/
Author: Бурмистров Г.А.
Tags: математика задачи по математике естественные науки метод наименьших квадратов
Year: 1960
Text
Г. А. БУРМИСТРОВ
ЗАДАЧНИК
ПО
СПОСОБУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для геодезических вузов и факультетов
Издательство геодезической литературы
МОСКВА 1960
АННОТАЦИЯ
Задачник составлен применительно к действующей про-
грамме по способу наименьших квадратов для геодезических
вузов и состоит из трех разделов курса.
1. Теория ошибок измерений.
2. Способ наименьших квадратов (косвенные и условные
измерения).
3. Элементы теории вероятностей.
В начале большинства параграфов даются краткие спра-
вочные сведения и в каждом параграфе имеется подробный
разбор решения типичных задач и задачи для самостоятель-
го решения.
Издание рассчитано на студентов геодезических и земле-
устроительных вузов и техникумов, на инженеров и техников
выполняющих работы, связанные с уравновешиванием и оцен-
кой точности результатов измерений.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий задачник составлен по решению Кафедры геодезии
МИИГАиК, принятому 15 марта 1954 г..
Его назначение — облегчить студентам практическое изучение
способа наименьших квадратов и упорядочить проведение лабора-
торных и самостоятельных занятий по этому предмету.
Поскольку большая часть вычислений в теории ошибок ведется
при помощи логарифмической линейки, в начале задачника даются
краткие сведения о логарифмической линейке и примеры ее ис-
пользования.
В начале большинства параграфов и в других необходимых
случаях даются ссылки на теорию предмета, изложенную в учебни-
ке проф. А. С. Чеботарева «Способ наименьших квадратов с осно-
вами теории вероятностей» (М., Геодезиздат, 1958), который будет
именоваться в дальнейшем «Учебник [20]». Затем следуют справоч-
ные сведения и подробный разбор решения типичных задач, после
чего идут задачи для самостоятельного решения. Ответы даны ко
всем нерешенным задачам (в задачах, имеющих 10 вариантов, для
основных задач, даны все ответы, для остальных дан ответ по од-
ному или нескольким вариантам).
В учебном пособии для иллюстрации и закрепления теории
предмета приходится знакомить студентов со всеми имеющимися
видами контроля вычислений и постепенно переходить от подроб-
ных учебных схем вычислений к производственным.
При составлении рукописи автор пользовался в необходимых
случаях консультацией проф. А. С. Чеботарева, который взял на
себя труд предварительного просмотра рукописи и сделал ряд цен-
ных указаний.
Рецензенты — доц. В. П. Козлов и доц. 3. М. Юршанский —
дали полезные замечания по рукописи задачника.
Инициатива и поддержка доц. В. Г. Селиханович весьма облег-
чила составление и продвижение рукописи.
Редактор задачника доц. А. В. Гордеев проделал большую и
квалифицированную работу, существенно улучшив качество ру-
кописи.
Всем этим лицам автор считает приятным долгом выразить
свою благодарность.
3.
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРИМЕНЕНИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ЛИНЕЙКИ В ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ*
I. Действия с числами
Рассмотрим логарифмическую линейку обычного типа длиной
25 см.
На рис. 1 показаны шкалы на линейке и на верхней стороне
движка.
Все шкалы, кроме самой нижней, логарифмические (неравно-
мерные). Нижняя шкала равномерная. Шкала кубов, обозначенная
буквой К, состоит из трех одинаковых подшкал. Шкалы квадратов
Д и В состоят из двух одинаковых подшкал. Каждая подшкала
(шкал К, А и В) имеет 10 крупных делений, которые оцифрованы
от 1 до 10. Каждое крупное деление разделено на 10 более мелких
делений. Самые мелкие деления нанесены
через 0.02 в промежутке от 1 до 2
„ 0,05 „ „ „ 2 „ 5
„ 0,1 „ „ „ 5 „ 10
Шкалы С и D являются основными. Длина этих одинаковых
шкал вдвое больше каждой подшкалы квадратов, поэтому они бо-
лее точные. Как и на шкалах квадратов, на них нанесено три вида
делений. Самые мелкие деления нанесены
через 0,01 в промежутке от 1 до 2
„ 0,02 „ „ ,. 2 „ 4
„ 0,05 „ 4 „ 10
В интервале 1—2 можно устанавливать и читать четырехзнач-
ные цифры, в остальной части шкал — трехзначные.
Между шкалами движка В и С обычно наносится обратная
шкала В. Деления на ней такие же, как и на основных шкалах С
и D, но подпись делений идет справа налево; в том же направле-
нии берется и отсчет.
Нижняя шкала L дает мантиссы десятичных логарифмов чисел,
нанесенных на основных шкалах С и D.
* Более подробные сведения по логарифмической линейке можно найти
в работе [12].
5
Совместив начальные штрихи шкал движка и корпуса линейки,
поставим визирную линию бегунка на какое-нибудь число шка-
лы D; тогда на шкале L прочтем мантиссу логарифма этого числа,
на шкале С — то же число, на шкалах В и А — квадрат установ-
ленного числа, на шкале К — куб этого числа. При установке чисел
не принимаются во внимание запятые и нули в конце числа. Начи-
нающим необходимо внимательно ознакомиться с ценой деления на
всех неравномерных шкалах и приобрести навыки в отсчетах на
различных местах всех шкал.
В дальнейшем применяются следующие сокращения. Вместо
названия шкалы будет записываться только ее обозначение, соглас-
но рис. 1 и 2, справа от отсчета по этой шкале. Левый индекс
шкал движка будет называться ЛИ, правый индекс шкал движ-
ка — ПИ, визирная линия бегунка — ВЛБ.
При различных действиях на логарифмической линейке реко-
мендуется прикидывать в уме приближенный результат, чтобы от-
делить запятой целую часть результата от дробной. Для той же
цели существуют правила о порядках. Эти правила можно найти
в работе [12].
Упражнение
Совместив начальные или конечные штрихи шкал движка и
корпуса линейки, поставить визирную линию бегунка на следую-
щие числа шкалы D и прочесть ответы на всех других шкалах:
1,364; 0,276; 3,14159; 89 500; 3,93; 10,16; 0,00205; 0,0323; 0301;
1073; 66,750; 3438; 24 780; 1682; 206 265.
Примеры
1. Найти произведение 15,27-6,34.
Ставим ВЛБ на 1527 D; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на 634 С; ответ:
96,9 читаем по ВЛБ на D.
2. Найти частное 12620 : 354.
Ставим ВЛБ на 1262 D; 354 С на ВЛБ; ответ 35,7 читаем по
ПИ на D.
3. Возвести в квадрат 5,73.
Ставим ВЛБ на 573 D; ответ 32,8 читаем на А.
Правило извлечения квадратного корня:
1. Подкоренное число делят на грани по две цифры в каждой:
влево от запятой, когда число больше единицы, и вправо от запя-
той, если число меньше единицы.
2. Если в крайней левой грани, содержащей значащие цифры,
окажется одна значащая цифра, то ставят бегунок на данное
число в левой половине шкалы квадратов, если же две, то —
в правой половине.
4. Извлечь корни:
a) JZ115.
Ставим ВЛБ на 115 левой половины Л; ответ: 10,72 D.
6
б) I 11,50.
Ставим ВЛБ на 115 правой половины А; ответ: 3,39 D.
в) f 0Д)64.
Ставим ВЛБ на 64 правой половины А; ответ: 0,08 D.
Ставим на /60 V; 201 с на вло. остановить сразу или
оказывается нельзя. В таких случаях делают «переброску движка».
7
Совместив начальные штрихи шкал движка и корпуса линейки,
поставим визирную линию бегунка на какое-нибудь число шка-
лы D\ тогда на шкале L прочтем мантиссу логарифма этого числа,
на шкале С—то же чиглл иа о - •
г
Л
I
г
II
1
1
96
п:
вл
то
ок
чи
в ;
а) I 115.
Ставим ВЛБ на 115 левой половины А; ответ: 10,72 D.
6
б) \r 11,50.
Ставим ВЛБ на 115 правой половины А; ответ: 3,39 D.
в) /0Д)64.
Ставим ВЛБ на 64 правой половины А; ответ: 0,08 D.
г) |, 0,0640.
Ставим ВЛБ на 64 левой половины А; ответ: 0,253 D.
К о мб иниро в анное у м ножение и деление
Выражения вида
d’b'C’ d
e-f-g
вычисляются по схеме рис. 3.
a bed
Рис. 3
Вычислить:
г 5,2-6,4-13,3
5* 4,5-17,7 ’
Ставим ВЛБ на 52 D; 45 С на ВЛБ; ВЛБ на 64 С; 177 С на
ВЛБ; ВЛБ на 133 С; ответ: 5,56D.
23,9-58,3-0,478
Ь' 3,26 ~ ‘
Ставим ВЛБ на 239 75; 326 С на ВЛБ; ВЛБ на 583 С; ПИ на
ВЛБ; ВЛБ на 478 С; ответ: 20475.
Пользуясь обратной шкалой R, этот пример решается скорее.
Ставим ВЛБ на 239 D; 583 R на ВЛБ; ВЛБ на 326 R; 478 R на
ВЛБ; ответ- 204 7).
0,0473-299
' 0,685 '
Применяя обратную шкалу, можно вычислять такие выражения
при одной установке движка. Ставим ВЛБ на 473 2); 299 R на
ВЛБ; ВЛБ на 685 7?; ответ: 20,64 7).
с 7,86-5,42
8‘ ”2^1 ‘
Ставим ВЛБ на 786 77; 261 С на ВЛБ. Установить сразу ВЛБ
оказывается нельзя. В таких случаях делают «переброску движка».
7
Рис
становись сразу или
«переброску движка».
7
Ставим ВЛБ на ЛИ; ПИ на ВЛБ; ВЛБ на 542 С; ответ:
16,32 0. t
С обратной шкалой: ВЛБ на 786 0; ПИ на ВЛБ; ВЛБ на
2610; 542 0 на ВЛБ; ответ: 16,32 0.
517-1423-458
989-2710 ’
Ставим ВЛБ на 517 0; 1423 0 на ВЛБ; ВЛБ на 458 С; 989 С
на ВЛБ; ВЛБ на ПИ; 2710 С на ВЛБ; ответ: 125,7 0.
Комбинированные действия с радикалами и
квадратами чисел
10. Вычислить предельную угловую невязку в теодолитном по-
лигоне с семью углами по формуле пред./р = + l',5]-z п.
Ставим ВЛБ на 15 0; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на 7 левой полови-
ны В; о т в е т: 4',О О.
11. /Жз- к"22к
Ставим ВЛБ на 153 правой половины А; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на
221 левой половины В; ответ: 58,10.
12. ] б?бб28-/0,847.
Ставим ВЛБ на 628 левой половины А; ПИ на ВЛБ; ВЛБ на
847 правой половины В; ответ: 0,2310.
13 0,48-6,12
0,088- j/l37
Ставим ВЛБ на 48 0; 88 С на ВЛБ; ВЛБ на 61 С; ПИ на ВЛБ;
ВЛБ на 61 С; 137 левой половины В на ВЛБ; ответ: 17,34 0.
14. 2,372 - 3,45.
Ставим ВЛБ на 237 0; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на 345 0; ответ:
19,38 А.
15. 1,432 - 2,172.
Ставим ВЛБ на 143 0; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на 217 С; ответ:
9,63 А.
Вычисление ошибок
16.
, W1 , , /"59
Я = ±Й +' = ±1+
Ставим ВЛБ на 59 правой половины А; 7 левой половины В на
ВЛБ; ответ: +2,9 О.
8
Ставим ВЛБ на 167 левой половины А; 11 правой половины В
на ВЛБ; ответ: +3,9D.
,. т
7И =—
2,9
18.
V ft }/ 5
Ставим ВЛБ на 29 D; 5 левой половины В на ВЛБ; ответ:
+1,30 D.
§"ы числение весов при помощи обратной шкалы*
а. По формуле
19.
с
P = ~L-
1
р ~ 2,5 •
Совмещаем шкалы С и '£>; ставим ВЛБ на 25 7?; ответ: 0,40 D.
20
20- Р = 25-
Ставим ВЛБ на 2D; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на 25 7?; ответ: 0,80 0.
б. По формуле
с
Р~&'
21.
_ 100
Р — 202 ‘
Совмещаем шкалы А и В; ВЛБ на 2 R; ответ: 0,25 Л.
22.
20
Р — 52 •
Ставим ВЛБ на 20 Л; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на 5R; ответ: 0,80Л.
II. Действия с тригонометрическими функциями
Шкалы тригонометрических функций находятся на оборотной
стороне движка (рис. 2), посередине которых нанесена шкала сину-
сов и тангенсов малых углов (S и Т) для углов от 0с34',38 до
5С43',77. Вверху помещена шкала синусов (sin) для углов от
5с43',77 до 90°. Внизу находится шкала тангенсов (tg) для углов
ст 5°43',77 до 90°.
Значения тригонометрических функций шкалы S и Т изменяют
ся от 0,01 до 0,1. Значения синусов и тангенсов шкалы S и шкалы
Т заключены между 0,1 и 1,0. Масштаб тригонометрических шкал
равен масштабу шкалы D.
* О весах смотрите на стр. 59—Ь0.
9
Перевернув движок оборотной стороной кверху, устанавливают
его так, чтобы конечные штрихи крайних шкал движка совпали с
конечными штрихами шкал А и D. Теперь при любой установке бе-
гунка на тригонометрических шкалах можно прочесть по шкале D
натуральное значение синуса или тангенса, соответствующее дан
ной установке.
Чтобы найти угол по натуральному значению тригонометриче
ской функции, устанавливают визирную линию бегунка на отсчет
по шкале D, соответствующий этому значению. Ответ читается hi
соответствующей шкале оборотной стороны движка. До приобрете
ния навыков в вычислениях с логарифмической линейкой рекомен
дуется при отсчетах по шкале синусов замечать, на сколько частей
разделен градус: на 6, 3 или 2. По шкале малых углов и по шкале
тангенсов также нужно, беря отсчет, замечать, на сколько частей
разделены промежутки между оцифрованными делениями.
Примеры
23. sin 8°43' =0,1516 D и tg 8°43' = 0,1533 D.
24. sin 15°32' =0,2678 D и tg 15°32' = 0,278 D.
25. sin33°55' =0,558 D и tg 33°55'= 0,672 D.
26. sin 0°53',5 = 0,01556 £>.
27. tg 2°17',3 = 0,0399 D.
28. sin 5°12'.4 = 0,0907 D.
Синусы и тангенсы углов, меньших 0°34',38, находят, увеличи-
вая углы в несколько раз (произведение не должно быть более
5°43z,77), полученное значение функции уменьшают во столько
же раз.
29. Найти tg 0°02',2. Умножим угол на 30. Тогда tg l°06z =
= 0,0192, откуда tg 0°02z,2 = 0,00640.
Можно также воспользоваться приближенными равенствами
sin а « tga ж azsin 1' » Л ~ •
Для получения tg0°02',2 ставим ВЛБ на 22 D, значок р'С —
на ВЛБ; ответ читаем по ПИ на D (0,0064).
При необходимости найти значения тангенса
угла более 45° или других тригонометрических
функций, не указанных на логарифмической
линейке, применяют формулы:
lga = Ctg(9O”-a) = t¥;5jlq—
для углов от 45 до 90°,
cos a — sin (90° — a),
etg a = для углов от 0 до 45°,
10
ctga=tg(90°—a) для углов от 45 до 90°,
1 1
sec a =----- и cosec a = —— .
COS а 31П a
30 tg 52°17'— 1,293. Ставим tg 37°43' на 10D;
ответ получаем по ЛИ на D.
31. cos 41°23' = sin 48с37' — 0,750.
32. ctg 25°48' = 9?0то, = 2,069. Устанавливаем tg 25с48' на 1 £>;
ответ читаем по ПИ на D.
33. ctg 72°19'= tg 17°41'= 0,319.
34. sec31°39' = .--goAp-= 1,175. Ставим sin 58°21' на 10D;
SID Do Z1
ответ получаем по ЛИ на D.
35. cosec 43°22/=^-^557= 1,456. Устанавливаем sin 43с22' на
sm 4о zz
I0D; ответ читаем по ЛИ на D.
Тангенс или синус любого угла можно получать не переверты-
вая движка, пользуясь штрихами, нанесенными в вырезах нижней
части корпуса линейки.
36. sin 3°31'= 0,0615. Ставим sin3°31' на нижний штрих пра-
вого выреза линейки; ответ читаем против 10 D на С.
37. sin 33°47' = 0,556. Устанавливаем sin 33°47' на верхний
штрих правого выреза; ответ получим против 10 D на С.
38. tg 16О24' = 0,294. Ставим tg 16°24' на штрих левого выреза;
ответ будет против 1 D на С.
39. tg 63°48' = 2,032. Устанавливаем tg 26с12' на штрих левого
выреза; ответ читаем по ПИ на D.
При действиях с тригонометрическими функциями рекомендует
ся иметь в виду, что шкалы оборотной стороны движка соответст-
вуют шкале D, заменяя как бы шкалу С.
Вычисление превышений по формуле /г —stgv
40. /г= 147,5-tg 1°34л. Установим ЛИ на 1475 D; ВЛБ на 1°34'
S и Т; ответ: +4,03 м D.
41. /i = 213-tg0°26'.CTaBHM ЛИ на 213 D; ВЛБ на 52 S и Т;
прочитанный ответ 3,22 D делим на 2; h = + 1,61 м.
Вычисления на основе пропорции
Убедитесь, что при любой установке движка отношение стоя-
щих друг против друга чисел на шкалах С и D (или синусов S и
чисел D) является постоянным.
42. Найти х, у, г из уравнений
х _у _ z _ 6
9~ — Т8 —36--+
= 0,15.
11
Число 0,15 можно считать как дробь Установим 15 С на
1 О; ВЛБ на 18 D; г/= 2,7 С; ВЛБ на 36 D; г = 5,4С; ВЛБ на
6 С; y = 40D; ВЛБ на ПИ; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на 9 £>; % =1,35 С.
43. Решить треугольник по теореме синусов
а х у
sin a sin р sin у ’
если а = 530 м, а = 62°38/, р=47°06', у= 70°17'. Установим ВЛБ
на 530 D; 62°38' S на ВЛБ; ВЛБ на 47°O6' S; х = 437 м D\ ВЛБ
на 70°17/; у = 562 м D.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
Глава I
РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
§ 1. Оценка точности измерений по истинным ошибкам*
О числе значащих дифр при вычислении ошибок
Значащими цифрами числа называются все цифры, кроме
нулей слева до первой цифры, отличной от нуля, и
нулей справа, заменяющих неизвестные цифры. Например,
203,7 имеет 4 значащие цифры
0,000 89 „ 2
4,050 01 „ 6 значащих цифр
Чтобы показать, что число 350 000 имеет только две значащие
цифры, пишут 35 • 104.
Истинную, среднюю квадратическую, вероятную, среднюю и
предельную ошибки вычисляют с двумя значащими цифрами. Если
первая значащая цифра единица, то можно оставлять три цифры.
ЗАДАЧИ
1. В табл. 1 даны невязки в сумме углов всех 68 треугольников
ряда Новосибирск — Усть-Каменогорск триангуляции 1 класса
(Г9], стр. 244).
Вычислить:
1) среднюю квадратическую ошибку суммы углов одного тре-
угольника;
2) среднюю и вероятную ошибку той же суммы;
3) значение средней и вероятной ошибок по формулам, связы-
вающим их со средней квадратической;
4) предельную ошибку.
Проверить свойства случайных ошибок на данном производст-
венном примере.
* Учебник [20]. Введение, § 1—4, 12, 18, 19, 183
13
Таблица 1
№ треуголь- ников Невязки / /2 № треуголь- ников Невязки f /2
1 4-0",76 0,578 35 —0".61yv 0,372
2 -1 ,48 2,190 36 —0 ,96 0,922
3 —1 ,21 1,464 37 —0 ,16Г 0,026
4 4-0 ,52 31 0,270 38 0 ,26 к 0,068
5 —0 ,57 0,325 39 4-0 >461>- 0,212
6 —0 ,55 а(| 0,302 40 —0 ,47,$ 0,221
7 4-2 ,54 6,452 41 4-1 .95 3,802
8 —0 ,99 0,980 42 +0 ,71^ 0,504
9 —0 ,24 0,058 43 4-0 ,77 0,593
10 4-0 ,25.а 0,062 44 4-0 ,46 0,212
11 4-0 ,50. 0,250 45 4-0 ,92 0,846
12 4-1 .08 1,166 46 —0 ,75 0,562
13 4-1 .45 2,102 47 4-0 ,03 0,001
14 —2 ,42 5,856 48 —0 ,21 ( 0,044
15 +0 ,73 г 0,533 49 -0 ,57г! 0,325
16 4-1 .28 1,638 50 —0 ,50 ( 0,250
17 4-2 ,03 4,121 51 —0 ,82 0,672
18 4-0 ,51^ 0,260 52 4-0 ,3b 0,096
19 -0 ,10^ 0,010 53 -0 ,90 0,810
20 —0 ,78 0,608 54 —0 ,44 ' 0,194
21 —0 ,76 0,578 55 4-1 .09 1,188
22 —0 ,12 0,014 56 —0 ,72 0,518
23 4-0 ,51. 0,260 57 4-0 ,90 0,810
24 4-0 ,33 . 0,109 58 4-0 .45 0,202
25 —1 ,03 1,061 59 4-0 ,27 0,073
26 4-1 ,16 1,346 60 4-0 ,96 0,922
27 —1 ,32 1,742 61 •}-0 ,53^4 0,281
28 —0 ,04 0,002 62 -0 ,210 0,044
29 4-0 ,59(5 0,348 63 —0 ,35 0,122
30 4-0 ,77 0,593 64 —1 ,80 3,240
31 —1 ,53 2,341 65 4-1 .39 1,932
32 —1 ,06 1,124 66 -0 .571( 0,325
33 —0 ,84 0,706 67 4-2 ,08 4,326
34 4-1 .05 1,102 68 4-0 ,12 1 0,014
[Д2] =65,280
14
Решение
1 Средняя квадратическая ошибка суммы углов одного тре-
ольника может быть определена по невязкам треугольников. Рас-
сматривая эти невязки как истинные ошибки сумм, найдем по фор-
муле Гаусса
4-1 /I 1 /~6S,28-----------1_ QI/ gg
m = ±]/ -7Г~±]/ “68-----------~ ’
2 Средняя ошибка
а = И) = 5<|0=0,,81.
п 68
Эта же ошибка
4
Э- = 4-1 т I = 0",80.
5
3. Вероятная ошибка г — это случайная ошибка, которая нахо-
дится в средине ряда ошибок, расположенных в порядке возраста-
ния их абсолютных величин. В нашем случае 34-я ошибка равна
0",72 и 35-я 0",73.
Эта же ошибка
2
г ~ — т — ± 0",66.
О
4. Предельная ошибка
Дпред = 3 т = ± 0,98-3 = + 2",94.
Проверим свойства случайных ошибок на данном примере.
1) Ни одна из ошибок не превосходит предела, равного 3 т,
наибольшая абсолютная величина ошибки в данном ряду оказалась
равной 2",54.
2) Положительных ошибок 35, сумма их равна -(-29,72;
отрицательных ошибок 33, сумма их равна —25,08.
3) Сумма всех ошибок равна 4-4",64. Среднее арифметическое
из истинных ошибок
|Д] -к 4" 64
Jdl = 0",07.
п о8
4) Число ошибок, которые по абсолютной величине
меньше т, составляет 47
находятся между т и 2 т, „ 17
„ „ 2 т и 3 т, „ 4
5) В данном ряду ошибок нет никакой видимой закономерности
ни по величине, ни по знаку при переходе от любой ошибки ряда
к соседней с ней.
15
Как видим, взятый наугад ряд ошибок показал, что резуль-
таты измерений в триангуляции I класса имеют ошибки, обладаю-
щие свойствами случайных ошибок. Такие ряды ошибок результа-
тов измерений подчиняются в большинстве случаев закону нор
мального распределения (закону Гаусса).
2. Выполнить то же, что в задаче 1, по данным в табл. 2 не-
вязкам в сумме углов всех 43 треугольников ряда Чишмы — Орен-
бург триангуляции 1 класса ([9], стр. 230).
Таблица 2
№ по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки /
1 —0",69 12 —2", 14 23 —0",12 34 —1",49
2 +0 ,58 13 + 1 .42 24 4-0 ,18 35 4-1 .12
3 +1 ,13 14 —0 ,47 25 —0 ,29 36 4-0 ,09
4 —1 ,23 15 +2 ,87 26 —0 ,05 37 —0 ,13
5 +1 ,14 16 —0 ,03 27 - 0 ,22 38 —0 ,30
6 +0 ,28 17 +0 ,18 28 —1 ,86 39 —1 .17
7 + 1 ,72 18 —0 ,06 29 4-1 .61 40 4-1 .60
8 —0 ,30 19 —0 ,05 30 —0 ,50 41 —0 ,56
9 +0 ,16 20 +0 ,77 31 —1 ,10 42 4-0 ,40
10 -0 ,27 21 +0 ,14 32 4-1 .21 43 4-0 .64
11 —2 ,01 22 4-0 ,52 33 —1 ,20
3. Выполнить то же, что в задаче 1, по данным в табл. 3 не-
вязкам в сумме углов 31 треугольника ряда Джанарки—Каркара-
линск триангуляции I класса ([9], стр. 283).
Таблица 3
№ по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки / № по пор. Невязки f
1 —0",34 9 —Г',99 17 —0",67 25 4-1",21
2 4-0 ,74 10 4-0 ,88 18 -0 ,20 26 —0 ,11
3 —0 ,29 11 —0 ,66 19 4-1 ,00 27 4-1 ,89
4 4-0 ,69 12 —0 ,40 20 — 1 ,46 28 —1 ,37
5 4-0 ,90 13 4-0 ,08 21 —0 ,35 29 4-0 ,90
6 —1 ,99 14 4-0 ,82 22 —1 ,44 30 4-0 ,23
7 4-2 ,53 15 —1 ,18 23 4-1 ,76- 31 —0 ,70
8 —1 ,97 16 4-2 ,15 24 4-0 ,47
16
4 Выполнить то же, что в задаче 1, по данным в табл. 4 не-
4’ в сумме углов 32 треугольников ряда Казань—Чернушки
триХ™™ 1 клака (И, стр. 249).
Таблица 4
№ по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки /
1 4-0",01 9 —0",73 17 4-0",22 25 —2", 50
2 —0 ,62 10 —0 ,24 18 4-2 ,28 26 —I ,27
3 4-1 ,92 11 —1 ,38 19 4-1 .52 27 4-0 ,38
4 4-1 ,29 12 —1 ,28 20 4-0 ,06 28 4-0 ,43
5 —1 ,88 13 —0 ,76 21 —0 .25 29 4-1 ,31
6 4-0 ,07 14 4-1 ,04 22 0 ,00 30 —0 ,95
7 —0 ,19 15 —1 ,23 23 —1 ,03 31 4-1 ,16
8 -0 ,69 16 4-0 ,71 24 —0 ,41 32 —0 ,38
5. Выполнить то же, что в задаче 1, по данным в табл. 5 не-
вязкам в сумме углов 29 треугольников ряда Акмолинск—Успен-
ский Рудник—Джанарки триангуляции 1 класса ([9], стр. 286).
Таблица 5
№ по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки f
1 —1",45 8 4-4",14 15 4-1",62 22 —1",97
2 —0 ,65 9 4-0 ,80 16 +0 ,87 23 —0 ,83
3 —0 ,30 10 +0 ,51 17 —0 ,76 24 —0 ,54
4 —1 ,79 11 4-1 ДО 18 4-2 ,15 25 —0 ,72
5 —1 ,07 12 — 1 ,23 19 —0 ,54 26 4-2 ,15
6 4-0 ,36 13 4-1 ,28 20 4-1 ,00 27 —1 ,18
7 4-0 ,80 14 —0 ,78 21 —0 ,32 28 4-0 ,82
29 —0 ,67
2
Г* А. Бурмистров 17
6. Выполнить то же, что в задаче 1, по данным в табл. 6 не
вязкам в сумме углов 61 треугольника ряда Омск—Семиярское
триангуляции 1 класса ([9], стр. 288).
Таблица 6
№ по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки f № по пор. Невязки f
1 —1",38 16 —1",57 31 —0",72 46 —0",05
2 +0 ,82 17 4-1 ,31 32 —0 ,21 47 —0 ,48
3 —1 ,00 18 4-0 ,09 33 -0 ,51 48 —0 ,14
4 +0 .45 19 —0 ,73 34 4-0 ,46 49 — 1 ,06
5 —1 ,95 20 4-0 ,76 35 4-0 ,35 50 —1 ,04
6 -0 ,79 21 4-0 ,38 36 —0 ,45 51 —0 ,63
7 -0 ,28 22 4-0 ,87 37 4-0 ,14 52 4-0 ,75
8 + 0 ,51 23 4-1 ,20 38 4-0 ,03 53 4-2 ,99
9 —0 ,22 24 4-0 ,76 39 4-0 ,08 54 4-1 ,36
10 + 1 ,04 25 4-0 ,73 40 —0 ,41 55 —0 ,97
И —0 ,41 26 —0 ,79 41 —0 ,41 56 -1-0 ,88
12 -0 ,73 27 —0 ,33 42 4-0 ,98 57 4-1 ,13
13 + 1 ,55 28 —0 ,26 43 —0 ,54 58 4-0 ,74
14 4-2 ,03 29 4-0 ,97 44 4-0 ,55 59 4-0 ,26
15 4-0 ,56 30 +0 ,25 45 —0 ,34 60 4-о ,61
61 4-0 ,75
7. По истинным ошибкам определить среднюю квадратическую,
вероятную, среднюю и предельную ошибки вычисления квадратов
трехзначных чисел, данных в табл. 7, при помощи логарифмиче-
ской линейки. В качестве точных значений квадратов чисел принять
их значения, получаемые из таблиц квадратов с четырьмя Знача-
щими цифрами. Результаты на логарифмической линейке взять с
тремя значащими цифрами.
18
Решение задачи приведено в табл. 7.
Таблица 7
Ns Числа Значения квадратов чисел А Д2
по пор. по таблицам по линейке
1 1,87 3,497 3,49 + 49
2 2,36 5,570 5,57 0 0
3 1,69 2,856 2,86 — 4 16
4 1,07 1,145 1.14 + 5 25
5 1,49 2,220 2,22 0 0
6 2,25 5,062 5,07 — 8 64
7 1,23 1,513 1,51 + 3 9
8 2,84 8,066 8,07 — 4 16
9 2,75 7,562 7,56 + 2 4
10 3,09 9,548 9,55 - 2 4
11 2,09 4,368 4,36 + 8 64
12 2,26 5,108 5,11 — 2 4
13 2,51 6,300 6,30 0 0
14 1,96 3,842 3,84 + 2 4
15 1,37 1,877 1,88 - 3 9
4-27 —23
2 + 4 268
т ~ = 4- т/ 4,2 единицы четвертой значащей
Г И- г 10
Цифры.
При небольшом числе измерений необходимо вычислять сред-
нюю квадратическую ошибку тт самой средней квадратической
ошибки т. В данном случае
= = + 0,77 единицы четвертой значащей
[ 30
Цифры;
& = А|т| = 3,3, и й = -М- = ^ = 3,3;
5 п 15
2*
19
r = g-m = + 2,8, и r = + 3 (восьмая от начала и от конца
ошибка при расположении ошибок в порядке возрастания их аб
солютной величины);
ДПред. = 3m = + 14 единиц четвертой значащей цифры.
8. Решить предыдущую задачу, взяв вместо данных табл. 7 про
извольно 11—-15 чисел в интервале 1,01—3,14.
9. По одному из приведенных ниже вариантов произвести вы-
числения сначала на логарифмической линейке, а потом на ариф-
мометре. Оценить точность результатов вычислений на логарифми-
ческой линейке, принимая результаты вычислений на арифмометре
за истинные (найти т, тт, В-, г, Апред). Вычисления следует про
изводить при одной установке движка логарифмической линейки с
использованием обратной шкалы. Результаты вычислений на ариф
мометре нужно округлять, удерживая один лишний знак против
того, что дает логарифмическая линейка (см. учебник [20], стр. 87).
1-й вариант
9,87-26,8 15,9-21,4 2,91-31,2 3,58-39,2 41,2-12,0
1,022 ; 1,30 • 0,349 ; о,521 ; 1,90
47,7-1,871 51,8-12,41 0,285-422,6 8,77-35,16 17,7-34,1
0,392 ; 2,42 ’ 0,458 ; 1,16 ; 2,31
2-й вариант
2,023-39,9 1,953-42,9 4,521-21,12 4,083-20,89 1,482-95,2
0,1262 ; 0,1372 ; 0,1567 ! 0,1342 0,219
3,25-31,24 5,12-42,4 8,02-53,3 1,123-66,2 9,23-49,4
0,1522 ; 0,321 ; о,662 ; о,114 0,721
З-й в а р и а н т
31,4-39,11 29,7-41,68 68,9-19,89 61,8-23,7 22,3-97,6
1,703 ; 1,698 > 1,831 ; г.оз ; 2,98
48,7-29,8 77,7-39,7 79,2-78,1 19,27-69,3 89,8-73,4
2,01 ; 4,13 >’ 8,49 ; 1,797 9,03
4-й вариант
19,73-53,6 31,8-42,7 5,81-62,4 7,13-78,6 82,4-23,9
2,045 ; 2,59 J 0,697 : 1,042 ; 3,80
95,3-3,742 103,7-24,81 0,569-845,2 17,54-70,33 35,4-68,2
0,683 ; 4,84 ; о,91б ; 2,32 4,62
5-й вариант
1,987-54,6 30,4-41,8 6,72-92,7 28,1-70,5 3,875-129,3
1,343 ; 1,582 ; 0,764 I 2,443 ; 0,615
48,6-83,9 5,18-73,1 12,15-63,7 23,8-95,6 88,4-37,9
4,96 ; 0,467 : 0,952 : 2,795 : 4,12
20
S 2 Средние квадратические ошибки функций независимых
(измеренных) величин*
Иногда искомую величину нельзя определить непосредственно,
можно найти ее значение косвенным путем, измерив одну или
несколько величин, связанных с определяемой функциональной за-
висимостью.
При вычислении по результатам таких измерении значения
определяемой величины возникает задача оценки точности найден-
ного косвенным путем значения искомой величины.
Существуют следующие формулы для оценки точности простей-
ших функций.
I. Умножение на постоянный множитель
u=kx. (1.1)
Здесь k — постоянный множитель (точное число);
х — аргумент, значение которого получено из измерений;
и — искомая функция.
Оценка точности в этом случае производится по формуле
ти — kmx. (1.2)
ЗЛДЛЧИ
10. Вычислить среднюю
Зр, если угол р измерен
= + 4", 7.
квадратическую ошибку произведения
со средней квадратической ошибкой
Решение
/и„ = ±3-4,7 = ±14",1.
И. Найти ошибку то расстояния D, измеренного дально-
мером, если известна средняя квадратическая ошибка т, = + 6,5 ли
отрезка /, полученного из отсчетов по рейке. Коэффициент дально-
мера С = 100 определен с малой ошибкой, которой можно пре-
небречь.
12. При измерении угла по способу повторений получен Р-крат-
ный угол со средней квадратической ошибкой т. Определить сред-
нюю квадратическую ошибку однократного измерения угла.
13. Вычислить среднюю квадратическую ошибку в длине окруж-
ности, если радиус ее R, равный 100,00 м, измерен со средней квад-
ратической ошибкой mR == + 0,051 м.
II. Сложение и вычитание двух измеренных величин
Для функции двух независимых величин
и = х±у
(1.3)
Учебник [20], § 11, 13—16, 20.
21
зависимость между средними квадратическими ошибками выра-
жается формулой t
ти=тх2 + ту2- (1-4)
В частном случае равноточных измерений, когда = пгу — т,
та = т \/ 2 . (1.5)
ЗАДАЧИ
14. Углы аир треугольника измерены со средними квадрати-
ческими ошибками та = + 6",1 и = + 7",9. Найти среднюю
квадратическую ошибку третьего угла у, вычисленного по двум из-
меренным углам.
Решение
При решении задач на оценку точности функций измеренных
величин следует сначала составить по условиям задачи функцию,
а затем применять соответствующие формулы оценки точности.
В данном случае у = 180°— («+Р), причем 180° —точное (без-
ошибочное) число,
/л2т = 6,12 + 7,92 = 99,6, тт = ±Ю".
15. Измерены две линии: одна — длиной 210,0 м со средней
квадратической ошибкой +8,9 см и вторая — длиной 180,0 м со
средней квадратической ошибкой +8,1 см. С какой точностью бу-
дут вычислены расстояния, равные: 1) сумме двух линий и 2) их
разности?
Решение
Средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы двух
линий равна
/п„2 = 8,92 + 8,12= 145, /пи = +12слг;
W-! — 390,0 м ~+~ 0,12 м, — 30,0 + 0,12 м.
Относительные ошибки суммы и разности двух линий будут
1 _ °>12 _ । 1 1 _ 0,12 _ 1
— — 390 ~ ± 3200 ; — ~ 30 — ± 250 ’
16. Определить среднюю квадратическую ошибку измерения
угла теодолитом одним полным приемом, если средняя квадрати-
ческая ошибка измерения одного направления равна +0',5.
Решение
Средняя квадратическая ошибка измерения угла из одного по-
луприема, получаемого как разность двух направлений, =
= + 0',5)Л2.
22
Угол и, измеренный полным приемом, вычисляется как полу-
сумма результатов измерения при КЛ и А77
и = 1 [КЛ + КП) = ^КЛ + ^ КП.
Средняя квадратическая ошибка такой функции найдется по
формулам (1.2) и (1.4)
~ т2 + у т2 = ~ т2.
Рекомендуется сравнить полученные формулы функции и и
квадрата ее средней квадратической ошибки с формулами (1.9) и
(I.W).
Теперь
Поэтому средняя квадратическая ошибка измерения угла пол-
ным приемом
,0/5/2“ ,
т = -+- ——— = -+- 0 ,5.
~ Г 2
v 17. Превышение на одной станции геометрического нивелирова*.
ния получено как среднее из превышений при двух горизонтах ин-
струмента со средней квадратической ошибкой, равной +1,0 мм,.
Найти среднюю квадратическую ошибку отсчета по рейке.
18. Найти среднюю квадратическую ошибку вертикального угла,
измеренного при одном положении трубы, если отсчет по верти-
кальному кругу сопровождался ошибкой mi = + 20", а место нуля
получено с ошибкой т2 = + 10".
19. Тахеометром измерены превышения между тремя смежными
станциями, при расстояниях между первой и второй станциями в
246 м и между второй и третьей станциями в 171 м.
Средняя квадратическая ошибка превышения, измеренного по-
средством этого тахеометра при данных условиях, составляет
+3,0 см на 100 м. Определить среднюю квадратическую ошибку в
превышении между первой и третьей станциями.
111. Алгебраическое сложение нескольких измеренных величин
Для функции многих независимых величин
и = х+у+• • + W (1.6)
зависимость между средними квадратическими ошибками выража-
ется формулой
ти2 = т2 + т/ + • - - + ти2. (1.7)
23
В частном случае, когда тх — ту — ... = mw = т,
ти — т]^ п. (1.8)
ЗАДАЧИ
20. Линия состоит из пяти отрезков, измеренных со сред-
ними квадратическими ошибками: si = 103,74 м + 0,053 м, s2 ~
= 129,67 м + 0,071 м, S3 = 145,81 м + 0,080 м, s4 = 94,65 м +
+ 0,062 м, 55= 138,52 м + 0,110 м. Вычислить абсолютную и от-
носительную средние квадратические ошибки всей линии.
Решение
Применяем формулу (1.7), причем для упрощения вычислений
выразим средние квадратические ошибки отдельных отрезков в
сантиметрах
т? — 5,32 + 7,12 + 8,02 4 6,22 + 11,02 = 302 , ти = ± 17,4 гл/,
2$ = 612л/,
1 0,174 _ 1
N ~ ~ 612 ~ ± 3500 ’
21. Определить предельную ошибку в сумме п углов теодолит
ного полигона, если средняя квадратическая ошибка измеренного
угла равна +0',5.
22. В задаче 1 была найдена средняя квадратическая ошибка
суммы углов одного треугольника по угловым невязкам треуголь-
ников. Требуется вычислить среднюю квадратическую ошибку
измерения одного угла.
23. По найденным в задачах 2—6 средним квадратическим
ошибкам сумм углов одного треугольника вычислить средние квад-
ратические ошибки измерения одного угла в соответствующих ря-
дах триангуляции 1 класса.
24. На основе решения задач 1 и 22 получить формулу для
оценки точности измерения угла в триангуляции по угловым не-
вязкам fi, f2,... fn в п треугольниках.
25. Получены последовательные превышения между реперами:
1 и 2 — /г,,2 = + 1,758 + 2,8 мм
2 и 3 — h%B = - 3,124 + 5,7 „
3 и 4 — h3A = 4-0,961 + 4,2 „
Вычислить сумму превышений между реперами 1 и 4 и ее сред-
нюю квадратическую ошибку.
26. Вычислить среднюю квадратическую ошибку суммы п углов
многоугольника, если средняя квадратическая ошибка одного на-
правления равна тн и каждый угол получен как разность двух
направлений.
24
^/27. Найти среднюю квадратическую ошибку одного утла в поли-
гоне с 16 углами, если средняя квадратическая ошибка суммы всех
углов равна ±2',0.
28. Определить ожидаемое среднее квадратическое значение не-
вязки нивелирного хода длиной 17,3 км, если средняя квадратиче-
ская ошибка нивелирования на 1 км составляет 3,8 мм.
29. Найти среднюю квадратическую ошибку ms измерения ли-
нии s, если средняя квадратическая ошибка одного отложения мер-
ного прибора длиной а равна т, а число отложений-—п = д-
30. Вычислить предельную невязку в сумме углов каждого тре-
угольника по одному из вариантов, если средние квадратические
ошибки т углов а, 0 и у равны значениям, приведенным в табл. 8.
Таблица 8
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
та ±5",3 ±3’,1 ±4", 4 ±3",8 ±6", 2 ±5", 5 ±4",7 ±3",6 ±4" ,7 ±6", 6
±4 ,9 ±5 ,2 ±3 ,3 ±4 ,5 ±3 ,4 ±4 ,8 ±5 ,7 ±6 ,4 ±5 ,9 ±3 .7
±3 ,8 ±4 ,6 ±5 ,1 ±2 ,9 ±4 ,4 ±2 ,5 ±2 ,7 ±2 ,2 ±3 ,1 ±4 ,1
31. Проложен ход геометрического нивелирования по ровной
местности протяжением L при длине визирного луча 50 м. По од-
ному из десяти вариантов, приведенных в табл. 9., найти среднюю
квадратическую ошибку суммы превышений по всему ходу, если
средняя квадратическая ошибка превышения на одной станции т.
Таблица 9
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L, м 1600 1400 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 1500
т, мм ±1,3 ±1,2 ±1,4 ±1,5 ±1,6 ±1,7 ±1,3 ±1,2 ±1,0 ±1,1
32. Линия s измерена при помощи 20-метровой стальной ленты
со средней квадратической ошибкой т. Найти среднюю квадрати-
25
ческую ошибку линии s', измеренной при тех же условиях, по од-
ному из десяти вариантов приведенных в табл. 10.
Таблица 10
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S, м 319,3 360,6 359,7 381,2 399,4 421,2 438,9 462,1 480,5 500,3
s', м 600,0 661,4 701,3 750,1 800,5 730,4 782,6 840,5 875,2 900,1
т, мм ±0,20 ±0,25 ±0,28 ±0,30 ±0,35 ±0,38 ±0,40 ±0,44 ±0,47 ±0,50
33. Определить по одному из десяти вариантов, приведенных в
табл. 11, относительную ошибку периметра теодолитного полигона,
состоящего из п сторон длиной в среднем по sqm каждая, если от-
носительная ошибка измерения лентой всех сторон одинаковая и
равна .
Таблица 11
Варианты I 2 3 4 5 6 7 8 9 10
*0 300 250 350 400 450 500 180 200 280 380
п 7 9 8 6 5 4 8 7 6 7
1 N ± -1 1500 ±_1_ 1400 ±—— 1600 ± — 1800 ±_1_ 2000 ±_L_ 1900 -1—!_ 1300 ±_L 1700 ± -1. “1200 ±-J— 1100
34. При измерении горизонтального угла теодолитом средняя
квадратическая ошибка отсчета равна +0,5 t, отсчеты берутся по
двум верньерам. Найти среднюю квадратическую ошибку среднего
значения угла, измеренного двумя полными приемами.
IV. Случай нескольких независимых источников ошибок
Если при измерении оказывало влияние несколько самостоятель-
ных источников случайных ошибок, то общая, суммарная ошибка
А результата измерения равна
А — Ад + Да + - . • + Дп,
26
> д Л2, . , Дп — случайные ошибки, происходящие от первого,
17 ооого и ' последующих источников ошибок. Оценка точности в
этом случае производится по формуле (1.7)
ти = mi + ,п2 + • • + тп-
ЗАДАЧИ
35. Определить среднюю квадратическую ошибку угла, изме-
ренного одним полным приемом при помощи Г теодолита (у =
Д,20х), учитывая ошибки отсчета по верньерам т0, визирования
т и за внецентренность теодолита тс и вех тг, если тс = тг —
=V± 15".
Решение
Найдем ошибки от отдельных источников ошибок. Средняя
квадратическая ошибка среднего из отсчетов по двум верньерам
/п0=±4:^2~±21"‘
Средняя квадратическая ошибка визирования трубой теодолита
Суммарная ошибка измеренного одним полуприемом направле-
ния найдется по формуле
шД = т* + 4- + mr2 = 441 + 1 + 225 + 225 = 892,
и
mH = + 30".
Угол есть разность двух направлений, следовательно,
тугла = У 2-
Для среднего значения угла, полученного из двух полуприемов,
тР— WcL2_ = 4-30".
е У 2
36. Найти среднюю квадратическую ошибку дирекционного уг-
ла k-ой линии висячего теодолитного хода, если средняя квадрати
ческая ошибка начального дирекционного угла равна та> измерен-
27
ного угла —mg , по одному из десяти вариантов, приведенных в
табл. 12. ' »
Т аблица 12
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
т а ±0',7 ±0',8 ±0',9 ±0',6 ±1',0 ±0',5 ±0',4 ±0',6 ±0',7 ±0',8
±(Г,4 ±0',4 ±0',5 ±0',5 ±0',4 ±0',4 ±0',5 ±0',4 ±0',5 ±0',4
k 9 9 8 7 6 11 10 13 8 8
37. Нивелирование по ходу между двумя реперами выполнено по
частям с применением разных инструментов. Первым инструментом
пронивелировано Lx км, а вторым — Lz км со средними квадрати-
ческими ошибками на I км соответственно mi и т2. Определить
среднюю квадратическую ошибку отметки второго репера, вычис-
ленной по ходу от первого репера, если средняя квадратическая
ошибка отметки первого репера равна тпсх, по одному из десяти
вариантов, приведенных в табл. 13.
Таблица 13
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4,5 5,7 4,6 6,1 5,4 4,9 6,4 5,2 6,7 4,1
5,8 4,8 5,9 5,0 5,2 6,1 4,3 6,4 3,9 6,6
mlt мм ± 3,0 ± 4,0 ± 3,5 ± 4,5 ± 3,2 ± 3.8 ± 4,2 ± 3,3 ± 4,1 ± 2,8
мм ± 4,0 ± 3,2 ± 4,5 ± 2,9 ± 3,9 ± 4,5 ± 2,7 ± 4,3 ± 3,0 ± 4,6
т . мм исх ill ±12 ±13 ±10 ±14 ± 9,0 ±15 ± 8,0 ±16 ±17
V. Линейная функция
и — k^x + k^y + • 4- knw. (L9)
Здесь klt ki,..., kn —постоянные множители (точные числа),а
х, у,..., w — независимые величины, измеренные зна-
28
чеНия которых получены со средними квадратическими ошибками
соответственно
/л,, т2, - • . тп.
Оценка точности функции (1.9) производится по формуле
^u2z=V'n12 + V^22+- -+V<2- (I-Ю)
Если измерения равноточные со средней квадратической ошиб-
кой т, то формула (1.1'0) принимает вид
mu2 = [А2] ш2.
(1.11)
ЗАДАЧИ
38. Линия s измерена двумя различными дальномерами по
частям. Первая часть — дальномером с коэффициентом С =100 и
со средней квадратической ошибкой отсчета по рейке т, = 1,5 см.
Вторая часть-—дальномером с коэффициентом С = 140 и mt =
— 4- 0,8 см. Пренебрегая ошибками в определении постоянных
дальномеров, найти среднюю квадратическую ошибку в длине
всей линии s.
Решение
По формуле (1.10) имеем
/п/ = 1002-1,52 + 1402-0,82 = 104-2,25 ф- 196• 102-0,64 =
= 102 (225 4- 125) = 350-102 он2 и ш ? = ±1,87лг.
39. Найти среднюю квадратическую ошибку превышения гео-
метрического нивелирования mh, полученного как среднее из пре-
вышений при двух горизонтах инструмента, если средняя квадрати-
ческая ошибка превышения при одном горизонте инструмента
равна т.
40. Оценить точность функции
zz = А (24 ± z2 + • • ±zn),
в которой k — постоянный множитель (точное число), a z\, z2..
zn — аргументы, полученные из равноточных измерений со средней
квадратической ошибкой т.
41. Из непосредственных измерений получены результаты:
Z\ 4- mi, 22 + m2, Z3 + m-j,. Оценить точность функций по одному
из следующих десяти вариантов:
1) 1 1.1 11 — "з" zi + ”2 гз;
2) 2,1 2 11 — з 2i “Ь 5 у 2з >
3) н N 1 N to + Сл1 № N W
29
Ч 1 9
4) U~~5 Z] + 1Гге — у2з; г
5) « = уг1-422 + т2з;
5,24
' 11 JZ1~^~~^Z2 g"23>
7ч 35,2
' 11 4 zi ' g z2 “Ь 5 гз>
р. 2.45
8) "=7^i + jZ2--g-23;
Ч 1 9
9) « = -5 г1--8^ + -д г3;
im 1,24
10) ll = ~9 zi + yz2--3zs-
VI. Функция общего вида от многих независимых величин
u=f(x, у, • - - , W). (1.12)
Оценка точности функции (1.12) производится по формуле
'"•!=(й)”га«2+ +(»)’<'• <из>
Формула (1.13) позволяет оценить точность любой функции от
независимых величин, однако во многих случаях проще пользовать-
ся элементарными формулами § 2.
ЗАДАЧИ
42. Найти среднюю квадратическую ошибку превышения, вы-
численного по формуле
Л = -у D' sin 2 v Д- / — -)-/•
Решение
Для применения формулы (1.13) к первому члену находим
д/г 1 • о dh т>,
^ = Tsin2v и ^ = D'cos2v.
Теперь
= -J- sin2 2 v + D'2 cos2 2 v
4 0^
30
Средняя квадратическая ошибка превышения h будет результа-
том совместного влияния ошибок в определении D', v, it v и f. По-
этому mh найдется по формуле (1.7)
т,2 — sin2 2 v т2о’ + D1- cos2 2 + т? + + т?-
Оценку точности функции произвольного вида можно произве-
сти и без использования вышеприведенных формул, применяя сле-
дующее мнемоническое правило. Зависимость между истинными
ошибками выражается так же, как и между дифференциалами
([22], стр. 35). Поэтому находят полный дифференциал данной
функции, записывая вместо дифференциалов истинные ошибки. За-
тем возводят в квадрат все члены полученного выражения, соеди-
няя их знаком плюс и заменяя одновременно истинные ошибки
средними квадратическими. Если после дифференцирования ока-
жется два или более членов с одинаковыми истинными ошибками,
то такие члены нужно соединить вместе, заключив в скобки коэф-
фициенты при одинаковых истинных ошибках, и только после этого
возводить в квадрат.
Оценка точности функций произведения и частного по этому
правилу делается проще, чем по предыдущим формулам. Будем
называть условно этот прием вторым способом оценки точности
функции общего вида, подразумевая под первым способом оценку
точности по формуле (1.13).
ЗАДАЧИ
43. Оценить точность функции
« = у + tg (уг).
Решение
Применим второй способ
у кх — хку . уДг-ф-гДу 1 . х .
Д и= -------о---- = - Ах-------2Ду +
у2 cos2(yz) у у2
$ > Z
Ч-----Х7 С- Д z ---------г- Д у.
cos2 (уг) cos2 (ус)
Соберем члены с одинаковыми истинными ошибками
* 1 Л . Г 2 х) . у .
&У----77 Ч~ 1 57 \ 2~ I ^У ~t”-57-Д 2'
у | cos2 (yz) У) cos2(yz)
Теперь можно переходить к средним квадратическим ошибкам
ти2 = 6“^) ,7Zx2 + I---27-V----“J ту2 + [----57-т2.
\У / I cos2(yz) y2J у | cos2(yz) J 2
31
Ошибки ту и mz выражены здесь в радианной мере.
В некоторых случаях результат будет достигнут скорее, если
данную функцию до дифференцирования прологарифмировать. Та-
кой путь решения особенно удобен при отыскании зависимости
между относительными ошибками аргументов и функции.
44. Для определения коэффициента дальномера С трубы кипре-
геля измерено горизонтальное расстояние от оси вращения трубы
до рейки. Это расстояние за вычетом величины постоянного слагае-
мого дальномера с равно s + ms Отрезок I рейки между дально-
мерными нитями сетки получен при горизонтальном положении
трубы со средней квадратической ошибкой т(.
Пренебрегая малыми ошибками в определении слагаемого даль-
номера с, подсчитать среднюю квадратическую ошибку в найден-
ном значении коэффициента дальномера С~ у.
Решение
По формуле (1.13) имеем
дС _ 1 дС _ s
ds ~ I И dl~~ Р
или
„ т? Pm? + s^m?
Проверим результат, пользуясь вторым способом оценки точно-
сти функции общего вида. Написав зависимость между истинными
ошибками по формуле дифференцирования нашей функции
. I S — S&1
с — —,
переходим по изложенному правилу от истинных ошибок к сред-
ним квадратическим
2 _ Pm* + s2mz2
'Wc - Р
Итак, в обоих случаях
/пс=±-^- ]/ Рт‘2 ф- s'm?.
Оценка точности функций, представляющих частное, произведе-
ние или степень аргументов, может быть выполнена также с ис-
32
пользованием таблиц логарифмов. Условно будем называть лога-
рифмический способ — третьим способом.
Р 45. Дать численное решение предыдущей задачи, используя
таблицы логарифмов, при s= 147,83 м + 0,070 м и 1=1,48м
4- 0,0050 м.
Решение
Логарифмируя функцию С = у, получаем
lgC = lgs-lgZ.
Коэффициент дальномера С будет получен с некоторой ошиб-
кой, вследствие ошибок измерений величин s и I. Эти ошибки вы-
зовут соответствующие ошибки в логарифмах величин s, I и С,
которые обозначим m\gs, mtgi и т\ес- По формуле (1.4)
m2ig с = m2igv + m2igi.
Значения m}gs и migi найдем по табличным разностям лога-
рифмов
1g 147,83 = 2.16 976 1 т
1 Табличная разность равна 3.
1g 147,84 = 2.16 979 J
При изменении s на 0,01 м логарифм s изменяется на 3 единицы
последнего знака. При изменении же s на величину ms= + 0,070 м
логарифм s изменится на величину, приблизительно в 7 раз боль-
шую, то есть
migs = 4-21 единице 5-го знака логарифма.
Аналогично находим
1g 1,480=0.17 026 1 х „„
к J. Табличная разность равна 30.
1g 1,481 =0.17 056 J
Здесь при изменении Z на 0,001 м логарифм I изменяется на
30 единиц пятого знака, а так как /и, = + 0,0050 м, то migi =
== rb 150 единицам 5-го знака логарифма. Далее
/п21гС = т2^ + /и21е/ = (21)2 4- (150)2 = 229-102
и
zziigc = Э- 151,
|g С = 1g s — 1g I = 2.16 976 — 0.17 026 = 1.99 950
и
С = 99,88.
При изменении С на 0,1 логарифм его изменяется на 43 едини-
цы 5-го знака логарифма. Составим пропорцию 0,1 : тс = 43 : 151,
3 Г. А. Бурмистров 33
откуда тс = ± = + 0,35. Эти вычисления записываем в
табл. 14.
Таблица 14
Обозначе- ния величин Значения величин Изменения Средние квадрати- ческие ошибки
величин их лога- рифмов величин т их лога- рифмов mig
lg S 2.16 976 0,01 м 3 0,070м 21 441
доп. 1g / 9.82 974 0,001 м 30 0,0050м 150 22 500
1g С 1.99 950 0,1 43 2 22 941
С 99,88 ±0,35
raigc = ± )Л22 941 = + 151 единицы 5-го знака логарифма;
0,1 : тс =43: 151, откуда тс = ±^~ — + '0,35
Ответ: 0 = 99,9 + 0,35.
Вычислим теперь тс с помощью логарифмической линейки по
формуле
тс - ± -р-Vе . =
= ± / 2Д9• 49• 1СГ4 ± 218 102• 25• Пре =
= ±0,457-КГ2-75,3 = ±0,34.
46. Для определения площади прямоугольника Р измерены две
стороны
о. = 203,21 м + 0,11 м\
Ь = 315,42 л«± 0,12 м.
Вычислить площадь и ее среднюю квадратическую и относи-
тельную ошибки.
Решение
Применим второй способ в двух вариантах.
1-й вариант. Составляем функцию Р = аЬ, дифференцп
руем ее и заменяем дифференциалы истинными ошибками
Д Р= а Д b ± b Д а.
Переходим к средним квадратическим ошибкам
nif? = сРт^2 ±
34
Большая часть вычислений в теории ошибок производится при
помощи логарифмической линейки. Поэтому, подставляя численные
данные, рекомендуется округлять их до 3—4 значащих цифр, и
тогда
тР2 = 2032-128.10-4 + 3152-112.10-4 = 2,032-104.122-10'’4 +
+ 3,152. Ю4-112-10~4 = 1793 л/4;
тр - ± 42 л/2.
Площадь, вычисленная на арифмометре, равна Р~ 64 096 м-.
Относительная ошибка площади будет
тр____42 _ 1
Р ~~ 64100 — — 1500 '
2-й вариант. Логарифмируем и дифференцируем нашу
функцию In Р = In а + In b
кР___Да Д&
Р ~~а + b
Переходим к средним квадратическим ошибкам
/ 11М0-* _ / 121 . 144
Р — |/ 20,32-102 31,52-102 “ — V 412 992
= ± 10-* К 0.294 + 0.145 = ±^=±-Т^о-
47. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 4) измерены:
угол А = 40°00' + 1', угол В==50°00'+1' и сторона Ь —
А
Рис. 4
- 150,00 м + 0,05 м. Вычислить по измеренным углам, применяя
теорему синусов, сторону а и ее среднюю квадратическую ошибку.
Решение
Составляем функцию
__ b sin А _150 sin 40°
а sin В sin 50°
150 tg 40е = 125,9 л/.
3*
35
Для оценки точности этой функции применим все три способа.
1-й способ. По формуле (1.13) находим
2 /81пД\2 q / b cos А X2 т? , / 6 sin A cos В Xs от,г
т°=(^в) + (.-Й57г) + (-----ЙЛВ—) #'
или, учитывая значения углов треугольника,
гу) 2 w 2
т* = tg2 Ать2 + £2 _4_ + £2 tg4 Л = tg2 40о. 52.10-4 _|_
+ 1502-3,44~2-10“6 + 1502 tg4 40°. 3,44~2-10“6= 17,6-10~4 +
+ 19,05-10-4 + 9,4- 1(Г4 = 46,0- КГ4; та = ± 0,068 м.
Возможный порядок вычислений на логарифмической линейке.
1-й член: перевертываем движок обратной стороной кверху и
ставим ВЛБ на 25 D; 45° Т на ВЛБ; ВЛБ на 40° Т; 45° Т на ВЛБ.
ВЛБ на 40° Т; ответ: 17,6 • 10-4 D.
2-й член: перевертываем движок и ставим ВЛБ на 15 D; зна-
чок р' С на ВЛБ; ответ: 19,05 • 10~4Д (против 100). Для вычис-
ления 3-го члена снова повертываем движок оборотной стороной
кверху. Затем, заметив, что 3-й член равен второму члену, умно-
женному на tg440°, ставим ВЛБ на 19,05 А; 45° Т на ВЛБ; ВЛБ
на 40°Т; ПИ на ВЛБ; ВЛБ на 40°Т; ответ: 9,4-10-4Л.
2-й способ. Логарифмируем нашу функцию
In а — In b + In sin А — In sin В.
Теперь дифференцируем ее, заменяя дифференциалы истинны-
ми ошибками
Да
Дй . + „ДД + Г)дл
а
Переходим к средним квадратическим ошибкам
откуда
+ ctg2 А + ctg2 5 (”УУ} =
_ 2(25-10~4 , 1,421 , 0,704
— ° 1225-Ю2 + 11,82-Ю6 + 11,82-Ю6
= 158,8 • 102 {0,11 -10~6 ф 0,12 10"6 + 0,06 -10~6} =
= 158,8-102-0,29-10“6 = 46,1-10-4;
та = + 6,8 • 1О-2 = ± 0,068 м.
36
3-й сп особ. Вычисления приведены в табл. 15. Таблица 15
Обозначе- Значения Изменения Средние квадрати- ческие ошибки
ния величин величин величин их лога- рифмов величин т их лога- рифмов mig "1 1g
lg fe 2.17 609 0,1 м 29 0,05 м 14,5 210
1g sin A 9.80 807 1' 15 1' 15 225
доп. 1g sin В 0.11 575 1' 11 Г И 121
Iga 2.09 991 0,1 м 35 556
a 125,87м =1=0,068 м
nnsa = + 556 = +23,6 единицы 5-го знака логарифма;
0,1 ; та — ЗЬ 7 Чо •23,6 и /тго=+-4^- = +0,068 м. 35
Ответ: а = 125,87 м + 0,068 м.
48. В треугольнике АВС (рис. 5) из непосредственных измере-
ний получены: сторона b и углы А и В. Вычислить длину стороны
Рис. 5
а и ее среднюю квадратическую ошибку тремя способами по дан-
ным одного из вариантов табл. 16.
Т а блиц а 16
№ варианта Ь, м А В
1 210,20±0,140 57°30' =4=0',33 62°40' ±0',33
2 113,00=4=0,070 62°19' ±1',0 48°32' ±2',0
3 573,10±0,060 73°42' 28" ±3", 6 32°41' 35" =1=8", 0
4 248,65=1=0,050 69°37' 51"=4=7",4 45°34' 29" =1=5",4
5 309,87=1=0,060 58°36' 7 =4=0', 10 39°56',7 =4=0', 15
37
49. В треугольнике АВС (рис. 5) из непосредственных измере
ний получены: сторона b и углы В и С. Определить длину стороны
с и ее среднюю квадратическую ошибку (тремя способами) по
одному из вариантов табл. 17.
________________________________________________Таблиц а 17
№ варианта Ь, м В С
6 317,18±0,040 60°08'14"±15" 51°18' 23"=Ы5"
7 106,00±0,060 29°39' ,0 ± 1' ,00 120°07',0 ±2',0
8 297,65=1=0,060 33 56 ,5 ± 0 ,40 98 27 ,3 ±0 ,70
9 209,67±0,050 44 16 ,4 =1= 0 ,70 ПО 47 ,6 ±0 ,30
10 256,43=4=0,050 50 16 ,5 ± 0 ,30 101 01 ,2 ±0 ,60
50. Найти средние квадратические ошибки приращений коорди-
нат. если длина линии s = 127,00 м + 0,03 м, а дирекционный
угол а = 32°00' + Г,5.
Решение
Напишем функции А х — s cos а и А у = s sin а.
По формуле (1.13) находим
m~Sx = cos- а т2 + s2 sin2 а —g- и т\у — sin2 а т2 + s2 cos2 а —-у-
9 95
т\х = cos2 32° • 9 • 10-4 + 1272- sin2 32° • =
= 0,719 - 9 • 10~4 + 161 • 10‘2 - 0,281 - 0,19 -10 е = 6,5 -104 + 8,6-10-4 =
=15,1 • 10“4; /пДх = ± 3,9 • 10~2 = ± 0,039 м.
Возможный порядок вычислений на логарифмической линейке.
1-й член: ставим 58° В на штрих выреза нижней части корпуса ли-
нейки (cos2 32° = 0,719 В против 100 Л); ВЛБ на 9 Л. Ответ:
6,5-10~4 В.
2-й член: ставим 32° В на штрих правого выреза нижней части
корпуса линейки; ВЛБ на 127 Л; читаем ответ — 35,6 В; ВЛБ на
35,6 D; С на ВЛБ; ВЛБ на 127 С; р'С на ВЛБ; ВЛБ на ПИ:
2,25 В на ВЛБ; ответ: 8,6 В.
Затем
9 95
т\у = sin2 32° • 9 • 10“ 4+1272 cos2 32° -344а. 10е = 0,281 -9 - 10~4 +
+ 161 • 102-0,719-0,19-10-6 = 2,5-10~4 + 21,8-10~4 = 24,3-10~4;
т^у = ± 4,94• 10-2 = ± 0,049 м.
38
Возможный порядок вычислений на логарифмической линейке.
1-й член: ставим 32° 5 на штрих выреза нижней части корпуса
линейки (sin 32° = 0,28 В против 100 Л); ВЛБ на 9Л; ответ:
2,5 • ГО-4 В.
2-й член: ставим 58 S на штрих выреза нижней части корпуса
линейки (sin1 2 58° = 0,719 В); ВЛБ на 127 А; читаем результат
(произведение) —90S; ВЛБ на 9 В; р' С на ВЛБ; ВЛБ на 127 С;
р' С на ВЛБ; ВЛБ на 2,25 С; ответ: 21,8 D.
Логарифмический способ. Вычисления приведены
в табл. 18.
Таблица 18
Обозначе- ния величин Значения величин Изменения Средние квадрати- ческие ошибки "l2ig
величин их лога- рифмов величин т их лога- рифмов '«1g
Дх 4-107,70м 0,1 м 40
1g Дх 2.03 222 2 254
1g cos а 9.92 842 Г 8 1',5 12,0 144
1g S 2.10 380 0,1 м 35 0,03 м 10.5 ПО
1g sin x 9.72 421 1' 20 Г,5 30,0 900
Ig4v 1.82 801 / 2 1010
д> 4- 67,30м 0,01 м 7
1
mlgSx =. ±] 254 = ±16, 0,1 :тДх = 40:16, т^х = -~ —±0,040м;
mlgьу = ± / 1010 = ± 31,8, 0,01 : тЛу = 7 :32,
, 0,32
/ид у = ± = ± 0,047 м.
Ответ: = ± 107,70 л/ ±0,040 м, ку = ± 67,30 л/± 0,047 л/.
51. В табл. 19 дается 10 вариантов длины линии s и дирекци-
онного угла а. По одному из вариантов вычислить приращения и
их средние квадратические ошибки по таблицам логарифмов и на
логарифмической линейке.
39
Таблица 19
№ варианта s ± ms а ± т сс № варианта 5 =Ь — 1 a i т а
1 201,00 л±0,072 м 17°00'±1',1 6 169,00л±0,071 м 39°00'±Г,4
2 199,00 ±0,091 21 00 ±1 ,3 7 133,00 ±0,045 41 00 ±1 ,3
3 188,00 ±0,063 38 00 ±1 ,8 8 238,00 ±0,140 32 00 ±1 ,6
4 200,00 ±0,081 40 00 ±1 ,0 9 215,00 ±0,052 18 00 ±1 ,3
5 205,00 ±0,150 33 00 ±0 ,5 10 137,00 ±0,064 37 00 ±1 ,7
52. Определить среднюю квадратическую ошибку в превыше-
нии, полученном по формуле /z = stgy, если s = 250.00 м + 0,060 м
и v = + 4°30'+ О',7О.
Решение
1-й способ. Применяя формулу (1.13), находим
о 4 2 . s2 т% i со , 2,52-104-0,72
mh~ = №-----------±-----5— — tg 4 30 - 62 • 10 4 4-. „ --
h & ’ 1 cos4v p2 6 1 cos4 4 30 -p2
= 1(T4 (0,22 + 26,42) = 26,64 -10-4; mh = ± 5,2-10~2 = + 0,052 m.
2-й способ. Логарифмируя функцию, получим
In h = In s -4- In tg v.
Дифференцируем это выражение и заменяем дифференциалы
истинными ошибками
ДА___Д s Ду ____________Д 5
h s tg v cos2 v 5
2 Ду
sin2v ’
где
* Ы
Ду = —г
Р
Переходим к средним квадратическим ошибкам
откуда
т*=Ю,Т
1,4 X2
0,1564-3438 )
388 (5,8-10“8 + 676 - IO”8) = 3,88• 6,82 -10~4 = 26,46-10~4 -
mh = + 5,1 • 10~2 = + 0,051 м.
3-й способ. Вычисления приведены в табл. 20.
Таблиц а 20
Обозначе- ния величин Значения величин Изменения Средние квадрати- ческие ошибки Wl2lg
величин их лога- рифмов величин т их лога- рифмов mig
Jg S 2.39 794 1 м 173 0 ,06 л 10,4 108
1g tgv 8.89 598 Г 162 О',70 113,4 12860
lg/l h 1.29 392 4-19,68 0,01л 23 2 12968
= 12900=+! 14; 0,01: mh — 23:114;
1 14
mh = + -+Д- = + 0,0496 м.
Ответ: h = 19,68 м + 0,050 м.
53. В табл. 21 дано 10 вариантов длины линии s и угла накло-
на у. По одному из вариантов вычислить превышение h = s tgv +
+ i — v + f и его среднюю квадратическую ошибку, если
i '== 0,875 м + 0,0050 м, v = 2,980 м + 0,0080 м, f = 0 (для всех
вариантов).
Таблица 21
№ варианта s±ms, м
1 _ 187,95±0,50 —13°47',5±0',50
2 246,84±0,70 4-11 52 ,0±0 ,70
3 209,67±0 60 — 6 57 ,5±0 ,60
4 165,35±0,15 — 5 30 ,0±1 ,00
5 250,00±0,80 4-18 30 ,0±0 ,75
6 68,30±0,20 — 5 22 ,0±1 ,00
7 207,80±0,80 4-20 И ,5±1 ,50
8 167,40±0,60 —15 47 ,0±1 ,10
9 197 80±0,50 + 9 56 ,5±С ,90
10 225,85±0,24 —И 16 ,5±0 ,40
40
41
54. Найти относительную ошибку стороны полигонометрического
хода s, если средняя квадратическая ошибка логарифма стороны
znig s = +36 единицам 6-го знака логарифма.
Решение
Функция имеет вид
u = lgs,
а
И
Ни —М —, /и2 = Л42 —+ ,
s “ s1
откуда
tnu ms
М s
или
= (1.14)
s М 4 ’
где М = 0,4343.
Подставив численные значения, получим
ms_ 36-10-б_ 36.10-6 _ 1.10~3_ 1
s —0,434 434-10~3 12 — ± 12 000 ‘
55. Ниже дано 10 вариантов средней квадратической ошибки
десятичного логарифма стороны полигонометрического хода в еди-
ницах шестого знака логарифма. По одному из вариантов опреде-
лить относительную среднюю квадратическую ошибку той же сто-
роны: 1) +47; 2) +34; 3) +37; 4) +22; 5) +44; 6) +26;
7) +30; 8) +32; 9) +18; 10) +40.
56. Ниже дано 10 вариантов относительной средней квадрати-
ческой ошибки стороны теодолитного или полигонометрического
хода. Найти среднюю квадратическую ошибку десятичного лога-
рифма стороны для одного из этих вариантов:
± 10000 ’ 2) ±19бб; 3) ±ТббО; 4) ± 12 000 ’ 5) ±2200’
6) “2500’ 7) ~2700’ 8) ± 15 000 ’ 20 000 ’ 10^ ±3000 ’
42
57. В следующих функциях величины х, у, z получены с ошиб-
ками тх, Шу, tnz. Найти средние квадратические ошибки этих
функций (сохранив ошибки углов в радианной мере):
з /—
1) и = х3]'у ± х sin z\
3) U=s7^-l-lg(xz);
/У
5) zz = 4L- а3^х+г\
1 У
2) tt = -L_± + tg(4xz);
4) и = х2 у у — Sin —;
основание b + ть и
высота
58. В треугольнике измерены
h ± тн '• определить площадь треугольника и ее среднюю квадра-
тическую ошибку по одному из следующих 5 вариантов:
1) Ь— 24,02 м + 0,015 м
2) Ь = 40,10 „ ±0, 10 „
3) b = 176,82 „ + 0, 19 „
4 ) b = 197,54 „ ± 0, 23 „
5) Ь = 326,75 „ +0, 16 „
h = 12,01 м
h = 35,30 ,,
Л = 157,93 „
h = 169,52 „
h = 276,92 „
+ 0,0080 м
+ 0,10 „
+ 0,13 „
±0,17 „
+ 0,12 „
59. Требуется определить площадь квадрата Р размером около
1 га (рис. 6) со средней квадратической ошибкой тр = + 10 м2.
