являются двусто*
ронними и эквивалентными, поэтому в один класс сопряженных
элементов входят все повороты на один и тот же угол |ф| во-
вокруг всевозможных осей.
Если к группе вращения Ж присоединить инверсию i, то по-
получим полную ортогональную группу
Жь = Ж X Сit
в которой каждая плоскость, проходящая через центр сферы,
является плоскостью отражения. Каждый элемент ортогональ-
ортогональной группы Жн является либо вращением, либо может быть
представлен в виде произведения инверсии на вращение.
Очевидно, что каждая конечная точечная группа является
конечной подгруппой ортогональной группы.
В группе вращения определяющую роль играют повороты на
бесконечно малые углы, так как поворот на конечный угол во-
вокруг заданной оси может быть получен в результате непрерыв-
непрерывных последовательных поворотов на бесконечно малые углы.
Поэтому свойства поворотов в группе вращений определяются
свойствами бесконечно малых поворотов.
Рассмотрим бесконечно малый поворот ф. Из простого гео-
геометрического рассмотрения видно, что с точностью до членов
первого порядка малости по |ф| при таком вращении тела
радиус-вектор х' произвольной точки в неподвижной системе
36
координат переходит в новое положение:
). D.1)
При бесконечно малых вращениях вокруг осей х> у, z из D.1)
получим соответственно:
y' = y, z' = z + xcpy; D.2)
Пусть ЗГ{ху у, z) —однозначная дифференцируемая функция
координат. Рассмотрим ее изменение при бесконечно малом
повороте координатной системы, который описывается векто-
вектором ф:
Ф((р)9*(х, у, *)= *
-1*) = & {х + zq>y — yq>2f y — zqx + xq2, z + yq>x — xq>y).
Разлагая ^(ф"^) в ряд Тейлора, получим с точностью до
линейных членов по ф:
лег
30 (ф) & (х, y,z) = T (х, у, г) + (Ф„2 - (/Фг) -gj- (x, у, г) +
+ (лгФг - щх) дГ{2уу'г) + (у<?х - дяр,)Ц;(х, у, г) =
= (l + tX<p)<F(*, у, г), D.3)
где L — векторный оператор —i[xV] с компонентами
D-4>
Оператор L называется оператором бесконечно малого поворота
и совпадает с оператором углового момента, который вводится
в квантовой механике.
Нетрудно проверить непосредственно, что операторы LXy Ly
и Lz удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
L*xL/y тштт L>yLiX ¦"-— IL/gj у z """"* z утштшт ^xf *^*z^x ш^т ^*х 2 "т~шт у*
D.5)
Покажем на основании группового свойства вращений, что
оператор
Ф (ф) Г (х, y,z) = 9~ (ф-1*), D.6)
определяющий преобразование функции координат 8T(x,yyz)
при вращении на любой конечный угол ф, полностью
*) Соответственно изменение радиуса-вектора точки при малом враще-
вращении Ф координатной системы согласно B.29) равно jc' = jt — [*<р].
37
определяется оператором бесконечно малого поворота L и уг-
углом ф.
Для этого рассмотрим два поворота вокруг одной и той же
оси на углы 5(р и tq. Поскольку последовательное применение
вращений scp и tq> есть также вращение вокруг этой же оси на
угол (s-f-^ф, то результат последовательного применения опе-
операторов g)(sy) и ?D(tq>) есть преобразование, осуществляемое
оператором S)((s + О)
SD (sq>) 3) (ftp) = 2)((s + t) q>). D.7)
Продифференцируем это равенство по 5 и положим затем 5 = 0:
dS>\
ds
Согласно D.3)
dS> ((s + t)
'(ыр)
is
поэтому имеем уравнение для
dt
D.8)
Поскольку при t = 0 2> @) = 1 — оператору тождественного
преобразования, то из D.8) получим
и при /= 1 получим выражение для 2) (у) через оператор бес-
бесконечно малого поворота L:
?>(q>) = e'<it). D.9)
Оператор e/L<p следует понимать как результат разложения
в ряд:
?+ ...++ ...;D.10)
при этом формула D.3) есть первый член разложения опера-
оператора ^5(ф) в ряд по малому параметру ф.
Каждому вращению пространства можно поставить в соот-
соответствие некоторое преобразование плоскости. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим стереографическую проекцию сферы на пло-
плоскость (рис. 6). Возьмем сферу единичного радиуса с центром
в точке 0@,0,0). Каждой точке сферы Р сопоставим точку Р'
плоскости |yj, являющуюся точкой пересечения прямой О'Р
с плоскостью |т|. Ясно, что это соответствие взаимно однознач-
однозначное, при этом точке О' @,0, 1) соответствует бесконечно удален-
удаленная точка плоскости. Всякому вращению сферы, переводящему
точку Р в точку М на сфере, будет соответствовать некоторое
преобразование плоскости |т], при котором точка Р' перейдет
в М' на плоскости |т|.
38
Если ввести комплексное переменное ? = ? + щ, то можно
показать [1.8], что всякому вращению сферы соответствует неко-
некоторое дробно-линейное преобразование координат ? плоско-
плоскости 1ц:
Г-"??#• DЛ1)
которое определяется матрицей
II « Р I
и~\у в II
с комплексными параметрами а, р, y и б, зависящими от компо-
компонент вектора поворота фх, ф^ и ф2. Матрица и является унитар-
унитарной, а определитель ее равен единице*).
Таким образом, каждому вращению сферы может быть соцр-
ставлена унитарная матрица и с определителем, равным еди-
единице, которая осуществляет дробно-линейное преобразование
плоскости ?г|, соответствующее вращению сферы. При этом
произведению двух вращений соответствует произведение соот-
соответствующих матриц и. Поскольку произведение двух унитар-
унитарных матриц с определителем, равным единице, есть также уни-
унитарная матрица с определителем, равным единице, то такие
матрицы и образуют группу °Uy которая называется унитарной
группой или группой движения. Поэтому существует соответ-
соответствие между вращениями сферы, образующими группу враще*
ния Жу и унитарными мат-
матрицами и с определителем, О
равным единице, которые ^
являются элементами груп-
группы движения °U.
Однако это соответствие
не является взаимно одно-
однозначным. Действительно,
каждой матрице и соответ-
соответствует определенное Преоб- Рис. 6. Стереографическая проекция
разование плоскости 1ц сферы на плоскость.
D.11) и, таким образом, оп-
определенное вращение сферы. Поэтому каждая матрица и одно-
однозначно определяет некоторое вращение сферы. Однако любому
вращению сферы соответствует не одна, а две унитарные мат-
матрицы с определителем, равным единице, а именно матрицы и
и —и> так как из D.11) видно, что обеим этим матрицам со-
соответствует одно и то же движение плоскости %ц. Поэтому группа
движения °Ы гомоморфна группе вращения Ж. Ядром гомомор-
гомоморфизма является группа из двух элементов / и —/, где / —
*) Унитарность матрицы и означает, что выполняются соотношения
|а|2+ |Р|2 = |y|2+|б|2 == 1, а*у + Р*б = 0. Подробнее об унитарных мат-
матрицах см. § 7.
единичная двухрядная матрица. Эта группа является центром
группы °U. Фактор-группа по этой подгруппе изоморфна группе
вращений X.
Можно показать [1.8], что матрица м, соответствующая пово-
повороту ф с компонентами ф*, сру и ф2, имеет вид
и (ф) = е1 (°Л+ОЛ+ОЛ)/2 = е* с»)/2§ D.12)
где вектор а есть двухрядная матрица с компонентами
ПО 1 П II 0 - / II || 1 О
| || H| il HI
oil' "HI о -i[ DЛЗ)
Матрицы ox, Gy и g2 называются матрицами Паули и играют
большую роль в теории представления группы вращения и в при-
приложениях теории групп в физике. Из определения матриц Паули
D.13) следует, что они удовлетворяют соотношениям
D.14)
Формула D.12) для и(ф) является символической записью
двухрядной матрицы, которую следует понимать как результат
разложения в ряд экспоненты D.12). Производя разложение
в ряд ei{a(f)l2 по D.10) и учитывая D.14), легко показать, что
и (Ф) = е* <**>/2 = / cos -| + i -fijL Sin JL, D.15)
где / — единичная матрица.
Из D.15) следует, что вращению вокруг оси z на угол ф
(т. е. при ф = фг) соответствует матрица
0 ^-^ • DЛ6)
Из D.15) и D.16) виден характер упоминавшейся выше не-
неоднозначности соответствия м(ф) и вращения ф. Действительно,
повороты ф и ф + 2я не отличаются между собой, однако, как
видно из D.15) и в частном случае поворота вокруг оси z из
D.16), матрицы и(ф) и м(ф + 2л;) отличаются знаком. Так, по-
поворотам вокруг оси г на 0 и 2я соответствуют матрицы / и —/.
§ 5. РЕШЕТКИ БРАВЕ
В этом и следующем параграфах будут рассмотрены группы
симметрии кристаллов. При этом мы не будем перечислять все
возможные пространственные группы*), а выясним их струк-
*) Описание пространственных групп имеется, например, в моногра»
фиях [1.3, 1.10] нли справочниках [1.19, 1.18].
40
ТУРУ и укажем элементы, которые следует задать, чтобы пол-
полностью определить группу симметрии кристалла.
Все группы симметрии кристаллов оказывается возможным
построить чисто математически, исходя из простых аксиом, фак-
фактически эквивалентных гипотезе об атомной структуре кристал-
кристаллов. Эти группы были построены Федоровым и несколько позд-
позднее Шенфлисом, которые показали, что существует всего 230
пространственных групп симметрии кристаллической решетки.
Эквивалентными точками кристалла будем называть такие
точки, которые по всем физическим и геометрическим свойствам
неотличимы друг от друга.
Группа симметрии кристалла состоит из всех преобразова-
преобразований, совмещающих каждую точку кристалла с ей эквива-
эквивалентной.
Всякая кристаллическая решетка обладает фундаменталь-
фундаментальным свойством пространственной периодичности, которое может
быть положено в определение кристаллической решетки. Это
означает, что в группе симметрии решетки всегда существует
трехмерная группа трансляций Т на векторы а, которые обра-
образуют некоторую трехмерную векторную группу У. При этом
в силу атомного строения кристаллической решетки все векторы
трансляции йеУ по длине должны превышать некоторую ве-
величину, так как очевидно, что расстояния между атомами
(ионами) в кристаллической решетке не могут быть сколь угод-
угодно малы. Векторная группа fF называется дискретной, если
длина любого вектора а е & превосходит некоторую вели-
величину d.
Во всякой трехмерной дискретной группе существуют такие
три некомпланарных вектора аь а2 и а3, что любой вектор flGf
может быть представлен в виде их целочисленной суммы:
а = тхах + т<р2 + тга6, E.1)
где п%и rri2, м>г — любые целые числа: положительные, отрица-
отрицательные или нуль. Параллелепипед, построенный на основных
векторах аь а2 и а3, называется основным параллелепипедом или
элементарной ячейкой кристалла. Отметим, что выбор базис-
базисных векторов аи а2 и а3 в известной степени произволен.
Любой из основных параллелепипедов может быть построен
следующим образом.
Выберем произвольный вектор а е ЗГ. За п\ выбирается век-
вектор, принадлежащий группе У, параллельный а и имеющий ми-
минимальную длину. Выберем далее произвольный вектор 6еУ,
не параллельный п\. Векторы аи Ъ определяют плоскость п\Ь.
За вектор а2 выберем любой из векторов, принадлежащих flT,
лежащий в плоскости п\Ь и имеющий минимальную проекцию
на прямую, перпендикулярную вектору п\ и лежащую в шю«
скости п\Ь. Два вектора п\ и а2 определяют одну из граней ос-
основного параллелепипеда. В качестве вектора я3 выберем тот
41
из векторов с ^ЗГ, который не лежит в плоскости п\п2 и имеет
наименьшую проекцию на прямую, перпендикулярную этой пло-
плоскости.
Из указанного способа построения основного параллелепи-
параллелепипеда следует, что одно из его ребер может быть направлено
вдоль любого вектора а^&", а одна из его граней может ле-
лежать в плоскости, образованной любыми двумя векторами а
и tef. Объем основного параллелепипеда, построенного на
векторах аи а2 и а3, равен (ai[u2X^3])= Qo; при этом объемы
всех параллелепипедов, построенных на различных тройках
векторов, выбранных указанным выше способом, равны между
собой.
Кристаллическую решетку можно рассматривать как по-
построенную из тождественных элементарных ячеек. Вершины па-
параллелепипедов, образующих каждую элементарную ячейку,
являющиеся концами векторов а E.1), называются узлами Браве,
а решетка, образованная узлами Браве, называется решеткой
Браве.
Следует отметить, что узлы решетки Браве в общем случае
не являются реальными узлами кристаллической решетки, т. е.
местами расположения атомов или ионов. Действительно, в об-
общем случае при построении решетки Браве за нулевой узел
можно выбрать произвольную точку кристалла, поэтому и ос-
остальные узлы решетки Браве могут попасть в произвольные,
но эквивалентные точки кристалла.
Если на элементарную ячейку кристалла приходится один
атом, то удобно совместить узлы решетки Браве с местоположе-
местоположением атомов, и тогда решетка Браве совпадает с реальной ре-
решеткой кристалла. Если же на элементарную ячейку приходится
несколько атомов, т. е. решетка является сложной, то за нуле-
нулевой узел решетки Браве может быть выбрано местоположение
лишь одного из атомов элементарной ячейки, т. е. число узлов
решетки Браве меньше числа реальных узлов кристаллической
решетки.
Такую сложную решетку можно представить себе как ре-
решетку, состоящую из нескольких (по числу атомов в элементар-
элементарной ячейке) вдвинутых одна в другую решеток Браве, нулевые
узлы которых совпадают с местоположением каждого атома
в нулевой элементарной ячейке. Однако трансляционная сим-
симметрия кристалла характеризуется, конечно, лишь одной из ре-
решеток Браве.
Параллельными переносами E.1) в общем случае не исчер-
исчерпываются все преобразования симметрии кристалла, так как
в кристалле могут .существовать эквивалентные точки, которые
не могут быть совмещены друг с другом никаким переносом
E.1), и кроме трансляций E.1) в группу симметрии решетки
могут входить также и поворотные элементы: .повороты, отра-
отражения и зеркальные повороты.
Симметрия решеток Браве
Совокупность отражений и вращений (зеркальных поворо-
поворотов), которые преобразуют решетку Браве саму в себя и имеют
неподвижную точку, образует некоторую точечную группу. Эта
точечная группа симметрии решетки Браве Ж является и груп-
группой симметрии векторной группы У, характеризующей транс-
трансляционную симметрию кристалла. Каждый элемент г е Ж пере-
переводит любой вектор а е ЗГ в другой вектор а! = га е У. Для
дискретной векторной группы необходимым и достаточным усло-
условием этого является требование, чтобы каждый базисный вектор
#ь #2, Дз ПРИ любом преобразовании г принадлежал группе У,
т. е,
га{ = тхах + т2а2 +
га2 = п{ах + я2а2 + щр.ъ, E.2)
га3 = 1ха{ + 12а2 + /За3,
где Ши Щ и U — любые целые положительные и отрицательные
числа или нуль. Фактически условие E.2) есть условие совмест-
совместности поворотов и параллельных переносов на целые периоды.
Условие совместности поворотов и трансляций E.2) приво-
приводит к тому, что не всякая точечная группа может быть группой
симметрии какой-либо векторной группы. Чтобы выяснить, ка-
какие точечные группы могут быть группами симметрии трехмер-
трехмерной дискретной векторной группы, рассмотрим элементы, кото-
которые содержит группа Ж.
Поскольку во всякой векторной группе У наряду с векто-
вектором а имеется и вектор —а, то в любой группе Ж содержится
инверсия.
Пусть сп есть поворот ai-го порядка, входящий в группу Ж.
Так как для любого а е 9Г вектор спа — с~1а лежит в плоско-
плоскости, перпендикулярной оси сп, то трехмерная дискретная вектор-
векторная группа У порождает на плоскости, перпендикулярной
оси сп, некоторую дискретную группу. Пусть е—самый корот-
короткий из ее векторов. Вектор спе + сп1е> очевидно, параллелен
вектору е, поэтому он кратен вектору е, причем длина его не
превосходит 2е. Поэтому
cne+c~le = me (m = 0, ±1, ±2). E.3)
Длина этого вектора \спе + c-{e\ = 2ecosBn/n), где е — длина
вектора е. Отсюда получим уравнение:
2cos^- = m (m = 0, ±1, ±2). E.4)
Соотношение E.4) может выполняться только при п = 2, 3, 4
и 6. Таким образом из условия E.2) следует, что в группе
42
симметрии любой трехмерной решетки Браве могут содержаться
только оси второго, третьего, четвертого и шестого порядка.
Можно также показать, что если в группе Ж содержится под-
подгруппа Сп с п > 2, то имеется также и плоскость отражения ov,
проходящая через ось сп, т. е. в группе Ж содержится и под-
подгруппа Cnv.
Поэтому всякая группа симметрии векторной группы содер-
содержит инверсию и может содержать оси только второго, третьего,
четвертого и шестого порядка; при этом наряду с осями третьего,
четвертого и шестого порядка всегда имеется плоскость отра-
отражения, проходящая через эту ось.
Легко убедиться непосредственно, что только семь групп об-
обладают этими свойствами. Это группы S2, С2л, D2h, D3d, D4hi
Dehf Oh* Ниже будет показано, что для каждой из указанных
семи точечных групп действительно можно построить векторную
группу #~ и соответственно решетку Браве, для которой эта
точечная группа является группой симметрии. При этом одной
и той же группе симметрии Ж могут соответствовать различные
векторные группы, т. е. различные решетки Браве. Совокупность
векторных групп, имеющих одну и ту же группу симметрии, на-
называется системой или сингонией.
Из сказанного выше следует, что существует всего семь
систем. Эти системы называются: триклинная Т (группа S2),
моноклинная М (группа C2h), ромбическая или ортогональ-
ортогональная О (группа ?>2л), ромбоэдрическая или тригональная R
(группа D3d), тетрагональная или квадратная Q (группа D4^),
гексагональная Н (группа D^) и кубическая К (группа 0^).
Таким образом, для всех кристаллов существует всего семь
групп симметрии Ж, т. е. семь систем решеток Браве.
Типы решеток
Две векторные группы, принадлежащие к одной системе, на-
называются однотипными, если одна из них может быть получена
из другой с помощью непрерывного преобразования базисных
векторов, в процессе которого симметрия векторной группы не
понижается. Из этого определения следует, что различные век-
векторные группы, которые могут быть получены одна из другой
путем непрерывного изменения параметров, допускаемых груп-
группой симметрии, например, путем изменения масштаба векторов
пи пг и Дз, относятся к одному типу.
Как мы увидим ниже, для каждой системы в общем случае
может существовать несколько типов решеток Браве, т. е. не-
несколько способов расположения базисных векторов, удовлетво-
удовлетворяющих условию E.2) и не переводимых друг в друга непре-
непрерывным преобразованием. Всего в семи системах имеется 14 ти-
типов векторных групп, т. е. 14 типов решеток Браве.
Рассмотрим типы решеток Браве»
44
Триклинная система Т (группа S2). В группе симметрии S2
имеются только два элемента: е и I, поэтому любая тройка не-
некомпланарных векторов Яь а2 и а3 может быть базисом в груп-
группе 2Г (рис. 7). Поскольку любая другая тройка некомпланарных
векторов может быть переведена в заданные векторы аи о>ч и Лз
непрерывным преобразованием, то в триклинной системе имеется
только один тип решетки Браве, который
называется простым и обозначается Г*. Ка-
Каждая решетка Браве типа Tt определяется
шестью произвольными параметрами: дли-
длинами векторов аи а2 и а3 и тремя углами
между ними.
Элементарная ячейка для типа Г/ яв-
является произвольным параллелепипедом
(см. рис. 7), в вершинах которого находятся
узлы решетки Браве. Она инвариантна к ^""^а,
преобразованиям группы S2. рис< 7# Базисные век-
Моноклинная система М (группа C2/i). торы решетки Браве
В моноклинной системе возможны два триклинной системы,
типа решеток Браве. Первый тип решеток
Гт, называемый простым, показан на рис. 8, а. Расположение
базисных векоторов для этого типа характеризуется усло-
условиями
аз -L п\9 #з -L #2*
Вектор а3 параллелен оси второго порядка с2, а векторы ах и а2
лежат в плоскости отражения ал. Элементарная ячейка в типе Гт
является прямым параллелепипедом с произвольным основа-
основанием. Она инвариантна по отношению ко всем операциям груп-
группы Сгл. Узлы решетки Браве находятся в вершинах элементар-
элементарной ячейки.
Для второго типа решеток Браве моноклинной системы, изоб-
изображенного на рис. 8, б, расположение базисных векторов харак-
характеризуется условиями
2а3 — ах1.аи 2а3 — а{
Этот тип решетки называется решеткой с центрированными
основаниями и обозначается Гт. В этом типе элементарная
ячейка (показанная на рис. 8,6 пунктиром) не является инва-
инвариантной к преобразованиям группы С2л, хотя, конечно, решетка,
составленная из этих ячеек, при таких преобразованиях преобра-
преобразуется сама в себя, т. е. каждый базисный вектор аи а2 или аъ
превращается в линейную комбинацию E.2) с целочисленными
коэффициентами.
Для решетки Гт также можно при помощи векторов а\, а2
и а3 построить параллелепипед, инвариантный к группе C2h.
Это прямой параллелепипед, построенный на векторах аь а2
и 2а3 — ах (на рис. 8, б показан сплошными линиями); он
45
называется параллелепипедом Браве. В случае простой решетки
параллелепипед Браве совпадает с элементарной ячейкой, при
этом узлы решетки Браве находятся в его вершинах и на ка-
каждый параллелепипед приходится один узел. В решетке Гт
узлы решетки Браве находятся, кроме того, и в центрах боко-
боковых (по отношению к оси с2) граней, поэтому решетка Гьт и
называется решеткой с центрированными основаниями. В этой
решетке параллелепипед Браве содержит два узла.
Параллелепипед Браве для моноклинной системы опреде-
определяется четырьмя параметрами: высотой, длинами ребер основа-
основания и углом между ними, поэтому решетки Гт и Тьт моноклин-
моноклинной системы определяются этими четырьмя произвольными
о.)
6)
Рис. 8. Базисные векторы решетки Браве моноклинной системы, а) Простая
решетка Гт; б) решетка с центрированными основаниями Гт (пунктиром
показана элементарная ячейка).
параметрами. Из рис. 8,6 видно, что никаким непрерывным
преобразованием без понижения симметрии (т. е. непрерывным
изменением указанных выше четырех параметров) решетки
Гт и Гт не могут быть сведены одна к другой.
Для каждой из решеток Браве, относящихся к одной из ше-
шести систем (исключение составляет гексагональная система),
можно построить параллелепипед Браве, т. е. наименьший по
объему инвариантный параллелепипед, построенный на базис-
базисных векторах. При этом в общем случае узлы решетки Браве
находятся не только в вершинах параллелепипеда Браве, но
также могут быть в центре параллелепипеда и в центрах его
граней. Решетку Браве кристалла можно построить из тожде-
тождественных параллелепипедов Браве. Инвариантные параллелепи-
параллелепипеды Браве в известном смысле удобнее для описания решетки
Браве, чем элементарная ячейка, так как ее вид зависит от част-
частного выбора базисных векторов аи а2 и а3.
46
Параллелепипед Браве в общем случае не совпадает с эле-
элементарной ячейкой, что видно на примере моноклинной системы,
где для решеток типа Тът объем параллелепипеда Браве в два
раза превышает объем элементарной ячейки. В то же время для
простых решеток Гш (а также, конечно, и для Г*) элементарная
ячейка совпадает с параллелепипедом Браве.
го
Го
/>
°3
а)
gggp^
Рис. 9. Базисные векторы решеток Браве ортогональной системы, а) Про-
Простая решетка Го; б) решетка с центрированными основаниями Г^; в) объем-
ноцентрированная решетка Г^; г) гранецентрированная решетка г?.
В дальнейшем при рассмотрении возможных типов решеток,
относящихся к данной системе, мы будем исходить из паралле-
параллелепипеда Браве для решеток данной системы.
Ортогональная система О (группа D2h)> В ортогональной
системе имеются три взаимно перпендикулярные оси второго
порядка, поэтому в качестве параллелепипеда Браве для этой
системы можно взять параллелепипед с взаимно перпендику-
перпендикулярными ребрами (рис. 9). В ортогональной системе может
быть четыре типа решеток Браве; они определяются возможным
расположением узлов решетки в параллелепипеде Браве.
47
Простой решетке Го соответствует расположение узлов в вер-
вершинах параллелепипеда Браве (рис. 9, а). За базисные векторы
п\9 п2 и а3 могут быть выбраны три взаимно перпендикулярные
ребра параллелепипеда
а{ 1 а2, а21 а3, а, 1 а3.
Элементарная ячейка для решеток Го, совпадающая с паралле-
параллелепипедом Браве, инвариантна относительно преобразований
группы D2h.
Решетка с центрированными основаниями Го (рис. 9,6)
аналогична решетке Тът в моноклинной системе; в этом типе
решеток два узла решетки Браве находятся в центрах двух лю-
любых противоположных граней. В качестве базисных векторов
для решеток Го могут быть выбраны векторы, изображенные
на рис. 9,6: п\ и а2 совпадают с ребрами параллелепипеда, а ко-
конец вектора а3 находится в центре прилегающей грани, т. е.
пх -L a2 -L 2а3 — а{ ± а{.
В ортогональной системе возможны два новых по сравнению
с моноклинной системой типа решеток: объемноцентрированная
и гранецентрированная решетки.
В объемноцентрированной решетке Г? один из узлов решет-
решетки Браве находится в центре параллелепипеда Браве (рис. 9,в).
Базисные векторы при этом можно выбрать следующим обра-
образом: п\ и а2 — по ребрам параллелепипеда Браве, а конец век-
вектора пъ находится в центре параллелепипеда Браве:
п{ _L a2 _L 2a3 — ux — u2L a{.
В гранецентрированной ортогональной решетке Го центри-
центрированы все грани параллелепипеда Браве (рис. 9,г). Базисные
векторы могут быть выбраны согласно рис. 9, г; они определяют-
определяются условиями
а{ 1 2п2 — а{± 2а3 — ах± п{.
Параллелепипед Браве в ортогональной системе определяет-
определяется тремя независимыми параметрами: длиной трех его ребер,
поэтому все решетки ортогональной системы определяются тре-
тремя этими параметрами. Легко видеть, что никаким изменением
длины ребер параллелепипеда Браве перечисленные выше типы
решеток Браве не могут быть сведены одна к другой.
Элементарные ячейки для решеток Го, Го и Го, показанные
на рис. 9,6, в, г пунктиром, сами по себе не инвариантны к пре-
преобразованиям группы D2hy их объем составляет соответственно
1/2, 1/4 и 1/8 от объема параллелепипеда Браве.
Отметим, что в качестве параллелепипеда Браве в ортого-
ортогональной системе можно было бы выбрать и прямой параллеле-
параллелепипед с 'ромбическим, а не прямоугольным основанием, который
48
также инвариантен к D2h- В этом случае, конечно, мы также
имели бы четыре типа решеток, причем, как видно из рис. 10,
между ними имеется следующее соответствие:
Рис. 10, а
Рис. 10,6
Рис. 10, в
Рис. 10,г
В основании прямоугольник
Простая Го
Объемноцентрированная Т%
С центрированными основа-
основаниями Го
Гранецентрированная rjj
В основании ромб
С центрированными основа-
основаниями
Гранецентрированная
Простая
Объемноцентрированная
Поскольку в моноклинной системе параллелепипед Браве
является произвольным прямым параллелепипедом, то в ней
1
-"""//'^"v/'
1 1
1 1
1 1
1 '
а)
у
/
\ 1
\/
1 V
1/
\
к
V
6) г)
Рис. 10. Решетки Браве ортогональной системы при различном выборе
параллелепипеда Браве.
исчезает разница между прямыми параллелепипедами с ромби-
ромбическим и прямоугольным основаниями, что приводит к
49
эквивалентности в этой системе гранецентрированной и объемно-
центрированной решеток решетке Гьт.
Тетрагональная система Q (группа D4^). В группе D4^ одна
из осей второго порядка группы D2h становится осью четвертого
порядка, поэтому параллелепипедом Браве в квадратной систе-
системе является прямой параллелепипед с квадратным основанием
(рис. И).
При переходе от ортогональной системы к квадратной прямо-
прямоугольник и ромб, лежащие в основании двух возможных парал-
параллелепипедов Браве ортогональной системы, переходят в квадрат,
т. е. разница между этими параллелепипедами снова исчезает.
гп г:
А
аз
1
У
V
А
V
/а, а-г
a) 6)
Рис. 11. Базисные векторы решеток Браве квадратной системы, а) Простая
решетка Г^; б) объемноцентрированная решетка Г^.
Поэтому, как ясно из рис. 10 и приведенной выше таблицы,
квадратная решетка с центрированным основанием эквивалент-
эквивалентна простой, а гранецентрированная квадратная решетка экви-
эквивалентна объемноцентрированной. Поэтому в квадратной
системе возможны два типа решеток: простая Гд (рис. 11, а) и
объемноцентрированная Г^ (рис. 11,6).
Простая решетка аналогична простой решетке в группе D2/1.
Ее базисные векторы удовлетворяют условиям
ах ± а2 -L a3 -L а19 ах = а2.
Объемноцентрированная решетка Г^ также аналогична
решетке Го. Базисные векторы можно выбрать как и для ре-
решетки Го:
а{ 1 а2 -L 2а3 — а, — а2±а]У
однако из-за наличия оси четвертого порядка имеется одно
60
дополнительное условие:
al=a2.
Поскольку параллелепипед Браве определяется двумя пара-
параметрами: длиной ребра и высотой, то и все решетки в квадрат-
квадратной системе определяются заданием этих параметров.
Кубическая система К (группа 0^). В кубической системе
параллелепипедом Браве является куб. Поэтому в простой ку-
кубической решетке Гс элементарная ячейка является кубом, а ос-
основные векторы а\, а2 и а3 можно выбрать взаимно ортогональ-
ортогональными и равными по величине (рис. 12,а):
al±a2±a3±al, а{=а2 = а3.
Объемноцентрированная кубическая решетка Г? является
центрированным кубом. Указанные на рис. 12,6 базисные век-
векторы характеризуются условиями
ах 1_ а2,
2а3 — а2 — ах -L а2,
а2 = \ 2а3 —- а2 —
Выше было показано, что в квадратной системе гранецентри-
рованная решетка эквивалентна объемноцентрированной, однако
rf
г Г
аз
У
о
/
О
У
а) о) °)
Рис. 12. Решетки Браве кубической системы, а) Простая решетка Тс\
б) объемноцентрированная решетка Г?; в) гранецентрированная Г"?.
в кубической системе такой эквивалентности нет, так как полу-
получаемый параллелепипед с квадратным основанием не является
кубом; поэтому в кубической системе гранецентрированная ре-
решетка г? снова становится самостоятельным типом. В этой
решетке центрированы все грани куба (рис, 12,в). Базисные
векторы аь а2 и а3 можно выбрать так, чтобы они удовлетворяли
условиям
#1 + й2 •— а3 ± а3 + а2 — аи а3 + п2 — а{ J. ах — а2 + а3,
а2 —
— а2
=а2 = а3.
51
Поскольку куб определяется только одним параметром —
длиной ребра, то все кубические решетки определяются одним
параметром — постоянной решетки.
Ромбоэдрическая (тригональная) система R (группа D3d)-
Симметрией Dzd обладает ромбоэдр — параллелепипед, который
может быть получен при растяжении или сжатии куба вдоль его
пространственной диагонали (рис. 13).
В ромбоэдрической системе возможен только один тип ре-
решеток Браве — простая решетка ГгЛ, в которой узлы располо-
расположены в вершинах ромбоэдра. Нетрудно убедиться при помощи
Рис. 13. Параллелепипед
Браве ромбоэдрической
решетки Ггн-
Рис. 14. Призма Браве
решеток гексагональной
системы IV
простого построения, что в тригональной системе гранецентри*
рованная и объемноцентрированная решетки эквивалентны про-
простой. Расположение базисных векторов решетки ГгЛ показано на
рис. 13 и характеризуется условиями
•^ Х^Ч >^Ч
ai=a2 = а3> а{а2 = ахаъ = а2а3.
Решетки тригональной системы определяются двумя парамет-
параметрами: длиной ребер и углом между ними.
Гексагональная система Н (группа D^h). В группе DQh имеет-
имеется ось шестого порядка, поэтому не существует параллелепи-
параллелепипеда, инвариантного к группе D6h- Фигурой, инвариантной к
преобразованиям группы D^n, является шестигранная призма
Браве (рис. 14).
В гексагональной системе также возможен только один тип
решеток Браве — 1\, в котором узлы решетки Браве располо-
расположены в вершинах призмы Браве и в центрах ее оснований (см%
52
Таблица 5.1
Типы векторных групп
Система
Триклинная Т E2)
Моноклинная
М (C2h)
Ортогональная
О (D2h)
Тетрагональная
Ромбоэдрическая
Гексагональная
H(Deh)
Кубическая К(Оь)
Тип
Простой Г/
Простой Гт
С центрированными основа-
основаниями Ybm
Простой Го
С центрированными основа-
основаниями Tq
Объемноцентрированный Г%
Гранецентрированный г?
Простой Тд
Объемноцентрированный Г^
Простой Trh
Простой Tfi
Простой Тс
Гранецентрированный г?
Объемноцентрированный Г"
Основные векторы
Любые аи аъ аъ
a3J-flb о>ъА-п2
2a3 — ах JLfli, 2л3 — ах1.а2
a\l.u2A.a3l.ai
ах JLtt2 JL2a3 — ох Лах
ах±а2±2а3 — ах — а2±ах
а1±2а2-ах±2а3-а1±ах
ах±а2±а3±ах, ах=а2
fli_La2J_2a3 — ах — а2Х.пХу ах = а2
CL\ === CL2 s==: fl3, CL\(t2 == пхп3 = €L2CL3
ei_La2_Lflt3JLfli, ai = a2 = a3
fll ~Г" Л2 — Л3 JLfl3 ~r* Д2 — &l*
пх -\- a2 — a3_Lai — a2 + л3,
ui = fl2 = fl3
fli_Lfl2> fli-L2flt3 — fl2 — Д| JLe2,
п\ = a2 = | 2a3 — л2 — fli |
(рис.
(рис.
(рис.
(рис
(рис.
(рис.
(рис.
(рис.
(рис.
(рис.
(рис.
(рис.
(рис.
(рис.
7)
8, а)
8,6)
9, а)
9,6)
9, в)
9, г)
И,а)
11,6)
13)
И)
12, а)
12, в)
12,6)
Произвольные пара-
параметры параллелепи-
параллелепипеда Браве
аХу а2> а3>
«,.«,.«,. а,
аи а2, а3
а3, ai
рис. 14). Основные векторы в решетке 1\ удовлетворяют усло-
условиям
а31 а2, а3±аи а{а2 = 2я/3.
Элементарная ячейка показана на рис. 14 пунктиром и является
прямым параллелепипедом с ромбическим основанием. Угол ме-
между ребрами ромба равен 2я/3.
Решетки Г^ также определяются двумя независимыми пара-
параметрами: высотой призмы и длиной ребра основания.
Перечисленными выше решетками Браве и исчерпываются
все возможные типы дискретных трехмерных решеток.
В табл. 5.1 приведены основные характеристики всех четыр-
четырнадцати типов решеток Браве.
Схема подчинения систем
Из точечных групп симметрии кристаллической решетки наи-
наибольшей симметрией обладают группы Oh и D6h. Остальные
группы содержатся в них в качестве подгрупп. Так, из группы
Oh можно перейти к S2 путем последовательного уменьшения
симметрии: Oh -> D±h -* D2h -> С2/1 —* S2\ в этом ряду каждая по-
последующая группа содержится в предыдущей в качестве под-
подгруппы. Из группы Oh к группе C2h можно перейти и через груп-
группу DM: Oh -> Dzd -> C2h- Из группы D6h к группе S2 можно
прийти через группы D2h и C2h: Den -> D2h -> C2h -> S2.
Заметим также, что группа D^d содержится в DQh в качестве
подгруппы, и, таким образом, можно было бы ожидать непре-
непрерывного перехода решеток от D6/l к S2 по схеме D6h->- D3d-^-
-> C2h -^ ^2. Однако, как будет показано ниже, такой непрерыв-
непрерывный переход кристаллических структур невозможен.
Для полного определения симметрии решетки Браве требует-
(ся указать наряду с группой симметрии решетки также и ее тип,
шоэтому надо рассмотреть, как при понижении симметрии
(решетки данный тип решетки высшей симметрии переходит в
юдин из типов решеток низшей симметрии.
Будем называть систему А подчиненной системе S, Л-<-5,
«если точечная группа симметрии системы А является подгруппой
точечной группы симметрии системы В и каждый тип решетки,
(Принадлежащей системе В, может быть переведен в один из
типов решетки А путем бесконечно малого непрерывного пре-
преобразования базисных векторов, соответствующего понижению
симметрии точечной группы от В к А.
Как будет показано ниже, за исключением упоминавшегося
выше случая групп Deh и D3<b из первого условия следует и
второе.
Рассмотрим теперь более подробно схему подчинения си-
систем.
Если растянуть (или сжать) куб вдоль одной из его осей
четвертого порядка, то он превращается в прямой параллелен
54
пипед с квадратным основанием — параллелепипед Браве для
системы Dih. При этом, очевидно, простая кубическая решетка
переходит в простую квадратную: Гс-^Гд, а решетки Г[ и Г? -
в объемноцентрированную решетку Г?, так как раньше было
показано, что в квадратной системе гранецентрированная ре-
решетка эквивалентна объемноцентрированной.
Параллелепипед Браве для квадратной системы можно дву-
двумя способами свести к параллелепипеду Браве для ортогональ-
ортогональной системы.
1. При растяжении (или сжатии) его вдоль одной из боко-
боковых граней. В этом случае получается прямой параллелепипед
с прямоугольными гранями, инвариантный к группе D2h* При
этом из четырех осей второго порядка группы D4/i остаются две
оси, проходящие вдоль ребер параллелепипеда. При такой де-
деформации решетки Yq переходят в Го, а Г^ — в Го.
2. Деформация осуществляется путем сдвига в плоскости
основания параллелепипеда. При этом меняется угол между
ребрами основания. В результате такого преобразования полу-
получается прямоугольный параллелепипед с ромбическим основа-
основанием, также инвариантный к #2^, т. е. из четырех осей второго
порядка остаются две другие оси, являющиеся диагоналями ос-
основания. Легко видеть, что при такой деформации решетки Yq
переходят в Го, аГ$-в ГЦ.
Инвариантный параллелепипед системы Сгд может быть по-
получен из параллелепипеда Браве ортогональной системы при
деформации основания, меняющей угол между ребрами основа-
основания. Как следует из обсуждавшейся выше связи типов реше-
решеток, в ортогональной и моноклинной системах при такой дефор-
деформации типы решеток следующим образом переходят друг в
друга:
г8, го->гт и г?, rS-rL
При дальнейшем понижении симметрии, убирающем ось второго
порядка, группа Сгь переходит в S2, при этом оба типа решеток
в моноклинной системе переходят в решетку Г*:
гё, Го-г*.
Рассмотрим теперь переход от Oh к S2 через D3d- Он осуще-
осуществляется при растяжении (или сжатии) куба вдоль одной из
его пространственных диагоналей, в результате чего куб пере-
переходит в ромбоэдр. При такой деформации все три кубические
решетки переходят в простую решетку Trh- Действительно, эле-
элементарная ячейка в решетках Г° и г? является ромбоэдром,
яо с определенными углями между ребрами. При указанной
деформации элементарная ячейка превращается в ромбоэдр с
произвольным углом между ребрами. В ромбоэдре имеются три
оси второго порядка, перпендикулярные оси третьего порядка,
и три диагональные плоскости отражения, содержащие ось
третьего порядка. При этом каждая из осей второго порядка
перпендикулярна одной из плоскостей отражения. При пониже-
понижении симметрии от D3d до С<>.ь. остается одна из этих осей второго
порядка и перпендикулярная ей плоскость отражения.
Такой переход может быть осуществлен, например, путем
сдвиговой деформации (рис. 15), изменяющей один из углов у
В
Рис. 15. Соответствие решеток Браве при переходе от ромбоэдрической
к моноклинной системе.
вершины, например CBD, и изменением длины ребра АВ и па-
параллельных ему ребер С/С, DG, ML. Получаемый при этом па-
параллелепипед, инвариантный к Сгл, показан на рис. 15 жирными
линиями. Его грань EFGD является произвольным параллело-
параллелограммом и лежит в одной из плоскостей отражения. Грани
CDEH и CDGK являются прямоугольниками и перпендикулярны
плоскости EFGD, так как их ребра CD, HE, KG и NF параллель-
параллельны оси второго порядка.
Как видно из рис. 15, при этом решетка Тгн переходит в ре-
решетку с центрированными основаниями Го. .Этот результат
можно получить и непосредственно, сравнивая элементарные
ячейки для решеток ГгЛ, Го и Го, изображенные на рис. 9 и 13,
так как очевидно, что никакая малая деформация базисных
векторов не сможет перевести решетку Ггл, где а{а2 = а{а3 = а2а3>
в простую решетку Го, для которой аъ ± аи аз -L а2.
Хотя в группе D6h группа DZd содержится в качестве под-
подгруппы, никаким малым преобразованием базисных векторов
невозможно гексагональную решетку перевести в ромбоэдриче-
Щ
скую, так как для гексагональных решеток 1\ базисные векторы
удовлетворяют условиям а3 JL аь а3 J. а2, ах = а2 ф а3 и их ни-
никаким малым преобразованием нельзя подчинить условиям
а3а{ = ala2=zU2a3 и а\ = а2 = Яз> выполняющимся для решеток
ромбоэдрической системы.
Группа #2/! содержится в группе ?>бл в качестве подгруппы,
так как наряду с инверсией ?>бл имеет три взаимно перпендику-
перпендикулярные оси второго порядка: с| и две горизонтальные оси
о»
s*
Рис. 16. Схема подчинения систем.
второго порядка, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси
шестого порядка.
При деформации вдоль горизонтальных осей второго поряд-
порядка симметрия D$h понижается до D2h, а элементарная ячейка
решетки 1\ превращается в прямой параллелепипед с ромбиче-
ромбическим основанием, который согласно таблице на стр. 49 эквива-
эквивалентен решетке Го. Поэтому при переходе от гексагональной
системы к ортогональной системе простая гексагональная
решетка переходит в решетку с центрированными основа-
основаниями г\
Рассмотренная схема подчинения систем и соответствие ме-
между типами решеток в различных системах представлены на
рис. 16.
57
§ 6. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
Кристаллические классы
Задание системы и типа решетки характеризует группу сим-
симметрии кристалла не полностью, так как они определяют лишь
симметрию его решетки Браве. В сложных решетках, имеющих
более одного атома в элементарной ячейке, совмещение решеток
Браве еще не означает совмещения всех эквивалентных точек.
Поэтому симметрия кристаллической решетки может и не совпа-
совпадать с симметрией ее решетки Браве, а быть ниже ее.
Например, хотя решетки Браве всех кристаллов содержат
инверсию, инверсия не является элементом симметрии у всех
кристаллов.
Назовем эквивалентными направлениями в кристалле такие
направления, вдоль которых все физические свойства кристалла
одинаковы. Ясно, что два любых эквивалентных направления
в кристалле содержат совокупность одинаковым образом после-
последовательно расположенных эквивалентных точек кристалла, на-
например одинаковые последовательности атомов.
Рассмотрим какой-нибудь элемент г точечной группы симмет-
симметрии Ж решетки Браве. По определению группы Ж при преобра-
преобразовании г решетка Браве переходит сама в себя.
Рассмотрим теперь, как преобразуются при этом все другие
точки кристалла и все направления в кристалле. Очевидно, мо-
могут быть три возможности.
1. При преобразовании г все точки кристалла, а не только
узлы решетки Браве, переходят в эквивалентные. При этом,
конечно, и все направления переходят в эквивалентные.
В этом случае элемент г принадлежит к группе симметрии кри-
кристалла G.
2. При преобразовании г все направления переходят в экви-
эквивалентные, но не все точки переходят в эквивалентные.
3. Не все направления переходят в эквивалентные.
В последнем случае преобразование г вообще не входит в
группу симметрии кристалла.
Рассмотрим теперь преобразования г, переводящие все на-
направления в кристалле в эквивалентные. Ясно, что для того,
чтобы такое преобразование переводило и все точки кристалла
в эквивалентные, нужно еще совершить параллельный перенос —
трансляцию на некоторый вектор а, не являющийся вектором
решетки Браве. Поэтому, хотя сам по себе г и не входит в
группу симметрии кристалла G, элемент tar принадлежит
группе G.
Элементы точечной группы Ж, переводящие все направления
в кристалле в эквивалентные (т. е. элементы г в первом и вто-
втором случае), образуют некоторую точечную группу F, которая
является подгруппой Ж. Группа F есть группа симметрии
58
направлений в кристалле и называется кристаллическим
классом.
Для макроскопического тела группой симметрии является его
группа направлений, поэтому именно кристаллический класс
определяет макросимметрию кристалла. В частности, число не-
независимых компонент и вид макроскопических тензоров опре-
определяются точечной группой F, характеризующей кристалличе-
кристаллический класс.
Поскольку каждый класс является подгруппой группы симмет-
симметрии векторной группы, то всего существует 32 различных кристал-
кристаллических класса по числу различных подгрупп у семи групп сим-
симметрии решеток Браве: е, S2, Cs, C2, С2/1, Сгг, D2y D2h, S4, Вы, С4,
С С D D C S C ^ D C D С С C D D
Г, Тн, Та, О, Он. При этом один и тот же класс является под-
подгруппой различных точечных групп, определяющих симметрию
решетки Браве. Так, S2 входит во все семь точечных групп, опре-
определяющих систему.
Кристаллический класс относят к системе с наинизшей сим-
симметрией, в которой он впервые появляется, т. е. кристаллический
класс F относят к системе Ж, если F содержится в Ж в качестве
подгруппы и ни одна система Жи подчиненная Ж, не содержит
группу F. Такое распределение классов по системам основано
на следующих соображениях: кристаллы, у которых решетка
Браве обладала бы более высокой симметрией, чем это тре-
требуется кристаллическим классом, была бы неустойчивой и лю-
любые малые воздействия, например, тепловое расширение, измене-
изменения взаимодействия между атомами и т. д., привели бы к пони-
понижению симметрии решетки Браве до наинизшей, допустимой
кристаллическим классом. Поэтому каждый кристаллический
класс относится к одной системе. Исключением является гекса-
гексагональная система, решетки которой, как отмечалось выше,
никакой бесконечно малой деформацией не могут быть переве-
переведены в решетки ромбоэдрической системы. Поэтому классы
Таблица 6.1
Система
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тетрагональная
Ромбоэдрическая
Гексагональная
Кубическая
cs,
C2v>
s4,
Сз/г
Tf
s2
С*
D2d,
Se,
E>3h,
т*
Классы
E>2h
Ce, C6ht C6v, De> D6h
Td> 0, Oh
ромбоэдрической системы осуществляются и в гексагональной
системе.
Распределение тридцати двух кристаллических классов по
системам приведено в табл. 6.1 *).
Пространственная группа
Указания кристаллического класса и типа решетки еще недо-
недостаточно для характеристики симметрии кристалла. Класс кри-
кристалла характеризует симметрию группы направлений, однако
для описания пространственной группы, определяющей микро-
микросимметрию кристалла, как указано выше, требуется еще указать
величину вектора трансляции аг, которая требуется для того,
чтобы совместить все точки кристалла с эквивалентными. По-
Поэтому каждому «поворотному» элементу г из группы направле-
направлений F, т. е. поворотам, отражениям и зеркальным поворотам,
соответствует некоторая нетривиальная трансляция ta .
Таким образом, каждый элемент g пространственной группы
G имеет вид
g = taU = ta+a Г = (г | И + Cb), F.1)
где г — «поворотный» элемент, входящий в кристаллический
класс, a ta — соответствующая ему «нетривиальная» трансляция.
Если в точечной группе, где все элементы симметрии имеют
общую точку, для определения группы достаточно перечислить
все ее элементы симметрии, то в пространственной группе нужно
еще указать положение каждого поворотного элемента внутри
элементарной ячейки, что фактически и осуществляется зада-
заданием вектора а.
Поскольку «поворотное» преобразование г переводит все
узлы решетки Браве друг в друга, а а не является целым векто-
вектором решетки Браве, то преобразование tar не совмещает узлы
решетки Браве друг с другом. Наличие такой операции в группе
симметрии кристалла означает, что кристаллическая решетка
является сложной, т. е. в элементарной ячейке имеются по край-
крайней мере два атома одинакового сорта. Такую сложную решетку,
как отмечалось выше, можно рассматривать как систему вдви-
вдвинутых друг в друга тождественных решеток Браве. При опера-
операциях tar с а фа узлы каждой из таких решеток переходят в
тождественные узлы другой из этих решеток.
Все пространственные группы, принадлежащие к одному
классу, отличаются различным набором векторов аг, соответ-
соответствующих различным элементам симметрии г, которые образуют
группу F. Векторы а можно разложить по векторам аь а2 и а3:
F.2)
*) Кристаллы ромбоэдрических классов с гексагональной решеткой Браве
относят к ромбоэдрической системе.
60
Числа уь Y2 и Уз можно считать положительными и меньшими
единицы *):
0<b 0<b 0<l. F.3)
Набор векторов аг не является произвольным, так как эти
векторы удовлетворяют определенным соотношениям, связанным
с тем, что поворотные элементы г{ сами образуют группу. Дей-
Действительно, пусть «поворотному» элементу Г\ соответствует век-
вектор нетривиальной трансляции си, элементу г2 соответствует аг.
Так как
то элементу Гз = Г\Г2 может соответствовать не произвольный
вектор аз, а вектор аз = ai + Паг + я, где а — целый вектор ре-
решетки Браве, выбранный таким образом, чтобы аз удовлетво-
удовлетворяло условию F.3).
Поэтому нетривиальные трансляции а для всех поворотных
элементов /* из группы направлений однозначно определяются
заданием векторов нетривиальных трансляций для образующих
элементов группы направлений. При этом определяющие соотно-
соотношения между образующими «поворотными» элементами группы
F дают возможные типы векторов нетривиальных трансляций
образующих элементов и, таким образом, возможные типы про-
пространственных групп, принадлежащих одному кристаллическому
классу.
Всего оказывается возможным 230 различных пространствен-
пространственных групп, распределенных по 7 системам, 14 типам и 32 кри-
кристаллическим классам.
Рассмотрим структуру пространственных групп. Во всякой
пространственной группе есть абелева подгруппа трансляций на
основные периоды решетки Т с элементами ta. Эта подгруппа
является нормальным делителем пространственной группы.
Действительно, все элементы, сопряженные с ta, также яв-
являются трансляциями и, следовательно, содержатся в Т:
Urta (tar) = ШаГ-Ч-а = tra. F.4)
Разобьем все элементы пространственной группы G на клас-
классы смежности по подгруппе трансляций и построим фактор-груп-
фактор-группу по этой подгруппе.
Классами смежности являются произведения всевозможных
трансляций ta на каждый из элементов ta rt, т. е.
т. {т\м {П-/-Ь <6-5>
где а — любой вектор E.1).
*) Если не требовать, чтобы уь Y2 и уз были положительными, то их
можно выбирать так, чтобы
61
Фактор-группа лю^-^ "^странственной группы, принадлежа-
принадлежащей данному классу, изоморфна точечной группе направлений,
характеризующей кристаллический класс. При этом элементу
Т\ группы F взаимно однозначно сопоставляется класс смежно-
смежности Ttart:
'«^{JV'b F<6)
Действительно, в соответствии с B.22) произведение представи-
представителей классов смежности {Ttar^ и [Ttar2]
есть элемент класса смежности [Ttaf3], который соответствует
элементу г3 = Г\-г2.
Таким образом, пространственные группы, принадлежащие
к одному классу, гомоморфны группе F, характеризующей кри-
кристаллический класс. При этом ядром гомоморфизма является
группа трансляций 71, а фактор-группа по этой подгруппе изо-
изоморфна группе F. Это не означает, конечно, изоморфизма самих
пространственных групп, относящихся к одному кристалличе-
кристаллическому классу.
ГЛАВА 11
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП СИММЕТРИИ
§ 7. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Закончив рассмотрение групп симметрии, перейдем к теории
представлений этих групп. Теория представлений имеет особое
значение, так как на ней фактически основаны все физические
приложения теории групп.
Возьмем произвольную однозначную функцию ср4 координат
точки х(хи х2у х3) в координатной системе xyz. Перейдем к но-
новой координатной системе x'y'z', получаемой из xyz преобразо-
преобразованием симметрии gs. Согласно B.29) координаты точки х в но-
новой системе координат — х\, #2, х'з равны
Заменим теперь %\ в q)i(*) на х\ и выразим х\ через х\ со-
согласно G.1). В результате получим новую функцию у8(х). Будем
рассматривать это преобразование как результат действия опе-
оператора k)(gs) на функцию cpi(*):
(*) = Ф1 (ЯГ1*) = Ф. (*>•
Применяя последовательно все операции g к функции фь по-
получим h функций фь ф2, ..., фл. Однако в общем случае не все
из этих функций являются линейно независимыми и часть из них
могут выражаться через другие. Пусть общее число линейно не-
независимых или базисных функций фi равно я, тогда каждую из
функций ys(x) можно выразить в виде линейной комбинации
этих функций. Применим операцию 3){g) к одной из базисных
функций фг(*). Тогда новая функция фгОг1*) может быть пред-
представлена как линейная комбинация базисных функций:
® (g) <Vt (x) = Ф! (fir lx) = 2 Фц (г) Ф/ (х). G.3)
Конкретный вид матриц 3)(g) и их размерность п зависят
от выбора функции у\(х). Заметим, что преобразование G.1)
также можно рассматривать как результат применения опера-
оператора 3){gs) к векторным функциям хи #2, х3. При этом в соот-
соответствии с G.2) S>(g)xt = (g~lx)iy а согласно G.3) и G.1) мат-
матрицы 3)(g) = M(g).
63
Убедимся, что при указанном определении оператора 2D(g)
оператор 3)(gs)y соответствующий операции gs = gpgq, равен
произведению операторов:
Действительно, из G.2) следует, что
® (*,) ® (*,) Ф, (*) - & (gp) % (Я (gq) x) =
= Ф, (Я (*,) Л (gp) х) = Ф, (?-'?-'*) =
= % {(§Рёч)~' *) = % (§7**) = 3> {gs) ф, (ж).
Проверим, что при выбранном в G.3) порядке следования
индексов в сумме аналогичное правило выполняется и для
матриц:
0 (gP) sd (gq) Ф, = so (gp) 2 а>ц (gq) ФУ =
/
С другой стороны,
Следовательно, в соответствии с правилами умножения матриц
' G.5)
Если каждому элементу g группы ^ сопоставлена квадратная
матрица 3)(g) порядка п таким образом, что элементу gSy рав-
равному произведению элементов gPgq, при любых р и # соответст-
соответствует матрица 3)(gs)> равная произведению матриц 3)(gpK)(gq),
то такая совокупность матриц 3)(g) называется представ-
представлением группы & размерности п и обозначается символом 2).
Совокупность линейно независимых функций ф* (i = 1, 2, ..., п)9
преобразующаяся в соответствии с G.3), называется базисом
представления 3). Совокупность операторов 2)(g), определен-
определенных указанным выше способом и удовлетворяющих условию
G.4), образует операторное представление группы &.
Из п произвольных линейно независимых функций всегда
можно путем линейных комбинаций составить п новых функций,
которые будут взаимно ортогональны и нормированы на еди-
единицу. Поэтому в дальнейшем везде предполагается, что в каче-
качестве базиса выбрана система ортонормированных функций, т. е.
функций, удовлетворяющих условию
<Ф*Ф/> = J Ф1Ф/dx = **/• G-6)
Если умножить уравнение G.3) на ф* (х) и проинтегрировать
по ху то, учитывая G.6), получим
/ ь dx = (%® (е) ъ)' G.7)
64
Формула G.7) соответствует обычному определению матричного
элемента оператора в квантовой механике.
Выбор системы ортонормированных функций не является
однозначным. От заданной системы фг всегда можно перейти к
новой системе ф^, используя линейное преобразование
Ф^ЛЪ-Я^Ф,. G.8)
Для того чтобы новая система функций ф^ также была орто-
нормированной, надо, чтобы матрица S была унитарной, т. е.
удовлетворяла условию
S+ = S* = S-\ т.е. STtl = Sli G.9)
или
S*S = S*S = I. G.10)
Здесь S+ означает матрицу, эрмитово сопряженную с S:
где звездочка, как обычно, обозначает комплексное сопддошше*
а тильда (~) — знак транспонирования.
Формула G.10) показывает, что унитарная матрица обла-
обладает свойством ортогональности по столбцам и строкам, т. е.
2 S**S*/== в//> 2jSikSjk = 6ij. G.10a)
к к
При выполнении G.10)
<ФЭД> = 2 S*nSki <ф,фЛ) = 2 S,*A Д* = 6/г
Для вещественных матриц условие унитарности переходит в
условие ортогональности B.24).
Если базисные функции ортонормированы, то матрицы 3){g)
в G.3) также унитарны. Докажем это. Значение интеграла G.6)
не изменяется при переходе к любым переменным. Если мы перей-
перейдем к переменным х\ определяемым G.1), и учтем, что при пре-
преобразованиях симметрии объем не меняется, т. е. dx\ dx'2 dxi =
= dx\ dX2 Лхз, так как якобиан преобразования
х2>
то согласно G.3)
J q>; (x) Ф/ (х) dx=j(f'{ (х0фу (*') dx' = J Ф; (g-1*) Ф/ (g-*x) dx =
213>*и (ё) % (§) J 4»; (*) <P, (*) dx = ^ 2Ги (g) 2>ki (g) = 6l7;
kl к
kl
3 Г. Л. Вир, Г. Е. Пикус 65
следовательно,
2>-l(g) = 3>(g~l) = 3>+(g) = &9(g). G.11)
Набор п функций фг можно рассматривать как вектор <р в
м-мерном пространстве с компонентами фг- и записывать его в
виде столбца. Оператор S, определяемый G.8), переводит вектор
Ф в вектор ф' с компонентами ф^ G.8).
Рассмотрим теперь, как преобразуются матрицы 3){g) при
переходе от представления фг- к представлению ф^. В новом
представлении матричный элемент равен
Выразив ф' через ф в соответствии с G.8) и учитывая G.9), по-
получим
ki ki ]
или
3)'{g) = S~l3){g)Sy G.12)
что соответствует обычному правилу преобразования матриц
в квантовой механике при переходе к новому представлению.
Представления, которые могут быть получены одно из дру-
другого унитарным перобразованием G.12), называются эквива-
эквивалентными. В случае же равенства матриц 3){g) и 3)'{g) пред-
представления 3) и !2)' называются тождественными.
Важным свойством преобразования G.12) является то, что
оно оставляет неизменным след матрицы 3)(g), т. е. сумму ее
диагональных элементов. Действительно, согласно G.12)
2 2^ 2^=spS). G.13)
i ikl Ik k
Кроме того, при преобразовании G.12) сохраняется и опре-
определитель матрицы 3)(g), так как
Общее число матриц 3)(g) совпадает с числом элементов
группы h. Однако среди этих матриц могут быть и одинаковые.
Если все h матриц различны, то представление называется точ-
точным; если же нескольким элементам группы соответствуют одни
и те же матрицы, то такое представление называется неточным.
В последнем случае группа *3 гомоморфна группе, составленной
из фактически различных матриц (Г. Ядро гомоморфизма со-
составляют т элементов совокупности <S\ еу #2, ..., ет, которым
соответствует единичная матрица /. Эти элементы, как показано
в § 1, образуют инвариантную подгруппу группы 9, а всем эле-
элементам класса смежности g\jg% составленного из элементов
66
(i = 1, 2, ..., m), где gh<=&> соответствует одна матрица
&~k=:g)(gk). Следовательно, матрицы 3){g), являющиеся не-
неточным представлением группы ^, всегда являются точным
представлением ее фактор-группы по подгруппе &. Поэтому
среди возможных представлений группы ^ есть представления
всех фактор-групп, которые могут быть построены из 9.
Как указывалось выше, размерность представления опреде-
определяется числом базисных функций ф*. Однако может оказаться,
что соответствующим образом выбранное унитарное преобразо-
преобразование S разбивает эту систему функций на две или более групп
Ф1, ф2, ..., так что при всех преобразованиях симметрии каждая
из функций ф^ (gH1*) выражается только через функции этой же
группы:
('J
lig)
0
0
0
2>t(g)
0
0
0
2>3(g)
т. е. линейное пространство функций распадается на инвариант-
инвариантные подпространства. Следовательно, набор матриц 3) (g) для
всех элементов группы унитарным преобразованием G.12) пре-
превращается в систему квазидиагональных матриц вида
G.14)
Это означает, что каждый из наборов матриц 3)v(g) образует
представление группы. В этом случае представление Ф назы-
называется приводимым. Если же никакими унитарными преобразо-
преобразованиями дальнейшее разложение систем функций ф'^ на группы
не связанных друг с другом функций невозможно, то представ-
представление S)v называется неприводимым. Приведение матриц 3) к
виду G.14) называется разложением приводимого представле-
представления 2) на неприводимые представления 2)v.
В общем случае среди представлений 3)v могут оказаться и
взаимно эквивалентные представления. Соответствующим уни-
унитарным преобразованием эти эквивалентные представления все-
всегда можно привести к тождественному виду.
Неприводимые представления играют особую роль в физи-
физических приложениях теории групп, поскольку, как будет пока-
показано ниже, волновые функции, преобразующиеся по одному не-
неприводимому представлению, соответствуют одному и тому же
собственному значению энергии. Поэтому, например, размер-
размерность неприводимых представлений сразу определяет возмож-
возможную кратность вырождения термов.
В следующих параграфах будут рассмотрены свойства непри-
неприводимых представлений и будет показано, как практически мо-
может быть проведено разложение приводимого представления на
неприводимые.
§ 8. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, ХАРАКТЕРЫ
Матрицы, образующие неприводимые представления группы,
обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства следуют
из фундаментальных лемм Шура.
Рассмотрим два набора квадратных матриц 3){g) и 3)'(g)>
образующих представления группы *§ с элементами g^S. Раз-
Размерность этих матриц может быть различной. Пусть имеется
некоторая прямоугольная матрица А, имеющая столько же
строк, как и матрица 3)> и число столбцов, равное размерности
матрицы 3)\ и такая, что для всех g^3?
= A3)'(g). (8.1)
Первая лемма Шура утверждает, что если представления 3)^ и
3)v тождественны, т. е. \х = v и 3)^(g) = 3)v{g), то A = cl, т. е.
всякая матрица А, коммутирующая со всеми матрицами непри-
неприводимого представления <2)ц(?)> кратна единичной матрице:
если 3>^ (g) А = АЗ)^ (g), где g е= 9, то А = cl. (8.1 а)
При этом матрицы 3)u(g) считаются унитарными.
Для доказательства (8.1а) проведем операцию эрмитового
сопряжения над (8.1); учитывая, что (АВ)+ = В+А+, получим
Умножив последнее уравнение слева и справа на 3)(g) и ис-
используя G.11), получим
Отсюда видно, что если соотношение (8.1) выполняется для
матрицы А, то оно выполняется и для матрицы А+, а следова-
следовательно, и для эрмитовых матриц
и А" = ±(А-
Всякую эрмитову матрицу, равно как и унитарную мат-
матрицу, можно привести унитарным преобразованием к диаго-
диагональному виду. Если S — преобразование, диагонализующее
А или А'у то из (8.1) следует:
Где 3) = S~]3)S, a a = S~~lAS-— диагональная матрица. В ма-
матричном виде последнее соотношение запишется:
®ki(g)(akk-att) = O (*, /=1, 2, ..., А). (8.16)
Из (8.16) следуют две возможности: либо все aw одинако-
одинаковы, т. е. матрица а кратна единичной, либо часть матричных
элементов, например аиъ. {k = 1,2,... ,г), не равны остальным
68
au (I = r+ 1,. . .,Л). В последнем случае, согласно (8.16), все
матричные элементы
?>ki(g)=Q ПРИ * = 1, 2, ..., г, Z = r+ 1, г + 2, ..., А,
а это означает, что все матрицы 3)(g) разбиваются на бло-
блоки, т. е. могут быть представлены в виде G.14), и каждая из
подматриц с элементами 3)kk'{g) №Д/=Ь2 г) и 3>w{g)
(/,/'= г + 1, ..., А) осуществляют представление группы, т. е.
представление 3)^ приводимо. Так как это допущение противо-
противоречит исходному предположению, то остается лишь первая воз-
возможность, т. е. для неприводимых представлений матрицу а = с/,
следовательно, и матрицы А! = SaS~l и А" кратны единичной, а
поэтому и исходная матрица А = А! — iA" равна с точностью до
константы единичной матрице.
Вторая лемма Шура утверждает, что если представления
3) и SD' неприводимы и неэквивалентны, т. е. если 3) =
= 3)уь и 3)' = 3)v и \х Ф v, то единственная матрица А, удов-
удовлетворяющая условию (8.1), есть нулевая матрица, т. е. матри-
матрица, у которой все элементы Аы = 0, т. е.
если a)VL(g)A = A2>v{g), gz=$ и [i^v, то Л = 0. (8.2)
Если же для двух представлений 2) и 2)' матрица А Ф 0, то
по крайней мере одно из этих представлений приводимо, при-
причем 3) и 3)' содержат одно или несколько общих неприводи-
неприводимых представлений.
Заметим, что если представления 3)^ и 3)v эквивалентны,
т. е. матрицы 9)pig) и 9)vig) связаны между собой унитар-
унитарной матрицей S G.12):
то матрица А, удовлетворяющая условию (8.2), должна быть
кратна матрице унитарного преобразования, т. е. А = cS.
Пусть матрицы 3)u(g) имеют размерность hu а матрицы
3)vig) — размерность А2, т. е. матрица А имеет к\ строк и h2
столбцов. Для определенности будем считать, что h2 ^ h{. Для
доказательства второй леммы Шура проведем операцию эр-
эрмитова сопряжения; учитывая, что 9)+ ig) = S)~~I {g) = 9)(g~l)>
получим
Умножив это соотношение справа на А и учитывая, что со-
согласно (8.2) A3)v{g~l) = 3)[i{g-1) Ау так как g-{^$, получим
Из первой леммы Шура следует, что квадратная матрица АА+,
имеющая h{ строк и 1ц столбцов, кратна единичной, так как
69
она коммутирует со всеми матрицами <2)ц(?)> т- е-
и, следовательно, Det АА+ = cV Если с Ф О, то
Если h\ = й2, т. е. Л — квадратная матрица, то из послед-
последнего условия следует, что она имеет обратную матрицу А~\ и
тогда, умножая (8.2) на А, получим A"x3)^(g) A = <2)v {g),
а это означает, что представления 3)^ и 3)^ эквивалентны, что
противоречит исходному допущению. Следовательно, при h\ =
= h2 величина с = 0, т. е. АА* = 0 или
ы = 21 Л« I2 = 0,
что возможно лишь, если все матричные элементы Ам = 0,
т. е. А = 0.
Если же h\ < А2, то, дополнив матрицу Л до квадратной,
добавив h2 — hi строк с элементами, равными нулю, получим
матрицу Л, определитель которой равен нулю. Так как, с дру-
другой стороны, АА+==АА+у то
Det АА+ == Det AA+ = Det Л Det A+ = 0,
а это означает, что и при h\ < h>. имеем с = 0, т. е. АА+ = 0,
откуда, как показано выше, следует, что Л = 0.
Используя вторую лемму Шура, можно доказать следую-
следующее соотношение ортогональности:
Если матрицы 3)v(g) и 3)^ (g) образуют неэквивалентные
неприводимые представления группы S\ то матричные эле-
элементы 2fit {g) и Ж/ {g) при произвольных f, /, fe, Z удовлетво-
удовлетворяют соотношению ортогональности:
(g) = 0 при ^#v. (8.3)
Для доказательства (8.3) составим матрицу
A = Ii2)Ag)B2>7l(g)9 (8.4)
где В — произвольная матрица. Видно, чго матрица Л удов-
удовлетворяет соотношению (8.2), так как в соответствии с (8.2)
2>й (gf) А =
(8.5)
70
Следовательно, согласно второй лемме Шура А — 0, т. е.
g)Bk>i'@l>? (g) = 0. (8.6)
k'l'
Если теперь выбрать в качестве В матрицу с единственным
отличным от нуля матричным элементом Bw = б^/бгь то из
(8.6) следует:
2(l) (8.7)
Формула (8.3) непосредственно следует из (8.7) и условия
унитарности G.11).
Рассмотрим теперь случай, когда представления \х и v со-
совпадают. При выводе (8.5) мы не накладывали никаких усло-
условий на матрицы,®, поэтому оно остается в силе и при S)M,(g) =
= <2)v(g)- В этом случае матрица А удовлетворяет условию
(8.1), следовательно, согласно первой лемме Шура А = с1 или
S 2 № (g) Bw&n (g) = cbtl.
g ui'
Значение константы с зависит от выбора В. Выберем, как
и ранее, В^т = б^бп, обозначив соответственно c==c;fe. Тогда
Чтобы вычислить cJk, положим / = / и лросуммируем по /.
Учитывая, что
S 2 а)*/ (г) д)« (g-1) = 2 й>*7 (g-1^ = йаА/,
a Se« = ^, где Пр, — размерность неприводимого представле-
представления й)й, получим Cfb — ihln^bjb, и следовательно,
^ (8.8)
g
Для унитарных матриц это соотношение в соответствии
с G.11) можно переписать в виде
(g) 0lI (g) = ± bfiik- (8.9)
g
Уравнения (8.3) и (8.9) можно записать в виде общего со-
соотношения ортогональности:
V <ЭД (g) SDlk (g) = -^ б^/б/*. (8.10)
Величину
^ (I/5 (8.11)
71
где р означает определенную совокупность индексов ji, i, /,
можно рассматривать как ^-компоненту р-го вектора в А-мер-
ном пространстве. Тогда (8.10) означает, что скалярное про-
произведение различных векторов равно нулю, т. е. что векторы
с различными /?, т. е. разными наборами чисел ji, i, /, взаимно
ортогональны и нормированы. Действительно, (8.10) анало-
аналогично обычному соотношению ортогональности для единичных
векторов еа в трехмерном пространстве:
(*V)= 2 *?*? = *,* (а, Р=1, 2, 3).
Общее число взаимно ортогональных векторов не может пре-
превышать размерности пространства, т. е. А. В данном случае
число векторов Ф9-=ЗТц при данном \х равно квадрату раз-
размерности представления /г2, следовательно, общее число век-
векторов, равное 2пм» не превосходит Л.
м-
Ниже будет показано, что система этих векторов образует
полный набор в ^-пространстве с размерностью Л, т. е. что
число этих векторов равно размерности пространства:
N
2"*=А. (8.12)
1
Формула (8.12) называется р
Можно также показать, что величины п^ являются делите-
делителями порядка группы Л, т. е.
m (|х=1, 2, ..., Л0, (8.13)
где т —целые числа, a N— число неэквивалентных неприво-
неприводимых представлений.
Из (8.12) следует, что индекс р в (8.11) пробегает Л зна-
значений, т. е. приведенные матричные элементы S)rpq образуют
квадратную матрицу 3)' с размерностью Л. Условие ортого-
ортогональности (8.10) показывает, что эта матрица ортогональна по
строкам, т. е. Sb' 3)'' = /. В соответствии с G.9) это означает, что
матрица 3)' унитарна и, следовательно, согласно G.10) она так-
также ортогональна и по столбцам, т. е. <2)'*<2)' = /, или в обозна-
обозначениях (8.10)
2 2 n^fj (g) mi (g') = Ы>&. (8.14)
м- а
Так как конкретный вид матриц представления 3)(g) за-
зависит от выбора базисных функций и изменяется при унитар-
унитарных преобразованиях, то особое значение приобретает' изуче-
изучение свойств следа матрицы 3O(g)— величины, инвариантной
к таким преобразованиям и совпадающей для всех эквивалент-
72
ных представлений. Эта величина получила в теории групп на-
название характера представления 3) для элемента g и обозна-
обозначается символом %{g):
%(g) = I>2>ii(g). (8.15)
Как будет показано ниже, совокупность характеров для
всех элементов полностью характеризует неприводимое пред-
представление. Из соотношения ортогональности для элементов
(8.10) можно получить соотношение ортогональности для ха-
характеров. Для этого положим i = j и k = / и просуммируем
по / и k. Получим:
2jCte)xv(ff) = AV (8.16)
Это соотношение показывает, что неэквивалентные неприводи-
неприводимые представления не могут иметь совпадающие характеры
для всех элементов. Оно сразу дает возможность определить,
является ли данное представление неприводимым, и опреде-
определить, какие неприводимые представления и сколько раз содер-
содержатся в данном представлении 3).
Согласно (8.16) для неприводимого представления
2lx(g)l2 = /*. (8.17)
g
Если представление 3) приводимо, то в соответствии
с G.14) все матрицы 3){g) могут быть приведены к квазидиа-
квазидиагональному виду, причем каждая из подматриц образует не-
неприводимое представление. Следовательно, след матрицы 3b(q)
приводимого представления, который не меняется при таком
унитарном преобразовании, равен сумме следов этих подмат-
подматриц, т. е. сумме характеров всех неприводимых представлений,
содержащихся в 3):
^ (8.18)
Коэффициент N^ показывает, сколько раз данное неприводи-
неприводимое представление с характерами %p.{g) содержится в 3). Зная
%{g), можно сразу определить Л^. Для этого умножим (8.18)
на %и (?") и просуммируем правую и левую части по g. Тогда,
учитывая (8.16), получим
Формула (8.19) показывает, что для определения числа непри-
неприводимых представлений, содержащихся в данном приводимом
представлении, достаточно знать характеры этих представ-
представлений,
73
Если умножить (8.18) на сопряженную величину и просум-
просуммировать по g, то, используя (8.16), можно получить соотноше-
соотношение, подобное (8.17), но для приводимых представлений:
21 % (g) I2 = 2 Vv 2 х, (g) %С (я) = а 2 AW.* = Л 2 ^.
(8.20)
Видно, что сумма 2lx(g)l2 всегда кратна Л.
Покажем, что характеры %(g) являются функцией класса
элементов р, т. е. все элементы g одного класса р имеют оди-
одинаковые характеры хр- По определению g\ и g2 входят в один
класс, если существует элемент g3 такой, что g\ = \
Следовательно, согласно G.5)
яг1 tea)-
В соответствии с G.13) отсюда следует, что %(g\) х(?г)
Поэтому в формулах (8.16) — (8.20) можно везде суммирова-
суммирование характеров %{g) по элементам группы g заменить сумми-
суммированием характеров по классам р. Если обозначить характер
элементов класса р для представления (i как Хр> соотношение
ортогональности (8.16) можно переписать в виде
"р
(8.21)
Здесь Лр — число элементов класса р, a NQ — число классов
в группе 9.
Число #ц, показывающее, сколько раз представление \i со-
содержится в данном представлении с характерами хр> в соответ-
соответствии с (8.19) запишется в виде
"p
p=l
Воспользуемся теперь уравнением (8.14) и докажем еще
одно соотношение ортогональности характеров. Для этого по-
положим в (8.14) g = gi и gr = gg2g~] и просуммируем правую
и левую части (8.14) по g. Учитывая, что согласно G.11) и
(8.10)
Ik
Ik
74
найдем, что указанная сумма равна
a g
где р — класс элемента gh a r\ — класс элемента g2-
Если gi и g2 входяг в разные классы, то при всех g
^1 и Segiigg2g-.=o.
Если gi и ^2 входят в один класс, то согласно A.8) среди
h элементов gg2g~{ элемент g{ встретится /i/ftp раз и, следова-
следовательно,
Это означает, что
SXU-^ (8-23)
Если первое соотношение ортогональности (8.21) есть соот-
соотношение ортогональности характеров, соответствующих различ-
различным неприводимым представлениям, и суммирование в (8.21)
ведется по всем классам, то второе соотношение ортогонально-
ортогональности (8.23) есть соотношение ортогональности характеров, соот-
соответствующих различным классам, а суммирование в (8.23) ве-
ведется по всем неприводимым представлениям. Уравнение (8.21)
означает, что приведенные характеры
можно рассматривать как р-компоненты ортонормированных
векторов V в пространстве классов р с размерностью jVp. Так
как число ортогональных векторов, равное числу неприводимых
представлений N, не может превышать размерности простран-
пространства Л/р, то N ^ Л^р.
С другой стороны, согласно (8.23) эти же величины Хр, ^
можно рассматривать как ji-компоненты ортонормированных
векторов tr9 в пространстве неприводимых представлений \л раз-
размерностью N. При этом число ортогональных векторов, равное
числу классов Np, не может превышать N, т. е. Afp ^ N. Это
означает, что
NQ = N. (8.25)
Следовательно, общее число N неприводимых представлений
группы $ равно числу N9 классов сопряженных элементов этой
группы,
75
Соотношения (8.21) и (8.23) означают, что матрица %' соот-
соответственно ортогональна и по строкам
X'V = /,
и по столбцам
Как показано выше, одновременная ортогональность по стро-
строкам и по столбцам означает, что матрица %' квадратная, т. е.
в соответствии с (8.25) N = Np*).
В заключение рассмотрим представления группы &, являю-
являющейся прямым произведением двух групп S\ и &2-
Как указывалось выше, элементами группы & являются про-
произведения элементов обеих групп g = gA)gB)(gA) e $\, gW e ^2)-
Общее их число равно h = А1Л2, где h\ и hi — числа элементов
группы $\ и группы ^2. ^
Если базисом fx-ro неприводимого представления группы 9\
являются функции ф? (/ = 1, 2, ..., п^у a v-ro представления
группы ^—-функции tj)J (/ = 1, 2, ..., nv), то в качестве ба-
зиса представлений группы 9 можно выбрать функции /^ =
= ф№?, которые обозначены двойными индексами. Тогда
в соответствии с G.3) матричные элементы матриц 3)(g{l)g{2)),
образующих представление группы $ = $$2, будут равны
т.»(eV) = ЯЬ (Л ®1 (Л- (8.26)
Подчеркнем, что при этом предполагается, что операция gM
не действует на функции ф группы ^2 и наоборот, т. е. что функ-
функции ф и ф определены в различных пространствах.
Полученная указанным образом матрица 3)(g) называется
прямым или кронекеровским произведением матриц 3){{) X 3){2)
(не путать с обычным произведением матриц).
Согласно (8.26) характер этого представления равен произ-
произведению характеров неприводимых представлений групп &\ и <3ъ\
x^g) = 2 *Ги I/ <*> - 2 ^ (sil)) 2 *>Ъ (Л=х, (s{l)) ъ (Л
(8.27)
*) Формула (8.23) дает возможность сразу доказать теорему Бернсай-
да (8.12). Для этого выберем в качестве классов р и т| класс, содержащий
единичный элемент е, который не содержит никаких других элементов, т. е.
Лр= 1. Так как Хм-(е) ^ n\i* т0 согласно (8.23) 2%% ^ ^> что совпадает
с (8.12).
Надо, однако, отметить, что наш вывод формулы (8.23) основан на соот-
соотношении (8.14), которое само было получено с учетом (8.12). Хотя (8.23)
можно доказать и не используя (8.14), но этот вывод более сложен. Поэтому
в следующем параграфе будет приведено независимое доказательство тео-
теоремы Бернсайда.
76
Размерность этого представления n^v равна произведению
размерностей представлений г№п&\ Полученные таким образом
представления группы ^ неприводимы, так как согласно (8.27)
и (8.17)
21 x^v (g) I2 = 21 x, teA)) I2 21 xv teB)) I2 - hA = a.
g g(D gB)
Так как сумма квадратов размерностей всех представлений со-
согласно (8,12) равна
[IV [IV
то в соответствии с (8.17) эта формула показывает, что, пере-
перемножив попарно все неприводимые представления групп *§\ и
^2, мы получаем все неприводимые представления группы ^.
§ 9. ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРИВОДИМЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Зная матрицы неприводимых представлений, можно по-
построить базисные функции, преобразующиеся по каждому из
этих представлений. Для этого выберем произвольную функцию
Ф\(х). Применяя последовательно операции группы <S\
g\=e> g2> • • • > ёГ/г>
получим h функций
x)=Ol(gTlx). (9.1)
Функцию Ф{х) можно выбрать так, чтобы все эти функции Ф*
были линейно независимы. Функции Ф* нормированы на еди-
единицу, если Ф1 нормирована. Под действием операции g каждая
из h функций Фг{х) перейдет в другую функцию этого набора:
Ф (g) Ф, (х) = ?>(g)® (gi) Ф, (х) = Ф, (gTlg~lx). (9.2)
Такое представление, базисом которого являются h линейно не-
независимых функций Фи называется регулярным представлением
группы.
Матрицы этого представления легко построить по (9.2), ис-
используя лишь таблицу умножения группы. Так как при g ф е
gg{ ф gh то согласно (9.2) действие оператора 2)(g) при g ф е
превращает каждую из функций в другую функцию из набора,
не равную Фг-. Следовательно, матрица регулярного представле-
представления 3)(g) при g Ф е не имеет диагональных элементов; поэтому
характер равен
*<*)={ 0 п;и пФе. м
77
Регулярное представление в общем случае приводимо. Для
того чтобы определить, сколько раз данное неприводимое пред-
представление |х содержится в регулярном, используем формулу
(8.19). Согласно (8.19) и (9.3)
JiWxW = x;W=V (9.4)
Следовательно, каждое неприводимое представление \х содер-
содержится в регулярном представлении столько раз, какова его раз-
размерность.
Из формулы (9.4) непосредственно следует теорема Бернсай-
да (8.12). Действительно, согласно (9.4) все базисные функции
разбиваются на группы из /гц функций, преобразующихся по
неприводимому представлению \х, причем число таких групп
для каждого представления равно п^. Следовательно, полное
число базисных функций равно 2^ц- С другой стороны, это
м-
число равно размерности регулярного представления, т. е. числу
элементов группы Л. Следовательно, 2 я?. = А.
Так как регулярное представление содержит все неприводи-
неприводимые представления, то из Ф* функций можно построить h функ-
функций ф^(#)> являющихся базисом каждого из этих неприводи-
неприводимых представлений. Здесь верхний индекс \х показывает непри-
неприводимое представление, индекс т (т= 1, 2, ..., п^) —номер
одного из эквивалентных ^-представлений, а индекс k (k = I,
2, ..., Пр,) — номер базисной функции этого представления.
Покажем, что оператор
(9.5)
g
действуя на любую из функций Фь дает набор функций ф^.
Для этого проверим, что функции-партнеры
при фиксированном \л и m действительно преобразуются по не-
неприводимому представлению \i. Согласно (9.5), (9.6), G.4) и
A.2)
2 *? te) SO (g'g) Ф, -
X
— /, /a kl ^ ' ?Л lm ^s / \б / 1
/ 8 I
78
Используя соотношение (8.10), легко проверить, что любые
функции ф^, образующие базис неприводимого унитарного
представления, ортогональны по всем трем индексам.
Так как все функции Ф* линейно независимы, т. е. никакая
линейная комбинация этих функций не может обратиться в
нуль, то среди функций <р?Л в соответствии с (9.6) нет ни одной
функции, равной нулю, и все эти функции линейно независимы.
Поэтому, действуя операторами P^k на функцию Ф^ = Ф{ (gj"lx),
мы получим функции ф^ г = ЯЦ^Фр которые будут пред-
представлять суперпозицию функций Ф^ = Я^Ф1 с теми же \х и k,
но с разными т.
Заметим, что в общем случае нет необходимости использо-
использовать (9.6) для определения всех функций фЦ^. Достаточно выде-
выделить по одной функции для каждого представления [л, т, на-
например, функцию ф?г Действие оператора 3){g) на эту функ-
функцию дает лишь функции этого представления, тогда как при
действии 2D{g) на Ф/ получается набор функций всех представ-
представлений. Поэтому практически удобнее получить остальные функ-
функции-партнеры фЦ^, действуя оператором Pfk на ф?г/. Согласно
(9.5), (9.7) и (8.10)
gn п
Следовательно,
^Ф^ = Ф^- (9-8)
Например, оператор Р^т выделяет т-ю функцию представле-
представления |х, т:
g
из которой можно получить остальные функции этого представ-
представления:
ери — ри ф^ # (9.10)
Приведенные выше формулы (9.5) — (9.10) дают полное ре-
решение задачи о построении функций, преобразующихся по лю-
любому неприводимому представлению.
Однако использование этих формул требует знания матриц
неприводимых представлений и часто оказывается довольно тру-
трудоемким. Если заданы лишь характеры представлений, то, как
следует из (9.9), действуя на Ф1 оператором
79
можно выделить совокупность функций
преобразующихся по представлению \х. При этом получаем лишь
одну из д2 линейно независимых функций.
Действуя операторами 3){g)> g^& на эту функцию fv или,
что эквивалентно, применяя оператор &»• ко всем функциям
Фг = 3)(gi)Ou можно из этой функции /»* получить еще h функ-
функций, среди которых содержится, однако, лишь п2^ линейно неза-
независимых функций ф^ (т = 1, 2, ..., п^\ ft = 1, 2, ..., п^), так
как
т mk
Конечно, для того чтобы выделить /г^ функций <р?Л из этих h
функций f^(g~lx) (g = g\,g2, ..., gh), надо знать все матрицы
®km(g). Однако в простых случаях эти функции можно сравни-
сравнительно просто подобрать и, зная характеры, проверить, что они
преобразуются по требуемым представлениям.
Приведенные выше выражения (9.5) — (9.13) справедливы
независимо от выбора функций Ф{(х). Поэтому, используя опе-
операторы (9.5), (9.9) или (9.11), называемые операторами проек-
проектирования, можно выделить все базисные функции тех непри-
неприводимых представлений, которые содержатся в представлении 3)у
порождаемом любой функцией Ф(х).
Если среди функций Ф(=Ф^г1х) содержится nr (n'<h)
линейно независимых функций Ф;, то это представление не яв-
является регулярным и часть или все из неприводимых представ-
представлений \i содержатся в 2D менее чем п^ раз, или вообще не содер-
содержатся в нем. Поэтому некоторые из функций, выделяемые опе-
операторами (9.5) или (9.11), окажутся линейно зависимыми или
равными нулю. Если представление 3) вообще не содержит не-
неприводимого представления |х, то все функции срЦ^ при любых
m и ft и функции /»*, выделяемые оператором (9.11), обратятся
в нуль.
Если известны матрицы представления3){g), по которому
преобразуются выбранные функции Ф;-, то операторы проекти-
проектирования (9.5) и (9.11) можно записать в матричной форме:
II %"^ _ц ^^ t| ftp, Ж ^ ^т*Ц* / \ s-*.
*tnk mJk ftlkt f V ttlk, / fl ^^J kltl ^S^ /1 \o/'
/ 8
i s
Зная характеры %(g) представления 2D, можно сразу пб фор-
формулам (8.19) или (8.22) найти величину N^ определяющую,
80
сколько раз каждое неприводимое представление \i содержится
в®, и тем самым найти полное число линейно независимых
функций ф^д, с заданным \х, равное N^n^. При этом общее
число линейно независимых функций ср}^, равно размерности
представления 2), т. е. п'. Выбрав первые N^ операторов
Pmk (т= 1, 2, ..., Пу) и используя (9.14), получим n^N^ функ-
функций ф^^. Если часть из этих функций окажется равными нулю
или линейно зависимыми, надо использовать следующие опе-
операторы Pmk (m = Nli+ 1, Л^ + 2, ...), пока не получим все
линейно независимые функции.
Проделав такую процедуру для всех представлений ц, мы
найдем nf линейно независимых функций и определим nf ком-
компонент оператора Pmk, /, выделяющего из п! функций Ф/ п! функ-
функций ф?Л> образующих базисы неприводимых представлений.
Эти компоненты оператора образуют квадратную матрицу Р с
размерностью nr—PjQ, где q означает совокупность индексов jo,,
m, k \q = 1, 2, ..., п'). При соответствующей нумерации этих
компонент эта матрица Р в соответствии с G.12) превращает
матрицу 3) в 3)' =Р~Х3)Р, имеющую квазидиагональный вид
G.14).
Практически при построении базисных функций часто удоб-
удобнее исходить не из общей функции Ф(*), порождающей регу-
регулярное представление, а из наиболее простых функций, напри-
например, функций х, у, z, образующих базис одного или нескольких
неприводимых представлений. Базисные функции остальных
представлений можно получить из гармонических полиномов бо-
более высоких степеней.
Аналогичная задача часто возникает и при других практи-
практических приложениях, когда из произведений известных функ-
функций f1} (/=1, 2, ..., ЯД которые образуют базис представле-
представления 3)^, и функций ф? (& = 1, 2, ..., nv), образующих базис
представления 2)v, необходимо построить функции, преобра-
преобразующиеся по неприводимым представлениям. Произведения
этих функций ф^ = ^ф][ образуют базис представления 3)
с размерностью %п^ которое называется прямым произведе-
произведением представлений: 3)^ = 3)^^.
Базисные функции этого представления фгь обозначим двумя
индексами, чтобы показать их происхождение; соответственно
матричные элементы представления 2)^v обозначим четырьмя
индексами, т. е. SDfk, //. Согласно G.3)
l ik (g) Фу/ = 3) (g) fm =
(g) Ф/ = 2 m (8) &ik (8) ¦//•
И
Следовательно, матрицы прямого произведения®^ равны пря-
прямому (кронекеровскому) произведению матриц представлений
Sfllli^StttA (9.15)
а характеры прямого произведения равны произведению харак-
характеров составляющих представлений. Действительно, согласно
(9.15)
xnv (§) = 2 stfil * i&) = 2 ant o?)S a>W (g),
т. e.
Xlxv(gr) = X^(g)Xv(g). (9.16)
Прямое произведение неприводимых представлений в общем
случае приводимо. Задача о разложении прямого произведения
двух и более представлений часто встречается в физических
приложениях.
Формулы (9.16) и (8.19) сразу определяют, какие неприво-
неприводимые представления содержатся в прямом произведении. Если
функции /г и фь преобразуются по одному и тому же представ-
представлению, то характер прямого произведения
(9.17)
В этом случае из п^ функций ф/Л=^фЛ можно составить сим-
метризованные и антисимметризованные функции г|)^ и г|)^:
tfik = fi% + fk<Vi (/==1> 2» •••> V> *=1' 2> •••> 0; (9.18)
tfk = fi%-fk% (/==Ь 2, ..., v A>=1, 2, ...,*-1). (9.19)
Как будет показано ниже, эти функции преобразуются не-
независимо и образуют соответственно базис симметризованного
произведения [&1] с характерами, обозначаемыми [j? (g)], и
антисимметризованного произведения {^) с характерами
{4()}
Для симметризованных функций ф^=ф^, для антисимме-
тризованных Ф^ = ~"Ф^> поэтому функции i|^fe и г|)^, так же
как г|)^ и г|)^, следует рассматривать как одну функцию. Соот-
Соответственно для симметризованных функций значения второго
индекса &<л, а для антисимметризованных k<i, так как
Общее число симметризованных функций равно:
82
а антисимметризованных
Полное число функций г|)^ и г|)^, естественно, равно п2л
Согласно (9.18) и G.3)
0 (g) Vik = 2 2 ^Л (f/Ф/ + //ф/).
Так как функции ф^ с / ф I входят в эту сумму дважды, то
коэффициенты при них надо объединять, т. е.
/-1
¦?* = 2 B («
Следовательно, матричные элементы симметризованного пред-
представления имеют вид
-у6
Аналогично для антисимметризованного представления
пи % п» /-1
l=i i=i /=i 1=\
т. е.
Соответственно характер симметризованного произведения
откуда
К Щ " У КЗЬ (Я)J + X, (?2)]. (9.22)
83
Аналогично для антисимметризованного произведения
Таким образом, представление Ф^У^З)^, являющееся пря-
прямым произведением одинаковых представлений с характерами,
определяемыми уравнением (9.16), в общем случае распадается
на два представления — симметризованное и антисимметризо-
ванное, характеры которых определяются выражениями (9.22)
и (9.23). Эти представления также могут быть приводимыми, и
число неприводимых представлений, содержащихся в них, мо-
может быть определено с помощью формул (8.19), (9.22) и (9.23).
Базисные функции неприводимых представлений, содержа-
содержащихся в прямых произведениях, которые являются линейными
комбинациями произведений /гф;, можно построить при помощи
оператора проектирования (9.14) и (9.14а), используя выраже-
выражения (9.15), (9.20) или (9.21) для матриц соответствующих про-
произведений.
Для ряда приложений особый интерес представляет опреде-
определение числа единичных представлений, содержащихся в данном
приводимом представлении, и построение базисных функций,
преобразующихся по единичному представлению. По определе-
определению единичного представления эти функции являются инва-
инвариантами, т. е. не меняются при всех операциях симметрии, вхо-
входящих в данную группу.
Согласно (8.19), (9.5) и (9.14) число единичных представле-
представлений, содержащихся в представлении с характерами %(g), равно
(9-24)
а базисные функции этого представления
*° = Т2 ® & Ф< = Т 2 2 ®" <8) Ф», (9-25)
g g k
где фг(*) —любая из функций, образующих базис данного при-
приводимого представления.
В частности, для регулярного представления, в котором со-
согласно (9.4) единичное представление содержится один раз,
инвариантная функция гр0 равна
^° = Т S ®{8) Ф'{х) = Т S ф'{х)' (9'26)
g i
Рассмотрим теперь прямое произведение представлений
^Х^, Согласно (9.24) и (9.16) это произведение содержит
единичное представление, если
84
С другой стороны, из соотношения ортогональности (8.16) сле-
следует, что
Величину х* можно рассматривать как характер представ-
представления 2Т у комплексно сопряженного представлению 2)^. Из
G.3) видно, что если матрицы 3) {g) образуют неприводимое
представление, базисом которого являются функции фг-, то и
комплексно сопряженные матрицы 3)*{g) образуют неприводи-
неприводимое представление, а его базисом являются функции ф^
Следовательно, единичное представление содержится только
в прямом произведении взаимно сопряженных представлений,
т. е. при х* = /v.
Если представление имеет вещественные характеры, т. е.
y* (g) =y (g)> T0 сопряженные представления 2) и 2)* экви-
эквивалентны, т. е. 3) может быть превращено в ЗУ унитарным пре-
преобразованием G.12). Если при этом соответствующим унитар-
унитарным преобразованием можно сделать все базисные функции фг-
и, соответственно, все матрицы 3) (g) вещественными, то такие
представления называются вещественными. Если же характер
представления вещественен, но сами матрицы 3) {g) существенно
комплексны, т. е. никаким унитарным преобразованием не могут
быть сделаны вещественными, то представления 2) и 2)* назы-
называются комплексными и эквивалентными. Представления 2) и
2)* с комплексными характерами являются комплексными и не-
неэквивалентными.
Следовательно, для комплексных и неэквивалентных пред-
представлений инвариантную функцию можно составить лишь из
произведения базисных функций ф^ и ф*, образующих базис со-
сопряженных представлений 2) и 2)*> причем эта функция является
единственной. Согласно (9.25), (9.15) и (8.9) эта функция
.io ! V ^ , ч * ! V1 V1 ^n*/^\
е s ik
* Aifa Ь S fa (9-27)
ik *
Для эквивалентных представлений инвариантную функцию
можно составить из произведения базисных функций одного
представления. По форме эта функция совпадает с (9.27), но
при этом функции ф! линейно связаны с ф, унитарным преобра-
преобразованием Г. Так, для вещественных представлений при Ф?* = Ф,
85
Как будет показано ниже (см. A8.27)), для вещественных
представлений
1
и, следовательно, согласно (9.22) и (8.17)
g
т. е. в соответствии с (9.24) для вещественных представлений
симметризованное произведение, базис которого включает функ-
функции ф^, действительно содержит единичное представление. Для
комплексных эквивалентных представлений согласно A8.27)
т. е. для них в соответствии с (9.23) и (8.17)
поэтому для комплексных эквивалентных представлений еди-
единичное представление, базисом которого является функция
(9.27), содержится в антисимметризованном произведении.
§ 10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
В этом параграфе будут кратко рассмотрены представления
группы вращений.
Можно показать, что, как и для конечных групп, все пред-
представления группы вращений могут быть выбраны унитарными.
Поскольку каждое вращение <р определяется тремя параметра-
параметрами фя, <ру и ф2, то и каждое представление 0(ф) = &{цх> Фу, ф2)
есть функция этих параметров. При этом мы будем рассматри*
вать только те представления, которые являются дифференци-
дифференцируемыми функциями этих параметров *).
Покажем, что матрица каждого представления 3)(ц>) для
любого конечного поворота ф полностью определяется матрица-
матрицами этого представления, соответствующими бесконечно малому
повороту ф.
Разложим <2)(ф*> ФУ, Фг) в ряд Тейлора по ф*. Тогда, учи-
учитывая, что <2)@, 0, 0) = <2)@)=/, получим в первом порядке
„ дЮ ( дЮ\
*) Под производной-г—следует понимать матрицу -^—
Ilk O'Vs
элементы которой суть производные от соответствующих элементов ма-
матрицы 3) по параметру ср..
86
ПО ф/!
#(ф*. Фу, Ф*)=/+*(А,ф, + А^у+АЛг)=/+/(Аф), A0.1)
где
есть матрицы бесконечно малого поворота, соответствующие
представлению 3) при вращениях на малые углы вокруг осей х>
у и z соответственно.
Рассмотрим два вращения 5ф и Ар, где 5 и t — произвольные
числа. Произведению вращений 5ф и ftp соответствует вращение
(s + Оф- Следовательно, матрицы представления 3) должны
удовлетворять соотношению
x, sq>y, s<pz) 3) (tq>xt
Продифференцировав это равенство по s и полагая s = 0, по-
получим дифференциальное уравнение для матрицы 3){)
ds ~ "" s=0
откуда согласно A0.2) следует:
jf 3) (Ар) = i3> (/Ф) {AxVx + A
Матрицы 3) (tq>) удовлетворяют граничному условию
jf 3) (Ар) = i3> (/Ф) {AxVx + Ay% + A2<p2) - /Я (/Ф) (Аф). A0.3)
0 = 3)@)=I. A0.4)
Система A0.3) с граничным условием A0.4) имеет решение
= еа (ЛФ) = е" (Ax*x+A№W9
и при г = 1 получим выражение для 3) (ф) через матрицы бес-
бесконечно малого поворота Ах, Ау, А2:
е1 {М). (Ю.б)
Таким образом, нахождение представления 3)(q>) сводится
к нахождению матриц бесконечно малого поворота Ах> Ау, Аг
Рассмотрим некоторые свойства матриц бесконечно малого
поворота. Матрицы представления 3) для любых вращений ф1 и
ф2 удовлетворяют соотношению
3) (Ф,) 3) (Фа) 3)~] (Ф,) = й) (Ф^ФГ1). A0.7)
Из B.1) следует, что вращение ф1ф2ф~1 есть поворот на угол ф2
вокруг оси Фз==<^(ф1)(Р2> в которую переходит ось ф2 при
вращении ф1# Если ф2 есть бесконечно малое вращение,
то и Ф1Ф2Фр] есть также бесконечно малый поворот. Из A0.7),
87
используя A0.1), найдем
?+ 13) Ы (Л«р2) ЗГ1
Равенство A0.8) получено для малых векторов <рг, но можно
показать, что оно справедливо и для произвольного угла <р2.
Согласно B.23) Ф^ФГ1 =Фз = <з%(ф1)ф2 или в компонентах
(<p3)j = 2 $>is (Ф1) (фг)«; <& (Ф1) ~" матрица преобразования ком-
понент вектора в неподвижной системе координат. Подставляя
эти выражения в правую часть равенства A0.8), увидим, что
матрица А с компонентами Ах, Ауу Аг преобразуется как коор-
координаты неподвижного вектора х, у, z в подвижной системе коор-
координат:
3) (ф1) АЯ)"Х (q>,) = Si (фГ1) А A0.9)
или
3) (ф,) А&~х (ф1) = 2 З?* (фГ1) Л = 2 Я5, (ф,) Л5.
Из A0.9) можно получить соотношения коммутации, кото-
которым удовлетворяют матрицы АХ9 Ау и Az. Пусть <pi есть поворот
вокруг оси х на малый угол фх. Согласно D.2)
110 0 1
0 1 —ф*. A0.10)
о fvx 1 '
Тогда из A0.9) получим при А = Ау:
A + iq>xAx) АуA— ЩхАх) = Ау+ 1Чх (АХАУ — АУАХ) = АУ — ф^Л2,
откуда следует соотношение коммутации матриц Ах и Ау:
Л л дл : л
xi\y **ytix — {л2.
Аналогичным образом могут быть получены перестановочные
соотношения и между другими матрицами бесконечно малого
поворота, которые имеют вид, подобный D.5):
АхАу АуА% — ^**2> **х"-х ***z***x — ^ у* **у"-х "-z"-y —' ^**х*
A0.11)
Соотношения A0.11) получены только на основании свойств
вращений и поэтому справедливы для операторов бесконечно
малых поворотов для всех представлений.
Из условия унитарности представлений для малых поворо-
поворотов ф
3) (q>) 3)+ (Ф) = A+ * (Ар)) A - / U+q>)) = /
получим
А = А+, A0,12)
т. е. матрицы А являются эрмитовыми. Условие A0.12) обеспе-
обеспечивает унитарность представления 3)(q>) A0.6) для любого ко-
конечного угла ф.
Вместо матриц Ах, Ау и Аг иногда удобно вводить матрицы
А3 = Az и А± = Ах± iAy, которые, как следует из A0.11), удо-
удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
А+А3 — А3А+ = А+, Л-Лз АзА~ = А-,
А+А— — Л—-А+ == 2dA^*
Все матрицы бесконечно малого поворота, а следовательно,
и все различные неприводимые представления группы вращений
могут быть получены фактически на основе соотношений комму-
коммутации A0.11) или A0.13). При этом можно показать, что ка-
каждое неприводимое представление группы вращения 3)j харак-
характеризуется индексом /, пробегающим все целые и полуцелые
значения:
/ = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ..., A0.14)
который называется весом представления 3)j. Размерность пред-
представления SDj равна 2/+ 1. Таким образом, в группе вращений
могут быть представления всех размерностей.
Представление 3)f (ф) согласно A0.6) определяется матри-
матрицами А[, Ау и Ajz. В качестве базиса представления <2)/(ф)
можно выбрать собственные векторы Y!m матрицы Аз, которые
удовлетворяют соотношениям (см. [1.7, 1.8])
Af+Yfm == Y(i + m+\)(j-m)Y!m+l, A0.15)
ALYL = V(i+tn)U-rn+l)YL-i,
где т пробегает 2/ + 1 значение:
m = -/\ -/+1, -/+2, ..., /— 1, /. A0.16)
Если / целое, то и т целые; при полуцелых / значения т тоже
полуцелые.
Из A0.15) следует, что в выбранном базисе матричные эле-
элементы матриц Лз, Л+ и AL таковы:
(А+)т'т = V(l + т + I) (/ - т) бт+1, т>, A0.17)
Легко показать, что
iA\m' = № +'а! + А% )тт, = / (/ + 1) 6т1П'. A0.18)
89
Соотношения A0.15) и A0.17) выполняются в определенным
образом выбранном базисе, который называется каноническим.
При переходе к любому другому эквивалентному базису при
помощи некоторой линейной комбинации G.8) функций Ущ ма-
матрицы бесконечно малых поворотов А) преобразуются по G.12).
Матрицы бесконечно малых поворотов A0.17) полностью опре-
определяют по A0.6) матрицу представления 2){ц>) для произволь-
произвольных углов поворота ср. Так, при повороте вокруг оси z на угол ср
матрица <2)/(ф), как следует из A0.6) и A0.17), имеет вид
0 0 ... 0
0
0
о
0
о
0
A0.19)
0 0 0 ... е-г
Из A0.19) легко получить характер х,(<р) представления
-/
. ф
sin 2
*.. (Ю.20)
Прямое произведение неприводимых представлений S)ix X
/2 есть представление группы вращений размерности
B/i + О B/2+ О"» оно в общем случае приводимо и его можно
разложить на приводимые представления. При этом в произве-
произведении 0/,X^)/t встретятся по одному разу все неприводимые
представления с весами от /i + /2 до |/i — /г|:
0/,Х0/,= 2? 2>г A0.21)
В формуле A0.21) легко убедиться, если заметить, что для ма-
малых углов поворота ф характер хНф) = 2/+ 1 равен размерно-
размерности представления SD). Тогда, имея в виду тождество
BЛ+1) B/2+1)- 22 B|i+l)f
u«|W«l
получим
1±[
что совпадает с A0.21).
Из A0.21) следует, что произведение двух представлений с
полуцелыми весами разлагается на представления с целыми ве-
весами. Прямое представление ЗЬи X &и содержит единичное
представление в том и только в том случае, когда )\ = /2.
Разложим прямое произведение 3K X ®з на симметризован-
ные и антисимметризованные представления:
3>{ X S)l = Щ X Щ + {SDi X Щ. A0.22)
N
Согласно (9.23) характер антисимметризованного произведения
представлений
для малых углов ср равен B/+ 1)/. Отсюда можно получить, что
антисимметризованное произведение представлений 3J X^j
разлагается на представления:
A023)
i 02/-1 + ^2/-з+ ^2/-5+ --. + ^о ПРИ / полуцелом.
Действительно, например, при целом / сумма характеров в пра-
правой части равенства A0.23)
Х2/-1 + Х2/-3+ • .. +Xl =
== 2 B/ — 1) + 1 + 2 B/ _ 3) + 1 + ... + 1=B/+1)/>
что совпадает с ]
Из A0.21) —A0.23) следует, что
••• + «о при/целом,
... + Ж, при / полуцелом.
Таким образом, единичное представление содержится в сим-
метризованном прямом произведении представлений с целым
весом и в антисимметризованном произведении представлений
с полуцелым весом /.
Матрицы представления 3)j с целым / являются однозначны-
однозначными функциями угла поворота ср. Как видно, например, из A0.19),
поворотам ф и ф + 2я отвечает одна и та же матрица 3)j. По-
Поэтому базисные функции Y^ при целых / могут быть построены
из однозначных функций координат, и матрицы представления
Л?, Ayf А[ при целых / являются, как это следует из D.3),
D.5), D.6) и A0.11), A0.6), A0.1), матрицами операторов мо-
момента LXy Ly и LZ1 построенных на этих однозначных функциях
координат в представлении, где Lz диагонально.
Если / = 0, то одномерное (скалярное) представление груп-
группы вращений осуществляет любая функция ЗГ% зависящая толь-
только от модуля радиуса-вектора, ^~(|#|), так как она, очевидно,
остается инвариантной при всех вращениях пространства.
Для /= 1 имеются три функции Y\, YL\ и Fo, осуществляю-
осуществляющие представление 2>ь которые могут быть построены из трех
компонент х, у, z вектора х Канонический базис осуществляется
линейными комбинациями:
*H§ l^L. (Ю.25)
91
Из A0.21) следует, что при помощи произведений различных
функций, соответствующих векторному представлению A0.25)
2>ь можно получить последовательно функции, осуществляю-
осуществляющие все неприводимые представления 3)$ с целым /.
Особый случай представляют представления ?Dj с полуцелым
/, когда поворотам ср и ср+2я, как следует из A0.19), соответ-
соответствуют две матрицы, отличающиеся знаком. Поэтому представ-
представления SDj с полуцелыми / являются не однозначными, а двузнач-
двузначными функциями поворота, и, таким образом, строго говоря,
вообще не являются представлениями группы вращений в обыч-
обычном смысле.
Если каждому повороту <р сопоставлять две матрицы ±<2)/(ф),
то каждая пара матриц ± 3)j (ф) осуществляет так называемое
«двузначное» представление группы вращений.
Неоднозначность представления 2)j с полуцелым весом /
связана с тем, что найденные выше представления ^(ф) яв-
являются на самом деле обычными (однозначными) представле-
представлениями группы движения °U (см. § 4), которая гомоморфна груп-
группе вращений Ж. Если представления группы °U, которая назы-
называется группой представлений для группы вращений, рассмат-
рассматривать как представления группы вращений, то при этом
возникают как обычные однозначные представления сфериче-
сферической группы — представления &)$ с целым /, так и «двузначные»
представления 2)j с полуцелым /.
Рассмотрим более подробно случай / = 1/2. Из формул
A0.17) легко найти матрицы бесконечно малого поворота AlJ2,
А}]2 и Л1/2 для представления 3)i/2. Эти матрицы, с точностью
до множителя 1/2, пропорциональны введенным ранее матрицам
Паули:
Af = ох/2, Af = о у/2, A]J2 = oJ2, A0.26)
и поэтому матрица представления 3)i,t совпадает с матрицей а
D.12), которая является элементом группы °U и описывает дви-
движение плоскости \х\ при вращении сферы. Базисные функции
Y\% и Y-2\/2, осуществляющие представление 3)ул и преобразую-
преобразующиеся при поворотах друг через друга по G.3),
ш=1/2
П? 2 тУ!& A0.27)
2
т=—1/2
называются спинорами ранга 1/2, а часто просто спинорами.
Они не являются однозначными функциями координат и осу-
осуществляют обычное представление группы °Ы и «двузначное»
представление группы вращений.
Из формулы A0.21) следует, что при помощи произведений
различного числа спиноров можно построить представления
группы вращений с любым /. При этом произведение нечетного
количества спиноров разлагается на полуцелые представления,
92
а из четного числа спиноров можно построить представления
любой размерности, соответствующие целому весу.
Каждый элемент ортогональной группы представляется в
виде произведения инверсии на вращение.
Поскольку инверсия коммутирует со всеми вращениями, то
полное число представлений в ортогональной группе удваивает-
удваивается по сравнению с числом представлений в группе вращений, и
каждое представление 3)j с весом / может являться либо чет-
четным, либо нечетным в зависимости от того, меняет или не ме-
меняет знак матрица 3)^ при инверсии.
Так, скалярные величины, преобразующиеся по представле-
представлению Фо при вращениях и не меняющие знака при инверсии, на-
называются истинными скалярами, если же при инверсии скаляр
меняет знак, то он называется псевдоскаляром.
Величины, преобразующиеся по представлению 2)\ и не
меняющие своего знака при инверсии, называются псевдовек-
псевдовекторами.
§ П. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
В § 3 рассмотрены различные точечные группы и проведено
разбиение их элементов по классам. Используя свойства непри-
неприводимых представлений, можно определить характеры всех не-
неприводимых представлений точечных групп, не находя явного
вида самих представлений. Как указано в § 8, число неприводи-
неприводимых представлений равно числу классов, их размерности п^ яв-
являются делителями порядка группы Л, а сумма квадратов раз-
размерностей всех представлений 2^ равна h. При этом среди
представлений всегда есть одномерное единичное представление,
т. е. представление, у которого характеры всех элементов равны
единице. Для точечных групп эти требования однозначно опре-
определяют размерности всех представлений, а условия ортогональ-
ортогональности и нормировки (8.21) и (8.23) однозначно определяют сами
характеры.
При этом полезно учесть, что характеры обратных элементов
связаны соотношением
Х(*-!) = Х*(*). (ИЛ)
которое непосредственно следует из унитарности матриц G.11).
Поэтому, если g и g~l входят в один класс, то характеры этого
класса вещественны, а если они входят в разные классы, то ха-
характеры этих классов взаимно комплексно сопряжены.
Для многих групп можно значительно упростить процедуру
определения неприводимых представлений, если использовать
доказанную в § 7 теорему о том, что представления группы со-
содержат представления всех фактор-групп, которые могут быть
построены из элементов группы по содержащимся в ней инва-
инвариантным подгруппам.
93
При определении представлений точечных групп мы ограни-
ограничимся группами, содержащими оси вращения или зеркально-по-
зеркально-поворотные оси 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков, так как только та-
такие группы могут являться в кристаллах группами направлений.
Все представления этих групп приведены в табл. 11.1 в конце
параграфа. В этой таблице в соответствии с [1.7] одномерные
представления обозначаются буквами Л и В, причем буквой А
обозначаются представления, инвариантные по отношению к
повороту вокруг главной оси г, т. е. с х(сф)— 1> а буквой В —
не инвариантные с х(сф) Ф 1- Двумерные представления обозна-
обозначаются буквой Е и трехмерные — буквой F. Для групп, являю-
являющихся произведением групп С{ или С8 на какую-либо группу, не
содержащую преобразований второго рода, представления, чет-
четные относительно операций / или ад, обозначаются знаком плюс,
а нечетные — знаком минус.
Покажем теперь, каким образом определяются эти предста-
представления и их характеры.
Циклические группы Сп и Sn. Так как эти группы абелевы,
то у них число классов равно числу элементов п и все представ-
представления одномерны, т. е. характеры %(g) совпадают с самим пред-
представлением 3){g). Поэтому %п(сп) — %(с?) = %(е) = 1, и для этих
групп
2яШ
%(с*) = е » , A1.2)
где М — целое число. Полагая М = О, 1, 2, ..., п — 1, получим
все п представлений. При этом представления с М = г и М =
= h — г попарно комплексно сопряжены.
Аналогично для групп S2n, изоморфных группам С2п,
nlM
%{sk2n) = e * . A1.3)
Группы С8 и Сг = S2 изоморфны С2, т. е. имеют, как и эта
группа, два одномерных представления. Для групп, являющихся
прямым произведением двух групп (обычно второй группой яв-
является группа Си С8 или С2), представления и их характеры в
соответствии с (8.27) определяются умножением характеров ис-
исходных групп и общее число представлений равно произведению
числа представлений в этих исходных группах.
Таким образом, можно сразу определить характеры пред-
представлений групп Cnh = CnXCs и групп S4p+2 = C2p+i X Сг-,
С4р+2 = С2р+1 X С2, например групп S6 = С3Х Си С6 = СгХ С2.
Так как все представления исходных групп одномерны, то и
эти группы имеют все одномерные представления.
Группы C2v и D2=V изоморфны группе C2^=C2XCs=C2XCi
и имеют такие же представления. Фактически эти группы также
являются прямым произведением групп: C2v=^CsXCf2> D2 =
= С2Х^2. При этом ось с'2в группе C2v, в отличие от С2л, лежит
94
в плоскости а, а в группе D2 оси с2 и с'2 взаимно перпендику-
перпендикулярны.
Группа C3v. В отличие от всех рассмотренных выше групп,
группа Czv некоммутативна. Она имеет шесть элементов, рас-
распределенных по трем классам, т. е. имеет три представления.
Из условия (8.12) сразу видно, что два из этих представлений
одномерные и одно двумерное, причем согласно A1.1) все пред-
представления вещественны, т. е. характеры одномерных представ-
представлений могут быть равны ±1. Тогда из условия ортогональности
характеров одномерных представлений А\ и А2 сразу следует,
что для А2 %(е) = х(сг) = 1, a x(ov) =—1. Для оставшегося
двумерного представления Е %(е) = 2, и из условия ортого-
ортогональности по столбцам (8.23) сразу следует, что %(с3) =—1 и
хЫ=о.
Группа D3 изоморфна C3v и имеет такие же представ-
представления.
Группа dv содержит 8 элементов и имеет 5 классов. Отсюда
следует, что она имеет 5 представлений, из них одно двумерное,
причем все представления вещественны. Из условия ортогональ-
ортогональности по строкам (8.21) следует, что для трех одномерных не-
неединичных представлений А2, Bt и В2 характеры для двух клас-
классов из трех: с4, ov и а?, должны равняться —1, а для остальных
классов, включая один из этих трех, %= 1. Отсюда сразу полу-
получаем характеры всех одномерных представлений.
Отметим, что фактор-группа группы C4l) по инвариантной
подгруппе С2, состоящей из элементов е и с2, содержит четыре
элемента, которыми являются сопряженные совокупности: еС2,
С4^2» atA> a^V Эта группа изоморфна группе C2v. Поэтому,
четыре одномерных представления группы C4l) совпадают с пред-
представлениями группы C2v и элементы, входящие в один класс
смежности, имеют одинаковые характеры.
Характеры оставшегося двумерного представления Е сразу
определяются из условия ортогональности по столбцам: так как
столбцы, соответствующие классам с4, ао и а^, ортогональны
к столбцу класса е без последнего представления ?, то для этих
классов для представления Е % — 0, а для класса с2 %{с2) =
= -%(е)=-2.
Группы D4 и D2d изоморфны группе C4l) и их представления
совпадают.
Характеры представлений групп D2h = D2 X Сг и D4/l =
= ^2«гХСг- определяются перемножением характеров соответ-
соответствующих групп.
Аналогичным образом определяются характеры представле-
представлений группы D3d = Czv X Ci и изоморфных ей групп D3h = D3 X
X Cs, C6v = CZv X C2 и D6 = D3 X C2.
Зная характеры группы D6, можно сразу определить и харак-
характеры представлений группы ?Nл = DQ X С* = #з X С2л.
95
Группа Т содержит 12 элементов и 4 класса, т. е. согласно
(8.12) она имеет три одномерных и одно трехмерное представ-
представление. Подгруппа D2 этой группы образует инвариантную под-
подгруппу. Фактор-группа, построенная на этой подгруппе, содер-
содержит три элемента, т. е. классы смежности eD2, c3D2 и c\Dv и
изоморфна группе С3. Поэтому три одномерных представления
группы Т совпадают с представлениями группы С3.
Характеры классов е и с2 для этих представлений совпадают.
Из условия ортогональности по столбцам сразу определяется
характер остающегося трехмерного представления F. Так как
столбцы, соответствующие классам сд и с\, ортогональны к
столбцу класса е без этого представления, то для этих классов
для представления F % = О, а для класса с2 %{с2) = — 1/з%(е) =
= —1. Зная характеры представлений группы Г, можно сразу
определить характеры представлений группы 7\ = ГХ Си имею-
имеющей соответственно четыре четных и четыре нечетных представ-
представления.
Характеры представлений группы О находятся таким же об-
образом, как и для группы Т. Для группы О фактор-группа, по-
построенная на инвариантной подгруппе ?J, включающей элемен-
элементы е и Зс2, содержит шесть сопряженных совокупностей по
четыре элемента каждый: eD2 = D2, czD2, c'zDr u2Dr u'2Dv u"D2.
Эта группа изоморфна группе Db. Поэтому характеры двух од-
одномерных и одного двумерного представления группы О совпа-
совпадают с характерами соответствующих классов группы ZK. Общее
число элементов этой группы 24, а число классов 5. Следова-
Следовательно, сумма квадратов размерностей остающихся двух пред-
представлений равна 24 — 6= 18, т. е. эти представления трехмер-
трехмерные, причем согласно A1.1) характеры всех представлений
вещественны.
Обозначим характеры классов с3, съ «2 и с4 для каждого из
этих представлений через аь Ь\} Си d\ и а2, b2, c2y d2 соответ-
соответственно. Из условия ортогональности характеров получим три
уравнения, из которых следует, что аг = О, Ь{ = —1 и с* = —dh
Далее из условия ортогональности характеров обоих трехмер-
трехмерных представлений найдем, что d\d2 = с\С2 = —1, тогда как
условие нормировки (8.17) дает d2\=dt=l. Отсюда для од-
одного из представлений d\ = —С\ = 1, для другого d2 = —с2 =
= —1.
Таким образом, мы нашли характеры всех представлений
группы О.
Группа Tdi как изоморфная группе О, имеет также пять пред-
представлений, а группа Oh = О X С,- = TdX С* имеет удвоенный
набор представлений, характеры которых получаются умноже-
умножением характеров представлений групп О или Td и группы Сг-. Со-
Соответственно пять из этих представлений четные и пять не-
нечетные*
96
Таким образом, мы определили характеры представлений
всех интересующих нас точечных групп, включенных в табл. 11.1.
В табл. 11.1 и 11.2 приведены базисные функции для каж-
каждого представления, построенные из компонент полярного век-
вектора х(ху у, г) или аксиального вектора J(Jx,Jy,Jz) и их произ-
произведений. В соответствии с правилами, изложенными в § 9, эти
функции можно построить следующим образом.
Прежде всего определим характеры представления, по кото-
которому преобразуются сами компоненты х или /, для каждой опе-
операции g, входящей в группу. Как показано в § 10, характеры
этих представлений равны
sin (Зф/2) , v . ч
' %\Sy) — + XKCyh
W )
Здесь верхний знак относится к компонентам полярного вектора
(представление 2O), нижний — аксиального (представление
2Dt)- Вычислив характеры по A1.4) и используя уравнение
(8.19) или (8.22), определим, на какие неприводимые представ-
представления раскладывается представление 3I или Ф\". Видно, что
в кубических группах Г, 7\, Tdi О, 0^ представление 3)Т непри-
водимо и соответствует представлению/7, F", F\ или Ff. В груп-
группах, не содержащих преобразований второго рода, например Т
и О, компоненты х и /, как видно из A1.4), преобразуются по
одному и тому же представлению, и в табл. 11.1, 11.2 мы указы-
указываем лишь функции, построенные из компонент х, у, г. В груп-
группе Td компоненты ]г преобразуются по F2; в группе Ohy как и во
всех группах, содержащих инверсию, компоненты /г- преобра-
преобразуются по четным представлениям, т. е. по FJ1".
Очевидно, что произведения /гД всегда преобразуются
как xtXh.
Во всех остальных группах (кроме Г, Tfu Tdy О и Он) пред-
представления 2Df приводимы. В группах C3v, C4t>, C6v и изоморфных
им эти представления распадаются на одно одномерное и одно
двумерное. Если выбрать за z направление главной оси, то мож-
можно сразу убедиться, что компонента z во всех случаях преобра-
преобразуется по одномерному представлению и, следовательно, х и у
образуют базис двумерного представления. То же относится
к компонентам Jz и Jx и Jy соответственно.
В оставшихся группах представления 2Df распадаются на
три одномерных представления, и в этом случае базисные функ-
функции сразу определяются с помощью уравнения (9.11). При этом
удобно использовать базис A0.25):
j Ylo = iz, Y\ = ^=(x-iy), A1.5)
4 Г, Л. Бир, Г. Е. Пикус 97
в котором согласно A0.6), A0.17) матрица 3)\ для операций
вращения вокруг главной оси z диагональна и равна
2>тт>(Сгъ) = е1т*Ътт> (т = 1, 0, -1),
&тт, (i) = + 6wm<, SDlnm' Ы) = 4= в?Ят бтт^
(минус для 0Г, плюс для 2)t)-
Для вращений на угол я вокруг взаимно перпендикулярных
осей
0 0
1 0
1
0
0
0
-1
0
—1
0
—1
0
0
(И -7)
K). Я, ft) = 0,A^K, (а,).
Определив, по каким представлениям преобразуются компо-
компоненты х< и Ju можно по формулам (9.16), (9.22), (9.23) и (8.22)
сразу найти, по каким представлениям преобразуются их произ-
произведения. При этом надо иметь в виду, что антисимметризован-
ное произведение {ху} преобразуется как Jz и т. п. Если произ-
произведение двух представлений оказывается неприводимым, то ба-
базисные функции определяются сразу; это, в частности, относится
ко всем случаям, когда оба представления одномерны. В осталь-
остальных случаях можно использовать формулу (9.14а). Для точеч-
точечных групп произведение неприводимых представлений не содер-
содержит ни одного неприводимого представления более одного раза.
Поэтому эта формула, куда входят лишь характеры Xix(g), опре-
определяет одну из функций, а остальные получаются применением
операций 3){g) к этой функции. Матрицы З)ц(ц), по которым
в соответствии с (9.15), (9.20) или (9.21) преобразуются произ-
произведения YlmYm'> определяются прямым произведением матриц
A1.6) и A1.7). Так, например, для функции УЩ:
3>mm'(Cv) = #im»bmm>. (П.8)
Для группы Td находим, что [/ч] = А\ + ? + F\. Согласно
(9.26) по А\ преобразуется инвариант х2 + у2 + z2. Легко прове-
проверить, что симметризованные произведения [ху], [xz]y [yz] преобра-
преобразуются по F2. Следовательно, по Е преобразуются две остав-
оставшиеся линейно независимые функции, которые можно составить
из х2у у2, z2. Эти функции можно выбрать в виде
R^x' + e^ + elz2, R2 = R] = х2 + z\y2 + e3z2, A1.9)
где е3 =
Определив базисные функции, можно в случае необходимо-
необходимости сразу построить и матрицы соответствующих представлений.
Конечно, матрицы неприводимых представлений можно по-
построить, используя определяющие соотношения для точечных
групп, приведенные в § 3, и не задавая в явном виде базисные
98
функции, аналогично тому, как это будет сделано для проектив-
проективных представлений в § 14.
Базисные функции, содержащие более высокие степени ком-1
понент jc, */, 2, строятся аналогичным образом.
Если известны матрицы представлений, то при построении
базисных функций можно сразу исходить из функций Ym с до-
достаточно большими /, образующих базис представления 3)j
группы вращения. Матрицы этих представлений определяются
уравнениями A0.6), A0.17). Так как все точечные группы яв-
являются подгруппами полной ортогональной группы, то все их
представления могут быть получены из представлений этой
группы. Используя формулу (8.19), можно определить, какие
неприводимые представления точечной группы содержатся
в представлении 2>f, и по формулам (9.14) найти сами
функции.
Таблица 11.1
Характеры представлений точечных групп
Группа Е
Е
А
е
1
Группы С2, С^ <
с2
А
В
ct
А~
с,
А+
А"
е
е
е
1
1
с*
i
он
t
1
1
С2
z
х> У,.
с,
/*. /,. h
х, у, z
Cs
х, у
Z
Группа С3
A
By
B2
e
1
1
1
C3
1
e3
4
i
4
e3
Z
x — iy
x-\- iy
е3 = е2л'73
99
Таблица 11.1 (продолжение)
Группы
с,
А
в,
В2
в,
С4, S,
s<
А
В,
в2
в3
е
е
1
1
1
1
С4
*4
1
— 1
/
—i
с2
с2
1
1
—1
—1
1
1
—/
i
с,
Z
х2 - у2
х - iy
x + iy
Jz
z
x - iy, Jx + Uy
x + iy9 Jx - My
Группы ZK, C3V
Ax
A2
E
^i
A2
E
e
e
1
1
2
2c3
2c3
1
1
j
Зм2
Зет,
1
-1
0
x2 + У2, z2
z
x, у
Сзи
z
Jz
x, У, Jx, Jy
Группы ZL, C4Vy D2d
A,
A2
5,
Вг
E
Wo
Ax
A2
Bx
B2
E
D2d
Ax
A2
Bx
B2
E
e
e
e
1
1
1
1
2
C2
c2
1
1
1
1
—2
2cA
2c4
2s4
1
1
— 1
j
0
2u2
2u2
1
— 1
1
— 1
0
24
К
2od
1
j
— 1
1
0
z2, x2 + y2
z
x2-y2
xy
x, у
z
Jz
x2 - y2
ХУ
X, У\ Jx, Jy
D2d
z\ x2 + y*
Jz
x2 - y2
xy, z
X, У\ JX. Jy
100
Таблица 11.1 (продолжение)
Группа
Т
А
в,
в2
Е
Т
е
' 1
1
1
3
Ъс2
1
1
1
j
4с3
1
гз
4
0
1
4
ч
0
х2 + у2 + z2
х2 + еУ + e3z2
J + sJ + 4*
х, yt z
Группы Та и О
Td
л,
A2
E
Fi
F2
0
At
A2
E
Px
F2
e
e
1
1
2
3
3
8c3
8сз
1
1
-1
0
0
3*
Зс2
1
1
2
— 1
— 1
6m2
1
—1
0
-1
1
6s4
6c4
1
—1
0
1
— 1
* X
Xy
Vx
и
У, z
Jy].
'XJyJ
fl
3Jl-
,/y.
; xy
UxJ.
x2 + y2 4
У
W2 ^
лгг, yz;
-2»
0
. y>
XZy
z
У*
Группы D2 = C2X C'2y C2h = C2 X Cty C2v = C2 X Cs
Ax
A2
B.
B2
с2Л
в+
в~
C2V
А +
А~
в+
В~
е
е
е
1
1
1
1
с2
С2
1
1
j
С2Х
i | он
1
—1
1
<
1
— 1
—1
-|| .
D2
х2, у\ z2
Z .
Jz
Z
Jx,Jy
х, у
C2V
z
Jz
у; Jx
X'y /у
101
Таблица 11.1 (продолжение)
Группы Сб = С3 X С2, СЗЛ = С3 X Cs, S6 = С3 X С;
с6
Л,
А2
Вх
В2
в3
в,
Сън
А+
А-
R +
В1
ВГ
в!
ВЧ
s6
А+
А~
п+
Bi
ВТ
е
е
е
1
1
1
сз
сз
4
4
сз 1 4
1
1
ез
1
1
4
4
1
1
4
4
83
83
с2
i
1
-1
1
—1
1
— 1
4
S3
1
—1
Н
-ез
4
еЗ
4
1
—1
-4
-ч
с.
Z
(x±iyf
(х-iyY
хЛ-iy
(x + iyJ
х- iy
'Czh
Jz
Z
x+ iy
Jx + Uy
x — iy
Jx-Uy
s6
Jz
z
Jx + Uy
x + 'У
Jx ~ Uy
x — iy
Группы D6 = D3 X C2y C6V = C3V X C2, D3h =
D6
A\
A2
A3
A,
Ei
A2
^3
\
Ex
Dzh
A~\
At
A2~
E+
E~
e
e
e
1
1
1
1
2
2
2c3
2c3
2c3
1
1
1
1
-1
—1
3m2
3m2
1
1
—1
—1
0
0
C2
c2
°h
1
—1
1
—1
2
n
—Z
2cQ
2cQ
2s3
1
—1
1
—1
—1
1
3«2
К
з<
1
—1
-1
1
0
0
x2 + y2, z*
(x + iyY +
+ (x - iyY
z
i[(x + iyK -
- (* - iyK\
(x + iyJ,
(x - iy)*
x, у
z
(x + iyK +
+ (x- iyK
Jz
i l(x + iyK -
-(x- iy)']
(x + iy)\
(x - iy)*
X, У, Jx, Jy
x2 + y\ z*
iz {(x + iyK~
-(x- iyK]
Jz
z
x, у
Jx, Jy
102
Таблица 11.1 (продолжение)
Для остальных восьми групп
С4Л == С4 X Си С6h = С6 X С/, О2Л = D2 X Сь D3d = D3 X Q
О4Л = D4 X Си D6h = D6 X С*, Гл = Г X Q, Ол = О X С, = Г^ X Q
каждому из представлений исходной группы 3) соответствуют два
представления 3)± с характерами % (ig) = ±Х (#)' по которым преоб-
преобразуются соответственно четные и нечетные функции от координат.
Все функции ф (/) преобразуются по четным представлениям.
Таблица П.2
Базисные функции для групп Та
Представления групп
и
АХ
А2
Е
Pi
At
А2
Е
Рх
Р2
О
Ах
А2
Е
Рх
г,
А2
А.
Е
>.
Рх
°н
At
At
Е+
Ft
pi
AT
AT
E~
nl
FT
0, oh
Базисные функции
Ф1*>
X2 + У2 + 22, JC4 + t/4 + 24
х4 (у2 - z2) + У4 (z2 - х2) +
X ~\ ЕоУ | EoZ у
4 1 4 1 2 4
X |~ ЕоУ ~т~ EnZ у
ху(х2- у2)у xz(x2 -z2)y
yz(y2~z2)
хуу xZy yz\ xyz2y xzy2y yzx2\
zx2y2y xy2z2y yx2z2
xyz
xyz [x4 (y2 - z2) +
+ y* (z2 - jc2) + z4 (jc2 - y2)]
( 2 i 2 2 i 2\
XyZ \X + 83^/ + 83Z j
хъ\у2— z2)y y3(z2—x2)y
*4x2-y2)
Xy Уу z\ jc3, уъу г3; jc5, t/5, z5
ФМ
VxJyh]
I I I • I3 I3 I3
JX' Jу Jz< Jx< Jy Jz
UxJy], UxJz], UylzY,
Vy, Vz
103
Таблица 11.
Таблица умножения для групп Та и О
Ai
Аг
Е
Fx
Рг
Ах
Ах
А2
Е
F,
F2
А2
Л2
А{
Е
F*
Fx
Е
Е
Е
Л, + А2 + Е
Fx+F2
Ft + F2
Fx
Fx
F2
F1 + F2
Ax + E + F, + F2
A2 + E+Fl + F2
F2
F*
Ft
Fx + F2
A2 + E + Ft + F2
Al + E+Fl + F2
§ 12. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП.
ЗОНА БРИЛЛУЭНА. ГРУППА ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА
Отыскание неприводимых представлений пространственной
группы мы начнем с нахождения представлений группы транс-
трансляций, которая, как было показано в § 6, является ее абелевым
нормальным делителем.
Представления группы трансляций
Поскольку группа трансляций абелева, то все ее представ-
представления одномерны.
Пусть функция ф(дс) осуществляет неприводимое унитарное
представление группы трансляций, заданной образующими эле-
элементами аи #2 и а3. Тогда при трансляции на векторы аь а2 и а$
функция ф умножается на множители А,ь %2 и А3. (Из условия
унитарности представления следует, что все К по модулю равны
единице.)
(e\a)q> = <v{t? x) = q>(x а) = Аф(ж:),
tat ф (X) = Ягф (X), ta% ф (*) = А,3
Функцию ф(#), осуществляющую неприводимое унитарное пред-
представление группы трансляций, будем обозначать Ф^^.
Из A2.1) следует, что для общего элемента а группы транс-
трансляций
а = тха{ + +
преобразуется следующим образом:
(«l«)(P.1^,(*) = <Pw,(*-a)==^1C^4l^W- A2.2)
Задание чисел A,i, A,2 и Хз полностью определяет неприводимое
представление группы трансляций.
104
Вместо трех чисел Х\, Х2 и Яз удобно ввести один вектор k по
определению:
По заданным Xi, X2 и Я3 вектор ft, однако, определяется не
однозначно. Чтобы выяснить характер этой неоднозначности,
введем векторы 6Ь Ъ2 и 63 по определению:
f ^ ? A2.4)
где Qo = (я^ХДз]) —объем элементарной ячейки. Из A2.4)
видно, что векторы bi ортогональны векторам af
biai^=2nbij (/, /=1, 2, 3) A2.5)
и поэтому удовлетворяют уравнениям
*'*<"/= 1. A2.6)
Используя векторы &ь 62 и 63 как базис, можно построить век-
векторы
Ь = nxbi + п2Ь2 + п3Ь39 A2.7)
где Mi, п2 и Мз — целые положительные или отрицательные чис-
числа или нуль. Концы таких векторов образуют решетку, которая
называется обратной (или взаимной) по отношению к решетке
Браве, определяемой векторами аь а2 и а3- При этом если век-
векторы аь а2 и д3 имеют размерность длины, то векторы обратной
решетки Ъ имеют размерность обратной длины (волнового век-
вектора).
Из A2.6) следует, что равенства A2.3) определяют вектор k
с точностью до произвольного вектора обратной решетки A2.7).
Отметим некоторые свойства обратной решетки. Из опреде-
определения векторов Ь (или из соотношений A2.5)) можно показать,
что точечная группа симметрии обратной решетки совпадает
с группой симметрии прямой решетки Браве. Однако тип обрат-
обратной решетки Браве в общем случае отличается от типа прямой
решетки.
Используя определение векторов обратной решетки, можно
установить показанное в табл. 12.1 соответствие между типами
прямой и обратной решеток.
Объем элементарной ячейки обратной решетки, как видно из
A2.5), равен BяK/Йо.
Таким образом, каждое неприводимое представление группы
трансляций характеризуется вектором k таким, что
A2.8)
Так как вектор k определен с точностью до произвольного век-
вектора обратной решетки, то два вектора, k и k\ будем называть
эквивалентными и обозначать k s= k', если они отличаются на
вектор обратной решетки.
105
Таблица 12.1
Система
Триклинная
Моноклинная
Ортогональная
Тетрагональная
Ромбоэдрическая
Гексагональная
Кубическая
Тип прямой решетки
Простая
Простая
С центрированными осно-
основаниями
Простая
С центрированными осно-
основаниями
Объемноцентрированная
Гранецентрированная
Простая
Объемноцентрированная
Простая
Простая
Простая
Объемноцентрированная
Гранецентрированная
Тип обратной решетки
Простая
Простая
С центрированными осно-
основаниями
Простая
С центрированными осно-
основаниями
Гранецентрированная
Объемноцентрированная
Простая
Объемноцентрированная
Простая
Простая
Простая
Гранецентрированная
Объемноцентрированная
Зона Бриллуэна
За область определения вектора k может быть выбрана эле-
элементарная ячейка в обратной решетке. Однако это не всегда
удобно, так как выбор ее в значительной мере произволен и„
кроме того, в общем случае элементарная ячейка не инвариант-
инвариантна по отношению к преобразованиям из группы симметрии об-
обратной решетки Браве. Инвариантные параллелепипеды Браве
(или призма Браве для гексагональной системы) имеют объем,
в общем случае превышающий объем элементарной ячейки.
