А. П. КОВАЛЕВ

А.П. Ковалев
ЧУДЕСА И ТАЙНЫ
В МИРЕ ЧИСЕЛ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ДОПОЛНЕННОЕ
Санкт-Петербург
Издательский Дом «ПапиРус*
2006
УДК 511-512
ББК 22.1
К 56
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук И. Ю. Тетерин
кандидат военно-морских наук, доцент А.В. Галичекий
к 56
Чудеса и тайны в мире чисел. А. П. Ковалев, кандидат военно-
морских наук, доцент
Рассматриваются чудесные свойства чисел, их взаимодействия,
математические неожиданности. Читатель обнаруживает, что в
мире чисел у каждого числа своя неповторимая «жизнь». Предла-
гаются некоторые упрощенные математические преобразования.
ISBN 5-87472-247-5
СА П. Ковалев, 2006
© ЗАО ИД «ПапиРус». 2006
Предисловие
Основной предмет изучения в книге - число. Понятие числа
является не только одним из важнейших в математике, но и
весьма сложным. Арифметика, алгебра уже содержат, как в заро-
дыше, связанные с числом проблемы. Операции над числом и
вытекающие из них замечательные закономерности в строении
результата, в характере его изменения при изменении самого
числа - еше один предмет исследования в книге.
Широта охвата поставленных автором вопросов заставляет чи-
тателя задуматься над возникающими в этой связи закономерно-
стями и любопытными эффектами, не известными даже профес-
сионалу-математику. Возможно, прочитавший книгу студент,
учитель или научный работник решит, что теперь он знает эле-
ментарную математику хуже, чем до чтения книги. Последнее
высказывание может показаться излишне категоричным, но ведь
не задумываться над вопросом - это вовсе не то же самое, что
знать на него ответ. Именно поэтому польза от вдумчивого чте-
ния этой книги очень большая.
Многие из решенных в книге задач кажутся совсем простыми,
но это вовсе не означает, что их решение известно школьнику
или студенту, пополняющему знания, так сказать, вширь, а не в
глубь. Вопросы, затронутые в книге, относятся именно к тем
проблемам, которые курс средней школы тщательно обходит.
Последние части книги являются несколько более сложными,
чем первые, но эта сложность компенсируется весьма глубокими
и порой неожиданными результатами. Один из самых замеча-
тельных результатов — простое преобразование суммы членов
геометрической прогрессии с помощью так называемой услов-
ной единицы. Другой, не менее интересный результат - анализ
«круговых* арифметических прогрессий с помощью табличных
схем.
Изложение отличается простотой и доходчивостью. Оно сопро-
вождается множеством задач и примеров, облегчающих активное
усвоение материала.
Книга рассчитана в первую очередь на учителей математики,
студентов педагогических институтов и любознательных учащих-
ся старших классов. Ее можно рекомендовать всем любителям
математики, заинтересованным в углублении знаний в той части
математики, которую называют элементарной. Они узнают из
книги многое о свойствах чисел, о которых ранее и не подозре-
вали.
И. Тетерин,
кандидат физ.-мат. наук
3
Введение
Чудеса и тайны в мире чисел! Они открываются уже в течение
многих веков, с древнейших времен.
С числами мы обращаемся постоянно, к ним привыкли и по-
рой не замечаем их удивительных особенностей. Мир чисел по-
прежнему полон чудес и тайн. Числа хранят свои тайны.
Сейчас мы, доверив большинство расчетов электронике, теряем
даже то, что знали о числах. В школах ученики 1-го класса
больше знакомы с алгеброй, чем с арифметикой, ее логическими
задачами. А жаль! Логическое мышление нужно каждому.
Математика - наука о количественных отношениях и про-
странственных формах действительного мира.
Математику можно сравнить с метагалактикой, объединяющей
галактики и созвездия: здесь и арифметика (начало начал), ал-
гебра, геометрия (планиметрия), стереометрия, аналитическая
геометрия на плоскости и в пространстве, дифференциальная
геометрия плоских и пространственных кривых и поверхностей;
прямолинейная (гониометрия), сферическая и гиперболическая
тригонометрия; дифференциальное, интегральное, тензерное и
векторное исчисления; ряды, комплексные числа; теория веро-
ятности и ошибок; эмпирические формулы - приближенные
изображения функциональных зависимостей, заданных таблицей
или графиком; теория множеств и статистика. Вот то, примерно,
что принято называть математикой.
В приведенном перечне нет еще одной составляющей - «мир
чисел», без которого математика мертва. В любых математиче-
ских преобразованиях обязательно участвуют числа.
Роль математики огромна. Математические преобразования и
расчеты лежат в основе научных исследований и открытий, в
основе всех видов строительного и промышленного произ-
водства. Все, что построено на земле, что перемещается по зем-
ле, — на воде и под водой, в воздухе и в космосе — все создано
на основе предварительных расчетов размера, прочности, фор-
мы, устойчивости и других параметров строений и предметов. Во
всех случаях расчеты, выполненные предварительно в символи-
ческой форме, обязательно доводятся до числовых значений. .
Математика — это чудо из чудес. Многие ее тайны раскрыты,
оформлены в виде уравнений, равенств, таблиц и графиков. Но
многое сше неизвестно.
4
Среди чисел есть уникальные чудесные «создания». Вот три из
них - числа: «л», «е» и «г»:
я- 4(1-,Л+75-,/7+'/,-...) = 3,141592...,
е = (1+7п)" = 1+7,,+ 78+ 7,,+... = 2,71828...,
число i — мнимая единица i = V-T.
Эти числа связаны между собой равенствами (по формуле Эй-
лера) e“=cos х+/ sin х
=-1,
Ля=+1,
где к — целое число.
Числа я и е имеют огромное значение и часто появляются в
различных математических преобразованиях, число / — непре-
менная участница в комплексных числах.
В 2000 году в Токийском университете за 400 часов работы
сверхмощного компьютера по программе Канэда число я опре-
делено до 1,2411 • 1012 знака после запятой. Установлено, что это
число «нормальное», т.е. в нем нет ни одной циклической по-
следовательности [16).
В течение многих лет журнал «Наука и жизнь» включал разде-
лы: «Математические досуги» и «Математические неожиданно-
сти», в которых любители математики делились своими откры-
тиями в мире чисел. Автор этих строк в течение более 50 лет со-
бирал всякие математические чудеса и пополнил их число. За-
нимаясь с числами, всегда откроется что-то неожиданное, чу-
десное.
В предлагаемой Вашему вниманию работе сделана попытка со-
брать часть уже известных чудес и по возможности показать то,
что автору, во всяком случае, нигде не удавалось обнаружить.
Книга рассчитана не только на любознательных читателей. Хо-
телось бы надеяться, что она найдет отклик и у тех, кто до сих
пор не увлекался математикой и ее неотделимой частью - ми-
ром чисел.
5
Условные сокращения и обозначения
ап - арифметическая прогрессия
гп — геометрическая прогрессия
нрч — натуральный ряд чисел
ксц ~ конечная сумма цифр
к(а) — конечная сумма цифр числа а
сц - сумма цифр
чп -числовое поле
чч - четное число
нч - нечетное число
сч — составное число
емч — смешанное число
пч — простое число
ечч - составное четное число
енч ~ составное нечетное число
а(= к). а(=к) или о(к) - число а кратно к
а(* к) или О(,к) - число а не кратно к
а(= Ь)к - числа а и Ь имеют обший множитель к
...а — многозначное число с последней цифрой а
(а), а...а — число, все цифры или числа которого равны
|о] - сумма чисел
а - знак сравнения или тождества
=> — знак отношения к ...
1. Слово о цифрах
В подавляющем числе случаев мы пользуемся арабскими циф-
рами - знаками, каждый из которых определяет счет в пределах
от 0 до 9. Цифры, являясь сами числами, используются для за-
писи любых чисел.
Всего цифр 10 - это: 0, 1. 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8 и 9.
В отдельных случаях используются римские цифры: 1, II. III.
IV, V, VI. VII. VIII, IX. Х( 10), ХХ(20), ХХХ(ЗО), XL(40), L(50),
С(ЮО), 0(500), М(1000).
Существуют и буквенные обозначения цифр.
Каждая цифра имеет свои особенности.
Единица (1) — первая цифра и первое нечетное число, начало
любого счета. В своей числовой жизни эта цифра редко называ-
ется своим официальным названием, у нес много названий-
псевдонимов. и при этом она. как хамелеон, меняет свой род в
угоду предмету, явлению. Далеко за примерами холить не надо:
один стул, но одна табуретка и одно окно. Другие названия: пер-
вый (-ая, -ое), единственный (-ая, -ое) и т. д.
Единица выделена в отдельное подмножество - она не причис-
ляется ни к простым, ни к составным числам [ 12|. Составным
числом она не может быть. т.к. ее нельзя разложить на множи-
тели, а, в отличие от простых чисел, она обладает уникальными
свойствами, каких нет у других чисел.
Единица — цифра в общем спокойная, можно сказать, без-
вредная: выступая в роли множителя, делителя, показателя сте-
пени и корня, основное число она не меняет:
axl =а: I =а' = у/a = а.
Только для единицы можно написать равенство:
1 = 1 • l=ln=l:l=tf[,
логарифм единицы при любом основании равен нолю
log „ 1 = lg 1 = In I = 0.
Единица в роли множителя является непременным участником
в определении любого числа; гордится тем. что любое число по-
казывает, сколько единиц сосчитано; боится действия вычита-
ния - если вычитаемое число больше 1. то разность оказывается
уже в другом мире, мире отрицательных чисел.
В компании с другими числами единица становится сильной:
если, например, на единицу увеличить множитель, то произве-
7
дение сразу увеличится на величину множимого (100 • 2 = 200,
но 100 (2 + 1) = 300).
Большое число можно записывать с помощью только единиц,
приняв за основание число из нескольких единиц, а показатель
степени записывать несколькими единицами, при этом должно
быть использовано не менее 4-х единиц, например:
11" = 285 301 670 611.
Вот такова малышка-единичка.
Есть еще одна единица. Пока она не получила вида на житель-
ство, но это дело времени. Эту единицу предлагается назвать
«условной единицей». Она равна дроби, у которой числитель и
знаменатель равны друг другу, например:
, 5 a c + d
1 = - = — =-- и т. д.
5 a c + d
В каждом случае значения числителя и знаменателя принима-
ются такими, чтобы упростить выполняемое преобразование,
например:
2 I
_25°.б	25 2	(252)1'2 _ 51’2	0,7
Х 45	50 5	50 5	5° ’	' ’
Единица как множитель обычно не записывается кроме случа-
ев, когда это действительно необходимо.
Двойка (2) — вторая по величине цифра и число, единственное
простое четное число, имеет два множителя: 2=1*2.
В числовой жизни двойка чаше называется как два, две. при
счете — второй (-ая, -ое). двое, иногда — пара и лаже — дуплет
(вместо «двойной»).
В действии деления двойка делит любое число на две равные
части.
Двойка обладает чудесными, неповторимыми свойствами: две
двойки при сложении, умножении и возведении в квадрат дают
один и тот же результат:
2 + 2 = 2 • 2 = 22 = 4.
Если число оканчивается цифрой 2, то его степень с показате-
лем 4n + I, где п = 0. I, 2, ..., также оканчивается цифрой 2.
...24п> 1 = ...2.
Двойка имеет собственный квадратный корень (/~). его
показатель - 2 - не указывается.
8
В компании с другими числами двойка действует так же, как и
единица, но в два раза сильнее.
Наибольшее число, записанное двумя двойками, равно 22.
Тройка (3) - третья по величине цифра — число, второе про-
стое и второе нечетное число. Имеет два множителя: 3=1’3.
В числах и при счете тройка называется как три, трое, третий
(-ья. -ье).
Если число оканчивается цифрой 3, то его степень с показате-
лем 4д + 1, где п = 0, 1.2 ..., также оканчивается цифрой 3:
...З4"*1 = ...3.
Наибольшее число, записанное тремя тройками, - 3” - огром-
но.
Рассмотренные три числа - I, 2 и 3 - образуют единственную
среди чисел группу, в которой два простых числа расположены
рядом.
Четверка (4) — четвертая по величине цифра — число, второе
четное и первое составное число, имеющее три множителя:
4 = 1 • 2 • 2.
В числах и при счете четверка называется так: четыре, четвер-
тый (-ая, -ое), четверо.
Если число оканчивается цифрой 4, то его степень с показате-
лем 2п + 1. где п = 0, 1,2.также оканчивается цифрой 4:
...42"*1 =...4.
Наибольшее число, записанное 4 четверками, - 44 —, огром-
но (6 1015’ знаков).
Пятерка (5) - пятая по величине цифра - число и третье про-
стое число. В числах и при счете пятерка называется как пять.
Имеет два множителя: 5 = 1’5.
Эта цифра обладает чудесной особенностью: произведение и
любая степень чисел, оканчивающихся цифрой 5, также оканчи-
вается цифрой 5. Любое число, оканчивающееся нолем или
цифрой 5, кратно 5. Другой такой цифры нет.
Шестерка (6) — шестая по величине цифра, число. Третье чет-
ное и второе составное, имеющее три множителя: 6=1 -2’3.
В числах и при счете шестерка называется как шесть, шестой
(-ая. -ое). Эта цифра (как и пятерка) обладает чудесными свой-
ствами: произведение и любая степень чисел, оканчивающихся
цифрой 6. также оканчивается цифрой 6:
..6 „6 = ..6; ...6’ = ...6.
9
Семерка (7) - седьмая по величине цифра, число. Четвертое
простое число. В числах и при счете семерка называется как
семь, седьмой (-ая, -ос), семеро. Имеет два множителя: 7=1 • 7.
Если число оканчивается цифрой 7, то его степень с показате-
лем 4п + 1, где п = 0, 1,2, .... также оканчивается цифрой 7.
Восьмерка (8) - восьмая по величине цифра, число. Четвертое
четное и третье составное число, имеет четыре множителя:
8=1 • 2 • 2 • 2. В числах и при счете восьмерка называется
как: восемь, восьмой (-ая, -ое), восьмеро.
Если число оканчивается цифрой 8, то его степень с показате-
лем 4л + 1, где л = 0. 1, 2, также оканчивается цифрой 8:
...84"*1 =...8.
Девятка (9) - девятая по величине цифра, число. Пятое нечет-
ное и первое составное нечетное число, имеет три множителя:
9 = I 3 • 3. В числах и при счете девятка называется как девять,
девятый (-ая, -ое) и девятка.
Если число оканчивается цифрой 9. то его степень с показате-
лем 2л + 1, где л = 0, 1,2, также оканчивается цифрой 9:
...92"*1 =...9.
Цифра 9 обладает многими чудесными свойствами, которые
описаны дальше.
Ноль (0) - десятая цифра, число, означающее, что при счете
ничего не получено: предметов, явлений нет.
На числовой оси ноль разделяет два нечетных числа: +1 и -1.
Любое число, оканчивающееся нолем, делится на 2 без остатка,
поэтому ноль — четная цифра, число.
При записи многозначных чисел ноль — непременный замести-
тель отсутствующей цифры и тем самым сохраняющий знач-
ность числа.
При формировании чисел ноль может играть роль созидателя и
в равной степени разрушителя. Каждый ноль, приписанный к
целому числу справа, увеличивает его в 10 раз, т. е. действует
как множитель 10я, и при этом произведение всегда будет чет-
ным числом.
Ноль, приписанный к целому числу слева, действия не имеет,
но только до тех пор. пока он не получит помощника — запятую.
Ноль с запятой слева от числа сразу превращает его в часть еди-
ницы - десятичную дробь. Между нолем с запятой и значимыми
цифрами могут быть ноли, каждый из которых уменьшает деся-
тичную дробь в 10 раз, т. е. действует как множитель 10'".
10
Если любое число умножить на ноль, то произведение будет
равно нолю, но если число, даже самое маленькое, разделить на
ноль, то в частном получится «бесконечность».
Любое число, возведенное в степень, равную нолю, равно еди-
нице.
а,,=а’’=4 = 1.
а
Ноль, находясь на границе двух «миров» — мира положитель-
ных и мира отрицательных чисел, не охраняет эту границу и сам
способен перемещать числа из одного мира в другой, например
О - (+5) = -5,
О - (-5) = +5.
Ноль, характеризующий собой «пустое место», способен на та-
кие чудеса.
Предлагается «условный ноль» в виде разности равных величин
вида
0 = 3 — 3 = а — а и т.д.
Применение такого ноля в отдельных случаях позволяет значи-
тельно упростить равенство, например:
х = ап‘-а"™ =а'™	=а"а"<,-|,-ап°-,) =(ап -\)ап^\
Используя условный ноль, легко определить корни квадратного
уравнения: х‘+ах+Ь=0.
_г+2.г £ +(£ )2-( £ )2+6=(х!+2х- £ +(£ )2J - [(£ )2-Л]=0,
2	2	2	2	2	2
(r4-£)2=(£)M,	x+£ = ,k^)2-b,	х=- — ±.1(—)2-Ь.
2	2	2 V 2	2 V 2
2.	Слово о числах
2.1.	Общие положения
Чисм — величина категории количества, с помощью которой
выполняется счет - определяются количественная характеристи-
ка предметов, явлений, результат счета предметов или отвлечен-
ное отношение какой-либо величины к другой величине того же
рода, принятой за единицу (БЭС, т. 29).
Во всех случаях счета, когда можно сосчитать, следует пользо-
ваться словом «число», а слово «количество» использовать, если
оно является частью названия (например, количество движения)
II
и при относительной характеристике величины (например, ко-
личество вещества). Не рекомендуется говорить: «большое коли-
чество* или «малое количество* — нужно пользоваться словами
«много* или «мало*. Например, вместо «в лесу большое количе-
ство деревьев» следует сказать «в лесу много деревьев».
Графическая форма чисел может быть цифровой, буквенно-
цифровой и буквенной.
При цифровой форме число записывается цифрами. Буквенно-
цифровая форма применяется при записи порядковых числи-
тельных, например: 5-й (пятый), 5-го (пятого), а также при за-
писи больших чисел - тысяч, миллионов, например: 5 тыс. При
буквенной форме число записывается словом, например: пять
или пятый.
Цифровая форма записи чисел с помощью арабских цифр самая
распространенная. Число цифр в числе может быть любым.
Мир чисел бесконечен. Все числа делятся на действительные и
мнимые.
Действительное число — это положительное, целое простое или
составное, смешанное или дробное число. Оно определяет ре-
зультат счета единичных объектов, событий, явлений, а также,
сколько единиц или частей единицы получено в результате сче-
та.
Действительное целое число может быть четным и нечетным.
Четное число делится на 2 без остатка, у него последняя цифра
кратна 2 или 0.
Нечетное число при делении на 2 дает остаток 1.
Натуральные числа — действительные целые числа, называемые
в строго последовательном порядке: один, два и т.д.
Положительное число — это число, расположенное на числовой
оси правее ноля. Такое число обычно записывается без знака, но
при необходимости со знаком плюс (+). Положительное число
есть действительное число.
Целое число содержит целое число единиц. Целые числа могут
образовывать последовательности.
Простое число — это число, которое можно представить как
произведение только двух множителей: единицы и самого числа.
Простые числа последовательности не образуют.
Составное число можно представить как произведение не менее
3 множителей (включая и единицу). Определение наименьших
множителей составного числа называется разложением числа на
множители. Составные числа также не образуют последователь-
12
пости. В общей последовательности чисел составные числа раз-
делены простыми числами на неравные группы. Большинство
целых чисел — это составные числа.
Смешанное число содержит целое число единиц и часть едини-
цы, например: 5.03; 4’/4.
Дробное число равно части единицы, оно может быть записано в
виде;
I)	простой дроби двумя числами, разделенными горизонтальной
или наклонной линией. Нижнее число — знаменатель - указы-
вает. на сколько частей разделена единица, а верхнее — числи-
1сль сколько частей взято, например:
2 или ’/$,
5
такая дробь читается как «три пятых»;
2)	десятичной дроби (частный случай простой дроби), у которой
щаменатель кратен 10л. при этом числитель записывается после
ноля с запятой и число его знаков должно быть равно п (нсдо-
стающие знаки записываются нолями после запятой), например:
0.03. Такая дробь читается как и простая - три сотых.
Десятичная дробь может быть конечной (точной частью едини-
цы) и бесконечно приближенной частью единицы или периоди-
ческой. у которой число - период - до бесконечности повторя-
С1ся с постоянной последовательностью. Точность записанной
десятичной дроби - ее тайна.
Рациональное число — это целое или смешанное число, у кото-
рою дробная чаегь — точная часть единицы.
Иррациональное число — смешанное или дробное число, у кото-
рою дробная часть — не точная часть единицы. Такое число за-
писывается с выбранной степенью точности, при этом соблюда-
ются правила округления: за оставленным знаком цифра <5 от-
брасывается; цифра >5 также отбрасывается, но при этом остав-
ляемый знак увеличивается на единицу; цифра, равная 5. также
отбрасывается, но при этом нечетный оставляемый знак увели-
чивается на единицу.
Приближенное число — это число, которое заменяет точное, но
ней iBCCTHoe число.
Черная цифра — в приближенном числе - это цифра, погреш-
ность которой не больше половины единицы следующего разря-
да
Сомнительная цифра в приближенном числе — это цифра, сле-
дующая за последней верной цифрой.
13
Значимые цифры — это цифры, начиная с первой слева, отлич-
ной от ноля, до последней верной цифры. Ноль в конце числа
может быть значимым, если он определяет точное соотношение,
например, 10 книг, и незначимым, если он заменяет неизвестное
число.
Приближенное число следует записывать так, чтобы все циф-
ры, кроме последней, были верными.
Кратное число — число, которое делится на другое число без
остатка.
Мнимое число записывается в виде произведения действитель-
ного числа и мнимой единицы, например:
2| = 2-ЛТ = -Л4.
Комплексное число - это сумма действительного и мнимого чи-
сел, например: ai + b. Комплексные числа используются в ал-
гебре, при анализе и некоторых геометрических и физических
расчетах.
Отрицательные числа — числа, расположенные на числовой оси
левее ноля, они всегда записываются со знаком минус (—).
Вместе положительные и отрицательные числа называются от-
носительными числами.
Из приведенного перечня следует, что слово «число» без до-
полнительной характеристики — это еше тайна.
При цифровой форме записи чисел используются знаки пре-
пинания: точка и запятая.
Точка, поставленная возле цифры внизу, заменяет пробел и де-
лит число, записанное многими цифрами, на группы по три
цифры в группе справа налево - это облегчает прочтение всего
числа, например: число 17813756 трудно прочитать, но его легко
прочесть в записи 17.813.756. Точка, поставленная на уровне по-
ловины высоты цифр. - это знак умножения, например:
7 - 5 в 7 х 5.
В Англии поставленная точка на уровне половины высоты
цифр, а в США — внизу равносильна запятой. В программиро-
вании запятая часто заменяется точкой.
Любое число можно записать в виде произведения трех множи-
телей
о=2"-5"с,	(2.1.1)
где пит — любые числа; с - нч (* 5) или с (* 10).
14
Примеры: 24-23-5°-3;	33Л=|5Л=2-2-5'-3;	О,15=,5/ню=2,-5|-3;
1^2 ^2|,л5"-3; 37з=|ОЛ=2-5-3-1.
2.2.	Цифры в числах
Цифры - это однозначные числа. С помошью цифр записыва-
ются числа любой значности. Каждая цифра в числе имеет оп-
(♦елслсннос значение.
Числа состоят из частей: единиц, десятков, сотен, тысяч и т. д.
Част числа могут быть полными и неполными. Число полных
десятков равно первоначальному числу без последней цифры,
сотен без последних двух цифр и т. д.
Каждая часть числа — это своего рола «числовое поле» (ял), в
сю пределах «живут» целые и смешанные числа, каждое из ко-
горых больше числа на левой границе и меньше числа на правой
границе чп. Наименьший числовой размер чп — единица, на-
пример чп (3-4), границы больших чп определяются числами,
кратными 10п.
Каждая часть числа в обшей последовательности чисел имеет
спой порядковый номер.
Число целых единиц и его порядковый номер в общей после-
ловятсльности чисел равны самому числу, например: 125 содер-
жит 125 единиц, и это 125-е число в последовательности чисел.
Номер частей числа (десятков, сотен...), включающих более
мелкие составляющие, на 1 больше их числа. Например, в чис-
лах II, 12, ..., 18. 19 имеется одна полная десятка, но все эти
числа во 2-й десятке, которая заканчивается числом 20. 326 —
но число с порядковым номером 326, в нем 32 полных десятки
и 6 единиц следующей десятки, 3 полных сотни и 26 единиц
следующей сотни, поэтому 326 — число 33-й десятки и 4-й сотни.
I ели число оканчивается нолями, то оно замыкает соответст-
вующие десятки, сотни... Например, 200 - последнее число 20-й
к-сягки и последнее число 2-й сотни, но 201 — это уже число
21-й десятки и 3-й сотни.
Число можно определить его значением или номером, напри-
мер 5 (пять) - это уже сосчитано, но 5-й - этот счет еще не за-
вершен. Номер числа как бы предполагает незаконченность сче-
ц|. наличие в нем более мелких составляющих, например, сме-
iiiniiHoe число 4,1 является частью 5-й единицы, его номер 5-й.
15
В отдельных случаях числа определяются только их номером.
Например, запись латы — 27.05.2001 — означает 27-й день 5-го
месяца 2001-го года. Каждое число в этой записи состоит из бо-
лее мелких частей: день — из часов, месяц — из дней, год — из
месяцев. Указанная дата определяет: от начала нашего летоис-
числения прошло полных 2000 лет, 4 месяца и 26 дней.
2000 год закончился в 24 часа 31 декабря, и с последующей се-
кунды начался 2001-й год - первый год 21-го столетия и 3-го
тысячелетия. 21-с столетие и 3-е тысячелетие начались только 1-го
января 2001 года, а 2000-й стал 2000 (двумя тысячами) лет от
начала летоисчисления.
Чудесная особенность: в течение 1000 лет у последнего года 2-го
тысячелетия и 999 лет 3-го тысячелетия упоминание о годе будет
начинаться словами: «Две тысячи ...» Вот таково чудо в мире
чисел!
Еще один пример отставания числа от его номера. Человек от-
метил 50-летний юбилей, и ему справедливо говорят, что ему
«пошел шестой десяток», однако, отмечая его возраст в течение
ближайших 10 лет будут писать 50, 51...... 59	и только после
60-летнего юбилея цифра 5 заменится цифрой 6, но это будет
уже в 7-м десятке лет.
Так как же располагаются цифры в десятках, сотнях и т. д. чи-
сел?
Распределение цифр по десяткам l-й сотни
Таблица
Десятки	Ци<					>ры					Итого
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	
1 (1-10)	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1	11
2 (11-20)	10	2	1	1	1	1	1	1	1	1	20
3 (21-30)	1	10	2	1	1	1	1	1	1	1	20
4 (31-40)	1	1	10	2	1	1	1	1	1	1	20
5(41-50)	1	1	1	10	2	1	1	1	1	1	20
6 (51-60)	1	1	1	1	10	2	1	1	1	1	20
7 (61-70)	1	1	1	1	1	10	2	1	1	1	20	1
8 (71-S0)	1	1	1	1	1	1	10	2	1	1	20
9 (81-90)	1	1	1	1	1	1	1	10	2	1	20
10(91-100)	2	1	1	1	1	1	1	1	10	2	21
Всего	21	20	20	20	20	20	20	20	20	11	i <	]
В тиблицс видно, что в каждом десятке больше всего цифр на
единицу меньше номера десятка, по две цифры — равной по-
i леднсй цифре номера десятка, а остальные цифры в десятках в
спине i венном числе. Все числа 1-й сотни записываются 192
цифрами. В последующих сотнях в каждом десятке 30 цифр —
увеличение за счет номера сотни и большего числа нолей.
