№ fl/0=!5. S)
B.E. ЛЫСОВ
ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Самара
Самарский государственный технический университет
2009

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Электропривод и промышленная автоматика»
В.Е.ЛЫСОВ
ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Допущено \МО по образованию в области энергетики и электротехники
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 140604 "Электропривод и автоматика
промышленных установок и технологических комплексов”
Самара
Самарский государственный технический университет
2009
УДК 621.92
Рецензенты:
д-р техн, наук, профессор С.Я. Галицков,
д-р техн. наук, профессор Э.Я. Рапопорт
Лысов В.Е.
Л 88 Теория автоматического управления: учеб, пособие /В ЕЛысов. -
Самара: Самар, гос. техн.ун-т, 2009. - 454 с.: ил.
ISBN 978-5-7964-1241-1
Систематически изложены осноаы современной теории автоматического
управления промышленными установками и технологическими процессами.
Рассмотрена методика составления дифференциальных уравнений движения
динамических звеньев, переход к передаточным функциям и амплитудно-
фазоаым частотным характеристикам. На этой основе представлен частотный
метод анализа линейных аналоговых и дискретных систем, а также нелинейных
систем, допускающих гармоническую линеаризацию.
Излагается методика структурно-параметрического синтеза следящих, ин-
вариантных, адаптивных систем автоматического управления (САУ), а также
САУ с элементами искусственного интеллекта.
Все разделы работы иллюстрируются многочисленными числовыми при-
мерами.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 14.06.04,
14.02.05, 14.02.011, 14.06.05 направления 654500 “Электротехника, электроме-
ханика и электротехнология”, 21.02.00 “Автоматизация технологических про-
цессов и производств”.
библиотека
УДК 621.92
К64
ISBN 978-5-7964-1241-1
© В.Е. Лысов, 2009
© Самарский государственный
технический университет, 2009
ПРЕДИСЛОВИЕ
По определению учебное пособие - руководство для обучения.
На этом основании оно должно содержать полностью устоявшиеся
разделы теории, профессиональную терминологию, а также отражать
проблемные вопросы теории и практики, которые ещё недостаточно
отработаны методически.
В учебном пособии для технического университета особо под-
черкнута прикладная сторона теории автоматического управления
при разработке систем автоматического управления промышленными
установками и технологическими процессами.
Современное состояние науки, техники и особенно тенденции их
развития способствовали модернизации всей системы образования.
Технический университет призван быть основным механизмом пере-
дачи культуры достигнутого и постоянно повышаемого уровня зна-
ний. Здесь должно достигаться единство обучения, исследования,
воспитания, развития умственных способностей и характера обучае-
мых с целью подготовки квалифицированных специалистов для про-
мышленности и научных работников.
Практический опыт по подготовке специалистов для различных об-
ластей промышленности показал, что необходимость в инженерах-
практиках, решающих вопросы ремонта, наладки систем автоматическо-
го управления, всегда намного выше, чем в инженерах-исследователях
или инженерах-конструкторах, создающих новые системы для модерни-
зации существующих технологий или системы для новых технологий.
В связи с этим курс «Теория автоматического управления» (ТАУ) состо-
ит из трех уровней. Первый уровень формулирует основные правила по
синтезу структуры и параметров систем автоматического управления,
обеспечивающих требуемые показатели качества,’и в области автомати-
зации промышленных установок и технологических процессов. Этот
уровень, дополненный разделом «Структурно-параметрический синтез
линейных систем автоматического управления», расширяет кругозор
инженера. Третий уровень призван обеспечить передовыми знаниями,
познакомить с перспективами развития теории и включает в себя допол-
нительные разделы «Динамика дискретных линейных систем автомати-
ческого управления» и «Методы исследования нелинейных систем ав-
томатического управления».
При написании работы учитывался различный уровень подготов-
ки поступивших в университет. Учебное пособие должно быть оди-
наково понятно для пришедших из общеобразовательных школ и из
з
технических колледжей. Это достигается тем, что первый уровень
знаний - анализ систем - реализуется упрощенными математически-
ми моделями на основании учета только основных физических явле-
ний для процессов и установок, подлежащих автоматизации путем
введения систем автоматического управления.
Автор стремился показать, что ТАУ, в силу её необходимого
применения во многих технических приложениях, является одной из
дисциплин, представляющих фундамент для согласованной инженер-
ной деятельности специалистов многих научных направлений (разра-
ботчиков систем управления космическими аппаратами, станками,
роботами и т.д.). Это, в свою очередь, определяет ТАУ как базовую
дисциплину при создании компьютерных методов синтеза средств
производства и предметов потребления, которые окружают нас и
обеспечивают качество жизни общества. Учебное пособие ограниче-
но по объему, поэтому изложено в форме справки с большим количе-
ством иллюстраций и таблиц.
Настоящее издание - это обобщение опыта работы автора со сту-
дентами электротехнического, инженерно-технологического факуль-
тетов Самарского государственного технического университета
(СамГТУ); результаты собственных научных исследований, выпол-
ненных на кафедре «Электропривод и промышленная автоматика», в
НИИ ПНМС (научно-исследовательский институт проблем надежно-
сти механических систем) СамГТУ, в станкостроительном акционер-
ном обществе «Стан-Самара». Учебное пособие отражает традиции
преподавания на кафедре «Электропривод и промышленная автома-
тика», основанной в 1933 г.
ВВЕДЕНИЕ
Наиболее развитой и распространенной формой представления
знаний является теория — логически целостная концептуальная сис-
тема, характеризующаяся относительной замкнутостью, полнотой и
непротиворечивостью [1]. Разнообразие естественно-научных теорий
открыло широкие возможности для инженеров в разработке и созда-
нии технических систем, обеспечивающих производство средств
производства и производство предметов потребления.
Реализация упомянутых производств осуществляется в ходе про-
изводственного процесса, под которым понимают совокупность
взаимосвязанных трудовых и технологических процессов [2], целена-
правленных на получение из исходных материалов конечного про-
дукта с требуемыми свойствами. Процедура обработки исходного ма-
4
териала до получения конечного продукта с заданными свойствами
называется технологическим процессом, который осуществляется на
промышленных установках (станках, роботах, прессах и др.).
Степень автоматизации промышленных установок и технологи-
ческих процессов в настоящее время имеет ярко выраженную тен-
денцию полного освобождения человека от непосредственного вы-
полнения функций управления и передачи их автоматическим уст-
ройствам. Это становится возможным за счет резкого снижения пото-
ка информации о технологическом процессе от человека к машине и
придания самостоятельности техническим устройствам в промыш-
ленных установках по обработке и использованию производственной
информации. Последнее, в свою очередь, становится возможным при
введении в контур управления цифровых вычислительных машин
(ЦВМ). Это принципиально выводит автоматизацию производствен-
ных установок и технологических процессов на качественно новый
уровень, придает системе интеллектуальные свойства [3]. Системы с
искусственным интеллектом (ИИ) потребовали новой концепции раз-
вития промышленного производства - интегрированного автоматизи-
рованного производства (ИАП). Понятие ИАП означает производст-
венную систему, включающую в себя технологические компоненты,
ЭВМ и программное обеспечение. Такие системы должны использо-
вать информацию о технологическом оборудовании, манипулируе-
мых (обрабатываемых) деталях и состоянии внешней среды; прово-
дить комплексный анализ движений исполнительных и вспомога-
тельных элементов технологической системы с целью генерирования
управляющих воздействий, способствующих получению изделий с
заданными показателями качества. Внедрение таких систем управле-
ния позволило повысить точность выполняемых технологических
операций [4], значительно повысить производительность промыш-
ленных установок и улучшить условия труда, повысить качество,
конкурентоспособность выпускаемой продукции.
Предметы, созданные в результате производственного процесса на
промышленных установках, являются продуктом интегрирования раз-
личных знаний на стадии их проектирования, продуктом совокупной
деятельности локальных систем в каждой установке (станке, роботе,
прессе и др.) и в автоматизации управления материала - заготовки ме-
жду промышленными установками по определенной программе. Ло-
кальные системы, обеспечивающие отдельные технологические опера-
ции (точение, сверление, свинчивание, прессование, измерение), могут
5
быть различной физической природы: электромагнитные, электромеха-
нические, электрогидравлические и т.д. Различной физической приро-
ды бывают устройства связи между промышленными установками,
обеспечивающие последовательность выполнения технологических
операций. Однако работа физических систем любой физической приро-
ды и устройств связи между ними позволяет структурно представить в
целом автоматизированный процесс и описать его аналитически и экс-
периментально. Объединение знаний о самом процессе и теории управ-
ления им позволяют синтезировать автоматическую систему с задан-
ными показателями качества. Эти обстоятельства подчёркивают значе-
ние теории автоматического управления (ТАУ) в области интеграции
знаний, что делает необходимым ее изучение не только для специали-
стов в области автоматического управления.
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Глава 1. ПРОБЛЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ТЕРМИНОЛОГИЯ
1.1.	КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
О СТАНОВЛЕНИИ ТАУ КАК УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Человек, вступающий в отношения со средствами производства,
образует производительные силы общества, которые его развивают и
совершенствуют. Творческой составляющей производительных сил
является человек, который стремится переложить тяжелый физиче-
ский труд на плечи машин и механизмов. Процедура замены физиче-
ского труда человека в рабочих операциях работой машин и меха-
низмов называется механизацией. Первые сведения о разработке и
практическом применении механизированных систем описаны в ра-
ботах Герона Александрийского «Пневматика» и «Механика» в 120 г.
Им были разработаны и внедрены система по автоматическому от-
крыванию ворот храма при зажигании жертвенного огня, автомат для
разливки священной воды и другие оригинальные устройства. Его
идеи и системы поражали умы современников, но значительно опе-
режали время и не нашли широкого практического применения в ту
эпоху. Такие работы утверждали веру человека в свои возможности
создать механических помощников для выполнения тяжелых, одно-
образных, утомительных работ,
В этом отношении интересны работы швейцарского часовщика
Пьера Дро и его сына Анри (18 в.), которые изготовили механического
художника, рисовавшего головки и фигуры людей; пианиста, испол-
нявшего на фисгармонии музыкальную пьесу, и другие системы. В это
же время русским механиком И.П. Кулибиным был создан «театр авто-
матов» в часах яичной формы. Каждый час в корпусе яйца распахива-
лись дверцы, и зрители видели движущиеся под музыку фигурки. По-
добные работы привели к тому, что в начале 19 в., в эпоху промышлен-
ного переворота, идеи построения механических помощников были
востребованы и стали широко внедряться в промышленность. К пер-
вым автоматическим устройствам относятся регулятор уровня воды в
котле паровой машины, разработанный русским механиком И.И. Пол-
зуновым (1765 г.); регулятор скорости вращения вала паровой машины,
сконструированный английским механиком Уаттом (1784 г.); система
программного управления ткацким станком от перфоленты, предло-
женная французским изобретателем Жаккаром (1804 г.).
Параллельно с процессом механизации интенсивно развивалось
стремление человека формализовать отдельные виды деятельности
умственного труда, оформить это в виде логических и аналитических
зависимостей и реализовать их на механических устройствах. В пер-
вую очередь это относится к одной из древнейших наук - математи-
ке. Уже в 1644 г. Блэз Паскаль (1623-1662) построил арифмометр.
В упомянутые годы в основном шло осмысление и накопление
знаний. Знания тогда изменялись весьма медленно. Например, время
удвоения знаний в 1800 г. составляло 50 лет; в 1950 г. - 10 лет; в 1970
г. — 5 лет; в 1981 г. — 2.5 года, и в настоящее время мы имеем инфор-
мационный взрыв. Датой становления ТАУ как научной дисциплины
или научного направления следует считать 1868 г., когда вышла в
свет книга Д.К Максвелла «О регуляторах»
Д.К. Максвелл родился в Эдинбурге (Англия) 13 июня 1831 г. За-
кончил Эдинбургский (1850 г.) и Кембриджский (1854 г.) универси-
теты. С 1871 г. - первый профессор экспериментальной физики в
Кембриджском университете, создатель и первый руководитель Ка-
вендишской лаборатории. Он является автором фундаментального
1000-страничного труда - «Трактата об электричестве и магне-
тизме». Умер в 1879г.
Следующей знаменательной датой является 1876 г., когда русский
ученый И.А. Вышнеградский издал монографию «О регуляторах пря-
6
7
мого действия». В этой работе регуляторы рассматриваются не отдель-
но, а совместно с машинами как единая динамическая система. Здесь
же впервые исследуется динамика систем на основе линейных диффе-
ренциальных уравнений. Однако автоматизированные установки были
единичными, и основная работа велась по изысканию методов анализа
функционирования автоматических систем, особенно в области обес-
печения их устойчивости. Здесь в первую очередь следует отметить ра-
боты российского академика А.М. Ляпунова (1857-1918), который
впервые поставил и решил (1892 г.) общую задачу об устойчивости
движения и стал основоположником этого научного направления [5].
А. Гурвиц (профессор математики Цюрихского политехническо-
го института по подготовке специалистов в области математики и фи-
зики) в 1895 г. опубликовал свою работу, в которой изложил алгеб-
раический критерий устойчивости, получивший название критерия
Гурвица. Зачем были разработаны критерии устойчивости американ-
ским ученым Найквистом в 1932 г., А.В. Михайловым — в 1935 г.
Видную роль в популяризации и совершенствовании критериев ус-
тойчивости сыграли работы советского ученого В.В. Солодовникова
[6]. Следует заметить, что в это время системы автоматического
управления применяются во всех отраслях народного хозяйства.
Происходит замена труда человека в операциях управления и переда-
ча этих функций техническим устройствам. Этот процесс называется
автоматизацией производства. Широкое развитие и применение сис-
тем автоматического управления привели к возникновению специ-
альной отрасли науки - теории автоматического управления и регу-
лирования. Наше время, как уже было отмечено, характеризуется ин-
формационным взрывом во всех областях знаний, и в этой связи воз-
никла объективная необходимость приведения в соответствие уровня
знаний и технических возможностей производства по их использова-
нию. Очевидно, что сейчас трудно дать общий прогноз, но обозна-
чить основные тенденции развития техники можно. Дальнейшее по-
вышение производительности оборудования, быстрое обновление
номенклатуры выпускаемой продукции, повышение её качества,
обеспечение мелкосерийности и конкурентоспособности связаны с
дальнейшим развитием, углублением внедрения систем автоматиче-
ского управления промышленными установками и технологическими
процессами. Однако уровень автоматизации качественно меняется.
Теперь функции обработки информации в ходе производственного
процесса берут на себя технические устройства, они же принимают
решение об управлении процессом в зависимости от воздействий ок-
ружающей среды, т.е. в структуру систем автоматического управле-
ния вносится интеллект. Это стало возможным на основе внедрения в
систему управления промышленными установками и технологиче-
скими процессами вычислительных машин — ЭВМ. Теоретическим
вопросам синтеза структурно устойчивых дискретных систем посвя-
щены работы Я.З. Цыпкина, А.М. Бессекерского и других авторов [7,
8, 9, 10]. Введение ЭВМ и применение современных методов про-
граммирования позволили интегрировать производственную дея-
тельность начиная от конструирования изделия и до его изготовле-
ния и предложить новую концепцию производства - интегрирован-
ное автоматизированное производство (ИАП). Основоположником
этого научного направления следует считать научную школу про-
фессора Б.С. Балакшина [2, 11].
1.2.	ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ,
1АДАЧИ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (ТАУ)
Всякий процесс управления подразумевает наличие одного или не-
скольких объектов управления. Объектами управления могут быть элек-
тропривод станка или робота, гибкая производственная система (ГПС)
или гибкий автоматизированный цех (ГАЦ). Объект выделяется из сре-
ды его функционирования для того, чтобы организовать процесс целе-
направленного воздействия на него для перевода из одного состояния в
другое по желаемой траектории. Эту процедуру реализует техническое
устройство, которое называется управляющим органом или регулято-
ром. Если управляющий орган функционирует с участием человека, то
управление называется ручным. Если управление осуществляется без
участия оператора, то оно называется автоматическим. Совокупность
объекта управления и управляющего органа (регулятора), взаимодейст-
вие которых приводит к выполнению цели управления без участия чело-
века, называется системой автоматического управления (САУ).
Цель управления — обеспечение качества выпускаемой продук-
ции, т.е. обеспечение совокупных характеристик объекта, относя-
щихся к его способности удовлетворить установленные и предпола-
гаемые потребности.
Для металлообработки - это точность и производительность; для
сборочных процессов с предварительным натягом - обеспечение тре-
буемых контактных связей в соединении деталей и т.д. Отсюда очевид-
но, что цель управления требует реализации движений исполнительных
органов промышленных установок по определенным законам, поэтому в
8
9
состав САУ должен входить вычислитель цели управления (ВЦУ). САУ
может быть построена по разомкнутому циклу, т.е. без контроля резуль-
тата, или по замкнутому циклу с контролем процесса управления.
Замыкание системы осуществляется звеном, которое называется
обратной связью (ОС). Внешние воздействия на ОУ или другие её
элементы, вызывающие в системе переходный процесс, называются
возмущающими воздействиями. Они могут быть со стороны управ-
ляющего воздействия — сигнала задания; со стороны помех, прило-
женных к объекту управления или другим звеньям системы. С учетом
введенных понятий обобщенная схема САУ для случая управления
по разомкнутому циклу показана на рис 1.1.
Рис. 1.2
Предложенные схемы САУ часто упрощаются в связи с тем, что
цель управления не изменяется во время работы промышленной ус-
тановки или технологического процесса. Например, цель управления
для прецизионного станка — достижение установленной точности ин-
струмента относительно детали при действии возмущений со сторо-
ны окружающей среды.
В этом случае схема САУ преобразуется и принимает вид, пока-
занный на рис. 1.3, где отсутствует ВЦУ.
На рис. 1.1, 1.2 и 1.3 обозначено: Хзл- сигнал задания; У-значение
управляемой координаты: U - сигнал приложенный к ОУ; Х1К- сигнал
обратной связи; X- сигнал разности между сигналами задания и обрат-
ной связи; h внешнее возмущение со стороны окружающей среды.
Рис. 1.3
Закрепим знания о введенных определениях и понятиях, а также
дополнительно рассмотрим новые на примере САУ стабилизации
скорости электродвигателя постоянного тока с независимым возбуж-
дением (рис. 1.4).
Рис. 1.4
На рисунке введены следующие обозначения: G- генератор посто-
янного тока; М — электродвигатель, скорость которого необходимо ре-
гулировать; BR - тахогенератор, сигнал на его выходе пропорционален
скорости вращения электродвигателя; АД - асинхронный гонный элек-
тродвигатель; r.IJ( - сопротивление задающего устройства: УПУ - уси-
лительно-преобразующее устройство; ОВГ — обмотка возбуждения ге-
нератора; U — напряжение питания задающего устройства.
С помощью задающего устройства устанавливают величину на-
пряжения, соответствующего необходимой скорости вращения дви-
гателя М. Напряжение задания и напряжение сигнала обратной связи
с выхода тахогенератора сравниваются в сравнивающем устройстве,
ю
и
роль которого в данном случае выполняет УПУ. Разность упомяну-
тых сигналов усиливается в УПУ и прикладывается к обмотке возбу-
ждения генератора. Генератор вращается с постоянной скоростью
асинхронным гонным двигателем (АД) и при наличии потока возбу-
ждения со стороны ОВГ обеспечивает напряжение на выходных
клеммах, которое прикладывается к якорю электродвигателя М и
обеспечивает требуемую частоту вращения якоря. Допустим, что
увеличилась нагрузка на вал электродвигателя, следовательно, его
скорость уменьшилась, и напряжение на выходе тахогенератора
уменьшилось тоже. Сигнал задания t/w - величина постоянная, по-
этому сигнал разности Ua-Ux, формирующийся на входе УПУ, воз-
растает, а следовательно, напряжение на его выходе также возрастает.
Рост напряжения на выходе УПУ приводит к возрастанию напряже-
ния на обмотке возбуждения генератора и, как следствие, к возраста-
нию напряжения на выходе генератора. Это обстоятельство приводит
к тому, что частота вращения вала электромотора М возрастает и
стремится скомпенсировать действие помехи в виде увеличения на-
грузки и обеспечить отклонение скорости от заданного значения на
допустимом уровне. Законы, позволяющие оценить величину этого от-
клонения от параметров звеньев, входящих в САУ, и величины помехи,
и места её приложения, определяются статическим расчетом системы.
Системы без контроля результата в каждый момент времени или
работающие по разомкнутому циклу не нашли своего практического
применения на современном этапе развития.
Объектом исследования ТАУ являются замкнутые системы авто-
матического управления различной физической природы и степени
сложности. ТАУ разрабатывает принципы синтеза структур САУ,
обеспечивающие перевод системы из начального состояния в конеч-
ное по оптимальному закону (оптимальное управление) либо по про-
грамме, заданной волевым образом (априорно).
Тот и другой способы применяются очень широко. ТАУ должна на
основе идентификации автоматизируемых объектов и заданных динами-
ческих показателей качества установить возможность их достижения.
Задачи теории автоматического управления структурно пред-
ставлены в виде схемы на рис. 1.5.
Цель управление
Синтез
Управляющий сигнал
Управляющее
устройство
По принципу формирования
сигнала
| Импульсные САУ [—
| Цифробые САУ .,
По математическому' •
описания
Система
Автоматического
Управления
Линейные САУ |
Нелинейные САУ |
По используемой информации
	________I...
| Обыкновенье [
Отнальше САУ ~~| [ СамоншпраЛ САУ~1
Разомкнутье
САУ
САУ замкнутые
по отклонении
Комбиниро-
ванные САУ
~\Программше\
Следящие
САУ
, Инвариантная
I следящая САУ
__ Интеллекту-
I альные САУ
_ Адоптивные
САУ
САУ
стабилизации
САУ
стабилизации
— Экстремальная
САУ
Ч Программное
САУ
Прогроммно-
инвариантная
САУ
САУс эталон-
ной моделью
Рис. 1.5
В случае невозможности достичь требуемых показателей качест-
ва объектом управления следует потребовать переработки его конст-
рукции или элементов систем управления САУ с целью достижения
требуемых показателей.
1.3.	КЛАССИФИКАЦИЯ САУ ПО ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ИНФОРМАЦИИ
Информацией называется любая совокупность сведений, первич-
ным источником которых является опыт. Информация играет опреде-
ляющую роль в процессах управления. Средства получения инфор-
12
13
мации - датчики различной физической природы - являются важ-
нейшими элементами систем автоматического управления. При клас-
сификации САУ будем различать два вида информации:
а)	начальную или априорную;
б)	рабочую.
Априорной называют информацию, представляющую совокуп-
ность сведений об управляемом объекте и управляющем органе (ре-
гуляторе), необходимых для обеспечения функционирования САУ, а
также действие помех и точки их приложения в системе. Например, в
системе управления скоростью вращения электромотора, показанной
на рис. 1.4, начальной информацией является уравнение движения
мотора, генератора, усилительно-преобразующего устройства (УПУ),
тахогенератора с конкретными числовыми значениями параметров.
Необходимо указать точки приложения и численные значения ожи-
даемых внешних возмущений к объекту управления (мотору М) и
другим звеньям системы. Эта информация должна быть представлена
проектировщику до начала выполнения проекта САУ. От точности и
достаточности информации зависят точность и динамические показа-
тели качества проектируемой системы. Если какой-либо факт не был
учтен, то система на него не реагирует, и он полностью переходит в
ошибку системы при выполнении заданной цели управления. Для
указанных систем количество информации выше, чем для систем
других классов. Необходимость полной начальной информации при-
суща широкому классу систем, называемых обыкновенными систе-
мами. Обыкновенными системами называются системы, которые не
обладают способностью приспосабливаться к изменяющимся ус-
ловиям и изменяющимся свойствам управляемого процесса.
Обыкновенные системы широко применяются в промышленно-
сти. Это объясняется тем, что изменение условий и свойств управ-
ляемого процесса протекает медленно, и необходимость в автоматиче-
ской подстройке отпадает. В свою очередь обыкновенные системы де-
лятся на разомкнутые и замкнутые. Системы с одной управляемой коор-
динатой называются одномерными, а несколькими управляемыми ко-
ординатами - многомерными. Системы с несколькими управляемыми
координатами, в которых изменение одной из управляемых координат
приводит к изменению всех остальных, называются многосвязными.
Принято подразделять замкнутые обыкновенные САУ на системы
стабилизации, следящие системы и системы программного управле-
ния. В САУ стабилизации управляемая .величина поддерживается на
заданном уровне с заданной погрешностью при действии допустимых
эксплуатационных помех. В программных САУ управляемая коорди-
ната следует по жестко определенной программе с допустимой по-
грешностью от действия допустимых эксплуатационных помех, В сле-
дящих САУ управляемая координата воспроизводит входной сигнал в
произвольной функции времени с допустимой погрешностью, оп-
ределяемой условиями эксплуатации и точкой приложения внешнего
возмущения. Разомкнутые системы делятся на системы компенсации
и системы программного управления. Система компенсации возму-
щений уменьшает их действие за счет обратного искусственного воз-
действия на процесс. Программные системы реализуют выполнение
жестких программ без автоматического контроля их выполнения. В на-
стоящее время разомкнутые системы практически не применяются и
в дальнейшем не будут рассматриваться. Этот участок классифика-
ции показан на схеме (см. рис. 1.5).
Системы, не требующие полной начальной информации для
своего функционирования, называются самонастраивающимися. Это
класс.систем, которые в той или иной мере приспосабливаются к измене-
ниям внешних условий, действующих на объект и звенья системы. Са-
монастраивающиеся системы подразделяются на адаптивные и ин-
теллектуальные САУ. Адаптивные системы включают экстремальные
САУ, в которых объект управления имеет экстремальную статическую ха-
рактеристику. В процессе функционирования система должна найти этот
экстремум и удерживать его при действии допустимых эксплуатацион-
ных помех. Вторая группа адаптивных систем - стабилизации задан-
ных показателей качества - использует для этого сравнение реаль-
ных процессов, имеющих место в производстве с их математиче-
ской моделью. Сигнал разности, характеризующий отличие реального
процесса от желаемого, направляется в устройство коррекции
параметров отдельных звеньев системы или изменения ее отдель-
ных элементов с целью приблизить реальный процесс к желае-
мому. Интеллектуальной системой автоматического управления
(ИСАУ) будем называть систему, в которой происходит автоматиче-
ская смена стратегии управления объектом в функции характера
изменения его параметров под действием окружающей среды.
Интеллектуальные системы предполагают наличие альтернатив в
ведении процесса в случае изменения условий работы системы и из-
менений в действии возмущений среды. Система должна выбрать
наилучший вариант ведения процесса, подчинить этому струк-
турные изменения в схеме САУ и параметрические изменения от-
дельных звеньев системы. Классификация по указанному принципу
14
15
показана на рис. 1.5. Специальный класс систем автоматического
управления составляют оптимальные САУ.
Переход управляемого объекта из начального положения в ко-
нечное может осуществляться по разным траекториям. Выбор траек-
тории движения определяется заданными требованиями: максималь-
ное быстродействие перехода; переход при минимальном расходе
энергии. Выбор требуемого пути перехода и его реализации состав-
ляет область оптимального управления (см. рис. 1.5).
1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ САУ
НО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОПИСАНИЮ
И ФОРМИРОВАНИЮ СИГНАЛА НА ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ
Все САУ можно представить двумя категориями с точки зрения
описания их математическими зависимостями - линейные и нелинейные
САУ. Линейные и нелинейные системы подразделяются на три клас-
са: непрерывные, дискретные, дискретно-непрерывные. Непрерывные
системы описываются дифференциальными уравнениями; дискретные -
дифференциально-разностными, а дискретно-непрерывные - как теми,
так и другими уравнениями-(см. рис. 1.5). По принципу формирования
сигнала на объект САУ делятся на непрерывные, релейные, импульсные и
цифровые. В релейных САУ обязательным элементом является реле, ко-
торое реализует квантование сигнала по уровню (рис 1.6).
Рис. 1.6
В импульсных системах квантование сигнала в функции времени
и величины входного сигнала осуществляется импульсным элементом.
В зависимости от того, какой из параметров импульса изменяется в
соответствии с входным сигналом, разделяют амплитудно-импульсную
модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и вре-
менно-импульсную модуляцию (ВИМ). При АИМ амплитуда выход-
ных импульсов изменяется в соответствии с изменением входного сиг-
нала в дискретные равноотстоящие моменты времени (рис. 1.7).
При ШИМ амплитуда входного сигнала преобразуется в импуль-
сы одной и той же амплитуды, но ширина импульса изменяется с из-
менением амплитуды в дискретные равноотстоящие моменты време-
ни (рис. 1.8). При ВИМ значению входного сигнала в дискретные
равноотстоящие моменты времени соответствует временной сдвиг
выходного импульса (рис. 1.9).
Импульсные САУ, которые используют АИМ, относятся к классу
линейных систем по математическому описанию. Цифровые системы
образуют информацию в форме чисел благодаря квантованию непре-
рывного сигнала по уровню с помощью релейного элемента, затем
квантованию по времени с помощью импульсного элемента и, нако-
нец, кодированию с помощью кодирующих устройств (рис. 1.10).
16
17
Релейный	Импульсный	Кодирующее
элемент	элемент	устройство
Рис. 1.10
Цифровые системы относятся к классу нелинейных систем по их
математическому описанию.
1.5. СТРУКТУРНЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ САУ
Для отражения принципиальной сущности САУ применяют
функциональные и структурные схемы. Схемы, отражающие функ-
циональное назначение системы и выполненные на уровне отдельных
устройств, блоков, узлов, элементов системы в процессе их работы,
называются функциональными. Они обычно рассматриваются совме-
стно с временной диаграммой работы системы или установки. Внут-
ренняя структура каждого звена не конкретизируется. Функ-
циональная схема отражает общий план обмена информацией между
блоками (узлами). Вспомогательные коммутации опускаются. Функ-
циональные схемы отражают качественную сторону работы системы
или установки. Они позволяют легко уяснить основные принципы
работы системы. Схемы, составленные на уровне узлов и элементов,
могут характеризовать некоторые конструктивные особенности.
Структурные схемы САУ отражают порядок прохождения ин-
формационных сигналов и количественное их изменение при прохо-
ждении через звенья системы. Этот тип схем является основным при
выполнении расчетов и совершенно не учитывает конструкцию эле-
ментов системы и принцип работы. В структурную схему САУ закла-
дывается более высокая степень абстракции, поэтому они носят
обобщающий характер, но математически точно отражают свойства
звеньев системы. Например, система управления скоростью электро-
двигателя, приведённая на рис 1.4, может быть представлена в виде,
показанном на рис 1.11.