Можно построить такую элементарную ячейку, которая бу-
будет, с одной стороны, инвариантна по отношению ко всем пре-
преобразованиям группы Ж, а с другой стороны, будет иметь объем,
равный объему элементарной ячейки; при этом решетка Бра-
Браве может быть получена путем неограниченного повторения
таких ячеек. Эта ячейка в прямой решетке называется симмет-
ризованной ячейкой Вигнера — Зейтца, а в обратной решетке —
первой зоной Бриллуэна или просто зоной Бриллуэна. Зона
Бриллуэна не является параллелепипедом, а в общем случае
106
представляет собой некоторый многогранник. Обычно за об-
область определения вектора к и выбирают первую зону Брил-
Бриллуэна.
Рассмотрим способ построения зоны Бриллуэиа. Выберем
произвольный узел обратной решетки О за начало отсчета. Зо-
Зоной Бриллуэна является такая область, каждая точка которой
ближе (не дальше) к нулевому узлу О, чем к любому другому
узлу обратной решетки Браве. Для построения зоны Бриллуэна
соединим точку О с различными узлами обратной решетки Бра-
Браве, определяемыми векторами Ь A2.7), и построим перпендику-
перпендикулярные к Ъ плоскости, находящиеся на равных расстояниях
между О и соответствующим узлом
(рис. 17). Ограниченный этими
плоскостями многогранник и будет
зоной Бриллуэна.
Система построенных таким об-
образом плоскостей, ограничивающих
зону Бриллуэна, и сама эта ячейка
инвариантны к группе симметрии
решетки Браве. В частности, эта
ячейка имеет центром симметрии
точку О. Объем ее равен объему
элементарной ячейки.
Уравнение для векторов х, ле-
лежащих на плоскости, перпендику-
перпендикулярной вектору &, и расположенных
«а расстоянии Ь/2 от начала коор-
координат, имеет вид
A2.9)
О
Рис. 17. Построение зоны Брил-
Бриллуэна.
Выбирая разные векторы 6, из A2.9) легко получить в декар-
декартовых координатах аналитические выражения для плоскостей,
¦ограничивающих зону Бриллуэна.
Из указанного способа построения симметризованной ячейки
следует, что внутри зоны Бриллуэна нет ни одной пары эквива-
эквивалентных векторов к. Если же вектор к лежит на границе зоны
Бриллуэна, то всегда существует по крайней мере один эквива-
эквивалентный ему вектор к\ также лежащий на границе зоны Брил-
Бриллуэна.
Рассмотрим вид зон Бриллуэна в порядке подчинения си-
систем.
В кубической системе возможны три типа решеток:
простая Гс, гранецентрированная Г* и объемноцентриро-
ванная Г".
Для простой кубической решетки зона Бриллуэна является
кубом (рис. 18, а). Видно, что она образуется путем пересече-
пересечения плоскостей, перпендикулярных ребрам куба, образующего
элементарную ячейку. Для гранецентрированной кубической
107
решетки *) зона Бриллуэна показана на рис. 18, в\ она обра-
образуется в результате пересечения двенадцати плоскостей, перпен-
перпендикулярных шести осям второго порядка. Это двенадцатигран-
двенадцатигранник, все грани которого — ромбы. Оси третьего и четвертого
порядка в случае гранецентрированной решетки пересекают
симметризованную ячейку в ее вершинах.
Рис. 18. Зона Бриллуэна для кубических решеток, а) Простая кубическая
решетка; б) объемноцентрированная обратная решетка; в) гранецентриро-
ванная обратная решетка.
В случае объемноцентрированной решетки симметризованная
ячейка образуется в результате пересечения шести плоскостей^
перпендикулярных трем осям четвертого порядка, и восьми пло-
плоскостей, перпендикулярных четырем осям третьего порядка. Это
четырнадцатигранник, шесть граней которого — квадраты, а во-
восемь граней являются правильными шестиугольниками. Оси чет-
*) Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь всюду имеете»
в виду тип обратной решетки. Связь типов прямой и обратной решетки при-
приведена выше на стр. 106.
108
вертого порядка проходят через центры квадратных граней, оси
третьего порядка — через центры шестиугольных граней
(рис. 18, б).
В квадратной системе возможны два типа решеток: простая
Tq и объемноцентрированная Г^.
В случае простой решетки Тд зона Бриллуэна по форме со-
совпадает с элементарной ячейкой и имеет вид четырехугольной
6)
Рис. 19. Зона Бриллуэна для решеток квадратной системы, а) Простая ре-
решетка; б) объемноцентрированная, высота больше диагонали квадрата;
в) объемноцентрированная, высота меньше диагонали квадрата.
призмы (рис. 19, а). Она может быть получена из зоны Брил-
Бриллуэна для простой кубической решетки путем растяжения (или
сжатия) вдоль оси четвертого порядка.
Для объемноцентрированной решетки в зависимости от соот-
соотношения ребер а и с параллелепипеда Браве обратной решетки
возможны два типа симметризованной ячейки, так как в зави-
зависимости от того, будет ли с> ^2 а или с< |/2~а, система пло-
плоскостей, ограничивающих симметризованную ячейку, будет
109
различна. Для случая с> ]/2 а зона Бриллуэна изображена на
рис. 19, б; если же К У2 а, то симметризованная ячейка имеет
вид, изображенный на рис. 19, в. Эта ситуация становится
Рис. 20. Зона Бриллузна для решеток ортогональной системы о) Простая
б) решетка с центрированными основаниями; в) объемноцентрироаанная,
высота больше диагонали прямоугольной базы; г) объемноцентрированная,
высота меньше диагонали базы; д) гранецентрированная решетка.
наглядной, если вспомнить, что согласно рис. 16 решетка Г?
может быть получена в результате непрерывной деформации
решетки Г? и Гс.
ПО
В первом случае при небольшой деформации c<YYa (так
как в кубической решетке с = а) и симметризованная ячейка
рис. 19, в получается из симметризованной ячейки для типа П
путем растяжения (или сжатия) вдоль оси четвертого порядка.
Решетка Г? эквивалентна объемноцентрированной ре-
решетке квадратной системы при с = У 2 а. Если растянуть эту
решетку вдоль оси четвертого порядка, то с превысит \/Ya.
Следовательно, симметризованная ячейка для Г? в этом случае
(рис. 19,6) получается из зоны Бриллуэна решетки Tfc (рис. 18)
в результате растяжения вдоль оси четвертого порядка.
а) 6)
Рис. 21. Зона Бриллуэна для решеток моноклинной системы, а) Простая
решетка; б) с центрированными основаниями.
В ортогональной системе возможны четыре типа решеток:
Го, Го, Го, Го. Для простой решетки зона Бриллуэна является
прямым параллелепипедом с прямоугольными гранями
(рис. 20, а). Зона Бриллуэна для решетки с центрированными
основаниями изображена на рис. 20, б. Это шестиугольная приз-
призма. Для объемноцентрированной решетки, в зависимости от со-
соотношения параметров, возможны три типа зон Бриллуэна. На
рис. 20, в и г показаны два типа зон Бриллуэна для объемно-
объемноцентрированной решетки. Симметризованная ячейка для решет-
решетки Го показана на рис. 20, д.
В моноклинной системе возможны два типа решеток Браве:
простая Гт и с центрированными основаниями Г^. Параллеле-
Параллелепипед Браве в моноклинной системе определяется четырьмя па-
параметрами: углом а между ребрами основания и длинами ре-
ребер. Поэтому вид симметризованных ячеек будет различен для
различных соотношений между этими параметрами. Для про-
простой решетки Гш зона Бриллуэна показана на рис. 21, а. В зави-
111
симости от параметров, характеризующих элементарную ячейку,
для решетки Тьт может быть пять типов зон Бриллуэна. Один
из них показан на рис. 21, б.
В триклинной системе возмож-
возможна только простая решетка Бра-
ве Г/. При этом, в зависимости
от формы элементарной ячейки,
имеются три типа зон Брил-
Бриллуэна.
В гексагональной системе име-
имеется один тип решетки и один тип
зоны Бриллуэна, показанный на
рис. 22.
В ромбоэдрической системе
существует . один тип решетки
Браве, но в зависимости от сте-
степени вытянутости ее элементар-
элементарной ячейки — ромбоэдра — воз-
возможны два типа зоны Бриллуэна, получаемых растяжением
зоны Бриллуэна для гранецёнтрированной и объемноцентриро-
ванной кубических решеток, показанных на рис. 18,6 и в. Эти
решетки показаны на рис. 23.
Рис. 22. Зона Бриллуэна для ге-
гексагональной решетки.
a)
Рис. 23. Зона Бриллуэна для ромбоэдрических решеток. Три равных по длине
вектора трансляции лежат на поверхности конуса вокруг оси третьего по-
порядка, а) Высота конуса больше, чем V^r, где г — радиус его основания;
б) высота конуса меньше, чем у 2г.
Таким образом, у 14 решеток Браве всего имеются 24 типа
зон Бриллуэна. Эти симметризованные ячейки подробнее рас-
рассмотрены в монографиях [1.10, 1.14].
112
Построение представлений пространственной группы
Представления пространственной группы мы будем строить,
исходя из представлений группы трансляций. Эта процедура по-
построения представлений группы по представлениям ее (абеле-
вого) нормального делителя была указана еще Фробениу-
сом [1.11].
Рассмотрим какое-либо представление 3)(g) пространствен-
пространственной группы размерности s; пусть базисом этого представления
являются 5 функций ф*1), фB>, ..., ф(«). При 5> 1 по отношению
к подгруппе трансляций представление 3) является приво-
приводимым.
Выберем базис представления ф^ таким, чтобы каждая функ-
функция ф<г') осуществляла неприводимое представление группы транс-
трансляций, т. е. в качестве функций <pW выберем функции q>k A2.8).
В этом базисе матрица 1
3>(ta) =3)(e\a)
диагональна и имеет вид
~ik*a 0 ... О
3>(е\а) =
О <?-'*** ... О
О 0 ... e'iksa
A2.10)
Среди 5 векторов k{ в общем случае могут быть одинаковые.
Назовем звездой представления 2) совокупность различных век-
векторов fei, k2y ..., kn (n ^ s) (при этом равными мы здесь счи-
считаем и эквивалентные векторы, т. е. векторы, отличающиеся на
вектор обратной решетки).
Покажем, что звезда представления инвариантна по отно-
отношению к группе G, т. е. если какой-либо вектор k содержится
в звезде представления, то и любой другой вектор W = gk = rk
также содержится в звезде представления.
Для доказательства рассмотрим функцию (г|а)фл, где а —
нетривиальная трансляция, соответствующая «поворотному» эле-
элементу г, и найдем закон ее преобразования при элементарных
трансляциях а:
(е \а)(г\а)<рл = (г |а) (е \г~ 1а) фл = ^
= (r\a)e-ifcr~la(pk = e-irka(r\a)q)fc. A2.11)
Таким образом, функция (г|а)фл, принадлежащая простран-
пространству функций фл , является собственной функцией операторов
трансляции ta, соответствующей волновому вектору V = gk =
= rk (для любого элемента g— (r|a-f-a) под gk мы всегда
413
будем подразумевать вектор k' = rk). Поскольку набор векто-
векторов ki (i = 1, 2, ..., п) для функций, преобразующихся по пред-
представлению 3), охватывает всю совокупность векторов ft, то для
всех g e G векторы rk совпадают с одним из векторов ft,-
(<= 1, ...,л).
Возьмем какой-нибудь вектор fti из звезды представления и
рассмотрим все возможные векторы rk\. Все они входят в звез-
звезду, причем среди них могут быть и одинаковые. При этом могут
быть две возможности.
1) Совокупность векторов rk{ исчерпывает всю звезду пред-
представления 3). Такая звезда называется неприводимой. Ясно, что
всякая неприводимая звезда полностью определяется заданием
какого-либо вектора ftb а остальные получаются путем примене-
применения операций g из пространственной группы G. Поэтому непри-
неприводимую звезду можно характеризовать одним вектором fti. Бу-
Будем обозначать ее {fti}.
2) Может оказаться, однако, что совокупность gk\ не исчер-
исчерпывает всю звезду. Такая звезда называется приводимой. Каж-
Каждая приводимая звезда может быть разложена на неприводимые
звезды следующим образом.
Поскольку gk\ не исчерпывают всю звезду, то возьмем из
звезды какой-либо вектор k2y не принадлежащий неприводимой
звезде {fti}, и, построив всевозможные векторы gk2y образуем не-
неприводимую звезду {ft2}. Эти звезды не имеют общих векторов,
так как это означало бы, что для каких-то г\ и г2 Г\к\ = г2к2у
или ^]rlkl==k29 что противоречит предположению о том, что
k2 <== {ftj. Если звезды {fti} и {к2} не исчерпывают звезду пред-
представления 3), то можно выбрать вектор ft3, къ ё= {fti}, къ €={к2}у
и построить неприводимую звезду {ft3}. Продолжая этот процесс
до полного исчерпания звезды представления 3), мы тем самым
разобьем ее на неприводимые звезды.
В дальнейшем при изучении неприводимых представлений
пространственных групп для нас будут существенны неприводи-
неприводимые звезды, так как мы сейчас покажем, что всякое неприводи-
неприводимое представление обладает неприводимой звездой. (Отметим,
что обратное утверждение неверно, так как в центре зоны Брил-
луэна, т. е. при ft = 0, любому представлению, в том числе и
приводимому, соответствует неприводимая звезда, состоящая из
единственного вектора ft = 0.)
Пусть звезда представления 3) состоит из двух неприводи-
неприводимых звезд {fti} и {к2} и соответственно пространство базисных
функций, осуществляющих представление 3), распадается на
два подпространства L\ и L2. Нетрудно видеть, что каждое из
этих подпространств инвариантно относительно группы G, так
как любая функция gq>k, где ft e {fti}, характеризуется волновым
вектором к' = gk e {fti} и, таким образом, принадлежит подпро-
подпространству L\. Аналогично, при всех jgG функции gcp^, ft<={?2},
114
принадлежат подпространству L2. Но наличие двух инвариант-
инвариантных подпространств базисных функций свидетельствует о при-
приводимости представления 3). Поэтому неприводимое предста-
представление не может иметь приводимую звезду.
Группа волнового вектора; малые представления
Группой волнового вектора Gk называется подгруппа полной
пространственной группы, состоящая из таких элементов /г, ко-
которые или не меняют вектор ft, или переводят его в ему эквива-
эквивалентный, т. е. для любого h e Gk
hk = k или Aft = ft. A2.12)
Так как внутри зоны Бриллуэна нет ни одной пары эквива-
эквивалентных векторов, то для точек внутри зоны Бриллуэна в груп-
группе Gk содержатся только такие элементы, которые не меняют
вектора ft. Если же ft лежит на границе зоны Бриллуэна, то в Gk
входят также элементы, переводящие к в эквивалентный ему
вектор.
Как и в пространственной группе, в группе волнового век-
вектора Gk имеется инвариантная подгруппа трансляций. При этом
фактор-группа по этой подгруппе изоморфна точечной группе
направлений Z7*, включающей все «поворотные» элементы
г е Fky которые либо не меняют ft, либо переводят его в эквива-
эквивалентный. Группа Fk определяется вектором к и является под-
подгруппой группы направлений F, характеризующей кристалличе-
кристаллический класс. В частном случае в точке к = 0 Fk= F\ при этом
Gk = G.
Разложим группу направлений F на классы смежности по
подгруппе Fk:
F = Fk + {r2Fk} + {rsFk}+ ... +{rnFk}> A2.13)
где г2, г3, ..., rn e F, но г2е^, г3е^, {^2^^} и т. д.
Возьмем какой-либо вектор ft, определяющий неприводимую
звезду {ft}, и построим векторы
й1=й, ft2 = r2ft, ft3 = r3ft, ..., kn = rnk. A2.14)
Эти векторы и определяют звезду вектора ft. Действительно,
среди них нет равных, так как из равенства & = kj следовало
бы, что т\ = ГуГ, г е Fk, т. е. т\ е {г,/7*}, что противоречит спо-
способу построения сопряженных совокупностей. С другой стороны,
для любого вектора /yft, где г е Fky имеем т^тк = ггй = ft*.
Поскольку совокупности A2.13) исчерпывают всю группу F,
то векторы г{к и дают все «лучи» звезды {ft}. Зная группу волново-
волнового вектора Gk(h) для одного из лучей звезды, легко построить
группу волнового вектора для любого вектора fti, входящего
115
в звезду {ft}. Эта группа Gkt(hi) состоит из элементов
ht=gthgj-l9 > A2.15)
где Ае Gky gi= (и\ац + а), a n определяется из A2.13). Дей-
Действительно, hik.=g.hgj'lkl=ki.
Группа Gk.{hi) изоморфна группе G*.
Число «лучей» звезды, т. е. различных векторов ft* A2.14),
образующих звезду {ft}, равно числу сопряженных совокупно-
совокупностей A2.13), т. е. индексу подгруппы jF*. Таким образом, между
числом / элементов группы jF, порядком / подгруппы Fk и чис-
числом п «лучей» звезды {ft} имеется соотношение
f = ln. A2.16)
Если группа волнового вектора совпадает с группой G, то звезда
состоит из одного луча;, если же Gk является группой трансля-
трансляций, то число лучей звезды {ft} равно порядку группы F.
Покажем, что представление группы волнового вектора ?Dhy
называемое также малым представлением, однозначно опреде-
определяет представление пространственной группы 2D с неприводимой
звездой {ft}. Для этого рассмотрим представление 3)к группы
волнового вектора Gk размерности т с базисными функциями
<Pi!\ <PJ>2), ..., q4m), A2.17)
которые под действием операции As Gk преобразуются по фор-
формуле
M)=S^(AX (q,t=l,2,...,m), A2.18)
Q
где 2D*t(h) — матричные элементы представления Фк.
Наряду с функциями A2.17) построим еще п—1 наборов
по т функций:
(/==2, 3, ..., п).
В качестве элемента g2- можно выбирать элемент, соответствую-
соответствующий любому представителю из сопряженной совокупности
{riFk}. Для того чтобы фиксировать выбор базисных функций
A2.19), в качестве представителей будем выбирать сами
элементы ёГг = (^*г|«г) из A2.13). Линейное пространство из
функций
<#> —Ф</> (/ = 1, 2, ..., т; / = 1, 2, ..., п)
образует базис некоторого представления 2D, обладающего не-
неприводимой звездой {ft}.
Выразим матричные элементы этого представления через
матричные элементы 3)k(h)y h^Gk- Возьмем некоторый эле-
116
мент jgG,h пусть g переводит вектор ft,- в kjy не равный в об-
общем случае fet:
gki = ki. A2.20)
Возьмем элемент
h = gjlggi, A2.21)
где gj и gi — выбранные указанным выше способом элементы,
переводящие k в kj и kiy соответственно:
Легко видеть, что AgG*, так как согласно A2.21) А? =
= gjlggtk = k. Подействуем g на qpj^; согласно A2.19) и A2.18)
получим
8Щ = gjhgT^g] = §МР) = St 2 0*р (Л) «#> = 2 0*р (Л) «pfij •
A2.22)
В A2.22) h зависит от / и / согласно A2.21). Формула A2.22)
и дает матричные элементы представления ЗУЦ {g):
A2-23)
В частности, согласно A2.23) представления группы волнового
вектора 3) (hi) с элементами hi^Gk. A2.15) связаны с пред-
представлениями 3){h) группы Gk соотношениями
или
Представление 3)ki> по которому преобразуются функции
ФА , в общем случае не эквивалентно представлению 3)к, так
как для произвольных g равенство
3)k {eT{gei)^S)k (§71) ®k (ff) 3>k (gd
не имеет места, поскольку матрица 3) определена только для
элементов h e G*, а^и^ могут и не входить в G*.
Таким образом, формулы A2.23) и A2.24) определяют пред-
представление полной пространственной группы через неприводимые
представления группы волнового вектора 3)к.
Если представление 3)к неприводимо, то и представление
пространственной группы также будет неприводимым. Если
представление 3)к унитарно, то и полное представление 3)у
определяемое формулами A2.22), унитарно.
Размерность N неприводимого представления пространствен-
пространственной группы, очевидно, равна произведению размерности sk
малого представления 3) на число различных лучей п в звезде
117
вектора {ft}:
N = skn. A2.25)
В общем случае произвольной точки внутри зоны Бриллуэна,
где группой волнового вектора является группа основных транс-
трансляций, размерность представления пространственной группы
равна числу лучей, т. е. порядку / группы направлений F.
Приведенное рассмотрение свело задачу о нахождении не-
неприводимых представлений пространственных групп к нахожде-
нахождению неприводимых представлений группы волнового вектора G*.
Эти представления определяются заданием волнового вектора ft
и номером неприводимого представления группы G*.
Представления группы волнового вектора Gk
Бесконечная группа G* имеет абелев нормальный делитель —
группу трансляций, фактор-группа по этой подгруппе изоморфна
точечной группе /V
Установим связь между представлением группы волнового
вектора 3)k (h) и представлениями ее фактор-группы Fk. Как
указывалось выше, всякий элемент ftG G* имеет вид
где а — трансляция на периоды решетки Браве, г — «поворот-
«поворотный» элемент, г е Fk, a a — вектор непримитивной трансляции,
соответствующий поворотному элементу г. Сопоставим каждому
малому представлению 3)к {h) матрицу 3){г):
3){r) = eik*3)k(hl А = (г|Р), Р = а + а. A2.26)
Хотя в группе Gk каждому поворотному элементу г соответ-
соответствует бесконечно много элементов А, отличающихся основными
трансляциями, матрица 3) (г) в A2.26) определяется только
поворотным элементом г, так как для любого малого представ-
представления 3)к согласно A2.10)
ф* (hta) = e-ika 3)k (Л). A2.27)
Установим теперь правило умножения матриц 3)(г). Пусть
hi = (г, | РЛ, А = а, + аи h2 = (г21Р2), Р2 = а2 + а2
Составим произведение
3) (гх) 3) (г2) = е** «»¦+'¦> 3)k (Л, Аа).
Согласно B.22а)
Л,Л2 = (г, | р,) (г21 Ра) = (гхг21Р, + г,Р2),
поэтому
3)k (A1A2) = *-** iPl+ri™ 3) (г{г2).
118
Следовательно,
S)(riK>(r2) = <i>(ri> r2K>(rxr& A2.28)
где
со(г,, r2) = e v l > 2 = e l2. A2.29)
Так как bx^k%— rf!ft есть вектор обратной решетки или нуль,
то eib*ai= 1.
Соотношение A2.28) показывает, что из-за наличия множи-
множителя (o(ri,r2) в законе умножения A2.28) матрицы 3) {г) не
образуют представление группы Fk в обычном смысле, и по-
поэтому представления группы волнового вектора 3)k(h) в общем
случае не связаны непосредственно с обычным представлением
точечной группы Fk. Если же для всех элементов г\ и r2G Fk
имеем (о(гьг2)= 1, то, как видно из соотношения A2.28), мат-
матрицы 3) (г) осуществляют представление группы F*, и тогда
формулы A2.26) сразу определяют представление группы вол-
волнового вектора 3)k по известным представлениям точечных
групп. Это имеет место, в частности, в двух весьма важных
случаях:
1) если точка k находится внутри зоны Бриллуэна, когда
k — r~xk = 0 для всех г;
2) если группа волнового вектора G* не содержит нетри-
нетривиальных винтовых осей и плоскостей скольжения.
Если в группе волнового вектора имеются нетривиальные
винтовые оси или плоскости скольжения и точка k лежит на
границе зоны Бриллуэна, то для отыскания представлений
группы волнового вектора надо построить матрицы 3)(r)t удо-
удовлетворяющие соотношению A2.28). Этому вопросу посвящен
следующий параграф.
§ 13. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Представления, удовлетворяющие соотношениям
где |©(г„ г2)|=1, A3.1)
называются проективными или лучевыми представлениями, а
совокупность чисел G)(rbr2) называется фактор-системой*).
Проективные представления играют важную роль в прило-
приложениях теории групп к квантовой механике.
Фактор-система задается fi2 коэффициентами (o(/*i,r2), где
А — порядок точечной группы $?. Эти коэффициенты не могут
*) Проективные представления групп впервые были введены Шуром, ко-
который развил общую теорию проективных представлений и разработал методы
построения проективных представлений конечных групп [4.1]. Связь проектив-
проективных представлений с представлениями пространственной группы указана Ко-
Ковалевым и Любарским. Отметим, что в монографии Любарского П.З] проек-
проективные представления называются нагруженными, а фактор-система
(и г2)—нагрузкой.
119
быть произвольными, так как из ассоциативности группового
умножения г1(г2Гз) = (г1Г2)г3 и A3.1) следует, что
3) (п) 3) (г2) 3) (г3) = 3) {г{) 3) (г2г3) со (г2, г3) -
= 5)(г,г2г3)ю(г1, а-2г3)со(г2, Гз) = 2)(г1г2г3)а)(г1г2, Гз)©^, г2),
откуда следуют тождества, которым должна удовлетворять фак-
фактор-система СО (rl5 Г2) ДЛЯ Любых Г\у Г2 И Г3:
со(г!, г2г3) со (г2, г3) = ю(г1г2, г3) со (г,, г2). A3.2)
Можно показать, что условия A3.2) являются не только не-
необходимыми, но и достаточными, т. е. что любая совокупность
чисел со(г1,г2), удовлетворяющих соотношениям A3.2), может
являться фактор-системой данной группы.
Однако соотношения A3.2) не определяют фактор-систему
однозначно. Действительно, если 3)(г) есть некоторое проек-
проективное представление, принадлежащее фактор-системе со(гьл2),
то любое другое представление
где и(г)—произвольная однозначная функция на группе 9,
|м(г)|=1, также осуществляет проективное представление
группы $у но с другой фактор-системой G)'(ri, г2):
где A3.4)
* (Г1' Г2)~ и (г,) и (г,) '
Легко убедиться, что новая фактор-система co'(ri,r2) тоже удо-
удовлетворяет соотношениям A3.2).
Таким образом, из любой фактор-системы с помощью соот-
соотношений A3.4) можно получить неограниченное число новых
фактор-систем, соответствующих различным выборам функций
и(г). Все фактор-системы и представления, связанные соотноше-
соотношениями A3.2), называются проективно-эквивалентными или р-эк-
вивалентными. Совокупность всех р-эквивалентных фактор-
систем называется классом фактор-систем.
Заметим, что два различных р-эквивалентных представления
могут иметь и одинаковую фактор-систему. Для этого надо, что-
чтобы и(г\)и{г2)= и{г\г2), т. е. чтобы функция и(г) осуществляла
какое-либо из обычных одномерных представлений группы ^.
В общем случае р-эквивалентные фактор-системы не совпадают.
Однако соотношения A3.4) не исчерпывают все возможные для
данной группы 9 фактор-системы, так как могут существовать
фактор-системы, которые не могут быть сведены одна к другой
при помощи преобразования A3.4), т. е. у группы может быть
несколько классов фактор-систем.
120
Так, если для двух фактор-систем co(/*i,/*2) и to'(/*i,/-2) для
какой-либо пары коммутирующих элементов а и Ь
<о' (а, Ь) , со (а, Ь)
со' (Ь, а) ^ (оF, а) '
то эти фактор-системы относятся к различным классам, так как
преобразование A3.4) не меняет отношения со(а, 6)/соF, а) для
коммутирующих элементов а и Ь.
Как будет следовать из результатов § 14, для всех точечных
групп имеет место и обратное утверждение: если для всех пар
коммутирующих элементов а и Ь
со' (а, Ь) со (а, Ь)
со' (Ь, а) со (b, a) '
то фактор-системы со и со7 р-эквивалентны. В частности, если
о (а, Ь) = со F, а), то данная фактор-система р-эквивалентна еди-
единичной с со(/-1,г2)= 1.
Зная проективные представления 3) (/*) для одной фактор-
системы co(/*i,/*2), можно по A3.3) найти все проективные пред-
представления для всех остальных фактор-систем to'(/-i,/-2) этого
класса. Поэтому достаточно найти проективные представления
для одной фактор-системы из каждого класса. Хотя общее число
возможных фактор-систем неограниченно, можно показать, что
для всякой конечной группы число классов фактор-систем ко-
конечно [1.5, 4.1].
Для всякой группы существует класс Ко, в котором все коэф-
коэффициенты фактор-системы равны единице, co(ri,/*2)= 1. Соглас-
Согласно A3.4) к этому классу относятся и все другие фактор-системы,
для которых (о (ги f2) имеет вид
И
Классу /Со с (д(гиг2)= 1 соответствуют обычные представле-
представления группы ^, называемые векторными представлениями. Дру-
Другие представления класса Ко с (о(г\,г2)ф 1 проективно эквива-
эквивалентны векторным.
Пусть для некоторой группы & существует т классов фак-
фактор-систем: Ко, Ки • • • 1 Кт-ь Возьмем два класса КР и Kq с фак-
фактор-системами A)Р(гь г2), (х)я(гиг2) и построим фактор-систему
Ю*(П> Г2) = ®Р(Г[> Г2) СО* (Г1э Г2),
которая является фактор-системой одного из классов Kr, при-
принадлежащего к этой совокупности. Класс Kr, к которому при-
принадлежит сод(гь г2), определяется только классами КР и Кд
фактор-систем сор и со7, так как из A3.4) следует, что произве-
произведение фактор-систем, р-эквивалентных (о? и со7, дает фактор-
систему, р-эквивалентную со^. Таким образом можно
121
определить закон умножения классов
Совокупность классов /Со, /Сь • • •, Кт-\ образует группу отно-
относительно этого закона умножения, в которой роль единичного
элемента играет класс Ко- Эта группа абелева, так как из опре-
определения умножения классов следует, что KvKq = КдКР. Она
называется мультипликатором группы &. Порядок мультипли-
мультипликатора, т. е. число элементов этой группы, равен числу классов
фактор-систем. Если мультипликатор группы состоит только из
одного элемента Ко, то для группы возможны только обычные —
векторные — представления. Число классов фактор-систем и
структура мультипликатора определяются структурой группы?.
Рассмотрим теперь свойства проективных представлений.
Прежде всего отметим, что, как и для векторных представлений,
матрицы 3) проективных представлений для конечных групп
всегда можно выбирать унитарными.
Два проективных представления 3)(г) и 3)'(г) называются
эквивалентными, если существует унитарная матрица S такая,
что для всех элементов re?
3)(r) = S3)'(r)S-1. A3.5)
Для того чтобы отличать р-эквивалентные представления A3.3)
от эквивалентных представлений A3.5), последние мы будем
называть унитарно эквивалентными.
Унитарно эквивалентные представления относятся к одной
фактор-системе, так как
2)' (г,) 2>' (r2) = S-1 3) (г,) 3> (г2) S = со (г„ г2) 2)' (г{г2). A3.6)
Выше отмечалось, что два р-эквивалентных представления
в частном случае могут иметь одну фактор-систему, однако та-
такие проективные представления, вообще говоря, не являются
унитарно эквивалентными.
Проективное представление 2D называется приводимым, если
существует такая матрица S, что для всех матриц представле-
представления Э)(г) эквивалентная ей матрица 3)'{г) A3.5) распа-
распадается на инвариантные подматрицы меньшего порядка.
Существенной особенностью проективных представлений яв-
является то, что если для группы 9 возможны несколько классов
фактор-систем, то только среди представлений, соответствующих
классу Ко, имеются одномерные представления (например, еди-
единичное), а для других классов КР Ф Ко одномерных представ-
представлений не существует. Для доказательства этого положения пред-
предположим, что для некоторого класса КР существует одномерное
представление Э)о(г):
3)о (О) 3>о (Га) = со* (г1э га) 2>0 (г/2), A3.7)
122
где (op(/*i,/*2) —фактор-система, относящаяся к классу Кр. Вы-
Выберем в качестве и(г) само представление З)о(г), тогда из
A3.4) и A3.7) видно, что фактор-система (йр(г1,г2) р-эквива-
лентна фактор-системе g/p(/*i, гг) = 1, т. е. (oP(/*i,r2) принадле-
принадлежит классу Ко- Таким образом, классы Кр Ф Ко не могут иметь
одномерных представлений.
Число классов фактор-систем и структура мультипликатора
определяются свойствами группы 9. Шур [4.1] дал общий способ
построения всех проективных представлений конечной группы,
сведя задачу к нахождению векторных, т. е. обычных, представ-
представлений некоторой расширенной группы &'. Для построения груп-
группы *§' нужно предварительно найти мультипликатор группы *§.
Пусть группа *§ определяется образующими элементами
а, 6, с, ..., удовлетворяющими v соотношениям:
апФср*\.. =е (/= 1, 2 v), A3.8)
где niy liy pi — целые числа или нули. Пусть А=3)(а), В=3)(Ь),
С = 3)(с) и т. д. — матрицы неприводимого представления ЗУ
группы ^ для образующих элементов а, 6, с, ...
Если 3) является векторным представлением группы ^, то
матрицы А, В, С, ... удовлетворяют таким же соотношениям,
как и сами образующие элементы:
А^В^С^ ... =/ (/=1, 2, ..., v). A3.9)
Однако в случае проективных представлений в соотношениях
A3.9) появляются дополнительные численные множители at
(|а<|=1), определяемые коэффициентами фактор-системы, и
соотношения A3.9) принимают вид *)
BliCpi .,.=/, A3.10)
где
аГ'^Ма"', bV< ...)©(&'', cpi ...) ...)<ЪапрырсР1 ••- A3.11)
соаП. = со (а, а) со (а, а2) ... со (а, аПгХ\
/24 / / 1\ A3.12)
а)Ь/. = сйF, Ь) соF, б2) ... соF, Ь1*~х)
и т. д. Переходя к р-эквивалентным представлениям
Л — и (а)' °~и(Ь)' С"~ц(с)'---' \^.\6)
получим
'^" ...==/, A3.14)
*) Здесь и в дальнейшем будем считать, что для всякой фактор-системы
w(e, е)= 1. Это всегда можно сделать, выбирая и(е) = со(е, е), при этом
3)(е) = 1. Из A2.29) видно, что для пространственных групп условие
<о(е, е) = 1 выполняется тождественно из определения фактор-системы. Из
этого условия и тождества A3.2) следует, что со(е, г)= со (г, е) = 1 для всех г,
что для пространственных групп следует и из A2.29).
123
где
аГ = аги^(а)и^(Ь)ир1(с) ... A3.15)
Если путем определенного выбора функций и {а), и(Ь),
и{с), ... можно свести соотношения A3.14) к соотношениям
A3.9), т. е. обратить все а'ь в единицы; то проективные представ-
представления группы *§ эквивалентны векторным. В общем случае, од-
однако, никаким выбором функций и нельзя свести все коэффи-
коэффициенты а; к единице, т. е. в соотношениях A3.14) всегда остается
некоторое минимальное количество независимых коэффициен-
коэффициентов а/. Пусть число таких коэффициентов равно v'-^v. В даль-
дальнейшем мы будем считать, что соотношения A3.14) содержат
только такие независимые параметры щ.
Из соотношений A3.14) получаются уравнения для опреде-
определения возможных значений коэффициентов aj. Выбирая раз-
различным образом функции и (а), и F), и (с), ..., можно привести
эти уравнения к наиболее простому виду. Как будет видно из
результатов § 14, для всех 32 точечных групп, входящих в про-
пространственные группы, эти уравнения можно представить в виде
aSf=l (/=1, 2, ..., v'). A3.16)
Уравнения A3.16) дают все возможные р-неэквивалентные зна-
значения коэффициентов aj, среди которых, конечно, есть значе-
значения а^ = 1, соответствующие векторным представлениям. Каж-
Каждый допустимый уравнениями A3.16) набор величин а* опре-
определяет класс фактор-систем, так как из способа определения
возможных значений а* следует, что все р-эквивалентные фак-
фактор-системы характеризуются одним и тем же набором вели-
величин а/. Для точечных групп, когда щ=± 1, число классов,
т. е. число элементов мультипликатора, равно 2V .
Если два набора a'i(l) и а\ B) соответствуют классам фак-
фактор-систем К\ и /G, то набор aj C) = a*(l)a{B) соответствует
классу /Сз = К\К2- Составляя всевозможные произведения допу-
допустимых наборов коэффициентов aj, можно получить закон
умножения классов фактор-систем, т. е. структуру мультиплика-
мультипликатора. При этом наборы допустимых значений а\ образуют пред-
представление мультипликатора. Используя этот метод, мы в § 14
построим мультипликаторы для всех 32 точечных групп, кото-
которые определяют симметрию направлений в кристалле.
Будем теперь рассматривать а\ не как численные коэффи-
коэффициенты, а как некоторые элементы аг, коммутирующие между
собой и удовлетворяющие уравнениям
а\ = е, a.a.^a.a. (/, /=1, 2, ..., V). A3.17)
Соотношения A3.17) определяют группу Н с образующими
элементами аг-. Эта группа содержит 2V элементов h вида
h= П << (р, = 0, 1). A3.18)
/=1,2 V' •
124
Группа Я с элементами к{=е, Л2, ..., hm (m=2v) изоморф-
изоморфна группе мультипликатора.
Рассмотрим теперь группу *§' с образующими элементами
а, 6, с, ..., а*, которая определяется соотношениями, аналогич-
аналогичными A3.14); при этом элементы аи образующие группу Я,
коммутируют со всеми элементами группы 9. Группа <§' опре-
определяется, таким образом, соотношениями
Каждый элемент g' группы $?' имеет вид g' = hr, где АеЯ,
re?. При этом, если в группе *& произведение элементов г\Г2
было равно элементу г3, т. е. гхг2 = г3> то в группе G' в это про-
произведение в общем случае входит также и некоторый элемент h
из группы Я, зависящий от элементов гх и г2, который мы обо-
обозначим h\2\
A3.20)
Группа Н является центром в группе &\ так как по построению
группы 9' все ее элементы коммутируют с элементами группы Я.
Разложим группу 9' по сопряженным совокупностям Si относи-
относительно подгруппы Я:
S0 = {H), S, = {/-,#}, 52 = {г2Я), ..., S, = {r^tf}, A3.21)
где гг- е У. Фактор-группа по подгруппе Я, т. е. группа с эле-
элементами So, Su ..., S*, изоморфна группе ^.
Действительно, установим взаимно однозначное соответствие
между элементами фактор-группы Si и элементами т\ группы S?
следующим образом:
Si*r+ri. A3.22)
Тогда, если Si -«-> Гг и 5j -*-> г;-, то и StSj «*-> /*j/*j, так как произ-
произведение совокупностей S^- есть совокупность всевозможных
элементов r^jh, т. е. совокупность {rirjH}y соответствующая эле-
элементу Т\Ту Это означает, что группа *§' гомоморфна группе ^,
при этом ядро гомоморфизма — группа Я — изоморфна мульти-
мультипликатору.
Построенная таким образом группа 9' порядка mfi называет-
называется группой представлений группы 9. Покажем сейчас, что все
проективные представления группы 9 могут быть получены из
векторных представлений группы 9'.
Возьмем какое-нибудь векторное представление 3)ц груп-
группы *§'. Пусть г\ и Г2 е §. Их произведение в *§\ как указывалось
выше, в общем случае содержит hx2 e Я A3.20). Так как 9)у.—
векторные (т. е. обычные) представления, то из A3.20) получим
г2) = 3>* (hl2r3) = 3>^ (Л12) Д)й (гз). A3.23)
125
Поскольку h\2 коммутирует со всеми элементами из %', то и
3)\i{h\2) коммутирует со всеми матрицами 3)ц{&), g'^&'.
Поэтому, согласно первой лемме Шура (уравнение (8.1а)),
3)[i{h\2) кратна единичной матрице,
ЗД) A3-24)
и A3.23) принимает вид
3>s, ('.) К Ы = <2 ®»(r3) = «fe Я>* М- A3.25)
Будем рассматривать теперь совокупность матриц ц()
только для элементов ге?. Эти матрицы удовлетворяют за-
закону умножения A3.25), т. е. осуществляют проективное пред-
представление группы ^, в котором роль фактор-системы (o(/*i, гг)
играют числа со^, определяемые по A3.24). Определяющие со-
соотношения для элементов группы <§' A3.19) приводят к соотно-
соотношениям для матричных элементов представления З)ц(г):
)» (а,) Э>* (ая0
^Г/^ ...=/, A3.26)
так как согласно A3.24) 3)^^) = aj14/, где а.'* — число
((a{MlJ=l). Соотношения A3.26) совпадают с соотношениями
A3.14) для матричных элементов проективных представлений.
Поэтому каждое получаемое таким образом проективное пред-
представление относится к одному из возможных классов фактор-
систем группы &.
Покажем сейчас, что совокупность всех неприводимых пред-
представлений 3)ц группы <§f дает проективные представления, от-
относящиеся ко всем классам фактор-систем.
Действительно, каждое из неприводимых представлений 3)^
группы <§' осуществляет, конечно, и некоторое представление ее
абелевой подгруппы Я, причем это представление в общем слу-
случае приводимо, а сами числа со11 в A3.24) при этом осуще-
осуществляют неприводимые представления группы Я. Поскольку
совокупность всех неприводимых представлений 3)ц. дает и все
неприводимые представления группы Я, то значения коэффи-
коэффициентов со и, в частности, значения коэффициентов aj являются
всеми возможными значениями матричных элементов представ-
представлений группы Я. Поскольку образующие элементы щ группы Я
удовлетворяют уравнениям A3.17), то все возможные значения
«2)ц(«г) совпадают со всеми возможными корнями уравнений
A3.16), т. е. совпадают с возможными значениями коэффициен-
коэффициентов в A3.14), определяющих классы фактор-систем. Поэтому
проективные представления, получаемые из полного набора
представлений группы 9\ содержат представления, относящиеся
ко всем классам фактор-систем, возможным для группы 9.
126
Как указывалось выше, для пространственных групп воз-
возможные значения а' = ±1, и согласно A3.18) возможные зна-
значения оI2 также равны ±1. Следовательно, в случае простран-
пространственных групп для каждого класса имеется фактор-система,
все коэффициенты которой (o(/*i,r2) равны ±1.
Легко видеть, что если представления 3)ц группы представ-
представлений *§' неприводимы и неэквивалентны, то и соответствующие
им проективные представления также неприводимы и унитарно
неэквивалентны. Можно убедиться и в обратном, т. е. что из
каждого неприводимого проективного представления группы <$
можно построить неприводимое векторное представление груп-
группы *§'. Поэтому из полного набора неэквивалентных неприводи-
неприводимых представлений группы представлений *§' можно получить
все неприводимые унитарно неэквивалентные проективные пред-
представления группы ^, относящиеся ко всем возможным классам
фактор-систем.
Таким образом, нахождение всех неприводимых проективных
представлений конечной группы *§ сведено к принципиально ре-
решенной (хотя в общем случае и довольно трудоемкой) задаче
нахождения обычных представлений группы представлений %' *).
Рассмотрим теперь соотношения ортогональности проектив-
проективных представлений, относящихся к одной фактор-системе, кото-
которые мы получим из соотношений ортогональности представле-
представлений группы 2К
Для неприводимых представлений @)^ и 2Ь^ группы *&'
справедливо соотношение ортогональности (8.10):
^V. A3.27)
где Яр,— размерность представления 3)^. Каждый элемент груп-
группы *§' имеет вид g' = fir, поэтому суммирование в A3.27) по
g' e 9' можно представить как суммирование пог?^иАбЯ.
Тогда из A3.27) получим
= 2 <«' 2 2%k(rHtf(r), A3.28)
где со? определяется формулами A3.23), A3.24).
Представления 3)^ и Ф^ могут приводить как к одинако-
одинаковым, так и к различным фактор-системам. Мы будем сейчас
*) Если функции и(а) в A3.15) выбраны не оптимальным образом, так
что число элементов группы Я, определяемой соотношениями A3.17), превышает
число элементов группы мультипликатора, то полученная группа $", опреде-
определяемая соотношениями A3.19), также будет иметь большее число элементов
по сравнению с группой представлений. Ясно, что каждому векторному пред-
представлению группы <§", называемой накрывающей группой группы ^, также
соответствуют проективные представления группы я. Однако если накры-
накрывающая группа не совпадает с группой представлений, то среди этих пред-
представлений будут проективно эквивалентные.
127
рассматривать такие представления jj, и \х\ которые приводят
к одной фактор-системе; в этом случае
и из A3.28) следует соотношение ортогональности для проек-
проективных представлений, относящихся к заданной фактор-системе,.
v яь (г) т' м —?m«<w. A3-29)
г
которое аналогично соответствующему условию ортогональности
для векторных представлений. При этом в A3.29) индексы \х
и \i' означают различные неприводимые проективные представ-
представления, относящиеся к заданной фактор-системе. Если же pi и pi'
таковы, что 2)^ и 2)^ соответствуют проективным представле-
представлениям с различными фактор-системами, то согласно (8.10)
2©}{ ©;»*' = 0, A3.30)
так как ©? и ©?' образуют различные одномерные представления
группы Я и в этом случае A3.29) выполняется тождественно.
Чтобы получить второе соотношение ортогональности для
проективных представлений, используем соотношения (8.14) для
представлений группы %' для элементов g[ и g'2:
Положим g[ = hrl и g'2 — r2, где г,, г2е^, АеЯ; тогда
2 яД| (г.Л) 2>/Р (r2) = S ЯцЮЙ ^Гг (п) ^Г (r2)=m^ 6Ле6Г|Г,. A3.31)
Умножим обе части равенства A3.31) на со*11' и просуммируем
по всем АеЯ:
2 2 сойсоГ/2^^(г1)^(г2) = тЛбГ1Г,ш^ = тАбГ1Га, A3.32)
li ЛеЯ //
так как согласно A3.23) и A3.24) ©?'= 1. Поскольку со? и ©jj'
осуществляют некоторое неприводимое представление группы Я,
то согласно A3.30) сумма
отлична от нуля только в том случае, когда представления
©л и ©л группы Я, индуцируемые представлениями ЗУ и ДI1'
группы *§', унитарно эквивалентны, т. е. если ©? и ©J{' образуют
одну и ту же фактор-систему. В этом случае
128
Поэтому в левой части A3.31) остается только сумма по пред-
представлениям |i, относящимся к той же фактор-системе, что и \\!>
и из A3.32) следует второе соотношение ортогональности для
проективных представлений, относящихся к одной фактор-си-
фактор-системе:
~ k (r2) = А6Г|Г|. A3.33)
Из первой теоремы ортогональности A3.29) для проективных
представлений следует, что векторы Sfik YnJ-ft, образуют орто-
нормированную систему в пространстве элементов группы % раз-
размерности А. Поскольку число таких векторов, равное 2Лц» не
может превосходить размерности пространства Л, то
Из второго соотношения ортогональности A3.33) следует, что
векторы 3)\ {г) YnJ-fi,, rG?, с компонентами \х, /, / образуют
ортонормированный набор в пространстве с числом измерений
2#м> откуда следует неравенство
Следовательно, для проективных представлений, относящихся
к одной фактор-системе, также справедлива теорема Бернсайда,
т. е.
2U = ?. A3.34)
м-
Характер проективного представления 3)^, как и для вектор-
векторных представлений, определяется как след матриц 3)^:
h (г) = sP а># (г) = S а% (г), A3.35)
и одинаков для всех унитарно эквивалентных представлений.
Из соотношений ортогональности для проективных представ-
представлений A3.29) следует условие ортогональности для характеров
неприводимых проективных представлений:
Соотношения A3.36) позволяют разложить каждое приводимое
проективное представление, принадлежащее к некоторой фак«
тор-системе, по неприводимым представлениям, относящимся
к той же фактор-системе:
2> = 2аЛ, A3.37)
м-
5 Г. Л. Вир, Г. Е. Пикус 129
где аналогично (8.19) для коэффициентов Яц получим
а* = "Ё 2 X (г) ?(/•), A3.38)
Г
a x(r) есть характер представления 2D.
Характеры проективных представлений не являются функ-
функциями класса сопряженных элементов группы ^, так как они
являются функциями классов сопряженных элементов груп-
группы &', а распределение по классам элементов в группах 9 и 9'
в общем случае различно и элементы, сопряженные в группе 9i
могут входить в разные классы в группе 9 .
Легко убедиться непосредственно, что
и в общем случае X (Г1Г2ГГ1) ^ %{г2)- Поэтому второе соотно-
соотношение ортогональности (8.23) для проективных представлений не
имеет места, и число проективных представлений для всех клас-
классов фактор-систем, кроме Ко, меньше числа классов сопряжен-
сопряженных элементов группы 9.
Отметим одно свойство характеров проективных представле-
представлений. Если для какой-либо пары коммутирующих элементов Г\
иг2?? фактор-система не симметрична, т. е. ^ь |Д =а Ф 1
при г\г2 = г2ги то характеры всех р-эквивалентных представ-
представлений для этих элементов равны нулю,
Действительно, из условия 3) (г{) 3) {г2) — о.З) (г2) 3) (г{) следует
^МЯМЖг^оЛИ, откуда (а-1)х(г,) = 0 и при
а#1 имеем X(г^ = 0. Аналогичным образом доказывается,
что и х(г2) = 0.
Рассмотрим произведение двух проективных представлений
3) = 3)t X 2>2 с фактор-системами tov{r\,r2) и (o^(ri,r2), отно-
относящимися к классам КР и Кя соответственно. Произведению
представлений соответствует фактор-система <oR(rur2), равная
произведению фактор-систем:
0*0-1, г2)=«>р(г11 r2)aq(ru г2)\ A3.40)
она относится к классу Kr = KPKq. Произведение неприводи-
неприводимых проективных представлений в общем случае приводимо
и по формулам A3.37) и A3.38) может быть разложено по не-
неприводимым представлениям, относящимся к классу /Сд.
130
§ 14. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
В § 12 было показано, что определение неприводимых пред-
представлений пространственной группы G, имеющих неприводимую
звезду {Л}, сводится к нахождению проективных представлений
точечной группы направлений Fk группы волнового вектора G*
Группы Fk являются всевозможными подгруппами точечной
группы направлений Fy характеризующей кристаллический
класс кристаллической решетки. Совокупность всех подгрупп
у 32 точечных групп, характеризующих кристаллический класс,
совпадает с этими же 32 группами, поэтому для отыскания всех
неприводимых представлений для всех 230 пространственных
групп требуется знание проективных представлений лишь 32 то-
точечных групп, указанных в § 6.
Для определения классов фактор-систем и проективных пред-
представлений точечных групп используем метод, изложенный в пре-
предыдущем параграфе.
Рассмотрим сначала циклические группы порядка п, т. е.
группы с одним образующим элементом а, определяемые соот-
соотношением
ап = е. A4.1)
Пусть 3) (а) = Л— матрица неприводимого проективного
представления, соответствующая элементу а, тогда из A4.1) и
A3.11) получим
Ап = (йап1, A4.2)
где
<йап = ®{а> а) со (а, а2) ... со (а, а""). A4.3)
Введем
А' = 2>'(а)=<*^1"А. A4.4)
Тогда A4.2) превращается в
А'п=1. A4.5)
Отсюда следует, что все проективные представления цикличе-
циклических групп ^-эквивалентны векторным. Мультипликатор для
циклических групп состоит из одного элемента — класса Ко. Так
как все векторные представления циклических групп одномерны,
то одномерны также и все проективные представления цикличе-
циклических групп.
Легко проверить, что функция u{ah)> которая приводит за-
заданную фактор-систему со (а*, а?) к единичной по A3.4), имеет
вид
При этом матрицы 3) (ah) связаны с матрицами $)'(ak) =
= {3)' (a))k = A'k, осуществляющими векторные представления
б* 131
циклической группы, соотношениями A3.3):
3)(ak)=A'ku(ak). A4.7)
Действительно, из равенств A3.4) и A4.6) получим
и (а) и (а*)
Отсюда 3)' (ak) = 3)' (a) #' (а*-1) = ...=#'* (а). Это означает,
что со' (afe, ap) = 1 для всех k и р.
Из 32 точечных групп, указанных в § 6, 10 групп: е, S2, Cs,
С2, S4, С4, С3, S6, Сб, Сзл циклические, поэтому в тех случаях, ко-
когда группа направлений является одной из этих групп, фор-
формула A4.7) определяет все проективные представления, относя-
относящиеся к заданной фактор-системе.
Рассмотрим теперь группу с двумя коммутирующими обра-
образующими элементами а и Ъ порядка пит, определяемую соот-
соотношениями
ап = е, bm = e, ab = ba. A4.8)
Примером таких групп являются группы Cnh с а = сп и Ь = ал,
при этом т = 2.
Пусть А' = 3)(а)у В' = 3) {Ь) — матрицы проективного пред-
представления для элементов а и Ь, которые согласно A3.14) и
A4.8) удовлетворяют соотношениям
А'В'=В'А'ъ, A4.9)
Введем А = ©^1/rt A\ B = co^/mB/, тогда из A4.9) получим
= BAa. A4.11)
Для того чтобы определить возможные значения константы а,
умножим обе части последнего равенства на А и, используя
перестановочное соотношение A4.11) для А и В, получим
А2В = а2ВА2. Повторяя эту процедуру п раз и учитывая, что
Ап = /, получим
аЛ = 1. A4.12)
Умножая A4.11) на В т раз, аналогично получим, что
am=l. A4.13)
Пусть d — наибольший общий делитель пит, тогда уравне-
уравнения A4.12) и A4.13) сводятся к одному:
ad = \. A4.14)
Если пит взаимно просты, то d = 1 и a = 1. Отсюда следует,
что для групп Cnh при нечетных п все проективные представле-
132
ния ^-эквивалентны векторным, что следует также и из того,
что согласно § 3 эти группы являются циклическими с образую-
образующим элементом а = c^ni-
При четном п, т. е. в точечных группах СгР, л (Сгь С^ и С6Л),
d = 2, и поэтому из уравнения A4.14) получим
а2=1, т. е. а=± 1. A4.15)
Поэтому для этих групп возможны два класса фактор-систем:
/Со и /Сь соответствующие а = 1 и а = —1. Класс Ко, как все-
всегда, соответствует векторным представлениям. Так как группы
A4.8) являются абелевыми, то все их векторные представления
одномерны, а, следовательно, одномерны и проективные пред-
представления, относящиеся к классу Ко- Для класса К\ (а = —1)
матрицы представления А' и В' антикоммутируют, и поэтому
среди проективных представлений класса К\ нет одномерных,
что согласуется с доказанной в § 13 общей теоремой.
Для того чтобы построить группу представлений в соответ-
соответствии с A3.19), введем наряду с элементами а и Ъ новый эле-
элемент второго порядка а, коммутирующий с а и Ь. Согласно
A3.19), A4.11), A4.15) группа представлений определяется со-
соотношениями
ап = е, bm = e, a? = ef ab=aba, ab = ba, aa = aa. A4.16)
Используя A3.24) и A4.16), легко получить фактор-систему
со'(afe, 6*>) для проективных представлений группы A4.8), полу-
получаемых из векторных представлений группы A4.16). Если
n = akbp, а Г2 = акЬр\ то, используя A4.16), получим
rxr2 = akbpak'bpf = ak'p ak+k' bp+p', т. е. А12 = afe'p,
и из A3.20), A3.25) следует, что
co'(aV, aV) = afe'p, где a=±l. A4.17)
Ниже для группы A4.8) будут получены все унитарно неэк-
неэквивалентные проективные представления, соответствующие фак-
фактор-системе A4.17).
В практических применениях возникают вопросы: как по
виду заданной фактор-системы отнести ее к тому или иному
классу и каким образом следует выбирать функции и, чтобы по
A3.4) свести заданную фактор-систему к стандартному виду
A4,17), соответствующему ее классу?
Ответ на первый вопрос дается уравнением A4.10). Если
для заданной фактор-системы -^-тт2—г=1» то она относится
Y r со (я, а)
к классу /@, если же ^^ J = — 1, то фактор-система принад-
принадлежит классу К\.
133
Выберем u(aqbp) в виде
^^ A4.18)
где и(ач) и п(Ьр) определяются уравнениями, аналогичными
A4.6):
(dqln
<14Л9>
Если подставить A4.18) в A3.4), то получим a>'(ak,bP) = 1, от-
откуда
>(nkhP khp'\ a>'(akb")a>'(ak'bp')
У* (а) У» (ft) У*'(«) У F) >,
У*+*'()У+^F) ~° *
т. е. со' действительно совпадает со стандартной фактор-систе-
фактор-системой A4.17).
Таким образом, если известны все унитарно неэквивалентные
неприводимые представления, относящиеся к фактор-системе
A4.17), то все неприводимые представления для произвольной
фактор-системы даются формулами A3.3) и A4.18), A4.19).
Поскольку классу /Со во всех группах соответствуют обычные
представления, то ниже будут рассмотрены только проективные
представления, относящиеся к другим классам фактор-систем.
Поскольку группы C2t, и D2 изоморфны группе С2ь все ре-
результаты, полученные для группы С2л, применимы также и
к этим группам. Для группы С2и с четырьмя элементами клас-
классу /Сь согласно теореме Бернсайда, соответствует одно двумер-
двумерное представление. Так как матрицы А и В при а = —1 анти-
коммутируют и А2 = В2 = /, то в качестве этих матриц можно
выбрать любые две из трех матриц Паули ах, ау, аг. Матрицы
представления для группы С2л приведены в табл. 14.2 в конце
параграфа.
Представление для произвольного элемента а^Ь? группы Cnh
равно
2) (aqbp) = 3> (Ьрач) = AqBp = oPqBpAq. A4.21)
Согласно A3.4) матрицы представления группы Спь, относя-
относящиеся к заданной фактор-системе со(гь г2), равны
3) (aqbp) = u (aqbp) AqBpy A4.22)
где u{akbv) определяются соотношениями A4.18) и A4.19).
В группе dh восемь элементов, поэтому согласно теореме
Бернсайда A3.34) она имеет два двумерных представления, при-
принадлежащих классу /Сь
В качестве матриц для одного из этих представлений могут
быть выбраны матрицы представления группы С
134
Для отыскания матриц второго неприьодимого Предста&ле-
ния класса К\ группы С4л заметим следующее. Если вместо А
в группе Cnh ввести А" — ъяпА> где еп = е2яг7п, a q i= 0, 1, 2, ...
..., п— 1, то матрицы А" также удовлетворяют соотношениям
A4.11). Однако в общем случае не все матрицы е*А и А уни-
унитарно неэквивалентны. Действительно, матрицы А и ejA при
<7=1, 2, ..., (л/2) — 1 и четных я унитарно неэквивалентны,
так как их унитарная эквивалентность означала бы, что суще-
существует такая матрица S, что SAS~l=e%A. Возводя это равен-
равенство в квадрат и учитывая, что А2 = /, мы получили бы, что
е**= 1, но это противоречит указанному выбору q < /г/2. Каж-
Каждая из остальных матриц AeJJ (q = n/2, ..., /г—1) унитарно
эквивалентна одной из матриц Azqn с <7 = 0, 1, ..., (я/2) — 1;
так, например, А унитарно эквивалентна матрице — А — Ае^2,
что можно проверить непосредственно, выбрав S = ах.
Поэтому другое унитарно неэквивалентное представление
класса К\ группы С4л может быть получено умножением матри-
матрицы А представления группы С2н на е4 = i.
В группе Ceh двенадцать элементов и согласно теореме Берн-
сайда в классе К\ имеются три двумерных представления, при-
приведенных в табл. 14.2 в конце параграфа.
Группа Dn. Группы Dn и изоморфные им группы Cnv опреде-
определяются также двумя образующими элементами: а = сп и Ь = и%
для группы Dny b = av для группы Cnv. Они удовлетворяют
соотношениям C.4):
ап = е, Ь2 = е, ba=an'-lb.
Пусть
тогда для матриц А' и В' имеем соотношения
2 = а'А"В/, A4.23)
где
, _ ю(&, а)й>(ап-', о)
°
Для того чтобы определить возможные значения константы а',
умножим последнее уравнение A4.23) на Аг и учтем соотноше-
соотношения A4.23); получим
Повторяя эту процедуру п раз, найдем, что
<х/Л = 1, A4.25)
т. е.
а'=е? (т = 0, 1, 2, ..., п - 1). A4.26)
135
Однако he Ecfc Возможные Значения о! в A4.26) соответ-
соответствуют различным классам фактор-систем. Действительно, вве-
введем матрицу А= A'e-q, где q— некоторое целое число. При
Таком выборе матриц А они по-прежнему удовлетворяют соот-
соотношениям A4.23), но а' при этом заменяется на а:
а = 8-2<7 а' _ Bm~2q
п п
Если п нечетное, п = 2р + 1» то всегда можно выбрать q так,
чтобы а было равно единице. Действительно, в этом случае при
т четном а = 1 при q = m/2, а при т нечетном а = 1 при
q = (m—-л)/2. Поэтому в случае нечетного п существует толь-
только один класс фактор-систем, /Со, и все представления р-экви-
валентны векторным. В частности, все проективные представле-
ния групп D3, C3v р-эквивалентны векторным.
Для четного п возможны два класса фактор-систем: Ко и /Сь
Действительно, если т в A4.26) четное, то, выбрав q = m/2,
получим, что а = 1 и рассматриваемая фактор-система р-экви-
валентна единичной и таким образом относится к классу /(о.
Если т нечетно, то никаким выбором q нельзя свести а к еди-
единице, в этом случае фактор-система относится к классу К\. Сле-
Следовательно, все фактор-системы с нечетным т = 1, 3, ..., п — 1
эквивалентны между собой и р-эквивалентны фактор-системе
с а = еп.
Таким образом, в группах Dn с четным п возможны два клас-
класса фактор-систем: Ко и Ки при этом легко убедиться, что произ-
произведение классов определяется соотношениями
Ко^=Ко> КоК\ = Ки К\=Ко>
Для построения группы представлений рассмотрим более по-
подробно две возможности, которые возникают при четном п:
а) л/2 нечетно и б) л/2 четно.
При нечетном /г/2 соответствующим выбором q всегда можно
обратить а в ±1. Действительно, в случае четного т величина
а=1 при q *= m/2. Если же т нечетно, то, выбравq= (т + у)/2,
получим, что а = е%2 — — 1. Поэтому в случае нечетных л/2
величина а имеет значения ± 1, соответствующие классам
Ко и К\.
Рассматривая теперь а как новый элемент а второго поряд-
порядка а2 = е, можно в соответствии с результатами предыдущего
параграфа построить группу представлений для групп Dn для
случая нечетного л/2, которая определяется соотношениями
ап = е9 Ь2 = е, а? = е, ba = aan~xb, aa==aa, ab = ba. A4.27)
Легко убедиться, что для группы A4.27) фактор-система имеет
вид
co'(aV, aV1) = <zfelP, A4.28)
где а — ±1. При этом р, р{ — 0, 1; ft, kx = 0, 1, ,.,, п — К
136
В случае, когда п/2 четно, а т нечетно, никаким выбором q
нельзя свести а" к ±1, не меняя соотношений A4.23). Выберем
в этом случае
А! = г^2)+тА = + щ'1/2Л, A4.29)
где т определяется из уравнения A4.26); тогда третье из соот-
соотношений A4.23) принимает вид
ВА = а'А{п-ив?-1) (т+т)-Т-* = An-iB
При таком выборе А, однако, меняется первое из соотношений
A4.23):
Ап = (-l)~m-W2) I = (-l)-m / = а/,
где а = ±1 в зависимости от четности или нечетности т. По-
Поэтому в случае четного п/2 соотношения A4.23) для матриц А
A4.29) и В принимают вид
= An'B; A4.30)
при этом а= 1 для класса Ко и а = —1 для класса К\. Из
A4.30) легко построить группу представлений для групп Dn с
четным п/2. Она определяется соотношениями
ап = а, Ь2 — е> ba = an~lb, <ш==аа, ba = abf a2 = e. A4.31)
Группа A4.31) приводит к фактор-системе
Г k+k' (\-2р+Рп)]
(b'{akb\ ak'bp') = a\ n I, A4.32)
где скобки [1/п] означают целую часть от отношения 1/п.
В § 13 отмечалось, что если для какой-либо пары коммути-
коммутирующих элементов Г\ и г2 отношение ,ь г* ф 1, то фактор-
система со не может относиться к классу Ко- В группах Dn с
четным п коммутируют две взаимно перпендикулярные оси вто-
второго порядка С2 = ап>2 и и2 = b:
an'2b = banl2.
Для матриц проективного представления 3){ап12) и 3) (Ь) отсю-
отсюда получим
) () Д;7
со (а ' , Ь)
Как и для группы С2Л, отсюда легко получить, что
соF, ап/2) , ,
=±L
При этом, если это отношение равно +1, то заданная фактор-
система относится к классу Ко', если же —1, то фактор-система
принадлежит классу К\.
137
Действительно, как указывалось в § 13, отношение A4.32а)
одинаково для всех ^-эквивалентных фактор-систем и таким об-
g/ (b, ап{2) ,
разом равно ,, ,2—~, где со —стандартная фактор-система.
Но для стандартной фактор-системы из A4.28) или A4.32) сде-
сделанное утверждение проверяется непосредственно. Поэтому по
величине отношения A4.32а) удобно судить о принадлежности
заданной фактор-системы к тому или иному классу.
Для каждой группы Dn с четным п может быть указана такая
однозначная функция u{ahbv) (к = 0, 1, ..., п—1; р = 0, 1)
элемента ак№ группы ?>п, которая приводит любую заданную
фактор-систему (й(акЬр, ak'bD) к стандартному виду A4.28)
или A4.32):
uCaV)-"^"^' где a(a*)—^в*. и (Ъ>) = со^F, Ь).
ю (a*, bp) a>ak
A4.33)
При четных т е = а'1/2 = е™/2. При нечетных т е = + *а'1/2 =
Убедимся, например, что при четных т и /г/2
Прежде всего заметим, что хотя k и к9 ^ п — 1, их сумма k -\- к9
может превосходить п. Обозначим через {к + к'\ разность между
k + k9 и Г———1/г. Таким образом, имеем по определению
Поскольку и является однозначной функцией на группе, то
u(ak+k') ==a(a{fe+fe/>). Поэтому для (u9(ak\ ak) получим
v>'(ak>, ак)=-
k+k'
далее имеем
a)~
13§
так как 3>п (а) = (оап1. Поскольку е» = (— l)m = ct, то
(о {ak\ ak) = oJ
что совпадает с A4.32) при /? = р' = 0.
Таким же образом можно убедиться и в том, что u(akbv)
A4.33) при р и р'ФЪ приводит заданную фактор-систему к
виду A4.32).
Рассмотрим проективные представления групп D4 и De> соот-
соответствующих фактор-системам A4.32) и A4.28). Поскольку
группы С4и, D2d изоморфны группе D4, а группы C6vy Ош и D3d
изоморфны группе D6, то проективные представления групп ?L
и Dz совпадают с проективными представлениями групп C4v, D2a
и Сб«, Dzhy DM соответственно.
В группе D4 содержится восемь элементов, поэтому она имеет
два двумерных проективных представления, относящихся к
классу К\. В группе D6 имеется двенадцать элементов и соответ-
соответственно три двумерных представления класса К\. Проективные
представления групп D4 и L>6 приведены в табл. 14.2.
Группы Dnh. Будем рассматривать лишь группы Dnh с чет-
четным /г, так как в § 3 было показано, что при нечетных п группы
Dnh изоморфны группам D2n. В группах Dnh дополнительно к
группам Dn появляется еще плоскость отражения an = с, пер-
перпендикулярная оси п-го порядка и коммутирующая с остальны-
остальными элементами группы /)лЛ. Группы Dnh определяются соотно-
соотношениями C.5):
Пусть 3){а) = А', 3)(Ь) — В' и 3) {с) = С — матрицы не-
неприводимого проективного представления группы Dnh- Введем
матрицы
Л/ J%/ {У/
я а р с
Тогда из определяющих соотношений для группы Dnh получим
соотношения для матриц А, В, С:
= аАп~1В, ЛС = рСА,
= уСВ,
где
й <о (а, с) <о (Ь, с) ... QA.
Рв-ЙГ5Г' ч^-^WbT' A4-36)
а а определяется уравнением A4.24).
Если /г/2 нечетно, то а в A4.35) принимает значения ±1.
Если же /г/2 четно, то, как и в группах Z)n с четным л/2,
139
соотношения A4.35) можно привести к виду
Лл = а/, В2 = С2 = /, ВА = Ап~1В, ЛС = РСЛ, ВС = уСВ,
A4.37)
где а = ± 1.
Аналогично тому, как это делалось для групп Cnhi легко
убедиться, что
P2 = Y2 = 1, т.е. p=±lf Y=±L О4-38)
Поэтому в группах Dnh с четным п имеется 23 = 8 классов фак-
фактор-систем, соответствующих возможным значениям а, р, у,
равным ±1:
/СоA> 1, 1), КЛ-1, U 1), K2(U 1, -1), /СзA. ~1> 1).
/Св(—1. -!• 1) = /Ci/C3, *7(-1. Ь — 1) = /C2/Ci.
Отсюда легко найти таблицу умножения классов фактор-систем,
т. е. таблицу умножения мультипликатора. Для этого достаточно
перемножить соответствующие значения констант а, р, у и рас-
рассмотреть, к какому классу относятся произведения а3 = aiO62,
Рз = Р1Р2, Ys = YiY2-
Для построения группы представлений в группу Dnh вводят-
вводятся новые элементы второго порядка a, P и у, коммутирующие
между собой и с другими элементами группы Dnh. При этом,
как и в случае групп Dn, группа представлений задается раз-
различными соотношениями для нечетных и четных я/2.
При нечетных /г/2 группа представлений для группы Dnh оп-
определяется соотношениями
aa==aa, 6a = a6, ca = ac, ac
ау = уа, aP = Pa, by = yb, cy = yc, aP = Pa, A4.39)
&Р = Р&, ^Р = Р^, aP = Pa, aY=Y«, PY = YP,
а для четных п/2 — соотношениями
a" = a, b2 = c2 = a2 = p2 = y2 = e,
ba = an~lbf aa = aa, ba = ab> ca = ac, ac = $caf
bc = ycb, aP=Pa, 6P = P&, cp = Pc ay=ya, A4.40)
by = yb, cy=yc, ap = pa, aY = Y«, Py = yP-
Из определяющих соотношений A4.39) и A4.40) легко полу-
получить выражения для фактор-системы со' (akbpcqt ak bp cq), где
fe, /5' = 0, 1, 2, ..., /2—1; р, р\ q, q' = 0, 1, соответствующей
группам A4.39) и A4.40).
Для нечетного п/2 фактор-система со7 равна
co'(aW, a W) = а°*У*' Y^, A4.41)
140
а для четного п/2
*'{akb'c\ ak'bp'cq') = J = I ?qk' у*р'. A4.42)
Каждая заданная фактор-система по величине отношений коэф-
коэффициентов фактор-системы для коммутирующих элементов
®1ап12±Ь)_ о (а, с) о (Ь, с)
о {b, ап12) ' о (с, а) о (с, Ь)
может быть легко отнесена к одному из восьми классов фактор-
систем для групп Dnh.
Если выбрать функцию и{акЬ^с^) в виде
со (а*. ЪРс*) со (ЬР, с«)
A4.43)
где и(ак) определяется формулами A4.33), то легко убедиться,
что любая заданная фактор-система co(akbpcq, ak bp cq) приво-
приводится к виду A4.41) или A4.42), для которых ниже будут при-
приведены все проективные представления.
Группа D2h имеет восемь элементов и в каждом классе (кро-
(кроме Ко) содержится по два двумерных представления.
Для группы ?Jл (я = 2) соотношения между матрицами Л,
В и С отличаются только перестановками чисел а, р и у. Поэто-
Поэтому и представления, соответствующие классам, получаемым
различными перестановками чисел а, р и у, могут быть полу-
получены из представлений для одного класса путем соответствую-
соответствующих перестановок матриц представления. Так, представления
для классов Кз и /(г, а также Ка и Ki могут быть получены из
представлений для классов /Ci и /Се с помощью перестановок
матриц представления А, В и С.
В группе Dth 16 элементов и согласно теореме Бернсайда в
ней могут быть либо четыре двумерных, либо одно четырехмер-
четырехмерное проективные представления. В классах /Сь /С2, /Сз, Ка и /G
имеется по четыре двумерных представления, а в классах Къ и
Кб — по одному четырехмерному.
В группе Deh содержится 24 элемента и поэтому в ней могут
быть либо шесть двумерных, либо одно четырехмерное и два
двумерных представления. Оба эти случая реализуются, при
этом последний случай осуществляется в классах /С3, Кь Кь^Кб-
Матрицы проективных представлений для образующих эле-
элементов групп Dnh приведены в табл. 14.2. Эти матрицы пол-
полностью определяют все проективные представления рассматри-
рассматриваемых групп Dnh, относящиеся к фактор-системам A4.41) и
A4.42), так как матрица представления для произвольного эле-
элемента акЬ*>ся (k = 0, 1, ..., п — 1; /?, q = 0, 1) равна
ЗУ (akbpcq) = AkBpCq. A4.44)
141
Представление 3){akb^c^), соответствующее заданной фак-
фактор-системе, в соответствии с A3.3) равно
3) {akbpcq) = AkBpCq и (akbpcg), A4.45)
где и(акЬРс<*) дается формулой A4.43).
Группа Т. Эта группа определяется двумя образующими
элементами а = с2 и Ъ = с3, удовлетворяющими соотношениям
C.7):
а2 = е, Ъг^е, bab = ab2a. A4.46)
Остальные элементы выражаются через образующие элементы
по C.8).
Из определяющих соотношений A4.46) следуют соотношения
для матриц проективных представлений
V_ »(а) _ д/_. Я(Ь)
со1/2(а,а) со'33
а именно
А'2 = /, В'ъ = /, В'А'В' = о!А'В'2А\ A4.47)
где
, _ (Qi/2 (а, а) (о F, аб) <о (а, 6) .-
а ~ со (а, 62а) о (Ь2, а) со F, 6) ' {МАЯ)
Из A4.47) имеем: В'А'В'2 = а'А'В'В'А'В' = а'2 А'В'А'В'2 А' =
= а'*В'*А'В'А' = а'4В'А'В'2, откуда следует: а/4 = 1 и, следова-
следовательно,
а' = е;* (т = 0, 1, 2, 3). A4.49)
Если т четное (т = 0, 2), то выбором знака у А всегда можно
сделать а'=\. В этом случае представление р-эквивалентно
векторному. Если т нечетное (т = 1, 3), то, как и в случае чет-
четных /г/2 в группах ?>п, выбором А = аА' соотношения A4.47)
могут быть приведены к виду
А2 = а/, В3 = /, ВАВ = АВ2А, а=±1. A4.50)
Поэтому в группе Т возможны два класса фактор-систем: Ко и
/Сь соответствующие а = ±1.
Группа представлений для группы Т определяется соотноше-
соотношениями
= ab2a, аа = аа, 6а = а6. A4.51)
Фактор-система со'(гьг2), п,г2еГ для группы Г, соответ-
соответствующая группе представлений A4.51), строится согласно
A3.23), A3.24) следующим образом. Каждый элемент г груп-
группы Т выражается через степени образующих элементов. Произ-
Произведение Г\Г2 есть также элемент группы Т и поэтому при помощи
соотношений C.7) может быть приведен к одному из элементов
C.8). Однако в группе представления при этом может возни-
возникать дополнительным множителем элемент а. Если такой мно-
142
житель появляется, то для класса К\ будет со'(гь г2) =—1, в
противном случае co/(ri, r2) = 1. Например, для вычисления
(o(cv с2), составив произведение с2с2, получим c2c'2=abab2 —
= a2b2ab = ab2ab, поэтому cq'(c2, с'2) = — 1. Но «'(с^ ?2) = 1>
так как с'2с2 = bab2a = b2ab.
В группе Т имеются три двумерных представления, опреде-
определяемых матрицами Л и В, приведенными в табл. 14.2. Формулы
A4.48) и A4.49) позволяют по коэффициентам заданной фак-
фактор-системы отнести ее к тому или иному классу. Практически
удобнее, однако, рассматривать отношение коэффициентов фак-
фактор-системы для коммутирующих элементов. В группе Т ком-
коммутируют повороты вокруг осей второго порядка, например С2 и
с2. Для матричных элементов проективных представлений имеем
где
со (cL c«i)
Р = -тМ. A4.52)
со [с2, с2)
Из соотношений A4.50) следует, что р = а, и таким образом
р = 1 или —1 для классов Ко и К\ соответственно. Поскольку
отношение A4.52) одинаково для всех р-эквивалентных фактор-
систем, то по величине отношения A4.52) для любой пары осей
второго порядка можно легко отнести заданную фактор-систему
к классу /Со или К\.
Произвольный элемент группы Т согласно C.8) может быть
записан в виде
akb"ak'bf>', где k, Aj7 = 0,1; а р, р'=0, 1, 2.
Функция u(akbpak'bp')> приводящая заданную фактор-систему со
к стандартной а/, имеет вид
u{akb"ak'bp') =
г, („М » (nk'\ и (hP\ „ /УР'Ч «>' (<Л bpak'bp') a (bp, ak'bp') ш {ak\ b"')
u(ak)u(ak')u(bp)u(b"') , _.
~ ш (а*, 6"а*'бР') со F", а* V) ш (а*', 6Р') ' ( '
так как согласно способу построения стандартной фактор-системы
coV, bpak'bp') = со' (&р, afc'6p') = со' (ak\ b"') = 1.
Функции u(ak) и u(bi>) определяются коэффициентами за-
заданной фактор-системы:
где а' определяется формулой A4.49). Используя A4.53), не-
нетрудно написать явные выражения для функции и через коэф-
коэффициенту заданной фактор-системьь Они приведены в табл. 14.1
Ш
Таблица 14.1
e
a
bab2
b2ab
b
aba
и
1
coI/2(a,a)
a'
co1/2(a, a) co F, b2)
a' co (bt ab2) co (a, b2)
co1/2 (a, a) co (bt b2)
a' co (b2} ab) co (a, b)
•s
co (a, a) со^з
a/2 co (a, ba) co (b, a)
-
ba
ab2a
b2a
ab2
и
co1/2 (a, a) со^з3
a' co (a, b)
a>I/2(a,a) <33
a' <u(b,a)
ш F, b)
a> (a, a) <af^
a'2 ю (b, b) о (a, b2a) ш (б2, a)
<01/2(a,a)<43
a'o F, 6) ю (b2, a)
(D1/2 (a, a) <D2/33 1
a' co F, b) co (a, 62)
Группа Th. Эта группа является прямым произведением груп-
группы Т на инверсию: Th = T X Сг. Она определяется двумя обра-
образующими элементами а = с2 и 56 = 5, где sQ — зеркальный по-
поворот, связанными соотношениями C.9):
а2 =
= е, sas = as2a.
При этом поворот c3 —s2.
Двадцать четыре элемента группы Th состоят из 12 элемен-
элементов группы Г и 12 элементов, получающихся из элементов груп-
группы Г умножением на инверсию i = s3.
Введем
со1/2 (а, а)
В == •
со
1/6
'56
тогда из определяющих соотношений получим
Д'2—/ Я6—1 RA'R — n'A'RPA'
г со (s, as) со (a, s) col/2 (а, а)
со ^а, s2a) со (s2, q) со ^s, s)
A4.55)
A4.56)
04.57)
Таким же образом, как и для группы Г, можно найти, что
а'4 = 1, т. е.
<*' = е™. A4.58)
При этом снова при т = 0, 2 фактор-система принадлежит клас-
классу /(о, а при т = 1, 3 — классу К\.
Вводя А = а'А'9 можно соотношения A4.56) привести к ви-
виду, аналогичному A4.50):
Л2 = а/, В6 = /, ВАВ = АВ2А, а = ± 1. A4.59)
Группа представлений для группы Th содержит 48 элементов
и определяется соотношениями
= as2a, аа = аа, sa = as. A4.60)
Из A4.60) легко получить, что стандартная фактор-система
со' для группы Th связана с фактор-системой со^, группы Т соот-
h
ношениями
Л h h h
A4.61)
где r\ и г2 —любые элементы группы Г, а /— инверсия 53.
По формуле A4.53) легко найти функцию и, которая приво-
приводит любую заданную фактор-систему к виду A4.61). Для эле-
элементов группы Т^ которые входят в группу Г, функция и опре-
определена в табл. 14.1, где Ъ нужно заменить на s2. Для остальных
элементов группы 7\, являющихся произведением элементов г
группы Т на инверсию i,
(г, t)
где и{г) приведена в табл. 14.1.
В классе К\ группы Th имеется шесть двумерных представ-
представлений. Три из них являются представлениями группы Г, а осталь-
остальные получаются из них умножением В на множитель ее = еш/3.
Они приведены в табл. 14.2.
Группа О. Группа октаэдра О и изоморфная ей группа Td
определяются двумя образующими элементами. Для группы О
а = сА и Ь = съ\ а и Ь связаны соотношениями (ЗЛО)
а4 = е, б3 = е, aba = б2.
Пусть
л/_ Я (а) д,_ Я F)
~ «|/4 ' ~ т1/3 '
где 5)(а) и 3) F)— матрицы проективного представления для
элементов а и Ь. Тогда из определяющих соотношений получим
Д'4 = /? ?'3 = /, Д'?'Л' = (*'В'2, A4.62)
Иб
где
</| со F, г.)
Из уравнений A4.62) следует равенство В'А'2В' = а'3А'2В/2А'2,
которое аналогично третьему равенству A4.56), поэтому для а'
имеем
а'12 = 1, т. е. а' = е™ (т = 0, 1, 2, ..., И). A4.64)
Введем теперь новые матрицы А и В уравнениями
тогда соотношения A4.62) принимают вид
Л4 = а/, В3 = /, АВА = а"В\ а = (-1)*, A4.65)
где
а —а е8*е3 — eI2e3ej.
Поскольку в12 = е3е43, то выражение для а" можно привести
к виду
Из A4.66) видно, что, выбрав р = —т и q = —3m, всегда
можно сделать а" равным единице. При этом, если т четное,
то а = (—1)~т= 1 и все проективные представления р-экви-
валентны векторным. Если же т нечетное, то а = —1, А4 = —/
и фактор-система принадлежит классу К\- Поэтому в группе
О {Td) возможны два класса фактор-систем: Ко и /Ci, соответ-
соответствующие а = ±1 (четные или нечетные т в уравнении A4.64)).
Как и в группе Г, при этом удобно определять принадлеж-
принадлежность заданной фактор-системы к классу Ко или К\ по отноше-
отношению коэффициентов фактор-систем для пары коммутирующих
элементов с\ и с'*9 так как из A4.65) следует, что это отноше-
отношение равно а'6 = ±1 для классов Ко и К\ соответственно.
Группа представления для группы октаэдра определяется со-
соотношениями
а4 = а, а2 = е, 63 = е, aba = b2, аа = аа, а6 = 6а. A4.67)
В группе О в классе К\ имеется одно четырехмерное и два
двумерных представления; они приведены в табл. 14.2.
Используя формулу A4.53), легко найти функцию u{r), ко-
которая приводит любую заданную фактор-систему со группы О
(Та) к стандартной фактор-системе о/, определяемой соотноше-
соотношениями A4.67). Для произвольного элемента группы О (Td) вида
aVaV
U (a b п Ь) =
U (a b п Ь) = ф {a\ »VV) со (»', a* V) a) (**
не
где
и(аь\ = ?1—^i_ u (ьр\ _ ^ 8з—. A4.69)
m определяется уравнением A4.64).
Группа Oh. Эта группа является прямым произведением
группы О (или Td) на инверсию i. Она определяется двумя об-
образующими элементами а = С\ и 5 = $6, подчиняющимися соот-
соотношениям C.13):
a4 = e, s6 = e, sa3s = a, as3 = s3a. A4.70)
В группе Oh 48 элементов, половина из них являются эле-
элементами группы О, а остальные получаются из них умножением
на инверсию / = 53.
Из A4.70) получим соотношения между матрицами
а именно
Л'4 = /, В/6=/, В'А'гВ' = а'А, А'В'*=№'гА', A4.71)
где
^, __ со (s, a3s) со (a3, s) со^з ft _ g> (fl, s3) /1Л_
<^—¦ р~~^пг ^l4-72)
Из A4.71) следует, что р2 = l, т. е. р = ±l.
Для определения возможных значений а' заметим, что третье
из соотношений A4.71) можно привести к виду В**А'3В'А'3 =
= а'В'2. Используя последнее из соотношений A4.71), получим
В'А = А'В'2А'а'§, которое аналогично соответствующему соотно-
соотношению для группы О. Отсюда следует, что
(а'РI2 = а'12=1, т. е. а = е^2.
Вводя матрицы А = А'г%, B=?J?/eg, получим соотношения
А4 = а/, В6 = /, ВА3В = а"А, АВ = $ВА, A4.73)
где
Выбирая р = —m, q = —Зт, найдем, что а"= 1, и соотноше-
соотношения A4.73) принимают вид
А4 = а/, В6 = /, ВА*В = А, АВ3=рВ3А,
а = (-1)-=±1, р = ±1. A4'74)
Как и в случае группы О, четным т соответствует a = 1, нечет-
нечетным a = —1.
Таким образом, в группе Oh существуют четыре класса фак-
фактор-систем, соответствующих возможным значениям аир:
КоA, 1), /Ci(-1, 1), К2A, ~1) /С3(—1> -l) = *i/C2.
147
Группа представлений для Oh определяется четырьмя обра-
образующими элементами a, s, а и 0 и определяется соотношениями
а4 = а, s6=e, а2 = е, Р2 = е, sa3s = a, as3 = Ps3a,
ар = pa, аа = аа, as = sa, Pa = аР, Ps = sp. V • )
Половина элементов группы Oh являются элементами груп-
группы О, остальные являются произведениями этих элементов на
инверсию / = 5^, которая коммутирует со всеми элементами.
Однако в группе представлений, как видно из A4.75), инверсия
не коммутирует с а. Поэтому для группы Oh фактор-система
со' , соответствующая A4.75), зависит от специального выбо-
Л
ра элементов группы 0^. Для определенности мы будем запи-
записывать элементы группы Oh в виде г или ri = rs3, где г —эле-
—элемент группы О. Тогда легко показать, что фактор-система груп-
группы Oh связана с фактор-системой для группы О соотношениями
°°0Л (Г1> Г2) = <°0 (Г1> Г2> <°0Л (Г1> Ч) = ®0 (ГР Г*)>
где jut — число, показывающее, сколько раз нужно переставлять
инверсию / и поворот четвертого порядка С\ = а при переходе
от элемента *>2 к элементу r2i.
Функция u(r) (r^Oh), которая приводит любую заданную
фактор-систему со для группы Oh к стандартной фактор-системе
A4.76), имеет вид A4.68), а
Jimk fe/4 (лР16сРт
"«¦')=-Ч^-' «м-Ч?-- A4-77>
При этом нужно иметь в виду следующее. Функция и(г) яв-
является по своему определению однозначной функцией элемента
группы, поэтому u(ri) = u(ir). Однако правая часть равенства
A4.68) зависит от порядка множителей и, в частности, можег
быть различна для ri и ir. Чтобы устранить эту неоднознач-
неоднозначность, мы будем в правой части равенства A4.68) писать такой
порядок следования поворота г и инверсии /, когда инверсия
стоит справа от поворота: ги При таком выборе и(г) приводит
заданную фактор-систему к стандартной A4.76). Например,
,,'{п „зч __ «> (Д. s3) и {as3) _ со (a, s3) и (а) и (s3) _ ,
<¦> К"" * ) — и{а)и (S3) — ю (flf S3} и (а) и Eз) — Ь
но
^/(«3 ч _ со (s\ а) и (а) и (s3) _ fi
ю ^ » "^ "~ © (а, 53) м (s3) и (а) р
в соответствии с A4.76).
В группе Он в классе К\ имеется четыре двумерных и два
четырехмерных представления, в классе Д'з — три четырехмер-
четырехмерных и в классе Ki — одно шестимерное и три двумерных пред-
представления, которые определяются матрицами представления А
148
и В для образующих элементов, удовлетворяющими соотноше-
соотношениям A4.74). Они приведены в табл. 14.2.
Таким образом, получены проективные представления всех
точечных групп, которые необходимы для построения представ-
представлений пространственных групп. Матрицы для образующих эле-
элементов для проективных представлений 32 точечных групп при-
приведены в табл. 14.2. Двумерные представления обозначаются
символом Р«т); верхний индекс т означает класс фактор-систе-
фактор-системы, а нижний п — номер представления. Четырехмерные пред-
представления обозначаются буквой Qnm), шести мерные — RT^
Характеры неприводимых проективных представлений при-
приведены в табл. 14.3.
Эти таблицы дают возможность найти представления для
любой пространственной группы.
В соответствии с результатами §§ 12, 13 и 14 для нахожде-
нахождения представлений пространственной группы со звездой {k}
нужно поступать следующим образом:
1) Выбрав вектор fe, определить точечную группу направле-
направлений Fk, элементы которой не меняют k или прибавляют к нему
вектор обратной решетки (см. A2.12)).
2) По формуле A2.29) найти фактор-систему со (гьг2), г{г2^
е Fk, соответствующую выбранной точке k.
3) По соответствующим формулам § 14 для рассматривае-
рассматриваемой группы Fk определить класс полученной фактор-системы.
Знание класса фактор-системы сразу дает возможность опре-
определить размерности представлений группы волнового вектора.
Если полученная фактор-система не совпадает со стандартной,
соответствующей группе Fk, то по формулам § 14 найти функ-
функцию и(г), которая согласно A3.4) приводит заданную фактор-
систему к стандартной.
4) Представление группы волнового вектора 2)fc(h) для эле-
элемента h = (r\a + а) определяется по формуле
2>* (Л) = ??'*<«+»> и (г) # (г),
где 3)(г)—проективное представление, соответствующее стан-
стандартной фактор-системе. Если элемент r = ambncP ..., где
а, 6, с, ... — образующие элементы группы Fk, то 3) {г) =
= AmBnCi> ..., где А, В, С, ... — матрицы проективного пред-
представления для стандартной фактор-системы, приведенные
в табл. 14.2*).
5) Полное представление пространственной группы 3){fc)
определяется через представление группы волнового вектора по
формуле A2.23).
*) При этом нужно обратить внимание на правильность порядка следо-
следования образующих элементов ambncp ... в элементе г, который должен совпа-
совпадать с определением элемента г, приведенным в таблицах характеров проек-
проективных представлений (табл. 14.3).
149
Таблица 14.2
Проективные представления точечных групп
Группа
Сгн (С,о, D3)
c<h
Dt (C40, Did)
Dt(C
Группа
«v, D3h, D3d)
Класс
к,
Kt
К*
Класс
К.
/c.
Предста-
Представление
p<»
pf
pf
pf
Р(в)
pf
Пред-
ставле-
ставление
рA)
р<.)
Р<'>
рA)
Р<')
рО>
р(О
Р<!)
рA)
Р<>>
Р»)
А
Ог
Oz
Юг
О2
ъ*ог
ъ*ог
0 е8
ч{ о
-ог
0 ев
0 е^
it
Ог
"г
Ог
-аг
Ог
Oz
в
Ох
Ох
Ох
Ох
Ох
Ох
Ох
Ох
Ох
Ох
Ох
В
ох
Ох
Ох
Ох
ох
Ох
Соотношения
A2 = B2 = It АВ^-ВА
А< = В* = 1, АВ«~ВЛ
Лб =
ев =
В2 = /, ЛВ=~ВЛ
с 2
Л4 = - /, В2 = /
ВЛ = ЛЗВ, е8 = ^/4 = 1^-
с
I
-/
-ау
-оу
ох
-ох
Дб в /, В2 = /
ВЛ = - Л5В
С 2
Соотношения
Л2 = В2 = С* = /
АВ =- - В А
АС = СА
ВС^СВ
А* = В2 = С* = 1
АВ=-ВА
АС = -СА
вс = — св
А* = В* — С2 = /
ЛВ = -ВЛ
АС = -СА
ВС = СВ
150
Группа
о*
Класс
/с,
к*
Кг
К,
кь
к.
Предста-
Представление
1
Pf
pf
Pf
pf
pf
Pf
if
pf
pf
pf
pH)
Q<5)
1
i
w
*
-1
/
/
0
/
0
i
0
i
0
z
-/
/0
0,
/a
fr-
frit
fr.
or
/a
— /
— 1
0
0
_ i
— i
0
0
z
г
г
г
z
г
0
0
0
0
1
. 1
0
0
-1
-i
0
0
1
1
1
0
0
i
1
0
0
I
0
0
I
*
0
0
1
i
0
0
0
0
0
0
в
ox
fr*
fr*
fr*
fr*
Ox
«z
fr*
/
^x
X
fr*
J
-fr*
frx
/
0
0
0 -
i
0
0
0 -
Ts
0
0
0
0
0
0
16 J
0
0
i
0
0
0
i
0
i и ц а
0
0
0
I
0
0
1
0
с
I
I
-I
-'
«У
<*z
fry
-fr*
fry
fr*
fry
frjc
fr*
fry
Ox
«У
0 0
0 1
I 0
0 0
0 I
0 0
0 0
1 0
4.2
1
0
0
0
0
I
0
0
{продолжение)
Соотношения
A4«-/
BA*=A*B
AC = CA
BC = CB
A<=B>=C*=I
В A = A*B
AC = CA
ВС == -¦— С В
д4==В8==С2=/
ВА*=АЪВ
AC = ГА
B\j === Co
ВА = А*В
АС — -СА
Я/4 — Л*11
А4«~/
В2 = /
С2»/
ВА=*АгВ
АС — /*il
ВС «= — СВ
А4«~/
В2«/
С2«/
ВА - А3В
ДЛ* — С А
Таблица 14.2 (продолжение
Группа
о.
Класс
к,
*•
/с,
Пред-
ста-
ставление
рG)
Р<7)
Р?
G)
4
Pi»
3
Pi,"
р<.»
^6
рB)
Pjf>
я?»
Pf>
Pf>
Pf
А
II< о II
"loil
II ' О ||
"HI о ill
88 oi
II' ° 1
~88|oi 1
1 - её °
II 0 е6
| — е6 0
-о]
II —eg 0
! о е6,
| - ч ° 1
I
—
86 0 |
86 0 |
о' 1-
1 0 86 ||
в
ах
ох
ох
°У
°У
«У
"У
оу
"У
ог
ох
ох
°Х
ох
с
а2
«Z
-*z
I
I
I
-'
"'
°х
-ог
-ог
«г
Соотношения
А4 = - /, В2 = /
АС = С А, ВС = -СВ
лв = /, в2 = /
С> = /,ВА = -Л*
АС = СА
ВС = СВ
е6 е 2
де = /, в2 == /
С2 = /, ВА = А5В
Группа
1 Класс
Кг
К,
к,
к,
Предста-
Представление
рC)
р<3>
Q<3)
рD)
Р<4>
Q<4>
Pf
Pf
pF)
P<6>
e6
0
0
0
e(
0
0
0
¦ee
0
0
0
86
0
о
0
i
—
—
0
e6
0
0
0
A
<*z
«z
0
4
о
0
Ог
ог
0
ее"'
о
0
Oz
«z
л
ог
<*z
ч}
0 -
0
0
1 0
0 е
0
0
0
0
0
-ee
0
0
0
-еб
0
0
0
0
-1
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
в
I
-7
1 0
0 0
0 0
0 1
Oz
0
0
0
1
Ox
ох
0
0
0
-1
Ox
Ox
0
0
0
-1
T
аб
0
0
1
0
0 |
0
—1
0
0
0
—1
0
0
0
—1
0
лиц
0
0
0
0
0
—i
0
0 0
0 0
/ 0
0 i
0
0
0 -
a 14.2
С
0
0
0
—/
oy
°v
0
0
0
—/
*«/
-0
—/
0
0
0
ox
-a
0 -
0
0
-i
t
\
i
0
0
0
/
0
0
0
ч
(продолжение)
0
0
0
0
0
0
Oj
—/
0
0
-i
0
0
0
0
i
0
0
Соотношения
BA = A5B
AC Г А
A6 = /
ij2 F
C2 = /
BA = A5B
AC = -CA
BC = -CB
В2==/
baZL^b
AC = — CA
BC=*-CB
B2^/
BA=-A*B
BC = CB
153
Таблица 14.2 (продолжение
Группа
D»
Группа
Т
Тп
0(Td)
Класс
Ki
Класс
к,
к,
к,
Пред-
ста-
ставление
р<7>
Р?
Р?
рG)
р«7,
6
Пред-
ста-
ставление
рО>
л°
Рз0
Р\"
Л»
Л"
4
р«.»
Л"
р(о
Л"
A)
Q
3
е8
-е^ 0
0 еб
е6 0
0 -ej
| - в^1 о
1 0 еб
*z
А
iox
iox
iox
iax
iox
iox
iox
iox
iox
II i ° II
88II о i II
p IIi °
eslloi
II
о о -p,
i
с
с
с
с
€
€
0
0 0 0 /p,
~p2 о о
о /p2 о
0
0
в
'у
'у
'у
'у
—
—
—
—
1
)
щ
с
<*z
<*z
*z
-*Z
-<tz
-<tz
Соотношения
Лв==/, В2=:/
C2 = /,BA=~A5B
AC^CA
ВС = — CB
еб == еш
/з_ 1+/КЗ
2
В
A/Г2)е3««Ч
^i/l/'o"^ р5я^/12х
A /V^9*^ 6^^^ Л
A/К2)г3я'/46
(l/VI) еЪп1П2 6
(l/V2)e»ln4
W2)enin4
(l/V2)e^4
(\/f2)ennin4
1
_
3tЛ/4 ft
31Я/4 6
.-nimf> 0 II
~ с; И II
Ь ез*||
Соотношения
А' = -/
В3 = /
ВДВ = АВ2А
х II ! 1 II
II —* ^' II
А2 = -7
В6 = /
ВДВ = АВМ
Ч-Ш
А4 = -7,
В3 = /
р, = e53t'/6
р2 == в^я/6 =
__ 1
Ч!-11
154
Группа 1
Oh
Класс ]
Кг
К,
Кг
Предста-
Представление
Р(.)
/><¦>
3
^4
Q\
B)
^2
Pf
о
пB)
А
пC)
Qi
C)
Q2
C)
Q3
0
/
0
0
0
0
1
1
/
0
0
0
0
0
II
II
А
р
-р
р
-р
lotl
1 в о И
|0 т||
0 0 ||
Юг
1<*Х
Ю
0 0
0 0
—/ 0
0 0
0 /
0 0
Р 0
0 -р
110 р|
!ро|
10р1
IIpoI
0
0
0
—i
0
0
II
II
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
I
0
0
0
1
0
0
0
I
I
I
-
-
0
e2
0
0
0
e2
0
0
о
Iе
lo
I e
1 о
0
0
0
—I
e8
7Г
1
0
0
II
II
Табл
r
\
\
Ь
0 0
0 0
1 0
0 e
0 0
0 0
1 0
0 e
x
° II
-в2!
0 |
-e2 1
0 0 /
0 0 0
0 / 0
0 0 0
-i 0 0
0 0 0
0 -6 |
6 0
12 1 «6*
II о
1/12 M
II о
0
i
0
0
0
0
0
&
Oil
4
ица 14.2 l
продолжение)
Соотношения
DJ3P j j лз j»3 J
D/X D == Ay AD :== D A
1 III^"^" /p' 1
6==lio2e|
t- — I l ~j/"^e2|
КЗ|)А2"е i 1
1 I 1 V%el
= — t
e = e3
e = e3
BAB = A AB3 IP A
P =
A —
e8° 1
0 eel
1 4
165
Таблица 14.3
Характеры проективных представлений точечных групп
а=с2, b=i (или Oh)
р<„
е
2
а
0
а=с2, 6=ay
0
аЬ
0
а
о,
а=С2, 6=«2
а= ±i
а = с4» 6 = / (или ал)
рш
р«)
е
2
2
а
0
0
а4 = б, б2 = е, ab = 6а
Л4 = /, В2 = /, ЛВ = аВЛ
а==±1
а2
2
-2
а3
0
0
ь
0
0
ab
0
0
0
0
а*Ь
0
0
а
— 1
а = ^, 6 = / (или ад)
1
3
2
2
2
а
0
0
0
а2
2
0
0
0
аб =
а4
2
2е'б
ж
а5
0
0
0
62 =
В2 =
0
0
0
1 А
ab
0
0
0
п
а2Ь
0
0
0
Ьа
2ВА
a9b
0
0
0
a*b
0
0
0
аъЬ
0
0
0
а
-1
а = с4, b = ov
pf
е
2
2
а = ?4, b = и2
а, а*
/2/
а2
0
0
Д2<*
а = 54, Ь = и2
0
0
ab, аъЬ
0
0
а
-1
а4 = в, б2 = е, 6а = аъЬ
Л4 = а/, В2 — ЪВА^- А3В
а=±1
156
Таблица 14.3 (продолжение)
Ое
*
to to ьэ
с60
а=св)&=а„
а
0
-/VT
а\ а*
2
— 1
D3d
a=s6, b=u2
0
-in
in
b, a?b, a*b
0
0
0
ab, a%b, abb
0
0
0
a
-
Л6-/', В2-/' ВЛ-аЛ5В
a=±l
o2ft
a=c2, b—u2, c=i (или а^)
Класс
т,
тг
a=Y=?p=-l
P=Y=-..«=.
Ks
a =s p = y=—1
a==p=— l,Y=l
a=Y=-l>P=l
^2
pB)
P2
pf)
Pf
Pf
pf)
Pf
Pf
pm
A2—B*-C2-L ' BA—aAB, CB-yBC, AC—$CA
a, p, y= ±1
*
2
2
to to
to to
to to
to to
to to
to to
a
0
0
0
0
2
—2
0
0
0
0
0
0
0
0
b
0
0
2
—2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
2
—2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ab
0
0
0
0
0
0
to to
0
0
0
0
0
0
be
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
—2
0
0
ca
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
to to
ah с
0
0
0
0
0
0
0
0
to to
0
0
0
0
157
D4ft
a=ct.
Класс
к.
P-Y-l
Кг
л -.Й- 1
Кг
a-Y-1
6-Y-
a=l
/Се
-T-^l
7=i
K7__
«=-i
Ь-и2
p(D
Р2
рз°
рA)
рB)
рB)
рB)
Р3
рB)
рC)
J)
рC)
рD)
рз
рD)
QF)
pf>
рG)
рG)
Р4
е
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
t
2
<
= 1 (ИЛИ <7Л)
a
VTi
-VTi
2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
VTi
-VTi
VTi
-VTi
a*
0
0
0
0
2
-2
2
_ n
2
-2
2
-2
2
-2
2
-2
0
0
0
0
0
0
a»
VTi
-VTi
VTi
-VTi
2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
VTi
-VTi
VTi
-VTi
b
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-a/,
ab
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
BA
Л
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a*b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
Та
с
2
2
-2
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
блица
e, b*=e
a, 3, Y=
ac
VTi
-VTi
-VTi
VTi
0
2i
0
-21
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-VT
VT
VT
-VT
14.3 {продолжение)
¦I, UAC—$CA
= ±1
etc
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-21
-2i
2i
2t
a*c
VTi
-VTi
-VTi
VTi
0
-21
0
2i
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
VT
-VT
-VT
VT
, в
be
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
abc
(i
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ft
z
0
2
0
0
о
0
0
о
a*bc
0
0
0
с
0
0
0
0
0
-2
0
о
0
0
0
(
0
0
0
0
о
0
a'bc
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
q
0
0
0
0
0
о
158
D6h
a-c6b = u2
Класс
a==-l
K>
Y—1
a ^-1
к
Y-l
a=^Y =
pd)
И2
P3
Pi
P5
P6
pB)
42)
pB)
pB>
P<?>
pC)
P<3)
QC)
pD)
PB4)
QD)
pE)
p(>5>
qE)
pl
pF)
P2
qF)
pG)
PB7)
рзП
pD7)
pj./>
P6
, с
e
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
to to
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
= * (или a;
a
iYT
-iYT
0
-iYT
0
2
1
-1
-2
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
iYT
-iYT
0
iYT
-iYT
0
a2
a<
-1
-1
2
-1
-1
2
2
-1
-1
2
-
-1
CM CM
-2
2
2
f
t
-2
2
2
t
-1
-1
2
-1
-1
2
a"
0
0
0
0
0
0
2
-2
2
-2
-2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
с
с
с
с
с
*¦
аь
т
/ /з
0
-iYT
0
2
1
-1
-2
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-iYT
iYT
0
-iYT
Ico
0
=в
b
a*b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
с
с
с
с
с
»Jc
ab
a'b
abb
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
«
-2
0
0
0
0
0
0
0
с
с
G
G
С
с
с
2
2
2
-2
-2
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
с
с
0
0
с
Та
, Ьа —
/, ВА =
а.
ас
-iYT
0
-iYT
iYT
0
0
-iYT
iYT
0
iYT
-iYT
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
2
1
1
-2
блица
¦a*b,
a*c
-\
2
1
1
-2
0
-iYT
-iYT
0
iYT
iYT
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-iYT
Ico
0
iYT
-iYT
0
ca-
CA
±1
a*c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
0
г
-2
-2
14.3 (продолжение)
=ac.
a<c
-1
-1
2
1
1
-2
0
i YT
Ico
0
-iYT
-iYT
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
iYT
-iYT
0
-iYT
iYT
0
abc
-iYT
iYT
0
iYT
-iYT
0
0
iYT
-iYT
0
-iYT
iYT
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
2
1
1
-2
be
a2bc
a*bc
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
-2
0
0
0
0
0
0
с
abc
a*bc
a'bc
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2i
-2i
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
159
Таблица 14.3 (продолжение)
т
а =
1
p(D
*2
ро»
с2, Ь = с3
е
2
2
2
0
0
0
а2 = е,
b, ba, ab
-1
-в2
Ь* = е,
г из т
aba
1
е3
4
bab = а?2а
и/з
bab, Pa, ab2
1
«3
83
-4
-е3
р(.»
Pi,"
Р<'>
/>4"
р@
2
2
2
2
2
2
S3
2
2
2
—2
2
-2
а
sas2
0
0
0
0
0
0
s*a2
s*as<
0
0
0
0
0
0
а
А
S
sa
as
-1
—е3
-в32
А
1
е3
2 = е,
= —
S4
as'
-1
-е3
-в2
-в32
-1
—е3
-/, S6
asa
1
е3
в2
~8з
-1
—е3
аз*о
1
ез
вз2
в2з
1
е3
sas -
ЗАО —
sas
s2a
as*
1
вз2
е3
е3
1
е!
= as2a
- ЛЯ2*
- ао i
sas*
s*a
as5
1
A
e3
—e3
1
-I
1
s2
-1
— F2
83
-e,
—83
-1
-4
—1
-e3
e3
1
4
0
а и c4, ^ =
1
p(O
q(D
2
2
4
a^= s^ b = c3
а
Ь2аЬ
0
а2
fca2b2
Ь2а2Ь
0
0
0
a?
-VT/
0
a4
Л4
0
0
0
= ,,63 =
= -/, В
0
0
0
e, аба ¦
J = /, ЛВ>
а>Ъ
-1
1
б2
1==В2
a2b2, b2a2
a2ba2
1
1
-1
160
Он*)
а — сл,
Класс
а=—1
Р=1
п ¦ 1
р=-1
а=— 1
р=-1
р(П
Р3
Q\l)
<#>
рB)
рB)
g№)
Qf>
Q23>
OP
•
2
2
to to
4
4
2
2
2
6
4
4
4
¦) Здесь д.
а, так как а'Ь'
Поэтому, напри
a
b2ab*
b*ab2
a3
a&4
VT
-V2
SI
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b2
6«
abW
a2b2a*
aWa
a2b*a2
a2b2
-1
-1
-1
1
1
2
-1
— 1
0
-2
1
1
a4 = 6
А4- г
A — С
2a2
&V62
0
0
0
0
0
0
—2
—2
-2
2
0
0
0
i J, J56 =
b*abA
a3b2a2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ля упрощения записи инверсия
=¦ bza2 как в группе 0^, так
мер, a2b2a2b* + a2bsa2.
Та
ж
— I,
a =
-
2
2
—2
2
4
—4
0
0
0
0
0
0
0
блица 14.3 (продолжение)
ЬаЧ-
±1> Р =
1
|/"гГ
|/~
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b* пронесенг
и в группе
= a, ab3
А А ИЗ
— A, AD
= ±1
6
65
a3b2abs
bsa2
a'ba2
a2b5a2
-— 1
— 1
1
1
1
-1
0
iVT
-iVT
0
0
-iY*
a2bs
b2a2b
ba?b2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A
ab5
b2ab*
b*ab
a2bab2
as65a2
b2a2bKab*
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i через четные степени
представлений A4.75).
ГЛАВА III
СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В первых главах этой книги были изложены основные эле-
элементы теории симметрии и теории представлений. Перейдем те-
теперь к рассмотрению тех физических следствий, к которым
приводит учет требований симметрии в квантовой механике и
теории колебаний. Определение разрешенных значений энергии
и собственных функций в квантовой механике, так же как и
определение частот колебаний и соответствующих им векторов
смещений, являются по сути задачами на определение собствен-
собственных значений и собственных функций соответствующего опера-
оператора. Общий характер спектра данного оператора существенно
определяется его симметрией. Именно этой особенностью и
объясняется широкое применение теории групп в квантовой ме-
механике и теории колебаний.
Теория симметрии дает возможность, не задавая конкретного
вида взаимодействия, установить важные особенности электрон-
электронного и колебательного спектра в атомах, молекулах и кристал-
кристаллах, систематику термов и возможные типы вырождения, поло-
положения экстремальных точек для спектров в кристаллах и вид
спектра вблизи этих точек, правила отбора для различных пе-
переходов, изменение спектров во внешних полях, нарушающих
симметрию, и т. д.
В § 15 мы остановимся на первом из этих вопросов.
§ 15. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ,
ТЕРМОВ. НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ *
Классификация электронных состояний
Стационарное состояние электрона во внешнем поле описы-
описывается уравнением Шредингера:
Ж^+У (
Поскольку оператор кинетической энергии
1 2т \ дх2 "Г ду2 ^ дг2 )
162
инвариантен к любым операциям пространственных групп, т. е.
к поворотам и трансляциям, то симметрия гамильтониана Ж(х)
определяется симметрией потенциала V(x). Например, для элек-
электрона в идеальном кристалле потенциал V(x) инвариантен ко
всем преобразованиям соответствующей пространственной груп-
группы. Для электрона, находящегося на примесном центре в ре-
решетке, V(x) инвариантен к преобразованиям точечной группы,
определяемой симметрией кристалла и положением примесного
центра в решетке. Это означает, что при всех операциях gt
входящих в группу симметрии гамильтониана $?,
A5.2)
или
? (g) Ж (х) г|> (*) = ^ {g-'x) ф (?-'*) = Ж (х) Ф (g) ф (ж).
Поэтому условие инвариантности Ж к операции g означает ком-
коммутацию операторов Ж и ?()
A5.3)
Уравнение Шредингера A5.1) в новой системе координат х' —
= g~^x перепишется так:
x). A5.4)
Из A5.1) и A5.2) видно, что функциям г|)(х) и ty(g~lx) со-
соответствует одно и то же собственное значение энергии Е. Со-
Совершая все преобразования группы g, мы получим таким обра-
образом h функций ^(ё"*), из которых, вообще говоря, лишь часть
функций tyj{x) являются линейно независимыми, а все осталь-
остальные выражаются через них. Поэтому каждая из функций, полу-
получаемая при действии оператора 2)(g) на любую функцию г|^,
может быть линейно выражена через эти функции:
0(?)Ф/ = МГ-'*) = 20//Ы*). A5.5)
Уравнение A5.5) показывает, что система собственных функций
оператора 3@, соответствующая одному собственному значению,
образует базис представления 3) группы симметрии ^ этого га-
гамильтониана.
Представление й), вообще говоря, может быть приводимым
или неприводимым. Так как, действуя всеми операторами g€E&
на любую из функций г^, мы получим все функции неприводи-
неприводимого представления, то это означает, что во всяком случае всем
функциям неприводимого представления соответствует одна и
та же энергия.
С другой стороны, совпадение собственных значений для не-
нескольких независящих систем функций, образующих базис раа-
ных представлений, является случайным событием. Следова-
Следовательно, как правило, каждому неприводимому представлению
6* Г, Л. Бир, Г% Е, Пикув 163
должно соответствовать свое собственное значение энергии. По-
Поэтому возможная степень вырождения каждого терма опреде-
определяется размерностью соответствующего неприводимого пред-
представления, и среди решений уравнения Шредингера имеются
термы всех кратностей, допускаемых этим условием. Поэтому
состояние электрона часто характеризуют индексом соответ-
соответствующего неприводимого представления. Это, конечно, не
означает, что каждому представлению может соответствовать
лишь один терм. Наоборот, как правило, ему соответствует це-
целый набор термов.
Заметим, что в некоторых случаях дополнительные условия
симметрии, не связанные с пространственной симметрией, при-
приводят к совпадению энергий нескольких неприводимых пред-
представлений. Такое дополнительное вырождение, как будет пока-
показано ниже, может быть вызвано инвариантностью уравнений
движения к обращению времени. В особых случаях группа сим-
симметрии гамильтониана Ж = Т + V может оказаться выше сим-
симметрии потенциала V, что также вызывает дополнительное вы-
вырождение. Это имеет место для кулоновского потенциала V =
= —с/х, а также для гармонического осциллятора, для которого
V = -СХ*.
Колебательные спектры молекул и кристаллов
Теория представлений дает возможность таким же образом
произвести классификацию и колебательных спектров молекул
и кристаллов. Как известно, в классической теории частоты ко-
колебаний со и векторы смещений иA) системы, состоящей из Na
атомов /, определяются системой уравнений [9.1, 9.2]
Na 3
Mfii (i) = - Mitfut (/) = - 2 2 ф«' (/, П ш> d% <15-6)
/'=1 ?'=1
где Mi — масса данного атома, а Ф«'(/, V) — Ф%\ (/',/)—сило-
(/',/)—силовые постоянные, т. е. вторые производные от потенциальной
энергии по данным смещениям игA), и\'{1г). Уравнение A5.6)
можно переписать в виде
2 (?>«- (/, V) - ©26//'д«') Щ> (/') /М?= 0. A5.6а)
VV
Здесь D — динамическая матрица с компонентами
Перейдем от 3Afa переменных — V^MZ/M t/? (/) к переменным
1- где М=
164
выбрав матрицу В так, чтобы она диагонализовала динамиче-
динамическую матрицу D, т. е. B^DB = Q, где Q — диагональная ма-
матрица с компонентами Qa = cua:
где собственные частоты ®\ есть корни секулярного уравнения
\Ои>{и')-ъЧц>Ъп> | = 0. A5.8а)
При этом некоторые из собственных значений, в принципе, мо-
могут быть вырожденными, т. е. одной частоте соа могут соответ-
соответствовать несколько функций аа. Матрица В является унитарной,
т. е. ВВ* = I и В*В = /, или в компонентах
2вйВ?; = 6ар, A5.9а)
и
2ВнВп' = вн'в«', A5.96)
a
т. е. собственные векторы Ви ортонормированы. Также можно
показать, что ВаВ® = 0 при соа Ф сор, или в компонентах *)
S Ви ВЪ = 0 при ©а Ф со3. A5.9в)
Как следует из A5.8), в новых переменных система уравнений
A5.6) распадается на 3Na независимых уравнений
(а>2-со2)аа = 0. A5.10)
Проведя преобразование, обратное A5.7), и учитывая A5.9),
выразим щ через аа\
М0 = 2у^2яйа«. A5.11)
а
Векторы иаA), определяемые соотношениями
/а?аа, A6.11а)
являются собственными функциями уравнений A5.7) при со =
= соа и называются нормальными колебаниями. Они показы-
показывают, как смещается данный атом / при данном колебании аа.
Для того чтобы найти в явном виде компоненты Ви, надо
найти собственные частоты и решить систему уравнений DB =
*) Собственные векторы В^, соответствующие частоте Юр, удовлетво-
удовлетворяют уравнению A5.116): DB$ = Q$B$. Умножим это уравнение справа на
Ба, а транспонированное уравнение BaD = QaBa слева на В^ и сложим их.
Учитывая, что Ь = /> A5.66), получим A5.96): (Qa — Qp) SaB3 = 0.
165
= BQ, которая в компонентах имеет вид
2/V = a?B/ai. A5.116)
VI'
В кристалле каждый атом / можно характеризовать двумя
индексами: номером ячейки f и номером атома в ячейке х. При
этом силовые постоянные Ф»'(/и, f'n') обладают трансляцион-
трансляционной симметрией, т. е. зависят только от разности / — f. Поэтому
собственные векторы В? можно выбрать в виде
где v — номер ветви спектра, а q — волновой вектор. Здесь N —
число ячеек, Мо = 2 Мх — масса ячейки, аМ = M0N = рУ, где
р — плотность, а Т — объем кристалла. Матрица В, определяе-
определяемая уравнением A5.12), осуществляет переход от 3Nna функ-
функций tifat к введенным ниже (уравнение A5.16)) 3Nna функциям
aqv. Здесь па — число атомов в элементарной ячейке. При этом q
принимает N различных значений, v меняется от 1 до Зяа, а мат-
матрица е с компонентами е1^. (q) при данном q осуществляет пере-
переход от Зпа функций Uy.i (q) к Зпа функциям aqv. Матрица е диаго-
нализует матрицу Dr с компонентами
DU>*«{q)= V м * Dii'™' ^> A5ЛЗ)
где
Daw (q) = -jf 2 Du'ffMe~tq\Xf ~xi'K A5.13a)
ff'
Действительно, подставив A5.12) в A5.8) и просуммировав по
f и /', получим систему уравнений:
- A5-136)
Согласно A5.9) векторы поляризации, относящиеся к разным
ветвям или к разным атомам в ячейке, ортогональны:
2 М& (q) <,* (q) = MO6VV,, A5.14а)
tt', A5.146)
166
2 Мквм (q) e*i (g) = 0 при со^ Ф (o^'. A5. 14b)
Hi
Для непосредственного определения компонент е\{ в соот-
соответствии с A5.116) надо решить систему уравнений
ш (q) - ©Sv6x*'6h') е*'
где матрица Du>w{q) определяется уравнением A5.13а),
a cD^v — корни секулярного уравнения
| Daw (q) - о^бхх'б«' 1 = 0, ¦ A5.Ка)
которое определяет колебательный спектр кристалла, т. е. за-
зависимость (ov(<7) для каждой из ветвей спектра v, точно так же
как решение уравнения Шредингера A5.1) для кристалла опре-
определяет спектр электронов в идеальной решетке E(k) для каждой
из зон.
Общее число ветвей равно утроенному числу атомов в эле-
элементарной ячейке Зпа. Три ветви, у которых при <7->0 cov(<7) ->
—*0, называются акустическими, а остальные 3 (/га — 1) —
оптическими.
Согласно A5.11а) и A5.12) смещение атома f, x при данном
колебании aqv равно
qxK A5.16)
Произвольное смещение UfK / может быть разложено по нор-
нормальным колебаниям и^ г Согласно A5.7) и A5.11)
1 qv qv
= 2iaqvex(q)eiqxf +aqve*{q)e~ qxf. A5.12a)
qv
^ -Iq'x?
Если умножить последнее уравнение на е * й просумми-
просуммировать правую и левую части по f, то в результате получим
я* {q) = 2 2 еЪ (q) aqV9 A5.16а)
V
где
ик \ч)== 7 2j иые • A5.166)
f
При квантовомеханическом описании движения атомов в мо-
молекуле или кристалле классическое уравнение движения A5.6)
заменяется уравнением Шредингера с оператором
p\(k) 1
-?м~ bkfiu + у ф*/ (*» 0 w* (*)"/ @1 A5.17)
ЛИ/
где
167
При этом
{(*)М0} = -*Лв/Л/- A5.17а)
Для того чтобы диагонализовать гамильтониан A5.16), вво-
вводят операторы Ьа и bt-
A5.18а)
A5.186)
В соответствии с A5.17а)
{Ма}=6а0. A5.19)
Чтобы выразить u(k) через эти операторы, надо умножить
A5.18а) на В?} {П/2М^а)ш и A5.186) на В?/ (й/2М/(оаI/2, сложить
и просуммировать по а, учитывая A5.11а). Тогда получим *)
A5.20а)
Аналогично, умножая A5.18а) на Bfj (/Ш/соа/2I/2, a A5.186) на
В/7 (hM/0a/2I/2 и вычитая одно уравнение из другого, получим
после суммирования по а:
р, — / 2 (^-)'/2 М? - ЙВГ). A5.206)
а
Если теперь подставить A5.20а) и A5.206) в A5.17) и вы-
выполнить суммирование по k и /, учитывая A5.15), A5.8) и
A5.19), то видно, что гамильтониан Ж распадается на сумму не-
независимых гамильтонианов Жа\
а 6а + «¦) . A5.21)
Каждый из этих гамильтонианов есть гамильтониан гармониче-
гармонического осциллятора. При этом Ь+ есть «оператор рождения»,
а Ь — «оператор уничтожения» фонона, т. е.
A5.22)
168
) При этом учтено, что Ssg со [вЦВ^ — B^Bf?) = 0. Действительно,
а
— S, тогда как из вещественности смещения щ и производной
J следует, что S* = S. Отсюда S«0,
Здесь Фп — собственная функция гармонического осциллятора,
соответствующая квантовому состоянию п.
Отсюда Ь+Ьфп — пфп и, следовательно, собственные значе-
значения A5.21)
( ^) A5.23)
В состоянии теплового равновесия при данной температуре Т
среднее число фононов для данного нормального колебания
с частотой (оа равно
2 я ехр (-??/«¦)
Пп = 2 ехр (- ЕЦкТ) = ехр (Й
п
При &Г S> йоза имеем да = kT/bcoa.
В кристалле, где BfJt можно представить в виде A5.12), сме-
смещение Щъ можно записать как разложение по плоским волнам:
иы = 2 а„ el (q) e~iqx" + а^ el* (q) eiq*l A5.25)
qv
Подставив A5.12) в A5.20а) и сравнивая получившиеся выра-
выражения с A5.25), установим связь операторов а и Ь:
JL_V/2 а+ п к оа\
Отсюда согласно A5.22) матричные элементы оператора а
равны:
/ fj \l/2
) б„-.„_„ A5.26а)
(» |а| ^
Теория групп дает возможность определить, по каким непри-
неприводимым представлениям преобразуются собственные колеба-
колебания щ или aqv в кристалле, а также позволяет, зная матрицы
этих представлений и используя проективные операторы, найти
матрицы В или е соответственно, осуществляющие переход-от
приводимого базиса игA) или uxi(q) к неприводимому базису
Щ ИЛИ Clqv.
Так как силовые постоянные Ф*г(/, П» являющиеся коэффи-
коэффициентами разложения потенциальной энергии молекулы или
кристалла по малым смещениям игA) от положения равнове-
равновесия, определяются несмещенными координатами атомов, то они
не меняются при всех преобразованиях симметрии соответствую-
соответствующей пространственной группы для кристалла или точечной
группы для молекулы, а компоненты матрицы Д определяемые
уравнением A5.13), как легко проверить, инвариантны ко всем
169
преобразованиям группы волнового вектора Gq. Точно так же,
как это имело место для собственных функций уравнения Шре-
дингера, все линейные комбинации щ{1) или их*(<7), образую-
образующие базис одного и того же неприводимого представления, т. е.
преобразующиеся при операции группы симметрии друг через
друга, соответствуют одной и той же частоте колебаний соа. Сле-
Следовательно, именно эти линейные комбинации и являются нор-
нормальными колебаниями.
Для того чтобы определить, по каким представлениям преоб-
преобразуются функции п\ или aqv, надо найти матрицы колебательно-
колебательного представления 2)u(g)> по которым преобразуются компоненты
Ui{l) или Uni(q)f и затем разложить это представление 2)u(g)
по неприводимым представлениям соответствующей группы.
Найдем матрицы 3)u{g) и характеры %u{g) колебательных
представлений.
Рассмотрим сначала молекулу, состоящую из N атомов. При
преобразовании молекулы g из группы симметрии молекулы
3N компонент смещений щA) преобразуются друг через друга
согласно формуле
g-lut @=22 SDir. tt (g) *v (/'). A5.27)
где
Здесь $l{g)—матрица преобразования компонент вектора
B.29), a g~4— номер атома, в который переходит атом / при
преобразовании g. При этом мы учли, что преобразованию g-{
над молекулой соответствует преобразование g над системой
координат, т. е. в соответствии с принятым определением матри-
матрица преобразования 3)(g) соответствует операции ?Г!н«(/). Ма-
Матрицы 2Di'i',a(g) образуют представление 2)и размерностью 3N.
В соответствии с A5.27) характер этого представления
%и (g) = %®*'г. " (е)««'«//' = n8xi {g), A5.27a)
где ng — число атомов, которые остаются неподвижными при
данном преобразовании g. При разложении 3)и по неприводи-
неприводимым представлениям, соответствующим нормальным колебаниям
молекулы, надо исключить три нормальные координаты
описывающие смещение центра тяжести и преобразующиеся как
компоненты полярного вектора, и три нормальные координаты
170
(xi — радиус-вектор, проведенный от центра тяжести до данного
атома), которые описывают вращение молекулы как целого и
преобразуются как компоненты аксиального вектора, так как эти
оба типа движения не являются колебаниями*). Так как харак-
характер представления, по которому преобразуются компоненты век-
вектора %i(g)y в соответствии с A0.20) равен
Xi (с<р) = 1 + 2 cos ф, xi (s<p) = — Xi (Сф+л) = — 1 + 2 cos ф,
то характер представлениями, по которому преобразуются нор-
нормальные колебания молекулы, после исключения указанных
шести компонент равен
Хи (<чр) = A + 2 cos ф) (ng — 2), %п Eф) = (— 1 + 2 cos ср) ng.
A5.276)
Ясно, что при преобразовании 5Ф на месте может оставаться
лишь один атом, находящийся на пересечении оси вращения и
плоскости отражения или в центре инверсии, т. е. ng равно 0
или 1 (кроме операции Oh = s2n)-
Определим теперь закон преобразования компонент Их(<7),
которые согласно A5.166) связаны со смещением атомов щ* со-
соотношением
*h
\
4 f
При операции g~l = {r\т)~\ когда компоненты и^ преобра-
преобразуются в соответствии с A5.27), u%l{q) переходит в
1 ^1 —Iqx'p ^ , v iq I
Здесь и?* — смещение атома fV, в который переходит атом /и
при преобразовании g~l = (r 1т)". Разность координат атомов
/V и /к равна
х*' - х* = r~lxf -xf + г-1 (хя - т) - дрх.
Здесь #f = #J, а дсх = л:^ —дс|. При этом
д (r-{xf — *f) = xf (rq — q) = 2пт,
так как дс^ —один из векторов прямой решетки, a rq — q со-
согласно A2.12) при g^Gq равен нулю или вектору обрат-
обратной решетки. Поэтому множитель exp{/qr(xj*' — дс^)} равен
*) Кроме линейных молекул, для которых надо исключить только две
вращательные степени свободы.
171
exp{iq(r~l (хн — т) — хн)} и не зависит от /. Следовательно,
g~%t (Ч) = 2 2>й'1'.*i (g) u«i> (q),
Y/i'
где
&l'v. 74 (g) = &ч (g) exp {iq (r~l (ж„ - t) - *x) bg«>, x. A5.28)
Отсюда видно, что характер представления 2)и равен
Ъг (g) = X. (g) 2 exp {iq (г-1 (дси - т) - *„) 6и,ги, A5.28а)
откуда
Х„ (с, I т) = A + 2 cos Ф) | exp {iq (с-« (хх - т) - *ч)}вч> вфХ, A5.286)
Х„ EФ | т) = (-1 + 2 cos Ф) | exp {iq E--(^-т)-^))би вфХ. A5.28в)
При этом бх,g^=l, если при операции g атом к смещается
в эквивалентное положение, т. е. если г" (хн — т) — х^ равно
нулю или одному из векторов прямой решетки, и бх, gx = 0, если
атом переходит в неэквивалентное положение. Для тех точек,
для которых rq = q, в частности для всех точек внутри зоны
Бриллуэна,
q [г-[ (** - т) - хн] = {rq -q)xyi — rqx = — qx
и, следовательно,
2>()M(-**ng9 A5.29)
где ^ = 2Sx,^x — число атомов, остающихся на месте при пре-
образовании g. При этом характер соответствующего проектив-
проективного представления %u(r) =%i(r)ng, т. е. определяется форму-
формулой, подобной A5.27а). (В A5.29) роль группы симметрии моле-
молекулы играет группа волнового вектора). Для решеток, не содер-
содержащих в элементарной ячейке одинаковых атомов, при rq = q
nay A5.29a)
где па — число атомов в элементарной ячейке, т. е. проективное
представление 3)и ^-эквивалентно векторному и содержит толь-
только представления, входящие в 91 по па раз каждое.
Используя приведенные выше формулы, мы в § 23 опреде-
определим представления, соответствующие нормальным колебаниям
в различных точках зоны Бриллуэна, для некоторых кубических
и гексагональных кристаллов.
Расщепление термов при возмущении
Теория представлений дает возможность не только произве-
произвести классификацию термов, установить их степень вырождения
и определить базисные функции, но позволяет также опреде-
определить характер расщепления этих термов при наличии возмуще-
172
ния. Если гамильтониан Ж может быть разбит на две части
Ж = Жо + Жи причем симметрия Жо определяется группой ^0,
а симметрия Ж\— группой 9и являющейся подгруппой группы
&о, то, зная характеры неприводимых представлений этих групп,
можно определить, каким образом происходит расщепление тер-
термов оператора Жо на термы оператора Ж. Степень вырождения
каждого из термов Жо определяется размерностью неприводимых
представлений группы So. Если величина расщепления термов
Жо за счет возмущения Ж\ мала по сравнению с расстоянием
между термами невозмущенного гамильтониана Ж^ т. е. ка-
каждый из термов Ж происходит за счет расщепления лишь од-
одного из термов Жо и пересечения этих термов не происходит, то
для определения характера расщепления надо каждое из не-
неприводимых представлений группы $Оу которое в группе &\
может стать приводимым, разложить по неприводимым пред-
представлениям группы &ь Если это представление окажется непри-
неприводимым и в группе &и то расщепления соответствующего терма
не произойдет, а он лишь сместится. Если же оно приводимо, то
терм расщепится, причем число новых термов равно числу не-
неприводимых представлений группы ^i, содержащихся в данном
представлении 3) группы #0.
Для практического выполнения таких расчетов надо выпи-
выписать характеры представления 2)(g) для тех элементов g> кото-
которые входят в группу 9и и далее, используя формулы § 8, разло-
разложить это представление по неприводимым представлениям
группы &i.
Если оператор Ж разбивается на несколько частей: Жо, Жи
Жг, ..., причем каждую из них можно рассматривать как воз-
возмущение по сравнению с предыдущей, то, используя указанный
выше метод, можно установить последовательный характер рас-
расщепления термов, Так, при помещении атома, имеющего сфери-
сферическую симметрию, в кристаллическую решетку его термы рас-
расщепляются кристаллическим полем, симметрия которого опре-
определяется симметрией кристалла и местом расположения примес-
примесного атома.
Возмущение решетки за счет внешней деформации или по-
появления в соседних узлах других чужеродных атомов может
привести к дальнейшему расщеплению термов, которые в свою
очередь еще далее расщепятся при помещении кристалла в маг-
магнитное поле.
Собственные функции невозмущенного атома с данным ор-
орбитальным моментом / имеют кратность вырождения 2/+1 и
преобразуются по соответствующим представлениям полной
сферической группы, характеры которых определяются уравне-
уравнением A0.20). Поскольку наибольшая кратность вырождения
уровней в кристаллическом поле при наивысшей кубической сим-
симметрии не превышает 3 (а с учетом спина, как будет показано
ниже, максимальное вырождение равно 4), то все уровни
173
с / ^ 2 всегда расщепляются в кристаллическом поле, а уровни
с I = 3/2 и / = 1, как легко проверить, не расщепляются в куби-
кубическом поле и расщепляются при более низкой симметрии. Так,
например, пятикратно вырожденный атомный терм ^2, соответ-
соответствующий / = 2 в кубическом поле, имеющем симметрию T,i
(или О), расщепится на два терма, соответствующие представ-
представлениям Е и Fi. При растяжении кристалла по главной оси г
его симметрия понизится до D2d (или ZL соответственно), при
этом представление Е расщепится на два одномерных представ-
представления Ai и Ви а представление F{ — на одномерное представле-
представление В2 и двумерное Е.
Подчеркнем, что теория представлений дает возможность
определить, произойдет ли расщепление термов или нет, но не
отвечает на вопрос о том, в каком приближении по возмуще-
возмущению имеет место это расщепление. На этот вопрос позволяет
ответить теория возмущений.
Теория возмущений для вырожденного спектра
Как известно, в теории возмущений гамильтониан Ж разби-
разбивается на две части: гамильтониан <Э#о, собственные значения
которого Еп и собственные функции фп считаются известн?лми,
и Ж\ который рассматривается как возмущение. Волновая функ-
функция г|? ищется в виде ряда:
Ф = 2еяфя. A5.30)
п
Подставив A5.30) в A5.1), умножив это равенство на q>*, и
проинтегрировав по всем переменным х, получим систему урав-
уравнений, определяющую коэффициенты сп для данного собствен-
собственного значения Е, которую в матричной форме можно записать
так:
-/Я + ЯИПМ1 = О. A5.31)
Здесь || с ||—матрица из одного столбца с элементами спп> =
^Cnbn'i, Жо — диагональная матрица,
Жопп' =Еп?>пп', A5.31а)
а Ж — матрица возмущения:
1 ^Ч**- <15-316)
Собственные значения Е являются корнями определителя
|#о-/? + ЯИ = О. A5.32)
Рпределение собственных функций A5.30) и собственных зна-
значений Е означает переход к такому представлению, в котором
матрица 3#0+,<?#' диагональна. Для решения этой задачи обыч-
174
но используют метод последовательных приближений, опреде-
определяя из A5.32) поправки к энергии Е°т и из A5.31)—поправки
к волновой функции фш данного состояния т, т. е. коэффициент
Сп(Ет).
Если это состояние т не вырождено, т. е. энергии Е^т соот-
соответствует лишь одно состояние, то выражение для соответствую-
соответствующих поправок можно сразу получить в виде ряда.
Если же энергии Е%, соответствуют несколько состояний срт,
<рт,, ...,то обычно сперва определяют правильные функции и
собственные значения в нулевом приближении, т. е. полагают
в A5.31) и A5.32) все матричные элементы Жппг равными
нулю, кроме элементов 2№'тт, между функциями <рт, <рт„ ...,
соответствующими данной энергии, и затем находят поправки за
счет более удаленных термов.
Однако этот метод не всегда удобен, так как даже в нуле-
нулевом приближении не всегда можно точно найти корни опреде-
определителя A5.32). Можно поставить задачу иначе и сразу полу-
получить систему уравнений A5.31) для данных N состояний
т, т', ..., mSN\ которая учитывала бы вклад всех других со-
состояний s, s', s", ... в требуемом порядке теории возмущений.
Как будет показано ниже, именно такая задача возникает, на-
например, при построении гамильтониана в приближении эффек-
эффективной массы для вырожденных зон или для нескольких близко
лежащих зон.
Для ее решения введем унитарную матрицу S, частично диа-
гонализующую гамильтониан A5.31), с тем чтобы преобразо-
преобразованная матрица
не содержала «недиагональных» компонент Звт\ между дан-
данными N состояниями и всеми другими состояниями 1,1', ... .
Преобразование A5.33) соответствует переходу от представления
с к представлению с:
с=е-*с. ' A5.33а)
Так как матрица Ж не содержит «недиагональных» матрич-
матричных элементов, то уравнения \<К — ?7||||с|| = 0 распадаются на
две независимые системы: для N состояний /n, m', ..., т№ и
для всех остальных состояний /, /', ..., причем базисом первой
системы являются функции
Фт = 2(е-*)/тФ/. A5.34)
Если бы удалось точно определить матрицу S, то тем самым по-
поставленная задача была бы решена точно. Фактически, за ис-
исключением простейших случаев, эту задачу приходится решать,
раскладывая es в ряд
и определяя матрицу S методом последовательных приближе-
приближений. Из унитарности преобразования A5.33) следует, что эта
матрица должна быть антиэрмитова, т. е.