Распределение цифр в сотни:
<>i 101 ло 200 - единиц 119, двоек 21, остальных цифр по 20;
<н 201 до 300 - двоек 119, троек 21. остальных цифр по 20;
ot 101 до 4<М) - троек 119, четверок 21. остальных цифр по 20;
in 401 до 500 - четверок 119, пятерок 21, остальных цифр по20;
о! 501 до 600 - пятерок 119, шестерок 21, остальных цифр по 20;
in 601 до 700 - шестерок 119. семерок 21, остальных цифр по 20;
hi 701 до SOO - семерок 119, восьмерок 21. остальных цифр по 20;
in К01 до 900 - восьмерок 119. девяток 21, остальных цифр по 20;
|»| 401 до 1000 девяток 118, нолей и единиц по 21, остальных цифр по 20.
В сотнях со 2-й по 9-ю по 300 цифр, в 10-й сотне — 301 цифра.
Гаким образом, числа 1-й тысячи записываются 2892 цифрами,
при ном: единиц 301, двоек — 300, троек - 300, четверок - 300,
нягерок 300, шестерок - 300, семерок 300. восьмерок - 300,
девяток 299 и нолей — 192.
Приведенные данные показывают, что, кроме нолей, цифры в
•пи 1.1.x до 1000 встречаются одинаково часто, хотя в каждой сот-
не снос распределение цифр в зависимости от номера сотни.
В тысячах сохраняется распределение цифр по десяткам и сот-
ням с учетом влияния четвертого знака чисел.
В десятках, сотнях и т. д. l-й тысячи чисел больше всего цифр,
нс личина которых на единицу меньше номера десятка, сотни и
। д Например, в 3-м десятке и 3-й сотне больше всего двоек; в
7 м десятке и 7-й сотне больше всего шестерок.
В каждом чп число цифр, образующих целые и смешанные
чисна, бесконечно.
I inc особенность чп: его линейный размер может быть огромен,
например в чп (3-4) размещается число я. Если бы удалось запи-
। ап. его с рассчитанным числом цифр (см. введение), то расстоя-
ние между числами 3 и 4 превысило бы 1,2 млн. км. Вот такое
чудо можно встретить в мире чисел.
2.3.	Сулема цифр числа
Вычислить сумму цифр (сц) целого числа просто, сц обычно
используется для определения делимости числа на 3 и 9: если сц
16
17
кратна трем, то число делится на 3. если кратна 9, то число де-
лится на 3 и 9. По сц можно определить остаток от деления чис-
ла на 3 или 9 и определить, как следует изменить число, чтобы
оно разделилось без остатка на 3 или 9.
Сумма цифр - величина переменная и повторяющаяся. В каждой
группе я-значных чисел сц ступенчато увеличивается от 1 до 9п.
Например, среди трехзначных чисел наибольшая сц = 27; пяти-
значных - 45 и т. д. Сц > 100 может быть только у 12-значных и
бблыпих чисел.
2.4.	Конечная цифра числа
Чудеса с конечной цифрой числа происходят при действии ум-
ножения: конечная цифра числа при умножении на множители,
последовательно увеличивающиеся на единицу, меняется и
вновь появляется в строгом соответствии со своим первоначаль-
ным значением.
Изменение и повторяемость конечной цифры в
произведении в зависимости от множителей.
Таблица
Множимое число	Последняя цифра множителя
	123456789012
...1 ...2 ...3 ...4 ...5 ...6 ...7 ...8 ...9 ...0	1	ч2	3	4	5	7	8	9	ф	1	2 2	6	8	Оу	2	4	... 3	9	2	5	8	1	4	7	ф	3	6 4	к8	2 ^6	Оу	4	8	... 5	ф	5 0	... 6	у2	8^4	Оу	6	2	... 7	Ч4	1 Y 8	5	2	9	6	3	ф	7	4 8	у6	4 ^2	Оу	8	6	4	... 9	ф	7 6	5	4	3	2	1	О^у	9	8 0	0	0 ...
18
3.	Тайны числа 9
3.1.	Общие положения
С уществует понятие: «цифровой корень» (инвариант) или ко-
нечная сумма цифр (далее - ксц), которая получается при по-
i ледоватсльном сложении цифр целого числа до получения одно-
щдчного числа.
I < ксц < 9. Если ксц = 9. то число делится на 9 и 3 без остатка.
I ели число нс кратно 9. то при делении на 9 остаток будет равен
м ц. а при делении на 3 - остатку от деления ксц на 3 .
Ксц устойчива, она нс изменяется при перестановке цифр в
числе и при делении измененных чисел на 9.
Ксц действия с числами равна ксц действия с ксц чисел
k(ab- ...)=k[k(a)-k(b)...]; k(a±b) = k\k(a)±k(b)]\
но k(a:b)*k[k(a):k(b).
Гели A(a)<A(A), то k(a-b)=А(А(а)-А(Л)|+9.
Пример I: A(2M)aA|(26)",-24]=A(64,ol6)-A|A(64)"’A(l6)hA(l,o-7)=7.
Фактически: 2W=18 446 744 073 709 551 616, с«=88, А(88)=7.
Пример 1 85-34=51, А(51)=6,А|А(85)-А(34))=А(4-7)= ~3т9=6.
По ксц легко определить, сколько нужно прибавить/вычесть к
числу, чтобы измененное число делилось на 3 или 9 без остатка.
Пример: о=3274, />=2453. (о/>-х)(=3). Определить х
Решение: А(о)=7, А(/>)=5, А(а/>)=А(7-5)=8. 8:3=2+2/3. х=2.
3.2.	Что правит суммой цифр?
Выясним, сколько в любой сотне чисел, кратных 9? В 1-й сот-
не таких чисел 11 - это 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72. 81, 90 и 99.
Hi них у первых 10-ти сц = 9, а у последнего числа - 18. Не-
। руд но убедиться, что в последующих сотнях также по II чисел,
кратных 9. Исключение: в сотнях, номера которых (в общем
счете) кратны 9, таких чисел 12. В 1-й тысяче такой сотней яв-
ляется 9-я (801—900). В последующих тысячах подобные сотни
имеют различные номера. Так. во 2-й тысяче 12 чисел, кратных
9, будет в 8-й (18-й в общем счете) сотне, в 6-й тысяче — в 4-й
(54-й в общем счете) сотне - это числа: 5301, 5310, 5319 ... 5391
и 5400.
19
В любой сотне с 11 числами, кратными 9, может быть только
два вида сц: если сумма цифр номера сотни меньше или равна 9,
то сц у чисел, кратных 9, равна 9 или 18; если сумма цифр у но-
мера сотни больше 9, но меньше 18, то числа, кратные 9, в этой
сотне имеют сц 18 или 27 и т. д.
Сколько в сотне чисел, кратных 9, имеют наименьшую одина-
ковую сц?
В сотне с 11 числами, кратными 9, чисел с одинаковыми наи-
меньшими сц всегда на I больше последней цифры первого чис-
ла, кратного 9. Например, в 33-й сотне 1-е число, кратное 9, бу-
дет 3204, у него последняя цифра 4, следовательно, первых 5 чи-
сел, кратных 9, будут иметь сц = 9, а последующие - 18.
В сотне с 12 числами, кратными 9, наименьшая сц у первых
двух чисел и последнего 12-го числа, а у остальных на 9 единиц
больше. Например, в 54-й сотне первые два числа - 5301 и 5310
- имеют сц = 9, последующие числа - 5319, 5328 ... 5391 —
имеют сц = 18 и последнее число 5400 вновь имеет сц - 9.
Теперь о числах, не кратных 9. у них свои сц, которые изменя-
ются с увеличением чисел, но как? Оказывается, здесь также
строгий порядок под контролем девятки. После очередного чис-
ла с сц. кратной 9. сц последующих чисел увеличивается до чис-
ла с последней цифрой 9 включительно, у следующего числа с
последней цифрой ноль сц резко уменьшается и дальше вновь
растет до числа, кратного 9. Такая периодичность изменения сц
повторяется в пределах всей сотни.
При переходе из одной сотни в другую часто бывает, что сц < 9.
Парадоксально, число вида 10" может быть огромным и иметь сц = 1!
Как правило, среди чисел, не кратных 9, но близких к 10", мно-
го таких, для которых у первых 7 чисел сц < 9, а далее в преде-
лах почти всей сотни 9 < сц < 18. Например:
числа сц - 1007 8 1069 16	1001 2 1008 9 1070 8	1002	1003	1004	1005 6	1006 7 1068 15
		3	4	5		
		1009	1010	1011		
		10	2	3		
		1071		
		9		
Очевидно, что	суммы	цифр регламентируются	числом	9: она
определяет, сколько в сотне чисел, кратных 9, и лах в сотне может измениться сумма цифр.			в каких	преле-
20
Любое число всегда в «опасности», связанной с числом 9. Если
и । числа вычесть сумму его цифр, независимо от их кратности
числу 9, то новое число и его сц окажутся в полной зависимости
01 числа 9 - они станут кратными числу 9, как говорится, на
всю оставшуюся жизнь. Если дальше последовательно рассчиты-
вать сц и вычитать ее из числа, то получаемые числа и их сц, со-
храняя свою кратность числу 9, постепенно будут уменьшаться,
пока не окажутся равными друг другу и числу 9. Последнее вы-
читание даст ноль. И все эти события — при постоянном уча-
11 ни числа 9.
3.3.	Некоторые свойства чисел с цифрами 9
Н некоторых числах, содержащих цифры 9, последние сохра-
няют свое положение неизменным при умножении всего числа
на множители.
Числа вида <7 = 9... 98 ..9 при умножении на 2, 3 ... 8, 9 сохра-
няют блок 9-к неизменным, и при этом сумма 1-й и последней
цифр также остается неизменной и равной 9. например:
число о = 999 889 <7 x 2 =1 999 778
3 = 2 999 667
4 = 3 999 556
5 = 4 999 445
I uie пример, когда сумма равноудаленных цифр в произведе-
нии остается неизменной и равной 9:
999 х 1000=999 000
889 = 888 111
778 = 777 222
667 = 666 333
556 = 555 444
о X 6 = 5 999 334
7 = 6 999 223
8 = 7 999 112
9 = 8 999 001.
999 х 445 = 444 555
334 = 333 666
223 = 222 777
112 = 111 888
001 = 000 999
Для чисел, записанных цифрой 9. опасна только 1. Если к чис-
лу вида 9...9 прибавить одну единичку, то от девяток останутся
loiii.Ko ноли, а виновница разгрома гордо займет в новом числе
I с место - 99 999 + 1= 100000. Наибольшее л-значное число
вписывается только цифрами 9!
(999 999 999:9):9= 12 345 679.
Квадрат числа из л 9-к записывается по схеме:
(9...9)2=102я-19...9=9...980...01.
п
п п-1 п-1
21
Пример: 992= 104-199= IОООО-199=9801.
Произведение числа (а...а) на 9 записывается по схеме:
(о_о^-9=(а-1)^9^9 (10~о).
п	л-1
Пример: 3333-9=29997.
п-я степень числа 9 состоит из п цифр, при этом, если п —
четное число, то последняя цифра степени I, а если нечетное
число, то 9. Первая цифра степени при л от 1 до 5 равна 10-л,
при увеличении показателя степени постепенно уменьшается и
при л=21 равна I. а при л=22 вновь равна 9, и далее все повто-
ряется.
3.4.	Удивительные перевертыши
Числа, сумма цифр которых равна 9 (опять девятка!), могут из-
менять последовательность цифр на обратную при умножении
числа 9 на множитель к, который вычисляется по цифрам пер-
воначального числа без учета второй цифры. Некоторые равен-
ства для вычисления множителя:
А = ab к = 10 — а
А = abc	к = 10с + (10 — о)
А = abed	к = l00d + 10(с + d) + (10 - а)
А = abede	к = 1000с + 100(d + е) + 10(с + d + е) + (10 - а).
Подобным образом можно сосздвить равенство для вычисления
множителя применительно к числу любой значности.
Примеры:
А = 12, к = 10 - 7= 3. А' = 9 3 = 27
/1 = 504, к = 10 4 + (10 - 5) = 45. А' = 9 • 45 = 405
А = 2313, к = 100 3 + 10(1 + 3) + (10 - 2) = 348. А' = 9 348 = 3132
3.5.	Перемещение цифр в числе
Перемещение цифр в числе вправо/влево возможно с помощь:
вспомогательного числа, вычисляемого под контролем цифры 9,
действием сложения или вычитания.
При движении цифр вправо (по часовой стрелке) последня
цифра числа переходит на первое место слева, а другие цифр|
смещаются вправо по схеме: abed —»dabc. при этом нужное дей-
22
ствис определяется по двум последним цифрам числа -cd: если d
<, го применяется вычитание, если d > с, то сложение.
При движении цифр влево (против часовой стрелке) первая
цифра числа переходит на последнее место справа, а другие
цифры смешаются влево по схеме: abed -> heda. при этом нуж-
ное действие определяется по двум первым цифрам числа ab:
г< ini и > Ь, то применяется вычитание, если а < Ь, то сложение.
Выбор цифр вспомогательного числа всегда начинается с пра-
вой цифры последовательно, чтобы при выполнении выбранного
теш 1вия получить слева стоящую цифру. При сложении, если
сумма оказывается больше 10. то десятка (единица) учитывается
при сложении левых цифр; при вычитании, если необходимо, у
цифры, стоящей слева, «занимается» десятка. Правильность вы-
Гюра вспомогательного числа контролируется цифрой 9: сумма
цифр вспомогательного числа всегда равна или кратна 9.
Примеры:	—-	1 < 9, действие — вычитание;
2^2	контроль: 2 + 5 + 2 = 9
139
1728
+5553
7281
1 < 7, действие - сложение;
контроль: 5 + 5 + 5 + 3= 18
3.6.	^Зеркальные* числа
• 1(‘ркал1>ные» числа — это пара неравных друг другу чисел, на-
ши .юных одинаковым составом цифр, но в противоположной
(пн пс.ювательности, например: 1234 - 4321, 752 — 257.
Н общем случае у таких чисел одинаковые сц и ксц, зависящие
loni.ko от состава цифр. Каждое отдельное число — обычное
чш иг (хотя и у него может быть тайна). У пары «зеркальных»
чн< < и ген. тайна. Откроем эту тайну. Вычтем из большего числа
меньшее. Полученная разность — новое число — обладает уни-
* .* н.ным11 свойствами, оно и его сц кратны 9. а ксц = 9, напри-
мер
23
73-37 = 36;	3421-1243=2178.
И это еще не все. Если у «зеркальных» чисел различны только
начальная и конечная цифры, то в разности между ними будут
9-ки, например:
5221-1225 = 3996; 73 334 - 43 337 = 29 997.
Если в последнем случае начальная и конечная цифры отлича-
ются друг от друга только на 1, то разность чисел будет записана
девятками, например:
2221-1222 = 999; 53 334 - 43 335 = 9999.
Следствие (удивительное): чтобы рассчитать сумму/разность
любого л-значного числа и числа из л-1 девяток, достаточно из
1-го числа вычесть/прибавить и одновременно к 1-й цифре при-
бавить/вычесть 1.
Примеры:	32 769 + 9999 = (3 +1 )2769 -1 = 42 768;
92 760-9999 = (9-1)2760+1 =82761.
4.	Действия с числами
В действиях с числами свои чудеса и тайны. Основные дейст-
вия с числами - это: сложение, вычитание, умножение, деление,
возведение в степень, извлечение корня (отыскание основания)
и логарифмирование (отыскание показателя степени при задан-
ном основании).
4.1.	Сложение чисел
Сложение — действие, в результате которого находится сульш
единиц и долей единицы слагаемых. Последовательность скла-
дывания слагаемых чисел на сумму нс влияет - к этому чудес-
ному свойству мы привыкли. Сложение одинаковых слагаемых
можно замени ib умножением. В некоторых случаях, чтобы най-
ти сумму, достаточно знать число слагаемых. Вот нескольм
примеров такого суммирования:
. Л ,	л(л + 1)
l+2 + З+...+л = —---
2
 2 -»2 ч2 2 л(л + 1)(Л + 2)
Г + 2г + 3 +...+Л =—----------
6
1’ + 2’ + 3’+... + л’=[^^ f,
2
24
1 + 3 + 5 + ... + (2п-1) = л2,
3	3
1’ + 3’+5' + ... + (2л-1)’ = л2(2л2-1),
2 + 4 + 6+... + 2п = п(п +1).
( писок подобных чудес можно продолжить, с некоторыми из
них мы еще встретимся.
Чтобы сложить дробные числа их необходимо привести к од-
ному знаменателю, сложить приведенные числители и их сумму
• •шести к общему знаменателю, выполнить возможное сокраще-
ние.
4.2. Вычитание чисел
Вычитание — действие, противоположное сложению, при этом
определяется разность - остаток оз уменьшаемого после того, как
и । него будет вычтено вычитаемое.
I ели вычитаемых чисел несколько, то их можно вычитать в
побои последовательности или предварительно сложить и их
сумму вычесть.
Чтобы вычесть из дробного числа другое дробное число их не-
обходимо привести к одному знаменателю и разность приведен-
ных числителей отнести к общему знаменателю, выполнить воз-
можное сокращение.
I ели вычитаемое больше уменьшаемого, то необходимо из
большего числа вычесть меныпее и разности приписать знак
минус (-). В этом случае действие с действительными числами
i.ici результат — число, расположенное на числовой оси левее
ноля, т. е. в мире отрицательных чисел.
4.3. Умножение чисел
Умножение — это частный случай сложения одинаковых чисел —
множимого, повторенного столько раз, сколько единиц (частей
< диннцы) во множителе. Умножение сокращает запись действия.
При умножении множимое и множитель можно менять местами.
I ели множителей несколько, то умножение можно выполнять в
нобой последовательности. Результат умножения - произведение.
25
Умножение как бы предполагает увеличение результата произ-
ведения по сравнению с множителями, однако, в действительно-
сти произведение может быть больше или меньше любого из
множителей, например:
3-1 = 2;	0,75-0.4=0,3.
7 7
Умножение сравнительно небольших чисел выполняется после-
довательным расчетом, умножение больших чисел обычно вы-
полняется с помощью логарифмов.
В зависимости от множителя умножение можно упростить и
лаже заменить делением, делением множимого на вспомогатель-
ное число. Вот несколько примеров:
•	чтобы умножить число на 5 10", достаточно разделить его на
2 и к частному приписать п + 1 нолей:
324
324 500 = —1000 = 162 000;
2
•	чтобы умножить число на 25 10". достаточно разделить его на
4 и к частному приписать п + 2 нолей;
•	чтобы умножить число на 125-10", достаточно разделить его
на 8 и к частному приписать и + 3 нолей;
•	чтобы умножить число на 2-10" достаточно разделить его на 5
и к частному приписать л-1 нолей;
•	чтобы умножить число на п девяток, достаточно приписать к
нему п нолей и из полученного числа вычесть множитель;
•	чтобы умножить число (3...3) на 4 — 8, достаточно записать
произведение числа 3 и другого сомножителя и между цифрами
произведения вписать л-1 сц 1-го произведения, например:
3333-5=16665, сц(15)=6;
•	чтобы умножить число(6 ..6) на 2 — 7, следует поступить так,
л
как и в случае с числом из троек, например: 6666-7=46662,
сц (42)=6.
Известную формулу сокращенного умножения
(a + b)2 =а2+ 2ab+h2	(4.3.1)
запишем в более общем виде
(a + b)(a+c)=a‘ +a(b + c) + bc	(4.3.2)
26
или лучше в виде
(a + h)(a+c) = a(a + b + c) + bc.	(4.3.3)
Последнее равенство позволяет наиболее просто умножать чис-
ла (близкие по величине), для чего их следует представать в виде
сумм с общим 1-м слагаемым, например:
42 47 = (40 + 2X40 + 7) = 40(40 + 2 + 7) +2-7 =40 49 +14 = 1974;
17-23 = (2О-ЗХ2О + 3) = 2(Х2О-3 + 3)-32 =20 20-9 = 391.
Равенство (4.3.1) удобнее применять в виде:
(a + b)2 =а(а + 2Ь)+Ь2,	(4.3.4)
это позволяет значительно сократить вычисление, например
452 = (40 + 5)(40 + 5) = 40(40 + 2 5) + 52 = 40 50 + 25 = 2025.
Равенство
a2-b2 = (a + b)(a-b)	(4.3.5)
также позволяет упростить вычисление, например:
252 -152 = (25 +15)( 25 -15) = 40 10 = 4(Ю.
Приведенные примеры показывают, что равенства 4.3.1—4.3.5
действительно сокращают умножение.
При небольшой тренировке и внимании умножение с помо-
щью приведенных равенств можно легко выполнять в уме.
Упростить умножение можно также, заменив множитель сум-
мой чисел, чтобы слагаемые (кроме последней цифры) были
кратны 10, например:
217 8 = (200+10 + 7)8 = 1600 + 80 + 56 = 1736.
Существует и такая зависимость:
, (a + b)2 (а-Ь)2
ah =--------------
(4.3.6)
4	4
До изобретения логарифмов для ускорения умножения и возве-
дения в квадрат пользовались таблицами четверти квадрата, та-
кие таблицы давали точные результаты, например
ЗО2-62 _ (30 + 6X30-6) _ 36-24 _
4	4	4
Умножение емч с десятичной дробной частью выполняется по
общему правилу для целых чисел, а в произведении отделяется
запятой суммарное число знаков множителей, например:
3.75-4,3=16.125.
Если сын с простой дробной частью, то множители следует
превратить в неправильные дроби, перемножить числители и
18 12 =
27
знаменатели и выполнить сокращение, например:
2-1- = —•- = —=3-
4 3 4 3 12	3 •
Можно условную запись емч заменить суммами и выполнить
умножение по формуле:
(a +b)(c +d)=a(c +d)+b(c	.
Первый вариант предпочтительнее.
Удивительными свойствами обладают некоторые числа. Если
один из множителей оканчивается цифрой 5, а второй множи-
тель — нечетное число, то произведение также оканчивается
цифрой 5. Если множители оканчиваются цифрой 6, то и произ-
ведение также оканчивается цифрой 6. Произведения чисел,
оканчивающихся числами 25. 625. 0625 или 76, 376, 9376 также
оканчиваются такими же числами. Если один из множителей
кратен 10", то произведение также кратно 10", например:
13-5=65	25 225=5625	1625 2625=4265625
16-26=416	176-276=48576	1376-2376=3269376
17-13 10=2210	17-13-100=22100
Интересна тайна некоторых пар двузначных чисел (известно
пока всего 14 пар) - при перемене мест цифр в числах их про-
изведение нс изменяется:
12 84 = 21 48 = 1008,
13 62 = 31 26 = 806.
13 93 = 31 39 = 1209,
21 24 = 12-42 = 504,
21 36=12-63 = 756,
23 64 = 32 46 = 1472,
23 96 = 32 69 = 2208,
Любые три последовательные
24 63 = 42 36=1512,
24 84=42 48 = 2016,
26 93 = 62 39 = 2418.
34 86 = 43 68 = 2924,
36 84 = 63 48 = 3024,
41 28 = 14 82 = 1148,
46 96 = 64 69 = 4416.
числа а-1, а, а + 1 образуют
равенство:
(а-1Ха + 1) = а2-1.
Последняя цифра произведения 2 множителей определяется по
их последним цифрам, что позволяет значительно упростить по-
дыскание м ножителс й/дел ителей:
28
..1 =(..!)(..!)	..4 =(..!)(..4)	..6 =(..1)(..6)	..8 =(..!)(.. 8)
(.3)(..7)	(..2)(..2)	(-2)(..8)	( 2)(. 4)
(••9)(..9)	(..3)(..8)	(..3)(..2)	(.2)(..9)
..2 =(..!)(..2)	(..4)(..6)	(••4)(..4)	(..3)(..6)
(..3)(..4)	(..6)(..9)	(••6)(..6)	(.4)(..7)
(-4)(..8)	(••8)(..8)	(-7)(..8)	<-6)(..8)
(.6)(..7)	..5 =(..!)(..5)	(•9)(..4)	..9 =(..!)(..9)
(..8)(..9)	(..3)(..5)	..7 =(..!)(..7)	(..3)(..3)
..3 =(..!)(..3)	(••5)(..5)	(..3)(.9)	(-7)(..7)
(•7)(.,9)	(••7)(..5)		..0 = (w)(..5)
	(..9)(..5)		(..0) (любое
число)
4.4. Деление чисел
Деление — действие, обратное умножению. Результат деления —
частное - определяет, сколько делителей содержат делимое. Де-
ление на несколько делителей можно выполнять в любой после-
довательности или же предварительно перемножить делители, а
потом делимое разделить на произведение делителей.
Деление целого числа на целое число выполняется последова-
тельно слева на право. При делении целого числа на дробное
оно умножается на знаменатель дроби и делится на ее числи-
тель. При делении дроби на целое число знаменатель дроби ум-
ножается на делитель. При делении дроби на дробь числитель
делимой дроби умножается на знаменатель делителя, а знамена-
тель — на числитель делителя. После выполняются необходимые
сокращения до образования несократимой дроби.
гт	-» 2	3 5 , I
Примеры: 3: — = -у =7 — ;
2 1 2 3_6 _. 1
5 3 51	5	5
2 ,3=_2_ = 2_.
5 Л 5-3 15 ’
2:0,3«2:2. = 110=li
5	5 10	3 5	3
Делимость числа без остатка зависит от его четности и состава
(составное или простое число). Четное число может делиться на
четное и нечетное число, исключение - числа вида 2" (т=0, с=1,
см. 2.1.1.) делятся только на четные числа.
Нечетные составные числа делятся только на нечетные числа.
29
Во всех случаях последняя цифра делимого предопределяет
возможность деления числа без остатка. Последняя цифра част-
ного определяется по последним цифрам делимого и делителя:
(..1) :(..!)=..1	(..4) : (..1)=..4	(..6) : (..!)= .6	(-.8) :(..1)=..8
(,.3)=..7	(.2)=..2	(„2)=..3	(,.2)=..4
(,.9)=.,9	(..3)=..8	(,.4)=..4	(,.3)=..6
(..2):(..1)=..2	(,.4)=..6	(,.6)=..6	(,.4)=..7
(,.3)=..4	(..5) : (..!)=..5	(.7)=..8	(,.6)=..8
(,.4)=..8	(,.3)=..5	(,.9)=..4	(..9) : (..!)=..9
(,.6)=..2	(„5)=..5	(..7) :(..!)=.7	(..3)=..3
(..8)=..9	(..7)=..5	(,.3) = ..9	(-7) =-7
(..3)	3	(„9) = ..5		
(,.7)=..9			
В последних равенствах делитель и частное можно менять мес-
тами.
4.4.1. Признаки деления числа без остатка
Числа обладают чудесными свойствами - признаками делимо-
сти. Тайны этих признаков еще далеко не раскрыты. Число мо-
жет обладать одновременно несколькими признаками делимости -
каждый определяет возможность разделить число на соответст-
вующий делитель.
Делится без остатка
•	на 2 — четное число,
•	на 3 — число, сумма цифр которого кратна 3;
•	на 4 - четное число, кратное 4, которое при делении на 2 да-
ет четное частное;
•	на 5 - число, последняя цифра которого 0 или 5;
•	на 6 — четное число, сумма цифр которого кратна 3;
•	на 7 — четное число или сумма/разность нечетного числа и 7
при последовательном делении на 2 приводит к частному, по
которому очевидно деление на 7. Примеры:
1) проверить делимость 903 на 7:
(903+7): 2 —»(455 + 7): 2 —»(231-7):2 ->112:2 = 56.