Рис. 6
С какой точностью нужно измерить для вычисления площади:
а) одну сторону а, б) две смежные стороны, в) диагональ d, что-
бы получить площадь участка с заданной точностью?
Решение
а) Логарифмируем функцию Р = а2
In Р = 2 In а.
Дифференцируем полученное выражение
ДР_ Д«
Р а
43
Переходим к средним квадратическим ошибкам
1
откуда
тР _ 9 та „ та _ 1 "Д
Р а а ~ 2 Р
Подставив численные значения, найдем
. 1 10 _ , 1
а ~~ 2 10000-— 2000'
б) P = ab, lnP = lna + ln£>, = ~ + ^,
у ’ ' ’ р а ' Ъ ’
Положив а — Ь и та — ть, получим
Р а '
откуда та_ 1 тр
а }/~2 Р
Подставив числовые данные, найдем
"Д = _1___Ю .. 1
а у 2 10000 1400 '
в) сР = 2а2 = 2Р,
откуда
Р^.
2
Далее
In Р= 2 In d — In 2;
ДР Ad ('тР\ тР md
~p-z~d’ \p)~\:~d) и ~p-2~d’
откуда
md__ 1 mP___1 10____1
~±T’ 10000 ~ ± 2000 ’
60. Горизонтальное проложение s определяют по
s = D cos v. С какой точностью должно быть измерено
формуле
наклонное
44
расстояние
„п быть
D и угол наклона v, если D 210 м, 10°, a s долж-
получено со средней квадратической ошибкой
tns == + 0,10 ж?
Решение
По формуле (1-13) имеем
/п 2 —- cos2 v т ‘2 £)2 s jn2 v-JL
* 1 р"
Применим принцип равных влияний, т. е. потребуем,
чтобы влияние ошибок измерений расстояния D и угла наклона v
на среднюю квадратическую ошибку ms было бы одного порядка.
Для этого должно быть, чтобы
cos2 v mls~ = D2 sin2 v —g- = ,
р~
откуда
„ 2 __ "V „ „2 = .
° 2 cos2 v 2 D~ sin2 v
Далее
D р'2-cosv j/2-coslO°
и
mD____ 0,072 ___1
D ~ ±-210~ ~ 3000 :
tn.o' , 0,10 p' „
= —z s—------= ± —^=—-— -------= ± o',6.
pA2-D-sinv у 2-210-sinl0°
61. Превышение h получено по формуле /z = stgv. С какой
точностью должно быть измерено расстояние s и угол наклона v,
если 1г требуется получить со средней квадратической ошибкой mh?
Значения величин s, v и mh даны в табл. 22.
Таблиц а 22
Варианты S, м V, * град. /И;г, СМ Варианты S, М V, град. СМ
1 120 6 ±3,0 6 225 9 ±4,0
2 150 7 ±3,0 7 100 4 ±1,0
3 200 5 ±2,0 8 250 6 ±4,0
4 140 10 ±2,0 9 130 3 ±1,0
5 175 8 ±3,0 10 240 7 ±4,0
45
§ 3. Обработка ряда равноточных измерений*
Обработка ведется в следующем порядке.
1. Находят вероятнейшее значение измеряемой величины. Таким
наиболее надежным значением является среднее арифметическое
х из результатов одинаково точных измерений
w
п
(1-15)
или
м
п ’
(1.16)
где Zo — приближенное значение измеряемой величины;
е; — остатки, вычисляемые как = Ц— Zo, i — 1, 2,. . . , n;
n — число измерений.
Среднее арифметическое округляют, оставляя на один десятич-
ный знак больше, чем у результатов измерений.
2. Вычисляют среднюю квадратическую ошибку отдельного из-
мерения по формуле Бесселя
пг = -\-
[§2]
п — 1
где 8, — вероятнейшие ошибки (флюктуации)
5, = х —Z,-.
(1.17)
(1-18)
Величины 6,- вычисляют с одним и тем же числом десятичных
знаков, причем берут столько десятичных знаков, чтобы наиболь-
шие из 8,- имели две значащие цифры, а если их значения начина
ются с цифры 1, то три значащие цифры.
Вероятнейшие ошибки обладают двумя свойствами:
[3] = 0
(1-19)
и
[82J = min.
(1-20)
Если при вычислении -Ш- допущена ошибка округления
---V* ____ у-
принятое '''точное’
(J.21)
* Учебник [20J, § 5—10, 17, 184.
46
т0 должно быть
[S] = n₽.
(1-22)
В этом случае контроль вычисления
[S2] = -[e3j
(1-23)
удовлетворится только приближенно. Обычно этот контроль и не
делают. Лучшую сходимость дает следующий контроль
[S3] = [e2]--^. (I 24)
3. Контролируют вычисление т по формуле Петерса
т = ± 1,25 -Ш _ .
«--о-
(1-25)
4. Вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметиче-
ской средины М по формуле
М =
т
]<п
(1-26)
5. Обычно величину т вычисляют по формуле (1.17) на основа-
нии ограниченного числа измерений, поэтому необходимо еще
определять ошибку самой ошибки
т
тт= =._ .
/2(п-1)
(1-27)
ЗАДАЧИ
62. По результатам измерения угла, приведенным в табл. 23,
найти вероятнейшее значение угла, средние квадратические ошиб-
ки одного измерения и арифметической средины.
Решение задачи выполним в двух вариантах (табл. 23 и 24).
В табл. 23 при вычислении квадратов вероятнейших ошибок возь-
мем два знака после запятой и произведем контроль (1.23).
Выполнять обработку результатов равноточных измерений реко-
мендуется по схеме табл. 24, в которой при вычислении S2 нет
лишних знаков и применяется более четкий контроль (1.24) вы-
числения суммы 52.
Результаты вычислений по обеим схемам совершенно одинаковы.
Ограничиваться вычислением [S]2 только по формуле (1.24) не
следует, так как не будет контроля основной операции — вычисле-
ния арифметической средины, а также величин 5 и остатков е.
47
Таблица 23
№ по пор. 1 е 8 82 еб
1 81°35'26" + 4" + 2",2 4,84 + 8,8
2 32 +ю — 3 ,8 14,44 — 38,0
3 24 + 2 + 4 ,2 17,64 + 8,4
4 28 + 6 + 0 ,2 0,04 + 1,2
5 33 +11 — 4 ,8 23,04 — 52,8
6 25 + з + 3 ,2 10,24 + 9,6
7 31 + 9 — 2 ,8 7,84 — 25,2
8 22 0 + 6 ,2 38,44 0
9 34 + 12 — 5 ,8 33,64 — 69,6
10 29 + 7 — 0 ,8 0,64 - 5,6
11 25 + з + 3 ,2 10,24 + 9,6
12 30 + 8 — 1 ,8 3,24 — 14,4
4 81°35'22" + 19 ,2 + 37,6
Н +6", 2 —19 ,8 —205,6
п
X 81°35'28",2 2+75" — 0,"6 164,28 -168,0
И =
П
75"
-jg- = + 6",25; ₽ = лпрннятое - д'тсчное = - 0",05;
[8] = л₽ = 12(—0",05) = —0",6; т = ±1/-^-^ =
164,3
12—1
= ±3",86
± 3",9;
тт
т _ +_________3",9___
j/ 2(n—1) ~ ~ 2(12 — 1)
= ± 0м,83;
М = ± -^=г = + 4+= = -+ 1" ,12.
/п ~/12
48
Как видим, вследствие ошибок округления контроль (1.23) ско-
пится весьма приближенно. Можно показать, что этот контроль
уточняется следующим образом:
[82] = —{[г5] — [е] р}.
В данном случае [е 8] — [е] 6 = — 168,0 — 75 (—0,05) = —164,25.
Полученное расхождение с [о2! на 0,03 объясняется приближен-
ностью контрольной формулы.
Второй вариант решения приведен в табл. 24.
№ по пор. 1 е В« 8 82
1 81°35'26" + 4" 16 + 2",2 4,8
2 32 +ю 100 — 3 ,8 14,4
3 24 + 2 4 + 4 ,2 17,6
4 28 + 6 36 + 0 ,2 0,0
5 33 \+П 121 — 4,8 23,0
6 25 + з 9 + 3 ,2 10,2
7 31 + 9 81 — 2 ,8 7,8
8 22 0 0 + 6 ,2 38,4
9 34 +12 144 - 5 ,8 33,6
10 29 + 7 49 - 0 ,8 0,6
11 25 + з 9 + 3 ,2 10,2
12 30 + 8 64 — 1 .8 3,2
10 81°35'22" +19",2
м +6", 2 —19", 8
п
X 81°35'28",2 +75" 633 — 0",6 163,8
[е]= п , 75" - и + 12 " + 6 ".25; ₽ = у •^принятое V* ^точное 0",05;
[5J: = и₽ = 12(— 0",05) = - 0",6; [82] = [+] - Г-- > L2=
= 633- 5625 1СЛ 12 ~164 ,25; т = 163,8 12-1 ~
= + 3",86 ~ + 3",9;
4 Г. А. Бурмистров
49
mrn
m _______3",9
jz 2(n —1) — — jz 2- (12- 1)
±0",83;
m _ + _3%9
]/"n~
±1",12.
Ответ x = 81°35'28",2±l",12.
63. При исследовании мерного прибора было произведено 12
измерений одной и той же линии. Результаты измерений (1-й вари-
ант) приведены в табл. 25. В табл. 26 дано еще 4 варианта значе-
ний результатов измерений.
Вычислить вероятнейшее значение, среднюю квадратическую и
относительную ошибки отдельного измерения и вероятнейшего зна-
чения из всех результатов по одному из вариантов.
Таблица 25 Таблица 26
№ по пор. /, м № Варианты результатов измерений, м
пор. 2 3 4 5
1 160,07 1 160,09 160,13 160,05 160,02
2 ,16 2 ,14 ,06 ,11 ,09
3 ,11 3 ,10 ,09 ,13 ,12
4 ,03 4 ,04 ,14 ,07 ,04
5 ,12 5 ,06 .07 ,01 ,10
6 ,04 6 ,16 ,03 ,09 ,16
7 ,14 7 ,09 ,11 ,16 ,05
8 ,07 8 ,07 ,08 ,05 ,07
9 ,13 9 ,11 ,07 ,00 ,08
10 ,09 10 ,03 ,12 ,12 ,03
11 ,15 11 ,03 ,12 ,12 ,03
12 ,00 12 ,05 ,09 ,08 .11
64. Измерение угла одним приемом дает среднюю квадратиче-
скую ошибку, равную +15". Какое минимальное число приемов
нужно сделать данным инструментом, чтобы получить среднюю
квадратическую ошибку окончательного результата М не более
+5", О?
65. Базис геометрической сети длиной 720 м был измерен 3 ра-
ва 20-метровой стальной лентой со средней квадратической ошиб-
кой одного отложения, равной +2 см. Определить среднюю квад-
ратическую и относительную ошибки вероятнейшего значения
базиса.
50
66. В табл. 27 даны результаты измерения угла 12 приемами
0-й вариант). В табл. 28 дано еще 4 варианта секунд результа-
тов измерений того же угла.
Найти вероятнейшее значение, среднюю квадратическую ошиб-
ку одного измерения и вероятнейшего значения угла по одному из
вариантов.
Таблица 27 Таблица 28
№ № Варианты секунд результатов измерений
ПО
пор. пор. 2 3 4 5
1 69°44'15",5 1 16", 1 17", 0 16",6 15", 1
2 16 ,4 2 15 ,3 16 ,4 16 ,2 17 ,0
3 15 ,6 3 16 ,8 15 ,6 15 ,4 16 ,3
4 17 ,0 4 16 ,5 15 ,9 17 ,1 15 ,6
5 16 ,3 5 15 ,9 17 ,3 15 ,8 16 ,7
6 18 ,7 6 17 ,2 15 ,2 17 ,4 17 ,6
7 17 ,3 7 15 ,7 16 ,5 15 ,3 16 ,1
8 17 ,5 8 17 ,8 16 ,9 17 ,9 15 ,8
9 17 ,1 9 15 ,5 17 ,7 15 ,3 16 ,9
10 15 ,7 10 15 ,0 16 ,6 16 ,1 15 ,5
И 17 ,0 И 16 ,4 17 ,2 17 ,3 16 ,6
12 15 ,3 12 15 ,2 15 ,7 15 ,9 16 ,2
67. Измерение угла одним приемом дает среднюю квадратиче-
скую ошибку . Какое минимальное число приемов при измере-
нии углов треугольника тем же инструментом нужно сделать для
того, чтобы невязка треугольника была не более f? Значения сред-
ней квадратической ошибки измерения угла и предельной не-
вязки в треугольнике /пр даются в табл. 29.
Таблица 29
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
±10" ±11" ±12" ±13" ±14" ±15" ±9",0 ±8", 6 ±7",0 ±16"
f пр ±5",0 ±4",0 ±5",0 ±6",0 ±7",0 ±7",0 ±8",0 ±12", 0 ±12",0 ±14",0
4*
51
68. При исследовании полярного планиметра было произведено 12 измерений площади участка. Результаты измерений приведены в табл. 30 (1-инвариант). В табл. 31 дано еще 4 варианта резуль- татов измерений. Вычислить вероятнейшее значение и его среднюю квадратическую ошибку, а также т и тт по одному из вариантов
Т а б л и ц а 30 Таблица 31
№ по 1, см2 № _ Варианты результатов измерений, см2
пор. пор. 2 3 4 1 5
1 41,0 1 40,5 41,3 40,3 41,6
2 41,1 2 41,2 40,8 40,7 40,8
3 40,8 3 41,4 40,9 40,6 40,5
4 41,0 4 41,5 41,0 40,4 40,2
5 40,5 5 40,5 40,6 41,6 40,7
6 40,9 6 40,4 40,8 41,5 41,2
7 40,4 7 40,7 40,4 41,3 41,4
8 41,0 8 40,9 40,2 41,5 40,0
9 41,2 9 40,6 40,1 41,2 41,3
10 40,6 10 40,3 40,7 41,4 40,7
11 40,7 11 41,0 41,4 40,3 41,2
12 41,3 12 41,7 41,6 40,9 40,0
69. Для определения длины рамки листа карты произведено
12 измерений женевской линейкой. В табл. 32 приведены результаты
Измерений (1-й вариант). В табл. 33 дано еще 4 варианта резуль-
татов измерений. Вычислить вероятнейшее значение, среднюю квад-
ратическую и относительную ошибки отдельного измерения и ве-
роятнейшего значения длины рамки по одному из вариантов.
52
Таблица 32 Таблица 33
~ № по пор- 1, см ат уг. )В № по пор. Варианты, см
2 3 4 5
— 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7( средг скую десят 28,184 ,174 ,180 ,172 ,176 ,178 ,178 ,172 ,170 ,180 ,174 ,176 ). Значение пою квадр ошибку и варианте 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 тла пс ическу! ia, изь значен 28,176 ,178 ,172 ,184 ,180 ,174 ,172 ,178 ,176 ,184 ,180 ,182 лучено как о ошибку 1еренного ий М и п. 28,170 ,174 ,178 ,182 ,180 ,182 ,180 ,170 ,176 ,172 ,178 ,176 среднее i М. Найти одним при приведенн 28,184 ,178 ,176 ,176 ,174 ,170 ,174 ,178 ,182 ,178 ,172 ,180 13 п прием среднюю г емом по ых в табл. Т а б. 28,182 ,176 ,170 ,174 ,172 ,184 ,176 ,180 ,178 ,174 ,172 ,178 ов и имеет свадратиче- одному из 34. । и ц а 34
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
п 10 7 11 8 12 9 6 5 16 10
м ±3",5р=2",5 ±3",0 ±4",0 ±2",0 ±2", 8- ±=3", 2 ±2", 2 ±1",5 ±1",7
§ 4. Задачи на весь раздел равноточных измерений
71. Определить среднюю квадратическую, вероятную, среднюю
и предельную ошибки значения синуса угла, взятого по логариф-
мической линейке в интервале 8—10°. Средняя квадратическая
ошибка вычисляется по истинным ошибкам. В качестве истинных
значений принимаются значения синусов углов из таблиц тригоно-
метрических функций, выбираемые с точностью до 1 • 10-s. Вычис-
ления произвести в единицах последнего десятичного знака, отсчи-
танного по логарифмической линейке (до 1 •10“'*).
53
Значения углов: 1) 8°03'; 2) 8°17'; 3) 8°21'; 4) 8°44'; 5) 8°58'-
6) 8°05'; 7) 9°01'; 8) 9°58'; 9) 9°14'; 10) 9°29'; 11) 9°33'; 12) 9°42;
72. Решить предыдущую задачу, взяв вместо синусов тангенсы
тех же углов.
73. В четырехугольнике измерены три угла со средними квад-
ратическими ошибками: mi — + 8",0; т2 = + 9",0; т3 = + 5",0.
Найти среднюю квадратическую ошибку четвертого угла, вычислен-
ного по первым трем.
74. Средняя квадратическая ошибка превышения, полученного
на одной станции геометрического нивелирования, равна +2,0 мм.
Определить среднюю квадратическую ошибку суммы превышений,
полученных на 45 станциях.
75. В замкнутом теодолитном полигоне измерены все 9 углов
со средней квадратической ошибкой, равной +20". Подсчитать
ожидаемую среднюю квадратическую величину угловой невязки
полигона.
76. Найти среднюю квадратическую ошибку отсчета I по даль-
номерным нитям для случаев, когда:
1) делаются отсчеты по верхней и нижней нитям Z = B— Н;
2) делаются отсчеты по верхней и средней нитям и разность
удваивается I — 2 (В — С);
3) отсчет получается как сумма двух разностей: верхняя нить
минус средняя и средняя нить минус нижняя I = (В — С) +
+ (С'-Н).
77. Угол а получен как среднее из четырех приемов со средней
квадратической ошибкой одного приема та = + 8",0, а угол р —
из девяти приемов со средней квадратической ошибкой одного при-
ема /Лр = + 9",0. Найти среднюю квадратическую ошибку суммы
углов а и (3.
78. Величины х и у измерены со средними квадратическими
ошибками тх и ту. Определить средние квадратические ошибки
следующих функций:
. х g^\ __ v \ 1 sin X
а) и = х ; б) и = ху; в) и = 1п ---.
' ' sin_y
79. Определить среднюю квадратическую ошибку отметки ко-
нечной точки хода геометрического нивелирования длиною в 16 км,
если отметка начальной точки имеет среднюю квадратическую
ошибку, равную + 18 мм, а превышение по ходу получено со сред-
ней квадратической ошибкой, равной +6,0 мм на 1 км.
80. Средняя квадратическая ошибка угла пу. = + 10". Найти
предельную ошибку суммы 25 углов.
81. Линия измерена пять раз. Средняя квадратическая ошибка
арифметической средины М = + 0,21 м. Найти среднюю квадрати-
ческую относительную ошибку одного измерения, если длина линии
s = 940,12 м.
54
82. Площадь многоугольника определялась разбивкой его на
местности на треугольники и трапеции. Средние квадратические
ошибки в площадях отдельных фигур получились следующие:
гП1 = + 10,5 м2; т2 = + 14,0 м2; т-з — + 9,6 ж2; = + 8,5 м2.
Найти среднюю квадратическую ошибку площади многоугольника.
83. Линия длиной s = 300 м измерена по частям стальной
20-метровой лентой, длина частей Si = 100 м и s2 = 200 м. Опре-
делить абсолютные и относительные средние квадратические ошиб-
ки каждой части и всей линии, если средняя квадратическая ошиб-
ка одного отложения ленты mt = + 0,02 м.
84. Определить среднюю квадратическую ошибку радиуса шара
Д — 10,0 м, если известно, что объем шара v, вычисленный по это-
му значению радиуса, ошибочен на «г„= + 1,57 м3.
85. В висячем ходе с п углами измерены все углы, каждый со
средней квадратической ошйбкой, равной . Найти средние квад-
ратические ошибки вычисленных дирекционных углов сторон хода,
если дирекционный угол начальной линии (а0) можно считать
практически безошибочным.
86. Средняя квадратическая ошибка превышения па одной стан-
ции, полученного как среднее из превышений при двух горизонтах
нивелира, равна +2,0 мм. Найти средние квадратические ошибки:
1) суммы превышений, полученных на 10 станциях, и 2) превыше-
ния, полученного на одной станции при одном горизонте инстру-
мента.
87. Линия х измерена по частям различными дальномерами:
первая часть — дальномером с коэффициентом С( = 200 и со сред-
ней квадратической ошибкой т, = + 0,70 см, вторая часть —
дальномером с коэффициентом С2=150 и /«, = +1,10 см, третья
часть — дальномером с коэффициентом Сз = 90 и — + 1,30 см.
Вычислить среднюю квадратическую ошибку длины всей линии s.
88. Подсчитать среднюю квадратическую ошибку отсчета по
одной нити для расстояния D = 175 м, определенного по дальноме-
ру с относительной ошибкой равной +Зод- Расчет сделать для
коэффициентов дальномеров С, = 100 и С2 = 200.
89. Цена деления планиметра С получена со средней квадрати-
ческой ошибкой тс, а отсчеты v, и vs по счетному механизму пла-
ниметра имеют средние квадратические ошибки соответственно
т} и т2.
Определить среднюю квадратическую ошибку в площади Р,
измеренной этим планиметром и вычисленной по формуле
P=C(v3-V]).
90. Для определения постоянных полярного планиметра начерчен
круг, в котором измерен диаметр масштабной линейкой. Получены
результаты: 1) 100,4; 2) 100,5; 3) 100,3; 4) 100,4; 5) 100,6 и
6) 100,2 мм. Вычислить среднюю квадратическую ошибку в площа-
ди круга и полукруга.
55
91. Средняя квадратическая ошибка непосредственного измере-
ния угла инструментом равна +30". Определить минимальное чис-
ло измерений, необходимое для получения результата со средней
квадратической ошибкой не более + 10".
92. Площадь квадрата Р = а2 = 2670 сж2 (рис. 6). С какой
средней квадратической ошибкой должна быть измерена сторона
а, чтобы обеспечить среднюю квадратическую ошибку вычисленно-
го значения площади квадрата равной +20 см>
93. Результаты измерения двух сторон и заключенного между
ними угла треугольника следующие:
а = 252,52 м +0,060 м; b = 300,01 м +0,060 м; С = 42° 13'00" +30".
Вычислить площадь треугольника и ее среднюю квадратическую
ошибку.
94. Найти среднюю квадратическую ошибку расстояния s,
определенного из параллактического звена по формуле
Z w
s = TctgT .
95. Для определения секундного расхода воды в реке по фор-
муле Q — VP измерены площадь живого сечения Р— 17,61 л2 +
+ 0,43 м2 и скорость воды V — 0,43 м/сек + 0,036 м/сек. Найти
Q и niQ.
96. Определить среднюю квадратическую ошибку в площади
трапеции, в которой измерены основания а = 80,20 м +0,15 м,
b = 59,30 м + 0,14 м и высота h = 61,40 м + 0,14 м.
97. Для определения высоты сигнала V измерены расстояние
s = 124,18 м + 0,030 м и зенитное расстояние z = 70°18'30" + 40".
Найти среднюю квадратическую ошибку измеренной части высоты
сигнала, вычисленной по формуле
и = s ctg z.
98. Вычислить среднюю квадратическую ошибку гипотенузы
прямоугольного треугольника, катеты которого измерены: b =
~ 104,16 м + 0,20 м и с = 96,50 м + 0,18 м.
99. Определить относительную среднюю квадратическую ошиб
ку стороны с треугольника, в котором измерены угол Д = 30°01' +
+ О',50, угол В = 60°02' + О',50 и противолежащая углу А сторо-
на а = 300 м + 0,10 м.
100. В треугольнике измерены сторона b = 418,42 м + 0,18 м и
углы, прилежащие к ней: А = 46°14',4 + О',70 и С = 52°11',6 + О',70.
Определить противолежащую углу А неприступную сторону а и ее
среднюю квадратическую ошибку.
101. Определить длину и среднюю квадратическую ошибку вы-
численного катета прямоугольного треугольника, в котором изме-
рены гипотенуза а = 224,26 м + 0,12 м и противолежащий катету
с угол С = 43°24'00" + 20".
102. Вычислить площадь квадрата и ее среднюю квадратиче-
скую ошибку, если сторона квадрата а = 167,50 м + 0,15 м.
56
103. В параллактическом звене, построенном по схеме проф.
В В. Данилова, измерены параллактические углы =
= 2°56'09",17 + 0",45, %> = 2°56'12",30 + 0",11 и базис Ъ =
= 23,9932 м + 0,020 мм. Вычислить расстояние s по формуле
s=4(c,gT+ctg?)
и его среднюю квадратическую ошибку.
104. Найти среднюю квадратическую ошибку определения цены
деления уровня по рейке, вычисленной по формуле
,, 206-Л
Т = --г----- ,
если h = 10 мм + 0,50 мм, s = 40,00 м + 0,010 м, п = 10 делений +
+ 0,10 деления.
105. В треугольнике АВС измерена сторона а = 126,140 м +
+ 0,040 м и прилежащие к ней углы В = 118°14'15",0 + 19",4 и
С = 23°26'42",0 + 19",4.
Вычислить длину стороны Ь, противолежащую углу В, и ее
среднюю квадратическую ошибку.
106. Фокусное расстояние объектива зрительной трубы / —
= 198 леи + 2,0 мм. С какой средней квадратической ошибкой
должно быть определено фокусное расстояние окуляра ср?«8 мм,
чтобы средняя квадратическая ошибка в определении увеличения
v была равна +1,0 мм?
107. Рассчитать, какую среднюю квадратическую ошибку мож-
но допустить при измерении сторон прямоугольника а 40 м и
b 15 м, чтобы вычислить его площадь со средней квадратической
ошибкой равной +4,0 м2.
а) по принципу равных влияний,
б) принимая та = ть т.
108. Вычислить горизонтальное проложение длины измеренной
линии s = D cos v и его среднюю квадратическую ошибку, если
D = 50,00 м + 0,05 м и v = + 15°00' + О',5.
Влияние какого источника ошибок преобладает в полученном
результате?
109. Определить среднюю квадратическую ошибку вычисленного
объема прямоугольного параллелепипеда, если ребра его а = 10,0 м,
Ъ = 4,0 м и с = 5,0 м измерены со средними квадратическими
ошибками та = ть = тс = + 0,060 м.
ПО. Даны 9 различных функций, в которых z есть результаты
равноточных измерений со средней квадратической ошибкой т.
Найти средние квадратические ошибки вычисленных функций:
57
1) u = 5z; 2) и ~zr — 4z2; 3) u=~z1 4- -~-z2;
“* О Z
Z1 ++ + ’ ’ ~^~Zn C\ Z1~\~Z2 |
4) И = -1- 2-r—-----~; 5) и = ] 2 2-+ z8;
6) zz = ziz2; 7)u=Z-^- 9) = 9)« = 4z1z2 + |.
111. Среднее значение угла из 6 приемов имеет среднюю квад-
ратическую ошибку, равную +4",0. Определить среднюю квадрати-
ческую ошибку вероятнейшего значения угла, полученного из 11
приемов при тех же условиях.
112. Результаты 12-кратного измерения угла следующие:
1) 79°43'36",2; 2) 32",8; 3) 37",8; 4) 42",2; 5) 36", 1; 6) 39",2;
7) 41",9; 8) 33",1; 9) 38",2; 10) 36",9; 11) 35",8; 12) 34",6.
Число градусов и минут при всех измерениях то же самое, что и
в первом приеме. Найти вероятнейшее значение угла, среднюю
квадратическую ошибку отдельного измерения и окончательного
результата.
113. При определении цены деления уровня по рейке перемеще-
ние пузырька составило 10 делений, расстояние до рейки s =
20,00 лг + 0,010 лг, ошибка разности отсчетов h по рейке, сделан-
ных при двух положениях пузырька уровня, тй=+1,5 мм.
Вычислить значение цены деления уровня и дать ответы на сле-
дующие вопросы:
1. Какую величину средней квадратической ошибки в определе-
нии цены деления уровня можно ожидать при этих условиях?
2. Какое среднее квадратическое расхождение с полученной
ценой деления можно ожидать при вторичном ее определении?
114. Длина стальной 20-тиметровой ленты определена на ком-
параторе со средней квадратической ошибкой, равной + 1,25 мм.
Найти среднюю квадратическую ошибку в длине линии s =
- 197,80 м, происходящую от ошибки компарирования этой ленты.
115. Для производства угловых измерений в полигонометрии
получено три теодолита. Первый теодолит дает результат со сред-
ней квадратической ошибкой измерения угла одним приемом, рав-
ной + 10", второй — с той же ошибкой, равной + 15", и третий —
с ошибкой, равной +20".
Определить какое минимальное число приемов нужно сделать
каждым теодолитом, чтобы обеспечить получение средней квадра-
тической ошибки вероятнейшего значения угла не более +5",0.
58
Глава II
НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
§ 5. Веса результатов измерений*
При неравноточных измерениях необходимо учитывать в про-
цессе обработки достоинство каждого результата в смысле близо-
сти его к точному значению измеренной величины. Достоинство
результата измерения можно характеризовать числом, называемым
весом этого результата.
Веса устанавливают или в зависимости от условий измерения,
или пользуясь следующим основным определением веса.
Вес — это величина, обратно пропорциональ-
ная квадрату средней квадратической ошибки
результата данного измерения.
Здесь с — произвольное число, но одно и то же при сравнении
точности величин.
Чем надежнее результат измерения 1ц тем меньше средняя
квадратическая ошибка щ,- и, как видим из (ПЛ), тем больше его
вес Pj. Вес выражает как бы меру надежности, приписываемую
при обработке данному результату по сравнению с другими ре-
зультатами. Значение с выбирают так, чтобы веса получались в
десятых и сотых долях единицы. Для числового выражения веса
достаточно две значащие цифры; если первая из них единица, то
можно брать и три значащих цифры.
Выбирая значение с, тем самым выбирают и |i—значение
средней квадратической ошибки измерения, вес которого равен
единице
(П.2)
Для краткости говорят, что р — это ошибка единицы веса. Из
произвольности выбора с или р следует, что веса — величины от-
носительные. Все веса одновременно можно увеличивать или умень-
шать в любое число раз.
Из основного определения веса получается как следствие и
второе определение (см. ниже), которое дает возможность находить
веса без знания средних квадратических ошибок измерений.
ЗАДАЧИ
116. Вес арифметической средины, полученной из п равноточ-
ных измерений, равен Р, а вес одного равноточного измерения ра-
р = + | с.
Учебник [20], § 22—24.
59
вен р. Пользуясь определением веса, найтн зависимость между
Р и р.
Решение
Р от2 т?
р М- / т \2
\1гп)
то есть вес арифметической средины больше веса одного измерения
в п раз. Так как при р = 1 имеем Р = п, то существует второе
определение веса. Весом данного результата изме-
рения называется число, показывающее, сколь-
ко равноточных измерений некоторой опреде-
ленной точности нужно сделать, чтобы среднее
арифметическое из них имело такую же точ-
ность, как и данный результат.
117. Найти веса отметок реперов, полученных из геометрическо-
го нивелирования, по их средним квадратическим ошибкам mi =
= + 5,0 мм и т2 = + 10,0 ЛШ-
Решение задачи можно выполнить двумя способами:
п п 100 Л 100 ,
1) Примем с =100, тогда = — =4; р2= ™ = 1.
2) — ——0—4
’ р2 25 4‘
Приняв, например р2=1, получим р\ = 4. Вообще же здесь
для одного из весов можно принять любое число.
118. Угол получен как разность двух равноточных направлений.
Найти вес направления, приняв вес угла равным единице.
119. Вес суммы углов и-угольника принят за единицу. Опреде-
лить вес одного угла р.
120. Общая площадь участка состоит из пяти частей, измерен-
ных планиметром с одинаковой точностью. Вес всей площади
Pv = 0,25. Найти вес одной части всей площади.
121. Измерение со средней квадратической ошибкой т имеет
вес р. Определить среднюю квадратическую ошибку р. измерения
с весом, равным единице.
Решение
т~ 1 ’
или
р2
р = ^2. (П.3)
откуда
Р = т. у/'р. (II. 4)
60
122. Вес угла равен 9. Найти среднюю квадратическую ошибку
этого угла, если ошибка единицы веса р = + 15".
123. В треугольнике один угол измерен 9 раз со средней квад-
ратической ошибкой одного измерения, равной +9",1; второй угол
измерен 4 раза со средней квадратической ошибкой одного измере-
ния, равной +8",0. Вычислить средние квадратические ошибки и
веса окончательных значений всех трех углов треугольника.
Решение
Находим средние квадратические ошибки арифметических
средин
9" 1 8"0
Ж1= + -=^=+3",0; = Н--==- = +4",0;
У 9 “ 1л4
м3=± V /и;2 + /и.;2 = ± 5",о.
Теперь по формуле (II. 1) можно найти веса; учитывая значения
М, целесообразно взять с — 10. Тогда
10 , 1, 10 10 _ ._
P1 = -Q= 1,11; p2 = ig = o,625; Рз=25 = °>40.
124. По условиям предыдущей задачи найти веса всех углов,
приняв в качестве средней квадратической ошибки единицы веса
р. среднюю квадратическую ошибку одного измерения второго угла.
Решение
По формуле (II. 1) находим
64 _64_._ _64__.
Pi— “д'—7,1Х, р2—jg — 4,Оо; ps — gg — 2,о6 ~ 2,6.
Проверьте, что
1,11 0,625 _ 0,40
7,11 — 4,00 — 2,56 ’
Указание. Поставьте ВЛБ на 1,11 D; 7,11 С на ВЛБ; ВЛБ на
ПИ; ЛИ на ВЛБ; ВЛБ на 625 D и одновременно на 4 С; ВЛБ на
0,4 D и одновременно на 2,56 С.
125. Вычислить среднюю квадратическую ошибку единицы веса,
если средняя квадратическая ошибка результата измерения угла
т, а вес результата р. Численный ответ дать по одному из вариан-
тов значений т и р, приведенных в табл. 35.
Таблица 35
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
т ±2",1 ±3",1 ±4",1 ±3",6 ±2", 6 ±4", 6 ±1",7 =Ы",2 ±5",1 ±6", 1
р 12 6 5 7 8 4 13 15 3 2
61
126. Угол измерен п приемами теодолитом. Направление, изме-
ренное этим теодолитом при двух положениях трубы (при КЛ и
Л'Л), имеет среднюю квадратическую ошибку т. Какой вес имеет
полученный результат, если средняя квадратическая ошибка едини-
цы веса у.? Численный ответ дать по одному из вариантов значе-
ний п, т и р, приведенных в табл. 36.
Таблица 36
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
п 3 10 5 6 7 8 9 10 11 12
т ±4", 9 ±5",0 ±3",0 =1=5", 2 ±5", 6 ±4",0 ±7",0 ±6", 7 ±8", 2 ±4", 9
=1=4", 0 ±1",0 ±1'-9 ±3",0 ±3",0 ±2",0 ±3",3 ±3",0 ±3",5 ±2", 0
127. Два угла измерены разными инструментами. Веса резуль-
татов оказались рь р2.
Найти средние квадратические ошибки результатов измерения
угла mi и т2, если средняя квадратическая ошибка единицы веса р.
Численный ответ дать по одному из вариантов значений pi, р2
и р, приведенных в табл. 37.
Таблица 37
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Р1 2 3 4 9 5 10 3 7 5 4
Р2 4 7 6 4 2 16 5 11 7 10
И ±4",0 ±4",0 ±5",1 16 ьо ±10" ,0 ±6",1 ±7",0 ±8",0 ±9", 2 ±12"
128. Угол со средней квадратической ошибкой т = + 4",5
имеет вес 1. Сколько приемов нужно сделать инструментом, даю-
щим результат со средней квадратической ошибкой одного измере-
ния т — + 11",2, чтобы получить такой же вес?
§ 6. Обработка ряда неравноточных измерений*
Первая задача обработки результатов измерений — найти веро-
ятнейшее значение измерявшейся величины. При неравноточных
Учебник ’20], § 23, 25—28, 30.
62
измерениях для этого служит формула общей арифметической
средины (11.5)
или
Х='° + Ж' ("'6)
Здесь /о — приближенное значение измерявшейся величины,
е — остаток, е,- = /,• — /0.
Величина х называется также весовым средним, х вычисляют
с одним дополнительным десятичным знаком, по сравнению с ре-
зультатами измерений. Значения же вероятнейших ошибок 5 нахо-
дят в основном с двумя значащими цифрами.
Вторая задача обработки результатов измерений состоит в оцен-
ке их точности, т. е. в данном случае в определении средней квад-
ратической ошибки единицы веса по формуле
<IL7>
и средней квадратической ошибки общей арифметической средины
по формуле
/И (П.8)
V [р]
Обычно величину р. вычисляют по формуле (11.7) на основании
ограниченного числа измерений, поэтому необходимо еще опреде-
лять ошибку самой ошибки
Вычисления контролируют, пользуясь первым обобщенным
свойством вероятнейших ошибок
[pS] = O. (11.10)
Если при вычислении имеется ошибка округления
Р ^-принятое “^точное >
то должно быть
[р8] = [р]₽. (П.11)
В этом случае контроль вычисления [pS2]
[p82]=-[peS] (11.12)
63
удовлетворится только приближенно. Обычно этот контроль опуска-
ют. Лучшую сходимость дает следующий контроль
[р о2] = [р е2] - М- • (П. 13)
Если известны истинные ошибки, то для оценки точности при-
меняют формулы
(11.14)
М = ±]/
(11.15)
Обычно величину р вычисляют по формуле (П.14) на основа-
нии ограниченного числа измерений, поэтому необходимо еще
определять ошибку самой ошибки
|/2л
(11.16)
При достаточно большом числе измерений применяется конт-
рольная формула
(П.17)
При обработке ряда неравноточных измерений следует разли-
чать два случая.
Первый случай.
Даны результаты измерений /,• и их средние квадратические
ошибки ш,.
Порядок обработки в этом случае будет следующий:
1. Определяют веса измерений по формуле (II.1).
2. Вычисляют весовое среднее по формуле (11.6).
3. Если mi даны, то, следовательно, полевые измерения уже
оценены. Обычно находят еще среднюю квадратическую ошибку
единицы веса р по формулам (II.7) или (11.14) и (II.2). При до-
статочно большом п оба значения р должны быть близки друг к
другу, в противном случае можно предположить присутствие систе-
матических ошибок в обрабатываемом ряду. Вычисляют по
формуле (II.9) или (11.16).
4. Находят среднюю квадратическую ошибку общей арифмети-
ческой средины по формуле (II.8).
64
ЗАДАЧИ
129. Отметка узлового репера получена по шести ходам. Опре-
делить вероятнейшее значение отметки по приведенным в табл.
38 данным и произвести оценку точности.
Указание. Веса быстрее всего вычисляются на логарифмиче-
ской линейке. Совместив шкалы движка и линейки, ставят визир-
ную линию бегунка последовательно на значения тн, отсчитывае-
мые по обратной шкале; значения весов читают по шкале квадра-
тов А. Например, устанавливаем ВЛБ на 6,3/?; ответ: 0,25 Л.
Если числитель с в формуле (II.1) не равен 1, 10, 100 и т. д.,
а равен, например, 25, то сначала совмещают правый или левый
индекс движка с 25 Л, а затем вычисляют в том же порядке.
Таблица 38
№ ходов И, м мм ю 8, мм Ре 5, мм Ps, ММ р S2 (pe)S
1 271,729 ±6,3 0,25 +12 3,00 — 1,3 -0,33 0,43 — 3,90
2 ,722 8,4 0,14 + 5 0,70 + 5,7 +0,80 4,56 + 3,99
3 ,717 9,1 0,12 0 0 +10,7 +1,28 13,70 0
4 ,732 4,3 0,54 +15 8,10 — 4,3 —2,32 9,98 —34,83
5 ,730 5,2 0,37 +13 4,81 — 2,3 —0,85 1,96 —11,06
6 . ,720 7,5 0,18 + з 0,54 + 7,7 +1,39 10,70 + 4,16
А) 271,717 +3,47 + 8,15
[РЕ1 |р] +10,7 —3,50 —49,79
X 271,7277 2 1,60 17,15 —0,03 41,33 —41,64
[ре] _ + 17Д5
[р]
| gg [j "^принятое "^точное
= — 0,01875 = — 0,02 мм;
[р] р = — 0,03 мм.
Как видим,
сходится весьма
уточняется следующим образом:
вследствие ошибок округления контроль (11.12}
приближенно. Можно показать, что этот контроль
[ро2] = — {[ре£]-[ре]₽}.
5 Г., А. Бурмистров
65
В данном случае 2-й и 3-й члены последнего равенства будут
— 41,64 — 17,15 (—0,01875) = — 41,32.
Более рациональная схема вычислений дана в табл. 39, по кото-
рой и рекомендуется вести вычисления. Здесь применен более чет-
кий контроль (11.13) вычисления [рВ2], а при получении рВ2 нет
лишних знаков. Ограничиваться вычислением [р В2] только по фор-
муле (11.13) не следует, так как не будет контроля основной
операции — вычисления весового среднего, а также величин В и
остатков е.
Таблица 39
№ ходов И, м тН> мм Р- 10 8, ММ Р£, мм р е2 д, мм Р8, ММ р82
1 271,729 ±6,3 0,25 +12 3,00 36,0 — 1,3 —0,33 0,4
2 ,722 8,4 0,14 + 5 0,70 3,5 + 5,7 +0,80 4,6
3 ,717 9,1 0,12 0 0 0 +10,7 +1,28 13,7
4 ,732 4,3 0,54 + 15 8,10 121,5 — 4,3 —2,32 10,0
5 ,730 5,2 0,37 +13 4,81 62,5 — 2,3 —0,85 2,0
6 ,720 7,5 0,18 + з 0,54 1,6 ± 7,7 +1,39 10,7
А) Гре] Гр] X 271,717 + Ю,7 271,7277 1,60 17,15 221,1 ±3,47 -3,50 —0,03 41,4
10,72, р -^принятое '^'точное— 0,02 ЛМ/*
[ре] _ 17,15
[Р] ~ 1,60
При шести ходах сходимость значений р. удовлетворительна
Л4 = ^=
В [р]
2 9
Н— ' = +- 2,3 мм.
1,6 ~
Ответ: х = 271,7277 лг + 2,3
130. В табл. 40 дано 10 вариантов средних квадратических
ошибок отметки узлового репера, полученной по шести ходам. Зна-
чения отметок берутся из табл. 39. По одному варианту вычислить
вероятнейшее значение отметки репера, средние квадратические
ошибки единицы веса и окончательного результата.
Таблица 40
Варианты Средние квадратические ошибки по ходам
1 2 3 4 5 6
1 ±5,7 ±7,3 ±8,4 ±4,9 ±3,7 ±6,1
2 5,3 7,1 7,9 4,5 3,5 6,4
3 4,9 7,8 6,7 4,3 3,1 6,7
4 4,6 7,5 5,8 4,1 2,9 6,9
5 4,4 7,0 6,3 4,7 2,7 5,8
6 4,2 7,2 6,5 4,4 2,5 5,6
7 4,8 7,4 8,2 4,6 2,3 6,3
8 5,2 8,1 6,4 5,1 3,6 4,5
9 5,4 8,3 6,2 5,3 3,4 4,0
10 5,6 8,5 6,9 4,0 2,2 3,9
[р] ₽ = - 0,03 мм- [р В2] = [р е2] - -И- = 225,1 - = 41,3;
Н = ±1/ ^Ц- = ±1/^Ц- = + 2,9лглг;
у п — 1 |/ 6— 1 ~
Pi — + JГ с — +: 1 10 = ± 3,2 мм.
131. Площадь участка определена шесть раз различными меха-
ническими приборами. Получены следующие результаты:
1) 70,3 сж2+ 0,20 см? 2) 70,8 см2 +0,40 см2
3) 70,5 „ +0,30 „ 4) 70,7 „ +0,50 „
5) 70,4 „ +0,60 „ 6) 70,6 „ +0,25 „
Найти вероятнейшее значение площади, средние квадратические
ошибки единицы веса и окончательного результата.
5*
67
66
Решение
Примем за единицу вес пятого результата и установим веса
остальных результатов, пользуясь соотношением веса и средней
квадратической ошибки •
р1_0,36_ Р2_0,36_ Рз_0,36_
р5 ~0,04~У’ ’ р5~ 0,16 ’ ’ ръ~ 0,09 ,и’
р, 0,36 р6 0,36 _ _ _ о
ft=W = ,'44; ft W=6'°- ОткУдал=9-0’ Р-‘=2-2-
Рз = 4>°; Р4=1>44; ре — 6,о.
Дальнейшие вычисления приведены в табл. 41.
Таблица 41
№ по пор. 1, см2 Р е, см2 рз,см2 р е2 S, см2 р ?, CJU2 рЪ2
1 70,3 9,0 0 0 0 +0,18 +1,62 0,29
2 ,8 2,2 +0,5 1,10 0,55 —0,32 —0,70 0,22
3 .5 4,0 +0,2 0,80 0,16 —0,02 —0,08 0
4 ,7 1,4 +0,4 0,56 0,22 —0,22 —0,31 0,07
5 ,4 1,0 +0,1 0,10 0,01 +0,08 +0,08 0,01
6 ,6 6,0 +0,3 1,80 0,54 —0,12 —0,72 0,09
70,3 +1,70
1р£] [рГ +0,18 —1,81
X 70,48 2 23,6 4,36 1,48 —0,11 0,68
W = +4& = + °’185’ ₽ = — °,005см2; [р]₽ = - 0,011 см2;
1Р1 Zo,v)
[р В2] = [р в2] - И- = 1,48 - = 0,68;
ц = ±|/ ~- = ±0,37^;
л 47 Г) 47
= +- 0,12 см2; М — +- - +1= = +- 0,076 см2.
|Л10 ~ J 23,6
Ответ: 70,48 см2 + 0,076 см2.
68
132. В табл. 42 дано 10 вариантов средних квадратических
ошибок площади участка, определенной шесть раз различными
механическими приборами. Значения площадей берутся из табл. 41.
По одному из вариантов вычислить вероятнейшее значение площа-
ди, средние квадратические ошибки единицы веса и окончательного
результата.
Таблица 42
К S Приборы
1 2 3 4 5 6
КЗ СС Средние квадратические ошибки результатов, см2
1 ±0,15 ±0,25 ±0,55 ±0,35 ±0,45 ±0,20
2 0,30 0,27 0,62 0,37 0,47 0,22
3 0,18 0,31 0,58 0,41 0,51 0,26
4 0,21 0,33 0,63 0,44 0,55 0,29
5 0,24 0,35 0,65 0,47 0,32 0,17
6 0,11 0,28 0,64 0,31 0,52 0,23
7 0,13 0,33 0,57 0,47 0,26 0,39
8 0,27 0,41 0,55 0,34 0,47 0,38
9 0,22 0,32 0,57 0,38 0,53 0,27
10 0,19 0,29 0,48 0,37 0,56 0,31
10 рядов.
приборов
получено
133. При исследовании мерных
измерений одного и того же базиса. По приведенным в табл. 43
результатам определить вероятнейшее значение длины базиса,
средние квадратические ошибки единицы веса и окончательного ре-
зультата. В табл. 44 дано еще 9 вариантов средних квадратических
ошибок рядов измерений.
Таблица 43
№ по пор. X, м М, мм № по пор. X, м М, мм
I 480,132 ±44 6 480,113 ±79
2 ,121 62 7 ,118 66
3 ,144 53 8 ,124 41
4 ,127 35 9 ,134 48
5 ,136 51 10 ,129 37
69
основную формулу веса (П.З) и под-
средней квадратической ошибки изме-
Н2 V-2
Второй случай.
Обработка результатов неравноточных измерений во втором
случае отличается от первого тем, что средние квадратические
ошибки результатов измерений m неизвестны, но имеются другие
данные для вычисления весов.
Порядок обработки будет следующий:
1. В зависимости от условий измерений устанавливают веса их
результатов.
2. Вычисляют весовое среднее по формуле (П.6).
3. Находят среднюю квадратическую ошибку единицы веса р.
по формуле (П.7) или (П.14). Вычисляют по формуле (П.9)
или (II.16).
4. Определяют среднюю квадратическую ошибку общей ариф-
метической средины по формуле (П.8).
При обработке результатов угловых измерений веса устанавли-
ваются по числу измерений, из которых выведено данное значение
угла. Единица веса при этом будет относиться к одному измерению.
Данное правило основывается на втором определении веса.
При обработке результатов линейных измерений веса часто
устанавливают обратно пропорционально длинам линий s, выра-
женным в метрах. Возьмем
ставим вместо т, значение
рения линии
р,- ——-Q------, 111.101
^•2 (pj/s,.)2
откуда
Если при этом s взято в метрах, то по формуле (П.7) будет
сразу получаться коэффициент случайного влияния р. (средняя
квадратическая ошибка, приходящаяся на 1 м длины измеренной
линии).
Иногда равным единице целесообразнее взять вес результата
измерения линии длиною k метров (или, например, k сотен метров).
Тогда
Ил — И (11.20)
Подставив правую часть равенства (П.20) в числитель форму-
лы (П.18), получим
h
= (П.21)
Значение k подбирается так, чтобы веса численно получались
в десятых и сотых долях единицы. Величина s выражается в тех
же единицах длины, в которых решено взять k, например в метрах,
в сотнях метров или в километрах.
72
Аналогично можно показать, что при обработке результатов
геометрического нивелирования следует пользоваться формулами
Р/ = ^, (11.22)
где Lj — число километров хода.
Если же за единицу веса целесообразно взять вес превышения
по нивелирному ходу длиною k км, то применяются формулы
Pf = p. (П.23)
При крупномасштабных съемках часто пользуются не длиной
хода в километрах, а числом станций п хода. Тогда формулы
(11.22), (П.23) для определения веса примут вид*
± (11.24)
(11.25)
ЗАДАЧИ
136. По приведенным в табл. 47 результатам измерения угла
определить вероятнейшее значение угла, средние квадратические
ошибки каждого результата и окончательного вывода.
Т а б л и ц а 47
№ по пор. 1 Число прие- мов k Р— 3 1 Е Ре ре2 В Р8 pS2 =3. 1 S 1 Vp 1
I 76°32'16" 6 2 4-10" 4-20" 200 —6" —12" 72 =±=3 ".6
2 9 18 6 + 3 4-18 54 +1 + 6 6 =t=2 ,i
3 6 3 1 0 0 0 +4 + 4 16 =J=5 ,i
4 10 15 5 4- 4 4-20 80 0 0 0 ±2 .3
5 13 6 *2 4- 7 +14 98 —3 — 6 18 -J=3 ,6
6 8 12 4 4- 2 + 8 16 +2 4- 8 16 =1=2 ,5
^0 76°32'06" +18
1р£1 4-4" .0 —18
[р]
X 76°32'1О".О X 20 1 4-80" 448 0 128
* Дополнительные сведения по установлению весов для различных случаев
практики даются в § 12.
73
₽ = 0; М = [,.Ч_1^ =
==448-'^’=128: ^ = ±j/^ = ±5",l;
5" 1 5" 1
т^ = ±-~ = ± 1",6; /И = + Л= = + 1" ,14.
V Ю — | 20 ~
Ответ, х == 76°32'10",0 + 1", 14.
Замечание. В данном случае целесообразно для упрощения
вычислений взять за веса числа приемов, уменьшенные в 3 раза.
Ошибки т, вычисленные в последнем столбце, представляют
собой средние квадратические ошибки соответствующего резуль-
тата I.
137. В табл. 48 приведены результаты шести измерений угла,
причем каждый результат получен как среднее из нескольких
приемов. Определить (по одному варианту) вероятнейшее значение
угла, средние квадратические ошибки каждого результата и окон-
чательного вывода.
ницы веса, б) превышения на одной станции, в) на 1 км хода и
г) вероятнейшего значения.
Таблица 49
№ ходов Отметки, м Число станций
1 174,376 65
2 ,370 72
3 ,365 47
4 ,368 84
5 ,362 50
6 ,371 55
139. Решить предыдущую задачу, взяв число станций по одно-
му из приведенных в табл. 50 вариантов.
Таблица 48 Таблица 50
S Ваиианты Варианты Число станций в нивелирных ходах
<и 5 6
<и / 1 2 3 5 10 1 2 3 4
S со 4 6 7 8 9 43 45 50
g. число приемов п 1 59 65 /о
2 52 58 38 67 40 44
1 64'27'33" 4 3 5 2 3 4 5 3 4 2 3 47 52 34 61 36 40
4 44 49 32 57 34 37
2 26 12 9 13 6 8 11 12 7 10 5 5 41 45 30 53 32 35
3 22 2 3 4 3 5 10 13 8 9 6 6 69 76 50 89 53 58
7 55 *61 40 71 42 47
4 30 10 8 2 6 9 12 8 4 10 5 8 37 41 27 48 28 31
5 32 4 3 5 4 2 11 9 5 12 4 9 57 63 41 74 44 48
10 35 39 25 45 27 30
6 25 8 6 4 2 7 13 8 6 И 5
138. Шесть нивелирных ходов сходятся к узловой точке. По
приведенным в табл. 49 данным определить вероятнейшее значение
отметки узловой точки и средние квадратические ошибки: а) еди-
140. Произвести оценку точности нивелирных работ по невяз-
кам, приведенным в табл. 51, в 11 полигонах. Найти средние
квадратические ошибки превышений на одной станции и на 1 км
хода.
74
75
Таблиц а 51
№ полигонов Невязки, мм Число станций
1 — 7,5 54
2 — 8,5 67
3 + 3,9 87
4 + 5,7 118
5 —14,1 200
6 — 5,0 87
7 + 8,2 136
8 + 3,7 108
9 - 4,6 140
10 '+ 6,4 60
11 + 9,7 75
141. Решить предыдущую задачу, взяв число станций по одно
му из приведенных в табл. 52 вариантов.
Таблица 52
№ полигонов Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Число станций
1 45 41 47 49 52 57 61 65 35 39
2 56 51 58 61 65 71 76 81 43 48
3 72 66 76 79 84 92 98 105 56 63
4 98 90 103 107 114 125 133 142 76 85
5 167 152 174 181 193 211 226 241 130 145
6 72 66 76 79 84 92 98 105 56 63
7 113 103 118 123 13] 144 154 164 88 98
8 90 68 94 98 104 114 122 130 70 78
9 117 106 122 127 135 148 158 169 91 101
10 50 46 52 54 58 63 68 72 39 43
П 63 57 65 68 72 79 85 90 49 54
76
142. Дано W угловых невязок f замкнутых теодолитных поли
гонов. Определить по невязкам в сумме углов N полигонов сред
нюю квадратическую ошибку измерения одного угла.
Решение
Пусть р. — средняя квадратическая ошибка измерения одного
угла. Тогда средняя квадратическая ошибка т суммы п углов будет
т = р. j/n.
Если взять за единицу вес одного угла, то вес р суммы п углов
будет
Р _ Р-2 __ 1
1 р.2п п ’
откуда
Пользуясь этим соотношением и рассматривая угловые невязки
полигонов как истинные ошибки сумм, найдем по формуле (11.14).
(П.26)
143. По приведенным в табл. 53 угловым невязкам 12 полиго-
нов найти среднюю квадратическую ошибку измерения одного угла.
Таблица 53
№ полигонов Число углов п Невязки f /2 fL п
1 9 +1',00 1,000 0,111
2 6 —0 ,25 0,062 0,010
3 7 +0 ,50 0,250 0,036
4 10 Н-2 ,75 7,562 0,756
5 * 13 —2 ,50 6,250 0,481
6 8 -0 ,75 0,562 0,070
7 11 +1 ,75 3,062 0,278
8 8 —2 ,25 5,062 0,633
9 10 +1 ,25 1,562 0,156
10 7 —0 ,25 0,062 0,009
И 9 —2 ,00 4,000 0,444
12 12 +1 ,75 3,062 0,255
3,239
144. По приведенным в табл. 54 угловым невязкам 12 полиго-
нов найти среднюю квадратическую ошибку измерения одного
угла по одному из данных 10 вариантов числа углов п и невязок /.
145. К узловому реперу сходятся п нивелирных ходов. По каж-
дому ходу получено: отметка длина хода Л, км, средняя квад-
ратическая ошибка на 1 км хода mt мм (z = 1, 2,..., п).
Найти вероятнейшее значение отметки узлового репера и ее
среднюю квадратическую ошибку.
Решение
Определим средние квадратические ошибки и веса отметок узло
вого репера, полученных по каждому ходу,
тн. = т1
с
Ч И Р, = ~ъ7~
Тогда вероятнейшее значение отметки узлового репера найдем
по формуле
х—н +
о+ 1р] ’
где Но — приближенное значение отметки -узлового репера, а
ег=Ц.-Я0.
Средняя квадратическая ошибка единицы весар.=+|/ j •
Ошибка самой ошибки — Средняя квадратическая
ошибка весового среднего М = р. у у .
146. Дать численное решение предыдущей задачи по одному из
следующих вариантов, приведенных в табл. 55. Отметки Ht одина-
ковы для всех вариантов, Д- даны в километрах, a mt—в милли-
метрах.
78
Варианты
79
§ 7. Веса функций независимых (измеренных) величин*
Все формулы оценки точности функций измеренных величин,
данные в § 2, легко приводятся к формулам весов тех же функ-
ций при помощи основного соотношения (11.3)
I. Для функции и = kx
имеем
(П-27)
ИЛИ
Величина ~ называется обратным весом.
II. Для функции u = x +
имеем
Ри Рх +РУ ‘
В частном елучае, когда рх = ру — р,
р =Р-
III. Для функции w = x + z/ + --- + w
JL=_L. ±. А-
Ри Pl Р2 Грп'
Если pt = р2 = ... == рп = р, то
(11.28)
(11.29)
(11.30)
(И.31)
(11.32)
IV. Для линейной функции и = kxx + k2y + . .. -\-kn w
— = — -|- /г22 —- -f- . . + /г 2— . (II.33)
Pu Pi 2 P2 Pr, V ’
N. Для функции общего вида и = / (х, у,. .., w)
_L=. rdL\2 ± . Y J_
ри ) рх +\ду) ру \^dw) pw
(11.34)
Учебник [20], § 29, 30.
80
ЗАДАЧИ
147. Вес угла р — 9.
Определить вес утроенного значения угла.
Решение
По формуле (11.28) находим вес утроенного значения угла.
Этот вес будет равен 1.
148. В треугольнике один угол измерен тремя приемами, вто-
рой — двумя. Найти вес третьего угла, полученного вычислением,
если за единицу принят вес измерения угла одним приемом.
Решение
Вес первого угла равен 3, вес второго — 2. По формуле (11.29)
находим
1 _ 1 , 1 _ 5 . о
р3 ~ 3 + 2 — 6 ’ рз —
149. В треугольнике измерены три угла с весами pi — 2, рг = 3
и р3 = 6. Определить вес суммы углов треугольника.
Решение
По формуле (П.31) находим
1 _ 1 , 1 , 1 ,
ра 2 + 3 + 6 lj Ри
150. Найти вес функции и=ф pl, если вес измерения I равен р.
Решение
По формуле (П.27) находим
2_=0Л7)2±=1.
Ри Р
Следовательно, всякое измеренное значение, помноженное на
корень из своего веса, дает результат с весом, равным единице.
151. В треугольнике один угол измерен с весом 3, второй—;с
весом 6. Определить вес третьего угла, полученного вычислением,
по результатам измерения первых двух углов.
152. Определить вес одного угла в шестиугольнике, если веса
всех углов одинаковы, а вес суммы углов равен 2.
153. Площадь многоугольника определялась разбивкой его на
местности на треугольники и трапеции. Веса площадей отдельных
фигур получились следующие:
Pi = 4, р2 = 2, р3 = 3, р4= 6.
Определить вес площади многоугольника.
с
° г. А. Бурмистров
81
154. Найти обратный вес функции
1 , 1 , . 1 ,
U~ 4 71 2 * + 3 /з’
если веса аргументов равны pi, р2, рз.
Решение
По формуле (11.33) находим
Ри 16 р! 4 р2 9 р3
155. При нивелировании отсчеты по рейке делались по трем
нитям. Вес отсчета по крайней нити в 2 раза меньше веса отсчета
по средней нити. Приняв вес отсчета по крайней нити за единицу,
найти веса простой и общей арифметических средин из отсчетов
по трем нитям.
156. Найти обратный вес функции и = k{h + /2 + .. . + /„),
где k — постоянная величина, если вес каждого аргумента равен р.
157. В четырехугольнике измерены три угла. Первый угол из-
мерен тремя приемами, второй — пятью и третий — шестью прие-
мами. Определить вес четвертого, вычисленного угла по результа-
там, полученным для первых трех углов.
158. Найти вес для одной из 10 данных ниже функций, если
pi = 0,5, р2 = 1,0 и рз — 1,5:
1) « = 0,8/1+ 2,0/2 —0,4/3; 2) « = 2,0 Л — 0,5/2 + 0,6/3;
3) « = 3,0/! —0,3/2 +0,2/3; 4) « = 4,2/j + 1,3/2 —0,5/3;
5) « = 2,6/1 —2,2/2+1,6/3; 6) «= 1,8Л+ 2,1/2 —0,7/3;
7) « = 2,8/1 —1,7/2 +0,9/3; 8) и = 2,3h + 4,1 /2 — 2,4/3;
9) «= 1,8/, — 3,4/2 + 2,4/3; 10) « = 3,2/, + 5,6/2 — 3,2/3-
159. В треугольнике один угол измерен п\ раз со средней квад-
ратической ошибкой одного измерения /и,. Второй угол измерен
Таблица 56
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
«1 4 5 6 7 8 9 10 3 4 12
±12" ,0 ±5",0 ±4",0 ±3",2 ±2",3 ±4", 5 ±2", 5 ±6", 2 ±7",1 ±1",5
«2 6 8 9 10 4 3 2 6 7 5
/я2 ±10", 0 ±7",0 ±8",0 ±6",1 ±9", 2 ±5",3 ±4", 4 ±2", 7 ±2", 5 ±4",3
82
п2 раз co средней квадратической ошибкой т2. Найти средние
квадратические ошибки и веса вероятнейших значений всех трех
углов треугольника, приняв за единицу вес вероятнейшего значе-
ния первого угла по одному из вариантов значений mi, т2, щ и
п2, приведенных в табл. 56.
160. В четырехугольнике каждый из трех углов измерен с ве-
сом, равным единице. Определить вес четвертого угла, полученного
вычислением как дополнение суммы первых трех до 360°, и сред-
нюю квадратическую ошибку единицы веса, если средняя квадра-
тическая ошибка каждого измеренного угла т = + 5",0.
161. Вес суммы углов пятиугольника, измеренных с одинаковой
точностью, принят за единицу,, Найти вес одного угла.
162. Угол / = /14- 0,5/2- Веса углов Ц и /2 равны каждый 10.
Определить вес угла /.
163. В треугольнике измерены все углы. Угол а измерен двумя
приемами со средней квадратической ошибкой одного приема
тл = + 3",0, угол р — тремя приемами, гт. = -|- 4",0, угол у —
шестью приемами, = + 6",0. Определить вес суммы вероятней-
ших значений углов треугольника, если ошибка единицы веса рав-
на +5",0.
164. Один угол треугольника измерен п раз теодолитом, сред-
няя квадратическая ошибка одного измерения которым равна т\.
Сколько раз надо измерить два других угла треугольника тео-
долитом, дающим среднюю квадратическую ошибку одного изме-
рения т2, чтобы веса всех углов были одинаковы? Численный ответ
дать по одному из вариантов значений п, mi и т2, приведенных в
табл. 57.
Таблица 57
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
п 12 10 8 9 7 6 5 4 11 13
т1 ±5",0 .*4", 2 ±3",3 ±3",5 ±3",7 =Ь2",5 1Ь N3 со ±1",5 ±5", 5 ±6",0
т2 ±7",0 ±6",1 II- СД % £ СИ ±7",3 3-4",5 ±4", 4 ±3",6 =Г-3",5 --4" ,7
165. Радиус окружности R измерен с весом, равным 4. Опре-
делить веса длины окружности и площади круга.
166. Определить вес площади треугольника, если основание его
b получено с весом рь, а высота h — с весом ph по одному из вари-
антов значений b, рь, h,ph, приведенных в табл. 58.
6*
83
Таблица 58
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 —. 10
Ъ, м 8 4 10 12 5 7 9 11 15 3
Рь 1.0 1,0 0,50 0,30 1,0 0,40 0,20 0,60 0,10 1,5
h, м 16 9 20 24 10 15 18 20 30 • 7
Ри 0,50 1,5 0,80 0,20 0,50 0,30 0,40 0,30 0,20 0,90
167. Kai весами, рав с по одном табл. 59. 'еты t ными У из и b Ра И вари прямоугольного рь. Определить антов значений тре) sec вь а, ра, -тольн щисле Ь, Рь, ика измер< ИНОЙ ГИПОТ( приведенн Таблица ;ны с анузы ых В 59
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
а, м 40 20 80 160 100 200 240 280 320 360
Ра 8.0 4,0 12 24 10 20 12 14 16 18
Ь, м 30 15 60 120 75 150 180 210 240 270
Рь 3.0 1,5 6,0 12 15 10 9,1 7.5 8,2 18
168. Стороны а и b прямоугольника измерены с весами ра п
Рь- Определить вес вычисленной площади S по одному из вариан-
тов значений а, ра, Ь, рь, приведенных в табл. 60.
Таблица 60
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
а, м 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ра 9,0 15 45 60 75 162 210 240 270 300
Ь, м 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
РЬ 4,0 10 18 40 50 90 140 160 180 200
84
169. Сторона а квадрата измерена с весом ра. Определить вес
и пощади квадрата по одному из вариантов значений а и ра, приве
денных в табл. 61.
Таблица 61
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
а, м 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60
Ра 20 9,0 16 50 40 35 64 81 100 144
§ 8. Задачи на весь раздел неравноточных измерений
170. Средняя квадратическая ошибка измерения угла т ==
+ О',5, вес р — 4. Вычислить среднюю квадратическую ошибку
единицы веса.
171. Углы треугольника определены с весами pt = 4, р-2 — 9,
р3 = 16. Средняя квадратическая ошибка единицы веса + 10".
Определить средние квадратические ошибки измерения углов.
172. Измерение со средней квадратической ошибкой т\ + 2",0
дает вес рх = 1. Какой вес соответствует измерению со средней
квадратической ошибкой т2 = + 1",4?
173. Угол измерен тремя приемами. Какой вес имеет получен-
ный окончательный результат, если вес одного направления при-
нять за единицу?
174. Найти вес общей арифметической средины (в буквенном
обозначении).
175. Угол измерен первым теодолитом со средней квадратиче-
ской ошибкой арифметической средины ЛК = + 12". Вторым тео-
долитом — при одинаковом числе приемов и в тех же условиях с.
ошибкой Л42 = + 6",0.
Какие веса имеют результаты измерений каждым теодолитом?
176. Измерены пять сторон теодолитного хода: Sj = 251,37 м,
S2— 198,57 м, 5з = 228,64 м, s4= 276,59 л, 55 = 310,53 м.
Средние квадратичеекие ошибки линий определяются формулой
zra^= +0,006 м]/ sm. Найти веса всех сторон, приняв за единицу
вес линии длиной 100 м.
177. Линия измерена пять раз с одинаковой точностью. Найти
вес арифметической средины, если вес одного измерения равен
единице.
178. Вес суммы шести углов многоугольника Р равен единице,
измерения равноточные.
Определить вес одного угла многоугольника р.
179. Превышение по нивелирному ходу длиной 450 м имеет
вес 4. Найти длину хода, которому соответствует превышение С
весом 1.
85
180. Сколько раз необходимо измерить линию длиной 300 л/,
чтобы вес результата оказался равным трем, если вес результата
измерения линии длиной 100 м равен 1.
181. В треугольнике были измерены два угла, каждый двумя
приемами инструментом, дающим результат со средней квадратиче-
ской ошибкой одного приема mj = + 5",0. Сколько раз нужно
измерить третий угол треугольника инструментом, дающим резуль-
тат со средней квадратической ошибкой одного приема т2 = + 10",
чтобы веса всех углов были одинаковы?
182. Угол измерялся четырьмя разными инструментами. При
измерении первым теодолитом получен результат 63°2Г18" как
среднее из двух приемов, вторым 63с21'30" — из четырех приемов,
третьим 63°2Г12"— из шести приемов, четвертым 63С2Г22" —из
восьми приемов. Средние квадратические ошибки результата изме-
рения угла одним приемом для теодолитов оказались соответствен-
но + 10", + 15", +20" и +12". Определить вероятнейшее значение
угла и его среднюю квадратическую ошибку.
183. Один угол треугольника измерен 10 раз инструментом со
средней квадратической ошибкой результата одного измерения уг-
ла mi = + 6". Сколько раз нужно измерить каждый из оставшихся
углов треугольника инструментом, средняя квадратическая ошибка
одного измерения угла которым т2 — + 8",0, чтобы веса углов
были одинаковы?
184. Шесть нивелирных ходов сходятся к узловой точке. По
приведенным в табл. 62 данным определить вероятнейшее значение
отметки узловой точки и его среднюю квадратическую ошибку, а
также ошибки: единицы веса, т^и на 1 км хода.
Таблица 62
№ нивелирных ходов Отметки узловой точки Н, м Длины ходов L, км Средняя квадрати- ческая ошибка на 1 км т, мм
1 199,386 6,5 ±2,5
2 ,380 7,8 2,9
3 ,373 5,5 3,2
4 ,377 8,9 3,5
5 ,370 4,8 2,3
6 ,382 4,4 2,7
185. Географическая широта обсерватории бывшего Межевого
Института (в настоящее время МИИГАиК) была определена в
1892 г. из наблюдений 13 звезд пассажным инструментом, установ-
ленным в первом вертикале. Результаты измерений и их веса при-
86
ведены в табл. 63. Вычислить вероятнейшее значение широты и
его среднюю квадратическую ошибку.
Таблица 63
№ звезд Широта Вес № звезд Широта Вес
1 55с45’38",23 0,36 8 55°45'38",42 0,33
2 38 ,63 0,36 9 38 ,36 0,31
3 38 ,38 0,26 10 37 ,57 0,40
4 39 ,07 0,28 и 36 ,93 0,44
5 37 ,72 0,26 12 38 ,72 0,33.
6 39 ,96 0,21 13 37 ,51 0,35.
7 38 ,03 0,26
186. Географическая широта одного из пунктов на территории
города Москвы определена из 6 рядов наблюдений По приведен-
ным в табл. 64 результатам вычислить вероятнейшее значение ши-
роты и его среднюю квадратическую ошибку.
Таблица 64
Наблюдение Широта М Наблюдение Широта М
1 55°45'36",18 ±0",25 4 55°45'35",27 ±0",1Э'.
2 35 ,53 ±0 ,21 5 35 ,78 ±0 ,28:
3 36 ,39 ±0 ,31 6 35 ,96 ±0 ,23
Здесь М — средняя квадратическая ошибка результата, полу-
ченного как среднее арифметическое из каждого ряда наблюдений.
187. В табл. 65 приведены невязки 20 нивелирных полигонов
и число станций в каждом полигоне. Вычислить среднюю квадра-
тическую ошибку единицы веса, , среднюю квадратическую
87
ошибку превышения, полученного на одной станции и по ходу ддц.
ной в один условный километр (10 станций).
Таблица 65
№ полиго- нов Невязки /, мм Число станций № полиго- нов Невязки /, мм Число станций
1 +2,0 8 11 —2,0 6
2 —4,5 6 12 +0,5 2
3 +2,5 6 13 +4,0 5
4 —3,0 4 14 —2,5 4
5 +3,0 3 15 +1,5 2
6 -0,5 4 16 —2,0 4
7 +4,0 8 17 0 4
8 0 4 18 —5,0 10
9 —3,0 2 19 +1,5 3
10 +5,0 5 20 —2,5 4
188. Угол измерен четырьмя повторениями. Четырехкратное
Значение угла оказалось равным 408°17'20" с весом 0,25. Опреде
Лить однократное значение угла и его вес.
189. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 4) измерены
гипотенуза с = 224,26 м + 0,12\м и острый угол А = 43°24/ + 0,33'.
Определить длину катета а, ее среднюю квадратическую ошиб
Ку и вес, если средняя квадратическая ошибка единицы веса
Р = + 0,021 м.
190. В треугольнике один угол измерен тремя приемами, вто-
рой — шестью приемами. Найти вес третьего вычисленного угла,
если все приемы равноточны и вес угла, полученного из одного
приема, принят за единицу.
191. Средняя квадратическая ошибка измерения угла т = +15".
Найти вес суммы 20 углов, измеренных в тех же условиях, если
средняя квадратическая ошибка единицы веса р— + 30".
192. Вычислить вес р угла Y=y (а + ₽) , если веса углов а и
Р соответственно равны 3 и 5.
193. Вычислением получена полусумма двух углов у= (« + Р)-
Вес каждого из углов а и р равен 5. Найти вес полусуммы уг-
лов. Ответ дать в численном и в буквенном виде.
88
194. Угол у = -i- (а -{- р). Углы а и р измерены каждый 9 прие-
мами. Средние квадратические ошибки результата измерения угла
одним приемом оказались та = + 3",0 и = + 6",0. Найти вес
угла у, приняв за единицу вес вероятнейшего значения угла а.