Разлагая в A5.33) e±s в ряд, получим
оо
i) S M- A5.35)
= 2 Т\
П=0 /1=0 tt=0
Здесь
При этом мы разбили матрицу <%* на диагональную матрицу
^о = ^0-|- ^j, не содержащую недиагональных компонент
«?^тг, и недиагональную <КЪ не содержащую компонент
Шт'т и 58/7» соответственно разделив Ж' на «диагональную»
часть Ж\ и недиагональную ^2- Поскольку матрица S, опреде-
определяемая указанным требованием, также является недиагональ-
недиагональной, то диагональная часть матрицы Жа должна содержать
коммутаторы {X°sYn\ содержащие четные степени S, и комму-
коммутаторы {Ж28}{п) с нечетными степенями S, а недиагональная,
наоборот, — коммутаторы {2f6°S}^n) с нечетными степенями S и
{) с четными степенями S, т. е.
Ё
ж
Матрица S «определяется из условия равенства нулю не-
недиагональной части:
127ТТ)Г
Методом последовательных приближений можно исключить
слагаемые {X0S}{2t*l) с t Ф О из этого равенства. Для этого
подставим значение {3%°S}, которое согласно A5.37) равно
2t+ 1)!
179
" 2 jT №8)
во все слагаемые {<7?°5}BЖ) с *>1. В результате получим
оо оо
avnd z==z \yv ^i ~T ^-J иf {(ft Of "Г jL± ctl^2^i > (lO.Oo)
где
6/ = - У" [Bг + 1)! B (< - г) + I)!] =
= Т57ТГ-У[Bг+1)!B(/-
r=l
г=1
При этом мы использовали известное соотношение для бино-
биномиальных коэффициентов С* = t\/r\ (t — г)!:
г=0
w = Zj ь/ =2
Формула A5.38) помимо {M°S} содержит члены {3tf°S}(n)
с я^З. Выразив {^S} через остальные слагаемые и подставив
это значение в yjf°S}B'+1) с /^2, получим выражение, содер-
содержащее {3fe°S}{n) с я>9:
]=о. A5.39)
Здесь
r^=f-2 r=f
в/== S &Л-г> Y* = ^-2j6r^..r. A5.39a)
г=2 г=2
Следовательно, с точностью до восьмого порядка включительно
{^°S} ~ - S Y^ {^2S}B° - {^iS}. A5.40)
Подставив A5.40) в A5.36), найдем, что с точностью до девя-
девятого порядка включительно
2 h {2f\ A5.41)
177
где
B/ +1)! ~~ 2j [2 (/ - г + 1)]! * A5.41а)
0
Приведем значения коэффициентов Y* и ?*» входящих в A5.40)
и A5.41):
,1 1 32
1 l L J1 (I5'42)
?o 2 ' ^ 4 ' ^2 2 • 5! ' ^3 8! #
Уравнение A5.39) можно решать методом последовательных
приближений, положив
S = S[ + S2 + S3 + ...,
где Si — матрица первого порядка по Ж, S2 — второго и т. д.
Сохраняя в A5.4 С) последовательно слагаемые первого, вто-
второго и т. д. порядков, получим
ffl 1^2} — у
A5.43)
и т. д.
Так как согласно A5.31а) {3%oS}mi = {Е°т — ??) 5т/, то из этих
формул следует, что
A5.44)
% D - *?) D - 4)
И Т. Д.
При этом мы учли, что у оператора Ж\ отличны от нуля
лишь «диагональные» матричные элементы ЗЮ\тт' = 2Ю'тт' и
= 30//', а у оператора «Т^ — лишь недиагональные 3^2т/ =
Вычислив S, найдем оператор <%*, который согласно A5.41),
A5.42) можно записать в виде
5... A5.45)
178
Подставив значения 5lm/ и S2mi из A5.44), найдем с точностью
до членов третьего порядка матричные элементы Жтт'\
7п? <У/> ^ ^^ ( * I !___\ 'Jiff ?У>Г
cffimm' — <7&тт' Г Zj I Тю Ж" ' ~5) 7$~ <™msGVsm'
1 s \ns"^hm tts"hm/)
2 Zk \(e\ - El) (El - El) + (?j . El) (E°s -
+
A5.46)
где
^mm' ==1 Em Qmtn' \ а&тт' •
При этом мы для общности не предполагаем, что всем этим
состояниям соответствует одна и та же энергия. Если же вы-
вырождение имеет место, т. е. Е°т = Е°т> = El> = ..., то
~ 2j f°-f°
A5.47)
В частности, для невырожденного состояния отсюда полу-
получается обычная формула для поправки к энергии:
Ет = Ет + Ж mm —
s
т> ss' \ s
A5.48)
Если надо учитывать лишь два состояния с энергиями Е\
и ?2, каждое из которых может быть вырождено, то формула
A5.47) запишется в виде
<%тт' = 2&тт' д" ^ ^>msMrSmr + • • • > A5.49)
s
где А = е\ — ?"?. Последнюю формулу можно переписать в ма-
матричной форме. Если записать матрицу Ж в виде
-~ | <№\\ ОЬ\Ч
I] Л* 21 uv 22
где Ж\\ и ЗК22 — соответственно «диагональные» матрицы с ма-
матричными элементами Жтт' и 2ess>, а Ж\2 и ^>2i=<%>i2 —
179
недиагональные с матричными элементами Жт, то A5.49) пе-
перепишется в виде *)
Жи = Жп - \ ЖпЖЪ + ... A5.49а)
С помощью A5.35) и A5.44) можно также сразу выразить
матричные элементы любого оператора F в новом базисе
A5.33) через эти элементы в базисе qprt:
A5.50)
откуда, например, во втором приближении
—Гтт'— Zj "То 7$~~ "Г ро Pff •
Суммирование в A5.51), как и в A5.46) — A5.48), ведется по
всем состояниям s ф т, т!, ..., mSN\ При этом, конечно, часть
из этих состояний могут оказаться вырожденными.
Ниже будет показано, что теория симметрии дает возмож-
возможность, зная лишь симметрию операторов Жо, Ж' и F, найти
число отличных от нуля линейно независимых матричных элемен-
элементов и установить связь между линейно зависимыми элементами.
Поэтому достаточно знать лишь представление, по которому пре-
преобразуются функции фт невозмущенного гамильтониана, чтобы
определить, в каком приближении происходит расщепление. Это
дает возможность качественно оценить величину расщепления, а
также позволяет выяснить, какие из компонент ЖПпг отличны от
нуля и как связаны между собой компоненты с разными п и п'.
Конечно, общий характер расщепления,__определяемый прави-
правилами отбора для матричных элементов Жттг, совпадает с тем,
что дает общая теория представлений, если только в теории воз-
возмущений учтены все необходимые приближения. Поэтому сопо-
сопоставление этих методов дает возможность сразу определить,
когда требуется учет более высоких приближений теории воз-
возмущений.
*) Эту формулу легко получить сразу из уравнений {Ж — Е) г|э = 0, рас-
рассматривая их как систему двух матричных уравнений
(Хп -?)*i+ #12г|>2 = 0, ХпЪх + (#22 ~ E) г|>2 = 0.
Умножив второе уравнение на (Х22 — Е)~\ выразим ф2 через фь Тогда,
подставив это значение в первое уравнение, получим
?)г|>1= (#ц ~ #12 (#22 -ЕГ[ Хп -?)«, =0.
Общая формула A5.47) дает фактически способ определения матрицы
(#22 — ?;• в первом приближении
1
180
§ 16. СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Рассматривая представления точечных и пространственных
групп, мы до сих пор нигде не учитывали спин электрона.
Как известно, уравнение Шредингера — Паули, включающее
первые неисчезающие релятивистские члены, имеет вид
-uf-. 06.1)
где Р = —tfiV, a or* — матрицы Паули, приведенные выше (урав-
(уравнения D.13)).
Уравнение A6.1) представляет матричную форму записи си-
системы двух уравнений для двух компонент спинора г|I и -фг-
В матричной форме функция ^>j записывается как однорядная
матрица:
ф = *Л I
Здесь индексы 1 и 2 относятся к двум спиновым состояниям
электрона с проекцией спина на ось z, равной +1/2 и —1/2 со-
соответственно*).
Для того, чтобы определить, как преобразуются волновые
функции y\)j при операциях g, входящих в группу симметрии га-
гамильтониана A6.1), надо учесть, что при преобразованиях ко-
координат не только изменяется аргумент функций \|)ji(#) и if>j2(л:),
но и компоненты спиноров преобразуются друг через друга,
так как только при таком преобразовании гамильтониан A6.1)
остается инвариантным. Из формул A0.6) и A0.26) следует, что
преобразование спиноров со спином 1/2 при вращении на угол 6
по часовой стрелке вокруг оси z\ направленной по единичному
вектору е, проекции которого в полярной системе координат рав-
равны ех = sin О sin ср, еу = sin Ф cos cp, ez = cos'd, описывается ма-
матрицей
3)т (cQ) = е* @*)е/2 = /cos у + / {ре) sin -|. A6/>)
Поэтому волновая функция ф;(я) под действием операции g
переходит в функцию
*/ = Я> (g) Ч>/ = 2>i/2 {g) */ {g~lx) A6.3)
*) Так как операции пространственных групп — инверсия, вращение,
трансляции, а также инверсия времени — не приводят к перепутыванию
«электронной» и «позитронной» компонент четырехкомпонентной волновой
функции, являющейся решением уравнения Дирака, и каждая из пар компо-
компонент преобразуется независимо, то все следствия теории симметрии не зависят
от того, является ли исходным точное уравнение Дирака или приближенное
уравнение Шредингера — Паули A6.1), собственная функция которого имеет
две компоненты.
181
или в матричной форме
И'. 1
II
1 I
где а и р — матричные элементы матрицы <2)y2(g"), определенной
уравнением A6.2).
При всех операциях симметрии g, оставляющих инвариант-
инвариантным потенциал V(x), волновая функция 3)(g)^j должна пред-
представляться в виде комбинации линейно независимых функций
iM*)» соответствующих той же энергии:
#te)«/ = S2>i/te)*<. A6.5)
Набор матриц 3)(g) образует представление группы ^, которое
называется спинорным представлением. Как и обычные, спи-
норные представления могут быть приводимыми и неприводи-
неприводимыми, и каждое приводимое представление может указанным
выше образом быть разложено на неприводимые. Так же как
и для обычных представлений, все функции, соответствующие
одной и той же энергии, образуют базис представления, кото-
которое является неприводимым, за исключением тех случаев, ко-
когда инвариантность уравнения A6.1) к инверсии времени при-
приводит к добавочному вырождению, а также за исключением
случайного вырождения. При преобразованиях g координатные
функции \|)jb также линейно выражаются друг через друга:
3) (g) tyjk = Ф/л (g~lx) = 2 &u. ik bi (*)• A6.6)
Представление ?>'(g), образованное этими матрицами, во-
вообще говоря приводимо. Зная матрицы Sbipig) и 3D(g), можно
определить матрицу 3)r(g). Для этого приравняем 1-ые строчки
функции г|/, определяемой матричными уравнениями A6.5) и
A6.3):
Ц (g) Ь1 {*) = S ФЧгПй (g) %m (g~lx).
I m
Умножим правую и левую часть этого равенства на SD
просуммируем по /. Тогда, учитывая, что 2 ^7*т/^л/*
получим
Ф/* (g^) = S &ш (g) ®и («) %/ (*). A6.7)
Сравнивая A6.7) и A6.6), видим, что
2>к ik (g) = &Ы (g) Фи (g) A6.8)
182
или
^ = Ж/2Х2). A6.8а)
Возникает вопрос, в каких случаях учет спина в теории сим-
симметрии приводит к новым физическим следствиям. Из уравнения
A6.1) видно, что единственным членом, который перепутывает
волновые функции г^ с разным спиновым индексом &, является
так называемое спин-орбитальное взаимодействие
A6.9)
которое в атомах описывает взаимодействие спинового момента
с орбитальным. Если этим членом можно пренебречь, то матрич-
матричное уравнение A6.1) распадается на два одинаковых уравнения
для функций i|)ji и 1^2 и, следовательно, эти функции также мож-
можно считать одинаковыми. Таким образом, при пренебрежении
спин-орбитальным взаимодействием собственные функции урав-
уравнения A6.1) соответствуют значениям az, равным 1/2 и —1/2, и
являются произведением координатной функции г|)(г) на спино-
спиновые функции
1 II II 0 |
а"|о| и Р=|И
Функции i|)(r)a, г|)(г)р преобразуются по представлению <Z\
которое является прямым произведением представления 3)^ по
которому преобразуются координатные функции i|)(r), на пред-
представление 0у2, определяемое уравнением A6.2), по которому
преобразуются спиновые функции. В том случае, если интере-
интересующий нас оператор не действует явно на спиновые функции,
все правила отбора и т. п. определяются лишь представлениями,
по которым преобразуются координатные функции, так как все
переходы происходят с сохранением спина, а учет спина лишь
удваивает число электронов в каждом состоянии.
Учет спин-орбитального взаимодействия может привести к
частичному снятию вырождения, т. е. к расщеплению термов,
соответствующих набору функций аг|)(г), |3г|)(г). Такое расщеп-
расщепление произойдет в том случае, когда представление 3) = 3)^ X
Х®72> по которому преобразуются эти функции, является при-
приводимым. Эти функции уже не соответствуют определенному
значению проекций спина, а являются суперпозицией состояний
с az, равным +1/2 и —1/2.
Если спин-орбитальное взаимодействие не учитывается, то
всем этим представлениям соответствует одна и та же энергия.
При его учете каждому из неприводимых представлений, содер-
содержащихся в прямом произведении 3)^ X 3)ч2, соответствует свое
собственное значение Я,
183
Таким образом, теория групп дает возможность сразу, не за-
задавая конкретный вид оператора 5#со, определить, расщепится ли
данный терм при учете спин-орбитального взаимодействия, и
установить характер этого расщепления. Для этого надо лишь
выяснить, какие неприводимые представления содержатся в
произведении 3)^У^З)^2. Хотя величина спин-орбитального рас-
расщепления, как правило, мала по сравнению с расстоянием ме-
между термами в атомах, она обычно превышает тепловую энер-
энергию электрона в кристалле или энергию Ферми при не слишком
сильном вырождении. В ряде кристаллов спин-орбитальное рас-
расщепление оказывается сравнимым с шириной запрещенной зоны
или с расстоянием между зонами, возникшими в результате рас-
расщепления одного атомного терма кристаллическим полем.
Во всех этих случаях вид электронного спектра и другие
свойства определяются именно спинорными представлениями.
Построение спинорных представлений
Как видно из формул A6.2), особенностью спиноров являет-
является то, что матрицы 3)(с$) и 3)(сд+2л)у соответствующие враще-
вращению вокруг произвольной оси zr на угол 0 и на угол 0 + 2я,
отличаются знаком, т. е.
), A6.10)
при этом
3) Ы & () #(*) = -/. A6Л 1)
Так как для координатных функций эти оба вращения эквива-
эквивалентны, то соотношения A6.10) и A6.11) должны выполняться
для любых спинорных функций. Матрицы 3) (i) для этих функций
имеют такой же вид, как и для обычных функций, т. е. в зависи-
зависимости от их четности
#(/) = ±2)(е) = ±/. A6.12)
Зеркальный поворот на угол 9 можно представить как про-
произведение инверсии и поворота на угол 9' = 9+ я при 9 < я и
9' = 9 — я при 0 ^ я. Указанный выбор обеспечивает выпол-
выполнение условия 9' <С 2я. Поэтому соотношение A6.10) имеет ме-
место и для зеркальных поворотов. В частности, операция а^, кото-
которую можно рассматривать как зеркальный поворот на угол
9 = 2я, равна oh = ic2. Поэтому
2>W = 2>(cll*) = 2>(c*) = -L A6.13)
Соотношения A6.10) — A6.13) показывают, что спинорные
представления точечных групп являются не обычными, а
проективными представлениями группы, т. е. соответствующие
164
матрицы удовлетворяют соотношению
3) (г{) 3) (г2) = со2 (г1э г2) 3) (гхг2). A6.14)
Произведение любых операций группы Т\Т2 можно предста-
представить как вращение вокруг некоторой оси zr на угол 9 или вра-
вращение и инверсию. При этом фактор-система согСп,^) в соот-
соответствии с A6.10), A6.11) определяется следующим условием:
1 при 9 < 2я,
4я>е>2я 06.15)
где поворот на угол — 9 совпадает с вращением на угол
4я-9, так как 2>(с-ьJ>(св) = 2>{сАя). Формула A6.15) дает
возможность сразу определить <о2 (ri, г2), если г{ и г2-~ пово-
повороты вокруг одной и той же оси (или повороты плюс инвер-
инверсия). Если же эти оси разные, то для определения щ(гь г2)
удобно использовать определяющие соотношения.
Например, в группе C3v вращения на угол я вокруг осей
и2 и и'2> получаемых из и2 поворотом на 2я/3 и 4я/3, выра-
выражаются как и2 — с3и2с~1, и2 = с\и2с~2. Так как и2с3и2х =с~\
то uf2 = c\uv u" = c\ur Следовательно, операция с3и2 отличается
от и" поворотом на 2я, т. е. со2(с3, и^— — 1* тогда как со2(с^, w2)=l.
Аналогично согласно обычным правилам и'2и2 и и"и2 есть пово-
поворот с\, а гг^ — поворот с3. В то же время из определяющих
соотношений следует: и2и2 = с\и\, и%и'2==с\и\, и2и2 — с\и2г Это
означает, что со2(Ц, и2) = а>2(и'2, и'2) = — 1, ©2(и$', и2)= 1.
Спинорные представления можно рассматривать как обыч-
обычные представления двойной группы, включающей наряду с эле-
элементами g элементы Qg, где Q—поворот на угол 2я, который
коммутирует со всеми элементами g", причем для спинорных
представлений 3) (Q) = — ^) {е), а для обычных 3)(Q)=3){e).
Этот метод определения спинорных представлений, предло-
предложенный Бете, фактически дает способ построения накрывающей
группы, соответствующей фактор-системе A6.15). Эта группа
в общем случае является подгруппой накрывающей группы,
введенной в § 13, так как она содержит проективные представ-
представления лишь одного класса, соответствующего этой фактор-си-*
стеме. Таким образом, метод Бете представляет вариант общего
способа построения проективных представлений, предложенного
Шуром.
Используя приемы, указанные в § 12, спинорные предста-
представления пространственных групп можно свести к проективным
представлениям соответствующей точечной группы. При этом
фактор-система со (а, Ь) будет равняться произведению фактор-
системы coi(a, 6), определяемой уравнением A2.29), т. е. свой-
свойствами пространственной группы, и фактор-системы сог(а, Ь),
183
определяемой уравнением A6.15), т. е. свойствами спиноров:
о (а, Ь) = щ(а9 Ь)щ(а, Ь). A6.16)
Используя формулы § 14, мы определим ниже, к каким клас-
классам относятся фактор-системы оJ(а, Ь) для всех точечных групп.
Зная классы /(О) и KS2) фактор-систем coi и сог, можно сразу
определить класс К = KSl)KS2\ к которому относится фактор-
система со, так как закон умножения классов совпадает с табли-
таблицей умножения группы мультипликатора. Как показано в § 13,
для этого достаточно перемножить коэффициенты а<!) и af\ со-
соответствующие классам /С*1) и К® и приведенные в табл. 14.2
(стр. 150—155). Тогда значения ai = a[l)af) определяют класс /С.
Так как в § 14 найдены все возможные проективные пред-
представления точечных групп, то спинорные представления данной
пространственной группы с точностью до р-эквивалентных пре-
преобразований должны совпадать с одним из типов проективных
представлений или с обычными, т. е. векторными, представле-
представлениями точечных групп*). Для определения спинорных пред-
представлений пространственных групп надо с помощью уравнений
A2.29) и A6.15) построить фактор-систему, определить ее класс
и, используя таблицы соответствующих проективных представ-
представлений, с помощью р-эквивалентных преобразований, приведен-
приведенных в § 14, перейти от стандартной фактор-системы к фактор-
системе, построенной указанным образом.
Таким образом, отличие от построения обычных представле-
представлений этих групп заключается лишь в необходимости учитывать
A6.15) при построении фактор-системы A6.16). Поэтому ниже мы
остановимся подробнее на определении фактор-системы A6.15)
и построим спинорные представления для точечных групп.
Согласно A3.4) переход от стандартной фактор-системы,
использованной при построении табл. 14.2 (стр. 150—155), к дан-
данной системе осуществляется умножением матрицы 3){г), соот*
ветствующей стандартной системе, на величину и(г)\
2)' (г) = 3) (г) и (г). A6.17)
В табл. 16.2 (стр. 193) приведены значения и(г) для всех эле-
элементов точечных групп, у которых фактор-система A6.15) соот-
соответствует классу /Со- Для остальных групп спинорные представле-
представления соответствуют классу К\ в табл. 14.2. Характеры этих пред-
представлений получаются умножением характеров представлений
%{г)у соответствующих этим классам, на величину и (г).
Покажем, как определяются классы фактор-систем A6.15) и
величины и(г) для конкретных групп.
*) Поэтому нет никакой необходимости дополнительно строить проектив-
проективные представления двойных точечных групп, как это делается в работах
[11.2, 11.3].
186
Спинорные представления точечных групп
Для тех групп, у которых все проективные представления
р-эквивалентны векторным, спинорные представления, конечно,
также р-эквивалентны векторным представлениям, характеры
которых приведены в табл. 11.1 (стр. 99—102). К этим группам
относятся циклические группы Сп, для которых в соответствии с
A4.6) и можно записать в виде
со*7* J^Lk
где М — любое целое нечетное число, которое можно выбрать
наиболее удобным образом. Формула A6.18) следует из того,
что, согласно A6.15),
f 1 при k < п — 1,
ofc* сй)= ли 1 A6.19)
\ п> п) у _1 при k = tl—\ V '
и, следовательно,
, ч / 2 ч / *-1ч ( 1 при ? <я,
co^fe = со (crt, сп)ау{спу сп) ... (*{сп, сп ) = \ _! при k = n
A6.20)
В соответствии с уравнением A6.13) со(аь Oh) =—1. Поэтому
для группы Cs, так же как и для С2,
и (сг^ = е«'/2 = /, и {с2) = L A6.21)
Так как для спинорных представлений, как и для векторных,
3)(i)=±3)(e), то
© (а, 6) = 0F, а) = 1, если а = / и (или) 6 = /. A6.22)
Поэтому для группы С/
ц@ = 1. A6.23)
Для групп C2h=C2XCh C4h = CAXCu C6h = CeXCu
Sq = Сз X ^г спинорные представления также р-эквивалентны
векторным, что следует из формул A4.10) и A6.22), и в соот-
соответствии с A6.12) спинорные представления этих групп полу-
получаются умножением спинорных представлений групп Сп и С*,
так же как это имело место для векторных представлений. Это
означает, что для указанных групп, так же как и для любых
групп, являющихся произведением G X Сг->
u{ai) = u{a), A6.24)
где а — любой из элементов групп Сп, для которых и(г) опре-
определяется уравнением A6.18).
187
В частности, для групп С3 и Sq = С3 X С*, полагая в A6.18)
М = 3, получим
и(с3) = и$) = -1, иD)=иEв) = 1. A6.25)
Для групп Сб и Сел = С6 X С* также удобно положить в A6.18)
М = 3. Это же относится и к циклической группе Z)^, Для кото-
которой образующий элемент а можно выбрать как а = c6i = c\ah.
Тогда согласно A6.18) и A6.24)
u{oh) = -i, u(c3ah) = u(clah) = i, и(с3) = -1, «(**)= 1. A6.26)
Из групп, имеющих только один класс проективных пред-
представлений /Со, остаются еще S4, D$ и С3г). Для группы S4 соглас-
согласно A6.15) и A4.3)
0 E4, 54) = 0 E4, Sj) = 0 E4, 53) = - 1,
т. е.
С0542 = «544 = ~ 1, С054з = 1
и, следовательно, согласно A4.6)
A6.27)
Спинорные представления изоморфных групп Dn и Cnv имеют
совпадающие фактор-системы со (а, 6), где а = с*, а Ъ = щ или
Ь = ov = iu2 соответственно. Поэтому спинорные представления
этих групп совпадают.
Значения коэффициентов и (cf) для групп ZK и С3г> в соответ-
соответствии с A4.45) определяются уравнениями A6.25). Как указы-
указывалось выше, (о(с3, и) =—1, а 0^, и)=1. Поэтому согласно
A4.45) и A6.21)
и (и0 = и (cf) и (и2) = /f и (О = - а (*д) гг (и,) = /. A6.28)
Следовательно, для всех трех элементов щ или ov и определяет-
определяется уравнениями A6.21).
Для остальных групп Cnv и Dn спинорные представления от-
относятся к классу Ки так как для этих групп согласно A6.15)
отношение
или
равно — 1. Действительно, если и2с^2 есть поворот на угол 2я
вокруг оси, перпендикулярной сп и uv то cnj\ есть поворот
на угол —2я.
188
Для групп C2v и D2 в соответствии с A4.45) и(а) и и(Ь)
определяются уравнениями A6.21). Здесь а = c2i a b = и2 или
6 = av; u(ab) = u{a)u(b) = —1, так как со(а, Ь) = 1.
Для групп С4о и D4 Для всех элементов akb> a именно и2,
и'2 = сАи2, u" = cAu2cj{=c\uv uf2ff— c^ur2cjx—c\u2y так же как и
для всех элементов ev, величина a>{ak, 6) = 1, а соF, а) = — 1,
так как и2сА = с~1и2. Поэтому, согласно A4.24), A4.33) и A4.47),
, © (и2, с4) (о (с% с4)
а = 1/2 / в ч = — 1» откуда
и и(с4Ч) =Д"(*+1). A6.29)
Для изоморфной группы D2d в соответствии с A4.24), A4.33)
и A6.26)
иE4>1 = — (—1) е —е ч J/, u[s^U2) = e l , A6.оО)
так как для всех элементов akb, а именно и2, и2 = sAu2s~l=s\u2,
av = s4u2, e'v = sAu% = 5^2, также 0 (afe, b) = 1, a 0F, a) = — 1.
Для группы Dzd = D3 X Ci в силу условия A6.25), как и
для группы ZK> спинорные представления относятся к классу /Со,
т. е. р-эквивалентны векторным, и u(cf) и и(с^о\ определяют-
определяются формулами A6.25), A6.28), тогда как для остальных эле-
элементов справедлива формула A6.24).
Для группы ZK/i, как и для C2t), co(av, Oh) =—«(a^, ev), по-
поэтому спинорные представления относятся к классу К\, так же
как и для изоморфных групп C6v и D6. В соответствии с A4.45)
u(ak)y где a = c6i или с6, определяется формулой A6.18); для
всех остальных элементов c\uv c\ov или ic\u2, как легко про-
проверить, со(ф и2) = (й(сЬ, а^ = \9 и следовательно,
— k ni (t 1 о
и (с%) = и (ic\) = е 2 , и {c\u2) = a (c*<r0) = и (ic*u2) = e2
A6.31)
Что касается групп D2h = D2 X Сг-, D4/i = D4 X Q и Z^ =
= D6 X C,-> то для них в соответствии с A6.24) множители и (а)
и u(ai) совпадают с их значениями для групп D2i ZL и Ds соот^
ветственно.
Из условия A6.22) сразу следует, что фактор-система A6.15)
соответствует фактор-системам К\ этих групп, так как для этих
представлений ai = ia при любом элементе а. Для групп Г, Тн,
Td, О и Ол спинорные представления также р-эквивалентны
189
проективным представлениям класса Ки так как все они содер-
содержат взаимно перпендикулярные оси второго порядка, для ко-
которых со (а, Ь) = —со F, а).
Значения и(г) для групп Г и О определяются формулами
A4.53), A4.54) и A4.68), A4.69) и для группы Т приведены
в табл. 14.1 (стр. 144). Для группы Та значения и(г) те же, что
и для группы О, так как фактор-системы A6.15) для них совпа-
совпадают. Что касается групп Th = Т X С* и Oh= O^Xd, то для
них в соответствии с A6.24) значения и(г) и u(ir) совпадают
с значениями и (г) для тех же элементов групп Т или О соот-
соответственно, что сразу определяет и класс фактор-систем.
Зная характеры неприводимых спинорных представлений,
можно по формулам § 8 сразу определить, на какие представле-
представления разбивается произведение iZ)X^>l/2> где 2) — любое вектор-
векторное представление точечной группы, учитывая, что согласно
A0.20) и A6.12) для представления 3)у%
= -28т|. A6.32)
Базисные функции спинорных представлений можно по-
построить из базисных функций представления 2) X &ч„ содержа-
содержащего данное представление, для чего надо разложить систему
функций г|?гос и г|)гР, где г|зг- — функции представления 2), по не-
неприводимым представлениям. Эти функции также можно полу-
получить из базисных функций представлений полной сферической
группы с полуцелыми /, раскладывая их по неприводимым пред-
представлениям данной точечной группы. При / = 3/2 в каноническом
базисе
Yl = -±- {х + ty) а, у§ = ^ [(х + iy) p - 2га],
-iy) а
В табл. 16.1 приведены характеры спинорных представлений
для точечных групп, имеющих проективные представления, не
эквивалентные векторным, для которых спинорные представле-
представления не относятся к классу /Со, и указаны базисные функции.
В табл. 16.2 указаны представления, по которым преобразуются
спинорные функции, для тех групп, где эти представления ^-экви-
^-эквивалентны векторным, и приведены значения произведений
SD X 5>Vi Для этих групп. Для групп, являющихся произведением
указанных групп на С;, сохраняются те же правила умножения
с учетом того, что представление ?D\jx четное. При этом имеется
в виду, что представления 2Ь\> по которым преобразуются спи-
спинорные функции, р-эквивалентны соответствующим векторным
представлениям SDi и отличаются от них множителями и(г),
приведенными в тексте и в табл. 16.2.
190
Таблица 16.1
Таблицы характеров для спинорных представлений
Группы D2, C2V
C2V
E'
e
e
2
C2Z
C2
0
C2X
0
C2tj
/
0
Базисные
функции
групп
D2i C2V
a,p
Таблица
л,
E
A2
E'
умножения
в.
E'
вг
E'
Группы D4, C4V, D2(j
4
4
e
о
e
2
2
c2
c2
c2
0
0
s4
V2
-n
A
-V2
V2
2u2
0
0
К
2ad
0
0
Базисные
Dt, C4V
a, P
(x+iy)a,
(x-iy)fi
функции
Did
(x+iy) a,
o,p
Таблица умножения
А, А. В, В, В
tmHEi + El
E<? E<? Е^ Е^ Е^ + ?*2
Группы Р6> Сбу>
Е\
е
е
е
2
2
2
с2
0
0
0
\
1
1
—2
cl
cl
cl
-1
—1
2
VT
-/3"
0
4
-п
п
0
Зи2
0
0
0
0
0
0
Базисные
о„ cet,
a, p
(д: + iyf^a,
(x + iy) a,
(x - fc) P
функции
(x — /r/) a,
a, p
(д: + iy) a,
(x-iy)f,
е\
?з
\
Таблица
к
?з
умножения
4
к
А,
AT
к
Ех
Е+
Р' _1_ Е'
h{ -h i:2
?2
?~
?{ + ?2
191
Таблица 16.1 (продолжение)
Группе
Г
т
Е[
Е>2
Е'3
г Т
е
2
2
2
Е
Е
Е
г
4с3
1
83
е2
— 1
—$
~ез
Зс2
0
0
0
1 П
Базисные
а, р
,3/2 , -уЗ/2 Ч
1/2 -312)'
Таблица умножения
Л
?^
^2
р'
Вг
Е'2
Е'ъ
Е\
В2
Е'3
Е[
Е'2
функции
1 (\
V2^
Е[ +
Е[ +
Е[ +
1/2
гЗ/2
Е
Е'2
Е'2
Е*
~ 1У%,2)
щ
/2 ^ т)
+ Е'3
+ Е'3
+ Е'3
Группы Т
О
*
р/
G'
е
е
2
2
4
1
1
-1
d> О
4cl
-.1
— 1
1
Зс2
0
0
0
3s4
V2
-V2
0
1
-V2
V2
0
0
0
0
Базисные функции
. Г^г 1 iti\ ft I -n '
^уг-i [\х г /f/j р | ^о
"^=[(х-/у)а —2р]
(X, Р
уЗ/2 уЗ/2
7 ±3/2» J ±1/2
О
а, 0
1
-т="[(# + ix) z$+xya]
г~ [\У IX) 2СС- -Хур}
уЗ/2 уЗ/2
1 ±3/2» г±1/2
Таблица умножения
?2
О'
*!
А2
Е>2
Е\
О'
Е
G'
G'
E' + E^ + G'
Ft
E\ + G'
E2 + Gr
E\ + E'2 + 2G'
F2
E'2 + Gr
Щ + О'
E\ + Er2 + 20'
192
Таблица 16.2
Разложение произведений 2) X $1/2 на неприводимые *)
Группа
Ci
с2
с3
с4
st
с.
Сзл
Съу
Представле-
Представления,
по которым
преобразуются
аир
А
л[
в,
в!
А
к
К
Е'
Е
Представления, входящие
в произведение 3>у2 на указан-
указанное однозначное представ-
представление
А ->А' + А'
АХ->*А\ + А'2, А2->А\ + А'2
А{->А[ + А2, А2->А\ + А2
Al->B\ + B2tB]->A[ + B^t
В2->А\ + В[
A{->A\ + Bf29 A2->A2 + B[
В{->А\ + В\, В'2->А'2 + В'2
А{->А2 + В'и А2->А\ + В2
В{->А', + В[, В2->А\ + В\
А{ ->В\ + В[, А2->В2 + В'3
В2->А\+В\} B2->A'2 + B'S
В3->А2 + В[, В4->А[ + В2
At + Bt' + B?',
АГ->В^' + В+'
flf -> А+' + В2\
вг->лг/ + ^
В?->АТ' + В+\
B2->Af + B^'
А{->Е\ А2->Е',
е->а[ + а'2 + е'
А{-> Е', А2 -> Е\
е->а\ + а'2 + е'
u(g)
и(е) = \
и (с2) = /
«(с4) = A/)/2") A+0
u(c2)=*i
и (s4) = A/К2) A+0
и (с2) == - i
u{$ = -{llY2)(\-i)
u(cQ) = u(c§ = i
и(с3)--Ь и(с]) = \
«(с2)==~ i
u(s3) = u(sl) = i
u(cs) = -\,u{cl) = l
м(с3) = -1;
«($=1, u(u2) = i
W(c3) = -1;
*) Для спинорных представлений повороту ф могут соответствовать два значе-
значения х(Ф). отличающиеся знаком, что соответствует разному выбору и (g). Здесь для
всех групп, кроме S4, ха^^^"" » Хр(ф)=3в ; для S* знак обратный.
Так как при умножении на и (g) представления могут менять четность, то
здесь индексы у А и В могут не соответствовать четности представлений.
Г. Л. Бир, Г. Е. Пнкус
193
§ 17. ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Как указывалось в § 15, состояния и спектр любых элемен-
элементарных возбуждений идеального кристалла, например электро-
электронов, фононов, экситонов, спиновых волн и др., могут быть клас-
классифицированы по представлениям пространственных групп.
В этом параграфе результаты, полученные на основе теории
групп, будут применены для характеристики волновых функций
и энергетического спектра электронов в идеальном кристалле.
Волновая функция \|э электрона, движущегося в идеальном
кристалле, определяется уравнением Шредингера A5.1)
Ж^ = Е^ A7.1)
где оператор энергии Ж равен
M = -^V + V(x). A7.2)
В операторе энергии Ж A7.2) мы пока не будем учитывать
спин-орбитального взаимодействия.
Потенциальная энергия V{x)y т. е. самосогласованный по-
потенциал, создаваемый всеми ионами и электронами, образую-
образующими идеальную решетку, а значит и оператор энергии Зв ин-
инвариантны ко всем преобразованиям, при которых каждая точка
кристалла совмещается с эквивалентной, т. е. по всем преобра-
преобразованиям пространственной группы G; следовательно, в соответ-
соответствии с A5.2)
A7.3)
Группа симметрии оператора Ж совпадает, таким образом, с
пространственной группой G, и поэтому все собственные функ-
функции \f> могут быть классифицированы по неприводимым пред-
представлениям группы G. Как указывалось в § 6, во всякой про-
пространственной группе Q содержится в качестве подгруппы абе-
лева группа Т трансляции на основные периоды решетки Браве
кристалла. Отмечая трансляционную инвариантность потенциа-
потенциала V(x), его часто называют периодическим потенциалом.
Представления группы трансляций характеризуются непре-
непрерывным вектором ft, лежащим в зоне Бриллуэна.
В качестве собственных функций оператора энергии Ж мо-
могут быть выбраны функции фл, преобразующиеся по неприводи-
неприводимым представлениям группы трансляций Г, для которых, в со-
согласии с A2.8),
*«Ы*) = **(*-«) = *"'*"**(*)• О7-4)
Из A7.4) следует, что волновая функция г[^ может быть запи-
записана в виде
% = е»*ик(х). A7.5)
194
Функции A7.5) называются блоховскими функциями, а иь {х) —
блоховскими периодическими амплитудами.
Состоянию yfrfo соответствует энергия E(k) = E(kXi kyy kz), кото-
которая является функцией вектора к.
В общем случае имеется неограниченное число линейно неза-
независимых решений уравнений A7.1) и A7.4). Будем обозначать
каждое линейно независимое решение A7.1) и A7.4) индек-
индексом п: о|)Лл = eikx ukn(x). Этому состоянию соответствует энергия
En(k). Таким образом, в общем случае оператор Ж с периоди-
периодическим потенциалом имеет многозонный спектр Еп(к) и каждая
ветвь спектра характеризуется дискретным номером зоны п.
Состояние внутри данной зоны п характеризуется непрерывным
квантовым числом к.
Различные ветви En(k) могут совпадать в отдельных точках
или вдоль линии в fe-пространстве. Это соприкосновение зон мо-
может быть как случайным, т. е. связанным с особенностями по-
потенциала V(x), так и следствием симметрии потенциала; в по-
последнем случае оно может быть исследовано методом теории
групп.
Из A7.2) и A7.5) следует, что ипи удовлетворяет уравнению
Жкипк = $п{к)ипк, A7.6)
где
В отличие от оператора Ж A7.2) оператор Жк зависит от вол-
волнового вектора Л, так как включает добавочный член Ькр/т, где
р — оператор импульса. При указанном выборе Жи его соб-
собственные значения &п{к) отличаются от энергии электрона
En(k) на величину энергии свободного электрона b2k2/2m.
Условие периодичности функций ипк является фактически
граничным условием для уравнения A7.6), поэтому среди ре-
решений этого уравнения следует рассматривать только периоди-
периодические решения.
Если уравнение A7.6) имеет т линейно независимых реше-
решений щк (i = 1, 2, ..., m), т. е. существует т линейно независи-
независимых решений i|)^ = eik* uik уравнений A7.2), A7.5), соответ-
соответствующих одной энергии Е(к), то говорят, что в точке к проис-
происходит m-кратное вырождение зоны. Как было показано в § 15,
число линейно независимых решений уравнения Шредингера
определяется размерностью неприводимых представлений груп-
группы симметрии оператора энергии, в данном случае оператора
Жь A7.7). Поэтому кратность вырождения зоны в данной точке
к в общем случае определяется размерностью неприводимых
представлений группы симметрии оператора Жн* Оператор Жи
из-за наличия в нем члена Ькр/т имеет группу симметрии более
7* 195
низкую, чем пространственная группа G, которая является груп-
группой симметрии гамильтониана Ж.
Действительно, для любого элемента g^G согласно A7.7)
Таким образом, оператор Явь инвариантен только к таким пре-
преобразованиям к из группы G, которые не изменяют вектор ft,
т. е. hk = k. Для точек внутри зоны Бриллуэна эти преобразо-
преобразования образуют введенную в § 13 группу волнового вектора Gk.
Следовательно, кратность вырождения зоны в точке к опре-
определяется размерностью неприводимого представления 3)к груп-
группы волнового вектора, по которому преобразуются блоховские
функции tyik:
h%k = tyik (/Г1*) = 2 3>h8i (h) tysk (*), h €= Gk.
s
Блоховские амплитуды unk преобразуются по матрице 3)к (г),
введенной в § 12 (см. A2.26)), которая определяется только по-
поворотными элементами группы Т7*:
huik (*) = uik {h"]x) = 2 9&i (r) Usk (*); h == (r \a + a), r<~Fk.
s
Матрицы 3)fc(r), как было показано в § 12, для точек внутри
зоны Бриллуэна образуют обычные представления группы на-
направлений Fk. Поэтому для точек внутри зоны Бриллуэна крат-
кратность вырождения зоны в точке к совпадает с размерностью не-
неприводимых представлений группы Т7*. Ясно, что вырождение
зоны может иметь место только для точек достаточно высокой
симметрии.
Базис полного представления пространственной группы $№
с неприводимой звездой {к} образуют блоховские функции tysk
с различными волновыми векторами ки принадлежащими звезде
{к}- Как указывалось в § 12, эти векторы к{ могут быть получе-
получены из вектора к преобразованиями gc к{ = gik, которые входят
в пространственную группу G, но не входят в группу волнового
вектора Gk- Функции tysk в соответствии с A2.19) равны
- A7.9)
Поскольку всем функциям, относящимся к одному неприводи-
неприводимому представлению, соответствует одна энергия, то
A7.10)
196
для всех g e G. Таким образом, зонная структура в целом об-
обладает симметрией, характеризуемой кристаллическим классом
F пространственной группы G.
Полная кратность вырождения по энергии Л^о, обусловлен-
обусловленная симметрией решетки и равная размерности неприводимого
представления пространственной группы, равна, в соответствии
с A2.16), произведению кратности вырождения зоны т в точ-
точке к на число лучей / в звезде {к}:
Таким образом, можно различать два типа вырождения энер-
энергетического спектра: вырождение зоны в точке ку связанное с
симметрией точки ft, и вырождение по энергии, связанное с ра-
равенством энергии в различных точках fe-пространства, соответ-
соответствующих различным лучам звезды вектора к.
Условия совместности. В кристаллах с достаточно высокой
симметрией в зоне Бриллуэна всегда имеются точки или линии,
в которых может иметь место вырождение зон, т. е. существуют
представления группы волнового вектора размерности выше
первой. Рассмотрим какую-либо такую точку к0 внутри зоны
Бриллуэна, в окрестности которой нет точек более высокой сим-
симметрии. Характер вырождения зоны в точке ko определяется
представлениями группы волнового вектора G*o, а характер вы-
вырождения зоны в соседней с ней точке k0 + и = к определяется
группой Gk. В общем случае точка к имеет более низкую сим-
симметрию, поэтому Gk содержится в Gk, в качестве подгруппы и
размерности неприводимых представлений группы Gk в общем
случае меньше размерности представлений группы G*o. Это озна-
означает, что вырождение зоны в точке к снимается полностью или
частично. Поскольку группа Gk при малых к определяется толь-
только направлением вектора и, то и характер расщепления зоны
(но не его величина) определяется только этим направлением.
Если же точка к0 лежит на линии симметрии, то при движении
вдоль этой линии симметрия точек к0 и к совпадает и вырожде-
вырождение зон не снимается.
Возникает вопрос, на какие из возможных представлений
группы Gk распадается заданное представление 2)ko группы Gk,
и в какое представление группы Gk переходит данное представ-
представление 3)k\ если вырождение не снимается. Такие соотношения,
связывающие представления в заданной и близлежащих точках,
называются соотношениями совместности.
Задача определения условий совместности вполне аналогич-
аналогична задаче о расщеплении термов при внесении возмущения, по-
понижающего симметрию от G*o до Gk, и сводится, как указано
в § 16, к определению коэффициентов в разложении ?D ° по
представлениям 2frk группы Gk'.
®ko = %cs2>l A7.11)
s
197
Коэффициенты cs, показывающие, сколько раз представление
2)s содержится в 3)k\ можно определить по известным характе-
характерам представлений 2)ko и 2Dk, используя (8.18). Отличие cs от
нуля в A7.11) означает совместность представлений ?Dko и <2)s-
Из A2.26) видно, что для точек, находящихся внутри зоны
Бриллуэна, в условиях совместности A7.11) можно вместо ма-
матриц 3)k(h) использовать матрицы 3)k(r).
Учет спин-орбитального взаимодействия. Как показано в
§ 16, для учета спин-орбитального взаимодействия в гамильто-
гамильтониан Ж следует включить оператор Жсо- Если опустить в A6.1)
не зависящие от а два последних релятивистских члена, то опе-
оператор энергии Ж для электрона, движущегося в периодическом
поле, будет иметь вид
Соответственно оператор Жи, действующий на двухкомпонент-
ную функцию иПк, равен
^() ?L. A7.13)
Оператор Жи A7.13) можно записать в виде
30* = 30о+ ¦¦?**, A7.14)
где <90О— оператор, совпадающий с A7.2), а вектор я согласно
A7.13) равен
Второй член в A7.14), как и в A7.12), смешивает состояния с
различной проекцией спина.
Оператор энергии Ж A7.12) по-прежнему имеет в качестве
группы симметрии пространственную группу G, при этом клас-
классификация состояний электрона со спином в периодическом поле
должна проводиться по спинорным представлениям простран-
пространственных групп. Для спинорных представлений справедливы все
результаты, полученные в § 12. Так, каждое неприводимое спи-
норное представление пространственной группы характеризует-
характеризуется неприводимой звездой {к} вектора к и индексом неприводи-
неприводимого представления группы волнового вектора G*.
Как указано в § 12, эти представления могут быть получены
по A2.23), если известны проективные представления 2Dk{r)
группы направлений F*.
Если без учета спин-орбитального взаимодействия волновые
функции 4§sk в точке к преобразовывались по представлению 2)k
размерности т, то с учетом спиновых функций аир функции
ф5Ла и i|Mftp образуют базис представления 0*X^i/2 размер-
196
ности 2m. В соответствии с правилами, изложенными в § 16, для
определения характера расщепления зоны за счет спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия нужно разложить представление&к X
X^i/2 по неприводимым спинорным представлениям группы
волнового вектора 2)v:
0*X01/2 = 2cv^v, A7.16)
v
где cv — целые коэффициенты, определяемые на основе теории
характеров.
Если представление 2Е)к X ^i/2 неприводимо, то спин-орби-
спин-орбитальное взаимодействие не снимает вырождения зоны. Вместо
A7.16) можно раскладывать по неприводимым проективным
представлениям группы направлений произведение^* (г) X^i/2-
Для точек на границе зоны Бриллуэна прямое произведение
проективных представлений 2)k(r)X&i/2> относящихся к классам
К\ и Кг соответственно, следует раскладывать по неприводимым
представлениям S)v{r), относящимся к классу Кг = КгК\.
Условия совместности справедливы и для спинорных пред-
представлений пространственных групп.
Аналитические свойства блоховских функций. Блоховские
функции ^nk как функции непрерывного спектра мы будем нор-
нормировать на объем кристалла У\
J +;
A7.17)
при этом интегрирование в A7.17) проводится по всему объему
кристалла. Поскольку Т = NQOi где N — число элементарных
ячеек, а йо — объем одной ячейки, то из периодичности Ф*^^
и из A7.17) следует, что функции ипи нормированы на объем
элементарной ячейки:
n>k) = '^ J UnkUn'kdxo = 6nn'; A7.18)
здесь интегрирование ведется по объему элементарной ячейки.
Отметим, что функции ипи и иП'к* с различными k и k' не
ортогональны при k Ф k'y так как они являются собственными
функциями разных операторов Жи и Ж*.
Рассмотрим поведение волновых функций вблизи точки вы-
вырождения ко. Пусть в точке к0 имеется m функций ^sk^==eikoX X
Xи$ло(*)E = 1 > 2, ..., m), относящихся к энергии E(k0). Сме-
Сместимся в соседнюю с к0 точку к = к0 + х. Как указывалось
выше, симметрия волновых функций в точке к определяется
группой волнового вектора G*, которая в общем случае являет-
является подгруппой Gk0. Поэтому при удалении от точки к0 зона рас-
расщепляется на несколько ветвей, т, е. происходит полное или
199
частичное снятие вырождения. При малых векторах и симметрия
волновой функции и характер расщепления зоны определяются
только направлением х. Величина расщепления зон зависит, ко-
конечно, и от величины вектора и. Поэтому в любой малой окрест-
окрестности точки вырождения к0 волновые функции г|э. Ло+х, соответ-
соответствующие каждой из отщепившихся зон ?\-(йо + и), существенно
зависят от направления вектора к и могут быть различными для
сколь угодно малых, но различающихся по направлению векто-
векторов х, так как при приближении к точке fe0 волновые функции
ty. k переходят в некоторую комбинацию вырожденных
функций ф5й, которая существенным образом зависит от на-
направления подхода к точке к. Таким образом, волновые функ-
функции, соответствующие каждой из отщепившихся зон, как функ-
функции к терпят разрыв в точке k0. В невырожденной зоне волновая
функция непрерывна в любой точке fe, так как при подходе с
любого направления к к0 волновая функцияг|^о+х переходит в г|?Ло.
Для установления аналитических свойств функций ипи и
энергии S'n(^) полезным является равенство
(&п (*) ~ &п> (*')) (UnkUn>M>) = ± 2 (ka - k'a) Л, n>k>9 A7.19)
а
которое следует из тождеств
(ыя*, ^ek'Un'kh = 8п' (k') (unkUn'k'), B%kUnky un>k>) = %п (к) (unkun>k>)
и самосопряженности оператора Жк. В A7.19) n^k ,v — мат-
матричный элемент оператора зха, вычисленный на периодических
функциях ипн\
пЪ. »'*' = i J «;* "а "«'»' ^о = Plk, n'w + -Щ?1а WL. n'v ¦ A7.20)
При учете спин-орбитального взаимодействия unki как обычно,
является двухкомпонентной функцией.
Рассмотрим сначала невырожденную в точке к0 зону п. По-
Положим в равенстве A7.19) п' = п и устремим к' к к. Учитывая
A7.18) и разлагая <§n{W) в ряд вблизи ft0, получим
Отсюда следует, что
dka
Так как л?^яЛ — непрерывная функция к, то из A7.21) следует,
что в случае невырожденной зоны &п(к) является непрерывно
дифференцируемой функцией ft,
200
Перейдем теперь к случаю вырожденной в точке k0 зоны.
Рассмотрим две ветви спектра i и / и положим k = k0 + x, W =
= йо + Ь«, где А,—произвольное число. Тогда из A7.19) по-
получим
*)-<r;-(feo + <
~ »«?.*.+.. 1...+Л.. A7-22)
Устремим теперь х->0. Разлагая <?f/(feo
в ряд по х,
1!
и учитывая, что согласно A7.18)
lim {tiit ko+h* U
A0
а также равенство
6</ S
{ko)="^
получим
A7-23)
т. е. оператор *EiKana, вычисленный на функциях Нт
диагоналей по / и / и
Поскольку Ttfk ik вычислены на волновых функциях, завися-
зависящих от направления подхода к точке k0 и имеющих поэтому раз-
разрыв в этой точке, то и сами матричные элементы, и производная
-\ ар
-^~- терпят разрыв в точке kQ.
Рассмотрим теперь поведение функции untko+x вблизи точ-
точки fto- Разложим эту функцию по полной системе периодических
функций umk0. Учитывая, что коэффициенты разложения суть
скалярные произведения (untkQ+xUmk0), получим из A7.19)
Из A7.25) получим первый член разложения ип, kQ+x в ряд по
малому параметру х в случае невырожденной зоны:
A7-26)
201
так как &п(k0) — ё'т(к0) = Еп(kQ) — Em(kQ). Из A7.26) следует,
что для невырожденной зоны функция ипи является дифферен-
дифференцируемой функцией к:
dUnuL_b_ у namkQ,nk0
К т ^п En{ko)-Em{ko)
д
откуда для матричного элемента оператора -^- получим
Из A7.26) следует разложение по х матричных элементов
nnkQ, nko+x:
nk0, nkQ 7
и из A7.21) получим дальнейшие члены разложения энергии
вблизи точки kQ в невырожденной зоне:
а
и*, m*. mK я*. ^ A7>29)
Из A7.29) следует, что
^ у яХ*"** П7 30)
Аналогичным образом для невырожденной зоны могут быть
получены и дальнейшие разложения волновых функций ип, *0+х
и энергии *?п(&о + х) по х. Отсюда следует, что волновые функ-
функции и энергия являются аналитическими функциями к вблизи
точек, где нет вырождения зоны.
Для вырожденной зоны суммирование по т в правой части
A7.25) разобьем на две части: суммирование по зонам /, отно-
относящимся к данной вырожденной зоне, и суммирование по дру-
другим зонам т. Тогда при малых х получим
И*.*о+* = И/*о(*)+— 2 E^kT-Emiko) Umk>' A7>31)
тфп
Здесь
.. '*.+^ A7'32)
Отсюда найдем поправку к матричному элементу n!fk fk +х:
™tb. th.JL~ ^"/Ь, it. \ ) ""• /I С. (U \ Ъ i U \ * \**«
Ei(ko)-Em(ko)
тфп0, р
Разложение энергии вблизи точки вырождения fft имеет вид
*t (k0 + х) = gt (k0) + -L ? () +
I734>
Ei(ko)~Em(ko) ' U/eMJ
это разложение формально совпадает с выражением A7.29) для
невырожденной зоны. Следует, однако, подчеркнуть существен-
существенное отличие A7.34) от A7.29), которое заключается в том, что
в A7.34) все матричные элементы зависят от направления век-
вектора х, т. е. терпят разрыв при х = 0. Поэтому разложение
A7.34) для вырожденной зоны не является обычным разложе-
разложением &i{ko-\-y) в ряд Тейлора, как это имеет место для невы-
невырожденной зоны. Так, если я^ ^о(к)фОу то в случае вырожден-
вырожденной зоны не существует второй производной <?%•(&)> так как -дтг"
терпит разрыв.
Если в точке вырождения k0 все n?k ik (x) = 0, то согласно
A7.34) вторая производная д, * терпит разрыв в точке вы-
вырождения, а из A7.19) следует, что волновые функции иц,0 (и)
диагонализуют по / и / квадратичную форму
I (ko) — $т (ко)
ар т
Аналитические свойства энергии электрона
и блоховских волновых функций
очевидно, совпадают со свойствами <&n{k) и ипи, так как b2k2/2m
и eikx являются аналитическими функциями вектора к.
Так, для невырожденной зоны Еп{к) и г|>яЛ — аналитические
функции вектора k, и мы имеем
дЕп (к) = V к +±_па
dka m a m nfe>nk>
.. A7.35)
т VctP » т2 Ы Еп (к) - Ет (к)
203
Второе из равенств A7.35) называется правилом /-сумм. В слу-
случае вырожденной зоны первое из равенств A7.35) справедливо
всегда, а второе— только в случае равенства нулю naik ik.
Рассмотрим теперь оператор скорости v = {хЖ} = л/т элек-
электрона в периодическом поле. Оператор скорости диагоналей по
вектору k и имеет как междузонные, так и внутризонные ма-
матричные элементы:
* v- %,k, dx^^ АаД„ А*- + ~ **Л. »'»'• A7-36)
Диагональный элемент оператора скорости согласно A7.36) и
A7.35) равен
4^
§ 18. ИНВЕРСИЯ ВРЕМЕНИ
Как видно из A5.1), оператор энергии в пренебрежении спин-
орбитальным взаимодействием и в отсутствие магнитного поля *)
является вещественным и уравнение Шредингера
Щ = Л^- A8.1)
инвариантно к обращению времени: если в A8.1) заменить t на
— / и перейти к комплексно сопряженному уравнению, то по-
получим
W = _/A *fcl. A8.2)
Из A8.1) и A8.2) видно, что операция инверсии времени, кото-
которую обычно обозначают оператором /(, превращает функцию ф
в новую функцию
/(ф = г|Л A8.3)
которая удовлетворяет при вещественном Ж тому же уравнению,
что и функция \\\ В стационарных условиях уравнение Шредин-
Шредингера принимает вид
(Ж- Е)^ = 0. A8.4)
При вещественном гамильтониане, когда Ж* = К~{ЖК = Ж,
собственные функции \|) и Kty соответствуют одной и той же энер-
*) Уравнения квантовой механики инвариантны к обращению времени
при одновременном обращении скоростей, а следовательно, при изменении на-
направлении токов и магнитного поля. Соответственно член в Ж, содержащий
нечетные степени магнитного поля Я, мнимый и
К~ХЖ (Я) К = Ж (Я) = Ж ( - Я).
В этом случае оператор К превращает ^(Н) в /Сф(Я) = \|)*(—Я) и связы-
связывает волновые функции, соответствующие разным значениям энергий Е (Я)
п ?(-Я).
204
гии, так же как, например, функции г|) и g\|), где g—-один из
элементов группы симметрии гамильтониана %\ Поэтому опера-
операцию инверсии времени К можно рассматривать как новый эле-
элемент симметрии.
Легко показать, что эта операция К коммутирует со всеми
преобразованиями пространственной группы G. Так как г|э и ф*
преобразуются по комплексно сопряженным представлениям 2)
и 2)* этой группы, то
A8.5)
/ У
С другой стороны,
Kgfy = /С (S 0/*
Kg = gK- A8.6)
Собственные функции \|) и /(\f>, удовлетворяющие одному и
тому же уравнению A8.4) и соответствующие одной и той же
энергии, могут либо быть линейно независимыми, и в этом слу-
случае одному собственному значению Е соответствуют два неза-
независимых набора ортонормированных функций \|э и /(i|), либо мо-
могут линейно выражаться друг через друга при помощи унитар-
унитарной матрицы Т:
/Сяй = 27>> A8.7)
Очевидно, что в последнем случае представления 2) и &)* экви-
эквивалентны.
В случае, если функции ty и Kty линейно независимы, они мо-
могут преобразовываться либо по эквивалентным представлениям,
либо но неэквивалентным.
Таким образом, следует различать три случая*):
a) функции \f> и Kty линейно зависимы;
b) функции г|) и К\\) линейно независимы н преобразуются по
неэквивалентным представлениям 3) и !2)'\ r. e. %(g) =Ax*(?)'»
c) функции г|э и К\\) линейно независимы и преобразуются по
эквивалентным представлениям 2) и й)*, т. е. %(g) =%*{g)-
Так как линейно независимые функции \f> и /<г|} соответствуют
одной н той же энергии, то это означает, что в случаях b и с
инвариантность к инверсии времени приводит к дополнитель-
дополнительному вырождению, и в этих случаях представления Я) и ?Z)*, по
*) Указанная классификация представлений, которая является наиболее
удобной для физических приложений, несколько отличается от вводимой в
большинстве курсов по теории групп, где к случаю а относят вещественные
представления, а к случаям b и с — комплексные неэквивалентные и эквива-
эквивалентные представления. Для обычных представлений обе классификации
совпадают, а для епшюриых представлений случаи а и с в них меняются
местами.
205
которым преобразуются эти функции, надо объединять вместе.
При этом в случае b объединяются комплексно сопряженные не-
неэквивалентные представления, а в случае с — эквивалентные. По-
Поэтому практически важно уметь различать эти три случая, т. е.
определять, когда инвариантность к инверсии времени наклады-
накладывает дополнительные требования на волновые функции, связан-
связанные с линейной зависимостью функций г|? и /Сгр, и когда она при-
приводит к дополнительному вырождению.
Для того чтобы получить ответ на этот вопрос, рассмотрим
подробнее свойства комплексно сопряженных представлений.
В случаях а и с, когда представления 2D и &)* эквивалентны,
т. е. их характеры вещественны и совпадают, существует уни-
унитарная матрица Т, переводящая все матрицы 3)(g) в 3)*{g):
3)'(g) = T'lS>(g)T. A8.8)
Подчеркнем, что наличие такой матрицы Т еще не означает ли-
линейной связи A8.7), но если такая связь имеется, то матрицы Т
в A8.7) и A8.8) совпадают.
Рассмотрим теперь свойства матрицы Т. Применим опера-
операцию комплексного сопряжения к правой и левой частям равен-
равенства A8.8):
l A8.9)
Подставим в A8.9) 2>*(g) из A8.8):
3) (g) = (ГГГ13) (g) (ГГ). A8.10)
Равенство A8.10) означает, что матрица ТТ* коммутирует со
всеми матрицами 3)(g) данного неприводимого представления.
Поэтому согласно первой лемме Шура (8.1а) эта матрица долж-
должна быть кратна единичной матрице, т. е. ТТ* = cl или Т =
= сТ*~х = cf. Применив операцию транспонирования к обеим
частям этого равенства, получим Т = сТ = с2Т. Отсюда с = ±1,
и, следовательно, возможны два случая:
Г = Г, т. е. ГГ = /, или Г = -7\ т. е. ГГ = -/. A8.11)
Очевидно, что для вещественных матриц, т. е. при 3)* = 3),
матрица Т в уравнении A8.8) равна /, т. е. реализуется первая
из этих возможностей: Т = Т. Так как при унитарном преобра-
преобразовании матрицы 3), т. е. при переходе от 3) к S3)S~ , матрица
Т переходит в T' = STS, то свойство A8.11) матрицы Г при
этом не меняется, т. е. ГТ'* = 7Т*. Поэтому для всякого пред-
представления SD, которое может быть сделано вещественным, мат-
матрица Т должна удовлетворять условию Т = Т.
Следовательно, если Г = — Г, то представление существенно
комплексно, т. е. не может быть приведено к вещественному
виду.
206
Покажем, что условие Т = Т является не только необходи-
необходимым, для того чтобы представление 2) было вещественным, но
и достаточным, т. е. что при Т = Т всегда существует матрица
В, приводящая представление 3) к вещественному виду:
3)'* = {В~13)ВУ = В-12)В = 2)'. A8.12)
Для этого прежде всего приведем матрицу Т посредством уни-
унитарного преобразования и к диагональной форме t = и~*Ти, где
xit = eiati, что всегда возможно, так как матрица Т унитарна.
Перейдем от равенства
Ти = их A8.13)
к транспонированному,
Учитывая, что т как диагональная матрица симметрична, т. е.
т = т, аГ = Ги и = и*~\ получим
Ти* = и*т. A8.14)
Совокупность п чисел щи (/= 1, 2,...,/г), где п — размер-
размерность матрицы Г, называется k-u собственным вектором матри-
матрицы Г, соответствующим собственному значению т&, т. е. &-му
корню определителя |Г — т| = 0, и обозначается символом и^
Так как собственный вектор согласно A8.13) определяется си-
системой однородных уравнений 2 (Тц — гк6ц) ulk = 0, то он за-
задается с точностью до постоянного множителя Си- Для того что-
чтобы матрица и оставалась унитарной, необходимо, чтобы ckc*k = 1,
т. е. ck = ei4>k. Это означает, что матрицы и и и* в A8.13) и
A8.14) совпадают с точностью до диагональной матрицы с
с элементами Ckkr:==z^k^kk' и, следовательно, а* = ас, откуда
A8.15)
где.с!/* — матрица с элементами с)Ц' = ?1ф*/2 bkk'- Заменим в
A8.13) и на исч\ т. е. в соответствии с A8.15) будем считать
матрицу и в A8.13) вещественной и унитарной. Такая матрица,
удовлетворяющая условию и1 = а, называется ортогональной.
Введем матрицу 5, равную
В Ъ1 A8.16)
где в2 = т, т. е. 9—диагональная матрица с элементами Э^ =
= x\f = eia^. Эта матрица, согласно A8.13), удовлетворяет
следующим соотношениям:
Проверим, что матрица В, свойства которой определяются соот-
соотношениями A8.17), действительно удовлетворяет уравнениям
A8.12), т. е. приводит 30 к вещественному виду. Согласно A8.8)
и A8.17)
3)'' = (В~]3)ВУ = ВЗГЯ = ВТ~12)ТВ-1 = В~Х3)В = 3)\
Таким образом, условие ТТ* = I является критерием веще-
вещественности представлений. При этом, как указывалось в § 9, ве-
вещественными представлениями называются представления, все
матрицы которых могут быть приведены к вещественному виду,
независимо от того, проведено ли фактически такое преобразо-
преобразование или нет.
Рассмотрим теперь, как связаны условия, накладываемые на
матрицу Т в A8.8), с указанными выше свойствами функций г|э
и /Сгр. Допустим сперва, что между функциями г|) и /Сг|) имеется
связь A8.7), т. е. имеет место случай а. Тогда, применяя опера-
операцию К к A8.7), получим
К%= 2 ГпЩ= 2 ^7-^ = 2 (ТТ%% A8.18)
Так как в данном случае К2^> = /0ф* = ф, т. е.
K2=U A8.19)
то, следовательно, матрица Т должна удовлетворять условию
ТТ* = I, т. е. представление 2), по которому преобразуются эти
функции, вещественно.
Условие A8.19), однако, справедливо лишь для обычных
представлений, т. е. без учета спина электрона.
Как отмечалось в § 16, уравнение Шредингера— Паули, в от-
отличие от уравнения A8.1), включает комплексный член, описы-
описывающий спин-орбитальное взаимодействие:
A8.20)
Поэтому при замене / на —t и переходе к комплексно сопря-
сопряженному уравнению Жсо переходит в Z6*z0> что соответствует
замене ot на —ог^. Таким образом, в этом случае
Однако можно перейти от функций г|Л являющихся решением
уравнения {Ж* — ?)ф* = 0, к функциям S\|), где S — унитарный
оператор, действующий на спиновые матрицы, выбрав S таким
образом, чтобы в новом представлении
S-Xm* (or,) S = S~]2e (—o7) S = Ж (от,). A8.21)
Из A8.20) видно, что так как о*х = ох, о*у = — оуУ а*2 = а2, то
для выполнения A8.21) матрица S должна удовлетворять урав-
уравнениям
S~lexS = — ax, S"]ayS = ay9 S^^S = — ar A8.22)
Учитывая, что матрицы or* подчиняются соотношениям
= tot bikh
где bihi — единичный антисимметричный тензор, легко проверить,
что унитарная матрица S, удовлетворяющая A8.22), с точ-
точностью до произвольного фазового множителя совпадает с or,,.
Этот фазовый множитель можно положить равным единице,
выбрав
l
Следовательно, функция eyty* = OyKoty* где Ко — операция ком-
комплексного сопряжения, удовлетворяет тому же уравнению, что и
функция if> Эту функцию
будем рассматривать как результат применения оператора ин-
инверсии времени К к функции Ф= . • Это означает, что для
II Y2 II
спиновых функций оператор инверсии времени имеет вид
Проверим, что оператор /С, определяемый соотношением
A8.23), коммутирует со всеми элементами пространственной
группы, т. е. удовлетворяет условию A8.6). Согласно A6.3) и
A8.23)
= oy CI,2 (g) ¦ (g-lx)Y = oy3)\l2 (g) Г (g-lx),
где S)v2(g") — матрица, осуществляющая преобразование спино-
спиноров со спином 1/2 при преобразовании g. Согласно A6.2) эта
матрица в общем случае имеет вид
Легко проверить, что oyD*l/2(g) = Dlf2(g)ay и, следовательно,
соотношение коммутации A8.6) действительно выполняется. Из
условия коммутации следует, что спинорные функции ф и /Сг|?
преобразуются по комплексно сопряженным представлениям.
Действительно, если
то согласно A8.6)
оуКо 2 2)/Л/ =
209
Для спинорных функций также могут иметь место указанные
выше три случая ау Ь и с. При этом в случаях а и с, когда пред-
представления 3) и 2D* эквивалентны, существует матрица Г, пере-
переводящая 3) в 3f и удовлетворяющая уравнениям A8.8) —
A8.11) и A8.18).
Однако для спинорных функций
т. е. в отличие от A8.19) в этом случае
/С2 = -1; A8.24)
следовательно, в случае а, когда имеется линейная связь A8.7)
между функциями if> и /Сг|), матрица Т в случае спинорных функ-
функций согласно A8.24) удовлетворяет условию
ГГ=/B/=-/,
т. е. представление 2), по которому преобразуются функции ф,
является существенно комплексным и эквивалентно представле-
представлению 3)*, по которому преобразуются функции /0ф.
Таким образом, мы показали, что условие
+ 1 для обычных
представлений,
t A8.25)
— 1 для спинорных '
представлений,
является необходимым следствием линейной зависимости if> и /C\f.
Покажем теперь, что это условие является достаточным, т. е.
что при ТТ* = К21 функции if> и /0ф должны быть линейно зави-
зависимыми, если только нет случайного вырождения, т. е. случай-
случайного совпадения энергий двух несвязанных представлений.
Составим функции
где 6 = Г/С*,
= К21 или Т =
а Г —матрица, определяемая уравнением A8.8). При всех опе-
операциях пространственной группы функции ty+ преобразуются
друг через друга: действительно, согласно A8.8) ТЗУ — 3)Т, и
При инверсии времени они также преобразуются друг в друга,
так как в соответствии с A8.25)
/Сф+ =/СФ + /ОЖФ = Г~!в + Г" V* — Г"Ч+.
Легко видеть, что аналогичное соотношение выполняется и
ДЛЯ фуНКЦИЙ Ур{- = фг — $г-
Таким образом, при ТТ* = КЧ можно составить два набора
функций \f+ и г|?-, преобразующихся независимо друг через дру-
друга при Рсе?с дперациях пространственной группы и инверсии
210
времени. Если эти функции независимы, то имеет место случай-
ное вырождение. Если же такого вырождения нет, то либо функ-
функции ф_ должны линейно выражаться через ф+, либо одни из
этих функций должны тождественно обращаться в нуль. В обоих
случаях if и /0ф должны быть линейно зависимы.
Таким образом, условие A8.25) является необходимым и до-
достаточным для реализации случая а. Следовательно, в альтер-
альтернативном случае с, когда функции г|5 и /Сгр преобразуются по
эквивалентным представлениям, но являются линейно независи-
независимыми, т. е. когда инверсия времени приводит к дополнительному
вырождению, должна реализоваться вторая из возможностей,
предоставляемых условием A8.11). Таким образом,
в случае а Т = К2Т, т. е. 2Т* = /B/;
~ о A8.26)
в случае с Т = -/BГ, т. е. ТГ = -/B/.
Фробениус и Шур показали, что, используя свойства матрицы
Г, можно установить, является ли представление вещественным
или комплексным, зная лишь его характеры: если сумма харак-
характеров квадратов элементов группы равна числу элементов груп-
группы Л, то Т = Т и представление вещественно; если эта сумма
равна —А, то Т = —Т и представление комплексно и эквива-
эквивалентно сопряженному, и если сумма равна нулю, то представле-
представления 2) и 2)* комплексны и неэквивалентны.
Поскольку нас интересует возможность различать случаи b
и с, когда инверсия времени приводит к дополнительному вы-
вырождению, и случай а, когда такое вырождение отсутствует, то
этот критерий можно записать в виде
К2 — случай а,
О —случай ЬУ A8.27)
— /С2 —случай с.
Докажем эту теорему.
Для случая b формула A8.27) непосредственно следует из
соотношения ортогональности (8.10). Согласно (8.15)
Для комплексных неэквивалентных представлений 2>li (g) =
= SDkl (g)> и так как \i Ф Я, то согласно (8.10) эта сумма рав-
равна нулю.
В случаях а и с, когда представления 2) и 3)* эквивалентны,
выразим 3>ti в A8.28) через S^v согласно A8.8). Тогда,
211
используя соотношение ортогональности (8.10), получим
g iklm iklm g
iklm tk i
Согласно A8.26) эта сумма равна /С2 в случае а и —/С2 в слу-
случае с.
Формула A8.27) непосредственно применима для точечных
и вообще конечных групп. Легко проверить, что для обычных
представлений точечных групп все представления с веществен-
вещественными характерами вещественны, т. е. относятся к случаю a, a
все представления с комплексными характерами — к случаю b
и, следовательно, должны объединяться попарно.
Для спинорных представлений этих групп также следует объ-
объединять все представления с комплексными характерами, а так-
также удваивать все одномерные представления. Действительно,
при Т = — Т
Det Т = Det f = Det (- Т) = (— 1)"»* Det T.
Следовательно, в случае а спинорные представления должны
иметь четную размерность п^, и поэтому одномерные представ-
представления с вещественным характером всегда относятся к случаю с.
Все остальные спинорные представления с вещественными ха-
характерами относятся к случаю а.
Однако для пространственных групп в случае, когда звезда
включает более чем одну точку, эти простые правила неприме-
неприменимы, так как обычно задаются лишь представления группы
волнового вектора, а эти представления могут иметь комплекс-
комплексные характеры, даже если полное представление пространствен-
пространственной группы вещественно. Поэтому прежде всего преобразуем
критерий A8.27) для пространственных групп. Элементы про-
пространственной группы можно представить в виде произведения
основных элементов группы g' = (г|т), включающих лишь не-
непримитивные трансляции, на элементы группы трансляций (e\t).
Последнюю группу можно формально сделать конечной, введя
обычные циклические граничные условия Борна — Кармана.
Так как (г\ г + tJ = {r2\ т + п + t+ rt), то согласно A2.27)
% [(г I т + *J] = 2 ОС. (g2) e-»t <'+"> =
i *
= 2х^?2)е~"(*<+*~4 ?eC, A8.29)
где суммирование ведется по всем лучам kt звезды {к). Поэтому
при суммировании по t в A8.27) останутся лишь члены с kt +
-jl gki = 0, причем число одинаковых слагаемых равно числу
212
элементов группы трансляций, т. е. полному числу h элементов
пространственной группы, деленному на число основных элемен-
элементов h! (элементов, не содержащих примитивных трансляций t).
Поэтому суммирование в A8.27) можно вести лишь по основ-
основным элементам ц\ заменив h на h'\
S4(g2)d*'--«v A8'30)
i
Здесь, как обычно, векторы, отличающиеся на Ь, где Ь — вектор
обратной решетки, считаются равными, т. е. ft* -f- gki может
быть равно нулю или Ь.
Учитывая, что согласно A2.24)
где gi—фиксированная операция из числа элементов, превра-
превращающих k = ki в ku сумму A8.30) можно переписать в виде
Когда элемент g в этой сумме пробегает все значения от е до
ghn элемент g' = gjxggt пробегает в другом порядке значения,
совпадающие с g или отличающиеся от него на целочисленную
трансляцию. Фазовые множители, связанные с этими трансля-
трансляциями, для элементов g, удовлетворяющих условию ft + gfc = 0,
обратятся в единицу. Поэтому каждая из сумм по g в A8.31) не
будет зависеть от индекса i и суммирование по i сведется
к умножению на число лучей звезды /. В результате критерий
A8.27) для пространственных групп примет вид
К2 — случай ау
s==i S fc
О —случай by A8.32)
— К2 — случай с.
Здесь h'/f — число основных элементов группы волнового век-
вектора Gk, т. е. элементов, не содержащих примитивных трансля-
трансляций. Критерий A8.32) был выведен впервые Херрингом [13.2].
Суммирование в A8.32) ведется по основным элементам группы
волнового вектора g2^G'fo, удовлетворяющим условию
gk = -k. A8.33)
Очевидно, что для спинорных представлений суммирование
в A8.27) или A8.32) следует вести по всем основным элементам
двойной группы, т. е. группы, включающей элементы g2 и (gQJ.
213
Однако, так как (gQJ = g2Q2 = g2, то фактически достаточно
суммировать лишь по элементам обычной группы. Конечно, ха-
характеры для этих элементов надо брать из таблиц соответствую-
соответствующих спинорных представлений данной группы*).
Отметим, что для точек, не находящихся на краю зоны Брил-
луэна, значение суммы A8.32) не зависит от наличия в элементе
g непримитивных трансляций, и вместо %(g2) в этом случае
можно подставлять значения характеров %(г2) представлений
точечной группы направлений, соответствующих данной группе
Gk. Действительно, так как суммирование в A8.32) ведется
лишь по элементам g = (/*|т), удовлетворяющим условию A8.33),
то для точек внутри зоны
Рассмотрим теперь, к каким следствиям приводит наличие
или отсутствие линейной связи между функциями г|) и /Сг|) для
пространственных групп.
Как указывалось выше, в случаях бис, когда функции г|) и
/Сг|) линейно независимы, представления 3) и <?)*, по которым
преобразуются эти функции, объединяются вместе. Однако для
пространственных групп функции *ty = tikeikx и K^ = {KUk)e'-ikx
относятся, вообще говоря, к разным лучам звезд {ft} и {—ft} и
инверсия времени переводит звезду {ft} в звезду {-—ft}. Поэтому
при объединении представлений существенна связь между эти-
этими звездами, и для каждого из рассмотренных выше случаев
следует различать три возможности:
1) точки ft и —ft эквивалентны, т. е. ft = —ft;
2) ft не эквивалентно —ft, но пространственная группа содер-
содержит элемент /?, обращающий ft в —ft:
Rk = -k\
3) точки ft и —ft входят в разные звезды.
В последнем случае среди элементов группы нет ни одного
обращающего ft в —ft и, следовательно, сумма A8.32) равна
нулю, т. е. представления 3) и 3)* комплексны и неэквивалентны,
т. е. при этом может реализоваться только случай 6. Объедине-
Объединение этих представлений сводится лишь к объединению звезд {ft}
и {—ft} и, таким образом, инверсия времени приводит к равен-
равенству энергии в точках ft и —ft:
?(*) = ?(-*). A8.34)
*) При использовании таблиц проективных представлений надо иметь
в виду, что элемент g2 =(r2|rt + t) может содержать примитивную трансля-
трансляцию t, а также элемент Q. Соответственно его характер будет отличаться от
характера проективного представления для элемента (г2\хг,) фазовым мно-
множителем ехр(—ikt)t а если г2 включает Q, то и дополнительным множите-
множителем —1,
214
Конечно, условие A8.34) справедливо и во всех остальных слу-
случаях, однако в этих случаях оно является следствием простран-
пространственной CHMMefpHH. Таким образом, в указанном выше случае
&з объединение представлений полной пространственной группы
не приводит к объединению представлений групп волнового
вектора.
В случае а4 наличие линейной связи между функциями \|э и
/Сг|) означает линейную связь между функциями tyk и K^k, отно-
относящимися к одному лучу звезды.
В случае а2 такая связь имеется между функциями г|эЛ и
KRtyk> также относящимися к одному лучу.
В остальных случаях bu b2, й и с2 объединение представле-
представлений пространственной группы приводит к объединению пред-
представлений групп волнового вектора, т. е. к дополнительному вы-
вырождению зон в соответствующих точках й-пространства *). При
этом в случае Ь{ объединяются сопряженные представления &)*
и ?D*k, т. е. представления с сопряженными характерами, а в
случаях d к Сг — эквивалентные представления, т. е. представ-
представления с совпадающими характерами.
Сложнее обстоит дело в случае Ь2> когда базисом объединяе-
объединяемых представлений iZ>* и 3I, как указано выше, являются
функции i|^ и tyb = КЯ^у, где R — операция, обращающая k
в —ft, и поэтому представление \х группы волнового вектора яв-
является комплексно сопряженным не по отношению к представле-
представлению 2)\, а к представлению 2D\k, относящемуся к точке —ft,
базисом которого являются функции Ф* _* =/М>}*. При этом
согласно A2.24)
и соответственно
откуда
A8.35)
Формула A8.35) определяет характеры представления iZ>?,
которые надо объединять с @А. Так как элемент R не входит
в группу волнового вектора G*, то элементы g и R~{gR могу г
*) Так, из критерия Херринга сразу следует, что в кристаллах с центром
инверсии все термы в произвольной точке зоны Бриллуэна с учетом спина по
крайней мере двукратно вырождены. Действительно, если группа волнового
вектора Gk не содержит ни одного элемента, кроме единичного, то единствен-
единственным элементом, обращающим k в — ky является инверсия, так как при нали-
наличии еще одного такого элемента g в группу Gk входил бы элемент gi ф е.
Поэтому 2 = x(*ltJ = X(^lt + *#t)= X(e|0)= 1- Следовательно, согласно
A8.32) спинорные представления в этом случае относятся к случаю с, т. е.
они комплексны и объединяются попарно.
215
входить в разные классы, и поэтому характеры представлений
&v и &* вообще говоря не являются взаимно сопряженными.
Если среди элементов R = (р|т) имеется такой элемент /?' =
= (р'1т/)» что р' коммутирует со всеми элементами точечной
группы г, соответствующими элементам группы волнового век-
вектора g = (г|т), т. е.
R'-lgR' = (r\T + t% A8.36)
где ? = р'~]т — т + гр'"!' — р'~ т' — одна из примитивных
трансляций, то в качестве элемента R в A8.35) удобно выбрать
этот элемент R'. Тогда согласно A8.35) и A8.36)
в"'*'. A8.37)
Например, если в группу направлений входит операция ин-
инверсии, которая коммутирует со всеми элементами точечной
группы, то, выбрав R= (?|тг), получим f = rl — rxt — 2т.
Очевидно, что формулы A8.35) и A8.37) справедливы и в
случаях а2 и с2, когда представления 2)* и ?Z)* эквивалентны,
т. е. их характеры совпадают. Уравнение A8.35) накладывает
на эти характеры условие
%Z (?) = хГ (*"'**). A8.38)
из которого видно, что в случаях а2 и с2 вещественными являют-
являются не только характеры полного представления пространствен-
пространственной группы, равные сумме характеров представления для всех
точек звезды, но и попарные суммы характеров представлений
групп волновых векторов противоположных лучей k и —ft, ко-
которые согласно A8.37) и A2.24) равны
%1 (8) + llk is) = УН (S) + xj (IT18R) = 2 Re l{ (g).
Конечно, сами характеры представлений группы волнового
вектора при этом могут быть комплексными. В случаях а4 и си
когда точки k и —к эквивалентны и R = (е|0), эти характеры,
как следует из A8.37), всегда вещественны.
В заключение отметим, что операция инверсии времени не
может быть обычным образом включена в одну группу вместе
с операциями симметрии. Причина этого заключается в том,
что опе^рвтор К является антилинейным и антиунитарным опе-
оператором.
Действительно, для линейных и унитарных операторов, на-
например операторов пространственной симметрии, при а = const
имеют место соотношения
A8.39)
A8.40)
216
Где (^111J)= ( ^\^2dx—интеграл по конфигурационному про-
пространству. Для оператора /(, определяемого уравнениями A8.3)
или A8.23), эти соотношения имеют другой вид:
/С (аф) = аТСФ A8.41)
<tf*i I /С*2) = </Co*i I /Со'Фз) = <«2>*. A8.42)
Для спиновых функций, когда К определяется соотношениями
A8.23), последнее равенство является следствием унитарности
преобразования оу.
Рассмотрим теперь, какие дополнительные условия наклады-
накладывает инвариантность к инверсии времени на матричные элемен-
элементы оператора V:
Согласно A8.42)
С другой стороны
Поэтому
- A8.43)
Здесь мы учли, что (KVK~i)+ = KV+K'1.
Будем рассматривать операцию ®V = KV+K как результат
действия инверсии времени на оператор. Так как Q2V = Vt то
любой оператор V можно разложить на два оператора:
V-9 где К+=у(У-Ь6К) и у_=1
При этом
tl =fV±, где / = { + \ ™ 1+_[ A8.44)
Соответственно оператор V+ будем называть четным, а У_ —
нечетным по отношению к инверсии времени. Это название свя-
связано с тем, что для четных операторов среднее значение V(t) =
= (i|)V\|>) не меняется при замене / на —/, т. е. при замене г|) на
/Сф, тогда как для нечетных оно меняет знак при такой замене.
Действительно, согласно A8.43), A8.44)
KV^(KWW) = </C2*^Vr+/C/C2*> =/W$)=fV. A8.45)
Поэтому операторы величин, не меняющих знак при инверсии
времени, например координат, энергии, — четные, а операторы
величин, меняющих знак при замене t на — t, например скоро-
скоростей, импульсов, токов, — нечетные. При этом операторы У,
217
соответствующие вещественным величинам F, эрмитовы, т. е. для
них V+ = 1/, причем если эти операторы не действуют на спино-
спиновые переменные, то KV+K = KVK~l = V*.
Таким образом, для четных или нечетных операторов инва-
инвариантность к инверсии времени накладывает согласно A8.43) и
A8.44) дополнительное условие на матричные элементы:
<ФДЧ>/> = f (WiVKb)> где f = ± 1. A8.46)
Из A8.46) можно получить два полезных соотношения для
матричных элементов от крамерсово сопряженных функций. Так,
если г|)г- = i|)j, то в соответствии с A8.45)
A8.47)
Положим теперь \f>j = /Сг|^, тогда из A8.46) следует, что
(bVKb) = fK4bVKb),
откуда видно, что
(*№h> = 0 при f/C2 = --l, A8.48)
т. е. матричные элементы четного оператора на крамерсово со-
сопряженных спинорных функциях равны нулю, а у нечетного опе-
оператора равны нулю матричные элементы на комплексно сопря-
сопряженных координатных функциях.
В заключение заметим, что хотя операция К является анти-
антиунитарной, ее можно объединить вместе с унитарными опера-
операциями g в особую группу. При этом функции г|) и /Оф, если они
линейно независимы, также объединяются и образуют предстаK-
ление этой группы, называемое копредставлением, которое было
введено впервые Вигнером [1.1]. Свойства таких копредставле-
ний, естественно, отличаются от свойств обычных представлений.
Они подробно рассмотрены в работе [13.4]. При рассмотрении
влияния инверсии времени на спектр, правила отбора и другие
характеристики можно либо сразу использовать эти копредстав-
ления, либо исходить из обычных представлений пространствен-
пространственных или точечных групп, а влияние инверсии времени учитывать
дополнительно. Оба пути ведут к одним и тем же результатам.
В настоящей книге используется второй способ, который нам
представляется физически более наглядным.
§ 19. ПРАВИЛА ОТБОРА
В теории возмущений, теории квантовых переходов и т. п.
необходимо знать матричные элементы заданного оператора V
между известными волновыми функциями -ф:
J^V*. A9.1)
218
Например, квадрат модуля матричного элемента \V{j\2 опреде-
определяет вероятность перехода из состояния г|?г- в состояние г|^ под
действием возмущения V. В ряде задач нет необходимости явно
вычислять эти матричные элементы, а достаточно выяснить, бу-
будут ли соответствующие интегралы отличны от нуля, найти чис-
число линейно независимых компонент Vij и установить связь меж-
между различными линейно зависимыми матричными элементами.
Так как любой оператор V можно представить в виде суммы
1-х компонент операторов Vх1, преобразующихся по неприводи-
неприводимому представлению х группы симметрии 9 гамильтониана <9#0,
собственными функциями которого являются г|)г и i|)j, то далее
мы будем считать, что не только волновые функции г|# и i|)/, но
и операторы V*1 преобразуются по соответствующим неприводи-
неприводимым представлениям 2)^ 2)v и 3)к группы ^, и покажем, каким
образом, зная эти представления, можно получить ответ на ука-
указанные выше вопросы.
Применение теории групп к правилам отбора основывается
на следующей лемме: если функция @~i(x) преобразуется по не-
неприводимому представлению 2)^ то интеграл
отличен от нуля лишь в том случае, когда это представление
единичное, т. е. 3)^ = 2)о.
Для доказательства этой леммы заметим, что интеграл /
не изменится при переходе к новой системе координат х' = gx,
так как это означает простую замену переменных под знаком
интеграла. С другой стороны, если g есть одна из операций
группы, то функция g&~i{x) = &~i{g~lx) в соответствии с G.3)
при преобразовании g переходит в
*^iW™ 2 я)/* (*)*"/(*).
Из соотношений ортогональности (8.3) и (8.10) следует, что
Последнее соотношение непосредственно получается из (8.3) и
(8.10), если там положить S)v(g) = ^o(^). Поэтому, суммируя
по всем g и учитывая, что gJi = Ju получим
что и доказывает сформулированное выше утверждение.
219
Если представление 3), по которому преобразуется функция
г(х), приводимо, то очевидно, что интеграл
может быть отличен от нуля лишь в том случае, если это пред-
представление содержит единичное. Действительно, применив к
P'i(x) операцию g и суммируя по всем g, получим
g
Оператор
есть оператор проектирования (9.5), который выделяет из сово-
совокупности функций ^j{x) комбинацию #~о(*), преобразующую-
преобразующуюся по единичному представлению. Ясно, что эта функция
&*о(х) отлична от нуля, лишь если представление 2) содержит
единичное.
Вернемся к интегралу A9.1). В соответствии с G.3), входя-
входящие в подынтегральное выражение функции при операции пе-
переходят в
**7 = 2 st>h (g) */-. в*Г = 2 Ж (g) W, §vf = 2 m>i (g) vl
/' V V
Поэтому представление, определяющее преобразование подын-
подынтегральной функции, есть представление с матричными элемен-
элементами
2>п. п. n(g) = ^i (g) SD},{gH>h (g), A9.2)
т. е. 2) является прямым произведением представлений
0 = 0;x0vX2>M A9.3)
и в общем случае приводимо.
В соответствии с изложенной выше леммой это означает, что
матричный элемент оператора Vх', взятый между функциями,
преобразующимися по представлениям 3)^ и ?Z)V, может быть
отличен от нуля, лишь если прямое произведение представлений
A9.3) содержит единичное представление. Согласно (9.24) и
(8.16) для этого необходимо, чтобы произведение представлений
^X^>v содержало представление Sh.. Преобразование, опреде-
определяемое равенством
gV\i = 2,&Fi (S) 2>h (g) &vi (S) Vry, A9.4)
можно рассматривать как результат действия оператора 3)(g)
на Vlu, а совокупность п^п^п^ различных матричных элементов
220
V\j, соответствующих различным значениям t = l, 2, ..., /гд;
/ = 1, 2, ..., nv\ I = 1, 2, . . ., /гх, можно рассматривать как ба-
базис представления 3). Применяя последовательно все операции
группы g ^$, можно в общем случае найти h линейных соотно-
соотношений A9.4), связывающих один из элементов V ц с другими
матричными элементами V\'j'. Сумму
^/=т2^>к" = т]3 J 2Dt>t.n.n(g)Vrt<r A9.5)
8 S i'YV
в соответствии с (9.5) можно рассматривать как результат дей-
действия оператора проектирования Рх на V\\. Для того чтобы про-
проверить, не равен ли нулю данный матричный элемент, надо по-
подействовать на него оператором Я1, т. е. убедиться, что сумма
A9.5) не равна нулю.
Действуя оператором Р1 на разные элементы V*/, можно,
вообще говоря, получить разные функции вида A9.4), преобра-
преобразующиеся по единичному представлению. Так как согласно
A9.5) каждый из отличных от нуля матричных элементов может
быть выражен через эти функции, то общее число линейно неза-
независимых отличных от нуля матричных элементов равно числу
линейно независимых инвариантов, содержащихся в прямом
произведении A9.3). Согласно (9.24) это число Л/о равно
< A9.6)
8 ill 8
Таким образом, для определения числа отличных от нуля
линейно независимых компонент достаточно знать характеры
представлений, по которым преобразуются сам оператор и вол-
волновые функции, тогда как для определения неравных нулю ком-
компонент нужно найти инварианты A9.5), для чего необходимы
сами представления.
Учет инвариантности к инверсии времени. Как указывалось
выше, инвариантность к инверсии времени накладывает на ма-
матричные элементы дополнительное условие A8.46):
A9.7)
Л'
где f = ±1 в зависимости от того, является ли оператор четным
или нечетным по отношению к инверсии времени. Если волновые
функции К^ и i|)v являются линейно зависимыми, то это усло-
условие приводит к дополнительным соотношениям, уменьшающим
общее число линейно независимых матричных элементов. Как
указывалось в § 18, линейная связь между функциями /(г!?** и г|
имеет место в случае я, когда функции г|^ и \|)v относятся к од-
одному представлению, т. е. \i = v, и это представление Фу веще-
вещественно в случае обычных представлений или комплексно и
эквивалентно 3>v для спинорных представлений. В этом случае
221
согласно A8.7)
Поэтому преобразование F, определяемое равенством
FV[,=f(Ti$V?Ttif) = f 2 T\>tTViVlvi>* A9.8)
можно рассматривать как результат действия оператора F на
V\j, причем из условия инвариантности к инверсии времени
следует FV\i = Vlu. Если ^функции \|)J и Ktyl линейно незави-
независимы, то представления 3)? и 2DV объединяются в одно. В этом
случае имеются «диагональные» матричные элементы типа
и «недиагональные»
Условие A9.7) связывает диагональные элементы первого и вто-
второго типа соотношением
Vki. ki = ШУКЪЪ = f Ш*Т) = fVn A9.9)
и накладывает дополнительное условие симметрии на «недиаго-
«недиагональные»:
VKi. / = WiVijf) = FVlKit i» f (K^VK^l) = !K2VKU t. A9.10)
Для определения числа линейно независимых матричных эле-
элементов можно ввести расширенную группу, состоящую из эле-
элементов g" и gF, где оператор F определяется согласно A9.8)
или A9.10). При этом согласно A9.8) в случае а
Фп, г/, vi (Р§) = / (^v (g) Т)]ч @V (g) T)j4 tiix (g). A9.11)
Согласно A9.10) в случаях b и с для «недиагонального» эле-
элемента (KtfiVtii) *)
®п, /7, vi (Fg) = fK22Dli (g) ®}i (g) 2>h {g). A9.12)
Число линейно независимых компонент V[j равно числу еди-
единичных представлений, содержащихся в представлении 3) рас-
расширенной группы, определяемом соотношениями A9.4) и A9.11)
в случае а или A9.4) и A9.12) в случаях b и с**). При этом
*) Для матричного элемента (ф^/Сфу) ^>v Ы заменяется на 5>* (g).
Соответственно в окончательной формуле A9.13) вместо %v (g) будет стоять
Xv (ё)> что эквивалентно замене х* (^) на Хх (&)• В случае а оба эти выра-
выражения совпадают, так как в этом случае %v (g) == %*v (g).
**) Аналогичным образом можно, например, определить число единичных
представлений, содержащихся в симметризованном или антисимметризован-
222
Первый член этой суммы сводится к A9.6), причем в этом слу-
чае Xjl (g") = Хр. (ёГ) = Xv (йГ)> так как представление 5>* эквива-
эквивалентно 2)у. Второй член согласно A9.11) можно преобразовать:
S Ф (Fg)iit „, и = / S C)v (g) Т)*и C)v (g) T)jt SOI (g) =
=/xx (g) 2 (»v (g) raw (g) Г),,=/xh (ff) 2 (»v (g2) тг)п =
Здесь учтено, что согласно A8.8) 3)l(g) = T~l3)x(g) T и в со-
соответствии с A8.26) ТТ* = /С2, где /С2 = 1 для обычных пред-
представлений и К2 = —1 для спинорных. В том случае, когда
3){Fg) определяется уравнением A9.12), аналогично получим
2 Фи. и, и (Fg) = W2 2 Фи (g) ®Ъ (g) Фи (g) = К2\-и (g)\v (Я2),
т. е. в обоих случаях
^ A9.13)
Формулы A9.6) и A9.13) применимы для любой конечной
группы, в том числе и для пространственной группы, которую
всегда можно сделать конечной, вводя, например, циклические
граничные условия типа Борна — Кармана. Однако применять
их непосредственно в виде A9.6) или A9.13) для простран-
пространственных групп неудобно, так как для этого необходимо знать
характеры представлений пространственных групп 2){f , 3$Р
и 2$ в полном базисе, включающем базисные функции пред-
представлений p., v и х для всех лучей звезд {ft'}, {k} и {q} соответ-
соответственно.
Согласно A2.27) характеры этих представлений определяют-
определяются выражениями:
X(rtT + *) = Sx*'(r|T)e-'*«'. A9.14)
Суммирование в A9.14) ведется по всем лучам k{ звезды {k}f
а %1 — характер представления группы волнового вектора Gui9
При этом если g = (г|т) не входит в группу волнового вектора
G* , то в соответствии с A2.23) %ki(g) = 0 (j e G*.).
ном произведении: вместо того чтобы строить симметризованные или анти-
симметризованные функции (9.18) или (9.19), можно рассматривать все функ-
функции tyij как независимые, ввести операцию перестановки индексов /, подоб-
подобную A9.10), и проводить суммирование в (9.24) по всем элементам g и gf.
При этом #(/)= 1 для симметризованного произведения и 3)(/)=—/ для
антисимметризованного. В результате получатся такие же выражения, как
и при суммировании по g характеров симметризованного или антисимметри-
антисимметризованного произведений, определяемых уравнениями (9.22) или (9.23) соот-
соответственно.
223
Как указано в § 12, обычно представления пространственной
группы задаются не полным характером A9.14), а указанием
звезды {к} и характером представления группы волнового век-
вектора Gk одного из лучей звезды {к}. Поэтому мы преобразуем об-
общие формулы A9.6) и A9.13), с тем чтобы оставить в них лишь
характеры основных элементов, т. е. элементов, не содержащих
основных трансляций t, групп волновых векторов одного из лу-
лучей к', к и q каждой из звезд {к'}, {к} и {</}.
Перейдем к рассмотрению конкретных случаев.
Представления ?2){f и 3$ соответствуют разным энергиям,
звезды {—ft'} и {к} не совпадают. Матричные элементы такого
типа определяют, например, вероятность излучения или погло-
поглощения фонона при непрямых оптических переходах, т. е. перехо-
переходах, происходящих с участием фотона и фонона.
Для определения No в этом случае подставим A9.14) в A9.6)
и просуммируем по всем примитивным трансляциям. Тогда по-
получим
^-IS2 з?;'ю #<*)#<*)*' * • A9Л5)
8 Щ 1 Г<*1
Здесь суммирование ведется только по основным элементам
g = {r\x) группы G, не содержащим примитивных трансляций,
a h обозначает число этих элементов, равное числу элементов
группы направлений. При этом, как видно из A9.15), переходы
могут происходить лишь с сохранением квазиимпульса, т. е. при
*!-*/- 4l =0- A9Л6)
Здесь, как обычно, векторы, отличающиеся на 6, где Ь — любой
вектор обратной решетки, считаются совпадающими. Обозначим
три любых луча, удовлетворяющих условию A9.16), через
k[ — kf, k\=k и <7i = q соответственно, т. е. пусть
k'-k-q = O. A9.17)
Применяя к A9.17) операции g" e G, найдем другие значения
К> k}, qv удовлетворяющие A9.16):
gk'-gk-gq = O. A9.18)
При этом, как указывалось в § 12, на векторы к действуют лишь
поворотные операции г, т. е. при g = {r\r) gk = rk.
Допустим сперва, что, перебрав в A9.18) все основные эле-
элементы g группы G, мы получим все возможные значения к\, й/,
qu удовлетворяющие A9.16), т. е. среди операций g, не входя-
входящих в Gk, нет таких, что
0, A9.19)
если g2 не входит в Gk, a g3—в Gq. Тогда суммирование по
всем значениям i, j и / в A9.15) можно заменить суммирова-
224
Нием по всем g. Однако при таком суммировании каждая из
различных троек векторов Ыи kj и qu удовлетворяющих A9.16),
встретится h0 раз, где h0 — число элементов gy не меняющих
с точностью до эквивалентности ни один из векторов k', k и q.
Эти элементы g0 входят одновременно в группы Gk , Gk и Gq
и образуют группу Go, называемую пересечением этих трех
групп:
Go = Gw[\Gk{] Gq.
Поэтому, заменяя суммирование в A9.15) по t, / и I суммирова-
суммированием по g, надо разделить сумму на /i0:
K?g'). A9.20)
g' s
Характеры представлений групп волнового вектора, соответст-
соответствующие различным точкам одной и той же звезды {&}, в соот-
соответствии с A2.24) связаны соотношениями
X1 (g) = %e'k (g) = X* (g7lggt), A9.21)
где gi — фиксированная операция, переводящая луч k = ki в к\
A2.20).
Если подставить A9.21) в A9.20), то при суммировании по
всем основным элементам g\ когда этот элемент пробегает все
значения от g\ до g'h, элемент g^lg'gt пробегает в другой по-
последовательности те же значения gf или отличающиеся от g' на
примитивную трансляцию t. Фазовые множители, связанные
с этой трансляцией t, в силу условия A9.17) исчезают, поэтому
сумма
- 2 х*" (g~lg'g) х? ig-lg'e) xl (g~lg'g) = 2 xf (g') xkv (g') xl teO
gr gr
A9.22)
не зависит от g и суммирование по g в A9.20) сведется к умно-
умножению на число основных элементов группы G, равное h. Вхо-
Входящие в A9.22) произведения отличны от нуля лишь в том слу-
случае, если элемент g' входит одновременно в группы волновых
векторов Gk'> Gk, Gq. Поэтому окончательное суммирование
в П9.20) надо вести лишь по основным элементам группы Go,
являющейся пересечением групп волновых векторов Gkr{]Gk{\
П (iqy число которых равно /г0:
= i 2
o*= Go
Формула A9.23) фактически дает ответ на вопрос, сколько
раз представление 2Dk с звездой {—q] содержится в прямом
g Г. Л. Бир, Г. Е. Пикус 225
произведении представлений ^X®v со звездами {—ft'} и {ft}, a
условие A9.16) означает, что No отлично от нуля, лишь если
звезда {—q) содержится в прямом произведении звезд {—ft'} и {ft}.
Если A9.18) не исчерпывает всех значений k'r fty, qv удов-
удовлетворяющих A9.16), т. е. имеется другая тройка векторов
ft'= ftp k2 = g2ky q2 = g3q> удовлетворяющая A9.19), то, при-
применяя операцию g к A9.19), найдем другую серию векторов,
удовлетворяющих A9.16) и не входящих в A9.18). В результате
в A9.23) кроме имеющихся там слагаемых войдет вторая сумма
Z%f(g)n*k(g)^q(g), A9.24)
где g—основные элементы группы G, являющейся пересечением
групп: G = Gv{\ Gg2k Л Ggzq, число которых также равно /i0. При
произвольном расположении звезд {ft'}, {ft} и {q} появление двух
независимых соотношений A9.17) и A9.19) является случай-
случайностью. Однако если звезда {ft} совпадает со звездой {—ft'}, то
могут иметься две группы векторов, удовлетворяющих этим со-
соотношениям. В этом случае имеется операция gs, переводящая
ft в —ft', т. е.
-ft' = g5ft. A9.25)
При этом, если A9.25) выполняется для одной операции gSi то
оно выполняется и для всех операций gsgk> где gk— любая из
операций группы Gk- В этом случае соотношение A9.17) можно
записать в виде
-k' + k + q = gsk + k + q = O. A9.26)
Переставив первые два слагаемых, получим
k + g8k + q = O. A9.27)
Умножив A9.27) на gs и учитывая A9.25), последнее соотноше-
соотношение можно записать в виде
-b' + g28k + gsq = 0. A9.27а)
Соотношение A9.27а) не может быть получено из A9.26)
применением к нему какой-либо операции g (без перестановки
членов), если ни один из элементов g2s не является произведе-
произведением элементов gk,gki входящих в группы волнового вектора
Gw и Gk, и в этом случае соотношения A9.26) и A9.27а) надо
рассматривать как независимые; тогда М) определяется суммой
A9.23) и A9.24), причем в данном случае, как видно из сравне-
сравнения A9.19) и A9.27а), g = g\, a g^ = gs^ Выразив характеры
представлений групп G ч и G через характеры предста-
влений групп волновых векторов Gk и Gq с помощью A9.21),
226
окончательно получим
^о= i S <Bo) |X* (ft) X2 &>) + %5 («Т^оФ *Z («Г'адЛ• (*9-28)
go
Если же хотя бы один из элементов gs = gkrg'sgk удовлетворяет
соотношению g2s = gk,gk, то очевидно, что g^lgs^ Gq и соот-
соотношение A9.27а) не надо учитывать отдельно, так как оно яв-
является следствием A9.26)*).
Формулу A9.28), справедливую при g2s Ф gk,gk, можно пе-
переписать в более симметричном виде. Для этого в соответствии
с A9.22) для второго слагаемого заменим суммирование по go
суммированием по gjlgogs и учтем, что согласно A9.25) и
A9.21)
<to) = С*to) = 4k(Ла). fi(sssC) = \kto)- О9-29)
Тогда получим
A9.30)
где go^Go = G_esk(]Gfc(]Gq.
При определении вероятностей прямых оптических переходов,
т. е. переходов, происходящих без изменения импульса, а также
в ряде других задач мы имеем дело с вертикальными перехо-
переходами. В этих случаях qi = 0 и операторы V? трансляционно ин-
инвариантны и преобразуются по представлениям точечной груп-
группы направлений F с характерами хх(ё")- При этом если k и
—V = —k входят в одну звезду, то gs = в и, следовательно, лю-
любая операция g2s = gk'gk, так как gk и ^входят в Gk,. Поэтому
в этом случае всегда справедлива формула A9.23), причем сум-
суммирование ведется по всем основным элементам группы Gk, т. е.
Представления SD^ и 2)v относятся к одной энергии. В этом
случае представления совпадают или объединяются в силу ин-
инвариантности к инверсии времени. Матричные элементы такого
типа определяют, например, вероятность междуминимумных пе-
переходов с поглощением или излучением фононов.
Прежде всего рассмотрим случай, когда функции \|?v и /C\|?v
линейно независимы. Пусть переход происходит между
*) Поэтому для тех групп, для которых произведение элементов g^gfc
исчерпывает всю группу, соотношение A9.27а) заведомо не является неза-
независимым.
V 227
состояниями \|^, относящимися к одному и тому же представле-
представлению, но, вообще говоря, к разным точкам звезды, например к и
к' —grky т. е. эти векторы удовлетворяют уравнению A9.17):
grk-k-q = 0. A9.32)
В этом случае No определяется уравнением A9.23), но так как
представления 3)^ и 2)v совпадают, то согласно A9.21)
¦?(So) = *lr"(So) = ? (e7l§oSr) A9-33)
и, следовательно,
go
где
Формула A9.34) применима, например, в случае Ь3, когда
объединение представлений 2)v и 3TV сводится к объединению
звезд, для переходов между точками, относящимися к одной
звезде. Она также применима для определения числа «диаго-
«диагональных» компонент в случаях bu b2 и с{ и с2> когда объединяют-
объединяются представления групп волнового вектора в каждой точке звез-
звезды. При этом, если ни одна из операций g2s, где gs превращает к
в —к! = —grk, не равна gvgk, то вместо A9.23) надо использо-
использовать A9.30). В данном случае операцию gs можно записать как
gs = grR~\ где R — операция, обращающая к в — к. Так как
%;k (g) = С (g) = X* (R~lgR), A9.35)
то
N°=i S «(so) Fr (sr'soffr) x*v (во) +
go
+ X** (^"'^) Xv (^Г'ЗДг^)]- <19'36a>
Для случаев bi и cly когда точки к и —к эквивалентны, R = е \\
XT (fif0) X5 (гГ^г)].
A9.366)
Число линейно независимых недиагональных компонент в слу-
случаях Ъ и с определяется уравнением A9.13). В случае Ь3 эти
недиагональные компоненты соответствуют переходу между точ-
точками, относящимися к разным звездам, например между kj и
й' = — к.. Во всех этих случаях недиагональные компоненты
(K^-k v^l ) соответствуют переходу между состояниями \|)^ и
228
|? Д|Л, а компоненты ^VK^Lk ) — переходам из состоя-
состояния г|^ =/С'ф-л в г|э?. Причем если для диагональных ком-
компонент S)M( = S)v, то для недиагональных 2Dli = !2)*v. Согласно
A9.33) и A8.35)
xf (g) = %;k'(g) = X* (87188,)> О9-37)
где gs — операция, обращающая ft в —ft'.
Число линейно независимых компонент в случае а, когда
функции г|) и Лд|) линейно зависимы, также определяется урав-
уравнением A9.13). При этом 2)^ = 2)^ так как jj, = v, но сопря-
сопряженные характеры согласно A8.38) также удовлетворяют усло-
условию A9.37). Первая часть суммы в A9.13) отличается от A9.6)
лишь коэффициентом 1/2, так как величину (%v(g)J в A9.13)
можно записать как %il(g)%v(g)> причем в случае а \х = v. По-
Поэтому это слагаемое сводится к A9.23), и остается вычислить
лишь вторую часть суммы A9.13), которую ниже будем обо-
обозначать как 2г.
Подставив A9.14) в A9.13) и просуммировав по всем прими-
примитивным трансляциям, получим следующее выражение:
= Ж S S ^
о-
При этом учтено, что
Х$ [(г I т + *J] = х? [(г| г)*]
Если между векторами — ft* = g"sftj, ftj и Ц\ имеется только
одно независимое соотношение A9.17), то все остальные могут
быть получены последовательным применением операций g e О*
A9.17):
ggsk + gk + gq = 0. A9.39)
Уравнение A9.39) определяет все возможные значения векторов
fti, ftj и qh удовлетворяющих условию типа A9.16): для выпол-
выполнения этого условия эти векторы должны быть связаны соотно-
соотношениями
-к( = ё'-1к!=§§8к, ft/ = ?ft, qi = gq\ A9.40)
при этом каждая одинаковая тройка встретится в A9.39) йораз,
где h0 — число основных элементов группы Go, являющейся пе-
пересечением групп Gk, Ggsk, Gq. Поэтому суммирование по /
и / в A9.38) можно заменить суммированием по g, разделив
сумму на h0. Учитывая A9.39) и A9.40), аргумент б-функции
можно переписать в виде
g'~lkj -f kj + qt= g'~lgk + gk + gq =
= g'~*gk - ggsb = e(8~l8'~l8 - 8s)k.
229
Поэтому сумму A9.38) можно аналогично A9.22) преобразовать
к виду
^^лх V& ; Av V& / ug У lgk, gsk
e g
= 2 2 %i (g-'g's) x* [(ir'g'gJ] Vv-'e*. Ss* =
Дельта-функция 6g/fe g-\k отлична от нуля, лишь если g' = gjlgk,
где gk e Gk. Поэтому суммирование по g' можно заменить
суммированием по основным элементам группы Gk- Учитывая,
что произведение характеров отлично от нуля, лишь если эле-
элемент g' = g~lgk входит в Gq, а его квадрат g'2 = (gjlgky вхо-
входит в Gk, и используя A9.31) и A9.37), окончательное выра-
выражение для Л/q можно записать в виде
где
Как указывалось выше, если хотя бы один из элементов g2s
может быть представлен как произведение gk,gk, то соотноше-
соотношение A9.27) не является независимым и не должно учитываться
отдельно. Легко показать, что в случае, когда k и —k входят
в одну звезду, условие g2s = gk,gk эквивалентно условиям
Действительно, в этом случае k' = grk и gk, = grgkg~l, a gr =
= gsR. Поэтому из условия g2s = gk,gk = gsRgkR~lgJlgkwenyeT,
что (gjlgkJ = RgjtlRgb e GA. Поэтому, если хотя бы для одного
из элементов g2sz=gk,gki то вторая сумма в A9.41) отлична от
нуля. Если же ни один из элементов gs не удовлетворяет этому
соотношению, то второе слагаемое в A9.41) обращается в нуль,
а первое слагаемое надо заменить выражением A9.30). Как
видно из A9.37), оба слагаемых в A9.30) в последнем случае
совпадают. В результате, учитывая, что в A9.13) в знаменателе
230
стоит величина 2А0, получим
go
Переходы между состояниями, относящимися к одному лучу
звезды. Как будет показано ниже, матричные элементы такого
типа определяют, например, вид спектра E(k) в этой точке.
Если матричный элемент берется между функциями i|)J и г|^ и
функции Ktyv и x|?v линейно независимы, то No определяется урав-
уравнением A9.34). Так как здесь k = k\ то gr = е и q = 0 и
A9.43)
Суммирование в A9.43) ведется по всем основным элементам g
группы G*, так как все эти элементы входят й в группу направ-
направлений F*.
Формула A9.43) применима в том случае, когда точки k л
—ft входят в разные звезды (случай Ь). Если k и —ft входят
в одну звезду, а функции i|)v и /(i|)v линейно независимы и объ-
объединяются в одно представление (случаи Ьи &2, ?ь ^)> то эта
формула определяет число линейно независимых «диагональ-
«диагональных» компонент, соответствующих переходам между состояния-
состояниями \|)J и г|)^, а число линейно независимых «недиагональных»
компонент, соответствующих переходам между состояниями \|)J
и /(i|)J, определяется уравнением A9.41), которое в данном
случае перепишется в виде*)
A9.44)
Здесь суммирование ведется по основным элементам группы Gk>
a R — один из элементов, превращающих k в —k. В случаях &4
и Си когда точки k и —k входят в одну звезду, R = е и iV0
*) Заметим, что для точек внутри зоны Бриллуэна значение /[(#?J], как
и величина |x(g)|2, не зависит от наличия непримитивных трансляций и
совпадает с значением х[(#гJ] Для группы направлений, соответствующей
данной группе Gk. Действительно, так как Rgk = — k, то при R = (? | т^),
g = (г I *)
% 1Ш2\ = X l(Rr)*} exp [- ik (Rr (xR + Rx) + rR + Rr)] =
-= X l(^J] exp [~ / (xR + Rx) ((Rr)~l k + k] = % [(RrJ].
231
определяется формулой
(g) + K2h*(g% A9.45)
которая отличается от A9.13) лишь тем, что суммирование про-
проводится не по всем элементам группы, а по основным элемен-
элементам группы волнового вектора.
В случае а, когда функции x|?v и Ktyv линейно зависимы, No
также определяется уравнением A9.44), причем если точки к и
—k эквивалентны (случай #i), то справедлива формула A9.45),
а в том случае, когда они неэквивалентны, — формула A9.44),
которую, учитывая, что в данном случае представления 2)^ и
2DV совпадают и выполняется уравнение A9.37), можно перепи-
переписать в виде
S }. A9.46)
Указанные выше формулы полностью решают задачу опреде-
определения числа линейно независимых матричных элементов, т. е.
дают ответ на вопрос, разрешены или запрещены те или иные
переходы. В тех же случаях, когда необходимо кроме этого вы-
выяснить, какие именно матричные элементы отличны от нуля, и
установить связь между ними, можно использовать соответст-
соответствующие проекционные операторы, т. е. использовать уравнение
A9.5). При этом суммирование в A9.5) достаточно проводить
лишь по тем основным элементам пространственной группы g==
= (г|т), а также по элементам Fg, по которым ведется сумми-
суммирование в соответствующих суммах, определяющих число этих
компонент Л^о.
§ 20. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫХ КОМПОНЕНТ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕНЗОРОВ
Изложенный в предыдущем параграфе метод определения
линейно независимых матричных элементов непосредственно
применим и для определения отличных от нуля линейно незави-
независимых компонент материальных тензоров, определяющих свой-
свойства кристаллов, например тензора проводимости а, тензора уп-
упругих постоянных S и т. п.
Каждый материальный тензор S связывает между собой два
полевых тензора А и В. Эти тензоры А и В могут быть разного
ранга, в частности А и В могут быть векторами, т. е. тензорами
первого ранга. Например, тензор проводимости а связывает ком-
компоненты плотности тока / с напряженностью электрического по-
поля 8: U = ^oik&k. Тензор упругих постоянных связывает тен-
232
зор деформации е с тензором напряжений Т: zi} = 2 Si!klTki,
ki
Ранг тензора S равен суммарному рангу тензоров А и В. Итак,
пусть
At = ^SikBky B0.1)
где Ai и Bh — всевозможные компоненты тензоров А и В. При
переходе к новой системе координат хг = гх эти компоненты пре-
преобразуются по соответствующим тензорным представлениям iZ>A
и к>в полной сферической группы. Это означает, что компоненты
тензоров А и В в новой системе координат А[ и В[ связаны
с компонентами Ai и Bk в старой системе соотношениями
4 = M, = 20f,(r)i4/, Bfe = rBfe = 20f*(>-)B/. B0.2)
Подчеркнем, что здесь аналогично B.29) предполагается, что
операция г произведена над координатной системой, что эквива-
эквивалентно применению операции г к самим тензорам. Если же
операция г применена к самим тензорам, то матрицы 3) (г) в
B0.2) заменяются на транспонированные. Для тензора ранга п
тензорное представление 2)п в общем случае является прямым
произведением п векторных или псевдовекторных представлений
0f, характеры которого определяются уравнением A0.20).
Эти тензорные представления приводимы и содержат пред-
представления S)j полной сферической группы, определяемые фор-
формулой A0.21), согласно которой
/+/
= 2 0/. B0.3)
/Н/'-Л
При этом произведение представлений одинаковой четности дает
четные представления 0/\ а разной четности — нечетные 2DJ.
Если матрицы 3)А{г) и 3)в{г) известны, то легко найти за-
закон преобразования тензора S. Для этого выразим Bk через В?:
г1
Bk = r-lB'k = 2u2Dfk (r)Bi=^a^l(r)Bl B0.2a)
Подставив это значение в равенство
А'т = 2 2>ш (г) At = 2 SDtm (r) SikBb B0.4)
i im
которое следует из B0.1) и B0.2), получим
А'т = 2 Фш (г) SDK (r) SikB'i. B0.4а)
iml
Так как, с другой стороны,
V о' п'
B0.46)
233
то из сравнения B0.4а), B0.46) следует, что компоненты тензо-
тензора S при переходе к новой системе координат преобразуются
по закону
S'ml = rSml = 2 ®т'т, VI (г) 5тТ, B0.5)
m'V
где
Фт'т. П (Г) = ®т>т (г) 3>% (г). B0.6)
Здесь для удобства индексы i и k в B0.4а) заменены на т' и /'
соответственно.
Таким образом, компоненты тензора S образуют базис пред-
представления 2DS, являющегося прямым произведением представле-
представлений SDA и 3)*в:
Фз = ФаХ®*в. B0.7)
Формула B0.5) и B0.6) определяют закон преобразования
компонент тензора Smi при переходе к новой системе координат
и справедливы при любом преобразовании г.
В общем случае это тензорное представление B0.6) приво-
приводимо и его можно разложить по неприводимым представлениям
данной пространственной группы. При этом компоненты тензора
S, так же как и А и В, естественно, преобразуются по трансля-
ционно инвариантным представлениям, т. е. представлениям, со-
соответствующим точке k = 0, так как макроскопические свойства
кристаллов определяются только группой направлений F, т. е.
они совпадают для всех пространственных групп, входящих
в один и тот же кристаллический класс.
Если г — один из элементов симметрии кристаллической груп-
группы F, т. е. операция г переводит все направления в кристалле
в эквивалентные, то компоненты Smi в новой и старой системах
координат совпадают, т. е. при г е F
Smi = rSml = 2 2Dl>mt п (г) SmT. B0.8)
m'V
Применяя последовательно все операции г е F, можно таким об-
образом получить h соотношений, связывающих Smi с другими
компонентами. Если теперь просуммировать B0.8) по г, то вид-
видно, что каждую из компонент Smi можно выразить через инва-
инвариант группы F:
S
г m'V
Таким образом, все матричные элементы могут быть выра-
выражены через их инвариантные комбинации, преобразующиеся по
единичному представлению, и, следовательно, общее число ли-
линейно независимых отличных от нуля компонент Nq равно числу
таких линейно независимых инвариантов, т. е. числу единичных
234
представлений, содержащихся в прямом произведении B0.7).
Поэтому согласно (9.24)
l^xB(r). B0.10)
г ml r
Если представления 3)а и 2Db в группе F приводимы, то их
можно разбить на неприводимые, выделив соответствующие ком-
компоненты Ат и Вту преобразующиеся по определенному неприво-
неприводимому представлению 2DK группы F. Компоненты тензора Smvi,
связывающие Ат и В/, преобразуются по представлению
^zs^X^I. Как показано в § 9, такое произведение содер-
содержит единичное представление лишь в том случае, если представ-
представления 3)к и 2DV совпадают, причем в этом случае единичное
представление содержится в произведении йОхХ^С один раз.
Поэтому,
если 2>д = 2М?0х, 0B = 2tf20x, то #о = 2М?ЛГ?- B0.11)
Матрицы представления <2)xv, по которому преобразуются ком-
компоненты 5ы, в соответствии с B0.6) определяются выражением
®тт>, IV (Г) = ®т>т (г) Sbfi (г). B0.12)
Подставив B0.12) в B0.9) и используя соотношение ортогональ-
ортогональности (8.10), получим
*&« (г) ?Й (г) 5^ -
г m'V
• = ^ У 6тт6тХт = 6KV6mI -J- У S?m» B0.13)
I'm' ' m
Формула B0.13) показывает, что при указанном выборе ком-
компонент Ат и Вт лишь диагональные компоненты SmKm отличны
от нуля, причем все компоненты одного представления одина-
одинаковы, т. е. SmKm = SY (/=1, 2, ..., /гх).
Подчеркнем, что в B0.13) предполагается, что функции
Ат и Вт преобразуются по сопряженным представлениям. При
этом индекс т указывает номер функции данного представле-
представления. Равенство этих индексов в B0.13) отнюдь не предполагает
в общем случае совпадения обычных (т. е. координатных) ин-
индексов у компонент тензоров. Например, в группе Сг, где функ-
функции х и у преобразуются по одному и тому же одномерному
представлению В, функция Af может означать и jX9 и jy9 a
В\ — и <?х, и <SV, и в этом случае тензор имеет а четыре отличные
от нуля линейно независимые компоненты: охх, оуу, оху = oyXt a
235
также oZZf связывающую компоненты /2 и <SZ, преобразующиеся
по представлению А.
Как известно, инвариантность уравнений движения к инвер-
инверсии времени накладывает на кинетические коэффициенты допол-
дополнительные условия, называемые соотношениями Онзагера. Эти
соотношения приводят к связи между различными кинетически-
кинетическими тензорами, например тензором Пельтье и тензором термоэдс,
а также накладывают в ряде случаев на компоненты тензоров
Sih добавочные условия симметрии к перестановке индексов i
и k. Аналогичные условия накладываются и на другие матери-
материальные тензоры. Эти обобщенные соотношения Онзагера могут
быть сформулированы в следующей форме*):
Если изменение полной энтропии —гг или внутренней энер-
энергии —тг может быть выражено в виде суммы — 2 ВкАь, то
тензор S, связывающий в соответствии с B0.11) компоненты
тензоров А и В, удовлетворяет условию
SM(-H). B0.14)
если оба оператора А и В вещественные или мнимые, и
-Ski(-H), B0.15)
если один из этих операторов вещественный, а второй мнимый.
Например, тензор проводимости а, тензор упругости S и об-
обратный ему тензор жесткости С удовлетворяют условию B0.14).
Добавочные условия симметрии к перестановке индексов тен-
тензора S могут быть также связаны с симметрией полевых тензо-
тензоров А и В. Например, тензоры деформаций е и напряжений Р
симметричны, т. е. е^ = ш и Pik = Ры- Соответственно и тен-
тензор упругих постоянных S и тензор жесткости С должны быть
симметричны и к перестановке индексов внутри первой и второй
пар, т. е.
S B0.16)
Все эти добавочные условия могут быть учтены в B0.4) вве-
введением дополнительных элементов симметрии ри означающих
перестановку соответствующих индексов. При этом суммирова-
суммирование в B0.10) надо вести по всем элементам г, rpu rp2i ..., учи-
учитывая, что операция р приводит к перестановке соответствующих
индексов в правой части B0.6). Однако эти добавочные усло-
условия проще учесть сразу при определении представления 2DS
в B0.7).
*) См., например, Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Статистическая фи-
физика, М., 1964, § 122; Л. Д. Ландау, Е. М Л и ф ш и ц, Электродинамика
сплошных сред, М., 1957, § 88.
236
Так, например, симметрия тензоров г и Р к перестановке ин-
индексов означает, что они преобразуются по представлению 2),
являющемуся симметризованным произведением [<&?]. Так как
согласно A0.23), A0.24) при целом /'
Щ\ ='% 2>2„ \ф\) = '"g ' <08Ж, B0.17)
то это произведение [&>\\ = ?>о + 3J-
Симметрия или антисимметрия тензора Sih к перестановке
индексов i и k, которая, конечно, может иметь место лишь при
совпадении представлений 3)в и 3)\, означает, что тензор S
преобразуется соответственно по симметризованному или анти-
симметризованному произведениям <2)8 = [Я?в\ или 3)s = {&)%}>
характеры которых определяются выражениями (9.22) или (9.23).
При этом, если S)B = ^S)h то согласно (9.22) и (9.23)
[X2(?)] = у{ №Xi(S)
т 2 (к? <«) + «у (?2)} +
/
K] 2 2;^% B0.18)
аналогично для антисимметризованного произведения
WSi ={ B 0/J}- 2 {^} + 2 2у a>ia>/. B0.19)
Заметим, что выражения B0.18) и B0.19) справедливы не-
независимо от того, имеются ли среди представлений 3J одинако-
одинаковые или нет и являются ли эти представления неприводимыми.
Так, например, тензоры S или С согласно B0.16) — B0.18) и
B0.3) преобразуются по представлениям
B0.20)
Тензор а в отсутствие магнитного поля в соответствии с B0.14)
преобразуется по представлению
Фо = \®f] = sot + 2>o. B0.21)
Тензор холловской проводимости <хн, описывающий изменение
тока в магнитном поле jt= 2 стш^Я/, в соответствии с B0.14)
ы
2
ы
антисимметричен к перестановке первых двух индексов и,
237
следовательно, преобразуется по представлению
В изотропной среде, симметрия которой описывается полной
сферической группой, число линейно независимых компонент
тензора в соответствии с B0.10) равно числу единичных пред-
представлений 2>о» содержащихся в представлении 3)в9 по которому
преобразуются компоненты этого тензора. Например, тензор С
или S имеет в изотропной среде две линейно независимые ком-
компоненты, а тензоры а и вн — по одной. Если при этом разложить
тензоры А и В в B0.1) по неприводимым представлениям этой
группы А!т и Вт, то в соответствии с B0.13) при указанном
выборе компонент А и В отличны от нуля лишь диагональные
компоненты Smm, причем все компоненты Smm с данными / оди-
одинаковы. При понижении симметрии представления ?Dj при / ^ 1
(в кубических группах — при /^2) становятся приводимыми и
могут содержать единичное представление данной группы. При
этом для определения полного числа единичных представлений,
содержащихся в 3)8, достаточно знать, какие из представлений
2K, имеющиеся в 2>s, содержат единичное представление данной
группы и сколько раз.
ГЛАВА IV
МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ
§ 21. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. fep-МЕТОД
Для детального определения спектра Еп{к) во всей зоне
Бриллуэна требуется численное решение уравнения Шредингера
A7.1) В последнее время разработан ряд приближенных мето-
методов определения волновых функций и энергетического спектра
электронов в твердом теле, однако численное решение уравне-
уравнения Шредингера наталкивается на ряд практических трудно-
трудностей, связанных главным образом с определением самосогласо-
самосогласованного потенциала V(x).
В полупроводниках, однако, в большинстве случаев знание
всего энергетического спектра не является необходимым, поэто-
поэтому для них очень плодотворным оказался другой подход. По-
Поскольку обычно в полупроводниках число носителей тока —
электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне —
мало по сравнению с полным числом атомов в кристалле, то
при достаточно широкой разрешенной зоне в условиях термо-
термодинамического равновесия электроны концентрируются вблизи
минимума зоны проводимости, а дырки — вблизи максимума ва-
валентной зоны. Поэтому в большинстве задач физики полупро-
полупроводников достаточно знать энергетический спектр только вблизи
экстремумов зон.
Существенно при этом, что возможные виды спектра вблизи
данной точки могут быть определены только на основании сооб-
соображений симметрии, без численного решения уравнения Шре-
Шредингера.
Так как вид спектра вблизи экстремума существенно опреде-
определяет наблюдаемые на опыте свойства полупроводников, то из
сопоставления экспериментальных данных с теорией можно оп-
определить, какой из возможных видов спектра реализуется в дан-
данном полупроводнике, и найти константы, входящие в выражение
для энергии.
Необходимым условием экстремума зоны является равен-
равенство нулю всех производных энергии по ka\
т. е. наклона зоны в точке k0.
239
Хотя экстремумы зоны в принципе могут находиться в про-
произвольной точке ^-пространства, почти во всех полупроводниках,
в которых положение экстремумов известно, они находятся в тех
точках зоны Бриллуэна, в которых нулевой наклон зоны для
всех или некоторых направлений ka является следствием сим-
симметрии точки k0. Поэтому существенно выяснить, какие из точек
зоны Бриллуэна могут быть точками нулевого наклона, а следо-
следовательно вероятными точками положения экстремумов зон.
Эта задача может быть решена методами теории групп. Оче-
Очевидно, одновременное обращение в нуль всех производных
dEJdka может происходить только в отдельных точках й-прост-
ранства. «Подозрительными» на экстремум точками следует счи-
считать точки в ^-пространстве, в которых из-за условий симметрии
или инверсии времени обращаются в нуль все компоненты ско-
скорости, либо точки на линиях симметрии, в которых тождествен-
тождественно обращаются в нуль две компоненты скорости, а также точки
на плоскости, в которых одна из компонент скорости равна нулю
из-за симметрии или инверсии времени.
Экстремум, конечно, может находиться и в произвольной точ-
точке зоны Бриллуэна, не обладающей никакой симметрией, где
для конкретного потенциала V(x) все три компоненты скорости
обращаются в нуль.
Качественное исследование спектра вблизи точки k0 основано
на так называемом fcp-методе, который является вариантом тео-
теории возмущений и по существу близок к использованному в § 17
методу иссле цования аналитических свойств волновых функций
и энергий. В § 17 использовались блоховские функции \|зпЛ, ко-
которые являются точными решениями уравнения Шредингера
A7.1), A7.2) для идеального кристалла. В полупроводниках,
где существенны области fc-пространства, достаточно близкие
к точке экстремума зоны k0, для исследования энергетического
спектра носителей тока в идеальном кристалле, а особенно при
исследовании поведения носителей тока в медленно меняющихся
электрических и магнитных полях удобным оказалось другое
представление — так называемое представление Латтинжера и
Кона. В этом представлении волновой вектор k отсчитывается
от точки экстремума fe0, т. е. k = K — &о, где К — волновой век-
вектор рассматриваемой точки в fe-пространстве (в § 17 разность
К — ko обозначена х). В качестве базиса выбираются не бло-
блоховские функции i|)rt/c A7.5), а функции qnk:
где tynk — блоховская функция в точке экстремума k0
являющаяся собственной функцией оператора 5#0 = (p2/2m)-f
-+- V (ж) и соответствующая энергии Еп (kQ).
Функция (pnk нормирована на объем кристалла Y =
где N — число элементарных ячеек в кристалле, a Qo — объем
элементарной ячейки. Функции unk0 нормированы на объем эле-
элементарной ячейки:
тН^Л.^о=1- B1-3)
Функция ynk преобразуется по тому же представлению
группы трансляции, т. е. соответствует тому же Л, что и точ-
точная функция г|)п/с, но отличается от нее тем, что функции ynfc
соответствует периодическая функция unk0, а не ипк.
Функции (pnk ортогональны:
<Ф„'*'ФП*> = 6„„А*~ B1-4)
Здесь для удобства мы считаем объем кристалла Т конечным и
соответственно накладываем на функции ynk циклические гра-
граничные условия, поэтому значения k являются дискретными.
Ортогональность функций q>nk по Л, как и ортогональность
по k функций tynf(f следует из того, что при трансляции на век-
вектор решетки Браве матричный элемент (фп/Л/ФпЛ) приобретает
множитель eiaik~k'\ не равный единице, так как векторы k и Л'
лежат в зоне Бриллуэна. Ортогональность по п является след-
следствием ортогональности периодических функций unk^
Волновую функцию tynx можно разложить по функциям фпЛ,
имеющим ту же периодичность:
4W = 2<V4W B1-5)
Коэффициенты сп, осуществляют переход от блоховского пред-
представления к представлению Латтинжера и Кона.
Рассмотрим сначала метод расчета спектра E(k) без учета
спин-орбитального взаимодействия.
Подставляя разложение B1.5) в уравнение Шредингера
(<Ж)—- ?)if> = 0, умножив его слева на ф*л и проинтегрировав
по х, получим систему уравнений
При этом мы учли, что
Ж'0 (р) eik* = eik* Ж* (р + hk). B1.7)
В B1.6) рпп, — матричные элементы импульса, вычисленные на
блоховских функциях tynk:
В уравнении B1.6) при малых k слагаемые
можно рассматривать как возмущение, причем междузонные
матричные элементы, как и в A5.35) и A5.45), имеет только
оператор <5#2. Для их устранения нужно совершить преобразо-
преобразование A5.33), после чего во втором приближении по k в соответ-
соответствии с формулой A5.47) получим
п'
(ко) + 4? - Е) 6пп< + %
V k k
Невырожденные зоны. Для невырожденной зоны из B1.10)
следует, что энергия E(ko + k) в квадратичном по k прибли-
приближении равна
а ар
где согласно B1.10)
Pnfco, n'ko Pn'ko, nko "•" Pnko, n'fca Pn'ko, nkts ¦ * x /O1 1O\
1 1 V1
1
Существенно, что, исходя только из соображений симметрии
и используя правила отбора для матричных элементов импуль-
импульса, можно определить количество не равных нулю констант ра
и 1/тар и установить соотношения между ними, т. е. получить
качественный вид спектра En{ko-\-k) B1.11). Так как оператор
импульса преобразуется по представлению 3){ (в группе Gk9
оно может быть и приводимым), то в общем случае число от-
отличных от нуля компонент р^0 nJfeo равно числу Ni единичных
представлений, входящих в прямое произведение
и определяется формулой A9.43)
tfi=-F 2 1Х|Л*)РХ|(Я) = ТГ 2 %Лё)> B1ЛЗ)
поскольку для одномерных представлений произведение 3)*' X
Х^5ц° всегда является единичным представлением.
Из B1.13) следует, что отличны от нуля лишь те константы
Pnk nk> которые соответствуют компонентам k^ преобразую-
242
щимся по единичному представлению группы (?*0, т. е. инвари-
инвариантным к преобразованиям из группы G*o.
Поскольку dEnjdka= plk^ nh^ то формула B1.13) определяет
точки нулевого наклона, т. е. точки ft0, в которых тождественно,
в силу условий симметрии, обращаются в нуль те или иные
компоненты скорости dEj'dka.
Так, если в группу симметрии точки k0 входит инверсия, то
обращаются в нуль все компоненты импульса, т. е. в этом слу-
случае dEn/dka = 0 для всех направлений вектора к Если же точка
ft0 лежит на оси симметрии второго или четвертого порядка, то
инвариантной ко всем поворотам будет только составляющая
вектора ft0, параллельная рассматриваемой оси, т. е. в этом слу-
случае две перпендикулярные оси симметрии компоненты скорости
обращаются в нуль из-за условий симметрии. В том случае, ког-
когда точка лежит на плоскости симметрии, в нуль обращается
компонента скорости, перпендикулярная плоскости симметрии,
так как она меняет знак при отражении в этой плоскости.
Для одномерных представлений эти условия согласно B1.13)
не зависят от самого одномерного представления S)*\ а только
от симметрии точки ft0.
Рассмотрим теперь, как преобразуется сумма B1.12) под
действием элемента g ^ G^o.
Если одна из зон п\ по которым ведется суммирование в
B1 12), m-кратно вырождена, то в сумму B1.12) с одним энерге-
энергетическим знаменателем En{ko) — En>(ko) входят т слагаемых,
по числу вырожденных функций *|>s(n/)fte (s = 1, 2, ..., m) зоны
п!. Под действием элемента g e G*o сумма этих слагаемых пе-
переходит в выражение
2 <гФя
S
» ^ X
X <Ъ ,| Ра' | *,
где S>i {g) — представление, по которому преобразуется им-
импульс р, а ^^ — представление, по которому преобразуются
функции Ф5(п/Iк|. Используя соотношение унитарности G.11)
получим, что
X 3>fa {g) Ф^ (g) &t (g)«) (8),
243
т. е. каждое слагаемое в B1.12) преобразуется как (^nAo | рар^+
+ P^pa\^nkQ)> a П0Т0МУ и вся сумма B1.12) (т. е. константы
1/шар) преобразуется- по прямому произведению
2>JS[2>, X Щ2>1* = [2)х X Фх]. B1.14)
Число N2 независимых констант 1/шар равно в соответствии
с B1.14) и A9.43)
2 l^^p^teJ + Xte8))^ 2 №(*)] BЫ5)
Из B1.14) и B1.15) следует, что квадратичная часть разло-
разложения энергии B1.11) содержит только комбинации kak$, инва-
инвариантные к преобразованиям из группы Gk0- Вблизи точки экс-
экстремума энергия является квадратичной функцией ka, при этом
для существования экстремума требуется также положительная
определенность формы kk
j
Вблизи экстремума энергия En(k0 + k) может быть записана
в виде
^^kak^ B1.16)
Величины l/map называются тензором обратной эффективной
массы.
Таким образом, вблизи точки экстремума зависимость энер-
энергии от ka в низшем по ka приближении носит параболический
характер, но в отличие от свободного электрона характеризуется
анизотропной эффективной массой.
Симметричный тензор l//nap может быть приведен к главным
осям, в которых B1.16) принимает вид
Еп (Л + *) ? (*) + 2
Поэтому в случае невырожденной зоны поверхности постоянной
энергии вблизи экстремума всегда являются эллипсоидами, оп-
определяемыми шестью параметрами: шестью компонентами сим-
симметричного тензора l/map или тремя главными значениями \/та
и тремя направлениями главных осей эллипсоида энергии.