последнее число делится на 7, следовательно, и 903 делится на 7;
2) проверить делимость 381 на 7:
30
(381-7):2 —>(187-7): 2 = 90,
последнее число на 7 не делится, следовательно, и 381 не делит-
ся на 7;
•	на 8 - четное число, которое после 2-кратного деления на 2
дает четное частное;
•	на 9 - число, сумма цифр которого кратна 9 (ксц = 9);
•	на 10 - число, последняя цифра которого 0;
•	на 11 — число, у которого сумма чисел в группах по две циф-
ры. образованных в испытуемом числе справа налево, делится на
11, или. если разность сумм цифр, занимающих четные и нечет-
ные места в числе (вычитается меньшая сумма), делится на 11,
то и все число делится на 11; примеры:
I) проверить делимость 34 507 на 11. Делим число на группы и
суммируем их:
3-45-07; 3 + 45 + 07 = 55,
55 делится на 11. следовательно, и проверяемое число делится на 11;
2) проверить делимость 112 827 на 11. Сумма цифр, стоящих на
четных местах. 1 + 8 + 7 = 16, сумма, цифр, стоящих на нечет-
ных местах. I + 2 + 2 = 5; разность сумм 16 — 5 = II, кратна 11.
следовательно, проверяемое число делится на 11;
•	на 19 - число, у которого сумма его десятков и удвоенного
числа единиц кратна 19 (признак делимости нужно повторять,
пока не станет ясно, что последнее число кратно/не кратно 19).
Пример: проверить делимость 62 396 на 19:
6239 6	625 1	62 7	7 6
+ I2J + 2J + I4J + I2J
6251	627	76	19
Последняя сумма равна 19 — проверяемое число делится на 19.
•	на 25 — число, у которого последние две цифры ноли или де-
лятся на 25.
•	на 37 — 3-значное число из одинаковых цифр, 6-значное чис-
ло, если сумма двух групп по три цифры делится на 37.
Примеры:
I) 777:37 = 21,
2) проверить делимость 481 629 на 37: 481 + 629 = 1110, сумма
кратна 37, следовательно, проверяемое число делится на 37.
Есть универсальный способ, которой позволяет проверить де-
лимость числа на любой делитель (частично мы уже познакоми-
лись с ним при рассмотрении признака делимости на 7) при ус-
31
ловим, что последние цифры делимого и делителя удовлетворя-
ют возможному делению. Сущность способа в последовательном
уменьшении делимого до значения, при котором его дели-
мость/неделимость становится очевидной. Уменьшить делимое
можно:
•	вычитанием числа, заведомо кратного делителю,
•	последовательным делением на 2.
Чтобы уменьшить делимое вычитанием, его следует разбить на
группы по 1, 2 и более цифр в группе (в зависимости от размера
делителя) и из каждой группы вычесть числа, кратные делителю
и близкие по величине к числу в группе. Такие действия можно
повторять до получения числа, деление которого на делитель
очевидно. Например: проверить делимость 5668 на 13.
5668	403
~	5265	390
403	13
Последнее число равно 13, следовательно, 5668 делится на 13.
Этот способ позволяет одновременно с проверкой делимости
определить частное, просуммировав промежуточные множители
вычитаемых чисел. Число нолей в частном между значениями
промежуточных множителей равно числу знаков в последующей
группе, уменьшенному на 1. Например: проверить делимость
33 336 667 на 37 и определить частное:
333 366 67:37 = 900901
(37 -9) ~ 333 333 37(37  1)
33 30
3330 : 37
(37 9) 3330 (37 0)	4-90
0	900991	33 336 667:37 = 900991.
В боковых произведениях выделены промежуточные множите-
ли. учтенные при определении частного.
Последовательное деление на 2 можно выполнять в нескольких
вариантах. Если делимое и делитель — четные числа, то деление
на 2 продолжается до получения числа, делимость которого на
делитель очевидна или прекращается при получении нечетного
частного — проверку нужно выполнить другим способом.
Если делимое четное, а делитель нечетное числа, то деление на
2 продолжается до получения частного, деление которого оче-
видно. при получении нечетного частного дальнейшая проверка
выполняется по правилу для нечетных чисел.
32
Если делимое и делитель нечетные числа, то на 2 делится сумма
или разность делимого и делителя, см. примеры делимости на 7.
Проверка делимости числа может выполняться одновременно
несколькими способами. Например:
проверить делимость 136 427 на 17.
13 84 27 131610:2 = 65 805	65 80 5
00 68 17	5168 0
13 16 10	14 12 5 + 17-> 14 142:2 = 7071
70 71	_ 20 3
68 68	170
2 03	3 3
Последнее число 33 на 17 не делится, следовательно, и прове-
ряемое на 17 не делится без остатка.
Рассмотренные примеры признаков делимости чисел показы-
вают. какие чудесные тайны хранятся у чисел.
4.4.2. Деление числа с остатком
Если делимое число не кратно делителю, то в завершении де-
ления остается число меньше делителя — остаток, который во
всех случаях целое число (!). Наибольший остаток и наибольшее
число остатков на единицу меньше делителя. Остаток и делитель
образуют простую дробь:
остаток/делитель в числитель/знаменатель.
2	3 3	5
Примеры: 17:3=5— (остаток	2);	1-:- = 11:6=1— (остаток 5);
3	8 4	6
1.06:0,3=106:30=3— = 3— (остаток 8).
30	15
После сокращения числителя и знаменателя на их общие дели-
тели остается несократимая простая дробь — это точное дробное
число.
Целая и дробная части частного записываются рядом — обра-
зуют смешанное число (условная запись суммы целого и дроб-
ного чисел):
33
В общем случае остаток х от деления числа а на т определяет-
ся способом сравнения.
Два взаимопростых целых положительных числа а н b (а>Ь)
сравнимы по делителю (модолю) /и, если их разность делится на
т без остатка
Равенство I может существовать только при условии, что при
делении чисел а и b на т их остатки равны. В этом сущность
сравнения
(mc,+x)-(mc2+x)
Множители с, и с2 - это любые числа при условии, что С|>с2>0,
следовательно, справедливо равенство
х=а~тс. (2)
где х — остаток. х<т.
В равенстве 2 два неизвестных с и х. по нему можно составить
сравнимые равенства, последовательно уменьшая разность а~тс,
до получения разности меньше делителя:
Z>,-mc2=b2, ...Ь^—тс^Ь,,; Ь„=х.
Числа a,bhb:,...bn сравнимы по /л. поэтому обычно записывает-
ся цепочка сравнений
a-mej bi -тс2~ b2 - тс2*...b„.i~тс„=Ь„ =х.
Сравнимость чисел по т позволяет определять остаток от деле-
ния. не выполняя само деление чисел.
Пример:	определить остаток от деления 327246 на 15.
Решение:	327246-306030 21216-15150=6066-6060=6, остаток 6.
Подобным же образом образуются цепочки сравнений при де-
лении степени на число.
Пример: определить остаток от деления 2м на 5. Число 2М> 18-10“,
и обычным делением найти остаток сложно.
Решение: записываем цепочку сравнений:
264:5=(24)|*:5=(16-5-3)|6= 1'*=1. Остаток равен 1. Так как число 2м
четное, то последняя его цифра 6.
Пример: определить остаток от деления 7’ на 11.
34
Решение: 7*:11в(7~11)*в-4*з-4-4'а-4164 (-4+11)(16-11)4 ^7-54=
7-252е 7 (25—22)2=7-32^63~55=8. Остаток равен 8.
Примечание: последний пример приведен, чтобы показать, что в
цепочке сравнений с нечетными показателями степени следует
строго соблюдать знак минус, например -Ч’*4(-4)н.
Чтобы исключить в цепочке сравнений отрицательное число
надо к нему прибавить число, кратное делителю.
Определение остатка при делении числа на 3 и на 9 см. 3.1.
4.4.3.	Преобразование простой дроби в десятичную
Простая дробь описывается равенством —=в—, где а<Ь. Со
h h
знаменателем b можно записать />-1 простых дробей.
Простая дробь преобразуется в десятичную дробь по схеме:
а _«КГ I
b~ h 10"
Знаменатель десятичной дроби 10я не записывается, а числи-
«10я
гель----записывается после ноля с занятой.
h
Согласно 2.1.1 знаменатель простой дроби Ь=2п-5" с. В зависи-
мости от множителей 2я, 5" и с возможны три варианта преобра-
зования простой дроби в десятичную дробь:
•	с = 1 - простая дробь преобразуется в конечную деся-
тичную дробь;
•	п = т - 0, с >1 — простая дробь преобразуется в чистую
периодическую десятичную дробь, у которой первая
цифра периода записывается сразу после ноля;
•	с > I и хотя бы один из показателей степени п или т нс
равен нолю - простая дробь преобразуется в смешан-
ную периодическую десятичную дробь, у которой пер-
вая цифра периода записывается после последней циф-
ры предпериода.
В общем случае множитель с может быть произведением не-
скольких чисел — С|,с2,.„, но это не меняет характерную особен-
ность образуемой десятичной дроби.
35
Период десятичной дроби (далее период) — это целое положи-
тельное число, которое до бесконечности повторяется после н.о-
ля или последней цифры предпериода.
У периода свои тайны и чудеса с непременным участием числа
9 и строгим взаимодействием всех чисел и цифр:
•	в периоде может быть одна цифра и десятки цифр;
•	число цифр в периоде к зависит от числа несократимых
числителей z, k£z£b-\. Если k—z, то во всех десятичных
дробях периоды одинаковы по составу цифр. Если k<z,
то z=ki, где / - число групп числителей в каждой из ко-
торых сохраняется одинаковый состав периода из к
цифр. Общее число цифр в i периодов равно z (см.
пример для А=13);
•	в многозначном периоде при перемене числителя про-
стой дроби меняется начало периода при сохранении
общей последовательности цифр.
В справочнике по математике |12| описано как определяется
период, но ничего нс сказано о чудесных свойствах такого опре-
деления.
Напомним, что с — это пч или енч (*5). Среди нечетных чисел
есть число 9, с помощью этого числа и рассчитывается период:
число, составленное из к девяток делится на с без остатка
9..9
Р.=-----•
с
где рс — условный период, с его помощью определяется период
Р\ =» 1/с: если с<9, то р, =/>,., если с>9, то р,=0рг, если с>99, то
Pi=00pr и т.д. Периоды, соответствующие знаменателю Ь, рассчи-
тываются с помощью Р\.
b 2"-5" с с 2"-5“ ’	2" 5" ’
для простой дроби
а	1
Т = ОТ» Р' = аР>
b	ь
Далее описаны варианты преобразования несократимых дробей
в десятичные дроби для рахтичных видов знаменателей.
•	й = 2"-5",	с-1.
Все простые дроби с таким знаменателем преобразуются в ко-
нечные десятичные дроби, при этом больший показатель степе-
ни определяет число цифр в десятичной дроби. Если п>т, то
36
последняя цифра в десятичной дроби 5; если п<т, то — четная
цифра. К этому виду знаменателей относятся цифры: 2, 4, 5 и 8.
Примеры: Дг= 0,25;	-Д-=0,|25;	—^—=—=0,05;
22	2Э	22-5 20
•	6 = 2"-5"'с, с>1.
В зависимости от значений п, т и с возможны варианты пре-
образования простой дроби в десятичную, во всех случаях пе-
риодическую дробь.
•	п = т = 0, с>1, /> = с
ПК11	г
Дробь — =— преобразуется в чистую периодическую десятич-
h с
ную дробь. К этому виду знаменателя относятся цифры: 3, 7 и 9.
Примеры:
I	2
Ь = 3;	| =0,333. ..=0,(3);	| = 2-0,(3) = 0,(6).
I	з
А = 7; у =0,(142857); у =3 0,(142857)=0.(428571).
b = 13; в этом случае г- 12, к= 6. / = 2. Для числите-
лей 1, 3, 4, 9,10 и 12 периоды образованы из цифр ^=076923 ==» —,
2
а для числителей 2. 5, 6. 7, 8 и 11 — из цифр />2 = 153846 =» —,
однако период, соответствующий простой дроби с любым чис-
лителем ра = др,, например:
4	5
— =4 0,(076923) = 0.(307692);	^=50.(076923) = 0,(384615).
• т = 0, h = 2"с, с>1.
2
а
Дробь
I
2й
с преобразуется в смешанную периодическую де-
сятичную дробь с предпериодом из п цифр. Цифры предпериода
определяются последовательным делением числа 10 на Ь. К это-
му виду знаменателей относится число 6.
Примеры: Ь = 6 = 2 3, с = 3 - в предпериоде одна цифра: 10 ; 6-»1.
37
- = -	-=±0,(3) = 0,1(6),
6 2 3	6 2
b = 28 = 22-7, п = 2 - в предпериоде две цифры: 10 : 28 — 03.
± = ±± = ±0,(142857)=0,03(571428),	±= 0,10(714285).
• п = 0, b = 5" с, с>1.
Дробь ---- преобразуется в смешанную периодическую деся-
тичную дробь с предпериодом из т цифр.
Пример: Ь- 175 = 52-7, т = 2, в предпериоде две цифры: 10:175—00.
1 _ 1
175 52
•	п
у =	0,(142857) = 0.00(571428).
* 0 и т * 0, b = 2’-5тс, с>1.
Дробь
преобразуется в смешанную периодическую де-
2"-5" с
сятичную дробь с предпериодом, число цифр в котором равно
большему показателю п или т.
Пример: b = 60 = 22-5-3. п = 2. в предпериоде две цифры:
10:60-01.	± = ±.1 = 2
____ ...	-0,(3)=0,01(6).
60 20 3 20
•	Знаменатель — четное число.
Четные числа, кроме 2, составные числа. Простые дроби с чет-
ным знаменателем после сокращения общих делителей образуют
несколько групп простых несократимых дробей с различными
знаменателями, например, со знаменателем 12=22-3 их II. среди
них 5 четных числителей после сокращения общих делителей
образуют простые дроби со знаменателями 2, 3 и 6; среди 6 не-
четных числителей два кратны 3 и после сокращения образуют
простые дроби со знаменателем 4 и только 4 числителя: 1, 5, 7,
И образуют несократимые простые дроби со знаменателем 12,
которые преобразуются в смешанные периодические десятичные
дроби с двумя цифрами в предпериоде и одной цифрой в перио-
де, например:
±=0.08(3); ±=0,41(6); ±=0.91(6).
•	Знаменатель — составное нечетное число.
Составное нечетное число - это число вида с = ct c2-... Простые
дроби после сокращения общих делителей образуют несколько
38
ipynn несократимых простых дробей с различными знаменате-
лями. Например со знаменателем 21=3 7 все 20 возможных про-
стых дробей преобразуются в чистые периодические десятичные
дроби без предпериода, которые делятся на 3 группы: 6 числите-
лей кратны 3 — 3, 6. 9. 12, 15 и 18 после сокращения образуют
простые дроби со знаменателем 7; два числителя кратны 7 - 7 и
14 после сокращения образуют простые дроби со знаменателем
3; 12 числителей не имеют общих множителей со знаменателем
- числом 21.
Примеры преобразования простых дробей в десятичные:
— = 0.(047619);	—= 13 —= 13 0,(047619) = 0,(619047).
21	21	21
•	Знаменатель — простое число.
Простые числа, кроме 2 и 5, образуют несократимые про-
стые дроби, которые преобразуются в чистые периодические де-
сятичные дроби, при этом возможны периоды, состоящие из
многих десятков цифр (см. приложение 3).
Следует отмстить чудесную особенность дробей со знаменате-
лем II. в соответствующих десятичных дробях двузначные пе-
риоды равны произведению девятки и числителя простой дроби,
например:
ур = 0,(09),	-1 = 0,(63),	jy = 0,(90).
•	Знаменатель — число, кратное 9.
Если знаменатель простой дроби состоит из девяток, то такая
дробь преобразуется в чистую периодическую десятичную дробь
с периодом, равным числителю простой дроби в значности зна-
менателя, например:
1	123
— =0,(01), —=—=0.(0123).
99	9999
Если знаменатель простой дроби имеет вил 2я-9 или то
простые неделимые дроби преобразуются в смешанные десятич-
ные периодические дроби, например:
=	| = 7 0.(1) = 0,02(7). А = 5 0.02(7) = 0,13(8).
Особое положение среди знаменателей, кратных 9, занимает
число 81=92. Из возможных 80 простых дробей со знаменателем
81 несократимые 54 дроби преобразуются в чистые периодиче-
39
гмк iciHiii'iiiMC дроби, каждая из которых имеет следующие
iiroAcniiocin:
в периоде 9 цифр,
л, и периода раина ксц числителя;
а периоде нс1 цифры х-9-ксц.
По принципу ранет.чиа ксц числителей, равных 1; 2; 4; 5; 7 и 8,
ноoip.niiMi.ic ipoGit делятся на 6 трупп по 9 дробей в группе, в
период.IX д|ю(>сй в каждой группе нет соответственно цифр 8; 7;
5. 4; 2 и I. их место в периодах занимает число 9. например:
0,(012345679),	сц - 37,	ксц = 1,	х = 8.
^-=0,(283950617),	сц = 41,	ксц = 5,	х = 4.
^=0,(827160493),	сц = 40,	ксц = 4,	х= 5.
В приведенных примерах место цифры х (подчеркнуто) занято
цифрой 9. Такова еще одна тайна девятки и, вероятно, не по-
следняя.
Анализ действия деления показал, что каждый элемент делите-
ля оказывает свое влияние на конечный результат.
Цифры и их относительные места в периоде остаются неиз-
менными и при перемене числителя перемещаются слева напра-
во. сохраняя свою последовательность.
Обычно десятичная дробь определяется делением числителя на
знаменатель и учитывается 2—3, реже большее число цифр после
запятой, поэтому существование периода дроби, как правило,
остается тайной.
4.4.4.	Преобразование десятичной дроби в простую дробь
Возможны четыре варианта:
•	Десятичная дробь - точное дробное число с небольшим
числом цифр после запятой.
Число из значимых цифр записывается числителем, а знамена-
телем 10", где л - число знаков после запятой, и выполняется
сокращение дроби, например:
0,625=- = -;	0,12= — = — .
КХЮ 8	100 25
•	Десятичная дробь — приближенное число.
40
Первоначально записывается простая дробь гак. как и в преды-
дущем случае, если возможно выполняется сокращение. Чтобы
уменьшить числитель и знаменатель простой дроби, использу-
ется условная единица с числами, дающими в знаменателе чис-
ло, близкое к целому, например:
0 382= —=—»—!—= -•- = —
1000 500 50^91 2,618 8 21 '
Контроль: 8:21= 0,381, д= 0,001.
•	Десятичная дробь — чистая периодическая десятичная
дробь.
Если в периоде 1 или 2 цифры, то следует записать в числитель
простой дроби число периода, а в знаменатель столько девяток,
сколько цифр в числителе, выполнить сокращение дроби, на-
пример:
Если десятичная дробь с большим числом цифр в периоде, то
известный период ра нужно перевести в />,. переместив цифры
вправо, не нарушая их последовательности так, чтобы число ста-
ло наименьшим. Записать простую дробь: в числителе столько
девяток, сколько цифр в периоде, а в знаменателе измененный
период, и выполнить деление числителя на знаменатель. В част-
ном будет смешанное число, дробная часть которого из т цифр
может оканчиваться цифрой 5 или четной цифрой. Рассчитать
знаменатель простой дроби, умножив смешанное число на 2"
или 5" соответственно. Рассчитать числитель, умножив отноше-
ние — на 2”или 5тсоответственно.
Pi
Пример: преобразовать десятичную дробь 0,(365079) в простую.
999909
Решение: 365079 -* 079365, ZZZZZZ= 12,6; т = I.
079365
6=12,6-5=63;	= 4.6. о = 4.6-5=23.
079365
- а 23
Искомая простая дробь — = —.
Пример: преобразовать десятичную дробь 0,(492063) в простую.
41
WWJ9
Решение 492063 -» 063492;	=15,75 m = 2.
063492
b= 15,7522= 63,
49^=7,75, a = 7,75-22 = 31.
06.3492
c 31
Искомая простая дробь —.
63
Решим последний пример приближенно:
0,492063=0,4921,	=-----!-----= —— • — = —= —
10000 10000/4921 2.032 30 60,96 61
Контроль: 30:61= 0,4918, д= 0,0003.
• Десятичная дробь - смешанная периодическая дробь.
Чтобы перевести такую дробь в простую нужно записать в чис-
литель разность из числа предпериода и 1-го периода и числа
предпериода, а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр
в периоде и столько нолей, сколько цифр в предпериоде, вы-
полнить сокращение дроби, например:
0,41(6)=
416-41 _ 375 _ 5
900	900 12 '
4.5.	Возведение в степень
Возведение в степень - это частный случай последовательного
умножения одинаковых чисел - оснований, повторенных столько
раз, сколько единиц (частей единицы) в показателе степени, на-
пример:
2’ = 2 2 2.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показа-
тели степеней складываются
2s 22=2>2 = 25.
При возведении степени в другую степень показатели степеней
перемножаются:
(З4)2 = З42 = З8.
Если показатели у двух оснований одинаковы, то произведение
степеней равно степени произведения оснований:
52 -32 =(5 З)2.
Основание в степени ноль равно единице: 356° = 1.
42
Частное от деления двух степеней с одинаковыми основаниями
равно степени основания с показателем, равным разности пока-
зателей делимых:
126:12’ = 12б'1 = 12’.
Если при этом делимое имеет показатель степени 0, то частное
будет иметь отрицательный показатель степени — будет равно
дроби, в числителе которой 1, а знаменатель - степень основа-
ния:
12в:123 = 12"’= —.
12’
Ноль в любой степени равен нолю: 0" = 0.
Дробный показатель степени означает, что основание нужно
возвести в степень числителя и из полученного числа извлечь
корень с показателем, равным знаменателю дроби: У 2
Возведение в степень с показателем степени 2 принято назы-
вать возведением в квадрат, с показателем степени 3 — в куб.
Такие степени читаются соответственно: З2 - три в квадрате, 5’ -
пять в кубе. При возведении в степень есть возможность учиты-
вать некоторые свойства чисел, позволяющие контролировать
правильность получаемого результата.
Если последняя цифра основания 1, 5, 6 или 0, то такие же
цифры будут в конце степеней. Подобными свойствами облада-
ют числа: 25; 625; 0625; 90625; 890625 2890625 и т. д., 76; 376;
9376; 09376; 109376; 7109376 и т. д„ например - 6252 = 390 625;
3762 = 14 1 376 .
Чтобы упростить возведение в квадрат, можно прибавить к ос-
нованию условный ноль вида Ьг - Ь2 , подобрав значения чисел
так, чтобы один множитель был равен 10":
a' -a2 -b2 + b2 = (a-b)(a+b)+b2,
например:
1O72 = 1072 - (72- 72)= 100 • 114+ 72 = 11 449 .
Еще чудо: чтобы возвести в квадрат 2—3-значное число с по-
следней цифрой 5. нужно остаток числа без 5 умножить на чис-
ло, больше остатка на 1, и к произведению приписать 25, на-
пример:
1252 = (12 • 13)25 = 15 625 .
Последние цифры основания 2, 3, 7 и 8 в зависимости от пока-
зателя степени определяют соответствующе цифры в конце сте-
пени. которые при увеличении показателя степени на каждые 4л
43
периодически повторяются, т. е. степени с показателями а + 4л
(« I. 2, 3 или 4) имеют одинаковые последние цифры.
I (оследине цифры степеней в зависимости от последней цифры
основания
Таблица
Последняя цифра основания	Показатель степени			
	1 + 4л	2 + 4 л	3 + 4 л	4 + 4 л
..2	..2	..4	..8	..6
..3	..3	..9	..7	.1
„7	..7	..9	..3	1
..8	..8	..4	..2	..6
Нечетная степень основания с последней цифрой 9 также
оканчивается цифрой 9. а четная - цифрой 1.
Установим зависимость разности квадратов чисел от разности
оснований. Возьмем два числа а и Ь, а < Ь. Обозначим разность
этих чисел буквой г, тогда b - а = г, или b = а + г.
Возведем числа в квадрат и обозначим их разность буквой R„.
Rn = h2-a2 =(a + r)2-a2 =2ar + r2, (4.5.1)
откуда
и _2
а =	(4.5.2)
2г
Зная разности оснований и их квадратов, можно рассчитать
значения оснований. Разность квадратов двух чисел зависит от
величины меныпего числа и разности между числами. Квадрат
большего числа можно рассчитать по меньшему числу и разно-
стям
Ь2=а2 + Яя = а2+(2аг +г2).	(4.5.3)
Для двух последовательных чисел r = 1 и по 4.5.1
Л, =2а + 1 =(а + 1) + а. (4.5.4)
Разность между квадратами двух последовательных чисел равна
сумме этих чисел и, следовательно,
(а + 1)2 =а2+(2д + 1).	(4.5.5)
44
Проследим, как изменяются разности R при последовательном
увеличении чисел:
(а +1)2-а2 = 2а +1 = Я(
(а + 2)2-(а +1)2 = 2а + 3 = Я, = (2а + 1) + 2 = Я,+2
(а + 3)2-(а+ 2)2 = 2а + 5 = Я, = (2а + 1) + 4 = Я,+4
(а + г)2-(а + г-1)2 =2л+(2г-1) = Я. =(2а + 1)+2(г-1) = Я,+2(г-1).
Очевидно, что при увеличении оснований на единицу разность
квадратов увеличивается на 2 независимо от величины основа-
ний (чудесное свойство!).
Просуммировав левые и правые части последних равенств, в
общем случае получим:
(а + г)2 -а2 = гЯ, + [2 + 4+...+2(г-1)]=гЯ( + г(г-1)
или
R„=r(Rt+r-\) (4.5.6)
и. следовательно,
b2 = а2 + r(R} + г-\).
Приняв а = 10", легко вычислить квадрат числа h > 10", напри-
мер: вычислить I72. Принимаем а- 10, тогда по (4.5.4) Я, =
2 10 + I = 21. по (4.5.6), R, = 7(21 + 7 - I) = 189, 172 = 100 +
189 = 289.
Запишем равенства для квадратов последовательных чисел:
(а + 1)2 =а2 + Я|
(а + 2)2 =(а + 1)2 + Я| +2
(а + 3)2 =(а + 2)2 + Я, +4
(а + г)2 = (а + г-1)2+Я,+2(г-1).
Эти равенства показывают, что для составления таблицы квад-
ратов чисел достаточно возвести в квадрат только 1-е число,
квадраты последующих чисел будут найдены простым суммиро-
ванием, например:
102 = 100
И2 =100 + 21 = 100 + (10 + 11) = 121
45
122 = 121 +21+2= 121 +(11 + 12)= 144
132 = 144 + 21 + 4 = 144 + (12 + 13) = 169 и т. д.
Разность кубов двух чисел можно вычислить по равенству
Rn = (о + г)3-а3 = г[3а(а + г) + г2].	(4.5.7)
Принимая значения числа г последовательно 1, 2, 3, ... , полу-
чим
(а + 1)3 =<? + /?, = в’ + 1[За(а + 1)+12]
(а + 2)3 =а3 + /?2 = а3+2|Зо(а + 2) + 22]
(а + З)3 = а3 + Ry = а3 + 3-[3а(а + 3) + З2 ]
(а + r)3 = о3 +R„ = а' + г|3а(а + г)+г2].
Из последнего равенства следует
(а + г)3 =а3 + г-[За(а+г) + г2).	(4.5.8)
Приведенные равенства позволяют составить таблицу кубов чи-
сел.
При увеличении показателя степени на 1 степень увеличивает-
ся в основание раз: ап''—а а". Чем больше основание, тем стре-
мительнее возрастает степень.
