Вопросы теории плазмы Сборник статей. Выпуск 6 - Леонтович М.А.

Author: Леонтович М.А.

Tags: физика плазмы теоретическая физика сборник статей физические явления

Year: 1972

Similar

Вопросы теории плазмы. Сборник статей. Выпуск 7

Теория турбулентной плазмы

Физика плазмы. Том 2

Физика плазмы для физиков

Text

ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
пллзлы
Под редакцией академика М. А. ЛЕоНТОВИЧА
ВЫПУСК 6
МОСКВА
АТОМИЗДАТ 1972

УДК 533.9
Вопросы теории плазмы. Сб. статей. Вып. 6. Под ред.
акад. М. А. Леонтовича. М., Атомиздат, 1972.
Со времени издания последнего, 5-го выпуска A967 г.)
этой серии в теории плазмы накоплен новый интересный
и практически важный материал.
В сборник включены четыре обзорные работы; «Ква-
«Квазилинейные эффекты в потоковых неустойчив остях»
(д-р физ.-матем. наук А. А. Веденов, д-р физ.-матем.
наук Д. Д. Рютов); «Электромагнитные неустойчивости
немаксвелловской плазмы» (д-р физ. - матем. наук
А. Б. Михайловский); «Взаимодействие высокочастотных
полей с плазмой» (канд. физ.-матем. наук А. А. Иванов);
«Гидромагнитная устойчивость замкнутых плазменных
конфигураций» (канд. физ.-матем. наук Л. С. Соловьев).
Сборник содержит библиографию из 271 наименова-
наименования, 25 рисунков, 1 таблицу.
2—3—2
24—72

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПОТОКОВЫХ
НЕУСТОЙЧИВОСТЯХ
А.А.Веденов, Д. Д. Рютов
Введение
Если в плазме по той или иной причине возникают взаимо-
взаимопроникающие потоки заряженных частиц, то она обычно становится
неустойчивой. Нарастая, колебания начинают оказывать обратное
воздействие на функции распределения заряженных частиц и в ко-
конечном итоге обычно приводят плазму к устойчивому состоянию.
В связи с этим возникает вопрос о динамике установления устой-
устойчивого состояния.
Ясно, что если исходные (неустойчивые) функции распределе-
распределения не слишком сильно отличаются от устойчивых, то энергия коле-
колебаний в течение всего процесса релаксации остается малой. Это по-
позволяет при исследовании релаксации слабонадкритических систем
пользоваться уравнениями квазилинейной теории [1—3], кото-
которые описывают взаимодействие между колебаниями и частицами
плазмы в первом неисчезающем приближении по энергии колебаний
и имеют поэтому относительно простую структуру. Фактически ус-
условие слабой надкритичности не является слишком ограничиваю-
ограничивающим и позволяет рассмотреть достаточно много вопросов, интерес-
интересных для приложений.
В обзоре излагаются основные методы и результаты решения
квазилинейных уравнений для потоковых неустойчивостей. При этом
из обширного класса потоковых неустойчивостей выбраны только
те, которые связаны с потенциальными колебаниями, поскольку
такие колебания обычно возбуждаются легче других. Основное
внимание уделено важным для приложений задачам о релаксации
в плазме электронного пучка и об аномальном сопротивлении плаз-
плазмы. В тех случаях, когда это возможно, предсказания теории срав-
сравниваются с результатами экспериментов.
§ 1. Основные уравнения
Поскольку ниже речь пойдет об эффектах, в которых влия-
влияние внешнего магнитного поля на дисперсию колебаний несущест-
несущественно, выпишем систему квазилинейных уравнений для плазмы без
3

магнитного поля:
dfa д п(а) dfa
= 8я2 е2 f ^ W8 (со — kva) d3 к; A.2)
C2)-l/2; A.3)
Здесь /a = /a(p, /) — функция распределения частиц сорта а по им-
импульсам; W з= W^(k, ?)— спектральная плотность электростати-
электростатической энергии колебаний; еа и та — заряд и масса частиц сорта а;
с — скорость света, а со == co(k, f) и у == у(к, ^) — частота и инкре-
инкремент колебаний с волновым вектором к, которые определяются
соответственно из следующих формул:
A.4,
(L5)
Приведенная здесь система уравнений справедлива только
тогда, когда характерный разброс частиц по скоростям Av доста-
достаточно велик:
A.6)
Неустойчивости, для которых это условие выполнено, обычно на-
называют «кинетическими» (в отличие от гидродинамических, для ко-
которых Av ^ У Ik). Поскольку для слабонадкритических систем у
в некотором смысле мало (точный смысл малости у зависит от кон-
конкретной задачи), то условие A.6) весьма мягкое, и ниже повсюду
будем считать его выполненным*.
Через спектральную плотность электростатической энергии ко-
колебаний W(k, t) можно выразить спектральную плотность их пол-
полной энергии W(k, t) (в которую включается, в частности, энергия
колебательного движения частиц):
W= W ю —
V да
* Относительно применения квазилинейных уравнений к исследованию
гидродинамических неустойчивостей см. работу [4].

С помощью функции W(k, t) удобно записывать интегралы энергии
и импульса:
с S J l/maac2 + p2/a d8 p 4-«/ = const;
а
= const,
(I-7)
и Р= j — lFd3k—объемные плотности энергии
и импульса колебаний соответственно.
Система уравнений A.1)—A.3) относится к однородной плазме.
Ее можно обобщить на случай слабонеоднородной плазмы, когда
масштаб неоднородности L велик по сравнению с характерной дли-
длиной волны неустойчивых колебаний. При этом колебания можно
рассматривать как суперпозицию волновых пакетов (квазичастиц),
каждый из которых описывается координатой г и волновым вектором
(квазиимпульсом) к, причем гик удовлетворяют уравнениям типа
Гамильтона [51:
— = — щ (к, г, 0; A.8)
dt дк к ' К '
^=-fco(k,r,O. A.9)
at or
Спектральная плотность энергии колебаний зависит теперь не
только от к и t, но и от г: W == W(k, r, t), поэтому вместо урав-
уравнения A.3) следует пользоваться уравнением [6,7]
dW/dt = 2yW, A.10)
d д . да> д ды д
где — = — . . полная производная по времени
dt dt дк дг А- й
вдоль фазовой траектории квазичастицы. Учет неоднородности
в уравнении A.1) сводится просто к замене:
dt dt dt дг а{ с J dp
(мы приняли во внимание возможность существования в плазме
регулярных электрического и магнитного полей).
При рассмотрении нерелятивистской плазмы удобно перейти от
функций распределения по импульсам к функциям распределения
по скоростям /a(v, r, f). При этом, учитывая, что р = т\, вместо
A.1) получаем
dja_ __д_ Ыа) д[а_ /, m
где сохранено обозначение D(aap для коэффициента диффузии по ско-
скоростям, который отличается только множителем ma~2 от коэффициен-
коэффициента диффузии по импульсам A.2).
5

§ 2. Релаксация нерелятивистского электронного пучка
Пусть в начальный момент времени в плазме имеется малая
группа электронов, движущихся параллельным потоком со скоро-
скоростью v0, существенно превышающей тепловую скорость электронов
плазмы vTe, т. е. в плазме имеется электронный пучок. Хорошо
известно, что такая система неустойчива относительно возбуждения
ленгмюровских колебаний. Вообще говоря, волновые векторы этих
колебаний лежат в широком угловом интервале, и квазилинейная
релаксация носит существенно трехмерный характер. Это чрезвы-
чрезвычайно осложняет задачу. Некоторые результаты, относящиеся к
трехмерной задаче, мы изложим позже, а пока рассмотрим простую
модель, предположив, что спектр колебаний одномерный (волно-
(волновые векторы параллельны направлению движения пучка, т. е.
к = @,0, kz)).
2.1. Одномерная релаксация
Одномерная модель разумна, например, в тех случаях, когда в
плазме имеется магнитное поле, параллельное пучку и достаточно
сильное для того, чтобы подавить колебания, распространяющиеся
под углом к оси пучка. Процесс релаксации при этом полностью
характеризуется одномерной функцией распределения электронов *
f(vz, t) и одномерной спектральной функцией W(kz, t).
. Условие черенковского резонанса для одномерной задачи имеет
вид (йре — kzvz = 0 (где <?>ре — электронная плазменная частота),
т. е. волновой вектор каждого колебания однозначно связан со ско-
скоростью тех частиц, с которыми данное колебание взаимодействует:
kz = a>pjvz. Поэтому можно считать, что функция W зависит
от переменной vz. Величина Wcopedvz/vz2 представляет собой плот-
плотность энергии колебаний, фазовая скорость которых лежит в интер-
интервале от vz до vz + dvz.
В одномерной задаче интегрирование по d3k и d3p в формулах
A.2) и A.5) удается провести в явном виде, и в результате система
уравнений существенно упрощается:
dt dvz dvz /n2 vz
BЛ)
2
Здесь учтено, что для ленгмюровских колебаний 8 = 1 — ще/со2,
т. е. соде/дсо = 2. Тепловая добавка к дисперсии ленгмюровских
колебаний несущественна, если, как мы это считаем, v0 > vTe.
Одномерная система уравнений, помимо интегралов энергии и
импульса A.7), имеет еще один специфический, так называемый
* Индекс «е» у функции распределения электронов для краткости опу-
опускаем.

«квазилинейный», интеграл, который можно получить, если заме-
заметить, что
dvz mvz3 mvz3 dt
Отсюда, в сочетании с первым из уравнений B.1), следует:
dt \ т dvz ' vz3)
Поскольку обычно предполагается, что в начальный момент времени
флуктуации в плазме тепловые и их энергия пренебрежимо мала
по сравнению с энергией пучка, можно положить Wo = W \t=o = 0;
в результате имеем
f-?0EL.±.*=fo = n'lHv,-vJ. B.2)
т dvz vz
Полагаем /0 = n'8(vz — v0), имея в виду, что начальный разброс
пучка по скоростям Av0 мал по сравнению с конечным (Лу — v0).
Вместе с тем, естественно, считаем
Au/foc^ (я'/пI/3 B.3)
[такой вид имеет в применении к рассматриваемой задаче условие
A.6)]. Если условие B.3) в начальный момент времени не выполнено,
то возникающая гидродинамическая неустойчивость приводит к бы-
быстрому увеличению Аи до значений, удовлетворяющих неравенству
B.3) без существенного уменьшения энергии пучка [4]. Поэтому
условие B.3) несущественно*.
Как видно из формулы для инкремента B.1), колебания с фазовой
скоростью vz возбуждаются только при условии df/dvz > 0, т. е.
только прио2<; v0. Следовательно, коэффициент диффузии D(vzt t)
отличен от нуля только при vz <у0, и функция распределения элек-
электронов пучка «размывается» лишь в направлении малых скоростей.
Из квазилинейных уравнений следует, что в стационарном со-
состоянии, к которому релаксирует пучок, должно быть /„, = const **
при 0 < vz < у0 и, согласно сказанному выше, /,*, = 0 при vz> v0.
Таким образом, пучок релаксирует к состоянию «плато» (рис. 1).
Значение функции / в области 0 < vz < v0 легко определяется из ус-
условия сохранения числа частиц, и окончательно получаем
п
It Л
- , 0 < vz < v0;
щ B.4)
0, yz>o0-
Приведенные аргументы относятся к случаям, когда начальный раз-
разброс пучка не слишком мал: Av/v0 > ехр(—nln') ^3. Для пучков с4о/и0<
< ехр (-_п/п') /з они неприменимы [8].
Индекс «ос» здесь и ниже относится к конечному состоянию плазмы.
7

Строго^ говоря, левая граница плато находится не в точке vz = О,
а в той точке vz — vuan, где высота плато равна функции распреде-
распределения электронов плазмы F(vz). В частности, для максвелловской
функции распределения электронов плазмы F~—~
приближенно имеем:
ехр (
иТе'
фор-
фор1/2
Таким образом, в рассматриваемом нами пределе v0 > vTe
мула B.4) достаточно хороша.
Энергия пучка в конечном состоянии составляет 1/3 его началь-
начальной энергии, а 2/3 энергии переходят в ленгмюровские колебания.
Чтобы найти их спектр, следует воспользоваться квазилинейным
интегралом B.2). Подставляя в него функцию /«,, находим Woo(vz):
mn'
2copefo
0. VZ>VI).
Изложенная часть задачи — отыскание конечного состояния —
была решена еще в первых работах по квазилинейной теории [1—3].
Перейдем теперь к исследованию динамики процесса релаксации.
I I
I I
I I
I I
Рис. 1. Конечная- форма функции распределения
электронов пучка при одномерной релаксации.
Прежде всего отметим еще раз, что энергия колебаний в началь-
начальном состоянии очень мала—порядка энергии тепловых флуктуации
UT. Идея решения задачи о динамике релаксации основана именно
на использовании малого параметра Ur/Ulo 19], где Ux = /rm'iyV3 —

энергия колебаний в конечном состоянии. Допустим, что в интервале
фазовых скоростей от 0 до некоторого и < v0 в начальный момент
времени колебания вообще отсутствуют: Wo(vz) = 0. Тогда из уравне-
уравнения dW/dt~2yW следует, что в этом интервале они отсутствуют
всегда, т. е. релаксация, дойдя до точки vz—u, вообще остановит-
U Uj U2 Uf VZ
Рис, 2. Форма функции распределения электронов
пучка для трех последовательных моментов рела-
релаксации tx < t2 < t3. Слева на графике показана функ-
функция распределения электронов плазмы.
ся и частицы со скоростями uz<w не появятся. В интервале же от
vz = и до vz = v0 релаксация приведет к установлению плато:
j —-—, u<vz<va;
f- »•-« B.5)
i 0, vz<u.
На самом деле энергия колебаний хотя и мала, но все-таки отлична
от нуля, и граница области релаксации медленно смещается влево
(медленно в том смысле, что справа от точки vz = и квазилинейная
диффузия успевает приводить функцию распределения к состоя-
состоянию плато). Форма функции распределения для трех последователь-
последовательных моментов времени показана на рис. 2.
Чтобы найти зависимость u(t), проинтегрируем уравнение
д In W
z
dt п z dvz
по vz от «—О до u-f 0. Учитывая, что
н + 0
и + 0
и —0
vo—u

получаем
du
n v,, — i
B.6)
где введено обозначение
л = ]п_Г^+О) = 1пЩ^±О). Отно-
W {и—О) WT
шение, стоящее под знаком логарифма, очень велико, и поэтому сам
логарифм не чувствителен к значению W(u + 0), можно приближен-
,но записать:
Л ~ In
. тп
си In —~
ЛИ**
Рис. 3. Положение левой границы пла-
плато в функции от времени.
Как известно [10], отноше-
отношение энергии тепловых флук-
флуктуации к тепловой энергии
плазмы UT/nTe порядка N~B',
л
Где ND = rt-g- Л {VTel&pef—ЧИС-
~q2 Щ Щ 0,8 ж_ jy о t ло частии- в дебаевской сфе-
~ п" ре. В типичной лабораторной
плазме (п ~ 1013 см'3, Те ~
.—100 эв)Л/о~ 106, а в плазме
солнечного ветра (п~ 10 см~3,
Те -—• 10 эв) Nd — 3 • 1010. С другой стороны, отношение энергии
пучка к тепловой энергии плазмы в практически интересных слу-
случаях редко бывает меньше 10~3. Поэтому Л = In ND+\n(mti'v02lnT)~
~ In No, т. е. Л представляет собой не что иное, как известный
кулоновский логарифм (см., например, [11]).
Так как, согласно сказанному, величину Л можно считать не за-
зависящей от времени, уравнение B.6) легко интегрируется. Резуль-
Результат имеет вид
v0
B.7)
Получаемая отсюда зависимость u(t) приведена на рис. 3.
С помощью решения B.7) можно найти, в течение какого времени
энергия колебаний достигает половины своего конечного значения.
Это происходит, когда энергия электронов пучка становится равной
mn'vo%/3, т. е. при u/v0 = (j/5—1)/2. Тогда из B.7) следует:
tl/2 —
то»
•ре
п
п7
5— 1
+ 1п
У'5-l
л А-7 Л П
~ 0,07 . —
"ре
Более подробное исследование (см. работу [9]) показывает, что
на самом деле левая граница «ступеньки» B.5) имеет конечную ши-
ширину порядка (у0 — ы)/Л при v0 — и < v0 и порядка и/А при
и С и„.
10

Отметим, что спектральная перекачка энергии колебаний, воз-
возникающая при учете нелинейных процессов, может увеличить зна-
значение W в области слева от точки vz = и (по сравнению с тепловым
уровнем) и, как следствие, привести к некоторому уменьшению Л.
2.2. Задача с граничными условиями
В предыдущем разделе предполагалось, что в начальный момент
времени пучок имеется во всем пространстве, заполненном плазмой.
Такая постановка задачи представляет интерес в применении к воп-
вопросу об «убегающих электронах» в тороидальных системах, где пу-
пучок действительно может появиться сразу во всем объеме плазмы.
Но чаще пучок вводится в плазму извне через ее границу и релакси-
рует по мере распространения вглубь плазмы. Такая постановка
эксперимента может быть смоделирована граничной задачей о ста-
стационарной инжекции пучка в полупространство, заполненное
плазмой. Предположим, что пучок инжектируется в плазму вдоль
оси 2, перпендикулярной к границе плазмы, причем ограничимся
одномерной (в указанном в разд. 2.1 смысле) моделью. При этом,
если поперечный размер пучка существенно превышает длину ре-
релаксации, можно считать его параметры не зависящими от коор-
координат х и у.
Так как дисперсионное соотношение для ленгмюровских коле-
колебаний имеет вид
"ре
^-, B.8)
то d®ldkz= 3vTekzld)pe = 3vTe/vz (обозначения те же, что в разд. 2.1).
Считая, что концентрация и температура плазмы не зависят от z,
получаем вместо B.1):
dz dvz dvz
vl dW - - "« <2'9)
vz dz
Уравнения B.9) сохраняют, естественно, не концентрацию,
а поток частиц
D-.
я
8л2 е2
т2
СО ре
п
¦
V
W
oz 0
и не энергию, а поток энергии
11

Квазилинейный интеграл для системы B.9) имеет вид
a w
дг \ т dvz v
Пучок по-прежнему релаксирует к состоянию плато
v» °' B.10)
0, vz>v0
(нормировка соответствует сохранению потока частиц), но теряет
при этом только 1/3 своей первоначальной энергии (т. е. mno'vo2/6).
Тем не менее плотность энергии колебаний в конечном состоянии,
которая может быть найдена из квазилинейного интеграла, оказы-
вается существенно больше, чем прежде: U = —— ~- >
15 vTe
^> tnn'v02. Причина состоит в том, что групповая скорость ленгмю-
ровских колебаний, равная по порядку величины vre/v0, мала
по сравнению со скоростью пучка, и для того чтобы поток энергии
колебаний был сравним с потоком энергии пучка (как это имеет ме-
место в установившемся состоянии), величина U^ должна быть очень
большой [12].
В процессе релаксации функция распределения все время имеет
вид «ступеньки»:
0, vz<u,
а зависимость и (z) дается формулой
, ^0 2я «о
- 1П = — • •
2м2 и 3 n Avi}.e
Энергию тм'0у02/12 пучок теряет на расстоянии
/1/2=в0,24'—Л.
Стационарность решения граничной задачи обеспечивается тем,
что генерация колебаний при пучковой неустойчивости компенси-
компенсируется их сносом в направлении z >• 0. Распространяясь в глубь
плазмы, колебания поглощаются на некотором расстоянии /погл>
>¦ /у2 за счет процессов, идущих более медленно, чем квазилинейные
(например, из-за столкновительного затухания). В качестве /погл
в это неравенство может входить и длина плазменного промежут-
промежутка (если колебания поглощаются границей плазмы).
12

Найденное выше
ри слоя толщиной
стационарное решение устанавливается внут-
~ /у2 за время порядка U/zvJv\e — Ап/аРеп'.
Естественно, что стационарное распределение колебаний в слое
толщиной
L
устанавливается за значительно большее время
(norn)- Что касается переднего фронта пучка, то он движет-
движется в глубь плазмы со скоростью порядка v0, существенно превышаю-
превышающей групповую скорость колебаний. Описание явлений, происходя-
происходящих в области г ^> /</2, дано в § 5. Здесь мы отметим, что в этой об-
области пучок также возбуждает колебания, но только в течение ко-
короткого промежутка времени порядка z/v0.
1(хЩ
ШГтЩ 1500 Е.зв
Рис. 4. Функция распределения электронов пучка
на выходе из плазмы при различных значениях то-
тока пучка:
»i = 2 ма, *2= Ю ма, (, = 12 ма, it= 16,5 ма, /5 = 22 ма.
Приведенные результаты относятся к случаю, когда групповая
скорость ленгмюровских колебаний vgz=d&ldkz связана с тепловой
добавкой к частоте. Если же vgz определяется другими факторами (на-
(например, конечноетью поперечных размеров плазмы), то длину ре-
релаксации следует оценивать по формуле /у2 — Avgzly, где под vgz
следует понимать групповую скорость тех колебаний, фазовая ско-
скорость которых равна v0, а под у — инкремент неустойчивости, со-
соответствующий размытому пучку (Av0 ~ v0).
Экспериментально одномерная релаксация электронного пучка
в плазме была исследована С. М. Левитским и И. П. Шашуриным
[13] на установке, представлявшей собой стеклянную трубку дли-
длиной L = 25-=-30 см и внутренним радиусом а ~ 0,5 см. Концентра-
Концентрация плазмы составляла 1010 см'3, концентрация пучка была пример-
примерно на порядок меньше. При указанных условиях электронная цик-
циклотронная частота превышала электронную плазменную частоту,
13

так что релаксация была, по-видимому, одномерной. При начальной
скорости пучка v0 — 3 • 109 см1сек, которая типична для описывае-
описываемых экспериментов, характерный волновой вектор ленгмюровских
колебаний kz ~ соре/уо был сравним с обратным радиусом трубки
от1, так что ограниченность плазмы оказывала существенное влия-
влияние на дисперсию.
Имея в виду, что при kza ~ 1 групповая скорость ленгмюровских
колебаний порядка фазовой, можно оценить длину релаксации как
ly2—Avol<i)pe-nln'. Эта оценка оказалась в удовлетворительном со-
согласии с результатами эксперимента. Кроме того, авторы измеряли
функцию распределения электронов пучка на выходе из плазмы.
При малых концентрациях пучка, когда выполнялось условие
U/2 > L, можно было, изменяя п', получать на выходе из плазмы
функцию распределения, соответствующую тому или иному этапу
квазилинейной релаксации (рис. 4). Из рисунка видно, что функция
распределения действительно близка по форме к ступеньке.
2.3. Трехмерная релаксация
Рассмотрим только задачу с начальными условиями. Ввиду
громоздкости приведенных ниже формул, перейдем в квазилинейных
уравнениях к безразмерным переменным. Для этого произведем в
них следующие замены:
B.И)
na)petl V0
где величины t, k, v, / и W, стоящие справа, уже безразмерны.
После такой замены система уравнений A.2), A.3), A.5) и A.11)
приобретает вид:
df д п а/
Поскольку рассматриваемая задача обладает аксиальной симмет-
симметрией вокруг направления ао> удобно ввести цилиндрические системы
координат в пространстве скоростей и в пространстве волновых век-
векторов: (vz, vx, ф) и (kz, kx> ф)- В цилиндрических координатах урав-
уравнение для функции распределения имеет вид
dL = -L(D ?t- + D —W — —v (D -^-+!D -^
14

Выражения для величин DZZ,DZ±, D±^ и у в аксиально-симметрич-
аксиально-симметричном случае приведены в Приложении 1.
Описать трехмерную релаксацию пучка аналитически пока не
удалось. Не известно также и конечное состояние системы. Можно,
однако, высказать некоторые общие соображения о форме спектра
колебаний в конечном состоянии. Прежде всего, из законов сохра-
сохранения числа частиц, импульса и энергии следует, что колебания в ко-
конечном состоянии присутствуют обязательно. Действительно, если
бы это было не так, то выполнялись бы соотношения
$ и2 f
= п' vo\
и, следовательно, j1 (v — У0)а/оо^у — 0, т. е. функция распределения
в конечном состоянии отличалась бы от нуля только при v=v0, но
такая функция распределения неустойчива. Умножая далее урав-
уравнение B.12) на / и проводя интегрирование по скоростям, получаем
[14, 15]
В конечном состоянии dfooldt = Q и, следовательно,
!бA— kv) = 0.
В цилиндрических координатах это соотношение сводится к
4-оо оо -}-00
5 dkt I k±_ dk± Г„ (kt, kx) \ dvz X
B.13)
Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, она должна
быть тождественно равна нулю. Из сказанного выше следует, что
W ф 0. Пусть, например, функция №«, отлична от нуля в некоторой
точке (kz, k±). Тогда должно быть
dvz
= 0 B.14)
в области скоростей
'-1~fez"zl B.15)
15

(рис. 5). Таким образом, в области B.15) функция распределения
должна быть постоянной вдоль характеристик уравнения B.14),
которые, как можно убедиться, представляют собой окружности
с центром в точке vz = \lkz. Если функция W^ отлична от нуля в
некотором интервале значений kz,
то, вообще говоря, происходит пе-
1/KZ1 1/KZ2 ~
Рис. 5. Характеристики уравне-
уравнения B.25) для случая, когда
функция W отлична от нуля при
одном (а) и при двух значениях
kz {б).
10
15 20Е,кэв
Рис. 6. Функции распределения элек-
электронов по продольной скорости для
различных значений тока пучка.
Для удобства сопоставления функции
распределения в каждом случае от- ¦
несены к значению f(u0).
ресечение характеристик (см. рис. 5) и функция /^ равняется
константе в бесконечной области скоростей, что несовместимо с за-
законом сохранения энергии. Таким образом, мы приходим к выводу,
что спектр колебаний в конечном состоянии может быть отличен от
нуля только на нескольких (скорее всего, на одной) плоскостях
kz = const или на линии k± = 0 (последняя возможность связана
с тем, что при kx = О область B.15) вырождается в линию vz = \lkz).
Трехмерная релаксация электронного пучка исследовалась экс-
экспериментально А. Г. Плаховым и Л. П. Закатовым [16] в пробоч-
пробочной ловушке длиной около 1 м. Концентрация плазмы составляла
примерно 1013 cm~s. Магнитное поле в объеме ловушки равнялось
2 кэ, так что электронная циклотронная частота была' существенно
ниже электронной плазменной частоты. Диаметр пучка равнялся
2 см и значительно превышал характерную длину волны ленгмюров-
ских колебаний, возбуждаемых пучком. В то же время длина ре-
релаксации, оцененная по формулам квазилинейной теории, была
больше диаметра пучка. Поэтому сопоставление теории, основан-
16

ной на рассмотрении пучка, безграничного в поперечном направ-
направлении, с результатами эксперимента может быть только качествен-
качественным.
Функция распределения электронов пучка по продольной ско-
измерялась на выходе из плазмы с по-
00
рости F = 2я j VjJiv^
о
мощью сеточного анализатора. Результаты измерений приведены
на рис. 6 для разных значений тока пучка (начальная энергия пучка
была равна 20 кэв). Одновременно с помощью болометрического дат-
датчика измерялась полная потеря энергии пучка:
— X
где t — время инжекции пучка, S — площадь его сечения, а п0' —
его начальная концентрация. По измеренной функции распреде-
распределения F(vz) можно было вычислить потерю «продольной» энергии:
Ток пучка,
а
5
10
20
Л
0
0
0
EJE
,34
,57
,67
д
0
0
0
Е/Е
,29
,36
,41
Сопоставление величин АЕг и АЕ °ТТп™ноГэГрГН°*
(отнесенных к полной энергии пучка
Е = tS mn0v03/2, проведено в таблице.
Из таблицы видно, что при малых
значениях тока пучка функция рас-
распределения электронов пучка на вы-
выходе из плазмы почти одномерна
(AEZ ~ АЕ). Поскольку малые зна-
значения тока соответствуют большой
длине релаксации, отсюда, по-видимому, следует, что на началь-
начальной стадии релаксация почти одномерна. Однако, появление
большой разницы между AEZ и АЕ с увеличением тока пучка говорит
о том, что на заключительной стадии релаксации функция распре-
распределения электронов пучка становится существенно трехмерной.
2.4. Роль неоднородности плазмы
При распространении ленгмюровского колебания в неоднородной
плазме его волновой вектор изменяется в соответствии с уравнением
A.9). Как мы увидим ниже, это обстоятельство приводит к нару-
нарушению условия черенковского резонанса между колебаниями и ча-
частицами пучка и к существенному замедлению процесса релакса-
релаксации [17].
17

Из дисперсионного соотношения для ленгмюровских колебаний
и уравнения A.9) следует, что при v0 > vTe изменение волнового
вектора обусловлено по преимуществу неоднородностью концентра-
концентрации плазмы. Неоднородность температуры не играет существенной
роли, и мы будем поэтому считать vTe = const.
Для начала рассмотрим случай, когда концентрация плазмы за-
зависит только от координаты г, параллельной направлению инжек-
ции пучка.
Из формул, содержащихся в Приложении 1, следует, что взаимо-
взаимодействовать с пучком и, следовательно, усиливаться могут только
те колебания, у которых продольная составляющая волнового век-
вектора лежит в интервале шириной A&z~(Ay/w0)(&x + (ope/v0) вокруг
точки kz = (i>pJv0. В то же время в неоднородной плазме kz изме-
изменяется во времени [см. A.9)]: dkjdt ~ a>pe/L\\, где L\\ — характер-
характерный масштаб продольной неоднородности. Поэтому каждое колеба-
колебание взаимодействует с пучком лишь в течение конечного промежут-
промежутка времени At ~ (?ц Av/vo2)(l + &^ио/соре).
Квазилинейная релаксация происходит только в том случае,
если за время At колебание успевает существенно нарасти от тепло-
теплового уровня, т. е.только при условии
B.16)
Из формулы для инкремента [см. (П. 1.2)]
следует, что релаксация в однородной плазме определяется коле-
колебаниями с k± ^ (ope/v0. Для них условие B.16) имеет вид ре " х
X т2- ¦ — >; Л или, иначе,
где
<2л7>
Если величина ц ц Л значительно меньше единицы, то условие
B.17) выполняется при любых значениях Av, которые могут пред-
представлять интерес в задаче о релаксации пучка (Av^Vq). Иными
словами, при |Хц Л ^ 1 влияние неоднородности плазмы на релак-
релаксацию пучка несущественно. Если же имеется обратное неравен-
неравенство, (г || Л ^ 1, то релаксация возможна только при Av/v0 ^
^ 1/(ХцЛ. В частности, если начальный разброс пучка по скоростям
Av0 не удовлетворяет последнему неравенству, то релаксация от-
отсутствует. В процессе релаксации разброс пучка по скоростям, во
18

всяком случае, не может превысить величины &0/цц Л <^ у0, и
релаксация заканчивается при Av ~ о0/ц,ц Л < v0.
Продольная неоднородность плазмы приводит к одному очень
характерному эффекту (см. работы [17, 18]) в случае одномерной ре-
лаксации. Именно, оказывается, что если концентрация плазмы
возрастает в направлении z > О, то релаксация приводит к появ-
появлению ускоренных электронов (со скоростью vz > v0). Этот эффект
связан с тем, что при да>ре/дг > 0 фазовая скорость колебаний воз-
возрастает при их распространении вглубь плазмы, так что коэффициент
квазилинейной диффузии становится отличным от нуля и при у2> v0.
Наиболее рельефно эффект ускорения проявляется при и-цЛ< 1.
В этом случае, как отмечалось выше, неоднородность плазмы не
оказывает влияния на установление плато, которое формируется
точно так же, как и в однородной плазме, на расстоянии ~ Ь/г ~
~~ Л nv2Tel(opev0n'. Что касается фазовой скорости колебаний, та
она увеличивается на величину ~ v0 на расстоянии s ~ Lx)\jv^,
причем s > 1% при (А || Л < 1. Поэтому при ц)( Л <С 1 весь процесс
релаксации можно разделить на два этапа: сначала на масштабе
/у4 происходит установление плато в области скоростей 0 < vг <; v0,
и функция распределения приобретает вид B.10); затем на масштабе
Sy2 фазовая скорость колебаний возрастает, и происходит ускорение
электронов.
Чтобы понять, как идет релаксация на втором этапе, оценим
левую и правую части уравнения B.9):
DD<Op..f.)
dvz dvz u02 pe n ^ '
Мы приняли во внимание, что W — mn'vob/<apeVTe- Из приведенных
оценок как будто бы следует, что левая часть уравнения B.9) много-
многоменьше правой. На самом же деле это означает, что функция распре-
распределения близка к состоянию плато (т. е. | dfldvz \ С f/v0) во всей об-
области скоростей, где коэффициент диффузии D(vz, z) отличен от нуля
[иными словами, в области 0 < vz < u(z), где через u(z) обозначена
максимальная фазовая скорость колебаний в точке г]. Следователь-
Следовательно, на втором этапе релаксации функция распределения имеет вид
0, vz>u(z).
Можно написать довольно простое уравнение для функции и(г)
(см. работу [18]), но мы не будем этого делать. Найдем только зна-
значение « = ««,, которое соответствует окончанию второго этапа ре-
релаксации (т. е. полному поглощению ленгмюровских колебаний элек-
19

тронами пучка). Для этого достаточно воспользоваться законом со-
сохранения потока энергии:
сю
-у тп0' vos = Г~ vz3f(vz,
(мы учли, что поток энергии колебаний при z -> О иг->оо равен
нулю). Отсюда их = ио]/2, т. е. в результате ускорения появляются
электроны с энергией, вдвое превышающей начальную. Отметим,
что для возникновения эффекта ускорения достаточно, чтобы на
длине плазменного промежутка концентрация плазмы увеличива-
увеличивалась на очень малую величину An ~ (Vrelv^)n.
Если концентрация плазмы убывает в направлении инжекции
пучка, то при [л ц Л <^ 1 релаксация также идет в два этапа: сначала
устанавливается плато на функции распределения электронов пуч-
пучка, что сопровождается возбуждением колебаний, а затем фазовая
скорость колебаний ;|'меныпается, и они поглощаются электронами
плазмы, приводя к ускорению последних. В рассматриваемом нами
случае v0 ^> Vre функция распределения электронов после оконча-
окончания первого этапа релаксации имеет вид
У П vTe \ vTe)
— , vmn<vt<v0;
0, vz > v0.
Здесь, в отличие от предыдущего, мы учли, что левая граница на-
находится в точке vMVia^vTe\\n(~ ¦ ~-\У/2 (см. разд. 2.1).
L V "о Те /J
Ускорение электронов плазмы происходит, соответственно этому,
на масштабе s ~ L/ln(-^ .-^-), который отвечает уменьшению фа-
фазовой скорости колебаний от ее начального значения ~ v0 до омин С
<< v0. В конечном состоянии, когда все колебания поглощаются,
функция распределения на участке от имин до v0 становится плавно
спадающей — плато исчезает.
Обратимся теперь снова к трехмерной релаксации-и рассмотрим
случай, когда концентрация плазмы изменяется в направлении,
перпендикулярном к оси z. При этом продольная составляющая
волнового вектора не меняется и колебание не выходит из резонанса
с пучком. Но увеличение поперечной составляющей волнового век-
вектора приводит к уменьшению инкремента, и вследствие этого мо-
20

жет случиться, что колебание не нарастает в достаточной степе-
степени, чтобы оказать обратное воздействие на пучок.
Поскольку k± изменяется со временем, грубо говоря, по линей-
линейному закону k± ~ (>>pet/Lj_, где L± ¦—характерный масштаб по-
поперечной неоднородности, то условие, при котором квазилинейная
релаксация возможна, имеет вид
dt^A B.18)
о
или
где \х± = von/<s>PeLj_n'- Точно так же, как и выше, отсюда следует,
что влияние поперечной неоднородности несущественно, если
jx_i_A -С 1; если же (д,±Л^1, то релаксация заканчивается при
Av ~ vo/V |л_1_ Л.
В заключение отметим, что при наличии внутри плазменного
промежутка даже очень незначительных минимумов концентрации
(глубиной Аи ^ nvj-e/vl) появляются ленгмюровские колебания,
«запертые» вблизи этих минимумов [17, 18]. Поскольку в этом слу-
случае генерация колебаний при неустойчивости не может компенсиро-
компенсироваться их сносом в направлении инжекции пучка, стационарное
решение граничной квазилинейной задачи, вообще говоря, исче-
исчезает. Эффективность взаимодействия пучка с плазмой может при этом
существенно возрастать.
§ 3. Релаксация ультрарелятивистского
электронного пучка
Специальное рассмотрение ультрарелятивистского электрон-
электронного пучка оправдано не только большим интересом, проявляемым
к нему как к эффективному средству нагрева плазмы (см., напри-
например, [19]), но и тем, что при его релаксации возникают очень харак-
характерные физические эффекты. Немаловажную роль играет и то обсто-
обстоятельство, что квазилинейные уравнения в ультрарелятивистском
случае допускают довольно простое решение даже в трехмерной
задаче.
Мы ограничимся исследованием электронных пучков с достаточ-
достаточно большим угловым разбросом в импульсном пространстве:
2' (ЗЛ)
где Е ^> тс2 — энергия электронов пучка, а А.Е — разброс пучка
по энергии. При этом условии можно пренебречь отличием модуля
скорости электронов пучка от с и считать, что v = ср/р, где р —
импульс электрона.
21

Если к тому же
(^^?!у/4 C.2)
где п' и п — концентрации пучка и плазмы, то неустойчивость
кинетическая.
Для ориентации в порядках величин воспользуемся парамет-
параметрами пучка и плазмы, которые приводятся в работе [19] в связи с
предлагаемыми там опытами по нагреву плазмы твердой мишени:
п' — 1017 см'3, п ~ 1022 см~3, Е ~ 10 Мэв. Подставляя эти значения
параметров в неравенства C.1) и C.2), получаем, что в применении
к таким опытам наши результаты будут справедливы уже при
Д0 > 0,05.
Ниже мы ограничимся рассмотрением граничной квазилиней-
квазилинейной задачи, поскольку она представляет наибольший интерес для
приложений.
3.1. Релаксация в однородной плазме
При указанных выше условиях система квазилинейных урав-
уравнений может быть записана в виде
C.3)
df ,o AX
г— • (оА)
Так как ниже будет показано, что в процессе релаксации угло-
угловой разброс пучка все время меньше единицы, то левую часть урав-
уравнения C.4) можно записать в виде cdfldz. Это означает, в частности,
что концентрация пучка не меняется вдоль z и остается равной сво-
своему начальному значению п'.
Для фактического вычисления инкремента у и тензора Z)ap удоб-
удобно использовать сферические координаты р, 0, ср в пространстве
импульсов и k, 8', ф' в пространстве волновых векторов (углы В
и 9' отсчитываются от оси z). Результаты соответствующих вычис-
вычислений приведены в Приложении 2.
Функция распределения пучка на входе в плазму для опре-
определенности считается моноэнергетической:
3vT
CO
p
¦ekz
Pe
df_
dz
dW
dz
d
~dPa
Такое предположение соответствует экспериментальной постановке
задачи в тех случаях, когда пучок создается электростатическими
источниками.
22

Для сокращения записи удобно произвести в уравнениях C.3)
и C.4) следующие замены:
. 3""nP° z; k-v^k;
mc2(Open' с
; f-
f;
Ро3
с6 р0 п'
¦W;
п тс
«Ро
тс3рои>реп
C.6)
где величины z, k, p, /, W, у и Dap, стоящие справа, уже безразмер-
безразмерны. В новых (безразмерных) переменных система уравнений C.3),
C.4) приобретает вид
C.7)
dz
Рг dp
pp
p sin e
ae
C.8)
fa
Здесь использованы введен-
введенные выше сферические систе-
системы координат р, 0, ф и k,
в', Ф'.
Основной результат, ка-
касающийся релаксации пучка ~
в однородной плазме, был т2
получен Я. Б. Файнбергом,
В. Д. Шапиро и В. И. Шев-
Шевченко [20] и состоит в том,
что релаксация почти одно-
одномерна, т. е._ потеря энергии
пучком происходит без суще-
существенного увеличения его уг-
углового разброса (см. также
[21 — 23]). Это обстоятель-
обстоятельство вытекает из анализа вы-
выражений для инкремента и
коэффициентов диффузии,
приведенных в Приложении 2. Действительно, зависимость инкре-
инкремента, максимизированного по k, от угла распространения 6' изо-
изображена на рис. 7. Ширина максимума на кривой 7та(9') пример-
примерно равна А0, причем отношение ymilymi порядка единицы (обозна-
(обозначения см. на рис. 7). Вблизи точки 9' = 0О' спектр колебаний
23
Рис. 7. Зависимость инкремента, мак-
максимизированного по k, от угла распро-
распространения Э'.

имеет вид
ugz
Поскольку колебания начинают нарастать от теплового уровня,
их обратное влияние на частицы пучка становится существенным
при z/vgz ~ A/yml. К этому моменту
(9'-90'J
2Yml Э9'2
т. е. спектр колебаний «стянут» в узкую область шириной порядка
вокруг точки 0' = 9О' ^мы учли, что
Ут1
1
Зная положение и ширину спектра колебаний, можно с помощью
формулы (П.2.6) оценить отношение коэффициентов диффузии Dpp
и Dee : Dpp/Dee ~~ А9~2 > 1. Отсюда следует, что диффузия по
импульсу идет много быстрее диффузии по углу, и за время, в тече-
течение которого угловой разброс пучка А9 увеличивается на величину
порядка своего начального значения А90, пучок выделяет в плазме
уже значительную (порядка единицы) долю своей начальной энер-
энергии. Это происходит на расстоянии
/1/2~Л/ут1~ЛЛ902, C.9)
или, в размерных переменных,
/1/2~л^-^-А^_де0з. C.9')
(йре с2 me2 n
Полное количественное описание процесса релаксации очень
затруднено, так как конкретные его детали существенно зависят
от формы начальной функции распределения. Поэтому рассмотрим
простую модель [21], в которой спектр колебаний предполагается
в точности одномерным: W(k, 9') = W(k) X 6A — cos 9'). В слу-
случае одномерного спектра колебаний условие черенковского резонан-
резонанса имеет вид: 1 — kzpjp = О (используются безразмерные перемен-
переменные!). Следовательно, с колебанием, имеющим волновой вектор
kz, взаимодействуют все электроны, которые в плоскости (pz, px)
лежат на луче, образующем угол 9 = arctgj/^z2— 1 ж Укгг— 1
с осью pz. Если же в плазме возбуждены колебания с волновыми век-
векторами в некотором интервале, то с ними взаимодействуют электро-
электроны, лежащие на лучах с углами 9 от 9_ = arctg}/^2.— 1 до 9+ —
= arctg 1/&+2 — 1, где k_ и k+—минимальный и максимальный вол-
волновые векторы. Так как в одномерном случае электрическое поле
колебаний направлено вдоль оси г, то квазилинейная диффузия
идет вдоль линий pj_ = const (рис. 8). В процессе релаксации угол
* Впервые об эффекте стягивания спектра в квазилинейных задачах упо-
упоминалось в работе [24].
24

8+увеличивается, а 6_ уменьшается. При этом, как видно из рис. 8,
в плазме обязательно появляются электроны с энергией, превышаю-
превышающей начальную энергию электронов пучка.
При формальном исследовании одномерной модели удобно счи-
считать / функцией независимых переменных Э и р± — р sin 0, a W—
функцией переменной r\ = [2(k— 1)]1/2. Используя соотношения
гЛв0
'в.
Рис. 8. Релаксация ультрарелятивистского элект-
электронного пучка при одномерном спектре колеба-
колебаний. Дуга окружности единичного радиуса пред-
представляет собой ту часть импульсного пространства,
где^'отлична от нуля начальная функция распреде-
распределения (р = 1, 6<Д90).
(П.2.2) и (П.2.7), а также условие 8 <^ 1, запишем систему урав-
уравнений C.7), C.8) в новых переменных:
~W
=-fW (Z,0)AA(Z> 0);
h(z, 0) = :
C.10)
Здесь же укажем два интеграла этой системы, в наличии кото-
которых можно убедиться непосредственной проверкой:
C.12)
(z, 9,
^Q*W (z, 6) = -^
C.13)
Первый из них представляет собой закон сохранения числа частиц
с заданным р±, а второй является аналогом нерелятивистского ква-
квазилинейного интеграла B.2).
25

Получим решение системы C.10), C.11), соответствующее сту-
ступенчатой начальной функции g0:
- , 0 < Л6П;
0, 6>AG0.
Способ решения аналогичен тому, который используется в теории
одномерной релаксации нерелятивистского пучка: в той области
значений 0, где спектральная плотность энергии колебаний су-
существенно превышает тепловой уровень, функция распределения
может считаться не зависящей от 9 (плато); там, где энергия коле-
колебаний близка к тепловой, функция распределения равна своему на-
начальному значению. Другими словами, функция распределения мо-
может быть записана в виде
/(г, 0, Р±) =
т-1)- 9<Мг);
, z), 0_(z)<0<0+(z);
0, 0>0+(z),
где функция #(рх, z) определяет высоту плато, а функции 0_ (г)
и 0+(г) — его границы, причем ^(pj., z) выражается через 0_ и 0+
с помощью интеграла C.12):
0, Рх<0-;
1 е+е_
o2pj_ "e+-e_ '
о,
0
-
А0
О;
р± > А0О.
Что касается спектра колебаний, то его легко найти с помощью ин-
интеграла C.13):
W (z, 0) =
2jiG3
г е
6+
е_ е+ е_
. C.14)
Остается теперь определить положение границ плато. С этой
целью проинтегрируем обе части уравнения C.13) по 0 от 0_ — О
до 0_ + 0, в результате чего
^ C.15)
—"=-0
де02л
Аналогичный результат получается и для 0+ интегрированием урав-
уравнения C.10) по промежутку @+ — 0, 0+ + 0):
9- (А0о-0_). C.16)
j+
е+-е_
26

Поскольку инкремент неустойчивости, вычисленный по началь-
начальной функции распределения, положителен только в одной точ-
точке @ = Д0О), не пред-
представляет труда записать
начальные условия для
системы C.15), C.16): о-
6+@) = 8_@) = А0О. Не-
Несмотря на сравнительно ^.
простой вид уравнений ' '
C.15), C.16), их удается
проинтегрировать только 0,8
численно. Результаты со -
ответствующих вычислений qq
приведены на рис. 9. ' О
Найденное решение ис-
ис0,2 0,4 Op 0,8
Рис. 9. Результат численного интегриро-
интегрирования системы C.15), C.16).
ходной системы уравнений
C.10), C.11) описывает
лишь начальную стадию
релаксации (?<0,77). Дело
в том, что спектральная плотность энергии колебаний, формально
вычисленная согласно C.13), при Z > 0,77 оказывается отрица-
отрицательной в окрестности точки 0 = Э_. Это означает, что при t > 0,77
энергия колебаний становится недостаточной для выравнивания
функции распределения вдоль линии рх = const, а приближение
плато нарушается. Простого аналитического описания дальнейшей
эволюции пучка найти не удается. Отметим, что эффект ускорения
электронов достаточно ярко выражен уже при ?, = 0,77, при этом
значении Z доля ускоренных электронов равна 0,13 полного числа
электронов пучка.
3.2. Релаксация в неоднородной плазме
(качественное рассмотрение)
Рассмотрим сначала роль продольной неоднородности плазмы,
которая, как отмечалось выше, приводит к изменению kz. Взаимо-
Взаимодействовать с ультрарелятивистским пучком могут только те коле-
колебания, у которых kz лежит в узком интервале вокруг точки kz =
=^(?>pefc*:\kz—^2 ^^??Д02+^±Д0 [последнее обстоятельство можно
усмотреть, например, из формулы (П.2.1)]. Поскольку kz изменяет-
изменяется со временем по закону dkjdt ~ oipe/L ц, то колебание с данным kz
взаимодействует с пучком в течение промежутка времени At ~
~~-^-( Д02 + ^ДО ). Принимая во внимание, что инкремент пучко-
пучковой неустойчивости может быть оценен по формуле [см. (П.2.3)]:
п тс*
"ре
Д92 п Е
В этом разделе мы для ясности пользуемся размерными переменными.
27

запишем условие B.16) в виде
fee
Л, C.17)
где параметр ц\\ определяется формулой
ы.1, = —i-.JL.JL. C.18)
@peL|| me2 n
Отсюда видно, что неоднородность по-разному влияет на колебания
с разными kj_. Для тех значений kj_, при которых критерий C.17)
выполнен, роль неоднородности несущественна (так как соответ-
соответствующие колебания успевают значительно усилиться за то время,
в течение которого они взаимодействуют с пучком). Наоборот, если
для некоторых значений kx он не выполнен, то такие колебания фак-
фактически вообще не возбуждаются.
Как было показано в разд. 3.1, релаксация пучка в однородной
плазме обусловлена возбуждением колебаний с k± ~ AQk ~
~ А0соре/с. Для них критерий C.17) приобретает вид
(лцЛбП. C.19)
Обращает на себя внимание тот факт, что теперь в него вообще не
входит А6. Это означает, что влияние продольной неоднородности
плазмы на релаксацию пучка полностью определяется величиной
\i\iA; если она удовлетворяет неравенству C.19), то роль неоднород-
неоднородности несущественна; если же выполнено обратное неравенство
Щ|Л^1, C.20)
то колебания с kj_ ~ Л8соРе/с не возбуждаются, и вся динамика
релаксации изменяется.
Для опытов, предлагаемых в работе [19] (п' ~ 1017 см~г, п~
~ 10 см~3, Е ~ 10 Мэв, L\\ ~ 0,2 см), произведение цц Л равно
100, и роль неоднородности очень важна. Остановимся поэтому на
случае ]i\\ А > 1 более подробно. Легко видеть, что при (л ц Л ^>
» 1 и
АО ^1/цц Л C.21)
неравенство C.17) не выполняется ни для.одного значения k±. Сле-
Следовательно, если начальный угловой разброс пучка достаточно ве-
велик, А60 ^ l/[i||A, то релаксация отсутствует. Напротив, при
C.22)
28

релаксация возможна, поскольку существует интервал значений k±
' - , C.23)
для которого неравенство C.17) удовлетворяется. Но теперь, в от-
отличие от однородной плазмы, возбуждаются только такие колеба-
колебания, у которых угол 0' велик по сравнению с ДЭ@' ^ AЛЛ Д0),
т. е. релаксация является существенно трехмерной. Ясно, что ре-
релаксация заканчивается тогда, когда угловой разброс пучка ста-
становится порядка (ц || Л) <С 1 ¦
Рассмотрим вкратце роль поперечной неоднородности плазмы.
Если характерный масштаб этой неоднородности равен L±, то по-
поперечная составляющая волнового вектора изменяется со временем
по закону k±~(upet/Lj_. Влияние поперечной неоднородности плазмы
на релаксацию несущественно, если за время порядка Л/у попереч-
поперечный волновой вектор изменится не более чем на А0соР(,/с, т. е. при
условии Д0 С 1/м-|Л, iaj.=-j ; если же [см. для сравнения
оо
B.18)] $y[k±(t)]dt^A, т. е.
о
ДВ ^ —— , C.24)
то релаксация вообще отсутствует. При промежуточных значениях
Д0, 1/ц,_ьЛ<;Д0<;1/Т/Л[а_1_Л, релаксация идет, но неоднородность ока-
оказывает на нее сильное влияние: пучок выделяет в плазме энергию,
много меньшую п'Е.
Из сравнения формул C.21) и C.24) видно, что при одинаковых
масштабах продольной и поперечной неоднородности продольная
неоднородность приводит к исчезновению релаксации при значи-
значительно меньших значениях Д0, чем поперечная, т. е. продольная
неоднородность оказывает на релаксацию более сильное влияние,
чем поперечная. Поэтому в следующем разделе мы подробно ис-
исследуем роль продольной неоднородности.
3.3. Релаксация в неоднородной плазме
(количественное рассмотрение)
В соответствии со сказанным выше будем считать, что парамет-
параметры пучка и плазмы зависят только от координаты z. Как будет видно-
из дальнейшего, релаксация происходит на масштабе, много мень-
меньшем L и. Поэтому зависимость &)р ё(г) можно аппроксимировать ли-
линейной функцией со,,,, = сОреМ 1 + -г~), считая для определенности,
V LII /
что концентрация плазмы возрастет в направлении г > 0. При
29>

указанных условиях система квазилинейных уравнений в безраз-
безразмерных переменных C.6) имеет вид:
a,dW ( a,dW sin8' dW\ л 1V7 /о ос\
cos9 --^(cosG p-^)-^; C.25)
'РР~~^~ .. *~ I +
dp1 \ рр dp ' p ае
if \
C.26)
где параметр (j, определяется соотношением C.18). При отыскании
аналитического решения задачи мы будем считать выполненными
условия C.20) и C.22), которые означают, что, с одной стороны, уже
•существенна роль неоднородности, а с другой — что еще возможна
релаксация. При этих условиях пучок возбуждает в плазме толь-
только такие колебания, у которых угол 6' лежит в интервале
цЛД0«9'<<1- C-27)
•Ограничение 6' снизу связано с тем, что продольные колебания по-
подавляются из-за эффекта неоднородности, а ограничение сверху
с тем, что инкремент неустойчивости убывает при увеличении 8'.
Наличие неравенства C.27) позволяет вычислять инкремент по
формуле (П.2.4). Подставляя ее в уравнение C.25) и проводя инте-
интегрирование по характеристикам, нетрудно найти W:
W(z, 6\ E) = WVexp[vB, 9', в)], C.28)
где
! \JT2
v(z, 0', e) = (l—— I Г Wdz' \ —
oo
#(z, 0) = 2я \pf(z, 0, p)dp; Y=8 + -?-(z—z');
oJ e
— спектральная плотность энергии тепловых колебаний. Здесь
и в дальнейшем мы считаем W функцией переменных z, 9 и е = 0' —
Формула C.28) справедлива только при v > 0. Если же v < 0,
то W ~ Wt- Поскольку влияние тепловых колебаний на релак-
релаксацию не учитывается, ниже будем полагать W = 0 при v ¦< 0.
Как будет видно из дальнейшего, пучок выделяет в плазме лишь
незначительную долю своей первоначальной энергии. Это означает,
в частности, что изменение импульса электронов пучка мало по срав-
сравнению с их начальным импульсом, который в безразмерных обозна-
обозначениях равен просто единице. Вводя поэтому в уравнение C.26)
30

новую переменную q = p — 1 и считая \q\ С 1» запишем это урав-
уравнение в виде
Интегрируя его по q и учитывая, что с принятой точностью*
оо
g(z, 6)=2 я J /(г, 0, q) dq, получаем
где величина Dee в соответствии с неравенствами C.27) может быть
вычислена по формуле (П.2.8):
f *( eV)»rf C30>
Полагая, что на входе в плазму угловой разброс пучка мал по>
сравнению с тем значением, которого он достигает к моменту окон-
окончания релаксации, будем пользоваться следующим граничным ус-
условием для уравнения C.29):
g|*=o = -ySF). ¦ C.31)
Система уравнений C.28), C.29) содержит две неизвестные функ-
функции W (г, Э', е) и g(z, 6) и является замкнутой. Для ее решения за-
заметим, что коэффициент диффузии Dee существенно отличен от нуля
только при 9 ^ | е01, где е0 — характерное значение е. Отсюда сле-
следует, что е0 должно быть мало по сравнению с Д0:
|в„|«Де, C.32>
так как в противном случае значительная часть функции распре-
распределения не была бы захвачена квазилинейной релаксацией и само-
самоподавления неустойчивости не происходило бы. Считая поэтому
ео| С Д9» -можно представить соотношение C.30) в виде
Д,е = ^; F(z) = 2n f6'3d0' f W (z, 0', e)de. C.33)
0 —oo
Теперь не представляет труда найти решение уравнения C.29),
удовлетворяющее граничному условию C.31):
*(*, 0) = ——2- ехР-[-^-]5 ; C.34>
Г г у/5
Д0 (г) = 25 J F (г') dz' . C.35)
31

По известной функции g(z, 9) легко вычислить величину v (z, 9', е),
характеризующую спектр колебаний [см. C.28)]:
v (z, 9', е) = 1 — — dz' - X
К \ 2 / [Дв(г')]а
xG
где
9 = (i_JLW C.36)
L дв(г') J \ 2 К '
10
Для дальнейшего решения задачи воспользуемся следующим
рассуждением. Пусть максимум функции v по переменным 9' и е
располагается в точке 9' = 9o'(z), e = eo(z) и равен vm(z), a
соответствующее значение W равно Wm(z). Тогда из C.28) следует,
что vm = \n(Wm/Wr)- Но так как отношение WJWt очень велико,
то его логарифм нечувствителен к Wm и является почти константой
(примерно равной кулоновскому логарифму Л). Таким образом,
мы приходим к выводу, что максимальное (по переменным 9' и е)
значение v должно быть равно Л вне зависимости от z.
Форма спектра колебаний определяется зависимостью v от 9'
и е вблизи точки 9' = 90'; е = е0. Ясно, что в этой области значений
б' и е должны выполняться условия C.27) и C.32). Как отмечалось
в разд. 3.2, при условии C.27) неоднородность плазмы не оказывает
¦существенного влияния на колебания. Это означает, что в выра-
выражении C.36) для v можно (чисто формально) считать (д, малым пара-
параметром. Поскольку, кроме того, величина е также мала [см. C.32)],
то интеграл /, входящий в C.36), можно разложить по |л и б (подроб-
(подробнее о параметрах разложения см. ниже), причем, в соответствии с
вышесказанным, нулевой член разложения должен быть равен Л*.
Чтобы осуществить указанное разложение, перейдем в интеграле /
к новой переменной интегрирования | = f е + кг (z — z')J/A9 (г').
В результате получим
оо
/= f dllG(l)\-^- А0 + — — Л021~' , C.37)
J ft' 9 йу'
где А9 и dAQ2/dz' рассматриваются как функции |. При выводе
последнего соотношения мы считали е>—цг/б', так как в области
* Строго говоря, должен быть равен Л максимум функции v. Но при ус-
условиях C.27), C.32) этот максимум близок к нулевому члену разложения /:
различие между ними порядка первого члена разложения /.

е <; — цг/Q' величина v отрицательна и энергия колебаний близка
к тепловой.
Приведенная форма записи интеграла / позволяет сделать вы-
вывод, что в пределе ц, г ->- 0 он имеет конечное и не зависящее от z
значение только при А9(г) = A~Vz, где А — константа. Простые вы-
вычисления показывают , что в этом случае
г ^ ( •-> /f-\ 14- 2Я
Определяя константу А из условия /ц,Е^о = Л, находим оконча-
окончательно, что
де (г) =.. / * = 2J1 / 4- • C-38)
Таким образом, из условия /ц.е-о = Л мы нашли зависимость
углового разброса функции распределения от координаты z. Как от-
отмечалось в разд. 3.2, релаксация заканчивается при А6 ~ (цЛ).
Это значение АЭ достигается при z—(fi2A)-'. При дальнейшем уве-
увеличении z угловой разброс остается неизменным.
Не представляет труда записать следующий член разложения /
по параметрам е и ц. Используя найденную выше зависимость Д6(г),
из соотношения C.37) получим (пока точно) '
/Д9
J
е/Д9(г)
Отсюда прежде всего видно, что фактически параметрами разло-
разложения являются величины [iz/Q'AQ(z) и e/A8(z). Ниже мы убедимся
в том, что они действительно малы. Разлагая / по этим параметрам
с точностью до членов первого порядка, приходим к следующему
результату:
Обращаясь к формуле C.36), находим, что в интересующей нас об-
области значений е и 6'
^0' /J 9'
2 Зак. 495 33

Учитывая, что величина v положительна только при е>—Щ-
0
да
БГ —) |и
2я Дв (г) J ' eo--F + °-
получаем отсюда
I
2 Дв (г)
Наличие в формуле для v большого параметра позволяет утвер-
утверждать, что спектр колебаний сосредоточен вблизи максимума функ-
функции 8, т. е. вблизи точки 00', е0. При малых отклонениях 0' и &
от 0О' и е0 имеем
¦ / 9 \
5Г I - )
ЗЛ{8' -ео'J л I 5 '
е
2пД9(г) \ G'
Из последнего соотношения вытекает, что ширина спектра колебаний
по 0'порядка Л~'/2, а по е — порядка А0/Л. Как легко проверить,
в этой области значений переменных параметры jxz/8'A9(z) и s/A9(z),
по которым проводилось разложение в формуле C.39), действительно
малы вплоть до самого конца релаксации [т. е. вплоть до г ~ (ц^Л)"].
В соответствии с формулой C.28) спектр колебаний может быть,
записан в виде
О, г<-р->
C.40)
где нормировочный множитель Wm(z) определяется из соотношений
C.33), C.35) и C.38). Зная спектр колебаний, можно вычислить
плотность их энергии
00 -|" °°
U=4n J 6'ad0' j Wde,
0 j — со
что, собственно, и является задачей квазилинейной теории. Опу-
Опуская громоздкие промежуточные выкладки, приведем только окон-
окончательный результат:
где
34

а) = а.^а« + ^-)/(а) + ^-е—J;
/(о) =
Анализ показывает, что при увеличении z функция U(z) сначала
возрастает пропорционально z1/2, достигает максимума при z =
=гмакс = 81/fx2A4, после чего убывает как г~1/3:
0,57(ц»Л«2)'/2, г«2макс;
3,76, г=2макс; C.42)
8,31 (|iM*z)~, 2»zMaKC.
Интересной особенностью найденного решения является то, что
релаксация идет в две стадии. На первой из них, при z <С 2макс,
колебания возбуждаются пучком, а на второй, при z > zMaKC, в
значительной мере им же поглощаются. Это явление характерно для
неоднородной плазмы и в случае нерелятивистского пучка было опи-
описано в разд. 2.4.
Как отмечалось выше, релаксация заканчивается приг~~(цЛЛ.).
Соответствующее значение плотности энергии колебаний по порядку
величины равно 10 ((дЛ2). При дальнейшем увеличении z энер-
энергия колебаний уже не меняется.
Таким образом, пучок выделяет в неоднородной плазме лишь
очень незначительную долю своей энергии: порядка 10(ц.Л2)
(напомним, что в безразмерных переменных начальная энергия пуч-
пучка равна единице).
Быть может, некоторого увеличения энерговыделения можно
добиться, искусственно подавляя релаксацию в области z > гмакс.
Этого можно достигнуть, в частности, если сделать плазму в этой
области сильно неоднородной. Но и тогда, как видно из C.41),
выделение энергии пучком будет незначительным [порядка З(цЛ)].
Приведенные выше результаты были получены в работе [21].
Сформулируем их еще раз в компактной форме.
Влияние неоднородности плазмы на квазилинейную релаксацию
ультрарелятивистского электронного пучка полностью харак-
с Е п
теризуется величиной произведения иЛ, где (л = -. ,
ь у шре тс2 п'
а Л—величина порядка кулоновского логарифма. При ц А ^ 1
релаксация нечувствительна к влиянию неоднородности, а энергия,
выделяемая пучком в плазме, порядка начальной энергии пучка.
2* 35

При \iA > I роль неоднородности очень существенна, причем име-
ются две возможности. Если начальный угловой разброс пучка ABq,
достаточно велик, А0о>([хЛ)~1, то релаксация вообще отсутствует.
Если же разброс Д0„ мал, А90 ^ (рЛ), то релаксация возможна,
но приводит, однако, к потере пучком лишь малой доли (прибли-
(приблизительно (fxA)~x) его начальной энергии. Этот результат можно сфор-
сформулировать несколько иначе. Именно, можно сказать, что условие
р,Л~1 определяет критический градиент концентрации плазмы
дп
, п тс'
крит LII крит Лс Е
C.43)
при котором взаимодействие пучка с плазмой еще эффективно (при
крит энерговыделение мало).
3.4. Волна релаксации
В разд. 3.3. мы рассмотрели релаксацию пучка в неоднородной
плазме, считая зависимость n(z) заданной. Такой подход заведомо
несправедлив, если плазма нагревается самим пучком. Пусть, на-
например, в начальный момент времени плазма, заполняющая полу-
полупространство z > О, однородна. Тогда непосредственно после вклю-
включения пучка его энергия будет выделяться в слое толщиной z ~~ /1/2.
По мере нагрева плазмы, находящейся в этом слое, она будет расши-
расширяться со все большей скоростью и становиться все более неоднород-
неоднородной. Когда характерный градиент концентрации достигнет крити-
критического значения, соответствующего срыву неустойчивости, энергия
начнет выделяться в следующем слое толщиной порядока Л/2, где
плазма, в свою очередь, станет неоднородной, и т. д. Естественно, что
на самом деле область релаксации перемещается в глубь плазмы не
скачками, а непрерывно (это явление можно назвать волной релак-
релаксации).
Отметим, что в случае, когда поперечный размер пучка а меньше
или порядка /i/2, как это имеет место в опытах типа [19], возникно-
возникновение продольного градиента концентрации связано с расширением
плазмы в поперечном направлении.
В зависимости от отношения длины свободного пробега электро-
электронов плазмы к а и /i/2, при решении задачи следует пользоваться той
или иной системой газодинамических уравнений. Для определен-
определенности рассмотрим ситуацию, когда длина свободного пробега мала,
а теплопроводностью плазмы можно пренебречь. Тогда при а <С Л/2 '
можно записать, что за время Д^ концентрация плазмы в той области,
Т
где выделяется энергия пучка, уменьшается на величину An ~ ду-Х
Д<2
X—2-я, где М—масса ионов, а Т—температура, до которой плазма
нагревается пучком за время Д/( Т ~ — • j—Е). Продольный гра-
V п м/2 J
36

диент концентрации достигает критического значения n/Z-ц крит за
время Ый~а~У M.IT VhiilLц кРит- За это время область релакса-
релаксации смещается в направлении z > 0 на расстояние порядка /i/2,
так что скорость волны релаксации может быть найдена по формуле
C.44)
М а V 1\/2
где под Т понимается теперь температура, которую плазма имеет за
фронтом волны релаксации (Т~— • %—°?). Из формулы C.44)
W V П '1/2 /
видно, что волна релаксации распространяется со скоростью, су-
существенно превышающей скорость звука в плазме, нагретой пуч-
пучком.
§ 4. Аномальное сопротивление плазмы
без столкновений
Пусть в однородной плазме имеется постоянное однородное элект-
электрическое поле Е, параллельное магнитному и достаточно большое
для того, чтобы можно было пренебречь парными столкновениями.
При этом электроны свободно ускоряются до тех пор, пока скорость
их направленного движения не превышает порога возбуждения ко-
колебаний звукового типа, после чего в плазме возникает неустойчи-
неустойчивость, приводящая к торможению электронов и появлению так на-
называемого аномального сопротивления *. За время порядка не-
нескольких обратных инкрементов система возвращается к порого-
пороговому состоянию и далее все время остается в этом состоянии.
Основной вопрос, на который должна ответить теория аномаль-
аномального сопротивления, состоит в том, каково установившееся значе-
значение токовой скорости электронов и как оно изменяется со временем
вследствие нагрева плазмы.
4.1. Аномальное сопротивление
на начальной стадии тока
Фазовая скорость звуковых колебаний мала по сравнению с теп-
тепловой скоростью электронов. В этом случае, как известно (см., на-
например, [28]), квазилинейный интеграл столкновений в электронном
кинетическом уравнении по своей структуре очень близок к инте-
интегралу столкновений электронов с бесконечно тяжелыми ионами
и имеет вид
* Явление аномального сопротивления было связано с ионно-звуковой
неустойчивостью в работах [25—27].
37

(Мы ввели сферическую систему координат (v, 9, ф) в пространстве
скоростей и учли, что задача аксиально симметрична: д/дср = 0.]
Выражение для гэфф легко получить из формулы A.2) в нулевом при-
приближении по параметру a/kvTe^(m/M)l/2 < 1:
Г sin 9' cos2 9' W(k,Q')dQ'
X
I
sin2 9 j/sin29sin29' — cos2 9 cos2 9'
|cos 9'|<sine
где, как обычно, k, 9', <p' — сферические координаты в пространстве
волновых векторов. Имея в виду, что
оо Я
2л \k* dk \ W (k, 6') sin 9' d& = U,
о о
где U — плотность электростатической энергии ионно-звуковых
колебаний, можно записать следующую оценку для
где k-—характерный волновой вектор ионно-звуковых колебаний»
a &d = tope/vTe ¦— дебаевский волновой вектор.
Из линейной теории ионно-звуковой неустойчивости известно,
что характерный волновой вектор возбуждаемых звуковых колебаний
равен &?>. Поэтому из D.2) следует, что для основной массы электро-
электронов, т. е. для электронов с v ~ vje
^фф ~аре~Г- D-3)
На начальной стадии нагрева функция распределения электронов
должна быть почти изотропной, поскольку пороговая скорость воз-
возбуждения звука в плазме с Те ^> Tt (только такой случай мы и рас-
рассматриваем в этом разделе) порядка VTe(m/MI/2 и много меньше'теп-
ловой скорости электронов. Таким образом, в первое время после
включения внешнего электрического поля средняя скорость элект-
электронов ve по порядку величины должна быть равна VTe{mlM)xi2,
Эффективная проводимость плазмы аэфф = en | vjE \ при ое'~
~ vTe(m/M)i/2 равна
env
Те
VI-
и, что следует подчеркнуть особо, обратно пропорциональна Е.
Эти выводы были получены в работе [28] и нашли качественное под-
подтверждение в ряде экспериментов (например, [29—31]).
38

Остановимся более подробно на результатах работы [29J, в ко-
которой была исследована зависимость эффективной проводимости от
электрического поля в тороидальной установке (большой радиус
порядка 30 см, малый радиус—5 см). Вихревое электрическое поле
напряженностью от 0,1 до 200 в/см создавалось на обходе тора с по-
помощью ВЧ-контура, охватываемого тором. Внешнее магнитное
12
10
ь
6
4
2
О 0,2 0,4- 0,6 1,0
2,0 4,0 6,0 10
20 Е,в/СН
Рис. 10. Зависимость Оэфф(^). найденная
рименте [29].
в экспе-
экспеполе, направленное вдоль обхода тора, имело напряженность по-
порядка нескольких килоэрстед. Концентрация плазмы равнялась
примерно 1012 см~3. Полученная в этом эксперименте зависимость
аэфф(?) приведена на рис. 10.
В области слабых полей проводимость плазмы совпадает с куло-
новской. Когда электрическое поле превышает 0,4 в/см, возникает
аномальное сопротивление, причем на участке 0,4 в/см < Е <
<С 1 в/см о3фф~1/Е, и эксперимент удовлетворительно описывается
теорией [28].
Оставляя пока в стороне обсуждение дальнейшего хода экспе-
экспериментальной кривой, отметим, что хотя уже давно нет сомнений
в том, что аномальное сопротивление в подобных опытах обусловлено
• возбуждением звуковых колебаний, до последнего времени не уда-
удавалось непосредственно измерить соответствующее флуктуационное
электрическое поле. Первые результаты в этом направлении были
получены в работах [32, 33] с помощью наблюдения штарковского
уширения спектральных линий водорода под действием хаотических
электрических полей колебаний, возбуждаемых током, параллель-
39

