Д.А.Киржниц
ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ МНОГИХ ЧАСТИЦ
В предлагаемой вниманию читателей книге описываются основные понятия и
методы современной микроскопической теории систем многих частиц. Эти
методы, заимствованные из релятивистской теории квантованного поля и
получившие развитие в последние годы, широко применяются в настоящее время
в самых различных разделах физики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	3
Глава I. Необходимые сведения из квантовой механики	11
§ 1. Уравнение Шредингера и классификация систем многих частиц
§ 2. Основные сведения из теории представлений	22
§ 3. Представление чисел заполнения	27
Глава П. Системы многих частиц в приближении Хартри — Фока	36
§ 4. Приближение Хартри — Фока	36
§ 5. Приближение Томаса — Ферми	47
§ 6. Приложения к теории сильносжатого вещества	58
§ 7. Приложения к теории атомного ядра	68
Глава Ш. Теория возмущений и диаграммная техника	83
§ 8. Дырочный формализм	83
§ 9. Матрица рассеяния	89
§ 10. Свертки операторов	100
§11. Графическое представление элементов матрицы рассеяния	106
§ 12. Процессы низшего порядка	113
§13. Правила Фейнмана	121
§ 14. Общая структура матрицы рассеяния	126
§ 15. Матрица рассеяния и физические величины	133
§ 16. Отбор главных диаграмм	145
§ 17. Приложения к теории двухэлектронных атомов	158
§ 18. Приложения к теории атомного ядра	163
Глава IV. Метод функций Грина в квантовой механике	169
§ 19. Одночастичная функция Грина	—
§ 20. Парная функция Грина	175
§ 21. Возбужденные состояния системы (приближение Хартри — Фока)	188
§ 22. Возбужденные состояния системы (учет корреляционного	196
взаимодействия)
§ 23. Спектральные представления функций Грина	213
§ 24. Квазичастицы	223
§ 25. Уравнения для функций Грина	240
§ 26. Теория разреженных систем многих частиц	249
§ 27. Теория сжатых систем многих частиц	258
§ 28. Приложения к теории коллективных колебаний	274
Глава V. Метод функций Грина в квантовой статистике	283

§ 29. Общие соотношения	283
§ 30. Приближение Хартри — Фока в квантовой статистике	291
§31. Термодинамическая теория возмущений	299
§32. Метод функций Грина в квантовой статистике	307
§ 33. Приложения к теории плазмы	312
Приложения	318
A.	Вычисление средних значений операторов	318
Б. Основные формулы операторного исчисления	323
B.	Интегралы от сингулярных функций	330
Литература	339

ВВЕДЕНИЕ
В предлагаемой вниманию читателей книге описываются
основные понятия и методы современной микроскопической тео,-
рии систем многих частиц *. Эти методы, заимствованные из реля-
релятивистской теории квантованного поля и получившие развитие
в последние годы, широко применяются в настоящее время в самых
различных разделах физики.
Общая задача, стоящая перед теорией систем многих частиц,
заключается во всестороннем описании как внутренних свойств
таких систем, так и результатов их взаимодействия с внешними
агентами. Имеются в виду такие характеристики системы, как
ее энергетический спектр (энергия основного состояния, спектр
возбужденных состояний), средние значения динамических пере-
переменных и их распределения, вероятности переходов и т. д. Сюда
относятся также всевозможные термодинамические и кинети-
кинетические характеристики системы. Модель рассматриваемой системы,
т. е. характеристики отдельных частиц, закон их взаимодействия*
внешние условия и т. д. должны задаваться при этом дополни-
дополнительно как исходное условие.
Теория многих частиц, располагая определенными средствами
для решения указанной задачи в том или ином приближении, слу-
служит теоретическим базисом многих разделов физической науки:
физики конденсированной среды (в том числе твердого тела),
физики плазмы, атомного ядра, атома и т. п.
Наиболее важная особенность задач, с которыми приходится
иметь дело в теории многих частиц, состоит в принципиальной
необходимости учета взаимодействия между частицами. Модель,
* Необходимо сразу же разъяснить термин «система многих частиц», который
носит в общем условный характер. В дальнейшем мы будем исключать из числа
систем многих частиц лишь одно- и двухчастичные системы, расчет которых эле-
элементарен. Уже такую систему, как, например, атом гелия, можно (и в ряде отно-
отношений целесообразно) рассматривать так же, как и систему, состоящую из боль-
большого числа частиц. Следует, однако, иметь в виду, что для системы со сравнительно
малым числом частиц могут потерять свой смысл некоторые аспекты описания,
в том числе статистический. Кроме того, при этом теряет силу целый ряд факто-
факторов, который упрощает рассмотрение систем, состоящих из большого числа
частиц.

в которой это взаимодействие игнорируется (модель идеального
газа), чрезвычайно бедна по своим свойствам и рассчитывается
элементарным образом. Именно взаимодействие между частицами
порождает то качественное многообразие объектов, которое свой-
свойственно перечисленным выше разделам физики.
Точный учет взаимодействия между частицами сколько-нибудь
сложной системы представляет собой, однако, исключительную
по трудности задачу. Хотя в последнее время и появились надежды
на использование для этой цели вычислительных машин, реаль-
реальные возможности, которыми располагает теория многих частиц,
в целом еще довольно скромные (исключая теорию атома и моле-
молекулы).
Главная причина этих трудностей состоит в том, что уравне-
уравнение. Шредингера со многими переменными, не распадающееся
на независимые уравнения для каждой из переменных, представ-
представляет собой в математическом отношении несравненно более слож-
сложный объект, чем, скажем, уравнение Шредингера для частицы
во внешнем поле. В системе многих взаимодействующих частиц
речь должна идти именно о нераспадающемся уравнении Шредин-
Шредингера. Это математически очевидное обстоятельство проявляется
в физическом отношении следующим образом. Вследствие нераз-
неразрывной силовой связи отдельной частицы с остальными частицами
системы понятие о состоянии этой частицы, т. е. о ее волновой
функции, энергии и т. п., теряет свой точный смысл. Строго го-
говоря, речь может идти лишь о состоянии всей системы в целом.
Поэтому учет взаимодействия между частицами означает в то же
время качественный скачок в выборе самого объекта описания:
в модели идеального газа таким объектом могла служить каждая
из частиц в отдельности, в то время как в реальном случае —
обязательно вся система в целом.
Из сказанного ясно, что решение задачи многих частиц может
носить лишь приближенный характер *. За последние десятилетия
в теории многих частиц было разработано большое число разно-
разнообразных приближенных методов. К их числу относятся: теория
возмущений, методы Хартри — Фока, Томаса — Ферми, Дебая —
Хюккеля, Бракнера, метод коллективных переменных и многие
другие [1 ]. Эти методы безусловно сыграли огромную роль в раз-
развитии соответствующих разделов физики. Однако в целом ряде
отношений состояние теории многих частиц до последнего времени
было малоудовлетворительным.
Прежде всего, многие из обсуждаемых методов очень громоздки.
Этот упрек относится, в частности, к «старой» теории возмущений,
оперирующей детерминантами Слейтера — Фока, сложными сум-
* Другой причиной приближенного характера решения многих задач яв-
являются неточные сведения о характере взаимодействия между частицами (при-
(примером может служить ядерное вещество). При этих условиях стремление к чрез-
чрезмерно точному решению уравнений теории едва ли имеет смысл.

мами и т. д. Попытки продвинуться в вычислениях дальше вто-
второго, максимум третьего порядка, как правило, наталкиваются
на серьезные технические трудности. При этом возникает и ряд
трудностей более глубокого характера. Так, например, при вы-
вычислении энергии однородной системы появляются фиктивные
члены, растущие с увеличением объема системы быстрее первой
его степени. Весьма сложен также метод Бракнера [2], требую-
требующий проведения трудоемких численных расчетов.
Далее, обсуждаемые методы имеют заведомо ограниченную
и самое главное далеко не всегда ясную из способа их формули-
формулировки область применимости. Вопросы об условиях, которым
должны удовлетворять характеризующие систему параметры
в области применимости данного метода, и об исправлении метода
при нарушении этих условий в большинстве случаев были разра-
разработаны совершенно недостаточно.
Наконец, большую неудовлетворенность оставляло то обстоя-
обстоятельство, что формулировки ряда методов теории многих частиц
носят зачастую искусственный, модельный характер и суще-
существенно меняются при переходе от метода к методу. В результате
в значительной степени была утеряна глубокая внутренняя связь
между разными методами, являющимися по своей сущности не чем
иным, как различными приближениями к точному уравнению
Шредингера.
В целом можно сказать, что необходимость замены отдельных
частных методов теории многих частиц единым, общим и доста-
достаточно простым аппаратом ощущалась уже давно; в большой
мере это диктовалось ростом круга и сложности задач, стоящих
перед теорией. Удовлетворяющие соответствующим требованиям
методы возникли, однако, лишь в самые последние годы. Эти
методы (для краткости будем называть их полевыми) являются
прямым и естественным развитием метода вторичного квантования
и потому достаточно просты и компактны.
Основной элемент полевого описания — функции Грина —
содержит многостороннюю физическую информацию о рассматри-
рассматриваемой системе; извлечение этой информации производится
путем весьма несложных математических действий.
Анализ уравнений для функций Грина с учетом малости харак-
характеризующих систему безразмерных параметров открывает воз-
возможность упрощения этих уравнений. Существенную роль в этом
отношении играет так называемая диаграммная техника, позво-
позволяющая с помощью несложных правил получить выражение для
члена теорий возмущений сколь угодно высокого порядка. Такой
анализ даёт прямое и надежное обоснование «старых» методов тео-
теории многих частиц, выясняет пределы применимости этих методов
и позволяет их уточнять.
Переходя к краткой характеристике полевых методов теории
многих частиц, сразу же отметим, что еще в первые годы становле-
становления квантовой механики системы частиц в ней возник подход,

носящий название метода вторичного квантования и содержащий
по существу все необходимое для полевого описания системы
многих частиц. Понятие частицы в этом методе отодвигается на зад-
задний план и его место занимает понйтие квантованного поля я|з (х),
гр+ (х) (операторные функции уничтожения и рождения частиц);
что же касается частицы, то она проявляется как квант этого поля.
Процесс взаимодействия между частицами может быть интерпре-
интерпретирован как уничтожение частиц в начальном и рождение их в ко-
конечном состоянии. Вообще число частиц (в отличие от разности
чисел частиц и дырок) в процессе взаимодействия не сохраняется.
Важный процесс возбуждения системы также приобретает чисто
полевую интерпретацию и в простейшем случае сводится к рож-
рождению пары — частица-дырка; обратный процесс возвращения
системы в основное состояние отвечает аннигиляции этой пары.
Таков далеко не полный перечень тех аспектов полевого описания,
которые заложены в аппарате вторичного квантования.
В рамках теории многих частиц соответствующие возможно-
возможности, однако, в этот первый период не получили развития, и прило-
приложение метода вторичного квантования к квантовой механике
систем частиц ограничивалось до последнего времени сравнительно
узкими рамками [см., однако, 3].
Ситуация коренным образом изменилась после того, как в три-
тридцатые и особенно сороковые годы зародилась и стала развиваться
теория элементарных частиц. Теория квантованного поля этих
частиц с самого начала строилась по образцу теории систем мно-
многих частиц: на базе метода вторичного квантования. Большая
физическая значимость этих исследований и в особенности наличие
серьезных принципиальных трудностей привели к значительной
концентрации усилий в области квантовой теории поля. В резуль-
результате к началу пятидесятых годов было в основном завершено
построение формального аппарата теории квантованного поля.
Этот аппарат в силу своего общего характера и несомненных
преимуществ не мог не перерасти рамки теории элементарных
частиц. Уже с середины пятидесятых годов начинают появляться
первые работы по приложению полевых методов к системе многих
частиц, т. е. к объекту, из которого эти методы в конечном счете
и выросли. К настоящему времени число таких работ достигло
нескольких сотен, и мы имеем сейчас в распоряжении вполне
сформировавшийся, достаточно удобный и гибкий аппарат для
исследования свойств систем многих частиц.
Необходимо подчеркнуть, что этот аппарат оказался в высокой
степени адекватным важнейшему понятию физики систем многих
частиц — понятию квазичастицы или элементарного возбужде-
возбуждения. Использующий это понятие подход [4—5] служил в значи-
значительной степени залогом успехов, достигнутых в соответствующих
разделах теории. Введение понятия квазичастицы позволяет
формулировать ряд аспектов описания в одночастичной форме,
т. е. рассматривать систему взаимодействующих частиц как сово-

купность в значительной мере независимых коллективных обра-
образований — квазичастиц. Полевые методы теории многих частиц
дают естественное обоснование такого подхода и устанавливают
пределы его применимости.
В основу книги положены циклы лекций, читавшихся автором
в 1960 и 1961 гг. для сотрудников Физического института
им. П. Н. Лебедева АН СССР и Физико-энергетического института
Государственного комитета Совета Министров СССР по исполь-
использованию атомной энергии. В связи с этим книга является не моно-
монографией, дающей более или менее законченное представление
о современном уровне развития полевой теории многих частиц
и ее многочисленных приложениях, а скорее носящим вводный
характер руководством, которое рассчитано на читателя, не зна-
знакомого с квантовой теорией поля и испытывающего поэтому за-
затруднения при освоении полевых методов.
Ограниченный характер задачи, которую ставил перед собой
автор при написании книги, не мог не сказаться на охвате имею-
имеющегося в литературе материала. Стремление к возможно более
подробному изложению материала заставило сузить круг рас-
рассматриваемых в книге вопросов *.
Не излагаются, в частности, феноменологические аспекты по-
полевой теории многих частиц 18, 89], релятивистская теория систем
многих частиц [11], полевая теория кинетических явлений [22].
Мы ограничиваемся рассмотрением наиболее важного случая
систем ферми-частиц, охватывающего многоэлектронные и много-
нуклонные системы. Не излагаются также тесно связанные
с теорией бозе-систем [19—21 ] вопросы теории сверхтекучего
(сверхпроводящего) состояния [7—9, 30].
Для иллюстрации излагаемого в книге теоретического мате-
материала отобрано сравнительно небольшое число практических
задач, относящихся к теории атомного ядра, плазмы, твердого
тела и атома.
Глава I содержит вспомогательный материал, включающий
необходимые для дальнейшего сведения из квантовой механики
и отчасти из теории атомного ядра [23—28]. Изложена также тео-
теория псевдопотенциала, прямо и наглядно ведущая к выражению
эффективного потенциала взаимодействия череза мплитуду рассея-
рассеяния частиц системы друг на друге. Кроме того, в гл.Л^приводится
общая классификация систем многих частиц по силе взаимодей-
взаимодействия между ними и степени сжатости системы. Эта классифи-
классификация облегчает упрощение аппарата теории многих частиц. Осо-
Особое внимание в гл. I уделяется методу вторичного квантования,
* Читатель, ознакомившийся по этой книге с основами полевой теории
многих частиц, может найти интересующий его материал в работах [6—22];
там же имеется обширная библиография.
7

являющемуся, как это уже подчеркивалось, основой полевых
методов.
Построение теории многих частиц, как и всякой приближен-
приближенной теории, следует начинать с выбора подходящего нулевого
приближения. В качестве такового в книге выбрано приближение
Хартри — Фока, дающее наилучшее описание системы, совмести-
совместимое с понятием об индивидуальных состояниях частиц. Такой
выбор позволяет учесть значительную часть взаимодействия уже
на первом этапе вычислений, что приводит к заметному упрощению
последующих выкладок. В первую очередь это относится к сжа-
сжатым системам. Обычный выбор в качестве нулевого приближения
модели идеального газа в ряде задач оказывается недопустимо
грубым, например в а'томных задачах, где эффект экранировки
кулоновского поля ядра играет существенную роль, оставаясь
вне рассмотрения в модели идеального газа. Гамильтониан воз-
возмущения, описывающий так называемые эффекты силовой корре-
корреляции, может быть представлен в виде простого нормального
произведения операторов, благодаря чему значительно сокра-
сокращается число подлежащих рассмотрению диаграмм теории воз-
возмущений.
Изложению теории многих частиц в приближении Хартри —
Фока посвящена гл. II. В основу положен весьма удобный опе-
операторный подход. С его помощью осуществлен переход к квази-
квазиклассическому предельному случаю приближения Хартри —
Фока — приближению Томаса — Ферми. В качестве приложений
даны некоторые вопросы теории сильно сжатого вещества и тео-
теории ядерного вещества. Рассмотрение последней продолжено
в гл. III и IV.
В гл. III строится общий полевой аппарат теории возмущений,,
основанный на теории 5-матрицы и включающий в себя в каче-
качестве важнейшего элемента диаграммную технику. Приведена фор-
формулировка правил Фейнмана для построения элемента S-матрицы
любого порядка. Даны соотношения, позволяющие найти матрицу
плотности и энергию основного состояния системы в любом по-
порядке теории возмущений. Особое внимание в главе уделяется
связи между классификацией систем и отбором тех диаграмм тео-
теории возмущений, которые играют в рассматриваемых условиях
основную роль.
В качестве приложений даются теория двухэлектронных ато-
атомов и теория ядерного вещества с учетом корреляционных эф-
эффектов.
В гл. II и III рассматривается почти исключительно основное
состояние системы.
В гл. IV описываются свойства одно- и двухчастичной функ-
функции Грина и способы извлечения заключенной в них физической
информации о рассматриваемой системе. Сформулированы урав-
уравнения для определения функций Грина. Подробно рассмотрена
задача о нахождении характеристик возбужденных состояний

системы. Дан вывод спектральных представлений функций Грина,
на основе которых вводится понятие о квазичастицах и устанав-
устанавливается связь характеристик квазичастиц с аналитическими
свойствами функций Грина.
Далее в главе излагается общая теория разреженных систем
многих частиц. Для них выводятся разложения физических вели-
величин в ряд по отношению амплитуды рассеяния к среднему рас-
расстоянию между частицами. Исследуются свойства фермиевского
спектра возбуждений разреженных систем.
Подробно рассматриваются сжатые системы многих частиц
как с кулоновскими, так и с короткодействующими силами. Иссле-
Исследуется бозевская ветвь возбуждений (плазмон, нулевой звук).
Рассмотрены применения к проблеме плазменных колебаний
в однородном электронном газе с компенсирующим фоном и атоме.
Обсуждаются также некоторые приложения к теории ядра.
В гл. I—IV описание дается для температуры, равной
нулю.
Исследованию поведения системы многих частиц в термостате
и построению полевого аппарата квантовой статистики посвящена
последняя, V глава книги. Рассмотрено приближение Хартри —
Фока для «горячей» системы, которое применяется к выводу урав-
уравнения состояния такой системы.
Дано изложение как техники Матцубара, предназначенной
для получения термодинамических характеристик системы, так
и аппарата температурно-временных функций Грина, определяю-
определяющего спектр возбуждений «горячей» системы.
Рассмотрены некоторые случаи применения этого аппарата
к теории плазмы и коллективных колебаний.
Книга содержит также несколько приложений, в которые
вынесен вспомогательный математический материал. В приложе-
приложении А помещены правила вычисления средних значений всевоз-
всевозможных операторов физических величин. Приложение Б посвя-
посвящено изложению основных правил и соотношений операторного
исчисления. Подробно рассмотрены операторные функции от
суммы некоммутирующих аргументов. Приложение В содержит
основные сведения об интегралах от сингулярных функций и пра-
правилах их вычисления.
В книге приняты следующие основные обозначения.
Постоянная Планка п принята равной единице.
Операторы обозначаются полужирным шрифтом, векторные
величины снабжены сверху стрелкой.
Координата q означает совокупность пространственной х,
спиновой а и изотопической х координат; координата х объеди-
объединяет q и время t. Соответственно

Функции б (q — q') и б4 (х — х') означают:
Часто используется цифровое обозначение координат и вре-
времени:
(l) = (<7i> 'i). Jdl=Jd%. вA-2) = в*(*1-*а).
Трехмерный дифференциал импульса имеет следующий вид:
Фурье-образ функции определяется соотношениями
/-> = J dxf (х) ехр (—ip x),
f{x) = §dspf
Вводятся также четырехмерные импульсы р = (р, е):
(рх) = р х — et,
Четырехмерный фурье-образ определен согласно условию
Коммутаторы и антикоммутаторы операторов обозначаются
соответственно прямыми и фигурными скобками.
[а, Ь\= аЬ — Ьа, {а, Ь) = аЬ + Ьа.
* *
*
Автор глубоко признателен И. Е. Тамму и В. Л. Гинзбургу,
по инициативе и при поддержке которых было предпринято напи-
написание этой книги, Е. Л. Фейнбергу, просмотревшему рукопись
и высказавшему ряд ценных замечаний и советов, и А. С. Давы-
Давыдову, ознакомившемуся с первым вариантом рукописи. Работая
над книгой, автор учел замечания и советы большого числа лиц.
Всем им, в особенности В. Н. Алямовскому, Г. М. Ваградову,
Л. В. Келдышу, Е. С. Фрадкину и В. В. Шмидту, автор приносит
глубокую благодарность.

ГЛАВА I
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ
МНОГИХ ЧАСТИЦ
1.1. Полевые методы квантовой теории многих частиц бази-
базируются в конечном счете на обычном уравнении Шредингера:
(Q, t)^=0.	A.1)
Здесь Q = {<7i, ¦ - ., qN) — совокупность координат системы N
частиц; под qt понимаются как пространственные хг, так и дискрет-
дискретные (спиновые <т(, изотопические т4) координаты г'-й частицы.
Гамильтониан Н считается заданной функцией координат, опера-
торов импульса р = —/V и матриц, действующих на дискретные
координаты.
В дальнейшем будем предполагать, что гамильтониан не зави-
зависит явно от времени. Это позволяет ввести понятие о стационар-
стационарных состояних системы, отвечающих энергии ?,j
? (Q, t) = exp {-iEt) ? (Q), |
(H — E)W (Q) = 0.	j	'( '
Состояние с наименьшим значением энергии носит название основ-
основного. В дальнейшем речь будет идти почти исключительно о ста-
стационарных состояниях системы.
Волновая функция системы тождественных фермионов должна
быть антисимметричной функцией их координат. Определенным
видоизменением аппарата теории можно добиться распростране-
распространения этого свойства и на системы различных по своей природе
частиц, если ограничиться приближением, в котором их характе-
характеристики (массы, законы взаимодействия и т. п.) совпадают. Важ-
Важнейшим примером такого рода является система протонов и нейтро-
нейтронов в пренебрежении их электромагнитными взаимодействиями.
1!

Антисимметрия волновой функции достигается при этом введе-
введением дополнительной изотопической степени свободы частицы,
позволяющей трактовать протон и нейтрон как разные состояния
единой частицы — нуклона *.
1. 2. Гамильтониан системы может быть представлен в виде
суммы двух слагаемых Н = HF + Н,. Свободный гамильто-
гамильтониан HF представляет собой сумму операторов кинетической
энергии частиц и энергии их взаимодействия с внешним полем U:
п
A.
Т = р*/2М + U (q).
Гамильтониан взаимодействия Н, содержит члены, отвечаю-
отвечающие парному, тройному и т. д. взаимодействию между частицами.
Чаще всего приходится иметь дело с парным взаимодействием
.V
'к</	(L4)
(штрих у суммы означает пропуск слагаемого с i =/).
В теории многих частиц потенциал взаимодействия V счи-
считается заданной функцией координат частиц, их спинов, импуль-
импульсов и т. п.**. Вид этой функции выбирается либо из теоретических
соображений (электромагнитные взаимодействия), либо заим-
заимствуется непосредственно из опыта.
В некоторых случаях оказывается полезным введение эффек-
эффективного потенциала взаимодействия, нахождение которого тре-
требует уже специальных вычислений. Так обстоит, например, дело
при рассмотрении системы частиц двух сортов (для определенно-
определенности а и Ь), если частицы а интересуют нас не сами по себе, а лишь
с точки зрения их влияния на движение частиц Ь. Учет этого влия-
влияния, сводящийся к исключению динамических переменных ча:
стиц а, приводит к эффективному изменению потенциала взаимо-
взаимодействия между частицами Ь.
С подобной ситуацией приходится сталкиваться в проблеме
сверхпроводимости металлов, где объектом рассмотрения является
система электронов и атомов решетки. Эффективный потенциал
взаимодействия между электронами, учитывающий колебания
решетки, может радикальным образом отличаться от исходного
кулоновского потенциала. Это обстоятельство лежит в основе
существующей теории сверхпроводимости [9,30].
* Подробнее см. в работе [28]. Там же можно найти необходимые для даль-
дальнейшего сведения об апнарате изотопического спина.
** В дальнейшем, имея в виду нерелятивистский характер движения частии,
мы будем пренебрегать электромагнитным запаздыванием их взаимодействия.
При необходимости учета запаздывания в низшем пгрлдке по 1/с2 можнополь-
зоваться потенциалом Брейта [29], относящимся к классу взаимодействий, зави-
зависящих от импульса.
12

1. 3. В простейших случаях потенциал взаимодействия пред-
представляет собой функцию только координат частиц. Примером
может служить кулоновское взаимодействие (е — заряд частицы;
V« = 7t-	(L5)
Потенциал взаимодействия может зависеть также от операторов
импульса, спина и т. д. С физической точки зрения это означает,
что самый'характер взаимодействия между частицами (величина
взаимодействия, его знак) зависит от того состояния, в котором они
находятся. Такими свойствами обладают взаимодействия между
сложными частицами — атомами, молекулами, ядрами, а также
взаимодействия между нуклонами. Именно этот последний слу-
случай мы будем иметь в виду в этом и следующем разделах.
Потенциал взаимодействия включает в себя при этом ряд
типичных комбинаций операторов. К их числу относятся прежде
всего операторы обмена пространственных sf'f, спиновых $$
и изотопических $*$ координат, меняющие местами при действии
на волновую функцию соответствующие координаты г-й и /-й
частиц. В явной форме можно написать [23 ]
-> ->	-> -¦
/ Ц = 	g	 ' & Ч = 	2	>	' '
Ц
>	>
где а и т — матрицы Паули, действующие на соответствующие
координаты. Что же касается оператора ef <•*>, то он выражается
явным образом через оператор импульса частиц. В пренебрежении
электромагнитными эффектами оператор <# w сводится к —$^3 (т).
Это обстоятельство связано с антисимметрией волновой функции
Общее выражение для потенциала обменных сил может быть
записано в виде
, ..A. 7).
где отдельные члены носят название соответственно сил Вигнера,
Бартлета, Гейзенберга и Майорана. Особо выделяют силы Сербера,
содержащие характерную комбинацию,
Эти силы отличны от нуля лишь в состояниях с четным значением
орбитального момента относительного движения частиц.
Наряду с собственно ядерными силами, не зависящими от рода
взаимодействующих нуклонов, необходимо учитывать кулоновское
взаимодействие, присущее только протонам. Чтобы отразить
13

это обстоятельство, следует ввести операторы ?(р) и g(n), выделяю-
выделяющие соответственно протонное и нейтронное состояния:
?(Р) = 4-A+тз). ?(«)=-§-0-fa).	0-9)
где т3 — соответствующая матрица Паули. Потенциал кулонов-
ского взаимодействия между нуклонами имеет следующий вид:
Кроме того, потенциал нуклонного взаимодействия содержит
члены, отвечающие тензорным и спин-орбитальным силам и зави-
зависящие от операторов спина и относительного момента количества
движения. Явные выражения потенциалов этих сил в дальнейшем
не понадобятся.
1. 4. Говоря о потенциале взаимодействия между частицами
многонуклонной системы, следует иметь в виду, что какие-либо
прямые данные, касающиеся этого потенциала, по существу
отсутствуют. С одной стороны, теоретическое решение вопроса
о взаимодействиях в многонуклонной системе могло бы быть
получено лишь на основе мезонной теории таких систем. Подоб-
Подобной теории, однако, до настоящего времени не существует. С дру-
другой стороны, опытные данные по взаимодействию нуклонов, кото-
которыми располагает ядерная физика, относятся почти исключи-
исключительно к паре изолированных частиц (рассеяние нуклонов на
нуклонах, дейтрон и т. д.).
Ввиду сравнительной малости расстояния между частицами
в реальных многонуклонных системах предположение о совпаде-
совпадении потенциалов взаимодействия между изолированными нукло-
нуклонами и нуклонами, входящими в состав системы, представляется
априори маловероятным. С этой точки зрения возможно появле-
появление многочастичных — тройных, четверных и т. п. — сил взаи-
взаимодействия между нуклонами.
Следует, однако, отметить, что какие-либо убедительные ко-
количественные оценки роли многочастичных сил до настоящего
времени отсутствуют и в целом обсуждаемый вопрос остается пока
открытым.
В связи с этим в теории ядра наряду с феноменологическим
существует и другое направление, основанное на предположении
о малости многочастичных сил. Благодаря этому предположению
для вычисления характеристик многонуклонной системы можно
использовать эмпирический потенциал взаимодействия между
изолированными частицами. Сравнивая вычисленные таким обра-
образом величины с результатами опыта, можно в принципе найти пре-
пределы применимости указанного предположения.
Такое сравнение, проведенное к настоящему времени уже для
целого ряда характеристик атомного ядра, не привело пока
к сколько-нибудь заметным противоречиям. Это позволяет думать,
14

что микроскопическая теория атомного ядра, основанная на ис-
использовании эмпирического парного потенциала взаимодействия,
может претендовать (по крайней мере в области невысоких энер-
энергий) на возможность качественного, а в целом ряде отношений
и количественного описания ядра.
Поэтому в дальнейшем при рассмотрении многонуклонной
системы-будет использован эмпирический парный потенциал взаи-
взаимодействия. В целях упрощения выкладок этот потенциал выби-
выбирается в следующей приближенной форме * [31 ]:
V= V{a) + Vic) + V(k).	A.11)
Здесь V(a) — главная часть взаимодействия, обеспечивающая
притяжение между нуклонами. Она имеет характер сил Сербера:
Vla)=Vw(r)S.
Функцию V(a) (r) можно аппроксимировать прямоугольной потен-
потенциальной ямой:
Vw(r) = -V0 (c<r<a), Via)(r) = 0 (r<c, r>a).
Численно можно принять
. У°=4УИ(;2_СJ^28 Мае,
a ?« 2,3 фермы, с «=* 0,4 фермы.
На малых расстояниях действуют интенсивные силы отталки-
отталкивания вигнеровского типа («твердая сердцевина») [35]:
VM(r) = со (r<c); V(e)(r) = 0 (r>c).
Наконец, К(*> — кулоновское взаимодействие между протонами
[см. выражение A. 10)].
Приведенное'выражение для V не отражает ряда особенностей
реальных ядерных сил: некоторого различия во взаимодействии
в синглетном и триплетном спиновых состояниях (для системы
протон — нейтрон при четных значениях орбитального момента /),
отличия от нуля дальнодействующего потенциала при нечет-
нечетных /, заметной роли тензорных и спин-орбитальных сил и т. д.
Следует, впрочем, заметить, что роль перечисленных эффек-
эффектов заметна в основном лишь с точки зрения задачи двух тел.
При рассмотрении интегральных характеристик многонуклон-
многонуклонной системы вклад этих эффектов за счет усреднения оказывается
в значительной степени подавленным. Поэтому потенциал A. 11),
будучи достаточно простым и удобным для расчетов, отражает
некоторые усредненные свойства ядерных сил, что делает его
пригодным для рассмотрения ряда задач теории ядерного веще-
вещества. Учет перечисленных эффектов в рамках излагаемых ниже
методов не вызывает никаких принципиальных затруднений.
* Подробные сведения об общей структура ядерных сил можно найти в рабо-
работах [28, 32]. Сводка полуэмпирических выражений для V содержится в рабо-
работах [33] и в статье Хюлтена [34].
15

1. 5. Большим формальным неудобством выражения A. 11)
является наличие явной бесконечности в потенциале V(C)- Хотя
никаких трудностей физического порядка при этом не возникает
{дело сводится просто к невозможности сближения нуклонов
до расстояний, меньших с), проведение соответствующих выкладок
крайне усложняется. Если относительный импульс k сталки-
сталкивающихся нуклонов имеет достаточно малую величину
&с«1,	A.12)
то оказывается возможным заменить потенциал V(C) некоторым
другим эквивалентным ему потенциалом, не содержащим уже
явных бесконечностей [36, 37].
С этой целью рассмотрим несколько более общую задачу
о рассеянии пары изолированных частиц с потенциалом взаимо-
взаимодействия между ними V (г), отличным от нуля лишь в области
г <с; в частности, этот потенциал может совпадать с V(C). Урав-
Уравнение Шредингера в системе центра масс может быть записано
в виде (М — масса частицы)
(А + k2) -ф (г) = MV Й Ц (г).	A.13)
Его решение в области г > с удовлетворяет свободному уравне-
уравнению Шредингера и имеет вид
->
^	] 5E», A.14)
Здесь щ (k) — парциальная амплитуда рассеяния с моментом /;
мы ограничились рассмотрением s- и р-волн, играющих при выпол-
выполнении условия A. 12) определяющую роль.
В области г <^с решение уравнения A. 13), разумеется, не
имеет ничего общего с выражением A. 14). Однако при выпол-
выполнении условия A. 12) детали поведения волновой функции внутри
сравнительно узкой области действия сил не должны играть суще-
существенной роли. Из-за соотношения неопределенностей эффектив-
эффективное расстояние между частицами порядка \lk > с. Поэтому ча-
частицы в указанной области проводят сравнительно малое время.
Можно поэтому считать, что выражение A. 14) справедливо не
только при г >> с, но и при г <С.с. Соответственно можно поста-
поставить вопрос о нахождении такого потенциала взаимодейст-
взаимодействия Кэфф, который приводит к выражению A. 14), справедливому
при всех г.
Действуя оператором А + k2 на функцию A. 14) и учитывая
->
соотношение AVr = —4лб (г), можно написать для левой части
уравнения A. 13)
(А + ?2Жг) = —4я( а0 + ах -g + . . . ) б (г). A. 15)
Сравнивая это выражение с правой частью уравнения A. 13),
можно найти вид искомого потенциала Кэфф.
16

Рассмотрим сначала s-рассеяние, играющее основную роль.
Исходя из легко проверяемого соотношения
и сравнивая правые части уравнений A. 15) и A. 13), нетрудно
прийти к следующему выражению для искомого потенциала:
A.16)
где б0 (k) — фаза s-рассеяния
^tfto)— 1].
Для потенциала V(C) фаза б0 (k) = —kc и в низшем порядке
по параметру kc можно написать окончательно
Потенциал A. 17), носящий название псевдопотенциала, несрав-
несравненно более удобен для вычислений, чем исходный потенциал V(Cy
Входящий в него оператор 1 + г -г- сводится к единице при дей-
действии на регулярную в точке г = 0 функцию и дает нуль при дей-
действии на функцию, имеющую особенность типа Mr. Благодаря
наличию оператора 1 + г-^- псевдопотенциал A. 17) может быть
использован для расчетов в высших приближениях теории воз-
возмущений. В этом отношении он существенно отличается от псевдо-
псевдопотенциала Ферми [32], который пригоден лишь для расчетов
в первом борновском приближении.
Следует подчеркнуть, что при выводе выражения A. 16) было
использовано только условие A. 12), означающее малость радиуса
действия сил по сравнению с длиной волны относительного дви-
движения частиц l/k. Малость амплитуды рассеяния по сравнению
с l/k при этом не использовалась. Поэтому выражение A. 16) при-
пригодно, вообще говоря, и для описания резонансной ситуации,
когда б0 ^ я/2.
Перейдем к нахождению поправок к псевдопотенциалу A. 17),
имеющих относительный порядок (kcJ (линейные члены, как ока-
оказывается, при этом отсутствуют). Прежде всего необходимо учесть
следующий член разложения по kc величины tg60 (k) в выраже-
выражении A. 16). Оставаясь в рамках принятого приближения, можно
17

произвести, согласно уравнению A. 15), замену k2 -> —А, а также
опустить оператор 1 -)-/¦_*. Это дает
(г) Л.	A.18)
Здесь и ниже
Помимо этого, поправочные члены рассматриваемого порядка
получаются за счет /^-рассеяния. Подставляя в уравнение A. 15)
соотношение
(kV) б (г) - - i 2 Va [б (г) Va exp (ik r)] ss
a
= — t 2 fVa6 @ Va + S (Ь Л1 ^ W
a
и учитывая, что для потенциала V(C) a-i (k) = —k2cs, будем иметь
W Йэфф = - ^ [2 Va6 (r) Va + б Й Л].	A. 19)
a
В заключение коснемся вопроса о погрешности, связанной со-
сделанным выше предположением о возможности замены точной
волновой функции выражением A. 14). Очевидно, что эта погреш-
погрешность будет сказываться лишь на членах высшего порядка по пара-
параметру kc. Анализ показывает [38], что соответствующий относи-
относительный вклад оказывается по крайней мере порядка (kcK и может
поэтому не учитываться.
1. 6. Из входящих в уравнение Шредингера величин можно-
составить в общем случае два независимых безразмерных пара-
параметра. Один из них — параметр взаимодействия a — опреде-
определяется отношением средней энергии взаимодействия пары частиц,
к их средней кинетической энергии. Другой — параметр сжа-
сжатости \\ — равен отношению эффективного радиуса действия сил
к среднему расстоянию между частицами.
Соответственно величине этих параметров можно классифици-
классифицировать системы многих частиц по двум признакам: по силе взаи-
взаимодействия между частицами и по степени сжатости системы.
Взаимодействие в системе считается большим или малым в зави-
зависимости от того, велик или мал по сравнению с единицей пара-
параметр а. Аналогично система относится к классу сжатых или раз-
* В дальнейшем формула A. 18) будет использована лишь в первом борнов-
ском приближении, где этот оператор действует на регулярную в точке г = О
функцию.
18

реженных в соответствии с тем, велик или мал параметр ц. Такая
классификация оказывается весьма полезной для выбора подхо-
подходящего приближенного метода описания системы (см. § 16).
Важно подчеркнуть, что малость параметра а в сжатых
системах отнюдь не означает малости эффектов взаимодействия
в целом по системе. Дело в том, что в сжатых системах вну-
внутри радиуса действия сил находится много частиц, поэтому
полная энергия взаимодействия может достигать при этом замет-
заметной величины и даже превышать значение полной кинетической
энергии.
Перейдем к конкретному рассмотрению введенных параметров.
Системы с кулоновскими и короткодействующими силами требуют
раздельного исследования.
Система частиц, связанных короткодействующими силами,
характеризуется следующими величинами: массой частиц М,
средней величиной потенциала взаимодействия Vo * и радиусом
действия сил R. Сюда следует еще добавить среднюю плотность
числа частиц q или связанное с ним среднее расстояние между
частицами а = —= . Если система находится в газоподоб-
\4jiq/
ном (несвязанном) состоянии или подвергнута принудительному
сжатию, то величина d должна задаваться независимо, например
через граничные условия задачи. Если же система находится
в связанном состоянии (например, атомное ядро), то величина d
может быть в принципе выражена через М, Vo и R.
Система с кулоновским взаимодействием характеризуется
меньшим числом параметров: М, d и е (заряд частиц). Понятие
радиуса действия для кулоновских сил отсутствует. Заметим,
впрочем, что имеется возможность ввести понятие об эффектив-
эффективном радиусе действия сил, роль которого играет радиус дебаев-
ского экранирования [4, 39] (см. § 16 и 27):
*.-151.	О-20)
где v0 — характерная величина скорости частицы; a>L = I
частота плазменных колебаний.
При рассмотрении систем с короткодействующими силами
речь будет идти исключительно о случае нулевой температуры **.
Для систем с кулоновскими силами значительный интерес пред-
представляет также и противоположный предельный случай высоких
температур.
* Случай потенциала «твердой сердцевины» особый. Он будет рассмотрен
ниже.
** «Горячие» системы такого рода не представляют большого интереса, так
как роль тепловой энергии у них мала. Так, например, возбужденному атомному
ядру может быть приписана температура всего лишь порядка 1 Мэв.
19

1. 7. Рассмотрим сначала систему с короткодействующими
силами. Как уже говорилось, параметр сжатости ц определяется
отношением
Если потенциал взаимодействия содержит два радиуса действия
сил, то система может быть сжатой по отношению к одному из ра-
радиусов и разреженной по отношению к другому. Это характерно,
например, для потенциала ядерных сил (см. раздел 1.4). В этом
случае силы притяжения имеют радиус а ^ 2,3 ферми, силы
отталкивания — с я» 0,4 ферми, среднее расстояние между ча-
частицами ядра равно примерно 1,3 ферми. Поэтому атомное ядро
является сравнительно сжатой системой по отношению к силам
притяжения и сравнительно разреженной по отношению к силам
отталкивания.
Определим выражение для параметра взаимодействия а.
В сжатых системах средняя энергия взаимодействия пары ча-
частиц порядка Vo, их средняя кинетическая энергия порядка
ро/М — (Md2)'1, где р0 -— \1й — характерное значение импульса.
Отсюда
a~MVod2.	A.22)
В разреженных системах оценка кинетической энергии остается
прежней, но эффективная энергия взаимодействия оказывается
в (d/RK раз меньше, чем для сжатых систем; это связано с тем, что
частицы проводят в области действия сил лишь малую долю вре-
времени. Поэтому
1.	A.23)
Существенную роль при рассмотрении разреженных систем играет
также параметр
a' ~MV0R2~ а/ц,	A.24)
появляющийся при описании рассеяния изолированных частиц
и определяющий применимость борновского приближения [24].
Если параметр а' не мал по сравнению с единицей, то можно
привести другую формулу для параметра а, позволяющую вклю-
включить в рассмотрение потенциал «твердой сердцевины» и перехо-
переходящую при а' -> 0 в соотношение A. 23). Записав V0R3 в виде
-> ->
f drV (г) и подставив выражение для псевдопотенциала * [см. вы-
выражение A. 16)], получим
a.— lid,	A.23'>
* Условие разреженности фактически совпадает с неравенством A. 12)г
так как k ~ 1/d, поэтому переход к псевдопотенциалу в данном случае оправдан.
20

где / =	g k	длина рассеяния. Для потенциала «твер-
«твердой сердцевины» /%с и
а
При резонансном рассеянии б <^ я/2 I > d, и мы получаем а ^> 1;
взаимодействие между частицами играет при этом заметную роль,
несмотря на разреженность системы.
Проанализируем, исходя из приведенных соотношений, потен-
потенциал ядерных сил. Для сил притяжения между нуклонами в атом-
атомном ядре соотношение A. 22) дает значение а, численно близкое-
к единице. Эти силы нужно, таким образом, отнести к взаимодей-
взаимодействиям промежуточной интенсивности. Принудительно сжатую-
систему нуклонов, рассматриваемую в астрофизике, можно отне-
отнести уже к системам со слабым взаимодействием. Так, для системы,
имеющей плотность 1014г/сж3, параметр а оказывается порядка 1/2.
Потенциал «твердой сердцевины» в ядре также относится к раз-
разряду слабых взаимодействий [см. выражение A.25)], однако'
при сжатии системы соответствующий параметр а стремится
к единице.
Особый случай представляют собой сильно разреженные-
многонуклонные системы, среднее расстояние между частицами
которых превышает радиус действия сил притяжения. Взаимо-
Взаимодействие в таких системах носит резонансный характер: наличие-
уровня (реального или виртуального) малой энергии приводит
к большой величине длины рассеяния (/ —' 20 ферми). Соответ-
Соответствующий параметр а оказывается большим. Есть основания
думать, что подобная ситуация может представлять интерес для
проблемы нейтронной материи [40] (см. § 7 и 27).
1. 8. Рассмотрим систему с кулоновским взаимодействием
в случае нулевой температуры.
Удобно с самого начала ввести величину а0 = (Me2) —
радиус боровской орбиты. Учитывая, что р0 ~ Mv0 ~ 1/d, из
соотношения A. 20) получим следующее выражение для дебаев-
ского радиуса:
/?0~(a«>d)V. ,	A-26).
откуда параметр сжатости
Система, таким образом, считается сжатой или разреженной
в зависимости от соотношения среднего расстояния между части-
частицами и радиуса боровской орбиты.
Выражение для параметра взаимодействия а в случае сжатых
кулоновских систем можно получить из соотношения A. 22),
подставляя вместо V0 величину e2/d — кулоновскую энергию,
отнесенную к среднему расстоянию между частицами. Это дает
а~4	"f ~(аоРоГ-	A-28).
	
Выражение a — e2/v0 часто используется в литературе.
21

Разреженных кулоновских систем, у которых d ^> а0, мы не
«будем касаться. Большая величина кулрновского взаимодействия
в таких системах приводит к их переходу в конденсированное
•состояние [41, 42]. Физически это связано с тем, что в газовом
•состоянии не может быть выполнена теорема вириала из-за мало-
малости кинетической энергии по сравнению с кулоновской. Образо-
Образование конденсата восстанавливает баланс энергии, поскольку
колебания частиц около положений равновесия приводят к долж-
должному увеличению их кинетической энергии. Поэтому увеличение
расстояния между частицами не только не препятствует, а, наобо-
наоборот, способствует появлению в системе ближнего порядка.
Оценим величину параметра а для некоторых реальных си-
систем. Атомное ядро, например, оказывается системой со слабым
кулоновским взаимодействием. В самом деле, величина d для
такой системы равна примерно 1 ферма, а боровский радиус про-
протона — 30 ферма. Для электронов проводимости металла пара-
параметр а имеет порядок единицы. В атоме с числом электронов Z
параметр а ~ Z~^' и при больших Z мал (см. § 5).
Как видно из изложенного, параметры а и ц в кулоновской
системе не независимы: сжатая система, например, одновременно
является системой со слабым взаимодействием.
Также обстоит дело и в случае высоких температур. При этом
роль кинетической энергии играет величина kT, соответственно
*>о — (кТ1МУ'\ откуда
Отметим, что (как следует из выражения для ц) с увеличением
расстояния между частицами система становится по принятому
определению не разреженной, а, напротив, более сжатой. Этот
несколько парадоксальный вывод связан с тем, что величина де-
•баевского радиуса быстро растет с увеличением расстояния между
частицами.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
2. 1. Кроме способа, изложенного в § 1, возможны и другие
способы описания квантовой системы — другие представления.
При переходе к новому представлению наблюдаемые величины —
собственные значения операторов, их средние значения, вероят-
вероятности переходов и т. д. — должны, разумеется, оставаться неиз-
неизменными.
Переход от одного представления к другому осуществляется
с помощью унитарного оператора перехода U. Соответствующее
изменение волновой функции дается соотношением
W = (TV,	B. 1)
22

а изменение оператора физической величины а соотношением
а' = [/аи1.	B. 2)
Штрихом снабжены преобразованные величины.
Легко видеть, что матричные элементы оператора при пере-
переходе к новому представлению вообще не меняются:
(?'1|а'|?;) = (?1|а|?2).	B.з)
Благодаря этому остаются неизменными и перечисленные выше
наблюдаемые величины.
2. 2. Переходом к новому представлению можно добиться
прежде всего изменения характера зависимости волновой функ-
функции и операторов от времени. Имеется возможность полностью
или частично «перенести» эту зависимость с волновой функции
на операторы.
В исходном уравнении A. 1) от времени зависит лишь волновая
функция, а не операторы физических величин. Такой способ
описания отвечает представлению Шредингера.
Представление же Гейзенберга характеризуется тем, что от
времени зависит не волновая функция, а операторы. Снабдим
величины, относящиеся к этому представлению, индексом «г».
Приравнивая нулю производную Yr = UY по времени и учиты-
учитывая уравнение A. 1), получим
d/d — UH.
Требуя, чтобы при t = 0 величины в обоих рассматриваемых
представлениях совпадали, найдем U = exp (iHt), откуда
?r = exp (iHt) V,
аг = exp (iHt) а ехр (— iHt).
Если подставить во второе соотношение а = Н, то получим
Нг —Н. Дифференцированием соотношения для аг легко найти
уравнение движения для оператора в представлении Гейзенберга:
i^-r = [ar, НГ\ = [«Г,Н].	B.4)
Отсюда следует, что dHJdt = 0, поэтому оператор Нг можно
относить к любому моменту времени.
Применяя оператор U к волновой функции стационарного
состояния, легко видеть, что в этом случае Yr просто совпадает
с не зависящей от времени частью волновой функции Y (Q) [см.
уравнение A. 2)].
В дальнейшем нам понадобится общее выражение для матрич-
матричного элемента оператора, относящегося к стационарным состоя-
состояниям системы. Речь идет о величине
Щтп) =<Чгг(га)|ог \VTln)),
где ^Г(П) — собственная функция гамильтониана Н^?Г{П) =
= ?(„) Wrin). Можно без труда найти явную зависимость вели-

чины М(тп) от времени. С этой целью продифференцируем Mirnn)
no t с учетом уравнения B. 4):
.
1 (
Окончательно имеем
[вг> Щ |
— i(Eln)—Elm))t].	B.5)
Здесь a — оператор в представлении Шредингера.
2. 3. Частичное перенесение зависимости от времени с волно-
волновой функции на операторы приводит нас к представлению взаимо-
взаимодействия. Выразим гамильтониан Н в виде суммы Но + Н'\
Но можно отождествить со свободным гамильтонианом HF, а Я' —
•с гамильтонианом взаимодействия Hi ( в гл. III используется иное
разложение Н на Н0 и Н').
Будем требовать, чтобы зависимость волновой функции от вре-
времени определялась оператором Н', а эволюция операторов во вре-
времени происходила бы за счет оператора Но. Такое представление
можно считать, как показывают соответствующие формулы, гей-
гейзенберговским по отношению к Но и шредингеровским по отно-
отношению к Н'. При отсутствии взаимодействия мы возвращаемся,
очевидно, к представлению Гейзенберга.
Снабжая величины в представлении взаимодействия индек-
индексом «в», можно записать уравнение Шредингера в следующем виде:
i ^f = НУВ.	B. 6)
Учитывая выражения B. 1) и B. 2) и используя уравнение A. 1),
;найдем
•откуда
U -¦- exp (iHot).
Таким образом,
?в = exp (iHot) ?,
ав = ехр (Ш„1) а exp (—iHot),	B ?)
Найдем далее явную зависимость от времени матричного эле-
элемента:

Повторяя рассуждения, которые привели нас к соотношению B. 5)„
получим
= (?<><,„) |а|?0<л))ехр[—i(E0{n) — E0{m))t}, . B.8)
где ^?о(п) является решением уравнения
Н0^0A1) = ^0 (nJ^O (п) •
Нетрудно найти и оператор перехода от представления взаимо-
взаимодействия к представлению Гейзенберга. Совершая промежуточный
переход в представление Шредингера, получим *
U = exp. (iHt) exp (—iHot).	B. 9)
Другое выражение для этого оператора дается S-матрицей (см.
гл. III).
При переходе от представления Шредингера к представлениям
Гейзенберга и взаимодействия полезно иметь в виду, что преобра-
преобразованное произведение операторов равно произведению преобра-
преобразованных сомножителей
Uab ... zU'1 =-= UaU1 UbU~l ...,
или
{ab ... z)' = a'b' ... z'.	B. 10)
В частности, преобразуя соотношение типа {а, Ь\ — с, где с не
оператор, а обычное число — с-число, легко убедиться, что
[a'(t), b'(t)} = U{t)cU{tTl = c,	B.11)
где преобразованные операторы отнесены к одному и тому же мо-
моменту времени. Таким образом, соотношение рассмотренного типа
(его называют перестановочным соотношением) сохраняет свой
вид во всех представлениях, если относить входящие в него опе-
операторы к единому моменту времени.
2. 4. Другая возможность изменения способа описания си-
системы связана с переходом от координат Q к новым динамическим
переменным к. Пусть Ф^ (Q) — полная ортонормированная си-
система функций, отвечающих определенным значениям этих пере-
переменных.
Разложим волновую функцию ? (Q, t) по этой системе:
W(Q, 9 = ?m t)<DK(Q).	B.12)
Коэффициент этого разложения
lQL(Q,t)	B.13)
* Объединение показателей в этой формуле недопустимо, так как операторы
Нй и Н не коммутируют друг с другом.
25

играет роль волновой функции в новом представлении. В частно-
частности, квадрат его модуля дает вероятность обнаружить данное зна-
значение Я, новой динамической переменной. Символ J dQ означает
интегрирование по всем пространственным и суммирование по всем
дискретным координатам.
Из сопоставления выражений B. 13) и B. 1) можно было
¦бы найти явный вид соответствующего оператора перехода U.
Построение преобразованного оператора а' не составило бы тогда
труда. Проще, однако, исходить непосредственно из равен-
равенства B. 3), которое дает выражение для матричного элемента
преобразованного оператора:
B.14)
2. 5. В качестве новых динамических переменных можно
выбрать величины, являющиеся характеристиками частиц си-
системы — их координаты, импульсы, энергии и т. п. При этом мы
имеем дело с так называемым конфигурационным представлением
(в широком смысле этого термина).
Функцию Фк (Q) в этом случае можно представить в виде про-
произведения одночастичных функций х?.,- (д(), каждая из которых
относится к одной из частиц системы (Xt — значение соответствую-
соответствующей динамической переменной /-й частицы). В частности, если
переменные Я, означают координаты частицы, то функция %xt (9i) =
= б (ql — qoi) является волновой функцией состояния с опреде-
определенным значением координаты, равным qol. В импульсном пред-
->
ставлении, где %i=pi*,
При этом преобразованная волновая функция Ч1" [pL . . . pN, t)
представляет собой фурье-образ функции W (Q, t).
Другая возможность выбора динамических переменных при-
приводит к важнейшему для дальнейшего представлению чисел запол-
заполнения (или представлению вторичного квантования), которое будет
подробно рассмотрено в следующем параграфе.
Для перехода к этому представлению необходимо задаться
произвольной полной совокупностью (базисом) одночастичных
волновых функций х?. (Фу ¦ ¦ •> %\ D) • • •> гДе числовой ин-
индекс указывает номер состояния в этой совокупности, а индекс Я,,
как и выше, показывает, собственными функциями какого опера-
оператора являются функции х- Динамической переменной следует при
этом считать не величины Я,, а число частиц системы, находящихся
в каждом из состояний выбранного базиса. Поскольку частицы
* Здесь для простоты опущены дискретные координаты. Q — нормировоч-
нормировочный объем.
26

системы считаются тождественными, такой подход дает полное
ее описание.
Из всего сказанного следует, что изменение способа описания
системы при переходе к новому представлению затрагивает разные
стороны этого описания. Сюда относится прежде всего возмож-
возможность изменения характера зависимости входящих в аппарат
теории величин от времени. Соответственно этому различаются
представления: Шредингера, Гейзенберга и представление взаи-
взаимодействия.
Имеются, далее, различные возможности специализации общего-
характера динамических переменных. Для конфигурационного,
представления — это величины, являющиеся характеристиками,
частиц системы, для представления чисел заполнения — числа
заполнения базиса.
Наконец, можно по-разному выбрать ту характеристику ча-
частицы (выше мы ее обозначали через Я), которая определяет состоя-
состояние системы (в конфигурационном представлении) или базис
состояний (в представлении чисел заполнения). В этом смысле
различаются координатное, импульсное, энергетическое и другие
представления.
Описание квантового объекта следует, таким образом, начи-
начинать с выбора определенной комбинации представлений трех пере-
перечисленных типов. В § 1, например, использована комбинация
координатного и конфигурационного представлений и представ-
представления Шредингера; в гл. III будет широко применяться комби-
комбинация импульсного представления и представлений взаимодей-
взаимодействия и чисел заполнения.
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ
3. 1. В рассматриваемом представлении динамическими пере-
переменными являются числа заполнения nv *, определяемые числом
частиц, находящихся в каждом состоянии %v выбранного базиса.
Последний задается выбором произвольной полной ортонормиро-
ванной системы одночастичных функций iv (q) (v = 1, 2 . . .).
В качестве %v можно, в частности, взять систему собственных
функций оператора Т [см. выражение A. 3)] с собственными зна-
значениями ev
Ty>v = ev%v.	C.1)
Такой выбор отвечает, очевидно, энергетическому представлению.
Переход к новому представлению следует начать с построения
системы функций Ф„ (Q) (п = пи п2 . . . ), отвечающих нахож-
нахождению пх частиц в состоянии Xi, п2 частиц — в состоянии %2 и т. д.
Перебирая всевозможные комбинации целых чисел nv, удовле-
удовлетворяющих условиям (речь идет о ферми-частицах) щ = О, 1,
* Соответственно этому мы пишем ниже Ф„ (Q) вместо Фд, (Q).
2?

2 nv = N, можно прийти к следующей полной ортонормированной
¦v
системе функций:
'SXv.fai) ••¦ %vnDn),	С3-2)
где среди индексов vx < v2 < v3 . . . имеется пх равных 1, п2 рав-
равных 2 и т. д. Символ 5 означает антисимметризацию по коорди-
координатам q.
В частности, для N = 2
Фг, о, о ... = Фо, 2, о . .. = О,
Фм.о ... = -р^- [X, (9i) Х2 (9а) — 5Ci (92) 5C2 (<?i)J
и т. д.
3. 2. Используя общую формулу B. 13), легко получить выра-
выражение для волновой функции в новом представлении:
?(л, t) = $dQQ>*n(Q)W(Q, t),	C.3)
играющей роль амплитуды вероятности обнаружения пу частиц
в состоянии Xi> и2 частиц — в состоянии %2 и т. д. В частности,
•если в этой формуле в качестве W (Q, t) возьмем саму функцию
¦Фп» (Q) (по = по\, «02 • • •). то мы придем к волновой функции
состояния с определенными значениями чисел заполнения, рав-
равными По'.
У% (п) = l<lQ<b: (Q) Ф„о (Q) = 6„, „о.	C. 4)
Реальную волновую функцию C. 3) всегда можно представить
,в виде суперпозиции функций C. 4) с зависящими от времени
коэффициентами:
где
С (п0, t) = W (n0, 0-
Особую роль в теории играет состояние «вакуума», отве-
отвечающее полному отсутствию частиц. Волновая функция этого
состояния, для которого п01 = п02 = • • • = 0, обозначается
через ^вак (п). Как и другие функции C. 4), отвечающие фикси-
фиксированным числам заполнения, она нормирована на единицу.
3. 3. Прежде чем формулировать правила построения опера-
операторов в новом представлении (эти операторы должны действовать
на функции чисел заполнения), необходимо ввести так называемые
операторы уничтожения и рождения Av и At- Результат их дей-
28

ствия на произвольную функцию чисел заполнения определяется
следующим образом:
(..., nv+l, ...),
. .., nv 1 ) I
v
Числа заполнения % с Ц v вообще не меняются; показатель а
V— 1
равен 2 %•
Из приведенного определения следует, что оператор Av играет
роль оператора уничтожения, a At — оператора рождения ча-
частицы в состоянии %v. В результате действия этих операторов
на волновую функцию Wno (л) получаются выражения, пропор-
пропорциональные соответственно *
ч
к
бра:
Av
пт ¦
"oi -
зом,
¦ • 4+1.
¦ Ч-1'
• ¦ ¦ ¦ nov
"ov • • • - б
... - v4-
"г "oi ' ' '
"i- "oi ¦ ¦ ¦
4.
4-
, /2OV-
"ov-1 •¦•
«0V+1 ¦ ¦
-1, ...,
^v *nol	„ov, .,.~V - «ov ^nOi	"OV+1'
В частности, при действии на вакуум оператор уничтожения дает
нуль:
Л^вак = 0, W*BaKA+ = 0.	C. 6)
Второе равенство получается сопряжением первого.
Из соотношения C. 5) нетрудно получить следующие правила
коммутации операторов А и А+:
\Аа, At] = 6UVf	I
+ +\	(	' '
Из соотношения (З. 7) получаем
(Avf = (Atf = 0.
С помощью введенных операторов легко связать волновую
функцию ?„о (л) с вакуумом:
х?п (л) = (AtY01 (At)n°" ... vFBaK.	C.8)
Отсюда с учетом предыдущих равенств легко прийти к неравен-
неравенству nov < 1, выражающему принцип Паули.
* Обычно операторы А и А+ определяются по их действию не на динамическую
переменную п, а на индекс состояния п0. Поэтому определение C. 5), отличаясь
от обычного, представляется более последовательным с точки зрения общего
понятия об операторе в квантовой теории.
29

Практически никогда не приходится пользоваться определе-
определением операторов А, А+. Дело сводится обычно к необходимости
вычисления матричного элемента произведения таких операторов,
что выполняется без труда с помощью соотношений C. 6)—C. 8)
и условия нормировки вакуума. Так, например,
( W \л /Я+ I W М	 ( V Г| Л 	А^Л I V \ 	h
\ твак I л11лA I *вак )\— \ *вак«| ujxv ^H-^vl твак/ — IJ^v
Это относится и к операторным функциям (см. раздел 3. 4).
3. 4. Помимо операторов Av и А^, отвечающих уничтожению
и рождению частицы в состоянии v, большую роль в аппарате
теории играют операторные функции (или операторы поля) яр (^)
и я|5+ (q), описывающие уничтожение и рождение частицы в точке q.
Эти функции определяются следующим образом:
2	2^txC(<7)-	C. 9)
Покажем, что в результате действия оператора я|э+ (^0) на ва-
вакуум действительно получается состояние локализованной
в точке q0 частицы. Имеем
1>+ (<7о) ^вак = 2 ll (<7o) в»г о • • • e»v. 1 • • •,
где единица отвечает занятому v-му состоянию. Переходя в кон-
конфигурационное представление [см. выражение B. 12) ] и учиты-
учитывая, что для одночастичного состояния функция Ф„ (Q) равна
просто %v (q), с помощью условия полноты системы функций %v (q)
найдем *
2 lv (<7o) Xv (Я) = б (<7 - <7о)-
откуда и следует высказанное утверждение.
Пользуясь тем же условием полноты, нетрудно найти правила
коммутации рассматриваемых операторов. На основе правил
коммутации C. 7) получим
Подобно выражению C. 6) можно написать
*(<7)YMK = 0, ?;ак^+(G) = 0.	C.11)
3. 5. Пользуясь выражениями C. 5), нетрудно показать, что
оператор
nv = AtAv	C.12)
удовлетворяет соотношению
* Здесь и ниже 6 (q — q0) означает произведение б-функции пространствен-
пространственных координат и 6-символов дискретных координат.
30

и может быть поэтому назван оператором чисел заполнения.
Операторы щ коммутируют друг с другом.
Оператор полного числа частиц N = 2"v удовлетворяет не
только соотношению Л^„о = ОТ„„ но и более жесткому условию
NW(n, t) = NW(n, t),	-	C.13)
которое связано с сохранением полного числа частиц системы.
Иными словами, оператор N коммутирует с полным гамильто-
гамильтонианом системы.
Оператор N можно выразить и через операторы поля:
(q)q(q).	C.14)
Пользуясь перестановочными соотношениями C. 10), нетрудно
получить полезное соотношение
МК<7) = *(<7)(ЛГ-1).	C.15)
3. 6. Сформулируем правила построения оператора произволь-
произвольной физической величины а в представлении чисел заполнения.
Искомый оператор выражается через операторы рождения и унич-
уничтожения и имеет следующий простой вид:
aiKft) ... *У. C.16)
Для доказательства этого достаточно, использовав выраже-
выражение B. 14), убедиться в выполнении равенства
J
которое в свою очередь вытекает из соотношения
j ф fa) .. ф Ы УПо = ФПо
Последнее соотношение уже нетрудно доказать. В самом деле,
произведение операторов ф уничтожает все частицы, присутствую-
присутствующие в ?„0, и переводит эту функцию в вакуум. Каждый акт уни-
уничтожения сопровождается, согласно определению C. 9), появле-
появлением функции xv (v)> причем получившееся произведение этих
функций будет, как и исходное произведение операторов, антисим-
антисимметричным. Остается убедиться в правильности численного коэф-
коэффициента.
Норма правой части последнего соотношения равна единице,
левой части — выражению
Если выделить оператор N = J dqxty+ (qt) г|? (qj и перенести его
направо с учетом выражения C. 15), затем повторить ту же
31

процедуру с N = § dq^+ (q2) л|э (q2) и т. д., то в результате при-
придем к равному единице выражению:
Если оператор а имеет «-частичную структуру
где штрих означает пропуск всех слагаемых, у которых хотя бы
одна пара индексов совпадает, то общую формулу C. 16) можно
упростить. Для этого нужно образовать операторы N, относя-
относящиеся к аргументам, не входящим в ai .. . i , и перенести их
направо, учитывая соотношения C. 15) и C: 13). В результате
получается известное выражение:
qx... dqn^ + (qn) .. . *+ fa) аф fa)* fa), C. 18)
в котором уже нет суммирования по частицам.
3. 7. На основе сформулированных правил нетрудно по-
построить гамильтониан системы с парным взаимодействием в пред-
представлении чисел заполнения. Исходя из соотношений A. 3),
A. 4) и учитывая выражения C. 17) и C. 18), получим
Я = [ dq^+ (q) Г* (q) +-L[ dqdq'ty+ (q) X
(q).	C.19)
Само уравнение Шредингера в рассматриваемом представлении
имеет вид
Гамильтониан C. 19) можно выразить и непосредственно через
операторы А, Л+. Подставив в выражение C. 19) соотноше-
соотношения C. 9) и введя обозначения
(vii\V\aK) =$
получим
+	! 2	$t+ C.
Если базис представления %v {q) удовлетворяет уравне-
уравнению C. 1), то первое слагаемое выражения C. 20) можно записать
в виде
tfF = 5X«v' ,	C.2Ц
V
32

3. 8. До сих пор речь шла о системе тождественных частиц.
Описание системы протонов и нейтронов в пренебрежении их элек-
электромагнитными взаимодействиями также осуществляется с по-
помощью приведенных выше соотношений, если под q понимать
пространственные, спиновую и изотопическую координаты, под
v — соответствующие индексы состояния. В частности, в v должна
быть включена проекция изотопического спина t; значения t =
— +V2 и t = —V2 отвечают соответственно протонному и ней-
нейтронному состояниям.
Оператор поля ф (q), удовлетворяющий перестановочным соот-
соотношениям C. 10), можно выразить через операторы протонного
и нейтронного полей \q = x, a)-
* (<7) = 2 Aviv (Ф - f (р) (?) «т. •/, + *<»> [я) ^, -V,- C- 22)
Операторы г|з(р), -ф^, как и г|з(л), яр^, удовлетворяют правилам
коммутации C. 10). Что же касается операторов поля разных
частиц, то они антикоммутируют друг с другом. Это обстоятель-
обстоятельство не находится в противоречии с независимостью этих частиц
(в смысле отсутствия запрета Паули), поскольку операторы физи-
физических величин, билинейные относительно ф и ф+, коммутируют
при этом друг с другом.
Гамильтониан системы протонов и нейтронов в представлении
чисел заполнения по-прежнему записывается в виде C. 19), где
под яр (q)- нужно понимать выражение C. 22), а под V— потен-
потенциал A. 11) (без кулоновского члена) *. Подставляя в Н разло-
разложение C. 22), можно написать
-г -9- dq dq' \ty(P) (q i|5(t) q' ViPP)^(nP) (q')
,' \	/ ~ \
^(n) W / Ми) ^(n) W i %,
C.23)
Остальные члены, содержащие нечетное число индексов (р)
и (п), исчезают в силу соотношения
* Об учете кулоновского взаимодействия в атомном ядре см. в § 7.
33

Потенциалы взаимодействия между одинаковыми частицами
имеют вид
1/ (!
V{a)	2	.	C.24)
Что же касается потенциала взаимодействия между протонами
и нейтронами, то он состоит из двух частей. Первая
С*) = V{c) + ^	C. 25)
не меняет вида взаимодействующих частиц, вторая
/B)	,,
(Pn) = —V(a)
1/B)	,, (У()	,„ „г,
V(Pn) = —V(a)—2~~	C- 25
приводит к превращению протона в нейтрон и обратно.
Таким образом, в дальнейшем в качестве гамильтониана си-
системы будет использовано общее выражение C. 19), пригодное для
описания как многоэлектронных, так и многонуклонных систем.
3. 9. Системы многих частиц в этом параграфе до сих пор
рассматривались в представлении Шредингера. В дальнейшем нам
понадобятся уравнения движения для операторов поля в пред-
представлении Гейзенберга. Для их получения следует воспользо-
воспользоваться общим соотношением B. 4), понимая под аг величину фг
или tyt и под//—гамильтониан C. 19). Заметим, что вместо Н
удобнее взять оператор //г, отнесенный к тому же моменту вре-
времени t, что и рассматриваемые операторы поля.. Пользуясь выра-
выражением B. 10), можно написать
4-
f dqdq ф+ (q, t) ф+ (q', t) Kfr(<7', *) *r(<7, <)• C- 26)
При вычислении коммутатора, входящего в соотношение B. 4),
приходится сталкиваться, таким образом, только с операторами,
отнесенными к одному и тому же моменту времени. Соответствую-
Соответствующие правила коммутации совпадают с аналогичными правилами
для операторов в представлении Шредингера C. 10) [см. соотно-
соотношение B. 11)]:
{1»г(<7, t), q+(q', t)\=6(q-q'),
{4>г(<7, t), гЫ<7\ t)} = №{q, 0, Ч>+(<7'. '))=<>. C.27)
34

При несовпадающих временах правила коммутации имеют весьма
сложный вид.
Используя далее простые тождества
[a, be] = {b, a)c — b{c,a),
[a, bede] — {b, a}cde — b {с, a) de + bc{d, a) e — bed {e, a),
где a, b, c, d, e — произвольные операторы, получаем окончательно
следующее уравнение в представлении Гейзенберга:
^	Г) фг (q, t) = f dq'$+ (Я\ t) Kf r (q't t) i|5r (q, t). C. 28)
Аналогичное уравнение для г|5^ (q, t) получается отсюда эрмито-
эрмитовым сопряжением.

ГЛАВА II
СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ
В ПРИБЛИЖЕНИИ ХАРТРИ —ФОКА
§ 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ — ФОКА
4. 1. Математические трудности, присущие теории многих
взаимодействующих частиц, побуждают начать построение этой
теории с выбора подходящего нулевого (исходного) приближения.
Этот выбор должен быть подчинен следующим двум требованиям.
С одной.стороны, необходимо, чтобы указанное приближение было
достаточно простым в математическом отношении. С другой сто-
стороны, желательно, чтобы оно как можно полнее отражало свой-
свойства реальной системы многих частиц.
Как уже отмечалось во введении, основные математические
трудности теории многих взаимодействующих частиц связаны
с тем, что понятие индивидуальных состояний частиц системы
(в отличие от понятия состояния системы в целом) теряет свой
точный смысл и может рассматриваться в лучшем случае как более
или менее удачное приближение к действительности. Естественно
поэтому потребовать, чтобы нулевое приближение теории многих
частиц было совместимо с понятием индивидуальных состояний
частиц. Для краткости приближения такого рода мы будем назы-
называть одночастичными.
Чтобы удовлетворить второму из приведенных требований,
мы должны отыскать наилучшее * из одночастичных приближений.
Такое приближение носит название приближения Хартри —
Фока (или приближения самосогласованного поля); оно и выби-
выбирается в качестве нулевого приближения при построении теории
многих частиц.
Это приближение в ряде случаев само дает достаточно точное
описание системы взаимодействующих частиц.
Во всей главе используется представление Шредингера.
4. 2. Задача о построении нулевого приближения сводится
к нахождению приближенного гамильтониана //„, заменяющего
* По поводу точного смысла термина «наилучшее приближение» см. раз-
раздел 4. 6.
36

точный гамильтониан Н. Наиболее общее выражение для #0,
отвечающее одночастичному приближению, может быть записано
в виде *
H0 = ldqMp+(q)(T+W)Mp(q)+C,	D.1)
где С — некоторая константа; W—неизвестный пока оператор.
Оператор Т + W играет роль эффективного гамильтониана
частицы в рассматриваемом приближении. Решение уравнения
(T^W)%v(q) = ey7iv(q)	D.2)
дает волновые функции и энергии индивидуальных состояний
частиц системы. При отсутствии взаимодействия оператор W обра-
обращается в нуль, а уравнение D. 2) переходит в C. 1). Явный вид
оператора W и константы С будет найден ниже.
Систему функций %v удобно выбрать в качестве базиса пред-
представления чисел заполнения. При этом выражение D. 1) можно
переписать в виде (см. раздел 3. 7)
//0 = V8v«v + C, '	D-3)
V
где rav — операторы чисел заполнения. Учитывая то обстоятель-
обстоятельство, что эти операторы коммутируют друг с другом, можно прийти
к соотношению.
[Яо, пу] -= 0.	D. 4)
Иными словами, числа заполнения индивидуальных уровней
являются интегралами движения. Этот факт, очевидно, является
выражением одночастичного характера рассматриваемого при-
приближения.
Вводя волновую функцию Yd оператора Но
Яо?о = Е0Ч0,	¦ D.5)
можно переписать соотношение D. 4) в следующем виде:
«До = nv4V	' D. 6)
Таким образом,. волновая функция стационарного состояния
системы в одночастичном приближении относится к классу функ-
функций с определенным заполнением уровней.
4. 3. Рассмотрение системы многих частиц в одночастичном
приближении значительно облегчается введением в аппарат тео-
теории таких величин, как матрица плотности, оператор заполнения,
функция распределения. Эти величины непосредственно связаны
с физическими характеристиками системы.
Одночастичная матрица плотности рассматриваемого состоя-
состояния системы ^?0 определяется соотношением
R [q, q) = ( Wo | ф+ (q) ф @ | *F0 > = ? nvxv (q) tv (q) D. 7)
* Существуют и более сложные формы одночастичного гамильтониана. Они,
однако, связаны с выражением D. 1) каноническим преобразованием.
37

(см. приложение А). Она дает исчерпывающую информацию об од-
ночастичных характеристиках системы: средних значениях одно-
частичных операторов *, распределении плотности соответствую-
соответствующих величин и т. д. В частности, распределение плотности числа
частиц дается равенством
а, т; х, а', %'),	D.8)
где Sp0T — шпур по дискретным переменным.
Аналогичным образом можно ввести и матрицы плотности
высшего порядка, описывающие двухчастичные и т. д. характери-
характеристики системы. В одночастичном приближении эти матрицы пол-
полностью сводятся к R (q, q') (см. приложение А).
Матрицу плотности R (q, q') можно считать матричным эле-
элементом некоторого оператора q (оператора заполнения). Этот
матричный элемент вычисляется с помощью волновых функций
6 (q — q0), отвечающих определенному значению координаты q **:
R(q, q') = {q\q\q') = §dqo6(qo - q) Qqo6(qo~q') =
= в,в(<7-<7').	D-9)
Разлагая 6-функцию в этом выражении по системе функций %v
с учетом условия полноты
и сравнивая полученное выражение с соотношением D. 7), находим
Q%v(q) = nv%v(q).	D.9')
Оператор q, имея в качестве собственных значений числа запол-
заполнения системы, зависит, таким образом, от рассматриваемого
состояния системы. Ввиду равенства n2v = n (nv = 0,1) опера-
оператор q удовлетворяет условию
е2 *= q.	D. ю)
Явный вид оператора q может быть найден следующим путем.
Числа заполнения nv зависят от энергии состояния ev и других
величин (проекции спина, момента количества движения и т. д.),
дающих вместе с энергией полное описание состояния %v- Огра-
* Под одночастичным мы понимаем оператор типа J dqty+ (q)a1'^> (q),
N
имеющий в конфигурационном представлении вид 2°i- Аналогично двухчастич-
1 Г
ныи оператор относится к типу — dq dq'ty+ (q) if+ (q1) a^ (<?') 'Ф (?) и т. д.
(см. § 3).
** Индекс у оператора означает переменную, на которую оператор действует.
38

ничимся рассмотрением таких систем, у которых характер запол-
заполнения уровней определяется только энергией. Другими словами,
предположим, что все подсостояния, отвечающие данному уровню
энергии (вообще говоря, вырожденному), либо одновременно
заполнены, либо одновременно свободны. Такие системы обычно
называются системами с заполненными оболочками (см. § 9).
Итак, предположим, что nv = n (ev). Учитывая уравнение
D. 2), можно написать* nv%v = п (ev) %v ¦= п (Т + W) Xv> откуда
[Q = n(T+W).	D.11)
Таким образом, оператор q получается при формальной замене
в выражении для чисел заполнения энергии уровня ev гамильто-
гамильтонианом Т + W. Оператор q, очевидно, коммутирует с Т-\- W,
что- отвечает стационарности распределения и находится в соот-
соответствии с выражением D. 4).
4. 4. С помощью оператора q легко вычислить среднее зна-
значение одночастичного оператора а1 = [dqty+ (q) a^ (a)
( Ч'о | в11 Wo) = Sp (alQ).	D.12)
Аналогично для двухчастичного оператора
а2 = -1-1 dqdq'^+ (q) Ц+ (qr) а2ф (q1) f (q)
имеем
<T0|o,|>F0) = 4-Sp[aa(l-^i2)Q?,Q,.].	D.13)
Здесь #12 — оператор перестановки координат (см. раздел 1. 3);
Sp — шпур по всем переменным. В частности, условие норми-
нормировки имеет вид
Sp (e) = N,	D. 14)
где ./V — полное число частиц в системе. Вывод соотношений
D. 12), D. 13) см. в приложении А. Там же даны правила вычисле-
вычисления шпура.
Для вычисления плотностных величин удобно ввести так
/-> -*\
называемую функцию распределения / \х, р), получающуюся
при фурье-преобразовании JR (q, q') по разности пространствен-
ных координат х—х'\
R (q, q') = J djpf (x, }) exp [Cp (x -x')\.	D. 15)
(
f
Функция от оператора имеет общую с ним систему собственных функций,
а их собственные значения связаны тем же соотношением, что и сами операторы
(см. приложение Б).
39

(-* ->\
Величина / \x, p), являющаяся матрицей по дискретным пере-
переменным, будучи проинтегрирована по импульсам, дает распреде-
распределение вероятности координат
Q(x) = SpOTj>p/(x, p).	D.16)
Аналогично распределение вероятностей импульсов дается соот-
соотношением
q[p) = Sp0T {dxf(x, р).	D.17)
Функцию распределения нетрудно связать с введенным выше
оператором @. Подставляя в левую часть выражения D. 15) соот-
соотношение D. 9) и разлагая входящую в последнее соотношение
(	\
функцию 6 Ц- — х' ) в интеграл Фурье, находим
/(х, р) = (е)?,	D.18)
где введено обозначение *
{ а )-> = ехр I— ipx) a exp \ip х) .	D. 19)
4. 5. Простейшим из одночастичных приближений является
приближение идеального газа, в котором взаимодействие между
частицами игнорируется полностью. В этом случае оператор //„
совпадает со свободным гамильтонианом HF, а величины W и С
равны нулю.
Индивидуальные волновые функции %v идеального газа опре-
определяются уравнением C. 1). В простейшем случае отсутствия
внешнего поля решение этого уравнения можно выбрать в виде
D. 20)
что соответствует состоянию частицы с определенным значением
импульса, проекции обычного спина s и изотопического спина t.
Энергия системы Ео получается при усреднении гамильто-
гамильтониана C. 21) по состоянию W0 и имеет вид
О	/ | V V '
V
где ev — энергии индивидуальных уровней. Исходя из этого
соотношения, нетрудно найти характеристики основного состоя-
состояния системы. Минимальное значение Ео будет, очевидно, иметь
место при
nv = 6(8f~8v),	D.21)
* Выбирая в качестве обкладок в этом соотношении собственные функции
не оператора импульса р, а любого другого оператора, можно прийти к функции
распределения соответствующей величины [43].
40

где величина eF, носящая название энергии Ферми, определяет
верхнюю границу заполненной части спектра и находится из усло-
условия нормировки. Функция 0 (х) определяется следующим образом:
( 1 х>0
е(*Но*<о.
Волновая функция основного состояния системы может быть
записана в виде
Ч'о = (ПЛ+) ?вак,	.	D.22)
где фигурируют операторы рождения, относящиеся ко всем запол-
заполненным уровням. Переход в этом выражении к конфигурацион-
конфигурационному представлению дает обычный детерминант Слейтера — Фока.
Оператор заполнения в рассматриваемом случае, согласно выра-
выражению D. 11), может быть записан в форме
Q = Q(eF—T).	D.23)
В отсутствие внешнего поля основное состояние системы
характеризуется граничным импульсом р0, определяемым соот-
соотношением г,. — рУ2М. Отсюда с учетом того, что Т = р2/2М,
получим
и функция распределения примет вид *
f[x, р) = в (р*-/,*).	¦ D.24)
Эта величина не зависит в данном случае от координат.
С помощью соотношения D. 16) нетрудно найти плотность
числа частиц, которая определяет граничный импульс:
в = -§?.	D.25)
Здесь g = SpaT A) — фактор вырождения, равный числу под-
состояний с различными проекциями дискретных переменных;
для электронов g — 2, для нуклонов g = 4.
Используя выражение D. 12), нетрудно найти энергию основ-
основного состояния в отсутствие внешнего поля (см. приложение А,
раздел А. 2):
С*	S
I	_ь	/ rt2	\	^ ггп
-?гг 9 (Pi — D2) Ч-
'+ B0л2М)
р
* Оператор импульса р в предыдущей формуле при действии на ехрур*)
в выражении D. 19) превращается просто в число р.
41

Своим происхождением эта величина целиком обязана принципу
Паули.
Величина Ео пропорциональна полному числу частиц N = Qq
г 3 Ро „ а	/ дЕп \
и равна t0 = -F-jTT N- Отметим, что производная (—зтт-) , рав-
равная химическому потенциалу системы (х, совпадает с граничной
энергией Ферми:
2
ц = JjL = Е/?.	D. 26)
Это соотношение носит довольно общий характер (см. § 23).
4. 6. Наряду с приближением идеального газа существует
множество других одночастичных приближений, в которых взаимо-
взаимодействие между частицами тем или иным способом уже принято
во внимание.
Поставим вопрос о нахождении наилучшего из таких прибли-
приближений; соответствующее рассмотрение приведет нас к прибли-
приближению Хартри — Фока. Гамильтониан Яо этого приближения
следует искать из условия максимальной близости операторов Яо
и Я, которое требует минимума нормы разности этих операторов
1 = (Х?О\(Н— //0J[^Р*о)• Здесь ?0 — волновая функция инте-
интересующего нас состояния системы в одночастичном приближении.
Формально варьируя / по Но, получим
б/ = ( Wo | {Яо — Я, 6ЯО} | Wo) = О,
где 6ЯО = [ dqty+ (q) 6lVip (q) + 6C Приравнивая нулю коэф-
коэффициент при J>C, получаем
откуда с помощью соотношений D. 12) и D. 13) находим
С = -Sp (WQ) + ^Sp [V(l - «?„) Q4lQq,-). D. 27)
Приравнивая нулю часть б/, содержащую б TV, и используя
выражение D. 27) и результаты приложения А (см. раздел А. 5),
можно написать
Отсюда получается искомое выражение для оператора IV:
IV, - SPtr[V(q, q') (I - <0V) Q,-]-	D- 28)
Подставляя это выражение в соотношение D. 27), находим
С = - -L Sp [ V (q, q') A - &qq.) q,q,.].	D. 28')
42

Этим и исчерпывается решение задачи о нахождении гамильто-
гамильтониана Но.
В дальнейшем нам понадобится выражение для оператора Но
через матрицу плотности. Подставляя последние два соотношения
в выражение D. 1) и используя результаты приложения А (см.
разделы А. 2, А. 3), найдем *
tfo-
q
1
+ j dqdq ф+ fa) V(q, q')(l- &„„¦) R fa', q") Ц (q) ~
4- J dqdq'V(q, q') A - &qq.) R fa, </*)/? fa', Л-
я -*¦?
Если потенциал V представляет собой просто функцию коор-
координат, то приведенное выражение упрощается и принимает вид
~r \dqdq'V{q, q') { R fa', <?') ф+fa) ф fa) - Я fa, ?
4. 7. Переходим к преобразованию выражения для онера-
тора IV. Обычно его записывают в виде разности W = В — А,
где В = Sp?' [V fa, <7') е?-1 —оператор прямого, а Л =
= Sp9' [V"(^, ^') ^°?9'Q,'] — обменного самосогласованного взаи-
взаимодействия.
Используя формулу (А. 20) приложения А, можно написать**
В = Spo,t. \dx'd*p'V р-ж', - ~(fp' + V^,)]/(x, p' +p). D.30)
Таким образом, в общем случае оператор В является функцией
оператора импульса.
Если V не зависит от оператора импульса, то [44]
В - Spa,T, \dx' dsp' V(q, q') f (x', p') .	D. 30')
Наконец, если V является просто функцией координат, то с уче-
учетом выражения D. 16) получается известная формула
В(х)= f dx'V [x — х') q\х') .	D. 30")
Оператор В в этом случае представляет собой просто функцию
координат.
* В приводимой формуле надо сначала подействовать операторами на ма
трицу плотности, а затем перейти к пределу q" -у q' и т. д.
. ** Здесь V=V Гх-?\ JL (V,-V,.)l .
43