Схема (см. рис. 1.11) называется структурной. Она показывает
порядок прохождения сигнала задания UM и его преобразования в
соответствии с математическими зависимостями в каждом звене сис-
темы. Связь между сигналами на выходе и на входе звена обеспечи-
вается дифференциальным уравнением и обозначена на рис 1.11- как
ИЦр), где / - номер звена; р - оператор Лапласа. Рассмотрим подроб-
нее некоторые составляющие схемы, чтобы расширить принятую
терминологию. Регулятор включает усилительно-преобразующее
устройство, которое может содержать несколько каскадов промежу-
точных усилителей и усилителей мощности. Что касается обратных
связей, то они делятся на жесткие и гибкие.
Рис. 1.11
Жесткие связи функционируют как в переходном, так и в устано-
вившемся процессах. Жесткие связи бывают положительными и от-
рицательными. Положительные связи применяются для увеличения
сигнала на выходе звена, которое охвачено этой связью. Отрицатель-
ная связь реализует контроль сигнала на выходе системы и формиру-
ет сигнал на входе САУ, равный разности между заданием и факти-
ческим его значением. Кроме того, связи бывают гибкими, которые
функционируют только в переходных режимах и предназначены для
обеспечения устойчивого движения САУ и заданных динамических
показателей качества системы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 1
1.	Какой физический смысл понятия «автоматическое управление»?
2.	Какая принципиальная разница между управлением по разомкнутому и
замкнутому циклам?
3.	Какой физический смысл понятий «структурное звене» системы, «об-
ратная связь»?
4.	В чем заключается разница между положительной и отрицательной об-
ратной связями, между гибкой и жесткой обратной связями?
5.	Дайте определение линейной системы автомат ического управления
6.	Поясните принцип амплитудно-импульсной модуляции (АИМ).
7.	Поясните принцип работы релейного элемента по формированию сигна-
ла на его выходе.
18
19
Глава 2. СТАТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ РАБОТЫ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цель специального рассмотрения отдельных вопросов работы САУ
в статическом режиме заключается в нахождении фундаментальных
зависимостей, связывающих точность воспроизведения системой закона
управления со статическими характеристиками её звеньев; в углублении
знаний, связанных с изменением статических характеристик звеньев в
случае их охвата отрицательной или положительной обратными связя-
ми. В предлагаемой главе рассматривается метод преобразования
структурных схем, получивший широкое распространение в линейной
теории автоматического управления; отмечаются особенности расче-
та многосвязных систем в статическом режиме.
2.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКОГО
И ДИНАМИЧЕСКОГО РЕЖИМОВ РАБОТЫ САУ
САУ промышленной установки или технологического процесса
может работать в двух режимах — статическом и динамическом. Ста-
тический режим работы должен обеспечить требуемую точность вос-
произведения заданной команды на входе системы при действии воз-
мущений со стороны окружающей среды (действие нагрузки, вариа-
ция напряжения питающей сети, изменение температуры окружаю-
щей среды и т.д.), а также действии внутренних возмущений в систе-
ме, таких, как дрейф нуля промежуточных усилителей, гистерезис у
характеристик отдельных звеньев САУ.
Проанализируем понятие «ошибка системы». Вернемся к струк-
турной схеме стабилизации скорости вращения вала электромотора,
показанной на рис 1.11.
Можно заметить, что ошибка — это отклонение, заданной величи-
ны скорости, которую устанавливаем с помощью потенциометра
(см. рис 1.4) или сигнала задания ЦЦр) (см. рис 1.11), от действи-
тельного её значения, контролируемого с помощью тахогенератора
BR. Допустим, что на вход системы подан сигнал Сзл=10 В, что соот-
ветствует частоте вращения вала электромотора 104 с (1000
об/мин), но на клеммах BR получим напряжение С(К.= 9,9 В, что соот-
ветствует частоте 103,6 с 1 (990 об/мин). Отсюда видно, что ошибка в
системе составляет 10 об/мин или соответствует величине 1/зд-1/,к =
0,1 В. Под действием этой разности происходит движение системы со
скоростью 103,6 с' . Если необходимо снизить величину ошибки или
приблизиться к заданной величине 104 с~' с большей точностью, то
необходимо повысить коэффициент передачи какого-либо звена в
системе с таким расчетом, чтобы меньшая разность сигналов задания
и обратной связи могла бы поддерживать заданный уровень скорости.
Таким образом, становится очевидным необходимость ошибки в ука-
занных системах для обеспечения её работоспособности. При упомя-
нутой разности, равной нулю, система неработоспособна. Становится
очевидным, что величина этой ошибки определяет структурную схе-
му системы и её параметры.
Динамический режим работы САУ характеризуется переходом из
одного установившегося состояния в другое, поэтому в исполнитель-
ном механизме и кинематических цепях передачи движения возни-
кают ускорения (замедления), которые приводят к возникновению
динамических усилий (моментов). Эти величины должны быть огра-
ничены на уровне допустимых для всей кинематической цепи пере-
дачи движения. С математической точки зрения система автоматиче-
ского управления описывается дифференциальным уравнением. Сле-
довательно, при порядке уравнения, равном или большем 3, и опре-
деленном сочетании параметров оно может дать расходящееся реше-
ние, что соответствует потере работоспособности САУ. Цель дина-
мического рассмотрения работы САУ заключается в установлении
компромисса между точностью системы и ее работоспособностью и
обеспечении требуемых показателей качества.
2.2.	СПОСОБЫ УПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Автоматическое управление может быть прямым и непрямым. Пря-
мое управление возможно, когда усилия измерительного элемента (дат-
чика) достаточно для перемещения исполнительного элемента. Непря-
мое управление - это такое управление, когда усилия датчика недоста-
точно для перемещения исполнительного элемента. Следует отметить,
что и прямое управление, и непрямое управление подразделяются, в
свою очередь, на управление статическое и управление астатическое.
Управление называется статическим, если после окончания пере-
ходного процесса от действия внешнего возмущения установившееся
21
20
значение управляемой координаты соответствует этому значению
возмущения. На основании определения следует, что каждому воз-
мущению соответствует своё значение регулируемой величины.
В качестве примера рассмотрим систему стабилизации уровня жид-
кости в резервуаре [12] в случае изменения её потребления (рис. 2.1).
Система относится к системам прямого управления. Перед систе-
мой стоит задача стабилизации уровня жидкости в резервуаре, опреде-
ленного точкой «а» на статической характеристике объекта, показанной
на рис 2.1. б. Величинаgl - внешнее возмущение среды, определяемое
потреблением жидкости. Величина g2 - возможное поступление жид-
кости в резервуар. Причем для управляемости процессом стабилизации
уровня жидкости в резервуаре необходимо выполнить условие gi>g\.
Предположим, что расход gi возрос и определяется точкой «Ь» на той
же характеристике. Это приводит к понижению уровня жидкости в ре-
зервуаре, и датчик уровня Д открывает заслонку Вт с целью увеличить
поступление жидкости в резервуар. В случае, когда расход gi и поступ-
ление g2 равны друг другу, наступает установившийся режим, но на но-
вом уровне соответствующий точке «Ь».
На рис. 2.1, а обозначено: h\ - заданный уровень жидкости; gt и g2
- соответственно расход жидкости и её поступление в резервуар; В} и
Вт - заслонки, соответственно управляющие расходом и поступлением
жидкости в резервуар; Д- датчик уровня жидкости в резервуаре.
Рис. 2.1
Величина разности АЛ называется статической ошибкой в стаби-
лизации уровня жидкости в резервуаре. Задачей статического расчета
САУ является нахождение структуры и её параметров для поддержа-
ния упомянутой выше разности на требуемом уровне при допусти-
мых эксплуатационных внешних возмущениях.
Управление называется астатическим, если установившееся после
окончания переходного процесса значение управляемой величины не
зависит от действия возмущений со стороны окружающей среды и ос-
тается на прежнем уровне. Пример такой системы показан на рис. 2.2.
Рис. 2.2
Цель системы — та же, что и рассмотренная выше. При увеличе-
нии расхода g\ происходит понижение уровня жидкости и перемеще-
ние движка потенциометра, связанного с датчиком уровня Д. Это
приводит к тому, что к электродвигателю М будет приложено напря-
жение U, и он перемещает заслонку в сторону увеличения расхода
жидкости, поступающей в резервуар (см. рис. 2.2, а). Движение будет
прекращено, когда уровень жидкости в резервуаре достигнет прежне-
го значения, поэтому в точке «Ь» после окончания переходного про-
цесса (см. рис. 2.2, б) уровень жидкости тот же, что и в точке «а».
При таком способе управления теоретическое значение статической
ошибки должно быть равно нулю.
2.3.	СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СТРУКТУРНЫХ ЗВЕНЬЕВ САУ
САУ представляет собой соединение отдельных ее звеньев. Звено
САУ - элемент, в котором определенным образом преобразуется
входной параметр в выходной. Схематически изображается в виде
блока и не отражает особенностей его конструкции (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Простейшим выражением количественной и качественной зави-
симостей между входным и выходным сигналами звена является ко-
эффициент передачи. Коэффициентом передачи линейного звена
22
23
САУ или линейной САУ в целом называют отношение выходной ве-
личины к входной величине в установившемся режиме. В общем слу-
чае эти величины могут иметь различную физическую природу, а по-
этому коэффициент передачи может иметь определенную размер-
ность. Примером может служить электродвигатель постоянного тока
с постоянными магнитами. Выходной величиной этого звена является
скорость вращения вала (частота вращения), а входной величиной -
напряжение, приложенное к его якорю, поэтому коэффициент пере-
Г
дачи имеет размерность — =
.Y
I
Вс
. Для электронного усилителя это
отношение безразмерно, поэтому для этого случая коэффициент пе-
редачи может называться коэффициентом усиления. В общем виде
упомянутое отношение согласно определению коэффициента переда-
чи представится равенством
Если величина К постоянна при различных значениях X, то зависи-
мость Y = f(X) представляет собой прямую линию, и такое звено или
система называются линейными. Если же упомянута зависимость в ви-
де кривой линии, то такое звено или система называются нелинейными.
Однако, учитывая диапазон изменения входной величины в процессе
работы САУ или звена, возможно осуществить линеаризацию в рабо-
чей зоне изменения входного сигнала, и тогда коэффициент передачи
определится как отношение приращения выходной величины к прира-
щению входной величины в рабочей зоне работы звена или системы:
АГ
A.V
(2.1)
Само графическое представление зависимости «вход-выход» назы-
вается статической характеристикой звена или системы (рис 2.4,2.5).
Рис. 2.4
Рис. 2.5
При нахождении коэффициента передачи звеньев САУ необхо-
димо обратить внимание на следующее обстоятельство. При прохож-
дении сигналов от одного звена к другому по линии связи имеет ме-
сто потеря уровня этого сигнала, поэтому необходимо учитывать со-
противление линии связи на величину коэффициента передачи. При
экспериментальном определении коэффициента передачи реального
звена системы необходимо нагружать его сопротивлением, равным
сопротивлению последующего звена, и добавить сопротивление уже
упомянутой линии связи. Часто звенья САУ не проектируются, а вы-
бираются из числа типовых, выпускаемых серийно промышленно-
стью. Для этих звеньев указаны значения коэффициента передачи на
холостом ходу или при стандартном сопротивлении нагрузки. В этом
случае, если в проектируемой системе использовано другое сопро-
тивление, то для линейного звена коэффициент передачи должен
быть пересчитан по зависимости
К = К'К" =--------------К',	(2.2)
^1|Л] "* '"lU.IX +
где г|!ЫХ- выходное сопротивление предыдущего звена; г11Л| - входное со-
противление последующего звена; гД(11|- сопротивление линии связи меж-
ду звеньями системы; К'- коэффициент передачи звена на холостом ходу.
В случае определения коэффициентов передачи силовых звеньев
системы исполнительные силовые электродвигатели, усилители мощно-
сти, питающие их, и другие устройства применяют иной подход. В этом
случае используют коэффициент передачи звена на холостом ходу. Это
объясняется тем, что ток нагрузки как электродвигателя, так и питающе-
го его силового усилителя мощности зависит не от входного сигнала на
звено, а от момента нагрузки на валу двигателя, который изменяется со-
ответственно с технологическим процессом. Именно поэтому влияние
нагрузки в силовых звеньях учитывается в виде возмущающего воздей-
ствия и представляется отдельным динамическим звеном.
Следует отметить влияние сопротивления в цепи обратной связи
при электрическом суммировании сигналов задания и обратной связи
Сзд -UtK. Падение напряжения в цепи обратной связи уменьшает сигнал
последней, и это должно быть учтено введением отдельного звена, кото-
рое включается в прямую цепь системы перед промежуточным усилите-
лем. Коэффициент передачи этого звена определяется по зависимости
Л*вх
Гт + Гп + Гзд + Г доп
(2-3)
24
25
где Г1Л- входное сопротивление усилителя ошибки; Г1| - сопротивление
звена обратной связи; Гзл- сопротивление задающего устройства; г;1(Яг
сопротивление линии связи между звеньями системы. Величина всегда
меньше единицы и этот факт должен учитываться при расчете САУ.
2.4.	ТИПОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ ЗВЕНЬЕВ САУ
В реальных САУ звенья могут быть соединены друг с другом са-
мым различным образом, однако структурную схему САУ любой
степени сложности можно представить в виде типовых соединений
звеньев: последовательного; параллельного; группы звеньев, охва-
ченных обратной связью. Рассмотрим основные свойства каждого
типа соединений.
Последовательное соединение звеньев САУ. Если выходной
сигнал звена является входным для последующего звена, то такое со-
единение называется последовательным (рис. 2.6).
Рис. 2.6
Для показанной структурной схемы можно представить аналити-
ческую зависимость связи сигналов в виде
Х, = К.-Х; Х2=К2 Х,; Y = К,Хг.
Обозначим произведение К,- К,- К,= К и представим вышепри-
веденное соотношение в виде
К = — = К. -К, К,.
X
Из полученного соотношения следует, что эквивалентный коэф-
фициент передачи группы звеньев, соединенных последовательно,
равен произведению коэффициентов передачи всех звеньев и в общем
виде представляется зависимостью
Х=— =ПКГ	(2.4)
Параллельное соединение. Если при соединении звеньев вход-
ной сигнал является общим, а выходной сигнал есть сумма выходных
сигналов каждого звена, то такое соединение структурных звеньев
системы называется параллельным (рис. 2.7).
Запишем соотношения, связывающие входную и выходную вели-
чины, и определим эквивалентный коэффициент передачи этой груп-
пы звеньев:
Г,=Х,-А'; Y2=K2-X; Y, = K,X; Y=Yt + Y, + Y,.
С учетом ранее полученных соотношений для Y„Y„Y, найдем
Y = (K,+K2 + K,)-X.
Последнее соотношение позволяет записать значение эквива-
лентного коэффициента в виде
К = — = К,+К, + К,.
X '	2
Из полученной зависимости следует, что эквивалентный коэффи-
циент передачи группы звеньев, соединенных параллельно, равен
сумме коэффициентов передачи всех соединительных звеньев, и в
обобщенном виде его можно представить зависимостью
K =	(2.5)
Л 1=1
Группа звеньев, охваченных обратной связью. Рассмотрим оп-
ределение эквивалентного коэффициента передачи для группы звень-
ев, охваченных обратной связью (отрицательной), и поясним физиче-
ские процессы, происходящие при этом в звеньях системы (рис. 2.8).
26
27
Рис. 2.8
Для представленной схемы запишем соотношения, связывающие
входную и выходную величины:
X,M. = K,Y; Х, = КгХ.:, Y = К2-Xt; Х() = Xы - Х()с.
Используя полученные соотношения, установим связь между
входной и выходной величинами:
к, к
Заменим разностью Xvl-X()C. Представив величину Х1)С как
произведение К,- К. получим
У
Xr,-K,-Y = —-----.
w 3 К, • К,
Из полученной зависимости следует
}'•(/ + К,  К, -К3)= XVI • К, -К2.
Последнее равенство позволит получить окончательное выраже-
ние для эквивалентного коэффициента передачи группы звеньев, ох-
ваченных отрицательной обратной связи (ООС), в виде
} к>к>
1 + К,  К, • К
VI	1	-
Обозначая группу звеньев в прямой цепи и звеньев в цепи
ОС км, перепишем последнее выражение в обобщенном для любого
числа звеньев в прямой цепи и в цепи ОС виде:
К _	охи
Л ад 1 + ^ОХН ’ к ос
(2.6)
Используя полученные выше соотношения, представим эквива-
лентный коэффициент передачи для группы звеньев, охваченных по-
ложительной обратной связью (ПОС) в виде
(2-7)
ь- _ У _ ^охи
1\ —---—-----------
X VI 1 ~ К<>хн ' К ос
Проведем анализ полученных зависимостей. Для случая соединения
группы звеньев с ООС и при увеличении произведения К,№„-К1к значе-
ние эквивалентного коэффициента передачи стремится к значению
у 1
к=т~=т~-	(2-8>
л ад л ос
Из зависимости (2.8) следует, что эквивалентный коэффициент
передачи есть величина, обратно пропорциональная коэффициенту
передачи звеньев в цепи ОС, поэтому к элементам в цепи ОС предъ-
являются жесткие требования по линейности характеристик их ста-
бильности во времени и при внешних воздействиях окружающей сре-
ды. Из выражения (2.6) следует, что при охвате звеньев ООС экви-
валентный коэффициент передачи всегда меньше, чем коэффициент
передачи группы звеньев в прямой цепи системы.
При охвате группы звеньев ПОС происходит увеличение эк-
вивалентного коэффициента передачи системы, и в случае, если
К„хп •^<x.=h получаем, что эквивалентный коэффициент передачи
системы стремится к бесконечности, т.е. статическая характеристика
системы становится релейной.
В случае, если отдельные статические характеристики звеньев
САУ нелинейные, то определение эквивалентной статической харак-
теристики выполняется графически. Рассмотрим их для описанных
выше типовых соединений звеньев
Последовательное соединение. Рассмотрим этот вид типового
соединения при наличии нелинейных статических характеристик не-
которых звеньев (рис. 2.9).
На рис. 2.9, а показана структурная схема системы, на рис. 2.9, б
- статические характеристики её звеньев. Процесс построения экви-
валентной статической характеристики показан на рис. 2.9, в. В ука-
занной системе координат представлены статические характеристики
отдельных звеньев. Из точки 1 восстанавливаем перпендикуляр до
пересечения с характеристикой X, = f(Xv), затем из полученной точ-
ки пересечения проводим прямую, параллельную оси абсцисс, до пе-
ресечения с характеристикой X, = f(X2). Из полученной точки опус-
каем перпендикуляр до пересечения с характеристикой у =/(%,).
а
Рис. 2.9 Начало
28
29
Из этой точки проводим прямую, параллельную оси абсцисс, и из
точки 1 опускаем перпендикуляр до пересечения с упомянутой пря-
мой. Точка их пересечения определяет точку статической характери-
стики 1=/(.¥„х). Аналогично получаем и другие точки характеристи-
ки. Соединив их, построим эквивалентную статическую характери.
стику группы звеньев, соединенных последовательно, среди которьв
есть звенья с нелинейными статическими характеристиками. Процесс
нахождения статической характеристики группы звеньев
соединенных параллельно и имеющих нелинейные характеристики
На рис. 2.10, а представлена структурная схема, на рис. 2.10, б-стати
ческие характеристики звеньев системы и на рис. 2.10, в — процедура на
хождения результирующей характеристики как суммы её составляющей.
На полученной кривой результирующей статической характери-
стики у = /(%зд) отмечаем рабочую зону изменения входной и вы-
ходной величин и определяем эквивалентный коэффициент передачи:
AY
К =-----.
ZL¥.W
Рассмотрим соединения структурных звеньев САУ, охваченных
ООС. Допустим, что в прямой цепи имеются звено или несколько
звеньев, которые имеют нелинейные характеристики. В цепи ОС рас-
положено звено с линейной и стабильной статической характеристи-
кой. Такое требование к звену ОС вытекает из условия создания каче-
ственной САУ, что было отмечено выше. Схема САУ, характеристи-
ки отдельных звеньев и процесс построения эквивалентной характе-
ристики показаны на рис. 2. 11, а, б, в.
Рис. 2. II
Процесс построения эквивалентной статической характеристики
группы звеньев, охваченных ООС, осуществляется следующим обра-
зом. В системе координат Y = f(Xn,X3ll,XtK.) (см. рис. 2.11, в) распола-
зо
31
гают статическую характеристику звеньев, включенных в прямую
цепь САУ К =/(.¥„). Допустим, что значение определяется точ-
кой 1 Из структурной схемы очевидно, что эта величина есть раз-
ность между сигналом ,¥w и сигналом обратной связи Х1К1.
На рис. 2.11, в эти величины отмечены. Из точки 1 восстановим
перпендикуляр до пересечения с характеристикой У = /(%„) и отмечаем
точку 1 ’. Из этой точки проведем прямую, параллельную оси абсцисс,
до пересечения с осью Y и продолжим в другую сторону, где отложим
величину У,к., (точка 1"). Из полученной точки опустим перпендикуляр
до пересечения с осью абсцисс. Сумма Д',*., и Х,„ дает значение вход-
ного сигнала .¥НХ1 (точка Г"), который обеспечивает сигнал Y на выхо-
де. Проведем аналогичные построения для точек 2, 3. Соединив полу-
ченные точки, получим эквивалентную статическую характеристику Y
-f(Xn). Из построения видно, что она проходит положе характеристи-
ки Y = f(X„) и тем самым реализует эффект линеаризации эквивалент-
ной характеристики. Это свойство ОС позволяет синтезировать систе-
мы со стабильными в процессе эксплуатации показателями качества.
Из рассмотрения эквивалентной статической характеристики
также следует, что коэффициент передачи системы уменьшился от-
носительно коэффициента передачи звеньев в прямой цепи системы.
Введение положительной ОС приводит к возрастанию эквива-
лентного коэффициента передачи группы звеньев. Процесс построе-
ния показан на рис. 2.12.
По оси X,, откладывается значение ХО1 (точка 1). Из отмеченной
точки восстанавливается перпендикуляр до пересечения с характери-
стикой У = f(X„) и отмечается значение У, (точка Г)- Из точки 1 про-
водим прямую с наклоном, соответствующим характеристике звена
ОС, до пересечения с линией, параллельной оси абсцисс и проходя-
щей через точку yt (точка 1”). Из полученной точки опускаем пер-
пендикуляр до пересечения с осью абсцисс. Полученная точка отме-
чает значение которая обеспечила значение У,. Аналогично по-
строены другие точки статической характеристики группы звеньев,
охваченных ПОС.
Из построения становится ясно, что эквивалентная характеристи-
ка может резко увеличивать коэффициент передачи и принимать зна-
чение, равное бесконечности, т.е. система или группа звеньев может
приобретать свойства релейного элемента.
2.5.	ПЕРЕКРЕСТНЫЕ ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ
В СТРУКТУРНЫХ СХЕМАХ САУ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В практике проектирования систем автоматического управления
имеют место структурные схемы с перекрестными обратными связя-
ми, когда одно или несколько звеньев прямой цепи САУ оказываются
между действиями ОС. Пример такой схемы показан на рис. 2.13.
Из её рассмотрения следует, что невозможно непосредственно из
схемы установить связь между У и Х„ поэтому такой тип схем нуж-
дается в структурном преобразовании и приведении к одному из ти-
повых видов, рассмотренных в предыдущем параграфе.
Принцип преобразования основан на следующем правиле: при
переносе точки приложения связи или точки отбора сигнала связи не-
обходимо обеспечить неизменность сигнала в реальных точках схе-
мы. Применим это правило к схеме, показанной на рис. 2. 13.
Перенесем связь из точки, характеризующей выходную коорди-
нату системы У, на вход звена с коэффициентом К,.
32
33
Для того чтобы сохранить значение сигнала на входе звена с коэф-
фициентом К,, необходимо включить дополнительное звено в цепь ОС.
В результате таких действий получим схему, показанную на рис. 2.14.
Рис. 2.14
Рассматривая ее, замечаем, что перекрестная обратная связь пре-
образована и получено типовое соединение звеньев, охваченных от-
рицательной обратной связью, которое легко свернуть к виду, пока-
занному на рис. 2.15, где введены обозначения
Х3_ «гКй . к К2
X t 1 + К у • К6  К 4	1 + К 2 • К ( • К $
Рис. 2.15
Из анализа проведенных структурных преобразований вытекает
правило переноса связей в линейной САУ: если точка отбора сигнала
обратной связи переносится против направления действия звеньев
системы, то необходимо в обратную связь последовательно включить
фиктивное звено с коэффициентом передачи звеньев, через которые
эта связь переносится; если точка отбора сигнала обратной связи пе-
реносится по направлению действия звеньев САУ, то в цепь обратной
связи необходимо включить последовательно фиктивное звено с ко-
эффициентом передачи, равным обратному значению коэффициентов
передачи звеньев, через которые эта связь переносится.
2.6.	ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ САУ
Основное уравнение статического режима работы САУ устанав-
ливает связь между выходной величиной системы с действием вход-
ного сигнала и помехами со стороны окружающей среды. Помехи
принято подразделять на помехи первого и второго рода. Помехи
первого рода можно рассматривать как некоторый дополнительный
сигнал, приложенный в определенной точке системы и дающий на ее
выходе ошибку Л/, где i — номер соответствующего воздействия со
стороны помехи. Причем значение ошибки пропорционально вели-
чине помехи, месту приложения в структурной схеме САУ и ее пара-
метрам и не зависит от величины выходной координаты.
Характерными помехами первого рода для электромеханических
систем автоматического управления являются помехи нагрузки, при-
ложенные к исполнительному электромотору, остаточного намагни-
чивания (гистерезиса) электромагнитных устройств.
Помехи второго рода вызывают изменения коэффициента пере-
дачи звена или звеньев системы и тем самым изменяют значение
управляемой координаты, внося ошибку в САУ. Характерными по-
мехами второго рода для электротехнических установок являются ва-
риации напряжения питания различного рода электронных усилите-
лей, преобразователей. Значение этой ошибки зависит от уровня сиг-
нала управления в системе. Вопросам статического расчета САУ по-
священы специальные учебники, монографии. В курсе ТАУ мы рас-
сматриваем эти вопросы на уровне, дающем возможность понимать
связь между изменениями коэффициентов передачи системы и ее ди-
намическими свойствами. Это позволяет несколько упростить струк-
турную схему САУ в указанном режиме работы. Упрощение заклю-
чается в пренебрежении помехами второго рода. Это можно объяс-
нить присутствием в схеме САУ стабилизаторов напряжения для пи-
тания упомянутых выше устройств и стабильных устройств задания
входного сигнала управления Хт. Типовая структурная схема одно-
контурной САУ показана на рис. 2.16.
Рис. 2.16
34
35
Найдем выражение для выходной координаты применительно к
представленной структурной схеме:
(X-i„+h,)KtK,-K' h.-KpK2	Е,-К2
у __	» __•_-	। _ I L Л______|_	+___£____
1 + Kt ’ К2 • К3  Kqc 1 + К| * К2- К3‘ Kqq 1 +  К2- К3‘
|	| hvKtK2-K3-	1 ;
I Ч* Ak । * ^2 *	‘ ^~ОС	ОС
Введем в (2.9) обозначения: Кр = Kt- Кг- К,- К1К- коэффициент пе-
редачи разомкнутой системы; е — абсолютная величина статической
ошибки в системе; };, — значение выходной величины без действия
помех (идеальный холостой ход), которую находим по зависимости
у
°	1 + А,,
С учетом введенных обозначений выражение (2.9) представим в виде
. ftv • К. • К, • А', ft,- К, К, И,-К, h, ht-K-K,-K,
1 + A,,	1 + A,,	1 + A,. 1 + A,,	1 + A„
После преобразования получим
= e = (hv+K)-K,-K2-K, +---1---- - A, • A, + ft, • A, + ft,). (2.10)
r„	(i + A,,)};, (i + A,,)};,	-
Из выражения (2.10) следует, что все помехи с точки зрения
влияния их на статическую ошибку делятся на две группы. Одна
группа помех ft,, ft,, ft,, имеющая место в прямой цепи САУ, дает ста-
тическую ошибку в управлении выходной координатой, в 1 + А,, раз
меньшую по сравнению со значением самих помех. Вот почему,
обеспечивая достаточно большую глубину связи А,,, эту ошибку
можно снизить до сколь угодно малой величины. Другие помехи
ft,,, ft, дают ошибку регулирования, равную относительным значениям
этих помех вне зависимости от величины А,,. Снижение действия
этих помех осуществляют путем выбора стабильных элементов в це-
пи обратной связи и стабильных характеристик источника задающего
сигнала. Из анализа полученной зависимости (2.10) следует, что для
получения требуемой точности при наличии помех необходимо обес-
печить соответствующий коэффициент передачи разомкнутой САУ.
Возможно рассчитать требуемое значение сигнала задания для полу-
чения требуемого значения управляемой координаты. Рассмотрим
применение основного уравнения статического режима САУ на кон-
кретных примерах анализа систем.
2.7.	ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ САУ
Пример 1. Анализ САУ стабилизации скорости вращения элек-
тродвигателя с отрицательной обратной связью по скорости.
Функциональная схема предлагаемой к анализу САУ показана на
рис. 2.17. Рассмотрим случай, когда действует только отрицательная
обратная связь по скорости.
Рис. 2.17
САУ включает регулятор Р, электромотор М и звено обратной
отрицательной связи — тахогенератор TG. Сигнал ОС определяется по
формуле А,(. - a), где А,(| -коэффициент передачи тахогенератора; а>-
частота вращения вала электромотора. Уровень заданного вращения
величины со определяется входным сигналом инх. Коэффициент пе-
редачи регулятора обозначим Ку, а электромотора -- Км. С учетом
введенных обозначений запишем уравнения движения системы:
О а = Vi ~ U<>с = С w — К.п.  со;
2)	Е, = U,  Ку = (U.w - К.П! • со)- Ку-
3)	Ер — См + ЦтРу >
4)	См = Ем + /cmAM;
5)	Ем=со-С„.
В приведенных уравнениях введены обозначения: £,, - электро-
движущая сила регулятора; Ем - противоЭДС электромотора; Ц, -
ошибка САУ; СЕ - постоянный коэффициент, характеризующий
электромотор; Яу - входное сопротивление регулятора; Ru - сопро-
36
тивление якоря электромотора. Исключая последовательно в приве-
денных уравнениях Ем, ЕР, Uf, находим выражение для статическо-
го режима работы представленной схемы:
ш	Ц(2.11)
1 + Ку • Км  К.п; 1 + Ку  Км  Кп;
В зависимости (2.11) использованы обозначения: Км= —;
'-г
= К,, R - коэффициент передачи электромотора по возмущению
со стороны нагрузки; R=RU+Ry - сопротивление якорной цепи элек-
тромотора. На рис. 2.18 представлена структурная схема САУ, соот-
ветствующая выражению (2.11).
Рис. 2.18
Анализ выражения (2.11) позволяет сформулировать следую-
щие выводы.