Симметрия эллипсоида B1.16) определяется только симмет-
симметрией точки k0. Так, если точка экстремума находится на оси
симметрии, то одна из осей эллипсоида энергии совпадает с
осью симметрии. Если ось симметрии является осью третьего,
четвертого или шестого порядка, то эллипсоид энергии являет-
является эллипсоидом вращения, две другие оси эллипсоида могут
быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной оси
244
Таблица 21.1
Группа
симметрии
е
Ci
Cs
с2
C2h
C2v
D2, D2h
S4> D2d
C4, C4V
D л, C,A,
D4
Равные
нулю
компоненты
—
p*. Py, Pz
Pz
P*. Py
Px, Py, Рг
p*, Ру
p\ py, Pz
P*. Py, pz
p\ рУ
P*. py, pz
Энергия вблизи точки экстремума
2m, *• ' 2m2 ' 2m3 R3
B2 h2 , »2 a . Й2 ,2
2m, *' ' 2m2 Й2 '" 2m3 **
hh\ ь\\ hh\
1 I
2m 1 2/n2 ' 2/n3
fi2^ Й2^ »2Л2
2/ni ' 2/n2 2/n3
fi2^2 Й2^2 Й2*2
1 1
2/nj 2m2 2/n3
Й?Л? fi2^ й2^2
1 1
2m, 2/n2 2m3
2/П! ' 2/n2 2m3
2m, "* 2m3
fi2 /2 2x fi2fel
fi2 ,, 9Ч ь\\
2m,(^ + ^)+2m:
Расположение главных
осей эллипсоида
Может быть любым
Может быть любым
Оси х> у — в плоско-
плоскости сгд, ось z перпен-
перпендикулярна плоско-
плоскости Gh
Оси ху у — в плоско-
плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной оси с2; ось z
направлена по оси с2
Ось г — по оси съ
оси ху у — в плоско-
плоскости ah
Ось z — по оси с2>
оси х, у — по линиям
пересечения плоско-
плоскостей Gv С ПЛОСКО-
ПЛОСКОСТЯМИ, перпендику-
перпендикулярными с2
Оси х, у> z напра-
направлены по трем осям
второго порядка
Ось z — по оси s4,
оси дс, г/ — произволь-
произвольно в плоскости, пер-
перпендикулярной s4
Ось 2 — по оси с4,
оси ху у — произволь-
произвольно в плоскости, пер-
перпендикулярной оси с4
Ось z — по оси с4,
оси х, у — произволь-
произвольно в плоскости, пер-
перпендикулярной оси с,
245
Таблица 21.1 (продолжение)
Группа
симметрии
Сб> C6Vi
Съу C3v
Сзь D5ht
5в, ?>3rf>
D6, D6h
0, 0Л> 7\
Га. Г*
Равные
нулю
компоненты
Ра
рх,ру
р\ р\ Рг
Рх,Р",Рг
Энергия вблизи точки экстремума
й2 и2 t ^ t ь24
2т, (Л> ' **J ! 2т3
Расположение главных
осей эллипсоида
Ось 2 — по оси с3,
оси jc, г/ — произволь-
произвольно в плоскости, пер-
перпендикулярной оси с3
То же
Любые
симметрии. Если точка ко находится на пересечении трех взаимно
перпендикулярных осей второго порядка, т. е. имеет группу сим-
симметрии D2, или же лежит на оси второго порядка и в плоскости
отражения ov, т. е. имеет группу симметрии C2v, то эллипсоид
характеризуется тремя различными эффективными массами.
Главные оси эллипсоида при этом направлены вдоль элементов
симметрии, т. е. вдоль взаимно перпендикулярных осей второго
порядка, а для группы C2v — вдоль оси второго порядка и вдоль
линий пересечения плоскостей отражения ov с плоскостью, пер-
перпендикулярной оси второго порядка.
В табл. 21.1 указаны компоненты импульса, обращающиеся
в нуль в силу условий симметрии B1.13), для одномерных пред-
представлений всех точечных групп симметрии точки k0, а также ука-
указано расположение осей эллипсоидов энергии.
Если экстремум находится в центре зоны Бриллуэна feo=O,
то группа Fku совпадает с полной группой направлений Т7, харак-
характеризующей кристаллический класс, и имеется один эллипсоид,
симметрия которого совпадает с макросимметрией кристалла.
Аналогичная ситуация может иметь место и в тех случаях,
когда экстремум невырожденной зоны находится на границе
зоны Бриллуэна, если группа симметрии точки k0 совпадает
с пространственной группой.
Если же экстремум зоны находится не в центре зоны Брил-
Бриллуэна, то симметрия точки k0 в общем случае ниже симметрии,
определяемой кристаллическим классом, и симметрия энергии
E{k) вблизи экстремума также может быть ниже симметрии
кристалла. Но в этом случае звезда вектора к0 всегда содержит
и другие лучи ко, при этом энергия во всех точках звезды оди-
одинакова, Е (йо) = Е (*о)> а вид Е {ко -f *) вблизи точки ко получает-
246
ся из эллипсоида B1.16) применением тех элементов ^группы G,
которые переводят вектор Ло в k[: ki0 = gik0. Поэтому эллип-
эллипсоид энергии в точке ki получается из эллипсоида энергии в точ-
точке k0 соответствующим элементу gi поворотом осей.
В целом энергетический спектр в согласии с A7.10) обладает
симметрией кристалла.
Этот тип зон называется многоэллипсоидной или многодолин-
многодолинной зонной структурой. При этом имеется вырождение по энер-
энергии в различных точках й-пространства, хотя зона в каждом
экстремуме ко не вырождена.
Вырожденные в точке fe0 зоны. В соответствии с теорией воз-
возмущения для вырожденного уровня в системе уравнений B1.10)
следует рассматривать все состояния п\ которые имеют одну и
ту же энергию в точке Ло- Эти состояния мы будем обозначать
индексами ?, /=1, 2, ..., /л, где т — кратность вырождения
зоны в точке fto. Система уравнений B1.10) для вырожденной
в точке h зоны имеет вид
S*i/(*o. k)c, = Eci9 B1.18)
где согласно B1.10)
"^ 2m2 LA R°-4 Id E (k0) - En, (k0) ' V1-1*'
aP п'ф1, i
Условием разрешимости системы B1.19) является равенство
нулю ее определителя:
0, B1.20)
что приводит к алгебраическому уравнению порядка m для энер-
энергии Е = ?(fto + k) — E(ko), которое имеет m решений Ej (j =
= 1, 2,..., m). После определения Ej система уравнений B1.18)
дает возможность определить коэффициенты Сц, соответствую-
соответствующие энергии Ej и определяющие волновую функцию <р^ ko+k:
B1.21)
Коэффициенты сц образуют унитарную матрицу с.
Если число различных решений уравнения B1.20) равно т,
т. е. вырождение полностью снимается, то все миноры определи-
определителя B1.20) отличны от нуля. В этом случае система B1.18)
имеет единственное нормированное решение с точностью до про-
произвольного фазового множителя в каждом столбце. Если же
247
происходит только частичное снятие вырождения, т. е. число
различных решений уравнения B1.20) меньше га, то система
уравнений B1.18), естественно, дает решения только с точностью
до произвольного унитарного преобразования волновых функ-
функций, относящихся к состояниям, которые остаются вырожден-
вырожденными. Энергия ?(fto + ft) и волновые функции <р? ko+k вблизи
точки ft0, получающиеся из решения уравнений B1.18) и B1.20),
автоматически удовлетворяют условиям совместности для пред-
представлений в точке ft0 и соседних точках kQ-\-k: в тех направле-
направлениях, где согласно теории групп вырождение снимается не пол-
полностью, уравнение B1.20) будет иметь совпадающие решения,
а волновые функции г^ ko+k = V^qpJ 4о+Л» определяемые по
B1.21), преобразуются по представлениям 0*°+*> на которые
согласно условиям совместности распадается представление S)?°.
При достаточно малых ft квадратичные по ft члены в матри-
матрице Ж малы по сравнению с линейными и Ж является линейной
функцией ka. Поэтому вблизи окрестности точки ft0 поправка
к энергии Et(ko-\-k)—Eo(ko) является однородной функцией
первого порядка по ka. Как следует из B1.18), коэффициент сц,
будучи отношением двух однородных функций первого порядка,
сам является однородной функцией ka нулевого порядка, т. е.
не зависит от величины ft, а только от направления вектора ft.
Таким образом, в достаточно малой окрестности вблизи точ-
точки вырождения зоны ft0 волновые функции г|^ ko+k зависят от
направления приближения к точке ft0. Этот результат был полу-
получен ранее в § 17. Формула B1.21) дает возможность конкретно
определить зависимость lim tyi ko+k от направления вектора ft.
Если линейные по ka члены отсутствуют, то добавка к энер-
энергии Ег(к) является однородной квадратичной функцией
ka и Ф* и*+ь по-прежнему зависят только от направления векто-
вектора к.
Явный вид матрицы 5^y(ft0, ft), а поэтому и матрицы с (ft)
зависит, естественно, от конкретного выбора базисных функций
^k , однако энергия ?2(fco + ft) не зависит, конечно, от выбора
базиса.
Необходимым условием экстремума, как и в случае невырож-
невырожденной зоны, является обращение в нуль всех матричных эле-
элементов импульса:
#*./». = о-
Все изложенные выше соображения относительно «подозри-
«подозрительных» на экстремум точек в зоне Бриллуэна справедливы и
для случая вырожденных зон.
Если волновые функции в точке ft0 преобразуются по пред-
представлению 2)^\ то число отличных от нуля компонент оператора
248
импульса p*kQ Jko равно числу N{ единичных представлений,
встречающихся в прямом произведении
^ X ®\ X 2>1*\
где 2>i — векторное представление, по которому преобразуются
компоненты импульса. Число Ni можно определить по характе-
характерам представлений %*° и %{ согласно A9.43):
^=F 2 №WXii8)- B1.22)
Заметим, что, в отличие от случая невырожденной зоны, Ni за-
зависит от представления 25*°, по которому преобразуются волно-
волновые функции в точке k0.
Повторяя вывод, аналогичный выводу формулы B1.14) для
случая невырожденной зоны, можно показать, что квадратичные
по ka матричные элементы 2/&& преобразуются как матричный
элемент
+ P^IV)- B1-23)
Отсюда следует, что число независимых констант, определяю-
определяющих матрицу <9#B) и, соответственно, спектр вблизи экстремума,
равно числу Л^2 единичных представлений, входящих в разложе-
разложение прямого произведения представлений
т. е.
N>=i S |xj-te)|2[xjte)] BL24)
Если звезда {k0} имеет несколько лучей klQ, то в каждом из них
зона m-кратно вырождена, а энергия Е(Ц + К) вблизи точки kl0
получается, как и в случае невырожденной зоны, из энергии
E(ko + k) вблизи точки Uq при помощи преобразования gif пе-
переводящего kQ в Ц: E(kl0 + k) = E(k0 + gr4t).
Инверсия времени. Учет инвариантности к инверсии времени
при расчете энергетического спектра сказывается в двух отно-
отношениях. Во-первых, размерность представления, по которому
преобразуются волновые функции в точке ft0, принадлежащие
одной энергии E(ko)y должна быть удвоена в тех случаях, ког-
когда инверсия времени приводит к объединению представлений
в точке k0. Во-вторых, инверсия времени может накладывать до-
дополнительные требования на волновые функции, что может при-
привести к обращению в нуль матричных элементов импульса, не
равных нулю из-за соображений симметрии.
249
Рассмотрим сначала случай 1, когда kQ и — k0 эквивалентны.
Этот случай реализуется для k0 = О, а также тогда, когда kQ
находится на границе зоны Бриллуэна и k0 = —ft0. Как ука-
указывалось в § 18, этому случаю соответствуют три варианта: а\,
Ь\ и С\.
В случае ах наличие линейной связи между функциями Ktysk9
и г|?^о приводит к дополнительным ограничениям на матричные
элементы операторов ра и рарр, входящих в 26 B1.19). Учиты-
Учитывая, что ра по отношению к инверсии времени является нечетным
оператором, для чисел Ni и N2 линейно независимых матричных
элементов ра и рарР + РрРа при/B= 1 согласно A9.45) получим
B1.25)
В случаях 6i и Ci волновые функции ty*skQ и \|)sfto линейно не-
независимы, при этом в случае fti представления полной простран-
пространственной группы 0{fo} и S)[fo}* комплексны и неэквивалентны,
а в случае Ci комплексны и эквивалентны. Поэтому в случае Ь^
представления группы волнового вектора 3% и &?* неэквива-
неэквивалентны и имеют комплексно сопряженные характеры, а в слу-
случае Ci представления iZ)*0 и &?* эквивалентны. В случаях bi и
d происходит объединение полных представлений пространст-
пространственных групп 0[fo} и 2)*^кй\ которое приводит к объединению
в каждой точке луча ko представлений группы волнового вектора
2)k} и ?>*Ч
Таким образом, в случаях Ь{ и Ci кратность вырождения зо-
зоны в точке fto удваивается и базис состоит теперь из 2п^ функ-
функций tyik и i|)*fto, i = 1, 2, ..., п^ где Пц — размерность представ-
представления 2I*.
При преобразованиях из группы G*o эти 2п1Х функций преоб-
преобразуются по объединенному представлению, которое является
приводимым и имеет квазидиагональный вид:
При вычислении матрицы возмущения Ж{3 B1.19) (i9j = 1,2,...
...,2д,л), определяющей спектр и волновые функции вблизи
точки ft0, появятся как «диагональные» матричные элементы
операторов ра и рар$ между функциями г|).Ло, г|э.Ло или ф*Ло, г|?*Ло,
так и «недиагональные» матричные элементы, соответствующие
состояниям г|?/Ло, г|э^о. Число независимых «диагональных» мат-
матричных элементов операторов ра и рар^ + р^ра согласно A9.43)
250
определяется формулами B1.22) и B1.24), тогда как число «не-
«недиагональных» матричных элементов iVi и ft в случаях С\ и fti
определяется формулами B1.25).
В случае 2 вектор — k0 не эквивалентен вектору kOy но входит
в звезду {k0}. Это будет в тех случаях, когда в группе G суще-
существует элемент /?, который переводит k0 в — k0:
Rko = -ko. B1.27)
Поскольку звезда {k0} неприводима, это означает, что звезды
{k0} и —{k0} совпадают. Соотношение B1.27) может быть напи-
написано для каждого луча kl0 звезды {?Л со своим R* — gtRgJ~\
где gi — элемент группы G, переводящий к0 в Ц.
Как указывалось в § 18, в случае 2 также существуют три
.возможности: а2, Ь2 и с2.
В случае а2 существует линейная связь между функциями
Ktysk =WSb и функциями tysfc^ и полные представления прост-
пространственной группы ^>{fo} и Ф*^ эквивалентны.
Согласно A2.19) г|), _?o = /M^o, поэтому в случае а2, как
указывалось в § 18, существует линейная связь между функция-
функциями y$>tku и функциями KR^tw относящимися к одному лучу,
что приводит- к дополнительным требованиям на матрич-
матричные элементы импульса, и в соответствии с A9.46) ft и ft опре-
определяются формулами
B1.28)
В случаях Ъг и с2 волновые функции \|з*Ло и г|)^о линейно не-
независимы. В этом случае нужно объединять полные представле-
представления пространственной группы 2){fco) и Ф*{к*\ что приводит к объ-
объединению представлений в группе волнового вектора k0.
Поскольку функции -ф*Ло относятся к лучу — ft0, то в точке ft0,
как указывалось в § 18, надо объединять представления, по ко-
которым преобразуются функции г|^Ло и KR^sfc^ относящиеся
к тому же лучу kOy т. е. представления 2D^{g) и 3T**{R~~xgR),
характеры которых связаны соотношением A8.35). Эти пред-
представления в случае с2 эквивалентны, а в случае Ь2 неэквивалент-
неэквивалентны. Поэтому в случаях Ь2 и с2 объединенное представление имеет
вид
I о Kfo ( *
Число независимых «диагональных» элементов матрицы Ж> вы-
вычисленных на функциях ^sk и KR^sfc, определяется формулами
B1.22) и B1.24); при этом°в B1.22)° и B1.24) нужно подстав-
подставлять характеры представлений iZ>*° и 2T^{R"xgR) соответствен-
соответственно. Для числа независимых «недиагональных» элементов мат-
матрицы Ж в случаях &2 и Сч согласно A9.44) справедливы формулы
^W 2 {
B1.30)
N*=w S К И С te) С (*"'«*) +
В случае 3 вектор —fc0 не входит в звезду {?0}, т. е. в прост-
пространственной группе G нет элементов, превращающих k0 в —k0.
В этом случае, как указывалось в § 18, возможен только ва-
вариант Ь3. Инверсия времени приводит к объединению полных
представлений пространственной группы 3){*о) и 3T^ko\ но по-
поскольку их звезды {k0} и {—k0) не совпадают, это приводит не
к увеличению размерности представления в точках k0 звезды
{fto}, а к равенству энергии в точках k0 и —й0, которое в случае
&з само по себе не является следствием симметрии кристалла.
Для случая bz для чисел Ni и N2 независимых матричных
элементов ра и рар$ + р$ра справедливы формулы B1.22) и
B1.24).
Спин-орбитальное взаимодействие. Учет спин-орбитального
взаимодействия в зонной теории может быть проведен двумя
способами.
В первом методе, справедливом при произвольном по вели-
величине спин-орбитальном взаимодействии, оператор 3@со A6.9)
с самого начала включается в самосогласованный потенциал,
так что новый потенциал V = V + <Э#Со таким образом стано-
становится зависящим от спиновых переменных. При этом волновые
функции классифицируются по неприводимым двузначным пред-
представлениям пространственной группы.
Изложенный выше способ определения спектра полностью
применим в этом случае, с тем отличием, что в соответствующих
формулах нужно заменить оператор р на я A7.15), который,
так же как и р, преобразуется по векторному представлению 3)\
и является нечетным по отношению к инверсии времени:
КГ1яК = КоОуЯвуКо = — л.
В случае двузначных представлений инверсия времени приводит
в ряде случаев к объединению представлений группы волно-
волнового вектора, а также к дополнительным условиям на матричные
элементы.
При этом и для двузначных представлений возможны случаи
1, 2 и 3, рассмотренные в § 18, однако при использовании крите-
критерия Херринга A8.32) нужно иметь в виду, что для спинорных
представлений К2 =—1. Вследствие этого, как указано в § 18,
изменяется знак перед соответствующими слагаемыми в форму-
формулах для определения Ni и N2.
Так, в случае аи когда имеется линейная зависимость между
функциями K^sk(i и i|3sV
=t S
B1.31)
В случаях fri и d функции Kfy8k и tysfc линейно независимы,
и в этом случае происходит объединение представлений 3)^ и
3)?\ Полная матрица представления группы волнового вектора
имеет вид B1.26). Числа независимых «диагональных» матрич-
матричных элементов матрицы Ж определяются формулами B1.22) и
B1.24), а «недиагональных» — формулами B1.31).
В случае а2, когда k0 и — k0 входят в одну звезду, функции
}\>sk и KRtyika линейно зависимы и числа Ni и Л^г равны
^=w S xi (в) | х*- («г) |2 +
N>=w S [х? (в)] I x*- (er) |2 — [x? te)] * ((J)
В случаях &2 и с2 объединяются представления 3%(g) и
9)*\?U{R~]8R), матрица представления в точке k0 имеет вид
B1.29). Числа N\ и Л^2 для «диагональных» элементов матрицы
Ж определяются формулами B1.22) и B1.24), а для «недиаго-
«недиагональных»— формулой A9.44):
B1 33)
В случае b3 инверсия времени снова приводит к эквивалент-
эквивалентности точек k0 и —feOl а числа Ni и Л^2 даются формулами B1.22)
и B1.24).
25S
Подчеркнем, что при учете спин-орбитального взаимодейст-
взаимодействия в соответствующих формулах стоят характеры двузначных
представлений пространственных групп.
Однако обычно величина спин-орбитального взаимодействия
значительно меньше энергии порядка атомной, поэтому часто
удобнее использовать второй метод, когда спин-орбитальное вза-
взаимодействие рассматривается как возмущение. В этом методе
отчетливо выступают особенности зонной структуры, связанные
именно со спин-орбитальным взаимодействием, и в зонных пара-
параметрах можно выделить релятивистски малые члены.
Поскольку расстояние между ближайшими зонами в ряде
полупроводников также значительно меньше атомной энергии,
то могут иметь место различные соотношения между величиной
спин-орбитального расщепления и расстоянием до ближайшей
зоны, которое, в частности, может быть шириной запрещенной
зоны.
Рассмотрим сначала схему fcp-метода в случае, когда спин-
орбитальное взаимодействие значительно меньше расстояния до
ближайшей зоны. В этом случае можно строить спектр при уче-
учете спин-орбитайьного взаимодействия только для рассматривае-
рассматриваемой зоны.
Если без учета спина эта зона m-кратно вырождена в точке
k0 и волновые функции tysku преобразуются по некоторому пред-
представлению 2Dk« группы волнового вектора (которое может быть
и приводимым за счет объединения нескольких неприводимых
представлений), то с учетом спина имеется 2т функций^а и
ф5ЛоР, которые образуют базис представления 2Dk« X ^1/2. Это
представление является в общем случае приводимым и может
быть разложено по неприводимым двузначным представлениям
пространственной группы, что означает, что спин-орбитальное
взаимодействие в общем случае снимает m-кратное вырождение
зоны в точке k0.
Для определения величины спин-орбитального расщепления
зоны и получения правильных функций в точке ?0, которые в дан-
данном случае являются линейными комбинациями функций y\)sk a
и i|)sftp, нужно диагонализовать матрицу Жсо, вычисленную
на функциях Ф^сс и Ф^Р- Эта задача сводится к решению си-
системы уравнений B1.20), где роль матрицы Ж играет матрица
3ffco. Решая соответствующее системе характеристическое урав-
уравнение, получим (Lx<2m решений ?<(йо), разделенных некоторы-
некоторыми энергетическими интервалами Д*, описывающими спин-орбн-
тальное расщепление зоны.
Для определения спектра вблизи точки ko для каждой из от-
отщепившихся зон Ei(ko) можно использовать полученные выше
формулы, при этом оператор р следует всюду заменить на я.
Отличие от первого способа заключается в том, что здесь отчет-
254
ливо видно, из какой зоны без учета спин-орбитального взаимо*
действия произошла рассматриваемая зона.
Рассмотрение каждой из отщепившихся зон по отдельности
возможно только в случае достаточно малых k, когда
?<(*<>+ *)-?*(*<>) «а*-
Если же энергия, отсчитанная от дна /-й расщепившейся
зоны, становится сравнимой с расстоянием до ближайших рас-
расщепившихся зон, то для определения спектра следует решать
уравнение B1.20) порядка 2т, включая в матрицу К, наряду
с членами кара и kak$pap$, и спин-орбитальное взаимодействие
<2#со. Если величина спин-орбитального расщепления рассматри-
рассматриваемой зоны порядка или даже превосходит расстояние до бли-
ближайшей зоны, в частности ширину запрещенной зоны, то при
вычислении волновых функций и энергии в точке koc учётом ЖСо
следует в качестве базиса выбрать 2(mi + w2) функций, отно-
относящихся к обеим зонам, т. е.
где s(ai,)=1, 2, ..., m,; t(n2)=l, 2, ..., m2.
Для определения правильных волновых функций в точке ?0, ко-
которые в этом случае могут включать все 2(mi + m2) функций
обеих зон, нужно решать систему B1.20), в которой роль возму-
возмущения играет матрица ^со, вычисленная в указанном базисе,
а энергия Ei(k0) с учетом Жсо дается корнями соответствующего
характеристического уравнения B1.20).
Определение энергии вблизи k0 для каждой из полученных
таким образом зон проводится рассмотренным выше методом.
Может оказаться, что без учета 2вС0 зона в точке ko имеет нуле-
нулевой наклон, но за счет релятивистских .членов появляются отлич-
отличные от нуля линейные по ka члены в разложении энергии вблизи
ко. При этом в линейном по спин-орбитальному взаимодействию
приближении такие члены возникают только во втором порядке
теории возмущений по отношению к операторам C#Со)*0 и tikplm
как перекрестные произведения их матричных элементов.
В первом приближении теории возмущения вклад от реляти-
релятивистского слагаемого в л, т. е. от оператора -?—2"[aVF], равен
нулю.
Действительно, этот вклад пропорционален матричным эле-
элементам (я?0|-^_ |fl'fco)f где п' = п для невырожденной зоны, а
в случае вырожденной зоны состояния п и п' имеют одну энер-
энергию. Вычисляя матричный элемент от коммутатора
255
получим
{nko | _|L, n%) = t (En {ko) _ En, {К)) pW вv B1.35)
откуда следует, что для всех состояний пип'с одинаковой энер-
энергией En{ko) = En>{ko)
В тех случаях, когда линейные по ka члены в точке k0 имеют
релятивистскую малость, точку k0 следует рассматривать как
«подозрительную» на экстремум, так как малые линейные члены
только несколько смещают его от точки k0. В этом случае в мат-
матрицу Ж наряду с квадратичными по ka членами следует вклю-
включать и малые линейные по ka члены. Собственные значения мат-
матрицы Ж дадут спектр вблизи точки k0 и новые положения экс-
экстремумов зоны k'o.
Природу линейных по ka членов можно определить с по-
помощью теории групп. Использование однозначных представле-
представлений пространственных групп дает правила отбора для матричных
элементов оператора р, в то время как соответствующие фор-
формулы для двузначных представлений определяют число не рав-
равных нулю компонент линейных по k членов, входящих в матрицу
Ж при учете спин-орбитального взаимодействия. Если согласно
правилам отбора для двузначных представлений какая-либо
компонента па Ф О, но при этом использование однозначных
представлений дает ра = 0, то это означает, что рассматривае-
рассматриваемый матричный элемент имеет релятивистскую природу.
Изложенный в этом параграфе fep-метод дает возможность
найти спектр Ei(ko + k) вблизи точки k0 и в более высоких при-
приближениях по k.
В связи с этим возникает вопрос, каков безразмерный пара-
параметр разложения энергии вблизи точки k0 и является ли квад-
квадратичное разложение энергии вблизи экстремума достаточным
для описания различных физических явлений в полупровод-
полупроводниках.
Как видно из структуры формул теории возмущений B1.10),
безразмерным параметром разложения является величина
где pnfc n,k — матричный элемент импульса (или оператора л
при учете спин-орбитального взаимодействия) между зонами п
и п', а Еп (ko) — En'(ko) — расстояние между зонами в точке k0.
Используя выражение B1.16) для энергии вблизи экстремума,
легко показать, что параметр разложения может быть записан
также в виде VEkfE, гДе ?* — кинетическая энергия носителей,
256
отсчитанная от дна зоны, а Е — некоторое среднее расстояние
между рассматриваемой зоной и другими зонами п\ Если экс-
экстремумы валентной зоны и зоны проводимости находятся в од-
одной точке fe0 и матричный элемент импульса Pvk%tCk% между
валентной зоной и зоной проводимости не равен нулю, то в сум-
суммах B1.10) и B1.19) главный вклад в энергию дает взаимодей-
взаимодействие этих двух зон и E^Eg. В этом случае критерий примени-
применимости квадратичного разложения имеет вид
g B1.37)
Поскольку в условиях термодинамического равновесия Ek^kT
или \i для невырожденного и вырожденного электронного газа
соответственно, где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная
температура, \i — уровень Ферми, то из B1.37) следует, что
в полупроводниках с достаточно большой шириной запрещенной
зоны при не очень высоких температурах и не слишком больших
концентрациях носителей тока критерий B1.37) может быть вы-
выполнен с достаточно хорошей точностью.
Двухзонная модель. В полупроводниках с малой шириной за-
запрещенной зоны, однако, уже при сравнительно невысоких тем-
температурах и концентрациях носителей тока появляются замет-
заметные отклонения от параболической зависимости ?(?0 + &) от ft.
Для описания спектра в этом случае используется так называе-
называемое двухзонное приближение. В двухзонном приближении га*
мильтониан Ж (ко + к) строится сразу для двух близко располо*
женных зон, ftp-взаимодействие между которыми учитывается
точно, а взаимодействие с другими, более удаленными зонами —
по теории возмущений.
В такой модели матричные элементы Жпп* определяются
общей формулой A5.46). При этом в квадратичном по к при-
приближении «диагональные» блоки матрицы 3t\ т. е. матричные
элементы между состояниями внутри зоны проводимости (кото*
рые мы будем обозначать индексами s, s') или состояниями ва-
валентной зоны (индексы t, /'), учитывают вклады от более дале-
далеких зон:
Y1 U U \ Ps (с) *о n'ko Pn'kt s' (с) *0
2 М
Г
Е (k\-E (k\
Ps (с) »о, n'ko Pnfk,t s' (с) *o ) , Й k
"+¦ ~^Г
— F
¦' I ¦ ———— Qffft
9 Г. Л. Бир, Г. Е. Пикус 267
«Недиагональные» блоки матрицы Ж между состояниями внутри
валентной зоны и зоны проводимости содержат линейные по ka
члены:
В случае необходимости можно учесть междузонные члены и
более высокого порядка по k.
В соответствии с формулой A5.34) базисом этого предста-
представления являются функции
— V
т Zd Ec(k0)-En,(k0) *
я'М-а а B1.40)
Ъ (v) *, -Г m 2Л Ev (*0) - Еп, (*0) •
п'фс,у,а
При малых k, когда энергия Ей, отсчитанная от дна соответ-
соответствующей зоны Ес или Ev, мала по сравнению с Eg = Ec(ko) —
— Ev(k0), двухзонная модель приводит к тем же результатам,
что и рассмотрение каждой из зон отдельно, но если Ek ~ Е%9
в каждой из зон возникает непараболическая зависимость энер-
энергии от k.
Точность двухзонного приближения определяется парамет-
параметром YEJE, гДе Ё — расстояние до более далеких зон, и обычно
вполне достаточна для удовле!верительного описания спектра
в полупроводниках с малой шириной запрещенной зоны.
§ 22. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Уравнение, описывающее движение электрона в кристалле
при наличии внешних полей, возмущающих периодическое поле
решетки Vo(x), имеет вид
-j<d (х, О) +U{x,t) + ± л (оН)] V = ih ^,
B2.1)
где
^о (Р) = ?- + Vo (х) + да- ([a Wo] р) B2.1 а)
— оператор Шредингера для идеальной решетки, \io = eh/2mc —
магнетон Бора, go — g-фактор для свободных электронов.
Внешние поля, электрическое и магнитное, задаются вектор-
векторным потенциалом <з$(х, t) и скалярным потенциалом U(x,t):
% = — VI/+ — -^-, Н = rot <з#.
Хотя всегда можно выбрать калибровку, где (/==0, мы рас-
258
смотрим общий случай, так как в ряде задач удобнее задавать
именно скалярный потенциал.
Точное решение уравнения B2.1) является еще более слож-
сложной задачей, чем определение спектра и волновых функций
в идеальном кристалле. Однако если внешние поля достаточно
плавные, т. е. мало меняются на расстояниях порядка постоян-
постоянной решетки, а частота их изменения со временем намного мень-
меньше величины Д?/й, где АЕ — расстояние между ближайшими
зонами по вертикали, т. е. при том же й0, то для электронов,
находящихся вблизи экстремума ft0, задачу о движении в воз-
возмущенном периодическом поле можно свести к задаче о движе-
движении частицы с определенной эффективной массой в медленно
меняющемся внешнем поле. В случае вырожденных зон движе-
движение этой частицы описывается системой уравнений, определяе-
определяемых тем же оператором Ж(к) B1.19), которым согласно B1.20)
определяется и спектр носителей вблизи экстремума. Поэтому
это приближение называется методом эффективной массы.
В этом методе волновая функция V записывается в виде
произведения медленно меняющихся функций &~n{x,t) и собст-
собственных функций fynk%(x) невозмущенного гамильтониана Жъ
в точке ?0:
^= 2 *"„(*•')*„,,• B2.2)
При этом зона в общем случае предполагается вырожденной,
т. е. одному значению энергии могут соответствовать разные
функции г|)лЛо, в том числе и состояния, отличающиеся спином.
Функцию Уп{х9 0 разложим в ряд Фурье:
ОТ (*, /\ * V^ r fc pikx @0 Ъ\
k
где
С @ = y= | ^Л (*, 0 e-'to d*. B2.4)
Здесь, как и в § 21, объем кристалла У предполагается конеч-
конечным и соответственно значения k дискретны. Если функции
&~п(х, t) достаточно плавные, то основной вклад в B2.3) дают
малые к. Подставив B2.3) в B2.2), получим разложение 4я(х, t)
ПО ФУНКЦИЯМ ф fc=—--— PittXl\b и =— р} (feo+fe) х ц .
V =22сп4@фя*. B2.5)
п к
Перейдем теперь в Aife-представление, для чего подставим
B2.5) в B2.1), умножим правую и левую части уравнения на
\>п'кшетт**'х и проинтегрируем по х, учитывая, что
259
согласно B1.4), B1.8) и B1.7)
Эв (р) е1** = eib* Ж (р + bk).
Поэтому
> <¦
-sr f <¦••*.ei <ft"*') * IШя + f ^л +
1*>- B2-6)
Далее разложим все функции от координат оЛ{х), <Л2{х),
U {х) и Н(х) в ряды Фурье:
^ Ч B2 7)
?/(*) = S C/^*t Я (*) = 2 Ядв'^,
где
^q = ^j^(x) e-iqx dXy &<я = jrjd2(х)е-** dx и т. д.,
причем при конечном объеме Т векторы q, как и k, принимают
дискретные значения.
Как видно из B2.6), матричные элементы берутся либо не-
непосредственно от этих функций, либо от произведений efkzt или
я<з#. Разложив произведение Ъ*П'к$пк9, которое является перио-
периодической функцией координат, в ряд Фурье по векторам обрат-
обратной решетки Ьм>
м
найдем, что для любой функции f{x)
-2/«я? J ^k
Mq M
Если функция f(x) мало меняется на расстояниях порядка
постоянной решетки, то всеми компонентами fk,+b __Л, кроме
компоненты с М = 0, можно пренебречь, и так как согласно
B1.4) Г<"=^<^А*0> = бп/1„ то
(%'r\f(*)\Vn>)=f*-*'bnn» B2-8)
260
Аналогичным образом можно разложить в ряд Фурье
периодическую функцию
м
Тогда после интегрирования по х при достаточно плавной функ-
функции <d{x) в сумме
надо также оставить лишь слагаемое с Af = O. Так как
ТО
-(W'^I^H*-)-^rt. B2 9)
'- *) ««') •
Используя B2.7) — B2.9), матрицу ЖП'к', пк можно предста-
представить в виде суммы трех матриц: матрицы Жо,
, „* = En6n'n6k,k, где En = En(k0), B2.10а)
матрицы Х\, содержащей только внутризонные члены,
<*i W. пн=-ш {м26*"' + -г (*' + *) •**'-* + f ^*2'-*} б««' +
и матрицы ^?2, содержащей междузонные члены,
*)я«'«- B2-Юв)
В результате получаем систему уравнений
«'г. «* + ?»б„„'б*й-} спЬ = И ¦%*• • B2.11)
п к
Система уравнений B2.11) содержит сумму по всем зонам.
Для того чтобы получить приближенное уравнение, содержащее
лишь функции cmk одной зоны, надо устранить в соответствую-
соответствующем приближении междузонные члены, которые содержатся
в Эвъ Если бы уравнение B2.1) включало только скалярный
261
потенциал, то оператора совпадал бы с оператором^ в B1.9)
и для устранения этих членов надо было бы совершить такое
же преобразование, как и при переходе к B1.10). Если же Жг
включает и слагаемое e/bzt и вектор-потенциал явно зависит от /,
то и матрица S преобразования A5.33) в соответствии с A5.40)
и A5.43) также явно зависит от /. Поэтому при преобразовании
A5.33) правая часть уравнения B2.11) переходит в
где согласно A5.33a) c*=e~-sc.
Если характерная частота изменения &%, а следовательно и
S, равна о, то первое слагаемое в B2.11а) в соответствии с
A5.44) равно
Следовательно, оно в ha>/(Es — En) раз меньше основного сла-
слагаемого B%>2)n'k' sw устраняемого преобразованием A5.33). Если
йсо мало по сравнению с расстоянием до ближайшей из зон 5,
для которой матричный элемент jtms отличен от нуля, то этим
слагаемым можно пренебречь. Если же это условие не выпол-
выполняется, то метод эффективной массы, во всяком случае в одно-
зонной модели, неприменим.
Опустив указанное слагаемое, получим систему уравнений,
содержащих лишь внутризонные матричные элементы:
= ih -|- cm-r, где 7mk = cmk в''**"* B2.12)
mk
и в соответствии с A5.47) во втором приближении теории воз-
возмущений
n'k', sk" \</&2)skfft mk
k>, mk = 1^1 W, mk "t" l*02W. mk-r Zd Em ~ Es '
B2.13)
В отличие от A5.47) здесь каждое состояние характеризует-
характеризуется двумя индексами п и ft, и поэтому суммирование по промежу-
промежуточным состояниям включает суммирование по ft", но энергии
Ет и Es, как видно из B2.10а), от ft" не зависят. Для того
чтобы в B2.12) снова перейти к ^-представлению, надо в соот-
соответствии с B2.3) умножить правую и левую части на {\JYY)eik'x
и просуммировать по ft'.
Как видно из B2.10), здесь имеются суммы четырех типов.
Прежде всего это суммы вида 2ifk>__keikxcmki где fq — фурье-
компоценты U} Н^ зфа или s4>2. В соответствии с B2.3) и B2.7)
253
эти суммы можно преобразовать:
=ywHi Ueiqx S ^mkeikx=f {x) F™ {x)> B2-l4a)
q к
где _
Fm W = 47=- У c"m*e'**t q = k' — k.
Как указывалось выше, здесь предполагается, что f(x) является
плавной функцией и основной вклад в B2.3) и B2.7) дают qy
малые по сравнению с обратными векторами решетки; при этом
условии сумма по q не зависит от верхнего предела, а следова-
следовательно, и от Л, и сумму от произведения можно заменить произ-
произведением сумм *).
При выполнении этого условия таким же образом можно
преобразовать и суммы вида
* ik'X Я
е b
V У р?
B2.146)
где k = — /V. Аналогично
= rj= 2 B* + q) <dqe^4mk e»* = {Ы + ЛЩ Fm (x). B2.14в)
VT qk
Для последнего слагаемого в B2.13), содержащего междузон-
междузонные члены, таким же образом получим
*) Тем самым истинный потенциал /(*) заменяется сглаженным
S
который «в среднем» совпадает с /(х), но на малых расстояниях, сравнимых
с постоянной решетки а0, может сильно осциллировать. Если /_ слабо убывает
с <7» как это имеет место, например, в случае линейного хода U (х) = — еЕх
или св&(х) = 1/2 [Нх], то выражения B2.14) справедливы, лишь если F(x) —
достаточно плавная функция. Например, в последнем случае требуется, чтобы
магнитная длина L = (hc/eHI^2 была намного больше ciq\ при этом погреш*
цость при замене f {х) на f {х) порядка ехр (- L2jal).
263
В реЗулъГате система уравнений B2.11) в ^-представлений Запи-
Запишется так:
2 3em>mFm (х, 0 = tt -^ Fm> (x, f), B2.15)
m
где
— ~2^~ Omm' + ~ИГ Ят'т ~*~W Zl Em-Es h
+ t/ (*) 6mm' + y IJioffo (€Гт'«Я), B2.16)
где
? /). B2.17)
При наличии магнитного поля, когда компоненты Ка не ком-
коммутируют, удобно представить произведение КаК$ в B2.16)
в виде симметризованного и антисимметризованного произведе-
произведений:
[КаКр] = у (/tatfp + К^Ка), B2.18)
B2.19)
где 6apY — единичный антисимметричный тензор; 6азУ=1»если
все три индекса различны и следуют в прямом порядке, т. е. как
х, у, z\ при обратном порядке Sa0Y = —U а ПРИ равных индек-
индексах SapY = 0.
В результате для точек нулевого наклона, где ят'т — 0у вы-
выражение B2.16) можно переписать в виде
B2-20)
Если внешние поля отсутствуют, то Fm = exp {i[kx — (Et/Ь)]}, и
из формулы B2.15) следует выражение B1.19), определяющее
спектр E(k) вблизи точки k0. Если зона вырождена из-за инвер-
инверсии времени, то, как указывалось в § 18, в качестве базиса можно
выбрать две линейно независимые функции, соответствующие
энергии Ет: i|^o и %foQ = KRty[ko> где К — операция инверсии вре-
времени, а R — операция, обращающая ft0 в —k0. Соответственно
плавные функции Fm{x) можно представить в виде одной двух-
компонентной функции с компонентами Fi(x) и F2(x). Если
вырождение не снимается при k Ф 0, то матрица 2f€(k) в соответ-
соответствии с B1.11), B1Л2) диагональна> и эти функции, согласно
264
B2.20), определяются уравнением
)) = iti^. B2.21)
При этом тензор т~э{ определяется выражением B1.12), а ком-
компоненты матрицы L, описывающей орбитальный вклад в эффек-
эффективный магнитный момент электрона, в соответствии с B2.20)
равны
2W^b- <'-1-2; /=1'2)- B2-22)
Таким образом, уравнение B2.21) отличается от уравнения
Шредингера для свободного электрона лишь заменой массы т
на эффективную массу, которая в общем случае анизотропна,
и a— на a + L.
В приведенных выше формулах оператор спин-орбитального
взаимодействия <5#Со везде включался в <5^о- Если спин-орбиталь-
спин-орбитальное расщепление невелико по сравнению с расстоянием до бли-
ближайшей зоны, то оператор ЖСо можно рассматривать как воз-
возмущение, как это делалось в § 21, и в качестве базиса можно
взять произведение координатных функций на спиновые:
ф k =tymfcY1!2 (ji=± 1/2). При этом оператор я нужно заме-
заменить на р, а в Шт'к, тк надо включить Жо = <^со@), члены пер-
первого, порядка по <5#со и перекрестные члены — первого порядка
по Ж°о = ^со@) и по <3#2, появляющиеся во втором приближе-
приближении теории возмущений. При необходимости учета релятивист-
релятивистских поправок к эффективной массе и магнитному моменту надо
также учесть члены третьего приближения: первого порядка по
5^со и второго по Звъ Учет этих слагаемых в соответствии
с A5.51) эквивалентен переходу в B2.20) от базиса tymlik(t к
базису
2a Em-Es •
S\l'
В приведенных выше общих формулах природа внешних по-
полей не конкретизировалась. Практически эти поля либо создают-
создаются примесями или дефектами в полупроводнике, либо приклады-
прикладываются извне. Из последних задач особый интерес представляет
рассмотрение свойств полупроводника в постоянном магнитном
поле и скрещенных электрическом и магнитном полях.
Остановимся коротко на вопросе о пределах применимости
метода эффективной массы. В приведенном выше выводе пред-
предполагалось, что поля %(х) и Н(х) достаточно плавные и поэто-
поэтому в разложениях B2.7) можно пренебречь всеми слагаемыми,
которые содержат qy выходящее за пределы первой зоны Брил-
луэна, т. е. существенные значения q должны быть меньше
265
любого из векторов обратной решетки. В задаче о примесном
центре этот критерий выполняется лишь на достаточно больших
расстояниях от примеси, тогда как на расстояниях, сравнимых
с постоянной решетки, поле центра уже не является кулонов-
ским и может меняться достаточно резко. Поэтому здесь суще-
существен размер области локализации электрона, о котором можно
судить по величине энергии связи. Если эта область захватывает
достаточно большой объем по сравнению с объемом элементар-
элементарной ячейки, то метод эффективной массы применим. Энергия
ионизации таких центров мала по сравнению с шириной запре-
запрещенной зоны, и поэтому они называются мелкими. Если же
электрон локализован в пределах элементарной ячейки и уровни
электрона на этом центре лежат вблизи середины запрещенной
зоны, то для их описания метод эффективной массы неприме-
неприменим. Такие центры называются глубокими.
Для электрона во внешнем магнитном поле условие плавно-
плавности поля Я, как указывалось выше, является недостаточным.
Необходимо также, чтобы поле было не очень сильным, для того
чтобы магнитная длина, т. е. область локализации электрона
L = (hc/eHI12, существенно превышала постоянную решетки. Со-
Соответственно расстояние между уровнями Ландау йсос = еН/т*с
должно быть мало по сравнению с шириной запрещенной зоны
Eg. В электрическом поле & должно быть мало отношение
&/E
g
В случае скрещенных электрических и магнитных полей ус-
условие, накладываемое на величину электрического поля, более
жесткое. В этом случае электрон, вращаясь вокруг оси z, на-
направленной вдоль магнитного поля, дрейфует в направлении лг,
перпендикулярном % и Я, со скоростью vx = cS'/H. Энергия, со-
соответствующая этому движению, т*о2/2 = т*с2<^2/2//2. Такую
же кинетическую энергию электрон в среднем набирает и при
своем вращении за счет ускорения электрическим полем.
Очевидно, что метод эффективной массы применим до тех
пор, пока эта энергия мала по сравнению с шириной запрещен-
запрещенной зоны, т. е. при
V/2 * о Ez
) ^
-T*' ЗДеСЬ S=^- <22'24)
Если расстояние между двумя или несколькими ближайшими
зонами мало по сравнению с их расстоянием до других зон, то
можно существенно расширить пределы применимости метода
эффективной массы, перейдя от однозонного приближения к двух-
или многозонному. Условием применимости этого приближения
является малость соответствующих энергий или частот измене-
изменения внешних полей по сравнению с расстоянием до других бо-
более далеких зон, которое может значительно превышать ширину
запрещенной зоны. Конечно, требование плавности внешних по-
полей при этом остается в силе»
266
Многозонная модель. Как указывалось в § 21, в многозон-
многозонной модели в уравнении B2.11) преобразованием A5.33) устра-
устраняются лишь междузонные члены, соответствующие взаимодей-
взаимодействию рассматриваемых зон с более далекими, а взаимодействие
ближайших зон учитывается точно.
При этом энергию удобно отсчитывать от значения ?, лежа-
лежащего между рассматриваемыми зонами, и соответственно в
экспоненте в B2.12) надо писать Е. Тогда система уравнений
в fe-представлении будет отличаться от B2.12) лишь заменой
Sttm'k'.mk На ZSm'k>,mk + Embmm'bkk'. При ЭТОМ В СООТВеТСТВИИ
с общей формулой A5.46) во втором приближении теории воз-
возмущений вместо B2.13) будем иметь
<H>m'k\ mk = CmOmmOkk' T V*©1 W. mk t" ^2W, тЛ "Г
+ 1 Ж1 %^ /'Vi? \ ("&> \ I I l /OO OK\
—- 7. /, \cn9<AM,u, unKywiJcb» ™и\~Ъ Б —Б тГ~ • iZZ.ZD)
2 .^^ .«mi ч M k , sft x *-'sr , тл \/^ — г; Ь„.г — hi
** ^^m ¦ \ tn s tn s j
s k"
Соответственно после перехода к ж-представлению вместо
B2.15) и B2.20) получим систему уравнений
J) №т'т + ЕщЬтт') Fm = Й ~^, B2.26)
m
где
^ , =М-Я / 4- —
«3
—^~ Я>тгт + ^ ^j [/Ca^Cp] X
х {ба^т+4
+ U (X) Ьтт> + ^ Но 2 "v f *0^« -iS «i А^аЦу X
.-?•
S
B2.27)
Как указывалось в § 21, при определении спектра в квадра-
квадратичном по k приближении междузонные члены второго порядка
по k в Жт'т можно не учитывать, так как они дают вклад
в энергию третьего порядка по k. Однако при рассмотрении раз-
различных эффектов во внешних полях эти члены могут быть су-
существенны. Так, именно эти слагаемые приводят к комбиниро-
комбинированному резонансу, т. е. перевороту спина, вызываемому пере-
переменным электрическим полем (см. § 33), а не магнитным, как
это имеет место при парамагнитном резонансе. Эти же слагае-
слагаемые приводят к эффекту Покелса, т. е. двойному лучепреломле-
лучепреломлению в кубических кристаллах без центра инверсии, возни-
возникающему при наложении постоянного электрического поля и
связанному с линейным по полю изменением диэлектрической
проницаемости.
267
Заметим, что в тех случаях, когда группа волнового вектора
Gjfe0 включает инверсию и ее представления имеют определенную
четность, матрица Жт'т может содержать или линейные по к
междузонные члены, если представления, соответствующие зо-
зонам т и т\ имеют разную четность, или лишь квадратичные,
если четность этих представлений одинакова.
Рассмотрим коротко некоторые конкретные задачи, решае-
решаемые в методе эффективной массы.
Мелкий примесный центр. Из случаев, когда поле создается
примесями или дефектами, особый интерес представляет задача
о мелком примесном центре, создаваемом ионом примеси, заме-
замещающим один из атомов решетки и имеющим избыточный поло-
положительный или отрицательный заряд Ze. На достаточном рас-
расстоянии от иона, превышающем одну-две постоянных решетки,
поле иона можно считать кулоновским:
"<*> —ТП^Г B2-28)
где *о — координата иона, а х—статическая диэлектрическая
проницаемость. В анизотропных кристаллах, где к является тен-
тензором, величину к\х—-хо\ надо заменить на
[Куу*гг (* — Х0? + *г&хх (У — УоУ + ^хх^уу (* — ^оJ]Ч\
где оси jc, у, z направлены по главным осям кристалла. Задача
о мелком примесном центре в кубических кристаллах будет под-
подробно рассмотрена в § 27.
Постоянное магнитное поле. В этом случае U(x) = 0; калиб-
калибровку вектор-потенциала можно выбрать различным способом,
например, условию rote? = H удовлетворяет <з#= 1/2[Нх].
Практически часто используется другая калибровка: если ось z
направить по направлению Я, то удобно выбрать s?x = Ну,
s&y = s?z = 0.
Постоянное электрическое поле. В этом случае U = — еШх,
,з# = 0. При рассмотрении различных эффектов, вызываемых по-
постоянным электрическим полем <?, например электрооптических
эффектов, туннельного эффекта и др., в B2.26), B2.27) удобно
перейти к fe-представлению. Тогда, учитывая, что
получим систему уравнений, определяющих функции Fm(k), от-
отличающиеся от B2.26), B2.27) заменой операторов k на С-чис-
ла k и оператора U = —- е%х на
B2.29)
В результате вместо системы дифференциальных уравнений вто-
второго порядка получим систему уравнений первого порядка, при-
причем ее порядок не повышается и при учете членов более высо-
высокого порядка по k, появляющихся в следующих приближениях.
268
Скрещенные электрические и магнитные поля. При решении
задачи о движении электрона во взаимно перпендикулярных
электрическом и магнитном полях удобно направить ось у по
полю <? и выбрать s?x = Ну, Жу = s4-z = О, U = —е&у. Тогда
гамильтониан B2.20) или B2.27) зависит только от одной пере-
переменной у. При этом характер движения электронов существенно
зависит от отношения электрического и магнитного полей.
В простой двухзонной модели (определяемой приведенным ни-
ниже уравнением B6.34)) при S>>(s/c)H, где s = (Eg/2m*)\ дви-
движение инфинитно, т. е., как и в одном электрическом поле,
электрон движется по незамкнутой орбите. При #>(c/s)<3\
наоборот, электрон, как и в одном магнитном поле, движется по
замкнутым орбитам. В случае более сложных зон значение от-
отношения полей, соответствующих переходу от одного случая
к другому, зависит от волнового вектора электрона, т. е. для
разных электронов переход от инфинитного движения к финит-
финитному происходит при разных полях. Однако во всех случаях,
когда орбиты в магнитном поле были замкнутыми, они остаются
замкнутыми и при достаточно слабом электрическом поле. На-
Наоборот, в достаточно сильном электрическом поле орбиты всех
электронов размыкаются.
§ 23. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
В КУБИЧЕСКИХ И ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛАХ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ПО НЕПРИВОДИМЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМ
В этом параграфе, используя проективные представления то-
точечных групп, мы построим представления группы волнового
вектора в различных точках зоны Бриллуэна для пространствен-
пространственных групп О\у 0%, O7h, ТЪ и Cqv. В следующих параграфах мы
определим энергетический спектр в некоторых точках зоны Брил-
Бриллуэна.
Группа О\ является группой симметрии таких «классиче-
«классических» полупроводников, как Ge и Si, имеющих решетку типа
алмаза. В каждой элементарной ячейке такой решетки содер-
содержатся два одинаковых атома. Их расположение показано на
рис. 24. Решетка является гранецентрированной кубической Г?.
Ее базисным векторам
а, =-^- f ?
соответствуют векторы обратной решетки
^Т 62 = |b(lTl), 6з = 1^(П1), B3.1)
где а0 — ребро куба Браве.
Нулевой узел решетки Браве поместим в один из атомов.
Половина элементов группы О\, соответствующих элементам
269
группы Та, не имеют нетривиальных трансляций, а остальные
элементы, равные произведению инверсии i на элементы группы
Та, сопровождаются нетривиальной трансляцией т = (яо/4) A11)-
Если определять группу Он, как это делалось в § 3, двумя обра-
образующими элементами с4 и S6 = icl> то в группе О\ оба они со-
сопровождаются нетривиальной трансляцией т. Группа О\ являет-
является группой симметрии и для кристаллов со структурой шпинели:
Fe2Mg04, РезО^ и др., поэтому полученные ниже теоретико-груп-
теоретико-групповые результаты применимы и к этой группе веществ.
Довольно хорошо изученные в настоящее время полупровод-
полупроводники типа PbS, PbSe, PbTe имеют решетку типа каменной соли,
Каменная соль Цинкобая обманка
Рис. 24. Решетка каменной соли и цинковой обманки.
т. е. гранецентрированную решетку Браве Г?> и группу Он в ка-
качестве кристаллического класса. В этих кристаллах на элемен-
элементарную ячейку приходится по одному атому каждого сорта, один
из которых расположен в вершине куба Браве, а другой — в его
центре (рис. 24). Поэтому в их пространственной группе не со-
содержится нетривиальных трансляций. Такие группы называются
симморфными. Для класса 0^ решетки Г? симморфной является
группа 0\.
В этом параграфе будут рассмотрены представления группы
волнового вектора симморфной группы 0\ с простой кубиче-
кубической решеткой Гс, которая является группой симметрии кри-
кристаллов типа CsCl, а также представления группы волнового
вектора для кристаллов с решеткой типа цинковой обманки,
в которой кристаллизуется большинство соединений типа АзВ5:
InSb, GaSb, GaAs и др. Кристаллическая решетка показана на
рис. 24; она отличается от решетки алмаза тем, что в элементар-
элементарной ячейке имеются два различных атома Поэтому в их группу
симметрии не входит инверсия, группой симметрии их является
270
симморфная группа Т\. Зоны Бриллуэна для простой Гс и гра-
нецентрированной решетки Tfc показаны на рис 25.
Определим группы симметрии указанных на рис 25 точек
зоны Бриллуэна. При этом мы будем указывать только группу
направлений Fk каждой точки ft, имея в виду, однако, что
з группу симметрии Gu точки ft различные поворотные элементы
входят с теми нетривиальными трансляциями, которыми они
сопровождаются в группе G.
Для кристаллов класса Он группа симметрии точки Г—ценг-
ра зоны Бриллуэна — совпадает с группой направлений 0^.
а)
б)
Рис. 25. Зона Бриллуэна для кубических решеток, а) Простая решетка
(каменная соль), б) гранецентрированная (цинковая обманка, алмаз).
Точка Д с координатами &0A00) находится на оси четвертого
порядка внутри зоны Бриллуэна; группой симметрии ее является
группа С^. В зоне Бриллуэна имеется 6 точек типа Д, а именно
rfc^o(lOO), ±&о(О1О), ±&0@01), которые переходят друг в друга
при инверсии и поворотах вокруг осей третьего порядка.
Точка Л с координатами &0(lll) находится на оси третьего
порядка; ее группой симметрии является группа Сзи. Внутри
зоны Бриллуэна имеется 8 точек типа Л: ±&0A11), ±MllT),
±?0A11), ±&o(Ill), которые переходят друг в друга при инвер-
инверсии и поворотах вокруг осей четвертого порядка.
Точка S с координатами &оAЮ) находится на оси второго
порядка, соединяющей середины противоположных ребер куба;
ее группой симметрии является группа C2v- Имеются 12 точек
типа 2: ±?0A10), ±*0A01)f ±ЛО'(ОП). ±*о(ГЮ), ±*оAО1),
271
В решетке Гс точка R с координатами fe= (я/а0) A11), где
ао — длина ребра куба, находится в вершине куба; она является
предельным положением точки Л в решетке Гс при выходе ее
на границу зоны Бриллуэна. Поскольку все вершины куба отли-
отличаются на целые векторы обратной решетки, все векторы ft типа
R эквивалентны. Так как все они совмещаются друг с другом
при преобразованиях из кубической группы, то группой симмет-
симметрии точки /?, как и точки Г, является полная группа Он-
Точка X с координатами (я/а0) A00) находится в центре гра-
грани куба и является предельным положением точки Д на поверх-
поверхности зоны Бриллуэна. Поскольку точки, находящиеся на про-
противоположных гранях куба, эквивалентны, в группу симметрии
точки X к элементам из C4v добавляется инверсия t, поэтому
группой симметрии ее является группа D^ = D2d X Си Число
неэквивалентных точек типа X в зоне Бриллуэна равно трем.
Точка М с координатами (я/ао)A1О) находится в середине
ребра куба. Поскольку все точки, расположенные в серединах
параллельных ребер куба, отличаются на целые векторы обрат-
обратной решетки, то соответствующие им векторы эквивалентны.
Поэтому в группу симметрии точки М входят дополнительно по
сравнению с 2 ось четвертого порядка и инверсия t, и группой
симметрии точки М является группа Dui. В зоне Бриллуэна
имеются три неэквивалентных точки М.
В решетке Г? внутренние точки зоны Бриллуэна Г, Д, 2, Л
имеют такую же симметрию, как и в решетке Гс. Точка X с ко-
координатами Bя/ао)A00) в решетке Г^, как и в решетке Гс, имеет
группой симметрии группу D^h.
Точка L с координатами (я/ао)A11) находится в центре ше-
шестиугольной грани зоны Бриллуэна на пересечении ее с осью
третьего порядка. Группой симметрии ее, в отличие от точки R
в решетке Гс, является группа D3d = C3v X CV Число неэквива-
неэквивалентных точек типа L в зоне Бриллуэна равно 4.
Группой симметрии точки К= (Зя/2а0) A10), как и точки S,
является группа Сг^, поэтому в решетке Гс не появляются до-
дополнительные элементы симметрии, когда точка 2 выходит на
границу зоны Бриллуэна.
Группы направления рассмотренных точек в зоне Бриллуэна
для решеток Г^ и Г? класса Од приведены в таблице:
Группа
Точка
Число точек в звезде
Oh
Г, R
1
X, М
3
Л
8
c2v
2, К
12
Л
6
Dzd
L
4
272
Для кристаллов класса Та с решеткой Tfc центр зоны Брил-
Бриллуэна— точка Г — имеет в качестве группы симметрии группу Та*
Точка Д в качестве группы симметрии имеет группу Сг».
В зоне Бриллуэна, как и для группы класса Од, имеется 6 точек
типа Д, которые переходят друг в друга при преобразованиях
из группы Та. Точка Л, как и в группе 0^, имеет симметрию C3v,
число таких точек равно 4. В отличие от группы Oh точки Л и
—Л не входят в одну звезду.
Группой симметрии точки 2 является группа Cs.
Точка X дополнительно к элементам группы Сги точки А
имеет еще преобразования s4 и s\, переводящие k в —ft, по-
поэтому группой симметрии точки X является группа D2a, число
точек типа X равно 3.
Группа симметрии точки L, как и точки Л, является груп-
группой C3v. Группа симметрии точки К также совпадает с группой
симметрии точки 2; это группа С$.
Симметрия рассмотренных точек в зоне Бриллуэна для кри-
кристаллического класса Та решетки Tfc приведена в таблице:
Группа
Точка
Число точек в звезде
Td
Г
1
D2a
X
3
Lt Л
4
Л
6
Cs
2, К
12
Рассмотрим теперь представления группы волнового вектора
и возможные кратности вырождения зоны в рассмотренных точ-
точках в кристаллах класса Он-
Класс Oh
Точка Г. В этой точке блоховские функции совпадают с мо-
модулирующими функциями и(х) и представления 2)fc{g) и 2Dk{r)
совпадают и являются представлениями точечной группы Он
для пространственных групп 0\, 0\ и 0\.
В группе Oh = TaY,Ci имеется 10 однозначных представле-
представлений AT, Af, E±9 Ff и Ff и 6 двузначных представлений:
Е'Г, E<i~ и G±. В литературе по зонной теории, следуя работе
Боукарта, Вигнера и Смолуховского [16.1], представления груп-
группы волнового вектора обозначаются по названию соответствую-
соответствующей точки в зоне Бриллуэна.
Ниже приведена связь между представлениями точечной
группы Oh и представлениями пространственной группы в точке
Г. Все представления в точке Г относятся к случаю аи так как
273
характеры представлений пространственной группы веществен-
вещественны, они совпадают с характерами представлений точечной груп-
группы Oh
Представление
группы
Представление
в точке Г
At
At
Е+
U
Ft
Ft
AT
*
1
FT
n
0
E'f
r7
г.*
г;
В точке Г без учета спина возможно однократное, двукрат-
двукратное и трехкратное вырождение зоны, а с учетом спина — дву-
двукратное и четырехкратное.
Для того чтобы определить характер расщепления зоны
в точке Г за счет спин-орбитального взаимодействия, нужно раз-
разложить на двузначные неприводимые представления группы О/г
произведения Г/X ^i/2. Это разложение приведено" в табл. 16.1
(стр. 192). Из этой таблицы видно, что представления Г\, Г{,
Гг, Гг, Г12, Г12 не расщепляются спин-орбитальным взаимодей-
взаимодействием и учет спина для этих представлений приводит лишь
к удвоению кратности вырождения зоны.
Как отмечалось в § И, представление 2)i группы вращения
с базисными р-функциями х, уу z является неприводимым и в
кубической группе и переходит в представление Г is. Прямое
произведение 2D\ X ^1/2 = ^1/2 + ^3/2 содержит представления
^з/2 и Я)\/2 размерности 4 и 2. Эти представления также непри-
водимы в кубической группе и переходят соответственно в пред-
представления ГГ и Гё" в соответствии с разложением Г15Х^1/2 =
= ГГ + Гб"\ Поэтому в качестве базисных функций для пред-
представлений ГГ выбраны функции г|э^2 (т = ±1/2, ±3/2) в базисе
Латтинжера —Кона [17.3]:
B3.2)
B3.3)
Здесь Ху Y, Z — блоховские функции ип при k = 0, преобразую-
преобразующиеся при операциях кубической группы как х, г/, г соответ-
соответственно.
274
>йй = ^ [(Л1 - i7) a + 2ZP], фЗД/2 = -^ (X - iY) p
и функции г|)^2 (т = ± 1/2) для представлений Г~:
Все полученные результаты для точки Г справедливы дли
всех пространственных групп класса Oh.
Точка Д. Согласно A2.26) представления группы волнового
вектора 3)v(g) в точке Д равны
TReS)v(r)— проективное представление группы направлений
точки Л, a Р = а + Т> где а и т — тривиальная и нетривиаль-
нетривиальная трансляции, соответствующие поворотному элементу г^С^у
g = (V|p). Поскольку точка Д находится внутри зоны Бриллуэ-
на, то 3)v (/*) являются матрицами обычных представлений то-
точечной группы C4v. В группе C4v имеется 5 однозначных пред-
представлений Аи А2, Ви B2i E и два двузначных представления
Е[ и Е2. Из них представления Ль Л2, Ви В2 одномерные, а Е и
Ей Е2 — двумерные. Каждому из этих представлений группы
CbV согласно B3.4) соответствует представление группы волно-
волнового вектора той же размерности; они обозначаются буквой Д"по
названию точки Д. Их связь с представлениями группы C^v при-
приведена в таблице:
Представление Civ
Представление в точке Д
Аг
Ai
А2
А?
Вх
Д2
Вг
Е
Д7
Хотя матрицы 3M (г) одинаковы для всех пространственных
групп класса Ол, матрицы представления группы волнового век-
вектора 3)v {g) различны для различных пространственных групп,
в частности для групп Oxhi О\ и О\.
Так, для групп О\ и О|, не-содержащих нетривиальных
трансляций, матрицы 3)$ на элементах, не содержащих триви-
тривиальных трансляций, совпадают с матрицами представления
группы Cbv и не зависят от положения точки А на оси четвертого
порядка.
В группе О\ половина элементов группы направлений
^ Ь l й
ру
р
СЬ av> clav ~~ сопровождаются нетривиальной трансля-
трансляцией т, поэтому матрицы 3)v(g) и 3)v(r) для этих элементов
где р = -~
Г 2п/по
отличаются множителем X =
п/по
отношение длины вектора k0 "к расстоянию до границы зоны
Бриллуэна. При этом р = 0в точке Г и р=1 в точке X. По-
Поэтому в группе O7h матрицы 3)v(g) и характеры представлений
группы волнового вектора отличаются от соответствующих
представлений группы С4о и зависят от положения точки на
оси четвертого порядка.
275
Из A8.32) следует, что как однозначные, так и двузначные
представления пространственной группы со звездой Д относятся
к случаю а2, т. е. между функциями tyik и RKtyik имеется линей-
линейная связь. В качестве элемента /?, переводящего k в —ft, может
быть выбрана инверсия.
При выходе на поверхность зоны Бриллуэна точка Д перехо-
переходит в точку X, в которой возникает существенное различие в пред-
представлениях групп O/i, 0\ и О\.
Точка X. Согласно B3.4) представления группы волнового
вектора 3)v{g) в точке X равны
(для Oi),
(для OL
. B3.5)
где S)v (г)—проективные представления группы D4/i. При этом
в группах О\ и О/ь не содержащих нетривиальных трансляций,
фактор-система согласно A2.29) является единичной и все про-
проективные представления относятся к классу /Со, т. е. являются
обычными представлениями группы D^.
В группе D4/i = D2d X С* имеется 10 однозначных представ-
представлений: 5 четных и 5 нечетных относительно инверсии, а также
4 двумерных двузначных представления. Каждому из этих пред-
представлений по B3.5) для групп Он и О\ соответствует предста-
представление группы волнового вектора 2)х, обозначаемое буквой Xiy
согласно таблице:
Представление группы
D4h = D2dXCi
Представление
в точке X
Представление
в точке М
Af
*f
Mf
At
xf
Mf
Bl
Mf
Bf
xf
Mf
E±
*t
Mf
Mf
E2
X?
Mf
Таким образом, с учетом спина зона в точке X двукратно
вырождена. Поскольку в группе волнового вектора содержится
инверсия, все представления относятся к случаю 1, а поскольку
при отсутствии нетривиальных трансляций критерий Херринга
A8.32) сводится к критерию Шура A8.27) для группы Ь4л, то
все представления для точки X в группах О\ и О\ относятся
к случаю at.
Рассмотрим теперь представления в точке X для группы
содержащей нетривиальные трансляции.
276
Таблица 23.1
(с4х\х)
(С2Х\0)
D1*)
(C2yz I t)
t)
1
1
1
1
-1
— 1
— 1
-1
-1
-1
— 1
1
1
1
1
-1
1
— 1
i
1
1
1
1
1
—1
1
1
1
1
— 1
-1
-1
-1
— 1
-1
-1
1
1
1
1
i
Фактор-система в точке X для группы О\ приведена в табл.
23.1. Для определения принадлежности этой фактор-системы
к одному из классов группы D4/i нужно согласно § 14 найти от-
отношения коэффициентов фактор-системы для пар коммутирую-
коммутирующих элементов:
D «2
=1
<P(C4.Q =
Следовательно, рассматриваемая фактор-система относится
к классу /С3, в котором имеется 4 двумерных проективных пред-
представления. Поэтому в группе О\ в точке J имеется двукратное
принудительное вырождение зоны.
Для того чтобы привести заданную фактор-систему к стан-
стандартному для ее класса виду A4.42), для которого в § 14 приве-
приведены матрицы проективных представлений, нужно вычислить
функцию и A4.43). Для рассматриваемой фактор-системы
© (ft, 6) = со (и2, и2) = — 1, со (с, с) = со (/, I) = — 1,
277
а величина а' (см. A4.24)) равна —1, т. е. в уравнении A4.25)
т = 2. Учитывая, что для рассматриваемой фактор-системы
оо(а\ Ьрсч) = 1, получим
;P+q+k
и (akbpcq) = р q
Соответствующие значения и приведены в табл. 23.1.
Согласно B3.5) матрицы представления группы волнового
вектора в точке X равны
2)х = е Bл1ао) Ъ $)' (г) и (г), B3.6)
где 3)'(г)—матрицы проективных представлений, которые для
элемента г = ahbPc^ равны соответствующему произведению
матриц Л, В, С:
Ю' (akbpcq) = AkBpCq. B3.7)
Матрицы А, В, С приведены в табл. 14.2 (стр. 151).
Как указывалось в § 16, двузначные представления точеч-
точечных групп являются проективными представлениями точечной
группы. Поэтому прямое произведение проективных представле-
представлений 3) (г) Х^/2 является одним из проективных представлений
группы ZL/i. В § 16 было показано, что в группе Z)^ спинорные
представления относятся к классу /Сь Поэтому двузначные пред-
представления в точке X относятся к классу К\Кз = Кб, в котором
имеется одно четырехмерное представление. Таким образом,
с учетом спина в точке X в группе О\ имеется четырехкратное
вырождение зоны.
Фактор-система, соответствующая обычно вводимым спинор-
ным представлениям группы ?>4л, как отмечалось в § 16, отли-
отличается от принятой нами стандартной фактор-системы A4.42)
для класса Ки но может быть приведена к ней по формуле A3.3)
с функцией и, указанной в A6.29). Поэтому спинорное предста-
представление группы волнового вектора также определяется форму-
формулами B3.6), B3.7), но под и следует иметь в виду произведение
U[U2y где U\ приведено выше, а мг — в A6.29).
Характеры представлений группы волнового вектора в точке
X приведены в табл. 23.2.
Отметим существенную разницу между представлениями Xi
(/ = 1,2,3,4) и Х5. В обоих случаях матрицы 3)'{г) образуют
проективные представления точечной группы Dkh, но представле-
представления Xi (i = 1,..., 4), рассматриваемые на всех элементах груп-
группы волнового вектора, включая тривиальные трансляции, яв-
являются обычными представлениями группы волнового вектора,
в то время как Х5 является спинорным (т. е. проективным класса
/Ci) представлением группы волнового вектора.
Поскольку в точке X k== —k, то в критерии Херринга
A8.32) следует суммировать по всем элементам группы D4/i,
278
Таблица 23.2
Характерь
i представлений
в точке X для
Элементы
(«10)
(cix
t)
(с2х 10)
D
t)
(°2yz I Т)
(c2z 10)
(C2y~z\ T)
(C2y
0)
(i 11)
D
o)
felt)
(Six 1 0)
{Oyz 1 0)
felt)
(oy- | 0)
Kit)
(e|0)
(ct
D
(«5
(«2
t)
o)
t)
t)
(с4м21 0)
t)
(du2\0)
(I | t)
(c4/1 0)
D
D
(u2i
t)
o)
0)
(c4u2i
(c\u2i
t)
o)
X, (K3)
2
0
-2
0
2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
iгруппы волнового
решетки типа Ge
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
Х3 (/Сз)
2
0
—2
0
-2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
вектора
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
-2
0
Хб (К,)
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
учитывая при этом, что элемент g2 может содержать тривиаль-
тривиальную трансляцию, а для представления Х5 — также элемент Q.
Все представления Х{ относятся к случаю а\.
Точка Л. Представления группы волнового вектора в точке Л
соотношением
3) (г)
B3.8)
связаны с матрицами 2) (г), образующими обычные представле-
представления группы C3v. Так как C3v является подгруппой Та, ее элемен-
элементы не сопровождаются нетривиальными трансляциями, поэтому
представления 3)А на элементах, не содержащих основных транс-
трансляций, одинаковы для групп О\, О\ и О\, не зависят от поло-
положения точки Л на оси третьего порядка и совпадают с однознач-
однозначными или двузначными представлениями группы Сз-у.
В группе Csv имеется 3 однозначных представления: два од-
одномерных Аи Л2.и одно двумерное ?, а также два одномерных
Ей Е'2 и одно двумерное Е'з двузначные представления. Пред-
Представления группы волнового вектора, соответствующие этим
279
представлениям, обозначаются Ль Л2, Лз и Л4, Л5 и Ле соответ-
соответственно. Из критерия Херринга П8.32| следует, что представле-
представления Ль Л2, Лз и Лв относятся к случаю а2, а одномерные двузнач-
двузначные представления Л4 и Л5 с комплексно сопряженными харак-
характерами относятся к случаю Ь2. В последнем случае объединение
полных представлений пространственной группы приводит к объ-
объединению представлений Л4 и Л5 группы волнового вектора.
Точка L. Представления группы волнового вектора в точке L:
q\L (п\ р— * (я^ао) (P*+0y+0z) <Я\ (Л @4 Q\
bU \g) — с? \ л у -у ^Г)у \4д.У)
где 3)(г)—проективные представления группы D3d = C3v X С%.
Для группы О\ представления 3) {г) совпадают с обычными
представлениями группы D3d. В группе D3<* 6 однозначных пред-
представлений At у At (одномерные) и Е± (двумерные) и 6 двузнач-
ных представлений Е\й
(одномерные) и Е3" (двумерные),
каждому из которых по B3.9) соответствует представление груп-
группы волнового вектора 3)ь, указанное в таблице:
Представление
группы
03rf = CSf,XC*
Представление
в точке L
At
AT
At
L2
E+
h
E~
p'+
b\
Е'Г
h
E'f
p'+
E3
В группе О\ фактор-система для точки L не является еди-
единичной. Так как группа D3d изоморфна группе D6, то для опре-
определения принадлежности фактор-системы к одному из классов
нужно найти отношение co(t, г/2)/а)(а2, 0» которое в данном слу-
случае равно 1. Поэтому фактор-система и все представления в
точке L группы О\ относятся к классу Ко и р-эквивалентны
обычным представлениям группы Dza-
Используя A2.29), легко вычислить фактор-систему в точке
L и по A4.33), A4.34) найти функцию и, которая приводит дан-
данную фактор-систему к единичной.
Представления группы волнового вектора в точке L равны
3)L (g) = e-(n/ao) (^y+*z)u (г) 3)' (г),
где 9)'(г)—матрицы обычного представления точечной группы
D3d- Легко непосредственно убедиться, что в рассматриваемом
случае exp {—i(n/aQ) (rx + ty + tz) }u(r) = 1 для всех элементов
группы D3d, поэтому в точке L представления группы волнового
вектора 3)L(g) Для элементов g\ не содержащих основных
трансляций, просто совпадают с матрицами представления то-
точечной группы D3d, как и для точек А внутри зоны Бриллуэна.
280
Этот результат является естественным, так как при отсутствии
принудительного вырождения в точке L представление 3)А не-
непрерывно переходит в представление <2)L.
Из критерия Херринга следует, что представления LT и L*
относятся к случаю &ь При этом за счет инверсии времени про-
происходит объединение представлений Lt, Lt и LI', L$. Остальные
представления относятся к случаю а\.
Точка 2. Представления группы волнового вектора 3)z
в точке 2 равны
3? (g) = e-ik° $*+h) 3> (r), B3.10)
где 3) (>*) — представления группы C2v.
Для групп О\ и О\ представления 3)* на элементах, не со-
содержащих основных трансляций, не зависят от положения
точки 2 на оси второго порядка и совпадают с представле-
представлениями группы C2v. Для группы О\ для элементов с2 и c2av
в B3.10) возникает множитель е-мзя/^ где p=*kJ-к — \ при
этом р = 0 для точки Г и р = 1 для точки /С. Поэтому
в группе О\ представления 3)* зависят от положения 2 на
оси второго порядка.
Группа Civ имеет 4 одномерных однозначных представле-
представления Аи А2, Ви В2 и одно двумерное двузначное представление
?', которые приводят согласно B3.10) к представлениям группы
волнового вектора соответствующей размерности, обозначаемым
через Si, 2г, 2з, 1ч и 2s соответственно.
Согласно критерию Херринга как однозначные, так и дву-
двузначные представления в точке 2 относятся к случаю а2у что
означает наличие линейной связи между функциями -ф и
(t|t)/C\|), принадлежащими одному лучу звезды 2.
Как отмечалось выше, при выходе точки 2 на границу зоны
Бриллуэна в решетке г? ее симметрия не повышается, поэтому
все результаты для точки 2 в группах О\ и О\ полностью при-
применимы к точке /С = 1г —(ПО).
Точка М. Представления 3)М в точке М:
3)м (g) = е~1 (я/°о) Ф*+*у) 3> (г). B3.11)
Поскольку в группе О\ нет нетривиальных трансляций, то
3)м(г) совпадают с 3){г), которое для точки М является пред-
представлением группы Dkh. Поэтому для точки М справедливы все
результаты, полученные выше для точки X в группе О\.
Аналогичным образом могут быть получены представления
группы волнового вектора и в других точках зоны Бриллуэна.
281
Отметим, что в согласии с замечанием, сделанным в § 18, из-
за наличия инверсии в группе Oh в произвольной точке зоны
Бриллуэна с учетом спина имеется по крайней мере двукратное
вырождение энергетического спектра.
Группа T2d
Рассмотрим представления группы волнового вектора в не-
некоторых точках fe-пространства группы Т\. Поскольку в группе
Та не имеется нетривиальных трансляций, все представления
группы волнового вектора для элементов, не содержащих основ-
основных трансляций, совпадают с соответствующими представления-
представлениями точечной группы направлений.
В точке Г представления пространственной группы совпадают
с представлениями группы волнового вектора, которые являются
представлениями группы Та. В группе Та имеется 5 однозначных
представлений Аи Л2, Е, F2 и Fu которые обозначаются как Гь
Гг, Гю, Г15 и Г25 соответственно, а также 3 спинорных представ-
представления Е\9 Ef2 и G', которые обозначаются Гб, Г7 и Гз.
Все представления в точке Г относятся к случаю а\.
В точке А представления группы волнового вектора совпа-
совпадают с представлениями группы C2v. Эта группа абелева, она
имеет только одномерные однозначные представления Аи Л2, #ь
В2, обозначаемые через Ai, Д2, Аз и А4 соответственно.
С учетом спина зона в точке А всегда двукратно вырождена,
так как в группе C2v имеется двумерное двузначное представле-
представление ?", обозначаемое А5, при этом А* X 3&ч2 = &ь (* = 1,2,3,4).
Все представления в точке А относятся к случаю Ь3: они комп-
комплексны и неэквивалентны. Инверсия времени в этом случае при-
приводит к равенству энергии в точках к и —-fe, т. е. E(k) = ?(—к).
В точке X представления группы волнового вектора Х{ для
элементов, не содержащих основных трансляций, совпадают
с представлениями группы D2d. В этой группе имеется 5 одно-
однозначных представлений: Аи А2, Ви В2 и Е и два двумерных спи-
спинорных представления Е\ и ЕЬ. В точке X однозначные пред-
представления обозначаются Х\ (i = 1,2,3,4,5), а спинорные Хв, Хъ
Представление группы
Did
Представление в точке
X
А:
А2
в1
х3
в2
х4
Е
X,
х6
х7
Для точки X кш2 —к и все представления относятся к слу-
случаю ai.
Точки L и Л. Поскольку симметрия точек Л и L в группе Та
одинакова, они имеют одинаковые представления группы вол-
волнового вектора, совпадающие с рассмотренными выше представ-
282
лениями группы волнового вектора в точке Л в группах О\ и
О\. Различие между точками Ли! возникает при учете инвер-
инверсии времени.
Представления в точке Л относятся к случаю &3, поскольку
группа волнового вектора не содержит элементов, превращаю-
превращающих k в —к. В точке L k = —k и представления с веществен-
вещественными характерами Lu L2, L3 и L6 относятся к случаю аи а два
двузначных представления L4 и L5 (аналогично тому, как было
в точке Л группы Oh) с комплексными характерами относятся
к случаю 62, когда следует объединять оба эти представления
группы волнового вектора.
Таким образом, в точке L в группе т\ с учетом спина зона
всегда двукратно вырождена, в то время как в точке Л даже
с учетом спина возможно полное расщепление зоны.
В группе T2d точки S и К имеют в качестве группы симмет-
симметрии группу Cs, в которой имеются два одномерных однозначных
представления Л+ и А~ и два одномерных двузначных представ-
представления Л/+ и А'-, которым соответствуют 4 представления группы
волнового вектора Si, 2г, 2з и 24 (или Ки Кч, Кз и Кь для точки
К). Поэтому в этих точках возможны только однократно вы-
вырожденные зоны. Все представления для точек S и К относятся
к случаю 63.
Условия совместности
Рассмотрим теперь условия совместности представлений
в кристаллах кубической группы, которые дают связь возмож-
возможных представлений в различных точках зоны Бриллуэна. При
этом условия совместности представлений двух внутренних то-
точек зоны Бриллуэна одинаковы для всех пространственных
групп, относящихся к одному кристаллическому классу. Если же
одна из точек находится на границе зоны Бриллуэна, то усло-
условия совместности могут быть различными для различных прост-
пространственных групп.
Условия совместности представлений в точках Г и А для
групп класса Oh имеют вид
Условия совместности представлений в точках X и А раз-
различны для групп О/ь О\ и О\. Для групп Од, О\ условия сов-
совместности таковы:
Х\ ,
2 Х
283
а для группы 07h они имеют вид
Условия совместности представлений при движении вдоль
оси третьего порядка для групп О\ и О\\
Гь г2->ль г2, П->л2, Ti2, г;2->л3, п5,
ГГб, Г25 -+ Л3 + Л2, Г7*, Г6* -> Л6, if -> Л4 + Л5 + Л6;
Li, L2->Ai, L2, Li->A2, L3, L3->A3,
L4, Ц->Л4, L5, L4->A5, ?6, L6->A6.
Для группы О\ условия совместности в точках Г и Л
такие же, как и в группах О\ и OL а в точках А и R — та-
такие же, как и для точек Л и Г.
Для точек Г и S условия совместности имеют вид
IWSi, Г2->24, ri2->2i + 24, П5->12
Г25 -^ Si -f• 22 + 2зэ Fj -> S2, Г2 —> S3, Г12 —> S2 + S3,
Г,5 -> Si + S4 + S3, Г25 -> Si + S2 4- S4, Г? -> S5, If -> S5,
В группах Он и Oa представления в точках S и К непре-
непрерывно переходят друг в друга, поэтому для этих групп в точ-
точках S и К условия совместности тривиальны.
Условия совместности представлений в точках М и 2
в группе О\\
М?, Af?-*2i, Mf, М?-+Ъьт M5±->S2 + S3, M6*, M^Ss.
Условия совместности для группы т\ имеют вид:
5, Г7->Д5,
!, Г2-*Л2,
6, Г7-*Л7,
284
Группа Ctv
Рассмотрим представления группы волнового вектора в не-
некоторых точках ft-пространства в кристаллах с решеткой вюр-
вюрцита, В этой решетке кристаллизуется ряд полупроводников,
например, гексагональные CdS, CdSe.
Решетка вюрцита — гексагональной модификации ZnS — по-
показана на рис. 26. Поместим узлы решетки Браве в местополо-
местоположения атомов серы, изображенных на рис. 26 маленькими шари-
шариками. В пространственной группе симметрии решетки вюрцита
~
Рис. 26. Решетка вюрцита: общий вид (а) и проекция (б). Сплошными круж-
кружками на схеме справа указаны атомы первого слоя, полыми — атомы вто-
второго слоя, звездочками — положение осей 6-го порядка; жирные линии
показывают основание элементарной ячейки.
dv ось шестого порядка является винтовой и половина плоско-
плоскостей отражения являются плоскостями скольжения. Двенадцать
поворотных элементов группы C\v вместе с нетривиальными
трансляциями приведены в таблице:
(е|0)
(о. 1 т)
(ce|t)
(с6сг. 10)
D|о)
D°> 1')
D И
Dг,|о)
W|o)
D»il*)
D1 *)
Здесь т = с/2 — вектор нетривиальной трансляции, направ-
направленный по оси с6, с —размер элементарной ячейки вдоль оси
шестого порядка.
Зона Бриллуэна для гексагональной решетки является ше-
шестигранной призмой, она показана на рис. 27. Точка Г находится
285
в центре зоны Бриллуэна, точки А и Л находятся на оси
шестого порядка: А — внутри, Л — на границе зоны Бриллуэна.
Точки Я, Р и К находятся на боковом ребре призмы: точка Н —
в вершине призмы, К — посередине ребра, а Р занимает произ-
произвольное положение на ребре.
Группа направлений Fk указанных точек и число лучей
в звезде приведены в таблице:
Группа Fk
Точки
Число лучей в звезде
Г, Д, А
1
^3V
я, р, к
2
Представления группы волнового вектора в точке Г(к = 0)
совпадают с представлениями точечной группы Cqv. В этой груп-
группе имеется 4 одномерных Аи Л2, В2> Bi и два двумерных Et и Е2
однозначных представления, которые обозначаются Гь ..., Г6;
двузначные представления Ей Еъ ?з, обозначаемые Г7, Гв и Г9,
двумерны. Все представле-
ния в точке Г относятся к
случаю п\. В точке Д, k =
= йо(ОО1), представления
группы волнового вектора
At(i = 1, ..., 9) для элемен-
элементов, не содержащих основ-
основных трансляций, получаются
из представлений группы
Cev умножением на множи-
множитель e~tk°Xr, где хг — нетри-
нетривиальная трансляция, соот-
соответствующая поворотному
элементу г. Представления
Аг зависят от положения
точки А на оси симметрии.
о
l_ Дк__ т:.__.
Г?>
М
Рис. 27. Зона Бриллуэна для решетки
вюрцита.
р
Поскольку при подходе к границе зоны Бриллуэна — к точке
А—не появляются дополнительные элементы симметрии по
сравнению с точкой А, то представления в точке А получаются
из представлений в точке А, если положить k0 = л/с.
Разница между точками А и Л возникает при учете инвер-
инверсии времени. Поскольку для точки А в группе C6v нет элементов,
превращающих k в —fe, все представления в точке А относятся
к случаю Ь3.
В точке A k = —k, и из критерия Херринга следует, что
представления Ль ..., Л8 относятся к случаю Ьи а представле-
286
йие Л9 —к случаю сь При этом согласно результатам $ 18 за
счет инверсии времени попарно объединяются представления
4i —Л4, А2 — Аз, Л5 — Л6, At — As, а представление Л9 должно
быть удвоено.
Рассмотрим теперь представления группы волнового вектора
для точек на ребре призмы Их группа симметрии С3г, поэтому
согласно результатам § 14 все проективные представления экви-
эквивалентны векторным. При этом для точки на ребре призмы все
коэффициенты фактор-системы равны единице, так как в группе
волнового вектора содержится нетривиальная трансляция т, на-
направленная по оси шестого порядка, а все векторы 6 в A2.29)
лежат в плоскости, перпендикулярной этой оси. Поэтому все
представления группы волнового вектора для точек Р, К и Н
для элементов, не содержащих основных трансляций, равны од-
однозначным или двузначным представлениям группы C3v, умно-
умноженным на e~ikzXf"f при этом kz = 0 для точки К и kz = п/с для
точки Я.
В группе C3v имеется 3 однозначных представления Аи А2) Е
(двумерное) и 3 двузначных представления Е\, Еъ ?з (двумер-
(двумерное), которые приводят к представлениям К\, ..., Дв, Ри • •., Рв
и Ни ..., Нв соответствующей размерности. Условия совместно-
совместности этих представлений при движении вдоль ребра призмы три-
тривиальны. В точке К k и — k входят в одну звезду, все представ-
представления /Ci, . .., Ке относятся к случаю а2. В точке Р все представ-
представления относятся к случаю Ьз В точке Н представления Ни Я2,
#4 и #5 относятся к случаю 62, а представления Я3иЯ6~ к слу-
случаю а2. В этом случае за счет инверсии времени объединяются
представления Ни Н2 и Я4, Я5.
Распределение нормальных колебаний по неприводимым
представлениям
Используя формулы A5.28), определим, по каким неприво-
неприводимым представлениям преобразуются нормальные колебания
в симметричных точках ^-пространства в решетках типа алмаза,
цинковой обманки, каменной соли и вюрцита.
Рассмотрим сперва решетку типа алмаза. В табл. 23.3 при-
приведены характеры представления ?DU, по которому преобразуют-
преобразуются компоненты и^{ (q) в этой решетке. Как указано выше, эта
решетка содержит два атома в элементарной ячейке с коорди-
координатами @00) и (flo/4)(lll).
Так как все 24 элемента, содержащие непримитивную транс-
трансляцию т == (ао/4)A11), переводят оба атома в неэквивалентное
положение, то для этих элементов %? (g) = 0. Остальные 24 пре-
преобразования оставляют на месте первый атом и смещают второй
на один из векторов решетки а\, В табл. 23.3 указаны эти
смещения и приведены значения %?(&) при произвольном
287
Таблица 23.3
Характеры представления 0)и для решетки типа алмаза
Элемент
группы
(*|0)
(с2х 10)
(dy I 0)
(е»Ю)
(s4x 10)
(*4»|0)
(в«Ю)
D
D
D
о)
о)
0)
(<*ху\0)
(аху | °)
(<*xz I 0)
(ох- 10)
(OTj,z 1 0)
(ауг | °)
8(Сз|0),(СЦ0)
24{gi 1т)
3
—
—
—
—
—
0
—
Смещение
атома
0
аз
а2
<*1
#1
0з
02
а2
0i
0з
0
01
0
03
0
03
—
Перехо-
Переходит в
неэквива-
неэквивалентное
положе-
положение
Характеры
при произ-
произвольном
q
6
_. 1 _ eiq<*'
- i - eiqa*
I g*tfai
_ 1 _ е^аз
- 1 - eiqa>
- 1 - ei(*a>
-\-ei(ta*
2
1 + eiqa*
2
1 + eiqa*
2
1 + e^a»
0
0
Векторы прямой решетки
в точке
Г @00)
6
-2
—2
—2
—2
-2
-2
—2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
а, = (а„/2) A10), а2 = (ао/2) A01), а3 =
Векторы обратной решетки
6, = Bя/а0) A И), Ь2 = Bя/а0)
(HI).
представления
в точке
x(w(m)
6
—2
0
0
0
—
—
0
—
—
—
—
—
2
2
0
0
= (aQ/2) @11).
63 = Bзт/а0) (
в точке
6
—
—
—
—
—
—
—
—
2
—
2
—
2
—
0
0
Ш).
значении q, а также для точек Г@00), Я( —
для всех элементов, входящих в группу волнового вектора этих то-
точек. Согласно A5.28а)
X" (г I т) - X, (г) J ехр {/* [г-« (Хх - т) - ZJ} бх_
288
%i{r)—характер векторного представления. В точке Г для
всех 24 элементов, не содержащих непримитивную трансляцию г,
т. е. для всех элементов группы Td> %u(g) = 2%Fi(g), а для ос-
остальных 24 элементов xu{g) = 0. Следовательно, 3)и = Ft + FT-
Так как для акустических колебаний, описывающих смещение
ячейки как целого, компоненты а преобразуются как ком-
компоненты полярного вектора, то акустические колебания соответ-
соответствуют представлению F^ =Г\5, а оптические — представлению
Ft = Г25. Разложение представления 2)и на неприводимые для
других точек приведено в табл. 23.4.
Таблица 23.4
Распределение колебаний по неприводимым представлениям Gk
Тип
кри-
кристалла
Ge,Si
InSb
PbS
ZnS
(вюр-
цит)
г
аку-
стич.
г»
г25
г„г5
оптич.
4
г25
4
Г., 2Г,
X
X1, Л 2» ^3
2ДС,"
»г.«.-
—
Л
2ЛЬ 2Л3
2ЛЬ2Л3
2ЛЬ 2Л3
—
L
о1 о
2L, 2L3
—
д
2ЛЬ 2Д5
2Л,, 2Д3,
2Д4
2ДЬ 2Д5
2Д1,2Д4,
2Д5, 2Дб
2, К
22Ь 2S3,
42Ь 222
22„ 223,
—
Я, Р, К
—
—
—
2#2>'
4#3
Аналогичным образом легко найти представления, по кото-
которым преобразуются нормальные колебания в других решетках,
указанных выше. Результаты этих расчетов сведены в табл. 23.4.
§ 24. СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРУППОЙ О^, о?, О\
В настоящем параграфе мы найдем возможный вид спектра
в кристаллах с пространственной группой OL О\ и О\ в рас-
рассмотренных в предыдущем параграфе точках зоны Бриллуэна.
Точка Г является точкой нулевого наклона для всех пред-
представлений из-за наличия инверсии в группе Од.
Ю Гг Л. Вир, Г, Е, Пикус 289
Для одномерных представлений Fi, Г2, П, П спектр вблизи
k = 0 согласно табл. 21.1 (стр. 245) описывается одной эффек-
эффективной массой т* и имеет вид
E(k) =
h2k2
2m*
B4.1)
Поскольку двумерные представления Г12 и ГЬ отличаются толь-
только поведением относительно инверсии, то спектр для обоих этих
представлений одинаков.
Учитывая, что импульс преобразуется по векторному пред-
представлению Пб, из B1.25) получим, что N2 = 2, т. е. матрица
B1.19) и спектр для представлений Г12 и Т\2 определяются
двумя независимыми константами.
Для построения матрицы Ж выберем в качестве базисных
функций представления Г12 функции, преобразующиеся как
V2 —
у2)-
Тогда согласно B1.23) для матрицы Ж получим
B4.2)
где
2m ^ 2m2
B\px\n)\>
E0-En
B4.3)
Собственные значения Ж, дающие две ветви спектра f?ii2,
равны
Еи 2(k) = Ak2±\B\ VkA ~ S(k2xk2y + klkl + k2ykl). B4.4)
В направлении [111], когда kx = ky = kZy вырождение зоны не
снимается: Ei(k) =?2(?) в соответствии с условиями совмест-
совместности, показывающими, что в направлении [111] представления
Гр и ГЬ переходят в двумерное представление Лз.
Поскольку каждое из трехмерных представлений Г15, П5,
Г25 и Г25 получается умножением одного из них на какое-либо
из одномерных представлений кубической группы, то все они
проективно эквивалентны и, как будет показано в § 25, спектр
вблизи k = 0 для них одинаков. При построении матрицы Ж
для представления TU выберем базисные функции X, У, Z.
290
Используя B1.19), получим, что в этом базисе матрица Ж
имеет вид
I t> | АД I п 1 I п I Д/ п п Д/ h ty
?^,гСх ~i~ *'* \'*'У " I *^2/ 1'1'*'Х'*'Ц ¦* • *^ X^Z
\J t> Ъ J i? —I- Л/f (/? I A> I Л/^А» А»
1\ rCX У У Г •* V'^'JC I i*Z/ IV rQ ytCg
Nkxkz Nkykz Lk\ + M D + *l)
B4.5)
где L, iW и Af — независимые константы, равные
2m ~*~ ш
2m ^ /n2 ^J Eo— En '
(x\npx\n)(n\py\Y) + (X\py\n)(n\px\Y)
E0-En
tl
Задача определения спектра сводится к решению характери-
характеристического уравнения B1.20) третьего порядка | <?if — /?* | = 0.
Решение может быть получено в явном виде для трех симметрич-
симметричных направлений [100], [111] и [110]:
r±-\
B4.7)
Как видно из B4.7), вдоль направлений [100] и [111] вырожде-
вырождение полностью не снимается, а остается двукратное вырождение
зоны. Это вырождение сохраняется на осях четвертого и третье-
третьего порядка вплоть до границы зоны Бриллуэна в соответствии
с условиями совместности для этих направлений: ri5->Ai + Д5,
Ги-*Л1-4-Лъ хотя, конечно, спектр при достаточном удалении
от точки Г будет отличаться от B4.7).
При учете спин-орбитального взаимодействия в точке Г
имеются двукратные Г^, Г* и четырехкратные представле-
представления Г*, при этом спектр для представлений Г?, Г? одинаков,
так же как и для представлений Yt и ГГ.
Рассмотрим спектр для двукратно вырожденных зон.
Элементы 9вц матрицы Ж согласно B1.23) преобразуются
как
kak$ J Ф1 №п* + яРяа) фу dx9
Ю* 291
где фг, ф^ (г, /= 1, 2; а, р = х, у, z) —базисные функции пред-
представления Г^ или Г*. Поскольку для точки Г представления
относятся к случаю аи то согласно B1.31) правила отбора для
этих матричных элементов определяются представлением, по ко-
которому преобразуется антисимметризованное произведение
функций фгф;:
{гв±хгв±} = {г7±хг7±}=Г1.
Поэтому матричный элемент отличен от нуля только для инва-
инвариантных комбинаций пап$, т. е. для п2 = п2х-\ п2у -f n2z. При
этом из-за ортогональности представлений матричный элемент
k2 \ ф*зх2фу dx ~ k26ijt
т. е. матрица 2вц ~ E(k)8ij, а спектр E(k) двукратно вырожден
и совпадает со спектром B4.1) в невырожденной зоне.
Этот результат получен без использования какого-либо кон-
конкретного выбора базисных функций и справедлив при любой ве-
величине спин-орбитального взаимодействия.
Рассмотрим теперь спектр вблизи точки Г для представления
Г*. С учетом спина электрона трехкратное вырождение зоны
в точке Г, соответствующее представлению TU, удваивается и
становится шестикратным, а базисные функции
Ха, Уа, Za, X$, Ур, Zp B4.8)
преобразуются по представлению ПбХ^/г- В B4.8) а, р —
спиновые функции, соответствующие проекции спина ± 1/2. Без
учета спин-орбитального взаимодействия матрица Ж в базисе
B4.8) имеет вид
II Ж\ 0 ||
Ж = \ l „I B4.9)
II и <Я\ II
где Ж\ — матрица B4.5).
Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению
шестикратно вырожденной в точке Г зоны на четырехкратно вы-
вырожденную зону (представление ПГ) и двукратно вырожден-
вырожденную зону Гё". Если величина спин-орбитального расщепления Д
зон IV и Гб~ в точке k = 0 значительно меньше расстояния до
других зон, то в качестве базисных функций представлений
IT и Гб~ можно выбрать функции B3.2) и B3.3).
В новом представлении, определяемом функциями B3.2) и
B3.3), в котором оператор 2№со диагоналей, матрица Ж B4.9)
переходит в
Ж = S Ж8,
где унитарная матрица S преобразует функции B4.8) в функ-
функции B3.2), B3.3). Непосредственный расчет дает для 3@rm>, ym:
292
-I"
eo|(N
1
«|(N
1
CO |<N
CO |<N
T
*
о *
CO Jfr*
1
t
О
*
со
<N
1
I
О
о
CO
1
1
*
•**
i
#
*
О
3 3
2 * 2
О
<
s
1
I<N
1
-
<
О
/ (G - F)
h
1
!
293
где
B4.11)
=r (kykz + ikxkz), I = ^L- {(L - M) {k2x - k2y) - 2iNkxky).
В общем случае для определения спектра с учетом спин-ор-
спин-орбитального расщепления зоны следует находить собственные
значения матрицы B4.10).
Если А велико по сравнению с кинетической энергией носи-
носителей тока, отсчитанной от дна каждой из отщепившихся зон,
то задача упрощается и в этом случае для определения спектра
достаточно найти собственные значения матрицы четвертого по-
порядка
F Н I 0
/Г G 0 /
ГО G -Н
0 Г -Я* F
B4.12)
и диагональной матрицы второго порядка, которые дают отдель-
отдельно спектр каждой из расщепившихся зон. Решая соответствую-
соответствующие характеристические уравнения, найдем спектр в зоне Гв:
B4.13)
откуда
Ei,2 = Ak2± VB2k* + C2{k\k\ + k2xkl + k2ykl), B4.13a)
и в зоне Гб:
?3 = ^-j^- ~ A = Ak2 - A, B4.136)
где введены константы:
L + 2M n—L—M /О2_П2 QD2 Д _ N_ t B4.14)
Каждое собственное значение двукратно вырождено из-за
инверсии времени.
Для вырожденной зоны Гв в соответствии с результатами § 17
вторая производная от энергии по компонентам вектора k тер-
терпит разрыв в точке k = 0. Матрица B4.12) и спектр B4.13а)
для представления Гв получен нами в приближении слабого
спин-орбитального взаимодействия. Легко показать, что и при
любой величине спин-орбитального взаимодействия вид матрицы
Ж и спектр E(k) совпадают с B4.12) и B4.13); в частности они
определяются тремя независимыми константами Л, В, D, в чем
можно убедиться из B1.31).
294
Однако соотношения B4.14) между константами Л, В, D для
уровня Г8 и L, Му N для уровня Г15, так же как и связь эффек-
эффективной массы в зоне Гб с этими константами, справедливы лишь
при слабом спин-орбитальном взаимодействии (см. B6.15а)).
Поверхности постоянной энергии B4.13) являются «деформи-
«деформированными» сферами.
Волновые функции дырок в низшем по k приближении со-
согласно B1.21) равны
bk = eikx 2 Cm'(fe)*m?> B4.15)
m/=±3/2, ±1/2
а функции г|)^ определены в B3.2).
Волновые функции B4.15) удобно записывать в виде столбца
коэффициентов clm, (k) разложения ^lk по функциям дна зоны
t = eikx
'3/2
(*)
B4.16)
Матрица с определяется из решения системы уравнений
B1.18) с матрицей Ж B4.12). Поскольку собственные значения
матрицы B4.12) двукратно вырождены из-за инверсии времени,
коэффициенты матрицы с определяются не однозначно, а с точ-
точностью до унитарного преобразования вырожденных функций.
Поскольку представление Гз относится к случаю аи то между
базисными функциями г$2 и функциями К^т = (УуКо^т суще-
существует линейная связь A8.7). Легко убедиться, что для функ-
функций B3.2) эти соотношения имеют вид
B4.17)
Эти соотношения определяют матрицу Т A8.7).
При переходе к базису /Сг|) матрица Ж переходит в мат-
матрицу*)
Г l*
что и обеспечивает двукратное вырождение собственных значе-
значений матрицы B4.12). Коэффициенты с\ и сх[ двух вырожден-
вырожденных функций if»/* и if»/'* можно подчинить условию, подобному
B4.17):
^з/2 = ^2- B4.18)
"-3/2»
'1/2"
гУ .. = — г*1
--1/2
= — С
\/2>
*) Отметим, что это условие инвариантности матрицы К к инверсии вре-
времени и вид матрицы Г, определяемой преобразованиями B4.17), однозначно
определяют вид B4.12) матрицы К для представления Г8.
295
Собственные функции Рь матрицы Ж, удовлетворяющие
условию B4.18), равны
Н
m
У {Ei
V(E2
V(E2
1
-F)(El-Ei)
1
- F) (Ei - E2)
1
-F)(E2-El)
1
О
Г
J
О
Я*
Н
Eo-F
Г
B4.19)
О
-(E2-F)
где ?lf2, I, F и Н определены в B4.11) и B4.13).
В согласии с общими результатами § 17 и § 21 функции 3Tki
и г|)^ зависят только от направления вектора k и как функции к
терпят разрыв в точке k = 0.
В тех случаях, когда энергия дырок сравнима с величиной
спин-орбитального расщепления зон Гв и Ге, следует находить
собственные значения матрицы B4.10), что сводится к решению
кубического уравнения, так как из-за инверсии времени каждое
собственное значение двукратно вырождено.
Используя формулы A5.49), A5.49а) теории возмущений,
легко найти поправки к энергии Eit 2(ft) за счет взаимодействия
зон Г8 и Гб. Для этого нужно учесть поправки к матрице B4.12),
которые для матрицы Ж B4.10) имеют вид
H' = H + ±{H{G-F)-2 /3Я7),
/'= /- 2^/3 ЯЧ-2/(С -/0).
B4.20)
296
Отсюда получим поправку к энергии 6Еи 2(&)~&4/А, которая
дает непараболичность спектра за счет взаимодействия зон
Г8 и Г6:
2BW + 9В (-?- — В2) k*B + 27 /«4?=- + в) klklkl
1 У^ '- , B4.21)
где e = l + y
Полученные выше формулы определяют возможные типы
спектра в точке Г для всех пространственных групп класса Oh.
Точка Д. Поскольку представления в точке А относятся к
случаю #2, для определения числа отличных от нуля матричных
элементов импульса следует использовать B1.28), B1.32), где
в качестве элемента R может быть выбрана инверсия. Как
указано в § 18, для внутренних точек зоны Бриллуэна в форму-
формулах B1.28), B1.32) стоят характеры представлений точечной
группы направлений, поэтому полученные ниже результаты для
точки А справедливы для всех групп класса 0^. Учитывая, что
оператор я (или р) является нечетным как по отношению к про-
пространственной инверсии, так и к инверсии времени, формулы
B1.28), B1.32) имеют вид
B4.22)
Для всех одномерных однозначных представлений [д!х А/] = А{9
а для двузначных представлений {AjXA*)=^i- Для двумер-
двумерного однозначного представления [А* X Д51 =sAl + A2 + Вг
Представление, по которому преобразуются компоненты век-
векторов я или р, приводимо и распадается на единичное Аи по
которому преобразуется тсх> и двумерное ?, по которому преоб-
преобразуются лу, jt2. Из B4.22) следует, что в точке А для всех пред-
представлений отлична от нуля только одна компонента импульса
пх(рх).
Для одномерных представлений поверхность постоянной энер-
энергии в точке А вблизи экстремума согласно табл. 21.1 является
эллипсоидом вращения:
h2k2 h2 (k2 4- k2}
E(k) = E (k0) + ±± + Щ^- • B4.23)
Для двумерного представления А5 в базисе функций Y, Z
матрица Ж в точке экстремума имеет вид
\
Ak\A-Bkl-\-Ck\ Dkukz
297
где
У i fi2 V \(Y\px\n)\'
Eq — En
п _ V V
Е-Еп
П
выражения для В и С отличаются от выражения для А заменой
р* на ру и рг соответственно.
Спектр ?iJ для представлений Л5 равен
EU2(k) = E (ко) + Ак\ + ^^{к2у + **) ±
^JD$2 B4.26)
и определяется четырьмя параметрами Л, В, С и D.
С учетом спина и спин-орбитального взаимодействия одно-
одномерные представления переходят в двумерные Аб и А7, а четы-
четырехмерное представление ДбХ^Х/г расщепляется на два дву-
двумерных.
Поскольку {А*ХА7} === {^бХ Д6) = Av то число независимых
констант, определяющих спектр в точке нулевого наклона, равно
числу единичных представлений, содержащихся в прямых про-
произведениях [Ai X Ai]I = At и [A5 X A5] = At + B2 + A2, т. е. равно
двум. Этими инвариантными комбинациями зхаяр + яряа яв-
являются комбинации я* и п2у + тс|, поэтому для двузначных
представлений 3@ti = (Ak2x + B{k\ + $$)bih т. е. для двузначных
представлений спектр в точке А совпадает со спектром B4.23) в
невырожденной зоне.
Точка X. Поскольку для точки X в группе направлений Da
содержится инверсия, которая коммутирует со всеми элемента-
элементами в пространственных группах Од и О\, то волновые функции
в точке X обладают определенной четностью и поэтому точка X
является точкой нулевого наклона для всех представлений групп
Oxh и О\.
Так как DAh = Cav X Ciy то возможный вид спектра в точке X
для групп Он и 0/1 совпадает со спектром в точке нулевого на-
наклона точки А и определяется формулами B4.23) и B4.26).
Возможные виды спектра в точке М в группе О\ совпадают
с возможными вариантами зонной структуры в точке X для
этой группы. Иная ситуация имеет место в точке X группы Оя,
где имеется принудительное вырождение зон.
В группе О\ инверсия i сопровождается нетривиальной
трансляцией т, поэтому она не коммутирует со всеми элемен-
элементами пространственной группы, и базисные функции представле-
298
ний группы волнового вектора не обладают определенной чет-
четностью. Поэтому в группе О\ наличие инверсии в группе на-
направления само по себе не приводит автоматически к обраще-
обращению в нуль матричных элементов импульса. Поскольку в точке
X представления относятся к случаю аи для определения числа
линейно независимых компонент оператора импульса следует
использовать B1.25) и B1.31).
Так как D^i = Did X С*, то произведение представлений
Xi y^Xi (i = 1,2,..., 5) мы будем раскладывать по представле-
представлениям группы D2d X Ci.
Нетрудно проверить по таблицам характеров, что
[х] х *,} = [х; х х3} = 4~> R х х{] = [х; х хъ\=а++в;+в+9
{х; х х2) = {х: х *4} = в;9 [х; х х2\ = \х\ х х,]=а^+а;+в+9
[х; х х5] = л2+ + а; + в+ + в+ + 2Е+ + е~,
{х;хх5} „ л+ + а; + в; + в2+ + ег.
B4.27)
Поскольку компоненты импульса в точке X преобразуются по
представлениям ВЧ (пх) и Е~ (%, я2), то из B4.27) следует,
что точка X является точкой нулевого наклона для представле-
представлений Хи Х3, в то время как для представлений Х2 и Х4 отличен
от нуля матричный элемент рх (и, соответственно, dE/dkx). Для
спинорного представления Хъ отличны от нуля все три компо-
компоненты пХу Пу, пг. При этом матричные элементы %, nz имеют
релятивистскую малость, а пх релятивистски мал только для тех
представлений Х$, которые произошли от представлений Хи Х3.
Здесь мы рассмотрим спектр в точке X для представлений
Хи Хз. Матричные элементы квадратичных компонент импульса
согласно B1.25) определяются симметризованными произведе-
произведениями представлений.
Симметризованное произведение \3)\\ раскладывается на
неприводимые представления группы D2a X С{ следующим об-
образом:
Таким образом, согласно B4.27) матрица Ж и спектр E(k)
определяются тремя комбинациями компонент: k2x, k\ + k2z, пре-
преобразующимися по представлению Аи и kykZi преобразующимся
по В2. Вид матрицы К зависит от конкретного выбора базис-
базисных функций. При построении матрицы Ж B4.2), B4.5) и
B4.24) использовался явный вид базисных ^ункдий- Однако
можно строить матрицы Ж, не задаваясь явным видом базис-
базисных функций, если известны матрицы представления.
299
Для представлений Х{ и Х3 мы построим матрицу Ж в бази-
базисе функций \|?1 и г|J, который определяется матрицами преобра-
преобразования, приведенными для образующих элементов группы D2d
в табл. 14.2 (стр. 151).
Для инвариантных комбинаций р\ и р2у + р\ матричные эле-
элементы B1.23) Жц равны
{% I pi I ¦/> - <*i I р\ l *i> в». {% I pi+pi I ¦/> - <*i I pi+pi
Диагональные матричные элементы (^lPj/Pl^)
= (Фг | PvPz |фг) = 0, так как из табл. 14.2 следует, что они ме-
меняют знак при преобразованиях s4. Единственным недиагональ-
недиагональным элементом матрицы Ж в выбранном базисе будет матрич-
матричный элемент {tyi\pypz\ty2), поэтому в соответствии с B1.23) для
представлений Хи Х$ матрица Ж имеет вид
Ckyk
\
| Ckykz Ak
ykz
\ +
K }
где Л, В и С — константы.
Энергетический спектр Eit2(k) для представлений Хи Хз
имеет вид
EU2(k) = E(kQ) Ч Ak\ + В{kl + $ ± | С | А^2> B4.29)
и поверхности постоянной энергии B4.29) являются двумя трех-
трехосными эллипсоидами с главными осями по направлениям [100],
[Oil], [Oil].
Хотя каждый из них и не инвариантен к преобразованиям
из группы D4fc, в целом спектр B4.29) инвариантен относительно
преобразований из D4h.
Точка Л. В точке Л для одномерных однозначных представ-
представлений Ai и Лг отлична от нуля одна компонента импульса, па-
параллельная оси третьего порядка. В точке нулевого наклона
поверхности постоянной энергии являются эллипсоидами враще-
вращения, с главной осью г, направленной вдоль оси третьего поряд-
порядка. В этих осях
Для двумерного однозначного представления Л3, относящегося
к случаю а2, при определении JVi следует использовать формулы
B1.28), B1.32), где в качестве элемента R может быть выбрана
инверсия. Из B1.28) следует, что для представления Л3 отличны
от нуля компоненты импульса, преобразующиеся по представ-
представлению [Е X Щ = А\ + Е, т. е. все три компоненты импульса. По-
Поэтому точка Л не является точкой нулевого наклона для пред-
представления Лз-
300
Одномерные двузначные представления Л4 и As относятся
к случаю Ь2 и должны быть объединены. Согласно B1.22) имеет-
имеется одна отличная от нуля линейно независимая константа, со-
соответствующая «диагональному» матричному элементу импульса
nz\ «недиагональные» матричные элементы импульса равны нулю.
В точке нулевого наклона, где обращается в нуль продольная
компонента импульса, спектр согласно B1.23) двукратно вы-
вырожден и определяется формулой B4.30). Двумерное двузнач-
двузначное представление Лб относится к случаю а2 и согласно B1.32)
выражения для N\ и N2 определяются антисимметризованным
произведением {Лб X Лб} = А\. Поэтому в точке Л для предста-
представления Лб отлична от нуля только продольная компонента я2, а в
точке нулевого наклона спектр определяется формулой B4.29).
Таким образом, в точке Л вблизи экстремума для всех пред-
представлений поверхности постоянной энергии являются эллипсои-
эллипсоидами вращения B4.30) для всех групп О\, О\ и О\.
Точка L. Поскольку в группе волнового вектора в точке L
имеется инверсия, коммутирующая со всеми элементами группы,
то точка L является точкой нулевого наклона для всех представ-
представлений.
Для однозначных одномерных представлений Lt, Li спектр
E(k) в точке L определяется формулой B4.30). Для двумерных
однозначных представлений Lf спектр одинаков. Для представ-
представления Lz базисные функции могут быть выбраны в виде
где оси х, у лежат в плоскости, перпендикулярной оси треть-
третьего порядка z. В этом базисе матрица Ж имеет вид
и приводит к спектру
?,. 2 (ft) = ? (*о) + Ак\ + В (ft* + ft|) ± 1| С | ft,ft±; B4.32)
в этих формулах k±={kx ± iky)/29 k± = Yk2x + k2yy а Л, В и
С — константы.
Для двумерного спинорного представления Lt из B1.31)
имеем: {bf'XLt} =At9 поэтому спектр для этих представле-
представлений определяется формулой B4.30) и двукратно вырожден.
Для объединенных представлений Lt, Lt и LT, Ls следует
использовать формулы B1.22) и B1.24), из которых следует,
что матрица Ж для этих представлений включает только инва-
инвариантные по отношению к группе D^a комбинации компонент
301
k\ и k2x + k2y. Поэтому она кратна единичной, ее собственные
значения двукратно вырождены и определяются формулой
B4.30).
Точка 2. Для одномерных представлений 2i, 2г, 2з и 24 со-
согласно табл. 21.1 отличен от нуля только один матричный эле-
элемент компоненты импульса pz, где ось z направлена по оси
второго порядка.
В точке нулевого наклона поверхности постоянной энергии
для одномерных представлений являются трехосными эллипсои-
эллипсоидами:
где оси х и у направлены по линиям пересечения плоскости, пер-
перпендикулярной оси второго порядка, с плоскостями отражения gv.
Для двумерного спинорного представления 2s из B1.28) сле-
следует, что отличен от нуля также только матричный элемент ком-
компоненты импульса я2. В точке нулевого наклона спектр двукрат-
двукратно вырожден и определяется формулой B4.33).
Все полученные результаты для точки 2 справедливы и для
соответствующих представлений точки /С.
Модель Кейне
В ряде полупроводников с решеткой типа цинковой обманки,
например в InSb, экстремумы зоны проводимости и валентной
зоны находятся в одной точке Г и ширина запрещенной зоны
у них мала. Поэтому для этих кристаллов квадратичное по k
приближение для E(k) в ряде задач оказывается недостаточным
и при построении Ж (k) необходимо строить его сразу для зоны
проводимости и валентной зоны. Если не учитывать линейных
по k релятивистских членов, которые будут рассмотрены в § 26,
то Ж(k) для этих кристаллов в точке Г не отличается от соот-
соответствующего гамильтониана для решетки Ge и Si, так же как
и для других кубических кристаллов. В соответствии с B3.2)
в качестве базисных функций для валентной зоны выберем не-
нечетные функции \|?ш с / = 3/2 и /= 1/2, а в качестве базисных
функций зоны проводимости — четные функции i|>m2+. Согласно
B1.38), матрица Ж{Ь) в этом базисе имеет вид, представленный
в табл. 24.1, где
^ ^kx±iky). B4.34)
При этом константы Z/, АГ и N' в F\ G' Н' и /' отличаются от
констант L, М, N в F, G, Я, / в B4.10), так как они учитывают
взаимодействие валентной зоны со всеми зонами, кроме зоны
проводимости, тогда как L, М и N включают и взаимодействие
302
Матрица Ж (k) для двухзонной модели
Таблица 24.1
8
CO
1/2,
1/2
-1/2
3/2,
372
3/2,
172
3/2,
-1/2
3/2,
-3/2
1/2,
1/2,
-1/2
1/2, 1/2
0
pfe+
/з p
0
1
i
1/2, -1/2
0
p 1
2m'c
0
— /pfe-
1
3/2, 3/2
pfe-
0
r
Я*'
''
0
3/2, 1/2
1
H'
G'
0
3/2, -1/2
—r^rr pfe —
Уз
r
0
G'
-я-
/2
3/2, -3/2
0
ipk+
0
r
H'
F
i V2I'
1 H*
V2
1/2, 1B
1
1
l/ Q
F'+G'
Л ' 2
0
1/2, -1/2
/3-pfe+
i
/3 pfe2
? 1/ — "
w(G'-n
0
F'+G'
...л 1 2
с зоной проводимости. Для того чтобы перейти от табл. 24.1 к
B4.10), надо исключить в ней междузонные члены, учитываю-
учитывающие это взаимодействие. Точно так же сумма
(S\px\n)\> i
включает взаимодействие со всеми зонами п, кроме валентной
зоны.
§ 25. МЕТОД ИНВАРИАНТОВ
Как было показано в предыдущих параграфах, гамильтониа-
гамильтонианом для электрона в приближении эффективной массы является
оператор Ж {к), который имеет вид матрицы размерности ns X
X nSj где ns — размерность соответствующего представления
2)ko группы волнового вектора G*o. Для свободных носителей
собственные значения матрицы Ж \к) определяют спектр Е(к).
Для построения Ж (к) в этих параграфах использовалась тео-
теория возмущений, которая позволяет установить общий вид Ж {к)
и получить явные выражения для входящих в Ж констант через
соответствующие матричные элементы. Однако обычно достаточ-
достаточно знать лишь общий вид Ж, так как входящие в него константы,
как правило, определяются из экспериментальных данных. Для
определения общего вида Ж нет необходимости использовать до-
довольно громоздкую теорию возмущений; Ж {к) можно построить,
зная лишь закон преобразования базисных функций г|?лот и ком-
компонент кг при операциях группы волнового вектора.
Требования, накладываемые на Ж (к) условиями симметрии
Рассмотрим гамильтониан Ж, построенный в базисе функций
•фг (i = 1,2,..., д5), преобразующихся по представлению 2)(g)
группы G, g e G размерности ns. При этом мы будем считать,
что ^зависит не только от волнового вектора к, но и от внеш-
внешних полей: магнитного Н и электрического t, причем в послед-
последнем случае Ж может явно зависеть от координат х. Кроме того,
как будет подробно показано в следующей главе, Ж может
включать члены, пропорциональные компонентам тензора де-
деформации. Все эти величины мы обозначим символом Ж, имея
в виду, что закон преобразования компонент Ж\ определяется
правилами преобразования соответствующих векторов или тен-
тензоров при данной операции g. При преобразовании gy входящем
в группу G, функции tyj(x) переходят в
% (х) = % (g~lx) = 2 SDit (g) % (х)
и в соответствии с G.12) %(ЗС) переходит в 3) ч (gKK{XK>(g).
304
С другой стороны, преобразование g системы координат экви-
эквивалентно обратному преобразованию g~x всех векторов или тен-
тензоров Ж, в результате которого Ж {Ж) переходит в 2С{ц~хЖ).
Следовательно, Ж (Ж) должно удовлетворять условиям
2)-1{ё)Ж{ЖJ){ё) = Ж{ё-1Ж\ g^G. B5.1а)
Эти соотношения являются обычными условиями инвариантно-
инвариантности гамильтониана к преобразованию g:
Ж' {Ж') « 3) (g) Ж ОТ1 Ж) 3>'1 (g) = Ж (Ж). B5.1 б)
Каждое матричное уравнение B5.1) представляет п? уравнений
для матричных элементов Жц{Ж) матрицы Ж {Ж).
Уравнения B5.1) должны выполняться при всех операциях
g e G. Однако легко проверить, что если они справедливы для
всех образующих элементов группы G, то они выполняются и
для любого элемента группы g\ так как эти элементы могут
быть записаны как произведение образующих элементов.
Если не учитывать дополнительных требований, накладывае-
накладываемых на Ж (Ж) условиями, связанными с инвариантностью га-
гамильтониана к инверсии времени, которые будут рассмотрены
ниже, то система уравнений B5.1) для всех образующих эле-
элементов полностью определяет вид Ж (Ж)- Если матрицы пред-
представлений известны, то можно построить Ж (Ж), непосредствен-
непосредственно используя эти уравнения. Несмотря на кажущуюся громозд-
громоздкость, практически этот способ обычно оказывается достаточно
простым. Однако, как будет показано ниже, в большинстве слу-
случаев можно построить Ж {Ж), зная лишь характеры представ-
представлений. Конечно, и в этом случае Ж {Ж) строится в определен-
определенном базисе, но этот базис в явном виде не задается.
Матрицу Ж {Ж) размерностью nsXns можно представить
в виде произведения соответствующих компонент Ж\ на ns ли-
нейночнезависимых матриц Х.(г = 1, 2, ..., м^), не зависящих
от <3&.Ьассмотрим подробнее свойства этих базисных матриц Xt.
Если применить к любой из них операцию g, которую в соответ-
соответствии с A0.9) определим как
в-1Хй = X't = 2) (g) Xt 3)~] (g), B5.2)
то полученную в результате такого преобразования матрицу Х\
можно разложить по полной системе матриц Xt:
X'i=%?>ji(g)X}. B5.3)
Матрицы 3)x{g) образуют представление группы G, в чем легко
убедиться, повторяя рассуждения, приведенные в § 7 при выводе
уравнения G.5). Размерность этого представления Фх равна
п\. Для определения характеров представления Фх обозначим
матрицы Х{ двумя индексами: Xlh (I = 1,2,..., ns, ft=l,2,..5
..., ns) и выберем их так, чтобы каждая матрица Xlh имела
только один отличный от нуля матричный элемент Х1& = 1> т. е.
Xi>kf = б//' 6kk'-
В этом представлении, согласно B5.2) и B5.3),
2>7/<т (g) = 2?>i>i (g) 2>7>} (g) = Фи> (g) ?>п (g),
т. е. матрицы 3)Х являются прямым произведением матриц
3) (g) ЗУ (g)- Отсюда следует, что характер представления к)х,
который не зависит от конкретного выбора матриц Х\, равен
%х (g) = 2 SDfit, (g) = %(g) %* (g)=\%(g) I2, B5.4)
гДе %{g) —характер представления 3){g).
Представление SDX в общем случае приводимо и может быть
разложено по неприводимым представлениям. Это означает, что
из п? линейно независимых матриц Хг можно составить линейные
комбинации ХГ, преобразующиеся в соответствии с B5.2),
B5.3) по неприводимым представлениям SDK группы G, входя-
входящим в 3) Х^5*, т. е. удовлетворяющие соотношениям
g~lX? = 3) (g) X? 3) -\g) = S ?$i (g) Xl B5.5)
Из компонент векторов или тензоров также можно составить
комбинации Ж*, преобразующиеся по различным представле-
представлением &„ группы G. Тогда матрицы Ж (<Ж) в соответствии с пра-
правилами построения инвариантов, изложенными в § 9 (см. (9.27)),
можно записать в виде произведения матриц X? и компонент
ЖТу преобразующихся по комплексно сопряженным представ-
представлениям:
= 2 ак Ц Х?ЛГ;х, B5.6)
где ах — произвольные константы, которые могут быть либо
комплексными, либо чисто вещественными или мнимыми с тем,
чтобы Ж [Ж) был эрмитов. Если компоненты Ж1} выбраны ве-
вещественными, а матрицы ХГ— эрмитовыми, то эти константы
должны быть вещественны. При этом, вообще говоря, одни и те
же компоненты Ж* могут входить в B5.6) в виде произведений
не с одним, а с несколькими различными наборами матриц X?,
преобразующимися по одному представлению, и, соответственно,
с разными константами ак.
Используя B5.5), легко проверить, что оператор^(q/Г), по-
построенный в соответствии с B5.6), действительно удовлетворяет
306
условию B5.1). При этом надо иметь в виду, что компоненты
ЖТ в соответствии с G.3) преобразуются по закону
Xf = ё-хжГ = S SDfi (g) X? = S ФЪ1 ig) Ж?. B5.7)
Следовательно, соотношения B5.4) — B5.6) означают, что
в Ж (Ж) могут входить лишь те компоненты Ж*, которые пре-
преобразуются по представлениям iZ)x, входящим в прямое произ-
произведение к> X 3)** т. е. представлениям, для которых величина
Nn, определяемая уравнением A9.43), отлична от нуля.
К последней формуле можно прийти и несколько иным пу-
путем. Если подставить B5.6) в B5.16), то, приравнивая множи-
множители при одинаковых компонентах X*, получим
или в развернутой форме
XI и = 2 SDh (g) ®\>i (g) SDn (8) XI i'r- B5.8)
I'i'j'
Последние соотношения совпадают с выражениями A9.4), опре-
определяющими закон преобразования матричных элементов v\j
при операциях g. Поэтому число наборов линейно независимых
матриц ХГ, преобразующихся по данному неприводимому пред-
представлению &н точечной группы F, равно числу представлений
й)х, содержащихся в произведении ?D(g) X ®*(g)> и опреде-
определяется формулой A9.6).
Во всех предыдущих рассуждениях не предполагалось, что
представление 2)(g) является неприводимым, имея в виду, что
в некоторых случаях необходимо строить Ж (Ж) сразу для не-
нескольких представлений. Рассмотрим общий случай, когда пред-
представление 3){g) является приводимым и разлагается, например*
на два представления ZDi и Фц размерность^ и пц с базисом
ij?! И 'фн*
О 3>п\' B5>9)
Тогда в этом базисе матрица Ж {Ж) имеет вид
П" №" 1
B5.10)
Поскольку матрица 3) B5.9) является квазидиагональной,
то условие инвариантности гамильтониана B5.1) приводит к
307
следующим соотношениям для каждого «блоха» матрицы Ж {Ж):
3)ГХ (g) Xх' {Ж) Э)х (g) = Xх' (g~x
ТХ (g) Ж1" (X) 3) (g) = Ж1" {g~lJC\ { }
3)ТХ (g) Ж1" (X) 3)и (g) = Ж
3>7i (g) Жп 1 {Ж) 3)i (g) = Жп l
при этом для диагональных блоков эти соотношения, естествен-
естественно, совпадают с B5.1). В этом случае каждые блоки матрицы
Ж можно разложить по базисным матрицам Х}\ Х}111, Х\и
и Х"\ соответственно. Базисные матрицы Xй и X1111 являют-
являются квадратными матрицами щ X п\ и Пц X яц, соответственно;
матрица X111 имеет ti\ строк и пц столбцов, а матрица X111, на-
наоборот, пц строк и п\ столбцов. Если rii = пц, то все базисные
матрицы являются квадратными.
Легко убедиться, что как диагональные, так и недиагональ-
недиагональные матрицы по отдельности образуют базис представления
группы G с характерами:
X,, (g) = | X, (g) |2» Х„ и (g) = IX,, (g) |2, B5.12a)
Xi и (8) = Xl (8) Х„ (ff), Xii i te) = Xi (8) %n (g) = x; и (g)- B5.126)
Применим эти общие соображения к задаче построения
гамильтониана Жк,(Ж) в точке k0. В этом случае группа G
есть группа волнового вектора G^o» представление 2) = S)^9.
В соответствии с B5.4) характер х?0 представления 0* в точке k0
равен
# |*()|2 B5.13)
где %^{g) — характер представления 0?°.
Из B5.5) следует, что Э)х в этом случае не зависит от транс-
трансляций на периоды решетки Браве и определяется, таким обра-
образом, только поворотными элементами г группы направлений
Fk» т. е. SDX всегда является обычным, т. е. векторным пред-
представлением группы Fkc и может быть разложено по обычным
представлениям точечной группы /^0. Поэтому базисные мат-
матрицы X также всегда преобразуются по обычным представле-
представлениям группы Fkv И, следовательно, в согласии с формулой
A9.43), которая следует из A9.6), число наборов Xх, преобра-
преобразующихся по представлению 2DK точечной группы /^0, равно
числу представлений 2)к, содержащихся в произведении ?)*** X
X 0*°:
N* = T S |x*°(g)|2Xx(g). B5.14)
308
Здесь суммирование ведется по всем основным элементам груп-
группы волнового вектора, не содержащим примитивных трансляций.
Легко видеть, что выражения B5.1), B5.4), B5.5), B5.11) и
B5.14) не изменятся, если, используя A2.26), перейти от пред-
представлений группы волнового вектора 3$ к проективным пред-
представлениям точечной группы 3I0 (г) = 3)^ (g) etk"\ Поэтому по-
последнюю формулу можно переписать в виде
Здесь суммирование ведется по всем элементам точечной груп-
группы направлений Fka, а %*° (г) — характеры соответствующих про-
проективных представлений.
Для случая объединения двух представлений 3)^ и 55v число
N\ для диагональных подматриц Xй и Хии в соответствии
с B5.12а) определяется формулой, подобной B5.14), а для не-
недиагональных подматриц X111 — согласно A9.31):
S *?*(8)ti<8)%*te) B5.15)
Выше мы рассматривали ограничения на Ж (Ж), связан-
связанные только с условиями симметрии.
Дополнительные ограничения, накладываемые на матрицу
Ж {Ж) инвариантностью гамильтониана к инверсии времени
Как указывалось в § 19, формула A9.43) применима в том
случае, когда точки k0 и —ко входят в разные звезды (случай
Ьз). Во всех остальных случаях надо учесть дополнительные тре-
требования к Ж {Ж), связанные с инвариантностью к инверсии
времени.
Так как операция инверсии времени К переводит k0 в —кОу
то в тех случаях, когда точки ко и —к0 не эквивалентны, т. е.
в случаях #2, Ьч и с2, сперва будем считать, что оператор Ж {Ж)
построен одновременно для обеих точек к0 и — ft0, т. е. его базис-
базисными функциями являются функции if, т. е. *фл и ty-ku=R%u,
а в случаях Ь2 и с2 — также функции /C-ф, т. е. Ktykfi и KR%9,
где R — одна из операций, обращающих ко в —ко.
Рассмотрим сначала случай а, когда Ж (Ж) строится в ба-
базисе функций \|зг, таких, что между ф* и Ktyi имеется линейная
связь A8.7):
2
При переходе от базиса -ф к базису /С^ матрица Ж {Ж) перехо-
переходит в матрицу Т~1Ж{Ж)Т.
309
Переменные Ж и как показано в § 18, всегда можно разбить
на четные и нечетные по отношению к инверсии времени, так что
КЖь = ^Жи где / = ±1. Так, для компонент волнового вектора
и магнитного поля, нечетных по отношению к инверсии времени,
f=—1, а для электрического поля, координат, компонент тен-
тензора деформации / = 1.
Инвариантность Ж (Ж) к инверсии времени означает, что
при инверсии времени Ж {Ж) переходит в Ж* {Ж) и поэтому
в случае а матрица Ж {Ж) должна удовлетворять дополни-
дополнительному условию:
B5.16)
Из B5.16) следует, что базисные матрицы X* должны удовлет-
удовлетворять соотношениям
КХ* = Т~1ХТТ = fXT = fX*. B5.17)
При этом предполагается, что все компоненты Ж выбраны ве-
вещественными, так же как и константы ак. При этом условии из
эрмитовости Ж следует, что и матрицы X должны быть эрмито-
эрмитовыми.
Таким образом, в случае а все базисные матрицы X* можно
разбить на четные и нечетные по отношению к инверсии вре-
времени в смысле B5.17), при этом матрицы одной четности преоб-
преобразуются независимо по представлению Ф^. Любую заданную
матрицу Xi можно разбить на четные и нечетные матрицы, по-
построив матрицы Хм, 2 по формуле
Хп,2 = у(Х? ± К2ТХ?Т~1). B5.18)
Действительно,
\(г-1Гг 2хГ) = ± -^(хГ ± к2т'1х?т)=
= ± Ц- G?±к2тх?т) = ± K2xflt 2.
При этом мы учли, что матрица Т унитарна и, согласно A8.26),
у==/BГ. Таким образом, при /С2=1 матрицы Хп являются
четными, а Хд — нечетными по отношению к инверсии времени
(при /С2=—1, наоборот, Хп — нечетные, а Хп — четные). Усло-
Условие B5.16) означает, что в Ж {Ж) входят произведения матриц X?
и компонент Ж* одинаковой четности по отношению к инверсии
времени.
В развернутом виде формула B5.17) имеет вид
Xlti^f^ThXlvrTn B5.19)
i'l'
310
Эта формула совпадает с A9.8). Как показано в § 19, из соот-
соотношения A9.8) и соотношения A9.4), подобного B5.8), следует
формула A9.13) для NK. Надо, однако, иметь в виду, что по-
поскольку мы строим Ж (<Ж) лишь для одной из точек звезды, то
соотношения B5.8) должны выполняться лишь для элементов
группы волнового вектора G*o, тогда как формулы A9.4) спра-
справедливы при всех операциях пространственной группы G. Мы,
однако, могли бы строить Ж {Ж) не для одной точки звезды,
а для всех ее точек, т. е. для полного представления простран-
пространственной группы. В этом представлении матрица Ж{яК) имела
бы квазидиагональный вид и состояла бы из N матриц размер-
размерностью ftp, X Яц> где N — число точек звезды, а п^— размерность
представления <®*°. Тогда условия B5.1) и следующее из них
соотношение B5.8) при geG*0 определяли бы вид Жк,{Ж), а
при g 1= GkQ — оператор Жк(<Ж)У относящийся к другой точке
звёзды. Поэтому формула B5.8) полностью эквивалентна A9.4),
и, следовательно, число линейно независимых четных и нечет-
нечетных наборов матриц Xх, преобразующихся по представлению 2)ю
в случае а\ определяется формулой A9.45), а в случае а2 —
формулой A9.46).
Соотношения B5.16), B5.17), B5.18) непосредственно при-
применимы к случаю fli, когда имеется линейная связь между функ-
функциями \|)?о и /Оф^. В случае а2, как указано выше, они справед-
справедливы для матрицы Ж {Ж), построенной одновременно для точек
k0 и -—fc0, т. е. в базисе функций i|^o и #Ф/Ло = ^ _*0- В этом ба-
базисе Ж {Ж) имеет вид
\Хы^С) ° J B5.20)
В этом случае между функциями K^ik и Rtyiko имеет место
линейная связь: Ki>iko = TR^ikQ. При преобразовании R матрица
преобразования в указанном базисе имеет вид
In ^(p\ II
U ¦^WJ. B5.21)
Подставив B5.20) и B5.21) в условие B5.1), установим связь
между ЖкЛЖ) и Ж-кАЖ) в B5.20), которая является след-
следствием симметрии кристалла:
Ж-кАЖ) = ЖьХЯ~ХЖ\ B5.22)
При преобразовании К набор функций i|^o, Rtyiko переходит
в K^ik9> KR^ik^TR^iks T- е- матрица преобразования имеет вид
B623)
311
Подставив B5.23) и B5.20) в B5.16), получим следующее соот-
соотношение, связывающее ХыЛЖ) и Ж-ьЛЖ)
Жи (Ж). B5.24)
Из B5.24) и B5.22) следует условие
T-xMkXR-l3C)T = MlAf3C) = %k (!Ж), B5.25)
накладываемое на матрицу Жи{Ж) в случае а2.. Это условие
означает, что матрицы X? в этом случае должны удовлетво-
удовлетворять соотношению
ГГ = Т'1Х*Т = f S Фп (R) XI B5.26)
где 3)VXR) — матрица преобразования компонент Ж* при опе-
операции R.