Что касается оператора А, то соотношение (А. 20) дает
А =- SPo,T, jdx'dVexp [? р- Ц <?«,.&„* [х- х',
4 («>'+ Vj] / р, р'+р).	D.31)
Здесь V^ действует на функцию распределения. Если V не содер-
содержит оператора импульса, то, вводя фурье-образ потенциала
по разности пространственных координат,
V(q, q') = j dspv (p) exp \ip(x — x')} ,	D. 32)
где v — матрица по дискретным переменным, получим
А = B*KSpa,t, j>p'v (p') f Р, р' +р) &ао.$хх.. D. 33)
Наконец, если V представляет собой просто функцию координат, то
А - BлK j d3p'v (p') f (х, р' + р) ,	D. 33')
и обязательно зависит от оператора импульса.
По поводу полученных в этом разделе соотношений нужно
сделать два замечания. Во-первых, оператор импульса, входящий
в функцию распределения, нужно понимать в том смысле, что
при действии на плоскую волну exp\ipx)
f (х, p' + P)-+f [х, р' + р) •
Далее, при получении соотношений D. 30") и D. 33') была фак-
тически использована диагональность / \х, р\ относительно дис-
дискретных переменных. Это, как оказывается, свойственно системам
с заполненными оболочками.
Обратимся к уравнению D. 2), описывающему индивидуаль-
индивидуальные состояния частиц. Подставляя туда соотношение D. 28)
и вычисляя шпур по системе функций xv> найдем с учетом выра-
выражения (А. 19)
(т + w) xv(<7) = \т + ^ пуJWxltf) V4 (?') 15Cv (?) -
- 2 % J dc>%. Ю V%v (q1) Хд (q) = evXv (q).
Эти уравнения представляют собой не что иное, как известные
уравнения Хартри — Фока [45] *.
* Как видно из этих уравнений, член «самодействия» частицы, отвечающий
|j, = v, автоматически из них выпадает.
44

Оператор W, имеющий смысл оператора эффективного взаимо-
взаимодействия между частицами, напоминает по своему виду потен-
потенциал внешнего поля, но зависит от рассматриваемого состояния
системы *. Об этом взаимодействии говорят как о самосогласо-
самосогласованном, имея в виду, что оператор W зависит от тех волновых
функций, которые он сам же определяет. По своему физическому
смыслу W отвечает усредненному потенциалу, действующему
на данную частицу со стороны остальных частиц системы.
4. 8. Для нахождения выражения для функции распределения
удобно использовать операторное соотношение D. 18) [43, 46, 47].
Учитывая выражения D. 11) и D. 28), имеем
f(x, p) = (n(T+W))t.	D.34)
Совокупность соотношения D. 34) и определений операто-
операторов Т, W в выражениях A. 3), D. 30) — D. 33) полностью экви-
эквивалентна уравнениям Хартри — Фока и представляет собой их
операторную форму. Необходимо подчеркнуть, что простота этих
соотношений иллюзорна. Дело в том, что выражение D. 34)
содержит функдию от суммы некоммутирующих операторов.
В самом деле, из правил коммутации
\р, F(x)
= — iVFlx
следует, что операторы Т, А и В попарно некоммутативны. Пра-
Правила обращения с такими функциями в достаточной мере сложны
(см. приложение Б). Таким образом, переход к операторной форме
приводит лишь к смещению центра тяжести расчетов: вместо
решения уравнения Шредингера приходится заниматься «рас-
«расшифровкой» функции некоммутирующих аргументов.
В общем случае обе эти задачи в одинаковой степени сложны.
Однако в применении к рассматриваемому в § 5 квазикласси-
квазиклассическому случаю, а также при исследовании некоторых общих
вопросов операторный подход имеет несомненные преимущества.
4. 9. Переходим к нахождению энергии системы в рассматри-
рассматриваемом приближении. Согласно выражению D. 5) можно написать
Е0 = (%\Н0\У0).
Учитывая соотношение D. 3) и приведенные в приложении А
соотношения (А. 14), (А. 15), имеем
С помощью этого выражения можно определить характер
заполнения уровней в основном состоянии системы. В болыпин-
* Несмотря на эту зависимость, гамильтониан Т-\- W является единым
для всех состояний %v. Поэтому основные квантово-механические положения г
относящиеся, в частности, к вопросам полноты и ортогональности системы
функций Хм, сохраняют в данном случае свою силу.
45

стве случаев этому состоянию отвечает то же заполнение уровней,
что и в идеальном газе *. При этом соотношения D. 21), D. 22)
полностью сохраняют свою силу; разумеется, речь теперь идет
о состояниях, определяемых уравнением D. 2), а не C. 1). Выра-
Выражение D. 34) принимает при этом вид
= (Q(bp—T—W))-*.	D.34')
Приведенное выражение для Ео мало удобно с практической
точки зрения. Используя выражения D. 12), D. 13), D. 28) и
D. 28'), можно написать
?0-=Sp(Qt),	D.35)
где t = Т + W/2. Используя для вычисления шпура соотно-
соотношение (А. 16') и обозначая через <§ энергию, приходящуюся на
единицу объема & = EJQ, имеем
ё - SpOT j d3p { QjeF — T — W) x ) ->,	D. 36)
где черта означает усреднение по объему а = Q'1^ dxa.
Представим оператор т в следующем виде:
t ¦¦= т, + t»,
Часть энергии, отвечающая хи может быть с учетом выраже-
выражения D. 16) переписана в виде (U — внешнее поле)
где ёк — приходящаяся на единицу объема средняя кинетиче-
кинетическая энергия:
Энергия <§2 имеет вид
g2 = - 4~ SpOT J d*p (B(bf-T-W)(bf -
* Это утверждение носило бы абсолютный характер при отсутствии второго
члена в Ео. Однако в принципе нельзя исключить и такую возможность, когда
наинизшему значению Ео отвечает заполнение не самых низких уровней ev.
Для этого необходимо, чтобы соответствующее увеличение первого члена рас-
рассматриваемого выражения было скомпенсировано обратным изменением второго
члена.
46

Формально дифференцируя это выражение по eF * с учетом равенств
дв(х)
дх
^ 6 (х) и х& (х) = О,
находим
4-q-
Учитывая, далее, что <§2 при ър -т>—со должно обращаться
в нуль (частицы при этом вообще отсутствуют), находим окон-
окончательно [43]
<§ =
D. 37)
Для определения полной энергии необходимо, таким образом,
найти кинетическую энергию и плотность как явную функцию
энергии Ферми. Выполненное преобразование позволяет избежать
вычисления сложных шпуров, содержащих оператор А.
Если обменный потенциал А можно вообще не учитывать,
то рассмотренная процедура позволяет избавиться и от вычисле-
вычисления <§k. В самом деле, сравним выражение D. 37) с соотношением,
вытекающим из D. 36) при А = 0: .
Исключая отсюда §k, найдем
6 =
D. 38)
§ 5. ПРИБЛИЖЕНИЕ ТОМАСА — ФЕРМИ
5. 1. Рассмотрение реальных систем в приближении Хартри —
Фока в большинстве случаев сопряжено с довольно трудоемкими
численными расчетами. К тому же соответствующие уравнения
в значительной мере лишены свойства универсальности; так,
например, постановка однотипной задачи для двух разных ато-
атомов требует проведения двух самостоятельных расчетов.
* Дифференцирование совершается лишь по тому аргументу е/г, от которого
подынтегральное выражение зависит явным образом (кроме того, имеется и неяв-
неявная зависимость W от е^). То же относится к интегрированию по sF в последую-
последующих формулах.
47

Положение значительно упрощается, если движение частиц
под действием самосогласованного потенциала W может считаться
по крайней мере в преобладающей части пространства квази-
квазиклассическим. Квазиклассическое приближение к уравнениям
Хартри — Фока носит название приближения Томаса — Ферми
(в широком смысле этого термина) [48, 49].
Условием квазиклассичности движения частицы является,
как известно, неравенство
dX(x)
dx
€. 1 ,	E. 1)
где А, (х) — квазиклассическая длина волны де Бройля частицы.
Эта величина определяется следующим образом. Проведем в опе-
операторе Т + W формальную замену оператора импульса некото-
некоторой функцией р (х) (квазиклассическим импульсом), которая
определяется соотношением
Длина волны связана с р (х) соотношением к (х) = Ур (х). В част-
частности, рассматривая основное состояние системы и полагая
8V = eF, приходим к соотношению
определяемая им величина р0 (х) может быть в полной аналогии
со случаем однородного идеального газа названа граничным
импульсом квазиклассической системы. Однако в отличие от слу-
случая однородного идеального газа эта величина оказывается функ-
функцией координат. Если W не зависит от импульса, то
Физически условие E. 1) означает, что длина волны должна
быть мала по сравнению с характерными неоднородностями
задачи. Иначе говоря, поскольку практически К — Vp0, гранич-
граничный импульс, а вместе с ним и эффективный потенциал должны
быть слабоменяющимися • функциями координат.
5. 2. Если параметр ? достаточно мал, то в нулевом прибли-
приближении можно вообще пренебречь всеми градиентами граничного
импульса и потенциала. Одновременно обращаются в нуль все
коммутаторы слагаемых гамильтониана Т + W. В результате
выражения D. 34) и D. 34') превращаются в обычные функции;
входящий в них оператор импульса действует теперь только
на функцию ёхр [ipx] [см. выражение D. 19)] и может быть
заменен просто числом р. Таким образом, мы приходим к следую-
48

щему выражению для квазиклассической функции распределения
f I у n\ 	 9 \p	Я (yW	(Z\ ^\
i [X, pj — о ^ef— e-> yx)^,	(o. o)
где e-> (x) = (T + W) -> ->• — квазиклассическое значение энер-
p	p-> p
гии частицы, обладающей импульсом р.
В этом и следующем параграфах мы будем рассматривать
систему только с кулоновским взаимодействием. Конкретно речь
будет идти о системе электронов, следовательно, изотопические
члены будут опущены. Используя соотношения D. 30") и D. 33'),
будем иметь
е21
J
_ х>
\d3plf (*'• р' > -
E-4)
Обычно функция е-> монотонно возрастает с увеличением
р
импульса; при этом уравнение E. 2) имеет только один корень.
Используя очевидные свойства функции 9, можно написать
fix п)=9Гп2(х\	/?21	E3')
В этом выражении отчетливо проявляются квазиклассические
свойства движения частиц. Действительно, функция распреде-
распределения (умноженная на фактор 2/BяK) представляет собой по
своему смыслу плотность числа частиц в фазовом (координатно-
импульсном) пространстве. Как видно из последней формулы,
каждая клетка фазового пространства объемом BяK, относящаяся
к области р2 ¦< р2 (х) **, занята двумя частицами. Хорошо известно,
что это характерно именно для квазиклассической системы.
С помощью полученного выражения для функции распределе-
распределения нетрудно найти выражения для плотности и энергии квази-
квазиклассической системы. Используя соотношения D. 16) и D. 38),
получим
10я2Л1
^ '
* Это выражение оказывается непригодным в узкой окрестности границы
Ферми, относительная ширина которой порядка |I//z [50].
** В области р2^>р^(х) частиц нет вообще. Заметим, что не заполнена
частицами также область фазового пространства с р20 (х) < 0, как это непосред-
непосредственно видно из выражения E. 3').
49

Для вычисления полной энергии можно применить способ, изло-
изложенный в разделе 4. 9. Исходя из соотношения
?
F
С dsFQ = 2 Гd3pQ (eF — г-+)(гР — &¦*)
и используя выражение E. 4), можно написать
где потенциал В дается соотношением D. 30"). Три слагаемых
в правой части выражения E. 7) соответствуют по своему физи-
физическому смыслу энергии во внешнем поле, энергии прямого и об-
обменного взаимодействия.
В приведенные соотношения входит неизвестная пока функ-
функция Ро (х). Ее вид может быть получен с помощью соответствую-
соответствующей процедуры самосогласования. Подставляя соотношение E. 3')
в E. 2) и используя конкретные выражения для Т и W, приходим
к уравнению Томаса — Ферми в интегральной форме:
~2д|- + U(x)-\- -g^r ~zi ip- рз (xr) - p0 (x) ---- ъР. E. 8)
Энергия Ферми входит в это уравнение как параметр и должна
находиться из условия нормировки J d\q (x) = N.
5. 3. Простейшим примером квазиклассической системы яв-
является однородная система, характеристики которой (в частности,
граничный импульс) не зависят от координат. Условие квази-
квазиклассичности E. 1) выполняется при этом тривиальным образом,
так как | s= 0. Таким образом, в случае однородных систем ника-
никакого различия между приближениями Хартри — Фока и Томаса —
Ферми не существует.
Однородные системы реализуются в тех случаях, когда внеш-
внешнее поле U (х) не создает выделенных в пространстве точек. Для
однородных систем одноименно заряженных частиц с кулонов-
ским взаимодействием величина U (х) должна иметь вполне опре-
определенный вид и, в частности, она не может быть равна нулю.
В самом деле, подставляя р0 = const в соотношения E. 4),
E. 7) и E. 8) и полагая U = 0, мы сталкиваемся с появлением
->
расходящихся интегралов по пространству J —. Это обстоя-
обстоятельство отражает невоеможность равновесного существования
однородной (и, следовательно, безграничной в пространстве)
системы одноименно заряженных частиц. Для придания рас-
рассматриваемой задаче физического смысла необходимо доба-
добавить однородный внешний фон противоположного знака
заряда, нейтрализующий полный заряд системы. Потенциал
50

-г	-^	-г1
{/ (jc) = —e2Q J dxV | x — x' | (q — плотность числа частиц системы),
создаваемый этим фоном, сам бесконечен, но с его помощью пол-
полностью устраняются расходимости в выражениях E. 4) и E. 8).
При этом последнее равенство превращается просто в соотношение
между константами гр и р0:
Р% е2Р
е2Ро
2Л? S~
Что же касается соотношения E. 4), то оно принимает вид
'¦ — n2
p 2Ж	я | ' 2pp0
¦Ра
Р — Ро
E. 10)
Отсюда видно, что закон дисперсии частицы, т. е. зависимость
между ее энергией и импульсом, за счет взаимодействия меняется.
Это изменение тем меньше, чем больше импульс частицы, что
соответствует уменьшению влияния взаимодействия на движение
быстрой частицы. В обратном случае малых импульсов закон дис-
дисперсии также становится квадратичным. Однако истинная масса
частицы М заменяется при этом некоторой эффективной массой
Л^эфф Ф М, в чем можно убедиться, разложив соотношение
E. 10) в ряд по р. Отмеченные качественные особенности закона
дисперсии носят общий характер.
Чтобы получить конечное выражение для энергии, необхо-
необходимо добавить к выражению E. 7) не только энергию взаимодей-
взаимодействия частиц с фоном, но и энергию взаимодействия фона с самим
собой. Это приводит к следующему простому выражению:
о _
Второй член этого выражения носит обменный характер *.
Совершенно очевидно, что необходимость добавления ком-
компенсирующего фона (не обязательно однородного) к бесконечно
протяженным системам с кулоновским взаимодействием суще-
существует и в неоднородном случае. Практически, если речь идет,
например, об электронах твердого тела, роль компенсирующего
заряда играют ионы решетки (см. § 6).
Ограниченные в пространстве действием сил иной природы
одноименно заряженные системы могут находиться в равновесии
* Из приведенных в этом разделе соотношений видно,' что приближение
Хартри — Фока для однородных систем отвечает учету членов только нулевого
и первого порядков по параметру взаимодействия (uqPq). В то же время рассмо-
рассмотрение неоднородной системы, например атома, в этом приближении приводит
к величинам, учитывающим все степени указанного параметра. Дело в том, что
в последнем случае сложной функцией величины (аоРо) является волновая
функция %v (ч) индивидуального состояния частицы. В однородном же случае
ввиду наличия трансляционной симметрии в качестве функций %v (q) могут быть
выбраны, как и для идеального газа, плоские волны.
51

и при отсутствии компенсирующего заряда. Примером может
служить атомное ядро.
5. 4. Перейдем к рассмотрению неоднородных систем с куло-
новским взаимодействием, описываемых уравнением Томаса —
Ферми E. 8). Оценим роль последнего (обменного) члена левой
части этого уравнения. Его отношение к первому имеет следую-
следующий порядок величины: е2М/р„ — (аоро)~\ т. е. совпадает с пара-
параметром взаимодействия (см. § 1).
Как будет показано ниже (см. раздел 5. 5), вклад по крайней
мере того же порядка величины вносят поправки к уравнению
Томаса — Ферми, отражающие неточность квазиклассического
приближения (для краткости эти поправки будут именоваться
в дальнейшем квантовыми). Поэтому, не учитывая последних,
следует опустить и обменный член, что приводит к собственно
уравнению Томаса — Ферми *:
*V(x)\p(x)	E.12)
\х — х'\
Действуя на обе части этого уравнения оператором Лапласа,
легко получить уравнение Томаса — Ферми в дифференциальной
форме:
Др5(*)-™ [(?(*)-*(*)].	E-13)
ао .
где q (х) — плотность числа частиц системы E. 5); а — Д674я —
плотность заряда источников внешнего поля (деленная на е).
5. 5. Оценим относительную роль обменных и квантовых
поправок. Вклад последних определяется параметром |2 (при
разложении физических величин в ряд по | члены нечетного
порядка тождественно исчезают [4]). Обменные и квантовые
поправки имеют одинаковый порядок величины в том наиболее
важном случае, когда область, непосредственно прилегающая
к точечному источнику внешнего поля (ядру), не играет опреде-
определяющей роли. Сравнивая порядки величин левой части и первого
члена правой части выражения E. 13), приходим к оценке
откуда
{)\	E.14)
Здесь х0 — характерный параметр размерности длины, опреде-
определяющий расстояния, на которых происходит заметное измене-
изменение р0. Левая часть выражения E. 14), как ясно из соотноше-
* Сохранение обменных членов в квазиклассическом уравнении E. 8) (оно
носит специальное название уравнения Томаса — Ферми — Дирака) означало бы
учет только части членов из числа имеющих один и тот же порядок величины.
Более последовательным является рассмотрение обменных и квантовых поправок
на равных началах [51].
52

ния E. 1), совпадает с параметром |2, что и доказывает утвержде-
утверждение о совпадении порядков величин квантовой и обменной по-
поправок.
Из соотношения E. 14) следует, что с увеличением плотности
системы вклад квантовых (и обменных) поправок уменьшается.
В самом деле, подставляя в это соотношение плотность из выраже-
выражения E. 5), получим
2(>/3)l	E	')
Если область вблизи ядра является по каким-либо причинам
выделенной, то приведенные оценки оказываются непригодными.
В этой области
U (г)	-, Ро(х)~ — ,
где г — расстояние от ядра. Отсюда
Таким образом, в области г < aJZ квантовые поправки велики,
в то время как обменные дают малый вклад.
5. 6. Малость параметра E. 14) означает, что взаимодействие
каждой пары частиц мало по сравнению с их кинетической энер-
энергией. Однако отсюда нельзя заключить, что полная энергия взаимо;
действия частиц системы мала по сравнению с полной кинетиче-
кинетической энергией (см. раздел 1. 6).
Для выяснения этого вопроса оценим величину потенциала
U -j- В. Каждая из частиц системы взаимодействует не со всеми
остальными частицами, а лишь с частицами, расположенными
от нее не далее некоторого расстояния хх. Для ограниченных в про-
пространстве систем (атома, ядра) это расстояние просто совпадает
с размерами системы. Если же рассматривается бесконечно про-
протяженная система, то появляется экранировка рассматриваемой
частицы, обусловленная электростатическим потенциалом ком-
компенсирующего фона; Х\ ¦ является радиусом экранированной
области. Для твердого тела, например, х^ представляет собой
величину порядка расстояния между атомами решетки. Из сказан-
сказанного ясно, что оценку потенциала можно получить, подставляя
в его выражение длину хх:
Отношение этой величины к кинетической энергии оказы-
оказывается равным poX2i/ao — (роХ[J (аоро)~'- Этот параметр, который
и дает отношение полных энергий взаимодействия и кинетической
энергии, может значительно превосходить (аоРо)- Так, в слу-
случае сжатого твердого тела хх — Z1/s/po и (Po*iJ — Z'l*; для
53

атома р0 ~ ГЫа0, хх ~ х0 ~ CoZ-v., (^оРо) — I2 ~Z~v. [49 ]
и рассматриваемое отношение оказывается вообще величиной
порядка единицы.
В однородном случае приведенные оценки теряют силу из-за
того, что х0 ->¦ оо и уравнение E. 13) превращается в тож-
тождество 0=0. Ввиду полной компенсации потенциалов U и В
параметр лгь наоборот, стремится в этом случае к нулю *. В резуль-
результате остается только один параметр, характеризующий взаимо-
взаимодействие между частицами, именно (а,,/?,,).
Таким образом, кулоновское. взаимодействие между части-
частицами неоднородной системы может играть существенную роль,
даже если параметр («оРоI мал по сравнению с единицей. Это
связано с дальнодействующим характером кулоновских сил, бла-
благодаря чему при достаточно больших значениях параметра
(PoxiJ c данной частицей взаимодействует большое число других
частиц.
5. 7. Для выяснения пределов применимости уравнения То-
Томаса — Ферми, а также для нахождения соответствующих попра-
поправок к этому уравнению, необходимо учесть в уравнениях Хартри—
Фока члены порядка |2 — (floPo)- В этом приближении кван-
квантовые и обменные эффекты можно рассматривать независимо
друг от друга. Начнем с обменных эффектов.
Действуя на обе части уравнения E. 8) оператором Лапласа,
будем иметь
А 2 8я / Ро	\	2 А
Дро	[ s-5 — о ) =	Др„.
Здесь в правой части стоит обменный член, который следует счи-
считать малым. Соответственно выделим из ро часть, отвечающую
уравнению E. 12), и обменную поправку р\ -»- pi + SiPo- С уче-
учетом малости последней можно написать
-|ГАр„.	E-15)
Решение этого уравнения должно быть выбрано в соответ-
соответствии с условием нормировки. Другими словами, должно выпол-
выполняться равенство
т— 1 —-—г п	/с лс\
*iQ ~ 2 PoOiPo = О.	(о. 1о)
Обменная поправка к полной энергии получается заменой
Ро ->- Ро + 6iPo в выражении E. 6) и в первых двух членах соот-
соотношения E. 7). Последний член соотношения E. 7), обозначен-
* Этот вывод справедлив лишь в пренебрежении корреляциями. Последние
приводят к так называемому дебаевскому экранированию.
54

ный через Si, имеет чисто обменную природу и должен целиком
входить в обсуждаемое выражение. Таким образом,
X о	1__ 3s 2 , ,rj , mi— , о	(^ ]7\
Учитывая уравнение E. 12) и условие нормировки, находим
окончательно
Oj0 = 0 j ~~ — —г—^"Ро-	E. 18)
5. 8. Переходим к определению квантовых поправок к прибли-
приближению Томаса — Ферми, обусловленных неточностью квазиклас-
квазиклассического приближения [43, 46]. Понятие о заполнении ячеек
фазового пространства, лежащее по существу в основе предыду-
предыдущего рассмотрения, является сугубо приближенным, поскольку
при этом в значительной мере игнорируется квантово-механи-
ческий принцип неопределенности. Формальным источником кван-
квантовых эффектов является, таким образом, некоммутация опе-
операторов координаты и импульса.
Рассуждения, с помощью которых было получено уравнение
Томаса — Ферми E. 8), основывались на выражении для функ-
функции распределения E. 3). Однако это выражение неточно, по-
поскольку при его выводе не учитывалась некоммутация опера-
операторов, входящих в точное выражение D. 34'). Операторную функ-
функцию в выражении D. 34') запишем в виде8 (а + Ь), где а = —/?2 =
= Д; b = ро (х); обменные члены опущены.
Фактически выражение E. 3) представляет собой нулевой
член разложения функции распределения в ряд по \. Члены
высших порядков ведут свое происхождение от коммутаторов
операторов а и Ь, причем степень \ при каждом члене этого разло-
разложения определяется числом и структурой входящих в него комму-
коммутаторов.
Ограничиваясь членами второго порядка по |, следует учесть
только те коммутаторы и их произведения, где содержится не более
двух операций коммутирования. Действительно, при переходе
к коммутаторам более сложного типа каждая новая операция
коммутирования приводит к появлению минимум одного допол-
дополнительного дифференцирования функции pi (х), т. е. минимум
одной лишней степени |.
В приложении Б получена общая формула для разложения
произвольной функции / (а + Ь) в ряд по коммутаторам с нужной
нам точностью [см. (Б. 17)]:
+ Ь) — f{a -f b)	^ f" (a + b) [b, a] +
f 4- Г (a + b){[b [b, a]] - [a [b, a])} +
+ -^flv(a + b)[b,a]^+- ¦¦	E.19)
55
-r

Здесь предполагается, что оператор / (а -J-- Ь) действует на соб-
собственную функцию оператора а с собственным значением а. В рас-
рассматриваемом случае наблюдается именно такая ситуация —
функция 9 [р\ (х) — р2] действует на exp (ipx); под а + ft в пре-
предыдущей формуле следует понимать, таким образом, р2 (х) —¦ р2.
Вычисление фигурирующих в выражении E. 19) коммута-
коммутаторов дает с требуемой точностью
[ft [ft, а]] = 2
[a [ft, a]] = —4 (Vf
I ft, a]2 = 4(
Используя соотношение D. 34'), приходим к следующему выра-
выражению для функции распределения с квантовыми поправками:
f (х, р) -~ 6
-!- \ (Ар* -!-
б' (р2 _ р2) +
E-20)
5. 9. Подстановка полученного выражения в соотношение
D. 16) дает исправленное выражение для плотности числа частиц
[46, 47, 51—531:
в --=
E. 21)
Выражение для кинетической энергии удобно искать на основе
метода, описанного в § 4. Достаточно заметить, что, согласно
выражению E. 12), от гР зависит лишь р20 (но не S/p2, Ар2 и т. д.),
причем линейным образом. Поэтому интегрирование по гР выра-
выражения E. 21) совершается элементарным путем. Применение
соотношения D. 38) приводит к следующему выражению для
кинетической энергии:
о _
б k —
о
56

Переход в этом выражении к аргументу q с помощью соотно-
соотношения E. 21) приводит к формуле
ж
- 6 де) ¦ <5- 23>
Второй член этого выражения совпадает по форме с известной
поправкой Вейцзеккера [54], но имеет в девять раз меньший коэф-
коэффициент [46, 51 ].
Аналогичным, хотя и более громоздким, образом могут быть
найдены и поправочные члены четвертого порядка по |. Опуская
промежуточные выкладки [43, 55], приведем окончательные
выражения:
p*J - 200 Др* (Vplf -
* + 175 (Vpiy).	E. 24)
Соответствующее выражение для ?&4 отличается от соотноше-
соотношения E. 24) лишним множителем р^/бУИ и заменой коэффициентов
в фигурных скобках соответственно на —576, 400, 960, 320, —840,
— 1008, 675.
Приведенные выражения для поправочных членов свидетель-
свидетельствуют о весьма быстром убывании численных коэффициентов
в разложении физических величин в ряд по параметру |.
5. 10. Входящая в приведенные выше соотношения величина
р20 (х) не совпадает со своим квазиклассическим выражением,
а сама содержит квантовые поправки. Для их нахождения подста-
подставим соотношение E. 21) в общее выражение E. 13), заменяя при
ЭТОМ р2 -> р2 + б2р2;
Используя тождество
pi Po
g
и производя замену Др2. ->- ^—p^i *, нетрудно убедиться в том,
что между квантовой Ь2р20 и обменной б;р2 (см. раздел 5. 7) поправ-
поправками к р^ существует простая связь:
-2 2 s  ' "	E.25)
* Здесь опущен член —8яст, поскольку он входит лишь в комбинации ср0 '.
Если, как это предполагается, рассматриваются лишь точечные источники внеш-
внешнего поля, эта комбинация обращается в нуль.
57

Квантовая поправка к плотности с учетом выражения E. 21)
имеет следующий вид:
^Q = ^2- Р062Р0 + Q2 =
Отсюда следует, что, поскольку интеграл от последнего члена
исчезает, выполнение условия E. 16) гарантирует правильную
нормировку и квантовых поправок к р2й.
Таким образом, обменные и квантовые поправки имеют оди-
одинаковый порядок величины; более того, их зависимость от коор-
координат определяется одной и той же функцией.
В заключение найдем квантовую поправку к энергии системы.
Сделаем выкладки, аналогичные произведенным в разделе 5. 7:
заменим в выражении E. 17) индексы 1 на 2, понимая под <§2
величину Sk-2 из соотношения E. 22). Учитывая уравнение
Томаса — Ферми и условие нормировки, находим
откуда
' /V7~2'2	E. 26)
§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ СИЛЬНОСЖАТОГО ВЕЩЕСТВА
6. 1. Рассмотренный в предыдущих параграфах аппарат может
быть с успехом использован для описания ряда свойств сильно-
сильносжатого вещества. Сильносжатым мы будем называть вещество,
находящееся под действием столь высоких внешних давлений Р,
для которых удовлетворяется условие
Р»6о,	F-1)
где So — величина порядка плотности энергии в несжатом
веществе. Величину <§0 можно истолковать также как «внутрен-
«внутреннее» давление электронного газа в веществе, обусловленное
кинетической энергией электронов. В несжатом веществе это
давление компенсируется кулоновскими силами.
Вещество, находящееся под действием невысоких давлений,
отличается крайним разнообразием своих свойств. Величины,
характеризующие эти свойства, обнаруживают чрезвычайно рез-
резкую и немонотонную зависимость от химического состава веще-
вещества. При сжатии вещества проявляется ярко выраженная тенден-
тенденция «сглаживания» его свойств, а при давлениях, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию F. 1), эта зависимость становится сравнительно
58

плавной и монотонной *. Это обстоятельство существенно облег-
облегчает теоретическое рассмотрение.
В случае температуры, равной нулю, можно считать, что
вещество находится в твердом (кристаллическом) состоянии
[42, 56] (согласно выводам работы [42] это утверждение для
сильносжатого вещества может оказаться справедливым вплоть
до чрезвычайно высоких температур порядка звездных **). Отме-
Отметим в этой связи, что жидкий гелий затвердевает уже при давле-
давлениях порядка десятков атмосфер.
6. 2. Величину <§0, входящую в выражение F. 1), нетрудно
оценить из следующих соображений. Обозначая энергию элек-
электрона через е, число частиц через N и характерную длину через L,
можно положить So — Ne/L3.
Для простоты ограничимся рассмотрением вещества, построен-
построенного из однотипных атомов с зарядом ядра Z > 1. При этом
следует различать три характерных масштаба ?0.
В периферийной области атома е — еУа0, N— 1, L ~ а0,
откуда соответствующая величина внутреннего давления
МП е%
00 ~ ~Т •
ао
В центральной области атома число электронов порядка полного
числа частиц N — Z, масштаб длины L — agZ'1^ и энергия
частицы е ~ рУм — е2/а02*/а (см. раздел 5. 5). Отсюда
B)
о
оB
Наконец, во внутренней области атома, размеры которой порядка
радиуса /(-оболочки, имеем L — ай1~х, е ~ Z2e2/a0 и Af~l.
Поэтому
В качестве входящей в выражение F. 1) величины <§0 следует
взять наименьший из рассмотренных параметров, именно ?{/'.
* При выполнении условия F. 1) наружные электронные оболочки атомов
вещества, приводящие к отмеченной немонотонности, перестают существовать,
так как входящие в их состав электроны отрываются от атомов.
** Как показывает проведенный в работе [42] анализ, плавление холодного
вещества, обусловленное возрастанием амплитуды колебаний ядер А ~ а0 X
X (^/а0K'4 с увеличением плотности, могло бы иметь место при А ~ R, где R —
среднее расстояние между ядрами; а0 = (MZ^2)'1 — боровский радиус ядер.
Соответствующие сжатия столь высоки, что еще при меньших давлениях должен
начаться переход вещества в нейтронное состояние за счет захвата электронов
ядрами [4].
59

Таким образом, нижней границей области сильносжатого вещества
следует считать давления порядка еУа* — 108 атм *.
Область сильносжатого вещества удобно разбить натри части:
В области I внешнее давление способно оторвать от атома лишь
наружные электроны. Внутренние электронные оболочки уплот-
уплотнены, и распределение плотности электронов в них сравнительно
медленно меняется в пространстве. В области II оторвано уже
подавляющее число электронов, которые в преобладающей части
пространства движутся как свободные, образуя практически
однородное распределение. Наконец, в области III все электроны
теряют свою связь с ядрами. Вещество в этой области представ-
представляет собой построенную из ядер решетку, окруженную практи-
практически идеальным электронным газом **.
6. 3. Важнейшей характеристикой сильносжатого вещества
является его уравнение состояния, т. е. зависимость между его
плотностью и величиной внешнего давления. Для получения
этой зависимости можно воспользоваться известной формулой
р = -(&)„•	<6-2>
где Е — полная энергия системы; Q — ее объем; ./V — полное
число электронов. Средняя плотность последних имеет вид q =
= N/Q.
Ввиду малости отношения массы электрона к массе ядра
конфигурация решетки может считаться заданной. Соответ-
Соответственно поле, создаваемое ядрами, будет рассматриваться как
внешнее:
где суммирование ведется по узлам решетки. Учет колебаний
последней и взаимодействия электронов с этими колебаниями
в рассматриваемой области давлений сравнительно мало меняет
уравнение состояния.
' * К настоящему времени в лабораторных условиях достигнуты давления
порядка Ю7 атм. В природе сильносжатое вещество встречается в недрах многих
небесных тел. Особенно больших давлений (порядка 101' — 1020 атм) можно
ожидать в звездах, называемых «белые карлики».
** В дальнейшем будем рассматривать области давлений, где движение элек-
электронов можно считать нерелятивистским. Это приводит к ограничению Р <С
< 1017 атм.
60

Полную энергию системы удобно записать в виде
Ek =
dq dq'
x-x' ,,
F.3)
Последний член в выражении для Е — Ek учитывает взаимодей-
взаимодействие ядер друг с другом (за вычетом их самодействия).
Перейдем в выражении F. 3) к новым безразмерным перемен-
->		t. ->	->
ным х' = Q~ х. При этом из условия нормировки г|э (х) =
= Q 2t|)lx'J; оператор импульса р = —i Vx — —iQ Vx'-
Отсюда видно, что Ek является однородной функцией Q сте-
степени — 2/3, Е —¦ Ек — степени — Ч.л. Применяя теорему Эйлера
для однородных функций х —~~ — nfn (n — степень однородно-
однородности), находим окончательно
P =
F.4)
Это весьма удобное соотношение позволяет находить уравнение
состояния непосредственно из выражений для кинетической
и полной энергии вещества.
6. 4. Как будет показано в гл. IV,. для описания сильно-
сильносжатого вещества с достаточной точностью применимо прибли-
приближение Хартри — Фока. Более того, оказывается, что выполне-
выполнение условия F. 1) гарантирует также малость квантовых (а сле-
следовательно, и обменных) поправок. Чтобы убедиться в этом,
достаточно оценить параметр |2 [см. выражение E. 14')]. Плот-
Плотность электронов q при выполнении условия F. 1) во всяком слу-
случае превышает величину а~3 (см. раздел 6. 2), что и приводит
к соотношению |2 -С 1. Важно в этой связи подчеркнуть, что
область вблизи ядра, которая требует специального рассмотре-
рассмотрения, вносит вклад в уравнение состояния лишь при самых высо-
высоких сжатиях. Оценке в этих условиях вклада квантовых эффек-
эффектов, который оказывается крайне незначительным, посвящен
раздел 6. 7.
Таким образом, для вывода уравнения состояния сильно-
сильносжатого вещества можно использовать приближение Томаса —
61

Ферми. Подставляя в соотношение F. 4) выражения E. 6) и E. 7)
(последнее без обменного члена), получим
где q и В даются соотношениями E. 5) и D. 30"). Чтобы опреде-
определить Р, необходимо решить уравнение Томаса — Ферми E. 12)
для р^ (х) с соответствующими граничными условиями.
6. 5. Особенно простое решение имеет уравнение E. 12) в обла-
областях II и III, т. е. при выполнении условия Р > Z10/3 -^ . Как
уже отмечалось выше, электроны при этом можно считать в основ-
основном свободными, а распределение их плотности — практически
однородным.
Будем искать решение уравнения E. 12) в виде
где первый член описывает однородное распределение, а второй
является малой поправкой на неоднородность. Подстановка
этого выражения в уравнение E. 12) дает
а (х) = 2М \дгР — U (х) — В {х)\,
D , . ,- Г dx'	„	(Зя2оJ/з т.
где В (х) = e2Q \ -р—^— и дгР = eF — 2^— . Из условия
нормировки легко найти 6eF = U -\- В. Введем, далее, безраз-
безразмерную переменную у= (q/Z)'/3x, равную отношению х к сред-
среднему расстоянию между ядрами. Окончательно имеем
где
у —у I
Второй член в скобке в выражении F. 6) представляет собой
поправку на неоднородность и вносит вклад порядка Z2/3/(a0Q1/a).
Найдем уравнение состояния вещества с той же точностью. Под-
Подстановка выражения F. 6) в первый член соотношения F. 5)
приводит просто к величине EУИ)" (Зя2J/з q5/3; поправки на не-
неоднородность нет из-за условия нормировки. Что же касается
остальных членов Р, то их величина, как это будет видно из ре-
результатов, уже находится на границе принятой точности. Поэтому
62

для их вычисления можно использовать соотношение pjj (x) =
= (Зя2(>J/', что дает после перехода к переменным у
Величина в квадратных скобках пропорциональна полному числу
частиц и будет обозначена через	т~®-
В результате получается следующее уравнение состояния:
р^(ЗяТ*е6/8-ее2е4/з22/'.	F.7)
Коэффициент 8 является безразмерной величиной порядка еди-
единицы; вычисление его требует конкретного электростатического
расчета решетки. По своему физическому смыслу он близок
к постоянной Маделунга ионной решетки [57].
6. 6. Возможность практического решения уравнения Томаса—
Ферми в области меньших давлений сильно ограничена сложной
геометрией задачи, что связано с наличием большого числа источ-
источников внешнего поля (ядер решетки). Нередко поэтому исполь-
используют упрощенную модель ячеек [49, 58] *.
В этой модели вещество разбивается на нейтральные сфери-
сферически-симметричные ячейки, каждая из которых содержит одно
ядро. На границе ячейки ставится условие др'~ (х);дх = О, обес-
обеспечивающее ее нейтральность. В такой модели ячейки не оказы-
оказывают друг на друга электростатических воздействий, и задача
сводится к рассмотрению одной изолированной ячейки.
В модели ячеек не составляет труда вычислить величины Q и 6.
Радиус нейтральной ячейки R определяется из условия 4uR3q/3 =
гу ,	( 3 \7»
= Z; в безразмерных единицах ему отвечает величина!^— ,
Несложные вычисления дают
где у — расстояние от центра ячейки. Константа 8 имеет величину,
равную
Расчеты с более реалистическими моделями, справедливые в области срав-
сравнительно малых давлений, были проведены в ряде работ [59, 60].
В принятой нами модели нет возможности описать разного рода фазовые
переходы, наблюдающиеся при сжатии вещества.
63

Приведенные результаты относились к областям II и III.
Для вывода уравнения состояния вещества в области I прихо-
приходится проводить численное интегрирование уравнения Томаса —
Ферми. В модели ячеек это уравнение имеет вид
с граничными условиями
pl (х)
dpi (х)
«о
дх
— 0.
Такие вычисления были проведены Леттером [61 ]. Соответствую-
Соответствующие результаты для железа приведены на рис. 1 (кривая 1).
6. 7. Переходим к вычислению обменных и квантовых попра-
поправок к давлению, знание которых дает возможность выявить
пределы применимости ква-
квазиклассического уравнения
состояния вещества *.
Начнем с вычисления
квантовой поправки. Ис-
Используя тождество
IgP
13
1Z
11
—
_—
-0,5
Рис. 1
0,5 1д(р/рв-1)
и уравнение E. 13), можно
привести соотношение E. 26)
к следующему виду:
А1 + Л2,
F. 10)
18л3
где
1
72яг/И
Подставляя выражение для о =
к виду
(•
1
==
X
Ze2
бяй
— X
-2
.1)
6->0
\х — хп), приведем Аг
—V/2[-U+ 0A/6I.
* В литературе накоплен обширный численный материал по квазикласси-
квазиклассическому уравнению состояния вещества в широкой области давления [61, 62].
Однако значительная часть этих данных обесценивается тем, что в них не учиты-
учитываются квантовые эффекты, вклад которых весьма значителен.
64

1Z
Здесь использован тот факт, что вблизи n-го ядра р\ (х) = —^- -^
+ конечные члены. Применяя теорему Гаусса, нетрудно убе-
убедиться, что А2 отличается от Л! лишь численным коэффициентом.
Таким образом, квантовая поправка к энергии, имеющая
низший порядок по |, обращается в бесконечность. Это обстоя-
обстоятельство будет рассматриваться в разделе 6. 8.
Поскольку эта бесконечность обусловлена лишь областью
пространства, непосредственно прилегающей к ядрам, а эта
область при не слишком высоких давлениях с точки зрения урав-
уравнения состояния не играет роли, квантовая поправка к давлению
может оказаться конечной величиной. В том, что это так, можно
убедиться, если заметить, что вклад Л1J в давление, равный,
согласно выражению (о. 2), — (	 ' ) , тождественно обра-
обращается в нуль (qQ = N).
Таким образом, квантовая поправка к давлению может быть
записана в виде
Обменную поправку к давлению нетрудно записать аналогичным
образом, используя выражение E. 18):
4я3
Это приводит нас к выводу о том, что отношение квантовой и об-
обменной поправок к давлению постоянно и равно 2/9 [63]
~К7р~ ~ "о" •	F- 12)
Пользуясь этими результатами, нетрудно найти квантовую
и обменную поправки к давлению в области II, подставляя
вместо р0 величину Crt2QI/3:
<М> = —?-(з«№.	F.13)
*,
Р=—^(Зя2I^-	F-14)
Сравнивая эти выражения с соотношением F. 7), легко увидеть,
что они отличаются от поправки на неоднородность лишним
малым фактором Z~2/a.
6. 8. Определение обменной и квантовой поправок к давле-
давлению в области меньших давлений (в области I) удобнее произ-
65

водить по формуле F. 4). Используя выражения б^ = ° 2' °
и E. 18), найдем
Квантовую поправку можно определить с помощью соотноше-
соотношения F. 12).
Соответствующие вычисления были проведены по модели
ячеек [63, 64] *. Результаты приведены на рис. 1, заимствован-
заимствованном из работы [64]. Кривая / отвечает квазиклассическому урав-
уравнению состояния; 2 — модели Томаса — Ферми — Дирака,
3 — уравнению с квантовыми и обменными поправками. Кривая 4
построена по результатам эксперимента [65]. Все данные отно-
относятся к железу (Z = 26) **.
Из рисунка видно, что общая тенденция к сближению расчет-
расчетных и эмпирических кривых выражена достаточно четко. В част-
частности, отрицательный вклад обменных и квантовых поправок
к давлению находится в прямом соответствии с опытом.
Вместе с тем полученные до настоящего времени давления
еще недостаточно велики для того, чтобы вещество можно было
считать сильносжатым в указанном в разделе 6. 1 смысле слова.
При максимальных давлениях, достигнутых сейчас, квантовая
и обменная поправки оказываются еще порядка самого давления.
6. 9. Остается найти квантовые и обменные поправки к давле-
давлению в области III, которой отвечает давление Р > Z5e2/ao и плот-
плотность q ;> Z3/al. Обменная поправка в этой области по-прежнему
определяется соотношением F. 13). Что же касается квантовой
поправки, то ее вычисление требует специального рассмотрения.
В разделе 5. 5 отмечалось, что в окрестности ядер роль кванто-
квантовых эффектов становится значительной. В этой области суще-
существенны квантовые поправки всех порядков по параметру |,
отражением чего является бесконечность низшей поправки к энер-
энергии, с которой мы столкнулись в разделе 6. 7 ***.
Запишем выражение для р% в окрестности ядра в виде
где б — расстояние до ближайшего ядра; потенциал остальных
ядер и электронов опущен. Граничная энергия eF равна с доста-
* Фактически в этих работах использовался несколько иной метод, пол-
полностью эквивалентный изложенному здесь.
** Зависимость квази классического давления от Z дается соотношением Р =
= Z'°''f (q/Z2); зависимость квантовой и обменной поправок от Z — соотноше-
соотношением оР = Z'1' ф (q/Z2).
*** В рассматриваемой области энергия является неаналитической функцией
параметра |, что и препятствует ее разложению в ряд по |.
66

точной точностью Cjt2qJ/72M. Сравнивая оба выписанных
члена /?о, мы видим, что не затронутая внешним давлением область
атома, где второй член преобладает, отвечает расстояниям
С другой стороны, нетрудно найти размеры области атома,
где существенны квантовые поправки всех порядков, т. е. ? > 1.
1 ^oW
Исходя из определения ь, = —о-—-\	, находим радиус этой
р0 ах
области
Непосредственно видно, что в области III
Таким образом, в этой области существенный вклад в давле-
давление вносит внутренняя часть атома, где нельзя ограничиться
рассмотрением только квантовых поправок низшего порядка.
Это обстоятельство делает невозможным использование разви-
развитого выше метода исследования квантовых эффектов.
Существует тем не менее простой способ определения кван-
квантовых поправок в области III, основанный на том, что в этой
области взаимодействие электронов друг с другом и с ядрами мало
по сравнению с их кинетической энергией. Это условие выпол-
выполнено в области III даже в применении к наиболее сильно связан-
связанным внутренним электронам атомов.
Поэтому можно воспользоваться теорией возмущений, рас-
рассматривая Е — Ek в выражении F. 3) как малую поправку.
Имея в виду расчеты с точностью до (аоро)~1, ограничимся низ-
низшим порядком теории возмущений. С этой целью заменим в выра-
выражении F. 3) обкладки W на Wo — волновую функцию идеального
газа электронов. Повторяя выкладки, аналогичные проделанным
в § 4, получаем
g _ €k =	^^ ? (8)'V
Переходя к давлению, находим, что с точностью до (а^р,,)-1
оно слагается из выражений F. 7) и F. 13). Член, отвечающий
квантовой поправке, в рассматриваемом приближении вообще
отсутствует
62Р = 0,	F. 16)
что отвечает компенсации квантовых поправок разного порядка
67

Таким образом, полная (квантовая и обменная) поправка
к давлению составляет в областях I и II 11/9б1Р и в области III
6jP. Последняя величина определяется соотношением F. 15).
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ АТОМНОГО ЯДРА
7. 1. В этом параграфе будут рассмотрены некоторые прило-
приложения развитых выше методов к теории многонуклонных систем —
атомного ядра и нейтронной материи. В отличие от сильносжа-
сильносжатого вещества приближением Хартри — Фока в данном случае
ограничиться нельзя, поэтому полученные здесь результаты
будут использованы в последующих главах в качестве нулевого
приближения. Однако некоторые характеристики многонуклон-
многонуклонных систем можно вычислять и в рамках приближения Хартри —
Фока.
В качестве потенциала взаимодействия между нуклонами
будем использовать выражение A. 11). При этом в тех случаях,
когда граничный импульс частиц р0 удовлетворяет условию
рос « 1,	G. 1)
одновременно выполняется и условие A. 12); это позволяет заме-
заменить потенциал У<с) в выражении A. 11) псевдопотенциалом.
.I-» -«Л
Функция распределения многонуклоннои системы / \х, р)
является матрицей относительно изотопических координат, что
связано с асимметрией системы в отношении протонов и нейтро-
нейтронов. Ее всегда можно представить в виде
(~* ~*\	(~* ~*\	(~* "* \
f [х, р) = /(р) \х, рI(Р) + /<„) \х, р) ?(„>,	G. 2)
где ?(Р| „) — матрицы, выделяющие протонное и нейтронное со-
состояния (см. раздел 1. 3); /(р, п)[х, р) —функции распределения
соответствующих частиц.
Подставляя это выражение в соотношения D. 30') и D. 33)
и используя соотношение A. 11) (без кулоновского члена), можно
без труда получить следующее выражение для гамильтониана
частицы:
/ -f W = / + IV(P)?(P) 4- lV(n)g(n),	('• o)
где
W = B — A,
B(p) = 2 f dx'dsp' j(V(c) + 4" VW ,
1 \ л
B{n) = 2 f dx'dY {( V(e) + 4" Vw) Up) +

A(p) = f d'p' j(v(c) - -i- v(e)) hp) — V(a)f{n)\, •
I G-5)
В соотношениях G. 4) аргументом потенциалов является раз-
разность х — х', аргументами функций распределения—х', р'\
в соотношениях G. 5) v — фурье-образ соответствующего потен-
потенциала как функция р'\ аргументами функций распределения
-> -*¦ -*
являются х, р' + р.
Само выражение для функций распределения можно полу-
получить с помощью общей формулы D. 18) *
х, р) = (Q(o)^,	G. 6)
где Q.t = 6 (в/г,,.. — Т — И^(()) и eFa) — энергия Ферми про-
протонного и нейтронного распределений, которые можно найти
из соответствующих условий нормировки.
Энергию системы можно определить с помощью соотношений,
приведенных в разделе 4. 9. Вводя плотность кинетической
энергии протонов и нейтронов
, р~) рЧ2М,
получим соотношения, аналогичные D. 38) (внешнее поле U
считается отсутствующим):
@ 2
где плотность числа соответствующих частиц
G.7)
С(о = 2 I d»p/(o U, Й-	G.8)
Остается еще учесть кулоновское взаимодействие между про-
протонами. Соответствующий параметр взаимодействия (аоРо)~ *—V30
(см. раздел 1. 8). Отсюда следует, что нужно учитывать лишь
прямое кулоновское взаимодействие, которое можно записать
в виде
Здесь и ниже индекс i означает рил.
69

Соответствующий вклад в энергию
б кул = ~2~ 6(р)"кул-
Полученные соотношения полностью эквивалентны уравне-
уравнениям Хартри — Фока для многонуклонной системы. Приближе-
Приближение Хартри — Фока довольно широко, хотя и в сильно упрощен-
упрощенной форме, применяется в теории ядра, составляя основу моделей,
исходящих в той или иной форме из одночастичного описания
системы нуклонов [28, 34, 66]. Потенциал В — А при этом опре-
определяется не с помощью процедуры самосогласования, а подби-
подбирается полуэмпирическим способом.
7. 2. Для описания пространственно-однородного распреде-
распределения нуклонов, а также достаточно тяжелых ядер можно исполь-
использовать приближение Томаса — Ферми. Пренебрегая некоммута-
некоммутативностью операторов, входящих в выражение G. 6), имеем
/ [хр) =
где
е-> = (
	v-*p
Функцию распределения можно переписать и в более удобном
виде:
G.9)
где граничные импульсы протонного и нейтронного распределе-
распределений определяются уравнениями
~
= ef(n.	G- Ю)
Условие квазиклассичности требует достаточной гладкости обеих
функций р2т.
Из выражения G. 7) нетрудно найти плотность числа частиц
и кинетической энергии:
G.11)
70

Полная энергия системы определяется по формуле
& — <§ k (р) — S k (п) — S кул =
(а) (Р) + В(с) (л) + "у 5(а) (n)
Q(n) ( #«0 (я) + -J- В (а) (л) + В (с) (р) + -у В{а) {р)
A -	V		 •»
V(c)	2TV(a)J + 2/(p)/(«)v(a)j ¦>	G- 13)
где
5(a, c)@ = J dx'Q(i) (*') V(*. c) [x—x'j.	G. 14)
Аргументами функций распределения в выражении G. 13) яв-
ляются соответственно pup', функций v — разность р — р .
Приведенные в этом разделе соотношения для однородных
систем являются прямым следствием уравнений Хартри — Фока.
Для атомных ядер эти соотношения также вытекают из уравне-
уравнений Хартри — Фока, но только при условии, что массовое число А
достаточно велико.
. В самом деле, распределение плотности нуклонов в тяжелом
ядре можно аппроксимировать следующим образом [67]. В цент-
центральной части ядра радиуса —Л1/, ферма плотность практически
постоянна и имеет порядок l/ферми3. В сравнительно узком
поверхностном слое шириной порядка 1 ферма плотность
спадает до нуля. Поэтому квантовый параметр g2 ~ —j\-p-) ~
р0 \ х /
~ Q—•/» (-JL j близок к нулю в центральной части ядра и порядка
единицы в поверхностном слое. Нетрудно видеть, что эффектив-
эффективное значение ?2, усредненное по объему ядра, оказывается по-
порядка А'. Отсюда следует, что, как и в случае атома, точность
квазиклассического приближения с ростом числа частиц увели-
увеличивается.
В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе систем
с кулоновским взаимодействием малость квантовых эффектов
в рассматриваемом случае отнюдь не гарантирует малости обмен-
обменных эффектов. Оценим отношение отдельных членов в выраже-
выражении G. 5) к кинетической энергии (—p^jM\. Для члена, отвечаю-
отвечающего потенциалу V,a), получаем величину порядка MV0jp2Q.
Таким образом, как и для кулоновских систем, это отношение
определяется параметром взаимодействия а (см. § 1) и потому
71

немало. Аналогичное отношение для потенциала V(C) оказы-
оказывается величиной порядка ср0; вклад того же порядка дает соот-
соответствующий потенциал прямого взаимодействия В. Из сказан-
сказанного следует, что пренебрегать обменными членами в приведенных
уравнениях нельзя. Это обстоятельство сильно осложняет реше-
решение соответствующих уравнений.
С увеличением плотности относительная роль обменного потен-
потенциала по сравнению с потенциалом прямого взаимодействия
падает (для потенциала 1/(а) соответствующее отношение порядка
(аро)~3). Это связано с тем, что только член прямого взаимодей-
взаимодействия учитывает эффект увеличения числа частиц, находящихся
в области действия данной частицы.
7. 3. Дальнейшее использование полученных соотношений
Г	(~* \ (~*\
осложняется тем, что в них входят величины J dxV{C) \х) и v(c) [р),
обращающиеся для потенциала «твердой сердцевины» в бесконеч-
бесконечность. Прямой переход к приближению Хартри — Фока для по-
подобных потенциалов оказывается, таким образом, невозможным.
Если бы кроме потенциала V(C> иных взаимодействий между
частицами не было, то при условии выполнения неравенства G. 1) *
указанная трудность была бы легко преодолима. Следовало бы
просто заменить потенциал V(C) псевдопотенциалом, определяе-
определяемым выражениями A. 17)—A. 19); тогда последующий переход
к приближению Хартри — Фока не встретился бы ни с какими
трудностями.
В рассматриваемом случае, однако, помимо сил отталкивания
имеются также силы притяжения, описываемые потенциалом К(а>
(кулоновские силы с интересующей нас здесь точки зрения несу-
несущественны). Возникает важный вопрос о взаимном влиянии,
интерференции взаимодействий V(C) и У(а). Излагаемый ниже
подход позволяет учесть главную часть этой интерференции еще
в рамках приближения Хартри — Фока.
Сделаем сначала переход к этому приближению в отношении
только потенциала 1/(а). Тогда возникает некоторое общее внеш-
внешнее поле — общая потенциальная яма, причем, как это уже под-
подчеркивалось в § 5, частицы в этой яме будут двигаться с изменен-
измененным, неквадратичным законом дисперсии гр1р2 =j= const. При этом
частицы ведут себя как твердые шары, испытывая при сопри-
соприкосновении бесконечно сильное отталкивание. Нарисованная
здесь физическая картина достаточно точна: переход к приближе-
приближению Хартри — Фока для потенциала 1/(а) не связан с заметными
ошибками (см. гл. IV).
При выводе выражения для псевдопотенциала в § 1 предпола-
предполагалось, что закон дисперсии частиц квадратичен. Характеристика
* Для ядерного вещества параметр рос ~ 0,5, т. е. не очень мал по сравнению
с единицей. Однако соответствующий ряд обнаруживает достаточно быструю
сходимость.	*
72

этого закона — масса М — явным образом входила в выражение
для псевдопотенциала. Поэтому оно для наших целей более
не подходит. Выразим псевдопотенциал в виде
G.15)
где а и Р — некоторые неизвестные пока величины.
В общем случае, когда закон дисперсии е-> является произ-
р
вольным, уравнение Шредингера в системе центра масс прини-
принимает вид
e ^-—i
где Р = px + p2 — суммарный, a k = (px — p2)/2 — передавае-
передаваемый импульс. Решение этого уравнения, заменяющего собой
соотношение A. 13), таково *:
(г) =ехр {ik*r) — [Ae(— i'V) —
где Ле (—tV) соответствует выражению в квадратных скобках
в предыдущем соотношении.
Подставим сюда вместо V псевдопотенциал G. 15) и обозначим
через у значение величины A + r~7TJr РГ)'Ф ПРИ r = О- Ограни-
Ограничиваясь рассмотрением s-состояния, можно написать**
. . sin kr	p	d3p sin pr
r	I pr [Де \p) — ib\
Выделим, далее, из [Ae\pJ — ib\ величину M \p2 — k2 — ibj
(импульс k будет определен ниже). Тогда входящий в последнюю
формулу интеграл может быть записан при малых г в виде:
М
4 л г
где
1 + ikr + I,
с ,„ / 1	м
= dsp —^г	=
J	\be\p) — i& p2 — k2 —
• * Выражения типа (а ± i6) -1 исследуются в приложении В.
** Это выражение получается разложением 6-функции G. 15) в интеграл
Фурье и выделением нулевой сферической гармоники в экспонентах exp {ikr),
73

Сходимость / обеспечена тем, что при р -> со, е_^->¦-—.
Параметр fj удобно выбрать равным -tj- /. Тогда, вычисляя
величину П +г-д— + Рг) 1|з при г = О, получим соотношение
ikM
~l
До сих пор рассмотрение велось в самом общем виде и специ-
специфика исходного потенциала V никак не была использована.
Потребуем теперь, чтобы в точке г = с функция г|> (г) обращалась
в нуль; это соответствует бесконечному отталкиванию в указанной
точке. Тогда для параметра а получится следующее выражение:
_х _ kc j.	d3p sin pc	Mik
a ^^TJ	F
Выберем величину k следующим образом:
Mik	inkc f ,o sin pc »ГА ./'">\1
—.— =	ут^- dap —— б Де\р .
4я	sin (kc) $ ^ pc L '\Л IX
Тогда, используя общее соотношение (а — г'б) = Ра + /яб (а),
найдем
_х 	 kc р Г d3p sin pc
где символ Р j d6p означает интеграл в смысле главного зна-
значения (см. приложение В).
Полученные результаты можно суммировать следующим обра-
образом. В случае неквадратичного закона дисперсии (стремящегося,
однако, к квадратичному при высоких импульсах) псевдопотен-
псевдопотенциал определяется выражением (kc <^ 1)
G. 16)
где *
М
* Величина Л1эфф очень слабо зависит от Р и k [38], но заметным образом
меняется при изменении р0.
74

Очевидно, что при е (р) — pV2M мы возвращаемся к результа-
результатам, полученным в § 1. В частности, при этом а = 4лс/М, |3 = О,
k = k.
Заметим, что в то время как при е = рг/2М имело место равен-
равенство *
в общем случае
J рг Де (р)
Этим мы воспользуемся в § 18.
С одной стороны, функция е (р) при р > р0 стремится к р2/2М—
закону дисперсии свободной частицы. С другой стороны, столкно-
столкновению шаров отвечают малые расстояния г — си, следовательно,
большие импульсы р	> р0. Поэтому разница между Л1Эфф
и М является величиной высшего (первого) порядка малости по
параметру рос. Следовательно, неквадратичностью закона дис-
дисперсии нуклонов при рассмотрении р-рассеяния и других членов
высшего порядка можно пренебречь.
Далее, мы будем опускать члены порядка {ср0K, которые
будут рассмотрены в § 18 наряду с корреляционными членами.
7. 4. В этом разделе мы рассмотрим некоторые свойства одно-
однородных моделей ядерного вещества так называемых ядерной
и нейтронной материй.
Ядерной материей называется бесконечная однородная система
протонов и нейтронов, представленных с одинаковой плотностью.
Кулоновские силы при этом по необходимости считаются отсут-
отсутствующими (см. раздел 5. 3). В этой модели не учитываются
следующие особенности реальных ядер: кулоновское взаимодей-
взаимодействие, поверхностные эффекты, неравенство чисел протонов
и нейтронов.
Модель ядерной материи в некоторой степени пригодна для
описания вещества в сердцевине тяжелых атомных ядер. Рассма-
Рассматриваемая модель, несмотря на свою грубость, играет большую
роль в микроскопической теории ядра, будучи составной частью
и пробным камнем различных вариантов теории **.
Полагая в приведенных выше соотношениях ef( . = sF{n)
и соответственно /(р) = / , нетрудно получить закон диспер-
t<t Фигурирующий здесь интеграл пропорционален cos kr/kr.
Современный обзор теории ядерной материи содержится в работе [68].
75

сии 8-> и энергию ядерной материи. Прежде всего с помощью
выражений G. 3)—G. 5) имеем
Р2 , Ро
Зя2
f dsp'f [x, //) (v(c)	§-v{e)) ,
G. 17)
где | = х — х'. Это выражение удобно представить в виде
р
е-> —
G. 18)
где УИ0 (р) =
—1
-эффективная масса.
Несложные вычисления дают *
М	г I Зя	а2
1 +
sin (x
sin (x — у)
(х-у)
G. 19)
G. 20)
	~^г [У8 + 9 Si (у) — 9 sin у] +
где х = ар; у = ар0.
Здесь и ниже входит интегральный синус Si (x) = Г-^
о
Первый член выражения G. 18), представленный на рис. 2,
удобно аппроксимировать следующим образом:
sin t
dpp
М0(р)
2М
2М
2М
G.21)
где X (р0) и (х (р0) подбираются методом наименьших квадра-
квадратов [38]. Для реального значения р0 = 1,4 фермы'1 имеем (Л =
= 0,75, X = 1,3, ^*ф- = 0,7. Таким образом, для нуклонов,
лежащих ниже границы Ферми, эффективная масса оказывается
равной Мо я=< 0,57УИ. Из полуэмпирических соображений обычно
выбирают Мо = 0,5М.
* Вместо Vjc« подставляем выражение G. 16) в низшем порядке по с. В рас-
рассматриваемом приближении оператор 1 + /• — +
76
можно заменить единицей.

Энергия ядерной материи может быть вычислена с помощью
выражений G. 12)— G. 14) (напоминаем, что в рассматриваемом
случае /(р) = /(n), Q(p) = g(n), e2 = 0); она оказывается пропор-
пропорциональной массовому числу А *:
10 М
5я
\
-
Зя Л1эфф
36
(a — c)a Y1 Vi
(у) = У ^—г Si Br/) — ^-3 C — cos
О (У
,-4\
G.22)
Рис. 2
При выводе этого выражения использован псевдопотенциал,
вследствие чего оно непригодно при не слишком малых значе-
значениях ср0.
В последнее время появился интерес к другой модели ядерного
вещества — так называемой нейтронной материи, представляю-
представляющей собой бесконечную однородную совокупность нейтронов
[40, 69].
Подставляя в соотношения разделов 7. 1, 7. 2 sF, ) = —со,
/ = 0, q. = 0, найдем для закона дисперсии нейтронов сле-
следующее выражение:
ер ~ W + Зя2
— \dap'f(x, 1э')(ч1с)	g-v(e)).
* Численно при р0 = 1,4 фермы.'1 у = 3,22 и фх (у) = 4,20.
77

Сравнивая-это выражение с аналогичным выражением для ядер-
ядерной материи, нетрудно заметить, что величины -^	- 1 и V (р0)
для нейтронной материи втрое меньше, чем для ядерной.
Энергию нейтронной материи можно найти из выражений
G. 12)—G. 14):
\	, 10 М
где N — полное число нейтронов. Вклад двух последних членов
фигурной скобки, ответственных за взаимодействие, в частности
за притяжение между нуклонами, также втрое меньше, чем в ана-
аналогичном выражении G. 22). Это обстоятельство делает особенно
острым для нейтронной материи вопрос о возможности ее существо-
существования в связанном (жидком) состоянии.
7. 5. Решение уравнения Томаса — Ферми для реального
неоднородного ядра оказывается очень трудным из-за необходи-
необходимости учета обменных членов [44]. Поэтому целесообразно при-
применить прямой вариационный метод. С этой целью необходимо
задаться некоторой пробной функцией q(Pi n) (х), содержащей ряд
вариационных параметров, подставить эту функцию в выражение
для полной энергии системы и провести варьирование его по этим
параметрам. По вычисленным значениям вариационных пара-
параметров, обеспечивающим минимум энергии, можно найти как
распределение частиц, так и саму величину энергии системы
[70, 71].
В качестве пробных функций возьмем следующее выражение:
4
„ * .,„, d G.24)
о X>R+
Такое трапециевидное распределение плотности находится в близ-
близком соответствии с опытом* *. Для простоты положено, что средний
радиус распределения R и ширина поверхностного слоя d одина-
одинаковы для протонного и нейтронного распределений. Постоян-
Постоянные <#> нетрудно найти из условия нормировки
г 0 /?\-j
(Р) 4лЯ3 L ' \ R*)l 6<"> ~~ 4я#3 L + V
* Такой выбор может дать, естественно, лишь относительный минимум
энергии. В работе [72], которой мы следуем, приведены аргументы в пользу
выбранного распределения плотности.
78

Выбранная пробная функция содержит при заданном А три
вариационных параметра. Во-первых, это заряд ядра Z, который
сравнительно мало отличается от А/2. Введем малый параметр а =
= (А —2Z)/A, определяющий относительный избыток нейтронов
в ядре, и будем в дальнейшем разлагать энергию до членов а2
включительно.
Вторым вариационным параметром является ширина поверх-
поверхностного слоя d. Эта величина не зависит от Л и может считаться
малой по сравнению с R ~ Л1/з (но не с радиусом действия ядер-
ядерных сил). В дальнейшем ограничимся учетом членов не выше
первого порядка по d/R. Одновременно будем пренебрегать пере-
перекрестными членами типа <yd/R, o2d/R и т. д.
Наконец, третьим вариационным параметром является сам
радиус распределения R (или однозначно связанный с ним гра-
граничный импульс р0). В приближении Хартри — Фока энергия
как функция R не имеет минимума (см. раздел 7. 7). Поэтому
здесь мы не будем считать R вариационным параметром, а подста-
подставим его эмпирическое значение R ^ 1,1Л1/з фермы (соответствую-
(соответствующее значение р0 = 1,4 ферма'1). Подстановка выражения G. 24)
в соотношения G. 12)—G. 14) с учетом перечисленных выше
условий малости а и d/R приводит к следующему общему выра-
выражению для энергии:
Е = С,А + С2-^ + СИ1'. + С4 ( A-2Z J. G.25)
Аналогичный вид имеет полуэмпирическая формула Вейцзек-
кера [73, 74 ] без учета четно-нечетных аномалий. В ней первый
член — объемная часть энергии. В приближении Хартри — Фока
она дается соотношением G. 22). Эмпирическое значение коэф-
коэффициента Сг ^ —15 Мэв.
Второй член — кулоновская энергия отталкивания протонов.
Пренебрегая малыми обменной и поверхностной кулоновской
энергиями, нетрудно найти
С	6 е2Ро
2 5 (эяI/,
Удобно ввести величину
А'
Тогда второй член выражения G. 25) примет вид С'2 —j—. Нали-
Наличие в С'2 линейного по а члена является источником асимметрии
между протонами и нейтронами. Эмпирическое значение коэф-
коэффициента С2 — 0,7 Мэв; то же значение дает и приведенная фор-
формула.
79

Третий член — поверхностная энергия. Несложное, хотя и гро-
громоздкое, вычисление дает
п
1 ~
40(9я)'/зЛ1(а — сJ
40 М
81 L 8I Si^ I 27 , о, C0S2j/
где г/ = ар0. Эмпирическое значение С3 г=« 18 Мэв.
Наконец, последний член выражения G. 25) отвечает так
называемой энергии симметрии, связанной с неравенством чисел
протонов и нейтронов *. Коэффициент С4, эмпирическое значение
которого равно «^24 Мэв, имеет вид
2ср0 М . я	а2	. . 1 _ „„.
^+Фа/)] G-28)
Фз(^/) = 1/ + — + -2^-sin2# — -^r sin2i/.
Численно для принятого значения р0 ф2 (у) = 3,70; <р3 (г/) = 5,09;
отсюда нетрудно найти С4 ^ 30 УИзе.
7. 6. Перейдем к нахождению равновесных значений пара-
параметров d и о, для чего проведем варьирование выражения G. 25)
по этим параметрам.
Начнем с энергии симметрии. Часть выражения G. 25), содер-
содержащая параметр о, имеет, согласно соотношению G. 26), вид
Вторым членом в коэффициенте при оа можно пренебречь ввиду
его малости. Варьируя это выражение по а, найдем
^.	G.29)
Эта величина имеет ярко выраженное кулоновское происхождение.
Ее рост с А объясняется необходимостью компенсации увеличи-
увеличивающихся с ростом А кулоновских сил. Полученная зависимость
в среднем неплохо согласуется с опытом.
* Появление энергии симметрии связано, в частности, с принципом Паули:
замена всех нуклонов протонами (либо нейтронами) сопровождается увеличением
анергии системы из-за возрастания обменного отталкивания.
80

От параметра d зависит только коэффициент С3. Варьируя
выражение G. 27) по этому параметру, найдем
2 а^2,5 фермы.	G.30)
Эта величина также неплохо согласуется с опытом. Для расстоя-
расстояния, на котором плотность спадает с 0,9 до 0,1 своего максималь-
максимального значения, опыт дает величину около 2,4 фермы. Расчетное
значение для этого расстояния, полученное из соотношений G. 24)
и G. 30), составляет 2,0 ферма *. Таким образом, рассматриваемая
теория объясняет не только независимость d от массового числа, но
и величину этого параметра.
Подстановка выражения G. 30) в G. 27) позволяет определить
значение константы С3. Это значение оказывается заметно завы-
завышенным по сравнению с опытом, что объясняется сильным влия-
влиянием не учтенных эффектов динамической корреляции.
В поверхностной области ядра роль квантовых эффектов
в принципе могла бы быть значительной, однако в численном
отношении вклад этих эффектов оказывается малым. Оценивая
с помощью выражения G. 24) величину -^^м I dx -—— [см.
соотношение E. 23)] **, нетрудно видеть, что вклад квантовой
поправки в Ся составляет всего около 1 Мэв; аналогично мало
меняется и величина d.
Таким образом, целый ряд характеристик атомного ядра
может быть получен уже в приближении Хартри — Фока. Однако
для других характеристик эффекты силовой корреляции имеют
определяющее значение (см. § 18).
7. 7. Попытка рассматривать радиус ядра R как вариацион-
вариационный параметр в приближении Хартри — Фока к успеху не при-
приводит. Действительно, при малых R (или больших р0) выраже-
выражение G. 22) имеет вид
Е	pi	д-з
и неограниченно растет по абсолютной величине с уменьшением R
Таким образом, система нуклонов в рассматриваемом приближе-
приближении стремится к самопроизвольному сжатию. Поскольку при этом
в область действия ядерных сил попадает все большее число
нуклонов, энергия взаимодействия становится пропорциональ-
пропорциональной А2, и свойство насыщения ядерных сил теряется.
Природа этой трудности состоит в увеличении числа эффек-
эффективно взаимодействующих частиц при возрастании плотности.
Конечно, наличие отталкивания на малых расстояниях устраняет
* Корреляционные эффекты несколько увеличивают это значение (см. § 18).
** Второй член выражения E. 23) обращается в нуль по теореме Гаусса.
Строго говоря, соотношением E. 23) пользоваться нельзя ввиду существенной
роли обменных эффектов. Тем не менее можно думать, что это не изменит замет-
заметным образом приведенных оценок.
81

эту трудность. Однако сколько-нибудь точный учет соответствую-
соответствующего эффекта в приближении Хартри — Фока невозможен.
Уже в этом приближении можно найти достаточный критерий
того, что такое сжатие действительно будет иметь место (ниже
в гл. IV будет показано, что этот критерий является одновременно
и необходимым). Достаточно учесть то, что энергия в приближе-
приближении Хартри — Фока всегда выше истинного значения энергии.
Этот факт проще всего усмотреть, обращаясь к выводу уравне-
уравнения Хартри — Фока с помощью вариационного принципа. По-
Поэтому, если мы найдем критерий, при выполнении которого энер-
энергия стремится к —оо уже в приближении Хартри — Фока, то
то же заведомо будет иметь место при точном рассмотрении проб-
проблемы. Таким образом, искомый критерий может быть получен
из исследования поведения энергии в приближении Хартри —
Фока при больших значениях р0 и выяснения условий обращения
ее в —оо.
Для этого достаточно рассмотреть однородное распределение
нуклонов и положить /(р) = /(„). Обменные члены в энергии
играют, при большом р0 малую роль по сравнению с членами
прямого взаимодействия частиц. Поэтому общее выражение для
энергии можно записать в виде
Взяв выражение для V в наиболее общем виде A. 7), нетрудно
прийти к следующему выражению для §:
где
х = f 4 {vw (i) + 4- iv в (i) + Ун №)] - 4- vm(
При больших р0 доминирует первый член, а условием § -у —с»
является неравенство [75]
х < 0.	G. 32)
Из этого критерия видно, что как, вигнеровские, так и серберов-
ские силы притяжения неизбежно приводят к сжатию ядерного
вещества. Введение «твердой сердцевины» приводит к х -> +<х> *
и тем самым устраняет указанные трудности, что следует и из про-
простых физических соображений.
Условие G. 30) дает количественное уточнение известных
выводов о знакопеременности потенциала в проблеме насыщения
ядерных сил [28].
* В области больших р0 введение псевдопотенциала недопустимо, так как
нарушается условие A. 12).