ным внешнему магнитному полю. Оказалось, что ширина линий су-
существенно превышает значение, характерное для ламинарной плаз-
плазмы (хольтсмарковское уширение), и, по мнению авторов работ
[32, 33], не может быть приписана также эффекту Допплера и влия-
влиянию ленгмюровских колебаний. Найденная по ширине линий плот-
плотность электростатической энергии колебаний находится в согла-
согласии с оценкой этой величины по формуле D.3), в которую подстав-
подставлялось вычисленное по измеренной проводимости плазмы значе-
значение у8фф.
Вновь обращаясь к рис. 10, отметим, что в условиях опытов [29]
при Е < 1 в/см температура плазмы за время наблюдения не успе-
успевает существенно измениться по сравнению со своим начальным зна-
значением. Это очень важно, так как при теоретической интерпретации
соответствующего участка кривой можно считать электронную тем-
температуру известной.
Для интерпретации результатов в области Е >• 1 в/см, где
становится существенным нагрев электронов, необходимо при-
привлекать уравнение баланса для электронной температуры, учи-
учитывающее потери тепла на стенки разрядной камеры (энергети-
(энергетическое время жизни плазмы в области Е > 1 в/см мало по сравне-
сравнению со временем наблюдения). С этой точки зрения зависимость
аЭфф(Е) при Е > 1 в/см еще не получила удовлетворительного объ-
объяснения. Во всяком случае, ее нельзя понять на основе теорети-
теоретической модели, изложенной выше.
Действительно, как уже отмечалось, электронный интеграл
столкновений D.1) фактически такой же, как и в случае лоренце-
вой плазмы. Хорошо известно (см. [34]), что в лоренцевой плазме
электроны с большой скоростью не могут быть заторможены в ре-
результате столкновений и практически свободно ускоряются внеш-
внешним электрическим полем (явление «убегания»). Формальное иссле-
исследование процесса убегания для интеграла столкновений типа D.1)
проведено в работе [34], где установлено, что к тому моменту,
когда температура плазмы, грубо говоря, удваивается, убегающими
становятся все электроны. Между тем в экспериментах [29—31] во
многих режимах температура плазмы существенно возрастает'за
время наблюдения, но направленная скорость электронов остается
много меньше их тепловой скорости*.
Возникающее таким образом противоречие можно, видимо,
разрешить, принимая во внимание взаимодействие плазмы со стен-
стенками и электродами (для электродных разрядов). Но имеется прин-
принципиальный вопрос о том, как будут изменяться при больших вре-
временах ток и другие характеристики плазмы, полностью изолирован-
изолированной от стенок. Выяснению этого вопроса посвящены следующие
три раздела.
* Отметим, что в ряде экспериментов (например, [35]) наблюдалась дру-
другая ситуация: отношение velvre было порядка 1/2—1/3 и существенно пре-
превышало (т/ М) 11г.
40

4.2. Асимптотическое решение задачи
об аномальном сопротивлении.
Автомодельные переменные
Ясно, что по мере нагрева плазмы она «забывает» о своем исход-
исходном состоянии, и в конце концов эволюция функций распределения
частиц (а также спектра колебаний) приобретает некоторый универ-
универсальный характер, не зависящий от начальных условий. Соответ-
Соответствующее решение задачи было названо в работе [36] «асимптоти-
«асимптотическим».
Асимптотическое решение может быть найдено на основе квази-
квазилинейных уравнений*. Запишем эти уравнения в системе ко-
координат, движущейся со скоростью свободно ускоряемых ионов—¦
eEt/M. Мы считаем, что электрическое поле равно—Е, т. е. элект-
электроны ускоряются в направлении вектора Е:
+ ±)eE°b°DefifL; D.4)
^М ) дм dva ap dvp v '
fi_rn? _dn df±
t~AP'dvaUa»dvfi> D.5)
Влиянием магнитного поля пренебрегаем.
Поскольку, как указывалось выше, система находится на пороге
неустойчивости, для решения задачи следует найти такую функцию
W = W(k, t), чтобы функции /е и Д-, определенные из уравнений
D.4) и D.5), давали у — О там, где W > О, и у ^ 0 там, где W = 0.
Формально наличию асимптотического режима соответствует
возможность перехода в квазилинейных уравнениях к автомодель-
автомодельным переменным. При этом из простых размерных соображений сле-
следует, что скорости частиц должны измеряться в единицах eEt/m**,
а волновые векторы колебаний — в единицах m(npe/eEt.
Учитывая условия нормировки для функций f e и /{, можно за-
записать, что
/ т \з . . mv /л с\
-z:) 8e.i(u); u=^7' 4-6)
eEt I ett
где функции ge, i нормируются на единицу: J" ge, id3 u = 1. Спект-
Спектральная плотность электростатической энергии колебаний в асим-
асимптотическом режиме имеет вид
)V ^ D.7)
ты
ре
* Роль нелинейных процессов асимптотически убывает со временем, по-
поскольку отношение энергии колебаний к кинетической энергии частиц, как
будет видно из дальнейшего, пропорционально t~l.
** Речь идет о нерелятивистской плазме.
41

где множитель t* появляется потому, что уравнения D.4) и D.2),
записанные в автомодельных переменных и и q, не должны содер-
содержать времени, а буквенный коэффициент перед функцией W под-
подбирается из соображений удобства (так, чтобы W была безразмерной
функцией, а тензор диффузии, записанный в автомодельных пере-
переменных, не содержал буквенного множителя).
Подставляя формулы D.6) и D.7) в D.4) и D.5), получаем систему
квазилинейных уравнений в автомодельных переменных:
ди ""а "
М*' диа •»*» дЧ
Здесь п — единичный вектор, направленный вдоль Е. В автомодель-
автомодельных переменных записывается также дисперсионное соотношение
A.4)
д I m
Ч [ +
(o —i?u
и условие у = 0: \ q ^-( ge + ^г )б(со — qu)d3n = 0 (частота изме-
измеряется в единицах соре). В некоторых случаях удобно использовать
сферические системы координат и, 9, ф и q, 6', ф' в пространстве
скоростей и в пространстве волновых векторов. В сферических коор-
координатах уравнения D.8) и D.9) приобретают вид:
г\д?е sin6 dge\ c, ,. 1АЧ
s9f-e -^ =Stge; DЛ0)
ди и об /
00
«sine <эе
Точные и приближенные выражения для величин ЗЗи
приведены в Приложении 3.
Уравнения D.8) и D.9) можно представить в форме, которая поз-
позволяет придать им простой физический смысл:
D.12)
^g D.13)
42

Первое из этих уравнений описывает стационарное распределение
некоторой субстанции с концентрацией ge в газе со стационарным
полем скоростей n — u при наличии диффузионного потока Qe.
Второе имеет аналогичный смысл для субстанции с концентрацией
gt в газе со стационарным полем скоростей — и (рис. 11).
Конвекционный поток [которому соответствует слагаемое
— uSt в уравнении D.13)] стремится стянуть ионы в точку и = 0.
Этому противодействует диффузионный поток. В результате уста-
устанавливается некоторое стационарное распределение ионов с мак-
максимумом вблизи точки и = 0.
Рис. 11. Поле скоростей для уравнений D.12) и D.13):
пунктир —для уравнения D.12); сплошная —для D.13).
Как известно [10], колебания с фазовыми скоростями, меньшими
тепловой скорости ионов, в плазме отсутствуют. Это означает, что
в некоторой окрестности точки и = 0 коэффициент квазилинейной
диффузии Жар равен нулю. Но тогда конвекционный поток приведет
к тому, что ионы стянутся в точку и = 0, и их распределение примет
вид б-функции б (и). В действительности, однако, после того как в
точку и = 0 стянется часть ионов, дисперсия изменится и появят-
появятся колебания со сколь угодно малыми фазовыми скоростями, так что
коэффициент диффузии станет отличным от нуля в сколь угодно ма-
малой окрестности точки и = 0. Таким образом, мы приходим к выво-
выводу, что ионная функция распределения обязательно имеет дель-
дельта-образный керн в точке и = 0 (который соответствует свободно
ускоряющимся ионам).
Аналогичные соображения показывают, что, вообще говоря,
имеется также электронный керн в точке и = п (который соответ-
соответствует свободно ускоряющимся электронам). Доли частиц, находя-
находящихся в электронном и ионном кернах, обозначим соответственно
X е и Xt. В асимптотическом режиме величины Хе и Xit очевидно,
не зависят от времени и электрического поля и определяются
только отношением масс электронов и ионов.
4а

В заключение этого раздела запишем автомодельные уравнения
для одномерного решения, которое осуществляется, когда ионная
циклотронная частота соя< существенно превышает ионную плаз-
плазменную частоту api. В этом случае задача описывается одномерными
функциями распределения /е> i(vz, t) и одномерной спектральной
функцией W(kz, t), которые удовлетворяют следующим условиям
нормировки:
где U (t) — объемная плотность электростатической энергии коле-
колебаний. При этом в асимптотическом режиме имеем:
mngeA(u) eE3t:
fe.l(V2,t) =
eEt
8я2 т
и--=
eEt
eEtk,
"¦ре
D.14)
где
и — 1
du V
— -и
du
(«) =
т
М2 du
du
(й
q
d&t
~Tq
(?)
D.15)
D.16)
D.17)
квазилинейный коэффициент диффузии.
4.3. Исследование автомодельных уравнений
для одномерной модели
В одномерном случае в стационарном состоянии сумма диффу-
диффузионного и конвекционного потоков должна быть равна нулю, т. е.
D.18)
D.19)
М)
—UP, = — 3)(и) — .
Л12 аи
Отсюда следует, что в областях и < 0 и и > 1 условие равенства
нулю инкремента колебаний, которое в одномерном случае имеет
вид
т
D.20)
может быть выполнено только при ge = gt = 0. Что же касается
области 0 < и < 1, то в ней система уравнений D.18)—D.20) поз-
44

врляет найти функции ge, gt и 3)*:
— и);
где С — произвольная положительная постоянная. Согласно тому,
что говорилось в разд. 4.2, к функциям ge и gt следует добавить
некоторое число свободно ускоряющихся электронов и ионов, при-
причем из условия нормировки
сразу вытекает,
+С=1, Xi+||
Зная функции ge и gt,
легко записать дисперси-
дисперсионное соотношение
е (со,
1 —
(со—?J
@,7
\ /О2Iчг 1
Рис. 12. Функция F(u) при различных
значениях константы С.
Функция е(ш, q) должна
удовлетворять двум тре-
требованиям: 1) все колеба-
колебания должны быть устойчи-
устойчивыми; 2) должны существо-
существовать колебания со всеми фазовыми скоростями в интервале @,1)**.
Из этих условий можно определить- константу С. Для этого пред-
представим дисперсионное соотношение в виде
JL
и
J
и — 1
D.21)
где и = (nlq. Соотношение D.21) представляет собой уравнение чет-
четвертого порядка относительно и, причем для устойчивости необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно имело четыре вещественных корня.
График функции F(u) при различных значениях константы С приве-
приведен на рис. 12. Из рисунка видно, что при С< 2\х1/2 система не-
неустойчива для малых q, а при С>(г'/2 имеется интервал фазовых
скоростей внутри промежутка @,1), где колебания отсутствуют.
* В дальнейших вычислениях будем для простоты считать mlМ С 1,
хотя можно получить и точное решение, справедливое при любом отношении
масс электронов и ионов.
** Если бы не было выполнено последнее условие, то в промежутке @,1)
существовал бы участок с равным нулю коэффициентом диффузии 3)\и)- Тогда
конвекционный поток снес бы ионы влево от этого промежутка, а электроны —
вправо, и уравнение D.20) не могло бы быть выполнено.
45

Поэтому приходим к выводу, что С = 2ц1/2, и тем самым однозначно
определяем функции распределения.
Спектральную функцию можно найти по формуле D.14). Услов-
Условно разобьем все колебания на два типа: ленгмюровские (с фазовыми
скоростями ы^ц'/2) и звуковые (с фазовыми скоростями и ^ и-1/2)-
Для первых ш ~ q— 1, а для вторых со ~ j.i1/2. Тогда из D.17)
получаем следующие выражения для плотности энергии этих коле-
колебаний:
Перечислим основные качественные особенности полученного
решения: 1) почти все электроны и ионы свободно ускоряются элек-
электрическим полем; 2) несмотря на это, система находится на пороге
устойчивости, что обеспечивается наличием малых групп электронов
и ионов, «размазанных» по скоростям; 3) имеются очень «горячие»
ионы с энергиями, в [Г1 раз больше энергии свободно ускоряющихся
электронов [относительная концентрация таких ионов примерно
равна (ц.K/2]; 4) в асимптотическом режиме энергия ленгмюровских
колебаний существенно превышает энергию звуковых колебаний.
4.4. Исследование автомодельных уравнений
для трехмерной модели
Как следует из изложенного, существенной особенностью одно-
одномерного решения является наличие ленгмюровских колебаний.
Это связано с тем, что ионно-звуковые колебания, обладая малой
фазовой скоростью, не могут обеспечить отличной от нуля диффузии
на всем интервале скоростей @,1). В трехмерном же случае, где при-
присутствуют и «косые» волны, уже одних ионно-звуковых колебаний в
принципе достаточно для диффузии частиц во всем пространстве
скоростей. Поэтому естественно рассмотреть вопрос о том, можно ли
обеспечить аномальное сопротивление только возбуждением ионно-
звуковых колебаний (см. [37]).
Прежде всего получим точные соотношения, являющиеся анало-
аналогами законов сохранения энергии и импульса. Для этого умножим
уравнения D.12) и D.13) на пи и и2 и проинтегрируем их по сРи,
учитывая, что функция W отлична от нуля только при тех значениях
W, для которых § qg-(ge + |^?гN(й — qu)d3u = 0. В результате
получим:
пе —1=— А; D.22)
щ/\л = А; D.23)
ие2-пе=-Луф; D.24)
«,«/> = Лоф, D.25)
46

где введены обозначения: А=\> nQed3u;
Аиф = ^uQed3u; ue,i~. $ge, t (n u) d3u;
Uej =J ge, i u2d2u. Величина иф имеет смысл характерной фазовой
скорости колебаний. Складывая D.22) с D.23) и D.24) с D.25),
легко пол учить искомые соотношения.
Так как фазовая скорость ионно-звуковых колебаний мала по
сравнению с тепловой скоростью электронов, то для вычисления
тензора 25ар, входящего в электронное кинетическое уравнение, мож-
можно воспользоваться приближенной формулой (П.3.2), из которой
следует, что See ~ ^XiO); 3)ив ~ ^ • %Х&У, ®ии ~ {~)~^'
где В — некоторая константа, a %и %2, %3 — плавные функции уг-
угла 8, по пор ядку величины равные единице. Таким образом, для ос-
основной массы электронов25ее ^>>55«е> 25UU, и главным процессом для
них является упругое рассеяние. Частота рассеяния v растет с умень-
уменьшением скорости (v en v'3). Поэтому в пространстве скоростей все-
всегда есть область (ее границы будут указаны ниже), где распределе-
распределение электронов почти изотропно, и функцию ge(u, 0) можно пред-
представить'в виде ge(u, 6) = ge(u) + б^(а, 8), где 8ge < ge =
я
1 (*
5= -j \ sin Qge(u,d)dd. Тогда из уравнения D.10) получаем
о
d8ge = sin 6 ц2 dfe u &ив dfe
23)вв ди й?ее ди
D 26)
Используя приведенные выше оценки для коэффициентов диффу-
диффузии, видим, что при и ^ ых = .б'/ЗУф^главным в правой части D.26)
является второй член и анизотропия электронов в этой области ско-
скоростей определяется их взаимодействием с колебаниями. При
и > их электроны становятся анизотропными под действием элект-
электрического поля [первый член в правой части D.26)]. Уравнение
D.26) справедливо вплоть до скоростей и ~ В1'2, где функцию рас-
распределения электронов уже нельзя считать слабоанизотропной.
Подставляя выражение D.26) в уравнение D.10) и проводя интег-
интегрирование по углу, получаем уравнение по изотропной части функ-
функции распределения ge. При и <iux (область 1)
9 j eye
и? аи
и
— / „5 \
D.27)
47

При ы1<и<Б'/2 (область 2)
8u2
. D.28)
Вид функции распределения и относительное число электронов в
областях 1 и 2 определяются двумя параметрами, характери-
характеризующими решения D.27) и D.28): В и оф, причем в наших единицах
всегда рф < 1.
Рассмотрим прежде всего случай В~^\, когда в областях 1
и 2 заведомо находятся почти все электроны (из энергетических
соображений очевидно, что лишь малая часть электронов может
иметь скорость и > 1). Нетрудно убедиться, что большинство элект-
электронов при этом сосредоточено в области 1. Действительно, так как
ихъ ~ Б5/3Уф5/3 > 50ф2, то решение D.27) при и = иг уже экспонен-
экспоненциально мало. Тогда температура электронов (ие2 ~ В2'5 аф4/5)
и их направленная скорость (ые~оф) определяются их взаимодей-
взаимодействием с колебаниями и никак не связаны с электрическим полем,
влиянием которого в области 1 можно пренебречь. Уже это ука-
указывает на физическую бессмысленность полученного решения.
Для более строгого доказательства обратимся к формулам
D.22)—D.25). Так как мы пытаемся построить решение сие « 1,
то из D.22) сразу следует, что постоянная А близка к единице.
Учитывая это, из уравнения D.20) имеем
«е2 = аяф, . D.29)
где а ^ 1. Среднеквадратичную скорость электронов в рассматри-
рассматриваемом случае можно определить из уравнения D.27): ме2 ~
~Л2/5уф4/5, что при 5^1 и иф < 1 несовместно с D.25). Тем самым
доказана неосуществимость ионно-звуковых решений с и, « 1
и В^ 1. Перейдем поэтому к исследованию случая В <? 1. Для
того чтобы электроны были слабоанизотропны, нужно их почти все
поместить внутри сферы радиусом В1'2 в пространстве скоростей.
Если при этом ?>ф С В2, то иг6 > Виф2, и снова все электроны
оказываются в области 1, что приводит к описанному противо-
противоречию.
Итак, остается рассмотреть решение при иф ^ Вг. В этом случае
щъ ^ ?яф2, и в области 1 функция распределения ge(u) почти не
меняется. В то же время «х ^ В, и в области 2 решение тоже кон-
константа. Это постоянное решение, справедливое до и ~ В1/2, должно
сшиваться с решением в остальной области скоростей, где анизо-
анизотропия уже не мала. Так как размер этой области порядка единицы
и много больше ВХ12, то большинство электронов окажется в ней,
48

и поэтому и е ~ 1. Таким образом, мы показали, что при учете одних
только ионно-звуковых колебаний обязательно будет ие2 ~ 1,
ие ~ 1 (аномальное сопротивление в асимптотическом режиме
отсутствует). Включение в задачу ленгмюровских колебаний не
может привести к существенному изменению этого результата,
поскольку ленгмюровские колебания приводят только к перерас-
перераспределению энергии и импульса внутри электронного газа.
Изложенные результаты были получены в работе [37].
При Те>Т{ пороговая скорость возбуждения звука порядка
vTe (m/Му/г. Однако, если электронное распределение анизо-
анизотропно (причем разброс по поперечным скоростям меньше про-
продольного разброса), то пороговая скорость возрастает и при
анизотропии порядка единицы становится порядка vTe. Одно из
таких анизотропных распределений и должно устанавливаться
в асимптотическом режиме.
При наличии магнитного поля анизотропия может служить
источником различного рода неустойчивостей, связанных с нор-
нормальным и аномальным эффектами Допплера и приводящих кг
изотропизапии функции распределения. Но так как пороговая
анизотропия для этих неустойчивостей не мала (порядка еди-
единицы), они не могут привести к заметному изменению приведен-
приведенных выше оценок. Специально следует отметить, что в очень сла-
слабых магнитных полях, H2^8nnmvе2, возможно возбуждение
«шланговой» неустойчивости.
Естественно, что изложенная здесь теория применима только
к тем экспериментам, в которых энергетическое время жизни плазмы
велико по сравнению со временем нагрева, но именно такая ситуа-
ситуация должна, по-видимому, осуществляться в любой установке, пред-
представляющей интерес для термоядерных исследований (иначе все
затраты энергии пойдут на «нагрев» стенок). Если же потери тепла
значительны, то приведенные выводы могут существенно измениться:
охлаждение электронов эквивалентно их перебросу в фазовом про-
пространстве из области больших в область малых скоростей, где вза-
взаимодействие со звуковыми колебаниями очень эффективно. Как
следствие может вновь появиться аномальное сопротивление.
4.5. Аномальное сопротивление току, перпендикулярному
к магнитному полю
Рассматриваемая в этом разделе задача представляет интерес
прежде всего для физики ударных волн, распространяющихся по-
поперек магнитного поля. Пытаясь объяснить аномальное сопротив-
сопротивление плазмы в ударных волнах, мы сразу учтем те конкретные ус-
условия, которые обычно выполняются в этих экспериментах и упро-
упрощают решение задачи. Так, малость электронной циклотронной ча-
частоты по сравнению с электронной плазменной позволяет пренебречь
влиянием магнитного поля на дисперсию и по-прежнему пользовать-
49-'

ся обычным дисперсионным соотношением A.4). Поскольку ионы в
бесстолкновительных ударных волнах не замагничены, в кинети-
кинетическом уравнении для ионов основную роль играет квазилинейная
диффузия:
^i = (i2^-Da8^-. D.30)
л/ г dv р диа
В то же вр емя частота рассеяния электронов много меньше их цик-
лотронной частоты, так что направленное движение электронов яв-
является дрейфовым, и в системе координат, связанной с дрейфом, их
распределение можно считать аксиально симметричным вокруг
магнитного поля.
Как мы убедились в предыдущем разделе, при Е || Н большая часть
электронов почти свободно ускоряется электрическим полем.
Теперь же м агнитное поле препятствует убеганию электронов, и мож-
можно ожидать, что в установившемся состоянии их направленная ско-
скорость будет много меньше тепловой. Для иллюстрации последнего
утверждения рассмотрим идеализированную модель, допускающую
точное решение.
Пусть имеются колебания, распространяющиеся только вдоль
тока, направление которого будем считать параллельным оси х.
В тензоре диффузии отлична от нуля только компонента Dxx =
= D(vx). Поэтому функция распределения ионов, как следует из
D.30), тоже одномерна, а электроны в плоскости (vx, vy), перпен-
перпендикулярной к направлению магнитного поля, распределены акси-
аксиально симметрично в округ точки (v, 0) (v — скорость дрейфа). Вво-
Вводя полярные координаты (v, cp) на плоскости (vx, vy) с началом в
этой точке, запишем кинетическое уравнение для функции fe(v, t):
2л
l С —
где D — — D(vx) (px — vJdvx, a (vXl, vX2) — интервал фазовых
я
скоростей, где имею гея колебания, и, тем самым, коэффициент диф-
диффузии D(vx) отличен от нуля. При этом мы учли малость этих фа-
фазовых скоростей по сравнению с тепловой скоростью электронов,
что будет подтверждено найденным ниже решением.
Кинетическоэ уравнение для ионов записывается очень просто:
Ш = ^±О@А. D.32)
dt ovx avx
Ясно, что в асимптотическом режиме все скорости следует
измгрять в единицах дрейфовой скорости v. Соответственно этому
введем автомэдельныэ переменные | = vlv и их = vjv, а функции
распределения представим в виде fe(v, t) = =- ge(?), fi(vx> t) =
50

= —gt (ux). Автомодельный коэффициент диффузии 25(мх) связан
с D(vx) соотношением 3) —Dlvv. Функцииge и gt удовлетворяют
уравнениям:
D.33)
Первое из них легко интегрируется: ge — Схехр(—15/525), причем
связь между константами Сх и 3) может быть найдена из условия
оо
нормировки: 2я j
о
-\- X е — 1, где
X е — число частиц
электронном керне, который находится сейчас в точке I = 0. Не-
Необходимость его существования в этой модели видна из следующих
соображений. Допустим, что Хе = 0. Тогда в системе возможны
только йонно-звуковые ко-
колебания, фазовая скорость
которых не может быть боль-
больше некоторой «макс. Так как
спектр одномерный, то при
скорости дрейфа больше «мак0
часть электронов (электроны
внутри круга на' рис. 13) не
взаимодействует "с колебания-
колебаниями. Поэтому они «остывают»
и концентрируются в точке
их = 1. Это происходит до тех
пор, пока дисперсия не изме-
изменяется настолько, что появля-
появляются колебания со всеми фазовыми скоростями в интервале @,1).
Как мы убедимся, это происходит при X е<^ 1 .Тогда из условия норми-
нормировки сразу следует, что лГ [-~^-\ (Ъ3)J/5 Сх = 1.
Вклад электронов в дисперсионное соотношение определяется
их распределением по продольной скорости he{ux):
Рис. 13. Область фазового простран-
пространства, внутри которой электроны не вза-
взаимодействуют с колебаниями.
С
I"* I
ОО
.= _2 Г dge (g)
ge(l)ldl
d\.
D.34)
I "x-1 I

Из условия у — О в интервале фазовых скоростей @,1) следует:
--ц-'A-и,)EЖ)-!« Ц+-. D.35)
Ы
При вычислении dheldux из D.30) мы учли, что тепловая скорость
электронов много больше их дрейфовой скорости, которая в наших
переменных равна просто единице. Отсюда находим функцию рас-
распределения ионов gt = [i-i A — uxf {Щ-*1ъ 5Г (-J-) |4яГ (^-)
и из уравнения D.29) средний коэффициент диффузии 35 =
= 1/А0яц2. Теперь из соотношения
Р = \^Se(I)dlI \ lgeA)dl = E®J/5 {5/ D.36)
2r({)
можно найти среднеквадратичную скорость электронов (|2I/2, ко-
которая оказывается равной 0,38ц-2/5. Таким образом, отношение
токовой скорости электронов к тепловой в рассматриваемой модели
равно 2,63 (х2/5 [37].
Число ионов, взаимодействующих с колебаниями, по-прежнему
мало:
ЮГ Ш
КЛ D-37)
3(8яJ/5 W-^
а для определения X е следует воспользоваться дисперсионным соот-
соотношением:
_^iit_^ = 0. D.38)
ю<7 со2
Из требования устойчивости и присутствия колебаний со. всеми фа-
фазовыми скоростями в интервале @,1) совершенно аналогично тому,
как это было проделано в разделе 4.3, находим число частиц в
электронном керне: Хе = 8,2 |х4/5.
Интересно отметить, что отношение токовой скорости электронов
ve к их тепловой скорости vje и число резонансных ионов 1 — Xt
можно оценить из простых соображений, основанных на законах со-
сохранения. Из-за рассеяния электронов на колебаниях возникает
52

сила электрон-ионного трения FTP, передающая импульс от электро-
электронов к ионам. Обозначая импульс последних Pt, имеем Pt =/7тр*.
Это равенство эквивалентно вычислению первого момента от кине-
кинетического уравнения для ионов. А так как Рг ~ A — Хг) Mve, то
^тр ~ A — Xt) Mve. Работа силы трения идет на нагрев электронов:
te ~t7eFTp. Отсюда следует, что ь\е ~ A — Xt) Mve2/m. Срав-
Сравнение электронного инкремента с ионным затуханием дает еще
одно равенство:
— . bl^i ~ Щ. D.39)
Отсюда сразу получаем, что 1—Xt~ixi/5, v ~ \x2/5 Vre-
Этот результат, естественно, подтверждается точным решением.
В нашем рассмотрении мы до сих пор совсем не учитывали «ко-
«косых» волн, распространяющихся под углом к направлению тока.
Нетрудно убедиться в том, что наличие резкого максимума у элек-
электронной функции распределения в точке их = 1 приводит к не-
неустойчивости ионно-звуковых волн с волновым вектором q, направ-
направленным почти поперек тока.
Под действием косых волн электронный керн размывается до
тех пор, пока эти волны не становятся устойчивыми. В результате
исчезает ветка колебаний с большими фазовыми скоростями, и в си-
системе остаются только ионно-звуковые колебания. В кинетичес-
кинетических уравнениях для электронов и ионов можно снова перейти к
автомодельным переменным, но точного их решения найти не удает-
удается. Тем не менее можно оценить интересующие нас величины, рас-
рассматривая баланс энергий и импульса [38].
Так как в системе присутствуют теперь косые волны, функция
распределения ионов становится существенно трехмерной. Спектр
колебаний обладает анизотропией порядка единицы (отсутствуют
колебания, волновой вектор которых образует тупой угол с направ-
направлением движения электронов). Поэтому и ионная функция распре-
распределения будет анизотропна. Оценивая слагаемые с Dee и Dvq в ки-
кинетическом уравнении для ионов, легко установить, что анизотро-
анизотропия ионной функции распределения порядка v^lvTi, где под vTl
понимается среднеквадратичная скорость ионов, находящихся вне
керна («резонансных» ионов), а под Vф —характерная фазовая ско-
скорость звуковых колебаний. Можно поэтому написать, что
Р?~A-Х,)Моф. D.40)
Возникновение аномального сопротивления связано с тем, что
ионно-звуковые колебания, излучаемые электронами, поглощаются
резонансными ионами, передавая последним свою энергию и импульс.
Это означает [27], что Рг/A — Xt) ft~— {Tt — температура резо-
щ
* Фигурирующие ниже величины Р, и FTp представляют собой импульс
и силу, отнесенные к одному иону плазмы.
53

нансных ионов). Величина Pt равна силе трения, действующей на
электроны, и, следовательно, f е ~ Рре.
В автомодельном решении, где все величины размерности ско-
скорости изменяются пропорционально одной из них (например, "уе),
800
600
«Ю
200
О
Рис. 14. Изменение величины
ДЯ@ = Н @ - #0G) и 7^ B)
на фронте бесстолкн овительной
ударной волны, распространяю-
распространяющейся перпендикулярно к маг-
магнитному полю. Время отсчиты-
вается от момента включения
ударного витка.
30
АО
50t,HceK
можно снять знаки дифференцирования по времени в последних двух
формулах. Учитывая к тому же D.40), получаем
*±*11*Л . D.41)
Еще одно соотношение между входящими 'сюда величинами полу-
получается из условия равенства электронного инкремента уе'
и ионного декремента Уг~шргA—Xi)"v%lv\i:
п _ v \ иФ "е
со
р4
D.42)
колеба-
немед-
vfl vTe
Если принять, что характерная скорость ионно-звуковых
ний равна vTe(mlM)xl2, то из соотношений D.41), D.42)
ленно следует:
—— ~(— | ; 1 — Х; ~ | — I ; Tt~Te.
Приведенные результаты нашли свое подтверждение в экспери-
экспериментах В. Г. Еселевича, А. Г. Еськова, Р. X. Куртмуллаева и
А. И. Малютина [39] по исследованию бесстолкновительной удар-
ударной волны, распространяющейся поперек магнитного поля. Волна
возбуждалась ударным витком, надетым на стеклянную трубу диа-
диаметром 16 см, заполненную водородной плазмой с концентрацией
1014 см~ъ и температурой 1 эв. Продольное магнитное поле Яо было
порядка 1 кэ.
Типичные результаты эксперимента приведены на рис. 14. Верх-
Верхняя осциллограмма дает изменение магнитного поля во времени на
расстоянии 3 см от оси трубы, на нижнем рисунке показана зависи-
зависимость от времени отношения vjvre в той же точке. Видно, что после
54

окончания переходного процесса величина velvTe выходит на по-
постоянное значение порядка 0,2 и не меняется на всей толщине фрон-
фронта волны (концу фронта соответствует момент времени t ~ 50 нсек).
Начальное увеличение vjvje до значений порядка единицы свя-
связано с тем, что в плазме перед волной Те ~ Tit и порог неустой-
неустойчивости есть ve~vTe. По мере того как в переходной области элек-
электроны нагреваются, происходит уменьшение порогового значения
vjvre До числа, предсказываемого автомодельным решением.
В заключение этого раздела остановимся на изящном опыте
Дж. Пола, К- Дафни и Л. Холмса [40], который"дал непосредственное
доказательство того, что на фронте бесстолкновительной ударной
волны, распространяющейся поперек магнитного поля, возбужда-
возбуждаются интенсивные ионно-звуковые колебания. Для этого был ис-
использован метод комбинационного рассеяния света рубинового ла-
лазера (А, ~ 7000 А) на турбулентных флуктуациях плазмы.
Хорошо известно, что если в плазме существуют флуктуации с
частотой со и волновым вектором к, то при падении на нее электро-
электромагнитной волны с частотой сог и волновым вектором кг возникает
Рис. 15. Схема эксперимента по рассеянию лазер-
лазерного луча на фронте бесстолкновительной удар-
ударной волны. Фронт волны условно изображен ^в
виде цилиндрического слоя.
рассеянная волна с частотой cos = сог ± а» и волновым вектором
ks = кг ± к. Сдвиг частоты при рассеянии лазерного света очень
мал, и поэтому | к31 =| к
к | = 2| кг | sin 9/2, где 9 —
так что
угол между к; и k's. Фиксируя направление наблюдения с помощью
коллиматоров, можно тем самым фиксировать (с точностью до знака)
значение вектора к. Иными словами, при наблюдении рассеяния в
определенном направлении можно заранее указать, на флуктуа-
флуктуациях с каким волновым вектором оно будет происходить.
Схематическое изображение опыта по рассеянию дано на рис. 15,
где показана часть фронта цилиндрической ударной волны и направ-
направления падающей и рассеянной волны. Угол 9 выбирался равным 5°.
Спектры рассеянного излучения показаны на рис. 16 для двух на-
направлений тока. Измеренный сдвиг частоты | о>г — cos| хорошо со-
соответствует частоте ионно-звуковых колебаний с волновым вектором
55

к I = 2 I кг I sin -н- ~ 0,09 | кг | в плазме с температурой Те ~ 30 эв
(а именно такой была температура электронов в середине фронта).
Большая ширина линии рассеяния обусловлена, видимо, тем, что
радиус падающего луча был сравним с толщиной фронта ударной
волны.
Интересно отметить, что в зависимости от знака тока j в спектре
присутствует либо только красный, либо только фиолетовый сател-
сателлит [рис. 16, / и 16, 2 соответствуют направлениям тока, обозначен-
обозначенным буквами an б на рис. 15]. Это означает, что колебания, распро-
Рис. 16. Контуры линий рас-
рассеянного излучения:
кривые 1 и 2 соответствуют нап-
направлениям тока, обозначенным бук-
буквами а и б на рис. 15
0,1 АА,А
страняющиеся навстречу движению электронов, отсутствуют (не
возбуждаются).
§ 5. Квазилинейные эффекты при расширении сгустков
электронов и ионов
Исследуем квазилинейные эффекты, возникающие при расшире-
расширении сгустков горячих электронов и ионов в холодной плазме.
Сначала рассмотрим задачу о динамике расширения облака горя-
горячих электронов.
5.1. Постановка задачи
Пусть в безграничной холодной плазме при t = 0 имеется обла-
облако горячих электронов, заполняющее полупространство z < 0, при-
причем начальная концентрация облака п0' мала по сравнению с кон-
концентрацией холодной плазмы п. Так как при п'о < п для обеспе-
обеспечения квазинейтральности плазмы требуется лишь незначительное
изменение концентрации холодных электронов, то поляризационное
электрическое поле, возникающее при разлете горячих электронов,
мало и не оказывает существенного влияния на их движение. По-
Поэтому можно было бы ожидать, что горячие'электроны разлетаются
совершенно свободно, и их функция распределения в произвольный
момент времени t > 0 дается формулой
f(vz,z,t)=\
0, vz<>7
fo(vz), vz>z-
E.1)
56

где fo(vz) — начальная функция распределения быстрых электро-
электронов, относительно которой мы предполагаем, что она имеет единст-
единственный максимум в точке vz = 0.
Легко видеть, что в полупространстве г > 0 функция распре-
распределения E.1) неустойчива относительно возбуждения ленгмюров-
ских колебаний (рис. 17). Характерное время развития неустойчи-
неустойчивости т равно Ля/я' сор е и в практически интересных случаях мало
по сравн ению со временем наблю-
наблюдения. Поэтому возникает вопрос
о влияни и неустойчивости на рас-
расширение облака горячих электро-
электронов. Пок ажем, что при t > т дви-
движение об лака описывается отно-
относительно простыми уравнениями,
которы е в работе [41] были названы
квазига зодинамическими. Приве-
Приведем так же аналитическое решение
этих ур авнений.
Преж де чем переходить к со-
ответств ующим вычислениям, оста-
новимс я на одном важном частном
случае , который допускает очень
простое рассмотрение. Предполо-
Предположим, что начальная функция рас-
распределения быстрых электронов
Рис. 17. Функция распределе-
распределения быстрых электр онов в мо-
моt 0
fo(vz) в области vz > 0 имеет вид
ступеньки B.10)*:
времени t > 0
z > 0 (а) и г < О (б).
при
^, 0<vz
о,
Jo>
vz>v0.
При таком начальном условии квазилинейная релаксация, которая
в масштабе времени t *^> т является «быстрой», приводит в каждой
точке полупространства z > 0 к установлению функции распре-
распределения вида
(z,t), 0<vz<v0;
0, vz>vQ,
где p(z, f) — высота плато. Функцию p(z, t) можно найти из уравне-
уравнения непрерывности для быстрых электронов, если учесть, что их
концентрация и поток равны соответственно pv0 и pv02l2. В резуль-
результате имеем ^ + Ц ¦ д? = 0, т. е. р(г, t) = p(z'), z' = z — i?- t.
Воспользуемся далее граничным условием на плоскости 2 = 0.
* Конкретный вид функции fo(vz) при о2<0в задачу не входит, посколь-
поскольку электроны с »г < 0 не попадают в полупространство z > 0, а движе-
движение в полупространстве г < 0 полностью описывается формулой E.1), спра-
справедливой при любой функции /о (vz)-
57

При t<cO быстрые электроны в полупространстве 2>0 отсутству-
отсутствуют, т. е. p(z') = 0 при г' > 0. При ^ > 0 через плоскость г = 0
в полупространство г > 0 вытекает постоянный поток частиц, рав-
равный п0' vQ. Поэтому p(z') = 2no'/vo при z' < 0.
Окончательно имеем
2п0'
Р (г, t) =
0,
E.3)
Отсюда можно найти зависимость концентрации быстрых электро-
электронов от г и t (рис. 18):
п' =
2п0',
0,
Для сравнения на рисунке приведена также зависимость n'(z, t),
соответствующая свободному разлету быстрых электронов, началь-
начальная функция распределения которых определяется формулой B.10).
Рис. 18. Зависимость п'(г) в фиксированный момент
времени t > 0. Пунктиром показана зависимость
п'-(г), соответствующая свободному разлету элект-
электронов.
Из рис. 18 видно, что учет квазилинейной релаксации приводит к
заметному замедлению разлета быстрых электронов и появлению
характерного скачка по функции n'(z, f).
Плотность энергии колебаний, возбуждаемых быстрыми электро-
электронами в области z >0, будет найдена ниже [см. E.12)]. Здесь приве-
приведем только результат:
тп0' v02-
о,
Z>^t.
58

Рассмотренная задача позволяет ответить на упомянутый в
разд. 2.2 вопрос о движении инжектируемого в плазму электронно-
электронного пучка в области z^> I\j2- Действительно, как отмечалось в разд.
2.2, на расстоянии ~Л/2 функция распределения пучка приобретает
вид B.10), причем стационарное решение в этой области устанав-
устанавливается за время порядка т. Ясно, что при временах (»ти мас-
масштабах z ^> /]/2 можно рассматривать слой толщиной ~/i/2 как
источник электронов с функцией распределения B.10), как это и де-
делалось в только что решенной задаче. Тем самым мы приходим к вы-
выводу, что функция распределения пучка в области г> 1цч опреде-
определяется формулами E.2) и E.3).
5.2. Вывод квазигазодинамических уравнений
Перейдем теперь к более формальному исследованию задачи.
Для учета взаимодействия быстрых электронов с возбуждаемыми в
плазме ленгмюровскими колебаниями воспользуемся.системой ква-
квазилинейных уравнений*:-
+ VzD
dt z дг dvz dv
i [E.4)
дг dvz dvz л '
~=D-^vz^, E.5)
dt n dv
где D=D(vz, z, ^ — квазилинейный коэффициент диффузии, свя-
занный соотношением D = —^- W со спектральной плотностью энер-
энергии ленгмюровских колебаний W(vz, z, t), а остальные обозначения
общепринятые. Групповая скорость ленгмюровских колебаний vgz
мала по сравнению с характерной скоростью разлета быстрых элект-
электронов, равной по порядку величины их тепловой скорости, и поэтому
мы опускаем слагаемое vgzdDldz в левой части уравнения E.5).
В масштабе времени t ^> т неустойчивость быстрая, т. е. правые
части уравнений E.4) и E.5), формально оцениваемые как Df/v2 и
Dlx, велики по сравнению с левыми. Поэтому при решении системы
E.4), E.5) можно воспользоваться разложением по параметру xlt.
Положение здесь во многом аналогично тому, которое имеет место в
динамике обычного газа, где при рассмотрении движений с прост-
пространственными и временными масштабами, существенно превышаю-
превышающими соответственно длину свободного пробега и время парных
столкновений, кинетическое уравнение решается разложением по
обратной частоте столкновений.
* Ограничимся одномерными (в пространстве скоростей) квазилиней-
квазилинейными уравнениями, имея в виду, что в плазме присутствует достаточно силь-
сильное магнитное поле, параллельное оси г.
59

В нулевом приближении функция / равна просто той устойчивой
функции распределения /s, которая устанавливается в каждой точке
пространства в результате квазилинейной релаксации и опреде-
определяется из условий St /s= 0, dfjdvz ^ 0. Отсюда следует, что для
рассматриваемых нами начальных условий
»z). Vt>u(z,t),
где р и и — некоторые не определенные пока функции координат
и времени. Коэффициент квазилинейной диффузии D также пока не
известен; можно лишь утверждать, что он существенно отличен от
нуля в интервале скоростей @, и), а вне этого интервала диффузией
можно пренебречь.
В полной аналогии с тем, что имеет место в обычной газодинами-
газодинамике, функция распределения нулевого приближения однозначно
характеризуется конечным числом параметров (в нашем случае
таких параметров два: р и и; в одномерной газодинамике их три:
плотность, температура и массовая скорость). Задача состоит теперь
в том, чтобы получить уравнения для этих параметров. В газодина-
газодинамике такая задача решается взятием нулевого, первого и второго
моментов кинетического уравнения (с учетом того, что интеграл
столкновений сохраняет концентрацию, импульс и энергию частиц).
В нашем случае St / сохраняет только концентрацию частиц, поэтому
указанным способом можно получить лишь одно уравнение — ана-
аналог газодинамического уравнения непрерывности:
д . д ри2 с , . I ди , ди \ п /с т\
— ои Н /о(«) Ь"— =0. E.7)
dt ' дг 2 10К ' \3t дг ) У '
Второе уравнение для р и и можно найти следующим образом.
Поскольку WvaDdfldvz = 0, то из уравнений E.4), E.5) следует, что
i] ""••' +i]"-'"-¦' =
n df n 3D
dvz яшре п' dt
В той области скоростей 0 <; vz <; и, где коэффициент квазилиней-
квазилинейной диффузии отличен от нуля, функция распределения равна про-
просто p(z, f), так что
3D
П(Оре ^ 2
п г
(
7У 3 1
/ dp
\Vz dt
i Vz
1 2
t
3 P
dp
az
E.8)
\ " "" о J
60

Так как в точке vz = и коэффициент квазилинейной диффузии дол-
должен обращаться в нуль, из E.8) получаем искомое второе уравнение
для р и и:
t
_и_ _д_ Г dt'-0
о
Оно легко приводится к дифференциальной форме:
,, & „ ди , и2 dp п ,_ о.
U -=-— р .— = U. (о.УУ
dt dt 2 dz v r
Интересно отметить, что подобно тому, как конкретное значение
эффективной частоты столкновений не входит в уравнения идеаль-
идеальной газодинамики, так и параметры, характеризующие пучковую
неустойчивость, не входят в «квазигазодинамические» уравнения
D.8), E.9).
Зная р и и, можно найти все макроскопические характеристики
горячей плазмы. Например, для ее концентрации п' и средней ско-
скорости и' имеем:
оо
E.10)
E.11)
Через р и и выражается также плотность энергии ленгмюровских
колебаний:
и
от2
= с
и
0
D
0
¦d
w
dvz
t
=
прф
12
E.12)
5.3. Решение квазигазодинамических уравнений
Заметим, что в квазигазодинамическую задачу не входят пара-
параметры размерности длины. Поэтому решение системы уравнений
E.7) и E.9) автомодельно и имеет вид
p = taq(t); u = u{l); l = zjt. E.13)
Параметр а определяется из условия, что полное число частиц в
полупространстве г > 0 линейно возрастает со временем. Тогда
указанное условие приводит к значению а == 0.
61

В результате подстановки E.13) в E.7) и E.9) получаются обык-
обыкновенные дифференциальные уравнения:
u(u~2l) 4L
решение которых находится элементарно:
Это решение определяет неявным образом зависимости м(?) и р(?)
в полупространстве 2 >¦ 0. Макроскопические параметры горячей
плазмы и плотность энергии ленгмюровских колебаний можно найти
по формулам E.10)—E.12). Что же касается полупространства
г <; 0, то там справедливо решение E.1), поскольку соответствующая
функция распределения устойчива.
Исследуем теперь задачу о расширении облака горячих электро-
электронов в случае, когда его начальная толщина равна нулю. Иначе го-
говоря, рассмотрим начальное условие вида
f\t~o = Ngo(vzN(z), E.15)
где ./V — полное число горячих электронов, а функция go(vz)
предполагается нормированной на единицу: § g0 (vz) dvz = 1.
— оо
Естественно, что в реальных условиях начальная толщина об-
облака всегда отлична от нуля, но если рассматривать движение на
расстояниях z~^>L, то приближение E.15) является достаточно хо-
хорошим. Отметим, что решенная выше задача о разлете первоначально
полуограниченного облака фактически соответствует обратному
предельному случаю, z <-L.
При начальном условии E.15) функция fs(vz, z, t) определяется
/ E.16)
0, vz > v (г, t)
(для определенности рассмотрим решение в полупространстве
z > 0), и квазигазодинамические уравнения приобретают вид:
A-pu+±.pj1=0 EЛ7)
dt дг 2 ;
ud-L-p ^1+^.^=0. E.18)
dt dt 2 dz K '
Решение этих 'уравнений по-прежнему является автомодельным,
но параметр а равен теперь —1, так как в рассматриваемом, случае
¦62

сохраняется полное число горячих электронов, а не их поток через
плоскость 2 = 0. Подставляя р = q(l)/t, и = ы(Н) в уравнения
E.17), E.18), получаем:
или, что эквивалентно:
(u-2l)q^ = 0;
E.19)
E.20)
Из уравнения E.19) следует, что и = 2\ (решение и — const, оче-
очевидно, является посторонним), а уравнение E.20) удовлетворяет-
удовлетворяется тождественно, при любом q(l). Чтобы найти функцию q(Q, вос-
воспользуемся точным уравнением
'а/ , df _ п д 1 дР
зшПр dvz Or2 dt
dt
dz
ре
которое справедливо при любых z (а не только при |г| > L) и поз-
позволяет поэтому корректно учесть начальное условие. Проинтегри-
Проинтегрируем это уравнение сначала по времени от 0 до оо, а затем по коор-
координате в пределах (—0, г) и воспользуемся начальным условием
E.15). В результате найдем, что
-Ngo(vz) +vz] f (vz, z,t')ldt' = 0.
Поскольку при г ^> L функция распределения дается формулой
E.16), в которой, как было показано выше, следует положить и =
= 2\^ р = q(%)/t, то последнее равенство приводится к виду
откуда легко определяется q(Q:
оо
i
Используя теперь соотношения E.10)—E.12), находим п', v' и U:
п' = —
3/
go
E.21)
63.

Форма решения E.21) для случая, когда
ехр/' —
27
дана на рис. 19.
Из рис. 19 видно, что учет квазилинейных эффектов приводит к
заметному изменению формы решения по сравнению со случаем
свободного разлета: скорость движения уменьшается, а перед-
бий фронт концентрации становится более крутым; кроме того,
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 q
В
Рис. 19.
условием
Решение
E.
ш>
15)
/
при
ции
/
¦N \
л ч
1тТе
задачи с
начальным
максвелловской ф\гнк-
go(Vz)-
'\ 1/2
2яГе \
~~т~/ ''
it
\ . По оси абсцисс от-
)
1/2.
ложен безразмерный параметр т)=| (^г)
Пунктир на а соответствует свободному разлету
электронов.
-1,2-0,8-0,4 0 0,4 0,8 1,2 q
на функции n'(z) появляется отчетливый максимум. Указанные осо-
особенности движения становятся еще более заметными, если функция
&о(Уг) убывает при больших v2 быстрее, чем максвелловская. От-
Отметим, что плотность энергии ленгмюровских колебаний, возбужда-
возбуждаемых в системе, по порядку величины равна плотности энергии бы-
быстрых электронов.
5.4. Другие задачи о расширении сгустков
Квазинейтральность плазмы при разлете горячих электронов
•обеспечивается за счет встречного движения холодных электронов
относительно ионов. Ясно, что вышеприведенное решение справед-
справедливо только до тех пор, пока скорость этого движения, равная по
порядку величины (п'/п)\^Те'/т, не превышает критической ско-
скорости, соответствующей порогу возбуждения колебаний ионно-
звукового типа в холодной плазме. Последняя зависит от соотноше-
соотношения температур холодных электронов Те и ионов 7\- и в частном слу-
случае Т е = Т1 по порядку величины равна YTJm. Имея в виду это
64

обстоятельство, получаем следующее ограничение на допустимые
значения концентрации горячих электронов (при Те = Tt): п' <с
< п YT eIT e ¦ Если это условие не выполнено, то возникает трение
холодных электронов об ионы, вследствие чего величина поляриза-
поляризационного электрического поля возрастает и скорость разлета горя-
горячих электронов уменьшается.
Наше рассмотрение должно быть изменено также и в том случае,
когда внешнее магнитное поле мало или вообще отсутствует, так что
квазилинейная релаксация является трехмерной (в пространстве
скоростей). Не исключено, что при этом может возникать решение
типа бесстолкновительной ударной волны.
В заключение отметим, что результаты, полученные в разд. 5.2
и 5.3, непосредственно переносятся на случай, когда в сильно неизо-
неизотермической (Те ^> Т{) однородной плазме имеется облако теплых
ионов с температурой Т{, удовлетворяющей неравенству Гг <
<? Ту < 7%. Разлет такого облака сопровождается возбуждением
ионно-звуковых колебаний с фазовой скоростью порядка YT//M
(где М — масса иона) и частотой, близкой к api. При этих условиях
функция распределения теплых ионов по-прежнему подчиняется
уравнениям E.4), E.5) (в них только следует заменить m на М) и,
следовательно, сохраняют свою силу все выводы, приведенные в
разд. 5.2 и 5.3.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Используем безразмерные переменные B.11). Инкремент неустойчивости:
1 Г С zd
\v.dv,
1 Г . С .
— -—\v.dv, dvz
|
В случае, когда разброс пучка по скоростям удовлетворяет условию Ду2
~ Дч^ ~ До « 1, инкремент отличен от нуля при
Внутри этой области значений kz и k± он может быть оценен по формуле
1 1
(П.1.2)
Тензор
Dzz
Dz±.
3 Зак.
диффузии:
\ оо
= 2 %k±d
J 0
495
*х \
J
|l-ftzoz|
Г (кг, kx)
65

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Используем безразмерные переменные, определяемые соотношениями C.6).
Инкремент неустойчивости:
0* (cos9-fecos9'Lf -2gsin9
/(cos 9j—cos 9) (cos 9—cos 62)
Здесь
= 2n[fpdp; cos9! 2 = т (cos 6' ± sin 0' /ft2— l).
Если 9' = 0, то
Если 9'>Д0, где Д9—угловой разброс пучка, то
(П.2.2)
(П.2.3)
где б = A —fecos6')/A;sin9'. Если к тому же 9' < 1 (но 6' > А9), то
где
Тензор диффузии
—1).
(П.2.4)
(П.2.5)
ypp
D,
'ев
1
cos 9—k cos 9'
sin 9
^, /(cos 0/ — cos 6) (cos 0—cos 62') I (cos 9—fecos9'J
(П.2.6)
Здесь cos 9j 2' = - (cos 9 ± sin 9 /F^T). Если W = W(k) 6A- cos9'),
' k
a 9 С 1, то
D
D,
Da
PP
(П.2.7)
Если 9 < Д9', где Д6' — угловая ширина спектра колебаний, причем
Д9' < 1, то
66

ОС в
J V&2-
(П.2.8)
где е определяется соотношением (П.2.5).
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
При использовании сферических координат и, 0, ср и 9, 6', <р' в прост-
пространстве скоростей и волновых векторов тензор диффузии имеет вид
_1С
« J
q\/ sin2 9 sin2 6'— —• — cos 0 cos 9'
I / sin2 0 sin2 0' — (— —
\ \qu
CO
— cos 0 — 0 cos 9'
ш и
и sin0
CO „ \ 2
— cos 9—о cos 9'
и
sin0
X
(П.1.3)
Интегрирование проводится по той области переменных } и 8', где подко-
со
ренное выражение положительно. При — < 1
qu
D
ив
2 Г С U7sin0'd0'
uJ99, J . Q|/sin29sin29' — cos2ycos29' X
I cos 9'|<siner
X
CO
Я2
CO
qu
cos
2
U
2
2
COS 0'
sin 9
0'
sin20
3*
67

ЛИТЕРА ТУРА
1. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3.
«Ядерный синтез», 1, 82 A961).
2. Веденов А. А., Велихов Е. П., С а г д е е в Р. 3. «Ядерный
синтез». Дополнение, 2, 465 A962).
3. DrummondW. E., P i п е s D. Nucl. Fusion, Suppl., 3, 1049 A962).
4. Шапиро В. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 44, 613 A963).
5. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля. М., «Наука»,
1967, стр. 174.
6. С a m а с М. et al. Nucl. Fusion, Suppl., 2, 423 A962).
7. Веденов А. А. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 3. М., Госатом-
издат, 1963, стр. 203.
8. Кадомцев Б. Б., П о г у ц е О. П. Препринт IC/70/45. Триест,
Международный центр теор. физики, 1970.
9. И в а н о в А. А., Рудаков Л. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
51, 1522 A966).
10. Ш а ф р а н о в В. Д. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 3. М., Гос-
атомиздат, 1963, стр. 3.
П.Трубников Б. А. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 1. М.,
Госатомиздат, 1963, стр. 98.
12. Ф а й н б е р г Я. Б., Шапиро В. Д. В сб. «Взаимодействие пуч-
пучков заряженных частиц в плазме». Киев, «Наукова думка», 1965, стр. 69.
13. Левитский С. М., Шашурин И. П. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 52, 350 A967).
14. Сизоненко В. Л., Степанов К. Н. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 49, 1197 A965).
15. В е г n s t e i n I. В., Engelmann F. Phys. Fluids, 9, 937 A966).
16. 3 а к а т о в Л. П., П л а х о в А. Г. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
60,588A971).
17. Р ю т о в Д. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 57, 232 A969).
18. Б р е й з м а н Б. Н., Р ю т о в Д. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
57, 1401 A969).
19. W i n t е г b е г g F. Phys. Rev., 174, 212 A968).
20. Ф а й н б е р г Я. Б., Шапиро В. Д., Шевченко В. И.
«Ж. эксперим. и теор. физ.», 57, 966, 1969.
21. Брейзман Б. Н., Рютов Д. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
60, 408 A971).
22. Рудаков Л. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 59, 2091 A970).
23. Брейзман Б. Н., Р ю т о в Д. Д. «Письма ЖЭТФ», 11, 606 A970).
24. D r u m m о n d W. E. Phys. Fluids, 5, 1133 A962).
25. Кадомцев Б. Б. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4. М., Атом-
издат, 1964, стр. 263.
26. F i e I d E. С, F г i e d В. D. Phys. Fluids, 7, 1937 A964).
27. S a g deev R. Z. Proc. of the 18-th Symp. in Appl. Math. N. Y., 1965,
p. 281.
28. Рудаков Л. И., Кораблев Л. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
50, 220 A966).
29. Д е м и д о в Б. А., Елагин Н. И., Фанченко'С. Д. «Докл.
АН СССР», 174, 327 A967).
30. К а л и н и н Ю. Г. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 56, 462
A969).
31. Hamberger S. M., Friedman M. Phys. Rev. Lett., 26, 674
A968).
32. 3 а в о й с к и й Е. К. и др. «Докл. АН СССР», 194, 55 A970).
33. А н т о н о в А. С. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 58, 1567
A970).
34. К г u s k a I M. D., Bernstein I. В. Phys. Fluids, 7, 407
A964).
68

35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Бобровский Г. А., Кузнецов Э
«Ж. эксперим. и теор. физ», 59, 1103 A970).
Векштейн Г. Е.,
ЖЭТФ», 12, 419 A970).
Векштейн Г. Е
эксперим. и теор. физ.:
1 . Е.,
И., Разумова К. А.
Рютов Д. Д., Сагдеев Р. 3. «Письма
Д., Сагдеев Р. 3. «Ж.
3. «Письма ЖЭТФ», 11, 297
Рютов Д.
60, 2142 A971).
Сагдеев Р.
В е к ш т е
A970).
Е с е л е в и ч В. Г. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 60 A971).
Paul J.W. M., Daughney С. С, Hoi
CLM-P222. Culham Lab., 1969.
Рютов Д. Д., Сагдеев Р. 3.
58, 739 A970).
m e s L. S. Препринт
«Ж. эксперим. и теор. физ.»,

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
НЕМАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЫ
А. Б. Михайловский
Введение
В работе излагается теория электромагнитных неустойчивостей
плазмы с немаксвелловским распределением частиц по скоростям.
Термин «электромагнитные неустойчивости» означает, что речь идет
о неустойчивостях, . при развитии которых возмущается не толь-
только электрическое, но и магнитное поле. Наряду с электромагнит-
электромагнитными неустойчивостями существуют также электростатические,
при развитии которых магнитное поле возмущается несущественно.
Материал, представленный в настоящей работе, дополняет тео-
теоретическую картину о колебаниях и неустойчивостях плазмы,
излагавшуюся в предыдущих выпусках серии «Вопросы теории плаз-
плазмы». Отметим некоторые из работ этой серии. Знакомство с ними по-
полезно для лучшего понимания обсуждаемых ниже явлений.
В работе В. Д. Шафранова «Электромагнитные волны в плазме»
(в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 3. М., Атомиздат, 1963) из-
изложена теория колебаний термодинамически равновесной (максвел-
ловской) плазмы; развит общий подход исследования колебаний
плазмы с использованием тензора диэлектрической проницаемости.
Этот подход принят и в настоящей работе. В работе В. Д. Шафра-
Шафранова приведены дисперсионные соотношения для большинства ос-
основных типов колебаний максвелловской плазмы. Многие из этих
типов колебаний имеются и при немаксвелловском распределении
частиц по скоростям. Качественное различие этих двух типов коле-
колебаний состоит в том, что все колебания максвелловской плазмы за-
затухают во времени (или обладают вещественными частотами), тогда
как колебания немаксвелловской пл,азмы могут самопроизвольно
возбуждаться, что приводит к неустойчивости.
В работе Т. Ф. Волкова «Гидродинамическое описание сильнораз-
сильноразреженной плазмы» (вып. 4, 1964) получены гидродинамические
уравнения для плазмы с нескалярным давлением (уравнения Чу —
Голдбергера—Лоу), позволяющие исследовать некоторые разновид-
разновидности электромагнитных неустойчивостей. В этом же выпуске в ра-
работе Р. 3. Сагдеева «Коллективные процессы и ударные волны в раз-
70

реженной плазме» обсуждаются, в частности, нелинейные эффекты,
связанные с электромагнитными неустойчивостями, излагаются
качественные представления о некоторых неустойчивостях.
Исследованию неустойчивостей немаксвелловской плазмы по-
посвящена работа А. В. Тимофеева и В. И. Пистуновича «Циклотрон-
«Циклотронная неустойчивость анизотропной плазмы» (вып. 5). В ней рассмат-
рассматриваются электростатические неустойчивости, особенно существен-
существенные для плазмы с малым отношением давления частиц к давлению
магнитного поля. Обсуждаемые нами электромагнитные неустой-
неустойчивости совместно с рассмотренными в указанной работе электро-
электростатическими неустойчивостями составляют полную картину не-
неустойчивостей немаксвелловской плазмы.
Систематизированному изложению вопросов теории плазменных
неустойчивостей посвящена также монография автора «Теория плаз-
плазменных неустойчивостей» [1]. Настоящий обзор можно рассматри-
рассматривать как дополнение к этой монографии.
Электромагнитные неустойчивости оказываются более важными,
чем электростатические, если давление плазмы р0 не мало по срав-
сравнению с давлением статического магнитного поля 502/8я, р =
= 8яр0/502 ^ 1. (В оценочных формулах р означает max (р (|, р±),
где Рц и р± — продольная и поперечная компоненты тензора даЕ-
ления в системе координат, связанной с магнитным полем.) Они
могут играть существенную роль и при р < 1. Например, в случае
плазмы, содержащей небольшое число быстрых электронов, роль
электромагнитных неустойчивостей существенна, если р > tijti^,
где пъ п0 — плотности быстрых и медленных частиц. Возможность
раскачки электромагнитных возмущений следует учитывать даже
при сколько угодно малом |3, если скорость частиц v не слишком
мала по сравнению со скоростью света с, т. е. в случае релятивист-
релятивистской плазмы. Наконец, при немаксвелловском распределении ионов
по скоростям возможно развитие электромагнитных неустойчиво-
неустойчивостей, если р > mjmi.
Немаксвелловская плазма с большим или конечным рис конеч-
конечным (о/сJ реализуется во многих лабораторных экспериментах.
Плазма с такими параметрами существует в космических условиях.
В настоящее время имеется много экспериментальных доказательств
проявления электромагнитных неустойчивостей немаксвелловской
плазмы. Представления об этих неустойчивостях используются для
интерпретации большого круга физических явлений в лабораторной
и космической плазме. В этой связи представляется целесообразным
дать систематизированное изложение основ теории электромагнит-
электромагнитных неустойчивостей, чему и посвящена данная работа.
В зависимости от конкретных условий немаксвелловское рас-
распределение по скоростям имеют электроны или ионы, а возможно,
и обе компоненты плазмы. В гл. 1 мы исследуем неустойчивости
плазмы с немаксвелловскими электронами, § 1—5; в гл. 2 —
с немаксвелловскими ионами, § 6—10.
71

В § 1 исследуются неустойчивости плазмы большого давления,
Р ^ 1, с анизотропным распределением электронов. Согласно со-
современным представлениям, такого рода плазма, возможно, харак-
характерна для солнечного ветра. Анизотропная плазма с большим Р
может моделироваться в лабораторных экспериментах с 8-пинчами»
В § 2 рассматривается раскачка колебаний холодной плазмы
группой быстрых электронов с анизотропным распределением по
скоростям. Такая плазма типична для лабораторных экспериментов
по СВЧ-нагреву и адиабатическому сжатию. Плазма с малой долей
быстрых анизотропных электронов существует в электронных ра-
радиационных поясах Земли.
Исследованию электромагнитных неустойчивостей плазмы, про-
пронизываемой электронным пучком с анизотропным распределением
по скоростям, посвящен § 3. Такие неустойчивости могут играть
роль в пучково-плазменных разрядах, а также в плазме с убегаю-
убегающими электронами.
При конечном релятивистском параметре (v/cJ в плазме с не-
максвелловскими электронами обнаруживаются дополнительные
классы неустойчивостей. Обсуждению некоторых из них посвящены
§ 4 и 5. Показано также, что релятивистская плазма может быть не-
неустойчивой даже при изотропном распределении электронов по ско-
скоростям. Однако для неустойчивости необходимо, чтобы функция
распределения имела положительную производную, df/dv>0. В § 4
исследуются квазиэлектростатические неустойчивости слабореля-
слаборелятивистской плазмы, примером которых является неустойчивость
отрицательной массы. В § 5 обсуждается раскачка электромагнит-
электромагнитных волн в плазме с dfldv > 0 (такой процесс иногда называют реаб-
сорбцией синхротронного излучения). Неустойчивости плазмы с
dfldv > 0 используются для создания усилителей микроволнового
излучения — мазеров на циклотронном резонансе. Такие неустой-
неустойчивости иногда называются неустойчивостями мазерного типа.
Изложение теории ионных неустойчивостей начинается с анализа
анизотропной плазмы большого давления, р ^ 1. В § 6 показано,
что при анизотропном распределении ионов развиваются неустой-
неустойчивости с частотами выше, порядка и ниже ионной циклотронной
частоты. Такие неустойчивости, как и электронные, важны для
физики плазмы солнечного ветра и для интерпретации лаборатор-
лабораторных экспериментов с 8-пинчами. Представления об этих неустойчи-
востях широко используются при построении теории ударных волн
в плазме.
Эффекты ионной анизотропии могут сказываться также при
столкновении двух максвелловских плазм—анизотропия по скоро-
скоростям в этом случае означает, что средняя продольная энергия
ионов превышает их поперечную температуру. Физически родствен-
родственной системе двух сталкивающихся плазм является движущаяся
вдоль магнитного поля плазменная струя с неоднородным профилем
скорости: в системе отсчета, связанной со средней скоростью струи,
частицы имеют среднюю продольную энергию, но не имеют попереч-
72

ной. Неустойчивости, свойственные сталкивающимся плазмам и
струе с неоднородным профилем скорости, обсуждаются в § 7. Ре-
Реально они могут проявляться при взаимодействии плотных плаз-
плазменных сгустков и при транспортировке плазмы в магнитных ка-
каналах. Неустойчивость плазмы с неоднородным профилем скорости
часто называют неустойчивостью типа Кельвина—Гельмгольца.
Как известно, при удержании плазмы в адиабатической ловуш-
ловушке, распределение ионов по скоростям имеет «конус потерь» — от-
отсутствуют частицы с малыми v$/v±. Наличие конуса потерь влечет
за собой два дестабилизирующих фактора: анизотропию распре-
распределения частиц по продольным и поперечным скоростям, df/d(v±2)^
фдЦд(у^), и немонотонность их распределения по поперечным
скоростям, dfxldvx > 0. На устойчивость плазмы с р < 1 наиболь-
наибольшее влияние оказывает второй из этих факторов—немонотонность.
С этим связаны многочисленные разновидности так называемых ко-
конусных неустойчивостей плазмы с Р -»- 0. Обсуждению конусных
неустойчивостей пространственно-однородной плазмы с конечным
Р посвящен § 8. Здесь наибольшее внимание уделяется высоко-
высокочастотной (со ^> ®bi) неустойчивости, связанной с раскачкой элект-
электронных волн ионами с df±/dv± > 0. В теории неустойчивостей плаз-
плазмы нулевого давления эта неустойчивость известна просто как ко-
конусная. В § 8 отмечается, что конусная неустойчивость слабо чувст-
чувствительна к увеличению параметра р вплоть до р ~ 1 (если не счи-'
тать того, что подавляется наиболее длинноволновая часть спектра
колебаний, нарастающих при р -> 0). Рассмотрено влияние конеч-
конечности р также на некоторые другие разновидности конусных неустой-
неустойчивостей.
В § 9 излагаются основы теории конусно-градиентной (называе-
(называемой также дрейфово-конусной) неустойчивости в плазме с конеч-
конечным р. Показано, что при конечных р эта неустойчивость менее опас-
опасна, чем при Р -> 0. К стабилизации этого типа возмущений может
приводить также небольшое количество слегка нагретых ионов —
с температурой, на два порядка меньшей температуры плазмы.
Раскачка ионами электромагнитных возмущений может играть
большую роль даже при очень малых значениях параметра р, если
в плазме, помимо основной компоненты ионов, имеется небольшая
группа ионов со скоростями, значительно превышающими сред-
среднюю скорость ионов. Исследованию соответствующих неустойчиво-
неустойчивостей посвящен § 10. Вопрос о неустойчивостях плазмы с небольшой
долей очень быстрых ионов представляет интерес в связи с пробле-
проблемой термоядерных реакторов, в которых роль быстрых частиц
могут играть а-частицы, образующиеся в результате термоядер-
термоядерных реакций, а также в связи с проблемой истолкования различных
геофизических явлений, например устойчивости протонного радиа-
радиационного пояса Земли. В § 10 мы приведем некоторые основные
результаты теории электромагнитных неустойчивостей, обязанных
как анизотропии, так и немонотонности скоростного распределения
быстрых частиц.
73

Изложенные в § 1—10 результаты были получены в теоретиче-
теоретических работах, обзор которых дается в § 11. Там же упомина-
упоминаются экспериментальные исследования, стимулировавшие развитие
теории. Общие заключительные замечания по теории электромаг-
электромагнитных неустойчивостей даны в § 12.
В конце работы помещено Приложение, в котором выводится вы-
выражение для тензора диэлектрической проницаемости, используе-
используемое в § 1—10.
ЭЛЕКТРОННЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Плазма с анизотропными электронами
1.1. Предварительные замечания
Рассмотрим электромагнитные неустойчивости, которые могут
развиваться в плазме с анизотропным распределением электронов
по скоростям.
По характеру взаимодействия частиц с электромагнитным полем
можно различать неустойчивости гидродинамические и кинетиче-
кинетические. В случае гидродинамической неустойчивости за раскачку воз-
возмущений ответственны все частицы анизотропной компоненты плаз-
плазмы, тогда как при кинетической неустойчивости возмущения раска-
раскачиваются только некоторой группой резонансных частиц. Гидроди-
Гидродинамические неустойчивости возможны только при достаточно боль-
большой анизотропии. В этом случае степень анизотропии характери-
характеризуется отношением средних энергий частиц v^/v^, где индекс «1»
соответствует направлению, в котором частицы движутся с боль-
большими скоростями, а индекс «2» — с меньшими. Для развития кине-
кинетических неустойчивостей достаточно, вообще говоря, меньшей ани-
анизотропии, чем для гидродинамических. Анизотропия в теории кине-
кинетических неустойчивостей означает неравенство производных функ-
функции распределения по квадратам каких-либо двух компонент ско-
скорости, df/d(v1i)^df/d(vaa).
Электромагнитные колебания, в отличие от электростатиче-
электростатических, — это процесс, в котором движение частиц неодномерно.
Неодномерность движения связана с тем, что в такого типа коле-
колебаниях индуцируется магнитное поле, искривляющее траектории
частиц. Характер неодномерного движения частиц модифицируется
статическим магнитным полем Во, если таковое имеется в плазме.
При достаточно большом статическом магнитном поле, двумерное
движение превращается в одномерное, вследствие чего затрудняет-
затрудняется развитие анизотропных неустойчивостей. Поэтому анизотропная
раскачка колебаний сильнее всего проявляется, если статическое
поле отсутствует.
Учитывая сказанное выше, мы начнем изложение теории анизо-
анизотропных неустойчивостей с анализа гидродинамических неустой-
неустойчивостей сильноанизотропной плазмы в отсутствие магнитного
74