Из B5.26) и B5.8) можно получить формулу A9.46) для
jVx, которая, как показано выше, определяет число наборов чет-
четных и нечетных матриц Xх, преобразующихся по представлению
?Z5X. При этом в данном случае построение четных и нечетных
матриц для 2Dk* должно производиться с помощью соотноше-
соотношения B5.26).
Как указывалось в §§ 18 и 19, в случаях Ь и с инверсия вре-
времени приводит к объединению представлений ?Z5*° и 2?)**\ В объ-
объединенном базисе матрица Ж (<Ж) имеет вид B5.10). При инвер-
инверсии времени базис фг и /Сфг, в котором построена 3%{<Ж), пре-
преобразуется сам в себя при помощи матрицы Т2:
II 0 К211
Т2 = \\ I B5.27)
где / — единичная матрица размерности п^. В этом полном ба-
базисе Ж{Ж) должно удовлетворять условию B5.16) с Т = Г2,
которое приводит к следующим соотношениям для «диагональ-
«диагональных» и «недиагональных» матриц:
Хп и {Ж) = Ж\ i (МО, B5.28а)
Ж и i (Ж) = К2Ж\ и ЦЖ) = К2Жи i (!Ж). B5.286)
В равенстве B5.286) мы использовали условие эрмитовости
гамильтониана Ж (Ж).
Условия B5.28), таким образом, не накладывают дополни-
дополнительных ограничений на Ж\\{<Ж), а только устанавливают
связь между Ж\\и (Ж) и Ж\\{Ж). Поэтому для определения
чисел NK для «диагональных» матриц Ж\\{Ж) и Ж\\\\{Ж)
справедлива формула B5.14). Соотношение B5.286) наклады-
накладывает на недиагональные матрицы Х?хи условие
Xflll=fK2Xri\ B5.29)
31?
Следовательно, недиагональные подматрицы в этом случае,
аналогично B5.18), можно разбить на четные и нечетные, введя
Xl 1>2 = -^Л/ 1,2 ±АЛ/ 1.2J. B5.30)
В развернутом виде формула B5.29) совпадает с A9.10). Это
означает, что число линейно независимых четных и нечетных не-
недиагональных подматриц в случаях bu b2 и с также определяет-
определяется формулой A9.13), которая в случаях bi и с4 сводится к фор-
формуле A9.45), а в случаях Ь2 и с2— к A9.44). Как и в случае
а, соотношения B5.27) — B5.30) непосредственно применимы к
случаю Ь\ и С\. В случае Ь2 и с2 они справедливы для матрицы
Ж(<Ж), построенной в базисе ф/Ло, KRtyikoy R^ikQ и ^2^0- ^Ри
этом первая пара функций относится к точке kQ и образует ба-
базис Хи» а вторая — к точке —k0 и образует базис Ж-и*, т. е. в
этом базисе Ж {Ж) имеет вид B5.20) и, как легко показать, удо-
удовлетворяет условию B5.22).
При инверсии времени К рассматриваемый базис преобра-
преобразуется сам в себя при помощи матрицы Т2:
10 Т II II п к2Фкк*(п\^
Vf oil' где 41/ о Т B5>31)
Подставив B5.31) и B5.20) в условие инвариантности B5.16),
получим следующие соотношения для диагональных и недиаго-'
нальных подматриц Жнй{^С) в случаях Ь2 и с2:
Ж\\ (Ж) = Ж1\1" (fRX) = Жи " (fRX)9 B5.32а)
ХМ1 {Ж) = К2Ж1\{ l QRX) 3)T {R2) = К2Ж1!1 QRX) ®Т (R2).
B5.326)
Так как в данном случае 3)u(g) = 3)\(R~lgR)y то, согласно
B5.11), недиагональные подматрицы Ж1и должны также удо-
удовлетворять соотношению
2Г1 (g) Xi!1 (X) 3) (R~xgR) = 3>ill (g^). B5.33)
Условие B5.32а) устанавливает связь Ж\]{Ж) и ЖЦп (<Ж) в слу-
случаях Ь2 и с2. Условие B5.326) накладывает дополнительные
требования на недиагональные подматрицы X111, которые
имеют вид
Х\ " = K2f 2 XV1 Фп {R-1) &t (R\ B5.34)
где ?>i'i(R~1) — матрица преобразования компонент Жг B5.7):
313
Из этих условий (учитывая B5.11)) можно получить формулу
A9.44), которая, как показано выше, определяет число NK для
недиагональных подматриц X* в случаях Ъг и с2.
Таким образом, число линейно независимых наборов матриц
X?, преобразующихся по представлению 2)к, в случае &з опре-
определяется общей формулой B5.14). Эта же формула определяет
число диагональных подматриц X11 и X1111 в случаях b и с.
При этом инверсия времени лишь приводит к связи Жьй{Ж) и
Sff {Ж)
а в случае а2 — формулой A9.46):
N
B5.35)
В случае ах число NK определяется формулой A9.45),
2f%^(g2)l B5.36)
B5.37)
Для недиагональных компонент Ж1п = Жи1 д^ в случаях b{
и сх определяется формулой B5.36), а в случаях Ь2 и с2~~Ф°Р"
мулой A9.44):
N*=w 2 ^(g)x:4g)x:i^w+/c2/xx(^)x:i(^J]},
B5.38)
где /? —один из элементов, превращающих k0 в — kQ. Так как
функции оТГ должны преобразовываться по тем же представле-
представлениям, что и Xх, то приведенные выше формулы B5.14), B5.30) —
B5.38) решают вопрос о том, какие функции 1{<Ж) могут вхо-
входить в Ж (о/С) при данной симметрии, т. е. заданной группе вол-
волнового вектора.
Базисные матрицы X?, по которым раскладывается Ж {(Ж),
в принципе можно определить из соотношений B5.8), B5.19),
B5.26), если, конечно, известны представления 2)(g) или про-
проективные представления 3)(г). В случаях, когда объединяются
сопряженные представления, эти матрицы определяются урав-
уравнениями B5.29) и B5.34). При этом достаточно, использовав
эти соотношения лишь для образующих элементов данной то-
точечной группы, определить только образующие матрицы, напри-
например, матрицы, преобразующиеся как ху у, г, непосредственным
перемножением которых можно получить все остальные п\ мат-
матрицы X*. Если же для данного представления 3) матрицы, пре-
преобразующиеся как х, у, 2, равны нулю, то в качестве образую-
образующих матриц удобно взять матрицы, преобразующиеся как анти-
314
симметризованные произведения {XiXh}, т. е. как компоненты ак-
аксиального вектора /;, а если и они равны нулю, то матрицы, пре-
преобразующиеся как симметризованные произведения [xiXh].
Как будет показано в следующем параграфе, в большинстве
случаев для построения базисных матриц нет необходимости
знать в явном виде матрицы 3){g) или 3){г), а достаточно
знать лишь характеры соответствующих представлений. Конеч-
Конечно, вид Ж {Ж) зависит от выбора представлений, однако при
использовании указанных в § 26 методов вид этого представле-
представления в явном виде не задается.
§ 26. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ БАЗИСНЫХ МАТРИЦ. ПРИМЕНЕНИЕ
МЕТОДА ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРА
ЭЛЕКТРОНОВ В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
В настоящем параграфе будут подробно рассмотрены раз-
различные способы построения базисных матриц в методе инвари-
инвариантов и этот метод будет применен для расчета спектра кристал-
кристаллов с пространственными группами Он и Та- Другие примеры
использования метода инвариантов будут приведены в § 31, где
рассматривается спектр кристаллов с решеткой вю^рцита и его
изменение при деформации.
Двукратное вырождение
Очевидно, что если представление 2){g) одномерно, то
в Ж (Ж) могут входить лишь компоненты Ж, преобразующие-
преобразующиеся по единичному представлению, и для определения вида спект-
спектра достаточно лишь найти эти компоненты, т. е. по формулам
B5.14), B5.36) или B5.37) определить, для каких компонент
Nt ф 0. Этот вывод естественно совпадает с полученным ранее
в § 21 при построении спектра /ф-методом.
В случае двумерного представления для построения Ж {Ж)
также достаточно знать лишь характеры представления. Для
того чтобы показать это, рассмотрим условие, накладываемое
на определитель | Ж {Ж) — IE | уравнением B5.1):
-1Е\ = \Ж{ёЖ)-1Е\. B6.1)
Из B6.1) можно определить четыре компоненты Ж и которые
могут входить в Ж {Ж) (или четыре суммы различных по при-
природе, но тождественно преобразующихся компонент, например
kx и Ехх, каждая из которых входит со своими коэффициента-
коэффициентами а). Обозначим через Жо компоненту, преобразующуюся по
единичному представлению, и через Ж% — остальные три. Пря-
Прямое произведение 3) X ® * может включать, помимо единич-
единичного представления, еще либо трехмерное, либо двух- и одно-
одномерное, либо три одномерных. Так как представление 3) X 2)*
315
имеет вещественный характер, то в первых двух случаях все
представления вещественны, а в последнем два из трех одномер-
одномерных могут быть комплексно сопряженными. Поэтому будем счи-
считать, что в операторе
Ж (X) = а0Х0 <^о + 2 Чх\ #? B6-2>
функции Жо и Ж\ всегда вещественны, а «5^2 и Жъ либо веще-
вещественны, либо комплексно сопряжены.
Матрицы Xf являются линейной комбинацией матриц ах, оу,
az и не включают единичную матрицу, так как если бы матрицы
Xi имели ненулевой шпур, то определитель B6.1) содержал бы
неинвариантное слагаемое ЕЖ\. Унитарным преобразованием
эрмитову матрицу с нулевым следом Х\ всегда можно сделать
равной <Xz (с точностью до константы), тогда матрицы Хг и Х3 не
будут включать oz, так как в противном случае определитель
B6.1) содержал бы неинвариантное произведение Ж^2 или
Ж\Жъ, а согласно (9.27) при вещественном Ж\ инвариант может
включать лишь Ж\. Далее унитарным преобразованием S =
= A + а2)-1/2(/ + aaz), не меняющим Хи можно привести остав-
оставшиеся матрицы Х2 и Х3 к виду ах и ву, если Жг и Жъ веществен-
вещественны, или к <т+ = у (ах + ioy) и а_ = у (ах —¦ iay), если Ж2 = Ж\.
Действительно, из B6.1) видно, что если X\ = az и Л^ = а*, то
Хз должно быть пропорционально ау. Следовательно, для дву-
двумерных представлений 2) входящие в B6.2) матрицы Хи кото-
которые преобразуются по неприводимым представлениям, входя-
входящим в 2) X Ф*, можно всегда выбрать в виде
Хо = /, X\=oZi X2 = oXi Х3 = оу при «5^0, «5^!, «5^2» Ж^
вещественных,
B6.3)
0 1 II НО Ой
n , X3 = o-= t при Ж2 = Жг
и и || И I и у
независимо от конкретного вида представления 3).
Что касается входящих в B6.2) констант аи, то из общей
формулы B5.6) видно, что если SD X ^* содержит помимо еди-
единичного одно трехмерное представление, то Ж (Ж) содержит
кроме #о еще только одну вещественную константу; если же
?Z>X^5* включает двумерное и одномерное представление, то
число констант увеличивается до трех, причем все они также
вещественны. В том случае, когда все представления 3)* одно-
одномерны, то четыре константы ак должны быть вещественны, если
эти представления вещественны (а компоненты Ж{ и матрицы
Х( выбраны указанным выше образом); если же два из этих
представлений 2J и 2)г комплексно сопряжены, то из условия
эрмитовости следует, что а2 = а*> при этом az и аз комплексны,
316
т. е. число независимых вещественных констант остается рав-
равным четырем.
В качестве примера найдем спектр в решетке типа алмаза
для двумерных представлений Гп> и Х\, Хз.
Для построения спектра прежде всего, используя базисные
функции, приведенные в табл. 11.1 (стр. 99), построим функции
от компонент k\, преобразующиеся по неприводимым представ-
представлениям группы Он и группы Dm = D2d X ?г, являющейся груп-
группой направлений в точке X. Эти функции приведены в табл. 26.1
и 26.2. Там же указаны функции, преобразующиеся по соответ-
соответствующим представлениям групп Та и D2d. Так как все пред-
представления Ff и Xt относятся к случаю аи то из формулы B5.36)
согласно таблице характеров 11.1 следует, что для представле-
представления Ггг в Ж{к) должны входить четные функции от fe<, преобра-
преобразующиеся по представлениям Г* и Г^, и нечетные, преобразую-
преобразующиеся по Т%- Так как базисные функции представления Г^
Таблица 26.1
Распределение базисных функций по представлениям группы
Представления
Группа Did
Ах
А,
в.
в2
Е
Группа Dih
At
AT
At
л2-
ВТ
Bt
tf2-
E+
E"
Нечетные | Четные
(по отношению к инверсии времени)
Ох
kx
Gy, Oz
ky, kz
k2x>kl + kz>*xx>*yy + *Zz
Gyky — azkz
Gykz + Gzky
&2 A2« p p
У Kz> *yy *zz
Gyky + azkz\ oxkx
kykz\ &yz
Gykz — Gzky
kxky> kxkz\ exz* ?xy
Gxky* Oxkz; Oykx, Ozkx
317
Таблица 26.
Распределение базисных функций по представлениям групп Oh и Td
Представления
Груп-
Группа Td
At
(Г,)
А2
(Г»)
Е
(Гц)
(Ги)
(г,28)
Груп-
Группа оЛ
л2+
Е+
Е~
Ft
F~
Ft
FT
(по отношению к инверсии времени)
[VzJy] Jx\
1 ! J • fi ft fi
Jx> Jy> Jz> Jx> Jy* Jz
k2\ Sp 8
&х&х ~Ь kyQy ~b kz&z
j /2 i /¦2 _i p2r2 г г +
A) , , 2 pB) A)*
ДС, = kxax + г3куоу + г\кгаг< К2 = Kt
kxoy + kyox,kyoz + kzoy,k2ox + kxoz
UxJy], Vyfx]. UzJx)
kxkyy kykzt kzkx\ &Xy> EyZi Ezx
комплексно сопряжены, то в соответствии с B6.3)
Н (k)=Ak*+B [a+ (kl + г3к1 + *\k$+o_ (kl + 8^2
Решая уравнение | Ж(k) — IE | = 0, получим для
?(*) = Ak2 ± В [k4 - 3(k2xkl + klkl + J
318
B6.6
что совпадает с B4.4). Эта же формула справедлива и для пред-
представления Г12 группы T2d> так как в группе Td по представле-
представлениям Ft и Fi2 преобразуются те же компоненты kx.
Для представлений Х\ и Хъ согласно B5.36) и табл. 11.1
в 2t (к) должны входить четные функции от kiy преобразующиеся
по представлениям \х], 3] = At + ВГ + В2 группы D4/i, и не-
нечетные, преобразующиеся по [х\,ъ\= A%. Выбирая эти функ-
функции вещественными в соответствии с B6.3), получим
Ж (к) = A,fe2 + A2 (kl + kl) + 2VM- B6-6)
Так как в этом случае по At преобразуются две линейно не-
независимые функции k\ и k2y + kl, то каждая из них входит
в Ж {к) со своей константой. Следовательно, спектр электронов
для представлений Xit 3 таков:
Е (k) = Axkl + A2 (k2y + kl) ± 2Azkyk2 =
= Aikl + (A2 ± Аз) k\> + (A2 =F Аз) kl. B6.7)
Здесь ky> = y=(ky + kz)9 kz> = y={k2-ky).
Выражение B6.7), естественно, совпадает с B4.29), однако,
если в § 24 для его вывода потребовалось знание матриц этих
представлений, то при использовании метода инвариантов для
построения Ж (к) достаточно знать лишь характеры.
Базисные функции преобразуются по векторным
или спинорным представлениям
или р-эквивалентным им проективным представлениям
Если представление 2) (г) в формуле B5.14а) является век-
векторным или спинорным, то соответствующие базисные функции,
как указывалось в §§ 11, 16, преобразуются как определенные
комбинации функций Ylm с разными т и определенным целым
или полуцелым весом /. Эти функции Km» осуществляющие
неприводимое представление группы вращения, как показано
в § 10, являются собственными функциями оператора Jz. В со-
соответствии с уравнением A0.9) при всех преобразованиях груп-
группы вращения матрицы /? преобразуются как компоненты
вектора:
3)j (Г1) JLS); (г) = 2 ^Л'а (г) /?- = rtl B6.8)
!—матрица представления 2D\, а при операциях инверсии
не меняют знак, так как 3)f{i)= ± /.Следовательно, и при любых
преобразованиях конечной точечной группы, которая является
подгруппой ортогональной группы, матрицы /<{ преобразуются
319
как компоненты псевдовектора. Поэтому в указанном случае
в качестве матриц X* можно взять матрицы /?, /?, /in их про-
произведения, построенные в соответствующем базисе.
Поскольку представление 2Dj для точечной группы может
оказаться приводимым, то матрицы /? и их произведения рас-
распадаются на подматрицы меньшей размерности, которые при
операциях точечной группы преобразуются по формуле B6.8)
независимо друг через друга. Размерность этих подматриц опре-
определяется размерностью представлений, на которые распадается
представление 3)j. В этом случае в качестве базисных матриц X
для данного представления 3)х надо взять эти подматрицы в со-
соответствующем базисе. Соответственно из всех возможных
функций, которые можно составить из компонент /х, Jy, Jz и
их произведений, надо оставить ns функций X*, преобразую-
преобразующихся по представлениям iZ)x, содержащимся в произведении
3) X S5*. Далее надо составить инвариантный оператор, куда
в соответствии с B5.6) войдут произведения Ж* и Xi, преоб-
преобразующихся по комплексно сопряженным представлениям, и за-
заменить в нем операторы Ji на матрицы /г в соответствующем
базисе, определяемые формулами A0.17). Так как для всех
проективно-эквивалентных представлений матрицы Xf в соот-
соответствии с B5.5) можно выбрать совпадающими, то достаточно
построить эти матрицы для одного из этих представлений, при-
причем удобнее всего выбрать представление, базисом которого
являются функции YJn с наименьшим /.
Как указывалось в § 13, два унитарно неэквивалентных пред-
представления 3) и 3)\ относящиеся к одной фактор-системе, яв-
являются ^-эквивалентными, если одно из них получается из дру-
другого умножением на какое-либо из одномерных представле-
представлений. Отсюда следует, что для всех групп, являющихся прямым
произведением некоторой группы на С*, Cs или С2, векторные и спи-
норные представления, четные и нечетные относительно опера-
операции /, он или с2 соответственно, всегда ^-эквивалентны. Точно
так же трехмерные представления Ft и F2 групп О и Та р-экви-
валентны, так как F2 = /VU Это означает, что у всех точечных
групп, которые имеют несколько трехмерных представлений, все
эти представления ^-эквивалентны. Поэтому для всех трехмер-
трехмерных представлений матрицы X* можно выбрать одинаковыми.
То же относится и к четырехмерным спинорным представлениям
точечных групп. Векторных или спинорных представлений боль-
большей размерности точечные группы не имеют, а для двумерных
представлений удобнее использовать изложенный выше более
простой метод.
Так как базисом одного из трехмерных представлений каж-
каждой из этих групп являются функции Ym (т= 1, 0, — 1), а ба-
базисом одного из четырехмерных представлений — функции
320
К^2 (т = ± 3/2, ± 1/2), то практически достаточно построить
лишь матрицы /f2 и /} и их произведения, которые приведены
в табл. 26.3 в конце параграфа.
Для учета добавочных требований, накладываемых на Ж {Ж)
условием инвариантности к инверсии времени, надо определить,
какие из матриц X? являются четными и какие нечетными по
отношению к инверсии времени. Используя формулы B5.36)
или B5.37), можно сразу найти те представления, по которым
преобразуются четные и нечетные матрицы. В случае п[ это
разделение можно произвести сразу. Действительно, матрицы
оператора /г-, как нечетного по отношению к инверсии времени,
согласно A8.46) удовлетворяют условию T~lJtT = — lti т. е.
в соответствии с B5.17) для них f = —1. Следовательно, в слу-
случае 01 все матрицы, не меняющие знак при замене /; на — U
и перемене порядка следования компонент в произведениях
/t/ft//... на обратный ..JiJiJky являются четными, а матрицы, ме-
меняющие знак при такой замене, — нечетными.
Это простое правило, конечно, не справедливо в других слу-
случаях, например, в случае а2, когда четность или нечетность матри-
матрицы ХГ (/) в соответствии с B5.26) определяются соотношениями
= fX{R~lj) с / = +1 или / = -1
соответственно. В этом случае для построения четных и нечет-
нечетных матриц проще сразу использовать формулу B5.37).
В качестве примера построим спектр для представлений
FJ5 и Г^ в решетке Oh и представлений Г\5 и Г25 в решетке Td.
Для трехмерных представлений Tis, Г25 в качестве матриц Xi
можно взять 9 линейно независимых матриц:
/*, /„ /г, 4, Jl, /г, [Uy], [/*/*], [/Л]
в представлении Yxm.
В соответствии с формулой B5.36) в Ж {Ж) должны вхо-
входить произведения четных функций от Жг и //, преобразую-
преобразующиеся по представлениям Tt -+- Г12 + Г^, и нечетных, преобра-
преобразующихся по Пз. Следовательно, гамильтониан Ж {(Ж) имеет вид
Ж (k) - AkH - В [(*> + e3kl + eg**) (/» + eg/* + e3/^) +
+ kxkz [JJZ] + kykz [JyJz]) = Lk4 - (L-M) (kill + kill + kill)-
- 2N (kxky [JxJy] + kxkz [IXJZ] + kykz [JyJz]). B6.9)
J2
При этом мы учли, что J2X + Jl + /z = /(/ 4-1)/ = 2/.
Если теперь выписать B6.9) в матричном виде, используя
матрицы, приведенные в табл. 26.3, то получим матрицу Ж {к),
совпадающую с B4.5). Для решетки Td матрица Ж {к), как
И Г. Л. Вир, Г. Е. Пикус 321
видно из табл. 26.2, также определяется выражением B6.9), так
как она должна включать четные функции от k\, преобразую-
преобразующиеся по представлениям Гь Гю, Г25, и нечетные, преобразую-
преобразующиеся по Fi5. При наличии магнитного поля матрица B6.9) бу-
будет также включать член
^ B6.Ю)
так как компоненты #* преобразуются по представлению Т$ь
и являются нечетными функциями по отношению к инверсии
времени.
Проективные представления не эквивалентны векторным
или спинорным
В этом общем случае для проективных представлений с раз-
размерностью выше второй базисные матрицы приходится искать
непосредственно из соотношений B5.5) для образующих эле-
элементов. Как и в предыдущем случае, достаточно построить лишь
базисные матрицы для одного из ^-эквивалентных проективных
представлений, соответствующих каждой фактор-системе, имею-
имеющей проективные представления размерностью выше второй,
которые не /^-эквивалентны спинорным представлениям. Как
видно из таблиц 14.2 и 14.3, такие представления имеют лишь
группы D4/i, DQh и Он. Группа Dkh имеет по одному четырехмер-
четырехмерному представлению для классов фактор-систем Къ и Кв. По фор-
формуле B5.14а) можно сразу определить, что для обоих этих
представлений 3)Y^?D* содержит все одномерные векторные
представления по одному разу и все двумерные представления
группы D4h по два раза, следовательно, среди матриц Я? имеется
одна матрица, преобразующаяся по представлению Лг~, т. е.
как г, и по две матрицы, преобразующиеся по ?"", т. е. как х и у.
Группа Den имеет по одному четырехмерному представлению
для классов фактор-систем /Сз, Кь, Кь> Kq.
Для всех этих представлений произведение 3) X ^* содер-
содержит по одному разу все векторные представления, т. е. среди
матриц Xi имеется по одной матрице, преобразующейся как z
(по Лг"), и как х и у (по ?Г).
Группа On имеет три четырехмерных и одно шестимерное
проективные представления, не являющиеся ^-эквивалентными
друг другу или спинорным представлениям. Эти представления
относятся к классам фактор-систем /Сг и /Сз- Для четырехмер-
четырехмерных представлений QB3) и QC3) 2>Х&>* содержит At + At +
+ Е~ + Ft + FT + Ft + FT* а для представления Q(i3) @X&>*
включает Af, At, Ffy Ff> т. е. в обоих случаях имеется по
одной матрице, преобразующейся как ху у и z no FT* Для
шестимерного представления /?<2> 3) X 3)* содержит по одному
322
разу Л* и Л? и по два раза Е±я F?, Т7*, т. е. в последнем случае
имеются по две линейно независимые матрицы, преобразующие-
преобразующиеся как я-, у, z по FT - Эти матрицы приведены в табл. 26.4 в конце
параграфа. Остальные линейно независимые матрицы X* легко
получить перемножением этих матриц.
Спинорные представления пространственных групп
Для спинорных представлений пространственных и точечных
групп оператор Ж (Ж) можно строить двумя способами. Во-пер-
вых, можно сразу использовать спинорные представления 3){g).
Тогда можно применить один из методов построения матриц X*,
указанных выше. При определении jVx надо лишь иметь в виду,
что для спинорных представлений /С2 =—1, тогда как для
обычных /С2 = 1. Этот метод эквивалентен такому способу по-
построения Ж (Ж) в теории возмущений, когда оператор спин*
орбитального взаимодействия {Жсо)кй включается в Жо. Его недо-
недостатком является невозможность сразу определить, какие из кон-
констант ях, входящих в Ж (Ж), являются релятивистски малыми.
Последний вопрос сразу решается при построении Ж (Ж)
вторым способом, когда в качестве базиса выбираются функции
<фта = <фт(дс)а, преобразующиеся по представлению 3) = iZ^X
X^v2» являющемуся прямым произведением представления ЗЬи
по которому преобразуются координатные функции г|)т(я), и
представления <25уя> по которому преобразуются спиновые функ-
функции а, р. В этом представлении матрицы л в B5.6) можно пред-
представить в виде прямого произведения матриц ЛГ*, матричные
элементы которых X* тт> определяются только координатными
функциями г|)т, и матриц операторов вх, ау, az, действующих
только на спиновые переменные. Это означает, что оператор
Ж (Ж) в данном случае можно представить в виде произведе-
произведения матриц X*, компонент Ж* и матриц at или единичной
матрицы. Так как согласно A0.9) и A0.26) матрицы <тг преоб-
преобразуются как компоненты псевдовектора, т. е.
®т (8) °i®m (8) = 2 #f л (g~') «t = g ah
то условие B5.1) в представлении 3)(g)=s=2)i(gJ)m{g) можно
записать в виде
Формула B6.11) формально отличается от B5.1) лишь тем,
что наряду с компонентами ЖУ т. е. ft, 8, х> Н и т. д., вклю-
включает и компоненты псевдовектора а с fH = —1 и их произведе-
произведения на остальные компоненты §С. Все эти произведения можно
разложить по неприводимым представлениям и обозначить по-
прежнему символом ЖIе. В остальном метод построения Ж (Ж)
И* 323
Fie изменится. Подчеркнем, что при этом способе построения
Ж {Ж) и вид базисных матриц, и значения JVX определяются
только представлением S>u по которому преобразуются коорди-
координатные функции. Далее в окончательных формулах произведе-
произведения X*at. надо заменить прямым произведением соответствую-
соответствующих матриц X* и ст.
Фактически этот второй способ соответствует выбору в каче-
качестве базиса собственных функций оператора Жъ, не включающе-
включающего Жсо\ при этом оператор Жсо вместе с другими членами в Ж
рассматривается как возмущение. Этот способ позволяет сразу
определить, какие из коэффициентов, входящих в Ж (Ж), малые.
Так как без учета спин-орбитального взаимодействия опе-
оператор Ж, а следовательно, и Ж (Ж) не включают компонент аи
то все коэффициенты при слагаемых, содержащих спиновые опе-
операторы, должны быть релятивистскими. Надо, однако, иметь в
виду, что, как это отмечалось в § 21, релятивистские слагаемые
в Ж (Ж) не всегда малы. Если спин-орбитальное расщепление
сравнимо с шириной запрещенной зоны Eg или с расстоянием ЬЕ
до других ближайших зон или превышает их, то в этих случаях
для того, чтобы правильно определить порядок коэффициентов,
надо строить Ж (Ж) сразу для всех близко лежащих термов.
При втором способе построения Ж {Ж) этот оператор
строится сразу для всех неприводимых представлений, входя-
входящих в2)Х ЗЕ>ч%- Если необходимо определить Ж {Ж) лишь для
одного из этих представлений, то соответствующим образом
нужно диагонализовать полученный оператор, что может потре-
потребовать довольно громоздких выкладок, и тогда предпочтительнее
окажется первый способ.
В качестве примера рассмотрим построение спектра в точках
Г и X для решетки О[ и в точке Г для решетки Та с учетом
спин-орбитального взаимодействия.
Рассмотрим сперва точку Г. Используя первый метод, можно
сразу построить Ж {к) для четырехкратно вырожденных спи-
норных представлений Г? и Гз. В этом случае в качестве
базиса можно выбрать 16 линейно независимых матриц Jx> Jy,
h> II II II [Uyl [hhl [Jyhl Jl II Jl Vx = M4-/zU
Vyy V2, [Jx[JyIz]] в представлении Г^2; они приведены в табл.
26.3. Для представлений Г* группы Он в соответствии с B5.36)
в &(к) должны входить четные функции от к, преобразую-
преобразующиеся по представлениям \Г? } = Г* + Г1г + Г^, и нечетные,
преобразующиеся, по LFf J = Гг~ + 2ГЙ + Г25» которые приведены
в табл. 26.2. Следовательно, гамильтониан имеет вид
* <*) — (v, + у Y.) Ы -V 2Y2 {Pxk\ + Pykl + Pzkl) +
+ 4Y3 (VJy] kxky + [JXJA kxkz + \1^г\ kykz). B6.12)
384
Здесь мы сразу преобразовали произведение Л&2 + -М&ь
и в B6.9).
Если теперь подставить соответствующие матрицы /* из
табл. 26.3, то получим матрицу Ж (к), совпадающую с B4.12),
которая приводит к спектру B4.13):
и 2
= Ak2 ± [Д V + (D2 - ЗВ2) {k\k\ + k2xk2z
Константы yi» Y2 и Y3 (в 26.12), которые с точностью до размер-
размерного множителя Ь2/2т совпадают с безразмерными константами
Латтинжера [20.1], связаны с константами, введенными в B4.6),
B4.14) и B6.9), соотношениями
_ L + 2М _ л _ L-M __ В
Ух— з ~~ Л> Y2—— 6 — Y'
N D B6.13)
В магнитном поле гамильтониан Ж(Н) будет включать произ-
произведения компонент Hi на Ji и на /?, так как представление Гй,
по которому преобразуются компоненты #ь входит в [Г? |
дважды. Поэтому
X (Я) = Мо {^ (/Я) + 9 (РХНХ + РуНу + РгНг)}. B6.14)
Если Y2 = Y3, то 5jf(ft) = — (yi+yy^}k4+ 2y2{Jkf и обла-
обладает сферической симметрией. Его собственные функции есть
функции момента / = 3/2: Ч'т* с т = ± 3/2, ± 7г и с осью
квантования, направленной по ft. При этом ?±»/2 = — Yi + 2у2,
jEt±1/a ==t — Yi — 2y2- Функции Ym*' и Т„* с различными осями
квантования связаны соотношением
где <2)«/»(§)"" матрицы представлений группы вращения с / = 3/2
для элемента g, переводящего kf в k: kf = gk. В частности,
указанное соотношение связывает функции W'Jfr* при произволь-
произвольном k с функциями B3.2), у которых ось квантования напра-
направлена по z. Поэтому при Y2 = Y3 коэффициенты в B4.16) можно
выбирать в виде матричных элементов &mmf.
Как указывалось выше, представление Г? может произойти
либо в результате расщепления представлений Г^ или Г^ за
счет спин-орбитального взаимодействия, либо из представления
1^12, которое не расщепляется. Если строить матрицу Ж {к) вто-
вторым способом для представлений rf5 и Гг1 с учетом реляти-
релятивистских членов, то она будет включать нечетные по отношению
к инверсии времени добавочные слагаемые, преобразующиеся по
325
rjf содержащие компоненты а%:
Ж (ft) = Axk4 + А, (с/, + a/f + (тг/г) -
- 2Л3 ([/,/,] М, + [/*/г] * А + [JyJz] kykz) + axk2 (Jo) +
* A + ['Л1 * A). B6.15)
где ^! = L, Л2 = L — M, Az = Af. Здесь второе слагаемое опреде-
определяет спин-орбитальное взаимодействие, а последние три — реля-
релятивистские поправки к константам А, В и D в B4.12) — B4.13а):
вЛ = а,—-i-og, 6B = -|a2, 6D = -~аз< Bб.15а)
2
Для зоны Г6 в B4.136) 6Л = — 2^ + уа2. Из всех констант
в B6.12), B6.14) лишь константа ? имеет релятивистскую при-
природу и, следовательно, мала по сравнению с ?*).
Если представление Г? происходит из Г^, то, как видно из
сравнения B4.4) и B4.13а), в нерелятивистском приближении
D = 0 и С2 = —ЗВ2. Если строить Ж (k) для представления Г^
с учетом релятивистских слагаемых, то в соответствии с B5.15)
надо включить нечетное по отношению к инверсии времени про-
произведение компонент Gi и k\km, преобразующееся по представле-
представлению Гг":
X (к) = Л/г* + В (р+кг + р_А) + ap2 (axkykz + aykxk2 + ezkxky).
B6.16)
Здесь pt —- базисные матрицы X?, определяемые формулами
B6.3), а ot — спинорные матрицы; Qflk означает прямое произ-
произведение соответствующих матриц. В матричном виде
Х{к) =
a(ky-
Bk2
0
-akxky
hikx),
a (ky—ikx) kz
kz Ak2-akxky
0
Bk2
Bkx
0
Ak2
— a(ky
-akx
+ ik
Ky
,)kz
0
Bkt
-a(ky
Ak2-
-ikx
\-ak
x^y
B6.16a)
Уравнение | X (k) — IE \ = 0 приводит к выражению для Е (й),
совпадающему с B4.13), при этом D2 = a2.
Для представления Г8 группы Td гамильтониан Ж {к) вклю-
включает четные произведения компонент kiy преобразующиеся по
*) Например^ для p-Qe по данным [31.4] 4 ?= 3»41 ± 0,03, ^ =
= 0,06 ± 0,01.
представлениям Г{ + rJ2 + Г25, т. е. те же, что и для группы ОЛ,
и нечетные, преобразующиеся по Г2 + 2Г15 + Г25, т. е., в отли-
отличие от B6.12), в Ж{к) входят линейные по k члены, содер-
содержащие произведения компонент ki и V*, преобразующихся со-
согласно табл. 26.2 по представлению Г25:
ж> (й) = h (kx [h (Jl
B6.17)
В матричном виде B6.17) запишется так:
О ky-ikx -2kz
ky + ikx 0 —y3(ky-ikx) 2k
k2
2kz ky + ikx 0
B6.17a)
Для представления Г12 группы Td линейная по k матрица
Ж {k) может быть построена и вторым способом. Для этого
надо включить в Ж четные по отношению к инверсии времени
релятивистски малые компоненты К{ = kxax + Sky°y + e'lkzGz и
/B = /(^, преобразующиеся по представлению Г12:
2t,(p+Kx +P^/C2). B6.18)
Матрицу B6.18) унитарным преобразованием можно привести
к виду B6.17а).
Так как матрица B6.9), построенная для представлений Tis
и Г25 группы Та, не содержит линейных по k членов, то ясно,
что константа ^0 в B6.17) является релятивистски малой и для
представления Гв, произошедшего из Г15 или Г25
Секулярное уравнение | 3fC(h) + Ж'{k) — IE | = 0 согласно
B4.12) и B6.17) имеет вид
_ 2 (? - Ak2J (B2kA + С2в + A*lk2) +
+ 16 /3 (Е - Ak2) DtlS + (SY + С2вJ +
kA - 36) + 8ВЧ2 (Й + k\ + kt) ~
- 4 CB2 + 2D2) 4k2@ + MB4\k2xk\k2z = 0, B6.19)
где e = klkl + klkl + k2ykl.
Это уравнение можно точно решить лишь для отдельных
направлений. Так, если k направлен по [100], т. е. ky = kz = O,
или по [010] или [001], то
Em(k) = Ak2 ± (B2k4 + A4k2f. B6.20)
327
Следовательно, по этим направлениям каждый из термов остает-
остается двукратно вырожденным.
По направлению [111] и эквивалентным ему одна ветвь (со-
(соответствующая тяжелым дыркам при А < О и D < 0) расщеп-
расщепляется полностью:
ЕТп = (Л - y^j &2 ± 2 /2 *okt B6.21 а)
а другая ветвь (легких дырок) остается вырожденной и не из-
изменяется:
(J)*. B6.216)
В результате наличия линейных по k членов экстремум сме-
смещается из точки k = 0 в точки, лежащие на осях третьего по-
порядка. Из B6.21) видно, что экстремальная точка соответствует
kQ= —-—7j^=r и энергия в этой точке на величину Д?, равную
ниже значения энергии в точке k = 0.
Поверхности постоянной энергии вблизи экстремумов, т. е.
при \k — ko\ <^i kOy — эллипсоиды вращения, вытянутые вдоль
осей [111], при этом для дырок вблизи экстремума*)
B6.23)
Рассмотрим теперь спектр в точке X решетки О\ для пред-
представления Xf. Так как это четырехкратно вырожденное пред-
представление происходит из представления Х{ или Х3у то для по-
построения Ж (k) надо добавить к B6.6) релятивистские члены,
включающие приведенные в табл. 26.1 (стр. 317) произведения
компонент oi и kit четные по отношению к инверсии времени,
преобразующиеся по At + ВТ + #2*» и нечетные, преобразую-
преобразующиеся по ЛГ. Так как произведения сг^ преобразуются по не-
нечетным представлениям, а произведения Oikikm — по четным
представлениям, то остаются лишь компоненты, преобразую-
преобразующиеся по ВТ, т. е. oxkx и oyky + azk2y т. е.
[a (axkx)+b (ayky
B6.24)
*) Измерения циклотронного резонанса показали, что для p-InSb
Д? = F ± 3) • КГ4 эв, т*±/т0 = 0,15 ± 0,02, mj/mo == 0,57 ± 0,10.
328
откуда
= Akl + B(k*y + kl)±[4C2klkl+a4 + 62D + $f. B6.26)
Для представления X5, произошедшего из Х2 или Х4,
естественно имеет такой же вид, но там константа а при ли-
линейном по kx члене не релятивистски малая. Для спектра, опре-
определяемого уравнением B6.25), в зависимости от соотношения
констант минимум энергии находится либо на оси kx в точке
kXo = аBА,. где Е = —а2/4Л, либо на осях k'y и &z> проходящих
под углом 45° к осям ky и kz.
Объединение нескольких представлений
Рассмотрим способы построения базисных матриц для двух-
и многозонной модели, когда Ж (Ж) строится сразу для не-
нескольких зон. В этом случае представление 3){g) приводимо и
объединяет представления 2D1{g)y ®ll{g), ..., соответствующие
первой, второй и т. д. зонам, и матрица 9)(g) имеет квазидиаго-
квазидиагональную форму, аналогично тому, как это имело место при объ-
объединении комплексно сопряженных представлений в случаях
&if2 и с. Однако в отличие от указанных случаев здесь представ-
представления ЯI и 3D11 не связаны между собой. Поэтому для не-
недиагональных частей Ж1 п (<Ж) = Ж111+ (оТТ), удовлетворяющих
условию
3)i ОГ1) Ж'" (Ж) 2)" (g) = Ж'«(g-1^), B6.26)
Nx согласно B5.12) определяется выражением, подобным A9.31):
), B6.27)
т. е. в недиагональные части Ж^Ж) могут входить компоненты
Ж*> преобразующиеся по представлениям S>x, входящим в про-
произведения ^Х^11* и ^*Х^П- Добавочные требования, свя-
связанные с инвариантностью к инверсии времени, здесь учитывать
не надо, потому что, как отмечалось в § 19, они не накладывают
никаких ограничений на недиагональные компоненты.
Для диагональных частей Ж11 {оК) и Жп и {Ж) число NH
определяется одной из формул B5.36) — B5.38) в зависимости
от свойств и представлений 2D1 и Ф11 по отношению к инвер-
инверсии времени. Матрицы X? в этом случае можно разделить
на междузонные, у которых отличны от нуля только «не-
«недиагональные» матричные элементы и которые преобразуются
по представлениям, входящим в ?>1Х@и* и 2I*Х2)и, и вну-
тризонные, преобразующиеся по представлениям 2ЬХ X Фх* и
Фхх X ^п*> которые содержат только «диагональные» элементы.
329
Так как 3){g) имеет квазидиагональный вид, то при всех пре-
преобразованиях, включая инверсию времени, эти матрицы преоб-
преобразуются независимо. Их построение может быть проведено
одним из указанных выше методов.
Если проективные представления ЗУ1 (г) и ?Dll(r) р-эквива-
лентны и соответствующие матрицы могут быть записаны в виде
2)и (г) = Я) (г) Я* (г), B6.28)
где 3) (г) — некоторое одномерное представление, и если матри-
матрицы X* для одной зоны, преобразующиеся по представлениям
3)w входящим в ЗI X ^J*> известны, то для объединенного
представления 3)(g) в качестве внутризонных матриц можно
взять матрицы
IVх С\ II II Vх Л II
A/ U v A/ U
п ХЛ РЛГ= п -* . B6.29а)
О A/ I || 0 Л/ ||
преобразующиеся по тому же представлению, что и Xi . В каче-
качестве междузонных матриц в этом случае можно взять матрицы
In ir* II II О ОII
о о Г pjr'"U" о||' B6-29б)
преобразующиеся соответственно по представлениям 2Dw —
= &Х&)Ю входящим в 01* X 25"» и ^>к" = S5* X ^н, входящим
в 01 X ^п*. Представления 0М' и ^н" р-эквивалентны пред-
представлению 5)х, но могут быть унитарно неэквивалентны при
S)*(r) ^= 2) (г). Если 2)* = 2), то в качестве междузонных матриц
можно взять матрицы
|л Vх II II Л /Vх II
vJ A/ v U — tA/
хг о I' У"=1«? о |- B6'29в)
При этом один из этих наборов матриц, например РХХ*> можно
считать четным по отношению к инверсии времени, а другой
р ДГ]* — нечетным, что соответствует определенному выбору фаз
у базисных функций.
Базисные матрицы в виде B6.29) удобно использовать,
в частности, в случае, когда представления 2I и ЗУ11 объеди-
объединяются в силу инверсии времени. При этом в случае с представ-
представления ЗУ1 и кI1 совпадают, а в случае Ь /^-эквивалентны. Этот
выбор базиса отличается от B5.9) и соответствует такому
унитарному преобразованию 3)и в B5.9), когда Xllll(#C)
переходит в Жии{<Ж). При этом, согласно B5.11) и
B5.27), матрицы №111{<Ж) и Н"{Ж) должны быть связаны
330
соотношениями:
случаи Ьх, сх: %" " (X) = Ж11 if Ж),
случаи Ь2, с2: Жи " (Ж) = X1 ' (f/Г1 ЛГ) B
Видно, что в первом случае диагональные матрицы всегда
можно выбрать в виде B6.29а), а во втором — лишь если ком-
компоненты Ж выбраны так, что fRTlQ?C = ±Ж. При этом ма-
матрицы IX? входят в Ж (Ж) с функциями, не меняющими знак
при операциях К или RK, а матрицы pzX* — с функциями, ме-
меняющими знак, т. е. первые из них являются четными к этим
операциям, а вторые — нечетными. В случае, когда представле-
представления Ф1 и 3)и независимы и никакие добавочные условия на не-
недиагональные части Ж {Ж) не накладываются, каждая функция
Ж? входит в Ж (Ж) с обеими матрицами с независимыми кон-
константами.
Если представления ЗУ1 и 2)и /^-эквивалентны векторному и
совпадают между собой или отличаются только четностью, то
в качестве внутризонных матриц можно выбрать матрицы /J*
и pzji7 построенные указанным выше методом и преобразую-
преобразующиеся как компоненты псевдовектора J\ (или их произведения),
а в качестве междузонных матриц — матрицы p+/t. и р_/. или
матрицы QxJt и р 1 v которые преобразуются как аналогичные
компоненты псевдовектора, если четность 2I и 3)и совпадает,
или как компоненты полярного вектора, если четность различна.
Для одномерных представлений, которые всегда /^-эквивалентны,
в качестве внутризонных матриц можно взять матрицы /ир2 =
= oz, которые преобразуются по единичному представлению,
а в качестве междузонных — матрицу р+ = а+, преобразующую-
преобразующуюся по представлению 2I* X SDl\ и р_ = а-, преобразующуюся
по 2D1 X 3)п*. Если представления 2I и 3)п вещественны или
совпадают, то в качестве междузонных матриц можно взять
МатрИЦЫ рас = вх И pj, = (Ту.
Для двумерных /^-эквивалентных представлений 16 базисных
матриц могут быть выбраны в виде
/o,=
at 0
0 a,\ _|| 0 Oil" B6-31)
oo' p-a'HL о
где а^ — двумерные матрицы Паули, включая единичную. Для
вещественных представлений вместо матрид p,<xf и р_<т, надо
взять «четные» матрицы pxet и «нечетные» р^ог*. При этом
матрицы / и р2 преобразуются по единичному представлению,
а остальные матрицы lot и р^ — по другим представлениям
331
^5Х, входящим в &1Х&г* = ?)и Х@и*. Матрицы р+ и р_
преобразуются по представлениям 3){г) и й)*(г)> а матрицы
P+tf* и р_<х, — по 2)^X2) и ?>„Х ЗУ, входящим в 2)'Х @хХ* и
Ф^Х^11- В этом случае для построения ЖC?) достаточно
знать лишь характеры представлений Ф1 и &)хх.
Если же представления 2D1 и Фи не /^-эквивалентны и хотя
бы одно из них имеет размерность 2 или выше, то для опреде-
определения матриц X? надо знать либо базис, либо матрицы пред-
представлений 3)(g) для образующих элементов.
Так, если представления 2)г(г) и 2)п(г) р-эквивалентны
векторным или спинорным, то их базисные функции можно вы-
выбрать в виде суперпозиции функций У1т\ при этом значения /
для представлений ЗI и 2D11, равные j1 и /п, вообще говоря раз-
различны. В этом случае в качестве междузонных матриц X? мож-
можно взять матрицы Лт, преобразующиеся в общем случае как
компоненты тензора соответствующего ранга.
Общие выражения для отличных от нуля компонент соответ-
соответствующих матриц приведены, например, в [1.7] (см. § 29). Так,
при j1 = /п эти компоненты с точностью до произвольных кон-
констант C\l=C\*i определяются формулами A0.17). При I/1 —
— уп| = 1 матрицы Rmi преобразующиеся как компоненты акси-
аксиального вектора при одинаковой четности представлений ЗI и
2)п или как компоненты полярного вектора при их разной чет-
четности, определяются выражениями
! - т)]т, B6.32)
Т—СГ-. к/+«-
При этом для двух наборов матриц Rm константы С/ =Сп
или Су—1 ==(С/-1)* должны быть выбраны так, чтобы эти матрицы
были линейно независимы. Для этого достаточно взять их для
одного набора вещественными, а для другого чисто мнимыми,
положив
Ci =Сц =1, Ci = — Си = — i. Bb. 66)
В качестве примера в табл. 26.5 в конце параграфа приве-
приведены матрицы Rx, Ryy Rz, построенные в базисе Y°f Yxm. Эти
матрицы являются базисными для пар представлений А и Е
группы Г, Ai или А2 и F4 или F2 группы Td, Af и Ff (или
^-эквивалентных им пар At и Ff) групп О и Од. Перемножая
их, можно построить все остальные 16 матриц, в частности ма-
матрицы {RxRy}, преобразующиеся как Jz и др. и совпадающие
332
с точностью до констант с соответствующими матрицами /z, JXi
Jyy приведенными в табл. 26.3.
Что касается учета спина в двухзонной модели, то он мо-
может быть проведен одним из двух способов, указанных выше.
В первом способе в качестве представлений 2I и 3)п берутся
неприводимые спинорные представления, во втором — представ-
представления &>\ X &>\п и к>\1 X ^i/2, и тогда в <Ж включаются ком-
компоненты в{ в соответствии с правилами, изложенными выше.
В качестве примера рассмотрим двухзонную модель для
классов Oh и Td (точка Г).
В простейшем случае, когда оба представления &х и 2D11
двумерные, с учетом спина Ж(к) включает линейные по k
междузонные члены лишь для пары представлений Г6 и Г7,
а в решетке О^—-для пар Г?, ГГ и IV, Г*. В этом случае
в Ж {к) войдут междузонные члены, преобразующиеся по
Vty^Yf =Г<Г + Pis, и внутризонные: четные, преобразующиеся по
{Ге} = {гЦ =Г*, и нечетные, преобразующиеся по [Г§] = [Г/] =
==Г25. Так как эти представления р-эквивалентны: Г6 = Г7Г2,
то в качестве четных внутризонных матриц надо взять матрицы /
и р2, а нечетные можно выбрать в виде ot и pzat. Междузон-
Междузонные матрицы ря и р^ преобразуются по Г2, a pxot и р^ст/ пре-
преобразуются по Г15. При этом матрицы px0t будем считать чет-
четными, р0<х* — нечетными. Как указывалось выше, при таком
выборе базисных матриц функции Ж* надо брать веществен-
вещественными. Эти функции приведены в табл. 26.2.
Для кристаллов класса Oh
ЯГ(*) = р,-Г + 2^- + Рг^7 + ^CA + «A + Mz). B6.34)
Для кристаллов класса 7^ гамильтониан Ж {к) будет вклю-
включать дополнительное слагаемое
Ж" (к) = арх (oxkyk2 + oykxkz + e2kxky), B6.35)
так как в группе Та компоненты к\ и произведения kjk$ преоб-
преобразуются по одному представлению Ги. Спектр, определяемый
B6.34), имеет вид
h2k2 (IE h2k2 \2 ^ i/2
?(*> = !^Г±(Ьг+<^)+<42*2} • B6-36)
При l/rai=l/ra2 = 0 уравнение Ж^р= ih-^- совпадает по
форме с уравнением Дирака, отличаясь от него заменой скоро-
скорости света с на 5 = А/Л и га на га* = Eg/2s2. В этом случае спектр
вблизи края зон
333
Аналогия между двухзонным уравнением и уравнением Ди-
Дирака оказывается полезной в ряде задач. Так, из нее сразу сле-
следует, что двухзонное уравнение B6.34) при l/rai=l/m2 = 0
инвариантно к преобразованию, отличающемуся от преобразо-
преобразования Лорентца в теории относительности лишь заменой с на 5.
Входящая в B6.34) константа А является релятивистски
малой в случае, когда представления Гв и Г? происходят из не-
невырожденных представлений 1\ и Гг. Если же одно из этих
представлений произошло в результате расщепления термов
Г« X 2>v. = Гт + Г8 или Г25 X 9>Чш = Г6 + Г8, а другое из Г| или
Г2 соответственно, то эта константа не мала, в этом случае и
в нерелятивистском приближении междузонные элементы для
пар Ti5, Ti или Г25, Г2 будут включать линейные по k члены.
Если необходимо построить Ж (к) для всех термов, входя-
входящих в эти пары представлений, то в качестве базиса можно
взять матрицы /?т, построенные в представлении 2)о-\-2)и при-
приведенные в табл. 26.5, т. е. 6 междузонных матриц RX9 Ry, Rz
(четные) и Rx, R'y, R'2 и 10 внутризонных: /, R\, R2y, Rl, {RxRy},
{RxRz}, {RyRz}, [RxRy], [RyRzb [RzRx]. Если учесть лишь не зави-
зависящие от к нерелятивистские члены, то Ж {к) для решетки Td
будет иметь вид
Ж (к) = Ai/?2 + 2/Д22<т, {Ri+{ Ri+2} + AiR2k2 + А2 2 R]k) +
i t
+ A3 2 [Л*/] kikt + A, 2 Kkt + Л52 Riki+ikt+2. B6.37)
i Ф ] t t
Для решетки Oh последний член отсутствует. Матрицу B6.37)
унитарным преобразованием, диагонализирующим второе сла-
слагаемое в Ж (к), описывающее спин-орбитальное взаимодействие,
можно привести к виду, совпадающему с точностью до констант
с табл. 24.1.
Таблица 26.3
Матрицы /; и их произведения
Для представления D{ в базисе хУ у, г
10 О О II II О О / II || 0 — i 0
0 0 — Л 1У = 0 0 0 1г = / 0 0
о / о И II — I о о I 1 о о о
10 0 0 || || 1 0 0 || || 1 0 0 ||
0 10 /2=0 0 0 /| = | 0 10
0 0 1 I I 0 0 1 I II 0 0 0 I
10 —1 0 | || 0 0 0 | || 0 0 —1
-1 0 0 2 [JyJ2] «I 0 0-1 2 [JXJZ] = 0 0 0
0 0 0 || || 0 —1 0 || 1—10 0
334
335
о о о ?$оо
о С о о
о о — |оо о
о —|оо о о
ч; loo о о о
О О О
Ico
о о о С
о о и»* о
Ico
оо о 2 И*
Не
о ^Ч
со |<м о 4J \о* о Т
Ico
I
«N
с^
о о
о ^N
I
° ^ч
и
оо о со |
Ico
о о о
<N О СО CN
sh-
shin
eo|<N
ь
I °
о •»- о
О N.
о .^ о
О
ззе
Базисные матрицы для проективных представлений
Таблица 26.4
Группа
Класс
Предста-
Q<5)
10 о y
оу 0
о у О
О ои
О Qz
а2 О
oz О
О а2
\ох О
I 0 -ox
О — о и
О — ioy
iou О
— oz О
О о2
О — io2
ioz О
О — ох
О ох
ах О
О
О
О — ог
О оу
о у О
О ох
ох О
О —
qE)
огх О
О -ох
— ау О
О — о z
ох О
О ах
О —а.
Таблица 26.4 (продолжение)
Группа
Класс
Предста-
Представление
oh
RB)
Qf
q> 0
0 -q>
о / о
-fOO
0 0 0
Y 0
0 -Y
0 0 -i
Y = || 0 0 0
1 0 0
0 —
0 X
X 0
0 1 0
1 0 0
0 0 0
0 6
6 0
0 0 1
= || 0 0 0
1 0 0
0 -
0 —
86 *C
e6 =
2ni
, 6
0 0 0
0 0 i
0-/0
0t|
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 -
0 o2
a2 0
Для групп Dnh ось 2 направлена по сп> а ось д: — по w2.
Таблица 26.5
Матрицы компонент полярного вектора в представлении (Yo, y\, Yo, У,)
0
1
VJ
0
1
V2
л
и
i
V2
0
/
V2
1
УТ
0
0
0
V*
0
0
0
0
0
0
0
n
и
0
0
0
1
У?
0
0
0
/
V2
0
0
0
к-
УТ
0
V2
0
0
0
0
0
0
V2
0
0
0
V2
/2 /2
0 0 0
0 0 0 0
1
0 0 0
0 0 10
0 0 0 0
10 0 0
0 0 0 0
О 0 i О
0 0 0 0
— / 0 0 0
0 0 0 0
§ 27. МЕЛКИЕ ПРИМЕСНЫЕ ЦЕНТРЫ И ЭКСИТОНЫ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Мелкие примесные центры
Как показано в § 22, для определения волновых функций и
энергии Е мелкого примесного центра в методе эффективной
массы нужно решать систему уравнений B2.26)
= Efm9 B7.1)
которая в матричном виде записывается так:
где t —
In
Здесь т и т' пробегают значения от 1 до N, где N— кратность
вырождения зоны в экстремуме, а
Ж (к) = Жо (*) + U (г) /. B7.2)
В B7.2) Ж0(к) — матрица, определяющая спектр вблизи экстре-
экстремума зоны, &а = — i-Qf-, a U = — Ze2/xr — кулоновский по-
потенциал, к — диэлектрическая постоянная *), Z — заряд при-
примеси **).
Каждому решению f8 системы B7.1), которое является
столбцом с компонентами /^, соответствует волновая функция
примесного центра
B7.3)
где i|)mAo — блоховские функции на дне зоны. Рассмотрим закон
преобразования волновых функций примесного центра /.
Согласно B5.16) для матрицы Ж (к) имеем
2Г1 (ё) 3f€ (gk) 2){g) = M (й), B7.4)
где 3) [g) — матрица преобразования функций дна зоны tymk.
Если в группу направлений входят элементы g, содержащие не-
*) Имея в виду дальнейшее рассмотрение примесных центров в кубиче-
кубических кристаллах, мы полагаем х скаляром.
**) Поскольку в задаче об экситоне, рассматриваемой в этом параграфе,
существенна зависимость \|) от спинов, мы, в отличие от § 22, здесь будем
сразу учитывать зависимость базисных функций от спиновых индексов. По-
Поэтому ниже везде пространственные координаты обозначаются как г, а х
включает и спиновые индексы.
340
тривиальные трансляции, то в общем случае U(gr) Ф ?/(г),
однако на расстояниях, больших по сравнению с постоянной
решетки, когда и справедливо приближение эффективной массы,
можно считать, что U(gr) = U(r). Поэтому и весь оператор
B7.1) удовлетворяет соотношению B7.4).
Пусть имеется \х линейно независимых решений уравнения
B7.1) fs (s = I, 2, ..., \i). Используя B7.4), из уравнения
получим равенство
откуда следует, что функция 3)(g)f(g~lr) с компонентами
(Я (g) Г (g-lr))m = 2 0m,OT (g) f°m, (g~lr) B7.5)
соответствует той же энергии Е, что и функции f(r) (s=l,
2, ..., ц). Поэтому между этими функциями имеется линейная
связь
3) (g) f ig-'r) = 2 Ts's (g) f (г), B7.6)
откуда
fs(g-1r)=2)-l(gJiTs\g)f(r),
s B7 7)
г* ig~lr) = 2 r's (g) 2>;,m (g) fm. (r). l •
s'm'
Таким образом, преобразование функций fm{g~lr) включает
в себя как линейное преобразование столбцов f8 друг через дру-
друга, определяемое матрицей Г, так и преобразование компонент
внутри одного столбца, определяемое матрицей 3).
Нетрудно проверить непосредственно, что матрицы T(g) об-
образуют представления группы волнового вектора G*o, при этом
они определяют преобразование функций Ws B7.3):
4s(g~lr) = S Ts's (g) 4>s' (r). B7.8)
s'
Таким образом, волновые функции Y B7.3) примесного
центра вблизи k0 преобразуются по представлению группы вол-
волнового вектора G*o.
Из B7.7) следует, что функции f преобразуются по пред-
представлению ?Df группы направлений волнового вектора
2Df = ?TX T9 B7.9)
где 3) — представление G*o, по которому преобразуются функ-
функции дна зоны, а Т—представление, по которому преобразуется
волновая функция примесного центра. Эта формула показы-
показывает, по каким представлениям могут преобразовываться
341
медленные функции при заданной симметрии Т полной волновой
функции.
Поскольку потенциальная энергия в уравнении B7.1) мини-
минимальна вблизи примесного центра, то следует ожидать, что
основному состоянию примесного центра соответствуют функ-
функции /, конечные в начале координат, т. е. среди функций / основ-
основного состояния должны быть функции, преобразующиеся по еди-
единичному представлению группы G*o. Из B7.9) следует, что
представление 3)f будет содержать единичное только в том слу-
случае, когда SD = Т. Поэтому можно ожидать, что вырождение
основного состояния мелкого примесного центра совпадает с вы-
вырождением зоны в точке экстремума; это подтверждается экс-
экспериментально во всех исследованных в настоящее время слу-
случаях.
До сих пор рассматривалось состояние примесного центра
вблизи одной точки экстремума k0. Если имеется несколько экви-
эквивалентных экстремумов ки I = 1, 2, ..., м, где п — число экстре-
экстремумов, то появляется дополнительное вырождение уровня мел-
мелкого примесного центра, так как в методе эффективной массы
волновая функция центра 4я является произвольной линейной
комбинацией функций с одной энергией Е B7.3), соответствую-
соответствующих различным экстремумам 4?i:
? = 2^. B7.10)
Поэтому в методе эффективной массы кратность вырождения
уровня основного состояния мелкого примесного центра равна
кратности вырождения зоны в точке экстремума, умноженной
на число эквивалентных экстремумов, т. е. совпадает с размер-
размерностью неприводимого представления пространственной группы
со звездой {ко}.
Такая большая кратность вырождения, однако, связана с
приближением эффективной массы, а не является следствием
соображений симметрии. На самом деле кратность вырождения
основного состояния примесного центра в общем случае ниже,
так как возможная кратность вырождения терма определяется
размерностью неприводимых представлений точечной группы ло-
локальной симметрии местоположения узла примесного атома. По-
Поэтому за счет взаимодействий, не учитываемых в методе эффек-
эффективной массы, которые будут обсуждены ниже, избыточное вы-
вырождение, связанное с приближением эффективной массы, сни-
снимается.
В методе эффективной массы энергетический спектр различ-
различных примесных атомов с одним и тем же эффективным зарядом
одинаков, так как согласно B7.1) он определяется только па-
параметрами зоны вблизи экстремума и диэлектрической постоян-
постоянной кристалла. Поправки к методу эффективной массы, приво-
342
дящие к изменению энергии основного состояния и расщеплению
вырождения, характерного для многоэллипсоидной модели, т. е.
химический сдвиг*), различны для различных примесных
атомов.
Если величина химического сдвига значительно меньше энер-
энергии основного состояния (отсчитанной от дна зоны), то пра-
правильные волновые функции являются определенными линейными
комбинациями функций B7.10) и характер расщепления и эти
функции могут быть получены на основании теории групп, без
детального исследования механизма химического сдвига. Для
этого следует разложить представление пространственной группы
2){ко\ по которому преобразуются функции B7.10), по неприво-
неприводимым представлениям точечной группы локальной симметрии
Gi местоположения примесного иона. При этом следует иметь
в виду, что в группу локальной симметрии могут входить только
такие поворотные элементы из пространственной группы, кото-
которые не сопровождаются нетривиальными трансляциями.
Для любого элемента g^G{ характер представления
пространственной группы равен согласно A2.24)
y B7.11)
Здесь % — характер представления, по которому преобразуются
волновые функции Wi B7.3) примесного центра в точке ku
г gi — элемент, переводящий ki в kti т. е. gfa = k{. Суммирова-
Суммирование проводится по всем лучам звезды {Ло}, в группу симметрии
Gkt которых входит g.
Если волновые функции Yi в точке экстремума преобра-
преобразуются по единичному представлению, то %t{g) = 1, и из B7.10)
следует, что в этом случае характер представления простран-
пространственной группы
() ЛГ B7.12)
где Ng — число лучей звезды, которые остаются на месте при
преобразовании g.
Теория характеров дает возможность, таким образом, опре-
определить расщепление уровня примесного центра, а при помощи
проекционных операторов нетрудно непосредственно определить
линейные комбинации функций B7.10), которые соответствуют
состоянию с одной энергией.
Отметим, что в приближении эффективной массы в кристал-
кристаллах, имеющих центр инверсии, волновая функция примесного
центра всегда является четной или нечетной. Однако если груп-
группа локальной симметрии не содержит инверсию, то полная
*) В иностранной литературе это расщепление, связанное с переходом из
одной долины в другую, называется также valley-orbit splitting.
343
волновая функция примесного центра при учете поправок к ме-
методу эффективной массы не обладает определенной четностью.
Рассмотрим теперь волновые функции мелких примесных
центров в некоторых точках зоны Бриллуэна в кубических кри-
кристаллах.
Сферическая зона в ko = 0. Для такой зоны уравнение B7.1)
имеет вид
Уравнение B7.13) совпадает с уравнением Шредингера для
атома водорода, если в нем заменить т на т* и е2 на е2/х.
Центры такого типа называются водородоподобными. Основное
состояние водородоподобного центра не вырождено, ему соот-
соответствует /0 = ехр (— r/aB)t где ав = Н2к/т*е2 — боровский
радиус примесного центра. Энергия основного состояния для во-
водородоподобного центра
р т*е4
Энергия возбужденных состояний Еп = — Ео/п2, где я — главное
квантовое число; м = яг + /+ 1, пг — радиальное квантовое чис-
число, / — азимутальное квантовое число. Четность водородоподоб-
ных состояний Р= (—\I.
Примесный центр в многоэллипсоидной модели. Рассмотрим
случай, когда экстремумы зоны находятся в точке k0 Ф 0 на
осях симметрии, так что поверхности постоянной энергии яв-
являются эллипсоидами вращения:
при этом ось z направлена по оси вращения эллипсоида. Урав-
Уравнение B7.1) в этом случае имеет вид
Введем безразмерный параметр у = mjmp безразмерные коор-
координаты в единицах боровского радиуса ав= Ь2к/пг±е2 и безраз-
безразмерную энергию в единицах Ев = m±e4/2fi2%2; тогда уравнение
B7.15) перепишется в виде
+ + E)f-0 <27-16>
В общем случае переменные в этом уравнении не разделяются и
получить решение в общем виде не удается, кроме рассмотрен-
рассмотренного выше случая у = 1 и так называемого «адиабатического»
344
случая у <^ 1, в котором решение может быть получено в виде
ряда по малому параметру y [21.2].
Для энергии основного состояния хорошие результаты дает
прямой вариационный метод при использовании пробной функ-
функции вида
f - Кх«|,Г1/2 ехр { " (Зг + fj12} • B7-17)
где р2 = х2 + У2* 0ц и а± — вариационные параметры, опреде-
определяемые из условия минимума функционала
2 arcsh a
aa J
B7.18)
Минимизация этого функционала с пробной функцией B7.17)
приводит к следующим уравнениям для а± и а:
п ±
1 3
' 1+a2/arcsh a а/l + а2 - arcsha
B7 Л 9)
Уравнения B7Л8) и B7.19) написаны для случая y>1» пРи
Y < 1 в них нужно заменить 1 + а2 на 1 — а2 и arcsh а на
arcsin a.
Сравнение полученных вариационным методом значений
энергии с точным решением при у == О показывает, что ошибка
в энергии порядка 7,5% при у = 0 и меньше при других значе-
значениях у» т- е- сравнительно невелика, а при у = 1 B7Л7) является
точным решением B7ЛЗ). Зависимость энергии основного со-
состояния от Y» вычисленная по B7Л8), B7Л9), приведена на
рис. 28.
Остановимся кратко на классификации возбужденных со-
состояний для уравнений B7Л5), B7.16). При т^т^ т. е.
при y= 1» имеется вырождение по квантовому числу /, харак-
характерное для кулоновского центра. Если же у^\, то это выро-
вырождение снимается. Гамильтониан метода эффективной массы
B7Л5), B7.16) обладает аксиальной симметрией С»ГХ^, по-
поэтому его собственные функции характеризуются магнитным
квантовым числом mz = т и четностью Р. При этом без учета
спина состояния с т = 0 однократны, а состояния с т Ф О
двукратно вырождены по ±пг. При повороте вокруг оси симмет-
симметрии на угол ф вырожденные функции умножаются на e±im^y a
при отражении ov переходят друг в друга. Поэтому собственные
функции гамильтониана B7Л5) с заданным т и четностью Р
являются суперпозициями состояний кулоновского центра с раз-
различными п, но с заданными т и четностью. Так, волновая функ-
функция с т = 0 и положительной четностью является суперпози-
суперпозицией состояний Is, 2s, 3s, 3d, 4s, Ы и т. д. с т = 0.
345
Если расстояния между возбужденными уровнями в куло-
новском спектре больше возмущения, связанного с неравен-
неравенством масс Шц и пг19 то состояния оператора B7.15) в первом
приближении образуются из возбужденных состояний кулонов-
ского центра с одним п. Так, состояния с п= 1, 2 переходят
в состояния: ls->ls@, +); 2р-> 2ро(О, —) + 2р±(±1, —); 2s->-
->2s@, +) (в скобках указаны магнитное квантовое число т
и четность). Для многоэллипсоидной зоны возбужденные со-
состояния, как и основное, дополнительно вырождены по числу
экстремумов. При учете поправок к методу эффективной массы
это вырождение снимается, характер расщепления может быть
определен по B7.11). Однако из-за большого радиуса волновых
0,1
S
Ч
10
100
3
2
1
\
\
ч
*—
0,2 OA 0.6 0,8
6)
Рис. 28. Зависимость энергии основного состояния Е0/Ев примесного центра
от параметра анизотропии у = т±/тп. а) у^\ [21.10]; б) y< ! [21.2].
функций поправки к методу эффективной массы для возбужден-
возбужденных состояний невелики, а для состояний, для которых /@) = 0,
эти поправки практически отсутствуют.
Рассмотрим подробнее структуру донорных центров в Ge
и Si, зона проводимости которых имеет многоэллипсоидную
структуру.
В Si в зоне проводимости имеется 6 минимумов, расположен-
расположенных внутри зоны Бриллуэна на осях четвертого порядка, при
этом тA= 0,98 m, mx= 0,19 т, а к = 11. Из рис. 28 следует,что
энергия основного состояния Ео = 0,029 эв\ экспериментальные
значения энергии ионизации для различных доноров приведены
в табл. 27.1.
Из уравнения B7.1) видно, что метод эффективной массы
дает правильный порядок значения энергии ионизации, однако
для тяжелых атомов расхождение между теоретическими и экс-
экспериментальными значениями может доходить до 50%.
846
Таблица 27.1
Донор
Р
As
Sb
Энергия ионизации, эв
Si
0,044
0,049
0,039
Ge
0,013
0,014
0,010
Донор
Li
Bi
Энергия ионизации, эв
SI
0,033
Ge
0,013
В методе эффективной массы основное состояние Is донор-
ного центра в Si шестикратно вырождено по числу минимумов
в зоне проводимости. Ионы доноров в Si и Gc являются приме-
примесями замещения, их группой локальной симметрии является 7V
Используя B7.12), легко убедиться, что в результате химиче-
химического сдвига шестикратно вырожденное состояние Is расщеп-
расщепляется на синглетное представление Ль двукратно вырожденное
Е и трехкратно вырожденное состояние F%:
Если обозначить функции B7.3), соответствующие экстре-
экстремумам
*0A00), ?0A00), Ао(ОЮ), МОИ)), *о(ОО1), ^о(ООГ),
индексами 1, 2, ..., 6 соответственно, то правильные волновые
функции B7.10), определяемые коэффициентами си имеют вид
лте 1 /1111114 1ТГ1
11111), Щ, = -^=-A10000),
v о V2
, =—A1Г Гоо), ч$, = -— (ooiToo),
2 V2
: = —7=-A11122), ^, = -^=г@0001Г).
B7.20)
Поправки к методу эффективной массы для основного со-
состояния доноров в Si описываются в общем случае тремя кон-
константами: До, определяющей понижение синглета Аи и констан-
константами Д2 и At, определяющими расстояние от синглета Л4 до
дублета Е и триплета F2.
Экспериментальные исследования, в том числе и исследова-
исследования оптических и парамагнитных спектров донорных центров
в деформированных кристаллах, показывают, что для всех до-
доноров в Si, за исключением Li, нижним является орбитальный
синглет Л2, при этом состояния Е и F2 практически имеют одну и
ту же энергию, т. е. Ai ж Дг.
Энергия возбужденных состояний доноров в Si рассчитыва-
рассчитывалась Латтинжером и Коном [21.2]. Они использовали вариацион-
вариационный метод, исправленный с учетом точных значений энергии
при у ==1 I и Y = 0* которые можно получить аналитически.
347
Результаты расчета для нескольких ближайших возбужденных
состояний приведены в табл. 27.2, в которой указан также вид
пробной функции.
Таблица 27.2
Состояние
\s
2р0
2s
Зр0
Пробная функция
Г / р2 , *2 \1/21
Г / о2 z2 \ i/2-i
(С1+С1р1 + с,г*)ехр[-(-^- + -р-) J
Г / р2 . г2 V/21
(с, + с2р' + c3z2) г ехр [- (-g- + ?)W]
Si
^вар
0,029
0,0107
0,0082
0,0057
0,0052
р
^испр
0,0113
0,0088
0,0059
0,0057
В приближении эффективной массы каждое состояние с т =
= 0 шестикратно вырождено, а каждое возбужденное состоя-
состояние с т ф 0 имеет 12-кратное вырождение. Используя формулу
B7.11), легко убедиться, что при учете химического сдвига вы-
вырожденные состояния будут расщепляться по схеме:
т = 0: Ах + Е + /у,
т ф 0, четное: Л, + А2 + 2Е + Fx + f2; B7.21)
m нечетное: 2/^ + 2F2.
Однако величина этого расщепления для возбужденных состоя-
состояний, кроме, может быть, состояния 2s, очень мала, так что его
практически можно не учитывать. Согласно оценкам [21.12] для
состояния 25 в Si разница энергий однократного состояния Л4
и пятикратного ? + ^2 порядка 0,14—0,12 мэв.
В Ge минимумы зоны проводимости находятся на осях треть-
третьего порядка на границе зоны Бриллуэна. Значения компонент
тензора эффективной массы m(|/m0= 1,4, mx/m0 = 0,083 и ди-
диэлектрической постоянной х=16 дают для энергии основного
состояния в методе эффективной массы Ео = 0,008 эв. Экспери-
Экспериментальные значения Е приведены в табл. 27.1. Видно, что для
Ge метод эффективной массы дает более близкое совпадение
с экспериментальными значениями, чем для Si, что связано
с тем, что донорные центры в Ge являются более «мелкими».
В приближении эффективной массы основное состояние при-
примесного центра в Ge является четырехкратно вырожденным,
348
Химический сдвиг приводит к расщеплению вырожденного
состояния на синглет А\ и трехкратно вырожденное состояние F2,
которым в базисе функций B7.3) с экстремумами на осях [111],
[111], [ill], [111] соответствуют волновые функции
4^=1A111);
B7.22)
Приведенная выше классификация термов, произошедших из
основного Is состояния для Ge и Si, не учитывает спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия, и поэтому каждое из полученных выше
состояний имеет дополнительное двукратное вырождение по спи-
спину. При учете спина эти представления переходят в:
Поэтому в результате спин-орбитального взаимодействия шести-
шестикратно вырожденное (с учетом спина) состояние F2 расщепляет-
расщепляется на двукратно и четырехкратно вырожденные состояния
Е'2 и G'.
Вырожденная зона. Рассмотрим структуру мелкого примес-
примесного центра в вырожденной зоне типа валентной зоны Ge и Si,
в которой волновые функции в точке экстремума преобразуются
по представлению Г^. Поскольку в Ge величина спин-орбиталь-
спин-орбитального расщепления валентной зоны, равная 0,29 эв, значительно
превосходит энергию ионизации акцепторов, то это приближение
является для Ge достаточно хорошим. Волновые функции f мел-
мелкого акцепторного центра определяются системой уравнений
B7.1) с матрицей Ж, приведенной в B4.12).
Решение системы B7.1) для Ge в явном виде получить не
удается, поэтому и здесь для отыскания волновых функций и
энергии ?о основного состояния используется вариационный ме-
метод. При этом вид пробных функций не является произвольным,
а должен удовлетворять определенным условиям, накладывае-
накладываемым требованиями симметрии.
Для функций основного состояния мелкого акцепторного
центра в зоне Ff (или Г8), преобразующихся также по пред-
представлению Г* (Г8), из B7.9) следует, что функции f преобра-
преобразуются по представлениям
Г? X Г? = 2Г? + 2Г2+5 + Г? + Г2+ + Г/".
Функции /, преобразующиеся по этим представлениям, могут
быть выбраны в виде соответствующих кубических гармоник,
построенных из гармонических полиномов степени Z, умножен-
умноженных на экспоненциальные множители вида е~г1гК При этом каж-
каждая кубическая гармоника, преобразующаяся по заданному
представлению кубической группы, может быть построена из
349
гармонических полиномов, соответствующих различным значе-
значениям /. Однако гармоники с большим / дают меньший вклад
в энергию основного состояния, так как соответствующие им
функции быстро обращаются в нуль при z = О, поэтому с целью
уменьшения объема вычислений можно ограничиться гармони-
гармониками с малыми /. Шехтер [21.4] в вариационных вычислениях
для функций основного состояния ограничился гармониками с
/ ^ 2, т. е. функциями s- и d-типа, преобразующимися по пред-
представлениям Tt (/ = 0), ГЙ (/ = 2), Г?+5 A = 2).
Исходя из выбранных кубических гармоник, при помощи
проекционных операторов можно построить пробные функции
примесного центра f, преобразующиеся по представлению ГГ:
0
где
1
0
0
0
+ C2(f>2
Xi
0
— %2
0
+ <?p3
Xr
-г/г,
о
(i/утю/вз
0
1
0
0
+ С2ф2
0
— Xi
0
-x2
+ с3фз
0
0
/е3//3"
B7.23)
0
о
81
2 = XZ V125
B7.24)
r-7/2 "I/ _2_
» Г Зл '
35Q
a cu Сг, с3 и ck — численные коэффициенты, удовлетворяющие
условию нормировки с\ + с\ + с] + с\= 1. Функции f4 и /3 яв-
являются крамерсово сопряженными по отношению к /ч и /г, при
этом следует иметь в виду преобразования B4.18) функций дна
зоны при инверсии времени. Вариационными параметрами при
таких пробных функциях являются ги г2, Гз, си с2, Сз и с4.
В работе [21.4] используются «укороченные» функции B7.23),
т. е. полагается с* = 0. Вариационные расчеты для Ge при зна-
значениях зонных параметров А = — 13,2 й2/2/п0, В = ¦—8,9й2/2т0,
С=12,5й2/2т0 дают ?0 = 0,008 эв. Вариационные параметры
приведены в табл. 27.3.
Таблица 27.3
Ge
Si
Е, эв
0.0088
0,031
44,0
17,71
г2. А
34,4
13,21
0,86
0.92
-0,28
—0,14
0,43
0,32
Экспериментальные значения энергии ионизации для акцепто-
акцепторов в Ge приведены в табл. 27.4.
Таблица 27.4
Акцептор
В
А1
Энергия ионизации, эв
Ge
0,104
0.0102
Si
0.045
0,057
Акцептор
Ga
In
Энергия ионизации, эв
Ge
0,0108
0,112
Si
0,065
0,16
Видно, что в Ge для всех акцепторов, кроме In, метод эффек*
тивной массы дает близкую к экспериментальному значению
величину энергии ионизации.
Аналогичные расчеты для Si при использовании значений
зонных параметров А = — 4,04 й2/2то, В = — 1,24 й2/2то, С =:
= 4,0й2/2т0 дают Ео = 0,031. Вариационные параметры и экспе-
экспериментальные значения энергии ионизации акцепторов приве*
дены в таблицах 27.3—27.5.
В Si величина энергии ионизации акцепторных примесей по-
порядка или больше величины спин-орбитального расщепления
валентной зоны А = 0,04 эв, поэтому для Si использованное выше
приближение А > Ео несправедливо.
Шехтер [21.4] произвел расчет энергии ионизации акцептор*
ного центра в противоположном предельном случае равного
нулю спин-орбитального расщепления, т. е. для зоны Г15. Проб-
Пробные волновые функции, преобразующиеся по представлению
351
выбирались в виде
1
01
О
О
= С1Ф1 (Г)
+с2ф2(г)
fa — С1Ф2 (О
о
о
+ с2ф2 (г)
О
Eg |
О |. B7.25)
«1
О
где
-ТЩ ,-7/2
B7.26)
а коэффициенты Сь C2 и Ся удовлетворяют условию нормировки
с\-\-с\-{-с\==\. В табл. 27.5 приведены вариационные расчеты
для Si при указанных выше значениях зонных параметров для
случая А = 0.
Таблица 27.5
В>0
Е, эв
0,054
г,. А
9.12
г,. А
7,09
?i
0,83
-0,33
с$
0,42
В<0
Е, эв
0.035
гик
15,61
г. А
12,0
С\
0,93
Ct
0,10
Ct
0,32
Расчеты показывают, что в Si, где примесные центры являют-
являются более глубокими, метод эффективной массы хотя и дает пра-
правильный порядок величины для энергии ионизации акцепторов,
однако приводит к численным значениям, отличающимся от экс-
экспериментальных данных.
Возбужденные состояния акцепторов в приближении эффек-
эффективной массы также характеризуются неприводимыми представ-
представлениями группы Он, т. е. они могут преобразовываться по пред-
представлениям rf, Г* и Г*. При этом состояния Г*, Г* являются
крамерсовыми дублетами, а Г* четырехкратно вырождены.
При В = 0 и D = 0 оператор энергии в методе эффективной
массы B4.12) обладал бы сферической симметрией, и плавные
функции акцепторного центра в зоне Гз соответствовали бы со-
состояниям кулоновского центра с массой т* = Ъ2/2А, при этом
каждое состояние имело бы еще дополнительное четырехкратное
вырождение вследствие вырождения валентной зоны.
352
При В = D/ ]/3, т. е. при Y2 = Y3> гамильтониан B7.1) с
Ж(Ь), определяемым B4.2) или B6.12), сохраняет сферическую
симметрию и коммутирует с оператором F = L + /, где L — опе-
оператор орбитального момента D.4). При заданном F состояние
^т вырождено по т = —F,—F+1, ..., F и угловая часть
представляет набор шаровых функций Ylm, с / = F ± 3/г и F ± 7г
(при F = V2 /=1,2) [21.14].
При В ф D/Y 3, когда симметрия понижается до кубиче-
кубической, это вырождение частично снимается. Характер этого рас-
расщепления легко может быть определен на основании теории
групп.
Если В и D не малы, то каждое состояние Г* (i = 6, 7,8) яв-
является смесью тех водородоподобных состояний с различными
п и /, для которых произведение 2bf ХГ^ содержит Г*. Так,
медленную функцию основного состояния в общем случае мож-
можно считать суперпозицией водородоподобных Is, 3d, 5g и т. д.
состояний, а ближайшие возбужденные состояния 1У, Г7» Г<Г
являются смесью состояний 2/7, 4/ и т. д.
Вариационные расчеты Шехтера [21.4] (см. формулы B7.23)
и табл. 27.4) показывают, что вклад d-функции в волновую функ-
функцию основного состояния весьма существен.
Шехтер произвел вариационный расчет ближайших возбуж-
возбужденных состоянийГз" и Г(Г, ГГ. Для этих состояний он исполь-
использовал плавную функцию р- и f-типа. Следует отметить, что проб-
пробные функции для возбужденных состояний, использованные
Шехтером, обладают тем недостатком, что их радиальные части
не имеют нулей кроме г = 0, в то время как водородоподобные
/?-, d- и f-функции имеют такие нули при пТ > 1.
В работе Мендельсона и Джеймса [21.5] угловая часть проб-
пробной функции записывалась в виде линейной комбинации сфери-
сферических гармоник, обеспечивающей правильные свойства симмет-
симметрии и данную четность функции, ьо радиальные функции и
коэффициенты определялись из решения системы дифференци-
дифференциальных уравнений. При этом состояния примесного центра клас-
классифицируются, кроме индекса представления и четности, также
и числом нулей радиальной волновой функции.
Основное состояние Гв", не имеющее нулей, Гв~@), происхо-
происходит из ls-иЗ^-функций водородоподобного центра. Энергия иони-
ионизации равна 0,0093 эв*). Еще одно состояние Г^ A), имеющее
один нуль у радиальной функции, которое не рассматривалось
*) Мендельсон и Джеймс проводили вычисления, используя значения зон-
зонных параметров, полученные Левингером и Франклем [27.21]. Они отмечают,
что при использовании зонных параметров Дрессельхауза, Киппа и Киттеля
[19.1] разница в энергиях — порядка 1%, а разница в волновых функциях —
порядка 4%.
12 Г. Л. Вир. Г. Е. Пикус 353
Шехтером, происходит в основном из 2s- и З^-водородопо-
добных состояний. Состояние TJT @) строится из 2/7- и ^-функ-
^-функций водородоподобного типа. Из ГГ состояний Мендельсон и
Джеймс рассмотрели состояние IV @), которое, как и Гё* @),
происходит из 2/7- и 4/-функций, и состояние Г7@> имеющее
один нуль у радиальной функции, которое строится из состояний
3/7 и 5/.
Мендельсон и Джеймс вычислили энергии нескольких со-
состояний ГГ. Два из них, обозначаемые ими ГГ@, 1) и ГГ@, 2),
не имеют нулей у радиальной функции, но имеют различный вид
угловых функций; их можно интерпретировать как две разные
суперпозиции 2/7- и 4/-функций водородоподобного спектра. Со-
Состояние Гв~ A) с одним нулем у радиальной функции и угловой
частью, очень близкой к функции
'мэ5 ГГ @, 1), происходит из 3/7- и 5/-со-
16 ~JP) \ стояний.
На рис. 29 приведена схема рас-
расположения возбужденных состояний
для мелкого акцепторного центра In
jf— , _r „... „ „.. _.
^ ', / в Ge, построенная по эксперимен-
4,0
-2,0
-3,0
{0 ч ; ^ тальным данным [41.6]. Эти данные
' '(8-01) * находятся в хорошем согласии с тео-
-5,0|- ретическими расчетами [21.5].
Рассмотрим асимптотическое по-
. ч ведение волновых функций мелкого
-12jn\- '~~ 5' примесного центра на больших рас-
расстояниях от ядра примеси. Будем
искать асимптотику волновой функ-
ров в Ge. Ции f в виДе / ^ е~ • Тогда из урав-
уравнения B7.15) для эллипсоидаль-
эллипсоидальных поверхностей постоянной энергии получим связь между k и
энергией связанного состояния ?<0 в зависимости от направ-
направления г:
П1 = п1г. B7.27)
Таким образом, асимптотика волновой функции анизотропна:
волновая функция, согласно B7.27), наиболее далеко прости-
простирается в направлении наименьшей эффективной массы. Отметим,
что асимптотический вид волновой функции по форме совпадает
с асимптотикой вариационной функции, но отличается от нее
заменой а~2 и aj2 на —гт^/Й2 и — 2т±Е/Н2 соответственно.
Несколько сложнее обстоит дело в случае вырожденной зоны.
Мы рассмотрим здесь асимптотическое поведение акцепторных
состояний в Ge и Si, т. е. в случае зоны Гз. Если искать асимпто-
асимптотическое решение уравнения метода эффективной массы B7.1)
354
в форме
B7.28)
то для коэффициентов cs получим однородную систему
где матрица Seis(k2nan^) совпадает с матрицей B4.12), если
заменить в ней kjz^ на к2пап$. Условие разрешимости системы
0 B7.29а)
дает зависимость k2 от ?, подобную B4.13а):
k2 (\A\ ± VB2 (пх + п*+ /i«) + С2 (п2хп1 + п\п\ + п2уп22)) = - Е.
B7.30)
Уравнение B7.29а) имеет два корня B7.30), отвечающие двум
ветвям спектра дырок. Это означает, что асимптотическое пове-
поведение волновой функции определяется двумя слагаемыми вида
B7.28) с разными величинами ku к2, удовлетворяющими уравне-
уравнению B7.30), и с разными коэффициентами с. и с'., которые по
отдельности удовлетворяют уравнению B7.29) с k = kt и k = кг
соответственно. Поскольку для уровней Гв имеется четырехкрат-
четырехкратное вырождение, то имеются четыре функции вида B7.28), кото-
которые попарно крамерсово сопряжены. Как следует из B7.30),
асимптотическое поведение волновой функции существенным
образом зависит от направления и повторяет вид поверхности
постоянной энергии дырок в fe-пространстве. Коэффициенты
' ct и с\ также зависят от па и определяются формулами B4Л9),
если в них заменить ka на kna. На больших расстояниях «выжи-
«выживает» только одна экспонента, соответствующая зоне легких
дырок.
Таким образом, асимптотическое поведение волновых функ-
функций мелкого примесного центра в вырожденной зоне определяет-
определяется спектром легких носителей, хотя в энергию эта ветвь спектра
может давать и незначительный вклад. Поскольку отношение
масс тяжелых и легких дырок может быть весьма значительным,
то учет этого обстоятельства существен для различных эффектов,
которые определяются поведением волновых функций примес-
примесного центра на больших расстояниях.
Поправки к методу эффективной массы. Рассмотрим теперь
поправки к гамильтониану B7.2), связанные с учетом членов
более высокого порядка по ft, а также с учетом матричных эле-
элементов потенциала Uk с большим k « bM, опущенных в B2.8).
U* 355
Первые слагаемые приводят к поправкам порядка Ео/Е8, кото-
которые могут быть существенны для сравнительно глубоких цент-
центров, вторые слагаемые ответственны за химический сдвиг.
Для расчета поправок к энергии порядка EoJEg в уравне-
уравнениях B2.15) метода эффективной массы надо сохранить члены
четвертого порядка по fe, которые легко получить обычным kp-
методом или методом инвариантов*), а также учесть поправки
к кулоновскому потенциалу At/, появляющиеся в третьем при-
приближении теории возмущений при учете членов, квадратичных
по Звг = Ь(кл)/т и линейных по Ж\ = — U(r). Учитывая, что
согласно B2.106) и B2.10в) оператор Ж2 диагонален по fe, а Ж\
диагонален по пу в соответствии с общей формулой A5.47) полу-
получим для поправки к потенциалу Д?/ следующее выражение:
Х Ь nm'snsm rr (b'k' Ik'k Ak k\
2 m2 Zi (Es-EmJ
sap
где
(Es - EmY — 4 m
s s
aPv (?s - ?wJ 2 m2 2j (Es - EmJ
sap Ys
B7.33)
^apv ~" единичный антисимметричный тензор. Для того чтобы
найти оператор Д(/ в координатном представлении, надо
в соответствии с B2.14а) умножить Д(/ на е*(*'"~*)г и просум-
просуммировать по^ = й/ —й при фиксированном векторе к, который
затем заменяется на оператор k = — /V. В результате первое
слагаемое в B7.31) дает
P
q
При вычислении этого слагаемого надо иметь в виду, что
сингулярно при г = 0, поэтому соответствующий член надо вы-
выделить отдельно. В результате получим
2^ ( Gm'm - Т Sp Gtfmb*) -gp^r + у Sp Gm'mV2 С/ (г).
*) При отсутствии в группе Gki) инверсии оператор К (k) будет также
включать и члены третьего порядка по k.
Подставив значение V2C/ и выполнив дифференцирование
в первом члене, окончательно найдем
S <?« WlB7.34)
где
При вычислении второго слагаемого воспользуемся тем, что
[k'k] = [qk] и, следовательно,
Следовательно,
где Af = —/[rV] — оператор момента количества движения.
Первый член Af/1 соответствует эффективному диполь-
дипольному и контактному взаимодействию. Определяющая
его матрица Ga& подобна матрице Ж0^ B1.19), определяющей
спектр, имеет такое же число линейно независимых компонент
и формально может быть получена ее дифференцированием:
Второй член Л?У2 описывает взаимодействие орбитальных момен-
моментов медленных и быстрых функций. Это слагаемое вызывает
расщепление терма в тех случаях, когда представление Г/ X ^Ч
с учетом спина приводимо. Определяющая его матрица gv по-
подобна матрице Lv B2.22), определяющей эффективный магнит-
магнитный момент, и равна
B7.37)
femm m дЕт
В простейшем случае двухзонной сферической модели в суммах
B7.32) и B7.33) имеется один междузонный член с s = n и
индексы тип принимают два значения т= 1, 2 и п= 1, 2,
соответствующие спину ±1/2. В этой модели, согласно B6.34),
?т--?„ = ?, = 2mV, ntnn = m*somn. B7.38)
357
В этом случае
Gm'm = -J- >.t<rm'nа'пт; = -j-от'т6аэ, B7.39а)
2 Её п 2 Её
^S 6 <? °L * 51 ^ B7.396)
и, следовательно,
^Bve(r)> B740>
1
Члены четвертого порядка по k в Ж, которые дают такого же
порядка вклад в энергию, что и Л/У, в этой модели имеют вид
Соответствующие поправки к энергии основного водородо-
подобного состояния fo = -7=rrr/fl за счет Д[Л и Д5$ равны
У яа3
соответственно 4El/Eg и — bE\JEgi так что результирующая
поправка равна —E0/Eg*).
При учете поправок, связанных с короткодействующей частью
потенциала ?/(г), в B2.8) достаточно сохранить лишь внутри-
зонные члены
"«•г.«» = <<Pm'*' I U @1 Ф«»> = >• S ^-.+»Л Вм m . B7.43)
так как междузонные члены приводят к поправкам, имеющим
дополнительный малый параметр Eo/Eg. Из этого матричного
элемента B7.43) мы сохраняли в B7.2) лишь слагаемое с М = 0.
Следовательно, добавочное слагаемое
bum>k>,mk = r 2 ?/*'-*+*ЛВмЛ«г 2 иЬмв%т =
МФО т МФО т
= Т2>иЬм Btm ~ t/o6m-m. B7.44)
м т
*) Так как для этой модели двухзонное уравнение B6.34) совпадает no-
форме с уравнением Дирака, отличаясь от него лишь константами, то в этом
случае задача о примесном центре может быть решена точно в двухзонном-
приближении, аналогично задаче о спектре атома водорода в модели Ди-
Дирака [21.9]. Точное выражение для энергии основного состояния
{[-ШТЧ-
358
Здесь мы пренебрегли малой величиной W— k по сравнению с
векторами обратной решетки Ьм, а также учли, что
mUQ = ?/o6m'm = -y *«'* J u(r) dr.
Первое слагаемое в B7.44), как видно из B7.43), равно
Um>k9tn'k9 = Um'n' и, следовательно,
bUm'k, mk = Um'm — Uo&m'm =
= Т J U W ¦«'».¦«*. dX ~ Ьт'т jrjU(r)dr =
^j(') [»U «я* " <UJ dx. B7.45)
Для перехода к г-представлению надо, как и в B2.14), умно-
умножить B7.45) на eiqr и просуммировать по q. Учитывая, что
bUm>k',mk не зависит от k и к', т. е. от q, а ^е**г = У6(г),
q
так как J e'^r dr = У6д0, найдем, что
6Um'm (г) = Г(ит>т - С/обт-т) 6(г), B7.46)
и, следовательно, соответствующий матричный элемент этой
матрицы на функциях fsm B7.1) равен
ssZ(mm 0mm)C()C@). B7.47)
Очевидно, что основной вклад в матричный элемент B7.45)
вносит интегрирование по ячейке, находящейся вблизи примес-
примесного центра. Учет поправок B7.47) приводит к изменению энер-
энергии, а также может привести к дополнительному расщеплению
вырожденного уровня в данном экстремуме k0. Оператор 6U
имеет группу симметрии G = G/ (] G*o, которая в общем случае
ниже Gk0. В частности, она не содержит нетривиальных трансля-
трансляций, так как G* их не содержит. Если представление 2% груп-
группы Gky по которому преобразуются волновые функции tymk,
в группе G приводимо, то матрица б(/ B7.47) не кратна единич-
единичной матрице, и в этом случае возмущение B7.46) приводит к
расщеплению термов.
Для акцепторных центров в Ge и Si поправки к методу эф-
эффективной массы не приводят к какому-либо расщеплению четы-
четырехкратно вырожденного основного состояния, так как кратности
вырождения уровней для симметрии Go = Oh и U = Td совпа-
совпадают.
При учете поправок к методу эффективной массы волновые
функции примесного центра уже не обладают определенной чет-
четностью, так как группа Td не содержит инверсию, поэтому
359
за счет этих поправок в акцепторных центрах могут наблюдаться
некоторые эффекты, которые из-за наличия инверсии в группе
Ok в приближении эффективной массы отсутствуют [40.4].
Если зона имеет несколько эквивалентных экстремумов, нахо-
находящихся в точках feoi, то наряду с «внутризонными» членами
B7.43) надо учитывать матричные элементы между функциями,
относящимися к разным экстремумам:
2 т>1 <V.в/+.Л = -?- { *;,о|?/ (г) * dx =
м
«-•« <*> и (г) "-„ <*> е' (*оГ *о;) r d*- <27-48>
Здесь, как и в B7.44), мы пренебрегаем малой разностью
векторов k'i — kj, отсчитанных от соответствующих экстрему-
экстремумов koi и йоу, по сравнению с величиной ft0/ — й0/ 4- 6Ж.
В r-представлении соответствующий оператор имеет вид, по-
подобный B7.46):
Этот оператор определяет химический сдвиг в многодолинных
полупроводниках и приводит к снятию многодолинного вырожде-
вырождения. Число линейно независимых компонент этой матрицы, так
же как и матрицы B7.46), можно легко определить, используя
общие формулы § 19, имея в виду, что потенциал U(r) преобра-
преобразуется по единичному представлению группы симметрии примес-
примесного центра G[. Из формулы B7.49) следует, что для того, чтобы
выяснить характер расщепления многодолинного вырождения
примесного центра, нужно согласно общим формулам § 19 разло-
разложить представление пространственной группы со звездой {fe0}, по
которому преобразуются волновые функции tymk , по неприводи-
неприводимым представлениям группы G*, что соответствует формулам
B7.11), B7.12).
Экситоны
Мелкие экситоны, т. е. экситоны, энергия связи которых
мала по сравнению с шириной запрещенной зоны, можно рас-
рассматривать как связанные состояния электрона и дырки*).
Уравнение, определяющее волновые функции и спектр таких
экситонов, подобно соответствующему уравнению для примес-
примесного центра. Для того чтобы получить это уравнение, выведем
сперва гамильтониан, описывающий в приближении эффектив-
эффективной массы взаимодействие двух электронов, один из которых
*) Такая модель экситона была предложена Ванье и Моттом, поэтому-
мелкие экситоны называют экситонами Ванье — Мотта.
360
находится в зоне проводимости т вблизи экстремума kCi а дру-
другой — в валентной зоне п с экстремумом kVf причем каждое из
состояний может быть вырожденным, а разность энергий
Em(kc) — En(kv) = Em — EQn существенно превышает энергию свя-
связи экситона.
Исходное уравнение Шредингера, описывающее систему из
двух электронов, находящихся в среде с диэлектрической прони-
проницаемостью х, имеет вид
, х2) =
} (х2) +U(rx- г2) - Е] V (Х], х2) = 0. B7.50)
Здесь Ж§{х) определяется выражением B2.1а), a U (г) = е2/кг.
Рассмотрим сперва прямой экситон, когда kv = kc = k0.
Волновую функцию у?(хи х2) для двух электронов запишем
в виде, подобном B2.2), B2.5):
W (*,, х2) = 2 Fst (г,, г2) ф5Ло (ж,) %ko (x2) =
= 21 c5ft],A,W^2D B7.51)
Здесь
" B7.51а)
Csk], tkt = j?j F8t(ru г2)е~^^+^ drx dr2. B7.516)
Волновая функция xF(jc,, x2) должна быть антисимметричной,
так как электроны подчиняются принципу Паули, т. е.
хР(х2, х{) = — 1?(х\9 х2). Отсюда следует, что
CSku tk2 = — Ctk2, skt или Fst (n, r2) = — Fts (r2, ri). B7.52)
Если подставить функцию B7.51) в уравнение B7.50), умножить
его слева на ср*у (x^)%'kf (*2)> проинтегрировать по г,, г2 и про-
просуммировать по спиновой переменной а, то в результате по-
получим систему уравнений, подобную B2.11):
JS.. К)-?)в.ЛЛ,»;V,+
«*,.»,= 0- B7-53)
Здесь, в отличие от B2.10), мы включили член h2k2J2m в ?°, т. е.
?»,(*,, *2) = ^ + -^ + Ц, B7.54)
где
?Si = Ет -\- Еп = Emk0 -f- ?"njfe0.
361
При вычислении матричного элемента от кулоновского потенци-
потенциала мы, как и в B2.8), B2.106), в первом приближении остав-
оставляем в разложении
a "-¦ "~° M
где сумма по а означает суммирование по спиновым перемен-
переменным, лишь члены сМ = 0:
BlfBl* Uk>_k b &k'_fo+b k_kf_b »
~ bs'sbt'tuk'-k bk+k' ,k+k- B7.55)
При этом мы учли, что здесь существенны лишь состояния с ма-
малыми kt и k2, так как рассматриваются экситоны большого ради-
радиуса, находящиеся вблизи экстремума экситонной зоны. Оператор
Ж, в B7.53) имеет вид, подобный B2.6), B2.10в):
Skl'tk2
Далее, как и в § 22, надо вывести уравнение в методе эффек-
эффективной массы, содержащее лишь функции Сткх,Пк& описываю-
описывающие состояние, когда один электрон находится в зоне т, другой
в зоне /г, исключив остальные междузонные матричные элемен-
элементы. Базисом такого «укороченного» уравнения являются 2\rmNn
функций %(хг)%(х2) и ¦т(*2)Фя(*|). Здесь %=%„ а Nm и
Л;п — кратности вырождения зон т и п в точке kQ. Исключив
междузонные матричные элементы, получим систему уравнений
для коэффициентов Стк{,Пк2 и Cnk2,mk^ подобную B2.12):
тпкгкш m'*\tn'*'i mkvnk2 т'к\.п'к' nkvmkx— тк\.пк'„
mfcj, пя2 n'*2t m*i
которую, учитывая B7.52), можно переписать в виде
: —ес , B7 57)
XYIK , ПК* т к , tl к ^ '
При этом энергия Е отсч^пывается от Е°тп = Е°т + Е°п.
Для коэффициентов Cnk2,mkl можно получить аналогичную
систему уравнений, однако эти уравнения не являются независи-
независимыми, а следуют из B7.57), B7.52) и условия
362
которое является следствием симметрии исходного гамильто-
гамильтониана B7.50): Ж{хи х2) = Ж(х2у Х\). Поэтому достаточно рас-
рассматривать систему из Nm'XNn уравнений B7.57).
Используя общие формулы _A5.47), можно найти из B7.55),
B7:56) явные выражения для Ж в требуемом приближении тео-
теории возмущений, аналогично тому, как это сделано в § 22. Если
сохранить лишь члены первого и второго порядка, то
+ ^r,lV1W2),l+,2tAv B7.58)
где Ж{к) определяется формулой B1.19), а ^v> wV == 0.
nk2, mkl
В третьем приближении
>;> fti+ft2; B7.59)
здесь EiUm'k' определяется выражением B7.31), а
где
«m'*«?'m
Для того чтобы перейти к r-представлению, надо умно-
умножить уравнение B7.57) с гамильтонианом B7.58) — B7.60)
на exp [*(*{rj + kf2r2)] и просуммировать по k[ и k'r При этом,
учитывая малость k и ft', можно, как и в B2.14), заменить
суммирование по ku к\ и ft2, k2 раздельным суммированием
по q = fti — ftj = ft2 — ft2, а в последнем слагаемом, т. е. в B7.60),
по q = k\ — ft2 = fti — *2, и далее использовать те же преобра-
преобразования, что и при выводе уравнения B7.34). При этом послед-
последнее слагаемое B7.60) будет содержать сумму
2 €mku nk2 exp [i {kxr2 + k2r{)] = Fmn(r2, rx)
в отличие от остальных слагаемых, содержащих Fmn(r{, r2).
Поэтому оператор Ж в r-представлении с учетом B7.60) будет
интегральным оператором и система уравнений для функций
363
Fmn(rly r2) будет иметь вид
2 J dr{ drJ \Жт,т (^в.,. + *„(*,) 6m,m]6(r, - r;N(r2 - r0 +
- *%& ( ? ? ) K* (',. '») = */>„,, A- 1)- B7-61)
n m \ ' 1 ' 2 / /
Здесь <9{?m'm (ft) и Жпп(*) ~~ матрицы B1.19), определяющие
спектр вблизи экстремума каждой из зон, а
и"« (г! Г)=t ^ (г- -Г2) б^б»'«+Af/^(r" г^б"'«+
+ Л?/„.„(г,. <-,)»^|»(r, -г;N(гг-г;), B7.61а)
Оператор взаимодействия B7.61а) включает помимо кулонов-
ского потенциала U(rl—r2) поправки к этому потенциалу
определяемые формулами B7.34) и B7.35) для каждой из зон,
а последний член описывает обменное взаимодействие; здесь
Q#^»«-матРИ11а B7.60а).
Оператор B7.61) описывает взаимодействие двух электронов.
Для того чтобы получить гамильтониан, описывающий взаимо-
взаимодействие электрона т и дырки м, надо, во-первых, изменить знак
на обратный в слагаемом Жп'пкЬъ), определяющем энергию элек-
электрона в валентной зоне, и в операторах, определяющих взаимо-
взаимодействие электронов в разных зонах, так как энергия дырки
равна с обратным знаком энергии недостающего электрона, а
взаимодействие электрона с дыркой равно с обратным знаком
энергии взаимодействия с недостающим электроном.
Далее надо иметь в виду, что если волновая функция кри-
кристалла, в котором имеется один электрон, в состоянии г|)п соот-
соответствует представлению S), то волновая функция кристалла
с одной дыркой /г, т. е. в состоянии, когда все уровни валентной
зоны кроме п заполнены, соответствует представлению 3)*, т. е.
преобразуется как /Сг|?п = фкп. Это видно из того, что состоя-
состояние, в котором на уровне п имеются и электрон и дырка, т. е.
вся зона заполнена, соответствует единичному представлению, а
это представление содержится лишь в произведении Ф X 3)*.
Поэтому, например, отсутствие электрона с волновым вектором k
и спином + "/2 означает наличие дырки с волновым вектором
364
kh = — ke и спином —- 1/2. Так как рождение электрона означает
уничтожение дырки и наоборот, то при переходе от электрона
к дырке надо также изменить на обратный порядок индексов
валентной зоны. В результате получим следующие соотношения,
определяющие правила перехода от электрон-электронного
к электрон-дырочному взаимодействию*):
B7.62)
°tnrnf ... .х.„
mn \r\r2/ тКп'\'\'2
При этом надо учесть, что согласно A8.46) p*s = — ^кпу
поэтому для матрицы Ж B1.19), так же как и для GaP B7.32),
Жкпк* = Я&п'п> GtnKn> = GaX, а для матрицы g B7.33) g\nKn,=
= -?*'«**)• ПРИ этом слагаемое 5»*,ft(fe) = — Зв°Кпкп'(— fe) =
== — Жеп>п(к2) в B7.62) есть обычный гамильтониан, опреде-
определяющий спектр дырок в приближении эффективной массы.
В результате указанных преобразований оператор взаимо-
взаимодействия электрон — дырка примет вид
I I
\Tl 7*2/
+ UeH (Г) 6mrm6n'n + At/liV (Г) + A?/mV (rlf Г2I X
m /i m /i J
X б(r, - r\)б(r2 - rj) + At/mV(Иr'). B7.63)
Здесь
\k) = Xj vwm'm kak^y
= <%°т'т («1) 0rt'/i + Жп'п (fe) 0m'm
L
On'n\
) = —?-. где г = n - r2, B7.636)
*) Указанные правила перехода легко получить, если записать гамиль-
гамильтониан B7.61) в представлении вторичного квантования. Соответствующий
вывод приведен в приложении к настоящему параграфу.
**) Символ Зб^пцп' означает, что если в качестве базиса выбраны вол-
волновые функции дырок фд, то матричные элементы Ж надо вычислять на
функциях /С^л.
365
+ G& 6m'm) - -у- б (Г) [Sp Gm'm6n>n + SP Gn'n6m'm]}, B7.63B)
(r,. r2) = -?[([rVr]гт,тN„,„ - ([,Vr J *„,„Nm,m].
mv
Последний оператор At/ в B7.63) — нелокальный.
Согласно B7.616) и B7.62)
тп \Г\ Г 2 I п' т\Т\Гч
где
Чт>Кп — m2 /рО рО\2 ' \±i.va}
Кп'т т \tm~'tn)
Отметим, что учет пространственной дисперсии диэлектри-
диэлектрической проницаемости к приводит к поправкам к энергии
экситона (а также и примесного центра) такого же порядка,
что и At/1'2.
Удобно перейти от переменных гх и г2 к переменным
r = r{ — r2y <gt = ar{ + br2. B7.66)
Матрицы а и Ъ могут быть выбраны произвольным образом,
но так, чтобы они удовлетворяли условию а-\-Ь—1, с тем,
ь =1. В новых пе-
чтобы якобиан преобразования | v ь
ременных
( k{ = k + пя/Су k2 = — k +
где B7.66а)
ife = - /Vr, o^ = - /V«.
При этом
з^ = fej + fe2, ft = ftfej - aft2. B7.666)
Поэтому
fti^i + k2r2 = kr + 3C$l. , B7.66b)
В новых переменных B7.66) оператор B7.64) имеет вид
366
Поскольку оператор B7.63) трансляционно-инвариантен по отно-
отношению к <з%, то в методе эффективной массы волновую функ-
функцию экситона F!x{r, SO можно записать в виде столбца:
' J
B7.68)
Матричный элемент оператора B7.67), вычисленный на функ-
функциях B7.68), равен:
- B7.69)
а$тпт'п' Кп'т
Заметим, что хотя последнее слагаемое возникло в результате
учета обменного взаимодействия электронов в валентной зоне
и зоне проводимости, оно описывает дальнодействующее взаимо-
взаимодействие электрона и дырки, которое можно рассматривать как
результат виртуальной рекомбинации и генерации экситона [22.6,
22.8], Поэтому в различных работах оно называется либо обмен-
обменным, либо резонансным или аннигиляционным взаимодействием.
Из B7.69) видно, что величина Д?/ существенно зависит
от направления вектора <Ж. Если учесть поправки, связанные
с короткодействующей частью потенциала ?/(г), гамильтониан
3€ будет включать обменные члены, не зависящие от направле-
направления аЖ\
Учет короткодействующего потенциала. Для учета этих чле-
членов надо сохранить в B7.55) слагаемые сМфОиЬфО. Пре-
Прежде всего рассмотрим не обменные члены. Пренебрегая в B7.55)
зависимостью иЯ{+ьм от малой величины qy—k[ — kx и учи-
учитывая, что при qx < bM и q2 = k'2 — k2 < bL
получим
= (
= (Г2
ML
-ь,
n'n) б,,. -ч. B7.70)
)
Из B7.55) видно, что первое слагаемое здесь равно
U
т,тЬЛ Ь
, n'o = Um'n' и, следовательно,
mO.nO тп
, 2
mk , nk
B7.71)
367
где
Um'n> =WJ\ d*l dX* U (Г1 ~ Г2) "«' (*l) "m (*.) %' Ю "» (*>)•
B7.71a)
Переходя к /"-представлению, т. е. умножая на exp [i{q\T\ + 02Г2)]
и суммируя по qx и ^2. найдем
6?W (г„ г2) = Г Шт'п- - ?/o<WW) б (г, - г2). B7.72)
m п \ тп )
Переходя теперь в соответствии с B7.62) от электрон-электрон-
электрон-электронного к электрон-дырочному взаимодействию, найдем:
6f/mV (rlf Г2) = ~Г (f/m'/t' ~ f/o6m'm6n'n\ б (г{ - Г2), B7.73)
m п \ тп )
Так Как Vm'Kn> mKn' = f//n'n', mit-
Выпишем теперь обменные члены:
1' 2 t/ «/
ft ^л» mk.
В разложении
M.
первое слагаемое Вогп = О, так как функции ит и ^Л ортого-
ортогональны. При Ьм Ф 0, как и выше, можно пренебречь зависи-
зависимостью матричного элемента от k и kf. Тогда получим выра-
выражение, подобное B7.71):
^Ъ'^^т'пАч*' л +* ' B7.74)
где
пт
B7.75)
Отсюда
Г
-r^)б (r> - roб (r» -r^)-
Из B7.76) и B7.62) видно, что оператор 65^обм при переходе
к электрон-дырочному взаимодействию, как и б?/, сохраняет ло-
локальный характер:
(г„ г2) = - Г?/т^я б (Г! - г2). B7.77)
Интеграл B7.75), определяющий величину этого обменного рас-
расщепления по порядку величины, близок к значению обменного
368
взаимодействия в соответствующих атомах [22.5]. Поэтому об-
обменное расщепление экситона примерно в (ао/авK раз меньше
атомного расщепления; здесь ав — боровский радиус экситона,
ао — постоянная решетки.
Непрямые экситоны. Для непрямого экситона, когда kc Ф kv,
волновую функцию Ч? (*i, Хг) надо разложить по произведению
функций
ф — —! гЬ eikr = ——и
V Ъьсе уW uskc
i
tkv
где ib ь и
v
собственные функции
c v
соответственно для всех зон. Функция
щая условию антисимметрии, имеет вид
в точках
и kv
х2), удовлетворяю-
удовлетворяюB7.79)
Если теперь записать Fst{ri, r2) в виде B7.51а), то вместо B7.51)
получим
где
B7-8°)
»,.», = у=" К», (*.) Ф«г (*2) - Ф,*, (*2) Ф«, (*,)]• B7.81)
Подставим B7.81) в B7.50), умножим слева на ф*? , , ,(хх, хЛ
и проинтегрируем по хх и дс2. В результате получим систему
уравнений для CSku tk2> подобную B7.53), в которой диагональ-
диагональные члены Жо и междузонные члены ЗС2> как и для прямых
экситонов, определяются уравнениями B7.54) и B7.56) соот-
соответственно.
Если пренебречь короткодействующими силами, т. е. прене-
пренебречь всеми компонентами Uk с k, содержащими либо векторы
обратной решетки Ьм, либо разность kc — kVy то для Ж\ получим
выражение, также совпадающее с B7.55). Однако в отличие от
прямых экситонов, когда в B7.57) надо оставлять коэффициенты
Cst с s = m, t = п и с s = м, t = m, здесь функции зоны прово-
проводимости -фтЛ имеются только среди функций ^sk , а валентной
зоны tymk — среди функций fytk . Поэтому при учете только
дальнодействующего потенциала обменные члены для непрямых
экситонов отсутствуют, а необменные определяются теми же
формулами B7.63а) —B7.63в), как и для прямого экситона.
369
Если учесть короткодействующие силы, т. е. сохранить в U
все компоненты Uk с большими Л, пренебрегая, как и в B7.70),
B7.74), их зависимостью от малых величин fti, k\, ft2, къ то
в результате получим для необменных членов формулу, совпа-
совпадающую с B7.73). Выражение для Um'n',mn подобно B7.71а).
Так как функции разложения B7.81) представляют антисим-
метризованное произведение, то при учете короткодействия ЖеН
будет включать и обменные члены, определяемые выражением
B7.77), где для непрямых экситонов
Кп'т J c v
x dx и* (х \ Ku /jkW
X\ aX2 Um'kc \X2) Д Un'kv \X\) A
X U (г, - r2) umkc (x2)(Kunkv(x2)y el ^~kc) (',-',). B7.82)
Экситон при различных зонных структурах. Рассмотрим ос-
основные случаи различных зонных структур без учета поправоч-
поправочных членов в B7.63).
Если обе зоны без учета спина не вырождены, то матрицы
Же и Жн в этом приближении диагональны и система уравнений
B7.63) сводится к уравнению
v^ Ь2 Ъ2 р2 \
у " и и | п и и 1 F\ F (г г} П (97 ЯЧ\
Если для обеих зон эллипсоиды постоянной энергии соосны, то,
выбрав в B7.66) ail = тен1(теИ + т^-)» получим уравнение для
/\^(г) в главных осях эллипсоидов:
В этом случае энергия орбитального движения не зависит в рас-
рассматриваемом приближении от поступательного движения и
уравнение для f^(^) подобно соответствующему уравнению
B7.15) для примесного центра, отличаясь от него заменой 1/т?
на
— = -т + -4г> <27-85>
та та та
а энергия поступательного движения определяется суммарной
массой электрона и дырки
Ма = К + < B7.86)
Для сферических зон энергия связи экситона имеет водородопо-
добный спектр
1
Г" 2М '
370
В случае, если поверхности постоянной энергии — эллипсоиды
вращения с совпадающей главной осью, то пробную функцию
/^(г) для основного состояния можно выбрать в виде B7.17)
и его энергию можно определить, используя графики рис. 28.
В этом случае представление, по которому преобразуется полная
волновая функция прямого экситона в точке <Ж = 0, является
произведением представления S)/, по которому преобразуются
функции /о(г), и представлений Фт и 2?п групп G*, по кото-
которым преобразуются базисные функции ^mko и K$nk:
<2>ex = g>fX2>mX2>l B7.88)
Это представление обычно приводимо, и в этом случае возмуще-
возмущение, связанное с обменным взаимодействием, приводит к его рас-
расщеплению на неприводимые представления.
Если не вырождена без учета спина лишь одна из зон, напри-
например зона га, а зона п вырождена, то уравнения B7.63) распа-
распадаются на две одинаковые системы из Nn уравнений. Для вы-
вырожденных зон энергия связи сама зависит от величины а?Г, т. е.
орбитальное движение может приводить к расщеплению экси-
тонной зоны, так же как это имеет место для вырожденных
электронных зон.
При о7Г=0 соответствующие уравнения для прямого экси-
экситона в Ge по форме совпадают с аналогичными уравнениями
B7.1) — B7.2) для примесного центра, отличаясь от них заменой
\А\ на \А | + (#2/2гае), где те — эффективная масса электрона
в зоне проводимости в точке k = 0. Вариационные функции
основного состояния, которое, так же как и состояние примес-
примесного центра, четырехкратно вырождено, можно выбрать в виде
B7.23). Соответствующий расчет [22.4] дает для энергии связи
значение 0,00138 эв, что практически совпадает с эксперимен-
экспериментальными значениями. При этом Г\ = 320 А, г2 = 220 А.
В работах [22.12, 21.14] предложен другой метод приближен-
приближенного решения уравнения B7.1) для мелкого примесного центра
или экситона в случае вырожденной валентной зоны типа Ge.
Этот метод заключается в том, что из гамильтониана B7.2) с
оператором Ж (к), определяемым формулой, подобной B6.12),
выделяется сферическая часть
а остающаяся несферическая часть
Ж (ft) = - 2 (y2 - y) S Щ ~ 4 (Y3 - Y) S [VJ ft,*, B7.886)
рассматривается как возмущение. Собственные функции гамиль-
гамильтониана B7.88а)—произведения собственных функций опера-
оператора F == L + / на радиальные функции, которые определяются
системой из двух дифференциальных уравнений и рассчитываются
371
численными методами. В [22.12] константа у выбрана равной у =
= ~5 BY2 + Зуз)» при этом условии y2 — Y = ¦§" (V2 — Ya)> Ya — Y =
= —• -g-(y2 — Уз)- При расчете спектра по-видимому удобнее вы-
выбирать у таким, чтобы поправки к энергии данного терма от Ж
в первом приближении обращались в нуль.
Так как функции основного состояния преобразуются по
представлению Гв\ то полные экситонные функции в этом слу-
случае преобразуются по представлению 2Dex = Г^ X Г7 = Гп> +
+ ГГб + Г25. Поэтому это восьмикратно вырожденное состояние
под действием обменного взаимодействия расщепляется на два
трехкратно и одно двукратно вырожденные состояния.
Для непрямых экситонов полная волновая функция пре-
преобразуется по представлению группы G', являющейся пересе-
пересечением групп волновых векторов Gk и Gk,.. Соответственно
представления 2Ьт и 2D*n групп Gk и Gk переходят в предста-
представления 2D'm и 2D'n группы G', которые в принципе могут быть
приводимы.
Если плавная функция f в случае простых зон преобразуется
по представлению 3)f группы G', то полная функция преобра-
преобразуется по представлению ^fX^mX^n» и это состояние рас-
расщепляется только в результате обменного взаимодействия.
Если же одна из зон, например валентная, вырождена и
представление &*п в группе G' приводимо, то расщепление экси-
тонного состояния произойдет и без учета обменного взаимодей-
взаимодействия. Например, для непрямых экситонов в Ge и Si восьми-
восьмикратно вырожденное основное состояние расщепляется на два
четырехкратно вырожденных, так как представление Г* в груп-
группе СзиХ Сг (точка L) расщепляется на L4 + L5 и L6, а в группе
Ckv (точка Д)—на Ав и Д7*). Обменное взаимодействие приво-
приводит к дополнительному расщеплению этих представлений.
Переход от электрон-электронного к электрон-дырочному
представлению (приложение к § 27)
Оператор B7.61) в представлении вторичного квантования можно за-
записать в виде
Х) *+, fa) фт (Г0 6 (г'2 - Г2) Ъп,п +
(г'2, г2) *+ (г0 *я (г2) 6 (г; - гх) Ът,т +
Ъ (г[) *+> (r0 *m (гх) Ъп (г2). B7.89)
mm'
nn'
*) По данным W. H. Kleiner, В Lax, Progress in Semicond., v. 5, для Ge
это расщепление равно 1 • 10~3 эв при энергии связи 3,5 • 10~3 эв.
372
Коммутаторы от операторов рождения электрона ф+ (г) и уничтожения фт (г)
удовлетворяют соотношениям
При этом среднее по вакууму
<01 ъа (г) *+, (/) 10) = б (г - /) 6mm, B7.91V
Для того чтобы получить уравнение B7.61) в r-представлении, надо подей-
подействовать оператором Ж на функцию Fmnn,t(r\t Г2) Фт" (г 1) Ф^" (гг) I °)» Умно-
жить слева на @1 tym'"(f*i )<ф/г///(г2 ) и взять среднее, проинтегрировав
/ //
ПО Tj 2» г\ 2 И **1, 2*
Введем операторы рождения и уничтожения дырки ф* (г) и q>rt (r),
определив их так:
Фя(')= ¦*«('>. ФЯ+МЯ^И. B7.9?>
Выразим фл через фп, подставим в B7.89) и, используя B7.90), приведем Ж
к виду, отличающемуся от B7.89) лишь заменой \f>n на фп. Для этого нам
надо переобозначить К~хп на п' и К~хп' на п, г2 на г2 и г2 на г2. В резуль-
результате, опуская слагаемые, описывающие взаимодействие электрона проводи-
проводимости со всеми электронами заполненной зоны и включенные фактически
в Ж^ получим
2 ЖНМОЫ
тт'пп'
- ЖКп, Кп- (г2, /2) Ф+ (г0 Ф„ (г2) 6 (г! - г,) Ьт.т -
@ Ф?' № Ъпг (П) ФЯ Ы- <27.93>
2 /
Действуя этим оператором на функцию Fm»n»{r[, r2)-ф^,(г^)фJ,(г^| 0),
умножая слева на @ |фт///(г^') фя///(rg") и выполнив необходимые интегри-
интегрирования, получим уравнения в r-представлении, отличающиеся от B7.61)
заменой:
vm'n'
Г1Г2
т п \ М Г2 / тКп'
Кп'\Г\Г2/
откуда и следует правило преобразования B7.62).
Аналогичным образом можно установить, что при переходе от электрон-
электронного к электрон-дырочному взаимодействию в ^-представлении закон
преобразования определяется формулами
2\\ [
так как /СЛ = — k.
ГЛАВА V
СПЕКТР В ДЕФОРМИРОВАННОМ КРИСТАЛЛЕ
S 28. ИЗМЕНЕНИЕ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
ПРИ ДЕФОРМАЦИИ
Малая однородная деформация определяется симметричным
тензором деформации еар:
где и(х) —вектор смещения точки при деформации. Связь тен-
тензора деформации и тензора напряжения Ра$, согласий теории
упругости, определяется тензором жесткости S:
eap=S5ap,v6Pv6. B8.2)
Вид тезора Sa|3,Y6 зависит от кристаллического класса F.
Формулы B8.1) и B8.2) определяют макроскопический тен-
тензор деформации упругой анизотропной среды, не имеющей внут-
внутренней структуры.
В кристаллах, в которых имеется более одного атома на эле-
элементарную ячейку, тензор деформации B8.1) определяет только
деформацию элементарной ячейки в целом, в то время как отно-
относительные смещения атомов внутри ячейки, будучи пропорцио-
пропорциональными нагрузке (деформации), различны для разных атомов.
В общем случае при приложении нагрузки к кристаллу его
группа симметрии понижается.
Точечная группа симметрии К' решетки Браве деформирован-
деформированного кристалла, которая является подгруппой группы симметрии
К решетки Браве недеформированного кристалла, содержит те
элементы из группы /С, которые сохраняются при деформации
кристалла.
Базисные векторы решетки Браве деформированного кри-
кристалла а\ получаются деформацией векторов аг недеформиро-
недеформированного кристалла:
a; = (l+e)a., или < = я? + Же^- B8-3)
При этом объем элементарной ячейки Q<J, построенной на век-
векторах а'и равен
Q5 = Об A + е« + вуу + г22) = Qo A + S р е). B8.4)
374
Отметим, что при деформации может происходить изменение
типа решетки Браве в соответствии с возможными типами реше-
решеток в новой системе К' согласно рис. 16; в этом случае новая
решетка Браве характеризуется базисными векторами, которые
могут существенно отличаться от а\ B8.3), однако во всех слу-
случаях объем новой элементарной ячейки отличается от Qo на ве-
величину, пропорциональную деформации (см. B8.4)). Зона Брил-
луэна, которая не зависит от конкретного выбора базисных век-
векторов, в деформированном кристалле получается путем соответ-
соответствующей деформации зоны Бриллуэна недеформированного
кристалла.
Рассмотрим, как изменяется симметрия решеток Браве при
однородной деформации.
При деформации кубических решеток класса Он вдоль оси
четвертого порядка К' = D^ и согласно рис. 16 кубические ре-
решетки Го Г?с и Гс переходят в решетки Tq и Tvq тетрагональной
системы: Г,->Г,; г?, П->Г?.
Переход от решеток тетрагональной системы D^ к ромбиче-
ромбической D2h, как указывалось в § 5, может быть осуществлен двумя
путями:
1. При помощи деформации вдоль оси второго порядка, па-
параллельной ребру основания параллелепипеда Браве (при еххф
Ф О или еуу ф О, если ось z выбрана вдоль оси четвертого по-
порядка, а оси х и у— вдоль ребер основания параллелепипеда).
В этом случае 1\->Г0, Г^->Го.
2. Деформация происходит вдоль другой (не эквивалентной)
оси второго порядка, направленной вдоль диагонали основания:
ехуф0. При этом Га->Го, Г«->Го.
Переход от решеток ортогональной системы к моноклинной
К' = С2н происходит при деформации параллелепипеда Браве
ортогональной системы в плоскости, перпендикулярной одной из
осей второго порядка, удаляющей горизонтальные оси второго
порядка, при наличии деформации сдвига гху (или гхи или eyz)
(оси х, у, z выбраны вдоль взаимно перпендикулярных осей вто-
второго порядка). Согласно рис. 16 в этом случае Го, Го—>Гт и Го,
Ц-*тьт.
Решетки моноклинной системы Гт, Гт переходят в решетку
Tt триклинной системы при деформации под углом (не равным
нулю или 90°) к оси второго порядка, когда появляются сдвиго-
сдвиговые компоненты тензора деформации eXz, eyz (при этом ось z
выбрана вдоль оси второго порядка).
Решетки Браве кубической системы переходят в решетку Гг
ромбоэдрической системы при деформации вдоль пространствен-
пространственной диагонали куба Браве. Решетки Браве гексагональной си-
системы переходят в решетку Гт при деформации в плоскости,
перпендикулярной оси шестого порядка.
375
Кристаллический класс F' деформированного кристалла яв-
является подгруппой класса F недеформированного кристалла и
получается из него путем удаления поворотных элементов, кото-
которые исчезают в деформированном кристалле. При этом может
оказаться, что класс F' относится не к системе К\ в которую
переходит система К при деформации, а к системе К", которая
является подчиненной системе К'. В этом случае у деформиро-
деформированного кристалла решетка Браве обладает более высокой сим-
симметрией, чем следует из кристаллического класса, что на первый
взгляд противоречит соображениям, изложенным в § 5. Этот
результат, однако, является приближенным и справедлив толь-
только в линейном по нагрузке приближении. Если в еаз учитывать
члены, квадратичные по напряжению, то симметрия решетки
Браве деформированного кристалла B8.3) соответствует его
кристаллическому классу F\ в полном согласии с соображени-
соображениями, развитыми в § 5.
Рассмотрим изменение кристаллических классов при пони-
понижении симметрии при деформации.
При переходе от системы Oh к системе D4/i, когда убирается
ось третьего порядка, кристаллические классы системы Oh пере-
переходят в классы:
Oh-+D4hy 0->D4, Td-+D2d, Th-+D2h, T-+D2.
При этом классы D4^, D^ и Dm относятся к системе А^, а классы
D2 и D2h— к менее симметричной системе D2h. Поэтому для
классов Т и Th возникает указанная выше ситуация, когда ре-
решётка Браве деформированного кристалла обладает более высо-
высокой симметрией D4/i, чем это требуется кристаллическим классом.
Если же учитывать и квадратичные по нагрузке члены в тен-
тензоре деформации, которые описывают изменение упругих кон-
сгант Sa|3,Y6 при деформации,
Sap = ^J ^ай. -уб^уб + ^
уб уб, Y'o
где Ва$убуь' — тензор шестого ранга, определяемый кристалличе-
кристаллическим классом недеформированного кристалла, то с учетом квад-
квадратичных по нагрузке членов решетка Браве деформированного
кристалла, определяемая векторами а* B8.3), относится именно
к системе D2hi а не D4/t, и соответствует классам Dlh и D2 дефор-
деформированного кристалла. Действительно, для классов Т и Th ком-
компонента Bxxzzzz ф Byyzzzz (оси х, у, z направлены по осям вто-
второго порядка группы Г), поэтому при растяжении кубического
кристалла класса Т или Th вдоль оси z произойдет квадратич-
квадратичное по деформации искажение параллелепипеда Браве вдоль оси
х или у. Для кристаллов класса Та, О или 0^, в которых
имеется ось четвертого порядка (или зеркально-поворотная ось
четвертого порядка), Bxxzzzz = Byyzzzz и параллелепипед Браве
при растяжении по оси z остается четырехугольной призмой,
376
в соответствии с классами D4^, D4 и Дм, к которым относится
деформированный кристалл. При переходе от тетрагональной
системы к ромбической, когда ось четвертого порядка превра-
превращается в ось второго порядка, классы тетрагональной системы
переходят в классы:
Как и в рассмотренном выше случае решеток кубической си-
системы, наименее симметричные классы системы D4/i, а именно
С4, S4, С4д, переходят в классы моноклинной системы.
При деформации в плоскости отражений группы D2h, когда
удаляются повороты вокруг осей второго порядка, лежащие
в плоскости отражения, группы ромбической системы переходят
в группы моноклинной,
При дальнейшем понижении симметрии от С2н к S2
С2 —> в* С$ —^ ^> ^2А —^ *^2*
Переход от кубической системы к ромбоэдрической осуществ-
осуществляется путем деформации куба вдоль его пространственной диа-
диагонали, когда остаются следующие элементы симметрии: ось
третьего порядка, три плоскости отражения, проходящие через
нее, и перпендикулярные ей три оси второго порядка. При этом
классы кубической системы переходят в классы ромбоэдриче-
ромбоэдрической системы:
T^CZ, Th-+S6i Td->D3d, O-+D3y Oh^DZd.
При произвольной деформации решеток гексагональной си-
системы в плоскости, перпендикулярной оси шестого порядка,
классы гексагональной системы переходят в классы:
С$—> в, Czv-^>e, С§-^>-С2, o6—>o2, D^-^>C2, D^d—>C2f
Сзл""*^, ^зл""*^, C6h->C2hi C6v->C2t D6-^D2, D6h->D2fl.
Аналогичным образом легко найти систему, тип решетки и
кристаллический класс деформированного кристалла при произ-
произвольной малой деформации, так как в линейном по деформации
приближении любая деформация может быть представлена
в виде последовательного применения отдельных простых дефор-
деформаций.
Таким образом, в каждом случае можно определить про-
пространственную группу G' деформированного кристалла, так как
каждый из остающихся в новой группе f поворотных элементов
имеет относительно новых векторов решетки Браве B8.3) такие
же нетривиальные трансляции, какие он имел в пространствен-
пространственной группе G недеформированного кристалла.
377
Классификация состояний элементарных возбуждений в де-
деформированном кристалле должна производиться по неприводи-
неприводимым представлениям пространственной группы G'.
Поскольку деформация в общем случае приводит к пониже-
понижению симметрии кристалла, то она вызывает частичное или пол-
полное снятие вырождения энергетического спектра возбуждений
в твердом теле. В этом случае, однако, нельзя непосредственно
применять результаты § 15, где рассматривается расщепление
термов при понижении симметрии, поскольку пространственные
группы 6 и G' являются различными, так как они имеют раз-
различные решетки Браве, и группа G' не является подгруппой G *).
Чтобы обойти эту трудность, произведем «математическую де-
деформацию» координат деформированного кристалла, вводя ко-
координаты хг
х' = {\ +в)-1*=1 -гх B8.5)
с тем, чтобы в новых координатах решетка Браве деформиро-
деформированного кристалла совпадала с решеткой Браве недеформиро-
ванного кристалла в старой системе координат. Это не означает,
конечно, полного тождества кристаллических решеток, так как
в кристаллах, имеющих более одного атома в элементарной
ячейке, расположение атомов в деформированном кристалле
в координатах х' B8.5) не совпадает с расположением атомов
в недеформированном кристалле в системе координат х.
В новых координатах B8.5) группа G' является подгруппой
группы G и задача определения расщепления термов при прило-
приложении нагрузки сводится к задаче о разложении неприводимого
представления группы G на неприводимые представления ее
подгруппы G'. Как было показано в § 12, каждое неприводимое
представление 2D{*] пространственной группы G характеризуется
неприводимой звездой {&}, которая определяется заданием од-
одного из лучей звезды {k} и индексом v, характеризующим непри-
неприводимое представление группы волнового вектора G* или, со-
соответственно, проективное представление группы направления
2)v(r). В деформированном кристалле представления характери-
характеризуются звездой {k} и индексом v'. При деформации точка k пере-
переходит в точку fe'=(l—e)k. В новых координатах х' B8.5)
зоны Бриллуэна недеформированного и деформированного кри-
кристалла совпадают, при этом точка k' «возвращается» на свое
место k.
Полная кратность вырождения состояния в кристалле равна
произведению размерности проективного представления 2)k (г)
на число лучей в звезде {Щ.
*) Аналогичная трудность возникает в § 29 при построении оператора
возмущения, связанного с деформацией, изменяющей пространственною пе-
периодичность кристалла.
378
При деформации в общем случае, во-первых, неприводимая
в группе G звезда {ft} становится приводимой в группе G', а, во-
вторых, происходит снятие вырождения в точке ft. Поэтому раз-
разложение представления 2Е^] может быть проведено в два
этапа. Сначала нужно разложить звезду {ft} на неприводимые
звезды в группе G' и затем разложить проективное представле-
представление 2Dv{r) группы Ffo на неприводимые проективные представ-
представления &'* (г) группы Fk.
Разложение звезды {ft} на неприводимые звезды {кг} в груп-
группе G'
... B8.6)
может быть легко произведено способом, указанным в § 12. Если
зона в точке ft не вырождена, то разложение B8.6) и опреде-
определяет расщепление спектра при деформации, так как различным
неприводимым звездам {кг} соответствуют состояния с различ-
различной энергией.
Разложение неприводимого проективного представления
&*{г) группы F на неприводимые представления 2)'*(г)
группы Fk описывает расщепление зоны в точке ft.
Каждое из получаемых в результате разложения представле-
представлений Ф\? (г) группы F' является проективным представлением
группы F^ с фактор-системой, совпадающей с фактор-системой
представления Ф*{г) на элементах группы Fk. Эта фактор-
система принадлежит к одному из классов фактор-систем
группы Fk. Поэтому при фактическом разложении представле-
представления на неприводимые следует сначала найти фактор-систему
о)(гь г2) группы F'k, в которую переходит фактор-система пред-
представления 2D%(r) группы Fk, а затем, пользуясь характерами
неприводимых проективных представлений группы Fki соответ-
соответствующих данной фактор-системе, по A3.38) разложить пред-
представление 2)v{r) на неприводимые представления 3%.
Исходя из результатов § 14, в общем случае можно устано-
установить соотношения между классами фактор-систем точечной
группы F и ее подгруппы F\
Очевидно, что все векторные представления, т. е. представле-
представления класса Ко группы F, переходят в векторные представления
ее подгруппы F'. Для векторных представлений эта задача сво-
сводится к соответствующей задаче для обычных представлений то-
точечных групп. Поэтому ниже мы рассмотрим соответствие ме-
между другими классами фактор-системы группы F и ее подгруп-
подгруппы F' для точечных групп, соответствующих схеме подчинения
систем.