ГЛАВА III
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА
§ 8. ДЫРОЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ
8. 1. Переход к приближению Хартри — Фока производился
путем замены точного гамильтониана Н C. 19) гамильтониа-
гамильтонианом Но D. 29). Рассмотрим разность
Я' = Я—#0 =
= -L J dqdq'V (q, q) {Ц+ (q) Ц+ (q) Ц (<?') Ц (q) -
- 2R (q', q') i|>+ (q) Ц (q) + 2R (q, q') q+(q)^(q') +
+ R (q, q) R (q', q') - R (q, q') R (q', q)}.	(8. 1)
Для простоты предположим, что потенциал V является здесь
просто функцией координат, а не оператором.
Гамильтониан //' носит название гамильтониана корреляцион-
корреляционного взаимодействия и описывает те эффекты, которые связаны
с отсутствием определенных индивидуальных состояний частиц
системы. Эти эффекты проявляются, в частности, в том, что мгно-
мгновенные характеристики разных частиц системы оказываются
взаимно связанными. Например, вероятность обнаружить частицу
в данной точке пространства зависит от расположения остальных
частиц в тот же момент времени.
Подобная корреляция характеристик частиц, обусловленная
взаимодействием между ними, называется обычно силовой (дина-
(динамической) корреляцией *. Простейшей возможностью учета эф-
эффектов силовой корреляции является формальное разложение
физических величин в ряд по //', т. е. построение соответствующей
теории возмущений. В настоящей главе строится такая теория
возмущений в полевой форме, приданной ей (по аналогии с кван-
квантовой теорией поля) в работах [76—79].
* Помимо динамической имеется еще статистическая (обменная) корреляция,
связанная с принципом Паули. Она учитывается и в приближении Хяртри —
Фока, где ей соответствуют выражения, содержащие обменный оператор &".
83

Полевая форма теории возмущений проще, компактнее и на-
нагляднее обычной шредингеровской теории возмущений. С этой
точки зрения существенную роль играет введение диаграммной
техники и формулировка правил Фейнмана, позволяющих без
труда построить графический образ и аналитическое выражение
любого члена разложения по Н1'.
Роль теории возмущений не исчерпывается теми задачами, где
корреляционные эффекты фактически малы и где можно ограни-
ограничиться несколькими первыми членами указанного разложения.
Теория возмущений оказывает существенную помощь при форму-
формулировке точных уравнений теории и, что гораздо более важно
с практической точки зрения, при построении приближенных
выражений, содержащих некоторую бесконечную подсово-
подсовокупность членов ряда теории возмущений. Анализ различ-
различных диаграмм теории возмущений позволяет отобрать наибо-
наиболее важные из них и произвести эффективное их суммиро-
суммирование.
8. 2. Прежде чем переходить к построению теории возму-
возмущений, необходимо несколько видоизменить интерпретацию опе-
операторов в представлении чисел заполнения. Для этого введем
понятие о дырках.
Для построения волновой функции любого состояния системы
необходимо подействовать на волновую функцию вакуумного
состояния операторами рождения частиц. В этой процедуре
вакуумное состояние выступает как своего рода начало отсчета,
поэтому в выражении для волновой функции интересующего
нас состояния фигурируют операторы рождения всех частиц
системы.
Такой подход, однако, является по разным причинам неудоб-
неудобным. Гораздо целесообразнее выбрать в качестве начала отсчета
волновую функцию самой рассматриваемой системы ?0 в прибли-
приближении Хартри — Фока. Тогда описание интересующего нас
состояния системы сведется к установлению отличия его от со-
состояния ?0; это отличие состоит в перераспределении частиц
по уровням: заполняются некоторые прежде свободные и осво-
освобождаются некоторые прежде занятые уровни.
Преимущества такого подхода состоят в следующем. Прежде
всего, новое начало отсчета — состояние ?0 — имеет несравненно
больший физический смысл, чем вакуумное состояние; в частности,
оно отвечает тому же числу частиц, что и реальное состояние
системы. Далее, нередки случаи, когда реальное состояние системы
отличается от Wo сравнительно незначительным перераспределе-
перераспределением частиц. В этом случае обсуждаемый подход является менее
громоздким и сложным.
Кроме того, устраняются некоторые формальные неудобства
старого подхода, и аппарат теории многих частиц еще в большей
степени сближается с аппаратом релятивистской квантовой теории
поля (см. раздел 8. 4).
84

8. 3. Переходим к перестройке аппарата представления чисел
заполнения. Динамическими переменными теперь будут служить
числа частиц п[р) на уровнях, которые в состоянии ?0 были сво-
свободны, и числа свободных мест — дырок — п^) на уровнях,
которые в состоянии ?0 были заняты. Само состояние Wo, оче-
очевидно, отвечает равным нулю числам заполнения частиц и дырок.
Необходимо привести в соответствие с новым описанием само
выражение для оператора поля. Перепишем разложение C. 9)
в следующем виде:
* (<7) = 2 [A - >ЧГ) Ах + УЧХ] Xv (Я),	(8. 2)
где nv — числа заполнения в состоянии ?0. Рассмотрим основное
состояние системы. Первое слагаемое соотношения (8. 2) отлично
от нуля лишь для незанятых состояний (ev > eF), где nv = 0,
и может по-прежнему интерпретироваться как оператор уничто-
уничтожения частиц. Второе слагаемое отлично от нуля лишь для заня-
занятых состояний (nv = 1). Его можно интерпретировать как оператор
уничтожения частиц в занятых состояниях, или, что то же, как
оператор рождения дырок. Аналогично оператор At, действующий
ниже границы Ферми, приводит к рождению частицы (к уничто-
уничтожению дырки).
Разложения C. 9) можно, следовательно, переписать в виде
1>(?) = 2Л+х„(<7),	(8'3)
V	)
где
= bv(ev<eF).j	" >
Здесь a, a+ и b, b+ — операторы уничтожения и рождения частиц
и дырок соответственно.
Используя определение дырочных операторов и общие правила
коммутации C. 7), можно написать
85>
Операторы частиц и дырок антикоммутируют друг с другом,
поскольку операторы а и b всегда относятся к различным со-
состояниям.
Операторы а, а+ и b, b+ действуют соответственно на числа
заполнения частиц п^ и дырок га^> согласно соотношениям C. 5).
Поскольку волновая функция ?0 отвечает равным нулю числам
заполнения п(р) и п(Л>, имеют место равенства
'а+= «Р'&+= 0.
85

Что же касается операторов чисел заполнения частиц и дырок,
то они, очевидно, имеют вид
пф = а+ач, nW = Ь+Ьч.	(8.7)
Переход к дырочному описанию не связан с каким-либо суще-
существенным изменением аппарата, а сводится лишь к иной интер-
интерпретации входящих в него величин.
8. 4. Переход к дырочному формализму приводит к дальней-
дальнейшему сближению теории многих частиц с теорией релятивист-
релятивистского квантованного ферми-поля, описывающей не только соб-
собственно частицы, но и античастицы, которые можно в известном
смысле интерпретировать как дырки в ненаблюдаемом фоне
частиц отрицательной энергии.
Дырки в теории многих частиц и античастицы в теории поля
имеют много общих черт. Ряд процессов в теории многих частиц
может интерпретироваться на языке, принятом в теории поля.
Например, переход системы из основного состояния в возбужден-
возбужденное заключается в простейшем случае в том, что одна из частиц
системы переходит из заполнения Ферми в состояние с энергией,
большей энергии Ферми. На дырочном языке это означает, что
рождается пара — частица и дырка (последняя отвечает освобо-
освободившемуся уровню). Возвращение возбужденной системы в основ-
основное состояние отвечает взаимному уничтожению (аннигиляции)
частицы и дырки. Эти процессы аналогичны процессам рождения
и аннигиляции частицы и античастицы в квантовой теории поля.
Подобного рода интерпретация, заимствованная из релятивистской
квантовой теории поля, оказывается весьма плодотворной
и удобной.
Однако эта аналогия не полная. В релятивистской теории
поля имеется полная симметрия между частицами и дырками,
отвечающая вырождению уровней энергии частиц по ее знаку.
Эта симметрия (ее называют зарядовой) имеет целый ряд следствий,
к числу которых относится, например, теорема Фарри (см. § 13).
В теории многих частиц между частицами и дырками нет
симметрии. Это можно видеть хотя бы из того, что области спектра,
отвечающие частицам и дыркам, существенным образом разли-
различаются: одна из них простирается до бесконечных значений энер-
энергий (со >> ev >> eF), другая ограничена низшими уровнями
(О < ev < e,f)- Указанная симметрия обнаруживается лишь в от-
отдельных случаях, когда определяющую роль играют частицы
и дырки, расположенные в непосредственной близости от границы
Ферми.
8. 5. Переход к дырочному формализму приводит к тому, что
операторы поля разбиваются на сумму рождающей и уничто-
уничтожающей частей, каждая из которых содержит только операторы
рождения и уничтожения (см. раздел 8. 3):
86

Здесь индексы (+) и (—) относятся соответственно к рождающей
и уничтожающей частям. Отметим, что при сопряжении (+) -?_ (—),
в частности ip+ (q)(+) =' [i|3 (q)(-) ]+.
Исходя из правил коммутации (8. 5), видно, что единственные
отличные от нуля антикоммутаторы операторов г|з и 1|з.+ имеют
следующий вид:
} = 2nvXv (</') %v (q),
= E 0
(8.8)
Здесь использовано соотношение (l — Ynvf = 1 — nv, выте-
вытекающее из равенства nv = 0,1- Верхний антикоммутатор совпадает
просто с матрицей плотности R (q, q') [см. выражение D. 7)],
нижний в силу условия полноты равен Ь (q — q') — R (q, q').
Введем важное понятие нормального произведения (yV-произ-
ведения) операторов поля. Чтобы перейти от обычного произведе-
произведения операторов к нормальному, необходимо разбить каждый
из операторов на сумму рождающей и уничтожающей частей
и переставить эти части таким образом, чтобы все операторы
рождения стояли слева от операторов уничтожения. При этом
каждая перестановка местами пары стоящих рядом операторов
должна сопровождаться изменением знака.
Приведем простейшие примеры jV-произведений:
1>+, N
Рассмотрим более сложный пример:
N
Это выражение лишь своим последним членом отличается от прс»
стого произведения операторов, где этот член равен i|)+(<7)(_)i|)(<7')(+)-
Поэтому разность между простым и нормальным произведениями
рассматриваемых операторов сводится к соответствующему анти-
антикоммутатору. Используя выражения (8. 8), получим
N [Ч>+ (</') ф (</)] = г|5+ (</') *(</)-/? (<7, q').	(8. 9)
Аналогичным, но более громоздким способом можно получить
соответствующее соотношение для произведения четырех опера-
операторов поля:
N [г|)
- R (q, q) *+ (<7') *.(</') - /? (q', q') Ц+ (q) * (?) +
+ /? (qr, q') f+ (?) if (</') + R (</', </) г|5+ (<?') if (?) +
+ R(q,q)R{q',q'\-R{q,q')R{q',q).	(8.10)
87

Нормальные произведения операторов поля обладают двумя
важными свойствами. Прежде всего, под знаком нормального
произведения можно производить любую перестановку операто-
операторов, меняя при этом соответствующее число раз общий знак
произведения. В самом деле, если эта перестановка не меняет
относительного порядка операторов рождения и уничтожения,
то приведенное утверждение очевидно, поскольку при этом анти-
антикоммутатор переставляемых операторов равен нулю. Пусть теперь
перестановке подвергаются операторы разного типа. Такая пере-
перестановка (при выполнении условия о знаках) также не меняет
результата, так как операторы в конечном счете все равно рас-
располагаются в соответствии с определением yV-произведения.
Другое свойство всякого yV-произведения [кроме N A) = 1 ]
состоит в том, что его среднее по состоянию Wo равно нулю:
(W0\N(...)\V0)=0.	(8.11)
Это важное равенство является непосредственным следствием
соотношений (8. 6).
8. 6. Введение понятия нормального произведения позволяет
существенным образом упростить выражения для гамильтониа-
гамильтонианов Но и #'.
Используя соотношение (8. 9), запишем выражение D. 1) в виде
#о=
= ldq(T+W)q{N [i|>+ (q') ф (q)] 4- R (q, q')) + С
Последние два члена этого выражения можно записать в виде [см.
приложение А и соотношение D. 27) ]
Sp (Tq) + 4" Sp (V(q, q') A - ,f q4>) QqQq') = Sp [( T + -^) „] .
Согласно выражению D. 35), эта величина равна энергии в при-
приближении Хартри — Фока. Отсюда
Яо = Ео + jdqN [я|)+ (?) (Т + W) ф (</)].	(8. 12)
Таким образом, если за начало отсчета энергии принять энер-
энергию нулевого приближения, то гамильтониан //„ сводится к нор-
нормальному произведению. Аналогичным образом оператор числа
частиц N (см. § 3) можно представить в виде
(q)].	(8.13)
Входящий в правую часть этого выражения оператор после под-
подстановки в него разложения (8. 3) приводится с учетом выра-
выражений (8. -7) к виду
•88

т. е. описывает разность числа частиц и дырок. Этот оператор,
как и N, коммутирует, очевидно, с полным гамильтонианом
системы.
Переходим к упрощению гамильтониана взаимодействия. Срав-
Сравнивая выражение в фигурных скобках соотношения (8. 1) с выра-
выражением (8. 10), получим
я' = 4" 1dc^ d(ty to, я') n №+ to) ч>+ to') * to') * (</)] •
Можно без труда показать, что для потенциала V, являющегося
оператором, это выражение примет вид
Я' = ~\dqdq'N N>+ (q) i|>+ (q1) V(q, q') * (</') ф (</)]. (8. 14)
Возможность представления гамильтониана взаимодействия
в виде нормального произведения обусловлена исключительно
тем фактом, что в качестве нулевого приближения выбрано при-
приближение Хартри — Фока. Это существенно упрощает последую-
последующее рассмотрение.
§ 9. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
9. 1. Перейдем к построению аппарата теории возмущений,
позволяющего производить разложение физических величин в ряд
по Я'.
Переведем в представление взаимодействия операторы поля
Ч> (?)> 'Ф+ (я)> обозначая буквой х совокупность координаты q
и времени t. Согласно общей формуле B. 7),
¦фв (х) = ехр (iffot) i|> (q) exp (—iffot),
где в качестве Яо мы выберем гамильтониан приближения Хар-
Хартри — Фока D. 1). Соответственно зависимость от времени вол-
волновой функции системы будет определяться корреляционным
гамильтонианом Я'.
Используем для вычисления г|>в (х) общее соотношение (см.
приложение Б)
со
ехр (а) Ъ ехр (—а) = 2 -^- [а [д ¦ • • [д> *]••¦]]>
п—0	п
где а и Ь — произвольные операторы. Учитывая правила ком-
коммутации C. 10), будем иметь
[Яо, я|) (<7)] = — (Т + W) i|> (q),
откуда
Шо... [Яо, ф (</)] .. . ] = (-1)" (Т + W? г|5 (q)
89

>(?)•	(9.1)
Дифференцируя это соотношение по времени, можно найти урав-
уравнение движения для оператора "фв (х):
= (Т+ W)qB(x).	(9.2)
dt
Подставляя в выражение (9. 1) разложение (8. 3) и учитывая
соотношение D. 2), находим окончательное выражение для опе-
операторов поля:
ill (y\ rz= 7 Л V (fi\ РУП (	IP f\
(; (^) exp (is Л
Как видно из этого соотношения, рассмотренное преобразование
свелось к замене не зависящей от времени части волновой функции
частицы %v (q) полной волновой функцией %v (q) exp (—i&vt).
Установим правила коммутации операторов ifB (x), i|)+ (x).
Учитывая соотношения (8. 5) и (9. 3), имеем
{*„ (х) ,i|>+ (х')} = 2 5U (</') Xv (<7) exp [-/ev (t - Г)] . (9. 4)
Остальные антикоммутаторы равны нулю. При t = Г правая
часть выражения (9. 4) переходит в 6 (q — q'), что, очевидно,
находится в соответствии с соотношением B. 11).
Переведем далее в представление взаимодействия гамильто-
гамильтониан //'. Принимая во внимание соотношение B. 10), можно
написать
я; (t)=4- х
X J dq dq'N [мр+ (х) i|>+ (xr) V^B (x) г|)в (х)}.	(9. 5)
Здесь
X = (q, t); X' = (q\ t).
9. 2. Закон изменения со временем волновой функции системы
в представлении взаимодействия определяется общим уравне-
уравнением B. 6)
Введем оператор (S-матрицу или матрицу рассеяния) S (t, ?0),
связывающий значения волновой функции в моменты времени t ut0:
WB(t)^S(t,t0)WB(t0).	(9.6)
90

S-матрица должна удовлетворять некоторым условиям. Во-пер-
Во-первых, она должна быть унитарной матрицей
SS+ = S+S = 1;
это свойство обеспечивает сохранение нормы волновой функции.
Во-вторых, S-матрица должна обладать следующими очевидными
*
Второе из этих соотношений вытекает из условия унитарности
и условия
S(t0, to) = l.	(9.8)
Найдем уравнение, которому удовлетворяет S-матрица. Под-
Подставляя выражение (9. 6) в уравнение Шредингера, нетрудно
получить
E4L '	(9.9)
Начальным условием для решения этого уравнения является
соотношение (9. 8).
Рассмотрим процедуру разложения S-матрицы в ряд по Н'9;
л=1
Здесь Sn содержит произведение п операторов Н'в; нулевой член
разложения выбран равным единице, так как в отсутствие Н'а
никакой эволюции ?в не происходит.
Приведем уравнение (9. 9) к интегральной форме, интегрируя
обе его части по t с учетом условия (9. 8):
t
S(t,to)=l-i$dxHB(x)S(x,to).
to
Подстановка в это уравнение разложения (9. 10) дает рекуррент-
рекуррентную связь:
t
Sn (t, t0) = —i J drH'B (т) 5„_! (т, g,
to
используя которую можно написать
Sn (t, g = (-0" J dx, j1 dx2. .. У dxnH'B (тх)... M (т„). (9.11)
i,	to
* Эволюцию системы от t3 до t1 можно рассматривать как результат после-
последовательной эволюции сначала от ^Здо tz и затем от /2 до tt.
91

Операторы Н'в в этом выражении расположены в хронологическом
порядке (тх >> т2 . . . >т„), т. е. их временной аргумент моно-
монотонно возрастает справа налево.
9. 3. Сложные пределы интегрирования делают выражение
(9. 11) неудобным. Этот недостаток можно устранить, если вве-
ввести понятие о Т-произведении (хронологическом произведении)
операторов.
Чтобы получить Т-произведение из обычного произведения
операторов поля, необходимо переставить последние таким обра-
образом, чтобы их временные аргументы возрастали справа налево.
Общий знак выбирается в зависимости от того, четную или нечет-
нечетную перестановку операторов приходится при этом делать. В част-
частности, Т-произведение двух операторов поля F1 (х^, F2 (х2)
равно *
F, (Xj) F2 (х2) tx > t2
или
T [F, (x,) F2 (x2)] = 9 (t, - tt) F,F2 - 9 (*a - tj F2F,. :(9. 12')
Хронологическое упорядочение имеет смысл в применении
йе только к операторам поля, но и к их комбинациям, содержащим
произведение отнесенных к одному моменту времени операторов
поля. Имеется в виду, в частности, Г-произведение гамильто-
гамильтонианов //':
В
которое предполагает, как и выше, расположение операторов Н'а
в порядке возрастания т справа налево. В данном случае, однако,
при перестановке операторов Н'в изменения знака не происходит,
поскольку Н'в содержит произведение четного числа операторов
поля. Поэтому
т [я; ю я; (т2)] = е (тх - т2) я; ю я; (т2) +
+ е(т2~т1)ЯЛт2)ЯЛт1).	(9.12")
Т-упорядочение не затрагивает взаимного расположения отне-
отнесенных к одному времени операторов поля, входящих в Н'ъ; это
расположение остается неизменным. Поэтому утверждение о воз-
возможности перестановки операторов под знаком Т-произведения
относится лишь к операторам Н'в в целом, но не к их составным
частям.
* Под знаком Г-произведения (как и iV-произведения) можно менять порядок
операторов, выбирая при этом соответствующий общий знак. Как и в случае
iV-произведения, операторы, в конце концов, будут расположены в нужном
(в данном случае хронологическом) порядке.
92

Теперь в выражении (9. 11) можно сделать замену:
я; к)... я; (т„) -> т [я; ю... я; (т„)].
Если произвести расширение пределов интегрирования до наи-
наивысшего значения t, то полученный интеграл можно представить
в виде суммы п\ (по числу перестановок хх . . . т„) интегралов
типа (9. 11), оказывающихся равными друг другу. Это позволяет
написать
t	t
Sn (t, g = ±?- \dx1..A dxj [H'B (x,)... я; (т„)].
to	to
Для иллюстрации рассмотрим член с п — 2:
С t т,
2. IJ	J
Здесь"мы учли соотношение (9. 12"). Меняя во втором интеграле
t	t	t	х2
ее с с
порядок интегрирования dxx dx%^ j dx2 dxt и делая за-
замену хг^х2, убеждаемся, что слагаемые S2 равны друг другу;
это возвращает нас к прежнему выражению (9. 11) с п = 2.
9. 4. В дальнейшем нас будет интересовать 5-матрица, у кото-
которой одна (или обе) из величин t, t0 бесконечна. Речь идет в первую
очередь о собственно 5-матрице S (со, —ос). Подставляя полу-
полученное выше выражение для Sn в выражение (9. 10), можно
со	оо
-t с?тЯ;(т) .	(9.13)
= Гехр
Поведение Н'в (т) как функции т носит в общем осцилляторныи
характер. Поэтому несобственные интегралы в выражении (9. 13)
не имеют определенного предела при стремлении (кээи^к —со.
Для придания этим интегралам определенного смысла следует
ввести в подынтегральное выражение в показателе экспоненты
* S-матрица 5 (оо, —оо) обозначается просто через S.
93

фактор ехр (—б]т|) при б -»-+0. Иными словами, следует сделать
замену
Я; (т) -+ ff'B (т) ехр (—в | т |),	(9. 14)
которая в дальнейшем будет подразумеваться. Подчеркнем, что
ни одна из физически наблюдаемых величин не содержит в пре-
пределе б -> 0 никаких неопределенностей.
Используя выражение (9. 14), можно написать окончательно:
X
= Т ехр l—-2-$d%d%exp (-6 \tt |) X
V (xlt x2) % (x2) Цв (Xlj\ }.	(9. 15)
Здесь dix = dq dt; V {хъ x2) = V (qu q^)^ (^i — ^a) (запаздыва-
(запаздывание не учитывается). Интегрирование производится по всему
четырехмерному пространству.
Помимо оператора 5 (оо, —оо) нам придется иметь дело также
с оператором 5 @, —со). Соответствующее выражение содержит,
очевидно, интегрирование по времени в пределах от —со до 0.
9. 5. Найдем соотношение, выражающее закон сохранения
энергии на языке 5-матрицы. Убедимся прежде всего в том, что
S (t, —оо) может быть представлена в виде
t
S(t, —оо) = 1 4- j dtexp (Шох) or x
	00
X ехр (—г'Яот) ехр (—б | т |),	(9.16)
где в — некоторый не зависящий от т оператор. Для доказатель-
доказательства сравним величины
= l eXp (t7/o') в ехР
HBS = ехр (iHot) H' ехр (—iHot) x
Г	I
J dx ехр (гЯот) а ехр (/Яот — б | т |) + П.
X
Делая в последнем выражении замену т ->- ? + х, получаем
ехр (iHot) Я' X
dxexp (гЯох) а ехр {—Шох — 6 | * + л: |) + 11 ехр (— г'Яо0-
В пределе б -> 0 здесь можно заменить б|^ + х\ на б|л;|; затухаю-
затухающий множитель дает вклад только вблизи бесконечных пределов
94

интегрирования. Мы убеждаемся, что оператор в действительно
не зависит от времени, поскольку оно выпадает из сравниваемых
выражений.
Рассмотрим матричный элемент (?0 (т)|5—1| ?0(„)), где ?0 <„> —
собственная функция оператора #0 с собственным значением Е0{п).
Используя выражение (9. 16) с t -> оо и соотношения
exp (~iHot)Wo = exp (-iEot)Wo,
легко проверяемые разложением в ряд, нетрудно видеть, что
интересующий нас матричный элемент пропорционален величине
exp [i (Ео (т) — Ео („)) t — b\t\]dt =
= 2яЬ(Е0(т) — Е0{п)).	(9.16')
Таким образом,
[= 2л6 (Ео (И) - Ео (а)) (?0 lm)\a\ Wo (я)).	(9. 17)
Закон сохранения энергии проявляется, таким образом,
в равенстве нулю матричного элемента (9. 17) при Е0{т) ф Е0(Пу
Иными словами, система в процессе своей полной эволюции
из состояния ?0 („) может перейти только в состояние той же
энергии. Этот вывод относится только к процессу полной эволю-
эволюции системы от —-оо до оо. В самом деле, при наличии конечных
пределов интегрирования в выражении (9. 16') мы получаем не
6-функцию, а функцию, отличную от нуля при любых значениях
разности Ео <т> — Ео (п).
Сделаем теперь предположение о том, что состояние ?0 <„>
является невырожденным, т. е. что другие состояния той же энер-
энергии отсутствуют. Это предположение справедливо, вообще говоря,
для основного состояния системы (по поводу возбужденных
состояний см. § 21, 22). При этом необходимо ограничиться рас-
рассмотрением систем с заполненными оболочками (см. раздел 4. 3),
для которых числа заполнения зависят лишь от энергии уровня.
Если сравнить состояния такой системы, отвечающие одной и той же
энергии, то окажется, что они отличаются самое большее пере-
перестановкой частиц. По существу же мы имеем дело с одним состоя-
состоянием. Иначе обстоит дело для незаполненных оболочек. Пусть,
например, сверх заполненных оболочек имеется один занятый
уровень. Меняя направление спина соответствующей частицы,
мы приходим к другому состоянию той же энергии (для простоты
считаем, что силы не зависят от спина).
Предполагая здесь и в дальнейшем невырожденность основного
состояния системы, мы видим, что из всех матричных элементов
95

(9. 17) отличным от нуля является лишь диагональный элемент
^5| ^о(я))- Учитывая общее соотношение
приходим к соотношению
|Y0)?0.	(9.18)
Учитывая
находим
равенство
<?01 S+S
(S?o)* =
? ) — 1
w:s+ =
= К
/да
s | ?0)-1?;.	(9.18')
Полученные соотношения выражают условие «устойчивости»
основного состояния системы: функция SW0, являющаяся итогом
полной эволюции системы, совпадает (с точностью до несуществен-
несущественного множителя) с исходной функцией ?0. Рассматриваемое состоя-
состояние не меняется, таким образом, в процессе эволюции системы.
9. 6. В дальнейшем возникнет необходимость перехода от пред-
представления взаимодействия к представлению Гейзенберга и обратно.
Соответствующий оператор перехода U (см. § 2)
непосредственно связан с 5-матрицей:
) = S+(t,O).	(9.19)
Для доказательства достаточно вспомнить, что при t = 0 величины
в обоих рассматриваемых представлениях совпадают. Поэтому
Соотношение (9. 19) можно вывести и иным способом, учитывая
соотношение B. 9):
U = exp (iHt) exp (—iffot).
Дифференцируя его по t, нетрудно убедиться, что U удовлетворяет
тому же уравнению, что и S @, t). Вместе с тем при t = 0 U = 1,
т. е. полностью совпадает с 5 @, t). Аналогичным образом можно
доказать и общее соотношение
S (t, g = exp (iffot) exp [-iff (t - g] exp (-iffot); (9. 20)
оно, однако, является неудобным ввиду наличия в показателе
экспоненты суммы некоммутирующих операторов //0 и //'.
Таким образом, можно написать
Wr = S@,t)WB(t), qr(x) = S@,t)^B(x)S-l@,t)- (9-21)
В частности, полагая / ->- —оо, получим
96

Величина "?г совпадает с не зависящей от времени частью
точной шредингеровской волновой функции системы. Поэтому
можно написать
(tfo + #'-?)S(O,-оо)?в(-оо) = 0,	(9.22)
где //' = Н'ъ @) — гамильтониан взаимодействия в представлении
Шредингера; Е — истинная энергия состояния.
Для нахождения точной волновой функции системы ?г недо-
недостаточно знания 5-матрицы; нужно еще располагать выражением
для волновой функции ?в (—оо). Все последующее рассмотрение
в этом параграфе будет посвящено этой функции.
Исходя из соотношения (9. 14), можно заключить, чтоЧ^ (—оо)
должна совпадать с волновой функцией нулевого приближения ?0.
В самом деле, при t -> —оо гамильтониан (9. 14) эффективно
стремится к нулю, и корреляционное взаимодействие между
частицами системы оказывается выключенным. По мере возраста-
возрастания t это взаимодействие бесконечно медленно, адиабатически
(при 6^0) включается, и мы приходим к реальному состоянию
системы. При t ~> +со взаимодействие также медленно выклю-
выключается; по этой причине должны совпадать также функции WB (+oo)
и 4V Все эти соображения составляют содержание так называемой
адиабатической гипотезы.
Существенным является вопрос о том, какое именносостояние?0
соответствует при t -> —оо данному, в частности основному
состоянию ?г. Можно привести некоторые доводы в пользу того,
что ?0 описывает также основное состояние системы, но при
выключенном корреляционном взаимодействии.
С этой целью отметим, что фактор ехр (—61/|), входящий
во взаимодействие, нарушает стационарность состояний системы.
Однако при 6 -> 0 можно говорить о «почти стационарных» со-
состояниях, характеристики которых бесконечно слабо зависят
от времени. В частности, энергия состояния также зависит от вре-
времени, как от параметра. Эта зависимость, разумеется, отсутствует
при рассмотрении конечных интервалов времени, но становится
существенной при t ~> ±сс.
Существует общая квантовомеханическая теорема об отсут-
отсутствии пересечения уровней энергии, зависящих от одного пара-
параметра и отвечающих одинаковой симметрии [24]. Иными словами,
при выполнении указанных условий уровень, который был наи-
наинизшим при одном значении параметра, останется таковым при
любом другом значении этого параметра. Совершенно ясно, что эта
теорема дает обоснование высказанному выше утверждению:
основной при t = 0 уровень останется основным и при t -> —оо.
Что же касается симметрии рассматриваемых состояний,
то для решения этого вопроса можно использовать следующее
обстоятельство. Как правило, основное состояние системы имеет
максимальную совместимую с данными внешними условиями
97

симметрию. Поэтому рассматривать вопрос о пересечении уровней
имеет смысл лишь в случае их одинаковой, именно максимальной
симметрии.
9. 7. Приведенные в предыдущем разделе соображения ну-
нуждаются в дополнительном обосновании. Используя разложение
5-матрицы в ряд теории возмущений, можно провести более стро-
строгое рассмотрение. Поэтому для доказательства совпадения функ-
функций ?в (±"o) и ?0 необходимо, чтобы разложение соответствую-
соответствующих величин в бесконечный ряд по Н' качественно не меняло
ситуации *.
Мы покажем, что функция ?в (—со) удовлетворяет следую-
следующему уравнению (его вывод см. в разделе 9. 8):
{ 4" (#о Jr S-W^S) + ~ S-1 -g- - Е} ?в (-оо ) == 0. (9.23)
Входящий сюда параметр К имеет следующий смысл: нужно
заменить гамильтониан Й' на Я,Я', вследствие чего 5-матрица
станет функцией К. После проведения всех выкладок следует поло-
положить К = 1; величина б здесь и ниже стремится к нулю.
Убедимся теперь в том, что функция ?0 также удовлетворяет
уравнению (9. 23). Воспользуемся с этой целью условием устой-
устойчивости ?0 (9. 18) и уравнением #0?0 = E0W0:
S^H.SW, = E0S-W?0 -= E0V0.
Далее,, поскольку ?0 не зависит от к, можно написать
Чрезвычайно существенно, что оператор Л L —тт~ сводится при
действии на Wo к с-числу, т. е. ?0 является собственной функцией
этого оператора. В результате получаем условие, при выполнении
которого Уо удовлетворяет уравнению (9. 23):
E~EQ = —~-~\n(W0\S\4r0).	(9.24)
Это соотношение может само по себе служить для определения
корреляционной энергии системы [78]. В дальнейшем будет
показано, что (?0|5|?0) действительно имеет при малых б
вид exp [Lo/6], где Lo (к) некоторая, не зависящая от 6 вели-
величина. Таким образом, разность Е — Ео имеет в пределе 6^0
вполне определенную, не равную нулю величину.
Это приводит нас к выводу, что ?0 и ?в (—оо) отвечают одному
и тому же, по условию невырожденному уровню энергии, т. е.
* Осторожность в этом смысле следует соблюдать при наличии связанного
состояния, характеристики которого зависят от Н' неаналитическим образом.
98

просто совпадают друг с другом с точностью до несущественного
фазового множителя.
Окончательно выражение для волновой функции системы
можно записать в виде
<Fr = S@,-оо)?0,	(9.25)
где ?0 — волновая функция основного состояния системы в при-
приближении Хартри — Фока. Еще раз подчеркнем физический
смысл этого соотношения. При t = —оо корреляционное взаимо-
взаимодействие отсутствует, система находится в состоянии 4я0 с соб-
собственным значением Ео. При возрастании t взаимодействие мед-
медленно включается и к моменту t = О Ч0 переходит в ?, — точную
волновую функцию системы с собственным значением Е.
Аналогичное соотношение существует и для моментов t = О
и t = +со:
Чг - S+ (оо, 0) Wo ,= S @, со) Уо.	(9. 26)
Доказывается оно тем же способом. В обоих соотношениях (9. 25),
(9. 26) имеются еще (различные) фазовые множители. Они выпадают
из окончательных результатов, имеющих прямой физический
смысл.
9. 8. Приведем в заключение доказательство уравнения (9. 23),
основываясь на соотношениях, данных в работе [80]:
[Но, S @, -сю)] ^ -H'S@, - оо) -; гб ^^
[Но, 5(со, 0)] =5(оо, 0)//' —tfl (g' *
(9.27)
(вывод этих уравнений будет дан ниже). Умножая уравнение (9. 23)
слева на 5 @, —со) и разбивая S-матрицу согласно соотноше-
соотношению (9. 7) на сомножители S (оо, 0) я S @, —со), нетрудно с уче-
учетом выражения (9. 27) свести уравнение (9. 23) к рассмотренному
выше уравнению (9. 22).
Докажем теперь первое соотношение (9. 27) (второе выводится
аналогичным образом). Рассмотрим с этой целью коммутатор
[//„, S @, —оо)], подставляя в него разложение 5-матрицы:
П—I
со	О
[H0S@, -со)] = ^ ^f- J dx1 ...drn x
п,	(9.28)
где
99

Поскольку Яо не зависит от времени, его можно внести под знак
Т-произведения.
Гамильтониан Яо при коммутации с любым оператором в пред-
представлении взаимодействия приводит к дифференцированию этого
оператора по времени. Поэтому можно написать
Кп = -in -— Т [я; (тх)... я; (т„)].
Здесь использована, во-первых, симметрия подынтегрального
выражения (9. 28) относительно перестановки точек тх . . . т„
и, во-вторых, возможность перемены местами символов д/дх и Т
в случае произведения одинаковых сомножителей. Эту возмож-
возможность проще всего усмотреть в простейшем случае п = 2. Диф-
Дифференцируя выражение (9. 12") и учитывая соотношение — ~ =
= ±6 (х), находим
в (Tl) Ив (Та) ^b (Tl ~Тз) f^(Tl)i Мв (Тг)] = °-
Здесь использовано то, что из-за наличия б-функции возникает
коммутатор двух равных операторов; это, естественно, приводит
к нулевому результату.
Интегрируя выражение (9. 28) по переменной тх по частям,
можно написать следующее выражение для [Яо, S @, —оо)]:
о
dx2... dxnexp
\ " 2
о
[77в (т2) .. . Яв (т„)] — 6 J dx1.. . dxn x
— оо
)
о] •
1 /	)
Первый член этого выражения совпадает с —Kff'B @)S @, —оо).
п * -si E5@,--со) ^
Второй член может быть записан в виде гол,	-~	 . Соот-
Соответствующее дифференцирование обеспечивает правильный чис-
численный коэффициент, добавляя в числителе необходимый мно-
множитель п.
§ 10. СВЕРТКИ ОПЕРАТОРОВ
10. 1. Прежде чем переходить к дальнейшему преобразованию
выражения для 5-матрицы, необходимо рассмотреть так назы-
называемые свертки операторов в представлении взаимодействия,
определяемые соотношением
F\F2 = T (F^g) — N (F-lFz),	A0.1)
10Э

где Fi, 2 — операторы поля if или if+ *. Учитывая соотноше-
соотношение (9.' 12) и выражение для Af-произведения двух операторов,
можно написать
Отсюда видно, что свертки операторов if if и if+if+ тождественно
равны нулю (см. раздел 8. 5), а свертка операторов if и if+ пред-
представляет собой с-число. Это последнее свойство позволяет записать
с учетом выражения (8. 11)
if (^И|>+ (а-2) = ( Wo | Т [if (X!) ip+ (*а)] | <F0).	A0. 3)
При перемене местами свертываемых операторов свертка меняет
знак:
j	^.	A0.4)
Приведем явное выражение для свертки A0. 3). Подставляя
в соотношение A0. 2) выражения (8. 8), получим
if (xjy$+ (*„) = 2 хС (?я) Xv (?i) exp [— tev (^ — gj X
— n v
При t1 — t2 -> —0 свертка совпадает с одночастичной матрицей
плотности системы.
Найдем уравнение, которому подчиняется свертка. Запишем
с этой целью выражение A0. 3) в явном виде:
1|5 (^Н>+ (*,) = 0 (t, - t2) ( Wo
Учитывая уравнение (9. 2) для if, соотношение дд (±t)/dt =
= ±6 (t) и соотношения коммутации (9. 4) при одинаковых вре-
временах, получим
) (*^+ (*.) = №(*! - х,), (Ю. 6)
где б4 (х) = 6{t)&(x). Величина Go (хг, х2) = — iif (хгНр^ (х2)
является, таким образом, функцией Грина уравнения (9. 2) для
оператора if (x). Ее называют свободной функцией Грина.
* В § 10—14 речь будет идти исключительно о представлении взаимодей-
взаимодействия, поэтому индекс «в» у соответствующих величин будет опущен.
101

Функцию Грина, отвечающую условиям A0. 5), удобно под-
подвергнуть фурье-преобразованию по разности.^ — /2 = т *. Полу-
Получаемая при этом величина
G0(<7i><72>e)= j dxGoiXi, х2) exp (гет)
легко вычисляется с учетом соотношений, приведенных в прило-
приложении В:
[ exp (iax — 6т) dx = ~^г^-.
о
о
J exp (lax + 6т) dx = -^j- •
В результате имеем
"у
I е — ev -j- (О е—sv — го )
.Для основного состояния системы, где nv = 9 (eF — ev), можно
eBf) •	A°- 7)
Для однородной системы Go (^1( ^2, e) зависит лишь от разности
пространственных координат. Совершая фурье-преобразование
по хх — х2 — |, имеем
iGoto, <7а. е) ехР [~1Р
Подставляя в соотношение A0. 7) выражение D. 20), получим
o А е =	~^-Т'т; ,	• '	(Ю. 8)
е — ер + гб sign (р- - pg)
* При отсутствии переменного во времени внешнего поля функция Грина
зависит только от этой разности, но не от tl и t2 порознь.
** Здесь sign (х) — знак величины х: sign (х) = 1 (лг> 0), sign (x) —
= -1(дг<0).
102

Во всех приведенных здесь выражениях б — положительная
бесконечно малая величина.
10. 2. Функция Грина имеет сравнительно простой вид также
в случае медленно меняющегося в пространстве самосогласован-
самосогласованного поля. Речь идет о построении выражения для функции
Грина в приближении Томаса — Ферми (см. § 5).
Запишем предварительно выражение A0. 7) в символической
операторной форме. Полагая
(Т + W)%v(q) =
имеем
Go (<7i, Яг, е) = {е - (Г + WLl + id X
Xsign[(r+ ИО^-е^Гб^-^).	A0.9)
Полученное соотношение дает свободную функцию Грина в при-
приближении Хартри — Фока; как и в случае матрицы плотности,
его простота является иллюзорной ввиду некоммутации входящих
в знаменатель операторов.
Если выполнены условия применимости приближения Томаса—
Ферми, то этой некоммутацией можно пренебречь. Переходя
-> ->¦
к фурье-образу по разности х1 — хг, найдем
>в) =
Здесь хх играет роль параметра, от которого слабо зависит функ-
функция Go.
Если одновременно можно пренебречь и обменными эффектами,
то полученные соотношения еще упростятся. Вводя граничный
импульс р2 (х), связанный с е-> (х) соотношением
находим
dsp exp in (х^ — х3)\о„ „ or r
\Р —
В том же приближении в подынтегральном выражении A0. 11)
можно сделать замену pj- (хх) ->- р\ (х2):
dan exp in (x, — х») б„ б^ _.
	'2 "	A0 I2)
[P2-Pofe>]	__
103

В самом деле, эффективное значение разности хх — х2 ~ \1р —
— 1/р0- При выполнении условия квазиклассичности
pl (х2) — pi (*i) ~ I *i -¦ \ | Vp2, (х,) ~ Еро Ю< ро (aTj.).
Выражениями A0. 11) и A0. 12) удобно пользоваться для рас-
расчета корреляционных эффектов в слабонеоднородных системах.
Однако, как будет показано в § 15, приведенные выражения можно
использовать для корреляционных расчетов при выполнении
не только обычного условия квазиклассичности, но и еще одного
условия, в ряде случаев более жесткого.
10. 3. Исследуем физический смысл свертки операторов.
Запишем выражение для функции Грина в виде
Рассмотрим сначала верхнюю строчку. Оператор i?>+ (x2), действуя
на ?0, приводит к рождению частицы в точке </2 в момент t2 (унич-
(уничтожающая часть этого оператора не дает вклада). В последующий
момент t1 эта частица уничтожается в точке дг, и система возвра-
возвращается в исходное состояние. Во второй строчке в момент t±
в точке qx рождается дырка, которая затем (в момент t2) уничто-
уничтожается в точке q2.
Таким образом, можно сказать, что функция Грина описывает
процессы распространения: частицы из точки х2 в хх и дырки,
в обратном направлении. Поэтому функцию Грина нередко назы-
называют функцией распространения. Это распространение носит
причинный характер: рождение всегда предшествует уничтоже-
уничтожению. Если бы вместо Г-произведения стояло обычное произведение
операторов, это важнейшее свойство оказалось бы утраченным.
Нетрудно видеть, что функция Грина равна с точностью до мно-
множителя матричному элементу перехода, отвечающего распростра-
распространению в указанном выше смысле. Действительно, волновая
функция системы с частицей в точке q% в момент t2 равна, очевидно,
У (х2) = 1|з+ (x2)W0. Матричный элемент перехода
и есть, очевидно, функция Грина.
Распространение удобно изображать графически. Соответ-
Соответствующие правила входят составной частью в диаграммную
технику, которая будет подробно излагаться ниже. Простран-
Пространственно-временную точку х будем изображать точкой на графике
(рис. 3, а), где по горизонтали слева направо проведена ось вре-
времени. Распространение частицы, описываемое Go, будем изобра-
изображать направленной линией, соединяющей точки хг и х1 (rf2 < fa).
Аналогично распространение дырки описывается линией, идущей
от хг к %2 (t% > ti). Обе эти линии имеют общее направление
104

с осью времени, что соответствует причинному характеру рас-
распространения.
Большим неудобством такого изображения функции распро-
распространения является зависимость направления линии (от х2 к хх
или наоборот) от соотношения между временами точек х1 и х2.
Это неудобство легко преодолеть, принимая условно, что дырка
распространяется от точки своего уничтожения к точке рождения,
и направляя соответственно линию дырки (рис. 3, б) от точки х2
к хг. Тем самым достигается выбор единого направления линии
функции распространения для обоих случаев t2<it1 и t2^> t x
t,<t
tz>t1
tt<t,
Рис. З
совпадающего с направлением распространения частицы. Хотя
при этом направление распространения дырки оказывается про-
противоположным направлению оси времени, ни о каком противо-
противоречии с принципом причинности говорить, разумеется, нельзя,
так как принятое условие имеет чисто формальный смысл. Это
условие, как будет видно из дальнейшего, обеспечивает компакт-
компактность графического аппарата теории.
10. 4. В заключение отметим, что широко применявшиеся
в предыдущем разделе термины «рождение в точке», «уничтожение
в точке», «распространение от точки к точке» не следует понимать
слишком буквально.
Оператор ty + (<70), действуя на вакуумную функцию ^вак,
действительно дает состояние, отвечающее локализованной
в точке q0 частице. Этого, однако, нельзя сказать об операторе,
Действующем на Wo — волновую функцию системы.
Повторяя рассуждения, приведенные в разделе 3. 4, но исполь-
используя выражение для оператора в виде (8. 3), приходим к выводу,
что волновая функция в конфигурационном представлении ока-
оказывается равной ^ A — п\) Xv (<7o) Xv (?)• Эт° выражение уже
105

не равно 6 (q — ^0). Можно сказать, что б-образный волновой
пакет неизбежно должен был бы включать в себя состояния,
которые в Wo уже заполнены частицами, что, очевидно, невозможно
из-за принципа Паули.
С физической точки зрения это означает, что попытка локали-
локализовать частицу приведет к такой большой неопределенности
в импульсе, что соответствующей энергии хватит на рождение одной
(или многих) пар. Возникающее при этом состояние не имеет
ничего общего с интересующим нас состоянием одной локализо-
локализованной частицы.
Таким образом, строгая локализация частицы в теории многих
частиц вообще невозможна. Но это ни в какой мере не делает непри-
непригодными предыдущие рассуждения. Для построения полевого
аппарата вполне достаточно трактовать процесс распространения
в том условном смысле и с теми оговорками, которые были сделаны
выше.
§ П. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
П. 1. Вернемся к S-матрице и рассмотрим полученное в раз-
разделе 9. 3 ее выражение в виде суммы Г-произведений. Это выра-
выражение неудобно по следующей причине.
Каждое из Т-произведений содержит всевозможные операторы
рождения и уничтожения, расположенные в самом различном
порядке относительно друг друга. Поэтому при эволюции волно-
волновой функции системы во времени S-матрица, действуя на W (t0),-
не только уничтожает те частицы, которые имелись в состоянии
W (tg), и рождает те частицы, которые должны присутствовать
в ? (t), но и приводит к рождению и последующему уничтожению
других частиц, не имеющих никакого отношения к ? (t0) и ? (t).
Например, процессу перехода из начального состояния, где было
две частицы, в конечное, где также имеются две частицы, отвечает
не только член S-матрицы, содержащий
но и член, скажем, типа
Здесь последние два оператора приводят к рождению и последую-
последующему уничтожению некоторой «лишней» частицы.
Эти "«лишние» частицы [их называют виртуальными в отличие
от реальных частиц, присутствующих в W (t0) или W (t)] играют
существенную роль в интерпретации высших членов ряда теории
возмущений и не могут быть устранены из аппарата теории.
Однако способ их описания в терминах Г-произведения неудобен.
106

Дело в том, что при таком описании реальные и виртуальные
частицы выступают совершенно равноправно. Поэтому, например,
задача об отыскании той части S-матрицы, которая отвечает дан-
данному процессу перехода реальных частиц *, становится крайне
сложной ввиду наличия в выражении для S-матрицы операторов
как реальных, так и виртуальных частиц.
Оказывается возможным приведение S-матрицы к такой форме,
где фигурируют операторы рождения и уничтожения только реаль-
реальных частиц. Что же касается виртуальных частиц, то их рождение
и последующее уничтожение описываются при этом с-числами
(введенными выше свертками операторов). Связанное с этим
упрощение аппарата очевидно; в частности, выбор элемента
S-матрицы, отвечающего данному процессу, производится непо-
непосредственно по виду входящих в эту матрицу операторов.
Для виртуальных частиц (виртуальных дырок) характерно то,
что оператор их рождения обязательно стоит справа от соответ-
соответствующего оператора уничтожения. В противном случае такая
частица обязательно должна была бы присутствовать в начальном
и конечном состояниях. Нормальное произведение операторов
(см. § 8) характеризуется как раз обратным их расположением.
Поэтому интересующее нас преобразование S-матрицы связано
с возможностью представления Г-произведения в виде суммы
нормальных произведений операторов.
11. 2. Покажем, что приведение Т-произведения операторов
к сумме нормальных произведений всегда возможно и выполняется
с помощью простых правил.
Для пары операторов мы уже имели соотношение желаемого
вида [см. выражение A0. 1)]:
Т (FXFJ = N(/Уч) + /УУУ A), N{\)=\.	A1.1)
Правила построения аналогичных соотношений в общем случае
даются следующими двумя теоремами Вика.
1. Г-произведение операторов поля можно представить в виде
суммы нормальных произведений, выполняя свертывание все-
всевозможных пар операторов. Общий знак каждого из таких сла-
слагаемых определяется числом перестановок операторов, необхо-
необходимых для того, чтобы свертываемые операторы стояли рядом:
Т (F.F, ... Fn) = N (F,F2 ... Fn) + F~F2N (F3 ... Fn)-
~F^F3N(F2 . .. Fn) + ¦ ¦ ¦ + FJ>tF^FtN(F6 ... Fn) + ¦ • • A1.2)
Здесь F^F 2 — свертка операторов Ft и F2.
* S-матрица описывает всевозможные процессы перехода. Часть S-матрицы,
отвечающая данному процессу, называется элементом S-матрицы процесса.
107

Рассмотрим соответствующий пример *:
Т [i|5+ A) i|j+ B) i|5 C) Ч> D)] = N [Ц+ A) i|>+ B) if C) ф D)] +
+ Шо C, 1) N [i|>+ B) Мр D)] - Шо D, 1) N №+ B) i|5 C)] -
- iG0 C, 2) /V [i|5+ A) i|> D)] + iG0 D, 2) N [Mp+ A) ф C)] +
+ G0C, l)G0D,2)-G0C,2)G0D, 1).
Здесь использованы определения функции Грина:
4>(lf$+B) = -*M2)*(l) = tG0(l,2).	A1.3)"
Свертки остальных пар операторов равны нулю.
С самого начала под знаком Т-произведения могут стоять нор-
нормальные произведения.
2. Для таких смешанных Г-произведений предыдущая теорема
остается в силе; однако нужно опустить свертки тех операторов,
которые с самого начала стояли под знаком одного и того же
./V-произведения.
В частности,
- N [V A) г|5 B) i|5+ C) i|5 D)] - iG0 D, \)N [i|> B) ^+ C)] +
+ iG0B,3)N№+(l)qD)] + G0D, 1) GoB.3).
11. 3. Перейдем к доказательству теорем Вика, используя
метод индукции.
Первая теорема справедлива для двух операторов. Предполо-
Предположим, что она имеет силу для произведения п операторов, и рас-
рассмотрим Т (Fx . . . FnFn+1). Без ограничения общности можно
считать, что время оператора Fn+1 предшествует времени осталь-
остальных операторов**, что позволяет переписать интересующую нас
величину в виде Т (Л • ¦ • Fn) Fn+1.
Применяя к Т (Fr . . . Fn) теорему Вика, можно привести
Т (Fx . . . Fn) Fn+1 к сумме членов, каждый из которых содержит
произведение операторов типа Л^ (...) Fn+1. Рассмотрим харак-
характерный член такого типа ./V (F± . . . Fk)Fn+1 (k < п) и покажем,
что имеет место равенство
N(F1 ... Fk)Fn+1-N{Fy ... FkFn+1) = %,	(И-4)
где
S = KFn+1N (F, ... /Vi) -Uti^ (Л • • ¦
• • • Fk_bFk) + • • • + (~ l)kFtFn+1N (F2 ... Fk).
Это утверждение равносильно теореме Вика для Т (FiF% . . . Fn+1).
* Здесь и ниже цифровой аргумент заменяет собой соответствующую про-
пространственно-временную точку: A) = хх, B) = *2 и т. д.
** В § 9 уже упоминалось о возможности перестановки операторов под зна-
знаком Г-произведения с соответствующим изменением знака. Поэтому должной
перестановкой и переобозначением операторов всегда можно привести Т-произ-
ведение к виду, используемому в тексте.
108

Для доказательства разобьем Fn+1 на рождающую и уничто-
уничтожающую части и представим левую часть выражения A1. 4)
в виде
N(F1 ... Fk)Fn+1(+)-(-l)kN(Fn+n+)F1 ... Fk). A1.5)
Уничтожающая часть оператора Fn+l, как легко видеть из опре-
определения jV-произведения, вообще выпадает из выражения A1. 5).
Будем теперь переставлять направо оператор Fn+\ <+) во втором
члене выражения A1. 5) для того, чтобы привести его к виду
первого члена. При этом нужно учитывать правила перестановки
{Fn+i (+>, Fy)} = {/Vfi (+). Ft (_)} = FtFn+u
вытекающие из выражений A0.2), A0.4) и условия tn+1<Ctt.
Производя перестановку нужное число раз, можно добиться
компенсации первого члена выражения A1. 5); оставшиеся члены
оказываются в точности равными 2. Этим и исчерпывается дока-
доказательство первой теоремы Вика.
Для иллюстрации рассмотрим Г-произведение трех опера-
операторов Т {F1F2)F3, которое разбивается на сумму членов:
N (ад) F3 + f\F2F3 = N (ад) F3 + F\F,N (Fb).
Имеем
N (ад) F3 - N (F.F.F,) = N (ад) F3 (+) - N (f 3 <+)ад).
Последний член правой части можно представить в виде
- ад# (F2) + f^F3N (Л) - N (FfJ F3 (+).
Таким образом, окончательно можно написать
т (F^Fs) = адл^ (F3) - f7f3n (F2) + ад# (f а) 4- .v (f ^af з),
что, очевидно, находится в полном соответствии с выраже-
выражением A1. 2).
Вторая теорема справедлива для Т-произведений типа
Т [N (Fi) F2 . . . Fn]. Будем считать ее имеющей силу для про-
произведений Т [N (Fi . . . Fk)Fk+1 . . . Fn] и рассмотрим величину
Т [N (Fx . . . Fk+1)Fk + 2 . . . Fn]. Применяя первую теорему Вика
к входящему сюда ./V-произведению, т. е. записывая его в виде
Т (Fi . . . Fk+1) — S', представим эту величину в виде
Т [Т (Л ... Fk+l) Fk+2 ... Fn]-~T B'FM ... Fn), A1.6)
где 2' — сумма всевозможных произведений сверток операто-
операторов F1 . . . Fk + X на соответствующие Л^-произведения, причем
число сомножителей в последних не превышает k. По этой причине
ко второму члену выражения A1. 6) можно применить доказы-
доказываемую теорему, что позволит выразить его в виде суммы произ-
произведений всевозможных сверток операторов Fx. . . JPfe+1 между
собой, сверток этих операторов с остальными операторами и vV-
произведений оставшихся операторов. Рассматриваемый член
содержит всевозможные свертки операторов Fx . . . Fk+1, причем
109

каждое его слагаемое включает по крайней мере одну такую
свертку.
Что касается первого члена выражения A1. 6), то символ Т
внутри Т-произведения можно опустить *, и по первой теореме
Вика придем к совокупности членов, содержащих всевозможные
свертки всех без исключения операторов. Второй член выраже-
выражения A1. 6) скомпенсирует те члены этой совокупности, которые
содержат хотя бы одну свертку операторов Fx . . . Fk+1 друг
с другом. Таким образом, из рассматриваемого выражения дей-
действительно выпадают свертки операторов, стоящих под знаком
iV-произведения.
Рассмотрим в качестве иллюстрации Т-произведение
Т [N (Fj^F^Fa]. Запишем его в виде
и применим к первому члену теорему Вика. При этом член со сверт-
сверткой /*\Р2 полностью выпадает из результата.
11. 4. Применяя теорему Вика к разложению S-матрицы
по Т-произведениям **, можно представить последнюю в виде
суммы членов, каждый из которых содержит определенное Л^-про-
изведение операторов поля г|) и if+. Каждый из этих операторов
в свою очередь является суммой соответствующих операторов
рождения и уничтожения. Учитывая это, можно представить
S-матрицу в виде суммы членов, содержащих yV-произведение
операторов рождения и уничтожения %+), ty(±)- Этим членам,
которые были названы выше элементами S-матрицы, удобно
поставить в соответствие определенным образом построенные
диаграммы (графики), описывающие соответствующий процесс
перехода.
Сформулируем общие правила построения диаграммы. Элемент
S-матрицы содержит следующие структурные части: операторы
поля, отнесенные к соответствующим пространственно-временным
точкам ***, свертки (или свободные функции Грина) и потенциалы
* Внутренний символ Т излишний, так как и без того произведение операто-
операторов будет расположено в хронологическом порядке.
** В S-матрицу входят Г-произведения не операторов поля, а гамильтонианов
взаимодействия н'ъ, содержащих произведение операторов поля, отнесенных
к одному моменту времени. Применение теорем Вика к такому Г-произведению
не приводит в общем случае к определенному .результату, так как свертка вхо-
входящих в Нв операторов неоднозначна при совпадающих временах. В рассматри-
рассматриваемой схеме, однако,- нет никаких трудностей, поскольку, с одной стороны,
выбор Н' в виде (8. 1) позволяет записать Нв в виде нормального произведения
операторов [см. выражение (9. 5)]; с другой стороны, согласно второй теореме
Вика, свертывать операторы внутри ^-произведения не следует. Это дополни-
дополнительный аргумент в пользу выбора приближения Хартри — Фока в качестве нуле-
нулевого приближения теории.
*** Эти операторы называются операторами свободных концов диаграммы.
ПО

взаимодействия. Этим величинам ставятся в соответствие графиче-
графические образы (рис. 4).
Каждый пространственно-временной аргумент хь входящий
в операторы поля, свертки и потенциалы, изображается на гра-
графике точкой (узлом). Каждому оператору поля if(±) (x;), %^+) (xt)
ставится в соответствие сплошная линия (линия свободного конца),
упирающаяся одним концом в точку xt и другим уходящая в бес-
бесконечность. Каждой свертке iG0 (xh x,) соответствует сплошная
линия (виртуальная линия), соединяющая точки х{ и х-г Наконец,
каждому потенциалу взаимодействия V {хь xj) ставится в соответ-
соответствие пунктирная линия (линия взаимодействия), соединяющая
ТОЧКИ Х{ И Xj.
Рис. 4
Сделаем несколько общих замечаний, касающихся структуры
диаграммы. То, что полное число частиц системы в процессе
взаимодействия не меняется и, следовательно, остается неизмен-
неизменной разность между числом частиц и дырок, обусловливает отсут-
отсутствие концов у сплошных линий диаграммы. Эти линии либо
уходят в бесконечность, либо образуют замкнутые петли. Обрыв
сплошной линии в каком-либо узле означал бы рождение или
уничтожение частицы (дырки) в этом узле, что противоречило бы
упомянутому выше закону сохранения.
Рассматривая п-й член разложения S-матрицы в ряд теории
возмущений, нетрудно видеть, что число узлов в соответствующих
диаграммах равно 2п, а число линий взаимодействия — п. Число
линий свободных концов F (обязательно четное), как и число вир-
виртуальных линий V, может быть различным для разных процессов.
Однако между F, V и п имеется простая связь:
2V + F = An.
11. 5. В сформулированных выше правилах четырем различ-
различным операторам свободных концов i(>(±) (x) и i(>(±) (x) был поставлен
в соответствие один графический образ — линия, соединяющая
точку х с бесконечно удаленной точкой. Для получения взаимно
однозначного соответствия между процессом перехода и диа-
диаграммой эти правила необходимо дополнить, что достигается
введением понятия направления и ориентации сплошной линии
графика.
Как было принято в разделе 10. 3, распространение частицы
изображается линией, направленной от точки рождения частицы
к точке ее уничтожения; это направление совпадает с направлением
оси времени. Распространение дырки следует изображать линией,
111

направленной от точки уничтожения дырки к точке ее рождения,
что приводит к направлению, противоположному оси времени.
Выберем раз и навсегда направление оси времени слева направо
и впредь на диаграмме изображать ее не будем. Направление
звеньев сплошной линии будем обозначать стрелками. Распро-
Распространяя изложенные в предыдущем абзаце правила на линии
свободных концов, можно на диаграмме видеть, с частицей или
дыркой мы имеем дело и о рождении или уничтожении идет речь
(рис. 5).
Рис. 5
Линия свободного конца, отвечающая уничтожению частицы
(оператор if (*)(_)), должна иметь направление, общее с осью
времени, и должна кончаться в точке уничтожения х. Линия,
отвечающая рождению частицы (оператор if+ (x)(+)), имея то же
направление, должна начинаться в точке рождения х. Линия,
отвечающая уничтожению дырки (оператор if+ (х)(_)), должна иметь
направление, противоположное оси времени, и начинаться в точке
Рис. 6
уничтожения х. Наконец, линия, отвечающая рождению дырки
(оператор if (*)(+)). имея то же направление, должна кончаться
в точке рождения х. Так решается задача о получении взаимно
однозначного соответствия между элементом S-матрицы и диа-
диаграммой.
Направление виртуальной линии диаграммы выбирается в соот-
соответствии с правилами, сформулированными в разделе 10. 3.
Эти правила приводят к единому направлению звеньев сплошной
линии; иными словами, никакая пара соседних звеньев не может
иметь встречных направлений *. Если мы имеем дело с незамкну-
незамкнутой сплошной линией, то это единое направление определяется
направлениями свободных концов, т. е. типом процесса. Если же
сплошная линия замкнута, то возможны два противоположных
* В соответствии с законом сохранения разности числа частиц и дырок
уничтожение частицы в узле обязательно сопровождается рождением частицы
или уничтожением дырки в том же узле. И в том и в другом случае направление
вдоль сплошной линии остается единым (рнс. 6).
112

направления ее обхода. Оказывается, что во всех случаях эле-
элементы S-матрицы содержат пары членов, отвечающих диаграммам
с двумя противоположными направлениями обхода замкнутых
петель. Таким образом, и в этом случае никакой неоднозначности
в применении обсуждаемых правил не возникает.
Говоря о виртуальных линиях диаграммы, необходимо заме-
заметить, что ввиду интегрирования по координатам и времени каждого
узла соотношение между временами, входящими в функцию
распространения, может быть произвольным. Соответственно
может быть различной и ориентация виртуальной линии отно-
относительно оси времени * (рис. 7). Принято, однако, изображать
на графике наиболее простую, неизломанную конфигурацию
линий. Последующее интегрирование по координатам и времени
приведет к автоматическому учету всех
возможностей такого рода (подробнее	+ t
см. §12).	' 2
Рис. 7
В заключение отметим, что линию взаимодействия, концы
которой отвечают равным временам, естественно направлять
перпендикулярно оси времени. В следующем параграфе мы
подробно рассмотрим примеры, иллюстрирующие изложенные
правила.
§ 12. ПРОЦЕССЫ НИЗШЕГО ПОРЯДКА
12. 1. Переходим к систематическому изучению элементов
5-матрицы низшего порядка. Будем пока для простоты считать,
что V является не оператором, а с-числом.
Начнем с процессов первого порядка по Н' (п = 1). Согласно
выражению (9. 15):
1=--	!r\dld2exp(-d\tl\)V(l,2)xl,
J	A2. 1)
Здесь символ d\ означает dixl = dqxdt^ Согласно второй теореме
Вика, это Г-произведение можно заменить N-произведением
соответствующих операторов поля. Разлагая последнее на сумму
членов, каждый из которых является произведением операторов
* Изображенный на рис. 7, а процесс содержит виртуальную частицу,
на рис. 7,6 — виртуальную дырку (в точке х2 рождается пара, частица уходит
в будущее, дырка аннигилирует с первоначальной частицей).
113

рождения и уничтожения, приходим к совокупности 24 = 16 чле-
членов. Соответствующие диаграммы удобно разделить на следующие
три класса.
1. Процессы рассеяния, отвечающие двум операторам рожде-
рождения и двум уничтожения:
а)
б)
в)	-
г)	-
д)	i|>
е)	Ч5 +	)	()
Диаграмма на рис. 8, а описывает процесс рассеяния частицы
на частице, на рис. 8, б — дырки на дырки. Четыре следующих
т<
Рис. 8
диаграммы (см. рис. 8, в — е) отвечают рассеянию частицы на
дырке. При этом диаграммы на рис. 8, в, г отвечают простому
рассеянию, когда частица и дырка, уничтожаясь в соответствую-
соответствующем узле, «возрождаются» каждая в том же узле. Оба элемента
S-матрицы, соответствующие этим диаграммам, очевидно, одина-
одинаковы, так как отличаются лишь заменой переменных интегриро-
интегрирования. Диаграммы на рис. 8, д, е отвечают так называемому анни-
гиляционному рассеянию частицы на дырке: рассеиваемая пара
сначала аннигилирует в одном узле, потом «возрождается» в дру-
другом. Обе эти диаграммы также вносят одинаковый вклад.
114

2.	Процессы с участием одной пары, отвечающие трем опера-
операторам рождения и одному поглощения (и наоборот). Таких диа-
диаграмм восемь; мы рассмотрим типичные (рис. 9):
a)
б)
Диаграмма на рис. 9, а отвечает рождению пары частицей,
т. е. возбуждению системы за счет взаимодействия с этой частицей;
на рис. 9, б соответствует аннигиляции пары за счет взаимодей-
взаимодействия с частицей. Остальные 6 диа-
диаграмм этого класса описывают ана-
логичные процессы с участием дырки,
а также включают в себя дублирую-
дублирующие диаграммы с заменой 1 у* 2.
3.	Процессы с рождением или
аннигиляцией двух пар (четыре опе-
оператора рождения или уничтожения);
а) ф+A)(
б) i|>+ A)(_, ф+ B)(_, i|5 B)(_, i|5 A)(_).	Рис. 9
Диаграмма на рис. 10, а отвечает самовозбуждению системы,
при котором рождаются две пары; диаграмма на рис. 10, б —
аннигиляции двух пар *.
Рис. 10
12. 2. S-матрица во втором порядке теории возмущений
имеет вид:
= —-g-J dld2d3d4exp[— д(|*,
X VA,2)VC, 4)т2,
I ta
X
X
A2. 2)
* Если бы в качестве гамильтониана возмущения мы выбрали не выражение
\°- 1), а полный гамильтониан взаимодействия Hj, то нам пришлось бы рассма-
рассматривать еще диаграммы, типа изображенных на рис. 10, в. То же замечание отно-
относится и к диаграммам высшего порядка.
115

Применяя теоремы Вика к этому Г-произведению, получим сумму
членов, содержащих различное число сверток (от 0 до 4). Общее
число элементов матрицы S2 достигает большой величины. Рас-
Рассмотрим лишь наиболее типичные.
1.	Диаграммы без сверток. Им отвечает член т2 = N [*|з+A) X
X i|j (I)tj3+B)ij3B)ij3+C)^C)ij3+D)ij3D)l, включающий 28 =
= 256 элементов. Эти диаграммы описывают два независимых
процесса первого порядка (рис. 11).
2.	Диаграммы с одной сверткой. Эту свертку можно выбрать
восемью способами. С помощью замен переменных 1^2, 3^4
и одновременной замены 1^23, 2^4 убеждаемся, что все эти
восемь слагаемых дают одинаковый вклад в S2. Соответствующая
часть Г-произведения приводится тем самым к виду
т2 - 8iG0C, 1) N [г|>+ C) <ф A) г|>+ B) ^ B) г|>+ D) Ц D)]. A2. 3)
Y !< V
: i !
> ^—Ч
Рис. 11	Рис. 12
Это Л^-произведение разбивается на 2е = 64 отдельных члена..
Типичный из них отвечает рассеянию трех частиц друг на друге
(рис. 12). Кроме того, сюда входит рождение пары при рассеянии
двух частиц, рождение двух пар частицей и т. д.
3. Диаграммы с двумя свертками. Учитывая всевозможные
свертки и применяя указанную выше замену переменных, найдем
т2 = 4Ш0 C, 1) iG0 D, 2) N [t|>+ C) i|5 A) t|>+ D) i|> B)] +
+ 8iG0 B, 3) iG0 C, 1) N [i|5+ B) q A) ijj+ D) i|> D)] +
+ 4iG0 B, 4) iG0 C, 1) N [i|>+ B) ijj D) ^ C) Ц A)] -
-4tG0B, 3)Ш0C, 2)Л/[1|5+AIК1)^+D)^D)].	A2.4)
Наряду с другими процессами сюда включены процессы рассея-
рассеяния частицы на частице во втором порядке теории возмущений.
Рассмотрим их подробнее (рис. 13).
Первое слагаемое выражения A2. 4) отвечает прямому рас-
рассеянию. Обе рассеиваемые частицы либо сначала поглощаются,
затем испускаются (при tx < t3, рис. 13, а), либо сначала испу-
испускаются, потом поглощаются (при t3 << /ъ см. рис. 13, д). Согласно
принятому выше условию, на графике изображается лишь простей-
простейшая ситуация, т. е. диаграмма рис. 13, д отбрасывается.
Процессы, отвечающие второму и третьему слагаемым выра-
выражения A2. 4) (см. рис. 13, б и в), интерпретируются более сложным
116

образом. В момент tx = t2 рождается пара, причем частица ухо-
уходит в качестве конечного продукта реакции, а дырка аннигилирует
с одной из первоначальных частиц. Другая начальная частица
испытывает простое рассеяние. Наконец, последний член выра-
Ргс. 13
жения A2. 4) описывает процесс, подобный процессу рассеяния
первого порядка, но содержит одну виртуальную пару (см.
рис. 13, г).
4. Диаграммы с тремя свертками. Несложные вычисления
дают
т2 = — 8Ю0 B, 4) iG0 D, 2) iG0 C, 1) N
+ 8iG0 B, 3) /Go C, 1) /Go D, 2) N [if
Соответствующие диаграм-
диаграммы изображены на рис. 14.
Отвечающие им процессы
состоят в том, что частица
(или дырка) распростра-
распространяется, взаимодействуя с
частицами системы. Имен-
Именно, она возбуждает си-
Рис. 14
|5+ C) ^ A)] -\-
D) Ц A) ]. A2. 5)
L
i
I
I
1
стему, рождая пару, ко-
которая затем аннигилирует,
после чего остается опять одна частица.
5. Диаграмма с четырьмя свертками:
т2 = 2/G0 A, 3) Юо C, 1) /Go B, 4) iG0 D, 2)
-2/G0 A, 3) /Go B, 4) /Go D, 1) /Go C, 2).
A2. 6)
117

Диаграммы, отвечающие этим выражениям, изображены на рис. 15.
Это так называемые вакуумные переходы: рождаются две пары,
которые затем аннигилируют.
12. 3. Построенные выше выражения для элементов S-матрицы
были записаны в координатном представлении: участвующие
в соответствующем процессе частицы уничтожались и затем рожда-
рождались в определенных пространственно-временных точках 1, 2,
3, 4. Эта форма S-матрицы удобна для рассмотрений общего харак-
характера; однако для практических приложений целесообразнее
перейти к энергетическому представлению, отвечающему такому
описанию процесса, при котором частицы находятся в состояниях
с определенной энергией [их волновая функция равна %v (q)]-
Для этого используем выражения для операторов поля и функ-
функции Грина:
Z<	^*	К;	—у\ *W = 2^vXv(<7)exp(— tsv0
V
И
d&
G0(l, 2)= f-g-exp [-i
Рис. 15	v
где
A ={av(ev>eF) • q (g) т=	—\—	 A2.7)
Кроме того, нам понадобится выражение для матричного элемента
потенциала взаимодействия (см. раздел 3. 7):
(aX\V\vii)=ldq dq'%; (q) %l (q') V(q, q') %x (q') %a (q). A2. 8)
Подставим эти выражения в элемент S-матрицы St. Интегри-
Интегрирование по tx, t2 дает с учетом V (I, 2) = ^б {tx — /2) функ-
функцию 2яб (eVl + eVl — eV3 — ev<), обеспечивающую сохранение
энергии в рассматриваемом процессе. Интегрирование по про-
пространственным координатам приводит к матричному элементу
A2. 8). В результате получаем
+ eV2 - ev, - eVi) N (A+AVlA+aAV2).	A2. 9)
Это выражение описывает целый ряд процессов: рассеяние
частицы на частице, частицы на дырке и т. д., которым также можно
поставить в соответствие диаграммы (рис. 16). Их единственное
отличие от рассмотренных диаграмм состоит в отсутствии про-
пространственно-временных точек; вместо этого линии свободных
концов приобретают индексы соответствующих состояний.
118

Переходим к процессам второго порядка. Повторяя несколько
более сложные, но вполне аналогичные произведенным выше
выкладки, получим следующее выражение для элемента S-матрицы
процессов, рассмотренных в разделе 12. 2:
d&l flfe2;G0fll (et) iGOm,2 (e2) X
(AttAVl4+ Л V2), A2.10)
V1V2V3V4
X /Cv.v.
где
/( = 46 (eVl -f eV2 — e1 — e2) б ^ -f e2 — eVa — eV4) X
X
¦ -h 86 (eVl + e2 — eV3 — вг) 6 (ex + eV
X
I/| ^2v4) -f
46(eVi + e2 —eVi —e1N(e1 -\- ex,3 — e2 -- eVa) X
vl(x21
ji2v3
— 46 (eVl + ег — eVs — e2) 6 (e2 + eV2 —ex — eVl) X
X
V|v3jia>(jiav2| K||iiv4).	A2. 11)
Диаграммы, отвечающие этим четырем процессам (рис. 17), вполне
аналогичны диаграммам рис. 13. Заметим, что jj,tex и р,2е2 пред-
представляют собой индексы состояния и энергии виртуальных частиц
У
I
Рис. 17
Рассмотрим еще процесс распространения частицы (рис. 18).
О о —
1
(е2) X
A2.12)
8 Bя)
VlV2 М1Ц2М3
X iG0(ij (e3) (— 8) б (eVl + е3 — ех — е2) б
+ е2 — е3 — eV2) х { ( VjHs I V | (j,xn2 ) { ^!(х2 j
— ( VjfXgl К|ц1ц2)( (ii(i2| K|(x3v2)
Из последних двух соотношений видно, что и здесь фактически
содержатся необходимые законы сохранения энергии, соблюдаю-
119

щиеся на каждой линии взаимодействия диаграммы. В отличие
от «старой» теории возмущений закон сохранения энергии здесь
выполняется как для реальных, так и для виртуальных частиц.
Это достигается за счет нарушения «жесткой» связи между энер-
энергией виртуальной частицы е, входящей в функцию Грина GOv (e),
и величиной ev (в пространственно-однородном случае е Ф р%/2М).
Указанное обстоятельство является одним из факторов, обеспе-
обеспечивающих простую структуру членов ряда полевой теории воз-
возмущений.
12. 4. Полученные результаты не зависят от скорости вклю-
включения взаимодействия б в пределе б -> 0; это свойство присуще
всем диаграммам, имеющим свободные концы. Иначе обстоит дело
М,
а
Mi
6
Рис. 18
для диаграмм вакуумных переходов, к рассмотрению которых мы
переходим.
Подставляя в выражения A2. 2) и A2. 6) разложение для
функции Go, можно получить выражение для соответствующего
элемента S-матрицы в энергетическом представлении. Мы огра-
ограничимся рассмотрением входящих туда интегралов по /.
Первый член выражения A2. 6), отвечающий диаграмме
рис. 15, а, содержит интегралы вида
= J dt1 ехр [—б | tx | —itx (ех — е2 + е3 — е4)
X
X
ехр [—6 | t3 \ —it3 (e2 + е4 — гх — е3)
Несложное вычисление (см. приложение В) дает
L б2 + (81-82+83-84J J •
В пределе б -> 0 заключенное в квадратные скобки выражение
стремится с точностью до множителя к б (ех — е2 + s3 — е4).
Поэтому величина / в пределе б -> 0 стремится к оо. Аккуратно
выделяя указанную особенность, имеем
7 ~ -г б (е 1 + 8з — Ч — Ч) ¦
A2. 13)
120

Аналогично второй член выражения A2. 6) дает
/~Хб(е1 + е2 + ез + е^	A2.14)
Остающаяся б-функция устраняется при последующем интегри-
интегрировании по е.
Полученные результаты носят весьма общий характер. Пусть
рассматривается диаграмма n-го порядка, имеющая свободные
концы. Тогда п — 1 входящих в соответствующий элемент 5-мат-
рицы б-функций, выражающих закон сохранения энергии, устра-
устраняются при последующем интегрировании по е. Остающаяся
б-функция выражает закон сохранения энергии для свободных
концов (для диаграммы в целом).
Любая диаграмма, не имеющая свободных концов, может
быть получена из соответствующей диаграммы со свободными кон-
концами замыканием последних друг на друга, т. е. отождествлением
энергий выходящих и входящих линий. При этом закон сохране-
сохранения энергии для свободных концов выполняется тождественно
и соответствующая б-функция будет иметь нулевой аргумент *.
Более строгое рассмотрение приведет к особенности —1/6.
Таким образом, любая диаграмма вакуумного перехода имеет
особенность типа 1/6. Это обстоятельство существенно с точки
зрения однозначности величины (9. 24).
§ 13. ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА
13. 1. Рассмотренные примеры позволяют сформулировать об-
общие правила построения элемента 5-матрицы, отвечающего дан-
данному процессу.
Элемент 5-матрицы n-го порядка содержит следующие состав-
составные части: нормальное произведение операторов поля, п-кратное
произведение потенциалов взаимодействия V, произведение свер-
сверток операторов Шо и некоторый численный коэффициент.
Нормальное произведение операторов рождения и уничтоже-
уничтожения будем брать с тем знаком, с которым оно входит в выражение
где индексы «а» относятся к свободным концам одной из сплошных
линий, «Ь> — другой и т. д. Относительное расположение групп
¦ф+1ра, tyfityb не играет, очевидно, роли.
Необходимо принять во внимание операторные свойства потен-
потенциала V с целью правильного его расположения в выражении для
элемента 5-матрицы. Во всех примерах, которые нам придется
* Например, рассмотренная выше диаграмма без свободных концов может
быть получена из диаграммы рассеяния второго порядка приравниванием ev
и еу , eVj и ev (см. рис. 17). При этом, как следует из выражения A2. 10),
возникает б (eVi*+ eVi — ev> — eVj) = б @).
121

рассматривать, можно считать, что потенциал не содержит опера-
операторов импульса. Единственный из числа рассматриваемых в книге
случай, где приходится иметь дело с зависящим от импульса по-
потенциалом, это псевдопотенциал отталкивания в ядерных силах.
Однако соответствующие члены имеют высший порядок малости
и их достаточно учесть лишь в приближении Хартри — Фока;
к 5-матрице они не имеют отношения.
Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что потенциал V
является самое большее матрицей относительно дискретных пере-
переменных. Эта матрица «зацепляется» либо с операторами свобод-
свободных концов г?±, гM±, либо с функциями Грина, зависящими
от соответствующих аргументов.
Найдем величину численного коэффициента в элементе 5-мат-
рицы. Из общего выражения (9. 13) возникает множитель -—^—
в члене n-го порядка. Далее, как видно из результатов, получен-
полученных в § 12, возникает еще один целочисленный коэффициент /г,.
связанный с тем, что может появиться совокупность членов, отли-
отличающихся только обозначением переменных интегрирования. Опре-
Определим величину этого коэффициента [78].
Рассмотрим какую-либо диаграмму общего вида и найдем коли-
количество способов обозначения ее узлов. Прежде всего, можно пере-
переставить местами аргументы, стоящие по краям каждой из п линии
взаимодействия. Это дает 2" возможностей. Далее, можно одновре-
одновременно поменять местами аргументы разных линий взаимодействий,
что можно сделать п\ способами. Итого мы имеем 2пп\ различных
способов обозначения аргументов элементов 5-матрицы.
Однако при некоторых заменах переменных может оказаться,
что само подынтегральное выражение не меняется. Это может
происходить при наличии определенной симметрии диаграммы.
Обозначая через и число таких эквивалентных способов обо-
обозначений и учитывая, что при фактическом вычислении эле-
элементов 5-матрицы члены с одинаковыми подынтегральными
выражениями вообще не появляются, находим k = 2пп\Ы.
Величину и можно определить непосредственно из рассмотре-
рассмотрения диаграммы. Обратимся к рассмотренным в § 12 конкретным
процессам. При п = 1 k = 2/и. Диаграммы рис. 8, а и б и рис. 10, а
и б в точности переходят сами в себя при замене 1 ~?_ 2. Поэтому
для них к = 2 и k = 1. Для остальных диаграмм первого по-
порядка вид их при замене 1 ~?_ 2 меняется: диаграмма «б» на рис. 8
переходит в «г»; <«Э» — в «е». Поэтому в этих случаях и = 1 и
k = 2.
Перейдем к более сложному случаю процессов второго порядка,
где k = 8/х. Для диаграммы рис. 12 не существует преобразова-
преобразования, оставляющего ее неизменной. Поэтому и = 1 и k = 8. Для
диаграммы «а» рис. 13 такая замена существует — это одновре-
одновременная замена 1 ^1 2, 3^4, откуда и = 2 и k = 4. Для диа-
диаграммы <«б» х = 1 и k = 8. Для диаграммы «в» замена 1 ~?_ 4,
122

2^13 оставляет ее неизменной, откуда к = 2 и k = 4. Нако-
Наконец, замена 2 ~^_ 3 также не меняет диаграммы «г»; и в этом
случае и = 2. Все это, очевидно, находится в полном соответст-
соответствии с выражением A2. 4).
Для диаграмм рис. 14 и == 1 и k = 8. Для диаграмм рис. 15
имеется две замены, оставляющие диаграмму неизменной. Это
1^3,2^4и 1^2и3^4. Поэтому и = 4 и k = 2.
В заключение остановимся на вопросе о знаке рассматривае-
рассматриваемого численного коэффициента. Как видно из результатов § 12,
дополнительный знак (—) появляется в S тогда, когда имеется
нечетное число замкнутых петель. Это не должно вызывать удивле-
удивления, так как в замкнутой петле мы имеем дело со свертками про-
противоположного направления, например в простейшем случае
if (l)if+ B) и if+B) if A), а их произведение равно —(iG0) (iG0).
Таким образом, окончательное выражение для численного
коэффициента в элементе 5-матрицы имеет вид
(-0" ( i)m
где т — число замкнутых петель.
13. 2. Теперь можно сформулировать правила построения вы-
выражения для элемента 5-матрицы. Эти правила впервые установил
Фейнман для квантовой электродинамики.
Для построения выражения элемента 5-матрицы необходимо:
1.	Графически изобразить все возможные топологически раз-
различные диаграммы интересующего нас процесса *.
Выражение для элемента 5-матрицы представится в виде
суммы членов, каждый из которых отвечает одной из указанных
диаграмм. В дальнейшем речь идет об отдельной диаграмме.
2.	Определить число и замен аргументов, не изменяющих вида
диаграммы. Численный коэффициент искомого выражения имеет
вид
±=01 (_!,*
х v ; '
где т. — число замкнутых петель на диаграмме.
3.	Свободным концам диаграммы поставить в соответствие опе-
операторы if (л;)(_) (уничтожение частицы в точке х), if+ (х)(_|_) (ро-
(рождение частицы в точке х), if (x\+) (рождение дырки в точке х),
¦ф+ (х)(_) (уничтожение дырки в точке х).
В искомое выражение будет входить нормальное произведение
* Речь идет о существенно различных диаграммах, не переводимых друг
в друга заменой обозначений, непрерывной деформацией графика и т. п. Так,
Диаграммы «а» — «г» рис. 13 являются топологически различными, а «а» и «3» —
одинаковыми. Топологически совпадают также диаграммы «в» и «г», «3» и «е»
Рис. 8, а также «а» и «в» рис. 18.
123

где одинаковыми индексами «а», «6» и т. д. обозначены операторы,
относящиеся к одной и той же сплошной линии.
4.	Каждой виртуальной линии диаграммы, идущей от точки х
к точке х', поставить в соответствие свертку Шо (х', х) *.
5.	Каждой линии взаимодействия, соединяющей точки х и х ,
поставить в соответствие оператор V (х, х'), действующий на вхо-
входящие в рассматриваемое выражение величины
Ъ(х), Ъ(х'), G0(x,Xi), Go(*',*/)•
6.	Каждому узлу взаимодействия х поставить в соответствие
интеграцию J d*x — j dq dt.
В релятивистской теории поля сюда прибавлялось еще одно
правило (теорема Фарри): диаграммы с замкнутыми петлями, со-
содержащими нечетное число звеньев, учитывать не нужно. В дан-
данном случае, однако, эта теорема не имеет места ввиду отсутствия
свойства зарядовой симметрии, на котором основан ее вывод
(см. § 9).
Сформулированные правила весьма удобны при построении вы-
выражения для элемента 5-матрицы любого порядка.
13. 3. Приведенные правила Фейнмана относятся к коорди-
координатному представлению. Рассмотрим теперь соответствующие пра-
правила в энергетическом представлении.
1.	Остается в силе. Необходимо только расставить на диаграмме
индексы состояния и энергии свободных концов v, ev и виртуаль-
виртуальных линий \л, е. Направление линий свободных концов выби-
выбирается в соответствии с типом процесса (поглощение или испуска-
испускание) и типом объекта (частица или дырка). Направление вир-
виртуальной линии должно обеспечивать единое направление вдоль
сплошной линии.
2.	Остается в силе.
3.	Остается в силе, но операторы поля заменяются соответ-
соответствующими операторами рождения или уничтожения, причем
оператор частицы берется при ev > eF, дырки — при ev ¦< eF.
4.	Каждой виртуальной линии, имеющей индексы \х и е, ста-
ставится в соответствие
2я и<>и^ 2я[е —ец +t6 sign (ец—erf] "
По \х производится суммирование, по е — интегрирование.
5. Каждой линии взаимодействия, к которой подходят линии
с индексами состояния «а» и «6» и от которой отходят линии с ин-
индексами состояния «с» и «d», ставится в соответствие матричный
элемент
( аЬ | V | cd ) = J dqdqX (q)%'d Ю VX6 W) 1а (Я)-
* Порядок следования аргументов функций Go противоположен направле-
направлению виртуальной линии.
124

При этом индексы «а», «с» и «6», «d» отвечают попарно одной
и той же сплошной линии. Кроме того, каждой линии взаимо-
взаимодействия ставится в соответствие
13. 4. Особо следует остановиться на случае пространственно-
однородной системы, для которой индексы \х и v сводятся к им-
импульсу р и дискретным индексам, обозначаемым через q. Энер-
Энергия ъ-? зависит только от импульса.
Правило 4 предыдущего раздела может быть переформулиро-
переформулировано следующим образом: каждой виртуальной линии отвечает
^ J Р е — е-> + id sign (е-* — ер)
Q	Р	Р
Здесь мы перешли от суммирования по импульсам к интегрирова-
интегрированию, а это привело к появлению лишнего фактора Bя)~3.
Волновые функции %v имеют в рассматриваемом случае вид
плоских волн. Подстановка их в матричный элемент V дает
(ab\y\cd) = BлK6(ра + pb-Jc-Pd) X
X (QaQb\v(Pc — Pa)\QcQd)-
Здесь v (р) — фурье-образ потенциала (см. § 4); матричный эле-
элемент берется по дискретным индексам. Таким образом, общий
вклад линии взаимодействия в выражении для матричного эле-
элемента дается выражением
-> ->
BЯL64 (ра + рь — Рс — pd) ( QaQfe | V (рс — ра) | QcQd ),
где
В остальном сформулированные в предыдущем разделе пра-
правила остаются без изменений.
Выполнение законов сохранения энергии и импульса в каждом
узле диаграммы позволяет перейти к более удобной форме изобра-
изображения диаграммы, использующей эти законы в явном виде. С этой
целью следует ввести идущий вдоль линии взаимодействия пере-
->->¦->¦
даваемый импульс k = рс — ра (передаваемая энергия равна нулю,
так как запаздывание не учитывается и v не зависит от энергии).
При этом законы сохранения выполняются в каждом узле диа-
диаграммы (рис. 19).
Нередко, особенно при проведении общего анализа, нет необ-
необходимости раздельно рассматривать элементы 5-матрицы, отве-
отвечающие соответственно поглощению частицы и испусканию дырки
125

(испусканию частицы и поглощению дырки). Выражение для эле-
элемента 5-матрицы, объединяющего все возможности такого рода,
получается по правилам Фейнмана с единственным отличием, ка-
касающимся пункта 3 этих правил: в выражение для элемента 5-мат-
5-матрицы будет теперь входить ./V-произведение N (tyttyatyttyb- ¦ •)>
где \jp+, if — полные операторы поля. Аналогично в энергетиче-
энергетическом представлении будет фигурировать величина N (A^AV . . .)
без ограничений на относительную величину ev, е^ . . . и eF.
В соответствующих диаграммах, которые мы будем называть не-
Рис. 19
ориентированными, достаточно указать лишь-одну из возможных
ориентации каждого из свободных концов.
Некоторые примеры на использование правил Фейнмана будут
приведены в следующем параграфе.
§ 14. ОБЩАЯ СТРУКТУРА МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
14. 1. Пользуясь правилами Фейнмана, можно перейти к ана-
анализу структуры 5-матрицы в целом, не связывая себя низшими
порядками теории возмущений *.
Разлагая 5-матрицу сначала по Г-произведениям, а затем по
нормальным произведениям, увидим, что каждое нормальное
произведение может появиться в любом порядке теории возмуще-
возмущений; в высших порядках оно будет сопровождаться соответственно
большим числом сверток операторов. Иными словами, вклад
в элемент 5-матрицы, отвечающий данному процессу, дают члены
всех порядков теории возмущений.
Суммируя коэффициенты при данном ./V-произведении во всех
порядках теории возмущений, легко прийти к следующему об-
общему представлению 5-матрицы в виде суммы нормальных произ-
произведений:
5- isw,	A4.1)
л=0
* Число частиц N в системе предполагается большим. Возможные нарушения
приводимых соотношений касаются высших членов ряда теории возмущений
и дают относительный вклад порядка 1/N.
126

где
S(n)=$dl. . .dndV. . .dn'Kn(l. . . n, V . . . n') x
X7V[^+A). . . $+(n)$(n') . . . -ф (l')J-
Рассмотрим несколько первых членов этого разложения. Как
будет видно из дальнейшего, соответствующие коэффициентные
функции К играют важную роль в излагаемом аппарате.
14. 2. Начнем с нулевого члена выражения A4. 1):
$m = K0 = (Y0[S\V0).	A4.2)
Эта величина не является оператором и может быть получена
усреднением выражения A4. 1) по состоянию ?0 [см. соотноше-
соотношения (8.6)]. Она описывает внутренние (вакуумные) переходы
Р!
О
%	у[	f^4-H	f\	И
II II I I
а	6
Рис. 20
системы без участия каких-либо внешних частиц или дырок. При-
Примеры диаграмм таких переходов были приведены на рис. 15.
Указанные переходы не отвечают каким-либо реальным про-
процессам, происходящим в системе, поэтому их можно вообще исклю-
исключить из рассмотрения.
Разберем более подробно структуру величины Ко- Предвари-
Предварительно введем понятие о связных диаграммах. Диаграмма назы-
называется связной, если ее нельзя рассечь линией, не пересекающей
ни одной из линий диаграммы.
В величину /Со вносят вклад как связные (рис. 20, а и б), так
и несвязные (рис. 20, виг) диаграммы. Обозначим через L сумму
всех связных диаграмм, дающих вклад в Ко- Тогда величину Ко
можно представить в виде
(Y0|S|?0)=l+L + ^ + 4r+---=exP(I)- A4.3)
Здесь учтен вклад всех (связных и несвязных) диаграмм.
Первый член этого разложения связан с нулевым членом
^-матрицы. Второй описывает все связные диаграммы. Третий
включает в себя сумму вкладов (или просто сумму) всех несвязных
127

диаграмм, каждая из которых составлена из двух связных. Чет-
Четвертый отвечает несвязным диаграммам, составленным из трех
связных и т. д.
Поясним структуру этих членов, основываясь на правилах
Фейнмана. Прежде всего, элемент 5-матрицы несвязной диа-
диаграммы распадается на произведение независимых элементов, от-
отвечающих связным диаграммам. В этом смысле появление степе-
степеней L2, L3 и т. д. является совершенно естественным.
Что же касается численных коэффициентов, то появление фак-
факторов 1/2!, 1/3! и т. д. объясняется следующим образом. Рассма-
Рассматривая для простоты третий чл"ен выражения A4. 3), предста-
представим L в виде суммы 2 Ln диаграмм разного порядка теории воз-
п
мущений. Сконструируем теперь всевозможные несвязные диа-
диаграммы, составленные из пары связных. Необходимо различать
два случая: пары одинаковых (см. рис. 20, в) и пары различных
(см. рис. 20, г) связных диаграмм. В первом случае правило
Фейнмана 2 приведет к численному множителю -—-—-—-—,
"сум
где пит — порядок и число петель в каждой из связных диа-
диаграмм. Число ксум, представляющее собой число обозначений
аргументов, не меняющих выражения для элементов 5-матрицы,
равно 2х2, где и — аналогичное число для каждой из связных
диаграмм. Лишняя двойка отражает тот факт, что для рассматри-
рассматриваемой несвязной диаграммы в число переобозначений входит
взаимный обмен координат обеих (одинаковых) связных частей.
Таким образом, та часть третьего члена выражения A4. 3), кото-
которая связана с парами одинаковых диаграмм, имеет вид-к-^Ь2п.
п
Что же касается пар неодинаковых диаграмм, то там фактор 2
отсутствует, так как указанная перестановка аргументов невоз-
невозможна. Соответствующий вклад в третий член выражения A4. 3)
равен просто 2 LnLm. Суммируя оба приведенных выражения,
ф
приходим к нужному виду рассматриваемого члена. Аналогично
обосновывается вид остальных членов выражения A4. 3).
Как уже указывалось в § 12, при стремлении параметра б,
определяющего скорость включения взаимодействия, к нулю ве-
величина L возрастает как 1/6. Поэтому можно написать
где L = LJb.
Вакуумные переходы всегда сопровождают реальный процесс;
иными словами, рассматривая элемент 5-матрицы, следует учи-
учитывать и несвязные диаграммы, содержащие вакуумные переходы.
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что
в рассматриваемом случае вакуумные переходы выделяются в виде
множителя
8 = (%|8|?0MРеальн,	A4.4)
128

где Эреальн — элемент 5-матрицы самого интересующего нас про-
процесса.
Таким образом, обнаруживается полная независимость вакуум-
вакуумных и реальных процессов (произведение вероятностей), что позво-
позволяет совершенно отвлечься от вакуумных переходов
14.3. Рассмотрим следующий член разложения A4. 1):
Sw = J dl d2K, A, 2) Л' [i|>+ A) ф B)].	A4 5)
Выделяя из Ki член, отвечающий вакуумным переходам, получим
KAh 2) = i(V0\S\V0J(l, 2),
где 2 носит название собственно энергетической части. Это назва-
название заимствовано из квантовой теории поля, где аналогичная ве-
величина описывает взаимодействие частицы с ее собственным полем.
till
1 Z	14-
6	6	г	д
Рис. 21
В теории многих частиц 5(i> описывает процессы перехода
частицы из точки 1 в точку 2 или дырки в обратном направлении,
т. е. процессы их распространения с учетом взаимодействия с чаг
стицами системы. Примеры таких переходов даны на рис. 14.
Собственно энергетической части также ставится в соответ-
соответствие некоторый графический образ (рис. 21, а). На диаграм-
диаграммном языке 2 представляет собой сумму диаграмм, имеющих два
свободных конца. Соответствующие примеры приведены на
рис. 21, б—д.
Как будет выяснено в следующем параграфе, через вели-
величину 2 непосредственно выражаются важнейшие физические ха-
характеристики системы частиц.
Вычислим с помощью правил Фейнмана величину 2A, 2)
в низшем (втором) порядке теории возмущений (см. рис. 21, б и в).
Отбрасывая равный единице в этом приближении фактор
( 4% I 51 ^о). построим соответствующий элемент 5-матрицы, име-
имеющий вид
S = tj"dld2Sn,2)/V[ilJ+(l)^B)].	A4. 6)
Производимые ниже операции будем нумеровать теми же циф-
цифрами, что и соответствующие правила Фейнмана в разделе 13. 2.
1. Единственные две топологически различные диаграммы
процесса изображены на рис. 21, б и в.
129