поля. Простейшим примером плазмы с большой анизотропией яв-
является совокупность двух встречных.электронных потоков. Неустой-
Неустойчивость такой плазмы при Во = 0 рассматривается в разд. 1.2.
С анализа этого простейшего случая плазмы удобно начать еще и
потому, что вместо строгого кинетического описания плазмы можно
использовать простые гидродинамические уравнения холодных
электронных потоков. Стабилизирующее влияние статического
магнитного поля также удобнее всего разобрать на примере двух
потоков. Этому посвящен разд. 1.3. Кинетические анизотропные
неустойчивости плгзмы без статического магнитного поля обсуж-
обсуждаются в разд. 1.4. Роль статического магнитного поля в кинетиче-
кинетических неустойчивостях исследуется в разд. 1.5—1.7. Вначале рас-
рассматриваются возмущения с k_L Во — разд. 1.5, затем с к ц Во —¦
разд. 1.6 и, наконец, косые возмущения (k±, kz) =j= О — разд. 1.7.
Каждому из этих трех случаев соответствуют физически различные
типы неустойчивостей.
1.2. Электромагнитная неустойчивость двух встречных
электронных потоков
Пусть плазма состоит из двух потоков, каждый плотности п0,
движущихся навстречу со скоростями Vo и — Vo вдоль оси z. Рассмот-
Рассмотрим возмущения такой плазмы. В возмущенном состоянии каждый
поток характеризуется плотностью п<а) (а =1,2) и скоростью
V(a>, удовлетворяющими уравнениям непрерывности и движения:
bdiv(rcV) = 0; A.1)
dt
A.2)
Здесь индекс номера потока а для простоты опущен; е, т — заряд
и масса частиц; с — скорость света; Е, В — возмущения электри-
электрического и магнитного полей, определяемые уравнениями Максвелла:
rotB = —j-| —; A.3)
с с dt
1 г* 1 do , * ..
rotE= . A.4)
с dt y '
где j в A.3) — электрический тек Есзмущений, связанный с плот-
плотностью и' скоростью потоков соотношением
j=2>«V. A.5)
о
Полагаем, что все возмущенные величины характеризуются за-
зависимостью от координат и времени вида ехр (—ко/ + ikr). Огра-
Ограничимся рассмотрением таких возмущений, волновой вектор которых
75

направлен поперек направления равновесного движения потоков z,
скажем вдоль х:
к = (&х, 0, 0), A.6)
предполагая при этом электрическое поле направленным вдоль z:
Е = @,0,?г). A.7)
Из A.4) находим, что возмущение магнитного поля имеет только ком-
компоненту Bv:
By=-C-^EZ. A.8)
Как следует из A.2), поля Ez и Ву приводят к возмущениям скорости
потоков:
A.9)
mar
v(a)_ p
ты
Согласно уравнению A.1), с наличием Vx связано возмущение
плотности каждого потока n'<a>:
\enn к
„'(a) = 0 *-u , A 10)
Выражения A.9) и A.10) подставляем в линеаризованное урав-
уравнение A.5) для электрического тока и находим, что отлична от нуля
только г-компонента тока:
:,. A.11)
ты \ (о*
Это значение тока подставляем в линеаризованное уравнение A.3):
kx2E2=^-jz+-^Ez. A.12)
Тогда получаем
где сор 2 = 4пе2п0/т ¦—квадрат ленгмюровской частоты каждого
потока. Мы считаем Ег Ф 0, так что уравнение A.13) может быть
удовлетворено, если только
Рассмотрим свойства возмущений, описываемых этим диспер-
дисперсионным уравнением. Мы полагаем V <^с, так что, как следует из
76

A.14), роль относительного движения потоков важна только при
о -С &V Для таких возмущений
со2= — 2со2 ^^—. A.15)
р 1+2(сор/сйJ
Эта частота чисто мнима, причем для одного из корней Imco >0,
что при принятой выше временной зависимости вида ехр(—ia>t)
соответствует неустойчивости. Характерный масштаб волнового
числа этой неустойчивости порядка
&ж~сор/с. A.16)
Максимальный инкремент достигается при kx ^ сор/с:
рУ01с A.17)
Для неустойчивости исследуемого типа существенны не только воз-
возмущения электрического, но и магнитного полей. Такую неустой-
неустойчивость можно назвать электромагнитной. Этим она отличается от
обычной пучковой неустойчивости, связанной с раскачкой электро-
электростатических возмущений, Е да —уф.
Если сравнить инкремент A.17) с инкрементом пучковой неустой-
неустойчивости 7пучк — йр> то окажется, что
Тэм/7пучк^^о/С«1. A.18)
Это означает, что электромагнитная неустойчивость развивается
во времени более медленно, чем пучковая. Однако, как будет пока-
показано ниже, электромагнитная неустойчивость менее чувствительна
к тепловому разбросу частиц по скоростям и потому может прояв-
проявляться в условиях, при-которых развитие пучковой неустойчивости
невозможно.
1.3. Два встречных потока в продольном магнитном поле
Выше предполагалось, что в плазме нет статического магнит-
магнитного поля. Если оно есть и направлено вдоль движения потоков,
Во || z, то, как можно найти с помощью уравнения движения A.2),
возмущенное движение частиц, в отличие от A.9), будет характе-
характеризоваться соотношениями:
у'(а)^ iekx'o
т
(со2—со|)
у(а)
у'(а)_ шв ккх " о F .
УУ ~ ,Л /2 9\ *-Z1
(й
/'(а) \е
m
10) —*&в)
V7 ' = —?г-
та
A.19)
77

Здесь сов = eBJmc — циклотронная частота зарядов. Появление
«/-компоненты скорости потоков связано с циклотронным вращением
частиц в магнитном поле Во. С этим же связано отличие лг-компо-
ненты скорости от соответствующего выражения A.9).
Используя A.19), находим новые выражения для возмущений
плотности и тока, после чего получаем дисперсионное уравнение,
аналогичное A.14):
С ky\ ^iCOj3 " / "-Л*~ I'D \
Отсюда, вместо A.15), находим
/Т/ /„\2
Г- 0-21)
Видно, что магнитное поле играет стабилизирующую роль. Неустой
чивость возможна, если только магнитное поле Во достаточно мало:
со| < 2 (сор Ко/с)'- A-22)
Вводя параметр Рц = 16яи0У02/В02, характеризующий отношение
продольного давления частиц к давлению магнитного поля, условие
неустойчивости A.22) можно записать еще так:
Р„>2. A.23)
Таким образом, приближение нулевого магнитного поля в задаче
об электромагнитной неустойчивости означает р ц ^> 1 (приближе-
(приближение плазмы большого давления).
1.4. Плазма большого давления с анизотропным распределением
электронов
а. Исходные соотношения. Как и в разд. 1.2, пренебрежем влия-
влиянием статического магнитного поля Во на возмущенное движение
частиц, полагая р ^ 1 (см. разд. 1.3), но учтем тепловое движение
частиц. Исходим из линеаризованного кинетического уравнения
для возмущенной функции распределения /:
)f A.24)
где /0 •— функция распределения частиц в стационарном состоянии.
В случае возмущений с частотой со и волновым вектором к из A.24)
следует:
!? (U "П^^ A.25)
т \ Ус J / со — kv
Будем считать, что функция /0 обладает цилиндрической симмет-
симметрией в пространстве скоростей:
fo=F(vx* + vu*,vt). A.26)
7в

Такая симметрия может быть обусловлена, например, статическим
магнитным полем, в котором находится плазма. Выражая в урав-
уравнении A.25) В через Е с помощью A.4), приводим это уравнение
к виду
/ =
т (со — kv)
(Ел.
+Ег vz Ф2).
A.27)
Здесь обозначено
dF
dvz
1
_kz_ dF_ .
со dvz
kxvx\ kxvx dF
со / со де±'
vy*)/2; E± = (EX, Ey, 0); v± = {vx, vy, 0).
A.28)
Предположено также, что k = (kx, 0, kz).
С помощью A.27) вычисляем плотность токов j и связанный с j
тензор проводимости <7ар, учитывая связь ja = oap?p. Затем на-
находим вклад рассматриваемой нами компоненты плазмы (в данном
случае электронов) в тензор диэлектрической проницаемости еаР,
учитывая соотношения
„ __ s _|_ X1 „СО• /1 оо\
k
e$ = 4nio$/®, A.30)
k — индекс сорта зарядов. В результате имеем:
4ле2
С уу
со — kv
ггл2
т со
4яе2 / Vy_
уу mw \ со —• kv
(k) 4ле2
Бгг =
mco
со — kv
yZ = Ё2Й =
ф2);
A.31)
Здесь <..->= J (...)dv — усреднение по скоростям.
Дисперсионное уравнение для нашей задачи получается при под-
подстановке A.29)—A.31) в общее дисперсионное уравнение
=0; N^
A.32)
79

При е^ вида A.31) дисперсионное уравнение A.32) распадается
на два:
eyy-N* = 0; A.33)
8jC3e-iV«cos»e exz + N* sine cos 6 =Q
ezx + N2 sine cosG егг—W2sin28
где 6 — угол между волновым вектором и осью z, 8 =
= arctg (kx/kz). Первое из этих уравнений соответствует чисто
электромагнитным возмущениями (Е || y_Lk), а второе — возмуще-
возмущениям смешанного типа, кЕ ФО, [к, Е] Ф 0.
б. Качественные соображения о свойствах анизотропной плаз-
плазмы. Перейдем к обсуждению физических свойств возмущений в плаз-
плазме с анизотропным распределением электронов по скоростям. При-
Примером такого распределения является двумаксвелловское:
т \'/2 т ( mv2z __ mv2± } ,. „g.
Уже предварительный анализ выражений для возмущенной функ-
функции распределения A.27) или выражений для еар A.31) приводит
к мысли, что плазма с распределением типа A.35) может быть не-
неустойчива. Это вытекает из того, что при анизотропном распреде-
распределении частиц по скоростям в указанные выражения входит отличная
от нуля разность производных функции /0:
Ёк L ^h-mf (L J
Из-за неравенства нулю этого выражения вещественная часть тен-
тензора проводимости сгар может оказаться не только положительной,
как в случае изотропной плазмы, но и отрицательной, что соответ-
соответствует увеличению энергии колебаний вследствие взаимодействия
с ними резонансных частиц. Разность A.36) входит в A.27) с весом
1/со. Это означает, что соответствующие члены обязаны воздей-
воздействию на плазму возмущенного магнитного поля, поскольку мно-
множитель 1/со возникает при замене В = с [к, Е]/со.
Ясно, что неустойчивость может иметь место только в случае,
если возмущение функции распределения, обусловленное магнит-
магнитным полем, /(В), превосходит возмущение /(Е), обязанное непосред-
непосредственному воздействию возмущенного электрического поля, по-
поскольку в противном случае 1теаз имеет такой же знак, как и в изо-
изотропной плазме. В частном случае возмущений с kz = 0, Е || z, для
которых
,_ i eEz vz Г df0 kx vx /' df0 _ dfa \ 1 /j 37V
m(a,-kxvx)[d(v%/2) со \d(vz*/2) ^±l\'
это означает, что неустойчивость возможна только при
-^—ъг>°- A-38>
vz dvz ae±
80

Видно, что это условие может удовлетворяться, например, для плаз-
плазмы, состоящей из двух холодных потоков, обсуждавшейся в разд. 1.2.
Действительно, рассматривая соответствующую такой плазме функ-
функцию распределения
как предел выражения
/о~„ li/2exPf-^HexP(-"'4'L "" ) +
можно найти, что условие A.38) выполняется, если \vz\<.V0-
При двумаксвелловском распределении типа A.35) из A.38) сле-
следует, что возмущения с kz = О, Е || z могут быть неустойчивы толь-
только при
В другом предельном случае непотенциальных возмущений Е || у,
kx = 0 возмущенная функция распределения равна
хеЕуУу Га/о kzvz(dh а/0 \1
m((o-kzvz)[de± со [дв± d(vzy2))\'
Поэтому необходимое условие неустойчивости плазмы относительно
таких возмущений имеет вид
dsx vz dvz
Для двумаксвелловского распределения это означает
Tx>Tt. A.44)
в. Дисперсионные уравнения при двумаксвелловском распре-
распределении по скоростям. Условия A.41) и A.44) физически эквива-
эквивалентны. Они означают, что неустойчивости соответствуют возмуще-
возмущения с вектором к, ориентированным перпендикулярно к направле-
направлению наибольшей из средних компонент скорости равновесного дви-
движения.
Отмеченные выше два предельных случая возмущений с kz = О
и kx = 0 в плазме с двумаксвелловским распределением по скоро-
скоростям описываются дисперсионными уравнениями, отличающимися
одно от другого только переобозначением продольных и поперечных
индексов. Эти уравнения имеют вид:
a) kz = 0, k = kx, E||z
с2 k2 сор2
(L45)
81

6) kx = 0, k = kz, E||y
N* — E =—
2
' '=0. A.46)
«a I I', ' iKiur,, \ \k\ vTn j т
Здесь vT =BT±;mI'2; vT =B7,,/mI/2;
Перейдем к конкретному исследованию этих уравнений. Вслед-
Вследствие их эквивалентности достаточно исследовать какое-либо одно
из этих двух уравнений. Мы поступим так: будем исследовать сим-
метризованное уравнение
с2 к2 Юр2 Г ^макс
^ш?Gт)]0' (L47)
Гмин I Й ' ИГмин V I й I ИГМин /J
где
Тмакс = max (Т„, Тх); Гмин = min(Т 1{,Т±). A.48)
При Гц> Т, это уравнение соответствует A.45), а при Г^ >
>Г,| -A.46).^
г. Неустойчивость гидродинамического типа. Пусть анизотро-
анизотропия температур достаточно велика, Тмшн/Тшакс —*¦ 0. Тогда для
¦случая возмущений с фазовой скоростью vt мин С а/^ « с из
A.47) следует:
fe2 ГA.49)
Этот результат находится в соответствии с A.15) и свидетельствует
о наличии электромагнитной неустойчивости гидродинамического
типа в плазме с большой анизотропией температур. Инкремент на-
нарастания возмущений по порядку величины равен [ср. с A.17)]
A-50)
Решение A.49) удовлетворяет принятому выше предположению
ю/k > i>r мин, если
>1+^7- A.51)
J мин Шр
82

Видно, что степень анизотропии, необходимая для развития не-
неустойчивости гидродинамического типа минимальна при
д. Кинетическая неустойчивость. Неустойчивость гидродинами-
гидродинамического типа отсутствует, если степень анизотропии плазмы не слиш-
слишком велика—меньше, чем по условию A.51). В этом случае возможна
кинетическая неустойчивость | со | ^kvTuw Границу этой неустой-
неустойчивости, соответствующую возмущениям с Imco = 0, находим, по-
полагая В A.47) СО <
/гран шр2
На границе устойчивости, как следует из A.47), обращаются в нуль'
как Imco, так и Reco. При Тмакс/Тмип, несколько превышающей
граничное значение A.53), имеем
?EL( ™)l A.54)
Видно, что плазма может быть неустойчивой при сколь угодно
малом отношении ДТ/Тмакс, где ЛТ = Гмакс — ТМ1Ш. Однако при
AT С Тмакс длина волны нарастающих возмущений должна быть
весьма велика:
ДГ \i/2
¦ (L55)
макс /
1.5. Влияние магнитного поля на возмущения с kz = О
в ллазме с Гц > Т±
В разд. 1.2 в приближении двух потоков была показана неустой-
неустойчивость плазмы с р || ->оо, pj_/pn = 0 относительно возмущений
с kz = 0. В разд. 1.3 также в двухпотоковом приближении было от-
отмечено стабилизирующее влияние статического магнитного поля на
такие возмущения при конечных C ц и Р _¦ /Р ц = 0. Двухпотоковое
приближение было обобщено в п. 1.4 на случай плазмы с Т±ФТц
для конечных Т±/Т\\ и (Р±, (Зц) -> оо (приближение нулевого маг-
магнитного поля). Из рассмотрения, проведенного в разд. 1.4 д, сле-
следует, что неустойчивость с kz = 0 имеет место не только при Т JT ц —>-
-> 0, но и при всех TJT\\<C\. Рассмотрим теперь влияние на
эту неустойчивость магнитного поля в случае конечных TJT\\.
При kz = 0 дисперсионное уравнение для возмущений с Ё || Во
имеет вид (П.26) (см. Приложение). В случае двумаксвелловского
распределения A.35) и kz = 0 входящая в (П.26) компонента тен-
тензора диэлектрической проницаемости е33 равна (см. П.28)
Езз —
Т
± т,
' -L- П— —оо
A.56)
83

тдегх = k]_T±/m(i)B2- С помощью A.56) и (П.26) получаем диспер-
дисперсионное уравнение для интересующей нас задачи:
сор2 Т, Т. ^d со—
Чтобы сделать здесь предельный переход к Т±->-0, нужно раз-
разложить в ряд функции Бесселя. Тогда получается уравнение
^Т + 1+ ДГЧ =0> С1-58)
(Sir) J /71 I CO — Ь'д I
качественно совпадающее с A.20).
Предельный переход к приближению нулевого магнитного по-
поля при конечных 7\ можно сделать, воспользовавшись тождеством
dq>. A.59)
(О — ЛСОо
Разлагая показатель экспоненты в правой части A.59) в ряд по ф,
можно провести интегрирование по ф и привести таким путем A.57)
к A.45).
Рассмотрим теперь уравнение A.57) при конечных сов/о> и Т\П'ц.
Замечаем, что оно имеет решение со = 0, если
± . A60)
J ( U)
При ТХ1Т\\, близких к этому граничному значению, частота коле-
колебаний определяется соотношением
гп 2
Видно, что плазма неустойчива, со2 < 0, если
A.62)
В соответствии с A.60) критическое значение Т^Т\\ при всех
(ckjto-p)* и z_j_ не превосходит единицу. Ближе всего к единице это
отношение может быть при Zj_ > 1, (с^±/сорJ < 1, что возможно
только при (Ри, |3±) > 1. Если же |3± < 1 и zx > 1, то
G'x/7'l)rpa8 = Pj./2, . A-63)
так что условие неустойчивости в точности совпадает с A.23).
Таким образом, с уменьшением параметра р при заданном
Т±/Тц неустойчивость подавляется.

1.6. Влияние магнитного поля на возмущения с k± = О
в плазме с Т± > Гц
Из анализа, проведенного в разд. 1.4, следует, что в приближе-
приближении нулевого магнитного поля плазма с Т± > Гц неустойчива от-
относительно возмущений с k± = 0. Рассмотрим эту неустойчивость
при увеличении магнитного поля, т. е. при уменьшении парамет-
параметра C.
Как показано в Приложении, общее дисперсионное уравнение
плазмы в магнитном поле при k± = 0 распадается на три [см. (П.30)
и (П.31)]. Эффекты анизотропии содержатся в двух из этих урав-
уравнений, соответствующих чисто электромагнитным возмущениям,
Ej_k. При двумаксвелловском распределении электронов [см. урав-
уравнение A.35)] явный вид этих уравнений таков [используется (П.32)]:
Неустойчивость гидродинамического типа. При
и со<<С^2с из A.64) следует:
—J+-^—\i+v±7:»r: \=o. A.65)
СО т.
При со > сов, Тх > Тц, со < kzc это уравнение совпадает
с A.49) и описывает нгустойчивость гидродинамического типа
в плазме с |3± > 1 и |3ц < р\. Слагаемое с разностью температур в
A.65) не мало по сравнению с остальными членами только при 7\^
> Гц. При этом корни A.65) удовлетворяют условию
Отсюда следует, что имеет место неустойчивость, если
upf\ > 1. A.67)
Видно, что при фиксированном значении параметра (c^z/copJ
плазма неустойчива, если ее поперечное давление не слишком мало.
Критическое значение $±, выше которого плазма гидродинамически
«еустойчива, зависит от волнового числа. Величина р±крит тем мень-
меньше, чем больше (kzc/a>pJ. Однако при большом (kzc/a>pJ частота со
оказывается весьма близкой к со в, вследствие чего условие | со +
HF со в >&2У7-ц перестает выполняться, если только Тц/Тх не чрез-
чрезмерно мало.
С помощью A.66) можно найти, что интервал частот нарастающих
возмущений ограничен снизу циклотронной частотой, со ^ сов. Ин-
85

кремент возмущений в плазме с р\ — 1 и Т± ~^> Гц порядка цикло-
циклотронной частоты:
у~сов. A.68)
Кинетическая неустойчивость. Граница устойчивости плазмы от-
относительно возмущений, удовлетворяющих уравнению A.64), при
со <$С kzc определяется соотношениями:
A.69)
—— )— co=0.
TII /
Эти соотношения получаются, если в A.64) считать со вещественным
и приравнять нулю вещественные и мнимые члены.
Из второго уравнения A.69) находим, что в отличие от случая
разд. 1.4д вещественная часть частоты на границе неустойчивости
не равна нулю:
/ т.. \
A.70)
Первое уравнение A.69) дает граничное значение Т\>/Т±, ниже
которого возможна неустойчивость. Этот результат совпадает
с A.53), полученным в приближении нулевого магнитного поля. Вид-
Видно, что наличие магнитного поля не влияет на границу неустойчи-
неустойчивости плазмы с Т± > Г ||. Это качественно отличается от того, что
имеет место для плазмы с Гц >Т± [см. разд. 1.5]: граница устой-
устойчивости такой плазмы чувствительна к наличию магнитного поля,
как это следует-из A.60) и A.62).
Магнитное поле, однако, существенно влияет на условия резо-
резонанса частиц с волной, вследствие чего инкремент нараетания воз-
возмущений оказывается весьма чувствительным к величине парамет-
параметра р. В частности, при |3ц < 1 иа = (ckz/(x>pJ ~ 1 частота и ин-
инкремент колебаний, описываемых уравнением A.64), таковы:
*есо = ±т^сов; A.71)
т±
ехр I ^ I. A.72)
[ oP(i+)»J
7 ехр I
(l + cO'P1/2*1'2 [ oP,|(i+a)»
Видно, что если только анизотропия температур не слишком вели-
велика, то инкремент экспоненциально мал.
Заметим, что при а С 1 колебания типа A.71) называются сви-
свистящими атмосфериками (а также свистами, вистлерами и гелико-
геликонами). Неустойчивость анизотропной плазмы с малым р1, описывае-
описываемая соотношениями A.71), A.72), а также более общим уравнением
A.64), иногда называется неустойчивостью вистлер-моды.
86

1.7. Низкочастотная неустойчивость плазмы с Т±>Т\\
на косых волнах
Рассмотрим возмущения с kz и k±, отличными от нуля. Считаем
их низкочастотными, (со, kzvr ц) <S «в, и длинноволновыми, kxp С 1>
k < Юр/с. При этих предположениях из (П.24) следует, что компо-
компонента е33 велика по сравнению с остальными компонентами тензора
диэлектрической проницаемости как (a>p/ckJ либо как 1/(&рJ. В ну-
нулевом приближении по 1/е33 общее дисперсионное уравнение A.32)
для возмущений с Ez = О имеет вид
в
е21,
е22—1
(L73)
В случае двумаксвелловской плазмы оно сводится к следую-
следующему:
X
A.74)
При Г^ = 7"|| это уравнение описывает колебания ветви свистящих
атмосфериков. Частота этих колебаний приближенно равна [ср.
с A.71)]
i = ± ( — I co^cosG.
A.75)
При большой степени анизотропии температур возмущения типа
A.74) неустойчивы гидродинамически, а при малой — кинетически.
Остановимся на анализе только второй из этих неустойчивостей.
При Т± Ф Т\\ уравнение A.74) удовлетворяется при со = О,
¦если
(,.76)
гран
Вблизи этого значения Т±/Тц частота возмущений чисто мнима,
причем
„.77,
Видно, что неустойчивость развивается при не слишком малом зна-
значении параметра р1^:
Р±>—'V- A-78)
1 ±~~' II
87

Критерий неустойчивости A.78) можно записать еще и так:
Такого же типа критерий неустойчивости получается и для не-
неустойчивости, вызываемой ионной анизотропией [см. ниже разд. 6.8].
§ 2. Раскачка колебаний плазмы
группой быстрых электронов
с анизотропным распределением по скоростям
2.1. Постановка задачи
Предположим, что электронная компонента плазмы состоит из
двух групп электронов: медленных, иначе называемых холодными,
и быстрых — горячих. Медленные электроны имеют плотность п0,
а быстрые пх = ап0 < щ. Распределение по скоростям быстрых элект-
тронов считаем анизотропным, так что для них dfld(v±2)?=df/d(vz2).
Вследствие анизотропии скоростного распределения быстрых элект-
электронов их взаимодействие с собственными колебаниями холодных
электронов может приводить к неустойчивости. Мы исследуем воз-
возможность развития такой неустойчивости, предполагая, что в плазме
имеется слабое магнитное поле, такое, что сор> (ив, где сор — ленг-
мюровская частота холодных электронов.
В холодной плазме с сор>сов имеется несколько ветвей колеба-
колебаний, которые могут эффективно взаимодействовать с быстрыми элект-
электронами. Ниже ограничимся рассмотрением только таких колеба-
колебаний, в которых существенно возмущается магнитное поле, —
электромагнитных. (Теория анизотропных электростатических не-
устойчивостей изложена в работе [1].) Анализ электромагнитных
колебаний в пренебрежении эффектами быстрых электронов про-
проводится в разд. 2.2.' Раскачка колебаний с к^ = О обсуждается
в разд. 2.3, а раскачка колебаний с k± =f= 0 — в разд. 2.4.
2.2. Электромагнитные колебания в плазме
с холодными электронами
Диэлектрическая проницаемость. Тензор диэлектрической про-
проницаемости холодной плазмы можно получить, используя гидроди-
гидродинамическое описание плазмы, аналогично тому, как мы поступали
в разд. 1.2 и 1.3. Начнем с того, что линеаризуем уравнение A.2):
_j(oV' = —E+[V, юв]; (йв = е
Отсюда находим возмущение скорости электронов:
у. Л.
2 отш

По формулам j = епо\' и /а = ^ар^р вычисляем плотность тока
и тензор проводимости, а по формуле A.30) вклад в тензор диэлект-
диэлектрической проницаемости, обязанный холодным электронам (ин-
(индекс вверху нуль):
о«» о<°>
6ц =822 =
(О2 — 0
со (or—с
=¦-«»/«»•
B.3)
Остальные компоненты е„р равны нулю.
Общее дисперсионное уравнение холодной плазмы. Подставляем
B.3) в A.32). Результат удобно представить в виде
N%—JV2e33(e+ + e_)cos20 + e+e_(e33— N2sin20)=O, B.4)
где е0 = eusin20 4- e33cos20 — скалярная диэлектрическая про-
проницаемость, а е± = en =F ie12 означает
е± = 1 ^—. B.5)
со (со Т сов)
Электромагнитные волны при k± = 0. Уравнение B.4) при кх =
= 0 @ = 0) распадается на три. Одно, е33 = 0, соответствует элект-
электростатическим возмущениям, а два других
N2— е± = 0 B.6)
электромагнитным волнам с Е JL к.
В плотной плазме сор2><вв2 уравнения B.6) имеют решение
со|^сов:
Это — ветвь свистящих атмосфериков. Остальные корни B.6) при
<ор2 > ©л2 приближенно равны
B.8)
Свистящие атмосферики при кх#0. При сор2 > сов2 общее
уравнение B.4) для возмущений с k <^ сор/с и со ^ со сводится
к следующему:
Л^4 cos2 0-f-е+е_ = 0. B.9)
Это уравнение имеет решение
B.10)
89

соответствующее свистящим атмосферикам, распространяющимся
под углом к магнитному полю.
2.3. Раскачка электромагнитных колебаний с к± = О
-Рассмотрим взаимодействие колебаний типа B.7) с быстрыми ча-
частицами малой плотности. Дисперсионное уравнение для этой зада-
задачи аналогично B.6), но теперь
р Р(°) I РП) /о 11\
где е^ соответствует вкладу холодной плазмы:
е<±°)= V , B.12)
to (со Т wB)
а еУ—быстрым частицам. Величина е^1' связана с е12, еи таким
же соотношением, как и в случае холодной плазмы:
B.13)
Используя (П.32), находим
/ 1 \ ^J tt. / U ¦ | 1/1Г* Ь / ПГ fi Г* \\\
e± = (-^- — -— + ^- Угт— ) Г). B.14)
mco \ z co^ ?0g—к и L"e I ** V^^z ^e I /J/
Из B.6), B.11), B.12), B.14) следует выражение для инкремента
колебаний частоты B.7):
21
л rq ®в 4яе2
, B.15)
где урез = (со =F ®B)/kz—скорость резонансных частиц, q=(<i>pfckzJ.
Согласно B.7),
При kz ~ шр/с скорость резонансных частиц порядка
(Во
^еэ ^— С B.17)
СОр
Энергия таких частиц mVpej2 ~ 50 2/8лл0, т. е. порядка энергии
магнитного поля, приходящейся на одну частицу плазмы. Соотно-
Соотношению B.17) можно придать другой наглядный смысл:
Р ~ nJtiQ. B.18)
90

Для неустойчивости необходимо, чтобы при каких-либо значе-
значениях поперечной скорости
B.19)
При двумаксвелловском F это"означает:
— > 1 + (ckz/a> J. B.20)
Правую часть неравенства можно выразить через га, и тогда кри-
критерий возбуждения колебаний с заданной частотой будет иметь вид
B.21)
Инкремент колебаний B.15) при двумаксвелловском распреде-
распределении быстрых электронов равен
|*»1"Г, A+?K «о
X \q{—^l) — ll expf L^!— 1. B.22)
Он не экспоненциально мал, если левая часть неравенства B.20)
хотя бы в два раза превышает правую.
2.4. Раскачка низкочастотных колебаний с k±^0
В холодной плазме с сор2 ^> га в2 при kj_ Ф 0, kz Ф 0 и & С шр/с
имеется ветвь низкочастотных колебаний (со < со в) с законом дис-
дисперсии B.10) — вистлер-мода. Рассмотрим взаимодействие этих ко-
колебаний с группой быстрых электронов малой плотности, «х <С п0.
Дисперсионное уравнение для косых волн в приближении
(ck/copJ -*- 0. В пренебрежении малыми членами порядка (ck/apJ
непотенциальные колебания плазмы описываются дисперсионным
уравнением типа A.73). Если плазма содержит холодные и горячие
электроны, то
еар = е$ + е$, B.23)
где 8и°р определяется соотношениями B.3), а еар соотношениями
(П.24). При со <^С со в компоненты еп = е^' малы по сравнению
с е\°2. Поэтому можно принять, что из всех компонент, еЦ\ (а, |3) =
= A, 2), отличны от нуля только е^' = — е^^гсор^союв. В этом при-
приближении для случая плазмы, содержащей только холодные элек-
91

троны, получаем дисперсионное уравнение B.10). При наличии бы-
быстрых электронов из A.73) и B.23) следует:
!cos0 + ieAuj)(yV2cose-iei°2)) +
A2 —N2 (e(i i» + ей' cos2 б) = О. B.24)
Учитывая, что в пренебрежении вкладом быстрых частиц реше-
решения уравнения B.24) таковы, что N2cos2Q — Tie}"', представляем
это уравнение в виде
е(О
N2 cos 0 ± ie$ i- = 0, B.25)
cos 9
где
е^> = -L (е\\> + 2i cos Gejy + cos2 вей') =
mco
Здесь была использована формула (П.24), определяющая явный
вид компонент е^р'.
Полагая ю = ю^' + 0J', где coj?' — решение нулевого прибли-
приближения B.10), из B.25) находим уравнение для поправки к частоте
B.27)
cos Q \ (Op
Если е±1) не имеет полюса при со — ю±\ то достаточно учитывать
только мнимый вклад правой части B.27). При этом из B.27) полу-
получаем выражение для инкремента колебаний:
Cv3,
J 2
JtCDo (ck) ч.,,к- , - г
Imco= B ¦— Mr do
I A2 | to^4 m J 2
icose^lf^+^^-CfH! ... B.28)
где а?ез = (оо±'—п&в]1кг. При 0 = 0 этот результат совпадает
с B.15), если в последнем принять (с&J<сор2.
Стабилизирующий эффект черенковского резонанса. С по-
помощью B.28) находим инкремент колебаний с kzvr^ <C ®в'-
т = я^[^-1)ехр[-(г^)']-(^)'^.^:]. B.29)
92

Из этого выражения видно, что при kz Ф 0 анизотропная раскач-
раскачка электромагнитных колебаний ослабляется. Полная стабилизация
имеет место при
B.30)
Стабилизирующий эффект связан с черенковским резонансом
[член с п = 0 в сумме B.28)], проявляющимся только при k± Ф 0.
§ 3. Электромагнитные неустойчивости в пучковых системах
с анизотропным распределением частиц по скоростям
3.1. Предварительные замечания
Пучок электронов, движущихся вдоль магнитного поля, может
раскачивать электростатические и электромагнитные колебания
плазмы. Условия раскачки этих двух типов колебаний, однако,
существенно различны. Например, электростатическая неустой-
неустойчивость холодного пучка проявляется сильнее всего при k± = 0,
тогда как электромагнитные возмущения с k± = 0 холодным пучком
не раскачиваются вовсе, разд. 3.2. Электромагнитные неустойчи-
неустойчивости весьма чувствительны к анизотропии скоростного распре-
распределения частиц пучка. В частности, колебания с kx =0, устойчивые
в приближении холодного пучка, оказываются гидродинамически
неустойчивыми, если Гц =0, \Т±Ф0, разд. 3.3. При конечных
Т\\/Т± электромагнитные возмущения с k± = 0 неустойчивы кинети-
кинетически, разд. 3.4.
Существенно иной класс пучково-анизотропных неустойчивостей
обнаруживается при &j_ Ф 0, разд. 3.5. В этом случае для раскачки
колебаний достаточно наличия только продольной энергии частиц,
Тх~*-0, и асимметрии распределения по продольным скоростям,
не обязательно связанной с положительностью производной
vzdf/dvz.
3.2. Раскачка колебаний холодным пучком
Пусть группа быстрых частиц имеет функцию распределения
F = «хб(уг — V)8(e±). Тогда выражение B.26) имеет вид
I C
Из B.27) и C.1) находим, что пучок раскачивает колебания хо-
холодной плазмы при kz ж u>b/V. Колебания с таким kz имеют частоту
Reco= —2\ -2- C.2)
\Ve>pJ cos 8 7
93

и инкремент
_1_/М./2__^_
2 Wo/ icosei'/2 ' " ;
Неустойчивость возможна только при cos 6 Ф 1. Именно при
этом в дисперсионное уравнение входит слагаемое с резонансным
знаменателем со + сов •— kzV, соответствующее циклотронному вза-
взаимодействию частиц с волной при аномальном эффекте Допплера.
Условия kz ^ (Ов/V и kz < сор/с не противоречивы при
p) C.4)
т. е. при достаточно большой скорости пучка.
3.3. Раскачка колебаний пучком с конечной
поперечной энергией частиц
Теперь предположим, что помимо продольно направленной ско-
скорости частицы имеют некоторую поперечную скорость, так что
C-5)
тде
S ^i C.6)
Покажем, что в отличие от предыдущего пункта, неустойчивость мо-
может иметь место и при k± = 0.
При условиях C.5), C.6), k± = 0 выражение B.26) сводится к
¦следующему:
C.7)
Из C.7) и B.27) находим, что частота колебаний комплексна
при со — сов—kzV л? 0. Это условие соответствует циклотронному
взаимодействию частиц с волной при нормальном эффекте Допплера.
Поскольку со С <*>?, то приближенно kz^i — сов/V. Частота колеба-
колебаний определяется соотношением C.2), а максимальный инкремент
нарастания колебаний равен
LJ. *-Y"[LL-\ и C.8)
Это одна из разновидностей пучково-анизотропных неустойчи-
востей, связанная с раскачкой чисто электромагнитных возмущений.
Для ее существования необходимо выполнение условия C.4), а
также условия достаточно малого продольного теплового разброса
пучка, у > kzvr\\ ~ совУ/»г|| •
•94

3.4. Кинетическая пучково-анизотропная неустойчивость
Указанное выше условие малости продольного теплового разбро-
разброса частиц по скоростям не выполняется, если
При больших Vt\\ возможна еще одна разновидность пучково-
анизотропных неустойчивостей — кинетическая. При kx = 0 и дву-
максвелловском F с Гц Ф О из B.28) следует:
«о I А* К, T
хехр- - в * \\\ _. C.10>
L \ z т ||
Если 7\ > Г и и V > f T , то
"о иГ|| Гц
Для справедливости этого результата необходимо также выполнение
условия C.4).
3.5. Раскачка вистлеров убегающими электронами
Пусть в плазме наряду с холодными электронами имеется не-
небольшая доля быстрых электронов с отличной от нуля средней ско-
скоростью вдоль магнитного поля. Предполагаем, что поперечная,
энергия быстрых электронов мала по сравнению с их продольной1
энергией, Тх -*- 0. Такая ситуация может иметь место в плазме,,
помещенной в продольное электрическое поле. Роль группы быстрых
частиц в этом случае играют убегающие электроны.
Предполагаем плотность холодных электронов столь большой,
что выполняется условие Юр/сов ^> 1. Рассмотрим возможность,
раскачки быстрыми частицами низкочастотных длинноволновых
колебаний такой плазмы, <в С а>в, k С «р/с. В пренебрежении эф-
эффектами быстрых частиц такие колебания соответствуют ветви сви-
свистящих атмосфериков и характеризуются вещественной частотой
B.10). Взаимодействие быстрых частиц с этими колебаниями может
приводить к их нарастанию или затуханию с инкрементом, определя-
определяемым общим выражением B.28). Используя принятое выше предпо-
предположение об отсутствии у быстрых частиц поперечных скоростей,
F = «iS(ujJ/u (vz), это выражение можно существенно упростить,
и записать его в следующем виде:
яа «в о
1 fez | cos в 1
95-

Здесь предполагается, что сод, kz и cos0 положительны. Скобки
(±«>в//гг) означают аргумент /ц.
При kx = 0 правая часть всегда отрицательна, т. е. колебания,
распространяющиеся строго вдоль магнитного поля, затухают.
При k± Ф 0 имеет место неустойчивость, если
\
(ЗЛЗ)
Это означает, что число частиц со скоростями vz = ±cos/&z должно
быть различно, что характерно для пучковых систем и для плазмы
с некоторой долей убегающих электронов. Например, в случае
плазмы с убегающими электронами /(— | vz \) = 0, так что условие
C.13) выполняется автоматически при всех cosG Ф 1.
Для неустойчивости вовсе не обязательно, чтобы функция
fw(vz) имела максимум при vz Ф 0, как это должно быть в случае
электростатической пучковой неустойчивости. Существенно, одна-
однако, другое условие, а именно наличие частиц с достаточно большими
¦скоростями. Это вытекает из того, что kz С сор/с, и потому условие
vz = шв/kz удовлетворяется только при
*¦>?*. C.14)
с а>р
Качественно результаты низкочастотного приближения остаются
в силе вплоть до kz ~ ар/с, так что неравенство C.14) не обязатель-
обязательно должно быть сильным.
§ 4. Раскачка квазиэлектрических колебаний
в слаборелятивистской плазме с dfo/dv^>O
4.1. Неустойчивость отрицательной массы
Будем полагать отношение скорости электронов v к скорости
света с конечным; распределение электронов по импульсам б-функ-
циональным:
D.1)
Рассмотрим возмущения такой плазмы с kz = 0 и Е J_ Bo. Диспер-
Дисперсионное уравнение для возмущений этого типа имеет вид
?2 = 0, D.2)
где элементы eik определяются формулой (П.29).
Если плотность плазмы достаточно мала, так что сор < kc, то
уравнение D.2) распадается на два:
Bii = 0; D.3)
e22-iV3 = 0. D.4)
«6

Первое описывает электростатические возмущения с со <^ kc, а вто-
второе—электромагнитные волны с ш ~ kc. В этом пункте исследуем
уравнение D.3). При /0(р) вида D.1), (и/с) < 1, kz = О и I < 1 с по-
помощью (П.29) находим
V^2ri il=0. D>5)
Ш»-Ша» ^ 6
При Шр С »в и о » шв отсюда получим более простой результат:
2
1 Юрэфф =0,. D.6)
(со-вв)«
где
^эфф=-^о)/. D.7)
Уравнение D.6) аналогично дисперсионному уравнению ленгмю-
ровских колебаний движущейся плазмы
1 ^- = 0 D.8)
(со—kvJ
с тем существенным отличием, что сор2 > 0, а ЮрЭфф < 0. Ана-
Аналогия была бы полной, если бы частицы пучка имели отрицатель-
отрицательную массу т, так как при т < 0 ар2 ~ \1т < 0.
Уравнение D.6) имеет решение
со = соя±4г-^«р. D-9)
V6 с
Один из корней соответствует нарастающим возмущениям Imco >
> 0, т. е. неустойчивости. Имея в виду аналогию с ленгмюровски-
ми колебаниями, описываемыми уравнением D.8), эту неустойчи-
неустойчивость называют неустойчивостью типа отрицательной массы.
4.2. Неустойчивость колебаний на верхней гибридной частоте
в плазме, содержащей небольшую долю
релятивистских электронов
Дисперсионное уравнение. Пусть в холодной плазме содержит-
содержится небольшое число релятивистских электронов п^щ ^ 1. Тогда
в приближении электростатических возмущений имеем дисперсион-
дисперсионное уравнение
e11 = el101) + eA11)=0, D.10)
где
^ o; D.11)
dF „ю/„»Г*, v,/wR) ^ Dj2)
fe2 r v, dp, *A ш—пшв
" -^ n
4 Зак. 495 97

При F, сферически симметричном по углам в пространстве ско-
скоростей:
О, 4^7 я. 1 dF } . „ .. у ^n*(k±v sin а/сод)
k* } v dp J -^ со—псов
оо"
Будем простоты ради интересоваться только возмущениями
с kxvsinФ/ю.в> 1. При этом приближенно /п2(?) = (п|)-1, так что
D.14)
.dp.
со—ncos v2 dp
n
Неустойчивость гидродинамического типа. Пусть F (р) =
= (пх/2р02) б (р—р0). При р0<^тос для такого Z7 из D.14) следует:
- D-15)
е,7
mfe2c2 kv0
С помощью D.10), D.11) и D.15) находим, что быстрые электроны
раскачивают колебания верхней гибридной частоты
(о<0> = (со2 + со!оI/2, D.16)
если эта частота попадает в резонанс с п-й гармоникой и циклотрон-
циклотронной частоты быстрых электронов:
^ + со|0«(««вJ, D.17)
п = 2, 3,...
Инкремент этой неустойчивости порядка
/^.у/з/™.у/> ^1_ Dл8)
Неустойчивость такого типа возможна только в плазме с сор >
> сов, причем номер раскачиваемой гармоники вполне определен-
определенный, П SE 1+ (Шр/сОвJ.
Помимо рассмотренных выше квазиэлектростатических неустой-
чивостей релятивистской плазмы теоретически изучены и другие.
О них будет сказано в § 11.
Кинетическая неустойчивость. Если распределение быстрых ча-
частиц по импульсам не б-функциональное, то результат D.18) спра-
справедлив при у > (роАр/тос2)сов. В противном случае вместо D.18)
из D.10) и D.14) следует, что имеет место кинетическая неустойчи-
неустойчивость с инкрементом
T"i!? (_!_") , D.19)
2 п0 ka \ v dpjv=vn
98

где
Г / ,л \O1W9 Г*
'dv = l. D.20)
*>
i
Видно,, что у > 0 (неустойчивость), если при v = vn производная
функции распределения положительна.
§ 5. Мазерная раскачка электромагнитных волн
5.1. Раскачка электромагнитных колебаний с kz = 0 и ЕХВО
(типа необыкновенной волны)
Как и в § 4, рассмотрим возмущения с kz = 0, но теперь иссле-
исследуем уравнение для электромагнитных волн D.4), которое имеет яв-
явный вид
! !! f dP±dp.
«
нормировка F здесь такова, что ^pdp.dp.,F=l.
Полагая плотность достаточно малой, находим Re со = ck:
00
п=—оо
Х^б[со— совоA— oVc»)'/2]. E.2)
Остановимся более подробно на случае слаборелятивистской плаз-
плазмы, vie С 1 • При vie С 1 и выполнении резонансного условия типа
ck ^ со в можно считать \ <^ 1. Поэтому в сумме E.2) важен
только один член, п = 1, так что
р dp. dp „ v, — б со —сово + ©во — I • E.3)
J. л. II X gv^ у 2с2 /
Для сферически симметричного F
паР2°г „dF с ( v2 \ , /с .ч
7 = \р —б со — со во + м во— dp. E.4)
6 J др \ 2с2/
о
Если при некотором р производная dFldp положительна, то
7> 0, т. е. имеет место неустойчивость. Инкремент неустойчивости
при dFldp ~ Flp порядка
7^сор2/сов. E.5)
4* 99

Это так называемая синхротронная неустойчивость. Она описывает
процесс реабсорбции синхротронного излучения.
5.2. Раскачка электромагнитных колебаний с kx = О
в нерелятивистской слабоионизованной плазме
инертных газов
При изотропном распределении частиц по скоростям дисперсион-
дисперсионное уравнение электромагнитных колебаний нерелятивистской
плазмы при kx = 0 и | и — шв | > kzvz имеет вид
™р_'? '&>*№!-=0. E.6)
3 J со—(ов
Здесь принята нормировка j f0v2dv — 1. Результат E.6) вытекает
из общих уравнений (П.30) и (П.32). Если существенны столкнове-
столкновения электронов между собой или с другими частицами, то знамена-
знаменатель со — (йв в E.6) должен быть заменен ш — сов + iv(u), где
v(v) — частота столкновений электрона, обладающего скоростью v.
Поэтому для столкновительной плазмы вместо E.6) будем иметь
3 J
При малой плотности плазмы отсюда следует:
Re со = с/г
У VH (V)
E.7)
j
о
Видно, что при моноэнергетическом распределении электронов,
/0 — б(и — v0), электромагнитные колебания могут нарастать во
времени, если
±[vsviv)]\ <o. E.9)
dv J о= и0
Для неустойчивости необходимо, чтобы частота столкновений
электронов падала быстрее, чем v~3. Это условие удовлетворяется
при столкновениях достаточно медленных (mo02/2 ~ несколько
электронвольт) электронов с атомами инертных газов.
100

ИОННЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
§ 6. Плазма с анизотропными ионами
6.1. Предварительные замечания
Содержание этого параграфа близко к тому, что обсуждалось
в § 1. Мы рассмотрим неустойчивости, вызываемые анизотропией
скоростного распределения частиц. Отличие § 1 состоит в том, что
там анизотропными полагались электроны, а здесь — ионы. При
исследовании электронных неустойчивостей можно пренебречь
движением ионов, считая их бесконечно тяжелыми, так что диэлект-
диэлектрическая проницаемость определялась только одной компонентой
плазмы—электронной. В этом отношении задача о неустойчивостях,
вызываемых ионной анизотропией, более сложна, поскольку, вслед-
вследствие малой массы электронов, их движение необходимо учитывать
наряду с движением ионов.
Принятая ниже схема изложения теории ионных анизотропных
неустойчивостей в целом аналогична той, которой мы следовали
в § 1; сначала рассматриваются неустойчивости плазмы с большим |3
(приближение нулевого магнитного поля), затем постепенно учиты-
учитываются эффекты, связанные с конечностью параметра 1/р, и, нако-
наконец, производится анализ неустойчивостей плазмы с р ^ 1.
6.2. Неустойчивость в приближении
нулевого магнитного поля ф -*~ оо)
Пусть электроны распределены по скоростям изотропно и имеют
температуру Те, а распределение ионов анизотропно и характери-
характеризуется двумаксвелловской функцией распределения A.35). Пола-
Полагаем, что магнитное поле, если таковое имеется в плазме, настолько
мало, что его влиянием на движение электронов и ионов можно пре-
пренебречь. При этих предположениях дисперсионное уравнение для
возмущений с kz = О и k\_ = 0 имеет вид, аналогичный A-47), с тем
отличием, что теперь в нем учитываются не только электроны, но
и ионы. При условии со <^ (kvje, kvn), которое в дальнейшем пред-
предполагается выполненным, это дисперсионное уравнение выглядит
так:
_1макс__1 у- ПЦ
макс (^ „) мин
Уравнение F.1) имеет решение
\k\ vTe
F.2)
101

Видно, что имеет место неустойчивость, если
Тжхс_> i + —. F.3)
МИН 0)'.
Характерное волновое число этой неустойчивости порядка
k~(*pi/c, F.4)
а характерный инкремент порядка
геу/2Уп- ,fil-4
7) —юрг- (ь-5)
Эта величина в (тг/теK/2 раз меньше инкремента неустойчивости
плазмы с анизотропным распределением электронов [ср. F.5) с
A.50)].
6.3. Влияние магнитного поля на неустойчивость плазмы
большого давления с Гц ,• > T±i при kz = 0
При Гц,->Г_]_/ результат предыдущего пункта относится к воз-
возмущениям с kz = 0. Рассмотрим, насколько эта неустойчивость
чувствительна к магнитному полю. Магнитное поле сильнее всего
влияет на движение электронов. Если, как и выше, пренебрегать
влиянием магнитного поля на движение ионов, то при Во Ф 0 вместо
F.1) с учетом (П.26), (П.28) получим
с2^2 , , T\\i . mi ^ co/n (ге) e~Ze _ n
Видно, что пренебрегать влиянием магнитного поля на движение
электронов можно, если со > toBe, ze > 1. При условиях F.4) и
F.5) это означает, что параметр C должен быть весьма большим:
з. F.7)
При р ~ (milmef прежде всего нарушается условие со > coBe.
В обратном предельном случае, когда
3, F.8)
в уравнении F.6) следует считать со <? сове, и тогда для со получает-
получается уравнение
|ТЯ ?!?^) F.9)
Как следует из F.9), неустойчивость возможна и при р <^
С {tnilmef, но для этого требуется очень большая анизотропия
температур:
^»p-./.. FЛ0)
102

6.4. Влияние магнитного поля на неустойчивость плазмы
большого давления с Т_ц > Тц,- при k± = О
Если Тх> Гц, то рассмотрение разд. 6.2 относится к возмуще-
возмущениям с k± = 0. Выясним, как изменятся эти результаты при не
слишком малом магнитном поле, полагая, что последнее влияет
только на движение электронов. Используя (П.30), (П.32) и учиты-
Еая со <С ыве, вместо F.1) получаем дисперсионное уравнение
=0-FЛ1)
\v
Te
0). ти me \
При (Иве С kjUTe отсюда получается выражение для частоты F.2),
соответствующее приближению нулевого магнитного поля. Учиты-
Учитывая F.4), заключаем, что такое приближение справедливо, если
Р>тг/те. F.12)
При р ~ milme функция W порядка единицы, и тогда инкремент
и частота колебаний порядка ионно-циклотронной частоты:
Y:~ Reco~ совг. F.13)
Условие неустойчивости F.3) при этом остается в силе.
Если Еолновое число kz достаточно мало, kz < (лВе1^те, то ре-
решение F.11) имеет вид
со= -^-1
F.14)
Инкремент таких возмущений экспоненциально мал. Однако
при очень малом kjujJ^Be формула F.14) становится неприменимой,
поскольку при ее получении пренебрегалось резонансным взаимо-
взаимодействием колебаний с ионами. Этот эффект обсуждается в следую-
следующем пункте.
6.5. Неустойчивости плазмы с 1 ¦< C << тг1те
Из F.14) следует, что при |3 ^/п,7/пв частота возмущений с
kj_ = 0 оказывается порядка ионно-циклотронной. Поэтому при
исследовании резонансного взаимодействия колебаний с ионами
следует учитывать влияние на них магнитного поля. Дисперсионное
уравнение, учитывающее это влияние, получается с использованием
(П.30), (П.32). Если Tj_i и Гц,- одного порядка, то при |5 > 1 вели-
величины a>/(kzVT\\i), ^Bil{kz^T\\i) малы, как р-'/2. Вследствие это-
этого дисперсионное уравнение упрощается и сводится к следующему:
103

[(со Т coB()(l — ^i\—<ol=O. F.15)
Отсюда
/Т , ; г2 Ь 2 \
' ±l л Н; (еле)
pi I
<
Y=IZ-T:i:^l^?-l-^1-HP|-(r^-l l +
mekzvTe ут{{1 сор(.
[-fell
1-^-^4^- F-17)
1 ^ I "ГЦ. L \ T\\ i I T\\ I wpi
Видно, что взаимодействие резонансных ионов с колебаниями
может приводить к раскачке последних при любом знаке разности
1 — TxilT\\i. Используя закон сохранения энергии для системы
плазма—электромагнитное поле, можно убедиться в том, что при
Txt > T\\i имеет место раскачка волн с отрицательной энергией,
а при Гц,- < TXi — волн с положительной энергией.
6.6. Кинетические неустойчивости плазмы с р ~ 1 при kj_ = 0
При р ^ 1 в дисперсионном уравнении нужно учитывать все
степени параметров a>/kzVT ц г, <uBi/kzvT\\ i, так что в отличие от F.15)
теперь имеем
С Rz , СО , , ±1 . ¦ у Л
T\\
Если р~1, kz~a>pi/c и Т_1_г~Тц;, то это уравнение имеет ком-
комплексные решения с
Y~ Reco~ coBj. F.19)
Оказывается, что у > 0 как при TXi > Т\\ i, так и при T±t <
<Тц/. Эти решения соответствуют двум типам неустойчивости,
обсуждавшимся в п. 6.5.
При достаточно больших длинах волн, kz С мрг/с, решение
F.18) находим разложением функции W в ряд по обратным степе-
степеням аргумента. В случае Рц < Pj_ + 2 вещественная часть частоты
удовлетворяет уравнению
F.20)
а инкремент равен
Vna3Bl\l-T±tfTiVi
104
kzvTi)

Из F.18) следует также, что частота колебаний вещественна,
если
-pi
со Г,, ,
1 ii)((o=pcoB()—@=0.
F.22)
Эти соотношения характеризуют границу неустойчивости. Гранич-
Граничное значение волнового числа равно
гран
(О
P^r(,,\l/2
а граничная частота колебаний
(Л ^^ _1_
"'гран —
1
ги
Гц
г,
F.23)
F.24)
Вблизи границы неустойчивости инкременты пропорциональны
величинам:
Т±1>Тцг, F.25)
ехр| ь п_; 1Т ч2 |, Г11(->Г±4, F.26)
«4l-ix//i IhT
Отсюда заключаем, что рассмотренные неустойчивости могут
играть роль только при не слишком малых р, так как в противном
случае их инкременты экспоненциально малы.
6.7. Гидродинамическая неустойчивость плазмы с Гц > Т±
(шланговая неустойчивость)
Из уравнения F.20) следует, что низкочастотные возмущения
(со <^ (OBi) с k± — 0 апериодически нарастают во времени, если
Pll>Px + 2. F.27)
Дисперсионное уравнение F.20) и критерий неустойчивости
F.27) можно получить из уравнений одножидкостной гидродина-
гидродинамики с анизотропным давлением. При таком подходе движение
плазмы описывается уравнением
Здесь р = т(п — массовая плотность; В — полное магнитное
поле Во + В' (в наших обычных обозначениях В -> Во + В); Р —
тензор давления, характеризующийся компонентами
Eih—et eh), F.29)
105

где е = В/Б. Символ у Р означает
VP = VPx + (Pn— Pj_)(ev)e + edive(p|,— p±). F.30)
Линеаризуя F.28) и учитывая, что div V = 0, В'=Б0 d|/dz,dg/dfe=
= V> a Рц. Рх—не возмущаются, получаем уравнение] для
смещения |:
Отсюда при | — ехр (—ico^ + \kzz) непосредственно следует диспер-
дисперсионное уравнение F.20) и критерий неустойчивости F.27). Эта
неустойчивость часто называется шланговой (fire-hose).
6.8. Низкочастотная неустойчивость плазмы
конечного давления с Txi >71ц,- при (kz, k±) Ф 0
(пробкотронная неустойчивость)
Дисперсионное уравнение. Для простоты предполагаем темпе-
температуру электронов малой, Те-*-0. Общее дисперсионное уравнение
A.32) с еар вида (П.24) для низкочастотных (ю, kzvr ц i) С ®bi колеба-
колебаний с fex Ф 0 и Ег = 0 распадается на два:
Sit— N2 cos2 9 = 0; F.32)
s22—N* = 0. F.33)
Первое соответствует альфвеновской ветви колебаний, второе —
магнитозвуковой.
При двумаксвелловском распределении ионов по скоростям вы-
выражения для еш е22 имеют вид:
F.35)
Уравнение F.32.) есть обобщение F.20) на случай k± — 0 для
альфвеновской ветви. Оно описывает возмущения, апериодически
нарастающие во времени при условии F.27). При k± = 0 из F.33)
также получается F.20). Если же к±Ф0, то уравнение F.33) опи-
описывает еще один тип неустойчивости, к анализу которой и перейдем.
Гидродинамическая неустойчивость сильноанизотропной плазмы
сГ±1>.Г||г. Пусть ГХ«>>Ти i. При этом F.35) имеет следующее
решение с ay^>kz vt ц :
Р. i sin2 9 kz2 T±i
«2 =
106

Частота возмущений чисто мнима, что соответствует так называемой
пробкотронной неустойчивости (в зарубежной литературе такая не-
неустойчивость обозначается термином mirror instability). Частота
F.36) удовлетворяет условию со ^> kzvr\\ даже при малом f>j_i, если
P±i>Tu/T±t. F.37)
Пробкотронная неустойчивость сильноанизотропной плазмы,
как и шланговая, может быть изучена в приближении одножидко-
стной гидродинамики с анизотропным давлением.
Кинетическая неустойчивость плазмы с Txi>T\[i. Уравне-
Уравнение F.33) с ег2 вида F.35) имеет решение с ^k
F.38)
если выражение, стоящее в квадратных скобках, близко к нулю.
Это решение соответствует неустойчивости при условии
?( Цт) F-39)
Это — кинетический аналог рассмотренной выше гидродинамиче-
гидродинамической неустойчивости.
§ 7. Сталкивающиеся плазмы и плазма
с неоднородным профилем скорости
7.1. Электромагнитная неустойчивость
сталкивающихся плазм
Пусть вдоль магнитного поля движутся две взаимопроникающие
электрон-ионные плазмы с плотностями пг = п2 и скоростями
Vx Ф V'% (скоростью Va, a = 1,2, обладают как электроны, так и
ионы а-й компоненты плазмы). В зависимости от соотношения меж-
между тепловыми и направленными скоростями частиц в такой системе
двух плазм могут развиваться различные типы неустойчивостей.
Например, при | V-y — V2\>(vreu Утег) должна развиваться элек-
электронная двухпучковая неустойчивость. При (vTu, vm) С I Vi —
—V'ъ | < (vrei, vTe<i) и Te^>Tt должны раскачиваться ионно-звуковые
и ионные ленгмюровские колебания.
Если тепловой разброс ионов значителен, так что (vth, ^7-/2) >
>| Fj — V2\, то никакие электростатические неустойчивости в об-
обсуждаемой системе двух плазм развиваться не могут. В этих ус-
условиях основную роль должна играть раскачка непотенциальных
возмущений. Раскачка такого типа возмущений за счет анизотропии
температур (Гц > Т±) была рассмотрена в § 6. Наличие относитель-
относительного движения компонент плазмы вдоль магнитного поля означает,
107

что средняя продольная энергия частиц больше поперечной, так что
тл в этом случае можно ожидать такие же эффекты, как и в плазме
Перейдем к количественному анализу электромагнитной неустой-
неустойчивости. Как и в разд. 6.7, полагаем kxpt < 1, « < <вй(-. В этом
приближении получаются дисперсионные уравнения для альф-
веновских и магнитозвуковых волн, но с другим значением компо-
компонент еар. Уравнение для альфвеновских волн имеет явный вид
C2 Ь 2
В частном случае равных плотностей, пх — пг, отсюда следует:
«2~К (V, + Vt) (о +1 й22 (V + У22)-с^о йг2 = 0; G.2)
ело = В02/4я/П; п0, по = 2пх.
Эти колебания неустойчивы при
\V1-Vi\>2cA0. G.3)
Их инкремент зависит от kz. В случае сильного неравенства G.3)
он порядка
Y^IVi-V.I. G.4)
Максимум инкремента не превосходит ионно-циклотронной частоты,
Тмакс ^ ®Bi-
Сходные результаты получаются для магнитозвуковой ветви
колебаний, если kz^k±. При &2<С&^для раскачки магнитозвуко-
магнитозвуковых колебаний требуется относительная скорость \VX — V%\, го-
гораздо большая, чем по условию G.3).
7.2. Раскачка альфвеновских волн в плазме
с неоднородным профилем скорости
(неустойчивость Кельвина — Гельмгольца)
Электродинамическое рассмотрение. Пусть электроны и ионы
плазмы движутся вдоль магнитного поля с одинаковой скоростью
Vo, профиль которой неоднороден, dV0(x)/dx ф 0. Будем считать
температуру частиц достаточно малой, столкновениями между ча-
частицами пренебрежем. Возмущения плотности и скорости электро-
электронов и ионов в этих условиях можно найти из уравнений двухжид-
костной гидродинамики:
dt дг т
G.5)
108

Предполагая возмущения низкочастотными, | со — kzV0 | <С
<С юв<. и длинноволновыми, д/дх С <йРе/с, с помощью G.5) полу-
получаем уравнения для возмущенных полей:
(rot rot E)e = — еЕа, а = (х, у), G.6)
С
где
G.7)
в/ ^
В случае однородной плазмы уравнение G.6) описывает альф-
веновские и быстрые магнитозвуковые волны. При Vo Ф- О такие
волны имеют закон дисперсии:
При наличии неоднородности скорости либо плотности возмущения
этих двух типов оказываются связанными друг с другом и, в соот-
соответствии с G.6), описываются следующим дифференциальным урав-
уравнением второго порядка:
д Г У — со2е/са 31
Это уравнение можно упростить при малых kjky, когда волны
G.8) обладают существенно различной частотой. Тогда можно сно-
снова говорить о волнах альфвеновского и магнитозвукового типа.
Для первых из них е <^ (ей/со2), так что их электрическое поле, как
следует из G.9), удовлетворяет уравнению
Аналогичное уравнение можно написать для волн магнитозвукового
типа. Для этого в G.9) надо пренебречь членами kz2 по сравнению
с (со/сJ е.
Ниже нас будут интересовать только возмущения альфвенов-
альфвеновского типа: благодаря их малой частоте они могут раскачиваться
из-за градиента Vo.
Рассмотрим простейший случай скачкообразного профиля ско-
скорости (и скачкообразного профиля плотности, если имеется гра-
градиент плотности). Следуя методу поверхностных волн (см. § 1.7
работы [1]), находим дисперсионное уравнение для возмущений,
локализованных в окрестности скачка:
2^-2-0. G.11)
Индексы «1» и «2» означают, что величина G.7) берется по разные
стороны скачка.
109

Уравнение G.11) сходно с дисперсионным уравнением G.1) альф-
веновских волн в системе двух взаимопроникающих однородных
плазм с различными продольными скоростями. Это обстоятельство
отражает сходство физических процессов в этих двух классах плазм.
Такое же сходство имеет место между пучковыми неустойчиво-
стями в системе взаимопроникающих и пространственно разделен-
разделенных электронных потоков. Механизм раскачки колебаний в рассмат-
рассматриваемом случае отличен от пучкового: в основе его лежит электро-
электромагнитное взаимодействие между электрическим полем и токами
в плазме.
Результаты, вытекающие из G.11), аналогичны приведенным
в разд. 7.1. В частности, если ул0 = 0, то имеет место неустойчи-
неустойчивость при
\V1-V2\>2cA. G.12)
Гидродинамическое рассмотрение. Из уравнений G.5) можно
исключить электрическое поле, и тогда задача о раскачке альфве-
ноеских если сеодится к анализу уравнений одножидкостной гид-
гидродинамики. Именно такая псстановка этой задачи является наибо-
наиболее распространенной.
Чтобы перейти к одножидкостной гидродинамике, несколько
преобразуем уравнения G.5). Из электронного уравнения движения
(или из ионного) в нулевом приближении по со/сов находим связь
между возмущенной скоростью и электрическим полем:
v,= c[E,ez] /1_fe?lo\ GЛЗ)
Во V о 1
Введем смещение плазмы |, определив его соотношением dl/dt —
= V, т. е.
^l. G.14)
СО
Возмущ енное магнитное поле связано с § соотношением В =
= rot[|,B0], что при B0 = const означает
. G.15)
Используя G.14) и G.15) в первом приближении по со/сод,-, из G.5)
получаем искомое уравнение для смещения |:
^^l; G.16)
4я
со'^со— kzV0.
Покажем теперь, как отсюда можно получить результат, ана-
аналогичный G.10). Полагаем в G.16) члены с со'2 и kz2 малыми. В ну-
нулевом приближении по этим членам из G.16) находим условие не-
несжимаемости:
div| = 0. G.17)
ПО

Это условие дает связь между компонентами \х и \у, так что
«•-t-*- GЛ8)
Другую связь между %х и %у получаем, взяв rotz от обеих частей
равенства G.16):
rot, [(Ро ©'«-V Б02/4я) 1] = 0. G.19)
Исключая отсюда с помощью G.18) ?у, находим:
Учитывая второе равенство G.14), заключаем о полной тождествен-
тождественности уравнений G.20) и G.10).
Неустойчивость, описываемая уравнением G.20), называется в
магнитной гидродинамике неустойчивостью Кельвина — Гельм-
гольца.
§ 8. Конусные неустойчивости в плазме
с конечным р
8.1. Высокочастотная конусная неустойчивость
Рассмотрим плазму с электронной температурой, достаточно
малой по сравнению с поперечной энергией ионов, Те1т&^ ->¦ 0.
Распределение ионов по поперечным скоростям для простоты при-
примем б-функциональным:
±-v0). (8.1)
fi8(v±v0).
2яи0
Интересуемся возмущениями такой плазмы с частотами coS(- < со <
< шве- Пренебрежем эффектами, связанными с конечностью элек-
электронной температуры, что законно, если k±pe<^ I, a/kz^>vTe-
Вклад электронов в тензор диэлектрической проницаемости в при-
принятом приближении определяется соотношениями B.3). Исполь-
Используя общие формулы Приложения, заключаем, что вклад ионов су-
существен только в компоненте еи. При ft вида (8.1) он равен:
С помощью соотношений A.32), B.3) и (8.2) получаем дисперсионное
уравнение
^cos2e L. «• . шю^ = 0) (8.3)
1 + (^K/2
где q = ((Лре/ckJ. В пределе ю ^> kj_p0 это уравнение описывает ко-
колебания ветви свистящих атмосфериков. При k ^> юре/с оно соот-
соответствует потенциальному приближению (Еж — уф), обычно ис-
111

пользуемому в теории устойчивости плазмы нулевого давления.
При этом условии из (8.3) следует, что плазма неустойчива. Харак-
Характерные параметры этой неустойчивости таковы:
Y ~ Re to ~ согибр; (8.4)
^рг~(тг/теу/2; (8.5)
kzPtczl. (8.6)
Из (8.5) видно, что предположение k > tope/c оправдывается вплоть
ДО
р~1. (8.7)
Вплоть до таких же |3 качественно справедливы и соотношения
4N)
8.2. Высокочастотная конусная неустойчивость
на ветви свистящих атмосфериков
При k± < (Hpjc из (8.3) получается следующее дисперсионное
уравнение:
<™*2в(ку iu> =n (8.8)
СО2 \<х>ре) fcj_»oP*
рг == (vJcaJ. Это уравнение описывает существенно непотенциаль-
непотенциальные возмущения. Их максимальный инкремент
7~ Re со ~ ^х и0 Р; ~ ( — ) coBecos0. (8.9)
Этим возмущениям соответствуют довольно малые продольные вол-
волновые числа:
kzPt^Pta. (8.10)
Решение (8.9) удовлетворяет условию у > coB; при ?хрг > 1/C,-,
что совместимо с принятым выше предположением^ <С соре/с, если
Р>те/тг. (8.11)
5.5. Циклотронная конусная неустойчивость
на ветви свистящих атмосфериков
Пусть, как и в разд. 8.2, k±p( > 1/р\-, a &z достаточно мало:
*,Р|^5^_<РЛ (8.12)
При таких kz частота ветви свистящих атмосфериков порядка
ионно-циклотронной частоты ©в/. Чтобы распространить резуль-
результаты разд. 8.2 на эту область частот, необходимо вместо приближен-
приближенного выражения (8.2) для е'7 использовать более точное
S^T'cb " (8ЛЗ)
112

Здесь I = k± vJaBr, e± = v±*/2; f± = /j_ (e_L); fx @) = 0; J"f± ds± =.-
= 1. [В формуле (8.2) предполагалось /_l (ex) = ^ (ex—vo2/2.]
При e'V вида (8.13) вместо (8.3) получается дисперсионное
уравнение
,,2
1 юВе cos 9 / Cfe \«
2 Вре
Исследуем это уравнение, полагая параметр | ^> п, где п —
несколько первых натуральных чисел. При таких ? Уп2(^)«^ (л^),
так что из (8.14) следует:
i <*%ecos*Q fjk_V+ ! у « =0. (8.15).
fi)a \Юве/ лАр; в; ^и (В — Я6)л,
-^ л=—оо ¦"*
Поскольку выше предполагалось k±pt > 1/р;, то коэффициент при
сумме мал. Используя эту малость, находим приближенное ре-
решение для частоты нарастающих возмущений:
: <ЛБе COS 6 (—f fH П&вГ, (8. Ш>
(8.17>
8.4. Неустойчивость двугорбого распределения
при малой доле холодных ионов
Полагаем, что помимо горячих ионов с df±/dv± >0 в плазме имеет-
имеется некоторое число холодных с плотностью лх == ап0 <С п0. Ионная
функция распределения имеет два максимума, в связи с чем такое
распределение называется двугорбым (double humped). Рассмотрим
возмущения плазмы с двугорбым распределением ионов, предпо-
предполагая kz — 0. Ионная компонента e'V тензора диэлектрической про-
проницаемости теперь определяется выражением
аш?,,-
е(') _
6ц — —
0) C
^. (8.18).
При pf1 <C k С соре/с с помощью A.73), B.3), (8.18) получаем дис-
дисперсионное уравнение непрерывного спектра
ш2 too Pi
113.