Есть группы чисел, степени которых образуют чудесные равен-
ства: цифры Пифагора — 3, 4 и 5 образуют равенство: З2 + 42 =
52; числа ряда Разинского - 10, 11, 12, 13 и 14 — образуют ра-
венство 102 + II2 + 122 = 132 + 142. Равенства для 3 чисел легко
составить; необходимо, чтобы выполнялись условия: среди чисел
а, b и с должны быть два числа, кратных 3 и 4, и нужно, чтобы
существовали равенства
Пример: т = 5, п = 3, тогда а = 15, b = 8, с = 17.
82+152 = 172; 64 + 225 = 289.
Запишем квадраты последовательных чисел в виде сумм:
12= 1
22 = I + 3
З2 = 1 + 3 + 5
а2 =1 + 3 + 5 + ... + (2а - 1).
46
Квадрат числа равен сумме нечетных чисел от 1 до 2а—I. Число
слагаемых равно основанию квадрата. Последнее равенство пе-
репишем в другом виде:
aJ=l+(l+2)4-(l+4)+...+[l+(2a-2)] = a+2[l+2+3+...+(a-l)J.
Квадрат числа равен сумме основания квадрата и удвоенной
суммы последовательных чисел от 1 до а — 1 и, следовательно,
а2 = а + а(а - 1).	(4.5.9)
Запишем кубы последовательных чисел в виде:
1’= 1
2Э = I + 7
3’ = 1 + 7+ 19
д3 = 1+7+19 + 37+61 + ...
6 12 18	24
Число слагаемых равно основанию куба. Разности между сла-
гаемыми числами образуют арифметическую про!рессию, общий
член которой R = 6/, где / = 1,2, ... (а - 1). Перепишем куб чис-
ла с учетом разностей:
а5 = | + (6+1) + (18 + 1) + (36+1)... = а + 6+(6+12) + (6+12 + 18) + ...=
= а+6(а-1)+12(а—2) + 18(а—3)+...
д’ = а + 6((а-1)1 + (а-2) 2 + ... + 1(а-1)].	(4.5.10)
Произведения в квадратной скобке вначале возрастают, а по-
том уменьшаются. Число слагаемых в квадратной скобке на еди-
ницу меньше основания куба.
Еще одна тайна: куб числа равен сумме его основания и произ-
ведения трех последовательных чисел, среднее из которых равно
основанию куба:
а’=а + (а-1)а(а + 1) = а[(а-1)(а + 1) + 1].	(4.5.11)
Пример: 53 = 5 + 6(41 + 3 2 + 2 3+1 4) = 5 + 6-20 = 125; (по 4.5.10)
53 = 5 + 4 5 6 = 5 + 120 = 125.	(по4.5.11)
Подобным же образом можно представить другие степени, од-
нако числа суммы образуют более сложную последовательность,
например, у 4-й степени только вторые разности образуют
арифметическую прогрессию с разностью 24.
47
4.6.	Извлечение корня
4.6.1.	Общие положения
Извлечение корня — действие, обратное действию возведения в
степень, при этом отыскивается основание, которое при возведе-
нии в степень показателя корня дает подкоренное число.
Знак извлечения корня — радикал ; показатель корня п за-
писывается в верхней левой частя радикала —	; показатель
корня, равный 2, у знака радикала не пишется; в этом случае
корень называется квадратным. Если показатель корня равен 3,
то корень называется кубическим, например:
V15 - квадратный корень из 15.
Vi? - кубический корень из 15,
Vi? — корень 5-й степени из 15.
Действие извлечения корня трансформируется в действие воз-
ведения в степень с дробным показателем степени, например
^ = 5^.
Корень из произведения равен произведению корней из мно-
жителей, например:
Vn 16 = ViTVi?.
Корень из частного равен частному от деления корней, напри-
мер:
V17:6=Vn :V?.
Произведение корней разных показателей из одинаковых под-
коренных чисел равно корню с показателем, равным произведе-
нию начальных показателей, из числа в степени, равной сумме
показателей корней, например:
Vi? Vn = $Vl7,+' =
Корень из степени равен корню из основания в степени подко-
ренного числа, например:
Корень из корня с другим показателем равен корню с показа-
телем. равным произведению показателей корней, например
48
Ул/16 =Vl6 , при этом показатели корней можно менять местами:
УЖ = УЖ .
Извлечение корня простым расчетом затруднено, в отдельных
случаях выполняется по разработанным методикам. Корень лю-
бой степени легко извлекается с помощью действия логарифми-
рования.
Чудесная особенность действия извлечения корня в том. что с
увеличением показателя корня корень из числа больше 1 и из
числа меньше 1 стремится к 1, например:
000000 = 1000	у/о.ОСШН = 0,001
^/1000000 = 5,623	Уозюооо? = 0.178
^1000000 = 1,241	^0,000001 = 0,806.
Скорость уменьшения/увеличения основания при последова-
тельном увеличении показателя корня быстро уменьшается. Ес-
ли УЖ в 1000 раз меньше 10*. то ^1,24 только в 1.11 раза
меньше 1,24.
Повторным извлечением квадратного корня можно извлекать
корни с показателем, равным степени 2", если т = 2", то
п
Мнение о том. что основание меньше подкоренного числа,
справедливо только для показателя корня больше 1. Если пока-
затель корня меньше 1, то основание больше подкоренного чис-
ла, например:
= 2,/О|=2"’=Ю24.
4.6.2.	Извлечение квадратного корня
При извлечении квадратного корня следует учитывать, что:
•	Основание 1—2-значного числа - цифра;
•	Каждые две последующие цифры подкоренного числа
увеличивают основание на одну цифру;
49
•	Число групп по 2 цифры справа налево (левая группа
может иметь одну цифру) определяет число цифр в це-
лой части основания;
•	Первая цифра основания определяется по числу в пер-
вой группе;
•	Последняя цифра основания полного квадрата соответ-
ствует последней цифре подкоренного числа, как пока-
зано в таблице:____________________________________
Пол корнем ...о	14 9 6 5 6 9 4 1
У основания.,.Ь	1 23456789
Если такого соотношения нет, то основание смешанное число.
Рекомендуется проанализировать подкоренное число и вынести
из пол корня возможные множители.
Основание из трех и более цифр можно определить по методи-
ке расчетом с помощью таблицы логарифмов, по эмпирическим
формулам и, естественно, с помощью калькулятора.
По методике число представляется в виде суммы Юа+Л. где а —
цифра/число. b — цифра, например: 231 = 10-23+1. Квадрат тако-
го числа описывается равенством:
(I Оо +/>)2= 1 ОО^+НЗОа +/>).
Извлечение квадратного корня по методике поясним на при-
мере. Пусть нужно извлечь квадратный корень из числа 104 976.
Число разбиваем на группы по 2 цифры справа налево (левая
группа в общем случае может иметь одну цифру), по первой
группе (слева) определяем, какая цифра в квадрате дает число,
близкое к числу в группе, - в нашем примере это 3, записываем
эту цифру после равенства, а се квадрат — под 1-й группой и
вычитаем, к полученной разности — единице — приписываем
цифры второй группы, получаем число 149, первую цифру
основания 3 удваиваем и записываем рядом с числом 149, делим
14 на 6 - получаем 2, пишем эту цифру рядом с 6, число 62
умножаем на 2 и произведение записываем под 149 и вычитаем.
Цифру 2 записываем в основание рядом с цифрой 3. Цифры по-
следней группы приписываем к разности 25. получаем число
2576; часть основания - число 32 — умножаем на 2, и произве-
дение записываем правее числа 2576. Сравниваем три первых
цифры - 257 с числом 64. считаем 6 4 близко к 25. к 64 припи-
сываем 4 и полученное число 644 умножаем на 4. произведение
пишем под числом слева — разность левых чисел равна нолю.
50
извлечение квадратного корня окончено, цифру 4 приписываем
к 32 - получаем искомое основание 324.
^104976=324
-9
149	(62 2)
- 124
2576 (644 4)
.2576_
0
Проследите действия извлечения квадратного корня в следую-
щем примере, данном без пояснений:
755507,36 = 235,6
-4___
155	(43-3)
- 129____
2607 (465 • 5)
2325
282,36 (470,6  6)
- 282,36
О
Рассмотренная методика извлечения квадратного корня — дань
прошлому и чудесному взаимодействию чисел.
С достаточной точностью квадратный корень из числа с можно
вычислить по эмпирической формуле, заменив подкоренное
число суммой двух чисел а и Ь таким образом, чтобы выполня-
лись равенства:
с = а2 + b	или	с = а2 — Ь,
Л <0,5.
а2
При этих условиях искомое основание вычисляется по формуле
x = Jc=Ja2+b=a + —	(4.6.2.1)
2а
или по формуле, предложенной в XI веке арабским математиком
Аль-Кархи
Г~2 Г Л
х = у1<1 + b = а +-.
2л + 1
51
Пример: определить х = V28- • Заменяем число 28 суммой 52 + 3,
тогда
х = 5 + — = 5,30, или х = 5+—-— = 5,27.
2 5	2-5 + 1
(фактически >/28 = 5.29).
Пример: определить х = -/Гз8. Заменяем число 138 разностью
122—6, тогда
х = 12 +-------= 11,75;
2 12
х = 12 +-------=11,76.
2-12 + 1
С большей точностью квадратный
формулам:
корень можно вычислить по
7 = 4а2 + Ь = —
2
b
2а а
а2 +Ь
или
2
г Г~2 7 с+а ас
x = -Jc = \и +Ь ------------------+ —---.
4а а +с
Вычислив по этим формулам ^28 , получим 5,29.
4.6.3.	Извлечение кубического корня
При извлечении кубического корня следует учитывать, что:
•	Основание для 1-2-3-значного подкоренного числа —
цифра, равная соответственно 1, 2, 3 или 4, 5-9, на-
пример: W = 2, Уб4 = 4, V343 = 7;
•	Каждой последующей цифре основания соответствует
группа из трех цифр подкоренного числа, считая их
справа налево; в последней левой группе может быть 1-
3 цифры. Число групп определяет число цифр основа-
ния;
•	Первая цифра основания определяется по числу в 1-й
группе, последняя цифра основания полного куба соот-
ветствует последней цифре подкоренного числа, как по-
казано в таблице:
52
Под корнем ...а_1 234567890
У основания.,.Ь_1 874563290
Если такого соответствия нет, то основание куба — смешанное
число, а подкоренное число — неполный куб.
Существует методика извлечения кубического корня расчетом,
подобная методике извлечения квадратного корня.
Извлечение кубического корня (корня 3-й степени) расчетом
затруднительно. Приближенный результат можно получить по
предлагаемой эмпирической формуле:
х = У7 =	+ А = а +
'	10а
Погрешность результата зависит от отношения при -^-<0,5
10а	10а
в большинстве случаев Лх < 0,2.
Пример: х = ^40 = ^3’ +13 = 3+= 3,43 (фактически 3,42).
Пример: х = V350 = V?1 + 7 = 7 + у^у = 7.1 (фактически 7,05).
При сравнительно малом значении подкоренного числа и не-
большой тренировке извлекать кубический корень можно в уме.
4.6.4.	Извлечение корней 4-й и 8-й степеней
Извлечение корней 4 и 8-й степеней выполняется по формуле
(4.6.2.1) при последовательной замене подкоренного числа:
выполнив замену а = г, получим
и, следовательно,
x=z +—.	(4.6.4.1)
4az
Числа а и Ь подбираются с расчетом, чтобы а удовлетворяло
одной половине неравенства < у<а2, а также — =	< 0.5,
2a а2
при этом число а должно быть полным квадратом а = г (в
53
большинстве случаев г — цифра). Выбрав число а, определяется
г— 4а и вычисляется искомое основание.
Пример: определить х = ^300 . 162 < 300 < 252 (256 < 300 < 625).
256 ближе к 300, поэтому принимаем b = 300 - 256 = 44. а = 16
44
и z=4. По 4.6.4.1 х = 4 +-----= 4.17 (фактически 4.16). Извлс-
4 4-16
чение корня 4-й степени можно выполнить раздельно: извлечь
внутренний, а потом внешний корни. Проследим действия на
примере. Определить х = ^45. К подкоренному числу близок
полный квадрат 72 = 49, а = 7, b = 45 - 49 = -4.
По 4.6.2.1,
_ 4	_ 2
х. = 7---= 7----.
'	2 7	7
Прибавим к полученному результату условный ноль, чтобы на
месте числа 7 был полный квадрат, 0 = 2-2, получим
Х| = 9- 2 -1 = 9-—.
7	7
По 4.6.2.1
х =	“7” = 3 - - *6 з = 2.62 (фактически 2,59).
Извлечение корня 8-й степени выполняется последовательно
извлечением 4-й и 2-й степеней:
После извлечения корня 4-й степени следует сделать замену
первого слагаемого так. чтобы он стал полным квадратом (в ра-
венстве 4.6.4.I):
Подобным способом можно извлекать корни 16-й и 32-й сте-
пеней.
4.6.5. Извлечение корней 10-й и 5-й степеней
Извлечение корня 10-й степени выполняется по эмпирической
формуле, в которой степени корней кратны 2:
54
или
(4.6.5.!)
Если показатель степени десятичная дробь, то его следует пре-
образовать, применив при необходимости условный ноль или
условную единицу.
Пример: определить х = 10'”’.
х = ю06 = ioO!W)J = 1 o°-5i 0°1 = Vio'^io;
Vio.m	. ЛлСТз
V 2 V 2
х = 3,16 1,25 = 3.95 (фактически 3,98).
Чтобы преобразовать корень 10-й степени в корень 5-й степе-
ни, достаточно заменить подкоренное число квадратом другого
числа: а = /, тогда согласно 4.6.5.1 получим
К1Г" «Г- Jy+ylJy
x = 'i]a=\Jy=	.	(4.6.5.2)
Если принять а = /, то
X =	(4.6.5.3)
Если принять а = /. то
x = ^7=^Z±T	(4.6.54)
Пример: определить л = Уз,
По 4.6.5.2,
/75 + ^5	/2,24 + 1,50 I--
х ~ у—т— = J-----------= Vl-87 = 137 (фактически 1,38).
Пример: определить х = 2°’. х = 20S =2%” — v 2**
/2^ + л «—
По 4.6.5.4, х = J —-— =73 = 1.73 (фактически 1,74).
55
4 6 6. Извлечение корня по внешним признакам числа
Нннпнне признаки числа - его значность и последняя цифра.
• )> .1 ii.iu.k'ioi, этого бывает достаточно, чтобы определить осно-
вание Чудесное свойство!
Нниманис извлечение корней с показателями 3~8 по внешним
при таким возможно, если число является соответствующей
ионной степенью целого числа.
Корень 3-й степени из числа не более 3 знаков с последней
цифрой I. 4. 5, 6 или 9 — это однозначное число, равное по-
следней цифре; если последняя цифра числа 2, 3, 7 или 8, то
корень равен дополнению последней цифры до 10, например:
^343 = 7.
Если подкоренное число имеет более 3. но менее 6 знаков, то
корень — двузначное число, при этом последняя цифра опреде-
лится гак. как указано выше. Для определения 1-й цифры под-
коренное число нужно разбить на группы по 3 цифры справа
налево и число левой группы сравнить с кубами цифр и взять
цифру, куб которой меньше числа в 1-й группе.
Пример, определить х = ^13824 , х - двузначное число, послед-
няя цифра 4, первая группа 13 > 8 = 2’. следовательно, х = 24.
Корень 4-й степени из числа меньше 10 000 — цифра. Если
число меньше 100 и оканчивается цифрой 6, то основание равно
2, если больше 200 — основание 4. если больше 4000 - основа-
ние 8. Если число оканчивается, цифрой 1 и меньше 100, то ос-
нование равно 3; больше 2000. но меньше 3000 - основание
равно 7; больше 6000 - основание равно 9. Если число оканчи-
вается цифрой 5 и меньше 700, то основание равно 5. Если че-
тырехзначное число начинается цифрой 1 и оканчивается циф-
рой 6, то основание равно 6.
Примеры: x = Vl6 = 2; х = ^256=4; х = ^4096 = 8; x = №T = 3;
х = V24OI = 7; х = </б561 =9; х = ^625 = 5; x = V1296 = 6.
Корень 5-й степени из числа меньше 60 000 равен последней
цифре числа (чудесное свойство!).
Примеры:	х«$024 = 4; х = ^16807 = 7; х = ^32768 =8;
х = ^59049 = 9.
Корень 6-й степени из числа меньше 10* - цифра, при этом ос-
нование равно 2 из двузначного числа. 3 из трехзначного. 4 из
56
четырехзначного 5 из пятизначного чисел, 6 из 5-значного числа
с последней цифрой 6; 7, 8 или 9 из шестизначного числа, соот-
ветственно оканчивающегося цифрами 9. 4 или I.
Примеры: х = ^/46656 = 6; х = ^117649 = 7; * = ^531441 =9.
Корень 7-й степени из числа меньше 107 - цифра, при этом ос-
нование равно 2 из трехзначного. 3 из четырехзначного чисел; 4
или 5 из пятизначного числа, имеющего соответственно послед-
нюю цифру 4 или 5; 6 или 7 из шестизначного числа, имеющего
соответственно последнюю цифру 6 или 3; 8 или 9 из семизнач-
ного числа, имеющего соответственно последнюю цифру 2 или
9.
Примеры:	x = V128=2; x = V2187 = 3; x = ^/l6384 =4;
х = ^823543 =7; х = ^2097152 = 8; х = ^4 782969 = 9.
Корень 8-й степени из числа меньше 10" - цифра, которая на 1
меньше числа знаков подкоренного числа до 6 знаков; семи-
значное число может быть степенью 6 или 7, но степень 6 окан-
чивается цифрой 6, а 7 - цифрой I; восьмизначное число может
быть степенью 8 или 9, но степень 8 оканчивается цифрой 6. а 9 -
цифрой 1.
Список корней по внешним признакам можно продолжать.
Несомненно, что все рассмогренные случаи извлечения корней
являются по-своему удивительными.
4.6.7. Извлечение корня п-й степени
Ньютон предложил формулу для извлечения квадратного корня
г~_ 1 . , х .
О= V.V = -(о+-),
2 а
где а — искомое основание; первоначально принимается, что tr<x
Анализ показал, что можно извлекать корень л-й степени по
формуле:
а= з/л = -((л - 1)а +—,
л	а, '
где а — искомое основание определяется способом последова-
тельного приближения до получения искомого основания с не-
обходимой точностью.
Число а,, рассчитывается по вспомогательным числам Л, и Л2,
которые определяются по неравенству:
57
Ь}я< х <Ь2Я, а0= -~+^г .
2
Пример: вычислить а=^25 с двумя верными цифрами после
запятой.
1 + 2
Решение: 16<25<2\ принимаем а0= —— = 1,5.
1-е приближение: о,=- (5-1,5+25/1,55)« 1,799;
6
2-е приближение: а2=- (5-1,799+25/1,799’)= 1,720;
6
3-е приближение: а3=— (5-1,720+25/1,720')= 1,710;
6
4-е приближение дает такой же результат а= 1,710. Контроль-
ная проверка: 1.71<>=25,ОО2.
Все вычисления легко проверяются с помощью калькулятора.
4.7. Логарифмирование
Начнем с примера. Требуется вычислить х-'^Ю^9 . Реальна
ли такая задача - извлечь корень 1000-й степени из 700-значного
числа? Обычным способом извлечь такой корень невозможно,
но, оказывается, есть чудесное действие, которому любая задача
«по плечу». Это логарифмирование.
Логарифмирование — это действие, противоположное возведе-
нию в степень. Логарифмом положительного числа а при поло-
жительном основании b называется показатель степени с, в ко-
торую надо возвести число Ь, чтобы получить число а. В общем
случае логарифм обозначается символом «log*.
log„a = с,
при условии, что а = bf, например: log525 = 2 , это означает: 52 = 25.
Логарифмирование обычно выполняется с помощью таблиц
логарифмов. Используются обыкновенные и натуральные лога-
рифмы.
Обыкновенные или десятинные (Бригговы) логарифмы имеют
основанием число 10, обозначаются символом «1g* без указания
основания. Запись 1g а = с соответствует записи logmfl = с и оз-
начает, что а = 10'. Натуральные или гиперболические логарифмы
58
имеют основанием число е = 2,71..., обозначаются символом
•1п» без указания основания. Запись 1по = с соответствует записи
log,.a = с, что означает а = ее, например: 1пЮ2 = 4,605, следова-
тельно. 102 = е4-605.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:
lg(a/>c) = lg« + lg/>+lgc.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на
логарифм основания:
lga‘ =clga.
В нашем первом примере х = Ю0,6” и, следовательно.
Igx = 0,699, так как Ig 10 = 1, х = 5,0.
Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и
знаменателя:
lg(a :b) = Iga-lgb,
lg(a: а) = Ig 1 = Ige - Iga = 0.
Логарифмирование упрощает вычисления произведений, част-
ных. степеней и корней с любыми показателями.
Мантисса - дробная часть десятичного логарифма с любой
точностью вычисляется с помощью «ряда»:
.	*..г	1/	х-1 зз •/	1/	х-1 37	1
lgx = 2A/| --+-(	---- ) +-( ---- ) +-(	---- )7+...	],
х + 1 3 х+1	5 х+1	7 х+1
где М - 0.434294482... (модуль перевода In -> 1g). х ~ число, запи-
санное цифрами логарифмируемого числа так, чтобы 10 > х > 1;
например: а=274. х=2,74; а=0,0036, х=3,6; о=4,05 , х=4,05.
Логарифм числа в большинстве случаев — иррациональное
число, и вычисленные с помощью логарифмов числа практиче-
ски всегда содержат ошибку, величина которой зависит от знач-
ности используемых логарифмов. Чем больше значность лога-
рифмов, тем выше точность вычислений.
Для большинства практических задач достаточны таблицы 3- и
4-значных логарифмов. Для решения задач, требующих повы-
шенной точности, используются таблицы многозначных лога-
рифмов; к ним относятся:
обыкновенные:
10-значные А. Влакка,
14-значные Г. Бригга (создатель обыкновенных логарифмов),
20-значные Ф. Килле;
натуральные:
48-значные Вольфрама,
59
61-значные Шарпа,
102-значные Паркхерста,
260-значные Адамса.
Таблицы логарифмов-гигантов позволяют решать специальные
задачи с величайшей точностью.
Несколько слов о принципе построения таблиц логарифмов.
Любое число можно представить в виде произведения целой
степени числа 10 и числа, меньше 10, но больше 1, например:
4376=!()'-4,376,
437,6= 102-4,376.
43,76 = I О1-4,376,
4,376= 10°-4,376.
Десятичные логарифмы этих чисел будут иметь вид:
1g 4376 = 3+lg4,376 = 3,6411.
Ig 437,6 = 2 + Ig 4,376 = 2,6411,
Ig 43,76= 1 + lg 4,376= 1.6411.
Ig 4,376 = 0 + Ig 4,376 = 0,6411.
Логарифмы приведенных чисел различаются только целой ча-
стью. которая называется характеристикой, а дробная часть их
одинакова, она называется мантиссой. Примеры показывают,
что характеристика логарифма на 1 меньше числа знаков целой
части числа.
Любое дробное число можно представить в виде десятичной
дроби, а также произведения отрицательной целой степени чис-
ла 10 и числа, меньше 10. но больше 1. например:
0,4.376= 10’1-4,376.
0,04376 = 1 О*2-4,376,
0,004376 = 10”’ 4.376.
Логарифмы приведенных чисел будут иметь вид:
Ig 0,4376 = -1 + Ig 4,376 = Т.6411,
Ig 0.04376 = -2 + lg 4,376 = 2,6411
lg 0,004376 = -3 + lg 4,376 = 3,6411 .
Приведенные примеры показывают, что отрицательная харак-
теристика равна числу нолей, стоящих перед первой значимой
цифрой, в примерах показана условная запись логарифмов в ви-
60
ле двучлена: отрицательная характеристика записывается со зна-
ком минус над целым числом, а рядом — положительная ман-
тисса. При действии с логарифмами дробных чисел их следует
преобразовать в отрицательные числа.
Таблица десятичных логарифмов содержит только значения
мантисс. Определить число по заданному логарифму можно с
помощью таблицы логарифмов обратным входом либо с помо-
щью специальной таблицы антилогарифмов. Действие нахожде-
ния числа по его логарифму называется потенцированием.
Краткое знакомство с логарифмированием раскрывает чудес-
ные тайны чисел. Оказывается:
•	можно возводить число в степень целого, смешанного и
дробного значения;
•	число можно представить как произведение чисел, одно из
которых равно 10", а другое меньше 10, но больше 1;
•	целая часть показателя степени (при основании, равном 10) -
характеристика десятичного логарифма — равна числу знаков
целой части числа без единицы или числу нолей у десятичной
дроби;
•	логарифмирование объединяет одной методикой действия
умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
4.8. Действия с относительными числами
На числовой оси все числа, расположенные левее ноля, - от-
рицательные числа. Мир отрицательных чисел в общем подобен
миру действительных чисел.
При действиях сложения, умножения, возведения в степень и
извлечения корня с действительными числами результат всегда
положительный. Только одно действие с положительными чис-
лами может дать отрицательный результат - это вычитание. Ес-
ли вычитаемое больше уменьшаемого числа, то разность - от-
рицательное число. При расчетах приходится применять дейст-
вия к отрицательным и относительным (положительным и отри-
цательным) числам, в этом случае числа записываются со знака-
ми: положительные со знаком плюс (+), отрицательные со зна-
ком минус (-).
Извлечение корня с четным показателем и логарифмирование
отрицательного числа невозможно.
Чтобы уяснить взаимодействие знаков относительных чисел,
воспользуемся формулой квадрата суммы/разности двух чисел
61
(a±b)2 =a2 ±2ab + b2.	(4.8.1)
Будем подставлять в формулу числа а и Ь, снабдив их допол-
нительными множителями - единицами со знаками:
а=(+1)а,	Ь = (+\)Ь,
|(+1)а+ (+!)/>]2 = (+1)(+1)а2 + 2(+1)(+1)а/> + (+1Х+1)/»2.
Из сравнения последнего равенства с 4.8.1 следует, что
(+1)(+1) = (+1).
а=(+1)а,	b = (-\)b,
[(+1)а + (-1)/>]2=(+1)(+1)а2+2(+1Х-1)а/> + (-1)(-1)<>2.
Сравнив это равенство с 4.8.1, получим
(+!)(—!) = (-!).
(-!)(-!) = (+1).
Из последних равенств следует:
(-1): (+!) = (-!),
(-1) :(-!) = (+!),
(+1) :(-!)= (-1).
При действиях с относительными числами рекомендуется
внимательно относиться к знакам чисел.
При сложении двух чисел с разными знаками нужно из боль-
шего числа вычесть меньшее и разности приписать знак больше-
го. Если слагаемых больше 2, то желательно уравнять знаки сла-
гаемых (поменять знаки числа и действия).
При умножении относительных чисел, если множителей
больше 2, необходимо выполнить анализ знаков - определить
знак произведения. Точно также следует поступать и при деле-
нии относительных чисел.
Возведение отрицательного числа в четную степень дает поло-
жительный результат, в нечетную - отрицательный результат.
Корень с нечетным показателем из отрицательного числа —
отрицательное число; корень с четным показателем из отрица-
тельного числа - мнимое число, корень с четным показателем
из положительного числа может быть положительным или отри-
цательным числом.
5.	Числа вида (1...1)
Числа вида (1...1) записываются одной цифрой - 1. Действия с
такими числами обладают многими чудесными свойствами.