2.	Подсчет фактора и был произведен в разделе 13. 1, где
было найдено и = 1 для обеих диаграмм. Для первой диаграммы
т = 1, для второй т = 0. Отсюда численный множитель при
элементе S-матрицы равен соответственно +1 и —1 (я = 2).
3.	Рассматривая одновременно все возможные процессы рас-
распространения, отвечающие нашим диаграммам, следует взять
./V-произведение в виде TV [я|з+A) if B)].
4.	Для первой диаграммы виртуальные линии описываются
комбинацией
iG0B, \)iG0C,4)iG0D,3),
для второй—
;G0D, l)tG0 C, 4) »G0 B, 3).
5.	В обоих случаях линиям взаимодействия отвечают множи-
множители
V A,3) V B, 4).
6.	В обоих случаях входят интегралы
Используя выражение A4. 6), получим
2 A, 2) = — J d3 d4V A, 3) У B, 4) {Go B, 1) Go C, 4) Go D, 3) -
-Go D, 1)GOC, 4) Go B, 3)}.	A4.7)
To же получится из сопоставления выражений A2. 5) и A2. 2)
с A4: 5).
14. 4. Построим собственно энергетическую часть в энергети-.
ческом представлении, рассматривая переход \i -> v и перепиг
сывая соотношение A4. 6) в виде
SMV = 2ш 1 йг S^ (е) N (А+А„) б (е - в|1) б (е - ev).
Определенная таким образом величина ^nv (e) удовлетворяет
соотношению
SO. 2) = f-e-expl-teft-^] 2X^(<72)Xv(<7i)Siiv(e), (H. 8)
т. е. является коэффициентом разложения по системе %v и фурье-
образом по t1 — t2 функции 2 A, 2).
Используем далее правила Фейнмана, изложенные в раз-
разделе 13. 3.
1.	Топологически различные энергетические диаграммы изобра-
изображены на рис. 18, а к б.
2.	То же, что в разделе 14. 3.
3.	Появляется N (А^А^).
4.	Появляется комбинация
2 ^i^2^e3G0 (e^Go,, (e2)G0 (е3).
4 > Ц1И2Д3
130

5. Матричные элементы, входящие в первую диаграмму,
имеют вид
во вторую —
= < М-» l*s f V| M-i. M-a) (l*i. Нч
где ?f—оператор обмена координат (или, что то же, обмена
индексов состояния) *.
Кроме того, входят б-функции
BлJ б (ед + е3 — ех — е2) б (ех + е2 — е3 — ev).
Окончательно получаем
Snv(e)= — -щуг 2 Г rfSi <^ea cfe3 (
G0Mj (e,) G0^2 (e2) (?0Ji< (e3) x
X б (e + e3 — ex — e2).
Интегрирование по энергиям можно произвести в конечном виде,
используя результаты приложения В. Это дает
( (I —п„ )
X Л _ »l1
I	' Из	1^1	Мг '	' Мз	Hi	Ц2
Первый член в фигурных скобках отвечает собственно диаграм-
диаграммам, изображенным на рис. 18, а и б: состояния \1г и \х2 присущи
частицам и вносят вклад в соотношение A4. 9) лишь выше сферы
Ферми, состояние \i3 — дырочное и эффективно лишь ниже сферы
Ферми. Второй член в фигурных скобках отвечает диаграммам,
топологически эквивалентным рассмотренным выше (см. рис. 18, в).
Здесь состояния щ, ji2 отвечают дыркам, \i3 — частице. Это как бы
вывернутая наизнанку диаграмма рис. 18, а.
Рассмотрим собственно энергетическую часть в импульсном
представлении для пространственно-однородной системы. Исходя
из разложения Фурье
(х) = J d'p S(p, е) exp [t (рх — в/)]
* Диаграммы, которым отвечает оператор обмена 8*, будем называть обмен-
обменными корреляционными диаграммами.
131

и используя правила Фейнмана Для диаграмм рис. 22, найдем
(q — дискретные индексы):
2o.o,(i». е) = \d3qd3kZi (QiqJ|vU) Q2Q3 ) —
(
p-k) \	q+k)
e -!- nq — e^^ — e^.^. + гб
p—k	q+k
где
p—k q+k
¦nq\
— id
p-k	q+k
, (И. 10)
~T I
Для потенциала, являющегося просто функцией координат,
выражение в квадратных скобках приобретает вид
где g — фактор вырождения (см. § 4).
- 14. 5. Третий член разложения A4. 1) имеет вид
Si2) = Jdl d2d3d4KAU 2, 3, 4)N№+ A) ^+B) ^ D) ^ C)]. A4. 11)
Выделяя процессы вакуумного типа, имеем
Kt = <1Fo|S|To)r(l,2> 3, 4),
где Г — потенциал эффективного взаимодействия или вершинной
части.
Элемент 5B) описывает всевозможные процессы, диаграммы ко-
которых содержат четыре свободных конца. Сюда относятся про-
процессы рассеяния частицы на частице, дырки на дырке, частицы
на> дырке с учетом их корреляционного взаимодействия с систе-
системой частиц. Примеры таких диаграмм, рассматривавшихся и выше,
Ш

приведены на рис. 23, где видно, что действительно вершинная
часть, которую графически представляют символом, изображен-
изображенным на рис. 23, а, в определенном смысле описывает модифициро-
модифицированный закон взаимодействия, показывая, как меняется линия
взаимодействия при учете корреляционного взаимодействия.
В низшем порядке теории возмущения, как видно из сравнения
выражений A4. 11) и A2. 1) *,
ГA, 2, 3, 4) = —4-V(l, 2)бA -3NB — 4). A4. 12)
М
Y
N	A	^
a	6	в
v-r-v	Y о
j j [
д ¦	а
Рис. 23
Собственно энергетическая и вершинная части, описывая влия-
влияние корреляционных эффектов на линию частицы и линию взаимо-
взаимодействия, являются важнейшими структурными элементами, из ко-
которых можно построить диаграмму любого' процесса (подробнее
см. § 20, 25).
§ 15. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
15. 1. Располагая выражением для собственно энергетической
части 5-матрицы, можно получить разностороннюю физическую
информацию о рассматриваемой системе многих частиц.
Найдем прежде всего выражение для одночастичной матрицы
плотности системы с учетом корреляционного взаимодействия
между частицами. С помощью этой величины можно получать
сведения о тех же характеристиках системы, что и с помощью
матрицы плотности в приближении Хартри — Фока, которую мы
здесь обозначим через Ro:
* Учитывая антисимметрию Г относительно перестановок 1±^2 или
в соотношении A4. 12) следовало бы сделать замену:
б A - 3) б B - 4) = -i- [б A — 3) б B — 4) — б A - 4) б B - 3)].
133

Включение корреляционного взаимодействия отразится, очевидно,
только на волновых функциях Wo, которые следует заменить точ-
точными волновыми функциями ?г*. Что же касается операторов
поля, то в представлении Шредингера их вид вообще не меняется
от взаимодействия. Таким образом, точная матрица плотности
имеет вид
i?(?i.?!) = (?|f(?!)f(?iLf).	A5. 1)
Чрезвычайно удобно сделать замену
= lim r[i|>+B)iMl)]-'	A5.2)
t2>tt
U. t,-*0
Здесь величина t2, как и tt, стремится к нулю, но остается
больше tt. При этом, во-первых, соблюдается требуемый порядок
операторов и, во-вторых, каждый из них совпадает с оператором
в представлении Шредингера. В результате получаем
R(qi,q2)= lim (ЧГ\Т[^+B)^A)]]^ )¦ 05.3)
t+
Рассматриваемое среднее значение зависит фактически только
от разности времен t1 — t2.
Перейдем в этом выражении от представления Гейзенберга
к представлению взаимодействия, пользуясь соотношениями (9. 21)
и (9. 26):
*гA) = 5@,^)*в AM(^0),
1, 0),
Ур* =?•$(—оо, 0).
Среднее значение, входящее в выражение A5. 3), принимает при
t2 > tx следующий вид:
Здесь использовано групповое свойство S-матрицы (9. 7). Записы-
Записывая S(—оо, t2) через S'1 (со, —оо) 5 (со, t2), учтем свойство
устойчивости основного состояния (9. 18'). Рассматриваемое сред-
среднее значение можно, таким образом, переписать в виде
S (°°. g *t B) S (tr t,) % A) S (tv -co) I ?0 > •
Из этого выражения видно, что операторы, входящие под знак
среднего, расположены точно в хронологическом порядке **: сна-
* В дальнейшем для упрощения формул будем опускать индекс «г» у Wr.
** Представление S-матрицы в виде хронологического произведения допу-
допускает следующую наглядную интерпретацию. Разобьем S (сю, —оо) на произ-.
вольное число сомножителей, пользуясь свойством S-матрицы (9. 7): S (оо,
— оо) = S (оо, tj S (*!, ta) . . . S (tn, — оо). Здесь *!> f2 . . > in. Хроно-
Хронологизация предстает тут в явном виде: каждый из сомножителей содержит
времена более поздние, чем у правого, и более ранние, чем у левого соседа.
134

чала идет часть S-матрицы, содержащая времена, большие t2;
затем оператор в момент t2; далее часть S-матрицы, отвечающая
временам, большим tlt но меньшим tz, и т. д. Объединяя рас-
рассматриваемое выражение с. аналогичным выражением, относя-
относящимся к случаю t1 > t2, можно написать окончательно
Это важнейшее соотношение, которое будет широко использо-
использоваться в дальнейшем.
Выражение A5. 3) легко непосредственно выразить через соб-
собственно энергетическую часть S-матрицы. Подставляя в числи-
числитель соотношения A5. 4) разложение S-матрицы A4. 1), увидим,
что можно ограничиться рассмотрением лишь первых двух чле-
членов этого разложения
В самом деле, применяя теоремы Вика, нетрудно убедиться, что
члены более высокого порядка приведут к появлению под знаком
среднего нормальных произведений, отличных от ./V A). После-
Последующее усреднение даст, очевидно, нулевой результат.
Первый член разложения 5 приводит просто к величине
Что же касается второго, то дело сводится к вычислению
среднего
( Ч'о | Г }-ф+ B) г|,в A)Л^ [-Ф+ C) фв D)]} |?0).
Применяя теорему Вика для смешанных Т-произведений, легко
видеть, что единственным отличным от нуля будет член
iG0(l,3)(—0GoD, 2),-
где Go — свободная функция Грина (см. § 10).
Таким образом,
\УР) = (% |T[i|>+B) г
+ tJd3d4G0(l, 3)SC, 4)G0D, 2).	A5. 5)
Возвращаясь к матрице плотности A5. 1), имеем
R (<?i. Яг) = Ro (Яъ Яг) +
+ lim i I dS d4G0 A, 3) 2 C, 4) Go D, 2).	A5. 6)
Первое слагаемое этого выражения отвечает приближению
Хартри — Фока, второе описывает корреляционные поправки
к матрице плотности.
135

15. 2. Из соотношения A5. 6) нетрудно найти выражение для
плотности числа частиц системы
q (xj = Spfft/? \x-i_, alt тх; xlt 02, т J,	A5. 7)
откуда
q (xj - q0 (*J = SPott j d3 d4G0 A, 3) S C, 4) Go D, 2)
2->l
(q0 — плотность в приближении Хартри — Фока). Это соотноше-
соотношение описывает перераспределение частиц в пространстве под дей-
действием корреляционного взаимодей-
©ствия. В случае пространственно-
однородной системы такого перерас-
перераспределения вообще нет.
Для пространственно-однородных
_ систем представляет интерес вопрос
о перераспределении частиц по им-
Рис- 24	пульсам. Переходя от выражения
A5. 6) к функции распределения
(см. § 4), которая в рассматриваемом случае дает просто распреде-
-> ¦->
ление по импульсам, найдем, вычисляя фурье-образ по хх — х2:
оо
Q A/»)—Q0(p) = Пт i f
<i-/i->+0 J
X
e — e^. + '6 sign (e^ — е
\ P
')Г
Это выражение целесообразно привести к иному виду. Про-
Продолжим подынтегральное выражение в последнем интеграле в ком-
комплексную плоскость е. Учитывая, что это выражение достаточно
быстро затухает с ростом е и что в верхней полуплоскости е пока-
показатель экспоненты is (t2 — tj имеет отрицательную действитель-
действительную часть, т. е. экспонента также затухает с ростом Ime, можно,
согласно теореме Коши, заменить интегрирование по е по дей-
действительной оси интегрированием по замкнутому контуру С,
включающему половину большого круга в верхней полуплоскости
(рис. 24). Интеграл по этому полукругу вносит пренебрежимый
вклад.
Теперь уже можно перейти к пределу /2 — tt ~> 0; приведен-
приведенный ниже интеграл сводится к сумме вычетов в полюсах функ-
функций Ей (е — е+) + гб sign (е+ — eF) ]2, лежащих в верхней полу-
р	р
плоскости:
136

15. 3. Переходим к выражению через 2 важнейшей характе-
характеристики основного состояния системы — его энергии Е. За основу
примем обычное выражение для Е
Е = {Л?\Н\У?),	A5.9)
где гамильтониан в представлении Шредингера запишем в перво-
первоначальном виде C. 29):
Н = \ dqV (<?) 7Ч|> (q) + ^ f dqdq'^ (q) t+ (</') ^ (<?') ф (<?).
Выразим это соотношение через гейзенберговские операторы ifr
в момент t = 0. Учитывая уравнение движения для этих опера-
операторов (см. раздел 3. 9), можно написать
-b
Вводя /2 > rfx и подставляя в выражение A5. 9), можно написать
Я = 4-Г^ Шп
Далее можно использовать соотношение A5. 5). Первый член
его правой части отвечает приближению Хартри — Фока и при
подстановке в Е дает
E0 = Sp[(T+W/2)Q].
Остающаяся часть энергии отвечает корреляционному взаимодей-
взаимодействию и имеет вид
E — E0 = ±-Cdq1 Hm (»-^-+ т) ?d3d4G0(l, 3)x
XSC, 4)G0D, 2).	A5.10)
Чтобы выяснить физический смысл этого выражения, представим
его в несколько ином виде. Учитывая уравнение
имеем
Е - Ео = Г dq, lim
f	l, 3)G0C, 2).	A5.11)
Здесь использовано соотношение A5. 6). Первый член выраже-
выражения A5. 11) описывает изменение кинетической энергии частиц
137

и их самосогласованного взаимодействия за счет обусловленного
корреляционными эффектами их перераспределения по состоя-
состояниям. Что же касается второго члена, то он отвечает изменению
самого характера взаимодействия между частицами, т. е. учиты-
учитывает собственно корреляционные эффекты.
15. 4. Выражение для энергии системы можно представить
в иной форме, если воспользоваться приемом, уже применявшимся
в § 9. Заменим гамильтониан корреляционного взаимодействия //'
величиной Я//', где Я — некоторый параметр, который после
проведения выкладок будет положен равным единице. При этом
все величины, фигурирующие в расчете: if,, ip+, S, 2 и т. п.,
будут функциями Я.
Используем общую квантовомеханическую теорему [24]
дЕ/дХ = (Ч\дН/дк\хР),	A5.12)
для доказательства которой достаточно продифференцировать
по Я уравнение (// — Е)ЧГ = 0, умножить результат слева на Y*
и учесть эрмитов характер Н. В рассматриваемом случае дН/дК =
= //' и мы приходим к выражению
$(У\Н'\У).	A5.13)
о
Здесь учтено, что при Я = 0 мы возвращаемся к приближению
Хартри — Фока.
Оператор Н' выражается в форме
где оператору Н может быть придан вид
Н = { dq^+ (ft) IT + A - Я) W]
* (ft) + A - Я)С.
Здесь С =	g- | dG ( ?„ | if+ (q) IVif (<7) | Y,,). Справедливость вы-
выражения для//легко проверить, собирая члены, пропорциональ-
пропорциональные Я, которые в точности дают ./V-произведение требуемого вида.
Повторяя рассуждения предыдущего.раздела, находим
\
Вычитая отсюда
получим
138

Окончательно с учетом уравнения (i -^	Т—
= 0 можно написать
>= -^-fdfc lim
Наконец, подставляя это выражение в A5. 13) и используя соот-
соотношения A5. 5) и A0. 6), находим
I, 3)G0C, 2)-
_. . i i
t,-ti-y+o'
-MVfd4G0(l, 3) SC,4)G0D, 2)|.	A5. 14)
В случае пространственно-однородной системы
i
X {S (P) Go (p) - Я (е;-р2/2М) eg (p) 2 Ц. A5. 14')
Здесь от Я зависит величина 2 , будучи собственно энергетической
частью 5-матрицы, отвечающей гамильтониану Я//'.
Разложение полученного выражения в ряд теории возмуще-
возмущений по Н' проще всего проводить, разлагая подынтегральное
выражение в ряд по Я. В частности, в низшем (втором) порядке
теории возмущений имеем
1
E--E0 = -L[-^-Cdq1 lim SoO. 3) Go C,2). A5.15)
•у	*J	t*—1>->-\-0
О
Здесь 20—собственно энергетическая часть низшего порядка
(см. § 14); эта величина пропорциональна Я2.
Переходя в энергетическое представление и вводя величину
2 V(l (e), получаем
р	р _ i Г de \i	2ovv (е)
°~ 4 J 2л Zj [е — ev + »б sign (ev — е/?)]2
с	v
Подстановка выражения A4. 8) и проведение несложного интегри-
интегрирования по е (см. приложение В) дают *
Яц,Л|*.О — %.)(!—Лц.)Х
X -
* Нетрудно проверить равенство
I1 == 2 < \1ф2 | К| mfi4 > ( W, I V(\ - <
139

Это выражение очень напоминает низший член разложения в обыч-
обычный ряд, шредингеровской теории возмущений, отвечающий га-
гамильтониану возмущения Hi (см. § 1). Отличие состоит в том, что
в выражении A5. 16) оба промежуточных состояния ^3 и Нч должны
порознь отличаться от начальных состояний; в то же время в обыч-
обычной теории возмущений невозможно лишь одновременное совпа-
совпадение состояний ^з. V-i с V-ъ И-2 (подробнее см. § 17).
15. 5. Рассмотрим корреляционную энергию системы, распре-
распределение плотности в которой близко к однородному. Точнее го-
говоря, предполагается, что движение частиц в самосогласованном
поле является квазиклассическим, при этом
I = dl/dx ~ d/x0 < 1.	A5. 17)
Здесь х0 — характерная длина неоднородности, т. е. расстояние,
на котором заметно меняются характеристики самосогласован-
самосогласованного поля; d ~ 1//?0 — среднее расстояние между частицами.
В приближении Хартри — Фока величина d является един-
единственным характерным параметром размерности длины. Факти-
Фактически самосогласованное поле входит лишь в величину р\ (х) —
'-' d (х)~2, где d (x) — среднее расстояние между частицами
в окрестности данной точки. Поэтому выполнение условия A5. 17)
в этом случае дает возможность считать систему в каждом элементе
объема однородной и использовать для вычисления локальных
характеристик системы формулы, справедливые для однородного
случая, но отнесенные к соответствующему значению плотности.
При переходе к другому элементу объема значение плотности'
меняется, но формулы по-прежнему сохраняют свою силу. Система
при этом имеет, как говорят, «квазиоднородный» характер; вели-
величины, описывающие локальные ее свойства, зависят от коорди-
координаты х, как от параметра. Интегральные величины, имеющие для
однородной системы вид Qf (q) заменяются при этом на J dxf [q (x)\.
Точность такой замены определяется величиной квантовых эф-
эффектов, малых при выполнении условия A5. 17).
При выходе за рамки приближения Хартри — Фока оказы-
оказывается недостаточным выполнить условие A5. 17), чтобы систему
можно было бы рассматривать как квазиоднородную. Дело в том,
что величины, описывающие корреляционные эффекты, обяза-
обязательно содержат помимо d еще одну характерную величину раз-
размерности длины — радиус действия сил R.
Поэтому система может считаться квазиоднородной только
в том случае, если наряду с условием A5. 17) выполнено также
условие
1.	.	A5.18)
В разреженной системе, где /? <^ d, условие A5. 18) оказывается
излишним. Однако в сжатой системе, где R > d, определяющим
является условие A5. 18), невыполнение которого влечет за собой
140

появление в соответствующих выражениях сложной нелокальной
зависимости от координат.
Характерным примером является тяжелый несжатый атом, для
которого условие A5. 17) выполнено (? ~ Z~1/a). Однако усло-
условие A5. 18) оказывается нарушенным, поскольку R ~ (ао/роу/г —
~ daZ-1/' и х0 ~ a0Z-'/3.
Это существенно осложняет исследование корреляционных
эффектов в неоднородных системах.
15. 6. Естественный путь построения элементов S-матрицы
слабонеоднородной системы, для которой выполнены оба усло-
условия A5. 17), A5. 18), состоит в написании соответствующих вели-
величин в координатном представлении и использовании приближен-
приближенных выражений для функции Грина (iO. 11).
Однако теперь нас интересует корреляционная поправка
к энергии низшего порядка, поэтому мы изберем более общий путь,
который даст возможность проиллюстрировать утверждения пре-
предыдущего раздела. При этом будет использовано уже готовое
выражение для Е — Ео в энергетическом представлении A5. 16),
которое мы перепишем в виде
E — E0 = ^dql dq2 dq3 dqt V (qt, q2) V (q3, qj X
X
-=т^ х;а ы х;. ы хд, ы х
& ЧзЧл) Лд, \Чз/ A^j, W4/'
Здесь мы явно раскрыли выражения для матричных элементов
и считаем для простоты потенциал V функцией только хг — х2.
Удобно представить энергетический знаменатель в виде (см.
приложение В) *
Р (Чг + еи* — ед8 — ед J'1 = 4г f dt sign (t) exp [it (ец, +
При этом нам придется иметь дело с величинами типа
a (qu qa, 0 = 2 Хд (<7i) X^ (<7i) «д ехр (Йв,,),
д
о' (<7i, ?2. О = S Хц Ы Хр, Ы A — «ц) ехр (— йвм),
через которые искомая величина выражается следующим образом:
оо
Е~~Е^=:^Г I dt si§n W f ^i d^« J(?3 ^?4 V (?!, ?2) V {qb qt) X
— об
X o'{qa, qlt t)o'(qv <?2, t) A - ^,.„)o(?1) flfB, <)о(<7„ <7«. 0- (I5- I9)
* Ввиду наличия в выражении для ? — Ео факторов п , A — п„ ) и т. д.
соответствующий знаменатель не обращается в нуль и потому его можно рассма-
рассматривать в смысле главного значения.
141

Используем далее прием, состоящий в переходе к явной опера-
операторной формулировке задачи [81 ]. С этой целью заменим вели-
величины е
^,
соответственно на
T+W, B
Величины о и о' можно тогда представить в следующем опера-
операторном виде:
о (qlt q2, t) = Q[eF — (T+ W)qi\ exp [it (T + WLl] б (q1~q2),
a' (qlt q2, t) = Q[(T + W)qi — eF] exp [- it (T -f W)qi] б (q, - q2).
Пренебрегая некоммутацией операторов Т и W и обменными
эффектами, находим
X
X exp
X exp
X
-it
6{QiQt).
A5. 20)
Такое представление отвечает, очевидно, выбору функций Грина
в виде выражений A0. И), A0. 12)
При подстановке полученных выражений в соотношение A5. 19)
появляется функция р* от двух разных аргументов хг и хг. Расстоя-
Расстояние межДу точками хх и х2 не превышает радиуса действия сил R,
о чем свидетельствует наличие множителя V (qlt q2) *. Поэтому
выполнение условия A5. 18) дает возможность пренебречь в р20 раз-
различием в величине этих аргументов. Выполняя далее несложное,
но громоздкое интегрирование, приходим к соотношению
Е — Ео = — 2М BяK J dx j
[pi (x) — pf] x
0 [Pi
- Po
)]	A5.21)
где g — фактор вырождения; v(&)—фурье-образ потенциала.
Полученное выражение действительно имеет квазиоднородный
характер. Для перехода к чисто однородному случаю достаточно
* В случае кулоновской системы необходимо учитывать также диаграммы
высшего порядка, что приводит к дебаевскому экранированию (см. § 16).
142

заменить р20 {х) на р? и I dx на Q [при этом можно использовать
выражение A5. 21) и в случае произвольного закона диспер-
Е — Ео = — 2ЛШ Bя)
¦ (рг +
/-*\ 2
X
d3Pld3P.2d3knpinp2 /1 — n_
v (I) f-gv* (*) v (ft -ft -ft)].	A5. 22)
15. 7. Невыполнение условия A5. 18) приводит к появлению
в выражении A5. 21) двух граничных импульсов pl (xj, pl (x2),
благодаря чему это выражение теряет свой локальный характер.
Однако более существенным является вопрос о справедливости
самих квазиклассических выражений типа A0. 11), A5.20) при
невыполнении условия A5. 18). Дело сводится к выяснению роли
квантовых эффектов в соответствующих выражениях.
Используем операторные выражения для функций а и а',
приведенные в предыдущем разделе. Разлагая 6-функции в ин-
интеграл Фурье, для характерной комбинации, входящей в соотно-
соотношение A5. 19) *, можно написать следующее выражение:
¦a(qu q3, t) о' (q3, qv t) = SQlQ3 d3p1d3p2 exp \i (ft — ft) X
X Pi - *s)] < 6 (eF — T— W) exp [it(T+ W)] ) Pl X
X @(r+W-eF)exp[— it(T+W)])Pl	A5. 23)
(обозначение { . . . )p введено в § 4).
Пренебрежем для простоты обменными эффектами, не меняю-
меняющими качественно ситуации; это позволяет заменить Т + W
на 	g—	j- eF. Разложение функций 8 по коммутаторам
операторов р2 и р\ (х) излишним образом усложнило бы после-
последующее рассмотрение, не изменив качественно общего вывода.
Поэтому для упрощения выкладок заменим функции 0 их квази-
квазиклассическими выражениями и пренебрежем разностью хг — хъ
в их аргументах (см. § 10). Это даст
exp j^ \р1 ftj ух1 хз]\ X
где
Е = < ехР (Тм \р - ро М} >?, < ехР {--Ш [Р - ^W]) /р,
* Второй член в квадратной скобке A5. 19), отвечающий обменным корре-
корреляционным эффектам, вносит для сжатых систем малый вклад.
143

Проводя разложение экспонент в ряд по коммутаторам (см. при-
приложение Б) и ограничиваясь членами первого порядка, найдем
Е = ехр \-?гг \р\ — р\ + ро (хя)—р1 (xj]} X
X
Разлагая показатель последней экспоненты в ряд по х± ¦— х3
и делая замену р2 ->¦ р, — f4p2J2M, получим после разложения
в ряд по Vp2:
Ppi <i3p2exp [t [pj — p2j \xl — х3ц Х
X 6 [pi (xy) — p?j 0 [pi — po (xj)] exp I ——l,M 2> I X
x!i- /2
Оценим вклад второго (квантового) члена в фигурной скобке.
Разность рг —р2 по порядку величины равна хг — х3 ~г — MR;
\
сами величиныр1( р2 порядка р0 > \/R. Поэтому р\ — р\
,	М	MR	„	А 9
а величина г~г-г	гТ'^	• Отсюда с учетом Apg
¦ | PI — Р21 * ^°
Ур2~р2/л;0, получим
Таким образом, вклад квантовых эффектов определяется чле-
членами, имеющими порядок (R/x0J и R/x0 соответственно. Тем са-
самым мы приходим к выводу о том, что использование квазиклас-
квазиклассических функций Грина A0. 11), A0. 12) возможно лишь при
выполнении условий A5. 17) и A5. 18). При этом система обладает
свойством квазиоднородности, что позволяет рассматривать ее как
однородную с последующей заменой Q/ (е) на J dxf [q (x)] .
Физически эту ситуацию можно интерпретировать следующим
образом. В сжатых системах основную роль играет область им-
импульсного пространства, непосредственно прилегающая к границе
Ферми: эффективная ширина этой области р\ — р\(р\^>pl^>рТ)
составляет по порядку величины pJR ~ dpl/R. Однако именно
вблизи границы Ферми возрастает роль неоднородности си-
системы [50]. Формально это связано с тем, что вклад неоднород-
неоднородности определяется отношением среднего значения коммутаторов
типа [р2, р2| ~ Др? к соответствующей степени величины р2 — р%г
в данном случае (р2 — р2Л2. Ясно, что это отношение вблизи
144

границы Ферми велико даже при малых ?. Таким образом, в сжа-
сжатых системах роль неоднородности существеннее, чем в разре-
разреженных.
Резюмируя, можно сказать, что при рассмотрении корреля-
корреляционных эффектов в слабонеоднородных сжатых системах выпол-
выполнение обычного условия квазиклассичности A5. 17) не упрощает
существенным образом задачи. Помимо возникающей при этом
нелокальности выражений интегрального типа (в частности, энер-
энергии) появляется необходимость учитывать квантовые эффекты *.
Задача упрощается лишь при выполнении условия A5. 18).
§ 16. ОТБОР ГЛАВНЫХ ДИАГРАММ
16. 1. Как уже неоднократно подчеркивалось, точное решение
задачи многих частиц в подавляющем большинстве случаев оказы-
оказывается невозможным. Поэтому успех применения теории многих
частиц к описанию какого-либо объекта в значительной мере зави-
зависит от возможности выявления свойственных задаче малых пара-
параметров и их использования в целях ее упрощения.
Именно с этой точки зрения оказываются удобными полевые
методы, позволяющие наиболее коротким и простым путем пе-
перейти от написания гамильтониана, содержащего малые пара-
параметры, к окончательным физическим результатам. И дело при этом
не сводится просто к разложению в ряд теории возмущений
с оставлением членов низшего порядка. Нередко оказывается
необходимым учитывать некоторую бесконечную подсовокупность
членов ряда теории возмущений; именно в этой ситуации полевые
методы наиболее удобны и оправданы.
Таким образом, перед нами стоит задача: установить ту (ко-
(конечную или бесконечную) совокупность диаграмм, которые с уче-
учетом малости соответствующих параметров играют наиболее важ-
важную роль.
Речь должна идти о безразмерных параметрах, составленных
из величин, характеризующих систему частиц. К их числу прежде
всего относятся параметр взаимодействия а, равный по порядку
величины отношению средней энергии взаимодействия пары ча-
частиц к их кинетической энергии, и параметр сжатости ц, опреде-
определяемый отношением эффективного радиуса действия сил к сред-
среднему расстоянию между частицами. Кроме того, в некоторых
случаях надо учитывать эффективное число частиц, параметры,
характеризующие внешние поля, относительную концентрацию
частиц (для системы частиц разных сортов) и т. д.
* В работе [81], где был сделан этот вывод, количественное рассмотрение
проведено некорректным образом. Тем не менее, общий качественный вывод
о существенной роли неоднородности в случае, когда отношение R/x0 не мало
по сравнению с единицей, полностью сохраняет свою силу (см. § 27).
145

Для решения поставленной задачи следует выбрать некоторую
величину, характеризующую рассматриваемую систему, и про-
проанализировать относительный вклад различных диаграмм, со-
составляющих эту величину. В качестве такой величины удобно
выбрать энергию системы, которая является в значительной мере
типичной характеристикой системы: главные с точки зрения энер-
энергии диаграммы вносят определяющий вклад и в другие величины,
характеризующие систему. По этому поводу необходимо сделать
лишь следующее замечание. Если рассмотреть выражение для
энергии в импульсном представлении, то нетрудно убедиться
в том, что в него вносят основной вклад значения энергии и им-
импульса порядка соответственно энергии Ферми- и граничного
импульса. Поэтому намеченная программа не приведет к успеху
в тех (относительно редких) случаях, когда нас специально инте-
интересуют выделенные значения энергии е' и импульса р', отличные
от ef и р0. В этом случае необходим специальный анализ, опи-
опирающийся на учет дополнительных параметров e'/eF и р'/р0.
Для исследования корреляционной энергии низшего порядка
используем соотношение A5. 22). Анализ диаграмм высшего по-
порядка следует вести, используя собственно энергетическую часть
2 (р, е): главной с точки зрения энергии является та совокуп-
совокупность диаграмм, которая вносит определяющий вклад в вели-
величину 2 (Ро. eF)-
Вместо самой энергии удобнее иметь дело с безразмерной
величиной
р* = ME/Npl ~ МЕ/пр50.	A6. 1)
При этом для корреляционной части энергии параметр
Р ^	(Ро- eF[ ^ что легко вывести из соотношения A5. 14').
Ро
16. 2. Целесообразно начать с оценки параметра р для само-
самосогласованного взаимодействия. При этом мы частично воспроиз-
воспроизведем результаты, полученные в § 5—7.
В качестве параметра р следует выбрать отношение р*п*р ~ —2~~
Ро
для прямого и Роб ~ MA/pl для обменного взаимодействия.
f ~*
Из выражения D.30") имеем р*пр	6~„ . Отсюда для
Ро
короткодействующих сил в случае сжатой системы можно написать
Pnp-mf.	A6.2)
Эта величина может оказаться значительной для сжатых систем
даже в случае малого а. Соответствующая причина уже обсужда-
обсуждалась в § 1 и 5. Для разреженной системы имеем просто
Рпр~а.	A6.2')
146

В случае однородной системы с кулоновским взаимодействием
Рпр = 0	A6.3)
вследствие полной компенсации зарядов системы и фона (см. § 5).
Если же система неоднородна, то j diy «обрезается» на расстоя-
расстоянии порядка х1 и
Отношение xjd имеет смысл числа частиц, приходящихся на длину
характерной неоднородности задачи. Обычно это отношение по-
порядка Z1'', откуда
Pnp-aZ'/..	A6.4)
И в этом случае р*пр может быть много больше а.
Переходим к оценке роли обменного самосогласованного взаи-
взаимодействия. Исходя из соотношения D. 33'), имеем А — I dpfv —
— qJ d\Vexp [i(pol)]. В разреженных системах (р„Е) С 1, и мы,
возвращаемся к той же оценке, что и для р*пр:
Роб~Рпр-	A6.5)
В сжатых системах экспонента ехр (фо?) сильно осциллирует
и результат определяется поведением потенциала при малых |.
Если при этом V (I) ~ Vo (l/R)n (n > —3), то А ~ Vo (d/R)n и
Роб — о/Л"»	A6.6)
В частности, для прямоугольной ямы, где л = О,
Роб-«.	A6.7)
Для кулоновских систем, где л = —1, величина А ~ eVd и ана-
аналогично
Роб~«.	A6.8)
16. 3. Оценим вклад членов ряда теории возмущений. Начнем
с рассмотрения члена низшего порядка. Используя выраже-
выражения A5. 22) и A6. 1), имеем
d'Pid'Ptd'k -^—^2 ,.» А	:	{ v [k . A6. 9)
Для простоты считаем V функцией только координат и отбрасы-
отбрасываем обменный корреляционный член, содержащий оператор $J.
Кроме того, закон дисперсии частиц выбран квадратичным. Сде-
Сделанные упрощения не меняют порядка величины результата.
Рассмотрим сначала разреженные системы с короткодействую-
короткодействующими силами. Условие разреженности означает, что характерный
передаваемый импульс k — 1/7? > р0, т. е. k/p0 — тр1 > 1.
147

Поэтому пренебрегая величиной р1>2 по сравнению с k, на-
находим
Здесь учтено, что v—J d\V ~ Vo R3. Наконец, вспомнив опре-
определение параметра а, получаем окончательно
Р~а2/г).	A6. 10)
16. 4. Переходим к рассмотрению сжатых систем. Проанализи-
Проанализируем сначала область интегрирования в выражении A6. 9), учиты-
учитывая, что в силу условия сжатости k <^ р„. При этом одновременное
выполнение условий р1; 2 < р0 и р12 ± k\ > р0 возможно, оче-
очевидно, только для значений р]J, мало отличающихся от р0.
Полагая р]2 = р0 A — а} 2), можно написать (х—косинус угла
между р и k)
foc1/po>a1>0 xx>0,
	 hу /ft ""v-«-i а ^~^> О v <*""*'* О
Сокращение эффективной области интегрирования приводит
к уменьшению величины вклада корреляционных эффектов, при-
причем это касается не только члена низшего порядка, но и всех
остальных членов ряда теории возмущений. Поэтому, чем сильнее
сжата система, тем более точным оказывается приближение
Хартри — Фока.
Этот эффект «подавления» корреляции является прямым след-
следствием принципа Паули [75, 82]. Каждая пара взаимодействую-
взаимодействующих частиц, импульсы которых первоначально лежали внутри
сферы Ферми, в результате взаимодействия обязательно должна
покинуть пределы сферы, так как все состояния внутри нее уже
заняты. Ясно вместе с тем, что, поскольку в сжатых системах
частицы могут передавать друг другу лишь малый импульс, спо-
способными к взаимодействию окажутся только те частицы, импульсы
которых непосредственно прилегают к сфере Ферми.
Переходим к оценке интеграла A6. 9) для сжатой системьь
Учитывая условия A6. 11), можно написать
Vf
! — «J — Р\ —
0	0
— 1	—кх2/Ро
Отсюда
р* = —-5- [ dkk3 v I &] .	A6. 12)
Щ J
о
Верхний предел следует положить по порядку равным р0.
148

При значениях k > 1/7? величина |v(&)|a обычно ведет себя
как 1/&4. Так обстоит дело в наиболее интересных случаях: для
прямоугольной ямы, для потенциала Юкава *. Точнее говоря,
мы должны написать v2 (k) — V^R2/^. Отсюда, учитывая, что
в интеграле A6. 12) существенны значения k ~ р0 > 1/R, получим
р* ~ aV In ц.	A6. 13)
Для этого выражения характерно наличие логарифмического
члена.
Особенно ярко проявляется это свойство в сжатых системах
с кулоновским взаимодействием. Подставляя в выражение A6. 12)
v (k) — e2/k2, находим
4
т. е. величину, логарифмически обращающуюся в бесконечность.
Эта трудность имеет место лишь в низшем порядке теории возму-
возмущений (точные решения уравнения Шредингера никаких расхо-
димостей содержать не могут); в дальнейшем будет выяснено, что
за счет перераспределения частиц под влиянием корреляционных
воздействий кулоновский потенциал фактически экранируется
на расстоянии радиуса Дебая, и эффективная величина v (k) утра-
утрачивает особенность в точке k = 0, т. е. силы теряют свой дально-
действующий характер.
Представляет интерес вопрос о том, как влияет неоднородность
в распределении частиц на характер сходимости интеграла в соот-
соотношении A6. 14). Ясно, что эта трудность в общем будет смяг-
смягчаться, поскольку частицы, рассеиваясь на неоднородностях,
обмениваются с ними импульсом, что, грубо говоря, выводит
частицы из области малых передач импульсов. Расчет действи-
действительно подтверждает эти соображения [81 ]. Если длина, на кото-
которой заметным образом меняется распределение частиц, становится
меньше радиуса Дебая, то расходимость выражения A6. 14)
исчезает. Еще ярче это обстоятельство проявляется на примере
ограниченных в пространстве систем. В этом случае импульсы
имеют нижнюю границу, и интеграл A6. 14) «обрезается» авто-
автоматически при k — 1/г, где г — радиус системы.
16. 5. Перейдем теперь к оценке роли диаграмм высшего по-
порядка. Рассмотрим диаграммы собственно энергетической части
третьего порядка (рис. 25). При этом по сравнению с диаграммой 2
второго порядка добавляются одна линия взаимодействия и две
линии частиц или частицы и дырки.
Покажем, что для разреженных систем основную роль играет
Диаграмма, изображенная на рис. 25, а. Это утверждение следует
* Это свойство, естественно, не является общим; для потенциала ехр (—цг),
например, v3 (k) ~ l/ks. Подробнее см. § 27.
149

из того факта, что рассматриваемая диаграмма имеет минимальное
(равное единице) число дырок. Поскольку по импульсам дырки
iOr
— I ' 1 'I
T-T, J-Ti-%
a
6
Рис. 25
интегрирование ведется до малой (сравнительно с k) величины р„,
ясно, что остальные диаграммы дадут малый (при малом ц) вклад.
	i
-ь
i : i
4- 114
4- i
i\i 4- ГЧ. i
! 4
Рис. 26
Если рассматривать диаграммы более высокого порядка,
то и там по аналогичным причинам наиболее существенную роль
будут играть диаграммы, в которых содержится минимальное
число дырок. Таким образом, в раз-
__г . г _J ,	реженных системах достаточно учесть
рг ]	рг'	лишь следующую бесконечную сово-
совокупность диаграмм собственно энерге-
энергетической части 2 (рис. 26). Общее
свойство этих диаграмм состоит в том,
что все линии взаимодействия соединя-
соединяют одну и ту же пару линий частиц.
Для оценки вклада каждой из этих
диаграмм можно использовать прарила
Фейнмана. При переходе от диаграммы
я-го порядка к диаграмме (л + 1)-го порядка добавляется
лишнее звено, изображенное на рис. 27. Согласно правилам
Фейнмана, в выражение для 2 нужно ввести дополнительно
следующую комбинацию:
S,
|| К' Pi-p;=pi-pz
i
i-^	.
pi t,
Рис. 27
J d%
X
G0(p'u
- р\ — р2) v [
р\
х
150

Интегрируя по ej и е'2, находим
Q
-г	ттA—п А [\—п А х
A6-15)
>»>
Переходя далее к переменной k = рг — р| и учитывая k > р0,
находим
Ро
Рис. 28
где a' — параметр борновского разложения. Таким образом,
вклад интересующих нас диаграмм имеет вид
р~а2С„(аУ,	A6.16)
4=1
где С„ — некоторые численные коэффициенты. Что же касается
вклада отброшенных диаграмм, то он оказывается в каждом
порядке теории возмущений в ц~1 раз меньше.
Остановимся на физической интерпретации полученных ре-
результатов. Из рис. 26 видно, что фактически следует учитывать
корреляцию переменных лишь каждой из пар частиц, поскольку
все линии взаимодействия связывают линии только двух частиц.
В таких случаях говорят о парной корреляции частиц. Это обстоя-
обстоятельство имеет совершенно ясный физический смысл. Дело в том,
что из-за малости параметра ц одновременное попадание трех
и более частиц в сферу действия сил (а это является необходимым
условием появления тройных и более сложных корреляций) мало-
маловероятно.
16. 6. Наиболее важную роль в сжатых системах играют диа-
диаграммы типа, изображенной на рис. 25, г. Аналогично из числа
диаграмм высшего порядка наибольший вклад дают диаграммы,
изображенные на рис. 28. Общей чертой этих диаграмм является
наличие максимального числа замкнутых петель, благодаря чему
все передаваемые импульсы оказываются равными друг другу.
Выделенный характер этих диаграмм объясняется тем, что
в сжатых системах передаваемый импульс k мал по сравнению
е граничным импульсом р0. Фурье-образ потенциала v (k) падает
151

с увеличением k, причем это падение имеет характер v (k) — k~2
при k > 1/7? и, в частности, при k — р0 (см. раздел 16. 4). Таким
образом, наибольший вклад дают диаграммы с наименьшим зна-
значением импульса передачи. Таким свойством и обладают диа-
диаграммы рис. 28, у которых все импульсы передачи одинаковы
и равны k. В то же время диаграмма, скажем, рис. 25, б имеет
один из импульсов передачи (средний) порядка р0 > k.
Проведем количественное сравнение вклада диаграмм рис. 28'.
При переходе от л-й к (л + 1)-й диаграмме добавляется дополни-
дополнительное звено, изображенное на рис. 29. Соответствующее ему
выражение после интеграции по энергиям принимает вид
A6.17).
Вводя переменную k = p\—P2 = Px—p2 и проводя оценки,
аналогичные выполненным в разделе 16. 4, с учетом k <^ р0
—. ,	получим
р ?	Q, - MPov (k).
Сумма диаграмм рассматриваемого
типа дает, таким образом, следующий
вклад
op	о
? I	A6- 18)
Рис 29	где / W = 2 СпхП'' сп — некоторые
л=0
коэффициенты; явное выражение / (л;)
будет приведено в гл. IV. Забегая вперед, заметим, что при
х ->- со / (х) -> д;, гри х -> 0 / (х) -> const.
Введем величину Ао. определяемую равенством
Myo\v(ko)\2~\.	A6.19).
Здесь нужно различать несколько случаев. Функция |v(&)|2
в общем падает с увеличением k. Поэтому если М2р% х (-5-) I С 1,
то равенство A6. 19) вообще не может быть выполнено, и рассматри-
рассматриваемое неравенство остается справедливым всегда. При этом сумма
в выражении для / (х) фактически сводится к своему первому
члену. Таким образом, при
(iif « 1
152

достаточно учесть лишь первую корреляционную поправку, что
приведет к результатам раздела 16. 4.
Второй, наиболее важный случай, соответствует тому, что
определяемая выражением A6. 19) величина k0 заключена ме-
между 1/R и р0. Учитывая соотношение v2 (k) — VlR2/k4, имеем
k0 ~ (MVtPoRI'* ~ (алI'. /V	A6. 20)
Условие l/R <^ k0 С Ро принимает вид
ат18»1, аг!«1.
Оценим величину р для этого случая, учитывая, что в области
0 < k < 1/7? v (A) ~ V0R3, Mpov — ат]8 > 1, / — l/(cni3); в об-
области l/R<k<k0 v (k) ~ V0tf/&2, Mpov — jfe^A*, / ~ кЧЩ;
в области ko<Ck<Cpo Mpov~ k2jk2,f— 1. Вклад в интеграл A6. 18)
первой области составляет ~а/г], второй ~а2т12 и третьей
—а2т12 In (ат)). Наиболее важен, очевидно, вклад области k0 <C
<&<Ро> который равен
р ~ aV In (от)).	A6. 21)
Эта величина мала по сравнению с единицей.
В принципе возможен также случай
ko>po,	«И1>1.	A6.22)
Однако все приведенные выше соображения, основанные на мало-
малости эффективного значения k по сравнению с р0, теряют в этом
случае свою силу. В частности, подлежат учету все диаграммы
теории возмущений. Физически это означает (см. § 27), что экра-
экранированный за счет корреляционных взаимодействий потенциал V
перестал быть дальнодействующим (по сравнению с расстоянием
между частицами d). Другими словами, рассматриваемая система
при выполнении неравенства A6. 22) по существу не относится
к разряду сжатых систем.
16. 7. Рассмотрим кулоновские сжатые системы. Для них при
всех значениях k v (k)—e2/k2 и Mpov — ро/(аок2). Разбивая
интеграл A6. 18) на две области k < k0 и k > k0, где согласно
выражению A6. 19)
ku~(pjaoy/',	A6.23)
имеем в первой области Mpov ~ k%/k2 > 1, / — к^/Щ и
Pi ~ (аоРо)~2 — а2.
Мы. видим, что расходимость при малых k действительно устра-
устраняется.
Во второй области Mpov <^ 1 и / — 1, откуда
Р2 — a2 In (Po/kg).
Таким образом, основной вклад дает область k0 < k <C p0 и
Р ~ a2 In A/а).	A6. 24)
153

Ситуация, как мы видим, во многом напоминает рассмотренную
в предыдущем разделе. Но это не удивительно; ведь сжатая система
с короткодействующими силами имеет большой радиус действия
этих сил (сравнительно с расстоянием между частицами), что
сближает ее с кулоновской системой.
Величина k0 называется импульсом Дебая, обратная ей ве-
величина
Ro-K/PoV'	A6.25)
называется радиусом дебаевского экранирования.
Возвратимся теперь к соотношению A6. 18) и разложим фор-
формально функцию/ в ряд по ее аргументу. Член разложения л-го по-
порядка дает вклад
пп—2 р	л—2
Pi. ~ -7Г+2- ~Ш+Г ~ „П+2ЛП ' Po~(aoA>) Ш (/У«эфф)-
Здесь &Эфф — эффективный нижний предел интеграции по k.
Эта величина, очевидно, совпадает с дебаевским импульсом k0'
k0 — (ро/ао)'/2. Подстановка этого выражения в р*„ показывает,
что все члены разложения р* вносят одинаковый вклад. Это обстоя-
обстоятельство необходимо для взаимной компенсации расходимостей р"ч
и появления эффективного «обрезания» интеграла A6. 18).
Возможны случаи, когда этот интеграл фактически «обрезается»
по другим причинам. Так обстоит дело, например, в ограниченной
в пространстве системе. Импульсы передачи k <С Mr (г — размер
системы) оказываются подавленными; величина &Эфф становится,
таким образом, равной наибольшей из величин Mr и k0. Если раз-
размеры системы меньше радиуса дебаевского экранирования R,
т. е. Mr > kQ, то р„ — a2 {k0RJn и основную роль играет член
с л = 0. Таким образом, при выполнении условия
Л ~ {ajdyi2 » N1/;	A6.26)
где N — число частиц в системе (г — dN1'*), основную роль
играет диаграмма низшего порядка, дающая вклад
Р ~ аЧп N.	A6. 27)
Вклад диаграммы л-го порядка р„ ~ a2 (N1^/r])n.
В отличие от разреженных систем, где основную роль играют
парные корреляции между частицами, в рассматриваемом случае
доминируют многочастичные, коллективные корреляции. Это видно
уже из диаграммы рис. 28: в каждом порядке теории возмущений
связано взаимодействием максимально возможное число частиц.
Объясняется это большой величиной радиуса действия сил по срав-
сравнению с расстоянием между частицами.
16. 8. Возвратимся к разреженным системам. В разделе 16. 5
было выяснено, какие диаграммы в таких системах являются
главными и какой порядок величины имеют корреляционные
эффекты.
154

Практически удобно идти другим путем: уже на первом этапе
заменить истинный потенциал взаимодействия введенным в § 1
псевдопотенциалом *
(*)?()(?) <i6-28>
и произвести отбор главных диаграмм, отвечающих этому псевдо-
псевдопотенциалу. Такой подход помимо большой экономии труда позво-
позволит выявить случаи, когда проведенный в разделе 16. 5 анализ
оказывается некорректным.
Параметр взаимодействия а для потенциала A6. 28), согласно
результатам § 1, равен
a~l/d~ lp0.	A6. 29).
Параметр сжатости в данном случае вообще равен нулю, и си-
система описывается единственным параметром а.
Переходя к оценкам диаграмм, отвечающих потенциалу A6. 28),
воспользуемся готовыми формулами A6. 9), A6. 15) и A6. 17).
При этом, однако, придется соблюдать известную осторожность.
Запишем формулу A6. 9) в следующем виде:
о	М2
Р 4
где
exp
p. J
- tkr)
[Pi-
Здесь мы заменили фурье-образ самим потенциалом. Рассмотрим
интеграл
d3k exp (— ik r)
л +
(р. - *)а -
в области.малых г. Несложный анализ показывает, что /0 состоит
из двух неисчезающих при г ->- 0 членов, один из которых имеет
особенность Mr, а другой пропорционален KPl ~~^' г .
Если теперь в выражение для Р вместо / подставим величину /0,
то получим нулевой результат. Это связано с конкретным видом
* Здесь / — длина рассеяния, связанная с амплитудой рассеяния соотноше-
соотношением
а = -// A + Ш).
Суммирование выделенных в разделе 16. 5 диаграмм как раз приводит к факти-
фактической замене истинного потенциала псевдопотенциалом A6. 28). Это будет пока-
показано в § 26.
155

потенциала КЭфф, который, как уже отмечалось в § 1, устраняет
члены порядка Т/г. Что же касается второго члена /0, то он исче-
исчезает в результате усреднения по углам. Поэтому мы можем просто
заменить / на / — /„• Но эта разность является уже регулярной
функцией гх — г2\, что позволяет опустить оператор 1 + г (д/дг)
в выражении для УЭфф. Окончательно имеем
В этом интеграле характерные значения р1>2 и k порядка р0,
поэтому окончательно в низшем порядке теории возмущений
мы имеем
? ~ Ppl ~ а2.	A6. 30)
Оценим интеграл A6. 15), который можно привести к виду
Ро	Ра
2
Входящий сюда интеграл по k при малых г имеет вид Mr	Ро +
+ О (г). Учитывая свойства оператора 1 +/"-а-, находим
Qi-pJ-a.	A6.31)
Аналогичную оценку имеет интеграл A6. 17). В области k < р0,
которая является главной,
Q2 ~ Mpov — pol — а	A6. 32)
(при kypo .Qt~a(p*/k*).
Таким образом, мы приходим к выводу, что псевдопотенциал
не создает выделенных диаграмм. Все диаграммы данного по-
порядка теории возмущений вносят одинаковый (по крайней мере
буквенно) вклад. Этот результат неудивителен, поскольку имеется
лишь один безразмерный параметр а.
Мы видим, далее, что при условии
««1,
когда"длина и амплитуда рассеяния малы по сравнению с расстоя-
расстоянием между частицами, можно ограничиться учетом лишь диа-
диаграммы низшего порядка. Это приводит к тем же результатам,
которые получаются при суммировании диаграмм, выделенных
в разделе 16. 5.
Ситуация чрезвычайно усложняется при а > 1, когда
156

#
— сред
о>
•о
С СТО 5
Я
меж
л
:тии
Кулоновы силы
Сжатая система
я
1
5~
^.
о.
и
1

о
to
R
to
i—.
в
з"
_о
из
| а
1 s
ченная
число ч
03 О
истема
стиц)
а.
-—
а
z>
	'
?
*--
а
а.
-
в
}
я
N
N
тз
о
00
В
3
в
в
в
X
п>
1 3
о
родния
заряд
.? о
истема
ipa)
t .
~о
п
to
00
в
3
в
В
а
в
Однор
Q
?э
а я систе
с
о
to
13
5
1
Короткодействующие силы
Сжатая
система
в
N
я
се
ГО
о
[
1
а.
?
—
а в
и- ^
еа
3
i
со
43
00
Хв
ее
)U[D
В
В
^j
и
Р
ее
_^
3
со
О
КЗ
р
—.
я
¦=*
^ -^ г;
^ О- "^
5 о=^
ф V Л
С> ^Q ^j
Разреженная
система
S
в
V
в
_
от
1
1
I
1
03
43
03
ш
R
'С
в
43'
о
N3
О
О\
в
в
V(r
11
	'
*
a.
.
^|p
I
в
о
CD
R
*^-
P
s:
В
в
та
о
to
a
К
Oa
/D
В С- -~t-
? с
^N '^ ^^
Ъ V Л
Тип взаимо-
взаимодействия
Тип системы
Пар
сжат
ч s
я 3
Параметр
взаимодей-
взаимодействия а
Соотношение
между а и т]
Вклад само-
согласован-
согласованного взаимо-
взаимодействия
Рсам
Относитель-
Относительный вклад
обменных
эффектов
робм/рсам
Главные
диаграммы
силовой
корреляции
Вклад корре-
корреляционных
эффектов
Ркор
Относитель-
Относительный вклад
Ркор/Рсам
3
римечан
S3

Этот случай отвечает резонансной ситуации, рассмотренной в § 1.
Здесь существенны все диаграммы теории возмущений, а это
сильно усложняет решение задачи *.
Полученные в этом параграфе результаты (табл. 1) важны
при решении конкретных задач теории многих частиц и будут
использованы в дальнейшем для вывода приближенных количе-
количественных соотношений. В тех случаях, когда малость характери-
характеризующих систему параметров выявлена недостаточно четко, учетом
соответствующих им главных диаграмм ограничиться нельзя.
Однако суммирование этих диаграмм дает удобное исходное при-
приближение, опираясь на которое можно провести дальнейшее
улучшение результата. На следующем этапе можно ограничиться
учетом опять-таки не всех, а лишь определенной подсовокупности
диаграмм. Так, в случае разреженной системы речь идет о диа-
диаграммах, содержащих одну лишнюю линию дырки; для сжатых
систем это будут диаграммы, в которых одна из линий взаимодей-
взаимодействия имеет импульс передачи порядка р0.
Специального анализа требуют устойчивые системы с силами,
притяжения, где происходит перестройка основного состояния
системы вблизи границы Ферми за счет образования куперовских
пар. Это обстоятельство, мало сказываясь на энергии системы,
существенно для объяснения явления сверхпроводимости [7—9].
§ 17. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ
АТОМОВ
17. 1. Рассмотрим простейшую систему многих частиц — двух- :
электронный атом или ион (Не, Li*, Be**, В*** и т. п.). При срав-
сравнении опытных данных по энергиям электронной оболочки этих
атомов с результатами соответствующих вычислений в прибли-
приближении Хартри — Фока обнаруживается некоторая разница, ко-
которая объясняется, очевидно, корреляционными эффектами.
Мы не будем касаться принятых в спектроскопии методов
вычисления этой разницы (имеются, в частности, в виду методы
смешения конфигураций и неполного разделения переменных),
а покажем, как использовать для этой цели развитую в предыду-
предыдущих параграфах теорию возмущений [83].
Рассматривая общий член интересующего нас изоэлектронного
ряда (число электронов N = 2, заряд ядра Z), оценим величину,
параметров сжатости и взаимодействия. Среднее расстояние между
частицами d по порядку величины равно aJZ и из выражений
A. 25) и A. 28)
ti~Z'/s a — Z-1.	A7,1)
* Неприменимость в данном случае анализа, проведенного в разделе 16. 5,
связана по существу с расходимостью (или плохой сходимостью) рядов, пред-
представляющих собой суммы вкладов различных диаграмм теории возмущений,
отвечающей истинному потенциалу взаимодействия.
158

Таким образом, njifll больших Z рассматриваемая система при-
принадлежит к классу сжатых систем со слабым взаимодействием.
Общим свойством таких систем, как уже говорилось в § 16,
является малый вклад корреляционных эффектов. Фактически
этот вывод относится и к случаю Z = 2, что объясняется, видимо,
благоприятной величиной соответствующих численных коэффи-
коэффициентов.
Рассматриваемая система относится к разряду ограниченных
систем, для которых при больших Z выполнено условие A6. 26):
d/a0 — Z~1<Ar/s. Поэтому можно ограничиться диаграммой
низшего порядка; вклад диаграмм л-го порядка составляет вели-
величину —Z~".
17. 2. Будем исходить из выражения A5. 16). Ограничимся
рассмотрением атома в основном состоянии, для которого yv(li =
— V "л Хо (/), Хц2 = 6о, -7До VI- Обменные члены при этом
тождественно исчезают, поскольку частицы находятся в состоя-
состояниях с противоположными спинами. В результате получаем
I ( 0. ОI eVr \т,п)\*	,_„
<17 2>
где
(г, / | еУг \m,n)=e
п, т
п + 0, т +
%¦ (*') 1т (х) %п (х1).
\ х — х' \
Сумму, в которой пропущены оба состояния л = 0 и т = 0,
можно записать в виде
у _ у у 'у
пфО т, п	п	т
пгфО	т=0	п=0
где штрих означает пропуск только состояния с т = п = 0.
Тогда .
где
р __ \
*—' и v гт ~~
0, 0
\т,п)
-¦кул
поправка к энергии за счет чисто кулоновского взаимодействия
по обычной теории возмущений;
A7.4)
Ел — So
поправка к энергии за счет самосогласованного потенциала
159

Из приведенных соотношений следует,
?кул<0, ?сам<0; Екул<Е-Е0<0,	A7.5)
что подтверждает известный из вариационного принципа вывод
об отрицательном знаке корреляционной энергии.
17. 3. С достаточной точностью вместо волновых функций
приближения Хартри можно использовать функции так называе-
называемого водородоподобного приближения, в котором самосогласован-
самосогласованное взаимодействие между электронами заменяется специально
подобранной экранировкой ядра. Эти волновые функции являются
собственными функциями одноэлектронной задачи в поле ядра
с зарядом Z* = Z— 5/16 [291. При этом
Хо (г) - -L (Z*/ao)V* ехр (- Z *г/а0) е0 = - ^- еУа0.
Что же касается возбужденных состояний, то для них
30, (г) = (Z */оо)V- Д, (Z *r/a0), е„ ~ (Z *) V7a0,
где /„ — некоторая известная функция. Более точные выражения
нам не понадобятся.
Делая замену г -> r/Z*, легко убедиться, что матричный эле-
элемент (г, у \ег1г\т, п) пропорционален величине Z*, а энергети-
энергетический знаменатель — величине (Z*J. Поэтому величины Е — Ео,
Екул и ?сам не зависят от Z*, а следовательно, и от Z. Таким обра-
образом, корреляционная поправка к энергии одинакова для всех
членов изоэлектронного ряда. Этот факт был установлен полу-
полуэмпирическим путем [84].
Далее, из независимости ?кул от Z* следует, что эта величина
равна поправке на кулоновское взаимодействие двух электронов,'
находящихся только в поле ядра, т. е. имеющих волновую функцию
нулевого приближения	(Z/aoK/* ехр (	-) . Эта поправка
у и	\ ао I
была вычислена Хилераасом [85] и оказалась равной
?кул = -0,1574е2/а0.	A7.6)
17. 4. Прежде чем рассчитывать величину ?сам, приведем ряд
важных соотношений.
Предположим, что нас интересует поправка второго порядка
к энергии и первого порядка к волновой функции в задаче теории
возмущений, где возмущающая функция V (г) имеет радиальный
характер:
[- А/2М + Vo (r) ±V(r)~E]%\r) = 0.
Вводя % [г) = [1 + к (г)] Хо @. гДе Хо — решение невозмущен-
невозмущенного уравнения с энергией ?¦„ (к < 1), получим
х" + 2 (хо/Хо + 1/г) х' = 2 М [V (г) - ( V )},
где введен символ (...) s= j dr (...) Хо (/")• В частности,
из условий нормировки (х) = 0.
160

Полученное уравнение легко решается и дает
и (г) = /ф (Б) ?>'1 (Б) di - J dr?> (r)} Ф (Б) ?>-' (Б) 4,
О	0	0
E-Ea = —L\dr^{r)Dr^r),	A77)
о
где
и радиальная плотность D (г) = 4яг2х0 (О2-
Таким образом, если возмущающая функция имеет радиаль-
радиальный характер *, то волновая функция и энергия находятся с по-
помощью несложных квадратур [83, 86].
Применим полученные соотношения к нахождению ?сам.
Возмущением при этом будет служить величина
Z*r
где ? =	. Функция Ф оказывается равной
-^f- ехр (— 2Q [10?2 - 6? - 3 + ехр (— 2?) (8?2 + 12? - f 3)]
И
26 + 243 In (-1.)
?са„ =	1728 V У е2/а0 = - 0,0555е2/а0. A7.8)
17. 5. Используя выражения A7. 3), A7. 6) и A7. 8), легко
получить следующую оценку корреляционной энергии двух-
электронного атома:
Е — ?0 = —0,046 еУа0.	A7. 9)
Эта величина, не зависящая otZ, находится в удовлетворительном
согласии с результатами сопоставления расчетных (в приближе-
приближении Хартри) и опытных данных. Соответствующая разница ме-
меняется от —0,042 до —0,054 еУа0 при изменении Z от 2 до 6 [87].
Остающееся расхождение объясняется частично неточностью во-
дородоподобного приближения, частично ролью диаграмм высшего
порядка.
Заслуживает специального обсуждения примечательный факт
малости корреляционной поправки. Кинетическая энергия элек-
электронов Т (а также энергия в поле ядра U) в двухэлектронном
атоме в среднем порядка Z2, самосогласованная энергия взаимо-
ействия —Z, корреляционная, как это установлено выше, вообще
* Фактически приведенные результаты применимы к основному состоянию
системы, поскольку мы предположили, что j^ = %„ и что %0 не зависит от углов.
161

не зависит от Z. Поэтому для атомов с большим Z указанный факт
является вполне естественным и объясняется просто сжатостью
системы. Гораздо более удивительно то обстоятельство, что ма-
малость корреляционной энергии имеет место и для гелия (Z = 2).
В этом случае величина Т + U составляет —4 е2/а0, самосогла-
самосогласованная часть энергии около -\-1 еУа0 (положительный знак
этой величины связан с отталкиванием электронов), в то время
как корреляционная энергия равна —0,046 еУа0. Таким образом,
при отсутствии каких-либо видимых малых параметров корреля-
корреляционная и самосогласованная части энергии различаются почти
на два порядка.
17. 6. Особенностью рассмотренного примера является то, что
под действием сильного внешнего поля ядра система электронов
оказалась сильно сжатой до таких размеров, что не только рас-
расстояние между частицами, но и общий размер системы оказались
меньше радиуса дебаевского экранирования. Именно этот факт
по существу и привел к возможности ограничиться рассмотре-
рассмотрением лишь диаграммы низшего порядка.
Другим примером такого рода является многоэлектронный
атом (N ^> 1), сжатый до соответствующих размеров внешними
силами, или ион с iV « Z, сжатый кулоновским полем ядра.
В первом случае, когда N = Z > 1, условие A6. 26) налагает
следующие ограничения на радиус атома г — dZ1^:
r<ao/Z'/.,	A7.10)
на плотность —
Q»-Za/4	A7.11).
Соответствующие давления отвечают, очевидно, областям II и III-
(см. § 6). Корреляционная энергия такого атома имеет величину
порядка
Е — Ео ~ Z In Z еУа0,	A7.12)
не зависящую от плотности системы.
Однако в этом случае нельзя использовать для расчета корре-
корреляционного вклада в давление модель ячеек, так как ввиду Ro ^> r
(г — радиус ячейки) в модели окажутся неучтенными корреля-
корреляционные связи электронов данной ячейки с соседними. Поэтому
сжатый изолированный акт в областях II, III отнюдь не имитирует
ежатого реального вещества.
Другой пример отвечает сжатому иону. Условие A6. 26) дает
Z — yV»yVV3.	A7.13)
Здесь принято во внимание то, что размер иона г порядка а° ...
(Z N)
(Z — jV — эффективный заряд ядра на периферии иона). Корре-
Корреляционная энергия иона оказывается величиной порядка
Е — E0~NlnN-^-.	A7.14)
Она не зависит от заряда ядра Z.
162	.

§ 18. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ АТОМНОГО ЯДРА
18. 1. В § 7, где ядерное вещество рассматривалось в прибли-
приближении Хартри — Фока, отмечалось, что в рамках этого прибли-
приближения нельзя получить устойчивого состояния ядра в области
реальных значений плотности. Это связано по существу с недоста-
недостаточно полным учетом сил отталкивания между нуклонами: факти-
фактически нуклоны, взаимодействующие как твердые шары, не могут
сблизиться до расстояний, меньших диаметра этих шаров. Оказы-
Оказывается, что достаточно полный учет этого эффекта можно произ-
произвести в рамках теории возмущений, ограничиваясь малым числом
соответствующих членов разложения.
Как уже указывалось в § 7, ядерное вещество с достаточной
точностью можно описывать следующей моделью: нуклоны, имею-
имеющие измененный закон дисперсии за счет дальних сил притяжения,
учтенных в приближении Хартри — Фока, связаны только силами
отталкивания типа «твердой сердцевины». Обоснование этой мо-
модели с точки зрения потенциала взаимодействия A. 11) будет дано
в следующей главе.
Гамильтониан системы, отвечающий рассматриваемой модели,
можно записать в виде
Н = [ <М>+ (q)(T
, .	A8.1)
+ -у ] dqdq'V (q) V W) V<0* (</') 4> (q),
где под T -j- W нужно понимать выражение G. 18) с заменой
->	->
импульса р на оператор р и за вычетом последнего члена, входя-
входящего в соотношение G. 20). Символически можно написать
t+W =\&?
где Мо дается соотношением G. 19); у = ар0. Второй член пра-
правой части выражения A8. 2) играет наряду с С роль потенциала
внешнего поля; это общая потенциальная яма притяжения, в ко-
которой находятся нуклоны.
Потенциал V(C) можно заменить псевдопотенциалом, который,
согласно выражениям A. 17) — A. 19) и G. 16), представляется
в виде суммы двух слагаемых. Первое, имеющее порядок с, приоб-
приобретает вид
A8.3)
Второе слагается из отвечающей р-рассеянию величины
6КЭффA)=	^?- I 2 VaS (г) Va + * (г) А	A8. 4)
163

и члена порядка с , ведущего свое происхождение от разложе-
разложения G. 16) в ряд по с:
бКзфф(о) =	5г-б(;)д.	A8.5)
В последних двух выражениях мы заменили МЭфф на М ввиду
Т0Г0' ЧТ°
Переходя в рассматриваемой задаче к приближению Хартри —
Фока, мы вернемся к результатам § 7. При этом псевдопотен-
псевдопотенциал A8. 3) из-за своего б-образного характера не изменяет
->
закона дисперсии нуклонов: его фурье-образ не зависит от р
Поэтому величина , не меняется при переходе к приближе-
 о (Р)
нию Хартри — Фока для потенциала V(C)\ изменение претерпе-
претерпевает лишь постоянное слагаемое оператора A8. 2).
18. 2. В § 7 мы не учитывали вклада псевдопотенциалов A8. 4)
и A8. 5) (их следует учитывать лишь в приближении Хартри —
Фока). Эти величины зависят от оператора импульса, поэтому
нужно использовать общие соотношения D. 30) и D. 31). Остано-
Остановимся подробнее на вычислении вклада потенциала A8. 4) в вели-
величину W и энергию системы.
Подставляя в соотношения D. 30) и D. 31) выражения
fix, p'+p)^Q\pUx)~(p'-+p
(дифференцирование функции / в квазиклассическом приближе-
приближении излишне), находим после несложного интегрирования
A8.6)
В рассматриваемом примере не только А, но и В зависят от опера-
оператора импульса.
Соответствующий вклад в энергию нетрудно найти по общей,
формуле D. 36)
откуда
S^ = (Зя3Л1)
•164

Представляя объем системы в виде A/2q = 	^-, где А — мас-
совое число, имеем
Аналогично вычисляется и вклад потенциала A8. 5).
18. 3. Подставим псев до потенциал A8. 3) в гамильтониан взаи-
взаимодействия A8. 1). Соответствующая величина параметра ро1
(см. раздел 16. 8) равна рос<С 1. Поэтому можно ограничиться
учетом диаграмм рис. 26 низшего порядка.
Рассмотрим диаграммы второго порядка. Соответствующее вы-
выражение для энергии дается соотношением A5. 22). Однако тре-
требуется некоторая осторожность при подстановке в эту формулу
фурье-образа потенциала v (k).
Покажем, что в выражении A5. 22) можно положить v (k) —
= пс (как было бы при отсутствии оператора 1 + г -ч- - $г ),
™эфф \	or	j
одновременно заменяя комбинацию [\ —п+ А{\—п А
на (I —п^ ЛA —п^. А — 1. Сходную замену следует де-
V	Pi + A/l	Рг-к)
лать и в высших порядках теории возмущений.
Действительно, указанный оператор при действии на регуляр-
регулярную в точке г = 0 функцию сводится к единице (имеется в виду
дальнейшее умножение на б-функцию), а при действии на выраже-
выражение Р] —рs'"p,r обращает его в нуль. В интеграл A5. 18)
ргАи(р)
входит произведение двух функций v. Подстановка в одну из них
псевдопотенциала G. 16) требует учета оператора 1 + г-^—\- $г;
что же касается другой, то там псевдопотенциал действует уже
на регулярную функцию — на правую обкладку матричного эле-
элемента. Поэтому мы можем сразу положить в одном из сомножи-
сомножителей v = 4яс/Мэфф. Это даст
п п П—
Pi Рг\
X exp | — ikr).
Ввиду того что состояния pi,2 лежат ниже, а рг + k и р2— k
->
выше сферы Ферми, интеграл по k можно фактически понимать
165

в смысле главного значения. Поэтому в Е — Ео фигурирует
интеграл
11
Pt-k
на который действует псевдопотенциал. Этот интеграл при замене
A — л) A — л) на 1 дает нулевой вклад. Поэтому, делая замену
A — я) A — я) -> A — я) A — л) — 1, мы не меняем резуль-
результата. Однако интеграл по k становится регулярной функцией г
в точке г = 0, поскольку в области больших k подынтегральное
выражение теперь равно нулю. Это позволяет отбросить опера-
оператор 1 + г -р + $г и прийти к окончательному выражению
С" 	 /7 .	_ 	 Q /^ттЛ** / 	 1 I /7"п /7^п /~}^b "V
I,, 	 •*-* 0 —'	*-^ l^-Jbl I ~jrz	I I кл, fj-t и, /-'о " **^
\ *' * эфф / •
х		/1+* _ ^	— .	A8.8)
Вычисление этого интеграла представляет собой нелегкую
задачу, которую следует упростить. Фактически интегрирование
здесь совершается в сравнительно узкой области около границы
Ферми. Поэтому величина интеграла изменится лишь незначи-
незначительно, если заменить е-> на р2/2М0, где Мо отнесено к границе
р
Ферми. Используя результаты § 7, получим (у = ара):
М_ _ . __3_ У0Ма2 ( . sin?y __ 2 sin2 у \
Ма ~~ ' 2я у \ ' 2у	уг ) '
Подставляя это выражение в соотношение A8. 8), получим
г, г,	3 с2 / М
где
Вычисление / подробно описано в работе [37]. Окончательное
выражение для корреляционной поправки низшего порядка
имеет вид
6A1-21112)^ / м \ЧМЛА	. ]0
18. 4. Корреляционную поправку третьего порядка по пара-
параметру ср0 вычислять не будем. В литературе имеются данные [31 ],
касающиеся суммарной величины этой поправки и вклада псевдо-
166

потенциала A8. 5) в случае квадратичного закона дисперсии.
Соответствующая величина имеет вид
А.	A8.11)
Учет неквадратичности закона дисперсии сказался бы на появле-
появлении дополнительного фактора (М/МэффK (Мо/МJ, связанного
с наличием в выражении для поправки третьего порядка двух
энергетических знаменателей и трех псевдопотенциалов. Этот фак-
фактор, однако, близок к единице, и мы можем оставить выраже-
выражение A8. 11).
Таким образом, полная энергия ядерной материи с учетом кор-
корреляций за счет сил отталкивания может быть записана в виде
\ /иэфф) м
¦ 0,13с» рьп	с3р1
А +
-F I
где Ео дается выражением G. 22).
Величина Е в отличие от Ео уже имеет минимум при разумных
значениях р0. Это связано с быстрым ростом корреляционных
членов при р0 ~> оо. Приведем окончательный результат для
равновесных значений р0 и Е [38].
р0 «=> 1,4 ферма'1,
E,A~-UMss. !
Отдельные слагаемые энергии имеют следующую величину: кине-
кинетическая энергия — 25 Мэв, энергия притяжения — 68 Мэв, энер-
энергия отталкивания — 32 Мэв. При этом последняя величина сла-
слагается из четырех чисел, равных соответственно 21; б; 2,5 и 2,5 Мэв.
Первые три отвечают самосогласованной части и двум первым
корреляционным поправкам, описывающим s-рассеяние. Видно,
что соответствующий ряд сходится достаточно быстро. Последний
член описывает вклад р-рассеяния.
Сравнение данных A8. 13) с эмпирическими данными свиде-
свидетельствует об удовлетворительном согласии. Величина р0 оказы-
оказывается правильной, а Е/А близко к коэффициенту С\ в формуле
Вейцзеккера (см. § 7), равному —15 Мэв.
18. 5. Для получения величины остальных коэффициентов
формулы Вейцзеккера необходимо в дополнение к выражениям § 7
принять во внимание корреляционные члены, вычисленные с уче-
учетом неравенства числа протонов и нейтронов, а также с учетом
конечности ядра. Неравенство числа протонов и нейтронов учиты-
учитывается введением в соответствующие формулы разных граничных
импульсов: ро<Р) ф ро(п)- Неоднородность в распределении частиц
можно принять во внимание, относя все величины в поверхностном
слое к значению р0, вдвое меньшему, чем в сердцевине ядра.
167

Подробности соответствующих расчетов приведены в ра-
работе [72]. Оказывается, что корреляционные эффекты наиболее
сильно сказываются (помимо объемной части энергии) на поверх-
поверхностной части энергии, заметно уменьшая ее величину. Остальные
величины меняются незначительно (табл. 2).
Таблица 2
Сравнение расчетных и эмпирических характеристик атомного ядра
Характеристика атомного ядра
Радиус ядра R/A'/s
Ширина поверхностного слоя d
Объемная энергия Cj
Кулоновская энергия С2
Энергия симметрии С3
Поверхностная энергия С4
Расчетная
величина
1,1 ферми
3 фермы
— 11 Мэв
0,7 Мэв
33 Мэв
23 Мэв
Эмпирическая
величина
1,1 фермы
2,4 ферми
—15 Мэв
0,7 Мэв
24 Мэв
18 Мэв
Таким образом, налицо более или менее хорошее согласие
с опытом *. Этот факт свидетельствует о том, что трехчастичные
силы в атомном ядре в общем играют, по-видимому, меньшую
роль, чем можно было бы заключить из общих соображений
(см. § 1).
* По поводу расхождения в величине С8 нужно заметить следующее. В опи-
описанном расчете полностью пренебрегалось интерференцией поверхностных эффек-
эффектов и эффектов симметрии. В то же время в современном варианте полуэмпири-
полуэмпирической формулы Вейцзеккера [74], где эта интерференция принята во внимание,
получаются значения С3 ей 30 Мэв, С4 я» 21 Мэв, находящиеся в близком согласии
с полученными в расчете. Поэтому окончательные выводы можно будет сделать
лишь после проведения расчета указанной интерференции.