и аналогичное уравнение для гармоник
Л- =0. (8.20)
Уравнения (8.19), (8.20) сходны соответственно с (8.3) и (8.15).
Отличие состоит в том, что роль электронной компоненты теперь
играют холодные ионы.
Колебания непрерывного спектра. Решение уравнения (8.19)
имеет различный вид в зависимости от отношения а/рг3. При а <С
< Рг3
Re со =¦--¦(/а ел *:; (8-21)
Г 2
При k <с Юре/с условие у > соВ(- удовлетворяется, если
а>2(те/тг)'/2рг3/2, (8.23)
а параметр |Зг должен быть большим, чем (те/тгI/3.
В другом предельном случае а > РД
Reco~7^«1/3H- (8-24)
Это решение удовлетворяет условию |со|>сов<при kpi> a~1/3,
а параметр а должен быть при этом большим (те1тг)ъ1А.
Колебания дискретного спектра. При тг/те<а<|Зг3 урав-
уравнение (8.20) описывает раскачку ионно-циклотронных гармоник
Re со та У а Са k w п($в1 (8.25)
с инкрементом
Эта неустойчивость развивается вместо неустойчивости непрерыв-
непрерывного спектра, если не удовлетворяется условие (8.23).
8.5. Высокочастотная конусная неустойчивость плазмы с большим |3
Предположим теперь р; ^> 1 и покажем, что при этом условии в
плазме может развиваться конусная неустойчивость, описываемая
уравнением высокочастотного приближения (8.2). Полагая ионный
вклад в (8.2) меньше вклада остальных членов, решаем это урав-
уравнение методом последовательных приближений. В нулевом прибли-
приближении из (8.2) получаем выражение для частоты свистящих атмосфе-
риков [ср. с B.7), B.10I:
114

При (о(°><;#ио и не слишком малой разности 1—(o<°V&j_uo из
(8.2) находим инкремент этих колебаний:
(О2
(8.28)
Он максимален при kj_ ~ wpe/c и равен при этом
Тмакс — у-о- ¦ (O.ZV)
Таким образом, конусная неустойчивость остается и при р > 1,
хотя ее инкремент становится меньше, чем при р С 1.
§ 9. Конусно-градиентная неустойчивость плазмы
конечного давления
Вследствие положительности производной dfj_/dv± в плазме может
развиваться так называемая конусно-градиентная неустойчивость,
инкремент которой зависит от градиента плотности. Эта неустой-
неустойчивость, как и другие обсуждавшиеся выше разновидности конусных
неустойчивостей, характерна для плазмы с р ->- 0, но может прояв-
проявляться и при конечных р. Сначала напомним некоторые основные
результаты, касающиеся плазмы с р -> 0, а затем обсудим возмож-
возможность развития конусно-градиентной неустойчивости при конеч-
конечных р.
9.1. Неустойчивость плазмы с р -*¦ О
Исследование неустойчивости плазмы с р -*- 0 проводится в
рамках электростатического приближения. В этом приближении
возмущение электрического поля считается равным Е = —уф.
Из уравнений Максвелла используется только уравнение divE =
= 4лр, которое при достаточно большой плотности плазмы
соре ^> <х>ве, сводится к условию квазинейтральности:
п/ = п/. (9.1)
Возмущенную плотность ионов можно найти, решая ионное ки-
кинетическое уравнение методом интегрирования по траекториям.
Вклад в п-i от-слагаемых, содержащих градиент равновесной плот-
плотности, оказывается малым, так что в случае пространственно-вре-
пространственно-временной зависимости возмущений вида ехр(—\Ы + \\kxdx + ikyy)
возмущенную плотность можно найти, используя выражение (П. 17)
для /. Величина nt' оказывается равной
df (9.2)
mi J <4нв со — »(oR, де.
115

Здесь обозначения те же, что и в § 8. Предполагается, что щ слабо
зависит от х, так что dnjdx <С nok±. При вычислении возмущенной
плотности электронов можно пренебрегать их тепловым движением
и исходить из гидродинамических уравнений непрерывности и дви-
движения:
+ div(noVe') = O; (9.3)
-^-E + [Ve',©Be]. (9.4)
те
Из (9.4) находим возмущенную скорость электронов V/, которая
при со <С (Лве приближенно равна
те е>Ве
(9.5)
Подставляя (9.5) в (9.3), учитывая неоднородность равновесной
плотности вдоль х и электростатичность поля Е, получаем
(9.6)
*к == д \ппо/дх. Подстановка (9.2) и (9.6) в (9.1) приводит к диспер-
дисперсионному уравнению электростатического приближения
Щ± У И.аА=0. (9.7)
те k2 J ¦*" (о—дао,- де ,
п=—оо
Это уравнение сходно с (8.3) (при q <^ 1 и со ^> соВг). Отличие со-
состоит в том, что в (8.3) kz Ф 0 и электронный вклад в дисперсионное
уравнение обусловлен их возмущенным движением вдоль силовых
линий, тогда как в (9.7) kz = 0, а электронный вклад электронов
в это уравнение обусловлен их конвективным переносом поперек
магнитного поля вследствие дрейфа в скрещенных полях.
Как и в задаче о косых возмущениях однородной плазмы
{см. разд. 8.3), примем \ > 1 и сделаем приближенную замену
Jn2{\) = (л^). Тогда (9.7) сводится к следующему более простому
уравнению:
/г2 со пте 1
Если
*Р^(те/тгJ/3 (9.9)
и
?Рг~(тг/<>1/3. (9.10)
то уравнение (9.8) описывает возмущения, нарастающие с инкремен-
инкрементом
Y си Reco ~ соВ(-. (9.П)
116

Соотношения (9.9)—(9.11) характеризуют конусно-градиент-
конусно-градиентную неустойчивость плазмы с C -*- 0.
9.2. Дисперсионное уравнение для плазмы с конечным |3
Теперь рассмотрим, как изменится исходное уравнение (9.8)
при учете непотенциальности возмущений, т. е. при
с отличным от нуля векторным потенциалом А. Вследствие коротко-
волновости возмущений по отношению к ионам (? > 1). влиянием
вихревой части Е и связанным с ней возмущением магнитного поля
В = rot А на движение ионов можно пренебречь [ср. с аналогичной
ситуацией в § 8]. Электронные уравнения (9.3)—(9.5) остаются спра-
справедливыми и при Е вида (9.12), тогда как вместо (9.6) получаем
+xfeg
тетВеы
Используем уравнения Максвелла:
rotzE = — Bz; (9.14)
с
'« (9-15)
с
ил: — компоненту уравнения (9.5), которая приближенно означает
У'хе = _'^е^ ; (9.16)
выразим пе' через ¦ф:
Из (9.1), (9.2), (9.17) при ?> 1 получаем обобщение дисперсион-
дисперсионного уравнения (9.8) на случай непотенциальных возмущений:
^kXfe^^l *» =0, (9.18)
тп<оА
С помощью этого уравнения можно исследовать устойчивость
плазмы с конечным р ^ 1. При |3 ^ 1 необходимо наряду с ул0
учитывать также уб0-
117

9.3. Неустойчивость плазмы с конечным р
Как следует из (9.18), непотенциальность возмущений важна
при k ^ (Лре1с. Учитывая это и используя оценку (9.10), заключаем,
что применимость приближения |3 -*- 0 нарушается при
p^(me/m,)I/3. (9.19)
Пусть условие (9.19) выполнено. При этом уравнение (9.18) имеет
комплексные решения, если частота электронных колебаний
«,(«)= ***** (9.20>
порядка или больше ионно-циклотронной частоты сов,-. Это ус-
условие может быть выполнено только при
2*^ jo^ (921
Это граница неустойчивости плазмы с р > (те1тгу13. Условие
(9.21) можно записать в виде, аналогичном (9.10):
>ф;>2(-^J/3(^у/6. (9.22)
Видно, что критическое значение относительного градиента плот-
плотности х, начиная с которого плазма неустойчива, растет с ростом р
как р1/2. Это обстоятельство можно считать благоприятным с точ-
точки зрения проблемы устойчивого удержания плазмы. При р ~ 1
градиент неустойчивой плазмы должен быть таким, что
2. (9.23>
Вследствие непотенциальности возмущений уменьшается их ин-
инкремент. При р > (те1тг)у1г и значениях х, ненамного больших
правой части (9.21),
_
(
В отличие от случая р —>¦ 0 инкремент мал по сравнению с ионно
циклотронной частотой.
9.4. Неустойчивость плазмы конечного давлен ия
с малой примесью слегка нагретых максвелловских ионов
При наличии группы максвелловских ионов с плотностью пх =
= ап0 С п0 дисперсионное уравнение (9.18) заменяется на:
, <°le x.ky«>Be ащ Г ~ <а/„ fa) е~2' 1
c2fe2 fe2co m (fepJ 2d со—nmBi \
1J8
V м =0. (9.25)

Здесь рх = (ТУтгсо!,I/2 — ларморовский радиус максвеллов-
ских ионов; 7\ — их температура; z1 = (&рг) 2.
Оценим с помощью (9.25), как влияют на устойчивость максвел-
ловские ионы, если градиент плотности не очень велик, так что не-
неравенство (9.21) не сильное. При этом характерное k порядка соре/с,
так что
Zl ~ EL p Л . (9.26)
те ту2
Пусть
Т
Р
Тогда 2Х в уравнении (9.25) можно считать большим, так что
/„(zje-2* ~ ф.пг^-1!2. Неустойчивость невозможна, если коэффи-
коэффициент при резонансном знаменателе максвелловских ионов больше,
чем соответствующий коэффициент от быстрых немаксвелловских
ионов. Это условие сводится к следующему:
2. (9.28)
¦^ У л
При р ~ 0,1 условия (9.27) и (9.28) означают, что конусно-
градиентная неустойчивость подавляется, если Гх ~ 10~2тго02, а ~
§ 10. Раскачка колебаний плазмы быстрыми ионами
Группа быстрых ионов может приводить к раскачке колебаний
плазмы, если распределение этих ионов по скоростям анизотропно,
<)f/d(v±2) Ф dfldtyz), или производная функция распределения по
поперечным скоростям положительна, dfldvx > 0. Рассмотрим не-
некоторые разновидности такого типа неустойчивостей.
10.1. Быстрые ионы с анизотропным распределением по скоростям
Дисперсионное уравнение. Раскачка электромагнитных коле-
-баний вследствие анизотропии проявляется сильнее всего при
к± = 0. Дисперсионное уравнение для системы холодная плазма —
быстрые ионы при k± = 0 имеет вид [см. уравнения (П.30), (П.32)]
где
2 2
Е@) = 1 V ^?? ; (Ю.2)
± ш (со т <вВе) со (со Т сов/)
mi со \
\+(Vz
со Т соВ(. — kzvzldux со \ dvz de±
119

(F} = 1. Ограничимся рассмотрением колебаний с частотами ю «С
<С &Bi- При таких частотах
е<±°>=4- Aо-4)
так что в нулевом приближении по малому параметру njtio из A0.1 )
получаем
со2 = ^± = k\cA. A0.5)
Этот результат относится к решениям с обоими*знаками в индексе
е±\ что соответствует двум типам волн—альфвеновским и магни-
тозвуковым. Дополнительный анализ дисперсионного уравнения
при конечных ю/сод» показывает, что альфвеновским волнам соот-
соответствует знак «+», а магнитозвуковым—знак «—».
Учитывая вклад е±1), находим инкремент колебаний
Быстрые ионы с двумаксвелловским распределение м по ско-
скоростям. При F вида A.35) из A0.6) следует:
Ионы с T_l> Гц раскачивают альфвеновские волны, а с Гц > Т± —
магнитозвуковые.
Поскольку частота A0.5) удовлетворяет условию со < сов,-,
только при kz < copj/c, то инкремент A0.7) не экспоненциально мал,
если
vT{l^cA. A0.8)
Это означает, что раскачка электромагнитных волн группой быст-
быстрых анизотропных ионов эффективна, если энергия этих ионов срав-
сравнима с энергией магнитного поля, приходящейся на одну частицу
холодной плазмы [ср. с аналогичным критерием B.18) для электрон-
электронной неустойчивости].
Раскачка быстрыми а-частицами электромагнитных колебаний
плазмы, удерживаемой в адиабатической ловушке. В термоядерной
плазме, удерживаемой в адиабатической ловушке, должно содер-
содержаться некоторое количество быстрых а-частиц — с энергией около
3,5 Мэв. Вследствие ухода части а-частиц в конус потерь их рас-
распределение по скоростям должно быть анизотропным, а это может
служить причиной раскачки электромагнитных колебаний. Иссле-
120

дуем соответствующий тип неустойчивости, полагая, что функция
распределения сс-частиц имеет вид
R \1/2/ 1 \1/2/ т \3/2 / ffljjiM . . /Г1 ,.1/2
— \—^\ ехР — > \vz\<.v<(R — l) •
R-ll \2я/ \ Tt ) \ 27\ / ' г| х^ ' '
О, К1>о±(Я-1I/2,
A0.9)
где R — пробочное отношение; т1 —- масса а-частиц.
Функция вида A0.9) является частным случаем функций типа
f = fo(»)<I>@), A0.10)
где ¦&= arctg(ox/uz); t)= (o^ + u^i/2_ для таких функций общее
выражение A0.6) можно записать в виде
f
dv \ d$v3f0 (v) sin Ф — б (kz v cos $ ± ®Bl)-
%J J
0
A0.11)
Здесь e1 — заряд а-частиц; coBi = ехВй1тгс.
При F вида A0.9) дФ/dd = — 2[б(^ — О0) + б(д — я + ^0I-
Используя это условие, проводим в A0.11) интегрирование по §
и t» и получаем окончательное выражение для инкремента ко-
колебаний:
у 2
"о \kz\ сА
где x = (coBi/^zt)ncosd0); vT\ =B71/m1I/2;
Инкремент A0.12) не экспоненциально мал при условии типа A0.8).
При vr\ ^са
Т^— <вв*. A0.13)
«о
УС.2. Ионно-циклотронная неустойчивость магнитозвуковых
колебаний при kz = 0,
вызываемая частицами с df/dv± > 0
При наличии небольшого числа горячих немаксвелловских ио-
ионов, пх == а«0 С "о. колебания плазмы с kz = 0 и со > coB/ описы-
описываются дисперсионным уравнением [см. (8.13)]:
о
X У mnKV .^= = 0. A0.14)
^^ со — ncofii- Зе.
121

Здесь /л (е±) — нормированная на единицу функция распределения
быстрых ионов.
При о)р е > (две колебания существенно непотенциальные, если
k<La>Pe/c. Если, кроме того, | > 1, что совместимо с условием
k < Юр е/с ПрИ
'/2 ,.л .-.
си, A0.15)
то дисперсионное уравнение A0.14) сводится к виду [ср. с (8.20I
^L ^i У ^ = 0, A0.16)
ptS „f^^ со— пшв/
где f! = [J (fi/«a) dej_] -1 /з.
В пренебрежении быстрыми ионами частота колебаний вещест-
вещественна:
со2 = /г2с2,. A0.17)
Это высокочастотные магнитозвуковые колебания. Их волновое
число k, хотя и меньше соре/с, но тем не менее достаточно велико,
к > (Opi/c.
Быстрые частицы приводят к раскачке колебаний при
A0.18)
Инкремент такой неустойчивости выражается формулой
Подобного рода раскачка ионно-циклотронных гармоник может
происходить в плазме, удерживаемой в адиабатической ловушке,
если такая плазма содержит некоторое количество быстрых сс-ча-
стиц, образующихся в результате термоядерных реакций.
§ 11. Обзор теоретических и экспериментальных работ
В настоящее время теоретически исследовано большое число
разновидностей электромагнитных неустойчивостей. Развитие те-
теории этих неустойчивостей стимулировалось многими факторами.
Важным стимулирующим фактором оказалась проблема управля-
управляемого термоядерного синтеза и связанные с нею проблемы устой-
устойчивого удержания плазмы в магнитном поле и нагрева плазмы пе-
переменным электромагнитным полем. Кроме того, важную роль
в развитии теории электромагнитных неустойчивостей сыграли мно-
многочисленные астрофизические и геофизические проблемы.
122

Неустойчивости плазмы с анизотропным распределением элект-
электронов по скоростям, § 1, исследовались в работах Вайбеля [2],
Фрида [3], Р. 3. Сагдеева и В. Д. Шафранова [4], а затем во многих
других работах (см., в частности, [5—13]).
Для лабораторных экспериментов наибольший интерес пред-
представляют неустойчивости плазмы с р±> Р\\- Как было впервые
показано в работе Р. 3. Сагдеева и В. Д. Шафранова [4], при не
слишком большой анизотропии электронов электромагнитная не-
неустойчивость плазмы с ТХ>Т\\ имеет экспоненциально малый ин-
инкремент. Поскольку в лабораторных условиях, как правило, |3 <^ 1,
то при интерпретации аномальных явлений в плазме с анизотроп-
анизотропными электронами часто (см., например, работу [14]) используются
представления об электростатических неустойчивостях (иногда на-
называемых неустойчивостями типа Харриса [7,15]), инкремент ко-
которых может быть велик и при |3 < 1. Для развития электростати-
электростатических неустойчивостей, однако, требуется большая анизотропия,
чем для электромагнитных. Например, при двумакСвелловском рас-
распределении электронов электростатические неустойчивости могут
развиваться, если только Тх > 2Гц, тогда как для развития электро-
электромагнитных неустойчивостей достаточно Г_1_>Гц. Поэтому, не-
несмотря на малость инкрементов, электромагнитные неустойчивости
могут быть ответственны за аномальное поведение плазмы даже
при р <<; 1. На это было обращено внимание в работах Шэрера и
Трайвелпайса [16] и Шэрера [17].
Представления о неустойчивостях плазмы с р ц > рх широко
используются при анализе вопросов динамики солнечного ветра
[18]. Чаще всего в этой связи анализируются шланговая неустойчи-
неустойчивость (см. разд. 6.7) и кинетическая ионно-циклотронная неустой-
неустойчивость (см. разд. 6.6), которые развиваются при Рцг, несколько
меньшем, чем необходимо для развития электронной неустойчиво-
неустойчивости, рассмотренной в разд. 1.5. Электронная неустойчивость имеет,
однако, гораздо больший инкремент, уЭл/Тион — гп{/те, так что
при выполнении условия неустойчивости A.62) она должна быть
определяющей. На это обращается внимание в работе Ландау и
Купермана [19].
Неустойчивости плазмы, содержащей малую долю анизотропных
электронов, § 2, исследовались В. Ю. Трахтенгерцем (см. обзор
120] и указанные там работы), Б. А. Тверским [21], а также рядом
других авторов (см. [22, 23]) для объяснения механизма возбужде-
возбуждения ультранизкочастотного излучения магнитосферы и динамики
быстрых электронов в радиационных поясах Земли. В дальнейшем
представления об этих неустойчивостях стали использоваться для
интерпретации аномального поведения лабораторной плазмы с горя-
горячими электронами, удерживаемой в адиабатических ловушках
[24—29].
Электромагнитные неустойчивости, возбуждаемые в плазме про-
продольным пуч ком частиц, § 3, реально могут проявляться в усло-
условиях, когда затруднено возбуждение электростатических не-
123

устойчивостей. На это обратили внимание в 1964 г. Белл и Буне-
ман [30], хотя сама теория электромагнитных неустойчивостей на-
начала развиваться гораздо раньше (см., например, обзор Я. Б. Файн-
берга [31] и монографию А. И. Ахиезера и др. [32]). В работе [30]
был рассмотрен простейший пример пучковой системы, когда элект-
электромагнитная неустойчивость является первостепенной: пучок с боль-
большой поперечной энергией частиц, разд. 3.3.
Теория электромагнитных неустойчивостей пучка с немаксвел-
ловским распределением по скоростям применялась для объясне-
объяснения механизмов генерации низкочастотного излучения в магнито-
магнитосфере (см., например, работы [33—35]) и спорадического радиоизлу-
радиоизлучения Солнца [36, 37]. Электромагнитные колебания типа свистя-
свистящих атмосфериков наблюдались в лабораторных экспериментах по
взаимодействию с плазмой электронного пучка, инжектируемого
под большим углом к магнитному полю (Сайдл и Шунка [38]), а так-
также в экспериментах, где инжектируемый в плазму пучок не имеет
поперечной энергии ([38], А. Н. Кархов [39]). В случае продольно
инжектированного пучка вначале могут возбуждаться ленгмю-
ровские колебания, при рассеянии на которых частицы могут при-
приобретать поперечные скорости и затем возбуждать электромагнит-
электромагнитные волны. Такая точка зрения на механизм возбуждения свистя-
свистящих атмосфериков Еысказана в работе [39].
Рассмотренная в разд. 3.5 электромагнитная неустойчивость
убегающих электронов в несколько другой постановке исследова-
исследовалась А. А. Андроновым и В. Ю. Трахтенгерцем [40]. Она близка по
природе также к электростатической неустойчивости плазмы с не-
несимметричным распределением частиц по продольным скоростям,
на еозможнссть которой указывалось в монографии А. И. Ахиезера
и др. [32], а затем в работе гьтсра [1] и работе В. Д. Шапиро,
В. И. Шевченко [41]. Эта неустойчивость может быть ответственна
за возбуждение электромагнитных колебаний с частотами ш s? а>ве
в экспериментах по омическому нагреву плотной плазмы.
Помимо изложенных в § 3 пучково-анизотропных электромагнит-
электромагнитных неустойчивостей в настоящее время известны и некоторые дру-
другие. Обширный обзор литературы по такого рода неустойчивостям
содержится в работе К- Е. Зайеда и А. Б. Киценко [42].
Первоначальным стимулом к развитию теории неустойчивостей
типа отрицательной массы, разд. 4.1, послужила проблема созда-
создания электронных ускорителей (бетатронов). Первые работы в этом
направлении были выполнены А. А. Коломенским и А. Н. Лебеде-
Лебедевым [34], Нилсоном и Сесслером [44]. В этих работах исследовалась
плазма, все электроны которой вращаются вокруг общего центра.
В такой же постановке задача о неустойчивостях типа отрица-
отрицательной массы решалась и в более поздних работах [45—48], свя-
связанных с термоядерной программой «Астрон». Н. С. Ерохин. и
С. С. Моисеев (частное сообщение, 1968 г.) рассмотрели пространст-
пространственно-однородную плазму с б-функциональным распределением по
скоростям (разд. 4.1).
124

В последнее время теория неустойчивостей типа отрицатель-
отрицательной массы и других разновидностей квазиэлектростатических не-
неустойчивостей плазмы с релятивистскими электронами интенсивно
развивалась Блэнкеном и др. [49—51], в связи с экспериментами по
удержанию СВЧ-нагретой плазмы. В этих экспериментах в ряде
случаев получается плазма с двумя энер'гетическими группами
электронов: холодными (нерелятивистскими), составляющими основ-
основную часть плазмы, и горячими (релятивистскими). Некоторые при-
примеры неустойчивостей такой плазмы приведены в разд. 4.2. Более
полная картина такого рода неустойчивостей дана в упомянутых
выше работах Блэнкена и др. [49—51]. Там же учитывается и непо-
непотенциальность колебаний. Кукес и Сьюдан [52] высказали гипотезу
о важности этого класса неустойчивостей в процессах генерации
всплесков солнечного радиоизлучения.
Раскачка электромагнитных волн релятивистскими электронами
с изотропным распределением по скоростям, разд. 5.1, исследовалась
с целью создания на этой основе усилителей и генераторов микро-
микроволнового излучения (см. работы А. В. Гапонова [53], Шнайдера
[54], Бекефи и др. [55]), а также для объяснения природы споради-
спорадического радиоизлучения Солнца и других космических объектов
(Твисс [56], Хиршфилд и Бекефи [57]). На основе представления об
этих неустойчивостях был разработан новый тип электронных при-
приборов—мазеров на циклотронном резонансе (см., например, обзор
A. В. Гапонова и др. [58], а также работы А. В. Гапонова и др. [59],
Хиршфилда и Уохтела [60], Ботта [61]). В. В. Железняков [62, 631
развил теорию неустойчивости плазмы с ультрарелятивистскими
электронами и проанализировал роль этих неустойчивостей как воз-
возможную причину радиоизлучения некоторых космических объектов.
B. Л. Гинзбург и др. [64] привлекают представления об этих неустой-
неустойчивостях для объяснения радиоизлучения пульсаров (см. также
165]).
Различные вопросы теории электромагнитных неустойчивостей
плазмы с релятивистскими электронами обсуждались также в ра-
работах [42, 66,67].
Интересная возможность раскачки электромагнитных волн не-
нерелятивистскими электронами с изотропным распределением по ско-
скоростям возникает в случае плазмы инертных газов, разд. 5.2. Впер-
Впервые на эту возможность обратили внимание Бекефи и др. [65].
Теория столкновительной мазерной неустойчивости в дальнейшем
развивалась в работах [68, 69]. Многочисленные эксперименталь-
экспериментальные исследования этой неустойчивости были проведены в основ-
основном японскими физиками [70, 71]. В них наблюдалось воз-
возбуждение колебаний с частотой, близкой к электронно-циклотронной
и ее гармоникам. Однако в отмеченных работах нет доказательств
того, что электроны имеют пик по энергиям. Приятное исключение
составляет эксперимент Уохтела и Хиршфилда [72], где плазма пред-
представляет собой поток инжектируемых извне моноэнергетических
электронов.
125

Большое место в теоретических исследованиях занимают вопросы
устойчивости плазмы с анизотропными ионами, § 6. В приближении
нулевого магнитного поля, разд. 6.2, эти вопросы впервые рассмат-
рассматривались С. С. Моисеевым и Р. 3. Сагдеевым [73, 74]. В указанных
работах было выдвинуто предположение, что неустойчивость плаз-
плазмы с Гц > Г_[. может быть ответственна за резкий фронт ударной
волны в солнечном ветре. Однако приближение Во = 0 для неустой-
неустойчивости плазмы с Т\\ >ТХ означает |3 ^ {щ1теТ (см. разд. 6.3),
что в условиях солнечного ветра не удовлетворяется. На неприме-
неприменимость результатов [73, 74] к плазме солнечного ветра обращалось
внимание в работе [75]. В настоящее время не ясно, имеется ли
в природе анизотропная плазма с очень большим значением р. По-
Поэтому пока не ясна и прикладная роль анизотропных неустойчиво-
стей плазмы с очень большим р, обсуждавшихся в разд. 6.2—6.5.
В Калэмской лаборатории была получена плазма с р ~ 102 [76]
@-пинч), однако не известно, проявлялись ли в этой плазме эффекты
анизотропии.
При р ~ 1 и небольшой анизотропии ионов наиболее важными
являются кинетические неустойчивости, обсуждавшиеся в разд. 6.6.
Они исследовались Р. 3. Сагдеевым и В. Д. Шафрановым [4] и Розен-
блютом [77]. Лабораторные эксперименты по обнаружению этих
неустойчивостей, по-видимому, отсутствуют.
К числу наиболее давно известных неустойчивостей относятся
шланговая и пробкотронная неустойчивости, обсуждавшиеся
в разд. 6.7 и 6.8: Впервые на возможность развития в плазме этих
неустойчивостей было указано в работах Л. И. Рудакова и Р. 3. Саг-
деева [78, 79], А. А. Веденова и Р. 3. Сагдеева [80], Чандрасекара
и др. [81], Паркера [82]. В работах [79 и 81] предполагалось, что
такие неустойчивости могут играть роль в пинч-разрядах. В работе
180] обсуждалась возможность проявления пробкотронной неустой-
неустойчивости при удержании плазмы в адиабатических ловушках (пробко-
тронах). Паркер [82] анализировал динамику потоков плазмы,
испускаемых Солнцем в межпланетное пространство (солнечный
ветер), и высказал предположение, что такие потоки могут быть
неустойчивы при рц > р±.
В лабораторных условиях чаще всего реализуется плазма
с р± > р и. Это связано с особенностями магнитного удержания
плазмы и ее нагрева. В частности, плазма обязательно должна иметь
анизотропию давлений с р±>р\\, если она удерживается в адиаба-
адиабатической ловушке. При нагреве плазмы адиабатическим или удар-
ударным сжатием энергия от магнитного поля передается на поперечные
степени свободы, так что и в этих случаях оказывается р± > р ц .
В связи с этим вопросу об устойчивости плазмы с рх>Рц посвя-
посвящено большое число теоретических работ.
Обширные теоретические результаты были получены А. Б. Ки-
ценко и К- Н. Степановым [83] о неустойчивостях с со С ®Bi и kpi <^
« 1. В работах [84—86] неустойчивости с со <^ соа(- были рассмот-
рассмотрены с учетом конечности ларморовского радиуса ионов. В. Ф. Алек.
126

син и В. И. Яшин [87] развили обобщенный энергетический метод,
в рамках которого учитываются неустойчивости, вызываемые ско-
скоростной анизотропией. Мощным импульсом к дальнейшему разви-
развитию теории пробкотронной неустойчивости явилась проблема соз-
создания адиабатических ловушек с магнитной ямой (минимумом В).
Тейлор и Хасти [88, 89] и Андреалетти [90, 91] показали, что в ло-
ловушках с минимумом В может устойчиво удерживаться только плаз-
плазма с достаточно малым давлением, таким, что |3 ^ б, где б — отно-
относительная глубина магнитной ямы. Еще более радикальные требо-
требования вытекают из более строгого анализа Грэда [92]. В последние
годы интерес к исследованию пробкотронной неустойчивости воз-
возрос также в связи с развитием программы 0-пинчей. Теоретические
исследования и машинные расчеты в этом направлении ведутся Мор-
зом [93, 94].
Впервые о наблюдении пробкотронной неустойчивости в лабора-
лабораторных условиях сообщалось Постом и Перкинсом [95]. В этой ра-
работе пробкотронная неустойчивость предполагалась ответственной
за аномальный уход плазмы, полученной адиабатическим сжатием
и удерживаемой в пробкотроне. Однако в дальнейшем Перкинс и
Пост [96] отказались от этой точки зрения и стали считать, что при-
причиной наблюдавшегося [95] аномального ухода плазмы является
желобковая неустойчивость (последняя связана с поперечной неод-
неоднородностью плазмы и кривизной силовых линий магнитного поля).
По-видимому, наиболее надежные экспериментальные свиде-
свидетельства о пробкотронной неустойчивости дают исследования по
6-пинчам. Такого рода исследования производились Бодином и
др. [97] и Кауфманом и др. [98]. Пробкотронная неустойчивость
в 8-пинчах проявляется в виде возмущений нулевой азимутальной
моды, т = 0 (аксиально симметричные возмущения).
Одним из важных объектов приложения теории ионных анизот-
анизотропных неустойчивостей является солнечный ветер. Начиная
с работы Паркера [82] (см. также его монографию [18]), многократ-
многократно высказывалась точка зрения о важной роли, которую должна
играть в динамике солнечного ветра шланговая неустойчивость
(см. разд. 6.7). В связи с этим интересно отметить, что Скарф и др.
[99], основываясь на измерениях ионной анизотропии плазмы сол-
солнечного ветра, описанных в работах [100, 101], показали, что в около-
околоземном пространстве критерий развития шланговой неустойчивости
не удовлетворяется. Эти авторы пришли к выводу, что в условиях
солнечного ветра наиболее важной является кинетическая неустой-
неустойчивость, впервые рассмотренная Р. 3. Сагдеевым и В. Д. Шафра-
Шафрановым [4], а затем Стиксом [8] (разд. 6.6). Теоретический анализ ани-
анизотропных неустойчивостей плазмы солнечного ветра производился
также в работах Н. А. Лотовой [102, 103], Скарфа и Фредрикса
[104] и др.
Предсказания о неустойчивостях солнечного ветра подтверж-
подтверждаются многими наблюдениями. Установлено, что солнечный ветер
пространственно неоднороден, причем характерный масштаб неодно-
127

родности порядка c/(opi [102, 105]. В солнечном ветре регистриру-
регистрируются шумы с частотой порядка ионно-циклотронной [104]. Оба эти
факта находятся в согласии с теорией ионных анизотропных неустой-
чивостей (о лабораторном моделировании анизотропных неустой-
чивостей солнечного ветра см. работы [105—107]; машинный эк-
эксперимент по таким неустойчивостям.изложен в работе [108]).
Электромагнитная неустойчивость встречных потоков плазмы
^разд. 7.1) теоретически исследовалась А. А. Галеевым [109] и
Д. Г. Ломинадзе и К- Н. Степановым [110]. В работе [109] описан
эксперимент по использованию этой неустойчивости для захвата
плазмы в адиабатическую ловушку.
Неустойчивость плазмы с неоднородным профилем скорости
•(разд. 7.2; типа Кельвина — Гельмгольца) известна довольно давно.
Гидромагнитная теория этой неустойчивости изложена в книгах
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [111] и Чандрасекара [112]. В ла-
лабораторных условиях эта неустойчивость может проявляться
в экспериментах с плазменными струями, движущимися вдоль маг-
магнитного поля [113]. В работах Паркера [114], Данжи [115], Талвара
И16], Ю. Л. Москвина и Д. А. Франк-Каменецкого [117] и некоторых
других обсуждалась возможность развития неустойчивости типа
Кельвина — Гельмгольца при обтекании границы магнитосферы
плазмой солнечного ветра (см. также обзор В. А. Троицкой и
А. В. Гульельми [118]). Паркер [119], а затем Талвар [120] и другие
обсуждали вопрос о развитии этой неустойчивости в условиях сол-
солнечной короны.
Изложенные в § 7.9 результаты по конусным неустойчивостям
плазмы конечного и большого давления были получены только
в самое последнее время (Ю. П. Курчатовым, Н. В. Чудиным и ав-
автором),, и потому они не настолько исчерпывающие, как многолет-
многолетние исследования по анизотропным неустойчивостям. Ранее ожив-
оживленно дискутировались аналогичные вопросы, касающиеся плазмы
нулевого давления. Ю. Н. Днестровским [121] было обращено вни-
внимание на то, что наличие конуса потерь влечет за собой установле-
установление такого распределения по скоростям, при котором df/dv±>0,
и что положительность этой производной может служить причиной
неустойчивостей пучкового типа. В. Б. Красовицкий и К. Н. Степа-
Степанов [122] подробно исследовали основные типы конусных неустой-
неустойчивостей однородной плазмы. В частности, они впервые указали
на высокочастотную конусную неустойчивость, обусловленную
взаимодействием ионов с электронами (разд. 8.1). Вслед за [122]
эта неустойчивость исследовалась автором [123] и Розенблютом
и Постом [124]. Последняя работа получила особенно широкий ре-
резонанс вследствие того, что в ней была подчеркнута важность вы-
высокочастотной конусной неустойчивости для адиабатических лову-
ловушек как возможных термоядерных реакторов. Обширные численные
расчеты по высокочастотной конусной неустойчивости были про-
проведены в работе Поста и Розенблюта [125]. Конусная неустойчи-
неустойчивость должна приводить к повышенному уходу частиц в конус по-
128

терь. Скорость такого ухода оценивалась в работах А. А. Галеева
[126, 127]. Предлагались различные пути подавления высокочастот-
высокочастотной конусной неустойчивости. Один из них состоит в добавлении
в плазму некоторого количества слабо нагретых ионов. Подробно та-
такая возможность обсуждалась в работе Мойра [128], а также в работе
Берка и др. [ 129]. Этот стабилизирующий эффект может проявляться
и при конечных р. В условиях современных экспериментов реа-
реализуется, по-видимому, также плазма с примесью слегка нагретых
ионов [130]. Возможно, вследствие этого пока не удалось экспери-
экспериментально обнаружить конусную неустойчивость.
В плазме с небольшой долей ионов очень малых энергий возмож-
возможна еще одна разновидность конусных неустойчивостей, так называе-
называемая неустойчивость двугорбого распределения (double humped
instability, разд. 8.4). При р->- 0 она теоретически изучалась Хол-
Холлом и др. [131], а экспериментально была обнаружена в специально
поставленном для этой цели эксперименте Кэнсчена и др. [132].
В условиях, когда давление плазмы не чрезмерно мало, так что су-
существенна непотенциальность возмущений (разд. 8.4), эта неустой-
неустойчивость экспериментально не исследовалась.
О конусно-градиентных неустойчивостях до последнего времени
имелась только теоретическая информация и только такая, которая
относится к плазме с р -> 0. Соответствующий тип неустойчивости
для плазмы с р ->- 0 и б-функциональным распределением ионов был
предсказан в работе автора [123]. Позднее Пост и Розенблют [125],
также в приближении р ->¦ 0, провели детальный анализ этого типа
неустойчивости при некоторых других зависимостях fj_(v±)
с df±/dv±>0. В другой работе автора [133] (см. также работу
А. А. Галеева [134]) вычислялись турбулентные коэффициенты пере-
переноса, обусловленные этой неустойчивостью. Корди и др. [135] иссле-
исследовали влияние на конусно-градиентную неустойчивость кривизны
силовых линий магнитного поля. Результаты § 9, касающиеся плазмы
с конечным р, недавно получены Ю. П. Курчатовым и автором.
Основным стимулом развития теории анизотропных электромаг-
электромагнитных неустойчивостей, вызываемых группой быстрых ионов
(разд. 10.1), до сих пор была проблема интерпретации различных
магнитосферных явлений, таких, как возбуждение геомагнитных
пульсаций, процессы, определяющие предельную плотность быст-
быстрых частиц в протонном радиационном поясе Земли, и др. В при-
применении к этой проблеме теория развивалась Б. А. Тверским [136],
Корнуоллом [137], Кеннелом и Петчеком [22], Кеннелом [23],
Ф. 3. Фейгиным и В. Я. Якименко [138] и др. Более подробную биб-
библиографию по этим вопросам можно найти в книге Б. А. Твер-
Тверского [21], обзоре В. А. Троицкой и А. В. Гульельми [119], а также
в работе Крисуэлла [139]. Изучались также неустойчивости, вызы-
вызываемые релятивистскими протонами в межзвездной плазме. Эти
вопросы отражены в обзоре Лёрча [140].
Возбуждение быстрыми ионами с df/dv± > 0 волн, распростра-
распространяющихся под большим углом к магнитному полю, разд. 10.2, до
5 Зак. 495 129

сих пор рассматривалось в основном в электростатическом прибли-
приближении (см., например, работы автора и Э. А. Пашицкого [141], Перл-
стайна, Розенблюта и Чанга [142], Свифта [143]). Исключение со-
составляет работа В. Б. Красовицкого и К- Н. Степанова [144], где
учитывались и электромагнитные эффекты.
Практически интересный случай плазмы с быстрыми немаксвел-
ловскими ионами должна представлять собой плазма, содержащая
продукты термоядерных реакций—а-частицы с энергией в несколь-
несколько мегаэлектронвольт. Л. В. Кораблевым [145] и Я- И. Колесни-
ченко и В. Н. Ораевским [146] было обращено внимание на то, что
коллективное взаимодействие а-частиц с основной компонентой
плазмы может приводить к неустойчивостям. В этих и последующих
работах названных авторов [147—149] было рассмотрено несколь-
несколько разновидностей неустойчивостей, возникающих при изотропном
распределении а:частиц по скоростям. Общий вывод, сделанный
в работах [147—149], сводится к тому, что эти неустойчивости не
могут быть существенным препятствием магнитного удержания
термоядерной плазмы.
Такой вывод не относится к плазме, удерживаемой в адиабати-
адиабатической ловушке. Вследствие ухода некоторой доли а-частиц в ко-
конус потерь распределение захваченных а-частиц по скоростям
анизотропно, df/d(v\\2) Ф df/d(vx2), а их поперечное распределение
должно иметь более резкий максимум, чем при изотропном распре-
распределении,— большее df/dv± > 0. Вследствие этого в плазме могут
развиваться более сильные неустойчивости, чем при изотропном
распределении а-частиц (разд. 10.1 и 10.2). Это тем более нежела-
нежелательно с точки зрения проблемы удержания плазмы, так как уход
плазмы из ловушки может происходить не только в результате про-
•странственной диффузии, но и в результате скоростной диффузии
частиц в конус потерь.
При не слишком малых значениях параметра р (см. § 10) прак-
практически все разновидности неустойчивостей, вызываемые а-части-
цами, являются электромагнитными. На это обращалось внимание
в работе Л. В. Кораблева и Л. И. Рудакова [147]. Однако в [147],
как и в [148], были рассмотрены электромагнитные неустойчивости
с со С сов;, тогда как более важными представляются наиболее быстро
развивающиеся неустойчивости с и > а>в<, рассмотренные нами
в разд. 10.2. Экспериментально ни те, ни другие неустойчивости
пока не исследовались.
§ 12. Заключение
Теория предсказывает много разновидностей электромагнитных
неустойчивостей плазмы с немаксвелловским распределением частиц
по скоростям. В настоящее время общепризнана важная роль этих
неустойчивостей в физике околоземной плазмы. Что касается лабо-
лабораторной плазмы, то пока основную роль здесь играют электроста-
электростатические неустойчивости. Это, связано с тем, что плазма, получаемая
13Q

в большинстве типов лабораторных экспериментов, имеет малое
значение параметра р. Можно, однако, ожидать, что со временем
будут разработаны более эффективные способы получения плазмы
с конечным и большим |3, поскольку без этого практически невозмо-
невозможен прогресс в решении проблемы управляемого термоядерного син-
синтеза. Поэтому кажется, что в будущем лабораторные эксперименты
с плазмой конечного давления займут центральное место в физике
плазмы. Если в процессе создания или удержания такой плазмы рас-
распределение частиц по скоростям окажется немаксвелловским, то
ее динамика будет определяться обсуждавшимися выше неустой-
чивостями.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ПЛАЗМЫ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
/. Решение кинетического уравнения для однородной
релятивистской плазмы в магнитном поле
Кинетическое уравнение Больцмана для возмущенной функции распре-
распределения f электронов или ионов, находящихся в магнитном поле, имеет хоро-
хорошо известный вид
i- (пл)
Это уравнение получается при линеаризации полного уравнения Больцмана
В пренебрежении столкновениями между частицами. В (П. 1) v, p—скорость
и импульс частиц, связанные соотношением
p = m0 v(l — v2/c*)~ 1/2, (П72)
где е, пц — заряд и масса покоя частиц; с — скорость света; Е, В— электри-
электрическое и магнитное поля возмущения, связанные друг с другом соотношением
1 дВ
— — • —= rot E; ' (П.З)
с at
Во — равновесное магнитное поле, которое предполагается направленным
вдоль оси z, Во И z; /0— равновесная функция распределения соответствую-
соответствующего сорта зарядов, удовлетворяющая кинетическому уравнению нулевого
приближения:
lv, в0] а/0/ар=0. (П.4)
Общее решение (П. 4) можно представить в виде
(П.5)
где р±~ |pjj; рх, рг—поперечные и продольная по отношению к Во компонен-
компоненты импульса частицы; F — функция произвольного вида.
Решение (П.1) можно записать в виде интеграла вдоль характеристик
соответствующего однородного уравнения, означающих траектории невоз-
невозмущенного движения частиц:
t
I Хм Л\ ЪК
(П.6)
5* 131

Стоящие под интегралом функции импульсов и координат берутся при р ||
= Р(''| "о. Ро)> г = *(*'< го. Ро). гДе функции p(t), r(t) удовлетворяют уравнениям
движения:
dp 'cfr
—— = efv, Bol; — = v, (П 7)
dz at
a r0, Po — координата и импульс, которым в некоторый момент времени ta
характеризуется частица, находящаяся в момент времени t в точке г и обла-
обладающая при этом импульсом р. При получении (П.6) предполагалось, что
при t = —оо плазма и поле находятся в невозмущенном состоянии, а затем
появляется очень малое возмущение, которое медленно нарастает во времени.
Ниже будем считать, что пространственно-временное поведение возмущения
характеризуется зависимостью вида exp (t kr — mt), где со имеет бесконеч-
бесконечно малую положительную мнимую часть.
Используя (П.2), (П.З), (П.5), а также удобное преобразование
1
(П.8)
где k± = k^ + ky , а индекс «j_» у векторов означает их часть, перпенди-
перпендикулярную Во, приводим (П.6) к виду
dpz - v± ¦ др±
Здесь
ф± = а
dF
dF
дрг
dF
(П.9)
(П.10)
¦± дрх "*¦ со ^ дрг v± ' др± ) '•
+ оо Г t 1
Go= J exp Исот —ik J v (r0, p0, x')dx'\dx, (П.11)
о L t-x J
а функции Gj, G2 отличаются от Go тем, что в подынтегральном выражении
перед экспонентой стоят соответственно множители kj_vA(/ — т, г0, ро),
[kx, v±(t —х, r0, Po)]z-
Интегралы Ga(a =0, 1,2) вычисляются следующим образом. Учитывая
закон движения частицы в магнитном поле, вытекающий из (П.7):
(П. 12)
132

вычисляем интеграл, стоящий в экспоненте правой части (П. 11):
t
J kv(r0) р0, t')di' = kzvzx —|{sin(a0—a>Bt — ?) —
-sin[ao-a)B«-T)-^]}. (П.13)
Здесь l=kj_v±j(oB-t Wz=arcig{kyjkx^ Экспоненту, содержащую в ар-
аргументе sin [a0—cog {t—т)—ЧГ], представляем в виде ряда по функциям
Бесселя:
exp {_i|sin[ao-toB(<-T)-?]) =
ОО
= Ц Л1(!)ехр{-1п[а0-а)в(*-т)-Ч']). (П.14)
П= —ОО
Выражение для Go сводится при этом к сумме интегралов типа
ОО
J exp[i (<o—\kzvz—ncoB)T]dx=i (ш— kzvz~п<йв)~1. (П.15)
Величины Glt G2 выражаются через интегралы от произведения экспоненты
exp [i(<o — п<ов — kzvz) (t — т)] на cos (a0 — шв т — <р), sin (a0— тв т — i|)),
которые сводятся к интегралам типа (П. 15) путем представления синуса и ко-
косинуса в виде суперпозиции экспонент. При этом под знаком суммы по п по-
получаются знаменатели вида со — kzvz — (п ± 1)«в. Заменой индекса сумми-
суммирования их можно сделать равными ш — kzvz — п<лв.
Окончательные выражения для Ga имеют вид
(Go, Сь G2)
= iexp i|sin(a-?) J ln(JnJ
I Jn=—oo
Здесь ?n=(co— fe2y2—п(ов)-ь a = arctg(ya/oy). Подставляя (П.16) в (П.9),
получаем искомое выражение для возмущения функции распределения
где
dF д / z \
() (пл8>
2. Общее выражение для тензора диэлектрической проницаемости
Интегрируя по импульсам уравнение (П.17) с весом е\, вычислим плот-
плотность токов. Интегрирование по углу а производится с помощью соотно-
соотношений
2л
da Injn \
-—(cosa, sina, 1) exp (i ?sina —i ла) = [—,—i Л. Vn • (П.19)
133
I

Тогда получается
Ui, h> /з) = -I
P±
v±
nJn
Здесь индекс «1» означает проекцию вектора на направление к^; «2»—на на-
направление, перпендикулярное кх и Во; «3» — на направление Во. Функция F,
входящая в Фх, Фц, предположена нормированной так, что
Г Fp , dp, dp =n. (П.21)
где я0 — равновесная плотность частиц.
Далее, используя соотношения
;(*) — 0(*)
— тензор проводимости k'-й компоненты плазмы) и
(П. 22)
(П. 23)
находим вклад в диэлектрическую проницаемость соответствующей компо-
компоненты плазмы:
,bs 4яе2
Х-
^1 ,
|2 ''п.
2 iv*
^п » п'
„2 т -2
1VXVzJnJn>
-'1V±VzJnJn
. (П.24)
Здесь символ < ... > означает j ... р± dp± dpz.
При получении (П.24) были использованы соотношения:
f ZnnJn>
V lnJnJn'.
(П.25)
Полный тензор диэлектрической проницаемости получается при подста-
подстановке (П.24) в A.29), а общее дисперсионное уравнение имеет вид A.32).
Отметим некоторые частные случаи общего дисперсионного уравнения .
3, Возмущения с kz = О
Общее дисперсионное уравнение A.32) при kz = 0 распадается на два:
е33—W2 = 0; (П.26)
6ц, е12
е ДГ2
134
= 0.
(П.27)

Входящие сюда компоненты eag имеют вид:
та
с, i л=—°о
ft2 i nJn Jn
X | _, , , | >; (П.29)
n
' (a,P)=(l,2)
4. Возмущения с kx = 0
При kx = 0 общее дисперсионное уравнение распадается на три:
вцТ is12-^W2 = 0, (П.30)
833 = 0. (П.31)
Первые два уравнения описывают электромагнитные волны, а третье —-
электростатическое. Нас интересуют только уравнения (П.30). Входящие в
них комбинации en T ie12 равны
2 4яе2
г, (
L dF a fe
4 2 со =F wB — fez vz /
Л И Т Е Р7А ТУРА
1. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей,
т. I. неустойчивости однородной плазмы. М., Атомиздат, 1970.
2. Weibel E. S. Phys. Rev. Lett., 2, 83 A959).
3. F r i e d B. t>. Phys. Fluids, 2, 337 A959).
4. С а Г д е е в Р. 3., Ш а ф р а н о в В. Д. «Ж. эксперим. и терр. физ.»,
39, 181 A960).
5. Маханьков В. Г., Рухадзе А. А. «Ядерный синтез», 2,
177 A962).
6. Bernstein I. В., Т г е h а п S. К. Nud. Fusion, 1, 3 A960).
7. Н arr is E. Q. J. Nucl. Energy, C2, 138 A961).
8. С т и к с Т. Теория плазменных волн. М., Атомиздат, 1965.
9. F u r t h H. P- Phys. Fkiids, 6, 48 A963).
10. Sudan R. N. Phys. Fluids, 6, 57 A963).
11. S u d a n R. N. Phys. Fluids, 8, 153 A965); 8, 1208 A965).
12. H a m a s a k i S. Phys. Fluids, 11, 1173 A968).
13. H a m a s a k i S. Phys. Fluids, 11, 2724 A968).
14. A 1 i k a e v V.V. et al. Plasma Physics, 10, 753 A968).
15. Harris E. G. Phys. Rev. Lett., 2, 34 A959).
135

16. Scharer J. E., Triv el piece A. W. Phys. Fluids, 10, 5 91
A967).
17. Scharer J. E. Phys. Fluids, 10, 562 A967).
18. П a p к e p E. Динамические процессы в межпланетной среде. М.,
«Мир», 1965.
19. L а п d a u R. W., Cuperman S. J. Plasma Physics, 4, 13 A970).
20. Г е р ш м а н Б. Н., Трахтенгерц В. Ю. «Успехи физ. наук»,
89, 201 A966).
21. Тверской Б. А. Динамика радиационных поясов Земли. М.,
«Наука», 1968.
22. Kennel С. F., P e t s с h e k H. E. J. Geophys. Res., 71, 1 A966).
23. Kennel С. F. Phys. Fluids., 9, 2190 A966).
24. I к е g a m i H. et al. Phys. Fluids, 11, 1061 A968).
25. Ikegami H. et al. Plasma Physics and Controlled Nucl. Fus. Res.,
v. 11. Vienna, IAEA, 1969, p. 423.
26. Jacquinot J. Ibid., p. 358.
27. Jacquinot J. Third Europ. Conf. on Controlled Fusion and Plasma
Physics. Groningen, Wolters-Nordhoff Publ. Сотр., 1969, p. 14.
28. Herrmann V. et al. Ibid., p. 70.
29. L а г а г N. H. et al. Bull. Amer. Phys. Soc, 23, 1521 A968).
30. В e 1 1 T. F., В u n e m a n O. Phys. Rev., 133A, 1300 A964).
31. Фаин бе р г Я. Б. «Атомная энергия», 11, 313 A961).
32. Ахиезер А. И. и др. Коллективные колебания в плазме. М.,
Атомиздат, 1964.
33. В г ice N J. Qeophys. Res., 69, 4515 A964).
34. Gendrin R. J. Qeophys. Res., 70, 5369 A965).
35. H г u s k a A. Qeophys. Res., 71, 1377 A966).
36. Ж е л е з н я к о в В. В. «Изв. вузов. Радиофизика», 2, 14 A959).
37. Железняков В. В. Радиоизлучение Солнца и планет. М., «Наука»,
1964.
38. S e i d I M., Su n k a P. Nucl. Fusion, 7, 237 A967).
39. К a p x о в А.- Н. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 56, 3 A969).
40. Андронов А. А., Трахтенгерц В. Ю. «Ж. эксперим.
и теор. физ.», 45, 1009 A963).
41. Шапиро В. Д., Шевченко В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
54, 1187 A969).
42. Zayed К. Е., Kitsenko А. В. Plasma Physics, 10, 147 A968).
43. Коломенский А. А., Лебедев А. Н. «Атомная энергия»,
7, 549 A959).
44. N i e I s e n С, S e s s I e r A. Rev. Scient. Instrum., 30, 80 A959).
45. L a n d a u R. W., N e i 1 V. K. Phys. Fluids, 9, 2412 A966).
46. В r i g g s R. G., N e i 1 V. R. Plasma Physics, 9, 209 A967).
47. Grewol M. S., В у е г s I. A. Plasma Physics, 11, 727 A969).
48. В г i g g s R. J., L a u Y. Y. В u 11. Amer. Phys. Soc, 14, 1031 A969).
49. В 1 a n k e n R. A. Bull. Amer. Phys. Soc., 13, 280 A968).
50. В 1 a n k e n R. А., К u с k e s A. F. Plasma Physics, 11, 3211 A969).
51. Blanken R. A., Stix Т. Н., Kuckes A. F. Plasma Physics,
11,945A969).
52. Kuckes A. F., Sudan R. N. Nature, 223, 1048 A969).
53. Г а п о н о в А. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 39, 326 A960).
54. Schneider. Phys. Rev. Lett., 2, 504 A959).
55. В e k e f i G. et al. Phys. Fluids, 4, 175 A961).
56. T w i s s Q. R. Australian J. Phys., 11, 564 A958).
57. H i r s с h f i e 1 d J. L., В e k e f i G. Nature, 198, 20 A963).
58. Гапонов А. В. и др. «Изв. вузов. Радиофизика»;*' 10, 1414 A967).
59. Гапонов А. В. и др. «Письма ЖЭТФ», 2, 430 A965).
60. Hirschfield J. L., W а с h t e 1 J. M. Phys. Rev. Lett., 12, 533
A964).
61. В о 11 I. B. Phys. Lett., 14, 293 A965).
136

62. Ж е л е з н я к о в В. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 51, 570 A966).
63. Ж е л е з н я к о в В. В. «Астрон. ж.», 44, 44 A967).
64 Гинзбург В. Л., Железняков В. В., Зайцев В. В,
' «Успехи физ. наук», 98, 201 A969).
65. Т а к а к и т а Т. Nature, 224, 252 A969).
66 Железняков В. В. «Изв. вузов. Радиофизика», 3, 57 A960).
67' N е u f е 1 d J., W i g i n t о n С L. Phys. Rev., 148, 97 (I960).
68* T a n a k a S., M i t a n i K. J. Phys. Soc. Japan, 19, 1476 A964).
69 ldehara Т., Sugar a R. J. Phys. Soc. Japan, 23, 1122 A967).
70' T e r u m i с i Y. et al. J. Phys. Soc. Japan, 20, 1705 A965),
7l" ldehara T. et al. J. Phys. Soc. Japan, 22, 671 A967).
72' W а с h t e 1 J. M., H i r s с h f i e 1 d J. L. Phys. Rev. Lett., 19, 293
A967).
73 Моисеев С. С, Сагдеев Р. 3. «Докл. АН СССР», 146, 329
A962).
74. М о i s e e v S. S., S a g d e e v R. Z. J. Nucl. Energy, C5, 43 A963).
75 Kennel С F., Sagdeev R. Z. J. Qeophys. Res., 72, 3303
A967).
76 S p a 1 d i n g I. J. et al. Plasma Physics and Controlled Nucl.
Fus. Res., v. 11, Vienna, IAEA 1969, p. 639.
77. R о s e n b 1 u t h M. N. Bull. Amer. Phys. Soc, 4, 197 A959).
78. P у д а к о в Л. И., Сагдеев Р. 3. В сб. «Физика плазмы и проб-
проблема управляемых термоядерных реакций», т. 3. М., Изд-во АН СССР,
1958, стр. 268.
79. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. Там же, т. 4, стр. 54.
80. Веденов А. А., Сагдеев Р. 3. Там же, т. 3, стр. 278.
81 С h a n d r a s e k h a r S. et al. Proc. Roy. Soc., A245, 435 A958).
82. Parker E. N. Phys. Rev., 109, 1874 A958).
83. К и ц е н к о А. Б., Степанов К. Н. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
38, 1841 A960).
84. F u r t h H. P. Nucl. Fusion, Suppl., 1, 169 A962).
85. Михайловский А. Б. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 43, 230 A962).
86. Заславский Г. М., Моисеев С. С. «Ж. прикл. мех. и техн.
физ.», 6, 24 A962).
87. А л е к с и н В. Ф., Яшин В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.». 39,
822 A960).
88. Н a s t i e R. А., Т а у 1 о г J. В. Phys. Rev. Lett., 13, 123 A964).
89. Т а у 1 о г J. В., Н a s t i e R. A. Phys. Fluids, 8, 323 A965).
90. Andrealett J. Compt. rend. Acad. Sci., 258, 5183 A964).
91. A n d r e a 1 e 11 i J. Compt. rend. Acad. Sci., 259, 2392 A964).
92. G r a d H. Phys. Fluids,'?. 499 A966).
93. M a r s e R. L. Phys. Fluids, 10, 1017 A967).
94. D i с k m a n D. O. et al. Phys. Fluids, 12, 1708 A969).
95. Post R. F., Perkins W. A. Phys. Rev. Lett., 6, 85 A961).
96. Perkins W. A., Post R. F. Phys. Fluids, 6, 1537 A963).
97. В о d i n H. A. B. ret al. Plasma Physics and Controlled Nucl Fus
Res., v. 11, Vienna, IAEA, 1969, p. 533.
98. К a u f m a n n M. et al. Third Europ. Conf. on Controlled Fusion and
Plasma Physics. Groningen, Wolters-Nordhoff Publ. Сотр., 1969, p 80.
99. S с a r f F. L. et al. J. Geophys. Res., 72, 993 A967).
100. Wolfe J. H. et al. J. Geophys. Res., 71, 3329A966).
101. H u n d h a us e n A. J. et. al. J. Geophys. Res., 72, 87 A967).
102. Л о т о ва Н. А. «Успехи физ. наук», 95, 293A968).
103. Л о т о в а Н. А. «Геомагнетизм и аэрономия», 9, 332 A969).
104. Sc a r i F. L., Fr e dr ics R. W. J. Geophys. Res., 73, 1747A968).
105. Подгорный И. М., Сагдеев Р. 3. «Успехи физ. наук», 98,
409 A969).
106. М а н а г а дз е Г. Г., Подгорный И. М. «Докл. АН СССР»,
180, 1333 A968).
107. Дубинин Э. М. и др. Космические исследования 9, 91 A971).
137

108. Березин Ю. А., СагдеевР. 3. «Докл. АН СССР», 184, 570 1968)
109. Г а л е е в А. А. и др. Ргос. VII Internat. Conf. on Phenomena in
Ionized Gases, v. II. Belgrad, Gradevinska Knjiga, 1965.
110. Ломинадзе Д. Г., Степанов К. Н. «Ж. техн. физ.», 35,
148 A965).
111. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных
сред. М., Гостехиздат, 1957.
112. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability.
London, Oxford Univ. Press., 1962.
113. Морозов А. И. Plasma Physics and Controlled Nucl. Fus. Res.,
v. II, Vienna, IAEA, 1969, p. 3.
114. P a r k e t E. N. Phys. Fluibs., 1, 171 A958).
115. Д а н ж и Дж. В. Геофизика. М., «Мир», 1964, стр. 383.
116. Talwar S. P. J. Geophys. Res., 69, 1707 A964).
117. Москвин Ю. Л., Ф р а н к-К а м е н е ц к и й Д. А. «Докл.
АН СССР», 174, 1079 A967).
118. Т р о и ц к а я В. А., Гульельми А. В. «Успехи физ. наук»,
97, 453 A969).
119. Parker E. N. Astrophys. J., 139, 6901 A964).
120. Talwar S. P. Phys. Fluids, 8, 1295 A965).
121. Днестровский Ю. Н. «Ядерный синтез», 3, 259 A963).
122. Красовицкий В. Б., Степанов К. Н. «Ж. техн. физ.»,
34, 1013 A964).
123. Михайловский А. Б. «Ядерный синтез», 5, 125 A965).
124. Rosenbluth M. N.. Post R. F. Phys. Fluids, 8, 547 A965).
125. Post R. F., Rosenbluth M. И. Phys. Fluids, 9, 273 A966).
126. Га леев А. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 49, 672 A965).
127. Г а л е е в A. A. Plasma Physics and Controlled Nucl. Fus. Res., v. 1.
Vienna, IAEA, 1966, p. 393.
128. Moir R. W. Plasma Physics, 11, 169 A969).
129. Berk H. L-. et al. Plasma Physics and Controlled Nucl. Fus. Res., vol.
11. Vienna, IAEA, 1969, p. 151.
130. С о e n s g e n F. H. et al. Ibid., p. 225.
131. Hall L. S. et al. Phys. Rev., A139 1117A965).
132. Coensgen F. H. et al. Bull. Amer. Phys. Soc, 14, 1053 A969).
133. Михайловский А. Б. «Докл. АН СССР», 169, 554 A966).
134. Г а л е е в А. А. «Ж. прикл. мех. и техн. физ.», 2, 7 A966).
135. С о г d у et al. Nuclear Fusion, 8, 153 A968).
136. Тверской Б. А. «Геомагнетизм и аэрономия», 7, 226 A967).
137. Cornwall J. M. J. Geophys. Res., 70, 61 A965).
138. Ф е й г и н Ф. 3., Якименко В. Л. «Геомагнетизм и аэрономия»,
9, 700 A969).
139. С г i s w е 1 1 D. R. J. Geophys. Res., 74, 205 A969).
140. L е г с h e I. Advances in Plasma Physics. Intercience Publishers, v. 2.
N.. Y, 1969, p. 47.
141. Михайловский А. Б., П а ш и ц к и й Э. А. «Ж. техн. физ.»,
35, 1961 A965).
142. PearlsteinL. D., Rosenbluth M. N.. Chang D. В.
Phys. Fluids, 9, 953 A966).
143. S w i i t D. W. J. Geophys. Res., 73, 7447 A968).
144. Красовицкий В. Б., Степанов К. Н. «Изв. вузов. Ра-
Радиофизика», 7, 83 A964).
145. К о р а б л е в Л. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 53, 1600 A967).
146. Колесниченко Я. И., Ораевский В. Н. «Атомная
энергия», 23, 289 A967).
147. Кораблев Л. В., Рудаков Л. И. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 54, 818 A968).
148. Беликов В. С, Колесниченко Я. И., Ораев-
Ораевский В. Н. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 55, 2210A968).
149. Колесниченко Я. И. «Укр. физ. ж.», 14, 1070 A969).