195. Угол y —а-+ Р- Угол а получен как среднее из результа-
татов измерений 20 приемами со средней квадратической ошибкой
измерения одним приемом та = + 5",0. Для угла р сделано 16
приемов, причем/Пр = +8",0. Определить вес угла у, приняв за
единицу вес результата измерения угла а одним приемом.
196. Один угол треугольника измерен 16 раз со средней квад-
ратической ошибкой одного измерения mi = + 8",0. Значение вто-
рого угла получено с весом р2 = 2,0. Считая, что вес первого угла
равен единице, найти среднюю квадратическую ошибку и вес
третьего угла.
197. Углы треугольника измерялись тремя различными теодоли-
тами. Первый угол был измерен первым теодолитом 6 раз, вто-
рой — вторым теодолитом 10 раз и третий — третьим теодолитом
18 раз. Средние квадратические ошибки измерения для теодолитов
соответственно равны +3",0; +4",0; +5",0.
Найти вес каждого угла, если за единицу веса принять измере-
ние, средняя квадратическая ошибка которого равна +1",0.
198. Угол у = а-|--|-. Вес каждого из углов аир равен 10.
Найти вес угла у.
199. Найти среднюю квадратическую
«=tgr>
z2
если средние квадратические
ошибки результатов измерений h и /2 со-
ответственно равны mi и т2, а за едини-
цу принят вес измерения со средней
квадратической ошибкой р.
200. В замкнутом полигоне (рис. 7),
состоящем из восьми сторон, дан твер-
дый дирекционный угол первой сторо-
ны. Дирекционный угол линии 5—6 вы
числен как среднее арифметическое из
двух значений, полученных от твердого
дирекционного угла линии 1—2 по ходу
с измеренными углами 2, 3, 4, 5 и по
ходу с измеренными углами /, 8, 7, 6.
Принимая вес измерения угла за еди-
ницу, вычислить вес среднего значения
дирекционного угла аБ.
ошибку и вес функции
Рис. 7
201. Определить вес вычисленного объема прямоугольного па-
раллелепипеда, если ребра его а = 10,0 м, 6 = 4,0 м и с = 5,0 м
измерены с весами ра = 80, рь = 100 и /л=160.
89
202. В треугольнике АВС измерены сторона а = 514,18 м +
+ 0,050 м и прилежащие к ней углы: В = 57°08'16" + 7", 0 и
С = 75°28/30" + 7",0.
Определить длины, средние квадратические ошибки и веса сто-
рон бис при условии, что средняя квадратическая ошибка едини-
цы веса [л = + 0,050 м.
203. Найти среднюю квадратическую ошибку и вес превышения,
вычисленного по формуле A = stgv, если s = 580,92м + 0,10м
и v = 1°34'10" + 12", а средняя квадратическая ошибка единицы
веса [л = + 0,050 м.
204. Вес однократного измерения линии длиной 100 м равен
1,0. Предполагая, что измерения производятся в одинаковых усло-
виях, определить, сколько раз потребуется измерить линию длиной
375 м, чтобы вес среднего из результатов был равен 0,50.
205. Найти вес функции и Zg + /3, если вес каждого из
аргументов равен 1,0.
206. Вычислить вес функции и — ху, если веса аргументов оди-
наковы и равны каждый р.
207. При исследовании трех новых теодолитов был многократ-
но измерен один и тот же угол. В табл. 66 приведены результаты
измерений. Определить:
1) какой теодолит дает лучший результат при однократном из-
мерении угла, для чего вычислить х, т и тт по результатам изме-
рений каждым теодолитом;
2) вероятнейшее значение угла как результат измерения всеми
тремя теодолитами и его среднюю квадратическую ошибку.
Таблица 66
№ по пор. Результаты измерений
1-ым теодолитом 2-ым теодолитом 3-им теодолитом
1 71°29'44" 71°29'49" 71°29'43"
2 48 33 38
3 40 39 35
4 38 44 48
5 45 47 46
6 38 36 37
7 46 34 45
8 43 48 40
9 47 35 41
10 41 45 47
90
Глава III
ДВОЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
§ 9. Оценка точности по разностям двойных равноточных
измерений*
Если произведен ряд однородных парных измерений I- и I", то,
рассматривая разности dt как истинные ошибки разностей
(/ = 1,2, • ,п),
можно вычислить среднюю квадратическую ошибку одной разности
(ПИ)
Средняя квадратическая ошибка одного измерения найдется как
m=_^ (IIL2)
или
^ = ±]/1^- (Ш-3)
Ошибка среднего из парных измерений получается по формуле
Эти формулы применяются, когда данный ряд парных измере-
ний не содержит систематических ошибок. На присутствие послед-
них в обрабатываемом ряду измерений будет указывать преобла-
дание в разностях одного знака над другим, а также то, что
п
Поэтому, составив разности </,- выясняют по этим признакам,
можно ли рассматривать 'их как истинные ошибки. При наличии
систематических ошибок подсчитывают среднее значение система-
тической ошибки
0 = ^. (III.5)
Затем вычисляют величины
d! = dl -fc). (Ш.6)
Учебник [20], § 31, 32, 34, 35, 38, 40.
91
Рассматривая d- как вероятнейшие ошибки ([d'] =0), можно
найти среднюю квадратическую ошибку одной разности
<ш-7)
Средняя квадратическая ошибка одного измерения равна
а ошибка среднего из парных измерений
^еР = ±41/-Щ- (Ш-9)
2 У 11 — 1
ЗАДАЧИ
208. Определить среднюю квадратическую ошибку совмещения
штрихов оптического теодолита и среднюю квадратическую ошиб-
ку полученных средних значений по результатам двойных наведе
ний, приведенным в табл. 67.
Т а б лица 67
№ по пор. Первое совмещение Второе совмещение d
1 0°17'23",4 21",4 +2",0 4,00
2 30 08 14 ,6 12 ,9 +1 л 2,89
3 60 33 49 ,5 50 ,4 -0 ,9 0,81
4 90 44 03 ,7 05 ,6 —1 ,9 3,61
5 120 56 20 ,9 21 ,7 -0 ,8 0,64
6 150 29 53 ,2 51 ,6 +1 ,6 2,56
7 180 42 18 ,8 18 ,3 +0 ,5 0,25
8 210 16 24 ,0 25 ,4 —I ,4 1,96
9 240 25 41 ,3 40 ,2 +1 Д 1,21
10 270 37 33 ,4 32 ,5 +0 ,9 0,81
11 300 09 21 ,6 22 ,6 —1 >0 1,00
12 330 51 54 ,0 56 ,1 —2 ,1 4,41
+7 ,8
—8 ,1
v —0 ,3 24,15
92
По расположению знаков в разностях d.: и по величине ^ мож-
но полагать, что в данном ряду двойных измерений нет заметного
влияния источников систематических ошибок. Поэтому применяем
формулы
Л KI
tn
?Ь^- = +1",00;
94 —
, ± ! № _ . ± . f 24,15 _
ср — ± 2 | п — ± 2 |/ 12 —±° >7L
209. В табл. 68 даны 10 вариантов результатов второго совме-
щения штрихов оптического теодолита. Результаты первого совме-
щения взять из табл. 67. Определить (по одному из вариантов)
среднюю квадратическую ошибку совмещения штрихов и среднюю
квадратическую ошибку полученных средних значений по резуль-
татам двойных наведений штрихов оптического теодолита.
Таблица 68
№ по пор. Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Результат! э! второго совмещения
1 21", 1 21",5 21",7 21", 6 21", 9 22", 1 22", 3 22", 5 21",8 22", 2
2 13 ,1 13 ,2 13 ,1 12 ,7 12 ,8 13 ,0 13 ,2 13 ,4 12 ,6 13 ,1
3 50 ,6 50 ,5 50 ,7 50 ,7 50 ,6 50 ,5 50 ,3 50 ,5 50 ,8 50 ,2
4 05 ,4 05 ,7 05 ,5 05 ,5 05 ,6 05 ,8 05 ,7 05 ,9 06 ,0 05 ,6
5 21 ,9 21 ,6 21 ,9 22 ,1 22 ,2 22 ,4 22 ,3 22 ,5 22 ,6 22 ,2
6 51 ,5 51 ,8 51 ,8 51 ,5 51 ,6 51 ,8 51 ,7 51 ,9 52 ,0 51 ,6
7 18 ,2 18 ,5 18 ,6 18 ,3 18 ,4 18 ,7 18 ,6 18 ,8 18 ,9 18 ,4
8 25 ,6 25 ,9 26 ?0 25 ,7 25 ,7 26 ,1 26 ,0 26 ,2 26 ,3 25 ,8
9 40 ,3 40 ,1 40 ,2 39 ,9 40 ,0 40 ,1 40 ,2 40 ,4 40 ,5 39 ,8
10 32 ,3 32 ,3 32 ,4 32 ,4 32 ,5 32 ,6 32 ,7 32 ,5 32 ,4 32 ,3
II 22 ,8 22 ,8 22 ,7 22 ,9 23 ,0 22 ,5 22 ,4 20 ,9 20 ,0 22 ,7
12 55 ,9 56 ,0 55 ,4 55 ,8 54 ,2 53 ,6 52 ,8 52 ,7 54 ,3 54 ,7
210. По приведенным
ний 10 линий определить
в табл. 69 результатам двойных измере-
среднюю квадратическую ошибку одного
93
измерения длины линии, среднюю квадратическую и относительную
ошибки среднего из парных измерений линии.
Таблица 69
№ линий Длина линии, м d, см d', см d'2
прямо обратно
"С
1 201,12 200,99 +13 + 5-,+ 33,84
2 199,66 199,60 + 6 — 1,2 1,44-
3 203,07 202,96 +11 + 3,8 14,44
4 196,75 196,67 + 8 + +8 0,64
5 199,88 199,85 + з — 4,2 17,64
•г и Э
6 200,54 200,44 +10 + 2т8 7,84
IV
7 198,67 198,72 — 5 —12,2 148,84
Г,
8 201,26 201,14 +12 + +8 23,04
5 *1 У 1
9 197,10 196,97 +13 + +8 33,64
О
10 202,41 202,40 + 1 - 6.x 38,44
+77 $ +23,8
о
— 5 —23,8
X +72 0,0 319,60 Ьъе
По преобладанию знака плюс и по значительной сумме разно-
стей d видно, что необходимо исключить систематические ошибки.
Все линии здесь имеют длину одного порядка (200 м), поэтому все
пары можно считать равноточными.
Находим О
п 72 = 10 0 —{“ 7,2 СМг
и исключаем эту величину из разностей d. При этом имеем контроль
[d'] = п (3 = 0,0 см,
где
₽ = ©точное - ©принятое = °>° СМ-
Средняя квадратическая ошибка отдельного измерения пары
найдется по формуле
, , Г [d*] , , / 32+bt>e , . 4
m'=±V дЬ|1)=±У 2(йгзтг=±4-8“-
Средняя квадратическая ошибка среднего из парных измерений
будет
320
10-1
= ± 3,0 см,
или
/лср = ± 0,030 м.
тер 1 0,030 . 1
Относительная ошибка —=± 9 п =± •
Л ZUU O/Vv
211. В табл. 70 дается 10 вариантов результатов второго (об-
ратного) измерения длин линий. Результаты прямого измерения
тех же линий взять из табл. 69. Определить (по одному из вариан-
тов) среднюю квадратическую ошибку одного измерения длины
линии, среднюю квадратическую и относительную ошибки среднего
из парных измерений.
Таблица 70
1 № линий Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Длина линии при обратном измерении, м
1 200,98 200,97 200,96 200,95 200,94 200,93 200,92 202,95 203,00 203,02
2 199,59 199,58 199,57 199,52 199,53 199,54 199,55 199,61 199,62 199,63
3 202,95 202,97 202,98 202,99 202,94 203,00 203,01 203,02 202,93 203,03
4 196,66 196,65 196,64 196,63 196,62 196,61 196,60 196,68 196,69 196,70
5 199,84 199,80 199,81 199,82 199,83 199,86 199,87 199,79 199,78 199,77
6 200,43 200,42 200,45 200,46 200,47 200,48 200,49 200,41 200,50 200,51
7 198,77 198,76 198,75 198,74 198,73 198,71 198,78 198,77 198,78 198,79
8 201,13 201,12 201,15 201,16 201,17 201,18 201,19 201,20 201,21 201,22
9 196,98 196,99 197,00 197,01 197,02 197,03 197,04 197,05 197,06 197,08
10 202,33 202,34 202,35 202,36 202,37 202,38 202,39 202,32 202,31 202,30
212. В табл. 71 приведены результаты измерений 10 углов.
Каждый угол измерен четырьмя повторениями. Найти среднюю
квадратическую ошибку среднего значения одного угла.
95
Таблица 71
№ углов КЛ КП d d' rf'2
1 69с32',5 35',9 — 3',4 —О',9 О',81
2 84 12 ,4 14 ,9 — 2 ,5 0 0
3 98 24 ,7 26 ,6 — 1 >9 4-0 ,6 0 ,36
4 120 19 ,6 22 ,5 — 2 ,9 —0 ,4 0 ,16
5 74 36 ,3 38 ,4 — 2,1 4-0 ,4 0 ,16
6 56 52 ,5 54 ,3 — 1 ,8 4-0 ,7 0 ,49
7 87 33 ,0 35 ,7 — 2 ,7 -0 ,2 0 ,04
8 60 21 ,3 24 ,4 — 3,1 —0 ,6 0 ,36
9 79 42 ,8 44 ,5 — 1 ,7 4-0 ,8 0 ,64
10 91 57 ,1 59 ,7 — 2 ,6 —0 ,1 0 ,01
4-2 ,5
—2 ,2
-24',7 4-0',з З'.ОЗ
Решение
24' 7
Определяем © =---= — 2',5.
Средняя квадратическая ошибка р-кратного значения угла, из-
меренного при круге лево или круге право,
Шр ±]/ 2(/г—1)“±]/ 2(10-1) “±0,4 ,
Средняя квадратическая ошибка однократного значения угла,
полученного при одном (любом) круге, найдется по формуле (1.2)
— = 4-О',10.
1 р ~ 4 — >
Средняя квадратическая ошибка среднего значения угла из
результатов измерений при КЛ и КП
"„,.= ±27j/ S=±4|/1^=±0',073.
96
213. В табл. 72 дается 10 вариантов результатов измерения
углов по способу повторений при КП. Сделано четыре повторения.
Результаты измерения углов при КЛ взять из табл. 71. Определить
(по одному из вариантов) среднюю квадратическую ошибку сред-
него значения одного угла.
Таблица 72
№ углов Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I 35', 8 35',7 35',6 35',5 К. П. 35',4 35',3 35', 2 35', 1 35',0 35',4
2 14 ,8 14 ,7 14 ,6 14 ,5 15 ,4 14 ,6 15 ,0 15 ,1 15 ,2 15 ,3
3 26 ,7 26 ,8 26 ,9 27 ,0 27 ,1 27 ,2 27 ,3 27 ,4 27 ,5 27 ,6
4 22 ,5 22 ,4 22 ,3 22 ,2 22 ,1 22 ,0 21 ,9 21 ,8 21 ,7 21 ,6
5 38 ,3 38 ,2 38 ,1 38 ,0 38 ,5 38 ,6 38 ,7 38 ,8 38 ,9 37 ,9
6 54 ,4 54 ,5 54 ,6 54 ,7 54 ,8 54 ,9 54 ,2 54 ,1 54 ,0 53 ,9
7 35 ,6 35 ,5 35 ,4 35 ,3 35 ,2 35 ,1 35 ,0 34 ,9 34 ,8 34 ,7
8 24 ,3 24 ,2 24 ,1 24 ,0 23 ,9 23 ,8 23 ,7 23 ,6 23 ,5 23 ,4
9 44 ,6 44 ,7 44 ,8 44 ,9 45 ,0 45 ,1 45 ,2 45 ,3 45 ,4 45 ,5
10 59 ,8 59 ,9 59 ,6 59 ,5 59 ,4 59 ,3 59 ,2 59 ,1 59 ,0 58 ,9
214. Углы полигонометрического хода измерялись двумя полны-
ми приемами, полученные результаты приведены в табл. 73, при-
Таблица 73
Варианты
№ углов Первый прием 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Второй прием
1 178°23'17" 23" 24" 25" 22" 21" 20" 19" 18" 17" 16"
2 169 48 53 46 47 45 48 49 50 51 52 54 55
3 181 13 07 03 04 05 06 02 01 00 01 04 03
4 162 35 42 47 42 43 44 45 46 48 49 41 40
5 173 41 50 53 52 51 54 55 56 57 58 42 42
6 165 39 21 15 14 16 17 18 19 20 21 22 23
7 179 24 33 30 29 28 27 26 31 32 33 34 35
8 182 47 10 15 16 17 18 14 13 12 11 13 14
9 168 14 48 44 43 42 41 40 45 46 47 49 50
10 180 29 46 52 54 54 51 54 47 42 38 53 50
7 Г. А. Бурмистров
97
чем результаты измерений углов вторым приемом даны в 10 вари
антах.
Беря для второго приема один из вариантов, определить сред-
нюю квадратическую ошибку угла из одного приема, а также сред-
нюю квадратическую ошибку среднего значения угла, полученного
из двух приемов.
§ 10. Оценка точности по разностям двойных неравноточных
измерений*
Оценка точности ряда парных неравноточных измерений произ-
водится по формуле
(Ш.10)
Здесь р —• средняя квадратическая ошибка единицы веса;
d~i; — //';
п — число пар измерений;
pt—-вес отдельного измерения в каждой паре, причем измере-
ния внутри каждой пары одинаковой точности.
В противном случае оценка точности производится по формуле
(Ш.11)
где Р — вес разности пары, который подсчитывается по формуле
а р- и р" — веса первого и второго измерений пары.
Для среднего из парных измерений
(Ш.12)
Контрольная формула
(Ш.13)
Если при подсчете [d\ выявится наличие систематических оши-
бок в обрабатываемом ряду, то их исключают. При обработке ре-
* Учебник [20], § 39, 40.
98
зсльтатов линейных измерений полигонометрии подсчитывают коэф-
фициент остаточного систематического влияния
Затем исключают из разностей систематическую часть
dt — to sz = d!, (III. 15)
где $,— длина линии полигонометрии в метрах.
При обработке результатов геометрического нивелирования,
когда веса определяются по числу станций,
to =
Ц]
[*Г
(III. 16)
где k — число станций.
Рассматривая найденные величины d- как вероятнейшие ошиб-
ки, подсчитывают среднюю квадратическую ошибку единицы веса
Р = ±1/ [pd'2J 2(д — 1) (III. 17)
Для среднего из парных измерений
При весьма малом рольными формулами: для полигонометрии 1 Нср=±Т | [ W можно 1 / [pd’2l у п-1' пользоваться (III. 18) следующими конт-
Для нивелирования . Рср = ± у j / Ю . V [5] ’ (III. 19)
рСР=±4] । ' т И [£] (111.20)
Необходимо учитывать, что разности dt не отражают полностью
влияния всех источников ошибок каждого отдельного измерения,
а величина коэффициента со характеризует влияние разностей систе-
матических ошибок в первом и во втором измерениях и еще ничего
не говорит о величине самих систематических ошибок. Оценка по
разностям двойных измерений дает обычно преуменьшенное значе-
ние ошибок т и [I иногда в 2—4 и более раз.
7*
99
ЗАДАЧИ
215. Произвести оценку точности результатов нивелирования II
класса по результатам прямых и обратных ходов, приведенным в
табл. 74.
Таблиц а 74
№ ходов Разности d, мм Число станций k Веса 10 P = ~k d2 pd2
1 + 2,4 9 1,11 5,8 6,4
2 — 6,2 36 0,28 38,4 10,7
3 — 2,2 16 0,62 4,8 3,0
4 + 1.3 31 0,32 1,7 0,5
5 — 0,6 37 0,27 0,4 0,1
6 + 2,1 14 0,71 4,4 3,1
7 — 4,0 23 0,43 16,0 6,9
8 + 1,4 22 0,45 2,0 0,9
9 + 7,5 21 0,48 56,2 26,9
10 — 1,3 19 0,53 1,7 0,9
+14,7 — 14,3 1-1 = 1 Р j
2 + 0,4 =22,8 131,4 59,4
Средняя квадратическая ошибка единицы веса (превышения по
ходу из 10 станций в одном направлении)
59,4
no —2fl — = у 20
Средняя квадратическая ошибка среднего из парных измерений
пс ходу той же протяженности
По контрольной формуле
I /W.
^ср — ~ 2 / Г 1 1
+ 1,72 мм.
±4
59,4 , О1
—= + 1,21 мм.
±4
13!,4
w = + l,2l^.
100
216. В табл. 75 дается 10 вариантов разностей d (в миллимет-
рах) превышений прямого и обратного ходов нивелирования II
класса и длин ходов L (в километрах). Вычислить средние квад-
ратические ошибки единицы веса и на 1 км хода в одном направ-
лении, а также среднюю квадратическую ошибку на 1 км хода для
среднего из парных измерений по основной и контрольной фор-
мулам.
217. Произвести оценку точности линейных измерений по раз-
ностям двойных измерений, приведенным в табл. 76.
Таблица 76
№ линий Разности rf, мм Длина линии 5 м —to s мм d'= d—'u.S', мм d’2 1 2 — d’ s
1 + 7 243 — 5,5 + 1,5 2,25 0,009
2 + 5 317 — 7,2 — 2,2 4,84 0,016
3 +И 211 — 4,8 + 6,2 38,44 0,182
4 + 9 195 — 4,4 + 4,6 21,16 0,109
5 + 8 238 — 5,4 + 2,6 6,76 0,028
6 + 4 187 — 4,3 — 0,3 0,09 0,000
7 — 1 209 — 4,8 — 5,8 33,64 0,161
8 + з 264 — 6,0 — 3,0 9,00 0,034
9 + 6 286 — 6,5 — 0,5 0,25 0,001
10 + 2 220 — 5,0 — 3,0 9,00 0,041
2 +54 2370 —53,9 +14,9 125,43 0,581
—14,8
* + 0,1
Коэффициент остаточного систематического влияния
\d\M___ + 0,054 м
[s] м 2370 м
+ 0,000 0228.
Средняя квадратическая ошибка среднего из парных измерений
, 1 , Г 0,581
± 2 ]/ 10-1 —±0,127^.
101
По контрольной формуле
m __
[S]
Таблица 75
_,!,/ 125,4 11К
2370 =±°’115жЛг-
Коэффициент случайного влияния (средняя квадратическая
ошибка на 1 л«), относящийся к среднему значению из обоих изме-
рений и выраженный в метрах, будет
14 = 0,001 рср, или = + 0,000 127 м.
218. В табл. 77 приведены разности результатов двойных изме-
рений линий d (в миллиметрах) и длины линий s (в метрах) в 10
вариантах.
По одному из вариантов вычислить коэффициент остаточного
систематического влияния, среднюю квадратическую ошибку сред-
него из парных измерений (по основной и контрольной формулам)
и коэффициент случайного влияния, относящийся к среднему зна-
чению из обоих измерений.
§ 11. Задачи на весь раздел двойных измерений
219. В табл. 78 приведены результаты двойных измерений уг-
лов. Вычислить средние квадратические ошибки разности двух
измерений, одного измерения и среднего из результатов измерений.
Таблица 78
№ углов Г Г
1 77°49'33" 40"
2 124 57 29 18
3 . 109 13 16 21
4 88 21 43 39
5 135 32 54 44
6 61 26 12 25
220. В табл. 79 даны результаты измерений линий нитяным
дальномером по двусторонним рейкам.
102
103
ГО
ЕГ
S
\O
ГО
b-
CO TO 04 CD CO 04 TO CD 04 TO 04 ю & TO 04 TO CO 04 04 TO 04 TO 04 Определить средние квадратические ошибки отдельного измере- ния среднего из парных измерений и его относительную ошибку.
о т—И co r- 04 CD to Tf* »—H 04 TO Таблица 79
T3 + + + + + + + | + + № по пор. D D
co TO cd co CD CD TO CD TO TO TO CD о черн. красн.
C4 04 04 04 04 04 04 04 C4 04 269,7 271,0
CD <0 1 1 7 CD 1 CO 1 TO 1 04 7 + 3 1 CO 1 । 1 2 269,6 271,0
co CO 04 co CD 04 co co 04 CD 04 CD CD 04 04 О 04 TO 04 TO 04 TO 04 TO co 04 3 269,9 270,1
CO о 1 7 TO 1 1 04 7 + 2 CD 1 1 CD 1 co 1 4 5 269,6 270,8 269,9 271,3
co 04 СЧ co CD TO 04 TO 04 04 04 TO 04 r—< 04 TO TO 04 04 TO TO 04 co 04 6 270,3 270,6
+13 CO + + 7 9 -f "l+ TO 1 L + + 5 CD + 04 + 7 8 269,6 271,3 269,5 271,8
co TO C4 s TO 04 CD TO 04 TO 04 TO 04 TO TO 04 CD 04 CD TO 04 04 9 270,5 270,8
о ts 7 I CO 1 CD | 04 7 04 + CD | TO | TO | 1 10 269,4 269,5
2 221. В табл. 80 даны превышения между смежными пикетами нивелирного хода, определенные при двух горизонтах инструмента. Вычислить средние квадратические ошибки: 1) превышения на станции, измеренного при одном горизонте инструмента; 2) средне- го из превышений, полученных при двух горизонтах инструмента
и го s co TO О co co 04 04 oi CD 04 TO 04 О 04 04 04 04 04 TO 04 04 04
го CQ TO +12 9 + co + 9 + 11+ TO 1 z + + 5 + 9 + 3
co CO ’ф 04 s 04 CD to 04 co 04 co TO 04 04 04 CD TO 04 CD 04 на одной станции; б) одного отсчета по рейке. Таблица 80
CO 04 № станций Превышения, м
*C3 + 4- + + + + 1 + + + при 1-ом горизонте при 2-ом горизонте
co CD 04 r—< C4 TO CD 04 CD 04 04 co CD 04 04 04 04 04 s 04 TO TO 04 04 1 —0,375 —0,372
co О 7 CD 1 7 CD 1 04 7 TO 1 + 2 7 TO 1 1 2 1 3 ’ +0,564 +0,489 +0,560 +0,487
co co 04 CD TO 04 TO 04 Ю 04 TO TO 04 о TO 04 TO 04 CD 04 CD CD 04 1 —0,268 —0,265
04 6 + L + CD + + 14 L + 6 + 04 1 L + 9 + TO + 5 6 —0,984 +0,671 +0,220 —0,981 +0,667 +0,219
co CD CO TO 04 CD TO 04 TO 04 04 TO O) TO 04 TO 04 TO 04 04 TO 04 7
7 TO 1 CO 7 7 CD | r- TO + TO 1 1 CD | 8 -0,891 —0,888
9 10 +0,662 -0,184 +0,660 —0,182
ИИНИ1Г oj\[ I •—' 04 TO TO CD TO CD 2
104
105
222. В табл. 81 даны 12 пар отсчетов по верньерам одноминут-
ного теодолита. Найти среднюю квадратическую ошибку отсчета
по разностям двойных измерений.
_______ Таблица 81
№ по пор. Отсчеты № по пор. Отсчеты
I 11 I 11
1 0°17',0 16',5 7 180°21',5 21',5
2 30 11 ,5 11 ,5 8 210 18 ,0 18 ,5
3 60 15 ,5 15 ,0 9 240 27 ,0 27 ,0
4 90 31 ,0 30 ,0 10 270 32 ,5 32 ,0
5 120 13 ,0 12 ,5 И 300 19 ,5 19 ,0
6 150 08 ,0 08 ,0 12 330 05 ,5 05 ,0
223. В табл. 82 даны 9 разностей превышений прямых и обрат
иых ходов геометрического нивелирования и число станций k по
каждому ходу (в одном направлении).
Вычислить средние квадратические ошибки единицы веса, пре-
вышения на одной станции нивелирного хода в одном направлении
и среднюю квадратическую ошибку на «условный километр» двой-
ного хода (из 10 станций).
___ Таблица 82
№ ходов d, мм k № ходов d, мм k
1 —4 15 6 -3 10
2 +3 8 7 —2 8
3 +2 5 8 4-3 7
4 +3 6 9 —3 9
5 +2 6
224. В табл. 83 даны результаты двойных измерений 9 линий.
Определить коэффициент случайного влияния, относящийся к сред-
нему значению из обоих измерений.
Таблица 83
№ линий Г, м 1", м № линий /', м Z", м
1 243,00 243,15 6 202,40 202,53
2 228,93 228,99 7 328,63 328,43
3 264,60 264,54 8 203,61 203,80
4 363,21 363,00 9 98,27 98,34
5 307,96 307,80
106
225. В табл. 84 даны результаты двойных измерений 10 линий
Вычислить коэффициенты остаточного систематического и случай-
ного влияния (последний — для среднего значения из обоих изме-
рений).
Таблица 84
№ линий Г, м Г, м № линий Г, м м
1 224,42 224,34 6 315,21 315,14
2 175,79 175,88 7 85,52 85,59
3 209,10 209,18 8 129,06 129,00
4 134,64 134,69 9 98,18 98,14
5 328,47 328,58 10 75,30 75,37
Глава IV
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОШИБОК В ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ
ПРАКТИКЕ
§ 12. Задачи на уравновешивание превышений в одиночных
нивелирных ходах и нивелирных сетях по способу
эквивалентной замены
226. Уравновесить превышения в одиночном нивелирном ходе
(рис. 8), проложенном между марками нивелирования высшего
класса. Произвести оценку точности полевого материала по разно-
Рис. 8
стям двойных измерений и подсчитать средние квадратические
ошибки вычисленных отметок всех промежуточных реперов.
Решение
Как известно из теории, уравновешивание превышений одиноч-
ного нивелирного хода, опирающегося на твердые точки, сводится
к определению невязки хода fh и распределению ее с противопо-
ложным знаком пропорционально значениям обратных весов пре-
вышений по секциям.
107
На рис. 8 приведены все данные для решения задачи по ходу
нивелирования III класса: номера исходных марок (над чертой) и
их отметки (под чертой) , номера промежуточных реперов, длины
отдельных секций (в километрах) и превышения (в метрах) для
каждой секции по прямому ходу (над чертой) и по обратному хо-
ду (под чертой).
Вычисления приведены в табл. 85. Порядок решения следую-
щий: сначала заполняют столбцы 1, 2, 3, 4 и 5 Затем вычисляют
в столбце 7 разности превышений по прямому и обратному ходам
по формуле
d = Anp + Ao6p (IV. 1)
и сравнивают их с предельными допустимыми значениями, найден
ными по формуле
^пред = ± 10 мм (!V-2)
где L — длина секции хода в километрах.
В столбце 6 записывают средние значения превышений из пря-
мого и обратного ходов, причем знак берется по прямому ходу.
Вычисление средних превышений и разностей d контролируют
суммированием величин, записанных в столбцы 4, 5, 6 и 7. Долж-
но быть
ЕЛпр + 2Лобр = 2с? (IV.3)
и
2Anp-Sfeo6p _ L h(IV 4)
Затем подсчитывают невязку хода
/Л = 2йср-(НК-/Ун), (IV.5)
где Нк и Ни — отметки конечной и начальной марок, а по формуле
пред./Л= + Юмм CIV.6)
ее предельное допустимое значение.
Если полученная невязка (ДО,037 м) меньше предельного зна
чения (+0,048 м), то ее распределяют с обратным знаком пропор-
ционально длинам секций хода, т. е. вычисляют
Ч = -£-1., (.IV.7)
записывая поправки vi в столбец 11.
Вычисления поправок контролируют равенством
М = -А- (IV.8)
Далее вычисляют исправленные превышения (столбец 12), при-
чем должно быть
[л + г/] = 17к-Ян.
(IV.9)
108
Уравновешивание превышений и вычисление отметок реперов одиночного нивелирного хода
КК ‘Н]Д1 ияришо эияээьидвб -Свая эиниаёэ гс ±7,3 9,6 9,6 8,6
“d яохэихо взад 0,33 0,19 0,19 0,24 3
Отметки Н, м ГС 187,564 185,696 183,734 183,141 183,782 186,105 см 41 I *
w 'а 7/ винэппчаэбн энннэпавйнэи см 30 СМ ГС ГС О СО О тр СМ 30 СТ) ГС СО ГС -7 т— О О СМ 1 1 1 + + СМ 19 -4 1” +1 1
‘/2 ияявёиоц — 5,8 — 7,7 — 9,7 - 4,7 — 8,9 СО , |СМ - •—> СМ О ГС со 1 со см 7 -w 1"
гс гс см г- о: t 11
cq тз О 89 61 84 44 24 см II
СМ ГС ГС т—< г 1%^
>ждения, мм эоишэАи -off он -qiraffadii со 0 03 03«—»'Ф С? •—7 Tf1 Г^. ГС Г— СМ СМ -М см 41 41 II 4^ s 4i II II zL
и оЗ Cl, р эон -нэьЛеон О- Г- 03 СМ СМ СО —« -ч СМ ’ 4- 1 + 1 1 1
3 средние о CM -ф ГС ГС см СО ГС СО -ф ГС со 03 ГС СО ГС —’ »— о о см 1 1 1 + + -1,422 : — 1,459 r- co о о + 41
лишения h обратный ход ГС 4-1,870 4-1,945 4-0,594 -0,651 -2,341 И Ч а? + 1 fh = пред. fh =
Прев прямой ход хГ ГС СЧ О ГС ГС СО Г". ГС см СО О ГС СО ГС —- о о см 1 1 1 4- 4- -1,427
жя ‘у уиплээ 1ЧНИ1Г^ ГС СО СО СМ О ГС ГС rf со см гс 23,0
и aodaiiad яобви о|\[ см < ГС ’Ф со — ГС о см см СМ СМ СО Е с с tT _; CL CL си о- <.
BffOX 0ИПЯЭЭ o)\f СМ ГС Tt1 ГС
109
В столбце 13 записывают полученные по исправленным превы-
шениям отметки реперов хода.
Для оценки точности полевых измерений находят величины d-
и 27 (9 и 10-ые столбцы), причем величины d берут в миллиметрах,
a L — в киломеграх, т. е. за единицу веса принимают вес превыше-
ния по ходу длиною 1 км.. После этого по формуле
(IV.10)
подсчитывают среднюю квадратическую ошибку среднего из пря-
мых и обратных превышений по ходу длиною в 1 км. Для контро-
ля та же величина вычисляется вторично по формуле
(IV.11)
Формулы (IV.10) и (IV.11) представляют видоизменение фор
мул (III.12) и (Ш.13), если в последних положить P=jj-
Для оценки точности вычисленных отметок промежуточных ре-
перов находят их веса
, --±т- + 1 = [Л]1"
(IV.12)
где [£]/ — длина хода до репера с номером i от начальной марки
а [£]”,+! — от конечной. Например, для репера 23 находим
Ги2з 3,6 + 19,4 °’33'
’ —
Таблица 86
№ секций хода № марок и реперов Превышения h, м Варианты Отметки Н, м
прямой ход обратный ход 1 2 3 4 5
длины секций L, км
1 2 3 4 М. 167 Рп. 12 Рп. 13 Рп. 14 М. 153 +0,132 +2,824 —0,813 +1,080 —0,140 —2,812 +0,806 —1,083 1,6 6,4 4,0 4,8 1,3 5,2 3,2 3,9 1,4 5,6 3,5 4,2 1,1 4,4 2,7 3,3 1,2 4,8 3,0 3,6 193,054 196,259
Таблица 87
кций хода S и о £а о, о Превышения, h, м Варианты Отметки Н, м
и 6 7 8 9 10
си со !-—<
g Е с®! О CL к П СД О Е И о о О И Длины секций L, км
М. 111 188,655
1 Рп. 18 +0,816 —0,802 4,4 4,8 5,4 3,9 3,4
2 Рп. 20 —2,081 +2,065 8,2 9,0 10,0 7,3 6,4
3 Рп. 22 —1,627 +1,616 6,2 6,8 7,6 5,5 4,8
4 М. 112 —3,701 +3,709 1,8 2,0 2,2 1,6 1,4 182,043
По формуле
(IV.13)
228. Уравновесить методом эквивалентной замены систему ниве-
лирных ходов с двумя узловыми точками (рнс. 9) и произвести
оценку точности определения отметок всех узловых реперов.
Решение
вычисляют средние квадратические ошибки отметок реперов (стол-
бец 15). Все вычисления ведутся при помощи счетов и логарифми-
ческой линейки.
227. Уравновесить превышения одиночного нивелирного хода,
проложенного между твердыми марками, по одному из 10 вариан-
тов, приведенных в табл. 86 и 87.
110
Сущность метода эквивалентной замены заключается в том, что
система ходов с несколькими узловыми точками сводится к систе-
ме ходов с одной узловой точкой. Основываясь на принципе общей
арифметической средины, можно заменить несколько ходов одним
эквивалентным (равносильным) им ходом, который даст тот же
результат, что и заменяемые действительные ходы.
111
Отметка точки, к которой подходит эквивалентный ход, вычис-
ляется как весовое среднее из отметок этой точки, полученных по
заменяемым ходам.
Изображенная на рис. 9 нивелирная сеть состоит из шести хо-
дов, опирающихся на три марки нивелирования высшего класса.
Узловыми точками являются реперы 13 и 15. Возле каждого хода
в кружке дан номер хода, измеренное превышение в метрах (над
чертой) и длина хода в километрах (под чертой). Пунктиром
условно показаны эквивалентные ходы. Номера эквивалентных хо-
дов составляются из номеров заменяемых ходов.
При решении данной задачи действительная система ходов была
преобразована в систему с одной узловой точкой — Рп. 15. Реко-
мендуется самостоятельно наметить другой путь уравновешивания,
взяв за узловую точку Рп. 13.
Вычисления приведены в табл. 88. Порядок решения следую-
щий. Заменяем ходы 1 и 2 одним эквивалентным ходом. Для этого
вычисляем в столбце 5 отметки Рп. 13 по ходам 1 и 2 (столбец 5).
При вычислении весов измеренных превышений (или вычисленных
112
Таблица 88
№ ходов № исходных! 1 точек Измеренные превышения h, м Длины ходов L, км Отметки узловых точек Н', м Остатки s, мм Веса Р£ Окончатель- ные отмет- ки Н, м Поправки vt мм рШ
—1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 и
1 2 66 77 +0,189 —0,954 4,2 6,7 Репер 13 193,785 193,767 +18 0 0,95 0,60 4-17,1 0 4-17,1 193,779 193,596 194,721 — 6,0 4-12,0 4- 0,8 4- 2,2 34 87 2
1,2 3 + 1,279 2,6 7,8 193,7782 1,55 0,51
1,24-3 4 5 6 В1 п 77 83 □1ЧИС Таб +0,351 +0,328 —0,496 :ление в лица 89 10,4 5,8 4,7 6,3 еса О1 Репер 15 195,057g 195,072 195,049 195,064 195,0602 метки р + 8,2 +23 0 4-15 епера 0,38 0,69 0,85 0,64 4- з,1 +15,9 0 4- 9,6 195,060 195,560 ^но в та 4- з.о —11,8 +11,2 — 3,8 бл. 8S 96 106 9
2,56 13 вт One 4-28,6 лполн 334 ).
№ ходов L 6_2-±9,1^, Q 1 т — i — * — = =ь 3,2 мм\ 11 V 2(6-2) 9 1 ткм = ± -1— - ± 4,6 мм; V 4 L_ = 5,7мм; 15 /2,56 о 1 /И pj — -4- — * — — - i 6,5 ММ, ы /1,97 ИЗ
4 5 6 5,8 4,7 6,3 0,69 0,85 0,64
4,5,6 3 1,83 7,8 2,18
4,5,6+3 2 1 9,6 6,7 4,2 0,42 0,60 0,95
Вес отметки ре- пера 13 8 Г. А. Бурмистров 1,97
по ним отметок) рекомендуется подсчитать постоянное с с расчетом
получения значений весов в десятых и сотых долях единицы
__^min + max
с— 2
и затем его округлить. В нашем случае удобно взять за единицу
веса ход длиной 4 км. В столбцы 6 и 8 записываем величины, слу-
жащие для вычисления весового среднего /+з' по двум получен
ным отметкам репера 13
= 193,767 + = 193,778й.
Вычисленную отметку вписываем в столбец 5 (по строке 1,2);
ее вес равен 1,55, поэтому длина эквивалентного хода 1, 2 будет
4
2,6 км. Все числа, относящиеся к эквивалентному ходу 1, 2,
записываем в соответствующие столбцы по строке 1,2.
Затем выписываем длину, превышение и вес его по ходу 3. Пе
реходим к реперу 15, его отметку можно получить по ходу 1,2 + 3
длиною 2,6 + 7,8 = 10,4 км с весом 0,38 и по 4, 5 и 6 ходам с ве-
сами соответственно 0,69; 0,85; 0,64. Беря из этих четырех значе
Ний весовое среднее, определяем окончательно отметку репера 15
с весом 2,56, которую и переписываем в столбец 9. Вычитая из
вероятнейшей отметки репера 15 значения отметки этого же репе-
ра, вычисленные по ходам 1,2 + 3; 4; 5 и 6, получаем поправки на
эти ходы и записываем их в столбец 10. Например,
о5 = 195,0602 — 195,049 = 4- 11,2 мм.
Поправку (3,0 мм), приходящуюся на ход 1,2-\-3, распределя-
ем на эквивалентный ход 1,2 (+0,8 мм) и на ход 3 (+2,2 мм)
Пропорционально числу километров в этих ходах. Прибавив поправ-
ку, приходящуюся на ход 1,2, к отметке репера 13, полученной по
этому ходу, найдем окончательную отметку этого репера, которую
записываем в столбец 9. Вычитая из нее значения отметок, вычис
ленные по ходам 1 и 2, получаем поправки на эти хода и записы-
ваем их в столбец 10. Например,
v2 = 193,779 — 193,767 = + 12,0 мм.
Для оценки точности полевых измерений вычисляем среднюю
квадратическую ошибку единицы веса (ошибку на 4 км хода) по
формуле
где п — число измерений (число ходов);
k — число неизвестных (число узловых точек).
114
Произведения pvv для непосредственно измеренных ходов ' за-
писываем в столбец И. При вычислении pvv поправки на эквива-
лентные ходы не берутся.
Подсчитав р и , находим среднюю квадратическую ошибку
превышения на 1 км хода
ткм= —£=. (IV.15)
V с
Средние квадратические ошибки уравновешенных отметок узло-
вых реперов вычисляем по формуле (IV. 13). При этом вес отмет-
ки репера 15 берем прямо из столбца 7, т. е. Рн15= 2,56. Вес же
отметки репера 13 определяем по формуле
Рн13=Р4,5,б+з +рг + pi
в табл. 89. Последняя формула получается при замене данной си-
стемы ходов системой с одной узловой точкой — репером 13.
Все вычисления велись с использованием счетов и логарифмиче-
ской линейки.
229. В табл. 90 даны 10 вариантов длин ходов (в километрах)
и измеренные превышения (в метрах) для системы ходов с двумя
Рис. 10
узловыми точками, изображенной на рис. 10. По одному из вариан-
тов произвести уравновешивание результатов нивелирования мето-
8*
115
ДОМ эквивалентной замены и оценку точности отметок всех узловых
реперов. *
Таблица 90
' ходов Измерен- ные пре- вышения h Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 Длины ХОДОВ
1 +1,074 8,9 7,0 6,7 7,2 7,7 8,1 7,9 7,4 8,5 5,6
2 —0,429 5,1 4,0 3,8 4,1 4,4 4,6 4,5 4,2 4,9 3,2
3 —1,345 10,9 8,6 8,2 8,8 9,5 9,9 9,7 9,1 10,4 6,9
4 +0,801 6,5 5,1 4,9 5,3 5,6 5,9 5,8 5,4 6,2 4,1
5 +0,398 7,8 6,1 5,9 6,3 6,7 7,1 6,9 6,5 7,4 4,9
6 +0,916 12,4 9,7 9,3 10,0 10,7 11,3 11,0 10,3 11,9 7,8
7 +0,713 9,5 7,5 7,2 7,7 8,2 8,6 8,4 7,9 9,1 6,0
230. Уравновесить
методом эквивалентной
замены систему ни-
Рис. 11
велирных ходов с тремя узловыми точками (рис. 11) и произвести
оценку точности отметок всех узловых реперов. Длины ходов L
116
взять для одного из 10 вариантов, данных в табл. 91. Решение
подобной задачи дано в табл. 92.
Таблиц а 91
Варианты
№ ходов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Длины ходов L, КМ
1 7,0 6,4 5,7 4,5 4,1 7,5 6,2 5,2 4,9 7,3
2 8,3 7,6 6,7 5,3 4,8 8,9 7,3 6,2 5,8 8,6
3 5,6 5,1 4,6 3,6 3,3 6,0 5,0 4,2 3,9 5,9
4 4,9 4,5 4,0 3,1 2,9 5,2 4,3 3,6 3,4 5,1
5 6,3 5,7 5,1 4,0 3,7 6,7 5,5 4,6 4,4 6,5
6 4,8 4,4 3,9 3,1 2,8 5,1 4,2 3,5 3,3 5,0
7 7,1 6,5 5,8 4,6 4,2 7,6 6,3 5,3 5,0 7,4
Таблиц а 92
№ ходов № исходных точек Измеренные превышения Л, м Длины ходов L, км Отметки узловых точек И', м еГ S и cd 5 se О ЙЕ Веса -4 Де Окончатель- ные отмет- ки И, м Поправки V, мм pvv
1 273 + 1,345 6,6 187,215 + 14 1,36 +19,0 185,870 — 2,2 7
2 267 —0,489 7,8 187,201 0 1,15 0 187,690 +И,8 160
1,2 7 3,6 187,2086 2,51 + 19,0 187,212g + 4,2 —••
3 +0,693 5,3 1,70 + 6,3 68
6 250 —1,217 4,5 188,540 0 2,00 0 189,757 + 1,4 4
7 267 +0,863 6,1 188,553 +13 1,34 + 17,4 187,690 +11,6 180
6,7 5 2,7 188,5452 3,34 +17,4 188,5414 — 3,8
5 —0,621 5,9 1,52 — 8,3 105
1,2-рз 8,9 187,9016 0 1,01 0 +Ю,5
6,7+5 8,6 187,9242 +22,6 1,04 +23,7 —12,1
4 255 +1,076 4,6 187,911 + 9,4 1,95 + 18,3 186,835 + 1.1 2
9 4,00 +42,0 187,912! 526
117
Вычисление весов отметок узловых реперов приведено в табл. 93.
Таблица 93
Репер 5 Репер 7
№ ходов L 9 Р = Т № ходов L о II
1 — 1,36 6 — 2,00
2 — 1,15 7 — 1,34
1,2 3,6 2,51 6,7 2,7 3,34
3 5,3 __ 5 5,9 —
1,2+3 8,9 1,01 6,7+5 8,6 1,04
4 — 1,95 4 — 1,95
(1,2+3),4 3,4 2,96 (6,7+5),4 3,0 2,99
5 5,9 — 3 5,3 —
(1,2+3),4+5 9,3 0,97 (6,7+5), 4+3 8,3 1,08
6 — 2,00 1 — 1,36
7 — 1,34 2 — 1,15
и9 = ±|/ Р& =4,31 526 , „ с = = + 11,5 мм; / — о — ± К Р7 = 3,59 11,5 —= + 4,1 мм; 2(7- 3)
Шкм — +4^= - 9 3 +~ 3,8 мм;
Мнъ = -У= = +- \^РЪ ~ 11,5 4,31 = + 5,5 мм;
мН1 = 11,5 | 3,59 = + 6,1 мм;
мн = н9 V Ps 11,5 ' 4Л4,0 + 5,8 мм.
118
231. Уравновесить нивелирную
валентной замены и произвести
реперов, взяв один из вариантов,
сеть (рис. 12) по способу экви-
оценку точности всех узловых
приведенных в табл. 94.
Рис. 12
Таблица 94
CQ CD Варианты
Ч О И мерет евыш я, м 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
§ х & = Длины ходов, км
1 —2,384 7,2 6,3 7,6 6,8 8,0 6,0 5,3 8,3 5,7 8,6
2 —0,256 2,9 2,5 3,1 2,7 3,2 2,4 2,1 3,3 2,3 3,5
3 +1,195 5,4 4,2 5,7 5,1 6,0 4,5 4,0 6,2 4,3 • 6,4
4 +0,626 6,1 5,3 6,4 5,8 6,8 5,1 4,5 7,0 4,8 7,3
5 +0,708 4,8 4,7 5,1 4,5 5,3 4,0 3,5 5,5 3,8 5,7
6 +0,237 2,3 2,0 2,4 2,2 2,6 1,9 1,7 2,7 1,8 2,7
7 —2,889 7,6 6,7 8,0 7,2 8,4 6,3 5,6 8,8 6,0 9,1
8 —1,261 6,0 5,2 6,3 5,7 6,7 5,0 4,4 6,9 4,7 7,2
9 —0,960 5,8 5,1 6,1 5,5 6,4 4,8 4,3 6,7 4,6 6,9
10 +2,662 6,9 6,0 7,3 6,5 7,7 5,7 5,1 8,0 5,5 8,2
119
Дополнительные сведения по установлению весов
Метод эквивалентной замены для нивелирных сетей является
совершенно строгим, т. е. дает такие же результаты уравновешива-
ния и оценки точности, как и способы косвенных и условных изме-
рений. Если же этот строгий метод применять раздельно, например,
ДЛЯ уравновешивания углов, абсцисс и ординат полигонометриче-
ской сети, то из-за раздельного применения результаты будут при-
ближенными, хотя и достаточно точными для обычной практики.
Применение метода эквивалентной замены к уравновешиванию
превышений или отметок узловых точек высотных сетей, получен-
ных Тригонометрическим нивелированием, к раздельному уравнове-
шиванию углов, абсцисс и ординат в системах теодолитных, тахео-
метрических и полигонометрических ходов аналогично рассмотрен-
ному уравновешиванию систем нивелирных ходов. Необходимо
лишь дать дополнительные указания по установлению весов в раз-
личных случаях.
Если превышения получены тригонометрическим нивелирова-
нием, причем измерение расстояний велось лентой или проволокой,
то веса превышений устанавливаются обратно пропорционально
квадратам горизонтальных проложений
= (IV.16)
В Том Же случае когда при уравновешивании отметок узловых
точек методом эквивалентной замены или способом приближений
(§ 16), средняя длина стороны во всех полигонах примерно одина-
кова, можно пользоваться формулой
Рн = -^. (IV.17)
где п — число сторон хода,
или
Рн=Л- (IV-18)
Ss
1
При уравновешивании высот тахеометрической сети (стороны
Измерялись дальномером) следует различать два случая.
1. Если условия измерений и длины сторон тахеометрических
ходов были примерно одинаковы, то веса альтитуд рн устанавли-
ваются обратно пропорционально периметрам полигонов
2. Если же длины сторон значительно отличаются друг от дру-
га, То веса превышений по каждой стороне берутся обратно про-
порциональными квадратам наклонных расстояний D'
Ph = -^- (IV.20)
120
При уравновешивании превышений геометрической сети веса
считаются обратно пропорциональными длинам сторон
рл = у (IV.21)
или принимаются равными единице ([19], § 40, стр. 136—138).
ЗАДАЧИ
232. В висячем полигонометрическом ходе измерено k левых
углов со средней квадратической ошибкой измерения угла ,тг,з.
Определить вес дирекционного угла к-ой стороны хода.
Решение
Дирекционный угол к-ой стороны хода вычисляется по формуле
ак = ан + 180° k - Е ₽.
1
В правой части этой формулы первый и второй члены можно
принять безошибочными. Поэтому
Взяв произвольное постоянное X, имеем по формуле (II.1)
_ X _ X
Ра ^2а k
получим общую формулу для определения
„ >•
1 юложив —= с,
т\
веса дирекционного угла любой стороны полигонометрического хода
(IV.22)
формула будет действительна
m2
с
Ра ~~ k
Рекомендуется проверить, что эта
и при измерении правых углов.
233. Четыре теодолитных хода
(рис. 13). Определить вероятнейшее
образуют узловую точку Е
значение дирекционного угла
Рис 13
121
узловой линии EF по приведенным в табл. 95 данным и оценить
точность полученного результата.
Таблица 95
№ ходов Исходные дирекцион- ные углы Число сторон Сумма правых углов
1 82°52',3 17 3148°05',1
2 323 45 ,1 25 4829 02 ,2
3 141 43 ,6 21 3746 57 ,5
4 261 15 ,4 31 5846 30 ,7
234. Оценить точность одиночного нивелирного хода IV класса
в его самом слабом месте после уравновешивания, если нивелиро-
вание выполнено со средней квадратической ошибкой ткм = 4-10 мм
на 1 км, а длина хода L = 80 км.
Решение
Наиболее слабым местом нивелирного хода после уравновеши-
вания будет его середина. Для отметки средней точки нивелирного
хода средняя квадратическая ошибка mt определяется формулой
mi= — \ L.
(IV.23)
Подставляя в эту формулу числовые данные задачи, найдем
mt — I 80 •х, + 45 мм.
235. Решить предыдущую задачу по одному из вариантов, при-
веденных в табл. 96.
Таблица 96
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ткм- мм ±10 ± 8 ± 9 ±10 ± 7 ± 6 ± 9 ±10 ± 8 ± 7
L, км 50 70 40 60 90 100 65 75 85 95
236. Определить, какой длины нужно запроектировать ниве-
лирный ход III класса, если требуется, чтобы средняя квадратиче-
ская ошибка в наиболее слабом месте хода после его уравновеши-
вания не превосходила /и(= + 10 мм.
122
Решение
Имея в виду, что для нивелирования III класса ткм — +5,0 мм,
на основании формулы (IV.23), напишем
10>-|j<L,
откуда L 16 км.
237. Решить предыдущую задачу по одному из вариантов tnt.
приведенных в табл. 97.
Таблица 97
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
mi, мм ±8 ±12 ±15 ±5 ±20 ±14 ±22 ±18 ±13 ±25
238. Какой вид примет формула (IV.23), если для расчета бу-
дут даны: средняя квадратическая ошибка измерения превышения
на одной станции mh и число станций нивелирного хода п.
239. В табл. 98 дано 10 вариантов средней квадратической
ошибки измерения превышения на одной станции геометрического
нивелирования т„ и средней квадратической ошибки znz, больше
которой нельзя допустить ошибку в наиболее слабом месте одиноч-
ного хода. По одному из вариантов (табл. 98) рассчитать макси-
мальное число п станций одиночного хода.
Таблица 98
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
/и , мм ст’ ±1,5 ±1,2 ±1,6 ±1,8 ±1,0 ±2,0 ±1,9 ±1,4 ±1.7 ±2,0
ТЩ, мм 15 18 20 26 15 25 22 21 17 20
240. На территории работ требуется запроектировать сеть ниве-
лирования III классу, которая будет служить основой для произ-
водства технического нивелирования.
Средняя квадратическая ошибка определения превышения на
одной станции технического нивелирования /z.’Z!=+l,4 мм, длина
визирного луча в среднем будет I = 50 м, заданная точность опре-
деления отметок реперов пгн = ~|- 5,0 мм. Рассчитать наибольшее
расстояние L между марками нивелирования II класса.
Решение
Воспользуемся формулой
123
Имеем
откуда
0,5-1,4мм }рп^5мм,
Таким образом, при заданных условиях требуется запроектиро-
вать опорные марки нивелирования II класса через 51 станцию
или через L = 5,1 км 5,0 км.
241. Решить предыдущую задачу по одному из вариантов, при-
веденных в табл. 99.
Таблица 99
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
nijv мм ± 1,0 =Ь 1,4 ± 1,2 ± 1,6 ± 0,8 ± 1,4 ± 1,2 ± 1,0 ± 1,8 ± 1,6
тн, мм ± 4,0 6,0 5,0 7,0 4,0 7,0 6,0 5,0 8,0 4,0
/, м 50 40 50 40 50 60 40 60 60 50
242. Проложена система нивелирных ходов (рис. 14) со сред-
ней квадратической ошибкой т = + 5,0 мм на 1 км. Определить
среднюю квадратическую ошибку отметки репера 3.
Рис. 14
Решение
Применяя способ эквивалентной замены, можно свести данную
систему ходов к одиночному ходу, после чего определить вес и
124
среднюю квадратическую ошибку отметки репера 3. Вычисления
приведены в табл. 100.
Таблица 100
№ ходов L, км 9 Р = ~L
1 5,7 1,58
2 4,9 1,84
1,2 2,63 3,42
3 3,8
1,2+3 6,43 1,40
4 5,2 1,73
(1,2+31,4 2,88 3,13
а 4,0
(1,2+3),4+« 6,88 1,31
Ъ 2,2 4,09
Р^ = 5,40
= -I- - ’— = + 2,2 мм.
V 5,4
243. Определить среднюю квадратическую ошибку отметки ре-
пера 3, изменив в условии предыдущей задачи местоположение
этого репера. Номер'хода, в котором находится репер 3, и рассто
яние La от репера 1 до репера 3 даются в 10 вариантах в табл. 101.
Задачу решить для одного из этих вариантов
Таблица 101
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
№ ходов 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2
La, км 2,0 2,5 2.7 2,8 1,3 1,5 1,6 1,2 3,2 3,2
125
244. На рис. 15 дана система ходов с одной узловой точкой.
Установить наиболее слабое место в этой системе после уравнове-
шивания по одному из вариантов, приведенных в табл. 102.
Указание. В таких случаях следует заменять наиболее ко-
роткие ходы эквивалентным ходом.
Таблица 102
№ ходов Варианты
1 2 з 4 5 6 7 8 9 10
Длины ходов, км
1 8,2 7,7 7,2 6,6 5,9 9,1 10,2 6,1 8,7 5,3
2 13,8 13,0 12,1 11,1 9,9 14,6 15,7 10,4 14,5 9,1
3 6,5 6,1 5,7 5,2 4,7 7,4 7,3 4,8 6,9 4,2
245. Для нивелирной сети, изображенной на рис. 15, в
табл. 103 дано 10 вариантов длин ходов. По одному из вариантов
рассчитать среднюю квадратическую ошибку нивелирования на
1 км хода и класс нивелирования, которое потребуется произвести,
чтобы после уравновешивания средняя квадратическая ошибка т1
в наиболее слабом месте данной системы была не более 10 мм.
Таблица 103
Варианты
№ ходов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Длины ходов, км
1 7,8 8,1 8,4 8,7 9,1 9,5 9,8 7,4 10,1 10,4
2 16,1 16,5 16,9 17,3 17,6 15,7 17,9 18,3 15,4 15,2
3 5,8 6,2 6,5 6,8 7,2 7,6 8,0 6,4 8,5 8,9
126
л
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Глава V
КОСВЕННЫЕ (ПОСРЕДСТВЕННЫЕ) ИЗМЕРЕНИЯ
§ 13. Справочные сведения по косвенным равноточным
измерениям*
Система уравнений ошибок имеет вид
+ + г-.г+ +g';u- + /, = 'Uz (V.1)
(i= 1, 2,. . ., п).
Здесь af, b„ ct, , gt — безошибочные коэффициенты, извест-
ные из теории для каждого измерения;
/г — свободный член, равный разности между свободным чле-
ном функции Г; и результатом ее измерения
х, у, z,..., w —- искомые неизвестные значения функционально
независимых величин (число их равно k);
v;— вероятнейшие ошибки, или вероятнейшие поправки.
Число уравнений ошибок определяется числом измерений п.
Перед составлением уравнений ошибок следует установить числе
независимых неизвестных и выразить формулой существующую
функциональную зависимость между неизвестными и результатами
измерений. Если полученные функции окажутся нелинейного вида
z, • • , w) — <?,. = V/ (Z = l,2, ,п\ (V.2)
то их приводят к линейному виду, применяя разложение функции
в строку Тейлора. В.этом случае система уравнений ошибок при-
мет вид
с,8 х + 8 у -f- ctfSz + 4-^.5® + /; = ^. (V.3)
Здесь 8 х, Sy, 8 z,..., 8w — поправки к приближенным значениям
неизвестных хо, у0, Zo,..., wo, причем
х = х0 8 х
У =-Уо + °У
z - г0 8 z
(V.4)
* Учебник [20], § 17, 23, 42—46, 48—53, 55, 57, 58
127
Приближенные значения k неизвестных можно получить, напри-
мер, из решения k уравнений ошибок, приняв их правые части
равными нулю.
Коэффициенты a,-, ct, g; представляют собой частные
производные от соответствующих функций /, по неизвестным аргу-
ментам, вычисленные для приближенных значений этих аргументов,
а свободные члены Z,- — разности между приближенными и изме-
ренными значениями тех же функций.
Для облегчения вычислений приближенные значения неизвест-
ных вводят и при линейных функциях, получая систему уравнений
ошибок вида (V.3).
ЗАДАЧИ
246. Получены измеренные значения сих соответственно для
длины окружности С и площади круга S. По этим результатам со-
ставить уравнения ошибок для определения вероятнейшего значе-
ния радиуса этой окружности г по способу косвенных измерений.
Решение
Выразим формулами существующие функциональные зависимо-
сти между результатами измерений и неизвестными
S = Tzr2 и С = 2 к г.
Составляем уравнения ошибок по общему правилу: вероятней-
шая ошибка есть разность между вероятнейшим значением неиз-
вестных и измеренным, то есть
п г2 — s = z>1 и 2 л г — c = v2.
Для приведения этих уравнений к линейному виду выражаем
г через приближенное его значение г0 с вероятнейшей к нему
поправкой 8 г
г = г0 4-6 г.
Теперь уравнения ошибок представятся так:
я (Д + 5 г)2 — s = и 2 к (г0 4- 6 г) — с = г/2.
Разложим выражение ^(д4~5г)2 в ряд по строке Тейлора,
ограничиваясь членами с первой степенью малой поправки 6 г,
ЧД + 5 Г)2 = л Д2 4- 2 п Д 6 г.
Подставив полученное выражение в первое уравнение ошибок
и раскрыв скобки во втором, получим
2 л г0 8 г 4- п г20 — s = V} и 2 тг 5 г 4~ 2 п г0 — с — v2.
Введем обозначения
2 л г0 = аи п г02 — s = lv 2п — а2, 2 л г0 — с = 1.2.
С этими обозначениями уравнения ошибок примут вид (V.3)
aL 6 г 4- - v-l и а2 6 г -f-
128
247. Из измерений получены значения углов плоского тре-
угольника
= 6i°i7'35", q2 = бб^г?" и 9з = бЗ'юг'бг".
По этим результатам составить уравнения ошибок для опреде-
ления по методу косвенных измерений вероятнейших значений всех
трех углов х, у, z.
Решение
Когда по способу косвенных измерений должны быть получены
наиболее надежные значения результатов измерений не одной, а
нескольких измеренных величин, необходимо сначала выяснить
число функционально независимых неизвестных, для которых
и составить уравнения ошибок. В данном случае из трех неизвест-
ных х, у, z два будут независимыми, а третье — их функцией. Вы-
брав в качестве независимых неизвестных х и у, выразим формулой
существующую функциональную зависимость между неизвестными
z = 180°— (х + у).
По числу измерений составим три уравнения ошибок
х — 61°17Л35" = i7i;
у — 55О39'27" = ц2;
180° — (х + У) — 63°02'52" = v3.
Для облегчения вычислений введем приближенные значения не-
известных по (V.4).
Тогда
х = 61°17'35" + 8л;
у = 5б°39'27"
х + у = 116°57'02" Д-8х + бу.
Теперь уравнения ошибок примут вид (V.3)
8х • • = ^;
бу • =v2;
— 8 х — бу 4- 6" — v3.
СиСтема нормальных уравнений
Число нормальных уравнений определяется числом независимых
неизвестных k. При k неизвестных система нормальных уравнений
будет
[аа]л4- !а&]у 4- [acjz-f- • • • 4- [ag] w 4- [al] = 0
[ab]x+[W]y + [dc]z + • - .-|-[^]^4-[W] = o
[ac] x 4- [bc]y 4- [cc] z 4- • 4-fcg]^ 4-[cZ] =0 . (y .5)
(«<?] x 4- [bg]y 4- [eg] z 4- - - -4- [gg] w 4- [g/] = 0
9 г. Л. Бурмистров 129
Коэффициенты при неизвестных, расположенные симметрично
относительно диагонали, проходящей через квадратичные» всегда
положительные коэффициенты [аа\, [66].... [gg], попарно равны
между собой. Это свойство позволяет применять сокращенную
запись коэффициентов нормальных уравнений, опуская все коэффи-
циенты, расположенные ниже диагонали.
Нормальные уравнения можно записать в свернутом виде
[av] - О
(v.6>
[£У] = О
Эти равенства могут быть использованы для контроля вычисле
ния вероятнейших поправок и.
Эквивалентная система для k неизвестных имеет вид
[аа]х + [а&]у-{- [ac]z -f- -4- [ag]w 4- [al] =0
[66-l]_y 4-[6щ1]г+ - • • 4-[6g-l] w + [6M] = 0
[cc-2]z+- 4- [cg-2] w 4~[cZ-2] = 0
(V.7)
teg • (k — i)] w 4- [gz • (6—i)]=о
Эквивалентная система получается в процессе решения нор
мальных уравнений по способу последовательного исключения не-
известных, предложенному К- Ф. Гауссом. Обозначения коэффи-
циентов при неизвестных и свободных членов в уравнениях (V.7)
называются алгорифмами Гаусса.
Из системы (V.7) получают следующую систему э л и м и н а-
ц и о н н ы х уравнений:
= _ JgACfe- 1)]
teg-(^-l)]
г=___________1^-2] w [cl-2]
[сс -2] [сс-2]
teg-ц [6Z-1]
[66-i] [66-i] [66-1]
[аб] lag] w [al]
[aa] y [aa] [aa] [ua]
(V.8)
ЗАДАЧИ
248. Развернуть следующие алгорифмы ([20], § 49):
1) W-3], 2) [6с-2], 3) [е/-4], 4) [6d-3], 5) [с/-5], 6) [соЗ], 7)[ls-k],
8) [ss.6], 9) [/г-(6-1)]; 10) [rs.(A4-l)].
130
Контрольные вычисления. Метод сумм
При составлении таблицы коэффициентов уравнений ошибок
(табл. 104) применяют контроль по методу сумм. Для этого скла-
дывают по каждой строке все коэффициенты и свободные члены,
записанные в столбцах 2—6, получая в столбце 7 суммы s,. За-
тем находят суммы коэффициентов по столбцам 2—6 и производят
контроль
[а] + [^] + М + • • • + [g] + [/] = + 52 + ss + • - • + sn = [$]. (V.9)
При этом контроле проверяется правильность вычислений сумм
Si, «г, • , sn> но не обнаруживаются промахи, допущенные при
составлении уравнений ошибок и таблицы их коэффициентов, а так-
же при приведении нелинейных функций к линейному виду, поэто-
му для обнаружения промахов эти вычисления следует выполнять
независимо в две руки.
____________________________________________Таблица 104
№ уравнений a b c g I s V vv lv
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 ai bl ci 4 Vt liVi
2 °2 b2 gi z2 «2 V-^i l2v2,
3 a3 bs c3 • §3 h «3 V3 v3v3 b',v3
n an bn cn gn In sn Vn vnvn ^nVn
Суммы Неизвестные [«] X [ft] У [C] z [£] w [ft] [«J [vv] [Zt?]
После решения нормальных уравнений и определения значений
неизвестных эти значения вписывают в последнюю строку табли-
цы 104 и по формуле. (V. 1) вычисляют вероятнейшие поправки
записывая в столбец 8. Затем находят vv и lv и их суммы [tw] и
[Zf] (столбцы 9 и 10).
Сумма [vv] необходима для оценки точности, сумма [Zn] вычис-
ляется для контроля: она входит в ряд контрольных равенств, по
которым проверяется вычисление поправок v и [vv]
[vv] = [lv] = [ll • k] = [Zs • k] = [ss • k] = [st/]. (V. 10)
Сумма [пи] может быть найдена еще по следующим формулам:
H] = [aZ]x + [6Z]// + ... + ^Z|w + [ZZ] (V.11)
и
[W1 = Г//1 —И- - .Ж112-______________. (v 12)
J LJ [aa] [bb-1] (V12)
9*
131
Выравнивание коэффициентов уравнений ошибок t
Если различные коэффициенты уравнений ошибок сильно разли-
чаются по абсолютной величине, то для облегчения и уточнения
дальнейших вычислений нужно выравнить эти коэффициенты. По-
кажем, как это можно сделать, на следующем примере.
Пусть получена таблица коэффициентов уравнений ошибок
(табл. 105).
Таблица 105
№ уравнений а ь С Z, мм
1 1 24,6 13,4 7,6
2 1 26,3 15,7 9,3
3 1 21,8 8,2 11,2
4 1 27,5 14,8 8,5
5 1 23,4 12,1 6,8
В данном случае следует уменьшить все коэффициенты при
втором неизвестном в 20 раз, а коэффициенты при третьем неиз-
вестном и свободные члены — в 10 раз. Такое уменьшение равно-
сильно увеличению второго неизвестного в 20 раз и увеличению
третьего неизвестного в 10 раз. Уменьшение в 10 раз свободных
членов, выраженных в миллиметрах, означает, что вычисления
будут вестись в сантиметрах и, следовательно, неизвестные также
будут получены в сантиметрах.
Вследствие изменения коэффициентов при неизвестных изме-
нятся их веса. В нашем случае будет найден вес ргОу для нового
второго неизвестного 20 у и вес р102 для нового третьего неизвест-
ного Юг. Для получения значений весов неизвестных у и z нужно
найденный вес увеличить в 400 раз, а вес р10г — в 100 раз.
Если изменяются только свободные члены, то веса остаются без
изменения.
Составление таблицы коэффициентов нормальных уравнений
После того как произведена проверка таблицы коэффициентов
уравнений ошибок, составленной независимо двумя вычислителями,
переходят к составлению таблицы коэффициентов нормальных
уравнений (табл. 106).
Часто табл. 104 и 106 соединяют вместе.
Найденные в каждом столбце произведения коэффициентов
уравнений ошибок контролируют по методу сумм. Этот контроль
гарантирует здесь правильность получения коэффициентов нор-
132
мальных уравнений. Вычисления в каждой строке проверяют, поль-
зуясь следующими соотношениями:
afli Ч- a i^i Ч~ aici Ч~ • • + CLjgj -|- а(1£ = aiSi '
a,b, + bibi + b ici + + bgi + /?/,- = Z>,s,
a,ci + bfCj + + • - • 4- ctgi + — cisi
(V.13)
строки, а иногда и двух последних строк из (V.14) и (V. 15) не
ВЫЧИСЛЯЮТ.
133
’бок
ж сильно разли-
ля и уточнения
ффпциенты. ПС).
мере.
мнений ошибок
1
105
мальных уравнений. Вычисления в каждой строке проверяют, поль-
зуясь следующими соотношениями:
aiai + a i^i 4~ 4* ‘ ’ 4~ O/gj + djlf — O,Sf '
afti + bfii + /?,<?, -4- + b igt + bfli == bisl
Wi + blci 4- ciCi 4- ... 4- Ctgi + r,Z,- = f,s,.
(V.13)
Z, мм 7 6 И . Таблица 106
№ 9,3 УРав- нений аа ab ас ag al as bb be . . . bg bl bs CC eg cl cs gg gl gs ll Is
11,2 8,5 1 6,8 1 2 3 ;Ьфициенты при I третьем неиз- и увеличению п раз свободных а1а1 й2а2 Й3«3 апап aibt а2Ь2 азьз апЬп а1с1 ^2С2 азсз Gncn aigi aig2 азёз anSn aib azh азЧ ar}n alsl a2s2 a3s3 ап^п Mi bnbn b^i b2c2 Ьзсз . . . bigi b2g2 bsgs bngn bih b2l2 bzh bnln ьл b2s2 b2s2 bnsn C1C1 C2C2 C3C3 cnCn Cjgl Czgz сз£з Cngn cl\ c2l2 csh cn^n Ci«i C2s2 C3S3 cnsn glgl g2gz gsg3 SnSn gib. g?h gsh gnln giSi g2s2 gsss Snsn lih 1^3 Un l2s2 Us lnsn S[Si ^2^2 53S3 snsn
то вычисления звестные также Суммь] звестиых изме- / р20у для нового тьего неизвест- IX у и z нужно в 100 раз. а остаются без равнений коэффициентов J вычислителями, I нормальных I [аа} [аб] [«с] [«£] [«/] [as] /1 [bb] [6c] [bg] [W] [6s] /2 ^2 [cc] [C£] [cl] [cs] /3 ^3 [g'g'] te/] [£«] fk [ll] [Zs] [/] m/ [ss] [/] [2],
коэффициентов
Этот контроль
ициентов нор-
строки, а иногда и двух последних строк из (V. 14) и fV. 15) не
вычисляют.
133
Выравнивание коэффициентов уравнений ошибок
Если различные коэффициенты уравнений ошибок сильно разли-
чаются по абсолютной величине, то для облегчения и уточнения
дальнейших вычислений нужно выравнить эти коэффициенты. По-
кажем, как это можно сделать, на следующем примере.
Пусть получена таблица коэффициентов уравнений ошибок
(табл. 105).