ГЛАВА IV
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 19. ОДНОЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
19. 1. В настоящей главе проведено рассмотрение задачи мно-
многих частиц, в основе которого не лежит разложение в ряд теории
возмущений.
Необходимость выхода за рамки теории возмущений диктуется
прежде всего желанием описать системы, в которых взаимодей-
взаимодействие между частицами не может считаться слабым. Решение
соответствующих «точных» полевых уравнений столь же трудно,
как и решение точного уравнения Шредингера. Наибольший
интерес, однако, представляет подробно рассмотренная в § 16
ситуация, когда основную роль играет некоторая выделенная
бесконечная подсовокупность членов ряда теории возмущений.
Полевые методы позволяют суммировать члены этой совокупности
простым и компактным способом.
Важнейшая задача теории многих частиц, связанная с нахожде-
нахождением спектра возбужденных состояний системы, также требует
выхода за рамки теории возмущений. Эта задача не может быть
даже поставлена в полном объеме, если ограничиться рассмотре-
рассмотрением ряда теории возмущений. При разложении соответствующих
величин в ряд теории возмущений дополнительные ветви спектра
возбуждений, обусловленные взаимодействием между частицами,
полностью исчезают.
Важнейшим элементом проводимого ниже рассмотрения яв-
являются так называемые функции Грина; простейшая из них пред-
представляет собой непосредственное обобщение свертки операторов.
В функциях Грина сосредоточена многосторонняя физическая
информация. Располагая выражениями для одночастичной и пар-
парной функций Грина, можно ответить практически на все вопросы,
связанные с описанием системы частиц.
Рассмотренные в § 15 аспекты описания, относящиеся к рас-
распределению одночастичных характеристик системы (матрица плот-
плотности) и энергии системы, могут быть получены из собственно
энергетической части 5-матрицы 2 . Эта величина непосредственно
связана с одночастичной функцией Грина.
169

Имея в своем распоряжении двухчастичную функцию Грина,
можно получить и более детальные двухчастичные характеристики
системы, к которой относятся корреляционные характеристики
системы, ее кинетические коэффициенты, описывающие реакцию
системы на внешние возмущения, и многое другое.
Наконец, функции Грина дают возможность подойти к реше-
решению задачи о спектре возбуждений системы. Характеристики
элементарных возбуждений (квазичастиц) можно получать изфунк-
г 1 г 1
Рис. 30
ций Грина путем сравнительно несложных математических мани-
манипуляций.
19. 2. В предыдущей главе многократно использовалась
свертка операторов
if 0)V B) = ( ^о I Т М» A) Ц>+ B)] | Ч»о) = *?„ A, 2),
представляющая собой важную составную часть диаграммной
техники. Свертка операторов описывает распространение частицы,
не коррелированной с другими частицами системы.
Для выхода за рамки теории возмущений необходимо обобщить
понятие свертки операторов, рассматривая распространение ча-
1т
кО
<ZfC
•-*	1-4	1— -Л	1—	• • •
Рис. 31
стицы с учетом всевозможных ее корреляционных взаимодействий
с остальными частицами системы. Эти корреляции сводятся
к тому, что частица всеми возможными способами возбуждает
систему, т. е. приводит к переходу того или иного числа частиц
через границу Ферми, а затем это возбуждение снимается.
На графическом языке рассматриваемая функция распростра-
распространения должна объединять все диаграммы, соединяющие две за-
заданные точки. Изображая обобщенную функцию распростране-
распространения жирной линией, можно написать диаграммное равенство
(рис. 30), означающее, что распространение частицы с учетом
взаимодействия сводится к распространению свободной частицы
плюс распространение частицы со всевозможными собственно
энергетическими вставками. На рис. 31 изображены некоторые
170

диаграммы, из которых слагается обобщенная функция распро-
распространения.
Простую функцию распространения мы обозначали через
iG0 A, 2), где Go — свободная функция Грина. Аналогично обоб-
обобщенную функцию распространения мы обозначим через Ю A, 2),
где G — точная одночастичная функция Грина. Используя пра-
правила Фейнмана и опуская множитель /, диаграммное равенство
рис. 30 можно записать в виде
G(l,2) = G0(l,2)+Jd3d4G0(l,3JC,4)G0D,2). A9.1)
Покажем, что функцию Грина G можно записать в виде сред-
среднего значения
в а 2)- i <4
где Т — произведение операторов, включающих S-матрицу, сле-
следует понимать в смысле
5 (со, tx) г|5в A) 5 (tlt t2) г|5+ B) 5 (/„ -со)
при tx > t2 и аналогично в обратном случае.
Для доказательства достаточно подставить в выражение A9. 2)
разложение S-матрицы A4. 1). Отличный от нуля вклад дадут
лишь первые два члена этого разложения. Рассмотрение, пол-
полностью аналогичное проведенному в разделе 15. 2, немедленно
приводит нас к равенству A9. 1), а соотношение A5. 5) позволяет
выразить функцию Грина через операторы в представлении Гей-
зенберга:
A9.3)
Это соотношение отличается от выражения A9. 2) более про-
простой структурой, и потому удобно для исследований общего
характера. Однако в него входят гейзенберговские операторы
и волновые функции, требующие Для своего нахождения решения
задачи о взаимодействии.
19. 3. Соотношение A9. 1), связывающее функцию Грина с соб-
собственно энергетической частью 2 , может быть заменено более
удобным соотношением, называемым уравнением Дайсона.
Предварительно проведем анализ собственно энергетической
части 2 с точки зрения тех диаграмм, из которых она состоит.
Как видно из рис. 21, наряду с так называемыми компактными
диаграммами, которые нельзя рассечь линией, пересекающей
только одну линию диаграммы (см. рис. 21, б, в, г), в S входят
также некомпактные диаграммы, не обладающие этим свойством,
(см. рис. 21, д). Оказывается возможным свести S к сумме лишь
компактных диаграмм, которая обозначается через М A, 2) и но-
носит название массового оператора. Его графическое изображение
приведено на рис. 32.
171

Для нахождения связи между величинами 2 и М достаточно
провести следующее несложное рассуждение. Сумма всех диа-
диаграмм (компактных и некомпактных), образующих 2 , может
быть получена, если взять сначала сумму компактных диаграмм,
затем сумму некомпактных, образованных из пары компактных,
затем сумму некомпактных — из трех компактных и т. п. (рис. 33).
При использовании правил Фейнмана для получения соответ-
соответствующего аналитического соотношения нужно учитывать, что
<Z>	«О
! !	* !
1,-1 I I -r-
. I ¦ i— I I I I
I	I	I	I	i 1 &	• • •
Рис. 32
в отличие от вакуумных переходов (см. § 14) здесь не появляется
никаких дополнительных численных множителей. Это связано
с наличием выделенного направления распространения, что делает
невозможной дополнительную замену переменных, сохраняющую
вид рассматриваемого элемента. Поэтому мы получаем простое
соотношение
2 A, 2) = М A, 2) f Jd3d4M A, 3) GoC, 4) М D, 2) |-
+ \d3d4d5d6M(\,3)G0C, 4) М D, 5)GOE, 6)Л1F, 2)-' ... A9.4)
И = El + ЕЭ-ЕЗ +	,.,
Pik. 33
Этот бесконечный ряд можно считать решением следующего ин-
интегрального уравнения:
20, 2) = Л* A, 2) + Jd3d4Af(l,3)G0C,4JD,2). A9.5)
В самом деле, последовательно итерируя это уравнение, т. е. под-
подставляя в правую часть вместо 2 сначала М, затем получившееся
исправленное выражение для 2. и т. д., мы вернемся к выраже-
выражению A9. 4). Это интегральное уравнение изображено графически
на рис. 34.
Рассмотрим далее комбинацию
= jcCM (I, 3) [G0<3, 2) + Jd4d5G0 C, 4) 2 D, 5) Go E, 2)]. A9.6)
Согласно выражению A9. 1) в правую часть можно ввести функцию
Грина G, что даст (рис. 35)
Jd3 2(l,3) G0C,2) = Jd3Af(l,3)GC, 2).	A9.6')
172

Благодаря этой связи можно перейти от выражения A9. 1) к ин-
интегральному уравнению Дайсона (рис. 36):
G(l,2)=G0(l,2) +Jd3d4G0(l,3)AiC,4)GD, 2). A9.7)
Если подействовать на уравнение Дайсона слева оператором
i -я	Т —IV, то с учетом соотношения A0. 6) получим урав-
уравнение
J	7— W)-G(l,2) — J d3M(\, 3)GC, 2) = в A—2). A9.8)
Рис. 34	Рис. 35
Таким образом, и точная функция Грина является функцией
Грина некоторого уравнения, которое описывает распространение
частицы. В приближении Хартри — Фока это уравнение совпа-
совпадало просто с индивидуальным уравнением Шредингера частицы.
В рассматриваемом же случае сюда добавляется еще массовый
оператор, который описывает изменение характера движения
частицы под действием корреляционного взаимодействия.
^—	• +
2 1	11
Рис. 36
19. 4. Перейдем теперь к энергетическому представлению, за-
записывая функцию Грина в виде
-te(/1-g]x;(<?2)Xv('?i)Gflv(e). A9.9)
Вводя аналогичное представление и для массового оператора,
можно переписать уравнение A9. 8) в виде
(B-Bv)GVLV(B)-^Mlu,(B)Gm(B)=--6ViV.	A9.10)
о
Еще проще выглядят полученные соотношения для пространствен-
пространственно-однородной системы. Полагая
G A, 2) = ld*pG(p, e)exp [ip (x, — xt) - te (t, - tj\ A9. 11)
и используя аналогичное представление для М, вместо выраже-
выражения A9. 7) получим
G (р, г) = Go (р, г) [l + М (р, е) G (р, е)]
173

или, применяя выражение A0. 8) для Go \р, г),
G(p, е) = [е — е^ — м(р, в)]"' . A9.12)
Правила обхода соответствующих особенностей G \р, е) будут
рассмотрены в § 23.
Учет взаимодействия между частицами в приближении
Хартри — Фока привел к изменению их закона дисперсии (вели-
(величина р2/2М заменилась на е->). Учет корреляционного взаимо-
р
действия приводит, как показывает выражение A9. 12), к даль-
дальнейшим изменениям в этом направлении. Фактически последние
изменения носят более глубокий характер.
19. 5. Через функцию Грина можно выразить рассмотренные
в § 15 физические величины — матрицу плотности и энергию
основного состояния системы.
Начнем с одночастичной матрицы плотности. Как следует
из выражения A5. 3), эта величина непосредственно связана
с функцией Грина:
#(<7i><72) = -J lim G(l,2).	A9.13)
Учитывая, что G зависит только от комбинации tx — t2, а не от
времен t\ и t2 порознь, и разлагая G в интеграл Фурье по этой
разности
\^-U(t1-t2)\G{ql,q2, г),
имеем аналогично результатам § 15
¦?<? (ft, <7„е)	О9-14)
с
(контур С изображен на рис. 24).
Теперь нетрудно найти выражение для точной функции рас-
-> ->
пределения / (х, р), разлагая G {qx, q2, e) в интеграл Фурье
-> ->
по разности xi —¦ х2
G (<7i. <?2. е) = l&pG [хг ,р, е) exp [ip (xt — x2)}.
Отсюда
f{x, p) = -tJ-§G(x, p, г).	A9.15)'
с
-у -»
Для пространственно-однородной системы G (х, р, е) не зави-
->	-* ->
сит от л: и является просто фурье-образом G (xi — х2, е) по раз-
-> -*¦
ности Xi — х2. При этом величина
~G{p,s)	A9.16)
с
дает распределение частиц по импульсам.
174

Перейдем теперь к выражению для энергии системы. Из резуль-
результатов, полученных в разделе 15. 4, следует
E = — — ^dq1 lim [i ~+ T\G (\, 2). A9.17)
Для пространственно-однородной системы
(p, e).	A9.18)
Используя уравнение A9. 8), можно также написать
-r)G(l. 2) +
-о
l, 3)GC, 2)J.	A9.19)
Для пространственно-однородной системы имеем
Е = -¦!%¦ SpOTf^p[e- + P2/2M + M(p, e)]G{p, г). A9.20)
с
Это выражение отличается от приведенного, например, в работе
[881 лишь по форме: фигурирующий здесь массовый оператор
не включает в себя самосогласованной части, равной е-> —р2/2М.
р
Другая форма выражения для энергии может быть получена,
если ввести параметр к (см. § 15). Приведем выражение для кор-
корреляционной энергии:
Р р _ i r dkcdqi lira
с	с0 — "<Г ~Г~	2->1	А
* J A J t,-t^ +0
x{Jd3Af(l, 3)GC, 2)-Ш,Л(?A,2)-(?0A, 2)]). A9.21)
Для пространственно-однородной системы
1
X 1— X(e-> — p2/2M)G0(p, e)J M (p, e) G (p, e). A9.22)
§ 20, ПАРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
20. 1. Наряду с одночастичной функцией Грина, описываю-
описывающей распространение одной частицы с учетом ее корреляционных
свя*зей с системой, можно ввести понятие о функциях Грина вые-
175

шего порядка. Важнейшей из них является парная (или двух-
двухчастичная) функция Грина, определяемая соотношением
G(l, 2, Г, 2') =
,	(Уо|г[ц.вA)Ц.вB)Ц,+ B'Н,+ A'M]|Уо)
Переходя к представлению Гейзенберга, можно написать
0A,2, V,2') = (-i)*(V\t[*r(\)*
Парная функция Грина описывает распространение двух
частиц (двух дырок или частицы и дырки) с учетом их корреля-
корреляционного взаимодействия друг с другом и с остальными части-
частицами системы. Функция Грина, записанная в форме B0. 2), опи-
г' г г г	Гг
з — ~
=
Рис.
Т
37
6
1
fir	r	f 1	г'
а
сывает распространение двух частиц из точек Г, 2' в точки 1, 2.
Если переписать выражение B0. 2) в форме
, 2, Г, 2') = (^|7-[*гA)*+B'I|>гB)*+A')]|П B0.2')
то видно, что одновременно описывается распространение частицы
и дырки из точек Г, 2 в точки 1,2'. Аналогичным образом можно
убедиться в том, что парная функция Грина содержит также
распространение двух дырок (из 1, 2 в Г, 2'). Графический образ
парной функции Грина представлен на рис. 37, а.
Парная функция Грина обладает следующими свойствами
симметрии:
G A, 2, Г, 2') = —G B, 1, Г, 2') = —G A, 2, 2', 1').
В приближении Хартри—Фока (S = 1) парная функция
Грина распадается на антисимметризованное произведение одно-
частичных функций. Применяя к выражению B0. 1) теорему
Вика, находим
Gffl A,2, Г, 2') = Gffl(l, Г) Go B, 2')-Gffl(l, 2')GfflB, Г). B0.3)
В этом случае мы имеем дело с некоррелированным распростра-
распространением двух частиц, включающим лишь обменные корреляции
(см. рис. 37, б). Двумя более тонкими линиями с крестом обозна-
обозначена функция Go A, 2, Г, 2').
176

20. 2. Подставим в выражение B0. 1) разложение S-матрицы
A4. 1). Первый член этого разложения дает просто парную функ-
функцию в приближении Хартри—Фока Go A, 2, Г, 2'). Второй член
разложения после применения теорем Вика приводит к выраже-
выражению
Jd3d4SC,4){Gffl(l,3)GfflBf4,2M') + CfflBf3)G0(l,4,l',2')}. B0.4)
Наконец, из третьего члена разложения, содержащего вершинную
часть, находим
Jd3 d4 d5 _6GOA, 2, 3, 4) Г C, 4, 5, 6)GOE, 6, Г, 2'). B0.5)
7!	2	2'	|
2' 2
X!
г i
—
i 2
Г	1	Г	- 7
Рис. 38
Остальные члены разложения A4. 1) не вносят вклада в рас-
рассматриваемое выражение. Графически полученное равенство пред-
представлено на рис. 38. Первый его член описывает распространение
некоррелированных частиц, второй и третий — корреляцию ча-
частиц с системой (но не друг с другом) и последний — корреляцию
частиц друг с другом (а также,
как мы увидим, и с системой). «^ ^»
Дальнейшее рассмотрение бу- |	"|	______
дет связано с выявлением неко- |	I	\ ^s\
торых особенностей структуры 21—	Ц I Ъ^ I »
вершинной части, которая пред-
представляет собой сумму всевозмож-
ных диаграмм, имеющих четыре }	]	_Г S\
свободных конца. Среди них | 	 |	Tl_____jT~
обязательно найдутся диаграммы
несвязного характера, которые
можно рассечь линией, не пере-	а ¦	S
секающей ни одной из линий	рис 39
Диаграммы (рис. 39, а). Сумма не-
несвязных диаграмм может быть выражена через собственно-энерге-
собственно-энергетическую часть S (см. рис. 39, б) *:
Гнесв A, 2, 3, 4) = -i- S 0. 3) 2 B, 4).	B0. 6)
* Выражение для Гнесв приведено в неантисимметризованной форме.
12 Д. А. Киржииц	177

Коэффициент 1/2 связан с возможностью замены переменных
обеих несвязных частей.
Подставляя Гнесв в выражение B0. 5) и складывая получен-
полученное выражение с соотношениями B0. 4) и B0. 3), нетрудно убе-
убедиться с помощью уравнения A9. 1) в том,
что мы получаем выражение B0. 3), в ко-
котором нужно заменить свободные одно-
частичные функции Грина Go точными G,
т. е. должна произойти замена свободной
парной функции Грина величиной (рис. 40, а)
G A, 2, Г, 2') = G A, 1') G B, 2') - G A,2') G B, 1'). B0. 7)
Таким образом, полученное уравнение для парной функции
Грина можно записать в виде
G(l, 2, 1', 2') = 5A, 2, 1', 2') +
+ $d3d4d5d6G0(l, 2, 3, 4)ГСВC, 4, 5, 6)G0E, 6, V, 2'). B0.8)
Рис. 40
Рис. 41
Здесь первые два члена описывают независимое друг от друга
(но коррелированное с системой) движение пары частиц; послед-
последний член учитывает также их взаимные корреляционные связи
(Гсв—связная вершинная часть, см. рис. 40, б). Графически
уравнение B0. 8) изображено на рис. 41.
20. 3. Уравнение B0. 8) в известном смысле аналогично урав-
уравнению A9. 1) для одночастичной функции Грина. Оба уравнения
о	/. связывают точную функцию Грина
со свободной, причем свободную
функцию в уравнении B0. 8) оказы-
оказывается возможным заменить функ-
jk I 13 цией G, если провести дальнейшее
а	б	преобразование вершинной части.
Рис 42	С этой целью обратим внимайие
на то, что связная вершинная
часть Гсв A, 2, 3, 4)' может состоять из диаграмм двух типов.
К первому типу относятся диаграммы, в которых каждая из выход-
выходных точек 1, 2, 3, 4 соединена с какой-либо другой выходной
точкой (рис. 42, а).
К вершинным частям диаграмм второго типа относятся диа-
диаграммы, в которых хотя бы одна из выходных точек не соединена
с какой-либо из остальных выходных точек (см. рис. 42, б). Обоз-
Обозначая сумму всех диаграмм первого типа через А (рис. 43, а),
можно написать диаграммное равенство, связывающее Гсв и А
178	... ¦

(см. рис. 43, б). Здесь точки отвечают аналогичным графикам,
содержащим всевозможные перестановки вершин. Соответствую-
Соответствующее аналитическое равенство, легко получаемое из правил Фейн-
мана, мы не приводим ввиду его громоздкости.
01
0-
0.
.0
Рис. 43
Можно без труда показать, что сочетание входящих в уравне-
уравнение B0. 8) свободных парных функций Грина с собственно энерге-
энергетическими частями (см. рис. 43, б) приводит к замене в этом урав-
уравнении функций типа Go A, 2, 3, 4) на G A, 2, 3, 4). Для этого
в последнее выражение надо подставить соотношение A9. 1)
и построить соответствующие графики. Таким образом, можно
написать (рис. 44, а)
G A, 2, Г, 2') = G A, 2, Г, 2')_ + !Jd3d4d5d6 G A, 2, 3,4) х
X А C,4, 5, 6) G E, 6, 1', 2').	B0.9)
X =
Рис. 44
Это выражение можно несколько упростить, если учесть следую-
следующее свойство симметрии всех вводимых функций вершинной
части (см. раздел 14. 5):
Г A,2, 3,4) = -ГB, 1,3, 4) = -ГA,2, 4,3). B0. 10)
Таким образом (см. рис. 44, б):
G A, 2, 1',2')= 5A,2, Г, 2') +
+ 2$d3d4d5d6G(l, 3) GB, 4)A C, 4, 5, 6)GE, 6, Г, 2').
B0. 11)
1.79

Аналогичную процедуру можно проделать и с правой функ-
функцией Грина, что дает (см. рис. 44, в)
G(l, 2, Г, 2') = G A, 2, 1', 2') + 4jd3d4d5d6 G(l, 3) X
X G B, 4) А C, 4, 5, 6) G E, 1') G F, 2').	B0. 12)
Среди диаграмм вершинной части А имеются так называемые
некомпактные диаграммы, которые можно рассечь линией, пере-
пересекающей лишь две сплошных линии диаграммы. В принципе
можно было бы путем замены ядра А в предыдущем уравнении
на компактное ядро привести уравнение к интегральному, являю-
являющемуся аналогом уравнения Дайсона для одночастичной функ-
функции Грина
G A, 2, Г, 2') =¦& A, 2, Г, 2') + Jd3d4d5d6 X
X К A, 2, Г, 2'; 3, 4, 5, 6) G C, 4, 5, 6),	B0. 13)
где ядро К может быть выражено через компактную часть А,
a G' через функцию Грина G A,2) и т. д. Однако установить эту
связь — нелегкая задача.
Уравнение B0. 12), связывающее парную функцию Грина
с вершинной частью А, играет важную роль в полуфеноменоло-
полуфеноменологической теории ферми-жидкости Ландау [89]. Сама величина А
оказывается тесно связанной с процессом рассеяния квазичастиц
друг на друге и при определенных условиях совпадает с соот-
соответствующей амплитудой рассеяния.
20. 4. Существуют соотношения, связывающие между собой
одночастичную и парную функции Грина. К выводу одного из них
мы переходим.
Подействуем оператором i -^	T4l на выражение для функ-
функции Грина A9. 3). Используя уравнение движения для опера-
оператора поля в представлении Гейзенберга C. 28), соотношение
(9. 12') и правила коммутации операторов при совпадающих
временах C. 27), получим.
»' ^ — 7*) G A, 2) = в A — 2) —
Y). B0.14)
Приведем среднее значение операторов к виду парной функции
Грина. Так как времена tx и t3 совпадают, соответствующие опе-
операторы под знаком Т-произведения менять нельзя. В 4 9 возмож-
возможность такого обмена мотивировалась тем, что упорядочение
по времени все равно расставит операторы в нужном порядке.
Ясно, что если эти операторы отнесены к совпадающим временам,
то сказанное теряет свою силу.
Для приведения четырехчастичного среднего значения к виду
парной функции Грина нам придется временно ввести у первых
180

трех операторов этого среднего значения неравные времена.
Тогда можно записать
(V | Т [*+ C) Цг C) % A) ф+ B)] | V) = Hm G C, 1, 4, 2). B0. 15)
При этом операторы действительно приобретают нужный порядок.
Таким образом, искомое уравнение можно записать в виде
(i~-T)G(l, 2) + iJd3V(l, 3) lim G C,1, 4, 2) ^6A-2).
B0. 16)
Если бы в левой части этого уравнения стоял не оператор
i —т — Т, a i -=г — Т — W, то деля на него обе части выраже-
выражения B0. 16), мы смогли бы выразить G A, 2) через Go и парную
функцию Грина. Привести уравнение B0. 16) к такому виду
можно, если учесть соотношение
W4l G(l,2) = Jd3V(l, 3)[R(q3,q3)G(\, 2)-
-R(qa,q1)G(qa,t1,Z)\,
вытекающее из определения оператора W (см. § 4). Вводя сюда
вместо матрицы плотности функцию Грина Go и вычитая полу-
полученное из выражения B0. 16), найдем
, 3)x
Xlim {GC, 1, 4, 2) — Go C, 4)GA, 2)+
4^-3
+ GOA, 4)GC, 2)} = 6 A-2).
В более компактном виде это уравнение можно записать следующим
образом:
С (Г, 2) —G0(l, 2) = —iJd3d4G0(l,3) VC, 4) х
Xlim {GD,3,5,2)-G0D,5)GC,2) + G0C,5)GD,2)}. B0.17)
54
Проверить правильность этого соотношения проще всего, дей-
действуя на обе его части оператором i-r-	Т— W и учитывая
уравнение A0. 6); при этом B0. 17) сводится к предыдущему
уравнению.
Соотношения иного типа, выражаемые так называемой теоре-
теоремой Уорда, будут рассмотрены в разделе 20. 8.
Аналогичным образом, действуя оператором i -т— — Т на пар-
парную функцию Грина, можно было бы найти связь между парной
и, трехчастичной функциями Грина и т. д. Такая совокупность
181

бесконечного числа уравнений, каждое из которых связывает
две соседних по порядку функции Грина, могла бы в принципе
служить для их нахождения. Ясно, однако, что решение этой
системы «зацепляющихся» уравнений требует ее упрощения.
В дальнейшем мы не будем этой системой пользоваться.
20. 5. Сопоставляя соотношения B0. 17) и A9. 7), можно выра-
выразить через парную функцию Грина, а затем и через вершинную
часть массовый оператор М. Это выражение будет использовано
для получения одночастичной функции Грина. Вычитая из урав-
уравнения A9. 7) соотношение B0. 17) и действуя слева на эту раз-
разность оператором I -^	Т — W, получим
jd4M(l, 4)GD, 2) = — »Jd4V(l, 4) limx
5->4
X{GD, 1, 5, 2)-Go D, 5)GA, 2) + G0(l, 5)GD, 2)}.
Подставляя в правую часть этого равенства выражение B0. 12),
приведем ее к виду
— i$dW(l, 4){[GD, 5) —G0D, 5)]GA, 2) —
— [G(l, 5) —G0(l, 5)]GD, 2) + 4Jd6d7d8d9G(i, 6) X
X G A,7) A F, 7, 8, 9)G(8,5)G(9, 2)}.
Меняя соответствующим образом обозначения, можно добиться
того, что это выражение будет содержать справа функцию
G D, 2). Выделим выражение для самого массового оператора:
МA, 2) = М,A, 2L-М2A, 2) —
— 4i[d3d4d5d6 lim V A, 3) G C, 4)G A, 5) A D, 5, 6, 2) G F, 7),
7->3
t,>ta>tt
B0. 18)
где
M, A, 2) = -/6 A-2) jd3V A, 3) lim [G C, 4)-G0 C, 4)],
J	4->-3
M2(l, 2) = tfd3l/(l, 3) lim [G(l, 4) —G0(l, 4)].
4->3
B0
На рис. 45 приведена диаграмма, отвечающая третьему члену
выражения B0. 18). Типичные диаграммы Мг и М2 изображены
на рис. 46, а и б соответственно. В рассматриваемых ниже кон-
конкретных задачах вклад Mi и М2 в массовый оператор имеет пре-
пренебрежимо малую величину.
20. 6. Помимо уже рассмотренной информации парная функ-
функция Грина содержит также специфические сведения о системе,
которые нельзя получить из одночастичной функции G.
182

Сюда относятся прежде всего корреляционные характеристики
системы, позволяющие отразить влияние двух частиц системы
друг на друга. Естественной мерой корреляционного воздействия
пары частиц может служить разность
К A, 2, 3, 4) = G A, 2, 3, 4) — 6A, 2, 3, 4). B0. 20)
Эта величина описывает только динамические корреляции
и в приближении Хартри—Фока обращается в нуль. Из соотно-
соотношения B0. 20) можно получить всевозможные корреляционные
характеристики системы. Рассмотрим подробно корреляцию коор-
координат.
Рис. 45	Рис. 46
Введем оператор плотности числа частиц я (q) — ip+ (q) яр (q)
(см. § 3). Среднее значение произведения операторов
(Ф | я (ft) я (ft) Iх?) М0ЖН(э представить в виде
lira G A,2, 3,4);
3-И, 4-»-2
ta>ti>tl>t2. <.-><.
оно будет отличаться от произведения средних значений опера-
операторов n{q), каждое из которых может быть записано в форме
(V | я (ft) | W) = i lim G A, 2) = litn R (qlt qt).
Соответствующая разность и служит обычно мерой корреляции
координат частиц; она записывается в виде
(? | я (qj n (q2) | V) - (V | я Ы | Т) (Т | п Ы | Ч) -
- (Т | я fo) | Y> <Т | я Ы | Т) / (ft, ft),	B0. 21)
где функция / отражает вероятность нахождения частицы в коор-
->
динатном состоянии qx (т. е. в точке Хг с определенным значением
дискретных координат) при заданном положении другой частицы
в точке <72. По состояниям остальных частиц системы производится
при этом усреднение.
Правую часть соотношения B0. 21) нетрудно выразить через
парную функцию Грина. Используя выражение B0. 20), находим
lim К A, 2, 3, 4) - R (ft, ft) R (ft, ft).	B0.22)
S-И, 4->-2
lea

Первый член этого выражения описывает динамическую, вто-
второй — обменную часть корреляций.
В приближении Хартри—Фока остается только вторая часть.
Вычислим соответствующее выражение для функции f, ограни-
ограничиваясь рассмотрением однородной системы
„ Я2) = \lQ21 d*pQ (pi - р2) exp [ip {\
__'о1 a /sin
~ 2л2 I dl\ I
°QlQ2
где g — фактор вырождения; 1, = po\xi — x2\. Для функции /
отсюда получается выражение
^" — Е cos E)» в010,.	B0.23)
Эта величина быстро падает с увеличением ?, что соответ-
соответствует ослаблению статистического влияния частиц с их удале-
удалением друг от друга. Напротив, при К 1, т. е. на расстояниях,
меньших средней длины волны частиц, величина / близка к —1
и стремится к этому значению с уменьшением |, а среднее значе-
значение (Ч? | п (qi) n (q2) [V) стремится к нулю. Это обстоятельство
соответствует невозможности нахождения двух ферми-частиц
в одной точке. Сказанное относится лишь к частицам, у которых
совпадают значения дискретных координат. Это, очевидно, нахо-
находится в полном соответствии с принципом Паули.
20. 7. Еще одна важная величина, сведения о которой даются
парной функцией Грина, описывает изменение состояния системы
под действием слабых внешних агентов (в частности, внешних
силовых полей).
Пусть гамильтониан взаимодействия системы с указанными
внешними агентами имеет вид
6//= $ dqq>+(q) 6Uq (q),	B0.24)
т. е. носит характер одночастичного оператора. Оператор б U имеет
смысл плотности энергии соответствующего взаимодействия.
Например, если имеется в виду внешнее магнитное поле Н,
-> ->	->
то bU=—SOW, где 2R—намагничение системы.
Попробуем найти изменение одночастичной функции Грина
за счет ЬН, считая его малым. Будем исходить из общего выраже-
выражения для функции Грина в представлении взаимодействия *:
0A 2) - I frolr
* Строго говоря, это выражение, опирающееся на условие устойчивости
справедливо только для не зависящих от времени 6U.
184

Здесь 5-матрица определяется уравнением
'? = (Н'В + Ш»)Я	B0.26)
и описывает эволюцию системы под действием как гамильто-
гамильтониана взаимодействия между частицами //', так и гамильто-
гамильтониана 6Н.
Если обозначить через So решение уравнения B0. 26) при
6Н = 0, то, полагая 5 = So + bS, получим уравнение
i - = л;м
Его решение, как легко проверить подстановкой, имеет вид
t
bS (t, - да) =-- ~i_ J dt50 (f, т) 6//D (т) 50 (т, — ») =
--i J ЛГ[б//в(тM0(^-со)].	B0.27)
	 00
Записывая поправку к G A,2) за счет внешнего воздействия
в виде 6G A, 2), получим
8G A,2)= JdTCFJ^olTorx
о>(?A, 2)-
Вспоминая определения функций Грина, можно написать
6GA,2)= fd3ei/C)Hm{G(l, 2HC, 4) —0A, 3, 2, 4)}. B0. 28;
Используя уравнение B0. 12), можно также выразить 6G A,2)
через вершинную часть А:
80A, 2) = Jd3[0(l, 3)81/CHC,2) -f
+ 4jd4d5d6d7O(l, 4)81/CHC, 5)х
X А D, 5, 6, 7) G F, 2) G G, 3)].	B0. 29)
Введем далее так называемую обратную функцию Грина
G A, 2), которая определяется условием
Jd2G-1(I,2)GB, 3) = Jd2G(l, 2)G-JB, 3) = 8A.-3).
Очевидно, что в импульсном представлении
Обратная функция Грина тесно связана с массовым оператором:
'	'i	A, 2).
185

В самом деле, к этому соотношению можно прийти, умножая
уравнение Дайсона слева на G~l C, 1) и справа на G~l B, 4)
и интегрируя по 2 и 3. Из определения обратной функции Грина
вытекает соотношение
flG-^l, 2) = — Jd3d4G~1(l> 3NGC, 4)в~Щ, 2).
Умножим теперь уравнение B0. 29) слева на G (. . . 1)
и справа на G B, . . .) и проинтегрируем по 1 и 2.
Тогда
6G-M1, 2) = 6G-'A, 2) + ЬМ{\, 2) = — 81/A) в A— 2) —
— 4§d3d4d5b[/C)GC, 4)ЛA, 4, 2, 5)GE, 3). B0.30)
Фактически здесь содержится два независимых соотношения,
поскольку изменение G~] в точности равно первому слагаемому
правой части выражения B0. 30). Поэтому можно написать
просто
ЬМ A, 2) = —4$d3d4d5bUC)G C, 4) А A,4, 2,5) G E, 3).
20. 8. Помимо важной для кинетики задачи об изменении
функции Грина под влиянием заданного возмущения получен-
полученные уравнения удобно применять также для нахождения некото-
некоторых соотношений общего характера. С этой целью следует выбрать
такой оператор bU, для которого изменение функции Грина
заранее известно.
Выберем, в-частности, bU = а = const; при этом оператор ЬН
равен aN, где ./V— оператор полного числа частиц, коммутирую-
коммутирующий с полным гамильтонианом системы. По этой причине точная
волновая функция системы W вообще не изменяется при прибав-
прибавлении ЬН (с точностью до несущественного фазового множителя),
а оператор фг A) приобретает множитель ехр (—iati). В этом
можно убедиться, учитывая, что уравнение для возмущенного
оператора i$>r имеет вид
Таким образом, полное изменение функции Грина A9. 3)
равно
bG A, 2) = — ia(t!— /2) G(l, 2).
Соответственно
вО 0, 2) = —1а(Ь— t2) G-^l. 2).
Подстановка этого выражения в соотношение B0. 30) дает
(h-t2) G-41,2) =-i8(l.-2)-
—ii $d3d4d5G C, 4) А A,4, 2, 5) G E, 3).	B0. 31)
186

Это соотношение, выражающее еще одну связь между одночастич-
ной и парной функциями Грина, дает в импульсном представле-
представлении * одно из так называемых равенств Уорда. Его отличие
от соотношения B0. 17) состоит в том, что оно содержит только
эффективное взаимодействие А, в то время как B0. 17) включает
в себя и истинный потенциал взаимодействия V.
Аналогичное равенство Уорда можно написать и для вели-
величины (xi — х2) G [90].
20. 9. В литературе приводится и другое выражение для
6G A, 2) [88]. Для его вывода используем прием, позволяющий
избежать предположения о независимости от времени опера-
оператора б U.
Итак, пусть гамильтониан внешнего возмущения имеет вид
выражения B0. 24) с bU, зависящим от времени. При этом выра-
выражение B0. 25) должно быть заменено более общим выражением
Вычисление поправки к 5-матрице по-прежнему может прово-
проводиться по формуле B0. 27). Для поправки к функции Грина полу-
получается следующее выражение:
8GA, 2)= JdT[(V0\S?{T,-coNH{T)S$(co, t)x
Можно перейти к представлению Гейзенберга с помощью
общих соотношений, приведенных в гл. III. Это дает
60A,2)= Jd[\r[T]\
— оо
B0.32)
Из этого выражения видно, что область интегрирования по т
от tx до оо (при ti > t2) или от t2 до оо (при t\ <C t2) автомати-
автоматически выпадает.
* При переходе к импульсному представлению необходима некоторая осто-
осторожность, связанная с неоднозначностью подынтегрального выражения [89, 901.
В импульсном представлении левая часть соотношения B0. 31) имеет вид
187

Рассмотрим изменение матрицы плотности под действием
внешнего возбудителя. Полагая в соотношении B0. 32) гг —
— t\ ~> + 0, имеем
f
hR (qx, q,, tj =
= i f dx (? | [6tfr (т),
Этот коммутатор, конечно, нельзя вычислить в явном виде, по-
поскольку операторы отнесены к разным моментам времени.
Сведем полученное выражение к парной функции Грина.
Среднее значение перепишем прежде всего в форме
-Л (дъ qj + A*(qt,qJ,
где
A(qv <72)-(Y|^+(<72, /,) Ч»г (<7i. tx)bHT(x)\W).
Эту последнюю величину уже нетрудно записать в виде
\dqa6Uqt(t>) Hm G(l, 3, 2, 4).
Таким образом, окончательно имеем
Xlim [G(l,3, 4,2)—G*[l, 3, 4, 2].	B0.33)
4->3
t2>ti>'t>t3, t2->ti
Знание парной функции Грина невозмущенной системы дает
возможность вычислить одночастичные характеристики слабо-
слабовозмущенной системы. Полученное соотношение определяет ряд
кинетических характеристик системы, в частности величину про-
проводимости.
§ 21. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
(ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ — ФОКА)
21. 1. В предыдущих параграфах речь шла почти исключи-
исключительно об основном состоянии системы. Важную роль в теории
многих частиц играют также вопросы, связанные с возбужден-
возбужденными состояниями системы, энергия которых отлична от мини-
минимальной.
Наряду с возбужденными состояниями системы, содержащей
то же число частиц (N), что и в основном состоянии, значитель-
значительный интерес представляют также возбужденные состояния системы
с иным числом частиц *. В первую очередь имеются в виду воз-
* В дальнейшем мы будем указывать число частиц в аргументе волновой
функции.'Возбужденные состояния системы N частиц будут называться парными,
системы N ±\ частиц — одночастичными (однодырочными).
188

бужденные состояния системы с одной лишней частицей или дыр-
дыркой, т. е. содержащие N ± 1 частицу.
Важный класс задач теории многих частиц сводится к иссле-
исследованию взаимодействия некоторой внешней частицы с систе-
системой частиц того же сорта. Попадая в такую систему, частица
может отдать ей значительную долю своей энергии, возбудить
систему и «застрять» в ней на более или менее длительное время.
Возникшее состояние системы принадлежит, очевидно, к обсу-
обсуждаемому классу.
21. 2. Рассмотрение возбужденных состояний системы, как
и основного состояния, целесообразно начать с приближения
Хартри—Фока. Обозначая через х?оа и Еоп соответственно волно-
волновую функцию и энергию возбужденного состояния, можно напи-
написать
ОДт = ?«А.	B1-1)
где принято, что гамильтониан нулевого приближения Но совпа-
совпадает с выражением D. 29). При таком выборе Но самосогласова-
самосогласование проводится лишь в рамках конфигурации, отвечающей основ-
основному состоянию системы. Соответственно только это последнее
состояние описывается наилучшим образом (см. § 4). В принципе
можно было бы строить для каждого состояния свой гамильто-
гамильтониан нулевого приближения, требуя минимума величины
(Удп | (// — Н0J1 Won \. Но такая постановка задачи привела бы
к неоправданному усложнению аппарата. Поэтому гамильтониан
приближения Хартри—Фока здесь и в дальнейшем выбран еди-
единым для всех конфигураций; он дает наилучшее описание основ-
основного состояния системы. В следующей главе, посвященной кванто-
квантовой статистике, гамильтониан //„ выбирается из условия ((//—
— Н0J )о =min, где символ (...)„ означает статистическое
усреднение по ансамблю Гиббса. Он дает наилучшее описание
системы в среднем.
Теперь для описания возбужденных состояний системы можно
сохранить весь развитый выше аппарат. В частности, сохраняют
свой вид волновые функции базиса %v, выражения для опера-
операторов поля. Имеются, однако, два обстоятельства, которые при-
приводят к некоторым особенностям описания возбужденных состоя-
состояний системы. Первое состоит в том, что среднее по состоянию W0ll
от N -произведения операторов поля оказывается отличным
от нуля. Второе обстоятельство связано с вырождением возбу-
возбужденных уровней энергии.
21. 3. Рассмотрим некоторые свойства решений уравнения
B1. 1), которому удовлетворяют волновые функции состояний
с фиксированными числами заполнения. Частное решение уравне-
уравнения B1. 1) для парного возбужденного состояния можно всегда
выбрать в виде
Yon(N)= П аЩУ0.	B1.2)
I, /=i
.189

Оно отвечает наличию k пар с частицами, находящимися в состоя-
состояниях v,-, и дырками в состояниях Ц/! при этом ev. >> ъР,
еи/ < eF- Аналогично для одночастичного возбужденного со-
состояния системы можно написать
Von(N+l) = a+ П a+*+/F0.	B1.3)
Число k в обоих случаях ничем не фиксировано, но должно быть
меньше полного числа частиц N.
Чтобы непосредственно убедиться в том, что выражения
B1. 2) и B1.3) действительно удовлетворяют уравнению B1. 1),
и вычислить соответствующую энергию Еоп, рассмотрим комму-
коммутаторы:
[Яо, at] = ev<4\ [Ho, b+] = - ецй+.
Здесь использовано соотношение D. 3) и равенство A^AV =
= bvbt (ev< eF) (см. § 8). Таким образом, последовательно
перенося оператор Но через операторы а+, Ь+ в выражениях
для ^оп, мы действительно убеждаемся в том, что [последние
представляют собой собственные функции оператора Но. Что же
касается их собственных значений, то та же процедура дает
где суммирование производится по всем занятым состояниям
частиц и дырок; величина Ео — энергия основного состояния
(см. § 4). Иначе говоря, можно записать следующее выражение
для энергии возбужденного состояния системы:
?Оп - Ео = 2 еv № - n[h)),	B1.4)
V
где п(vp) — число заполнения частиц; n(vh) — число заполнения
дырок в рассматриваемом состоянии.
Разность Еоп—Ео носит специальное название энергии воз-
возбуждения и • обозначается через АЕОп. Для одночастичного воз-
возбужденного состояния эту величину можно представить в Не-
Несколько ином виде, полагая N достаточно большой величиной.
Запишем АЕОп для рассматриваемого случая, явно указывая
число частиц:
Прибавляя и вычитая энергию основного состояния системы
N + 1 частиц Ео (N + 1), будем иметь
A?Ort = A'?on+H,	B1.5)
где &'ЕОп = ЕОп (N + 1) — Ео (N + 1) — энергия возбуждения
собственно системы N + 1 частиц (или, что то же при большом N,
190

системы N частиц); ц, = —J^ «* Ео (N + 1) — Ео (N) —хи-
—химический потенциал системы. Для однодырочного состояния
в выражении B1. 5) следует изменить знак у ц.
21. 4. Уровни энергии, отвечающие уравнению B1. 1), яв-
являются, как правило, вырожденными *. Заданному значению
энергии возбуждения АЕОп отвечает целое множество различных
возбужденных состояний системы, которые могут различаться
как числом пар, так и состояниями частиц и дырок, входящих
в состав этих пар.
Начнем с рассмотрения парных возбужденных состояний.
Простейшее состояние такого рода отвечает наличию одной пары;
соответственно его энергия возбуждения записывается в виде
ev — ец, где v — состояние частицы, ц — состояние дырки.
Совершенно ясно, что если соотношение
АЕоп = ev — ец
(А?о„ — заданная энергия возбуждения) может быть выполнено
для разных состояний1 (J и v, то факт вырождения рассматривае-
рассматриваемого уровня проявляется непосредственным образом. Чаще всего
спектр одночастичных состояний системы носит непрерывный
(или почти непрерывный) характер. При этом обсуждаемое соот-
соотношение имеет множество решений. Общий вид волновой функции
состояния с одной парой, имеющего энергию возбуждения &Еоп>
имеет характер следующей суперпозиции:
Топ (АО = 2 С^д (е„ - ем - АЕОп) а+Ь+%,	B1.6)
где Срд, — соответствующие численные коэффициенты, а б-функ-
ция обеспечивает постоянство энергии возбуждения.
Для одночастичного возбужденного состояния простейшей
волновой функцией является выражение
^№ + l) = ICvS(e^A?Jatf,.	B1.7)
V
Здесь пары вообще отсутствуют, и вырождение связано с возмож-
возможностью изменения состояния одной частицы.при сохранении вели-
величины энергии; имеется в виду, в частности, изменение направле-
направления спина, импульса и т. п.
Другая причина вырождения состоит в возможности выбора
разного числа пар k. Общее выражение для волновой функции
состояния с энергией возбуждения АЕоп имеет, следовательно, вид
^в» W = v 2 k Cyt. Д/. .6 B eV/ - 2 eM/ - AEj x
хПа+&+Д0	B1.8)
аналогично и для То„ (N + 1).
* Мы избежали вырождения основного состояния системы, ограничившись
рассмотрением систем с заполненными оболочками.
191

21. 5. Приведенные разложения волновой функции возбужден-
возбужденного состояния системы можно представить и в более удобной
форме:
. Von (N) = { J dqidq^on fa, q2) N [i|>+ (qj ф fa)] +
+ jdqlt dq2, dq3, dq^on (qu q2, q3, qt) X
X N [V (9l) V (q3) г|5 fa) Mp fa)] + • • •) ?0;	B1. 9)
Yon (# + 1) = 11 dq^on (q,) tf fa) + j dQl dq% dq3 X
X Фо„ fa, Яг, <7з) N N>+ fa) ф+ fa) ф Ы)'+ • • •} Yo. B1. 10)
Здесь введены нормальные произведения операторов для того,
чтобы остались лишь рождающие части операторов. Появление
хотя бы одного оператора уничтожения частицы или дырки не-
немедленно приводит к нулевому результату.
Функции Фо„, определяющие вес, с которым входит в ?0„
заданная конфигурация частиц и дырок, должны удовлетворять
нескольким условиям. Мы обозначили выше через 1, 3,. . . те
аргументы Фо„, которым отвечают операторы рождения частиц,
и через 2, 4,. . . — операторы рождения дырок. Разлагая Фо„
по системе функций %v, т. е. переходя в энергетическое представ-,
ление, нетрудно видеть, что соответствующие коэффициенты раз-
разложения можно выбрать отличными от нуля лишь в области
выше границы Ферми для координат 1,3,..., и ниже границы
Ферми — для координат 2, 4,. . . Прочие области спектра автома-
автоматически выпадают из разложений B1.9), B1.10).
Помимо этого, функции Фо„ должны быть такими, чтобы
в рассматриваемые суперпозиции входили только состояния,
отвечающие одной и той же энергии возбуждения A?On. Для
этого необходимо, чтобы коэффициенты разложения Фо„ по си-
системе Xv содержали функцию б (eVl + eVa + . . . — еУг — ev< —
—. . .—&ЕОп), где со знаком (+) входят энергии, отвечающие
координатам частиц qt, qs,. . ., со знаком (—) — отвечающие
координатам дырок q2, q2,- • • В частности,
— пу) б (ev — t±Eon) xv fa),
l fa)
где а — некоторые численные коэффициенты.
Указанные особенности функций Фо„ приводят к важным
соотношениям. Учитывая разложение матрицы плотности
находим
]>Л(<71.<72)ФоЛ<72) = 0.	B1Л1)
192

Подобные соотношения можно написать и для функции
'о (<7l> Яъ) Ф<ш (?2, <?l) = 0,	)
1	B1.12)
¦ Яг) Фоп №> <7i) = Фоп (Яи <7i)- J
С помощью полученных соотношений и разложений B1.9),
B1. 10) нетрудно убедиться в том, что весовые функции Фоп могут
быть представлены в виде матричных элементов следующего вида:
Фоп (Яг, Яг) = ( ^о I V Ы Ф Ы I ^ W ).
21. 6. Полезно ввести зависящие от времени весовые функции
Фоп A)=<YO|*BA) 1^(^+1)),
и т. д. Они переходят в функции B1. 13) при tx -> 0 и tly t2 -> 0
соответственно. Фактически символ Г-произведения в последнем
равенстве мы пишем лишь для удобства последующих выкладок.
Разность между Т (ф+ф) и i|)+i|) сводится к с-числу и с учетом орто-
ортогональности состояний Wo и Чг0„ вообще никак не проявляется.
Учитывая уравнения движения для оператора в представлении
взаимодействия, легко получить следующие уравнения:
B1.15)
и сопряженное уравнение для производной по t2.
Не составляет труда найти явную зависимость приведенных
величин от времени. Используя соотношение B. 8), получим
,Фо« A) = Фо« (<7i) ехр (- iAE0Л).	B1.16)
Аналогично можно показать, что
ФопA, 2) = Фоп^, 0; qit T)exp{-iAEMt1). B1. 16')
Здесь т = t2 — h. Таким образом, рассматриваемые матричные
элементы в отличие от средних значений зависят не только от раз-
разности времен, но и от абсолютных их значений.
Для зависящих от времени функций Фо„ можно также напи-
написать ряд соотношений, подобных B1. 11) и B1. 12). Примем
во внимание разложение свободной функции Грина A0. 5)
193

и зависимость от времени B1. 16), B1. 16'). Тогда с учетом разло-
разложений функций Фо„ (qi) и т. д. имеем
0 A, 2) Фо„ B) = —19 (^ — ^2) Фо„ A). B1. 17)
Аналогично можно показать, что
dqtG0(\, 2) Фю B,3) = О	tx<t,,
0nC,2)G0B, l) = 0	^</a>
B1. 18)
Выразим далее волновую функцию возбужденного состояния
системы через зависящие от времени функции ФОп A) и т. п.
^оЛЛО = \dqidq^0n{\,2)N [*+ A) ^в B)] ?0 + • • • B1. 19)
VonW + 1) = J dq^il) Mpt A)^0 +••¦	B1.20)
Все сводится к замене ФОп (qi) на Фо„ A) и т. п., а также опера-
операторов в представлении Шредингера операторами в представлении
взаимодействия.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, подста-
подставим в соотношение B1.20) выражение B1. 14) и разложения
операторов поля. Это даст
X atXv Ы Х*ц (ft) exp [— i (e^ — ev) tt] Wo.
Используя ортогональность функций ^v> нетрудно убедиться
в том, что время tx из этого выражения полностью выпадает,
т. е. мы возвращаемся к выражению B1. 10). Аналогично доказы-
доказывается и соотношение B1. 19).
21. 7. Выясним физический смысл величин ФОп. Выше уже
отмечалось, что эти величины определяют вклад, который вносит
в волновую функцию возбужденного состояния заданная конфи-
конфигурация частиц и дырок. Имеется и более непосредственная физи-
физическая интерпретация этих величин. Как видно из их разложе-
¦ ний по системе Xv> функция ФОп (q{) представляет собой просто
волновую функцию «лишней» частицы, присутствие которой
обусловливает отличие рассматриваемого состояния системы
Ч'оге (N + 1) ОТ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ.
Аналогично функцию Фо„ (дг, q%) можно трактовать как волно-
волновую функцию пары, возникшей «на фоне» основного состояния.
При этом Xv (<7i) представляет собой волновую функцию частицы,
а 5Cv (<7г) — волновую функцию дырки. По этому поводу нужно
заметить, что дырка должна описываться именно сопряженной
волновой функцией. Это следует из сопоставления частей опера-
операторов поля, отвечающих рождению (или уничтожению) частиц
и дырок [см. выражение (8.4)].
194

Подобным же образом интерпретируются и более сложные
функции Фо„. В целом можно сказать, что Фо„ является волно-
волновой функцией того комплекса частиц и дырок, присутствию кото-
которого обязано отличие функции То„ и То.
Несколько слов о нормировке волновых функций. Учитывая
взаимную ортогональность слагаемых разложений B1. 9), B1. 10)
(она следует из того, что соответствующее скалярное произведение
содержит среднее значение от неравного числа операторов рожде-
рождения и уничтожения и потому обращается в нуль), нетрудно видеть,
что условие (?„„?,„) =^ 1 дает
- •••=!	1
Здесь мы выписали лишь первые члены соответствующих разло-
разложений. В дальнейшем будут приведены результаты, относящиеся
к тому же ограничению; обобщение на случай учета последующих
членов разложений B1. 9), B1. 10) производится очевидным обра-
образом.
Рассмотрим некоторые физические характеристики возбужден-
возбужденного состояния и прежде всего его матрицу плотности, которая
определяется соотношением
Ron (Яг, Яг) = <Т0„ ! 4>в+ Ы 4>в М I То,).	B1. 22)
Подставляя сюда разложения B1.9), B1. 10), найдем для одно-
частичного возбужденного состояния системы
Ron (<Ь Яг) = I dq3dq^m (q3) Фо*„ Ы X
X <Т01 Фв М Фв+ (Яг) % (<7i) Фв+ Ш I ^о)-
Выполняя усреднение по формулам приложения А и используя
соотношения B1. И) и B1. 17), получим
Ron (<7i, Яг) = Ro (<7i, Яг) + Фо« Ш Фо« (<7i)-	B1 • 23)
Это соотношение выражает матрицу плотности возбужденного
состояния как сумму матриц плотности основного состояния
и комплекса, волновой функцией которого является ФОп.
Для парного возбужденного состояния системы в результате
громоздких, но несложных выкладок получаем
Ron (<7i. Яг) = Ro (<7i- Яг) +
+ j dq3 [Фо„ ( q2, <7з) Фо« (ft, Яз) — Фо« (Яз, <?i) Фо« (Яз, Яг)} ¦ B1 • 24)
Здесь первый член в квадратной скобке — матрица плотности
частицы, второй — матрица плотности дырки; знак (—) отражает
отсутствие частицы в данном состоянии.
Важной характеристикой возбужденного состояния системы N
частиц является также следующий матричный элемент:
Mon = (Vo\A\Won),
195

где А — некоторый оператор, описывающий внешний возбуди-
возбудитель, способный привести к возбуждению системы. Величина МОп
позволяет вычислить вероятность возбуждения системы. Чаще
всего оператор А носит одночастичный характер. При этом
Моп = 1 dq1 <?0 | Г Ш Aqi ф Ы | V0B> =
Aqi0Oa(qltqt).	B1.25)
Рассматриваемая величина непосредственно связана, таким
образом, с весовой функцией Фо„.
§ 22. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
(УЧЕТ КОРРЕЛЯЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ)
22. 1. До сих пор возбужденные состояния системы рассматри-
рассматривались в приближении Хартри—Фока. Примем теперь во вни-
внимание корреляционное взаимодействие между частицами и свяжем
точную волновую функцию возбужденного состояния ?„ с введен-
введенной выше величиной ?0„. Запишем эту величину в сокращенной
форме:
w _ V г
где Ч^* — волновые функции возбужденных состояний с одной
и той же энергией возбуждения и с фиксированными числами
заполнения.
Повторим рассуждения § 9, касающиеся связи ? и Wo, учиты-
учитывая вырожденный характер рассматриваемого состояния системы.
Это обстоятельство делает непригодным соотношение (9. 18),
которое должно быть теперь заменено общим соотношением *
= 2Ca(a|5|P>*	B2.1)
a, p
Суммирование здесь, как и в предыдущей формуле, ведется по со-
состояниям одной и той же энергии.
Уравнение (9. 23), которому удовлетворяет волновая функ-
цияв 'представлении взаимодействия Чгвп(—оо ), по-прежнему
остается в силе, поскольку при его выводе отсутствие вырожде-
вырождения никак не использовалось. Остается выяснить, при каких
условиях функция WOn удовлетворяет тому же уравнению.
* Здесь введено обозначение
< а | 5 | В > = ( Y&* | S | Т<Ю > .
Заметим, что
р
196

Учитывая выражение B1. 8) и уравнение //оЧ'оп =
убеждаемся в том, что
S~lH°Sy? = E W
Далее
J6_ -I dS_ у ___ -у г
где
id
Таким образом, подстановка WOn в уравнение (9. 23) дает
систему уравнений
2Ср[(?о„-?„Nар + 0ар]=О.	B2.2)
Решив эту систему, можно определить, во-первых, корреляцион-
корреляционный вклад в энергию возбуждения АЕП = Еп— Е и, во-вторых,
те значения суперпозиционных коэффициентов Са, для которых
функция Won — X^V^on' удовлетворяет тому же уравнению,
a
что и WBn (—со). Используя доводы, приведенные в разделе 9. 7,
можно заключить, что состояния WBn (—со) и Чг0„ имеют оди-
одинаковую энергию. Однако из-за вырожденного характера рас-
рассматриваемого случая еще нельзя сделать вывод о совпадении
величин ~VBn(—оо) и Won. Поэтому дальнейшие рассуждения
будут отличаться от рассуждений раздела 9. 7.
Решение уравнений B2. 2) не единственно: имеется г (по числу
подсостояний) наборов чисел С(а (i = 1-нг), для которых функ-
функция
On —
()
удовлетворяет тому же уравнению, что и WBn (—со). Можно
ввести г функций WbI (—оо), каждая из которых равна ^оп ;
это утверждение не противоречит вырожденности рассматривае-
рассматриваемого уровня и сводится к выбору определенного базиса, по кото-
которому может быть разложено произвольное состояние Wm (—со).
Теперь можно написать
= S (Q, -с»)
B2. 3)
Таким образом, вырожденный в отсутствие корреляционного
взаимодействия уровень при включении взаимодействия описы-
описывается совокупностью г точных волновых функций. Среди них
могут быть функции, отвечающие одинаковому значению энер-
энергии, что свидетельствует о неполном снятии вырождения корре-
корреляционным взаимодействием.
197

22. 2. Из полученных результатов следует, что каждая из
точных волновых функций возбужденного состояния системы
связана 5-матрицей с вполне определенной, а отнюдь не произ-
произвольной суперпозицией функций То"' . Иными словами, при выклю-
выключении взаимодействия функция Y^' переходит в волновую функ-
функцию нулевого приближения, имеющую вполне определенные
значения коэффициентов разложения Са, нахождение которых
требует решения уравнений B2. 2).
Такая ситуация типична для задачи с вырожденными уровнями
энгргии. Как известно из курса квантовой механики, среди всех
возможных суперпозиций состояний одинаковой энергии имеются
ьыделенные, «устойчивые» суперпозиции, характеризующиеся
тем, что при наложении малого возмущающего потенциала они
меняются тоже мало. При выключении взаимодействия волновая
функция стационарного состояния системы переходит в устойчи-
устойчивую волновую функцию нулевого приближения.
Рассмотрим уравнения B2. 2), определяющие коэффициенты Ср,
считая гамильтониан Н' малым и ограничиваясь членами первого
порядка. Используя разложение 5-матрицы
оо
5 = 1 — a j dt exp (— б | /1) H'B (t) + ¦ ¦ ¦ ,
будем иметь
Но
(а | Н'в | Р) = (а | exp (iHot) H' exp (- iHat) | Р> = (а | Я' | р>
из-за одинакового значения энергий состояний аир. Вычисляя
элементарный интеграл по t, найдем
о«р=(а|Я'|Р>
и уравнения B2. 2) примут вид
2 Ср [(Еоп - Еп) бар + (а | Н' [ Р) ] = 0.	B2. 4)
Эти уравнения полностью совпадают с аналогичными уравне-
уравнениями для определения коэффициентов устойчивого состояния
в низшем порядке обычной теории возмущений [24].
Детерминант системы уравнений B2. 2), приравненный нулю,
может иметь не равные друг другу корни Еп — ЕОп. Это означает,
что под действием корреляционного взаимодействия первоначально
вырожденный уровень энергии расщепляется. Отсюда следует, что
произвольным образом выбранная суперпозиция волновых функ-
функций приближения Хартри-Фока перейдет при включении корреля-
корреляционного взаимодействия в нестационарное состояние системы.
198	.

В самом деле, указанную суперпозицию всегда можно перераз-
переразложить по устойчивым волновым функциям, каждая из которых,
эволюционируя во времени в соответствии с соотношением B2. 3),
приведет к стационарному состоянию системы со своим значением
энергии. Таким образом, результат эволюции произвольно выбран-
выбранного состояния системы представляет собой суперпозицию стацио-
стационарных состояний с различными значениями энергии. Такое состо-
состояние, очевидно, не является стационарным, и его энергия пред-
представляет собой неопределенную величину. Соответствующий раз-
разброс энергии определяется энергиями входящих в суперпозицию
состояний.
Говоря об устойчивости возбужденного состояния системы,
коэффициенты разложения волновой функции которого удовлет-
удовлетворяют уравнению B2. 2), мы по существу можем употреблять этот
термин в том же смысле, что и в § 9 в применении к основному
состоянию системы. Другими словами, если WOn является такого
рода суперпозицией, то
9 _
w* c+_/w iciw \-mr* I	(zz. о)
Действительно, решение системы B2. 2) означает одновременно
приведение матрицы оа$ к диагональной форме. Отсюда
13
-1 ""
"ТРГ
-1 ""
что эквивалентно соотношениям B2. 5).
В заключение можно сказать, что рассмотрение возбужденных
состояний системы в силу их вырожденного характера приводит
к необходимости проводить дополнительный динамический расчет,
сводящийся к нахождению устойчивых волновых функций нуле-
нулевого приближения. Непосредственное решение этой задачи до-
довольно трудно. В дальнейшем будут изложены некоторые обходные
методы ее решения.
22. 3. При учете корреляционного взаимодействия между
частицами выражения для матричных элементов Фо„ примут вид *
( '
и т. д. Как и выше, здесь удобно ввести временные координаты,
рассматривая выражения более общего вида:
1 ,927,
* Эти соотношения, как и последующие, должны быть записаны для каждой
из функций Y^'. Индекс j для простоты опускаем.
199

Обратный переход к функциям B2. 6) осуществляется следующим
образом:
ФЛ<71.<72)= Нт Ф„A,2).
В общем виде легко найти зависимость матричных элементов
B2. 7) от времени. Используя общее соотношение B. 5), имеем
Ф» A) = Ф» Ы ехр (- гЛ^А	B2.8)
гдеЛ?„ — точная энергия возбуждения. Что же касается функции
Ф„ A, 2), то для нее в полной аналогии с выражением B1. 16')
получаем
Ф„ A, 2) = Ф„ (^0; qt, т) ехр (- iAEjJ,	B2.9)
где т = /х— t2.
Можно также написать
lim Ф„ A, 2) = Ф„ (д1г qj ехр (- /ЛВД-	B2. Ш)
т->о
Выражения B2. 7) аналогично результатам § 15 можно запи-
записать и в представлении взаимодействия:
B2. 11)
Здесь мы использовали соотношение B2. 3) и условие устойчи-
устойчивости основного состояния.
Аналогичным образом можно ввести и матричные элементы
типа
„(^-1)>,	B2-12)
которые отвечают состоянию с одной недостающей частицей, или,
что то же, с одной лишней дыркой.	v
22. 4. При учете корреляционного взаимодействия в возбуж-
возбужденных состояниях системы появляется необходимость иметь^
какие-то сведения об устойчивой волновой функции нулевого
приближения WOn. Прямое решение уравнений B2. 2) предста-
представляет собой нелегкую, хотя в принципе и выполнимую при нали-
наличии малых параметров задачу.
Однако имеется простой путь, позволяющий избежать решения
этой задачи в полном объеме и приводящий в ряде случаев к успеху:
делаются некоторые простейшие предположения о виде устойчи-
устойчивой функции Тцп; последующая проверка должна показать,
насколько эти предположения верны; в случае отрицательного
исхода проверки следует выбрать более сложное выражение для
ЧОп и т. д.
200

Простейшее предположение состоит в том, что разложение
функции ?Оге исчерпывается одним ее первым членом
I
?оге (N) = U4,dq^on A, 2)N [i|>+ B) фв A)] ?0. )(
При включении корреляционного взаимодействия мы не придем
к стационарному состоянию системы. Однако может оказаться, что
мера соответствующей нестационарности будет сравнительно не-
невелика (точное определение этой меры будет дано ниже). Таким
образом, мы придем к приближенному описанию возбужденного
состояния системы, причем тем более точному, чем меньше мера
нестационарности.
Рассмотрим с указанной точки зрения сначала одночастичное
возбужденное состояние системы. Подставляя выражение B2. 13)
в соотношение B2. 11), найдем
Фге A) = J dq^m B)	!	Гуо | ^ | ?q } '	. B2. 14)
Это выражение можно свести к точной функции Грина, если
воспользоваться следующим удобным приемом, который будет
применяться и дальше. Учтем, что, как уже указывалось в § 21,
волновые функции B2. 13) фактически не зависят от временных
аргументов. Полагая поэтому в полученном выражении для Фп A)
величину t2 равной —со, придем к выражению для усредняемого
оператора
Т N>B A) S] ф+ B) = Т [*„ A) ф+ B) S] •
Отсюда имеем
ФяA) = »Г^,НтОA,2)Ф0яB).	B2.15)
J tt-*—»
Полученное соотношение имеет силу лишь при использовании
приближенного выражения B2. 13); учет следующих членов раз-
разложения B1. 10) привел бы к появлению в выражении B2. 15)
функций Грина высшего порядка.
Если принять во внимание общее уравнение для функции
Грина A9. 8), подействовать на выражение B2. 14) слева операто-
оператором i -jT-	Т — W и учесть, что при всех конечных tx
J
в A — 2) Фож B) = 0,
найдем
(^)J2)©BB) = O. B2.16)
Функция G A, 2) является, таким образом, функцией Грина
уравнения для величины (? | i|>r (I) | ?„).
201

Если бы функция Ф„ A) представляла собой в действительности
точное выражение для указанного матричного элемента, то ее
зависимость от времени давалась бы соотношением B2.8). Разла-
Разлагая массовый оператор М в интеграл Фурье по времени
М
A, 2) = [ -g- exp [- re (tx - t2)] M (qlt q2, e),
мы смогли бы записать выражение B2. 16) в виде
(AEa-T-W)<DM =
= $dq,M (qlt q2, AEn) Ф„ (q2).	B2. 17)
Решение этого уравнения с соответствующими граничными усло-
условиями приводит к задаче о собственных значениях для энергии
возбуждения АЕп. Особенно ясно это видно на примере простран-
пространственно-однородной системы, для которой указанное уравнение
принимает вид
АЕп - е-> - М (р, АЕп) =0.	B2. 18)
Этому уравнению должны удовлетворять все допустимые значения
АЕп, относящиеся как к дискретному, так и к непрерывному
спектру.
Необходимо обратить внимание на то, что искомые значения
АЕп обращают в бесконечность фурье-образ функции Грина
G-1 (р, АЕп) = 0.	B2.19)
Мы специально остановимся на этом факте в § 23 и 24.
Так просто обстоит дело, в частности, при полном отсутствии
корреляционного взаимодействия; функция B2. 13) является точ-
точной волновой функцией стационарного состояния системы. Полагая
в уравнении B2. 18) М = 0, получим
АЕоп = е+,
что, очевидно, находится в полном соответствии с результатами
раздела 21. 2. Величина АЕОп (как и АЕп) зависит от импульса
-*¦	¦	i
«лишней» частицы р, т. е. мы нашли не один уровень возбужден-
возбужденного состояния системы, а целую ветвь. Зависимость АЕп от р
(и от других характеристик состояния) носит название спектра
возбуждений в узком смысле этого слова.
Изложенная простая ситуация имеет место лишь в исключи-
исключительных случаях, когда уравнения B2. 17) или B2. 18) имеют чисто
действительное решение. Как правило, массовый оператор имеет
отличную от нуля мнимую часть, и величина АЕп оказывается
комплексной. Это играет важную роль при выяснении пределов
применимости сделанного предположения о структуре функции
202

Ч^. Наличие отличной от нуля мнимой части энергии возбужде-
возбуждения свидетельствует о нестационарном характере полученного
в результате учета корреляции состояния (стационарному состоя-
состоянию отвечает чисто осцилляторное поведение волновой функции
системы). Относительная величина мнимой части АЕп, точнее
говоря, отношение J". " и является мерой нестационарности
рассматриваемого состояния.
Прежде чем обосновать утверждение о том, что малость ука-
указанного отношения гарантирует правильность найденных значе-
значений АЕп и Ф„ (<7i), отметим следующее обстоятельство. Решение
уравнения B2. 17) по существу дает не только значения АЕп
иФ„, но и ответ на вопрос о структуре устойчивой волновой функ-
функции нулевого приближения. Если задаться произвольной функ-
функцией Фо„ (<7i) в уравнении B2. 15), то определяемая им функция
Ф„ A) будет произвольно зависеть от времени. В частности, эта
функция не совпадает с решениями уравнения B2. 17), описываю-
описывающего сравнительно узкий класс «квазистационарных» состояний
системы, волновая функция которых экспоненциально зависит
от времени. Каждому из этих состояний отвечает вполне опреде-
определенная функция ФОл (<7i), которая может быть получена из решения
уравнения B2. 17) путем выключения взаимодействия. Получен-
Полученная таким образом функция ФОге (qx) после подстановки в выр лже-
ние B2. 13) дает «наиболее устойчивую» волновую функцию из
класса функций, содержащих одну лишнюю частицу сверх основ-
основного состояния.
Вернемся теперь к сформулированному выше утверждению.
Если бы мним-ая часть АЕп точно равнялась нулю, то суперпо-
суперпозиция устойчивых волновых функций, составляющая функцию
ФОге (<7i), состояла бы или из одного состояния, или из состояний,
остающихся вырожденными и при включении корреляционного
взаимодействия. В последнем случае уравнения B2. 2) имэют один
кратный корень, а матрица аар пропорциональна единичной.
И в том и другом случае выбранная функция Won по существу
является устойчивой. Поэтому малость 1тД?„ является гарантией
близости выбранной функции Чгоге к устойчивой функции нулевого
приближения.
22. 5. Аналогичным образом может быть рассмотрена и вели-
величина Фге A, 2), полученная в предположении, что волновая функ-
функция нулевого приближения дается соотношением B2. 13). Подста-
Подстановка в соотношение B2. 11) выражения B2. 13), в котором поло-
положено tlt t2 -> —со, дает
Ф„ A, 2) = Г dq3dq, lim Фо„ C, 4) х
J	ta, ti-*—°°
[^>+ B) ^в A) S] ^ [Ц?+ C) 4>в D)] | ?„)
X
203

Учитывая определение свертки (§ 9), имеем
N Ы C) г^в D)] = Т fo>+ C) фв D)] + iG0 D, 3),
откуда
Ф„A,2)= [dq.dq, lim ФогеC,4)Х
X [Go D,3)GA,2) - 0A,4,2,3)].
Используя соотношения B1.18), имеем окончательно
Ф„A,2) = -ГЛ78^4 lim ОA,4,2,3)Ф0„C,4). B2.20)
J	и, *«-»•-»
Равенства B2. 15) и B2. 20) очень наглядны, они определяют
эволюцию величинФ„ A),Ф„ A, 2) от бесконечного прошлого, где
корреляция между частицами отсутствовала, к интересующему
нас моменту. Функции О при этом проявляют в полной мере свой-
свойства, присущие функциям Грина.
Для функции Ф„ A, 2), как и для Ф„ A), можно составить
некоторое интегральное уравнение. Подставляя соотношение
B0. 12) в равенство B2. 20), находим
Ф„A,2) = — Г dq3dqi lim [о A,4, 2,3) +
+ 4 Jd5d6d7d8G(l,5)GD,6)AE,6,7,8) X
X G G,2H(8,3)] Фоп C,4).	B2.21)
Для упрощения этого уравнения заметим, что комбинацию
§dq3dq4G D, 3) Фо„ C, 4) можно положить равной нулю в пределе
h>. h -> —о°. При этом G D, 3) -> 00 D, 3), и соотношение B1. 18)
дает нулевой результат.
Введем далее функцию
&n(l,2)=[dq3dqi lim О A, 3) О D, 2)ФогеC, 4), B2. 22-)
которая описывает корреляции частицы и дырки с системой,
но не друг с другом. Тогда уравнение B2. 21) принимает вид
+ 4 §d3d4d5d6G A, 3) О E, 2) А C, 4, 5, 6) Ф„ F, 4). B2. 21')
Это уравнение можно свести к интегральному уравнению для функ-
функции Ф„, которое может служить для нахождения спектра. Для
этого следовало бы произвести выделение компактной вершинной
части, подобно тому, как это было сделано в применении к парной
функции Грина в § 20. Мы проведем конкретное рассмотрение
этих вопросов в § 25; здесь же заметим, что соответствующее
уравнение для определения А?п также в общем случае имеет комп-
лескные корни.	.
204

22. 6. В двух предыдущих разделах мы рассмотрели задачу
об определении спектра возбужденных состояний системы в пред-
предположении о том, что устойчивые волновые функции нулевого
приближения описываются первыми членами разложений B1. 9),
B1. 10). При этом выяснилось, что величина энергии возбуждения
Л?„ и матричный элемент Ф„ определяются уравнениями, содер-
содержащими соответственно массовый оператор и вершинную часть.
Появляющаяся при решении этих уравнений мнимая часть энер-
энергии — затухание — имеет при указанной постановке задачи чисто
формальный смысл и играет роль меры точности принятого пред-
предположения о виде устойчивой волновой функции. Если величина
затухания получается сравнимой с &Еп, то это свидетельствует
о грубости предположения. Выбирая тогда в качестве устойчивой
функции ^ Оп, скажем, первые два члена разложений B1.9),
B1, 10), мы приходим к более сложным уравнениям для функций
Ф„, содержащим дополнительно вершинную часть (для одночастич-
ного) и шестиполюсник (для парного возбуждения). Решение этих
уравнений приведет к меньшему затуханию. При необходимости
эту процедуру можно продолжить.
Рассмотренная постановка задачи, цель которой найти
стационарные возбужденные состояния системы сами по себе,
является далеко не единственно возможной. Важный класс задач
теории многих частиц требует ответа на вопрос о результатах пере-
перехода системы в возбужденное состояние за счет определенного
механизма возбуждения. Другими словами, требуется найти ре-
результат эволюции во времени определенным образом созданного
возбужденного состояния системы. Сюда же примыкает задача об
описании перехода системы в невозбужденное состояние. Имеется
в виду, в частности, процесс распада одночастичного возбужден-
возбужденного состояния с испусканием одной частицы. Как будет выяснено
ниже, при этом по-прежнему можно пользоваться найденными
выше уравнениями, однако их смысл оказывается совершенно
иным. В частности, мнимая часть корня этих уравнений имеет
прямой физической смысл, характеризуя скорость «исчезновения»
первоначального состояния, точнее говоря, скорость убывания
со временем вероятности обнаружить это состояние.
Характерная особенность рассматриваемой постановки задачи
состоит в том, что вид волновой функции Чгвп(—оо) в данном
случае навязан физическими условиями задачи. Существенно, что
величина WB п (—ее) не совпадает с устойчивой волновой функцией
нулевого приближения. Поэтому точная волновая функция воз-
возбужденного состояния системы представляет собой суперпозицию
волновых функций с различными (но близкими) значениями энер-
энергии. Система находится при этом в квазистационарном состоянии,
а соответствующий уровень энергии имеет конечную ширину.
22. 7. В качестве примера рассмотрим возбуждение системы
(в частности, атомного ядра) налетающей частицей того же сорта,
что и частицы системы. Считается, что система первоначально
205

находилась в основном состоянии. В данном случае нам известна
волновая функция системы при t ~> —-со, совпадающая по струк-
структуре с первым членом разложения B1. 10):
Чъ „ (-оо) = f dq2 lim Ф B) i|>+ B) %,	B2. 23)
J	t,-*— оо
где Ф B) — некоторая функция. Дополнительные пары по усло-
условию отсутствуют.
Подставим приведенное выражение для Чгвге(—со) в соотноше-
соотношение B2. 7), которое запишем в виде
Повторяя рассуждения, приведшие нас к соотношению B2. 15),
убеждаемся в том, что оно теперь имеет совершенно точный харак-
характер. При этом является точным и уравнение B2. 16):
(i JL- 7- W) Ф„A)- J <ЙЛ* A, 2)Ф„B) = 0, B2. 24)
которое можно трактовать как эффективное уравнение Шредин-
гера, описывающее состояние попавшей в систему внешней час-
частицы. Делая подстановку Ф„ A) = Ф.„ fa) ехр (—/A?B*i), при-
приходим к уравнению, аналогичному B2. 17):
- J dq%M Dl, <?2, &Еп) Фп fa) = 0,	B2. 25)
которое непосредственно отвечает понятию об оптическом потен-'
циале, широко применяемому в теории ядерных реакций. Опти-
Оптический потенциал U, равный
Щ>„ Ш = WOn fa) + J dqtM fa, q2 Щ Фп fa), B2. 26)
состоит из двух частей: самосогласованного потенциала IV, зави-'
сящего от импульса и определяющего общую потенциальную
яму, в которой движется частица, а также массового оператора,
который имеет нелокальную структуру, зависит от энергии воз-
возбуждения и содержит мнимую часть, отвечающую поглощению
частицы.
Приведем выражение для мнимой (антиэрмитовой) части опти-
оптического потенциала в низшем порядке теории возмущений, исполь-
используя выражение для собственно энергетической части 2, совпадаю-
совпадающей в этом приближении с М (см. § 14). Соотношение A4.9) дает:
[A — «Их) A — Яц.) «из — «ц^м, A — «м,)] X
X О (8--)- Ец3 Ер,, - Ец2),
206

откуда
Im M (qit q2 AE) = S^v •& Ы Xv (<7i) Im. ?Mv №• B2. 27)
Рассмотрение оптического потенциала в тяжелом ядре в рамках
модели, отвечающей потенциалу взаимодействия A. 11), проведено
в работе [91 ]. При этом получено хорошее согласие с опытом в.об-
в.области малых энергий. Понятие об оптическом потенциале и выпи-
выписанные выше полевые уравнения для его определения могут ока-
оказаться полезными и в применении к проблеме рассеяния электронов
на атоме, где указанным образом может быть описана, в частности,
поляризация внутренних оболочек внешним электроном.
Соотношение B2. 15) дает возможность прямо выразить сече-
сечение рассеяния частицы на системе через одночастичную функцию
Грина основного состояния системы. С этой целью Фо„ B) нужно
трактовать как состояние падающей частицы, а Ф„ A) при t^-y +
+ оо — как состояние рассеянной частицы и поступать обычным
в теории рассеяния способом [92, 93].
22. 8. Особенно наглядно проявляется мнимая часть энергии
возбуждения в задаче о распаде возбужденного" состояния системы
jV + 1 частиц с испусканием одной частицы и возвращением
остальной системы в основное состояние. В данном случае нам
известна волновая функция системы при t -> +oo, также совпа-
совпадающая по структуре с первым членом разложения B1. 10):
^в «(+0°) = Г dq% lim Ф B) $
B)
Удобнее здесь рассматривать не функцию Ф„ A), а ей сопря-
сопряженную
Подставляя сюда соотношение
найдем *
2 lim
= i [dq2 lim Ф* B) G B, 1).
Дальнейшее рассмотрение потребует проведения некоторых
предварительных выкладок. Покажем, прежде всего, что имеет
место уравнение:
* Здесь опущен несущественный фазовый множитель ( ?„ | S | ^о > ¦
207

Для этого нужно учесть уравнение
и провести те же рассуждения, что и в § 10, учитывая равенство
W+ = ИЛ
Нашей целью является получение аналогичного уравнения
для точной функции Грина. Пусть оно имеет вид
где X—неизвестный оператор. С учетом уравнения Дайсона
получим
о(^2)+ j"d3G0(l,3)MC,2) = d(l-2).
Сравнивая это уравнение для Go с приведенным выше, находим
Xf B) = (Tqt + Wq2)f B) + J d3f C) M C, 2).
Таким образом, окончательно
(~(Ж~ T~W)G 0-, 2) — I dSG 0. 3) M <3- 2) = б 0—2).
Возвращаясь к полученному выше уравнению для Ф„, найдем
>n(l)-§<12ФпB)МB, 1)-0
или, сопрягая это уравнение,
Здесь мы обозначили через М+ A, 2) величину М* B, 1).
Отыскивая решение этого уравнения в виде Ф„ A) = Ф„ (?i) X
X ехр (—iAEJj), получим
АЕп ~ Т - W) Фп (q,) - j dq2 M+ (qlt qt, AEn) Фп (q2) = 0. B2. 28)
Это уравнение, имеющее комплексные решения, дает спектр рас-
распадающейся системы, а мнимая часть АЕп — ширину уровня.
Сама величина ФЛ^Ь) — (ЧГ|'Ф (9i)|^n) имеет смысл амплитуды
вероятности обнаружить в возбужденном состоянии ?„ частицу
в точке qx и оставшуюся систему в основном состоянии. Другими
словами, Ф„ (qi) представляет собой амплитуду перехода из со-
состояния Wn в состояние г|)+ (qx) W.
До сих пор мы рассматривали примеры, относящиеся к одно-
частичному возбужденному состоянию системы. Аналогичным об-
образом обстоит дело и для парных возбуждений. И в этом случае
208

мнимая часть энергии имеет прямой физический смысл, описывая
затухание (распад) возбужденного состояния системы. Оставляя
конкретное рассмотрение относящихся сюда вопросов до § 28,
отметим здесь лишь следующее. Определить, имеем ли мы дело
с квазистационарным или истинно стационарным состоянием
системы, проще всего, мысленно выключая корреляционное взаи-
взаимодействие между частицами. Если возникающее при этом состоя-
состояние отличается от устойчивого состояния нулевого приближения,
то мы заведомо имеем дело с квазистационарным состоянием.
Именно так бывает, например, при электромагнитном возбужде-
возбуждении системы с кулоновским взаимодействием. После выключения
корреляционного взаимодействия мы получаем состояние, которое
является суперпозицией состояний с одной, двумя и т. д. парами.
Вклад состояний с п парами определяется величиной (е2/йс)п.
Малость е2/йс позволяет считать, что практически имеется лишь
состояние с одной парой, которое не совпадает с устойчивым со-
состоянием. В последнем вклад состояний с п парами определяется
не (e2/fic)n, а соответствующей степенью эффективной константы
взаимодействия между частицами системы.
22. 9. Обратимся теперь к вычислению волновой функции
возбужденного состояния системы Wn. В принципе эту величину
можно связать с волновой функцией нулевого приближения опера-
оператором 5 @, —со). Однако практическое проведение соответствую-
соответствующих расчетов представляет собой весьма нелегкую задачу. Кроме
того, всей информации, заключенной в функции Wn, чаще всего
не требуется. Наибольший интерес представляет матрица плот-
плотности возбужденного состояния системы Rn (qx, <72), дающая
распределение одночастичных характеристик в этом состоянии
и связанная обычным образом [Rn (qx, q2) = —i lim Gn A, 2I
tt+O
с одночастичной функцией Грина возбужденного состояния си-
системы
0„A, 2) = -1(?ге|Г[Ч>гA)^B)]|?ге).	B2.29)
В этой связи возникает вопрос: выражается ли величина Gn A, 2)
через рассмотренные выше матричные элементы Ф„ или ее опре-
определение требует решения каких-то новых уравнений. Функция Ф„,
будучи матричным элементом, связывающим функции Wn и W,
содержит в себе некоторую информацию, относящуюся к Wn.
Вопрос состоит в том, достаточна ли эта информация для описа-
описания одночастичных характеристик состояния ?„.
Этот вопрос можно перевести и в другую плоскость. В § 21
мы видели, что величины ФОп A), Фо„ A, 2) можно трактовать
как волновые функции того комплекса частиц и дырок, появле-
появление которого приводит к возбуждению системы. При включении
корреляционного взаимодействия величины Фо„ A) и ФОп A,2)
переходят соответственно в Ф„ A) и Ф„ A, 2). Если бы оказалось,
что (хотя бы в указанных выше предположениях о виде устой-
устойчивой функции ?„„) величины Ф„ A) и Ф„ A, 2) можно по-преж-
209

нему трактовать как волновые функции некоторого, хотя и более
сложного, комплекса, то решение вопроса не составляло бы труда.
При этом имели бы силу соотношения B1. 23), B1. 24), а также
B1. 21), в которых следовало бы заменить функции ФОге на Ф„:
Rn(ft, Ъ) - Я (ft, ft) = Ф»ШФп (Яг), - B2. 30)
Rn (ft, ft) — R (ft, ft) = Idft [Ф« (ft> ft) Фге (ft, ft) -
-Ф»(<7«. ft)®»(ft. ft)L	B2.31)
J dft I Ф„ (ft) I2 = 1	I dft dq% | Ф„ (G, ft) |a - 1. B2. 32)
Перейдем к рассмотрению поставленного вопроса. Учитывая
соотношения	/
перепишем, выражение B2. 29) в виде
\ T 0/1 I *-* | T On /
Подставляя сюда выражения для WOn с t1-> —со и Won с tY ->
-> -f 00, можно привести это соотношение к функциям Грина основ-
основного состояния системы:
. Gn A, 2) - ii^*4 Ф°" D) G{4'1' 3' 2) Ф°" C)
}dq3dq4O0nD)GD, 3)Ф0„C)
где /3 ->- —со, ^4 -> +оо. Сразу же можно заметить, что знамена-
знаменатель фактически равен единице. В самом деле, используя выраже-
выражение B2. 15), перепишем его в виде
Jcfft lim Фо»D)Ф„D).
tt -*¦ 00
Но при tt ->- со функция Ф„ переходит в Фо„ (вследствие выключе-
выключения взаимодействия). Учитывая условие нормировки B1. 21),
приходим к искомому результату.
В числителе выражения для Gn A, 2). заменим функцию Грина
ее представлением через вершинную часть B0. 12). При этом можно
избавиться от функций Фо„, заменяя их функциями Ф„. Для этого
можно использовать соотношение B2. 15), а также соотношение
ф*A) = — i]dqz lim G B, 1)Ф0*„B),
которое можно вывести тем же способом, что и B2. 15). В резуль-
результате приходим к следующему основному соотношению:
— USd3d4dbd&Q)*n{3)G(\, 4) G F, 2)ДC, 4, 5, 6)Ф„E). B2.34)
Переходя к матрице плотности, получаем (t2 — tx -> +0)
К (ft, ft) - R (ft, ft) = ®*n (ft) Ф„ (ft) +
+ 4^d3d4d5dQOnC)G(l, 4) G F, 2)AC, 4, 5, 6)Ф„( 5). B2,35
210

Второй член правой части выражения B2. 35) нарушает соотно-
соотношение B2. 30). Это обстоятельство имеет простой смысл, поскольку,
как уже указывалось в § 20, указанный член описывает рассея-
рассеяние комплексов друг на друге, препятствующее возможности их
независимого существования. В общем случае это рассеяние играет
существенную роль; однако в разреженных (нерезонансных)
и сжатых системах это рассеяние вносит сравнительно малый вклад.
Поэтому для таких систем понятие о волновой функции одноча-
стичного возбуждения может (с соответствующей точностью)
оказаться оправданным.
22. 10. Сложнее обстоит дело с парными возбуждениями.
Подставляя в общую формулу B2. 33) выражения для WOn с tu
гг -»¦ —со и для Won с tlt t2 -> +oo, находим
dq3 dqA dqb dq6 ФОп E, 6) (?0 | Г [if E) ifB A) X
lit	f	f	1	^"^4	/ Г" *"* 4 / "I T I* I ^T^ !¦	/Г~\ 1	/ A \ 1 I / rt \ . \	^	/
X ф+FM]|?0)Ф0„C, 4)	j
где th, te -> со, ^3, t4 -> —oo. Вводя в знаменателе парную функ-
функцию Грина и учитывая уравнение B2. 20) и условие нормировки
B1.21), нетрудно убедиться в том, что знаменатель равен еди-
единице.
Вводя трехчастичную функцию Грина
G(l, 2, 3, 4, 5, 6)-
_ / аз <?о I Т К О) *в BJ ^в C) ^+ F) ^+ E) t+ D) S\ | ?0)	'
— V */	/ m I о m \	, (¦?*¦ Ol)
можно написать
GBA, 2) = -ijdq3dqidq,dqeO'0nE, 6) X
XGE, 1, 4, 3, 2, 6)Ф0„C, 4).	[B2.38)
Если подставить в выражение B2. 37) разложение 5-матрицы
по нормальным произведениям, то понадобится дополнительный
член этого разложения, содержащий yV-произведение шести
операторов. Соответствующая функция — шестиполюсник — по-
помимо несвязной части содержит также и связную часть, описываю-
описывающую взаимные корреляции трех частиц. Малость связной части
шестиполюсника является необходимым условием существования
волновой функции пары. Это условие во всяком случае выпол-
выполнено в разреженной системе, где следует учитывать лишь парные
корреляции частиц. В сжатых системах тройные корреляции столь
же существенны, что и парные, и ими можно пренебречь только
тогда, когда вообще корреляции невелики.
Даже в пренебрежении тройными корреляциями соотношение
{22. 38) не сводится к выражению B2. 31). Последнее можно
было бы получить лишь при условии, что трехчастичная функция
211

Грина в пренебрежении связным шестиполюсником представляется
суммой интегралов типа
jd7GE, 1, 6, 7)GG, 3, 2, 4).
При этом соотношение B2. 20) (и аналогичное соотношение для
Ф^) позволило бы заменить в выражении B2. 36) функции Фо„
на Ф„ и получить соотношение B2. 31). Однако все обстоит
гораздо сложнее *.
Приведем результаты, относящиеся к сильносжатому электрон-
электронному газу [94]. В этом случае точная волновая функция возбу-
возбужденного состояния системы может быть представлена в виде [951
Т„ (N) = j dqx dq2 Ф„ (ft, qt) N [г|>+ fa) ^ fa)] Y,
где Ф^, — некоторая функция, связанная с Ф„] соотношением **
Фге (<7i, ft) = №qa [Фп fa, (/„) R (q3, q2) — R fa; q3) Ф'п (qs, ft)].
Матрица плотности и условие нормировки выражаются через
обе функции Ф„ и Ф„:
Я» (ft. <7«) — #(ft. <72)
Таким образом, в данном случае понятие волновой функции ком-
комплекса отсутствует. Можно показать, что применение соотноше-
соотношения B2. 31) для описания однородного электронного газа приво-
приводит к грубым нарушениям общих теорем типа теоремы вириала.
Отсутствие понятия волновой функции пары объясняется при этом
сильной поляризацией среды, что делает невозможным описание
возбужденного состояния системы с помощью одной функции
двух координат. Если бы поляризация вакуума в квантовой
электродинамике была значительной, то по той же причине поте-
потеряло бы смысл понятие о волновой функции позитрония.
В заключение можно сказать, что вопрос о внутренней струк-
структуре рассматриваемого комплекса — о распределении координат,
импульсов и т. п. внутри него — представляет собой задачу
более сложную, чем задача о нахождении спектра возбуждений.
Первая задача требует рассмотрения функций Грина более высо-
высокого порядка, чем вторая.
* В случае одночастичного возбуждения число аргументов функции Грина
в числителе Gn A, 2) ровно вдвое превышало число аргументов функции Грина
в соотношении B2. 15). Поэтому Gn A, 2) выражалось в виде произведения двух
функций ф„. Это чисто арифметическое обстоятельство и отличает одночастичные
и парные возбуждения.
** При выключении корреляционного взаимодействия функция Фп совпа-
совпадает с функцией Ф„.
212

Тем более сложным является вопрос о возможности введения
волновой функции указанного комплекса: Имеющиеся в литера-
литературе утверждения о том, что волновой функцией является Ф„ *
[80], вряд ли можно считать правильными во всех случаях.
/§ 23. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
23. 1. В этом параграфе будет дан вывод важнейшего соотно-
соотношения метода функций Грина — их спектрального (или парамет-
параметрического) представления [88, 96] **.
Это представление в аппарате теории играет двоякую роль.
С одной стороны, оно позволяет решить до конца задачу о нахожде-
нахождении самих функций Грина. Даже если решена задача о нахожде-
нахождении массового оператора М, функция Грина не определена еще
однозначно (см. § 19). Требуется дополнительная информация
о том, как понимать функцию G в точках, где ее знаменатель,
обращается в нуль. Спектральное представление дает соответствую-
соответствующую информацию, или, как говорят, определение правила обхода
полюсов функции Грина.
С другой стороны, спектральное представление дает возмож-
возможность естественным образом ввести и интерпретировать важней-
важнейшее понятие современной теории многих взаимодействующих
частиц — понятие квазичастицы или элементарного возбуждения,,
а также найти его основные характеристики: закон дисперсии
и затухание.
При выводе спектрального представления фактически не де-
делается никаких предположений о характере системы и законах
взаимодействия ее частиц. Несмотря на такую общность подхода,,
можно специализировать зависимость функции Грина от одной
из переменных — энергии. Эта специализация и дается спектраль-
спектральным представлением.
23. 2. Переходим к выводу спектрального представления одно-
частичной функции Грина G. Запишем ее в виде
B3.
Используем правило умножения матриц
2
i
справедливое в случае полноты системы функций Wt\ соответствую-
соответствующее условие имеет вид
2?;(а)?;(Р) = бар,
* ФункцияФп по-прежнему определяет матричный элемент перехода системы
в возбужденное состояние при наличии корреляционного взаимодействия.
** В дальнейшем мы следуем в основном работе [88].
21*

где а и Р — значения переменных, от которых зависит Wt. Под-
Подход, основанный на использовании промежуточной системы функ-
функций, был введен в теорию поля Челленом и Леманом [97].
В рассматриваемом случае в качестве промежуточной системы
удобно использовать точные собственные функции полного га-
гамильтониана
(Н-Еп)Чп .0.
Речь идет о собственных функциях всех состояний (основного
и возбужденных). Следует ввести в рассмотрение собственные
функции, отвечающие любому числу частиц в системе (а не обя-
обязательно А/), лишь бы эти функции были собственными функциями
¦оператора Н. Таким образом, следует использовать все возможные
собственные функции Н. Полнота этой системы относится к пред-
предположениям, лежащим в основе всякого квантовомеханического
рассмотрения.
Рассмотрим сначала верхнюю строчку выражения B3. 1).
Ее можно записать в виде
В это разложение дают вклад только одночастичные промежу
точные состояния Wn. В самом деле, учитывая связь ij)r A) ==
= 5 (tu 0) if (<7i) 5 @, tj, мы видим, что оператор ij)r A) умень-
уменьшает число частиц на единицу, поскольку 5-матрица содержит
равное число операторов рождения и уничтожения и не меняет
числа частиц.
Не составляет труда выразить функцию Грина через функции
<?„ A) (см. § 22). Именно, при ^ > t2
Учитывая зависимость входящих сюда величин от времени,
имеем
G(l,2) = -12 Фп Ы Ф„ Ы ехр [ - i AEn (t, - tt)].
п
Аналогичным образом обстоит дело и при tx <C t2. Однако
в этом случае промежуточные состояния имеют на единицу мень-
меньшее число частиц (или лишнюю дырку). Вводя матричный элемент
Фп A) = (Y| tf>t A) | Wn (N — 1)), зависимость которого от вре-
времени определяется формулой
где
можем написать окончательно
О A, 2) = -t У I Ф"{qi) °" ?l} eXP [I AEn {tl ~ *2)] fl > k B3 2)
V } - ф; (qt) Фп (q2) exp [i AEn (tt - t2)] t < /
214

Как и в § 22, величины АЕп и АЕп можно выразить через энергию»
возбуждения системы того же (N) числа частиц, которое имеется
в основном состоянии. Обозначая через ц точный химический потен-
потенциал системы, имеем
АЕа = п + ц,\ ,
?	B3. 3>
Число частиц N предполагается при этом большим.
Переходя к фурье-образу по переменной t^ — t2, найдем
с учетом соотношений приложения В
G (qlt Яг, в) = 2 - A?-	,-a + л А?'_ 1/6 Г B3' 4)
23. 3. Проанализируем полученное соотношение. Представим
себе, что суммирование по п проходит в два этапа: во-первых,
по всем значениям энергии возбуждения АЕп, во-вторых, по всем
подсостояниям, отвечающим данному значению АЕп. Практи-
Практически удобно работать таким образом, как будто спектр энергии
непрерывен. Если фактически в системе имеются дискретные
уровни, то это автоматически отражается появлением б-функции
от энергии в подынтегральном выражении.
Рассматривая поэтому бесконечно малый интервал энергии
возбуждения
Е ¦< АЕп ¦< Е -\- dE,	B3. 5)
овые функции A (qly q2, E) и В (qu
)шениями
А(Я1,
мы можем ввести новые функции A (qlt q2, E) и В(дъ q2, E),
определяемые соотношениями
В (qlt q2, Е)с1Е = У,Ф*п(q,)Фп (q2),
B3. 6)-
где суммирование в правых частях ведется по состояниям, удо-
удовлетворяющим условию B3. 5). Функции Л и В определяют,
таким образом, плотность уровней системы. Их можно записать,
также в виде
A (qlt q2, Е) = У>Ь(Е-АЕп + ц) Ф^ (q2) Фп (qj,
П
В (<?!, qt, E) = Ti6(E-AEn- ц) E; (я,) Ф„ (q2). /23. 6>
п
Теперь можно перейти от суммирования по п к интегрирова-
интегрированию по Е, используя общее соотношение, вытекающее из соот-
соотношений B3. 5) и B3. 6):
2 Ф» Ы Ф* Ш X {ЬЕ'п) ^UEA fa, q2, E) X (Е).
П
215-

Здесь X — произвольная функция. Аналогичное соотношение
пишется и для функции В. Таким образом, соотношение B3. 4)
.можно переписать в виде *
г i	\ Г jc Г A(qi, q2, E)	В (qlt q2, E)  ,„„ _.
411 > ' J	[e — E—(x + 18 e + ? — (л — toj ч	'
о
Полученное соотношение и носит название спектрального пред-
представления функции Грина.
Отметим полезное соотношение
ldE[A (ft, ft, E) + В (ft, ft, ?)] = б (ft — ft). B3. 8)
о
Его левую часть можно представить в виде
ft) I Т„>
Входящую сюда сумму можно вычислить:
¦Соотношение B3. 8) выражает условие полноты системы ^?п в его
чистом виде.
Рассмотрим вопрос об асимптотике функции Грина при боль-
больших значениях е. Умножая спектральную формулу B3. 7) на е
и полагая е->¦ оо, найдем
eG(ft, q2, е)^ в (ft-ft).	B3.9)
Здесь мы использовали соотношение B3. 8). К тому же пределу
стремится и свободная функция Грина Go (qlt q2, e), что легко ви-
видеть из ее выражений (см. § 10). Это обстоятельство имеет вполне
ясный физический смысл: частица большой энергии лишь в' малой
степени реагирует на силы, действующие со стороны других
частиц.
Весовые функции А я В нетрудно связать с матрицей плот-
плотности основного состояния системы. На основе тех же соображе-
соображений, которые привели нас к формуле B3. 8), находим
оо
q2,E).	B3. 10)
(q1q2) ^
о
00
Интеграл j dE A (qъ q2, E) [дает соответствующую матрицу
о
плотности, описывающую распределение дырок.
* Величина Е = Д?ге всегда положительна, поскольку энергия основного
состояния отвечает наинизшему уровню спектра.