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ПОЛЕЙ
С ПЛАЗМОЙ
А. А. Иванов
Введение
В настоящее время проведено много исследований, посвященных
изучению поведения плазмы в высокочастотных полях. Основное
внимание при этом обращается не на проблемы равновесия или ра-
радиационного ускорения плазмы высокочастотными полями, для
чего необходимы достаточно большие амплитуды полей (плотность
энергии высокочастотного поля должна быть больше давления плаз-
плазмы или сравнима с ним), а на вопросы устойчивости плазмы в высо-
кочастотном поле, т. е. на проблемы подавления наиболее опасных,
с точки зрения удержания плазмы, неустойчивостей [1—6]. Это оз-
означает, что амплитуды высокочастотного поля считались малыми,
и дополнительным давлением, возникающим из-за высокочастот-
высокочастотного поля, можно пренебречь. Частоты поля Q и тип волны выбира-
выбирались таким образом, чтобы поле проникало в плазму. Так, в отсут-
отсутствие постоянного поля Но частота удовлетворяла условию Q >
>Шре [7]; в том случае, если плазма удерживалась постоянным
магнитным полем, рассматривалось высокочастотное поле волны
типа геликон с частотой й < а>не и волновым числом k0, проникаю-
проникающее в плазму без затухания [8, 9].
Кроме того, изучалось влияние высокочастотного поля на устой-
устойчивость плазмы при частоте Q •< сор е, когда высокочастотное элект-
электрическое поле направлено вдоль постоянного магнитного поля
#о [8, 10]. В этом случае поле проникало в плазму на глубину скин-
слоя, которая могла быть из-за неустойчивостей, раскачиваемых
волной, значительно больше величины с/и>р е.
Длина волны высокочастотного поля, как и в случае плазмы без
магнитного поля Яо, считалась много большей характерных длин
волн неустойчивостей плазмы, поэтому зависимость амплитуды вы-
высокочастотного поля от координат не учитывалась.
Оказалось, что определенным выбором частоты и амплитуды вы-
высокочастотного поля можно подавлять неустойчивости плазмы [8—
11] либо раскачивать их [12]. Изучение поведения плазмы, находя-
139

щейся в полях достаточно большой амплитуды, которые меняются
с частотой, близкой к одной из собственных частот плазмы, указало
на возможность раскачки так называемых параметрических неустой-
чивостей [12]. В цитированных работах фаза высокочастотной волны
считалась фиксированной. В последнее время появились работы,
в которых исследовалось влияние высокочастотных турбулентных
пульсаций на дрейфовые неустойчивости и было показано, что тур-
турбулентность может приводить к дополнительному движению плазмы
поперек магнитных силовых линий, компенсирующему дрейфы.
При определенных условиях это может подавлять дрейфовые не-
неустойчивости [13].
Настоящая работа имеет целью систематическое изложение воп-
вопросов взаимодействия бесстолкновительной плазмы с высокочастот-
высокочастотными полями. В соответствии с этим за основу будет взят метод бес-
столкновительного кинетического уравнения повсюду, кроме § 5,
где рассматривается влияние высокочастотных полей на устойчи-
устойчивость плазмы, в которой существенны столкновения электронов с
ионами или нейтральными частицами. В § 1 введены основные по-
понятия и качественно оценено влияние высокочастотных полей на
устойчивость плазмы. В § 2 проведено интегрирование кинетических
уравнений в присутствии высокочастотных полей. В § 3 получены
дисперсионные соотношения для плазмы, взаимодействующей с
различными типами высокочастотных полей.
Выведенные в этом параграфе дисперсионные соотношения для
ряда наиболее опасных с точки зрения проблемы удержания плазмы
неустойчивостей исследуются в § 4.
Влияние высокочастотных полей на диссипативные неустойчи-
неустойчивости изучено в § 5. В отличие от остальных разделов исследование
проводится при помощи гидродинамических уравнений.
§ 1. Основные понятия и качественные оценки
Начнем с простейшей постановки задачи. Пусть в плазме имеется
электрическое поле с амплитудой Ео, осциллирующее с частотой Q,
т. е.
E = E0cosQt. A.1)
Тогда, считая, что в нулевом приближении движение электронов
и ионов задано, можно исследовать такую плазму на устойчивость
относительно малых возмущений. Именно так ставилась задача
в первых работах В. П. Силина и Ю. М. Алиева [7], В. П. Силина
[14, 15]. Частота Q считалась много больше плазменной электронной
частоты соре= Dле2п0/пеI/2. Было обнаружено, что в гидродинами-
гидродинамическом приближении пучковая неустойчивость стабилизируется
[7]. При кинетическом рассмотрении оказалось, что в тех же усло-
условиях раскачиваются новые неустойчивости [14]. Кажется совершен-
совершенно естественным, что в такой плазме должны существовать неустой-
неустойчивости. Действительно, в каждый момент времени электроны и
140

ионы движутся в противоположных направлениях, и, несмотря на
то что направление скорости, скажем, электронов меняется с часто-
частотой Q(ue = vOe sinQ/), много большей частоты неустойчивых коле-
колебаний, при достаточно большом значении vOe = eElmeQ плазма
может оказаться неустойчивой.
Однако, раскачивая неустойчивости в области плазменных ленг-
мюровских частот, такое высокочастотное поле может оказывать
стабилизирующее действие на низкочастотные дрейфовые колеба-
колебания, которыми определяется диффузия плазмы поперек магнитного
поля. Частота дрейфовых колебаний много ниже ионно-циклотрон-
ной, (?>hi — eHJmc. На возможность такой стабилизации указа-
указали Я. Б. Файнберг и В. Д. Шапиро [11]. Они обратили внимание на
то, что вследствие осцилляции электронов вдоль магнитной си-
силовой линии под действием высокочастотного электрического поля
происходит увеличение эффективной температуры электронов Те.
В результате увеличивается частота дрейфовых колебаний со = со* =
= "Тгг " —^-^-. (Как обычно, считаем, что магнитное поле направ-
направлено вдоль z, концентрация неоднородна вдоль оси х [16]). С уве-
увеличением частоты колебаний в инкременте возрастает стабилизи-
стабилизирующий член, в результате чего сужается область неустойчивости
по параметру ц = d In Tld In n.
Таким образом, прикладывая к плазме переменное электрическое
поле, можно стабилизировать низкочастотные дрейфовые колебания,
уменьшив тем самым диффузию плазмы поперек магнитного поля.
Раскачка плазменных колебаний, которая имеет при этом место,
приводит к появлению эффективной частоты столкновений и на-
нагреву плазмы [17].
К сожалению, практическое использование такого метода ста-
стабилизации наталкивается на серьезные трудности, так как частота
внешнего электрического поля должна быть очень большой Q >
^> (оHi и необходимо иметь очень мощные генераторы.
Поэтому были предприняты попытки найти иной способ стаби-
стабилизации, который позволил бы снизить частоту Q при использовании
тех же или даже меньших амплитуд высокочастотных полей.
Такой способ предложили А. А. Иванов, Л. И. Рудаков, И. Тейх-
манн и Р. А. Демирханов в работах [10]. Остановимся на физиче-
физической картине предлагаемого метода. Для изучаемых неустойчиво-
стей проекция волнового вектора к на направление магнитного
поля Но мала: kz С k. Следовательно, возмущения равновесных
значений плотности, потенциала и т. п. имеют вид желобков, сильно
вытянутых вдоль магнитных силовых линий. Когда к основному
постоянному магнитному полю Hz = #0 добавляется поперечное
высокочастотное магнитное поле Ну = Нъ Ну < Hz, изменяю-
изменяющееся с частотой Q, много большей частоты колебаний со, то в опре-
определенные моменты времени направление магнитной силовой линии
может стать таким, что соседние желобки возмущений окажутся
связанными.
141

Если электроны или ионы, двигаясь в замагниченной плазме
с тепловыми скоростями вдоль силовых линий, смогут пройти по*
'перек постоянного магнитного поля расстояние порядка поперечной
длины волны X ~ к±~х (поперечная скорость частиц равна VTHJHO),
то они уменьшат электрические поля возмущений, и неустойчивость
может исчезнуть.
Условие заметного влияния высокочастотного магнитного поля
на неустойчивость может быть, таким образом, записано в виде
h VI т т
A-2)
?1 Но
Мы намеренно опустили у Vt индекс «е» или «г», так как для одних
неустойчивостей существенным оказывается движение электронов,
для других—ионов.
В том случае, если рассматриваются диссипативные неустойчи-
неустойчивости, условие A.2) имеет другой вид. Действительно, теперь мы
должны учесть, что частицы вдоль силовой линии движутся не с теп-
тепловой скоростью, а со скоростью v ~ (T/mev)k ц , где v — частота
столкновений электронов с ионами для дрейфово-диссипативной не-
, (kH) ky Hi (kyHi . , \ ,-,
устойчивости, я и =17И-— и \-тг^ > kz . При этом условие
По Но ^ Но ^
влияния высокочастотного поля на дрейфово-диссипативную неус-
неустойчивость принимает вид [18]
Здесь D е — коэффициент диффузии электронов вдоль силовой
линии. Для случая винтовой неустойчивости величину D е следует
заменить на Da(Da — коэффициент амбиполярной диффузии [18]).
Из критериев A.2) и A.3) следует, что чем ниже частота высоко-
высокочастотного электрического поля, тем эффективнее данный метод.
Минимально возможная частота Q ^ max{&z vTe, ft»), где со — ча-
частота стабилизируемой неустойчивости. Например, на дрейфовые
неустойчивости можно влиять, используя частоту Q, меньшую ион-
но-циклотронной ©я/- Единственное существенное требование —
конфигурация полей должна быть строго определенной. Необ-
Необходимо, чтобы возмущенное магнитное поле высокочастотной волны
было перпендикулярно к основному полю Но и высокочастотная
волна не возмущала плотности плазмы. Можно говорить о волне
или о высокочастотном электрическом поле, приложенном к плазме,
необходимо только, чтобы было создано заметное возмущение маг-
магнитного поля. Направленная скорость электронов вдоль постоян-
ного магнитного поля определится из соотношения rot п = — novz
и зависит от толщины скин-слоя. При этом выбираются такие усло-
условия, когда можно пренебречь движением электронов вдоль z(vOz <^C
142

< vTe), т. е.влиянием электрического поля. Поэтому можно го-
говорить о стабилизации высокочастотным магнитным полем.
Остановимся на одном из типов волн, обладающих нужными
свойствами. Это спиральные волны, распространяющиеся вдоль
магнитного поля, частота которых расположена между электронно-
и ионно-циклотронными частотами [19].
Такие волны иногда называют также геликонами, свистящими
атмосфериками (вистлерами) или быстрыми магнитозвуковыми вол-
волнами. Магнитное поле Н в этих волнах перпендикулярно к основ-
основному Но, электрическое поле перпендикулярно к волновому вектору к
и Н. Эффект подавления неустойчивости, связанный с колебаниями
магнитной силовой линии, для геликонов безусловно будет сущест-
существовать, как и в общем случае, рассмотренном выше. Однако скорость
движения электронов поперек желобков концентрации при некото-
некоторых условиях будет определяться не столько этим, сколько специ-
спецификой колебаний электронов в геликоне. Дело в том, что электроны
плазмы совершают при распространении геликона вдоль магнитного
поля колебания, причем скорость поперечного движения электронов
есть
где k0 — волновое число для геликона. Отсюда если за время Q
электроны успеют сместиться поперек Яо на расстояние порядка
Xj_~ l/kx, то влияние геликона на неустойчивость будет заметным,
т. е.
Сравним этот критерий с условием A.1), полученным для стабили-
стабилизации высокочастотным магнитным полем.
При выполнении соотношения
тЛ->1 A-5)
критерий A.4) оказывается менее жестким. Это означает, что при вы-
выполнении неравенства A.5) для геликона более существенным ока-
оказывается движение электронов поперек магнитного поля со скоро-
скоростью ve = ^ [ЕН0], чем их движение вдоль мгновенного направле-
направлено
ния магнитной силовой линии с тепловой скоростью [9].
В левой части неравенства A.5) стоит, по сути дела, отношение
фазовой скорости геликона к тепловой скорости электронов. Извест-
Известно, что фазовая скорость геликона больше альфвеновской скорости,
но меньше электронной альфвеновской скорости Vas — [19],
143

а волновое число &0 =—1/ Подставляя k0 в условие A.5),
С V юЯе
получаем
г 00
Ю
ре
ИЛИ
7Г A-7)
где Р = 8-^.
Таким образом, в достаточно разреженной плазме, параметры
которой удовлетворяют условию A.7), электрическое поле волны
типа геликон влияет на неустойчивые потенциальные колебания с
kz<^k сильнее высокочастотного магнитного поля.
Если рассматривать влияние высокочастотных полей на коле-
колебания с частотой со <^ (оЯь то высокочастотное магнитное поле ока-
оказывает на эти колебания более сильное воздействие, так как его мож-
можно создать, окружая плазму проводниками с переменным током,
частота которого меньше ионно-циклотронной.
§ 2. Решение кинетического уравнения
в присутствии высокочастотных полей
2.1. Интегралы движения
Для нахождения дисперсионных соотношений для плазмы в
высокочастотном поле необходимо сначала найти движение частиц
в заданных высокочастотных полях и «равновесную» функцию рас-
распределения частиц, зависящую от интегралов движения. Затем на-
находится поправка к равновесной функции распределения, возникаю-
возникающая из-за собственных колебаний плазмы, и определяются возму-
возмущения концентрации электронов и ионов. Пользуясь затем либо ус-
условием квазинейтральности, либо уравнением Пуассона, можно в
линейном по возмущениям приближении найти дисперсионное соот-
соотношение, в которое будут входить параметры высокочастотных по-
полей—их амплитуды и частоты. Кинетическое уравнение в бесстолкно-
вительном случае имеет вид
l)^^ . B.1)
dt ' дг \ с с J ma dv
Здесь а означает сорт частицы а = i, e для ионов и электронов соот-
соответственно, плазма находится в постоянном магнитном поле Но.
Электрическое Es и магнитное Нг поля являются суммой высоко-
высокочастотных Ех и Hi и самосогласованных полей собственных колеба-
колебаний Ё и Н:
144

E2 = E! + E; H2 = 1^ + 11. В нулевом приближении Е=Н = О
кинетическое уравнение принимает вид
Уравнение B.2) представляет собой уравнение в частных производ-
производных, и его решение — произвольная функция от характеристик
B.3>
Уравнения B.3) и B.3') — уравнения движения заряженной ча-
частицы в заданных полях, зависящих от времени, а константы,,
получившиеся при интегрировании,—интегралы движения, от ко-
которых будет зависеть равновесная функция распределения fao-
По сути дела, решив уравнение B.3), мы найдем движение частиц
для высокочастотного магнитного поля, для геликона при р «С
< Q/ЮЯеИ Т. Д.
Рассмотрение будет проведено для каждого случая отдельно.
2.2. Интегрирование по траекториям для случая
высокочастотного магнитного поля
Пусть плазма концентрации по(х) помещена в магнитное поле,
направленное вдоль оси г, и силовые линии магнитного поля совер-
совершают осцилляции в плоскости yoz, так что
H1 = eJ/W1cosQf. B.4)
Здесь е^ — единичный вектор вдоль оси у. Амплитуда Нх зависит
от л: и определяется толщиной скин-слоя б, которую будем считать
заданной. Обсуждение влияния величины б на решение и ее конкрет-
конкретное выражение приведены ниже. Рассмотрим сначала движение ио-
ионов для случая Q < «>яь В силу того что mtlme > 1, высокочастот-
высокочастотное магнитное поле не влияет на движение ионов вдоль силовой
линии.
Обозначив h единичный вектор вдоль направления магнитного
поля, заметим, что с точностью до членов порядка (Hi/H0J вектор-
h = ez+ eyjp cos Q^. Тогда уравнение движения для ионов можно-
записать в виде
^- = co™[v*h]. B.5>
at
Умножая уравнение B.5) скалярно на h, получаем
^^ B.6>
145.

Проектируя B.5) на z, имеем
^ xt^cosQt. B.7)
at o
Нетрудно видеть, что при Q < мя<, v ~ vu, dvzt/dt > d(Vih)ldt.
H Q
Пренебрежем членами порядка — • — < 1 и (Н^НоJ С 1- Следо-
вательно, уже отсюда видно, что интегралом движения скорее
•будет (vtti), чем vzi. Действительно, из уравнения B.5) имеем
О f/
Второе слагаемое в квадратных скобках порядка — • —. Таким
®Hi Но
образом, с указанной точностью уравнения B.5) и B.8) описывают
вращение ионов вокруг мгновенного направления силовой линии с
частотой соя/. Теперь можно найти производную -г. (v*h) и получить
окончательное выражение для (v;h):
sin\(ti>Hi-Q)t+a] sinl(wHl + SI) t +a]
X {
Отношение второго слагаемого в выражении B.9) к первому при
оо Q Н\
v\ ~vx порядка — • —, и можно считать, что интегралом дви-
И1 Но
жения является (v;h), а не vzi.
Полученный результат имеет простой физический смысл. Когда
частота колебаний силовой линии Q много меньше циклотронной ча-
¦стоты шН1, ион успевает следить за положением силовой линии и ос-
осциллирует вместе с ней.
Точно также можно показать, что при Q ^> <ая< такой «подстрой-
«подстройки» не происходит и интегралом движения будет vzi. Это означает,
что колебания силовой линии никак не влияют на движение ионов.
Рассмотрим теперь движение электронов. Считаем, что условие
й <^ со#е выполняется всегда. Поэтому для электронов движение
всегда будет замагниченным. Однако если поля создаются системой
проводников, окружающих плазму, то электроны под действием
высокочастотного поля совершают еще дополнительное осциллятор-
ное движение вдоль постоянного магнитного поля Но. Скорость
такого дополнительного движения можно найти из уравнения
{rot#)z = -enovz с точностью до членов порядка — • —,
С Но аНе
ЯЛ 2 Vz
— и -^- и определяется толщиной скин-слоя, который может до-
Нц I vTe
стигать величины c/u>pi[20], и граничными условиями (Q <
146

Q<-?-c, где L — длина системы). Рассмотрим такие условия,
когда vz < vTe ~ Уц°:
(veh) = o<>; B.10)
i!±L=_(B№[vJ.h]; B.11)
at
Найдем теперь траектории движения электронов и ионов в обык-
обыкновенной волне. Для этого необходимо провести еще одно интегри-
интегрирование по времени. Найдем сначала траектории ионов. Из урав-
уравнения B.9) следует, что при Q< aHi скорость ионов вдоль мгновен-
мгновенного направления силовой линии — константа, поэтому
? = ^' + ?0. B-13>
где ? — координата, отсчитываемая вдоль мгновенного направле-
направления силовой линии. Для нахождения координат х и у обратимся
к уравнениям B.8) и B.5). Проектируя их на оси Н и ц, направлен-
направленные перпендикулярно h, получаем
dv* dvn
-ЗР = Ю/н»тГ, -dt=—°>nivi. B.14)
Интегрируя два последних уравнения, получим
? + a); B.15)
vl v±
^ = оч = 0х0 cos (©/,,* +а). B.16)
Здесь v±° и а—две константы интегрирования, они же интегралы
движения. Окончательно имеем
wHi
ц = -±- s\n((oHit + a)-{- тH.
Формула B.13) и два последних выражения описывают движение
частицы с постоянной скоростью оц ° вдоль мгновенного направления
силовой линии и вращение с частотой <oHi вокруг этого направления.
Найдем теперь выражения для скоростей и координат в лаборатор-
лабораторной системе. Учитывая, что силовая линия колеблется в плоскости
у, z, причем угол наклона к оси z есть ¦?¦ cosQ^, имеем с точностью
По
до членов порядка (HJH^f:
+ о); B-18)
14Г

v0±cos(amt + a) + v°]]— cosQt; B.19)
Vz = 4— Vri Si. cos Q* = v°. —v° cos (© t + a)^- cos Q/. B.20)
Интегрируя уравнения B.18)—B.20) еще раз по времени, найдем
координаты частицы:
a t + a) + v\?-.±.sinQt + y0; B.22)
oHi По "
B.23)
Итак, равновесная функция распределения может зависеть от сле-
следующих констант: и ||°, v±°, а также, как это следует из полученных
выражений для скоростей и координат, от комбинации:
— х-\—— cos
cos K/ *+a); B'24)
О IS I
К = t/—~ sin (соЯг ^ + a) — v?\ 7Г 7Г sin Q^ =
= У— -^ — of — •— sinQ^. B.25)
Мы рассматриваем плазму, для которой все параметры слабо зави-
зависят от х. Кроме того, для упрощения выкладок можно считать, что
продольная и поперечная температуры ионов одинаковы, тогда рав-
равновесная функция распределения ионов зависит лишь от двух ин-
интегралов движения: энергии частицы 8 = -^(^ll0 + v±°) ~ "о"^2 +
+ иу2 + иг2) и величины X, имеющей смысл обобщенного импульса
в магнитном поле, т. е. / = /0(е, X).
Найдем теперь поправку к равновесной функции распределения
в линейном приближении, считая, что в плазме могут существовать
потенциальные колебания с частотой со. Для этого линеаризуем ки-
кинетическое уравнение, считая, что
f = fi + ft и ?=
148

Первое, второе и четвертое слагаемые можно объединить, тогда
% ± ^1B.27)
dt пц dv
Отметим, что полная производная по времени, стоящая в левой ча-
части, берется вдоль тех траекторий, которые только что определяли,
следовательно, равновесная функция распределения /ог не зависит
от t. Интегрируя уравнение B.27) по времени, получаем
t
h=— (Чф — dt'. B.28)
пц J dv
¦—oo
Сделаем фурье-преобразование по координатам, полагая
тогда с учетом того, что kz < k, уравнение B.28) примет вид
00
fh (t) = i i- f Ф (Г) \Щкх v°x sin (<вн/ t+a)+ka v°± cos (<om t + а) —
—oo L
—cos (сош t' + a)] + i ky -^- [sin (сош t' + a) — sin (aHi t + a)]
Hi
..0
+ i ky -^i- -^1 (sin Ш' — sin Q/) + i kz v\ (/' —o) #'• B-29)
Здесь опущены члены порядка HJH0 там, где они являются малой
добавкой, и удержаны в том месте, где они существенны, исходя
из того, что величина ky больше kz. Кроме того, здесь мы восполь-
воспользовались тем обстоятельством, что характерная длина неоднородно-
неоднородности d In njdx много больше ларморовского радиуса иона. При этом
оказывается возможным заменить dfoi/dX на df0lldx с точностью
до членов порядка VTl . Выражение для поправки к функции рас-
Фн1а
пределения можно упростить, взяв интеграл по частям:
де
¦X
X [sin (соя/1' -\-а—ij;) —sin (а>ш t + a—'Ф)] -f-
\kv^--V± (sin Ш' —sin Ш) + i fez о1?, (f —/)] d/', B.30)
Q Ho )
149

где tgty = kx/ky. Воспользуемся соотношением
оо
т=—оо
и перепишем формулу B.31) в следующем виде:
t
/ af«i дфьц') _ kv dfoi\
X
X 2 Jn2(%t)Jp{&)JqF)exp{incoHi(t'-t) + \РШ'-
n.P.q
—\qQt + \kzv\{t' — t)}dt'. B.32)
2it
Здесь U)=-L\hit)da; Xi=^; 6 = ^L-^.
Для получения окончательного выражения для поправки к функции
распределения нужно провести интегрирование по времени в фор-
формуле B.32). В присутствии высокочастотного поля необходимо счи-
считать, что Фк(О и /к@ зависят от времени следующим образом:
m=—oo
B.33)
Подставляя выражение для Фк(О и fk(O в уравнение B.32), прове-
проведем интегрирование по времени. Приравнивая в полученном урав-
уравнении слагаемые с одинаковой зависимостью от времени, имеем
—; (rfi —CO)
dfOj . e_ '^ oe
dfoi ky
dx ' aHi
р, »•. n] z
B.34)
Из выражения B.34) следует, что т-я гармоника поправки к функ-
функции распределения связана со всеми гармониками потенциала.
Если бы мы рассматривали случай Q > ео/н, то ионы не успевали
бы следить за осцилляциями силовой линии, и поэтому выражение
для поправки к функции распределения было бы обычным, т. е.
без высокочастотного поля (б = 0).
150

Найдем теперь поправку к функции распределения электро-
электронов. Для этого обратим внимание на то, что уравнения движения
электронов и ионов очень похожи друг на друга. Поэтому, сделав
соответствующие замены, можно сразу написать выражение для
поправки к равновесной функции распределения электронов по
скоростям:
X
р,'
1ТПд
Г
7« L
dfoe
pQ + kzv{
f. 0/oe e
de m
dx
¦J — co + rQ —
X
B.35)
Здесь
ИЛИ
*9 dfoe
»• x
me Jmd — лсэ,
m, p, n '
При получении выражения B.35) было использовано соотношение
Найденные в этом разделе выражения для fm. и fme будут в дальней-
дальнейшем использованы для получения дисперсионных соотношений
(?)
2.3. Интегрирование по траекториям для случая геликона
(р Й
Рассмотрим неограниченную в пространстве плазму с плотно-
плотностью, меняющейся вдоль оси х. Вдоль постоянного магнитного поля
распространяется быстрая магнитозвуковая волна, или геликон,
с частотой О(соя( <С ?2 С юяе), имеющая в этом частотном угловом
интервале волновой вектор k0— _?? 1 / . и круговую поляризацию:
r-Qf)l;
B.36)
151
z, 0= -^-/Me^cosfoz—Q0—e^sinfoz—Q*)].
Kq С

Исследуем устойчивость такого равновесного состояния по отноше-
отношению к возмущениям с частотами и«йи волновыми векторами,
удовлетворяющими неравенству kz < &о-
Уравнения характеристик для электронов B.3) и B.3') в равно-
равновесном состоянии можно довольно просто решить методом последо-
последовательных приближений, разлагая по степеням HJH,,:
= v°x
X
"Не
=--i»! sin
a)+?-
1 X
-X'x
@
X
He
[kQz—t (Q—kov\)];
@
'He
-sin
fi>
sin
'He
[kozo—t (Q—
Z = Zo -f D n f — •
cos
asin[A0z0—<(Q—
гдеа=#Ь-
~ ——, так как
B.37)
При помощи найденных траекторий электронов в поле электро-
электромагнитной волны можно найти интегралы движения:
Н„
B.38)
Таким образом, интегралами движения с точностью до ^^
являются 8, лг0, (/о. zo- Как и в разд. 2.2, будем считать, что равно-
равновесная функция распределения зависит от е и Х=х0, т. е. fQe=fu е(е Д)-
152

Поправка к равновесной функции находится так же, как и в пре-
предыдущем разделе. Разница состоит лишь в том, что траектории для
данного случая отличаются от того, что было прежде. Поэтому,
например, производную dfOe/dv можно представить следующим
образом:
^ ^ Н о0, | X
X si п (Ш—k0 v\ t —k0 zQ) ] + ey [ — t>I sin (aHe t + a) +
?f-?0i/|| t-kozo)]+ez[v]-
B.39)
дх ыНе
Здесь, как и в формуле B.29), мы заменим dfOe/dX на dfojdx. В при-
присутствии геликона коэффициенты уравнения являются периодиче-
периодическими функциями координаты z и времени t. Поэтому
оо
Фк@= 2Ф»ехр{-1
B.40)
/к@= 2
п=— 8
Проводя интегрирование в уравнении B.28) с учетом B.39) и
B.40), можно получить
й
fs= —• dtfxexp{— ikr+icat—i(koz—Qt)s} =
n, m, q=<x
+ kxv\ ^cos{k0zu-^
Ho 0>H
X Jm (x.) Jq (X.) exp {i [ke z0 (n -s) + (f -t) (kz v\ -ю) +
+ k0 v] (nf —st) —Q (nt' —st) + aHe (mf —qt) +
{m~q){a—^+^\+ak1_s\n(k(>z0—^—m'-{-kav\t') —
—akxsin(k0z0— y—Qt + kov] t)]\, B.41)
где г|5 = arctg ( —^j ; k± =Vk2x + k2y >kz.
153

Для получения дисперсионного соотношения нам потребуется вы-
вычислить возмущение концентрации электронов пе = J \xdv\ x
Xv±odv±°da. В данном случае нам будет удобно провести интегри-
интегрирование по поперечным скоростям и углу а, считая функцию рас-
распределения максвелловской с температурой Т. Выражение для по-
поправки к функции распределения, зависящей при этом только от
v0, будет иметь более компактный вид:
2я
2я оо Q оо
2я J J -^ J ^J
0 0. On, m= —оо
t
X
-6 J {-Ц^- [тсоЯг + (kz + k0n)v\ +
^ cos (ft0 zo-*-Q/' + К v\ t')\
X (kz v\ -co + na>He) + (*o v\ —Q) (n/' —
Здесь b = k±T/me(oHe, где уГе = ]/2Te//ne—тепловая скорость
электрона; /mF)—модифицированная функция Бесселя.
В сумме B.42) слагаемое т = 0 соответствует фурье-компоненте
возмущенной функции распределения, получающейся из дрейфо-
дрейфового кинетического уравнения //Р(ицо)[20]. Вычислим отдельно эту
поправку. Производя интегрирование по частям, как в предыдущем
разделе, эту часть поправки к равновесной функции распределения
можно привести к виду

»?
т ,\-±
0 Q 'ие ' "' ' И еН0 дх
«о
П, р=—ОО -1 2 II
Найдем теперь вклад в поправку к равновесной функции распре-
распределения от циклотронных гармоник, т. е. от слагаемых в сумме
B.42) с m Ф 0. Учитывая соотношение B.31) и производя инте-
интегрирование по t и ? в выражении B.42) для пгфО, получаем
V г /л\ п ft V гИ 1 /и\ / /и\ \/
B.44)
Q)
Поскольку «яе > ^, ^оиц °. kzv^0, со, а функции Бесселя Jn(\i) при уве-
увеличении порядка п для значений аргумента ц ~ 1 (а именно такие
значения мы будем рассматривать) быстро стремятся к нулю, то в
числителе и знаменателе выражения B.44) можно оставить лишь
члены т«>яс- Тогда с учетом соотношения между функциями Бес-
Бесселя [21]
— X
п. Р
п,р
f ДР |
/s '
B.45)
"Не
Выражение для поправки к функции распределения будет в дальней-
дальнейшем использовано при получении дисперсионных соотношений.
155

2.4. Интегрирование по траекториям для случая
высокочастотного электрического поля
Найдем поправку к равновесным функциям распределения
электронов и ионов для следующей постановки задачи. Пусть вдоль
постоянного магнитного поля течет переменный по времени ток,
созданный переменной разностью потенциалов. Переменный ток
может создаваться также полем падающей на плазму волны. В такой
постановке задача рассматривалась в разд. 2.1; однако там счита-
считалось, что частота изменения поля во времени мала по сравнению
с а>ене, <йре, т. е. частота ВЧ-поля была мала по сравнению с ха-
характерными собственными частотами плазмы. Поэтому оказалось
возможным пренебречь движением частиц вдоль постоянного маг-
магнитного поля при достаточно малом значении амплитуды ВЧ-поля.
Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда этим дви-
движением пренебречь нельзя, оно существенно и определяет поведение
плазмы. Такое положение может создаться либо при достаточно боль-
больших амплитудах высокочастотного поля, либо когда частота высоко-
высокочастотного поля, например, больше соя«> и электроны уже не следят
за осцилляциями силовой линии. Такая ситуация возможна и в
случае отсутствия постоянного поля Но.
Скорость одной из компонент плазмы при этом может значитель-
значительно возрасти и превысить тепловую скорость данной компоненты,
что приведет, в свою очередь, к возможности раскачки неустойчи-
неустойчивости. Следует заметить, однако, что если частота раскачиваемой
неустойчивости значительно ниже частоты внешнего поля, то инкре-
инкременты неустойчивости будут уменьшены по сравнению со слу-
случаем постоянного электрического поля. В принципе могут несколь-
несколько измениться и пороги неустойчивости.
Обратимся сначала к решению задачи в простейшей постановке.
Считаем, что частота внешнего электрического поля Q и частота со
много больше соЯе, т. е. пренебрежем влиянием магнитного поля на
электроны и ионы. Найдем траектории движения частиц в перемен-
переменном электрическом поле. Пусть
B.46)
Тогда для скоростей частиц имеем соответственно
^ B.47)
где индекс «а» принимает значения i и е. В силу малости отношения
mjmi можно считать, как это следует из выражения B.47), что
внешнее электрическое поле на ионы практически не действует,
vTi > ^-Ту. В этом случае равновесная функция распределения
электронов будет зависеть от следующего интеграла движения:
е = —
156

Значки «|| » и «j_» означают направления вдоль и поперек направле-
направления внешнего поля Ео. Функция распределения ионов зависит от
(t)x20-f-f2 и °)/2. Найдем поправку к равновесной функции распределе-
распределения электронов. Для этого необходимо предварительно определить
зависимость координат частиц оси времени. Проинтегри ровав урав-
уравнение B.47) по времени и выбрав ось z вдоль направления вектора Е„
получим:
z==
B.49>
Пользуясь уравнениями B.49), можно записать уравнение для по-
поправки к функции распределения
(n + s) Q—co+(kv)
Jn{6)Jn-p+, (&)*.. B.50>
Здесь величина 6 = (kE)e/mQ2. Поправка к функции распределения
ионов может быть получена обычным способом, как в отсутствие
высокочастотного поля. Единственное отличие состоит в том, что
повсюду величину со следует заменить со — pQ:
(
tpi ~ пц Фр дг т% ' kv-to + pQ Фр>
Отметим, что формулу B.51) можно также вывести из выражения
B.50), заменив те на /и, и е на —е. Воспользовавшись затем мало-
малостью аргумента у функций Бесселя, получим формулу B.51). Стрем-
Стремление к нулю аргумента функции Бесселя для ионов соответствует
пренебрежению влиянием высокочастотного электрического поля на
ионы.
В том случае, если плазма помещена в сильное магнитное поле,
такое, что циклотронная частота электронов а>Не сравнима с часто-
частотой Q, формулу B.50) для поправки к равновесной функции рас-
распределения следует заменить следующей:
--fa» 2
п, т, s
я.,0 +ftlla..O I /oe
r_fc|0»+(ffl+e)Q
15T

Соотношение B.52) может быть получено тем же способом, что и
формула B.34), Влияние магнитного поля сводится к появлению в
резонансных знаменателях слагаемого па>Не и функции Бесселя
JnHte), ГДе Хе = kjV±°/wHt.
Выражение для поправки к функции распределения ионов в маг-
магнитном поле получают, аналогичным способом
fpi~ трдг +
B.53)
Отметим, что мы здесь считали плазму однородной, и поэтому в вы-
выражениях для поправки к функциям распределения отсутствуют
слагаемые — • —^- или — • -3-. Учет неоднородности в этом
дх «я; дх «я*
смысле приведет лишь к появлению соответствующих слагаемых в
формулах B.50)—B.53), вид которых можно установить довольно
просто, сравнивая выражения B.52), B.53) и B.34), B.35).
В заключение этого раздела отметим, что обычно при получении
дисперсионных уравнений для случая высокочастотного электри-
электрического поля принят иной метод изложения [7, 11, 12]. При интегри-
интегрировании кинетического уравнения авторы вводят, например, в от-
отсутствие постоянного магнитного поля новую функцию:
dt"E{t")\x
dtE(t')Y B.54)
Здесь fka. — поправка к функции распределения частиц сорта ос.
Решая ,затем уравнение относительно i|)a, можно найти дисперсион-
дисперсионное соотношение. Методы интегрирования по траекториям полно-
полностью эквивалентны методу, использованному в цитированных рабо-
работах, и оба они приводят к одинаковым результатам.
§ 3. Получение дисперсионных соотношений
В этом разделе будут получены дисперсионные соотношения для
колебаний с частотами со <^ Q. Для этого необходимо вычислить
возмущение концентраций электронов и ионов через найденные
в § 2 поправки к равновесным функциям распределения и подставить
затем их в уравнение Пуассона. Вывод дисперсионных соотношений
для различных типов высокочастотных полей имеет свои специфи-
специфические особенности и поэтому излагается отдельно.
158

3.1. Дисперсионные соотношения для случая
высокочастотного магнитного поля
Для получения дисперсионных соотношений в этом случае, с
учетом того что со < Q, необходимо проинтегрировать выражения
B.34) и B.35) по скоростям и затем разложить их по степеням от-
отношения ю/Q; Так как мы,считали Q < (х>Не, то в сумме по п следует
оставить лишь одну гармонику п = 0. Считая равновесную функ-
функцию распределения по^ скоростям максвелловской, получаем следую-
следующее выражение для возмущения концентраций:
оо
' i * ' p, m —oo
/ tH2\
ю-Я + *М/2+
X
(ояг ' еН0 dx dlnn0
1^ — функция Бесселя от мнимого аргумента; Tt — температура
ионов; vTt — их тепловая скорость. Напомним, что полученное вы-
выражение для поправки справедливо при Q С юя<- Выражение для
возмущения концентрации электронов непосредственно полу-
получается из формулы C.1) заменой индекса «t» на «е» и знака заряда.
В том случае, если й> <»#<-,, выражение для возмущения концентра-
концентрации ионов получается при интегрировании формулы B.34) по ско-
скоростям, причем аргументы функций Бесселя должны быть поло-
положены равными нулю, так как высокочастотное магнитное поле на
ионы никак не влияет:
Ы= ?ф *_ i-ф х
n0 Ti s Tt s
X 2j \ i ^Ч„г [v\ )dv\ =А^-зп). C.2)
sQ+ kv\ ~co
k
Z
Здесь мы ввели обозначение Аг-(со—sQ), означающее возмущение
концентрации ионов, полученное без учета высокочастотного поля,
в котором частота-© заменена со — sQ.
Для вывода дисперсионного соотношения для потенциальных
колебаний подставляем найденные значения nse и nsi в уравнение
Пуассона:
.^п,е). C.3)
159

Нетрудно видеть, что соотношение B.57) представляет собой беско-
бесконечную систему однородных линейных уравнений относительно
величин Ф8. Условием нетривиальности решения является обра-
обращение бесконечного детерминанта, составленного из коэффициен-
коэффициентов уравнений, в нуль. В силу быстрого убывания функций Бесселя
при больших значениях порядка детерминант быстро сходится.
Для того чтобы продемонстрировать принцип вывода диспер-
дисперсионного уравнения, рассмотрим простой частный случай: когда
длины волн велики по сравнению с ларморовским радиусом электрсь
лов, плотность плазмы однородна и высокочастотное магнитное поле
на ионы не влияет. Кроме того, для упрощения выкладок будем рас-
рассматривать квазинейтральные колебания. Тогда уравнение Пуас-
Пуассона C.3) заменится условием квазинейтральности nti— nse, а бес-
бесконечная система уравнений имеет следующий вид:
¦X
^^т ••' \ in i «*ч rt i u —w ,...
' С
p, m
\)dv,. C.4)
Аргументы функций Бесселя зависят от скоростей согласно оп-
определению B.32), поэтому интеграл по продольной скорости не сво-
сводится просто к функции Крампа. Разложим систему уравнений
<3.4) по степеням со/й:
"" mQJ_mF)J_s(8) ^
X
*-^. 2 Фт$/,(в)/р+и_.(в)^Л,-2_. C.5)
Разложение C.5) позволяет сразу указать симметрию Ф„ если учесть,
что, согласно C.2), nsi — nOi g-
Действительно, оставляя в сумме потир самое большое слага-
слагаемое, получаем
00
Q/-w («)/,. F)
v и — ш
откуда следует, что Ф_5 = (—1)*Ф8. Сумма 2 J~m ^Фщ ПРИ этом °бра-
т
«цается в нуль. Указанное соотношение для амплитуд Ф, справед-
360

ливо с точностью до членов порядка a/Q. Поэтому в следующем при-
приближении мы должны написать:
Ф8 = i|4+) -j- — xpl^; ф_5 = Гi|4+) — *|4—)|(— l)s C.7)
или
Вводимые нами функции оказываются более удобными, чем Ф8,
и позволяют освободиться в уравнениях от членов порядка Q/co.
Это соответствует определенной комбинации столбцов определителя.
Выписывая систему C.5) для моды s и (—s) и умножая второе соот-
соотношение на (—l)s, можно получить следующую систему уравне-
уравнений для i|)(t' и г|зG':
*
J
т>0
m>0
; C.8)
т>0
Уравнение для амплитуд ij)^' отделилось из-за того, что возмущение
концентрации ионов не входит в это уравнение; отсюда следует, что
г|)(т} = 0. В этом также легко убедиться еще следующим образом:
даже если бы возмущение концентрации ионов входило в урав-
уравнение для ij/m\ но nsi не зависело бы от со, то все равно необходимо
положить т^' = 0, так как уравнение для ty^ не содержит со.
Окончательная система уравнений для s ^ 0 имеет вид
оо
т> 0 —с» z
X fL
т>6 -°°
+ ( — 1)S Jp+m- s(S)]/oe(y II ) dV || . C.9)
6 Зак. 495 161

Для того чтобы найти дисперсионное соотношение в замкнутом ви-
виде, необходимо воспользоваться еще одним параметром малости.
Как мы уже показывали при обсуждении физической картины по-
подавления неустойчивостей, заметное влияние высокочастотных по-
поу'Те
лей на неустойчивости плазмы возможно в случае, когда у'Те х
X тг > 1 ¦ Рассмотрим случаи, когда величина ' ¦ • тг в несколь-
ко раз превышает единицу. При этом окажется, что из-за присут-
присутствия под знаком интеграла функции Бесселя интеграл заметно
уменьшит свою величину (например, 3s \ !Ц- при
J СО — ftzt;||
1' q6 • -^ = 2 из-за /о (б) уменьшается пример но в четыре раза). При
этом детерминант представляет собой следующее: по диагонали стоят
члены типа А + е, где 8 <^ 1, А ~ 1, а остальные члены порядка е.
Раскрывая детерминант, найдем окончательный вид дисперсион-
дисперсионного уравнения. В первом приближении по е имеем уравнение
^Щ-/оЛсл)^„. C.10)
В следующем приближении учтем все квадратичные по е члены.
Тогда дисперсионное уравнение представит собой следующую сумму
произведений:
(Аи +ец)... (Апп +в„п) — еО1810 (Л22 +е22) (А,
^оо ~Ьеоо) (^зз ~Ьезз)"- =0.
Здесь индексы букв внизу обозначают строку и столбец соответст-
соответственно. В первом приближении по е, пренебрегая членами е2, полу-
получаем Аоо + е00 = 0, что соответствует дисперсионному соотно-
соотношению C.10). Находя теперь поправку к уравнению C.10), получаем,
что она порядка е2. Обозначая поправку 8А00 + б800, имеем 6Л00 +
I «„ _ Sqi e10
-г о»оо — 1—jjt~ •
Правая часть берется в точке, где А00 + е00 = 0. Таким образом,
k4 vT Hi
при —^— • —¦ > 1 в детерминанте существенным членом ока-
Ы По
зывается единственный Л00 + е00. Этот же член — главный и
ky vT Hx
в другом предельном случае —^— • jf < 1, так как в дисперсион-
дисперсионном соотношении C.9) обращаются в нуль все слагаемые, кроме
тех, которые содержат J02(&)- Поэтому получается, что дисперсион-
дисперсионное соотношение C.10) верно в пределе как малых, так и больших
значений величины уХ)Те ¦ -1. Отметим, что большим значением
ky vT Hi
указанного параметра может считаться значение п • -п- по-
162

k vT Hi
рядка двух. Для такого значения " • jt- решения дисперсион-
дисперсионного соотношения Л00 + е00 = О и (Лоо + еоо)(Ли + еи) = 801е10
будут различаться на несколько процентов. Это обстоятельство свя-
связано с тем, что функция Бесселя /т(б) при т=/=0 достигает своего
максимального значения при б~т, причем этот максимум тем мень-
меньше, чем больше т [24], а так как /Ое(иц) при v > Vre экспоненциаль-
экспоненциально мала, то вклад от больших значений т очень мал. Мы будем
пользоваться далее в качестве дисперсионного соотношения уравне-
уравнением C.10), считая, что параметр ° Те • jj- в несколько раз превы-
шает единицу.
3.2. Дисперсионное соотношение для плазмы,
находящейся в поле спиральной 'волны (геликона)
В разд. 2.3 была найдена поправка к равновесной функции рас-
распределения электронов по скоростям в присутствии высокочастот-
высокочастотного поля спиральной волны, или геликона.
При этом оказалось, что, в отличие от предыдущего случая,
аргументы функций Бесселя ц, согласно формуле B.43), не зависят
от скорости: \i = -g= • -=- ¦ Поэтому при определении возмущения
концентрации электронов интегрирование по скоростям произво-
производится как и в отсутствие высокочастотного поля, а функции Бесселя
являются просто коэффициентами. В этом случае оказывается воз-
возможным, используя свойства функций Бесселя, вычислить бесконеч-
бесконечный детерминант, не предполагая, что |А> 1. Дисперсионное соот-
соотношение для потенциальных колебаний плазмы получается подста-
подстановкой выражений для возмущенной плотности электронов и ионов
в уравнение Пуассона C.3).
Возмущение плотности электронов и ионов находится обычным
способом — интегрированием поправки к функции распределения
по скоростям.
Как уже отмечалось в § 2, спиральная волна, геликон, не вли-
влияет на движение ионов, поэтому можем использовать соотношение
C.2). Интегрируя теперь обе части уравнения B.45) по Иц и под-
подставляя найденные значения nse и nst в уравнение Пуассона, по-
получаем бесконечную систему уравнений для амплитуд потенциа-
потенциала Ф8:
'Не
т* J °liL °" T«
*0
163

С v,, (mkn— k Q) fn (va) ,
I Ю 0 г ) 'OS У I ) dV\\
J (k v« —aMk.v,, — ?^
х
/п(^)ЛЫе'<«-^Р. C.11)
Здесь мы пренебрегли малостью ш/Q, оставив в сумме по р лишь член
р=—п. Для простоты считаем, что плазма однородна и kz<^k±. Ум-
Умножая уравнение C.11) сначала на(—l)s Js (\i)eWs и суммируя по
s, а затем для s = О умножая C.11) на /0((л), исключаем из получив-
получившихся уравнений амплитуду Ф0) не входящую в суммы по s. По-
лагая 2 (—l)se'Ps Js (ц)Ф3 ф 0 и учитывая свойство функций
S=— оо
Бесселя 2 Js2 = 1» получаем дисперсионное соотношение в конеч-
S
ном виде
4ne ] Г w% co;e кП
"Не
Здесь проведено интегрирование по продольным скоростям электро-
электронов для того, чтобы выражение имело более компактный вид. При
этом считалось т-, т- ^> vTe-
В том случае, если аргументы функций Бесселя не зависят от
скоростей, дисперсионное соотношение можно получить в замкнутом
виде с учетом всех гармоник. Здесь мы пренебрегали высшими гар-
гармониками, так как считали, что никакая гармоника частоты Q не
попадает в резонанс ни с одной из собственных частот плазмы. По-
Поэтому все отброшенные члены порядка co/Q. Такое приближение
может оказаться непригодным в случае раскачки высокочастотным
полем параметрических неустойчивостей.
3.3. Дисперсионные соотношения для высокочастотного
электрического поля
Выражения для поправок к равновесным функциям распреде-
распределения в присутствии переменного электрического поля очень высо-
высокой (порядка о)ре) частоты и достаточно большой амплитуды были
получены в разд. 2.3.
При большой частоте электрического поля, а именно при Q > соЯе)
электрон не успевает следить за осцилляциями магнитной силовой
линии, и тот эффект, который подробно обсуждался в двух преды-
предыдущих пунктах данного параграфа, не имеет места. Это приводит
соответственно к изменению характеристик, описывающих движе-
движение электрона в высокочастотных полях, и поправка к функции рас-
164

пределения B.50) будет иной. Самое главное отличие состоит в том,
что аргумент функций Бесселя теперь при Q > сояе определяется
амплитудой и частотой внешнего электрического поля и не зависит
от скорости. Поэтому для получения дисперсионного соотношения
можно использовать прием, примененный в предыдущем пункте.
Следует, однако, отметить, что в данном случае могут оказать-
оказаться необходимыми высшие гармоники.
Интегрируя соотношения B.50) и B.51) по скоростям и подстав-
подставляя их в уравнение Пуассона C.3), получаем бесконечную систему
уравнений:
C.13)
п, s
Здесь введены обозначения согласно работе [14]:
с / rw -им;- l де
оеа (со —ръ1) =
со — kz v — pQ
Напомним, что ось z направлена вдоль внешнего электрического
поля.
Умножим обе части уравнения C.13) на величину У9_р и просум-
просуммируем по р от—оодо+оо- При суммировании используем свойства
функций Бесселя, а также то обстоятельство, что 6е;(со — рп) =
= бег((о)бР|0. В результате получим
(со) Jo (б)
^дЛ (ЗЛ4)
Подставляя теперь найденную сумму в уравнение C.13), записан-
записанное для р = 0, и полагая Фо Ф 0, окончательно имеем
= V
бве (со
C.15)
Дисперсионное соотношение C.15) впервые было получено при по-
помощи введения функции B.54) в работе [7]. Отметим, что в случае,
описанном в предыдущем разделе, можно свести бесконечную си-
систему уравнений к одному. Это обстоятельство связано с тем, что ар-
аргументы функций Бесселя не зависят от скорости.
В заключение отметим, что уравнение C.15) остается справедли-
справедливым и в присутствии постоянного магнитного поля, направленного
вдоль оси 2, при этом следует лишь видоизменить бе с учетом соот-
соотношений B.53) и B.52).
165

§ 4. Исследование дисперсионных соотношений
4.1. Влияние высокочастотного магнитного поля
на неустойчивости плазмы
При проведении усреднения по времени в разд. 3.1 было полу-
получено дисперсионное соотношение C.10), учитывающее влияние
высокочастотного магнитного поля. При значении аргумента бессе-
бесселевых функций, взятом при v — vT е, таким, что б > 1 или б < 1,
бесконечный детерминант сводится к одному члену, приравнивая
который к нулю можно вывести дисперсионное управнение.
Применим полученные в § 3 результаты для определения влия-
влияния высокочастотного поля на неустойчивости, связанные с анизо-
анизотропией функции распределения.
1. Конусная неустойчивость
Рассмотрим важный тип неустойчивости однородной плазмы,
удерживаемой в ловушке с магнитными пробками, когда dfjdx — 0,
так называемую конусную неустойчивость, исследованную впервые
Постом и Розенблютом [4]. Дисперсионное соотношение для этой
неустойчивости в отсутствие высокочастотного поля можно найти
при помощи соотношений B.34) и B.35), выведенных нами в разд. 2.2,
устремив в этих соотношениях величину б к нулю. Это соответствует
обращению в нуль амплитуды высокочастотного поля Нг. Интег-
Интегрируя затем выведенное выражение для поправки к функции рас-
распределения электронов и ионов по скоростям и подставляя пе
и /г, в уравнение Пуассона, получаем [4]
Здесь со ^> kzvTe, Ирг Э" юяг! kz С k±; vTt — тепловая скорость
ионов. Вклад ионов в дисперсионное соотношение описывается функ-
цией f-=- L которая определяется следующим образом:
х N-1/2
00
¦ф (х) = const j foi (v2±, v I,) dv ||;
-1-1
T ; x =
J
D.2)
const =
I • « I I - —
)
hi — функция распределения ионов, удерживаемых магнитными
пробками и поэтому обладающая анизотропией в пространстве ско-
166

ростей. Неустойчивости, описываемые уравнением D.1), приводят
к раскачке потенциальных колебаний с ю = min{o)Pb ]/©//, co#,}
с kj_ — (Opi/vTi и быстрому уходу частиц в пробки.
Найдем теперь дисперсионное-уравнение для колебаний этого
типа в присутствии высокочастотного магнитного поля. Дисперсион-
Дисперсионное соотношение C.9) получено в приближении ане2 С юяЛ В том
случае, когда эти величины одного порядка, в выражении для по-
поправки к функции распределения B.35') необходимо учитывать, что
е~Ре/0(ре) отличается от единицы, если
n,2 9 l *0\^e/v' "l— 2
2fe иГв W4
Так как Q > со > шяь то иысокочастотное поле не возмущает
ky vTi Hi
ДВИЖеНИЯ ИОНОВ И МОЖНО ПОЛОЖИТЬ —~—•тг = 0.
Ъ1 По
Дисперсионное соотношение, в котором отброшены члены по-
порядка co/Q, является детерминантом следующей системы урав-
уравнений [ср. C.9)]:
-\
>He
Га _ Г
L J «a-
in > 0
X JyF)yF) (l)y
'+'6- D-3)
Отметим, что вклад от ионов существен лишь для г|)о+), так как
Уже при —^—• —=1 в этом случае можно пренебречь недиа-
недиагональными элементами. Дисперсионное уравнение при этом имеет
вид [8, 10]
^^ (i—*
H D-4)
vTi I
Мы здесь явно выписали главное значение интеграла, стоящего
в правой части уравнения и пренебрегли вычетом на электронах,
так как для дальнейшего он несуществен.
167

Из работы [4] следует, что возмущения с фазовой скоростью
<o/kz, меньшей Vre, устойчивы. Иными словами, затухание Ландау
на электронах приводит к исчезновению неустойчивости. Сла-
Слагаемое в круглых скобках появилось из-за движения электронов
вдоль силовых линий. А так как линии теперь осциллируют, то в
рассматриваемом приближении только это слагаемое и будет изме-
изменяться. В том случае, если амплитуда высокочастотного поля Нх =
= 0, получаем результат Розенблюта и Поста [4], так как слагаемое
в круглых скобках меньше нуля и равно Ц ¦ -/. При этом
действительная часть уравнения D.4) при некоторых действительных
значениях ю и k может обратиться в нуль. Это означает, что суще-
существуют колебания с Im(co)=O, т. е. имеется порог неустойчивости.
В присутствии высокочастотного поля при достаточно больших
значениях Нг/Н0 выполняется неравенство
для любых значений (o/kzvTe- Действительно, максимальное значение
левой части неравенства достигается при б = 0, и его значение мож-
нь найти при помощи таблиц функций Крампа [22]. Оно равно
примерно 1,5. Стоящий в числителе квадрат функции Бесселя умень-
уменьшает интеграл тем сильнее, чем больше -^~ ¦ т~. Неравенство
Ы По
Нг kvvT
D.5) выполняется уже при тг • —fT—~1. При этом член
"о "
в круглых скобках в дисперсионном соотношении D.4) меняет знак,
став из положительного отрицательным. Посмотрим, как это по-
повлияет на устойчивость плазмы. Исследование при помощи метода
Найквиста [26] уравнения D.4) показывает, что плазма устойчива
при выполнении условия D.5), так как ни при каких со и k невоз-
невозможно добиться равенства нулю действительной части дисперсион-
дисперсионного уравнения D.4) ввиду того, что Ref < 0. Полученный резуль-
результат можно истолковать следующим образом. В присутствии высоко-
частотного поля слагаемое —V • -^ в дисперсионном соотноше-
(и R
нии заменяется, грубо говоря, на —2—-z- , и колебания, как таковые,
k*vTe
исчезают вообще. Отброшенные недиагональные члены дадут при
. _ ... _ ... 2
этом вклад порядка
foedv\\
а так как функция
) ^ Л() при 0 < б < 1, то их влияние будет несущественным.
Таким образом, достаточное условие стабилизации можно запи-
записать в виде
^•^1. D.6)
Q #0
168

Фазовая скорость (nlk неустойчивых в отсутствие высокочастот-
высокочастотного поля колебаний всегда меньше средней тепловой скорости
ионов. Если взять частоту, минимально допустимую для подавления
неустойчивости с данным значением волнового вектора О, ^ coft ^
2? kvTi > kzvre, то получим следующее условие на амплитуды вы-
высокочастотного поля:
Но vTe
2. Дрейфов о-к онусная неустойчивость
Рассмотрим теперь случай, когда плотность плазмы зависит от
х, kz = 0, так называемую дрейфово-конусную неустойчивость.
Воспользуемся для простоты функцией распределения ионов в проб-
котроне, использованной А. Б. Михайловским [5]:
/см = Щ (Ту + 72) 7~ 2 ехр (— mt v2j 27) х
X [1— ехр (—mjol/27!)]
G имеет смысл температуры, а величина [2771/m,XG1 + 7)]1</2 = u(,
соответствует масштабу скорости, ниже которой д/0;/дех > 0, Тг ^
^7(8j_= vx2/2), т. е. является характеристической скоростью кону-
конуса потерь).
При Нх = 0 дисперсионное уравнение будет иметь вид [5]:
о о
соп„ d In По и>„;
"Не
dx
\k\vc к2 Т2
В присутствии высокочастотного поля вид дисперсионного урав-
уравнения изменится так же, как и при конусной неустойчивости:
"Не
to оJ(. пц(Т + Тл)\ I Т\ \1/2
(Г + ГОГ / 7\ у
I k | ое /г2 Г2
где Л=$У0»F)/0(О||)Л>||.
Уравнение D.9) удобно переписать в следующем виде
= 0, D.9)
о) \k\vc
k JL^, й = я>/2^
у еН0 dx Т
2; г
169

Формально это уравнение всегда имеет неустойчивое решение,
однако видно, что по мере уменьшения А все меньший вклад дают
те слагаемые в дисперсионном соотношении, которые приводят к не-
неустойчивости. Отношение ларморовского радиуса к характерной
длине неоднородности pt/a должно быть меньше единицы для этой
/ rflnn
неустоичивосги (а = —-,
Поэтому рассмотрим такой случай, когда 1—А > \^pt/a. При
этом инкремент неустойчивости записывается довольно просто:
V- , 2МГ,.. - г <4.«О
Для применимости дисперсионного уравнения, в котором ионы в ко-
колебаниях считались незамагниченными, надо чтобы выполнялось
неравенство у> а>т (см. работу А. Б. Михайловского [5]). Поэтому
неустойчивость этого типа может существовать, если
k ^ a*vc
Максимизируя левую часть неравенства по k, получаем
Отсюда следует, что уже при значениях А ~ 0,5 неустойчивость
к vT Hi Hi vT,
может быть стабилизирована, т. е. S- • — ~1 и —~ .
V ' Q Но Я„ «Те
3. Циклотронная неустойчивость
Обратимся теперь к тому случаю, когда плотность плазмы не
зависит от х, а раскачка происходит на гармониках ионно-цикло-
тронной частоты. Дисперсионное соотношение в отсутствие магнит-
магнитного поля дл'я этого случая имеет вид [6, 23]
Отметим, что наиболее опасными с точки зрения проблемы устойчи-
устойчивости являются распределения типа б-функции по поперечным ско-
скоростям. В этом пределе конусная неустойчивость переходит в не-
неустойчивость, изучавшуюся Дори, Гестом и Харрисом [6].
170

Пусть
тогда уравнение D.11) принимает вид
"яг
В присутствии высокочастотного поля, осциллирующего с часто-
частотой Q > сонь дисперсионное соотношение D.12) применяется сле-
следующим образом [8]:
х у _5—._L.Ay2(p)==0. D.13)
Zd ш + паН р dp '
Рассмотрим область частот вблизи первой циклотронной гармо-
гармоники ионов. Оставляя в сумме члены с п — 0, 1,—1 и пользуясь
рекуррентными соотношениями для функций Бесселя, получаем
выражение для частоты
2
в
-A). D.14)
Так, если сор;/соя< > 1. а &%1'(а%е < 1, то в отсутствие высокочастот-
высокочастотного поля всегда есть неустойчивость. Формально влияние высоко-
высокочастотного поля проявляется в том, что величина В сильно увели-
увеличивается при Л^ 1. Неустойчивость этого типа заведомо исче-
исчезает, если а>яг а>2ре1 <а% k2 vTe больше 2J0J1/p, т. е. при Tt^Te.
Условие стабилизации Л<1 (-^г^-тг^!) в данном случае сводит-
ся к следующему (ky \
4.Дрейфов о-т емпературная неустойчивость
Дрейфовыми неустойчивостями называют обширный класс не-
устойчивостей, возникающих из-за пространственной неоднород-
неоднородности плазмы, удерживаемой магнитным полем. Одной из наболее
171

опасных в настоящее время принято считать так называемую дрей-
фово-температурную неустойчивость, впервые описанную в работе
[1]. Диффузия частиц из установок и теплопроводность, обязанные
своим происхождением этой неустойчивости, подробно изучены
Б. Б. Кадомцевым и О. П. Погуце [24].
Дисперсионное соотношение для дрейфово-температурной не-
неустойчивости проще всего получить, воспользовавшись уравнением
квазинейтральности, взяв для электронов возмущение плотности
в виде -г1 = e-7fr , так как рассматриваемые частоты со ~ kj)Ti <
С kzvTe (Те ~Т{); -^р ¦ гг > 1- Частота высокочастотного поля Q
ы По
должна быть выбрана из того условия, чтобы ионы успевали следить
за осцилляциями силовой линии Q <^ соЯ(., так как рассматриваемая
неустойчивость обязана своим происхождением затуханию Ландау
на ионах.
Пользуясь выражениями для поправок к функциям распреде-
распределения электронов и ионов в приближении нулевого ларморовского
радиуса и квазинейтральности, произведем усреднение по высокой
частоте. В результате получим вместо системы уравнений C.9)
следующую:
х
p
m > в
)]^li; D.15)
§_ kyv\\ Jh
Нас интересуют значения у Tl- -^> 1, поэтому при выводе урав-
нения D.15) от электронов оставлен лишь - больцмановский
член. Разлагая по малости Г y_m/_s — dv^ C1 детерминант
системы D.15), получаем [8,10]
*_ , cTt din n0. d\nTt
*"i — '—f^u " ~ , 'I — '.
eHa dx d In/Ц
172

Определим из уравнения D.16) границу устойчивости. Для этого
считаем частоту со действительной величиной и приравняем нулю
по отдельности действительную и мнимую, возникающую из-за полу-
полувычета, части уравнения D.16). В результате простых вычислений
получим для значений «в и kz на границе:
» = (о'(т,/2-1)ЛB-Л)-1; , D17)
Из требования k* > 0 находим условие неустойчивости, сов-
совпадающее с условием неустойчивости в отсутствие магнитного поля
П, 24]. Иными словами, высокочастотное поле не влияет на границу
устойчивости. Посмотрим теперь, как меняются под действием вы-
высокочастотного поля частота и инкремент неустойчивости. В пределе
Ъй П п
больших значений In
1 возможно оценить интеграл
в смысле главного значения, входящий в дисперсионное уравнение
D.16), пользуясь тем, что основной вклад в интеграл дают значения
mlkz > v > -г- ¦ тг i \-с- ^ Vti\ • Выражения для частоты и инкре-
Ку 121 \ Д2 /
мента имеют вид
—Л)-1 (т]/2 — 1);
г2 / СО ky Hi
°\-ь7'~5Гл
X
Ti
{ D-18)
X exp { —
Ti
kz vTl
— 1
Величина
A =
fOi(v\\)
n0
In
Hi
Ho
У '
Q
n Hi
«1
Q
является одновременно параметром разложения детерминанта. Из
формул D.18) следует, что частота неустойчивости уменьшилась
в \1А раз, инкремент у по сравнению с инкрементом в отсутствие
высокочастотного поля уменьшился еще сильнее — больше, чем
в 1Л42 раз. Необходимые напряженности высокочастотного магнит-
магнитного поля для подавления волны с данным значением ky опреде-
определяются ИЗ УСЛОВИЯ [Q ~ (Oi*(ky)]
k_. v-r, Hi a
VTl
Но
У Tl
Величина a/pi для данного типа неустойчивости много больше еди-
единицы, а — характерная длина неоднородности температуры. Длина
173

неоднородности а для плотной плазмы может быть больше с/а>ре —
глубины проникновения волны, и эффективность стабилизации бу-
будет мала. Однако если 7\- ^ Те, то при амплитуде магнитного поля
Н1 ^ }/4пп0Те }/^me/mi разовьется ионно-звуковая неустойчивость,
которая приведет к ограничению скорости электронов и появле-
нию турбулентного скина о~ — • , где рвч = —— , —^
3^ Рвч ^> 1 [17,25]. Частота эффективных столкновений для элек-
электронов гэфф ~ ^—^- ~ е—^- •—б = й— -н—^Й не будет влиять
на инкремент, так как неустойчивость обязана своим происхожде-
происхождением ионам.
5. Универсальная дрейфовая
неустойчивость
Другой важный тип дейфовых неустойчивостей свйзан с раскач-
раскачкой колебаний плазмы резонансными электронами. Одна из неустой-
неустойчивостей этого типа была впервые изучена в работе [1] и часто назы-
называется универсальной. Дисперсионное уравнение, описывающее
неустойчивые дрейфовые колебания с длинами волн, много большими
ларморовского радиуса ионов, получается из условия квазинейт-
квазинейтральности:
еа J/lad» || =0
(а = е, i—электроны и ионы соответственно). В том случае,
k vTe Hi.
когда -?¦ • — > 1, дисперсионное соотношение можно свести
Q Но
-А »„
Это уравнение помимо решения, определяющего дрейфово-темпе-
ратурную неустойчивость, рассмотренную выше, имеет решение в
интервале значений фазовых .скоростей vTe 2> г-^> vn\ Лг — 0.
При этом —рг- • у?- может оказаться меньше или порядка едини-
" "О
цы, однако влияние высокочастотного поля на неустойчивость бу-
kyvT Hi
дет сильным, так как величина —рг--тг при этом может быть
174

большой. Частота со в этом случае может быть записана в следующем
виде:
со =
Т
D.20)
Это — дрейфовые колебания плазмы в высокочастотном внеш-
внешнем поле. Отметим, что величина At л; 1, в то время как Ае <С 1.
Найденные колебания могут раскачиваться резонансными элек-
электронами. Инкремент у, формально возникающий из-за электронного
полу вычета, равен [8]
- D-21)
е
I кг I vTe
Оказывается, что с ростом амплитуды высокочастотного поля об-
область неустойчивости длинноволновых (kPi < 1) дрейфовых коле-
Т
баний по параметру це расширяется: r\e < 211+0 —Ai)-^),
но инкремент неустойчивости может быть существенно уменьшен.
Например, если в отсутствие высокочастотного поля максимальный
инкремент у — cofe имеет колебания с со/&2 ^ vTe, то за счет высоко-
высокочастотного магнитного поля относительно малой напряженности
Hi—Ho pja при минимально допустимой частоте Q — сое* — kzvT
инкремент колебаний с данным значением ky может быть уменьшен
примерно в (rn.il'пгеI/2 раз.
Для плотной плазмы, когда с/а>ре < а, мы можем повторить все
рассуждения предыдущего пункта с той лишь разницей, что частота
эффективных турбулентных столкновений теперь может привести к
исчезновению универсальной дрейфовой неустойчивости за счет
va«b* ~ ^~"я^—Ч^ ^ ^- Остается возможность раскачки дрейфо-
^ ТП/Q OJv tin I g
во-диссипативной неустойчивости, которая также может быть ста-
стабилизирована высокочастотным магнитным полем (см. § 5).
6. Дрейфово-циклотронная
неустойчивость
Рассмотрим влияние высокочастотного поля на так называемую
дрейфово-циклотронную неустойчивость неоднородной плазмы,
изученную впервые Михайловским и Тимофеевым [22]. Ограничим-
Ограничимся анализом желобковой моды kz = 0, имеющей в отсутствие вы-
высокочастотного поля максимальный инкремент. Воспользовавшись
выражениями для поправки к функциям распределения для частоты
175

неустойчивости со ~ «соя; < &, получим следующее дисперсионное
соотношение [10]:
?|l+*V«-
D-22)
Здесь мы считаем kpt > 1, VTt — VTe=Q. В левой и правой частях
уравнения D.22) стоят члены, описывающие возмущения плотности
соответственно ионов и электронов в колебаниях. Влиянием высоко-
высокочастотного поля на ионы мы пренебрегаем, так как Q > «яг- Урав-
Уравнение D.22) имеет неустойчивые решения
D.23)
если выполнено условие
со* = лсоя/ AT) f 1 + k2 rii + Tt T7\\ -4)]• D.24)
Его следует рассматривать как уравнение для значений ky неустой-
неустойчивых возмущений. Оно не имеет решений в допустимой для ku
области значений kype <^ 1, если [10]
^(^л1/2_р1._й_. D25)
Следовательно, при выполнении этого условия нет дрейфово-цикло-
тронной неустойчивости.
7. Желобковая неустойчивость
Желобковая неустойчивость плазмы [16] описывается следующим
дисперсионным уравнением при параметрах плазмы и магнитного
Но
поля, удовлетворяющим условию с<ил, где см = —7====г —
у 4я«„ mi
альфвеновская скорость:
2 Г * , 1 СО2, ft dlnn°
J!^ Plvdx ; D-26)
со
Эффект кривизны основного магнитного поля моделируется, как
обычно, введением ускорения силы тяжести g = Тг1Пг~1 " -°.
Это ускорение направлено перпендикулярно к границе плазмы
(обычно cog/eo;*— ¦" ° < 1). Мы считали при получении уравне-
* u Ш fin
176

Hi Й
ния D.26), что тг < k v ¦' так что Движение ионов вдоль мгновен-
мгновенного направления силовой линии можно не рассматривать. Из урав-
уравнения D.26) следует условие устойчивости:
1 -А, > 4
D.27)
Разлагая функцию Бесселя, входящую в Ае, в ряд и считая, что-
. у Те <^ 1, перепишем условие D.27) в виде
Q Но
i>4
СО;
СО
'Hi
Если в это неравенство подставить минимально допустимую часто-
частоту Q, примерно равную инкременту желобковой неустойчивости
1/2' то получим оценку минимальной амплитуды высоко-
высокоD.27'>
частотного поля, подавляющего желобковую неустойчивость [8]г
din Но
Но^
dx
В заключение этого раздела следует сделать несколько замеча-
замечаний относительно взаимодействия высокочастотных полей с плаз-
плазмой. Для реальных систем, имеющих конечную длину, кроме полу-
полученных нами критериев существует еще одно необходимое условие
стабилизации [8]:
Но
D.28>
где а и L — радиус и длина плазменного шнура, т — азимутальное
число возмущения (ky = mid). Это условие того, что силовая линия
в некоторый момент времени пересекает два соседних желобка воз-
возмущения. Его же можно получить, определяя минимально необхо-
необходимую частоту для стабилизации как Q ~^kzvTe \ kz ^ -г-, k± = mla) .
Это условие можно получить из того требования, что Q >
условие
max \kzvre,
можно получить
со}. Подставляя в критерий
kVvTe
Hi
— > 1 вместо
Q Н„
Q величину kzvTe, получаем условие D.28). Достаточным условием
стабилизации будет то из двух условий, которое труднее выпол-
выполнить.
Анализируя рассмотренные выше примеры, можно заметить, чта
влияние высокочастотного поля на неустойчивости плазмы может
проявляться по-разному. Во-первых, вследствие появившейся для
заряженных частиц возможности легко перемещаться поперек по-
постоянного магнитного поля из-за осцилляции направления магнит-
магнитной силовой линии существенно меняются дисперсионные свойства
177

плазмы [действительная часть тензора диэлектрической проницае-
проницаемости е(о,k)]. Так, в рассмотренном в п. 1 примере вообще исчезают
колебания (напомним, что в изотермической плазме в отсутствие
постоянного поля нет низкочастотных колебаний). В других при-
примерах (п. 2, 4, 5) изменяется частота колебаний.
В случае конусной, дрейфово-конусной и циклотронных неустой-
неустойчивостей высокочастотное поле не влияет на ионы, вызывающие
неустойчивости, а действует на электроны, и только изменение дис-
дисперсионных свойств приводит к исчезновению неустойчивостей.
При дрейфово-температурной неустойчивости высокочастотное
поле достаточно большой амплитуды подавляет неустойчивость
со .. со
возмущении, у которых -г- ^> vji, но возмущения с т-~ Vn остаются
неустойчивыми, хотя инкремент их может быть значительно умень-
уменьшен. По своему характеру остающаяся неустойчивость может быть
названа кинетической — инкремент ее определяется полувычетом,
т. е. за неустойчивость ответственны резонансные ионы.
Аналогично не происходит полной стабилизации неустойчивости
дрейфовых колебаний неоднородной плазмы, раскачиваемых элект-
электронами. Резонансная частица, проходя за период колебаний сило-
силовой линии 2я№, много пространственных периодов возмущения,
испытывает усредненное действие электрического поля возмущений,
77 • ~к X
Хт- ~ Раз- Здесь имеет место такая же ситуация, как в случае ки-
нетических неустойчивостей коротковолновых возмущений kpt ^> 1
в постоянном магнитном поле, где взаимодействие резонансных ча-
частиц с полем возмущения падает в n~l/2kpi раз. (На одном ларморов-
ском радиусе иона электрическое поле меняет знак очень часто,
из-за чего и происходит ослабление взаимодействия.) Исходя из
этих соображений можно высказать следующие рекомендации:
для еще большего уменьшения инкремента дрейфовых неустойчиво-
неустойчивостей нужно использовать высокочастотное магнитное поле, пред-
представляющее собой смесь двух или более не кратных друг другу ча-
стот Q, и Й2[8]. Величины „ • — и г. • 7Г Должны быть ко-
Но Ь12 По
нечно больше единицы.
4.2. Влияние волны типа геликон на неустойчивости плазмы
при р < й/соНе
1. Конусная неустойчивость
В разд. 4.1 был развит метод получения дисперсионного соот-
соотношения для плазмы, находящейся в поле спиральной волны (ге-
(геликона) и получено уравнение C.12), в котором не конкретизиро-
178

вался вклад от ионов в дисперсионное соотношение. Аргументом
' к.
функции Бесселя Jo в данном случае является величина ц = уХ
тт
Хтг, где 2n/k_j_—поперечная длина волны неустойчивости; k0—вол-
новое число для геликона, лежащее в пределах от <орг-/с до сор е/с.
Заметное влияние геликона на неустойчивости плазмы имеет ме-
место лишь в том случае, если функция Бесселя Jo, входящая в диспер-
дисперсионное соотношение, заметно отличается от единицы, т. е. величи-
величина \i должна быть больше единицы.
Так как отношение Нг/Н0 <^ 1, то геликон будет заметно влиять
на коротковолновые неустойчивости типа конусной и дрейфово-
конусной. При этом из качественных оценок, приведенных в § 1,
можно ожидать, что это влияние более сильно, чем у обыкновенной
волны, рассмотренной в разд. 4.1.
Дисперсионное соотношение для конусной неустойчивости по-
получается непосредственно из уравнения C.12), если в него подста-
подставить выражение для Л;(со) в том виде, в каком оно использовалось
в разд. 4.1:
k vTi \ kvTi
_1 L =o. D.29)
Й2 «a /
„ Q со ..
Здесь -г-, -g-^Vje-
Формально это уравнение имеет неустойчивые решения при лю-
любом значении \i. В этом проще всего убедиться при помощи метода
Найквиста.
Число нулей этого уравнения в верхней части комплексной пло-
плоскости со, т. е. число неустойчивых решений, определяется форму-
формулой [27]
N = — I dco,
2л» J da
с
где с — контур в верхней полуплоскости со, внутри которого нет
особенностей функции Ф(со). Выбирая контур с по действительной
оси со от —оо до +оо с обходом над полюсом со = 0 по бесконечно
малой окружности и замыкая его окружностью бесконечно боль-
большого радиуса, можно получить для числа нулей N выражение
179-

Анализируя приращение аргумента вектора Ф при изменении со
от —сю до +оо при различных значениях jo2(^) для типичного вида
функции F[r—) [4], можно установить, что неустойчивые решения
\RVTi I
исчезают при условии ReO^) < 0, где % = копУъ а точка уг
характеризуется тем, что в ней Im/7^) = 0. Однако при этом ста-
стабилизируются волны лишь в определенном диапазоне волновых чи-
чисел kz, удовлетворяющих неравенству
ре
"Не
ре г ~- г\
—гг • тг<°-
D.30)
При определенных параметрах геликона
(О
либо
'Не
2
-<Л<0
02 Ь2 ^
аа К
"Не
ип
(В
[kvTt ,
Для реальных установок, в которых можно ожидать появления
¦этой неустойчивости, выполняется первое из неравенств. При этом
значения kz, не удовлетворяющие условию D.30), соответствуют на-
нарастающим во времени колебаниям при любом значении величины
Jo 2(\i). Однако, как будет видно из дальнейшего, инкремент ока-
оказывается пропорциональным /0 2(И-) ПРИ Ц. > 1.
Если учесть, что Re F (со^ < 0 [4] и если для определенности
-гг<С~' то условие на k можно привести к виду
«/о (М-) <
ре
cot
Ю„
..2 ц 'т ..2 /-.a La
(О
'Яе
<»'
D.31)
Условие D.31) является довольно жестким, так как мы потребо-
потребовали, чтобы инкремент был отрицательным для всех значений kz >
В действительности можно ограничиться менее жестким условием,
потребовав, чтобы инкремент неустойчивости стал меньше сояг-
Этого удается добиться во всем диапазоне неустойчивых волн под-
подбором соответствующей амплитуды высокочастотного поля спираль-
спиральной волны. При достаточно большом значении -~ ¦ тт функция
180