I.	Первая составляющая правой части зависимости (2.11) опреде-
ляет скорость идеального холостого хода.
2.	Вторая составляющая определяет снижение скорости от дейст-
вия возмущения (или ее увеличения по той же причине).
З.	При увеличении глубины связи можно снизить влияние дейст-
вия нагрузки на скорость вращения вала электромотора, и при А', —><*>
величина Aw стремится к нулю.
4.	Первая часть выражения 2.11, определяющая холостой ход
электромотора, позволяет найти значение требуемого сигнала зада-
ния на входе системы согласно зависимости.
1+Ky-KM-U7t:	(2.12)
1Д max	г/ ts	ВПДР
В (2.12) величина ы1и1Л1. - значение частоты мотора на верхнем
диапазоне регулирования.
5.	Выражение для статистического режима работы САУ в виде
формулы (2.11) позволяет определить величину статистической
ошибки в системе или необходимое значение Кр при заданной вели-
чине статистической ошибки по зависимости
Е%=ы°~ы^ Ю()%> = —Кмн ',,м-- (2.13)
(1 + К р ) • aj
величина ыНПЛ1, означает скорость идеального холостого хода элек-
тромотора на нижнем диапазоне регулирования. Следует заметить,
что коэффициент передачи регулятора Ку. входящий в К,, системы,
включает в себя и коэффициент передачи промежуточных усилителей
в прямой цепи САУ, а поэтому зависимость (2.13) позволяет найти и
выбрать промежуточный усилитель, обеспечивающий величину .ста-
тистической ошибки.
Пример 2. Анализ САУ стабилизации скорости вращения электро-
двигателя с отрицательной обратной связью по напряж ению.
Рассмотрим схему, показанную на рис. 2.17, для случая, когда
обратная отрицательная связь снимается с делителя напряжения А,.
Для этого составим уравнения движения САУ:
2)	Ey=UM+/„„Av;
3)См=Еа/+/1„Ам;
4)	Ем=ш-С„;
5)	Ey = KyUt.
Из представленных уравнений определим зависимость частоты
вращения электромотора от тока нагрузки /см и сигнала задания ит:
ы =	_ h,KMRM(\ + K„Ky)_ IC„KMRM
i + K„Ky	\ + К,,Ку	\ + К„Ку'	7
Согласно полученной зависимости (2.14) на рис. 2.19 представ-
лена структурная схема САУ.
Рис. 2.19
38
39
Анализ зависимости (2.14) позволяет сформулировать следую-
щие выводы.
1. Действие нагрузки компенсируется только в регуляторе при
K„Kv-*x. Статистическая характеристика двигателя в замкнутой
САУ может приблизиться к естественной характеристике при пита-
нии электромотора от источника бесконечной мощности. Этим усло-
вием и определяется её возможное применение в системе управления
скоростью двигателя. Если допустимая статистическая ошибка боль-
ше, чем её значение на естественной характеристике электромотора,
то возможно применение рассмотренной обратной связи.
2. Величина максимального сигнала задания и величина стати-
стической ошибки определяются зависимостями
,,	\ + к(1ку .
2. Чтобы обеспечить независимость скорости от действия возму-
щения, необходимо выполнить условие
1^мКш[Ку(К, -l) + \]+ll„KMRM(i + K,,Ky) + lcmKMRy=O. (2.16)
Из полученной зависимости, при условии, что произведение К{,КУ
много больше единицы, находим значение сопротивления шунта:
R J^^Ry+^KyRJ (Ry+K„KyR^
ш ЛЛлЛ^(^(,-1)+1] MVD+I ’
Статистическую ошибку определим по формуле
= Ш" ~<0 =	~ 1) + 1]+ ^(1 + КцКу)+ Ry } ] QQ%
Шо	ынплг
Схема, соответствующая выражению (2.16), показана на рис. 2.20.
=:	^У ) . ]
<И(,	(1 + К,, К у )• СОцпдг
Пример 3. Анализ САУ стабилизации скорости вращения элек-
тродвигателя при отрицательной обратной связи по напряжению и
положительной — по току.
Обратимся вновь к рис. 2.17 и учтем действие отрицательной об-
ратной связи по напряжению, взятой, как и в предыдущем примере, с
делителя напряжения Rh и введем положительную обратную связь по
току с шунта Я,,,. В этом случае основные уравнения движения при-
мут следующий вид:
2)	£,.=(/„
3)	= Ем +	,
4)
5)	Еу = KVU6.
Из описанных уравнений определим выражение для статической ха
рактеристики электродвигателя с соответствующими обратными связями:
Ц Ку Ем _ 1тЕм Ещ ' fry И|/ ~ 1) + 1] _	Еу _ I R R (2 15)
~	\ + К„Ку	\ + К„Ку	] + K„Kv ст м м' 1 '
Анализ выражения (2.15) показывает следующее.
1. Падение напряжения в цепи регулятора компенсируется дейст
вием отрицательной обратной связи по напряжению (третья состав
ляющая (2.15));
Рис. 2.20
Из рассмотренных примеров можно сформулировать следую-
щие выводы.
I Минимальная статистическая ошибка в стабилизации скорости
вращения вала электродвигателя возможна в схеме с обратной связью
по скорости, так как только в этом случае происходит компенсация
действия помех во всех звеньях прямой цепи САУ. Обобщая полу-
ченный результат на замкнутую САУ любой физической природы,
можно утверждать, что минимальная величина статической ошибки
будет иметь место в случае отрицательной обратной связи по управ-
ляемой координате.
2. Рассмотренные примеры проиллюстрировали методику состав-
ления структурных схем на основе составленных уравнений движе-
ния в звеньях САУ. Такой подход не позволит совершить структур-
ную ошибку в случае сложных САУ.
40
41
^1«11
— К|а2[ + Y2a22 = b22
(2.18)
2.8. ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ
ДЛЯ САУ С НЕСКОЛЬКИМИ УПРАВЛЯЕМЫМИ КООРДИНАТАМИ
Рассмотрим структурную схему систем управления объектами
которые имеют взаимосвязь друг с другом по управляемым коордц
Рис. 2.21
Найдем зависимости, определяющие связь между выходным
и входными величинами. Величины Y, и К, согласно структурной сх
ме определим зависимостями
= htKtl + К2 А21АК + A i^i^n -
У2 = h2K22 +	+ х2к2ки -y2k2k22.
Перепишем полученные выражения в виде, удобном для пре,
ставления в матричной форме:
Т((1 + KJCJ-y2k2Iku = х.к.к,, + htK„-,
-Y,KI2K22+Y2(\ + K2K22)=X2K2K22 +h2K22.
В представленных выражениях введем дополнительно следу!* 1
щие обозначения:
1 + Kt К„ — ап; Кп К22 — a2l’,XlKlKll + htKtl — bu.
1 + К2К22 — a22;K2lKtl = al2',X2K2K22 + h2 K22 = b22.
С учетом введенных обозначений перепишем вышеприведенН!1
уравнения в виде
Система уравнений (2.18) устанавливает связь между управляе-
мыми координатами и воздействиями со стороны среды и управляю-
щих сигналов. В силу громоздкости выражений при исследовании
САУ с несколькими регулируемыми величинами используют мат-
ричные методы расчета. Запишем выражения для каждой управляе-
мой координаты:
^11	“«12
у __ ^22	°22 _ — ^П«22 ~*~^22«|2 _
I <2ц	— fl|2l ац&22 ~а12а21
I a2l а22 I
=________*,*„(H-*2*n)____________х ।	+	__________+ (2.19)
(1 + К,К„ )(1 + К2К22)-К„К22К,2К21 ' (1 + X,X„X1 + К2К22)~к„к22как„
4___________^2^22^11^21_______________________^22^11^21^2______у
(1 + к1к„ю + К2К22)-	+	+	2
«И
— о2| Ь22
«II — «12
«11^22 +«гД|
«11«22 ~«12«2|
«22
к2к12а + к,к„) х +___________________h2K22(} + K,K„)_______ +
+	+	2 (\ + к1к11)(\ + к2к21)-кпк22к,2к2, (2.20)
+__________h,K„K22Kl2____________+___________к„к,2к22к1	___х
(i + x:,XiiXi + ^2^22)-к„к22к,2к2, (1 + х.х:||)(1 + к,л:2,)-к:]|х:,,х 2к21 '
Выражения (2.19) и (2.20) позволяют сформулировать следующие
основные выводы, отражающие специфику анализа многосвязных сис-
тем в статическом режиме работы.
1. Введение межканальных связей между объектами управления при-
водит к повышению эквивалентного коэффициента передачи канала САУ.
2.Устранение взаимовлияния каналов возможно при создании ус-
ловий автономности их работы, когда произведение KtK2Kl}K22 стре-
мится к бесконечно большой величине. В этом случае Y, -> X или
К->Х2 [13].
42
43
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 2
1.	В чем заключается разница между статическим и астатическим
способами управления?
2.	Определите понятие «статическая характеристика» структурного звена
САУ, дайте ее количественную оценку.
3.	Найдите эквивалентный коэффициент передачи группы структурных
звеньев САУ, соединенных последовательно, параллельно?
4.	Поясните физическую сущность введения отрицательной обратной
связи в САУ.
5.	Поясните физический смысл понятия «помеха, приложенная к звену САУ».
6.	Каким образом коэффициент передачи разомкнутой САУ связан с ее
статической ошибкой (ошибкой регулирования)?
7.	Для какой цели группу звеньев или отдельное звено охватывают по-
ложительной обратной связью?
Глава 3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ,
АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ
ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ САУ
В главе рассматриваются фундаментальные понятия теории
автоматического управления /передаточная функция, амплитудно -
фазовая частотная характеристика (АФЧХ) динамических звеньев
(САУ), которые позволяют количественно оценить процесс прохож-
дения сигналов через звенья системы, проанализировать влияние ка-
ждого звена в формировании движения всей системы. Здесь же рас-
сматриваются основные математические методы анализа систем
автоматического управления.
3.1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ,
ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ТАУ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ЕГО СВОЙСТВА
Движение детерминированных САУ в самом общем виде
описывается дифференциальными уравнениями. Аналитическое ре
шение этих уравнений является трудоемкой задачей и, в частности,
при определении постоянных интегрирования. Преобразование Лад
ласа дает возможность перейти от дифференциальных уравнений «
алгебраическим в плоскости комплексного переменного.
Лаплас Пьер Симон (1749-1827) — французский математик, ас-
троном, физик. Создал структуру Солнечной системы, был минист-
ром при Наполеоне Бонапарте.
Это дает возможность легко учесть начальные условия и перейти к
алгебраическим методам решения уравнений. Результат решения дол-
жен быть переведен в систему вещественных чисел (реальных физиче-
ских величин) путем обратного преобразования. С математической точ-
ки зрения преобразование Лапласа представляет собой функцио-
нальное преобразование, в котором функции вещественного перемен-
ного (функции времени) ставится в соответствие функция ком-
плексного переменного - р [рис.3.1]. Рассматриваемое преобразо-
вание линейно. Преобразование Лапласа осуществляется по формуле
F,.(p) = f/(Z)e"<*.	(3.1)
О
Функция f(t) называется оригиналом, функция /•, (р) - её изо-
бражением в плоскости комплексного переменного р = а + Jeu. Мето-
дика решения дифференциальных уравнений движения САУ с помо-
щью преобразования Лапласа сводится к следующей схеме.
Для того чтобы функция имела изображение, нужно выполнить
следующие условия.
1	.Функция /(<)=0 для всех значений t<-0.
2	.Функция /(/) должна иметь ограниченный порядок возрастания;
можно указать такие постоянные числа М и С больше нуля, при ко-
торых выполняется неравенство
/(0<M-e°,(f<0).
Число С называется показателем роста функции.
3	. Функция /(г) должна быть непрерывной для всех значений
времени больше нуля или иметь разрыв первого рода. Причем число
точек разрыва должно быть конечным на любом интервале ограни-
ченной длины.
Функции, удовлетворяющие условия 1-3, называются оригинала-
ми. Примерами могут быть следующие функции;
I (t), Asineut. Asineut, t" ЦЦ.е"1 l(t)
Наличие l(t) обеспечивает выполнение первого условия, так как
при t=0 значение 1(0)=0. Не могут быть оригиналами такие функции.
44
45
как l/t.igcot... . В практических задачах чаще используют формул)
Карсона, которая имеет вид
Яр)=рТ/(,Х'”<*.	(3.2)
О
Рис. 3.1
Удобство последней формулы проиллюстрируем на примере изо
бражения постоянной величины f(t) — U = const. Изображение это!
величины по Лапласу примет вид
о	Р	Р
Изображение по Карсону той же функции времени будет пред -
ставлено в виде
F(p) = -^-.
а+ р
Функция времени задана синусоидой/#)= sin pt.
Найдем, используя формулу Эйлера, функцию sin pt в виде
sinpt=—(eipi -е	.
2J
Поставив полученное значение функции в формулу Лапласа, получим
2 J 0	2 J 0
g-tp-iPtt °° е~\р+ЛП<
----------- -}------
Р~ЗР о P + jP
Рг-р2
Эта же функция в форме Карсона будет иметь вид
Яр) =
рР
Рг+Р2'
Изображение
из выражения
этой же постоянной величины по Карсону найде!
Найдем изображения для функции времени, заданной в виде про-
изводной
Яр) = P\ue-p:dt = -Р-е-'” 1/Г = и.
О	Р
L dt J	о dt
Сравнение результатов вычисления изображений показывает
что по Карсону изображение постоянной величины есть величина пс
стоянная и равная оригиналу. Это обстоятельство делает более приме
нимым представление изображений в форме Карсона.
Рассмотрим ряд примеров на преобразование Лапласа-Карсона дл1
наиболее часто встречающихся в практике ТАУ величин.
Функция времени задана экспонентой - /(/) = е
Я(р) = \е~‘“е P'dt = le^'dt = -5-----------
L о	о	-(а + р)
1
а + р
Следовательно, FL (р) =	=> е “. Знак => обозначает соответс'
а+ р
вие функции комплексного переменного р функции времени.
Интегрируя по частям, получим
F, (р) = J	ep,dt = f UdV = СРГ - J VdU.
o dt	о	о
В последней зависимости приняты следующие обозначения:
U = e-p'-,dU = -pe~p,dt;V = f(t);dF = ^^dt
dt
С учетом принятых обозначений изображение производной
примет вид
.|СО 00
Я(Р) = о + pjf(t)e~p'dt = pFL(p)-/(0).
о
Здесь /(0) - начальное значение преобразуемой функции в момент
вРемени t = 0. Изображение производной в форме Карсона имеет вид
46
47
L df(t)
dt
= F(p) = Л ~-e~P'dt = pF(p) - p/(0).
o at
В полученном выражении F(p) = p\f(t)e p'dt.
0
Найдем изображение функции, заданной в виде второй произ
водной:
at J	о at
Интегрирование проводим по частям. Введем следующие обо
значения:
U = e~p‘-,dU = -pe~p‘df, V = ~—\dV = - f-^ dt.
dt	dt
С учетом введенных обозначений изображение второй производ-
ной по Лапласу примет вид
Fz (Р) = f VdV =	- J VdV =	Г + pl^-e^'dt = p2FL (p) - p/(0) - /'(0
о	о	at 0 о at
Изображение второй производной в форме Карсона примет вид
F(p) = p2F(p)-p2/(0)-p/'(0).
Рассмотренные примеры нахождения изображений позволяю
представить дифференциальное уравнение движения звеньев СА1
или движение САУ в целом в операторном виде. Допустим, что урав
нение движения звена или САУ в целом имеет вид
d"y d"-'y dy ,	, dxm ,
a	+	,— + а„у = Ь0-------+ ...+-Д_х.
° dt" 1 dt"-'	" ' dt	0 dt"
В записанном уравнении величина у соответствует управляемо!
координате, ах- управляющее воздействие на входе САУ или d
дельного звена. Представленное дифференциальное уравнение в one
раторном виде в форме Лапласа имеет вид
(аир" + atp"~' +... + а„)-у(р) (а„р"~' +а}р"2	у(О)-(«ор"“2 +
а^"-3 +... + а)У(О)-...-аот"_1(О) = (й„,р"‘ +...+b„)x(.p)-(b„p'"~'+b„,_t)-
-x(O)-(Z>opm“2 + Ь1рт~3 +... + Ьт_2)-х'(р)-...-ЬоХ^(0).
Это же уравнение движения в форме Карсона имеет вид
(авр" + а,р"~' +... + а„ ) • у(р) - (аер" + alP"~' +... ч- ра„_,) • т(0) -
(аоР"~' +аАр"-2 +...+ а„_2р)У(0)-...-а(|ру',-|(0) = (6„,рт +...
... + й,„)-х(р)-(60р” +b1Pm-' +... + pfcm_l)-x(0)-(f>op'"‘’ +
+ b,p-2 +... + pbm_2) • х’(0)—... — Ьврх”-' (0).
Следует отметить, что при нулевых начальных условиях изобра-
жения дифференциального уравнения в форме Лапласа и в форме
Карсона внешне идентичны. Это позволяет использовать более удоб-
ную форму представления - изображение в форме Карсона. Для рас-
сматриваемого уравнения это будет записано в виде
(«оР" + а2р"' +... + а„)-у(р) = (bopa +... + Ь„ )-Х(р).
Следует отметить еще одно обстоятельство. Поскольку испыта-
ния САУ осуществляются в основном при действии скачка на ее вхо-
де, то необходимость учета производных от управляющего сигнала
x(t) определяется соотношением Т„п >ШГТП. Здесь Ттп- время подачи
скачкообразного сигнала на звено или САУ; Тпп - время переходно-
го процесса выходной координаты от действия скачка.
В САУ электроприводами промышленных установок это
условие обычно выполняется, поэтому производными от действия
скачкообразного сигнала можно пренебречь и последнее уравнение
представить в виде
(аорп +ахрт'1 +...+aJy(p) = Ь^с(р).
Рассмотрим наиболее важные свойства преобразования Лапласа-
Карсона.
1.	Если функции fi(t) и f2(t) преобразуемы по Лапласу и имеют
своими изображениями F\(p) и F2(p), то L[f}(t)±f2(t)]=F^(p)±F2(p).
2.	Если оригинал f(t) умножается на число (а), не зависящее от t и
р, то изображение F(p) будет иметь множителем ту же величину:
L[af(t)]=aL[f(t)] = aF(p).
3.	Если оригинал f(t) смещен вдоль оси времени t на постоянную
величину г и f(t-r)=0 при Кт, то f(t-r) = e~vF(p), где F(p)of(t).
Приведенное свойство называют теоремой запаздывания.
4.	Если функция f(t) и ее первая производная преобразуемы по
Лапласу и изображением f(t) по Лапласу является FJp), а ее изо-
бражением по Карсону F(p), то
/(О = НтрГ£(р)или /(r) = limF(p).
р—>0	/-х®	р->0
49
48
Последние зависимости показывают, что поведение изображе-
ния функции в начале координат на комплексной плоскости соответст
вует функции - оригиналу при стремлении времени к бесконечности.
3.1.1. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
И ПРИМЕРЫ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
При исследовании систем, описываемых обыкновенными диффе
ренциальными линейными уравнениями с постоянными коэффициен-
тами, изображение управляемой координаты представляется в виде
дробно-рациональной дроби. Изображение управляемой координаты
у(р) от воздействия х(р) можно записать в виде
У(р) =
А(р)Х(р) = feop'"+fe,p^1+- + fem
В(р) о0р"+а1р"‘‘+...+«„
В представленной зависимости коэффициенты
определяются параметрами звеньев САУ. Обратное преобразование
Лапласа осуществляется по зависимостям
если изображение представлено в форме Карсона и все полюсы, т.е
корни знаменателя В(р)=0, различны и отличаются от нуля. С помо
щью этой формулы находят функцию времени при действии задаю
щего сигнала в виде ступенчатого воздействия U=const. Это остаето
справедливым и для случая изображения функции в виде Лапласа
При других воздействиях выходное значение функции времени буде
определено зависимостью
В(д)
Проиллюстрируем применение полученных зависимостей дл!
определения переходных процессов в звеньях САУ.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение движения выходно>
координаты звена под действием ступенчатого входного воздействия:
Т2~+у = клТ1 — + к1х",
2 dt " dt '
Г] = 0,5 с; Т2 =0,1 с; К-2', x(t)-5. Начальные условия принимаем нуле
выми. Приведем представленное дифференциальное уравнение к опера
торной форме и найдем изображение выходной координаты у(р):
у(р) =	.
В{р)	Тгр + \
Найдем полюсы в полученном уравнении:
Тгр +1 = 0,
1 1
откуда	= -ю.
Других полюсов нет, поэтому используем первую формулу об-
ратного преобразования Лапласа. Получим
ЯО = ^+5-2(Ч)-510+1)е-=10 + 4()е-.
1	0,1 (-10)
Задаваясь рядом значений t от 0 до оо, получим ряд значений
функций y(t) и построим график переходного процесса, как это пока-
зано на рис. 3.2.
Пример 2. Найти кривую переходного процесса для звена САУ
описанным уравнением:
d2y dy
dt dt
- бу = Зе'.
При начальных условияху(0) =1, у'(0)=-1. Перепишем уравнение
в операторном виде:
ДУ']- Ду'] - 6£[у]=3b\e‘ ].
Определим изображение для каждой составляющей:
<=> р2Яр) - ДНО) - У (0) = p'ytp') - р +1;
dy
— •» ру(р) - j(0) = ру(р) -1,
at
бу О 6у(р), Зе' <=> 3—-—.
р-1
50
51
Здесь каждая составляющая найдена в форме изображения по
Лапласу. С учетом вычисленных составляющих изображение выход-
ной величины в форме Лапласа примет вид
, ,	/-Зр + 5
т(р)=.	----тг-
(р-1)(д -р-6)
Здесь А(р) = р2 -Зр + 5,В'(р) = Зр2-4р-5,р, = 1,р2 =3,р3 =-2.
Используя вторую формулу обратного преобразования Лапласа,
определим составляющие переходного процесса и процесс в целом:
При значении 1=0 получим y(t)=l, y'(t)=-l, т.е. решение пра-
вильное. График составляющих и переходный процесс в целом по-
казаны на рис. 3.3.
Вопрос определения корней алгебраических уравнений решается
на компьютерах.
3.2.	ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ САУ
Для рассмотрения динамического режима в отдельном звене или
в группе звеньев прежде всего необходимо иметь дифференциальное
уравнение движения исследуемого объекта. Любое динамическое
звено или динамическая система является нелинейной. Это объясня-
ется тем, что физически звенья имеют ограничения по мощности или
по амплитуде выходной координаты.
Рис. 3.4
Сущность линеаризации заключается в том, что процесс
управления звеном осуществляется не во всем диапазоне изме-
нения его переменных, а вблизи их некоторых значений, соответ-
ствующих характерным режимам работы. Рассмотрим пример ли-
неаризации в САУ стабилизации напряжения генератора. Схема по-
казана на рис. 3.4.
Управляемой координатой является напряжение U объекта
управления - генератора с параллельным возбуждением. Регулятор,
стабилизирующий напряжение на выходе генератора, состоит из изме-
рительного устройства и регулирующего органа, связанных непосредст-
венно (регулятор прямого действия). Измерительным элементом являет-
ся электромагнит ЭМ с сердечником С. Регулирующий орган - рео-
стат г, включенный последовательно в цепь возбуждения генератора
G. Движок реостата г жестко связан с сердечником С электромагнита.
К системе приложено возмущение f(t) в виде увеличения или умень-
шения нагрузки. При понижении напряжения U уменьшается ток в
обмотке возбуждения с параметрами R и L и одновременно умень-
шается электромагнитное усилие F3M электромагнита. Под дей-
ствием пружины Пр. якорь и связанный с ним движок потенциомет-
ра г перемещаются в сторону уменьшения сопротивления г. Значе-
ние тока в обмотке возбуждения возрастает, и при этом восста-
навливается напряжение на выходе генератора с точностью до за-
данной статической ошибки системы.
Зависимость напряжения на выходе генератора в функции тока
возбуждения для рабочей точки А показана на рис. 3.5. На рис. 3.6, а, б
показано изменение выходного напряжения генератора в функции
времени от действия нагрузки и изменения сопротивления г при ста-
билизации управляемой величины.
52
53
(3.5)
б
(3-6)
Рис. 3.6
Исключим из уравнения (3.4) статический режим работы в ра-
бочей точке А, который выражается зависимостью
{R+ra)J0=U0.
Получим для переходного процесса
(R + r0)Af + I0Ar + L^^-+ AIAr = AU.
dt
Применяем к (3.5) процедуру линеаризации, которая заклю-
чается в пренебрежении произведением малых величин AZAr. В ре-
зультате выражение (3.5) принимает вид
(R + r„ )4J + 1оДг + L — = AU.
dt
Уравнение движения (3.6) является линейным и позволяет ус-
тановить однозначную зависимость между отклонением выходной ве-
личины АС/ и входной Аг. Для нахождения упомянутой зависимо-
сти необходимо исключить промежуточную величину AZ. Эта
процедура осуществляется с помощью статической характеристикой
генератора, показанной на рис. 3.5. На рисунке отмечена рабочая точка
А с координатами Uo и 10. В отклонении от этой точки можно записать
(3.3	i
AU = к.-Д1 или AI = — AU.
Л,
(3.6) величину AZ, из вышеприведенного соотношения
Рассмотрим описанный процесс управления напряжением на вь
ходе генератора с математической точки зрения.
Уравнение цепи возбуждения генератора представим в виде
(R + rM + L—-U.
dt
В исходном уравнении переменными являются I, г, U. Кроме топ Заменяя в
из уравнения (3.3) следует, что имеются члены, содержащиполучим
произведения переменных, а следовательно, исходное уравнение нел!
нейно. Проведем его линеаризацию вблизи рабочей точки А (см. ри
3.5). Выходное напряжение генератора отклоняется от заданного знач(
ния Uo на величину АСУ в ту или другую сторону. Причем величииР™
отклонения есть малая величина и не должна превосходить ошибг
регулирования. Как уже отмечалось, стабилизация заданного уровня н
пряжения на выходе генератора осуществляется изменением сопротш
ления г на величину Аг относительно заданного значения, соо’
ветствующего рабочей точке гд. Ток в цепи обмотки возбуждения изм
няется относительно рабочей точки на величину А/. Процессы измен
ния упомянутых величин показаны на рис. 3.5; 3.6, а, б. С учетом вв
денных отклонений исходное уравнение (3.3) перепишем в виде
(Я + + zlr)(Zo + Д1) + L^- = Ur/ + AU.
R + ro ЛИ I л LdAU лтт
-----AU -I- 1Дг +--= ли
к,	k}dt
LdAU R + r0
---— +----AU - AU = -1пДг.
ktdt kt
Поделив обе части (3.8) на —-5° - L получим
Л,
L dAU лтт
-----\^r + AU = ~Jo
tZo_l| dt
к J
Дг
Л,
к.
(3.7)
(3.8)
(3.9)
Анализ размерности члена перед производной по отклонению на-
’ пряжения на выходе генератора имеет размерность времени, поэтому
i
54
55
обозначим его как постоянную времени Т. В правой части выражение
——----- - есть величина постоянная для заданной рабочей точки А, и
Л±го_1
Л,
поэтому его можно представить в виде коэффициента К. Введенные
обозначения позволяют записать уравнение (3.9) в виде
T^-+AU = КАг.	(3.10)
dt
В операторном виде дифференциальное уравнение движения гене-
ратора выглядит следующим образом:
Для рабочей точки «0» получим окончательно
AU = IcAr + AI(R + r0) + L~-.	(3.14)
Сравнение зависимости (3.14) с (3.6) показывает их полное
совпадение. Следовательно, мы реализовали линеаризацию
статической характеристики системы с использованием разложения
функции, описывающей движение выходной координаты, в ряд
Тейлора,
Примечание. В связи с тем, что линеаризация проводится относи-
тельно рабочей точки, рассмотрим методику ее определения. Схема
САУ показана на рис. 3.7.
(Tp + ^AU^^KAr^p).	(3.11)
Этот же результат может быть получен формальным матема-
тическим приемом — использованием ряда Тейлора. В этом случае
задание статической характеристики представляется ее линейным
приближением, в котором, как правило, используют сумму первых
членов разложения в окрестности точки установившегося режи-
ма работы системы или звена (точка А на рис. 3.5). Для уравнения
(3.3), описывающего процесс в цепи возбуждения генератора, форму-
ла разложения в ряд Тейлора примет вид
Рис. 3.7
AU =—Ar + —AI + R2.
8r 81
В зависимости (3.12) функция £(г) = (Я + г)/ + £—, а величина А?
dt
представляет остаточный член ряда и равна произведению малых Аг
и Л/ во второй и более высоких степенях, которыми мы пренебрегаем
в процессе линеаризации. С учетом сказанного выражение (3.12) пе-
репишем в виде
(3.12)
На рисунке обозначено: К, - преобразователь заданного значения
частоты вращения двигателя а>ЗД в соответствующее напряжение зада-
ния U зд; Ктп - коэффициент передачи силового преобразователя; Км -
коэффициент передачи мотора; - коэффициент передачи тахогене-
ратора. Нелинейным звеном системы является усилитель с насыщением.
Допустим, что =100 с ', Сзд=10 В, т.е. К, = —= 0,1[В.с]. Счи-
8 (R + r)J+Ldl
_ . -=---------^A-AI.
dr	81
Перепишем последнее выражение относительно рабочей
виде, более удобном для анализа:
8Г^-
лтт 8R1 . . dri . dt л I 3RJ .
AU =----Лг\ +—Лг\ +——Аг\+--------Л/1+
дг 1и 8г 1о 8г 1о 81	10
Л /	ill
—/1/1 +---—Al\ = ОАг + LAr + Q+RM + r„AI+ L-.
81 1о 81	1,1	dt
/117 =
8 (R + r)I + L~
(3-13)
точки в
таем, что максимальное значение на выходе усилителя (7яыг=10В. (на-
сыщение); Км=1
1
Вс
Куу-ОДфВ-с]; /?=5В. Максимальное значение
на входе усилителя (7ВХМАХ=2В.
Запишем уравнение для рабочей точки «0»:
UВЫХ0 ’ ^ТП '	hKM ;
Uвх0 = ®«>0 ’ К, — Ктг  а>0
Найдем 7/|1ЫХо из первого уравнения:
56
57
~ к к
^ТП
3.3.	МЕТОДИКА АНАЛИЗА САУ
НА ПЕРСОНАЛЬНЫХ КОМПЬЮТЕРАХ
Из второго уравнения найдем «о:
 К/ Vвх
•^о о
С учетом полученного значения для а>о выражение для
примет вид
В практике инженерного проектирования систем автоматиче-
ского управления широко применяются персональные компьютеры. С
лх помощью возможно быстро проанализировать динамику систе-
мы, выявить её динамические показатели качества. В настоящее
U время наиболее распространены методики анализа по структурным
схемам САУ и их передаточным функциям.