Найденные в каждмм
уравнений ошибок контролируют по методу сумм. Этот контроль
гарантирует здесь правильность получения коэффициентов нор-
132
мальных уравнений. Вычисления в каждой строке проверяют, поль-
уясь следующими соотношениями:
+ albl + apt + • • + a,gz- 4- a,/f = aisi
aibi + bfii 4- btCi 4- 4- big, 4- = bjSj
a,ct 4- bfi 4- c,cz + • • • 4- Ctgt 4- ch — cisi
(V.13)
a,g,- 4- bigt + Cigi + • • 4-g,gi 4- gilt = giSt
4- bh 4- cz/z “Ь ‘ 4 Sih 4- hh — hsi
atst 4- bfit + czsz 4- • + gfii 4- /zsz =
(i= 1,2, • •, n).
Просуммировав по каждому столбцу отдельные произведения,
проверяют найденные коэффициенты нормальных уравнений, поль-
зуясь следующими равенствами:
[аа] 4" fab] 4_ 4* *
[ab] 4- [bb] 4- [Ьс] + •
[ас] + [6с] + [ с с] + •
[ag] + [6^] + [с^] 4-
[al\ + [Ы] + [cl] +
[as] + [6s] 4- [cs] 4-
4- [ag] + [al] = [as]
4 [6g] 4 [6/] = [6s]
• 4- [eg] + [сП = [cs]
4- [gg] 4- [gH = [gs]
• • +[g/]4-[W] =[*«]
• + [gs] 4 [fc] = [s«]
(V.14)
При решении нормальных уравнений с соотношениями (V.14)
производят те же операции, что и с нормальными уравнениями при
последовательном их преобразовании по способу Гаусса. Таким
путем получают для контроля вычисления коэффициентов эквива-
лентной системы уравнений (V.7) следующие равенства:
[66-1] + [6с-1] 4- •+[6g.l] + [6Z-l] = [6s-l]
[сс-2]+ - +[cg.2] + [c/.2] = [cs.2]
[gg (/г—1)] 4- [gl-(b— 1)] = [gs • (A— 1)]
[//./e] = [/s-&]
[/s-6] = [SS-6] j
(V.15)
Схема решения нормальных уравнений включает все соотноше-
ния (V.14) и (V.15), но обычно контрольные выражения последней
строки, а иногда и двух последних строк из (V.14) и (V.15) не
вычисляют.
133
Решение нормальных уравнений
Нормальные уравнения представляют собой систему k линей
ных уравнений с k неизвестными, которую при геодезических вы-
числениях решают обычно способом последовательного исключения
неизвестных. При этом нельзя ни умножать, ни делить обе части
уравнения ни на какое число, допускается лишь деление на коэф
фициент при определяемом неизвестном.
Преимущество этого способа, предложенного К. Ф. Гауссом,
заключается в однообразии последовательных действий, сопровож
дающихся постоянным контролем вычислений, в конце которых по-
путно получается вес последнего неизвестного.
Для решения нормальных уравнений предложен ряд схем вы-
числений. Схема решения нормальных уравнений для трех неиз-
вестных приведена в табл. 107.
В этой схеме буква N с указателем обозначает уравнение.
Индекс внизу указывает порядковый номер уравнения в системе
уравнений, а указатель вверху показывает, в какую систему входит
это уравнение. Например, ЛДП обозначает первое уравнение из
третьей системы, т. е. из преобразованной системы уравнений, полу
чившейся после исключения второго неизвестного. Буква С с ука-
зателями обозначает элиминационные уравнения. Один указатель
при С показывает номер системы; если имеется второй указатель,
то он указывает порядковый номер неизвестного. Например, С2,з
показывает, что взят коэффициент С уравнения второй системы для
третьего неизвестного.
После приобретения навыка в решении нормальных уравнений
первый и второй столбец этой схемы обычно опускают.
Записи вычислений в схеме ведут чернилами, последовательно
заполняя все строки в порядке их нумерации.
Строка 1. В нее вписывают коэффициенты первого нормаль-
ного уравнения, [al] и [as]. Затем тут же складывают на счетах
все выписанные коэффициенты и свободный член первого уравне-
ния, сличая результат с контрольной суммой [as|. Удостоверившись,
что первое уравнение переписано без ошибок, записывают в столб-
це «контроль» полученную сумму.
Строка 2 называется элиминационной, записи в ней
делаются красными чернилами. В нашей схеме I элиминационные
строки подчеркнуты полужирной линейкой. Вычисления начинают
с деления единицы на квадратичный коэффициент (величина Ei).
Эта величина берется с одной — двумя лишними значащими циф-
рами по сравнению с числом значащих цифр, установленных для
коэффициентов первого элиминационного уравнения, и записывает-
ся со знаком минус. Поставив на установочных рычагах арифмо
метра величину Еь перемножают ее на [аа], должно получиться
число, весьма близкое к единице, если величина Ei была найдена
правильно. Минус единицу вписывают выше Ei. Далее последова-
тельно перемножают на Ei все члены, записанные в первой строке,
включая [as]. При этом у каждого произведения меняют знак на
134
обратный, записывая результат во вторую строку — под тем чле
Н(М первой строки, на который множится Еь
Затем суммируют на счетах полученные результаты в третьем
,_1), четвертом, пятом и шестом столбцах. Полученная сумма
сличается с результатами седьмого столбца и записывается в вось-
мой столбец.
Строку 3 пропускают.
Строка 4. В нее вписывают коэффициенты, начиная с квад-
ратичного, свободный член и контрольную сумму второго нормаль-
ного уравнения. Далее проверяют, удовлетворяется ли контрольное
равенство
и записывают полученную сумму в восьмой столбец.
Строка 5 служит для записи результатов последовательного
перемножения коэффициента первого элиминационного уравнения,
расположенного над квадратичным коэффициентом [bb], на [ab\
'ас], [al] и [as].
Строка 6. В нее записывают коэффициенты второго уравне-
ния эквивалентной системы, которые получают суммируя по столб-
цам величины строк 4 и 5. Затем проверяют, удовлетворяется ли
контрольное равенство
\bb 1] + [Ьс 1] + [Ы 1] = [bs - 11,
результат вписывают в восьмой столбец.
Строка 7 — элиминационная. Делят единицу на [bb • 1] и ре-
зультат Ей записывают с минусом, удерживая один — два лишних
десятичных знака против числа знаков, установленных для коэффи
циентов второго элиминационного уравнения. Далее, поставив ве-
личину Ей на установочных рычагах арифмометра, перемножают
ее на [bb • 1], проверяя правильность Е2. Убедившись, что получает-
ся число, весьма близкое к единице, записывают минус единицу
выше Е-2 и последовательно перемножают Е2 на [Ьс 1],* [Ы • 1]
и [fes - Г. У произведений меняют знаки на обратные и полу-
чают коэффициенты второго элиминационного уравнения, которые
вписывают в строку 7. Затем суммируют полученные результаты
в столбцах 4 (—1), 5 и 6. Вычисленная сумма сличается с конт-
рольной суммой столбца 7 и записывается в столбец 8.
Строка 8 пропускается.
Строка 9. В нее вписывают коэффициенты, начиная с квад-
ратичного, свободный член и контрольную сумму третьего нормаль-
ного уравнения. После этого, проверяют, удовлетворяется ли конт-
рольное равенство
Ы + [Ьс] + [сс] + [с[] = [cs],
и полученную сумму записывают в столбец 8.
Строки 10 и 11. В столбце третьего неизвестного берут коэф-
фициенты элиминационных уравнений: первого — из строки 2 и
второго — из строки 7.
135
Таблица 107
136 !37
Схема I решения нормальных уравнений
в буквенных обозначениях, для трех неизвестных х, у, z
№ строк Обозначения строк X У Z Z 5 Контроль
1 2 3 4 5 6 7 8
1 Л\1 [яа] [«&] [ас] [а/] [as]
2 с,- / M- Е, [«&] [ас] [а/] [as]
‘ [««] [ал] [аа] [аа] [aa]
3
4 NJ [W] [Ас] [W] [&s]
5 [аЯ [flfe] Гас] Га/1 [a&] [as]
[аа] 1 1 [аа] [аа] [aa]
6 [&&.1] [&с-1] [W-1] [fes-1]
7 а- 1 — Е„ [&С1] [6М] [fes-1]
1^.1] 1 [fefe.l]/ 2 [&&.1] [&&.1] [fefe.l]
8
9 N3l [сс] [CZ] [cs]
10 Clt3-NJ - [ас] [°с1 |а/1 [ac] [as]
[аа] [аа] L [aa]
И G-s-^11 |»cl] [fes-1]
[fefe.l] 1 1 [fefe.l] 1J [fefe.l]
12 /V^n 13 G- ^In . [a/1 [aa] , -M-z [aa] -l^ly [aa] y __ [6M1 [W.l] . t^-l] ? [bb-1] [cc.2] [C/-2] [C/-2] [cs-2] [cs-2]
3 [cc-2] 14 15 G,Z 16 z-C;t3 17 У'Ci,2 18 19 20 21 G-j’^i 22 G-s-M11 23 G-s-M1" 24 ' [ec-2]) [C/-2] [cc-2] [cc-2]
w [Zs] [й^ Гду] Cij-N^ G,z-M" G.z-M111 Контроль
[cc2]
z
[aa] 1 /J _ t^-.l]- [/,/.1] [fefe.l] 1 [^•2] [c/.21 [aa] 1 [fes.Il
У
[fefe-1]1 lc/,2l [cs-2]
X
[cc2]U [cc-2]
[Z/.3] [Zs-3] [ss] --И-tas] [aa] [fes-11
[W.l]1 [cs'2] [Cd'.2|
[cc-2] 1
[ss-3]
Поставив — на установочных рычагах арифмометра, ^пере-
множают этот коэффициент последовательно на [ас], [а/] и [as] и за-
писывают результаты в строку 10. Далее перемножают — на
[Ьс 1], [Ы 1] и [bs - 1] и записывают результаты в строку 11.
Строка 12. В нее записывают коэффициенты третьего урав-
нения эквивалентной системы, которые получают суммированием
по столбцам чисел строк 9, 10 и 11. Затем проверяют, удовлетво-
ряется ли контрольное равенство
[сс 2] [cl 2] = [cs • 2],
и полученную сумму вписывают в восьмой столбец.
Строка 13 — элиминационная. Разделив единицу на [сс 21,
записывают результат Е3 с минусом, сохраняя один — два лишних
десятичных знака по сравнению с числом знаков, установленных
для коэффициентов третьего элиминационного уравнения. После
этого, поставив величину Е3 на установочных рычагах арифмомет-
ра и перемножив ее на [сс • 2], проверяют правильность Е3. Удосто-
верившись, что получается число весьма близкое к единице, запи
сывают минус единицу выше Е3 и последовательно перемножают
Е3 на [cl • 2] и [cs 2]. Переменив у произведений знаки на обрат-
ные, получают коэффициенты третьего элиминационного уравне-
ния, которые вписывают в строку 13. Далее суммируют полученные
результаты в пятом (—1) и шестом столбцах. Найденную сумму
сличают с контрольной суммой седьмого столбца и записывают в
восьмой столбец.
Строка 14 пропускается.
Строка 15. На ее пересечении с шестым и седьмым столбцом
выписывают [//] и [/s]. Затем в столбце свободных членов берут
коэффициенты первого, второго и третьего элиминационных урав-
нений, перемножают их на свободные члены эквивалентной систе-
мы, находящиеся непосредственно над ними, и результаты записы-
вают соответственно в строки 16, 17 и 18.
Строка 19. Служит для записи контрольных сумм [II • 3] и
[Is • 3], вычисленных суммированием по столбцам величин, записан-
ных в строках 15—18.
Строка 20. В нее вписывается [ss], Далее в столбце s берут
контрольные суммы первого, второго и третьего элиминационных
уравнений и перемножают их на лежащие выше контрольные сум-
мы первого, второго и третьего уравнений эквивалентной системы.
Результаты записывают соответственно в строки 21, 22 и 23.
Строка 24. В нее записывают контрольную сумму [ss • 3],
полученную сложением величин, записанных в строках 20—23.
Заключительный контроль
[И 3] = [Zs • 3] == [ss • 3].
Часто вычисления в строках 20—24 не производятся.
138
Затем определяют неизвестные в следующем порядке. Перепи-
сывают свободные члены элиминационных уравнений из шестого
столбца в строку 15. Последний из них
М-2]
М-2]
является последним неизвестным z. Поставив значение z на уста-
новочных рычагах арифмометра, перемножают его на коэффициен-
ты первого и второго элиминационных уравнений столбца z, а ре-
зультаты вписывают в строку 16. Сложив полученные величины в
строках 15 и 16 столбца у, находят второе неизвестное у. Умножа-
ют у на коэффициент первого элиминационного уравнения столбца
у и записывают результат в строку 17. Сложив полученные вели-
чины в строках 15—17 столбца х, получают первое неизвестное х.
Правильность решения нормальных уравнений иногда проверя-
ют подстановкой неизвестных в суммарное уравнение
([йй| + [ab] + [яс]) х + ([aft] + [bb] -ф ф ([йс] -ф [Ьс] -ф [«•]) z -ф
+ ([й/]+ [£>/] +[с/]) = 0.
Существует другой способ контроля определения неизвестных
каждое вновь найденное неизвестное вместе с ранее найденными
неизвестными подставляют в соответствующее уравнение эквива
лентной системы. Так, неизвестное z подставляют в строку 12,
неизвестные у и z — в строку 6 и все 3 неизвестных — в строку 1.
Убедившись в правильности определения неизвестных, записы-
вают их внизу таблицы коэффициентов уравнений ошибок и вычис-
ляют поправки rvi по формулам (V.1) или (V.3).
Найденные поправки вводят в результаты измерений, после
чего для уравновешенных значений неизвестных проверяют выпол-
нение простейших геометрических условий, соответствующих содер
жанию данной задачи.
Установление числа значащих цифр в вычислениях при решении
нормальных уравнений
Все вычисления, в частности и решение нормальных уравнений,
должны выполняться так, чтобы ошибки округления чисел в проме-
жуточных выкладках не искажали результаты.
Перед решением- нормальных уравнений следует установить
количество значащих цифр, с которыми придется вести вычисления,
исходя из заданной точности определения неизвестных. При этом
желательно иметь коэффициенты нормальных уравнений выражен-
ными в единицах примерно одного разряда, а для этого следует
при составлении уравнений ошибок выравнивать их коэффициенты.
Однако и при хорошем выравнивании коэффициентов могут ока-
заться коэффициенты нормальных уравнений, выраженные в едини-
цах соседних разрядов, например в десятках и сотнях.
Пусть, например, вероятнейшие значения поправок к неизвест-
ным требуется определить с двумя значащими цифрами. Если вы-
числять коэффициенты элиминационных и эквивалентных уравне
139
ний только с двумя значащими цифрами, то вследствие влияния
ошибок округления коэффициенты последнего элиминационного
уравнения будут искажены. Поэтому необходимо удерживать при
вычислениях в элиминационных строках дополнительные десятич-
ные знаки. Число их, по исследованиям А. В. Гордеева и Е. Г. Лар-
ченко ([12], § 89, стр. 243), определяется числом цифр в целой
части наибольшего из неквадратичных коэффициентов соответству-
ющего преобразованного уравнения, по которым непосредственно
вычисляются коэффициенты элиминационных уравнений. Например,
если наибольший коэффициент уравнения эквивалентной системы
равен 21,273 (вычислен с тремя десятичными знаками), то,
коэффициенты элиминационных уравнений следует вычислять с
пятью десятичными знаками. Если же наибольший коэффициент
оказался, например, равным 1,965, то в коэффициентах элимина-
ционных уравнений нужно удерживать четыре десятичных зна-
ка и т. д.
Рассмотрим пример расчета числа значащих цифр при решении
нормальных уравнений, составленных и решенных в задаче 249.
При уравновешивании измеренных углов были составлены уравне-
ния ошибок, свободные члены которых (табл. 110) вычислялись с
точностью до 0",1. Так как значения свободных членов оказались
в пределах от 0 до 1",0, можно предполагать, что вероятнейшие
поправки окажутся порядка десятых и сотых долей секунды, т. е.
с двумя значащими цифрами. Для вычисления коэффициентов нор-
мальных уравнений, поскольку коэффициенты уравнений ошибок
небольшие, берем одну запасную значащую цифру.
С тремя значащими цифрами можно вычислять и коэффициен-
ты эквивалентной системы уравнений. Во всех элиминационных
уравнениях оказалось достаточным вычислять коэффициенты с од
ним дополнительным десятичным знаком, так как во всех преобра-
зованных уравнениях в целой части наибольшего неквадратичного
коэффициента — только одна цифра. Поправки неизвестных вычис-
лялись с тремя десятичными знаками, что обеспечило определение
вероятнейших поправок до 0",01.
При всех этих расчетах необходимо учитывать число верных
цифр в коэффициентах.
Оценка точности
1. Средняя квадратическая ошибка результата непосредственно-
го измерения т определяется по формуле
где п — число измерений, а
k — число неизвестных.
Ошибка самой ошибки тт = г т .
т к 2(п—k)
2. Вес последнего неизвестного при решении нормальных урав-
140
нений по способу Гаусса всегда равен коэффициенту при этом не-
известном в последнем уравнении эквивалентной системы
^ = [gg-(*-l)]- (V.17)
Вес предпоследнего неизвестного найдется по формуле
р р /у (g.
“ |gg-(*-2)J ’
3. Средние квадратические ошибки двух последних неизвестных
вычисляются по формулам
т т
(V.19)
4. Если требуется найти среднюю квадратическую ошибку и вес
одной или нескольких функций, вид которых заранее известен, то
можно применить способ дополнительного столбца в схеме решения
нормальных уравнений (схема II в табл. 108). В дополнительном
столбце схемы II, обозначенном производят те же вычислитель-
ные операции, что и в столбце свободных членов.
Обратный вес функции
и — ф Z, - , w)
получается развертыванием алгорифма [А-И • &], то есть
1 [A-U2 [Д-2]2
т2
[аа] [Ь6‘1]
[A-(fe-i)]2
[gg-(^-i)] '
|сс-2|
и
(V.20)
Здесь
д ф
dw '
f -A f
то есть коэффициенты
ции и, когда последняя
[/2.1] = '
__д ф ,____д ф
ду ’ 7s д z ’ '
при соответствующих неизвестных
приведена к линейному виду, а
f rf .91 — f \ас\ f г f . и .
[tzaj71’ l/s J /s [zzzz]71 [66-1] 1/2 J’
---------------------------------------
Lfe-(*-2)) ,f ,k_m
[gg-{k-2)] Uk-r { ,J-
Контрольные вычисления производятся в столбце схемы II.
в котором располагают все промежуточные результаты вычисления
по формуле
1 ГН- ЛА _ _ 1А-2][£3-2]
17 J [аа] [66-1] [сс-2]
[A-(fe-DW(fe~i)]
(V.21)
в функ-
(V.22)
Ри
(V.23)
141
Таблица 108
Схема II
№ строк Названия строк X у Z 1 S /« 2и
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 М1 [аа] л /1 2г
[аа] [аа]
Cpo-AV /г _.Л [Д^] [аа] 2г [afe] [аа]
TVjll С2 — Л'П [Л-1] _[/2-1] [^•1] [^•1] _ [^2-1] [fefe-1]
[fefe-1]
N3i Q.3-av С2-3‘МП /з _ Л [«с] [аа] _[/2-1] [fec-1] [fefe.l] ^3 __ Si [ас] [аа] [-2-1] [fed]
[fefe-1]
Л\Ш c3=-WL [сс-2] • L/s-2] _ [Л-2] [сс-2] [^з-2] _ [г3-2] [сс-2]
С3.гЛ\ш лг [/] /1-^1
[аа] _[Л-1]2 [fefe-1] _[/з-2Р [сс-2] [аа] [/2-1]^2-1]
[fefe-1] [/3-2][23-2]
[сс-2]
1 Ри 1 о - и
142
Здесь символы с буквой 2 развертываются подобно выраже-
ниям (V.:22). При этом
= [аа] + [ab] + [ас] Ч-h [ag] Ч~ А = [as] - [а/] Ч-А'
32 = [ab] + [bb] + [Ьс] Ч--[- [6g] ч- А = Ps] — [ЭД + А
v3 = [ас] + [Ьс] Ч- [СС] Ч-- • + [eg] Ч-А = [«] - [ЭД + А ’ (V'24)
2А = [ng] Ч- [^] + [eg] Н-1- [£g] +fk = [gs] - [gZ] 4-A
Вычисление контрольных сумм 2 проверяется по формуле
[2]z = [/] + [ns] Ч- [6s] Ч- [CS] + • • - Ч- tes] Ч- [ЭД - [ЭД (V-25)
или
[2L = [/]4-[ss]-[/s]-[g/]- • — [cl] — [Ы] — [al]. (V.26)
Формулы (V.20) и (V.23) могут применяться для определения
обратного веса самих уравновешенных величин. Для вычисления,
например, обратного веса второго неизвестного нужно принять
а = у,
положив
A = i, /2 = f3 = . ..=A = 0.
При определении Рх нужно принять
и = х,
положив
Л-h f2 = f3 = ...=A=0-
Для оценки точности функции уравновешенных величин можно
применить также метод весовых коэффициентов, но об этом сказа-
но в разделе неравноточных измерений.
Веса и средние квадратические ошибки неизвестных, а также
функций уравновешенных величин достаточно вычислять с двумя
значащими цифрами. Если первая цифра единица, то можно остав-
лять и третью цифру.
§ 14. Задачи на уравновешивание и оценку точности
результатов косвенных равноточных измерений*
249. В табл. 109 даны результаты измерения углов во всех
комбинациях (рис. 16). Уравновесить эти результаты по способу
Учебник [20], § 56, 59, 61.
143
косвенных измерений и вычислить средние квадратические ошибки
вероятнейших значений первого, второго, третьего и шестого углов.
Рис. 16
Таблица 109
№ углов Углы Измеренные значения Неизвестные
1 АОВ 38°31'15",5 X
2 ВОС 46 07 30 ,0 У
3 COD 17 43 46 ,5 Z
4 А ОС 84 38 45 ,0
5 BOD 63 51 16 ,5 у 4-2
6 AOD 102 22 33 ,0 х + У + 2
Решение
Выберем в качестве независимых неизвестных х, у, z соответ-
ственно первый, второй и третий углы. Тогда остальные три угла,
зависящие от первых трех, будут представлять собою суммы неза-
висимых неизвестных. Веса неизвестных z и у найдутся попутно
с решением нормальных уравнений.
I. Для определения веса шестого и первого углов составим две
функции (рис. 16):
Ui = х -|- у + z,
и2 — х.
144
II Записываем уравнения ошибок в общем виде
1. х — qi = V\
2. у — <72 = v2
3. z — Уз = 1)з
4. ху —qi = Vi
5. у + z — q5 = v3
6- х + у 4- z — q6 = v6
III. Для облегчения вычислений введем приближенные значения
неизвестных, приняв за них измеренные значения углов х, у, z.
Выразим неизвестные через приближенные значения и по-
правки к ним
х = х0 + о х = 38°31'15",5 -Ь 5 л;
у =у0 4~ Sy = 46 07 30 ,0 + Sy;
z — z0 + 8 z = 17 43 46 ,5 + 5 z.
IV. Подставив эти выражения и значения измеренных величин
в уравнения ошибок, получим следующие уравнения ошибок
с поправками к приближенным значениям не-
известных:
1. -f- Бх • • - =
2. - 4~
3. . 4~ Бг — г>3
4. 4-5х4-5у . 4-0",5 = ^
5. 4-8y4-6z - =г»Б
6. 4- 8л: 4- Бу 4- 5z — 1 ",0 =
V. По этим уравнениям составим таблицу коэффициентов урав-
нений ошибок (табл. ПО).
VI. Пользуясь табл. ПО, составим таблицу коэффициентов нор-
мальных уравнений (табл. 111).
Для функции u = x-\-y-\-z коэффициенты — f2 — f3 = -f- 1,
а контрольные суммы
= [as] — [a/] 4- fr = + 5,5 + 0,5 4- 1,0 = 4- 7,0;
S2 = [6s] — \bl] + f2 = + 7,5 + 0,5 4- 1,0 = 4- 9,0;
38 = [cs] — [c/] 4- f3 = 4- 5,0 4- 1,0 4- 1,0 = 4- 7,0.
Суммирование по строке 3И1 дает 7,0 4~ 9,0 -[- 7,0 = 23 =
[2]z. Контрольное вычисление по формуле (V.25):
+ 3,0 4- 5,5 4- 7,5 + 5,0 4- 1,25 4- 0,75 = 23,0.
Ю В. А. Бурмистров 145
M I111 ' III
lllflll III III 1111 III ° 1 Ct! £ co CM CN Г- LQ О CJD —' — CO СЧ 1Л Cm О О О ’ О - + 1 + + + .1 +0,86 11 Со со О О О iO О О о о о см о о —• ' — со ++++++ т о о см о о Г-~ СО со —1 см + + + Тот же результат получается и по формуле (v.2b). °. § Для функции U2 = х коэффициенты fi — + 1, fa = fa = 0. Коит- । ct рольные суммы
m Г> О СМ Г-
I __ _ _ St . Таблиц & О О — CN О СО о о о о о о 00 t=f о хо ^0 + 1,25 — 2,00 - 0,75 + 3,00 +23,00 ~+Г+ | I 21=4-7,0, 22=4-8,0, i3=-f-b,U, (2jz= [2J^= 4-21,0. О Qi ~ Эти вычисления можно выполнять в табл. 111. В ней после + + строки «Суммы» имеется строка щ для функции щ = х + у Д- z,
+0,25 +0,63 +0,88 Та
m о СМ о + + +1,25 строка ЕИ1 — для получения контрольных сумм 2 первой функции, строка «г — для функции и2 = х, строка 2„2 для контрольных сумм 3 второй функции. ° “ VII. На основании табл. 111 записываем нормальные уравнения. Нормальные уравнения с коэффициентами в буквенном и чис-
g +0,37 +0,25 -0,63 -0,01 со — см см + + + т »-< г- + + +
7 7 ленном виде:
-0,12 +0,50 +0,25 -0,63 0,00
g + + + со + 2. [аЬ] 6x4- fbb] + [Ьс\ 6 z +- [feZ] = 0; о °" 3. [ас] 8x4- [Z>cJ S_y 4- fcc] 8 z + [СЛ = 0
& см о со —< m со о о о + + 1 -0,01 •S О LQ О О —< см см см + + + + т о ’ о + + +
S +0,5 -1,0 т 7 и 1. + 3,00 8 х + 2,00 4- 8z — 0,5 = 0;
& CN СМ О- О LQ СО со ю СМ со % О О о О Q О + 1 + + + m О +
•й + + см + 2. 4-2,00 8 x + 4,00 бу/4-2,00 6z — 0,5 = 0;
co moo —' —< см см см ++++++
+ + + + + 3. + 8x+ 2,00 oy 4- 3,00 5z— 1,0 = 0. Суммарное уравнение „ °- I 4- 6,00 6 x + 8,00 6+ 4- 6,00 8 z — 2,0 = 0. 4- +
-* ю о О —’ + 1 -0 ,5
со «а о то — см см + + + т- о LQ —< оГ + + +
+0,5 -1,0 LQ Vlll. Решение нормальных уравнений приведено в табл. 112. По мере вычисления поправок 6z, 8у, 8х подставляют их в эквивалентные уравнения
+ + + +3 +0,373
а + + Дополнительные контроли вычисления поправок 6х, 8у, 8z: 1) подстановкой в суммарное уравнение -[-0,744 — 0,976-Д
<1 + + + + +4 —0,122
+ + см + + 2,238 — 2,000 = 4~ $',006; 2) вычислением
ts ts + + + со + [w]=[aZ]6x4-[W]3j+[cZ]8z+[ZZ]=—0,064-0,06—0,374-1,25=+0,88,
+ + + Суммы +3 Неизвестные] +0,124
№ уравнений »—< см со т СО Суммы «1 ?“1 водят вычисление поправок тэ,- (табл. ПО). Для этого вписываем Б*, Ъу, & в нижнюю строку табл. ПО и вычисляем по формуле 3 I Последние три столбца табл. НО служат для получения [vv] и ее контроля. Контроль вычисления v и [vv] (V.10) в данном случае вполне удовлетворился. 10* 147
№ уравнений •—' СМ со ю со
Таблица 112
№ строк Обозначения строк a s' s^ s Ъх ь S Xх 8у С S' s^ / 5 Контроль /«1 2“1 /«2 Z«2
1 N,i +3,00 —1 +2,00 +1,00 —0,50 + 5,50 + 5,50 +1,00 +7,00 + 1,00 +7,00
2 с — м1 1 [аа] (-0,3333) -0,667 -0,333 +0,167 — 1,833 - 1,833 —0,333 —2,333 -0,333 -2,333
3 4 +4,00 +2,00 -0,50 + 7,50 + 7,50 +1,00 +9,00 0 +8,00
5 -1,33 —0,67 +0,33 - 3,67 -0,67 -4,67 —0,67 —4,67
6 Л^н +2,67 + 1,33 -0,17 + 3,83 + 3,83 +0,33 +4,33 -0,67 +3,33
7 c2=-J^- [w.i] — 1 (-0,3745) —0,498 +0,064 — 1,434 — 1,434 —0,124 -1,622 +0,251 -1,247
8 9 +3,00 —1,00 + 5,00 + 5,00 +1,00 +7,00 0 +6,00
10 Сьэ’М1 -0,33 +0,17 — 1,83 -0,33 —2,33 —0,33 —2,33
И С2.3-Л^1 —0,66 +0,08 - 1,91 —0,16 —2,16 +0,33 —1,66
12 М‘п +2,01 —1 -0,75 + 1,26 + 1,26 +0,51 +2,51 0,00 +2,01
13 __ д\ш (-0,4975) +0,373 — 0,627 - 0,627 -0,254 -1,249 0,000 —1,000
3 [сс-2]
Продолжение табл. 1V2.
№ строк Обозначения строк а / S Ъх b Х8У с s' 1 Контроль /ui / u2 2 “2
14
15 16 Q.z Z’C{,3 +0,167 -0,124 +0,064 -0,186 +0,373 + 1,25 -0,08 — 0,75 + 0,92 - 0,75 -0,33 +3,00 -2,33 -0,33 + 1,00 -2,33
17 18 У‘С1>2 +0.0S1 +0,124 —0,122 8? -0,01 —0,28 + 0,25 + 0,47 —0,04 -0,13 -0,54 —0,64 -0,17 0,00 +0,84 0,00
19 [у V J +0,88 + 0,89 __1_ р -0,50 —0,51 -0,50 -0,49
20 +17,25 +17,25 “
21 —10,08
22 C2>J-M" - 5,49
23 24 С3,гМш - 0,79 + 0,89
IX. Вычислим уравновешенные значения измеренных углов
(табл. 113).
Таблица 113
№ по пор. Углы Измеренные значения Поправки vi Уравновешен- ные значения Яг+Vi Неизвестные
1 АОВ 38°31'15",5 4-0", 12 38°31'15",62 X
2 ВОС 46 07 30 ,0 -0 ,12 46 07 29 ,88 У
3 COD 17 43 46 ,5 4-0 ,37 17 43 46 ,87 Z
4 АОС 84 38 45 ,0 4-0 ,50 84 38 45 ,50 *+У
5 BOD 63 51 16 ,5 4-0 .25 63 51 16 ,75 у+?
6 AOD 102 22 33 ,0 —0 ,63 102 22 32 ,37 х-^-уА-г
Получив уравновешенные значения всех результатов измерений,
произведем проверку всей работы (окончательный конт-
роль) путем выяснения, удовлетворяются ли геометрические усло-
вия данной задачи с найденными вероятнейшими значениями неиз-
вестных (табл. 114).
Таблица 114
№ по пор. Комбинации углов Вычисление алгебраических сумм углов Соответ- ствую- щие углы
1 ЛОВА-ВОС 84°38'45",50 АОС
2 BOC+COD 63 51 16 ,75 BOD
3 AOB-j-BOCA-COD 102 22 32 ,37 AOD
всех предшествующих вычисле
точности.
X. Убедившись в правильности
Ний, заканчиваем работу оценкой
Оценка точности
1) Средняя квадратическая ошибка результата непосредственно-
го измерения
т
п — k
Ошибка самой ошибки
^=±0",54.
0", 54
-+-—_ = 4- 0",22.
~ I 2(6-3) ~
т
tnm = —
У 2(га — k)
2) Вес последнего неизвестного pz = [сс 2] = 2,0.
150
3)
Вес предпоследнего неизвестного
Ру Рг [сс-1] ’ 2,67 ’
Величину [сс-1] приходится вычислять отдельно после развер-
тывания этого алгорифма.
4) Средние квадратические ошибки неизвестных:
— = -f-o,"54 1Л0,50 = 4-0",38;
Рх ~
0" 54
/??..,= -f= = ±-^21 = ±0",38;
1 Ру /2,0
т , 0 ",54
т
5)
углов
т = = 4- —= 4- 0",38.
Г 2,0 -
Средняя квадратическая ошибка суммы уравновешенных
и = х + у + z (шестой угол)
= ± 0",54 j/’OjO = ±0",38.
При измерении углов во всех комбинациях по способу Шрейбе-
ра должны получиться одинаковые значения весов, как и оказа-
лось в данном случае.
250. В табл. 115 даны результаты измерения углов во всех
комбинациях (рис. 16) в 10 вариантах. По одному из вариантов
уравновесить эти результаты по способу косвенных измерений и
вычислить средние квадратические ошибки первого, второго, третье-
го и шестого углов.
Таблица 115
№ по пор. Углы Измеренные значения углов без Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
секунд Секунды измеренных углов
1 АО В 44°03' 14,5 13,5 14,0 13,0 12,5 12,0 15,0 16,1 15,6 14,7
2 ВОС 43 14 20,0 20,3 19,2 21,0 20,5 21,0 18,5 19,2 19,1 18,7
3 COD 53 33 33,5 32,4 32,9 31,8 31,3 30,7 31,0 30,4 30,0 29,5
4 АОС 87 17 31,0 30,7 31,2 31,5 30,5 30,6 31,2 32,1 32,8 32,9
5 BOD 96 47 53,0 55,1 52,9 54,0 51,4 52,3 50,2 50,1 50,0 51,1
6 AOD 140 51 05,0 04,5 03,9 03,5 01,8 01,4 01,2 02,9 01,5 02,2
251. В табл. 116 даны результаты измерения углов (рис. 17).
Задания будут индивидуальными, если вычеркивать один измерен-
ный угол. В данной задаче вычеркнут 5-й угол ВОС = 75°28'37",1.
151
Уравновесить приведенные результаты по способу косвенных изме-
рений и вычислить средние квадратические ошибки вероятнейших
значений углов COD, DOE, АОЕ.
Рис. 17
Таблица 116
№ по пор. Углы Измеренные значения углов № по пор. Углы Измеренные значения углов
1 AGB 60с53'18", 1 6 ВОЕ 202°22'19",1
2 АОС 136 21 54 ,7 7 COD 66 48 36 ,8
3 AOD 203 10 28 ,8 8 СОЕ 126 53 45 ,3
4 АОЕ 263 15 37 ,9 9 DOE 60 05 11 ,2
5 252. На пуг циях (см. рис. BOD ште т 6), 3 142 17 11 ,5 эиангуляции начения коте измер рых д )ены j [аны /тлы во всех комбина- з табл. 117.
Табл и ц а 117
№ углов Значения углов № углов Значения углов
1 25°01'40",3 4 67°05'10",7
2 42 03 29 ,0 5 127 06 17 ,0
3 85 02 42 ,5 6 152 07 53, 5
Уравновесить полученные результаты, найти вероятнейшие зна-
чения первого, второго и третьего углов и их средние квадратиче-
ские ошибки. Определение весов этих углов произвести по способу
Энке, переставляя неизвестные и уравнения (см. [201, стр. 197,
§ 55).
152
253. В табл. 118 даны
комбинациях (рис. 18). По
результаты измерения углов во всех
одному из вариантов уравновесить эти
Рис. 18
результаты по способу косвенных измерений и
квадратические ошибки вероятнейших значений
АОВ и АОЕ.
вычислить средние
углов DOE, COD,
Таблица 118
№ по пор. Углы Измеренные значения углов без Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
секунд Секунды углов
1 АОВ 32°26* 17,3 16,5 16,0 15,5 15,0 18,0 18,5 19,0 19,5 17,0
2 ВОС 51 15 50,2 50,4 50,7 51,1 51,4 49,8 49,4 49,0 48,7 50,0
3 COD 61 42 21,1 21,5 21,9 22,4 22,8 23,1 23,5 23,8 24,0 24,3
4 DOE 89 31 46,4 46,1 45,8 45,4 45,7 45,3 45,4 44,6 44,0 45,0
5 А ОС 83 42 08,0 08,5 08,9 08,7 09,1 09,3 09,8 10,5 10,7 10,1
6 AOD 145 24 26,3 * 26,1 25,8 25,5 25,3 26,5 26,8 27,1 27,4 27,8
7 АОЕ 234 56 15,6 15,3 15,0 14.7 14,4 16,0 16,3 16,6 16,9 15,8
8 BOD 112 58 13,9 13,6 14,3 15,0 14,7 15,4 15,9 16,2 16,5 17,0
9 ВОЕ 202 29 56,8 56,9 57,0 57,1 57,2 57,3 57,4 57,5 57,6 57,7
10 СОЕ 151 14 10,5 10,7 10,9 11,1 11,3 11.4 11,6 11,8 11,5 12,2
254. По уравнениям ошибок, составленным в задаче 247, вы-
числить среднюю квадратическую ошибку функции уравновешен-
ных величин и = х + у, не решая нормальных уравнений.
153
Решение
i
1. Составим таблицу коэффициентов уравнений ошибок и нор
мальных уравнений (табл. 119).
Таблица 1J9
№ по пор. я] Л п s]
1 +1 +1 + 2
2 +1 +1 4- 2
3 —1 —1 + 6 + 4
2 0 0 + 6 4*2 + 8
[я +2 +1 — 6 +1 — 2
1* +2 - 6 + 1 — 2
[' +36 0 +24
[/ +2 + 4
+24
2. Вычислим алгорифмы;
а)[М.11 = |ЗД-1«=+2-1 = 11;
б) [bl- 1 ] = [Ы] - laW“l] =-6- = - 3;
[аа] 2
в)|/2-11=Л-ИЛ=1-1-1 =+1.
3. Определим обратный вес функции
1 Л2 I [А-1]2 _ 1 т_ 3 1 _ 4 _ 2
ри т* [аа]'1' [WM] ~ 2 3_~ 6 6 ~ 6 3
2
4. Найдем
rOT,|_rZn W 36 9
1 |ZZ| [аа] [М-1] —+ 36 2 3
2
5. Подсчитаем т и тт
т = -^ = ±1/ -±3",5;
у n — k — |/ 3 — 2
154
3",5
т
тт = -у------ — . —=
j2(n~k) ]Л2
Обратим внимание на то, что тт составляет 72% величины т.
Это соотношение ошибок ясно показывает ненадежность и недо-
пустимость оценки точности при малом числе добавочных измере-
ний. Рассматривать данную задачу нужно только как учебную.
6. /no = w|/^-=±3",5/0Д7 = ±2",9.
255. Внутри твердого угла АОВ (рис. 19), равного 9Г0Г15",
измерены три угла: / - 25' 0040", 2 = 35°50'50", 4=3040'00"
Рис. 19
Составить уравнения ошибок и вычислить среднюю квадратическую
ошибку суммы уравновешенных углов 1 4 2, не решая нормальных
уравнений.
256. Даны уравнения ошибок: 1) 2х — Зу 4 4 = щ, 2) —х 4
+ ^y~v2, 3) Зх — 2^ + 2 = п3.
Найти среднюю квадратическую ошибку функции уравновешен
ных величин
1Г= 29,3 — 7,0 х 4 5,5 у.
257. Вычислить среднюю квадратическую ошибку функции
Уравновешенных величин
и = 13,7 — 2x43г/,
если уравнения ошибок имеют вид:
1) х =•— 2у 3 = пц
2) 2%4 У — 1 = v2,
3) — х — у —[- 2 = Из:
4) —2x4 21/ — 2 = щ.
258. В равностороннем треугольнике результаты измерения пре
вышений по всем сторонам в одном направлении следующие:
h\ = 4 5,107 м, h2 =— 3,296 м, йз =—1,817 м.
155
Составить уравнения ошибок и вычислить среднюю квадратиче-
скую ошибку суммы уравновешенных превышений hi -f- h2, не ре-
шая нормальных уравнений.
§ 15. Справочные сведения по косвенным неравноточным
измерениям и методу весовых коэффициентов*
Косвенные неравноточные измерения
Если результаты измерений qt получены с весами р,-, то в уравне-
ниях ошибок (V.1) свободные члены // = г,— <7,- будут иметь те
же веса р,. Случай неравноточных измерений легко приводится к
случаю равноточных, если умножить каждый член системы урав-
нений ошибок на корень квадратный из веса, с которым получен
свободный член данного уравнения. От уравнений ошибок перехо-
дят к нормальным уравнениям.
Система нормальных уравнений для неравноточных измерений
имеет вид:
[раа] х + [pab]у + - - + [pag] w + [pal] = О
lpab]x + [pbb]y + . - + [p*g]w+ [pW] = 0 (V 27)
[p«g| x + [phgjy + • • + [ppg] iso [pgZ] = 0
или в свернутом виде:
[pGT] = 0 1
[р^1 = о (V28)
[pg»] = 0 J
Решение нормальных уравнений ведется в той же последова-
тельности и с теми же контролями, как и при равноточных изме-
рениях.
Контроль вычисления поправок v и [pvv],
[pvv] = [plv] = [pll-k] = [pls-b] = [pss’k] = [psv]. (V.29)
Сумму [pvv] можно найти еще по следующим формулам:
[pvv] = [ pal] х + [pbl] у + + [pgl] w + [pll] (V.30)
и
[ра/]2 [pZ>Z-l]2 ~ I)]2 1хт ол\
[pvv[ = [pll] — ±—— у ,, J — . • - — (V.31)
[раа] [pbb-1] lpgg-(h— D]
Оценка точности
1. Средняя квадратическая ошибка единицы веса ц вычисляет-
ся по формуле
<v-32)
Учебник 120], § 45, 47, 65—78.
156
(V.33)
Ошибка самой ошибки = .
2 Вес последнего неизвестного при решении нормальных урав
пений по способу Гаусса
3. Вес предпоследнего неизвестного
“~[pgg-(^-2)]
4. Средние квадратические ошибки неизвестных w и и
И „ _ _к_Е_ (V.35)
(V.34)
/nw=±—= и mu —
1 Pw
5. Обратный вес и средняя квадратическая ошибка функции
и = (х, у, • , w)
1 _ ти - fi [А-1!2 . _ lA-(^-i)]2
Ри р2 [раа] [pbb-1] [pgg'(k~l)]
(V.36)
6. Контрольная формула для вычисления обратного веса функции
1-го A’si [А-1Ж-1] [/r(fe-i)][Sft(fe-i)J
Ри 7 [раа] [pW»-l] [pgg-(k — 1)]
(V.37)
Здесь /г- — по-прежнему коэффициенты при соответствующих не-
неизвестных в функции, приведенной к линейному виду
Sj — [раа] + [pab] +
S2 = [pab] + [pbb] 4- -
• + [pag] +A — [pas] — [pal] +A
• + [p^g] + A = [P^s] — [pbl] + A
. (V.38)
E»= [pag] + [pbg] + • - + [pgg] + A = fP^s] — [pg/] + A
Правильность вычисления контрольных сумм проверяется по
формуле
[S], = [/] ф- [pas] + [pPs] -Ь • • • ф- [pgs] + \pll\ — [p/s] (V.39)
или
[S]5 = [/] + [pss] —[p/sj — — [pbl] — [pal]. (V.40)
Метод весовых коэффициентов
Если требуется оценить точность определения нескольких неиз-
вестных, то применяется метод весовых коэффициентов. При k не-
157
известных весовые коэффициенты находятся из следующих систем
весовых уравнений:
для первого неизвестного
[раа] Qu 4- [pab] Q12 + [рас] Q13 + + [pag] QU: — 1=01
ГраФ| Qu + [pbb] Q12 + [pbc] Q13 4- + [pbg] Qlk = 0
[рае] Qu -ф [pbc] Q12 + [per] Q13 -ф + [peg] Qlk = 0
[pag] Qu + [pbg] Q12 4 [pc^j Q,3 + • + [pgg] Qik — 01
для какого-нибудь f го неизвестного
[paa\Qfi + [pab] Qf* + [рас] Qfa 4 • + [pag] Qfk = 0
[pao] Qfi -ф [pbb] Qf2 -ф [pbc] -ф + [pbg] Qfk = 0
[paf] Qfl + [pbf] Qf2 + [pef] Qfs 4- + [pfgl Qfk - 1 = 0
[pag] Qfl + [p^g] Qf2 + [peg] Qfs + + [pgg] Qfk =0
И т. д.
(V.41)
(V.42)
и для последнего k-ro неизвестного
[paa| Qki 4- [pab] Qk2 -ф [рас] Qfc3 -ф + [pag] Qkk = 0
[pab[ Qkl 4- [pbb] Qk2 4- [pbc] Qfc3 -ф - +[pbg\Qkk = 0
[pae] Qkl 4- [pbc] Ql& 4- [pcc] QkS + + [peg] Qkk = 0
[pag] Qki + [p bg] Qk2 + [peg] Qks 4* • • + \pgg\Qkk- 1=0
(V.43)
Из каждой системы весовых уравнений можно определить
весовых коэффициентов. Всех весовых коэффициентов при k неиз-
вестных будет k2. Сравнивая системы весовых уравнений
(V.41) — (УАЗ) с системой нормальных уравнений (V.27), за-
мечаем, что они различаются лишь неизвестными и свободными
членами. Поэтому весовые уравнения решаются одновременно с
нормальными уравнениями и в той же последовательности, исполь-
зуя одни и те же значения коэффициентов первого—третьего
столбцов схемы III (табл. 120). Значения свободных членов каж
дой системы весовых уравнений вносятся в дополнительный стол-
бец. Таких столбцов будет столько, сколько образовано систем ве-
совых уравнений.
В схеме III для единообразия обозначения свободные члены
весовых уравнений, равные —1 или 0, имеют вид
[pa/]i, \pbl\i, [pc/]i,
[ра/]2, \рЬГ2, [pd]2 и т. д.
158
Свободные члены преобразованных весовых уравнений обозна-
чены
[рЫ l]i, [pel - 2]i,
[pbl 1]2, {pci 212 и т. д.
Для контроля вычислений в дополнительных столбцах образуют
контрольные суммы
S/ = [pos] — 1, S2' = [p£s] — 1, S8' = [pcs] -1, (V.44)
которые записываются в десятом столбце.
Если контроль [pH • k] = [pls k] не производится, то опускается
и столбец 5. Для контроля вычислений в этом случае достаточен
один последний столбец S'.
Сами весовые коэффициенты Q находятся совершенно так же,
как и неизвестные х, у, z. Вычисления располагают в 20—31 стро-
ках схемы III. Для контроля определения симметричных весовых
коэффициентов служат равенства
Q12 = Qil, Q13 = Q31, Q23 = Q32 и т. д.
Вообще
QM = Q,k- (V.45)
Полный контроль вычисления весовых коэффициентов можно
осуществить, подставив их найденные значения в системы весовых
уравнений.
Однако проще воспользоваться следующим равенством:
(Qu + Q12 + Qis + • • + Qi*) +
+ (С?21 + Q4.4 + Q23 + ’ ' + Q2ft) ^2 +
+ (Qm + Qk> + Qi# + • + Qkk) Sk — (V.46)
где
= [fas] — [pal], S2 = [pbs]—[pbl], , Sk=z[pgs]—[pgl]. (V.47)
Так как
Qn= p- > Q22 — p~ • Qw, = ~p > ’ Qkk — ~p~ ’ (V.47)
1 x *y 1 z 1 w
то средние квадратические ошибки неизвестных могут быть полу-
чены по формулам:
= Qn, m , тп = цу Q№
(V.49)
Обратный вес функции уравновешенных величин при вычислен
ных весовых коэффициентах находится по формуле
1 т
= Л/iQii+/2/2Q22+/3AQ33+•
+ 2 (/1AQ12 +/1/3Q13 + • • +/2/3Q23 + • • +
+hfkQik+ • +fk^fkQk~bk+fkfkQkk)- (V.50)
159
Здесь fi, f2,. . ., fk — по-прежнему коэффициенты при поправ-
ках соответствующих неизвестных в функции, когда последняя при-
ведена к линейному виду
«=/o+/i5^+/2Sj + - + (V.51)
а свободный член функции f0 не влияет на оценку точности функ-
ции (V.51).
ЗАДАЧИ
259. Уравновесить по способу косвенных измерений результаты
нивелирования, приведенные в табл. 122. На схеме нивелирной
Рис. 20
сети (рис. 20) направления ходов, показанные стрелками, соответ-
ствуют знакам измеренных превышений в табл. 122.
Отметки твердых марок даны в табл. 121.
Вычислить среднюю квадратическую ошибку нивелирования на
1 км хода и уравновешенного пятого превышения по способу до-
полнительного столбца.
Оценку точности определения отметок узловых реперов произ-
вести при помощи весовых коэффициентов.
160
№ №
С Тро
1
2
я
1-
в
и Бурмистров
161
Таблица 120
X, У, z
контроль <?1 Qz S'
6 7 8 9 10
[pal]t = ~ 1 [p^Ji [pal]2 = 0 [pal]2 [poZ]3 = 0 [pal]3 2t' 2/
[ря«] [paa] [paa] [p««]
[pW], = 0 [p«Z>][pflZ]t [pbl]2 = ~ 1 [pab][pal]2 [pbl]3 = 0 [pab] [pal]s ^2' [pab]St'
[раа] [paa] [paa] [paa]
[pbl-1], [pbl-l]t [pW-l]2 [pWl]2 [pbl-l]3 [pbl-l]s [2'-l] [S'-l]
[pbb-1] [pW-1] [pbb-1] [pbb-1] t
[pc/]i = 0 [pac][peZ]i [pcZ]2 = 0 [pac][pal]2 [pcl]s = — 1 [pac][pal}3 — [рас]--Si' [paa] _ [ftc.l][y.l] [pw-1]
[рая] _ [Pfrc-l] [pfrZ-1], [p&fr-l] [paa] __ [pfrc-1] [pl>Z-l]2 [pW-1] [paa] __ [pbc-1] [pZ>Z-1]3 [pW-1]
[pcZ-2], [pcZ-2]! [pcZ-2]2 [pcZ-2]2 [pcZ-2]3 [pcZ-2]3 [2-.2] [^2] [pcc-2]
[pcc-2] [pcc-2] [pcc-2]
F
функ- льтаты лирной 1 2 3 4 -
1 2 [рас —1 /—L_ \ [paa] ] [pab] _[pab] [рос] — [рос] [po/] _ [po/] — [pas _ [pas
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 этвет- 16 1я на у до- 1 17 роиз- 18 Со и 19 1. 20 А 21 [раа] [раа] [род] [рдд] [paa\
_ [pal] [paa] — [рос] y [paa] _ \pab\ [род] У [pbb] -№Ц-[раЬ] [раа] [pPc] _ [pop] [рдо] [pP/] -f^-fpo/] [рдд] [pbs] _[pab> [paa
Л/,11 с2 — [pbb1 —7 / 1 ] =-£2 [pPc 1] [pPc-1] [pp/.l] [pp/.l] [Р [pPs-
[рРР-1] 7V8i ^2>3' MU \ [pbb-1] [ppp-1] [pPP-1] [ppp-
_ [рр/-1] [ррр-1] — [рРс-1] , [pPP-1] [pcc] -[^4 [рос] [рдд] __[рРсЛ]_ r b J J [pPP-1] J [pc/] -4^1 [po/] [00] — _[pL£J_L [pPZ-1] [pPP-1] [PC4 — [pcc] [paa'. _ [pPc [pbb
Л\П1 С — — ^'Н1 [рсс-2] Сы ~' Сг',з Д ’Cl,2 Ci-Q, С1з-с,-,3 Cl 2 Cf,2 Ci-Q; Csa'C-j [pcc-2] ( [pcc-2] ) El _ [pci-2] [pcc-2] [pc/-2] _ [pc/-2] [pcc-2] 1 [pcs _ [pcs [pcc
[p//] -I^[po/] [рдд] — [pPZ-1] [pPP-I] __[pc/-2] [pc/.2] [pcc-2] [pls
z — [po/] [paa] _ [pH- [pPP- _ [pc/- [pcc;
__ [pcl-2]t [pcc-2]
У
_ [pbl-l]i [pbb-1] - [p6c l] Cl3
X
— [po/Jl [poo] - ^"CL Q,=
[p/Z-3] [p
C13
1 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [paa] -WLq^ [poo] [pPP-1] 4,3
_ [pc£2]2 [pcc-2]
C12
[pP/-l]2
0.1
— [pop 2 [pa 7]
[pPP-1] - [pfec-1] n [pPP-1] ^2i
— [рос ГС23 C23
-^1 q,2 [род] _ [pc/-2]3 [pcc-2]
Q22
1 [pp/-l]3
C2.
— [Рд/]з [P««] — [рос] n г т ^33 [рдд] _[роР]_Оз2 [рдд]
[pPP-1]
— Jpoc-Q [pPP-1] 33 C33
Q32
Cat
ках
веде
а св
ции
2
ниве
сети
ствук
О
В
1 км
ПОЛ HI
О
вести
160
Таблица 121
Таблица 122
Ms марок Отметки, м № ходов Измеренные превышения й, м Длины ходов L, км
13 183,506 1 + 6,112 11,1
21 192,353 2 + 8,320 14,8
77 191,880 3 + 5,590 7,2
4 + 1,368 12,4
5 + 4,694 5,6
6 +11,642 14,3
7 — 0,905 15,1
8 — 5,589 16,8
Решение
I. Установим в качестве независимых неизвестных отметки узло-
вых реперов 1, 2, 3 и 4 и выразим все превышения в функции этих
неизвестных. Для облегчения вычислений введем прибли-
женные значения неизвестных, обозначив вероятней-
шие значения отметок так:
Hi через х = х0 -f- 5 х
Hz „ У = УоЛ~^У
Нз „ z = Zo + 8 z
Н4 „ t = t0 + S t.
Приближенные значения неизвестных:
хо = 183,506 + 6,112 = 189,618 м
у0 = 192,353 + 5,590 = 197,943 „
z0 = 191,880 — 5,589 = 186,291 „
t0 = 191,880 — 0,905 = 190,975 „
II. Составим уравнения ошибок в общем виде
1. (х — Н1Ъ) — h1 — 'v1 5. t— z — hb — vb
2. у— x —h2 = vz 6. у— z — he = v6
3. (у — 7721) Z?8 = i>s 7. {t Hn) h1 = ‘U,l
4. t — x —hi = 'V4 8. (z — Я77) — hB — v8
Подставив вместо неизвестных
плюс поправки, получим уравнения
ближенным значениям неизвестных
сантиметрах).
их приближенные значения
ошибок с поправками к при
(свободные члены выразим в
R1 Г. А. Бурмистров
161
Таблица 123
J со 7 оо + оо со 1 о см 1 см 1 +5,7 оо + + 0,5 1 щ Напишем уравнения ошибок с поправками к приближен- ным значениям неизвестных: 1. + о X — 2. — 5 х + 5у +0,5сл/ = т72 3. + S у = vs 4. —6х + St — 1,1 „ = ^4 5. -5z + SZ— 1,0 „ = v5 6. + 5 у 5z + 1,0 „ = ve
X 5io‘o+ +0,035 + 0,076 +0,080 +0,203
£ 0,001 0,004 0,040 900‘ 0 910'0 0,046 0,091 О 0,204
-0,011 +0,025 —0,106 —0,032 —0,076 +0,080 4-0,109 +0,006 7. + s t 8. + 6 z IV. Составим таблицу коэффициентов уравнений ошибок (табл. 123). Значение с в формуле для вычисления весов целесо- образно здесь взять равным 2. Составим функцию u = t — z, для которой fi = fz = 0, ft = — 1 п +1. Функция выражает собой 5-е превышение. V. Составим таблицу коэффициентов нормальных уравнений (табл. 124). VI. Напишем нормальные уравнения
•s —0,06 +0,18 —0,38 05‘0— -0,21 +0,57 +0,84 +0,05
N-J II 0,18 0,14 0,28 0,16 0,36 0,14 0,13 51'0
со +1,0 +0,5 +1,0 7 О 7 + 1.0. + 1,0 +1,0 +3,4 1. +0,48 5 х —0,14 бу — 0,168^ + 0,11 =0 2. —0,146л-+ 0,56 бу —0,14ог +0,21—0 3. — 0,14бу + 0,62 — 0,36 5^ +0,22 = 0
g ю —* о о СО 4. —0,165х — 0,36 5х +0,655/ — 0,54 = 0
+ 1 1 + 1 2 + 0,18 5 х + 0,286у + 0,12 5 z + 0,13 51 + 0 =0 Контроль — 0,010 —0,106 +0,006 +0,110 0 =0,000
43 + + 7- со + +0,842
7 7 + 7 +0,050 Этот контроль произведем после решения нормальных уравне- ний, подставив найденные поправки неизвестных в суммарное урав- нение. VII. Решим нормальные уравнения (табл. 125). VIII. Проконтролируем вычисления поправок и весовых коэф- фициентов: 5 л:= [ped] Qu [pbl] Q12 [p^l Qi3 Ip^l Q14’
+ + + со -0,377
+ 7 7 1 —0,058 ох= — 0,301 —0,190 —0,193 +0,625 =—0,059; бу = — [pal] Q21 — [pbl] Q22 — [pci] Q28 — [pdl] Q24; Sy = — 0,100 —0,472 —0,207 +0,403 = — 0,376; 5 z = — [pal] QS1 — [pbl] Q32 — [pci] Q33 — [pdl] Q84; 8 z = —0,097 —0,198 —0,633 +0,978 = + 0,050; 5 / = — [ped] Q44 [pbl] Q42 [pc/] Q48 [pdl] Q44, 5/ = —0,128 —0,157 —0,398 +1,526 = + 0,843.
№ по пор. —' см со ю со С- ОО Суммы Неизвестные
11*
163
162
Проверим правильность вычисления весовых коэффициентов
еще по формуле (V.46), согласно которой при четырех неизвестных
в правой части формулы должно быть число 4
(2,73+0,90+0,88+1,16) 0,18+(0,90+2,254-0,944-0,75) 0,28 +
+ (0,88+0,94+2,88+1,81)0,12+(1,16+0,75+1,81+2,82)0,13 = 4,00.
IX. Вычислим уравновешенные значения превышений (табл. 126).
Таблица 126
№ ходов Измеренные превышения, м V, мм Уравновешен- ные превыше- ния й, м
1 4- 6,112 —0,6 + 6,1114
2 + 8,320 +1,8 + 8,3218
3 + 5,590 —3,8 + 5,5862
4 + 1,368 -2,0 + 1,3660
5 4- 4,694 —2,1 + 4,6919
6 +11,642 +5,7 +11,6477
7 — 0,905 +8,4 — 0,8966
8 — 5,589 +0,5 — 5,5885
X. Окончательный контроль по уравновешенным превышениям
достигается проверкой выполнения геометрических условий:
1. hi + hi — hs, — (Нц — //1з) — 0;
+ 6,1114 + 8,3218 — 5,5862 — 8,8470 = 0;
2. hi + hi — й/ — (^77 — His,) = 0;
+ 6,1114 + 1,3660 + 0,8966 — 8,3740 = 0;
3. Лз — hg — hs — (Нчч — Нц) = 0;
+ 5,5862 — 11,6477 +5.5885 + 0,4730 = 0;
4. hi — hg + hg — hi = 0;
+ 8,3218— 11,6477 + 4,6919— 1,3660 = 0.
164
о ю J 4-0,620 0 —0,038 —0,360 0 —0,013 4-0,220 0 4-0,065 4-0,340 0 4-0,155 —0,079 -0,270 к 0 —0,660 0 —0,193 , —1 0 0 1 —0,88 0 0
12 13 4-0,582 - / (—1,71821) —0,373 4-0,6409 4-0,285 —0,4897 4-0,495 -0,8505 —0,079 4-0,1357 —0,270 4-0,4639 —1 4-1.7182 —0,853 \ 4-1,4656 —1 \ (-1,718 -0,88 4-1,512
14
15 4-0,650 -0,540 —0,410 —1 —1,410 4-1 4-1.13
16 —0,053 4-0,037 4-0,097 —0,333 0 —0,237 0 0
17 —0,004 4-0,022 4-0,052 -0,026 —0,091 0 —0,065 0 0
18 —0,239 4-0,183 4-0,317 —0,051 —0,173 -0,641 0 —0,547 —0,64 —0,56
19 +0,354 1 —0,298 4-0,056 —0,410 —0,264 —0,641 -1 —2,259 |-0,36 4-0,57
20 (—2,82486) 4-0,8418 —0,1582 4-1,1582 4-0,7458 +1,8107 4-2,8249 4-6,3814 1,017 -1,610
21
22 —0,229 —0,466 —0,490 4-0,842 4-0,729 4-0,729 0
23 4-0,281 4-0,076 4-0,540 St —0,025 —0,066 0 0
24 0 4-0,013 4-0,050 —0,113 -0,268 0 0
25 -0,110 —0,377 Sz —0,140 —0,242 —1,72 —1,51
26 -0,058 8у —0,251 4-0,047 —0,37 —0,58
„ , ———
27 [pvv] 4-0,200 4-0,200 1 —2,09 —2,09
28 Ри 1
29 4-2,083 4-0,563 4-0,136 4-1,158
30 4-0,386 4-0,105 4-0,742 С.4
31 0 4-0,237 4-0,878
32 4-0,264 4-0,905 Q13
33 4-2,733 С12
34 Си
35 0 4-1,927 4-0,464 4-0,746
36 4-0,249 -f-0,068 4-0,478 С24
37 0 4-0,254 4-0,942
38 4-0,656 | 4-2,249 Q23
3 4-0,905 Q22 1 1
40 1 Cai ]
41 0 0 4-1,718 4-1,81’
4-о,боз 4-0,165 4-1,161 С34
43 0 4-0,776 4-2,879
44 4-0,274 4-0,941 Сзз
45 4-0,877 Сзз
46 1 Cai
47 1 0 0 0 4 2,825
48 ' LQ.942 4-0,256 4-1,811 С44
49 1 1 0 4-0,489 4-1,811
50 0,217 1 +0,745 С43
51 1 4-1,159 Q42
1 Си 1
Таблица 124
раа pab pad pal pas pbb pbc pbl pbs pcc ped pel pcs pdd pdl pds pH pls
+0,18 +0,14 +0,16 —0,14 —0,16 —0,07 +0,18 +-0,18 —0,07 +0,18 +0,14 +0,28 +0,14 —0,14 +0,07 +0,14 +0,07 +0,28 +0,14 +0,36 +-0,14 +-0,12 —0,36 +0,36 —0,14 +0,36 —0,14 +0,12 +0,16 +0,36 +0,13 —0,18 —0,36 + 1 1 о о о M СлЗ н* СО О 00 +0,035 +0,194 +0,360 +0,140 +0,035 +0,194 +0,360 +0,140
+0,48 —0,14 0 -0,16 +0,11 +0,29 +0,56 —0,14 0 +0,21 +0,49 +0,62 —0,36 +0,22 +0,34 —1,00 —0,88 +0,65 « -0,54 —0,41 +1,00 +1,13 0,729 0,729 0,00 +0,25
Таблица 125
bx 8Z St / S Qi Qs Q'i S' fu
+0,48 —7 (-2,08333) —0,14 +0,2917 —0,16 +0,3333 +0,11 —0,2292 +0,29 —0,6042 —i +2,0833 —0,71 +1,4792
+0,560 —0,041 —0,140 0 —0,047 +0,210 +0,032 +0,490 +-0,085 —0,292 —1 —0,510 —0,207
+0,519 —7 (—1,92678) —0,140 +0,2697 —0,047 +0,0906 +0,242 —0,4663 +-0,575 —1,1079 —0,292 +0,5626 —1 +1,9268 —0,717 +1,3815
+0,620 0 -0,038 —0,360 0 —0,013 +0,220 0 +0,065 +0,340 0 +-0,155 —0,079 -0,270 —1 0 0 —0,660 0 —0,193 —1 0 0 -0,88 0 0
+0,582 —7 (—1,71821) —0,373 +0,6409 +0,285 —0,4897 +0,495 -0,8505 —0,079 +-0,1357 —0,270 +0,4639 —1 +1,7182 —0,853 +1,4656 —1 +1,718 -0,88 +1,512
+0,650 —0,053 —0,004 —0,239 —0,540 +0,037 +0,022 +0,183 —0,410 +0,097 +0,052 +0,317 —0,333 -0,026 —0,051 —0,091 —0,173 -0,641 — 1 0 0 0 —1,410 —0,237 —0,065 —0,547 +1 0 0 —0,64 +1+3 0 0 —0,56
+0,354 —7 (-2,82486) —0,298 +-0,8418 +0,056 —0,1582 —0,410 +1,1582 —0,264 +0,7458 —0,641 +1,8107 —1 +2,8249 —2,259 +6,3814 +0,36 —1,017 +0,57 —1,610
-0,229 —0,466 —0,490 +0,842 +0,729 +0,729 0
+0,281 +0,076 +0,540 fit —0,025 —0,066 0 0
0 +0,013 +0.050 —0,113 -0,268 0 0
м 11Л Л 0*7*7 Ъг П 1 л ex —1,72 —1,51
XI. Произведем оценку точности.
1) Средняя квадратическая ошибка единицы веса (превышения
по ходу в 2 км)
. ' [pwl . Г0,204 . , оо
п = 4-1 / ——г = 4-1 / о------т = 4- 0,225 см = 4- 2,2 мм.
12 ~ | n — k ~ у 8 — 4 ~
Ошибка самой ошибки единицы веса
2) Средняя квадратическая ошибка на 1 км хода
^2 । 2,2 „
ткм = = ± —— ± 1,6 мм.
V с ]/2
3) Вес последнего и предпоследнего неизвестного
Р,= [р<И.З]=0,354; (4-=0,354); р, = р,^1 =
= 0,354^||| = 0,348; <J- = 0,348Y
0,593 \Qse J
4) Средние квадратические ошибки уравновешенных значений
неизвестных
mx = li2]' Qu = ±2,2j/~2,73 = 4 3,6мм
т> = р21/Л Q22 = ±2,2|-/2,25 = ±3,3 „
^=Н21Л0зз = ±2,2Г’2^8 = ±3,7 „
mt = р2 |/ Qt, = 4- 2.2 |2.82 = 4- 3.7 „
5) Метод весовых коэффициентов дает возможность получить
вес любой функции уравновешенных величин. Пользуясь весо-
выми коэффициентами, вычислим обратный вес функции u — t—z
(fi~ = 0, f3 = —1, f4 = ± 1), для которой способом дополни-
тельного столбца было получено
— = 2,09.
1 и
По формуле (V.50) имеем
Y = 0 ± 0 ± 2,88 ± 2,82 ± 2 (0 ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 — 1,81) =2,08.
*и
6) Средняя квадратическая ошибка функции уравновешенных
величин
ти = р2 = ]^>08 = ±3,3мм.
165
XII. Вычислим вероятнейшие значения неизвестных и функцй11
х = = 189,618 - 0,0006= 189,6174^ + 3,6^
У = Уй +8у = 197,943 — 0,0038= 197,9392 м + 3,3 „
z = z0 + 8z = 186,291 + 0,0005= 186,2915 м± 3,7 „
t = to +&/- = 190,975 + 0,0084= 190,9834 м + 3,7 „
и = t — z = 190,9834 - 186,2915 = + 4,6919 м ± 3,3 „ .
260 В табл. 127 даны в 10 вариантах результаты нивелирова-
ния 111 класса для нивелирной сети, изображенной на рис. 20 От
метки исходных марок взять из условия задачи 259. По одному ич
вариантов уравновесить результаты нивелирования по способу кос
венных измерений. Вычислить среднюю квадратическую ошибку
нивелирования на 1 км хода и методом весовых коэффициентов
произвести оценку точности определения отметок узловых репепон
и шестого уравновешенного превышения.
Таблица 127
CQ О о в СХ S Варианты
Ч g £ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
с § Длины ходов, КМ
1 + 6,110 12,1 10,6 10,0 9,0 8,5 11,6 12,8 13,4 14,0 8,0
2 + 8,318 13,4 11,7 11,1 10,0 9,4 12,8 14,2 14,8 15,5 8,9
3 5,589 8,2 7,2 6,8 6,1 5,8 7,9 8,7 9,1 9,5 5,4
4 + 1,369 11,7 10,3 9,7 8,7 8,2 11,2 12,4 13,0 13,5 7,7
5 + 4,696 5,5 4,8 4,5 4,1 3,9 5,3 5,8 6,1 6,4 3,6
6 +11,640 4,8 4,2 4,0 3,6 3,4 4,6 5,1 5,3 5,6 3,2
7 - 0,905 7,4 6,5 6,1 5,5 5,2 7,1 7,8 8,2 8,6 4,9
8 - 5,587 9,6 8,4 7,9 7,1 6,7 9,2 10,1 10,7 11,1 6,3
261. В табл. 128 даны измеренные превышения и число станций
вариантов) по восьми ходам. По одному из вариантов уравно-
166
Бесить результаты нивелирования системы ходов (рис. 21) по спо-
,обу косвенных измерений, а также вычислить среднюю квадрати-
ческую ошибку нивелирования на 1 «условный» километр (10 стан-
ций) и методом весовых коэффициентов произвести оценку точ-
ности определения отметок узловых реперов и восьмого уравнове-
шенного превышения.
Таблица 128
ХОДОВ евыше- я Л, м Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
g 1 Число станций
1 —15,022 118 102 107 112 121 126 131 97 91 84
2 +18,585 93 80 84 88 95 99 103 76 72 66
3 —24,046 121 105 110 115 124 129 134 99 93 86
4 + 5,702 67 58 61 64 69 72 74 55 52 48
5 — 5,246 52 45 47 49 53 56 58 43 40 37
6 +24,895 80 69 72 76 82 85 89 66 62 57
7 + 7,728 49 42 44 46 50 52 54 40 38 35
8 — 19,201 73 63 66 69 75 78 81 60 56 52
167
t
Таблица 129
Отметки исходных марок помещены в табл. 129.
№ марок 12 19 11 18
Отметки, м 235,922 202,308 207,807 169,949
262. В табл. 130 даны измеренные превышения и 10 вариантов
длин ходов. По одному из вариантов уравновесить результаты ни-
велирования системы ходов (рис. 22) по способу косвенных изме-
рений. Вычислить среднюю квадратическую ошибку нивелирования
на 1 км хода и средние квадратические ошибки уравновешенных
превышений между исходной маркой А и определяемыми репера-
ми В, С, D и Е, а также суммы уравновешенных превышений меж
ду реперами Е и С (оценку точности произвести методом весовых
коэффициентов).
Указание. Для составления уравнений ошибок в данной
свободной сети следует выбрать в качестве независимых превыше
ний такие четыре превышения, по которым можно вычислить отмет-
ки определяемых реперов от исходной марки А: превышения репе-
ров С, В, D и Е над маркой А обозначим через х, у, z и t.
Затем нужно выразить в функции выбранных неизвестных все
измеренные превышения, составляя уравнения ошибок по правилу
«вероятнейшее минус измеренное». Смотрите также учебник [20? § 77.
168
Таблица 130
h Варианты
да о е< О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
й с § Длины ходов, КМ
1 +189,404 3,6 4,8 4,2 3,9 4,5 5,1 2,7 2,3 3,3 3,1
2 +736,977 10,8 14,4 12,6 11,7 13,5 15,3 8,1 6,9 9,9 9,3
3 +376,607 69,3 92,4 80,8 75,1 86,7 98,2 52,0 44,3 63,6 59,7
4 +547,576 7,2 9,6 8,4 7,8 9,0 10,2 5,4 4,6 6,6 6,2
5 +273,528 18,7 24,9 21,8 20,2 23,4 26,5 14,0 11,9 17,1 16,1
6 + 187,274 40,7 54,4 47,5 44,2 50,8 57,7 30,6 26,0 37,4 35,1
7 +274,082 14,0 18,7 16,4 15,2 17,6 19,9 10,5 8,8 12,9 12,1
8 + 86,261 10,8 14,4 12,6 11,7 13,5 15,3 8,1 6,9 9,9 9,3
Способ Ганзена
Весовые коэффициенты можно получить несколькими способа-
ми. Рассмотрим способ, предложенный Ганзеном. В табл. 131 дается
схема IV решения трех нормальных уравнений с дополнительными
строками (19—37) и формулами Ганзена для вычисления весовых
коэффициентов.
Сопоставляя строки 15—18 для вычисления неизвестных со
строками 20—23, 25—28, 30—>33 — для вычисления весовых коэф-
фициентов, убеждаемся, что порядок всех этих вычислений одина-
ков. Вспомогательные коэффициенты С расположены в каждом
блоке для вычисления весовых коэффициентов так же, как и в
блоке для вычисления неизвестных; меняются только весовые
коэффициенты. При -этом третье неизвестное г заменяется Q3i,
вместо второго неизвестного у стоит Q2f, а первое неизвестное х
заменяется Qlf.