62
Произведение вида (1...!)(!...!) имеет строгую последователь-
ность цифр, максимальная цифра в произведении всегда равна
сумме единиц меньшего множителя, число знаков в произведе-
нии равно сумме знаков множителей без 1; повторяемость наи-
большей цифры в произведении равна разности сумм единиц
множителей плюс 1. Все произведения начинаются числом 12 и
оканчиваются числом 21 (исключение: в произведении 11 11
цифра 2 - общая для чисел 12 и 21). Справедливость сказанного
легко проследить на примере: 11111111 = 1 233 321.
Рассматриваемые числа можно представить в виде оригиналь-
ных сумм с непременным участием цифры 9 (!):
11=9-1 + 2
111 = 9 12 + 3
1111=9 123 + 4
II 111= 9 1234 + 5
Ill 111 = 9 12 345 + 6
I 111 111 = 9 123 456 + 7
11 111 111 = 9 I 234 567 + 8
111 111 111 = 9 - 12 345 679.
Такие числа имеют мало простых множителей:
11 = 1-11;
1111 = 111- 101;
111 - I - 3 • 37;
11 111 = 1 41 • 271;
111 111 = I 3 7 11 • 13 37;
1 111 111 = I 239 4649;
11 HI 111 = 1 11 • 73 • 101 • 137;
111 111 111 = 1 - 3 • 3 37 333 667;
111 III HI 111 = I 3 7 II • 13 37 101 9901;
Hl HI HI III HI = I • 3- 31 37 41 271 • 2 906 161.
Малое число простых множителей определяет малое число со-
ставных множителей. Число 11 - простое число. Числа 111,
1111, 11 111 и I 111 HI имеют по одному составному множите-
лю. равному самому числу. Число 111 III имеет 25 составных
множителей, И HI 111 - 14 составных множителей, а у
111 111 111 только 10 составных множителей.
Произведение числа на множитель вида (1...1) можно записать
сразу, последовательно складывая цифры множителя, начиная с
цифры единиц.
Чтобы уяснить смысл такого умножения, рассмотрим пример:
63
v ill
1342
или
XI342
III
222
444
333
111
148962
1342
1342
1342
148962
Последняя цифра произведения равна последней цифре мно-
жимого, левее — сумма двух последних цифр, далее — сумма
трех последних цифр. Так как множитель 3-значный, то при
дальнейшем суммировании справа последовательно отбрасыва-
ется последняя цифра. В случае, когда сумма оказывается боль-
ше 10 (20), в произведение записывается только число единиц, а
число десятков прибавляется к последующей сумме.
Число знаков в произведении равно сумме знаков множителей
без I или сумме знаков множителей в случае, когда 1-я цифра
множимого равна 9 (8), а последняя, сумма больше 10 (20), на-
пример:
В примере знаком и отмечены цифры, переходящие в после-
дующие суммы.
Свойства множителей вида (1...1) используются в числовых
фокусах.
6.	Числа вида a...ab...(b + 1)
6.1.	Сказка-загадка
В мире сказок большое разнообразие. В каждой из сказок свои
тайны, ее герои (предметы, птицы, звери, люди) совершают чу-
деса.
В предлагаемой здесь сказке нет лжи - только правда. Герои
этой сказки - цифры и созданные ими числа.
В некотором царстве... В обычном многозначном числе оказа-
лись две цифры-подружки рядом, назовем их а (аннушка) и b
(букашка), и около них стояла единичка-малышка. Подружки
беседовали, а единичка слушала. Говорила аннушка: вот сколько
веков мы с сестричками-цифрами трудимся, сколько чисел со-
ставили; кого только не определяли мы — число единиц, десят-
ков, сотен, тысяч..., бывали на крыше - в числителе и в подвале -
знаменателе дроби, обозначали степень, сидели в «корыте» ра-
дикала, чтобы все видели показатель корня... Всего не перечесть.
Единичка, слушая это, подумала: да, много дел у цифр, мне то-
же многое поручают. Здесь мысли единички прервались, она ус-
лышала, как аннушка предложила букашке: давай создадим свои
чудо — числа на зависть всем. Единичка подумала: вряд ли им
обойтись без моей помощи. Аннушка продолжала: обозначим
новое число буквой А, в начале числа места займу я, а потом ты,
букашка, сколько мест каждой цифре? Сколько угодно. Сказано —
сделано. Аннушка записала свои цифры а, а далее продолжила
букашка писать свои цифры Ь, но. почувствовав усталость, оста-
новилась и чуть не упала, стоящая рядом единичка подала бу-
кашке руку и осталась с ней.
Вот такое получилось число:
4 = a...ab...(b+1).	(6.1.1)
Решили испытать число, умножили для начала на 2, и (о, чу-
до!) цифры в новом числе поменялись местами:
А2 = 6...(Ь + 1)а...(а + 1),	(6.1.2)
только последняя цифра а, увидев перед собой пустое поле, при-
крыла себя единичкой.
Но тут аннушка сообразила, что она теперь нс на первом мес-
те, и вновь умножила последнее число на 2 - основные цифры
вернулись на свои исходные места. Аннушка сказала: такими
числами управлять трудно, впредь будем каждой из нас давать
65
равное число мест, а общее обозначение числа снабжать индек-
сом, чтобы сразу было видно, сколько каждой цифры в числе.
Преобразованное число получило окончательный вид:
А„	(6.1.3)
сохранив все свои свойства.
Продолжили испытания числа, умножили его на о, а потом —
на Ь. Получили:
А„а = I0...01...01,	(6.1.4)
А„6 = 2O...O2...O2.	(6.1.5)
В этих числах их сохчателям места не оказалось.
Умножили два числа:
А, =д(6 + 1) и А, = aaabb{h + \),
получили
AjA, = 12345679.	(6.1.6)
но в последнем числе нет цифры 8. Как вернуть эту цифру на
свое законное место между 7 и 9? Единичка предложила создать
вспомогательное число с- 10(о + 6)+1; образовали новое про-
изведение и получили
^,<• = 1123456789.
Все цифры оказались на своих местах. Чудесные числа полу-
чились. Пора открыть тайну цифр.
Уважаемый любознательный читатель, не заглядывая дальше,
попробуйте определить цифры а и Ь. В сказке есть все, чтобы
решить эту задачу в 5 вариантах (а может быть, есть и 6-й вари-
ант?).
6.2.	Определение цифр а и 6
Задача о цифрах решается логически, и только в одном случае
требуется немного арифметики.
1-е решение', в равенстве 6.1.4 последняя цифра 1, она возмож-
на при умножении цифр: I • I. 9 9 и 3 7. Так как а * b + 1, то
первые два произведения для нашей задачи неприменимы, оста-
ется только 3-е произведение, следовательно, а = 3 и b + 1=7,
откуда 6 = 6.
2-е решение-, из равенств 6.1.1 и 6.1.2 следует, что Ь = 2а. В ра-
венстве 6.1.6 последняя цифра 9 образована произведением
(6 + 1)(6 + 1), следовательно, (6+1) равно 3 или 7. Последняя
66
цифра (6 + I) в левой части равенства 6.1.2 получена при умно-
жении цифры а на 2, а дополнительную единицу она получила
от произведения 2Ь правой части числа; это означает, что 26 >
10. или Ь > 5, поэтому b + 1 = 7, b - 6 и а= 3.
3-е решение', из сравнения левых частей равенств 6.1.1 и 6.1.2
очевидно, что 6 = 2а и а < 5, тогда b < 10, но 26 > 10, так как
последняя цифра а в левой части числа при умножении на 2 по-
лучает дополнительную единицу, следовательно, 6 > 5 и цифра
четная, т. е. равна 6 или 8. Последняя цифра числа при умноже-
нии на 2 дает число больше 10, при этом у него вторая цифра
равна (а + 1). Существует равенство:
2(6 + 1) = 10+(а+ 1);
решив это равенство, получим а = 3 и в — 6.
4-е решение, из анализа 6.1.6 следует, что последняя цифра 9
является результатом умножения (6+1) на (6 + I). следователь-
но, 6 + I равно 3 или 7. Приняв множитель равным 7, следует
считать 6=6, тогда правая часть множителя будет иметь вид:
...ЬЫ.Ь + 1) = ...667 и при умножении на 7 получим: (...667)7 =
...669. Предпоследняя цифра в 6.1.6 равна 7. поэтому произведе-
ние а(6 + 1) должно оканчиваться цифрой I, что возможно
только в случае, когда а = 3. Проверкой убеждаемся, что равен-
ство 6.1.6 существует только при а = 3 и 6 = 6.
5-е решение, из сравнения равенств 6.1.1 и 6.1.2 очевидно, что
6 = 2а — четная цифра, поэтому 6 £ 8 и о S 4. 2(6 + 1) — четные
числа, следовательно, а + 1 также четная цифра и а равна 1 или
3. Если принять а = I, то тогда 2(6 + 1) = 6 = а + 1. Абсурд. Та-
ким образом, а = 3 и 6 = 6.
Объявленные чудо-числа имеют вил
Л = 3...36...(6+1).
В общем случае троек и шестерок в А может быть любое, не
равное друг другу число.
6.3.	Свойства чисел А
Таких чисел бесконечное множество. С первыми из них мы
\же знакомы. Это множители в числах вида (1...1), кратных 3:
А, =37,	37 3 = 111
А2 =3367,	3367 33 = 1 1 1 1 1 1
А, =333667,	333 667 • 333 = 111 111 111.
В общем случае справедливо равенство
67
(1:..1) = [3;;136...(6-H)](3...3).
Эл n ' ’	Л
Числа Ая. как правило, имеют мало простых множителей. Из-
вестно. что:
А, = 37 — простое число,
А, = 3367 = 1 7 13 37.
А, = 333 667 - простое число,
А, = 33 336 667 = 1 7 13 37 9901.
А} = 3 333 366 667 = 1 31 37  2 906 161 (2 906 161 - простое
число).
У этих чисел также мало составных множителей; так, у А2 и As
только по три составных множителя, у А4 - десять. Чудесны
произведения с Л| и А,:
37	333 667-1	= 12345679,
3	= 37 037 037,
9	=111111 111,
91	=1123 456 789.
99	=1222 222 221.
Числа, каждая цифра у которых кратна З.с числами А образу-
ют перевертыши, например:
37 36 = 1332;	3367 39 = 131313;
333 667 369 = 123123123;
63 = 2331.	93 = 313131.
963 = 321 321 321.
Если последовательные числа А умножать на один и тот же
множитель, то произведения образуют пирамиду. Наиболее кра-
сивые пирамиды получаются для множителей, которые кратны
3. например:
	А 1	А 3	А 6	А 9	А 12
Л1	37	111	222	333	444
di	3367	10101	20202	30303	40404
Аз	333667	1001001	2002002	ЗООЗООЗ	4004004
	3...36...67	10..010..01	20...020...02	30..030..03	40..040...04
	А  15	А 18	А 21	А 24	А 27
А	555	666	777	888	999
Л;	50505	60606	70707	80808	90909
Ai	5005005	6006006	7007007	8008008	9009009
	...	...	• ••	• ••	...
68
Подобные примеры можно продолжать до бесконечности, для
каждого множителя будет создана пирамида со строгим разме-
щением цифр в ней.
Сумма цифр в числе Ап зависит от п и равна
сц = 9п + 1.
ксц = I!
Гаковы чудесные свойства чисел, образованных цифрами 3, 6 и I.
7.	Прогрессии
Последовательность - это набор (множество) чисел, в котором
определен закон их образования.
Любое число последовательности, выраженное как функция
сю номера в последовательности, называется общим членом по-
следовател ьности.
Последовательность может быть расходящейся (возрастающей)
или сходящейся (убывающей), для которой существует предел
суммы п + I чисел.
К числу последовательностей относятся прогрессии: арифме-
тическая (далее — ап) и геометрическая (далее - гп) прогрессии.
7.1.	Арифметическая прогрессия
Сведения об ап в учебниках и справочниках по математике более
чем скромны. В действительности любая ап — это огромный мир
взаимосвязанных чисел, полный чудес, тайн и неожиданностей.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел,
членов ап, в которой каждый следующий член больше предыду-
щего на одно и то же число - разность ап.
Общий член ап является функцией его номера и описывается
равенством
а„ =«| + г(л-1),	(7.1.1)
где а, — первый член ап,
г — разность ап,
п — порядковый номер члена ап, переменная величина.
'' = ало-«„.	(7.1.2)
Практически более удобно пользоваться для общего члена ап
предлагаемым равенством:
а„ = т + р,	(7.1.3)
69
где р — общий параметр ап.
р = ах-г.	(7.1.4)
По <|м>рмуле 7.1.3. определены, например, общие члены четных
и нечетных чисел.
Любая ап может быть задана двумя параметрами: а, и г или р и
г Четность членов ап зависит от четности параметров г и а,(р):
если «| и г одинаковой четности, то р — четное число; если а, и г
разной четности, то р - нечетное число. а„ — четные числа, если
г и р четные числа; а„ — нечетные числа, если г — четное, а р —
нечетное числа. Четность а„ одинакова с четностью п. если г —
нечетное, ар- четное числа, четность ап противоположна чет-
ности п. если г и р — нечетные числа.
Отметим одну тайну переменного числа л. Можно написать
п, = i+ я,.	(7.1.5)
где i может принимать последовательные значения 1, 2 .... т. е.
играть роль номера при г = 1 , тогда р„ = nt. Следовательно, по-
рядковый номер члена ап является членом самостоятельной ап.
Известно, что сумма п членов ап вычисляется по формуле
„ а, + а„
"	2
однако, если мы воспользуемся равенством 7.1,3, то получим форму-
лу, в которой нет а„ и сумма вычисляется по основным параметрам
s =Лл+£) + 2рл	(7.1.6)	।
Чтобы вычислить сумму членов ап от at до а2, достаточно
знать их порядковые номера
_г(Л|+л2) + 2р
2 Л|
где по — число слагаемых членов ап,
по=п2 “«I +1-
Последние чудесные равенства нигде не
Еще тайна ап. Разности квадратов двух
нов ап образуют свою ап:
an+i=l'-(« + l)+Pl2
a2 =(i7i + p)2
П,
(7.1.7)
'О'
(7.1.8)
ОПИСаНЫ.
последовательных чле-
(7.1-9)
Да2 = 2г2л + г(г + 2р)
70
Последнее равенство определяет собой общий член ап с пара-
метрами
гд -2г1
рл = г (г + 2р),
которые легко рассчитать по г и р.
На этом чудеса взятой за основу (первичной) ап нс кончаются,
ее параметры г и р являются определяющими для бесконечного
множества вторичных ап, члены которых, будучи членами пер-
вичной ап. образуют свои последовательности, обладающие до-
полнительными характеристиками. Вторичные ап можно разде-
лить на три группы:
1-я группа включает ап. у которых первый член равен а„ ос-
новной ап. сохранена разность г, но новый параметр р и новая
нумерация.
2-я группа включает ап. члены которых кратны одному и тому
же множителю.
3-я группа включает ап, члены которых образованы как суммы
членов основной ап.
Любую вторичную ап можно принять за основную и от нес
образовывать вторичные ап и т. д. При этом во всех вторичных
ап параметры будут прямо или косвенно зависеть от г и р основ-
ной ап.
Такими чудесными свойствами обладает любая ап.
7.2.	Кратные члены арифметической прогрессии
Коэффициентом кратности к может быть любое число, в том
числе и любой член ап — а„. Исключение: если р не кратен г, то
в ап нет членов, кратных г, если р = 0 или р = тг, то все члены
ап кратны г.
Примем обозначения: а(к) — общий член ап. кратный к, соот-
ветственно — гх и тогда, по 7.1.3
а(к^ = rKi+ рк. (7.2.1)
Согласно условию образования кратных членов можно напи-
сать
а(к)г=кЛ;,	(7.2.2)
где а, - модуль кратного члена ап.
В общем случае
71
Г,	(7.2.3)
т
где т — общий множитель для к и г.
Согласно 7.1.4
-гк, (7.2.4)
/>«=*( а,-— )=кРа.
т
Подставив значения гА и рк в 7.2.1, получим
а(к),= — r(i-l) + a(K).,
т
«(*)< -к( -i+fa, --) ],	(7.2.5)
т т
«(*),=*[ —i+p„ ].
Установим связь между номерами i и я, согласно 7.1.3 и 7.2.5:
гл, + /> = х-[ — (/-!) + «, ],
т
откуда
п, =-[ —(|-1) + СГ|	,
гт	г
так как ап = kta. поэтому
и, следовательно
К . , Ку.
«,=—« + («!---).	(7.2.7)
т щ
Номера кратных членов в основной ап образуют свою ап с па-
раметрами
72
ка, = к[ —(i-l) + a, ],
т
откуда
a, = —i+(a] —- ).	(7.2.8)
т	т
Модули кратных членов ап также образуют ап с параметрами
г	г
Га=—> Ра = (Х\----
т	т
В равенствах 7.2.7 и 7.2.8 есть величины Л| и а,. Если кратный
член о(к), взят непосредственно из основной ап, то указанные
«(к)1	Ч Л Z II
величины легко определяются: at =	• ,п, — по 7.2.6. Но если
к
задан коэффициент, то искомые величины определяются по ра-
венству 7.2.6 подбором, учитывая, что а, и п, целые числа, чаще
цифры. Если нет двух целых чисел (цифр), удовлетворяющих
равенству 7.2.6 , то в основной ап нет членов, кратных взятому
коэффициенту.
Сумма / членов а(к) определяется по равенству
s _ а(*)|+а(к), .
'	2 Г
Учтя значения кратных членов, по 7.2.5 получим
5, =[ ^-(/-1)+а(к)| ]/,
2m
S,=y(a(+«,)/.
(7.2.9)
Сумма кратных членов от а(к)Г( до а(к)ь включительно опре-
делится равенствами
_ a(K)it +a(K)fj
=	2	i"'
— г(ц +i2 -2) + 2а(к)|	*
5(.2-0 = -------2-----------= 2(0Г'' +
(7.2.10)
где /„ — число слагаемых членов, i„ = i2 — it + I.
Проведенное исследование показало, что в произвольно взятой
ап можно выделить множество вторичных ап, члены которых
кратны выбранному коэффициенту кратности и одновременно
73
являются членами основной ап. При этом модули вторичных ап
и их номера в основной ап также являются членами своих ап.
Гаконы чудесные тайны вторичных ап, члены которых кратны
одному и тому же числу.
Пример: дана ап: а„ — Зп + I. Определить для к = 5: rK, рв, л„
п„ о,. <х„ «(5)„ 5, и сумму от д(5)2 до л(5)7 включительно.
Решение: по условию г = 3 , к = 5, для них т = 1.
По 7.2.3 г, = 5-3 = 15.
По 7.2.6 очевидно, что а} = -Я1 — при л, = 3, а, = 2.
По 7.2.4 рк =5(2-3) = -5.
По 7.2.1 а(5), = 15»-5.
По 7.2.7 л, =5/ + (3-5) = 5»-2.
По 7.2.8 а, = 3»+(2-3) = 3/-1. а2 =5, а5 =14, а7 =20.
По 7.2.9 Ss = -|(2 +14)5 = 200.
По 7.2.10 /я = 2 + 7-1 = 6. 5<7_2) = |(5+20)6 = 375.
7.3.	Суммарные члены арифметической прогрессии
Еще одно чудесное свойство любой ап. Записав последова-
тельно члены произвольно взятой ап, образуем из них группы по
л„ членов в группе, как показано на схеме:
-°л„ ал„ + | a2fl„.............Мл„1-
q (М) . с, (М2)	с, (О
Возьмем произвольно две последовательных группы, рассчита-
ем суммы их членов по 7.1.7 и разность этих сумм:
Q+I = —41 2	п„ = у (2m„i + т„ + г+2р).
с. =	+а'»' По^{2т„1-тп+г+2р).
После приведения подобных членов получим:
74
Разность двух произвольных последовательных сумм - вели-
чина постоянная, следовательно, суммы являются членами вто-
ричной ап с разностью
гс = тга.	(7.3.1)
Первый член такой ап определится равенством
а1+ая, г(л„ + 1) + 2р
q =—~—«»=---------~г----"»•
общий параметр
Pc =С1 ~r< =	(7.3.2)
Общий суммарный член
q="»„» + [ /’«„-•у-С",,-') 1-	(7.3.3)
Номер первого члена основной ап в любой группе можно рас-
считать по формуле:
"(D =«„('-D+I
или
л<1) =л„«+ (!-«„)•	(7.3.4)
Последнее равенство определяет общий член ап с параметрами
гП)=л„, р(|) = 1-л„. Номера первых членов основной ап в груп-
пах образуют свою ап. Последнее равенство позволяет вычис-
лить номер и, следовательно, первый член ап в /-ой группе.
Сумма первых / членов с, определится равенством
5,=-^-i = -^(m„/ + r+2p).	(7.3.5)
Сумма /„ членов от с(1 до вычисляется по формуле:
50К> = С'* 2^ *а ^[",»(/| +'2“1)+г+2р],	(7.3.6)
где /„=<2-«|+1.
Пример: ап задана параметрами: а, = 5, г = 3, п„ = 2. Рассчи-
тать: re, рс, с5, 55, S(b _ J,.
Решение:
По 7.1.4, р =5-3 = 2.
По 7.3.1, гс = 3 • 22 = 12.
3-2
По 7.3.2, рс =2-2——(2 — 1)= I.
75
По 7.1.3, с, «12/ + 1. с, = 12-5+1 = 61.
По 7.3.5, S, = у(3-2« + 3+22) = (6« + 7)«; S, =(6 5+7)5 = 185.
2 4
По 7.3.6, «„=6-3+1 = 4; $(6_з)=—[3-2(3+6-l)+3+2-2]=22Q
Очевидно, что образовывать и наращивать суммы членов ос-
новной ап. выделять кратные члены можно до бесконечности и
во всех случаях параметры создаваемых ап будут функциями ос-
новной ап.
Любая ап с параметрами г и р представляет комплекс беско-
нечного числа вторичных ап, члены которых одновременно яв-
ляются членами основной ап или суммами ее членов.
Таковы чудесные тайны обыкновенной арифметической про-
грессии.
Не такая уж обыкновенная эта арифметическая прогрессия.
7.4, «Круговые» арифметические прогрессии
Такое название получила система ап, в которой параметры от-
дельных ап образуются по общему правилу - по последователь-
ным номерам делений круга на т частей. Для всех ап в системе
первый член принимается равным сумме номеров делений круга
«1=—— т-	<7.4.1)
разности ап принимаются равными номерам делений круга
г, = /	(7.4.2)
и, следовательно, общий параметр равен
Р, = <*! ~ i-	(7.4.3)
Общий член любой ап в системе описывается равенством (/ = const)
ain=in + (at-i).	(7.4.4)
Каждой отдельной ап в системе свойственны качества, опи-
санные в предыдущих рубриках и не более. Чудесные тайны
проявляются только в системе, когда члены ап включены в таб-
лицу - в каждой строке члены для одного и того же значения /,
в каждом столбце члены для одного и того же значения номера
п. Общий вид таблицы представлен на схеме.
76
Членам ап в таблице присвоены индексы, состоящие из номе-
ра строки i в номера столбца - п.
Рассмотрим последовательно свойства чисел в таблице — их
взаимодействие.
1.	Согласно 7.4.4 можно написать:
аО+1)п =(» + Пл+/»(Н|)
g,n = in + p,___________
^a = rn =n + lp(l+i)-pi].
Согласно 7.4.3
Po+D-Pr =а|-0 + 1)-(а|-0 = -1.
поэтому
г, = п - 1.	(7.4.5)
Разность между числами в столбце остается неизменной, сле-
довательно. эти числа являются членами ап, и можно запасать
(согласно 7.4.3 и 7.4.4):
in + p,=(n-\)i + рп,
откуда
Р„ = oi-
Числа в столбцах образуют ап, описываемые равенством
(л = const):
ain =(л-1)|' + а|.	(7.4.6)
Очевидно, в 1-м столбце (л = I) все члены одинаковы и равны
вр
а|| = °21 =а31 = —= aml =о1-
77
2.	Просуммируем числа в каждом столбце и суммы запишем
отдельной строкой внизу таблицы:
г ч 1
. , Р\ + Рт / I + т \
[р,] =------m = (a,----— )т,
, , ai.+я,™	1 + m	i 1 + m \
К! =. 2 ™	тп + ( в| ——
Сопоставив последние три равенства, можно записать:
Kl = I«l" + [p,l	(7.4.7)
Суммы чисел в столбцах являются членами ап с параметрами
г= [/] и рс = (д).
3.	Вычислим суммы пар чисел в последней строке:
Kli =|а«|]+(а«21.
КЛ =Ki21 + ["«.ll ИТ.Д.
Рассчитаем разность двух последовательных, произвольно взя-
тых сумм. Согласно 7.4.7
_ l"mU+i =1Л(л + 1)+[а1+(»](л + 2)+(р,)
Цп ]л = № +I Pi ]+[»](л +1)+[р, ]•
После приведения подобных членов получим
AKl = 2[i].
Следовательно, вторые суммы также образуют ап с разностью
гк1=ад.
Общий параметр найдем согласно 7.1.4:
P(«l =l'l + 2(pj.
Общий член ап вторых сумм описывается равенством
1«^я=2[||л + (И + 2(рЛ).	(7.4.8)
4.	Для произвольно взятого числа столбцов п вычислим суммы
по строчкам. В произвольно взятой строчке
или с учетом 7.4.4
(л- 1)л	т л а\
1, = —~' + nat (7.4.9)
Последнее равенство описывает общий член ап с параметрами
78
_ (л-1)л
г =-------,
2
р = ла,.
Суммы чисел по строчкам для произвольного числа столбцов
образуют свою ап.
5.	Рассмотрим, как изменяются разности табличных чисел по
диагоналям вправо-вниз. Обозначим разность буквой b и при-
своим ей индекс вычитаемого числа в разности:
— я(1«1Мп+1) ~ ain'
После подстановки значений чисел по 7.4.4 и приведения
подобных членов получим:
&„=( + л. (7.4.10)
Чудесно! Разность чисел по диагонали не зависит от значений
чисел и определяется положением меньшего числа в разности -
номерами его строки и столбца. Чудеса! Наименьшая разность,
равная 2, будет в начале таблицы между числами ап и alt = а,.
6.	Возьмем две последовательные разности и рассчитаем их
разность с учетом 7.4.10:
&>=rh	=(» + 1) + (л + 1)-(| + л) = 2.
Разность постоянна, следовательно, первичные разности обра-
зуют свою ап, первый член которой согласно 7.4.10 равен
/>|л = ]+л, и ph =л, -1, где п, — номер столбца начала диагонали.
Общий член ап разностей чисел по диагонали описывается ра-
венством
b,„ = 2i+(nt -1).	(7.4.11)
Из последнего равенства с учетом 7.4.10 следует
П|=п- i + l.	(7.4.12)
79
Таким образом, по индексам клетки таблицы определяется
номер столбца начала диагонали и разность Например, i = 3,
п = 4. В этом случае л, =2 и м = 7.
7.	Число разностей по диагонали ограничено и равно т- 1,
сумма разностей по диагонали определится равенством
IM =	+£>(м21>(Л|><"~1) (м-1).	1
Согласно 7.4.11
=1+л„
fym-IMni +«-|) = 2Л1 + Л, -3,
следовательно,
|Ь1я] = (т-1)л|+(л1-|)2. (7.4.13)
В последнем равенстве л, — величина переменная, поэтому это
равенство описывает общий член ал с параметрами
Г[ъ)=Л1-1 и р[М=(л|-1)2.
Очередная ал в нашей таблице!
8.	Из 7.4.10 следует, что при i = const разности по строке обра-
зуют ал с параметрами
»» = 1 и Рк = (^|-1).
Ь;«л+(*л-1).	(7.4.14)
Диагональные разности чисел по строкам таблицы образуют
последовательности чисел от 1-го числа, равного Л/(.