САУ любой степени сложности с помощью методов структур-
----~К~	М aw<)-Kl-UBX'i+KM-h-K7T
Найдем рабочую точку. Дадим значение ивх° = 0, получим
Kt -<Озло +^м Kn-h _ 0,1 -100 + 1 -0,1 -5 _ _ „„„
йых° = Кгг-Кгп-Км ~	0,1-20-1	
ных преобразований можно представить в виде, показанном на рис. 3.9.
Теперь дадим значение СВЫХо = 0, получим
ийх =«,„ -К. +h-KM-Ктг =100-0,1 + 5-1-0,1 = 10.5[В].
По полученным значениям и графику Свых = fQUBX) для нелинейы
звена определяем на нем рабочую точку (рис. 3.8). Значение 1/,,^ = 0,81
Рис. 3.9
Значения для ЛХ(р),ДЛ\(р),ЛУ(р)... могут быть самыми различ-
ными и определяются физической природой автоматизируемых
процессов. Для электропривода, например, это могут быть значения
скорости, угла поворота, напряжения, приложенного к его якорю, и
т.д. При рассмотрении раздела, изучающего линейные САУ, пред-
метом исследования являются динамические процессы «в малом»,
когда звенья системы и система в целом работают на линейных
участках своих статических характеристик.
При исследовании САУ важно выбрать управляющее воздейст-
вие, обеспечивающее это условие. Для приведенной на рис. 3.9 схемы
нужно, чтобы выходной сигнал с регулятора не заходил в зону насы-
X — х
Щения. Для этого надо выполнить условие ЛХЗД <—^------Здесь Хв
Рис. 3.8
Определим значение :
_ К!
1\тг
^ = «.100-^.92с-1
Ктг 0,1	0,1
~ начальное значение выходного напряжения регулятора на момент
подачи скачка управляющего сигнала. При исследовании реакции
системы на возмущающее воздействие использование линейной мо-
дели возможно только в тех случаях, когда в ходе переходного про-
59
58
цесса не вступает в действие задержанная обратная связь по тому или
иному параметру, включенному для формирования желаемых стати-
ческих характеристик системы или защиты ее отдельных элементов.
По найденным передаточным функциям и определенным значениям
(р) и Ah(p) набирают схему, например в среде Matlab, и прове-
ряют динамические характеристики САУ.
Особо важно имитационное моделирование при наличии в САУ
нелинейностей и многосвязности.
3.4.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК (АФЧХ), ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ (ПФ)
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ САУ
Рассмотрим дифференциальное уравнение движения динамического
звена или системы любой физической природы, имеющей порядок и.
сГу сГ~'у	zoici
а-----ь а.--- + ...+£?у — КХ.	(3.15]
= Jcoeja,A(co)eJ^^--,
dt	j
= (jay eJM A(a)ejM
Поставим найденные значения производных от выходной
величины и значение входной величины в уравнение (3.15), получим
+^(Jco)"-1 + ...+аУ^А(с0) = ^Ке1'“1.	(3.16)
J	j
Из выражения (3.16) определим
Л(®)ех“^ =-------------=-----е"”'.	(3.17)
«о (7®)" + «1 (7®) +-.+«„
С учётом (3.17) выражение для выходного сигнала примет вид
В приведенной формуле у - управляемая координата; X -
входное воздействие; К — коэффициент пропорциональности, согла-
сующий размерности правой и левой частей уравнения (3.15).
Допустим, что на вход звена или системы подается синусоидаль-
ный сигнал с возможностью изменять его частоту со от 0 до со, т.е.
X = Isin cot.
В этом случае выходная величина в самом общем виде пред-
ставляется выражением у -A sin(®/ + ср). Здесь ср - изменение фазы вы-
ходного сигнала относительно входного; А - изменение амплитуды
выходного сигнала относительно единичного на входе динамиче-
ского звена или системы. Для целей вывода математического выраже- фаза си^ца^а
ния для амплитудно-фазовой частотной характеристики представим сандального
синусоидальные сигналы в показательной форме:
К
7 «0(7®)л+«1(7®)"'1
-eJM
(3.18)
Найдем отношение между выходной и входной величинами;
1Г(» =	=----------------------
X(Jco) a0(jco)" + а,(У®)" +...+а„
Полученное выражение (3.19) называется амплитудно-фазовой
частотной характеристикой (АФЧХ) динамического звена или систе-
мы. АФЧХ показывает, как изменяются относительная амплитуда и
л на выходе звена или системы при подаче на вход сину-
сигнала при изменении его частоты от 0 до оо.
Амплитудно-фазовая характеристика представляется в виде графи-
ка на комплексной плоскости. С этой целью она записывается в виде
W{jco) = ReW{jco) +JmW{jco),	(3.20)
Приведенные выше зависимости для входного и выходного сигналов г	.	.	_
Г	де Хе(г(/«) - вещественная составляющая для амплитудно-фазовои
получены на основании формулы Эйлера:
частотной характеристики; Jm W(ja>) — мнимая составляющая рассмат-
еуы“ = cos cot + j sin cot.	Риваемой характеристики.
Определим производные от выходной координаты, представ-	?
ленные в уравнении (3.15):
Х = Ье^^-, y=A(6))eJ<"j('v>-^
(3-19)
60
61
В дальнейшем вещественную часть АФЧХ будем обозначать i
Р(а>), мнимую составляющую - как б(®). С учетом введенных обоз,
чений выражение для АФЧХ представим в виде
W(ja>) = Р(а>)+jQ(a>).
к
W(p) =
Х(р) a»p" + aiP‘

(3.24)
Полученное соотношение называется передаточной функ-
цией. Следовательно, передаточная функция — это отношение
изображения выходной величины динамического звена к изображе-
нию её входной величины при нулевых начальных условиях. Следует
особо отметить, что если коэффициент передачи К звена или системы
(3., устанавливает связь между выходной и входной величинами в устано-
____________________ вившемся режиме, то передаточная функция W(p) отражает эту связь в
где Л(®) = -/рЧ®) + Q2 (®) - амплитудно-частотная характеристика; goJiee общем неустановившемся режиме и только в частном случае, ко-
= агск,Ш _ фазочастотная характеристика.	Р=0’ передаточная функция трансформируется в коэффициент пе-
Р(®)	редачи, поэтому понятие передаточной функции имеет более общий
Рассмотрим пример представления АФЧХ. Допустим, что ур характер и включает в себя понятие коэффициента передачи.
нение движения динамического звена в САУ описано дифферен Сравнение зависимостей (3.19) и (3.24) показывает, что выражение
альным уравнением вида	для АФЧХ может быть получено из выражения передаточной функ-
~ + а -кХ	ции ^’^4) ПРИ замене в нем p = ja>. В практике анализа и синтеза
° Л 1	САУ используют представление АФЧХ как в плоскости комплекс-
Для этого примера выражение амплитудно-фазовой частот ного переменного, так и в логарифмической системе координат,
характеристики запишем в виде	След*ет отметить’ что в практике проектирования САУ предпочтение
отдают именно логарифмическим амплитудно-фазовым час-
_ ^(~«oJ®+ gi) _	j	_ д^с/<рм тотным характеристикам (ЛАФЧХ). Это объясняется тем, что в
+	а2о(02 +а^ ala2+a2 а2о<о2 +а}	логарифмических координатах криволинейные АФЧХ в плоско-
сти комплексного переменного заменяются прямолинейными асим-
В полученном выражении выделим вещественную и мнимую 0птотами, что существенно упрощает построение характеристик. Сле-
ставляющие:	дующее удобство применения логарифмических характеристик за-
ключается в том, что для элементов, соединенных последова-
Р(®) = —j—тельно, результирующая ЛАФЧХ равна сумме составляющих
+fli аою 1	характеристик. Это определяется свойством логарифмов.
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики бу Например, Д = ПД > где Л, =—. После логарифмирования получим
представлены соответственно в виде	'=>	X
(3.,
Выражение для АФЧХ может быть записано в показатель!
форме:
W(Jo>) = Afa>)elvW
1ёл=Е1ё4.
. ч	аоа
; <p{(o) = -arcig——.
а.
Амплитудно-частотная характеристика в логарифмйческом мас-
Рассмотрим еще раз исходное уравнение (3.15) и запишем ег;штабе строится в логарифмической системе координат. По оси орди-
операторной форме при нулевых начальных условиях. Получим нат откладывается значение амплитуды на выходе звена или системы
п,	,, в Децибелах (дб). Ось ординат обозначается буквой L. Количество де-
(«ор +п,р +...+о„)У(р)-кХ(р).	(. цибел определяется соотношением L=20lgA. По оси абсцисс откла-
Из выражения (3.23) найдем отношение изображения выхоД ^Ывается частота гармонического входного сигнала в декадах (дек).
величины к изображению входной величины:	исло декад определяется соотношением со(дек)=1§со. Фазо-
63
62
частотная характеристика также строится в логарифмической систе! Переходные процессы в соответствии с классификацией ти-
координат. По оси ординат откладывается значение фазы сигнала inoBbIx динамических звеньев показаны на рис. 3.11.
выходе звена или системы в натуральном масштабе, а по оси абсцд
— значение частоты входного гармонического сигнала так, как э
было описано выше. Система координат приведена на рис. 3.10.
Цдб]
lgu[deK]
ii
Рис. 3.10
3.5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, АМПЛИТУДНЫЕ И ФАЗОВЫЕ
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
ЗВЕНЬЕВ САУ
3.5.1. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
Рассмотрим схему, представленную на рис 3.12.
^вых
Системы автоматического управления любой степени сложности i
гут быть представлены в виде типовых соединений элементарных да
мических звеньев. Эти звенья получили название «типовые динамичен
звенья». Они классифицируются по виду переходного процесса на вы
де звена при подаче на его вход ступенчатого единичного воздействия.
1	.Апериодическое звено. Выходная величина изменяется
экспоненциальному закону.
2.	Колебательное звено. Выходная величина стремится
своему установившемуся процессу, совершая затухающие колебаы
3.	Интегрирующее звено. Выходная величина увеличивает ci
значение до бесконечности с определенным наклоном.
4.	Дифференцирующее звено. Выходная величина скача
принимает максимальное значение, затем по экспоненте уменья	1
ется до установившегося значения.	п
5.	Звено «чистого запаздывания». Выходная величина начий оп п^°ИЗВедеиие постоянных параметров схемы CR по размерности
изменять свое значение спустя некоторое время после действия вх< м™ЛЯет Время в секундах, а поэтому называется постоянной вре-
ного сигнала. Это время и есть время запаздывания.	слели^^ “ °бозиачается Г С учётом сделанных замечаний по-
6.	Безынерционное звено. Выходная величина без искажен выражение представим в виде
повторяет входное воздействие. Если коэффициент передачи боль	dU^
единицы, то выходная величина больше входной, и наоборот.	~ Т
Рис. 3.12
Для неё запишем уравнения состояния в виде
Um=^\Idt.
Продифференцируем второе выражение:	= — 1. Из него найдем
dt С
значение тока и поставим в выражение для входного сигнала, получим
L7.
вых
(3.25)
64
65
Уравнение (3.25) есть дифференциальное уравнение первого по.
рядка. Все динамические звенья САУ или система в целом, где связь
между выходной величиной и управляющим воздействием выражает^
дифференциальным уравнением первого порядка, называются аде-
риодическими звеньями. Перейдем от уравнения электрической
модели звена (3.25) к обобщенным координатам, не связанным с
конкретным физическим процессом. Получим
Х-К = Т— + у.
dt
(3.26)
Решение (3.26) записывается в виде
y(z) = ^-X(z)^l-/^.	(3.27)
В (3.27) величина К =	- коэффициент пропорциональности,
X(Z)
связывающий размерности выходной и входной величин. Если вход-
ной сигнал (воздействие) равен единице, то значение выходной вели-
чины определяется выражением h(t) = K-^1-е которое называется
переходной функцией.
Представим уравнение (3.26) в операторной форме при нулевых
начальных условиях, получим
(7p + l)y(p) = K-X(p).	(3.28)
. К = A'-f-Z/a. + l) = К _ . К-Та
Tja + 1 Тга2 +1	7’W+l УГ2<э2+1
(3.31)
[де у =	вещественно-частотная характеристика, а
- мнимая частотная характеристика. Вещественная
Т7й)г +1
частотная характеристика показывает изменение амплитуды на выхо-
де звена или системы по отношению к входному воздействию при из-
менении его частоты от нуля до бесконечности. Мнимая частотная ха-
рактеристика показывает фазовый сдвиг сигнала на выходе по отноше-
нию к входному при изменении его частоты от нуля до бесконечности.
Рассмотрим пример построения описанных выше характеристик.
20
Допустим, что передаточная функция имеет вид W(p) =----у. В этом
случае соответствующая АФЧХ запишется как
..... .	20	20	. 20<у
W( /а) =------=--------1------.
ja + l а2+1 а2+1
20
Здесь Р(а) =	=
О) +1
Схема звена показана на рис. 3.13:
С = 10-5Ф;
Р = /05Ом.
Рис. 3.13
Для построения АФЧХ приведем ряд значений а и рассчитаем со-
(3-29)
Из уравнения (3.28) получим выражение передаточной функции
апериодического звена:
ад тР+\
По передаточной функции найдем выражение для амплитудно-
фазовой частотной характеристики звена:
HZ(y<a) = 2XZ£l = _L_
X(Ja) Tja+\
Построим АФЧХ в комплексной плоскости и проведём анализэтветствуклцие значения для Р(а) и Q(a), заполним табл. 3.1.
преобразования сигнала при прохождении через апериодическое зве-	Табли аЗ 1
но. Для этого в (3.30) избавимся от комплексности в знаменателе.——	а лица
Умножив числитель и знаменатель (3.30) на сопряженное знамена-^j
телю выражение, получим	"—
(3.30)
0	1	2	3	5	10	20	ОО
0	-10	-8	-6	-4	-2	-1	0
L 20	10	4	2	0,8	0,2	0,05	0

66
67
По результатам расчета, представленным в табл. 3.1, построен
АФЧХ в комплексной плоскости (рис. 3.14), а также вещественна;
частотная и мнимая частотная характеристики (рис. 3.15).
входного сигнала. На этой характеристике следует отметить значе-
ние частоты с = - , на которой «>(«)=-45°.
Рис. 3.16
Анализ полученных характеристик показывает, что при изменении
частоты входного сигнала амплитуда сигнала на выходе уменьшается, а
Из представленной на рис. 3.14 АФЧХ можно найти выраже при стремлении частоты к бесконечности она стремится к нулю. Фаза
ния для амплитудно-частотной и фазовой частотной характеристик. Эт сигнала на выходе при описанном изменении частоты отстает от фазы
следует из рассмотрения составляющих характеристик в функци входного сигнала, и в пределе это отставание достигает - 90°.
частоты со, например при <b=1,0c_/. Из треугольника Оаб определим Рассмотрим построение логарифмических амплитудно-фазовых
частотных характеристик (ЛАФЧХ). Для этого прологарифмируем
А(со) = -^РфУ +Q(m)2 = - 20 - :	выражение амплитудной частотной характеристики:
л/®2+1’
, ,	2(»)	,	£(ffl) = 201gJ(ffl) = 201g-r==== = 201gX-201gA/r^r7T.
P(co)
По полученным зависимостям проведены расчеты, которые све1 Для дальнейшего анализа полученного выражения введем поня-
дены в табл. 3.2. На основании этих данных на рис. 3.16, а, б по тия «область низких частот» и обозначим её Ln и «область высоких
со	0	1	2	3	4
4(®)	20	14,14	8,94	6,34	4,85
	0	-45	-64	-72	-76
строены амплитудная частотная и фазовая частотная характеристик! частот» с обозначением Le. За область низких частот примем область
соответственно.	' частот входного сигнала, для которой справедливо соотношение
Таблица 3- Тгш2 «1; за область высоких частот — ту, в которой Г2<»2 »1. С уче-
~5 1 т°м сделанных допущений выражение логарифмической амплитудно-
3 93 j частотной характеристики в области низких частот представим в виде
LH=20lgK
Амплитудная частотная характеристика показывает изменен^ Согласно полученному выражению делаем вывод, что в области
выходного сигнала по отношению к постоянной амплитуде сигнал!;низких частот ЛАЧХ представляет собой прямую линию, параллель-
на входе звена и при изменении его частоты от 0 до <». Фазовая чайную оси абсцисс и проходящую на уровне 20lgK, т.е. апериодическое
тотная характеристика показывает изменение выходного сигнала пЧзвено в этой области не искажает входной сигнал, а передает его на
фазе относительно входного при том же диапазоне изменения частот^выход звена или системы измененным по амплитуде в #раз.
68
69
В области высоких частот получим уравнение Le=20lgK-20lgTсо, kq
рое представляет собой уравнение прямой линии в логарифмичеед
системе координат, имеющей наклон к оси частот ®. Определим/
клон этой прямой при изменении частоты в 10 раз относительно (j
зовой или на одну декаду. Обозначим ЛАЧХ при десятикратц,,
увеличении частоты входного воздействия Leo и определим её как
Lm = 201g A - 20 Igl ЪТсо = 201g А - 201gA® - 201gl0.
Наклон определим как разность амплитуд при десятикратно
частоте входного сигнала и её значения на базовой частоте: Leo-Le~. j
дб/дек. На основании рассмотренного можно сделать вывод, ч
ЛАЧХ апериодического звена представляет собой ломаную лини
состоящую из низкочастотной и высокочастотной асимпт/
причем высокочастотная имеет наклон к оси частот - 20 дб/дек.
тота, на которой эти асимптоты пересекаются, называется частотой
пряжения сосоп и определяется из условия равенства выражений д{|
ЛАЧХ в области низких и высоких частот, которое запишем в виде
Анализ влияния вариации коэффициента передачи звена или сис-
темы, а также вариации постоянной времени Т иллюстрируется по-
строениями на рис. 3.18.
отмечено соответствующими значениями частоты среза ®с. На рисунке
ае2 > и соответственно Т2<Т1 . Максимальная величина отставания
выходного сигнала относительно входного составляет -90°.
Ln= Le или 201g А' = 201g А-201g Г®.	Из анализа полученных характеристик следует, что при изменении
1	коэффициента передачи амплитудно-частотная характеристика смеща-
В полученном равенстве заменим значение <° = — > тогда полУЧ1)!ется параллельно самой себе. Направление смещения вверх или вниз
20lgK^20lgK	определяется изменением величины коэффициента передачи. На рис.
Из рассмотренного следует, что частота сопряжения определяй118 коэффициент К1>К2. При уменьшении постоянной времени Т
I	расширяется полоса пропускания входного сигнала. На рис. 3.18 это
ся значением со =—.
Т
Рассмотрим построение ЛФЧХ. Значение фазы откладывается i
оси ординат в натуральном масштабе, по оси абсцисс откладывает ।
частота входного сигнала в декадах. Напомним, что значение фазы р
считывается по формуле ср(со) = -arctgTco Дадим ряд значений часто
и построим фазовую частотную характеристику апериодически
звена (табл. 3.3).	
Таблица
со, дек	0	-0.25	-0.5	-1	-2
<р(со)о	-45	-27	-16	-6	-0.6
Построение ЛАФЧХ для апериодического звена с передаточН
функцией W(p) = ——— показано на рис. 3.17. Для этого построен!
0.31/2 + 1
определены значения
20lgА = 201gl0 = 20[дб} со = ~ = ^- = 3.2с'; lg® = Ig3.2 = 0.5[дек].
70
71
Анализ прохождения сигнала через апериодическое звец{
закончим выяснением физического смысла постоянной времени }
Для этого вновь рассмотрим решение уравнения первого поряди
(3.27) и дадим текущему времени t значение, равное постоянной вре.
мени Т, т.е. t=T тогда получим У=0,632/<Х Последнее соотношенц{
позволяет утверждать, что постоянная времени характеризуем
быстродействие системы или звена в воспроизведении входного сиг
нала, и за время Т выходная величина достигает 0,632/С-А^ т.е. 0,63;
своего установившегося значения. Отметим, что переходньп'
процесс считается законченным, если выходная величина достиг^
95% от своего установившегося значения. Это время соответствуем
трем постоянным времени (ЗТ) динамического звена или системы.
В США, Франции иногда применяют правило определения време
ни переходного процесса как времени, за которое выходная величин;
достигает 98% от своего установившегося процесса. Это соответствуем
пяти постоянным времени (51) динамического звена или системы.
3.5.2. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО
квадрате - с2. На этом основании запишем LC=Tl. С учетом введен-
ных обозначений уравнение (3.32) перепишем в виде
+ (3 33)
Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение второго
порядка, связывающее выходной и входной сигналы на динамическом
звене. Все динамические звенья, где упомянутая связь описывается
дифференциальным уравнением второго порядка, называются колеба-
тельными звеньями. Перейдем к обобщенной форме записи дифферен-
циального уравнения для колебательного звена, которое примет вид
T°2W+Tli+y = kX-	(3J4)
Найдем корни полученного характеристического уравнения:
-Т + ^Т2-4Т2
27^
Рассмотрим схему на рис. 3.19, для которой можно записал
следующую систему дифференциальных уравнений движения:

R
L
С 4=

Свнх
и
вх
и
вых
L— + U
dt вЬ1Х
=^Idt.
Из полученного выражения становится очевидной возможность
рассмотрения звена в двух вариантах:
а)	Т2 -4ТВ <0, т.е. для случая, когда корни - комплексные сопря-
женные с отрицательной вещественной частью и уравнение (3.34) не
может быть разложено на два уравнения первого порядка;
б)	Т2-4Г02>0, т.е. для случая, когда корни характеристического
уравнения (3.34) - вещественные отрицательные числа и уравнение
второго порядка можно разложить на два уравнения первого порядка.
Рассмотрим последовательно оба варианта. В случае сопряжен-
ных комплексных корней обозначим их р, = -8 + Ja>;p2 = -8-jco, где
8 =
Рис. 3.19
Из второго выражения найдем значение тока Г. 1 = С
dt
ражение для производной тока примет вид -^ = С—~7т^- Полученные	?	г~^
dt dt	i\S=TT^ ~ коэФФиииент затухания колебаний, а а> = — —--1 - угло-
значения тока и его производной подставим в первое выражение	47^
уравнений движения, получим	।вая частота свободных колебаний звена. В этом случае решением
2	Уравнения (3.34) будет выражение
<4 =RC^^ + LC^^ + Ueus .	(3.32)
dt	dt
Как было показано на примере предыдущего звена, произведи
ние RC=T.
Вы;
y(t) = kX 1 ~e^sin((Vl + arctg—) .
Т0о)	8
При входном сигнале, равном единице, выражение (3.35) вырож-
Введем обозначение для произведения емкости и индуктивност<дается в переходную функцию, которая запишется в виде
звена. Размерность этого произведения в системе СИ дает время I1
(335)
72
73

т>
3
h(t) = k 1_—e^sin(a>t+arctg—) .	(3.3( Амплитудная частотная А(«) и фазовая частотная <р(а>) характе-
_ т	_	истики рассчитываются по зависимостям
Представим дифференциальное уравнение колебательного зщР	___________
на (3.34) в операторной форме при нулевых начальных условия)	Д®) = 7р(®)2 +6(®)2 = ~т 2	-- ;
•г/(1~"7п€У ) 4“ О Т
тогда получим	0	7
(3.40)
(ТоР2 + Тр + DM/7) - ^(р)-	(3-31	<p(a>) = -arctg—(3-41)
1 — 7J) со
В уравнении (3.37) к - коэффициент пропорциональности, ycif
навливающий связь размерностей между входным и выходным сщ Представление колебательного звена в виде передаточной функ-
налами на звено. Из (3.37) получим выражение передаточной фунции (3.38) с последующим представлением АФЧХ в виде зависимо-
ции для колебательного звена в виде	;тей (3.40) и (3.41) вызывает определенные неудобства в практиче-
к	-Ких расчетах, связанных с двумя постоянными времени. В этой свя-
= Х{р)= Т^рг + Тр + \	Ли исходную передаточную функцию (3.38) представляют в виде
к
Из уравнения (3.38) получим выражение для АФЧХ. Для эта	W(p) = 2 2----------
заменим p=j-a>, тогда	р + +2с7'1р + 1
y(jtv)	к	(з В (3.42) введены эквивалентная постоянная времени 7] и коэффици-
X(ja>) ~ (1-Т02а)г) + jcoT	’ (нт демпфирования с. Значения параметров 7] и с определяем из
„ Равенства передаточных функций (3.38) и (3.42). откуда находим
Представим (3.39) в виде двух составляющих - вещественной ча
тотной и мнимой частотной характеристик. Получим	Т2 = Т2;Т = 2сТГ	(3.43)
С учетом сделанных замечаний выражение для АФЧХ предста-
|им в виде
(1-7;2<а2)А
(3.42)
*(1-7;2®2)
W( ia>) = Р(а)- jQ(a>) =-, Л—С-у-j-------у-уу----у-у.
J \	> (1-7>2)2 + соТ (1-7’02®2)2+®2Г2
йГ(ую) =---V-.Ч ™ >2.-----j-----74 ~^Ц77»---- (3.44)
По этому выражению в плоскости W(j а) при изменении частот-	(l-T,2®2)2 +4с2а>гТ2	(1-т;2®2)2 +4с2а>гТ2
со от 0 до оо строится АФЧХ. Характерным является то, что характ; АФЧХ по (3.44) имеет тот же вид, что и вид, показанный на рис.
ристика располагается в третьем и четвертом квадрантах. Пр1.20. Отметим здесь способ определения коэффициента демпфирова-
мерный вид такой характеристики показан на рис. 3.20.
кТа
К • 2сс>7\
Ля с. Для этого находим точку пересечения АФЧХ с осью ординат и
тмечаем частоту	=—, так как на этой частоте P(a)f)=0. При этом
Л
начении частоты мнимочастотная характеристика из (3.44) опреде-
ится равенством Q(coT) = ——. Сняв с графика (см. рис. 3.20) значение
2с
найдем с какс =----1—.
2(7(®? )
Из выражения (3.44) получим АФЧХ в виде
Д®) = -	—= и <p(a>)--arctg—.	(3.45)
7(1-7’>2)2+(2с®7’1)2	1-Г,2®2 ,	1	7
к
74
75
зВена - на рис. 3.22. Примерные кривые переходных процессов при раз-
Анализ последних выражений показывает, что при изменении частичных коэффициентах демпфирования изображены на рис. 3.23.
тоты от нуля до бесконечности амплитуда сигнала на выходе уменьшу Одним из показателей качества для колебательного переходного
ется до нуля и фаза сигнала на выходе звена по отношению к его вход1ПроЦесса (см. рис. 3.23) является перерегулирование, которое опреде-
смещается на -180°. Как уже подчеркивалось выше, более удобны дл,по зависимости а% = ^ ~У^Ю0%. Значения величин, входя-
оценки качественных показателей в звене являются ЛАФЧХ. Рассмот.	уус„,
рим их построение и проведем анализ прохождения сигнала через звешиХ в формулу, показаны на рис. 3.23 и не требуют пояснений. Ве-
но. Для этого прологарифмируем выражение АЧХ, получим	личину перерегулирования можно посчитать по формуле Эклсби с
.----------------- погрешностью не более 10%:
Z(<y) = 201g^-201gJ(l-7’.2<y2)2 + (2са>Т.)2 .	(3.4С
сг% = (1 - sin Л^) -100%.	(3.48)
Для дальнейших выводов введем понятие области низких частот'
в которой 1»Г12л)2и 1»2са>7|. В этом случае LH=20lgK. Результат пока- ® (3.48) величина \<р называется избытком фазы относительно
зывает, что в области низких частот ЛАЧХ представляет собой пряУРоВНЯ- ^0 и показана на рис. 3.21.
мую, параллельную оси абсцисс. В области высоких частот значения
Т2со2»1 и 7’|2<у2»2сс»7'1 После логарифмирования в этой области
выражения (3.46) для ЛАЧХ получим
LB=20lgK-20lgT2 аг =20lgK-40lgTi<o. (3.47)
Из уравнения (3.47) следует, что высокочастотная асимптота
представляет собой прямую линию, имеющую наклон относительно
оси а>. Величина наклона определяется в децибелах на одну декаду
Определим наклон для колебательного звена. Для этого увеличим час-
тоту входного сигнала в 10 раз относительно базового значения, т.е.
примем ов =10<у. В этом случае уравнение (3.47) запишем в виде
Рис. 3.22
=20 lg X —401g Г,®-401g 10.
Наклон высокочастотной асимптоты определяется как раз- сли КОРНИ характеристического уравнения колебательно-
ность между LB0-LB. В результате видим, что наклон равен — 4(° звеиа ~ вещественные отрицательные числа, то исходное выраже-
дб/дек. Рассмотренный здесь вариант справедлив в случае, если вели-,Ие ПеРеДаточн°й функции вида (3.38) предс!авим в виде
чина коэффициента демпфирования колебаний находится в пределах	у(р) £	к
0,73 > с >0.38. Только в этих пределах замена непрерывной ЛАЧ^	w(p) ~ х(р) = Т2р2 + Тр+\~ (7\р+1)(Г2р+1) ’	(3.49)
высокочастотной и низкочастотными асимптотами дает погреш-
ность в пределах ±3 дб, что допустимо для инженерных расчетов.1 Значения эквивалентных постоянных времени определим из
В случае, если коэффициент демпфирования выходит за указан-^-49), приравнивая значения постоянных времени при одинаковых
ные пределы, необходимо пользоваться таблицей поправок [6]. 'Тепеняхр, откуда
Сопряжение низкочастотной и высокочастотной асимптот происхо-	, ,
!	I	702р2+7р + 1 = (7’1р+1)(7'2р + 1).	(3.50)
дит на частоте соат = —, так как на этой частоте LH-LB. Анализ выра-
Т\	Из уравнения (3.50) получим выражения для определения экви-
жения для ЛФЧХ показывает, что на этой частоте выходной сигна4алентных постоянных времени в виде 7'02 = 7)-Г2; Т = 1\+Т2.
сдвигается по фазе относительно входного на -90°. Общий виИ
ЛАФЧХ представлен на рис. 3.21, а структурная схема колебательного
77
76
Рис. 3.23
Из выражения передаточной функции найдем зависимость д,
АФЧХ колебательного звена, представленную в виде произведен»
двух апериодических звеньев:
(Tjo) + 1)(Г2jco + 1) ' - Т,Т2а2 + j(l\ + Т2 + Г
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменатед
число и избавимся от комплексности в знаменателе:
,,,, . , _ к(-Т;Г2со2 + I)- j<vk(T, + Т2)
(7би)	+[)2 + '(Т1+Т2)1со1
(3.51
Выражение (3.51) представляет собой АФЧХ колебательно»
звена в случае, если его можно представить как произведение двух ап
риодических звеньев,. Из этого уравнения выпишем значения вещее
венно-частотной и мнимой частотной характеристик:
к(-Т.Т,аг +1)
р(»)=----------------------—тз-т;
(-7\Т2О)2 +\)г +(Т, + Т2у(о2
(3.5.