При переходе от кубической системы к тетрагональной кри-
кристаллический класс Oh переходит в класс DAh. Согласно C.13)
379
образующие элементы а = с4, s = se группы Oh удовлетворяют
соотношениям а4 = е, s6 = e, as3 = s3a, sa3s = а. Образующими
элементами группы D^ могут быть выбраны а = с^ b = и —
ось второго порядка (и = s^as^) и с — плоскость отражения
Oh(c = a253); они удовлетворяют определяющим соотноше-
соотношениям C.5)
которые могут быть получены непосредственно из определяющих
соотношений C.13) для группы Ok
Матрицы проективных представлений А = 3) (a), B = 3)(s)
группы Oh согласно A4.74) удовлетворяют соотношениям
Л4 = а/, В6==/, ЛВ3 = рВ3Л, ВА3В = А, где а, Р=± 1. B8.7)
Из B8.7) следует, что матрицы A = S)(a), U = 3){u), С = 2)(с)
проективных представлений для образующих элементов группы
Dbh удовлетворяют соотношениям
"""" ' ~П B8.8)
Сопоставляя B8.8) с A4.37), получим, что классы К\, Кг, Kz
фактор-системы группы Oh переходят в классы фактор-систем
Dm следующим образом:
Аналогичное рассмотрение показывает, что между классами
фактор-систем групп O-±D4, Td->D2d, Th-*D2h и T-+D2 имеется
следующее соответствие:
При переходе от кубической системы к ромбоэдрической
следует рассмотреть только соответствие между классами фак-
фактор-систем групп On —* D3d, так как для остальных подгрупп
D3d все проективные представления ^-эквивалентны векторным и
поэтому все классы фактор-систем группы Oh переходят в класс
Ко этих подгрупп, что означает снятие принудительного выро-
вырождения зоны.
Отметим, что если при понижении симметрии фактор-система
переходит в класс /Со, то это еще не означает, что она стано-
становится единичной.
Рассмотрение, аналогичное проведенному для групп Oh и Z)^,
показывает, что
/С,(Ол)-*/С0(А*). K2(Oh), /Сз(Ол)->/С,(/\,).
При переходе от кристаллических классов тетрагональной си-
системы к ортогональной соответствие классов фактор-систем
Ш
имеет вид
KdCAV)^Ki(C2v)9 Ki{DA)-+fi
Кх (D2d) — /Ci (D2), Kt (DJ -* /C, (D%) (/ = 1, ..., 7).
При переходе от ромбической системы к моноклинной между
классами фактор-систем групп D2h и C2h имеется соответствие
классов фактор-систем:
I/ /П \ Tf ( Г\ \ If ( ТЛ \ . Г/" (f> \
При переходе от моноклинной системы к триклинной все классы
фактор-систем соответствуют классам Ко триклинной системы.
Полученное соответствие классов сразу указывает на возмож-
возможность снятия принудительного вырождения зон при понижении
симметрии. Учет влияния инверсии времени на энергетический
спектр электронов в деформированном кристалле производится
так же, как и в недеформированном. При этом в ряде случаев
дополнительное вырождение зоны, связанное с инверсией вре-
времени, может сниматься при деформации.
§ 29. ИЗМЕНЕНИЕ СПЕКТРА ПРИ ДЕФОРМАЦИИ
Для построения матрицы Ж (k, e), определяющей различные
эффекты, связанные с деформацией, необходимо прежде всего
найти оператор, описывающий изменение спектра при однород-
однородной деформации. Оператор Шредингера для электрона в дефор-
деформированном кристалле имеет вид
? ^ B9.1)
где Уг(х) —потенциал в деформированном кристалле, и отли-
отличается от гамильтониана недеформированного кристалла
да B9.2)
заменой Vo(x) на Уг(х).
При малой деформации ее влияние можно рассматривать как
возмущение; при этом можно ограничиться членами, линейными
по деформации, т. е. пропорциональными компонентам тензора
деформации г. Однако при однородной статической деформации
непосредственно рассматривать разность 1/е—Vo как оператор
возмущения Ж нельзя, так как эта разность, вообще говоря, не
мала. Действительно, если закрепить, например, узел решетки
Браве а0, находящийся в начале координат (т\ = т2 = тъ = 0),
то узел m(miy m2, m3), положение которого в недеформирован-
ной решетке а°т определяется формулой E.1), при деформации
381
перейдет в точку
(!+)< B9-3)
Здесь га — вектор с компонентами
2 B9.4)
Поэтому на достаточном удалении от узла а0 относительное сме-
смещение Лат = ат — а°т = га°т при сколь угодно малой деформа-
деформации станет сравнимым с постоянной решетки и соответственно-
разность Ve(x) — Vo(x) будет порядка V(x) независимо от ве-
величины деформации.
Конечно, всегда можно рассматривать достаточно малый
объем вблизи несмещенной ячейки, однако и в этом случае
нельзя непосредственно использовать обычную теорию возму-
возмущений.
Дело в том, что в теории возмущений волновая функция воз-
возмущенного гамильтониана всегда представляется как суперпо-
суперпозиция волновых функций невозмущенного оператора <9^0 B9.2),
удовлетворяющих тем же граничным условиям. В кристалле
роль граничных условий играют условия периодичности, а из
B9.3) видно, что периоды потенциалов Vo(x) и Ve(x) не совпа-
совпадают, а следовательно, периоды блоховских модулирующих
функций Uko(x) для уравнений B9.1) и B9.2) также различны.
Для того чтобы избежать этих затруднений, проведем в B9.3)
преобразование координат, подобное B8.5), с тем, чтобы поло-
положение узлов решетки Браве в новой системе координат а'т сов-
совпадало с их положением в недеформированной решетке в ста-
старой системе координат. Для этого положим
х' = A + еГ1 х ~ A — г) х или х = A + г) х'. B9.5)
При преобразовании B9.5) оператор р =— /AV перейдет в
р2 перейдет в
где ^ = -1Ь-±-9 B9.6)
р2 - / - 2 S р'.гцр'. = р'2-2 (р'гр% B9.7)
a Vb(x)-b V.Kl+e)*'].
Если теперь переобозначить х' через ж, то периоды потен-
потенциала V8[U+e)*] будут совпадать с периодами V0(x), и их
разность можно разложить в ряд по е, записав
Ve [A + г) х] - Vo (x) = 2 Vif (x) гц еее (Ve), B9.8)
*/
где
у И \х) = 9_х "т . B9.9)
382
Численный коэффициент в B9.9) учитывает, что при заданном
Si3 при i Ф / в B9.8) входят два одинаковых слагаемых Vifia
и VjiZji. Следовательно, в результате преобразования B9.5) мы
получили гамильтониан
Ж (г) = Ж0 + Же + Жесо, B9.10)
где
^ B9.11)
o) [op]) - (V (eV0) • [ар]) - ([aW0] (ер))}. B9.12)
Первый член в B9.12) связан с тем, что при преобразовании
B9.5) оператор V переходит в A—e)V. Гамильтониан Ж'(г)
в новых координатах имеет ту же периодичность, что и гамиль-
гамильтониан Ж^
При преобразовании B9.5) собственная функция Ж {г) B9.1)
<феЛ'= We*' {x)eikx, соответствующая энергии ?(е, ft') и волновому
вектору ft' в деформированном кристалле, переходит в функцию
ф; = u'ek, [A + е) х'] eik' <'+<> *' = и'к [A + г) х'] eik*\
где
к = (\+г)кГ.
Эта функция имеет ту же периодичность, что и функции ^nk
или фпЛ с тем же волновым вектором ft, и может быть разло-
разложена по этим функциям:
% = 2 cnk%k = -^ 2 с„ А*.*'**; B9.13)
здесь Ф„Ло—- собственные функции <9^0(*) в точке ft0. При этом
в B9.13) к отсчитывается от точки ft0.
Используя теорию возмущений, найдем изменение энергии
при деформации:
б?(е) = ?(вэ (\-г)к)-Еъ{к), B1.14)
где ?(е,A—g)ft)—энергия в деформированном кристалле
в точке к' = A —г)к, куда переходит точка ft при деформации.
Для этого подставим B9.13) в B9.10), умножим слева на <р*,Л„
проинтегрируем по х. Тогда получим систему уравнений, подоб-
подобную B1.6):
„*0 - Е) 6Пп' + Зв'п'п] Сп = 0, B9.15)
п
где
Ж = Жк + Ж* + Жесо + Жек. B9.16)
383
Здесь Жг и Жгсо определяются уравнениями B9.11) и B9.12),
а Жъ в соответствии с B1.9), A7.33) равно
b2k2 . ЬкЛ
^Г + "^Г' ГДе Л =
Возмущение <9^8* содержит слагаемые, пропорциональные про-
произведениям компонент г и ft. В нерелятнзистском приближении
^ B9.18)
В соответствии с общей теорией возмущений для вырожден-
вырожденного спектра, изложенной в § 15, для определения энергии
?т(8> к) в деформированном кристалле в окрестности точки fe0
в зоне т надо в B9.15) с помощью преобразования A5.33)
устранить междузонные члены Ж'тги после чего, получим си-
систему уравнений
включающую лишь коэффициенты ст, относящиеся к одной зоне.
Энергия ?(е, ft), которая отсчитывается здесь отточки EmkQ,
определяется решением секулярного уравнения:
\Жт-т-Е6тт>\ = 0. B9.19)
В нерелятивистском приближении в соответствии с A5.47),
B9.17), B9.18) матричные элементы Жт'т включают следующие
слагаемые:
^ + - kpm.m + -, 2 КР?УЕ? , B9.20)
/, B9.21)
Em - Es
где
nif _ (PtPj)m'm ,
/n m •
Первое слагаемое в B9.22) произошло за счег возмущения
B9.18), а второе слагаемое, которое обычно играет боль-
большую роль, чем первое, появляется во втором приближении тео-
теории возмущений за счет Же и Жи- В точке экстремума первое
слагаемое всегда равно нулю, а второе может быть отлично от
нуля. Если группа волнового вектора содержит инверсию и эле-
элемент (i\x) коммутирует со всеми элементами группы, то и эти
384
слагаемые равны нулю, так как на функциях одинаковой четно-
четности Pms = 0, а на функциях разной четности 2%?ems = 0.
Релятивистский член ЖСо, описывающий спин-орбитальное
взаимодействие в точке kQy можно, как и в § 21, либо сразу вклю-
включить в «5^о» либо рассматривать как возмущение. При этом в
последнем случае при расчете релятивистских поправок, пропор-
пропорциональных 8, надо учесть не только вклад от члена с3^есо, появ-
появляющийся в первом приближении теории возмущений, но и пе-
перекрестные члены от Жг и <2^со> появляющиеся во втором при-
приближении, причем, как правило, эти вторые слагаемые больше
первых.
Мы не будем здесь выписывать явно все эти слагаемые, тем
более, что их гораздо проще учесть методом инвариантов.
Подчеркнем, что все матричные элементы в B9.20) — B9.22)
вычисляются на волновых функциях ^>nk недеформированного
кристалла и правила отбора определяются группой волнового
вектора Gko в недеформированном кристалле. При этом в соот-
соответствии с B9.14) определяется спектр в точке k'o деформиро-
деформированного кристалла, соответствующей точке ko недеформирован-
ной обратной ячейки и связанной с ней соотношением k'o =
= A —s)k0. Изменение энергии в одной и той же точке k A?(e) =
— Е(г, k) — E0(k) согласно B9.14) и B9.16) определяется опе-
оператором
Ж"(г, к) = Ж(г, (\+г)к). B9.16а)
Для конкретного расчета матрицы Ж (к, г) в данной точке
feo необходимо вычислить матричные элементы оператора Жг на
собственных функциях оператора <5^0, преобразующихся по за-
заданному представлению группы волнового вектора G*o. Эти
матричные элементы имеют размерность энергии и называются
константами деформационного потенциала.
Для определения отличных от нуля компонент Жгт>т в со-
соответствии с правилами отбора, изложенными в § 19, необхо-
необходимо знать, как преобразуются компоненты Уц.
Из условия инвариантности гамильтониана <?^е к преобразо-
преобразованию координат следует, что
2^r2v<r B9-23)
гДе V'ij(x) = Vif(g~lx) и е^—значения компонент VY/ и гц
в новой системе координат. Используя B9.23), легко показать,
что при всех операциях g, входящих в пространственную группу
кристалла G, компоненты V^(x) преобразуются по тому же
представлению 2)гу что и компоненты ег\>, т. е. так же, как про-
произведения piPj или XiXj, и поэтому наличие или отсутствие этих
слагаемых в B9.11) никак не сказывается на правилах отбора.
13 Г$ Л. Вир, Г. Es Пикус 385
Подчеркнем, что указанное правило преобразования компонент
Vij справедливо лишь при g e Gk, тогда как для компонент Bij,
PiPj аналогичное преобразование справедливо при любых преоб-
преобразованиях координат. Очевидно, что множители, стоящие при
Eij в с?#есо, преобразуются так же, как и Vij.
Что касается определения явного вида Vij(x), то эта задача
еще более сложна, чем определение невозмущенного потенциала
Vo(x), так как для этого требуется точное решение самосогласо-
самосогласованной задачи в деформированном кристалле, позволяющее
найти отличие Ve(x) от Vo(x) при малых деформациях.
В первоначальных вариантах теории рассеяния, в которую,
как мы увидим ниже, входят те же величины Vij, делались опре-
определенные предположения о связи между Vo(x) и Vz{x). Хотя,
как показано выше, явный вид Vij(x) никак не сказывается на
правилах отбора и поэтому он может быть существенен лишь
при определении численной величины соответствующих интегра-
интегралов, мы ниже коротко остановимся на этих моделях.
В первой из этих моделей, предложенной Блохом и называе-
называемой приближением деформируемых ионов, предполагалось, что
если при деформации решетки точка х переходит в х', то по-
потенциал Ve(x') равен потенциалу Vo{x) в недеформированной
решетке, т. е. при однородной деформации, когда хг = A + г)х,
V.[(l+*)*] = V0(x).
В соответствии с B9.9) это означает, что в приближении дефор-
деформируемых ионов Vij(x) =0 и
Во второй модели, предложенной Нордгеймом и называемой
приближением жестких ионов, предполагалось, что потенциал
V(x) равен сумме потенциалов отдельных ионов и деформация
решетки приводит лишь к смещению центров этих ионов /?п, не
искажая потенциалов каждого из них. В атомных полупроводни-
полупроводниках для электрона и дырки в этой модели следует считать, что
V(x) равен сумме потенциалов отдельных атомов Va.
Если в элементарной ячейке содержится один атом, то в мо-
модели жестких ионов
Vo (X) = 2 У а (X ~ *п), Ve (*) = 2 Va (X - A + в) *„),
п п
так как смещение иона 6Rn = eRn. Отсюда
п И
386
и, следовательно, в соответствии с B9.9)
у и (*)=щdVa %; *п) <* - *»>/ +dVa % *п) <« - *»>'} -
B9.25)
Если элементарная ячейка содержит больше одного атома, то
при деформации кристалла может происходить смещение одной
подрешетки относительно другой. Это смещение и1т = щ — иш
определяется тензором третьего ранга Г, симметричным по по-
последним двум индексам:
«гГ=2Г^Л/. B9.26)
Отличные от нуля компоненты этого тензора можно определить
по правилам, изложенным в § 20. Представления, по которым
преобразуются компоненты и1™, совпадают с представлением, со-
соответствующим оптическим колебаниям при q = 0, и их можно
определить по общим правилам, изложенным в § 15. Их можно
также легко определить, учитывая, что при всех операциях груп-
группы, не меняющих местами подрешетки, компоненты и1™ преоб-
преобразуются как компоненты обычного вектора; если группа со-
содержит операции, при которых подрешетки меняются местами,
то при этих операциях и1т дополнительно меняют знак. Напри-
Например, для решетки типа Ge, где эти компоненты преобразуются
по представлению Ft, т. е. как ху, xz и yz, тензор Г имеет одну
отличную от нуля независимую компоненту Yxyz = Txyz = Yzxy.
Для решетки, содержащей в элементарной ячейке два оди-
одинаковых атома, находящихся в узлах Rn и R'n, в модели жест-
жестких ионов
Отсюда следует, что
(* -
B9.27)
Количественные расчеты, проведенные для кремния [24.1], по-
показали, что обе модели, «деформируемых ионов» и «жестких
ионов», приводят к значениям констант деформационного потен-
потенциала, существенно отличающимся от экспериментальных значе-
значений. Поэтому для численных расчетов требуются более сложные
13* 387
модели. Надо, однако, еще раз подчеркнуть, что число отличных
от нуля линейно независимых компонент Dm'm никак не зависит
от выбранной модели и определяется только группой волнового
вектора и тем представлением, по которому преобразуются вол-
волновые функции в точке экстремума.
Для невырожденных зон, т. е. для одномерных представле-
представлений, отличны от нуля лишь матричные элементы тех компонент
Dij = —pipj/tn + Vij, которые преобразуются по единичному
представлению, т. е. в соответствии с B1.14), B1.15) в ?(е, k)
могут входить лишь компоненты Eij или их комбинации, инва-
инвариантные к преобразованиям группы волнового вектора. Для
произвольной точки зоны Бриллуэна, где группа волнового век-
вектора Gk0 не содержит никаких элементов, кроме единичного и,
возможно, инверсию, у тензора констант деформированного по-
потенциала в принципе отличны от нуля все компоненты. Анало-
Аналогично тензору эффективной массы т* этот тензор можно при-
привести к главным осям, и в соответствующей системе координат
Е (г) = Dxxexx + Оуугуу + Dzzzzz. B9.28)
При этом главные оси тензоров т* и D в общем случае не сов-
совпадают. В тех случаях, когда направление главных осей опреде-
определяется осями симметрии, то эти оси для обоих тензоров есте-
естественно совпадают. Так, если группа волнового вектора содер-
содержит оси выше второго порядка, то Dxx = Dyy = D±, Dzz = D\\ и
E (г) = D± (exx + eyy) + D,,e22. B9.29)
Часто вместо компонент D± и D\\ вводят компоненты 3d =
= D±9 SM = -Dji — D±. Если экстремумы зон расположены
в точках fea, находящихся на различных лучах звезды {fe0}, как
это имеет место, например, в зоне проводимости Ge и Si, то
формулы B9.28) или B9.29) справедливы для каждого из
экстремумов в системе его главных осей, которые, конечно, для
различных экстремумов не совпадают, что и приводит к сдвигу
неэквивалентных экстремумов, полученному в предыдущем пара-
параграфе из общих групповых соображений.
Обычно деформация задается в главных осях кристалла, то-
тогда как симметрия тензора D определяется расположением осей
симметрии для данного экстремума. Поэтому для определения
его сдвига необходимо найти компоненты тензора деформации
в системе осей симметрии данного экстремума. Эти компоненты
е?;. связаны с соответствующими компонентами е?//, в системе
главных осей кристалла:
eft = S cos(i'i)cos(/'/)e.,.„ B9.30)
где cos {i'i) —косинус угла между осями i и i\ Если направле-
направление этих осей задано кристаллографическими индексами i% kx I и
38$
i', k\ /', соответственно, то для кубических систем
poq (i b /• /v h' V\ it -jr kk -f- II ,^q r
^ua^t, л, t, i , к , ^ ; r ,94/./2 . ,,2 , ,/2411/9 * \*v.k.
Используя симметрию тензора e, удобно перейти от двухком-
понентной записи e*j к однокомпонентной 8j в соответствии
с [15.4], обозначив гхх = еь еуу = ег, ezz = е3, 2еху = еб, 2exz = 85,
2eyz = 64. Тогда последнюю формулу можно переписать в виде
? 2/гел B9.32)
где
в„ = cos2 (хх')> в16 = cos (**') cos {xy')9 вб1 = 2в1б,
в66 = cos (xxf) cos (yyf) + cos2 (лгг/О и т. п.
Так как при заданной деформации компоненты г) для разных
экстремумов будут различны, то и сдвиг этих экстремумов мо-
может быть различным.
Для кубических групп волнового вектора все три компоненты
тензора одинаковы, Г)ц = С, и соответственно
?(е) = Св = СЦв„. B9.33)
i
Входящая сюда константа деформационного потенциала, соглас-
согласно B9.11), равна
с - w {-?
J <
где Sp^ = 2F«(*).
В приближении деформируемых ионов, когда в соответствии
с B9.24) второе слагаемое в B9.34) обращается в нуль, кон-
константа деформационного потенциала в точке k = 0 опреде-
определяется выражением
J
Здесь мы использовали формулу Грина, согласно которой для
произвольных функций ф и гр
J г|)у2фЛ* + J V* Уф^ж = ф ф-|? rfs = (j> ф (Vqprfs). B9.36)
При этом в силу периодичности блоховского множителя ио(х)
интеграл по поверхности элементарной ячейки 5 обращается
в нуль.
В приближении жестких ионов в соответствии с B9.25)
в точке k = О
С = - Ш ["?¦ J I Wo I2 dx - J (xWQ) I щ I2 dx]. B9.37)
При этом пренебрегается полем остальных атомов, кроме атома,
находящегося в центре данной элементарной ячейки, т. е. при-
принимается, что Vo(x) == Va(x). Хотя последнее предположение,
по-видимому, мало обоснованно, оно обычно принимается в этой
модели. Путем несложных, хотя и довольно громоздких преоб-
преобразований выражение B9.37) можно переписать в виде [28.7]
n(E-V0)\u0\2 ds, B9.37a)
где хп — составляющая радиуса-вектора, нормальная к поверх-
поверхности.
В случае вырожденных зон деформация приводит не только
к смещению зоны как целого, но может вызывать и расщепление
зон в результате частичного или полного снятия вырождения
при понижении симметрии. Поэтому характер изменения спек-
спектра при деформации оказывается более сложным. В качестве
гфимера в следующем параграфе мы рассмотрим влияние де-
деформации на спектр валентной зоны в германии и кремнии и со-
соединениях А3В5.
Наряду со слагаемыми, пропорциональными е, k2 и е&, га-
гамильтониан Ж(е, К) может содержать члены, пропорциональ-
пропорциональные ek2. Эти слагаемые, описывающие изменение эффективных
масс при деформации, появляются в третьем приближении тео-
теории возмущений.
В соответствии с общей формулой A5.48) в случае невыро-
невырожденной зоны с учетом B9.16а)
__L_ 3^^ 3^^ /ч/>^ I
ms3®s$'Ms'm
B9.M)
Как правило, изучение эффектов, связанных с изменением
эффективных масс, представляет интерес, лишь если относитель-
относительное изменение массы существенно превышает саму величину
относительной деформации е. Последние слагаемые в B9.38) не
приводят к таким эффектам, а первые могут привести, если
энергетический знаменатель Es — Еш для одной или нескольких
зон мал по сравнению со значением соответствующей константы
деформационного потенциала, т. е. в том случае, когда ближай-
ближайшие зоны расположены достаточно близко и между соответ-
соответствующими состояниями s и т отличен от нуля либо матричный
элемент импульса, либо матричный элемент оператора Жг, либо
и тот и другой, что возможно, когда функции ^sk и ypmk не об-
390
ладают определенной четностью. Если между ближайшими зо-
зонами отличен от нуля лишь матричный элемент импульса, то
v?8
ss'
(E -? \(E,-E ) '
S Ь ^e о
B9.39)
В том случае, когда существенно лишь взаимодействие двух
ближайших зон и эти зоны не вырождены, изменение эффек-
эффективных масс пропорционально изменению ширины запрещенной
зоны AEg,
ДЯ„ = Ж\8 ~ 2вътт = 2 (D*u - DTi) zu\ B9.40)
if
в этом случае
6Eg (г) h2
ЬЕт = -2 2
tg m
т. е.
где
mi] m hg
— вклад в эффективную массу, обусловленный взаимодействием
зон т и s. Поэтому в указанном случае существенные измене-
изменения испытывают лишь те массы, в которые основной вклад дает
взаимодействие ближайших зон. При этом деформация не ме-
меняет симметрию поверхностей постоянной энергии, т. е. равные
массы изменяются при деформации одинаковым образом.
Если же состояние s в B9.39) вырождено, то, как будет по-
показано в следующем параграфе, симметрия спектра может изме-
измениться. Аналогичное явление может иметь место и в том случае,
когда оператор 9вг имеет отличный от нуля матричный элемент
между ближайшими зонами. В соответствии с B9.38), если эти
зоны не вырождены, то в указанном случае
Формула B9.41) непосредственно применима для кристаллов
PbS, PbSe, РЬТе, где экстремумы зон расположены в точках L
на краю зоны Бриллуэна. При этом в нерелятивистском прибли-
приближении взаимодействие этих зон определяет только поперечную
массу m_f При учете релятивистских эффектов, которые в этих
кристаллах существенны, так как у них спин-орбитальное рас-
расщепление сравнимо с кристаллическим и с шириной запрещен-
запрещенной зоны, взаимодействие ближайших зон определяет обе массы.
391
Примером кристалла, где существенен второй эффект,
определяемый уравнением B9.42), является Si. Экстремумы зоны
проводимости Si расположены на осях [100] в точке fto, находя-
находящейся на расстоянии 0,15Bя/а0) от края зоны, т. е. от точки X,
и соответствуют представлению Д4. В точке X две ветви спектра
Ai и А2 сливаются, образуя представление Xi или Хз, поэтому
их расщепление в точке ft0 сравнительно невелико и составляет
около 0,5 эв.
В соответствии с правилами отбора матричный элемент опе-
оператора 9вг Ж*у2 — Жгу — С' между состояниями Ai и А^ отличен
от нуля, так как, как видно из табл. 11.1 (стр. 100), компоненты
г/, z преобразуются по представлению В2 = А*ХА2 группы С^,
являющейся группой направлений для точек А.
Единственные представления As, для которых отличны от
нуля матричные элементы psi и ps2' одновременно, это пред-
представления А5, по которым преобразуются функции Yt и Z/. Не
равные нулю матричные элементы: {l\py\Yi) = (l\pz\Zi) и
(X\pz\Yl) = (X\py\Zl).
Так как все эти представления вещественны и fe0 Ф —Ло> то
согласно A9.7)
Поэтому AEek' Для точки ko в соответствии с формулой B9.42)
равно
._ 2VC%zkykz
A?efe! = ^тд , B9.43)
где
\
B9.44)
ч2 '
Если теперь перейти к системе осей х' [100], у' [011], г' [011], то
спектр ?(е, к) с учетом B9.43) запишется
B9.45)
Заметим, что если бы поправки к спектру порядка е&2 вы-
вычислялись методом инвариантов, то наряду со слагаемым eyzkykz
в А?8?2 вошли бы и другие инварианты группы C4v, т. е., как
видно из табл. 11.1 и 26.1, слагаемые (&уу — e22) (k2y —- ft*), eft2,
exxk2> гК> &ххК. Как будет показано в следующем параграфе,
преимущественный вклад именно слагаемого eyzkykz связан с осо-
особенностями спектра в точкеX, находящейся вблизи экстремума Ло.
392
§ 30. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗОНЫ
В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
Рассмотрим, как изменяется спектр в точках нулевого на-
наклона для вырожденных зон. Такими точками без учета спина
для всех кубических кристаллов, например, является точка Г,
где имеются шесть (для Та — три) представлений, вырожденных-
без учета спина: Г12, П2, Г15, ГЬ, Г25, Г25. В результате спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия трехмерные представления Гк, Г15 и
Гг5» Г25 расщепляются на двумерное (с учетом спина) пред-
представление Гб\ Гё" или Г*, ГГ и четырехкратно вырожденное
Гв", Гё". Представления Г12, Г[г при учете спина также пере-
переходят в Гв", ГГ-
В Ge, Si и большинстве соединений А3В5 вершине валентной
зоны как раз соответствует представление Г* или Гв» произо-
произошедшее в результате расщепления представлений Г^ или Г25.
При этом в кристаллах класса Та, например в решетках типа
ZnS, оператор Ж (к) для представления Гв включает релятивист-
релятивистские линейные по к члены, роль которых мы рассмотрим ниже.
В кристаллах классов Oh, группа которых содержит инверсию,
таких членов нет. В кристаллах типа алмаза (Од) точками нуле-
нулевого наклона для вырожденных представлений являются также
точки X и L.
Рассмотрим сперва точку Г. Базисные функции представле-
представлений Г15 и ГЬ преобразуются при всех операциях группы как х,
у, z или Jx, ]y, Jz соответственно, а базисные функции представ-
представлений Гй и Г25 —как г/г, zx, xy или xz2y2, yz2x2, zx2y2. Будем
для краткости обозначать и те и другие функции как X, У, Z,
так как для операторов Ши и <9^е правила отбора для внутри-
зонных матричных элементов для всех этих представлений оди-
одинаковы.
Поскольку оператор D в B9.1) является четным и его ком-
компоненты Da, как и компоненты е^-, согласно табл. 26.2 (стр. 318)
преобразуются по представлениям Гь Гю, Г25, то в данном слу-
случае, т. е. случае а,\, в соответствии с формулой A9.45) имеются
три отличных от нуля линейно независимых матричных элемента
оператора:
I = D*x tn = Dxx ti = DXY C0 1)
и соответственно матрица Ж(ъ) в базисе X, У, Z имеет вид, по-
подобный B4.5):
>хх + *гг) ™Уг
le>Zz+m(sxx + eyL
C0.2)
393
Как указывалось выше, спин-орбитальное взаимодействие
расщепляет шестикратно вырожденные с учетом спина представ-
представления Ti5, Г15, Г25, Г25 на Гб", IV или Г7+, ГГ и Гв", Гв~. Базис-
Базисные функции для этих представлений приведены выше (уравне-
(уравнение B3.2)). Используя C0.2), легко проверить, что в указанном
базисе для представлений Гв матрица Ж \г) имеет вид, подоб-
подобный B4.12):
%(*) =
f
!*
0
h
g
0
/'
j
0
g
-h"
0
/
-h
f
C0.3)
где
f —
l + m
+ гУу) + rmzz, g = - {f+2 [m {exx+eyy)+lezz\},
C0.4)
Поэтому определитель IЖ (k) -f Ж(e) — IE \ по форме совпа-
совпадает с определителем B4.12) для недеформированного кри-
кристалла, отличаясь от него лишь заменой F на F = F + f и т. д.
Как показано в § 24, общее решение соответствующего секуляр-
ного уравнения B4.12) имеет вид B4.13).
Подставив в B4.13) значения соответствующих элементов из
B4.12) и C0.4), найдем спектр электронов в деформированном
кристалле:
1/2 C0.5)
C0.6)
y,,), C0.7)
,_ 2 =
аг ±
где
= ВЬ [3 {k\zxx +
[(• %J
У + С2 (klk2y + k\k\ Л- kyk%
ltyy + klezz) - k2e] +
4- 2Dd {kxkyE
kxkzex
Здесь
C0.8)
a =•
I-
Оператор 3№(г) можно получить и методом инвариантов,
аналогично тому, как в § 26 был получен оператор Зё(к). Для
представления Г* этот оператор Ж (г) включает компоненты
еар, преобразующиеся по представлениям [vf2] =Fi + Г12 + Г25,
и так как эти компоненты преобразуются так же, как произве-
произведения kjifr он имеет вид, подобный B6.12), B4.12):
394
В случае, если представление Гв\ Г8 произошло от пред-
представления Г12, Г12, то в нерелятивистском приближении 3@(г)
содержит лишь компоненты Zij9 преобразующиеся по представ-
представлениям [Г?2] = Fi + Г2 + Г12, т. е. не содержит компонент ггд
с 1ф jy и аналогично B6.16) константа d = 0.
Из формулы C0.5) видно, что в соответствии с теоретико-
групповым рассмотрением зоны легких и тяжелых дырок при
деформации за счет инверсии времени остаются двукратно вы-
вырожденными. При этом изотропная деформация вызывает сме-
смещение зон как целого, равное
Д? = ае, C0.10)
а анизотропная деформация расщепляет зоны в точке k = 0 на
величину «
fi?i, 2 = Е{ - Е2 = 2<§fe/2. C0.11)
Растяжение по оси [001] приводит к расщеплению
fi?if2 = 2|6ejz|, C0.12)
где г'гг — ezz — &хх = ?zz — Ъуу — относительная деформация по
оси [001]. При растяжении кристалла по оси [111], когда в соот-
соответствии с B9.30) гху = гхг = &уг = г\ц/3, где е{ц — относительное
удлинение по этой оси, е{„ =вш — 8,j-0 = e111 — еи-,
6EU2 = y=-\ds'm\. C0.13)
Отсюда видно, что константа Ъ определяет расщепление при
растяжении по осям [100], [010], [001], а константа d — при рас-
растяжении по [111], [111] и т. д.
Рассмотрим спектр при малых кинетических энергиях
?ft<6?i,2 и больших энергиях Ек^ 6E\i2 по отдельности, так
как характер спектра в этих областях существенно различен.
Малые энергии. Для того чтобы определить спектр вблизи
экстремума при анизотропной деформации, надо разложить вы-
выражение C0.5) в ряд по степеням #W<2Pe, опустив слагаемое %>и-
Тогда в первом приближении получим
k2 ±
xkyexy + кхкггхг + kyk2ey2) J. C0.14)
Видно, что поверхности постоянной энергии вблизи экстре-
экстремума в деформированном кристалле являются эллипсоидами,
395
главные оси которых являются главными осями приведенного
тензора деформации с компонентами
C0.15)
е*/ при / = /,
(Dd/ЗВЬ) гц при / ф /.
Направление этих осей и компоненты тензора ej/ в главных
осях можно определить, решая секулярное уравнение
| е^ — е-6/у | = 0. C0.16)
Три корня этого кубического уравнения определяют три компо-
компоненты е"- в главных осях.
Согласно C0.14) в этой си-
системе координат
= аг ±
k2
C0.17)
где
2т
= А±
Bb
C0.18)
Например, при растяжении
по осям [100], [010] или [001]
(рис.30) для верхней из рас-
расщепившихся зон
Ь2 л . „
в)
Рис. 30. Зависимость E(k) (а) и вид
поверхностей постоянной энергии в p-Ge
при деформации по направлению [100];
б) область малых энергий, в) область
больших энергий. Пунктирными лини-
линиями показан вид E(k) и поверхности
постоянной энергии в недеформирован-
ном кристалле.
2т\\
Ь2
2т*,
C0.19)
Здесь верхний знак соответ-
соответствует Ьг'гг > 0, а нижний —
bz'zz<0- Для нижней из зон
знаки меняются на обратные.
При растяжении по оси [111] для верхней из зон
h2 л , D Ь2 л _ D C0 20)
2т!
/3 ' 2т*
2/3 '
где верхний знак соответствует rfein > 0, а нижний — йг'т < 0.
Здесь ось z' направлена по [111], а л/_и у' — по перпендикуляр-
перпендикулярным ей осям, например, по [110] и [112];
-2kz), C0.20a)
396
откуда
2 (kxky + kxkz + kykz) = 3kb -k2 = 2kl> - kl> -
Выражения C0.14), C0.17) — C0.20) справедливы для верх-
верхней из расщепившихся электронных зон до тех пор, пока кинети-
кинетическая энергия Е(к) в этой зоне мала по сравнению с расстоя-
расстоянием до отщепившейся зоны 6?i,2, определяемым выражениями
C0.11) — C0.13). При этом сами эффективные массы, как это
отмечалось в § 28, не зависят от абсолютной величины дефор-
деформации, а определяются только ее направлением. От величины
деформации зависит лишь та энергия электронов, для которой
справедливо разложение C0.14).
Раскладывая выражение C0.5) до членов порядка k\ можно
учесть непараболичность зоны в деформированном кристалле
вблизи экстремума. В этом приближении
«1/2 , [ ®гк {
8 + 7*р" "
При больших деформациях в кристаллах с малым спин-орби-
спин-орбитальным расщеплением надо также учитывать поправки за счет
отщепившейся зоны, так как величина расщепления, создавае-
создаваемого деформацией, может составить заметную долю спин-орби-
спин-орбитального расщепления. Матрица Ж (к) для обеих зон в пред-
представлении Gт2, У)п) приведена в B4.10). Матрицу Ж (г) в этом
же представлении легко получить из C0.2). Она имеет вид, по-
подобный B4.10), отличаясь от нее заменой F на /, / на /, Н на h
и G на g.
Для того чтобы получить поправки к ?(е, к), связанные с от-
отщепившейся зоной, надо частично диагонализовать матрицу
Ж {к, г), исключив междузонные члены. Как показано в § 15
(уравнение A5.49а)), при такой диагонализации матрица Ж\\
с компонентами Жт'т (т, т'= 1, 2, 3, 4) переходит в
Ж\ i = Ж\ i + -д Ж\ \\Ж\\ I, C0.22)
где Ж\ и—«недиагональная матрица» с компонентами Жт8{т —
— 1,2,3,4, 5 = 5,6), а А — спин-орбитальное расщепление: А =
= Ej — Ец. Аналогично B4.20) при преобразовании C0.22) мат-
матричные элементы F = F + /, G = G + g, Й = Н + h, Т = I + j
переходят соответственно в
У = Р + ~(\Н\2 + 4\7\2), О = О+-±-[(/?-ОJ + 3|Я|2],
Я = Я—-L[#(?-(?) +2 \^37//'], ¦ C0.23)
397
Подставив эти значения F, Q, Н и / в B4.13) и оставляя доба-
добавочные слагаемые порядка е2/Д и efe2/A, получим
C0.24)
где ?0(е, Л) определяется формулой C0.14), &гЬ и <?г — форму-
формулами C0.7) и C0.8),
8* = -Ь3 [(в - Згхх) (е - Зеуу) (е - Зегг)] + 6 /3 d3exyexzeyz +
+ 3bd? [(г - Згхх) е*уг + (е - Зе J г\г + (е - Зггг) еу, C0.25)
^eSft2 == - Bb2 [{k2 - 3kx) (e - Зъуу) (е - Зегг) +
+ (k2 - 3^^) (e - 3e^) (e - Зегг) + (k2 - 3k% (e - 3exx) (e
+ 6/3 Dd2 [kskybx:fiyz + kxkzexyeyz + kykzexyexz]
+ 3Bd> \{k> - 3ft«) е2г + (Й2 - 3*») е2г + (ft« - 3^) e
+ 6 D6d [kykzzyz (e - 3exx) + kxkjtxz (e - 3evlf) + kxkfixy (е-3гг2)].
C0.26)
Из формулы C0.24) видно, что влияние отщепившейся зоны
приводит к двум эффектам: во-первых, к нелинейной зависимо-
зависимости расщепления вырожденной зоны при деформации. С учетом
отщепившейся зоны
6Ех, 2 = ?i - Е2 = 2&Т + -^щ. C0.27)
Так, при деформации по оси [001]
6?,,2 = 2|6eLl(l+-^?), C0.28)
а при деформации по [111]
( ) C0-29)
Видно, что знак квадратичной по е поправки определяется зна-
знаком Ьг1 или dzf соответственно. Поэтому этот эффект дает воз-
возможность определить знак констант Ъ и d.
Вторым эффектом, который также позволяет определить
знак и величину этих констант, является изменение эффектив-
эффективных масс в сильно деформированном кристалле, описываемое
последним слагаемым в C0.24).
398
Согласно этой формуле, при деформации по [001] для верх-
верхней из расщепившихся зон *)
2т,
2т ,
- = А±В 1 + 2
C0.30)
Видно, что при be'zz < 0 для этой зоны эффект отсутствует,
а при bszz>0 изменение об-
обратных масс равно
6-^1 =
\2т„
= -2В-
Л
C0.30а)
Точно так же при де-
деформации по оси [111] при
dein < 0 эффект отсутствует
для верхней из расщепив-
расщепившихся зон, а при deni > 0 —
для нижней. При de[n > 0
для верхней зоны
ЬШ
2тл
2/л i
Д
C0.31)
Рис. 31. Зависимость E(k) (а) и вид
поверхностей постоянной энергии в Ge
при деформации по направлению [ПО];
б) область малых энергий, в) область
больших энергий.
Отсутствие эффекта для
одной из зон в зависимости
от знака деформации не яв-
является общей особенностью уравнения C0.27), а имеет место
лишь для направлений [100] и [111]. В других случаях эффект
имеет место при обоих знаках. Например, при растяжении по оси
[110] (рис. 31), если только еио = —-епо= еху Ф 0, для верхней
из зон
А±—, —К— = Л + —. C0.32)
2 2/т^, 2
2тх,х,
*) Здесь везде Е — энергия электрона, поэтому нижнему уровню дырок
соответствует наибольшее значение Е.
399
Здесь верхний знак соответствует йецо>О, нижний — йецО<О.
Поправки к эффективным массам, пропорциональные деформа-
деформации, определяются выражениями:
C0.32a)
y,y>
(верхний знак —для верхней из зон, нижний — для нижней).
Здесь ось х' направлена по [ПО], у' — по [НО], г' — по [001]*).
Из C0.31), C0.32) и C0.32а) видно, что во всех случаях
уу
В приведенном выше выводе спин-орбитальное расщепление
Л предполагается независящим от деформации. Точный гамиль-
гамильтониан 3@(е) для обеих валентных зон Г7 и Гд, учитывающий из-
изменение спин-орбитального расщепления и смешивание состоя-
состояний Г? и Г9, при деформации имеет вид, подобный B6.15) (/ = 1):
е) = (а + 26) е - 36 2 1\гн - 2 V3d 2 [/,/,] в„ +
„ - /3 6 _2
1А (/а) + (а + i-р) (/а) 8 - |р2/*0Г|в„ - /3 6
C0.33)
Константы р и б имеют тот же порядок величины, что и спин-
орбитальное расщепление А, и поэтому относительный вклад по-
последних трех членов в C0.33) невелик. При их учете поправки
к а, Ь и d в C0.3) — C0.8) соответственно равны а, р и б.
Большие энергии. При больших энергиях, когда <?k Э> $ги ^>
^> <?Ге, влияние деформации можно рассматривать как возмуще-
*) При анализе экспериментальных данных в этом случае надо иметь
в виду,_что когда напряжение Р приложено по направлению [110], сжатие по
осям [НО] и [001] не одинаково, т. е. наряду с относительным растяжением
по [110], равным
8110 = 8110 ~ у(8П0 + e00l) ="^-(^11 -
имеет место растяжение по [001]:
8001 ~ 8П0
Выражения для эффективных масс в этом случае легко получить из общих
формул C0.14) и C0.27).
400
ние. Соответственно в общей формуле C0.5) можно опустить
слагаемое &г и разложить подкоренное выражение в ряд по
степеням <%zk\<$k- Тогда получим
= E0U2 (k) + аг± -^щ [ВЪ [3 (k2xexx + k2yeyy + k2zezz) -
щ yeyy
+ 2 Dd [kxkyexy + kxkzeX2 + kykzeyz]}y C0.34)
где ?o l, 2 = Ak2 ± <$Xk2 — энергия в недеформированном кри-
кристалле B4.13а). Ход E(k) и вид поверхностей постоянной энер-
энергии при больших энергиях был показан на рис. 30, 31.
Из C0.34) видно, что добавка к энергии A?i,2, связанная
с деформацией, удовлетворяет условию
J ^EU 2 (k) du = as. C0.35)
Здесь интеграл берется по телесному углу Q при фиксирован-
фиксированном значении \k\. Действительно, из-за кубической симметрии &и
dQdu}du'> отсюда J
~
Аналогично при /ф k
Условие C0.35) означает, что отношение концентрации лег-
легких и тяжелых дырок, равное
J ехр {- (е\ + ЬЕ^кт) k2 dk du
П2 | ехр {- (Е°2 + /±E2)jkT} к2 dk dQ '
в линейном по е приближении не меняется при деформации.
Характерно, что поправка к энергии АЕи 2, связанная с де-
деформацией, не зависит от величины k и определяется при задан-
заданной деформации только его направлением. Так, при деформации
по [001]
^EU2 (k) = аг±^2- C*1 - k2) e'zz, C0.36)
где е^ — относительное удлинение по оси [001]. При деформа-
деформации по оси [111]
ЬЕ1ш2(k) = ae±-^F2 (Щ, ~ k2) efu, C0.37)
где, как и в C0.20а), ось г' направлена по [111], а вш — отно-
относительное удлинение по этой оси.
401
Как будет показано в § 34, именно эта особенность измене-
изменения спектра при деформации приводит к относительно большим
изменениям проводимости и других кинетических коэффициен-
коэффициентов при деформации. Выражения C0.34) — C0.37) справедливы
также для полупроводников с решеткой цинковой обманки, на-
например InSb, CaAs и т. д., так как линейные по k члены, по-
появляющиеся в такой решетке из-за отсутствия центра инверсии,
обычно несущественны при достаточно высоких температурах,
при которых эти формулы применимы. Однако в области малых
энергий эти члены могут быть существенны.
Спектр в деформированных кристаллах типа InSb при низ-
низких энергиях. Как показано в § 26, в кристаллах типа InSb га-
гамильтониан 2e(k) включает матрицу Ж' B6.17)
C0.38)
содержащую линейные по k члены и определяемую уравнением
B6.17а). В недеформированном кристалле эти линейные члены
приводят к снятию вырождения и смещению экстремума из
точки k = 0 в точки, лежащие на оси [111] и эквивалентных ей.
В деформированном кристалле линейные члены приводят к рас-
расщеплению каждой из двух зон, образовавшихся в результате
деформации, и к смещению экстремума. Если изменение энер-
энергии, связанное с линейными по k членами, т. е. разность между
энергией в точке k = 0 и энергией в экстремуме kOy намного
меньше расстояния между расщепившимися в результате дефор-
деформации зонами, то матрицу Ж' можно рассматривать как возму-
возмущение и найти соответствующие поправки к энергии, вычислив
матричные элементы Ж' на собственных функциях F\, диагона-
лизирующих гамильтониан Ж (е, й), определяемый уравнениями
C0.3) и B4.12), и соответствующих одной из расщепившихся
зон. Эти функции определяются формулой, подобной B4.19), от-
отличающейся лишь заменой Е> F, G, /, Я на Еи F, G, Я, Г, кото-
которые включают как члены, квадратичные по ky так и линейные по
деформации и определяются выражениями B4.11), C0.4),
C0.5). При этом в первом приближении теории возмущений мо-
можно учитывать лишь нижнюю из расщепившихся зон. Спектр
E(e>k) с учетом линейных по k членов определяется секулярным
уравнением
\lEi + X'i-IE\ = 0, C0.39)
где Жг — матрица оператора C0.38) в представлении B4.19).
При расчете величины ЬЕ\ в сильно деформированном кристалле
надо учитывать лишь члены, пропорциональные компонентам
тензора деформации, т. е. положить F = / и т. д., где коэффи-
коэффициенты f, g, A, / определяются выражениями C0.4). Учет чле-
членов, пропорциональных &2, привел бы к поправкам, пропорцио-
402
нальным k3. В этом приближении поправка к энергии, связан-
связанная с линейными по k членами,
б? = ± -I2LL I 2j aiikikl ' , C0.40)
где
УУГ- Т/9 7 ** ' C0.41)
ctx^ =4- 4 yoa0e 6*# + 4а е^е^г
и т. д. Верхний знак в выражении для аху соответствует верхней
зоне, а нижний — нижней зоне.
Из C0.19) и C0.40) следует, что при деформации по оси [100]
для верхней из зон спектр вблизи экстремума определяется вы-
выражением
?± (к) = (А ± В) k\ + (Л + -у) (йх - &1J, C0.42)
где
Здесь, как и в C0.19), верхний знак при В соответствует
bzzz > 0, а нижний — bzzz < 0.
За счет линейных по k членов происходит полное снятие вы-
вырождения и экстремум смещается из точки к = 0 на кольцо
kx = k°i. При этом поверхности постоянной энергии вблизи
экстремума имеют форму тора.
Такой же вид имеет спектр и при деформации вдоль оси
[111] при de^i>0, когда согласно C0.20) и C0.40)
Е* = [А + -^) к\ + [А - -^) (k± - k\)\ C0.43)
где
При rfeni < 0 экстремумы смещаются по оси гг на расстояние
± kz> от точки й = 0 и поверхностями постоянной энергии
являются два смещенных эллипсоида:
±) k\, C0.44)
где
<о V2 \k |
В формулах C0.42) — C0.44) энергия отсчитывается от новой
точки экстремума. Как отмечалось выше, эти выражения спра*
ведливы при таких деформациях, когда расщепление зон ЬЕи2,
403
йг
равное соответственно 2\be'2Z\ или B/1/13I йг'т |, существенно
превышает разность энергий при k = 0 и в новой точке экстре-
экстремума k0, которая при деформации по оси [001] равна
Ту|, а при деформации по [111] 2#2/(а -~=А при
т > 0 и 262/1а — тт=\ при dem < 0. При этом, конечно,
энергия E(k) также должна быть значительно меньше 6?"i,2.
Поправки к эффективной массе за счет взаимодействия с вы-
вырожденной зоной. Как указывалось в предыдущем параграфе,
взаимодействие с вырожденной зоной может привести к измене-
изменению симметрии спектра в невырожденной зоне при деформации
кристалла. Например, изменение спектра для представления
Tf или Г* вследствие взаимодействия с представлением Г\&
или Г25 соответственно согласно уравнению B9.39) опреде-
определяется выражением
(за46>
где Szk определяется формулой C0.7). Здесь первый член, свя-
связанный с первым слагаемым в B9.39), описывает изотропное
изменение эффективной массы, подобное B9.41), B9.42), а вто-
второй приводит к тому, что поверхность постоянной энергии при
анизотропной деформации становится слегка несферической.
При выводе этой формулы мы учли, что матричные элементы
оператора <3#(е), определяемые уравнением C0.33), подобным
B4.10), имеют отличные от нуля как «внутризонные» элементы
между функциями представления Г*, так и «междузонные»
между функциями представлений Ff и Г* или Г?. Оператор Жн
в соответствии с B4.34) имеет отличные от нуля матрич-
матричные элементы (S | рх \ X) = (S \ ру \ Y) = (S | рг \ Z) = р (или
(XYZ\pz\XY), ...), а спектр в недеформированном кристалле
определяется выражением
?(|) C0-46)
Изменение спектра в кристаллах Sn и HgTe при деформа-
деформации. В последнее время установлено, что у кристаллов серого
олова, имеющих структуру решетки алмаза, а также у кристал-
кристаллов HgTe со структурой цинковой обманки зоны Гз и Гб(Г7)
в точке k = 0 имеют обратный порядок по сравнению с Ge или
InSb, а именно зона Гб (или ГГ), являющаяся зоной проводимо-
проводимости в InSb и Ge, лежит ниже зоны Гв (или Га"), между этой зо-
зоной и зоной Г7 (Гт"), отщепившейся от Г§ (Г?) вследствие спин-
404
орбитального взаимодействия*). Так как кривизна одной из
ветвей зоны Г8 (зоны, образующей зону легких дырок в Ge) и
зоны Гб определяется в основном их fep-взаимодействием, то и
кривизна этих зон в Sn и HgTe оказывается обратной по срав-
сравнению с Ge и InSb (рис. 32). Поэтому зона Г6 (ГГ) оказывается
полностью заполненной, т. е. образует нижнюю из валентных
зон, а в зоне Г8 (Г?) ветвь, соответствующая тяжелым дыркам,
также заполнена, а ветвь, соответствующая в Ge легким дыркам,
пустая, т. е. является в Sn и HgTe зоной проводимости. Так как
а) б)
Рис. 32. Расположение зон в кристаллах Ge и InSb (a), HgTe
и серого олова (б).
обе ветви зоны Г8 смыкаются в точке k = 0, то эти кристаллы
являются полуметаллами, т. е. у них запрещенная зона отсут-
отсутствует.
Спектр в трех зонах Г8 (Гз"), Г7 (Г?) и Гб (ГГ) в этих кри-
кристаллах по-прежнему описывается системой уравн. табл. 24.1,
но величину Её для них надо заменить на —Eg. При этом
Eg < Дсо. Спектр вблизи экстремума смыкающихся зон описы-
описывается уравнениями B4.12), B4.13). При этом надо иметь
в виду, что в данном случае, в отличие от Ge и Si, константа А
положительна, а |5| >Л, так как зона тяжелых дырок, как и
в Ge, идет вниз. Наиболее интересной особенностью деформа-
деформационных эффектов в таких кристаллах является то, что у них
одноосная деформация, расщепляя зону Г8 (г?), превращает их
из полуметаллов в полупроводники. При этом ширина запрещен-
запрещенной зоны пропорциональна деформации и определяется форму-
формулами C0.11) — C0.13). Характер спектра в обеих зонах опреде-
определяется формулами C0.5) — C0.8), в предельном случае малых
*) См, например, [27.10 — 27.12], где приведены ссылки на более ранние
публикации.
405
энергий —уравнениями C0.14) —C0.21), а в случае больших
энергий — C0.34) (подчеркнем, что для этих кристаллов А > 0
и \В\ > А и | D \/Уз > А). Так как ближайшей зоной к Г8 (Г8+)
здесь является зона Гб (или ГГ), то и непараболичность зоны
Гз, и характер изменения ширины запрещенной зоны и эффек-
эффективных масс при больших деформациях здесь, как и в InSb,
определяется взаимодействием зон Г8 (Гз~) и Г6 (ГГ), тогда как
влияние зоны Г7 (Г*), которая в Ge и Si играет основную роль,
здесь менее существенно.
Изменение спектра в точке X в решетке Oh. Как указывалось
в § 24, в решетке типа алмаза точка X является точкой нулевого
наклона для представлений Х\ и Х3. Для определения спектра
в этой точке удобнее всего использовать метод инвариантов. Со-
Согласно B5.36) в 26{k, г) в этом случае должны входить четные
функции от k и е, преобразующиеся по представлениям At +
+ ВТ + В}, и нечетные функции от &, преобразующиеся по
представлению 4Г. Эти функции приведены в табл. 26.1. Выби-
Выбирая матрицы, преобразующиеся по этим представлениям, в та-
таком же виде, как и в уравнении B6.6), запишем 2@(к, е) (без
учета релятивистски малых членов):
Ж (ft, e) = XI + о2 (A3kyk2 + D3ey2), C0.47)
где
X = Aikl + A2 (k2y + **) + D{eZ2 + D2 (гуу + e«). C0.48)
Отсюда
E (ft, e) = X ± (A3kykz + Dpyz). C0.49)
Видно, что здесь расщепление зоны в точке экстремума вызы-
вызывает только сдвиговая деформация eyz, при этом поверхности по-
постоянной энергии вблизи экстремума — трехосные эллипсоиды:
Е(к) = Aik% + (А2 ± 4-) и + (Л
где оси уг и z' направлены по [011] и [Oil] соответственно.
Деформация по главным осям кристалла [100], [010] или
[001] не вызывает расщепления, но приводит к относительному
смещению разных экстремумов по отношению друг к другу.
Для представлений Х2 и Хк точка X не является точкой нуле-
нулевого наклона. В этом случае в Ж {г, к) входят нечетные функции,
преобразующиеся по представлению В2, и четные, преобразую-
преобразующиеся по At + AT + В2. Функции от к и е, преобразующиеся
по этим представлениям, приведены в табл. 26.1, а соответ-
соответствующие матрицы можно выбрать в виде az, /, ох, оу. В согла-
согласии с B6.3)
Ж (е, ft) = Я/ + ах (A,kyk2 + D3eyz) + AAo2k2. C0.51)
406
Отсюда
к) = Х± [A\kl + (й3гуг + A3kykzJ\4\ C0.52)
где А, определяется уравненем C0.48).
Как указывалось выше, в Si экстремум зоны проводимости
соответствует представлению А\ и находится вблизи точки Ху где
это представление вместе с Л? переходит в Х2 или Х4.
Если считать, что разложение C0.52) справедливо вплоть до
точки экстремума ко, то, зная положение этой точки, можно оп-
определить константу Ас
Раскладывая корень в C0.52), получим спектр вблизи этой
точки:
Е (е, *) = A, (kx - ko? + A2 (k2y + $ -
j^TW kykz + D{&xx + °2 {Eyy + 8zz)' C0<53)
Последнее слагаемое в C0.53) совпадает с B9.43). В указанном
приближении расщепление зоны в точке kx = k0 равно Д =
= 21^4|^о, а матричный элемент оператора Ж\г между функ-
функциями 1 и X в точке k0 и точке X одинаков, т. е. С4 = D3. Сле-
Следовательно, Ъ2/т' = А3. Отсюда видно, что деформация eyz
именно потому приводит к сравнительно большому изменению
массы в точке k0, что только такая деформация расщепляет
зону Хч или Xk в близлежащей точке X.
§ 31. СПЕКТР В КРИСТАЛЛАХ С РЕШЕТКОЙ ТИПА ВЮРЦИТА
И ЕГО ИЗМЕНЕНИЕ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ
Как указывалось в § 23, решетку вюрцита {пространственная
группа Civ) имеют многие полупроводники группы А2Вв: ВеО,
MgTe, ZnO, ZnS, ZnSe, ZnTe, CdS, CdSe *). Для этой структуры
группы волнового вектора в точках, находящихся на оси (точки
Л) и ребре (точки Р) зоны Бриллуэна, имеют наибольшую сим-
симметрию. Как показано в § 23, представления этих групп проек-
тивно эквивалентны векторным или спинорным и отличаются от
соответствующих представлений точечных групп C6v (для то-
точек А) и C3v (для точек Р), приведенных в §§ И, 16, лишь мно-
множителем e~ik*x, где ко — положение точки, а т — трансляция,
соответствующая данному поворотному элементу.
В табл. 31.1 и 31.2 приведены характеры обычных и спинор-
ных представлений для этих точек. Ниже указано, на какие спи-
¦) Некоторые из этих соединений кристаллизуются также в решетке типа
цинковой обманки и NaCl,
407
норные представления расщепляются обычные представления
при учете спин-орбитального взаимодействия.
Таблица 311
Число
элемен-
элементов
1
1
1
1
1
1
3
3
%¦
Элемент
класса
(«Ю)
D
\tol2)
(С
D
(сг
0)
о)
to/2)
(а|0)
(а'
to/2)
Представления
для точки Л
Характеры представлений
А,
1
ь
г
л*
1
л*
Для
А2
1
л*
1
л*
-1
-л*
точе*
Аз
1
-л*
1
-л*
— 1
л.
с Г и
А,
1
-л*
1
-л*
1
-л*
я л*
А5
2
л*
— 1
-2Л*
0
0
А6
2
"' (
0
0
А7
2
1
1
0
0
0
= 1, для точек А и Н
А,
2
1
-1
0
0
0
л.-,
Ав
2
0
0
—2
2
0
0
0
Таблица 31.2
Число
элементов
1
1
1
3
Элемент
класса
(е|0)
(с3
D
0)
о)
(O-IV2)
Представления
для точки Р
Характеры представлений
Р{
1
j l
л.
Pi
1
1
-л*
р*
2
-1 1
0
Ра
1
-1
1
/л*
Рь
1
— 1
1
р*
2
1
_ *
0
Ai
At
д2
At
Аз
А8
Д4
д8
Дб
А7 + А9
д6
Ав + Аэ
Pi
Ръ
Р*
Рь
Pi
Pt + Pb + Рь
Распределение представлений по их свойствам относительно
инверсии времени и представления, объединяющиеся вследствие
408
инвариантности к инверсии времени, указаны в § 23 и также
приведены в табл. 31.3.
Таблица 31.3
Свойства представлений относительно инверсии времени
Случай
а,
а2
Ъ\
ь2
Ьъ
С\
г„
К\
л,
Н\
д
л9
г2,
/с2,
-Л,
-я2
Л2,
Гз, Г4,
Яз. Я
л2-
, Я4~
Аз, А4
г5, гб,
4, Я5, Я(
Нъ
As, Аб,
Представления
Гт,
Л?.
г.,
/з. '
Лп
г9
-А»
Дв. ¦Рь ^2.
Ту ТУ D ТУ
Для построения спектра в точках на осях Л и Р методом
инвариантов нам необходимо знать, по каким представлениям
групп направлений C&v и C3v преобразуются функции от компо-
компонент kif ец, Gi и /;. Используя базисные функции, приведенные
в табл. 11.1 (стр. 99) можно сразу установить распределе-
распределение этих компонент по представлениям, которое приведено
в табл. 31.4*).
Зная характеры представлений групп волнового вектора и
представления, по которым преобразуются компоненты ku мож-
можно, используя формулы, приведенные в § 21, определить, для
каких представлений рассмотренные точки являются точками
нулевого наклона и какие из компонент k\ могут входить в га-
гамильтониан 2в(k) для разных представлений. Эти данные при-
приведены в табл. 31.5. В скобках указаны компоненты, которые
отсутствуют в исходных обычных представлениях и появляются
в произошедших из них спинорных представлениях. Как пра-
правило, коэффициенты при этих компонентах малы. Гамильтониан
Ж{к,г) для всех представлений можно сразу построить, используя
методы, указанные в § 26, так как все эти представления одно-
одномерные или двумерные.
*) При построении инвариантов удобно, чтобы все функции одного пред-
представления преобразовывались по тождественно совпадающим представлениям.
Поэтому в отличие от § 26 операторы в+ и а», а также /+ и /-, в табл. 31.4
выбраны в виде
с тем, чтобы при всех операциях группы Cqv они преобразовывались как
k+ = kx + iky и k~ = kx — iky соответственно. Унитарным преобразованием
базисных функций эти матрицы о± можно привести к обычной форме B6.3).
В таком же виде в этом случае удобно выбирать и компоненты п+ и Я- при
включении в 2/в магнитного поля,
409
Таблица 31.'.
Распределение компонент k, e, а и / и функций от них по представленияр
групп направлений C6v и C3v
Представления
Функции
нечетные I четные
(относительно инверсии времени)
Базисные
матрицы
k\; k\; eZ2;
в+k- + а_
Т2Аг
ozkz\ o+k- —a-k+
, сг_;
o+kz, O—kz\
EK3
k_^, k__\ e^., e
а+/г+, а-/г-
** =
Таблица З1.г
Отличные от нуля компоненты ft/, входящие в E(k),
для разных представлении
Аь Д2, Аз» А4
ГьГ2,Гз,Г4
—
А5. А,
kz
г„ гв
—
А,-А,
kz
At. A,
М*х)
(*х)
Л7-Л8
fee (ftx)
д9
kz
г9
—
^*9 "~™* 9
я„ я,
а:,, л:2
—
Я1 — Я2
Рз
ftj.
Si.
—
Ра, Рь
kz
Ка, Кь
—
Я4-Я5
(kz)
Ре
kz(k±)
Кь
(k±)
—
Подчеркнуты возможные точки нулевого наклона. В скобках указаны компоненты
k,, коэффициенты при которых являются релятивистски малыми.
410
Точка Д. Для одномерных представлений Ai— Д4 в Ж (г, ft)
в соответствии с B5.14) входят все функции от ft, в и а, преобра-
преобразующиеся по единичному представлению группы направлений Т\.
Поэтому без учета релятивистских членов каждый из этих тер-
термов двукратно вырожден по спину и поверхности постоянной
энергии — эллипсоиды вращения. С учетом линейных по k реля-
релятивистских членов оператор 3@(г> ft) для представления Ai— Д4
имеет вид
Ж {г, k) = AQkz + X + a{(e+k^ + e-k+); C1.1)
здесь
b = Alkl+A2k\ + Dl&zz + D2&1,
^Х = ^х ' ^у> 81 = гхх "г гуу*
При этом kz отсчитывается от значения kz0 в точке А. Константы
Аи Dt в C1.1) должны быть вещественными, с тем, чтобы гамиль-
гамильтониан был эрмитов (учитывая, что при эрмитовом сопряжении
&+, а+, /+ переходят в &_, а_, /_).
Из C1.1) найдем спектр. В точке нулевого наклона, где
Л0 = 0,
?1>2(ft, s) = Alk*+A2(k± ± kftf+Dfin + Dj*^ C1.2)
где k°± = aJ2A2. Здесь энергия отсчитывается от минимума.
Видно, что при учете релятивистских членов минимум осуществ-
осуществляется на окружности: kz = 0, k± = k°±> а поверхности постоян-
постоянной энергии вблизи экстремума имеют форму тора. При
этом вырождение полностью снимается везде, кроме точки
на оси А.
При больших k линейные члены становятся несущественны
и поверхностями постоянной энергии являются два слегка де-
деформированных эллипсоида.
Формулу C1.1) можно также получить, строя <5#(е, k) для
представлений А7 или Ав, учитывая, что в этом случае в 3№(k,e)
надо включать все функции от ft и е, преобразующиеся по пред-
представлениям, входящим
Л7 X А? = А8 X А5 = Ах + А2 + Е{.
Матрицы Хи преобразующиеся по этим представлениям, можно
в соответствии с B6.3), B6.31) выбрать в виде
Р+ = а+ и p_=a_(?j\
При таком построении автоматически учитываются квадратич-
квадратичные по k и линейные по е релятивистские члены, в результате
чего <2^(fc, г) имеет вид
Ж (k, г) = Aokz + Я, + а, (р+*_ + P.k+) +
Последний член в C1.1а) показывает, что при деформациях ъхг
4U
и eyz происходит полное снятие вырождения и зоны расщеп-
расщепляются на величину 2d(e2xz + ь2угI12.
Для представления Д9 в Ж (г, к) входят функции от е и к,
преобразующиеся по представлениям, входящим в Д9 X Д9 =
= А\ -\- А2 -\- В2 -\- В\9 и
^/А И А Ъ -Х- % • (Ъ\ 1\
следовательно, ?(е, к) отличается от C1.2) отсутствием линей-
линейного по kz члена, и с точностью до членов более высокого по-
порядка по k и е зона Д9 остается вырожденной во всех точках,
а поверхностями постоянной энергии являются эллипсоиды.
Представление Д9 произошло за счет расщепления представ-
представлений Д5 или Д6. Для того чтобы построить оператор Ж (г, к)
сразу для обоих представлений Д7 + Д9 или Д8 + Д9, произошед-
произошедших соответственно от Д5 или Д6, в M{k, г) в соответствии
с B5.14) надо включить все функции от ft, e и а, преобразую-
преобразующиеся по представлениям, входящим в
Матрицы Xh преобразующиеся по этим представлениям, соглас-
согласно B6.3) и B6.31) можно выбрать в виде 1{А\), р2(Л2), р+,р-^г).
Тогда оператор Ж (к, г) запишется:
е, к) = АЛ + Я + Д2р а + Л5 (р , k\ + p_fe2,) +
ст+^- - or_ft+). C1.4)
Нумерация констант здесь выбрана такой, чтобы они совпадали
с константами в C1.8).
В матричной форме гамильтониан C1.4) запишется:
где
C1.5)
F =
G =
4 =
Я
Я
А
Ж {г
+ Aokz
+ Aokz
k) =
F
j
4
0
+ A2 + a6ft
-A2-
5k\ + Р5е+,
-a6k
r
G
4
2.
4*
I*
G
h
I
j
h
0
4"
h*
F
t
= a2k
= (a,
= (a
+ y
—/a7)&+,
+ ia7)k+.
В общем случае секулярное уравнение | К—1Е\ =0 является
уравнением четвертого порядка. Если пренебречь в C1.5) линей-
линейными по k релятивистскими членами, то его корни становятся
попарно вырожденными, так как именно эти слагаемые опреде-
412
ляют расщепление каждой из зон. В этом приближении в точке
нулевого наклона
Еи 2 (ft, г) = X ± {Д2 + A\k\ + D\ [{гхх - eyyf + Аг\у] +
- k2y) (гхх - гуу) + Агхукхку])Щ. C1.6)
При энергиях E(k) > Д2, когда спин-орбитальным расщеплением
можно пренебречь, поверхностями постоянной энергии являются
два эллипсоида
Е(ft) = Aikl + (Л2 ± Л5) k\, C1.7а)
а деформация приводит к их смещению и искажению.
Если кинетическая энергия, а также расщепление, создавае-
создаваемое деформацией, малы по сравнению со спин-орбитальным рас-
расщеплением, то ?(е, ft) вблизи экстремумов ?? = Дг и El = —Д2
определяется формулой
Еи 2 (в, ft) = ± Д2 + Я ± ^ {Л25^ + D2; [(в« - е,,J + 4еУ +
+ 2Л5/M[(kl - ^)(е« - вуу) + 4exykxky]}. C1.76)
Видно, что для обоих экстремумов эффективные массы т*
и т*± в недеформированном кристалле совпадают; при этом
Й2/2ту = Аи Й2/2т* = Л2, а деформация &ххФгуу и е^^ приво-
приводит к сравнительно большой анизотропии поперечных эффек-
эффективных масс порядка Д5е/Д2.
Точка Г. Точка Г отличается от точек Д тем, чтовнейй0=—ft0
и все представления в этой точке относятся к случаю at. По-
Поэтому, в отличие от точки Д, для представлений 1\ — Г4 в Ж со-
согласно B5.36) входят лишь четные по отношению к инверсии
времени функции от ft, г и or, преобразующиеся по представле-
представлению Аи т. е. для точки Г в C1.1) константа Ао = 0. Для пред-
представлений Г7 и Гв в Ж (ft, г) входят четные функции, преобра-
преобразующиеся по {г?} = {Гв} = Ль и нечетные, преобразующиеся по
[Г?] = [Гв] = Л2 + Е\. Следовательно, в C1.2) для точки Г надо
положить Л о = 0 и (Z2 = d = 0. Для представлений Г9 в Ж(гу ft)
входят четные функции, преобразующиеся по {Гэ}=Л1, и нечет-
нечетные, преобразующиеся по [Гд] = Лг + /?2 + В\, т. е. Ж(е, ft) бу-
будет таким же, как и для представления Д9 C1.3). Для представ-
представления Гб или Гб в Ж (г, ft) войдут четные функции, преобразую-
преобразующиеся по [vl] = [Г2,] = А\ + Е2у и нечетные, преобразующиеся по
{т1} = {Гб} = Л2, т. е. в C1.4) для точки Г Ло = 0 и аб=а7=0.
Экспериментальные данные и численные расчеты зонной
структуры показывают, что в таких соединениях группы А2Вб,
как CdS, CdSe, ZnS, ZnO, экстремумы валентной зоны и зоны
проводимости расположены в точке Г; при этом зоне проводи-
проводила
мости соответствует представление Г7, произошедшее из Гь а ва-
валентная зона состоит из трех близко расположенных зон, соот-
соответствующих представлениям Гэ, Г7 и Г7, отделенных сравни-
сравнительно большим интервалом от других зон (рис. 33). Причина
этого заключается в том, что положение атомов первой коорди-
координационной сферы во всех этих кристаллах близко к тому, какое
они должны занимать в кубической решетке, где они распола-
располагаются по вершинам тетраэдра. Так, отношение базисного век-
вектора *о, направленного по оси г, к перпендикулярному ему ба-
базисному вектору ti в этих кристаллах равно 1,60—1,64, тогда как
при тетраэдрическом расположении атомов оно должно быть
равно 21^2/3 = 1,632. При этом направление вектора t0 соот-
соответствует направлению [111] кубического кристалла*).
Г1
ч
г?
г7
Е°
Fo
г
Е°
Г,-
Г5~
/
1 \
\
'—1
А
?°
\
L
л
т7
-г7
??
а) б)
Рис. 33. Генезис валентных зон в точке Г в кристаллах с решеткой вюр-
цита. а) Акр>Асо; б) ЛКр<ЛСо-
Из-за сравнительно малого отступления от кубической сим-
симметрии в этих кристаллах расстояние между термами Ti и Гб,
которые в кубической решетке объединяются в один терм ri5,
оказывается сравнимым со спин-орбитальным расщеплением
терма Гб. Поэтому во многих задачах все три валентные зоны
Гэ, Г7, Г7 надо рассматривать совместно. Гамильтониан 2№(s,k)
для эти трех зон, соответствующих представлениям Т\ и Гб, мож-
можно построить, используя правила, изложенные в § 26.
Согласно B5.36) ъЖ(г,к) в случае ах должны входить чет-
четные функции (по отношению к инверсии времени), преобразую-
преобразующиеся по [(Ti + Г5J] = 2At + Ei +?2, и нечетные, преобразую-
преобразующиеся по {(Г\ + Г5J} = А2 + Е\. В качестве матриц X* в этом
случае можно взять матрицы /* и их произведения в представ-
представлении Уь Уо> ^-!» так как представления Г{ и Гб можно по-
построить из базисных функций представления 3)i. Распределение
этих матриц по представлениям группы CQv приведено выше
в табл. 31.4, а сами матрицы в указанном представлении —
в табл. 31.7 в конце параграфа.
*) Надо, однако, иметь в виду, что положения атомов в следующих коор-
координационных сферах в решетках вюрцита и цинковой обманки существенно
различны, поэтому в соответствии со схемой подчинения систем, приведенной
в § 5, одну решетку нельзя никакой деформацией перевести в другую,
414
Если включить в Ж (г, к) у как и в C1.4), из релятивистских
членов лишь линейные по &, то оператор Зв{к, г) запишется*):
Ж (ft, г) = Ai/г + ^JzOz + У 2 А3 (/+а_ + /_ог+) + {А\ + Л3/г) fez +
+ 2i%kz ([JJ+] °- ~ [V-] °+) + (Dl + D3JD *<
- D5 (/2+8> + /ie+) - 2/D6 ([/,/+] e-2 - [/2/-J e+e). C1.8)
Подчеркнем, что этот оператор, написанный лишь на основа-
основании требований симметрии, справедлив независимо от механизма
происхождения уровней Гд, Г7 и Г7. Однако, если расщепление
между этими уровнями сравнимо с расстоянием Eg до других
зон, то в C1.8) надо учесть также релятивистские члены, квадра-
квадратичные по k и линейные по е, так как коэффициенты при этих
членах могут иметь порядок &2,a/Eg и в последнем случае ока-
окажутся сравнимыми с коэффициентами при нерелятивистских
членах.
Представляет интерес установить связь между коэффициен-
коэффициентами в гамильтониане C1.8) в «кубическом» приближении. Для
этого надо переписать гамильтониан ЖТй{куг), построенный для
представления Г^Ггб) группы Та в системе координат, в кото-
которой ось z' направлена по [111], а х' и у' — по [112] и [TlO] соот-
соответственно. В кубических осях этот гамильтониан имеет вид, по-
подобный B6.15), C0.33)**):
(к, г) = A\k2 + -=¦ А (<т/) + АШкJ + (Аз — А&) 2 [/*//] kikt +
+ D[e + D'2 2 1\гн + D[ 2 [/,/у]в1у. C1.9)
i И
*) Здесь мы обозначили константы деформационного потенциала ?)<
вместо С{ и ввели 2Л6 вместо Be, 2D6 вместо Се, 2а4 и 2о&5 вместо р4 и 05
в оригинальной работе [26.1] для того, чтобы упростить коэффициенты в мат-
матрице C1.14). Кроме того, нумерация представлений Гб и Гв принята в соответ-
соответствии с обозначениями большинства работ (т. е. изменена по__сравнению
с [14.2], [14.3] и [26.1] — Гб вместо Г6 и наоборот). Множитель Vе! в третьем
члене введен в связи с тем, что мы для упрощения вида матриц везде опре-
определяем а± — ± A/2) (ах ± 1оу), тогда как /± = ± (///Г) (Jx ± Uy).
¦¦) При этом мы не включили в C1.9) линейные по к релятивистские
члены, которые для представлений Гц и Ггб группы Та имеют вид
*Tdt со в < S J' (°i+iki+i - ° 1+2*1+2) + **2 42 ViJl] (°ikr°lki)> (ЗЬ9а)
и квадратичные по k релятивистские слагаемые, имевшиеся в B6.15).
415
Константы A'i и D\ связаны с константами в B4.5), B4.14) и
C0.2), C0.33) соотношениями
A\ = L = A + 2Bf Л? = М - L = - ЗВ, A'3 = -N = -V
C1.10)
D\ = I = а + 2ЬУ Df2 = m — l = — Uy D'3 = - п = — V 3 d.
Для того чтобы записать C1.9) в новой системе координат,
надо заменить компоненты х, */, z на
Тогда в новой системе координат оператор C1.9) запишется:
- у Л^Л2х -1U + 2Лз)
i Ц
- BAi + А'3) ([JJ+] кгк- - [7г/_] kzk+
+ Ц- {А'2 - А'г) {J\k+kz + Jlk-kz) +
у (Лг - А'3) ([/г/+] Л2+ - [/г/_] kl) + (Dj +1 (D'2 - Dfy ггг +
BD'2 + Df3) ([/2/+] ег_ - [7г/_] ег+)
Ц'2 - D0(/2+e2+ + /2_ег_) + i-(^-
C1.11)
Прежде всего видно, что этот оператор содержит дополни-
дополнительные слагаемые, которых нет в C1.8). Это объясняется тем,
что группа Се» не является подгруппой кубических групп Та или
О/, и поэтому некоторые инварианты кубической группы не яв-
являются инвариантами группы Се». Оператор Ж (к, е) для группы
C3v, являющейся подгруппой группы Td, содержит все эти инва-
инварианты. В рассматриваемом случае а4 он должен включать все
четные по отношению к инверсии времени функции, преобразую-
преобразующиеся по [(Ki + /СзJ] = 2А1 + 2Е, и нечетные, преобразующиеся
416
no {(Ki + КзJ} = А2+ Е. Поэтому 3@(куг) для группы C3v бу-
будет отличаться от C1.8) дополнительными слагаемыми:
?$с = $@Q -\- As\J + k-\- ~\- J — k—) kz -\- 2/Лэ([/+/,г] ^+ —
— [J-Jz] ki.) + D8 (/+e+z + /ie_z) + 2Ш9 ([I+h] e+ - [/-/z] e_) +
+ 2ш8([/+/г]G+?+ -[/-/г] а_й_). C1.12)
Сравнивая C1.8) и C1.12) с C1.11), можно установить
соотношения для констант, которые должны выполняться
в кубическом приближении *):
А2 = Аз = у А, Л6 = ^= BЛ72 + Л$), D3 = DS,
Л2 = Л1 + j BЛ^ + Л5), Л8 = -^j- (Лг - A'i), D5 = j(D'2 + 2D$),
^ + 2А& D2=D\ + y № f Z>S), Z)9 = -i-@$ - D
Это означает, что в кубическом приближении константы Аг,
и D; долл<ны быть связаны соотношениями
, = DlD2,
\О 1.1 о)
6 = -D3.
Соотношение Л2 =- Аз, по-видимому, в большинстве указанных
выше кристаллов выполняется с большой точностью: согласно
теоретическим расчетам [25.11] величина (Аг — А3)/А2 для CdS,
CdSe, ZnS, ZnSe не превышает 2-Ю. Согласно последним экс-
экспериментальным данным это отношение равно 1-Ю для CdS,
9-10~2 для CdSe. Константа А7 также очень мала, поскольку
связанный с ней коэффициент при линейном по k члене в C1.23)
(см. ниже) по данным [25.9] также не превышает 10~9 эв/'см.
^Запишем теперь гамильтониан C1.8) в матричной форме и
найдем вид спектра вблизи экстремумов каждой из трех зон.
Чтобы избежать громоздких выражений, мы будем учитывать
только нерелятивистские слагаемые, включая линейный по k член
с коэффициентом Л7. Учет остальных линейных членов сказался
*) Точно так же все релятивистские константы <х\ — as в кубическом
приближении должны выражаться через две константы а\ и а'2 в C1.9а).
14 Г Л Вир, Г Е Пикус 417
бы лишь на выражениях для коэффициентов при линейном чле-
члене в C1.23).
В указанном приближении матрица Ж (k, e) имеет вид
гц>
F
0
-Я
0
0
0
G
A
-Я
0
- H*
A
X
0
/
0
0
0
A
/
0
/*
A
G
0
0
4'
0
/*
0
F
C1.14)
где
F =
p
? =
A,
A5
+ A2
-A2
ft2+ +
+ Я-+
• Э,
-e,
/ =
A =
e =
Если оставить в Ж только матричные элементы F, G, К и А, со-
содержащие не зависящие от fe и г члены, то корни получившегося
определителя| Жх — 1Е\ =0 имеют вид
¦•F9
C1.15)
Формула C1.15) определяет ?(ft, e) с точностью до членов пер-
первого порядка по е и А2 (при Л7 = 0).
Согласно C1.15) положение термов в точке k = 0 в недефор-
мированном кристалле
?? = Д! + А2, ?2, з = Al 7 А2 ± [( Al 7 Д' У + 2Лз]1/2 C1.16)
и расстояние между первым уровнем и уровнями Е\ и Е\
равно:
?i-?2l3 = j[(Д1 + ЗА2) Т [(Ai - Д2J + 8Д2з]1/2]. C1.16а)
При отсутствии спин-орбитального расщепления, т. е. при
Л2 = А3 = 0, Е°[=Е°2, а ??,2 — ?3 = Ai- При Ai=0 и А2 = Д3
также ?^ = ?^, а ??, 2 — ?? = ЗД2. Поэтому величину Ai назы-
называют кристаллическим расщеплением Акр, а величину ЗД2 обычно
полагают равной ЗА3 и называют спин-орбитальным расщепле-
расщеплением Ас0:
A!=AKP, Д2 = А3=з-ДСо- C1.17)
В обозначениях C1.17) формула C1.16а) имеет вид
?? _ El, з = |} (Акр + Дсо) Т [(Акр + ДсоJ - у АкрАсо]1/2} • C1.166)
418
Зная расстояние между термами, можно определить значения
АКр и Асо (если принять, что Аг = Аз). Однако, так как обе эти
величины входят в C1.166) совершенно симметрично, то для того,
чтобы определить, какое значение надо приписать Акр и какое
Асо, надо привлекать дополнительные соображения. В частности,
как видно из приведенных ниже формул C1.24), это можно
установить, изучая относительный сдвиг зон при деформации.
Значения Дкр и Асо для ряда кристаллов приведены в табл. 31.9
в конце параграфа.
Для определения спектра в каждой из зон удобно записать
матрицу C1.14) в базисе собственных функций гамильтониана
2С\,собственные значения которого определяются уравнением
C1.15). Эти собственные функции можно выбрать в виде
i = °2, 3
0
-A
G-El,3
0
0
0
1
0
0
0
0
0
; f2
0
0
0
0
0
1
С D
^4,6 = #2, 3
0
0
0
G — ?2, з
-A
0
C1.18)
где
Записав гамильтониан 3tf(k,s) в представлении C1.18),
Ж
0
Y
6
a
P
и
E\
6
*
*
p
I
У
6
e\
a
0
i)
0
%
a
El
О'
0
(T
P
0
El
CO.
p
*
Л
0
P*
?3
14*
C1.19)
419
где
р = _ в3 Л^, л = ?2B3[(G - El)H - (G -
Y = - Si (G - ?2) Я, О = В,Вз [(G - ?i) Я - (G - ?з) /] А,
а = - B3(G - ?3)#, а = B^A(G ~- ?j)(Я - /),
р = В^Д (G - ?з)(Я - /),
можно затем учесть междузонные члены с помощью теории
возмущений, изложенной в § 15. Согласно A5.47) во втором
приближении матричные элементы 3HSU при Et—Ek равны
C1.20)
Ограничиваясь членами второго порядка, мы учитываем слагае-
слагаемые порядка &4, ek2 и г2. Поэтому в недиагональных членах
в C1.19) в коэффициентах достаточно сохранить лишь незави-
независящие от k и е члены, заменив Е\ и ?? и G на Ai — A2. В этом
приближении
El + ?§ = А, - Д2, ?02?^ = - А2 = - 2А^ C1.21)
и соответственно
Мы также не будем учитывать малый вклад в квадратичные по
k члены за счет слагаемых, пропорциональных Л7. В этом при-
приближении
/ = Я, у = -и, а = —6, т)= —«; C1.22)
слагаемые, содержащие Л7, надо учитывать лишь в матричных
элементах аир, пропорциональных Я — / = 2М7&+.
В этом приближении энергия в каждой из зон определяется
выражениями
,,2) _ р1 , И-^-^)|Я|2 + ?°КМ2
'±- '+ (fl?-?»(??-4) '
,2) . (??-?g + Eg)|ff|2-?°2|*|8 . 2АЛ7
-fiS) ^^ ( ' }
?з* - ^з + (Е? _ ?о} (?о _ ?о} - Ео _ ?о *1.
Формулы C1.23) определяют смещение термов при деформа-
деформации. Эти формулы справедливы при произвольной деформации
420
всестороннего сжатия и растяжения по оси г (конечно, с точ-
точностью до членов порядка Die/Eg, где Eg — расстояние до дру-
других зон) и при таких деформациях гхх—еуу, гху, exz и еу2, при
которых смещение каждого из термов мало по сравнению с рас-
расстоянием между ними. Если в выражениях для Е\ также огра-
ограничиться членами порядка е2, то из C1.23) получим следующие
формулы, определяющие смещение каждого из термов при k=0:
D4)
Delhi —to —
0
(
1
3 I 1 3
D-e%)D-
4 ) .
E° — E° ) C*z
3 pO/Cl ' /p
2 — ^3 / V^
I
44
SR.f-
?3j
^2?3
< о 22 ' 4
8WU) -f" 4б„у j
C1.24а)
JLio "~~* ?io I л-* \
C1.24b)
Спектр в каждой из подзон в недеформированном кристалле
определяется выражениями, отличающимися от C1.24) заменой
Ег3 на kxk3 и Di на Лг\ Кроме этого, конечно, в E(k) войдут ли-
линейные по k члены из C1.23).
Отсюда видно, что эффективные массы в каждой из подзон
выражаются через константы Л4 — Л4:
й2/2/п„
Ь2/2т±
Зона 1
л2 + л
Зона 2
1.1 Е*
llX4-4
4
Х]Х4-4
Зона 3
4
4-4
C1.25)
421
Поэтому в рассмотренной модели компоненты тц и т± для
трех подзон должны быть связаны соотношением
+ ^3 mi2 ^2 +
:0 (l = ||, 1). C1.26)
Это соотношение можно использовать для проверки того, на-
насколько эти три зоны можно рассматривать изолированно от
других зон. Аналогичное соотношение, как видно из C1.24), дол-
должно выполняться и для констант деформационного потенциала
этих трех зон.
Перекрестные члены ?в#, пропорциональные е&2, определяют
изменение эффективных масс при деформации. Согласно C1.23)
Ezk2,1 == K^i — Ez)\E\—?)] B(?i— ?2—?3) DbAbkz (sxzkx-{-Eyzky)-\-
'5Аъ[\&хх &уу) \&х Ry) i ^&xyfoxfey\]i (о 1.2/3)
, 2 = {Щ ?3) }
(Я? - ?§) (^ - El)}~{ {2 (?? - ?^ + ?°3) D,A,kz (exzkx + zyzky) -
- 2E°2D5A5[(exx - eyyf [k2x - ft*) + 4e,,^^]}, C1.276)
3 = 2 (?0 - ?0Г
Г B (?? + ?§ - El) D,AQkz (exzkx + гугку) -
^ - *yy)(kl - k2y) + 4exykxky}}. C1.27b)
В предельном случае, когда кристаллическое расщепление А4
намного превышает спин-орбитальные Дг и Д3, энергии ??,2 =
= Д1±Лг, /:з = 0 и выражения C1.23) — C1.27) для уровней
Ei и Е2 переходят в C1.7).
В табл. 40 3 в конце книги приведены известные к настоя-
настоящему времени значения эффективных масс и констант деформа-
деформационного потенциала Ог для некоторых кристаллов группы А2В6.
Используя собственные функции C1.18), можно также опре-
определить относительные вероятности перехода электрона из одной
из трех валентных зон в зону проводимости при поглощении
света. Матричные элементы для этих переходов при данном на-
направлении электрического поля пропорциональны коэффициен-
коэффициентам при соответствующих компонентах kx в междузонном опера-
операторе Жъс Этот оператор можно построить, используя матрицы
компонент полярного вектора /?, которые как раз преобразуются
по представлениям Fi X A\ + Г5) = Ai + ?1. Оператор Ж^ дол-
должен включать инвариантные произведения этих компонент на
422
функции от k и а, преобразующиеся по представлениям As. и
2V PRk + P(Rk + Rk)
/2
). C1.28)
Матрицы /?г, построенные в том же представлении, что и мат-
матрицы таблицы 31.7, приведены в табл. 31.8. Входящие в C1.28)
пять констант Рг, яг определяют интенсивность пяти различных
переходов (переход Г9-—Г7 при <%\\С запрещен). Если три валент-
валентные зоны находятся достаточно далеко от других зон, то реляти-
релятивистские константы яь я2 и я3 должны быть малы. Если опу-
опустить соответствующие члены, то матрица 2f6vc в представлении
C1.18) будет иметь вид
/2
О
C1.29)
Отсюда, учитывая C1 21а) для относительных интенсивностей
перехода, получим выражения, приведенные в табл. 31 6.
Таблица 31.6
Относительные интенсивности переходов между валентными зонами
и зоной проводимости
Номер валентной
зоны
1 (Г,)
2 (Г7)
3 (Г7)
Поляризация света
Я II С
0
2?3
?з ~ Е2
2Е2
В2 - ?3
Я, |2
Р I2
% 1С
Е2-Е3 *
Е3 - Е2
2
2
i - Д2
[{Ч±
В кубическом приближении Aj = Акр, Д2 = А3 = г"
В кубическом приближении, когда
C1.30)
423
между константами Рг- ия^в C1.28) должны выполняться соот-
соотношения
Р1=Р2=Р, щ = я2 = щ = я. C1.31)
Выполнение соотношений для сил осцилляторов, приведенных
в табл. 31.6, может служить указанием на справедливость трех-
зонной модели, а также кубического приближения.
Точка А. В точке А все представления относятся к случаю 6i
или с\ и объединяются попарно. Эта точка не является точкой
нулевого наклона ни для каких представлений.
Точка Р. Точки Р являются возможными точками нулевого
наклона для представлений Pi и Р2. Для этих представлений в
Ж (k, г) входят все функции от ft, e и а, преобразующиеся по еди-
единичному представлению группы направлений Czv, т. е. по К\, и
3% (ft, г) = XI + IAQkz + щ {e+k- + or_/e+), C1.32)
где, как и выше, X = A{k2z + A2k\ + Dfizz + D2e±. Отсюда
при Ао= О
?(ft) ft C1.33)
т. е. спектр ?(ft, е) для этих представлений, как и для представ-
представлений Д4 — А4, определяется формулой, подобной C1.2).
Для представлений Рз точки Р не являются возможными точ-
точками нулевого наклона, однако для представлений Р4, Р5 и Р6,
получившихся в результате спин-орбитального расщепления
представления Р3, в этих точках могут обращаться в нуль коэф-
коэффициенты при всех линейных по k нерелятивистских членах.
Точка К. В точке К имеется операция /?, например (c2\t0/2),
превращающая ft0 в —fto, и представления Ки Къ и Кз в этой
точке относятся к случаю а2.
В соответствии с формулой B5.36) для представлений К\ и
/С2 в Ж {к, в) входят четные по отношению к инверсии времени
функции, преобразующиеся по представлению Ач группы Cev, и
нечетные функции, преобразующиеся по fit. Поэтому для точки
К константа Ао в C1.32), C1.33) равна нулю.
Для представления Кг при отсутствии спин-орбитального рас-
расщепления эта точка не является точкой нулевого наклона. Но
для произошедших из него представлений Ка и Кь точка К яв-
является точкой нулевого наклона, а для представлений /F E(k)
может содержать лишь релятивистские линейные по k± члены.
Точка Н. В точке Н представления Н{ и Я2 относятся к слу-
случаю Ъг и объединяются вместе.
В соответствии с правилами, изложенными в § 26, в диаго-
диагональные подматрицы входят функции от ft, a и е, преобразую-
преобразующиеся по представлению Я X Я* = А{ группы C3v. При этом
функции, четные по отношению к операции RK = с2К, входят
с единичной матрицей, а нечетные — с матрицей p2. В недиаго-
недиагональные подматрицы согласно B5.16) должны входить четные
424
по отношению к инверсии времени функции, преобразующиеся
по представлению В2 группы C3v X C2= C6v, и нечетные, преоб-
преобразующиеся по А2. Матрицы, преобразующиеся по этим пред-
представлениям, можно выбрать в виде р^ и р^. Тогда
ft (г, k) = U+ Л3/ (М_ + СГ-Л+) + ЛорА + Друст2. C1.34)
Соответственно спектр
Ex-A(k9 г) = К ± {Д2 + Alk\ + A\k\ ± 2A0Ask±kz}112 ~
~ К ± Л2 + -^{Alkl + A\k\ ± 2A0A3k±kz). C1.35)
Таким образом, в этом случае уровни двукратно вырождены при
Таблица 31.7
Матрицы компонент аксиального вектора Jz, /+, /_ и их произведений
1
/2 = 0
II о
1 l
/2=p
I о
1 l
2 [/+/-] =0
II о
0
0
0
0
0
0
0
2
0
(
—
0
0
1
0
0
I
в представлении У|,
ц
1
/2 =
1
О Г ? ? 1
2 [JZJ + \ =
1
2 [JiJk] =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
| 0 0 1
0 0 0
1 0 0 0
00 -
1 0 0
JiJk +
]
1
1
0 I!
-1
о 1
JkJi.
0
I о
/1 =
0
0
1
no
2 [/«/-]= 1
1 о
0 0
0 0
1 0
0
0
0
0
0
—1
I
о I
о
о II
0 ||
0 I
о il
Таблица 31.8
Матрицы компонент полярного вектора R в представлении
l^OH
У0+
о
0 0 10
0 0 0 0
10 0 0
0 0 0 0
0 0/0
0 0 0 0
-/000
0 0 0 0
*+ =
0 0 0—/
/00 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
10 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0-/00
0 0 0 0
0 0 0 0
/ 0 0 0
0 10 0
0 0 0 0
0 0 0 0
10 0 0
425
k = 0. Эти уровни соответствуют представлениям //6, относя-
относящимся к случаю аг. Для этих представлений, в отличие от пред-
представлений Н\ — #2, точка Н является точкой нулевого наклона.
Для представления Н3, относящегося к случаю а2, в Ж (fe, е)
согласно B5.17) входят четные по отношению к инверсии
времени функции, преобразующиеся по АиВ2, Е2, и нечетные, пре-
преобразующиеся по Л2, Ви Ei, и соответственно матрица Ж {к, г)
имеет вид
Ж(ky г) = А,рга2 + а, (а+й_ + G_k\) + р+/Г + Р-Я, C1.36)
где Н — AAk+kz + ta2azk+ + а>о+kz + ^+^-
Каждый из термов в точке k — 0 в этом случае двукратно
вырожден, так как представления //4 и Я5 относятся к случаю Ь2
и объединяются вместе. Соответственно, если не учитывать ли-
линейных по k релятивистских членов,
Е(г, к) - X ± {Д? + АгМг + 2Л3?>3 №хЬг + гугкикг) +
+ Dl(elz\-E2yz)}U2. C1.37)
Видно, что в этом случае можно ожидать сравнительно боль-
большого изменения эффективной массы при деформациях гХ7 и eyz.
§ 32. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ
РЕШЕТКИ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Теория взаимодействия электронов и фононов в полупровод-
полупроводниках непосредственно связана с теорией деформационных эф-
эффектов.
Так как масса электрона намного меньше массы атома, то
потенциальная энергия электрона практически зависит только
от мгновенного положения атомов решетки, а не от их скорости.
В этом приближении, называемом адиабатическим, поле, дей-
действующее на электроны в точке х, можно представить в виде пе-
периодического потенциала идеальной решетки Vo(x) и возмуще-
возмущения 6V(x) = V(x) — Vq{x)9 определяемого смещением атомов
из положения равновесия. При малых смещениях 6V(x) можно
разложить в ряд по смещениям атомов:
fx
Здесь VfK(x)ufK — возмущение, создаваемое в точке х при сме-
смещении атома /х, находящегося в узле х элементарной ячейки /,
положение которой определяется соответствующим узлом ре-
решетки Браве X/, на величину ufyi. В силу периодичности кри-
кристалла поле, создаваемое в точке х при смещении атома /х,
будет равно полю, создаваемому в точке х — Xf при смещении
на ту же величину атома х, находящегося в решетке Браве,
узел которой XQ принимается за начало координат. Следователь-
Следовательно, Vfyi(x) =VOyi(x — Xf)t т. е. Vfx (x) зависит только от раз-
426
ноСтй х — Xf. Поэтому выражение для 6V(x) можно записать
в виде
x(f)fx- C2.1)
Так как при смещении всей решетки на величину и
6V (х) = у 0 (* - «) - У о (*) = - uW0,
то
2iVH(x-Xf)=-\V0(x). C2.2)
fx
При длинноволновых колебаниях, когда длина волны X=2n/q
намного превышает постоянную решетки, удобно ввести вели-
величину
определяющую смещение центра тяжести ячейки Xf, и величины
иЫк' = иЫ — иЫ> определяющие относительное смещение атомов
к и х' в элементарной ячейке f. Тогда C2.1) можно пербклсать
в виде
6V (х) = ? ufV (х - Xf) + 1 J] 2 iwV™' (* - *f)- C2.3)
f f xx'
Здесь
V^ (x -Xf) = ± (Vx (* - Xf) Af^ - V^ (x - Xf) MJ,
aM0=2MK- масса элементарной ячейки.
X
Для длинноволновых колебаний, т. е. при А, > а, где а — по-
постоянная решетки, потенциал 6V(x) можно разбить на две ча-
части: одну 8VK(x), связанную с короткодействующей составляю-
составляющей потенциала Vx (х — Xf) и определяемую смещением бли-
ближайших к точке х атомов, и вторую 6Уя(х) = —е<р(дс), связанную
с дальнодействующей составляющей Vx(x — Xf). В эту часть ос-
основной вклад дают смещения атомов, находящихся далеко от
точки х—на расстояниях, существенно превышающих постоян-
постоянную решетки и сравнимых с длиной волны фонона X. Так как
в короткодействующую часть потенциала V(x) в точке х основ-
основной вклад дают атомы, находящиеся на расстояниях \х — Xf\ <^A,,
то в соответствующей сумме смещения Uf мало отличаются от
среднего смещения и(х) в точке х и их можно разложить в ряд
по \х — Xf\, ограничившись первыми двумя членами:
пп = щ (х) + ]g д-^- (х - Xf),. C2.4)
/ j
427
Относительные смещения атомов и^ при длинноволновых аку-
акустических колебаниях пропорциональны волновому вектору qf
т. е. производным от смещения в данной точке, так как в пре-
пределе при q-+0f т. е. при К—> оо, при таких колебаниях ячейки
смещаются как целое и ихх' —> 0. Следовательно,
и™>,1=^Гщ'ец- C2.5)
ik
Тензор Г//3) определяется пространственной группой кри-
кристалла. При всех преобразованиях пространственной группы, не
меняющих местами атомы элементарной ячейки, т. е. не содер-
содержащих нетривиальных трансляций, тензор ГГ// не меняет верх-
верхних индексов и преобразуется по нижним индексам как обычный
тензор. При преобразованиях, меняющих атомы к и х' местами,
он дополнительно меняет знак. Остальные преобразования свя-
связывают между собой компоненты Г™ с разными параметрами
х,у! (при числе одинаковых атомов больше двух). Число ли-
линейно независимых компонент этого тензора можно определить
по формулам § 15, определив представления, по которым пре-
преобразуются компоненты et-j и смещения и^. Так как при числе
атомов в элементарной ячейке #х, большем двух, не все компо-
компоненты ихх' линейно независимы, то в последнем случае удобно
ввести 3(Л^Х— 1) линейно независимых компонент u°ls, соот-
соответствующих ветви оптических колебаний / при q -* 0. Согласно
A5.27) характер представления, по которому преобразуются
эти компоненты (или величины мхх',5 при Л/^х=2), равен
ЗС(с,) = М,- 00 +2coscp), х(*ф) = (ЛГс- 1)(- 1 + 2со8Ф),
где Ne — число атомов, остающихся на месте или смещающихся
на один из векторов решетки Браве при данном преобразова-
преобразовании. (Например, для кубических кристаллов О\ смещения щ,2
преобразуются по представлению Г^ и тензор Г, как указыва-
указывалось в § 29, имеет одну линейно независимую компоненту Txyz.)
Поэтому в соответствии с C2.2) — C2.5) вктяд ^ коротко-
короткодействующих сил, связанный с акустическими к тебаниями,
равен *):
Как (х) = -uW0 (х) + S Vu (х) вф C2.6)
*) Так как однородное вращение вокруг точки х не меняет потенциал
в этой точке, то антисимметричные компоненты тензора Vi} равны нулю.
Легко также убедиться, что этот тензор совпадает с введенным ранее в § 29.
Действительно, если деформация однородна, то, проведя преобразование ко-
координат B9.5), мы устраним в новой координатной системе первый член в
C2.6) и, следовательно, оставшееся второе слагаемое в C2.6) совпадает со
вторым членом " B9.11).
428
где
Уц (*) = j Ц К* ~ Xf), V, (x - Xf) + (x- X,)] Vt (x - X,)] +
f
fxx'Z
При оптических колебаниях в пределе при q —> 0 центр тяжести
ячеек не смещается, т. е. и = 0, а смещения подрешеток во
всех узлах одинаковы. Поэтому в потенциале Копт, описываю-
описывающем вклад от короткодействующих сил, вызываемых длинновол-
длинноволновыми оптическими колебаниями, можно ограничиться лишь
слагаемыми, не зависящими от q:
^опт = у Ц И**'У опт (*), C2.7)
XX'
где в соответствии с C2.3)
V™; (х) = 2 У™- (х - Xf). C2.7а)
f
Дальнодействующие силы
Рассмотрим теперь вклад в потенциал —еф, связанный
с дальнодействующими силами. Так как основной вклад в ($(х)
в C2.1) дают члены с \х — Xf\^> а, то ф(х) в отличие от ко-
короткодействующих сил практически не изменяется в пределах
одной элементарной ячейки. Поэтому этот потенциал удобно
рассматривать феноменологически как потенциал, создаваемый
поляризацией Р, т. е. электрическими диполями, возникающими
при колебаниях решетки. Для этого будем рассматривать в ка-
качестве независимых переменных смещения атомов UfK и компо-
компоненты макроскопического поля <d = — Уф, которые и опреде-
определяют дальиодействующие силы. Тогда внутреннюю энергию U
можно представить в виде суммы трех членов: квадратичного
по смещению члена Ua, квадратичного по полю U% и перекрест-
перекрестного члена Uut-
Согласно A5.17), A5.66) и A5.13), A5.166) первое слагае-
слагаемое
ii'tV
" ~q)ui'>i'(q)> C2.8a)
где матрица D определяется уравнениями A5.13), A5.66),
а компоненты uix(q) —уравнением A5.166).
Второе слагаемое
/*— 4-S J «
J
И Ия
C2.86)
Здесь
причем % ( —<7) = $* {q)> а а^. = -^-(х^-—1) — компоненты тен-
тензора поляризуемости при фиксированном положении атомов.
Третье слагаемое можно записать в виде
= "~ 77" 2л ^?/ ^ ui* ^ ^i ( ~~ */)' C2.8в)
Здесь Q?. — феноменологические константы, имеющие размер-
размерность заряда, Qo — объем элементарной ячейки.
Если теперь перейти к представлению, в котором матрица Ua
диагональна, введя согласно A5.16а) нормальные коорди-
координаты aqv, то в новом представлении внутренняя энергия U за-
запишется в виде
qv qvf
)(-q). C2.9)
Здесь coJL — собственные частоты колебаний решетки без учета
дальнодействия,
- = . S elt ( - Я) Ditw (q) e+v (q)9 C2.9a)
ix
C2.96)
компоненты eviyi(q) определяются системой уравнений A5.15).
Если записать компоненты Qvj{q) в виде разложения по q,
Qvj (Я) = Q°v/ + S Qvllqt + 2 Qv/и'^г» C2.9в)
то, используя указанные выше правила определения числа ли-
линейно независимых компонент тензоров и зная представления,
по которым преобразуются нормальные координаты aqv (или
смещения uiyi(q)) и компоненты &^ можно установить число
отличных от нуля компонент Qvj{q) (или Q*]{q)) и связь между
430
линейно зависимыми компонентами, а используя метод инва-
инвариантов, можно легко Записать гамильтониан U C2.9).
Из уравнения C2.9) следует, что поляризация единицы
объема Р равна:
Ц 1^Ля). C2.Ю)
Уравнения движения A5.6)
диы
в новых переменных согласно A5.10) и C2.9) имеют вид
М - я) *, (я). C2.11)
Для того чтобы определить спектр колебаний решетки с уче-
учетом дальнодействующих сил, надо дополнить систему уравне-
уравнений C2.10), C2.11) уравнениями Максвелла, которые для пло-
плоских волн записываются в виде
= 0, {qHq) = 0, [?«*] = 7Я«' \яИч] = -^3>ч C2.12)
и сводятся к одному уравнению
2>q = *q + AnPq =-?[q(qtq) ~ *qq*]. C2.13)
Выразив aqv из C2.11) через 8j и подставив в C2.10), най-
найдем, что
0* (я) = 2 кц (<*>, ?) &i {q)> C2.14)
где
4я
, — со
Подставив C2.14) в C2.13), получим систему уравнений для
компонент 8i(q), детерминант которой
|0 C2-16)
определяет спектр со(</) как для фотонов, так и для тех коле-
колебаний решетки, которые создают отличное от нуля электриче-
электрическое поле.
При рассмотрении электрон-фононного взаимодействия за-
запаздывание обычно можно не учитывать, так как для фононов
с волновым вектором, близким к волновому вектору электро-
электронов, q2c2/(xJ» 1. В этом приближении поле <о, как видно из
C2.12) или C2.13), продольно, и его легко определить, положив
431
Шя = — iqtyq, из уравнения (дЗ)д) = qSq -f 4я (Р?<7) = 0, под-
подставив туда Рд из C2.10). В результате найдем, что
<рд = - 4ш (?Ра (?)) /S х»^, C2.16)
и соответственно
/2 ~д.дг C2.16а)
где Pa{q) — поляризация, создаваемая колебаниями решетки,
которая согласно C2.10) и C2.8в) равна
Подставив C2.16а) и C2.17) в C2.11), получим систему урав-
уравнений
«v - <) V + | 0v (- Я) % (q) V = °> C2« 18>
где
~ / х / 4я V/2
Приравнивая нулю определитель этой системы
П « - "8) ['+S °v'^er (J ^ ] - »¦
найдем собственные частоты колебаний co^v с учетом далыю-
действующих сил.
Из уравнения C2.186) видно, что от каждого nv-кратно вы-
вырожденного терма со^ при учете дальнодействия при 6V ф 0 от-
отщепляется по одному терму. Частота этих смещенных термов
определяется уравнением
Последнее уравнение можно получить сразу из условия
откуда при ф^ Ф 0 следует, что
2ад?/ = 0. C2.18г)
а
432
Подставив в C2.18г) значение K{j из C2.14а), получим
C2.18b) *).
Определив собственные частоты со^ из уравнений
C2.186, в, г), используя уравнение C2.18), найдем смещения
a?v> соответствующие частоте (ogv:
Константа Л = 2 ©v (?) a?v определяется условием нормировки:
где |а^|2 определяется уравнением A5.24). Подставив эти зна-
значения aijv в C2.17), найдем поляризацию P^{q), а затем из
C2.16а) и C2.16) определим поле 8м" (^) и потенциал <р?, созда-
создаваемый данным колебанием q\i с частотой со^.
Поляризация, пропорциональная смещению, т. е. не обра-
обращающаяся в нуль при q = О, может возникать лишь при опти-
оптических колебаниях в полярных кристаллах, т. е. кристаллах,
состоящих из атомов разных элементов, либо в кристаллах,
имеющих более двух одинаковых атомов в элементарной ячейке.
В кубических кристаллах, содержащих два атома с массами
Mi и М2 в элементарной ячейке, для трех ветвей оптических
колебаний векторы поляризации effiT можно выбрать в виде
е(опт = /дум;б.., 4°пт = - УЩЩЬц, C2.20а)
соответственно нормальные координаты а?пт равны
йГ=2ТЖ^)(«н-%) C2-206)
и преобразуются как/-компоненты координаты. Эффективный за-
заряд имеет отличными от нуля лишь диагональные компоненты:
*) Дополнительное расщепление термов для длинноволновых колебаний,
обусловленное дальнодействием, на первый взгляд противоречит выводам тео-
теории групп. Однако надо иметь в виду, что это расщепление имеет место
фактически не при q = 0, а при q ~ 1/L, где L — размер кристалла. Вслед-
Вследствие конечного вклада поверхности в энергию колебаний полярного кристал-
кристалла положение термов при q = 0 определяется не только симметрией кри-
кристаллической решетки, но и симметрией самого образца. Поэтому при q ~ 1/L
спектр резко меняется и при q ^> 1/L уже от формы образца не зависит, но
зато в принципе зависит от направления q. При этом расщепление термов
вследствие дальнодействия, как правило, меньше допускаемого симметрией
группы волнового вектора Gq.
Дополнительное расщепление, связанное с короткодействующими силами,
пропорционально qa, где а — постоянная решетки, т. е. сказывается при зна-
значительно больших q. При расчете дисперсии фононов эти члены необходимо
учитывать.
- f'''J& </ 1!.4
и, следовательно, в соответствии с C2.16)
г
т. е. поле фопт в нулевом приближении по q возникает только
при продольных оптических колебаниях, когда вектор аопт с ком-
компонентами а?пт параллелен q. Частота этих колебаний в соот-
соответствии с уравнением C2.18в) равна
где со* = со0— частота поперечных колебаний.
Так как для этого случая согласно C2.14а)
C2.216)
то эффективный заряд Q можно выразить через разность ди-
диэлектрических проницаемостей на высокой частоте и°° (при
со ^> со0) и на низкой х° (при со <С со0):
Q2 = ^T--Mo^o< C2.21b)
Из C2.21а) и C2.21в) следует известное соотношение:
^ о
4 = ^Г- C2.21г)
СО, X
Для неполярных кристаллов разложение C2.9в) начинается
с линейных по q членов. Эти же слагаемые определяют и ди-
польный момент, создаваемый поперечными оптическими коле-
колебаниями в кубических полярных кристаллах с двумя атомами
в ячейке.
В решетке типа алмаза тензор Q, как и тензор Г, в C2.5)
имеет одну линейно независимую компоненту Qxyz = Qxzy = Q
и соответственно
фопт = _ ЗЩ. q (qxQ аопт _|_ qxqza°™ + ЯуЯга°хТ)> C2.22)
где согласно C2.206) а°пт = -j (tiu — u2i).
Для акустических колебаний разложение C2.9в) также на-
начинается с линейных по q членов, так как смещение кристалла
как целого не создает электрического поля. Так как поворот
кристалла также не создает такого поля, то дипольный момент,
создаваемый акустическими колебаниями, может быть лишь
пропорционален деформации:
4 . р\ (q) = — / 2 $щъц (q), C2.23)
434 * ' , ,/,////
где
**/ (?) = -J? { еО (*) *-'** ^ = 4 to.",, + <7/М- C2.23а)
Кристаллы, у которых тензор р отличен от нуля, называются
пьезоэлектриками.
В кубических кристаллах классов Т и Т^ тензор р имеет
одну линейно независимую компоненту $xyz = $xzy = p и соот-
соответственно
В кубических кристаллах класса О, а также во всех кристаллах,
имеющих центр инверсии р = 0, и акустические колебания соз-
создают дипольный момент, пропорциональный вторым производ-
производным от средних смещений, которые и являются нормальными
координатами для акустических колебаний при q = 0, т. е. раз-
разложение C2.9в) начинается с членов второго порядка по q\
C2.24)
Тензор у симметричен к перестановке последней пары индексов.
Легко проверить по формуле B0.10), что в кубическом кри-
кристалле он имеет три отличные от нуля линейно независимые
компоненты
У\\=Ухххх> Yl2 = Yххууу
Однако величина
Щ =
р ^ q C2.25)
ijkl
определяется в кубическом кристалле лишь двумя независи-
независимыми константами: Vn и Yi2 + 2Y44> так
^ (q) qiqj = i^uqiqjqiqj = S е« (и) ч\ = *д ' ?2 - 2 еп (q) q].
Поэтому
lI - Yi2-2y44) J •« (*) 9? 1
? 1 . C2.25a)
где е, = 2егг(^)- В изотропной среде Yii — Yi2 = 2v44 и
C2.256)
Производные от относительных смещений и™' в случае аку-
акустических колебаний не надо отдельно учитывать в C2.23) и
C2.24), так как эти смещения в соответствии с C2.5) сами вы-
выражаются через dujdx3. Однако при непосредственном расчете
самих констант JJ или y их надо иметь в виду. Например,
435
в пьезоэлектрических кристаллах в соответствии с C2.8), C2.5)
и C2.23) они дадут вклад в р, равный
2Q0 Za UU
а в непьезоэлектрических кристаллах их вклад в \ согласно
C2.22), C2.5) и C2.24) можно записать в виде
V' = — V фии'
imjL mkV
Например, в решетке T2d соответствующий вклад в px г равен
Kyz==^xx^xyzi в решетке типа алмаза О7Н смещения и{ 2 дают
вклад в Y44:
v' =Ф Г
*хуху xzyx zxy'
Как указывалось в § 22, движение электрона в достаточно
плавных внешних полях можно описывать, используя прибли-
приближение эффективной массы, т. е. вместо точного уравнения Шре-
дингера для блоховских функций использовать уравнения для
плавных огибающих функций 6Г(х, t). Рассеяние носителей тока
в полупроводниках можно рассматривать в этом же приближе-
приближении. Потенциал <р(ж), связанный с дальнодеиствующими силами,
является плавным и поэтому он сразу может быть включен в по-
потенциал U(x), входящий в оператор Ж B2.15), B2.16).
Короткодействующие силы
Потенциал 6VK(x), связанный с короткодействующими си-
силами, в отличие от ф(ж) быстро меняется в пределах одной эле-
элементарной ячейки. Однако при малых q этот потенциал, как
видно из C2.6) и C2.7), почти периодический, так как VV0(jc)>
Vif(x) и Vq* W являются периодическими функциями, с тем же
периодом, что и V0(x), что и дает возможность описать взаи-
взаимодействие электронов с решеткой, используя лишь плавные
функции ST{x, t). Для того чтобы получить оператор 5^Эф, дей-
действующий на эти функции и определяющий взаимодействие
электронов и фононов, запишем сперва оператор 8V(x)
в (k, n) -представлении, для чего, как и в § 22, представим функ-
функцию ЧI в виде произведения B2.2), а затем разложим медлен-
медленную функцию Уп(*> t) в ряд Фурье B2.3). Для того чтобы по-
получить уравнение, определяющее коэффициенты cnk в B2.3),
B2.4), надо, как и в § 22, вычислить матричные элементы опе-
оператора 6V(x) на функциях ynk = y= %keikx. Для этого разло-
разложим периодическую функцию Ф*,АвУКоя|зяАв в ряд Фурье:
м
436 "
= > J ¦^
a bM — векторы обратной решетки. Тогда матричные элементы
оператора Ж" = —uVV0 можно представить в виде
Если ft и ft' достаточно малы, так что q = k' — ft лежит в пре-
пределах зоны Бриллуэна, то из всех слагаемых останется лишь
член с ft^f^O, и Т0ГДа
, ^оЧц). C2.26)
Точно так же можно разложить в ряд Фурье периодические
функции ifn>kytfink и Ф*/Л/УоХФл* и тогда с помощью-аналогич-
помощью-аналогичных преобразований найдем матричные элементы операторов
5]
и 5K/// = -j
s
*^. „*=т S <ф.-* voи «,н'Ф„*> - g? S ИГ {иСи \. *--»•
XX' XX'
C2.28)
В результате получим систему уравнений для коэффициентов спь,
подобную B2.11):
+ Ж" + ^2 + Ж']п.к,% nh + Enbn'nbk'u) спи = /А -^ сП'к>9
nk
C2.29)
где 5^! и 5^2 — операторы, введенные в B2.10) при построении
спектра fep-методом:
1 h2k2
2d>2 n'k\ nk = — ftkpn'nhb'k, 2&\ n'k' nk = -^ bn'n&k'k> C2.30)
Для того чтобы от точной системы уравнений C2.29) пе-
перейти к системе уравнений, содержащей лишь коэффициенты
cnk, относящиеся к одной зоне, надо, как и в §§ 21, 22, устранить
междузонные матричные элементы операторов <5#2 и Ж'. Опе-
Оператор Жч в точке нулевого наклона не содержит внутризонных
матричных элементов. Используя соотношение
(Wo) г|) = V (ЗД) - ^ОТ = (V^o) * = | {р^о) Ф,
матричные элементы оператора Wo = (i/ti) {р?ё0} можно пред-
представить в виде B1.35):
C2.31)
где юй'й = (?д/ — ?п)/й.
/ ^ - 437
Отсюда видно, что оператор Ж' также имеет лишь между-
междузонные матричные элементы. Хотя операторы Ж' и Ж'" имеют
и междузонные матричные элементы, но, устранив их, мы полу-
получили бы в Ж члены либо квадратичные по смещению, либо со-
содержащие вторые производные от смещения и и первые произ-
производные от икк. Поскольку члены такого же порядка опущены
в C2.6) и C2.7), то их не надо учитывать и здесь и надо сохра-
сохранить лишь внутризонные элементы этих операторов.
Так как смещения и зависят от времени, то при устранении
междузонных матричных элементов Ж* вследствие явной зави-
зависимости матрицы преобразования 5 A5.33) от t в Ж появятся
добавочные слагаемые. Однако, как показано в § 22, эти члены
в ю/ffln'n раз меньше основных. Так как частоты колебаний ре-
решетки со <С Eg/h, то эти добавочные члены можно опустить.
В результате получим систему уравнений, подобную B2.12):
m'k', mkCmk = /А ~^~ Ст'Ь',
C2.32)
mk
где в соответствии с A5.47) Mm'k',mk наряду со слагаемым,
определяемым уравнением B1.19), содержит члены
m'k', mk
0 m'k' % mk
+ ¦
V"
m'k', mk
", mk
m'k\ sk'/(™2sk\ mk
Em - Es
C2.33)
sk
Члены второго порядка по Жг\ т. е. квадратичные по смещению,
учитывать не надо. Используя формулы C2.26), C2.30) и
C231) 9^ Жг\
у у фру
C2.31) для матричных элементов операторов
ний член в C2.33) можно переписать в виде
()
и Жг\ послед-
последБфт, т' I, j
после чего можно выполнить суммирование по s, учитывая, что
система функций фпЛ является полной, а матричный элемент
ртт' в точке экстремума равен нулю и потому суммирование
можно распространить на все s, включая совпадающие
с /п, т\ ... В результате получим
~~ У "т" ~4
Л ~~ Uk'-k,
d2
dXj
=
dxt dx.
m ) =
m
Здесь мы обозначили q = kf
метрия матричного элемента
Im'
-k. При этом использована сим-
д2 \
dxi
т
I
438
к перестановке индексов / и /. Объединяя это слагаемое с пер-
первым членом в C2.33), получим выражение для оператора <5#ак,
определяющего взаимодействие с акустическими колебаниями:
Y^
— Л
(^{\?\)) C2.34)
t m'm — Л &q, i]um'm —
а
Второе слагаемое в C2.33) дает оператор <Ж0ПТ, определяющий
взаимодействие с оптическими колебаниями:
ЖГт-т = у 2 ufV^n = ^2 "Г' V IVZ | m>. C2.35)
У. X' К, X'
Если теперь перейти в C2.32) к ^-представлению, т. е. умно-
умножить правые и левые части на etkx и выполнить суммирова-
суммирование по ft' и ft, аналогично тому, как это сделано в § 22 (уравне-
(уравнение B2.14а)), то получим систему уравнений для функций $Гт\
2 {У&т'т (*) + $вm'm + %т'т ~ Ет) ЗГт = Щ -~ , C2.36)
т
где
^K,w(г) = 2 ЪцО\1>т, C2.36а)
ч
гь^ОПТ Л.ОПТЧ J_ V^ XX'irXX' /q
<sWm'm \** / — о ^^ m'm опт* ^
Из C2.36а) и B9.21) видно, что оператор 2ёЛК совпадает
с оператором Жг, который определяет изменение спектра при од-
однородной деформации. Эффективный потенциал, создаваемый
колебаниями решетки, определяемый уравнением C2.36), на-
называется деформационным потенциалом, а входящие в <5$ак кон-
константы D, которые одновременно определяют и изменение
спектра при однородной деформации, являются введенными ра-
ранее константами деформационного потенциала. Матрицу 3%ак и
матрицу ЗК°пТу описывающую взаимодействие с оптическими ко-
колебаниями, связанное с короткодействующими силами, можно
также построить, использовав изложенный выше метод инвариан-
инвариантов. Для этого надо записать Ж°ит в виде суммы произведений
матриц X, преобразующихся по неприводимым представлениям,
на комбинации смещений и? > преобразующихся по сопряжен-
сопряженным представлениям. Эти комбинации и™' являются нормальны-
нормальными колебаниями, соответствующими предельным оптическим ча-
частотам.
С помощью метода инвариантов можно при необходимости
легко найти релятивистские поправки к константам дефор-
деформационного потенциала. Однако обычно спин-орбитальное
взаимодействие достаточно учесть лишь в нулевом прибли-
приближении по k и 8, для чего в качестве базисных функций мат-
матрицы Ж надо выбрать собственные функции оператора <5^0, вклю-
включающего <5^со.
Для учета дальнодействующих сил в C2.36) надо включить
матрицу Жк,т'т = — еудт'т, где ф — потенциал, создаваемый
соответствующими колебаниями и определяемый уравнениями
C2.16), C2.21), C2.22), C2.236) и C2.25). Из сравнения C2.366)
и C2.22) видно, что в неполярных кристаллах короткодействую-
короткодействующие и дальнодействующие силы, связанные с оптическими коле-
колебаниями, дают вклад в Ж одного и того же, т. е. нулевого, по-
порядка по <7> тогда как в полярных кристаллах вклад дально-
дейетвующих сил, как видно из C2.21), более низкого порядка:
6УД ~ q~l. Точно так же пьезоэлектрические акустические коле-
колебания приводят к потенциалу C2.236) нулевого порядка по qy
тогда как короткодействующие силы, как и дальнодействующие
силы в непьезоэлектрических кристаллах, в соответствии с
C2.36а) и C2.25) первого порядка по q.
Что касается соотношения этих сил в непьезоэлектрических
кристаллах, то в настоящее время нет никаких эксперименталь-
экспериментальных данных, показывающих, что дальнодействующие силы
играют существенную роль при рассеянии на акустических коле-
колебаниях, а также при рассеянии на оптических колебаниях в не-
неполярных кристаллах. Поэтому мы ниже нигде не учитываем их
вклада в рассеяние. Надо, однако, подчеркнуть, что, с другой
стороны, нет никаких теоретических расчетов, показывающих,
что потенциал ср(#) в таких кристаллах должен быть мал по
сравнению с деформационным потенциалом.
Вероятности перехода
Для того чтобы рассчитать вероятность перехода электрона
из одного состояния в другое под действием возмущений Ж™
и ЖопТ в C2.36), надо прежде всего найти собственные функции
оператора Ж{к). В случае вырожденных зон одному и тому же
значению k соответствуют разные значения Ei(k) (I = 1,2,...).
При этом в кристаллах с центром инверсии, как указывалось
выше, каждое из состояний kl двукратно вырождено с учетом
спина, т. е. данному значению Et(k) соответствуют две функции
ST i]u (/=1, 2). Каждая из этих функций может быть записана
в виде столбца с элементами @~sitk. Число строк этой матрицы
определяется размерностью представления. Например, для пред-
представления Г8 для решетки Ge и Si эти функции определяются
формулами B4.19). Далее по формуле A5.25) разложим сме-
смещение каждого из атомов в ряд Фурье. Соответственно разло-
разложение
440
для деформации еи(х) = -j\~ + -^f\, создаваемой
длинноволновыми акустическими колебаниями, имеет вид
в,/ = q JS 2_ aq^ цвч> + „+?. „*-'-. C2.37)
где
При этом в соответствии с A5.14)
eVv/* = 6vv,, evev' = 0 при v#v'. C2.39)
Полная волновая функция системы представляет произведение
электронных функций &~ и фононных функций. Правила отбора
для операторов а и а+ на фононных функциях определяются
выражениями A5.26). В результате окончательное выражение
для вероятности перехода из состояния kit в состояние WVV
с поглощением акустического фонона v примет вид
/V/'. »+, = х (l^r) I № * + ? I ^ Ы I Uk) |2 X
Xв(?/(*)-?i'(* + ?) + A<»«v). C2.40)
где
(l't'k'\m\ltk) = 2 rvrvXtrPm,
sr
а матрица <3^ (egv) определяется формулой C2.36а). Чтобы по-
получить полную вероятность перехода электрона из состояния
с энергией Et(k) в состояние Er(kf), надо просуммировать
C2.40) по конечным состояниям V и усреднить по начальным
состояниям t, а также усреднить по начальным состояниям фо-
нонов, что сводится к замене чисел заполнения nqv их средним
значением nqy}, определяемым уравнением A5.24). Эта вероят-
вероятность
Pf.k+q = Ц- (-2^r) rf*+* (VN (^ (ft) - Ev (ft + q) + /zco,v),
C2.41a)
где
'() S C2.42)
»*
/**
Аналогично полная вероятность перехода из состояния
с энергией Et(k) в состояние Ev (к1) с испусканием акустиче-
акустического фонона равна
C2.416)
441
Таким же образом для полной вероятности переходов с погло-
поглощением и испусканием оптических фононов получим
X 6(Ei{k) - ?/- (k + q) + Асе?117), C2.43a)
on _2n I h (^v"T + 0 \ wout / v , Л v
*/', k — q ~~~ I onT j VV /'t ^ — qr \Corn V*/7/ /\
X б (Et (k) - Ev (k-q)- Йо)?пт), C2.436)
где (й°пт — предельная частота для v-й ветви оптических коле-
колебаний,
г^опт / v \ 2
7
C2.44)
а ^опт (еопт) — матрица, матричные элементы которой в соот-
соответствии с C2.366) равны
1 " ^-^)Стопт. C2.45)
В случае, когда зона в точке k0 вырождена лишь по спину, в со-
соответствии с B9.28)
=
т. е. Wlh зависит только от разности k' — k = q.
В кубических кристаллах в приближении упругого конти-
континуума акустические колебания можно разделить на одну чисто
продольную моду с eqi — q/q и две чисто поперечные, для ко-
которых е можно выбрать в виде
( Чу
C2.47)
Соответственно для продольных колебаний
WТ, k±4 к = q [DZ2 + (Dxx - Dzz) sin2 ft cos2 <p +
+ (Dyy-DzZ)sm2®sin2q>Y, C2.48a)
где ft и ф — полярные углы, определяющие направление век-
вектора д. При этом за полярную ось выбрана главная ось эллип-
эллипсоида Oz. Суммарное значение Wt,*±« Для обеих поперечных
мод равно
WT.k ± я, * = т Ф №хх ~ Dyyf sin4 ft sin2 2Ф +
+ (DXX- DzzJ sin 2ft cos2 ф + (Dyt - Dzzf sin2 2ft sin2ф]. C2.486)
442 ^ ¦ '' '
Для групп G*o, содержащих оси выше второго порядка,
в соответствии с B9.29) Dxx = Dyy = D± и DZZ = D{{ и
WZu ± q, k = q2 [Dl{ + (D± - D,,) sin2 d]2, C2.49a)
^r% ± *. * = | ФФ\\ ~ D±J sin2 20. C2.496)
Для кубических групп G*o согласно B9.33) Dy = D± = с,
в этом случае при невырожденных зонах рассеяние происходит
только на продольных акустических колебаниях:
WLt k ± q, k = C2q\ WTt k't k = 0. C2.50)
В кубических кристаллах оптические ветви в точке q = 0 трех-
трехкратно вырождены (если не учитывать дальнодеиствующих сил,
возникающих в полярных кристаллах), т. е. соответствующие
нормальные колебания преобразуются по одному из трехмерных
представлений, тогда как в Жоит в случае невырожденных пред-
представлений могут входить лишь моды, преобразующиеся по еди-
единичному представлению. Поэтому для кубических групп G^o
в случае невырожденных представлений рассеяние на оптиче-
оптических колебаниях, связанное с короткодействующими силами, от-
отсутствует.
Если же группа G*o имеет более низкую симметрию, то в со-
соответствующей группе направлений трехмерное представление,
по которому преобразуются оптические колебания, является
приводимым. Если среди неприводимых представлений, содер-
содержащихся в нем, окажется единичное, то оптические моды, пре-
преобразующиеся по этому представлению, будут входить в <?^опт,
т. е. эти моды будут вызывать рассеяние электронов.
Например, в решетке типа алмаза предельным оптическим
колебаниям, согласно табл. 23.4 (стр. 289), соответствует пред-
представление Г25. В группе С4г, являющейся группой направлений
для точки А, это представление в соответствии с табл. 11.1
(стр. 100) переходит в Г25->?2~ + ?+. Следовательно, в Si, где
экстремум зоны проводимости расположен в точке Д, электроны
не рассеиваются на оптических колебаниях. В группе Ьы =
= Csv X Си являющейся группой направлений для точки L,
Г25 = At + E+. Это означает, что в Ge, где экстремум зоны про-
проводимости расположен в точке L, электроны рассеиваются на
оптических колебаниях при смещениях п\г = —u2z = uOzj которые
преобразуются по представлению А\> и
M°mZ(u) = u0zVonrbmm>, где VmT=2V°?m. C2.51)
Здесь ось z направлена по [111] или эквивалентному направле-
направлению. Следовательно,
, 443
так как при одинаковой массе обоих атомов решетки для пре-
предельных оптических колебаний в\ = — е2, причем |?i|2=
Соответственно для продольных колебании
W°Lnl ± g, * = V2onT cos2*, C2.52a)
а суммарное значение WT для обеих поперечных мод
WtH ±g,k= V2onT sin2 ф, C2.526)
где fl1 — угол между направлением вектора q и осью z [111].
Так как частоты поперечных и продольных оптических ко-
колебаний в неполярных решетках совпадают, то здесь в C2.43)
можно сразу просуммировать вероятности рассеяния по всем
поляризациям, положив в соответствии с C2.44) WT± q% и = V2nT.
Из приведенных формул видно, что в случае невырожден-
невырожденных зон вероятность рассеяния из состояния ft в ft' C2.42), C2.44)
зависит только от направления вектора q = ft— ft'. Сложнее об-
обстоит дело в случае вырожденных зон. В качестве примера най-
найдем вероятности рассеяния для дырок в Ge и Si. Функции Flk и
энергия Ei(k) для дырок в Ge и Si определяются выражениями
B4.19) и B4.13а), а матрица Ж (г) — формулами C0.3), C0.4).
Оператор VonT имеет в данном случае один линейно независимый
отличный от нуля матричный элемент
VlTy = (X | VT \Y) = -^~- donT. C2.53)
Оператор <5$опт (еТ) можно получить и методом инвариантов.
Так как смещения и\2 преобразуются по представлению Ft
группы Oh = Td\Ci, этот оператор имеет вид
Жопт (и) = rfi= rfonT {uT [JyJz] + uT [Ыг] + "Г [/,/,]). C2.54)
При этом учтено, что аопт = у(щ — и2) = щ = — и2, т. е.
MonT{ev) имеет вид, подобный C0.3), с
рОПТ ОПТ л /ОПТ < /• V I V\ ; J ; V /оо р-г-\
f =g =0, Л = — «опт V^ + в*Л / = — d0nTie2y C2.55)
где
ev == еу = — ej.
Для расчета величины Wwjk, определяющей вероятность
рассеяния на акустических колебаниях, надо в соответствии
с C2.40) перемножить матрицы Wvt'v* 3t{*)> With и просум-
просуммировать по вырожденным состояниям. В результате после
довольно громоздких вычислений эту величину можно пред-
представить в виде
W™k> {г') = 6Ei (e', ft) 6Em (e/, ft') - 6?? (е') 6^2 (С) 4fЙ. C2.56)
444
.Здесь U т = \ означает легкие дырки, а /, т = 2 —тяжелые;
6?/(?, к) — изменения энергии соответствующих дырок при
деформации г при больших энергиях, определяемые выраже-
выражением C0.34), a 6E°i(z) — изменения энергии дырок в точке
* = 0. Согласно C0.5), C0.8) 6??, 2 (г) = ае ± tj2 и
(о*
C2.57)
функция ^й в C2.56) определяется выражением
2) C2.58)
где согласно C0.6)
Знак плю.Л в C2.58) соответствует внут|иэоннь-ч переходам,
т. е. l = m, а минус — междузонным, т. с. I Ф т.
Видно, что в этом случае и 4^4, и Wmk'jk зависят от на-
направления векторов k и W в отдельности. Величина W°mk\ik,
определяющая вероятность рассеяния на оптических колеба-
колебаниях, имеет вид, подобный C2.56):
(ev) = 6Ei (ev, k) 6Em (ev, *') - 6?? (ev) 6E°2 (ev) ^Й. C2.59)
Здесь б?/ (аопт, й) — изменение энергии дырок при смещении
каждой из подрешеток на величину и0ПТ — и{ = — и2, при энер-
энергиях, значительно превышающих расщепление зоны в точке
ft = 0, которое равно 6Е°\(и) — б?г(а).
Аналогично C0.34)
^ *ди;пт + ft^on^ C2.60)
ПТ) = - <ЙптИ2опт. C2.61)
Напомним, что константа dom в C2.54) имеет размерность
энергия/единица длины и величины 6?l/(ev, k) и 6E°t(ev), в от-
отличие от 6Ei(uonT, k) и 6?°(аопт), имеют ту же размерность,
что и donT.
Междуминимумное рассеяние
В том случае, когда имеется несколько эквивалентных экст-
экстремумов, электроны при рассеянии могут перебрасываться из
экстремума, находящегося вблизи точки feOi, в экстремум feO2.
445
Для расчета вероятности таких переходов воспользуемся общей
формулой C2.1). Используя A5.25), разложим смещения по
нормальным колебаниям aqv и перепишем выражение C2.1)
в виде
6V (х) = S [V^ (x) aqv + 1^а+], C2.62)
где
V*qv = 2 Vx (* - X*) el (Я) e~iqXl C2.63)
fx
Из C2.62) и A5.26) следует, что вероятность перехода элек-
электрона из состояния ki в состояние k2 с поглощением фонона qv
равна
tfoi+q, k2 ===
Для перехода с испусканием фонона в соответствии с A5.26)
hqv заменяется на hqv + 1, a K?v — на Vqv. Правила отбора для
матричного элемента Vk+q k2 = y(^pk2\ К^|фЛ)определяются за-
законом преобразования оператора Vqv. Из условия инвариант-
инвариантности гамильтониана C2.62) к операциям пространственной
группы следует, что если компоненты aqv при операциях g gG
преобразуются по представлению 2) группы Gq, то компоненты
V*qv преобразуются по комплексно сопряженному представле-
представлению 2)*. При других операциях пространственной группы, пере-
переводящих вектор q в неэквивалентную точку gq, компонента aqv
переходит в agqv или в комбинацию компонент agqv>, ана-
аналогично тому, как это имело место для блоховских функций. Из
определения Vqv (уравнение C2.63)) видно, что в последнем
случае Vqv также переходит в Vgqv. Следовательно, компоненты
Vqv{x) преобразуются по тем же представлениям, что и нормаль-
нормальные колебания aqv.
Зная эти представления, можно, используя формулы § 19,
установить, разрешены или запрещены переходы из состояния
k\ в k2 и какие фононы могут вызывать такие переходы. Для
произвольных точек kx и k2 такие переходы всегда разрешены,
однако, если эти точки находятся вблизи экстремумов ftOi и йО2,
симметрия которых достаточно высока, то вероятность перехо-
переходов из ki в &2 мала, если переходы из ftoi в йО2 запрещены. По-
Поэтому правила отбора необходимо определять именно для экс-
экстремальных точек ко.
Ниже мы рассмотрим правила отбора для междуминимум-
ных переходов между точками звезд X, Д и L в кубических кри-
446 , <',-.'<''.
сталлах типа Ge, InSb и PbS. Переходы между точками звезд X
и L вызываются фононами звезды X. Например, для звезды X
Переходы между точками Л (й = @0&0)) вызываются фононами 2;
ПрИ ko = 4— точка 2 с k = (kokQ0) переходит в точку К или
т,г *_ 2я / 1 1 « \ , ^ 3 я
эквивалентную ей точку К с к = — [-jf l)» а ПРИ feo >^ "^—
в точку 2' с * = (*о*о-^). где ?'0 = -^ - k0 < -g-.
Все эти точки X, А и L относятся к случаю а2, и правила от-
отбора в этих точках определяются формулой A9.41), согласно
которой число отличных от нуля матричных элементов для пе-
перехода из состояния ^ в f fffc с излучением фонона ветви v
с волновым вектором q = k0 -\- gs^o равно
г О2)} •
C2-65)
Здесь go — элемент группы Go, являющейся пересечением групп
Gk у G-gsbQ и Gq> a ho — число элементов этой группы. При
этом элемент, входящий в пересечение двух из этих групп,
всегда входит и в третью. Во второй сумме отличны от нуля
лишь характеры тех элементов (grgj1J, которые входят в СЛо.