9,	Число разностей Ь'„ в строке не ограничено (п -> <-). Сумма
разностей л столбцов определится равенством
где bit = » + !. b,„ = i + n, следовательно,
1«.] = л1+1±%.	(7.4.15)
Последнее равенство описывает общий член ал с параметрами
1 + л
»(»]-«. /’(*•1=—«•
Таким образом, суммы
в своем столбце также образуют ал.
80
10.	Из 7.4.10 следует, что при п = const разности Ь,„ в столбце
также образуют ап:
b^=i+(hln.-\)	(7.4.16)
с параметрами г,"=\ и = 6llt -1. Диагональные разности чисел
по столбцам образуют последовательности чисел от 1-го числа,
равного
11.	Число разностей в столбцах ограничено и равно т - 1, их
суммы определяются равенством
l*«i I =--j----(П1" °’
Согласно 7.4.11
6|В=1+П. 6<и_|)я = n + m-1,
следовательно,
[6м] = (от~,)л+—y-m-	(7.4.17)
В последнем равенстве п — переменная величина, поэтому ра-
венство описывает общий член ап с параметрами
Г(6-) = Ш-|,
т-1
/»|Г1=— т-
Суммы разностей [/>"| внизу таблицы образуют свою ап.
12.	Так как разности чисел в строчках и столбцах изменяются
одинаково - ^' = ^"=1, то значения разностей по диагоналям
влево-вниз остаются неизменными, равными bn = nt + \.
Таковы чудесные тайны системы «круговых» ап. Числа в таб-
лице по всем направлениям образуют ап, их суммы также обра-
зуют ап; разности чисел образуют свои ап. Общая картина таб-
лицы для «круговой» ап представлена на схеме.
Итак, чтобы составить таблицу для «круговых» ап, достаточно:
вычислить <7| (по 7.4.1) и р, = о, - 1; заполнить 1-ю строку таб-
лицы последовательными числами от а,; заполнить столбец для
р, от рх, уменьшая последовательно числа на I. и столбец для
п = 1 числами at; пользуясь постоянными диагональными раз-
ностями. можно заполнить таблицу и рассчитать суммы чисел по
столбцам и строкам (см. пример).
81
Пример: составить таблицу «круговой» ап для т - 5.
а, =-^5 = 15; р, =15-1 = 14.
7.5. Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия (гп) - это последовательность чи-
сел - членов гп, каждое из которых больше предыдущего числа в
q раз. Множитель q называется знаменателем гп.
При q > I гп называется возрастающей, при q < 1 — убываю-
щей, при q < 0 - знако-переменной.
В учебниках и справочниках по математике помешены не-
сколько формул для гп:
-	общий член гп	и„ яи^"'1,	(7.5.1)
-	сумма членов гп	sn = “'^ -1) =	~Ц|,	(7.5.2)
<7-1	<7-1
83
2- г «1(1-?")	/1 С Э\
— сумма п членов убывающей гп S= —-------—. (7.5.3)
Также приводятся производные равенства для вычисления па-
раметров гп\
Практически это все, что можно найти о гп.
Чаще всего возникает вопрос о том, как получена формула
7.5.2? Автор этих строк вывод этой формулы не нашел (хотя он,
естественно, существует) и предлагает свой (возможно, при этом
будет изобретен «велосипед»).
Чтобы получить формулу 7.5.2, необходимо записанные после-
довательно члены гп по 7.5.1 умножить на «условную» единицу:
sn =("i7°+«i?1 + «i?2 + ... + И|д"'|)^|.
Выполнив почленное умножение и приведя подобные члены,
сразу получим интересующую нас формулу 7.5.2. Так просто!
Сумма п членов гп от л, до пг включительно определится раз-
ностью
S- - = $«
“|	“2	'•I	1
Применив 7.5.2, получим
= «,(^-?"-) 5
21	9~1
Разделим члены гп на группы по п„ членов в группе, как пока-
зано на схеме:
ц|ц2--%	Чо-ihi-V
G	G	с,
<<=»	<<»!>	(it
Согласно 7.5.2
(7.5.5)
9-1
Согласно 7.5.4
Выполним замену показателя n„i, используя «условный ноль»,
получим
84
^«>+л„-л„	qa^'~'\q"- -I)
или с учетом 7.5.5
С^С^"-0’1’.	(7.5.7)
Суммы из п„ членов гп образуют свою гп с параметрами
С, и q"'.
Сумма / суммарных членов определится равенством
после подстановки С| из 7.5.5
В геометрической прогрессии все члены и их суммы кратны
первому члену гп и} и, следовательно, кратны всем множителям
лого параметра. Чудесное свойство гп'. И еще одно свойство гп:
из 7.5.2 следует, что
“,♦1 =и\Чп = •$„(?-1)+«н	(7.5.8)
Любой член гп равен сумме первого члена и произведения
суммы предыдущих членов и q — 1, т. е. каждый член гп больше
суммы ее предыдущих членов, ип + , > S„. Вот гак!
Пример: дана гп: и„ =2 3" 1. Определить S5, иь.
Решение:
3s-1
По 7.5.2,	S« = 2-—- = 242.
3-1
По 7.5.1,	м6 = 2-36'1 = 486.
По 7.5.8,	м6 = 242-2 + 2 = 486.	иь > 25s!
Последовательные степени с одинаковыми основаниями х1, х2,
...х" являются членами гп с параметрами М|=?=х, описываемой
равенствами:
. I .	_	х" -1
м =x-x"'=x"; S=x--------------.
"	л-1
Последнее равенство позволяет определить предел:
85
Равенство 7.5.3 запишем в виде двух слагаемых:
с
Л-  -----;—ч’-
l-q \-q
При q < 1
п
Inn q
п—
Ul
= 0. следовательно Hm5 =-----.
‘-1
Откроем еше тайну. Используя еп с параметрами а, и q рас-
считаем последовательные разности двух рядом стоящих членов:
^ai=^a>i~a2~ai=ai4~ai~at(4~ О»
ba=b^=a^-a=arf-a\<f '=a{(q-\)<F'.
Числа Л(|)я — это члены гл(1) с параметрами а, и q (числовой
индекс в скобках здесь порядковый номер расчета).
Рассчитаем разности двух рядом стоящих членов гл0), получим:
1 )2,Ь(2>.=в|(9-1) V.
это члены новой гл(2) с параметрами а, и q. Подобные расчеты
можно продолжать и сформировать сложное множество гп. ко-
торые описываются равенствами:
при i=const b^a^q^y ^ ', *1
при n=const b^arf '(?-1)и -J	(7.5.9)
Если /=1, то	1 — это привычная формула гп.
Особенность всех, таким образом составленных гп в том, что
они взаимно связаны между собой, эти связи описываются ра-
венствами:
при i—const Ь<))я
при n=const	J (7.5.10)
л-е члены в i-x гп и /-е члены в л-х гп взаимно образуют друг
друга.
Приведенные равенства позволяют одним расчетом (вместо
трех) определять разности двух чисел - членов гп.
Пример: а,=5, q=3, /=1. Определить Да5.
Решение. Ал<	Ь^^~ Ь^^^Ь^^^ Q\(q-1 )q~  Ал^=5'2*34=810.
Обычный расчет: а6=5 35=1215, os=5-34=405, да5= 1215-405=810.
Все? Нет. Еше одна тайна. Описанное множество гп существу-
ет только при q>2. Если q=2. то все исчезает, и остается единст-
венная (!) гп с общим членом ая=а^ '.
Таковы чудеса в мире возрастающих геометрических прогрес-
сий.
86
8. Натуральный ряд чисел
Натуральный ряд чисел (далее нрч) — это последовательность
всех реальных положительных цельных чисел от 1 до бесконеч-
ности, расположенных в порядке их возрастания.
Основная особенность нрч в том, что он одновременно вклю-
чает все числа и члены всех возможных ап и гп, при этом вели-
чина числа или члена прогрессии определяет его номер в нрч.
Нрч также представляет собой ап с параметрами: а, = 1, г = I,
(р = 0), все члены этой ап являются функцией одной перемен-
ной - порядкового номера п. Общий член этой прогрессии опи-
сывается самым коротким равенством:
ал = п.
сумма п членов
(8.1)
_	1 +л
э. =----п,
"	2
сумма членов от п{ до п2 включительно
с п1+п2/	. п
=—2 ( 2“ 1	)
Для членов нрч, кратных множителю к, есть чудесные равенства:
a(x)i = rk = п, = г. pk = О,
а(к),,=а„ =nt =ki, л
сумма членов
сумма членов от /, до /2
(8.2)
Последовательность сумм по п„ чисел описывается равенства-
ми:
87
2 r' ।+ я«>	no ~ I
re =	 Q = —Л,„ Pc =
r _п,*(2>-1)+л„
*	2
2.
(8.3)
S, = ------/,
2
r _ ^('|+'2 )-««(«.,-•)
V'|---------------------
2
Нрч начинается с нечетного числа, и далее каждое второе чис-
ло нечетное. Между нечетными числами располагаются четные
числа. Нечетные и четные числа образуют свои последователь-
ности.
Сумма любых 3 последовательных чисел нрч кратна 3, при
этом одно из них и сумма 2 других чисел также кратны 3. Сред-
нее число в группе равно половине суммы крайних чисел.
Разделим числа ряда на группы по 3 числа в группе. Номер
группы обозначим буквой /.
123 456 789 10 11 12................
Суммы чисел в группах - 6 15 24 33 ... образуют ап с парамет-
рами: с, = 6, г = 9, р =~3,
<?,= 9/-3.
Под|руппа первых чисел в группах - 1 4 7 10 ... образует ап с
параметрами: о(|)|= 1, г - 3, р =-2
0(1),= 3/-2.
Индекс в скобках здесь и далее указывает от какого 1-го числа
образована ап.
Подгруппа вторых чисел в группах - 2 5 8 11 ... образует ап с
параметрами: o(I)f= 2, г = 3, р =—I
о<2)=Зг-1.
Все числа 1-й и 2-й подгрупп не кратны трем. Принадлеж-
ность числа к подгруппе определяется переводом его с помощью
1 в чч(=3): а,!,-1 = чч (= 3), О(2)<= чч (= 3).
Подгруппа третьих чисел -369 12... образует ап с параметра-
ми: fl(j)i= 3, г» 3, р = 0.
о<зр= 3/.
В этой подгруппе все числа кратны 3.
Связь между порядковыми номерами чисел в нрч и в группах
определяется равенствами:
лп)|= 3/~2, л(2), = 3/—1, O(j)/= 3.
88
Подобные исследования можно выполнить, разделив числа нрч
на группы четырех и более чисел. Оказывается:
•	В любой группе из / последовательных чисел есть толь-
ко одно число, равное или кратное числу /;
•	Сумма двух чисел, равноудаленных от середины груп-
пы, равны друг другу, а при z(*2) — удвоенному сред-
нему числу;
•	Сумма всех чисел в группе при /(х2) кратна /;
•	При /(*2) четность первого и последнего числа в груп-
пе одинакова.
9. Четные числа
Общий признак четного числа — это четная последняя цифра.
Четное число делится на 2 без остатка.
Мир четных чисел — «спокойный» мир, в нем только одно
простое число 2, все другие числа составные, которые в большин-
стве являются произведением четных и нечетных чисел. Сумма,
разность или произведение четных чисел — четное число. У чет-
ных чисел есть чудесная тайна: относительно небольшая часть
этих чисел делится только на четные числа и образует свою по-
следовательность — гл с параметрами ^ = м, = 2,(«л =2-2"''), это
числа 2 4 8 16 32 64 128 ...
Соответствующие этим числам порядковые номера чч также
образуют;с параметрами: Л|=1, q=2.
Последовательность четных чисел образует ап с параметрами:
а, = 2, г — 2, р — 0 и описывается равенствами
«я = 2".	"1
5я=(1 + л)л.	I (9.1)
= (л|+л2Хл2-л1+1).
где л - порядковый номер четного числа в своей последователь-
ности.
Четные числа, кратные к, образуют ап с параметрами
, . 2к	2к
a(K)i=—,	гк =—, р„=0
т	т
и описываются равенствами:
89
a(K)i =—i,
m
S(K)t = —(l + i)i,
m
S(k):	=—(it +i2)(i2 -i| +1).
' ' m
Суммы n„ последовательных четных
(9.2)
чисел также
образуют an с
параметрами
с, = (I + л„ )л„. гг = 2п2,	= -(п2 - п„)
и описываются равенствами:
c,=2/ij-(^-л„),	-*|
S(c);= (n2i + n„)i.	L (9.3)
®(c)<: = In2 (i\ + i2 -1) + n„ ](/2 -1| +1 )J
По признаку четности номера чч делятся на 2 группы.
Первая группа - это числа с нечетными порядковыми номе-
рами. они образуют ап с параметрами а,=2, г = 4 и р=-2
at= 4/-2 = 2(2/—1); п,= 2г-1.
Числа этой группы можно делить на 2 только один раз. в ча-
стном будет нечетное число.
Вторая группа — это числа с четными порядковыми номера-
ми, они образуют ап с параметрами at=r = 4, р = О
а,= 4/, п,= 21.
Четное число этой группы можно делить на 2 не менее двух
раз. Например, число 1024 можно делить на 2 последовательно
десять раз.
Разделим последовательность чч на группы по 3 числа в груп-
пе, присвоим группам номера с общим обозначением буквой /:
2 4 6	8 10 12	14 16 18	20 22 24...
i = I	i = 2	i = 3	i ~ 4...
Подгруппа первых чисел в группах - 2 8 14 20 26... — это ап с
параметрами г = 6, р = -4. (а, = 2).
а(2>) =61-4,
где индекс в скобках указывает (здесь и далее), от какого перво-
го члена образована ап.
Подгруппа вторых чисел в группах - 4 10 16 22 28... - это ап с
параметрами г = 6, р = -2. (а, = 4).
90
a(4)i = 6/-2.
В подгруппах первых и вторых чисел все числа не кратны 3.
Принадлежность чиста к подгруппе легко определяется перево-
дом его с помощью единицы в нч(3)
а12у + \-нч(3),
а{4)-1 = нч(3).
Подгруппа третьих чисел в группах - 6 12 18 24 30... - это ап
с параметрами г = 6, р = 0, («, = 6).
«<6Х =
В этой ап все члены кратны 3.
Порядковые номера чч и номера групп связаны равенствами:
л(2>1=3/-2, лн>1= 3/-1, пМ1= М
1-е и 2-е числа в группах образуют пары, их суммы
е(2-4Х = a(2)i + а(4)| = 12| - 6.
они кратны 6 и образуют ап с параметрами г =12, р =-6, (О|= 6).
Разность между числами в паре равна 2.
Суммы 2-го числа в /-й и 1-го числа в / +1 группах (между
ними числа, кратные 6) также кратны 6 и образуют ап с пара-
метрами г = 12, р = 0, (я, = 12).
с(4-2)» = а(4)г +а(2)<>1 =12/.
Суммы чисел в группах образуют ап с параметрами г - 18,
р = -6, (о, = 12).
ct = 18/ — 6.
В последовательности чч суммы 3 чисел, средняя из которых
кратна 3, также образуют ап с параметрами г = 18, р =0. (а,= 18).
с' = 18/.
Последние два равенства определяют, что сумма любых 3 по-
следовательных чч кратна 3, при этом одно из них также кратно 3.
Образуем разности квадратов чисел в группах и единицы
a22)f -1 = (6/ -4)2 -1 = 3-1(12/ - 16)i + 5],
a(24W -1 = (6/ - 2)2 -1 = 3-[(12/ - 8)/ +1 ],
л2й>(—1 = 36/2 -1.
Все разности - нечетные числа, при этом 1-я и 2-я разности
кратны 3, а последняя не кратна 3.
Подобные исследования можно выполнить, разделив четные
числа на группы по 4 и более чисел в группе. Оказывается:
91
•	В любой группе есть числа, кратные i, при этом если
/(*2), то в группе есть только одно, а если /(=2) - то
имеется два числа, кратных /;
•	Суммы двух чисел, равноудаленных от середины груп-
пы, равны друг другу, а при /(*2) также равны и удво-
енному среднему числу;
•	Сумма всех чисел в любой группе кратна /.
Четное число можно представить как сумму двух чисел, при
этом если одно слагаемое простое число, то в большинстве слу-
чаев второе слагаемое также простое число или кратное просто-
му числу, например:
48=3+45=7+41 = 11+37=17+31 = 19+29=23+25.
Четное число можно представить в виде произведения двух
множителей: At(=2) и Л2>1, a=ktk2, при этом к2 может быть про-
стым, составным, четным или нечетным числом, например:
12=2 6=4-3=12 1.
С помощью двух четных чисел к} и к2 можно образовать ап,
при этом номера членов такой ап в общей последовательности
чч также образуют свою ап:
а,= А,+/г2(/-1), л = у l/r,+Aj(r-l)].
С помощью двух чч А',(=2) можно образовать гп, при этом но-
мера ее членов среди номеров чч образуют свою гп:
a,=ktkr': п^^к^"'.
Анализ показал, что «спокойные* чч не одинаковы по своим
свойствам и в общей последовательности представляют сложную
систему арифметических и геометрических прогрессий.
А вот тайна. Есть множество чч без привычного признака
четности - это емч, у которых все части нечетные числа, напри-
мер: число
5	5 12
I-	кратно 2, 3, 4. би 12, так как 1у = —.
10. Нечетные числа
Общий признак нечетного числа — нечетная последняя циф-
ра. при делении на 2 всегда остаток равен 1.
Мир нечетных чисел очень разнообразен, в нем много про-
стых чисел. Составные нечетные числа можно разделить только
92
на нечетные делители. Сумма или разность двух нечетных чисел —
четное число. Произведение нечетных чисел - нечетное число.
Простые и составные нечетные числа (нч) располагаются ря-
дом друг с другом и не нарушают их общую последовательность.
Нечетные числа —13 5 7 9 11... — образуют ап с параметрами
Oi = 1, г = 2, р = -1 и описываются равенствами
ая=2«-1.
s.=«2. f
(10.1)
Нечетные числа, кратные к, образуют ап. Так как к всегда не-
четное число, а г = 2 - четное число, то во всех случаях т = 1 и,
следовательно, о(л-), = к, г. = 2к, р = -к. Ап кратных нечетных
чисел описываются равенствами
а(к), =*(2i-l),
S(k\ =Ki2,
(10.2)

Суммы п„ последовательных нечетных чисел образуют ап с па-
раметрами С|=л*. гс = 2п2, р(=-п2. По аналогии с 10.2 можно
записать:
q =n,;(2t-l).
= n2i2.
(Ю.З)
Сравнив параметры основной и вторичных ап, видим, что во
всех случаях общий параметр р равен первому члену ап, но про-
тивоположен ему по знаку.
По признаку четности номера нч делятся на две группы.
Первая группа — это числа с нечетными порядковыми номе-
рами. они образуют ап с параметрами О|=1, г =4. р=—3
а, = 4/-3. п,= 2i-1.
Вторая группа - это числа с четными порядковыми номера-
ми. они образуют ап с параметрами: О] = 3, г = 4, р =—1
о, = 4/-1, л, = И.
Среди порядковых номеров нч есть числа, образующие гп с па-
раметрами л, =1, q =2, л, =2М. Этим номерам соответствуют нч,
которые образуют гл с параметрами в,= 1,^=2 л(=2'—1.
93
Разделим нч, начиная от о, = 3, на группы по 3 числа в груп-
пе, присвоим |руппам последовательные номера с общим обо-
значением i:
3 5 7	9 И 13	15 17 19	21 23 25...
i' = 1	/ = 2	i = 3	i = 4...
Подгруппа первых чисел в группах - 3 9 15 21 27... - это ап с
параметрами г = 6, р = -3, (Я| = 3).
аом = 6<-3.
В этой ап все члены кратны 3, среди них одно простое число — 3.
Подгруппа вторых чисел в группах - 5 11 17 23 29... - это ап с
параметрами г = 6, р = — 1. (а, = 5).
о(5))=«-1.	(10.4)
Подгруппа третьих чисел в группах - 7 13 19 25 31... — это ап
с параметрами г = 6, р = +1, (ах = 7).
o(7W=«+l.	(10.5)
Члены последних двух ап не кратны 3, среди них бесконечное
число простых чисел. Принадлежность числа к подгруппе легко
определяетоя переводом его с помощью 1 в чч(=3):
0(5) +1 = чч(3),
а(7) “ 1 = чч(3).
Порядковые номера нч и номера групп связаны равенствами:
я<»(=3/-1, л(5)=3/, л)7|=3/+1.
В каждой группе чиста, не кратные 3, образуют пары. Сумма чи-
сел в паре - это член ап с параметрами г = 12. р = 0, (о, = 12).
Г(5-7) =0(5) +а(7) = 12».
Сумма последнего числа в группе со вторым числом в сле-
дующей группе (между ними число, кратное 3) - это член ап с
параметрами г - 12, р = +6, (ах =18).
с(7-5) = 0(7)1 + в(5)»+| = 12i + 6.
Суммы чисел в группах образуют ап параметрами г =18, р =-3,
(о,= 15).
ci =а(3) +а(5) +а(7) = 18»~3.
Сумма двух последних чисел в группе i и первого числа в груп-
пе / + 1 также является членом ап с параметрами г =18, р =+3,
(о, = 21).
с' = a(S)i + О(7у + О(3),+| = 18l + 3.
94
Сумма последнего числа в группе и двух первых чисел в сле-
дующей группе — это член ап с параметрами г =18, р =4-9.
(о. = 27).
ci =°(7W + а(3)г+1 +а<5)1+| = 18/+ 9.
Последние три равенства определяют, что сумма любых 3-х
последовательных нч и одно из слагаемых чисел кратны 3.
У нч есть еще одна тайна: скрытое различие чисел кратных и
не кратных 3. Образуем разности квадратов чисел и единицы:
аД)-1 = (бм-З)2 -1 = в[	],
а(25) -1 = (6/-1)2 -1 = 24-^-/,
2
9	Ч	"f* 1
аД)-I = (6/ + 1)2-1 = 24--^—i.
Сравним правые части этих равенств. Первая разность не
кратна 3, но кратна 8 и при любом значении л(3) делится на 2, 4
и 8. Вторая и третья разности кратны 3 и 24. поэтому они при
любых значениях о(5) и о(7) также делятся на 2, 3, 4. 6, 8, 12 и 24.
Чудесное свойство!
При анализе не учитывалась 1 с целью упрощения равенства
10.4, к которому она относится.
Подобные исследования можно выполнить, разделив нч на
группы по 4 и более чисел в ipynne. Оказывается:
•	В любой группе с числом чисел /(*2) есть число, рав-
ное или кратное i;
•	Суммы двух чисел, равноудаленных от середины груп-
пы, равны друг другу, а при /(*2) — удвоенному сред-
нему числу;
•	Сумма всех чисел в группе кратна /.
Примеры: /=4. Числа: 5 7 9 11.	S4=32(_4,
г=5	3 5 7 9 И. Ss=35(_5)
Нечетное число можно представить в виде произведения двух
нечетных множителей к\ и кг. которые могут быть простыми и
составными числами, например: 45=3-15=5-9=1 -45.
С помощью двух нч к{ и к2 можно образовать две гл, члены
которых описываются равенствами а=кхкр или о(=Л2 к\'\
Номера членов гл определяются равенством л = — (о(4-1).
95
Если нч не кратно 9, то в большинстве случаев оно равно произ-
ведению двух простых чисел, например: 15=3-5, 39=3-13,
319=11-29.
Еще чудесная тайна нечетных чисел: разность квадратов двух
последовательных чисел равна сумме этих чисел, равна нч с но-
мером, равным большему числу.
Согласно 10.1
5„=л2,	5,ч=(л-1)2,
5я-5.-1=л2-(п-1)2»2л-1=а„
2л-1 = л + (л-1).
следовательно,
п1 — (п —1)2 = л + (л -1) = 2л -1 = а„.
Пример: л = 135, тогда
I352 - 1342 = 135 + 134 = 269, а|И =2135 - 1 = 269.
Чтобы определить л2, зная (л-1)2, достаточно рассчитать нч а„
и прибавить его к известному квадрату
л2 =(л-1)2 + «„.
Таким образом, семейство нечетных чисел неоднородно, в
нем много простых чисел, составные числа делятся только на
нечетные числа, числа кратные и не кратные 3 имеют скрытое
рахтичис.
Закончено описание основных видов арифметических про-
грессий, у которых разность г — целое число. В каждом случае
отмечены чудесные и тайные особенности последовательностей
чисел. Повторим еще то, что общего у всех видов ап:
•	Основной параметр ап — это разность г. Если г (=2), то
все члены ап одинаковой четности, а если г (*2), то —
переменной четности (например, у членов нрч);
•	Число последовательных членов ап от Л|> 1 до л, вклю-
чительно определяется равенством / = л2 - л, + 1. Если
л, и л2 одинаковой четности, то /(*2), если разной, то
/(=2);
•	Каждая группа последовательных чисел имеет середи-
ну. Если z(x2), то в середине группы есть реальное
число ас с реальным номером:
96
в<=|(вЯ|+а1,г); Лс=^(Я|+л2).
•	Если /(=2), то в середине группы реального целого
числа нет;
•	Суммы двух чисел, равноудаленных от середины груп-
пы, равны друг другу, а при /(*2) и удвоенному сред-
нему числу. Такие суммы четны, если четность членов
ап одинакова и нечетны, если четность членов ап пе-
ременна;
•	Сумма всех членов в группе определяется равенством
5=^(аЯ)> eBj)/. Если четность слагаемых чисел одина-
кова. то S(=0, если переменна, то S(*/).
II.	Ряд Фибоначчи
В начале XIII века итальянский математик Фибоначчи описал
последовательность, в которой каждый член равен сумме двух
предыдущих: 0 1 I 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 ...
В этом ряду отношение каждого числа к предыдущему равно
(в начале ряда — близко) 1.618, а к последующему — 0.618.
Позднее Леонардо да Винчи назвал эти отношения Золотыми
пропорциями или коэффициентами Золотого сечения. В природе
многое соответствует этому отношению, человек использует его в
строительстве и искусстве.
Только в XVIII веке Ж. Бене прелюжил формулу для вычисле-
ния любого члена ряда:
„-^u.i.6,8034;	. —1»’ ~<~t>'61
V5	2	"	2.236
Для чисел ряда справедливы чудесные равенства:
м|+и2+...+ия=мл+2-1;	и12+и22+...+ия2=мяия+|.
97
12.	Простые числа
12.1.	Общие положения
В мире чисел есть удивительные «создания» - простые числа.
Любое простое число (далее — пч) имеет только два множите-
ля: 1 и само пч.
С древних времен математики пытаются разгадать тайну пч.
Древний математик Евклид в III веке до нашей эры в своей
книге «Начала» высказал идею о бесконечности чиста пч и пока-
зал. что они удовлетворяют равенству: а =2"—1. Теория о пч по-
лучила дальнейшее развитие в работах Л. Эйлера и Дирихле.
Они доказали теорему о бесконечности числа пч. Среди пч
встречаются пары - «простые близнецы» с разностью, равной 2,
например: 3 - 5, 11 - 13, 809 - 811 и т. д. Норвежский матема-
тик Бруно доказал, что число таких пар бесконечно. Русский
математик Виноградов показал, что сумма трех последователь-
ных пч (кроме 2 и 3) часто пч, например: 5 + 7 + 11 = 23.
Повторим еще раз, что среди четных чисел только одно пч —
2, среди нечетных чисел, кратных 3, также только одно пч — 3,
все остальное бесконечное число пч — это нечетные числа, нс
кратные 3.