а>к(Тх + Тг)
7-1\Тгсог + \}г +(ТХ+Тг)г со1'
Используя полученные зависимости, найдем аналитические вК;
ражения для амплитудной частотной характеристики (АЧХ) и фаз!1
вой частотной характеристики (ФЧХ) рассматриваемого звена:
A®) = \W (J®)| =	2--v^====T57 ’
7<1 + 7>*)-(1 + г22®2)	,
(р(а>) = arg|l^(./«y)| = --(arctgT,a) + arctgT.co).	(3.5l'
Используя полученные выражения, рассмотрим их практическое
применение на одном примере. Допустим, что параметры звена име-
значения к= 1, 7J=O,O5c, Т2 =0,12с. Результаты расчета значений
характеРистик приведены в табл. 3.4
Таблица 3.4
6У	0	1	2	5	10	20	50
""А®)	1	0.99	0.97	0.8	0.57	0.27	0.06
л®)	0	-10	-19	-45	-76.5	-112.5	-148.5
А®)	1	0.9	0.87	0.53	0.12	-0.1	-0.05
£?(®)	0	-0.16	-0.31	-0.53	-0.5	-0.19	-0.014
По данным табл. 3.4 на рис. 3.24 построена АФЧХ звена, откуда
видно, что при частоте, равной нулю, передаточная функция превра-
Рис. 3.24	Рис. 3.25
Фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами равен 0.
Наличие мнимой частотной характеристики показывает фазовый сдвиг
между входным и выходными сигналами при изменении частоты.
Максимальная величина сдвига равна — 180° при частоте, стремя-
щейся к бесконечной величине. На рис. 3.25 представлены АЧХ и
ФЧХ соответственно.
Из рассмотрения АЧХ следует, что эта кривая показывает измене-
ние амплитуды сигнала на выходе по отношению к входному. ФЧХ по-
казывает фазовый сдвиг выходного сигнала по отношению к входному.
3.5.3. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Дифференцирующее звено позволяет получить на выходе сигнал,
пропорциональный производной от входного сигнала. Проанализиру-
78
79
преобразование сигнала при его прохождении через ^реальне'
ем 1.
дифференцирующее звено, схема которого показана на рис.
Для схемы запишем уравнения движения в виде
Ua=^Idt + U,m,
Чв,х=^
Чх
б^вых
&-
R
с
h(t) = keT.	(3.63)
Анализ выражения (3.62) позволяет сформулировать следующие
вь!воды:
(3.5(1	" ПРИ скачкообразном входном сигнале сигнал на выходе звена в
'момент / = 0 равен /X и убывает по экспоненциальному закону в
(3.5? функции времени;
I - при изменении частоты входного сигнала и неизменной его
амплитуде сигнал на выходе звена возрастает пропорционально
’росту частоты. При стремлении частоты к бесконечности выход-
ной сигнал равен у=кХ.
Выражение для АФЧХ получим из (3.61) путем подстановки p=jco:
. kTjco кТсо iwagk
W(tco) =—-—-е
1 + Tj<o Jt2co2 + ]
Из зависимости (3.64) выделим вещественно-частотную Р(®) и
мнимочастотную 0(®) характеристики:
п. . кТ2со2 . кТсо
Р(а>) = —-~—; Q{cd) = —---.
Г2®2+1	Т2со +1
Выражения для АЧХ и ФЧХ получаем из (3.64) соответственно в виде
„ „	. КТсо , .	1
(3.5?	Л(й>) =-=====; <р(а>) =+arctg.
л/Г ® +1	т<0
где T=RC.	Используя полученные зависимости, построим АФЧХ, ВЧХ.
Перейдем к обобщенным координатам независимо от приР°^|4ЧХ для звена с передаточной функцией вида JT(p) = —
Найдем выражение для АФЧХ путем замены р = jco, тогда
У(/д>) = № , откуда Р(®) = -^—; <2( <«) = —,——. Зададим ряд значе-
jco +1	со +1	со + 1.
ний для частоты входного сигнала при постоянной амплитуде и по-
(3.64)
(3.5
Рис. 3.26
Продифференцируем выражение (3.56), получим
= It dUma
dt С dt
Заменим в (3.58) значение тока I, взятое из (3.57), и, переходя
операторной форме записи, получим
Трию{р)^{Тр + \)ита{р),
сигналов, приняв за X входной сигнал и за У - его значение на выхог
звена. В этом случае выражение (3.59) представим в виде
Щ>Х(р)=Г(р)(7р + П,	(З.б|
где к - коэффициент пропорциональности, связывающий размера,
сти входного и выходного сигналов.	В
Из уравнения (3.60) получим передаточную функцию реальной роим упомянутые выше характеристики. Значения для искомых ха-
0Йк‘ТРГЧтлг‘'г1Л1г опрпрпет п та(тп Q
дифференцирующего звена в виде
А
х(р) Тр + 1
Для передаточной функции (3.61) значение выходной
определяется выражением
y(t) = kX{t)e^.
Переходная функция примет вид
Рактеристик сведены в табл. 3.5
Таблица 3.5
.6
величии (3-6	)	0	1	2	5	10
	5®)	0	0.5	0.8	0.96	1
	&»)	0	0.5	0.4	0.2	0.1
	На рис. 3.27 показана построенная по данным табл. 3.5 АФЧХ,					
!°торая показывает, что при увеличении частоты значение выход-
°Й величины стремится к своему установившемуся значению.
81
80
Наличие мнимой частотной характеристики с положительны^ g области высоких частот получили уравнение прямой линии, ко-
знаком указывает на опережение по фазе выходного сигнала отно. тОрое не зависит от частоты о, т.е. проходит параллельно оси частот,
сительно входного.	Низкочастотная и высокочастотная асимптоты пересекаются в
Рассмотрим формирование логарифмических амплитуду точке, которая является общей для них, поэтому приравняем уравне-
фазовых характеристик. Для этого прологарифмируем выраженц ниЯ этих двух зон:
АФЧХ (3.64) и выразим результат логарифмирования в декадах:	Lu(co) = LB(co) или 201gКТсо = 201gК.
L(co) = 201g Л®) = 20lgK7<y- 20lgVrW +1-	(3.6$	£
Найдем значение частоты сопряжения асимптот ®=—. Значение
б	в	Из (3.67) найдем зависимости для АХЧ и ФЧХ соответственно.
Рис. 3.27	Они примут вид
Как и для вышерассмотренных звеньев, введем условные зон,	/
частот входного воздействия: зона низкочастотного воздействш	А(со) = Ксо;<р(о)) = arctg\ —1 = +90°.	(3.68)
когла 1»7’2«2 и зона высокочастотного воздействия, ecl ы ,
koi да ш ,	р[3 (з 68) следует, что амплитуда сигнала на выходе звена растет
Выражение (3.65) для зоны низких частот запишем в ви; пропорционально росту частоты входного сигнала, а фаза выходного
Ln(a>) =20lgKTco — это есть уравнение прямой линии (низкочастс сигнала сдвинута относительно входного на постоянную величину,
ная асимптота) в логарифмической системе координат, имеющей Н равную 90°. Найдем и построим ЛАФЧХ звена. Для этого проло-
клон к оси частот со. Определим этот наклон. Увеличим значение б гарифмируем выражение А (со) в (3.68) . Результат логарифмиро-
зовой частоты со в 10 раз и поставим это значение в уравнение р! вания представим в децибелах, тогда получим
низкочастотной зоны, получим Lm\co) = 2Mg\QKTco.
Наклон определится как разность между значением амплитуд.	L(w) = 201g£ + 201g®.	(3.69)
сигнала на выходе при 10-кратном увеличении частоты и значение Уравнение (3.69) представляет собой уравнение прямой линии в
амплитуды на базовой частоте:	логарифмической системе координат. Наклон определим по методике,
Д<(®) = 201gl0A7to-201gK7® = +20дб/дек.	Рассмотренной выше. Получим
В области высоких частот выражение для ЛАЧХ примет вид	эпы*'от is ->«>
Но	_ Н (со) = 201g К + 20 + 201gсо - 201g К - 201g со = +20дб / дек.
L„ (со) = 201g КТсо - 201g Тео = 201g К.
82
।
83
Часто используется дифференцирующее звено с передаточн^
функцией вида
W(p) = Tp+l.	(3.7ц
АФЧХ, соответствующая передаточной функции (3.70), имеет вид
^(» = 7T® + 1.	(3.71
Из (3.71) находим вещественную частотную, мнимую частотную
а также амплитудную частотную и фазовую частотную характеристц
ки, которые имеют вид
Р(о) = 1; 2(<а) = jTa; Л(а>) = ^Тга>2 +1; ср{а>) = arctgTcv.
Найдем и построим ЛАФЧХ, для чего нужно определить накло|
низкочастотной и высокочастотной асимптот. Поступая аналогичц
выше выполненным действиям, например для идеального звена, по
лучим следующее: для зоны низких частот 1»Г2®2 имее»
£ (<a) = 201gl = 0; для зоны высоких частот Г2«2»1 и LB(co) = 20lgTn.
Наклон этой асимптоты определится так: LB0(o)-LB(a) = +20дб/дек.
ЛАФЧХ для дифференцирующего звена с передаточной функций
(3.61) показаны на рис. 3.28. ЛАФЧХ идеального дифференцирующе
го звена при различных значениях коэффициента передачи К пред
ставлены на рис. 3.29.
Для звена с передаточной функцией вида (3.70) соответствую
Рис. 3.29
Рис. 3.28
Качественная картина переходных процессов для дифферент
рующего звена различной структуры показана на рис. 3.31.
Рис. 3.30
Рис. 3.31
3.5.4. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
В качестве модели интегрирующего звена рассмотрим электро-
двигатель постоянного тока с независимым возбуждением или с по-
стоянными магнитами, работающий на идеальном холостом ходу. В
этом случае ток якоря /=0, и справедливо выражение, описывающее
процессы в электродвигателе:
и = Е = СеФп.	(3.72)
В зависимости (3.72) обозначено: Е-противоЭДС двигателя; Ф -
поток возбуждения, который является постоянной величиной; Се -
конструктивный коэффициент для электрической машины (величина
постоянная); п - скорость вращения якоря электродвигателя. Извест-
но, что связь между скоростью вращения и углом поворота ротора
электродвигателя выражается зависимостью
dtp
— = п,
dt
откуда получаем <р = j ndt.
(3.73)
Заменив в (3.73) значение скорости вращения ротора двигателя
значением напряжения, приложенного к ротору, из (3.72), получим
<Р=^ил-	(3-74)
В (3.74) —= Км - коэффициент передачи электродвигателя, ха-
Растеризующий скорость изменения угла поворота ротора при подаче
На него одного вольта напряжения, величина постоянная для данного
типа двигателей.
85
84
Перейдем от полученного выражения для модели интегрирую^
го звена к обобщенным координатам выходного Y и входного
сигналов, получим
У = KfXdt, или — = КХ.	(3.7$
dt
Здесь К - коэффициент передачи, связывающий размерносц
входного и выходного сигналов. Физический смысл его проиллюс].
рирован на примере электродвигателя в зависимости (3.74). Решенц
дифференциального уравнения (3.75) имеет вид
Y(t) = KXt,
и соответствующая ему переходная функция h(t)= Kt.
Из уравнения (3.75) получим выражение для передаточвд
функции для интегрирующего звена:
х(р) р
Из передаточной функции интегрирующего звена найдем выра
жение для АФЧХ:
Ж(у®) = ^^- =—.	(3.77
X(ja) jco
Из (3.77) найдем соотношения для вещественной частотной
мнимой частотной, амплитудной частотной и фазовой частотной ха
рактеристик, которые запишем соответственно в виде
/>(®) = 0: Q(co) = ~—: Л(®) = —;<р(<э) = -90°.
со	со
Полученные выражения позволяют построить АФЧХ в плоской
W(jco) , которая показана на рис. 3.32.
Выражение для ЛАФЧХ найдем из (3.77) так же, как и для выпК
рассмотренных типовых динамических звеньев:
Z(®) = 20Ig—= 201gK-201g®.	(3.78
со	1
Уравнение (3.78) представляет прямую линию в логарифмиче-
ской системе координат, которая имеет наклон к оси абсцисс во
всем диапазоне изменения частоты входного сигнала. По методике,
аналогичной для других звеньев, определим этот наклон для интегри-
рующего звена. При десятикратном увеличении частоты (на одну де-
каду) входного сигнала выражение (3.78) перепишем в виде
/.lc(®) = 201gK-201g®-20.	(3.79)
Вычитая из (3.79) значение, полученное в (3.78), получим
наклон ЛАЧХ интегрирующего звена, который равен
Li0 (®) - L(a>) = -20дб / дек.
С учетом вышерассмотренного на рис. 3.33 показаны
ЛАФЧХ интегрирующего звена.
3.5.5. ЗВЕНО ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Звеном с запаздыванием называется такое звено, у которого сигнал
на выходе повторяет все изменения входного сигнала с постоянным
сдвигом во времени г. На основании определения звена и с учетом тео-
ремы запаздывания соотношение между выходной и входной величи-
нами представим в виде
Y(p)=X(p)e4’,	(3.80)
где Y(p) и Х(р)~ изображения по Лапласу выходной и входной вели-
чин на звено соответственно; р - оператор Лапласа.
Уравнению (3.80) соответствует связь между рассматриваемыми
величинами в плоскости изменения их во времени в виде
Y(t) = X(t-r).	(3.81)
Выражение передаточной функции получим из (3.81), откуда
=	=	(3-82)
Х(р)
Из (3.81) определим АФЧХ звена, которая примет вид
WUco) = y^^- = e-’,a = cos® г—J sin® г.	(3.83)
*(»
Из последнего уравнения получим соотношения для веществен-
ной частотной, мнимой частотной, амплитудной частотной, фазовой
частотной характеристик:
86
87
Р{со) = cos®r; Q(a>) = sinm; A(co) = l.	W(p) = ^$- = K.	(3.87)
Выражение для фазовой частотной характеристики найдем из (3.8]j
<р(а) = arctg sin<aT = -arctg{tga>tT).	(3.ty Из выражения (3.87) определим основные характеристики звена:
D	„	„ COST	И/(7^) = Л;Р(«) = ^;е(^) = 0;Д®) = Л;^) = 0.
Взяв tg от правой и левой частей равенства (3.84), получим
tg<p(a>) = -tg(ar), или ^>(®) = -®г.
(3.8$ Анализ представленных зависимостей показывает, что данное
Анализ АЧХ и ФЧХ показывает, что звено чистого запаздывав^
не искажает амплитуды выходного сигнала во всем спектре часто
входного воздействия. Однако из (3.85) очевидно фазовое смещенц
сигнала на выходе звена относительно входного, и это смегценц
пропорционально частоте входного сигнала. На рис. 3.32 представлю
на АФЧХ звена чистого запаздывания.
ЛАФЧХ звена чистого запаздывания строится на основе лога
рифмирования выражения для АЧХ, откуда имеем
£(&>) = 201g 1 = 0.
Из полученной зависимости становится очевидным, что ЛАЧ1
совпадает с осью абсцисс (частот), и ясно, что в логарифмическо!
системе координат АФЧХ, представленная на рис. 3.34 в виде оа
ружности единичного радиуса, развернулась в прямую, совпадаю
щую с осью абсцисс. На основе рассмотренного на рис. 3.35 показа
ны ЛАФЧХ звена с запаздыванием.
звено не искажает входной сигнал ни по амплитуде, ни по фазе во
всем спектре частот. Классическим примером такого звена в элек-
фомеханических САУ является электронный усилитель.
Примечание. С целью проверки и предварительной оценки дина-
мических показателей качества некоторых динамических звеньев и их
комбинации могут быть полезны решения, приведенные в табл. 3.6.
Таблица 3.6
№
п/п
Передаточная
______функция______
ж(Р)=2™=_£_
Х(р) Тр + 1
Значение управляемой координаты
Y(l) = KX(t)(l-eT)
1
4
5
6
3.5.6. БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО
В безынерционном звене связь между входным и выходным си,
налами описывается уравнением вида
Y(t)=KX(t).	(3.$
Из (3.86) следует, что передаточная функция такого звена долж><
быть представлена в виде
7
W(p) =----------------
(7]р + 1)(Г2р + 1)
к
W(p) =-------
р(7р + 1)
К
W(p) =
p(TlP + l)(T2p + T)
W(p)=--Kf)-
Тр +1
W(p) = KT,P + 1
Т2р + 1
К
W(p) = , ,
Т2р2+2СТр + 1
YH) = KX(t) 1---5—
Т,-Т2
Y(t) = KX(t)i-\ 1-е т
Y(t) = KX(t)t--^~
А *2
1-е
Y(U^e
Т
___е Т2
т2
/2
1\~Т2
т
1-е 2
Y(t)=KX(t) i-| i-2L
\ рг
I ^2
le 2
Y(f)=KX(f) 1— .1 ; е т cos(ait + <p)
vl — С
С
у/1-с2
CD ------0 — _arctg      ,
Т * VTc2
89
88
3.S.7. НЕУСТОЙЧИВЫЕ АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
При автоматизации рада объектов, например дизельного двигате,.
без вентиляторной нагрузки, асинхронного электродвигателя при nocf()
явной нагрузке за опрокидывающим моментом, а также некоторые yCl
ройства в схемах управления, например активно-ёмкостные мосты, оцц
сываются в виде передаточных функций неустойчивых звеньев. Рассмо,
рим методику построения АФЧХ и ЛАФЧХ таких звеньев на пример
неустойчивого апериодического звена.
Неустойчивые апериодические звенья могут быть представленье
виде двух передаточных функций:
W(p) = К— или Ж(р) = —
Гр-1	-7р + 1
Переходные функции для этих звеньев соответственно равны
t	L
h = e ?-1 и h = \-eT.
(3.81
На основании выражений (3.88) на рис. 3.36 представлены сои
ветствующие переходные функции неустойчивого звена.
На этом же рисунке представлена переходная функция устойч!!
вого апериодического звена. Последовательно проанализируем
АФЧХ и ЛАФЧХ неустойчивых динамических звеньев. Найдем и rt
строим указанные характеристики

к
®Т2+1
мнимочастотная характеристика
. оЯК
£?(«) = ——
аТ +1
Изменяя значения частоты входного сигнала на звено от 0 до оо,
построим АФЧХ, которая представляет собой полуокружность и рас-
полагается в третьем квадранте (рис. 3.37).
Из рассмотрения построенной АФЧХ следует, что при измене-
нии частоты от 0 до со амплитуда сигнала на выходе изменяется от -
(С до 0, а фаза выходного сигнала смещается относительно входного
от-180° до -90°.
Построим ЛАФЧХ. Для этого найдем значение АФЧХ по зависи-
мости
а(со)=7^2(®)+е2с®) = - Д?1Ч2 + ДД^Д=— • о.90)
V(®2r 2+1)2 (<у2Г2+1)2 у!а>гТ2+ \
Прологарифмировав (3.90), получим
£(Л(®)] = 20 lg А(со) = 201g К - 201gV®2r2+1.	(3.91)
к K(~ja>T-V)_ -К . соТК
jcoT-l <у2Г2+1	®2Г2+1 /®2Г2+1’
(3 8? Используя ранее введенные понятия «область низких частот» и
«область высоких частот», получим, что в области низких час-
>T0T4A®)] = 201gX,	а в области высоких ча'стот
Из зависимости (3.89) следует, что вещественно-частотная хар» ,
~	I 4A(<a)j = 201gX-20lgor. Отсюда следует, что низкочастотная асим-
терм сти ка	!
। чота проходит параллельно оси частот на уровне 201gК, а высоко-
90
91
частотная асимптота представляет прямую линию, имеющую наклц
к оси частот ш. Наклон этой части характеристики равен
LBO-LB = 201g^-201g®r-20-201g/:-201g«r = -20[d6/deK].
LB0 - значение ЛАЧХ при десятикратном увеличении часто^
входного сигнала. Фазочастотная характеристика строится по завц
симости <p = -n + arctgTco (см. рис. 3.37).
На основании вышеизложенного на рис. 3.38 построена ЛАФЧ)
К
для неустойчивого апериодического звена вида >T(jo) =
Аналогично рассмотренному построим АФЧХ и ЛАФЧХ для не
устойчивого апериодического звена вида
г
W(jo) ;
— Tjco + 1
К к
——  + J . ,  и <р = arctgTco.
Т2а>2+\	Т2со2+\
Выражение для АЧХ показывает, что характеристика расположи
на в первом квадранте, а поэтому ФЧХ изменяется от 0° при часто!
входного сигнала а> = 0 до 90° при со —> °о. АФЧХ построена на рй(
3.37 и имеет соответствующее обозначение. ЛАЧХ этого звена по!
ностью совпадает с ЛАЧХ предыдущего звена; ЛФЧХ имеет отличи
что и отображено на рис 3.38.
Аналогично рассмотренному делается вывод для нахождения
частотных характеристик для неустойчивых колебательных и диффе-
реНЦиРУюЩИХ звеньев'
" Завершим рассмотрение неустойчивых звеньев примером нахож-
дения передаточной функции устройства, схема которого показана на
ис 3.39, и построением ЛАФЧХ.
Найдем эквивалентные сопротивления в плечах моста:
с,р с.р
•у _ п , 1	С2Л2р + ]
С2р С2р
Запишем выражение, связывающее выходное и входное напря-
жения:
иг(р) = 12 (р)-А- - Ы (Р)-	(3.92)
^2Р
Определим значения токов !}(р), 12(р) через напряжение на входе
схемы и ее параметры:
I(p)~uiP) _ui(p)C'P .
А(Р) TlP+i
1 ut(P> =_ui(P>ciP
z2(p) T2p + 1
В полученных соотношениях введены обозначения: 7] =	[с];
r^R2C2 [с].
Подставив полученные значения для токов в выражение (3.92),
Получим
U2<p) = U,(P)
1
Z^p+l
TiP
т\р+\
92
93
Из последнего выражения получим передаточную функцию
тивно-емкостного моста в виде
и,(р>
Примем для простоты последующего построения ЛАфц
Rt= R2, Ct=C2, тогда 7] = Т2 = 7, и передаточная функция примет вц
1-7У =±ZL
(\ + Тр)(\ + Тр) \+Тр
Построим соответствующую этой передаточной функцц
ЛАФЧХ и проанализируем возможности схемы.
1.	201g К = 201gl = 0.
э 1 1
2.	(oc = lg~.
3.	Структурно-передаточную функцию можно представить в вид
последовательного соединения апериодического и неустойчивое
дифференцирующего звеньев.
С учетом сделанных вычислений и последнего замечания п
строена ЛАФЧХ, приведённая на рис. 3.40.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 3
1	Какой физический смысл линеаризации дифференциальных уравне-
РИЙ движения САУ?
2.	Приведите определение и цель введения понятия «передаточная
функция».
3.	Какой физический смысл вкладывается в понятие «амплитудно — фа-
зовая частотная характеристика (АФЧХ)» ?
4.	Представьте АЧХ и ФЧХ для каждого типового динамического звена.
5.	Какова цель введения понятия «логарифмическая амплитудная
фазочастотная характеристика (ЛАФЧХ)» динамического звена САУ?
6.	Приведите методику построения ЛАФЧХ для отдельного типового
динамического звена.
7.	Какой физический смысл понятия «АФЧХ минимально-фазового ди-
намического звена САУ»?
8.	Приведите пример передаточной функции «неустойчивого звена».
9.	Определите методику построения фазочастотной характеристики неус-
тойчивого звена.
Анализ ЛАФЧХ показывает, что звено не искажает сигнал на в1>
ходе по отношению к входному сигналу, и при увеличении часто1'|
входного сигнала фаза выходного меняется от 0° до - 180°. Это свс$
ство моста может быть использовано в схемах управления, напри»
тиристорами при горизонтальном способе управления.	.
94
95
Глава 4. МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ, ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ,
СТРУКТУРНЫХ СХЕМ ЗВЕНЬЕВ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В главе описывается методика определения передаточных функций
(ПФ), амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ) реалъ
ных элементов систем автоматического управления и представлен^
их в виде типовых динамических звеньев и структурных схем.
4.1.	ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА
С НЕЗАВИСИМЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ ИЛИ
С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ
СО СТОРОНЫ ПРИЛОЖЕННОГО К ЯКОРЮ НАПРЯЖЕНИЯ
(УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ПОСТОЯННОМ МОМЕНТЕ)
Электромотор упомянутого типа применяется при автоматиза
ции промышленных установок и технологических процессов, i
которых необходим широкий диапазон регулирования скороси
вращения его вала, например Д=10000:1, при высокой плав
ности ее управления. Требования необходимы в металлообрабст
ке, прокатке металла, в сборочных производствах, в бумагоделатель
ных машинах и во многих других установках. Составим уравненш
движения электромотора при условии, что поток возбужден!»
постоянен, реакция якоря скомпенсирована [рис.4.1]. В этом случа
уравнения движения представим в виде системы
В системе уравнений (4.1) описываются электромеханические
процессы в электромоторе, что позволяет установить связь между
входным (управляющим) воздействием Uи выходной (управляемой )
координатой со. Для дальнейшего анализа введем обозначения к, =
Смф н к*> = СЕф и перейдем к представлению уравнений движения
(4.1) в операторной форме. Систему уравнений перепишем в виде
Jpco(p) = Md (р) - Мс (р);
=	(4.2)
и(.Р) = BEI (р) + LFpI(p) + Касо(р),
где J - приведенный к валу электромотора момент инерции со сторо-
ны исполнительного механизма; Md, Мс — движущий момент элек-
тромотора и момент статического сопротивления со стороны на-
грузки соответственно; RE,LE - активное и индуктивное сопротивле-
ния якорной цепи электромотора; со — частота вращения якоря элек-
тромотора; U - напряжение, приложенное к якорю электромотора.
Из последнего уравнения системы (4.2) найдем значение тока в
якорной цепи мотора и это значение поставим во второе уравнение для
определения движущего момента. Получим
(43)
LEp + RE	Lep + RE
Полученное значение движущего момента поставим в первое
уравнение системы (4.2):
dt " с
Ма=См1Ф-
jp^-K,^^P>_UcW.	(4.4)
LEp + RE
Преобразуем (4.4) к виду, более удобному для последующего
анализа:
ЛЕр2со(р) + JR,pa>(p) + К,Каа>(р) = KfU(p) - Mc(p\LEp + Я£).
В полученном выражении поделим правую и левую части на
^1, получим
re р
JRe „ , J П(р) Мс (р\ЬЕр 4- Re )
к„к, J	как.
(4-5)
96
97
В (4.5) отношение JRf имеет размерность времени и ха-
растеризует электромеханический процесс изменения скорости
а> при изменении напряжения U, приложенного к якорю элек-
тромотора. Оно получило название электромеханической посто-
янной времени Тм. Отношение также имеет размерность време-
ни и характеризует скорость изменения тока в якорной цепи электро-
мотора при приложении управляющего напряжения и получило на-
звание электромагнитной постоянной времени TF. Отношение
— = КМ- коэффициент передачи электромотора. С учетом введен-
ных обозначений общее уравнение движения электромотора при
линейном его представлении примет вид
(тмТЕр2 +ТмР + 1)-а(Р) = KMU{p)-Mc(p)-^(TEp + l\	(4.6)
При малых воздействиях со стороны приложенного напряжения
или момента статического сопротивления уравнение движения элек-
тромотора запишется в форме общего уравнения (4.6)
(WeP2 +гмр+1)-^р) = кмди(р)-дмс(р)-^~(тЕр+\\
Анализ полученного уравнения движения электромотора пока-
зывает, что его скорость изменяется как от действия приложенного на-
пряжения к якорной цепи, так и от действия внешнего статического мо-
мента сопротивления (нагрузки). Это обстоятельство требует предста-
вить электромотор в виде двух передаточных функций - переда-
точной функции по управляющему воздействию для случая при-
ложения скачка напряжения к его якорной цепи и передаточной
функции по возмущающему воздействию для случая приложения скач-
ка внешнего момента нагрузки. Из последнего уравнения передаточная
функция по управляющему воздействию (при ЛМс(р) = 0) примет вид
IV	-----
Y ДЩр) ТмТЕрг+ТмР + \
(4-7)
По возмущающему воздействию со стороны нагрузки передаточ-
ная функция (при ДЩр) = 0 ) примет вид
98
4а(р) Кк(ТЕр+\)
АМс(Р) ТмТЕр2+Тмр + \
(4-8)
В (4.8) введено обозначение Кв =—-— коэффициент передачи
к«к,
электромотора по возмущению со стороны нагрузки. На основании
передаточных функций (4.7) и (4.8) структурные схемы двигателя по
управляющему и возмущающему воздействиям можно представить в
виде, показанном на рис. 4.2 и 4.3 соответственно.
Рис. 4.2
Рис. 4.3
На основании рассмотренного делаем вывод, что электромотор
является типовым колебательным динамическим звеном. Дальнейшее
его исследование осуществляется по методике, рассмотренной для
колебательного звена.
Примечание. При выполнении практических расчетов встреча-
ются трудности при определении постоянных времени и коэффици-
ентов передачи, которые не всегда указаны в паспорте электромотора.
Для нахождения упомянутых параметров можно воспользоваться за-
висимостью le = С^-- -----формула Линвиля и Уманского для нахо-
ди
ждения индуктивности якоря электромотора. В формуле обозначено:
1Н, а>н - номинальные значения напряжения, тока, частоты вра-
щения якоря мотора соответственно; р - число пар полюсов машины;
С — постоянный коэффициент, для компенсированных машин он равен
0,1 -0,2; для некомпенсированных - 0,6. Значения постоянных коэф-
фициентов СЕФ,СМФ, которые определяют коэффициент передачи мо-
тора и его электромеханическую постоянную времени Тм, определим
по нижеприведенным зависимостям:
99
В приведенных формулах к ранее введенным обозначениям до-
бавили РН,МН— номинальная мощность и номинальный момент элек-
Найдем приращение тока якоря и приращение потока возбужде-
ния при неизменном значении напряжения на якоре:
O = AIRE + 1Е^- + СЕФ„Лсо + СЕсо(,АФ.	(4.12)
dt
тромотора соответственно:
«ок=^[с‘]. Момент инерции мотора
можно приближено определить по зависимости J =----. Здесь G,D
4ё
- вес и диаметр ротора машины. Значение £> = 0,8d, где d- внешний
диаметр с татора электродвигателя.