При этом grg~l e= Gq\ и наоборот, если grg~x e= Gq, то
(бг^Г1J^ ^Ло- Во всех рассмотренных случаях такие элементы
имеются (если таких элементов нет, то согласно A9.42) в% C2.65)
2h0 заменяется на /i0). При переходах между точками звезды X,
когда фононы также принадлежат звезде X,
gi — элемент, переводящий k0 в q. При этом надо иметь
в виду, что элементы grlgogr так же как и g~lgogs и (grg~1J
в C2.65), могут содержать и тривиальные трансляции, что
существенно при определении правил отбора для переходов
между точками L и X для кристалла типа Ge.
Результаты расчетов приведены в табл. 32.1, где указано,
какие фононы могут вызывать переходы между соответствую-
соответствующими состояниями электронов. Из этой таблицы видно, что
в кристаллах типа PbS междуминимумные переходы между
' 447
Таблица
Правила отбора для междуминимумных переходов
32.1
Тип
кри-
кристалла
Поло-
Положение
экстре-
экстремумов
Предста-
Представление
Разре-
Разрешены
переходы
с фоно-
нами
предста-
представлений
Ge
Л
Al-4
(или
X
*,-4
х„
х3
L
^¦1,2.
^1, 2
Ls
2Х2,
х3
InSb
д
Al-4
или
X
Хи
Х3
хх
X»
х,
х,
х5
Хи
х<,
Хъ
L
L\, 2
Хи
Х4
2Xlt
Хи
Хь
PbS
Д
Al-4
2,
(или
Кг. II)
X
А1-5
L
Ly-ъ
^1-3
точками звезд X и L с участием фононов X запрещены, так как
в точке А' фононы преобразуются по нечетным представле-
представлениям Х~, тогда как произведение электронных функций соот-
соответствует только четным представлениям. В остальных случаях
междуминимумные переходы разрешены При этом инвариант-
инвариантность к инверсии времени запрещает часть из возможных пере-
переходов, например, переходы между точками звезд X и L в Ge
с поглощением или излучением фононов A'b
ГЛАВА VI
ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА СВОБОДНЫЕ НОСИТЕЛИ
§ 33. ЦИКЛОТРОННЫЙ И КОМБИНИРОВАННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
Ъ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ГЕРМАНИИ И КРЕМНИИ
В предыдущей главе мы выяснили, как изменяется спектр
носителей тока — электронов и дырок — при деформации. В на-
настоящей и следующей главах будут рассмотрены физические
эффекты, связанные с этим изменением спектра
Циклотронный резонанс, т. е. резонансное поглощение СВЧ,
связанное с переходами электронов между уровнями Ландау,
является наиболее прямым методом, позволяющим непосред-
непосредственно определить, как изменяется спектр при деформации. Ре-
Резонансная частота, называемая обычно циклотронной частотой,
определяется спектром носителей в магнитном поле. Для того
чтобы найти этот спектр, надо решить уравнение Шредингера
в магнитном поле:
0e-?)F = O, C3 Л)
где К = k + -^r <2# — обобщенный импульс, Я = rot <Л, a F — вол-
волновая функция в приближении эффективной массы.
Рассмотрим сперва циклотронный резонанс в деформирован-
деформированных кристаллах с валентной зоной типа германия. Для герма-
германия, кремния оператор Ж(К) для одной из расщепившихся
в результате деформации валентных зон в квадратичном по k
приближении определяется уравнениями C0 14)—C0 20). Что ка-
касается оператора Ж8, описывающего спиновое расщепление, то
для его определения надо записать спиновый гамильтониан в не-
деформированном кристалле, определяемый уравнением B6.14),
в представлении B4.19), диагонализующем гамильтониан Ж{г,Ь)
в деформированном кристалле, аналогично тому, как это дела-
делалось при определении линейных по k членов в § 30 (уравнение
C0.40)). В результате для верхней из отщепившихся зон по-
получим
Ж, = ЭВпог + Ж\2о+ + Ж\тР-\ C3.2)
15 Г Л Вир, Г Е. Пикус 449
здесь
+ ±У?- (Ех - f) (Л*Я_ - hH+)). C3.3)
'Л* - / /3 (Е 1 - /) /Я+ + I (?, - ff Я_},
где
Н^Н± 1Н | c12 = (Е-f)(?,.2
Н±^НХ± 1НУ, | clt212 = (Еи2-
/, Л, / определяются уравнением C0.4), a g = go# (при $? =0).
Спиновое расщепление A?s = ^cos при произвольной деформации
определяется выражением
где
«L = ^ № + ь(е~Зе-)]2 +3rf2 («** + е-I •
V- C3.5)
й,=^тг11^*л - «зд [2gi/2 -& (е -3e-)]};
йГе определяется выражением C0.8). (Остальные компоненты
получаются циклической перестановкой х -* у —> г.) В частно-
частности, при деформации по главным осям [001] или [111]
9 C3.6)
где Н2^^ Н2Х + Н2у\ при этом ось z направлена по [001] или
[111] соответственно, а
о __ /-f2 /1 i О\2 /^2 —. /-г2 /1 i I \2 /QQ Г7\
Здесь верхний знак соответствует Ьг' > 0 или def > 0, а ниж-
нижний — be' < 0 или de' < 0.
Классический циклотронный резонанс
Если ограничиться в 2@(К) в C3.1) квадратичными по К
членами, то в том же приближении нет необходимости учиты-
учитывать зависимость ^-фактора от К. Так как циклотронные пере-
переходы происходят без изменения спина, то в этом приближении,
когда циклотронная частота одинакова для всех электронов, во-
вообще нет необходимости явно учитывать спин, и уравнение C3.1)
в главных осях тензора эффективной массы сводится к такому:
2т *м *-1* —v# C3.8)
Переходя к переменным
450
и соответственно
k'^k^mlmrf12, stft = st^m/mrf1*, Щ = Н't(mt[m)m, C3.10)
можно привести Ж{%) в C3.8) к сферическому виду. Если те-
теперь направить ось г" по направлению поля //', равного по
величине
'" "'" C3.11)
и выбрать
запишется
у" = 0, s&z" = 0, то уравнение C3.8)
(ЗЗЛ2>
Здесь опущены штрихи у kt и xt. Как известно [1.7], решение
этого уравнения имеет вид
Fn = e4h*+k*)<!>n{y + yd, C3.13)
где
yQ = s2kx) s2 = hc/eH\ C3.14)
а Фп (У + Уо) "" функции гармонического осциллятора, т. е. соб-
собственные функции оператора
*=ж к4 (^+^2 -
Введем операторы
которые согласно B2.19) удовлетворяют соотношению
{<ш+}=1.
Тогда оператор К\ + К2и запишется в виде
К1 + К2У = s-2 (аа+ + а+а) = 2s~2 (а+а + j).
Функции Fn удовлетворяют соотношениям
откуда
Из C3.12), C3.18), C3.20) следует, что
т
где циклотронная частота
* 15*
их—'
C3.15)
C3.16)
C3.17)
C3.18)
C3.19)
C3.20)
C3.21)
C3.21а)
451
При наличии переменного электрического поля <?(/) = 2$ sin <of
в гамильтониане C3.1) bq| надо включить <з#(/) = 2% — cos со/,
что приведет в линейном по полю приближении к появлению
в C3.8) добавочного слагаемого
При преобразовании C3.9) &{ переходит в S>'i==
а У -i- (Kt&t) — в — AС7<В7), и оператор ^ в перемен-
ных C3.16) запишется:
+ *****)• C3-23)
Здесь ^ = -р=-((Г;±/^), а <?;, ^, ^-проекции век-
вектора Щ' на оси х"> у", z". В соответствии с C3.19) Ж% имеет
отличйые от нуля матричные элементы между состояниями п
и п± 1, если поле V имеет составляющие <g'x и %'. Следова-
Следовательно, переменное электрическое поле %' вызывает цикло-
циклотронные переходы, если оно имеет компоненты, перпендику-
перпендикулярные Н'. Это, однако, не означает, что переходы всегда
запрещены, если поле Ш параллельно Я, так как если Ш и Н
не направлены по одной из главных осей эллипсоида, то при
Ш\\Н поле %' не параллельно #'.
Переходя в C3.21а) к исходным переменным C3.10), C3.11),
найдем зависимость сос от ориентации магнитного поля относи-
относительно главных осей эллипсоида х, у и г:
еН 1 sin2 Ъ cos2 ф . sin2 Ъ sin2 ср . cos2 Ь /оо П/|Ч
0 — 9 где —т— 1 1 l_# C3.24)
тсс mrc mxxmZ2 "iyymz2 rnxxmyy
Здесь О — угол между направлением магнитного поля Н и
осью 2, а ср — угол между плоскостями гН и г*. В частности,
при деформации вдоль главных осей [001] или [111], когда по-
поверхности постоянной энергии — эллипсоиды вращения, цикло-
циклотронная масса тс зависит только от угла О между направлением
магнитного поля и направлением деформации:
J_ = _sin4^ + ^Ч>_ ^ C3>25)
где т., и т± определяются выражениями C0.19) или C0.20)
соответственно.
Измерение циклотронного резонанса на деформированном
p-Si проводилось Хенселом и Фехером [29.1]. На рис. 34 видно,
45:-
что при увеличении деформации резонансные линии легких и
тяжелых дырок исчезают и появляется новая линия, соответ-
соответствующая дыркам в верхней из расщепившихся валентных зон.
Кроме того, видно изменение интенсивностей электронных ли-
линий, вызываемое перетеканием электронов из экстремумов,
Легкие
дырни
i Тяжелые
I дырки
Р-0
| бтшепибшаяся
I зона дырок
500
WOO
2OOQ
Рис. 34. Циклотронный резонанс на деформированном p-Si [29. 1]. По оси
абсцисс — магнитное поле в эрстедах, v » 8900 Мгц.
расположенных на осях [100] и [010], в экстремум [001], который
при деформации смещается вниз.
Как видно из рис. 35, для отщепившейся дырочной зоны за-
зависимость циклотронной массы от угла д хорошо описывается
уравнением C3.25). Из кривых тс{Ь) можно определить значе-
значения т„ и т± и по формулам C0.19) или C0.20) найти значе-
значения констант Л, В и D *).
Такие измерения дают возможность определить знак произ-
произведений ЬВ или dDy но не позволяют найти знак В и D в от-
отдельности, так как знак в выражениях C0.19) и C0.20) для
Шц и т± зависит от знака констант деформационного потенциа-
потенциала Ъ и d.
Как было показано в [29.3], знак и величину этих констант
можно определить, измеряя зависимость эффективных масс от
*) При этом надо иметь в виду, что все приведенные выше формулы на-
написаны для электронов. Если носителями тока являются дырки, то надо Ж
заменить на —Ж и е на — е, что эквивалентно изменению знака эффектив-
эффективных масс и магнитного поля.
453
5
m
0,28
0,24
.4—
p\\[oo//\
2130нГ/СМ*
[qoj] [111] q [itbj
деформации. В кремнии, где величина спин-орбитального рас-
расщепления невелика (Асо = 0,0441 эв), удается надежно изме-
измерять изменение эффективных масс, связанное с влиянием отще-
т пившейся зоны, определяемое
выражениями C0.24)— C0.26), а
при деформации по [001] и
[111] —формулами C0.30) и
C0.31).
На рис. 36 показана зависи-
зависимость тс от нагрузки Р (при
Н\\Р). Видно, что 6т* линейно
зависит от е лишь при больших
деформациях. Нелинейный ход
6т* при малых е связан с непа-
раболичностью зон при малом
расщеплении Де. В условиях,
когда отношение kT/Ae не очень
мало, становятся существен-
существенными слагаемые четвертого и бо-
более высокого порядка по &, оп-
определяемые уравнениями C0.5)
и C0.21). При учете этих сла-
Рис. 35. Зависимость циклотрон- гаемых циклотронная частота са-
сама зависит от номера уровня /г,
что приводит к сдвигу линии с
повышением температуры или
0,36
Ot28
О,2О
P\\[111]\
1925нГ/см2
О 10 20 JO 40 50^60 70 80 90°
[W] [001] е2
ной массы в p-Si от угла между
направлением магнитного поля
и направлением деформации [29. I]. r__jr_
О,-угол между магнитным полем уменьшением нагрузки' \ зави-
и осью [001] в плоскости (ПО) J 2
(в градусах); Ф2 — угол между симость сос от kz вызывает так
магнитным полем и осью [111] называемое fez-уширение линии,
в плоскости (ПО). которое увеличивается с умень-
уменьшением е.
Увеличение эффективной массы за счет членов ~kA также
обратно пропорционально деформации, тогда как согласно фор-
формулам C0.24) —C0.26) 6m* m
пропорционально е^. Общий щ
ход тс(е) хорошо аппрокси- °>268
мируется зависимостью
l i Y ОЧ266
тс&) ™с Ezz ZZ 0,264
При этом константа а для
деформаций по [100] или 0,262
[111] определяется уравне-
уравнениями C0.30) и C0.31). Оп-
\
\
Н\\[ОО1]
/О 12
Р,Ю2нГ/см
прпелин ич экгпрпимрнтяль Рис. 36. Зависимостьци.клотроннои массы
ределив из эксперименталь- в Si от величины деформации [29.1].
иых данных значения у и ос,
можно найти константы bud, входящие в C0.30) и C0.31),
и далее, зная их знак и знак произведений ЬВ и dD, опреде-
454
лить знак В и D. Значение отношения b/d определялось незави-
независимо из аналогичных измерений при деформации по оси [ПО].
В табл. 40.2 (стр. 572) приведены значения констант Л, В, D,
Ь и d*), определенные указанным образом.
Заметим, что при обратном знаке деформации, когда кри-
кристалл подвергался не сжатию, а растяжению, никаких заметных
изменений циклотронной массы при больших деформациях не
наблюдалось [30.1]. Как указывалось в § 30, при деформации
по главным осям [100] или [111] при Ьг' < 0 или de' < 0 этот
эффект действительно должен отсутствовать.
Квантовый циклотронный резонанс
В p-Ge из-за большого спин-орбитального расщепления ука-
указанный метод измерения констант деформационного потенциала
непригоден, так как вклад отщепившейся зоны оказывается
сравнимым с вкладом других близлежащих зон, например, зоны
проводимости. Однако для Ge оказался пригодным другой ме-
метод — квантовый циклотронный резонанс в деформированном
кристалле. Как отмечалось выше, вследствие непараболичности
расщепившихся при деформации зон циклотронная частота
o)n+i, п = (Еп+\ — En)/h, пропорциональная разности энергий
Д?п+1, п уровней п + 1 им, уменьшается по мере увеличения п.
В сильных магнитных полях и при низких температурах и не
очень больших деформациях удается разрешать отдельные ли-
линии, соответствующие разным п, и измерять их смещение при
деформации. Для расчета положения этих линий при больших п
достаточно включить в Ж {К) члены ~ КА, определяемые урав-
уравнением C0.21). Однако в условиях квантового циклотронного
резонанса, когда йсос порядка kTy существенны уровни с ма-
малыми п и эта формула становится неприменимой, так как в этом
случае уже надо учитывать некоммутативность операторов Ki
в магнитном поле. Для того чтобы определить гамильтониан
2ё(К) в магнитном поле в деформированном кристалле в более
высоком приближении по /С, надо сперва, используя функции,
подобные B4.19), перейти к представлению, в котором матрица
^(е)диагональна. В этом представлении подматрицы Хц(К,ъ)
и Х\\\\(К, в) диагональны:
Xi i = 1ЕХ (К, е), Хп и = 1Е2 (К, е).
Здесь Еи2(К,ъ) определяется уравнением C0.14), а / — еди-
единичная матрица 2X2. Далее, используя формулу A5.49), надо
исключить недиагональные члены Х\\\ и Ж\\\, учитывая при
этом некоммутативность операторов К. При этом надо иметь
•) В обозначениях [29.3, 40.3] a =
2 v
з Пф
2
3
2
455
в виду, что исходная матрица Ж (К) включает в соответствии
с B2.20) симметризованные произведения [КаК$], и коммутатор
от этих произведений равен
Наряду с этим надо учесть зависимость ^-факторов от волно-
волнового вектора /С, для чего при преобразовании л8, подобном
C3.2), надо заменить /, g9 h, j на F + f, 9 + g, H + h и / + /,
где F9 9, H и J определяются выражениями B4.11). Если де-
деформация и магнитное поле направлены по главным осям [001]
или [111], нет необходимости применять указанный выше общий
метод, пригодный при любом направлении деформации и маг-
магнитного поля, так как в этих случаях можно сразу использо-
использовать представление, в котором матрицы Ж (г) и Ж5 = \хоЯо^ (JH)
диагональны, т. е. тем самым исключаются два из указанных
преобразований. Для первого случая это представление B4.12),
B6.12), C0.3), C0.9). Для второго случая соответствующий
оператор Ж (/С, в) можно получить из B6.12) и C0.9), пере-
переходя к системе координат с осями г' [111], х' [112], у' [ПО], ана-
аналогично тому, как это сделано в § 31 при переходе от C1.9)
к C1.11). k
Согласно C1.10а) гамильтониан Ж (К, е), определяемый урав-
уравнениями B6.12), B6.14), C0.9), B7.62) в новых осях имеет вид
(для дырок при ^ = 0)
36 (К, г, Н) - (у, - 4 Уз) /С2 + ^ V3*f +
г rr tjt _^_ Г г г Л If J{ \ _^
- 41 (V. ~ Y3) (V+f. + /2-^-^) -
- -г (v, - v3) ([V+] П ~ [V-] к2-) + (A - т d3) .
15 1
4 3 22 Зг 3 г zz r 3 \ 2 3-
3
2/2
- -f (?>2 - D3) ([/г/+] e+ - [/г/_] e_ + goto* №, C3.26)
где Di = — a, D2= — — b, D3 == — —7=. Остальные обоз-
начения согласно табл. 31.4 (стр. 410).
456
В случае, когда и деформация и магнитное поле направлены
по оси [111], т. е. когда в C3.26) отличны от нуля лишь ком-
компоненты егг и Нг, матрица Ж (К, е, Н) имеет вид
ъ) Bа+а + 1) S
, - 2y3) k\ + J-
и =
ht* -fits
C3.27a)
C3.276)
C3.27b)
где
Л13 = - 2 (f )'/2 [fa - Y2) «
AM = - 2 D-)'/2 [(Y2 + 2Y3)
2 + (Y3 + 2Y2) as-'ftJ,
2 + 2 (Y3 - Y2) a+s~lkz].
При этом мы сразу ввели операторы а и а+, заменив в соответ-
соответствии с C3.16) К+ на Y% s~la и К- Hal/^s^. Далее, исклю-
исключая недиагональные члены, найдем
> If _L
'II и—
Р
дI и\\д
Здесь Де = B/1/3)^8^ и в отличие от C0.13) может быть по-
положительной и отрицательной. Матрица Ж\\\Ж\\\ включает на-
наряду с диагональными членами четвертого порядка по k или а,
которые можно сразу определить из формулы C0.21), также и
члены второго порядка по k или а, связанные с некоммутатив-
некоммутативностью операторов а, а+.
Подставив C3.27) в C3.28), получим
= 1 Де
Ya) s-2 [a+a] + (Yl - 2у3)
[а+2а2] + 2 № - Y') S
l [а+а]} + в2 {|
- 2 (Ya ~ Y2J] s-
~ 2 (?з - Y2J] ^
- Y3) [2 (Y2 + 2y3) s-< [a+a] - (y
C3.29)
457
и и = - у Де + 2 (Y, ~ Y3) *~2 [*+a] + (V,
? ~4 [a+2a2] + 2 (Y23 - Y22) s~ 'kz (a*
2Y2) s~262 [a+a]] + oz {1
[ a+a
+- 24 /2 Y2Y35^2 (^+^ + <^-a+). C3.30)
+
Решение системы уравнений Шредингера с гамильтонианом
I
C3.29) или C3.30) можно искать в виде Fn =
I
где
Fn — функции, определяемые уравнением C3.13). При этом
слагаемые, содержащие в знаменателе Де, можно рассматри-
рассматривать как возмущение. При kT <C ficoc в этих слагаемых можно
опустить члены, содержащие k2i так как ^2&2/2т*г « kT. В этОхМ
приближении функция Fn является точным решением соответ-
соответствующего гамильтониана, так как в соответствии с C3.20) и
C3.17)
[a+W] Fn = {{а+аУ + (a+a) + 1) Fn = (д2 + az + 1) Fn. C3.31)
Далее удобно выразить константы у\, у2 и Y3 в единицах
ft2/2m, где т— масса свободного электрона, т.е. перейти к без-
безразмерным константам [20.1], имея в виду, что
C3-32)
т тс Vf ruou тс
Если опустить слагаемые, содержащие kz9 то спектр дырок
в этих обозначениях будет иметь вид
± { 4 Йсо0^ + 4 i^ [(Y2 + 2Y3J - 2 (y3 - Y2J] [n + у] }. C3.33)
^ ^ ~ Уг)
± { i- /to0* - 2 ^ (y2 + 2Y2) (« + 4) } • C3.34)
Вклад в Еи недиагональных членов в C3.30) учитывать не
надо, так как он порядка (Лсоо) /Ле» а члены такого порядка
опускались в разложении C3.28).
458
Из C3.32) следует, что для серии уровней Е1±, которые
при \e = 2dszzl\r3>0 являются нижними уровнями дырок,
циклотронные частоты для переходов п+\-+п
определяются выражениями
- - Yi - Y3 ~ -~f- (Y| + Ч) (n + 1 ± 1), C3.35)
т. е. изменение циклотронной частоты с деформацией для верх-
верхнего из спиновых уровней
C3.36а)
а для нижнего спинового уровня
^~^М + *Э«- C3.366)
Из формул C3.36) видно, что для перехода 1~->0~ частота
но зависит от деформации, тогда как для остальных переходов
о)с падает, а следовательно, тс растет по мере уменьшения де-
деформации.
Для серии уровней El±i которые являются нижними уровнями
для дырок при de < О,
C3.37)
т. е. при de < 0 для всех уровней о)с падает с уменьшением де-
деформации.
Из C3.35), C3.37) видно, что при больших п изменение цик-
циклотронной частоты для обоих спиновых уровней одинаково, а
для термов Ei и ?ц отличается лишь знаком, что сразу видно
и из формулы C0.21).
Экспериментально циклотронный резонанс на деформиро-
деформированном германии при низких температурах наблюдался Хенсе-
лом [30.2]. На рис. 37 показана зависимость отношения (о0/оэ*+1 п
от е для переходов между различными уровнями, показанными
на схеме вверху. Сплошные линии — теоретические кривые,
результат решения на ЭВМ системы уравнений C3.27), опреде-
определяющих спектр при произвольной деформа тт и Параметр d
подбирался из условия лучшего совпадения теоретических и
459
экспериментальных кривых и оказался равным d=— 4,4±0,Зэз,
а значение Yi — Уз==z — А + DJ2 УЗ, определенное из положения
0,50
ОАО
030
0,20
0,10
О
с
1
1
«00
i
^
11
о
1 _
1 "*
1
\
\
\
О '
г
Классический
у*4~ предел
Ь—О--0-
5~
V
¦^^.
1—*—-^
*,
О О О
If
25
X20
5
Уровни'f Ландау
~ -2LY4—7+
- 5
3'
О1
—о-
1
' • А—
-^-^ ,
О О О-
3*
5
—з*
—г*
—о*
i^r
.С-4-
О -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70
-80 -SO -/00
ас'
Рис. 37. Зависимость циклотронной частоты в p-Ge от величины деформа-
деформации [30. 2]. На рис. 37 и 38 по оси абсцисс отложена относительная дефор-
деформация xr = v- тт,—-. Энергия на шкале уровней дана в единицах ЪеН/тс.
несмещенной линии, в единицах fi2/2m0, равно 7,745 ± 0,012,
что хорошо согласуется с другими данными, приведенными
в табл. 40.2 (стр. 672).
Комбинированный резонанс
Недиагональные матричные элементы в C3.29), C3.30) не
дают вклада в спектр в рассмотренном приближении, но за счет
этих членов оказываются возможными переходы с изменением
спина в переменном электрическом поле. В отличие от обычного
парамагнитного резонанса, когда такие переходы вызываются
магнитным полем, этот эффект, предсказанный впервые
Э. И. Рашба [31.1], называется комбинированным резонансом.
Как указывалось выше, вероятность переходов в перемен-
переменном электрическом поле определяется оператором <9% = (e/ftc)X
X[V*^(ft)<3#]. Если исходная матрица Ж {к) содержит только
460
квадратичные по k члены, то матрица Ж%, аналогичная C3.23),
получается из 3ft [k) заменой:
. _ е$- (О
, е&+ (t) .
анаа + s ^; , а+ на
Отсюда следует, что недиагональные элементы матрицы Ж\>
определяющие вероятность перехода между состояниями Е1+ и
Е1- в соответствии с C3.29), равны
-^ (Y2 - Y3) [(Y2
2gz}ex. C3.38)
Здесь, как и в C3.33), C3.34), константы Yi и уг выражены
в единицах Ь2/2т0. Видно, что поле <?||Я вызывает переходы
между спиновыми состояниями, относящимися к одному уров-
уровню Ландау, тогда как поле Ш J- Я — переходы с одновремен-
одновременным изменением п на единицу: (S?_ — с уменьшением, а ?Г+ —
с увеличением.
Недиагональные элементы матрицы 3ftl%, определяющие ве-
вероятность перехода между состояниями ?+ и Е11, согласно
C3.30) равны
Xli± = 6 V2 ^ ^ Y2Y3 WK (в+&+ + *-*_) +
+ sSz {a+a + а_а+). C3.39)
Видно, что в этом случае поле Ш -L Я, наоборот, вызывает
переходы с изменением только спина, тогда как поле <о||Я вы-
вызывает переходы между разными спиновыми уровнями, относя-
относящимися к соседним уровням Ландау. Из сравнения C3.38) и
C3.39) с C3.23) видно, что интенсивность таких комбинирован-
комбинированных переходов примерно в (йо)о/АеJ меньше, чем циклотрон-
циклотронных, но она обычно намного выше интенсивности парамагнит-
парамагнитного резонанса, который на свободных дырках еще не наблю-
наблюдался.
На рис. 38 показаны результаты экспериментального изуче-
изучения комбинированного резонанса на деформированном герма-
германии [31.3]. Стрелками указаны переходы, наблюдаемые при сжа-
сжатии по [111] (de>0), Я||[111] и 81| Я. В соответствии с C3.39)
в этих условиях наблюдаются только переходы (п, +) -+
-*(л+1,—). Показана зависимость coo/ton+i, n °т е; здесь con+ifn—
частота соответствующего перехода: А®п+и п = Е7+\ — ?+.
Сплошные линии — теоретические кривые, полученные реше-
решением на ЭВМ системы уравнений C3.27). Параметры d и Л
определялись так, чтобы обеспечить лучшее совпадение экспе-
461
риментальных и теоретических кривых, и оказались равными:
d = — 4,5 ± 0,3 эв, * = — 3,60 ± 0,04. Последующие измерения
парамагнитного резонанса на свободных носителях в деформи-
деформированном p-Ge [31.4] позволили уточнить значение константы ^,
0,150
0>W0О -10 -20 -30 -40 -50 -60 '70 -60 SO -/00
Рис. 38. Комбинированный резонанс в деформированном p-Ge [31.3].
которая оказалась равной —3,41 ± 0,03, и определить значение
9 =—0,06 ±0,01 *) (см. B6.14)).
Изменение эффективных масс в невырожденных зонах
С помощью циклотронного резонанса удалось наблюдать не
только «большие» изменения эффективных масс в полупровод-
полупроводниках с вырожденными зонами, но и «малые» эффекты, свя-
связанные с влиянием соседних зон на эффективные массы в не-
невырожденных зонах. Как указывалось в §§ 29 и 30, в /г-Si при
деформациях сдвига поперечные массы 1/тУ'У' и 1/т2^ долж-
должны различаться на величину 4—±т^уг (уравнение B9.45)).
Если магнитное поле направлено перпендикулярно главной
оси х, то в недеформированном кристалле циклотронная масса
тс в соответствии с C3.25) равна ml = (m±m^l/2 и не зависит
от ориентации магнитного поля в плоскости у'г'. При деформа-
деформации эта масса, согласно B9.45) и C3.25), изменяется при
*) В этой же работе уточнены значения констант Yi приведенные в [31.3].
462
изменении угла <р между Я и осью у' (т. е. осью [011]) по закону
т
= т , т„ A +
¦ -1- " \
2mx Се
откуда
т„
вт,@) (l-
DS 2ф] ,
cos 2ф).
C3.40)
C3.41)
На рис. 39 показана зависимость тс/т0 от угла q>, снятая на
деформированном и недеформированном кристалле [29.7].
Сплошной линией показана т^
кривая Щ
0422
—? = а — b cos 2ф
при
а =1,4-Ю-3,
= (9,1 ±0,4)
ю-3.
Постоянная составляю-
составляющая а, которой нет в C3.41),
связана с влиянием дру-
других зон. Указанному зна-
значению Ъ соответствует зна-
значение
0,420
0,418
0.4/0
0,414
Р=1в00/<Г/см^
м
•
j
/
Р--0
<9
[Oil]
40 SO 60 70 80 90°
[010] <р [Oil]
Рис. 39. Зависимость циклотронной мас-
сы Для n'Sl от Угла ф междУ магниТж
ным полем й осью [011] (деформация
п0 [001]) [29.7].
Расстояние А до близлежа-
близлежащей зоны в точке k0 равно
примерно 0,5 эв, а отношение
т'/т± согласно теоретическим оценкам [29.7] равно 1,32, откуда
для константы С получается значение 5,6 эв.
§ 34. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
В этом параграфе рассматривается изменение электропро-
электропроводности полупроводников при анизотропной деформации —
эффект пьезосопротивления. Открытый Смитом в 1954 г. на Ge
и Si [32.1], он явился началом исследования влияния одноосных
деформаций на физические свойства полупроводников.
Феноменологическое описание эффекта пьезосопротивления
При приложении деформации к кристаллу происходит изме-
изменение тензора электропроводности Даар, которое в линейном по
деформации приближении можно записать в виде
4СЗ
где maj3f Y6 — безразмерный тензор четвертого ранга, симмет-
симметричный по перестановке индексов внутри каждой пары:
map, y6 = mpa, y6 = mpa, 6y === map, 6y> C4.2)
a a — средняя электропроводность кристалла:
Тензор тар, Y6 называется тензором эластосопротивления. Его
вид и число независимых компонент определяются симметрией
кристалла и симметрией C4.2) относительно перестановки ин-
индексов. Согласно B0.18) число независимых компонент
g<z=F
где %i — характер векторного представления, h — число элемен-
элементов группы F, характеризующей кристаллический класс. Из
C4.3) следует, например, что в кубическом кристалле отличны
от нуля три компоненты тензора эластосопротивления. Это
компоненты mZZyZZ, mXXf уу и тхУ) ху.
Экспериментально обычно измеряют эдс при заданном токе,
т.е. определяют изменение при деформации тензора сопроти-
сопротивления р=ог1.
Изменение сопротивления при деформации Драр/р описы-
описывается аналогично C4.1) тензором четвертого ранга mgg уб
обладающим такой же симметрией, как и тензор т(°\ В кубиче-
кубическом кристалле т$ у5 = — т{^ уй, однако в кристаллах более
низкой симметрии связь между компонентами m<a) и /и<р> вклю-
включает в себя и отношения компонент тензора проводимости (или
тензора сопротивления) недеформированного кристалла.
Поскольку все компоненты тензоров m, a и е определяются
только парой индексов ар, то удобно перейги к сокращенной
записи, обозначая каждую пару индексов одним номером. При
этом компоненты тензора деформации еар характеризуются од-
одним индексом:
Ьуу —>¦ fc2» «^г ^ Ь3> ^ь#2 ~^Ь4» ^^яг Ь5' ^ьху ьб»
а тензор тар, Y6 записывается в виде матрицы 6X6. Таким об-
образом, вместо 81 компоненты, симметричный по перестановкам
внутри каждой пары индексов тензор та$у Y6 определяется в об-
общем случае 36 величинами тг;-.
Соотношение C4.1) может быть записано в матричном виде:
4G4
В кубическом кристалле при выборе осей х, у, z вдоль осей
четвертого порядка матрица эластосопротивления имеет вид
C4.5)
m,,
m12
m12
0
0
0
m,2
mH
m12
0
0
0
m,2
m12
mu
0
0
0
0
0
0
m44
0
0
0
0
0
0
m44
0
0
0
0
0
0
m44
и характеризуется тремя независимыми константами:
= mv
уу
m44 = ]
ху
Эти константы легко могут быть определены из эксперимента
при различных ориентациях тока, напряжения и деформации.
При различной взаимной ориентации деформации, поля и тока
в принципе можно определить все компоненты тензора эласто-
эластосопротивления.
Всякая малая деформация может быть разложена на де-
деформацию, не изменяющую симметрию кристалла, и деформа-
деформацию, понижающую симметрию кристалла. Примером деформа-
деформации, не изменяющей симметрию кристалла, является всесторон-
1 AT AT
няя деформация, когда ехх = еуу = e2Z = y-^r-, где -^ от-
относительное изменение объема.
В некубических кристаллах кроме всесторонней деформации
существуют и другие типы деформации, не меняющие симмет-
симметрию. Так, в одноосных кристаллах это деформация вдоль оси
симметрии. Поэтому вместо самих коэффициентов т^ удобно
использовать их линейные комбинации, соответствующие дефор-
деформации, не изменяющей симметрию кристалла, которые назы-
называются объемными коэффициентами эластосопротивления, и
комбинации rriij, которые определяются только деформациями,
понижающими симметрию кристалла. Они называются сдвиго-
сдвиговыми коэффициентами эластосопротивления. Такое разделение
коэффициентов на «объемные», не связанные с изменением сим-
симметрии, и сдвиговые коэффициенты физически оправдано тем,
что, как будет показано ниже, в общем случае они определяют-
определяются различными механизмами.
Для кубических кристаллов объемным коэффициентом яв-
является изменение проводимости при всесторонней деформации:
а0 (ДУ/Г)
C4.6)
Сдвиговыми коэффициентами в кубических кристаллах яв-
являются коэффициенты (гпц — т12)/2, описывающие изменение
проводимости вдоль оси х при деформации &хх = — &VVi и
465
коэффициент m44, определяющий компоненту Ааху при дефор-
деформации гху, изменяющей угол между осями хну.
Введенные выше коэффициенты эластосопротивления яв-
являются безразмерными коэффициентами и определяют относи-
относительное изменение проводимости на единицу деформации при
определенном типе деформации, они являются более удобными
при теоретической интерпретации эффектов пьезосопротивления.
Практически, однако, к кристаллу прикладывается напряже-
напряжение и измеряется относительное изменение проводимости на
единицу нагрузки при заданном ее направлении.
Относительное изменение проводимости, пропорциональное
нагрузке, определяется аналогично C4.1) тензором четвертого
ранга яаз, Y6:
где PY6 — компоненты тензора напряжения. Тензор яар, Y6 на"
зывается тензором пьезосопротивления, он имеет размерность
см2/дин и обладает такими же свойствами симметрии, как и
тензор тар, Y6.
' Переходя к обозначениям
= Щъ И Т. Д.,
соотношение C4.7) запишем в виде
Да,
Матрица пьезосопротивления п^ аналогична матрице т,ц и для
кубического кристалла имеет вид C4.5).
Коэффициенты (яп +2ni2)/3 описывают изменение проводи-
проводимости при всестороннем давлении, а (ян — п&I2 и Я44 — изме-
изменение проводимости при сдвиговых напряжениях.
Связь между напряжением Рар и компонентами тензора де-
деформации определяется тензором модулей упругости Cap)Y6, ко-
который является обратным тензору 5ар, Y6. Эту связь можно за-
записать в матричном виде:
Р = Сг, C4.9)
где CC / (P) j
,/apfYe> (P) j {y)
Матрица С аналогично матрице т или я определяется тре-
тремя константами Сц = Схх>хж, Ci2=CXXtyy, C^=Cyzyz,
Из C4.9) следует связь между матрицами т и я:
т = зтС, C4.10)
466
откуда следуют соотношения между коэффициентами эласто-
сопротивления и пьезосопротивления для кубических кристаллов:
ти + 2т12 Яц + 2я12 [П j_ or» \
з = з ^ п ' 12^
Я? 44 = ^44^44»
которые позволяют определить коэффициенты эластосопроти-
вления по измеряемым на эксперименте коэффициентам пьезо-
пьезосопротивления.
Феноменологическое описание эффектов пьезосопротивления
дает возможность определить из соображений симметрии вид
матрицы эластосопротивления и позволяет найти взаимную
ориентацию электрического поля, тока и напряжения, необхо-
необходимых для экспериментального определения полного тензора
эластосопротивления.
Объемные эффекты пьезосопротивления
Тензор электропроводности кристалла оа$ есть сумма элек-
электропроводности oL носителей вблизи каждого экстремума:
«op = Scrip. C4.12)
Если зона в точке экстремума k0 вырождена и имеется несколь-
несколько ветвей энергетического спектра, каждой из которых соответ-
соответствует свой сорт носителей тока, то электропроводность C4.12)
является суммой электропроводностей различных сортов носи-
носителей тока. Если же в полупроводнике имеются электроны и
дырки, то электропроводность полупроводника складывается из
электропроводности электронов и дырок.
В общем случае тензор электропроводности а?р для носи-
носителей сорта / в случае невырожденной статистики можно запи-
записать в виде
где /о — равновесная функция распределения f0 = e^
? — химический потенциал, vla — групповая скорость носителей
тока
тар ~" время релаксации, которое в общем случае зависит от k,
а также от направления тока и электрического поля. Оно
определяется как рассеянием носителей тока на фононах и
467
примесях внутри зоны i, так и переходами между различными
ветвями спектра.
При деформации изменяется энергетический спектр Еи что
приводит к изменению функции распределения fo в заданной
точке ^-пространства и групповой скорости, а также время ре-
релаксации т*.
Характер изменения энергетического спектра, как показано
в §§ 29 и 30, существенным образом связан со структурой
зоны в недеформированном кристалле.
В случае невырожденной зоны деформация приводит к сме-
смещению экстремума на величину АЕи пропорциональную дефор-
деформации, и к изменению эффективных масс эллипсоида. Поправка
b2k2
к энергии за счет изменения эффективных масс Д? ~ De 3 *„
r ^ T zm ng
значительно меньше, чем Д?г- ~ De, поэтому^мы сперва не бу-
будем учитывать изменение эффективных масс при деформации.
В этом приближении в случае невырожденной зоны изменение
групповой скорости равно нулю.
Как показано в § 30, изменение спектра в вырожденной
зоне при деформации, снимающей вырождение, имеет более
сложный характер: спектр меняется радикально вблизи точки вы-
вырождения, где кинетическая энергия носителей, отсчитанная от
точки экстремума, сравнима с деформационным расщеплением
зоны или меньше его, а в областях ^-пространства, достаточно
удаленных от точки экстремума, поправка к энергии АЕг пропор-
пропорциональна деформации, но зависит от направления вектора k.
При деформации, не меняющей симметрию кристалла, ка-
каждый экстремум смещается на одинаковую величину Д?с и не
происходит снятия вырождения и изменения времени релакса-
релаксации %i носителей тока.
В примесном полупроводнике в области истощения приме-
примесей концентрация носителей тока при деформации не меняется.
В таком полупроводнике все объемные коэффициенты пьезосо-
противления малы.
Большие объемные коэффициенты пьезосопротивления в при-
примесных полупроводниках могут быть при наличии нескольких
сортов носителей тока одного знака, т. е. в тех полупроводни-
полупроводниках, в которых имеются близко расположенные неэквивалентные
экстремумы. В этом случае изотропная деформация вызывает
перераспределение носителей между экстремумами, что приводит
к изменению проводимости.
Большие объемные коэффициенты пьезосопротивления мо-
могут быть в области собственной проводимости, когда проводи-
проводимость осуществляется электронами и дырками. Тензор электро-
электропроводности в этом случае равен:
> C4.14)
468
где пир — полные концентрации электронов и дырок, а \х^ и
[х?п — их подвижности, усредненные по всем экстремумам.
Концентрации электронов и дырок удовлетворяют условию ней-
нейтральности:
p-n = Na-Nd^N, C4.15)
где Na n Nd — концентрации акцепторов и доноров, которые мы
будем предполагать полностью ионизованными. В невырожден-
невырожденном полупроводнике
рп = nl = NcNve~Ee'kT, C4.16)
где п0— собственная концентрация носителей, которая была бы
в беспримесном полупроводнике при данной температуре, NC9
Nv — эффективные плотности состояний в зоне проводимости и
валентной зоне, a Eg — ширина запрещенной зоны.
Из C4.15) и C4.16) легко найти концентрации р и п*):
N
_(^_ i)f
C4.17)
где
При деформации, не изменяющей симметрии кристалла, про-
происходит смещение дна зоны проводимости Д?с и валентной
зоны AEV, в результате чего изменяется ширина запрещенной
зоны на величину АЕё=АЕс— AEV и, согласно C4.16), веди-
чина собственной концентрации /г0. Согласно C4.15) и C4.16),
если не учитывать изменения эффективных масс при деформа-
деформации, т. е. при NN O
Так как подвижности \х^ и ц?р не изменяются при деформа-
деформации, то относительное изменение А(тар/о< равно:
а ~ 2kT R (/?- l)An + (/? + l)jip ' У™'1*)
где а = еп\хп + ер\хр — средняя электропроводность недефор-
ми^ованного кристалла, a p," = y Sp^i" и р,р = —Sp \xp — сред-
средние подвижности электронов и дырок. Для кубических кристал-
кристаллов, где Д2р = |1ябар, ??р = |*р6ар> формула C4.19) дает:
m11+2m12 _ Elg R*-\ l+b ^ ^
2kT
*) Для определенности рассматривается случай Na — Nd=*N>Q.
469
300 200 /JO//0 9080
-700-
-800
где b = \in/\iPf a E\g — константа деформационного потенциала,
определяющая изменение ширины зоны Eg при всесторонней де-
деформации: AEg=Eig Sp e.
При низких температурах, когда п0 < Л/, т. е. в области при-
примесной проводимости, i}«l и объемные коэффициенты малы,
в согласии с полученным выше результатом. С повышением
температуры п0 экспоненциально
растет, при этом растет и вели-
величина эффекта пьезосопротивле-
пьезосопротивления. При высоких температурах,
когда R » 1, АааР/а ~ Д?Я/2?Г
и падает при дальнейшем повы-
повышении температуры как 1/7\
Объемный коэффициент до-
достигает максимума при темпера-
температуре Го, вблизи которой сравни-
сравниваются собственная п0 и примес-
примесная N концентрации. Величина
(та + 2mi2)/3 в максимуме по-
порядка Eig/2kT0. Поскольку Еув
порядка 5—10 эв, то для доста-
достаточно чистых образцов величина
{ти + 2mi2)/3 в максимуме мо-
может быть порядка сотен.
Таким образом, объемные эф-
эффекты пьезосопротивления могут
быть велики в области собствен-
собственной проводимости для полупро-
полупроводников с узкой шириной запре-
запрещенной зоны.
На рис. 40 показана темпера-
температурная зависимость объемного
коэффициента пьезосопротивле-
пьезосопротивления в InSb [33.2]. Как видно из рисунка, температурная и кон-
концентрационная зависимость объемного эффекта пьезосопротив-
пьезосопротивления хорошо описывается формулой C4.20).
Сдвиговые коэффициенты пьезосопротивления
в многодолинных полупроводниках
В этом случае каждый экстремум смещается на величину
Д?ь различную для различных экстремумов, что приводит
к снятию многодолинного вырождения спектра. Поскольку Д?ь
если не учитывать изменения эффективной массы, не зависит
от fe, то изменение групповой скорости равно нулю.
Рассеяние электронов в многодолинном полупроводнике про-
происходит как за счет переходов внутри одного эллипсоида, так
и за счет переходов между различными экстремумами. Внутри-
470
8 10 12
/О3/Т
Рис. 40. Температурная зависи-
зависимость объемного коэффициента
пьеюсопротивления в InSb [33.2].
Для образцов Л, В, С концент-
концентрация Na — Nd составляет со-
соответственно 3 • 1015; 6,3 • 1016
и 6,6- 1017 см~*.
долинное рассеяние не изменяется при деформации, но междо-
междолинное рассеяние в общем случае может изменяться. Однако
в обычных условиях междолинное рассеяние вносит небольшой
вклад во время релаксации электронов проводимости, опреде-
определяющее электропроводность, поэтому мы будем пренебрегать
им и считать, что время релаксации электронов (а следова-
следовательно и их подвижность) не изменяется при деформации*).
В главных осях эллипсоида тензор подвижности \ist диаго-
диагоналей:
где \xs — главные значения тензора подвижности, одинаковые
для всех эллипсоидов.
Электропроводность а^ носителей в i-ы эллипсоиде в осях
кристалла равна
где щ — концентрация носителей в одном эллипсоиде, одинако-
одинаковая для всех эллипсоидов в недеформированном кристалле,
A* — тензор подвижности носителей f-го эллипсоида в осях
кристалла. Из C4.12) и C4.21) получим изменение электро-
электропроводности при деформации:
ч* - 2 Ла«з=е 2 мл=- w 2 (^ - *)
i i i
Из условия постоянства концентрации найдем, что
Л?) = 0; ДС = -]{;¦ 2 А?'==
°
где No — число экстремумов. Тогда для относительного изме-
изменения электропроводности Ааар/а получим
и-^. C4.22)
где Д = -т Sp \iL — средняя подвижность носителей тока вбли-
вблизи одного из эллипсоидов, одинаковая для всех эллипсоидов и
совпадающая, таким образом, со средним значением подвиж-
подвижности в кристалле, \1а„ = -тт- V \iL — тензор подвижности в не-
t
деформированном кристалле. В невырожденной зоне Д?* равно:
^y^, C4.23)
Y6
*) Вклад в эффекты пьезосопротивления за счет изменения междолин-
цого рассеяния при деформации рассматривался в [32.2].
471
где eY6 — компоненты тензора деформации в осях кристалла,
a DY6 — тензор констант деформационного потенциала f-го эл-
эллипсоида в осях кристалла. Подставляя C4.23) в C4.22), полу-
получим выражение для тензора та$} Y6:
Выражение для та$>У6 C4.24), записанное через компонен-
компоненты подвижности и констант деформационного потенциала в осях
кристалла, иногда удобнее переписать через главные значения
подвижностей \xs (s=l, 2, 3) и констант деформационного по-
потенциала Dt (t=\9 2, 3) в главных осях каждого эллипсоида,
х\ (/=1, 2, 3), так как эти величины одинаковы для всех эл-
эллипсоидов. Поскольку
t
то из C4.24) для map> y6 получим
^. ]__ TL* \ls*-'t ( r\St ^^ r\S ryt \ CXA. 9fi\
st
где
C4.27)
Поскольку /Jap.vfi и ^«Р симметричны по перестановке вну-
внутри пары индексов, то и ma|5t y6 C4.26) обладает требуемой
симметрией C4.2) по перестановке индексов.
Величины /?ak y6 и /?ap удовлетворяют соотношениям
р, v pY Y 6Y6- C4.28)
* s *
Формула C4.26) выражает компоненты тензора эластосо-
противления через главные значения тензоров подвижности и
констант деформационного потенциала в одном из экстрему-
экстремумов и через положения экстремумов в ^-пространстве. Она
упрощается в случае, когда эллипсоиды энергии являются эл-
эллипсоидами вращения.
Если за хх выбрать ось вращения эллипсоида, то [Х1 = [х((>
^2 = ^3=^1» ?>1=?>и> D2=D3=D±; используя соотношения
C4.28), получим
Ч Y y (*r) C4<29)
472
Как следует из C4.29), сдвиговые коэффициенты эластосо-
противления пропорциональны анизотропии подвижности носи-
носителей в каждом экстремуме (jxu — |Aj_)/fl и константе деформа-
деформационного потенциала Еи = /)ц — D±., которая определяет отно-
относительное смещение экстремумов при сдвиговой деформации.
60
50
40
30
20
10
О
А
/
г
Г
J
/
/
/
/5 20
24 28
Ю3/Т°К
Рис. 41. Температурная зависимость пьезосопротивления в я-Ge при дефор-
деформации по направлению [110] [32.2].
Для случая кубического кристалла при расположении экстре-
экстремумов на осях [100] и [111] из C4.29) получим
где К —
S"' ^44 = 0-экстремумы на [100],
C4.30)
ТЖЖ
" экстремумы на [111],
подвижности носителей тока
— анизотропия
в каждом экстремуме.
Таким образом, величина сдвиговых эффектов пьезосопро-
пьезосопротивления существенным образом определяется расположением
экстремумов в ^-пространстве.
Эти эффекты связаны с тем, что при деформации кристалла,
нарушающей эквивалентность экстремумов, часть электронов
«перетекает» из одного экстремума в другой (при сохранении
их полной концентрации), и результирующая подвижность в де*
формированном кристалле становится анизотропной.
473
Определение экстремумов, эквивалентность которых нару-
нарушается при деформации, с точки зрения теории групп означает
разложение неприводимой звезды вектора {к} в группе F на
неприводимые звезды {Щ в группе Р, в которую переходит
группа F при деформации.
Эффекты пьезосопротивления, связанные с «перетеканием»
носителей, имеют характерную температурную зависимость, ко-
которая определяется главным образом больцмановским множи-
множителем и, кроме того, температурной зависимостью анизотропии
подвижности (р,ц — |хх)/Д. Величина эффектов пьезосопроти-
пьезосопротивления порядка EJkT, где Su — константа деформационного
потенциала, обычно около 1—10 эв. Поэтому при не очень вы-
высоких температурах сдвиговые эффекты пьезосопротивления,
связанные с «перетеканием» носителей, могут иметь значения
102—103.
Как видно из рис. 41, где показано относительное измене-
изменение сопротивления я-Ge при деформации по оси [100], коэффи-
коэффициент пьезосопротивления яи в n-Ge растет пропорционально
1/Г в широком интервале температур и практически не зависит
от концентрации носителей. Небольшое отступление от линей-
линейности при высоких температурах объясняется вкладом междо-
междолинного рассеяния.
Эффекты пьезосопротивления в полупроводниках
с вырожденными зонами
Большие эффекты пьезосопротивления возникают и в слу-
случае вырожденных зон при деформациях, снимающих выро-
вырождение.
Рассмотрим вырожденную зону, имеющую s ветвей спектра
Ег(к) (i=l, 2, ..., s). Если температура достаточно высока,
то основная часть носителей тока находится в области, доста-
достаточно удаленной от точки вырождения, где поправки к энергии
линейны по деформации. В этом случае изменение проводимо-
проводимости также пропорционально деформации.
Изменение электропроводности а^ каждого сорта носите-
носителей в случае вырожденной зоны происходит как из-за измене-
изменения функции распределения /0, так и из-за изменения группо-
групповой скорости Ду? = -г -тт±-, а также и вследствие изменения
времени релаксации тг.
Как отмечалось в § 32, теория рассеяния носителей тока
в вырожденной зоне является более сложной, чем в случае не-
невырожденной зоны, так как при рассеянии возможны переходы
как внутри, так и между различными ветвями спектра, при
этом вероятности перехода имеют сложную угловую зависи-
зависимость. Определение изменения времени релаксации Дт является
еще более сложной задачей, так как при деформации т изме-
474
няется не только за счет изменения энергетического спектра
носителей в начальном и конечном состоянии, но и за счет из-
изменения матричного элемента рассеяния, связанного с измене-
изменением волновых функций при деформации.
Если вероятности перехода изотропны, то можно показать,
что время релаксации также изотропно, зависит только от энер-
энергии и его изменение равно
дт,
Лт'= дГЛЯ'- C4<31)
В случае анизотропного рассеяния равенство C4.31), строго го-
говоря, не справедливо, однако можно надеяться, что оно учиты-
учитывает основную часть изменения времени релаксации при дефор-
деформации, и мы будем использовать его при расчете эффекта пье-
зосопротивления в вырожденной зоне.
При расчете сдвиговых коэффициентов пьезосопротивления
будем считать, что отличны от нуля только сдвиговые компо-
компоненты тензора деформации, а компоненты ег;, преобразующиеся
по единичному представлению и определяющие сдвиг зоны как
целого, равны нулю.
Покажем, что в этом случае
?< (Л, е) = О и J Д?, (Л, г) duk = О, C4.32)
i
где dQb — элемент телесного угла в ^-пространстве.
Действительно, поскольку Ег(к, в) есть решение уравнения
\Ж(*) + Ж(г) — 1Е{к9г)\ = 0, где Ж (к) и Ж {г) - матрицы,
определяющие спектр в недеформированном кристалле и рас-
расщепление дна зоны при деформации, то
2 Et {к, е) = S р Ж (ft) + S р Ж (е).
Разлагая Et{kt г) в ряд по е, получим
Sli(9 ) p()
i
Второе равенство C4.32) следует из того, что J A?l?(ft,
является инвариантной комбинацией компонент тензора дефор-
деформации и, таким образом, пропорционально тем компонентам
тензора деформации, которые мы положили равными нулю.
Из C4.32) следует, что
i
В примесном полупроводнике в области истощения примеси
Дп=0 и, таким образом, Д?=0.
475
Используя C4.13), C4.31), получим изменение тензора элек-
электропроводности Лог^ носителей i'-й зоны:
Интегрируя по частям, найдем
=- 4г {J -щ (fa) «'Л АЕ, dk +
f JSS}- <34-33>
Перейдем от переменных kXJ kyj kz к энергии Et и углам 8, ф.
Запишем ?\, у^ и ^^ ^k в виде *)
, ^4(в,ф)^
2т (В, Ф) «J mf
В квадратичном по k приближении т*, Ла и Ва|з зависят только
от углов 0 и ф. Из C4.34) следует, что
и в C4.33) разделяется интегрирование по энергии Е{ и по
углам Э и ф:
^—W^W J W?W J ^» D Л^Л^ Щ - К, AEi) ¦ C4-35)
о
Для Лог?р/а получим
где
*) В C4.34) эффективная масса т*(9, ф) как для электронов, так и для
дырок считается положительной. Это означает, что для валентной зоны в
C4.33) —C4.35) Ег и Л?г означают энергию дырок, которая противоположна
по знаку энергии электронов в валентной зоне.
476
— максвелловское среднее xh a dt — средняя электропровод-
электропроводность носителей /-й зоны,
^ = -зТгНг; C4'37)
C4>38)
) mi d k
д — средняя электропроводность кристалла, а=2^, Вели-
Величины Гар пропорциональны константам деформационного по-
потенциала:
Г *^2/ I i i \
Г^э = . —р— °гР ^ . C4.39)
Величина . L определяется зависимостью т(?'). Если
т (Е)~Еп, то
(хЕ) ~ кТ д + 3/2 '
Сдвиговые коэффициенты пьезосопротивления в вырожден-
вырожденной зоне, как и в многодолинных полупроводниках, порядка
D/kT, где D— константы деформационного потенциала.
Температурная зависимость эффектов пьезосопротивления
в вырожденной зоне является более сложной. Она определяется
как больцмановским множителем D/kT, так и температурным
изменением механизмов проводимости, которые определяют
средние 7^ , а также температурным изменением вклада но-
\htTi)
сителей разного сорта в проводимость о{/(У.
Для дальнейших вычислений коэффициентов эластосопро-
тивления mapt Y6 нужно определить коэффициенты Г^р, что мо-
может быть сделано только в каждом конкретном случае, так как
согласно C4.39) они зависят от вида спектра в недеформиро-
ванном кристалле и от вида Д?г-.
В общем случае, однако, можно утверждать, что большие
коэффициенты пьезосопротивления в случае вырождения зон
будут для тех сдвиговых деформаций, которые приводят к сня-
снятию вырождения зоны в точке экстремума, так как только для
таких сдвиговых деформаций А?г Ф 0.
Из проведенного рассмотрения эффектов пьезосопротивления
в многодолинных полупроводниках и в полупроводниках с вы-
вырожденными зонами следует, что большие сдвиговые коэффи-
коэффициенты эластосопротивления будут для тех деформаций, кото-
которые приводят к полному или частичному снятию вырождения
477
зонной структуры. С точки зрения теории групп это деформа-
деформации, понижающие симметрию кристалла до такой, в которой
представление 2D{*o) пространственной группы недеформирован-
ного кристалла, соответствующее звезде {k0} расположения
экстремумов, становится приводимым в группе симметрии де-
деформированного кристалла.
Рассмотрим эффекты пьезосопротивления в вырожденной
зоне Гв типа валентной зоны p-Ge и p-S\.
Для зоны Гв интегралы по углам C4.39) в явном виде не
вычисляются, в этом случае необходимы расчеты на электрон-
электронно-вычислительных машинах. Расчеты могут быть проведены до
конца, если поверхности постоянной энергии Е\J(к) тяжелых и
легких дырок B4.13а) аппроксимировать некоторыми средними
сферами:
+ в (з4.40)
у б
В этом приближении Ла = &а/&, Вар2) = 6ap/mif2, и из C4.35)
и C0.34) для Д?1|2(Л) получим сдвиговые коэффициенты пьезо-
пьезосопротивления для зоны Г8:
тп — тХ2_ ___9_ ВЬ_ Г (ti) ах а2 (т2) 1
2 20 В I (XlE) or, + а2 а, + а2 (Ех9) J '
т - 3 JM Г (т,) at а2 (т2) 1 ^4'41)
44 20 В 1{Етх) ох+о2 а, + а2 (Et2)J'
В C4.41) индексы 1 и 2 относятся к тяжелым и легким дыркам
соответственно. Из C4.41) следует, что в зоне Г8 отличны от
нуля обе сдвиговые компоненты (гпц — гп\2)/2 и т44 пьезосо-
пьезосопротивления, причем из данных по эффектам пьезосопротивле-
пьезосопротивления можно определить знак только произведений ВЬ и Ш, но
не самих констант деформационного потенциала bud.
На рис. 42 показано изменение сопротивления в p-Ge при
деформации по осям [100] и [111]. Из рисунка видно, что хотя
коэффициент пьезосопротивления существенно возрастает с по-
понижением температуры, но температурный ход, в отличие от
n-Ge и n-Si, заметно отличается от 1/71. При этом величина яп
существенно зависит от концентрации носителей.
Как видно из рис. 43, подобная зависимость еще более за-
заметно проявляется в p-Si, где коэффициент тп — т\2 при пони-
понижении температуры меняет знак и проходит через минимум,
причем при повышении концентрации положение точки, где
Ш\\ — т\2 = 0, смещается в сторону более высоких температур.
Такой ход объясняется изменением относительного вклада лег-
легких и тяжелых дырок, а также сложной температурной зави-
зависимостью величин , ру при наличии нескольких механизмов
рассеяния. При этом для p-S\ весьма существенную роль играет
478
70
60
5D
40
30
20
Ю
0
w
• [111]
Д
-/
л
о9
A
•
A
•
•
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12
f/J°H
Рис. 42. Температурная зависимость пьезосопротивления в p-Ge [32.2].
JOO1
250
200
150
100
JO
О
ш44
2
m
5
0
-5
10
s
m,,-mt9
•/
Рис. 43. Температурная зависимость коэффициентов пьезосопротивления
et p-Si для образцов с различной концентрацией примесей [32.6]. Порядок
номеров соответствует росту концентрации.
479
несферичность зоны, повышающая вклад легких дырок в коэф-
коэффициент /Ли — гп\2 и понижающая их вклад в т^.
Поскольку легкие дырки сильнее рассеиваются на примесях,
чем тяжелые, то их вклад в электропроводность повышается
при повышении температуры и уменьшении концентрации при-
примеси, что и объясняет изменение знака коэффициента Шц — т\2
при повышении температуры [32.6]. При еще более высоких
температурах существенный вклад вносит относительно большое
изменение эффективной массы, определяемое уравнением
B4.21), которое, как указано ниже, приводит к независящим
от температуры деформационным эффектам.
Выше мы считали, что электронный (или дырочный) газ не
вырожден. Нетрудно получить выражения для коэффициентов
пьезосопротивления при учете фермиевского вырождения.
Учет фермиевского вырождения
В случае фермиевского вырождения электропроводность но-
носителей тока для каждого эллипсоида или для каждого сорта
носителей в вырожденной зоне равна:
Ферми
C4.43)
где f0 — равновесная функция распределения Ферми
а ? — химический потенциал.
Выражение C4.13) отличается от C4.42) заменой dfo/dE на
—fo/kT. Повторяя все выкладки, приведшие к формуле C4.26),
легко убедиться, что в случае произвольного вырождения элек-
электронов по-прежнему справедливы все полученные формулы для
эффектов пьезосопротивления в многодолинных полупроводни-
полупроводниках, если в соответствующих формулах C4.24) —C4.30) заме-
заменить \is/\i на произведение (|А8/йД?, где [Wji— отношение под-
вижностей при наличии вырождения:
C4.44)
3 J
dE
a
a Xs равно
с
J дЕ
C4.45)
480
Если
= x°sEn, то
kT
I
Интегрируя это выражение по частям и считая, что п > —3/2,
как это имеет место в полупроводниках для известных механиз-
механизмов рассеяния, получим:
Fn—т г^г ПРИ п = —1/2,
F (V) C4.46)
^44
В C4.46) ?>* = ЦкТ — приведенный химический потенциал, а
C4-47)
В случае невырожденной статистики, когда e~^* S> 1, имеем
ра (?*) = е?\ А = 1 и не зависит от характера зависимости вре-
-мени релаксации от энергии. В случае сильного вырождения, ко-
когда е^*^> 1, коэффициенты эластосопротивления имеют порядок
величины Ъ/?, где D — сдвиговая константа деформационного
потенциала, а ?—величина химического потенциала. Таким об-
образом, для вырожденного электронного газа величина эффектов
пьезосопротивления уменьшается, существенно ослабляется и
их температурная зависимость.
Повторяя соответствующие выкладки для случая вырожден-
вырожденных зон, легко убедиться, что для Даар/а справедлива формула
C4.36), в которой отношение . Е, заменяется на
J dE
[Ma.
J uE
0
kT
J
kT
3/2
л > - 1/2,
C4.48)
если т~ Еп.
Как и в случае многодолинных полупроводников, при силь-
сильном вырождении коэффициенты эластосопротивления в выро-
вырожденной зоне имеют величину порядка ?/?.
16 Г4 Л, Вир, Г. Е, Пик>с 481
Уменьшение коэффициента пьезосопротивления и ослабле-
ослабление температурного хода с увеличением степени вырождения
отчетливо видно из рис. 44, где показан температурный ход Я44
400
708090Ю0
Рис. 44. Температурная зависимость пьезосопротивления в сильнолегиро-
сильнолегированном /i-Ge [32.10].
для образцов с разной концентрацией. Поскольку значение ?
при данной концентрации зависит от плотности состояний, т. е.
от числа эквивалентных экстремумов N, то изменение Я44 с кон-
концентрацией, как видно из рис. 45, должно быть различным для
I
400
JOO
200
100
80
60"
5ч
X
v S
10
fd
Ю
19
Рис. 45. Пьезосопротивление в сильнолегированном /i-Ge, зависимость от
концентрации носителей [32.10].
точки L, где N=4, и точки Л, где N=8. Совпадение экспери-
экспериментальных точек с кривой, рассчитанной для Af=4, явилось
одним из доказательств того, что в л-Ge экстремумы находятся
на краю зоны Бриллуэна.
482
Нелинейные эффекты
Полученные выше выражения для сдвиговых коэффициен-
коэффициентов пьезосопротивления, описывающие линейное по деформа-
деформации изменение проводимости, справедливы при условии
Виъ/kT < 1 или Sue/? < 1 (при ? > kT). Если деформация до-
достаточно велика и эти условия не выполняются, то становятся
существенными нелинейные по деформации эффекты. В случае
многодолинных полупроводников нелинейные эффекты имеют
простую природу. Когда энергетический зазор между различ-
различными эллипсоидами становится сравнимым с kT, для изме-
изменения концентрации носителей в каждой из долин уже не
справедливо линейное приближение A/ii = rti(A?— AEi)/kT, на
котором была основана линейная теория эффектов пьезосопро-
пьезосопротивления в многодолинных полупроводниках.
В случае произвольной по величине деформации для элек-
электропроводности аар(е) деформированного кристалла из C4.21)
имеем для больцмановской статистики:
*ар (.) - . S lV, (•) - efi № 2 ^-^/м>.
Химический потенциал в деформированном кристалле ?(е) опре-
определяется из условия постоянства полной концентрации элек-
электронов
2 пг (е) = NnQ,
откуда
-Щ1кТ
и для аар (е) получим
где а^ == еп\х*а^ — электропроводность носителей /-го эллипсоида.
Из C4.49) следует, что средняя электропроводность дефор-
деформированного кристалла а(е) = у Spa(e) не зависит от дефор-
деформации и равна электропроводности недеформированного кри-
кристалла 0(O) = 4-Spcr(O).
Рассмотрим зависимость электропроводности от деформации
в кубических полупроводниках с экстремумами на осях четвер-
четвертого и третьего порядка, т. е. в полупроводниках с зонной
структурой типа /i-Si и /i-Ge.
»* 483
В случае /t-Si при деформации по оси г*)
~ Se) e -1 За
где е = Sp е, е« = е** — вхх.
В n-Ge, где имеются четыре долины в точке L, при дефор-
деформации по направлению [111], когда ъху=2ъхг = ъуг = г'ш1$, где
еш ==вш """ впо»
= Л?3- А?4 = (а<* + у S«) е ~ Та"
(индекс 1 относится к экстремуму на оси [111]).
Из C4.49) для случая «-Si и n-Ge получим
= а0) C4.50)
где сто — электропроводность недеформированного кристалла,
К — отношение подвижностей, K=\iJ\i[{, а (п\ — п2)/п — отно-
относительное изменение концентрации носителей тока в первом и
втором эллипсоиде, п — полная концентрация носителей тока:
~ " === -AE/kT » &E=BuGzz (экстремумы в точке Л),
C4-51>
о , -АВ/М-» Л? 3ueiii (экстремумы в точк
я гда_, 8
L — -АВ/М-» Л?1== —3ueiii (экстремумы в точке L).
При малых деформациях, когда |Д?/&Г| <с 1, из C4.50) и
C4.51) следует C4.30).
В случае больших деформаций, когда происходит полное
опустошение одной из групп эллипсоидов, при &E/kT » 1 для
экстремумов в точке А отношение (щ — п2)/п=—1/2; для
экстремумов в точке L (пх — п2)/п = —1/3; при —&E/kT*S> 1
в обоих случаях (fli—/г2)/п=1, т.е. все электроны собираются
в первый эллипсоид. Предельные значения электропроводности
*) В л-Si имеется шесть эквивалентных экстремумов в точке Д, но по-
поскольку долины в точках k0 и — k0 одинаковым образом смещаются при де-
деформации, можно рассматривать только три экстремума, расположенные на
осях ktt kx и ky соответственна.
484
в случае больших деформаций соответственно равны:
*M^L (ПриМ»1).
2A+2*)
Зо-р A — /С)
1+2*
(при —-?j-> И (точка А);
"У "-U — 1+2*
_ Зсгр A — /С)
*у °Х— 1+2*
(при -
(точка L).
C4.52а)
C4.526)
Изменение сопротивления n-Ge при больших деформациях и
низких температурах показано на рис. 46. Из кривых отчет-
отчетливо видно, что при больших
деформациях, когда все элек-
электроны перетекают в нижний
из расщепившихся экстре-
экстремумов, сопротивление пере-
перестает зависеть от де-
деформации. Согласно форму-
формуле C4.52) предельное зна-
значение
равно 3/A+ 2/С); для n-Ge
m(|/m± = 20 и при рас-
рассеянии на колебаниях ре-
решетки, когда т||/т, = 1,24,
4
5 б*ю9
Р, дин/см2
Рис. 46. Насыщение пьезосопротивле-
ния в n-Ge при большой деформа-
деформации [32.9].
сеянии на ионизованных примесях (Ро/Р^е^оо2^^^. Эксперимен-
Экспериментальное значение ро/р|( согласно рис. 46 равно 0,35—0,37, что
указывает на преобладающую роль примесного рассеяния в
этих условиях.
. Нелинейные по деформации эффекты в вырожденной зоне
имеют более сложную природу, так как в вырожденной зоне
при больших деформациях происходит также и перестройка
энергетического спекгра вблизи точки вырождения зоны.
При таких деформациях, когда расщепление зоны, опреде-
определяемое для зоны Гв выражением C0.11), превышает среднюю
энергию носителей тока, вклад в электропроводность дают но-
носители только в нижней дырочной зоне из расщепившихся зон.
При этом поверхности постоянной энергии в этой зоне для ос-
основной массы носителей являются эллипсоидами. Поэтому
электропроводность в случае больших деформаций не зависит
от величины деформации, а только от ее направления и знака
485
и определяется величиной эффективных масс эллипсоидов
(определяемых соотношением C0.18) для зоны Гз) и механиз-
механизмом рассеяния носителей тока.
На рис. 47 показано изменение подвижностей jin и \i± в
/7-Ge при растяжении по осям [100] и [111] при больших дефор-
деформациях и низких температурах. Согласно этим данным, значе-
значение К = for. 1аЛ равно соответственно 0,62 и 0,33, тогда как
\ ±1 1|/е-»оо
отношение эффективных масс m^mL для нижней из дырочных
зон при растяжении по осям
[100] и [111] и ЬВ > 0 и Dd >
>0 согласно C0.19), C0.20)
равно соответственно 0,23 и
0,13. Следовательно, анизотро-
анизотропия времен релаксации Ту/*!
в данных условиях равна в
обоих случаях 0,4, что указы-
указывает на существенную роль
примесного рассеяния.
Рассмотрим кратко вклад
в эффекты пьезосопротивле-
ния, связанный с изменением
эффективных масс при дефор-
деформации.
Как обсуждалось в § 29, в
случае невырожденной зоны
при деформации в общем слу-
случае происходит изменение от-
отличных от нуля компонент тен-
тензора эффективной массы, а
также появление новых компо-
компонент тензора эффективной мас-
массы, равных нулю в недеформи-
недеформированном кристалле. В вырож-
вырожденной зоне при деформации
происходит как изменение кон-
констант, определяющих зону в не-
недеформированном кристалле (аналогичных константам Л, В и
D для зоны Г8), так и появление в матрице Ж (k> г) новых чле-
членов порядка efe2, отсутствующих в недеформированном кристал-
кристалле. Относительное изменение при деформации эффективных
масс и зонных констант, как показано в § 29, имеет порядок
De/E, где D —константа деформационного потенциала, а Е —
расстояние до ближайшей зоны, которая вносит вклад в соот-
соответствующую составляющую тензора эффективной массы или
зонную константу. В соответствии с этим изменение эффектив-
эффективных масс и зонных констант дает вклад в эффекты пьезосопро-
тивления порядка D[EX что обычно значительно меньше сдвиго-
436
0,5
О
Рис. 47. Насыщение холловской под-
подвижности в p-Ge при больших де-
деформациях по направлениям [100]
и [Ш] [32.4]. Т = 6,19° К.
вых коэффициентов пьезосопротивления, которые имеют поря-
порядок D/kT.
Коэффициенты эластосопротивления, связанные с измене-
изменением эффективных масс при деформации, имеют, таким обра-
образом, меньшую величину и гораздо более слабую температур-
температурную зависимость, которая определяется главным образом из-
изменением механизмов рассеяния. Изменение эффективных масс
при деформации в общем случае дает вклад во все компоненты
тензора эластосопротивления mlJf которые для рассматривае-
рассматриваемого кристалла отличны от нуля из-за соображений симмет-
симметрии; в частности, они дают вклад и в объемные коэффициенты
эластосопротивления.
Таким образом, коэффициенты пьезосопротивления, связан-
связанные с изменением эффективных масс при деформации, в общем
случае нечувствительны к характеру зонной структуры.
В тех случаях, однако, когда в полупроводнике имеются
близко расположенные зоны, например в случае полупровод-
полупроводников с малой шириной запрещенной зоны, в которых экстре-
экстремумы расположены в одной точке зоны Бриллуэна (как в
InSb), или при наличии близко расположенных спин-орбиталь-
но расщепившихся зон (как, например, в случае р-Si или в кри-
кристаллах типа PbSe, PbTe [34.6]), константы пьезосопротивле-
пьезосопротивления, связанные с изменением эффективных масс, могут быть
значительны, достигая значений 10—20.
При этом такими относительно большими будут не все ко-
коэффициенты эластосопротивления, а только те из них, которые
связаны со взаимодействием близко расположенных зон. По-
Поэтому из экспериментальных данных по эффектам пьезосопро-
пьезосопротивления, связанным с изменением эффективных масс, можно
в определенных случаях получить информацию о симметрии
близко расположенных зон [34.6].
В заключение заметим, что поправки такого же порядка
возникают и к большим коэффициентам пьезосопротивления
при учете непараболичности зоны. Действительно, изменение
эффективной массы с энергией вследствие непараболичности
зоны для невырожденной статистики порядка
6т* (Е) _ кТ
гп* ~ ? '
что приводит к поправкам к большим эффектам пьезосопроти-
пьезосопротивления порядка
D кТ ^ D
кТ ? ~ Е '
Поэтому при учете таких поправок к большим эффектам пьезо-
пьезосопротивления нужно одновременно учитывать как изменение
эффективных масс (или зонных параметров) при деформации,
так и непараболичность зоны.
487
Наряду с изучением эффектов пьезосопротивления в ряде
работ проводились теоретические и экспериментальные иссле-
исследования влияния одноосной деформации на другие кинетиче-
кинетические эффекты: эффект Холла [32.3], магнетосопротивление [32.3,
36.1], термоэдс [36.2, 36.3] и термомагнитные эффекты [36.5,
36.6, 36.7]. Эти тензоэффекты имеют такую же природу, как и
эффект пьезосопротивления, и связаны с перетеканием носите-
носителей в случае многодолинного полупроводника или с изменением
спектра в случае вырожденной зоны.
Изменение всех этих кинетических коэффициентов при де-
деформации—того же порядка De/kT (или De/? для вырожден-
вырожденного полупроводника), что и изменение электропроводности при
деформации.
§ 35. ПОГЛОЩЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА СВОБОДНЫМИ
НОСИТЕЛЯМИ В ДЕФОРМИРОВАННЫХ КРИСТАЛЛАХ
Одним из эффективных методов исследования полупровод-
полупроводников является изучение их оптических свойств. Оптические
свойства кристалла описываются заданием комплексной прово-
проводимости а. Вещественная часть а связана с коэффициентом по-
поглощения света а.
В кубических кристаллах
4*R*«°> , C5.1)
где с — скорость света, п — показатель преломления. Мнимая
часть а определяет вклад носителей тока в диэлектрическую
проницаемость хе:
Диэлектрическая проницаемость х(со) определяет коэффи-
коэффициент преломления п. Если тензор х анизотропен, то п зависит
от направления распространения света, что приводит к явлению
двойного лучепреломления света.
В области прозрачности кристалла этот эффект позволяет
измерять весьма малую анизотропию диэлектрической прони-
проницаемости: с его помощью можно обнаружить анизотропию
Ах ~ Ясс, где X — длина волны света.
В кубических кристаллах тензор х изотропен: Xij = xo6ij. Де-
Деформация кристалла приводит к появлению анизотропной до-
добавки Axij, что можно обнаружить по появлению двойного лу-
лучепреломления.
В линейном по деформации приближении изменение хар оп-
определяется тензором четвертого ранга &*a$t Y6, подобным тензо-
тензору т, определяющему изменение статической проводимости при
488
деформации C4.1), C4.2):
2ap.Y«8Yfi- C5*3)
Из кинетического уравнения следует, что
При cot <С 1 C5.4) переходит в выражение C4.42), определяю-
щее статическую электропроводность aap. В оптической обла-
области, т.е. при (от^ 1, для невырожденного полупроводника про-
проводимость
а вклад свободных носителей в диэлектрическую проницае-
проницаемость х?в, согласно C5.2) и C5.4), равен:
)Vav^dk. C5.6)
Формула C5.5) справедлива при не очень больших частотах со,
меньших kT/b. При fico > kT необходим квантовомеханический
расчет коэффициента поглощения а, при этом нужно одновремен-
одновременно учитывать процессы поглощения и спонтанного и вынужден-
вынужденного излучения фотонов и рассеяние на фононах при примесях.
Для невырожденных зон формула C5.6), определяющая ди-
диэлектрическую проницаемость xL, справедлива при Ы^С 1.
При йсо, сравнимом с расстоянием между зонами Eg в точке
экстремума kOi нужно учитывать вклад междузонных виртуаль-
виртуальных переходов, что приводит к квантовым поправкам к к по-
порядка (bd)/EgJ *). Для вырожденных зон при hco^kT стано-
становятся существенными виртуальные переходы между ветвями
спектра, поэтому в этом случае надо учитывать междузонные
компоненты оператора скорости. Таким образом, для вырожден-
вырожденных зон формула C5.6), как и C5.5), применима при fico <C kT.
Из формул C5.5) и C5.6) видно, что электропроводность
^оэ определяется видом энергетического спектра и характером
релаксации носителей тока, а вклад электронов в диэлектриче-
диэлектрическую проницаемость и* определяется только их спектром.
Рассмотрим, как и в § 34, изменение <х°° и к* при деформации
в двух случаях: при многодолинной зонной структуре и в слу-
случае вырожденной зоны.
*) Так, в случае простой двухзонной модели [39.10] при /zco < Eg
где хкл определяется выражением C5.7)»
469
Многодолинная зонная структура
В многодолинном полупроводнике тензоры а°° и х* есть
суммы соответствующих тензоров по всем экстремумам. Основ-
Основным эффектом, определяющим изменение о°° и к при дефор-
деформации, является перетекание носителей между различными экс-
экстремумами. Как указывалось в § 34, изменения групповой
скорости и времени релаксации при деформации, связанные
с изменением эффективных масс и междолинного рассеяния, при-
приводят в обычных условиях к гораздо меньшим изменениям а°° и
х*, и мы их учитывать не будем.
Согласно C5.5) и C5.6) для каждого эллипсоида компо-
компоненты а°° и ъе в главных осях эллипсоида определяются фор-
формулами
где ti\ — концентрация электронов в каждом эллипсоиде, \if и
ms — главные значения подвижности при сот S> 1 и эффективной
массы. Если учитывать только эффекты перетекания носителей,
то для компонент тензоров т™^у6 и &*а$гУь справедливы фор-
формулы, подобные C4.24) и C4.26)':
_ 1
та$, уб ~#Г
st C5.8)
ф ___ 4тсе2п VI tnDt (Dst
J4* Y6 — ЬТ(й2т Zu ~ИП~ Wa$ y6 ""
st
где
— — — (— 4- — 4- —
tfl 3 \ /Tii ^2 ^3
n =znxN0 — полная концентрация носителей тока, а /?ар, ув и
/?ар — коэффициенты, зависящие от положения экстремумов
в /^-пространстве и определяемые C4.27).
Если поверхности постоянной энергии вблизи каждого экс-
экстремума являются эллипсоидами вращения, то C5.8) переходят
в формулы, аналогичные C4.29):
4тсе2п тп I — ш» 2
490
Для м-Si, у которого экстремумы находятся на осях [100],
^ и
21+ 2К°° kT ' 1м ~и>
^-т, В <8бЛ0>
2
3 (о2
Для Ai-Ge, у которого минимумы зоны проводимости находятся
на осях [111],
9 со2 \ mjm,, J kT
( '
Поскольку m, m°° и ^ определяются различными комби-
комбинациями величин т\ и тр то одновременное измерение этих
величин дает возможность определить по отдельности отноше-
отношение эффективных масс и времен релаксации. Так, величина ком-
компонент тензора т зависит от анизотропии низкочастотной по-
подвижности #=Hj/Hp которая в случае, когда т является тен-
тензором, равна отношению т^т^т^г^. В компоненты т°° входит
отношение К°° = М-Т/м^ = тцтц/т±т±» а величина компонент тен-
тензора <&* зависит только от анизотропии эффективных масс. От-
Отметим, что в случае многоэллипсоидной модели феноменологи-
феноменологические формулы C5.8) — C5.11) справедливы при любом соот-
соотношении йсо и kTy но при fio) > kT классическая формула для
К°° уже несправедлива.
Вырожденные зоны
Расчеты компонент тензоров т°° и $* в случае вырожден-
вырожденной зоны не отличаются от соответствующих расчетов компо-
компонент тензора т, проведенных в § 34. Если, как и в § 34, пред-
предполагать, что время релаксации зависит только от энергии и
его изменение при деформации описывается выражением
C4.31), то Да~р/а°° определяется формулой, подобной C4.36):
/опт
C5л 2)
где Г?р определяется C4.39), а~ — средняя проводимость носи-
носителей /-го сорта, а а°° = 2 <*Г- Изменение диэлектрической
проницаемости Дх^, которое зависит только от изменения
491
спектра при деформации, определяется формулой
где
"' -; C5.14)
J mf\d
Ли и т*@, ф) определяются формулами C4.34).
Для зоны Г8 в кубических кристаллах в сферическом при-
приближении C4.40) компоненты тензоров т°° и 3* определяются
формулами, подобными C4.41):
"и-2
20 В I (?/т,) (af + af) (E/x2) (of + a20
1
J '
44 20 В [(Е/х.) (о? + о?) (Е/х.)
(E/r2) (a
ВЬ
' l ' ^
2 f + ^
_^^т1^т^Ш C5Л6)
44 ~ 5
44 ~ 5 со2 irt?'2 + m!'
В C5.15) и C5.16) индексы 1, 2 относятся к тяжелым и легким
дыркам соответственно.
Выражения C5.8) — C5.16), определяющие изменение дей-
действительной и мнимой части диэлектрической проницаемости
при деформации, получены для невырожденного электронного
газа. При учете фермиевского вырождения, как и в случае
эффектов пьезосопротивления, соответствующие формулы отли-
отличаются дополнительными множителями. Эти множители для
многодолинной и вырожденной зоны определяются формулами
C4.46) и C4.48) соответственно. При этом для высокочастот-
высокочастотной проводимости в C4.46) и C4.48) п следует заменить на
—л, поскольку в выражение для высокочастотной проводимо-
проводимости входит т. Для мнимой части диэлектрической проницае-
проницаемости соответственно п следует положить равным нулю.
Нелинейные эффекты
Полученные формулы для изменения действительной и мни-
мнимой части высокочастотной проводимости, как и выражения для
констант пьезосопротивления C4.24) и C4.36), справедливы
при условии Euz/kT < 1 (или Sue<?)- При достаточно боль-
больших деформациях, когда эти условия перестают выполняться,
492
-зависимость а00 и ке от деформации становится нелинейной.
В случае многодолинных полупроводников выражения для о°°
и ке могут быть получены при любом отношении EuejkT по
формуле, аналогичной C4.49).
Так, для м-Si и м-Ge о°°(г) и ке(г) определяются форму-
формулами C4.50), в которых <у0 и К следует заменить на а^° и К°°
для сг°° и на — 4пе*п/®2т и tn^mL для и'. Для к* получим
таким образом при расположении экстремумов на осях [100]
и [111]:
где (пх—п2Iп дается формулой C4.51).
В предельном случае больших деформаций \/\^у
когда все электроны собираются на нижних экстремумах,
из C5.17) и C4.51) получим:
экстремумы в точке Д:
экстремумы в точке L:
Формулы C5.18) и C5.19) справедливы и в случае фермиев-
ского вырождения при АЕ/?У$> 1.
В случае вырожденных зон нелинейные эффекты имеют бо-
более сложную природу. Мы рассмотрим здесь нелинейные эф-
эффекты для вырожденных зон типа валентной зоны Ge и Si. При
этом мы ограничимся рассмотрением влияния деформации на
диэлектрическую проницаемость, так как этот эффект не зави-
зависит от механизмов рассеяния и позволяет поэтому получить
непосредственные сведения о зонной структуре.
Используя формулу C5.6) и общее выражение C0.5) для
?(fe, e) в деформированном кристалле, в принципе можно найти
Зависимость и*(е) при произвольной величине деформации. Од-
Однако этот расчет может быть выполнен только численными ме-
методами. Поэтому мы ограничимся рассмотрением двух предель-
предельных случаев, когда можно получить явные выражения для за-
зависимости х*(е): случай малых деформаций Ae/&^<^1, для
которого мы найдем квадратичные по Ae/kT поправки к хе, и
случай больших деформаций |Де/&Г|»1. В последнем случае
493
мы определим предельные значения при деформациях по на-
направлениям [100] и [111] при \&JkT\ ->oo и поправки к ним по-
порядка &77Де. Здесь Ае = 6?"i 2 — расщепление зон при k = 0 (см.
C0.11)).
Квадратичные эффекты. Из формулы C5.6) следует, что для
расчета квадратичных по деформации эффектов надо учитывать
как квадратичные по е поправки к энергии Д?<2)(е), так и квад-
квадраты линейной по е поправки Д?(й, е), определяемой соотноше-
соотношением C0.34). Кроме того, следует учитывать изменение хими-
химического потенциала Д?, которое квадратично по деформации.
Для квадратичной по деформации поправки Дх(а2^ таким обра-
образом будем иметь
- (¦??) (va АОр + оэ Ava) + Ava Лир] dk +
J М~ *W v*v» + Н>0« + Ах)Ы dk +
. C5.20)
где
Согласно C0.5)
C5.21)
Учитывая, что
интегрированием по частям выражение C5.20) приведем к виду
Д*$ {- W J
C5.22)
При расчете Дх^, как и при вычислении линейных поправок,
будем использовать сферическое приближение C4.40). В этом
д2Е
случае ^ ^ ~"ар и поэтому соответствующие слагаемые
в C5.22) не приводят к анизотропии Ди^. Первое слагаемое
в Д?B) в C5.21), как и член, пропорциональный Д?/АГ в C5.22),
494
всегда дают изотропный вклад в Дх2^» поэтому при расчете
анизотропных эффектов эти члены учитывать не надо.
Поскольку A?i = —AZ?2, то слагаемые, пропорциональные
(Д?J, дают в анизотропную составляющую вклад одинакового
знака от легких и тяжелых дырок, а вклад от членов, пропор-
пропорциональных Д?<2), имеет противоположный знак.
Для деформации по оси [001]
и в этом случае
axfl axx — lxkzz lmxx
48 ne2n
35 aJ
C5.23)
Согласно C4.40) в сферическом приближении
Ъ2
Согласно C5.16) и C5.23) анизотропная составляющая ди-
диэлектрической проницаемости Ди = ДХ|,— Дкх при малых де-
деформациях с учетом линейных и квадратичных членов может
быть записана в виде
Дх =
C5.24)
В C5.23) и C5.24) mi и m2 — эффективные массы тяжелых
и легких дырок соответственно.
При деформации по направлению [111] согласно C0.14) и
C0.37)
К - т Л?» ** - т DdC^- - *2) eiv
где ось -г' направлена по [111]. Поэтому выражение для Ди
в случае деформации по направлению [111] отличается от
C5.24) заменой ВЬг'2г на уШе?,г,.
Большие деформации. В предельном случае больших дефор-
деформаций AjkT 3> 1 поверхности постоянной энергии, как указано
в § 30, являются эллипсоидами. Поэтому тензор х^ в главных
осях эллипсоида при Де/&Г->оо определяется формулой C5.7)
495
Эффективные массы ms зависят от направления деформации и
определяются выражениями C0.18). Для вычисления поправок
к ке порядка kT/Аг нужио учесть в разложении E(ky г) C0 21)
члены 6Е порядка kA\Y&z, описывающие непараболичность об-
образовавшейся при деформации зоны. Вклад в х«, связанный
с этими членами, в соответствии с C5.6) равен:
°; dk +2 J ^ Лг)* dk} • C5-26)
При не зависящей от деформации концентрации носителей
n=\fodk изменение химического потенциала
Интегрируя второе слагаемое в C5.26) по частям и учиты-
учитывая, что для эллипсоидальной поверхности постоянной энергии
получим
6х*= """ОТ"! )hv\wdk ~1Г) fo6E dkf- C5'27)
Согласно C0.21), C0.5) при деформации по направлению
[100] имеем для нижней зоны дырок:
ЬЕ = - ftibi/ i C^2 ОЙ + kl) + 2 BD2 - 3S2) *J*J +
'$}. C5.28)
Вычисление бх5 для б?, определяемого выражением, подоб-
подобным C5.28), сводится к вычислению интегралов
Х 2 2 ^ 1 * '. C5.29)
где Г (г) —гамма-функция. В результате расчета получим
8пе2пт± kTD2
л*1 i^8 C5-3°)
ЗБ2) тх
Отсюда, учитывая C5.25) и C0.19), для анизотропной части
диэлектрической проницаемости к| — KeL при l^zl^/z^ получим
C5.31)
(д2т
где
™zz 1
а Во, Do — безразмерные величины:
При деформации по оси [111] поверхности постоянной энер-
энергии являются эллипсоидами вращения с осью вращения по
[111]. В системе координат C0.20а), связанной с главными
осями эллипсоида, когда ось z направлена по [111], 6E при де-
деформации по [111] равно:
f
- 4
Отметим, что последнее слагаемое в C5.32), зависящее от
выбора осей kx и kv, не дает вклада в бх, так как содержит
нечетные степени k. В результате расчета получим
откуда, учитывая C0.20), получим следующую формулу для
анизотропной части диэлектрической проницаемости к* — х^ при
деформации по направлению [111]:
"\ °^ 3/^ x \ 3
C5.34)
¦"
5T
Подчеркнем, что расчет ке в случае больших деформаций
выполнен без предположения о сферичности зоны в недеформи-
497
рованном кристалле. В сферическом приближении, т. е. при
D= УЪ Ву формулы C5.32) и C5.34) дают одинаковое зна-
значение Дке при одинаковом расщеплении зоны
В полупроводниках с малой величиной спин-орбитального
расщепления Д (например, в /?-Si) надо учитывать вклад в кв
порядка Д8/Д. При больших деформациях соответствующий
вклад связан с изменением эффективных масс, определяемых
формулами C0.24), C0.30) — C0.32а). С учетом этих поправок
выражение для Дк* при Д8 » kTy ? имеет вид:
при деформации по [100] и bs'zz>0
при деформации по [111] и 4г'пх > 0
При Ьг'жг<0 или de'lu<0 линейные no e поправки отсутствуют.
Влияние деформации на поглощение света и двойное луче-
лучепреломление наиболее подробно исследовались на n-Ge и n-Si.
При анализе экспериментальных данных следует иметь в виду,
что эти эффекты могут вызываться не только свободными элек-
электронами, но и решеткой и примесями, а также междузонными
переходами электронов.
Так как коэффициент поглощения, связанный со свободными
электронами ссе, в соответствии с C5.5) пропорционален Л2, то
его можно определить, вычитая из экспериментально измерен-
измеренного а(Х) предельное значение а(А,->-0), которое можно опре-
определить, экстраполируя к нулю прямую a = f(K2).
На рис. 48 показан ход ав(е)/а*@) для n-Ge, подвергнутого
сжатию по направлению [111]. Свет распространялся вдоль этой
же оси. Согласно C4.50) при таких условиях
Л^-^I^i ' " "' "». C5.37)
o«@) <т0 l+2/C°° n v '
Теоретические кривые а*(е)/а*@), построенные по этой формуле
при Su = 18 эв и /С00 = 8 и /С00 = оо, показаны на том же ри-
рисунке. Видно, что кривая, соответствующая К00 = 8, близка
к экспериментальной. Так как для n-Ge отношение т(|/тх = 20,
то этому значению К°° соответствует т~/т* = 0,4, тогда как от-
отношение низкочастотных времен релаксации т(|/тх равно 1,24
при рассеянии на колебаниях решетки и 4,5 при рассеянии на
примесях. Причина такого расхождения в значениях анизотро-
анизотропии времен релаксации объясняется, по-видимому, тем, что при
498
cck)
<xe@)
частотах света <o, используемых в [37.1], условие применимости
классической теории fico < ? не выполняется.
Как указывалось выше, измерение пьезопоглощения не дает
возможности непосредственно определить константы деформа-
деформационного потенциала, и в
этом отношении более удоб-
удобным является измерение
двойного лучепреломления,
вызываемого деформацией.
Из этих экспериментов мож-
можно непосредственно опреде-
определить тензор пьезооптиче-
ских констант Q, связываю-
связывающий изменение диэлектри-
диэлектрической проницаемости Дх
с приложенным напряже-
напряжением:
или
2
Yd
C5.38)
C5.39)
t,0
Р>дин/см2
Рис. 48. Поглощение света свободными
электронами в деформированном Ge
[37.1]. Сплошная кривая — теоретиче-
теоретическая.
Здесь А, — длина волны све-
света в вакууме,/го=х^2—пока-
вакууме,/го=х^2—показатель преломления в неде-
формированном кристалле.
Тензор Q связан с введенным ранее в C5.3) тензором <#*,
компоненты которого можно назвать эластооптическими кон-
константами, соотношением, подобным C4.10):
& — п v** >
где С — матрица упругих постоянных.
Если, как и в § 34, ввести двухкомпонентную запись для
тензоров $* и Q, обозначив
то из последнего соотношения для кубических кристаллов полу-
получим выражения, подобные C4.11):
я 3
^о Qn — Q12
Ц
-(С„+2С12),
11 ^12)»
C5.40)
44-
499
Тензор Q обычно определяется по разности фаз двух пучков
света, поляризованных в направлении, параллельном и перпен-
перпендикулярном деформации. В кубических кристаллах при дефор-
деформации по оси [100] эта разность фаз, отнесенная к длине об-
образца d, равна
oo. C5.41)
Аналогично при деформации по [111]
Q4*Pin- C5.42)
Для измерения разности фаз Дер обычно используется сле-
следующий метод: на образец направляется свет, линейно поляри-
поляризованный под углом 45° к направлению деформации. На выходе
ставится анализатор, пропускающий свет, поляризованный
, в плоскости, повернутой на 90° по
отношению к плоскости поляри-
поляризации падающего света. Тогда
интенсивность света на выходе
меняется с изменением сдвига
фаз Дф по закону
0 '' * * 4 2 / = /0sin2(A9/2), C5.43)
Р, /0 дин/см2
Рис. 49. Модуляция света при где U — интенсивность падающе-
деформации Ge вследствие изме- го пучка.
нения диэлектрической проницае- ия пиг до покачано кяк ич-
мости [38.3]. /-интенсивность па рис* 4У показано, как из
света в произвольных единицах; меняется интенсивность пучка
Р II [111], Г = 4,2°К, А, = 2,1н<- света, прошедшего через образец
n-Ge, по мере его деформации.
Обычно вклад в Ли, связанный со свободными носителями хе,
сравним с вкладом им, связанным с междузонными переходами.
Последний можно определить независимо, проводя измерения
на чистых образцах. Однако наличие большой концентрации
примесей может несколько изменить вероятности междузонных
переходов. Поэтому междузонный вклад надежнее выделять,
проводя измерение при больших деформациях, когда ке дости-
достигает насыщения.
На рис. 50 и 51 показан определенный таким образом ход
тД— от напряжения Я, полученный при различных длинах волн X
и различной концентрации носителей п. Видно, что в соответ-
соответствии с теорией Дфе пропорционально концентрации примесей и
растет линейно с увеличением Я.
Для определения из этих данных констант деформационного
потенциала нужно достаточно точно знать концентрацию носи-
носителей. Эту концентрацию можно определять из значения Аи00.
Для Ge и Si, где значения эффективных масс хорошо известны,
этот способ оказался более- точным, чем эффект Холла. При
600
этом константы деформационного потенциала наиболее удоб-
удобно определять по значению нагрузки Ро, соответствующей
пересечению прямой, являющейся продолжением начального
6 8
Pt 10sдин/см2
Рис. 50. Зависимость коэффициента двойного лучепреломления в n-Ge от
деформации при различных длинах волн [38.3]. п = 3,12 • 1018 см-3 (As),
Г- 1,4°К, Р II [111].
о 20тс
а
* ^ 10%
щ
1 1
>Л Q
А
-/
i i
л л Л А А А,Д А
Q ?) QqQ 0 do О О О С*~
1 1
^/ 0,2 0,3 0,4 0,5
Р/?@), Ю12дин/см2эй
Обозначения: кружки — я=1,24 • 10 см (As); ква
(As); ромбы—л=7,14- Ю1й сл<~3 (As), треугольники
линейного участка, и конечной прямой, соответствующей насы-
насыщению электронной части ке (рис. 52 и 53).
501
юо
I
50
О
-50-
'/,/0/t
Ч,15и
4,40р.
/у
Ч h
0 / 2 J 4 S 6 7
P, Ю3кГ/см*
Рис. 52. Зависимость коэффициента двойного лучепреломления в л-Si
(р = 0,01 ом-см) от деформации. Р Ц [100], Т = 77°К [38.4].
\JOO-
I
I200
1
\ЮО -
,'f'Y /
- /if/
t 1 1
-
О
/О /S
Р,Ю3кГ/см2
Рис. 53. Зависимость коэффициента двойного лучепреломления в p-S
(р = 0,006 ом-см) от деформации [38.4]. Р|| [111], Т«77°К, Я —l,15ji.
Согласно C5.10), C5.11), C5.31) условие пересечения этих
прямых имеет вид для n-Si при сжатии по [100]:
Для я-Ge при сжатии по направлению [111]
г-1/2
C5.44)
C5.45)
Зная Ро, из C5.44) и C5.45) можно определить Su. При таком
методе концентрация необходима лишь для определения вели-
величины ? в недеформированном кристалле, входящей в интегралы
Л/2 и F-i/2. Этот метод удобен тем, что при его использовании
нет необходимости непосредственно исключать междузонный
вклад, так как положение точки Ро не зависит от наличия ли-
лилейного по деформации меж-
междузонного вклада.
Указанным способом оп-
определены значения констант
деформационного потенциа-
потенциала: для германия Su =
= 18,0 ±0,5 эв, для кремния
Su = 8,5 ± 0,4 эв.
Двойное лучепреломле-
лучепреломление, возникающее при де-
деформации, наблюдалось и на
Ge и Si р-типа [38.4], [39.4].
Как видно из рис. 53, и
в этом случае имеется на-
начальный линейный участок,
определяемый свободными
носителями и междузонны-
междузонными переходами, и линейный
участок, соответствующий
большим е, который в дан-
данном случае может вызы-
вызываться не только междузон-
междузонными переходами, но и из-
изменением хе, связанным со
Рис. 54. Зависимость эластооптических
постоянных в Ge [39.4] от длины волны
света.
Рх = 3000 кГ/см\ Р2« 6000 кГ/см2.
сравнительно большими изменениями эффективных масс. Этот
вклад определяется формулой C5.35) или C5.36). Согласно
C5.35) и C5 36) отношение величин xfe-*«>) при деформациях
[111] и [100] равно DlVW.
Из-за большой анизотропии зонных констант и малой вели-
величины спин-орбитального расщепления для расчета начального
линейного участка и нелинейной области для Si требуется учи-
учитывать несферичность зон и их непараболичность.
603
§ 36. ПОГЛОЩЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ПРИ МЕЖДУЗОННЫХ
ПЕРЕХОДАХ В ДЕФОРМИРОВАННЫХ КРИСТАЛЛАХ
Как указывалось в § 35, оптические свойства вещества пол-
полностью определяются тензором комплексной проводимости а или
соответственно двумя вещественными тензорами: тензором про-
проводимости а = Re а и тензором диэлектрической проницаемо-
проницаемости н= —Dя/соIт(Г. Вклад в эти тензоры, связанный с между-
междузонными переходами (а также с переходами между локальными
уровнями), с учетом пространственной дисперсии определяется
выражениями [39.1] *):
рт [ил-я) и
т, пФт
+ <ОЬ C6.1а)
т, пФт
/L(-?)/L(?) , /L(o)/L(O) + /L(o)/L(o)
Здесь суммирование ведется по всем квантовым состояниям т
и п. Для блоховских электронов эти индексы включают номер
зоны, спиновые состояния и совокупность волновых чисел к.
В C6.1) Fm — функция распределения:
со—частота света, а <7 — его волновой вектор, йсотп = Ет — ?п.
В C6.16) & означает главное значение интеграла.
Оператор тока / с учетом спин-орбитального взаимодействия
имеет вид**)
2^ -?*. /@)—?~?*. C6-2)
где согласно A7.15)
*) При этом а (со, q) определено как отношение полного тока /(со, q),
включающего ток намагничения / = rot M, к полю электромагнитной волны
<^ = |/гр1/хЯ. Поэтому формулы C6.1) несправедливы при со = 0, когда надо
отдельно вводить а и магнитную восприимчивость ц = 1 + 4лМ/сН [39.1].
**) Учет пространственной дисперсии означает учет вклада в о и а ква-
друпольных и магнитодипольных переходов. Для междузонных переходов
этими эффектами обычно можно пренебречь, так как даже если дипольные
переходы в точке экстремума k0 запрещены, они становятся разрешенными
при учете членов более высокого порядка по k == К — kQ.
5Q4
В многозонной модели, в которой оператор энергии имеет
вид матрицы Жт'т{к) B2.27), матрица оператора тока в этом
же представлении равна
т. е., согласно B2.27),
Ш S ^ К А
<36-За>
Как указывалось в § 22, эта формула справедлива при ча-
частотах йо), малых по сравнению с расстояниями до других зон,
не включенных в 3%{k)> так как при ее выводе пренебрегалось
производными dS/dt. Поэтому для вырожденных зон ее можно
использовать при fico <C Egi а для многозонной модели — если
йо) намного меньше расстояния до других зон Es, т. е. /ко <^
<^Em — Es> Em> — Es. Так как для междузонных переходов fiw ^
\Ъь Eg, то это означает, что формула C6.3а) применима при
Em — Es^$> Egf когда Ет — Es^ Ет' — Es. Если же это условие
не выполняется, то вместо C6.3а) надо использовать точное вы-
выражение, которое можно получить из общей формулы A5.51),
подставив туда Ж = Ькя/т:
/<х6 6а\
C6.36)
Видно, что первые члены в C6.3а) и C6.36) одинаковы,
тогда как вторые совпадают лишь при Eg <c Es — Ет. Формула
C6.36) применима при таких частотах, когда |fio> — ^Л^
<^|?^ — Ет\. В простейшем случае двухзонной сферической
модели в соответствии с B6.34) и B6.35)
}* = espyoa + -^ 9рх (aa+1fea+2 + cra+2fea+I), C6.4)
где 9 = А\гп*/Ь2 — безразмерная константа. Аналогично для двух-
двухзонной эллипсоидальной модели
Г — е*аРуаа + ~г рх (вц+^о+^а+г + 80+2^0+2*0+1)* C6-5)
Для двуосных эллипсоидов две из констант sa и 6а совпадают;
например, при rnxx = rnyy sx = sy и вх=6^.
Если соответствующая группа волнового вектора содержит
инверсию, то одна из констант s или 6 обращается в нуль в за-
зависимости от четности представлений, соответствующих обеим
зонам; при отсутствии инверсии, например в кристаллах класса
Та, обе константы могут одновременно быть отличными от нуля.
505
При расчете влияния деформации на оптические явления
надо учитывать, что деформация приводит к изменению а и и
как вследствие изменения спектра, так и в результате измене-
изменения матричных элементов оператора тока / или скорости v.
Невырожденные зоны
Для невырожденных зон вблизи края поглощения, т. е. при
|fi(o — Eg\<^Egi основную роль играет сдвиг дна зон, тогда как
изменение матричных элементов, так же как и изменение эф-
эффективных масс, можно не учитывать. Лишь в тех случаях,
когда согласно правилам отбора дипольный переход в точке экс-
экстремума в недеформированном кристалле запрещен, а в дефор-
деформированном кристалле вследствие понижения симметрии он
становится разрешенным, необходимо учитывать изменение ма-
матричного элемента при деформации.
Если |й(о — Eg\ намного меньше, чем Eg и расстояния до
других зон, то при расчете о и к можно не учитывать непарабо-
личность зон, а также пренебречь вкладом всех других зон в и.
Если переходы происходят между двумя невырожденными
зонами, экстремумы которых находятся в одной точке й-про-
странства и главные оси эллипсоидов у них совпадают, то ком-
компоненты о*38 и kss для каждого из экстремумов в его главных
осях согласно C6.1) и C6.2) определяются выражениями:
h<u-Eg)m при
О при
е2 (tfixfhifhz) р ч^
LP\"»_f 0
-А©) при h<s><Eg\'
где
~ Ik
Здесь av и ас означают совокупность спиновых состояний ва-
валентной зоны и зоны проводимости. При этом валентная зона
предполагается полностью заполненной, а зона проводимости —
пустой. Изменение сг^ и х?5 при деформации определяется из-
изменением ширины запрещенной зоны Eg в точке к0: согласно
B9.28)
б4=2?ие«, C6.8)
506
где ett — компоненты тензора деформации в главных осях экст-
экстремума, а Еи = Dtc— Dtv и соответственно
<36-9)
Аналогично C4.1), C5.3) введем тензоры т^уб и &*%№ опре-
определяющие изменение ам и км при деформации:
C6.10)
a0 Y6 Y6
где
Л/о — число экстремумов, а ^>=="з"Т]^' Компоненты
pv определяются выражениями, подобными C5.9). Однако
в отличие от C5.9) здесь не будет второго слагаемого, связан-
связанного в C5.9) с условием постоянства концентрации свободных
носителей. Поэтому здесь будут отличны от нуля не только сдви-
сдвиговые, но и объемный коэффициенты. Общие выражения для
ВИД
<36Л2)
C6-13)
Для кубических кристаллов объемные коэффициенты равны:
^4^ = -7<я?% <•">*.> C6Л4)
Elg (Ь
где
Если экстремум расположен в точке й = 0, то сдвиговые ко-
коэффициенты в указанном приближении равны нулю: эти коэф-
коэффициенты определяются только изменением эффективных масс
и матричных элементов и в
/ко — Eg
раз меньше объемного.
5Q7
Сдвиговые коэффициенты для кристаллов, у которых экстре-
экстремумы расположены в точке L A11) (например PbS, PbSe, PbTe),
определяются выражениями, подобными C4.30):
1 р t р дс до
тп т12 и, т44— б P|i+2px (йсо-^)' 1*0.1OJ
2 / — 2 \ 1 /2
Аналогично при расположении экстремумов в точке X A00) для
невырожденных зон
4 Я, + 2Р± (Йсо -
В тех случаях, когда правила отбора запрещают дипольные пе-
переходы в точке экстремума при всех поляризациях и вероят-
вероятность этих переходов пропорциональна fe2, проводимость os~
~ (fico — ?gK/2. В этом случае изменение а при деформации 6а,
так же как и бх, не имеет особенности при h<u-*Eg и
st
где
Если экстремум в кубическом кристалле расположен в точке
k = 0 и зоны не вырождены, то, как указано выше, сдвиговые
коэффициенты обусловливаются сравнительно малыми измене-
изменениями эффективных масс и матричных элементов, определяю-
определяющих вероятность перехода. Однако если зона в точке k = 0 вы-
вырождена, то сдвиговые эффекты будут также большими.
Вырожденные зоны
В качестве примера рассмотрим зонную структуру, имею-
имеющуюся у большинства кристаллов III—V групп, а также у Ge,
у которых валентная зона в точке Г четырехкратно вырождена
с учетом спина и соответствует представлению Г8 (или Ff),
а зона проводимости в точке Г вырождена лишь по спину и
соответствует представлениям Гб или Гу (или Г^, Г^). Двухзон-
ный гамильтониан Ж (к, г) для этих зон определяется табли-
таблицей 24.1 *) (стр. 303).
*) При |йсо — Eg\, превышающем или сравнимом со спин-орбитальным
расщеплением ДСо, надо учитывать как переходы из отщепившейся зоны, так
и непараболичность валентной зоны. В этом случае вместо C6.21) надо ис-
использовать полный гамильтониан, построенный для всех трех зон, определяем
мый таблицей 24.1.
508
Следовательно, междузонные матричные элементы оператора
скорости в этом случае равны (в базисе У\% Yll2if2 и УЩ, У\%>
v3/2 уЗ/2 \
1-1/2, / -3/2,1
C6.21)
vx
vy-
дрх
дЖы
дру
дМ"
дрг
s
2
s
2
s
2
0
;/з
0
-Уз
0
-1
0
—/
0
0
2
0
1
0
1
21
0
—V
0
0
0
0
где
S= I/ —
В приближении Кейне, когда учитывается взаимодействие
только двух ближайших зон, 2mns2 = Egi где /п^ — эффектив-
эффективная масса электронов и легких дырок. В этом приближении со-
согласно B4 6), B4.34)
ЛВ% <3622)
Для расчета а и к по формулам C6.1а) и C2.16) надо пе-
перейти в представление B4.19), в котором внутризонная матрица
C0.3), B4.12) диагональна. Далее можно просуммировать про-
произведение v^v^ по обоим состояниям зоны проводимости п
и двум состояниям валентной зоны т, соответствующим легким
или тяжелым дыркам с энергией ?*(е, к) (I = 1,2). В результате
величины &L — У\ v*v& при а = В
ар ^j тпп tint Г *
тп
при
+ (L - М) fe2a - (/ + m) e + (/ ~ m) ваа}; C6.23а)
Я<г2
= Ei_Ei> (Nkak&
C6.236)
Здесь / =? Г. Из C6.23) следует, что в обозначениях B4.14) и
C0.8)
C6.24в)
509
Подставив C6.24а) в C6.1), найдем, что в недеформирован-
ном кристалле
о
-(Ев + й©) при ha>Es,
при
где
^ I. 2 = "ЕГ
C6-27б)
/ k2k2 4- k2k2 4- ife2ife2 \1/2
, Ф) = (В2 + С2 ***" + У + *"*' ) . C6.27в)
Изменение ам и кы при всесторонней деформации опреде-
определяется только изменением ширины запрещенной зоны: в этом
случае в формулах C6.25) и C6.26) Eg надо заменить на Е8 +
+ Eige. Подставив C6.246, в) в C6.1), найдем сдвиговые кон-
константы тм и <^м, описывающие изменение <хм и хм при анизо-
анизотропной деформации в линейном по е приближении:
о" —о" 3 6 Ф{
тП - тГ2 Р ^м / = Т fe,, Р тЗ/2 . ^3/2 (ПРИ ЙСО>^),
^0 хх ~~* /г 1 ' 2
C6.28)
C6.29)
4 Ы — Е„ т3,12 + гпЪ12
•а - ^r2 =%хх, *vv=| ^„./;,;^tlfl Ф1, (зб.зо)
°XX 4
C6.31)
2e*e 4 63<в2 (ЙФ - EgI'2
610
где
й2 f Г r
Ф„=—< ау
2 4я U L
. Ф)
В сферическом приближении, когда константа 5(д, ф) заме-
заменяется на независящую от углов константу
эффективные массы т\ и ш% также не зависят от углов, а кон-
константы Ф\ и Ф2 равны:
Ф,«-
В приближении Кейне, когда /ft] = 2m,., th2 = mc и В
Приведенные выше формулы справедливы при таких часто-
частотах, когда |йсо — ?*| существенно превышает расщепление зон,
вызываемое деформацией *), с другой стороны, |йсо — ?$| долж-
должно быть намного меньше Е8 и Дсо.
При достаточно больших деформациях вблизи края зоны
при [Лео — Eg\ <Д8 справедливо обратное приближение — боль-
•) Разность |Лсо — ?*| должна также превышать энергию связи экси*
тона, так как при выводе этих формул не учитывалось взаимодействие воз-
возбуждаемых светом электрона и дырки. Влияние деформаций на экситонный
спектр будет рассмотрено в следующей главе.
511
ших деформаций. В этом случае согласно C6.246, в) для верх-
верхней из расщепившихся р-зон при деформации гхх
Q% js>4, где Y-jggj-; C6.34)
при деформации гху
6^ = -^-s2Y> где Y = T^gr. C6.35)
Подставив эти значения в C6.1), найдем, что в этом случае
при деформации гхх
охх - Оуу = К-^? Y (Лю - Eg (е))|/2( C6.36а)
при деформации гху
°ч> = шЬг V (/*«> - Eg (e)I/2. C6.366)
ч> = шЬг V (/*«> - Eg
Аналогично при Ле>?'г — /ко>0 при деформации гхх
vm vm — _ ч " ±L L у
кхх куу — 2 Й3со2 А
X {2E]J2(e) - B(d + ВДI/2 - (Eg(e) - fta>I/2}, C6.37а)
при деформации еху
X [2Ef (е) - (Лоо + ^ (е)I/2 - (Eg (в) - fico)I/2}. C6.376)
Здесь
Эффективные массы дырок вблизи края зоны, которые зависят
от знака ЬВг или dDe, приведены в § 30 (уравнения C0.18) —
C0.20)); Eg(e)—ширина запрещенной зоны с учетом ее изме-
изменения при деформации: Eg(e) = E°g-\- E]gz — <$XJ2.
Из приведенных выше формул видно, что знак эффекта как
при малых, так и- при больших деформациях определяется
только знаком констант Ь и d (и знаком деформации), в отли-
отличие от эффектов, связанных со свободными носителями, знак
которых определяется знаком произведений ЬВг или du
ГЛАВА VII
ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА ПРИМЕСНЫЕ
ЦЕНТРЫ И ЭКСИТОНЫ
§ 37. СПЕКТР ПРИМЕСНОГО ЦЕНТРА В ДЕФОРМИРОВАННОМ
КРИСТАЛЛЕ
В § 27 было показано, что в приближении эффективной
массы уровни энергии и волновые функции мелкого примесного
центра определяются уравнением B7.1), вид которого зависит
от структуры зоны в точке экстремума. При деформации проис-
происходит изменение зонной структуры, что приводит к изменению
энергии и волновых функций основного и возбужденных состоя-
состояний мелкого примесного центра. В этом параграфе будет рас-
рассмотрено изменение при деформации состояний мелкого при-
примесного центра в случаях различной зонной структуры: для
невырожденной зоны, зоны со многими долинами и зоны, вы-
вырожденной в точке экстремума.
Невырожденные зоны
В невырожденной зоне при деформации происходит сдвиг
края зоны Д? и изменение эффективных масс. Поэтому в урав-
уравнении B7.1) для мелкого примесного центра появляются члены
порядка ek2, описывающие изменение эффективной массы зон-
зонных носителей.
Сдвиг края зоны Д? приводит лишь к соответствующему
сдвигу энергии для всех состояний примесного центра и не из-
изменяет, таким образом, энергии ионизации, отсчитываемой от
края зоны. Изменение энергии ионизации Е{ в этом случае свя-
связано только с изменением эффективных масс при деформации,
оно порядка 6Е{/Ег ~ Ат*/т* ~ De/Eg. При анизотропной де-
деформации, когда изменение эффективных масс анизотропно, мо-
может происходить снятие вырождения возбужденных состояний.
Расщепление вырожденного уровня с энергией Епу связанное
с изменением эффективных масс, также порядка EnDe/Eg.
Характер расщепления может быть определен обычным об-
образом из соображений симметрии.
Зоны со многими экстремумами
Рассмотрим зону с несколькими экстремумами, в каждом
из которых зона не вырождена. Как показано в § 27, в прибли-
приближении эффективной массы основное состояние примесного центра
1/217 Г. Л. Вир, Г. Е. Пикус 513
в этом случае вырождено с кратностью вырождения, равной
числу экстремумов, а волновые функции являются произволь-
произвольными комбинациями функций примесного центра xPl = tykfl9 со-
соответствующих состояниям вблизи 1-го экстремума. Здесь tyk —
блоховская функция в 1-й экстремуме, a fl(x) —плавная функ-
функция, удовлетворяющая уравнению B7.1).
Если не учитывать перекрытия (в ^-пространстве) волновых
функций, относящихся к разным экстремумам, то однородная
деформация не приводит к перемешиванию состояний, отно-
относящихся к различным экстремумам, а только к сдвигу энергии
состояния в каждом экстремуме на величину б?/, которая, если
не учитывать изменения эффективных масс при деформации,
равна сдвигу зоны Д?/ в точке экстремума. Поскольку разные
экстремумы при деформации смещаются в общем случае по-раз-
по-разному, то деформация приводит к снятию многодолинного вы-
вырождения основного состояния примесного центра в той же
мере, в какой она вызывает снятие вырождения дна зоны при
деформации.
Рассмотрим в качестве примера донорные уровни в Si и
в Ge. В Si в приближении эффективной массы основное состоя-
состояние мелкого донорного центра шестикратно вырождено. При де-
деформации по оси z, когда е^ ф 0, уровни примесного центра,
соответствующие экстремумам на оси kZy сместятся на величину
Д?3 = -g- Sus'zz, а для экстремумов на осях kx и ky — на величину
Д?2=—оы8гг. Таким образом, шестикратно вырожденное со-
о
стояние расщепится на четырехкратно и двукратно вырожден-
вырожденные состояния, разделенные на величину Euefzzy равную рас-
расщеплению дна зоны проводимости при деформации.
В n-Ge, где основное состояние примесного центра четырех-
четырехкратно вырождено, при деформации по направлению [111] со-
состояние примесного центра, соответствующее экстремуму на оси
[111], сместится на величину A?i = -^ 2и8ш, а остальные три со-
9
стояния сместятся на величину А?2 = Д?з = А?4 = — -g-S^ein *),
т. е. произойдет расщепление основного состояния на одно-
однократно и трехкратно вырожденные состояния с величиной рас-
расщепления, равной ~2ы8п1. Такой характер расщепления при-
примесного центра в многоэллипсоидной зоне имеет место только
в приближении эффективной массы, когда не учитывается рас-
расщепление состояния примесного центра в недеформированном
кристалле, связанное с отступлением от метода эффективной
*) Здесь и дальше мы опускаем член fs^ +-g- stt)SP8> который описы-
описывает одинаковое смещение всех уровней примесного центра.
514
массы. Как указывалось в § 27, учет этих поправок приводит
к снятию многодолинного вырождения, характерного для ме-
метода эффективной массы.
Если эти поправки малы по сравнению с энергией ионизации,
то соответствующие волновые функции могут быть получены на
основании теоретико-групповых соображений в виде линейных
комбинаций функций примесного центра, соответствующих каж-
каждой долине. В § 27 указаны такие правильные линейные комби-
комбинации функций для мелких доноров в Ge и Si (уравнения
B7.20), B7.22)).
Для определения энергии основного состояния и волновых
функций примесного центра в деформированном кристалле
нужно диагонализовать матрицу возмущения, состоящего из де-
деформации и поправок к методу эффективной массы, для всех
состояний, вырожденных в приближении эффективной массы.
При этом в базисе правильных функций, полученных при учете
поправок к методу эффективной массы, матрица деформации
уже не будет диагональной. Если расщепление дна зоны при де-
деформации мало по сравнению с величиной химического сдвига,
то можно отдельно рассматривать расщепление при деформа-
деформации каждого из вырожденных уровней.
В представлении функций "Ф^, в котором матрица деформа-
деформации диагональна, матрица химического сдвига имеет недиаго-
недиагональные матричные элементы. Так, в случае я-Ge, согласно
B7.22), матрица возмущения в представлении функций Ч^
имеет вид *)
Д?,—Д/4 —Л/4 —А/4 —А/4
-А/4 Д?2-Д/4 -Л/4 —Л/4
— Л/4 —Л/4 Л?3 — А/4 —А/4
— Л/4 —Л/4 -Л/4 Л?4-Л/4
C7.1)
где Д?;(в) (/ = 1,2,3,4)—сдвиг зоны в 1-й экстремуме, Л — ве-
величина расщепления между триплетным и синглетным состоя-
состояниями в недеформированном кристалле; при этом энергия от-
считывается от энергии триплетного состояния в недеформирован-
недеформированном кристалле. Согласно C7.1) энергия Е в деформированном
кристалле определяется уравнением
(Д?, - Е) (Л?2 — Е) (Д?3 - Е) (Д?4 - Е) —
~{(ЬЕХ - Е) (Л?2 - Е) (Л?3 - Е) + {АЕ{-Е) (Л?2-?) (Л?4-
- Е) (Л?3 - Е) (Л?4 - Е) + (Л?2-?) (Л?3-?) (Л?4-?)}=0.
C7.2)
*) За счет отступления от метода эффективной массы возникнет еще диа-
диагональная добавка к энергии, которая сдвигает все уровни на величину А.
Ее мы здесь учитывать не будем.
515
В случае деформации по направлению [111]
2 2
A?i = -3- Swein, Д?2 = Д?з = Д?*4 = — у
и из уравнения C7.2) получим
?з = ^4 — g-— tfi\\\ = ¦?- X,
C7.3)
C7.4)
где
8 Eu
"9
На рис. 55 показана зависимость энергии примесного центра
в n-Qe от величины х при различном знаке деформации.
Рис. 55. Расщепление основного состояния донорного центра в Ge при де-
деформации.
Из C7.4) следует, что при деформации происходит расще-
расщепление вырожденного состояния, при этом вырождение снимает-
снимается не полностью.
При 8iii = 0 термы ?2, ?з, ЕА совпадают, т. е. они соот-
соответствуют трехкратно вырожденному состоянию, а Ех =—А со-
соответствует синглетному состоянию примесного центра. При ма-
о
лых деформациях, когда -q'&u&ux <C А,
Ех = - А, ?2 = 43«еш. C7.5)
При больших деформациях, когда вызываемое ими расщепление
I 8 г- , 1 А
превосходит величину химического сдвига, \-^^и&п\ S> А, т. е.
при
1,
и2 = - 4 B ± Y)
где
|Х..Г
При y==: 1
El = -\n-*?iL, Е* — ± + ±Ыи; C7.7а)
при y = — 1
?i = -T + TS«8"b ^2 = ~|а-|-3^и. C7.76)
Используя матрицу C7.1), легко найти и волновые функции,
соответствующие собственным значениям Еи которые опреде-
определяются коэффициентами разложения по функциям примесного
центра вблизи каждого экстремума.
Для вырожденных состояний с энергией Ег = Е4 две волно-
волновые функции могут быть выбраны в виде
или в виде любой их линейной комбинации. В качестве такой
линейной комбинации иногда удобно выбрать функции
которые при повороте вокруг оси [111] на угол 2я/3 умножаются
на e±2niJ3 соответственно.
Для состояний с энергией Е\ и Е2 волновые функции равны
^=тда(а111)' ^тг=пгФ111)' C7-8)
где
а = -1-2*+ 2/1+* + х\ ар = -3. C7.8а)
При деформации по направлению [ПО]
&Е\ — А?2 = -д- s«ei ю, Д?з *= А ЕА — — у *иЪ\ ю,
8110 == 8110 "~ 81Ш == ^8jcy»
где индексы 1, 2, 3 и 4 относятся к экстремумам на осях [111],
[111], [111] и [Til] соответственно, и из уравнения C7.2) по-
получим
Е\ =-g-2w8n0> ?*2 = ^""-"ивПО,
C7.9)
е +
17 Г. Л. Бир, Г. Е. Пик>с 517
При 8по = О термы Еи Е2у Еъ совпадают и соответствуют
триплетному состоянию, а Е4— синглетному.
Волновые функции примесного центра в деформированном
кристалле при деформации по направлению [110] имеют вид
C7.10)
где
23„8пП
C7.11)
Рассмотрим теперь влияние деформации на основное состоя-
состояние донорного центра в кремнии.
Будем отсчитывать уровни энергии в недеформированном
кристалле от нижнего — синглетного состояния. Обозначим че-
через Ai и А2 энергии триплетного и дублетного состояний. Тогда
в представлении функций B7.20) матрица взаимодействия с де-
деформацией имеет вид
з
/Г
L B Д?,-ДЯ,-АЯ») -4=(Д?,-Л«„
3/2 2/3 6 3
0 0 0 AEt+Aj 0 0
0 0 0 0 АЕх+А, 0
0 0 0 0 0
C7.12)
Из C7.12) следует, что при деформации триплетные состоя-
состояния смещаются на Д?ь Д?2 и Д?з, что приводит в общем слу-
случае к снятию вырождения; правильные волновые функции три-
триплетного уровня в деформированном кристалле определяются
по-прежнему B7.20). При деформации по направлению [001]
1 2
A?i = А?г = —г ^«8<*z> Д^з = у &uz'zz> и из уравнения C7.12) по-
получим для энергии состояний, происходящих из дублетных и
синглетных уровней в недеформированном кристалле:
Д2 1 /-- о C7ЛЗ>
Т
Состояния с энергией Ей Е2 соответствуют дублетным, а состоя-
состояние с энергией Ег — синглетному состоянию недеформирован-
ного кристалла (при Аг > 0).
518
Состоянию с энергией Е{ соответствует волновая функция
— A11 Г00), а состояниям с энергией Е^ и Е3 — функции
• a2
C7.14)
где
C7.14а)
В случае деформации по оси [110] отличны от нуля компо-
компоненты тензора деформации ехх =*= evv, ezz, е^, и поскольку сдвиго-
сдвиговая деформация гху не влияет на положение экстремумов в Si,
то для деформации по направлению [ПО] справедливы формулы
C7.13), C7.14), где г'2г = г22 - гхх.
Возбужденные состояния мелкого примесного центра имеют
значительно больший радиус, чем основное состояние, поэтому,
как отмечалось в § 27, можно ожидать, что химический сдвиг
для возбужденных состояний мал.
Если не учитывать химический сдвиг, то расщепление при
деформации возбужденных состояний мелкого примесного цен-
центра совпадает с расщеплением дна зоны.
Вырожденные зоны
Для определения энергии и волновых функций примесного
центра в вырожденной зоне нужно решать систему уравнений
B7.1), в которой к оператору Ж(к) B1.19) нужно добавить опе-
оператор <?#(е), определяющий расщепление дна зоны. Поэтому
при деформации спектр и волновые функции примесного центра
определяются системой уравнений
2«,=№ av—3V{k) + v(r) + x{B). C7.16)
5
В отличие от невырожденной зоны в этом случае при деформа-
деформации существенно меняется спектр электронов в зоне вблизи
экстремума, что приводит к значительной перестройке спектра
примесного центра и волновых функций при больших деформа-
деформациях, когда расщепление валентной зоны Ле становится сравни-
сравнимым с энергией ионизации примеси Е{.
Точное решение уравнений C7.15) в случае вырожденной
зоны при наличии деформации обычно нельзя получить в явном
17* 619
виде при произвольной величине деформации. Поэтому ниже
мы рассмотрим два предельных случая: малых деформаций
Де <С Е{ и больших деформаций, когда Де S> Е{.
В случае малых деформаций оператор Ж (г) можно рассма-
рассматривать как возмущение, поэтому расщепление вырожденного
состояния примесного центра определяется матрицей возмуще-
возмущения Ж' (?) с матричными элементами
,
«)Ц<**
z)at j Р;Цdx, C7.16)
st
st
вычисленными на медленных функциях примесного центра р
с компонентами /J (см. § 27).
Для основного состояния примесного центра, имеющего сим-
симметрию дна зоны, матрица Ж' (с) имеет такой же вид, как и
матрица Ж {г) для зоны, отличаясь от нее лишь значением
констант деформационного потенциала. Эти константы Ьг и d'
в общем случае отличаются от Ь и d> они зависят от вида вол-
волновых функций и могут быть выражены через зонные кон-
константы bud при помощи C7.16).
Рассмотрим константы деформационного потенциала для ак-
акцепторных состояний в Ge и Si.
Если в качестве /* использовать вариационные функции
B7.24) или B7.25), соответствующие приближению Д->оо или
А = 0, где Д — величина спин-орбитального расщепления валент-
валентной зоны, то для Ьг и dr получим (при с4 = 0)
= 0: fc' = (l -|
д=оо: ь' = (с\-
C7.17)
При указанных в табл. 27.3 и 27.5 (стр. 351 и 352) значениях
констант, определяющих волновые функции для Ge и Si
в B7.25) и B7.23), получим для b'jb и d'/d:
Таблица 37.1
д = о
Ge
Si
Si, B<0
Si, B>0
ЬЧЬ
0,56
0,77
0,84
0,73
did
0,61
0,82
0,93
0,75
Как видно из таблицы, сдвиговые константы деформацион-
деформационного потенциала для примесного центра Ь' и dr могут суще-
существенно отличаться от констант bud, совпадая с ними лишь
520
в том случае, когда в B7.23) с2 = ^з = 0. Константа деформа-
деформационного потенциала а' всегда равна а, если не учитывать в ма-
матрице 26{*9 к) членов порядка е&2. В общем случае это спра-
справедливо для всех констант деформационного потенциала,
которые не приводят к расщеплению зоны в точке экстре-
экстремума.
Следует отметить, что отношение констант деформационного
потенциала для зоны и примесного центра существенно зависит
от вида функций, поэтому трудно оценить точность оценок b'/b
и d!\d, приведенных в табл. 37.1.
Таким образом, расщепление примесного уровня при дефор-
деформации определяется такой же формулой, как и расщепление дна
зоны, если в ней заменить зонные константы деформационного
потенциала на соответствующие константы примесного центра.
Волновые функции примесного центра в деформированном кри-
кристалле являются линейными комбинациями функций основного
состояния, диагонализующими матрицу 26' (е). Так, для p-Ge и
p-Si эти линейные комбинации определяются формулами B4.19),
если в них заменить kak§ на еар и В -> b', D -> d\
В случае больших деформаций, когда расщепление дна зоны
при деформации А8 больше, чем энергия ионизации Ег примес-
примесного центра, для определения спектра примесного центра сле-
следует сначала диагонализовать матрицу 26 (е) в уравнении
C7.15). В новом представлении матрица 26 {к) переходит
в 26' {к)у определяющую спектр в деформированном кристалле
в области вблизи точки вырождения. Таким образом, в случае
больших деформаций А8 ^ Ег энергия и волновые функции при-
примесного центра в деформированном кристалле снова опреде-
определяются уравнением B7.1), в котором 26 (k) определяет спектр
носителей в деформированном кристалле.
В вырожденной зоне типа валентной зоны Ge и Si при де-
деформации поверхности постоянной энергии становятся эллипсои-
эллипсоидами, поэтому для Ge и Si в предельном случае больших де-
деформаций задача определения энергии и волновых функций
основного состояния примесного центра сводится к решению со-
соответствующей задачи для простой зоны, которая была рассмо-
рассмотрена в § 27.
При деформации по осям [001] или [111], когда поверхности
постоянной энергии являются эллипсоидами вращения с мас-
массами, определяемыми C0.19), C0.20), можно использовать ва-
вариационную функцию B7.17), приводящую к формулам B7.18),
B7.19) для энергии ионизации.
При больших, но конечных деформациях к энергии иониза-
ионизации будут поправки порядка Е{/Аеу связанные с непараболич-
ностью отщепившейся зоны.
Если в уравнении B7.1) перейти к представлению, осущест-
осуществляемому функциями дна зоны в деформированном кристалле,
которые диагонализируют матрицу 26 (е), то уравнение B7.15)
521
в этом представлении можно записать в виде
/2
C7.18)
где / — единичная двумерная матрица, Жт, Ж\п — двумер-
двумерные матрицы, квадратичные по k и зависящие от направления
деформации, a Et(k) и E2(k) определяются формулами
C0.14) —C0.17).
Для расчета поправок к энергии в первом приближении по
Е{/Ае можно использовать преобразование гамильтониана
A5.49а)*). В результате получим преобразованный гамильто-
гамильтониан для верхнего из отщепившихся уровней:
C7.19)
С другой стороны, оператор &Ж' = — dKi\\3f€\uJ2ts,z определяет
поправки к энергии порядка k4/&& и согласно C0.21) равен:
C7.20)
где <8ь> &ek, &e определяются уравнениями C0.6) — C0.8).
Поправки к энергии ионизации равны
C7.21)
где / — медленная функция основного состояния, определяемая
уравнением B7.17).
В случае деформации по направлению [001] согласно C7.20)
- {4
в2
2k2 ki - zk\)+с* (kX + kiki +
}/ле.
C7.22)
Для вариационной функции
интегралы, определяющие поправку к энергии б?<, равны:
fk4xfdx = -L't f Г*х*|/ Ле = -L-J-5-. C7.23)
а„ J 3 aa
*) Заметим, что для учета поправок к энергии более высокого порядка
по Я*/Де гамильтониан bJC уже нельзя получить простым разложением
?(е, к) по более высоким степеням &2/Ag» что связано с некоммутатив-
некоммутативностью операторов к =* — /V и К (*)»
622
Поэтому для деформации по направлению [001]
C7.24)
При деформации по направлению [111] аналогичные вычисле-
вычисления дают
So
«?i = -
ао = — Д — — + —) + — —— + —
C7.25)
Экспериментально зависимость энергии ионизации примесей
в области больших деформаций исследовалась в работе [32.4].
Изменение энергии ионизации определялось по изменению кон-
концентрации дырок в области низких температур, т. е. при kT <c
Полученная зависимость ?i(e) для случая деформации по
направлениям [100] и [111] показана на рис. 56. Из рис. 56 видно,
О /00 200 500 400 500 О /00 200 JOO 400 500
Рис. 56. Изменение энергии ионизации акцепторов (Sb и А1) в p-Ge при
деформации по направлениям [100] и [111] [32.4].
что энергия ионизации зависит от сорта примесей, что связано
с химическим сдвигом.
Как видно из рис' 56, при максимальной достигнутой на
опыте деформации величина ?*(е) еще не выходила на насыще-
насыщение, поэтому авторы аппроксимировали ?*(е) выражением
Et (в) ™ ?*• + "т1 + 1Г; C7.26)
при этом константы Eioo, W\ и W2 подбирались так, чтобы обес-
обеспечить наилучшее согласие с экспериментом.
523
§ 38. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ПРИМЕСНЫХ ЦЕНТРОВ
В этом параграфе мы рассмотрим оптические переходы ме-
между основным и возбужденными состояниями мелкого примес-
примесного центра в деформированных кристаллах.
Сначала рассмотрим случай многоэллипсоидной зонной
структуры, в которой поверхности постоянной энергии являются
эллипсоидами вращения, как это имеет место в зоне проводи-
проводимости Ge и Si.
Оператором возмущения, вызывающим оптические диполь-
ные переходы, является оператор
C8.1)
где с& — электрическое поле световой волны, е — заряд элек-
электрона, со — частота света. Волновая функция примесного центра
является произведением функций дна зоны на медленные функ-
функции метода эффективной массы.
Поскольку в приближении эффективной массы переходы мо-
могут происходить только между состояниями, соответствующими
одному экстремуму, то правила отбора определяются матрич-
матричными элементами координаты, вычисленными на медленных
функциях основного и возбужденного состояний мелкого при-
примесного центра. При этом переходы могут происходить только
между состояниями с различной четностью.
Рассмотрим более подробно переходы между различными
уровнями основного Is состояния и ближайшими возбужден-
возбужденными состояниями /?о и р±.
Если начальное состояние *FS является суперпозицией со-
состояний, соответствующих различным экстремумам,
а переход происходит в возбужденное состояние
соответствующее экстремуму /, то вероятность перехода про-
пропорциональна
| <W51 (8ж) | ?„> р = | CI |21 (fo | (Шх) I fP) |2.
Скалярное произведение (%х) можно записать в виде
где
* (^ ± iy) $l
а оси xl9 уiy Zi выбраны вдоль главных осей эллипсоида /.
524
Волновые функции /^состояния в этих осях преобразуются:
fр0 — как zi, a fp±—как х±. Поэтому вероятность перехода
пропорциональна: в состояние р0
в состояние
Здесь ф/ —
экстремума,
Р±
угол
's | (%х) \W 0Л |2 = 1 d I2 AU
1 f*?v\ 1 "Ф* Л I2 М Г? I2 >
? 1 \у>х) | * Р±1/ \ — 2 ' '
между направлением J
f2cosV,
^10 Sin ф/.
D И ОСЬЮ
C8.2а)
C8.26)
zt данного
Если переход происходит в вырожденное состояние, то вероят-
вероятность перехода, как обычно, надо просуммировать по всем ко-
конечным состояниям.
В недеформированном кубическом кристалле полная вероят-
вероятность переходов, естественно, не зависит от направления элек-
электрического поля.
При деформации происходит расщепление вырожденных
основных и возбужденных состояний мелкого примесного центра,
что приводит к расщеплению оптических линий и к возникнове-
возникновению зависимости коэффициента поглощения от направления
электрического поля волны относительно осей кристалла.
Невырожденные зоны
Рассмотрим переходы между основным и возбужденными
состояниями в n-Ge при деформации по [111] направлению. На
рис. 57, 58 показаны схемы расщепления основного и ближай-
ближайших возбужденных состояний в деформированном кристалле Ge
при 6 = j3weiii<0 в случае малых (|6|<Д) и больших
(|6|^>Д) деформаций. Здесь А — долин-орбитальное расщепле-
расщепление основного состояния.
Вероятности перехода в возбужденные состояния р0 и р± для
поля к, направленного под углом ф к направлению деформации,
приведены в табл. 38.1.
На рис. 57 и 58 пунктирными стрелками показаны разрешен-
разрешенные переходы в продольном электрическом поле, а сплошными
стрелками — переходы в перпендикулярном поле. Цифры в скоб-
скобках указывают на кратность вырождения состояния.
Рассмотрим сначала случай малых деформаций. В этом слу-
случае линия, соответствующая переходу А\-+р0 в недеформиро-
недеформированном кристалле, при деформации расщепляется на две линии,
смещенные на величину — д-З^еш = — у (переход А\ ->РоC))
И на б (переход А\ -*/?0A)).