Появление пч непредсказуемо, они не образуют последова-
тельность. На отдельных участках нрч пч могут следовать друг за
другом, после длительного перерыва может появиться одно пч. а
потом группа пч. По мере удаления от начала нрч частота появ-
ления пч уменьшается, и промежутки между ними могут быть
огромны. Однако, как бы ни были огромны числа, среди них
могут быть пч.
Относительное число пч для некоторых числовых интервалов нрч
Таблица
Интервал нрч	Число пч	<<	Интервал нрч	Число пч	%
1-10	4	40	1-500	95	19,0
1-50	16	32	1-1000	168	16,8
1-100	25	25	l-10fc	78 498	7,85
98
Равенство Евклида позволяет вычислять пч лишь для некото-
рых значений п. С помощью компьютеров вычислены большие
пч:
2<з — । 2*1 — I 2м-1 2|п7 ~1 212’ — 1 2521 ~ 1 2м’ ~ I 2гт ~ 1
22281 _ | 23217 — |
Во всех случаях показатели степени - пч. Размер последнего
числа (около 1000 знаков) столь огромен, что его невозможно
сравнить с чем-либо во всей обозримой Вселенной.
При описании нечетных чисел доказано, что, кроме 2 и 3, все
другие пч являются членами ап. описываемые равенствами
а„ = 6п - I,
а„ = 6п + I.
(12.1)
Однако по-прежнему нет конкретного ответа на вопрос: какие
члены этих ап — простые числа?
В обшей последовательности чисел — нрч — простое число
всегда располагается между двумя чч. одно из которых кратно, а
другое нс кратно 3. при этом рядом с последним чч обязательно
нч. кратное 3, как это показано на схеме:
В кружке с вопросом место, где может быть, но может и не
быть пч. Какие дополнительные данные нужно знать, чтобы
конкретно определить характер числа в кружке? Пока это тайна.
В нрч возможны варианты, когда два последовательных чч нс
кратны 3. в этом случае между ними располагается нч(= 3) или
нч(= 5). Это однозначный признак.
чч(* 3)
ич(=3)
или
нч(=5)
ччОЗ)
Чудесны результаты некоторых действий с пч. Сумма или раз-
ность двух пч совместно с 1, как правило, пч. например:
7 + 5 + 1 = 13	83 + 79 + 1 = 163
7 - 5 + 1 = 3	83 - 79 +1= 5,
но есть и исключения, например:
37 — 31 + 1 = 7, но 31 + 37 + 1 = 69 (сч).
Сумма пч и 2 часто также пч. например:
99
пч 3	5	И	17	29	...
+ 2______________________________
5	7	13	19	31
но и в этом случае нередки исключения: 13+2=15; 19+2=21.
Пользуясь тремя числами — 1, 3 и 7. можно записать 9 раз-
личных пч: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 137, 173 и 317.
12.2.	Проверка числа
Определить, какое число - простое или составное, можно
только делением на множители; число множителей может быть
велико, из них следует взять только пч и только те, которые
меньше основания, квадрат которого не более проверяемого
числа, а также тс, последняя цифра которых соответствует по-
следней цифре проверяемого числа.
Чтобы упростить проверку, ее следует выполнять в опреде-
ленной последовательности:
1.	Убедиться, что проверяемое чисто не кратно 3 (по сц) и 5
(по последней цифре).
2.	Определить возможные последние цифры множителей по
последней цифре проверяемого числа.
3.	Установить предел величины возможных множителей Kt =
•Jx ; если к, большое число, то определить второй предел к2 =
7*7, где х - проверяемое число.
4.	С учетом п. 3 составить список возможных множителей и
по ним выполнить проверку числа, начав ее с малых множите-
лей.
Если проверяемое число простое, то это можно выявить,
только выполнив проверку по всем множителям. Проверка со-
ставного числа прекращается при определении первого множи-
теля. которому оно кратно.
Пример: Выполнить проверку х = 339 853.
1.	х(* 3), х(* 5).
2.	Возможные множители: (...1)(...3), (...7)(...9).
3.	К| = ^339853 = 582,9; к2 = ^582,9 = 24,1. Принимаем к2 = 23.
4.	Множители первой проверки: 11, 7 и 17; 13, 23 и 19. Вы-
полнив деление числа на множители, устанавливаем, что оно
кратно 19. — оно сч: проверку по множителям к, выполнять не
нужно. 339 853 : 19 = 17 887.
100
Пример: выполнить проверку числа х = 2339.
I.	х(* 3), х(* 5).
2.	Возможные множители: (...!)(...9), (...3)(...3), (,..7)(...7).
3.	к = V2339 = 48,3, принимаем к = 47. Множители для
проверки: II. 31, 41, 19, 29. 13. 23. 43. 7. 17. 37 и 47.
Выполнив последовательное деление 2339 на выбранные чис-
ла. устанавливаем, что все они не являются его множителями,
число 2339 — простое число.
12.3.	Определение простых чисел
Чтобы определить простые числа среди чисел от а, до аь сле-
дует:
I)	по равенствам 12.1 составить список чисел, среди которых
возможны пч. исключить из него числа, кратные 5;
2)	определить наибольшее значение возможных простых мно-
жителей по равенству к =	, округлив его до ближайшего
меньшего пч;
3)	составить список пч до наибольшего включительно;
4)	по равенству а(пч) = пч(2/ — I) составить список составных
чисел, кратных пч, исключив из него числа, кратные 3 и 5, и
повторы;
5)	пользуясь последним списком, вычеркнуть из списка п.1 сч,
оставшиеся числа — искомые пч.
Очевидно, для выполнения этой методики следует иметь спи-
сок пч < к. Для начала работы достаточно знать простые числа
меньше 10. Это известные числа 3, 5 и 7. Чтобы определить пч сре-
ди чисел от 10 до 100, нужно использовать только одно пч — 7.
Определим пч для чисел от 10 до 100.
_1. По равенству а, = & - 1:
5)	II 17 23 29 (35) 41 47 53 59 (б5) 71 р77~| 83 89 @
По равенству a, =6i + 1:
7 13 19 (25) 31 37 43 |~49~| @
В этом списке кружками выделены
61 67 73 79 @0 97
числа, кратные 5.
2.	Наибольший множитель к’ — JlOO = 10. принимаем к = 7.
3.	Для определения составных чисел всего одно пч - 7.
101
4.	Список сч, кратных 7: 7(2j)^5)49 (бз) 77 91. В этом списке
кружками выделены числа, кратные 3 и У
5.	В списке по п.1 исключаем числа, которые есть в списке по
п.4 (в нашем примере отмечены квадратами). Оставшиеся в спи-
ске по п.1 числа, не отмеченные кружком или квадратом, - про-
стые числа, среди них вновь определенные: 11 13 17 19 23 29 31
37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97.
Имея этот список пч. можно теперь отыскивать пч среди чи-
сел до IО ООО.
Пример: выделить пч среди чисел от 100 до 200.
Решение:
1. --=16,7, принимаем /, = 16 (для псрекрыша).
6
По а, = 95| 101		6/ - 1: 107	113	119	@	131	137	143	149	©	0
167 По а. =		173 6/ + 1:	179		1 191	197	203				
97|	103	109		121	127	133	139		151	157	163
	169	И	181	187	193	199	|2О5				
2. к' = 7200 = 14,1. Принимаем к = 13.
3.	Множители для сч: 7, 11, 13 и 17 (последний множитель
взят в примере, чтобы показать, что он не нужен).
4.	По отношению 100 : 2 определяем номера первых чисел,
кратных множителям: /, = 7, /2 = 5, /, = 4, /4 = 3. Составляем
таблицу чисел, кратных множителям:
о(7)=14/-7:	911		119		133		(147) 161 (175) (189) |2И
</(11)=22/-11:	99)	121	143				187 [209
о(13)=26/-13:	91J			143	169		(Г95) [221
«(17)=34/-17:	85 J	119				187	[221
Исключены числа знаком: ] или | — избыточные, Г") - крат-
ные 3 и 5. | | - повторы.
102
5.	Из списка по п. I исключаем числа, кратные 5, знаком
и числа, которые есть в списке по п.4, знаком | |. Не исклю-
ченные числа - 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157
163 167 173 179 181 191 193 197 199 — простые числа.
13.	Числа с собственными названиями
Поистине мир чисел полон чудесами. К таким чудесам отно-
сятся числа с уникальными свойствами. Их относительно не-
много. Математики с древних времен изучают их. ищут новые
значения и сейчас даже с помощью компьютеров. Какие же это
числа?
13.1.	Совершенные числа
У совершенного числа сумма его множителей (исключая само
число) равна самому числу.
Древнегреческий математик Евклид доказал, что совершенное
число удовлетворяет равенству
а = 2"“'(2"-1).
Поиск совершенных чисел оказался сложным и свелся к по-
иску простых чисел, удовлетворяющих равенству
й' = 2’-1.
Позже выяснилось, что показатель степени п также должен
быть простым числом.
Первые совершенные числа были найдены сравнительно бы-
стро. Это числа:
6 = 2(22-1) (л = 2), 6 = 1 + 2+3,
28 = 22(2’-1) (л = 3). 28 = 1 + 2 + 4 + 7+14.
496 = 24(25-1) (л = 5).
8128 = 2в(27 -1) (л-7).
5-е совершенное число было найдено только в XV веке, им
оказалось число 33 550 336 = 2|2(2” - 1), (п = 13).
Французский математик Мартин Мерсенн много занимался
поиском простых чисел для совершенных чисел и в 1644 году
назвал следующие значения показателя п: 2. 3, 5, 7, 13. 17, 19.
31. 67. 127 и 257. Эти числа получили название «числа Мерсен-
103
на». Позже было установлено, что к этим числам относятся так-
же 61, 89 и 107.
В 1914 голу было найдено 12 совершенных чисел:
6-е сов.ч. - 8 589 869 056 = 2|6(2” - 1), (л = 17),
7-е сов.ч. - 137 438 691 328 =	- 1), (л = 19),
8-е сов.4. - 2 305 843 008 139 952 128 = 2Э0(2Э1 - 1), (л = 31),
9-е сов.ч. (л = 61) содержит 37 знаков,
10-е сов.ч. (л = 89) содержит 54 знака,
11-е сов. ч. (л = 107) содержит 65 знаков,
12-е сов.ч. (л = 127) содержит 77 знаков.
В настоящее время с помощью компьютеров найдено еще 6
совершенных чисел:
13-е сов.ч. (л = 521) содержит 314 знаков,
14-е сов.ч. (л = 607) содержит 366 знаков,
15-е сов.ч. (л = 1279) содержит 770 знаков.
16-е сов.ч. (л = 2203) содержит 1327 знаков,
17-е сов.ч. (л = 2281) содержит 1373 знака,
18-е сов.ч. (л = 3217) содержит около 2000 знаков.
Отыскать эти совершенные числа - это тоже чудо.
13.2.	Дружеские числа
Эти числа замечательны тем, что сумма множителей каждого
из них равна другому числу.
Первую пару таких чисел назвал Пифагор в VI веке до и. э.
Это числа 220 и 284.
Сумма множителей числа 220: 1 + 2 + 4 + 5+ 10 + 11 + 20 +
22 + • + 44 + 55 +110 = 284, сумма множителей числа 284: 1 +
2 + 4 + 71 + 142 = 220.
В конце IX века арабский математик Ибн Курра сформулиро-
ваз правило для поиска дружеских чисел. Вторая пара дружеских
чисел была найдена только в начале XIV века арабским ученым
Ибн-аль-Банн. Это числа 17 296 и 18 416. В 1638 году француз-
ский математик Декарт нашел третью пару чисел 9 363 584 и
9 437 056. В XVIII веке математик Эйлер открыл 59 пар друже-
ских чисел, в том числе и одна пара нечетных чисел.
Сейчас известно 1100 пар дружеских чисел, большинство из
них открыто математиками «вручную».
104
13.3.	Забавные и полузабавные числа
Число вида АЛ. =аа'...к'к называется забавным (зч), если при пе-
реносе последней цифры к в начало числа новое число А* = ка...к'
больше первоначального в к раз или если при переносе первой
цифры в конец числа новое число А" = а'...ка меньше первона-
чального в а раз. Указанные действия обратимы.
Чиста Ак называются также одинарными, их можно наращи-
вать себе подобными. Образованные таким образом числа со-
храняют свойства одинарного зч. В новых числах цифры оди-
нарного зч могут повторяться сколько угодно раз:
ДХ ... Ак = а...ка...ка...к...
Периодических зч бесконечно много. Одинарные забавные
числа:
А, = 11
Аг = 105 263 157 894 736 842
А, = 1 034 482 758 620 689 655 172 413 793
А4 = 102 564
А5 — ... (42 знака)
Л6 = ... (58 знаков)
А, = 1 014 492 753 623 188 405 797
Л,= 1 012 658 227 248
Ач = ... (44 знака).
Пример: A4=^IO2J64, -» AJ =410256,	AJ=4A».
А4 = J02 564^, -> 4^ = 025641,	А4"=А4:4.
Такими же свойствами обладает число
А4А4... Л = 102 564 102 564 ... 102 564.
Полузабавным называется число, если при перестановке у него
крайних цифр (группы цифр) новое число в несколько раз
больше/меньше первоначального, при этом изменение размера
числа не связано с переносимыми цифрами. Таких чисел очень
много.
Пример: А = 153 846*, -> А'= 384615, А' = 2,5А.
105
13.4.	Самое большое число
Обычно мы имеем дело со сравнительно небольшими числа-
ми. чаше всего до миллиарда - 10’. Названия более крупных чи-
сел встречаются редко. Вот некоторые великаны:
триллион - 1012	секстильон — 1021
квадрильон - Ю'5	септильон — 1024
квинтильон - Ю1*	октильон — 102’.
Американский математик Кастнер предложил считать, что
наибольшее число равно 10"ю и назвал его «гугол». То, что это
число наибольшее, - условно; если к нему прибавить единицу,
то оно станет больше. Но в определенном смысле гугол наи-
большее число потому, что во всей обозримой Вселенной нет
ничего в таком количестве. Это число столь огромно, что самый
быстродействующий компьютер путем простого сложения
1 + I... не смог бы насчитать гугол за все время существования
Вселенной.
Для сравнения: поверхность земли - 5 1020 мм2, масса Галак-
тики - 1041 г, масса миллиарда галактик — 1052; расстояние до
самой отдаленной известной галактики — 6 10’5 Ангстрем (1 Анг-
стрем = 10 7 мм), видимая Вселенная больше атомного ядра все-
го в I040 раз.
Теперь о времени: возьмем за единицу времени мгновение —
время, за которое луч света пересекает поперечник атомного яд-
ра. Возраст Вселенной в этих единицах нс более 1040.
Практически число 10441 - это предел всего, что можно сосчи-
тать (пока).
Таковы большие числа в реальном мире.
А вот парадокс: сумма цифр числа достигает 1000 только у
числа 10|И. Действительно, чтобы сц = 1000, число должно ми-
нимально содержать 111 девяток и единицу, т.е. быть 112-
значным. это число равно 2 К)111 -1 = 10111 + 99.9	.
111 знаков
Так что понятие «самое большое число» относительно. У по-
следнего гиганта ксц = I, при делении его на 3 или 9 остаток
равен 1.
106
14.	Упрямое равенство
Еще одно чудо и пока тайна в мире чисел — упрямое равенст-
во. Что это. единичные случаи или ?.. Попробуем разгадать эту
тайну.
В журнале «Наука и жизнь» № 2 1971 года в разделе «Мате-
матические неожиданности» были напечатаны два упрямых ра-
венства, особенность которых в том, что у его слагаемых, трех
6-значных оснований квадратов можно зачеркивать любое оди-
наковое число цифр слева и справа - и при этом равенство со-
храняется. В этом же журнале №42 за 1971 год были напечатаны
несколько других равенств такого же типа и два условия, при
которых могут быть эти равенства.
Анализ показал, что указанные «условия» — всего лишь свой-
ства многих равенств, и они не обеспечивают обязательное со-
ставление упрямого равенства.
Очевидно, что для составления упрямого равенства необходимо
иметь начальное равенство с определенными свойствами, а увели-
чение значности слагаемых выполнять по правилам с сохранени-
ем этих свойств.
14.1.	Условия, при которых равенство становится упрямым
Равенство из 3 и более слагаемых в каждой его части стано-
вится действительно упрямым, если:
•	суммы слагаемых в его частях кратны 3~.
a + h + c... = d + f + g...,	(14.1.1)
•	суммы равноудаленных от знака равенств слагаемых, распо-
ложенных в определенной последовательности, равны:
a + g = b+f=c + d. (14.1.2)
где а. Ь, с, ... — нифры/числа.
При выполнении этих условий суммы квадратов слагаемых
чисел также равны:
a2 +b2 + с2 +... = d2 + f2 + g2 +...	(14.1.3)
В равенствах число слагаемых и их значность во всех случаях
должны быть одинаковыми. Отсутствующее слагаемое (цифра)
или знак в числе заменяются нолем, при этом у многозначного
слагаемого ноль приписывается перед значимым числом.
107
14.2.	Составление начального равенства
В этой рубрике для краткости будем записывать начальные
(цифровые) равенства условно без знаков сложения и заменой
знака равенства на тире, например, вместо 1 + 2 + 3 = будем
писать 123 — .
Как сразу станет ясно, составить начальное (цифровое) упря-
мое равенство очень легко и можно выполнить несколькими
способами:
1.	Записать из одинаковых цифр в обеих частях, например
111... - 111...
222... - 222...
999... - 999...
Равенства этого вида единичны и при перестановке цифр не
изменяются.
2. Образовать из повторяющихся цифр, например
012-012	0123-0123	O123456-OI23456
024-024	3456-3456	3456789-3456789
036-036	6789-6789	12345678-12345678
048-048	12345-12345	012345678-012345678
123-123	45678-45678	123456789-123456789
234-234	012345-012345	0123456789-0123456789
345-345	123456-123456	
456-456	345678-345678	
Список таких равенств можно продолжать.
3. В общем случае начальное равенство из 3 слагаемых цифр в
каждой части составляется в последовательности:
-	берутся две цифры и к ним приписывается третья, чтобы их
общая сумма стала кратной 3, — левая часть равенства составле-
на; например, к цифрам I и 6 можно приписать 2, 5 или 8, по-
лучим три левых слагаемых — 162, 165 и 168, в дальнейшем их
более удобно расположить в возрастающем порядке цифр - 126,
156 и 168;
-	руководствуясь условием равенства 14.1.2, первоначально
против большей цифры левой части пишется ноль, а против дру-
гих - цифры, дополняющие левые до наибольшей, например:
126- 045.
Если суммы цифр левой и правой частей равенства окажутся
равными (как в данном примере) и выполняется условие 13.1.2,
то составление начального равенства закончено; если сумма
108
цифр первично правой части окажется меньше суммы цифр ле-
вой части, то следует рассчитать разность сумм цифр, разделить
ее на 3 и частное прибавить к цифрам правой части, например
156-015. разность сумм цифр 6, следовательно, к цифрам пра-
вой части нужно прибавить по 2, получим искомое равенство
156-237. Аналогично найдем 168-249.
При определении цифр правой части может оказаться, что
первоначальная их сумма меньше суммы цифр левой части, но
ее невозможно увеличить (например, 279-027, мешает 7), или
больше, но ее также нельзя уменьшить (например, 129-078, ме-
шает 0). Это означает, что с выбранными суммами цифр в левой
части упрямых равенств не существует.
Имея одно или два начальных (цифровых) равенства, можно
образовать несколько новых, сложив их почленно, умножив все
слагаемые на одно и то же число, кратное 3, выполнив переста-
новку цифр, или при помощи условного ноля, например:
123-123 (123-123)3 = 369-369
+123-123
246 -246
Общее число возможных перестановок цифр в равенстве зави-
сит от числа слагаемых и их повторения; при любой перестанов-
ке цифр сохраняется также и сумма их квадратов, а части пере-
становок сохраняют все свойства упрямого равенства. Таких пе-
рестановок у равенства из 3 повторяющихся цифр имеется 6 ва-
риантов. у 4 повторяющихся цифр - 24, у равенства из 3 разных
цифр в каждой части — 12, например:
156 - 237
165 - 327
516 - 273 и т.д.
Для образования нового равенства условный ноль формирует-
ся в виде равенства, в каждой части которого сумма цифр (чи-
сел) равна нолю:
а + ... +а - b = +/> — а... — а, (14.1.4)
где а — цифра /число/, b = [а], при этом b в частях располага-
ется равноудаленно от знака равенства, например:
1+6+8=2+4+9	1+2+3+4+5=|+2+3+4+5
+ 2 + 2-4 = +4-2-2	+ 4 -1 -1 — 1 -1 = +1 +1 +1 +1 -4
3+8 + 4 =6 + 2 + 7	5+1 + 2 + 3 + 4=2 + 3 + 4 + 5 +1
109
Все начальные равенства, сохраняющие равенство сумм цифр,
равноудаленных от знака равенства, равноценны.
Увеличение числа слагаемых выполняется под контролем ус-
ловий 14.1.1 и 14.1.2, при этом:
— дополнительное слагаемое - цифра - должна быть кратна
3, а ее удвоенная величина равна сумме равноудаленных цифр,
например:
126 - 045 -> 1263 - 3045;
-	две дополнительные цифры в сумме должны быть кратны 3
и равны сумме равноудаленных цифр, например:
567 - 567 -> 48567 - 56748;
-	равенство с большим числом слагаемых составляется повто-
рением начальных равенств и их частей с соблюдением условия
14.1.2, например:
567567 - 567567, 246345 - 345246, 456345456 - 345456345.
14.3.	Увеличение числа цифр в слагаемых
При произвольной последовательности слагаемых увеличение
числа цифр в слагаемых затруднено и выполняется подбором.
Предлагаемые способы базируются на равенствах, сохраняю-
щих свойства, определенные 14.1.1 и 14.1.2, при этом вновь по-
лученное равенство легко контролируется по 14.1.2.
1.	Цифры начального равенства повторить выбранное число
раз:
111... + 666... + 888... = 222... + 444... + 999...
2.	К цифрам/числам равенства приписать цифры/числа друго-
го равенства справа/слева, одновременно с двух сторон, припис-
ку можно повторить:
1 + 5 + 6 = 2 + 3+7
7+8+9=7+8+9
17 + 58 + 69 = 27 + 38 + 79
71+85 + 96 = 72 + 83 + 97
717 + 858 + 969 = 727 + 838 + 979
3.	В каждой части равенства к слагаемым перед/после или од-
новременно с двух сторон приписать слагаемые другой части
равенства последовательно либо по правилу: большее число к
НО
меньшему, меньшее к большему, вписать между цифрами друго-
го равенства:
11+56 + 68 = 22 + 34 + 79
22 + 34 + 79 = 11 + 56 + 68
1122 + 5634 + 6879 = 2211 + 3456 + 7968
11+56 + 68 = 22 + 34 + 79
79 + 34 + 22 = 68 + 56+11
7911 + 3456 + 2268 = 6822 + 5634 +1179
1791+5346 + 6228 =2682 + 3564 + 7119
4.	Записать несколько вариантов перестановок слагаемых и из
них составить многозначные слагаемые:
1+5+6=2+3+7
5+1+6=2+7+3
6+5+1=7+3+2
156 + 515 + 661 = 227 + 373 + 732
165 + 551 + 616 = 272 + 337 + 723
5.	При помощи условного ноля образовать новое равенство и
его слагаемые приписать к числам начального равенства или
вписать их, как это указано в п.З:
II +6	+	56 +6	+	68 -12	= 22 = +12	+	34 -6	+	79 -6
17	+	62	+	56	= 34	+	28	+	73
1117	+	5662	+	6856	= 2234	+	3428	+	7973
6. К числам равенства приписать/вписать или прибавить оди-
паковые числа, обшая сумма которых кратна 3:									3 6	+	5 6
1 6	+	3 6	+	6 6	+	2 = 4 6	6	+	0 + 6			
16	+	36	+	66	+	26 = 46	+	06 +	36	+	56
21		21		21		21	21		21	21		21
1216	+	3216	+	6216	+	2216 = 4216	+ 0216 +		3216 +		5216
37	+	57	+	87	+	47 = 67	+	27 +	57	+	77
Список способов увеличения числа цифр в слагаемых можно
продолжать, комбинировать различные способы под контролем
14.1.1 и 14.1.2.
Все равенства, приведенные в этой рубрике, сохранятся, если
их слагаемые возвести в квадрат.
Ill
14.4.	Что можно делать с упрямым равенством
В предыдущей рубрике убедительно показано, с какой легко-
стью упрямое равенство сохраняет все свои свойства при увели-
чении числа цифр в его слагаемых. С такой же легкостью упря-
мое равенство сохраняет равенство своих частей при одновре-
менном перемещении или вычеркивании одинаково располо-
женных цифр/чисел в слагаемых, разделении слагаемых на части
и образовании из них сумм, возведении слагаемых и их частей в
квадрат:
$4365,	4	45436,	4	$6547,	4	63658,	S	36345,	4	43456,	4	$4567,	4	$5638,\
<2^	♦		4	,65475	4		=	^634$3	4		4			£6)Ж
53436	4	64543	4	75654	4	«6365	=	536.34	4	64345	4	75456	4	86563*'
5343	4	6454	4	7565	4	8636	=	5363	4	6434	4	7545	4	«656
3436	♦	4543	4	5654	4	6365	а	3634	4	4345	4	5456	4	6563
343	♦	454	4	565	4	636	S	363	4	434	4	545	4	656
43	♦	54	4	65	4	36	а	63	4	34	4	45	4	56
(34*3)	4	(45+4)	4	(56+5)	4	(63+6)		(36+3)	4	(43+4)	4	(54+5)	4	(65+6)
5343'	4	6454'	4	7565’	4	863б’	=	5.363'	4	6434’	4	7545’	4	8656'
343’	4	454!	4	565’	4	63б’	=	363'	4	434’	4	545’	4	656’
(•34+3?	4	(45+4)’	4	(56+5?	4	(63+6?		(36+3?	4	(43+4?	4	(54+5?	4	(65+6?
(34’+3’)	4	(45;+4’>	4	(5б’+52)	4	(63'+6!)	=	(3б'+3')	4	(43'+4=)	4	(54'+52)	4	(65’+б')
34’	4	45’	4	56’	4	63'		36’	4	43’	4	54’	4	65’
4’	4	5*	4	6’	4	3’		6’	4	3*	4	4’	4	5’
Итак, тайны больше нет! В мире чисел «живут* чудесные уп-
рямые равенства, число их - бесконечность!
15. Перевертыши
Перевертыш - это чудо в мире чисел. Перевертышем называ-
ется равенство, у которого при перестановке цифр в одной части
подобная перестановка происходит и в другой его части.
В журнале «Наука и жизнь» в течение многих лет публикова-
лись примеры перевертышей и приводились равенства, с помо-
112
шью которых можно составить перевертыш для выбранных чи-
сел.
Двузначный перевертыш рассчитывается по формуле:
(10"х + у)(10"а + Ь) = (10" у + хХ10"Ь + л), (15.1)
при условии, «по ах - by, п - любое число.
Между двумя значащими цифрами число нолей равно (л - 1).
Трехзначный перевертыш рассчитывается по формуле:
(100л +106 + сХЮОх + 10у + г) = (100с + 10b + а)(100; + 10у + х), (15.2)
x-z ,
при условии, что ах = сг, у-------Ь.
с-а
Подобные равенства можно составить для любого числа знаков.
Пример: дано л = 2, а — 3, Ь = 4, х = 8, у = 6.
По 15.1,
(1О28+ 6)( 1023 + 4) = (1026 + 8)( 1О24+3),
806 304 = 608 403.
Также справедливы равенства
80 .06 30.04 = 60...08 40...03.
Пример: дано а = 3, с - 4, b = 2, х = 8, z = 6.