4.2.	ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
ПОСТОЯННОГО ТОКА С НЕЗАВИСИМЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
ПУТЕМ ИЗМЕНЕНИЯ ПОТОКА ВОЗБУЖДЕНИЯ
(РЕГУЛИРОВАНИЕ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА
ДВИГАТЕЛЯ ПРИ ПОСТОЯННОЙ МОЩНОС ТИ)
Таким способом повышают частоту вращения электродвигателя,
чтобы реализовать ускоренное перемещение подвижных узлов ис-
полнительных механизмов автоматизируемых установок. Практи-
чески такой способ регулирования скорости используется при посто-
янном моменте нагрузки на валу двигателя или холостом ходе. В этой
связи на динамику процесса регулирования скорости вращения рото-
ра электродвигателя постоянный момент не оказывает влияния, и
уравнение движения представим в виде зависимости
Изменение потока возбуждения на величину АФ обусловлено
изменением напряжения возбуждения на величину AUB:
AU в — RBAI „ + LB——^~.	(4.13)
В зависимости (4.13) обозначено: RB, LB> ЛГВ - активное и ин-
дуктивное сопротивления обмотки возбуждения и ток возбуждения
соответственно. Известно [14], что поток возбуждения машины пря-
мо пропорционален току возбуждения, поэтому
ЛФ = КВА1В,	(4.14)
где Кв - коэффициент передачи.
С учетом (4.14) уравнение (4.13) примет вид
ливКв=РвАФ+Рв^.	(4.15)
dt
Из (4.15) определим значение приращения потока возбуждения. В
операторной форме значение ЛФ(р) примет вид
АФ(р) =
KBAUB(p)
LBp + RB
(4.16)
J— = СМФ1.
dt м
(4.9)
В выражении (4.9) ток двигателя I и поток возбуждения Ф -
величины переменные. Произведем линеаризацию уравнения (4.9)
вблизи рабочей точки «О». Линеаризацию осуществим с помощью
разложения функции в ряд Тейлора, получим
Представим уравнение (4.12) в операторной форме. Поставим в
него вместо АФ(р) его значение из (4.16) и найдем выражение для
приращения тока якоря электромотора А1(р), получим
_	К „AU Ар)
(LeP+ RE)AI(p) = -СЕФ.Л(0{р) - СЕав
LBP + ки
de»,, fdAd)
dt dt
дСмФ1~
- ЭФ Jo
ЛФ +
~асмФ1
81
откуда
(4.Ю)
Исключив из (4.10) начальное состояние, получим
d/(p) =--^^_л®(р)------Ck(obKbAUb(p)......
L[:p+RE (LEp + RE)(LBp + RB)
(4-17)
= СМ1ВЛФ+ СМФОА1.
(4.П)
Поставим найденное значение приращения потока возбуждения
(4.16) и значение приращения тока якоря (4.17) в уравнение (4.11),
получим
100
101
! л < х г i KBAVв(р)	СеФ<)АС1>(р) .	СЕсо0КBAUв{р) (4 181
*л*"” - с-‘-	-с-ф- ,,„77; ’ с'ф" fL.p^,w..P^,>'{	’
Приведем (4.18) к общему знаменателю и расположим члены, со-
держащие искомую величину Ав(р), в левой части; члены, содержа-
щие управляющее воздействие AUB(p), - в правой части уравнения.
Получим
JAto(p)p(LBp + RB)(LEp + RE^ + СМФВС EAto(p)(LBp + RB) = СМ1ВКВ •	19)
‘ AfVB(p)CtlIl:KKAlJrj(p)  (JEp + RE)-C^BCEa>0K BAU B(p).
Раскроем скобки в (4.19) и, поделив правую и левую части на
СЕСмФг, получим
JlbLj, ( jlbre + jlerb ) 2 + ( jrbre + lbrb ) +
СЕСМФ'Р \,СЕСМФ2 СеСмФ2)Р \СЕСиФ2 RB / в

Да>(р) =
IBKBRr ( Le
C^R„ {R, Р
лив{р).
(4.20)
Введем уже известные обозначения: — = Т„,— = Т„, —— = г,.
RF L RB в СЕСМФ2 м
С учетом этих обозначений уравнение (4.20) перепишем в виде
[к»ТмТеТвр3 + RB(TMT„ + ТмТЕ)рг + RB(TM + Тв)р+ R^p) =
pr , хх лг/ i „х	лг/ / \	(4-21)
КвСЕфй	фо
В уравнение (4.21) введем обозначения
Г^в = Т3,ТМ (Тв +те^т22,тм+тв=т,.
С учетом введенных обозначений и поделив правую и левую
части (4.21) на RBполучим
(Т’р3+т2р2 +7-,р+1)Дй>Ср)=
\сЕфЛ
' JoKbRe
^qRb ) СЕФ$РВ
Ф^н ) 1qKbRe___
тЕр+1 ди„(р) (4.22)
Обозначим в (4.22)
IqKbRe
](в _ СеФ0 RB т.п jpB _ ( ^^В^Е
м	1сефХ
СеФ0Кв фо^в
<°оКв
<₽<aJ
1
Вс
102
С учетом введенных обозначений (4.22) представим в виде
{Т3р3 + Т2р2 +Т3р + 1)Ла(р) = Кв(К^ТЕр+1)Лив(р).	(4.23)
Заменяя произведение ТЕКВ =Т4, из выражения (4.23) получим
передаточную функцию электродвигателя при регулировании часто-
ты вращения со стороны потока возбуждения:
^(р)==	зкй^р+^—.
znW) т3 Р3+т2 Р2+ тзР+\
Если за выходную координату электродвигателя принимать угол
поворота ротора zl^(p), то в передаточную функцию войдет допол-
нительное интегрирующее звено. При этом передаточная функция
электромотора примет вид
Ж(р) = -^^- =----3	-----.	(4.25)
Mt(p) р(т3р3+Т22р2+Т3р + 1
Из зависимости (4.25) следует, что электродвигатель представля-
ет собой сложное динамическое звено, состоящее из последователь-
ного соединения интегрирующего звена, апериодического звена и
дифференцирующего звена.
4.3.	ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
АСИНХРОННОГО КОРОТКОЗАМКНУТОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
ПРИ ЧАСТОТНОМ УПРАВЛЕНИИ
До последнего времени широкорегулируемые электроприводы
промышленных установок использовали двигатель постоянного тока
в силу простоты и надежности систем управления. Однако начальная
стоимость двигателя постоянного тока выше, чем для асинхронного
короткозамкнутого двигателя. Основным фактором, сдерживающим
применение асинхронного двигателя, было отсутствие простого эко-
номичного и надежного преобразователя частоты. На сегодняшний
день эта проблема успешно решается, а поэтому нахождение переда-
точной функцией и структурной схемы такого двигателя становится
необходимой для реализации его управления.
В результате действия напряжения, приложенного к обмотке ста-
тора, в воздушном зазоре двигателя возникает вращающееся магнит-
ное поле, скорость которого пропорциональна частоте питающего
напряжения и определяется зависимостью
юз
или
3000 /.
и. = ———
(4.26)
ЗД4/
<4 = .	1
(4-27)
В зависимостях (4.26) и (4.27) принято: f„ — частота напряжения сети
или номинальная частота тока статора; р„ — число пар полюсов; / час-
тота питающего напряжения статора от преобразователя частоты.
„	/	3000-а
Принимая отношение — = а, получим, что	~—
J И	"и
Из (4.30) следует, что для регулирования скорости необходимо
изменять частоту и напряжение, приложенные к статору. Для этих
целей применяют преобразователи частоты [15].
Передаточная функция асинхронного двигателя (АД) при частот-
ном управлении может быть получена исходя из следующих рассуж-
дений. Уравнение электрического равновесия для напряжения, при-
ложенного к статору АД,
U^I-R+L- + К -со
dt
(4.31)
3,14 а
[об/мин] ИЛИ (Чс= — — [с-‘] .
Изменяя /, изменяем а, следовательно, можно осуществлять
регулирование частоты вращения ротора, которая отстает от частоты
вращения электромагнитного поля статора на величину (1 -S), где .8' -
скольжение. Таким образом, частота вращения ротора
3,14 а.,
<ур=-------(1-5).
Рп
Отметим, что асинхронный двигатель при различных частотах на
статоре, обеспечивая постоянные значения КПД, коэффициента мощно-
сти, перегрузочной способности, должен с изменением частоты регули-
ровать также напряжение U, подаваемое на статор [14], по зависимости
В (4.31) принято: I- значение тока статора АД; R - эквивалент-
ное сопротивление АД, приведенное к статору; L - эквивалентное
значение индуктивности АД, приведенное к статору; G) — частота
вращения ротора АД; Кю = СеФ, ф — электромагнитный поток со
стороны статора; Се = const - конструктивный коэффициент АД.
Известно [14], что значение момента на валу АД определяется
выражением
U2-m-r2-S
(4-28)
(4-29)
UK
Здесь -напряжение и момент, соответствующие частоте
/;	- номинальные значения при номинальном значении f„.
Если необходимо осуществлять регулирование скорости при
М = const, то (4.29) преобразуется к виду
Ц
и„
м — ., - ,
co0(riS + r2)2 + X2KS2
Здесь к известным величинам введены дополнительно следую-
щие: т-число фаз питающего напряжения; г2 -активное сопротив-
ление ротора, приведенное к статору; - активное сопротивление
статора: <у0 - частота напряжения, приложенного к статору; Хк -ин-
дуктивное сопротивление АД в режиме короткого замыкания. Упо-
мянутые величины определяются по известным [14] зависимостям.
Для удобства выводов рассмотрим характеристику (4.32) в точке
,, ~С72 1
критического [14] момента М =—-•	Тогда
о0 2L
(4.32)
(4-30)
М 2MKf -2М*- и2,п
S SKp а о2 -L-а
SKP+ S
В (4.33) введены следующие обозначения:
(4.33)
<ч>
_ критическое значение скольжения
АД;
104
105
Из (4.33) найдем значение напряжения статора:
U=(o04M-L-a.	(4.34)
Известно [14], что момент может быть выражен через ток в виде
М = Кт1,	(4.35)
где Кт =СтФ, Ст - постоянная величина для АД. С учетом (4.34) и
(4.35) исходное уравнение (4.31) преобразуем к виду
/5—7-7—- М • R L dM „
аоу/М  L-а	+Ка-а.	(4.36)
Из выражения (4.34) следует, что
- = СеФ = Ка^МЬ-а.
^0
Это позволяет (4.36) переписать в следующей форме:
4м^Га(со0-^ = ^М + ~~).	(4.37)
К„, к dt
Перейдем в (4.37) к операторной форме при нулевых начальных
условиях, получим
-J~M-L-a\coo{p) - w(p)] =	+ --р).	(4.38)
Вводим обозначения;	электромагнитная постоянная вре-
СсФ СтФ J '	~
мени;  ------= —где 7т-электромеханическая постоянная вре-
R	Тт
мени; ./ - момент инерции АД.
Выражение (4.38) представим в виде
- «)=М(Р\Т„Р +1) •	(4.39)
или с учетом введенных обозначений
^-(®0-®) = Л/(р)(Т;/?+1).	(4.40)
106
Известно [14], что уравнение движения ротора описывается в
общем виде уравнением Д’Аламбера:
Jpa){p) = M{p)-Mcin{p),	(4-41)
где (/?) - момент статического сопротивления.
Таким образом, уравнения движения АД в виде (4.40), (4.41) по-
зволяют представить структурную схему в виде, показанном на рис. 4.4.
Рис. 4.4
На основании метода структурных преобразований схема на рис.
4.4 сведется к динамическому звену вида
^(Р) = ^ =
f^P)
ТтТЕР + ТтР+^
(4-42)
Здесь ЛГ -коэффициент передачи АД , Кт = —.
Рп
Из (4.42) становится очевидным, что АД по управляющему воз-
действию со стороны частоты приложенного к статору напряжения
представляется типовым колебательным звеном.
4.4.	УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ, ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
ГЕНЕРАТОРА ПОСТОЯННОГО ТОКА
Указанная электрическая машина широко применяется в систе-
мах автоматического управления электроприводами тяжелых метал-
лорежущих станков, например горизонтально-расточных, в системах
управления электроприводами прокатных станов и т.д. Схема генера-
тора показана на рис. 4.5.
На рисунке введены следующие обозначения: UB - напряжение,
подводимое к обмотке возбуждения генератора; Ай, LB - активное со-
противление и индуктивность обмотки возбуждения генератора; G —
якорь генератора; RE, Rlf- активные сопротивления якоря генератора
и его нагрузки; U-- напряжение на нагрузке генератора; ДД-тонный
асинхронный двигатель.
107
Рис. 4.5
Для вывода передаточной функции генератора сделаем ряд до-
пущений, которые не изменяют физики процессов, но упрощают ма-
тематические выкладки. К числу допущений отнесем следующие:
-	скорость вращения тонного асинхронного двигателя - величина
постоянная;
—	характеристика холостого хода генератора не имеет петли гис-
терезиса;
-	температура обмоток не меняется и сопротивления возбужде-
ния и якоря - величины постоянные;
—	реакция якоря считается полностью скомпенсированной;
-	индуктивность якоря генератора пренебрежимо мала по срав-
нению с индуктивностью обмотки возбуждения;
-	при рассмотрении режима работы генератора с нагрузкой по-
следнюю будем считать активной.
С учетом принятых допущений уравнение состояния якорной це-
пи представим в виде
E = U + IRe.	(4.43)
В (4.43) наряду с ранее введенными обозначениями принято: Е -
ЭДС генератора.
При работе генератора на холостом ходу ток нагрузки равен ну-
лю, а поэтому (4.43) запишем в виде E=U. Значение ЭДС определит-
ся по характеристике холостого хода Е- Уравнение состояния
в цепи обмотки возбуждения генератора в отклонениях от устано-
вившегося значения запишем в виде
...	. ..	- dAIо
AU„ = AI,.Rr + Lr--(4.44)
dt
Связь между ДЕ и А/й определяется из характеристики холосто-
4Е
го хода, показанной на рис. 4.6, откуда следует, что -~— = tga-KB
108
или Л1В = С учетом полученного соотношения между током воз-
буждения и ЭДС генератора уравнение (4.44) запишем в виде
KBAU„ = AERK + Lr	(4 45)
Представим (4.45) в операторной форме при нулевых начальных
условиях:
KBAUB(p) = AE(p)RB(l+^p).	(4.46)
Введем следующее обозначение: ~ - Тв - постоянная времени
Rb
обмотки возбуждения генератора.
Рис. 4.6
С учетом введенного обозначения из последнего уравнения полу-
чим выражение передаточной функции генератора, работающего на
холостом ходу:
Wro (р) =	=-----—
Див(р) RB(TBp+i) Твр + 1
К го
(4.47)
В (4.47) отношение обозначено как Кг0 и получило название
RB
коэффициента передачи генератора на холостом ходу. Он показывает,
на какую величину изменится ЭДС на выходе генератора при подаче
на обмотку возбуждения напряжения, равного IB, и при постоянных
значениях сопротивления в ее цепи.
Для нахождения передаточной функции генератора с учетом его
нагружения, например на активное сопротивление (см. рис. 4.5), не-
109
обходимо из (4.47) найти величину Л£(р) и поставить ее в выраже-
ние (4.43), записанное в отклонениях от заданного значения. Тогда
получим
кюлив{р) =	+(448)
Значение приращения тока якоря определяется зависимостью
Л1(р) =	, поэтому уравнение (4.48) примет вид
=	(4.49)
Твр +1	RH
Из полученного выражения находим передаточную функцию ге-
нератора с учетом нагрузки, которая имеет вид
^г(р) = -^-=-^___= -^~
Г див(р) (Лн+ЛЕ)(Твр + 1) Тяр + 1
(4.50)
К к
В (4.50) отношение	= Кг называется коэффициентом пе-
Rn +
редачи генератора с учетом влияния нагрузки. Это соотношение по-
казывает: чтобы приблизить коэффициент передачи к его значению
на холостом ходу, необходимо обеспечить условие > ЮЛ;;.
Из рассмотрения передаточных функций (4.47) и (4.50) следует,
что генератор постоянного тока является типовым апериодическим
динамическим звеном.
4.5.	ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДВУХФАЗНОГО
АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
Двухфазный асинхронный двигатель наиболее распространен в
приборных контролирующих системах. Мощность двигателей изме-
няется в пределах от 0,5 до 100 Вт. Двигатели обладают малым мо-
ментом инерции ротора, отсутствием подвижных контактов, не соз-
дают радиопомех. Схема включения показана на рис. 4.7.
На рисунке обозначено: С, -конденсатор для сдвига фазы в об-
мотке возбуждения (ОВ) на 180° относительно обмотки управления
(ОУ); С2 - конденсатор высокочастотного фильтра для улучшения
синусоидальной формы сигнала на ОУ; У - усилитель сигнала управ-
по
пения Us; UB- напряжение переменного тока для обмотки возбуж-
дения и питания усилителя; Р - ротор электродвигателя.
Механические характеристики двухфазного асинхронного двигателя
обладают двумя видами нелинейностей — нелинейность зависимости
Md = f(a>) при заданном напряжении управления Us и изменение кру-
тизны механических характеристик

= tgy ПРИ различных значе-
ниях Us. Вид упомянутых характеристик показан на рис. 4.8.
При выводе выражений для передаточной функции двухфазного
асинхронного двигателя в «малом» делаем допущения, которые не
влияют на физику процессов, но существенно упрощают математиче-
ские выкладки. К числу таких допущений отнесем следующие:
Мп = bnUs - пусковой момент двигателя линейно зависит от на-
пряжения управления; Md =bnUg -Ьшсо - движущий момент двига-
теля убывает по линейной зависимости от скорости вращения ротора.
L
Коэффициенты bn,ba определяются по зависимостям °п ~ ~
U SH
h - М"Н Мн
, в которых мпН — пусковой момент двигателя при
номинальном напряжении управления Um; Мн - номинальный мо-
мент электродвигателя; сон - номинальная частота вращения ротора
электродвигателя.
С учетом принятых допущений и введенных обозначений рас-
смотрим вывод передаточной функции двигателя для трех случаев: 1
- при статическом моменте нагрузки на вал двигателя М,. = 0; 2 — при
Мс = const', 3 -- при Мс = усо.
111
1.	Мс = 0. В этом случае уравнение движения ротора электромо-
r dco ., „
тора запишем в виде = С учетом значения для движущего
at
момента последнее выражение перепишем в форме
, d® 1	1 ГТ
J-^ + b^C0=bn1US-
at
(4.51)
В уравнении (4.51), разделив правую и левую части на коэффи-
циент ^а>, получим
ь.л Ь.
(4-52)
В (4.52) введем следующие обозначения:	постоянная
Ьп _
времени двигателя; ~	~ коэффициент передачи двигателя. С
учетом введенных обозначений уравнение (4.52) в операторной фор-
ме при нулевых начальных условиях примет вид
(Tp + i^p) = KMUs(p).
(4-53)
Выражение для приращений имеет ту же форму, что и выра-
жение (4.53):
(Tp + l)A^p) = KMAU£(p).	(4.54)
Из уравнения (4.54) получим выражение для передаточной функ-
ции электродвигателя:
И'!,,),	,.К„
ли,(р} Тр,\
(4.55)
2.	Мс = const. В этом случае уравнение движения для ротора
двигателя запишем в виде
J-l- + ьаы + Me = b„us-	(4-56)
dt
Переход из установившегося режима при частоте вращения к
новому значению происходит под действием изменения управляюще-
го напряжения на величину &Ue.
В этой связи уравнение (4.56) перепишем в виде
+	+ +МС = bnUS0 +b„bUs. (4.57)
at
В (4.57) устраним установившееся состояние Ь„шв-Мг =b„um, то-
гда динамика процесса описывается уравнением
.d/\fD , .	1 . гт
J——+babco = bnbUs.	(4.58)
dt
С учетом введенных выше обозначений уравнение (4.58) в опера-
торной форме примет вид
{Tp + X)\<a{p) = KM\Us{py	(4.59)
Из (4.59) передаточная функция электродвигателя запишется так:
W(p)= мн\=771'	(4.60)
MJe(p) Тр + \	v '
Сравнение передаточных функций (4.55) и (4.60) показывает, что
они равны между собой, а это, в свою очередь, подтверждает вывод о
том, что динамика процесса при статическом моменте, равном нулю,
и постоянной величине статического момента описывается одной и
той же передаточной функцией.
3.	Мс — усо. в этом случае уравнение движения ротора двигате-
ля запишем в виде
rd(D ..
J-— + ya> = Md.
dt
С учетом введенной ранее зависимости для Md уравнение пред-
ставим в виде
rd<O	1 ГТ I.
j	+уб} = ьрв-Ью<о.
at
Проведем преобразования, получим
J^-+co{y + bm) = bnUs.
at
Разделим правую и левую части уравнения на (/ + ^<»):
112
из
J dm bn
------+ со = —2—
/ + dt у +
— Т —
Введем обозначения:	t * постоянная времени мотора;
7 ‘
ь„
7~~ коэффициент передачи мотора. Учитывая введенные ооо-
значения и переходя к операторной форме записи последнего уравне-
ния в приращениях от установившегося состояния, получим
(7jp + l)Afi>(p) = /C1 AC/Др).
(4.61)
Из (4.61) получим выражение для передаточной функции двух-
фазного асинхронного электродвигателя в виде
W(p) = Аб>(р) = —
\Us(p) ТхР+\
(4.62)
Выражение (4.62) показывает, что электродвигатель является
апериодическим звеном. Закончим рассмотрение составления урав-
нения движения и нахождения передаточной функции для двухфаз-
ного асинхронного электродвигателя конкретным примером.
Найти передаточную функцию двухфазного асинхронного элек-
тродвигателя по паспортным данным:	=20021; Мп =1550г-см-,
пп = 5100об/мин; JM = 0,12г  см  с2; Мн =1045г-см.
, МпН 1550
b =—— =------= 7,75г -см! В.
200
= 30(М„„-М„) = 30(1550-1045) = Q
лпн	3,14-5100
A =1Z^=82J_
Ъв 0,94	’ Вс'
г = Л£_=<Ц2=013с
Ьа 0,94
At/Др) 0,13р + 1
1.
2.
3.
b.
К„,
4.
114
4.6.	ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ, СТРУКТУРНАЯ СХЕМА
ТИРИСТОРНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
Тиристорные преобразователи на настоящий момент являются
самыми распространенными при разработке электроприводов посто-
янного тока с широким диапазоном регулирования скорости до
£> = 1:10000 и выше, которые применяются в металлообрабаты-
вающей, добывающей и других отраслях промышленности. Тири-
сторный преобразователь как звено САУ содержит три составляю-
щие: систему импульсно-фазового управления (СИФУ), собственно
силового преобразователя (СП) и цепи нагрузки. Назначением СИФУ
является преобразование непрерывного входного сигнала управления
AUу в фазовый сдвиг Л0° отпирающего импульса, отсчитываемо-
го от момента естественного отпирания тиристора. Назначением СП
является преобразование переменного напряжения питания, прило-
женного к преобразователю (напряжение сети), в выпрямленный
сигнал на его выходе (электродвижущая сила), пропорциональный
углу отпирания Д<9°. Цепь нагрузки является потребителем упомя-
нутого выше выпрямленного и управляемого сигнала и вносит изме-
нения в его амплитуду и фазу относительно входного сигнала.
Коэффициент передачи современных СИФУ тиристорных преоб-
разователей с вертикальным принципом управления и пилообразным
опорным напряжением [19] является постоянной величиной и опре-
деляется зависимостью
Коэффициент передачи СП зависит от схемы. Определим зависимо-
сти, связывающие средневыпрямленное значение электродвижущей си-
лы на выходе преобразователя Е, от значения фазового сдвига отпи-
рающего импульса Ев для наиболее широко применяемых схем.
Трехфазная схема со средней точкой (№1 в табл. 4.1). Среднее
значение ЭДС на выходе преобразователя в пределах от естественно-
го угла отпирания б> = 30° до 150° (новое значение угла отпирания)
представим в виде зависимости
1 б	з /з
Е = 2^ Jeu^sin0d0 = -^U^AXC^^	(4.63)
115
Зависимость (4.63) представим для случая действующего напря-
жения во вторичной обмотке трансформатора, получим
Е =	Ud cos 0 ~ 1,1 5Ud cos О.
7C-\J2
(4.64)
В (4.64) принято: Ud - действующее значение напряжения в фазе
вторичной обмотки трансформатора, ~	• Из (4.64) следует,
что характеристика преобразователя Е = f(0) является косинусои-
дой, поэтому коэффициент передачи СП, выполненного по рассмот-
ренной схеме, следует выбирать вблизи рабочей точки по прираще-
ниям, т.е. -—г.
Ев
Для СП, выполненного по однофазной схеме (№3 в табл. 4.1), за-
висимость между сигналом на выходе СП и углом отпирания тири-
сторов вычисляется по выражению
г _ ' \гт  ain _ ^мах l+cos0 _ 2^2Ud 1 + COS0
Е=~ иш smedo=—-—  -----------------—— -
о	71	2
= 0,89tZd1 + C°g-
d 2
Уравнение (4.65) показывает на нелинейную зависимость ЭДС
преобразователя в функции угла отпирания тиристоров, поэтому ко-
эффициент передачи СП должен определяться в приращениях от ус-
тановившегося состояния, как это было описано выше для трехфаз-
ной схемы СП. С учетом рассмотренного тиристорный преобразова-
тель в статическом режиме может быть представлен в виде звена сис-
темы с коэффициентом передачи
г - А£
™° Ell
2
п
(4.65)
(4.66)
Полученный в (4.66) коэффициент передачи характеризует рабо-
ту преобразователя в статическом режиме и на холостом ходу. Зави-
симости, связывающие ЭДС преобразователя Е и фазового сдвига
угла отпирания тиристоров 0°, для распространенных в практике
схем СП представлены в табл. 4.1. Там же даны однофазная полу-
управляемая схема СП и основные соотношения между ее парамет-
116
рами. Такие схемы получили распространение там, где не требуется
широкого диапазона регулирования управляемой координаты и при
небольших мощностях электромеханических установок.
Как уже было отмечено выше, нагрузка изменяет значение коэф-
фициента передачи преобразователя. Для нагрузки в виде активного
сопротивления на выходе тиристорного преобразователя ее влияние
проявится как последовательное соединение звена с коэффициентом
передачи
Кн
. В представленной зависимости RH - сопро-
тивление нагрузки; — суммарное сопротивление в цепи преобра-
зователя, которое состоит из приведенного сопротивления СП, ком-
мутационного сопротивления и внутреннего сопротивления тиристо-
ров. Эти величины являются справочными данными. Более подробно
этот вопрос описан в [19]. Случай, когда нагрузка является активно-
индуктивной с присутствием противоЭДС, т.е. при подключении к
преобразователю электродвигателя, рассмотрим при изучении дина-
мики тиристорного преобразователя.
Таблица 4.1
Силовые схемы типовых тиристорных преобразователей
№ п/п	Схема преобразователя						Средневыпрямленное значение ЭДС преобразователя	Минимальный угол регулирования	N, кВт
1	7 о		—KV2 TO —(Th—				2тг „ З-ЛЛ,. _ Е 		у cos о 2л-	"	0£1О°4Г от угла естест- венного зажигания	До 50
2		vsi V		' J	'l'S4.		Л Е=’^-и^с^е п UtiAXL- максимальное значение линейного напряжения сети либо вторичной обмотки трансформатора; Ud, - то же только для действующего значения.	#>10°41' от угла естест- венного зажигания	До 3000
		И “ VS2 , 					VS5, N-				
		VS3, _				M VS6. 	Г'-/					
									
117
Окончание табл. 4.1
№ п/п	Схема преобразователя							Средневыпрямленное значение ЭДС преобразователя	Минимальный угол регулирования	N, кВт
3	VD3 *—		'DI 6 VD4		э ^vsi		)	g — ZU MAX l + cosfl 71	2 2V2 1+COS0 я= ud - Я	2	6>^35°18’	До 1
4	Тр				vsi 				1 + cosg 7Г	2 _ 2V2	,, 1 + COS0 я-	ud . 71	2	6 > 35° 18'	ДоЗ
	□		f						1			
					VS2					
5		VD1 .hsL.		r ~ J		’ vsl tsf		£ = Xli.(i + Cos6') Я Е=з!^.(1+Со&в) Я		До 10
		ирг'								
										
Динамика тиристорного преобразователя определяется его полу-
управляемыми свойствами. Тиристор открывается в момент подачи
управляющих импульсов, а закрывается только тогда, когда ток через
него станет равным нулю, т.е. когда напряжение питания тиристора ме-
няет знак. Эта физическая особенность работы тиристоров в составе СП
описывается среднестатистическим [15] запаздыванием. Значение запаз-
1
дывания рассчитывается по формуле г -	. В приведенной зависи-
мости обозначено: tn — число фаз СП; f - частота переменного на-
пряжения питания СП. В промышленных тиристорных преобразовате-
лях для их помехозащищенности на входе СИФУ включают фильтр с
постоянной времени TF = 0,006 ч- 0,008 с . Таким образом, физические
явления, имеющие место при работе тиристорного преобразователя,
требуют представить его в виде последовательного соединения типовых
динамических звеньев — звена с запаздыванием и апериодического звена
- и представить передаточную функцию в виде
&Е(р) =с-ц>
^тпо(Р) =
^тпо
7>р + 1‘
(4-67)
118
При таком представлении тиристорного преобразователя наруша-
ется минимально-фазовая зависимость между амплитудно-частотными
и фазочастотными характеристиками. Эго нарушение ведет к значи-
тельным трудностям как при анализе САУ, так и при их синтезе. Во-
просам представления тиристорного преобразователя в виде эквива-
лентного минимально-фазового типового динамического звена посвя-
щены отдельные монографии [15, 19]. Здесь для САУ электропривода-
ми исполнительных механизмов промышленных установок, ограни-
ченных диапазоном частот управляющих сигналов / = ЗО-г-5О/^
(со =	= 314[1/с]), выражение (4.67) заменяем эквивалентным апе-
риодическим звеном с передаточной функцией вида
и/ / _ ^£(р) _ ^-тпо	..
''то(Р) ~ агг с \ т . i"	(4.68)
Л^,(р) Гтпр+1
В (4.68) обозначено:	+ TF. При такой замене в указанном
диапазоне частот управляющих воздействий погрешность в фазовых ха-
рактеристиках между точным значением по (4.67) и приближенным
(4.68) составляет «10°, что для инженерной практики допустимо.
Рассмотрим влияние нагрузки на вид передаточной функции
преобразователя. В случае нагружения преобразователя активным
сопротивлением его представляют в виде последовательного соеди-
нения передаточной функции вида (4.68) и звена с коэффициентом
передачи нагрузки. В этом случае общая передаточная функция пре-
образователя будет иметь вид
АС/р) W + 1	1	7
В зависимости (4.69)	(р) - изображение приращения напря-
жения на сопротивление нагрузки.