Вписав в строку 20 весовой коэффициент Q33 = Е3, умножают
его на коэффициенты элиминационных строк того же третьего
столбца и записывают в строке 21. Получив во втором столбце
строки 22 коэффициент Q32, переписывают его в строку 26 третьего
столбца, пользуясь равенством Q32 = Q23.
Точно так же коэффициенты Q13 и Q12 на основании соотноше-
ний Qi.) = Q3i и Qi2 —Q21 берут соответственно из строк 23 и 28.
В строках 34 и 35 схемы произведен контроль вычисления весовых
коэффициентов по формуле (V.46).
169
Таблица 131
Схема IV
№ строк Название строк X У Z 1 s Контроль
1 2 3 4 5 6
1 [аа] [^] [яс] [al} [as]
2 С, 1 г С\ п С, 1 c Контроль
3 4 ' [аа]) ^1’2 U1>Z Hu
/V2' W [&с] [&/] [6s]
5 (1); с1)2 [ab} Сьг [яс] Ci-2 lai] 6*1,2 1
6 л\п 1ЬЬ.\] [йс-1] [6/.1] [7>s.l]
7 с2 Е, = ( 1 \ Сп О ^2> s Контроль
8 9 ‘ \ [66-1J с-2’3 7 b2’Z
[сс] [С/] [cs]
10 (1); G.3-M' G.3 Q’3 laQ Ci’3 [as]
И (2); с213-^п С2>3[6с1] Сг,3[ЬЫ] С2>з [6s-l]
12 zvjn [сс-2] [cl.2] [cs-2]
13 С= -Еч-1 - 1 Контроль ••
14 15 7 C3'Z °3>s
сы C2,z СМ [//] [Zs]
16 С,,3 2 z г Cl,1 [ al] t Cl7[a.yJ /
17 1 1 CIt2y У C,,;L6/-lj 1 C2,; bs.l] I
18 Ca>;[cZ-2j Cz,ilcs-2\
19 Qm [«3] [Zs-3] Контроль
20 F-S
21 3,3) G’3^33 С2,зОзз Q‘i3 Сза=^8
22 3,2) Ci,2Qs2 Qb2 Сзг=С2зСзз
23 3,1) ’ Qsi Q3i=C’i2Q г+^зУзз
24 Qz>i
25 Ez
26 2,3) ^ьзРгз CztsQzz Q23
27 2,2) С’ьгОгг Qzz Q22=E2,. Огз+^2
28 2,D Q2i Qzi — С1’202з4-^1’зС23
29 Ql>i
30
31 1,3) СцзУп Qi 3
32 1,2) C> >2Ql 2
33 1,П Qi2
Qi i
34 35 3Q (Qis+Qis+Qu) (С2з+<?22+(?21) (Q33+Q32+Q31)
36 s. Si S2 S3
37 Si-l’Q s2sq2 S32Q3 3 Контроль
ЗАДАЧИ
263. Уравновесить по способу косвенных измерений результаты
нивелирования системы ходов (рис. 23). Вычислить среднюю квад-
ратическую ошибку нивелирования на 1 км хода и произвести
оценку точности определения отметок узловых реперов и разности
уравновешенных отметок НЕ — Нс методом весовых коэффициентов
по Ганзену.
Исходные отметки приведены в табл. 132.
Таблица 132
№ марок Отметки Н, м
А 134,836
В 142,512
Измеренные величины приведены в табл. 133.
_______________________Таблица 133
№ ходов Превышения h, м Длины ходов L, км
1 +3,436 8,4
2 +4,242 7,1
3 +4,176 3,8
4 +3,506 4,3
5 +2,819 6,5
6 —4,866 2,7
7 +0,744 5,2
8 —1,366 3,1
172
Решение
I Установим в качестве независимых неизвестных отметки узло-
ых реперов С, D и Е и выразим все превышения в функции этих
неизвестных. Обозначим вероятнейшие значения отметок Нс, HD
и Не соответственно через х, у, z и положим
х = х0-\-Ъх, У — У0-\-Ъу, z = z0-\-8z.
Вычислим приближенные значения неизвестных:
х0 = 134,836 + 3,436 = 138,272 м
у0 = 134,836 + 4,176 = 1i39,012 „
zo = 134,836 + 2,819 = 137,655 „
II. Составим уравнения ошибок в общем виде:
1- ( х~ HA}-h1 = v1
2. (Нв — х) — /г2 =
3. ( _у EfA) К.л —
4- Щв— y) — h4 = vi
5- ( z-HA) — hb = v5
6. ( z — Нв) — he = v6
7. ( у — х) — h^ = v7
8. ( z— y) — hs = vs
III. Подставив вместо неизвестных их приближенные значения
плюс поправки, получим уравнения ошибок с поправками к при-
ближенным значениям неизвестных. Свободные члены в этих урав-
нениях выражаем в сантиметрах:
1. + 8х = ^i
2. — 8х — 0,2 см = ®2
3. + 8.У
4. — Sy —0,6 = ®4
5. + 8z
6. H-6z +0,9 = V6
7. — Sx + Sy — 0,4 = v7
8. — 5y + Sz + 0,9 = +
IV. Составим таблицу коэффициентов уравнений ошибок
<табл. 134).
173
Таблица 134
№ по пор. а ъ С Z, см 5 Р=1 V, см pv pvv plv
1 +1 +1,0 0,12 —0,26 —0,0312 0,008 0
2 —1 -0,2 —1,2 0,14 +0,06 +0,0084 0,005 —0,002
3 +1 +1,0 0,26 —0,07 —0,0182 0,001 0
4 —1 -0,6 —1,6 0,23 —0,53 —0,1219 0,065 +0,073
5 +1 +1,0 0,15 —0,77 -0,1155 0,089 0
6 +1 +0,9 +1,9 0,37 +0,13 +0,0481 0,006 +0,043
7 —1 +1 —0,4 —0,4 0,19 —0,21 —0,0399 0,008 +0,016
8 —1 +1 +0,9 +0,9 0,32 +0,20 +0,0640 0,013 +0,058
Суммы —1 0 +3 +0,6 +2,6 0,195 -|-0,188
Неиз- вест- ные -0,260 -0,068 -0,766
Весовая функция по условию задачи имеет вид
u — z — х,
для которой fi = — 1, /2 = 0, /3 = + 1.
V. Составим таблицу коэффициентов нормальных уравнений
(табл. 135).
VI. Выпишем нормальные уравнения
1. + 0,450 Sx —0,190 Sy +0,104 = 0
2. — 0,190 + 1,000 5у — 0,320 5z — 0,226 = 0
3. — 0,320 5у + 0,840 Sz + 0,621 = 0
2 + 0,260 Sx + 0,490 бу + 0,520 Sz + 0,499 = 0
Контроль
— 0,068 — 0,033 — 0,398 + 0,499 = 0
Этот контроль произведем после решения нормальных уравне
ний, подставив найденные поправки неизвестных в суммарное
уравнение.
VII. Решим нормальные уравнения (табл. 136).
174
X. »—> 00 см 0 CO C4 CO co LQ О CN CO О CN О О ООО + + + + + +1,179
X +0,006 +0,083 +0,300 0,032 +0,259 +0,680
О co co Ю О GO ОО О + + + +
co CO co OO co CN + + s +
00 0 Ю b- CN CO CO + + + +0,840
5+ +0,260 +0,368 —0,076 —0,288 +0,264
+0,138 —0,076 —0,288 -0,226
’S. —0,320 —0,320
pbb +0,260 +0,230 +0,190 +0,320 +1,000
svd О OO CD CN CD g + + + +0,364
+0,028 +0,076 +0,104
md 0
pab —0,190 —0,190
paa 0 0 0 CN Tf CD + + + +0,450
№ no nop. Суммы
175
• А. Вурмистров
Таблица 136
№ строк Название строк X У г I s Контроль
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Ci (1); с2 Л'з1 (1); Съз-^1 (2); С,,3.Л\и Л\П1 С3 Ci,i bZ’Ci,s iy-Cil2 33) 32) 4-0,450 —7 (-2,22222) —0,231 0 -0,029 -0,190 +0,4222 +0,104 —0,2311 +0,364 -0,8089 + 0,364 -0,8089
+1,000 -0,080 —0,320 0 -0,226 +0,044 +0,264 +0,154 +0,264
+0,920 —1 (-1,08696) +0,198 —0,266 -0,320 +0,3478 —0,182 +0,1978 +0,418 -0,4543 +0,418 —0,4544
+0,840 0 -0,111 +0,729 —1 (—1,37174) —0,765 +0,621 0 -0,063 +0,558 +0,7654 + 1,141 0 +0,145 +1,286 —1,7641 +1,141 +1,287 •• +3,000
+0,680 —0,024 —0,036 —0,427 1 + 1,179 —0,084 +0,083 —0,984 \
bz +1,372
—0,068
—0,260 +0,477
' ах 0 4-0,012 +0,193 +0,194 1 +3,001
Озз +0,477
Оз2 +1,087 +0,166
31) 23) 22) 21) 13) 12) И) 5,- S^Q 4-0,012
* Сз1 0 4-0,529
+1,253 QiS +0,529 <?23 +0,012
4-0,529
Ои +2,222 0 +0,223
013 +1,861 +0,600
+2,445 012 +2,259 +0,490
Qu +2,989 +0,260
+0,777 +1,107 +1,117
VIII. Вычислим уравновешенные значения превышений
(табл. 137).
Таблица 137
№ ходов Измеренные превышения, м 1 Поправки, мм Уравновешен- ные превыше- ния, м
1 +3,436 —2,6 +3,4334
2 +4,242 +0,6 +4,2426
3 +4,176 —0,7 +4,1753
4 +3,506 —5,3 +3,5007
5 +2,819 —7,7 +2,8113
6 —4,866 +1,3 —4,8647
7 +0,744 —2,1 +0,7419
8 —1,366 +2,0 —1,3640
окончательный
IX. Выполним
/ii + th — /13 = О
/i4 —|— he — hs = О
h-2 — tin — th == 0
/13 “I- tlQ = 0
всех вычислений
1.
2.
3.
4.
5.
контроль
+ 3.4334 + 0,7419 — 4,1753 = 0
+ 3,5007 — 4,8647 + 1,3640 = 0
+ 4,2426 — 3,5007 — 0,7419 = 0
+ 4,1753— 1,3640 — 2,8113 = 0
134,836 + 4,1753 + 3,5007 = 142,512
в
X. Произведем оценку точности.
1) Средняя квадратическая ошибка единицы веса (превышения
1ю ходу в 1 км)
„ = »,„ = + / ^ = ±/ Щ^=±0,в2« = ±6,2л«;|
Ошибка самой ошибки единицы веса
т —______Н___— -|---— = + 2,0 мм.
11 -/2(8-3)
2) Средние квадратические ошибки высот определяемых реперов
тх = р / ОП = ± 6,2 • /2Д5 = + 9,7 мм
= Q22 = + 6,2 */1,25 = +6,9 „
тг = ^\гQ33 = ± 6,2-/1,37 = +7,3 „
3) Среднюю квадратическую ошибку функции и = z — х най-
дем по формуле (V.50), при этом fi = — 1, /2 = 0, /з = +1:
_L = 1 2,45 + 0 + I • 1,37 + 2 (0 — 1 • 0,01 + 0) = 3,80;
т2= 3,80 0,39 = 1,48 и та= + 1,22 см = + 12.2 мм.
264. По условию предыдущей задачи произвести уравновешива-
ние и оценку точности результатов, взяв длины ходов по одному
из вариантов, приведенных в табл. 138.
Таблица 138
№ ходов Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Длины ходов, км
1 8,8 9,3 7,5 7,0 9,9 8,0 6,5 6,0 5,5 5,0
2 7,5 7,9 6,3 5,9 8,4 6,8 5,5 5,1 4,6 4,2
3 4,0 4,2 3,4 3,2 4,5 3,6 2,9 2,7 2,5 2,3
4 4,5 4,8 3,8 3,6 5,1 4,1 3,3 3,1 2,8 2,6
5 6,8 7,2 5,8 5,4 7,7 6,2 5,0 4,6 4,3 3,9
6 2,8 3,0 2,4 2,3 3,2 2,6 2,1 1,9 1,8 1,6
7 5,5 5,8 4,6 4,3 6,1 5,0 4,0 3,7 3,4 3,1
8 3,3 3,4 2,8 2,6 3,6 3,0 2,4 2,2 2,0 1,8
§
16.
Методы последовательных приближений
(методы итераций)*
Во многих случаях практики могут быть применены различные
способы последовательных приближений. К достоинствам этих спо-
собов относится сравнительная простота и однообразие вычисли-
тельных операций. Арифметические ошибки, допущенные на том
или ином этапе приближений, лишь замедляют процесс сходимости
приближений, не отражаясь на окончательном результате.
Недостатком этих способов до последнего времени считалась
невозможность вычисления простым путем весов уравновешенных
величин. В СССР разработаны способы вычисления веса функции
при способах итерации как для косвенных, так и для условных из-
мерений ([23] и [24]).
Наиболее распространенным на производстве является способ
^ацпй, разработанный проф. Н. А. Урмаевым и проф. В. В. По-
н-----
* Учебник l20], § 64, 126, 127.
178
Способ последовательных приближений (способ узлов)
Рассматриваемый способ основан на методе косвенных измере
ний и заключается в последовательном применении формулы общей
арифметической средины. В применении к нивелирным сетям этот
способ совершенно строгий.
Для удобства вычислений вес каждого измерения делится на
сумму весов ходов, сходящихся в данной узловой точке, после чего
сумма весов в знаменателе формулы (II.6) оказывается равной
единице, а сама формула принимает вид
x = Zo + [ep,l, (V.52)
где р' — приведенный вес.
Число необходимых приближений может колебаться в широких
пределах в зависимости от требуемой точности вычислений и «жест-
кости» уравновешиваемой сети.
Доц. Д. С. Шеин предложил [21, стр. 164] считать мерой жест-
кости сети отношение числа независимых полигонов г (замкнутых
и опирающихся на твердые пункты) к числу нетвердых узловых
точек k, то есть
°=4- <v-53)
rv
Когда величина этого отношения (числа добавочных измерений
К числу необходимых) окажется менее 1,5—2,0, то может потребо-
ваться большое число приближений. В этих случаях лучше приме-
нять методы косвенных или условных измерений, или способ проф.
В. В. Попова с решением нормальных уравнений по способу после-
довательного исключения неизвестных (см. раздел «Условные изме-
рения», § 22).
ЗАДАЧИ
265. По способу последовательных приближений уравновесить
систему нивелирных ходов с двумя узловыми точками (см. рис. 9)
и найти средние квадратические ошибки единицы веса и на 1 км
Хода.
Решение
Сначала записывают в первом столбце вычислительной схемы
(табл. 139) номер узловой (определяемой) точки и во втором
столбце — номера ходов. В столбец 3 записывают номера тех твер-
дых и узловых точек, от которых идут ходы, сходящиеся в опреде
ляемой узловой точке. В столбец 4 записывают отметки точек, но-
мера которых вписаны в третьем столбце; при этом отметка нетвер-
дой узловой точки (например, Рп 15) вычисляется по ходу, идуще-
му от одной из твердых точек (в нашем случае от марки 83).
В столбцы 5 и 6 вписывают превышения и длины ходов между
точками, номера которых записаны в третьем столбце, и опреде
ляемой узловой точкой.
180
Т аб л ица 139
and со т* СО СО оо 04 100 103 1 о see
КК ‘П LO СО 1 + 12 04 1 Z + 04 +П 1
ер', ММ со со О 3,5 00 «—4 г- 0'9 О 3,6 со V—4 * с+
—> И'", м ОО 193,785 ,767 СО 193,779 195,058 ,072 ,049 ,064 195,060 | + II 1
к S к о еР'< мм см V—< 8,3 О 3,5 11,8 Ь- 6,0 О 3,6 СО ,_7 9,2 1 о 04
Прибли: — Н", м г-М 193,785 ,767 ,781 193,779 195,058 04 ,049 ,064 195,060 + II X 1 с?
ьр'> мм о •—4 8,3 О 4,5 12,8 СП 6,0 о 3,6 11,5
Н\ м СП 193,785 ,767 ,785 193,780 195,059 ,072 ,049 ,064 195,060 н 03 -| 1
CU II <£ оо 0,4b 0,29 0,25 1,00 61'0 0,26 0,31 04 О 1,00 | s’
0J CQ И_ Г- 0,95 0,60 0,51 2,06 0,51 0,69 0,85 0,64 2,69 | с с d гГ -1
L, км со 4,2 6,7 СО СО 5,8 ТГ 6,3 335 04 СО
«5 СП СО СП СП иО со 04 СО СП
ю +0,1 СП о 1 04 1 +1.2 СО о + СО О + о 1 г
Н, м ’ф 193,596 194,721 195,064 193,780 194,721 194,721 195,560 ГЁГ & в. 1—i «е Й
яэьох
XHsoL-eK и ХГ1НГГОХЭИ Sj\- со СО со ю ОО г-—< О’ О’ СО ОС +1
aoffox е. г—1 04 со со ю СО 1
ЯЭН01 ХН8О1ГЕЛ oft1 СО ю »—4 а!
СО
181
В столбце 7 записывают веса, определяемые по формуле
Pi= L (в данном случае взято с = 4 и веса получились в десятых
и сотых долях единицы). В столбец 8 записывают приведенные
веса, после чего помещают в столбец 9 отметки узловой точки, по
лученные по отметкам и превышениям, находящимся в четвертом
и пятом столбцах. Приняв наименьшее значение из полученных
отметок за /о (в нашем случае 193,767), вычисляют в уме величины
е и перемножают их при помощи логарифмической линейки на со-
ответствующий приведенный вес р'. Например, по первому ходу
е = 193,785 — 193,767 = -|- 18 мм, + 18 - 0,46 = + 8,3 мм. Сложив
полученные произведения гр', получают [ер'] и, округлив до мил-
лиметра, прибавляют ее к /п. В нашем случае [ер']= + 12,8 13 мм
и 193,767 4- 0,013 м = 193,780 л/. Это и есть значение отметки узло-
вой точки Рп. 13 в первом приближении.
Далее переходят к аналогичному вычислению значения отметки
второй узловой точки Рп. 15 в первом приближении. При этом для
Рп. 13 используется только что полученная отметка 193,780. Закон
чив эти вычисления, вновь вычисляют отметку первой узловой точ-
ки Рп. 13 во втором приближении. Затем вычисляют значения от-
метки Рп. 15 во втором приближении и т. д. При этом отметки
определяемых точек, вычисленные по ходам, идущим от твердых
реперов, остаются неизменными.
Вычисления продолжают до тех пор, пока найденные значения
отметок всех определяемых узловых точек будут расходиться с
отметками предыдущего приближения не более чем на 1 мм или на
другую, заданную точность вычислений.
Поправки v в столбце 15 находят, как разности между оконча-
тельным значением отметки узловой точки и значениями ее отме-
ток по отдельным ходам из последнего приближения. Например,
по первому ходу щ — 193,779 л/— 193,785 м =— 6 мм, по второму
ходу V2 = 193,779 м — 193,767 м = Д- 12 мм и т. д.
В последнем столбце вычисляют величины pvv по каждому
ходу. При этом необходимо учитывать, что поправки в превышения
по ходам между определяемыми узловыми точками войдут дважды
и будут иметь одинаковую величину, но разные знаки (в нашем
случае для хода 3). Произведение pvv для таких ходов следует
вычислять и брать в качестве слагаемого при получении [pvv толь-
ко один раз.
Получив [pvv], определяют среднюю квадратическую ошибку
единицы веса (в нашем случае эта ошибка для хода в 4 км оказа-
лась равной +9,2 мм). Имея р, находят ткм.
Результаты уравновешивания по способу последовательных при-
ближений получились те же, что и по способу эквивалентной заме-
ны (см. задачу 228).
266. Уравновесить по способу последовательных приближены’1
нивелирную сеть с двумя узловыми точками, изображенную на
182
с Ю (исходные данные см. в задаче 229). Вычислить средние
квадратические ошибки единицы веса, и на 1 км хода.
267. То же для нивелирной сети с тремя узловыми точками,
изображенной на рис. 11 (исходные данные см. в задаче 230).
268. То же для нивелирной сети с тремя узловыми точками,
изображенной на рис. 12 (исходные данные см. в задаче 231).
269. То же для нивелирной сети с четырьмя узловыми точками,
изображенной на рис 20 (исходные данные см. в задачах 259 и 260).
270. То же для нивелирной сети с четырьмя узловыми точками,
изображенной на рис. 21 (исходные данные см. в задаче 261).
271. То же для нивелирной сети с четырьмя узловыми точками,
изображенной на рис. 22 (исходные данные см. в задаче 262).
272. То же для нивелирной сети с тремя узловыми точками,
изображенной на рис. 23 (исходные данные см. в задачах 263 и 264).
Способ Зейделя
Способ решения нормальных уравнений последовательными
приближениями, предложенный Якоби и усовершенствованный Зей-
делем, выгодно применять, когда квадратичные коэффициенты ве-
лики по сравнению с неквадоатичными. Значения неизвестных в
этом случае получаются после нескольких приближений.
ЗАДАЧИ
273. Решить систему из трех нормальных уравнений, составлен-
ных при уравновешивании нивелирной сети (задача 263),
1. + 0,450 5 х — 0,190 8_у +0,104 = 0
2. — 0,190 8 х + 1,000 Ъу — 0,320 8 z — 0,226 = 0
3. —0,320 8у ф-0,840 6 г+ 0,621 = 0
Решение
Разделив коэффициенты и свободный член каждого уравнения
на квадратичный коэффициент данного уравнения, представим на-
шу систему нормальных уравнений в следующем виде:
6Л = 0^5 (+°>190ST -0,104)
8 J = П)0 (+ 0)190 5 х + 0)320 6 * 8 Z + °’226) (V.54)
6 Z = 0 84’ ( + 0)320 ЪУ ~ 0)621}
Значения неизвестных в первом приближении вычислим по фор-
мулам:
[al] _ 0,104
[aa] ~ 0,450
0,231;
183
оу' = [6/] [bb] _ 0,226 1 1,000 - + 0,226; 1
[с/] _ 0,621 _ 0 749
М 0,840 v/j / ОС?»
Подставим эти значения неизвестных в уравнения (V.54), при-
чем для ускорения сходимости приближений используем значения
непосредственно перед этим полученные, например:
SX" = O15 (+ °’19° Ъу' -0,104)
2у”~П)0 0,190 ЪХ" + °>3202г' +0.226)
^" = 0,84 ( + 0,320 су" -0,621)
S*'" = q45 (+0,190 2-У" -0,104)
Ъу’" = j-L. (+ 0,190 ох"'+ 0,320 5г" +0,226)
S^' = oW( + 0,320 6/"-0,621) ит.д.
Для удобства вычислений лучше заранее разделить коэффици-
енты и свободные члены нормальных уравнений на соответствую-
щие квадратичные коэффициенты. Тогда первое уравнение системы
(V.54) примет вид
8 х= + 0,422 8у — 0,231.
Вычисления производятся в табл. 140. Столбцы 8х,8_у,8г и при-
ближение 1 заключают в себе рабочие формулы, по которым нахо-
дят неизвестные в каждом из последующих приближений.
Таблица 140
Вх 8 у Вг Приближения
I II III IV V VI 1
Ъх — +0,422 0 —0,231 —0,136 —0,246 —0,257 —0,259 —0,260
Ъу +0,190 — +0,320 +0,226 —0,036 —0,062 -0,067 —0,068 —0,068
Вг 0 +0,381 — —0,739 —0,753 —0,763 —0,765 —0,765 —0,765
На этом можно закончить вычисления. Значения неизвестных
получились такими же, как и при решении нормальных уравнений
способом последовательного исключения неизвестных (см. табл. 135).
184
Работу необходимо заканчивать проверкой правильности вычис-
ления неизвестных, подставляя их в суммарное нормальное урав-
нение. „
274. Решить по способу Зеиделя одну из следующих систем
нормальных уравнении.
1) + 10х — 2у — 3 =0
— 2 л-|-14у — Зг — 7 =0
— Зу + 11г + 4 =0
2) + 8 х — у + 2 z + 4 =0
— х+12_у — z — 2 —0
+ 2 х — у +13 z + 5 =0
3) + 15 х + 3_у— z + 6 =0
+ 3 х -f-lOj + 2г — 4 =0
— х -j- 2_у -j-12 z + 3 =0
4) 4-i6x+ 2y — Зг + 6 =0
+ 2x-f-14y-{- 4г — 5 =0
— 3% + 4_у+18г— 8 = 0
5) +27 %+ 6_p — 88 =0
+ 6x + 15_y + г — 70 =0
+ j+54z—1 107 = 0
6) +20x- 2y-f- 3г — 10 =0
—2 x+24y— 4г + 13 =0
+ 3x — 4y +18 z — 8 =0
7) +16 x+ Зу — 2г + 9 =0
+ 3a' + 19_p+ 4z — 12 =0
— 2 x+ 4 j+21 г + 11 =0
8) +13 x — 3 у — 5 г + 6 =0
"— Зх + 17_у + г — 11 = 0
— 5 x *+ у *+ 15г —|— 7 =0
9) +21 х— 4_у+ Зг — 5 =0
— 4х+16у— 2 г + 8 =0
+ 3 х — 2 у + 12г + 4 =0
10) +76 х— 30 V— 20 г + 2,8 = 0
—30 х +83 у —25 г — 4,1 =0
—20 х —25_у + 89 г — 1,9 = 0
185
Способ К. Ф. Гаусса
с введением вспомогательного неизвестного ({20], § 127)
Возьмем систему трех нормальных уравнений:
[аа'х 4- [ab\y + [ac]z 4 [а/] = О
[ab]x + [bb \у - - [bc\z + [Ы] = О
[ас]х 4* [bc\y 4* [cc\z 4- [cl] = О
и составим суммы коэффициентов этих уравнений:
[аа] 4- [а/>] 4- [ас] = [os']
[а/>| 4-[/>/>] 4 [fee] = Efts']
[ас] 4- [be] 4- [сс] = [cs'J
[al] +[bl] +[cl] = [/s'J.
| os'] 4- [fes'] 4- [cs'J = [s'/]
В рассматриваемом способе Гаусса неизвестные х, у, z заменя-
ются временно новыми неизвестными t], г, связанными со ста-
рыми следующими соотношениями:
л = 5 — о
у =41 — а
Z = -с а
(V.55)
в которых а — вспомогательное неизвестное.
Подставив в исходную систему нормальных уравнений правые
части равенств (V.55) и дополнив ее четвертым уравнением, кото-
рое составляется как сумма всех нормальных уравнений с после-
дующей переменой знаков у всех членов на обратные, получают
новую систему нормальных уравнений с четырьмя неизвестными:
[аа] £ 4- [ab] т] 4- [ос] т — [os'] о 4- [al] = 0
[ab] £ 4- [bb] 7] 4- [be] х — [fes'] с 4- [bl] = 0
[ос] (j 4 [be] 7J 4 |СС] т — [cs ] С 4- [с/] = 0
— [os'] 1; — [fes'] 7J — [cs'] Т 4 [s's'] а — [/s'] = 0
При решении такой системы имеется контроль вычислений:
сумма коэффициентов при каждом неизвестном (по столбцам)
должна равняться нулю. Затем выясняют при помощи логарифми
ческой линейки (или в уме), в каком уравнении получается наи-
большее частное при делении свободного члена на квадратичный
коэффициент. Пусть это будет в третьем уравнении.
Это частное с обратным знаком
[с/]
[се]
считают за первое
186
приближение неизвестного т, подставляют его во все уравнения и
вычисляют «остатки» от свободных членов
[«Л1 = [ас] т1 [aZJ
[*Л1 =[^с] + +[Z»Z]
[с/]х =[сс] и + fc/]
[/s'Ji = ["'] Ч + [^']
После этого опять выясняют, в каком уравнении будет наиболь-
шее частное от деления «остатка» на квадратичный коэффициент.
Пусть это окажется в первом уравнении. Переменив знак у этого
частного, получают
с
1 [аа] ’
Считая 51 как первое приближение неизвестного 5, подставляют
во все уравнения и подсчитывают «остатки» от свободных членов
[а/]2 = [аа] + \al]r
[bl]2 = [ab] 5, + ^/к
[c/J2 = [ас] 5i + IcZ],
[Zs']2=[o:s']51 + [Zs']
Аналогичные вычисления продолжают до тех пор, пока «остат-
ки» не окажутся настолько малыми, что частное от деления каж-
дого «остатка» на квадратичный коэффициент соответствующего
уравнения будет менее единицы наименьшего разряда определяе-
мых неизвестных.
В результате вычислений, например, третье неизвестное может
получить по тем же правилам поправки т2, т3, . . . к первому
приближению 'с1. Окончательное значение неизвестного найдется
затем как сумма
С = тх + Т2 + т3 + • • •
Другие неизвестные получаются так же.
Уравновешенные значения неизвестных определяются из соотно-
шений (V.55).
Способ Гаусса может быть применен и без введения вспомога-
тельного неизвестного. Порядок вычислений будет аналогичный
изложенному.
275. Решить по способу последовательных приближений Гаусса
с введением вспомогательного неизвестного систему нормальных
уравнений, полученную при уравновешивании нивелирной сети в
задаче 263
+ 0,450 8х-0,190 Sy +0,104 = 0
— 0,190 6 х + 1,000 Sy - 0,320 S z - 0,226 = 0
— 0,320 S у + 0,840 6 z + 0,621 = 0
Заменив неизвестные Sx, бу, 6 z новыми на основании формул
(' 55), сложим полученные уравнения и переменим у суммарных
187
членов знаки на обратные. Образуется следующая система урав-
нений:
5 к] -с а
+ 0,450 ох — 0,190 8j — 0,260 а + 0,104 = 0
-0,1908x4- 1,0008—0,3208г — 0,490а — 0,226 = 0
— 0,320 8_у 4 0,840 6 г — 0,520 а + 0,621 = 0
— 0,260 8 х — 0,490 8_у — 0,520 8 г 4-1,270 а — 0,499 = 0
“0 б б (Г О
Новая система должна обладать всеми свойствами системы
нормальных уравнений, а сумма коэффициентов (или свободных
членов) уравнений по каждому столбцу должна равняться нулю.
Проверив выполнение этих требований, переходят к вычислению
приближений (табл. 141).
Чтобы не иметь дела с дробями, увеличивают свободные члены
в 1000 (или 100 раз) и записывают их во второй столбец. Наиболь-
шее частное от деления этих свободных членов на соответствующие
квадратичные коэффициенты оказалось в третьем уравнении. По-
этому первое приближение третьего неизвестного будет
его записывают вверху третьего столбца. В этот же столбец запи-
сывают результаты умножения = — 739 на соответствующие
коэффициенты при т. Суммы чисел по строкам второго и третьего
столбцов дадут первые остатки свободных членов (их записывают
в четвертом столбце).
По заполнении каждого столбца табл. 141 необходимо убедить-
ся в том, что сумма записанных в столбце чисел равна нулю.
Далее определяют наибольшее из частных, получающихся от
деления этих остатков на соответствующие квадратичные коэффи-
циенты. В нашем случае выяснилось, что наибольшее из частных
оказалось в первом уравнении
Е — 104 — — 231
0,450 2,51'
Записав значение — 231 вверху пятого столбца, умножают
его на соответствующие коэффициенты при 5 и записывают резуль-
таты в столбец 5. Сложив построчно числа, внесенные в столбцы
4 и 5, получают в столбце 6 вторые остатки. Так продолжают вы-
числения и далее. В данном примере вычисления велись до
20 столбца.
В итоге вычислений получено:
£ = — 231 — 22 — 2 = —255
т] =— 55—114 3 = — 63
т= —739 —21 = —760
188
Т а б л и ц а 141
и-6 Я01В1Э0 о сч СОСО о
2 + = ^ о + 7 7 о
«-8 ЯО1В1ЭО оо О СЧ 1 • 1 + + о
е- = Ез 7 ° ° + о
И-£ Я0ХЕ1Э0 со «—< СМ < О + 1 + о
s + = ’D ю »—« сч со со 111 + —
И-9 ЯО1В1ЭО см о тр со + + 1 о
11 — = ^ со СМ » тр LQ + 7 + + о
И-9 ЯО1Е1ЭО сч 04 >—1 о < + + 7 о
12 — = 81 О ь- со >—< + 7 + о
и-fr ЯОХВ1Э0 о 0 + 4 +18 —22 о
гг — = гэ О') 7 + о
й-е ИОХВХЭО 00 О о ОО ОО •—< сч + + 1 о
SS — = ъ с- ОЮоОГ- —1 см - + 1 + + о
и-г ЯОХЕХЭО СО о Ю о LQ Ю ю + 1 о
182 — = ’Э ю g ’f о о 7 + + о
И“1 ЛОХЕХЭО Тр * +104 + ч 0 —115 о
68Z — = li со ° со сч ОС см СО со + 1 + о
NHQVfa энтгороаэ СЧ СО г-н 05 О сЧ сч сч ' СМ СО тр + 1 + 1 о
Э1ЧН -хээяеиэн и ЙИН -ЭНЯВЙЛ oftf (D) (\) 8 W z (5 I н
189
При вычислении первоначальных неизвестных необходимо
учесть, что в начале решения системы свободные члены были уВе.
личены в 1000 раз. По формулам (V.55) находим:
8 £ — а = — 0,260
- т] — а — — 0,068
8 z = т — о = — 0,765
Найденные значения неизвестных следует подставить в нормаль-
ные уравнения, чтобы убедиться в правильности вычислений.
В нашем примере результаты решения нормальных уравнений
по способу последовательного исключения неизвестных (зада
ча 263), по способу Зейделя (задача 273) и данным способом ока-
зались тождественны.
276. Решить по способу К. Ф. Гаусса с введением вспомогатель-
ного неизвестного одну из систем нормальных уравнений, данных
в задаче 274.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
УСЛОВНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Глава VI
НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ УСЛОВИЯМИ
§ 17. Справочные сведения по равноточным условным
измерениям*
Условные уравнения поправок имеют вид
<Р1 • • • alv1 + ^2 + + 44i = 0
Ф2 • 4- b2v2 4- 4- bnvn 4- = 0 _ (VII)
rfr -g^i + g^+ 4- №4-^ = 0 ,
В этих уравнениях a,-, bh . . . , gt — постоянные коэффициенты, a
— невязки результатов измерений например, угловые невязки
треугольников.
В некоторых задачах геометрические условия, связывающие
неизвестные, выражаются нелинейными функциями. Тогда уравне-
ния (VI. 1) получаются из этих условий путем приведения нелиней-
ных функций к линейному виду. Решение задачи на уравновешива-
ние по способу условных измерений начинается фактически с со-
ставления условных уравнений поправок (VL1). Затем на основании
условных уравнений составляют нормальные уравнения коррелат
[ос] Хх 4- \ab\ д2 4-
[ab] ах 4- [ ЬЬ | л2 4-
[«£1 Ai 4- [te] К 4- •
+ [С?] 44] — 0
4-4-?2 = 0
•+Ш^4-^ = 0
(VI.2)
Число нормальных уравнений должно быть равно числу услов-
ных уравнений. Систему нормальных уравнений решают по одному
из рассмотренных ранее способов, например по способу последова-
тельного исключения неизвестных.
Для контроля составления коэффициентов нормальных уравне
ний коррелат образуют суммы
°i4-^i4- — 4
а2 4“ ^2 + • + Й2 = S2
ал 4- + • 4- gn = Sn I
* Учебник [20], § 79, 80, 82, 83, 85.
(VI.3)
191
Свободные члены нормальных уравнений коррелат £ те же, что
и в условных уравнениях (VI. 1), поэтому их не включают для кон-
троля в суммы (VI.3). На основании сумм (VI.3) получают сле-
дующие контрольные формулы:
[аа] 4- [ab] +
[ab] + [bb] +
[ag] 4- [6g] 4-
+[ag] = [ns'] |
+[6g] = [6s'J J
+fe] = [gs'] I
(VI.4)
Проверив по этим формулам вычисление коэффициентов
нормальных уравнений коррелат, находят еще суммы
^ = Ms']4-Ci
s2 = [6s'] 4-
(VI.5)
sr = МИ +
Число десятичных знаков, с которыми придется вести решение
нормальных уравнений коррелат, рассчитывают так же, как и в
косвенных измерениях (см. § 13). Для выравнивания коэффициен-
тов нормальных уравнений часто приходится уменьшать или уве-
личивать в одно и то же число раз все коэффициенты и свободный
член какого-либо условного уравнения. При значительном различии
между величинами коэффициентов и величинами свободных членов
нормальных уравнений коррелат изменяют все свободные члены
в п раз, отчего изменятся и корреляты в такое же число раз.
Суммы (VI.5) используются для контроля вычисления коэффи-
циентов эквивалентной системы уравнений по формулам
[66-1] +[del]4- • 4-[^-1]4-Ка-1] =М2-1] ’
[сс-2| + + [cg*2] + [Cs-2] =[s3-2] zvi 6)
Хорошим контролем решения нормальных уравнений и
ления поправок v служат формулы
Г^..= ^К2-!]2 Кз*2]2 ______
1 J [аа] [66-1] [сс-2]
КЛ'-!)]2.
’1 [^2 ' 4 [^2 4 ]
вычис-
(VI.7)
(VI.8)
[аа] [66-1]
[^.(г—1)] [s,4r-l)J
[ж-М—1)]
Вычисления по этим формулам располагают в столбцах £ и s
схемы решения системы нормальных уравнений (см. табл. 147).
Решив нормальные уравнения с проверкой значений коррелат пу
192
еМ их подстановки в уравнения эквивалентной системы, находят
вероятнейшие поправки к измеренным величинам, пользуясь фор-
мулами
-|- Ьгл2 -ф - • •+g1Az.
^2 = а2 *1 + ^2 ^'2 + ' +(?2^г (VI.9)
^л—°л^1 + ^л^2+ 4~йл\-
Найденные поправки Л для проверки правильности проведенно-
го этапа вычислений подставляют в условные уравнения поправок
(VI.1).
Для контроля определения [vv] служит формула
[zw] = —[X]. (VI. 10)
Проконтролировав вычисления по формулам (VI.7) и (VI. 10),
вводят поправки »,. в измеренные значения q,, получая уравнове-
шенные значения х, у,..., ш. Проделанная вычислительная рабо-
та, начиная с бесконтрольного составления условных уравнений и
кончая вычислением х, у,..., w, проверяется подстановкой этих
значений неизвестных в условные уравнения линейного вида
«1* + «2у + - . -ф anw -ф- а0 = 0
^1Х + Ь-гУ + • + + ^0 = 0 (VI. 1 1 )
ё1х~\~ёъУ + • •+£лщ/ + £о=О
Не имеющим навыка по составлению нормальных уравнений
рекомендуется вычислять по учебным схемам (табл. 142 коэффи-
циентов условных уравнений и 143 коэффициентов нормальных
уравнений).
В табл. 142 (и последующих) введен столбец f, который запол-
няется коэффициентами fi, f2,.. ., fn, если одновременно опреде-
ляют уравновешенные значения и веса неизвестных или веса их
функций.
После приобретения навыка вычисления по составлению коэф-
фициентов нормальных уравнений ведут в одной сокращенной схе-
ме (табл. 144 коэффициентов условных и нормальных уравнений).
Оценку точности выполняют следующим образом:
1) Среднюю квадратическую ошибку результата непосредствен-
ного измерения находят по формуле
/n = ±|//W. (VI12)
2) Для вычисления веса функции уравновешенных величин эта
Функция должна быть приведена к линейному виду
«=/о + Л-« + /2У' +- +/>• (VI.13)
Вес функции определяют по формуле
-L- ил rn [bf.ir [grt-w ,VT141
ри [ff] [аа] [W-l] Igg.(r-l)]- (VL14)
13 г A r.
• A- Бурмистров 193
Таблица 142
№ измерений а ь c . . . g s' / 2 ^2 C^3 . . . g*r V vv
1 «1 bi Cl gi Si' fi Si я1^1 &1X2 cP-3 . . . gl^r V1 VtVi
2 #2 b2 Ci gi s2' fi S2 a2^i b-fo c2^3 gi^T v2 V2V2
п ап ьп Cn Sn Sn fn Sn ап^{ b/1^2 cn*3 gnK Vn vnvn
Суммы [а] [cj [g] [s'] [»v]
£ ?2 '3 Zr [S]
X *1 *2 ^•3
а ?2'-2 ^3 ZrK — ra
Таблица 143
№ измерений | a a ab ac ag | as' af b h be bg bs' bf \ bS
1 ^1^1 a}bt VlCi Vlgl alsl' a i/i «1S1 btbi bLc big T biSi bifi fel'-l
2 ^2^2 ^2^2 a'ig2 a2s2 a2/2 a2^2 b2b. b2c • bzgi b2s2 bifi fe2s2
n Wn cinbn ^ancn ^пёп ansn' anf n an^n bnb n bnc Я bn gn bnfn bn^n
Суммы aa] [a&] [<7C] [Я£] [as'] [a/] [al] [fefe] [be] [bg] [fes'] [bf] [И]
cc eg cs' cf cS gg gs' gf g 2 // f2
C1C1 Clgl clsl' Cifl Ci^j gigi glS)' gl/l gtSi flfi fi Si
C2C2 Cigi c2^2 с2^2 gigi giS2 gzf? g2s2 fifi /2s2
cncn cnSn cnsn cnf n cn gngn gnsn &nfn Sn^n fnfn /«S«
[«] [eg] [cs'] [£•/] [CS] [gg] [gs'] Igf} [gS] [//] [/ s]
№ измерений «] Ь] c] g] S'] t /] ^] V
1 а1 fci Cl gt S|' fl z 1
2 а2 *2 Cz • • g-i S2' P -^2 v2
п ап bn cn gn s„' fn Vn
Суммы [«] [*] и [g] [2]
С ?2 ьз Sr
Z z2 ^3 Zr
К ^2^2 *з£з •
[а [аа] [ab] [ас] [«gj [os'] [O/] [«2’]
[Ь [bb] [be] [&g] IT'S'] [6/] [^]
[* [се] [eg] [«'] [C/] [CV] 1
[g • [gg] [gs'] [g/] [g-S]
[s' [s's'l [S'/] —
[/ [//] [/^]
[22] 1
V.
(VI.15)
1 о той же последовательности, что и с остальными числами
<дИИ и в
JxeobouPHHH членов правой части формулы (VI. 14) записывают в
J,
-Яоках 15___18 табл. 147, при этом значения выражений—
I \bf-W и т. п. находят перемножением каждого числа элиминаци-
1 ой строки из шестого столбца на расположенное непосредствен-
оННнад ним число. Контроль получения обратного веса функции
Я°авновешенных величин производится в седьмом столбце схемы
Решения нормальных уравнений по формуле
1 [«/][«"] PMW-1]
Р~ [аа] [bb-\]
l)][gS-(r-l)]
[gg-(г-1)1
Величины [«£], [6S], • • • . [/SL входящие в эту
вычисляют одновременно с вычислением коэффициентов
ных уравнений (см. табл. 143 и 144).
Суммы Sj,S2,- , получаются по формулам
^1 — S/ + /1> ^2 = S2,+/2>‘ ’ •> Ln=Sn'+A-
Иногда требуется определить вес функции уравновешенных ве-
личин, не вычисляя самих неизвестных. В этом случае в табл. 142
и 144 опускают столбцы и строки, предназначенные для вычисле-
ния [щ(| и контроля по формуле (VI. 10). В схеме решения нор-
мальных уравнений опускают четвертый и пятый столбцы и строки
15—18 первых трех столбцов.
3) Среднюю квадратическую ошибку функции уравновешенных
величин находят по формуле
формулу,
нормаль-
получаются по формулам
1
ти = т
(VI.16)
V л и
По этой же формуле получают среднюю квадратическую ошиб-
ку любого неизвестного. Вес неизвестного может быть получен по
формуле (VI. 14), если принять функцию и равной этому неизвест
Способ условных измерений дает такие же результаты, как и
---З косвенных измерений. Расхождение результатов возможно
в пределах точности вычислений вследствие влияния ошибок округ-
ления. Вопрос о том, какой из этих двух способов применять,
ных уравнений в дополнительных столбцах (столбцы шесто)ГЫ^-,пРи каждом способе.
седьмой табл. 147). н ИРИ косвенных измерениях число нормальных уравнений, как
Величины [af], [bf],..., [gf], вычисленные в табл. 143 Уже известно, равно числу независимых неизвестных, а при
табл. 144), вписывают в строки столбца 6 табл. 147 вместо коЧ рВНЬ'х измерениях — числу независимых условий.
фициентов нормальных уравнений коррелат. С этими числам4ЛУц1еобходимо учитывать и требующуюся в каждом конкретном
последующем до строки 13 включительно производят те же one, У ае °Иенку точности, имея в виду, что в косвенных измерениях
Формула (VI. 14) используется и для определения весов
уравновешенных величин. Для определения, например, веса перЕ-д^^
неизвестного, полагают и = х, вследствие чего коэффициент n
х оказывается равным единице, а коэффициенты при всех ociAcn0CQg
ных неизвестных — равными нулю, то есть
д = /0==/2==...=л=0. ______ _________ _ _____ ~______________________,
Веса вычисляют по формуле (VI. 14) в схеме решения норм 3|ь™ется в зависимости от числа нормальных уравнений, получае-
196
197
попутно с решением нормальных уравнений легко получаются веса
последнего и предпоследнего неизвестных.
Способ косвенных измерений имеет еще и то преимущество, что
из решения нормальных уравнений сразу находятся поправки к
неизвестным. В способе же условных измерений по найденным кор.
релатам необходимо еще вычислить поправки к неизвестным, что
кроме некоторого увеличения работы при большом числе уравне-
ний, вызывает большее влияние ошибок округлений на значения
неизвестных.
ЗАДАЧИ
277. В табл. 145 даны результаты измерения углов во всех ком-
бинациях (см. рис. 16). Произвести уравновешивание этих резуль-
татов по способу условных измерений и вычислить средние квад-
ратические ошибки результата непосредственного измерения и ве-
роятнейшего значения шестого угла, т. е. функции и = х -ф- у -|~ г.
Измеренные величины даны в табл. 145.
____________________________Т а б л и ц а 145
№ углов Углы Измеренные зна- чения углов Неизвестные
1 АОВ 38°31'15",5 х=хх
2 ВОС 46 07 30 ,0 у=х2
3 COD 17 43 46 ,5 Z=XS
4 АОС 84 38 45 ,0 x+y—Xi
5 BOD 63 51 16 ,5 Д'+г=А'5
6 AOD 102 22 33 ,0 х4у4г=х6
Решение
Всех неизвестных шесть, из них три — независимых. Пусть это бу-
дут x,y,z (см. табл. 145). Последние три неизвестных зависят от
первых трех. Число независимых условий равно числу добавочных
измерений. В данной задаче это число будет: 6 — 3 = 3.
I. Руководствуясь геометрическими условиями задачи и учиты-
вая, что в данном случае a,-, bh ct равны единице, составляют
условные уравнения вида (VI.11):
1. + х, -ф- х2 4- Хз — Х6 = О
2. -j- Xi -ф- х2 —• X} =0
3. -ф- %2 4* *3 --%5 — 0
При составлении условных уравнений необходимо придержи-
ваться правила, чтобы в каждом последующем уравнении исполь-
зовалась хотя бы одна измеренная величина, не вошедшая ни в од-
но из ранее составленных уравнений.
II. Вычисляют невязки Cf, подставив в составленные уравнения
вместо неизвестных х; результаты их измерений <7;. Например,
= 38°31'15",5 4- 46°07'30",0 4- 17°43/46",5 — 1О2°22'33",О = — Г'.О
198
„ енив в условных уравнениях неизвестные соответствующими им
пиявками и введя свободные члены, равные невязкам, получают
истему условных уравнений поправок (VI.1):
1. + vi 4~ V2 + &з — ив — 1",0 = О
2. —|— Vi 4~ У2 ~— Уь Н- 6 + = О
3. + + Уз — Уб =0
III. Составляют таблицу коэффициентов условных и нормаль-
ных уравнений (табл. 146).
Табл и ц а 146
№ по пор. я] Н с] s'] /] 2] W-2 V VV
1 +1 +1 + 2 +1 + з +0,62 —0,50 +0",12 0,01
2 +1 +1 +1 + з +1 + 4 +0,62 —0,50 —0,25 —0",13 0,02
3 +1 +1 + 2 4-1 + з +0,62 —0,25 +O",37 0,14
4 —1 — 1 — 1 +0,50 +0',50 0,25
5 —1 — 1 — 1 +0,25 +0",25 0,06
6 —1 — 1 — 1 —0,62 —0",62 0,38
Суммы +2 +1 +1 + 4 +з + 7 [w] 0,86
С —1.0 +0,5 0 — 0,5
). +0,62 —0,50 —0,25
—0,62 —0,25 0 -W] 0,87
[« +4 +2 +2 + 8 +з 4-н
Вычисление сумм s=.s +t
+3 +1 + 6 +2 + 8
Sl= =+8- [,0=+7,0,
[с +з + 6 +2 + 8
S2= =+б+о,а=+ь,э,
[«' +20 +7 —
S3= =+«+( =+6,0.
[/ +3 +10
П’ +37
Заполнив первые четыре столбца таблицы коэффициентами
условных уравнений поправок, суммируют числа этих столбцов по
строкам и по столбцам, получая величины s' и «суммы». Контро-
лем правильности суммирования является тождество результатов
сложения величин s' и по строке «суммы». В нашем случае
F'] = [сумм] = ф-4. Однако составление условных уравнений и
выписка их коэффициентов в табл. 146 бесконтрольны и должны
ыть выполнены другим вычислителем «во вторую руку».
199
о _______________________________________________________________________________________________________________________Т а б л и ц а 147
! строк I Название строк X X X 5 I f V и
5* 1 2 3 4 5 6 1
1 М' [аа] [ab] [ec] Ci «1 [«/] [aV]
2 С, —1 _ [ab] _ l«c] _ Ci _ «1 [af] [^’1
[аа] [аа] [aa] [aa] [aa] [aa]
3 \ [аа])
4 W2I [bb] [&c] c2 s2 [V] [62]
5 (1); c112.av [ab] [ab] [а&] [ac] [ab] [a6] Sj [a6] [a/] [a6][a2]
[аа] [aa] [aa] [aa] [aa] [aa]
6 Л^п [W.l] [6ol] [C2-l] [^2’1] [6/-1] [62.1]
7 с2 —J [Aol] _ [C2-l] [s2-l] [V-1] [&2-1]
/- 1 [66.1] [66-1] [66.1] [66-1] [66.1]
8
9 [«•] cs •*3 [cf] [c2]
10 (1); G.s-nj _ [ac][ac] [ac] Cj [ac] [ac][af] [ac] [a2]
[aa] [aa] [aa] [aa] [aa]
11 (2); С,(3.^П [6ol][6ol] [»c-l][g8-l] [6ol] [s2-l] [6о1][6/-1] _ [6ol] [62-1] [66.1]
[66-1] [66-1] [66.1] ! [66-1]
1 1 I
12/ 13 C) 14 15 16 ^з'СрЗ 17 18 19 C1.C Су 2^2 C2,C ^2,3 ^3 [cc-2] 1 :?3-2] [Сз-2] ^2] I .^2] с/ • 2 I [cf 2] \ ; cl • 2
1 [co2] [co 2] I [co2] [CO 21
[co2]) c3,!; 0 Ci3 [C] Ci ’si [ff] _ [af\2 [aa] _ [fr/'l]2 [66-1] _ [c/.2]2 [co2] [/2] - [aa] _ [6/-l][62-l] [66.1] _ [c/.2][c2-2] [ cc • 2 ]
^3
[aa] [aa] [C2'l] [«2-1]
^2
[66.1] [C3-2]2 [66-1] [Сз'2] [^3'2j
*1
[co2] [co2]
- [t'«] [wti] 1 Pu 1 Pu
Таблица 148
IV. После этого вычисляют коэффициенты нормальных ура,
ний по сокращенной схеме, для чего последовательно перемно г--
на арифмометре ai на а\, а2 на а2,..., ап на ап, накапливая
счетчике результатов суммы произведений агс,-. Проделав пере g.
жения по всему столбцу, получают на счетчике результатов Й
При вычислении неквадратичных коэффициентов необходимо дй
жительные произведения получать как обычно, а отрицатель—
произведения — вращением рукоятки арифмометра против > i
часовой стрелки (как при делении). В итоге может получиться
рицательная сумма произведения, что обнаружится появлед2
девяток на счетчике результатов арифмометра. Пусть, напри-, в
в итоге перемножения а на b на счетчике оказалось... 998,6]
В этом случае коэффициент [сб] — — 1,3828. В данной задаче 4
вычисления коэффициентов нормальных уравнений можно еде.:
в уме.
V. Составление коэффициентов нормальных уравнений кош
лируют, пользуясь методом сумм. Закончив составление табл,
вычисляют еще суммы s' по формулам (VI.5).
Нормальные уравнения в нашем случае будут:
5
6
7
8
[аа] \ + [ab\ Х^+ [пс] Х3 +^= 0
[сб^ + ^б] \ + [6с] Хй +С2= 0
[zzc^ + ^c] Х2 + [сс]Х8+^=0
9
+4,0 Xj + 2,0 Х2 + 2,0 Х3 — 1,0=
+2,0 Хх + 3,0 Х2 + Xs +0,5= ю
+2,0 X, + Х2 + 3,0 Х3 =
+8,0 Х2 + 6,0 Х2 + 6,0 Х3 —0,5= 12
Суммарное уравнение
Сложив числовые коэффициенты, получают суммарное урав> 13
ние, которое потребуется при проверке найденных коррелат из f н
шения нормальных уравнений.
VI. Далее переходят к решению нормальных уравнений. Д 15
удобства изучения в табл. 147 дана схема решения в буквенв
обозначениях, а в табл. 148 дано численное решение (выполн(
с помощью логарифмической линейки).
VII. Подставляют найденные значения коррелат в суммари
нормальное уравнение
+ 4,96 — 3,00 — 1,50 — 0,50 = — 0,04
и вычисляют поправки v (табл. 146) по формулам (VI.9). Зат!
подставляют полученные поправки v в условные уравнения:
1. + 0",12 — 0", 13 + 0",37 + 0",62 — 1",0 = — 0",02
2. + 0 ,12 —0 ,13 —0 ,50 +0,5 = —0,01
3. —0,13 + 0,37 — 0,25 = — 0,01
16
17
18
19
VIII. Работу
ляет проверить правильность
ния условных уравнений и '
гЭТИ! Ура™шя УД^етворяются, переходят к вычислен!) этот заключается в проверке
величин [WJ И-[АС,].
i»2
Название
строк
С+
•з' С,
Nt1
С,
(1);
С2
(И; Ct,si
(2); сг,з ‘
NtW
а / b / С / Z / Z /
^-и
/\ у /У / + / Л 5 Л 6 7
1 +4,0 2 +2,0 3 +2,0 -1,0 - 1-7,0 4 гЗ,0 +11,0
—1 О 750) —0,50 —0,50 - 4-0,25 - -Ц75- -0,75 - 2,75
V +3,0 +1,0 4-0,5 4-6,5 - 42,0 + 8,0
J —1,0 —1,0 +0,5 —3,5_- -1,5 - 5,5
+2,0 0 +1,0 +3,0 4-0,5 + 2,5
—7 (—0,500) 0 —0,50 —1,50 —0,25 — 1,25
+3,0 0 +6,0 +2,0 + 8,0
I —1,0 +0,5 —3,5 -1,5 - 5,5
1 0 0 0 0 0
'1“ +2,0 +0,5 +2,5 +0,5 + 2,5
—1 ( 0,500) —0,21 >—1,25 -0,21 — 1,25
+0,25 —0,50 —0,25 0 —0,51 ) +3,0 ) +10,00
+0,12 0 Т-з —0,2 5+1,7 5—2,2 5 - 8,25
+0,25 1 —0,50 -0,5 0—1,5 0-0,1 2 - 0,62
+0,62 —0,1 2—0,6 2 —0,1 з — 0,63
1 Л2 — о + 0,50
—0,8 7—0,8 7+0,5
7-t
] 1
Г1”' ’1 —[vt Г U Ри
контролем, который
завершают последним
_____„ позво-
, всех вычислений, начиная с составле-
та блицы их коэффициентов. Контроль
выполнения геометрических условий,
203
202
возникающих в данной задаче (табл. 150), с уравновешенным-,
значениями неизвестных, вычисленными в табл. 149.
_____________________________________________Таблица 149
Неизвестные Углы Измеренные значения Поправки Уравновешенны значения xi=4i+^i
Xj—X АОВ 38°31'15",5 4-0",12 38°31'15",62
Х2=У ВОС 46 07 30 ,0 —0 ,13 46 07 29 ,87
x3—z COD 17 43 46 ,5 +0 ,37 17 43 46 ,87
Х4=Х+У АОС 84 38 45 ,0 4-0 ,50 84 38 45 ,50
х5=у | z BOD 63 51 16 ,5 4-0 ,25 63 51 16 ,75
х6=х+У+? AOD 102 22 33 ,0 —0 ,62 102 22 32 ,38
Таблица 150
№ по пор. Комбинации углов Вычисление алгебраи- ческих сумм углов Соответст- вующие углы
1 АОВ+ВОС 84°38'45",49 АОС
2 BOC+COD 63 51 16 ,74 BOD
3 AOB-\-BOC-\-COD 102 22 32 ,36 AOD
Геометрические условия выполняются в пределах точности вы-
числений 0",01—0",02.
IX. Убедившись в правильности всех предшествующих вычисле-
ний, переходят к оценке точности результатов.
1) Средняя квадратическая ошибка результата непосредствен-
ного измерения
™ = ±рЛ-И- = ±)/^ = ±0’,54.
Ошибка самой ошибки
т — = -+- = + 0",22.
т ]г2г “}Л2-3 ~
2) Обратный вес функции уравновешенных величин и = х
1 tn 2
4- = 2Ч-;=[//-3] = 0)50.
Ри т2 177
3) Средняя квадратическая ошибка функции и
= ± 0",54 Jr0,50 = ± 0",38.
тп = т
204
/-равнение результатов уравновешивания углов, измеренных во
комбинациях, и оценки их точности методами косвенных и
'повных измерений показывает, что эти результаты получились
Фактически одни и те же, как и должно быть.
ПР 278. Уравновесить по способу условных измерений результаты
мерения углов во всех комбинациях, взяв один из вариантов,
Умещенных в табл. 115 для задачи 250. Найти средние квадрати-
ческие ошибки вероятнейших значений первого, второго, третьего
и шестого углов.
279- Решить задачу 251 по способу условных измерении.
280. То же для задачи 252.
281. Уравновесить по способу условных измерений результаты
измерения углов во всех комбинациях, взяв один из вариантов, по-
мещенных в табл. 118, для задачи 253. Найти средние квадратиче-
ские ошибки вероятнейших значений углов АОВ, COD, DOE и АОЕ.
§ 18. Уравновешивание углов в типовых фигурах триангуляции*
ЗАДАЧИ
282. Значению угла х —35° дается малое приращение h == 10",
определить разность lg sin (х + h) — lg sin x.
Решение
Разложим уменьшаемое в ряд Тейлора, ограничиваясь членом
с первой степенью малого приращения h
lg sin (х -f- h) — lg sin x -f- h (lg sin x)',
или
lg sin (x -|- h) = lg sin x + hM ctg x,
где M = 0,4343.
Если приращение угла h выразить в секундах, то /г=^
Тогда
h"
lg sin (x -j- h) — 1g sin x = M ctg x = Az.
По условию задачи
' 10"
A,-^rM.ctg35°,
или, выражая изменение логарифма в единицах седьмого знака,
Д — Ю-0,4343 . .ос ,
1----206265—1,428 = 301 единице 7-го знака логарифма.
Ту же величину А,- можно найти и по семизначным таблицам
логарифмов как изменение логарифма sin 35° при увеличении угла
иа 10". Поэтому для приведения нелинейных условных уравнений,
содержащих lg sin х, к линейному виду пользуются таблицами лога-
Рифмор, беря изменение lg sin х на 1" угла. ВеличинуА!" получают
* Учебник [20], § 81, 84.
205
делением на 10 разности двух смежных логарифмов синусов, между
которыми лежит lg sin х.
Если в треугольнике угол х < 90°, то Д,- имеет знак «плюс»
если же х + 90°, то Л,- имеет знак «минус».
283. В табл. 151 дается 10 вариантов значений угла х. По од-
ному из вариантов подсчитать изменение 1g sin х в единицах шесто-
го или седьмого знака логарифма при изменении угла х на 5" и
вычисленную по формуле величину Дг проверить по соответствую-
щим таблицам логарифмов.
Таблица 151
Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 15° 20° 25° 30° 40° 45° 50° 55° 60° 10°
Некоторые виды условных уравнений в тригонометрических сетях
Условимся обозначать уравновешенные значения углов римски-
ми цифрами, измеренные значения — арабскими и поправки к
ним — арабскими цифрами в скобках. Например, вместо x — q-\~v
будем писать I = 1 + (1).
Условия фигур. Если непосредственно измерены все внут-
ренние углы плоского замкнутого многоугольника, то сумма урав
повешенных значений этих углов должна равняться 180° (п— 2)
Для плоского треугольника условие фигуры будет
1 +11 +III— 180° = 0.
Заменив уравновешенные значения углов измеренными, найдем
невязку
1+2 + 3—180°=+ (VI.17)
Подставляя в первое уравнение вместо уравновешенных значе-
ний углов измеренные значения с соответствующими поправками,
получаем
1 + (1 )+2+(2)+3+(3)-180°=(1 )+(2)+(3)+1 +2+ 3-180°=0
или с учетом (VI 17)
(1) + (2) + (3)+?=0.
(VL18)
206
Условие горизонта. Если при точке О (рис. 24) изме-
ены все примыкающие друг к другу углы, то сумма этих углов
плоскости должна равняться 360° *.
Рис. 24
Применительно к рпс. 24 условие горизонта
I + II + III + IV —360° = 0,
1 + 2 + 3 +4 - 360° = ? (VI.19)
I (1) + (2)+ (3) +(4)44 = 0. (VI.20)
Условие станции. Независимо измеренные углы на точке
О (рис. 25) должны удовлетворять условию
1 + II-111 = 0,
1-}-2—3=? (VI.21)
----------- Рис. 25
* Порядок получения условного уравнения поправок здесь и в последую-
Ур'ав Условиях аналогичен порядку, изложенному при составлении условного
207
Условные уравнения станций были составлены ранее при урав
новешивании углов, измеренных во всех комбинациях (задача 27”)
Условие сумм. Если несколько треугольников AOD, DOc
и СОВ (рис. 26) вставляются между сторонами АО и ОВ триангу
ляции высшего класса, то в новой сети возникает условие, состоя-
щее в том, что сумма уравновешенных углов II + V + VIII долж
на равняться величине твердого угла ВОА, вычисленной из обра.
ботки прежней триангуляции. Стороны АО и ОВ называются
твердыми.
Условие сумм, применительно к рис. 26, будет
II + V + VIII — / ВОА = О,
2 + 5 4-8— £ВОА = г (VI.23)
и
(2) + (5) + (8) + £ = 0. (VI.24)
Условие сумм — это частный случай условия дирекционпых
углов, возникающих при наличии в сети треугольников двух или
более сторон с твердыми дирекционными углами. Вычисляя в такой
сети по уравновешенным углам значение дирекционного угла лю-
бой твердой стороны от дирекционного угла какой-либо другой
твердой стороны, должны получить это значение равным данному
твердому.
Условие сторон. Условие сторон представляет разновид-
ность базисного условия и возникает обычно в тех же случаях,
когда имеется еще и условие сумм. Условие сторон выражает тре-
бование, чтобы, например, значение стороны ОВ (рис. 26), вычис-
ленное путем решения треугольников AOD, DOC и СОВ по урав-
новешенным углам и первой твердой стороне АО, равнялось бы
твердому значению той же стороны ОВ.
По теореме синусов из треугольника AOD имеем
s± а
sin I sin III ’
208
куда
sin I
Sy • тут •
1 sin III
, sin IV
Подставляя сюда значение стороны а = b sj ур , полученное из
треугольника DOC, найдем
___, sin IV • sin I
51 sin VI-sin III
Заменив b ее выражением
, So sin VII
найденным по теореме синусов из треугольника СОВ, будем иметь
sin VII-sin IV-sinI
51 ~ 52 sin IX-sin VI-sin III
или
sin I-sin IV-sin VII So . /лгтоСЧ
. th—- .— TV = 1. (VI .25)
sin III • sin VI • sin IX Sy
Подставим в (VI.25) измеренные значения углов с их поправка-
ми, а затем прологарифмируем
lg sin {1 + (1)} + lg sin {4 + (4)} 4- lg sin {7 + (7)} + lg s2 —
- lg sin {3 + (3)} - lg sin {6 + (6)} - lg sin {9 + (9)} - lg Sy = 0
или, приводя к линейному виду (см. задачу 282),
А, (1) + Д4 (4) + А, (7) - А, (3) - А, (6) - А, (9) +
jin 1-sin 4-sin 7-тв
sin 3 • sin 6 • sm 9 • Sy
где Д;- —изменение Igsinx при увеличении угла на 1", выражен-
ное в единицах последнего знака логарифма. Введем обозначение
sin 1-sin 4-sin 7-s2 _
6 sin5-sin6.sin9-Sy
Невязка £ вычисляется, как разность суммы логарифмов чис-
лителя и суммы логарифмов знаменателя (в единицах последнего
знака логарифма).
С обозначением С условие сторон примет окончательный вид
сравнения поправок
Д1 (1) + Д4 (4) 4- Д7 (7) ~ Д3 (3) - Д6 (6) - Д9 (9) + ? = 0. (VI.28)
Боковые условия. Несколько смежных треугольников
образуЮт фигуру, называемую цепью треугольников,
•ели провести диагональ, пересекающую стороны треугольников,
Г- А. Бурмистров 209
или замыкающую цепь треугольников, или соединяющую вершинц
несмежных треугольников, то цепь треугольников обратится в сеть
треугольников. При наличии в сети триангуляции таких диагона-
лей возникают боковые условия.
Большей частью боковое условие выражает требование — полу,
чить одно и то же значение длины некоторой стороны сети пои
вычислении ее двумя разными независимыми путями
Рис. 27
синусов:
АО В
а. Рассмотрим один из видов боковых условий применительно
к центральной системе (рис. 27). Возьмем за полюс точку О и най-
дем по теореме
из
треугольника
sin III
а = с——.. ,
sin II
из
треугольника
ВОС
, sin VI
b — а——
sin IV
sin III-sin VI
sinII-sinIV ’
из
треугольника
AOC
sin VIII
sin VII
sin III-sin VI-sin VIII
sin II-sin IV-sin VII
с = b
откуда
sin III-sin VI- sin VIII .
sin II-sin IV-sin VII
(VI.29)
Обычно боковое
полюсного условия
условие пишут сразу по чертежу сети
в форме
ОА ОС ОВ
ОС ’ OB' О А
(VI-30)*
в том, что с уравновешенными углам11
___________________„____, ____ из треугольников АОВ и ВОС, должно
равняться отношению тех же сторон, выведенному из треугольника AOC ‘"j11
взять для вычисления этих отношений измеренные углы, то условие (VI 30)
* Смысл тождества
отношение сторон ОА и
(VI .30) состоит
ОС, найденное
Не удовлетворится.
210
ОА
Затем заменяют отношения сторон из треугольника АОС,
О В
ОС __из треугольника ВОС и — из треугольника АОВ отно-
05
пениями синусов противолежащих углов, что и приведет к уравне-
лю (VI 29). Для получения линейного вида полюсного уравнения
поступают так же, как это детально рассмотрено при изложении
вопроса об условии сторон. Заменяя в уравнении (VL29) уравно-
вешенные значения углов измеренными значениями с соответству-
ющими поправками, логарифмируя полученное выражение и вводя
обозначение
__ sin 3 • sin 6 • sin 8
® sin2-sin4-sin7
(VI.31)
для невязки, получим полюсное условие в виде условного уравне-
ния поправок
- Д2 (2) + Д3 (3) - Д4 (4) + Д6 (6) - Д7 (7) + Д8 (8) 44 = 0. (VI.32)
При уравновешивании центральной системы необходимо, кроме
полюсного условия, составить еще четыре независимых условных
уравнения, а именно: три условия фигур, располагаемые обычно
первыми в любой системе условных уравнений для тригонометри-
ческой сети:
(1) + (2) + (3)+^=0
(4) + (5) + (6) + = 0
(7) + (8) + (9) + = 0
и одно условие горизонта
(1) + (5) + (9) -|- ?4 = 0.
Уравнение (VI.32) будет пятым.
б. Рассмотрим еще составление бокового условия в геодези-
ческом четырехугольнике. Так называется четырехугольник с
Двумя циагоналями, в котором измерено 8 углов между его диаго-
налями и сторонами (рис. 28).
За полюс можно принять любую вершину, а также точку пере-
сечения диагоналей. Следует, однако, выбирать в качестве полюса
ту из вершин фигуры, при которой находится наиболее тупой угол,
h этом случае углы, входящие в боковое условие, будут более
острыми и коэффициенты уравнения, представляющие изменения
логарифмов синусов при изменении угла на 1", — увеличатся. Уве-
личение^ же коэффициентов приведет к уменьшению ошибок вы-
числений при определении неизвестных.
В соответствии со схемой измеренных углов (рис. 28) выберем
за полюс точку А. Тогда
АВ AC AD
АС ' AD ' АВ
(VI.33)
14*
211
откуда указанным порядком придем к боковому условию
sinV sin (VII-f-VIII) sin III ___________
sin (III + IV) sirfVI sinVIlT ’ (V L34|
Рис. 28
Логарифмируя (VI.34) и заменяя уравновешенные значения
углов измеренными с соответствующими поправками, находим
lg sin {5 + (5)} + 1g sin {7 + (7) + 8 + (8)} + 1g sin {3 + (3)} -
- lg sin {3 + (3) -b 4 + (4)} - lg sin {6 + (6)} - lg sin {8 + (8)} = 0.
Приводя к линейному виду, будем иметь
Аб (5) + Д7+8 (7) + Д7+8 (8) + д 3 (3) - Дз+4 (3) - Дз+4 (4) - Д6 (6) -
-A8(8) + lg
sin 5-sin (7 4- 8)-sin 3 _
sin (3 4- 4) • sin 6 • sin 8
Принимая
sin 3 • sin 5 • sin (7 4- 8) _
sin (3 4-4)- sin 6 • sin 8
(VI.35)
й расположив поправки в порядке возрастания их номеров, полу-
'чим боковое условное уравнение поправок в виде
{Д8 - Дз+4} (3) - Дз+4 (4) 4- ДБ (5) - Д6 (6) 4- Д,+8 (7) 4-
4-{Д7+8-Д8}(8)4-? = 0. (VI.36)
•212
Б
вить
геодезическом четырехугольнике (см. рис. 28) можно соста-
пять условных уравнений фигур:
I + II + III-ЬVIII —180° = О
IV + V + VI 4 VII- 180° = 0
II ч- III н- IV 4- V — 180° = 0
I 4 VI 4- VII + VIII — 180° = О
] +n_|_ni+lV+V+Vl4-VIl4 VIII-360° = 0
Из этих уравнений только три будут независимыми, а остальные
а будут следствием трех выбранных. Обычно берут два условия
фигур Для смежных треугольников, а третье — для одного из пере-
крывающихся. В нашем случае можно взять три первых уравнения.
Чтобы не усложнять последующие уравнительные вычисления,
необходимо составлять независимые условные уравнения по фигу-
рам наиболее простого вида. В сложных сетях условия фигур
получают для треугольников, а боковые условия — по центральным
системам (с наименьшим числом треугольников) и из геодезиче-
ских четырехугольников.
284. Уравновесить по способу условных измерений углы в си-
стеме треугольников между двумя жесткими сторонами (рис. 26) и
оценить точность определения стороны DC. Система, изображен-
ная на рис. 26, называется «вставкой в угол».
Решение
I. Выписывают исходные данные
lg S1 = 3,258 4263,
lgs2 = 3,329 5004,
/_ BOA = 22449'40",5 (твердый угол).
Координаты пунктов А, О, В (не приводятся).
II. Проверив выписку исходных данных, составляют табл. 152.
Заполняют первые четыре столбца в ней по материалам обработки
результатов полевых измерений и подсчитывают невязки в тре-
угольниках. В восьмой столбец выписывают логарифмы исходных
(твердых) сторон.
Далее переходят к составлению условных уравнений, вывод ко-
торых был дан выше.