Бесселя становится малой величиной и дисперсионное уравнение
удается разрешить, пользуясь этой малостью, относительно часто-
частоты оз. Выражение для инкремента у при этом имеет вид
<00
СО
ре
X
"Не
k* Q2/ k2v2Ti
imF
^)
Здесь
COp
kvTi
— 1
D.32)
D.33)
частота устойчивых колебаний при У02((х) = О- Инкремент D.32)
положителен, если lm.Fi-г—)> 0. Как известно, соответствующая
14] область по частотам простирается от нуля до со = сох = kvn \)\.
Ей соответствует область значений kz, определяемая из соотноше-
соотношения
II
СО
ре
и„
"Не
что, естественно, совпадает с условием D.30), полученным при по-
помощи метода Найквиста.
Итак, с увеличением амплитуды геликона во всей области зна-
¦чений kz инкремент уменьшается, хотя для различных kz это умень-
уменьшение происходит по-разному. Поскольку при /0(м-) = 0 у = 0
повсюду, то существует такое (х, при котором перестанет выполнять-
выполняться условие существования неустойчивости даже для максимального
инкремента. Оценим величину умакс по формуле D.32) сверху:
Умакс
i J0
D.34)
Здесь учтено, что частота, соответствующая максимальному инкре-
инкременту без геликона со ~ kvTi c^l kzvTi I/ — , с увеличением ампли-
туды геликона не увеличивается, так как максимальное уменьше-
уменьшение у происходит как раз в той области значений kz, где инкремент
в отсутствие высокочастотного поля максимален. Кроме того, если
•формулу D.32) переписать в виде у = -^ со0У0 2(\>i)B, то величина В
для достаточно широкого класса функций удовлетворяет условию
В< 1 [4].
181

Итак, неустойчивость исчезает, если
:^?. D.35)
Учитывая, что для конусной неустойчивости &_l~/?),-2 волновой
- I/ ;
с
ние Q^a.j, получаем
< (Лт>р I ' ЬЛ
вектор спиральной волны «0 =—^ I/ —, а минимальное значе-
кх Ях с
^ == "^ " И v7t
Так как для рассматриваемой неустойчивости &Hi <С ?°рг (в рабо-
работе проделан расчет для шя,- = 0,2сорг), найдем, что неравен-
неравенство D.35) выполняется при |j,~2. Отсюда следует, что неустой-
неустойчивость отсутствует при [9]
^>4—- D.36)
Заметим для сравнения, что при стабилизации этой неустойчи-
неустойчивости обыкновенной волной в плазме с холодными электронами
(Tt > Te) требовались большие амплитуды высокочастотных по-
полей, а именно (см. разд. 4.1)
2. Дрейфов о-к онусная неустойчивость
Рассмотрим теперь влияние спиральной волны конечной ам-
амплитуды на дрейфово-конусную неустойчивость. В том случае, если
высокочастотная волна является обыкновенной, она взаимодейст-
взаимодействует с плазмой, подавляя дрейфово-конусную неустойчивость, как
это следует из рассмотрения, проведенного в разд. 4.1.
Так как дрейфово-конусная неустойчивость имеет частоту, много
большую ионно-циклотронной, то можно попытаться исследовать
влияние геликона на эту неустойчивость. Дисперсионное соотно-
соотношение в этом случае получается так же, как для конусной неустой-
неустойчивости и имеет следующий'вид [9]:
Г, , <е 1 И*] Г. Ке < . *о]
о2 k2
''?4+т-яъ,)\- <4-37)
182

k, ц
Здесь ^i = -ф ¦ тт±, остальные обозначения такие же, как в разд. 4.1.
Из уравнения D.37) следует, что при Jo 2(f-i) -»¦ 0 неустойчивость
исчезает, так как дисперсионное уравнение в этом пределе распа-
распадается на два уравнения, одно из которых дает нейтральные, а дру-
другие — затухающие во времени колебания. Напомним, что условие
применимости выписанного дисперсионного уравнения есть у>
> сонь так как ионы в колебаниях считались незамагниченны-
ш2 k2
ми. Учитывая, что -^ • Л-4^ 1, можно найти частоту и инкремент.
Максимум инкремента достигается при тех же значениях волно-
волнового числа &макс, что и в отсутствие высокочастотного поля:
Ймакг. —¦ '
<
4,1 i+-f
со
'ЯеУ
(Dpi
D.38)
Здесь 7макс — максимальное значение инкремента в отсутствие
высокочастотного поля. Неустойчивость исчезает, если у < соя/,
т. е.
D.39)
Так как в отсутствие высокочастотного поля неустойчивость суще-
существовала, то умакс ^ ®яг- Для конкретности рассмотрим случай,
когда (О/^/умакс ^0,1. Тогда аргумент функции Бесселя дол-
должен быть больше или порядка 2. Это означает, что должно выпол-
выполняться неравенство
.,2 \-1/2
Ml
Но
uTi
"ре
СО
'Не
Так как инкремент и частота величины примерно одного поряд-
порядка, то можно подставить в качестве Q величину >> 7макс-
183

Тогда неравенство будет иметь вид
/a vT \ 1/8
#о ' vTt ' ( со2 V4
V -^>2. D.40)
К «pi
Положив а/р,- ~ 10, Vt ~ fc, ©я,- ~ 0,3га •, получаем
f-->6'
т. е. величина Я^/Яо опять значительно меньше, чем при стабили-
стабилизации обыкновенной волновой (см. разд. 4.1).
К сожалению, стабилизировать дрейфовые волны геликоном
будет, по-видимому, труднее, так как отношение kj_/k0 не столь ве-
велико. Действительно, поперечное волновое число у дрейфовых волн
kx, как правило, меньше или порядка рг1, минимально возможное
значение k0 есть (Dpi/c, при этом частота геликона стремится к coHi.
kI ®Н1 С \ VA
Таким образом, — ^ •— = —== , а аргумент функции
VTi COpj J/p vTi
Бесселя ix = — • — . В то время как при стабилизации ВЧ магнитным
На vrt
полем дрейфовых неустойчивостей эффект имел место при выпол-
выполнении неравенства -гг • — (а — h e Для дрейфово-температурной
и универсальной неустойчивостей соответственно). При этом, в от-
отличие от геликона, мы можем выбрать частоту Q < юНг. В прин-
принципе при малых р стабилизация дрейфовых волн геликоном может
оказаться более предпочтительной, однако в каждом конкретном
случае надо проводить сравнение критериев, полученных в разд. 4.1
и 4.2. При одном и том же значении частоты геликона и ВЧ магнитно-
магнитного поля воздействие геликона более эффективно, однако, как мы уже
отмечали, частота Q ВЧ магнитного поля может быть сделана го-
гораздо меньшей ©яг- Обозначая QQ частоту ВЧ магнитного поля,
можно записать условие, при котором стабилизация геликоном с
частотой Q оказывается более эффективной:
ck± Hi kxvTa Hi
• оГ'То <4-41>
ИЛИ
V °>Не
с г """'Не 1^о
vTa ape Й
Следует отметить, что использование геликона может оказаться
более эффективным, так как в отличие от ВЧ магнитного поля он
не сканируется.
184

4.3. Влияние высокочастотных электрических полей
на неустойчивость плазмы
Рассмотрим поля с высокими частотами, удовлетворяющими
неравенству Q >> аце, когда уже можно считать, что ни электроны,
ни тем более ионы не успевают следить за осцилляциями магнит-
магнитной силовой линии. Дисперсионное соотношение в этом случае по-
получается способом, аналогичным изложенному в разд. 3.3. При этом
возможна как стабилизация неустойчивостей, так и параметриче-
параметрическая раскачка их, когда частота Q близка к одной из собственных
частот плазмы.
1.Стабилизация пучковой
неустойчивости
Начнем с простейшей постановки задачи: однородная плазма
находится во внешнем высокочастотном поле, постоянное магнитное
поле отсутствует. Дисперсионное соотношение для этого случая было
получено в разд. 3.3 [уравнение C.15)]. Будем считать, что частота
Q не приближается ни к одной из собственных частот плазмы и мно-
много больше частоты рассматриваемых колебаний. Кроме того, выпол-
выполняется неравенство Q > kvra- Тогда в уравнении C.15) можно пре-
пренебречь величиной 6ее(со —qQ) по сравнению с 6ее(со) и оставить
в сумме по q нулевой член.
Подставляя теперь значение 6ее и бе;, запишем дисперсионное
соотношение в окончательном виде:
„ п к dv „ г* к dv
1 i 4яе dv , 4ле2 dv
k2me \ и — kv mi 1 со—kv
D.42)
Рассмотрим сначала гидродинамический предел со ^> kvra, т. е.
пренебрежем тепловыми скоростями электронов и ионов, по срав-
сравнению с фазовой скоростью волн (холодная плазма). Пусть элект-
электроны движутся со скоростью и > иГе- Тогда дисперсионное урав-
уравнение принимает вид [7]
2 2 2 2
V™ ^^1_уа(б)] = о. D.43)
(ш — kuf ш2 со2 (со — kuY ° к п
Уравнение D.43) описывает пучковую неустойчивость в присут-
присутствии высокочастотного электрического поля. Если со ^> ku, т. е.
185

в плазме нет направленного движения электронов, то получаются
следующие выражения для собственных частот:
со2 = <о% + Шр/У§F); D.44)
(й2 = сор4- [l — yg F)]. D.45)
При выводе этих формул учтено, что ще1в>2Р1 > 1.
Обратимся теперь к обратному предельному случаю со > ku,
т. е. к пучковой неустойчивости. Из общего дисперсионного соотно-
соотношения при этом следует
Км'-ЬС-Иа»! 6)
(I-J-»?,
Неустойчивость возможна при выполнении условий
(o^>(kuJ>fflpe(l-4F)). D.47)
Левое неравенство возникает и для обычной пучковой неустой-
неустойчивости [28], в то время как правое обязано своим происхождением
наличию высокочастотного электрического поля. В области малых
значений имеем
(^J = ^(kv^. D.48)
В этом смысле можно сказать, что имеет место некоторая аналогия
колебаний быстрых частиц в электрическом поле тепловому раз-
разбросу, сужающему область существования пучковой неустойчивости.
Можно сказать, что высокочастотное поле стабилизирует пучко-
пучковую неустойчивость, уменьшая область ее существования. Найдем
теперь инкремент этой неустойчивости. Для этого, как обычно,
будем считать со —(ku) = A, ku ~cope и найдем величину A <ku :
ш2 со2
—р- у р- J02 (б) = 0. D.49)
Отсюда следует, что максимальный инкремент
? D.50)
меньше обычного инкремента бунемановской неустойчивости
в J<T213 Ф) раз.
2. Кинетическая неустойчивость
плазмы
Мы рассмотрели влияние сверхвысокочастотного поля на токовую
неустойчивость плазмы в гидродинамическом приближении. При
более последовательном кинетическом подходе даже в отсутствие
постоянного тока, как было впервые показано В. П. Силиным [29],
186

возможна раскачка неустойчивости при достаточно больших значе-
значениях амплитуды высокочастотного поля.
Пусть частота Q много больше электронной ленгмюровской ча-
частоты, так что плазма является прозрачной. Будем искать неустой-
неустойчивость, расскачиваемую резонансными электронами на частоте
« <С (оре.
Воспользуемся полным дисперсионным соотношением C.15),
в котором удержаны все слагаемые суммы по q.
Для малости затухания найденных волн будем считать, что фа-
фазовая скорость со/А много больше тепловой скорости ионов. Прини-
Принимая во внимание, что при Q > kvTe > «. б8е(со + пЩ > 1, мы мо-
можем записать дисперсионное соотношение в следующем виде
(йгое » 1):
1 —
1
(О
-= —1Я
pg
X
)—lev) dv
X
f
— б(ю—nfi
kv)dv.
D.51)
Здесь функции распределения электронов и ионов по скоростям яв-
являются четными и нормированы на единицу.
Правую часть уравнения D.51) можно упростить, разложив ее
по степеням co/Q:
=2'»'(*)%
dv
v=-nQ/k
V F)
D.52)
Черта над функцией /ое означает, что функция проинтегрирована
по поперечным к вектору Е0-скоростям. Первая сумма в правой
части уравнения D.52) равна нулю из-за четности функции рас-
распределения ионов по скоростям. Теперь можно решить дисперсион-
дисперсионное уравнение D.51) с учетом указанных параметров малости и най-
найти частоту со и инкремент у неустойчивости:
2со
v=b
dloe
o= —nQ/ft J
D.53)
187

Для того чтобы возникла неустойчивость, необходимо, чтобы выра-
выражение в квадратных скобках стало положительным. Так как первое
и второе слагаемые всегда отрицательны, то неустойчивость может
иметь место лишь в том случае, если вторая производная от функции
распределения, проинтегрированной по скоростям, перпендикуляр-
перпендикулярным к вектору Ео, будет отрицательной. При этом еще необходимо,
чтобы она по абсолютной величине была больше первых двух сла-
слагаемых в квадратных скобках. Затухание на ионах будет достаточно
мало, если их температура Т% много меньше температуры электро-
электронов. Что касается затухания Ландау на электронах, описываемого
вторым слагаемым, то его также можно сделать малым, рассматри-
рассматривая, например, такие значения величины б, когда функция Бесселя
J0(8) обращается в нуль. Либо же нужно рассматривать очень корот-
короткие волны, тогда аргумент функции Бесселя будет велик, и затуха-
затухание Ландау на электронах может стать меньше, чем раскачка, вы-
вызываемая высшими гармониками.
Следуя работе В. П. Силина [29], изучим подробно случай, когда
распределение электронов можно считать максвелловским с тем-
температурой Т е, и покажем, что при определенных значениях ампли-
амплитуды Ео и частоты Q высокочастотного поля возможна неустойчи-
неустойчивость.
Обратимся сначала к случаю длинных волн kvT e С ?2 и не будем
считать частоту Q близкой к озре. Тогда, учитывая сказанное выше,
вблизи нулей функции J0(8r) — О инкремент неустойчивости мож-
можно записать в виде
2u } r3Deape
(б—бг)а Qe / Q2 \h
^-ГрЬ)]) D-54)
Здесь мы разложили Jo (б) вблизи б = бг. а в сумме
удержали первый отличный от нуля член,
<JV- v= — nQ/k
п.
так как
Для частоты со имеем
D.55)
При получении этой фоумулы было использовано соотношение
[15, 30]
• Л>ре J D.56)
Q .
Q
188

Учитывая, что последний член в формуле D.55) мал по сравнению1
с единицей, и принимая во внимание, что легче всего будут раска-
раскачиваться волны, для которых бг = 0, получаем критерий неустой-
неустойчивости:
k4nl_Pi \uu ue> x ^•>_>l__PLmlJL\ D57)
2 t.2 2 I 2 2 \2 9 O2 T- ч
W k Vj @—CO У?, ч " 'n
Если температура электронов много больше температуры ионов,
то условие раскачки существенно облегчается. В рассматриваемом!
случае п > kvTe, но длина волны должна быть меньше амплитуды
колебания электрона во внешнем поле (иначе аргумент функции
Бесселя будет меньше единицы). Отсюда следует, что скорость
осцилляции электрона должна быть много больше тепловой, так
„ kvE
как о = —JT-, где vE — скорость осцилляции электрона во внешнем
поле, и мы имеем следующие условия:
kVE 3> ?2 ^> kVTe- D.58)'
Рассмотрим теперь второй предельный случай, когда kvTe > Q.
При вычислении сумм по п, входящих в дисперсионное соотношение,,
можно по-прежнему пользоваться теми же математическими прие-
приемами, что и при суммировании по циклотронным гармоникам,.
КОГДа kzVfe 3> ®Не:
2Я/Я t
ll ! =— Г dt Г dt'exp{— ia(t' —1) +
ш—kv—пп 2я J J
+ ikv (t'—t) + i6 sin Qt'—\8 sin Ш} = j e-i
о
X Jo ( 26 sin —^ | dr.
X
2 /
Проводя интегрирование по скорости и оставляя интеграл по ту
получим дисперсионное соотношение в следующем виде [31]:
'Del 0
26sin^b-\exp(iTco). D.59)-
Перейдем теперь к предельному случаю Q^kvTe- Тогда
rDe!
189*

Выражение для инкремента запишем в пределе больших значений
¦б, таких, что йб > kvTe. При этом в аргументе функции Jo синус
можно заменить его аргументом из-за малости Q/kvTe, а для самой
функции Бесселя использовать асимптотику, так как Q6 ^> kvre-
В результате имеем
^(^U^. D.61)
ltol3
При Ve = -^-4; интеграл по х в уравнении D.59) может быть взят
и оказывается, что устойчивость нарушается при
\kvE\^l,8kvTe, D.62)
т. е. при частотах поля, удовлетворяющих условию
- D-63)
Для длин волн нарастающих колебаний имеем
- <4-64'
Так как kroe 3> 1. то для выполнения неравенства D.64) необхо-
необходимо, чтобы температура электронов была много больше темпера-
температуры ионов.
3. Параметрические неустойчивости
Мы рассмотрели случай, когда частота внешнего поля была мно-
много больше плазменной электронной частоты о)ре. Принимая во вни-
внимание, что при приближении частоты поля Q к (йре нарастающими
оказываются все более длинноволновые колебания, можно было бы
попытаться найти неустойчивость, когда параметры krDe удовлет-
удовлетворяют неравенству krDe <^ 1, а аргумент функции Бесселя б мно-
много меньше единицы. Такие неустойчивости были впервые и подробно
исследованы в работах В. П. Силина и его сотрудников [12, 15].
Для получения дисперсионного соотношения для параметриче-
параметрической неустойчивости воспользуемся уравнением C.13).
Однако мы учтем, что теперь бе;(со) и б8;(со ± pQ) могут быть
величинами одного порядка (рассматривается случай, когда проис-
происходит резонанс на р-й гармонике). Умножая уравнение C.13) на
Jq-p (б) и суммируя по р, получаем
_ Jg (б) Ьщ (со) Фр+Ф, Jq_r F) бе;- (ы+гО) + Ф-т Jq+r бег (<n-/Q)
1 + бее (со—qQ)
190

Подставляя теперь в уравнения системы C.13) для р = 0, г и —г
сумму 2 Jq-s (б) Ф8, получаем систему трех уравнений для вели-
s
чины Фо, Фг и Ф_г:
(со —
,=0; <4.б5>
+ Фг Г — 1 4- бег (со—/Q) + бег (со—/fl) x
6eg(<o—gQ) ,2
I
J
в4(© + К2) = О; D.66>
+ Ф_ ГГ — 1 — бег (со — гп) + бег (со — гп) X
x у Дв«(и-т/-) j2 (бI = 0 D67>
Условие равенства нулю определителя этой системы уравнений
приведет к искомому дисперсионному соотношению. Если рассмат-
рассматривать б <^ 1 и krDe % 1, то дисперсионное соотношение можно силь-
сильно упростить. С точностью до членов порядка б2, с учетом того, что
6е е(®) > бео(ш ± Q), так как ю < п ~ соре > tore, получим
[7, 31, 32]
Г 1 l 1 = 0, D.68)
e(to) б2
где е (со) = 1 + бее (со) + бег (ее).
Кроме дисперсионного уравнения можно получить соотношение
между амплитудами Ф и Ф±1, следующее из системы уравнений
D.65)—D.67):
D.69)
фо.
2e(co±Q) °
191

Общая схема решения дисперсионного соотношения D.68) для ко-
колебаний с малым инкрементом состоит в следующем.
Разложим все члены уравнения D.68) по степеням у/са и прирав-
приравняем нулю в отдельности мнимые и действительные члены. В резуль-
результате имеем [31]:
г'(со)
1
3
1
4
Se/(co)
bUo; D.70)
,
v_
Здесь беа' (со) и беа" (со) —соответственно действительная и мни-
мнимая части величины беа, а
Ё?1?Ш; D.72)
^]2 D.73)
+ p!^. D.74)
Если в выражении о± можно пренебречь величиной y/Q,to функция
-S = —dDIdd), где величина D(co, fe) введена следующим образом:
уравнение D(co, fe) = 0 является эквивалентным дисперсионному
уравнению. Случай кинетической неустойчивости, рассмотренный
в предыдущем разделе, соответствовал S > 0. Если окажется, что
справедливо обратное неравенство, то может возникнуть неустой-
неустойчивость даже если не учитывать затухание Ландау на электронах
на частотах <о ± Q. Это означает, что можно опустить все члены
с е"(о ± ?2), которые были ответственны за кинетическую неустой-
неустойчивость, обсуждавшуюся в предыдущем разделе. Рассмотрим бес-
столкновительную плазму в присутствии сверхвысокочастотного
поля. Пусть коте > о) > kvn, тогда, вводя следующие обозна-
обозначения:
AQ = Q - [®% + со*, + Ък2 гЪ. @%I/2;
ф = — б2
4
erpi Q AQ
CDs = Юр/ k
22
Г
.получим
"О
iilg 1 С . UUJ
*2 4/
__2j2.
~ Во'
_ф.
D.75)
D.76)
D.77)
392

Когда у2 мало, неустойчивость возникает в области прозрачности
Q > wpe при S < О, Ф >0. Величина у2 становится существенной
при стремлении Ф к единице, при этом в той окрестности со, где
дЬ/да> меняет знак, инкремент становится наибольшим, оставаясь
все-таки меньше частоты
-©.1} I1'3,
D.78)
так как
=Ф I vo ((АИJ— cos2} I1'3 ~ 1.
В этой части расстройка Аи и частота со близки к ионно-звуковой
частоте cos.
Условие применимости полученных формул можно записать
в виде
dQ J
или для Ф, не близких к единице,
Ег
' De
Вместе с этим условием можно выписать условие, ограничивающее
область допустимых значений для волновых чисел, которое для во-
водородной плазмы дает krDe < 0,2. Для значений Ф, близких к
единице, напряженность внешнего поля и допустимая область k
определяются неравенством
и соотношением D.78). Нетрудно видеть, что для выполнения этих
условий необходима сильная неизотермичность.
Рассмотрим теперь случай так называемой гидродинамической
неустойчивости, для которой несущественны эффекты затухания
Ландау вообще. Пусть со<&игь тогда бе,- = (^г2^) и выражение
для инкремента (у ^> со) колебаний принимает вид
- D-80)
Здесь 7 =
7 Зак. 495
1
rle
, 1 „
-\ vej—затухание Ландау на
2
193

электронах; электрон-ионные столкновения не являются ответ-
ответственными за раскачку. Мы считали, что
Из формулы D.80) следует, что раскачка возможна при выпол-
выполнении неравенства Q < соре. Неустойчивость в этом случае являет-
является апериодической.
Апериодическая неустойчивость возможна и при kvT е > « >
>kvTi. В этом случае уже 8е;(со)= — сорг2/со2, и в выражении для
инкремента появляется ионно-звуковая частота cos:
1
j D.81)
Формулу D.80) в гидродинамическом пределе без точного учета
теплового движения ионов получил Нишикава [33].
Наконец, разберем еще случай так называемой распадной не-
неустойчивости, который соответствует достаточно большим значе-
значениям расстройки Дй > у. При этом можно, пренебрегая всеми мни-
мнимыми членами, получить дисперсионное соотношение непосредствен-
непосредственно из формулы D.68). Действительно, если не считать, как мы это
делали при получении формулы D.81), что у > со, то можно полу-
получить следующие выражения для частоты и инкремента [12]:
J D.82)
[sAD + a0)cos(AQ)], D.83)
б2 Q
¦рттр г/ -— .
к /.ц^ *-^п — • ¦
Отметим, что формулы D.82) и D.83) можно непосредственно
получить из выражения D.75), положив у2 = 0 и считая (AQJ л;
ж со|- При этом выражение для квадрата частоты со2 будет иметь
действительное и мнимое слагаемые. Извлекая из этой суммы корень
и разделяя мнимую и действительную части, получаем соотношения
D.82) и D.83).
Из формул D.82) и D.83) следует, что при малых значениях aa
неустойчивыми оказываются колебания с волновыми векторами,
удовлетворяющими условию АО = cos. Это соответствует распад-
распадной неустойчивости, рассмотренной В. Н. Ораевским и Р. 3. Сагдее-
вым [34].
Исследование параметрических неустойчивостей в отсутствие
постоянного магнитного поля с учетом кулоновских столкновений
проделано в работе [12]. Для плазмы, помещенной в постоянное
194

магнитное поле, задача практически может быть решена теми же
методами. Отличие состоит в том, что величины беа(ю) должны быть
записаны с учетом магнитного поля. Число резонансных частот для
плазмы в магнитном поле возрастает, так как параметрический ре-
резонанс теперь уже возможен на циклотронных частотах. В этой
связи представляет интерес работа, выполненная Д. Зюндером
и О.М. Градовым [35], в которой авторы рассмотрели реальную ситу-
ситуацию, имеющую место при циклотронном нагреве электронов, и
показали, что при частоте й, близкой к аНе, возможна параметри-
параметрическая раскачка ионно-звуковых колебаний.
Наконец, рассмотрим случай плазмы в магнитном поле, когда
Я < ©яг- Если частота внешнего электрического поля Q близка к
частоте ионно-звуковых колебаний os, то может происходить, как
показал Ф. М. Некрасов [36], параметрическая раскачка ионно-
звуковых колебаний. Рассматривая для простоты одномерный
случай, можно, интегрируя по характеристикам, получить следую-
следующее выражение для возмущения плотности электронов:
X
xexpfia(sinQ;—sinQt)— k-H?-(t—тJ
Здесь величина а = -~-; и — амплитуда осцилляции скорости
электронов под действием внешнего электрического поля. Плазма
Т
считается сильно неизотермичной Те > Tt, Q2 ~ со^ = k* —,
и, наконец, u^vTe. Ввиду того что ^j— < 1, можно разложить
exp {iaXsinQ(^ —т)) вблизи точки т = 0.
Возмущение плотности ионов записывается так же, как и в от-
отсутствие внешнего электрического поля, ибо из-за большого отно-
отношения m\lme можно пренебречь движением ионов. Считая, что Ф^ =
= 2Omei@f + imQ(, и пользуясь условием квазинейтральности, по-
m
лучаем следующую систему алгебраических уравнений для Фт:
Y + eBm + l—2|) | Фт+1
D.84)
195

Здесь введены следующие безразмерные величины:
k,u
l/ *¦-
у те
«1; 8 =
Q
«1;
D.85)
Подставляя теперь в систему D.84)
Фго = Ф<1°> + аФ<?!) + «2ФГ)!; D.86)
?=— l+iagO + ia2^2), D.87)
получаем, что Фт° = 0 для всех /га, кроме /п = 0; —2, так как в
этом приближенииQs2=l. Будем считатьФ<0) иФ-l произвольными
константами и найдем поправки к частоте ?"> и ?B). В результате
имеем
со = <»„—1-
I f Ге
я . ы2
— ±l —co8X
4 я2
X / —- —
s-^ »f«
2
= 1/ —е • D.88)
m.
Отсюда следует, что допустимая расстройка, при которой возникает
параметрическая неустойчивость, определяется неравенством
Кроме этого, необходимо еще, чтобы скорость и превысила некоторое
критическое значение для того, чтобы инкремент стал положитель-
положительным
-у- > 1 /~2я ^. D.90)
Мы видим, что критическая скорость увеличилась примерно в
у "И по сравнению со скоростью ионно-звуковых колебаний, ко-
торая является порогом в стационарном случае. Это связано с тем,
что в одном направлении ток течет в течение времени я/Q, после
чего направление тока меняется на обратное. За время n/Q при Q -—
~ со, волна сумеет раскачаться лишь при условии, если инкремент
ее будет достаточно велик, т. е. если будет достаточно велика ско-
скорость и. Действительно, в течение полупериода Т/2 раскачивается
волна, бегущая, скажем, в положительном направлении оси z,
и ее амплитуда вырастает в е^7"/2 ~ 1 + уТ/2 раз по сравнению
с тепловыми шумами. В течение следующего полупериода эта волна
затухает, так как средняя скорость электронов направлена в проти-
противоположную сторону (у ~ — ®$1кгх)те) и раскачивается
196

бегущая в отрицательном направлении оси г. Таким образом, если
.амплитуда волны <о/?2 > 0 в течение второго полупериода не успе-
успевает уменьшиться до своего исходного значения, то волна будет
раскачиваться.
То же самое можно сказать и о волне, бегущей в обратном на-
направлении. Из уравнения D.88) действительно следует, что раска-
раскачиваются волны, бегущие в обоих направлениях, и что затухание
определяется величиной (de2/kzvTe-
4. Стабилизация дрейфовой неустойчивости
высокочастотным электрическим полем
Представляет интерес изучить влияние высокочастотной обык-
обыкновенной волны достаточно большой амплитуды на дрейфовую не-
неустойчивость плазмы. Такое исследование было проведено в работе
Я- Б. Файнберга и В. Д. Шапиро [11]. В направлении постоянного
магнитного поля действовало высокочастотное электрическое поле
Ег0 — Ео sin Ш. Возможность стабилизации дрейфовых неустойчи-
востей таким способом можно разъяснить следующим образом.
Если амплитуда внешнего электрического поля достаточно велика,
то становятся существенными колебания электронов в поле волны.
Тогда при возбуждении в плазме дрейфовых волн на электроны
будет действовать дополнительная сила давления в высокочастот-
высокочастотном электрическом поле, являющемся суммой внешнего поля и
электрического поля дрейфовых волн Е = Ez0(t) + E^t, r).
Эта сила давления равна
где ezz — компонента тензора диэлектрической проницаемости,
скобки означают усреднение по периоду 2n/Q. Эта сила может приве-
привести к увеличению частоты дрейфовой волны, так как частота зави-
зависит от температуры. С ростом частоты в инкременте увеличивается
dfoe ш теа
стабилизирующий член — .-г~ — jj fOe(O) при ft2t)ri«ffl«Mre
и при заданном градиенте концентрации плазма может оказаться
устойчивой относительно раскачки дрейфовых волн. Дисперсионное
соотношение можно получить сразу из уравнения C.15), если учесть,
что 6ее(со) ^> 6ее(со— qQ) при д^Ои изменить бее(ш) и бег(со) на
следующие (Те = Tt, со < com):
1
k2r2De
me у,
2nT J
4
m
oo
не2 / к
'*' I
(vze
CO— kz
'v
He
2T
v7
a
дх
2
-;
me
T
197

дх
D.92)
Выражения D.91) и D.92) являются не чем иным, как определением
парциальных вкладов в диэлектрическую проницаемость плазмы,
находящейся в постоянном магнитном поле в отсутствие внешних
электрических полей. Влияние высокочастотного поля проявляется
в том, что меняется дисперсионное соотношение, в которое теперь
входит Jo2F) — функция Бесселя нулевого порядка от аргумента
с Ее„ , т,
= т№ г' №ак> Дисперсионное соотношение теперь имеет следую-
следующий вид:
1 + 8е<Я) (со) -f 6е'Я) (со) + 6е<Я) 6ei"> (l - ]\ (б)) = 0. D.93)
При 6 = 0 уравнение D.93) переходит в обычное уравнение дрей-
дрейфовых колебаний, так как /02(б) = 1. При увеличении б неустой-
неустойчивость может исчезнуть, так как дисперсионное соотношение при
<Л>2F) ->• 0 имеет вид
[1 + 64Я) (со)] [1 + бв[Я) (со)] = 0,
а решение этого уравнения не приводит к нарастающим во времени
колебаниям.
Таким образом, для стабилизации дрейфовых неустойчивостей
необходимы большие значения величин 6. Такие значения б соот-
соответствуют большим значениям величины осцилляторной скорости
электронов. Как показано в работе [11], неустойчивость можно ста-
стабилизировать и при значениях б < 1, если подобрать частоту Q
соответствующим образом.
Для 8 <;< 1 и квазинейтральных колебаний (k2r2De <^ 1) в преды-
предыдущем разделе было получено дисперсионное уравнение D.68), ко-
которое может быть использовано и в нашем случае. Его удобно пере-
переписать в следующем виде:
бе{Я)(а) + бе1Я)(со) — -^ ф (Q) бе|Я) (со) бе|Я) (со) = 0, D.94)
где 8ге{И) (со) заданы соотношениями D.91) и D.92):
1
1 . D.95)
(-Q) J
198

Будем считать, что соЯг <С & < сояе, &гУге-С^> тогда бе'Я) (Q) =
= —co2p;/Q2, т. е. в парциальном вкладе от ионов можно прене-
пренебречь влиянием магнитного поля. Величину
ф D91) Q <
^
(Q) можно полу-
полур у )
чить из формулы D.91), так как Q < а>не, однако при этом надо
учесть члены порядка и>ре/а>Не:
See(±fi) = —
со
ре
-1- Qco
'Не
ре
Q
fe2
fe2
м„
"Не
d In n0
dx
Окончательно имеем [11]
-— (О
pi
NQ*-<¦%¦-<
— Q2
ю„
"Не
D.96)
-г-; D-97)
СО
'Яе
Функция qp(Q) удовлетворяет неравенству ф(й)>0 при
@„
/г2
со„
или
D.98)
где
2± =
/'..2 fe.
со
ре
-+¦
Л
+ ¦
"ре
¦N2 со:
2»Яе
^¦J}'/2
Пусть частота Q выбрана так, что cp(Q)>0.
Исследуем решения уравнений D.94) в нескольких предель-
предельных случаях.
А. Случай малых частот (a<^kzvTi. Уравнение D.94) при-
принимает вид
2 +
Х|А
1 . / пТ
я/ns \ 1/2-1 — 1
И J
г]*
] \ D-99)
199

где
X h~' (?2 P*2)]; A = exp (-# Pf») /0
Условие неустойчивости:
i i Mill dlnT 1 + A11
2 /Jl. rflnn [2 J
d\nn \ Jl.
HP ife| 1 "Ут 0
^ 1 + P V Л
При достаточно больших р последнее слагаемое может уменьшиться,
однако само оно слабо влияет на границу устойчивости, и поэтому
область неустойчивости остается практически такой же, как и для
плазмы без высокочастотного поля:
dlnT 2
din п0 1 + Д
Б. Случай kzVn С <» «С kzvre- Выражения для частоты и инкре-
инкремента имеют вид:
-i/ " / т уУ**г .-А h . «
X [2-
X
Существуют две области неустойчивости — одна не меняется от
включения высокочастотного поля:
dlnT _2_.
d In п0 Д
другая:
dlnT <2 2_
d In n0 2 — Л i
200

Граница второй области при &2рг2->0 определяется уравнением
.dXnT =—26. При /ггр,2->-оо (Аса О, Д~1) dlnT = 2.Призна-
d\nn0 dln/t0
чениях k2рг2 =j=Q, когда Л<^1 и величина В достаточно велика,
инкремент уменьшается как 1/Р2.
Стабилизация проявляется в данном случае в расширении
области устойчивости (особенно при &2рг2<1) и в уменьшении
инкрементов для колебаний с &2рг2~-1.
В. Случай больших частот ю > k,Y T/me. Если k0 УТ1тг рг > со,
то
1 rd
у .
n0 dx
Д
2
Решение дисперсионного уравнения, удовлетворяющее условию
&г1>ге, имеет вид
CO
= P_ л/JL.
2mt i dlnT
\ * d\nn0
¦ Г P2 ._L ?«! l_k2JL]1'2
\ k2Pi2 mi / din Г \2 fe2p.2 г mj
L V + dlnn0
При значениях 6>2'|/-^- •-^ A + a'nJ ) неустойчи-
вость стабилизируется.
Обсудим теперь выбор частоты и амплитуды стабилизирую-
стабилизирующего поля несколько подробнее. Эффект становится существен-
существенным при Р ^ 1. В случае больших частот, Q чч
k 1/2
X
это условие выполняется лишь
в сильных электрических полях, когда -/"е" > 1, и— е ° ,
так как при этом q>(Q)~l/./V. Если мы будем пользоваться
другим условием положительности (p(Q), то Р>1 при --^-—^1.
201

При таких больших амплитудах поля могут раскачиваться новые
неустойчивости, связанные с относительным движением электро-
электронов и ионов. Однако эти высокочастотные колебания не будут
столь существенно влиять на диффузию плазмы, как медленные
дрейфовые волны. Отметим, что в работе [11] использовался иной
метод вывода дисперсионных соотношений (аналогичный методу,
разработанному в работе [7]), который приводит к тем же резуль-
результатам.
§ 5. Стабилизация диссипативных неустойчивостей
До сих пор мы рассматривали бесстолкновительную плазму
и изучали влияние высокочастотных полей на неустойчивости та-
такой плазмы. В настоящее время имеется ряд подробно исследованных
неустойчивостей плазмы, в которой достаточно велика частота ку-
лоновских столкновений или частота столкновений с нейтральными
частицами. При этом для некоторых таких неустойчивостей, напри-
например для винтовой и дрейфово-диссипативной, проекция волнового
вектора на постоянное магнитное поле kz удовлетворяет неравенству
kz<<ik [37, 38]. Эти неустойчивости достаточно хорошо изучены экс-
экспериментально. Поэтому было бы интересно обсудить влияние на
них высокочастотного поля и выяснить возможности их стабили-
стабилизации.
5.1. Стабилизация высокочастотным электрическим полем
Впервые исследование влияния высокочастотного электрическо-
электрического поля на дрейфово-диссипативную неустойчивость было проведено
в работе Я- Б. Файнберга и В. Д. Шапиро [11]. Считалось, что в
плазме вдоль постоянного магнитного поля действует переменное
электрическое поле с частотой Q. Дисперсионное уравнение для это-
этого случая получается в следующих предположениях: со <^ vei <^
« q « шЯе; v» « ©я,; *V « 1; &V « i; W^ 1; ВД « l;
так что мы можем по-прежнему пользоваться общим уравнением
C.15), в котором, однако, нужно заменить б8е<я>(со) на8ее<н>(со+К>е;),
так как столкновения существенно влияют лишь на продольное дви-
движение электронов. Дисперсионное соотношение с учетом сделанных
приближений будет иметь вид:
xSMco) = 0, ' E-1)
k eE
где cp(Q) определяется формулой D.97), б = —^- При вычислении
величины бе'Я) (©) по формуле D.91) необходимо учесть, что для
дрейфово-диссипативной неустойчивости фазовая скорость a/kz
много больше тепловой скорости ионов vn- Вклад от электронов
202

бее<я>(со + ivei) можно найти, пользуясь гидродинамическими
уравнениями, а именно:
_ т 1
_ф _j Пе ;
еп0 )
где пе, Уц, и_[_ — возмущения концентрации, продольной и попереч-
поперечной скоростей электронов соответственно; Ф — возмущение потен-
потенциала. Подставляя полученные выражения для скорости в урав-
уравнение непрерывности для электронов, можно выразить возмущение
концентрации пе через возмущение потенциала Ф:
т :
Величина бе, при k2pt2 <^ 1 может быть записана в виде
Подставляя найденные значения бе(Я) и Ьъ\н~> в уравнение E.1),
получим [11]
¦ № к1 + тП-°- <5-4>
Здесь величина р определена в соответствии с формулой D.99):
, Г 1+8
(О = ^ К ~W
При р -v 0 уравнение E.4) переходит в дисперсионное уравнение
для дрейфовой диссипативной неустойчивости [38] в отсутствие вы-
высокочастотного поля. Рассмотрим достаточно большие значения C:
что соответствует следующим значениям б и
203
©2 ,/

Последнее условие может выполняться и при б < 1, так как — <
< 1. Раскладывая решение в ряд по степеням l/|3g2, получим:
Imco_=-icos + 2-^ ^__; E.5)
ws2 +
Imco+=-2^4 — 7-- E-6)
При |3g2 > 1 второе слагаемое в E.5) мало, и в случае cp(Q) > 0
получаем Im(co) ¦< 0, что соответствует устойчивости. Напомним,
что cp(Q) > 0 при выполнении одного из условий D.98).
Отметим, что для стабилизации дрейфово-диссипативной неустой-
неустойчивости требуются большие амплитуды, чем для стабилизации дрей-
дрейфовых неустойчивостей этим способом.
5.2. Стабилизация высокочастотным магнитным полем
Рассмотрим теперь влияние колебаний силовых линий магнит-
магнитного поля на дрейфово-диссипативную неустойчивость [18]. В пре-
предыдущем разделе мы пренебрегали этим эффектом, что справедливо,
так как в том случае, если через плазму течет высокочастотный
ток, создающий в силу малой плотности плазмы магнитное поле
ничтожное.
Итак, рассмотрим изотермическую плазму, помещенную в маг-
ное поле с осциллирующими силовыми линиями. Параметры плазмы
выбраны такими же, как и в предыдущем разделе.
В нулевом приближении уравнение движения электронов имеет
вид (Еох — компонента высокочастотного электрического поля,
Q < vei)
Еco[ve]—еж • —- lnrc0—veivo = 0,
т ах
E.7)
Е01coWe[v0eez]еж
те те ах
откуда
Voe = ~^е* {E°l tz)~ey ^гх
В первом приближении по возмущенным величинам имеем
е (Е, h) + vei (vie h) + i (kh) T-^-=0. E.8)
Здесь Ex — возмущение электрического поля.
Для поперечного движения в силу замагниченности электронов
имеем
Vi^-f-IEih]. E.9)
204

Подставляя выражение для скорости электронов в уравнение не-
непрерывности и учитывая, что
получим
— 00
t'
xexpjj [De(&/tJ + ico* — ibek,EolsmQt"]dt", E.10)
t
где h = h(t); co*=—k,. —— •—2-^-; fee=— коэффициент
* eH0 dx rnevei
подвижности; De = T/mevei — коэффициент диффузии для элек-
электронов.
Ограничимся разбором наиболее простого и важного случая.
Будем считать, что осцилляторная скорость, приобретаемая элект-
электронами за счет поля ?01, достаточно мала, а именно е q01 С 1.
а также, что отношение -тг1 > г1.
Естественно, что заметного эффекта при этом можно ожидать,
если Dek? > й > со.
Выражение для возмущения плотности электронов при этом мож-
можно записать в виде
— оо
П'
хехрК dt"De(kh)A. E.11)
Разлагая ФА(/) в ряд
ФА(/) = 51Ф71ехр( — i<B/—2inQ/) E.12)
п
и подставляя это разложение в формулу E.11), получаем
п„ Т ' Т
р о
—LVo fdT[ ico—
v J
X ( — l)p-m/p_m(PsinQt)exp[ — i(p—т)йт—
E.13)
205

(В силу того, что при р ^> 1 самый большой вклад в дисперсионное
уравнение даст член р = т = '0 (ср. разд. 3.1)). Таким образом,
{оо
1 —[ dx( — ico-fi(o*)/0(PsinQT)e-PQi;. E.14)
¦о
Для больших значений р интеграл можно оценить
EЛ5)
Мы видим, что действие высокочастотного магнитного поля сводится
к тому, что электроны вдоль силовой линии распределяются почти
по Больцману. Используя теперь формулу E.3) для нахождения п%
[осцилляции силовой линии не влияют на возмущение плотности
ионов, так как х-ll ¦ -73—С 1 (см. разд. 3.1)], получаем из условия
i* it Q
квазинейтральности следующее дисперсионное соотношение:
J±d^ ?^. E.16)
Инкремент неустойчивости:
EЛ7)
Сравнивая с величиной максимального инкремента у в отсутст-
отсутствие высокочастотного поля (у ~ со*), мы видим, что происходит
довольно сильная стабилизация дрейфово-диссипативной неустой-
неустойчивости. Условие стабилизации vo Те ~) > 1 обсуждалось в § 1
и свелось к тому, что частицы за время 1/Q успели, двигаясь вдоль
мгновенного положения силовой линии, пройти расстояние поряд-
порядка поперечной длины волны неустойчивости.
В заключение отметим, что стабилизация винтовой неустойчи-
неустойчивости [37] за счет колебаний силовых линий магнитного поля должна
быть довольно слабой. Это обстоятельство связано: во-первых, для
винтовой неустойчивости &_l мало (k±a ~ 1), где а—размер неодно-
неоднородности; во-вторых, коэффициент амбиполярный диффузии элект-
электронов вдоль силовой линии меньше, чем для дрейфово-диссипативной
неустойчивости. Поэтому фактор, определяющий стабилизацию,
Стабилизацию винтовой неусточивости высокочастотным элект-
электрическим полем подробно изучал В. В. Владимиров [39]. Им была
показана большая роль торцов, учет которых приводил к тому, что
собственные колебания представляли собой суперпозицию волн с
206

несколькими значениями kz = 2л/nL, где п — целое число. При
этом, естественно, в отличие от рассмотренных случаев, стабилиза-
стабилизация тем сильнее, чем короче система.
§ 6. Заключение
Мы рассмотрели теоретические вопросы влияния высокочастот-
высокочастотного поля на неустойчивости плазмы. Вопросы равновесия плазмы
в присутствии высокочастотных полей и связанные с ними проблемы
радиационного ускорения плазмы, а также специальные вопросы
стабилизации плазмы при помощи обратных связей [40] в данный
обзор не вошли.
Было бы интересно в заключение обсудить существующие экс-
эксперименты по проверке изложенных теорий. Что касается взаимо-
взаимодействия плазмы с высокочастотным магнитным полем и возможной
стабилизации ряда опасных неустойчивостей, то при постановке
опыта необходимо принять во внимание следующие обстоятельства:
во-первых, выбор частоты и амплитуды высокочастотных полей и
во-вторых, способ создания таких полей.
Для воздействия на конусную, дрейфово-конусную и циклотрон-
циклотронные неустойчивости, особо опасные для ловушек с магнитными проб-
пробками, оказываются подходящими по конфигурации переменного
магнитного поля колебания плазмы типа геликонов, иначе быстрой
магнитозвуковой волны. Частота переменного магнитного поля
должна быть больше циклотронной частоты ионов для подавления
циклотронных неустойчивостей и больше minjcoPj, Т^юяеСОяг} для
воздействия на конусные неустойчивости.
Для воздействия на дрейфовые неустойчивости можно исполь-
использовать магнитное поле переменного тока, текущего по плазменному
шнуру, или магнитное поле токонесущих проводов, уложенных
вдоль плазменного шнура. Второй способ кажется предпочтитель-
предпочтительнее, так как пропустить через плазму большой ток для создания
нужного магнитного поля было бы затруднительно из-за малой по
сравнению с металлом концентрацией электронов. В любом из этих
случаев магнитное поле проникает в плазму только на глубину скин-
слоя (которая может быть порядка c/a>pi) [17, 25]. Казалось бы, для
объемного воздействия на дрейфовые неустойчивости можно было
использовать альфвеновскую волну в плазменном шнуре, в част-
частности, основную симметричную моду с полем Яф и Ег. К сожалению,
переменное магнитное поле низкочастотных колебаний Q С ©я/
не подходит для этой цели. Действительно, стабилизирующий эффект
имеет место только тогда, когда магнитная силовая линия повора-
поворачивается относительно возмущения, а в силу вмороженности магнит-
магнитного поля в плазму возмущения будут перемещаться вместе с маг-
магнитной силовой линией.
Таким образом, воздействовать на дрейфовую неустойчивость
частотой Q <i соре можно лишь в области скин-слоя, где силовые
линии не вморожены в плазму. Отметим, что при стабилизации вы-
207

сокочастотным магнитным полем в первую очередь подавляются
волны с большими значениями ky. Эта закономерность была под-
подтверждена экспериментально [41—43].
Качественное согласие с теорией было получено при опытной
проверке возможности стабилизации дрейфово-диссипативной не-
неустойчивости [41—43] и винтовой неустойчивости [44].
Раскачка параметрических неустойчивостей может быть причи-
причиной уменьшения коэффициента отражения от плазмы электромаг-
электромагнитных волн. Экспериментальное исследование, проведенное
И. Р. Геккером и О. В. Сизухиным [45], показало, что при относи-
относительно малой амплитуде волны Ео -~ 0,1Dлп0ТеI/2 имеет место рез-
резкое уменьшение коэффициента отражения, которое, по-видимому,
является следствием раскачки высокочастотным полем волны пара-
параметрических неустойчивостей. Появляющийся при циклотронном
нагреве спектр ионно-звуковых шумов в районе плазменной ионной
частоты [46] обязан своим происхождением параметрической раскач-
раскачке, рассчитанной в работе [35].
ЛИТЕРАТУРА
1. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. «Докл. АН СССР», 138, 581
A961).
2. М о и с е е в С. С, Сагдеев Р. 3. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
34, 248 A964).
3. Rosenbluth М. N.. Rostoker N.. Кг all N. A. Nucl.
Fusion, Suppl., 1, 143A962).
4. Rosenbluth M. N.. Post R. E. Phys. Fluids, 8, 547 A965).
5. Михайловский А. Б. «Ж. техн. физ.», 35, 229 A966).
6. D о г у R. A., Guest G. E., Harris E. G. Phys. Rev. Lett.,
14, 131 A965).
7. Алиев Ю. М., Силин В. П. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 48, 901
A965).
8. И в а н о в А. А., Рудаков Л. И., Тейхманн И. «Ж. экс-
эксперим. и теор. физ.», 54, 1380 A968).
9. И в а н о в А. А., Муравьев В. Ф. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
59, 1325A970).
10. И в а н о в А. А., Рудаков Л. И., Тейхманн И. «Ж. экс-
эксперим. и теор. физ.», 53, 1690 A967); Demirkhanov R.A. Ц~ёте
Colloque International, Saclay, Jan. 1968; I v a n о v A. A., R u d a-
k о v L. I., Teichmann J. Ibid.
11. Файнберг Я- Б., Шапиро В. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
52, 293 A967).
12. А н д р е е в Н. Е., К и р и й А. Д., Силин В. П. «Ж. эксперим.
и теор. физ.», 57, 1024 A969).
13. Rebhan E. Phys. Fluids, 12, 192 A968).
14. С и л и н В. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 48, 901 A965).
15. С и л и н В. П. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 48, 1679 A965).
16. Кадомцев Б. Б. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4. М.,
Атомиздат, 1974, стр. 270.
17. Рудаков Л. И., Кор абл ев Л. В. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
50, 220 A965).
18. I v a n о v A. A., Teichmann J. Czechosl. J. Phys., В 19, 941
A969).
19. Шафранов В. Д. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 3. М.,
Атомиздат, 1963, стр. 3.
208

20. Р у Д а к о в Л. И., С а г д е е в Р. 3. В кн. «Физика плазмы и проб-
проблема управляемых теормоядерных реакций», т. 3. М., Изд-во АН СССР,
1958, стр. 268.
21. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. М., Физматгиз, 1962, стр. 994.
22. Фадеева В. Н., Терентьев Н. М. Таблицы значений интеграла
вероятностей от комплексного аргумента. М., Гостехиздат, 1954.
23. Т и м о ф е е в А. В., П и с т у н о в и ч В. И. В сб. «Вопросы теории
плазмы», вып. 5. М., Атомиздат, 1967, стр. 373.
24. К а д о м ц е в Б. Б., П о г у ц е О. П. В сб. «Вопросы теории плаз-
плазмы», вып. 5. М., Атомиздат, 1965, стр. 259.
25. Брейзман Б. Н., Мирное В. В., Рютов Д. Д. «Ж. техн.
физ.», 10, 1817 A969).
26. Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. «Ж. эксперим.
и теор. физ.», 44, 919 A963).
27. Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. М., Физматгиз, 1958, стр. 83.
28. Ф а й н б е р г Я. Б. «Атомная энергия», 11, 4 A961).
29. С и л и н В. П. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 51, 1842 A966).
30. Я н к е Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми.
Перев. с нем. М.—Л., Гостехиздат, 1948.
31. Силин В. П. «Письма ЖЭТФ», 7, 242 A968).
32. А 1 i e v Ju. M., Gorbunov L. M., S i I i n V. P. Plasma Physics
and Controlled Nucl. Fus. Res., v. 1. Vienna, IAEA, 1966, p. 659.
33. Nishikawa K. J. Soc. Phys. Japan, 24, 916, 1152 A968).
34. О р а е в с к и й В. Н., Сагдеев Р. 3. «Ж. техн. физ.», 32, 1291
A962).
35. Г р а д о в О. М., 3 ю н д е р Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 58,
979 A970).
36. Nekrasov F. M. Nucl. Fusion, 9,291A969).
37. К а д о м ц е в Б. Б., Н е д о с п а с о в А. В. J. Nucl. Energy, PCI,
1580 A960).
38. М о и с е е в С. С, Сагдеев Р. 3. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
34, 248 A964).
39. В л а д и м и р о в В. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 48, 175 A964).
40. Арсенин В. В., Ч у я н о в В. А. «Атомная энергия», 24, 327
A968).
41. И в а н о в А. А. и др. «Письма ЖЭТФ», 9, 356 A969).
42. D u b о v о s L. V., D у a 11 о v V. D. Nucl. Fusion Special, Suppl.
A969).
43. Alcock M. W., Keen В. Е. Symposium on Feedback and Dyna-
Dynamic Control of Plasmas, report Al, Princeton, 1970.
44. A r t s i m о v i с h L. A. et al. Phys. Lett., 27A, 573 A968).
45. Г е к к е р И. Р., С и з у х и н О. В. «Письма ЖЭТФ», 9, 7 A969).
46. П а т р у ш е в Б. И. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 60, 1080 A970).

ГИДРОМАГНИТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ
ПЛАЗМЕННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ
Л. С. Соловьев
Введение
Задача об устойчивости равновесных конфигураций плазмы яв-
является одной из центральных задач в проблеме создания управля-
управляемого термоядерного синтеза. Теоретические исследования устой-
устойчивости плазмы в настоящее время ведутся по двум направлениям:
1) развивается гидродинамическая теория устойчивости замкнутых
плазменных конфигураций и 2) исследуются кинетические микро-
микронеустойчивости плазмы. Согласно современным воззрениям, крупно-
крупномасштабные неустойчивости, которые удовлетворительно описыва-
описываются в рамках идеальной магнитной гидродинамики, приводят к
быстрому распаду плазмы, в то время как кинетические и диссипа-
тивные неустойчивости ответственны за сравнительно более медлен-
медленную аномальную диффузию.
В настоящем обзоре рассматривается теория гидромагнитной
устойчивости плазмы в рамках магнитной гидродинамики при ус-
условии идеальной проводимости и отсутствия вязкости. Рассмат-
Рассматриваемые равновесные конфигурации представляют собой систему
вложенных тороидальных магнитных поверхностей, совпадающих
с поверхностями постоянного давления плазмы. Эти поверхности
расположены вокруг магнитной оси, являющейся для замкнутых
конфигураций некоторой замкнутой пространственной кривой.
Внешняя магнитная поверхность представляет собой границу плаз-
плазмы с внешним вакуумным магнитным полем.
С точки зрения создания равновесных конфигураций и исследо-
исследования их устойчивости замкнутые плазменные конфигурации мож-
можно разбить на два класса: конфигурации без продольного тока и
конфигурации с продольным током. В конфигурациях без про-
продольного тока прокручивание магнитных силовых линий вокруг
магнитной оси осуществляется либо при помощи прокручива-
прокручивания внешнего магнитного поля (стеллараторы с винтовыми маг-
магнитными полями), либо при использовании конфигураций с про-
пространственной магнитной осью, обладающей кручением (стеллара-
(стеллараторы типа восьмерки Спитцера). В конфигурациях с продольным
током (типа «Токамак») прокручивание магнитных силовых линий
создается продольным током, текущим в плазме.
210

Прокручивание силовых линий вокруг магнитной оси опреде-
определяет прочность равновесной конфигурации по отношению к стати-
статическим возмущениям магнитного поля. В том случае, когда магнит-
магнитные силовые линии не прокручиваются и замкнуты, наложение од-
однородного поля приводит к разматыванию силовых линий и к раз-
разрушению магнитных поверхностей. Аналогичный эффект возникает
и при наложении винтового поля, если угол прокручивания для
всех силовых линий одинаков [1].
Таким образом, для обеспечения некоторого запаса прочности
по отношению к статическим возмущениям поля равновесные кон-
конфигурации должны иметь прокручивающиеся вокруг магнитной
оси силовые линии, причем угол прокручивания должен меняться
с расстоянием от магнитной оси. Соответствующее изменение угла
прокручивания создает перекрещенность силовых линий, или шир,
и характеризуется производной от угла прокручивания. Токи, те-
текущие в плазме достаточно большого давления, также приводят к
возникновению возмущающих магнитных полей, способных ухуд-
ухудшать прочность равновесной конфигурации.
В связи с этим условия существования равновесной конфигу-
конфигурации могут содержать некоторое ограничение на допустимое дав-
давление плазмы при заданном прокручивании силовых линий. В си-
системах с продольным током, в которых скорость прокручивания си-
силовых линий определяется величиной продольного тока, соответ-
соответствующее ограничение налагается на отношение давления плазмы
к продольному току.
Для аксиально симметричной тороидальной конфигурации с
продольным током при эллиптических поперечных сечениях маг-
магнитных поверхностей это ограничение имеет вид
<вл>
( p = po(l—VlVz), Vs = nLa*. L = 2nR; R—
радиус магнитной оси; е = A—/r2//z2)/(l -j-lr2/lz2)—параметр эл-
эллиптичности, lr/lz—отношение полуосей эллиптических попереч-
поперечных сечений магнитных поверхностей; j = rotB, В — напряженность
магнитного поля.
При исследовании динамической устойчивости равновесных плаз-
плазменных конфигураций как давление плазмы, так и продольный ток
являются дестабилизирующими факторами. Поэтому конфигурации
без продольного тока сравнительно более устойчивы, и условия
устойчивости для них сводятся к ограничению на допустимое дав-
давление плазмы. Условия устойчивости для систем с продольным
током приводят также к некоторым ограничениям на величину
продольного тока.
Кроме внутренней неустойчивости, которая возможна и при не-
неподвижной границе плазмы, в конфигурациях с продольным током
может развиваться также поверхностная неустойчивость, связан-
211

ная с разрывом плотности тока на свободной границе плазмы. Од-
Однако эта неустойчивость, по-видимому, не реализуется, если плот-
плотность тока спадает достаточно быстро и обращается в нуль на гра-
границе плазмы [2] и если, кроме того, выполняется необходимое ус-
условие устойчивости Крускала — Шафранова, сводящееся к огра-
ограничению на полный продольный ток J при заданной длине магнит-
магнитной оси конфигурации L:
-^-<-Д=. (В.2)
2паВ yi— s2
Здесь а — площадь поперечного сечения граничной магнитной по-
поверхности.
Внутренние неустойчивости плазмы эффективно стабилизи-
стабилизируются магнитной ямой. Поскольку магнитная яма образуется в
конфигурациях достаточно сложной геометрии и отсутствует в про-
простейшей модели плазменного цилиндра с отождествленными тор-
торцами, особый интерес представляют общегеометрические критерии
устойчивости, не связанные с конкретной геометрией равновесной
плазмы. Понятие магнитной ямы, которая характеризуется второй
производной от объема по продольному потоку или, для конфи-
конфигураций с замкнутыми силовыми линиями, производной от инте-
интеграла ф„-, было введено в работах Розенблюта — Лонгмайра [3]
и Б.Б. Кадомцева [4]. Общегеометрические критерии устойчивости
удобно формулировать, используя инвариантные характеристики
равновесных конфигураций, выражающиеся через потоки внутри
текущей магнитной поверхности, ограничивающей объем V. При
этом уравнение равновесия плазмы в магнитном поле В
записывается в виде
р'=ГФ'-Щ, (В.4)
где Ф и J — продольные, а % и / — поперечные потоки векторов В
и j; штрихами обозначены производные по объему V.
Введем еще инвариантные характеристики:
S = x'O"— Ф'х"; Q = /'<D"—J'l". (В.5)
Величина S — характеризует перекрещенность магнитных силовых
линий, а величина Q — характеристика магнитной ямы для конфи-
конфигураций с замкнутыми силовыми линиями.
Критерий устойчивости Розенблюта — Лонгмайра [3] сводится
к требованию существования магнитной ямы и для конфигураций
¦с замкнутыми силовыми линиями может быть записан в виде
—Q>0. (B.6)
Необходимый критерий конвективной устойчивости Кадомцева
{5], выведенный для конфигураций с замкнутыми силовыми линиями
212

в предположении о постоянстве возмущений вдоль силовых линий,
при наличии магнитной ямы представляется в виде
—Q <В2)— р'2>0, (В.7)
где угловыми скобками обозначено усреднение по объему слоя меж-
между двумя соседними магнитными поверхностями </> = ау) №х-
В работах Мерсье [6], Бино [7], Грина и Джонсона [8] получен
необходимый общегеометрический критерий локальной устойчи-
устойчивости при единственном предположении об узкой области локали-
локализации возмущений между двумя соседними магнитными поверхно-
поверхностями. Как показано в работе [9], этот критерий можно представить
в виде
4 \ | yV |2/ \ | VV |2
Здесь первый член описывает стабилизирующее влияние перекре-
щенности силовых линий; совокупность второго и третьего члена
является характеристикой магнитной ямы; последние два члена
характеризуют дестабилизирующее действие токов в плазме. В при-
применении к конфигурациям с замкнутыми силовыми линиями S = О,
критерий Мерсье (В.8) оказывается более жестким, чем критерий Ка-
Кадомцева (В.7), что указывает на более слабое дестабилизирующее
действие токов в плазме на конвективные возмущения.
В работе Л. С. Соловьева [10] получен точный достаточный обще-
общегеометрический критерий гидромагнитной устойчивости
-Q-[je]2>0 (B.9)
в предположении об отсутствии поверхностных токов. Здесь в ка-
качестве единственного стабилизирующего фактора выступает маг-
магнитная яма, описываемая членом—Q. Через е = е3 обозначен тре-
третий координатный вектор натуральной системы координат 6, ?, V
Хамады [11] йт — &tdxl. В применении к конфигурациям без продоль-
продольного тока достаточный критерий (В.9) приводит к более жесткому
ограничению на допустимое давление плазмы, чем необходимый
критерий (В.8). Тем не менее существует достаточно широкий
класс конфигураций, для которых выполняется точное достаточное
условие устойчивости (В.9). Для конфигураций с продольным
током критерий (В.9), вообще говоря, оказывается слишком жест-
жестким.
В той же работе Л. С. Соловьева [10] получен достаточный кри-
критерий внутренней устойчивости
—Q <[Be]2> + S<[je][Be]> — <[je]2> ([Be]2) + <[je] [Be]>2>0 (B.10)
для произвольных конфигураций плазмы низкого давления при
условии спадания плотности тока. Достаточным для устойчивости
213

плазменных конфигураций со спадающей до нуля плотностью тока
на свободной границе плазмы является, по-видимому, выполнение
критерия (В. 10) и дополнительного условия
Ф'
1 или
JL
4я
(в.п>
являющегося обобщением условия устойчивости Крускала — Шафра-
нова для тороидальной геометрии плазмы с продольным током J.
Достаточным условием устойчивости плазмы в окрестности маг-
магнитной оси является критерий (В.8) без члена S2/4.
Для бессиловых конфигураций j = хВ, р' = 0 функция х за-
зависит только от V: При этом необходимый критерий локальной
устойчивости (В.8) выполняется при 5 Ф 0, в то время как доста-
достаточный критерий (В. 10) указывает на безразличное равновесие.
При цилиндрической геометрии равновесной плазмы (е = vv А
достаточный критерий (В. 10) отличается от необходимого критерия
(В.8) отсутствием члена S2/4. При этом необходимый критерий (В.8)
переходит в критерий Сайдема [12], а достаточный критерий (В. 10)
сводится к требованию р' > 0.
Применение необходимого критерия локальной устойчивости
Мерсье (В.8) к аксиально симметричной конфигурации с круговой
магнитной осью и круглыми поперечными сечениями магнитных
поверхностей («Токамак») приводит, в предположении о малости
отношения p/R, к условию [13]
_Ё iE_ I _1 ,,2^-^п (В.12)
Здесь (л(р) = Вт/рВ,е, Вю — поперечное, Вф— продольное маг-
магнитные поля, а р — расстояние от магнитной оси. Стабилизирующее
действие магнитной ямы, которая возникает при сворачивании плаз-
плазменного цилиндра в тор, представлено здесь членом 1/R2, где R —
радиус кривизны магнитной оси.
При р'(р) < 0 условие (В. 12) выполняется, если \i(p)R < lr
а при R ->¦ оо оно переходит в критерий Сайдема [12]. В случае
спадающей плотности тока наиболее жестким оказывается условие
\i@)R <C 1 в окрестности магнитной оси, которое можно записать
также в виде
В
<2. (В. 13)
Регулярным методом вычисления характеристик, входящих в
общегеометрические критерии (В.6)—(В. 10), является метод разло-
разложения по степеням р. При этом мы получаем критерии устойчиво-
устойчивости, справедливые в окрестности магнитной оси для произвольных
конфигураций и справедливые для всей конфигурации при выпол-
214

нении условия квазиоднородности. Полученные таким образом кри-
критерии устойчивости выражаются контурными интегралами по маг-
магнитной оси конфигурации [14] и, в общем случае, зависят от кри-
кривизны и кручения магнитной оси и от вида поперечного сечения маг-
магнитных поверхностей.
Приведем для сравнения критерии (В.6)—(В.8) и (В. 10), приме-
примененные к аксиально симметричной тороидальной конфигурации с
продольным током типа «Токамак». Для круглых поперечных сече-
сечений магнитных поверхностей, при условии р'(р) < 0, соответствен-
соответственно получим:
R2 4B2 р/?2;2 2рВ2
1 I2 A n'
(В. 16)
#2 4В2
+ ;>0. (В.17)
Здесь левая часть неравенства (В. 14) равна BV"($>)I2R. При ис-
чезающе малом давлении все выписанные критерии совпадают с
необходимым условием локальной устойчивости (В. 16). Как пока-
показывает выражение (В.14), при увеличении давления магнитная яма
углубляется. Согласно неравенству (В.15), увеличение давления
улучшает устойчивость конфигурации по отношению к конвектив-
конвективным возмущениям. Условие локальной устойчивости (В. 16) в рас-
рассматриваемом случае не зависит от давления, в то время как, соглас-
согласно достаточному условию (В.17), давление выступает в качестве де-
дестабилизирующего фактора.
Критерий (В.17) совпадает с достаточным условием устойчиво-
устойчивости Уэйра и Хааса [15], выведенном специально для рассматриваемой
конфигурации. Для случая параболически Спадающего давления
р = ро(\ — V/Vj:) этот критерий приводит к следующим ограниче-
ограничениям на продольный ток:
-i?1' (БЛ8)
где Ро = 2ро/52. Он близок к необходимому условию устойчивости
{В. 16) только при достаточно малом давлении плазмы, когда р0 С
С a2/4R2, и содержит ограничение на допустимое давление р0 <
< а2/4^2. Согласно выражению (В.18), при конечном давлении
плазма становится неустойчивой также в области малых токов.
Аналогичными по структуре получаются и критерии устой-
устойчивости для конфигураций с некруглыми поперечными сечениями
магнитных поверхностей. При этом применение критериев (В.8)
215

и (В. 10) дает соответственно:
2 + б
2 1 о г О "I i*2 t j?2
1 — о | ч , Ob /1 , t-i\ I J * Q
B^ ' 4
Здесь й — средний радиус поперечного сечения плазменного тора,
определяемый соотношением Vs = 2n2a2R; г и t — параметры эл-
эллиптичности поперечных сечений магнитных поверхностей: е =
= thr], t = thr]/2, ljlr = е*1; /r и /z — полуоси эллиптических
сечений; Г — параметр несимметричности сечений. Как показыва-
показывают выражения (В. 19) и (В.20), глубина магнитной ямы в случае
некруглых поперечных сечений магнитных поверхностей зависит
от их эллиптичности и несимметричности. При этом, в случае ljlr >
> 1, несимметричность улучшает устойчивость, если поперечные
сечения имеют грушевидную форму с уплощением с внутренней сто-
стороны тора, а при ljlr <.. 1 благоприятным является уплощение с
наружной стороны тора.
В случае некруглых поперечных сечений магнитных поверхно-
поверхностей давление плазмы оказывает дестабилизирующее действие со-
согласно обоим критериям (В. 19) и (В.20), которые различаются толь-
только коэффициентами при |50. Отношение этих коэффициентов для не-
необходимого критерия (В. 19) и достаточного критерия (В.20) равна
Оно мало, если поперечное сечение близко к круговому ljlr ~ 1,
и стремится к единице при увеличении отношения IJIT. В случае
малой эллиптичности 8<< 1 ограничение на давление плазмы, вы-
вытекающее из достаточного критерия (В.20), в 4/е2 раз более жесткое,
чем ограничение, накладываемое необходимым критерием (В. 19).
Для конфигураций без продольного тока критерии устойчи-
устойчивости приводят лишь к ограничениям на допустимое давление плаз-
плазмы. Применение критериев (В.8), (В. 10) и (В.9) к стелларатору с
круговой магнитной осью, магнитные поверхности в котором созда-
создаются внешним винтовым магнитным полем, дает соответственно:
(В'22)
(В-23>
-f). (B.24)
216

Здесь, аналогично предыдущему, е и А — параметры эллиптичности
и несимметричности поперечных сечений магнитных поверхностей;
п — число оборотов сечений магнитных поверхностей на длине L —
= 2nR. Предполагается, что s2 <^ 1.
Как видно из выражений (В.22)—(В.24), достаточный критерий
(В.23) дает в 4/еа раз более жесткое ограничение, чем необходимый
критерий (В.22), а достаточный критерий (В.24) является еще в
A+2|е|) раз более жестким, чем критерий (В.23). Несимметрич-
Несимметричность сечений, характеризуемая параметром А, создается трехза-
ходным винтовым магнитным полем, которое прокручивается в пол-
полтора раза медленней, чем основное двухзаходное поле и делает 2п/3
оборота на длине L. Соответствующее винтовое поле существенно
влияет на устойчивость рассматриваемой конфигурации при срав-
сравнительно малой амплитуде.
Магнитная яма является основным стабилизирующим механиз-
механизмом в приведенных выше критериях устойчивости для замкнутых
плазменных конфигураций. В ограниченных конфигурациях с
вмороженными в металлические стенки торцами возникает сильный
стабилизирующий механизм, обусловленный натяжением магнит-
магнитных силовых линий [16]. Применение приведенного ниже достаточ-
достаточного общегеометрического критерия устойчивости для таких кон-
конфигураций к плазменному цилиндру приводит, при условии квази-
квазиоднородности, к следующему ограничению на продольный ток:
¦4-<1,* (в-25)
где L — расстояние между идеально проводящими стенками.
Если выйти за рамки рассматриваемых здесь равновесных кон-
конфигураций и допустить возможность стационарного движения плаз-
плазмы, то соответственно добавляются новые стабилизирующие и деста-
дестабилизирующие факторы. Отметим, в частности, что однородно-
вращающийся плазменный цилиндр с однородным продольным то-
током в однородном продольном магнитном поле оказывается внутренне
устойчивым при р' <С 0 относительно произвольных несжимаемых
возмущений, если выполнены неравенства [17]
Яф<Р0ф,<2Вф. (В.26)
где аф — скорость вращения; р — плотность.
Пр и расчете равновесных характеристик плазмы и при выводе
общих критериев гидромагнитной устойчивости и применении этих
критер иев к конкретным плазменным конфигурациям целесооб-
целесообразно и спользовать подходящие криволинейные системы координат,
с рассмотрения которых и начнем систематическое изложение тео-
теории гидромагнитной устойчивости замкнутых плазменных конфигу-
конфигураций.
217