626
При этом в случае &±[111] наблюдается только переход
А\ ->Ро(З), а при % || [111] наблюдаются обе расщепленные ком-
компоненты. Линия, соответствующая переходу А\—*¦ р±, при дефор-
деформации также расщепляется на две компоненты, смещенные на
pt(B) 8
\
\
\
\
\
\
4
\
ч
\
¦
1
1
1
1
1
1
1
j 1
1 1
1
L.
t
1
1
1
1
T
1
1
~t"
1
1
1
1
1
i
i
i
! tin
A,ll)
з
8
"J
Рис. 57. Схема расщепления основного и возбужденных состояний донор-
ного центра при u = -Tattein < 0. Германий, малые деформации, |6/Д|<1.
На рисунке указаны смещения уровней при деформации.
¦8/3
Ро
\
т
i PtW
в
¦5/3
I !
I Ра®
1 i F2Bj
8
¦8/3
A, ft)
Рис. 58. To же для Ge, большие деформации, | б/Л | > 1.
— 4* (переход i4i->p±F)) и на б (переход Ах-+р±B)). При
о
g||[lll] наблюдается только переход А{ ~>р±F), а при &±[111]
разрешены оба перехода. Линии, соответствующие переходам
F2—>ро и F2-*p± в недеформированном кристалле, расщеп-
расщепляются при деформации на три компоненты: одна из них не
536
смещена и соответствует положению линии в недеформирован-
недеформированном кристалле — переходы F2B) -»/?оC), F2B) ->/?±F), а две
другие смещены на —б и -^ (переходы F2(l) -*РоC), F2(l) -*
~*Р±$) и ^2A) —^РоA), Р±B) соответственно). При этом в слу-
случае ©||[111] наблюдаются все три линии для переходов F2-+p0
и две линии перехода F2-+p±, а именно ^A), ^2B) —> /?±F).
При $ J. [111] наблюдаются все три линии перехода F2-+p± и
две линии переходов F2->p0: F2{\), F2B)^poC).
Таблица 38.1
Аг (О
PtQ)
Ft B)
С» 9 2
3 + a2'll
3 + а2"- *
0
х(|+„»ч)
V
3 C + а2) А
Р±B)
2
зл2х
3+а2"'пф
0
3 C + а2) Л
/ Q el
'N 1 ~л~ T™" COS CD I
ф —угол между полем & и направлением деформации [111];
а определяется уравнением C7.14а).
В случае сильной деформации |6|3>Д основное состояние
изменяется существенным образом, при этом сильно изменяется
и картина оптических переходов из основного состояния в воз-
возбужденные. При <о II [111] из состояния Ах возможен переход
только в /?оA) (см. рис. 58, на котором показаны все разрешен-
разрешенные переходы для случая больших деформаций), который сме-
смещен от своего положения в недеформированном кристалле на
величину А/4. Из состояния F2 возможны переходы F2(l)—*
о
->/?оC), р±F), смещенные на-^-Д относительно своего положе-
положения в недеформированном кристалле, и переходы F2B)->p0C),
р±F), которые не смещаются. В перпендикулярной ориента-
ориентации JTi.[lll] переход А\->р±B) смещен на Д/4, переходы
§27
Ро
rTWi
T
s
4
Til
), ^2->Р±F) на -^-Л, а положения линий, соответствую-
соответствующих переходам /72B)->/?оC), р±F), совпадают с положениями
в недеформированном кристалле.
Рассмотрим теперь оптические переходы в n-Si при дефор-
деформации по направлению [001]. На рис. 59 показана схема рас-
расщепления основного и возбужденных р-состояний для мелких
донорных центров в Si для малых деформаций. На рисунке ука-
указаны кратности вырождения примесного состояния и величина
2
сдвига энергии при 6 = -^-Euezz < 0. Из C7.13) следует, что при
«3
такой деформации все уров-
-j? ни, кроме уровня Аи рас-
расщепляются на два.
Аналогично тому, как это
делалось для случая я-Ge,
легко получить правила от-
отбора для оптических пере-
переходов между основным и
возбужденными /?о, р± со-
состояниями.
Из табл. 38.2 и рис. 59
следует, что линия, соответ-
соответствующая переходу Ai-*po
в недеформированном кри-
кристалле, расщепляется на
две компоненты, смещенные
на б и —6/2; при этом пер-
первая линия наблюдается при
S||[001], вторая компонен-
компонента—при ^J_[001]. Из пе-
переходов F2-** ро в дефор-
деформированном кристалле при % ||[001] разрешен только переход
F2(l)->jboB), а при $ 1 [001] — переход F2B)-> роD)\ обоим
переходам соответствует несмещенная линия. Все переходы
F2B)-*p±(8) при & || [001] и F2(l)->p±D), F2B)->p±(8) при
Ш J_[001] между состояниями F2-±p± в деформированном кри-
кристалле соответствуют положению линии в недеформированном
кристалле.
Линия, соответствующая переходу Я->ро, при деформации
расщепляется на две компоненты. В параллельном поле
Ш II [001] разрешен переход ?~A) ->роB)*), ему соответствует
линия, смещенная на 6/2, а при Ш 1 [001] разрешены переходы
?+A)->/?оD) и ?-->/?оD), которым соответствуют несмещен-
несмещенная линия и линия, смещенная на —б.
JAD
2
S
A, If)
Рис. 59. То же для Si, малые дефор
мации, 16/Д | < 1; 6 = -|аие^ < 0.
*) Через Е±(\) обозначены уровни состояния ?, энергия которых увели-
увеличивается (уменьшается) при деформации. При 6 < 0 уровню Е+(\) соответ-
соответствует решение Е2 уравнения C7,13),
628
A
F
E
i у I)
i B)
»0)
*@
"A)
нием
(a —
3A
(VTa
P0B>
-fa2) Л
0
л2 2
Л,. COS (
II ^
0
+ 02 „
3A-fa2) "
— угол
C7.14а).
между
2( cos2 ф
p
^cos^
(V2
6A
(У2
6A
a+1J л2„:„2„
Л2 sin2 ф
0
Л2
—ф- S1'n2 Ф
(а -
3A
(КГ.
3A
электрическим полем & и направлением
+ а2) 'lj.,11
0
л± sin" ф
0
+ а*) Л-Ь5"
деформации
12Ф
[001]
1
(Па + IJ
6A +а2)
А\(\
0^2--аJ
6A+а2)
Л'1A +СО52ф)
+ COS ф)
0
+ COS2 ф)
А2± A +соз2ф)
, а определяется уравне-
Линия, соответствующая переходу ?-*/)±, при деформации
расщепляется на три компоненты. Одна из них совпадает с по-
положением линии в недеформированном кристалле и наблю-
наблюдается при обеих ориентациях поля световой волны (переход
?+A)—>Д±(8)), другая смещена на величину —б (переход
?"A)-> р±(8)), а третья смещена на 6/2 (переход ?-A)—>р±D)
при 8 1 [001]).
Полученные выше правила отбора и характер расщепления
линий при деформации по направлению [001] справедливы и для
переходов из основного состояния в любые возбужденные про
и пр± состояния.
Аналогичная зависимость правил отбора от поляризации
имеет место и в случае деформации по направлению [ПО], если
$ табл. 38.2 по-прежнему угол ф отсчитывать от направления
[001], которое теперь перпендикулярно деформации.
Оптические переходы из основного в возбужденные ро и р±
состояния на мелких донорных центрах в Ge и Si исследовались
В ряде работ. Положение линий и поляризационные зависимости
интенсивности линий хорошо согласуются с теорией.
Как указывалось в § 27, при учете поправок к методу эффек-
эффективной массы волновые функции примесных центров в Ge и Si
классифицируются по представлениям группы локальной сим-
симметрии Тф (а не Oh) и не обладают определенной четностью.
Поэтому с точки зрения теории групп разрешены переходы ме-
между состояниями Ax-+F2 (а также Е-+Р2)у причем интенсив-
интенсивность таких переходов, запрещенных в приближении эффектив-
эффективной массы, должна быть больше для более глубоких центров.
Переходы А\ -* F2 на Bi в Si наблюдались в [41.10]. При этом
была измерена величина спин-орбитального расщепления между
состояниями Е'% и G', на которые, как указывалось в § 27, рас-
расщепляется состояние F2.
Характер деформационного расщепления уровня F2 при де-
деформациях, меньших или сравнимых со спин-орбитальным рас-
расщеплением, имеет более сложную картину, чем указано в § 37,
и определяется уравнением, подобным C0.33).
Вырожденная зона
Рассмотрим случай вырожденной зоны типа валентной зоны
Ge и Si. В этом случае возбужденные состояния акцепторного
центра классифицируются по представлениям полной кубической
группы Oh ™ Td X С{, т. е. они могут иметь симметрию ?{*,
?г* и G'*. В приближении эффективной массы оптические пе-
переходы могут происходить только между состояниями с различ-
различной четностью, т. е. из основного состояния Gr± могут быть пе-
переходы в состояния Е\~, Е2 и G'"\ Вероятность переходов
в «четные» состояния, разрешенные с точки зрения теории групп,
для мелких примесных центров мала.
630
В недеформированном кристалле интенсивности таких пере-
переходов не зависят от направления вектора электрического поля
волны. При деформации уровни Gf± смещаются на величину ае
и расщепляются на два уровня. Величина расщепления, рав-
равная Де, определяется выражением C0.11), в котором Ь и d
нужно заменить на соответствующие константы деформацион-
деформационного потенциала данного уровня V и d\ которые различны для
разных уровней. Так как крамерсовы дублеты Е[ и Е2 при де-
деформации смещаются также на величину ае, то в приближении
эффективной массы всесторонняя деформация не влияет на по-
положение линии оптического перехода.
При произвольной деформации происходит расщепление ли-
линий оптических переходов из основного состояния в возбужден-
возбужденное, при этом линии, соответствующие переходам G/+ ->
->?i~, ?2"", расщепляются на две компоненты, смещенные на
величину ±Ае/2 относительно положения в недеформированном
кристалле. Линия, соответствующая переходу G'+ ->G'~~, в об-
общем случае расщепляется на четыре компоненты, смещенные на
величины
где А* и Д| — расщепление первого и второго уровней.
На основании теоретико-групповых соображений легко опре-
определить правила отбора для оптических переходов в деформиро-
деформированных кристаллах.
Рассмотрим деформации по направлениям [001] и [111]. При
деформации по направлению [001] группа симметрии Oh = Td X
X Ci понижается до DAh- При этом представления ?Р, ?2"", Gf±
соответственно переходят в следующие представления группы
DAh = D2d X Сц
ЕГ-»ЕГ9 ?Г->ЯГ, G^-bEt + Et. C8.3)
При этом из теории групп нельзя сказать, конечно, какой уро-
уровень из представлений Е'х* или Е^, на котфше расщепляется
G'*, будет нижним, это определяется знаком констант деформа-
деформационного потенциала и знаком деформации.
Из таблицы характеров следует, что
ЕГ X Е\+ = ЕГ X Е'2+ =АТ+ АЧ + ?-,
?{+ + ?Г = ВГ + В2"" + ?"",
где AT, AT, ВТ у ВГ, Е~ — соответствующие нечетные одно-
однозначные представления группы DAh (табл. 11.1). Поскольку z
преобразуется по представлению А2, а х, у — по Е~, то из
C8.3) и C8.4) следует, что в продольной ориентации для пере-
(?'+-*?р, Е'2~ разрешены переходы только из одного из
расщепившихся состояний; при этом для переходов G' -*Е[ ,
G' —> Е'{" соответствующие линии смещены в разные стороны
относительно положения линии в недеформированном кристал-
кристалле. В перпендикулярном поле разрешены оба перехода.
Из переходов G'+-+G'- в продольном поле разрешены
только переходы Е'Г->Е\+ и E'i" ->Ef2+, им соответствуют две
линии, смещенные относительно положения в недеформирован-
недеформированном кристалле на величину ±-^-(д1 — Ае), если знаки констант
деформационного потенциала Ь\ и &? для уровней G' и G'~"
совпадают, и на величину ±-о-(^е + Ае) в случае различного
знака констант деформационного
потенциала.
В случае поперечного электри-
электрического поля согласно C8.3) раз-
разрешены все четыре перехода.
На рис. 60 показана схема
уровней примесного центра при
деформации по оси [001] в случае
одинакового знака констант де-
деформационного потенциала Ъ\ и
&2 при деформации, когда ниж-
нижним из расщепившихся уровней
является состояние Е\, и пока-
показаны разрешенные переходы в
продольном и поперечном элек-
электрическом поле.
Рис. 60. Схема расщепления уров- При деформации по направ-
ней акцепторного центра при де- Лению [111] симметрия Oh по-
форма^ии по оси [001]. нижается до D3d=D3 X С„ а пред-
представления группы Oh = Td XQ
Е'\~, ?2"", Gf± переходят в двузначные представления группы
f Е\ -+Е' , Ef2 —>Е , G' =Е\ + ?г +^ » C8.5)
где Е' — двумерное двузначное представление группы D3di
а Е'* и Е^ — одномерные представления с комплексно сопря-
сопряженными характерами.
Как и в случае деформации по направлению [001], уровень
Gf± расщепляется на два крамерсово сопряженных дублета —
представление Е' и представления Е[ + E'2t разделенные на вели-
величину Ae = Bd//|/*3)епь поэтому в общем случае линии погло-
поглощения, соответствующие переходам G'+->?i~, ?г~, расщеп-
расщепляются на две компоненты, а линия, соответствующая переходу
G/+ -> G'~} — на четыре компоненты.
533
Из таблицы характеров следует, что
~ X Е'+ = AT + Л" + ?~, Е~ X (?1+ Н- ?г+) =
(tf+ + ?1+)(?Г + ЕГ)= 2(ЛГ + А"). ( }
Поскольку параллельная деформации координата #ц преобра-
преобразуется по представлению Л<Г, а перпендикулярные компонен-
компоненты — по ?, то из C8.6) получим правила отбора для переходов
между состояниями G/+ и Е[~, Е'<Г', б'~при деформации по на-
направлению [111]. Для переходов G+->ET, Е? в параллельной
ориентации наблюдается одна линия, соответствующая перехо-
переходу Е'+ -> ?'", а в перпендикулярной ориентации — обе расщеп-
расщепленные линии.
Для перехода G'+ -> G'~" в деформированном кристалле при
продольном по отношению к деформации электрическом поле
волны разрешены переходы Е'~->Е'+ и ?{++?2+ ->Е[~-\-E2~,
которые соответствуют линиям, смещенным на величину
± 72 (Де — Ае) от положения линии в недеформированном кри-
кристалле при d^/di >0 (или на ±72(Дв + Ае) при d^/di < О),
а в перпендикулярной ориентации могут наблюдаться три ли-
линии, соответствующие переходам Е'+ -> Е'~, Е'+ -> Е[~ + ЕГ<Г
и Е[+ + Е'2+ ->?'"", которые при d^/di > 0 смещены на величину
± 7г(Ае + Ag) и 7г(Ае — Ag) (при d^/di < 0 смещения линий
равны ±72(Ав-Дв) и 72(Ав + Ае)).
На рис. 61 показана схема расщепления акцепторных уров-
уровней при деформации по направлению [111] при di/^2 > 0 и по-
показаны разрешенные переходы при продольной и поперечной
ориентации электрического поля.
Приведенные выше выражения для характера расщепления
линий и для вероятностей оптических переходов получены в
предположении малой деформации, когда величина деформа-
деформационного расщепления и сдвига уровней мала по сравнению
с расстоянием между ближайшими возбужденными состоя-
состояниями.
В Ge, где имеются близко расположенные возбужденные со-
состояния акцепторных центров, это приближение не всегда спра-
справедливо.
В случае близко расположенных уровней, когда деформа-
деформационное расщепление уровней сравнимо или больше расстоя-
расстояния между ними, следует рассматривать всю группу близко
расположенных уровней вместе, применяя теорию возмущений
для вырожденного состояния. В этом случае энергия и волно-
волновые функции в деформированном кристалле определяются из
решения характеристического уравнения, порядок которого ра-
рен числу близко расположенных уровней.
533
Экспериментальные исследования оптических переходов ме-
между основным и возбужденными уровнями мелких акцепторных
центров в Ge и Si в деформированных кристаллах проводились
в работах [41.1—41.9]. Исследуя характер расщепления линий
1
1 1
!!
| |
?'-+?¦
Е"
Е"
Рис. 61. Схема расщепления уровней акцепторного центра при деформации
по оси [111].
при деформации и поляризационную зависимость интенсивно-
интенсивности, удалось отождествить большинство линий с переходами из
основного в возбужденные состояния, рассмотренные Шехте-
ром [21.4], Мендельсоном и Джеймсом [21.5].
§ 39. ПАРАМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС НА МЕЛКИХ
ПРИМЕСНЫХ ЦЕНТРАХ
В этом параграфе будет рассмотрено зеемановское расщеп-
расщепление мелких примесных центров в полупроводниках с много-
многодолинной зонной структурой и с вырожденной зоной и его из-
изменение при деформации.
Зоны со многими минимумами
В полупроводнике, у которого поверхности постоянной энергии
вблизи экстремума являются эллипсоидами вращения, уровни
энергии и волновые функции примесного центра в однородном
магнитном поле Н определяются уравнением C3.1), B2.21):
*2 Jj2il2 2 у «
(оУ.1)
где цо — магнетон Бора, цо=еЬ/2тс. В невырожденной зоне
является двухкомпонентной величиной, соответствующей двум
крамерсово сопряженным функциям дна зоны. Матрица L, как
показано в § 22 (см. B2.22)), определяет поправку, к g-фактору
зонных носителей за счет вклада других зон. Если расщепление
уровней, связанное с магнитным полем, мало по сравнению
с энергией ионизации примесей — случай, который мы и будем
только рассматривать, — внешнее магнитное поле можно рас-
рассматривать как возмущение. Если вектор-потенциал выбрать
в виде <2# = ~[Яж], то оператор возмущения Жн
примет вид
nte"+2i) я
4)(^^) C9.2)
где Н± = у~ {Нх ± Шу), х± = у==(х± iy), ? — оператор орби-
орбитального момента, 9?z=—i{x-? У~&с) и т- д#
В C9.2) первое слагаемое описывает расщепление уровней
в магнитном поле, связанное с волновыми функциями дна зоны,
а второе и третье слагаемые дают вклад в это расщепление,
связанный с орбитальным движением электрона примесного
центра. Для определения расщепления уровней примесного цен-
центра в магнитном поле нужно найти матричные элементы опе-
оператора Шн между медленными функциями основного состоя-
состояния примесного центра. Легко видеть, что из-за соображений
симметрии для основного состояния вклад от двух последних
слагаемых C9.2) обращается в нуль и, следовательно, зеема-
новское расщепление основного состояния примесного центра
в невырожденной зоне совпадает с зеемановским расщеплением
зонных носителей вблизи экстремума.
Для /-го экстремума спиновый гамильтониан можно записать
в виде
^я = |^о]?^<Л' ™е ^ = ^ + Sp(L?4); C9.3)
ар
здесь gla$ — компоненты g-фактора свободных носителей 1-го эк-
экстремума. Симметрия ^-фактора определяется группой волно-
волнового вектора Gkt и аналогична симметрии тензора эффектив-
эффективной массы. Если поверхности постоянной энергии являются
эллипсоидами вращения, то и g-фактор определяется двумя
компонентами gu и gx.
585
Зеемановское взаимодействие примесного центра C9.3) за-
записано в осях /-го эллипсоида. Часто удобно перейти к системе
координат, связанной с главными осями кристалла. В этих ко-
координатах оператор зеемановского взаимодействия также имеет
вид C9.3), но g?p в осях кристалла выражается через глав-
главные компоненты тензора gs по формуле
g& = 2 gs cos (xls, xa) cos D, *p), C9.4)
где cosD, xa)—направляющие косинусы главных осей /-го
эллипсоида энергии по отношению к главным осям кристал-
кристалла ха.
Если не учитывать расщепление многодолинного вырожде-
вырождения примесного центра, связанное с химическим сдвигом, то
из C9.3) и C9.4) следует, что в общем случае должен наблю-
наблюдаться ряд линий парамагнитного резонанса, связанных с ка-
каждым экстремумом и определяемых g-фактором C9.4); эти
линии могут совпадать при определенных направлениях магнит-
магнитного поля. Если, однако, величина химического сдвига значи-
значительно превосходит величину зеемановского расщепления, что
обычно и имеет место, то следует рассматривать парамагнит-
парамагнитный резонанс на каждом из уровней, образовавшихся в резуль-
результате химического сдвига. Каждое такое состояние, как указано
в B7.10), описывается коэффициентами си которые определяют
разложение функции примесного центра по состояниям примес-
примесного центра вблизи экстремума kt. Если рассматриваемое состоя-
состояние является m-кратно вырожденным, то имеется соответствен-
соответственно т столбцов с\ (s = 1,2, ..., т) таких коэффициентов.
Для однократно вырожденного состояния матрица зееманов-
зеемановского взаимодействия имеет вид C9.3), а эффективный g-фак-
тор равен
гаР=2К|2<, C9.5)
В C9.5) суммирование ведется по всем экстремумам. Если рас-
рассматриваемое состояние является вырожденным, то Жн являет-
является матрицей с матричными элементами
Где ass' = V c
Рассмотрим g-фактор для донорных центров в Si. Для син-
глетного состояния А из C9.5) и B7.20) следует, что g-фактор
изотропен:
4(
536
как и должно быть для симметричного состояния в кубическом
кристалле. Для дублетного состояния Е в базисе функций
B7.20) матрица Жн имеет вид
(aH) +-
-За Я )
8\\"g
х-оуНи
, C9.9)
где Ог — соответствующие матрицы Паули. При g* ф gL зее-
мановское расщепление зависит от направления магнитного
поля.
Матрица Жн для трехкратно вырожденного (без учета спи-
спина) уровня F2 в базисе функций Ч^, Ч?2Рг9 XY3F2 B7.20) имеет вид
C9.10)
Таким образом, зеемановское расщепление уровня F2 в осях
кристалла, как и зонных носителей, определяется тремя анизо-
анизотропными ^-факторами.
Рассмотрим теперь g-фактор для различных уровней основ-
основного состояния мелких доноров в Si при деформации по на-
направлению [001] в случае, когда деформационное расщепление
значительно превосходит зеемановское расщепление. В этом
случае можно рассматривать g-фактор для каждого из расще-
расщепившихся уровней.
Используя C9.6) и C7.14), получим, что для основного со-
состояния в деформированном кристалле g-фактор становится
анизотропным и имеет две компоненты gj и g*x относительно
направления деформации:
C9.11)
где а определяется уравнением C7.14). В случае больших
деформаций х > 1 а-> — l/V2, a при х<С—1 а-> У^2, и из
C9.11) получим
537
Для состояния с энергией Е2 C7.13) g-фактор получается из
C9.11) заменой а на — 1/а. Для второго дублетного уровня^
C7.13) g-фактор не зависит от деформации и равен:
C9.13)
Для триплетного уровня при деформации по направлению
[001] зеемановское расщепление по-прежнему определяется вы-
выражениями C9.10). Аналогичные выражения для g-факторов
имеют место и в случае деформации по направлению [ПО],
если в выражении для а в C7.14) к заменить на 5Ц 8гг ~ е*х .
Рассмотрим теперь мелкие доноры в германии. Для син-
глетного состояния ^-фактор также изотропен,
. _
8 ~ з
l
Для триплетного состояния в базисе функций WlFi,
B7.22) матрица зеемановского расщепления имеет вид
SCj?± (огну + оуНг)
Как указывалось выше, при деформации по направлению
[111] триплетное состояние расщепляется на однократное со-
состояние Е2 C7.4) и на двукратно вырожденное состояние с энер-
энергией Es = E^ C7.3), а к синглетному состоянию с энергией Ех
примешивается состояние с энергией Е2.
Для синглетного и однократно вырожденного состояний
g-фактор имеет две составляющие g*{ и g\ относительно на-
направления деформации:
* — 4 / g|| + 2?± ) ,
h\ — 3 + a2 \ 3 / +
8W Я Л- «2 \ Д / ~T~ з _j_ a2
(синглетное состояние ^^
т* 4 /^11 + 2^>| , a2-1
>-L~~3 + a2\ 3 1^
§± ~ 3 + a2 V 3 / + 3 + a2 8±'
C9.15)
4a2 jf| + 2g± 9 — a2
gll = 3 + a2 9 I" 3 C + a2) ?1Г
4а2
(состояние
8± — 3 + а2 9 "*"* 3 C + а2) 8*¦
а а зависит от деформации по C7.8). При нулевой деформа-
деформации <х=1, при большой деформации, когда х-+—оо, а->оо,
538
при х-*оо <х-»0. В этом случае для синглетного состояния
получим
C9.16)
Соответствующие выражения для g-фактора уровня Е2 можно
получить из C9.16) при замене знака деформации.
Вырожденные зоны
Для определения зеемановского расщепления уровней акцеп-
акцепторного центра в вырожденной зоне нужно в матрице кинети-
кинетической энергии 2ft {k) заменить kak$ на симметризованное про-
произведение [КсДр] и> кроме того, согласно B6.14) следует вклю-
включить в 3ft слагаемое
Ъ C9.17)
Поэтому матрица взаимодействия в линейном по магнитному
полю приближении для вырожденной зоны Гв имеет вид
[* (JH) + 9 2 /?#,) + ИД'я, C9.18)
где оператор Жн получается из оператора 2С(к), опреде-
определяющего спектр дырок в идеальном кристалле, заменой
kak$-+—?(ЛаУр + ^pVa). В невырожденной зоне в случае эл-
эллипсоидальной изоэнергетической поверхности Жн соответ-
соответствует второму и третьему слагаемым в C9.2).
Для определения зеемановского расщепления примесного
уровня нужно вычислить матрицу оператора Жн на волновых
функциях примесного центра. Из соображений симметрии сле-
следует, что полученная матрица возмущения Жн может быть
записана в виде, аналогичном C9.17):
я - Но [их (Щ + ?2 2 /*#*). C9.19)
При этом константы g\ и g*2 могут быть выражены через ^, ? и
зонные параметры Л, В и D.
Отметим здесь два обстоятельства.
Во-первых, для зонных дырок константа ? имеет реляти-
релятивистскую природу и должна быть мала [20.1]. Однако константа
g2 в C9.19) не имеет релятивистской малости и отлична от
нуля и при ^ = 0.
Во-вторых, константы зеемановского расщепления g\ и g2
зависят также и от орбитальных параметров Л, В и D, так что
они не равны нулю и при ^ = ^=0. В этом смысле ситуация
539
для акцепторного центра аналогична случаю свободных дырок,
для которых g-фактор существенным образом определяется зон-
зонными параметрами Л, В и D. Константы g\ и g2 для Ge и Si
вычислялись в работах [42.9, 42.10]. Расчеты показывают, что
при использовании вариационных функций основного состояния
примесного центра [21.4] для Ge
^ = -8,49, g2 = 0,6, C9.20)
тогда как go^ = —-6,82, g0? =—0,12. При этом отличие g\ и
g2 от ^ и ? (как и d\ br от Ь и d) связано с наличием угловой
зависимости в волновых функциях акцепторного центра, так
что, если положить в B7.23) с2=сг=0, то g\=g^ и g2=g0?.
Поскольку, однако, как показали Мендельсон и Джеймс [21.5],
угловая зависимость пробной функции существенно зависит от
способа ее вычисления, трудно оценить ошибку в определении
g\ и g2 при использовании приближенной волновой функции.
Диагонализуя матрицу C9.19), получим энергию расщепле-
расщепления акцепторного центра в магнитном поле:
+ (ft + т ft) [(gi + -f g*J Я4 - 9?2 (gi + A g2) X
X (HlHl + HlHl + Н\НТ }'/2, C9.21a)
- (ft + T ft) [(ft + -г ^Г я< - 9^ (ft +1 ft) X
X (HlH2y + HlHl + Я2,Я^)]1/2 }. C9.216)
3
При g2 = 0 энергии E1B= ± ylgi I(*o# соответствуют состоя-
состояниям с m = ± 3/2, а энергии Еы = ± -Щ±-± \i0H — состояниям
с m=± 1/2 и не зависят от направления Я.
Зеемановское расщепление акцепторного центра при g2 ф 0
зависит от направления магнитного поля Я:
при направлении Н по [001]
f(+^y, C9.22)
при направлении Н по [111]
C9.23)
540
В общем случае при g2 Ф О и произвольном направлении маг-
магнитного поля Н разрешены парамагнитные переходы между
всеми расщепленными уровнями. При этом вероятности пере-
переходов с правилами отбора Ат=±1, т.е. переходов Е\-+Е3у
Еъ-+Еь ЕА-+Е2, пропорциональны g2v для других переходов
эти вероятности пропорциональны g\, поэтому при
эти линии имеют значительно мень-
меньшую интенсивность.
\g\\
€=0
-J
Отметим, что до сих пор не уда-
удавалось наблюдать парамагнитный
резонанс на вырожденных примес-
примесных центрах в недеформированных
кристаллах, что, по-видимому, объ-
объясняется малым временем жиз-
жизни вследствие сильного взаимо-
взаимодействия с акустическими колеба-
колебаниями решетки и большим ушире-
нием линии, вызываемым деформа-
деформациями, создаваемыми дислокация-
дислокациями и другими дефектами, а также
электрическим полем заряженных
примесей.
При наличии внешней деформа-
деформации к оператору Жн C9.18) следует в магнитном поле: а) в недефор-
добавить оператор взаимодействия мированном кристалле, б) при
примесного центра с деформацией больших деформациях.
Ж (г), подобный C0.9). Тогда, учи-
учитывая B7.62), найдем, что в деформированном кристалле расще-
расщепление уровней акцепторного центра определяется оператором:
б)
<39-24)
Сначала мы рассмотрим случай небольших деформаций, ко-
когда расщепление уровня при деформации больше спинового:
2Де ^> йсо8, но 2Ае <С Ei. В этом случае четырехкратно выро-
вырожденное состояние акцепторного центра расщепится на два
крамерсовых дублета. В магнитном поле каждый из крамерсо-
вых дублетов расщепляется на два уровня (см. рис. 62,6).
Для определения зеемановского расщепления каждого из от-
отщепившихся крамерсовых дублетов в нулевом по Йсо5/Ае при-
приближении нужно вычислить оператор дён C9.19) в новом
представлении, диагонализующем Ж (г). В результате расчета
541
получим для величины зеемановского расщепления АЕ]>2 в де-
деформированном кристалле [40.4]:
где
т
+T
C9.25)
ft + 7 ft)J +
C9.26а)
7 ft)*
+ У (Sp e - Зег2) (г1 + if fo)] }. C9.266)
Остальные компоненты g*g получаются из C9.26) цикличе-
циклической перестановкой индексов х, у, z. В C9.25) и C9.26) ин-
индексы 1, 2 относятся к состояниям с энергией дырок ^ У&г со-
соответственно.
Как следует из C9.26), в деформированном кристалле
g-фактор каждого из отщепившихся уровней является анизо-
анизотропным и существенным образом зависит от направления и
знака деформации. При деформации по направлениям [001] и
[111] g-фактор имеет две компоненты g{] и g± относительно
направления деформации; их значения для нижнего из дыроч-
дырочных уровней (уровня 1) при различных знаках деформации
приведены в табл. 39.1. Значения g-фактора для верхнего уров-
уровня получаются из приведенных значений переменой знака де-
деформации.
Таблица 39.1
[001]
, 1
?i + "J 82
Ь'г'гг<о
3
-2*2
[ill]
/е'П1>0
, 13
g\+-fgt
dBm <0
о( 2 , 23 ,187 о\1/2
0
Используя волновые функции акцепторного центра в дефор-
деформированном кристалле, можно получить квадрат модуля мат*
ричного элемента парамагнитного перехода под влиянием
642
высокочастотного поля h(t) = A cos со/. Оператор возмущения
имеет вид
Жн = \i0 cos со/ [g, (/А) + g2 2 /з/^]. C9.27)
Матричный элемент, определяющий вероятность перехода,
равен:
, м ,2 ^0
\<fl>h,\2\ ="-;
Вероятности перехода имеют довольно сложную угловую
зависимость, которая определяется ориентацией постоянного и
высокочастотного магнитного поля относительно осей кристал-
кристалла. В случае деформации вдоль главных осей C9.28) прини-
принимает вид
. .2
1 - Н (81)- C9.29)
Из C9.29) следует, что при g± = 0 вероятность перехода
обращается в нуль, что будет, например, при деформации по
направлению [111] при й'г'т < 0.
Весьма существенным является то обстоятельство, что усло-
условия наблюдения парамагнитного резонанса в деформированном
кристалле являются значительно более благоприятными, чем
в недеформированном, так как при деформации значительно
ослабляются указанные выше механизмы уширения линий. По-
Поскольку деформация и электрическое поле сами по себе не мо-
могут вызвать расщепление крамерсовых уровней, их влияние мо-
может сказываться только за счет учета другого отщепившегося
уровня, что приводит к уменьшению неоднородного уширения
линий в Де/йо) раз [40.4].
Парамагнитный резонанс на акцепторных уровнях в Si в де-
деформированном кристалле впервые наблюдался в работе [42.1]
при деформации сжатия по направлению [001]. На рис. 63 по-
показано появление линии парамагнитного резонанса при нало-
наложении деформации. Экспериментальная угловая 'зависимость
положения линии для различных акцепторов, показанная на
рис. 64, хорошо описывается двумя компонентами ^-фактора:
?| и g±. Для определения g2 и gx по C9.25) — C9.26) с исполь-
использованием экспериментальных данных требуется знание знака
константы Ь' и знака отношения gl{/g±. В зависимости от этих
знаков по известным значениям |g(| | и \g±\ получаются че-
четыре системы значений для gi и g2.
Если бы были известны значения g(j и g± для деформации
по направлению [111], то возможно было бы однозначное опре-
определение g\ и g- Такие данные не приведены в работе [42.1],
543
но там указано, что при деформации по направлению [111] ?|(
и g± близки к g,, и g± при деформации по направлению [001].
Из табл. 39.1 следует, что такая ситуация может быть, только
если Ь' < 0, d'<0, g±/g||>0 и |ft|<SC|ffi|. Эти условия на-
находятся в согласии с теорети-
теоретическими оценками, так как, со-
согласно табл. 37.1, знаки fe', dr
совпадают со знаками bud,
а из других опытов известно,
что в Si b < 0 и d < 0. Нера-
Р^ЗООнГ/см
Р=900кГ/см2
2400 2Ш
Рис. 63. Парамагнитный резонанс на
акцепторных центрах в деформиро-
деформированном Si [42.1]. Т =1,3° К,
v = 9065 Мац.
2,6
2,2
2,0
1,2
1,0
щ
J
/At/IP
1
\
So
\
Г
SO°SO 7O 60
4O JO 2O /О 0°
Рис. 64. Зависимость ^-фактора ак
цепторных центров в деформирован-
деформированном Si от угла ф между магнитным
полем и направлением деформации
[42.1]. Т = 1,3° К, v«9000 Мгц.
венство |g2|<|g"i| следует, как указывалось выше, и из теоре-
теоретических оценок при использовании вариационных функций.
?2
в
-1,21
0,002
А1
-1,19
0,047
Та
Ga
-1,14
0,051
блица 39.2
In
-1,00
0,087
Вычисленные на основании экспериментальных данных
[42.1] значения g\ и g2 для различных акцепторов в Si приве-
приведены в табл. 39.2. Знак gi не может быть определен из экспе-
экспериментальных данных, но можно ожидать, что знак gi совпа-
совпадает со знаком ^; согласно [20.1] в кремнии ^ < 0. Из таблицы
следует, что по мере увеличения энергии ионизации акцепторов
\gi\ уменьшается, а |?г| возрастает.
544
В случае больших деформаций, когда Ае ^> Еи уровни энер-
энергии акцепторного центра, как указывалось в § 26, соответ-
соответствуют простой эллипсоидальной зоне, а g-фактор для таких
уровней определяется формулами C9.26) с заменой g\ на go& и
g2 на go?-
§ 40. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ НА ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ЭКСИТОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Одним из наиболее эффективных методов исследования эк-
экситонов является изучение оптических эффектов, связанных с их
возбуждением. С методической точки зрения измерение коэф-
коэффициента поглощения или отражения в области экситонных
переходов имеет ряд преимуществ по сравнению с прямым на-
наблюдением междузонных переходов. В то же время изучение
этих оптических эффектов в случае мелких экситонов дает воз-
возможность получить практически те же сведения о зонной струк-
структуре, что и исследование переходов из зоны в зону.
Так как исходное состояние кристалла без экситона являет-
является полностью симметричным, то в соответствии с общими пра-
правилами отбора для прямых экситонов дипольные оптические
переходы разрешены лишь в такие экситонные состояния, кото-
которые преобразуются так же, как компоненты вектора р (или <?),
т. е. в состояния, соответствующие представлению 3)Г в куби-
кубических группах или представлениям, произошедшим из ЗУ\
в результате его расщепления в группах низшей симметрии.
Точно так же магнитодипольные переходы разрешены в состоя-
состояния, которые преобразуются как компоненты псевдовектора
[гр] или Я, т. е. соответствующие представлениям, произошед-
произошедшим из {з)ТУ\3)Т} =3)t- Квадрупольные переходы разрешены
в состояния, преобразующиеся как симметризованные произве-
произведения [гарр], т. е. в представления, произошедшие из предста-
представлений f^)f X ^Г] == ^о" + 2)?ш В случае мелких экситонов ве-
вероятность перехода в разрешенное состояние существенно за-
зависит от того, разрешен ли переход между соответствующими
зонами в точке экстремума: если такой переход разрешен, то
линия будет относительно интенсивной. Поэтому квадрупольные
и магнитодипольные переходы, интенсивность которых значи-
значительно ниже, чем дипольных, по-видимому, могут наблюдаться
лишь в том случае, когда разрешены соответствующие между-
междузонные переходы *).
Если переход зона — зона в точке экстремума запрещен,
то матричный элемент перехода между состояниями с k Ф 0
пропорционален первой (или более высокой) степени k (см.
*) В настоящее время квадрупольные переходы наблюдались лишь на
одном кристалле — закиси меди [43.1, 43.2].
545
уравнение C6.3)). Так как экситонные состояния есть суперпози-
суперпозиция состояний с k «Bт*Е0/Ь2) \ где Ео — энергия связи эксито-
на, то интенсивность перехода в этом случае будет пропорцио-
пропорциональна первой (или более высокой) степени отношения E0/E'g,
где E'g—расстояние до ближайшей зоны, в которую разрешен
переход и из зоны проводимости, и из валентной зоны. В этом
случае возбуждение экситона можно рассматривать как вирту-
виртуальный переход через одну (или несколько) промежуточных зон.
Коэффициент поглощения или соответствующий тензор про-
проводимости от, связанный с возбуждением экситонов, можно
рассчитать по общей формуле C6.1а).
В приближении эффективной массы, когда экситонная функ-
функция представляется как суперпозиция дырочных состояний ва-
валентной зоны (/г, k2) и электронных состояний зоны проводи-
проводимости (m, fej), матричный элемент оператора тока для перехода
из основного состояния кристалла в данное экситонное состоя-
состояние / может быть представлен как соответствующая суперпози-
суперпозиция матричных элементов для перехода электрона из состояния
К(ftf k2) в состояние (m, fei), так как образование дырки в со-
состоянии (я, fe2), как указывалось в § 27, есть возбуждение элек-
электрона из состояния K^nk2 = ^K{nksy Как показано в приложе-
приложении к настоящему параграфу,
/,(*)- 2C.tiu(*11?)- D0.1)
ГППЛ\
Здесь
1тКп (*' 9) = Lk, К (п, q-k) = -Г <*m*/ (?) Wn, q-k)-
Здесь учтено, что междузонный матричный элемент оператора
тока в соответствии с уравнениями C6.3), C6.4) отличен от
нуля лишь при k2 = q — ku т.е. тогда, когда суммарный им-
импульс образовавшихся электрона и дырки <3? = kx + k2 — q.
В соответствии с B7.51) коэффициенты Cmkunk2 есть коэф-
коэффициенты разложения экситонной функции Fmn(r{, r2) прибли-
приближения эффективной массы:
и, следовательно,
~"~ Ln-keikr- D0.3)
Согласно C6.1a)
646
Здесь суммирование ведется по всем экситонным состояниям
с данной энергией b(oi=Eg — Eh
В случае невырожденных зон, когда система уравнений
B7.63), если пренебречь обменным взаимодействием, сводится
к одному уравнению для одной функции /(г), коэффициенты
CmkunkZt не зависят от индексов т и п и в качестве каждого
экситонного состояния / можно выбрать состояние, соответ-
соответствующее определенной паре т, п, а суммирование по / можно
заменить суммированием по т и Кп> что в данном случае экви-
эквивалентно суммированию по т и п:
°«р и=шг 2 с*. -*с*-. -*' 2 ?.(*' - *> 4» (*'• ^б (й - ««>
D0.5)
В том случае, когда междузонные переходы в точке экстре-
экстремума разрешены, матричные элементы jmn в первом приближе-
приближении можно считать константами, не зависящими от ft, и тогда
°Ь <*)—?¦'/0 <0) |2 2 С (~ Ч) L (Ч) * (• - «,). D0.6)
так как согласно D0.3)
kk'
Для дипольных переходов в соответствии с C6.36)
В случае сферических зон согласно C6.4) /a = espy0a и
h Ж M («> - ®/). D0.7)
так как
2M*. D0.8)
В этом приближении могут возбуждаться лишь экситоны в s-co-
стоянии, так как лишь для них f@) не равно нулю. Для этих
состояний
1М0)Р—зт. г*е ао = -?|, D0.9)
jt<2ai me
и, следовательно,
^ (®) = ^ М (со - соя). D0.10)
Если поверхности постоянной энергии — соосные эллипсоиды,
то тензор а^ в главных осях эллипсоидов также имеет лишь
диагональные компоненты, при этом для каждой из компонент
647
константу s в D0.7) в соответствии с C6.5) надо заменить
на sa.
Рассмотрим теперь случай, когда разрешены переходы лишь
между состояниями сй^Ои матричный элемент перехода про-
пропорционален k:
/атЛ*) = 2/&а', D0.11)
а'
где, согласно C6.36),
V + F — Я1 ' D0.11а)
Подставив D0.11) в D0.5), найдем
a v mn
так как в соответствии с D0.3)
В случае сферических зон, когда согласно C6.4)
еЬ
учитывая D0.8), найдем
12) +
af @) , х дпо) df(o)
J^T+ *
Для водородоподобных функций производная у отлична
от нуля лишь для р-функций, причем для каждой из трех
функций X, Y, Z отлична от нуля лишь одна производная:
по х, у и z соответственно. При этом
дХп
дх
п2-\
Х->0
D0.14)
Поэтому в каждую из диагональных компонент aaa дадут вклад
лишь переходы в две из трех р-функций, а именно: Ха+{ и Ха+2,
а недиагональные компоненты aap=0. Следовательно, сумми-
суммируя D0.13) по всем /?-состояниям, окончательно получим
^ = ^?6ap|Vf@)p6((o-(o/) D0.15)
или, учитывая D0.14),
*-iyvvl-^ Ш16а)
543
Если поверхности постоянной энергии — эллипсоиды враще-
вращения, то /^-состояние расщепляется на Х-у У- и Z-состояния. При
этом компонента azz отлична от нуля только для переходов в Х-
и У-состояния и определяется формулой, отличающейся от
D0.15) заменой б2 на Q2y = Q2x (см. уравнение C6.5)), а ком-
компоненты охх и ОуУ отличны от нуля для переходов в У- или X-
и в Z-состояние и определяются выражениями, отличающимися
от D0.15) заменой 262 на Q22 + Q2X.
Если матричный элемент перехода пропорционален k2, то
будут возбуждаться лишь экситоны в d-состоянии, для кото-
d2f @)
рых отлична от нуля вторая производная л \ •
Рассмотрим теперь, как изменяется спектр экситонов при де-
деформации и как это сказывается на оптических эффектах. Мы
-не будем сначала учитывать обменное расщепление, так как
оно, как будет видно из дальнейшего, проявляется лишь в осо-
особых условиях.
Невырожденные зоны
В случае невырожденных зон сдвиг экситонных линий соот-
соответствует изменению ширины запрещенной зоны, так как срав-
сравнительно малое изменение эффективной массы практически не
сказывается на энергии активации экситона*).
В качестве примера на рис. 65 показано, как изменяется
энергия активации экситонов в CdS при деформации по различ-
различным направлениям [43.7]. Три линии Л, В и С соответствуют
трем экситонам, образованным электроном и дыркой, находя-
находящейся в одной из трех валентных зон. Если пренебречь измене-
изменением энергий связи экситонов при деформации, то ход этих ли-
линий соответствует относительному изменению расстояний между
зоной проводимости и тремя валентными зонами и описывается
уравнениями C1.23), C1.24) и C1.15). В этих формулах точно
учтены члены, пропорциональные е22 и е** + ?уу> а слагаемые,
*) В тех случаях, когда энергия связи экситона сравнима с расстояниями
между ближайшими зонами, как это имеет место, например, в ряде кристал-
кристаллов с решеткой вюрцита, экситонное состояние представляет суперпозицию
состояний разных зон. В этом случае изменение расстояния между зонами
может привести к существенному изменению их вклада в данное состояние,
а следовательно, и к изменению энергии ионизации. При таких малых рас-
расстояниях между зонами изменение эффективных масс при деформации также
может быть значительным. Однако, так как в этих кристаллах энергия связи
экситона, как правило, определяется эффективной массой электрона, которая
намного меньше эффективных масс дырок, то и для этих кристаллов можно
обычно не учитывать изменение энергии ионизации. Что касается рассмотрен-
рассмотренных ниже .поляризационных зависимостей, то вклад нескольких ближайших
зон в экситонное состояние не может привести к разрешению запрещенных
переходов, так как эти запреты определяются только симметрией экситон-
ного состояния, однако отношение интенсивностей для разрешенных поляри-
поляризаций может при этом измениться.
549
пропорциональные ехх — еуу, еху, exz и eyz, учтены с точностью
до е2. Если расстояние между двумя нижними уровнями
Ял — Е°в намного меньше, чем расстояние до третьего уровня
Е,эд Е°л — Есу что, согласно
C1.16), C1.17), имеет ме-
2,62 -
2,54
ЕуэВ
а)
5 6 7
Рг Ю9дин/см2
2,62
2,60
2,58
2,56
-
-
В
А
Р\\[1122]
—о—сг—¦б—5"
(
б)
5
PJ09дин/см2
сто при
то для этих нижних уровней
можно получить и более
точное выражение, справед-
справедливое при всех деформа-
деформациях, при которых смещение
этих уровней остается ма-
малым по сравнению с рас-
расстоянием до третьего уровня.
Е.эб
2,62-
2 3 4 5
Р,109дин/см2
6)
Рис. 65. Зависимость энергии возбуждения экситонов в CdS от деформации
при различных направлениях деформации [43.7]. Т = 77° К.
Если опустить в C1.19) матричные элементы, связанные с треть-
третьим уровнем, то собственные значения E\t2 будут определяться
формулой, подобной B4.13):
Е\+Е\
D0.17)
Из этой формулы видно, что пересечение уровней 1 и 2, подоб-
подобное тому, которое имеет место на кривой рис. 65, а, может про-
происходить лишь при деформациях ezz Ф 0 или еХх + eyj/ ф 0,
550
когда значения Е\ и fV, определяемые формулами C1.15),
C1.14), могут сравняться. Наоборот, при деформациях, соответ-
соответствующих кривым рис. 65, б и ву когда отличны от нуля компо-
компоненты ехх — eyv, ЕХу> 8x2 или eyZi входящие в D0.17) константы
e
Л2 Ч '
не равны нулю и термы не могут пересекаться.
Из кривых рис. 65 можно определить константы деформа-
деформационного потенциала для CdS. При этом, однако, надо иметь
в виду, что в области, где расстояние между зонами сравнимо
с обменным расщеплением, при расчете деформационных эффек-
эффектов следует учитывать обменное взаимодействие. Соответствую-
Соответствующие данные в табл. 40.3 получены в [43.17] с учетом этого взаимо-
взаимодействия.
При деформации наряду со смещением линий происходит и
изменение интенсивностей перехода для различных поляриза-
поляризаций. Как видно из формулы D0.6), поляризационная зависи-
зависимость аэ определяется поляризационной зависимостью переходов
зона — зона.
В линейном по е приближении матричный элемент опера-
оператора тока jmn, определяющий вероятность перехода из состоя-
состояния п валентной зоны в состояние т зоны проводимости в де-
деформированном кристалле, в соответствии с общей формулой
A5.51) равен
7а —/а I V1 /mn' п'п ^ (AC) 1Q\
где /^ — матричный элемент в недеформированном кристалле,
который согласно C6.3) равен
•tt ВО мл /1_\
Здесь К(k) — «междузонная» матрица, определяемая C1.29),
а ЖП'п{ъ) в D0.19) —матричные элементы внутризонной матри-
матрицы C1.19). Так, например, при деформациях, нарушающих
симметрию решетки, становится возможным возбуждение экси-
тона, связанного с верхней валентной зоной (Л), соответствую-
соответствующей представлению Гд, и при продольной поляризации, т. е.
при &\\С. В недеформированном кристалле, как видно из
табл. 31.6, такие переходы запрещены. Подставив в D0.6) и
D0.19) матричные элементы из C1.19) и C1.29) и используя
531
C1.21а), найдем, что относительная интенсивность таких пе-
переходов в деформированном кристалле равна:
] Р\ (?? - Д* - E»f (ej, + в»,
D0.20)
Здесь ^—положение экстремумов в недеформированном кри-
кристалле, определяемое формулами C1.16).
Вырожденные зоны
В случае вырожденных зон для определения спектра эксито-
нов в деформированных кристаллах надо решать систему урав-
уравнений B7.63) с включением в Ж членов, пропорциональных е,
аналогично тому, как это делалось для примесного центра в § 37.
Как и для примесного центра, здесь надо различать два случая.
При малых деформациях расщепление вырожденных экситон-
ных состояний не совпадает с расщеплением зон и определяется
матрицей 3%(г)9 подобной C7.16).
Если для основного состояния прямого экситона в Ge вос-
воспользоваться вариационными функциями вида B7.23), то связь
констант Ь' и d\ определяющих расщепление этого состояния
при малых деформациях, с зонными константами bud описы-
описывается формулами, подобными C7.17) (при Д->оо, с4 = 0):
D0.21)
Константа а\ определяющая смещение экситонного уровня при
изотропной деформации, равна сумме констант—а + с, опре-
определяющих изменение ширины запрещенной зоны.
В случае больших деформаций, когда расщепление зон пре-
превышает энергию связи экситона, каждой из расщепившихся
зон соответствуют свои экситонные уровни, смещающиеся вме-
вместе с зоной. Энергия связи каждого из них определяется эф-
эффективной массой данной зоны и поэтому, вообще говоря, энер-
энергии связи основного состояния для расщепившихся экситонов
различны и отличаются от энергии связи в недеформированном
кристалле. Если анизотропия тензора приведенных масс B7.85)
невелика, что имеет место в Ge из-за малости эффективной
массы электрона по сравнению с массами дырок, то эти энер-
энергии близки. Так, для вариационной функции вида B7.17) из
формул B7.18), B7.19) следует, что при малой анизотропии
т
энергия связи экситона
E0 = E0(m)(l _ *.) = |?o(JL-)(» + *L). D0.22)
552
Здесь Е0(т) и ?о(~^-)-" энергия связи «изотропного экситона»
e4m/27i2h2 при m = m и /п = (—] соответственно,
Так как в деформированном Ge средняя обратная масса ды-
дырок A/тп) в обеих расщепившихся зонах, как видно из урав-
уравнения C0.18), при всех де-
деформациях равна B/й2)|Л|, v ^ W.
то во всех случаях
Рис. 66. Расщепление основного состоя-
состояния прямого экситона в Ge при дефор-
деформации по направлению [111] [43.8].
и при имеющейся анизотро-
анизотропии х ^. 0,5 энергии связи
в обеих расщепившихся зо-
зонах отличаются не более
чем на 2—3%. Поэтому пря-
прямые, показывающие ход эк-
ситонных уровней с дефор-
деформацией, как видно из рис.
66 [43.8], практически пере-
пересекаются в одной точке е=
= 0, и экспериментальные
точки ложатся на одну прямую как при сжатии, так и при рас-
растяжении, что не имело бы места при существенном изменении
приведенных эффективных масс.
Для непрямых экситонов в Ge и Si необходимо наряду с рас-
расщеплением валентной зоны учитывать также и различие в сме-
смещениях различных экстремумов зоны проводимости. Поэтому
при произвольной деформации основное состояние в Ge расще-
расщепится на восемь, а в Si — на шесть уровней. При деформации
по главным осям, когда все или часть экстремумов смещаются
одинаково, число расщепленных уровней меньше. При доста-
достаточно больших деформациях каждой из пар отщепившихся зон
соответствует свой экситон, смещение которого определяется
смещением соответствующих зон.
*) Если диэлектрическая постоянная также анизотропна, как это име-
имеет место, например, в кристаллах структуры вюрцита, то в D0.22) надо
принять
Х / 2 * l \ 1/3 /Т
18 Г. Л. Бир, Г. Е. Пикус
D0.22а)
553
Так, например, для Ge при деформации по оси [100], когда
зона проводимости не расщепляется, имеются два уровня, рас-
расщепление которых определяется валентной зоной:
AF = F р -+¦ hpf (ACS 9Ч\
1,2— lg zz* ^HtU.ZO^
При деформации по [111] зона проводимости расщепляется: три
23456782
Р%Ю3мГ/см2
Рис. 67. Расщепление основного со- Рис. 68. Расщепление основного
стояния непрямого экситона в Ge при состояния непрямого экситона в Si
деформации по направлениям [111], при деформации по направлениям
[001] и _ [110]_ [43.10]. Г = 80°К, [111] и [001] [43.10]. Г = 80°К,
эв
эв.
экстремума смещаются в одну сторону и один — в другую. Со-
Соответственно наблюдаются четыре линии с
,_4 = Eigs ±
± 2).
D0.24)
Аналогичная картина наблюдается при деформации по оси [ПО],
когда два экстремума зоны проводимости смещаются вниз и
два — вверх (рис. 67) [43.10].
554
Для Si, наоборот, при деформации по [111] экситонный уро-
уровень расщепляется на два (рис. 68) [43.10]. При этом
.2"
¦Elgs±
6
111»
D0.25)
а при деформации по [100] образуются четыре уровня со сме-
смещениями
± 3).
D0.26)
При деформации по [110] экситонный уровень, так же как и в
Ge, расщепится на четыре.
Подчеркнем, что формулы D0.23) — D0.26) справедливы
при таких деформациях, когда расщепление зон существенно
превышает энергию связи экситона. При этом энергия связи
экситонов, соответствующих разным зонам, может несколько
отличаться.
Таблица 40.1
Материал
Положение
минимумов
Форма эллипсоидов
валентной зоны
Деформа-
Деформация по на-
направлению
[001]
Деформа-
Деформация по на-
направлению
[111]
? мэв
Д?о, мэв
?о. мэв
Д?о» мэв
Si
ГЛП 1 1
[001],
тян.
3
12,3
-0,4
12,5
-0,2
[001]
ат.
и
12,0
-0,7
12,0
-0,7
[100],
[100],
тян.
3
12,4
-0,3
12,5
-0,2
[010]
[ОЮ]
ат.
и
12,1
-0,6
12,0
—0,7
Ge
[П
тян.
Я
0Q
2,6
-0,4
3,4
+0.4
1]
ат.
и
2,5
-0,5
2,5
-0,5
[111],
ПИ],
ЦП]
тян.
3
2,6
-0,4
2,5
-0,5
ат.
и
2,5
-0,5
2,7
-0,3
В табл. 40.1 приведены энергии Ео связи экситонов для раз-
разных экстремумов зоны проводимости и двух валентных подзон,
рассчитанные по формулам B7.18). При этом в случаях раз-
различия всех трех масс две ближайшие из них считались равными
1 1 / 1 , 1 \ ~
и заменялись средним значением — = тг • 1ам же
1 т 2 \ Ш\ ni2}
указано, насколько эти энергии отличаются от значений, рассчи-
рассчитанных по водородоподобной формуле B7.14) с изотропной
массой — = —
т 3
18*
4
т
тг
—- = —| Д|. Видно, что в
т Ь
555
некоторых случаях отношение &Е0/Е0 может составлять до 20%.
Поэтому формулы D0.23) — D0.26) определяют наклон каждой
из прямых рис. 67 и 68, а не расстояние между разными ли-
линиями, которое включает и разность энергий связи. Различие
этих энергий и приводит к тому, что эти прямые пересекаются
в разных точках и не при е = 0.
Из хода экситонных уровней при больших деформациях
можно одновременно определить значения констант деформа-
деформационного потенциала как для валентной зоны, так и для зоны
проводимости. Значения этих констант по данным [43.8] и [43.10]
приведены в табл. 40.2 в конце параграфа.
Характерной особенностью экситонных линий в случае выро-
вырожденных зон является сильная поляризационная зависимость
для уровней, расщепившихся при деформации. Этот эффект
должен наблюдаться как для прямых экситонов, так и для не-
непрямых, когда возбуждение включает два этапа: «вертикаль-
«вертикальный» переход без изменения k с поглощением фотона и пере-
переход с передачей импульса примеси или фонону. В последнем
случае поляризация существенно зависит не только от началь-
начального и конечного состояний электрона, но и от того, какое про-
промежуточное состояние играет основную роль в таком переходе.
Поэтому мы здесь ограничимся рассмотрением более простого
случая — прямого экситона в Ge.
Согласно D0.6), C6.3) и C6.23) при достаточно больших
деформациях, когда экситоны, связанные с каждой из расще-
расщепившихся зон, можно рассматривать независимо, проводимость
определяется формулой
«Ъ-¦?¦ I НО) Рв^ (•-*,). D0.27)
где в соответствии с C6.24) в главных осях кристалла
D0.28)
Здесь верхний знак соответствует верхней валентной зоне, а
нижний знак — нижней из расщепившихся зон, Де = 2#>е/2.
При произвольном направлении напряжения Р удобно оп-
определять поляризацию для трех направлений: по оси g, парал-
параллельной Я, и по осям ? и г], лежащим в плоскости, перпенди-
перпендикулярной Р. При этом ось ? лежит в плоскости zg, а ось ц пер-
перпендикулярна этой плоскости. Угол между осями z и g обозна-
обозначим Ф, а угол между плоскостями zx и z% обозначим ф. Компо-
Компоненты тензора 0аз в осях g, ?, т|, определяющие согласно D0.27)
56$
поляризационную зависимость ala(l в этих осях, равны
+ V3dS4A [sin2d- sin4 d(l— sin2 ф cos2 ф)]},
EU -S12)[l -6 sin2 ft cos2 0A -8
(S11-~S12)(l --6sin2dcos2(psin2(p) +
+ VS dS44 sin2 d cos2 Ф sin2 <p },
Если напряжение P направлено по главным осям [100] или
[111], то
= s2 A ± y), % = 0^ = s2 A т -J). D0.30)
где v= , 6р, или y= . р. соответственно. При этом поло-
положительным Р соответствует растяжение, отрицательным — сжа-
сжатие. Видно, что при y= — 1 для верхней зоны поглощение про-
происходит, только когда электрическое поле волны & перпенди-
перпендикулярно Р, т.е. ац=О, а для нижней зоны отношение оГц/о^
равно 4. При у = 1 зоны меняются местами. Подобные соот-
соотношения имеют место и при произвольном направлении Р
в сферическом приближении, т. е. при dSAX = 2 |/^3 b (Su — S\2)-
Если же это соотношение Hg выполняется, то при деформации
по другим направлениям, кроме [100] и [111], поперечные ком-
компоненты aft и ат не одинаковы.
Обменное взаимодействие в полупроводниках
с простыми зонами
Как указывалось в § 27, обменное взаимодействие приводит
к дополнительному расщеплению экситонного состояния. При
деформации, понижающей симметрию кристалла, происходит
дальнейшее расщепление экситонных уровней. Характерной осо-
особенностью обменного взаимодействия является то, что это де-
деформационное расщепление происходит и в том случае, когда
экситон связан с невырожденными без учета спина зонами, ко-
которые сами при 'деформации расщепиться не могут. Впервые
такой эффект наблюдался на закиси меди еще в 1960 г. [43.2]
и тогда же был качественно объяснен обменным взаимодей-
взаимодействием [22.5]. В закиси меди экстремумы зоны проводимости и
нескольких близких валентных зон находятся в точке Г (fe=0),
где группа волнового вектора есть группа Oh.
567
Д,см~
20
15
10
5
О
-5
40
15
W
5
О
- PW[W0j
PW[ffO]
На рис. 69 показано расщепление основного экситонного со-
состояния, связанного с невырожденными зонами Г+ и Yi', при
деформациях по [100] и [110]. Это состояние соответствует пред-
представлению Гб"ХГт" = Г2 + Г25, т.е. расщепляется на однократ-
однократно и трехкратно вырожденные состояния. Базисные функции
состояния Г25 преобразуются как
XY, XZ и YZ и его расщепление
при деформации определяется
матрицей, подобной C0.2): при
деформации по оси [100] #оно
расщепляется на два терма,
которым соответствуют функции
XZ, YZ и XY\ при деформации
по [ПО] вырождение снимает-
снимается полностью: трем расщепив-
расщепившимся состояниям соответст-
соответствуют функции (l//2) (XZ + YZ),
(l//2) (XZ-FZ) и ХУ. Во все эти
состояния разрешены квадру-
польные переходы. При этом мат-
матричный элемент перехода в со-
состояние XY пропорционален
&хЯу + &уУх и т. д. В состояние
Г2 запрещены и дипольные и
квадрупольные переходы и эта
линия не наблюдается.
107У1^^7оаюн Позже расщепление экситон-
/ 6 О *г О О /и if /и 7/ v
Р нГ/мм2 ныхсостоянии, связанных с невы-
невырожденными зонами, наблюда-
Рис. 69. Расщепление основного лось на ряде кристаллов структу-
состояния экситона в закиси меди июпнитя Г43 19 43 171 R чтиу
при деформации по направлениям Ры вюРЦита L«.1J—4J.1/J. Ь ЭТИХ
[ 1 оо]и [110] [43.2]. опытах смещение линии опреде-
определялось по спектрам отражения.
На рис. 70 показано расщепление линий экситонов А и В
при сжатии в направлении, перпендикулярном главной оси С.
При этом свет распространялся вдоль этой оси, а вектор поля-
поляризации был параллелен или перпендикулярен направлению
деформации: при каждой поляризации наблюдалась одна из
расщепленных линий.
Для точного расчета нелинейных по деформации эффектов
надо построить матрицу обменного взаимодействия Хоби
B7.77), B7.75) на зонных функциях с учетом их изменения
при деформации. Мы не будем здесь приводить эти довольно
громоздкие вычисления и ограничимся рассмотрением линей-
линейного случая; для построения ЯРобм(в) воспользуемся методом
инвариантов, а затем оценим входящие в этот гамильтониан
константы. Для экситона Л, соответствующего представлению
558
Г7ХГ9=Г5 + Гб, обменное взаимодействие расщепляет основ-
основное состояние на два. При этом в 3%обм(г) могут входить ком-
компоненты е, преобразующиеся по представлениям Г5 X Г5 — Г6 X
Еудв
- ZnO
- CdS
2 4 0 2 4
Pt Ю3мГ/см2
Рис. 70. Расщепление основного состояния экситона в гексагональных ZnO,
CdS, CdSe при деформации, перпендикулярной главной оси [43.12]. Сплошные
линии: % L РУС; Р 1С; пунктирные: 11| Р, Р ± С; точки: % || С, Р || С.
+ (Л/2)
0
(Г6)
0
О
Г15, и в базисе
имеет вид
О
—(Л/2) 0
D0.31)
Здесь Ео— энергия экситона без учета обменного расщепления,
включающая деформационное смещение, определяемое C1.23),
C1.24), C1.15) или D0.17), Д—обменное расщепление. Осталь-
Остальные обозначения см. табл. 31.4 (стр. 410).
Из двух расщепившихся состояний оптически активным яв-
является лишь состояние Г5. Из D0.31) видно, что при деформа-
деформациях гхх — Ъуу или гху оно расщепляется на два с энергиями
Еи 2 = Ео + у ± сх [(ехх — j
которым соответствуют функции
, где % — ¦
е_
D0.32)
D0.33)
559
При деформации (гхх — гуу) это функции X и К, а при гку это
(Х + К)/|/Л2 и (X — Y)IY2. В этих случаях линии полностью
поляризованы: при $||Р возбуждается один из уровней, а при
* ± Р (и JB ± С) - другой.
Для экситонов В и Су соответствующих представлениям
Г7ХГ7 = Г1 + Г2 + Г6, основное состояние расщепляется обмен-
обменным взаимодействием на три состояния, два из которых невы-
невырожденные (Г1! и Г2) и одно двукратно вырожденное (Гб).
В Жо6м{г) в этом случае могут входить компоненты е, преоб-
преобразующиеся по Гь Г2, Г5, Г2ХГ5==Г5и Г5ХГ5 = Г1 + Г2 + Г6.
Если в качестве базисных функций, преобразующихся по пред-
представлениям Г2, Г! и Г5, выбрать соответственно функции Fo~">
Yo и Y±u то в указанном базисе эта матрица имеет вид
?0_А+д/ О
c2e2+
2
С2гг+
с{г+
D0.34)
Eo+y
Здесь Д и Д' — обменные расщепления.
Из D0.34) видно, что при деформации гхх Ф ?уу и гху со-
состояние Гб расщепляется аналогично тому, как это имело место
в случае А. Если волновой вектор q\\Ct то и здесь возбуждают-
возбуждаются лишь состояния Гб. Их расщепление и поляризация опреде-
определяются формулами, аналогичными D0.32) и D0.33), т.е. при
таких деформациях также при % || Р возбуждается один из
уровней, а при % LP (и % ± С) — другой. Однако при поля-
поляризации Ш II С должно возбуждаться и состояние Г\. В D0.31)
и D0.34) опущены диагональные члены, определяющие измене-
изменение констант Д и Д' при деформации, пропорциональные е22 и г±9
которые не приводят к дополнительному расщеплению или сме-
смешиванию состояний.
В квазикубической модели, когда волновые функции трех зон
Гд, Г7 и Г7 определяются формулами C1.18), константы Д и Д'
для экситонов Л, В и С в D0.31) и D0.34) связаны соотноше-
соотношениями:
экситон А: Д = — ЗД1?
экситон В: Д = 3Aj (sin2 9 — cos2 9), A' = 3A1sin29, D0.35)
экситон С: Д = ЗД, (cos2 9 — sin2 9), А'= 3^ cos2 9,
где tg 9 = (— Е0з1е1)Ч\ Здесь еЦ и Е% определяются C1.16). При
Дс0 > Дкр имеем tg9 = ^2. В этом случае для экситона С пред-
представления С\ и Г5 объединяются.
560
Формулы D0.35) справедливы при условии, что вклад со-
соседних зон в волновую функцию экситонов Л, В и С несуществен
и значение |/@)|2 для основных состояний этих экситонов оди-
одинаково, что имеет место при т*е «С m*h. При этих условиях кон-
константа Ai в D0.35) совпадает с Ai в приведенной ниже формуле
D0.37).
По данным [43.17] значение константы 3Aj (в обозначениях
[43.17] 3Ai = /) равно 5,6 мэв для ZnO, 2,5 мэв для CdS и 0,4 мэв
для CdSe.
Отметим, что в кристаллах без центра инверсии в обменное
расщепление могут давать вклад линейные по k члены (и нечет-
нечетные по k члены более высокой степени) в спектре электронов и
дырок. Для экситона Т? X Г7, когда спектр электронов и дырок
определяется формулой C1.12), соответствующий вклад в кон-
константу А7 равен
А' = 4 К emx hf (mle + m± ^ (АЕС ЬЕ.)\
где Д?с, v — понижение экстремумов для электронов и дырок за
счет линейных по k членов, которое согласно C1.2) равно
—?@)=о^/4Л2, а т±е и тХ1г—поперечные массы электронов
и дырок: mj1 = 2A2/h2.
Вклад в А для экситона Г? X Г7, как и для экситона Гд X Г7,
за счет линейных по k членов равен нулю.
Для вкладов в А и А', связанных с линейными по k членами,
соотношение D0.35) уже не имеет места.
Константы сг в D0.31) и D0.34) пропорциональны обменному
расщеплению и по порядку величины равны
Ci~ Ех - Е2 Д'
где Dn — недиагональная константа деформационного потен-
потенциала, определяющая изменение расстояния между данной зо-
зоной 1 и соседней зоной 2 при заданной деформации, т.е. в дан-
данном случае константа D& в C1.14), а Ех — Е2 — расстояние ме-
между этими зонами.
Используя значения упругих постоянных из рис. 70, можно
оценить значения констант С\\ для ZnO ^2 эв, для CdS ^1 эв.
Формула D0.34) справедлива лишь при достаточно малых
деформациях, когда D5|e+| значительно меньше расстояния ме-
между валентными зонами и, следовательно, 2ci|e+| < А. При
больших деформациях деформационное расщепление должно
«насыщаться» и приближаться к величине порядка обменного
расщепления.
В заключение заметим, что, как видно из D0.31) и D0.34),
при сдвиговых деформациях гхг и eyz происходит перепутывание
состояний, расщепившихся в результате обменного расщепле-
расщепления, что должно привести к возгоранию оптически неактивных
состояний,
Обменное взаимодействие в полупроводниках
с вырожденными зонами
В кубических кристаллах с четырехкратно вырожденной ва-
валентной зоной (Гв) и невырожденной зоной проводимости (Гв
или Г?) основное состояние прямого экситона, как указывалось
в § 27, соответствует представлению 2)э=Гь)(Т7.
В том случае, когда одна из зон простая, волновая функ-
функция экситона может быть записана в виде
г2)фА-ФЛ, где % = i К(г„ г2)ип.
Плавные функции #"JJ(rp гг)= ^#л (г)eWW* He зависят от
индекса функций зоны проводимости, так как оператор B7.63),
определяющий эти функции, не зависит от этих индексов, если,
конечно, в ЖеК не учитывается обменное взаимодействие. Для
основного состояния экситона функции фц в точке fe=0 преоб-
преобразуются по тому же представлению Гв, что и функции дна
зоны ип. Поэтому среди медленных функций f^{r), соответ-
соответствующих <Ж = 0, имеются функции, преобразующиеся по всем
представлениям, содержащимся в произведении Гв X Гв=
=А{ + А2 + Е + 2F\ + 2^2, т.е. среди них имеется одна функ-
функция, преобразующаяся по представлению А\ и отличная от нуля
при г=0. Эту функцию мы будем обозначать индексом /j=/[J.
При этом предполагается, что функция фц преобразуется так
же, как функция дна зоны и^. Соответственно функцию Wm^
при (Ж = 6 можно записать в виде
**,,» - Ф« V - Фт [«Л М + Д К W «„] • D0-36)
Представление ^5э=ГвХ Tj=E + ^i + ^2 приводимо и обмен-
обменное взаимодействие расщепляет его на три терма. Оператор
<Э#обм, определяющий это расщепление, должен содержать три
константы, так как 2)Q X ^э содержит единичное представление
три раза и может быть записан в виде
^обм = Ао + А, (/а) + А2 (fxax + /Я + Jlo2). D0.37)
При этом операторы J{ действуют на волновые функции ф^,
а операторы oi — на функции зоны проводимости срт. Если функ-
функции представления Га образованы только из функций одного
представления F2 или F\, то в этом приближении Аг = 0, а
До = -1At = у Г | /,@) |2 J?/ (г, -r2) S* (Г1) S (г2) Х(г{) Г (r2
где Х(г)—одна из функций, преобразующихся по представлению
Р2 (или Л), a S(г) —функция, преобразующаяся по единичному
562
представлению. Очевидно, что в сферическом приближении
гамильтониан D0.37) не содержит последнего слагаемого. При
этом 2Ьэ = SD\i2 X ^3/2 = ®\ + ^2- При понижении симметрии до
Td представление ЗУ\ переходит в Г2 (а S)t — в F\) и ЗУ* рас-
расщепляется на Е + F\ (a S>t — на Е + F2). Оператор <?#е, описы-
описывающий расщепление экситонного уровня при малых деформа-
деформациях, когда это расщепление намного меньше энергии связи
экситона, как указано выше, определяется формулой, подобной
C0.9), с заменой Ъ и d на Ъ' и dr (см. D0.21)). Поскольку в дан-
данном случае экситонный уровень расщепляется при деформации
и в отсутствие обменного взаимодействия, здесь нет необходимо-
необходимости включать в гамильтониан малые слагаемые, описывающие
изменение обменного расщепления при деформации.
Поскольку константа А2 обращается в нуль в сферическом
приближении, то можно ожидать, что она намного меньше кон-
константы Аь Поэтому мы положим А2=0, что позволит диагона-
лизовать Жъ при произвольном направлении деформации. Ка-
Качественные особенности спектров при А2 ф 0 мы обсудим да-
далее, используя теоретико-групповые соображения, и покажем,
что приведенные ниже экспериментальные данные также свиде-
свидетельствуют о малости этой константы А2.
Если ввести приведенный тензор деформации с компонентами
гц при / = /,
8</ 17^Т ПРИ
и перейти к новой системе координат, в которой оси х\ у\ zr
являются главными осями приведенного тензора деформации
е{/, а главные значения тензора е7 равны е* (i = 1, 2, 3), то в этой
системе координат оператор Жъ примет вид
Жъ = Ж6™ + Же = Ь'^ [if - 4) ги + А, (/V). D0.38)
При этом мы включили величины Ао и Elge = (c— а) г в энер-
энергию Ео, от которой далее отсчитывается энергия Е.
Выберем в качестве базиса следующие функции Ч^ =
i = <P_i/2i|>3/2> ^6== Ф1/2Ф1/2' D0.39)
563
Здесь ify — функции, преобразующиеся как Yf2, а <рш •*- как У^2.
В базисе D0.39) матрица D0.38) имеет вид
f" I I' D0.40)
О
О
о ^f и и
0
-I
-/
0
2/Д,
2/Л,
f» н =
Ilk Г1 • 1 /" *~)
D0.40а)
-/
О
О
-/
-/ — 3/aAi — -P -iV3Ai
о
D0.406)
Здесь F = - -j (Зе3 - в), / =
' (в, - е2).
Решения уравнения \ЖЪ — ?/| = 0 имеют вид
3.4 =
D0.41)
Ae = -5- ((8i — егJ + (8i — »зJ + (»2 — взJ}, 8=2 в;/.
где
Собственные функции гамильтониана D0.40) представляют
суперпозицию функций D0.36), D0.39):
fn(r)uto. D0.42)
т\хп
Для состояний с v = 1 — 4
!'141 2 A ±2)Aj-
Для состояний с v = 5 — 8
3/2Ai + F + ?v
D0.42а)
D0.426)
ДУ 2 I
, 8| =^--
664
Верхний знак в D0.42а, б) соответствует v=l, 2, 5, 6, нижний
v = 3,4, 7,8.
Если разложить плавные функции f^mn{r) в ряд Фурье
D0.3), то функцию Wv в общем случае, когда обе зоны выро-
вырождены и f(r) зависит от обоих индексов тип, можно запи-
записать в виде
) 2 СЛ&(г)Ф«вЛ = 4- 2 Cleikr<vu
rank
<(г) = )= 2 Л()Ф«Л
У f tnn\x rank
где
Cmk, n, —k == 2j A-mn\iPmk, n, —k»
М-
Следовательно, согласно D0.1), D0.36) матричный элемент опе-
оператора тока равен
•V
/ ^ rnk, n, -k*mKn ^.
ШИЛ \lttlnR
= УТЪ <Х @) jmKn =У?Ъ С @) jmKn. D0.43)
цпгп пгп
Здесь
1
В случае простой зоны проводимости, когда при г=0 отлич-
отлична от нуля только функция f* = f{ и f{r) не зависит от т,
2< D0-43а>
Оператор тока jmKu,=evmKlly где vmix — междузонная матрица
оператора скорости, определяемая для данной зонной структу-
структуры формулами C6.21). Используя эту формулу и учитывая, что
функции /Сфр, связаны с функциями ф^ соотношениями
/Сфз/2 = Ф-3/2> К%/2 = - Ф1/2' ^Ф-1/2 = <Pl/2> ^Фз/2 = ~ Ф3/2>
найдем, что для состояний v=l—8, энергия которых опреде-
определяется формулой D0.41), отличные от нуля компоненты ком-
комплексной диэлектрической проницаемости й^ = — Dя/со) а<, в со-
соответствии с C6.1) определяются выражениями*)
v=3, 4
— (Ov '
v*=7,8
*) При этом мы пренебрегаем нерезонансными слагаемыми, содержащими
в знаменателе o) + o)v.
666
где
* 2Д + (У/2) (Зе - 8) . „ .<
(V = 3, 4),
2Д,
2Д,
2Д,
+ F72)
Ev + (,
+ F/2)
?v + (
(Зе3
Д,/2)
(Зе2
(Зе,
-е)
1
)
-6)
_ 7 o\
?v + (A,/2)-7, 8).
Здесь
Константа yv, определяющая ширину экситонных линий, в рас-
рассматриваемом приближении стремится к нулю. Так как мы
ограничились только дипольными переходами, то компоненты
Xtj можно сразу вычислять в главных осях приведенного тен-
тензора деформации.
Из D0.41) видно, что в отсутствие деформации восемь уров-
уровней, определяемых уравнениями D0.41), сливаются в два, соот-
соответствующие указанным выше представлениям Dx и D2, которые
при А2 ф 0 переходят в F2 и Е + Fx (какие именно из уровней
совпадают при е=0 — это зависит от знака константы Ai). При
деформации по оси 2, когда г\ = г2=гхх, ез=ег2, симметрия кри-
кристалла понижается с Td до D2dy эти представления расщеп-
расщепляются
образуя шесть различных термов, два из которых двукратно
вырождены.
В отсутствие деформации оптически активным является
только уровень F2. В деформированном кристалле, как легко
проверить из таблицы характеров представлений группы D2d,
оптически активными являются два двукратно вырожденных
терма (при электрическом поле, перпендикулярном оси 2, т. е.
в а-поляризации), которым соответствуют в D0.41) уровни
Е5=Е7 и Е6 = Е8, и терм В2 (при Ш\\ Oz, т.е. в я-поляризации),
которому соответствует один из уровней Е3 или ?4. Две из этих
линий происходят из оптически активного терма F2i а одна —
из неактивного терма F\ и поэтому ее интенсивность стремится
к нулю при г'гг = ггг—_гХх = 0. При деформации по оси [111]
в системе координат [ПО], [112] и [111], как и при деформации
по [001], ei = 62. Поэтому выражения для Ev и Ву для этого
случая отличаются от формул для Р || [001] при одинаковой ве-
величине 6i — г2 лишь заменой Ъ' на d'/YS. В обоих случаях, как
видно из D0.41), Е5=Е7 и E6=ES, а один из уровней ЕХJ сов-
совпадает с одним из уровней ?3,4. Совпадение результатов для на-
направлений [001] и [111] является следствием приближения
Д2 = 0.
Теоретико-групповой анализ дает возможность установить
различие между этими случаями и качественно проанализиро-
566
вать роль членов с Дг. При Р||[111], когда симметрия пони-
понижается с Td до C3v, термы Ef Fu F2 расщепляются, переходя
в представления группы C3v:
Состояниям Е группы C3v, произошедшим из Fi и F2, соот-
соответствуют уровни ?5,7 и ?6,8, а состоянию ?, произошедшему
из Е группы Та, соответствует пара совпадающих уровней из
?l,2 И ?"з,4.
Состоянию А2 соответствует невырожденный терм из пары
?i,2, а состоянию А\ — невырожденный терм из пары Езл.
Согласно теории групп разрешены переходы в состояние А\
в параллельном поле и в состояния Е в перпендикулярном поле.
В отличие от случая Р\\ [001] здесь вырождение уровней, произо-
произошедших из Е (Td)y не снимается и при Дг ф 0, причем в эти уров-
уровни разрешен переход в перпендикулярном поле, вероятность ко-
которого обращается в нуль и при Д2->0, и при е->0.
. При деформации по оси [ОН] в системе осей [100], [Oil] и
[ОН], где тензор г диагоналей и все три компоненты ei, е2 и ез
различны, происходит полное снятие вырождения. При этом
симметрия понижается до C2v и представления группы Та пере-
переходят в следующие представления группы C2v:
Согласно теории групп разрешены переходы: при х-поляриза-
ции — в Ви при у-поляризации — в В2, при г-поляриза-
ции — в А\.
Таким образом, представлениям А\ соответствуют термы ?3,4,
представлениям В\ — термы ?7,8, представлениям В2 — термы
?5,6, представлениям А2 — термы Е\>2. Этот анализ показывает,
что при деформации по направлению [011] учет слагаемых с Дг
не приводит к каким-либо новым качественным особенностям
спектра.
На рис. 71 и 72 показано изменение положения экситонных
линий в кубическом кристалле ZnS при сжатии по осям [001] и
[011]. Положение линий определялось по положению точки пере-
перегиба на дисперсионной кривой отражения.
В соответствии с теоретическими расчетами при деформации
по [001] в спектре-наблюдаются три поляризованные линии: ин-
интенсивная линия п и линии 01 и 02- Интенсивность линии ai
несколько уменьшается с ростом деформации, линия 02 на-
наблюдается лишь начиная с некоторых деформаций и ее интен-
интенсивность растет с увеличением деформации. При деформации
линии я и 02 смещаются в длинноволновую сторону. Если бы
обменное взаимодействие отсутствовало, эти линии бы сливались
в одну-линию, которой в формулах D0.30) при у = — 1 соответ-
соответствует нижний знак. Линия G\ при деформации смещается в
567
коротковолновую сторону — этой линии в D0.30) при v = —1
соответствует верхний знак и для нее gzz ~ в^= 0*).
При деформации по [011], когда уровни ?5, Е7 и ?6, ?s не вы-
вырождены, в а-поляризации при отражении от плоскости A00),
когда 8 = 8У, наблюдаются линии Е5 и ?6, а при отражении от
@11), когда & = <SX, — линии
?7 и ^з. В я-поляризации в
обоих случаях наблюдается од-
одна из линий Ez или Еь Интен-
Интенсивность другой из этих линий,
как следует из D0.44), D0.45),
в этом случае хотя и не рав-
равна нулю, как при Р || [001]
f/\tCM~1
30660
30640
30620
30600
30580
30560
30540
О 2 4 6 8 10 12 14
f/X.CM'1
30650
30630
306/0
30590 «
30570
30550
30660
30640
30620
30600 ,
30580
30560
30540
+ |
n
t * ^
•''/ \ -
, , !
12 4 6
а)
1 1—
\ k f-
<? /^
, ^.
V-fj
I i/-
¦ т 1-Q
j l
Р,кГ/мм2
Рис. 71. Расщепление основного со-
состояния экситона в кубическом ZnS
при деформации по [001] и отраже-
отражении света от плоскостей A00) и @11)
[43.14].
Рис. 72. Расщепление основного
состояния экситона в кубическом
ZnS при деформации по [011] и от-
отражении света от плоскостей A00) (а)
и @1 Г) (б) [43.15].
и Р || [111], но очень мала. Интенсивность этих линий, так же
как и различие в положении линий о\ и оъ при отражении от
неэквивалентных граней, определяется величиной фактора ани-
анизотропии
/3 6' 2 E,,-5,t)
- 1.
На рис. 71 и 72 сплошными линиями показаны теоретические
кривые ?v(e), рассчитанные для уровней ?5,6, ?,8 и ?з,4 по фор-
формулам D0.41). При этом параметры Дь Ъ\ d! и E{g выбраны из
*) Формулы D0.27)—D0.30) выведены для случая, когда деформацион-
деформационное расщепление Де больше энергии связи экситона Ео. Однако они приме-
применимы и к обратному случаю Добм < Ае < ?0 (с заменой Ь на Ь' и d на d')t
так как для основного состояния экситона функции фц D0.36) преобразуются
так же, как и функции у дна валентной зоны и^
569
условия лучшего совпадения с экспериментальными точками. Их
значения:
Л = 4At = — 2,8 • 1(Г3 эв, Elg ~ 4 эв,
Ь' = — 1,5 эв, df = — 4,5 эв.
Во всех проведенных выше расчетах мы нигде не учитывали
вклад в энергию экситона, связанный с аннигиляционным или ре-
резонансным взаимодействием, определяемым уравнением B7.69).
Действительно, при использовании метода инвариантов мы не
включали в гамильтониан слагаемые, зависящие от направле-
направления волнового вектора экситона Ж, т. е. тем самым учитывали
лишь слагаемые B7.77). Покажем, что спектр экситонов с уче-
учетом аннигиляционного взаимодействия совпадает со спектром
возбуждений, получаемым из решения уравнений Максвелла
в пренебрежении запаздыванием, если в них подставить диэлек-
диэлектрическую проницаемость, вычисленную без учета аннигиля-
аннигиляционного взаимодействия. Спектр экситонов с учетом B7.69)
определяется уравнением
1дц + Жц - Е6ц | = 0. D0.46)
При этом предполагается, что обменное взаимодействие B7.77)
включено в гамильтониан ЖеК и собственные значения энергии
и собственные функции определены с учетом этого взаимодей-
взаимодействия. Так как матричные элементы B7.69) можно записать
в виде
D0.47)
где
D0.47а)
mEg
то определитель в D0.46) имеет вид, подобный C2.186), и
D0.46) сводится к уравнению
Ь2
х 2 Сп' (о) pl'Kn'X* 2 fin (о) pL.*1=°- <40-48)
ат'п' 3mn J
Для оптически неактивных термов, для которых
при всех а корни уравнения D0.48) Е{ = Ev\ точно так же для
N-кратно вырожденных оптически активных термов N—1
корней Ег равны Ev. Остальные корни определяются уравне-
уравнением
-"V *^) /\
X У, f„,'»' (о) ?-, А У Г„ @) pLx = о. D0.49)
am'n' $mn
Последнее уравнение, как и C2.18в), совпадает с феноменоло-
феноменологическим уравнением C2.18г)
2 ^ав^а^б == ^» D0.50)
ар
которое следует из уравнений Максвелла в пренебрежении за-
запаздыванием, если учесть вклад в диэлектрическую проницае-
проницаемость х, связанный с возбуждением экситонов; согласно C6.1)
этот вклад можно записать в виде
V
Подставив в D0.51) значения матричных элементов оператора
тока, которые согласно D0.43) в дипольном приближении равны
D0.52)
получим из D0.50) —D0.52) уравнение, совпадающее с D0.49).
Этот феноменологический подход показывает, что аннигиляцион-
ное взаимодействие определяется потенциалом U(r) с диэлек-
диэлектрической проницаемостью x(cov) (за вычетом вклада в х, свя-
связанного с возбуждением данного экситона), т. е. практически
оптической диэлектрической проницаемостью Иоо, тогда как пря-
прямое кулоновское взаимодействие для экситона большого ра-
радиуса определяется статической диэлектрической проницаемо-
проницаемостью хо.
Для анализа оптических данных следует рассчитать коэффи-
коэффициент отражения (или поглощения) с помощью уравнений
Максвелла, используя приведенные выше значения тензора и,
вычисленные без учета аннигиляционного взаимодействия. Од-
Однако во всех рассмотренных выше экспериментальных ситуа-
ситуациях нагрузка Р, волновой вектор света q и электрическое поле
<? были направлены по главным осям деформированного кри-
кристалла. В этих условиях возбуждаются только «поперечные»
экситоны, для которых 2/v<7a = 0' и поэтому положение линий
a
поглощения или положение точек перегиба на дисперсионных
кривых коэффициента отражения совпадает со значением oov =
= Еу/Ь, где Ev определяется по' формулам, не учитывающим
вклада дальнодействующих сил р энергию экситона,
570
Матричный элемент оператора тока для перехода
в экситонное состояние (приложение к § 40)
Оператор тока в представлении вторичного квантования имеет вид
/= 2 /„*,./.»,«»»,««*,• D0.53)
171*1 [, Пк2
Здесь а+? и amk — операторы рождения и уничтожения электрона в fc-пред-
ставлении, связанные с соответствующими операторами в ^-представлении
i|)^ (г) и i|?m (r) соотношениями
Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям, подобным
B7.90):
а средние по вакууму равны:
<0 I «„,*«?'*' I °> = bmm'bkk" <° I «^«m'ft' I 0> = О- D0.56)
Используя D0.56), легко проверить, что матричный элемент опера-
оператора D0.53) между состояниями o|?nft2 = а+Й21 0) и i|?mfti =а+Л} | 0), т. е.
(¦т* | /1 */!*,)» Действительно равен /тЛь nft2. При этом *+4 == @ | amft.
Введем операторы рождения и уничтожения дырки 6^f и Ьпкг, связан-
связанные с операторами anko и а^2 соотношениями, подобными B7.87):
*«*, = «К («*,)• 6п*2 = «К W D0-57)
Эти операторы удовлетворяют соотношениям, аналогичным D0.55), D0.56),
и связаны с операторами в дс-представлении cpj (r) и фд (г) B7.92) соот-
соотношениями, подобными D0.54). Оператор / в новых обозначениях имеет вид
/= 2 im^KinkAA- D0.58)
m/fj, nk2
Матричный элемент этого оператора между основным состоянием кристалла
и состоянием я^^2|0)> соответствующим рождению пары: электрона mki
и дырки nk2, равен
1тки nk2, 0 в 1ткь К (пк,у D0-59)
Волновая функция экситона в ^-представлении имеет вид
**= S С*,.^4**^10); D0.60)
mklt пк2
здесь коэффициенты Cemkunkt определяются уравнениями D0.2), D0.3).
Вычислив матричный элемент оператора D0.57) между основным состоя-
состоянием |0) и состоянием ?+, получим
Iе = 2 CmKnkJmKKW D0.61)
2 C
ки пкг
671
Таблица 40.2
Эффективные массы и константы деформационного потенциала Ge, Si
и некоторых соединений А3В5
Все эффективные массы —в единицах массы свободного электрона ту. А, В
ницах /*2/2т0; Асо и константы деформационного потенциала —в эв
Ge
Si
lnSb
InP
InAs
GaSb
GaP
GaAs
AlSb
Зона проводимости
Положе-
Положение ниж-
нижнего эк-
экстремума
L
Л
Г
Г
Г
Г
X
Г
X
щ
ТП-р
(в точке Г)
0,041е
—
0,014*
0,0145*
0,067rf
0,073Л
0,022rf
0,026*
0,047d) *
0,l2rf
0,068rf
0,065/
0,09rf
* *
m\\ m±
(в точке экстре-
экстремума X, Л или L)
1,588е
0,9163е
0,0815е
0,1905е
—
—
—
—
—
з f 0,39rf
~ 1 0,25/
н D — в еди-
Валентная зона
Дсо
0,29ft
0,044*
0,90Л
0,8 \d
0,2 \d
0,41Л
0,43rf
0,80°
0,70rf
0,13d
0,35rf
0,75fl
0,60rf
Средние массы дырок
легких
0,045е
0,12е
0,021Л
—
0,025Л
0,06Л
—
0,12Л
тяжелых
0,35е
0,44е
0,39л
0,4л
0,41л
0,Зл
—
0,68л
0,9л
Параметры валентной зоны
Ge
Si
InSb
CaSb
A
—13,2/
-13,27'
— I3,38m
-4,22'
-4,28'
-25*
-11*
в
-8,2/
-8,63'
-8,5m
-1,00'
-0,75'
-21*
-6*
D
-19,5'
-19,4'
-19,8m
—4,78'
-5,4'
-40*
-15*
*
—3,29rf
-3,60'
—3,41m
_
-10-13*
—
9
-0,06m
—
—
—
672
Табл. 40.2 (продолжение)
Константы деформационного потенциала
Ge
Si
GaP
Eig=Ed + TEu~a
2,9?
3,8?
3,7"
16,0?
8,6*
6,2"
ь
-2,8*
—2JP
-2,4?
-1,4/
-2,4?
-1,3"
d
-5,7*
-4,5'
-4,7*
-3,5?
-3,l'
—5,3?
-4,0*
Источники
a
b
с
d
27.2
27.3
27.7
27.14
e
f
g
h
27.15
27.16
27.17
27.18
j
k
I
27.19
29.1
30.1
31.3
tn
n
p
Я
31.4
43.7
43.8
43.10
Таблица 40.3
Кристаллическое и спин-орбитальное расщепление, эффективные массы,
g-факторы и константы деформационного потенциала
в гексагональных CdS, CdSe, ZnS ([27.4, 27Д 27.13, 43.17])
Л„ Ю-3 эв
Да, Ю-3 эв
Дз, Ю-3 эв
те||
mel
т'н (Г9)
«И
Bel
«*|(Гв)
Di~D\\
D3
D4
\D,
[D,
D, и Dx -
ВОДИМОСТИ (Г7).
CdS
28,4
20,9
20,7
0,205±0,01
0,205±0,01
5
0,7 ±0,1
l,78±0,05
l,72±0,l
l,15±0,5
-2,8
~4,5
-1,3
2,9
1,5
1,2
CdSe
68,8
138,0
150,7
0,13±0,01
0,13±0,01
1
0,45 ±0,09
0,6±0,1
0,51 ±0,05
—
-0,76
-3,7
-4,0
2,2
1,2
1,5
ZnS
55
28-31
28 — 31
0,28 ±0,03
0,28 ±0,03
1,4
0,49±0,06
1,9
2,2 ±0,2
1,5
—
—
—
константы деформационного потенциала для зоны про-
573
ЛИТЕРАТУРА
I. Монографии по теории групп и ее применению
в физике и справочные таблицы
I. 1. Е. В и г н е р, Теория групп и ее приложение к квантовомеханической
теории атомных спектров, ИЛ, 1961.
I. 2. Ф. М у р н а г а н, Теория представлений групп, ИЛ, 1950.
1.3. Г. Я. Любарский, Теория групп и ее применение в физике, Физ-
матгиз, 1957.
I. 4. Б. Л. В а н - д е р - В а р д е н, Метод теории групп в квантовой меха-
механике, Харьков, 1938.
I. 5. М. X а м е р м е ш, Теория групп и ее применение к физическим пробле-
проблемам, Изд. «Мир», 1966.
I. 6. В. X е й н е, Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.
1.7. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, гл. XII, Физ-
матгиз, 1963.
I. 8. И. М. Г е л ь ф а н д, Р. А. М и н л о с, 3. Я. Шапиро, Представления
группы вращений и группы Лоренца, Физматгиз, 1958.
1.9. М. И. П е т р а ш е н ь, Е. Д. Трифонов, Применение теории групп в
квантовой механике, Изд. «Наука», 1967.
I. 10. Б. Н. Делоне, Н. Н. Падуров, А. Д. Александров, Матема-
Математические основы структурного анализа кристаллов, ГТТИ, 1934.
1.11. Г. Ф р о б е н и у с, Теория характеров и представлений групп, Харьков,
1937.
I. 12. P. H. E. Meier, E. Bauer, Group Theory. The Application to Quantum
Mechanics, Amsterdam, 1965.
1.13. M. Tinkham, Group Theory and Quantum Mechanics, New York, 1964.
I. 14. Г. Джон с, Теория зон Бриллуэна и электронные состояния в кристал-
кристаллах, Изд. «Мир», 1968.
1.15. Ч. Кэртис, И. Райнер, Теория представлений конечных групп и ас-
ассоциативных алгебр, Изд. «Наука», 1969.
I. 16. J. С. Slater, Quantum Theory of Molecules and Solids, N. Y., 1964.
1.17. P. H о к с, А. Голд, Симметрия в твердом теле, Изд. «Наука», 1970.
I. 18. International Tables for X-ray Cristallography, Birmingam, 1952.
1.19. L a n d о 11 - В о r n s t e i n, 6. Auflage, Bd. I, Teil 4, Berlin, 1955.
1.20. Д. К. Фаддее в, Таблицы основных унитарных представлений федо-
федоровских групп, Изд. АН ССР, 1961.
1.21. О. В. Ковалев, Неприводимые представления пространственных групп,
Изд. АН УССР, Киев, 1961.
I. 22. Г. Ш т р а й т в о л ь ф, Теория групп в физике твердого тела, Изд. «Мир»,
1971.
II. Литература по темам
1. Представления точечных групп
1.1. Н. V. Me Intosh, J. Mol. Spectr. 5, 269 A960).
1.2. G F. Koster, J. O. Dimmock, R. G. Wheeler, H. S t a t z, Pro-
Properties of the 32 Point Groups, Massachusetts, 1963.
674
2. Матрично-алгебраическое описание пространственных групп
2.1. F. Seitz, Z. Kristallogr. 88, 433 A934); 90, 289 A935); 91, 336 A935);
94, 100 A936).
3. Метод Зейтца построения представлений пространственных групп
3.1. F. Seitz, Ann. Math. 37, 17 A936).
4. Проективные представления, общая теория
4.1. I. Schur, J. f. Math. 127, 20 A904); 132, 85 A907); 139, 155 A911).
См. также монографии: [1.5], гл. XII; [I. 15].
5. Проективные представления 32 точечных групп
5.1. W. Dor ing, Z. Naturforsch. 142, 343 A959).
5.2. H. В. Кудрявцева, В. А. Ч а л д ы ш е в, Изв. вузов, физика, 3, 133
A962); 4, 98 A962).
5.3. А. С. Hurley, Phil. Trans. Roy. Soc. A 1108, 260, 1 A966).
e.jOnejjaTopbi проектирования для пространственных групп
5.1. W. Do ring Z. Naturforsch. 142, 343 A959).
6.2. I. V. V. Raghavacharyulu, Can. J. Phys. 39, 830 A961).
6.3. M. С. Шур, Кристаллография 12, 981 A967).
7. Приложение теории групп к физике твердого тела. Обзоры
7.1. А. В. Соколов, В. П. Широковский, УФН 60, 617 A956); 71, 485
A960).
7.2. D. F. Johnston, Rep. Progr. Phys. 26, 67 A960).
7.3. A. N u s s b a u m, Sol. St. Phys. 18, 165 A966).
7.4. E. Brown, Sol. St. Phys. 22, 313 A968).
См. также монографии [1.3], [1.6], [1.7], [1.9], [1.12], [1.17], [1.22].
8. Расщепление термов в кристаллическом поле
8.1. Н. A. Be the, Ann. Physik 3, 133 A929).
8.2. K.Hellwege, Ann. Physik 4, 951 A948).
8.3. P. Bell, Rev. Mod. Phys. 26, 311 A954).
8.4. P. H. E. M a j e r, Phys. Rev. 95, 1443 A954).
P. Колебания молекул и кристаллов
Общая теория
9.1. М. Б о р н, Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических реше-
решеток, ИЛ, 1958.
9.2. А. Марадудин, Динамическая теория кристаллической решетки
в гармоническом приближении, Изд. «Мир», 1965.
Применение теории групп для классификации
колебаний молекул
9.3. Е. Wigner, Gott. Nachr., S. 133 A930).
9.4. J. E. Rosen t a 1, G. M. Murphy, Rev. Mod. Phys. 8, 317 A936).
Применение теории групп для классификации
колебательного спектра в твердом теле
9.5. S. Yanagawa, Progr. Theor. Phys. (Kyoto) 10, 83 A953).
9.6. G. D. Bell, Rev. Mod. Phys. 26, 311 A954).
9.7. H. Poulet, Ann. Phys. (Paris) 10, 908 A955).
9.8. I. V. V. Ra ghavacharyulu, Can J. Phys. 39, 1704 A961).
9.9. R. Lou don, Advances Phys. 13, 423 A964).
9.10. S. H. Chen, Phys. Rev. 103, 533 A967).
675
10. Теория возмущений для вырожденного спектра
10-1- Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой статистике, Киев, 1949
10.2. Р. О. Lowdin, J. Chem. Phys. 19, 1396 A951).
10.3. P. P rice, Proc. Phys. Soc. A63, 25 A950).
//. Спинорные представления
Спинорные представления точечных групп
11.1. Н. A. Be the, Ann. Phys. 3, 133 A929).
Проективные представления двойных групп
11.2. И. П. Бурнейка, И. Б. Л ев и неон, Труды АН Лит. ССР, се-
серия Б, 4 B7), 3 A961).
11.3. A. KHz, Phys. St. Sol. 8, 813 A965).
12. Аналитические свойства блоховских функций
12.1. Е. I. Blount, Sol. St. Phys. 13, 305 A962).
12.2. Y. В. Krieger, Phys. Rev. 156, 776 A967).
13. Инверсия времени и теория копредставлений
13.1. Е. Wigner, Gott. Nachr., S. 546 A932).
13.2. С. Н е г г i n g, Phys. Rev. 52, 361, 365 A937).
13.3. F. D. J о h n s t о n, Proc. Roy. Soc. A 243, 546 A958).
13.4. В. А. Чалдышев, Н. В. Кудрявцева, Г. Ф Караваев, Из-
Известия вузов, физика, 2, 46 A963).
См. также монографию [I. 1], гл. 26.
14. Правила отбора для пространственных групп
14.1. И. Б. Л ев и неон, Труды АН Лит. ССР, серия Б, 2 B5), 67 A961).
14.2. Э. И. Р а ш б а, ФТТ 1, 407 A959).
14.3. В. И. Шека, ФТТ2, 1211 A960).
14.4. R. J. Elliott, R. Loud on, Phys. Chem. Sol. 15, 146 A960).
14.5. M. Lax, J. Hop field, Phys. Rev. 124, 115 A961).
14.6. С L. Birman, Phys. Rev. 127, 1093 A962); 131, 1489 A963); 150, 771
A966); J. Phys. Chem. Sol. Suppl. 1, 669 A965).
14.7. J. Za k, J. Math. Phys. 3, 1278 A962).
14.8. Г. Ф. К а р а в а е в, ФТТ 6, 3676 A964).
14.9. M. Lax, Phys. Rev. 138A, 793 A965).
14.10. J. Birman, M. Lax R. London, Phys. Rev. 145, 620 A966).
14.11. С J. Bradly, J. Math. Phys. 7, 1145 A966).
15. Применение теории групп для определения линейно независимых
компонент тензоров
15.1. Н. A. Jahn, Z. Kristallogr. 98, 191 A937); Acta Cryst. 2, 30 A949).
15.2. F. G. Fumi, Nuovo Cimento 9, 739 A952).
15.3. R. Fieschi, F. G, Fumi, Nuovo Cimento 10, 865 A953).
15.4. Дж. Н а й, Физические свойства кристаллов, ИЛ, 1960.
16. kp-метод
1Б.1. L. P. Bouckaert, R. Smoluchowski, E. P. Wigner, Phys. Rev.
50, 58 A936).
16.2. F. С von der Lage, H. A. Be the, Phys. Rev. 71, 612 A947).
16.3. W. Shock ley, Phys. Rev. 78, 173 A950).
16.4. R. J. E 11 i о 11, Phys. Rev. 96, 266 A954); 96, 280 A954).
16.5. Г. Дрессельгауз, М. Дрессельгауз, сб. «Оптические свойства
полупроводников», М., 1970, стр. 315—325.
Учет инверсии времени в ftp-методе см. [14.2], [14.3].
576
17. Метод эффективной массы
17.1. G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 52, 191 A937).
17.2. С. Kit t el, A. H. Mitchell, Phys. Rev. 96, 1488 A954).
17.3. J. M. L u 11 i n g e r, W. К о h n, Phys. Rev. 97, 869 A955).
18. Представления пространственных групп в кубических
и гексагональных кристаллах
18.1. W. Opechowski, Physica 7, 552 A940).
18.2. С. Herring, J. Franklin Inst. 233, 525 A942).
18.3. W. Dor ing, A. L eh re r, Ann. Phys. 6, 215 A953).
18.4. R. J. E 11 i о 11, Phys. Rev. 96, 280 A954).
18.5. G. F. Koster, Sol. St. Phys. 5, 173 A957).
18.6. R. H. P a r m e n t e r, Phys. Rev. 100, 573 A955).
18.7. R. С. С a sell a, Phys Rev. 114, 1514 A959).
См. также [16.1], [14.2], [14.3] и монографии [I. 15], [I. 16], [I. 17].
19. Спектр электронов в кубических кристаллах
19.1. G. Dresselhaus, A. F. Kip, С. Kittel, Phys. Rev. 98, 368 A955).
19.2. G. Dresselhaus, Phys. Rev. 100, 580 A955).
19.3. E. O. Kane, J. Phys. Chem. Sol. 1, 82 A957); 1, 249 A957).
19.4. R. Broun stein, E. O. Kane, J. Phys. Chem. Sol. 23, 1423 A962).
19.5. К. Д. Товстюк, М. В. Тарнавская, ФТТ 5, 819 A963).
См. также [16.3], [16.4], [17.2], [17.3].
20. Метод инвариантов
20.1. J. M. Luttinger, Phys. Rev. 102, 1030 A956).
20.2. Г. Е. Пик ус, ЖЭТФ 41, 1258, 1507 A961).
20.3. G. F. Koster, H. S t a t z, Phys. Rev. 113, 445 A959); 115, 1568 A959).
21. Мелкие примесные центры
21.1. G. F. К о s t е г, J. С. S 1 a t e r, Phys. Rev. 94, 1392 A954).
21.2. W. К о h n, J. M. L u 11 i n g e r, Phys. Rev. 98, 915 A955).
21.3. W. К о h n, D. S h e с h t e r, Phys. Rev. 99, 1903 A955).
21.4. D. Shechter, J. Phys. Chem. Sol. 23, 237 A962).
21.5. K. S. Mendelson, H. M. James, J. Phys. Chem. Sol. 25, 729 A964).
21.6. W. Kohn, Sol. St. Phys. 5, 257 A957).
21.7. W. Kohn, J. M. Luttinger, Phys. Rev. 97, 883 AS55).
21.8. J. Appel, Phys. Rev. 133A, 280 A964).
21.9. Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 45, 365 A963).
21.10. R. M. Keyes, IBM Journ. 5, 65 A961).
21.11. T. N. Morgan, Proc. X Int. Conf. Phys. Semicond., Cambridge, USA,
1970, p. 266.
21.12. K- Suzuki, M. Okazaki, H. Hasegawa, J. Phys. Soc. Japan 19,
930 A964).
21.13. J. С Phillips, Phys. Rev. В2, 1044 A970).
21.14. Б. Л. Гельмонт, М. И. Дьяконов, ЖЭТФ 62, 713 A972).
21.15. В. И. Шека, ФТТ 7, 1783 A965).
21.16. В. И. Шека, Д. И. Шека, ЖЭТФ 51, 1445 A966).
21.17. К. S. Mendelson, D. R. S h u 11 z, Phys. St. Sol. 31, 59 A969).
21.18. A. Baldereshi, Phys. Rev. Bl, 12 A970).
21.19. T. H. H i n g, С T. S a h, Sol. St. Comm. 8, 1893 A970).
21.20. Г. Л. Вир, ФТТ 13, 460 A971).
22. Экситоны Ванье — Мотта в полупроводниках
со сложной зонной структурой
22.1. G. Dresselhaus, J. Phys. Chem. Sol. 1, 14 A955); Phys. Rev. 105,
135 A957).
22.2. R. J. E 11 i о 11, Phys. Rev. 108, 1384 A957).
577
22.3. R. J. Elliott, R. Lou don, J. Phys. Chem. Sol. 8, 382 A969).
22.4. T. P. McLean, R. Lou don, J. Phys. Chem. Sol. 13, 1 A960).
22.5. R. J. Elliott, Polarons and Excitons, Edinburgh — London 1963; Phys.
Rev. 124, 340 A961).
22.6. Э. И. Р а ш б а, ЖЭТФ 36, 1701 A959).
22.7. P. H о к с, Теория экситонов, Изд. «Мир», 1966.
22.8. В. М. Агранович, Теория экситонов, «Наука», 1968.
22.9. R. G. Weeler, J. О. Dimmock, Phys. Rev. 125, 1805 A962).
22.10. J, J. Hop fie Id, D. G. Thomas, Phys. Rev. 122, 35 A961).
22.11. J. O. Dimmock, Semicond. and Semimetals, v. 3, New York, 1967,
p. 259.
22.12. N. Lipary, A. Baldareschi, Phys. Rev. Lett. 25, 373, 1660 A970).
22.13. Г. Е. Пикус, Г. Л. Б и р, ЖЭТФ 60, 195 A971).
22.14. Г. Е. П и к у с, Г. Л. Б и р, ЖЭТФ 62, 324 A972).
В монографиях [22.7] и [22.8] и обзоре [22.11] приведена более обшир-
обширная библиография.
23. Изменение спектра при деформации в кубических кристаллах
23.1. С. Н е г г i n g, Bell System Techn. J. 34, 237 A955).
23.2. E. N. A d a m s, Phys. Rev. 96, 803 A954).
23.3. H. В rooks, Advances Electr. 7, 85 A955).
23.4. Г.Е. Пикус, Г.Л.Бир, ФТТ 1, 154, 1642 A959).
23.5. Г. Л. Б и р, Г. Е. Пикус, ФТТ 3, 3050 A961).
23.6. Г. Е. П и к у с, Г. Л. Б и р, ФТТ 4, 2090 A962).
23.7. М. С а г d о n a, Sol. St. Comm. 5, 223 A967).
23.8. I. Coroff, L. Kleiman, Phys. Rev. 132, 1080 A963).
23.9. D. В r u s t, L. L i n, Sol. St. Comm. 4, 193 A966).
23.10. F. H. Pollak, M. Car dona, Phys. Rev. 172, 816 A968).
23.11. F. Kolodziejcak, S. Zukotinski, Phys. St. Sol. 14, 471 A966);
16, K5 A966).
23.12. W. Kleiner, L. Roth, Phys. Rev. Lett. 2, 334 A959).
24. Расчет констант деформационного потенциала
24.1. S. Conrott, L. Kleiman, Phys. Rev. 132, 1080 A963).
24.2. F. Bassani, D. В rust, Phys. Rev. 131, 1524 A963).
24.3. L. G. Ferreira, Phys. Rev. 137 A, 1601 A965).
24.4. L. R. S a r a v i a, D. В г u s t, Phys. Rev. 178, 1240 A969).
24.5. J. A. V a n V e с h e n n, Phys. Rev. 187, 1007 A969).
25. Спектр электронов в кристал \ах с решеткой вюрцита
25.1. R. С. G a s e 11 a, Phys. Rev. Lett. 5, 371 A960).
25.2. М. L. Glasser, J. G a 11 a w а у, J. Phys. Chem. Sol. 10, 229 A959).
25.3. Э. И. Рашба, ФТТ 1, 407 A959); Э. И. Р а ш б а, В. И. Ш ек а, ФТТ,
сборник № 2, 162 A959).
25 4. С. L. В irman, Phys. Rev. 115, 1493 A959).
25.5. М. Balkanski, Des Cloizeau J. Phys. Radium 21, 825 A960).
25.6. M. С a r d о n a, J. Phys. Chem Sol. 24, 1543 A963).
25.7. J. H о p f i e 1 d, J. Phys. Chem Sol. 15, 97 A960).
25.8. S. Adler, Phys. Rev. 126, 118 A962).
25.9. D. Mahan, J. J. Hop fie Id, Phys. Rev. 135 A, 428 A964).
25 10 E Gutsche, E. Jahue, II—VI Semicond. Сотр. Int. Confer., New
York, 1967, p. 825.
25 11 Т. С Collins, R. N. Euwema, J. S. Dewitt, там же, р. 598.
25 12 J. J. Hop field, D. G. Thomas, Phys. Rev. 132, 563 A963).
См. также [14.2], [14.3], [18.7].
678
26. Влияние деформации на спектр кристаллов с решеткой вюрцита
26.1. Г. Е. Пи к ус, ФТТ 6, 324 A964).
26.2. Г. Л. Бир, Г. Е. Пик ус, Л. Г. Суслина, Д. Л. Федоров,
Е. Б. Ш а д р и н, ФТТ 13, 3551 A971).
См. также [20.2].
27. Сводные данные о зонной структуре различных полупроводников
27.1. G. С. Phillips, Phys. Rev. 125, 1931 A962) (Ge, Si); J. Phys. Chem.
Sol. 8, 369, 379 A959) (Ge, Si).
27.2. M. L. Ко hen, Т. К. Bergstresser, Phys. Rev. 141, 789 A966)
(Ge, Si, A3B5).
27.3. M. K. Chosh, Phys. Rev. 165, 888 A968).
27.4. J. O. Dimmock, II—VI Semicond. Сотр. Int. Confer. New York,
196 27 (AB)
1967, p. 277 (A2B6).
J. E. Rowe, M. Cardona, F. H. P 0 11 a k, там же, р. 112 (A2B6)
27.6. P. Y. Lin, L. К. К lei man, Phys Rev. 142, 478 A966) (A2B6).
277 M Cd J Ph Ch Sl 4 153 A963) (AB)
, , y , ()
27.7. M. Cardona, J. Phys Chem. Sol. 24, 1543 A963) (A3B5)
27.8. F. H. Poll a k, M. Cardona, Phys. Rev. 142, 530 A966) (Ge, Si).
27.9. F. H. Poll a k, J. Phys. Chem. Sol. 27, 423 A966) (Ge, A3B5).
27.10. M. Rodot, Proc. IX Int. Confer. Phys. Semicond. Москва, 1968, стр. 639
(HgTe, серое олово).
27.11. L. N. Sosnowsky, там же, стр. 700 (HgTe, серое олово).
27.12. S. H. Groves, A. W. E w a I d, R. J. Wagner, там же, стр. 43
(HgTe, серое олово).
27.13. М. Crynberg, Proc. VII Int. Confer. Phys. Semicond., Paris, 1964,
p. 135 (A2B6).
C. Hil
27.14. C. Hil sum, там же, р. 1172; Semicond. and Semimetals, v. 1, New York,
1966, p. 3 (A3B5).
27.15. J. J. Sticker, H. J. Zeiger, G. S. Heller, Phys. Rev. 127, 1077
A962) (Ge).
27.16. F. H. Pollak, G. W. H i g gi nb 0 th a m, M. Cardona, Proc. VIII
Int. Confer. Phys. Semicond., Kyoto, 1966, p. 20 (A3B5).
27.17. F. H. Pollak, G. W. H i g g i n h 0 t h a m, M. Cardona, Proc. IX Int.
Confer. Phys. Semicond., Москва, 1968, стр. 57 (A3B5).
27.18. M. Cardona, Semicond. and Semimetals, v. 3, New York, 1967, p. 125
(A3B5).
27.19. B. Lax, J. G. Mavroides, там же, стр. 321 (A3B5).
27.20. Ю. И. Р а в и ч, Б. А. Ефимова, И. А. Смирнов, Методы исследо-
исследования полупроводников в применении к халькогенидам свинца, Изд
«Наука», 1968.
27.21. В. W. Levinger, D. R. F r a n k I, J. Phys. Chem. Sol. 20, 281 A961).
27.22. D. G. Reynolds, G. W. Litton, T. G. Collins, Phys. St. Sol. 6,
645 A965); 12, 3 A965) (A2B6).
27.23. J. E. Rowe, M. Cardona, F. H. Pollak, Sol. St. Comm. 6, 239
A968) (ZnO).
27.24. V. Rossi er, Phys. Rev. 184, 733 A969) (A2B6).
28. Теория рассеяния
Метод деформационного потенциала
28.1. W. Shockley, J. Bardeen, Phys. Rev. 77, 407 A950); В. Шок-
л и, Теория электронных полупроводников, ИЛ, 1953
28.2. С. И. П е к а р, М. Ф. Д е й г е н, ЖЭТФ 21, 803 A952).
28.3. W. Dumke, Phys. Rev. 101, 531 A956).
28.4. С. Herring, E Vogt, Phys. Rev. 101, 944 A956).
28 5. H. Erenreih, A. Overchauser, Phys. Rev. 104, 331, 649 A956).
28 6 W Harrison, Phys. Rev. 104, 1281 A956).
28.7. Г Е Пикус, ЖТФ 28, 2390 A958).
28.8. Г. Л. Б и р, Г. Е. П и к у с, ФТТ 2, 2287 (I960).
679
28.9. С. D. Whit field, Phys. Rev. Lett. 2, 204 A959); Phys. Rev. 121,
720 A961).
28.10. P. La waetz, Phys. Rev. 166, 763 A968); 174, 864 A968).
28.11. J. D. Wiley, Sol. St. Comm. 8, 1865 A970).
Влияние да льнодейству ющих сил на колебания решетки
Монография [9.1].
28.12. И. Г. Л а н г, У. С. П а ш а б е к о в а, ФТТ 6, 3640 A964).
28.13. В. В. Брыксин, Ю. А. Фирсов, ЖЭТФ 56, 841 A969).
28.14. Г. Е. П и к у с, М. Г. Б р е с л е р, ФТТ 13, 1734 A971).
Рассеяние на оптических колебаниях
в полярных кристаллах
28.15. Н. F г oh lien, Advances Phys. 3, 325 A954) (обзор).
Дальнодействующие силы в неполярных
полупроводниках
28.16. К. Б. Толпыго, ФТТ 4, 1765 A962).
28.17. Ш. М. Коган, ФТТ 5, 2829 A963).
28.18. 3. А. Демиденко, К. Б. Толпыго, ФТТ 6, 3321 A964).
29. Циклотронный резонанс в деформированных кристаллах
29.1. J. С. Hensel, G. Feher, Phys. Rev. Lett. 5, 307 A960); Phys. Rev.
129, 1041 A963).
29.2. Г. Е. Пикус, Г. Л. Б и р, Phys. Rev. Lett. 6, 103 A962); ФТТ З, 1001
A961).
29.3. H. Hasegawa, Phys. Rev. 129, 1029 A963).
29.4. J. С Hensel, Phys. Lett. 21, 284 A966).
29.5. J. С Hensel, H. Hasegawa, M. Nakayama, Phys. Rev. 138A,
225 A965).
29.6. I. В a 1 s 1 e v, P. L a w a e 11, Phys. Lett. A 24, 586 A967).
29.7. J. С Hensel, K. Suzuki, Proc. X Int. Confer. Phys. Semicond., Cam-
Cambridge, USA, 1970, p. 541.
29.8. F. Hiroshi, M. Kazuo, O. Eizo, J. Phys. Soc. Japan 29, 685 A970).
29.9. J. Blinowski, M. Grynberg, Phys. Rev. 168, 882 A968).
29.10. H. Fujiyansu, K. Murase, E. О t s u k a, J. Phys. Soc. Japan 29,
685 A970).
29.11. K. Murase, K. E n j о u j i, E. О t s u k a, J. Phys. Soc. Japan 29, 1248
A970).
29.12. Я. Г. Кляв а, О. Г. Ко шел ев, Т. Ю. Лисовская, А. Г. Казан-
с к и и, ФТП 5, 428 A971).
См. также [23.4], [23.5].
30. Квантовый циклотронный резонанс в деформированных кристаллах
30.1. Е. Otsuka, К. Murase, F. Fujiyase, Phys. Lett. 21, 284 A966).
30.2. J. С. Hensel, Sol. St. Comm. 4, 231 A966).
31. Парамагнитный и комбинированный резонанс на свободных
носителях в деформированных кристаллах
31.1. Э. И. Р а ш б а, ФТТ 3, 1224 A960).
31.2. Г. Е. Гургенишвили, ФТТ 5, 2070 A963); 6, 479 A964).
31.3. J. С. Hensel, Phys. Rev. Lett. 21, 983 A968).
31.4. J. С. Hensel, К- Sudzuki, Phys. Rev. Lett. 22, 838 A969).
32. Влияние деформации на электропроводность германия и кремния
32.1. С. S. Smith, Phys. Rev. 94, 42 A954).
32.2. F. J. M о r i n, T. H. G e b a 11 e, С Herring, Phys. Rev. 105, 525
A957).
32.3. Г. Е. П и к у с, Г, Л. Б и р, ФТТ 1, 1828 A959).
580
32.4. J. J. H a 11, Phys. Rev. 128, 68 A962).
32.5. S. H. К о e n i g, Proc. VI Int. Confer. Phys. Semicond., Exeter, 1962, p. 5.
32.6. Г. Л. Бир, А. И. Б л ум, Ю. В. Илисавский, Ргос. VII Int. Conf.
Phys. Semicond., Paris, 1964, p. 529.
32.7. M. Аше, В. М. Бондарь, О. Г. С ар бей, ФТТ 8, 1188 A966).
32.8. О. N. Tuffe, F. L. Stelzer, Phys. Rev. 133 A, 1705 A964).
32.9. J. E. A u b г e y, W. Q u b 1 e r, T. H e n n i n g s e n, S. H. К о е n i g, Phys.
Rev. 30, 1667 A963).
32.10. F. H. P о 11 a k, Phys. Rev. 138, 618 A965).
32.11. M. Guevas, H. Fritzsche, Phys. Rev. 139 A, 1628 A965); 137 A, 1847
A965).
32.12. M. J. Katz, Phys. Rev. 140A, 1323 A965).
32.13. П. И. Баранский, В. В. Коломоец, Phys. St. Sol. (b) 46, K55
A971).
32.14. Ю. В. Шмарцев, М. Мирзабаев, ФТП 5, 2245 A971).
32.15. Ю. А. Астров, А. А. Кастальский, ФТП в, 323 A972).
33. Влияние деформации на электропроводность соединений А$Въ
33.1. R. F. Potter, Phys. Rev. 108, 652 A957).
33.2. A. Tu z z о 1 i n о, Phys. Rev. 109, 6 A958).
33.3. A. R. Htitson, A. Jay ram an, A. S. Corriel, Phys. Rev. 155, 786A967).
33.4. K. M. Chanekar, R. J. Cladek, Phys. Rev. 146, 505 A966).
34. Влияние деформации на электропроводность соединений PbTe, PbS, PbSe
34.1. Ю. В. Илисавский, ФТТ 3, 1898, 3555 A961); 4, 918, 1975 A962).
34.2. J. R. Burke, Phys. Rev. 160, 636 A967).
34.3. D. M. F i n 1 а у s о n, A. D. S t e w а г d, Brit. J. Appl. Phys. 17, 737 A966).
34.4. H. И. А к и м е н к о, 3. В. П а н к е в и ч, П. М. Старик, Укр. физ.
журнал 12, 977 A967).
34.5. S. Kigaburo, Т. Ryochi, J. Phys. Soc. Jap. 20, 1172 A965).
34.6. Г. Л. Б и р, Г. Е. П и к у с, ФТТ 4, 2090, 2243 A962).
См. также [27.20].
35. Влияние деформации на электропроводность соединений А2В6
35.1. A. Saga г, М. Rubenstein, Phys. Rev. 143, 2 A966).
35.2. A. S a g а г, W. L eh m a n n, Phys. Rev. 140 A, 923 A965).
35.3. В. А. К u 1 p, K. A. Q a 1 e, Phys. Rev. 156, 877 A967).
36. Влияние деформации на гальвано- и термомагнитные эффекты
36.1. P. Keyes, Phys. Rev. 103, 1240 A956).
36.2. Н. D г a b 1 е, J. Electr. Contr. 5, 362 A958).
36.3. H. D г a b 1 e, R. G г о v e r, Phys. Rev. Lett. 2, 451 A959).
36.4. M. G r i n b e r g, Phys. St. Sol. 13, 277 A966).
36.5. В. С. Львов, Т. В. Смирнова, ФТТ 8, 1365, 1617 A966).
36.6. А. Л. Липин, В. С. Львов, Т. В. Смирнова, ФТТ 9, 3339 A967).
36.7. В. С. Львов, ФТТ 8, 1351 A966).
36.8. Ю. В. Шмарцев, М. Мирзабаев, В. М. Тучкевич, ФТТ 7,
3437 A965).
36.9. R. W. Keyes, Sol. St. Phys. 11, 149 A960) (обзор).
36.10. В. С. В я з о в к и н, М. М и р з а б а е в, В. В. Р ы ж к о в, А. С. С а и д о в,
В. М. Тучкевич, Ю. В. Шмарцев, ФТП 2, 447 A968).
36.11. П. И. Баранский, В. В. Коломоец, Phys. St. Sol. 42, КПЗ A970).
36.12. А. Г. Самой л о вич, И. С. Б уда, ФТП 3, 400 A969).
36.13. П. И. Баранский, И. С. Б уд а, И. В. Д а х о в с к и й, В. В. Коло-
Коломоец, ФТП 5, 1614 A971).
36.14. Л. И. Атанчук, М. В. Нуцович, В. Б. Молер, ФТП 5, 1845 A971).
36.15. М. Аше, Ю. Г. Завьялов, О. Г. Сарбей, ФТП 7, 1305 A971).
58!
37. Изменение коэффициента поглощения, связанного
со свободными носителями, при деформации
37.1. А. К. Walton, С. R. Everett, Sol. St. Comm. 5, 275 A967).
37.2. А. К. Walton, G. R. Everett, Sol. St. Comm. 4, 211 A966).
38. Двойное лучепреломление в деформированных кристаллах,
связанное со свободными носителями
38.1. К. J. Schmidt-Tuedeman, Phys. Rev. Lett. 7,372 A961); Proc. VI Int.
Confer. Phys. Semicond., Exeter, 1962, p. 191; J. Appl. Phys. 30, 2055 A961).
38.2. J. K. Furduna, G. P. Soar do, Proc. VII Int. Confer. Phys. Semicond.,
Paris, 1964, p. 171.
38.3. A. F e 1 d m a n, Phys. Rev. 150, 748 A966).
38.4. S. Riskaer, Phys. Rev. 152, 845 A966).
38.5. J. В 1 i n о w s к i, Phys. Rev. 147, 574 A966).
38.6. А. Д. Р е м е н ю к, Ю. И. У х а н о в, В. М. Т у ч к е в и ч, Ю. В. Шмар-
цев, ФТП 1, 1113 A967).
39. Изменение коэффициента поглощения и отражения света и другие
деформационные эффекты, связанные с междузонными переходами
39.1. О. В. Константинов, В. И. Перель, ЖЭТФ 37, 786 A959).
39.2. М. Grin berg, Proc. VII Int. Confer. Phys. Semicond., Paris, 1964, p. 135.
39.3. G S. G о b s о n, E. G. S. P a i g e, там же, стр. 143.
39.4. S. Riskaer, I. B a Is lev, Phys. Lett. 21, 16 A966).
39.5. E. Erlbach, Phys. Rev. 150, 767 A966).
39.6. W. E Engeler, M. Garfinkel, J. Tieman, Phys. Rev. 155, 693
A967).
39.7. U. Gerhard, Phys. Rev. Lett. 15, 401 A965).
39.8. F. H. Pollak, M С а г d о n a, K. L. Shaklee, Phys. Rev. Lett. 16,
943 A966).
39.9. А. Г. Аронов, Г. Е. П и к у с, Д. Ш. Шехтер, ФТТ 10, 823 A968).
39.10. Е. О. Kane, Phys. Rev. 178, 1368 A969).
39.11. F. H. Pollak, Proc. X Int. Confer. Phys. Semicond., Cambridge, USA,
1970, p. 407.
39.12. R. N. Bharagava, M. Y. Nathan, Phys. Rev. 161, 695 A967).
39.13. L. Lande, M. Cardona, F H. P о 11 a k, Phys. Rev. Bl, 1436 A970).
39.14. D. D. Sell, E. O. Kane, Phys. Rev. 185, 1103 A969).
39.15. B. Tell, J. M. Worlock,R.J.Martin,Appl.Phys Lett. 6, 123 A965).
39.16. F. H. Pollak, M. С а г d о п a, Phys. Rev. 172, 816 A968).
39.17. И. П. Акимченко, В. А Вдовенков, ФТТ И, 658 A969).
39.18. В. И. Никитенко, Г. П. М а р т ы н е н к о, ФТТ 7, 622 A965).
39.19. К. К. Дубенский, А. А. Каплянский, И. Г. Лозовская,
ФТТ 8, 2068 A966).
39.20. С. W. Higginbotham, M. Cardona, F. H. Pollak, Phys Rev.
184,821 A969).
39.21. A. Y. Shileika, M. Cardona, F. H Pollak, Sol. St. Comm. 7,
1113 A969).
39.22. R. N. Bharsava, M. J. Nathan, Phys. Rev. 161, 695 A967).
39.23. А. Ф. Кравченко, Е. А. Макаров, А. С. Мардеисов, ФТП 2,
1783 A967).
39.24. Ю. Каган, В. Сабакин, ФТТ 11, 1018 A969).
39.25. F. Н. Р о 11 a k, M. С а г d о n a, Phys. Rev. 177, 1351 A969).
39.26. А. С a v i n i, М. С а г d о n a, Phys. Rev. Bl, 672 A970).
39.27. А. А. Кастальский, ФТП 1, 97 A967).
39.28. А. А. Кастальский, Н. И. С а блин а, ФТП 2, 1467, 1475 A968).
39.29. Р. Т. В a ilej, Phys. Rev. Bl, 588 A970).
39.30. С. Benoit a la Cuillaume, P. Lavallard, J. Phys. Chem. Sol.
31, 411 A970).
39.31. А. С. Краузе, Ю. Г. Шретер, ФТП 5, 1912 A971).
39.32. А. А. Кастальский, С. Б. Мальцев, Ю. Г. Шретер, ФТП 5,
1588 A971).
582
p.
41.2. R.
W. Влияние деформации на спектр мелких примесных центров
40.1. P. J. Price, Phys. Rev. 104, 1223 A956).
40.2. Н. Frits с he, Phys. Rev. 125, 1552, 1560 A962).
40.3. W. H. К 1 e i n e r, L. R о t h, Phys. Rev. Lett. 2, 334 A959).
40.4. Г. Л. Бир, Е. И. Бутиков, Г. Е. Пи кус, J. Phys. Chern. Sol. 24,
1467, 1475 A963).
40.5. E. B. H a 11, T. G. С a s t n e r, Phys. Rev. Bl, 4763 A970).
41. Пьезооптика мелких примесных центров
41.1. G. Weinreich, Proc. V Int. Confer. Phys. Semicond., Praga, 1960,
360 (n-Ge).
. L. Aggarwal, A. K. R a m d a s, Proc. VII Int. Confer. Phys. Se-
Semicond., Paris, 1964, p. 797; Phys. Rev. 137, 602 A965) (n-Si).
41.3. J. H. Reuszer, P. Fisher, Phys. Rev. 135, 1125 A964); 140 A, 245
A965); 165,909 A968) (n-Ge).
41.4. R. L. Aggarwal, P. Fisher, V. Mourzine, A K- Ramdas,
Phys. Rev. 138 A, 882 A965) (n-Si).
41.5. R. L. Jones, P. Fisher, Sol. St. Comm. 2, 369 A964) (p-Ge).
41.6. D. H. Dickey, J. O. Dimmok, J. Phys. Chem. Sol. 28, 529
A967).
41.7. P. Fisher, A. K. R a m d a s, Phys. Lett. 16, 26 A965) (p-Si).
41.8. A. On ton, P. Fisher, A. K. Ramdas, Phys. Rev. 163, 686 A967)
(P-Si).
41.9. П. П. Феофилов, А. А. Каплянский, УФН 76, 201 A962)
(обзор).
41.10 W. E. К rag, W. H. Kleiner, H. J. Zeiger, Proc. X Int. Confer.
Phys. Semicond., Cambridge, USA, 1970, p. 271.
41.11. W. H. Kleiner, W. E. К г a g, Phys. Rev. Lett. 25, 1490 A970).
41.12 R. L. Jones, P. Fischer, Phys. Rev. В 2, 2016 A970).
41.13. И. В. Кучеренко, ФТП 2, 1069 A968).
41.14. W Paul, Proc. IX. Int. Confer. Phys. Semicond., Москва, 1968, стр. 16.
41.15. А. Я. Вуль, Г. Л. Бир, Ю. В. Шмарцев, ФТП 4, 2331 A970).
41.16. В. Т. А 1 b u г п, А К. R a m d a s, Phys. Lett. 29A, 135 A969).
41.17. Ж. С Алферов, Д. 3. Г арбузов, О. А. Н и н у а, В. Г. Трофим,
ФТП 5, 1400 A971).
42. Влияние деформации на ЭПР мелких примесных центров
42.1. G С. Hens el, G. Fe her, E. A. Gere, Phys. Rev. Lett. 5, 309 A960).
42.2. D. K. Wilson, G. Fe her, Phys. Rev. 124, 1068 A961).
42.3. D. K. Wilson, Phys. Rev. 134A, 265 A964).
42.4. K. Morigaki, T. Mi t sum a, J. Phys. Soc. Jap. 18, 462 A963); 20,
491 A965).
42.5. M. Nakayama, H. Hasegawa, J. Phys. Soc. Jap. 18, 229
A963).
42.6 G. D. Watkins, 4th Annual Sol. St. Conf., Manchester, 1967, p. 79.
42.7. Дж. Людвиг, Г. Вудбури, Электронный спиновый резонанс в полу-
полупроводниках, Изд. «Мир», 1964.
42.8. Г. Л. Бир, Г. Е. Пи кус, Proc. VII Int. Confer. Phys. Semicond., Paris,
1966, p. 789.
42.9. K. Suzuki, M. Okazaki, H. Hasegawa, J. Phys. Soc. Jap. 19,
930 A964).
42.10. E. И. Бутиков, ФТТ 10, 3364 A968).
42.11. Б. Г. Журкин, Н. А. Пенин, Н. Н. С и бе льдин, ФТП 2, 827
A968).
42.12. P. I. Lin-С hung, R. F. W a 11 i s, Proc. IX Int. Confer. Phys. Semi-
Semicond., Москва, 1968, стр. 341.
42.13. Т. Simizu, M Nakayama, J. Phys. Soc. Japan 19, 1829 A964).
42.14. R. S. T i 11, I. В. М. Journal 7, 68 A963).
583
43. Пьезооптика экситонов
43.1. Е. Ф. Гросс, А. А. Капля некий, В. Т. А г е к я н, ФТТ 4, 1009,
2170 A963).
43.2. Е. Ф. Гросс, А. А. Каплянский, ФТТ 2, 1676, 2968 A960).
43.3. А. А. Каплянский, Л. Г. С уел и на, ФТТ 7, 2327 A965).
43.4. А. И. Бобрышева, С. А. Москаленко, ФТТ 4, 1994 A962);
ФТП 2, 438 A968).
43.5. D. G. Thomas, J. Appl. Phys. Suppl. 32, 2298 A961) (CdTe).
43.6. А. А. Каплянский, Оптика и спектроскопия 16, 1031 A964).
43.7.1. Balslev, Ргос. VIII Int. Confer. Phys. Semicond., Kyoto, 1966,
p. 101 (GaP).
43.8. A. M. G 1 a s s, Can. J. Phys. 43, 12 A963) (Ge).
43.9. В. Ю. О с и п о в, ФТТ 8, 2280 A966) (Ge).
43.10. I. Balslev, Phys. Rev. 143, 636 A966); Phys. Lett. A 24, 113 A967);
Sol. St. Comm. 5, 315 A967).
43.11. E. A. Adler, E. Erlbach, Phys. Rev. Lett. 16, 87, 927 A966) (Ge).
43.12. T. Koda, D. W. Langer, Phys. Rev. Lett. 20, 50 A968); Proc. IX
Confer. Phys. Semicond., Москва, 1968, p. 242 (ZnO, PbS, PbSe).
43.13. O. Akimoto, H. Hasegawa, Phys. Rev. Lett. 20, 915 A968).
43.14. Г. Л. Бир, Г. Е. Пик ус, Л. Г. С уел и на, Д. Л. Федоров, ФТТ
12, 1187 A970) (ZnS).
43.15. Г. Л. Бир, Г. Е. Пик ус, Л. Г. Суслина, Д. Л. Федоров, ФТТ
12, 3218 A970) (ZnS).
43.16. А. С a v i n i, M. С а г d о n a, Phys. Rev. В 1, 672 A970).
43.17. D. W. Langer, R. N. Euwema, К. Era, Т. Coda, Phys. Rev. В 2,
4005 A970).
43.18. Y. Onodera, Y. Toyozawa, J. Phys. Soc. Japan 22, 813 A967).
43.19. T. Skettrup, I. Balslev, Phys. St. Solidi 40, 93 A970).
43.20. M. A. Cileo, P. T. Bailey, D. F. Hill, J. Luminisc. 12, 562 A970).
43.21. J. W. Morgan, T. N. Morgan, Phys. Rev. Bl, 739 A970).
43.22. L. D. L a n d e, F. H. P о 11 a k, M. С а г d о n a, Phys. Rev. B3, 2623
A971).
43.23. F. H. Pollak, R. L. Aggarwal, Phys. Rev. B4, 432 A971).
43 24. Г Л. Бир, Г. Е. П и к у с, Л. Г. Суслина, Д. Л. Федоров, ФТТ
14, 858 A972).
См. также [26.2].