23. 4. В пространственно-однородной системе приведенные со-
соотношения несколько упрощаются. В этом случае в число индек-
индексов состояния п в соотношениях B3. 6) входит импульс р возбу-
возбужденного состояния системы (в основном состоянии импульс
считается равным нулю), причем Ф„ (дх) — а ->¦ exp (ip*i), где
ге'р
ге'р
а + — некоторый зависящий от р коэффициент. Аналогично
Ф« (<h) = а ->ехр (—ijCUi)- Подставляя эти выражения в соотно-
п' р
-+	->
шения B3. 6) и B3. 7) и вычисляя фурье-образ по разности хх — х2„
найдем
Afp'E)
*'E) -J B3.11)
где коэффициент A (p, E) пропорционален 2 la ^ |2, В (р, Е)
„« n'p
пропорционален 21 a -+ 2; суммирование производится в интер-
п' »'Р
вале B3. 5) при фиксированном р. Отсюда следует положитель-
положительность величин Л и В:
А > О, В > 0.
Выражение для свободной функции Грина (см. § 10)
G Ср, е) = [е — е-* + t6 sign (е-». — е^)]	B3. 12),
р	р
получается из общей спектральной формулы B3. 11) при выборе-
А(р, Е) = д(Е + ц — )
р |	B3. 13),
В(р, ?) = б(?- + ) '
Здесь мы положили ц — eF *.
* Это равенство не ограничено случаем идеального газа (см. § 4). Вернемся
к неоднородной системе и учтем, что в приближении Хартри — Фока Ф„ A7) =
= %v (q), Д?„ = ev- ®n (?) = хС(?)> A?n = — V Поэтому, согласно соотно-.
шению B3. 6'):]
A{qlt <72, ?) = 2 й(?-^ + НхСЫх,(^),
V
Подставляя эти выражения в соотношение B3. 7), находим
Сравнивая полученное соотношение с выражением A0. 7), убеждаемся в вьшол^.
нении равенства химического потенциала и энергии Ферми в приближении
Хартри — Фока.
21?"

Сравнивая соотношения B3. 11) и B3. 12), можно сказать,
что спектральное представление точной функции Грина позволяет
интерпретировать ее как функцию совместного распространения
свободных частиц (соответственно дырок), имеющих энергию
Е + ц (соответственно —Е -\- \а) и представленных с весом А
(соответственно В). Тот объект, распространение которого описы-
описывает функция G, представляет собой, таким образом, сложную
•суперпозицию частиц и дырок. При отсутствии взаимодействия
(точнее говоря, корреляции) эта суперпозиция сводится в соот-
соответствии с соотношением B3. 13) к одному члену.
23. 5. Выше уже упоминалось о том, что спектральная формула
дает возможность установить правила обхода особенностей
функции Грина и тем самым придать этой величине полную одно-
однозначность. Это достигается установлением связи между действи-
действительной и мнимой частями функции Грина.
С этой целью рассмотрим симметричную и антисимметричную
•относительно перестановки qx и q% части G, А и В, обозначая эти
части соответственно индексам «с» и «а». Отметим сразу же, что
величины Ас и Вс действительны, а Аа и Ва — чисто мнимы.
В самом деле, учитывая определения B3. 6), имеем
im [ф; (?а) ф„ fa) + ф; fa) фп ы] - о,
Re [Ф; (<?,) Ф„ fa) - Ф; fa) Фп fa)] = О
и аналогично для функции В. Поэтому мнимая часть симметризо-
ванной функции Грина Gc (qu q2, e) обязана своим появлением
только факторам ±t6 в знаменателе. Подобное утверждение
относится к действительной части Ga (qlt q2, s). Учитывая соотно-
соотношение
Im (a + t'6) = +/яб (а),
находим:
Im Gc = я]dE { - Ас(Е) б (Е - в + ц) + ВС(Е) б (Е + е - ц)},
о
ReGa = in jdE { - Аа(Е) б(? - е + ц) + Ва(Е) б (Е + е - ц)}. •
о
При е >> ц в области интегрирования обращается в нуль аргумент
первых слагаемых в фигурных скобках; при е << \л эффективно
второе слагаемое.
В результате находим:
B3. 14)
218

или иначе
~-
Be(E) = ^ ImGc (ц-E),
B3.
Подставляя эти соотношения в спектральную формулу, находима
Gc(s) = - — [dEi 1т^^ + ?>---^^—gL\,
я J	(е — t — [i ~\- io e. i- Ь — ц — to j
я J fl?
( ReGa(H + -g)
Эти соотношения можно записать в более компактной формеь
если в первом слагаемом произвести замену ц + Е -± Е, во втек
ром слагаемом ц — Е -+ Е:
С,
— n)lmGc(E)
—	' Г
-	я J
— ' Г Л/? sign (? - ц) Re Ga (?)
~n J atl E-E + i&sim(E-uf
B3. 15>
Выделяя действительную и мнимую части уравнений B3. 15)<
и учитывая соотношение
найдем окончательно
ReGc(e) =	^р ? dE
JT	J
Я
sign (Е-») Im GC(E)
sign (?-,*) ReС„
B3. 16>
Используя соотношение B3. 11) и факт действительности А.
и В, найдем, что в пространственно-однородной системе
ReG(p,e)=	L
sign (? - ,г) Im G (p, ?)
6 — .t
219fc

Не составляет труда найти и обратное соотношение, выражаю-
выражающее мнимую часть через действительную. С этой целью докажем
соотношение
B3. 18)
J (e — ?)(e — ?')	*•
При Е Ф Е' прямое вычисление дает нулевой результат, при
Е = Е' левая часть соотношения B3. 18) обращается в бесконеч-
бесконечность. Для нахождения численного коэффициента при б-функции
возьмем интеграл от левой части по Е — Е' = ?:
lim P Г dt, f de
1
JV-+0O
lim P f —In
-TV	—00
.Делая замену е -->- Л/е, приходим к интегралу
N + 8
N — е
p Jl
1
= — л",
¦что и доказывает соотношение B3. 18).
Умножая обе части соотношения B3. 17) на
яо е и учитывая соотношение B3. 18), найдем
6 —
интегрируя
ImG(p, е) = —sign (е — ц)Р dE
Re G (p, E)
е—Е
. B3. 19)
Покажем, как восстанавливаются правила обхода с помощью
этих соотношений на примере свободной функции Грина. Пусть
;нам известна действительная часть функции Грина
ReG0(p, e) = P-^—.
Подставляя это выражение в B3. 19), найдем
Im Go (р, е) = — лб (е — е->) sign (е>. — ц).
Таким образом, мы вернемся к правильному выражению:
Go (р, е) -^ Ге — е^- -f i6 sign (e^- — е^)!,
¦если учтем, что химический потенциал ц совпадает с eF.
Соотношения B3. 14) для пространственно-однородной си-
системы можно записать в виде
Im G (р, е) = я '
— А(р, г — ц) е > ц
В.(р, ц — е) е<(л.
220

функции Л и В не только действительны, но и положительны.
Поэтому мнимая часть функции Грина меняет знак в точке е = ц:
B3. 20)
lmG(p, e)>0 - "-
В частности, в самой этой точке, предполагая непрерывность рас-
рассматриваемой функции, мы должны положить
lm G (р, у) = 0.	B3.21)
23. 6. Сходным образом проводится исследование парной функ-
функции Грина B0. 1):
G(l, 2, 3, 4) = — (W\T [г|>гA)Ч>гB)г|>+D)г|>+C)]|Ч').
Для наших целей достаточно рассмотреть предел
G(\, 2) = limG(l, 2, 3, 4),
A-t-l, 3->2,
равный
Последующие выкладки подобны проведенным в начале этого
параграфа; разница состоит в замене операторов if>r (I), if>+ B)
на комбинации г|з+ A) if>r A) и г(>+ B) if>r B). Введем, как и выше,
полную систему промежуточных состояний Wn; теперь, однако,
эти состояния будут отвечать тому же числу частиц N, что и основ-
основное состояние системы. Вводя функцию
Фге (<7i, Ял, t) = Ф„ (<71; <72) ехр (—i AEJ),
можем написать *
7г, <7г) exp[i AEn(t{ — Щ
Вводя фурье-образ G по t1 — t2, будем иметь
G (<7Х, <72, е) =
8 — Д?„ 4- гб
* В приводимой формуле стоит знак (+) перед второй строчкой, поскольку
переставляются пары операторов.
,	.	221

Переходя от суммирования к интегрированию, найдем
со
а в) - Г dE ГЛ^'^'?) А
где
(<7ь
— Л?„) Ф^ (fe q2) Фп (?,, q,). B3. 23)
В случае пространственно-однородной системы Ф„ (qlt ох) =
.-= а -> exp (ipx-^j, где р — суммарный импульс возбужденного
п'р
пр
состояния, п' — прочие индексы состояния. Тогда
п'р
exp
— ~х2)\,
п (<7ь
Можно показать, что а -> = а -+ и, следовательно, аП' 11 2 =
/г'р	/г', —р
= I a
2. Действительно, в рассматриваемом случае в мат-
матричный элемент Ф„ дает вклад лишь часть оператора if>+ (ff i)^(ffi),
отвечающая импульсу р, именно j dxx exp (—ip^i) г{>+ (<7г) г{> (^j) =
п' , —Р
= O-». Ввиду эрмитового характера оператора \|)+ \]) имеем О^ =
р	р
= О -», откуда и следует наше утверждение. Таким образом,
- f
— J
A (р' Е)
B3. 24)
где А (р, Е) — действительная положительная величина.
Непосредственно видно, что А =	ImG. Отсюда
dE2lmG(p,E)
B3. 24')
23. 7. До сих пор переменные ей Е были действительными вели-
величинами. Для выявления аналитических свойств функции Грина
в полном объеме необходимо рассмотреть и комплексные значения
этих величин, т. е. аналитически продолжить функцию Грина
в комплексную плоскость энергии.
Преобразуем формулу B3. 11): делая во втором слагаемом
замену Е -»¦ —Е и вводя обозначение
F(p, E) =
А(р,Е)
В{р,-Е) ?<0,
222

получим
<?&«)= f dE г-^-E + L^tE) ¦	<23-25>
Введем новую комплексную переменную
? = Е — id sign (E).
При Е > О I = Е — ib, при Е < 0 ? = Е + ifi.
В комплексной плоскости ? контур интегрирования С, отвечаю-
отвечающий действительной оси для переменной Е, примет вид, изображен-
изображенный на рис. 47. Для пояснения заметим, что при Re? = Е >> О
(в правой полуплоскости) мы должны взять ? = Е — ib, т. е.
сместить вниз действительную ось интегрирования на отрезок б.
Так же обстоит дело и в левой полуплоскости.
Ж.
fr,M
«*¦
Рис. 47
' Помимо комплексной переменной интегрирования введем также
и комплексные значения величины е — (л, которые обозначим
через г. Общая комплексная плоскость величин ? и z изобра-
изображена на рис. 47. Подставляя в соотношение B3. 25) введенные
новые переменные и обозначая через F (?) величину * F [? +
-f t'6 sign (Re?) ], приходим к основной формуле:
«.	B3.26)
Полученное соотношение имеет вид хорошо известного инте-
интеграла типа Коши [98], определяющего две различных аналити-
аналитических функции по обе стороны контура. Обозначим через Д (z)
и /и (z) функции соответственно в верхней и нижней полупло-
полуплоскостях (см. рис. 47). На самом контуре интегрирования возможны
особенности, в том числе точки ветвления.
Выясним связь функции комплексного переменного G (z)
с функцией Грина G (е). Поскольку луч е > (д, лежит выше,
а луч е ¦< fi — ниже контура интегрирования, мы можем написать
B3-27)
* На контуре интегрирования величина F (?) действительна и положительна.
Заметим, что Re? = Е и потому
Е = ? + i6 sign Е = ? + /б sign (Re ?).
223

В самой точке е = ц функция G (е) может (и должна) иметь осо-
особенность.
Различие функций fl и /п проявляется в том, что при стремле-
стремлении их аргументов к какой-либо точке контура получаются зна-
значения, комплексно сопряженные друг с другом. Рассмотрим, на-
например, две точки z1 = —a, z2 = — а + 2i6 (рис. 48). Имеем
— a — E + ib
Рис. 48
Учитывая действительность функции F (?), получаем G (г2) =
= G* (zx) или
Таким образом, если возьмем функцию Грина G (е) при е > (д,
и аналитически продолжим ее в верхнюю полуплоскость, то при-
придем к функции Д (z). Если, далее, подойти к контуру С в области
е < ]i сверху, то получится функция G* (е). Обратно, если про-
продолжить G (г) при е < jx в нижнюю полуплоскость и подойти
к контуру С снизу при е > (л, то также получится G* (е).
Если же продолжить функцию Грина G (е) при 8>цв ниж-
нижнюю полуплоскость, то получится функция, не имеющая ничего
общего с /и (е) и, в частности, не аналитическая в этой области.
Она обязательно должна иметь особенности, поскольку не суще-
существует всюду аналитической функции, отличной от нуля и убываю-
убывающей на бесконечности *. Аналогично аналитическое продолжение
функции G (е) при е<цв верхнюю полуплоскость также приво-
приводит к функции, обладающей особенностями. И те, и другие особен-
особенности имеют прямой физический смысл.
Для отыскания этих особенностей можно аналитически про-
продолжать как функцию G, так и ImG (т. е. при е > ц — величину А,
при е <С ц — величину В). Это связано с тем, что продолжение
функции G* в указанные области приводит к аналитической функ-
* Последнее свойство вытекает из асимптотических условий B3. 9).
224

ции (Д и /п). Поэтому функции G и ImG =—^— имеют в этих
областях одинаковые особенности.
Таким образом, в каждой полуплоскости комплексной пере-
переменной z имеется две различных функции G (p, z). Одна получается
аналитическим продолжением функции G (р, е), другая опреде-
определяется непосредственно спектральной формулой.
Вполне аналогичные высказывания можно сделать и в отно-
отношении парной функции Грина. Единственное отличие состоит
в том, что при этом химический потенциал jx следует положить
равным нулю (в выкладках фигурируют только состояния с оди-
одинаковым числом частиц).
23.8. Вернемся к представлению B3. 11) и подробно рас-
рассмотрим первое его слагаемое, отвечающее распространению ча-
частицы,
со	_>
. G (р, е) = J dE Ё__Л^'Д t6 ¦	B3. 28)
о
Как уже отмечалось, при отсутствии корреляционного взаимо-
взаимодействия функция А принимает вид
А(}, ?).-=6(? + ц — е-»),
т. е. из всей суперпозиции выделяется лишь один член. При учете
корреляционного взаимодействия величина А не сводится к 6-
функции, она отлична от нуля при всех значениях Е. Однако
может оказаться, что функция А (р, Е) имеет более или менее
резкий максимум около точки Е = Е-> — цс шириной Г-» < ?->.
С формальной точки зрения наличие у какой-либо функции
резонансного поведения означает, что аналитическое продолже-
продолжение этой функции в комплексную плоскость ее аргумента выяв-
выявляет полюс, лежащий близко к действительной оси.
В этом можно убедиться непосредственно. Пусть аналитиче-
аналитическое продолжение функции G (р, Е) в нижнюю полуплоскость
приводит к появлению полюса в точке Е-> — и, — /Г->. Тогда в ок-
р	р
рестности полюса можно положить
р
А (р, Е) ~ Im G (р, Е) ~	'Л^Г2 , B3- 29)
р	р_
р . , /.,,. р

где Z-» — некоторая не зависящая от Е величина. Это выражение
р
справедливо при малых Г и на самой действительной оси.
Рассмотрим далее, какой зависимости функции Грина от раз-
разности времен tx — t2 соответствует рассмотренная ситуация.
Нужно, очевидно, исследовать выражение
.1 2л
= — i ]' dEA{p, E) exp [— i (\i + E — id) r], B3. 30)
о
где т = (*! — /2) > 0.
Здесь мы замкнули контур в нижней полуплоскости (см. при-
приложение В).
Подставляя сюда выражение для А, отвечающее отсутствию
корреляции, получаем
	 G (р, х) ~ exp (—te-»t), B3. 31)
что отвечает смыслу G как ам-
амплитуды перехода системы
7	^ f	N -\- 1 частиц из состояния
в момент t2 в состояние в мо-
3'	мент tt (см. § 10).
Рассматривая общий случай,
предположим для простоты,
	?	 что мы имеем дело лишь с одним
полюсом, и сместим контур инте-
интегрирования способом, указан-
Рис. 49	ным на рис. 49. Интегралы по
участкам 3 и 3' взаимно компен-
компенсируются (особенность является полюсом), интеграл вокруг по-
полюса дает после подстановки выражения B4. 29) вклад ¦
G4 (р, х) -.= Z-» exp (— iE->x — Г-»т).	B3. 32)
Р	Р	Р
Остается оценить вклады участков 2, 2' и 1. Интеграл по линии
2,2', которой отвечает Е = Е' — iz, где z — расстояние между
действительной осью и рассматриваемой линией, может быть
записан в виде
G2i v (р, х) = J dE' exp[— i {ц 4- Е') х — zx]A (pE').
о
Выбором достаточно большого значения z этот интеграл может
быть сделан сколь угодно малым.
226

Что же касается участка 1, то там Е — ix (х меняется от О
до —оо), поэтому можно написать
Г
Gl(p,*)~ j dxexpi-щх + хх)	J гг ¦
— оо	\	р	)	р.
Наиболее важный вклад в этот интеграл дают значения х, удовле-
удовлетворяющие неравенству
4
Отсюда
Эта величина при не слишком малых ехр (—Г->т) мала по сравне-
нию с выражением B3. 32), что позволяет положить G (р, т) =
= G4 Cp, х).
Такой результат может быть истолкован следующим образом.
В принятых предположениях функция А (р, Е) имеет узкий
максимум. Это означает, что описываемое функцией Грина рас-
распространение частицы с учетом ее взаимодействий с системой
может быть заменено распространением волнового пакета, состав-
составленного из свободных частиц, причем весовая функция, опреде-
->¦
ляющая вклад каждой из частиц, равна А (р, Е). Такой волновой
пакет движется по необходимости нестационарным образом и зату-
затухает во времени, причем тем сильнее, чем больше присущий ему
разброс энергии.
23. 9. Спектральные представления можно написать не только
для функции Грина, но и для других связанных с ней величин,
в частности для массового оператора 199].
Будем исходить из соотношения
G-1(p,E) = E- e^-M(p, г).
Переходя в комплексную плоскость z — е — р., рассмотрим
функцию
G'1 (р, z) = z — (е^. — ц)—М (р, z + ц),
равную -7—гх и -;—7~г выше и ниже контура С соответственно
/i'2) /и (г)
(см. рис. 47). Выясним аналитические свойства функции G.
Прежде всего несомненно, что функции G'1 и G имеют общие осо-
особенности, расположенные на контуре С; вне этого контура функ-
функция G (p, z) особенностей не имеет и убывает по мере удаления
от начала координат как [ ^ j ~x.
227

Выясним, может ли функция G обладать нулями в этой об-
области, т. е. имеются ли там полюса функции G'1 (р, г). Для этого
рассмотрим спектральное представление B3. 25), где функция
F (р, Е) действительна и положительна. Продолжая его в ком-
комплексную плоскость, можем написать
^ \dE-
F (P, E)
- ? -!¦ F sign 'E "
— оо
->
В комплексной плоскости z при z = а + ib мнимая часть G (p, z),
равная
отлична от нуля. Поэтому ясно, что функция G J (p, г) не имеет
особенностей вне контура С. Не будет иметь особенностей также
и массовый оператор М (р, г + jx).
При больших значениях е массовый оператор может вычи-
вычисляться в низшем порядке теории возмущений, и, как видно
из результатов § 14, он стремится к нулю при е-i- оэ как е.
Рассмотрим интеграл
Замыкая его по большой дуге в верхней (при е >¦ ц) или в нижней
(при e<[i) полуплоскости, что возможно ввиду убывания М,
и учитывая аналитичность подынтегрального выражения, при-
приходим к следующим результатам. Полученный контурный ин-
интеграл сводится к вычету в точке Е — е — ц + ib (при е > ц) или
Е = е — р. — ib (при е < \i)
->
/ = — 2л1 sign (е — ц) М (р, е).
Сравнивая мнимые части обоих выражений для /, получаем окон-
окончательно
dElmM{\E)-. B3.33)
Величина Im М = Im G = -r^W" меняет знак в точке е =
Если ввести знакопостоянную (положительную) величину
I m Ш (р, е) — sign (e — цIтМ (р, е),
223

где Wl (р, ъ) = sign (e — ц) М (р, е), то соотношение B3. 33)
примет тот же вид, что и спектральное представление самой функ-
функции Грина
) = --JLp \dE signfg-lOImgK;,^ B3 34)
— оо
В ряде случаев использование этого соотношения очень удобно.
Обычно сделать прямое вычисление мнимой части массового опера-
оператора проще, чем действительной,' поскольку б-функция, стоящая
в Im M, сокращает число переменных интегрирования. А по из-
известной мнимой части с помощью выражения B3. 34) нетрудно
восстановить и действительную.
§ 24. КВАЗИЧАСТИЦЫ
24. 1. В предыдущих параграфах этой главы уже нередко
упоминалось о комплексах, появление которых приводит к воз-
возбуждению системы, о волновых пакетах, имитирующих распро-
распространение частицы, коррелированной с системой, и т. п. В этом
параграфе будет введена некоторая общая точка зрения на этот
круг вопросов, связанная с понятием квазичастицы (в широком
смысле этого термина).
Начнем с рассмотрения спектральной формулы для одноча-
стичной функции Грина. Допустим, что аналитическое продол-
продолжение функции Грина в нижнюю полуплоскость при е > ц при-
привело к полюсу в точке Е-> — 1Г-*. (Для простоты мы рассматриваем
р	р
случай пространственно-однородной системы.) Тогда точную функ-
функцию Грина G (р, е) можно представить в виде
G(p, е) ^ г_Е^+1Ту +ФО=>, е),	B4.1)
где мы выделили в явной форме особенность этой функции. Здесь
Z-> — некоторый нормировочный множитель, <р (р, е) — функция,
регулярная в точке в = Е-> — if-*.
р	р
Мы видим, таким образом, что в области значений е, близких
->
к Е-*, и в области значений р, для которых Г-» С ?-», точное выра-
р	р р
жение для функции Грина G (р, е) сводится к первому члену выра-
выражения B4. 1) и с точностью до множителя Z-» может быть пред-
р
ставлено в виде
G Ср, е)оо(Е — Е* + iT-).	B4. 2)
229

Это соотношение позволяет заключить, что в рассматривае-
рассматриваемой области система взаимодействующих частиц, коррелирован-
коррелированных друг с другом произвольным образом, в известном смысле
эквивалентна системе некоторых других объектов, закон диспер-
дисперсии которых Е-> отличается от закона дисперсии истинных ча-
частиц е-» и корреляция между которыми отсутствует. Другими сло-
р
вами, при выполнении всех перечисленных условий систему
взаимодействующих частиц можно заменить системой, которую
допустимо рассматривать одночастичным образом.
В самом деле, если Г-> действительно мало, то правая часть
р
соотношения B4. 2) не отличается от выражения для функции
Грина системы в приближении Хартри — Фока [см. выражение
A0.8)]. Эта функция содержит бесконечно малую мнимую до-
добавку в знаменателе; поэтому малость величины Г-> является
р
условием справедливости обсуждаемого заключения *.
Сравнивая выражения B4. 2) и A0. 8), мы видим, что вели-
величина Е-> заменяет собой е-» — закон дисперсии частицы в прибли-
р	р
жении Хартри — Фока. Поэтому Е-* можно интерпретировать
как закон дисперсии того объекта, введение которого позволяет
избавиться от рассмотрения корреляционных взаимодействий.
Этот объект и носит название квазичастицы в узком смысле
этого слова. Приведенное выше заключение можно переформули-
переформулировать теперь таким^образом: систему многих взаимодействующих
частиц можно заменить идеальным Газом квазичастиц **. Эта
замена возможна далеко не всегда: она ограничена малостью IV
и близостью е к ?->. Следовательно, при нарушении этих условий
р
теряет свой смысл и понятие квазичастицы.
Приведем пример системы, для которой понятие о квазича-
квазичастице очень наглядно. Рассмотрим обычный классический раз-
разреженный газ, состоящий из нейтральных атомов. Наша система
состоит в конечном счете из ядер и электронов, взаимодействие
(и корреляция) между которыми весьма велико. В данном случае
чрезвычайно просто найти тот объект (квазичастицу), переходом
к которому обеспечивается возможность рассматривать систему
как идеальный газ. Квазичастицей здесь является просто отдель-
отдельный атом.
В рассмотренном примере квазичастица представляет собой
комплекс, образованный из малого числа определенных частиц
* Величина й sign (е^ — вр) в выражении A0. 8) меняет знак на границе
р
Ферми. Аналогичным свойством обладает и Г_> (см. раздел 24. 3).
р
** Разница между идеальным газом и системой, где корреляция не учиты-
учитывается, здесь несущественна. Отметим, что при выключении корреляционного
взаимодействия квазичастица переходит в обычную частицу.
230

системы. Этот комплекс в процессе эволюции системы не разру-
разрушается. В общем случае квазичастице нельзя поставить в соот-
соответствие какие-либо определенные частицы системы. Квазичастица
комплектуется из всех частиц системы; даже если в данный момент
в ее состав входит только часть частиц, в следующие моменты
они заменяются другими частицами системы. Квазичастица, как
говорят, представляет собой коллективное образование.
Сведение системы к газу квазичастиц позволяет чрезвычайно
упростить ее рассмотрение. Мы получаем возможность говорить
на привычном физическом языке и использовать те понятия
и представления, которые ранее можно было применять только
к системам со слабым взаимодействием. В сущности говоря,
переход к представлению о квазичастицах означает дальнейшее
развитие той общей линии, которой мы следовали в первых главах
книги и которая состоит в стремлении по возможности сохранить
одночастичный характер системы путем подходящего подбора
характеристик частиц. Переход к приближению Хартри — Фока
был первым шагом в этом направлении: изменив закон дисперсии
частиц и введя дополнительное внешнее поле, мы исключили
из рассмотрения самосогласованную часть взаимодействия между
частицами. Введение понятия квазичастицы означает следующий
шаг в том же направлении. Однако исключить корреляционное
взаимодействие можно только при выполнении весьма жестких
условий, обеспечивающих малость затухания.
При нарушении этих условий понятие о квазичастицах можно
использовать для построения удобного нулевого приближения.
В следующих приближениях нужно ввести взаимодействие между
квазичастицами, которое заведомо меньше взаимодействия между
истинными частицами.
24. 2. Чрезвычайно существенно, что и возбужденные состоя-
состояния системы можно при определенных условиях трактовать
на языке квазичастиц. Можно говорить, что переход системы
в возбужденное состояние произошел благодаря появлению в ней
дополнительных не взаимодействующих друг с другом квази-
квазичастиц. Эти квазичастицы могут совпадать по своей природе
с теми, из которых «построена» сама система, но могут и отли-
отличаться от них.
Возможность использования такой картины наталкивается
на те же ограничения, что были описаны в предыдущем разделе.
Эти условия выполнены при рассмотрении системы, энергия воз-
возбуждения которой мала.
Рассматривая для простоты возбужденные состояния си-
системы N + 1 частиц, мы видим, что при выполнении указанных
условий функция А [р, Е) имеет резкий максимум около точки
Е? — ц. Вместе с тем функция А \р, Е) играет роль плотности
уровней системы в окрестности' точки Е = Д'?„ = Д?„ — ц.
Таким образом, энергия возбуждения системы действительно
231

совпадает с величиной Е?, т. е. само возбуждение системы обя-
обязано рождению одной квазичастицы.
Аналогичная ситуация наблюдается и в системе N частиц.
Однако в этом случае имеется двоякая возможность возбуждения
системы и, следовательно, два различных типа спектра возбу-
возбуждений [4]. Существуют квазичастицы, которые способны ро-
рождаться поодиночке. Такие квазичастицы по необходимости имеют
целочисленный момент количества движения и должны считаться
бозе-частицами. Им соответствует спектр возбуждений бозевского
типа. Примерами таких возбуждений могут служить фононы,
экситоны, плазмоны, кванты спиновых волн [39, 100—102].
Возможен также случай, когда возбуждения рождаются обя-
обязательно попарно, причем импульс одного из них выше, другого
ниже некоторой величины р0 — эффективной границы Ферми
квазйчастиц. Отвечающий им фермиевский спектр возбуждений
в качественном отношении напоминает спектр возбуждений идеаль-
идеального газа, а сами возбуждения совпадают с квазичастицей и «ква-
«квазидыркой» *, появление которых приводит к возбуждению си-
системы N + 1 частиц. С этой точки зрения бозевские возбуждения
можно трактовать как связанные состояния квазичастицы и квази-
квазидырки.
Спектр возбуждений реальной системы многих частиц в общем
случае содержит как фермиевскую, так и бозевскую ветви, причем
последняя может сама состоять из нескольких ветвей (фононная,
зкситонная и другие ветви твердого тела).
24. 3. Малость (в определенных пределах) корреляционного
взаимодействия между квазичастицами позволяет поставить вопрос
об индивидуальных характеристиках квазичастицы и в первую
очередь о ее энергии. Будем для определенности говорить о соб-
собственно квазичастице — одночастичном элементарном возбужде-
возбуждении системы.
В двух предыдущих параграфах мы уже по существу подошли
к ответу на вопрос об энергии квазичастицы с двух разных точек
зрения. В § 22 было выяснено, что в предположении о- малости
затухания энергию возбуждения системы Д?,г можно искать
из уравнения
АЕп - е; - М (р, АЕп) = 0.	B4. 3)
Решение этого уравнения имеет мнимую часть, что соответствует
затухающему поведению функции Ф„
Ф„~ехр [-»(??-if?)*],	B4.4)
* «Кйазидыркой» мы называем объект, характеристики которого опреде-
определяются полюсом функции Грина при е<^ \i и который при выключении корелля-
ционного. взаимодействия переходит в обычную дырку. К фермиевскому типу
относится электронный спектр в металлах f 1031, поляронный спектр ионного
кристалла [104] и. дрч _ :„¦•.:i_.. :	'	.„
232

где Ер* — iYp = AEn — корень уравнения B4. 3). Появление
отличного от нуля затухания объясняется тем, что мы написали
приближенное уравнение для функции Ф„, сделав определенные
предположения о виде устойчивой волновой функции нулевого
приближения. На самом деле выбранная волновая функция
не вполне устойчива, а является суперпозицией нескольких
устойчивых функций, каждая из которых приобретает за счет
корреляционного взаимодействия свое значение энергии; это
и приводит к появлению видимой нестационарности состояния
системы. Если реальным условиям соответствует именно неустой-
неустойчивая волновая функция, то выражение B4. 4) описывает реаль-
реальное затухание данного начального состояния системы.
Теперь можно ответить на часто возникающий вопрос о том,
почему матричный элемент Ф„, полученный решением урав-
уравнения B4. 3), затухает во времени, в то время как при выводе
спектральной формулы используется выражение дляФ„, не содер-
содержащее никакого затухания. Дело в том, что в последнем случае
используется точное выражение для Ф„, отвечающее истинному
стационарному состоянию системы; уравнение же для функции Фп,
содержащее только массовый оператор, отвечает заведомо неста-
нестационарному состоянию.
Рассмотрение эролюции квгзичгстицы требует введения
именно неустойчивой волновой функции. Уравнения B4. 3),B4.4),
выведенные в предположении о том, что функция WBn (—оо)
отвечает наличию одной частицы на фоне основного состоя-
состояния системы, описывают поведение этой частицы при вклю-
включении корреляционного взаимодействия. Возникающий при этом
включении объект и является квазичастицей. Совершенно ана-
аналогичным образом при выключении корреляционного взаимо-
взаимодействия квазичастица должна переходить в обычную частицу.
Поэтому принятое предположение о виде функции ?в„(—со)
обязательно. Если же рассматривать истинное стационарное
состояние системы, то при выключении корреляционного вза-
взаимодействия мы придем к состоянию, содержащему, помимо
частицы, еще некоторое число пар. Это состояние, конечно,
содержит более одной квазичастицы *. Из вида волновой функции,
определяемой соотношением B4. 4), непосредственно следует, что
величина Ер, очевидно, совпадает с энергией квазичастицы.
Видно, что уравнение B4. 3) в точности отвечает полюсу функции
Грина. При отыскании корней этого уравнения необходимо только
следить, чтобы их мнимая часть —величина —Г^ —была отри-
отрицательной, т. е. чтобы происходило именно затухание.
К этим же результатам приводят рассуждения, основанные
на спектральной формуле для функции Грина. Как было выяс-
выяснено в § 23, если аналитическое продолжение функции Грина
* В стационарном состоянии не имеет смысла говорить о точном числе квази-
квазичастиц, так как последнее не является интегралом движения.
233

в нижнюю полуплоскость имеет полюс в точке Ер — i Tp , то в воз-
возбужденном состоянии системы присутствует узкий пакет стацио-
стационарных состояний шириной порядка Гр , причем эволюция системы
происходит по закону B3. 4). Точнее говоря, если считать, что
плотность уровней А \р, Е) сводится к своему полюсному члену
B3. 29), т. е. что возбужденное состояние отличается от основ-
основного только присутствием волнового пакета, то этот пакет (квази-
(квазичастица) имеет энергию Е-> и затухание Г->.
р	р
Таким образом, энергия (закон дисперсии) и затухание квази-
квазичастицы непосредственно связаны с одночастичной функцией
Грина. В однородном случае обе эти величины определяются
просто действительной и мнимой частью полюса аналитического
продолжения фурье-образа функции Грина в нижнюю полу-
полуплоскость *. В общем случае для их нахождения нужно решить
уравнение, получающееся из выражения B2. 16) подстановкой
Ф~ехр(-»ЯЯ*-1У), т. е.
(Еп _ t Г„ - Г - W)On Dl) - j dq2M (qlt qt, En-i Г„) Фя (qt), B4. 5)
где M (ql7 q2, e) — фурье-образ массового оператора.
Рассмотрим подробнее с этой точки зрения однородный случай.
Имеем
Е-> — i Т-> — е-> — М (р, Е+ — i Г->) =0.	B4. 6)
р	р р	v р	р
Полагая Г^. < Е^> и отделяя мнимую и действительную части
р	р
приходим к системе уравнений, дающей следующие решения:
Re M (р,
"" д Re М (ЕЛ
1 —	р
B4. 7)
Мнимая часть функции Грина может быть выражена в виде
1тМ
ImG = —•
Ml2
Таким образом, величина Г и ImG обращаются в нуль одно-
одновременно. Как мы видели в § 23, величина Im G меняет знак
в точке е = ц и в предположении ее непрерывности обращается
в этой точке в нуль. При этом знак Г положителен при е > \i
и отрицателен при е << ц.
* Это относится к случаю е > ц. При е < ц аналитическое продолжение
G (р, е) в верхнюю полуплоскость дает характеристики квазидырки, которая
описывается величиной Ф„ A), зависящей от времени по закону exp (iEt1—IVх).
234

- Рассмотрим функцию Грина в окрестности точки е = ц. Пред-
Предположим для простоты, что в системе не могут образовываться
коррелированные пары, приводящие к сверхпроводимости *.
Тогда массовый оператор не имеет особенности вблизи точки
е = (л. Это позволяет разложить выражение для G
G'Ap, е) = е — е.> — ReM \р, е) —ИтМ (о, е)
р
в ряд около точки е = ц и р = р0 где р0 — корень уравнения
И = е.	+ М (р0, ц) = Е+ .	B4.8)
Р Р=Ро	Р Ро
Используя выражение B4. 7), находим
G~l (p, e)=Z^'[e — (л — v(p — р0) — iZ^lmNl], B4.9)
где
p
j-i = j _ дЦеМ(г, р0)
е=ц
— введенный выше фактор-
a u=Z->^t-^- —скорость квазичастицы на границе Ферми.
Р °Р |Ро
Величина Z-Лт М пропорциональна (е — \iJ sign (e — р,), т. е.
вблизи границы Ферми это бесконечно малая величина высшего
порядка [1051. Это обстоятельство позволяет заключить, что
в окрестности границы Ферми представление о квазичастицах
может считаться оправданным. Именно по этой причине поня-
понятием квазичастиц можно пользоваться лишь для слабовозбужден-
слабовозбужденных состояний системы.
24. 4. Сопоставляя выражение B4. 1) с выражением для сво-
свободной функции Грина, мы видим, что в окрестности точки е = ц
точная функция Грина вполне подобна свободной функции Грина.
Исходя из смысла величины eF в соотношении A0. 7), определяю-
определяющей границу заполнения частиц, видно, что химический потен-
потенциал (л играет роль энергии, определяющей границу заполнения
квазичастиц. Таким образом, можно сказать, что характер запол-
заполнения уровней квазичастиц системы в основном состоянии
такой же, как в идеальном газе. Если ввести числа заполнения
квазичастиц п, то
n = Q{\i — E+\.	B4. 10)
Это соотношение справедливо только при условии малости Г-»,
т. е. при небольших значениях ?-> — (л.
* Сверхпроводящей ситуации отвечает полюс функции М вблизи границы
Ферми [105]. В отсутствие сверхпроводимости разложение массового оператора
имеет вид:
М (р, е) = Мо (р, е) + га (е — цJ sign (e — \i) +
где Мо — регулярная в точке (л функция.
235

Величину р0, являющуюся корнем уравнения B4. 8), есте-
естественно считать граничным импульсом квазичастиц. Она совпа-
совпадает с величиной р0, введенной.в разделе 24. 2. В условиях при-
применимости теории возмущений (в частности, в отсутствии эффектов
сверхпроводимости) величина р0 та же, что и для идеального газа,
где q — плотность числа частиц системы [7, 106]. Точнее можно
сказать [107], что если уравнение ЕРо = ц имеет вещественный
корень (а в случае сверхпроводящей ситуации это не так [108]),
то он совпадает с выражением B4. 11).
Таким образом, распределение квазичастиц по импульсам
представляет собой ступенчатую функцию и может быть записано
в виде
е(р1 = е(№2-Рг).	B4.12)
Интересно отметить, что и в распределении по импульсам истин-
истинных частиц, которое совпадает с выражением B4. 12) лишь при
отсутствии корреляционного взаимодействия, также сохраняется,
хотя и частично, ступенчатый характер [109]. Для доказательства
рассмотрим общее выражение для q \р)
Подставляя сюда выражение для функции Грина B4. 1) и учи-
учитывая, что затухание Г-» меняет знак при переходе точки е = \i
р
или, что то же, р = р0, заключаем, что при р <С Ро полюс функ-
функции Грина лежит вдутри контура С, а при р^> р0 выходит из него.
Учитывая, что вычет в этом полюсе равен ZPo, находим
Q (А, - 0) - Q (Ро + 0) = ZPo.	B4. 13)
Так как величина q (p) заключена между нулем и единицей, 'при-
'приходим к неравенству
т. е. скачок в распределении меньше, чем в случае идеального
газа. Примерный качественный ход q (p) изображен на рис. 50.
Отметим полезное соотношение, связывающее граничную энер-
энергию квазичастиц ц со средней энергией E/N, приходящейся
на одну частицу в основном состоянии,
E/N = [I.	B4. 14)
Это соотношение, введенное Гугенгольцем и Ван-Ховом [106],
справедливо в применении к самосжатым однородным системам,
которые находятся в равновесии, если нет внешнего давления
236

(ядерная материя) *. Для доказательства можно воспользоваться
соотношениями Е = Nf (q), дЕ/dN = \i, (dE/dQ)N = —q2
X (EJM) = —P, где P — внешнее давление. Это дает
¦ ' ¦ -	ц = E/N + P/q,
dQ
X
откуда при Р = 0 и следует соотношение B4. 14), удобное для
проверки согласованности результатов вычисления одночастичнои
энергии ?-» и полной энергии системы [106].
Рис. 50
24. 5. Укажем физический смысл величины Z->. Выраже-
Выражению B4. 1) для функции Грина отвечает следующий выбор весо-
весовых функций А и В соотношениях B3. 11) и B3. 13):-
!*-?;) +
А\р,Е\ =
В [р,Е =
-p + ?¦>) +
р
причем ?-> считается близким к и, что необходимо с точки зре-
р
ния малости Г-»-. В приведенных выражениях опущены слагае-.
мые, имеющие регулярное поведение и ответственные за непо-
неполюсной член в выражении B4. 1).
Функции А и В имеют положительный знак, значит Z-» >¦ 0
р
и окончательное неравенство для
0<Z->
р
имеет вид
B4. 15)
Таким образом, скачок функции q (р) в точке р = р0 происходит
в сторону уменьшения q при увеличении р (см. рис. 50).
* Это означает, что энергия имеет минимум при данном значении q (дЕ/дд= 0).
237

Далее, переписывая выражение B3. 6') в виде
получим Z-> = ап*р 2. Но величину ап^*р можно записать в виде
где а-> — оператор уничтожения частицы в состоянии с импуль-
->
сом р. Значит, а-п^р представляет собой амплитуду вероятности,
a Z-> — просто вероятность обнаружить одну квазичастицу в со-
состоянии аХ Ч, где имеется одна обычная частица сверх основ-
р
ного состояния. Напомним, что состояние ~Vn содержит квази-
квазичастицу на фоне основного состояния. Аналогичные рассуждения
можно провести с функцией В (р, Е); при этом выяснится, что Z-»
одновременно является вероятностью обнаружить квазидырку
в состоянии с одной дыркой.
Величина, аналогичная Z->, в релятивистской теории поля
р
называется константой перенормировки. Процедура перенорми-
перенормировки физических величин—характеристик частиц (массы) и их
взаимодействия (константы связи), хотя и ассоциируется обычно
с расходимостями теории поля, не имеет по существу к ним пря-
прямого отношения. Цель перенормировки состоит в том, чтсбы
привести в правильное соответствие величины, фигурирующие
в теории, с наблюдаемыми на опыте величинами. В частности,
масса свободной частицы в релятивистской теории поля является
ненаблюдаемой величиной, поскольку не существует условий,
при которых частица была бы изолирована от своего собствен-
собственного поля. Поэтому с наблюдаемой массой, которая должна фигу-
фигурировать в выкладках, следует отождествить не массу свободной
частицы, а величину, полученную с учетом всех эффектов взаимо-
взаимодействия частицы с ее собственным полем. В этом и состоит про-
процедура перенормировки, которая в некоторых частных моделях
приводит одновременно к устранению расходимостей.
В свободной от расходимостей нерелятивистской проблеме
многих частиц нет никакой необходимости проводить перенор-
перенормировку *. В данном случае массы и заряды свободных (изоли-
(изолированных от системы) частиц являются непосредственно наблю-
наблюдаемыми величинами. Более того, задача микроскопической тео-
* Сказанное не относится к тем частицам, которые своим существованием
обязаны взаимодействию между частицами системы — фононам, экситонам и/р. п.
Для таких частиц перенормировка при определенной постановке задачи может
стать обязательной (ПО—112].	¦
238

рии в том и состоит, чтобы выразить интересующие нас характе-
характеристики системы именно через характеристики свободных частиц.
Следует, конечно, иметь в виду, что при учете взаимодействия
между частицами их характеристики меняются. Меняется закон
дисперсии частиц, в частности, их масса. Меняется также
и закон взаимодействия между частицами (см. § 26, 27). Может
оказаться удобным все рассуждения вести на языке этих изме-
измененных характеристик частиц, что в известном смысле эквива-
эквивалентно проведению перенормировки. Однако в микроскопиче-
микроскопической теории в конце концов понадобится выразить эти измененные
характеристики через характеристики изолированных частиц.
Что же касается феноменологической теории, то там перенорми-
перенормировочный подход необходим.
24. 6. Рассмотрим энергию основного состояния системы
на языке квазичастиц. Подставляя в формулу A9. 20) спектраль-
спектральное соотношение B3. 11) и применяя теорему о вычетах, получим
B4.16)
о
Величина [ dEB [р, E) определяет распределение по импульсам
в основном состоянии системы (см. § 23), а сама функция В^р, Е)
дает плотность уровней возбужденных состояний системы N — 1
частиц вблизи точки Е = АЕп + ц. Функцию В [р, Е) можно
1	(~*	\
представить в виде — Im G [p, \i — Е). Поэтому
Продолжая Im Q (или просто G) в верхнюю полуплоскость, при-
приходим к особенности, находящейся в точке Е-> + 1Т-* *,
р . р
р р
Подставляя это выражение в предыдущую формулу и выполняя
несложное интегрирование, получим при малых Г
Е = 4- SpffT f d3pQ (ц — Е-) Z^ (E+ + рУ2М). B4. 17)
z	j	p p p
* Величины Z_>, ?_>. и Г_>. отличаются от введенных выше, поскольку анали-
р р р
тическое продолжение делается в другой области и в другую полуплоскость.
Однако вблизи границы Ферми, где Г_> мало, этой разницей можно пренебречь.
р
Это связано с симметрией между частицами и дырками, имеющей место вблизи
границы Ферми.
239

Это соотношение становится ясным, если обратиться к резуль-
результатам § 4. В приближении Хартри — Фока энергия однородной
системы может быть записана в виде
Ео = 4- SP(JT f d%Q(eF- e-Ofe-» + РтМ).
Она представляет собой сумму энергий частиц е-* минус половина
р
энергии взаимодействия между ними.
Вклад квазичастиц в точное выражение для энергии полу-
получается заменой е-»- на Е-> и введением вероятности обнаружения
квазичастицы Z->. Таким образом, и с энергетической точки
зрения возможно одночастичное описание системы. Однако при
этом нужно включить в рассмотрение самосогласованное взаимо-
взаимодействие между квазичастицами.
§ 25. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
25. 1. Перейдем к решению задачи о вычислении одночастич-
ной и парной функции Грина по заданному потенциалу взаимо-
взаимодействия между частицами.
Эта задача, хотя и более простая, чем задача точного реше-
решения уравнения Шредингера *, остается чрезвычайно сложной.
Понять, в чем состоит эта сложность, можно с помощью сле-
следующих рассуждений.
Согласно результатам § 20, парная и одночастичная функции
Грина полностью определяются, если известна вершинная часть А.
Поэтому рассматриваемая задача целиком сводится к определе-
определению величины Л.
Даже самый поверхностный анализ диаграмм теории возму-
возмущений, вносящих вклад в А, показывает, что при увеличении п —
порядка теории возмущений — очень резко возрастает сложность
топологической структуры этих диаграмм. Это важное обстоя-
обстоятельство немедленно отражается на математической структуре
теории. Уравнения, определяющие функции Грина (или вершин-
вершинную часть), не могут быть записаны в виде конечной системы
интегральных уравнений. Приходится иметь дело либо с беско-
бесконечной совокупностью зацепляющихся интегральных уравнений;
каждое из которых связывает функции Грина соседнего порядка
(см. § 20), либо с конечной системой уравнений в функциональ-
функциональных производных [6, 11 ]. Последние уравнения, имеющие внешне
весьма компактный вид, в математическом отношении представ-
представляют собой объект, несравненно более сложный, чем интегральные
* Решение уравнения Шредингера дает информацию, содержащуюся во всех_
функциях Грина; имеются в виду, в частности, трехчастичные характеристики
системы, которые не могут быть описаны с помощью одночастичной и парной
функций Грина.
240

уравнения. Изложение функциональных методов теории поля
выходит за рамки этой книги.
Мы изберем в дальнейшем более простой путь прямого анализа
диаграмм вершинной части. Этот путь оказывается возможным
благодаря тому, что мы сознательно ограничиваемся рассмотре-
рассмотрением узкого класса задач: теориями разреженных и сжатых
систем. Такие системы характеризуются тем, что из всего мно-
множества диаграмм вершинной части можно отобрать сравнительно
простую их подсовокупность.
25. 2. Итак, обратимся к исследованию диаграмм, входящих
в величину Д. Эта величина объединяет все диаграммы вершинной
части, в которых выходные точки соединены друг с другом.
Топологическая структура таких диаграмм весьма сложна.
V
< V
Рис. 51
Введем понятие о компактных диаграммах Ак, входящих в Д.
Эти диаграммы нельзя рассечь линией, пересекающей только две
сплошные линии графика. Примеры компактных диаграмм при-
приведены на рис. 51, а, некомпактных — на рис. 51,6.
Комбинируя друг с другом компактные диаграммы, можно
получить все диаграммы, входящие в А. В принципе можно
было бы ожидать, что топологическая сложность диаграмм Д
объясняется сложностью диаграмм, входящих в компактную
часть Ak. В то же время связь между Д и Ak могла бы оказаться
сравнительно простой. Именно так обстоит дело с собственно
энергетической частью 5-матрицы, где имеется простое соотно-
соотношение между функциями 2 и 7И, и все качественное многооб-
многообразие диаграмм 2 вызывается компактной частью М. Если бы
аналогичная ситуация наблюдалась в отношении вершинной
части, то с самого начала имело бы смысл исключить из рассмот-
рассмотрения некомпактную вершинную часть Д, заменив ее более про-
простой компактной частью Ak.
Однако дело обстоит иначе. Оказывается, связь между функ-
функциями А и Ak сама по себе чрезвычайно сложная, и сложность
топологической структуры диаграмм Д в значительной мере
обусловлена характером этой связи. При этом нельзя забывать
и то, что сами диаграммы А^ также имеют весьма сложную струк-
структуру.
Для иллюстрации рассмотрим несколько простейших комби-
комбинаций компактных частей Ak (рис. 52, а). Многообразие полу-
241

чающихся при этом геометрических структур (см. рис. 52, б)
связано с наличием у диаграмм АА четырех свободных концов,
которые могут «зацепляться» со свободными концами других
диаграмм АА большим числом способов. Для диаграмм собственно
энергетической части, имеющих лишь два свободных конца,
существует только один способ зацепления. В этом- и состоит
существенное отличие диаграмм вершинной и собственно энерге-
энергетической частей.
X
X
X
X
X
Таким образом, переход к компактной вершинной части
в общем случае едва ли может считаться возможным. В тех слу-
случаях, когда щ-- совокупности диаграмм рис. 52 можно выбрать
некоторую простую подсовокупность, наиболее целесообразно
составлять приближенные уравнения для некомпактной вершинной
части Д. /
25. 3. Рассмотрим с этой точки зрения разреженные (нерезо-
(нерезонансные) системы многих частиц. Главными для таких .систем
являются диаграммы, содержащие минимальное число линий
дырок. Проведенный в § 16 анализ относился непосредственно
лищь к собственно энергетической части, однако полученные
там результаты относятся и к вершинной части. Подлежащие
учету диаграммы Д изображены на рис. 53. В линии частиц,
входящие в эти диаграммы, можно не включать собственно энер-
энергетических вставок, поскольку они обязательно содержат дыроч-
дырочные линии.
При сравнении рис. 53 и рис. 52 видно, что из всех диаграмм
рис. 52 достаточно оставить диаграммы с «горизонтальным» зацеп-
зацеплением Ak (рис. 54, а). При этом обменные диаграммы получатся,
если вместо простого произведения функций Грина Go A,3),
Go B, 4) ввести парную функцию Грина Go A, 2, 3, 4). Совокуп-
Совокупность диаграмм рис. 54, а можно заменить диаграммой рис. 54, б.
242

Последней диаграмме можно с помощью правил Фейнмана поста-
поставить в соответствие следующее интегральное уравнение:
А A,2,3, 4) = ДА A, 2, 3, 4) +
+ J db d6 dl d% Ak A, 2, 5, 6) Go E, 6, 7,8) A G, 8, 3, 4).
*2
Y
Компактную вершинную часть в рассматриваемом случае
можно заменить ее выражением в низшем порядке теории возму-
возмущений
ДЛA, 2, 3, 4) = -4-V(l, 2) [в A—3) в B—4)—6A—4) в B—3I.
У
X
X,
X
X
X,
x
X
X
3 1	3 7
6
Рис. 54
Тогда получим следующее уравнение:
ДA,2, 3, 4) = —4-V(l, 2){4-[вA-3)вB-4)-вA-4) X
ХвB-3)] + Jd7d8G0(l, 2, 7, 8) Л G, 8, 3, 4)). B5. 1)
В данном случае можно без труда написать для парной функ-
функции Грина интегральное уравнение, являющееся аналогом урав-
уравнения Дайсона для одночастичной функции Грина. Рассмотрим
с этой целью комбинацию
Jd3d4 Д A,2, 3, 4)G0C,4, Г, 2') =
= Jrf3d4 ДАA,2, 3,4) [Go C,4, Г, 2') +
+ Jd5 d6d7 d8G0C,4, 7,8) А G, 8, 5, 6) Go E, 6, Г, 2')].
243

Величина в квадратных скобках совпадает с парной функцией
Грина G C, 4, Г, 2'), поскольку разницей между функциями
G A, 2, 3, 4) и Go A, 2, 3, 4) в случае разреженной системы можно
пренебречь. Таким образом,
J Д A, 2, 3, 4) Go C, 4, Г, 2') йЪ d\ =
= jd3d4 Ak A, 2, 3, 4)G C, 4, 1', 2').	B5. 2)
X
X X
Рис. 55
Подставляя полученное соотношение (рис. 55) в уравнение B0. 11),
приходим к искомому интегральному уравнению для парной
функции Грина
G(l, 2, Г, 2') = G0(l, 2, Г, 2') +
+ 2 J йЪ d\ d5 d6G0 A, 3) Go B, 4) Ak C, 4, 5, 6) G E, 6, Г, 2');
подставляя для ДА его выражение, получим
G(l, 2, 1', 2') = G0(l, 2, 1', 2') —
—/Jd3d4G0 A, 3)G0 B, 4) У C, 4) G C, 4, 1', 2'). B5. 3)
Графически это уравнение изображено на рис. 56.
= ><
Рис. 5;'6
25.4. Исходя из уравнения /B5. 1), нетрудно найти выра-
выражение для одночастичной функции Грина. Достаточно ограни-
ограничиться определением массового оператора. Обращаясь к соот-
соотношению B0. 18), учитывая-,' что диаграммы, отвечающие Мг и М2,
дают пренебрежимыТГ^вклад (включая дополнительное число
дырок), и заменяя функции G на Go, получим
М{\, 2) = —
7->3
> 3)x
XGOC, 4)G0(l,5)AD, 5, 6,2)G0F, 7).
С учетом уравнения B5. 1) величина
— iV A, 3) J d\ db Go C, 4) Go A, 5) Д D, 5, 6, 2)
может быть представлена в виде
ДC, 1,6, 2) +-i-^0.3) [6 C-6) 6 A-2)-6 C-2) 6 A-6)].
244
B5.4)

Таким образом,
М(\, 2) = 4J"d3d4lim{AC, 1, 4, 2) +
5->3
- 4 V A, 3) [6 C-4) 6 A-2) - 6 C-2) 6 A -4)]) Go D, 5). B5. 5)
Это выражение соответствует замыканию двух «хвостов» вершинной
части. Второй член в фигурной скобке B5. 5) компенсирует
низший член разложения Д в ряд теории возмущений.
Перейдем к вычислению энергии разреженной системы.
Для этой цели удобнее всего воспользоваться общим уравне-
уравнением A9. 19), в которое следует подставить уравнение Дайсона.
Это даст
2-И
d3M(l,3)G0C, 2).
Y
Л
v
I
Л
Л
Рис. 57
В последнем сомножителе мы пренебрегли разностью между
С и Go и заменили г-^—+ Г на i'-57- + Т + W (разница между
этими выражениями мала). Подставляя выражение B5. 5), получим
2-Й 6->4
X (ЛD, 1,5, 3) ||УA,4)[йD-5NA— 3) — 6D-3NA-5)]! X
ХСОE,6)СОC, 2).	B5.6)
Исследование полученных соотношений будет проведено в сле-
следующем параграфе.
25. 5. В сжатых системах многих частиц наиболее сущест-
существенную роль играют диаграммы, содержащие максимально воз-
возможное число замкнутых петель. Соответствующие диаграммы
вершинной части Д изображены на рис. 57. Собственно энерге-
энергетические вставки в сплошные линии диаграмм можно не учиты-
учитывать. Кроме того, можно отбросить обменные диаграммы.
При сопоставлении рис. 52 и 57 видно, что в этом случае
существенны диаграммы с вертикальным зацеплением (рис. 58),
причем в качестве компактной части Дд, можно также выбрать
его выражение в низшем порядке теории возмущений, т. е.
Д, A,2,3, 4) = -^-V A,2) [6 A-3) 6 B-4)-6A-4N B-3)].

Оказывается, что в сжатых системах величину А можно искать
в таком же виде
ЛA,2, 3,4) = — 4"уA.2)[дA— 3NB—4) — 6A— 4NB-3I. B5.7)
X
_ "ЧУ
х"
Рис. 58
Справедливо следующее интегральное уравнение для у [7|8]:
у A, 2) = V A, 2) - i J d3d4V A,3) Go C, 4) Go D, 3) у D, 2). (W 8)
Вводя графический образ эффективного потенциала у (рис. 59, а),
это уравнение можно наглядно интерпретировать (см. рис. 59, б)*
Y
I
I
+
Л А
V
6
Рис. 59
Не составляет труда выразить через у парную функцию Грина.
Подстановка выражения B5. 7) в B0. 11) дает
G(l, 2, 1', 2') — G A,2, 1',2') =
= -I Jd[3d4G0 A, 3) Go B, 4) у C, 4) Go C, 4, 1', 2'). B5. 9)
246

Здесь мы оставляем в левой части величину G, в которой учтена
корреляция частиц с системой. Рис. 60 иллюстрирует разницу
между разреженной (а) и сжатой (б) системами. Видно, что в сжа-
сжатой системе включение собственно энергетической вставки в сво-
свободный член уравнения B5. 9) дает диаграммы того же харак-
характера, что и учет корреляции между обеими рассматриваемыми
частицами.
Уравнение B5. 9) также можно свести к интегральному [113].
Оно принимает довольно громоздкий вид
G(l,2, V, 2')-G(l,2, Г,2') =
= ~ J <Ш4 V C, 4) [Л A Г22'34) +
+ ЛB2 1 Г34) — Л A2'21 '34) — Л B1 '12'34)j, B5.10)
где
Л A1' 22' 34) = [0A,3, Г, 3) —G0(I, l')G0 C, 3)] Go B,4) GoD,2').
I
i-	-f	Щ
1ОГ
Рис. 60
Полученное уравнение, как и уравнение B5. 3) для разре-
разреженной системы, относится к общему типу, о котором говори-
говорилось в разделе 20. 3. Однако пользоваться этими уравнениями
неудобно; гораздо целесообразнее решить уравнения для вер-
вершинной части B5. 1) или B5. 8), а затем использовать соотно-
соотношения между парной функцией Грина и вершинной частью B0. 9)—
B0. 12).
25. 6. Определим одночастичную функцию Грина сжатой
системы. Общее выражение B0. 18) для массового оператора,
в котором можно пренебречь членами Мг и М2, после подста-
подстановки выражения B5. 7) в B5. 4) приобретает следующий вид:
М{\, 2) = —fd3flf4lim 1/A,3) X
XGOC, 4)G0(l,2)YD, 2) Go D, 5).
247

С учетом уравнения B5. 8) выражение для М значительно упро-
упрощается
М A,2) = -i [у A, 2) -1/A, 2I Go A,2). B5. 11)
И здесь низший член разложения у в РЯД теории возмущений
автоматически выпадает. Выражение B5. 11) легко интерпрети-
интерпретировать, как результат замыкания двух свободных концов вер-
вершинной части.
Для вычисления энергии сжатой системы удобнее всего исполь-
использовать выражение A9. 21). Необходимо только заменить V A, 2)
с;
Or
= С + О»
Рис. 61
в соотношениях B5. 8) и B5. 11) на XV A, 2). В выражении A9. 21)
можно пренебречь последним членом, содержащим оператор W'.
Заменяя функцию G на Go, получаем
6
XGOA,3)GOC, 1).	B5.12)
Существенный интерес представляет получение интеграль-
интегрального уравнения для матричного элемента Ф„A,2) в сжатой
системе. В разделе 22. 5 мы пришли к уравнению (G^G0) ¦
Ф„A, 2)=Ф„A, 2) + 4jd3d4d5d6G0(l,3)G0E, 2) х
ХАC, 4, 5,6)Ф„F, 4).	B5.13)
После подстановки в это уравнение выражения для А из соот-
соотношения B5. 7) интеграл в правой части примет вид
-* Jd3d4G0 A, 3) Go C, 2) у C, 4) Ф„ D, 4).
Соотношение
Jd4 у C,4) Ф„ D, 4) = Jcf4 V C, 4) Ф„ D, 4) B5. 14)
248

аналогично по смыслу соотношению B5. 2) и может быть дока-
доказано графически. Вводя графические образы функций Ф
(рис. 61, а) и Ф (см. рис. 61,6), можно видеть, что в сжатой
системе определяющими являют-
являются диаграммы Фп (см. рис. 61, в), '
которые соответствуют макси-
мально возможному числу замк-	¦
нутых петель. Изображенное	J	'
на рис. 62 соотношение B5. 14)	Jj	*j
проверяется тогда непосред-	Рис 62
ственно. Используя это соотно-
соотношение, можно переписать выражение B5. 13) в виде следующего
интегрального уравнения:
X/	Il,3)GoC,2)KC,4)OrtD,4). B5.15)
Это уравнение играет важную роль при определении коллектив-
коллективных возбужденных состояний системы.
§ 26. ТЕОРИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ СИСТЕМ
МНОГИХ ЧАСТИЦ
26. 1. Используем развитые выше методы для того, чтобы
дать количественное описание разреженных систем многих частиц,
для которых радиус действия сил R мал по сравнению со сред-
средним расстоянием между частицами d,
i\ = R/d<?l.	B6.1)
При выполнении условия B6. 1) истинный потенциал взаимо-
взаимодействия между частицами можно заменить псевдопотенциалом
(см. § 1), что позволяет описывать взаимодействие между части-
частицами системы в терминах амплитуды расстояния частиц друг
на друга. Это обстоятельство не может вызывать удивления, так
как в разреженных системах процесс взаимодействия между части-
частицами можно трактовать как последовательность актов рассеяния
частиц друг на друга.
В этом параграфе будет дан вывод псевдопотенциала в рамках
общей полевой схемы и будут подтверждены результаты, полу-
полученные в § 1, 7, 18; методом функций Грина будут найдены раз-
различные характеристики разреженной системы частиц [77]. Эти ре-
результаты представляют собой разложения физических величин
в ряд по амплитуде рассеяния а, которая, как и радиус действия
сил R, считается малой по сравнению со средним расстоянием
между частицами *,
/dl.	B6.2)
* ' * Случай, когда это отношение не мало (резонансный случай), частично осве-
освещался в § 1 и 16.
249

Разложение по этому параметру (ему отвечает так называемое
газовое приближение) в первых двух порядках описывает только
парные корреляции между частицами. Начиная с членов по-
порядка (a/dK, необходимо учитывать также вклад трехчастичных
и более сложных корреляций. Оценки показывают [31], что вклад
трехчастичных корреляций в энергию основного состояния раз-
разреженной системы определяется соотношением
Е ^ 0,1 (ap.f^N.	B6.3)
В теории ядерного вещества в последние годы получил широ-
широкое распространение так называемый метод Бракнера [2]. В своей
основе этот метод состоит в точном учете парных корреляций
между частицами при полном пренебрежении трехчастичными
и более сложными корреляциями. В то время как в приближении
Хартри — Фока описывается движение отдельной частицы в само-
самосогласованном поле остальных частиц, в методе Бракнера дается
точное описание взаимодействия каждой пары частиц, движу-
движущихся в самосогласованном поле остальных частиц.
Метод Бракнера вряд ли может считаться удовлетворительным.
В самом деле, если параметр aid не мал по сравнению с единицей,
то метод Бракнера не учитывает сложных корреляций, начиная
с трехчастичных, которые вносят существенный вклад. Если же
указанный параметр мал, то в рамках этого метода излишне учи-
учитываются все степени параметра aid. Можно сказать, что в области
своей применимости, когда можно пренебречь трехчастичными
корреляциями, метод Бракнера по существу совпадает с газовым
приближением.
Полученное Бракнером хорошее согласие с опытом в отно-
отношении целого ряда характеристик ядерного вещества следует
отнести за счет фактической малости параметра aid. Благодаря
этому можно избежать той громоздкости аппарата, которая при-
присуща методу Бракнера *, что подтверждается результатами § 7, 18,
полученными в рамках газового приближения с учетом первых
членов разложения по параметру aid. Метод Бракнера может
оказаться оправданным лишь в тех случаях, когда по каким-
либо причинам парные корреляции между частицами являются
выделенными, например при описании сверхтекучести ядерного
вещества.
26. 2. Переходим к решению уравнений для функций Грина
разреженной системы многих частиц. Поскольку мы требуем
лишь выполнения условия B6. 2), параметр борновского прибли-
приближения а' — МV0R2 может быть и не мал по сравнению с единицей.
* Бракнер и Гаммел [2] указывают, что им пришлось провести численное
интегрирование нескольких сот тысяч функций Грина соответствующего урав-
уравнения.
250

Будем исходить из основного для рассматриваемой задачи
уравнения
А A, 2, 3, 4) = - \у4, 2) {-f Р A-3) б B-4) -
-d(l-4)dB-3)] +2j-d5d6G0(l, 5)<?„B, 6) А E, 6, 3, 4)j, B6. 4)
которое легко получить из уравнения B5. 1).
Ограничиваясь рассмотрением пространственно-однородных
систем, переведем уравнение B6. 4) в импульсное пространство,
полагая /
А A, 2Х 4) =-- jdVWWW4P4^(Pi, Qi, Ръ Q2; Рз Q3; Pi, Q4) X
x6 (Pi[ + Р2 — Р3 — Pd exp [i(p1l) + i (p22) - i (p33) — i (Pi 4)].
После перехода к системе центра масс и введения суммарного
импульса Р = рх + р2 = Рз + pi и относительных импульсов
^ = (Pi — РгУ.2, k' = (p3 — pi)/2 получим следующее уравнение *:
Д (Р, k, k') = -±- Bя)« [v(k - k') - v (k + У)] +
+ i \ d*qv (k —*q) Go (P/2 + q) Go (P/2 — q) A (P, q, k'), B6. 5)
где
A (P, k, k') = A (P/2 + k, P/2 — k, P/2 + k', P/2 — A').
Так как нет запаздывания, фурье-образ потенциала v зависит
лишь от пространственных компонент вектора передаваемого
импульса. Предположим, что таким же свойством обладает вели-
величина А (Р, k, k'), т. е. что наряду с Р она зависит лишь от k и k'.
Это предположение будет немедленно оправдано; оно позволяет
провести в правой части уравнения B6. 5) интегрирование по вели-
величине ? — четвертой компоненте вектора q. Соответствующий
интеграл
легко вычислить по правилам, изложенным в приложении В,
- — i
1-я
+
я —-
e -» 4- e ^
1 +-1Г	Ч	о"
n ^ я ^.
Я Н 2~ ?	2~
— ? +16
^. + 8	^. — ? — F
P	-*	P
Это уравнение аналогично основному уравнению метода Бракнера.
251

где Е — суммарная энергия, частиц (четвертая компонента век-
вектора Р). Вводя величину
/V (а) = 1 — п ¦+ — п -* ,
+
можно написать
-* р	¦* Р
Я +-2~	Я - —
Таким образом, интегральное уравнение B6. 5) принимает вид
B6. 7)
¦* Р
-2	-? --J-
Из уравнения B6. 7) видно, во-первых, что предположение
о независимости А от четвертых компонент векторов k, k' не при-
привело ни к каким противоречиям. Физически это означает, что учет
корреляции между частицами разреженной системы не приводит
к появлению запаздывания их эффективного взаимодействия.
Во-вторых, отчетливо видна зависимость эффективного взаимо-
взаимодействия Д от суммарного импульса пары. Это свидетельствует
о нарушении в рассматриваемых условиях принципа относитель-
относительности Галилея. Однако этот принцип и не должен соблюдаться,
поскольку частицы взаимодействуют в среде и поскольку сущест-
существует привилегированная система отсчета, в которой среда покоится
как целое.
Заметим далее, что мы не выписывали явно дискретных индек-
индексов, полагая, что функция Грина Go и v пропорциональны 6
Последнее замечание касается свойств симметрии Д IP, k, k'\.
Из условия антисимметрии Д (рх; р%\ р3; pt) относительно пере-
становки рх, Ръ, а также р3, р4 следует антисимметрия А Р, k, k'\
относительно замены k -> —k и k' ->- —k'. Будем искать реше-
решение уравнения B6. 7) в виде
Д (Р, k,k') = ±[u (Р, %, V) - U[P, \—р)\ B6. 8)
Тогда для U получается уравнение
и (рд,%') - -4-
- Uv
-*, p -* p
4 + 2	Ч	Г
252

Как легко проверить итерациями, решений этого уравнения обла-
обладает свойством	/
U (Р, -I, Р) = U [р{% -%').
Поэтому выражение B6. 8) дает-величину, обладающую всеми
требуемыми свойствами симметрии.
26. 3. Прямое решение уравнения B6. 9) представляет собой
чрезвычайно сложную задачу. Это уравнение описывает рассея-
рассеяние пары частиц друг на друге в среде, т. е. при учете принципа
Паули. В случае разреженной системы эффекты среды играют
сравнительно малую роль, поэтому представляется возможным
выразить величину U (а вместе с ней и эффективный потенциал А)
через характеристики рассеяния пары изолированных частиц.
Во многих случаях именно эти характеристики (например, фазы
рассеяния) непосредственно известны из эксперимента, а потен-
потенциал взаимодействия представляет собой производную величину;
тогда рассматриваемый путь имеет непосредственную физическую
ценность.
Для простоты ограничимся случаем квадратичного закона
дисперсии частиц (общий случай удобнее рассматривать в рамках
теории псевдопотенциала). Изменение закона дисперсии за счет
самосогласованного короткодействующего взаимодействия незна-
незначительно при выполнении условия B6. 2). Поэтому, имея в виду
проведение расчетов с точностью до (а/7?J включительно, мы можем
считать закон дисперсии квадратичным (см. раздел 26. 5).
Рассмотрим уравнение Шредингера, описывающее рассеяние
пары частиц в пустоте. Полученные результаты являются обоб-
обобщением результатов § 1. Исходное уравнение имеет вид
k
а в импульсном пространстве —
-М j d*qv (p - q) гК (q) _
Его решение можно выразить в следующем виде (см. приложе-
приложение В):
k	k
где первый член описывает падающую волну, второй — расхо-
расходящуюся.
Величина
{^)^k\C)^)	B6.10)
может быть названа амплитудой рассеяния. Точнее говоря, она
является обобщением обычного определения амплитуды рассеяния
253

на случай, когда нас интересует не только асимптотика волновой
функции на больших расстояниях, но и вся функция гК. (г ) .
k v '
Чтобы в этом убедиться, переведем уравнение
р) - Bл)»а(р-Л) + pi_l*_wa(p,ty B6. 11)
в координатное представление. При этом получается выражение
exp yikr J + al — tV, feI exp (ikr)/r.
>
Асимптотически при больших г можно заменить —/V на kn
->	->
где п — единичный вектор г, и мы действительно вернемся к обыч-
обычному определению амплитуды рассеяния.
Нашей последующей задачей будет полное исключение из полу-
полученных уравнений потенциала взаимодействия v, который может
вообще не существовать («твердая сердцевина»), и замена его
амплитудой рассеяния а.
Рассмотрим с этой целью равенство B6. 10). Умножая его
на ^и(р'), интегрируя по k и учитывая условие полноты
найдем
^
Подставляя сюда выражение B6. 11), находим окончательное
соотношение между амплитудой рассеяния и потенциалом
)
р, к)
Удобно избавиться от входящих в правую часть этого уравнения
мнимых величин. Для этого сделаем замену
1 + ikl \ k, k
B6-13)
Величина / является обобщением длины рассеяния (см. § 1 и 16)
и представляет собой действительную функцию. Ограничимся
наиболее важным случаем s-рассеяния, когда величина / [р, k\
не зависит от углов.
254

Подстановка выражения B6. 13) в B6. 12) приводит к сле-
следующему уравнению:
(* *\ 4я	/(р, р')
м
P[d3k
При выполнении условия B6. 2) lid <С 1.
Ограничиваясь в полученном уравнении членами второго
порядка по /, находим окончательно
>*^^^-. B6.14)
26. 4. Уравнение B6. 14) позволяет исключить из всех выкла-
выкладок истинный потенциал взаимодействия v и заменить его длиной
рассеяния /.
Подставим уравнение B6. 14) в B6. 9), взяв е (р) = p2l2M.
Ограничиваясь членами порядка (lidJ, достаточно выполнить
одну итерацию. В результате получим
—ъ <2я>4 -ж \l (fe>k') -
- 4я С d*ql (k', q) I (k, q) Г	p, N {q)
B6. 15)
При выполнении условия B6. 1) эффективные значения пере-
передаваемого импульса малы по сравнению с импульсами частиц.
Поэтому величина / фактически не зависит от k, k'. Определяя
эффективный потенциал взаимодействия v3(M) [k — k'j из условия
U(P, k, к') =
будем иметь в низшем порядке по /
<v	z=_
ЭФФ /Ц
откуда эффективный потенциал
Таким образом, мы возвращаемся к введенному выше псевдо-
псевдопотенциалу *. В § 1 псевдопотенциал вводился в рамках проблемы
Оператор 1 + г -^- в низшем порядке разложения по / неэффективен.
255

двух тел и описывал рассеяние пары частиц в пустоте. Эффекты,
связанные с присутствием других частиц системы, могли быть
при этом получены лишь на следующем этапе выкладок (при по-
построении теории возмущений). Что же касается эффективного
потенциала B6. 15), то он уже включает в себя указанные эффекты
(второе слагаемое). Отметим некоторые качественные свойства
эффективного потенциала во втором порядке по /. Заменяя / кон-
константой во втором члене уравнения B6. 15) и учитывая
тождество
f d3q ( Р -т-Ц^г- — Р -v^—A = 0,	B6. 17)
J	\ Я1 — Ь i	q2 — а2 )	v	'
где а — любое действительное число, нетрудно видеть, что вели-
величина и\Р, k\ k'j и во втором порядке по / зависит лишь от сум-
суммарного импульса Р. Таким образом, можно написать
' B6. 18)
где / (Р) — функция Р, которую можно вычислить в явном виде-
26. 5. Заменить истинный потенциал взаимодействия через /
следует и в выражениях, отвечающих приближению Хартри —
Фока. Для этого понадобится выражение для энергии частицы е_>.
р
Величина е_> определяется соотношением (см. гл. II)
р
[здесь мы заменили \d\V на v@)]. Вместо v нужно подста-
подставить выражение B6. 14). Согласно тождеству B6. 17), величина
v \Р — р') не зависит от р и р' (при / = const): Поэтому можно
написать
^^Of?^), B6-19)
где а — произвольное число. Мы видим, что закон дисперсии
частиц остается квадратичным (с точностью до постоянного сла-
слагаемого).
Выражение B6. 19) содержит расходящийся интеграл по k.
Однако окончательное выражение, включающее корреляционные
эффекты, никаких расходимостей уже не содержит.
Переходим к вычислению массового оператора. С этой целью
переведем выражение B5. 5) в импульсное представление
с» с
+ -L BяL [v @) -у (q - р)] J e0l0,eOlOie0l0..
256

Согласно соотношениям B6. 8),-B6. 14) и B6. 15), эту величину
можно записать в виде
„'2 ,\Р+Я)
где ?, е — четвертые компоненты q', р. Выполняя несложное
интегрирование по ?, получим
Л* (р) = Мо (р) - S2(g~l) /2 J d*qd\ X
где
о	/VI
в точности компенсируется расходящимся членом выражения
B6. 19).
-* ->
Производя интегрирование по q и q', можно прийти к сле-
следующему выражению для функции Грина:
(величина М —Мо будет приведена ниже).
Вычислим сначала энергию и затухание квазичастиц, прирав-
приравнивая предыдущее выражение нулю. Ограничиваясь учетом чле-
р, е) величину
р2/2М. Это даст (при g = 2)
-ро)+...	B6.21)
Выражение B6. 21) справедливо вблизи р = р0. Величина зату-
затухания в этой области имеет вид
Это выражение качественно согласуется с общими требованиями,
которым должно удовлетворять затухание. Оно действительно
оказывается величиной высшего порядка малости вблизи границы
Ферми.
257

Определим химический потенциал системы, пользуясь общим
уравнением ц = ЕРо. Из соотношения
2
можно непосредственно вычислить энергию системы, используя
ц == (dE/dN)®. Для этого проинтегрируем выражение B6. 23)
по N, учитывая, что р^/Зл2 = N/Q. В результате получим
К аналогичному выражению приводит общая методика, основан-
основанная на псевдопотенциале (§ 18) *.
В данном случае теорема о равенстве ц и E/N не выполняется,
так как мы рассматриваем газ, не находящийся в «самосжатом»
состоянии. Вычисляя Р — — (dE/dQ)N, легко убеждаемся, что эта
величина не равна нулю.
В заключение вычислим величину скачка в распределении
частиц по импульсам Z^.. Для этой цели нам понадобится разло-
р
жение функции Грина вблизи точек р — р0 и е = ц. В этой
области величина М — М 0 имеет следующий вид:
М-Мо=^.^ [^(Ц_21п2)-А-G1п2-1)(-?-~
— 1) —4ln2^=2fX
откуда
2Р = 1 — -4r On 2) р\12.	B6. 25)
Эта величина близка к единице, так что распределение q (p)
близко к фермиевскому.
Подводя общие итоги проведенного рассмотрения, отметим
что к тем же результатам, но более коротким путем, приводит
использование псевдопотенциала. Если с самого начала заменить
истинный потенциал V псевдопотенциалом, то полученные здесь
результаты содержатся в собственно энергетической части второго
порядка. Мы специально остановились на метод-.ке, основанной
на суммировании диаграмм теории возмущений, чтобы проиллю-
проиллюстрировать один из эффективных методов полевой теории.
§ 27. ТЕОРИЯ СЖАТЫХ СИСТЕМ МНОГИХ ЧАСТИЦ
27. 1. Переходим к количественному описанию сжатых систем
многих частиц, для которых выполнено условие малости сред-
среднего расстояния между частицами d по сравнению с эффективным
радиусом действия сил R
		Л = Rid > 1.
* Имеется лишь некоторое отличие в численных коэффициентах, связанное
с разными значениями фактора вырождения g.
258

Системы с кулоновским взаимодействием относятся к разряду
сжатых при выполнении условия
ajd » 1,
где а0 — боровский радиус частиц.
Будем считать, что величина параметра взаимодействия
удовлетворяет условию
тг1 > а > ц-3.
Борновский параметр
а' ~ MV0R2 ~ ац2
может иметь при этом и большую величину. Для систем с куло-
кулоновским взаимодействием большая величина ц приводит одно-
одновременно к малой величине параметра взаимодействия. Основное
уравнение теории сжатых систем, выведенное по результатам
§ 16 и 25, имеет вид
Y(l,2) = 7(l,2)-tJd3d47(l,3)G0C,4)G0D,3)YD,2). B7.1)
27. 2. Переходим к решению уравнения B7. 1), определяющего
эффективный потенциал взаимодействия между частицами. Пусть
для простоты потенциал является функцией только координат.
Ограничиваясь рассмотрением однородных систем, переведем
уравнение B7. 1) в импульсное представление
у (k) = v (k) [1 - ig Jd*pG0 (p + k) Go (p) у (k)]
(g — фактор вырождения, появляющийся при суммировании
по дискретным переменным).
В явной форме можно написать
()Y B7.2)
Вычисление входящего сюда интеграла по правилам, изло-
изложенным в приложении В, дает
k)G0(p) = -
'о
+ ¦
X
где со — четвертая компонента вектора k. Явная зависимость
эффективного потенциала у от этой величины приводит к появ-
появлению эффектов запаздывания, обусловленных корреляцией между
частицами.
259