Глава 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Исследование равновесия и устойчивости плазменных конфигу-
конфигураций упрощается при выборе подходящих координатных систем.
Применяемые системы координат можно разбить на два класса—
осевые и поверхностные.
Осевые системы координат удобно связать с магнитной осью
конфигурации, выбрав в качестве одной из координатных линий
магнитную ось. При этом естественно определяется зависимость
равновесия и устойчивости плазменных конфигураций от геомет-
геометрических характеристик магнитной оси — ее кривизны k и круче-
кручения х.
Поверхностные системы координат—это системы, в которых в
качестве одного из семейств координатных поверхностей принимает-
принимается семейство вложенных магнитных поверхностей. Такие системы
координат наиболее удобны для получения общегеометрических
критериев устойчивости. При этом форма магнитных поверхностей,
естественно, предполагается заданной.
Для нахождения магнитных поверхностей приходится исполь-
использовать осевую систему координат. Наиболее подходящей для этой
цели оказывается «скругляющая» осевая система координат, маг-
магнитные поверхности в которой в окрестности магнитной оси имеют
круглые поперечные сечения. Равновесные характеристики плаз-
плазменных конфигураций в окрестности магнитной оси, а также харак-
характеристики квазиоднородных плазменных конфигураций наиболее
просто получаются при использовании преобразования от натураль-
натуральных поверхностных координат к скругляющим осевым координатам.
§ 1.1. Натуральная осевая система координат
Наиболее просто построить осевую систему координат, выбрав
в качестве координат х1 = х и х2 = у расстояния до магнитной оси
по нормали v и бинормали р, а в качестве третьей координаты х3 —
= s, взяв длину s, отсчитываемую вдоль магнитной оси [1]. При
этом радиус-вектор произвольной точки равен
r = ro + xv(s) + </p(s), A.1)
где ro(s) — радиус-вектор магнитной оси s.
Воспользовавшись формулами Серре—Френэ —— = т, —- =
ds ds
= kv, = —kx + xp, —— = —xv, легко получить выражение
ds ds
для элемента
dr = \dx + §dy+[{\—kx)x + K{§x — xtj)]ds. A.2)
Отсюда следует, что квадрат элемента длины, определяющий мет-
метрику такой системы координат, равен
218

dl2=dx2 -f dy2 + 2(xdy—ydx) xds + [(\ —kxJ + n2p2] ds2, A.3)
где р2 = л:2 + г/2.
Если вместо координат х и у ввести полярные координаты р и 0
в сечении s = const, так чтобы угол 9 отсчитывался от нормали v,
& р было расстоянием до оси s, то
* = pcos6; «/ = psin0, A.4)
а элемент длины, согласно A.3), запишется в виде
dr = (v cos 0 + р sin 0) dp + ф cos 0—v sin 9) pdQ -f
+ [A — kp cos0) t + xp (P cos 0 —v sin 0)] ds. A.5)
Соответственно квадратичная форма для dl2 = gikdx'dxk опреде-
определится выражением
dl2 = dp2 + р2 dQ2 -f 2xp4Qds + [(l—kp cos 0J + x2p2] ds2. A.6)
Детерминант метрического тензора gih равен
g=(l— kxJ = (l~ yfepcos0J. A.7)
§ 1.2. Ортогональная осевая система координат
Как видно из выражения A.6), натуральная осевая система
координат превращается в ортогональную [18], если вместо 0
ввести угол со:
A.8)
о
Элемент длины в такой системе координат равен
dr = (v cos 0 + Р sin 0) ф -f (P cos 6 — v sin 0) pdco + hs rds, A.9)
а выражение для dl2 приводится к сумме квадратов
dl2 = dp2.+ p2da2 + h2ds2, A.10)
где
hs=\ — &pcos6. A.11)
§ 1.3. Скругляющая осевая система координат
Натуральную осевую систему координат A.2) можно сделать
вращающейся вокруг оси s с заданной скоростью прокручивания
6'(s), если ввести угол 6(s) между осью хг новой системы координат
и нормалью v [19]:
n \9\
= p sin и,
219

где
u = 6 + 6 = co + 8(s)— o(s). A.13)
Вычисление квадрата элемента длины приводит к выражению
dl2 = dxx2 + dyx2 + 2«' (г/х d^—xx dyL) ds + (h* + и'2 р2) ds2. A.14)
Здесь параметр и', согласно A.13) равный
и'=8' — х, A.15)
определяется кручением и координатной ос,и s и скоростью прокру-
прокручивания 6'(s) координатных осей хг и г/х вокруг оси s. Величины
р2, hsn g соответственно равны
Р2 = X,2 + г/i2; ha = 1 — k (хх cos б + yx sin 6); j ^
Осевые координаты х1( уи s, прокручивающиеся вместе с приосе-
выми сечениями магнитных поверхностей, можно преобразовать та-
таким образом, чтобы нормальные сечения магнитных поверхностей
в окрестности магнитной оси стали бы в новых координатах круглы-
круглыми. В общем случае нормальные сечения магнитных поверхностей
в окрестности магнитной оси являются эллиптическими, а полуоси
этих эллипсов прокручиваются с некоторой скоростью 8'(s) вокруг
магнитной оси s, причем угол 6(s) определяет ориентацию эллипса
относительно нормали v.
Уравнение магнитных поверхностей в окрестности магнитной
оси s, в координатах хг, ylt s, имеет вид
ф = ?or(s) {ei<s> *i2 + е-ч<8> уг2} = const, A.17)
где функция t)(s) характеризует отношение полуосей эллипсов
1в/1х = е\ .A.18)
a B0(s) — магнитное поле на магнитной оси s.
Как это следует из выражения A.17), магнитные поверх ности
в приосевой области можно сделать цилиндрическими, если в вести
полярные координаты гид соотношениями |
A-19)
A.20)
Запишем метрический элемент координатной системы A.12) в виде
dr = exdx1 + eydyi + esds. A.21)
Координатные векторы ех, еу, es соответственно равны:
eK = vcos6— Psin6; ey = vsin8 + pcosS; I
es = /ist—и' (ХгСу—yxftx).
220

Элемент длины в скругляющей системе координат г, сг, s при этом
представится в виде
ds, A.23)
где координатные векторы определяются выражениями:
er = Xx\tx cos ft -f XJfiy sin ft;
e# = (X2 ey cos ft — Kt ex sin ft) r; (! -24>
а
X3 = u'X1cosft—X2'sinft; A,4 = и' Я2 sin ft + Х^ cos ft. A.25)
Детерминант метрического тензора рассматриваемой системы ко-
координат равен
hs = 1 — kr (Ях cos б cos ft + К2 sin б sin ft) = 1 — rfc.
Введенная здесь система скругляющих координат г, сг, s, в кото-
которой квадрат расстояния от магнитной оси р2 = (X-fcosPv -\- X22sin2cr)r*T
наиболее удобна для нахождения магнитных поверхностей методом
разложения по степеням г.
Метрический тензор скругляющей системы координат г, cr, s
имеет компоненты
<7о—<7icos2ft, ft r sin 2ft, — (qor—ft' cos 2ft)
ftrsin2ft, r2(c
A.27)
§ 1.4. Натуральная поверхностная система координат
Для получения условий устойчивости тороидальных плазменных
конфигураций удобно использовать систему криволинейных ко-
координат хх, х2, х3, связанную с магнитными поверхностями рассмат-
рассматриваемой равновесной конфигурации.
Уравнения равновесия плазмы в магнитном поле В имеют вид:
yp==[JB]; j = rotB; div[B = 0. A.28)
Как следует из уравнений A.28), векторы В и j лежат на магнитных
поверхностях, совпадающих с поверхностями равного давления р.
Рассмотрим плазменные конфигурации, магнитные поверхности
221

которых представляют собой систему вложенных тороидальных по-
поверхностей, окружающих магнитную ось.
Если выбрать систему координат таким образом, чтобы коорди-
координаты х1 и х2 изменялись вдоль магнитных поверхностей, а х3 в по-
поперечном направлении, и принять магнитные поверхности за коор-
координатные поверхности х3 = const, то векторы В и j будут иметь по
две контравариантные компоненты, отличные от нуля, а \р лишь
одну ковариантную компоненту:
; j = /1e1 + /»ea;
B'pB^'
Как показано в работе [11], можно ввести натуральную поверх-
поверхностную систему координат, в которой х1 = 0, х% = ? — цикли-
циклические координаты с периодами изменения, равными единице;
Xs = V, где V — текущий объем системы вложенных магнитных
поверхностей, отсчитываемый от магнитной оси V = 0; детерминант
метрического тензора g= 1. Контравариантные компоненты век-
векторов В и j в такой системе координат выражаются инвариантным
образом через производные от потоков по объему V:
2; j = I'e1 + J'e2. A.30)
Здесь J(V) и Ф(У) —продольные, a I(V) и %(V) — поперечные пото-
потоки векторов j и В внутри текущей магнитной поверхности
dax; Ф =§ВАг±;/ = $#<гц, Х = $ВЛтц. A.31)
Отметим, что натуральная поверхностная система координат при-
пригодна не только для замкнутых тороидальных конфигураций, но
также и для пространственно периодических конфигураций, если
считать отождествленными начало и конец периода.
Из уравнений магнитных силовых линий и линий тока
В1 ~~ В2 ~ В3 ' j1 ~ /2 ~ j3 ( ¦ )
следует, что силовые линии В и линии тока j в натуральной поверх-
поверхностной системе координат—прямые линии. Условие выпрямлен-
ности силовых линий и линий тока A.30) и условие равенства еди-
единице детерминанта gik можно рассматривать как определение нату-
натуральной системы координат 6, ?, V, в которой координата 0 изме-
изменяется по малому обходу тора, а ? — по большому.
Из уравнения В = rot А следует, что векторный потенциал
в натуральной системе координат имеет две отличные от нуля кова-
риантные компоненты
A = OeJ—хе2, A.33)
причем любой другой векторный потенциал отличается от A.33)
добавочным градиентом произвольной функции.
222

Ковариантные компоненты магнитного поля В = уф + В/
можно выразить через скалярный потенциал ср и потоки J и /:
Кроме основных функций Ф, %, «/, /и их первых производных
по V, фигурирующих в соотношениях A.30), A.33) и A.34), целесооб-
целесообразно ввести следующие инвариантные функции:
р'==/'ф'_У'Х';0 = /'ф--У'Х-;
s=x'O"-o'x",
с помощью которых наиболее просто формулируются условия рав-
равновесия и устойчивости произвольных тороидальных плазменных
конфигураций. Первое из соотношений A.35) — следствие уравнений
равновесия A.28), а вторые два определяют функции Q и S.
Запишем метрический элемент в натуральной поверхностной
системе координат х1 = 6, х2 = ?,, х3 = V в виде
dr = e1dx1 + e2dx2 + edx3. A.36)
Координатные векторы ех и е2 находятся" из выражений A.30):
е1 = -17(Ф'1--/'в); e2=-L(/'B-x'J). A-37)
Р Р
Координатный вектор е можно представить в виде разложения по
векторам j, В и VV:
При этом функции кик удовлетворяют следующим, так называемым
«магнитным дифференциальным уравнениям» [10]:
Bvx = S—Bj*/1 у V |2; ByUQ- jj*/1 yV |2;
Как уже отмечалось, для определения метрики натуральной
поверхностной системы координат можно использовать преобразо-
преобразования от поверхностной системы координат к какой-либо осевой
системе. В частности, применяя ортогональную осевую систему
координат р, со, s, можно определить вектор е:
где L — длина магнитной оси рассматриваемой равновесной кон-
конфигурации. При этом для определения функций Q1 и t,x получаем
следующие магнитные дифференциальные уравнения:
BVei = x'— Ви/2яр; Ву?1=Ф'— BjhsL. A.41)
Общим при решении магнитных дифференциальных уравнений
является метод разложения по степеням удаления от магнитной оси.
223

Соответствующая задача будет рассмотрена далее при исследовании
равновесных конфигураций, причем в общем случае мы воспользуем-
воспользуемся преобразованием от натуральной поверхностной системы коор-
координат 9, ?, V к скругляющей осевой системе координат г, ¦&, s.
Глава 2. РАВНОВЕСНЫЕ ПЛАЗМЕННЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
§ 2.1. Равновесные аксиально симметричные
конфигурации плазмы
Исследование равновесных плазменных конфигураций сущест-
существенно упрощается при наличии пространственной симметрии задачи.
К таким конфигурациям относятся, в частности, аксиально симмет-
симметричные конфигурации с круговой магнитной осью и конфигурации
с винтовой магнитной осью, обладающие винтовой симметрией.
Мы остановимся сначала более подробно на случае аксиальной сим-
симметрии, а затем рассмотрим общий случай тороидальных равновес-
равновесных конфигураций, ограничиваясь при этом методом разложения
по степеням отклонения от магнитной оси.
2.1.1. Общие соотношения
Аксиально симметричные конфигурации удобно описывать
с помощью функций г|> = гЛф, /д = л9ф и р, зависящих только
от яр. В цилиндрической системе координат г, ср, z, связанной с осью
симметрии конфигурации, компоненты векторов В и j определяют-
определяются соотношениями [20]:
В=-_х, Br= .-^-, Вф = — B.1)
г дг г дг г
где штрихом обозначено дифференцирование по я|).
Функция г|)(г, г) удовлетворяет уравнению
J^^^-Ы;, B.3)
дг г дг дг2
которое зависит от произвольных функций р(г)з) и /л(гр), определяю-
определяющих распределение продольного поля Вф и плотности продольного
тока /ф по сечению плазмы.
Основные «поверхностные» величины Ф, %, /, /, определяющие
равновесие и устойчивость плазмы, для случая аксиальной симмет-
симметрии задачи представляются в виде
Х=— 2n^Bzrdr= — 2п\р, I=—2n^}zrdr=—2nIA; B.4)
Ф= У-^drdz, J = ^[rp' + '-^)drdz. B.5)
224

Если наряду с объемом V, ограниченным замкнутой магнитной по-
поверхностью 1|з = const, ввести функцию U так, чтобы
V = 2л J rdrdz; U = 2л \jdrdz, B.6)
то дифференциалы функций Ф и J выразятся через дифференциалы
V и U:
2nd<& = IAdU; 2ndJ = p' dV+ lAlAdU. B.7)
Уравнение равновесия A.35) для аксиально симметричных си-
систем можно представить в виде
^ = _^у .ix_i.^.A (Г2В 2). B.8)
dV dV dV 2 dV dV У ф ;
Отсюда следует, что величина «однородного» внешнего продольного
магнитного поля Вф ~ Mr не влияет на равновесие плазмы, которЪе
зависит только от магнитного поля, создаваемого токами в плазме.
Однако, как мы увидим далее, устойчивость плазмы определяется
именно наличием продольного магнитного поля.
2.1.2. Аксиально симметричные тороидальные конфигурации
в окрестности магнитной оси
Разложим функции р' и IaIa в ряд по степеням г|к
р'=_а—а'-ф —...; IA IA'/R2= —b — b' г|> —... B.9)
и будем искать решение уравнения равновесия B.3) в окрестности
магнитной оси г = R, z = 0 в виде ряда по степеням гиг2 — R2.
Налагая требование симметрии относительно плоскости z = 0 и
учитывая, что на магнитной оси dtyldr = dtyldz = 0, получаем с точ-
точностью до кубических членов включительно [9]
Мы видим, что в рассматриваемом приближении линейные по г|>
члены разложений B.9) не влияют на равновесную конфигурацию.
Сечения магнитных поверхностей -ф = const в окрестности магнит-
магнитной оси, с точностью до квадратичных членов, являются эллипсами,
отношение полуосей которых определяется постоянной v = ljlr.
Вторая произвольная постоянная с, определяющая амплитуду куби-
8 Зак. 495 225

ческих членов разложения B.10), может быть найдена из решения
граничной задачи.
Если рассматривать решение B.10) во всей плоскости г, г, то
вследствие наличия кубических членов разложения возникнут
сепаратрисы [1] магнитных поверхностей г|) = const. Координаты
ргбер сепаратрисы г|2, г1>2 зависят от постоянной с:
Рис. 1. Нормальные сечения магнитных поверхностей аксиаль-
аксиально симметричной равновесной конфигурации C.10):
а —с=1, 6/3=1; б— с=4/3, 6/а=1; в—с=— 4/5. Ь/а=\; г — с = — 8/3,
Ь/а— 1.
2v2
с—(а—'
B.11)
B.12)
Сечения магнитных поверхностей конфигурации B.10) показаны
на рис. 1. Соответствующее решение «обратной задачи» может быть
реализовано с помощью идеально проводящего экрана, располо-
226

экенного по контуру сечения одной из магнитных поверхностей,
окружающих магнитную ось г = R.
Таким образом, форма магнитных поверхностей равновесной кон-
конфигурации кубического по г — R и z приближения зависит от трех
постоянных параметров: v, с и b/а, причем отношение Ыа определяет-
определяется распределением токов в плазме. Ниже убедимся, что устойчивость
в
Рис. 2. Нормальные сечения магнитных поверх-
поверхностей аксиально симметричной равновесной кон-
конфигурации B.13):
а — Ь/а = 0; б— Ь/а=—1/7; в-Ь/а=—7; г—Ь/а=1.
плазмы в окрестности магнитной оси также зависит от параметров
кубических членов разложения -ф(г — R, z).
Нетрудно проверить, что при выборе констант таким образом,
чтобы коэффициент при (г2 — R2K обращался в нуль, выражение
B.10) дает точное решение уравнения B.3) при постоянных р' = —а
и IAlA' = —bR\ Полагая b = A — с)(а + 6)/A + v2), с0 = с(а +
+ ЬI(\ + v2), получаем точное решение в виде
B-13)
227

Сечения магнитных поверхностей равновесной конфигурации
B.13) показаны на рис. 2. Эти магнитные поверхности отличаются от
магнитных поверхностей для общего случая B.10) отсутствием реб-
ребра сепаратрисы B.12), расположенного при 2 = 0.
В полярных координатах р, со, ср, связанных с магнитной осью
г = R, 2 = 0; г — R = pcosco, z = psinco, решение B.10), с точ-
точностью до членов порядка р3 включительно, запишется в виде
¦ф = (ох cos2 со + а2 sin2 со) р2 + cos со (а3 cos2 со + а4 sin2 со) р3, B.14)
где параметры at выражаются через параметры конфигурации
B.10) формулами:
\2 R2 а + Ь . Я2 а + Ь
_
bi —
1+v2 2 1+v2
а=кс__ С2'15)
6
Уравнение равновесия B.8) в окрестности магнитной оси при.
нимает вид
B.16)
+ .
dV 1 +vs 4k*R 2R2 dV
Здесь /0 — плотность продольного тока в окрестности магнитной
оси г = R, а второй член в правой части уравнения B.16) харак-
характеризует степень диамагнетизма плазмы.
2.1.3. Плазменный тор эллиптического сечения
Рассмотрим решение граничной задачи при заданном попереч-
поперечном сечении внешней магнитной поверхности tjjs- Пусть поверхность
¦фи имеет эллиптическое сечение
22 + v02(r-tf0J = v0ap02, B.17)
центр которого расположен при г = Ro, z = 0, а отношение полу-
полуосей ljlr = v0. Если ограничиться случаем малой тороидальности,
то решение уравнения равновесия B.3), правая часть которого' раз-
разложена по степеням г|э согласно B.9), можно искать в виде ряда по
степеням малых параметров z/R0 и (г — Ro)/Ro-
Полагая х = г — Ro, будем искать решение в виде ряда по х,
z и р0, получим:
.)B2 + го2х2-го2ро2), B.18)
каждый член которого точно удовлетворяет граничному условию
а|? = 0 на поверхности тора эллиптического сечения B.17). При-
Приравняв члены при одинаковых степенях х, г и р0, получим:
А \ аЯг + ЫУ . в J B + 3v.')aJ?o» + Vo'»/?> B 19ч
А в
2* 1+vo2 ' 2Ro (l+vo2)(l+3vo2)
228

Как показывает выражение B.18), функция магнитных поверх-
поверхностей г|) обращается в нуль не только на граничной поверхности
B.17), но и на цилиндрической поверхности х = х0, где
х ^_ _ _ п
0 В " °
B.20)
При достаточно малом числителе в выражении B.20) эта магнитная
поверхность (перегородка) пересекает плазменный тор B.17), в ре-
результате чего в сечении тора возникает вторая магнитная ось и се-
семейство магнитных поверхностей расщепляется на два семейства
вложенных магнитных поверхностей {21, 22], причем вдоль появив-
Рис. 3. Нормальные сечения магнитных поверхностей аксиально симметрич-
симметричной тороидальной равновесной конфигурации при прохождении перего-
перегородки.
шейся второй магнитной оси-течет ток противоположного основному^
току направления (рис. 3). Положение перегородки х = х0 зависит
от величины
16я2 Rp' (V)
1?
B.21)
При достаточно малом р./ перегородка находится слева от сечения
плазменного тора тру. При увеличении |Jj она входит в сечение г|J,
причем в образующейся слева от нее равновесной конфигурации
p'(V) > 0, поскольку, согласно уравнениям равновесия, в окрест-
окрестности произвольной магнитной оси г = R имеют место соотноше-
соотношения:
р' (V)
!о
va
4л2 Rp' (V)
/о2
1
1+v2 l+6/o
B.22).
После того как перегородка х = xQ проходит сечение плазмы tys,
остается опять только одна магнитная ось, однако в полученной
равновесной конфигурации p'(V) > 0, т. е. давление может толь-
только возрастать при удалении от магнитной оси. Если давление р об-
обращается в исходной конфигурации в нуль на внешней поверхно-
8В Зак. 495 229

сти it>2, то при наличии перегородки давление слева от нее должно
быть равным нулю в силу непрерывности.
Положение магнитных осей первого (правого) и второго (левого)
семейств магнитных поверхностей определим, приравняв нулю z
и Щ1дг, в результате чего
*i,, =4 (*о ± VV + Зро2)- B.23)
О
Если Ру достаточно мало, так что |л:0| > р0, то, беря верхний знак
при х0 ¦< 0, имеем
*i = Po2/2KI- B-24)
Эта величина положительна, так что магнитная ось в этом случае
смещена вправо от центра сечения г — Ro на расстояние хх ~
~ Ро'//?.
Параметры v и с разложения ij; в окрестности магнитной оси
B.19) определяются производными
2
взятыми при г = R = i?0 + Xi_2. Дифференцируя B.18), получаем
v2= т3 г__ЩЩ?_. с=_^. i . B.26)
0 асТ^^ + Зр» 2 2^2 За
В случае достаточно малого р\/, когда |^о|^Ро' эти величи-
величины с точностью до членов. ~р02/^о2 оказываются равными
B.27)
2хо\
Таким образом, сечения магнитных поверхностей в окрестности
магнитной оси оказываются более вытянутыми вдоль оси г, чем се-
сечение граничной поверхности ор^.
При вхождении перегородки х = х0 слева в сечение tyx, когда
х0 = — Ро, магнитная ось г = Rt находится при хг = ро/3, a vx2 =
= 3vo2/2, причем v2-voo. Когда перегородка х = х0 находится
в середине сечения х0 = 0, обе магнитные оси расположены симмет-
симметрично Х),2 = ±Ро/|/Л3 и имеют одинаковую эллиптичность Vi,2 =
= ]/3v0. Наконец, в момент прохождения края сечения х0 = +р0
картина магнитных поверхностей получается из случая х0 = —р№
инверсией относительно центральной линии сечения х = 0. При
этом х2 = — ро//3; v22 = 3vo2/2; vx->- oo.
После выяснения характера решения граничной задачи в зави-
зависимости от параметра х0 нам осталось лишь связать х0 с основными
параметрами равновесной плазмы p'(V) и /0. Согласно B.20), найдем
отношение
a R l+3v02 + vo2*o/tfo
230

Согласно B.22) и B.28), получим $j в зависимости от параметра х0:
РУ 1+v2
B.29)
Условие | х01 С Ro соблюдается при малой тороидальное™, когда
перегородка х = хй пересекает сечение плазменного тора i|)z. Учи-
Учитывая это, выражение B.29) можно записать как
р\, = 6-^ 1+3v°2 , . B.30)
VJ 1 +v2 - 2х0 ± A + 3v02) KV + Зр2
Отсюда непосредственно видно, что в правом семействе магнитных
поверхностей хг > х0 давление спадает, а в левом хг < х0 нарастает
к периферии от магнитной оси, как и отмечалось выше.
Если потребовать, чтобы перегородка х = х0 не пересекала
плазменного тора и тем самым не выедалась часть плазмы, то это
приводит, согласно B.30) и B.26) при х0 = —р0, к следующему ог-
ограничению на равновесное значение pV
B+3vo2Jpo " ( }
В случае круглого поперечного сечения плазменного тора v0 = 1
получаем [23, 24]
Ру<Я„/Ро- B-32)
Таким образом, равновесное состояние со спадающйм^давлением
существует только при достаточно малом давлении плазмы, так что
Р./ = —4р'(р)/р/0а должно быть меньше отношения большого радиуса
плазменного тора Ro к малому радиусу р0.
Если не выполняется сильное неравенство f>j С /?0/р0, то, как
это следует из соотношений B.26), даже в случае круглого попереч-
поперечного сечения плазменного тора v0 = 1 появляется эллиптичность
приосевых сечений магнитных поверхностей v > 1, а это, в свою
очередь, влияет на устойчивость плазмы.
2.1.4. Плазменный тор с круглыми приосевыми селениями
магнитных поверхностей
Описанный выше метод разложения по степеням расстояния от
магнитной оси применим для всего сечения плазменного тора толь-
только для квазиоднородных конфигураций, когда плотность продоль-
продольного тока почти постоянна по сечению плазмы. В противном случае
для нахождения магнитных поверхностей необходимо более аккурат-
аккуратное решение уравнения B.3). Для получения соответствующего
решения более удобно использовать осевую ортогональную систему
координат р, о, ф, связанную с круговой осью г = R. При этом
8В* 231

соотношения B.1) и B.2) преобразуются к виду:
Bp = -i-.^, вй=_1^,Бф = /л/г; B.33)
pr aw r ар
/р = — --г4, /о^-1/, /Ф = гр'+^-^. B.34)
Соответственно функция -ф (р, со) удовлетворяет уравнению
!.А. p..*E+_L.A.I.i*=_/7,'_ id^dl, B.35)
р dp r dp р2 9со г (Э(о г
где р(г[з) и /л(^) — произвольные функции, а г = R -{- pcosco.
Если ограничиться случаем квазикруговых поперечных сечений
магнитных поверхностей и считать малым отношение p/R, то в пер-
первом приближении
f Mp)cosco, B.36)
причем fjfo ~
Решение уравнения B.35) просто получить, если ограничиться
линейными функциями
Ia (ty) = /0 + V 'Ф; Р' (Ч>) = Ро' + Ро" 'Ф-
При этом уравнение B.35) является линейным, и его решение мо-
может быть выражено через бесселевы функции. Для /0(р) и /х(р) по-
получаем:
-(р/о')' + е2/о=— #/0; B-37>
Р
— (pfi)' -f-1 e2 1 /j = — ^j- p'. B.38)
р V р / -*^ /о
Решение уравнения B.37), определяющее нулевое приближение
для функции а|з и имеющее вид
г|з = /0(р) = -^ЧЛ)(ер)—1], B.39)
е2
описывает плазменную конфигурацию, распределение токов в ко-
которой зависит от произвольных постоянных параметров е и у:
/р = 0; /о = 7 /о Л (ер); /ф = /о Л) (еР).
а компоненты магнитного поля определяются выражениями:
1(р) в д +k
е е
Решение уравнения B.39) для f1 можно представить в виде
/о ё ' L ер
232

При этом сечения магнитных поверхностей в окрестности г = R
будут круглыми. К функции /х(р) можно добавить произвольное
решение однородного уравнения B.38), равное const J^ep), и полу-
получить, например, функцию г|з(р, со), которая постоянна на окружности
р = р0. Таким образом, получим решение граничной задачи при
заданном сечении внешней магнитной поверхности -ф2, аналогично
предыдущему разделу.
Добавляя к функции /0 постоянную, так чтобы W(p, со) обращалась
в нуль на окружности р = р0, в системе координат, связанной с кру-
круговой осью г = #0, расположенной в центре сечения плазменного
тора, получим
причем
B.42)
где /х(р) определено выражением B.40). Поскольку х = г — Ro =
= pcos со, то положение перегородки W — 0 определяется формулой
_ рМр)
Требуя, чтобы перегородка не пересекала внешний контур сечения
плазмы р = р0 и оставалась левее него, получаем условие
Ро<7~^7- B-43)
Здесь для раскрытия неопределенности использовано правило Ло-
питаля.
Если пренебречь эллиптичностью магнитных поверхностей в ок-
окрестности магнитной оси и определить C^ как предел отношения
—4р'(р)/ру2 при р ->• 0, то величина у, согласно уравнению равнове-
равновесия, выразится формулой
еВ0
откуда следует, что азимутальный ток /и меняет знак при E^ = 2.
В случае продольного тока, спадающего до нуля на границе плаз-
плазмы ер0 ~ 2, 4, из неравенства B.43) вытекает ограничение fb <
< 3R0/bp0. Таким образом, равновесное значение (Зу оказывается
ограниченным величиной порядка R0/p0[23].
233

2.1.5. Натуральная метрика
В рассматриваемом случае аксиально симметричных конфигу-
конфигураций с круговыми сечениями магнитных поверхностей можно оп-
определить метрику натуральной координатной системы Хамады 0,
t, V для произвольного распределения токов в плазме, если вос-
воспользоваться методом разложения по малому параметру p/R. Для
нахождения координат 0 = со/2л + вх и ? = <р/2я + ?t необходимо
решить магнитные дифференциальные уравнения A.41):
1 dtb 2я
Г|
1А
2я
B.44)
Функция \р представляется при этом в виде -ф = /0(р) -f- /x(p) cos со
где /о ~ R, h ~ р. Отсюда с точностью порядка p/R имеем
Р = РФ—(fi/fo') cos со,
где рф — постоянно на магнитных поверхностях. Вычисление V =
= V(ijj), согласно формулам усреднения
2я 2я
rpdco
дает с той же точностью
fo
Л»'
.].
Таким образом, уравнения B.44) принимают вид
BV01=
P2 I- /o'
cos©;
Отсюда, поскольку (BV)~—(fo'/pR)d/da>, получаем
Ра V /о'
Координатные векторы е' = ух' выражаются формулами:
VO — ^9l 4-( l -i- д®* \ — ¦ ^
др р \ 2п да 1 Р
B.45)
I
Р
B.46)
234

Для координатных векторов ех и е2 имеются точные выражения
A.37), в то время как вектор е3 = IV00?] определяется из приведен-
приведенных выражений с точностью до членов порядка p/R. Таким образом,
[г» U' (tfl-F (i|>)] еф};
B.47)
В окрестности магнитной оси, или для квазиоднородных конфи-
конфигураций, координатный вектор е = е3 приближенно равен
IvVI2 «ivvi ар
Относительное различие векторов е и VW| W |2 имеет порядок
BJRB l/i?, и является существенным при \iR < 1.
§ 2.2. Равновесие произвольных плазменных
конфигураций
2.2.1. Магнитные поверхности в окрестности произвольной
магнитной оси
Регулярным методом нахождения магнитных поверхностей
является метод разложения функции я|з по степеням расстояния от
магнитной оси. Для квазиоднородных равновесных конфигураций
этот метод дает хорошее приближение для всего сечения плазменного
тора.
При заданном магнитном поле магнитные поверхности находят-
находятся наиболее просто, если использовать скругляющую систему коор-
координат г, Ф, s. Запишем контравариантные компоненты магнитного
поля в виде:
B.49)
Здесь / и F — тригонометрические функции if, коэффициенты ко-
которых являются периодическими функциями s и обозначаются той
же буквой, что и индекс, например:
n = по + nicos 2Ф + «2 sin 2ft + «з cos 4ft -f n4 sin 4ft. J
235

Величина j/g введена для удобства использования уравнения непре-
непрерывности
у g
и для рассматриваемой скругляющей системы координат представ-
представляется в виде
/г=-7Г = ^-A-'/с). B-52)
Функция /с имеет отличных от нуля лишь два коэффициента сх
и с2:
fe = kB~l /2 (в-ч/2 cos б cos 0 + gi/2 sin б sin Ъ), B.53)
где &(s) — кривизна магнитной оси s; B0(s) — продольное магнит-
магнитное поле на магнитной оси; e(s) = thr\(s) — параметр эллиптичности
приосевых нормальных сечений магнитных поверхностей; 6(s) —
угол большой полуоси эллипса с нормалью к магнитной оси;
S'(s) — угловая скорость прокручивания магнитных поверхностей
вокруг магнитной оси; v' — угловая скорость прокручивания маг-
магнитных силовых линий в окрестности магнитной оси. Величина v'
связана с параметрами приосевых магнитных поверхностей следую-
следующим соотношением, вытекающим из уравнения j = rotB:
B.54)
v
ch n
где и' = б' — к, x(s) — кручение магнитной оси.
Из уравнения divB = 0 получаются следующие соотношения,
связывающие введенные функции / и F:
У* + 4г + -1Г = 0-> B-55)
s
4/ + 0_ ^.6)
дд- ds
Поскольку, согласно определению, вектор В лежит на магнит-
магнитной поверхности г[) = const, функция т|з должна удовлетворять урав-
уравнению
+Б+В^ = 0, B.57)
дх1 дх2 дх3
Функцию магнитных поверхностей г|з(г, О, s) ищем в виде
^ = r2 + r*/a + r*fv + ... B.58)
236

Подстановка разложений B.49) и B.58) в уравнение B.57) приводит
к системе уравнений:
? ? = -9.; B.59)
dFv ,v, dfv 2F f д?а
левые части которых имеют стандартную форму.
Уравнение четвертого приближения B.60) отличается от урав-
уравнения третьего приближения B.59) наличием в искомой функции
члена vo(s), не зависящего от ft. Использование соотношений B.55)
и B.56) позволяет преобразовать правую часть уравнения B.60),
в результате чего получаем
dF dF д Fn 3/a2 ff \ , д (Fm 3,'/a2 f f \
Г + ~2 tJa) ^U 2 htaJ'
B.61)
Отсюда легко получить явное выражение для vo(s) путем усреднения
обеих частей равенства B.61) по ft:
Возникающая здесь произвольная постоянная опущена по прин-
принципу отбрасывания решений однородных уравнений B.59) и B.60),
что необходимо делать, если допустить существование весьма мало-
малого, но отличного от нуля прокручивания силовых линий, харак-
характеризуемого параметром v' Ф 0.
Уравнения для функций at(s) и v;(s), которые получаются из урав-
уравнений B.59)—B.61) в результате сравнения коэффициентов при оди-
одинаковых гармониках, сводятся к системе уравнений стандартного
вида:
где п — целые числа. Уравнения B.63) по существу уравнения
с постоянными коэффициентами, поскольку от переменной s можно
перейти к новой переменной v(s). Решение уравнений B.63) легко
найти методом вариации постоянных. Вводя комплексные функции
0- = СТ1 + ш2; 2 = 21 + i22, B.64)
получаем вместо системы B.63) одно уравнение
а' —то'сг = 2. B.65)
Исходя из требования периодичности функции о: a(s + L) = o(s),
находим решение уравнения B.65) в виде интеграла Мерсье:
с, I Г
g=e-C(L)_1 j e-'-'Sds. B.66)
s
237

Выражение B.66) для а целесообразно преобразовать к другой фор-
форме, более удобной для вычислений:
i
а = i
Г е-'12ds + einv <s> f e-Int> 2ds. B.67)
2 sin [no (L)/2]
Фигурирующая в формулах B.66) и B.67) функция ф) опреде-
s
ляется выражением v(s) = j" a'ds.
о
В случае, когда правые части уравнений B.63) содержат конеч-
конечное число гармоник по б', те же гармоники содержатся и в решении.
При этом решение уравнений B.64) проще находить непосредственно
в виде разложения по соответствующим гармоникам.
2.2.2. Равновесие плазмы в окрестности произвольной
магнитной оси
Задачу о равновесии плазмы в окрестности произвольной прост-
пространственной магнитной оси, или (что эквивалентно) задачу о рав-
равновесии произвольной квазиоднородной конфигурации, мы будем
решать, используя преобразование от натуральных координат
0, ?, V к скругляющим координатам г, ¦&, s. Соответствующее преоб-
преобразование, записанное в виде разложения по степеням г, ищем
в виде
B.68)
Используя уравнения равновесия в натуральной поверхностной
системе координат, приведенные в § 1.3, и правила преобразования
компонент вектора Bi = gihBk в скругляющей осевой системе коор-
координат, в низшем приближении разложения по г получаем формулы:
ф' (if) = я; %' (Ф) = — & v' (s) ds; V (Ф) = & —. B.69)
Соответственно коэффициенты k% и V^ в разложениях B.68) и функ-
функции J'(O) и /'(Ф) имеют следующие выражения:
ШЖ *2=*^); B.70)
О0 /Я
V*=nV (Ф); Г (Ф)=/О/Во; /' (Ф)=Р' (Ф) V (<J>W (Ф) %' (Ф), B-71)
где B0(s) и /0(s) — магнитное поле и плотность тока на магнитной
оси.
238

Контравариантные компоненты векторов преобразуются как
дифференциалы координат, поэтому для компонент В имеем:
Б'^=0; *'!¦!¦=*'• в'5-ф'- B-72)
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Из равенств B.68) и B.72) вытекают следующие уравнения
стандартного вида для функций fa, /p, /Y:
— + V — = — 2f a; B.73)
^ ^ ')fc; B.74)
Уравнение B.73) мы уже получали выше другим способом. Отметим,
что поскольку с3 = с4 = 0, то при учете равенства B.55) из урав-
уравнения B.75) следует:
ys = v4 = 0; 203 = К <*4; 204 = —k0 o8. B.76)
Уравнение B.75) для функции /Y имеет известную правую часть
B.53). Функцию /р можно выразить через /а и /Y, если воспользо-
воспользоваться уравнением B.55). В результате
u.. B.77)
Ковариантные компоненты преобразуются как компоненты гра-
градиента, и, следовательно, ковариантные компоненты В, которые
в натуральной системе координат 0, С, V, согласно A.34), имеют вид
Bl = l*L + J,*L-l, *L\, B.78)
в скругляющих координатах г, ¦&, s запишутся в виде
' \дг ^ дг дг да d» d» fc & йя /
B.79)
Представим скалярный потенциал q> и функцию магнитных по-
поверхностей ijj в виде разложений по степеням г с точностью до ку-
кубических членов включительно:
^ ..; B.80)
B.81)
239

Отсюда видно, что с той же точностью в разложениях функций
J(ty) и /(г|)) можно ограничиться линейными членами J(\p) =
i + ш /| +
Если приравнять ковариантные компоненты В в выражениях
B.79) и получаемые по формулам Bt = gihBk, где Bk определены
выражениями B.49), то, сравнивая коэффициенты приг\\ г2, найдем
D3 = D4 = 0:
', 4DX=—B0(shTi/B0)', 2D2=t/shn; B.82)
Bo n0 = /ех У+—?2 /„, 4- и', (w' — u' ch ti) —-1- [е-ч (Во' + Bo tj')' +
+ еч (Во' — Во ti')'] + —¦ (е-1! cos2 б + ^ sin2 б). B.83)
Выразим правые части уравнений B.73) через известные функ-
функции. Согласно B.79) и B.80), ковариантные компоненты В в коор-
координатах г, ¦&, s представляются в виде:
*
В, = 2rFD + r2 C/ф
)+'il^+^)+-! B.84)
где для сокращения записи введены две новые функции /ф* и /й, оп-
определяющиеся соотношениями:
индексами фиФ обозначены производные по т|з и Ф в окрестности
магнитной оси.
В то же время, контравариантные компоненты В в той же системе
координат, согласно B.49), представляются разложениями:
B.86)
Сравнивая члены порядка г2 и г3 в соотношениях Bt ~ gikBk,
где gik определены в A.27), получаем следующую систему урав-
уравнений:
B.87)
240
=q1 sin 2Qfa+(q0+ql cos

В результате сравнения коэффициентов при одинаковых гармони-
гармониках из B.87) получается шесть независимых уравнений, связываю-
связывающих функции q>i*(s), 92*(s), <p3*(s), <Pi*(s), ai(s), a2(s), as(s), a4(s).
Две из этих функций можно задать произвольно. Если выбрать
в качестве произвольных функций а3 и ai и исключить функции
Ф;*, то аг и а2 можно выразить через а3 и а4:
2а, =, Pl~2?lfl3 ; 2а2 = -Рг~2?1°4 , B.88)
где функции pi и р2 определяются выражениями:
2pi = too' + <?i') Ci -(З^о -<?i) (с/ —у' с2) —
—Fи' + УФ)са/В0
2р2 = too' — <7i') С2— C?о + <7i) (са' + f' сО + (бы' + /Ф) сх/В0 -
-2/7* КФ Та/Во- B'89)
Уравнения для параметров магнитных поверхностей сь? (s) за-
запишутся при этом в виде:
a,'—»'«!= —P2~2?lfl4 , a/ —3o'a8=—2a4.
2<? + ?
B.90)
Параметры рг определяются через at и уг с помощью равенства
B.77), а параметры yt удовлетворяют уравнениям
Yi' + w'Y2= —2&2Сь | 91
Y2'—у'Yi= — 2^2с2 J
с известными правыми частями, поскольку
к9 = Фу/В0;
1/2T1/2 B.92)
Произвольные функции а3 и а4, от которых зависят правые ча-
части уравнений B.90), характеризуют магнитное поле третьей гар-
гармоники по ¦д. В случае круглых приосевых сечений магнитных по-
поверхностей, когда qx = 0, параметры ах и а2 (входящие в выражение
для магнитной ямы) оказываются полностью определенными. Ам-
Амплитуды третьей гармоники магнитного поля а3 и ai могут быть
определены по заданному внешнему магнитному полю. Однако бо-
более простой задачей является граничная задача нахождения магнит-
магнитных поверхностей по заданной внешней магнитной поверхности if^.
Решение этой задачи дает возможность, в частности, установить
зависимость глубины магнитной ямы, а, следовательно, и устойчи-
241

вости равновесной конфигурации от геометрических свойств маг-
магнитной оси и от формы поперечного сечения плазменного тора.
Функции а3 и а4 легко определить по заданному профилю по-
поперечного сечения граничной магнитной поверхности т|;2, если счи-
считать малым смещение магнитной оси от центральной линии сечений
поверхности г^. Пусть смещение магнитной оси описывается в «де-
«декартовых» координатах х = rcosu, у = rsinft двумя функциями
xo(s) и yo(s).
В системе координат
B.93)
связанной с центром сечения поверхности г|J) функция г|> имеет вид
Ч> = A + rx fд) (V + п* /0 - V) + /¦„», B.94)
где коэффициенты ot(s) можно считать заданными функциями, по-
поскольку считается заданным профиль нормального поперечного се-
сечения поверхности if>s:
r^ + r^U^r*. B.95)
Выражая i|> = r2 + r3fa в новых координатах хх, ух и сравнивая
выражение B.95) с B.94), получаем при малых Ах и А2:
А1 = 2х0/г0\ А2 = 2у0/г0\ А3 = 0, А4 = 0;
а1 = а1 + А1) a2 = a2 + A2, a3 = a3, a4 = a4. B.96)
Таким образом, в рассматриваемой постановке задача определения
функций aa(s) и a2(s) сводится к решению стандартной системы урав-
уравнений
B.97)
с известными правыми частями. Метод решения таких уравнений
приведен в конце предыдущего раздела.
В общем случае несимметричность профиля поперечного сечения
граничной поверхности if2 определяется четырьмя функциями alt
a2» °з> a4- Если ограничиться случаем симметрии относительно оси х,
то А2 = 0, о2 = сг4 = 0, и остаются две произвольные функции а1
и а3. Можно положить а3 = 0 или же ах = 0, выбирая, тем самым,
поверхность \jpx из семейства поверхностей, которые имеют соответ-
соответственно одно или три ребра сепаратрисы. При этом следует иметь
в виду, что поперечные размеры семейства вложенных несимметрич-
несимметричных сечений магнитных поверхностей B.95) ограничены сепаратри-
сепаратрисой, так что величина г0, вообще говоря, не произвольна.
242
а,' —у'а, = ^^4

§ 2.3. Интегральные характеристики равновесных
тороидальных конфигураций
Основные интегральные характеристики замкнутой магнитной
конфигурации, представляющей собой систему вложенных магнит-
магнитных поверхностей, окружающих некоторую пространственную маг-
магнитную ось, следующие: текущий объем V, продольный магнитный
поток Ф и поперечный магнитный поток х- Дифференциалы этих
функций, т. е. объем и потоки, заключенные между двумя сосед-
соседними бесконечно близкими магнитными поверхностями, можно по-
получить из выражений [19]:
dV = § fg dr di> ds\
B.98)
= — [YgB*drdbds,
записанных в скругляющих координатах г, й, s, где L —длина маг-
магнитной оси конфигурации. Для незамкнутых периодических кон-
конфигураций L — длина магнитной оси между отождествленными кон-
концами. В справедливости выражений B.98) легко убедиться, если
учесть, что элемент объема и контравариантные компоненты пред-
представляются в виде
dx = Vgdrd$ds, |
B.99)
и перейти по теореме Гаусса к интегрированию по поверхности слоя
с разрезом s = О, L во втором интеграле и ¦& = 0,2 л в третьем ин-
интеграле B.98). При учете соотношений B.99) можно получить так-
также следующие выражения для элементов dO и d%:
d$) = SygB3drd®; d% = $VgB2drds. B.100)
При вычислении удельного объема У'(Ф) и удельного потока %'(Ф),
от которых зависит устойчивость равновесной конфигурации,
удобно ввести продольный поток d<& под знак интеграла по s. Та-
Таким образом, согласно B.98) и B.100), находим:
^'*'» B.101)
Для вычисления этих величин в окрестности магнитной оси,
или для квазиоднородных конфигураций, запишем выражения
B.49) и B.52) сокращенно в виде:
r(l+rb*), B.102)
243

где в функциях б2 и bs учтены также и кубические по г члены раз-
разложений B.49). С точностью до величин порядка г3 включительно,
согласно B.58), имеем
B-103)
д^/дг 2 ¦
Если заменить теперь в интегралах B.101) переменную интегриро-
интегрирования dr на dty
d^=^dr B.104)
дг
и учесть, что dty можно вынести за знак интеграла, то
У'(Ф)=§а? (l -Jgj- f (l-2>^/e)(/e + 6>)d#}; B.105)
-bs)d® . B.106)
Заметим, что в первом приближении, согласно B.100) и B.103),
с(Ф = j rdrdb = ndijj, так что в окрестности магнитной оси имеет
место приближенное равенство Ф = лг|з.
Интегрируя B.105) и B.106), получаем следующие выражения:
= f ~(l--K-2a;c;)|; B.107)
Х'(Ф)= с6~{к'--[(по-а^,I;'-то + а,бл], B-108)
J В \ п )
где подразумевается суммирование по индексу «t». Эти выражения
для У'(Ф) и Х'(Ф), записанные в виде контурных интегралов по маг-
магнитной оси, представляют собой, по существу, первые члены разло-
разложений У(Ф) и %'(Ф) по степеням продольного магнитного потока Ф.
Значения V и %' на магнитной оси соответственно равны
?; Х
Во 2л
B.109)
В то же время вторые производные V" и %" определяются выраже-
выражениями:
V"=- --S^(no~-2aiCi)= - -i- fds ( -^- + 2У'ъа,) ; B.110)
n J В л J \ B J
л
X"== — — (j)^-[(«o—агС;-)и'—то + аг6;]. B.111)
2я2 J Bo
244

Отсюда видно, что величины V" и %" — характеристики магнитной
ямы и перекрещенное™ магнитных силовых линий соответственно
определяются в окрестности магнитной оси компонентами маг-
магнитного поля B.49) и параметрами а, магнитных поверхностей
B.58) третьего приближения в разложении по степеням г.
Кроме основных «поверхностных» величин V, Ф, X -и их произ-
производных в теории равновесия и устойчивости фигурируют еще сред-
средние значения по объему слоя, заключенного между соседними маг-
магнитными поверхностями. Соответствующие средние значения, обо-
обозначенные угловыми скобками, в скругляющих координатах г, ¦б1, s
определяются формулами
d
</>
dv J {fgdrdtds jdsB^1 \hsrdr dl)
In 2л
= (Cds_ \.f!hLdll XM'M^I_ BЛ,
Bo '^ Зг^/дг I J Bo J б\|з/с'/'
В нулевом приближении в окрестности магнитной оси выражение
для среднего значения произвольной функции / принимает вид -
2л
</> = —— <?—f fdb. B.113)
Подставив в выражение B.110) величину п0 из формулы B.83)
и функции c-l и с2 из формул B.92), получим выражение для харак-
характеристики магнитной ямы У" в виде контурного интеграла по маг-
магнитной оси
7
/л
F ?
[е-ч(В
—/г2 (е-1! cos2 б + en sin2 б) +
n6)| . B.114)
Члены подынтегрального выражения B.114) целесообразно проин-
проинтегрировать по частям, используя при этом соотношение B.54)
[14, 25]:
/о2
fe2 1
A —e cos 26) chii
S I ~ оП/2 с'п Л\
0' /2 (aj е-ч/2 cos б + a2 ei/2 sin б) j . B.115)
245

Здесь е = th т| — параметр эллиптичности приосевых нормальных
¦сечений магнитных поверхностей.
Параметры магнитных поверхностей аг и а2, входящие в выра-
выражение для V", определяются стандартной системой уравнений
{2.90), причем в правые части этих уравнений входят члены, содер-
содержащие функции уг и у2, которые определяются также из стандартной
системы уравнений B.91). От этих членов в правых частях уравне-
уравнений для at и а2 можно избавиться, если представить аг и а2 в виде
двух слагаемых
а1 = а1,+ай аг = «2 + «2- B.116)
При этом в выражение для V" будут входить только ах и а2, которые
удовлетворяют стандартной системе уравнений с известными правы-
правыми частями. Действительно, определим ах и а2 таким образом, что-
чтобы они удовлетворяли уравнениям:
°i +oaj= — — ; a2 —vat=—- — . B.117)
'Ч'' ^ + З11
С учетом этих уравнений, а также уравнений B.91) для функций
Yi и у2 получим с помощью интегрирования по частям
(j) kB0-3'2 (ax е-1!/2 cos б + a2 ei/2 sin 6) ds =
- BЛ18)
Отсюда выражение B.115) для V можно представить в виде
— —A-е cos 26I сЬтЦ ^
2 V J 4fi02 ch tj
cht] l2-B
ri/2cos6 + a2ei/2sin6)|, B.119)
где а± и a2 — решения уравнений B.90) или B.97), в правых частях
которых отброшены члены су, и у2, входящие в выражения B.89)
для функций р! и р2.
В заключение приведем приближенные выражения для коорди-
координатных векторов натуральной поверхностной системы координат
6, ?, V в окрестности магнитной оси, которые следуют из соот-
соотношений B.68).
246

Для е' = Vx' имеем:
е1 = —- (К cos ft е„ — К sin ft еж);
уг X, ся
е„);
B.120)
e3 = 2лгВ0 V (X2 cos ft ex + Xx sin ft ew).
Соответственно координатные векторы elt e2 и е3 = е равны:
\ oin А о R 1/' '
е1= 2nr
sin О еу - Во V f4 x).
B.121)
Глава 3. УСЛОВИЯ ГИДРОМАГНИТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ПЛАЗМЫ
§ 3.1. Энергетический принцип
Методы, основанные на использовании энергетического прин-
принципа [26], являются наиболее эффективными методами исследования
гидромагнитной устойчивости плазмы. Однако устойчивость про-
простейших конфигураций типа плазменного цилиндра может быть
с одинаковым успехом рассмотрена и непосредственно методом
малых колебаний.
Для устойчивости плазменной конфигурации, удерживаемой
в равновесии магнитным полем В
Vp=[jB]; j = rotB; divB = 0, C.1>
необходимо и достаточно положительности потенциальной энергии
[26] bW = bWt + 6U72 -{- bWe при произвольных смещениях плаз-
плазмы |:
(з.з>
V;
№e = — Г (rot SA,J dx, Q = 6B = rot [|B]. C.4>
Здесь p — давление плазмы; В и Ве — невозмущенные магнитные
поля; 6В и 6Ве = rot6Ae — возмущающие магнитные поля соот-
247

ветственно внутри и вне плазмы; 2 — граница плазмы с внешним
магнитным полем; п — внешняя нормаль к поверхности 2. Квадрат
частоты выражается через 8W соотношением со2 = 28W/} p\?,\2dx,
где р — плотность.
При использовании уравнения равновесия в форме
C.5)
и аналогичного уравнения VBe2l2 = (BeV)Be для внешнего магнит-
магнитного поля, а также граничных условии пВ = 0 и пВе = 0 на гра-
границе плазма — вакуум, выражение для поверхностного интеграла
приводится к виду - •
6Н72 =-I j {В (BV) n-Ве (В, V)n}gn» da. C.6)
Отсюда следует, что в отсутствие поверхностных токов, когда
магнитное поле непрерывно на границе плазмы, 8Ws =0. Посколь-
Поскольку б Wе ^г 0, то достаточным для устойчивости будет при этом усло-
условие №(>0.
Как показано в работе [26], выражение для 8Wt можно предста-
представить в виде
;jx, C.7)
где % = |3 = §Vl/ — контравариантная компонента | в натураль-
натуральной поверхностной системе координат.
В произвольной поверхностной системе координат выражение
для 8Wt можно представить в форме [10]
t = yJ{(Q +[je3U3J + W (div IJ + [je3] (B' -[j e3]) (^3J} dx, C.8)
где e3 — координатный вектор рассматриваемой поверхностной
системы координат; dx = exdxl + e2dx2 + е3^л:3, в которой коор-
координатные поверхности х3 = const совпадают с магнитными поверх-
поверхностями; В' = e-tdB^-Zdx3 + е2дВг/дх3. В натуральной поверхност-
поверхностной системе координат 0, ?, V выражение C.8) для bWt запишется
в виде [10]
i = \ \ !(Q + [j С] lf + УР (d'V lJ~{Q + lj C]2) ^' dT' C'9)
где | = ?3; е = еа; Q — поверхностная величина, определенная
в A.35).
Отметим, что выражения C.7) и C.8) не являются эквивалент-
эквивалентными (как это имеет место для случая цилиндрической геометрии
равновесной плазмы) и отличаются друг от друга некоторой пере-
248

группировкой членов. Формально выражение C.8) переходит
в C.7), если заменить в нем вектор е3 = Y~g [Vx1 Vx2] на вектор
§ 3.2. Устойчивость плазменного цилиндра
3.2.1. Малые колебания плазменного цилиндра
При условии цилиндрической симметрии равновесной плазмен-
плазменной конфигурации задача об устойчивости может быть решена
методом малых колебаний. Линейные волны, распространяющиеся
в такой конфигурации, представляют собой винтовые волны, и для
исследования устойчивости достаточно рассмотреть устойчивость
по отношению к каждой отдельной винтовой гармонике смещения
? = ? (г) Qim(f~ I kz-\- i at /3 JQ\
в цилиндрических координатах г, ср, г, характеризуемой волновыми
числами т. и k. В случае, когда в качестве модели тора используется
цилиндр с отождествленными торцами, расположенными при г =
= 0 и г = L, волновое число k, так же как и т, принимает дискрет-
дискретные значения k = 2nn/L.
Уравнение равновесия при цилиндрической геометрии плазмы
имеет вид
(р + ?2/2)'+г6ф = 0, C.11)
где Ьц, = Вф/r, а штрихом обозначена производная по г.
Уравнение малых колебаний приводится к одному уравнению
117] для функции F = г\Т:
I" rs F' у I m2 s 4а, ry%b fq+xb
\ 1 v ft ) \ г Rs V 1 v
-VJV = 0, C.12)
1-х rs I
где использованы следующие обозначения:
a — k/m; s= у2; y=aBz — Ьф;
рг2 со2 ( R2 ms cTa\-l
X — —; — D -+- —
C.13)
CT = (Yplp)l/2 — скорость звука; р — плотность.
Величина у, связанная с BV?r соотношением m\j\r = i
характеризует степень постоянства смещений вдоль силовых линий
249

магнитного поля. При у = О гребни волн направлены точно вдоль
магнитных силовых линий на текущей магнитной поверхности
г = const.
Вблизи границы области устойчивости плазменного цилиндра
со = 0, величина и -> О, и, за исключением случая у — О, в урав-
уравнении C.12) можно пренебречь всеми членами ~ к. Кроме того,
х->0 в случае, когда рассматриваются несжимаемые колебания
ст ->- оо. Устремив к к нулю, получим уравнение малых колебаний
для несжимаемой жидкости
^)_0. ¦ C,4)
Если положить в нем со = 0, то полученное таким образом уравне-
уравнение совпадает с уравнением Эйлера для функции г%т, минимизиру-
минимизирующей функционал 8Wt.
При у = 0 уравнение C.12) запишется в виде
2—со2/-2/ (г r@Lp Ps
где
с82 = ст2 + В2/р = (ур + 52)/р. C.16)
3.2.2. Условия конвективной и локальной устойчивости
В пределе о ->- 0, согласно C.15), получаем уравнение
Из C.17) следует [27], что необходимым и достаточным условием
отсутствия собственных функций с со2 < 0 является отрицательность
выражения в круглых скобках. Таким образом, получаем условие
устойчивости относительно «конвективных» возмущений, направ-
направленных вдоль силовых линий равновесной конфигурации [17]:
^°- C.18)
Условие C.18) будет необходимым, если у = 0 в некотором ко-
конечном интервале Лг, т. е. в случаях, когда существует такой интер-
интервал Ал, в котором отсутствует перекрещенность силовых линий
(j/ = (bq,/fiz)' =0. С учетом уравнения равновесия C.11) условие
конвективной устойчивости C.18) можно представить в виде
-ypBz'/Bz + p'>0, C.19)
250

откуда следует, что при р' <С 0 для устойчивости необходимо
Bz'/Bz < 0.
Если предположить, что возмущения локализованы в достаточ-
достаточно узком интервале Аг, то, как это следует из уравнения C.14),
необходимым и достаточным условием устойчивости относительно
таких «локальных» возмущений является условие Сайдема [12]:
'f-. C.20)
'г
Здесь первый член описывает стабилизирующее действие перекре-
перекрещенное™ силовых линий на локальные возмущения. Если учесть,
что \i(r) и р(г) разлагаются по четным степеням г, то легко видеть,
что для параболического распределения давления критерий C.20)
не выполняется в окрестности оси г. Однако если давление спадает
более медленно, то критерий C.20) может быть выполнен. Дейст-
Действительно, используя уравнение равновесия C.11), представим
C.20) в виде
р'>0. C.21)
Полагая р — роA — гЧсР), ]г — /0A — ег2/а2), получаем сле-
следующие ограничения, вытекающие из критерия C.20) для двух
частных случаев.
1. В случае квазиоднородного продольного тока е -> 0 для устой-
устойчивости необходимо
2. В случае параболического распределения продольного тока
е = 1 область неустойчивости относительно рассматриваемых ло-
локальных возмущений ограничена неравенствами
pB = 2p0/B2 C.23)
и при достаточно малом давлении плазмы локализована в узкой
области изменения /0 в окрестности joa/B — ~\^2 .
Отметим, что критерий конвективной устойчивости C.19) и кри-
критерий локальной устойчивости C.20) являются лишь необходимыми
условиями устойчивости плазменного цилиндра, поскольку при их
выводе накладывались некоторые ограничения на рассматриваемые
возмущения.
3.2.3. Неустойчивость тангенциальных разрывов
Если какой-либо из физических параметров изменяется доста-
достаточно быстро на малом интервале Аг, то для исследования устой-
устойчивости такой конфигурации можно аппроксимировать соответ-
соответствующее резкое изменение разрывом.
251

Ограничимся случаем несжимаемых колебаний и предположим,
что в окрестности г = г0 какие-либо из коэффициентов уравнения
C.14) теряют разрыв. Проинтегрировав C.14) от г0 — 0 до r0 -f- О,
получим
= 0. C.24)
0 \ F i Fe
Здесь индексами «г» и «е» отмечены предельные значения соответ-
соответствующих величин при г0 — 0 и г0 + 0. При известных отношениях
Fi'/Ft и F'e/Fe уравнение C.24) представляет собой дисперсионное
уравнение для определения частот колебаний различных винтовых
гармоник.
Уравнение для функции Fe в области вакуума можно формально
получить из уравнения C.14), положив в нем р = 0. Введя новую
функцию / = yF = ry\, получаем для вакуумной области урав-
уравнение
"_^!д, = 0. C.25)
Соответственно дисперсионное уравнение C.24) для границы плаз-
плазма — вакуум запишется в виде
Ч-V —Ь%1 + ь1е = 0, C.26)
где учтено, что в вакууме отсутствуют токи и, следовательно, Bze =
= const, B^ ~ 1/л Полученное уравнение C.26) можно вывести и
другим способом, исходя из баланса давлений на возмущенной гра-
границе плазмы [17].
В общем случае, произведя замену переменных / = y~sF в урав-
уравнении C.14), получим
При р = const это уравнение преобразуется к виду
где /ц и j±—следующие комбинации компонент плотности тока:
/' II = iz + arh; /jl = h—<*Пг ¦
Соответственно дисперсионное уравнение C.24), выраженное че-
через U и fe, будет
'¦jf—'-if—TlyJi -УеН)~ f D-^) = 0. C.28)
252

В случае /z = const, B2 = const уравнения C.14) и C.27) при-
принимают вид
где е = 2cM/b<p/s = const. Это уравнение, как и уравнение для ва-
вакуумной области C.25), имеет точные решения, выражающиеся че-
через бесселевы функции:
f=--eJm(xr)—a%rJm'(xr), х2 = е2—&2; C.30)
?е = с1Г1т'{кг) + сггКт'(кг). C.31)
В общем случае в связи с трудностями решения уравнения
C.27) для внешней области при рсо2 Ф 0 исследование внутренних
разрывов в плазме удобнее производить на основании энергетиче-
энергетического принципа. Здесь мы ограничимся лишь разрывом на границе
плазма — магнитное поле.
Рассмотрим сначала случай, когда внутри плазмы нет токов
р — const, а имеются только поверхностные токи при г — а. При
этом, согласно уравнению C.26) или C.28), имеем
т2 = 01 . A I a2Bl. (L. _ (аВ &J/*:_КД . C.32)
Р fi { fi fe Г )
Здесь fi и fe выражаются через бесселевы функции формулой C.31).
Для наиболее опасных длинноволновых колебаний • аг <^ 1 из
C.32) вытекает, что в случае BZe = 0 для устойчивости достаточно
Бфе2< ДгД а в случае BZe = Bzi должно выполняться условие [28]
Bv/krBz<i. C.33)
В отсутствие поверхностных токов из C.26) вытекает следующее
дисперсионное уравнение:
i (?f!?)}. C.34)
J
Отсюда видно, что в окрестности у = 0, когда возмущения почти
параллельны магнитным силовым линиям на границе плазмы г = а,
возможна неустойчивость а>2<;0. Максимальное значение квадрата
инкремента —со2 по переменной у равно
2 т2 Ь%
-сомакс = -?priFt>,Ft){F.>iFl_fe>/fe) ¦ C-35)
Входящая сюда функция fe определяется выражением C.31), а
функция Ft является решением уравнения C.14). Для случая од-
однородного тока jz = const, Bz = const, функция ft =ysFt выра-
выражается формулой C.30). Полагая для длинноволновых колебаний
fe'lfe = —m//r> Fi'lFi = mlr, получим, согласно C.35),
2
Д2
2 ф
2ра2
253

независимо от номера гармоники т. Таким образом, граница плаз-
плазма — вакуум в отсутствие поверхностных токов оказывается не-
неустойчивой относительно винтовых возмущений, причем инкремент
развития этой неустойчивости порядка альфвеновской скорости,
рассчитанной по азимутальному полю на границе плазмы г = а,
деленной на а. Заметим, что условие устойчивости для каждой от-
отдельной гармоники т, как это следует из C.34), можно записать
в виде [29]
kaBz m
однако, в отличие от условия C.33), это условие не может быть вы-
выполнено для всех гармоник т. Оно свидетельствует лишь о неустой-
неустойчивости плазменного цилиндра со свободной границей в случае од-
однородного продольного тока.
3.2.4. Применение энергетического принципа
Как уже отмечалось выше, для исследования устойчивости плаз-
плазменного цилиндра достаточно рассмотреть устойчивость каждой
отдельной винтовой гармоники | = §(r) e'**"', a = k/tn. Усло-
Условия минимизации 8Wt можно записать в виде [16]
C.36)
?ф?г|); 6I geg,
* /я ту
где ? = lr; by = Вф/r; у = aBz — 6Ф. Из C.36) вытекает, что div| =
= 0, т. е. наиболее опасными для устойчивости являются несжима-
несжимаемые колебания. Кроме того, как показывают выражения C.36),
смещения \z и ?ф сдвинуты по фазе относительно смещения % на я/2,
и при Вф Ф 0 радиальное смещение ?г приводит к значительному
смещению вдоль винтовых линий q> — az = const, когда эти линии
направлены почти вдоль магнитных силовых линий у ~ 0.
Используя вместо радиальной компоненты смещения ? перемен-
переменную /= гу%, можно представить сумму bWt + bWe = SW0 в виде
единого интеграла, распространенного как на область, занятую
плазмой 0 <Сг < а, так и по внешнему магнитному полю а<г<; Ь:
C.37)
При этом величина
61FS = nLaV (a) [b% (a)—b%e (а)}. C.38)
Функция /, минимизирующая C.37), удовлетворяет уравнению
Эйлера
h
ry
254

С учетом уравнения равновесия C.11) это уравнение преобразуется
к виду
Р У I г Рг/ V Р / Р#
Таким образом, уравнение Эйлера для функционала C.37) совпа-
совпадает с уравнением колебаний несжимаемой жидкости C.27), если
положить в нем и = 0. Для переменной ? = ?г уравнение C.39)
можно преобразовать к виду [16]
Условием устойчивости плазмы с «закрепленной» границей яв-
является отсутствие нулей ?(г) в интервале 0 < г < а [16]. Согласно
C.39), достаточным условием устойчивости будет
>0, C.41)
и неустойчивость возможна лишь в узком интервале изменения у
в окрестности у — 0, т. е. для возмущений, которые почти постоян-
постоянны вдоль магнитных силовых линий BV? » 0. В случае, когда
продольный ток почти постоянен // ~ 0, условие C.41) принимает
вид
, _ 2V V > 0 . (з.42)
н m*B* у '
Таким образом, при малом отношении 5(p/Bz для устойчивости до-
достаточно, чтобы р' было положительным и большим некоторой ма-
малой величины.
Согласно C.40), достаточные условия устойчивости для плазмен-
плазменного цилиндра с закрепленной границей Ь,(а) =0 можно записать
в виде двух требований отдельно для m = 1 и m > 2:
krBz>B9] гр'-Ц^-.'^>0, C.43)
tTl 1 LJ2,
причем, в отличие от условия C.42), здесь не предполагается каких-
либо ограничений на распределение тока.
Условия C.42) и C.43) локальные, т. е. должны выполняться на
каждом радиусе г. Для выполнения этих условий необходимо
Р'(г) > 0.
В отсутствие продольного поверхностного тока, когда Вф не-
непрерывно, 8Wx = 0 и 8W = bW0. Допуская возможность разрыва
плотности тока при г = г0 и принимая, что при г = b выполняется
граничное условие f(b) = 0, а / удовлетворяет уравнению Эйлера
C.39) в обеих областях 0 < г < г0 и г0 < г •< Ь, получаем с помощью
интегрирования по частям в C.37)
) ) C-44)
255

Необходимым и достаточным условием устойчивости является
положительность б W. При наличии разрывов на других радиусах
условия сшивки решения на них: ?г = |е, \{ = |е'. В выражении:
C.44) величина 6W определяется разностью значений /ц и /7/ при
стремлении г ->¦ г0 из внутренней области (i) г < г0 и из внешней
(е) г > г0.
При исследовании неустойчивости разрывов следует иметь
в виду, что необходимым условием существования такой неустойчи-
неустойчивости является отсутствие особых точек rs, где y(rs) = 0, внутри
плазмы [30]. В противном случае смещение ? = flry обращается в бес-
бесконечность в особой точке г = га.
Для первой моды' т = 1 длинноволновых возмущений ka <^ 1
уравнение Эйлера C.40) имеет приближенное решение ? = const.
Подставив в выражение C.44) ft = ry, получим необходимое усло-
условие устойчивости у (а) > 0 или
Вт (а)
—^-— <1, C.45)
kaBz (а) У '
где k = 2n/L. Таким образом, критерий Крускала — Шафранова
C.45) — необходимое условие поверхностной устойчивости плаз-
плазменного цилиндра со свободной границей при произвольном рас-
распределении тока. Это условие представляет собой ограничение на
полный продольный ток и остается, очевидно, справедливым для
замкнутых конфигураций с длиной магнитной оси L.
В отсутствие поверхностных токов выражение для 8W можно
представить в виде трех слагаемых:
C.46)
Согласно этому выражению, плазма со свободной границей может
быть неустойчивой также и в том случае, когда объемные интегралы
положительны, т. е. имеется внутренняя устойчивость.
Внутренний разрыв плотности тока. Если пренебречь в C.40)
членами ~aV2, то уравнение Эйлера для функции | примет вид
(r3y2h')' — (m2 — 1) ry2l = 0
и соответственно уравнение для /
256

Рассмотрим конфигурацию с / = jz = /0 при 0 < г < г0 и / =
=/z = е/о ПРИ ''о < г < а- В этом случае потенциальная энергия,
согласно C.44), равна
причем / = схrm-\-c2r-m.
Сшивая решение на разрыве г = г0: ?_ = |+, Н_ = Е_|_, и полагая
Ь -> оо, так что /е = c3r-m, получаем
6W _
2nmLfai ~
к) г| —A—е)
C.47).
где т] = /пг/а/6фо, а величина г/ в области г0 < г <; а определяется
выражением
у = aBz0 — 6фо + A — е) 6фо A —го2/а2).
Условием устойчивости является положительность 8№ при
уа > 0. В случае г/а < 0 рассматриваемая поверхностная неустой-
неустойчивость не развивается, поскольку особая точка попадает внутрь
плазмы. Достаточными для стабилизации поверхностной неустой-
неустойчивости будут условия отсутствия нулей в числителе и знамена-
знаменателе C.27) при т) < 0:
0. C.48)
Для стабилизации первой моды т = 1 необходима конечная дли-
длина L = 2alk; kBz^> 6фа. Неустойчивость высших мод т ^ 2 может
не развиваться, если е ^ 0, т. е. когда плотность тока при г = г0
обращается в нуль либо меняет знак. В случае е = 0 условием от-
отсутствия поверхностной неустойчивости является [2]
^<1 -. C.49)
a2 m
Таким образом, если плотность тока спадает достаточно быстро,
так что этот спад можно аппроксимировать разрывом, то возможно
257