П1- Составляют условные уравнения фигур:
1. (1) + (2) + (3) +5",4 = 0
2. (4) 4- (5) 4 (6)-7 ,1=0
3- (7) 4 (8) + (9) +4 ,5 = 0
213
Таблица 152
II. Решение треугольников
№ треугольников Название вершин № углов Измеренные .углы Поправки Секунды уравно- вешенных углов Логарифмы синусов Логарифмы сторон
1 2 3 4 5 6 7 8
3.302 5785
D 1 64°36'00",9 —2",1 58", 8 9.955 8478 3.258 4263
1 О 2 65 53 45 ,2 —2 ,8 42 ,4 9.960 3754 3.262 9539
А 3 49 30 19 ,3 —0 ,5 18 ,8 9 881 0793 3.183 6578
V 180 00 05 ,4 —5 ,4 00 ,0
^=+5", 4
3.268 5537
с 4 55 19 45 ,2 +2 ,0 47 ,2 9.915 1041 3.183 6578
2 О 5 55 12 15 ,1 +1 .7 16 ,8 9.914 4466 3.183 0003
D 6 69 27 52 .6 +3 ,4 56 ,0 9.971 4899 3.240 0436
V 179 59 52 ,9 +7 ,1 00 ,0
&=-7М
3.495 4414
б 7 33 44 19 ,4 —2 ,8 16 ,6 9.744 6022 3.240 0436
3 о 8 103 13 43 .4 —2 ,1 41 ,3 9.988 3211 3.483 7625
с 9 43 02 01 ,7 +0 ,4 02 ,1 9.834 0589 3.329 5003
V 180 00 04 ,5 —4 ,5 00 ,0 3.329 5ОО4__
Сз=+4'.5
В табл. 152 решают треугольники после получения значении
уравновешенных углов.
214
]V Составляют условное уравнение сумм.
Вычисление свободного члена приведено в табл. 153.
Таблица 153
№ углов Значения углов
2 65°53'45",2
5 55 12 15 ,1
8 103 13 43 ,4
у 224 19 43 ,7
Твердый угол 224 19 40 ,5
С4=+3",2
4. (2) + (5) + (8) +.3",2 = 0
V Составляют условное уравнение сторон (см. VI .27)
_____________________ sin 7 • sin 4 • sin 1 - s2
6 sin 9-sin 6-sin 3-s1
Вычисление свободного члена приведено в табл. 154.
_______ Таблица 154
№ углов Значения углов Логарифмы синусов Д 1" № углов Значения углов Логарифмы синусов ДГ
7 33°44'19",4 9.744 6110 +31,5 9 43°02'01",7 9.834 0579 +22,6
4 55 19 45 ,2 9.915 1012 +14,6 6 69 27 52 ,6 9.971 4873 + 7,9
1 64 36 00 ,9 9.955 8499 +10,0 3 49 30 19 ,3 9.881 0802 +18,0
«2 3.329 5004 «I 3.258 4263
2.945 0£25 У9 2.945 0517
г:5 = 2\-^2 = +108-Ю-7
Условие сторон в линейном виде (коэффициенты и свободный
ч^ен выражены в единицах 6-го знака логарифма)
5. + 1,00 (1) — 1,80 (3) + 1,46 (4) — 0,79 (6) + 3,15 (7) —
— 2,26 (9) + 10,8 = 0.
н Составляют весовую функцию и для оценки точности сторо-
Чтобы не усложнять последующих вычислений, выражение ве-
с°вой функции следует получать по кратчайшему пути, идя оттвер-
215
№ углов «] CJ d] е] s'] /]
1 +1 4 1.00 4- 2,00 —1,00
2 + 1 41 4- 2,00
3 +1 — 1,80 — 0,80 +1,80
4 +. 4 1Л6 4- 2,46 — 1,46
5 +1 41 4- 2,00 +1,46
6 + 1 — 0,79 4 0,21
7 + 1 4 3,15 4- 4,15
8 4 1 +1 4- 2,00
9 + 1 — 2,26 — 1,26
Суммы +3 + 3 +3 4-3 4- 0,76 + 12,76 +0,80
С +5" ,4 — 7',1 44", 5 4-3,2 4-10,8 416,8
X —1 ,557 + 2 ,903 —0 ,920 — 1,208 — 0,598
—8 ,408 —20 ,611 —4 ,140 —3,866 — 6,458
[а +3 ,00 41.00 — 0,80 + 3,20 +0,80
[Ь + 3 ,00 4-1.00 4- 0,67 + 4,67 0
[с 4-3 ,00 41.00 4 0,89 4 4,89 0
[d 43,00 4 6,00 +1,46
[е 422,026 +22,786 —6,372
[s' +41,546 —4,112
[/ +8,503
[2
2
Таблица 155
fcX2 cX3 ел5 V V OKp
+ 1,00 + 2,00 + 1,00 —1,557 —1,557 —1,557 —1,208 —0,598 +1,076 — 2",16 — 2 ,76 — 0 ,48 —2", 1 —2 ,8 —0 ,5
+ 1,00 + 3,46 + 0,21 +2,903 +2,903 +2,903 —1,208 —0,873 +0,472 + 2 ,03 + 1 ,70 + 3 ,38 +2 ,0 +1 .7 +3 ,4
+ 4,15 + 2,00 — 1,26 —0,920 —0,920 —0,920 —1,208 —1,884 +1,351 — 2 ,80 — 2 ,13 + 0 ,43 —2 ,8 —2 ,1 +0 ,4
+13,56 [vv] -[>£] +43,51 +43,48
+ 4,00 + 4,67 + 4,89 + 7,46 + 16,414 s=s'+S + 8,60 — 2,43 + 9,39 + 9,20 +33,586
_+ 4,392
+41,826
zl7
дой стороны к определяемой. Значение искомого веса получится
любым путем одно и то же (если не будет ошибок в вычислениях)
По теореме синусов находят из треугольников AOD и COD
а = s-j
sin 3
sin 1
CD = а
sin 5
sin 4
и
Выражают длину определяемой стороны CD через исходную
сторону si и синусы измеренных углов и обозначают
, sin 3 sin 5
н = lg i
sin 1 >sin 4
(f)
Затем находят выражение для приращения этой функции Дц в
зависимости от приращений углов. Твердая сторона при этом счи-
тается безошибочной.
Взяв по семизначным таблицам изменения логарифмов углов
входящих в выражение (f) функции и, при изменении углов
на 1", уменьшают Д1" в 10 раз, чтобы получить Див единицах
шестого знака логарифма. Получим
Дг4 = — 1,00 (1) + 1,80(3) — 1,46 (4) + 1,46 (5).
Такой прием облегчит дальнейшие вычисления.
VII. Составляют таблицу коэффициентов условных и нормаль-
ных уравнений (табл. 155).
VIII. Выписывают нормальные уравнения коррелат
1. +3,00 X, + 1,00Х4 — 0,80 ХБ + 5,40 = 0
2. +3,00 Х2 _|_],00Х4 + 0,67 ХБ — 7,10 = 0
3. +3,00 Х8+1,00 Х4+ 0,89 лБ+ 4,50 = 0
4. +1,00 Xj +1,00 Х2 +1,00*3+3,00 Х4 + 3,20 = 0
5. -0,80 X,+0,67 Х2+0,89 Xs +22,026 ХБ +10,80 = 0
S +3,20 X, +4,67 Х2 +4,89 Х3 +6,00 Х4 +22,786 X. +16,80 = 0
Выписав нормальные уравнения, получают суммарное уравне-
ние и сличают его со столбцом s'] в нижней половине табл. 155.
IX. Решают нормальные уравнения (табл. 156).
Подставляют найденные коррелаты в суммарное уравнение
— 4,981 + 13,556 — 4,498 — 7,251 — 13,626 + 16,800 = 0,000
и, если оно удовлетворится, переходят к вычислению вероятнейших
поправок г/,- по формулам (VI.9) и [vv] в табл. 155. При этом [vv]
получают непосредственно на арифмометре путем последовательно-
го суммирования v2 на счетчике результатов. В нашем случае
сходимость сумм [vv], полученных (с учебной целью) четырьмя
разными путями, вполне удовлетворительна. Часто ограничиваются
контролем по формуле (VI. 10).
Найденные поправки и,-, округленные до 0",1, вписывают в пя-
тый столбец табл. 152 и прибавляют к измеренным углам, получая
218
гпавновешенные углы. При этом сумма уравновешенных углов по
дЖДоМУ треугольнику должна дать 180° с точностью до +0",1,
поскольку округление поправок было сделано до 0", 1. Обычно раз-
1Цу против теоретической суммы вводят в наибольший угол дан
кого треугольника*.
Если уравновешенные значения углов удовлетворяют условиям
(ЬигурЫ, то это еще не гарантирует правильности всех вычислений
'(() уравновешиванию тригонометрической сети. Необходимо выпол-
нить окончательное решение треугольников по уравновешенным
углам. Если логарифмы одноименных сторон, полученные из реше-
ния разных треугольников, сойдутся в пределах 1—2 единиц по-
следнего знака логарифма, то. следовательно, все вычисления
выполнены правильно, включая и бесконтрольное составление
условных уравнений фигур, сторон, сумм и боковых.
Решение треугольников производят по теореме синусов
а _____ b с
sin А ~~ sin В sin С
(VI.37)
Для решения треугольников находят значения логарифмов
синусов уравновешенных углов по семизначным (или шестизнач-
ным) таблицам логарифмов с поверкой их «во вторую руку» и за-
писывают в седьмом столбце табл. 152. Затем вычисляют разность
между логарифмом исходной стороны ОА и логарифмом синуса
противолежащего угла (lg Si — lgsinl=lgD). В нашей задаче
lg D — 3.258 4263 — 9.955 8478 = 3.302 5785. Эту величину выпи-
сывают в седьмом столбце над логарифмами синусов углов перво-
го треугольника. Складывая lg D с каждым из логарифмов синусов
двух других углов данного треугольника, получают логарифмы
сторон, противолежащих этим углам. Обычно lg D выписывают не
в табл. 152, а на полоску бумаги, которая последовательно прикла-
дывается к записанным логарифмам синусов двух остальных углов
данного треугольника.
Закончив вычисления по первому треугольнику, переписывают
полученный логарифм исходной стороны для второго треугольника
(в нашей задаче 3,183 6578) и производят вычисления в том же
порядке. Значение 1ц7Ддля каждого треугольника находится свое.
X. Производят оценку точности результатов.
В данной задаче:
1) Средняя квадратическая ошибка результата непосредствен-
ного измерения
т = ± j/"-И. = + |f'-—g— = ±2",9.
Если измеренные значения углов получены с десятыми долями секунд
• едует в поправках о,- сохранять сотые доли секунд.
'Округление уравновешенных значений углов до 0",1 сделано в решенных
^Дачах для облегчения вычислений студентов второго курса.
219
Таблица 156
№ строк *1 ’'З £ 5 f
1 +3,00 —1 + 1,00 — 0,80 + 5,40 + 8,60 +0,80 + 4,00
2 (—0,33333) —0,3333 + 0,2667 — 1,8000 — 2,8667 —0,2667 — 1,3333
3 4 +3,00 +1,00 + 0,67 — 7,10 — 2,43 0 + 4,67
5 0 0 0 0 0 0 0
6 7 +3,00 —1 (—0,33333) +1,00 —0,3333 + 0,67 - 0,2233 — 7,10 + 2,3666 — 2,43 + 0,8100 0 0 + 4,67 - 1,5566
8 9 +3,00 +1,00 + 0,89 + 4,50 + 9,39 0 + 4,89
10 0 0 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0
Т2 13 +3,00 —1 (-0,33333) +1,00 —0,3333 + 0,89 — 0,2967 + 4,50 - 1,5000 + 9,39 - 3,1300 0 0 + 4,89 — 1,6300
14
15 +3,000 + 3,200 + 9,200 +1,460 + 7,460
16 —0,333 + 0,267 — 1,800 — 2,866 —0,267 — 1,333
17 1 НМНИ1 —0,333 — 0,223 + 2,367 + 0,810 / 0 / — 1,557
18 —0,333 1 — 0,297 — 1,500 1 — 3,130 ) 0 - 1,630
19 20 +2,001 -0,49975) — 0,253 + 0,1264 + 2,267 — 1,1329 J + 4,014 1+1,193 — 2,0060 |—0,5962 + 2,940 — 1,4693
21
22 +22,026 +10,800 +33,586 —6,372 + 16,414
23 — 0,213 + 1,440 + 2,294 +0,213 + 1,067
24 — 0,150 + 1,585 + 0,543 0 — 1,043
25 — 0,264 - 1,335 — 2,786 0 — 1,451
26 — 0,032 + 0,287 + 0,507 +0,151 + 0,372
27 28 +21,367 —1 (— 0,0468012) +12,777 — 0,59798 +34,144 — 1,59798 —6,008 +0,28118 +15,359 — 0,71898
29
30 —1,800 +2,367 —1,500 -1,133 — 0,598 0,00 +16,80 +8,50 + 4,39
31 —0,160 +0,134 +0,177 —0,076 — 9,72 —15,48 —0,21 — 1,07
32 +0,403 +0,403 +0,403 -1,209 —16,80 — 5,75 0 0
33 0 0 —0,920 Л4 — 6,75 —14,08 0 0
34 0 +2,904 '“'3 - 2,57 — 4,55 —0,71 — 1,75
35 -1,557 ^2 - 7,64 —20,42 —1,69 + 4,32
36 *1 —43,48 —43,48 +5,89 + 5,89
— [tiw] — [ии] 1 Ри 1 А
Ошибка самой ошибки
2) Средняя квадратическая ошибка логарифма стороны CD
mlgs = m у/ р- = + 2,9 j/5,89 = + 7,1
единиц шестого знака логарифма.
3) Относительная ошибка определения стороны CD
ms _ ___7,1 _ , 1
s “ M “ — 0,43-Ю6 ~ — 61 000 '
285. Уравновесить по способу условных измерений углы в систе-
ме треугольников между двумя твердыми сторонами (рис. 29) и
оценить точность определения стороны CD.
Рис. 29
Исходные данные
1g $! = 1g ДО = 3.411 0812, lgs2 = lg ВО = 3.511 4383,
АОВ = 108°31'05" 9
Измеренные углы (первый вариант)
1) 82°58'14",6; 2) 40°49'36",9; 3) 56°12'06",7; 4) 93°00'32",8;
5) 24°28'02",1; 6) 62°31'28",0; 7) 35°21'49",0; 8) 43°13'28",1;
9) 10 YVA'AT',?,.
222
В табл. 157 дается еще 9 вариантов секунд твердого угла АОВ
й измеренных углов.
Таблица 157
Название углов Варианты
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Секунды углов
Твердый 06,4 06,9 07,5 07,9 08,1 05,3 04,8 03,7 03,3
Измеренный 1 14,1 13,6 13,0 12,5 12,0 11,6 11,1 10,4 13,8
2 37,3 36,7 37,8 36,2 35,7 37,1 38,2 38,6 36,9
3 07,4 07,8 08,2 08,7 09,1 09,4 06,9 09,9 07,6
г 4 32,3 31,7 31,1 30,6 30,2 29,8 29,3 28,8 29,0
5 02,4 02,8 03,3 03,8 00,7 01,5 01,1 00,2 01,9
6 28,5 29,1 29,7 30,1 27,5 26,2 26,8 33,6 32,5
7 48,2 47,6 47,1 46,7 46,3 45,9 45,3 44,8 45,1
8 27,4 26,9 26,3 25,8 25,4 25,0 24,6 27,9 26,6
9 47,9 48,5 48,8 48,2 45,7 46,9 46,4 45,3 46,0
286. Уравновесить по способу условных измерений углы в
Центральной системе (см. рис. 27) и оценить точность определения
стороны ОС.
Решение
I- Выписывают исходные данные
lg s = lg АВ = 3.318 2719.
П. Заполняют первые четыре столбца в табл. 158.
223
11
Таблица 158
II. Решение треугольников
№ треуголь- ников Названия вершин № углов Измеренные углы Поправки Секунды уравнове- шенных углов Логарифмы синусов углов Логарифму сторон
О 1 106°50'40",3 —0",7 39", 6 9.980 9554 3.318 2719
1 в А 2 3 42 16 38 ,6 30 52 46 ,4 —3 ,1 —1 ,5 35 ,5 44 ,9 9.827 8276 9.710 3110 3.165 1441 3.047 6275
V 180 00 05 ,3 £1=45",3 —5 ,3 00 ,0
2 с О в 4 5 6 20 58 20 ,2 125 20 36 ,8 33 40 57 ,1 0 ,0 43 .4 42 >5 20 ,2 40 ,2 59 ,6 9.553 7814 9.911 5244 9.743 9805 3.047 6275 3.405 3705 3.237 8266
V 179 59 54 ,1 £2 = -5",9 45 ,9 00 ,0
3 А С О 7 8 9 28 26 12 ,5 23 45 11 ,9 127 48 40 ,7 —3 ,5 —1 Л —0 ,5 09 ,0 10 ,8 40 ,2 9.677 7659 9.605 0836 9.897 6467 3.237 8266 3.165 1443 3.457 7074
V 180 00 05 ,1 Сз = 45М —5 ,1 00 ,0
III. Составляют условные уравнения в центральной системе. В
общем виде эти уравнения были получены на стр. 210—211.
Условные уравнения фигур
1. (1) + (2) + (3) 4-5" 3 = 0,
2. (4) + (5) 4- (6) — 5",9 = 0,
3. (7) 4 (8) + (9) 4-5",1=0.
224
Условное уравнение горизонта
вычисление свободного члена произведено в табл. 159.
Таблица 159
№ углов Значения углов
1 106°50'40",3
5 125 20 36 ,8
9 127 48 40 ,7
V 359 59 57 ,8
= -2",2
4. (1) + (5) + (9) -2",2 = 0.
Полюсное условное уравнение
„ sin 3-sin 6*sin 8
~Б & sin 2-sin 4-sin 7
Вычисление свободного члена выполнено в табл. 160.
Таблица 160
№ углов Значения углов Логарифмы синусов А 1" № углов Значения углов Логарифмы синусов А 1"
3 30°52'46",4 9.710 3163 +35,2 2 42°16'38",6 9.827 8348 +23,2
6 33 40 57 ,1 9.743 9726 +31,5 4 20 58 20 ,2 9.553 7814 +54,9
8 23 45 И ,9 9.605 0889 +47,9 7 28 26 12 ,5 9.677 7795 +38,9
V *-1 9.059 3778 V -2 9.059 3957
— Z2= — 179-Ю“7.
Чтобы избежать больших коэффициентов нормальных уравне-
ний, полюсное условное уравнение поправок выражено в единицах
5-го знака логарифма
— 0,232 (2) -ф 0,352 (3) — 0,549 (4) + 0,315 (6) — 0,389 (7) +
+ 0,479 (8) — 1,79 = 0.
IV. Составляют весовую функцию и для стороны ОС .
sin3 , sin 6 sin3-sin6
а = s —-—- и о = а —-г = s ——.—:—т ,
sin 1 sin 4 sin 1* Sin 4
А. Бурмистров 225
№ углов а] d d] е] «'] /]
1 + 1 +1 + 2,000 +0,064
2 + 1 —0,232 + 0,768
3 + 1 +0,352 + 1,352 +0,352
4 +1 —0,549 + 0,451 —0,549
5 +1 +1 + 2,000
6 +1 +0,315 + 1,315 +0,315
7 + 1 —0,389 + 0,611
8 + 1 +0,479 + 1,479
9 + 1 +1 + 2,000
Суммы + з +з + з +3 —0,024 +11,976 +0,182
с + 5",3 —5", 9 + 5", 1 —2,2 —1,79 + 0,51
X — 2 ,491 4-1 ,560 — 2 ,397 4-1,839 +2,787
К —13 ,20 —9 ,20 —12 ,23 —4,05 —4,99
[а + з +1 +0,120 + 4,120 +0,416
[6 +3 +1 —0,234 + 3,766 —0,234
[с + з +1 +0,090 + 4,090 0
[d +3 + 6,000 +0,064
[е +0,959 + 0,935 +0,525
[«' +18,911 +0,771
[/ +0,529
[2
226
Таблица 161
[ + 2 -гО 1 CXg еХ6 V V окр
,064 ,768 ,704 —2,491 —2,491 —2,491 +1,839 —0,647 +0,981 — 0",65 — 3 ,14 — 1 ,51 —0",7 —3 ,1 —1 ,5
— 0,098 . 2,000 1,630 +1,560 +1,560 +1,560 +1,839 —1,530 +0,878 + 0 ,03 + з ,40 + 2 ,44 0 ,0 4'3 ,4 +2 ,5
+ 0,611 + 1,479 4- 2,000 —2,397 —2,397 —2,397 + 1,839 —1,084 +1,335 — 3 ,48 — 1 ,06 — 0 ,56 —3 ,5 —1 ,1 —0 ,5
+12,158 + 4,536 + 3,532 + 4,090 + 6,064 + 1,460 «1 = «2 = «в = s4 = Вычисл = + 4,120 = + 3,766 = + 4,090 = + 6,000 ение сумь + 5,300 = — 5,900 = + 5,100 = -2,200 = s — s' + + 9,420; : —2,134; + 9,190; + 3,800; [t'f] = - [«] = 43 ,62 43 ,67
+ 1,299 +20,981 SB = +0,935 — 1,790 = — 0,855
15*
227
228
Таблица 162
№ строк *1 х3 ^8 *5 / ^и
1 +3,000 1 4-1,000 +0,120 + 5,300 + 9,420 +0,416 +4,536
2 (—0,33333) —0,3333 —0,0400 — 1,7666 — 3,1400 —0,1387 —1,5120
3
4 4-3,000 4-1,000 —0,234 — 5,900 — 2,134 —0,234 +3,532
5 0 0 0 0 0 0 0
6 7 4-3,000 —1 (—0,33333) 4-1,ооо —0,3333 —0,234 +0,0780 — 5,900 + 1,9666 — 2,134 + 0,7113 —0,234 +0,0780 +3,532 —1,1773
8
9 4-3,000 4-1,ооо +0,090 + 5,400 + 9,190 0 +4,090
10 0 0 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0
12 +3,000 1 + 1,000 +0,090 + 5,100 + 9,190 0 +4,090
13 (—0,33333) —0,3333 —0,0300 — 1,7000 — 3,0633 0 —1,3633
14
15 +3,000 — 2,200 + 3,800 +0,064 +6,064
16 —0,333 —0,040 - 1,767 — 3,140 —0,139 1 —1,512
17 [1вви111и1ияв1в_и__1я1 —0,333 +0,078 + 1,967 + 0,711 j +0,078 / —1,177
18 —0,333 —0,030 — 1,700 1 — 3,063 1 ° \ -1,
1 19 1 +2,001 -f-0,008 — 3,700 — 1,692 1 +0,003 +2,012
20 (—0,49975) —0,0040 + 1,8491 + 0,8456 —0,0015 -1,0055
21
22 +0,959 — 1,790 - 0,855 +0,525 +1,460
23 -0,005 — 0,212 — 0,377 —0,017 —0,181
24 -0,018 - 0,460 — 0,166 —0,018 +0,275
25 » —0,003 - 0,153 — 0,276 0 -0,123
26 0 + 0,015 + 0,007 0 -0,008
27 +0,933 — 2,600 — 1,667 +0,490 +1,423
28 (-1,07181) + 2,7867 + 1,7867 —0,5252 —1,5252
29
30 —1,767 +1,967 —1,700 +1,850 +2,787 0,00 + 0,51 +0,529 +1,299
31 -0,111 +0,206 —0,084 -0,011 — 9,36 —16,64 —0,058 —0,629
32 —0,613 —0,613 —0,613 + 1,839 —11,60 — 4,20 —0,018 +0,275
33 0 0 —2,397 — 8,67 —15,62 0 0
34 0 +1,560 + — 6,84 — 3,13 0 —0,003
35 —2,491 -’2 - 7,25 — 4,64 —0,257 —0,747
36 7-t —43,72 —43,72 +0,196 +0,195
1 —[»»] 1 Р„ 1 Ри
откуда
« = lg «
sin 3-sin 6
sin l-sin4
Д и выражено также в единицах пятого знака логарифма
Ди =+ 0,064(1) +0,352 (В) —0,549 (4) +0,315(6).
V. Заполняют таблицу коэффициентов условных и нормальны-
уравнений (табл. 161).
VI. Выписывают нормальные уравнения коррелат
1. +3,000 X, + Х4 +0,120 ХБ +5,300 = 0
2. +3,000 Х2 + Х4-0,234 ХБ-5,900 = 0
3. +3,000 Х3+ Х4+0,090 ХБ+5,100 = 0
4. Х4 + Х2 + Хд +3,000 Х4 —2,200 = 0
5. +0,120 Xi—0,234 Х2+0,090 Х3 +0,959 ХБ—1,790 = 0
2 +4,120 Х4 +3,766 Х2 +4,090 Х3 +6,000 Х4 +0,935 ХБ -ф 0,510 = 0
VII. Решают нормальные уравнения коррелат (табл. 162).
Подставляют найденные коррелаты в суммарное уравнение
— 10,263 + 5,875 — 9,804 + 11,034 + 2,606 + 0,510 = — 0,042.
Этот контроль производят после вычисления коррелат.
VIII. Оценивают точность полученных результатов. В нашей
задаче определяется:
1) Средняя квадратическая ошибка результата непосредствен-
ного измерения
и=1/ w=+1/«=+2.,9.
у г ~~у 5 —
Ошибка самой ошибки
2" 9
Ч-^+=- = Ч-0",92.
у 2-5 —
2) Средняя квадратическая ошибка логарифма стороны ОС
единицы 5-го знака логарифма.
3) Относительная ошибка определения стороны ОС
ms _ __ 1,28 _ 1
s ~ M ~ — 0,434-ю6 34 000 ’
230
287. Уравновесить по способу условных измерений углы в
центральной системе (см. рис. 27) и оценить точность определения
сторонь* АО.
Исходные данные
lg s = 1g ВС = 3.295 8647
Измеренные углы (первый вариант):
1) 149сЮ9/47/,,99, 2) 13°06/09/,,86, 3) 17°43/57/',19
4) 42 52 19 ,22, 5) 80 49 09 ,45, 6) 56 18 29 ,42
7) 31 27 40 ,94, 8) 18 31 23 ,33, 9) 130 01 02 ,56
В табл 163 дается еще 9 вариантов секунд измеренных углов.
Таблица 163
№ углов Варианты
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Секунды углов
1 49,3 48,7 49,8 50,2 50,7 47,4 46,8 46,2 48,3
2 10,5 10,9 11,5 12,0 12,6 13,1 13,6 14,2 14,8
3 56,3 55,8 55,3 56,7 54,9 54,5 55,6 56,8 54,1
4 20,7 18,7 19,6 18,2 20,1 17,4 21,3 22,1 23,8
5 10,4 09,1 09,8 10,9 08,7 08,1 11,0 11,6 12,3
6 30,6 31,2 31,9 29,7 32,4 30,0 28,4 27,7 27,1
7 42,1 42,6* 43,0 43,5 41,7 41,2 40,5 40,1 39,6
8 22,2 21,8 21,3 20,9 20,4 22,7 23,7 24,2 24,7
9 01,0 01,4 00,9 00,5 02,1 00,2 01,1 00,7 00,1
288. Уравновесить по способу условных измерений углы в гео-
дезическом четырехугольнике (см. рис. 28) и оценить точность
определения диагонали BD, принимая исходную диагональ АС за
безошибочную.
I- Выписывают исходные данные
lg s = 1g ЛС = 3.502 3918.
231
II. Заполняют первые четыре столбца в табл. 164.
11. Решение треугольников Таблица 1о4
№ треуголь- ников Названия вершин са о g Измеренные углы S bi сэ К О С Секунды уравнове- шенных углов Логарифмы синусов углов ЛогарифМ|>1 сторон
в 34-4 86°58'55",3 4-0". 9 56", 2 9.999 3973 3.502 3918
1 с А 5 2 36 00 05 ,7 57 00 57 ,0 —0 ,6 +1 .7 05 ,1 58 ,7 9.769 2335 9.923 6716 3-272 2280 3.426 6661
V 179 59 58 ,0 Е1=-.2’,0 +2 .0 00 ,0
2 D А С 74-8 1 6 55 54 26 ,5 77 35 46 ,3 46 29 49 ,3 —0 ,8 —0 ,2 —1 ,1 25 ,7 46 ,1 48 ,2 9.918 0986 9.989 7424 9.860 5386 3.502 3918 3.574 0356 3.444 8318
V 180 00 02 ,1 С2=+2',1 —2 ,1 00 ,0
3 В D А 3 8 1+2 27 22 57 ,6 18 00 15 ,7 134 36 43 ,3 4-0 ,7 4-1 .2 +1 .5 58 ,3 16 ,9 44 ,8 9.662 6957 9.490 0918 9.852 4028 3.444 8319 3.272 2280 3.634 5390
V 179 59 56 ,6 С3 = -3",4 +3 ,4 00 ,0
4 с D В 54-6 7 4 82 29 55 ,0 37 54 10 ,8 59 35 57 ,7 —1 ,7 —2 ,0 +0 ,2 53 ,3 08 ,8 57 ,9 9.996 2667 9.788 3939 9.935 7634 3.634 5389 3.426 6661 3.574 0356
V 180 00 03 ,5 ^ = 4-3",5 —3 ,5 00 ,0
232
Ill Составляют условные уравнения в геодезическом четырех
гопьнике. В общем виде эти уравнения были получены на
Йр. 211-213.
Условные уравнения фигур
1. (2) + (3) + (4) + (5) — 2",0 = 0
2. (1) + (6) + (7) + (8) +2 ,1=0
3. (1) + (2) + (.3) + (8) -3 ,4 = 0
Боковое условное уравнение
„ sin 3 • sin 5 • sin (7 -|- 8)
® sin (3+4)-sin 6-sin 8
Вычисление свободного члена дано в табл. 165.
Таблица 165
№ углов Значения углов Логарифмы синусов углов Д 1" № углов Значения углов Логарифмы синусов углов А 1"
3 27°22'57",6 9.662 6929 +40,6 3(4 86°58'55",3 9.999 3972 + 1,0
5 36 00 05 ,7 9.769 2352 +29,0 6 46 29 49 ,3 9.860 5408 +20,0
7+8 55 54 26 ,5 9.918 0997 +14,2 8 18 00 15 ,7 9.490 0841 +64,7
9.350 0278 -2 9.350 0221
^4 = S1—L2= + 57-10-7
+ 40,6 (3) — 1,0 (3) — 1,0 (4) + 29,0 (5) — 20,0 (6) +
+ 14,2 (7) + 14,2 (8) — 64,7 (8) + 57,0 = 0.
Приведя подобные члены и выразив коэффициенты и свободный
член уравнения в единицах 5-го знака логарифма, получим
4. + 0,396 (3) — 0,010 (4) + 0,290 (5) — 0,200 (6) + 0,142 (7) -
—0,505 (8) + 0,570 = 0.
IV. Составляют весовую функцию для оценки точности диаго-
нали BD.
По теореме синусов находят из треугольников АВС и ABD
sin 5 , sin (1 +2)
С = S • г- И d — c---------+-3---- .
sin (3 + 4) sin 8
Выражение логарифма определяемой стороны BD через исходную
сторону з и синусы измеренных углов будет
, sin (1 + 2)- sin 5
П 1<г S---------------
sin(3+4)-sin8 ’
233
II
I
Затем получают приращение этой функции Au при измененп
углов на 1", выраженное в единицах 5-го знака логарифма, Й
А «=—0,208(1) —0,208 (2) —0,010 (3) —0,010(4) +
4-0,290 ( 5) —0,647 (8).
V Вычисляют коэффициенты условных и нормальных уравио
нии (табл. 166). F
VI. Выписывают нормальные уравнения коррелат
1.
2.
3.
4.
II
+4,000 Х4 4-2,000 Х3 -f-O,676 Х4 —2,000 = 0
4-4,000 Х2 4-2,000 Х3 -0,563 Х4 4-2,100 = 0
4-2,000 Х4 4-2,000 Х2 4-4,000 Х3 -0,109 Х4 -3,400 = О
4-0,676 Х4 -0,563 Х2 —0,109 Х3 4-0,556 Х4 4-0,570 = О
S 4-6,676 Х4 4-5,437 Х2 4-7,891 Х3 4-0,560 Х4 —2,730 = 0
VII. Решают нормальные уравнения коррелат (табл. 167).
Подставляют найденные коррелаты в суммарное уравнение
4- 1,275 — 8,971 4- 11,900 — 1,474 — 2,730 = 0,000.
VIII. Производят оценку точности. В данной задаче:
1) Средняя квадратическая ошибка результата непосредствен-
ного измерения г
II
Ошибка самой ошибки
4 — ’
т , 1",6
тт = = ± ~= = + 0",57.
]/2г )/ 2-4
2) Средняя квадратическая ошибка логарифма стороны BD
/~ _________________________
— т р- = + 1,6)/ 0,037 = + 0,31 единицы 5-го знака ло-
гарифма.
3) Относительная ошибка определения стороны BD
ms
s
WlgO ___ | 0,31 I— 1
м “~±0,43-10Б = ± 140 000 •
234
236
Таблица 167
№№ строк ^3 х4 S* /
1 +4,000 —1 +2,000 +0,676 — 2,000 + 4,676 +0,062 +6,738
2 (-0,25000) -0,5000 -0,1690 + 0,5000 — 1,1690 —0,0155 —1,6845
3 4 +4,000 +2,000 -0,563 + 2,100 + 7,537 -0,855 +4,582
5 0 0 0 0 0 0 0
6 +4, 000 1 +2,000 -0,563 + 2,100 + 7,537 —0,855 +4,582
7 8 9 (—0,25000) -0,5000 +0,1408 - 0,5250 — 1,8842 +0,2138 —1,1455
+4,000 —0,109 — 3,400 + 4,491 —1,073 +6,818
10 —1,000 -0,338 + 1,000 — 2,338 —0,031 -3,369
11 —1,000 +0,282 — 1,050 — 3,768 +0,428 -2,291
12 +2,000 —0,165 — 3,450 — 1,615 —0,676 +1,158
13 (—0,50000) +0,0825 + 1,7250 + 0,8075 +0,3380 —0,5790
14
15 +0,556 + 0,570 + 1,130 +0,407 +0,967
16 —0,114 + 0,338 — 0,790 —0,010 —1,139
17 —0,079 + 0,296 + 1,061 —0,120 I +0,645
18 —0,014 | — 0,285 — 0,133 / —0,056 / +0,096
19 20 +0,349 —1 (—2,86533.) + 0,919 | — 2,6332 1,268 1 — 3,6332 + ,2'21 1 —0,6332 | + ,569 —1,6304
21 22 +0,500 —0,525 +1,725 —2,633 0,000 — 2,73 +0,589 —0,870
23 +0,445 —0,371 —0,217 — 1,00 + 2,34 —0,001 —0,104
24 —0,754 —0,754 +1,508 - 1,10 — 3,96 —0,183 +0,980
25 0 —1,650 '"3 - 5,95 — 2,79 —0,228 +0,391
26 +0,191 — 2,42 — 3,34 —0,140 —0,360
27 —10,47 —10,48 +0,037 +0,037
28 — [w] — [цц] 1 Ри 1 Ри
289. Уравновесить по способу условных измерений углы в гео-
дезическом четырехугольнике (см. рис. 28) и оценить точность
определения диагонали АС, принимая исходную диагональ BD За
безошибочную.
Исходные данные
lg BD = 3.719 4265.
Измеренные углы (первый вариант)
1) 55°17'48",0, 2) 37°53'54",0, 3) 42°15'11",0, 4) 36°11'37",0
5) 63 39 22 ,0, 6) 55 12 01 ,0, 7) 24 57 02 ,0, 8) 44 33 11 ,0
В табл. 168 дается еще 9 вариантов.
Таблица 168
№ углов Варианты
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Секунды углов
1 47,5 46,9 48,4 49,1 49,7 46,3 45,8 45,2 44,7
2 53,3 54,5 52,9 53,8 51,8 53,5 54,1 51,3 50,8
3 11,4 10,8 12,2 12,7 13,1 10,2 09,7 09,2 08,7
4 37,6 38,1 36,5 36,0 35,4 34,9 34,5 37,1 34,0
5 23,1 22,6 23,6 24,1 24,5 24,8 20,7 21,2 21,8
6 01,7 02,1 01,3 02,4 02,8 03,2 03,8 04,4 04,9
7 01,5 01,0 02,4 00,7 00,3 01,9 02,9 03,3 02,1
8 10,4 11,7 11,5 09,2 08,7 12,2 12,8 08,2 13,3
§ 19. Уравновешивание результатов неравноточных непо-
средственных измерений, связанных условиями*
Пусть для определения п неизвестных произведены непосред-
ственные измерения с результатами qu q2,..., qn, которым соот-
ветствуют веса pi, р2,..., рп •
Часто вводят величины л, обратные весам
л. = —• (VI.38)
' Р,
Теория неравноточных измерений и весь процесс вычислений
аналогичны рассмотренным для случая равноточных измерений.
* Учебник [20], § 82, 83, 85—87.
238
формальные уравнения коррелят имеют вид
[л аа] \ + [п аЬ] \ + • • • + аё] \- + Ci = О
[л ab] Хт + [л bb] Х2 4- - - + [л bg] ~kr + £2 = О
(VI.39)
[n«g]X1 + [nfeg]X2 + • - + MZ, + ^ = O ,
Уравнения поправок, выраженные через корреляты, будут
Г2 — к2 (°2 'ч + V'2 + ' ' • + & \)
(VI.40)
Формулы заключительного контроля
[pw] = — [Х£],
_ (pmf] = _ _si!_ _ _М _ _
J [паа] [nbb-1] [лсс-2]
[^•(/—О]2
[ngg-(r-l)]’
- [рм=и - - 2[л^Л] - -
[л gg. (/-—1)]
(VI .41)
(VI.42)
(VL43)
Формулы оценки точности
1) Средняя квадратическая ошибка единицы веса
(VI.44)
Ошибка самой ошибки единицы веса т,,—-т=- .
. /2 г
2) Обратный вес функции уравновешенных величин
Гл ff 1 [ПЙЛ2 [nbf.\r [Л g/^- О]2 fVT 4J11
[л аа\ и [л bb-1] [ngg.(T— 1)]
1 —Гл/'Х! [л af] [л a S] [лб/.l] [л ь 2-1]
£и [л аа] [л bb-1]
[ngg-(r—1)]
(VI.46)
239
3) Средняя квадратическая ошибка функции
= тг- (VI.47)
Детали вычислений рассмотрим в следующей задаче, при реше-
нии которой будут применены производственные (сокращенные)
схемы вычислений.
ЗАДАЧИ
290. Уравновесить по способу условных измерений результаты
нивелирования системы ходов (см. рис. 20), приведенные в задаче
259 (см. табл. 122). Отметки исходных марок взять из табл. 121.
Вычислить средние квадратические ошибки нивелирования на
1 км хода и уравновешенного пятого превышения.
Решение
I. Подсчитывают число условных уравнений в нивелирной сети
по формуле
г = П-\-М- 1, (VI.48)
где П — число замкнутых полигонов, соответствующих незави-
симым условиям;
М — число твердых марок.
В нашей задаче
г = 2 3 — 1=4.
То же число условий можно установить, исходя из числа доба-
вочных измерений, равного разности между числом всех измерений
и числом независимых неизвестных г = 8 — 4 = 4.
Два замкнутых полигона дают два условных уравнения, третье
уравнение можно составить для хода, идущего от марки 13 к мар-
ке 21, и четвертое — для хода от марки 21 к марке 77.
Условные уравнения для замкнутых полигонов необходимо со-
ставлять с учетом принятого направления каждого полигона по
ходу часовой стрелки, что имеет значение при определении знаков
превышений, поправок и невязок. Условные уравнения для ходов
между марками следует составлять по кратчайшим ходам.
Обозначим искомые вероятнейшие значения превышений через
Xi, х2,..., хй. Тогда для данной сети (см. рис. 20) должны выпол-
няться следующие условия:
1- + *2 — *6 + хб — *4 =0
2. — хБ — х8 х, = 0
3- 4- Л'1 + х2 — х3 — (/72i — Я13) — 0
4. 4- х3 хе х8 (Tv77 ^41) ~ 0
(VI.49)
Подставив в эти уравнения измеренные значения превышении
вместо вероятнейших, найдем невязки для каждого условия
Условные уравнения поправок будут:
1. + v2 — п4 + ns — % + 4,0 - 0
2. — и5 + с’? — vs — 10,0 = О
3. + и 1 + ^2 — из — 5,0 = 0
4. из — Vb — Vs 10,0 = О
Условные уравнения поправок составляют обычно сразу, поль-
ясь чертежом сети и измеренными превышениями.
II. Составляют функцию для оценки точности уравновешенного
пятого превышения и = х5. Для этой функции /5 = -{- 1, fl = f2 =
П=/з = /4 = /6 = /7 = /8 = 0.
III. Составляют таблицу коэффициентов условных и нормаль-
ных уравнений (табл. 169). При этом для последующих вычисле-
ний свободные члены условных уравнений следует выражать в
сантиметрах, а длины ходов — в десятках километров.
В нашей задаче целесообразно взять за единицу вес хода в
20 км. В отличие от табл. 144 в табл. 169 исключен столбец сумм,
в котором вычислялись только суммы коэффициентов условных
уравнений. Столбец сумм s' включает здесь и коэффициенты f весо-
вой функции. В связи с этим соответственно изменилась и нижняя
часть таблицы с коэффициентами нормальных уравнений.
Сумму [pvv] можно вычислить последовательным сложением на
арифмометре произведений pvv. Таким же путем получает-
ся — [Хс].
IV. Решают нормальные уравнения коррелат (можно выполнить
по сокращенной схеме табл. 170). При вычислении по этой схеме
не выписывают произведений коэффициента элиминационной стро-
ки на коэффиценты, расположенного над ним уравнения, т. е. в
схеме табл. 147 сокращаются строки 5, 10, 11, 16, 17, 18 и т. д.
Алгорифмы Гаусса в строках 6, 12, 19 получают непосредственно
на счетчике результатов арифмометра. Вычисление, например, ал-
горифма [bb • 1] начинают с установки [bb] = + 1,880 на устано-
вочных рычагах арифмометра. Число знаков после запятой в коэф-
фициентах эквивалентной системы уравнений должно быть одина-
ково во всех уравнениях. То же замечание относится и к коэффи-
циентам элиминационных уравнений.
Отделив металлической запятой на счетчике результатов ариф-
мометра сумму цифр после. запятой в коэффициентах нормального
и элиминационного уравнений (в нашем случае 7 знаков), вра-
щением рукоятки переводят 1,880 0000 на счетчик результатов.
Единица должна занять восьмое место. Затем устанавливают на
рычагах коэффициент элиминационного уравнения -1-0,1186 и ум-
ножают его на соответствующий коэффициент первого нормального
Уравнения (—0,280). Если это произведение получается, как в дан
ном случае, с минусом, то рукоятку арифмометра вращают против
х°да часовой стрелки, как при делении. Если же произведение
Коэффициента элиминационного уравнения на расположенный над
ним коэффициент будет с плюсом, то рукоятку арифмометра вра-
щают по ходу часовой стрелки. Полученный на счетчике результа-
16
С А. Бурмистров
241
Таблица 169
№ ходов L 7= = —. 20 а] Ь] с] d] /] s'] VCM VV VV pvv— MM
1 0,56 +1 + 1 —0,06 0,0036 0,006 —0,6
2 0,74 +1 +1 + 2 +0,18 0,0384 0,044 +1,8
3 0,36 —1 +1 0 —0,38 0,1444 0,401 —3,8
4 0,62 —1 — 1 —0,21 0,0441 0,071 —2,1
5 0,28 +1 —1 +1 + 1 —0,21 0,0441 0,158 —2,1
6 0,72 —1 —1 — 2 +0,58 0,3364 0,467 +5,8
7 0,76 +1 + 1 +0,83 0,6889 0,906 +8,3
8 0,84 —1 —1 — 2 +0,04 0,0016 0,002 +0,4
Суммы 0 —1 +1 —1 + 1 0 [pvv] — 2,055
%см +0,4 —1,0 —0,5 +1,0 — 0,1 -W] = 2,056
X +0,341 +1,095 —0,100 —1,147 = s' + E
[те а [те b +2,36 -0,28 +0,74 +0,72 +0,28 + 3,82 Вычисление сум: И 5
+1,88 0 +0,84 -0,28 + 2,16 Si = = + 3,82 + 0,40 = + 4,22
[те с +1,66 —0,36 0 + 2,04 s2 = = + 2,16 — 1,00 = +1,16
[те d +1,92 0 + 3,12 s3 = = + 2,04—0,50 = +1,54
[я/ +0,28 + 0,28 s4 = = + 3,12+1,00 = + 4,12
[те s’ + 11,42 «5 = = + 0,28 + 0,00 = + 0,28
Суммарное уравнение: + 3,54 Xj + 2,44 Х2 + 2,04 Х3 + 3,12 Х4— 0,10 = О
Проверка коррелат
(делается после решения нормальных уравнений)
4- 1,207 + 2,672 — 0,204 — 3,579 — 0,100 = — 0,004
243
№ строк Наименова- ние строк *3 x4 f i а о л и ца нм Контроль
1 AV +2,360 —0,280 +0,740 +0,720 +0,280 +0,400 +4,220 +4,220
2 3 4 Cl (—0,42373) +0,1186 -0,3136 -0,3051 —0,1186 —0,1695 —1,7881 —1,7882
AV +1,880 0 +0,840 —0,280 —1,000 +1,160 +1,160
5 JVjii +1,847 +0,088 +0,925 —0,247 —0,953 +1,660 +1,660
6 7 8 c2 (—0,54142) —0,0476 -0,5008 +0,1337 +0,5160 —0,8988 —0,8987
av +1,660 —0,360 0 —0,500 +1,540 +1,540
9 A/jn +1,424 ] —0,630 —0,076 —0,580 +0,138 +0,138
10 11 12 C3 (—0,70225) +0,4424 +0,0534 + 0,4073 —0,0969 —0,0969
W4i +1,920 0 +1,000 +4,120 +4,120
13 Miv +0,958 / —0,005 +1,099 +2,062 +2,062
14 15 16 c4 (—1,04384) —0,0052 —1,1472 —2,1524 -2,1524
av —0,170 +0,516 +0,407 —1,147 +0,280 0 +0,280 +0,280
17 1 p +0,350 +0,574 —0,507 X4 +0,210 —0,212 —0,002 0,000
18 * и +0,031 +0,005 —0,100 1 —2,056
19 +0,130 +1,095 Pu — [pvv]
20 +0,341
тов алгорифм [bb 1] = + 1,847 записывают в пятую строку!
столбец «Х2».
Для вычисления, например, алгорифма [cd • 2] устанавливаю!
[cd] = — 0,360 0000 на счетчике результатов и алгебраически cyj
мируют с ним произведения коэффициентов —0,3051 на Д-0,720 ц
—0,5008 на | 0,925, получая в итоге —0,630. Суммированием ца
арифмометре произведений каждого свободного члена элиминаци]
онного уравнения на расположенное непосредственно над ним чис-
ло (в том же столбце) вычисляют также — [pvv] — — 2,056*.
После получения всех элиминационных уравнений каждая кор-
релата может быть вычислена на арифмометре без промежуточных
записей. Ее значение проверяют тут же подстановкой вместе со
значениями ранее вычисленных коррелат в соответствующее экви-
валентное уравнение. Например, получив Х4 = •—1,147, умножают
это число на +0,958 (строка 13); полученный результат —1,099 в
сумме с +1,099 (строка 13, столбец Q дает нуль. Вычислив
Х3 = — 0,100, умножают это число на +1,424 (строка 9), вращая
рукоятку против хода часовой стрелки; затем, оставив полученный
результат на счетчике арифмометра, перемножают значение Х4 =
= —1,147 на —0,630, вращая рукоятку по ходу часовой стрел-
ки; — в итоге получается +0,580. Таким образом, в сумме с коэф-
фициентом —0,580 (строка 9, столбец Г) получается ноль.
Если, как в нашем случае, нормальные уравнения решают с од-
ним столбцом сумм и с вычислением весовой функции, то после
столбцов коэффициентов нормальных уравнений помещают снача-
ла столбец f, затем столбцы £ и л. В последнем столбце (под заго-
ловком «контроль») записывают полученные на счетах суммы
чисел по каждой строке сокращенной схемы.
Первые два столбца (№ строк и наименование строк) обычно
опускают.
V. Вычисляют поправки в табл. 169 и подставляют их в
условные уравнения
1. + 1,8 + 2,1 — 2,1 —5,8+ 4,0 = 0
2. + 2,1 + 8,3 — 0,4 — 10,0 = 0
3. —0,6+1,8+ 3,8 — 5,0 = 0
4. —3,8 —5,8 —0,4 +10,0 = 0
* Такой сокращенный прием вычисления fpvv] н впервые указан проф
Н. И. Идельсоном (Гб], стр. 24, 196 и 113).
244
VI Убедившись, что условные уравнения удовлетворяются, вы-
спяют уравновешенные значения превышений (табл. 171).
Таблица 171
№ по пор. Измеренные превышения, м Поправки и, мм Уравновешен- ные превышения, м
1 4 6,112 —0,6 4 6,111 4
2 -р 8,320 41.8 + 8,321 8
3 4 5,590 —3,8 + 5,586 2
4 + 1,368 —2,1 + 1,365 9
5 + 4,694 —2,1 4 4,691 9
6 411,642 45.8 411,647 8
7 — 0,905 -|-8,3 — 0,896 7
8 — 5,589 40,4 — 5,588 6
VII. Подставляют в условия (V1.49) уравновешенные значения
для окончательного контроля по полигонам
1. + 8,3218 — 11,6478 + 4,6919 — 1,3659 = 0,0000
2. _ 4,6919 4- 5,5886 — 0,8967 = 0,0000
3. 4- 6,1114 4- 8,3218 — 5.5862 — 8,8470 = 0,0000
4. 4- 5,5862 — 11,6478 -4 5,5886 4- 0,4730 = 0,0000
VIII. Производят оценку точности результатов. Для этого опре-
деляется:
1) Средняя квадратическая ошибка единицы веса (на 20 км
хода)
»
р20 = + ^/~—— — + 0,72 см - -+- 7,2 мм.
Ошибка самой ошибки единицы веса
7 2
mu = + —— = -+- 2,5 мм.
120 —/2-4 ~
2) Средняя квадратическая ошибка на 1 км хода
7 2
tnKM = -1- 7_ — 4-1,6 мм.
— у 20 —
245
3) Средняя квадратическая ошибка уравновешенного пятог
превышения
ти = ± 7,2 } 0,21 = ± 3,3 мм.
Из сравнения уравновешенных превышений и средних квадрати
ческих ошибок, полученных методами косвенных и условных изме-
рений, видно, что оба способа дали в пределах точности вычисле-
ний одинаковые результаты, как и должно быть.
291. По условиям задачи 260 уравновесить методом условных
измерений результаты нивелирования системы ходов и оценить
точность уравновешенных величин.
292. То же по условиям задачи 261.
293. То же по условиям задачи 262.
294. То же по условиям задачи 263 и 264.
Глава VII
ДВУХГРУППОВОЕ УРАВНОВЕШИВАНИЕ
§ 20. Уравновешивание по способу Крюгера*
ЗАДАЧИ
295. Уравновесить по способу Крюгера углы в центральной
системе (см. рис. 27) и оценить точность определения стороны ОС.
Исходные данные взять из задачи 286.
Решение
1. Вычисляют невязки в треугольниках (табл. 172).
2. Составляют условные уравнения по измеренным углам.
В первую группу условных уравнений относят 3 условия фигур
и условно весовую функцию
(1) + (2) + (3) + 5",3 = 0
(4) + (5) + (6)-5 ,9 = 0 bt-
(7) + (8) + (9) + 5 .1=0 саЪ
Д«= +0,064(1) + 0,352 (3) —0,549 (4) +0,315 (6)
Во второй группе останутся условия горизонта и полюсное, а
также весовая функция. Все уравнения и весовая функция те же,
что и при совместном уравновешивании центральной системы
(задача 286).
Условные уравнения второй группы
а1(1) + а5(5) + а9(9) + ?1 = 0
* Учебник [20], § 119—124.
246
или
(1) + (5) + (9) - 2",2 = О
Р2 (2) + Рз (3) + Р4 (4) + ₽6 (6) + 07 (7) 4- ₽8 (8) + ?„ = О
или
- 0,232 (2) + 0,352 (3) - 0,549 (4) + 0,315 (6) - 0,389 (7) +
+ 0,479(8) - 1,79 = 0
(в единицах 5-го знака логарифма).
Д«= + 0,064 (1) +0,352(3) —0,549 (4) +0,315(6)
Таблица 172
№ треуголь- ников Название вершин № углов Измеренные углы v' Секунды ис- правленных углов г" Окончатель- но уравнове- шенные углы
о 1 106°50'40",3 — 1",7 38", 6 +1",1 106°50'39",7
1 в 2 42 16 38 ,6 — 1 ,8 36 ,8 —1 ,4 42 16 35 ,4
А 3 30 52 46 ,4 — 1 ,8 44 ,6 +0 ,3 30 52 44 ,9
V 180 00 05 ,3 — 5 ,3 00 ,0 0 ,0 180 00 00 ,0
гй= + 5",з
с 4 20 58 20 ,2 + 2 ,0 22 ,2 —1 ,9 20 58 20 ,3
2 о 5 125 20 36 ,8 + 1 ,9 38 ,7 +1 ,4 125 20 40 ,1
в 6 33 40 57 ,1 + 2 ,0 59 ,1 +0 ,5 33 40 59 ,6
у 179 59 54 ,1 + 5,9 00 ,0 0 ,0 180 00 00 ,0
С»=-5',9
А 7 28 26 12 ,5 — 1 .7 10 ,8 —1 ,8 28 26 09 ,0
3 С 8 23 45*11 ,9 — 1 ,7 10 ,2 +0 ,6 23 45 10 ,8
О 9 127 48 40 ,7 — 1 ,7 39 ,0 +1 ,2 127 48 40 ,2
S 180 00 05 ,1 — 5,1 00 ,0 0 ,0 180 00 00 ,0
С3= + 5М [v'v'] = 29 ,65
3. Вычисляют (табл. 173) коэффициенты нормальных уравнении
первой группы и величины [гга], [а р], ос], [йр], [га], [с 0], необходи-
мые для определения вспомогательных коррелат р в дополнитель-
ных столбцах схемы решения уравнений первой группы.
247
248
4. Решают нормальные уравнения первой группы и вычисляют
коррелаты X' и р (табл. 174). В дополнительные столбцы рх и р2
вписаны соответственно: в первой строке— [аа] и[«0], в третьей
строке—Ra] и [Й0], в пятой строке — [са]и[г0]. В дополнитель-
ных столбцах Рр р2 и сумм S произведены те же вычислительные
операции, что и в столбце свободных членов
Вспомогательные коррелаты р определяют в той же последова-
тельности, как и коррелаты X', используя элиминационные строки
столбцов Pj и Р2-
5 Контролируют вычисление коррелат
Суммарное уравнение
+ 3 X/ + 3 Х2' + 3 Х3' 4- 4",5 = 0.
Проверка коррелат X'
— 5,301 + 5,901 — 5,100 + 4,500 = 0,000.
Суммарные уравнения для проверки р:
а) + 3 рц + 3 р12 + 3 р1В + 3,000 = 0,
₽) + 3 р21 + з ?22 + 3 Р23 - 0,024 = 0.
Проверка коррелат р:
а) — 0,999 — 0,999 — 0,999 4- 3,000 = 4- 0,003
0) — 0,120 4- 0,234 — 0,090 — 0,024 = 0,000.
Проверив коррелаты, выписывают X' в табл. 173 и вычисляют
первичные поправки
v- = at X/ 4- bt Х2' 4- ct Х3', (VII. 1)
а затем находят [v'v'] и [Х'£]. Округленными до 0",1 первичными
поправками исправляют измеренные углы в табл. 172.
6. Вычисляют коэффициенты и свободные члены преобразован-
ных условных уравнений второй группы
Аг = at Р11 4- bt Р12 4- Ci Р13 4- а,-
Bz = а,-p2i j-р22 + с,-р23 4-₽,• (vn2)
А — Р11 + Р12 4~ ЪЗ Р13 + <sl
2ц = £1 Р21 4“ S2 Р22 4“ Р23 4-
Эти вычисления и последующие вычисления коэффициентов
формальных уравнений коррелат второй группы произведены в
249
Таблица 174
^•1' Т-г' V f Z 5 Pt P2 5
4-3,000 —1 (—0,33333) —1,767 0 0 —1,767 +3,000 (-0,33333) + 1,967 0 +1,967 +3,000 —1 (—0,33333) —1,700 +0,416 -0,1387 + 5,300 — 1,7666 +8,716 -2,9053 +1,000 —0,3333 +0,120 —0,0400 +9,836 -3,2787
—0,234 +0,0780 — 5,900 + 1,9666 —3,134 +1,0447 +1,000 —0,3333 —0,234 +0,0780 —2,368 +0,7893
+0,529 +0,453 + 5,100 — 1,7000 +8,100 —2,7000 +1,000 —0,3333 +0,090 —0,0300 +9,190 -3,0633
0 — 1,195 —29,636 +0,711 —0,742
-0,333
^•2 -0,333 0 —0,333 —[v'v']
—0,333 0 0 —0,333
P13 —0,030
P12 +0,078 0 +0,078 1 P22
Pit —0,040 0 0 —0,040
P23
Pai
Таблица 175
№ углов a b c a ₽ v' /1] В] Л 5] V" V
1 +1 +1 -Г,76 +0,666 -0,040 +0,064 +0,690 + 1",И — 0" ,67
2 +1 —0,232 — 1 ,77 -0,333 —0,272 —0,605 — 1 ,37 - 3 ,14
3 +1 +0,352 —1 ,77 -0,333 +0,312 +0,352 +0,331 + 0 ,26 - 1 ,51
4 +1 -0,549 +1 ,97 —0,333 —0,471 —0,549 -1,353 - 1 ,92 + 0 ,05
5 +1 ♦ +1 + 1 >96 +0,666 +0,078 +0,744 + 1 .44 + 3 ,40
6 4*1 +0,315 +1 ,97 —0,333 +0,393 +0,315 +0,375 + 0 ,48 + 2 ,45
7 +1 - —0,389 —1 ,70 —0,333 —0,419 —0,752 - 1 ,78 — 3 ,48
8 +1 +0,479 —1 ,70 -0,333 +0,449 +0,116 + 0 ,64 - 1 ,06
9 +1 +1 —1 ,70 +0,666 —0,030 +0,636 + 1 >14 — 0 ,56
Суммы [v'v'] =29 ,66 0 0 +0,182 +0,182 14 ,04 43 ,70
X' +1,842 +2,787 [v"v"] [««]
Pl —0 ,333 —0 ,333 —0 ,333 Свободные члены
P2 —0 ,040 +0 ,078 —0 ,030 уравнений 2-ой группы
C +5',3 -5", 9 +5",1 [Л +1,996 +0,008 +0,003 +2,007
PiS; —1 ,765 +1 ,965 -1 ,698 —2,200 —3,698 [В +0,933 +0,490 +1,431
PiZi —0 ,212 —0 ,460 -0 ,153 —1,790 —2,615 [/ +0,529 +1,022
Подсчет контрольных сумм s = S + Z: +4,460
Sl = + 2,007- -3,698 = — 1,691;
s2 = + 1,431 — 2,615 = — 1,184.
7. Составляют нормальные уравнения коррелат
4- 1,996 X/ + 0,008 Хп' — 3,698 = 0,
+ 0,008 X/ -f- 0,933 Хп' — 2,615 = 0.
Суммарное уравнение
4- 2,004 X/ 4- 0,941 Хп' — 6,313 = 0.
Проверка коррелат
4-3,691 4-2,623 —6,313 = 0.
8. Решают нормальные уравнения коррелат второй группы
(табл. 176).
Таблица 176
V f Z S
4-1,996 +0,008 +0,003 — 3,698 —1,691
—1
(—0,50100) —0,0040 —0,0015 + 1,8527 +0,8472
+0,933 +0,490 — 2,615 —1,184
—7
(—1,07181) —0,5252 + 2,7867 +1,2615
4-1,853 +2,787 +0,529 0 +1,022
—0,011 Ап' +0,272 + 1,371 +1,642
+1,842 —14,097
—[v"v"\
Проверив коррелаты, записывают их в табл. 175, после чего
вычисляют вторичные поправки по формуле
гл'^АЛ'4-вл;,
а затем [v"v"], — p.'Q и полные поправки 7?,- = V- 4-
Поправки возводят в квадрат, суммируя результаты на ариф-
мометре. Полученную сумму квадратов полных поправок контроли-
руют по формуле
[vv] = [v'v'J 4- [v"v"].
Округленные до 0", 1 вторичные поправки записывают е
табл. 172, а затем вводят их в углы, исправленные ранее первич-
ными поправками, получая окончательно уравновешенные углы.
Сумма уравновешенных углов в каждом треугольнике должна
давать 180° с точностью до 0",1. Невязка в 0", 1 может получиться
вследствие ошибок округления.
252
Далее необходимо провести окончательный контроль всей рабо-
ты вычислив с уравновешенными углами свободные члены услов-
ных уравнений.
9 Вычисляют свободные члены: а) условия горизонта (табл. 177)
и р) полюсного условия (табл. 178).
Таблица 177
№ углов Значения углов
1 106°50'39",7
5 125 20 40 ,1
9 127 48 40 ,2
2 360°00'00",0
Таблица 178
№ углов Значения углов Логарифмы синусов № углов Значения углов Логарифмы синусов
3 30°52'44",9 9.710 3110 2 42°16'35",4 9.827 8274
6 33 40 59 ,6 9.743 9805 4 20 58 20 ,3 9.553 7819
8 23 45 10 ,8 9.605 0836 7 28 26 09 ,0 9.677 7659
9.059 3751 ^2 9.059 3752
Вследствие ошибок округления оказалась невязка полюсного
уравнения в одну единицу седьмого знака логарифма.
10. Производят оценку точности результатов. В нашей задаче
определяется:
1) Средняя квадратическая ошибка результата непосредствен-
ного измерения
[vv]
2
Ошибка самой ошибки
^ = + 2"9
3 + 2 — ’
т
т , 2'',9
т = -------. = 4- — —
f 2-г ~ 2-5
2) Обратный вес функции уравновешенных величин
i- = [ff • П] + [ff • r2] — [ff] = + 0,453 + 0,272 — 0,529 = + 0,196.
253
3) Средняя квадратическая ошибка логарифма стороны ОС
m}gs = m jr = ± 2",9 • ^0,196 = ± 1,28- КГ5.
4) Относительная ошибка определения стороны ОС
ms____________ m!gs 1,28 _ 1
V-~/Й“ = ± 0,434-105 — ± 34000
Сравнение результатов совместного и двухгруппового уравно-
вешивания, а также соответствующих им результатов оценки точ-
ности показывает, что они получились одинаковыми, как и должно
быть.
296. Решить задачу 284, применив двухгрупповое уравновеши-
вание по способу Крюгера.
297. То же для задачи 285.
298. То же для задачи 287.
299. То же для задачи 288.
300. То же для задачи 289.
§ 21. Применение двухгруппового уравновешивания к сетям
треугольников (способ Урмаева — Крюгера)
В 1930 г. проф. Н. А. Урмаев опубликовал работу [18], в кото-
рой значительно упростил применение способа Крюгера к уравно-
вешиванию углов триангуляционных сетей.
Возьмем систему треугольников без пересекающихся диагона-
лей. Для этой системы составим условные уравнения и разобьем
их на две труппы. К первой группе отнесем все условия фигур, а
ко второй — все остальные условия.
Условные уравнения поправок первой группы будут
(1) + (2) + (3) +^=0
(4) + (5) + (6) +^ = 0
(7) + (8) + (9)+^ = 0
(п-2) + (п-1) + (л) + ?Г1 = 0
где п — число углов в сети.
Пусть во вторую группу отнесено два уравнения
а1(1) + а2(2) + а3(3) + +а„(л) + Са = 0
₽1(1) + ₽2(2) + ₽з(3)+- • - + Р„(«т₽ = 0
(VII.3)
(VII-4)
254
Запишем нормальные уравнения коррелат для первой группы
+ ЗЛа'
+ £а=о
+ зл/ +?с=о
(VII.5)
ЗЛ'Г1 + Ц-°
Первичные поправки найдутся так:
(1) = (2) = (3) = --|-?а
(4) = (5) = (6) = -1-^
(7) = (8) = (9) = -уСс
(« — 2) = (rt— !) = («) = —
(VII.6)
Таким образом, решение уравнений первой группы (VII.3) све-
дется к распределению невязки в каждом треугольнике поровну на
все 3 угла. Так как уравнения для определения вспомогательных
коррелат р отличаются от нормальных уравнений первой группы
лишь свободными членами, то р найдутся из уравнений
+ 3Ри1 +[аа] = 0
+ 3 ра2 + [Ь а] = О
. +3рй8 + [са] = 0
+ 3 раГ1 + L? а] — о
Ч- 3 Ры + [а Р] = О
+ з?й2 +[/>₽] = 0
+ 3рьз + [г₽] =0
(VII.7)
+ з р6Г1+ [g р] — о
255
Коэффициенты а, b, с, . . . , g имеют по уравнениям (VII.3) Сл
дующие значения:
а1 = а2 = а3 = + 1; а4 = аь = = ап =0;
^ = ^Б = ^6= + 1; ^1 = ^2 = ^3 = ^7 : = • • =^л = 0;
С1--с8 -CQ '—4“ К С1 — С2 - • ' • — С6==С10:=’ ' си—0;
£п-ъ = £n-i=gn = + 1; £i = £2 = • • = ^„-8 =о.
Поэтому вспомогательные коррелаты найдутся так:
Ра1= 1 , + а2 + аз)
Ра2 — + а5 4- а6)
РаЗ = — |(“7 О + а8 + ао)
Par} —4-<ап- о -2 + ап- -1 + ал) (VH.8)
Pbl-= -|(₽Т + ₽2 + ₽з)
Pb2 — -|(₽< + 0Б + ₽6)
Р*3 — + ₽8 + ₽9)
PtrL~ — у (₽а- 2+ ₽я- 1 + ?л)
256
</
Коэффициенты преобразованных уравнений второй группы вы-
числяются по формулам
А = ai + рО1 А — а2 + Ра! А = а3 + Ра! А — а4 + Ра2 А ~ аБ А Ра2 А — а6 + Ра2 ’г' ст ст •Q -Q Л -С с- а. а. а. су. а- + + + + + + СТ СО чЦ СО (ГЦ QX Q2U СП О2Ц II II II II II II -Г*1 .71 СО TJI ю со eq CQ CQ CQ CQ CQ (VII.9)
А=«В + РаП Pzz Н- 9br^ j
Если углы сети предварительно уравновешены за условия пер-
вой группы, то свободные члены уравнений второй группы (VII.4),
вычисленные по этим углам, будут равны преобразованным zA,
7В и т. д. Составив нормальные уравнения с преобразованными
коэффициентами (VII.9) и свободными членами и решив их, полу-
чим вторичные поправки v".
Окончательные поправки углов сети будут равны сумме первич-
ных и вторичных поправок г»,- = V- + v".
Проф. Н. А. Урмаев дал простое правило преобразования урав-
нений второй группы для случая, когда в сети нет пересекающихся
диагоналей. Пусть условное уравнение
+ ^2 + ^3) + (ЪЧ + % + *16 г'б) + • • +
+ (Г/Л-2 Vz-2 + Vn- 1 ^’п-1 + Vn ^„) + ~= О, (VI 1.10)
содержащее поправки к п углам, нужно преобразовать к виду
+ ^2^2 + АЕ'з) + i^4'V4 + + А^е) + +
+(^„_2 ^-2 + + ВД + А = 0. (VII. 11 )
Разобьем всю левую часть уравнения (VII.10) по числу тре-
угольников сети на и частей, отнеся к каждой части члены, содер-
жащие поправки углов одного и того же треугольника. Тогда
Какой-нибудь коэффициент Н равен соответствующему коэффици-
V Г. А. Бурмистров 257
ентут] без одной трети суммы всех коэффициентов т],
к данному треугольнику, то есть
Н, —Vi -у (Vi + Ч/+1 + Чн-2)
Hi+1 — V,+i — у (rit + 4,+i + 4,+а)
^Л+2 Ч1+2 д- (Ч i “1“ Ч/+1 Ч1+2)
ОТНОСЯЩИХСЯ
(VII.12)
причем 1=1, 4, 7, 10,..., (п— 2).
Сложив равенства (VII.12), получим контрольную формулу
Hi + Hi+1 + Hi+2 = 0. (VII. 13)
Чтобы избежать дробных коэффициентов в преобразованных по
(VI 1.12) условных уравнениях, можно все члены каждого из этих
уравнений умножить на 3.
Оценка точности производится, как в способе Крюгера. Обрат-
ный вес функции уравновешенных величин можно вычислить в
дополнительном столбце схемы решения нормальных уравнений
второй группы, если преобразовать коэффициенты f весовой функ-
ции и по формулам (VII. 12) в коэффициенты F, отнеся весовую
функцию условно к уравнениям второй группы. Тогда
1 гот И/Т [BF-1P [GF-е,- 1)Р „П14.
р;--w~жиг-------------------------foo.(r2-i)] <VII14)
Способ Урмаева—Крюгера получил всеобщее признание. Он
является совершенно строгим и дает значительную экономию вы-
числительного труда. Если в сети есть геодезические четырехуголь-
ники, то такую сеть можно также уравновесить этим способом, но
ход вычислений будет несколько иной (см. задачу 304).
ЗАДАЧИ
301. Уравновесить по способу Урмаева—Крюгера углы в систе-
ме треугольников между двумя жесткими сторонами (см. рис. 26)
и оценить точность определения стороны DC.
Исходные Данные взять из задачи 284.
Решение
I. Определяют первичные поправки и заполняют первые шесть
столбцов в табл. 179. Если невязка треугольника не делится нацело
на 3, то принято поправку, не равную точно одной трети невязки,
вносить в наибольший угол.
Решение треугольников Таблица 179 Логарифмы сторон 3.258 4263 3.262 9539 3.183 6578 3.183 6578 3.183 0002 3.240 0435 3.240 0435 3.483 7624 3.329 5002 3.329 5004
Логарифмы синусов углов 9.955 8478 9.960 3754 9.881 0793 9.915 1042 9.914 4466 9.971 4899 9.744 6022 9.988 3211 9.834 0589
Окончатель- но уравно- вешенные углы 64°35'58",8 65 53 42 ,4 49 30 18 ,8 0‘ 00 00 081 55 19.47 ,3. 55 12 16 ,8 69 27 55 ,9 — 180 00 00 ,0 33 44 16 ,6 103 13 41 ,3 43 02 02 ,1 180 00 00 ,0 —
Вторичные поправки Vi" СО О со % О »—1 ’ 1 1 + 0‘ 0 -0 ,3 -0 ,7 +1 >о 0 ,0 —1 ,з -0 ,6 +1 >9 0‘ 0
Предвари- тельно уравнове- шенные углы 64°35'59",1 65 53 43 ,4 49 30 17 ,5 180 00 00 ,0 55 19 47 ,6 55 12 17 ,5 69 27 54 ,9 180 00 00 ,0 33 44 17 ,9 103 13 41 ,9 43 02 00 ,2 180 00 00 ,0
Первичные поправки ’ 3 —Г',8 -1 -8 LO 1 +2 ,4 +2 ,4 +2 ,3 +7 ,1 —1 >5 —1 >5 -1 ,5 —4 ,5 =33 ,28
Измеренные углы 64°36'00",9 65 53 45 ,2 49 30 19 ,3 180 00 05 ,4 Еа=+5".4 55 19 45 ,2 55 12 15 ,1 69 27 52 ,6 179 59 52 ,9 С6=-7М 33 44 19 ,4 103 13 43 ,4 43 02 01 ,7 180 00 04 ,5 k=+4',5 ъ ъ 1——J
№ углов ’ СЧ СО * ’Ф Ю CD Г- СО 07
из g Названия о. § вершин ,OJ S Q о -ч: >1 О Q СЧ и CQ О U СО IN
17*
259
II. Составляют условные уравнения второй группы по предва-
рительно уравновешенным углам. Вычисление свободного члена
условного уравнения сумм произведено в табл. 180.
Таблица 180
№ углов Предварительно уравновешенные углы
2 65°53'43",4
5 55 12 17 ,5
8 103 13 41 ,9
У 224 19 42 ,8
ВОА 224 19 40 ,5
Z^= + 2",3
а) условное уравнение сумм (2) + (5) + (8) + 2",3 = 0.
III. Вычисляют свободный член условного уравнения сторон
(табл. 181).
r, , sin 1 -sin4-sin7-s<>
ZB = !g—- c- • n
sin 3 • sin 6-sin 9-s.
Таблица 181
№ углов Значения углов Логарифмы синусов Д 1" № углов Значения углов Логарифмы синусов Д1"
1 64°35'59",1 9.955 8481 +Ю,о 3 49°30'17",5 9.881 0770 +18,0
4 55 19 47 ,6 9.915 1047 + 14,6 6 69 27 54 ,9 9.971 4891 + 7,9
7 33 44 17 ,9 9.744 6063 +31,5 9 43 02 00 ,2 9.834 0546 +22,6
«2 3.329 5004 «1 3.258 4263
2.945 0595 2.945 0470
ZB= + 125-107.
Линейный вид условного уравнения сторон с численными коэф'
фициентами, выраженными в единицах шестого знака логарифма
+ 1,00 (1) — 1,80 (3) + 1,46 (4) - 0,79 (6) ф 3,15 (7) -
— 2,26(9)+ 12,5 = 0.