В случае нагружения тиристорного преобразователя электродвига-
телем для определения результирующей передаточной функции необхо-
димо записать уравнения движения образованной системы «тиристор-
ный преобразователь - двигатель». Схема системы показана на рис. 4.9.
Рис. 4.9
119
Для системы, представленной на рисунке, уравнения движения
имеют вид
№(р) = ЫДр) + LTnpAJ (р) + 7?тп М (р);	(4.70)
дад = Д£м(р) + LEpAI(p) + ReM(p)-	(4.71)
&Ем(р) = СЕФЩр).	(4.72)
В уравнениях (4.70) - (4.72) наряду с вышеприведенными обо-
значениями принято:	р)~ противо ЭДС электродвигателя;
At/(р) — приращение напряжения, приложенное к якорю электро-
двигателя: LE,Lm - эквивалентное значение индуктивности ТП и
индуктивности якорной цепи электродвигателя; R-^R^- эквива-
лентное выходное сопротивление тиристорного преобразователя и
сопротивление якорной цепи электродвигателя соответственно.
С учетом зависимостей (4.71). (4.72) выражение для (4.70) пере-
пишем в виде
ДЕ(р) = СЕФ«у(р) + (АЕ + Агп)рД/(р) + (РЕ + Лгп)Д/(р).	(4.73)
Введем дополнительные обозначения: (LE + Lrn) = L и
(Re + Лтп7 = R~ суммарная индуктивность и суммарное активное
сопротивление якорной цепи системы ТП-М. С учетом обозначения
(4.73) примет вид
ЬЕ(р) = СЕФ^(о(р) + LpAJ (р) + RM (р).	(4.74)
Если статический момент на валу электродвигателя постоянен
или в случае пуска двигателя на холостом ходу, связь между движу-
щим моментом и скоростью определяется уравнением
УрДщ(р) = СмФД/(р).	(4.75)
Из (4.75) найдем значение приращения тока М(р) и поставим его
в (4.74), получим
, Lp2JAa>(p) RpJAa(p)
АЕ( р ) = СЕФАа)( р ) +	с + СМФ	(4.76)
Связь между частотой вращения ротора электродвигателя и при-
ложенным к его якорной цепи напряжением определяется передаточ-
ной функцией двигателя по управляющему воздействию, откуда най-
дем значение частоты вращения ротора:
120
Ьа(р)=
ЫЛр)Км
тмтеР2+тмР+\'
(4-77)
Заменим в (4.76) значение &&(р) взятым из (4.77), получим
ЛЕ(р) = СЕФ-
TmW + ^ + 1 СмФ(ТмТЕр2+Тыр + \)
d лтт/ 1 v	(4.78)
, Rp^J(p)KM	7
СмФ(ТмТЕр2+Тмр + 1)'
Учитывая, что коэффициент передачи электродвигателя
к ——	JR -т L-T
^м	£ ф и вводя обозначения q q ф2	1 еъ, перепи-
шем (4.78) в виде
&Е(р)(ТмТЕр2 +ТмР + }) = ДЩр^Т^р2 + Т^р+1). (4.79)
Полученное выражение позволяет определить связь между ЭДС
преобразователя и напряжением, которое прикладывается к якорю
электродвигателя. Эта связь выражается передаточной функцией вида
w(p)=al’(p) = тмтер2+тмР+1
ДЕ(р} Т^Т^+Т^р + А 
(4.80)
Учитывая выражение передаточной функции преобразователя на
холостом ходу в виде зависимости (4.68) и передаточную функцию
связи в виде (4.80), общее выражение для передаточной функции ти-
ристорного преобразователя, нагруженного электродвигателем, за-
пишем в виде
W (ру- ^(Р1. = _^о____ТмТЕр2 + Тмр_±1
п7м{ диу(р) (Т^р + ^^Т^р2+TMiP + \)'	(4‘8,)
Структурная схема тиристорного преобразователя для рассмот-
ренного случая показана на рис. 4.10.
121
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 4
1.	Какой физический смысл постоянных времени 1 м и я в структур-
ной схеме электромотора постоянного тока с независимым возбуждением?
2.	Какой физический смысл понятий «регулирование частоты вращения
электромотора при постоянном моменте» или «регулирование частоты враще-
ния электромотора при постоянной мощности»?
3.	Каким типовым динамическим звеном представляется полностью
управляемый тиристорный преобразователь мощности? Какой физический
смысл постоянной времени Тсп ?
4.	Каким образом изменяется коэффициент передачи генератора постоян-
ного тока при его работе на активную нагрузку Кц 1
5.	Каким типовым динамическим звеном представляется асинхронный
электродвигатель при частотном управлении?
Глава 5. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
В разделе динамики движения систем автоматического управ-
ления рассматривается переход управляемого параметра из одного
установившегося состояния в другое. Существуют отрасли про-
мышленности, для которых этот режим является технологическим,
например процесс прокатки в металлургии. При формировании пере-
ходного процесса ставятся две принципиальные задачи: обеспечить
устойчивость движения САУ при выполнении предписанных движе-
ний; обеспечить переход из одного состояния равновесия в другое по
желаемой траектории, построенной по критериям, определяемым
требованиями управляемых процессов. В настоящей главе рассмат-
ривается первая из упомянутых задач
5.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
При переходе управляемой координаты САУ из одного устано-
вившегося положения в другое под действием управляющего сигнала
или под действием помехи следует помнить, что переходный процесс
содержит' две составляющие: Ус(1) — составляющая свободного дви-
жения системы, которая определяется начальными условиями и свой-
122
ствами самой системы; Уь (О - составляющая вынужденного движе-
ния, определяемая управляющим или возмущающим сигналами. Та-
ким образом, выходная (управляемая) координата может быть пред-
ставлена в виде
У^Ус+Уь	(5.1)
Чтобы САУ могла следовать предписанным законам управления
от сигнала задания или воспринимать и противодействовать прило-
женным эксплуатационным возмущениям, необходимо, чтобы сво-
бодная составляющая с течением времени стремилась к нулю, т.е.
Это условие обеспечивает устойчивую работу системы.
Основоположником теории устойчивого движения систем с конеч-
ным числом степеней свободы был российский ученый А.М. Ляпунов
(1857-1918). В 1892 г. А.М. Ляпунов закончил свое исследование «Об-
щая задача об устойчивости движения» и представил её к защите в ка-
честве диссертации. Защита состоялась в 1893 г. в Московском универ-
ситете, и А.М. Ляпунов стал доктором прикладной математики. В своей
работе он поставил задачу: указать те случаи, когда первое приближе-
ние (результат линеаризации) полностью решает вопрос об устойчиво-
сти или неустойчивости движения системы. В 1907 г. докторская дис-
сертация Ляпунова была переведена на французский язык, а в 1935 г. -
издана в США на английском языке. На исследовании А.М. Ляпунова
базируется вся мировая наука по устойчивости движения.
Согласно выводам А.М. Ляпунова система устойчива, если, бу-
дучи выведенной из состояния покоя (равновесного состояния) и
предоставленной сама себе (при отсутствии каких-либо воздействий),
она с течением времени вернётся в первоначальное (исходное) поло-
жение. Математически это условие запишем в виде	—* 0.
Здесь Дус - отклонение управляемой координаты от равновесно-
го состояния под действием кратковременного воздействия сигнала
управления, возмущающего воздействия или флуктуации внутренних
источников питания в системе.
Допустим, что свободная составляющая переходного процесса
описывается уравнением и-ного порядка с постоянными коэффициен-
тами. Естественно, что и отклонение Дус также описывается уравне-
нием того же порядка с теми же коэффициентами [5]. Представим
дифференциальное уравнение свободного движения системы в от-
клонениях от равновесного состояния в виде
123
d"byc d"~'by,
Лл---------F CL------—
0 dt” 1 dt"''
=0.
(5-2)
В (5.2) коэффициенты ,a„ образуются физическими па-
раметрами элементов САУ.
Напомним, что уравнение (5.2) является уравнением первого
приближения, полученным после процедуры линеаризации. Решение
(5.2) в общем виде представлено [16] выражением

(5.3)
В зависимости (5.3) введены обозначения: С, - постоянная ин-
тегрирования, - корни характеристического уравнения (5.2). Из
(5.3) следует, что для обеспечения устойчивости движения системы
необходимо, чтобы корни характеристического уравнения были от-
рицательными вещественными числами (“ °ч) или комплексными,
сопряжёнными с отрицательной действительной частью (~«±уД).
В этом случае свободная составляющая переходного процесса имеет
вид, показанный на рис. 5.1.
В случае, если корни характеристического уравнения свободного
движения системы имеют хотя бы один положительный вещественный
корень или пару сопряжённых комплексных с положительной вещест-
венной частью, переходные процессы будут расходящимися. Это пока-
зано на рис. 5.2, и движение такого вида называется неустойчивым.
124
На основании решений характеристического уравнения свобод-
ного движения системы А.М. Ляпунов сформулировал необходимые
и достаточные условия устойчивого движения.
1.	Если все корни характеристического уравнения линеаризован-
ной системы являются отрицательными действительными числами,
то реальная исходная система является устойчивой.
2.	Если среди корней характеристического уравнения линеаризо-
ванной системы имеется хотя бы один положительный действитель-
ный корень или среди сопряжённых комплексных корней имеется
один с положительной вещественной частью, то реальная исходная
система является неустойчивой.
3.	Если среди корней характеристического уравнения линеаризи-
рованной системы имеется хотя бы один нулевой корень или пара
чисто мнимых корней, то устойчивость движения такой системы не
может быть определена по её линеаризованному уравнению. В этом
случае определяющую роль играют малые постоянные второго и
высших порядков, отброшенные при линеаризации.
Из рассмотрения условий устойчивости следует, что САУ устой-
чива, если все корни линейного характеристического уравнения рас-
положены в левой полуплоскости корней.
Таким образом, задача определения устойчивости движения и оп-
ределение решения дифференциальных уравнений тесно связаны друг с
другом, однако решение уравнений выше 4-го порядков является слож-
ной задачей и решается численными методами. В свою очередь чис-
ленные методы, позволяя найти решение, ограничены в плане качест-
венного анализа полученного результата, т.е. анализа влияния парамет-
ров системы на её устойчивость, предсказания изменения параметров
для получения желаемого результата. В этой связи внимание исследо-
вателей было обращено на разработку таких правил (критериев), кото-
рые давали бы ответ на вопрос об устойчивости системы минуя проце-
дуру вычисления корней, а также позволяли бы выявлять влияние па-
раметров на устойчивост ь и обеспечение желаемого характера движе-
ния системы в переходном процессе. Рассмотрим некоторые критерии,
которые применяются наиболее часто при анализе и синтезе САУ.
5.2.	КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
Исследования словацкого профессора А. Стодолы (1859-1942) в
области управления движением паровых и гидравлических турбин
привели к анализу дифференциальных уравнений 6-го порядка. Он
125
обратился с просьбой к профессору Цюрихского политехникума [17]
А. Гурвицу найти общий метод исследования устойчивости линеари-
зованных уравнений движения. Гурвиц взялся за предложенное ис-
следование и в 1895 г. опубликовал результат в виде алгебраического
критерия устойчивости, который господствовал на протяжении более
чем 50 лет и применяется в настоящее время для исследования дви-
жения систем невысокого порядка (включительно до 5-го порядка).
Критерий устойчивости Гурвица позволяет судить об устойчиво-
сти замкнутой системы автоматического управления по коэффициен-
там характеристического уравнения движения замкнутой системы.
Рассмотрим основную идею вывода этого критерия для алгебраи-
ческого уравнения первого порядка вида
+	(5.4)
В уравнении (5.4) коэффициенты ао, а\ - положительные числа
и образованы физическими параметрами системы. Корень этого
а\
уравнения определяется как Р\ - и является действительным и
п0
отрицательным числом. Уравнение (5.4) описывает устойчивое дви-
жение системы. Рассмотрим уравнение второго порядка
аор2 + а,р + а2=0.	(5.5)
_-«)±Л/а2-4аоа2
Для этого уравнения корни Р\.г -	~	.
Корни будут действительными числами, если п2 - 4п0а2 > 0.
Они будут отрицательными, если а, > 0 и п0«2 > °  Только в этом
случае получаем ситуацию, когда > -Jo2 -4а0а2. Даже в случае,
если -Jo2 -4а0а2 <0, корни комплексные, сопряжённые с отрица-
тельной действительной частью. Из уравнения (5.5) следует, что для
того чтобы все корни были левыми, а следовательно, движение сис-
темы устойчиво, необходимо выполнить условие
а0 > 0, а, > 0, а2 > 0.
Рассмотрим уравнение третьего порядка. Примем, что все коэф-
фициенты уравнения - положительные числа. Это допущение спра-
126
ведливо в силу того, что коэффициенты уравнения базируются на фи-
зических параметрах звеньев системы. Уравнение запишем в виде
аор3 + ахр2 +а2р + а3 =0.	(5.6)
Найдём соотношения между коэффициентами уравнения, когда
корень лежит на комплексной оси, т.е. критический случай, когда
система находится на границе устойчивости. Для этого в уравнении
(5.6) заменим p=ja. получим
«оР3 + а\Р2 + агР + «3=0.	(5.7)
Выделим из уравнения (5.7) мнимую и вещественную части: .
Р(гу) = а3 - ах(о2; Q(a>) = а>(а2 - «0®2)-
Исходное уравнение (5.7) в этом случае можно записать в виде
Р(ю) = 0, £(щ) = 0.	(5.8)
В развёрнутом виде уравнения (5.8) примут вид
а3-аха2 =0, б)(а2-аоа)2) = О.	(5.9)
2 _
Из второго уравнения системы (5.9) получаем, что 60 Под-
«0
ставив это значение в первое уравнение системы (5.9), получим
«з _ «I ~ = 0 или «1«2 ~ «о«з = 0 - Это есть условие нахождения на
«о
границе устойчивости. Нарушение этого условия приводит к тому,
что система становится либо устойчивой, либо неустойчивой. Выве-
дем условие устойчивости. Допустим, что коэффициент «о ~ 0, тогда
уравнение (5.6) становится уравнением второго порядка, для устой-
чивости которого необходимо выполнить условия «1 >0, «2>0,
«з > 0, а следовательно, «I, «2 > 0. Будем считать, что значение ко-
эффициента отлично от нуля, но является малой величиной, поэтому
«о«3 > 0, но стремится к нулю. На основании теоремы о непрерыв-
ной зависимости корней алгебраического уравнения от его коэффи-
циентов (при малом изменении коэффициентов уравнения мало ме-
няется положение его корней) можно заключить, что корни уравне-
127
ния третьего порядка будут расположены в левой полуплоскости
корней, если
>0.	(5.10)
Условие (5.10) можно переписать в виде определителя:
а0 ^2
Исследуя решения уравнений более высоких порядков, А. Гурвиц
получил условия, которые необходимо выполнить, чтобы система
была устойчивой. Этот вывод был сформулирован им в виде крите-
рия устойчивости.
Если характеристическое уравнение замкнутой системы и-ного
порядка имеет вид
аор" + а} рп' + а2 р”'2 +... + а" = 0	(5.11)
и коэффициент а0 > 0, то система устойчива при условии, что опре-
делитель Гурвица (5.12) и его диагональные миноры больше нуля:
«1	«3	а, ...	... 0		
«0	а2	«4	0		
0 0	°, Ц>	«з ... «г -	...	0 ...	0	>0.	(5.12)
...	...		... 0		
0	0	0 ...	... O„_j		
Критерием Гурвица целесообразно анализировать устойчивость
САУ, для которых характеристическое уравнение имеет 5-й - 6-й по-
рядок. Для анализа уравнений более высокого порядка целесообразно
применять другие критерии устойчивости.
Рассмотрим возможности критерия на конкретном примере.
Дано: структурная схема САУ и выражения передаточных функ-
ций для каждого динамического звена.
Определить:
а)	значение коэффициента передачи звена с передаточной функ-
цией W2 (р) (постоянные времени для всех звеньев заданы), при ко-
тором замкнутая система будет устойчива;
128
б)	значение постоянной времени при заданных других постоянных
времени и коэффициенте передачи разомкнутой системы, когда замкну-
тая САУ будет устойчивой. Структурная схема САУ показана на рис.’5.3.
Рис. 5.3
Для случая я:
-w да	WM‘l-
По заданной схеме и передаточным функциям звеньев найдём
передаточную функцию САУ в замкнутом состоянии;
w, . =	^1(р)^г(р)^з(р)	=________100^2_______
КР) l + WSPW2(p)W3(p)Wec(p) O.OOlp’ +0,11р2+р+100К2'
Характеристическим уравнением движения замкнутой САУ явля-
ется знаменатель полученной выше передаточной функции, поэтому
критическое значение коэффициента к2, при котором система нахо-
дится на границе устойчивости, находится из условия
0,001/ + 0,11/ + р + 100Х2 = 0.
Составим определитель Гурвица и найдём предельное значение К2;
0001	1 2	=0, откуда Х2=1,1. Следовательно,
САУ устойчива при значении К2 < 1,1, или она устойчива при коэф-
фициенте передачи разомкнутой системы Кр = КхКгК3Кос <110.
Для случая б. Коэффициент передачи разомкнутой системы
Кр = 200. Постоянные времени для звеньев с передаточными функ-
циями Wx(p), W2(p), Woc(p) остались прежними, как и для случая а
Записывая, как и для первого случая, передаточную функцию замк-
нутой САУ и выписывая её знаменатель как характеристическое
уравнение при неизвестном значении , получим
129
0,1Т,р3 + (0,1 + 7[)р2 + 200 = О,
откуда критическое значение постоянной времени 7\ = 0,0052с. Сле-
довательно, замкнутая система будет устойчивой при значении
7] < 0,0052с.
Из рассмотрения примера можно сделать вывод, что критерий ус-
тойчивости Гурвица позволяет не только определить устойчивость
САУ, но и дать качественный анализ влияния на устойчивость пара-
метров системы и указать путь их изменения для обеспечения устой-
чивого движения системы.
5.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ А. В. МИХАЙЛОВА
Критерий был опубликован А.В. Михайловым в 1938 г. [12].
Критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы ав-
томатического управления по анализу характеристического уравне-
ния свободного движения замкнутой системы. Рассмотрим математи-
ческую основу критерия. Для этого найдём передаточную функцию
замкнутой САУ, знаменатель которой представляв! её характеристи-
ческое уравнение
аор” +aiP"~l +а2р"~2 +...+ап =0.	(5.13)
Необходимым при доказательстве критерия является допущение
о том, что коэффициент а0 при высшей степени рп должен быть равен
единице. Этого всегда можно добиться путём деления всех коэффи-
циентов уравнения (5.13) на коэффициент при рп. С учётом сделанно-
го замечания становится возможным представить характеристическое
уравнение (5.13) в виде произведения простых сомножителей:
(Д-А)(/’-А)-(Г’-Дп) = 0-	(5.14)
В (5.14) А’А,—«А корни характеристического уравнения
(5.13). При представлении (5.14) в частотной плоскости Р заменяем
на , т.е р — jo. и отображаем в виде вектора на комплексной
плоскости. Значения корней pt могут быть самыми разнообразными:
комплексными, сопряжёнными с положительной или отрицательной
вещественной частью, либо вещественными положительными или
отрицательными числами. Они также могут быть представлены в ви-
де векторов на комплексной плоскости. В этом случае каждый мно-
130
житель вида (Р ~ Pi) может быть представлен в виде вектора в той
же комплексной плоскости. Самое общее векторное представление
одного из сомножителей (р~Pt) уравнения (5.14) показано на рис.
5.4 в виде вектора АБ.
Принимая р — ja>, проследим за изменением положения векто-
ра АБ при изменении частоты от 0 до 00 и при всех возможных
ситуациях для корней Pi.
Если корень - действительное отрицательное число	то
вектор АБ при изменении частоты в указанных пределах повернется
на угол + —; если же корень - положительное число («/+1), то каждый
п
Рассмотренное поясняет рис. 5.5. Если корень характеристиче-
ского уравнения (5.13) - комплексный, сопряжённый с отрицательной
действительной частью (А = -а, ± ]<о,), то вектор разности
Я’
(р _ Р,) повернётся на угол +у + /; сопряжённый ему вектор лр по-
п
вернётся на угол . Описанная процедура поясняется графиче-
скими построениями на рис. 5.6.
Если корень характеристического уравнения (5.13) - комплекс-
ный, сопряжённый с положительной вещественной частью, то угол
(тг )
поворота вектора АБ составит ~1 у + а сопряженный вектор А^Б
повернётся на угол	Повороты вектора показаны на рис. 5.7.
131
Суммарный угол поворота всех векторов выражения (5.14) равен
сумме углов поворота каждого из векторов (р~Pi), т.е. аргумент
вектора (5.14) равен сумме аргументов его сомножителей. Найдём
этот угол при допущении, что характеристическое уравнение
(5.13) имеет и-ный порядок. Среди его корней т корней расположены
справа от мнимой оси, тогда в левой полуплоскости корней будет fi-
rn. Примем, что из т правых корней, к корней - вещественные и т-к -
комплексные сопряжённые. Из п-т левых корней примем, что з - ве-
щественные числа и (n-m)-s - комплексные сопряжённые. В этом
случае суммарный угол поворота всех векторов (аргумент вектора
5.14) определим согласно приведённым выше примерам:
Обозначая полином (5.13) от р через D(p), запишем изменение
его аргумента при вариации частоты от ® до ® в виде
AargZ>(jfi?) = («-2w)y.	(5.15)
Согласно определению устойчивости движения по Ляпунову сис-
тема устойчива, если все корни характеристического уравнения замк-
нутой системы - левые, т.е. при т = о. В этом случае изменение аргу-
мента должно бьггь
AargD(y®) = rty.	(5.16)
132
Согласно полученной зависимости (5.16) формулируется крите-
рий устойчивости А. Михайлова: САУ устойчива в замкнутом со-
стоянии, если при изменении © от 0 до со вектор совершит
_ Л .
поворот в положительном направлении на угол, равный ~п~, где
п - степень характеристического уравнения замкнутой системы. Этот
принцип построения критерия устойчивости получил название
«принцип аргумента».
Рассмотрим ещё раз уравнение (5.13), представим его в частотной
плоскости в виде, аналогичном амплитудно-фазочастотным характе-
ристикам, получим
=	-ап_гаг + а„_^ - ;	(5.17)
Q(“>) =	- an-fi>3 + a„_5to5 -... .	(5.18)
Выражения (5.17) и (5.18) представляют собой аналоги вещест-
венно-частотной и мнимочастотной характеристик соответственно.
При значении (о = 0 из упомянутых выше зависимостей получаем
Р{а>) = ап. С учётом рассмотренного критерий устойчивости Михай-
лова формулируется таким образом: система автоматического управ-
ления в замкнутом состоянии устойчива, если при изменении частоты
а> от 0 до вектор его характеристического уравнения , на-
чав движение из точки, лежащей на положительной вещественной
полуоси плоскости О(у7д), вращаясь против часовой стрелки, нигде
не обращается в нуль, обходит последовательно п квадрантов, где п -
степень характеристического уравнения замкнутой САУ.
Примерный вид кривых Михайлова для устойчивых САУ показан
на рис. 5.8, для неустойчивых - на рис. 5.9.
133
Из изложенного вытекает методика определения устойчивости
САУ критерием Михайлова.
1.	Найти передаточную функцию замкнутой САУ.
2.	Выделить из полученной передаточной функции по п. 1 харак-
теристическое уравнение движения.
3.	Заменить p = ja> и определить вещественную Р(р>) и мнимую
Q{co) составляющие.
4.	Задаваясь произвольными значениями от 0 до 00, найти
соответствующие им значения Р{ю) и Q(a>), построить кривую Ми-
хайлова в плоскости D{jco). По виду полученной кривой сделать вы-
вод об устойчивости САУ.
5.3.1.	СЛЕДСТВИЕ ИЗ КРИТЕРИЯ А.В. МИХАЙЛОВА
Анализ уравнений (5.17) и (5.18) показывает, что при графиче-
ском их представлении в частотной плоскости =
С(®) = /(«О они будут пересекаться с осью а>, эти точки пересечения
являются корнями уравнений (5.17) и (5.18) соответственно.
Кроме того, следует отметить, что для устойчивой системы Р{ю)
при О> = 0 имеет ординату ап, a Q(<o) = 0, и затем эти характеристи-
ки поочерёдно пересекают ось , т.е. осуществляется перемежае-
мость корней указанных выше уравнений. Примерный вид для устой-
чивой САУ при п - 8 показан на рис. 5.10.
P(&).Q(W
Рис. 5.10
Рассмотрим практический пример применения критерия устой-
чивости А. Михайлова.
Структурная схема приведена на рис. 5.11.
134
Рис. 5.11
25
Передаточные функции имеют значения (Р)= о^ТрП ’
2
РГ2(р) =-----------
р(0,1р + 1)
Найдём передаточную функцию замкнутой САУ:
w(Р) - ^(РШР) =__________50________
1 + ^,(р)^2(р)	0,001р3+0,11р2+р + 50
Из полученной передаточной функции выпишем характеристиче-
ское уравнение свободного движения замкнутой системы:
0,001р3 + 0,1 \рг + р + 50 = 0.
Заменим p=ja>, получим
0,001(у®)3 +0,11(у®)2 +(/<ы) + 50 = 0.
Из последнего уравнения выделим вещественную и мнимую части:
Р(й?) = 50 — 0,1 l<z>2; б(бу) = ®-0,001®3.
Зададим ряд значений и заполним табл. 5.1.
Таблица 5.1
G)	0	1	5	10	20	30	33	35	40
Р(0)	50	49,89	47,25	39	6	-49	-69,79	-84,75	-126
е<®)	0	0,999	4,875	9	12	3	-2,94	-7,875	-24
По данным табл.5.1 построена кривая А. Михайлова 1 (рис. 5.12).
Она начинается на вещественной оси при значении Р{со) = 50 и
последовательно проходит 3 квадранта, поэтому данная система в
замкнутом состоянии будет устойчива. Оставим неизменными значе-
ния постоянных времени в передаточных функциях САУ, а будем
увеличивать коэффициент передачи разомкнутой системы К = КУК2
от значения, равного 50. Увеличение К приводит к смещению кри-
вой 1 без изменения её формы; при значении К ~ 108 она занимает
положение кривой 2, которая проходит через начало координат.
135
Согласно критерию устойчивости Михайлова это положение со-
ответствует границе устойчивости, а значение коэффициента переда-
чи разомкнутой системы называется критическим. Именно поэтому
при построении кривой 1 (см. рис. 5.12) сразу становится известным
значение критического коэффициента разомкнутой САУ. В этом со-
стоит достоинство рассмотренного критерия. К числу недостатков
отнесём невозможность определить быстродействие в затухании ко-
лебательных процессов и величину их перерегулирования.
5.4. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Г. НАЙКВИСТА
Критерий устойчивости был разработан американским учёным Г.
Найквистом и был опубликован в 1932 г. Он позволяет судить об ус-
тойчивости замкнутой системы автоматического регулирования по
расположению амплитудно - фазочастотной характеристики Wp(ja>) ра-
зомкнутой САУ. Критерий позволяет использовать АФЧХ отдельных
звеньев или системы в целом, полученные экспериментальным путём.
Рассмотрим математические основы критерия устойчивости.
Проанализируем основные соотношения для одноконтурной САУ,
структурная схема которой приведена на рис. 5.13.
Рис. 5.13
136
Для представленной структурной схемы передаточная функция
САУ в разомкнутом состоянии (в точке А) имеет вид
(Р) = ~; •	(5.19)
А(р)	D(p)
В (5.19) К(р) и О(р) - в самом общем виде полиномы от Р;
£>(р) = 0 является характеристическим уравнением разомкнутой
системы. Примем, что порядок полинома D(p) равен п, и допустим,
что он выше или равен порядку полинома К{р).
Передаточная функция САУ в замкнутом состоянии имеет вид
w( , _ Y(P) = ^(рШрШр)
Х(р) 1 + И^(р)
Характеристическое уравнение свободного движения системы -
знаменатель выражения (5.20), и с учётом обозначений, введённых
выше, его можно записать в виде
(5.20)
1 + ИЭр)=1 += °(р) -	.	(5.21)
Р D(p) D(P)	v >
Из (5.21) характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид
D(p) + X(p) = 0.	(5.22)
Проанализируем выражение (5.21). Оно представляет собой деле-
ние характеристического уравнения замкнутой системы на характери-
стическое уравнение САУ в разомкнутом состоянии. Согласно опреде-
лению устойчивости по Ляпунову необходимо, чтобы корни характери-
стического уравнения САУ были бы отрицательными действительными
числами либо комплексными, сопряжёнными с отрицательной действи-
тельной частью. В этой связи рассмотрим следующие случаи.
1.	Система в разомкнутом состоянии устойчива. Это случай ана-
лиза устойчивости одноконтурной САУ, составленной из типовых
динамических звеньев. Следовательно, все корни полинома D(p)
лежат слева от мнимой оси. Для этого случая разложим выражение
1+^Р(р) на элементарные сомножители, получим
1+W(p)= D(P)tK(P) = (p-nXp-Pi^P-P").
P	D(p) (р-РпХр-Р22)Лр-Рт)' 1	}
137
В (5.23) обозначено:	и р}15р22->—Р„„ - корни числи-
теля и знаменателя соответственно. Следует отметить, что степень
числителя и знаменателя в (5.23) одна и равна и (поскольку допусти-
ли, что D(p) > К(р) и равен п).
Отобразим функцию (5.23) в частотную плоскость, для этого за-
меним р - jet):
1 +w (jo) =	~= I?............................
Р ип-рМа-р22)..Х]а~рт) .
ГМ»* 
I
Выражение (5.24) указывает на изменение амплитуды и фазового
сдвига для полиномов числителя и знаменателя. Проанализируем из-
менение аргумента числителя и знаменателя при изменении частоты
входного воздействия в пределах от 0 до оо (см. критерий устойчиво-
п
сти А. Михайлова). Аргумент изменится на , если все корни - ле-
вые. Вектор (5.24) может быть представлен как частное от деления
числителя на знаменатель, т.е. как частное от деления абсолютных
п	п
величин векторов	и Га аргумент определится разно-
I	I
п	п
стью аргументов числителя и знаменателя, т.е.	-^(М®) .
1	1
Поскольку мы допустили, что все корни D(p) - левые, то аргумент
п
знаменателя должен быть равен иу. Следовательно, и числитель
п
должен иметь значение «у, чтобы обеспечить положение корней
слева от мнимой оси, т.е. чтобы обеспечить устойчивость САУ в
замкнутом состоянии. Таким образом, для устойчивости системы в
замкнутом состоянии необходимо обеспечить изменение аргумента
вектора 1 +	равного нулю, при изменении частоты входного
воздействия на систему в пределах от 0 до оо:
Л arg[l + Wp (J со)] = 0.	(5.25)
Условие (5.25) означает геометрически, что начало координат век-
тора [1 + Wp(jct))] должно лежать вне кривой геометрического места
концов векторов [1 + ИИ, С/®)]. Этот вывод позволяет судить об устой-
чивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой системы. Оче-
138
видно, что условие (5.25) выполняется, если АФЧХ разомкнутой сис-
темы	не охватывает точку с координатами (— Ъу’О) (рис. 5.14).