построить такую цилиндрическую модель тороидальной конфигу-
конфигурации, в которой отсутствует поверхностная неустойчивость. В слу-
случае, когда плотность тока спадает до нуля при г = г0, соответству-
соответствующие условия устойчивости: kaBz > Вф, го2/а2 < 1/2.
Бессиловая конфигурация. В отличие от случая однородного
распределения тока, бессиловая конфигурация / = гВ, г = const,
в которой Вг = B0J0(er), Вф = BoJ^er) может быть сделана внутрен-
внутренне устойчивой. При этом функция /(г) определяется выражением
C.30), где е = j/B, и достаточным условием внутренней устойчи-
устойчивости для пг-й моды будет [31] j/B<Cxml, где хт1 — первый ко-
корень Jm(x). При наличии же свободной границы возможна неустой-
неустойчивость разрыва плотности тока. Для стабилизации этой неустой-
неустойчивости необходимо, чтобы- особая точка rs, где y(rs) = 0, попала
внутрь плазмы. Так как гу(г) = B0[arJ0(sr) — J^er)], то для
устойивости при аг <^ 1 необходимо еа > х1Х. Если га ~ х1Ъ то
удовлетворяется также необходимое условие устойчивости C.45).
Таким образом, условия устойчивости плазмы со свободной
границей выделяют из класса бессиловых конфигураций с произ-
произвольными е = const конфигурацию сеа~ хп ~ 3,8, в которой про-
продольное магнитное поле Вг и плотность продольного тока /2 меняют
знак внутри плазмы при г/а ~ хО1/хг1 ~ 0,63.
Параболическое распределение плотности тока. Выше было по-
показано, что неустойчивость, связанная с наличием свободной гра-
границы плазмы, может быть стабилизирована для k2a2 < 1 в модели
с разрывом плотности тока. Здесь мы рассмотрим случай параболи-
параболического распределения плотности продольного тока jz = /0A —
— ег2/а?) и будем также считать, что Вг = const.
Пренебрегая в C.45) малыми членами ~а2г2, имеем при b ->- оо
nL
Выберем
лучим
= rm~l, тогда, поскольку 6Ф = 6ф0 A—er2/2a2), по-
погде у0 = aBz0 — 6ф0. Отсюда вытекает необходимое условие устой-
устойчивости
2 — 1 е
т2е
т + 2 2 / V Ти|1
'>0.
C.51)
258

Для параметра е, характеризующего скорость спадания плот-
плотности тока, находим следующее ограничение, зависящее от номера
гармоники т:
_ 1 2т + 1 е 2/n + l . /". 1 2т +1
/и tn-\-2 tn -)-1 т-\-2 I/ //2 т -\~2
C.52>
Как это следует из C.52), мода /л = 1 является устойчивой лишь
в случае е = 2, когда Бф(а) = 0, а для ее стабилизации при Вф(а) ^=
Ф 0 необходима конечная длина цилиндра C.45). Для т = 2,.
т = 3 и т > 1 соответственно получаем:
0,96 <е< 3,8; 0,8<е<4,8; 0,5<е<т.
Для стабилизации мод т ^ 2 поверхностной неустойчивости
необходимо, чтобы плотность тока достаточно быстро спадала.
При этом рассматриваемые возмущения стабилизируются при е = 1,
когда плотность тока обращается в нуль на границе плазмы.
Как показывает предыдущее рассмотрение модели плазменного-
цилиндра с отождествленными торцами, возможные неустойчивости
в плазменном шнуре с продольным током можно разбить на два
класса: внутренние и поверхностные, или разрывные.
Внутренние неустойчивости, существующие и при неподвиж-
неподвижной границе плазмы, характеризуются в случае B<p/Bz <^ 1 срав-
сравнительно меньшими инкрементами развития (в отношение В2/Вф).
При этом к неустойчивости приводят лишь возмущения, близкие
к постоянным вдоль магнитных силовых линий | В Vi/ЬфЕ | < Bv/Bz^
Как мы увидим ниже, внутренние неустойчивости плазмы в замк-
замкнутых системах типа «Токамак» эффективно стабилизируются маг-
магнитной ямой, которая возникает при сворачивании плазменного ци-
цилиндра в тор.
Необходимым и достаточным условием отсутствия поверхност-
поверхностной неустойчивости для первой винтовой моды возмущения т — I
является условие Крускала — Шафранова ЬВ9(аI2лаВг(а) < lv
представляющее собой ограничение на продольный ток и длину
системы L. Поверхностная неустойчивость для высших мод т ^ 2
стабилизируется в случае достаточно быстро спадающей по радиусу
плотности тока.
§ 3.3. Стабилизирующее действие проводящих торцов
Для ограниченных конфигураций, концы силовых линий в ко-
которых упираются в проводящие стенки, существует механизм ста-
стабилизации плазменных неустойчивостей, обусловленный натяже-
натяжением магнитных силовых линий, вследствие их искривления [16].
Если концы силовых линий можно считать^вмороженными в торцы
рассматриваемой конфигурации, то касательная компонента сме-
смещения | должна обращаться в нуль на торцах. Последнее обстоя-
обстоятельство и приводит к возникновению некоторой области устойчи-
259

вости для плазменной конфигурации с вмороженными в торцы маг-
магнитными силовыми линиями.
1. Достаточное условие устойчивости. Выражение C.9) для
i можно записать в виде
" + ур (div |J -(Q + [je]2) ?2} dx, C.53)
где штрихом обозначена производная по V, а
В' = (е V) В —(BV) е = е1 %" + е2 Ф".
Отбросив член yp(div |J и заменив вектор в первой круглой скобке
C.56) его проекцией на \V, получим
L f((BZ|)! (q+ !!BVXI I2) dx. C.54)
2 J | | VV |2 \ | VV
Здесь к определяется соотношениями A.38) и A.39).
Используя уравнение силовых линий %'dt, = O'd0, имеем
Ву? = O'dl/dt,. При выполнении граничного условия ? = 0 на
торцах, расположенных при ? = 0 и ? = 1, находим путем миними-
минимизации интеграла от квадрата производной
1 1
где знак равенства реализуется для | == sinn^- Отсюда, согласно
C.54), получаем следующее достаточное условие устойчивости [35]
. C.55)
\|VV|2/ |VV|2
Для случая плазменного цилиндра, упирающегося в проводя-
проводящие стенки, расположенные при г = 0 и z = L, имеем BVX = О,
V = nr2L, Ф' = BJL, и условие C.55) принимает вид
>0, C.56)
где в случае цилиндрической геометрии
Q| У^|2 = 2/гВф/г~/2.
Стабилизирующее действие проводящих торцов, описываемое пер-
первым членом в C.56), обратно пропорционально квадрату расстоя-
расстояния L между торцами. В случае jz = const, Bz = const, когда Q =
= 0, достаточное условие устойчивости C.56) для плазменного ци-
цилиндра сводится к требованию
-^<1. C.57)
пВ
2 60

Как мы убедимся далее, это условие оказывается в четыре раза бо-
более жестким, чем условие устойчивости для аналогичной конфигу-
конфигурации, свернутой в тор радиуса R, длина магнитной оси которой
L = 2лЯ.
Достаточное условие устойчивости C.55) отличается от необхо-
необходимого условия [16]:
яаФ'3/|УУ|2 — Q+ ypQ2lp'*>0,
полученного Б. Б. Кадомцевым, наличием дестабилизирующего чле-
члена —/2/1 VV|а. Стабилизация магнитной ямой Q <С 0 играет здесь
второстепенную роль, поскольку основной стабилизирующий фак-
фактор представлен членом <я2Ф'2/1 VV |2>.
2. Необходимое условие устойчивости для плазменного цилинд-
цилиндра с вмороженными торцами. Рассмотрим плазменный цилиндр с
продольным током, торцы которого упираются в идеально проводя-
проводящие стенки, расположенные при z = 0 и z = L. Выберем пробные
смещения плазмы в виде
I = |0 [cos т (ф — ах z) — cos т (ф — а2 г)];
г\ = г]0 [sinт(ф—a,!z)—sinm^ — a2z)],
где ах = \1 + а; а2 = ц — а; k = я/L; i = ?г; Ц = 5Ф|2—В2|ф-
При этом тангенциальные компоненты А = [|В], а, следовательно,
и электрического поля Е = —dA/dt обратятся в нуль на торцах.
Ограничимся случаем / = \г — const и положим ц = bv/Bz.
Минимизация 8Wt по т) и |2 дает
r*(f/r*)' . t =0
где / = r?0. Среднее значение (div |J оказывается равным
<(div|J> = r2 [аГ-^Шг^'?
Выражение для 6Wb при условии малости давления плазмы 2р/В2
<^ 1, запишем в виде
|1У'(//^)>']^1(ц'+а')/' ¦ fe'
1
2.nL z ,
о
При ц2а2 « 1 и а2а2 <^ 1 следует:
C-61)
о"
Соответствующее уравнение Эйлера имеет решение
261

Наиболее жестким является необходимое условие устойчивости
для т = 1:
2ла
2L \/ L '
которое приводит к ограничению на продольный ток
ja/B < Y~8na/L.
§ 3.4. Общегесгметрические критерии устойчивости
для замкнутых конфигураций
Специфика задачи об устойчивости замкнутых тороидальных
плазменных конфигураций в рамках идеальной магнитной гидро-
гидродинамики заключается в том, что основной стабилизирующий ме-
механизм обусловлен в них наличием магнитной ямы, которая воз-
возникает в конфигурациях достаточно сложной геометрии и отсут-
отсутствует в обычно рассматриваемых простых моделях. Таким образом,
особый интерес представляют критерии устойчивости, не связанные
с конкретной геометрией плазмы.
1. Впервые понятие магнитной ямы (min В) было введено Розен-
блютом и Лонгмайром [3]. Условие устойчивости, полученное ими
из энергетических соображений, для конфигураций с замкнутыми
магнитными силовыми линиями в принятых здесь обозначениях
A.35) имеет вид
—Й>0. C.63)
2. Аналогичное условие, полученное Б. Б. Кадомцевым [4]
в предположении о замкнутости магнитных силовых линий и при
условии малости давления плазмы, можно записать в виде
p'2>0, C.64)
где штрихом обозначено дифференцирование по текущему объему V.
По сравнению с C.63) условие C.64) имеет дополнительный стаби-
стабилизирующий член, пропорциональный ур, где у— показатель адиа-
адиабаты. Однако в условиях C.63) и C.64) не полностью учтены члены,
описывающие дестабилизирующее действие токов в плазме. Кон-
Конкуренция этих членов с членом — Q, описывающим магнитную яму,
и приводит, как мы убедимся ниже, к тем или иным ограничениям
на допустимые ток и давление плазмы.
3. Далее Б. Б. Кадомцевым [5] из энергетического принципа
[26] получен необходимый критерий устойчивости для конфигу-
конфигураций с замкнутыми силовыми линиями в предположении, что рас-
рассматриваемые возмущения постоянны вдоль магнитных силовых
линий. Этот критерий можно представить как
—Й<В2>—p'2 + YP(<?2)^2/p'2 + ^)>0, C.65)
262

где угловыми скобками обозначено среднее значение по объему слоя
<2.112). Здесь уже появился дестабилизирующий фактор —р'г,
обязанный дестабилизирующему действию токов в плазме. Согласно
необходимому условию устойчивости C.65) относительно рассмат-
рассматриваемых «конвективных» возмущений, существуют две области
устойчивости:
wQ_p'2>0; C.66)
-Q<B2>-p'2>0, C.67)
и плазма неустойчива, если не выполняется ни одно из неравенств
<3.66) и C.67). В случае, когда магнитная яма отсутствует Q > О,
условие C.66) совпадает с условием C.64). В применении к плазмен-
плазменному цилиндру критерий C.66) при р' < 0 приводит к необходи-
необходимому условию устойчивости C.19), полученному методом малых ко-
колебаний [17].
При наличии магнитной ямы Q < 0 условие C.66) не выполняет-
выполняется, и единственным необходимым условием устойчивости остается
критерий C.67). Для цилиндрической геометрии плазмы критерий
<C.67) сводится к требованию р' >0. Отметим, что условие замкну-
замкнутости магнитных силовых линий, при котором выведен необходимый
критерий C.65), эквивалентно ограничению случаем слабой перекре-
перекрещенное™ силовых линий.
4. В работах Мерсье [6], Бино [7], Грина и Джонсона [8] полу-
получен общегеометрический необходимый критерий устойчивости, при
•единственном предположении о малости области локализации рас-
рассматриваемых возмущений между соседними магнитными поверх-
поверхностями. Как показано в работе [9], критерий можно представить
\|W|2/ \|VV|2/
-\/—^—\—/-i?—\2)>0. C.68)
Здесь первый член S2/4 описывает стабилизирующее влияние пере-
крещенности магнитных силовых линий (shear), члены в первой
круглой скобке описывают стабилизирующее действие магнитной
ямы (min В), а члены во второй круглой скобке характеризуют де-
дестабилизирующее действие токов в плазме. Для случая цилиндриче-
цилиндрической геометрии плазмы критерий Мерсье C.68) переходит в крите-
критерий Сайдема C.20).
5. В работе Л. С. Соловьева [10] получен достаточный общегео-
общегеометрический критерий устойчивости для произвольных возмуще-
возмущений плазмы при единственном предположении об отсутствии поверх-
поверхностных токов:
-Q-[je]2>0. C.69)
Здесь е = е3 — третий координатный вектор натуральной системы
координат 0, g, V Хамады [11], dx = tidx1, связанной с системой
вложенных магнитных поверхностей. Критерий C.69) имеет об-
263

ласть выполнимости для конфигураций с малым продольным то-
током J, однако он оказывается слишком жестким для конфигураций
с большим продольным током типа «Токамак».
6. В той же работе [10] получен достаточный критерий устой-
устойчивости в предположении о квазиоднородности рассматриваемых
равновесных конфигураций
5 <[]е] [Ве]>-Й <[Be]2>-«[je]2> <[Be]2>-((je] [Be]J) > 0 C.70)
и при выполнении граничного условия |VV = 0 на поверхности
плазмы. Если продольный ток спадает при удалении от магнитной
оси, то для устойчивости конфигураций плазмы низкого давления
с малым отношением В±1В\\ достаточно выполнения критерия C.70)
и дополнительного условия
Х'/Ф'<1, C.71)
аналогичного условию D.45) для случая плазменного цилиндра.
Отдельные члены в критерии C.70) имеют тот же физический
смысл, что и соответствующие члены в критерии C.68).Критерий
Мерсье формально получается из критерия C.70), если заменить
вектор е отношением VV/| VV|2 и добавить член 52/4. Заметим, что
для цилиндрической геометрии плазмы различие между векторами е
и VVl\ V V |2 исчезает. Если в левой части неравенства C.70) добавить
член S2/4, то полученное таким образом условие будет достаточным
условием устойчивости относительно локальных возмущений. Этот
член, характеризующий шир, появляется в критериях устойчивости
только в тех случаях, когда рассматриваются лишь возмущения,
локализованные в тонком слое между соседними магнитными поверх-
поверхностями. Отсюда можно заключить, что стабилизирующее влияние
шира ограничено лишь случаем локальных мелкомасштабных воз-
возмущений. Основным стабилизирующим фактором в критериях
C.67)—C.70) является магнитная яма. В условии же C.71), так же
как и в условии устойчивости C.59) для конфигураций с вморожен-
вмороженными в проводящие торцы концами силовых линий, в качестве ста-
стабилизирующего фактора выступает конечная длина магнитных си-
силовых линий.
Как это следует из критериев C.69) и C.70), существование об-
области устойчивости обусловлено конкуренцией двух основных
факторов — стабилизирующим действием магнитной ямы и дестаби-
дестабилизирующим действием токов в плазме. В замкнутых тороидальных
конфигурациях возникновение магнитной ямы связано в основном
с кривизной магнитной оси. В конфигурациях с пространственной
магнитной осью существенную роль играет также кручение магнит-
магнитной оси [32].
Для конфигураций, обладающих магнитной ямой, существен-
существенны критерии устойчивости C.63), C.67)—C.70), однако критерии
C.63) и C.67) неправильно описывают дестабилизирующее действие
264

конечного давления плазмы. Поскольку, кроме этого, необходимый
критерий устойчивости C.68) является более жестким, чем необхо-
необходимый критерий C.67), мы далее ограничимся лишь рассмотрением
критериев C.68)—C.70).
§ 3.5. Локальная устойчивость аксиально симметричных
конфигураций
3.5.1. Конфигурации с круглыми поперечными сечениями магнитных
поверхностей в окрестности магнитной оси
Необходимый критерий локальной устойчивости Мерсье C.68)
для аксиально симметричных конфигураций можно записать в
виде
| Vi|)|2
V \ г* V||M
где использованы обозначения §2.1, штрихом обозначено дифферен-
дифференцирование по ij), а средние значения для произвольной функции /
вычисляются по формуле
2Я
f^ C-73)
Выражение для V получается отсюда при / = 1.
Если ограничиться случаем квазикруговых поперечных сечений
плазменного тора и считать малым отношение p/R, то в первом при-
приближении
l> = Mp) + fi(p)cosa, C.74)
где /У/о ~ p/R. Для вычисления средних значений величину р мож-
можно представить в виде
Р = Рф— (УД/) cos со. C.75)
Здесь рф постоянно на магнитной поверхности я|) = const. Таким
образом:
\ г*
9 Зак. 495 265

и критерий C.72) для малых p/R принимает вид
4 рВф2 \#2 1Т/Л Р Р2 W \ Р / J/ /
C.76)
При использовании уравнений равновесия
C.77)
р vr/1/ | р2"' /о'1ч /о' ; J'1 /г /о'
получаем весьма компактное необходимое условие локальной устой-
устойчивости [13]
и'2 2р' , 1 \
Ц — (- [А2|>0, C.78)
4 рВф2 V R* )
где ц = BJpB9, а штрихами обозначены производные по р. При
R -+- со это условие переходит в критерий Сайдема [12], выведенный
для цилиндрической геометрии плазмы.
Для квазиоднородных конфигураций, когда \л' ~ 0, получаем
— р'(\ — \i2R2) > 0. Согласно C.78), наиболее жестким в случае
спадающего тока /ф'(р) < 0 оказывается условие устойчивости
в окрестности магнитной оси г = R. Появление стабилизирующего
члена ~1/#2, делающего возможным существование области устой-
устойчивости jR/B <; 2 при спадающем давлении р' < 0, обусловлено
магнитной ямой, образующейся при сворачивании плазменного
цилиндра в тор.
3.5.2. Устойчивость произвольных аксиально симметричных
конфигураций в окрестности магнитной оси
Используя выражение B.14) для функции of в виде разложения
по степеням р, получаем следующий критерий устойчивости для
тороидальной плазменной конфигурации с круговой магнитной
осью г = R при условии р' < 0 [9]:
2i^i C.80>
Здесь v = IJIT — отношение полуосей эллиптических нормальных
сечений магнитных поверхностей в окрестности магнитной оси
г = R. Постоянные параметры Ыа и с характеризуют распределение
токов и форму магнитных поверхностей и могут быть определены,
например, путем решения граничной задачи при заданной форме
поперечного сечения внешней магнитной поверхности г|J. Если вве-
266

сти параметр эллиптичности е = Шт], то v = ei и выражение для
критерия устойчивости C.80) примет вид
<[1 + еA + 2
4В2 A + вJ|_ l+b/a
В случае заданного эллиптического профиля поперечного се-
сечения граничной магнитной поверхности ij>s параметры Ыа и с при
малом отношении ро/хо, согласно соотношениям B.22) и B.27), вы-
выражаются через fb:
1 _ l+v2 Pj . _ \ I 1+v2 , v2
с —
о /
l+b/a v 4 l + 3v2 \l+b/a 2
Подстановка этих выражений в неравенство C.80) дает
j4V _1_ (l+v2J Г1+7у2 A-уJ l+v3 о 1 C81
В2 va ' l+3v2 L l+v2 v2 l+v J
Как это следует из полученного необходимого условия устой-
устойчивости C.81), давление плазмы — дестабилизирующий фактор.
В общем случае параматры Ыа и с зависят от давления плазмы
и формы поперечных сечений магнитных поверхностей в окрестности
магнитной оси, однако в частном случае круглых приосевых сечений
магнитных поверхностей они выпадают из критерия устойчивости,
и неравенство C.80) приводит к ограничению C.79). К вопросу об
устойчивости аксиально симметричных конфигураций с заданным
профилем поперечного сечения мы еще вернемся, после преобразо-
преобразования критериев устойчивости C.63)—C.70) для общего случая ква-
квазиоднородных конфигураций.
§ 3.6. Общегеометрические критерии устойчивости
для квазиоднородных конфигураций
3.6.1. Общие соотношения
При использовании координатных векторов натуральной системы
координат, е1( е2, е3 = е и е\ е2, е3 = yV, необходимый критерий
локальной устойчивости C.68) и достаточные критерии устойчи-
устойчивости C.70) и C.69) преобразуются соответственно к виду:
В2
ф'
C-82)
—р'2«|е1|2><|е2|2>-<е1е2>2)>0;
C.83)
(^ + JS)(реУ1Ве])>0, C.84)
Ф ф'2
9* 267

где штрихи означают производные по V. В выражениях C.82)—
C.84) явно выделена зависимость от градиента давления р'.
Для квазиоднородных конфигураций, или в окрестности маг-
магнитной оси для произвольных конфигураций, критерии устойчи-
устойчивости существенно упрощаются. Оставляя в C.82) и C.83) лишь ос-
основные члены и полагая в C.84) J' = 0, получаем:
0: C-85>
0; (З.86>
'\Р' |е«|*)>0 C.87>
Здесь штрихами обозначено дифференцирование по продольному
потоку Ф. В выражениях C.85) и C.87) член, описывающий стаби-
стабилизирующее действие магнитной ямы, представлен отношением
V"/V'a.
Входящие в C.85)—C.87) величины | ех |2/1 V У|2 и | е212 выража-
выражаются, согласно B.120) и B.121), через функции yjp) и y2(s):
Bo2V ' e^cos^ + e-i sin2»
T1U* -KYi2 e11 + Y22 e~") Bo.
Параметр г\ характеризует отношение полуосей эллиптического
поперечного сечения магнитных поверхностей /2//х = еп в окрест-
окрестности магнитной оси. В случае, когда магнитные поверхности не
прокручиваются вокруг магнитной оси и 6 = 0, 1Х = ре1''2 — по-
полуось эллипса в направлении нормали, а /2 = ре1172 — полуось
эллипса в направлении бинормали к магнитной оси.
Средние значения, обозначенные угловыми скобками, легко вы-
вычисляются по формуле B.113), если воспользоваться равенством
2л
_1_ Г cos 2/яШ ,, m r\_
2я J ertsin2l)+ e-rlcos2» "~ 2
Введем величину Уо", связанную с V' соотношением
268

тогда критерии устойчивости C.85)—C.87) при р' < 0 примут соот-
соответственно вид:
-Vo +р У 9^HlV2~ V- 2-е + 2 + е jdTr,>0'
' V'2 §[Ъ^ + Ц^- ) ds>0; C.90)
C.91)
- у«"+р> {В ~ § й+р1 v'2
2-е ' 2 + е/ c
Значение Vo", согласно B.119) и C.88), не зависит от р' и выра-
выражается контурным интегралом по магнитной оси:
^1 A _8»I + 2^В0-3/2 (а, е-1!/2 cos б + а2 ei/2 sin 6))ds. C.92)
d0 J J
Здесь Во и /0 — магнитное поле и плотность тока на магнитной оси;
е = th т| — параметр эллиптичности сечений магнитных поверх-
поверхностей и' = б' — и; б' — угловая скорость прокручивания магнит-
магнитных поверхностей; k и х — кривизна и кручение магнитной оси.
Функции Yi и Y2 определяются, согласно B.91), из системы урав-
уравнений:
Yi' + w'Y2 = 2c1/B0V";
где использованы следующие обозначения:
сг = kBu~~li2 e~^/2 cos б; с2 = kB0~1/2 e1^2 sin б;
u'chT| = u' + /0/2B0; V' = fds/B0.
Функции «1 и а2 определяются из системы уравнений B.90):
<%2 —V ОС\ = г :
C.94)
где а3 и а4 — амплитуды третьей гармоники винтового магнитного
поля. В случае заданного профиля поперечного сечения внешней
магнитной поверхности г2 + r3fa = r02 функции а3 и а4 выражаются
через заданные параметры а3 и а4:
2а3==—а3' —Зи'а4; 2а4= — а4' + 3у' а,.
269

Величины q0, qlt ръ р2 определяются выражениями:
q0 = chi\/B0; ft = shi\/B0;
2Pi = (<70 + <7i)' Ci-C<7o-ft) (Cx -V c8) -(&70 i>' -2/0/ B02) c2;
2 p2 = (<7o-4iY c2-C<7o + ft) (ca' + и' с,) + Fg0 v'-2/0 / fi02) Cl.
Таким образом, в общем случае критерии устойчивости для ква-
квазиоднородных конфигураций выражаются контурными интегра-
интегралами по магнитной оси от известных функций s. Кроме характери-
характеристик магнитного поля и плазмы устойчивость плазменной конфигу-
конфигурации существенно зависит от кривизны и кручения магнитной оси
и от формы поперечного сечения магнитных поверхностей.
Критерий локальной устойчивости для конфигурации с магнит-
магнитной осью в форме рейстрека. Рассмотрим в качестве примера одно-
однородную конфигурацию Во = const с плоской магнитной осью к =
= 0. Ограничиваясь случаем круглых поперечных сечений магнит-
магнитных поверхностей е = 0, представим необходимый критерий локаль-
локальной устойчивости Мерсье, согласно C.89) и C.92) , в виде
§(k2/2—v'2—2ka1)ds>0. C.95)
Здесь v' = j(j2BQ, а величина Во принята равной единице. Функ-
Функция ax(s) определяется из системы уравнений C.94):
ai' + w'a2 = 3&74; a2' — V a, =kv'/4. C.96)
Для того чтобы избавиться от производной k'(s) в правой части пер-
первого уравнения C.96), произведем замену переменных аг = ах +
+3&/4, а2 = а2, тогда условием устойчивости будет неравенство
-j> (k2 + v'2 + 2ka1)ds>0, C.95а)
в котором функция ax(s) является решением системы уравнений:
a1' + u'a2 = 0; a2'~v'a1 = kv'. C.96а)
Согласно формуле C.67), выражение для ax(s) можно представить
в виде
iv'(s+L/2) K(,\ )
^( } C.97)
s
где K(s) = J e-i0's k(s)ds, и, следовательно, последний член в левой
о
части неравенства C.95а) оказывается равным
L
—2 \
к>
Re
tgv'L/2 J j
eiv's
о
Для конфигурации, магнитная ось которой имеет форму рейс-
трека с длинами прямолинейных участков, равными /, и общей дли-
длиной L == 2nR + 2/, функция &(s) равна нулю в интервалах 0 <
270

< s < 1/2, (L — 1I2 <s<(L + 1I2, L — 1/2 < s < L и равна
MR в интервалах 1/2 < s < (L — 1I2, (L + 1I2 <s<L — 1/2.
Вычислив функцию K(s) с помощью интегрирования по отдельным
участкам s, получим критерий локальной устойчивости для такой
конфигурации в виде
2nR ,2 m , 8 fcos v' L/2 sin2 nv' R/2 ¦
~Z ^ VZl tg y' L/4
+ cos — (L —/) sin —— - sin — cos nv' r] >0. C.98)
При отсутствии прямолинейных участков / = О, L =
условие устойчивости C.98) сводится к ограничению v'R < 1, сов-
совпадающему с условием C.79) для конфигурации с круговой магнит-
магнитной осью. Для устойчивости при малых токах, когда v'L/2 < 1,
из неравенства C.98) вытекает ограничение [32]
//К 1/4. C.99)
Полученное ограничение на относительную длину прямолинейных
участков естественно, поскольку стабилизация осуществляется
только на криволинейных участках, где имеется магнитная яма,
в то время как прямолинейные участки — дестабилизирующие.
Для условия локальной устойчивости C.98) характерно наличие
резонансного знаменателя igv'L/2, благодаря чему в окрестности
v'L = Ann, n = 1, 2, 3 ..., появляются резонансные области устой-
устойчивости, соответствующие большим токам jL/B ~ Ann. Но для
конфигураций со свободной границей плазмы при больших п они
запрещены условием устойчивости Крускала — Шафранова C.71).
3.6.2. Конфигурации однородного сечения с непрокручивающимися
магнитными поверхностями
Магнитные поверхности в окрестности магнитной оси будут иметь
постоянное сечение, если Во = const, /0 = const, e = const. Пред-
Предположим для простоты, что k = const и я — const, и рассмотрим
случай непрокручивающихся магнитных поверхностей, полагая
что одна из полуосей эллиптического поперечного сечения ориен-
ориентирована по нормали v к магнитной оси, т. е. б = 0. Положим,
кроме того, а2 = а4 = 0, так чтобы поперечное сечение граничной
магнитной поверхности было симметричным относительно норма-
нормали v. В класс выделенных таким образом конфигураций попадаюг
конфигурации с круговой магнитной осью k = Const, x = 0 и о
винтовой магнитной осью k = const, x = const. В рассматриваемом
случае, согласно C.92),
Fo" = -— (U2*2 — —A — е)+ -!?- A— 82I ch -п +
+ 2&B01/2e-i/2a,}, C.100)
где L — длина магнитной оси.
271

Решениями уравнений C.93) и C.94) являются постоянные
¦у* и щ:
/о — 2хВ0 L
'/2 е-'П/2 _3ео3
2+i2+7' а2-°- (<
Обращение в нуль знаменателя (/„ — 2хВ0) происходит при равен-
равенстве нулю угла прокручивания силовых линий в окрестности маг-
магнитной оси. В случае чисто эллиптических сечений внешней магнит-
магнитной поверхности о3 = 0 и величина аъ так же как и у2, пропорцио-
пропорциональна кривизне k магнитной оси. Если обозначить а3В01/2е~Т)/2 =
= 23, то получим
V" = к^Л Ь Х2 + Jol (! _g2) _ ш izH ро + 2хйо
0 яВ2 1 ^ 4B2v 2 + е 1/2хВ
C.103)
Величина Vo" может быть отрицательной, если отрицательно выра-
выражение в квадратной скобке. Член 2 3 описывает влияние несиммет-
несимметричности поперечных сечений магнитных поверхностей.
3.6.3. Конфигурации однородного сечения с равномерно
прокручивающимися магнитными поверхностями
Полагая Во = const, /0 = const, e = const и принимая для про-
простоты k = const, к = const, предположим теперь, что магнитные
поверхности равномерно прокручиваются вокруг магнитной оси,
так что 6(s) = 6's, б' = const. При этом ух = Vi° sin &> Тг —
= Y2° cos б, аг = а^соэб, a2 =lx20sin6, и согласно C.92), получаем:
у „ = LchT| Г ,2 _*i Jo!_ A_е2) + #1; C.104)
C.105)
Представим К в виде суммы К = Ко + Ki, где величина /Со
соответствует случаю чисто эллиптических сечений внешней магнит-
магнитной поверхности W%, а К\ — добавка, описывающая влияние-несим-
влияние-несимметричности Ч?я.
Решение уравнения C.93) для уг и у2 дает:
0 2k_ 8'e-^2 + v'e^2 0_ 2k у' е~^2 +6' е^2
Yl LB0^'2 ,'2-б'2 ' Y2 ~ LBoi/2 • О.2_Л.Я
C.106)
272

Соответственно, решая уравнения C.94) при at = 0, получаем
Г- ,2 1 + е2 Л,2 3-6*
— У у' ch т] B + е2)—2У б' + е2 б' у' ch тЛ . C.107)
Выделяя явно зависимость от кручения х, это выражение можно
переписать в виде
-W [Зх2 (*+е2)~хб/ F+7е2) ~
—хУ A + 2е2)+ 26'1 е21_ZZ^?! —Zl^A _е2) — 2-? B—5е2)] .
C.108)
Здесь J' = jo/Bo. Для получения величины Кг выберем амплитуды
поля третьей гармоники as и а4 в скругляющей системе координат
г, ¦&, s соответственно равными
а3==а3° sin б; а4=—а3° cos б, C.109)
тогда, согласно D.94), найдем
4еаз,о/2сМ/2 ^И/2\Х, (ЗЛ10)
V1 4-е2 \ t)' — б' и' + б' ) chT] V ;
При применении достаточного критерия устойчивости C.91)
функцию YxVi + 722е-Т1 можно мажорировать по переменной 6(s):
¦ C.111)
^L2B0 (о'2—б'2J
Таким образом, в случае равномерно прокручивающихся маг-
магнитных поверхностей, так же как и в случае непрокручивающихся
магнитных поверхностей, все величины, входящие в критерии устой-
устойчивости, выражаются в элементарных функциях.
§ 3.7. Устойчивость симметричных конфигураций
Симметричными равновесными конфигурациями называются та-
такие конфигурации, в которых все физические величины зависят толь-
только от двух пространственных координат. Мы рассмотрим здесь кон-
конфигурации с винтовой симметрией и, в качестве предельного случая,
аксиально симметричные конфигурации.
3.7.1. Конфигурации с винтовой симметрией
Простейшей моделью замкнутых равновесных плазменных кон-
конфигураций с пространственной магнитной осью являются конфи-
конфигурации с винтовой магнитной осью. При рассмотрении устойчи-
устойчивости конфигураций выявляется влияние кручения магнитной оси.
Необходимый критерий локальной устойчивости C.89) и доста-
достаточный критерий устойчивости C.90) для конфигураций, обла-
273

дающих
в виде:
Здесь
винтовой
-Lchr,
симметрией,
ро2 B + е) cl
РоМ2 + е)
~2^~2 + е [
4Я
записываются
/о /^о ~h 2х , Зе ^
/о/В0-2х 4 V
п2
соответственно
k )у
Принято, что давление р = po(l — V/Vx), Po = 2po/Bo2, Vx =
=np20L. Величина 2з=Во/2е-1/2а3 характеризует несимметричность
профиля поперечного сечения граничной поверхности плазмы.
Достаточный критерий устойчивости C.91) в рассматриваемом
случае в точности совпадает с критерием C.113), если положить
в нем /0 = 0.
Достаточный критерий C.113) отличается от необходимого кри-
критерия C.112) более сильным дестабилизирующим влиянием на устой-
устойчивость конечного давления плазмы. В случае круглых поперечных
сечений магнитных поверхностей 8 = 0 зависимость от давления
в критерии C.112) пропадает, в то время как, согласно критерию
C.113), она остается.
Поскольку при и Ф 0 существует прокручивание силовых ли-
линий при /0 = 0, и следовательно, возможны равновесные конфигу-
конфигурации, мы можем получить критерии устойчивости таких равновес-
равновесных конфигураций, положив в C.112) и C.113) величину /„, равной
нулю:
,2 „2
>U'
x»ch»T|/2
C.114)
Заметим, что для винтовой магнитной оси кривизна k и кручение х
определяются формулами:
где R — радиус цилиндра, на который навита винтовая линия,
а % = 2яХ — шаг винта.
При условии е2 < 1 критерии устойчивости C.114) и C.115)
приводят к следующим ограничениям на допустимое давление
плазмы в винтовых конфигурациях без продольного тока:
C.116)
274

Здесь Г = 423/& — характеристика несимметричности профиля по-
поперечных сечений магнитных поверхностей. Как показывают вы-
выражения C.116), достаточный критерий устойчивости накладывает
в 4/е2 раз более жесткое ограничение на допустимое давление, чем
необходимый критерий локальной устойчивости.
Согласно критериям C.114) и C.115), равновесная конфигура-
конфигурация плазмы с винтовой магнитной осью без продольного тока мо-
может быть устойчивой только в случае несимметричного профиля
поперечного сечения магнитных поверхностей, когда eJ3=/=0. Та-
Такую несимметрию можно создать, например, с помощью наложения
дополнительного трехзаходного винтового поля [19].
В случае круговых поперечных сечений магнитных поверхностей
е = 0 критерии C.112) и C.113) принимают вид:
C.117)
C 118)
>0;
/о/Во-2х 4В02
/о/До + 2х /о2 ' 4fe2p0
1о/Во-2к 4502 Ро2 (/о/Во-2>сJ
Максимум левой части неравенства C.117), рассматриваемой как
функция от i = /0/хРо, достигается при k 2/х2 = —i(i —• 1)а. Этот
максимум положителен, если — > — ¦ ' Л_ -¦ « 11. Таким об-
3 к2 2 /5—1
разом, в случае круглых поперечных сечений винтового плазмен-
плазменного шнура области устойчивости могут существовать только при
/0 ф 0 и при достаточно малом шаге винта.
3.7.2. Аксиально симметричные конфигурации
Критерии устойчивости для аксиально симметричных торо-
тороидальных конфигураций можно получить из C.112), C.113) при
и->0:
, Зв .. „Л /У A-е2) 2р0 В02 /е2 в2 е-31 ch'
T^1 ^J
po»B+e)ch»T|/2/e»
C.119)
Zu (\ nl /о'С-6') 8Pq б0^ fe2 e-2Ti ch
4В? р„( + )^
C.120)
Если сечения магнитных поверхностей не круглые е Ф 0, то, со
гласно обоим критериям C.119) и C.120), устойчивость аксиально
симметричных конфигураций существенно зависит от кривизны
магнитной оси k, от эллиптичности сечений, от несимметричности
275

сечений е и от давления плазмы. В случае круглых сечений е = О
зависимость от Г пропадает в обоих критериях C.119)—C.120),
однако зависимость от р\, = — в необходимом критерии C.119)
пропадает, а в достаточном критерии C.120) остается:
Согласно C.120а), область устойчивости при е = 0 ограничена
неравенствами
< 1 + /1 _4р0 tfVpo2 C.1206)
и, следовательно, критерий C.120а) близок к критерию C.119а),
только когда ро < ро2/4#2, где R = \lk. Отметим, что достаточный
критерий C.120а) был получен в работе [15] методом разложения
по винтовым гармоникам.
В общем случае квазиэллиптических сечений магнитных поверх-
поверхностей б Ф 0, области устойчивости по плотности тока, согласно
необходимому критерию C.119) и достаточному критерию C.120),
ограничены неравенствами:
1 + еГ0 1-у 1-Мр„/?'/ро2 УД2 < 1+еГ0 1 + )Л -М% /?2/р02
1+е 2 + 8 "^ 2В02 1+е 2 + е
C.121)
Где Го = C/4)A—4Е s/k), а коэффициенты М соответственно равны:
М= 2B + е) A-е)
1 2A+еГ0J A-еJ A + =Г0JA-82K/2 Ч
Если е Ф 0, то согласно обоим критериям C.119) и C.120) области
устойчивости исчезают при некотором достаточно большом дав-
давлении плазмы. Ограничения на давление, при условии е < 1, мож-
можно записать соответственно в виде:
Во1< 1+еГ° .??; Во2< 1+еГр ggl . C.123)
Существенное влияние на устойчивость плазмы при е ф 0 ока-
оказывает несимметричность сечений магнитных поверхностей, харак-
характеризующаяся параметрами 23 или ^о- При е > 0, когда малая полу-
полуось эллипса ориентирована в направлении нормали к магнитной
оси, устойчивость улучшается, если Г0>0. При этом внутренняя
сторона эллипса уплощается, а внешняя заостряется. В случае
е < 0 несимметричность сечений улучшает устойчивость, если, на-
наоборот, внешняя сторона эллипса уплощается, а внутренняя заост-
заостряется. Более целесообразным, по-видимому, является случай
е > 0. Соответствующая несимметричность поперечных сечений
276

магнитных поверхностей может быть создана как с помощью нало.
жения дополнительных витков с током, так и с помощью подходя,
щего подбора профиля поперечного сечения проводящего кожуха
3.7.3. Области устойчивости
Если ограничиться симметричными относительно нормали v
поперечными сечениями магнитных поверхностей, то профиль по-
поперечного сечения внешней магнитной поверхности можно выбрать
из семейства W = const, где
= Во { ei х2 + е-л г/2 + [BХ + 28) е^ х> + (^ -32,) у»] х};
Произвольные параметры 2Х и 23 определяют форму поперечных
сечений семейства Y = const, которое в зависимости от соотношения
2Х и 2 з может иметь одно, два и три ребра сепаратрисы. Координаты
этих ребер выражаются формулами:
Для численного расчета областей устойчивости критерии C.112)
и C.113) удобно записать в виде:
G1(i0)=—Vo" Ров'П-О; _ ! >0 /3.112а)
G2(t0)= —Ко" 2РоA~"?J—w, .— >0, C.113а)
21 о; ° ^Р2B + в) A6^K/2 (г-ХJ-^ v ;
где
o; xo = K/k; t = thT)/2 = e/ (l + /п^5); Г0 = C/4)х
Левые части неравенств C.112а) и C.113а) при различных парамет-
параметрах е, и0, Го и ро = |V&2Po2 представлены на рис. 4 и 5.
§ 3.8. Устойчивость конфигураций с прокручивающимися
магнитными поверхностями
Предполагая, аналогично предыдущему, «параболическое» рас-
распределение давления р = роA — V/Vz), V^. = np02L, получаем
необходимое условие устойчивости C.89) и достаточные условия
277

ОЦ?1 CNJ

Рис. 5. Области устойчивости винтовых конфи
а—е=0,6, 23=7/4; б — е=0,6, 23=15/4; в—г=

2 3 l0
-4
-2
гураций v — Р<Д2Ро 2: х/А =1:
-O.fi, 23=-Т/43 г-е=-0,6, 23=—15/4.

Устойчивости C.90) и C.91) соответственно в виде:
2Ро2D-82)
: — 2t)v (Ь'+Ъ')
ch2r,/2(,'2-6'2J
*' (б'+ЪГ + г'Ъ'F' + &-) Q (ЗЛ25)
Ь('2б'2J
Vo
Р,о2D-е2) сЬг,(Ц'2
-V0"- 2P°fe2 X
р„2D-е2)
D - е2) (| 6' +и' | + | ей' |J-B-е2) F' + ц'J
cM(t/2-fi'2J ^U-
C.126)
Здесь ы' = б' — ч; w' = у' chr}; ^ = Шт]/2, а магнитная яма, со-
согласно C.104), представлена выражением
Lchr! ° 2
4ea3chTi/2 / 2
U
е^ \ 2fe(l-e)
D—e2)chT] U'— б' о' + б' > D—8») (б'2—г'1)
X {3^(l+e2)-J2C-82)__b, t-' B+еа) + 2б'] +e26v} , C-127)
причем, как это предполагалось выше, в критерии C.126) следует
положить /0 = 0.
Рассмотрим сначала случай двухзаходного стелларатора с круго-
круговой магнитной осью к = 0 при условии /0 = 0. В этом случае кри-
критерии C.124)—C.126) соответственно дают:
V" M'A~sa) 8-2B(e-2Q-e»f п. ,
e2ch2T,/2> °' <
4 + Зв2
e^chT) V '
^^>0, C.130)
где
_t/0"= il. 12-17е2_е2б,2+ ^«сь'л/г . 2-в^ (ЗЛ31)
2 4 —е2 еб'сЬ2т] 4—е2 V
В случае чисто эллиптических поперечных сечений магнитных
поверхностей, когда а3°-0, для отрицательности Vo" необходимо на-
наличие кривизны магнитной оси ^0и требуется, чтобы выполня-
выполнялось неравенство
282

где п — число оборотов двухзаходного винтового магнитного поля1
на длине L = 2nR. Отсюда для п = 1 и я » 1 соответственно вы-
вытекает
е2<1/2; еа<3/2м2. C.133)
Как показывают выражения C.128)—C.130), давление плазмы
всегда оказывает дестабилизирующее действие. Ограничения- на
величину Ро = 2ро/Во2, которые накладывают условия устойчивости
C.128)—C.130), можно представить в виде [34]:
?^; C.134)
D2 ч '
?; (ЗЛ35>
?• C.136)
Здесь предположено, что е2 <^ 1, и введены обозначения k = \IR,
п = R8', А3° — a3°/ks. Отсюда видно, что достаточный критерий
C.135) дает в 4/е2 раз более жесткое ограничение на допустимое дав-
давление, чем необходимый критерий C.134). Достаточный критерий
C.136) является еще в A+2|е|) раз более жестким, чем C.135).
Существенное влияние на устойчивость оказывает несимметричность
поперечных сечений магнитных поверхностей, описываемая пара-
параметром А з°. Соответствующая несимметричность может быть соз-
создана трехзаходным винтовым магнитным полем, которое равномер-
равномерно прокручивается вокруг магнитной оси в полтора раза медленней,
чем основное двухзаходное поле.
Критерии устойчивости C.124) и C.125) для двухзаходного стел-
ларатора с круговой магнитной осью при наличии продольного тока
запишем в виде:
B-et) [Bn + io)* + e* (n + ioJ]-2e(ti-2t) (n + i0) Bn + i0) Q- /3 124a>,
[(« + 'J(le2)«2]2
G ,
Uiyl°> Vo fe2p02D-e2)
C.125a>
где
T7 " • 2 2 -2/1 2\ 2A—E2) D —62)~l
— Vo = g2 n2—го2A—e2) x
0 2 ° v > A
283

-SIZE

Величина Л3° = ch3 y%- характеризует амплитуду трехзаходного
винтового поля, делающего 2/г/З оборота на длине L = 2nR. При
е ->- 0 прокручивание магнитных поверхностей естественно не вли-
влияет на устойчивость и условия C.124а), C.125а) переходят в усло-
условия устойчивости C.119а), C.120а) для аксиально симметричной
конфигурации.
Левые части неравенств C.124а) и C.125а) при различных пара-
параметрах е, п, А3° и ро = ро/&2ро2 изображены на рис. 6.
§ 3.9. Заключение
1. Выше было рассмотрено применение необходимого критерия
локальной устойчивости Мерсье C.68), точного достаточного крите-
критерия устойчивости C.69) и приближенного достаточного критерия
устойчивости C.70) к квазиоднородным замкнутым конфигурациям.
Как показывает это рассмотрение, основным стабилизирующим
механизмом, обеспечивающим существование области устойчивости,
является механизм, связанный с наличием магнитной ямы. В замк-
замкнутых конфигурациях возникновение магнитной ямы обусловлено
кривизной магнитной оси. Глубина магнитной ямы и устойчивость
замкнутых конфигураций в рассматриваемом приближении зависят
от напряженности магнитного поля, от продольного тока, от дав-
давления плазмы, от кривизны и кручения магнитной оси, от эллип-
эллиптичности и несимметричности профиля поперечных сечений магнит-
магнитных поверхностей и от скорости прокручивания этих сечений вокруг
магнитной оси. Продольный ток и давление плазмы всегда оказывают
дестабилизирующее действие.
2. При отсутствии продольного тока существование замкнутых
равновесных конфигураций рассматриваемого типа обусловлена
прокручиванием силовых линий вокруг магнитной оси. Это прокру-
прокручивание создается либо кручением магнитной оси, либо прокручи-
прокручиванием сечений магнитных поверхностей вокруг магнитной оси.
В последнем случае, очевидно, необходимо наличие эллиптичности
сечений магнитных поверхностей, которая обычно создается внеш-
внешним двухзаходным винтовым магнитным полем. Критерии устой-
устойчивости для конфигураций без продольного тока сводятся к ограни-
ограничениям на допустимое давление плазмы.
В случае винтовой конфигурации применение необходимого кри-
критерия устойчивости C.68) приводит к ограничению C.116), в то вре-
время как оба достаточные критерия устойчивости, как точный C.69),
так и приближенный C.70), приводят к одинаковому ограничению'
C.1166), которое при малых е оказывается в 4/ег раз более жестким.
Для устойчивости винтовой конфигурации принципиально необ-
необходима несимметричность сечений магнитных поверхностей.
В случае прокручивающихся магнитных поверхностей (двух-
заходный стелларатор) необходимый критерий устойчивости C.68)

приводит к ограничению C.134), приближенный достаточный кри-
критерий C.70) приводит к ограничению C.135) в 4/е2 раз более жест-
жесткому, а точный достаточный критерий C.69) дает еще в (l-f-2|e|)
раз более жесткое ограничение C.136).
Для рассматриваемой конфигурации двухзаходного стелларатора
с круговой магнитной осью область устойчивости существует и при
чисто эллиптических поперечных сечениях магнитных поверхно-
поверхностей в окрестности магнитной оси, однако следует иметь в виду, что
существенное влияние на устойчивость оказывает дополнительное
трехзаходное винтовое магнитное поле, которое делает в полтора
раза меньше оборотов вокруг магнитной оси, чем основное двухза-
ходное винтовое поле.
При прочих равных условиях устойчивость улучшается при уве-
увеличении отношения малого радиуса плазменного тора к большому,
причем допустимое давление плазмы обратно пропорционально
квадрату радиуса кривизны магнитной оси. Как уже упоминалось
выше, устойчивость обусловлена кривизной магнитной оси, и поэто-
поэтому представляется нецелесообразной конфигурация с магнитной
осью в виде рейстрека с прямолинейными участками.
3. При наличии продольного тока возможны замкнутые равно-
равновесные конфигурации, магнитная ось которых не обладает кру-
кручением и магнитные поверхности не прокручиваются вокруг маг-
магнитной оси. Простейшими конфигурациями такого типа' являются
аксиально симметричные тороидальные конфигурации с круговой
магнитной осью. Условие существования равновесного состояния
для таких конфигураций в случае круглых поперечных сечений
магнитных поверхностей приводит к ограничению $j =
=—\6n2Rp'(V)/j02 < /?0/р0, где -R0/p0 — отношение большого и
малого радиусов плазменного тора.
Таким образом, чем больше -продольный ток, тем большее дав-
давление плазмы допускается с точки зрения существования равновес-
равновесного состояния. Необходимый критерий устойчивости C.68) приво-
приводит при этом к ограничению j0R/B0 < 2, так что, при отсутствии
эллиптичности сечений магнитных поверхностей е = 0 локальная
устойчивость плазмы зависит только от продольного тока, продоль-
продольного магнитного поля и радиуса кривизны магнитной оси R. Деста-
Дестабилизирующее действие продольного тока уравновешивается ста-
стабилизирующим действием продольного магнитного поля и кривиз-
кривизны магнитной оси k = l/R. Приближенный достаточный критерий
устойчивости C.70) при е = 0 приводит к ограничению как на про-
продольный ток, так и на допустимое давление плазмы C.1206). При
этом область устойчивости по току при ро = 2ро/В(? = ро2/4/?2
стягивается в точку j0R/B0 = 1/1/2 и при больших давлениях исче-
исчезает.
В случае некруглых поперечных сечений магнитных поверхно-
поверхностей е Ф 0, устойчивость аксиально симметричных тороидальных
конфигураций с круговой магнитной осью, как согласно необходи-
необходимому критерию C.68), так и согласно достаточному критерию C.70),
287

начинает зависеть от давления плазмы и несимметричности сечений
магнитных поверхностей. Соответствующие области устойчивости
по току ограничены неравенствами C.121) и C.122), причем доста-
достаточный критерий устойчивости C.70) приводит к ограничению на
допустимое давление плазмы C.123) в А/г2 раза более жесткому,
чем необходимый критерий C.68). Целесообразной формой некруг-
некруглых сечений магнитных поверхностей представляются эллиптиче-
эллиптические сечения, сплющенные вдоль нормали к магнитной оси, которые
имеют уплощения с внутренней стороны плазменного тора и заост-
заострения с внешней стороны плазменного тора.
4. Существенный интерес представляют гибридные системы,
равновесие и устойчивость в которых возможны как в отсутствие
продольного тока, так и в некотором интервале изменения продоль-
продольного тока: — ]\ < /0 < /2- К таким системам относятся рассмотрен-
рассмотренные выше конфигурации с круговой магнитной осью и прокручива-
прокручивающимися вокруг нее магнитными поверхностями, а также конфигу-
конфигурация с винтовой магнитной осью и магнитными поверхностями,
прокручивающимися вместе с нормалью к магнитной оси. Первая
из этих конфигураций имеет область устойчивости по току в неко-
некоторой окрестности /0 = 0 и при чисто эллиптических сечениях маг-
магнитных поверхностей в окрестности магнитной оси, однако с'помо-
щью дополнительного трехзаходного винтового поля, прокручива-
прокручивающегося в полтора раза медленней, чем основное двухзаходное вин-
винтовое поле, эта область устойчивости может быть существенно рас-
расширена.
Конфигурация с винтовой магнитной осью может иметь отлич-
отличную от нуля область устойчивости в некоторой окрестности /0 = О
только в случае несимметричных сечений магнитных поверхностей.
При этом, так же как и в случае аксиально симметричных конфигу-
конфигураций, представляются предпочтительными эллиптические сечения,
сплющенные в направлении нормали к магнитной оси, которые
имеют уплощения с внутренней стороны и заострения с внешней сто-
стороны эллиптического сечения. Соответствующую конфигурацию
с круговой магнитной осью можно рассматривать как гибрид «Тока-
мака» и двухзаходного «Стелларатора», а конфигурацию с винтовой
магнитной осью — как модель гибрида «Токамака» и «Стеллара-
«Стелларатора» типа восьмерки Спитцера. Рассмотренные гибридные системы
представляются заслуживающими внимания, поскольку равнове-
равновесие и устойчивость в них могут существовать как без продольного,
тока, так и в некотором интервале изменения продольного тока, и,,
в частности, при наличии переменного тока в плазме.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ВИНТОВОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Потенциальная энергия колебаний плазмы при цилиндрической геомет-
геометрии представляется суперпозицией парциальных энергий для отдельных вин-
винтовых гармоник, и для исследования устойчивости достаточно ограничиться
288

рассмотрением отдельных гармоник возмущения. Представляет также интерес
рассмотрение потенциальной энергии отдельной винтовой гармоники возму-
возмущения для случая тороидальной геометрии плазмы. При этом непосредственно
выявляется стабилизирующее действие магнитной ямы на винтовые возму-
возмущения в тороидальных конфигурациях с продольным током [35].
Если выбрать смещения плазмы ? и fx в натуральной системе координат
6, ?, V в виде
l = l(V) cos2n (mQ—nt,); \i = \i1(V) cos 2я (mQ—n?) +
и ввести следующие обозначения:
и = пФ'—m%'; v = nJ'—ml'; c = nt1-\-m e2 = («j—vB)/p', (П.2)
то минимизация потенциальной энергии D.9) по щ и ц2 приводит к следую-
следующему выражению для dWf.
т. (П.З)
Ограничимся для простоты случаем аксиально симметричных тороидальных
конфигураций, тогда интегрирование по частям, при использовании гранич-
граничного условия ?2 = 0 либо (jcJ = 0, дает
X
Для случая цилиндрической геометрии плазмы полученное выражение
сводится к C.37):
у
f
(П.5)
Как это видно из сравнения формул (П.4) и (П.5), при сворачивании
плазменного цилиндра в тор дестабилизирующий член ~р'(г) преобразуется
согласно соотношению
B2p'(r) /jB4 /В2ч /Р'\
яг»1Р \с2/ \ с2 / \с2/ ALb)
и может стать стабилизирующим при р' < 0. Совокупность первых двух чле-
членов в правой части соотношения (П.6) и является характеристикой магнитной
ямы для винтового возмущения. Аналогичные члены описывают магнитную
яму в общегеометрических критериях устойчивости C.68) и C.70).
ЛИТЕРА ТУРА
1. Морозов А. И., Соловьев Л. С. В сб. «Вопросы теории плаз-
плазмы», вып. 2. М., Госатомиздат, 1963, стр. 3.
2. Ш а ф р а н о в В. Д. «Ж. техн. физ.», 40, 241 A970).
3. Rosenbluth M., Longmire С. Ann. Phys., 1,120A957).
4. К а д о м ц е в Б. Б. В сб. «Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций», т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 16.
5. Кадомцев Б. Б. Там же, стр. 380.
289

6. М е г с i e r С. Int. Conf. Plasma Physics, and Controlled. Nucl. Fus.
Res., Salzburg, 1961, p. 95.
7. В i n e a u M. Ibid., p. 35.
8. Green J. M., Johnson J. L. Phys. Rev. Lett., 7, 401 A961).
Э.Соловьев Л. С. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 53, 627 A967).
10. С о л о в ь е в Л. С. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 53, 2063 A967).
И. Н a m a d a S. Nucl. Fusion, 1—2, 23 A962).
12. S u у d e m B. Proceeding of Second U. N. International Conference on
Peaceful Uses of Atomic Energy. Geneva, 31, 157 A958).
13. Ш а ф р а н о в В. Д., Юрченко Э. И. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 53, 1157 A967).
14. С о л о в ь е в Л. С. «Докл. АН ССР», 182, 1052 A968).
15. Ware A.A., Haas F. A. Phys. Fluids, 9, 956 A966).
16. Кадомцев Б. Б. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 2. М., Гос-
атомиздат, 1963, стр. 132.
17. С о л о в ь е в Л. С. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 3. М., Гос-
атомиздат, 1963, стр. 245.
18. Mercier С. Nucl. Fusion, 3, 89 A963); 4, 213 A964).
19. С о л о в ь е в Л. С, Шафранов В. Д. В сб. «Вопросы теории
плазмы», вып. 5. М., Атомиздат, 1967, стр. 3.
20. Ш а ф р а н о в В. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 33, 710 A957).
21. Зуева Н. М., Соловьев Л. С. «Атомная энергия», 24, 5 A968).
22. Зуева Н. М., Соловьев Л. С. «Атомная энергия», 26, 1 A969).
23. Шафранов В. Д. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 2. М., Гос-
атомиздат, 1963, стр. 92.
24. Ю р ч е н к о Э. И. «Ж. техн. физ.», 37, 1458 A967).
25. С о л о в ь е в Л. С, Шафранов В. Д., Ю р ч е н к"о Э. И.
Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fus. Res., 1, 175 A969).
26. В e r n s t e i n I. B. et al. Proc. Roy. Soc. A244, 17 A958).
27. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1.
Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1953, стр. 198.
28. Шафранов В. Д. «Атомная энергия», 5, 38 A956).
29. Шафранов В. Д. В сб. «Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций», т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 61.
30. Newcomb W. A. Ann. Phys., 10, 232 A960).
31. М о р о з о в А. И., Соловьев Л. С. «Докл. АН СССР», 158, 831
A964).
32. Solovyev L. S., Shafranov V. D. Conference on Plasma Phy-
Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. Culham. U. K. A965); Vienna,
IAEA, 1, 169 A965).
33. Shafranov V. D. Nucl. Fusion, 8, 253 A968).
34. S h a f r a n о v V. D., Yurchenko E. I. Nucl Fusion, 9, 285
A969).
35. Соловьев Л. С. «Атомная энергия», 30, 14 A971).

СОДЕРЖАНИЕ
Квазилинейные эффекты в потоковых неустойчивостях. А. А. Веде-
Ведение, Д. Д. Рютов 3
Введение 3
§ 1. Основные уравнения 3
§ 2. Релаксация нерелятивистского электронного пучка 6
2.1. Одномерная релаксация , ¦ • 6
2.2. Задача с граничными условиями 11
2.3. Трехмерная релаксация 14
2.4. Роль неоднородности плазмы 17
§ 3. Релаксация ультрарелятивистского электронного пучка .... 21
3.1. Релаксация в однородной плазме 22
3.2. Релаксация в неоднородной плазме(качественное рассмотре-
рассмотрение) 27
3.3. Релаксация в неоднородной плазме (количественное рассмот-
рассмотрение) 29
3.4. Волна релаксации 36
§ 4. Аномальное сопротивление плазмы без столкновений 37
4.1. Аномальное сопротивление на начальной стадии тока . . 37
4.2. Асимптотическое решение задачи об аномальном сопротив-
сопротивлении. Автомодельные переменные 41
4.3. Исследование автомодельных уравнений для одномерной
модели 44
4.4. Исследование автомодельных уравнений для трехмерной
модели 46
4.5. Аномальное сопротивление току, перпендикулярному к
магнитному полю 49
§ 5. Квазилинейные эффекты при расширении сгустков электронов
и ионов 56
5.1. Постановка задачи 56
5.2. Вывод квазигазодинамических уравнений 59
5.3. Решение квазигазодинамических уравнений 61
5.4. Другие задачи о расширении сгустков 64
Приложение 1 65
Приложение 2 66
Приложение 3 67
Литература , 68
291

Электромагнитные неустойчивости немаксвел лове кой плазмы. А. Б. Ми-
Михайловский 70
Введение 70
Электронные неустойчивости
§ 1. Плазма с анизотропными электронами 74
1.1. Предварительные замечания . 74
1.2. Электромагнитная неустойчивость двух встречных элект-
электронных потоков 75
1.3. Два встречных потока в продольном магнитном поле . . 77
1.4. Плазма большого давления с анизотропным распределением
электронов 78
1.5. Влияние магнитного поля на возмущения с kz = О
в плазме с Т. > Т^ 83.
1.6. Влияние магнитного поля на возмущения с k^ = 0 в плаз-
плазме с Т± > Т я 85
1.7. Низкочастотная неустойчивость плазмы с Т^^> Т» на ко-
косых волнах 87
§ 2. Раскачка колебаний плазмы группой быстрых электронов
с анизотропным распределением по скоростям 88
2.1. Постановка задачи 88
2.2. Электромагнитные колебания в плазме с холодными
электронами 88
2.3. Раскачка электромагнитных колебаний с к^ = 0 . . . . 90
2.4. Раскачка низкочастотных колебаний с к^ ф 0 91
§ 3. Электромагнитные неустойчивости в пучковых системах с ани-
анизотропным распределением частиц по скоростям 93
3.1. Предварительные замечания 93
3.2. Раскачка колебаний холодным пучком 93
3.3. Раскачка колебаний пучком с конечной поперечной
энергией частиц 94
3.4. Кинетическая пучково-анизотропная неустойчивость . . 95
3.5. Раскачка вистлеров убегающими электронами 95
§ 4. Раскачка квазиэлектрических колебаний в слаборелятивистской
плазме с dfjdv > 0 96
4.1. Неустойчивость отрицательной массы 96
4.2. Неустойчивость колебаний на верхней гибридной частоте
в плазме, содержащей небольшую долю релятивистских
электронов 97
§ 5. Мазерная раскачка электромагнитных волн 99
5.1. Раскачка электромагнитных колебаний ckz =OhEJ_Bo (ти-
(типа необыкновенной волны) 99
5.2. Раскачка электромагнитных колебаний с k. = 0 в нере-
лятивисткой слабоионизованной плазме инертных газов . 100
Ионные неустойчивости
§ 6. Плазма с анизотропными ионами 101
6.1. Предварительные замечания 101
6.2. Неустойчивость в приближении нулевого магнитного поля
(Р -* оо) 101
292

6.3. Влияние магнитного поля на неустойчивость плазмы боль-
большого давления с Т..,- > T±i при kz = 0 102
6.4. Влияние магнитного поля на неустойчивость плазмы боль-
большого давления с T±i^> Гц; при k^ =0 103
6.5. Неустойчивости плазмы с 1 < Р < m.ilme 103
6.6. Кинетические неустойчивости плазмы с Р <^± 1 при k^ = 0 . 104
6.7. Гидродинамическая неустойчивость плазмы с Гц > Т^
(шланговая неустойчивость) 105
6.8. Низкочастотная неустойчивость плазмы конечного давления
с T±i > Г,,; при (kz, kjJ=f=O (пробкотронная неустойчи-
неустойчивость) 105
§ 7. Сталкивающиеся плазмы и плазма с неоднородным профилем
скорости 107
7.1. Электромагнитная неустойчивость сталкивающихся плазм 107
7.2. Раскачка альфвеновских волн в плазме с неоднородным
профилем скорости (неустойчивость Кельвина—Гельмгольца) 108
§ 8. Конусные неустойчивости в плазме с конечным р 111
8.1. Высокочастотная конусная неустойчивость 111
8.2. Высокочастотная конусная неустойчивость на ветви сви-
свистящих атмосфериков 112'
8.3. Циклотронная конусная неустойчивость на ветви свистя-
свистящих атмосфериков 112
8.4. Неустойчивость двугорбого распределения при малой
доле холодных ионов 113
8.5. Высокочастотная конусная неустойчивость плазмы с боль-
большим Р 114
§ 9. Конусно-градиентная неустойчивость плазмы конечного дав-
давления : 115
9.1. Неустойчивость плазмы с Р -> 0 115
9.2. Дисперсионное уравнение для плазмы с конечным Р ... 117
9.3. Неустойчивость плазмы с конечным Р 118
9.4. Неустойчивость плазмы конечного давления с малой при-
примесью слегка нагретых максвелловских ионов 118
§ 10. Раскачка колебаний плазмы быстрыми ионами 119
10.1. Быстрые ионы с анизотропным распределением по скоро-
скоростям 119
10.2. Ионно-циклотронная неустойчивость магнитозвуковых ко-
колебаний при kz = 0, вызываемая частицами с dfldv^ > 0 121
§ 11. Обзор теоретических и экспериментальных работ 122
§ 12. Заключение 130
Приложение. Тензор диэлектрической проницаемости плазмы в маг-
магнитном поле 131
Литература 135
Взаимодействие высокочастотных полей с плазмой. А. А. Иванов . . 139
Введение 139
§ 1. Основные понятия и качественные оценки 140
§ 2. Решение кинетического уравнения в присутствии высокочастот-
высокочастотных полей 144
2.1. Интегралы движения 144
2.2. Интегрирование по траекториям для случая высокочастот-
высокочастотного магнитного поля 145
293:

2.3. Интегрирование по траекториям для случая геликона
(Р < Q/oHe) 151
2.4. Интегрирование по траекториям для случая высокоча-
высокочастотного электрического поля 156
^ 3. Получение дисперсионных соотношений 158
3.1. Дисперсионные соотношения для случая высокочастотного
магнитного поля 159
3.2. Дисперсионное соотношение для плазмы, находящейся в
поле спиральной волны (геликона) (Р < ?2/<в№) 163
3.3. Дисперсионное соотношение для высокочастотного элект-
электрического поля 164
.=§ 4. Исследование дисперсионных соотношений 166
4.1. Влияние высокочастотного магнитного поля на неустой-
неустойчивости плазмы 166
4.2. Влияние волны типа геликон на неустойчивости плазмы при
Р < Q/wHe 178
4.3. Влияние высокочастотных электрических полей на неустой-
неустойчивость плазмы 185
§ 5. Стабилизация диссипативных неустойчивостей 202
5.1. Стабилизация высокочастотным электрическим полем . 202
5.2. Стабилизация высокочастотным магнитным полем . ... 204
§ 6. Заключение 207
Литература • 208
Гидромагнитная устойчивость замкнутых плазменных конфигураций.
Л. С. Соловьев 210
Введение 210
Глава 1. Системы координат 218
§ 1.1. Натуральная осевая система координат 218
§ 1.2. Ортогональная осевая система координат 219
§ 1.3. Скругляющая осевая система координат 219
§ 1.4. Натуральная поверхностная система координат 221
Глава 2. Равновесные плазменные конфигурации 224
.§ 2.1. Равновесные аксиально симметричные конфигурации плазмы 224
2.1.1. Общие соотношения 224
2.1.2. Аксиально симметричные тороидальные конфигурации
в окрестности магнитной оси 225
2.1.3. Плазменный тор эллиптического сечения 228
2.1.4. Плазменный тор с круглыми приосевыми сечениями маг-
магнитных поверхностей 231
2.1.5. Натуральная метрика •• 234
§ 2.2. Равновесие произвольных плазменных конфигураций 235
2.2.1. Магнитные поверхности в окрестности произвольной
¦ магнитной оси 235
2.2.2. Равновесие плазмы в окрестности произвольной магнитной
оси . 238
'§ 2.3. Интегральные характеристики равновесных тороидальных кон-
конфигураций 243
Глава 3. Условия гидромагнитной устойчивости плазмы . . . . 247
§3.1. Энергетический принцип 247
§ 3.2. Устойчивость плазменного цилиндра 249
294

3.2.1. Малые колебания плазменного цилиндра 249'
3.2.2. Условия конвективной и локальной устойчивости . . . 250
3.2.3. Неустойчивость тангенциальных разрывов 251
3.2.4. Применение энергетического принципа 254
§ 3.3. Стабилизирующее действие проводящих торцов 259
§ 3.4. Общегеометрические критерии устойчивости для замкнутых
конфигураций 262'
§ 3.5. Локальная устойчивость аксиально симметричных конфигу-
конфигураций 265
3.5.1. Конфигурации с круглыми поперечными сечениями маг-
магнитных поверхностей в окрестности магнитной оси . . 265
3.5.2. Устойчивость произвольных аксиально симметричных
конфигураций в окрестности магнитной оси 26&
§ 3.6. Общегеометрические критерии устойчивости для квазиодно-
квазиоднородных конфигураций 267
3.6.1. Общие соотношения 267
3.6.2. Конфигурации однородного сечения с непрокручиваю-
щимися магнитными поверхностями 271
3.6.3. Конфигурации однородного сечения с равномерно про-
прокручивающимися магнитными поверхностями 272
§ 3.7. Устойчивость симметричных конфигураций 273
3.7.1. Конфигурации с винтовой симметрией 273
3.7.2. Аксиально симметричные конфигурации 275
3.7.3. Области устойчивости 277
§ 3.8. Устойчивость конфигураций с прокручивающимися магнит-
магнитными поверхностями 277
§ 3.9. Заключение • 286
Приложение 288-
Литература 28*

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ
Выпуск 6
Редактор В. Н. Безрукова
Художественный редактор А. С. Александров
Технический редактор Е. И. Маэель
Корректор Г. Л. Кокосова
Сдано в набор 7/IX 1971 г. ПоДп. к печати 16/Ш 1972 г.
Т-04557. Формат 60X90/16. Бумага типографская № 1.
Усл. печ. л. 18,5, Уч.-изд. л. 18,1. Тираж 2 180 экз.
Цена 1 р. 92 к. Зак. изд. 70027 Зак. тип. 495
Атомиздат, 103031, Москва, К-31. ул. Жданова, 5/7.
Московская типография № 4 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 4 6