Делая во втором интеграле формулы замену р -> р — k и затем
р -> —р, приходим к окончательной формуле для величины П (k),
носящей название поляризационного оператора:
П(k) = g Гd3p n
J
I е_> _> — е_>. — а) — «6 """" е_> _> — e_> -f- со -{- гб I '	^ ' '
\ p+k p	p+ k р	I
Явное вычисление этого выражения можно провести, учитывая,
что эффективная величина k мала по сравнению с р0. Кроме того,
можно считать закон дисперсии квадратичным, поскольку обмен-
обменные эффекты приближения Хартри — Фока играют малую роль.
Условие k <C ро приводит к узости эффективной области
интегрирования в выражении B7. 3). Полагая, что р = р0 A + а),
где а > 0, и учитывая условие \р + k\ <C р\, найдем
«<	и х<0,
Ро
где х — косинус угла между векторами, р и k. Интеграл B7. 3)
принимает тогда вид
f(l\	B7.4)
где
„ Mm
0
В явной форме
Д?8) = 1	|-ln||i|-|-in|S|e(l-|S|).	B7.6)
Эта функция падает от 1 до —оо при изменении ?2 от 0 до 1 и растет
при ?2 ]> 1, имея при ?2 -> оо асимптотику / (^2) «* —1/C^2).
Мнимая часть / (?2) отлична от нуля лишь при ?2 <С 1.
Предельные значения поляризационного оператора следующие:
при I -> О
^	B7.7)
при ? -> со
где q — плотность числа частиц системы.
260

27. 3. Существенной особенностью выражения для у (k)
у (к) =		B7. 9)
является возможность обращения его знаменателя в нуль при
действительных значениях со и k. Это обстоятельство отражает
факт возникновения новой (коллективной) ветви возбуждений
(соответствующие вопросы будут рассмотрены в § 28).
Здесь необходимо обратить внимание на то, что полюс у (k)
является формальным препятствием на пути извлечения дальней-
дальнейшей информации из теории. В самом деле, получение выраже-
выражений, например, для массового оператора или для энергии пред-
предполагает проведение интегрирования по со и k величин, включаю-
включающих в себя у (^')- Поэтому необходимо иметь дополнительные
сведения о правилах обхода возникающего полюса. Такие све-
сведения даются спектральным представлением.
Прежде чем переходить к рассмотрению этого, вопроса, необ-
необходимо исследовать, при каких условиях и где возникает полюс.
Исходя из соотношения 1 = П (k) v ( k\, где v действительно,
нетрудно видеть, что реальные корни этого уравнения имеются
только при условии действительности П (k). Это в свою очередь
требует, чтобы
? = Л4со/ро&> 1.	B7.10)
Обозначая через соо (k) полюс выражения B7. 9) (он лежит
в симметричных точках ±соо (к), имеем следующее так называе-
называемое дисперсионное уравнение:
B7.11)
где Со = Мыо1ро1г. Поскольку в области B7. 10) функция / (?2)
отрицательна, уравнение B7. 11) имеет решения только при
v [Ъ) >¦ 0, т. е. при наличии отталкивания между частицами.
Этот факт может быть интерпретирован физически следующим
образом. Как будет выяснено в § 28, возбуждение, отвечающее
рассматриваемому полюсу, можно истолковать как связанное
состояние частицы и дырки. Это состояние может возникнуть
лишь при наличии сил притяжения между частицей и дыркой.
Поскольку частица и дырка имеют противоположный знак соот-
соответствующей константы взаимодействия, для образования связан-
связанного состояния необходимо, чтобы частицы отталкивались друг
от друга.	"	- ,	-
Рассмотрим сначала короткодействующие силы. В пределе
k -> 0 у ( k\ стремится к конечной величине v @) ~ VORS. Поэтому
коэффициент при / (?о) в уравнении B7. 11) будет по порядку
261

величины равен ал3 > 1 и соответственно / (ф < 1- Последнее
неравенство указывает на то, что величина Ц велика. Поэтому
1 ёМрпу @)
мы приходим к уравнению 1 = -¦ ', , откуда
6я2^
<(k) = S^Lk\	B7/. 12)
Этому решению отвечает так называемый нулевой звук [89, 114].
В системе с кулоновским взаимодействием, где v (k) = Ane2/k2,
уравнение B7. 11) при k -»• 0 дает
«о2-Ч=^-	B7-12')
где a>L — частота плазменных колебаний, или лэнгмюровская
частота. Существенно, что u)L не зависит от k в области малых k
(оптический спектр). С ростом k в уравнении B7. 11) начинает
играть роль член, пропорциональный plk2/M2. При больших k
уравнение B7. 11) дает м0 = pok/M. Однако само уравнение
имеет силу лишь для малых k.
Перейдем к установлению правил обхода особенностей функ-
функции у (k), предполагая, что уравнение B7. 11) имеет действитель-
действительное решение. Воспользуемся спектральным представлением парной
функции Грина, точнее, функции G A, 2) = G A, 2, 1, 2). Это
представление имеет вид (см. раздел 23. 6)
ImG (p, е)
)
о
Для нас существенно лишь то, что G [р, в) зависит от в только
в комбинации в2 + ib.
Свяжем теперь эффективный потенциал у с функцией G. При-
Приравнивая друг другу аргументы 1, Г и 2, 2' в уравнении B5. 9),
найдем
G(l,2)-G(l, 1)GB, 2) + G(l,2)GB, 1) =
= -tJd3d4G0(l, 3)G0B, 4)YC, 4)G0C, 4,1, 2).
Переходя в импульсное представление, получим
G (р) - Go (р) = iy (р) П (- р) П (р).	B7. 13)
Здесь мы опустили члены, содержащие интегралы от у, в которых
эффективное значение аргумента у порядка р0 и велико. Go (p) —
значение G (р) в отсутствие корреляции.
Из уравнения B7. 13) следует, что величина у (р) должна
фактически зависеть от комбинации е2 + j6. Рассмотрим с учетом
262

этого обстоятельства функцию у (k) вблизи ее полюса. Используя
уравнение B7. 9) и факт четности у (k) относительно м, имеем
Совершенно ясно, что для определения правила обхода необхо-
необходимо заменить м2 на и2 -f id. Тогда точка полюса смещается
с действительной оси «о -»¦ «о — /6. Поэтому при соо ¦< 0 полюс
смещается в верхнюю полуплоскость, при м0 >¦ 0 — в нижнюю.
Тем самым последующие выкладки приобретают должную степень
однозначности.
27. 4. Исследуем эффективный потенциал взаимодействия
между частицами
y(l,2) = $dlky{k)exp{i[k(l-2)]}.
Этот потенциал обладает свойством запаздывания и характери-
характеризуется зависимостью от tx — t2, отличной от б-образной.
Можно ввести некоторый усредненный эффективный потен-
циал Уэфф [г)& (tj — ?2)> который не содержит эффектов запазды-
запаздывания и в среднем по времени совпадает с у. Приравнивая инте-
интегралы потенциалов у и Уэфф б (т) по т = tх — t2, получим
B7.14)
Для выяснения смысла величины КЭфф(п рассмотрим потен-
потенциал, создаваемый некоторым статическим заданным распреде-
распределением частиц (внешний источник) с плотностью д(г).Без учета
корреляции этот потенциал имеет вид
где У A, 2) — истинный потенциал взаимодействия между части-
частицами. При учете корреляции требуется замена V ->- у. Учитывая
независимость q от времени, находим
В D) = j Д^эфф (*! — Х2) Q (
Таким образом, Уэфф определяет потенциал статических источ-
источников.
Подставляя в выражение B7. 14) значение поляризационного
оператора при ? -у 0, найдем
Я = [d*k . v(*>exp(^^) .	B7. 15)
Из этого соотношения вытекают важные физические следствия.
263

Рассмотрим системы с короткодействующими силами. Пусть
расстояния г — меньше радиуса действия сил R, т. е. в выра-
выражении B7. 15) k > MR. Тогда, как указывалось в § 16, в ряде
k\ может быть записан в форме
Соотношение B7. 15) принимает вид
V (г) .-¦-¦ V /? ехр ^~~ k°r)	197 1fV»
где
^0 % (V0i?/vW)V2 — (ат)8O'/?.	B7. 17)
Поскольку ат]3 > 1, появляется экранирование исходного
потенциала взаимодействия. Силы взаимодействия между части-
частицами становятся более короткодействующими и меняют радиус
действия от R до значения
#эфф ~ (аг|3)-1/2#.	B7. 18)
Особенно ярко проявляется эта особенность сжатых систем
в случае кулоновских сил. При этом v = —~— и
Т Г	О	VTA!) \	f\> f\f )	у ,-~ ^т	~ *-\Ч
1/ __ р" " v	» '	(у / 1 чV
где *
В этом случае физическая интерпретация эффекта дебаевского
экранирования особенно наглядна. Рассматривая для простоты
модель однородного электронного газа с компенсирующим фоном,
нетрудно заключить, что каждый из электронов отталкивает от себя
другие электроны. Поэтому вблизи электрона образуется избыток
положительного заряда, который и экранирует заряд электрона.
В результате кулоновские силы становятся короткодействующими.
Если вернуться к первоначальному выражению B7. 9) и запи-
записать его в виде
,,.	4яе2
{k)
то величину
в (a, J) = 1 - i? П (*, со)
* Существует некоторая общая формула для радиуса дебаевского экраниро-
экранирования, основанная на применении теоремы Уорда и не связанная со сделанными
здесь ограничениями [11 ].
264

можно назвать эффективной (продольной) диэлектрической по-
постоянной среды. Эта величина зависит не только от частоты м,
->
но и от волнового вектора k, что свидетельствует о наличии в среде
как частотной, так и пространственной дисперсии диэлектриче-
скои постоянной. Через в I со, k) можно непосредственно выразить
целый ряд физических характеристик системы и процессов ее взаи-
взаимодействия с внешними агентами. Подобная «диэлектрическая»
формулировка теории многих частиц активно разрабатывается
в последние годы [39, 115].
27. 5. При вычислении таких величин, как массовый опера-
оператор, энергия и т. п., приходится сталкиваться с особой мате-
математической структурой соответствующих выражений, которую
обычно называют логарифмической.
Пусть задан некоторый заведомо сходящийся интеграл, зави-
зависящий от малого параметра а
I(a) = $dxf(x, а).
о
Пусть далее этот интеграл становится логарифмически расходя-
расходящимся (на нижнем пределе), если в подынтегральном выражении
положить а = 0; другими словами, при малых xf (x, 0) ~ \1х.
Тогда при а -> 0 величина / (а) является логарифмической функ-
функцией, причем при выполнении неравенства In A/а) > 1 вычисле-
вычисление / (а) существенно упрощается.
В самом деле, допустим, что при значениях х, меньших неко-
некоторой не зависящей от а величины х0, функция / (х, а) приоб-
приобретает вид
где функция ф конечна при нулевом значении своего аргумента
(иначе интеграл / @) не будет логарифмически расходиться)
и стремится к нулю, когда аргумент стремится к бесконечности
(иначе / (а) не будет сходиться). Разобьем / (а) на сумму двух
интегралов. Первый, взятый по области от х0 до оо, стремится
при а -> 0 к постоянному пределу
)dxf{x, 0).
Второй интеграл
С dx , .
J—Ф(а/х)
о
после подстановки х = а? принимает вид
а
f -f-фОД).
о
265

В этом сходящемся интеграле при убывании а существенна лишь
область вблизи верхнего предела. Вынося в этой области из-под
знака интеграла величину ф (а/х0) *=» ф @), найдем окончательно
/ (a) = ф @) In (jto/a) + O'(a°).	B7 20)
Так мы получаем простой ответ, справедливый с логарифмической
точностью.
27. 6. Определим массовый оператор сжатой системы. Из соот-
соотношения B5. 11) находим
М (р) = —i j tfk \у (k) - v {%)] Go (p - k) =
. .. U(k)v2(t)
= —i
1
Ограничимся наиболее важным случаем кулоновской системы.
Тогда, вводя
И
в- ** и
получим
X
-?J- l]}'. B7.21)
Проанализируем особенности подынтегрального выражения
в комплексной плоскости ?. Прежде всего, придется иметь дело
с полюсом функции Грина Go, расположенным в точке
Далее нужно учесть полюса величины у (k). Они ¦ расположены
в точках
М | ш0 1 t-5
	!—г-——I- i
266

Наконец, имеет особенности и сама величина / (?2). Как видно
из ее определения [см. выражения B7.5) и B7.6)], имеются
точки ветвления ?| + г'б = 1, т. е.
1—/б
Проводя линии разреза, приходим к изображенной на рис. 63
картине.
Ввиду достаточно быстрого убывания подынтегрального выра-
выражения в соотношении B7. 21) с ростом ? контур интегрирования
можно сместить на мни-
мнимую ось. При этом при-
придется иметь дело с вычета-
вычетами полюса .?,!, если он ле-
лежит в первом или третьем
квадранте, т. е. если вы-
выполнены условия	7	у
У>{х — <
или
->\2
¦Я)>У-
Интеграл по замкнутому
контуру С равен вычету
в первом квадранте с по-
положительным знаком или
в третьем квадранте с
отрицательным знаком.
Таким образом, вклад вы-
вычетов в интеграл по ? в вы-
выражении B7. 21) равен
h h
Рис. 63
У— \х — <
Ад*
При у — x
t
аргумент функции / велик, и сама функ-
функ2 П	ф
р у	gpo ру фу	фу
ция пропорциональна q2. Поэтому логарифмическая ситуация
отсутствует, и вклад вычетов может не учитываться. В другом
предельном случае (у «* 1) вклад вычетов также крайне мал из-за
узости области интегрирования по q.
Опуская поэтому вычеты, мы можем заменить исходный инте-
интеграл интегралом по мнимой оси, т. е. сделать замену С -> it,.
Функция / (?2) принимает при этом вид
267

Таким образом, входящий в соотношение B7. 21) интеграл по
можно представить в виде
г • Г» dl	I —g arc tg (l/?)
1 Ч	^-5- [I—? arc tg A/C)]	\
21—1
Рассмотрим случай у — x2 > ko/po. Малым параметром здесь
является величина ko/po. Если ею пренебречь, то при q -> О
/ -> const и имеет место типичная логарифмическая ситуация.
Согласно соотношению B7. 19), при этом
М^ =	^(У-^1 I -g- [1 — Е arc tg (l/?)] In (po/feo)
или, вычисляя интеграл и переходя к обычным обозначениям,
М (р) = — 1 ¦ —	— • " (p°l °'	i'27 22)
^"J	2яа а0 /И е—р2/2М '	\ • /
Мы не будем останавливаться на дальнейшем исследовании
массового оператора *. Отметим лишь, что в сжатых системах
отличие квазичастицы от истинной частицы в целом незначи-
незначительно.
27. 7. Вычислим энергию сжатой системы. Переводя для
этого соотношение B5. 12) в импульсное представление, найдем
f~ [у (к) - ^v (k)} f d*pGQ (р + k) Go (p).
о'
Вспоминая определение оператора П(/г), можно написать
р р __ iQg Г dX г ,4, [Xv(k)Il(k)]3	. ,97 9„
о
Здесь мы всюду заменили v на ^v.
Заменив П (k) его выражением из соотношения B7. 5), пере-
переведем интеграцию на мнимую ось. При этом в отличие от рассмо-
рассмотренного в разделе 27. 6 примера, никакого вопроса о вычетах
не возникает, и мы получаем
Е - Ео = М J dskk J -|L [Q _ In A + Q)], B7. 23';
где	.
* Исследование массового оператора проводится в работах [116, 117].
268

Это соотношение для частного случая кулоновых сил было впер-
впервые получено Гелл—Манном и Бракнером [118].
Рассмотрим его в этом частном случае, полагая g = 2 и
v ( )= ьа • Величина Q примет вид
Q = ^-[l-?arctg(l/C)].	B7.24)
Функция 	~^-—- совпадает с функцией f (х), о которой шла
V
речь в § 16. При малых Q функция стремится к константе, при
больших — к Q.
Подстановка выражения B7. 24) в B7. 23') приводит к типич-
типичной логарифмической ситуации: при стремлении kl к нулю воз-
Г dk
никает логарифмический интеграл —г—. Применение соотно-
соотношения B7. 20) дает *
E-E0=-N1^-{l~]n2)\n(a0p0),	B7.25)
где N — число частиц.
Необходимо специально подчеркнуть аномальную малость
численного коэффициента в этой формуле, равного всего трем
сотым. Это обстоятельство позволяет думать, что малость корре-
корреляционных эффектов представляет собой свойство и не сильно
сжатых систем, у которых параметр ц незначительно превышает
единицу.
В случае однородных кулоновских систем можно найти не-
нелогарифмический член в выражении для Е — Ео. Общая фор-
формула имеет вид [118]
Е — Eo=—N [0,0311 In KqVs) + 0,0628] ~. B7.26)
Отрицательный знак корреляционной поправки к энергии нахо-
находится в соответствии с вариационным принципом (см. § 7).
В литературе неоднократно предлагались различные интер-
интерполяционные формулы для Е — Ео, позволяющие охватить
широкий интервал сжатий [119]. Отправной точкой большинства
этих рассмотрений было исследование Вигнера [41], касаю-
касающееся разреженного электронного газа (см. § 6).
Найдем пределы применимости полученных соотношений.
Выше уже говорилось об ограничениях на степень сжатости
системы. Рассмотрим другую сторону этого вопроса.
со
Вычисление появляющегося интеграла dt, 1 — ? arctg f -р- j проще
всего проводить, используя параметрическую формулу B7. 5) с заменой
на —С2.
269

Полученные результаты относятся лишь к идеализированной
однородной модели, отвечающей бесконечному однородному рас-
распределению электронного газа и компенсирующего заряда.
В природе таких систем не существует *. Поэтому важно выяснить,
в какой степени неоднородность в распределении частиц мойсет
повлиять на полученные результаты. Исходя из проведенного
в § 16 рассмотрения, можно сказать, что необходимым условием
применимости соотношения B7. 25) является неравенство
xoko » 1,	B7. 27)
где х0 — характерная длина неоднородности; k0 — импульс
Дебая.
Это условие нарушается, например, в применении к несжа-
несжатому атому (см. § 16), для которого х0 — a0Z~1/3 и k0 — a^Z1/*.
Интересно рассмотреть с этой точки зрения сжатое вещество.
С увеличением сжатия распределение частиц становится все более
однородным и можно ожидать, что при .достаточных сжатиях
условие B7. 27) окажется выполненным. Результаты § 6 показы-
показывают, что в областях давления II и III распределение гранич-
граничного импульса р0 (х) дается соотношением
Отсюда
Однако в сжатом веществе имеется еще одна характерная
длина неоднородности х0, определяемая лапласианом граничного
импульса. Согласно соотношению E. 14) для этой величины
произведение xoko порядка единицы, и условие B7. 27) нару-
нарушается при любых сколь угодно больших сжатиях. Тем не менее,
учитывая быстрое уменьшение численных коэффициентов при
квантовых поправках (см. § 5), можно для оценки использовать
«квазиоднородное» выражение
\С	[{V}. B7.25')
Существенный интерес представляет корреляционный вклад
в давление. Дифференцируя соотношение B7. 25) по Q при по-
постоянном N [р0 — (Л7ЙI/»], находим [120]:
Эта величина мала даже по сравнению с квантовыми и обменными
поправками к давлению.
* В плазме, где осуществляется однородное распределение, весьма суще-
существенны корреляции тяжелых частиц.
270

27. 8. Применим выражение для корреляционной энергии сжа-
сжатой системы B7. 23) к системам с короткодействующими си-
силами [75]. Учитывая необходимость включить в рассмотрение
силы, зависящие от спина и изотопического спина, следует не-
несколько видоизменить это выражение. Возвращаясь к выраже-
выражениям B7. 1), B7. 2) и учитывая, что в случае заполненных оболо-
оболочек поляризационный оператор диагонален относительно дискрет-
дискретных индексов, мы можем считать матричную структуру истинного
и эффективного потенциалов взаимодействия одинаковой. Это
относится к интересующему нас случаю серберовских сил. В са-
самом деле, оператор 5 = -у A — е^оеГт) обладает свойст-
свойством S2 = S. Поэтому, заменяя у -> yS, V -> VS, мы приходим
к соотношению типа B7. 2), в котором операторы S стоят лишь
в левой его части и в числителе правой; из знаменателя опера-
оператор S исключается. Это обстоятельство, сильно упрощающее
выкладки, приводит к тому, что величина Q в выражении B7. 23')
сохраняет свой вид (величина g для ядерного вещества должна
быть равна 4). Изменение коснется лишь общего коэффициента
выражения для Е — Ео, в котором вместо g нужно подставить
величину Spax (б2) = 3/2.
Таким образом, общее выражение для корреляционной энер-
энергии сжатой системы частиц двух сортов, связанных короткодей-
короткодействующими силами (ядерной материи), имеет вид
B7. 29)
Проанализируем вклад в интеграл по k различных областей
изменения переменной k, предполагая выполненным усло-
условие <щ < 1. Введем импульс Дебая рассматриваемой системы,
определяемый выражением B7. 17)
В области интегрирования по k от нуля до 1/,/? [j
и величина Q ~ а ¦< 1. Поэтому вклад этой области в энергию
по порядку величин относительно мал и равен
В области k >¦ l/R фурье-образ потенциала имеет в наиболее
интересных случаях следующий вид:
v(*) = ?, C~V0R.
Приведем значения С для наиболее важных потенциалов. Потен-
Потенциалу Юкава V(r)=Voexp{~^/R) отвечает ft)/^^
271

и С = 4nV0R. Для потенциальной ямы V [rj =—Vo (r<^R),
V (г) = 0 (r> R) имеем
!Г\ __ 4лУ„/?3 Д / sin(fefl) \
I ' " kR 'd(kR) \ kR )¦	\
При больших kR v переходит в 4лУ0^3 с,^р.2 ¦ Эта величина
не имеет требуемого вида, однако ее квадрат * может быть пред-
предел2!/^2
ставлен в виде v2 (k) = —р— • Здесь использовано соотно-
соотношение cos2 х -> 1/2 при х -> оо, которое нужно понимать в смысле
обобщенных функций. Таким образом, можно положить С =
= 2]/2яУ0/?. В области MR <C k < k0 величина Q имеет оценку
Мрос кп
Q	^з	F"-^ ^' Логарифмом в выражении B7.29) можно
пренебречь, и мы придем к оценке вклада Е — Ео в этой области:
F_F
Этот вклад также оказывается с логарифмической точностью
малым.
Наконец, в области k0 <С k <С р0 (значения k, большие р0,
рассматривать не следует) имеем
Функцию Q — In A + Q) можно разложить в ряд по Q, ограни-
ограничиваясь первым членом Q2/2, и мы получим выражение
д. д,	3 Qp0 2M2p2 ('dk
^ ~о- 8 М	Я6
Выполняя интегрирование, находим
Для потенциальной ямы
B7.31)
27. 9. Перейдем к обоснованию той модели ядерного вещества,
которая рассматривалась в §7 и 18 [38]**. Напомним, что в рам-
* Из соотношения B7. 29) видно, что существенны только четные степени v
и именно — вторая.
** Близкие вопросы исследовались также в работе [117].
272

ках этой модели нуклоны испытывают непосредственную корре-
корреляцию лишь за счет короткодействующих сил отталкивания V(C).
Дальнодействующие силы притяжения У@> проявляются только
в виде общей потенциальной ямы и измененного закона дисперсии
нуклонов.
Переходя на язык операторов, можно сказать, что целью
проводимого рассмотрения является обоснование замены точного
гамильтониана системы
(Н(а, 0 — гамильтонианы, отвечающие соответственно силам У(а)
и V(c)) приближенным
где Н0(а) — гамильтониан приближения Хартри—Фока, учиты-
учитывающий только силы притяжения.
При отсутствии гамильтониана отталкивания //(с) возмож-
возможность указанной выше замены можно проверить непосредственно.
В этом случае дело сводится к проверке малости корреляционных
эффектов, обусловленных только силами притяжения. Подста-
Подстановка в выражение B7. 31) принятых значений параметров Vo,
R и р0 (см. § 1) приводит к следующей оценке *:
Е~Е° ^ — 1 Мэв.	B7. 32)
Эта величина мала даже по сравнению с энергией связи ядерной
материи.
Теперь необходимо показать, что присутствие сил коротко-
действия Н(с) не препятствует замене гамильтониана HF + /У(а>
на //о(а>. Задача сводится к учету интерференции корреляций,
обусловленных силами V(C) и У(а). Эта интерференция не может
быть значительной. В самом деле, корреляционные эффекты,
обусловленные теми и другими силами, по отдельности малы.
Для сил V(a) существенно влияние принципа Паули (см. § 16),
характеризуемое большой величиной параметра сжатости ц.
Малость корреляционных эффектов сил отталкивания обусловлена
малой величиной длины рассеяния с по сравнению с расстоянием
между частицами. Интерференционный эффект должен в значи-
значительной степени определяться произведением указанных пара-
параметров малости. Расчет подтверждает эти соображения [39]
и дает поправку к энергии порядка — 1 Мэв.
Таким образом, рассмотренная модель ядерного вещества
справедлива (в энергетическом смысле) с точностью до нескольких
миллионов электронвольт. Эффекты неучтенных трехчастичных
корреляций [см. выражение B6. 3)] дают величину того же
порядка, но обратного знака.
* В рассматриваемом случае параметр щ не мал по сравнению с единицей.
Однако это обстоятельство не меняет порядка приведенной оценки.
273

Вернемся к общей проблеме устойчивости ядерных конфигу-
конфигураций (см. § 7). Рассмотрим уравнение состояния сильно сжатого
ядерного вещества, предполагая сначала, что силы типа «твердой
сердцевины» отсутствуют. Энергия такой системы определяется,
во-первых, выражением G. 31), отвечающим приближению
Хартри-Фока, и, во-вторых, корреляционным членом B7. 31),
вклад которого в давление совершенно ничтожен.
Полученные в § 7 результаты выходят за рамки приближения
Хартри-Фока и дают не только достаточный, но и необходимый
критерий, неустойчивости ядерного вещества. Вывод о том, что
в сильно сжатом ядерном веществе роль кинетической энергии
относительно мала, полностью подтверждается. В литературе
нередко приводится противоположное утверждение, подкрепляе-
подкрепляемое ссылкой на системы с кулоновским взаимодействием. Эта ана-
аналогия, однако, неправомочна, поскольку из-за электрической
нейтральности в целом в кулоновских системах происходит полное
выпадение основной части энергии, отвечающей самосогласован-
самосогласованному взаимодействию.
Потенциал «твердой сердцевины» радикально меняет проблему
устойчивости. Уравнение состояния ядерного вещества с учетом
этого потенциала в области высоких сжатий исследовалось в не-
нескольких работах [69, 121]. Однако правильность самого пред-
представления о непроницаемых шарах ограничена рамками не слиш-
слишком высоких сжатий.
Это относится ко всем вопросам, касающимся сильно сжатого
ядерного вещества. Не вызывает сомнения, что при достаточно
высоких сжатиях в игру вступят значительные по величине много-
многочастичные силы, зависящие к тому же от состояния взаимодей-
взаимодействующих нуклонов. Это обстоятельство крайне затрудняет
исследование соответствующего круга вопросов.
§ 28. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ КОЛЛЕКТИВНЫХ
КОЛЕБАНИЙ
28. 1. Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение ме-
метода функций Грина к проблеме описания возбужденных состоя-
состояний системы.
Возьмем систему частиц с кулоновским взаимодействием и
предположим, что она сжата. Сжатая система с кулоновским
взаимодействием характеризуется малой величиной этого взаимо-
взаимодействия (а~г\-2). Поэтому при возбуждении такой системы
без изменения числа частиц в ней всегда возможен переход си-
системы в такое возбужденное состояние, которое отвечает просто
рождению пары — частицы и дырки — с несущественным вза-
взаимодействием между ними.
Особенность таких возбужденных состояний состоит в том,
что возбуждение затрагивает малое число частиц системы, в данном
случае только одну. Поэтому мы будем называть эти состояния
274

индивидуальными. Спектр индивидуальных возбужденных со-
состояний системы может быть найден следующим образом. На
основе результатов § 21 можно положить
Здесь частица, приобретая энергию, попадает в состояние ev,
освобождая при этом место в состоянии е^. В пространственно-
однородной системе состояния характеризуются импульсом ча-
-> ->	-*¦
стиц. Если р + k — импульс состояния v, р — состояния \i, то
Д?„= (р+ к) — р2
Рис. 64
2М
Величина k отвечает импульсу, который приобретает система
при возбуждении. Поскольку величина р2/2М ограничена сверху
энергией Ферми р\\2М,
область спектра индивиду- atn
альных возбуждений име-
имеет верхнюю и нижнюю
границы -М. + -^L и
- Т + Ш соответст-
венно. На рис. 64 эта об-
область заштрихована.
Энергетический спектр
системы со слабым взаимо-
взаимодействием отнюдь не огра-
ограничивается уровнями, от-
отвечающими индивидуаль-
индивидуальному возбуждению системы. Имеются еще так называемые коллек-
коллективные уровни. Соответствующее им состояние системы характе-
характеризуется совместным возбуждением большого числа частиц
системы. В классической области коллективные возбуждения
проявляются как некие волны, распространяющиеся по системе;
поэтому, говоря об этих состояниях, употребляют термин коллек-
коллективные колебания.
Коллективные возбужденные состояния системы широко
исследовались в связи с проблемами продольных колебаний
плазмы, дискретных потерь и рентгеновского поглощения в ме-
металлах, нулевого звука в конденсированных системах, гигант-
гигантского резонанса в фотоядерных реакциях и др.
Коллективная ветвь возбуждения представляет собой «допол-
«дополнительную» ветвь, которой лишен спектр идеального газа. Именно
взаимодействие, точнее говоря, корреляция между частицами,
является той причиной, которая делает возможным появление
коллективных, согласованных движений частиц системы. При
275

выключении взаимодействия коллективное возбужденное состоя-
состояние переходит в индивидуальное (механизм этого перехода будет
рассмотрен ниже).
28. 2. Переход системы в коллективное возбужденное состоя-
состояние можно интерпретировать как рождение квазичастицы, пред-
представляющей собой связанное состояние частицы и дырки *. Вол-
Волновая функция такого состояния может быть представлена в виде
суперпозиции волновых функций, отвечающих индивидуальным
возбуждениям различных частиц системы. Это обстоятельство
и служит отражением коллективного характера рассматривае-
рассматриваемого состояния **.
Коллективные уровни энергии существуют далеко не во всех
системах. К числу условий, выполнение которых необходимо
для появления таких уровней, относится прежде всего требование
о преобладании сил отталкивания между частицами системы.
Выполнение этого условия гарантирует существование сил при-
притяжения между частицей и дыркой.
Далее, в разреженной системе силы взаимодействия между
частицами не могут привести к появлению согласованных движе-
движений большого числа частиц (в таких системах существенны лишь
парные корреляции между частицами). И даже если движение
такого рода в какой-то момент искусственно создано, спустя
короткое время оно перейдет в совокупность не связанных между
собой индивидуальных движений. Таким образом, вторым усло-
условием существования коллективных уровней является сжатость
системы, т. е. наличие сравнительно большого числа частиц
в сфере действия каждой из них.
Волновая функция коллективного возбужденного состояния
системы имеет вид следующей суперпозиции:
аЛ Т, B8.1)
p\
р, к p+k р	р, k p+k
р
где а, а' —некоторые коэффициенты [95]. Если теперь рас-
->
смотреть зависимость этих коэффициентов от k — суммарного
импульса квазичастицы, то окажется, что с ростом k относитель-
относительная величина одного из коэффициентов ои -> увеличивается
р, *
за счет остальных. При некотором определенном значении k =
= kKp (см. рис. 64) остается только этот коэффициент, и квази-
квазичастица, как говорят, «раздевается», превращаясь в индивидуаль-
индивидуальное возбуждение. Значит, необходимо рассматривать лишь сравни-
сравнительно длинноволновые возбуждения, для которых
		k < Kp.	B8. 2)
* Точнее, нужно говорить о состоянии системы частица — дырка с дискрет-
дискретным уровнем энергии.
** Здесь и ниже речь будет идти о коллективных возбуждениях, отвечающих
одной связанной паре. В принципе возможно образование и более сложных ком-
комплексов.
276

В неоднородной системе сама величина k не является опре-
определенной ввиду обмена импульсом между квазичастицей и не-
однородностями системы. Мерой величины этого обмена может
служить обратная длина неоднородности 1/х0, где х„ — расстоя-
расстояние, на котором характеристики системы меняются заметным
образом. Поэтому при нарушении условия
kKp-k>l/x0	B8.3)
имеется конечная вероятность перехода квазичастицы в, инди-
индивидуальное возбуждение. Есть и другие причины, по которым
рассматриваемая квазичастица может оказаться неустойчивым
образованием. Необходимо, чтобы соответствующее затухание
было мало по сравнению с самой величиной Л?л*.
28. 3. Переходим к количественному описанию коллективных
колебаний. Поскольку квазичастица образована из пары ча-
частица — дырка, следует рассмотреть величину
Ф„A, 2) = <4'|r(iMl)*+B)|4'n),
которая в случае сжатой системы определяется уравнением B5. 15)
ФВA,2) = Ф„A,2)-
- i j" d3 d4GQ A, 3) Go C, 2) V C, 4) Фп D, 4).	B8. 4)
Функция Ф„ A, 2) описывает распространение не коррелирован-
коррелированных друг с другом частицы и дырки и не имеет отношения к их
связанному состоянию. Поэтому мы можем ограничиться рассмо-
рассмотрением однородного интегрального уравнения.
Функция Ф„ A, 2) характеризуется следующей зависимостью
от времени:
Ф	ЬФа(д1г q2).
Подстановка этого выражения в уравнение B8. 4) приводит
с учетом V C, 4) = V (q3, qt) б (t3 — ^4) к следующему инте-
интегральному уравнению для функции Фп (qu q2):
ф
п
г) = — i} dq3 dqA J -^ Go (qlt q3, e) Go (q3, qt, e — AEn) X
B8.5)
Если положить qx = q2, то получится уравнение
Фп (ft, ?i) = — i \ dq3 dqAV {qa, q? | —- Go (qv q3, e) X
X Go (ft. <7i, e — AEn) Ф„ (^4. <7J,	B8. 6)
которое при наложении определенных граничных условий может
служить для нахождения спектра возбуждений Д?„.
* Говоря о затухании, мы имеем в виду не истинно стационарное состояние
системы, а то состояние, которое возникает при определенном механизме воз-
возбуждения системы, приводящем к рождению одной квазичастицы (см. § 22, 24).
277

Полученные уравнения сильно упрощаются в случае про-
пространственно-однородной системы. Будем рассматривать функ-
функцию Ф„ (<7i, <72) вида *
{t |(? + *)*i-?*,]}*„,„,. B8.7)
exp
Здесь р + k — импульс частицы; р — импульс дырки; k — сум-
суммарный импульс квазичастицы. Подстановка выражения B8. .7)
в B8. 5) дает
Ф (р, %) = - 2iv (%) f -g- Go (}, г) Go (p + I e + AEn) x
X ld«p'<p[p', ty-	B8.8)
Интегрируя обе части этого уравнения по р и учитывая определе-
определение поляризационного оператора, получим
[ 1 - П (k, AEn) v (Щ j й*рч> (р, V) = 0.	B8. 9)
Таким образом, искомое значение энергии возбуждения является
одновременно полюсом эффективного потенциала и полюсом
парной функции Грина.
Корни уравнения 1 = П v были исследованы в предыдущем
параграфе, где величина АЕп обозначалась через м0 I k\ .
На рис. 64 представлен ход зависимости Д?„ от k. В области k,
близких к kKp, мы использовали более точное выражение для
поляризационного оператора, в котором сохранены члены k2/2M.
Это выражение имеет следующий вид [95]:
|^} B8-10)
где
Д -т^^о	^!_
Положение критической точки kKp определяется пересече-
пересечением кривой А?„, отвечающей уравнению B8. 9), и кривой,
соответствующей верхней границе зоны индивидуальных возбу-
возбуждений. При этом возникают следующие уравнения:
p0 I лаоро |_\	Po
_ ( Зяаоро
4
* То обстоятельство, что спины частицы и дырки одинаковы, свидетельствует
о равенстве нулю полного спина квазичастицы.
278

Приведенные соотношения справедливы, если kKp, а вместе
с ним и k мало по сравнению с граничным импульсом р0. С ро-
ростом ро величина Акр растет, но слабее, чем р0; при не слишком
высоких сжатиях kKp порядка импульса Дебая.
Величина Л?кр в общем незначительно превышает лэнгмю-
ровскую частоту сод. Поэтому коллективному уровню отвечает
сравнительно узкая область спектра.
В рассмотренном частном случае однородной системы затуха-
затухание оказывается точно равным нулю *. Поэтому фактически
решена задача не только о поведении квазичастицы, но и о нахо-
нахождении истинного возбуж-
возбужденного уровня энергии. д?
При выключении взаи-
взаимодействия коллективное
возбуждение переходит в
одночастичное. Интересно
проследить механизм этого
перехода. Обратимся с этой
целью к рис. 65 и рас-
рассмотрим квазичастицу с
определенным импульсом k
(точка /). При мысленном
уменьшении заряда элек-
электронов е вся коллектив-
коллективная ветвь опускается вниз,
как это легко видеть из	Рис. 65
выражений для ©L и
A?Kp; соответственно уменьшается и энергия квазичастицы.
При некотором определенном значении г коллективная кривая
пройдет через точку 2, лежащую на верхней границе индивиду-
индивидуальной зоны. При этом никакой разницы между коллективным
и индивидуальным возбуждением нет. При еще меньших значе-
значениях е остается лишь индивидуальное возбуждение. Аналогично,
но в обратном порядке происходит образование квазичастицы
при включении взаимодействия.
28. 4. В случае коллективных колебаний неоднородных си-
систем следовало бы исходить из общих уравнений B8. 5) и B8. 6).
Однако это привело бы к весьма громоздким выкладкам [78].
Мы ограничимся рассмотрением слабонеоднородных систем [94].
Если выполнено условие
А 1
где х0 — характерная длина неоднородности, то возможна «ква-
«квазиоднородная» формулировка задачи, т. е. можно пренебречь
градиентами величин, характеризующих распределения по си-
системе.
* Этот вывод справедлив с точностью до малых (в случае сжатой системы)
членов, описывающих распад квазичастицы на два индивидуальных возбуждения.
279

Рассмотрим с этой точки зрения уравнение B8. 6). Подставляя
в него выражения для функций Грина в квазиклассическом при-
приближении, можно написать
Ф„ (У = J dskv (%) П [%, АЕп, р0 {Щ j йх9Фп(хг) ехр (- it х),
где Ф„ [Xi] = Ф„ (qlt дг), х = х1 — х2.
Здесь мы явно выделили в поляризационном операторе зависи-
зависимость граничного импульса от точки хх.
Нетрудно проверить, что это уравнение эквивалентно сле-
следующему:
Фп[Х) = v(-tV1)n(-tV1, АЕп, po(*i))<M*i), B8.11)
->
где мы формально заменили k на оператор —iyu который дей-
ствует только на функцию Фпух1\.
С учетом слабого изменения функции р0 (х) полученное урав-
уравнение можно заменить следующим:
H,	B8.12)
где величина k (x), имеющая смысл переменного в пространстве
волнового вектора квазичастицы, получается из уравнения
l=v[k (х)] П [k (х), АЕп, р0 (х)]	B8. 13)
и зависит от энергии возбуждения АЕп, которая определяется
уравнением B8. 12) с соответствующими граничными условиями.
Для доказательства следует учесть, что поляризационный
оператор является четной функцией k, т. е. зависит фактически
лишь от k%. Поэтому подстановка в уравнение B8. 11) вместо Ф„
решения уравнения B8. 12) приводит с учетом соотношения
B8. 13) к тождеству.
Уравнение B8. 12) играет роль своеобразного уравнения
Шредингера для квазичастицы*. Для его решения можно при-
применять известные методы квантовой механики. Функция k2 (x),
как и р0 (х), слабо меняется в пространстве. Поэтому можно
искать решение уравнения B8. 12) в квазиклассическом прибли-
приближении. В частности, для s-волны и центральносимметрич-
ного р0 (х)
ехр ^ ^dxk (хI'	B8'14)
* Однако функция Фп не является волновой функцией квазичастицы.
280

для нахождения спектра можно использовать равенство
§k(x)dx = 2n(n+ 1/2).
28. 5. Рассмотрим задачу о коллективных колебаниях тяже-
тяжелого атома [94], которая обсуждалась в литературе в связи
с вопросами о потерях энергии быстрыми частицами и об учете
плазменных колебаний ионного остатка в металлах [122].
Характерным отличием атома от протяженной среды является
его ограниченность в пространстве и, как следствие, квантован-
ность волнового числа k. Область атома, где выполнено условие
сжатости, имеет радиус порядка Z—li*au. Именно в этой области
первоначально возникает возбуждение. Наименьшее значение k
оказывается порядка Z^»/a0. Поэтому длинноволновой предель-
предельный случай в атоме, как и во всякой ограниченной системе, не
осуществляется.
Это обстоятельство очень серьезно ограничивает возможность
существования коллективных уровней [имеется в виду усло-
условие B8. 2)].
Мы не будем интересоваться величиной затухания квази-
квазичастицы и потому сможем ответить лишь на вопрос о том, какие
коллективные уровни могли бы существовать с точки зрения
условия B8. 2). Это условие оказывается весьма жестким, и
могло бы случиться, что коллективных уровней нет вообще.
Трудность исследования несжатого атома состоит в том, что
в нем условие xoko > 1 не выполняется. Поэтому мы рассмотрим
простую модель, заменяя истинное распределение плотности
в атоме прямоугольным и подбирая радиус этого распределе-
распределения г„ из условия минимума энергии. Это дает
г'-1/,	0,8Z2/»
и р^—-г-
0г
"о
В уравнении B8. 12), которое в такой модели справедливо
внутри атома, следует положить k2 (х) = const. Тогда его решение
можно представить в виде
где J и Y — бесселева и сферическая функции. Величину k
можно найти из граничных условий. В наиболее интересном слу-
случае локализованной в атоме квазичастицы поток вещества через
поверхность атома должен отсутствовать. Это условие, как пока-
показано в работе [94], можно записать в виде
^г')\г=г'-и ==0.
Совместное рассмотрение этого соотношения и дисперсионного
уравнения, как функций k и АЕп, приводит к следующим резуль-
результатам.
281

Во всех случаях, исключая 1=1, значение АЕп лежит
выше А^кр, т. е. все соответствующие уровни являются по суще-
существу индивидуальными. Лишь для 1=1 получается одно допу-
допуАЕп= l,41coL^20Z эв.
стимое решение*:
Таким образом, если коллективные колебания атома и суще-
существуют, то вероятнее всего ожидать появления лишь одного
уровня.
При наложении более жесткого граничного условия
(Ф„ (г) \г==г = 0, твердая стенка) не существует ни одного реше-
решения, для которого А?„ было бы меньше A?Kp.
Наличие коллективного уровня может радикально изменить
картину атомных реакций в области энергий порядка сотен
электронвольт, сближая ее с боровской картиной ядерных ре-
реакций. Резонансный электрон (рентгеновский квант) может пе-
передать свою энергию сразу многим электронам атома, переводя
последний в сравнительно долгоживущее возбужденное состо-
состояние («компаунд-атом»). Распад этого состояния может идти
по различным — упругим или неупругим — каналам. В частности,
возможно выбрасывание «сгустка», состоящего из нескольких
электронов.
Имеющиеся экспериментальные данные по многократной
ионизации атомов благородных газов качественно соответствуют
этой картине. Сечение ионизации имеет дополнительный, к тому
же аномально высокий (для степеней ионизации k = 2 ч- 6)
максимум. С ростом Z сечение при постоянном k резко растет,
что однозначно свидетельствует о коллективной природе про-
процесса. Наконец, отношение соответствующих сечений для раз-
разных атомов быстро увеличивается с ростом k, что указывает
на предпочтительное выбрасывание больших «сгустков» [123].
* Выделенный характер р-волны связан со спецификой граничного условия.

ГЛАВ А V
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ
§ 29. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
29. 1. В этой главе рассмотрим некоторые вопросы квантовой
теории системы многих частиц, заключенной в термостат с отлич-
отличной от нуля температурой Т и находящейся в статистическом
равновесии. Такая постановка задачи предполагает, что рассма-
рассматриваемая система состоит из достаточно большого числа частиц.
При этом условии допустимо считать, что полное число частиц
системы не строго фиксировано, а может испытывать термодина-
термодинамические флуктуации, связанные с обменом частицами между
системой и ее окружением. Такой подход, приводящий к фикса-
фиксации числа частиц лишь в среднем, весьма удобен для описания
статистических свойств системы, состоящей из большого числа
частиц [4].
В рамках этого подхода основное утверждение квантовой
статистики состоит в следующем. Равновесная система многих
частиц, обладающая температурой Т, находится не в чистом
состоянии, характеризующемся определенной волновой функ-
функцией, а в смешанном состоянии, весовые множители которого
даются формулой Гиббса и зависят от температуры. Точнее
говоря, состояние системы в термостате описывается матрицей
плотности
"^ Р T*(O')'f (О)
п
где суммирование ведется по всему полному набору стационарных
состояний ?„, а весовые множители определяются соотношением
Здесь р за 1/kT (k — постоянная Больцмана), Q — термодина-
термодинамический потенциал системы, \i — ее химический потенциал,
Еп — энергия состояния с числом частиц Nn.
При стремлении температуры к нулю ф -> оо) из всей суммы
по п остается лишь один член, отвечающий наинизшему значе-
значению Еп\ при этом мы возвращаемся к рассмотренному в предыду-
предыдущих главах основному состоянию системы *.
* Сказанное справедливо лишь при условии, что это состояние невырождено.
В противном случае получается сумма (с равными весами) выражений, каждое
283

С помощью введенных выше величин можно записать сред-
среднее значение любой величины, относящейся к рассматриваемой
системе и характеризующейся некоторым оператором а
(а) =VPn
Усреднение здесь понимается в двояком (квантовомеханическом
и статистическом) смысле. Если ввести операторы Гамильтона Н
и полного числа частиц N, для которых имеют место очевидные
соотношения
{Ц-Е„)Уп = 0, (N-Nn)Wn = 0,
то выражение для (а) можно переписать в более удобной форме
<a) = Sp{exp[P(Q-|iJV —/7)]a},	B9.2)
отличающейся своей инвариантностью относительно выбора пред-
представления. (О свойствах шпура и способах его вычисления
см. приложение А.)
Термодинамический потенциал Q может быть найден из усло-
условия нормировки, для получения которого достаточно подставить
в выражение B9. 2) единицу вместо оператора а. Это даст
B9.3)
Удобно ввести оператор
B9.4)
носящий название статистического оператора, и величину
Z = S? (?),	B9. 5)
называемую статистической суммой. Тогда соотношения B9. 2)
и B9. 3) перепишутся в виде
ы=Ш>	B9-6)
Q = — 4-lnZ.	B9.7)
Последнее соотношение позволяет определить все термодина-
термодинамические характеристики системы *
B9. 8)
из которых относится к одному из подсостояний. По этой причине нельзя считать,
что квантовая статистика включает в себя квантовую механику как предельный
случай.
* Соотношение B9. 7) дает Q как функцию объема V, температуры Т и хими-
химического потенциала ц. Последний выражается через среднее число частиц N, Т и V
с помощью третьего соотношения B9. 8). В этой главе объем обозначается через V.
284

где Р, S, N, Е—средние значения давления, энтропии, числа
частиц и энергии системы соответственно [4].
29. 2. Помимо общих термодинамических характеристик си-
системы значительный интерес представляют также и более деталь-
детальные ее характеристики: всевозможные распределения средних
значений, спектр и затухание квазичастиц и т. д. Как и в случае
равной нулю температуры, соответствующая информация содер-
содержится в функциях Грина. В последующих разделах этого пара-
параграфа мы подробно рассмотрим свойства функций Грина в кванто-
квантовой статистике.
В ряде случаев для вычисления распределений динамических
переменных, т. е. вероятностей обнаружения определенных их
значений, оказывается удобным использовать следующий прямой
путь.
Пусть нас интересует вероятность обнаружения значения а
величины, описывающейся оператором а. Эта вероятность дается
выражением
W (н) =	=—-гг.	.	B9. 9)
Sp (g)	v '
Чтобы убедиться в его правильности, возьмем шпур по системе
функций, являющихся собственными функциями оператора а.
Тогда
2 < л I 5 I л > в (а - а„)
W («) = " vi , ... ,	•	B9- 10)
Среднее значение какой-либо функции а при этом определится
с одной стороны формулой
(f (а)) = $ daf (a) W (а),
с другой стороны формулой
2 <и1Б|я> f(an)
/f(n\\ _ sp\U («)] _ п
2 < л 151« >
п
Совпадение обоих выражений при использовании равенства
B9. 10) подтверждает правильность выражения B9. 9). Нетрудно
также убедиться, что распределение B9. 9) имеет нужную нор-
нормировку.
Вместо выражения B9. 9) удобно рассматривать фурье-образ
функции W (а), который мы обозначим через A (q):
_ Sp [g exp ( — (да)]	,„„ ..
285

Если теперь вычислить производную
д In A (q) __ . Sp [g exp (—iqa) a]
dq	Sp [g exp ( — iqa)] '
то видно, что она с точностью до множителя совпадает со средним
значением оператора а по состояниям фиктивной системы, ста-
статистическим оператором которой является величина ? ехр (—iqa).
Такого рода средние обозначим символом (. . .)„-. Учитывая
условие А @) = 1, находим [124]
Л (?),= ехр {-rj% («)«*}¦	<29' 12>
В качестве примера рассмотрим распределение числа частиц
системы. При этом выяснятся условия возможности пренебре-
пренебрежения флуктуацией числа частиц. Полагая а = N и учитывая
коммутацию операторов N и М, можно написать
?ехр(-*7та) = ехр
Таким образом, соотношение B9. 3) дает
|)]} B9.13)
Все сводится к вычислению термодинамического потенциала при
комплексных значениях аргумента, или, что то же, к аналити-
аналитическому продолжению Q в комплексную плоскость ц [124].
Учитывая малость -4	щ- по сравнению с (i и разлагая
выражение в квадратных скобках из соотношения B9. 13) в ряд
по -^-, получим
Подставляя это разложение в B9. 13), получим гауссово распре-
распределение
W (N) = Bя (AN) )- /2exp — ' 2(^ч2 . B9- 14)
где
щгJ = J__ д (N)
среднеквадратичная флуктуация числа частиц в системе. Эта
величина пропорциональна полному числу частиц, откуда сле-
следует, что с увеличением последнего относительная флуктуа-
флуктуация N падает.
286

Аналогичным образом можно рассмотреть и флуктуацию пол-
полной энергии системы. Для этого используем соотношение B9. 12),
учитывая, что
Отсюда
При малых q
Таким образом,
W (Е) = [2я (А?J]~'Л ехр [- "^р"'], B9- 15)
где
Гл~р12 —Iх д ( Е )	д ( Е )
(ЛИ) -J-. -	- .
В этом и предыдущем расчетах дифференцирование совершается
при постоянных значениях остальных аргументов.
29. 3. Рассмотрим одночастичную функцию Грина в квантовой
статистике.
Эта величина по-прежнему определяется как среднее значение
хронологически упорядоченного произведения операторов, однако
усреднение теперь следует производить не по основному состоя-
состоянию системы, а по статистическому ансамблю:
B9.16)
Операторы поля берутся в гейзенберговском представлении.
Как и в случае нулевой температуры, для функции Грина
можно получить спектральное представление [125]. С этой целью
перепишем соотношение B9. 16) в виде
и введем полную промежуточную систему функций Wm. При
этом нам придется иметь дело с матричными элементами опера-
операторов поля типа (xVn\ tyr№m)> C^m I 4>t l^n)¦ Явно выделяя
зависимость от времени и учитывая свойства операторов г|зг
и ¦»])+, можно написать
)
>+ A) j Wn) = ( ?m 11|>+ (*) | Vn) exp [i (Em - En) tj,
287

причем числа частиц в состояниях Wm и xFn, для которых полу-
получается отличное от нуля значение матричного элемента, связаны
соотношением Nm = Nn + 1.
При t1> tz
G A, 2) = — i2 exp ДО (Q -I- fxWn-?n)] exp [—i {Em — En) (tx - tt)] X
Л, /7!
ПрИ f x < /2
G A, 2) = i 2 exp [P (Q + ц^„ - ?n)l exp [t (?„,-?„) & - /a)] X
x (Yjoi^
В последнем соотношении удобно заменить индексы п ^ т.
С учетом связи между Nт и Л?л это дает
G A, 2) = 12 exp [P (Q + [iNn - Еп)\ exp [ -1 (Em - En) (t, - tt)] X
n, m
X
X
B9. 17)
Переходя к фурье-образу по tx — t2 и заменяя суммирование
по п, т интеграцией по разности Ет — Еп = Е и суммирова-
суммированием по остальным переменным, приходим к окончательной спек-
спектральной формуле:
G (qlt qi3 е) = j dEA (qlt qt, E) X
— со
	•_ _,. ^Ltlli^K].	B9. 18)
e — ? + гб	e —?—F j	v	'
В случае пространственно-однородной системы имеем просто
оо
G (р, г) =¦ J dEa (р, е) х
B9. 19)
е — Е-+- /б
ехр [- р (g - ц)]
е — Е — еб
где а \р, Е\ > 0.
Выделим из а [р, Е} множитель {1 + ехр [f5 (\i — Е)]}'1 и при-
примем во внимание тождество
288

Тогда выражение B9. 19) можно переписать в следующем виде:
а(р,в)= ]dEa'{p,E)x
— со
1
(е — ? + гб) {1 + ехр[—Р(?—ц)]}
4-
(e — E — id) {1 + exp [p (? — i- м ' I'	( ' 2 )
Из этого соотношения очень наглядно видно, как происходит
предельный переход при Р ->- оо к случаю нулевой температуры.
Далее, соотношение B9. 20) позволяет дать простую физи-
физическую интерпретацию функции Грина как функции совместного
распространения свободных частиц и дырок с различными энер-
энергиями Е. В отличие от случая Т = 0 здесь соответствующие
функции распространения имеют дополнительные факторы
га= {1 -f-exp[P(? —jx)]}-\	I —¦ п. = {1 + ехр [— р (? — ц)]},
которые представляют собой известные средние числа заполне-
заполнения частиц и дырок в распределении Ферми. Отличие этих чисел
от нуля и единицы является характерным свойством случая
отличной от нуля температуры. Таким образом, веса, с которыми
представлены в функции Грина частицы и дырки, определяются
не только динамикой системы (фактор а' [р, Е\), но и числами
заполнения свободных частиц и дырок с той же энергией Е.
29. 4. Разберем некоторые следствия спектральной формулы.
Прежде всего, установим соотношение между действительной
и мнимой частями функции Грина при действительных значениях
энергии е.
Из соотношения B9. 19) нетрудно найти, что
ехр [-0 (?-
ImC(/J, е| = —яа(р, е) {1 — ехр [—р (е —
Последнее соотношение показывает, что знак imGip, el противо-
противоположен знаку е — jx и что обе эти величины одновременно про-
проходят через нуль. Используя далее простую формулу
х = ехр(*) + 1
2 ехр (л:) — 1 '
приходим к искомому соотношению [125]
ReC(?,e) =~^P |"-^сШ[-&^Н>-]1те(л4B9.21)
289

которое позволяет определить правила обхода особенностей
в функции Грина. Для этой цели оно применялось в теории сверх-
сверхпроводимости [108].
При Т ф 0 функция Грина в комплексной области уже не
обладает теми аналитическими свойствами, которые присущи
функции Грина в квантовой механике (см. § 23). Это связано
с невозможностью представления функции Грина в виде инте-
интеграла типа Коши. Для иллюстрации представим G = Re G +
+ i Im G с помощью соотношения B9. 21) в следующем виде:
оо
~ j dE Im G (p,
x
x {_ cth M^L . __!__ + йй (e _
При Т ф О ф Ф со) слагаемые фигурной скобки нельзя объеди-
объединить в виде характерного ядра интеграла Коши. Такое объеди-
объединение возможно для функции
G' (р, в) ^ Re G (р, е) - icth l?=JH Im G (p, г),
которая обладает теми же аналитическими свойствами, что и
функция Грина в квантовой механике. Иными словами, ее ана-
аналитическое продолжение в верхнюю (при е > [г) и нижнюю
(при е < М-) полуплоскости комплексной переменной е приводит
к аналитическим функциям, не имеющим особенностей. Однако
аналитическое продолжение G' \p, el в нижнюю (при е > ц)
и верхнюю (при е < ц) полуплоскости неизбежно приводит
к функциям с особенностями. С точки зрения местоположения
этих особенностей и вычетов в них, безразлично, продолжать ли
функцию G' или Im G'=— cth P(s~^' im G. Особенности мно-
множителя cth P*e~^ t который приводит к отличию функций Im G
и Im G', находятся в точках е = ^ + 2яга, где п — целое число.
К проблеме отыскания характеристик квазичастиц эти особен-
особенности не имеют отношения, отвечая «нулевой» энергии квази-
квазичастицы. Поэтому разница между функциями G и G' по существу
"отсутствует.
Развитые в § 23 соображения о физическом смысле особенно-
особенностей аналитического продолжения функции G могут быть пол-
полностью повторены в применении к функции G'. Местоположение
полюса аналитического продолжения G' (или G) определяет закон
дисперсии и затухания квазичастицы (или элементарного возбу-
возбуждения) при отличной от нуля температуре. Соответствующая
физическая информация о системе по существу та же, что и в слу-
случае нулевой температуры. Необходимо только подчеркнуть, что
2 SO

найденные описанным образом характеристики квазичастицы
будут неизбежно зависеть от температуры, поскольку такая
(~* \
зависимость свойственна весовой функции аур, EJ. Поэтому
чисто механическая интерпретация квазичастиц, связанная с рас-
рассмотрением энергетического спектра полного гамильтониана си-
системы, оказывается невозможной. Речь должна идти о некотором
эффективном, статистическом усредненном спектре возбуждений,
описывающем слабо затухающие (при малой величине декремента
затухания) движения в системе.
В квантовой статистике часто используют также так называе-
называемые «опережающие» и «запаздывающие» функции Грина [6, 126,
127], к числу которых относятся, например, величины
Sp ["? Ы A), г|5+B)П
ua\l> z/ — w \l2 ll)	Sp (g)	'
Эти функции в отличие от G имеют те же аналитические свойства^
что и функция Грина в квантовой механике, и тесно связаны
с функцией G'.
§ 30. ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ — ФОКА
В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ
30. 1. Практическое использование приведенных в предыду-
предыдущем параграфе общих соотношений предполагает решение дина-
динамической задачи с учетом взаимодействия между частицами.
Эта задача (исключая случай очень высоких температур) не легче,
чем в квантовой механике. Поэтому, как и в случае равной нулю
температуры, следует начать с выбора нулевого приближения,
в качестве которого удобно взять приближение Хартри—Фока.
Переход к этому приближению осуществляется путем отыска-
отыскания наилучшего из одночастичных приближений, т. е. требуется,
чтобы норма разности точного и одночастичного гамильтонианов,
усредненная по интересующему нас состоянию системы, имела
минимальную величину. В квантовой статистике фигурирует
не одно, а фактически все состояния системы. Поэтому встает
вопрос о смысле, который следует вложить в понятие «наилучшее
приближение».
В принципе можно было бы требовать наилучшего описания
каждого из состояний, фигурирующих в статистических форму-
формулах (см. раздел 29. 1.). Каждому из этих состояний тогда соответ-
соответствовало бы свое самосогласованное поле. Однако такой подход
привел бы к нарушению мультипликативности матриц плотности
высшего порядка (см. приложение А) и оказался бы в противо-
противоречии с предъявляемым к нулевому приближению непременным
требованием математической простоты.
291

Поэтому под приближением Хартри—Фока в квантовой ста-
статистике обычно понимают более грубое приближение, сводя-
сводящееся к введению единого для всех конфигураций \Fn статисти-
статистически усредненного самосогласованного поля. Такому подходу
отвечает требование минимума статистического среднего от нормы
разности точного гамильтониана Н и одночастичного //0:
<(#-tfoJ)o = min,	C0.1)
где символ (...)о означает усреднение в одночастичном при-
приближении
Sp [Со (¦¦¦)]
<•••>„•=
Sp (go)
C0. 2,
Как и в гл. II, выберем Но в виде
Тогда оператор ?0 можно записать в форме
?0 - exp f- рс -f P 2 (ц - ev)AtAA,
где ev — энергия одночастичного состояния
Здесь мы пока не переходим к дырочному описанию.
Выведем правила усреднения с помощью оператора ?0.
Имеем
{AjxAv}0 = ОдГ {AVAV)O =
где
Аналогично
\-"H-"v •"о-™т/о =г
_,в б -б б
и т. д. Все сводится к вычислению статистической суммы Zo
= Sp (g0). Записывая ее в виде
292

и полагая Nn = 2 nv, Еп = S evnv + C> гДе "v — число запол-
нения уровня v, имеем '
Zo = exp (- рС) S П {ex.p [p (ц - ev)])"v =
n v
= exp(—рС)П{1+ехр[Р(|х —ej]}.	C0.3)
V
Здесь мы использовали то обстоятельство, что, изменяя произ-
произвольным образом на каждом уровне число заполнения nv, т. е.
полагая последнее равным 0 и 1, можно перебрать все состоя-
состояния п.
Таким образом, мы приходим к выражениям
(А$А$АаАхH = (SV(J6MX — 6VT6M(J) nMnv
и т. д., где введено среднее число заполнения состояния
^={l+exp[P(ev-n)]}-'.	C0.4)
Сравнивая полученные выражения с результатами приложе-
приложения А и § 4, мы видим, что если в статистике ввести оператор
заполнения q
где в явном виде
C0.5)
то все правила усреднения, сформулированные в квантовой меха-
механике, остаются в силе (фактор exp (PQ при усреднении сокра-
сокращается). В частности, для одночастичного и двухчастичного опе-
операторов имеем
()
(a2)o = \ SP [«2 A — ef i
Варьирование выражения C0. 1) по //0 приводит к соотношениям
W = Sp9, [ V{q, q') A - ^V) в,.],	C0. 6)
С =	^SplViq, q) A - &q4.) q4q4>],	C0. 7)
которыми гамильтониан приближения Хартри — Фока определяется
полностью. Матричные элементы оператора q по-прежнему дают
матрицу плотности системы (в приближении Хартри — Фока)
ЗД. <7')=2«VX;(<7')XV(<7)-	C0.8)
V
Обычным способом можно перейти к функции распределения
f[x,p) (см. §4). Соотношения D.29)—D.34) гл. II также
19 д. А. Киржннц	293

полностью сохраняют свою силу, если произвести в них соответ-
соответствующую замену оператора заполнения.
Не составляет труда записать выражение для функции Грина
в приближении Хартри— Фока. Надо просто заменить в соотноше-
соотношениях § 10 величину пч на {ехр [$ (ev — (х) ] + I}. В част-
частности, для однородной системы
C0.9)
Здесь п-* — среднее число заполнения уровня, равное
химический потенциал ц находится из условия нормировки
g f d3pn-> = q.
Нетрудно видеть, что соотношение C0. 9) находится в полном
соответствии с общей спектральной формулой B9. 21) и отвечает
выбору
/-> \
Im G [р, е I = я Bги. — П б fe — е->\.
\ р ! \ р 1
Возвратимся к выражению для среднего числа заполнения.
Эта величина зависит только от энергии, и все подсостояния,
отвечающие данному значению энергии, заполнены в одинаковой
степени. Это обстоятельство сближает статистическую систему
с системой при абсолютном нуле, обладающей заполненными обо-
оболочками. Благодаря этому при последующем построении теории
возмущений не возникает усложнений, связанных с вырожде-
вырождением уровней нулевого приближения.
30. 2. Особого внимания требует вопрос о вычислении энергии
и других термодинамических величин в приближении Хартри—:
Фока. Средняя энергия системы может быть определена, во-пер-
во-первых, как среднее значение гамильтониана //0 (динамическое опре-
определение энергии)
и, во-вторых, чисто термодинамически
В приближении Хартри—Фока эти определения не совпадают.
Связано это с тем, что эффективный гамильтониан приближения Мо
в отличие от точного гамильтониана Н сам зависит от р и ц.
294

' Рассмотрим термодинамическое определение энергии, подста-
подставляя вместо Ц, величину	g-ln Sp {exp [Р (\iN— Яо)]}. Неслож-
Несложный расчет дает
Ео = /exp (Ptf0) (f ¦ ± -: ?) ёхр (-Р^.
Если бы гамильтониан Яо не зависел от р и ц, то мы вернулись бы
к динамическому определению. Однако в рассматриваемом слу-
случае необходимо дополнительно дифференцировать //0 по р и ц.
Расхождение в двух определениях энергии объясняется упрог
щенным проведением процедуры самосогласования. Если бы эта
процедура проводилась для каждой из конфигураций Чг„, то эф-
эффективный гамильтониан Ио (разный для разных конфигураций)
не содержал бы никакой зависимости от Р и ц.
По тем же причинам в приближении Хартри — Фока теряет
свою силу целый ряд термодинамических соотношений, в част-
частности, дифференциальные соотношения B9, 8). Рассмотрим, на-
например, производную
= -N ~ т<ехр (™ ?ехр <-р/ч>0-
Зависимость //„ от \х. приводит к отличной от нуля величине вто-
второго члена правой части этого равенства *. Поэтому в рассматри-
рассматриваемом приближении термодинамические определения физиче-
физических величин, основанные на соотношениях типа B9. 8), исполь-
использовать нельзя. Следует либо опираться на динамические опре-
определения, в частности
Ео = (Я0)о и JV = (ЛОо,
либо использовать термодинамические соотношения, формально
полагая при этом величины W и С не зависящими от [г и В. Послед-
Последнее означает, что необходимые дифференцирования по \л и р еле--
дует проводить до процедуры самосогласования, приводящей
к появлению зависимости W и С от ц и р.
Рассмотрим с этой точки зрения давление Р. Эту величину
можно определить чисто динамическим образом, как действую-
действующую на систему силу, отнесенную к единице поверхности; такой
подход был принят, в частности, в работе [63]. Другая возмож-
возможность состоит в использовании чисто термодинамического соотно-
соотношения
р_	«о. •
для вывода которого необходимо считать величины W и С не зави-
зависящими от ц и р.
* По этой же причине в квантовой механике на-рушается ряд общих соотно*
шений типа дР/дц = Q.	.
295

Прямое вычисление термодинамического потенциала Qo при-
приводит к соотношению *
ао = —f rf(iSP(Q) + c,	(зо.Ю)
для получения которого достаточно учесть равенство
ln{l+exp[P(|i —ev)]} =
м.
Величину С =	о" Sp ('Vq) можно, как и в § 4, представить
в более простом виде, исключив из нее обменный оператор А [43].
30. 3. Аппарат теории слабонеоднородных систем можно
упростить путем перехода к квазиклассическому приближению.
Как и в случае нулевой температуры, все сводится к пренебре-
пренебрежению коммутаторами слагаемых гамильтониана частицы Т + W.
Проанализируем вопрос о пределах применимости квазиклас-
квазиклассического приближения. В целом можно сказать, что отличие
температуры от нуля приводит к лучшей применимости квази-
квазиклассики. Дело в том, что в «нагретой» среде кинетическая энер-
энергия и средний импульс частиц выше (при прочих равных усло-
условиях), нежели в холодной. Соответственно меньшую величину
имеет длина волны де Бройля частицы.
Соответствующий параметр |2 (см. § 5) имеет разные выраже-
выражения в области вырожденного газа (pQvVM > 1) и в области высо-
высоких температур ($q*/*/M < 1), где осуществляется статистика
Больцмана. В первом случае справедливы приведенные в § 5
оценки
?2~Q-V,,	C0.11)
во втором [63] —
g2 ~ еР2.	C0. 12)
Поэтому зависимость квантового параметра |2 от плотности в про-
противоположность зависимости от температуры немонотонна: при
малой плотности, отвечающей больцмановскому случаю, |2 растет
с увеличением плотности, достигая максимума на границе выро-
вырождения, а затем падает. Примерный вид линий постоянной вели-
величины | в координатах (Т, q) показан на рис. 66.
Относительная роль обменных эффектов для систем с кулонов-
ским взаимодействием определяется параметром
где по-прежнему **
C0. 13)
		).	C0.14)
* Интегрирование производится при фиксированных W и С.
** В данном случае р0 не может интерпретироваться как квадрат граничного
импульса, а играет роль просто некоторой характерной величины соответствую-
соответствующей размерности.
296

Указанный параметр во всей области изменения q и Т совпадает
по порядку величины с ?2. Поэтому и в случае отличной от нуля
температуры применение метода Томаса — Ферми—Дирака не
может быть оправдано: квантовые и обменные эффекты следует
рассматривать на равных началах.
В пренебрежении обменными эффектами уравнение Хартри
можно записать в следующей операторной форме (Я = р72М):
C0. 15)
х) = g j d3pf р, })
~
h
Рис. 66
Если параметр ?2 достаточно мал, то, пренебрегая некоммута-
некоммутативностью операторов р2 и p2Q (x), находим следующее выражение
для функции распределения:
f(x, }) = {exp[k(p*-pl(x))]+ lj-'.	C0. 16)
Плотность, как функция р%, принимает вид
е = Bп2^)-'/,/2ад.	C0.17)
Здесь и ниже вводятся функции Ферми—Дирака [128]
оо
ехр (у — х) + 1 '
удовлетворяющие соотношению
l'n = п/„_, '
C0. 18)
C0. 19)
297

и имеющие асимптотику при х -> со
'»(*) = -^т + ir
и при х -у ^оо
/( Г
C0.21)
Остановимся на вопросе о Том, как происходит предельный
переход в выражении C0. 17) при |3 -*- со и |3 -> 0. В первом слу-
случае ц -»- гр, кр2 -> оо, и мы немедленно с помощью соотноше-
соотношения C0. 20) возвращаемся к обычному выражению для Q. Слож-
Сложнее обстоит дело при |3 -> 0. В этом случае химический потен-
потенциал (х оказывается сильно меняющейся функцией |3. Пред-
Предположим, что при р -> 0 величина Хр^ ^ X\i _>. —оо. Тогда
соотношение C0. 17)- принимает вид
откуда видно, что при К -> 0 действительно Я.^1 -> —оо и, следо-
следовательно, ц -+ —со. Поэтому в пределе высокой температуры
следует пользоваться асимптотикой C0. 21), приводящей к фор-
формуле Больцмана для распределения плотности.
30. 4. Рассмотрим уравнение состояния сильно сжатого «горя-
«горячего» вещества, ограничиваясь областью, где распределение
электронов можно считать практически однородным (общий
случай рассмотрен в работе [63], которой мы здесь следуем).
Распределение может считаться однородным либо в случае высо-
высоких сжатий, либо при высокой температуре. Качественно граница
области однородности совпадает с кривыми рис. 66. В области
однородности вклад взаимодействия в уравнение состояния не-
невелик. Из результатов раздела 30. 2 следует, что в пренебреже-
пренебрежении членом С
Используя выражения C0. 17) й C0. 19), получаем
Р = -f- 6* = (бяМ?;7')-1/,/, М-	C0. 22)
Это соотношение в совокупности с выражением C0. 17) дает
параметрическое представление зависимости Р (q, T). При E -> со
мы возвращаемся к соотношениям § 6, при р ->• 0 получаем обыч-
обычное ^уравнение Клапейрона Р = QkT. Оценка погрешности, свя-
связанной с неоднородностью распределения, приводит к резуль-
результату
где коэффициент 0 определен в § 6; Подчеркнем, что 6Р явно
не зависит от температуры.
293

Приведем некоторые результаты, касающиеся вклада в давле-
давление обменных и квантовых эффектов. Оказывается, что во всей
области температур и плотностей квантовая и обменная поправки
к давлению отрицательны, причем их отношение не превы-
превышает 1/3- В области вырожденного газа это отношение соста-
составляет 2/9 (см. § 6), в области высоких Температур достигает ма-
максимальной величины 1/3.
Что же касается самих выражений для квантовой и обменной
поправок, то мы ограничимся областью, где распределение может
считаться однородным. В этой области для отношения поправки
к самому давлению имеем (i = 1, 2):
2V2 V a<> '
^,.w x
(x) I1/t (x)
C0. 23)
Здесь х = Яр^ определяется из соотношения C0. 17); Ч^ =
= 1чХхи + U'viJ» ^2 = 6 (/>/,J; индекс 1 относится к кван-
квантовой, 2 — к обменной поправке. В области низких температур
б]Р	5
что соответствует результатам § Q. В области же высоких тем-
температур
6P	( 2р 2
Соответствующие обменные поправки получаются отсюда простым
пересчетом.
Полученные результаты могут быть использованы для выяс-
выяснения области применимости квазиклассического уравнения со-
состояния вещества.
§ 31. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
31. I. Ограничиться приближением Хартри^Фока при реше-
решении статистической задачи можно далеко не во всех случаях.
Поэтому, как и в квантовой механике, необходимо решить вопрос
о способах учета корреляционного взаимодействия между части-
частицами.
Рассматривая выражение для функции Грина B9. 16), нетрудно
видеть, что взаимодействие между частицами входит в это выра-
выражение двояким образом. С одной стороны, взаимодействие сказы-
сказывается, на операторах г?г, г?+, с другой стороны, от него суще-
существенно зависит оператор ?, осуществляющий статистическое
299

усреднение. В дальнейшем будет сформулирован единый метод
учета взаимодействия в обоих его проявлениях.
В этом параграфе мы рассмотрим только статистический опе-
оператор ?. Помимо изложения методических приемов, развитых
впервые Матцубара [129], мы получим возможность построить
термодинамику системы взаимодействующих частиц.
Рассмотрим выражение для статистического оператора
? = exp[-P(tf-|iJV)L	C1.1)
где операторы М п N взяты в представлениях вторичного кван-
квантования и Шредингера и имеют вид, совпадающий с приведен-
приведенным в § 3. В операторах поля ty (q) и я|)+ (д) в статистике удобно
произвести разбиение на рождающую и уничтожающую части
иным образом, чем это было сделано в § 8. Именно, положим
3Cv (я) [О -
C1 2)
где nv = {exp [0 (ev — ji) + l}. Операторы av, a+ и bv, b+
будем называть операторами частиц и дырок в следующем смысле.
При рассмотрении основного состояния системы, распределение
частиц по уровням которого давалось формулой nv = 8 (гР — ev),
дыркой считался свободный уровень ниже границы Ферми, ча-
частицей — выше границы Ферми. При отличной от нуля темпера-
температуре среднее заполнение частиц описывается приведенным выше
выражением для nv ф). В этом случае уже нет четкого разделения
областей, где могут находиться частицы и дырки. В принципе
на каждом уровне имеется вероятность обнаружить как частицу,
так и дырку. Факторы ]/п^ и 1 — Vnv отражают это обстоятель-
обстоятельство, переходя при р* -> оэ в 8 (гр — ev) и 6 (е„ — eF)*. "
Будем говорить о нормальном произведении операторов поля
в том же смысле, что и выше, принимая новое разбиение операто-
операторов на рождающую и уничтожающую части. Легко видеть, что
Ч>+ (if) *(q) = N IV (q1) i|> (д)] + R {g, gf),
где R (q,q') — матрица плотности C0. 8). Аналогично обоб-
обобщается соотношение (8. 10) для N — произведения четырех опе-
операторов поля. Тем самым оправдывается выбор коэффициентов
У~пу и 1 —Ynv B выражении C1. 2).
* Необходимость введения корня из nv связана с тем, что оператор /tv пред-
представляет собой билинейную комбинацию if и if+.
300

Полученные соотношения позволяют получить	выражения
для гамильтониана и оператора числа частиц
Я = Я0 + Я',	C1.3)
Яо = Ео + $dqN №+ (q) (T + W) г|> («/)],	C1.4)
Я' = 4 \ dqdq'N [tf+ (q) г|>+ (q')V$ (q') Ц (q)},	C1.5)
(q) tf (q)].	C1. 6)
Здесь Eo — средняя энергия в приближении Хартри — Фока;
N — среднее число частиц в системе. Приведенные соотношения
дают разбиение полного гамильтониана системы на гамильтониан
нулевого приближения Яо и гамильтониан возмущения Я'.
Перепишем выражение C1. 1) в виде
? = ехр[-р(Я0-|лЛГ+Я')].	C1. Г)
Если по величине р, которую мы считаем переменной, формально
продифференцировать обе части выражения C1. Г), то мы получим
так называемое уравнение Блоха
!|	Я')?,	C1.7)
которое аналогично уравнению Шредингера с заменой it ~> р.
Из этой аналогии и исходил Матцубара.
31. 2. Цель последующего изложения состоит в построении
своеобразного «представления взаимодействия по температуре»,
что позволит ввести стандартную диаграммную технику для
вычисления шпура оператора ?.
В пренебрежении корреляционным взаимодействием этот опе-
оператор имеет вид
?0(Р) = ехр[-Р(Я0-|лЛО].	C1-8)
Представим g ф) в виде
?(Р) = Ео(РM(Р),	C1.9)
где S'(P) — некоторый неизвестный оператор. Тогда для 5 полу-
получается уравнение*
^)	C1.10)
где
я'(Р) = ?5-1(Р)я'е0(Р).	Ci.il)
Здесь отчетливо видна аналогия с переходом в обычное предста-
представление взаимодействия в квантовой механике: 5 (Р) является
аналогом 5-матрицы, ?0 ф) — аналогом оператора перехода
exp -(—iHot).
* Дифференцировать нужно только по параметру р\ стоящему в экспоненте.
Кроме того, Но и Н' зависят от реальной обратной температуры системы р, кото-
которую в дальнейшем мы будем обозначать через |30.
301

Учитывая очевидное граничное условие
имеем
5@) = 1.	C1.12)
Можно, таким образом, сказать, что 5 (Р) описывает «эволюцию
системы по температуре» от точки р = 0, где взаимодействие ника-
никакой роли не играет*, до значения р.
Формальная тождественность (с точностью до замены it -> Р)
уравнения C1. 10) и уравнения для обычной 5-матрицы позволяет
сразу написать представление S (Р) в виде суммы Г-произведений
Ро	)
= Texpj— jdp#'(P)	C1.13)
или
Эо
я=1
Здесь хронологизацию нужно понимать в смысле упорядочения
по параметру Р: все сомножители под знаком Г-произведения
должны быть расположены в порядке возрастания Р справа налево.
Зная 5 (Ро), можно получить полную термодинамическую
информацию о рассматриваемой системе. Обозначая через Zo =
= Sp (g0) статистическую сумму системы в приближении Хартри—
Фока, можно написать
Здесь символ (. . .H означает усреднение по статистическому
оператору приближения Хартри — Фока.
Таким образом,, для нахождения статистической суммы, а сле-
следовательно, и остальных термодинамических величин, необходимо
знать среднее значение 5-матрицы 5 (Ро). Выражение C1. 13)
служит исходным пунктом последующих построений.
31. 3. Теперь надо исключить «виртуальные» операторы и све-
свести Г-произведения К УУ-произведениям.
Запишем операторы поля в представлении взаимодействия по
температуре в явной форме
(<7. Р) = й"Ч(<7)&> =
[-Р(«Ч
C1.15)
Р) = j?j [civ 0 — V nv) ~Ь bvynv\ ехр [Р (ev —¦
* При бесконечно высокой температуре всякая система многих частиц (рас-
(рассматриваемая нерелятйвистским образом) превращается в идеальный газ. Это
обстоятельство, полностью соответствует выключению взаимодействия при / =
= ± оо в квантовой механике и является менее формальным, чем адиабатическая
гипотеза.
302

Здесь использованы правила перестановки
[Яо, av]=-evav> [H0,a+]=sva+
и т. д. Операторы tp+ (q, P) и tf> (q, p") уже не являются эрмитово
сопряженными по отношению друг к другу. Однако это обстоя-
обстоятельство, связанное с неунитарным характером оператора ?0,
несущественно.
Для операторов if (q, p"), tf+ (q, p") можно ввести понятие об их
нормальном произведении, которое определяется тем же способом,
что и выше. Гамильтониан возмущения Н' (р"), входящий в соот-
соотношении предыдущего раздела, можно тогда записать в виде
И' (Р) = 4" \dqdq' N [tf+ (q, Р)Ч|,+ («/', р) V* (q\ Р) * (</, P)]. C1.16)
И здесь текущий параметр р" отличается от реальной температуры
системы, входящей в nv.
Важным является вопрос о среднем значении нормального
произведения. В квантовой механике эта величина обращалась
в нуль при усреднении по основному состоянию системы, что
чрезвычайно облегчало выкладки. В нашем случае дело обстоит
сложнее ввиду того, что усреднение охватывает все состояния,
в том числе и состояния с отличным от нуля числом частиц и дырок.
Тем не менее можно положить
(ЛГ[Ч>A)*+(Н)...])о = О,	C1.17)
где римскими цифрами здесь и далее обозначена совокупность
координат q и обратной температуры р.
Рассмотрим сначала УУ-произведение пары операторов. По-
Поскольку при усреднении по каждой из конфигураций ?„„ обкладки
слева и справа одинаковы, достаточно рассмотреть лишь выраже-
выражение (N [ij?+ (I) if (II)])o, причем по той же причине в нем
существенны лишь два члена
Подставляя сюда разложения C1. 15), найдем
х ехр [(рх - р2) (ev - v)] {(a+avH (l - V^f-
-{btbv)onv}.	C1.18)
Величина nv представляет собой среднее значение оператора А+Ау
(см. § 3) или, после перехода к дырочному описанию,
nv = (AtAv) = A — Vluf (a$avH -+- nv (bvbt}0.
Отсюда, учитывая (bb + H = 1 — (b+bH, имеем
A — ]/nvJ (atavH = nv {btb*H,
303

что и доказывает равенство нулю выражения C1. 18). Исходя
из этого, можно написать
)O = O,	C1.17')
т. е. теорема C1. 17) справедлива и для отдельных слагаемых,
отвечающих определенному состоянию v.
Разложим в общем выражении
каждый оператор по состояниям v. Получим сумму членов; дальней-
дальнейшее рассмотрение относится к любому из них. Если в одном из
членов имеется по крайне мере пара одинаковых операторов AVAV
или А+А+, то он тождественно обратится в нуль из-за свойств
перестановки этих операторов. Важен, таким образом, случай,
когда операторы входят парами, относящимися к разным состоя-
состояниям.
(N (А+АЧА+,АЧ. . ..)>.¦
Но статистическое усреднение в приближении Хартри — Фока
происходит независимо по разным состояниям. Поэтому последнее
выражение, в котором из-за v ф V возможно произвольное рас-
расположение операторов разных пар друг относительно друга,
сводится к произведению (N (A+Av)H (N (A+,AV,))O, . . , т. е.
в силу равенства C1. 17') мы приходим к нулевому резуль-
результату. Теорему, таким образом, можно считать доказанной.
31. 4. Далее следует ввести понятие о температурной свертке
операторов поля в представлении взаимодействия. Определим ее
обычным образом (Т — символ упорядочения по Р)
q(iy$+(U) = T(W+)-N(W+) = (T(W+)H. C1.19)
Здесь мы использовали доказанную выше теорему. Основные
свойства свертки, отмеченные в § 10, сохраняют в данном случае
свою силу. Прямое вычисление дает
Xexp[-(ev_n)(pi_p,)]{I"~"v r1^!!2 C1.20)
I	nv Pi \ Рг-
Это выражение может быть получено из соотношения A0. 5) заме-
заменой itlJ -> р1J, 'ev-> ev — (л*.
* Все свелось бы просто к замене itVi -> piJ2, если бы мы определили опе-
операторы в представлении взаимодействия с помощью оператора перехода U =
= ехр [{ (//0 — \iN) t], как это часто в статистике и делается. Аналогично, для
перехода в гейзенберговское представление может служить оператор U =
= ехр [i (H — (ЛЛГ) t]. Отметим, что в физические величины обычно входят раз-
разности энергии, так что указанное различие несущественно.
304	--	'

Правила Вика, отражающие общие алгебраические свойства
операторов, остаются в силе и в квантовой статистике. Таким
образом, можно исключить виртуальные операторы, сведя Г-про-
изведения в разложении 5 (($) к нормальным произведениям.
В температурной теории можно в полной мере использовать
диаграммную технику; это является важнейшим преимуществом
полевого подхода по сравнению со старой термодинамической
теорией возмущений. Правила Фейнмана в координатном пред-
представлении испытывают лишь следующие изменения:
а)	фактор (— i)n заменяется на (— \)п;
б)	интегрирование по времени от —оо до со заменяется инте-
интегрированием по Р от 0 до ро;
в)	обычные свертки операторов заменяются температурными.
Правила Фейнмана в импульсном представлении, наиболее
удобные для практических приложений к описанию простран-
пространственно-однородных систем, будут рассмотрены в следующем
разделе.
Вернемся к задаче о вычислении статистической суммы и рас-
рассмотрим выражение:
f
Из теоремы о равенстве нулю среднего значения всякого УУ-про-
изведения (кроме, разумеется, N A) = 1), видно, что из всех
диаграмм теории возмущений в Z дадут вклад только диаграммы
вакуумных переходов. Такие диаграммы можно записать в виде
экспоненты (см. § 14).
~ = exp (L),
где L — сумма всех связных диаграмм вакуумных переходов.
Так можно прийти к простому выражению для термодинамиче-
термодинамического потенциала Q
Q = Q0 — -yL,	C1.21)
где Qo — термодинамический потенциал в приближении Хартри—
Фока.
31. 5. Основное отличие диаграммной техники в импульсном
представлении при Т ф О от техники, рассмотренной в § 13,
заключается в наличии конечных пределов интегрирования по р.
В остальных отношениях соответствующие правила Фейнмана
сохраняют свою силу.
Рассмотрим свободную температурную функцию Грина
G0(I, П) = —ttjj(I)"tp"(II).	C1.22)
Эта величина зависит лишь от разности р = р2 — р2и как функция
этой разности определена в интервале от — ро до ро.
305