260
261
IV. Составляют весовую функцию и для оценки точности стопи
ны DC
u = lg DC = Igs1
sin 3 sin 5
sin 1 - sin 4
Приращение функции и в единицах шестого знака логарифма
Дц= — 1,00 (1) + 1,80 (3) — 1,46 (4) + 1,46 (5).
V. Составляют таблицу коэффициентов условных уравнений
второй группы и по ним нормальные уравнения (табл. 182). Чтобы
избежать дробей в первом уравнении, все его члены умножены
на 3.
Суммарное уравнение + 17,2204- 20,6121В-Ь 19,400 = 0.
Проверка коррелат (производится после их вычисления)
— 7,043 — 12,347 + 19,400 = + 0,010.
VI. Решают нормальные уравнения (табл. 183).
Таблица 183
F Z S Контроль
4-18,000 —7 (— 0,055 555} _ — 0,409 — 0,780 4- 0,0433 4-3,600 —0,2000 4- 6,900 — 0,3833 4-27,720 — 1,5400 4-27,720 — 1,5400
4-21,392 4-21,358 —1 (—0,046821) — 0,599 —6,168 —6,012 4-0,2815 4-12,500 4-12,799 — 0,5993 4-26,944 4-28,144 — 1,3177 4-26,944 4-28,145 — 1,3178
4-8,28 4-5,87 0 4- 2,22 —10,32 4- 5,72 4- 8,10 4- 5,72 + 8,09
1 К
— [vv]
Если коррелаты проверялись в ходе решения путем подстановки
их в эквивалентные уравнения, то проверка их по суммарному
уравнению опускается. По найденным коррелятам вычисляют вто-
ричные поправки 'v" в табл. 182.
Вычисленныеv" вводят в предварительно уравновешенные углы
(табл. 179) и с уравновешенными значениями углов треугольники
решают окончательно.
262
VII- Оценивают точность результатов. В данной задаче:
1) Сумма квадратов полных поправок
[yv] = [V'v'] 4- [v"v"] = 33,28 ± 10,26 = 43,54.
2) Средняя квадратическая ошибка результата непосредствен-
ного измерения
"=±1Л= = ±1/йй=±3"'°-
Г ' 11'2 V й г 2
Ошибка самой ошибки
3) Средняя квадратическая ошибка логарифма стороны DC
mIgs = ml/ J =±3,0- /5,87 = ±7,2-1 (Г6.
Г
4) Относительная ошибка определения длины стороны DC
ms _migs _ 7,2 _ 1
s — М —0,43-Ю6 — 60 000 ‘
Сравнение результатов совместного уравновешивания (зада-
ча 284) и по способу Урмаева—Крюгера показывает, что эти ре-
зультаты, а также и оценка точности оказались одинаковыми в
пределах точности вычислений, как и должно быть.
302. Для одного из вариантов, данных в задаче 285, уравнове-
сить по способу Урмаева—Крюгера углы в системе треугольников
между двумя жесткими сторонами (см. рис. 29) и оценить точность,
определения стороны CD.
303. Для одного из вариантов, данных в задаче 287, уравнове-
сить углы по способу Урмаева—Крюгера в центральной системе,
изображенной на рис. 27, и оценить точность определения сто-
роны АО.
304. Уравновесить по способу Урмаева—Крюгера углы в геоде-
зическом четырехугольнике (см. рис. 28) и оценить точность опре-
деления диагонали BD, принимая исходную диагональ АС за без-
ошибочную.
Исходные данные взять из задачи 288.
Решение
I. Заполняют первые шесть столбцов табл. 184 и получают ис-
правленные первичными поправками углы.
263
ица 184 логарифмы сторон 3.502 3918 3.272 2280 3.246 6661 — 3.502 3918 3.574 0356 3.444 8318 3.444 8319 3.272 2280 3.634 5390 3.634 5389 3.426 6661 3.574 0356
Т а б л i логарифмы синусов 9.999 3973 9.7-69 2335 9.923 6716 9.918 0986 9.989 7424 9.860 5386 9.662 6957 9.490 0918 9.852 4028 9.996 2667 9.788 3939 9.935 7634 —.
Окончатель- но уравнове- шенные углы 86°58'56",2 36 СО 05 ,1 57 00 58 ,7 180 00 00 ,0 55 54 25 ,7 77 35 46 ,1 46 29 48 ,2 180 00 00 ,0 27 22 58 ,3 18 00 16 ,9 134 36 44 ,8 180 00 00 ,0 СО СО О) со со г- iOOlO 0)^10 см ю со СМ Ь- О) СО СО Ю 0‘ 00 00 081
гГ О 5' Н Г 1- 0 ,0 +0 ,2 40 ,4 -0 ,6 0 ,0 СМ Ь- СО О —* 1-1 1 +3 ,5 -1 ,7 -1 ,5 -0 ,3 СО 1
м 1 1 1 1 г 1
треугольнике Г Я 0J О исправлен- ных углов СО СМ иО * со со г- Ю О Ю О' 00 LONCC Ю Ю СО СМ О о о ' СМ СМ OOLOCO IQ vr 56 ,5 о со СМ LO О СО Ю —< 1-0 03 ,5
Решение к/ +1",о +0 ,5 +0 ,5 +2 ,0 о со ю о о 1 1 1 -2 ,1 +0 ,5 -0 ,5 —0 ,1 о 1 0 ,0 —0 ,5 +0 ,5 0 ,0 2 .11
1 1 1 1 1
Измеренные углы 86°58'55',3 36 00 05 ,7 57 00 57 ,0 179 59 58 ,0 С1 = -2*,0 55 54 26 ,5 77 35 46 ,3 46 29 49 ,3 i+s + —s2 Г Z0 00 081 27 22 57 ,6 18 00 15 ,7 134 36 43 ,3 V- СО СО ю CD 1 Ю || 82 29 55 ,0 37 54 10 ,8 59 35 57 ,7 :=[/»,в] s‘*s + = ^ S‘ £0 00 081
№ углов +^ СО СМ СО +"“= СМ со 0О-|- 5+6 7 4
Названия вершин «5 О И CqQ ч; н
№ тре- уголь- ников см СО Т1"
264
Эти поправки находят из любых двух неперекрывающихся тре-
угольников, например из первого и второго. Для одиночных углов
этих треугольников первичная поправка равна одной четверти не-
вязки треугольника, взятой с обратным знаком. На двойные углы
берется сумма поправок углов, входящих в двойной угол. Поправ-
ка, не равная точно одной четверти невязки, вносится в наиболь-
ший угол. Например, во втором треугольнике, невязка которого
оказалась 4-2",1, поправка в первый (наибольший) угол равна
__(У',6, во второй —0",5 и для суммы углов 7 4-8 взята —1",0.
Третий и четвертый треугольники составляются из углов, для
которых уже найдены первичные поправки при распределении не-
вязок первого и второго треугольников, остается их только ввести.
После этого невязки второй пары смежных треугольников не устра-
нятся, а лишь изменятся.
Условие фигуры для одного из этих треугольников относят во
вторую группу условных уравнений.
В сумму [v'v' включаются поправки только восьми углов
первых двух треугольников, отнесенных к первой группе уравнений
0,52 4- 0,52 4-0,52 4- 0,52 4- 0:52 4- 0,52 4- 0,62 4- 0,52 = 2,11.
II. Составляют условные уравнения второй группы по предва-
рительно уравновешенным углам.
Условное уравнение фигуры третьего треугольника
(1) 4- (2) 4- (3) + (8) -3".5 = 0.
Боковое условие
Свободный член ZB= 1g
sin 3 • sin 5 • sin (7 4- 8)
sin (3 4- 4)’Sin 6-sin 8
и его вычисление в табл. 185 А
Т а б л и ц а 185А
№ углов Значения углов Логарифмы синусов Д1" № углов Значения углов Логарифмы синусов Д1"
3 27°22'58",1 9.662 6949 4-40,6 3+4 86°58'56",3 9.999 3973 + 1,0
5 36 00 06 ,2 9.769*2367 4-29,0 6 46 29 48 ,8 9.860 5398 +20,0
24-8 55 54 25 ,5 9.918 0983 4-14,2 8 18 00 15 ,2 9.490 0808 +64,7
21 9.350 0299 -2 9.350 0179
ZB=Sx-22 = 4- 120.10-’.
Линейный вид бокового условного уравнения с численными
коэффициентами, выраженными в единицах пятого знака логарифма
4- 0,396 (3) — 0,010 (4) 4- 0,290 (5) — 0,200 (6) + 0,142 (7) —
— 0,505 (8) 4- 1,200 = 0.
265
Таблица 185
S’ о СЧ СЧ со 1 % + + 77 Ю О' + 77 + II II о о о СЧ С 5 7? 4!
+Г',21 4-0 ,17 -0 ,30 —1 ,08 О ' т—' сч "С СО Ю О' + 77 + N 'Т । (О о. О || + , + ~ СО со 1| о СО ОО + II II со1 <£* СО' с СО | 1 ® || 1 II со со
40,608 4-1,201 — 1,204 —0,605 ю ю со со т-ч СО Ш СЧ + 1 1 -5,800 [v"v"] = -[^] = +6,314 +0,306 —0,673 _ +5,947 j
Ь. —0,223 —0,026 -0,025 +0,274 +0,005 +0,214 +0,214 —0,433 -1,354 +0,276 +0,405
S' ох с- оч •—< о сч г- сч о о о о 1 + 1 + +0,140 —0,059 +0,283 —0,364 о ю сч сч О —< СО СО СЧ СО со со сч о о + 1 1 +
+ 7-77 + 1 1 + О со о О СО о о ь- о С- О ОО 1 + +
-0,208 -0,010 -0,010 +0,290 —0,208 —0,647 >4
ох +0,396 —0,010 +0,290 -0,200 +0,142 —0,505 +1,200
8 + + + + 1Q СО 1
№ углов СЧ со ю ' со С- ОО
III- Составляют весовую функцию для оценки
нали BD
и = lg BD = lg s
sin (1 + 2) sin 5
sin (3 + 4) sin 8
точности диаго-
Приращение функции и получают в единицах пятого знака ло-
гарифма
А и = - 0,208 (1) — 0,208 (2) — 0,010 (3) - 0,010 (4) +
+ 0,290 (5) - 0,647 (8).
IV. Составляют таблицу коэффициентов условных уравнении
второй группы и по ним нормальные уравнения (табл. 185). Коэф-
фициенты уравнений второй группы вычислены здесь по формуле
Ц- = + TJ/+1 + ++2 + ЧН-з)- (VII. 15)
Чтобы избежать дробных коэффициентов в первом уравнении,
все его члены умножены на два.
Суммарное уравнение
+ 7,668 /.л 4- 0,030 - 5,800 = 0.
V. Решают нормальные уравнения (табл. 186).
Таблица 186
F S Контроль
4-8,000 —1 (—0,12500) _ +0,766 —0,332 +0,0415 —1,354 +0,1692 —7,000 +0,8750 —0,686 +0,0857 —0,686 +0,0857
+0,362 +0,348 —7 - (—2,87356) —2,615 +0,276 +0,220 —0,6322 +1,200 +0,910 —2,6149 + 1,506 +4478 —4,2471 +1,506 + 1,478 —4,2471
+0,405 +0,037 0 —1,760 —8,50 —0,673 —1,723 —0,673 —1,723
ЛВ
1 К
— [vv]
Проверка коррелат
5,874 — 0,078 — 5,800 = — 0,004.
267
66
По найденным коррелатам вычисляют вторичные поправки v п
в табл. 185. '
Вычисленные т’," вводят в предварительно уравновешенные уГЛЬ1
(табл. 184) и с уравновешенными значениями углов треугольники
решают окончательно. ' 1
VI. ~
1)
Оценивают точность результатов. В данной задаче:
Сумма квадратов полных поправок
[оо] = [V'V'] + [v"v"] = 2,11 + 8,52 = 10,63.
Средняя квадратическая ошибка результата непосредствен-
2)
ного измерения.
" 10,63
Ошибка самой ошибки
1",6
т
тт
____: + 0",57.
]' 2-4 —
3) Средняя квадратическая ошибка логарифма стороны BD.
р—=±1,6 {/ 0,037= ±0,31 единицы 5-го знака
migu = m J
логарифма.
4) Относительная ошибка определения стороны BD
ms _ 0,31 1
s — 0,43-106 — 140 000 '
305. Для одного из вариантов, данных в задаче 289, уравнове-
сить углы геодезического четырехугольника (см. рис. 28) по спосо-
бу Урмаева—Крюгера и оценить точность определения диагонали
BD, принимая исходную диагональ АС за безошибочную.
306. Даны условные уравнения
1) 2 vi— иг + о4 + 5 -- 0;
2) 21>2 — 3оз + 2 V4 + 8 = 0.
Найти среднюю квадратическую ошибку функции
и = 16,7 + о2 — 2 о3.
Решение
Составляют таблицу коэффициентов условных и нормальных
уравнений (табл. 187).
268
№ по
пор.
1
2
3
4
Суммы
[«
Lb
[/
[2
Таблица 187
a] b] Л 2]
4-2 0 0 + 2
-1 + 2 4-1 + 2
0 — 3 —2 — 5
+1 + 2 0 4- 3
4-2 4- i —1 4- 2
+5 + 8
4-6 0 —1 4- 5
+17 +8 +25
+5 +12
+42
Для определения средней квадратической ошибки по
(VI.12) необходимо вычислить (w] по формуле (VL7).
Найдем
формуле
K2-l] = ^-g-^ = + 8-° = + 8;
[bb-1] = + 17 — -g = +17;
fOT))_ V_+_Ktir=?5+61
1 |oo| + (M.1J 6 +17
m
8
2
2,0
m
mm = ----- -----
m у2r J 2-2
Кроме того, вычислим
[V-H=Wl-!2^a
+ 8 — 0 = + 8-
269
Тогда
L —^2- ггп _ la^2
Du rrP '-JJ [aaj
(bf-l? _ . 1____64
[66-1] — "r° 6 17
+ 1.0;
/??„ = /?/ | J_ = ±2,0 1'1,0 = ±2,0.
307. Найти среднюю квадратическую ошибку функции уравно-
вешенных величин по одному из следующих 5 вариантов системы
условных уравнений и функции (не решая нормальных уравнений)-
1) vr ± 2 v2 — ^3 — 3 = 0
— v2 ± 2 vi ± 1 = 0
и =17,1 —2^+ 2^3
3) 2 vr — v2 — vi ± 1 = 0
— ± 2 ^3 ± 2 vi — 1 = 0
и = 15,3 — 2 v2 ± -Уд
2) — ± v2 — 2 ± 2 : 0
± 2 ± г»з — 3=0
it —3,7 ±^2 — 2^3.
4) 3 vr — 2 v2 ± ^3 — 1 = 0
± v2 — 2 ^s±^4 ±2 = 0
и = 13,8 — 2 ±
5) ±2^2— %, ± -У4 ± 3 = 0
±2^3 — 2^4±4 =0
и =14,6 ± 2 vr — 2 ^3 ±
308. Измерены два угла во всех комбинациях (см. рис. 25) со
средней квадратической ошибкой непосредственного измерения
т — ± 2",5. Вычислить без решения нормальных уравнений сред-
ние квадратические ошибки:
1) суммы уравновешенных углов 1 ± 2;
2) разности тех же углов 1 — 2.
309. В треугольнике измерены все углы со средней квадрати-
ческой ошибкой непосредственного измерения = ± 3",3.
Найти среднюю квадратическую ошибку суммы уравновешенных
углов 23 (не решая нормальных уравнений).
310. В нивелирной сети (рис. 30) измерены 5 превышений по
ходам одинаковой длины.
Средняя квадратическая ошибка каждого превышения т =
= ± 2,0 мм. Найти среднюю квадратическую ошибку уравновешен-
ного превышения по третьему ходу (без решения нормальных
уравнений).
311. В двух смежных треугольниках АВС и ACD измерены все
6 углов (рис. 31). Найти среднюю квадратическую ошибку дирек-
ционного угла (CD), вычисленного по исходному (безошибочному)
270
дИрекционному углу (АВ) и по уравновешенным углам, если сред-
няя квадратическая ошибка измерения одного угла пг^ = + 3",0
(не решая нормальных уравнений).
312. Для сети с неперекрывающимися треугольниками даны
условные уравнения второй группы с непреобразованными коэффи-
циентами, но со свободными членами, вычисленными по исправлен
ным первичными поправками углам:
I) t»i" + о5" + — 3",7 = 0; II) — 0,232 ц2" +0,352 ц3" —
— 0,549 v" 4- 0,315 &б" — 0,389 о7"0,479 &8" — 2,62 = 0 и функция
уравновешенных величин:
и = 4- 0,064 4- 0,352 о3" — 0,549 о4" 4- 0,315 о6".
Преобразовать их по способу Урмаева—Крюгера и вычислить
обратный вес функции и без решения нормальных уравнений.
§ 22. -Полигонные условия*
Полигонные условия (с коэффициентами при неизвестных
4-1, —1 или 0) встречаются при уравновешивании теодолитных,
полигонометрических и нивелирных сетей.
Если в данной системе имеются такие условия, то можно по
чертежу сети составить сразу нормальные уравнения (способ проф.
В. В. Попова) или составить сначала условные уравнения, затем
выражения поправок через коррелаты и, подставив их в условные
Уравнения, получить нормальные уравнения (американский спо-
соб, сообщенный Мериманом, [19], стр. 312).
* Учебник [20], § 88.
271
2. KSA2 — ЛдХ7 -f- K4A2 + 4“ ~Б^2 4" ?2 —
3. ItgXj 4- Л2Хд -|- K6Ag - ~7/4 + n7Xg + Cg = 0
4. кД2 + л4Х4 + K7X4 — л7Х3 -j-£4 = 0
или
1- (TC1 4~ я2 4" Лв) ^JL- л3^2 4~ ^2^8 4~ ?l = 0
2. — ^3X1+ (~34“ Л4 + гсБ)Х2+ П4А4+ ф2 = 0
3. + ~2^'J 4“ (K2 4" K6 4- "7) *3 — K7^4 4~ ?3 = 0
4. 4- KP"2 ---- K7^4 4- (n4 4- n?) ^4" ?4 — 0
Системы нормальных уравнений, составленные по американско-
му7 способу и по способу проф. В. В. Попова, получились одинако-
выми.
При всех способах уравновешивания нивелирных сетей может
быть произведен следующий дополнительный контроль. Запишем
л(.
Величина е,- есть поправка на единицу измерения (один угол,
один метр длины и т.п.). Для узловых точек нивелирных сетей
можно сформулировать правило «труб с водой». Если вообразить
вместо ходов трубы с водой, а в узловой точке — бак с водой, то
стрелка, направленная к узловой точке, указывает, что вода по
этой трубе втекает, а стрелка, направленная от узловой точки, что
вода вытекает.
Как увидим ниже, для каждой узловой точки с учетом направ-
ления течения воды должно выполняться условие
Н—о.
Величины s могут быть написаны из выражений поправок v че-
рез коррелаты. В нашем случае:
е1 = — е2 — 4- *3- £3 “ ^2--е4 — ^-2 ^4,
е5 — ^2> е6= ^3> е7 = \
Для узловых точек получим следующие равенства (см. рис. 32) :
для X
[£] — — £i — е2 4“ ее — 4- — *з 4- *3 = О-
ДЛЯ у
[е] = 4- ®2 4- е3 4“ е4 4“ е7 = \ 4" ^-3 4- ^-2 — ^2 ^4 7^-4
- А3 = 0.
ДЛЯ 2
[£] = 4- е1 — е3 — е5 = — ^2 4- 4- ^-2 = 0-
Очевидно, что все проделанное при решении данной задачи в
буквенном виде может быть также выполнено сразу в числовом
выражении.
274
Оценка точности в способе проф. В. В. Попова
Разработкой вопроса о вычислении обратного веса функции
уравновешенных величин в способе проф. В. В. Попова занимались
3. М. Юршанский [23 и 24] и А. Н. Белоликов [1].
Мы воспользуемся идеей А. Н. Белоликова составления по чер-
тежу сети добавочных выражений для определения обратного веса
уравновешенных отметок (или координат) пунктов, но изложим
способ ее осуществления иначе.
Составив по способу В. В. Попова нормальные уравнения кор-
релят, выберем по кратчайшему направлению добавочный полигон,
который условно назовем «весовым», от твердой точки до опреде-
ляемого пункта, для которого нужно вычислить обратный вес урав-
новешенной отметки (или уравновешенных координат). По этому
весовому полигону составим в буквенном и численном виде выра-
жение «Ц-», содержащее алгорифмы [л а/], [л 6/],..., [л£/ф[л}/], длд
последующего внесения числовых значений этих алгорифмов в до-
полнительный столбец «<7(» схемы решения нормальных уравнений.
Коэффициенты о(- относятся к первому полигону, Ь,- — ко второму
п т. д. Коэффициенты /, относятся к весовому полигону.
Если направления весового и смежного с ним полигонов совпа-
дают, берется знак плюс при соответствующем алгорифме; если те
же направления не совпадают, ставится минус. Направление самих
ходов не имеет значения. Алгорифм [л ff\ получается суммированием
всех обратных весов г. по весовому полигону со знаком плюс всег-
да. Каждому полигону уравновешиваемой сети соответствует кор-
релята с номером полигона и одно нормальное уравнение. Каждому
определяемому пункту, обратный вес отметки (или координат) ко-
торого хотят вычислить, соответствует один весовой полигон и один
дополнительный столбец «U,» в схеме решения нормальных урав-
нений.
Получив значения алгорифмов [лaf], [л bf],..., [л§/], [лff] для
каждого весового полигона, вносят их в соответствующий дополни-
тельный столбец «Ц». Затем последовательно исключают по спо-
собу Гаусса коррелаты и определяют искомые обратные веса по
обычной формуле р- = [ff- г], где г — число нормальных уравне-
нии коррелат.
Средняя квадратическая ошибка единицы веса, т. е. результата
непосредственного измерения превышения по ходу, длиной в с
километров, найдется по формуле вида (VI.44)
314. По данным задачи 290 (§ 19)
уравновешенных отметок реперов № 1 и
вычислить обратные bi
№ 3 по изложенному^
18*
Решение
I Нормальные уравнения коррелат (при ~ —20 см’ табл. 169)
1. + 2,36 Хт — 0,28 Х2 + 0,74 Х3 + 0,72 Х4 + 0,40 = 0
2. — 0,28 Хх + 1,88 Х2 4- 0,84 Х4 — 1,00 =0
3. +0,74\ + 1,66А3 — 0,36 Х4-0,50 =0
4. + 0,72 Хх + 0,84 Х2 — 0,36 Х8 + 1,92 Х4 + 1,00 =0
П.Составим дополнительные выражения Ui и U2 для определе-
ния обратных весов уравновешенных отметок реперов № 1 и № 3.
Весовой полигон для вычисления веса отметки репера № 1 наме-
тим от марки № 13 по первому ходу. При составлении выражения
Hi (см. рис. 20) учтем совпадение направлений весового и третье-
го полигонов. Получим для 77 г.
[ла/] = 0; [^7>/]=0; [л cf] = + 0,56; [ndf[ = 0-, [л//] = + 0,56.
Для второго добавочного выражения U2 следовало бы наметить
весовой полигон по кратчайшему направлению от марки № 77 по
восьмому ходу. Однако в целях более полной иллюстрации состав-
ления добавочных выражений выберем направление весового поли-
гона от марки № 77 по ходам 7 и 5. Направление нового весового
полигона не совпадает с направлением первого полигона и совпа-
дает с направлением второго. Будем иметь для 772:
[тс а/] = — 0,28; [тс bf \ = + 1,04; [тгс/] = О; [к/7/| = 0; [*ff\ =+1,04.
Алгорифмы, равные нулю, можно не выписывать.
III. Решение нормальных уравнений произведено в табл. 188.
После исключения всех коррелат. в 16-й строке выписаны: алго-
рифм [тс//]=+ 0,560 в столбец Ui, нули в столбцы 772 и £, кон-
трольная сумма -[-1,120 в столбец s. Далее вычислен обратный вес
отметки репера № 1 как сумма алгорифма [я/Л и произведений
коэффициентов элиминационных строк столбца 771 на вышележа-
щие числа в том же столбце.
Контрольные вычисления для
велись обычным порядком.
Установив на счетчике арифмометра число, записанное в одном из
последующих столбцов, например +1,120 в столбце s, алгебраиче-
ски суммируем с ним суммы произведений коэффициентов элими-
национных строк столбца 771 на вышележащие числа из столбца s,
т. е. перемножаем —0,3933 на +0,814, затем —0,2589 на +1,904.
Аналогичные вычисления делаем и для столбцов 772 и s. Контроль
вычислений по 17 й строке обычный-—методом сумм.
Далее в 19-й строке выписаны алгорифм [пff] = + 1,040, 0 для
столбца £ и контрольная сумма [-1,800 в столбце s. Для лучшего
уяснения порядка вычислений произведения коэффициентов элими-
национных строк столбца 772 на вышележащие числа столбцов 77з,
276
г и s выписаны отдельно в строках 20—23. В 24-й строке получен
алгорифм \nff- 4] = -ф 0,289, представляющий собой обратный вес
уравновешенной отметки репера № 3.
Для контроля вычисления -^-образована элиминационная стро-
ка, соответствующая 17-й строке, и коэффициенты ее внесены в
27-ю строку. Сделано это потому, что произведения коэффициента
-0,3200 строки 18 на коэффициенты 17-й строки 4-0,088; —0,056;
4-0,307 не должны участвовать в вычислении , так как обрат-
ный вес в каждом дополнительном столбце вычисляется отдельно
от других дополнительных столбцов. Поэтому и результаты указан-
ного перемножения —0,028; 4-0,018 и —0,098 записаны в 25-ю
строку. Сложив по столбцам коэффициенты 24-й и 25-й строк, по-
лучаем коэффициенты 26-й строки. Сумма коэффициентов столб-
цов Ui и С должна равняться коэффициенту в столбце s, что и
1
служит контролем вычисления р-
Эта же нивелирная сеть была уравновешена по способу косвен-
2
ных измерений (задача 259) с весами р что соответствует
л = у. Было получено Qu =2,73 и Q33 = 2,88.
Поскольку при уравновешивании данной нивелирной сети методом
условных измерений и при решении нашей задачи было принято
(табл. 169) указанные выше значения весовых коэффициен-
тов для сравнения их с полученными здесь результатами необходи-
мо уменьшить в 10 раз. Получим Qu =0,273 и Q33 = 0,288. Значе-
ния обратных весов уравновешенных отметок тех же реперов по
способу А. Н. Белоликова оказались р- = 0,275 и ^- = 0,289, т. е.
практически совпадают с ранее найденными. Расхождение в по-
следней цифре объясняется ошибками округлений.
По изложенным правилам можно получать по чертежу сети до-
бавочные выражения для определения обратных весов уравнове-
шенных превышений или сумм приращений координат по любому
ходу.
Составим для примера дополнительное выражение t/3 для вы-
числения обратного веса уравновешенного превышения по пятому
ходу. Весовой полигон выберем от репера № 3 к реперу № 4.
Направление весового полигона совпадает с направлением первого
полигона и не совпадает с направлением второго. Будем иметь
Для {/3;
[ла/] = 4-0,28; [л&/] = - 0,28; [га/] = 0; [лй/] = 0; [л#] = 4-0,28.
Получилось такое же выражение для дополнительного столбца
схемы решения нормальных уравнений, как и в нижней части
столбца f табл. 169.
277
278
№
строк
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Т а б л и ц а 188
х4 ^2 С
+2,360 —1 (—0,42373) 1 —0,280 +0,1186 +0,740 —0,3136 +0,720 —0,3051 —0,280 +0,1186 +0,400 —0,1695 +3,660 —1,5509
+1,880 +1,847 —1 (—0,54142) 0 +0,088 —0,0476 +0,840 +0,925 —0,5008 +1,040 +1,007 —0,5452 -1,000 —0,953 +0,5160 +2,480 +2,914 —1,5776
+1,660 +1,424 —1 (—0,70225) —0,360 -0,630 +0,4424 +0,560 +0,560 -0,3933 0 +0,040 —0,0281 —0,500 —0,580 +0,4073 +2,100 +0,814 —0,5716
+ 1,920 +0,958 —1 (—1,04384) тИ 0 +0,248 —0,2589 0 —0,401 +0,4186 + 1,000 +1,099 —1,1472 +4,120 +1,904 —1,9875
+0,560 +0,275 и +0,088 । +1,040 —0,033 -0,549 —0,001 -0,168 0 —0,050 1 0 +0,047 +0,520 +0,016 +0,460 +1,120 +0,307 +1,800 +0,434 -1,589 —0,023 +0,797
1 Р. —7 (—3,63636)
+0,289 +1,043 +0,018 +1,061 +0,2036 +1,419 —0,098 + 1,321 -1,1164
—0,028 +0,261 —0,3200
Изложенный способ прост, применим к сетям полигонов любо-
го вида и может быть также использован для расчетов при проек-
тировании полигонометрических и нивелирных сетей.
315. Для нивелирной сети, изображенной на рис. 33 (в числи-
теле стоит номер хода, а в знаменателе — длина хода в кило-
метрах) :
а) подсчитать число независимых полигонов;
б) показать их на чертеже, обозначив римскими цифрами;
в) составить нормальные уравнения коррелат по способу
В. В. Попова, причем свободные члены записать в буквенных обо-
значениях;
г) проверить правильность составления нормальных уравнений
американским способом;
д) произвести заключительный контроль [е]= 0;
е) составить добавочное выражение U в буквенном и числовом
виде для определения веса уравновешенной отметки репера х.
316. То же для нивелирной сети, изображенной на рис. 34.
317. То же для нивелирной сети, изображенной на рис. 9, с со-
ставлением добавочных выражений U для вычисления обратных ве-
сов отметок определяемых реперов и решением полученной системы
нормальных уравнений. Найти вероятнейшие отметки определяемых
реперов и их средние квадратические ошибки.
318. Составить нормальные уравнения коррелат по способу
В. В. Попова для нивелирной сети, изображенной на рис. 11, взяв
числовые данные по одному из вариантов, данных в задаче 230.
Проверить правильность составления нормальных уравнений амери-
канским способом и решить их по способу Гаусса с введением
280
вспомогательного неизвестного, произведя заключительный конт-
роль [е] = 0- Найти вероятнейшие значения отметок определяемых
реперов и среднюю квадратическую ошибку нивелирования на
1 км хода.
Рис. 34
319. То же по условию задачи 231, но нормальные уравнения
решить по способу Зейделя.
§ 23. Задачи на уравновешивание и оценку точности одних
и тех же результатов измерений методами непосредственных,
косвенных и условных измерений
320. В равностороннем треугольнике измерены превышения по
всем сторонам (рис. 35).
Рис. 35
Уравновесить полученные результаты и найти средние квадра-
тические ошибки каждого уравновешенного превышения.
Уравновешивание и оценку точности произвести трижды, при-
меняя методы непосредственных, косвенных и условных измерений.
281
Решение
Метод непосредственных измерений
По условию задачи
hi — + 10 мм,
й2 = + 20 „ ,
h3 = — 36 „ ,
Невязка замкнутого полигона
ятнейшие значения превышений:
рез у, третьего — через z. Для превышения между точками А и в
имеем два значения:
1) измеренного превышения hi = + 10 мм с весом 1,0 и
2) вычисленного превышения hi по двум другим превышениям
hi' = — (Й2 + йз) = — (+ 20 — 36) = + 16 мм
с весом pi = 0,50, так как — + — = 4- + -|- = 2,0.
и ’ Pi Pz 1 Рз 1 1
Найдем вероятнейшее значение первого превышения
hiPi 4- hiPi +10-1 + 16-0,5 с
х = ? , -J,---- = J, \ r—— = +12 мм, с весом 1,5.
вес pi = 1,0,
„ р2=1,0,
„ р3 = 1,0.
равна — 6 мм. Обозначим веро-
первого — через х, второго — че-
А + Р1' 1+0,5
Таким же путем вычислим
+ 20-1 + 26-0,5 . оо , _
у = ----;—Гпё----= + 22 мм, с весом 1,5,
-36-1 —30-0,5 1С
z =----т;— n V-----= — 34 мм, с весом 1,5.
Найдем вероятнейшие ошибки и по ним среднюю квадратиче-
скую ошибку одного измерения по формуле (V.16)
Vi = + 12 — 10 = + 2 мм, V2 = + 22 — 20 = + 2 мм, Vi -
= — 34 + 36 = + 2 мм; [оо] = 12
Так как веса всех неизвестных получились одинаковыми и рав-
ными 1,5, то и средние квадратические ошибки всех неизвестных
будут одинаковыми
т ,3,5 , _ _
тг = т„ — т, = —== = -+- —= = + 2,9 мм.
х у z 1,5 ~
Метод косвенных измерений
Выберем в качестве независимых неизвестных х и у вероятней-
шие значения первого и второго превышений, а третье превышение
выразим в виде функции первых двух.
282
Уравнения ошибок с измеренными величинами
1. х — 10 = Vi
2. у — 20 = о2
3 — (х + у) — (—36) = о3
Введем приближенные значения и выразим через них неизвест-
нь1е х = Ю + 8х, у = 20 + 5.У, тогда уравнения ошибок примут вид:
+ 5 х = от
+ £_У =о2
— 5 х — + 6 = о3
Составим таблицу коэффициентов уравнений ошибок и нормаль-
ных уравнений (табл. 189).
Таблица 189
№ по пор. «] Ь] Л V VV
1 +1 + 1 +2 + 4
2 +1 + 1 +2 + 4
3 —1 —1 + 6 + 4 +2 + 4
S 0 0 + 6 + 6 +12
Неизвестные +2 +2 + 4
[а +2 +1 — 6 — 3
[Ь +2 — 6 — 3
[/ 436 424
[S +18
Нормальные уравнения
- 1. 2 8x4- 5у — 6 = 0;
2. 5х + 2 5у —6 = 0.
Весовые уравнения:
ДЛЯ X
1. 2Q11+ Q12— 1 =0;
2. Qu + 2 Q12 = 0;
для у
1- 2 Q21 + Q22 = 0;
2. Q21 + 2 Q22 — 1=0.
283
Решим нормальные уравнения (табл. 190).
Таблица 190
8х 1 5 Qx Qy V
+2,0 —1 (—0,500) +1,0 —0,50 — 6,0 + 3,00 — 3,0 + 1.50 —1,0 +0,50 —4,0 +2,00
+2,0 — 6,0 — 3,0 —1,0 —4,0
+1.5 —1 — 3,0 — 1,5 +0,5 —1,0 -2,0
(—0,667) + 2,00 + 1,00 —0,33 +0,67 —1,33
+2,00 +36,0 +24,0
+2,00 8j, +12,0 +12,0
—0,33 [™] +18,0
+0,67 С12 +12,0
Си +0,67 [vv]
—0,33 Q22
Q21
Оценка точности результатов
Для этого определим:
Среднюю квадратическую ошибку непосредственного изме-
1)
рения
2)
/n = ±l/"-^- = ±3,5 мм.
|/ о Z
Веса последнего и предпоследнего неизвестных
Py = {bb- 1]= 1,5;
р — р — 15. — 1 к
х у [bb\ ’ 2,0 Д
3) Средние квадратические ошибки неизвестных:
тх = т pAQ11 = ±3,5-]0,67 = + 2,93w;
ту = т ]/^Q22 = ± 3,5 • jA0,67 = ± 2,9 мм;
mz = m 1/ -^- — ±3,5- ргД67 = ± 2,9 мм.
284
Вес третьего неизвестного найден по формуле (V.50) для функ-
ции z== — х — у. В этой функции fi = —1, fz = —i; следова-
тельно,
4-=/1/1Си + 2/1AQ12 +A/2Q22=1 -0,67+2.(-0,33) + 1.0,67=0,67;
Pz
Обратим внимание, что вес алгебраической суммы двух урав-
новешенных величин получился таким же, как и вес одного неиз
вестного. Для независимых величин этого быть не может.
Метод условных измерений
Составим условное уравнение замкнутого полигона
X Ц- у Ц- Z = 0 ИЛИ У1 + V2 + Уз — 6 = 0.
Нормальное уравнение коррелат будет
3 — 6 = 0, откуда = + 2.
Поправки
Oi = у2 = у3 = о,Х1= 1 • 2 =-|-2л«л, [уу] = 12,
а
Поправки неизвестных получились одинаковыми и в косвенных
и в условных измерениях, следовательно, одинаковыми будут и ве-
роятнейшие значения неизвестных
х = 71 + У1 = 10 + 2 = 12 мм, 7 = 20 + 2 = 22 мм,
z = — 36 2 = — 34 мм.
Вес каждого неизвестного найдется по формуле -J- = [ff 1].
*и
Например,
“ = *• f, = +1 ; i = -| = | В Л=1.5.
Совершенно так же найдем Ру= 1,5 и Pz= 1,5. Средние квад-
ратические ошибки неизвестных будут одинаковыми
т ,3,5 , _ п
т v = т „ = т, = _ = + — = -+- 2,9 мм.
У V Р РЛ1,5 “
Теоретически доказано, а на приведенных примерах конкретно
показано, что методы непосредственных, косвенных и условных
измерений равносильны: приложимы к различным задачам и при-
285
водят к одинаковым результатам, т. е., применяя любой из этих
методов, получаем после уравновешивания одни и те же значения
неизвестных и их средних квадратических ошибок.
Выбирать следует тот способ, который быстрее и с меньшей за-
тратой труда ведет к цели.
321. В плоском треугольнике измерены все углы: А = 62°16'
В = 58°42', С=59°01'.
Вычислить вероятнейшие значения углов и их средние квадра-
тические ошибки трижды, применив методы непосредственных, кос-
венных и условных измерений по одному из следующих вариантов
(в вариантах даны только секунды углов соответственно А, В, С}\
1) 24". 18", 9": 2) 28", 31", 19"; 3) 6", 27", 30";
4) 29", 19", 21"; 5) 13", 26", 18"; 6) 20", 35", 17";
7) И". 14", 23"; 8) 15", 00", 30", 9) 22", 32", 21";
10) 10", 25", 07".
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Глава VIII
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 24. Событие. Частость. Вероятность*
Явления, рассматриваемые в теории вероятностей, называются
событиями. События принято обозначать первыми прописными
буквами латинского алфавита: А, В, С,... , N. Примеры событий:
а) появление при измерении положительной случайной ошибки;
б) выход дамы при вынимании из колоды одной карты;
в) рождение девочки (а не мальчика);
г) вылет у-частицы при распаде атома урана.
Событие называют достоверным, если оно обязательно
произойдет. Событие называют невозможным, если оно не
может произойти. Так, появление белого шара, когда шар выни-
мается из урны, в которой находятся только белые шары, — собы-
тие достоверное, появление черного шара в этом же случае — собы-
тие невозможное.
Событие называют случайным (или возможным), если в ре-
зультате данного испытания оно может произойти, а может и не
произойти При этом под испытанием понимается осуществление
комплекса условий, при наличии которых может наступить интере-
сующее нас случайное событие. Примеры случайных событий:
а) величина и знак случайной ошибки результата измерения
какого-либо объекта;
б) выигрыш по 3% займу;
в) попадание в цель при выстреле;
г) вскрытие шестерки на верхней грани игральной кости при ее
бросании.
Несколько событий называют несовместимыми (несов-.
местными), если в результате данного испытания они не могут по-
явиться вместе. Например, появление герба и цифры при бросании
монеты. Если же при испытании несколько событий могут появить
ся совместно, то они называются совместимыми (совместны-
ми). Например, появление зеленого, красного и синего шаров при
вынимании трех шаров из урны с разными цветными шарами.
Учебник [20], § 144—146, 149, 150.
287
Несколько событий А, В, С,..., N называются всевозмо®.
н ы м и (единственно возможными), если при испытании непремен-
но произойдет одно из них. Например, выход белого или красного
или черного шара при вынимании одного шара из урны с шарами
этих цветов.
Несколько событий называют равновозможными, если
имеется достаточно оснований ожидать каждое из них с одинако-
вой степенью уверенности. Например, появление положительных
или отрицательных случайных ошибок при правильно поставлен-
ных геодезических измерениях.
Два всевозможных и несовместимых события называются про-
тивоположными. Например, попадание в цель и промах при
выстреле.
Всевозможные и несовместимые в некотором испытании события
А, В, С,..., N вместе составляют полную группу событий. На-
пример, при бросании игральной кости вскрытие граней с цифрами
1, 2, 3, 4, 5 и 6 будут вместе составлять полную группу событий.
ЗАДАЧИ
322. Определить, какие из приведенных ниже событий являются
достоверными, случайными или невозможными:
а) измеренное значение превышения между двумя точками;
б) вскрытие суммы в 13 очков при бросании двух игральных
костей;
в) получение белого шара из урны с белыми, красными и чер-
ными шарами;
г) то же, но из урны с белыми шарами;
д) выход бубнового туза при взятии карты из колоды карт.
Если случайное событие может появиться в результате испыта-
ний, которые могут быть повторены любое число раз при одних и
тех же условиях, то оно называется массовым.
Массовое случайное событие можно охарактеризовать числом,
подсчитав его частость Q (относительную частоту). Частость
есть отношение числа k случаев появления события (абсолютная
частота) к числу п всех произведенных испытаний
г- Ь
Q = (Viii.i)
Относительная частота события подсчитывается после опыта
и выражается или дробью или в процентах.
Изучение массовых случайных событий показало, что при опре-
деленных условиях некоторые из них происходят с тем более по-
стоянной устойчивой частостью, чем более число испытаний. Таки-
ми событиями и занимается теория вероятностей и математическая
статистика.
288
Количественной характеристикой устойчивой частости случайно-
го события служит математическая вероятность, которая
часто называется просто вероятностью. Вероятность р является
тем числом, вблизи которого колеблется частость случайного со-
бытия при массовых испытаниях. Так, по свойствам случайных
ошибок нетрудно предсказать, что частость появления отрицатель-
ных ошибок при массовых измерениях будет колебаться вблизи
1
р=у
Вероятность Р события А можно определить как отношение
числа т случаев, благоприятствующих появлению события А, к
числу п всех возможных случаев; при этом случаи (шансы) пред-
полагаются равновозможными, несовместимыми и всевозможными.
Таким образом,
m = (VIII.2)
Пишут также
т
(VIII.3)
Из определения вероятности следует, что вероятность любого
события А заключена между нулем и единицей
0<Р(Л)<1. (VII1.4)
Вероятность каждого невозможного события равна нулю, а ве-
роятность каждого достоверного события равна единице.
Частость события иногда называют статистической вероятностью.
ЗАДАЧИ
323. Распределение невязок треугольников ряда Чишмы—Орен-
бург триангуляции 1 класса (задача 2) оказалось следующим:
а) невязки от 0 до 1" в 26 треугольниках, б) от 1 до 2" в четыр-
надцати, в) от 2 до 3" в трех. Подсчитать частости для каждой из
указанных границ невязок.
324. При исследовании частоты появления отсчетов десятых
долей интервала сантиметровых делений рейки оказалось следую-
щее распределение отсчетов миллиметров на 1000 отсчетов
(табл. 191).
Вычислить частости оценок по каждой доле сантиметра.
325. При прокладке теодолитных ходов получена частость отри.
Нательных угловых невязок Q = gg - Сколько было получено отрц.
дательных и положительных невязок, если всего было проложено
40 ходов?
326. При некоторых измерениях была получена частость появ-
ления положительных случайных ошибок 0,45. Сколько всего было
произведено измерений, если отрицательных ошибок оказалось Цэ
327. Определить вероятность того, что при бросании игральной
кости вскроется грань с шестеркой.
Решение
Граней у кости шесть, из них лишь на одной стоит цифра 6.
Число -g- является той дробью р, к которой будет стремиться
частость события при увеличении числа испытаний.
328. Из тщательно перемешанной колоды карт в 36 листов вы-
нимается наудачу одна карта. Определить вероятность появления:
а) пиковой дамы, б) короля, в) карты бубновой масти, г) карты
черной масти.
329. Слово «геодезия» составлено из отдельных букв, написан-
ных на одинаковых карточках. Карточки перевернуты и перемеша-
ны. Найти вероятность того, что, взяв наудачу одну из них, откроют
карточку с написанной на ней: 1) буквой г, 2) гласной буквой,
3) буквой е.
330. Из колоды карт в 52 листа вынимают наугад 10 карт. За-
тем наудачу одну из вынутых карт открывают. Найти вероятность
того, что вскроется туз.
331. Цифры 1, 2, 3, 4, 5 написаны каждая на отдельной карточ-
ке. Все карточки одинаковы. Тщательно перемешав карточки, берут
Наугад две подряд. Какова вероятность, что составленное из этих
Цифр в порядке их появления число будет четным?
332. В урне находится 5 красных, 7 зеленых и 8 белых шаров.
Все шары по размерам и весу одинаковы. Шары тщательно пере-
мешивают и наугад вынимают один шар. Определить вероятность
того, что вынутый шар будет: а) красным, б) зеленым, в) белым,
г) цветным.
333. Определить вероятность того, что при двух измерениях по-
явится одна положительная ошибка.
334. Производится три измерения. Какова вероятность, что поло-
жительная ошибка появится два раза?
335. В записанном номере телефона оказалась стертой послед-
няя цифра. Какова вероятность того, что, наугад набирая послед
Нюю цифру телефонного номера, можно сразу позвонить нужному
лицу?
290
336. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных
костей сумма очков окажется равной: 1) четырем, 2) пяти, 3) ше-
сти, 4) семи, 5) восьми, 6) девяти, 7) десяти, 8) одиннадцати,
9) двенадцати, 10) двум.
337. Каждая из букв о, б, м, ы, л, и написана на отдельной кар-
точке. Эти одинаковые по своему виду карточки перемешивают,
после чего из этой группы карточек вынимают наугад по одной че-
тыре карточки и раскладывают в порядке появления. Какова веро-
ятность, что при этом составится слово «лимб»?
338. Каждая из букв х, в, а, е написана на отдельной карточке.
Карточки перемешаны. Найти вероятность того, что, вынимая на-
угад и раскладывая по одной карточке в порядке их появления,
получат слово «веха».
339. В урне находятся 10 шаров: 3 красных и 7 синих. Найти
вероятность того, что, вынимая одновременно 2 шара, достанут оба
синих.
Решение
Число всех равновозможных случаев вынуть пары шаров одного
цвета определяется числом сочетаний из 10 по 2, то есть
Число благоприятствующих случаев определяется числом соче-
таний из 7 синих шаров по 2
Следов ательно,
21 7
Р=Й==15 = 0’467 = 46’7°/°-
340. Из тщательно перетасованной колоды карт в 36 листов
вынимают одновременно две карты. Определить вероятность появ-
ления: а) дамы и короля треф, б) дамы и короля любой масти,
в) дамы и короля разных мастей.
341. В урне находится 5 шаров: 2 красных и 3 синих. Какова
вероятность того, что, вынимая сразу 2 шара, достанут оба красных?
342. Каждая из букв в, я, н, е, к, а, з написана на отдельной
карточке. Карточки перемешивают, вынимают наугад по одной и
раскладывают в порядке их появления. Определить вероятность
того, что составится слово «невязка».
343. По условиям задачи 342 найти вероятность того, что из
первых трех карточек составится слово «век».
344. Те же условия, но карточки разрешается раскладывать не
обязательно в порядке их появления.
19*
291
345. В урне находится 5 красных, 3 синих и 2 зеленых шара
Перемешав шары, вынимают наугад 2 шара. Найти вероятность
того, что оба вынутых шара окажутся синего цвета.
346. Те же условия, но требуется найти вероятность того, что
оба вынутых шара будут одного цвета.
347. Книга имеет 189 страниц. Определить вероятность того,
что номер наугад открытой страницы будет оканчиваться цифрой \
348. Найти вероятность того, что в мае будет 5 воскресений
§ 25. Теорема сложения вероятностей*
Вероятность появления одного из нескольких несовместимых
событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих со-
бытий
Р (или А, или В, или ..., или N') =
= Р (А) +Р (В) + ...4-Р (N). (VIII.5)
Пишут также
Pi + Р2 + рз + ... + Рп — 1- (VIII.8)
В частном случае, когда все вероятности одинаковы,
Р = пр. (VIII.7)
Если одно из п несовместимых событий (или один из несколь-
ких несовместимых видов одного события) обязательно произойдет.
То такая группа п событий будет полной (см. стр. 288).
Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу,
равна 1
pl + Р-2 + Рз + . • + Рп = 1 (VI11.8)
Пусть р — вероятность события Е, a q — вероятность противо-
положного события F, равносильного ненаступлению события Е;
Так как события Е и F образуют полную группу событий, то
р + <7=1 (VIII.9)
или, применяя другие обозначения,
Р (Л) +Р (А) == 1, (VIII.Ю)
то есть сумма вероятностей противоположных событий равна еди-
нице.
Символом Р (и А и В) обозначается вероятность того, что собы-
тия А и В появляются в данном испытании вместе. Такие события
Учебник [20], § 147.
292
называются совместимыми, для них теорема сложения принима-
ет вид
Р (или А, или В) = Р (.4) Р (В) — Р (и А и В). (VIII.И)
ЗАДАЧИ
349. В группе 24 студента, из них отлично успевающих — 4, хо-
рошо— 12, удовлетворительно — 6 и слабо — 2 человека. Подсчи-
тать вероятность того, что вызванный наугад студент окажется
отлично, хорошо или удовлетворительно успевающим.
Решение
1-й способ. Применяя теорему сложения вероятностей, на-
ходим.
р— _£ I 12_1 — 22 — Ц~0 92 — 92°/
24 + 24 + 24~ 24 12 ~ /о’
2-й способ. Обозначим вероятность вызова одного из успе-
вающих студентов через р, а вероятность противоположного собы-
тия. т. е. вызова одного из слабых студентов, — через q. Тогда
9 22
р=1-^1-^ = |4-920/0.
350. В урну положено 10 белых шаров, 6 синих и 4 красных.
Шары перемешивают и наугад вынимают один. Вычислить: а) веро-
ятности появления белого, синего, красного и цветного шаров;
б) сумму первых трех вероятностей.
351. При измерении некоторой линии возможно появление слу-
чайных ошибок Д2, Д3, Д4, Д5 и Д6 с вероятностями соответ-
ственно pi, р2, рз, pi, рз и р6-
Определить вероятность появления одной из этих ошибок при
однократном измерении.
352. Пассажир ждет трамвая маршрута № 2 или № 12 на оста-
новке, через которую проходят трамваи № 2, 6, 12 и 18. Предпо-
лагая, что трамваи всех маршрутов появляются одинаково часто,
найти вероятность тог», что первый подошедший к остановке трам-
вай будет нужного пассажиру маршрута.
353. На 100 лотерейных билетов приходится: 1 выигрыш в
500 руб., 2 выигрыша по 250 руб., 5 выигрышей по 100 руб., 10
выигрышей по 50 руб. и 20 выигрышей по 10 руб.
Какова вероятность выиграть не менее 100 руб. па 1 билет?
354. По условиям задачи 353 вычислить вероятность выиграть
не более 100 руб.
355. Найти вероятность того, что при одном бросании играль-
ной кости вскроется грань с двойкой или цифрой, кратной трем.
356. Определить вероятность выхода девятки или десятки при
взятии наугад одной карты из колоды в 36 листов.
293
§ 26. Независимые и зависимые события. Условные
вероятности*
События независимые
Совместное наступление (совмещение) двух или нескольких
простых событий называется сложным событием.
Например, появление отрицательной случайной ошибки при од-
ном измерении есть событие простое, а появление отрицательной
и положительной ошибок при двух измерениях — событие сложное,
состоящее из двух простых.
События А и В называются независимыми, если наступ-
ление или ненаступление одного из них не изменяет вероятности
появления другого.
ЗАДАЧИ
357. Схема возвращенного шара. В урне находится
7 черных шаров и 3 белых. Один шар наугад вынимают, отмечают
его цвет (событие Л) и возвращают обратно в урну. Затем опыт
повторяется еще раз. Найти вероятности при втором опыте: а) вы-
нуть белый шар Р (В) и б) вынуть черный шар Р (С).
Решение
Поскольку вынутый шар возвращается в урну, то безразлично,
какого цвета будет вынут первый шар: вероятности
3 7
Р(В)=Й) И Р(С)==10
остаются такими же, как и при первом опыте; следовательно, рас-
сматриваемые в задаче события — независимые.
События зависимые
События А и В называются зависимыми, если наступление
Или ненаступление одного из них изменяет вероятность появления
другого. Определения независимых и зависимых событий распро-
страняются на любое число событий.
ЗАДАЧА
358. Схема невозвращенного шара. По условиям
Задачи 357 найти вероятности при втором опыте: а) вынуть белый
шар Р (В) и б) вынуть черный шар Р (С), если первый вынутый
шар, оказавшийся черным, обратно в урну не возвращался.
•' Учебник [20], § 148.
294
Решение
После изъятия из урны одного черного шара в урне осталось
3 1
9 шаров; из них 6 черных и 3 белых. Следовательно, Р (В) = -т;=-ъ
У о
и Р (С) — -g = -g- Как видим, вероятности при повторении опыта
изменились (См. решение задачи 357) и значит в условиях данной
задачи будут зависимы между собой события Л и В и события
А и С.
Из решения задач 357 и 358 видно, насколько важно уметь
правильно установить, с какими событиями — зависимыми или не-
зависимыми — имеют дело.
Условные вероятности
Вероятность события В, вычисленная в предположении, что
событие А наступило, называется условной вероятностью собы-
тия В и обозначается Рд (В), или Р (В/А).
Условная вероятность РА (В), равна отношению числа / слу-
чаев, благоприятствующих совмещению событий А и В (сложное
событие «и А и В») к числу т случаев, благоприятствующих собы-
тию А, то есть
РА(В) = ^- (VIII.12)
Теорема сложения действительна и для условных вероятностей.
Для независимых событий А и В условные вероятности равны
безусловным
РВ(А) = Р(А) и РДВ) = Р(В).
Если вероятность совместного появления двух событий равна
произведению их вероятностей и вероятность хотя бы одного из.
них отлична от нуля и единицы, то данные события независимы.
ЗАДАЧИ
359. Бросают игральную кость. Пусть событием А является
вскрытие грани с цифрой 6, а событием В — вскрытие грани с
цифрой, кратной трем. Найти безусловные и условные вероятности
событий А и В и установить, зависимы или независимы эти события,
Решение
Безусловные вероятности равны
1 2
Р(А) = ^ и Р(В) = у.
295
Найдем условные вероятности Пусть нам известно (или нами
предполагается), что вскрылась грань с цифрой, кратной трем
(событие В). Это возможно в двух случаях: вскрылась грань с
цифрой 3 или грань с цифрой 6. Из этих двух случаев вскрытию
грани с цифрой 6 (событию Л) благоприятствует один случай.
Поэтому условная вероятность
Аналогичным путем вычислим
Так как условные вероятности не равны безусловным, то собы-
тия А и В зависимы.
360. Бросают игральную кость. Назовем событием А вскрытие
грани с цифрой, кратной двум, а событием В — вскрытие грани с
цифрой, кратной трем. Вычислить условные и безусловные вероят-
ности и установить, зависимы или независимы события А и В.
361. Из колоды карт в 52 листа вынимают одну карту. Будем
считать событием А выход туза, а событием В —- выход карты чер-
вонной масти. Найти условные и безусловные вероятности и уста-
новить, зависимы или независимы события А и В.
362. Из колоды карт в 52 листа вынимают одну карту. Пусть
событие А заключается в появлении карты черной .масти, а собы-
тие В — в появлении дамы пик. Вычислить условные и безусловные
вероятности и установить, зависимы или независимы события А и В.
363. Зависимы или независимы несовместимые события?
364. Зависимы или независимы противоположные события?
365. В урне находится 2 красных и 8 синих шаров. Вынимают
один шар, отмечают его цвет и возвращают в урну. Опыт повторя-
ется два раза. Если вынут первый раз красный шар, то будем счи-
тать, что произошло событие А, а при выходе во второй раз синего
шара — событие В.
Установить, зависимы или независимы события А и В.
366. Решить задачу 365 при условии, что первый вынутый из
урны шар обратно в урну не возвращается.
§ 27. Теорема умножения вероятностей*
Вероятность совместного появления нескольких независимых
простых событий (одновременно или последовательно одно за дру-
гим) равна произведению их вероятностей
Р (и А и В и С и... и N)=P (А) Р (В) -Р (С)... Р (А), (VIII.13)
или
P = Pi.p2... pr, (VIII. 14)
Учебник [20], § 147, 148.
296
В частном случае, когда pi = р> — .. . = р
Р = рп. (VIII.15)
В случае зависимых событий теорема умножения принимает
следующий вид. Вероятность совместного появления нескольких
событий равна произведению их вероятностей; при этом события
располагаются в определенном (безразлично каком) порядке, и
вероятность каждого события вычисляется в предположении, что
все предыдущие события имели место
Р(и Д и А2 и А3 и Д„_х и А„) =
= Р(А]).РА1 (Л).pAiA2Из) РА1А2...Л-. (VIII.16)
или
p=p1-P2-ps' • р,:, (утл?)
где рА, рз', , Рп — вероятности событий, вычисленные в пред-
положении, что каждое из предшествующих событий, выбранных
в данном порядке, произошло.
ЗАДАЧИ
367. Из колоды карт в 52 листа наугад вынимают две карты.
Определить вероятность того, что обе они окажутся пиками.
Решение
Если первая вынутая карта кладется обратно и колода переме-
шивается, то события (выход карт) будут независимые и по теоре-
ме умножения
13 13 £
52'52~ 16 ’
Если же первая карта откладывается в сторону или же обе они
вынимаются одновременно, то события будут зависимыми, и в этом
случае
.13 12 1
52 ’ 51 “ 17 ’
368. Три студента стреляют в цель. Вероятность попасть в цель
для первого студента равна 0,7, для второго — 0,6, а для третье-
го — 0,5. Подсчитать вероятность того, что при первом выстреле
все три студента поразят цель.
Решение
Применяем теорему умножения для независимых событий
р = 0,7 -0,6 -0,5 = 0,21 = 21,0%.
297
Рекомендуется обратить внимание на то, что вероятность слож-
ного события всегда меньше каждой из вероятностей простых со-
бытий, составляющих данное сложное событие.
369. По условиям предыдущей задачи найти вероятность того,
что хотя бы один студент поразит цель.
Решение
Во многих случаях проще вычислить сначала вероятность про-
тивоположного события и затем вычесть ее из единицы. Обозначим
через р попадание в цель хотя бы одним студентом. Тогда проти-
воположным событием q будет промах всех трех студентов. Найдем
q = 0,3 - 0,4 • 0,5 = 0,06.
Вычислим
р = I — 0,06 = 0,94.
370. Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что
на обеих костях выпадет по шестерке?
371. Производятся 3 измерения. Найти вероятность того, что
все три раза появится отрицательная ошибка.
372. Бросается п игральных костей. Определить вероятность то-
го, что хотя бы на одной из них выпадет шестерка.
373. Вычислить вероятность того, что при п измерениях k оши-
бок будут с одним и тем же знаком.
Решение
Вероятность появления ошибок с одним и тем же знаком будет:
I
при одном измерении р =-^,
при п измерениях р = .
Вероятность появления при п измерениях k ошибок с одним и
тем же знаком
(VIII.18)
374. Произведено 10 измерений в одинаковых условиях. Найти
вероятность того, что окажется 5 отрицательных и 5 положитель-
ных ошибок.
375. В урне находятся п занумерованных шаров. Вынимают
один шар, записывают его номер и возвращают обратно в урну.
Затем шары тщательно перемешивают. Опыт повторяется п раз.
Какова вероятность, что пройдут все номера шаров?
376. Переделывание ходов нивелирования II класса у несколь-
ких исполнителей в среднем составляет 4% всей работы. Найти
298
вероятность того, что запроектированные 5 ходов будут проложены
этими исполнителями без переделывания,
377. В первой урне находится 4 белых и 6 черных шаров, а во
второй урне — 3 белых и 3 черных. Вычислить вероятности: а) вы
путь из обеих урн по белому шару, б) вынуть из обеих урн по чер-
ному шару.
378. Определить вероятность того, что первая положительная
ошибка появится в пятом измерении.
379. Бросают два раза игральную кость. Какова вероятность,
что первый раз выпадет 3 очка, а второй раз — число очков, крат-
ное двум?
380. В урне находятся 2 синих, 3 желтых и 5 зеленых шаров.
Вынимают наугад два шара Найти вероятность того, что первый
шар будет синий (событие Л), а второй — зеленый (событие В).
Решение
2 5
Так как Р (Л) =jq, а условная вероятность РА (В) =-д, то
9 1
Р(и Л и В) =Р (Л)-Рл(В) = ^.| = 4.
381. На складе геодезических инструментов из 50 теодолитов
имеется 3 импортных. Упаковка у всех теодолитов одинакова. Най-
ти вероятность того, что 2 взятых одновременно (наугад) теодолита
окажутся импортными.
382. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Вынимают 2 раза по-
следовательно по одному шару, не возвращая их в урну. Как вели-
ка вероятность, что оба шара окажутся белыми?
383. На 100 билетов лотереи приходится 10 выигрышей. Найти
вероятность выиграть на два билета.
384. Из колоды карт в 52 листа берут наугад карту, отмечают
ее масть, кладут обратно в колоду и тщательно перетасовывают
карты. Опыт повторяется три раза. Требуется найти вероятность
того, что трижды появится карта червонной масти и ту же вероят-
ность при измененном условии, что карта обратно в колоду не воз-
вращается. Сравнить полученные вероятности.
385. Решить задачи 337, 338, 339, 341, 342, 343, 345, 346, приме-
няя теорему умножения.
386. В урне находятся Ч синих и 14 красных шаров. Вынимают
один шар, отмечают его цвет и возвращают обратно. Подсчитать
вероятность того, что при троекратном повторении опыта из урны
будет два раза вынут синий шар, а третий раз — красный.
387. Решить задачу 386 при измененном условии, что шары об-
ратно в урну не кладутся.
388. По условиям задачи 386 найти вероятность того, что два
раза будет вынут синий шар, причем порядок появления шаров
безразличен.
389. По условиям задачи 386 найти вероятность того, что один
раз будет вынут синий шар, причем безразлично, каким по счету
он выйдет.
299
§ 28. Многократные повторные независимые испытания.
Биномиальное распределение вероятностей*
В схеме повторных независимых испытаний рассматривается
серия последовательных испытаний, из которых каждое дает один
из двух несовместимых результатов: событие Е или происходит,
или не происходит.
Вероятность события Е остается постоянной во всей серии испы-
таний, причем, как нам уже известно, Р (Е) + Р (Е) = 1. Незави-
симость испытаний означает, что вероятность события Е в любом
испытании данной серии не изменяется и тогда, когда результаты
других испытаний становятся известными. В этой схеме, изученной
впервые Я- Бернулли, обычно полагают
Р(Е)=р и Р(Е)= q.
Если развернуть бином Ньютона
(р+<7Г = (<7 + рГ, (VIII. 19)
то члены разложения определяют вероятность любой из п Ц- 1 ком-
бинаций, в которых может появиться событие Е при п-кратном
испытании, если не принимать в расчет последовательности отдель-
ных наступлений событий.
Развернув (VIII.19), получим
Р..п +Р^п +Р^+ +Рк.п+- -+P„,„=1.(VIII.2O)
Здесь:
P^c^q"-0-, P1.n = cjpiq'’-'-, р2,„=с^р^^,
• • ,Pk.n = cnkPkqn-k-, •; рм=спУ<Г (vin.21)
представляют вероятности того, что при п испытаниях событие Е
осуществится соответственно 0, 1, 2,..., k,.. ., п раз и не осущест-
вится остальные п — 0, п—1, п — 2,..., п — k,..., п — п раз,
причем порядок наступления и ненаступления события безразличен.
Такое распределение вероятностей носит название биноми-
ального распределения вероятностей. Оно выражается форму-
лами Я- Бернулли (VIII.22) и (VIII.23)
Рк,п = Спк рк (f~k. (VIII.22)
Произведение pk q”~k представляет вероятность повторения k раз
события Е при п испытаниях в определенном порядке, а множи-
тель Ск дает число возможных порядков. При этом последователь-
ность наступления события не учитывается. Формулу (VII 1.22)
можно записать в виде
рк,п = , ”! рк (vi11.23)
Кп (п — k)\ r v
Вместо Ркп часто пишут просто Рк.
* Учебник [20], § 152, 155.
300
ЗАДА ЧИ
390. Монета бросается кверху 10 раз. Определить вероятность
того, что герб выпадет ровно 6 раз.
Решение
Здесь p = q = ±, п = 10, k = 6. По формуле (VIII.22)
Cl X6 z 1 х4 210
у) (т) = 1024 “°’205'
Сравните с решением задачи 373.
391. Игральную кость бросают 12 раз. Как велика вероятность
того, что ровно 2 раза вскроется грань с шестеркой?
392. При некоторых условиях вероятность попасть в цель рав-
на 0,5. Найти вероятность того, что из 8 выстрелов будет ровно
4 попадания.
393. Монету бросают кверху 5 раз. Определить вероятность
того, что герб появится: а) ровно 2 раза, б) не менее 3 раз, в) хо-
тя бы 1 раз.
Решение
Здесь р =-^, п = 5, k = 2.
^=QW = ^(|)‘=^
б) обозначая вероятность появления герба не менее 3 раз через
Р, находим по теореме сложения
в) вычитая из единицы вероятность противоположного события,
получим
394. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,4. Производится 3 выстрела по цели. Найти вероятность того,
что: а) не будет ни одного попадания; б) будет хотя бы одно попа-
дание; в) все 3 выстрела поразят цель.
395. Как велика вероятность получить ровно 3 раза отрицатель-
ную случайную ошибку при пятикратных измерениях одной и той
Же величины?
301
396. Одна и та же величина измеряется 8 раз. Найти вероят-
ность того, что положительная случайная ошибка: а) появится
ровно 5 раз, б) появится не менее 2 раз, в) появится столько же
раз, сколько и отрицательная случайная ошибка.
397. Одна и та же величина измеряется 6 раз. Вычислить ве-
роятность появления отрицательной случайной ошибки: а) ровно
3 раза, б) не более 2 раз.
§ 29. Вероятнейшее число а повторений события
при определенном числе испытаний*
Число а появлений события А называется вероятнейшим,
если вероятность осуществления этого события а раз в данной
серии испытаний наибольшая по сравнению с вероятностями осталь-
ных возможных исходов испытаний.
Вероятнейшее число а появлений события А в п независимых
испытаниях определяется из двойного неравенства
пр + — Q,
(VIII.24)
где а — целое число, находящееся между двумя положительными
числами, разность которых равна единице, то есть
{пр + р) — (пр — q) = р + q = 1.
ЗАДАЧИ
398. В данный промежуток времени орудие может выпустить
40 снарядов с вероятностью попадания 0,8 для каждого из них.
Найти вероятнейшее число попаданий за данный промежуток
времени.
Решение
Здесь и = 40, р = 0,8 и q = 0,2. По формуле (VIII.24) имеем
40 0,8 4- 0,8 > а > 40 • 0,8 — 0,2,
откуда
32,8 31,8,
следовательно,
а = 32.
Не следует думать, что вероятность ра должна быть велика.
Она наибольшая только относительно вероятностей остальных воз-
можных исходов испытаний.
* Учебник l'2O], § 153, 154.
302
399. Одна величина измеряется 20, а другая 25 раз. Определить
вероятнейшее число а появлений положительной случайной ошибки
в каждом случае.
400. Производится 7 испытаний. Вероятность положительного
2
исхода в каждом опыте равна у. Подсчитать вероятнейшее число
а положительных исходов и вероятность ра.
401. Решить предыдущую задачу, если производится 8 испы-
таний.
402. Сколько надо произвести независимых испытаний появле-
ния события А, чтобы вероятнейшее число осуществления этого
события было 450? Вероятность Р (Л) при каждом испытании рав-
2
на у.
403. Предполагается сделать 400 независимых испытаний осу-
ществления события А. Как велика должна быть постоянная веро-
ятность Р (Л) при каждом испытании, чтобы вероятнейшее число
появления события А было равно 150?
§ 30. Случайные величины. Математическое ожидание.
Дисперсия*
Случайные величины
Величина называется случайной, если в результате испы-
тания она может принять то или иное значение, причем заранее
не определенное.
Случайные величины, принимающие только отделенные друг от
друга значения, которые можно заранее перечислить, называются
прерывными или дискретными случайными величинами. На-
пример, стоимость выигрыша по вещевой лотерее будет дискретной
случайной величиной.
Случайные величины, возможные значения которых непрерывно
заполняют некоторый промежуток, называются непрерывны-
ми случайными Величинами. Например, случайные ошибки
измерений будут непрерывными случайными величинами.
Случайные величины обозначаются большими буквами, а их
возможные значения — соответствующими малыми буквами. На-
пример, X и Xi, х2,..., хп.
Поведение дискретной случайной величины можно характеризо-
вать таблицей распределения вероятностей (табл. 192) или гра-
фически — полигоном распределения. Ломаная линия такого поли-
гона соединяет точки, абсциссы которых соответствуют возможным
* Учебник [20], § 157, 158, 161, 111.
303
значениям случайной величины, а ординаты — вероятностям этих
значений.
Здесь х,- (/ = 1, 2,..., п) означает возможные значения случай-
ной величины X, a pt — вероятности этих значений, причем р{ О
п
и X р = 1. Имея таблицу или полигон распределения вероятностей,
можно подсчитать вероятность появления случайной величины в
любых заданных границах, вероятность ее значений, не превосхо-
дящих определенный (заданный) предел, и т. д.
Наиболее универсальной характеристикой дискретных и непре-
рывных случайных величин является функция распределения веро-
ятностей F (х).
Для непрерывных случайных величин
х
F(x) = P(X<x) = P(-^<X<,x)= f y(x)dx. (VIII.25)
—ОО
Функция F (х), называемая также интегральной функцией рас-
пределения, определяет вероятность того, что случайная величина
X при однократном испытании примет значение, меньшее произ-
вольного числа х.
Для непрерывных случайных величин существует дифференци-
альная функция распределения вероятностей, или плотность распре-
деления вероятностей у (х). Под плотностью распределения пони-
мается производная от функции распределения вероятностей
<Р(х) = Д'(х). (VI 11.26)
При этом предполагается, что функция F (х) для всех возмож-
ных значений х непрерывна и имеет непрерывную первую произ-
водную.
Кривая
J = <p(x), (VIII.27)
характеризующая поведение непрерывной случайной величины X.
называется кривой распределения вероятностей
этой случайной величины (см. рис. 36).
ЗАДАЧИ
404. Указать, прерывными или непрерывными будут следующие
случайные величины: а) число очков, выпадающее на верхней гра-
304
ни при бросании игральной кости; б) влияние угла наклона оси
вращения трубы на отсчет по лимбу при измерении горизонтальных
углов; в) число попаданий в цель при стрелковых соревнованиях.
405. Составить таблицу распределения вероятностей и построить
полигон распределения числа появлений отрицательной случайной
ошибки при трех измерениях.
Указание. Взяв произвольный отрезок за единицу, разде-
лить его на п равных частей и в полученных точках восставить
перпендикуляры, на которых отложить в принятом масштабе зна-
чения Рк_„ (по оси У на север). Соединив полученные точки между
собой, получим полигон распределения вероятностей.
406. Составить таблицу распределения вероятностей и постро-
ить полигон распределения вероятностей появления положительной
случайной ошибки при восьми измерениях.
Математическое ожидание. Дисперсия.
Важнейшей числовой характеристикой случайных величин явля
ется математическое ожидание случайной величины,
обозначаемое МО (X), М (X) или а.
Понятие математического ожидания дискретной случайной вели-
чины можно трактовать как весовое среднее, приписывая каждому
значению х; вес, равный вероятности этого значения
МО (X) = xrPi + x^+- ' + хпРп (VIII.28)
Pl + Ръ + • ‘ ' +Р п
Но так как
Pi + р2 + • +Рп = 1, то
МО (X) = х1Р1 4- х2р2 + • • + хпРп, (VII 1.29)
или
МО (X) == 2 хР,
1
(VIII.30)
Если в формуле (VIII.30) заменить отдельные значения не-
прерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятно-
сти Pi — элементом вероятности ср (х) dx и конечную сумму — ин-
тегралом, то получим формулу математического ожидания для
непрерывных случайных величин
-рое
МО(Х)= J* xtp(x)dx. (VIII.31)
—оо
Математическое ожидание является постоянным при данных
условиях числом (параметром распределения), вблизи которого
будут колебаться эмпирические средние арифметические х из на-
блюденных значений случайной величины.
20 Г. А. Бурмистров 305
Для характеристики рассеивания случайной величины вблизи ее
математического ожидания применяются, в основном, два пара-
метра.
1. Дисперсия, обозначаемая символом D(X) или а2
D (X) =МО (X — ау.
(VIII.32)
Значение дисперсии вычисляют по формулам
D (X) = £ ((%,- - а)2 А (VI11.33)
или
dx
(VIIL34)
соответственно для дискретных и непрерывных случайных величин.