По 15.2,
,8-6
V = 2---= 4.
Л 4-3
(100 3 + 10-2 + 4X100 8 + 10 4 + 6) = (100 4 + 10 2 + 3)(100 6+10 4 + 8),
324 846 = 423 648.
В квадратах чисел цифры 1 и 2, числа 11 и 22 можно менять
местами, число 12 можно повторять и изменять на 21; цифру 1
перед 3-й можно многократно повторять и меняй, местами с 3-й,
вписывать между цифрами ноли.
Примеры:
122	= 144	1 122 = 12	544	1 222 = 14 8 84
212	=441	2112 = 44	521	2212 = 48 841
132	= 169	11 132 = 1	238	789	2012 = 40 401
312	= 9 61	31II2 = 9	878	321	102’= 10 404
21O12 = 4 414 201	ЗОО12 « 9 006 001	12122 = 1 468 944
1O122— 1 024 144	1OO32 = I 006 009	2I212 = 4 498 641
Еще очень интересный перевертыш:
98 - 76 - 54 + 32 + 1 = I + 23 - 45 - 67 + 89.
113
Математические неожиданности
Приложение 1
Приложение составлено по публикациям в журнале «Наука и
жизнь» за 1963-1992 годы. Сведения сокращены, в отдельных
случаях уточнены и дополнены. Сложность составления этого
приложения состояла в том, чтобы из многочисленных матема-
тических неожиданностей, каждое из которых удивительно, вы-
брать наиболее яркие.
/. Удивительные неожиданности
1	:	1,6180340	=	0,6180340	1	:	6,1622776	=	0,1622776
1	:	2,4142135	»	0,4142135	1	:	7,1400549	=	0,1400549
1	:	3,3027756	=	0,3027756	1	:	8,1231056	=	0,1231056
1	:	4,2360679	=	0,2360679	1	:	9,1097722	=	0,1097722
1	:	5,1925824	=	0,1925824
9+8+7+6+5+4+3+2+1+ = 92 -82 + 72 - 62 + 52 -42 + 32 -22 + 12 =
= (9 + 8 +7 + 6 +5 + 4 + 3 + 2+1)3:(9’+83 + 73 + 63 + 53 + 43+Зэ+23 + 13) =
= 793+83+73+б’ + 53 +43 + 33 + 23 + 13.
9!	7!	5!	3!	„ 9!	7!	5!	3!	„
I—।---ь—+—ь 1!	—+ 1!
V 8!	6!	4!	2!	8!	6!	4!	2!
* • *
t
Сумма произведения 4 последовательных чисел и единицы
равна квадрату суммы произведения 1-го и 4-го числа и едини-
цы:
abed +1 = (ad +1)2,
например:
I 2 3 4 + 1 = (1 4 + 1)2 = 52,
53 54 55 56 +1 = (53 56 +1)2 = 29692.
В равенствах такого вида основание квадрата часто простое
число.
114
Сумма произведения 4 последовательных четных чисел и чис-
ла 16 - полный квадрат:
abed + 16 = к2,
например:
6-8 Ю 12 +16=5776 = 762,
14 16-18-20 + 16 = 80656 = 2842.
Сумма произведения 3 последовательных чисел и среднего
числа - полный куб среднего числа (см. 4.5.11):
abc + b = b\
например:
5 6 7 + 6 = 210 + 6 = 63,
24 25-26 + 25 =15600 + 25 = 253.
Сумма произведения 2 чч и 1 ~ квадрат нч между чч:
24-26 +1 = 625 = 25*.
2. Удивительные закономерности
41*=1681	16+,	/81=25	512=26О1	26-'	Joi =25
422=1764	l7+i	/б4 =25	522=2704	27-'	/04=25
432=1849	18+'	/49 =25	532=28О9	28-'	/09=25
44*= 1936	19+ <	/36=25	542=2916	29-'	/Гб =25
452=2025	20+ 	/25=25	552=3025	30-'	/25=25
462=2116	21+'	/16 =25	562=3136	31-'	/36=25
472=2209	22+-	/09=25	572=3249	32-	/49=25
482=23О4	23+-	/04=25	582=3364	33-'	/64=25
492=2401	24+-	/оТ =25	592=3481	34—'	\^i=25
А что за пределами 41 и 59? Обозначим: а - основание квад-
рата, b — первое слагаемое, с2 — подкоренное число.
Из анализа таблицы следует
115
b = a-25. с2 = (a-50)2 и
b-Vc7 = (o-25)-V(a-50)2 =25,
a2 = 100b + с2 = 100(a - 25) + (a - 50)2.
Первое равенство — тождество, справедливое при любом зна-
чении а, второе равенство также справедливо, например:
а = 37,
а = 64,
а = 158,
/> = 12.
6= 39,
Ь = 133,
с—13,
с = 14.
с = 108,
37’= 1200+169= 1369;
64’=3900+196=4096;
158’= 13 300+108’=
13 300+11 664=24 964;
12—(—13)= 25.
39- V196 = 25.
133-^11664 = 25.
Очевидно, что показанная закономерность локальна - только
в интервале чисел от 41 до 59 квадрат числа — 4-значное число,
и при этом первые две цифры - число, равное a - 25, а вторые
две цифры — число, равное (а — 50)2. Дополним таблицу:
502 = 2500, 25 + V6o = 25.
Зачеркивание первой значащей цифры увеличивает число в
два раза:
0,375 -+ 0,75,
0,125 -» 0,25 -» 0,5.
Перестановка цифр в числе увеличиваст/уменьшает его в л
раз:
142 85J —> 428 571 — увеличение в 3 раза,
^142 857 -> 714 285 - увеличение в 5 раз,
^42J57 -» 857 142 -увеличение в 6 раз,
^857 J42 -+ 428 571 - уменьшение в 2 раза,
857 142 -» 285 714 - уменьшение в 3 раза и т.д.
116
3. Удивительные суммы
1+2+3=6	1+2+3+4=10
|3+23+З3=62	1’+23+3’+43=102
1+22+5!=125	1'+32+5’=135
1+82+5!=185	Г+72+53=175
1'+32+ 03 + 64=1306
1'+62+73+6ч=1676
2'+42+ 23+ 74= 24 2 7
19+81=1+98+1
19+82=1+98+2
<т2+(о+1)=(а+1)2—о
72+8=82-7
45=20+25	55=30+25
45*=20 2 5	552=ЗО25
675+872=63+7’+5’+83+73+23
54748=55+45+7s+45+8’
I 461 +14 61 + 146 1=1461
2 361+23 61+236 1=2361
151+264= I }+53+1’+2’+6’+43
843+957=83 +43 + 33+ 9'+5’+73
102+1002=10 100
5882+23532=5 882 353
94122+ 23532=94 122 353
123 2882+328 7682= 123 288 328 768
876 7 1 22+328 7682=876 712 328 768
3<*7 * 420-«”=387 420 489
4. Удивительные произведения
164=1 64	498=498	6545=6545	7424=7424
195=1 95	265=265	1 995=1995	4 847=484 7
777 143=111 111
777 286=222 222
777 429=333 333
777 572=444 444
777 715=555 555
777 858=666 666
777 1001=777 777
777 1144=888 888
777 1287=999 999
199191 = 191991
69 9696=6969 96
98 8989=9898 89
3(3+3+3)(32+32+32)=323232
4’(4+4+4+4)(42+42+42+42)=42424242
55(5+5+5+5+5)(52+52+52+52+52)=5252525252
117
6777=646
(4+4)(42+42)=42 42
28919=91982	55946=64955	6441 = 1446
* * *
(2л+1), = [22+42+...+(2л)2|6+(2л + 1) (2л)э =[12+32+...+(2л-1)2]6+2л
7,=(22+42+62)6+7 = 343	83=(12+32+52+72)6+8 = 512
а4 =—[13+Зэ+...+(2л-1)3+а2]
2
Делится без остатка - (т" - т‘) : (2’ - 21), где i < п, п - i -
четное число, т — любое число, например:
(83 - 8) : (2’ - 2) = 84; (9s - 9’) : (25 - 2’) = 2430.
5.Удивительные равенства
22 = 3+1
З2 = 2s +1
42 = 32+2э-1
52 = 4 3-2 + 1
62 = 52+42-3-2 + 1
72 =6+52+42+ 3-2 + 1
2’=32-1
Зэ=42+5+6
4я = 52 +62 +3
К равенству 4.5.5 прибавим условный ноль «2 - 2» и выпол-
ним преобразования:
(а + 1)2 =а2+2а + 1+2-2 = а2+(а-1)+(а+2).
Запишем последнее равенство в порядке возрастания чисел:
(а —1)+в2 =(а + 1)2 —(а + 2).
Последнее равенство справедливо для любых 4 последова-
тельных чисел (чудесная тайна!).
118
(199„.99-1): 18= I... |
*	п
2 + 32 = 42 -5	2I3 + 2142 = 2152 - 216
3+42 =52 -6	2I4+2I52 =2162-2I7
7 + 82 =92 -IO
728 + 7291 = 73O2-731
2002-й год можно записать в виде равенства с помощью одной
цифры:
2002 =
1111(1 + 1) - 111(1 + !)+! + !
2222 - 222 + 2
333(3 + 3) + (3 + 3 + 3 + 3): 3
444 4 + 44 4 + (4 + 4) : 4 + 44 + 4
5 5 5(5 + 5 + 5) + 5 -5 5 + (5 + 5) : 5
[(6 + 6 + 6)666 + 6 + 6 + 6 + 6] :6
77(7 + 7 + 7 + 7) - 7(7 + 7 + 7) - 7
88(8 + 8 + 8) - 888 : 8 + 8 : 8
(9 + 9)(999 : 9) + (9 + 9 + 9 + 9): 9
В общем случае любой год 3-го тысячелетия можно описать
равенством
tf=4-4-5-5-5+n.
где п - 1,2, 3. 999.
Приложение 2 Простые числа Таблица составлена по методике, описанной в 12.3, начиная с числа 5. Числа верхней полустроки относятся к равенству а = 6i+1, нижней - к а = 6г-1. В таблицу также включены два первых про- стых числа.	1567	1571	1579	1583	1597	1601	1607	1609	1613	1619	1621	1627
	1637	1657	1663	1667	1669	1693	1697	1699	1709	1721	1723	1733
	1741	1747	1753	1759	1777	1783	1787	1789	1801	1811	1823	1831
	1847	1861	1867	1871	1873	1877	1879	1889	1901	1907	1913	1931
7	13	19	31 37	43	61	1933		1951			1987	1993		1999		2011	2017
2 3		1949		1973	1979			1997		2003		
5	И	17	23 29	41	47 53 59		2029		2053				2083		2089		
67	73 79	97	103	109	127	139	2027		2039		2063	2069	2081		2087		2099	2111
71	83 89	101	107	ИЗ	131 137	2113		2131	2137		2143		2161	2179	2203		
151 157 163	181	193	199 211 223		2129			2141		2153				2207	2213
149	167 173 179	191	197	2221		2239		2251		2269		2281	2287	2293	
229	241	271 277	283		2237		2243		2267		2273				2297
227	233 239	251 257 263 269	281	293		2311			2341	2347			2371	2377		2383
307	313	331 337	349	367 373 379	2309		2333	2339			2351	2357			2381	
311	317	347	353 359	383	2389						2437				2467	2473
397	409	421	433 439	457	463		2393	2399	2411	2417	2423		2441	2447	2459		
389	401	419	431	443 449	461		2503	2521		2439			2551	2557			2593
487	499	523 541 547	2477			2531		2543	2549			2579	2591	
467 479	491	503 509 521	557 563 569		2617			2647		2659		2671	2677	2683	
571 577	601 607 613	619 631	643	2609		2621	2633		2657		2663				2687
587 593 599	617	641	647	2689		2707		2713	2719		2731		2749		2767
661 673	691	709	727 733 739		2699		2711			2729		2741		2753	
653 659	677 683	701	719	743			2791	2797		2803		2833			2851	2857
751 757	769	787	811	823	829	2777	2789			2801		2819		2837	2843		
761	773	797 809	821	827	839			2887				2917			2953		
853	859 877	883	907	919	937	2861	2879		2897	2903	2909		2927	2939		2957	2963
857 863	881	887	911	929	941 947		2971		3001		3019		3037		3049	3061	3067
967	991 997 1009	1021	1033	2969		2999		ЗОН		3023		3041			
953	971 977 983	1013 1019	1031	3079			3109		3121		3163		3169	3181	3187
1039	1051	1063 1069 1087	1093		3083	3089		3119		3137		3167			
1049	1061	1091	1097 1103 1109				3217		3229		3253		3259	3271	
1117 1123 1129	1153	1171	1201 1213	3191	3203	3209		3221		3251		3257			3299
1151	1163	1181 1187 1193	3301	3307	3313	3319			3331	3343			3361	
1231 1237 1249	1279	1291					3323	3329			3347	3359		3371
1217 1223 1229	1259 1277	1283 1289	3373		3391			3433		3457		3463		3469
1297	1303	1321 1327	1381 1399		3389		3407	3413		3449		3461		3467	
1301	1307 1319	1361 1367 1373		3499	3511	3517		3529			3541	3547		3559
1423	1429	1447	1453 1459 1471	3491				3527		3533	3539			3557	
1409	1427	1433 1439	1451	1481	3571		3583		3607	3613			3631	3637	3643	
1483	1489	1531 1543 1549		3581		3593			3617	3623				3659
1487	1493 1499 1501 1523	1553 1559												
120
121
3671	3673	3677	3691	3697	3701	3709	3719	3727	3733	3739	3761
3767	3769	3779	3793	3797	3803	3821	3823	3833	3847	3851	3853
3863	3877	3881	3889	3907	3911	3917	3919	3923	3929	3931	3943
3947	3967	3989	4001	4003	4007	4013	4019	4021	4027	4049	4051
4057	4073	4079	4091	4093	4099	4111	4127	4129	4133	4139	4153
4157	4159	4177	4201	4211	4217	4219	4229	4231	4241	4243	4253
4259	4261	4271	4273	4283	4289	4297	4327	4337	4339	4349	4357
4363	4373	4391	4397	4409	4421	4423	4441	4447	4451	4457	4463
4481	4483	4493	4507	4513	4517	4519	4523	4547	4549	4561	4567
4583	4591	4597	4603	4621	4637	4639	4643	4649	4651	4657	4663
4673	4679	4691	4703	4721	4723	4729	4733	4751	4759	4783	4787
4789	4793	4799	4801	4813	4817	4831	4861	4871	4877	4889	4903
4909	4919	4931	4933	4937	4943	4951	4957	4967	4969	4973	4987
4993	4999	5003	5009	5011	5021	5023	5039	5051	5059	5077	5081
5087	5099	5101	5107	5113	5119	5147	5153	5167	5171	5179	5189
5197	5209	5227	5231	5233	5237	5261	5273	5279	5281	5297	5303
5309	5323	5333	5347	5351	5381	5387	5393	5399	5407	5413	5417
5419	5431	5437	5441	5443	5449	5471	5477	5479	5483	5501	5503
5507	5519	5521	5527	5531	5557	5563	5569	5573	5581	5591	5623
5639	5641	5647	5651	5653	5657	5659	5669	5683	5689	5693	5701
5711	5717	5737	5741	5743	5749	5779	5783	5791	5801	5807	5813
5821	5827	5839	5843	5849	5851	5857	5861	5867	5869	5879	5881
122
5923	5953
5897 5903	5927 5939 5981 5987
Распределение простых чисел:
от	1	до	1000	—	168	16,8 %
	1001		2000	—	135	13,5
	2001		3000	—	126	12,6
	3001		4000	—	120	12,0
	4001		5000	—	119	Н,9
	5001		6000	—	114	11,4
от	1	до	6000	—	782	13,0
Приложение 3
Примеры многозначных периодов в десятичных дробях.
Если а - знаменатель простой дроби пч, то все возможные о-1
простые дроби преобразуются в чистые десятичные периодиче-
ские дроби с общим числом цифр в периоде о-1 и для каждого
периода ксц=Ч.
Последовательность цифр в периоде, соответствующая знаме-
нателю простой дроби, сохраняется для всех числителей, но ДЛЯ
каждого числителя период начинается со своей цифры (см. схе-
мы).
Для одного знаменателя (пч) может быть 2 или 3 группы деся-
тичных дробей. В этом случае общее число цифр в периодах всех
групп также равно в-1.
На схемах стрелки указывают начальную цифру периода, со-
ответствующую числу числителя, указанного в начале стрелки.
Пример Г. а = 17, в периоде 16 цифр, с <<=72, кс«=9.
	1		15		4		9		16		2		13		8		
	4		4				4		4		4		4		4		
— =0, 17	0	5	8	8	2	3	5	2	9	4	1	1	7	6	4	7	05882...
				Т		т		Т		Т		Т		Т		Т	
		10		14		6		5		7		3		И		12	
Пример 2: а = 31. Простые дроби со знаменателем 31 образуют
две группы десятичных дробей с начальными дробями — и —,
в периодах каждой группы по 15 цифр, соответственно суммы
цифр 54 и 81, ксц = 9.
124
Пример 3: о=61. Вес 60 простых дробей со знаменателем 61
преобразуются в чистые десятичные периодические дроби с пе-
риодом из 60 цифр, «4=270, ксц=9.
9		46		25		60		22		4		34		45		47		3		56		49		20		4S
X		X		т		1		X		X		X		X		X		X		1				X		X
1	4	7	5	4	0	9	8	3	6	0	6	5	5	7	3	7	7	0	4	9	1	8	0	3	2	7
	Т		Т		Т		Т		?		т		Т		т		Т		Т		Т		т		Т	
	29		33		6		51		37		40		35		23		43		30		11		2		17	
в периоде которых 35 цифр с суммой цифр соответственно 126 и
189, к«4=9.
125
	11		35		21		41		53		46		56		62		23		28		31		47
	X				X		.		X		X		X				X				1		X
—-0, 71	1	5	4	9	2	9	5	7	7	4	6	4	7	8	8	7	3	2	3	9	4	3	6
		t		Т		Т		Т		Т		Т		Т				Т		Т		т	
		39		60		68		55		33		34		63		52		17		67		26	
Пример 5: о=51 — составное число: 51=317. В этом случае
знаменатели 3; 17; 51 образуют четыре группы чистых десятич-
ных периодических дробей с начальными простыми дробями:
3 I 1	2	17 I	„ с
— = —, —, — и = Первые три дроби образуют чистые
десятичные периодические дроби с 16 цифрами в периоде.
	1		49		4		43		16		19		13		25		
	X		X		X		X		1		X		X		X		
— =0, 51	0	1	9	6	0	7	8	4	3	1	3	7	2	5	4	4	0196...
		т		4		Т		?		т		t		t		Т	
		10		31		40		22		7		37		28		46	
126
	3		45		12		27		48		6		39		24		
	4		1		4		4		4		4		4		4		
2—I-о, 51	17	0	5	8	8	2	3	5	2	9	4	1	1	7	6	4	7	05882...
		Т		Т		Т		Т		Т		Т		Т		Т	
		30		42		18		15		21		9		33		36	
Периоды, соответствующие знаменателю только 51 — состав-
ному числу, имеют сц (*9) и их ксц (^9).
Рассмотренные примеры показали, что периоды всех десятич-
ных дробей, соответствующие простым дробям с одинаковым
знаменателем, могут иметь одинаковый цифровой набор (при-
меры 1 и 3) или разный для групп числителей (примеры 2 и 4).
Однако во всех случаях период десятичной дроби для любого
числителя можно рассчитать как произведение числителя и пе-
риода pi для числителя, равною 1.
В последнем примере числители распределились среди трех
видов периодов, но и в этом случае период для любого числи-
теля можно рассчитать по указанному выше правилу, например
_ 12
период для дроби — находится в группе периодов, относящихся
к дроби —, но также равен произведению 12 на период для
дроби —.
Пример 6: Определить р, для составного числа 729.
Анализ: 729=36=9’=3-243=9-81.
Варианты решения:
.	, . , .	9...9 3...3 1...1 1...I 1
(см. 4.4.3.) р =------=-----=-----=------.
729 243	81	99
Первый и второй вариант трудоемки, третий вариант прием-
лем. Наиболее простой — четвертый вариант с учетом, что:
Ы=1234567 .90=prtil)
В этом случае вычисления выполняются на уровне таблицы
умножения цифр. Выполнив последовательно деление 9 перио-
дов рИк|( на 9, последний остаток будет ноль, а дальше пойдет
повторение цифр.
127
Р<1729,= | (1234567 90123...)= 137174.....063100 1371....
р|(729)= 00137174.-0631
81 цифра
— =0,(001 371 742 112 482 853 223 593 964 334 705 075 445 816
729
L?6 556 927 297 668 038 408 779 149 519 890 260 631).
♦♦♦
Таковы некоторые чудесные тайны в мире чисел.
Список литературы
1.	Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы (для
средней школы). М.: Учпедгиз. 1959.
2.	Большая советская энциклопедия (БСЭ). Т. 29.
3.	Германович П.Ю. Математические викторины. М.: Учпедгиз.
1959.
4.	Гарднер М. Математические чудеса и тайны (математиче-
ские фокусы и головоломки) / Сокр. пер. с англ. Изд. 2-е, сте-
реотипное. М: «Наука». 1967.
5.	Журнал «Наука и жизнь». М., 1963-1992 гг.
6.	Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Изд. 9-е, стереотип-
ное. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит. 1958.
7.	Перельман Я.И. Занимательная геометрия. Изд. 10-е, стерео-
типное. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит. 1958.
8.	Справочник штурмана по математике. Вып. 1. ГУ ВМС.
1948.
9.	Справочник по математике. Л.~М.: ОГИЗ Гостехиздат.
1948.
10.	Берман Г.Н. Счет и число. М.: ОГИЗ Гостехиздат. 1947.
11.	Фильчаков П. Ф. Справочник по высшей математике. —
Киев. «Наукова думка». 1974.
12.	Прокофьев А. А, Кожухов И. В. Универсальный справочник
по математике. М. «Лист Нью». 2003.
13.	Только факты всегда под рукой. «Издательский Дом Ри-
лерз Дайджест». 2004.
14.	Фирсов В. Тайная жизнь чисел. М., Центриоли граф. 2003.
15.	Математическая энциклопедия. Т. 4. М., «Советская эн-
циклопедия». 1984.
16.	Газета «Санкт-Петербургские ведомости* от 01.12.2002.
17.	Драгавцева Н. А. Числа, по которым построен мир. СПб.,
• Папирус». 2004.
18.	Савин А. П. Я познаю мир. Математика. М., ACT. 1998.
129
Оглавление
Предисловие............................................  3
Введение.................................................4
1.	Слово о цифрах........................................7
2.	Слово о числах....................................... 11
2.1.	Обшие положения................................... 11
2.2.	Цифры в числах.................................. 15
2.3.	Сумма цифр числа ............................... 17
2.4.	Конечная цифра числа............................ 18
3.	Тайна числа 9........................................19
3.1.	Общие положения...............................   19
3.2.	Что правит суммой цифр?.......................   19
3.3.	Некоторые свойства чисел с цифрами 9...........  21
3.4.	Удивительные перевертыши.........................22
3.5.	Перемещение цифр в числе.........................22
3.6.	«Зеркальные» числа...............................23
4.	Действия с числами...................................24
4.1.	Сложение чисел.................................  24
4.2.	Вычитание чисел................................  25
4.3.	Умножение чисел..................................25
4.4.	Деление чисел..................................  29
4.4.1.	Признаки деления числа без остатка...........30
4.4.2.	Деление числа с остатком.....................33
4.4.3.	Преобразование простой дроби в десятичную дробь .. 35
4.4.4.	Преобразование десятичной дроби в простую дробь .. 40
4.5.	Возведение в степень.............................42
4.6.	Извлечение корня.................................48
4.6.1.	Общие положения..............................48
4.6.2.	Извлечение квадратного корня.................49
4.6.3.	Извлечение кубического корня.................52
4.6.4.	Извлечение корней 4 и 8-й степеней...........53
4.6.5.	Извлечение корней 10 и 5-й степеней..........54
4.6.6.	Извлечение корня по внешним признакам числа..56
4.6.7.	Извлечение корня л-й степени...............  57
4.7.	Логарифмирование.................................58
4.8.	Действия с относительными числами................61
5.	Числа вида (I...I)...................................62
6.	Числа вида a...ab...(b + 1)........................  65
6.1.	Сказка - загадка.................................65
6.2.	Определение цифр а и b...........................66
130
6.3.	Свойства чисел А ....................................................................... 67
7.	Прогрессии...............................................69
7.1.	Арифметическая прогрессия.........................69
7.2.	Кратные члены арифметической прогрессии...........71
7.3.	Суммарные члены арифметической прогрессии.........74
7.4.	«Круговые» арифметические прогрессии..............76
7.5.	Геометрическая прогрессия.......................  S3
8.	Натуральный ряд чисел....................................87
9.	Четные числа...........................................  89
10.	Нечетные числа..........................................92
11.	Ряд Фибоначчи.........................................  97
12.	Простые числа ..........................................98
12.1.	Общие положения..................................98
12.2.	Проверка числа................................. 100
12.3.	Определение простых чисел...................... 101
13.	Числа с собственными названиями....................... 103
13.1.	Совершенные числа.............................. 103
13.2.	Дружеские числа................................ 104
13.3.	Забавные и полузабавные числа.................. 105
13.4.	Самое большое число............................ 106
14.	Упрямое равенство...................................   107
14.1.	Условия, при которых равенство становится
упрямым.............................................. 107
14.2.	Составление начального равенства.............. 108
14.3.	Увеличение числа цифр в слагаемых............... 110
14.4.	Что можно делать с упрямым	равенством........... 112
15.	Перевертыши............................................ 112
Приложение 1.............................................. 114
Приложение 2.............................................. 120
Приложение 3.............................................. 124
Список литературы.......................................   129
Научно-популярное издание
Ковалев Андрей Петрович
ЧУДЕСА И ТАЙНЫ В МИРЕ ЧИСЕЛ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ДОПОЛНЕННОЕ
Подписано в печать 27.06.2006. Заказ № 526. Формат 60x90/16.
Гарнитура Newton С. Усл. печ. л. 8, 25. Тираж 1000 эю.
Издательский Дом «ПапиРус»
Наб. р. Фонтанки, 18, офис 77. Тел. 273-16-18
Отпечатано в типографии ООО “Профпринт".
Спб, п. Парголово, ул. Ломоносова, 113. Тел. 513-86-70.

Автор — Ковалев Андрей Пет-
рович — уроженец Смолен-
ской области, участник Вели-
кой Отечественной войны,
окончил Военно-морскую
академию кораблестроения и
вооружения им. Крылова,
кандидат военно-морских
наук, штурман дальнего пла-
вания, доцент. Служил ко-
мандиром пулеметной роты,
штурманом, в военно-морском
научно-исследовательском
институте. Преподавал нави-
гацию, метеорологию, манев-
рирование на Высших офи-
церских классах военно-морского флота. Имеет более
пятидесяти научных изданий по вопросам кораблевождения.
Математика — это комплекс наук о количественных отно-
шениях и числах. Математические преобразования и расчё-
ты лежат в основе всех научных исследований и открытий.
Все что построено, что перемешает ся по земле, по воде и под
водой, в воздухе и космосе — все создано на основе предва-
рительных расчетов размера, формы, прочности, устойчиво-
сти и других параметров строений и устройств, доведенных
до числовых значений.
Книга доступна самому широкому кругу читателей и доста-
вит много радости всем любителям математики. Ее можно
рекомендовать читателям, заинтересованным в углублении
своих знаний в той части математики, которую называют эле-
ментарной. Они узнают многое о свойствах чисел, о кото-
рых ранее и не подозревали.