Целесообразно периодически продолжить Go по переменной р
по всей оси р. Тогда Go (qlt q2, Р) можно разложить в ряд Фурье
по переменной р
Go (<7ь Яг, Р) = "Р7 2 Go (<Ь fe е„) ехр (- tej), C1 .23)
п
где
G0(<7i. <7». в») = ^ ] dPGo(<7i, <72. Р)ехр (*в„Р). C1. 24)
-3.
Для нахождения допустимых значений е„ можно воспользоваться
равенством
Go (<7i, 7а, Р) = - Go (9l, ?2> Р + Ро).	C1. 25)
Подстановка в это равенство разложения C1. 23) дает
ZGu (ft, <7* е„) [ехр (— /е„р0) + 1)] ехр (— »е„Р) = О,
откуда ехр (—ге„ро) = -1и
«« = -	р^—¦	C1.26)
Фактически это условие справедливо и для точной функции Грина.
Для доказательства равенства C1. 25) воспользуемся соотно-
соотношениями C1. 15). При Pi > Р2 можно написать (знаменатель
Sp (g0) подразумевается)
G0(qlt q2, P) = Sp[?o(Po)^1(P1)^(<?1)?o(Pi)^1(P2)t+(^)?o(P2)l.
или, учитывая возможность перестановки операторов под знаком
шпура и очевидные соотношения
Со (Pi) So (Р8) = to (Pi + Ps). So (P) So (- P) = 1,
Здесь p = px — P2. Переставляя последние два сомножителя
налево, найдем
При Pi<P2
<V(<7,, ?2. Р) = — Sp [?0(P0) g-> (—P) S>+ Ю ?о(—Р) * (9-i)]-
Отсюда при Р < О
Go (qlt q%, Р) = — Go (^i, q%, P + Po)-
Условие циклического продолжения делает это соотношение спра-
справедливым при любых р.
306

Переход в импульсное представление в выражении для функ-
функции Грина дает
Далее, все интегралы по р\ входящие в выражения для матрич-
матричных элементов, можно распространить от —р до |30, вводя фак-
фактор 72. Кроме того, оказывается, что 6-функция от суммы энер-
энергий в каждом узле диаграммы заменяется на. кронекеровский
символ б0, 2е . который отличается от нуля лишь в том случае,
если сумма частот, отвечающих сходящимся в этом узле линиям,
равна нулю [14].
В заключение можно сказать, что выражение для матричного
элемента S ф) получается из аналогичного выражения при Т = О
Bп-\- 1) я ]
заменой всех частот е на ien ел = —g	 и переходом от ин-
теграции по частотам к суммированию по п
2л ~" р
Правила вычисления соответствующих сумм изложены в ра-
работе [11 ]. В основе этих правил лежит то соображение, что сумми-
суммирование по частотам можно заменить вычислением некоторого
контурного интеграла, в который введена функция
имеющая полюса в нужных точках. В этом случае искомая сумма
получается, как сумма вычетов подынтегрального выражения.
§ 32. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА В КВАНТОВОЙ
СТАТИСТИКЕ
32. 1. Термодинамическая теория возмущений недостаточна
для решения всех типов задач, с которыми приходится иметь
дело в квантовой статистике.
С одной стороны, развитый выше аппарат способен дать инфор-
информацию лишь о чисто термодинамических характеристиках систе-
системы— термодинамических потенциалах, их производных и т.п.
Такие интегральные характеристики, хотя и играют важную
роль, далеко не исчерпывают тех сведений о системе, которыми
желательно располагать. Имеются в виду, во-первых, характери-
характеристики локального типа (распределение средних значений динами-
динамических переменных, корреляционные функции, кинетические
коэффициенты и т. п.), во-вторых, характеристики спектра возбу-
возбуждений системы.
С другой стороны, даже если ограничиться чисто термодинами-
термодинамическими характеристиками, учет нескольких первых диаграмм
теории возмущений может оказаться недостаточным. В квантовой
307

статистике может быть проведен такой же анализ относительной
роли диаграмм теории возмущений, какой был выполнен в § 16
для случая нулевой температуры. При выполнении условия
м
где q — средняя плотность вещества, указанный анализ сохраняет
свою силу. В случае предельно высоких температур
»1
м
в параметре взаимодействия следует сделать замену р0 -> (М/рI/2.
Для пояснения заметим, что кинетическая энергия частицы опре-
определяется наибольшей из величин рЦМ и 1/р.
При отличной от нуля температуре может возникнуть такая
ситуация, при которой требуется эффективное суммирование
некоторой бесконечной последовательности диаграмм теории воз-
возмущений.
Для решения поставленных вопросов вводятся температурные
и температурно-временные функции Грина.
32. 2. Температурная функция Грина вводится путем непо-
непосредственного обобщения понятия температурной свертки опе-
операторов (точнее, свободной температурной функции Грина) с
учетом корреляционного взаимодействия частиц
C2.1)
Здесь введены «гейзенберговские по температуре» операторы
эволюция которых при изменении р" определяется не Но, как это
было для оператора г|з (I), а полным гамильтонианом Н*.
Учитывая определение C1. 9), после несложных выкладок
находим
Здесь S (ро) — полная 5-матрица, взятая в интервале от 0 до р0 —
реальной обратной температуры системы. Аналогичным образом
вводится и парная функция Грина
0A, II,IH,IV) = -<r№(I)*(II)^AII)rAV)gl>B. C2.3)
* Обращаем внимание на аналогию последнего соотношения с общими соот-
соотношениями § 2. Лишние по сравнению с прежним определением множителя
exp (± nP^V) приводят к появлению дополнительного фактора ехр [ — [д, ф1 —
— р2)] (см. раздел 32. 3.)
308

Если функции Грина известны, то извлечь из них информацию,
касающуюся распределений вероятностей, корреляционных
свойств и т. п., можно обычным способом. В частности, одночастич-
ная матрица плотности системы имеет вид
Я (<7i. 4*) = —i lim G (I, II).	C2.4)
Несколько более сложным путем получается информация
о спектре возбуждений системы. Для этого надо располагать
обычной временной функцией Грина (см. § 29). Оказывается,
что значение температурной функции Грина позволяет непосред-
непосредственно построить временную функцию Грина. Это достигается
аналитическим продолжением G (I, II) по переменной р\ — р2
в комплексную плоскость.
Сопоставим выражения для температурной и временной функ-
функций Грина
Gp (<7i. Pi, Яъ Pa) "-=
f Sp {gT fexp (H-\iN) p\] t (q,) exp [~(H- \iN)X \
; \	X (Px - Pa)] 4>+ (ft) exp l-(H- jiN) fe]} / m ..
Sp jgT [exp (tV/<i) ^ (9l) exp [ - tW (^ - ^2)] ^+ (ga) exp ( - ЩЩ
Sp (g)
C2. 6)
где введены для удобства индексы р и t. Преобразуем далее выраже-
выражение для Gt, используя соотношения
exp (— i\iNt) г|з {q) exp (i\iNt) = -ф (q) exp (i\it),	J
exp(— t^iM) г|з+((?) exp (t>M) = t+(?) exp (— i^) J ( '
для доказательства которых учтем правила коммутации C. 15)
(см. также приложение Б)
ехр (— i[iNt) if (q) exp (i\iNt) —
n=0
Тогда
=
f
Д
sP (С)
Из приведенных соотношений следует, что аналитическое
продолжение функции Gp (I, II) на мнимую ось Рх -> г71; Р2 ->¦ ^2
дает при Pi > р2 функцию Gt A, 2) exp (t> (^ — ^)) с ^ > ^а,
а при Pi<P2 функцию Gt{\, 2) exp (i> (*i — *г)) с tx<Ct2,
Так находят временную функцию Грина по температурной в коор-
координатном представлении.
309

Рассмотрим теперь соответствующий переход для компонент
Фурье обеих рассматриваемых функций*
З
4- f d(?>i-?>2)G&(l, II)exp [ie^Px - P,)L
. {Gt( 1, 2) exp [t> (t, - *„)] }e - G< fa, «/„ e + ц),
где G^ (<7b ^2, e) —фурье-образ функции Грина Gt A, 2). При-
Приведенные соотношения непосредственно непригодны для аналити-
аналитического продолжения. Для этого удобно использовать спектраль-
спектральные представления.
32. 3. Получим предварительно спектральную формулу для
температурной функции Грина. Вводя полную промежуточную
систему функций в соотношение C2. 1), найдем
Gp (I, II) = - ; ? exp [р0 (Q + yLNn - Е„) + (Еп - Ет + |i) x
т, п
X (Pi — Рг)] ( п I ^ (ft) I m) (m I ^"^ (ft) I n) X
/1	Pi > р2
Переходя к интеграции по Е = Ет — Еп и вводя р = рх — f>2r
можно написать
X
Gp(<7i, Чг, ?>) = jJEA(qi,q,, E)X
ехр[-Р(? — ц)] Р0>Р>0
_ехр[-(Р + ро)(?-ц)] О>р>-ро.
Заменяя р на it (t = tx — t2), получим выражение для вре-
временной функции Грина
Gt (qlt q2, t) exp {i\it) =
~exp [- (it I p0) (E - ^)] /<0.
Спектральные плотности в соотношениях для Gp и G^ одинаковы.
Перейдем к фурье-образам этих функций. Несложные расчеты
дают
С, In п р \ С dF А (?ь ?2' ?) {ехр [" Р°(? ~ ^)] + } ]
(ft, ft, ?)x
— оо
1	ехр [—р0 (? — ц)] )
: — ? + «б "^ е — ? — (б 1 '
* Здесь по-прежнему е„ = •
310

Из сопоставления этих соотношений видно, что особенности
аналитического продолжения функции Gt (qly q2, г), дающие
характеристики квазичастиц, определяются особенностями анали-
аналитического продолжения температурной функции Gp (qx, q%, е„)
по переменной е„.
В самом деле, в комплексной плоскости е можно опустить
добавки ±i5 в последней формуле и написать символическое
равенство
Gt (<7i, Яг, 6) = —tG3 {qlt q2, е„) | E^i (|t_E),	C2. 8)
которое означает, что для получения фурье-образа временной
функции Грина достаточно аналитически продолжить фурье-образ
температурной функции Грина в точку е„ — i (\i — е). Возмож-
Возможность и однозначность такого продолжения гарантируются нали-
наличием бесконечной последовательности точек определения Gp (е„),
имеющей точку сгущения на бесконечности. Полюса аналитиче-
аналитического продолжения функций G (е„) дают одновременно и полюса
функции G (г). Таким образом, в температурных функциях Грина
содержится вся необходимая информация о равновесной системе
многих частиц.
32. 4. Остановимся на вопросе о представлении термодинами-
термодинамического потенциала Q с помощью температурных функций Грина.
Такое представление дает возможность провести эффективное сум-
суммирование подлежащих учету диаграмм теории возмущений.
Проводимое далее рассмотрение совпадает в основных чертах
с расчетами, содержащимися в § 15 и 19. Заменим гамильтониан
взаимодействия Н' на КН' и продифференцируем по К соотноше-
соотношение
учитывая, что Qo и обкладки оператора S не зависят от X. Это
дает
дп _ (dS/dXH	,зд Qs
Ж ¦" ~ р0 < 5 >~ •	^Л У)
Далее,
Ж """" Ж ¦
- -1
о
Очевидно, что проведение дополнительной хронологизации под
знаком Г-произведения не меняет результата. Таким образом,
с учетом Q | я=о = ^о можно написать
Q__Q I ' I Л1 I АО. W I" (PU W0II /0	C2. Ю)
о о
311

Обозначая подынтегральное выражение в этом соотношении
через Q и применяя метод, приведший к уравнению C2. 2), получим
sP (E) ¦
Дальнейшие рассуждения такие же, что и в разделе 15. 3.
Единственное отличие состоит в замене оператора i -^ на
д
уравнения движения оператора tyr (I)
д
— -™	\х, возможность которой вытекает из сопоставления
ИЛИ (р\ = Р2)
)	lq2 V{qv q2) Ч>+ (П) фг(П) 4>г (I)
с уравнением C. 28). Поэтому величину Q можно выразить только
через одночастичную функцию Грина
X[G(I, II) —Go(I, II)].
Далее, как и при квантовомеханическом рассмотрении, раз-
разлагаем S (Р) по нормальным произведениям (§ 14), подставляем
это разложение в уравнение C2. 2) и вводим температурный
массовый оператор М (I, II), который описывается диаграммами
того же типа, что и аналогичная величина при Т = 0 (§ 19).
В результате приходим к температурному аналогу уравнения
Дайсона, имеющего в дифференциальной форме следующий вид
1), C2.11)
Зо
где введено обозначение (' d\ = [dqj \ dfy^. Используя полу-
о
ченное уравнение, имеем окончательно [127, 130]
Q = Q0 + ±j*? {\d I d II M (I, II) G (II, I)-
— fdl lim XW[G(l, II) — G0(I, II)]1.	C2.12)
ii-h p2-p1->+	^
§ 33. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ
33. 1. Рассмотрим некоторые вопросы динамической теории
плазмы (полностью ионизованного газа, состоящего из электронов
и, для определенности, протонов). Перевести обычный водород
312

в такое состояние можно различными способами, подвергая его
либо сильному нагреванию, либо сильному сжатию (§ 6). Мы
остановимся на случае горячей плазмы. При этом температура
плазмы должна по крайней мере совпадать по порядку величины
с ионизационным потенциалом водорода
kT ~ eVa0.	C3. 1)
Ограничиваясь случаем слабого взаимодействия, положим (§ 1)
«1.	C3.2)
" dkT
Следовательно, мы рассматриваем сжатую систему с кулоновским
взаимодействием. В § 1 уже подчеркивалось, что такая система
в обычном смысле слова является разреженной.
р2/3
Из условий C3. 1) и C3. 2) следует, что параметр -—=,
представляющий собой отношение граничной энергии электронов
к их тепловой энергии, мал по сравнению с единицей, т. е.
aokT\( е- \2
)	) ^
((
MkT \ е2 ) \ dkT
Это неравенство тем более справедливо для протонного газа-
Поэтому фактически мы имеем дело с системой, подчиняющейся
больцмановской статистике, т. е. числа заполнения уровней сле-
следует считать малыми по сравнению с единицей
nv = exp[P(|i —е„)]«1,	C3.3)
а химический потенциал (х — большим по абсолютной величине
и отрицательным.
Ввиду однородности и электронейтральности (в целом) плазмы
член прямого самосогласованного взаимодействия в приближении
Хартри — Фока полностью выпадает. Что же касается малого
обменного самосогласованного члена, то его нетрудно получить
из соотношения C0. 10), если с учетом выражения C3. 3) положить
6 = ехр[р>-/г72М)].
Отсюда
С = ~4r	^
' C3-4)
где (Л(р, е) — химические потенциалы; М(р, е) — массы; Q(P) =
= Q(e) — плотности соответственно протонов и электронов. Здесь
принято во внимание то обстоятельство, что обменные эффекты
нужно учитывать в отдельности для электронного и протонного
распределений.
313

Динамическая теория плазмы со слабым кулоновским взаи-
взаимодействием, учитывающая корреляционное взаимодействие между
частицами, строилась ранее с помощью метода Дебая —• Хюк-
келя [4]. Этот метод включает в себя процедуру самосогласо-
самосогласования, имеющую неясную область применимости. Полевая теория
плазмы развита в работе [131 ]. Физические величины, в частности
термодинамический потенциал, представляются в этой теории
в виде разложений, которые сходятся тем лучше, чем меньше пара-
параметр а. При этом главный член разложений совпадает с выраже-
выражением, полученным по методу Дебая — Хюккеля. Таким образом,
полевая теория плазмы обосновывает, уточняет и указывает гра-
границы применимости прежних результатов.
Рис. 67
33. 2. Вычислим главный член корреляционной части термо-
термодинамического потенциала. Исходным пунктом служит тот факт,
что плазма со слабым взаимодействием между частицами пред-
представляет собой сжатую систему. Поэтому анализ температурных
диаграмм термодинамической теории возмущений, аналогичный
в основных чертах анализу, проведенному в § 16, приводит к тем
же результатам: как и во всякой сжатой системе, в плазме наи-
наиболее существенны диаграммы, содержащие максимальное число
замкнутых петель и имеющие единый малый передаваемый им-
импульс. Подлежащие учету замкнутые диаграммы вакуумных
переходов, отвечающие термодинамическому потенциалу Q (см.
§ 31), изображены на рис. 67. Такие диаграммы нужно рассмат-
рассматривать в отдельности для электронов и протонов.
Дальнейшее рассмотрение повторяет выкладки, проведенные
в § 25 и 27. Вводим эффективный потенциал взаимодействия
•у (I, П), связанный с истинным кулоновским потенциалом уравне-
уравнением
x6(pA— ра)П(П1, IV)Y(IV, II),	C3.5)
где поляризационный оператор П определяется соотношением
ПA, Н) = iG0 A,И) Go (II, I).	C3.6)
314

Массовый оператор сжатой системы связан с эффективным потен-
потенциалом у простым соотношением (см. § 25).
М(\, U) = i ГуA( II) — -f- б (Рх — р2)] G0(I, II). C3. 7>
Подстановка этого соотношения в выражение C2. 12) и учет соот-
соотношения C3. 5) дает следующее выражение для термодинамиче-
термодинамического потенциала:
i
ХПA, II).	C3.8)
Переходя в импульсное представление с учетом изложенных
в § 31 и 32 правил, получим
{%, а>„).	C3.9)
Здесь П = П(Р) + П(е) (индекс р относится к протонам, е —
к электронам).
33. 3. Вычислим поляризационный оператор
, en)G0{p+t, е„-!-«„).
Подставляя сюда выражение C1. 27), без труда находим интеграл
по трехмерному импульсу. Что же касается суммирования по
частотам, рассматриваемую сумму удобно свести к контурному
интегралу, вводя функцию tg (—J^-), имеющую полюса в тех
точках, по которым проводится суммирование (рис. 68). Тогда
можно написать (е; — полюса функции /)
Несложное вычисление дает следующее выражение для поляри-
поляризационного оператора:
-> ->
dspnpj	Р/Т ->\2 -12	• C3.10)
з2 — [р -4- к)	2
—пл-\ +ю«
315

При [малых значениях k и со/й ->• 0 имеем
П @) = П(е) @) + П(р) @) = - р [в(е) + Q(p,].	C3. 11)
В соответствии с результатами § 27 это приводит к дебаевскому
экранированию кулоновского потенциала. Соответствующий ра-
радиус R о просто связан с поляризационным оператором
х2 =-V = — 4ле2 П @). -	C3.12)
Представляя соотношение C3. 5) в виде
4яе2 Г	4яе2 „ (Z
находим, что в точке
0J = 4л[|^ + -^1Ь (k^Q)	C3.13)
эффективный потенциал у имеет полюс. Это свидетельствует о на-
наличии новой ветви спектра возбуждений парного типа — плазмен-
плазменных волн (см. § 27 и 28).
Переходя к вычислению корреляционной части термодинами-
термодинамического потенциала, подставим в соотношение C3. 9) выражения
C3. 10). Несложное вычисление, аналогичное проведенному выше,
дает
• Q _ QQ = _ _|_ уф* (Q(p) + Q(e)p.	C3. 14)
Это выражение получается и с помощью метода Дебая—X юккел я.
Относительный вклад корреляционного члена в Q имеет порядок
«3/2. Неаналитический характер этой величины, как функции а,
делает невозможным использование в данном случае нескольких
первых членов ряда теории возмущений. Суммирование целой
последовательности таких членов обязательно.
S16

В работе [131] были вычислены и последующие члены раз-
разложения Q, имеющие порядок a2 In а. Мы ограничимся приведе-
приведением соответствующих выражений при kT < еУа0
Q - Qo = - -§-
+ -f- C%e B2ew - 6(г)J In (l/pe2/?0) + 0 (a2) C3. 15)
и при kT > Z2e7a0
4
f - Fо = - 4 УФ
+ JL Z2 (Z2 - 1) p2e6e2 In (-^) + 0 (a2).	C3. 16)
Здесь QhF — термодинамический потенциал и свободная энер-
энергия соответственно, q(() — плотность ионов, Q(C) — плотность
электронов.

приложения
А. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ
А. 1. В представлении чисел заполнения сильно облегчается задача вычисле-
вычисления средних значений операторов по состоянию То, отвечающему одночастичному
приближению. В отличие от конфигурационного представления, где для решения
этой задачи пришлось бы проводить громоздкие вычисления с детерминантами
Слейтера — Фока, в представлении чисел заполнения все сводится к использо-
использованию простых правил перестановки операторов рождения и уничтожения.
Начнем с рассмотрения «-частичной матрицы плотности, определяемой соот-
соотношением
R (<?i • • ¦ Чп, Я\---Яп) = { То | Ц+ (q'n) . . . rp*(g[) X
ХФЫ • • ¦ Ч'ЫЮ-	(А 1)
Подставляя сюда разложения C. 9), получим
R = 2 hn (i'i)'- ¦ • *Л„ («О XVi (ii) ¦ ¦ ¦ %vn Ы А^ . . . .«„, v, ... vn_
где
Vl
4+	A~*~ A	A I? (	/A 91
При вычислении /1)XV следует иметь в виду, что вследствие совпадения правой
и левой обкладок этого выражения состояния уничтожаемых частиц (v1. . . vn)
должны совпадать в совокупности с состояниями рождающихся частиц (p^. . ¦. \х,п).
Кроме того, поскольку состояние ^0 отвечает одночастичному приближению
и удовлетворяет условию D.6), возникающие под знаком среднего операторы
чисел заполнения nv можно заменить их собственными значениями nv.
Вычислим несколько простейших функций A^v. При п = 1 имеем
<4nv = < ?0| nv | ^о > бцу = «n<W	(A. 3)
При п = 2, учитывая две возможности (п,х = v1; jia = v2 и fxг = v2, jx2 = v^
и переставляя в каждом случае операторы А и А* таким образом, чтобы возникли
соответствующие операторы чисел заполнения, найдем
В общем случае, как можно показать по индукции, имеет место соотношение
• »v det
6v
»vn det | 6vtvk I '	(A. 4)
где det — детерминант, построенный из б-символов (i, k = 1, 2 ... ri).
Возвращаясь к выражению для матрицы плотности, можно с помощью выра-
выражения (А. 2) записать для и = 1
318

для и = 2
R (<7i- ?2- 4i> Я2) = R (?i- я[) R (<72> Я'2) — Я[Я1' я'2) R (<72- ?i)- (А- 6)
В общем случае «-частичная матрица плотности представляется в виде детерми-
нанта, построенного из одночастичных матриц,
R (q\ . .. qn, q[ ... q'n) = det | R (q{, qk) \ .	(A. 7)
Возможность сведения матрицы плотности высшего порядка к одночастичным
целиком обусловлена выбором одночастичного приближения.
Выражение для матрицы плотности высшего порядка можно привести к виду
простого произведения одночастичных матриц плотности путем введения опера-
операторов перестановки координат 3* (см. § 1). Для двухчастичной матрицы плот-
плотности получается выражение
R {qu q2, q\, q2) = A - S>u 2) R (<?,, q[) R (q2, q'2),	(A. 8)
где индексы у оператора ?Р обозначают переставляемые координаты (?Р действует
только на координаты без штрихов). Для п = 3 нетрудно найти
R (?1> ?2- ?з- 1\' Я2> Яз) =
= A ~ Л. 2) A -^1.3- ^2, 3) R (?!• Я\) R (?2. 92) « (?3. Яз)- (A- 9)
Аналогичным образом можно представить матрицы плотности высшего порядка.
А. 2. Переходим к задаче о вычислении средних значений операторов по
состоянию Yq. Среднее значение «-частичного оператора ап в представлении
чисел заполнения имеет вид
qY . . . dqn ( % I tf- (<?«) • • • ^+ (?i) X
X
где индексы у оператора а обозначают переменные, на которые он действует.
Этот оператор можно вынести из-под знака среднего и свести тем самым рас-
рассматриваемое выражение к матрице плотности. Для этого используем тождество
6 (<7i . . • qn) agi . . ч «s
= j dq\ ¦ ¦ ¦ d4n S (?i ~q[) ... 6 (qn - q'n) a4l . . . qn b [q\ . . . q'n),
позволяющее поменять местами операторы поля и а. Отсюда
< ^о I «« I 4% > --^y-Jd?! . . . dqndq\ . . . dq'n X
X б [4l-q\)... б (9rt_9;)a?i . . .?n/? (<7i .-. </я, <?;.¦¦ <7^). (А. 10)
В частности, можно написать
= Jd9i Hm aqiR(qv q[).	(A. 11)
Иными словами, следует сначала подействовать оператором на матрицу плотности
и лишь потом положить <7j = <7j. Для двухчастичного оператора имеем
<Y0|o2|?0> =~^dqidq2 ^ lim a?i?2X
?1, 2^*1, 2
X(l~^n)R(ql,q'l)R(q2, q2).	(A. 11')
319

Введем оператор заполнения Q, определяемый условием
я (?.?') = в,« (?-V).
Тогда выражение (А. 11) можно переписать в виде
<4fo|a1|4fo) =§dqldq[6 (qi—q[) aqiQqi6 Dl-q[).
Ho 6 (qi — gjj представляет собой волновую функцию в координатном пред-
представлении состояния с определенным значением координаты, равным qt. Поэтому
выражение Г dqfi (<?i — q^ atjb (qx — q^) является диагональным матричным
элементом оператора ag, а последующее интегрирование по ql дает сумму таких"
матричных элементов, т. е. шпур * оператора ag
< ^oKl^o) =Sp(CQ).	(A. 12l
Аналогично
<T0|os|Y0> =-^Sp[aqigt(l-^li2)9<li9gt]	(A. 13)
и т. д.
А. 3. Используя свойство независимости шпура от выбора системы функций,
приведем выражения (А. 12) и (А. 13) к виду, удобному для приложений.
Выберем в качестве системы функций индивидуальные волновые функции
частиц. На основе соотношения D. 9) и определения матричных элементов можно
написать
( ?„ | Ol | У о ) = Т] nv < v | ах | v > ,	(А. 14)
v
( ?0 | а2 | ?0 > = ^- 2 %nv < t*v 1 аг С - #°и г) I № > (А- 15>
(iV
и т. д.; учитывая, что перестановка аргументов в обкладках последнего матрич-
матричного элемента равносильна перестановке индексов состояния, имеем
!-.,	< |xv | Оа A -— <?°) | fiv ) = (\iv | a21 nv > — < \iv | a21 v\i) .
Другая возможность написания средних значений связана с использованием
системы плоских волн [см. выражение D. 20)]. При этом
<	^о | «! | ?„ > = SpffT \d1cl d?p ( a,Q > ^,	(А. 16)
где шпур берется по дискретным индексам, а символ < . . . > -> означает
¦ ( ... > -> = ехр 1. — ipx ) (...) exp (ipx).
р
Если а1 не зависит от оператора импульса, то с учетом выражения D. 18)
можно написать
<	? о | а, | Т„ ) = SP(JJ die J d*paxf '{x,p).
В общем случае, полагая а1 = ах \х, уя), имеем
( «iQ > ¦+ = ехр { — ip х ) ах {х, ух) ехр \i p x) f [х, р),
откуда **
< ?0 | ах | ?0 > = SpOT J die ) d?pax (x, s/x + Тр) f (~x, p), (A. 16')
* Напомним основные свойства шпура операторов. Во-первых, его величина
не зависит от выбора системы функций, используемых при его вычислении.
Во-вторых, под знаком шпура допустима циклическая перестановка операторов-
сомножителей.
** Здесь мы фактически воспользовались теоремой Лейбница о дифферен-
дифференцировании произведения
f))b(
гДе Va, ь действует соответственно на а (аг) и 6 (х).
320

где Vx действует на функцию распределения. Если, в частности, о, не завися
от х, то в этом соотношении можно заменить V* + ip на ip (это легко проверить
интегрированием по частям).
Соответствующее выражение для двухчастичного среднего мы приведем дл»1
случая, когда оператор аг зависит от импульсов лишь в комбинации (V ---
< ^о I «2 I Т. > = -i- SpOlTl ,„,,, X
X J dxl dx2 j d3pt d*p% exp [—i (рг xt + p2x2)] a2e?1 Qq, X
X { exp [i (pi x± +~рСч)} - <^(ff)<^(t) exp [i
или
( "Fo I «2 I fj > = —g- bpOiti ,a2t2 J rf^i rf^2 J d3pi d3p2 X
X i 1 — &^>У"' exp |_r iPi — p2) \x\ — x2jj J X
X a2 I *!, x2, 	g—~	~ / / \xi' Pi' f (Л'2> Ра)- (A- 17)
Если о2 является просто функцией д-j, дг2, то
X )g2 —gexp [г ^px — p2j \x1~~x2)\) X
X a2 (.xj, x2j f \xlt px) f [x2, p2),	(A. 17')
где g = SpaT A) — фактор вырождения.
Наконец, если в качестве системы функций возьмем функции с определенным
значением координаты 6 (q— q'), мы вернемся к соотношениям (А. 11), (А. 11').
Приходится сталкиваться также со шпуром двухчастичного оператора,
который берется лишь по одному из наборов переменных
= J dq2dq'2b [q2 - q'2) O2 A - -^ 2) R [q2, q'2).	(A. 18)
Используя выражение (А. 5), можно написать
5 = 2 "v J d42 Xv (b) a2 (l—^l. 2) Xv {%)¦
v
Результат действия этого оператора на функцию Хц имеет вид
a2 x
Запишем оператор S чбрез функцию распределения, сохраняя прежние
предположения о структуре оператора о2. Поскольку 5 может зависеть от опе-
оператора импульса, рассмотрим результат его действия на exp (iPjXj):
5ехр \ipxJtiJ = Spa2tn J dx2 J d3psexp \ — 'Ps^J X
Xa2(l — c^j 2) 6?2 exP L' vPi-^i + P2xi)\-
321

Проводя такие же выкладки, как и при вычислении среднего, находим
о exp \ip1x1) = Spa to J ахг J d3p2 X
([-*-* 1 I	-* \~\ i-* -* -* \
X o, xx, x2,	 I V, + ip-,) f [x2, p, +'pj ~^°^<x'> x
(I	2 \ x' - J
[xi— x2j\ аЛхъ x2, -7t\Vx + ip ) / \хъ pi + p2) exp (/,
X exp | ip2
Окончательно в символической форме, заменяя рг на оператор импульса р,
можно записать
/ (*i. P2 f p
(A. 20)
A. 4. Несколько более сложную задачу представляет собой вычисление сред-
среднего значения произведения операторов. Рассмотрим простейшие примеры такого
рода.
Произведение операторов ар всегда можно представить в виде полусуммы
их коммутатора [а, р] и антикоммутатора {а, Р). Начнем с вычисления сред-
среднего значения коммутатора. Коммутатор двух одночастичных операторов а1 и piF
как нетрудно проверить с помощью правил коммутации C. 10), представляет
собой также одночастичный оператор
[а„ &]-^ S dq $+{q) [a, b] Ъ{Я).
Отсюда с помощью выражения (А. 12) находим
< ?„ | [а„ Рг] I ^о > = Sp ([а, Ь] С).	(А. 21)
Используя возможность циклической перестановки сомножителей под знаком
шпура, можно переписать их в виде abQ — aQb= a [q, Ь]. Поэтому, если один
из операторов коммутирует с Q, т. е. если отвечающая ему величина является инте-
интегралом движения, то соответствующее среднее значение обращается в нуль.
Аналогично коммутатор одно- и двухчастичного операторов представляет
собой двухчастичный оператор следующего вида:
[«1, Pal = [ Ah dq2^* (?i) i|>+ <7B) [aqi, bqiqi ] г|з (q2) г|з (<h),
откуда
<Т„|[аь p,]|T0> =Sp{[a?i, bqiq2](l-fK2)QqiQqi}. (A. 22)
А. 5. Переходим к нахождению среднего значения антикоммутатора двух
операторов. Рассмотрим сначала антикоммутатор двух одночастичных операторов
< ^о I {«ь Pi} I Ъ > =1 Л/1 dqt < ^о I (Ч>+ (Яг) аЦ (?,)^+ Ш Ъ^ Ы) \f?0 > .
Вводя б-функции, приводим это выражение к виду
j dq{ dq2 dq\ dq'26 (9l - q\) & (q2 - q2) (aqbqt + aqbqi) X
X (
Фигурирующее здесь среднее значение может быть сведено к матрицам плот-
плотности. Для этого поменяем местами второй и третий операторы, используя пра-
правила перестановки C. 10). В результате среднее значение приобретает вид
= [ A - Л, 2)
322

Во втором слагаемом квадратной скобки введен оператор перестановки, с по-
помощью которого 6-функции приобретают тот же вид, что и в предыдущем выра-
выражении. Кроме того, использовано соотношение q2 = Q.
Рассуждая далее так же, как в разделе А. 2, находим после соответствующей
симметризации по q±, q%
< ?01 {оь рх} [ ?„ > = 2Sp (a6) Sp (bQ) + Sp [aqbqi («„ - в,,JЛ, j- (A- 23>
В заключение вычислим среднее от антикоммутатора одно- и двухчастичного
операторов. Имеем
< Чо I {«2, Pi! I Ч'о > = у I d?i dq2 dH db db db?> (<?l - Vi) X
X 6 (?2 - i?2) 6 (93 - q'3) aqiq2bq3(S1 + S2).
Входящее сюда выражение
5a = ( ^o I *+ {Яг) ^+ (<?i) * (9,) * (<?2) ^+ {%) * (»з) | ^o >
путем перестановки оператора г|з+ (<7з) налево может быть сведено к матрицам
плотности
(
Аналогично
| *+ () * (<7з)
Переходя к шпуру, получаем
<Y,|{os,p1}|Ye> =-±-Sp{aqiqi 6,.[2((l-^li2)(l-^2>3)-
X ««.«?,«„ (^2.3+^1.3H-^1.2)^,+ ^2,3 О-^J,3)
Х^Л.+^.зО-^.з)»2,,»,,]}.
Заменяя в последних двух слагаемых
^2.3A-^1.3)^0-^1.2)^2.3. ^1.30-^2.3)-* 0 -^1.2)
получим окончательно
<^о|{«2, Pi} l^o) =sPfa2(i-^>I2)e
+ SP [а„„6,. 0 - ^1.2) в„ (в„ - в
Как видно из соотношений (А. 21) — (А. 24), среднее от произведения операторов
отнюдь не равно соответствующему произведению средних. Дополнительные
члены отвечают наличию так называемой обменной (или статистической) корре-
корреляции между частицами, обусловленной антисимметрией волновых функций,
т. е. принципом Паули.
Б. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ОПЕРАТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Б. 1. На всем протяжении развития квантовой теории проявлялась тенденция
к явному операторному представлению величин, входящих в аппарат теории.
В качестве примеров можно назвать общие исследования статистической суммы
в квантовой статистике [132], теорию рассеяния Липпмана — Швингера [133],
теорию S-матрицы [134], статистическую теорию многих частиц.
'323

Причиной перехода к операторной формулировке является, с одной стороны,
стремление к простоте и компактности, которыми отличаются операторные выра-
выражения. С другой стороны, эти выражения описывают соответствующую физи-
физическую величину в наиболее «чистом», инвариантном относительно изменения типа
представления виде. Наконец, операторная формулировка явным образом отра-
отражает тот факт, что основным различием между классическим и квантовым спо-
способами описания объекта является операторный характер квантового подхода.
Операторная формулировка наглядно отражает соотношения неопределенностей;
проблема перехода к классике (или квазиклассике) при этом заметно упрощается
и ее решение сводится к пренебрежению коммутаторами соответствующих опера-
операторов.
Простота операторной формулировки в значительной степени компенси-
компенсируется тем, что операторные выражения относятся к классу величин математи-
математически более сложной природы, чем обычные величины. Как правило, операторные
выражения представляют собой функции нескольких некоммутирующих друг
с другом аргументов. Правила обращения с такими функциями весьма сложны.
Они будут рассмотрены в этом параграфе. Мы будем следовать простому и физи-
физически легко интерпретируемому методу, предложенному в работе Блоха [135].
Что же касается других методов операторного исчисления, то их краткий обзор
и библиография содержатся в работе [43].
Б. 2. В дальнейшем будем рассматривать функции от сук.мы операторов.
Пусть дана некоторая функция / (а + Ь) от суммы двух некоммутирующих
аргументов а и Ь. По определению, два оператора А и В считаются функционально
связанными [А = /(В)], если их собственные функции совпадают, а собствен-
собственные значения имеют ту же функциональную связь, что и операторы
Вгр„ = ВД„, Ая]5„ = / (Вп) г|з„.
Функция некоммутирующих аргументов является гораздо более сложным
математическим образованием, чем обычная функция. Это проявляется в том,
что при вычислениях, где фигурируют подобные функции, элементарные матема-
математические правила оказываются совершенно непригодными. Так, например (а+
-f* bJ и ехр (а + Ь) отнюдь не равны соответственно а2 + 2ab+ Ь2 и ехр (а) ехр (Ь),
а зависят и весьма сложным образом от коммутаторов операторов а и Ь.
Поэтому целью операторного исчисления является переформулирование
указанных правил, сводящееся к выявлению соответствующей зависимости от ком-
коммутаторов.
При достаточно широких предположениях о виде функции можно считать
возможным ее разложение в интеграл Фурье (или Лапласа)
(a + b)l,	(Б. 1)
где т — мнимый или действительный параметр. Это позволяет ограничиться
рассмотрением только экспоненциальной функции
= ехр[т(а + Ь)].
Если бы операторы аи b коммутировали, то мы имели бы просто Е (т) =
= ехр (тЬ) ехр (та). Дополнительную зависимость от коммутаторов можно отра-
отразить, введя в эту формулу добавочный сомножитель К
?(т) = ехр(тЬ)К(т)ехр(та).	(Б. 2)
Как правило, в произведении операторов каждый из сомножителей действует
на все величины, стоящие справа от него.
Порядок сомножителей в выражении (Б. 2) может быть произвольным
(конечно, при разном выборе будут получаться и разные выражения для К)-
Принятое написание оказывается удобным в том случае, когда объектом действия
t (а + Ь) является 1|за — собственная функция оператора а с собственным зна-
значением а. При этом
Е (т) фа = ехр (тЬ) К (т) ехр (та) 4>а = ехр [т (а + Ь)] К (г) 4>а-

Теперь в показателе экспоненты стоят коммутирующие величины и все отличие
от обычной экспоненты сосредоточено в множителе К. В дальнейшем для крат-
краткости не будем писать функции 1|за, на которую действует рассматриваемый опе-
оператор.
Перейдем к отысканию уравнения для К (т). Дифференцируя выражение (Б. 2)
по т, получим
-|^- = ехр (— тЬ) а ехр (тЬ)К — Ка.	(Б. 3)
Отметим, что комбинация
°°	п
ехр (- тЬ) а ехр (тЬ) = V <-*>" [b [Ь .'. . [Ь, а] . . .]]
л=0
выражается только через коммутаторы а и Ь, что легко проверить разложением
в ряд по т.
Полагая в выражении (Б. 2) т = 0, приходим к начальному условию
для к (т)
К@)=1.
Б. 3. Если операторы а и b таковы, что большинство их коммутаторов равно
нулю, то уравнение (Б. 3) может иметь простые решения.
1.	Пусть, например, коммутатор [а, Ь] является с-числом; это будет един-
единственный отличный от нуля коммутатор. Тогда
ехр (—тЬ) а ехр (тЬ) = а — т [Ь, а],
и мы получаем известную формулу Глаубера [136]
Е (т) = ехр [т (а + Ь)] ехр {— -J [Ь, а]|.	(Б. 4)
Более сложному случаю, когда с-числами являются коммутаторы [b[b, а]] и
[(Ь, а] а], отвечает формула
Е (т) = ехр [т (а + Ь)] ехр |— -1- [Ь, а] \ х
[b, a]] + [[b, а] а]
Подобным же образом из Е (т) могут быть выделены сомножители, отвечающие
коммутаторам высшего порядка.
2.	Пусть отличны от нуля только коммутаторы типа [b[b . . . [b,a] ...]],
т. е. они все коммутируют друг с другом и с а. При этом К также коммутирует
с а и уравнение для К легко решается
Е (т) = ехр (тЬ) ехр I f dt ехр (— ft) а ехр щ\	(Б. 5)
Например, если а = F (х) и b = -g-, то, учитывая свойства оператора смеще-
смещения*, получим
(Б. 6)
= expl J F(|)rf| lexp (т-^).
Оператором смещения является величина ехр (а\/)
ехр (aV) ф (х) = Ф (х + а).
325

Другой частный случай отвечает коммутационным соотношениям ¦
[Ь, а] = А,а,
где X — с-число.
При этом
Е (т) = ехр (тЬ) ехр Г '—ехР,(—т^) J	(Б 7)
L	A	J
3. Более сложен случай, когда отличны от нуля (и коммутируют друг с дру-
другом) коммутаторы типа [а [а ... [а, Ь] ... ]].
Тогда
~- = [а, К] + х [а, Ь] К.
Полагая К = ехр (ат) L ехр (— ат), нэйдем
L = ехр | j' dt t ехр (— at) [a, b] ехр (at)
В частности, при [ab] = ХЬ получаем
	г	b
Учитывая соотношение ехр (ат) / (Ь) ехр (—ат) = / (ехр (Хх) Ь), легко проверяе-
проверяемое разложением в ряд по Ь, находим окончательно
Е (т) = ехр р*Р (**)-_!_ ь] ехр (та).	(Б. 8)
Б. 4. Даже если отличны от нуля все коммутаторы, есть случай, допускаю-
допускающий простое решение.
Коммутирование можно рассматривать как операцию, действующую на мно-
множестве, в которое входят операторы а и b и все их коммутаторы. Если это мно-
множество фактически окажется конечным, то при последовательном коммутиро-
коммутировании мы будем возвращаться к уже имеющимся элементам. Рассматриваемая
операция будет иметь циклический характер.
Естественно, что при этом можно разложить искомую функцию по элементам
множества и задача сведется к нахождению конечного числа соответствующих
коэффициентов разложения [43, 137].
Пусть, например, имеют место соотношения *
[а, Ь] = с, [а, с] = — Я,а, [Ь, с] = ХЬ.
Наше множество состоит из трех элементов: a, b и с. Соответственно этому ищем
решение в виде
Е (т) = ехр [а (т) bj ехр [р (т) с] ехр [у (г) а],	(Б.9)
где а, р и у — неизвестные функции т. Дифференцируя это выражение по т,
получим
а + Ь = а' (т) b + Р' (т) ехр (аЬ) с ехр (— аЬ) +
y' (т) ехр (аЬ) ехр фс) а ехр (— рс) ехр (— аЬ).
Используя далее коммутационные соотношения и сравнивая коэффициенты при
одинаковых операторах, найдем
Y' (т) = ехр (— Яр), Р' (т) = а, а' (т) = 1 — Яа2/2.
* Попарные коммутаторы трех операторов нельзя задавать чезависимо,
так как необходимо выполнить тождество Якоби
[[а, Ь], с] + [[Ь, с], а] + [[с, а], Ь] = 0.
326

Решения этих уравнений, обращающиеся в нуль при т — 0, имеют вид
H <бл°>
Соотношения (Б. 9) и (Ь. 10) решают поставленную задачу.
Рассмотренный пример отвечает квантовомеханической задаче об осцил-
осцилляторе. Действительно, в этом случае
«?( ?). х-».-.
Вычислим, пользуясь полученными формулами, следующую величину:
р2 (
f
2
= [сп(/шт)] '«exp ^_L_J-^JL_ + __)jx	(Б. 11)
С ее помощью может быть решен целый ряд задач, относящихся к осциллятору.
При вычислении выражения (Б. 11) нам пришлось иметь дело с функцией
от произведения операторов exp (kx^-\. Развитый выше аппарат в принципе
применим и в этом случае. Однако проще использовать следующий искусственный
прием. Используя новую переменную In х, приводим оператор к виду обычного-
оператора смещения
— ^ f (х)^ехр [й -j^—р| / [exp (ln.v)] = / [exp (k) х]. (Б. 12>
Таким образом, оператор exp ( kx-^- J играет роль оператора изменения масштаба.
Б. 5. В общем случае все коммутаторы аи b отличны от нуля и образуют
бесконечное множество. Решение задачи при этом становится крайне сложным.
Положение упрощается, если задача содержит малые параметры.
Пусть например, роль коммутаторов высшего порядка уменьшается с уве-
увеличением их сложности. Тогда можно искать разложение искомой функции
в ряд по коммутаторам возрастающей сложности.
Каждый член этого ряда представляет собой в общем случае произведение
отдельных коммутаторов. Порядком члена ряда будем называть полное число
коммутаций, содержащихся в этом члене. Так, [b, [b, а]] и [Ь, а]2 имеют порядок,
равный двум.
Обозначая через Q^1 коммутатор (п + /га)-го порядка
Ua...[a[b... [b, a]...]]...]!
и через Кп — совокупность всех членов и-го порядка в операторе К, можно полу-
получить из выражения (Б. 3) следующее рекурентное соотношение:
дх - l"' 'vn-11
k—l
Несложное вычисление с учетом Ко= 1 дает [46]
327

(Б. 13)
4 7Q?Q! - 4Q°Q» - 6Q°Q°) - ~ (Q?K;	(Б. 15)
4 120 ^ - ' 3 ~r 4/ т 720 l li" \ l/
4 5Q?Q30 4 10 (Q°J 4 10Q°3Q?] + ^q[^<4 (Q?J -
- 110?QJQ? - 19 (Q°JQj 4 8 (Q?JQ§ 4
4 12Q?Q°Q° - 5Q| (Q°J] 4 щ @?)\	(Б. 16)
и т. д.
Чтобы перейти к разложению в ряд по коммутаторам функции f, (a 4 Ь),
достаточно заметить, что, согласно выражению (Б. 1), параметр т играет роль
оператора дифференцирования функции f по ее аргументу. Поэтому, ограничи-
ограничиваясь для простоты членами второго порядка, будем иметь
/ (а 4 Ь) = / (а 4 Ь) - -i-r (a 4 Ь) [b, a] 4
4- ~f'"(a + b) {[b[b, аЦ-[а[Ь, а]]} 4 4- fIV (а 4 b) [b, a]2 f • - - (Б. t7v
D	О	'
Здесь, как и выше, число а в аргументе функции / и ее производных предста-
представляет собой собственное значение оператора а, отвечающее функции, на которую
действует / (а 4 Ь).
Б. 6. Если один из аргументов нашей функции мал по сравнению с другим,
то мы приходим к задаче, являющейся операторным аналогом теории возмущений
и состоящей в разложении / (а 4 Ь) в ряд по малому аргументу. Получающаяся
при этом формула отличается от ряда Тейлора членами, зависящими от коммута-
коммутаторов.
Сначала рассмотрим разложение по Ь. Полагая
Е (т) = L (т) ехр (та),
д ифференцируя это соотношение по т и о0о^значая через Ln член «-го порядка
по Ь, получим
-з-5- = Ь„_х ехр (та) b ехр (— та), Ln = dtLn^ ехр (ta) b ехр (— ta).
дт	J
Учитывая, что Lo= 1, найдем [134]
т
Е (т) = ехр (та) 4 I" dt ехр (Щ Ь ехр [(т — t) a] 4 • • •	№. 18)
о
328

Это выражение может быть представлено и в другом виде
Е(х) =
ехр (та).
Из приведенных соотношений могут быть найдены и члены высшего порядка.
Аналогично может быть получено и разложение по а
т
Е (х) = ехр (тЬ) + j dt ехр [(т — t) b] а ехр (Щ + . . .	(Б. 18')
о
Для обратной функции можно использовать простую формулу
00
(а -4- Ь)~^:=:: A -4- а~ Ь) а =^ ^ (— 1) (а Ь) а~ .	(Б. 1&)
п=0
Рассмотрим теперь дифференцирование функции Е\ (т) = ехр [т (а + ХЬ)\
по параметру X. Исходим из определения
и разлагаем экспоненту в ряд по 6Я. В результате получаем
11- = f dtEX (t) ЪЕК (т - О-
(Б. 20)
Учитывая далее, что Е\ (т — () = Е% (—t) E% (т) и
а + ХЬ [а + ХЬ. . . [а +
Ь, Ь] . . .]J ,
находим
2и
л=0
дХ
тп+{
[а+Мэ[а+?Л). . . [а +
ГЬ, Ь] . . .]J
. (Б. 21)
Это так называемая левая производная. Заменяя в выражении (Б. 20) / ->- t -{- х,
определим и правую производную
.(т)
дХ
хЬ —
(л + 1П
La + ХЫ
+ *,b'[a + ХЬ . . . [a
¦. (Б. 22)
Более сложные правила, относящиеся к релятивистским задачам, можно-
найти в работе [43].
329

В. ИНТЕГРАЛЫ ОТ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ
В. 1. В теории многих частиц нередко приходится сталкиваться с интегра-
интегралами от сингулярных функций, обращающихся в бесконечность в области инте-
интегрирования. Такие интегралы удобно представить в виде
"w-
где F (х) — регулярная в области интегрирования функция, а ф (xi) = О (С =
-= 1,2...). Точки Х( представляют собой точки сингулярности рассматриваемой
функции.
Такого рода интегралы не являются определенными величинами; необхо-
необходимы специальные дополнительные условия, указывающие, в каком смысле
следует понимать соответствующие полюса (или, как говорят, каковы правила
их обхода).
Неопределенность интегралов от сингулярных функций является следствием
неопределенности самой сингулярной функции —р-г в точках *,-, в которых зна-
значение функции полностью неоднозначно. Можно положить
1	I	^
A • x у.
где Ai — некоторые совершенно произвольные величины. Это выражение можно
представить в виде суммы так называемого главного значения сингулярной функ-
функции
1
р(лг) x^Xl	(В. 2)
О х	 х-
и функции
Сингулярную функцию следует рассматривать как обобщенную, т. е. нас
интересуют не значения этой функции, а результат интегрирования ее с произ-
произвольными весовыми функциями F (х). Поэтому, если величины Л/ конечны, то
вклад функции D •— в интеграл равен нулю, и фактически сингулярная функция
не отличается от своего главного значения. Реальный интерес представляет слу-
случай, когда величины At бесконечны, причем соответствующий интеграл по малой
окрестности точки л-,- вносит конечный вклад.
Вводя 6-функцию б (х — xt), которая равна нулю при х ф л"; и интеграл от
которой по любой малой окрестности точки х/ равен единице, можно написать
следующее выражение для функции (В. 3):
где а,- — по-прежнему произвольные величины *.
Чаще всего сингулярная функция имеет полюса первого порядка, т. е.
ф' (xi) ф 0. Тогда последнее соотношение можно переписать в виде
DA[N[i)]
* Хотя на первый взгляд в соотношение (В. 4) можно ввести еще про-
производные 6-функции, на самом деле дифференцирование можно перебросить
на функцию F.
330

где А — произвольная функция, не имеющая нулей и полюсов в точках л-,-.
В самом деле,
отождествляя -j—— с а,-, мы возвращаемся к соотношению (В. 4).
Итак, окончательный наиболее общий вид сингулярной функции
можно получить, полагая
Если рассматриваемая функция не имеет полюсов вообще, то получается тожде-
тождество 1/ф = 1/ф.
В. 2. Функции Р — и 6 (ф) можно записать в явном виде, используя некото-
некоторый предельный процесс
(В-7)
Для доказательства рассмотрим значения обеих частей этих соотношений сначала
в точках х Ф X/. При этом ф Ф 0 и в пределе величина (В. 6) дает —, а величина
(В. 7) —¦ нуль, что находится в соответствии с определениями рассматриваемых
функций. Что же касается точек xi, где ф = 0, то в согласии с выражением (В. 2)
Р —-.—- = 0, а 6 [ф (*,•)] = —j- -у оо. При этом интеграл *
1+Ъ	,
J dxb [Ф [Х)\ = -L J"
dx- 6
ф2 (X) + б2
Xj—a	xi~a
оказывается равным, как это и должно быть, -j——	-, в чем легко убедиться
I Ф W) I
полагая ф (х) = ф' (xi) (х — xi) и делая замену х = xi -\- -j—, , .
Согласно соотношениям (В. 6), (В. 7), Р — является нечетной, 6 (ф) — чет-
четной функцией ф. В принципе можно было бы нарушить эти свойства в окрестности
точек Xi, сохраняя в пределе правильные свойства рассматриваемых величин.
При этом результаты вычисления соответствующих интегралов были бы иными.
Поэтому обычно требуют, чтобы функция Р — была пределом нечетной, а
й (ф) — четной функции ф; иными словами, этими свойствами соответствующие вы-
выражения должны обладать еще до перехода к пределу.
* Интервал интегрирования выбран таким образом, чтобы в него попал лишь
ОДИН ПОЛЮС Xi.
331

Разлагая соотношения (В. 6) и (В. 7) в интеграл Фурье по ф, можно написать
интегральные представления рассматриваемых функций
оо
. 8)
oo
6 (<p) =-s—lim f Лехр(«7ф —6U|).	(В. 9)
— oo
Можно показать, чт'о интеграл типа (В. 1), взятый для определенности около
одной из точек *;, имеет вполне определенную величину при подстановке вместо
1/ф выражения (В. 5). В самом деле, в окрестности точки xi можно сделать замену,
аналогичную произведенной выше. Это даст с учетом выражений (В. 6) и (В. 7)
Появление логарифма характерно для интеграла от главного значения функции.
Таким образом, интеграл, содержащий как главное значение сингулярной
функции *, так и й-функцию, имеет вполне определенную величину.
В. 3. Особую роль в аппарате теории многих частиц играют следующие
линейные комбинации функций Р — и й (ф):
-г— = Р ~ ± «яб (ф).	(В. 10)
Ф(±)	Ф
Общее выражение (В. 5) представляется через них таким образом
, iA \ 1
Функции 	 нетрудно выразить с помощью предельного процесса
-=11111—Цт.	(В. 12)
Ф( + ) 6->0 ф
В этом можно убедиться, перенося мнимый член в числитель и используя выраже-
выражения (В. 6) и (В. 7).
С помощью интегральных представлений (В. 8) и (В. 9), можно выразить
в интегральной форме и функции
1_=±. Г dt l^slgnW ехр(«ф_а|<))	(В
* Он носит название интеграла в смысле главного значения и обозначается
через
332

или
-rr~ = — i \ dt exp (itw — 6 I
to	J	T '
0
0
	1—т- = i \ dt exp (itcp~b\t |).	(B. 15>
Ф — to	J
— oo
B. 4. При вычислении интегралов от сингулярлых функций типа (В. 1>
весьма удобно использовать методы теории функций комплексного переменного,
аналитически продолжая	 в комплексную плоскость переменной х.
Практически обычно приходится иметь дело со случаем, когда аналитиче-
F
ское продолжение функции — в верхнюю или в нижнюю полуплоскости дает-
Рис. 69
функцию, удовлетворяющую следующим двум свойствам. Во-первых, эта функция
убывает достаточно быстро на дуге большого круга * и, во-вторых, не имеет в рас-
рассматриваемой полуплоскости иных особенностей, кроме полюсов. Снабжая индек-
индексом ± интеграл, для которого эти свойства выполнены соответственно в верхней
и нижней полуплоскости, можно замкнуть контур интегрирования на большой
дуге
(контуры С. изображены на рис. 69). Используя теорему вычетов, можно написать.
V)'	(В-16>
где сумма берется по всем полюсам подыинтегрального выражения внутри контура.
интегрирования.
Часть этих полюсов связана непосредственно с точками хь. Из соотноше-
соотношения (В. 11) видно, что достаточно исследовать полюса лишь функции
<Р<±>
Эти полюса расположены вблизи точек *;, но находятся в комплексной плоскости..
Полагая, что точка полюса дг;, в которой ф (д-;) ± г'б = 0, может быть представлена,
в виде дг; = д-; + бдг; (бд-; < лг;), имеем ф' (лг,-) Ьхь ± ib = 0, откуда
' Ф'
Предполагается, что интеграл от — по этой дуге дает исчезающий вклад-
333-

Таким образом, рассматриваемый полюс функции
лежит в нижней
1
ф' <^ 0) или верхней (при ф' ^> 0) полуплоскости; для функции
наблюдается обратное положение (рис. 70). Что же касается вычета в этом полюсе,
F (xt) 1 / , .A (xi) \
то он имеет вид —j-—--—— I 1 + i —-	) соответственно для первого и второго
ф (хп 2. \	я J
слагаемого в выражении (В. 11).
Таким образом, вклад в /_,_ от полюсов лг(- можно записать в виде
где сумма берется по всем полюсам функции —г—. Кроме того, нужно учесть
ф(л-)
F
ф(л-)
1
F	1
вычеты функции	, не связанные с полюсами — .
Ф	Ф
Рассмотрим некоторые важные частные случаи. Пусть в подынтегральном
выражении имеются только те полюса, которые связаны с точками х;. Тогда 1±
.совпадет с выражением (В. 17). Полагая А (х) = —in, можно написать
'±=
1
(*)<-!
•=- —т
F (xi)
I. 18)
Мными словами, в этот интеграл дают вклад лишь те полюса ——-, для которых
ф (х)
производная ф' (лг,-) отрицательна (или положительна). Аналогично, полагая
А (х) = in, найдем
/± —
dx F (х
1
U V -.	г—^г
±Л \щ'(xi)
1 ±
i. 19)
.Для получения соответствующего интеграла в смысле главного значения доста-
достаточно взять полусумму выражений (В. 18) и (В. 19). Это даст
/ р
dx
ф (х)
(В. 201
Если имеется лишь один полюс с положительной производной, то
1
334
dx F (х)
dx F (х)
Р [ dx Е (х)
0
— 2ш-
ф' (Xi) '
2ni
0
,• F(xt)
ф (х)
ф' (xi) '
Ф (xi)
ф (xi)
(В.21)

где верхнее значение отвечает замыканию интеграла в верхней, нижнее— в ниж-
нижней полуплоскости. Соотношения (В. 21) иллюстрируются рис. 71, а, б, где ука-
указаны полюса подынтегрального выражения первых двух интегралов. Нулевые
значения этих интегралов соответствуют теореме Коши, так как при указанных
условиях внутри контура интегрирования полюсов вообще нет.
Что же касается интеграла в смысле главного значения, то он берется по
области, указанной на рис. 71, вжирной линией. При замыкании контура по боль-
*<р<-0
Рис. 70
шой дуге видно, что этот интеграл равен интегралу по малому контуру С,, т. е.
полувычету подынтегрального выражения в точке дг;.
В. 5. Факт исчезновения некоторых интегралов в соотношениях (В. 21)
имеет отношение к вопросу причинности. Рассмотрим интеграл по е, входящий
в функцию распространения (см. § 10):
/ =
= Г
de.
ехр (—
2я
е — ev + id sign (ev — e,p)
(В. 22)
где т = tx — t2. При ev<^ е^сюда входит функция
(е —
, при ev>
функция
-. Вводя числа заполнения nv= 0 (гР — ev), можно написать
/=
(е —
(е — ev)(_)
33&

Возможность замыкания интеграла в верхней или нижней полуплоскости
тесно связана со знаком разности времен т. Записывая комплексное е в виде а + ф,
имеем
ехр (— гет) = ехр (— гат) ехр ((к).
•С удалением от действительной оси, т. е. когда | р" | -> оо, фактор ехр фг) неогра-
неограниченно растет при рЧ > 0 и падает при р"т «< 0. Замыкание возможно лишь
в последнем случае. При т> 0 замыкать следует в нижней ф <^ 0) полуплоскости,
при т< 0—в верхней (р">0).
Непосредственно используя соотношения (В. 21), будем иметь
¦ —i(l—«v)exp(—tevT) т>0	/Поо^
inv ехр (— ievx)	х < 0.
Таким образом, вперед по времени (т]> 0) распространяются только частицы,
назад по времени (т<С 0) — только дырки. Это и является отражением причин-
причинности. Соответствующий обход полюса [функция «6 sign (ev — е^-) в знаменателе]
называется причинным (или обходом по Фейнману).
В. 6. Вычислим некоторые конкретные интегралы по энергии е от произве-
.дения нескольких функций Грина G^ (e).
Рассмотрим сначала произведение двух функций Грина
оо
г ^
= I -о— {[е — Ец + ''о sign (ец,— ef)] x
— оо
X [е — Efl2-r i& sign (еД2— Чр)]}'1	(В. 23)
В данном случае контур можно замыкать как сверху, так и снизу. Из расположе-
расположения полюсов подынтегрального выражения
¦ (б	е^ > е
/6	е„ <е
видно, что если энергии е находятся по одну сторону от границы Ферми, то
^1, 2
интеграл тождественно равен нулю. При этом оба полюса находятся по одну
сторону от действительной оси. При замыкании контура в противоположной полу-
полуплоскости, согласно теореме Коши, получается нулевой результат. Таким обра-
.зом, нужно рассмотреть два случая: е > ef и 8 <1 е^; е < е^ и е ^> eF.
Для определенности будем замыкать контур в верхней полуплоскости. В пер-
первом случае внутри контура интегрирования содержится полюс е = е -р «б.
Вычет в нем равен * (е — е + /б), значит,
Во втором случае нужно просто сделать замену индексов 1 ^2:2. Суммируя
;полученные результаты и вводя числа заполнения, можно написать
[A—п„)п,,	(I—п,,)п..
Перейдем к интегралу от произведения трех функций Грина
{[81^ е*+с6 sign (8^" Bf)] х
= f
Х [е* — 8ц2+ »б S'gn (ец2- eF)] X
X[e1+e,-e|li+rtsign(e|Jli-eJ?)]}-i.	(B.25)
* Никакой разницы между 2F и гб при б -> 0, конечно, нет.
336

Произведем сначала интеграцию по е2. Соответствующий интеграл сводится:
к выражению (В. 18), если сделать замену еДз -> ед> — е^ В результате получим
выражение
,
-Мб
Повторный интеграл распадается на линейную комбинацию двух интегралов
I	Г ^Е1 ,	« •	,	ч	,	, -X 1 1
' -(-= I ~к— ! Ге1 — в., 4- 10 sign (е,, — еР)] Гвх + е„ — е ± ш] I i.
В интеграле / , удобно произвести замыкание в верхней полуплоскости. Един-
Единственный полюс, который нужно учитывать при 8Ul<Cef расположен в точке
8и. + »'б-
8ц
оси и вносят нулевой вклад. Таким образом,
Аналогично
'«д.
Окончательно
j
A — пД1)
8Й1+ ЕМ
-,- 8Мз
"Г" 8Й2
12)ЛДз
—ib
пд,яд. О"'
8ц1+8^^ед
V)
(В. 26)
В некоторых случаях приходится иметь дело [с кратными полюсами. Рас-
Рассмотрим, например, интеграл

2л . [е — ev + j6 sign (ev —
(В 271
где функция F (e) не имеет особенностей в верхней (или нижней) полуплоскости
и ограничена на дуге большого круга. Замыкая контур в соответствующей полу-
полуплоскости и вычисляя вычет в кратном полюсе, будем иметь
/_=t'(l — nv)F'(nv).	(В. 28)
Аналогично
/+ = — invF' (ev).	(В. 29)
Здесь / . интегралы, отвечающие замыканию в верхней (или нижней) полупло-
полуплоскости .
В. 7. Характерный пример интеграла от сингулярной функции возникает
при рассмотрении квантовомеханйческой задачи рассеяния. Уравнение Шредин-
гера в системе центра масс имеет вид
(Д + k2) г); (Т) = MVy(r).
Если перейти в импульсное представление и разделить обе части уравнения-
на k% — р2, то получим
Это выражение является неопределенным до тех пор, пока не приняты во внима-
внимание следующие требования, вытекающие из физической картины рассеяния:
337

решение должно содержать в качестве слагаемого плоскую падающую волну *
¦ф _> = 6 (р — k); второе слагаемое ij)^ должно описывать расходящуюся волну
Ор	р
имеющую в координатном представлении при /•-><» асимптотический вид
exp (ikr)
г
Оба эти условия полностью определяют сингулярную функцию (&2 — р2):
(В- 30)
где С (Vip)-> = т—ттг~- Выражение (В. 30) соответствует общему соотношению
Р
(В. 5), где нужно положить А = С — т.
Первое слагаемое действительно дает нужный вклад, в чем легко убедиться,
учитывая соотношение
где k ^> 0 и р > 0. Что же касается второго, то его вклад в ty_,. дается выраже-
яием -Г5	я—^~т- В координатном представлении это выражение имеет вид
?2 —р2 + (б
i -* ->\
д3р (Уф)-> exp \ip г )
	Р
&2 — р2 + гй
При больших г существенны малые значения р. Полагая силы короткодействую-
короткодействующими и конечными по величине, найдем
со	со
|„ Г sin (рл) pdp	УИ (KipH д •: cos (pr) dp
" J k2 — р2 + гб	г	<Эг 1 /г2 — р2 + F "
о	о
Входящий сюда интеграл можно записать в виде
оо
1 f dp exp (ipr)
f d
Здесь мы замкнули контуры в верхней полуплоскости (/"^> 0) и использовали соот-
соотношения, приведенные в разделе В. 4. Таким образом, мы действительно полу-
получаем расходящуюся волну. При изменении знака id получилась бы сходящаяся
волна.
Для простоты рассматривается лишь s-рассеяние.

ЛИТЕРАТУРА
1.	X а а р Д., тер. Введение в физику систем многих частиц. Пер. под ред.
Д. Н. Зубарева. М., Изд-во иностр. лит., 1961.
2.	Bruekner K-, Gammel J. Phys. Rev., 109, 1023 A958); Bruek-
n e r K. Rev. Mod. Phys., 30, 561 A958).
3.	Боголюбов Н. Н. Лекции по квантовой статистике. Киев, «Советская
школа», 1949 (на укр. яз.).
4.	Ландау Л., Л и ф ш и ц Е. Статистическая физика (классическая и кван-
квантовая) М.—Л., Гостехиздат, 1951.
5.	Л и ф ш и ц И. М. «Природа», № 5, 11 A958).
6.	Б о н ч-Б руевич В. Л., ТябликовС. В. Метод функций Грина
в статистической механике. М., Физматгиз, 1961.
7.	Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошинский И. Е.
Методы квантовой теории поля в статистической физике. М., Физмат-
Физматгиз, 1962.
8.	М и г д а л А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 249 A959); 40, 684 A961);.
43, 1940 A962).
9.	Боголюбов Н.Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. Новый метод.
в теории сверхпроводимости. М., Изд-во АН СССР, 1958.
10.	Thouless D. J. The Quantum Mechanics of Many-body systems. Acade-
Academic press, N.-Y. a. London, 1961.
11.	Фрадкин Е. С. Диссертация. Ин-т теор. и эксперим. физ., 1960; «Ж- экс-
эксперим. и теор. физ.», 36, 1286 A959); 38, 157 A960); Nucl. Phys., 12,
465 A959).
12.	Б о н ч-Б р у е в и ч В. Л., К о г а н Ш. М. Annals of Physics, 9, 125 (I960).
13.	3 у б а р е в Д. Н. «Успехи физ. наук», 71, 71 (i960).
14.	А л е к с е е в А. И. «Успехи физ. наук.», 73, 41 A961).
15.	Вопросы квантовой теории многих тел. Сборник переводов под ред..
В. Л. Бонч-Бруевича. М., Изд-во иностр. лит., 1959; Вопросы кванто-
квантовой теории необратимых процессов. Сборник переводов под ред.
В. Л. Бонч-Бруевича. М., Изд-во иностр. лит., 1961.
16.	The many-body problem (Cours donnes a l'ecole d'ete de physique theorique.
Les Houches, A958). Methuen, London, 1959.
17.	Proceedings of the International Congress on Many-particle problems. Utrecht,
1960.
18.	Martin P., S с h w i n g e r J. Phys. Rev., US, 1342, A959); К a d a n о f ?
L., M a r t i n P. Phys. Rev., 124, 670, A960).
19.	Боголюбов Н. Н. «Изв. АН СССР. Сер. физ.», 11, 67 A947).
20.	Б е л я е в СТ. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 417, 433 A958).
21.	Bruekner K-, Sawada К. Phys. Rev., 106, 1117, 1128 A957).
22.	К о н с т а н т и н о в О. В., П е р е л ь В. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,,
39, 197 A960); Дзялошинский И. Е. «Ж- эксперим. и теор..
физ»., 32, 1126 A962).
23.	Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. Пер. под ред. В. А. Фока.
М., Физматгиз, 1960.
24.	Ландау Л., Л и ф ш и ц Е. Квантовая механика, ч. 1. М., Гостехиздат,.
1948.
25.	Паули В. Общие принципы волновой механики. Пер. под ред. К. В. Ни-
Никольского. М. — Л., Гостехиздат, 1947.
26.	Б л о х и н ц е в Д. И. Основы квантовой механики. М., «Высшая школа»,
1961.
27.	Ш в е б е р С, Бете Г., Гофман Ф. Мезоны и поля, т. 1. Пер. под
ред. И. Е. Тамма. М., Изд-во иностр. лит., 1957. А х и е з е р А. И.,
БерестецкийВ. Б. Квантовая электродинамика. М., Физматгиз,
1959; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию
квантованных полей. М., Гостехиздат, 1957.	,
339

28.	Д а в ы д о в А.. С. Теория атомного ядра. М., Физматгиз, 1958.
29.	Бете Г., Солпитер. Э. Квантовая механика атомов с одним и
двумя электронами. Пер. под ред. Я- А. Смородинского. М., Физматгиз,
1960.
30.	Абрикосов А. А., Халатников И. М. «Успехи физ. наук», 65,
551 A958).
31.	QomesL, Walecka I., W e i s s k о р f V. Annals, of Physics, 3, 241
A958).
32.	Ахиезер А. И., ПомеранчукИ. Я- Некоторые вопросы теории
ядра. М.—Л., Гостехиздат, 1950.
¦33. Phillips R. Repts Progr. Phys., 22, 562 A959); G a m m e 1 J., Tha-
Thaler R. Progr. Elementary Particle and Cosmic Ray Physics., 5, 99
A960).
¦34. Строение атомного ядра. Сборник переводов под ред. А. С. Давыдова. М.,
Изд-во иностр. лит., 1959.
35.	JastrowR. Phys. Rev., 81, 165, 636 A951).
36.	Huang K-, Y a n g С Phys. Rev., 105, 367 A957); MartinP., DeDo-
m i n i с i s С Phys. Rev., 105, 1417 A957).
37.	Абрикосов А. А., Халатников И. М. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 33, 1154 A957).
-38. Ваградов Г. М., КиржницД. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38,
1499 A960).
•39. Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы
и плазмоподобных сред. М., Госатомиздат, 1961.
40.	3 е л ь д о в и ч Я- Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38, 1123 A960).
41.	Wigner E. Phil. Trans., 34, 678 A938).
42.	К и р ж н и ц Д. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38, 503 A960).
43.	К и р ж н и ц Д. А. «Тр. Физ. ин-та АН СССР», т. XVI, 3 A961).
44.	Ко м п а н е е ц А. С. «Ж эксперим. и теор. физ.», 25, 540 A953); 26, 153
A954).
45.	X а р т р и Д. Расчеты атомных структур. Пер. под ред. В. А. Фока. М.,
Изд-во иностр. лит., 1960; Фок В. А. Юбилейный сборник АН СССР,
ч. 1, 255 A947).
46.	КиржницД. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 32, 115 A957).
47.	G о 1 d e n S. Phys. Rev., 105, 604 A957).
48.	D i г а с P. A. M. Proc. Cambridge. Philos. Soc, 26, 376 A930).
49.	Г а м б о ш П. Статистическая теория атома и ее применения. М., Изд-во
иностр. лит., 1951.
50.	КиржницД. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 1625 A958).
51.	КомпанеецА. С, Павловский Е. С. «Ж- экспер. и теор. физ.»,
31, 427 A956).
52.	Зельдович Я. Б., Рабинович Е. М. «Ж- экспер. и теор. физ.», 37,
1296 A959).
53.	А 1 f г е d L. Phys. Rev., 121, 1275 A961); В а г a f f G., В о г о w i t z S.
Phys. Rev., 121, 1704 A961); Baraff G. Phys. Rev., 123, 2087 A961);
L e v i n e P., von R о о s О. Phys. Rev., 125, 207 A962).
54.	WeizsackerC. Z. Phys., 96, 431 A935).
55.	КиржницД. А. «Ж- эксперим. и теор. физ..», 34, 1037 A958).
56.	А б р и к о с о в А. А. «Ж- эксперим. и теор. физ»., 39, 1797 A960); 41, 569
A961).
57.	Б о р н М., Кунь Хуан. Динамическая теория кристаллических реше-
решеток. Пер. под ред. И. М. Лифшица. М., Изд-во иностр. лит., 1958.
58.	3 е й т ц Ф. Современная теория твердого тела. Пер. под ред. Г. С. Жданова.
М.—Л., Гостехиздат, 1949.
59.	А бр и ко со в А. А. Вопросы космогонии, т. III. M., Изд-во АН СССР,
1954, стр. 11.
60.	Гандельман Г. М., Павловский Е. С. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 38, 1176 A960); Гандельман Г. М. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 43, 131 A962).
61.	Latter R.'Phys. Rev., 99, 1854 A955).

У„п1йч тП R' М е t г ° Р ° 1 ' s N.. Т е 1 1 е г Е. Phys. Rev., 75, 1561
A949); L a t t e r R. J. Chem. Phys., 24, 280 A956)- С о w an К
Ash ki n J.Phys. Rev., 105, 144 A957).
63.	К и р ж н и ц Д. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 35, 1545 A958).
64.	К а л и т к и н Н. Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38, 1534 A960).
65.	Альтшуллер Л. В., Крупников К. К.. Леденев Б. Н.,
ЖучихинВ.И.,БражникМ. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34,
874 A958).
66.	НемировскийП. Э. Современные модели атомного ядра. М., Госатом-
издат, 1960.
67.	Электромагнитная структура ядер и нуклонов. Сборник переводов под ред.
С. И. Сыроватского. М., Изд-во иностр. лит., 1958; Rev. Mod. Phys., 30,
1 A958).
68.	В е I 1 J., S q u i r e s E. Advances Phys., «0, 39 A961).
69.	В r u e с k n er K-, Gamm e 1 J., К a b is J. Phys. Rev., 118, 1095 A960);
SoodP.,MoszkowskiS. Nucl. Phys., 21, 582 A960); S a 1 p e t e г
E. Annals of Physics, 11, 393 A960); Cameron E. Astrophys. J.,
130, 884 A959); Levinger I., Simmons L. Phys. Rev., 124, 916
A961).
70.	Г о м б а ш П. «Успехи физ. наук», 49, 385 A953); GombasP. Fortschr.
Phys., 5, 159 A957).
71.	Н а г a Y. Progr. Theoret. Phys., 24, 1179 A960).
72.	В а г р а д о в Г. М., КиржницД. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 43,
1301 A962).
73.	Б е т е Г., Б е ч е р Р. Физика ядра, ч. 1. Харьков, Гос. науч.-техн. изд-во
Украины, 1938.
74.	GreenA. Rev. Mod. Phys., 30, 569 A958).
75.	К и р ж н и ц Д. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 585 A959).
76.	G о 1 d s t о n e J. Proc. Roy. Soc, 239, 267 A957).
77.	Г а л и и. к и й В. М. «Ж- эксперим. и теор. физ. », 34, 151 A958).
78.	Н u b b а г d J. Proc. Roy. Soc, 240, 539 A957).
79.	Klein A., P г a n g e R. Phys. Rev., 112, 994, 1008 A958).
80.	G e 1 1 -M a n n M., L о w F. Phys. Rev., 84, 350 A951).
81.	К и р ж н и ц Д. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 35, 1198 A958).
82.	-В е t h e H. Phys. Rev., 103, 1353 A956).
83.	К'и р ж н и ц Д. А. «Оптика и спектроскопия», 5, 485 A958).
84.	Н а г t r e e D., Н а г t r e e W. Proc. Roy. Soc. A, 150, 9 A935).
85.	Н у 1 1 е г a a s E. Z. Phys., 65, 209 A930).
86.	3 е л ь д о в и ч Я- Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 31, 1101 A956).
87.	ЦюнайтисГ. К-, КибартасВ. В., Ю ц и с А. П. «Оптика и спек-
спектроскопия», 1, 5 A956).
88.	Галицкий В. М., М и г д а л А. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34,
139 A957).
89.	Ландау Л. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 30, 1058 A956); 32, 59 A957)
35, 97 A958); Абрикосов А. А. , Халатников И. М. «Успехи
физ. наук», 64, 177 A958).
90.	П и т а е в с к и й Л. П. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 37, 1794 A959).
91.	А м у с ь я М. Я. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 43, 942 A962).
92.	Low F. Phys. Rev., 97, 1392 A955).
93.	Иоффе Б. Л. В сб.: «Вопросы теории сильных и слабых взаимодействий
элементарных частиц». Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1962.
94.	Алямовски ЙВ. Н., КиржницД. А. Труды Второго Всесоюзного
совещания по квантовой химии. «Литовский физический сборник», III,
№ 1—2. Вильнюс, Гос. изд-во полит, и научн. лит. Лит. ССР, 1963.
95.	Sa wad а К- Phys. Rev., 106, 372 A957); Sawada K-, Brueck-
ner K-, Fukuda N.. В г о u t R. Phys. Rev., 108, 507 A957).
96.	Б о н ч - Б р у е в и ч В. Л. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 31, 522 A956).
97.	К а 1 1 е n G. Det Kgl. Danske, Mat.-fys., 27, 12 A953); Lehmann H.
Nuovo cimento, 11, 342 A954).
341

98.	Лаврентьев М. А.. Шабат Б. В. Методы теории функций комплекс-
комплексного переменного. М.—Л., Гостехиздат, 1951.
99.	К и р ж н и ц Д. А., Ф а й н б е р г В. Я., Фрадкин Е. С. «Ж- экспе-
рим. и теор. физ.», 38, 239 A960).
100.	Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. Пер. под ред. А. А. Абри-
Абрикосова М., Изд-во иностр. лит., 1956.
101.	А г р а н о в и ч В. М., Гинзбург В. Л. «Успехи физ. наук», 76, 643
A962); 77, 663 A962).
102.	Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А., С и л и н В. П. «Физика твердого
тела», III, 1835 A961).
103.	Л и ф ш и ц И. М., Косевич A.M. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 29,
730 A955).
104.	П е к а р С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. М. — Л.,
Гостехиздат, 1951.
105.	Мигдал А. Б. В сб.: «Вопросы теории сильных и слабых взаимодей-
взаимодействий». Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1962.
106.	Hugenholtz N.,Van Hove L. Physica, 24, 363 A958).
107.	К а р п м а н В. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 39, 185 (I960).
108.	Горьков Л. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 734 A958).
109.	Мигдал А. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 32, 399 A957).
ПО. F г 6 h I i с h H. Proc. Roy. Soc. A, 215, 291 A952).
111.	Бонч-Бруевич В. Л. «Ж- эксперим. и теор. физ»., 130, 343 A956).
112.	М и г д а л А. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 1438 A958).
113.	Толмачев В. В. Труды Второго Всесоюзного совещания по квантовой
химии. «Литовский физический сборник», III, № 1—2. Вильнюс, Гос.
изд-во полит, и научн. лит. Лит. ССР, 1963.
114.	Климонтович Ю. Л., С и л и н В. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 23,
151 A952); С и л и н В. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 23, 641 A952).
115.	Г и н з б у р г В. Л. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 1593 A958).
116.	Кулик И. О. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 40, 1344 A961).
117.	А м у с ь я М. Я. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 41, 429 A961); 43, 287 A962).
118.	G е 1 1-М а п п М., В г и е с k n e r К- Phys. Rev., 106, 364 A957).
119.	G о m b a s P. Acta phys. Akad. scient. hung., 13, 233 A961).
120.	Lewis H. Phys. Rev., Ill, 1554 A958).
121.	А м б а р ц у м я н В. А., С а а к я н Г. С. «Астрон. ж.», 37, 193 A960).
122.	В 1 о chF. Z. Phys., 81, 363 A933); Фей нбер г Е Л. «Ж-эксперим. и теор.
физ.», 34, 1125 A958); Собельман И. И., Фейнберг Е. Л.
«Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 494 A958).
123.	Fox R. Advances in Mass Spectrometry. Perg. Press, London, 1959; J.
Chem. Phys., 33, 200 A960).
124.	АлямовскийВ. Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 42, 1536 A962).
125.	Л а н д а у Л. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 262 A958).
126.	Боголюбов Н. Н., Тябликов СВ. «Докл. АН СССР», 126, 53
A959).
127.	Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е.
«Ж- эксперим. и теор. физ.», 36, 900 A959).
128.	McDougall D., StonerE. Phil. Trans., 237, 67 A938).
129.	Matzubara Т. Progr. Theoret. Phys., 14, 351 A955).
130.	Фрадкин Е. С. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 36, 951 A959).
131.	В е д е н о в А. А., Л а р к и н А. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 36, 1133
A959).
132.	Халатников И. М. «Докл. АН СССР», 87, 539 A952).
133.	Lippman В., SchwingerJ. Phys. Rev., 79, 469 A950).
134.	FeynmanR. Phys. Rev., 84, 395 A951).
135.	В 1 о с h F. Z. Phys., 74, 295 A932).
136.	Glauber R. Phys. Rev., 84, 395 A951).
137.	Fuiiwara I. Progr. Theoret. Phys., 7, 433 A952); Tani S. Progr.
Theoret. Phys., 11, 190 A954).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение		3
Глава I. Необходимые сведения из квантовой механики		11
§ 1. Уравнение Шредингера и классификация систем многих
частиц .'		—
§ 2. Основные сведения из теории представлений		22
§ 3. Представление чисел заполнения		27
Глава II. Системы многих частиц в приближении Хартри — Фока ...	36
§ 4. Приближение Хартри — Фока 		—
§ 5. Приближение Томаса — Ферми 	•	47
§ 6. Приложения к теории сильносжатого вещества		58
§ 7. Приложения к теории атомного ядра		68
Глава III. Теория возмущений и диаграммная техника		83
§ 8. Дырочный формализм 		—
§ 9. Матрица рассеяния		89
§ 10. Свертки операторов 		100
§ 11. Графическое представление элементов матрицы рассеяния	106
§ 12. Процессы низшего порядка		113
§ 13. Правила Фейнмана 		121
§ 14. Общая структура матрицы рассеяния		126
§ 15. Матрица рассеяния и физические величины		133
§ 16. Отбор главных диаграмм	"		145
§ 17. Приложения к теории двухэлектронных атомов		158
§ 18. Приложения к теории атомного ядра		163
Глава IV. Метод функций Грина в квантовой механике		169
§ 19. Одночастичная функция Грина		—
§ 20. Парная функция Грина 		175
§ 21. Возбужденные состояния системы (приближение Хартри —
Фока) 		188
§ 22. Возбужденные состояния системы (учет корреляционного
взаимодействия) 		'96
§ 23. Спектральные представления функций Грина		213
§ 24. Квазичастицы 		223
§ 25. Уравнения для функций Грина		240
§ 26. Теория разреженных систем многих частиц		249
§ 27. Теория сжатых систем многих частиц		258
§ 28. Приложения к теории коллективных колебаний		274
Глава V. Метод функций Грина в квантовой статистике		283
§ 29. Общие соотношения 		—
§ 30. Приближение Хартри — Фока в квантовой статистике ....	291
343

§ 31. Термодинамическая теория возмущений		299
§ 32. Метод функций Грина в квантовой статистике		307
§ 33. Приложения к теории плазмы		312
Приложения		318
A.	Вычисление средних значений операторов		—
Б. Основные формулы операторного исчисления		323
B.	Интегралы от сингулярных функций		330
Л]и тература 		339

Стр.
42
67
69
163
207
214
257
312
336
СПИСОК ЗАМЕЧЕННЫХ
Строка или
формула *
6-я снизу.
9-я сверху
12-я »
Формула
A8. 2)
Формула
B2. 27)
6-я снизу
4-я сверху
Ю'-я снизу
Рис. 70:
левый
правый
Напечатано
sp{U,-
3 I Z \'/2
\a0Q )
энергия
р
... =J ...
0
...=2Д„...
... ехр.(»Д?я-«Д'
... X JdV ....
Дайсона, имеющего
1/ф(+)
ОПЕЧАТОК
Следует читать
/ Z у/2
3 UoC /
энергии
р
0
... . = S .. .
. . . exp \i&Entx),
. . . X J d3q' . . .
Дайсона, имеющему