2. Стандартное отклонение (или стандарт), обозна-
чаемое ах или просто о, есть корень квадратный из дисперсии,
взятый со знаком плюс
g= + j/D(X). (VI11.35)
ЗАДАЧИ
407. В табл. 193 дано распределение вероятностей прерывной
случайной величины. Вычислить ее математическое ожидание, дис-
персию и стандарт.
Таблица 193
Xi 3 6 9 12 15
Pi 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10
408. Найти вероятности, математическое ожидание, дисперсию
и стандарт суммы очков, выпадающих при бросании двух играль-
ных костей.
409. Вычислить математическое ожидание числа появлений со-
бытия при биномиальном его распределении (VIII.22).
410. Случайная величина X подчинена закону равномерного
распределения (VIII.36) на отрезке прямой от а до [j {о равномер-
ном распределении — см. учебник [201, § 177}
306
= ПРИ
(VIII.36)
<р(х) = О при х<а или х]>р
Найти математическое ожидание величины X .
§ 31. Применение теории вероятностей к ошибкам измерений*
Накопленный опыт измерений показывает, что при любых изме-
рениях неизбежно появляются случайные ошибки, величина и знак
которых при переходе от одного из измерений к другому изменяют-
ся совершенно случайно.
Для приложения теории вероятностей к анализу ошибок изме-
рений, необходимо потребовать, чтобы результаты измерений не со-
держали грубых, односторонне действующих и систематических
ошибок. Появление же случайной ошибки будем рассматривать как
событие, осуществлению которого соответствует определенное зна-
чение плотности вероятности, зависящей от величины ошибки А,
то есть
(A) =J. (VIII.37)
Вероятность попадания значения ошибки внутрь малого проме-
жутка (A, A -|- d А) или (А, А — d А) пропорциональна величине d А
p = cp(A)dA.
(VIII.38)
Пусть интервал (— А, -[-А ) разбит на ряд равных промежутков
длиной dA, тогда вероятность того, что значение ошибки попадает в
любой из этих промежутков, по теореме сложения вероятностей
равна сумме отдельных вероятностей. Если представить, что число
этих промежутков в интервале (—А, + А) неограниченно возра-
стает, той А является бесконечно малой величиной, а сумма будет
стремиться к интегралу. Таким образом, вероятность того, что при
однократном измерении появится одно из значений случайной
ошибки в пределах от — А до + А равна
+д
*Р_Д>+Д= J cp(A)iZA. (VIII.39)
—д
В пределах от —ос до вероятность появления любого зна-
чения ошибки является достоверностью. Поэтому
-(-оо
Д_ОС;+оо= J <p(A)dA=l.
—оо
(¥111.40)
* Учебник [20], § 166—177, 180, 187.
20*
307
Для определения вида функции у (Д) используется гипотеза
элементарных ошибок Хагена или постулат Гаусса о том, что веро-
ятнейшим значением из результатов нескольких непосредственных
равноточных измерений одной и той же величины является сред-
нее арифметическое из этих результатов. При этом оказывается,
что плотность вероятностей случайных ошибок имеет вид
h —h2&
= , (VIII.41)
]/ я
где h — параметр, называемый мерой точности. Чем больше h. тем
точнее измерения (рис. 36)*.
Известно, что
Л =----К=-, (VIII.42)
т J 2
а
т=-—. (VIII.43)
М'2
Вероятность того, что ошибка однократного измерения
окажется в пределах от А до Д -ф dk, согласно формулам (VIII.38)
и (VIII.41), будет
— Д2Д2
е d к.
(VIII.44)
Кривая, построенная по уравнению
h —h2№
У = ~^= е
Г
(VIII.45)
называется кривой нормального распределения вероятно-
стей, или кривой ошибок, или кривой Гаусса. При построе-
нии кривой распределения случайной величины по оси абсцисс от
кладывают значения случайной величины, а по оси ординат — зна
чения ее плотности вероятности (рис. 36).
Вершина В кривой ошибок имеет наибольшую ординату, аб-
сцисса точки ее перегиба равна средней квадратической ошибке
результата измерения, а ось абсцисс является асимптотой этой
кривой.
Согласно формулам (VIII.39) и (VIIL41), вероятность того, что
при однократном измерении появится ошибка, величина которой за-
* Рис. 36, 37 и табл. 201 заимствованы из учебника проф. П И. Шилова
[22], стр. 336—337, 345.
308
ключается между — А и Д, или, что то же, вероятность того, что
ошибка по абсолютной величине не превзойдет Д, будет равна
Р—д, ф-д
д
с
е d\. (VIII.46)
Поясним теперь понятие нормирования случайной величи-
ны. Нормирование состоит в переходе от случайной величины X к
ее отклонению от центра распределения МО (X), разделенному на
стандартное отклонение а
X— а х — а
а “ °
(VIII.47)
Математическое ожидание
равно нулю, а ее стандартное
нормированной случайной величины
отклонение равно единице.
Интегральная функция нормального распределения при перехо-
де к нормированной величине t принимает вид
t _ Р
F(Z)==P(X<a + Zc) = —Lz f е 2 dt,
у 2п J
—оо
(VIII.48)
а дифференциальная функция распределения вероятностей будет
= ~7==е 2
(VIII.49)
309
Функция (VIII 49) дает значения ординат кривой нормального
распределения в точках
.__д
/ = Л Д JА2 = — . (VIII.50)
Соотношение (VII1.50) означает, что ошибки А выражаются в
долях средней квадратической ошибки т.
Нормирование распределения приводит к перенесению начала
координат в центр распределения и к выражению абсциссы в долях
средней квадратической ошибки.
Вероятность получения ошибки по абсолютной величине между
нулем и i-кратной средней квадратической ошибкой определяется
удвоенной величиной нормированной функции Лапласа
t +t
Ф (t) - г— f е 2 dt= f е 2dt. (VIII.51)
Т/ 2п J 1/ 2к J
О к — t
Связь функций F (t) и Ф(^) выражается формулой
Ф(0 = 2Г(0-1. (VI 11.52)
Значения функций F (/), (t) и Ф (t) вычислены и сведены в
таблицы. Одна из таких таблиц дается в приложении к учебнику
проф. А. С. Чеботарева [20], стр. 588.
Часто пользуются также таблицей значений интеграла ошибок
(интеграла вероятностей или функции Лапласа)
Ф(£) = —= f е 8 dg=^=. fe 8 dg, (VIII.53)
1/ К J V Т. J
~g О
где
g- = /zA. (VIII.54)
Таблицы интеграла ошибок имеются, например, в работах [19.
стр. 460 и [16], стр. 354.
Интеграл ошибок позволяет вычислить вероятность появления
ошибки в пределах от —А до +Д или, что одно и то же, вероят
ность того, что ошибка по абсолютной величине не превзойдет Д.
Пользуясь любой из перечисленных таблиц, можно решать разно
образные задачи. В приложении 1 даются таблицы функции Ф (О,
при помощи которых будут решаться все последующие задачи.
ЗАДАЧИ
411. Средняя квадратическая ошибка результата измерения при
некоторых условиях равна +2,9 мм. Написать выражение плотно-
сти нормального распределения вероятностей.
Решение
1
х 0,244 — 0,0595 А2
h =----±= = 0,244, <р(Д) = -+±-=-е
2,9 2 /к
310
412. Решить предыдущую задачу, если т = + 3",5.
413. Найти вероятность того, что ошибка измерения Д не прев-
зойдет по абсолютной величине среднюю квадратическую ошибку т.
Решение
Порядок решения задач такого типа:
1) Определяют t по формуле (VIII.50).
t = hmi/ 2—h------12 = 1.
/г^2 '
2) По найденному аргументу t в первом столбце таблицы функ-
ции Ф (t) (см. приложение 1) находят искомую вероятность
р = 0,6827.
Если пользоваться таблицами функции F (/), то для t = 1 вы-
бирают значение функции, равное 0,8413. Применив затем формулу
(VI1I.52), находят нужную вероятность р = 0,6826.
Решая ту же задачу по таблицам интеграла вероятностей, нахо-
дят сначала g по формуле (VI 11.54)
g = hm — h-----— 0,707.
/г/ 2 / 2
По вычисленному значению g = 0,707 находят искомую вероят-
ность р = 0,6826. Расхождение в последнем знаке произошло вслед-
ствие ошибок округления и не имеет практического значения.
414. Определить вероятность того, что ошибка измерения Д не
превзойдет по абсолютной величине следующих пределов:
1) 1,25 m; 2) 1,50 m; 3) 1,75 m; 4) 2,00 m; 5) 2,25 m;
6) 2,50 m; 7) 2,75 m; 8) 3,00 m; 9) 3,25 m; 10) 3,50 m.
Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если
всех ошибок 1000.
415. При некоторых условиях инструмент обеспечивает среднюю
квадратическую ошибку измерения угла т = + 10". Найти вероят-
ность того, что при измерениях этим инструментом в тех же усло-
виях ошибка по абсолютной величине не превзойдет 6",0.
416. По результатам нивелирования вычислена вероятная ошиб-
ка на 1 км хода г = + 2,0 мм. Определить вероятность того, что
средняя ошибка на 1 км хода при нивелировании в таких же усло-
виях окажется не более ,4,0 мм.
417. Найти вероятность появления ошибки в пределах от —10
до +10", т. е. Р (|Д|<^ 10"), если т = +15".
418. В каких пределах (—х; +х) можно с вероятностью 0,495
ожидать появления ошибки, т. е. Р ( | Д | <2 х) = 0,495, если
т = +15"?
311
419. Определить вероятность появления ошибки измерения, аб-
солютная величина которой окажется в пределах от 4 до 6", т. е.
Р (4" ?С| Д | ++>"), если т = +Ю".
Решение
Искомая вероятность рм = р0,ч — ро,л (см. [20], стр. 520, рис. 63).
Подсчитаем величины t\ = , t9 = ~ и р, =—^— = 0,282
ш -3 io 01 ю /2 ’
g2 = —^т= =0,424.
2 10/2
По таблицам функций Ф(^) и Ф(£) находим соответственно
Ф(У = 0,311; Ф/2) = 0,452; Ф(^) = 0,310; Ф(£2) = 0,451.
Искомая вероятность равна 0,141 (по обеим таблицам).
420. Средняя квадратическая ошибка равна +12 мм. Устано-
вить вероятность того, что ошибка измерения по абсолютному зна-
чению превысит 30 мм.
421. Вероятность того, что ошибка по абсолютной величине не
превзойдет 4",0 равна 0,823. Вычислить вероятную и среднюю
ошибки.
422. Вероятность появления ошибки в пределах от —10 до
+ 10" равна 0,95, то есть
Р(| Д |< 10") = 0,95.
Вычислить среднюю квадратическую ошибку.
423. В каких пределах (—х; -|-х) можно с вероятностью 0,754
ожидать появления ошибки, если вероятная ошибка равна +12 мм?
424. Вероятность появления ошибки в пределах (—5",0; +5",0)
равна 0,75, т. е. Р (| Д | / 5",0) = 0,75. Вычислить среднюю и
вероятную ошибки.
425. Найти вероятность появления ошибки в пределах (—6,0 мм-,
+6,0 мм), если вероятная ошибка равна +2,0 мм.
426. В каких пределах (—х; +х) можно с вероятностью 0,683
ожидать появления ошибки, если средняя квадратическая ошибка
равна +5",0?
427. Вероятность появления ошибки в пределах (•—10 мм;
+ 10 мм) равна 0,89. Определить среднюю и вероятную ошибки.
428. Средняя квадратическая ошибка равна +13". Определить
вероятность того, что ошибка измерения по абсолютной величине
будет заключаться в пределах от 10 до 20".
429. Вероятная ошибка равна +2,4 мм. Найти вероятность то
го, что ошибка измерения по абсолютной величине будет находить
ся в пределах от 1,0 до 5,0 мм.
430. Средняя квадратическая ошибка равна +12 мм. Требуется
определить величину такой ошибки, для которой большие по абсо-
лютной величине ошибки имели бы вероятности 1,0%; 0,2%; 0,1 %-
312
Решение
По условию задачи
1 — р1 = 0,01
1—р2 = 0,002 ,
1—р3 = 0,001
По таблицам Ф (t)
рг = 1—0,01 = 0,99
откуда р2 = 1 — 0,002 = 0,998
р3= 1 —0,001 = 0,999
находим
6 = 2,577; 6 = 3,1; 6 = 3,3.
Определяемые величины ошибок найдем из соотношения
(VIII.50)
— mti = + 12 • 2,577 = + 30,9 мм; Д2 — 37,2 мм; Д3 = + 39,6 мм.
431. Средняя ошибка •& = 4",0. Определить величину такой
ошибки, для которой большие по абсолютной величине ошибки
имели бы вероятности 31,73%; 4,55%; 0,27%.
432. Средняя квадратическая ошибка отдельного измерения
равна +3",0, число измерений 100. Найти вероятнейшее число
ошибок, абсолютные значения которых заключены в пределах:
1) от 0",Q до 2",0 4) от 6",1 до 8",0
2) „ 2 ,1 „4 ,0 5) „ 8 ,1 „ 10 ,0
3) „ 4 ,1 „6 ,0 6) „ 10 ,1 „ 12 ,0
Указание. Найти 6 (или £,), а по ним соответствующие р,
для всех шести наибольших пределов. Число ошибок от нуля до
предела с номером i равно п,р,. Затем составить разности после-
дующего и предыдущего произведений пр. См. также решение за-
дач 419 и 434.
433. Средняя квадратическая ошибка отдельного измерения
равна к+2",0, число измерений 150. Установить вероятнейшее число
ошибок в пределах:
1) от 0",0 до 1",0;
2) „ 1 ,1 „2 ,0;
3) „ 2 ,1 3 ,0;
4) „ 3 ,1 „4 ,0;
5) от 4", 1 до 5",0;
6) „ 5 ,1 „6 ,0;
7) „ 6 ,1 „7 ,0.
434. Испытать, подчиняется ли ряд ошибок 50 равноточных из-
мерений (табл. 194) закону Гаусса.
Решение
Располагаем данный ряд ошибок в порядке возрастания абсо-
лютной величины ошибок (в табл. 194 они уже так и расположе-
ны) и подсчитываем сумму абсолютных величин ошибок и сумму
их квадратов.
313
I
Таблица 194
№ по пор. Д, мм Д2 № по пор. Д, мм Д2
1 0,00 0,00 26 +0,67 0,45
2 +0,02 0,00 27 +0,71 0,50
3 —0,02 0,00 28 —0,72 0,52
4 —0,05 0,00 29 +0,82 0,67
5 +0,15 0,02 30 —0,83 0,69
6 —0,15 0,02 31 —0,91 0,83
7 +0,15 0,02 32 +0,92 0,84
8 —0,17 0,03 33 +0,93 0,86
9 +0,17 0,03 34 +0,95 0,90
10 —0,22 0,05 35 —0,95 0,90
11 +0,25 0,06 36 +0,98 0,96
12 —0,25 0,06 37 +1,12 1,26
13 —0,28 0,08 38 —1,15 1,32
14 +0,36 0,13 39 +1,18 1,39
15 —0,50 0,25 40 +1,27 1,62
16 +0,50 0,25 41 —1,28 1,64
17 —0,50 0,25 42 +1,29 1,66
18 —0,51 0,26 43 —1,30 1,69
19 —0,52 0,27 44 —1,40 1,96
20 +0,56 0,31 45 +1,45 2,10
21 —0,56 0,31 46 —1,46 2,13
22 —0,58 0,34 47 —1,55 2,40
23 +0,65 0,42 48 +1,56 2,43
24 —0,66 0,43 49 +1,65 2,72
25 +0,66 0,43 50 —2,43 5,91
25 2|Д| 1 8,44 50 г|Д| 26 29,48
50 2|Д| 1 37,92 50 2 Л2 = 42,37 1
314
Затем вычисляем:
1) Среднюю квадратическую ошибку одною измерения
J _ /42,37 ,
m — -+-1 / —=— = + 0,92g мм
ои
и ее ошибку
0 92
т --- + —_ ' = + 0,09о мм.
т ~ /2-50 —
2) Среднюю ошибку
„ 37,92 п
Э- = = 0,76 мм.
оО
3) Среднюю квадратическую ошибку, вычисленную по средней
ошибке
т = + 1,25 «= + 1,25 -0,76 = + 0,95 мм.
4) Вероятную ошибку
2 2
г = 0,6745 т =- т = + -= • 0,92 = + 0,62 мм.
О о
Вероятная ошибка приближенно определяется как срединная из
данного ряда ошибок, расположенных по возрастанию их абсолют-
ных величин.
Срединная ошибка г = + 0,66 мм.
5) Среднее арифметическое из ошибок
^=+£*=+(W4.
6) Наибольшую ошибку, получаемую по правилу Шарлье (см.
приложение 2 и [20], стр. 525), находим как
+ 2,33 • 0,92 = + 2,14 мм.
7) Предельную ошибку
‘^пред==^ т == i 3 0,92 = + 2,76 + 2,8 мм.
В табл. 195 производится фактическое распределение ошибок
по интервалам через 0,5 мм их величины.
Одна ошибка, равная 0, отнесена к положительным ошибкам.
Для получения теоретического распределения ошибок по интер-
валам, равным 0,5 мм их величины, необходимо выразить интервал
dH= 1 в долях средней квадратической ошибки т = + 0,925 мм
dk = (1 : 0,925) т= 1,0811m,
0,5 Д = 0,5406 m.
315
Таблица 195
Интервалы для абсолютных вели- чин ошибок, мм Число ошибок Всего
положитель- ных отрицатель- ных
0—0,50 7+1 9 17
0,51 — 1,0 10 9 19
1,01—1,5 5 5 10
1,51—2,0 2 1 3
2,01—2,5 0 1 1
2,51—3,0 0 0 0
Сумма 25 25 50
Имея эти данные, в табл. 196 для выбранных интервалов 0,5 (/А;
1,0 rf A; 1,5(ZA; 2,0iZ A; 2,5dA; 3,0(ZA вычисляем значения t. По этим
значениям t находим из таблицы функции Ф (t) (см. приложе-
ние 1) вероятности р появления абсолютного значения случайной
ошибки в пределах (0; tm), после чего вычисляем произведения
пр = 50 р и разности между последующими и предыдущими про-
изведениями.
Таблица 196
Интервалы для абсолютных величин ошибок Р 50 р Разности
В мм в долях т
0—0,5 0—0,541 0,412 20,6 20,6
0—1,0 0—1,081 0,720 36,0 15,4
0—1,5 0—1,622 0,895 44,8 8,8
0—2,0 0—2,162 0,969 48,4 3,6
0—2,5 0—2,703 0,993 49,6 1,2
0—3,0 0—3,243 0,999 50,0 0,4
Сумма 50,0
316
Разности в последнем столбце табл. 196 представляют собой
теоретическое распределение ошибок по их величине через 0,5 мм,
соответствующее закону Гаусса.
В табл. 197 дано сопоставление теоретического и фактического
распределения ошибок исследуемого ряда.
Таблица 197
Интервалы для абсолютных вели- чин ошибок, мм Число ошибок Разности
теоретическое фактическое
0—0,5 21 17 +4
0,51—1,00 15 19 —4
1,01—1,50 9 10 —1
1,51—2,00 4 3 +1
2,01—2,50 1 1 0
2,51—3,00 0 0 0
Сумма 50 50 0
Сопоставление между собой результатов вычислений по пунк-
там 1—7 и табл. 197 дает некоторое основание говорить, что дан-
ный ряд ошибок подчиняется закону нормального распределения.
Для построения кривой ошибок, характеризующей исследуемый
ряд, выбираем из табл. 113 учебника [201, стр. 519 значения орди-
нат, располагая вычисления в табл. 198.
Таблица 198
№ точек Абсциссы t = — т У
1 Д = 0 0,00 0,399
2 А = т 1,00 0,242
3 Д = 1,5 т 1,50 0,130
4 А = 2,0 m 2,00 0,054
5 А — 2,5 т 2,50 0,018
6 Д = 3,0т 3,00 0,004
317
По этим данным строим кривую ошибок При отсутствии таблиц
ординаты можно вычислить с помощью логарифмов по формуле
(VIII.45).
435. Испытать, подчиняется ли ряд невязок 68 треугольников,
приведенный в задаче 1, закону Гаусса, интервал взять через 0",5.
436. То же, для ряда невязок 43 треугольников (задача 2).
437. То же, для ряда невязок 31 треугольника (задача 3).
438. То же, для ряда невязок 32 треугольников (задача 4).
439. То же, для ряда невязок 29 треугольников (задача 5).
440. То же, для ряда невязок 61 треугольника (задача 6)
§ 32. Ответы к нерешенным задачам
(Номер варианта задачи указан цифрой со скобкой. Ответы
даны в порядке условия задачи).
2. m = +l",05; т= + 0",11; 0- =М1 = 0" 79; г = + О",56
(22-я ошибка данного ряда, если расположить ошибки по воз-
4
растанию их абсолютных величин); S- = у |/га| = 0",84; г =
= 4- т = + 0",7'0; ДППРП = 3 m = + 3",2. Свойства случайных
ошибок подтверждаются, проверка — как в задаче 1.
3. т = + 1",21; т= + 0",15; & = = 1",01; г = + 0",90
(16-я ошибка, если расположить данный ряд ошибок по воз-
4
растанию их абсолютных величин); = -^|т| = 0",97; г =
= у пг = + 0",80; Дпред= 3 т = + 3",6. Свойства случайных
ошибок подтверждаются, проверка — как в задаче 1.
4. т = +Г',10; тш= + 0",14; б-= Цу = 0",88. Если располо-
жить ошибки по возрастанию их абсолютных величин, то в ка-
честве вероятной ошибки может быть взята 16-я ошибка
(—0",73) или 17-я ошибка (—0",76); г! = у |/га|= 0",88;
г — у т = + 0",73; Дпред= 3 т — + 3",3. Свойства случайных
ошибок подтверждаются, проверка — как в задаче 1.
5. т = +1",35; т= + 0" ,18; S- = = 1",12; г = + 0",83
(15-я ошибка данного ряда, расположенного по возрастанию
абсолютных величин ошибок); $ = у \т\ = 1",08; г = уШ =
= + 0",90; Дпред= + 4",0. Свойства случайных ошибок под-
тверждаются, проверка — как в задаче 1.
318
6. m = ±0",92; m= + 0",083; ^ = ^-=0" 75; r = + 0",73
(31 -я ошибка данного ряда, расположенного по возрастанию
4 2
абсолютных величин ошибок); &= у|т|= 0",74; г~-^т =
= ± 0",62; Дпред= ± 2",8. Свойства случайных ошибок под-
тверждаются, проверка—как в задаче 1.
11. +9,65 м.
12.
Р
13. +0,32 м.
17. +1,0 мм.
18. +22",4.
19. +6,1 см.
21. ±Г,5)+/1.
22. ±0",57.
23. ±0",61; ±0",70; +0",64; ±0",78; ±0",53.
24. т = ±
25. — 0,405 м + 7,6 мм.
26. mH=j/2n-
27. ±0',5.
28. 4~ 15,8 мм.
29. ms ... ' т on гот
• р I/ г, 1ДС|1 V1Y1. Z.V у чсипилй LZ'VJJ- 1/ а
30. 1) +24",5; 2) +22",8; 3) +22",5; 4) ±19",7; 5) ±25",0;
6) ±23", 2; 7) ±23",6; 8) ±23",0; 9) ±24",5; 10) ±25",8.
31. 1) +5,2 мм\ 2) ±4,5 ММ', 3) ±5,9 мм; 4) ±6,7 мм;
5) 4+7,5 мм\ 6) ±8,3 мм; 7) ±6,6 мм; 8) ±6,4 мм;
9) +5,5 мм\ 10) ±4,3 мм.
32. 1) +0,27 м} 2) ±0,34 ж; 3) ±0,39 м; 4) ±0,42 м; 5) ±0,50 м;
6) 33. 1) +0,50 м} 7) _J_ ±0,53 м; 8) ±0,59 м; 9) ±0,64 ж; 10) ±0,67 ж _ц_ 1 1 . 4Л _i_ 1 . ЧЛ _1_ 1 •
— 4000 ’ — 2400 ’ ' — 2200 > ’ — 2300 ’ ’ — 2200 ’
±2600’ 7) ±2700; —2200 ’ ±3400’ —3400 ’
34. +0,25 Л
36. 1) ±1',39; 2) ±1',44; 3) ±1',68; 4) ±1',45; 5) ±Г,40;
6) ±Г,42; 7) ±Г,63; 8) ±1',56; 9) +Г.58; 10) ±1',39.
37. 1) +15,9 мм; 2) +16,9 мм', 3) +18,6 мм; 4) +16,3 мм;
5) +18,2 мм; 6) +^16,6 мм; 7) 4+9,2 мм; 8) +15,4 мм;
9) +20,1 мм; 10) +21,5 мм.
319
39. ^ = ^=4^+4^; тл = й-
40. /га„ = km ]J п.
41. 1) /п„2 = 4/ге12+А^ + т^з2;
2) т,2 = 4 mJ + mJ + mJ;
3) mJ = mJ + m? + А т*’
4) mJ = 4 mJ + mJ + 4 mJ;
5) mu = 4 mJ + 4 mJ + 4
6) mJ = ~ mJ + ^mj+ ~ mJ;
7) mJ = ^mJ + fGmJ + ^mJ;
8) mJ = mJ + - mJ + mJ;
9) mJ = 4 mJ + й Й m*>
10) mj = ^mjj-^mj-j^mj;
48.1) 199,56 м + 0,134л/; 2) 133,53 м + 0,106 м; 3) 1018,40л/ +
+ 0,131 м; 4) 326,39 л/ + 0,070 м; 5) 412,00 л/ + 0,125 м;
49. 6) 285,46 л. + 0,039 м; 7) 185,35 м + 0,156 м; 8) 527,30 л/+
+ 0,149 л/, 9) 280,79 м + 0,088 м; 10) 327,26 м ± 0,066 л/.
51. 1) А х = + 192,22 л/ + 0,068 м; 58,77 м + 0,060 м;
2) Дх = + 185,78 л/ + 0,088 м; ^У = + 71,32 м + 0,079 м;
3) Дх = + 148,14 л/ + 0,080 м; Sy = + 115,74 м + 0,084 м;
4) Дх = + 153,21 м + 0,073 м; ^У = + 128,56 м + 0,069 м;
5) Дх = + 171,92 л + 0,133 м; Sy = + 111,65 м + 0,088 м;
6) Дх = + 131,34 м + 0,066 м; ^У^ + 106,36 ж+ 0,070 л;
7) Дх = + 100,38 м + 0,048 м; ^У = + 87,25 м + 0,049 м;
8) Дх = + 201,84 ж + 0,128 м; ^У = + 126,12 м + 0,120л,
9) А х = + 204,48 м + 0,055 м; \у = + 66,44 м + 0,074 м;
Ю) Дх = + 109,41 л/ + 0,068 м; ^У^ + 82,45 м + 0,071 л;
320
53. h' + mh':
1) — 46,14 л+ 0,118 л; 2) + 51,87 м + 0,141 м\
3) — 25,59 м + 0,083 м; 4) — 15,92 л + 0,049 л;
5) + 83,65 м + 0,233 м; 6) — 6,42 м + 0,027 л;
7) + 76,42 м± 0,341 м- 8) — 47,32 л + 0,177 л;
9) + 34,67 м + 0,099 л; 10) — 45,03 м + 0,061 м.
Л ±mh:
1) —42,28 м + 0,118 м; 2) + 55,72 м + 0,141 л;
3) —21,74 м + 0,084 м; 4) — 12,07 л + 0,050 л;
5) +87.50 м + 0,233 м; 6) — 2,56 л + 0,029 л;
7) +80,28 л+ 0,341 л; 8) — 43,46 м + 0,177 м;
9) + 38,53 м + 0,099 л; 10) — 41,17 л + 0,062 л.
55, ±9200’ ±12 800 ’ 3) ± И 700 ’ 4) ±19700 ’ ±9900’
± 16 700 ’ 7) ±14500 ’ 8) ± 13600 ’ 9) ± 24 100 ’ 10) ±10 800'
56. В единицах седьмого знака логарифма: 1) 434; 2) 2284;
3) 2712; 4) 362; 5) 1973; 6) 1736; 7) 1607; 8) 289; 9) 217;
10) 1447.
___ v-6
57. 1) гаги2 = {3х2], у + sinz}2-/ra/ + — tn^xAcos~z-m^
{1 4 г I2 1/ +
++)+ C°s»(4«)} •m«2 + 43^-m/ +
+_1^Ц.тЛ
cos4 (4 xz) z
4) mu = j'у - -1- cos±| • mx2 + • /ray2 +
, (x xl2 2
+ ^-gC0S —1 -rraz2;
| г2 z J z
5) /га,2 = — Зга3 (% + 2) In ral • гаг,2+ -±-5 • /га2 +
(jr у J x * 4 j'8 y
+1— 3 a 3 (x + z) In al • /гаг2.
21 Г. А, Бурмистров
321
58. 1) 144,24 ж2 + 0,132 ж2; 2) 707,75 ж2 + 2,8 ж2;
3) 13 962 м2 + 19,3 л/2: 4) 16 744 ж2 + 27 м2;
5) 45 242 м2 + 28 м2.,
61. 1)/га. = + 20 гл; ^ = + —L-; т.< — +О',61;
/ f _ s — 600
2) т.=Ч- 17,Зел/; — = + JLr; /га, =+0',49;
' s 900
3) т = + 16,2 см; — = + -Д-; т, = + О',34;
' s s 800
4)/га = +8,0 еж; — = + -5^; /га, = +О',35;
/ s 5 1800
5) т = +15,1 см; — = + т=+, /га, = +О',42;
5 ~ s 1200
6) /га = +17,8 см; — = + . Д...; /га, = + О',43;
' s 1300
7) ms= ±10,1 см; ^ = ±^; /га,= + 0',24;
8)/га = + 27 см; = /га, = + 0',39;
' 8 s 900
9) ms = ± 13,5 см; m^ — d:0',19;
10)/га, = + 23 см; — = + -Д-; mv — + О',40.
' s — s 1000
63. 1) 160,092 м + 14,7 мм; т = + 5,1 см + 1,09 см;
-1_==+_L_- _1_-+
л;тд - 3400’ Ncpefl - 10 700
64. га = ^ = 9.
66. 1) 69°44'16",6 + 0",29; т = + 1",00 + 0",21.
67. 1) 13; 2) 23; 3) 19; 4) 15; 5) 13; 6) 15; 7) 4; 8)
9) 2; 10) 4.
68. 1) 40,87 см2 + 0,081 см2, т = + 0,28 см2 + 0,060 см2.
322
69. 1) 28,1762 см A- 0,0012 см; = 4---------£___•
Чред ~ 23500 ’
т = + 0,0041 см + 0,00087 см; -J— = 4- —V ;
— ~ Non — 6900 ’
70. 1) + 11",1; 2) +6",6; 3) +9",9; 4) + 11",3; 5) +6" 9'
6) +8",4; 7) +7",8; 8) +4",9; 9) +6",0; 10) +5",4.
73. +13,0. ~
74. +13,4 мм.
75. +Г,0.
76. 1) т ]/ 2; 2) 2mj/2; 3) 2m.
77. +5",О.
78. a) mlt = mx-xxi 1 + 1п2х; б) та = ±ху • у^^тх2ААп2х-туэ;
в) tn„ = ± ] ctg2 х• mx2 + ctg^j'-m/;
79. +30 мм.
80. +2',5.
82. +21,7 м2.
83. mi = + 4,5
СМ’ N1~± 2200 5
m2 = + 6,3 см,
Ч ±3200’
1
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
т = 4- 7,8 см, ~ = 4- --А -
4 ~ ’ Ns — 3900
+0,00125 м.
тА=т^, m2 = m₽j/2, m3 = m₽j/X.
1) +6,3 мм; 2) +2,8 мм.
+2,5 м.
т( = + 4,1 мм; т2== + 2,1 мм.
тР = ±-\/г{у2 — vj2 тс2 + С2 (т22 + mj2).
те== + 9,1 мм2; т0 5 J = + 4,6 мм2.
9.
+0,192 см.
25 452 м2 + 8,9 м2.
тп = т^]/~ п.
94. ms = ±yl/ ctg2-^- .m2 + ^-/2csc4^.^f .
2 к 4 2 р2
95. 4,63 м3 + 0,64 м3.
96. +11,6лЛ
97. +0,029 м.
21*
323
98. ±0,19 м.
99. с = 599,70 м ± 0,23 м\ ~4~ q^qq '
100. 305,51 м ±0,154 м.
101. 154,09 м ±0,083 м.
102. 28 056 м2 + 50 м2.
103. 936,144 м ±0,041 м.
104. 5", 15 + 0",27.
105. 179,233 м ±0,065 м.
106. ±0,31 мм.
107. а) та = ±0,188л; т^=±0,071л; б) т = ±0,092 л.
108. 48,296 м + 0,050 м; ошибка измерения угла наклона в 15- не
отразилась на ошибке горизонтального проложения.
109. ±4,0 л3.
+13 т
ПО. 1) 5 m; 2) т]/ 17; 3) т^-^—; 4) 5)^]/±;
6) т | rz2 + z22; 7) ~ ] r z 2 ± z2;
9)т|/Л 16Z12+ W + -*- •
111. ±3",0.
112. 79°43'37",07 ± 0",87; т = ± 3",0 ± 0",64.
113. 1) т=9",7+ 1",55; 2) +3",1.
114. +12,4лл.
115. п\ = 4; «2 = 9; п3 = 16.
119. п.
120. 1,25.
122. ±5",0.
125. 1) ±7",,3; 2) +7",6; 3) ±9",2; 4) +9",5; 5) +7",4; 6) +9",2;
7) +6",1; 8) +4",6; 9) +8",8; 10) +8",6.
126. 1) 1; 2) 5; 3) 1; 4) 1; 5) 1; 6) 1; 7) 1; 8) 1; 9) 1; 10) 1.
127. 1) +2,8 и +2,0; 2) +2,2 и +1,5; 3) +2,5 и ±2,1; 4) +1,1
и ±1,6; 5) +4,5 и +7,1; 6) +1,9 и ±1,5; 7) +4,0 и +3,1;
8) ±3,0 и +2,4; 9) +4,1 и +3,5; 10) +6,0 и +3,8.
128. 7.
324
130. 1) 271,7273 л/+ 2,2 мм; р 16 = + 4,0 мм + 1,26 мм;
2) 271,7276 л/±2,2 мм; р.50 == + 7,3 мм + 2,3 мм;
3) 271,7278 л/+ 2,1 мм; р ю = + 3,5 мм + 1,11 мм;
4) 271,7277 м + 2,2 мм; р ю = + 3,8 мм ~}~ 1,20 мм;
5) 271,7276 м + 2,1 мм; Рю = + 3,7 мм + 1,17 мм;
6) 271,7279 м + 2,0 мм; рю — ± 3,8 мм + 1,20 мм;
7) 271,7284 м + 1,80 мм; Рао — + 4,7 мм + 1,48 мм;
8) 271,7263 м + 2,4 мм; Рю = + 3,7 мм + 1,17 мм;
9) 271,7260 л/±2,4 мм; р ю = + 3,9 мм + 1,23 мм ;
10) 271,7276 м + 2,1 мм; рю = + 4,2 мм + 1,33 мм.
132. 1) 70,50 см2 + 0,088 см2; 3) 70,49 см2 + 0,086 см2;
4) 70,50 см2 + 0,086 см2; 5) 70,53 см2 + 0,072 см2.
133. 1) 480,1290 л/ + 2,3 мм; Рюоо == + 6,2 мм + 1,46 мм;
2) 480,1290 л/ + 2,3 мм; Рзооо = + 8,8 мм + 2,1 мм;
3) 480,1298 м + 2,3 мм; Рюоо — + 5,3 мм + 1,25 мм;
4) 480,1295 л/ + 2,4 мм; р25оо = + 8,8 мм + 2,1 мм;
5) 480,1294 л/ + 2,4 мм; Рюоо — + 5,4 мм + 1,27 мм;
6) 480,1297 л/ + 2,3 мм; р2воо ==: + 8,7 мм + 2,0 мм;
7) 480,1294 м + 2,2 мм; рюоо — + 5,5 мм + 1,30 мм;
8) 480,1294 л/ + 2,1 мм; Рюоо — + 6,0 мм + 1,41 мм;
9) 480,1295 м + 2,1 мм; р.чоо = + 4,1 мм + 0,9/ мм;
10) 480,1298 м + 2,2 мм; Р5оо — + 4,4 мм + 1,04 мм.
135. 1) 74°36'10",4± 1",32; р4 = + 3",8 + 1",20.
137. 1) 64°27'27",9± 1",40; при р = ~ ; р = + 1",99 + 0",63;
2) 64°27'27",7 ± 1",48; при р = п; р= ± 8",4 ± 2",6.
138. 174 ,3682 м +2,4 мм; - р10 = = +2,4 мм +0,76 мм; тст==±0,76 мм.
139. 174 ,3682 м + 2,4 мм для всех 10 вариантов.
140. mCT = + 0,77 мм; ткм = ± 2,4 мм.
141. 1) тСТ — ± (),84 мм; ткм = -р 2, / мм.
144. 1) ±0',52±0',11; 3) + О',46 ± О',092; 4) ± О',52 ± О',! 1.
146. 1) 273,6485 м + 3,1 мм; 9ioo= + 4,7 мм + 1,48 мм.
151. 2.
152. 12.
153. 4 5“
325
155. 3,6 и 4,0.
156. — = £2 —.
Ри Р
157. у.
158. 1) 0,186; 2) 0,118; 3) 0,055; 4) 0,027; 5) 0,050; 6) 0,089;
7) 0,052; 8) 0,032; 9) 0,046; 10) 0,017.
159. 1) pi — 1,00; р2 = 2,16; р3 = 0,685; 2) pi — 1,00; р2 — 0,808;
рз = 0,446; 3) pi = 1,00; р2 = 0,376; р2 = 0,274; 4) pi = 1,00;
р20,393; рз = 0,282; 5) р, = 1,00; р2 = 0,031; р3 = 0,030:
6) pi = 1,00; р2 = 0,243; р3 = 0,194; 7) pi — 1,00; р2 = 0,643;
Рз = 0,605; 8) pi = 1,00; р2=10,6; р3 = 0,914; 9) pi = 1,00,
р2= 14,1; р3 = 0,935; 10) Р1 = 1,00; р2 = 0,510; р3 = 0,484
160. р4=-^; ± 5",0.
О
161. 5,0.
162. 8,0.
163. 1,58.
164. 1) 24; 2) 22; 3) 20; 4) 23; 5) 28; 6) 20; 7) 13; 8) 24;
9) 5,0; 10) 8,0.
165. Вес длины окружности равен а вес площади круга
166. 1) 0,0104.
167. 1) 5,0; 2) 2,5; 3) 8,8; 4) 17,6; 5) 11,4.
168. 1) 0,020; 2) 0,010; 3) 0,010; 4) 0,010; 5) 0,0080; 6) 0,011;
7)0,011; 8) 0,010; 9) 0,0089; 10) 0,0080.
169. 1) 0,050; 2) 0,010; 3) 0,010; 4) 0,020; 5) 0,011; 6) 0,0071:
7) 0,010; 8) 0,010; 9) 0,010; 10) 0,010.
170. +1',0.
171. mi = ± 5",0; т2 = + 3",3; т3 = + 2",5;
172. 2,0.
173. 3,0.
174. [р]. Указание. Развернем х : х = Zr|- ~ Z2 ф- • - • -f- 1п и
применим формулу (11.33).
175. Если pi = 1,0, то р2 = 4,0.
176. = 0,40; р2 = 0,50; р3 = 0,44; р4 = 0,36; рБ = 0,32.
177. 5,0.
178. 6,0.
179. 1800 М.
180. 9.
181. 8.
182. 63°21'21",2 + 3",0.
183. 18.
326
184. 199 3775 м + 2,7 лш; р26— ±5,0 мм ± 1,58 мм; ткм = ±1,0 мм.
185. 55°45'38", 18 + 0",21.
186. 55°45'35",75 + 0",169.
187. p-у=== + 3,9 мм ~4~ 0,62 мм; iricm == ~4~ 1,31, т-км + И, 1 мм,
188. 102°04'20"; pi = 1.
189. 154,09 м + 0,083 м; ра = 0,064.
190. 2.
192. 7,5.
193. 10 и — — k2n— -
Р Р
4
194- тт •
5
, 5",0 . 8",0 , „„
195. Решение: mi = ±-7=; m2 = + y== = ±2
i/20 у16
25
р = ± 5",0, следовательно, pi = 20, р2 = у»
10° _ л о
и Ру — 21 — 4>8.
р3 = 2и Л43 = ± 2",4;
2 -5 -18
Pi —у, Р2— 8 ’ Ps — 25'
8,0.
; по условию
PY 20 25
_ 21
~~ 100
196.
197.
198.
199.
тц -Ш z j \ 2
и Ри =
200. у-
20 V, 0,025.
202. b = 586,87 м + 0,065 м; рь = 0,59; с = 676,33 м ± 0,075 м;
рс = 0,44.
203. mh— ± 0,035 м^ ph= 2,0.
204. 1,88.
205. 4'
О
206. Ри = х2 2 •
207. 1-й теодолит: 71с29'43",0 + 1",14; mi = ± 3",6 + 0",85. 2-й
теодолит: 71°29'41",0 ± 1",99; т2 = ± 6",3 + 1",49. 3-й теодо-
лит: 71°29'42",0± 1",42; т3 = ±4",5± 1",06. Лучший резуль-
тат дал первый теодолит. Вероятнейшее значение угла из всех
результатов 71°29'42",34 ± 0",53.
209. 1) тг=±1",04; тср=±0",73; 2) mz = ±l",02; тср=±0",72.
327
211. 1) mz= 4-5,0 гл*; т — 4-3,5 см; -2- = 4- х ;
1 ср. — s — 6000
2 ) mz = ±4,7 см;
/гаср. = ±3,4сл<; ^Г- = ±бобо; 4) mz = ± 4,6 сл/;
АИСР. = ± 3,2 cjw; ^ = ±6(^0’ 6)/nz = ±4,6c,w;
mcp = ± 3,2 см;
ms_ । 1
s — 6000
213. I) тугла = ±0',065; 4) тутлй = ± О',046.
214. 1) mz= + 3",6; тср =+ 2 ,5; 2)т, = ±3,8см; т ср = ±2,7ел<.
4)/nz=±3",6; т — ±2",6; 5) т,= ±3",8; /п =±2",7.
216. 1) В одном направлении р4= + 5,0 мм; ткм — + 2,5 мм. Для
среднего из парных измерений дср. = +3,5 мм; ткм = +1,77 мм.
2) В одном направлении р10 = + 7,4мм; ткм— + 2,3 мм. Для
среднего из парных измерений Цср,— + 5,3 лш; ткЯ— 4^1,64 мм.
4) Водном направлении ткя = + 1,97мм; для среднего из
парных измерений тКЛ1 = + 1,39 мм; 5) В одном направлении
ткм = + 2,3 мм; для среднего из парных измерений ткм—
= +1,6 ММ.
218. 1) w = — 0,0000282; р = + 0,125 мм; рх = +0,000 125 м;
5) « = +0,000 0261; рср = + 0,120 мм; р4 = + 0,000 120 л*;
6) « = — 0,000 0276; рср = + 0,118 мм; р4 = + 0,000 118 м.
219. mrf = + 8",9; mt = + 6",3; mcp = + 4",5.
220. mz= +0,156 м; mcp.= +0,110 м; y=±^Q-
221. mA= + 2,l мм; mcp.= + 1,42 мм; /По = +1,48 мм.
222. mo = + O',28.
223. Р20 — + 3,! мм; tncm= + 0,49; mKM= + 1.55 мм (для двойно-
го хода).
224. + 0,00 459 м.
225. ы =— 0,000 124 м; р4= + 0,00 297 м (для двойного хода).
227. Для первых пяти вариантов: Нц— 193,188м + 2,5мм; Н12 —
= 195,998 м + 4 ,3 мм; Я14 = 195,183 м + 3,9 мм;
229. Для всех десяти вариантов: Н17 = 238,112 м + 7,8 мм; =
= 237,719 м + 8,3 мм. ткм: 1) +5,5 мм; 2) +6,2 мм;
3) +6,4 мм; 10) +6,9 мм.
230. Для всех десяти вариантов: Н, = 187,213 м + 6,1 мм; Нъ =
— 188,541 м + 5,5 мм; Нд = 187,912 м + 5,8 мм.
231. Для всех десяти вариантов: Н7 = 267,734 м + 5,0 мм; Н8 =
~ 267,478 м + 4,7 мм; Нд = 267,242 м + 5,0 мм; тк.и-
1) +4,0 мм; 2) +4,3 мм.
233. 174°45',48 + О',94.
328
235. 1) +35 лш; 2) +33 мм; 3) +28 мм; 4) +39 мм; 5) +33 мм;
6) +30 мм; 7) +36 мм; 8) +43 мм; 9) +37 мм; 10) +34 мм.
237. 1) 10,2 км; 2) 23 км; 3) 36 км; 4) 4,0 км; 5) 64 км; 6) 31 км;
7) 77 км; 8) 52 км; 9) 27 км; 10) 100 км.
238. ml = — mh у п.
239. 1) 400; 2) 900; 3) 625; 4) 833; 5) 900; 6) 625; 7) 536;
8) 900; 9) 400; 10) 400.
241. 1) 6,4 км; 2) 5,8 км; 3) 6,9 км; 4) 7,0 км; 5) 10,0 км;
6) 12,0 км; 7) 8,0 км; 8) 12,0 км; 9) 9,4 км; 10) 2,5 км.
243. (Веса даются с тремя значащими цифрами для полноты от-
вета) :
1) р — 3,84 и т = + 2,5жл<; 2) р = 4,50 и т = + 2,4 мм;
3) р = 3,98 и т = + 2,5ла*; 4) /> = 5,82 и т = + 2,1 мм;
5) р = 3,98 и т = + 2,5 мм; 6) р = 4,23 и т = + 2,4 мм;
7) р = 4,65 и т— + 2,3 мм; 8) р = 4,01 и т = + 2,5 мм;
9) р = 5,10 и т = + 2,2 мм; 10) р = 6,73 и т = + 1,93 мм.
244. Сводя данную систему ходов к одиночному ходу £1,3+2 и приме-
няя формулу ml — т-^- ] L находим самое слабое место на рас
стоянии от марки В; 1) 8,7 км; 2) 8,2 км; 3) 7,6 км; 4) 7,0 км;
5) 6,3 км; 6) 9,4 км; 7) 11,8кл; 8) 6,5 км; 9) 9,2 км; 10) 5,7 км.
245. Сводя данную систему ходов к одиночному ходу £1,3+2 и приме-
, Л т ТПкм J' L
няя формулу М ———2 находим, что достаточно применить
для всех десяти вариантов нивелирование III класса, т. к. ткМ:
1) +4,5 мм; 2) +4,4 мм; 3) +4,4 мм; 4) +4,4 мм; 5) +4,3 мм;
6) +4,5 мм; 7) +4,2 мм; 8) +4,3 мм; 9) +4,5 мм; 10) +4,5лш.
248. 1) [df-3] = [df] — _ [bd-\][bf-\] _ [cd-2] [cf-2] .
[ца]
[ab] [ac]
2) [&>2] = [£<?]-
3) [ef-4] = [ef]-
^[bdsi^ibd]- laaj
[aa]
№] [af]
[aa] * [bb-1]
[de-3] [df-3]
[dd-3] ’
[ab][ad] [bb-l][bd-l]
[М-1]
=[„с.1|_[4с.11=0.
[со 2]
[М-1]
[be-l][bf-l] [се-2] [cf-2]
[сс-2]
[bo2][cd-2]
[М-1]
[сс-2]
329
[ I •/<?][![/»ИОТ
Таблица 199
№№ поправок Варианты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 —0*,58 —0",10 - 0",06 —0",16 4-0",10 —0",94 —1",06 —1",10 —1",26 —0",40
2 —0 ,16 —0 ,18 —0 ,14 —0 ,30 -0 ,46 +0 ,02 +0 ,26 +0 ,52 4-0 ,74 +0 ,26
3 4-0 ,56 +0 ,18 —0 ,02 —0 ,16 —0 ,66 —0 ,08 —0 ,16 —0 ,08 0 —0 ,20
4 +о ,48 4-0 ,68 4-о ДО +0 ,76 4-0 ,60 +0 ,76 4-0 ,58 + 1 ,00 4-1 ,22 +0 ,32
5 —1 ,24 —1 ,88 —2 ,40 —2 ,56 -3 ,06 —2 ,42 —2 ,70 —3 ,08 —3 ,02 —3 ,24
6 +2 ,12 4-2 ,20 4-2 ,58 4-2 ,88 4-2 ,88 +3 ,40 4-3 ,64 4-4 ,04 4-4 ,28 4-3 ,16
7 —0 ,30 —0 ,22 —0 ,12 —0 ,16 4-0 ,08 —0 ,04 +0 ,12 4-о ,14 0 4-0 ,48
8 —2 ,20 —1 ,70 —1 ,86 —1 ,96 —1 ,62 -2 ,56 —2 ,90 —2 ,96 —3 ,06 —2 ,64
9 +1 ,78 + 1 ,78 4-1 ,94 4-2 ,10 4-2 ,18 + 1 ,60 +1 ,58 + 1 ,34 4-1 ,06 +1 ,98
10 -1 ,96 —2 ,24 —2 ,52 —2 ,70 -2 ,86 —2 ,32 —2 ,28 —2 ,48 —2 ,28 —2 ,78
т =Ы ,77 ±1 ,84 ±2 ,1 ±2 ,3 ±2 ,4 ±2 ,4 ±2 ,5 ±2 ,7 ±2 ,8 ±2 ,5
тт ±0 ,51 Для у гл а) веса ±0 ,53 ов 1, 2, 3 одинаковь ±0 ,61 4, 7: и равны ±0 ,67 каждый 2 ±0 ,69 5; ±0 ,69 ±0 ,72 ±0 ,78 ±0 ,81 ±0 ,72
б> «угла =L1",12 ±1",16 ±1",33 ±1",45 ±1*,52 il",52 ±1",58 ±1",71 ±1",77 ±1",58
1) —0,5; 2) +1,5; 3) —6,9; 4) —1,8; 5) —4,9; 6) +3,5;
7) +7,7; 8) —1,5; ткм= + 2,4 мм; средние квадратические
ошибки отметок узловых реперов в мм: mi=±5,3; m2=±4,6;
та = ±4,4; m4 = +4,5; средняя квадратическая ошибка ше-
стого уравновешенного превышения равна +4,2 мм.
261. (Для всех 10 вариантов) поправки превышений в мм:
1) +0,2; 2) +7,2; 3) +9,5 4) —2,0; 5) +2,7; 6) —1,9;
7) —6,4; 8) +7,9; тКЛ=±1,0 мм; средние квадратические
ошибки отметок узловых реперов в мм: т3 = + 5,7; т5 =
— + 5,0; т7 = + 6,0; т9 = + 5,0; средняя квадратическая
ошибка уравновешенного восьмого превышения равна +5,6 мм.
262. (Для всех 10 вариантов) поправки превышений в мм:
1) —3,5; 2) +3,6; 3) +42,8; 4) +4,1; 5) —17,4; 6) —24,7;
7) —12,6; 8) +0,3; ткж= + 4,7 мм; средние квадратические
ошибки уравновешенных превышений в мм: тлс=±9,6; тАВ=
= ±7,4; mAD = ±13,0; тАЕ—± 15,6; /ис£=±15,4.
264. Ответы для всех 10 вариантов совпадают с результатами ре-
шения задачи 263.
266. См. ответ 229.
267. См. ответ 230.
268. См. ответ 231.
269. См. решение 259 и ответ 260.
270. См. ответ 261.
271. См. ответ 262.
272. См. решение 263 и ответ 264.
274. 1) Л'=± 0,402; у = ± 0,509; z = —0,225; 2) х = —0,408;
г/= ± 0,107; z =— 0,314; 3) х = —-0,557; у — ±0,648;
z = —0,404; 4) х = ± 0,356; у = ± 0,318; z= + 0,314;
5) х = ±2,468; у = ± 3,552; z=±l,915; 6)х = ±0,413;
у = — 0,462; z= ±0,272; 7) х = — 0,834; у =±0,927;
z = — 0,779: 8) х = — 0,599; у = ±0,583; 2 = — 0,705;
9) х = ±0,209; у = — 0,506; 2 = — 0,470; 10) х = —0,013;
у = ± 0,050; 2 = ± 0,028.
276. См. ответ 274.
278. См. ответ 250.
279. См. ответ 251.
280. См. ответ 252.
281. См. ответ 253.
283. 1) 393 • 10~7.
285. 1) Поправки углов: 1) —Г',4; 2) —0",8; 3) ±4",0; 4) —1"8;
5) —2",4; 6) ±1",3; 7) —7",4; 8) ±2",0; 9) ±1",0; т =
------1- 4" 2 4- 3- — = 4- —-— •
— ‘t х 1 jv — 30 000
287. Поправки углов: 1) ±1",53; 2) ±2",95; 3) ±0",48; 4) ±0",95,
5) ±0",59; 6) ±0",37; 7) —1",59; 8) —3",12; 9) —2",12;
т = ± 2",4 ± 0",76;
1-4—!— •
Л “ — 30 000
332
289. 1) Поправки углов: 1) —0",91; 2) —0",99; 3) —1",70
4) — 0",38; 5) —0",93; 6) +0",08; 7) —0",77; 8) — 0",40;
m = + 1",27 + 0",45; 1=+^-.
291. См. ответ 260.
292. См. ответ 261.
293. См. ответ 262.
294. См. ответ 264.
296. См. решение 284.
297. См. ответ 285.
298. См. ответ 287.
299. См. решение 288.
300. См. ответ 289.
302. См. ответ 285.
303. См. ответ 287.
305. См. ответ 289.
307. 1) ±1,93; 2) +2,0; 3) +0,83; 4) +0,83; 5) +5,0.
308. mi = + 2",0; т2 = + 3",5.
309. т = ±2",7.
310. +1,41 мм.
311. +3",5.
312. 0,195.
315. 6 нормальных уравнений.
316. 6 нормальных уравнений.
317. 4 нормальных уравнения и см. решение 228.
318. 4 нормальных уравнения и см. решение 230.
319. 7 нормальных уравнений и см. ответ 231.
321. 1) 62°16'27" + 4",2; 58°42'21" + 4",2; + 4",2; т =
= + 5",2 + 3",7.
322. а) Случайное, б) невозможное, в) случайное, г) достоверное,
д) случайное.
323. а) 60,5%, б) 32,6%, в) 7,0%.
324. 13,0%; 7,5%, 11,0%, 10,1 %, 9,2%, 12,3%, 9,1 %, 9,8%,
10,8%, 7,2%.
325. 18 отрицательных и 22 положительных.
326. 20.
328. а) X 6)1-, в)±, г)Х.
1 9
329. 1)у, 2)|, 3)|.
33°.
33k — .
о
333
17 2 4
332. a) т, б) в) г) ±
333. Равновозможных случаев будет четыре: 1) положительная
ошибка, положительная ошибка; 2) положительная ошибка,
отрицательная ошибка; 3) отрицательная ошибка, положитель-
ная ошибка; 4) отрицательная ошибка, отрицательная ошибка-
3
следовательно, р =— -
S34.
335. 1.
1 1 г; 1 п 1 1 1
336. 1)Т2, 2)у, 3)§§, 4)^, 5)1, 6)Т, 7)И, 8)1.
9) Ю) (см. также ответ к задаче 408).
36 36
6' 1
337. Л‘ = 2Г = 360, Р=5В5.
338- /’ = 411=й
ОЛП Ч 1 1 4 2 .12 2
°' Й сзб2 ~ 630 ’ 6 Сзе2 — 315 ’ В) С362 “ 105
341.
1
10 ’
342. р
1 _ 1
7! ~ 5040
343. Д/ = 210 и р = 2То
344. С73 = 35 и -
35
345. р
С32 _ 1
“ С102 “ 15
346. р
сз2 + Q2 + С22 _ 14
45
С 2
'-'10
334
348. у- (28 дней -|- 3 лишних дня).
1 3 1 1
350. Рбел. ! Рейн. • IQ > Ркр. • Ривет > Рбел. Н- Рейн. “1~
+ Ркр. — !
351. Р = pi |- р2 -|- .. . ре-
352. р2,12 — -у •
353. 8%.
354. 35%.
355. А.
О
9
356. -у -
360. Р(Л) = А, Р(В)= А рА(В)=^, = | . Собы
тия А и В независимы.
361. Р(Л)=±, Р(В)~, РА(В)={, РМ = ^. События
А и В независимы.
362. Р (Л) =||, Р(В) = А, РВ(А) = 1, РЛ(В) = А. События
Л и В зависимы.
363. События зависимы, так как условная вероятность наступления
одного из них, вычисленная в предположении, что другое со-
бытие осуществилось, равна нулю. Безусловные же вероятно-
сти этих событий не равны нулю.
364. Зависимы по тем же причинам, что и несовместимые события.
2
365. Независимы, т. к. Р (Л) = Рв(Л) = у^-
2 2
366. Зависимы, т. к. Р(Л)=^д, а Рв(А) — ~ .
335
371.
372.
1
374.
С 5
Но
ю
ж 0,25.
375.
пЛ
п"
376.
377.
(1 — 0,04)0,815.
\ 12 18
а) 60 ’ б) 60 ’
378.
j
32 ’
379.
2
12
381.
3
1225 ’
382.
12
ПО
383.
1
110
384.
а) 0,0156; б) 0,0129.
385.
Решение задачи 337 (другим способом): P=_g
1 1 1
5’4'3
1
“ 360 ’
386.
2
27
387.
7
95 ‘
388.
2
9
336
4
389.
391.
C-(l)2(l)10-0’296-
392.
70
256
394. а) 0,216; б) 0,784; в) 0,064.
3№. <> .
7
396. а) —,
м 247
б) 256 ’
в)
35
128
397. а) 0,312, б) .
399. а) 10 раз, б) 12 или 13 раз.
224
400. а = 5, Р,,7 = С75р5Ч2 = = 0,307.
/ zy
401. а=5 и 6, Р6,8 = = 0,273.
6561
402. 675.
403. 0,375.
404. а) дискретная, б) непрерывная, в) дискретная.
405. По формуле (VIII. 18) находим вероятности Pkn и распола-
гаем их в таблицу 200.
Таблица 200
X 0 1 2 3
р. *1 3 3 1
8 8 8 т
406. Таблица распределения вероятностей (таблица 201).
Таблица 201
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Pk,n 0,004 0,031 0,109 0,219 0,273 0,219 0,109 0,031 0,004
22 г. А. Бурмистров
337
Полигон распределения вероятностей (рис. 37).
407. а = 7,5; а2 = 15,8; о = + 4,0.
Решение
МО (X) = 3 • 0,30 + 6 • 0,25 + 9 0,20 + 12.0,15 +
+ 15-0,10 = 7,5 = а.
Вычисление дисперсии выполнено в табл. 202.
Таблица 202
№ по пор. ха- Pi х, — а (х,- — о)2 (х,-— a)2 pi
1 3 0,30 —4,5 20,25 6,075
2 6 0,25 —1.5 2,25 0,562
3 9 0,20 4-1.5 2,25 0,450
4 12 0,15 4-4,5 20,25 3,038
5 15 0,10 +7,5 56,25 5,625
а = 7,5 2 1,00 +7,5 101,25 15,750
а = + \Га2 = + 15,75 = 4-3,96 х 4,0.
338
408. Непосредственный подсчет вероятностей выпадения суммы
очков на вскрывшихся гранях двух игральных костей
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
а = 7; с3 = 5,84 х. 5,8; а = + 2,42 » + 2,4.
409. I k-Cnk pk q”~k = np.
k=0
410. МО (X) = f = •
j p (Z z
412. <р(Д) = 2^21е-О,О41^.
]/ Л
414. 1) 0,7887; число ошибок на 1000 измерений равно 789;
2) 0,8664; 3) 0,9199; 4) 0,9545; 5) 0,9756; 6) 0,9876; 7) 0,9940,
8) 0,9973; 9) 0,99883; 10) 0,99953.
415. 0,452.
416. 0,904.
417. 0,495.
418. 10",0.
420. 7= 1 — 0,988 = 0,012.
421. г = + 1",97 и Э-=2",4.
422. +5",1.
423. +21".
424. г = + 2",9 и В-=3",5.
425. 0,954.
426. +5",0.
427. г = + 4,2 мм и &= 5,0 мм.
428. 0,318.
429. 0,616.
431. Ai = ±5"0; Аа = + 10",0 и Д3= + 15",0.
432. 1) 49,5; 2) 32,2; 3) 13,7; 4) 3,8; 5) 0,7; 6) 0,1; 2Д = 100,0.
433. 1) 57,4; 2) 45,0; 3) 27,5; 4) 13,2; 5) 5,0; 6) 1,5; 7) 0,3;
14=149,9.
435—440. Ряды ошибок измерений (невязки треугольников) следу
ют нормальному распределению (подчиняются закону
К. Ф. Гаусса).
22*
339
Приложение 1
w
о
ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОШИБКИ
МЕЖДУ НУЛЕМ И t= КРАТНОЙ СРЕДНЕЙ
______________КВАДРАТИЧЕСКОЙ О ШИБКОЙ
t ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09 Разность
0,0 0,0000 0,0080 0,0160 0,0239 0,0319 0,0399 0,0478 0,0558 0,0638 0,0717 80
0,1 0797 0876 0955 1034 1113 1192 1271 1350 1428 1507 78
0,2 1585 1663 1741 1819 1897 1974 2051 2128 2205 2282 76
0,3 2358 2434 2510 2586 2661 2737 2812 2886 2960 3035 73
0,4 3108 3182 3255 3328 3401 3473 3545 3616 3688 3759 70
0,5 0,3829 0,3900 0,3969 0,4039 0,4108 0,4177 0,4245 0,4313 0,4381 0,4448 67
0,6 4515 4581 4647 4713 4778 4843 4908 4971 5035 5098 63
0,7 5161 5223 5285 5346 5407 5468 5528 5587 5646 5705 58
0,8 5763 5821 5878 5935 5991 6047 6102 6157 6211 6265 54
0,9 6319 6372 6424 6476 6528 6579 6629 6680 6729 6778 49
1,0 0,6827 0,6875 0,6923 0,6970 0,7017 0,7063 0,7109 0,7154 0,7199 0,7243 44
1,1 7287 7330 7373 7415 7457 7499 7540 7580 7620 7660 39
1,2 7699 7737 7775 7813 7850 7887 7923 7959 7994 8030 34
1,3 8064 8098 8132 8165 8198 8230 8262 8293 8324 8355 30
1,4 8385 8415 8444 8473 8501 8529 8557 8584 8611 8638 26
1,5 0,8664 0,8690 0,8715 0,8740 0,8764 0,8789 0,8812 0,8836 0,8859 0,8882 22
1,6 8904 8926 8948 8969 8990 £011 9031 9051 9070 9090 19
1,7 9109, 9127 9146 9164 9181 9199 9216 9233 9249 9266 15
1,8 9281 9297 9312 9328 9342 9357 9371 9385 9399 9412 14
1,9 9426 9439 9451 9464 9476 9488 9500 9512 9523 9534 11
2,0 0,9545 0,9556 0,9566 0,9576 0,9586 0,9596 0,9606 0,9616 0,9625 0,9634 9
2,1 9643 9651 9660 9668 9676 9684 9692 9700 9707 9715 7
2,2 9722 9729 9736 9742 9749 9756 9762 9768 9774 9780 5
2,3 9785 9791 9797 9802 9807 9812 9817 9822 9827 9832 4
2,4 0,9836 9840 ' 9845 9849 9853 9857 9861 9865 9869 9872 4
2,5 0,9876 0,9879 0,9883 0,9886 0,9889 0,9892 0,9895 0,9898 0,9901 0,9904 3
2,6 9907 9909 9912 9915 9917 9920 9922 9924 9926 9928 3
2,7 9931 9933 9935 9937 9939 9940 9942 9944 9946 9947 2
2,8 9949 9950 9952 9953 9955 9956 9958 9959 9960 9962 1
2,9 9963 9964 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 9972 1
п= 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
р 0,99730 0,99806 0,99863 0,99903 0,99933 0,99953 0,99968 0,99978 0,99986 0,99990
4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 п=ою
£ р 0,99994 0,99996 0,99997 0,99998 0,99999 0,99999 1,00000 Р=1
Приложение 2.
ПРАВИЛО ШАРЛЬЕ
Правило Шарлье [6], стр. 283 и [20], стр. 524 дает некоторое
основание для суждения о том, подчиняется ли исследуемый ряд
ошибок измерений закону нормального распределения.
Если ряд ошибок п измерений следует закону Гаусса, то в нем
вероятно появление только одной случайной ошибки, величи-
на которой численно превышает zm, где z — нормированная вели-
чина вида (VIII.50), а т — средняя квадратическая ошибка, вычи-
сленная по результатам данного ряда измерений.
z находится из таблиц нормированной функции Лапласа
Z Z2
f е 2 dz,
(VIII.55)
по
и — 1
2 п
Ф(г) =
(VIII. 56)
Для облегчения вычислений дается таблица 203, составленная
ио правилу Шарлье.
Таблица 203
п Ф(г) Д
20 0,4750 1,96/и
30 0,4833 2,13m
40 0,4875 2,24 m
50 0,4900 2,33 tn
60 0,4917 2,40 m
70 0,4929 2,45 т
80 0,4938 2,50т
90 0,4944 2,54т
100 0,4950 2,58 т
Если, например, в ряду из 100 ошибок окажется более од-
ной ошибки, численно превосходящей 2,58, то данный ряд оши-
бок не подчиняется закону К. Ф. Гаусса.
342
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоликов А. Н. Вычисление погрешности определения пунктов в
системах нивелирных и полигонометрических ходов Записки Ленинградского
горного института Т. XXXVIII. Вып. 1, М., 1958.
2. Бурмистров Г. А. Методические указания и контрольные работы по
способу наименьших квадратов. Вып. 1. Теория ошибок. М., МИИГАиК, 1957.
3. В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. М., 1958.
4. Г и р ш б е р г М. А. Методические указания и контрольные работы по
способу наименьших квадратов. М., МИИГАиК, 1957.
5. 3 и м о в н о в В. Н. Методические указания по способу наименьших
квадратов. М„ МИИГАиК, 1941.
6- Идельсон И. И. Способ наименьших квадратов и теория математи-
ческой обработки наблюдений. М., 1947
7. Иордан В Руководство по геодезии. Т. 1. Уравнительные вычисления
по способу наименьших квадратов М., Редбюро ГУГК, 1939.
8. Карасев А. И. Сборник задач по теории вероятностей. М., 1956.
9. Каталог пунктов триангуляции 1 класса, определенных на территории
СССР, первое дополнение. М., ГУГСК НКВД СССР, 1937.
10. Кириллов В. И. Задачник по теории вероятностей. КВВА, 1948.
11. Красовский Ф. И. и Данилов В. В. Руководство по высшей
геодезии. Ч. 1. Вып. 2. М., Редбюро ГУГК, 1939.
12. Ларченко Е. Г. Механизация вычислительных работ. М., Геодез-
издат, 1956.
13. Л иод т Е. Г. Задачи по теории ошибок измерений. Воронеж, Воро-
нежский сельскохозяйственный институт, 1927.
14. Маликов М. Ф. Основы метрологии. Часть первая. Учение об изме-
рении. М., 1949.
15- Рабинович Б. Н. Практикум по высшей геодезии. М., Геодезиз-
дат, 1951.
16 Романов В. А. Теория ошибок и способ наименьших квадратов
М. — Хрк., 1952
17. Уиттекер Э. и Робинсон Г. Математическая обработка результа-
тов наблюдений. М.—Л., ОНТИ, 1935.
18. У р м а е в Н. А. О последовательном уравнивании тригонометрических
сетей. «Геодезист» № 5, 1930, стр. 37.
19. Чеботарев А. С. Способ наименьших квадратов. Изд. 3-е, М.—Л.,
1936.
20. Чеботарев А. С. Способ наименьших квадратов с основами теории
вероятностей. М, Геодезиздат, 1958.
21. Шеин Д С. Городская полигонометрия. М., 1952.
22. Шилов П. И. Способ наименьших квадратов М., Геодезиздат, 1941
23. Юршанский 3. М. Определение веса функции уравненных величин
методом последовательных приближений. Тр. НИПГАиК. Т. III. Вып. 1. Ново-
сибирск, 1950, стр. 71.
343
24. Ю р ш а н с к и й 3. М. Об определении веса функции уравненных ве-
личин методом последовательных приближений. Тр. НИИГАиК. Т. IV. Ново-
сибирск, 1951, стр. 75.
25. G г о В m а п W. Grundziige der Ausgleichnungsrechnting nach der Methode
der kleinsten Quadrate nebst Anwendungen in der Geodasie. Berlin, 1953.
26. H a p p a c h V. Ausgleichsrechnung. Leipzig. 1950.
27. H e g e ni a n n. E. Die Ausgleichnungsrechnung nach der Methode der klein-
sten Quadrate. Leipzig, 1919.
28. S t v a n A. Vyrovnavaci pocet v praktickfi geometrii. Praha, 1954.
29. W arc haiowski E. Rachunek wyrownawczy dla geodetow. Warszawa, 1955
30. Cubranic N. Racun izjednacenja. Zagreb, 1958.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................................. 3
Справочные сведения о применении логарифмической линейки в теории
ошибок измерений ................ 5
Часть первая
ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
Глава I
Равноточные измерения
§ 1. Оценка точности измерений по истинным ошибкам 13
Задачи 1—9...........................................................—
§ 2. Средние квадратические ошибки функций независимых (измеренных)
величин . . ......... 21
Задачи 10—61 ..................... —
§ 3. Обработка ряда равноточных измерений 46
Задачи 62—70 . ... .... 47
§ 4. Задачи на весь раздел равноточных измерений 71—115 53
Глава II
Неравноточные измерения
§ 5. Веса результатов измерений 59
Задачи 116—128 —
§ 6. Обработка ряда неравноточных измерений 62
Задачи 129—146 ... ............. 65
§ 7. Веса функций независимых (измеренных) величин . 80
Задачи 147—169 .... 81
§ 8. Задачи на весь раздел неравноточных измерений 170—207 . 85
Глава III
Двойные измерения
§ 9. Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений . 91
Задачи 208—214 . . . .92
§ 10. Оценка точности по разностям двойных неравноточпых измерений 98
Задачи 215—218...................................................... 100
§ 11. Задачи на весь раздел двойных измерений 219—225 . 104
Глава IV
Примеры приложения теории ошибок в геодезической практике
§ 12. Задачи на уравновешивание превышений в одиночных нивелирных
ходах к нивелирных сетях по способу эквивалентной замены 226—245 107
345
Часть вторая
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Глава V
Косвенные (посредственные) измерения
§ 13. Справочные сведения по косвенным равноточным измерениям 127
Задачи 246—248 . 128
§ 14. Задачи на уравновешивание и оценку точности результатов косвен-
ных равноточных измерений 249—258 ............................... 143
§ 15 Справочные сведения по косвенным неравноточным измерениям и
методу весовых коэффициентов .156
Задачи 259—264 . .......................... 160
§ 16. Методы последовательных приближений (методы итераций) 179
Задачи 265—276 . . . 180
Часть третья
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
УСЛОВНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Глава VI
Непосредственные измерения, связанные условиями
•§ 17. Справочные сведения по равноточным условным измерениям 191
Задачи 277—281 ............................................. 198
§ 18. Уравновешивание углов в типовых фигурах триангуляции 205
Задачи 282—289 .... ............................—
§19. Уравновешивание результатов неравноточных непосредственных из-
мерений, связанных условиями . . 238
Задачи 290—294 . . ............. 240
Глава VII
Двухгрупповое уравновешивание
§ 20. Уравновешивание по способу Крюгера 246
Задачи 295—300
§ 21. Применение двухгруппового уравновешивания к сетям треугольни-
ков (способ Урмаева—Крюгера) . .- 254
Задачи 301—312 ................ 258
§ 22. Полигонные условия 271
Задачи 313—319 . .... 272
§ 23. Задачи на уравновешивание и оценку точности одних и тех же
результатов измерений методами непосредственных, косвенных и
условных измерений 320—321 . 281
Часть четвертая
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Глава VIII
Основные понятия и теоремы теории вероятностей
§ 24. Событие. Частость. Вероятность 287
Задачи 322—348 .................. . 288
§ 25. Теорема сложения вероятностей . 292
Задача 349—356 .... ............. 293
§ 26. Независимые и зависимые события. Условные вероятности . . . 294
Задачи 357—366 ................. . . . —
§ 27. Теорема умножения вероятностей..................... . 296
Задачи 367—389 ............................ 297
346
§ 28. Многократные повторные независимые испытания. Биномиальное
распределение вероятностей
Задачи 390—397 ..........................................
§ 29. Вероятнейшее число повторений события при определенном числе
испытаний ......
Задачи 398—403 .
§ 30. Случайные величины. Математическое ожидание. Дисперсия .
Задачи 404—410 ..........................................
§ 31. Применение теории вероятностей к ошибкам измерений
Задачи 411—440 ....
§ 32. Ответы к нерешенным задачам . .
Приложения . .
Литература . . • - •
300
301
302
303
304
307
310
318
340
343