На рис. 5.15 показана АФЧХ разомкнутой системы, которая охва-
тывает точку с координатами (-1; /0). Из рассмотрения изменения
аргумента функции 1 + 1Гр(/«) для этого случая следует, что требуе-
мое для устойчивости значение Aarg[l + lF/,(yry)J=O получить невоз-
можно, следовательно, такое положение fTp(jo) соответствует неус-
тойчивому состоянию системы в замкнутом положении.
На основании исследования устойчивости для одноконтурных
САУ можно сформулировать критерий устойчивости в следующем
виде. САУ в замкнутом состоянии устойчива, если АФЧХ разомкну-
той системы, построенная в частотной плоскости, не охватывает точ-
ку с координатами (-1;у0) (см. рис. 5.14). Если АФЧХ охватывает
отмеченную точку, то САУ в замкнутом состоянии неустойчива (см.
рис. 5.15). Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через отме-
ченную точку, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим пример применения критерия устойчивости. На рис.
5.16 приведена структурная схема САУ. Передаточные функции ди-
намических звеньев имеют значения
25	4
W(P) =----------- W2(p) =---------------- 1Е.(р) = 0,5.
"	0,01р + Г 2	(0,1р + 1)(р + 1)’
Рис. 5.16
139
По заданной структурной схеме определяем передаточную функ-
цию САУ в разомкнутом состоянии:
wi р) = w. (p)w, (р)и'.(р) =-----52---------.
" ' дну диу зкиу (0,01р + 1Х0,1р+1)(р+1)
По полученной передаточной функции находим выражение для
АФЧХ в разомкнутом состоянии. Для этого заменим в передаточной
функции Р — }<£>, получим
р (O,Oljto+l)(O,ljto + l)(jto + l)
_______________50_____________
~ - j0,00 to3 - 0,11to2 + Д1 to +1 ‘
Полученное выражение для АФЧХ преобразуем и представим его
в виде двух составляющих - вещественно-частотной характеристики
Р(й>) и мнимочастотной характеристики Q(&):
г __________________50_____________= 50[(1 - 0,1Ito2)- J(1,I to - 0,00 to3)] =
p(j№) (1—0,11 to2)+- ./(1,1 to-0,00 to3)	(1-0,1 Ito2)2+(1,1 to-0,OOto3)2
50(1-0,1 Ito2)_______(1,1 to-0,00 to3)
“ (1 - 0,11 to2)2 + (1,1 to - 0,00 to3)2 J (1 - 0,11 to2)2 + (1,1 to - 0,00 to3)2 ’
Здесь
P((o} =________500-OJJto^__________________.
(1-0,11 to2)2 +(1,1 to-0,00to3)2
.	50(1,1 to-0,00 to3)
Oto) =---------z—-------------——7-7.
(1 - 0,11 to2 )2 + (1,1 to - 0,00 to3 )2
Задаваясь рядом значений частоты входного воздействия, най-
дём соответствующие им значения Р(<ш) и Q(<o). Результаты вычисле-
ний сведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
о	0	1	5	10	20	30	40	О0
Р(«>)	50	22,225	-2,72	-2,475	-1,13	-0,5	-0,28	0
£?(»)	0	-26,98	-8,32	-2,475	-0,35	3	0,03	0
По данным таблицы на рис. 5.17 построена АФЧХ (кривая 1) ра-
зомкнутой системы.
140
АФЧХ не охватываег точку с координатами (~l,jta), следова-
тельно, корни характеристического уравнения свободного движения
замкнутой системы расположены в левой полуплоскости корней и
САУ в замкнутом состоянии будет устойчивой.
Рассмотрим эту же схему САУ, с теми же передаточными функ-
циями, теми же постоянными времени, но увеличим коэффициент пе-
редачи разомкнутой системы до 200 (произведение коэффициентов
звеньев САУ). Результаты расчёта -Р(®) и Q(co) для ряда значений со
сведены в табл. 5.3. По данным таблицы на рис. 5.17 построена АФЧХ
(кривая 2) разомкнутой системы. Эта характеристика охватывает точку
с координатой (-1, jco), поэтому замкнутая САУ неустойчива.
Таблица 5.3
G)	0	1	5	10	20	30	40	00
	200	88,9	-10,8	-9,9	-4,52	-2	1,02	0
ео»)	0	-107,5	-32,28	-9,9	-1,4	-0,13	0,126	0
Приведенные расчеты и построения свидетельствуют о больших
возможностях критерия в оценке устойчивости САУ. Ниже будет пока-
зано, что критерий даёт возможность оценить запасы устойчивости и ка-
чество переходного процесса. Однако очевидно и то, что для получения
результатов нужно выполнить большую подготовительную работу, и в
этом состоит недостаток критерия в рассмотренном его представлении.
Рассмотрим физическую сущность критерия. Согласно определе-
нию АФЧХ она показывает изменение амплитуды А(а) и фазового
сдвига ^(«Ч выходного сигнала звена относительно входного в ре-
жиме синусоидальных колебаний при изменении частоты со выход-
141
I!
ного сигнала от 0 до °о. Если выходная величина по отношению к
входной имеет усиление, равное 1, и фазовый сдвиг, равный -180% ,
то это физически означает, что сигнал обратной связи совпадает по
фазе с входным, амплитуда имеег усиление, равное 1, поэтому в сис-
теме устанавливаются незатухающие периодические колебания (ав-
токолебания). Это соответствует случаю, когда АФЧХ разомкнутой
системы проходит через точку с координатами (~l,je>). Если АФЧХ
не охватывает указанную точку, то это говорит о том, что усиление
амплитуды выходного сигнала по отношению к входному меньше 1,
и при повторном прохождении через систему он в ещё большей сте-
пени ослабнет и с течением времени ослабнет до нуля. Это соответ-
ствует устойчивости САУ. Наконец, если АФЧХ охватывает точку с
координатами (-1,/й>), то сигнал выхода увеличивается при каждом
новом его прохождении через звено обратной связи, т.е. амплитуда
выходного сигнала стремится с течением времени к <». Это соответ-
ствует неустойчивому состоянию замкнутой системы.
2.	Критерий устойчивости Г. Найквиста применим для астатиче-
ских САУ. Рассмотрим передаточную функцию разомкнутой астатиче-
ской САУ, состоящей из интегрирующего и апериодического звеньев:
^₽(р) =
К
р(Тр + \)
В статическом режиме при р->0 коэффициент передачи сис-
темы К —> оо. Найдём АФЧХ этой системы, для чего заменим
р — j(O, получим
. КТ . К
” rV + l J (о(То2 +1)
При изменении О от 0 до со убеждаемся в том, что АФЧХ не пе-
ресекается с осью Р(<у) при to = 0, а стремится к бесконечной величи-
не. Чтобы пользоваться критерием устойчивости, нужно кривую АФЧХ
дополнить частью окружности бесконечного радиуса и убедиться в
том, что образованная таким образом эквивалентная АФЧХ разомкну-
той САУ не охватывает точку с координатами (~1,у0). В этом случае
замкнутая САУ устойчива. Если она охватывает отмеченную точку, то
замкнутая САУ неустойчива; если проходит через точку (-1. /0) - на-
ходится на границе устойчивости. Рассмотрим применение критерия к
астатической САУ. Структурная схема системы показана на рис. 5.16,
передаточные функции звеньев имеют вид
142
По данным табл. 5.4 построим АФЧХ разомкнутой САУ (рис. 5.18).
Таблица 5.4
CD	0	1	10	20	30	50	00
Р((0)	-4,4	-4,34	-2,08	-0,8	-0,40	-0,15	0
Q{a>)	-со	-39,17	-1,69	-0,22	-0,101	0,04	. 0
При рассмотрении полученной кривой становится очевидным,
что САУ в замкнутом состоянии устойчива.
3.	Критерий устойчивости остаётся действенным и в случае, ко-
гда уравнение разомкнутой системы имеет один или несколько кор-
ней в правой полуплоскости корней. Этот случай характерен для
многоконтурных систем, когда внутренний контур неустойчив, а сле-
довательно, имеет корни в правой полуплоскости. Структурная схе-
ма, например двухконтурной САУ, приведена на рис. 5.19.
Рис. 5.19
При исследовании устойчивости САУ её размыкают в точке А
(по основному параметру управления). В этом случае внутренний
замкнутый контур может иметь правые корни. Введём необходимые
143
и достаточные условия для обеспечения устойчивости замкнутой
САУ по управляемому параметру.
Допустим, что характеристическое уравнение разомкнутой в точ-
ке А системы имеет г Корней справа от мнимой оси и п - г - слева. В
этом случае суммарный угол поворота вектора ^ + WpU<°) для устой-
чивой замкнутой САУ должен быть
A arg х[1 + Wp (70)] = лп- 7г(п - г) + яг = 2яг.	(5.26)
Выражение (5.26) позволяет сформулировать критерий для случая
присутствия правых корней в уравнении движения разомкнутой системы.
Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет г
корней справа, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии
необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при
изменении частоты а> от 0 до °° имела фазовый сдвиг 2лг. САУ ус-
тойчива, если АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку с коор-
динатами (-1,j0) г раз или число положительных и отрицательных
переходов должно быть равно 0.
Пример расположения АФЧХ разомкнутой системы, имеющей
один положительный корень, обеспечивающий устойчивость систе-
мы в замкнутом состоянии, приведён на рис. 5.20.
5.5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Логарифмический критерий устойчивости успешно применяется в
исследовании устойчивости замкнутых систем с 1946 г. Видная роль в
пропаганде этого критерия принадлежит проф. В.В. Солодовникову [6].
144
Прежде чем формулировать критерий, рассмотрим правила по-
строения логарифмических амплитудно-частотных (ЛАЧХ) и лога-
рифмических фазочастотных (ЛФЧХ) характеристик разомкнутой
системы. Допустим, что передаточная функция разомкнутой системы
автоматического управления имеет вид
MZiP+l)
ГДР) = ^2(P)W..=	(5.27)
Заменяя в (5.27) р = ja, получим выражение для АФЧХ ра-
зомкнутой системы:
KJTJa+l)
(5.28)
В (5.28) обозначено: Кр - коэффициент передачи разомкнутой
САУ; 7J,7’2,7’3... - постоянные времени динамических звеньев САУ. По-
сле процедуры логарифмирования (5.28) его можно переписать в виде
Lp(со) = Lt(<у) + L2(о) + L3 (<у) +... ;
<РР(а>) = cpt (со) + <р2 (со) + <р3 (со) +...	(5.29)
Зависимость (5.29) показывает, что ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой
системы могут быть получены суммированием составляющих харак-
теристик отдельных звеньев. Анализ выражения для АФЧХ разомк-
нутой системы (5.28) показывает, что процедура построения ЛАФЧХ
может быть реализована без построения составляющих, непосредст-
венно по виду передаточной функции (5.27). Для этого необходимо
выполнить следующие действия.
I.	Строим логарифмическую систему координат. Вычисляем зна-
чение 201gX/?[<-)6] и отмечаем полученное значение на оси координат L.
2.	По выражению передаточной функции разомкнутой САУ на-
ходим значения сопрягающих частот для отдельных звеньев по зави-
симости • =—, где - постоянные времени упомянутых выше
звеньев. Полученные значения частот сопряжения переводят в дека-
ды по формуле б>, [дек]= Igfi?, и откладывают по оси абсцисс о[дек].
3.	Через точку 20lgX/; проводят низкочастотную асимптоту с
наклоном 20у[дб/дек]. Коэффициент V характеризует астатизм сис-
145
темы и равен 0 для статических САУ; v = 1 для САУ с астатизмом
первого порядка; v = 2 для САУ с астатизмом второго порядка и т.д.
Низкочастотная асимптота проводится до пересечения с вертикалью,
проходящей через первую сопрягающую частоту и определенной
большей постоянной времени входящих в САУ звеньев.
4.	В точках, соответствующих пересечению ЛАЧХ с вертикалями,
проходящими через частоты сопряжения происходит изменение
наклона характеристики на + 20[<)б/дек], если эта частота сопряжения
определяется постоянной времени дифференцирующего звена первого
порядка (Г, находится в числителе (5.27)). Наклон изменяется на
+ 4фб/дек], если частота сопряжения определяется постоянной време-
ни дифференцирующего звена второго порядка, и т.д. Наклон изменит-
ся на -20[дб/дек], если частота сопряжения определяется постоянной
времени апериодического звена, или -40[дб/дек], если она определяет-
ся постоянной времени колебательного звена при коэффициенте демп-
фирования 0,38 < С <0,707 (если коэффициент демпфирования выходит
за указанные пределы, то нужно вводить поправки [6, 12]).
5.	ЛФЧХ каждого звена строится отдельно. Суммарная характе-
ристика получается простым суммированием графиков отдельных
звеньев. Проиллюстрируем методику на конкретном примере. Пере-
даточная функция разомкнутой системы имеет вид
^р(р)=	224(1,2^1) 
р	р(0,5р + 1)(0,08р + 1)
1.	201g 224 = 47[d6j
2.	= lgy'— = lg0,83 = 0,08[дек]; аг - lg~ - lg2 - 0,з[дек];
®з =	= lg!2,5 = 1,1M.
3.	v = l.
Низкочастотная асимптота имеет наклон -20[дб/дек] до пересе-
чения с вертикалью, проходящей через частоту сопряжения 0,08[дек],
которая определилась постоянной времени числителя передаточной
функции (дифференцирующее звено первого порядка).
4.	После точки пересечения с упомянутой вертикалью наклон ЛАЧХ
должен быть изменен на +20[дб/дек], и, следовательно, результирую-
146
щий наклон продолжающейся ЛАЧХ будет равен 0. Этот наклон сохра-
нится до пересечения с очередной вертикалью, проходящей через точку,
соответствующую частоте сопряжения, равной 0,3[дек]. Указанная час-
тота определилась постоянной времени апериодического звена, а поэто-
му в этой точке наклон ЛАЧХ должен быть изменен на -20[дб/дек].
Продолжение ЛАЧХ после указанной частоты будет -20[дб/дек]. Этот
наклон сохранится до пересечения со следующей частотой сопряжения,
которая равна 1,1[дек] и определилась постоянной времени второго апе-
риодического звена. После этого результирующий наклон ЛАЧХ стано-
вится равным -40[дб/дек] и остается при продолжении ЛАЧХ в облас-
ти значений частот, стремящихся к бесконечности.
5.	Строим ЛФЧХ для каждого типового звена и путем графиче-
ского или табличного их суммирования находим результирующую
ЛФЧХ. Процедура построения характеристик показана на рис. 5.21.
На рисунке обозначено: <р{ - ЛФЧХ дифференцирующего звена
первого порядка; ф? - ЛФЧХ интегрирующего звена; - ЛФЧХ
первого и второго апериодических звеньев соответственно.
Перейдем непосредственно к рассмотрению логарифмического
критерия устойчивости. Критерий позволяет судить об устойчиво-
сти замкнутой САУ по виду ЛАФЧХ разомкнутой системы. Доказа-
тельство необходимых и достаточных условий прохождения
ЛАФЧХ разомкнутой САУ для обеспечения устойчивого состояния
147
системы в замкнутом состоянии будем проводить на основе сравне-
ния АФЧХ разомкнутой САУ в комплексной плоскости и выполне-
ния условий критерия Г. Найквиста с их представлением в лога-
рифмической системе координат.
Как было показано выше, ЛАФЧХ разомкнутой САУ представля-
ет АФЧХ Г. Найквиста в виде двух характеристик: ЛАЧХ ломаных
линий с определенными наклонами, в зависимости от вида типовых
звеньев, входящих в структуру систем, и ЛФЧХ - суммы фазочастот-
ных характеристик входящих в САУ звеньев. Для устойчивости САУ
в замкнутом состоянии необходимо, чтобы АФЧХ разомкнутой САУ,
проведенной в комплексной плоскости, не охватывала бы точку с ко-
ординатами (-1J0), т.е. для устойчивости замкнутой САУ необхо-
димо, чтобы при усилении, равном 1, фазовый сдвиг сигнала на вы-
ходе системы не превышал - 180°. Проведем в комплексной плоско-
сти окружность единичного радиуса и проведем АФЧХ для устойчи-
вой САУ. Точке пересечения АФЧХ с единичной окружностью соот-
ветствует фазовый сдвиг Фр(а>) < -180”|. Перенесем эту АФЧХ и ок-
ружность единичного радиуса в логарифмическую систему координат.
Поскольку модуль единичной окружности равен 1, то ^Olgl = о[дек], т е
в логарифмической системе координат окружность разворачивается в
прямую линию, совпадающую с осью абсцисс ® . АФЧХ в логарифми-
ческой системе координат распадается на две характеристики - ЛАЧХ
и ЛФЧХ. Условие устойчивости Г. Найквиста формулируется в сле-
дующем виде: САУ в замкнутом состоянии устойчива, если точке пере-
сечения ЛАЧХ разомкнутой системы с осью частот ® соответствует
фазовый сдвиг меньше чем -180°, отмеченный на ЛФЧХ разомкнутой
системы. Условия устойчивости иллюстрируются на рис. 5.22.
На рис. 5.22, а показано положение АФЧХ разомкнутой САУ для
устойчивой системы, а на рис. 5.22, б представлена эта же характери-
стика, но в логарифмической системе координат в виде ЛАФЧХ. На
рисунке обозначен запас устойчивости по амплитуде дл и по фазе д^.
Эти величины характеризуют степень удаления движения системы от
границы устойчивости. Деформируя ЛАФЧХ, можно менять эти ве-
личины и, следовательно, формировать желаемый, по тому или иному
критерию, переходный процесс управляемой координаты. На этом же
рисунке отмечена частота сос, которая называется частотой среза и ог-
раничивает полосу частот пропускания для входных воздействий на
систему. Характер переходного процесса для управляемой координа-
ты устойчивой САУ показан на рис. 5.22, в.
148
На рис. 5.23, а и б представлено критическое положение АФЧХ и
ЛАФЧХ соответственно. Характеристики проходят точно через точку
с координатами	и, следовательно, САУ в замкнутом состоя-
нии находится на границе устойчивости. Упомянутые выше запасы
устойчивости отсутствуют (равны нулю). Из рассмотрения положе-
ния указанных характеристик следует, что возникшее колебание бу-
дет существовать без изменения амплитуды. Характер переходного
процесса для этого случая показан на рис. 5.23, в.
На рис. 5.24, а и б показаны АФЧХ и ЛАФЧХ разомкнутой сис-
темы, которые не удовлетворяют условиям устойчивости, и САУ в
замкнутом состоянии неустойчива. Характер переходного процесса
для выходной величины САУ показан на рис. 5.24, в.
Рис. 5.24
149
В заключение приведем конкретный пример определения устой-
чивости логарифмическим критерием. Схема САУ приведена на рис.
5.16, там же даны значения передаточных функций для всех динами-
ческих звеньев. Передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид
W
1.	201gK„ = 20)g50 » 20-1,7 = 34[дб].
2.	= Jr =	=10; IglO = 1[дек];
IglOO ~2[дек].
3.	v = 1 (одно интегрирующее звено).
По полученным данным и правилам построения ЛАФЧХ разомк-
нутых САУ на рис. 5.25 построены ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой сис-
темы. Точке пересечения ЛАЧХ с осью частот со соответствует зна-
чение (со) < |-180°|
Из рассмотрения построенных характеристик следует вывод, что
замкнутая САУ устойчива и обладает определенными запасами по моду-
лю и по фазе. Они отмечены на рисунке как АЛ и А^ соответственно.
о = —= —= 100с-’;
2 Т2 0,01
150
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 5
1.	Какой физический смысл понятия «устойчивость движения замкну-
той САУ»?
2.	Какова цель разработки и введения критериев устойчивости САУ?
3.	Физический смысл и методика алгебраического критерия устойчивости
Гурвица.
4.	Физический смысл и методика частотного критерия устойчивости
Найквиста.
5.	Правила построения ЛАЧХ.
6.	Правила построения ЛФЧХ.
7.	Какое преимущество имеет логарифмический критерий устойчивости
по отношению к критерию устойчивости Найквиста?
Глава 6. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
В ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Корректирующие устройства вводятся в структурную схему
С А У для обеспечения устойчивости ее работы и заданных показате-
лей качества в формировании переходного процесса. Корректирую-
щие цепи, как правило, разрешают компромисс между высокой ста-
тической точностью системы, что возможно при большом значе-
нии коэффициента передачи ее в разомкнутом состоянии (см. гл. 2),
и устойчивостью, а также качеством переходного процесса (см. гл.
5). Синтез корректирующих устройств будет рассмотрен с исполь-
зованием логарифмических амплитудно-фазочастотных характери-
стик (ЛАФЧХ) системы как наиболее простых при построении и на-
глядных при анализе явлений, имеющих место в САУ.
6.1. ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
АМПЛИТУДНО-ФАЗОЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В теории автоматического управления для оценки переходного
процесса выходной (управляемой) координаты используют прямые и
косвенные показатели качества. Прямые показатели качества непо-
средственно вычисляются из кривой переходного процесса. К ним
относятся следующие.
1.	Время переходного процесса 1р. Это время, за которое переход-
ный процесс входит в зону ±5% от установившегося значения выход-
ной (управляемой) координаты и больше из нее не выходит.
151
2.	Перерегулирование <т% определяет максимальное отклонение
управляемой координаты от ее установившегося значения и опреде-
ляется по зависимости
а% в	-M°ioo%
У „Л.')
(6.1)
3.	Статическая точность системы £% определяет ошибку системы
между заданным значением выходной координаты и ее фактическим
установившемся значением:
У-У^Ю
У
4.	Время достижения первого максимального значения управляе-
мой координаты Атах •
5.	Частота колебаний « = ^~- для колебательного затухающего
переходного процесса.
6.	Показатель колебаний М отношение модуля АФЧХ замкнутой
САУ на резонансной частоте к его значению при частоте, равной нулю:
М =
1У(0) •
(6.3)
Косвенные оценки определяют граничные точки, через которые
проходит процесс, но не дают возможности его воспроизведения.
Применяются при предварительной оценке качества САУ перед про-
цедурой точного построения переходного процесса. Наиболее упот-
ребительными являются следующие.
I. Метод оценки качества переходного процесса по расположе-
нию корней характеристического уравнения замкнутой САУ в ком-
плексной плоскости корней. Если ставится задача, что выходная ве-
личина y(t) за время Ч должна быть в т раз меньше своего устано-
вившегося значения, то тем самым определяется граница от мнимой
оси до ближайшего корня характеристического уравнения. Это рас-
стояние вычисляется из условия
=	(6.4)
>=1
В выражении (6.4) обозначено: y(t) - выходная координата САУ; а,
- постоянные интегрирования при решении характеристического урав-
нения замкнутой САУ порядка п; А, - корни упомянутого уравнения.
152
Заменяя в (6.4) значение выходной величины требуемым значе-
у
нием а = —, запишем условие определения расстояния до ближайше-
го корня в виде а = е р>'.
Прологарифмируем последнее выражение и найдем, что расстоя-
Ina
ние равно р -——
•1
2. Колебательность системы cosp = A. Значение к можно опре-
делить из соотношения	. По заданному значению к
«У1тпх (О-УусЛО
определяется угол <р в плоскости корней, в котором должны
находиться все корни характеристического уравнения.
Рассмотренные прямые показатели качества переходного процес-
са представлены на рис. 6.1, а косвенные - на рис. 6.2.
Рис. 6.2
Рис. 6.1
Синтез корректирующих звеньев начинается после того, как был
закончен статический расчет системы, в результате которого была
выбрана и обоснована структурная схема САУ, обеспечивающая стати-
ческую ошибку системы %. Эта структурная схема, состоящая из ди-
намических звеньев и выполняющая свое функциональное назначе-
ние, имеет соответствующую ЛАФЧХ разомкнутой САУ, которую на-
зывают исходной нескорректированной и обозначают Lp _ для
ЛАЧХ и (рр- для ЛФЧХ. В современных САУ, которыми оснащено
технологическое оборудование в промышленности и которые обеспе-
чивают высокую точность изготовления продукции и производитель-
ность оборудования, имеют большие значения коэффициента переда-
чи разомкнутой САУ, что приводит к потере устойчивости исходной
153
системы или невыполнению требований по динамическим показате-
лям качества переходного процесса управляемой координаты. Вот по-
чему для синтеза корректирующих устройств (корректирующие уст-
ройства рациональной структуры), обеспечивающих заданные показа-
тели качества переходному процессу выходной величины, необходимо
построить желаемую ЛАФЧХ, которую обозначают для ЛАЧХ и
(ррж — для ЛФЧХ. В дальнейшем будем в основном оперировать ЛАЧХ
как для нескорректированной, так и желаемой систем, поскольку рас-
сматриваются минимально-фазовые структуры, т.е. структуры, в ко-
торых существует взаимно однозначная зависимость между амплитуд-
но-частотной и фазо-частотной характеристиками. Желаемую ЛАЧХ
строят в трех частотных областях: в области низких частот, чтобы
удовлетворить статической точностью системы; в области средних
частот, чтобы получить желаемые динамические показатели качества
процесса, и в области высоких частот, чтобы согласовать желаемую и
нескорректированную характеристики при наиболее простой струк-
туре корректирующего устройства. Синтез желаемой ЛАЧХ начина-
ют со среднечастотной области. Частота среза желаемой ЛАЧХ опре-
деляется по зависимости
Ьтг
(6.5)
Р
В (6.5) обозначено: tp - время переходного процесса управляе-
мой координаты; b - коэффициент, связанный с перерегулированием
о. Эта связь показана в работе [18] и табл. 6.1.
Таблица 6.1
<5%	15	20	25	30
b	1,7	2,2	3,0	4,0
Через рассчитанную по 16.5) и отмеченную на оси частот точку
сасж проводим среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ с накло-
ном ~20[дб/дек]. Среднечастотную асимптоту ограничивают со сто-
роны низких частот значением частоты	Здесь о,- значение
частоты, ограничивающей среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ
154
со стороны области высоких частот, = (2-4)й>слс. Выполнение этих
условий обеспечивает ширину среднечастотного участка желаемой
ЛАЧХ в пределах (0,9 - 1,1)дек в логарифмической системе коорди-
нат и гарантирует устойчивость и требуемое качество переходного
процесса. Процесс построения желаемой ЛАФЧХ показан на рис. 6.3.
Среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ должен быть сопряжен
с низкочастотным участком нескорректированной системы (Lp). Со-
пряжение осуществляется прямой с наклоном -20[дб/дек] (продолже-
ние среднечастотного участка), если это не вызывает технических
трудностей при реализации излома в характеристике в области низких
1
частот - — (характеристика отмечена на рисунке номером 1). При
А
рассмотрении этой характеристики становится очевидным, что посто-
янная времени Тл, которую потребуется формировать, может быть зна-
чительно больше одной секунды, что может вызвать технические труд-
ности при реализации. В этом случае применяют наклон -40[дб/дек]
(характеристика отмечена на рисунке номером 2). Для этих случаев
ЛФЧХ обозначены также номерами 1 и 2 соответственно. Из рассмот-
рения ЛАФЧХ следует, что запасы устойчивости по фазе и по модулю
для характеристики 1 несколько больше, чем для характеристики 2. Это
говорит о том, что представленные характеристики обеспечивают ус-
тойчивость системы, но характеристика 2 будет обеспечивать большее
быстродействие системе по сравнению с характеристикой 1, хотя-соз-
давать излом с наклоном -40[дб/дек] значительно труднее, чем с на-
клоном -20[дб/дек]. В отдельных случаях (как исключения) возможно
выполнять сопряжение с наклоном -60[дб/дек]. Такой наклон низко-
частотного участка желаемой характеристики способствует получени-
ию процесса с повышенной колебательностью. Это видно из ЛФЧХ,
которая огибает критическую точку (характеристика 3 на рис. 6.3) и
может иметь малые запасы по модулю и по фазе.
Высокочастотную часть ЛАЧХ принимают такой же, как в не-
скорректированной системе (продолжают среднечастотный участок
асимптотами, параллельными ЛАЧХ нескорректированной системы).
Это обеспечивает простоту синтезируемого корректирующего уст-
ройства при незначительном снижении запасов устойчивости.
155
Проиллюстрируем процедуру построения желаемой ЛАФЧХ для
САУ, структурная схема которой показана на рис. 6.4.
Находим выражение для передаточной функции разомкнутой САУ как
произведение всех передаточных функций, входящих в систему звеньев:
W (р) =-----------—------------
р	(0,01р + 1)(0,062р + 1)(р + 1) ’
Найдем основные величины, необходимые для построения
ЛАФЧХ нескорректированной разомкнутой системы и выполнения ее
построения согласно правилам, приведенным выше (см. гл. 5):
201g К р = 201g 150 = 43,5[дб];
«у( =| = l, Ig^ =lgl = 0,	=lgl6 = l,2[<feK];
®з = ~ =100, lg®3 = lgl°0 = 2[<te*l •
Рис. 6.4
156
Построения показаны на рис. 6.5.
Из рассмотрения ЛАФЧХ нескорректированной разомкнутой
системы делаем вывод о ее неустойчивости. По заданным показате-
лям качества tp = 1с и <т = 15% строим желаемую ЛАФЧХ. Для это-
го находим желаемую частоту сопряжения
1,7тГ с л
“ 5,4 ’
1g 5.4 яв 0,72[дек]. Через полученную точку проводим прямую с накло-
ном - 20[дб / <)ек] и ограничиваем среднечастотный участок желаемой
ЛАЧХ значениями частот:
а>в = ЗбУсж = 3 • 5,4 = 16,2с 1; lg 16,2 ® 1,2[дек];
2	»2
Ч, = “ = 727 = I’8c'1; te !>8 « 0,25[дек].
16,2
Сопряжение среднечастотной желаемой ЛАЧХ с ЛАЧХ нескор-
ректированной САУ осуществлено прямой с наклоном - 40[г)б/дек].
В области высоких частот желаемая ЛАЧХ идет параллельно
ЛАЧХ нескорректированной системы. Для желаемой ЛАЧХ построена
соответствующая ЛФЧХ. Из рассмотрения желаемой ЛАФЧХ делаем
вывод об устойчивости замкнутой САУ- Кроме того, видим, что САУ
имеет запасы устойчивости по фазе и по модулю. Значения запасов ус-
тойчивости показаны на рис. 6.5, и там же дано их определение.
157
6.2. СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО
ЗВЕНА РАЦИОНАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
Корректирующее звено, включенное последовательно в струк-
турную схему САУ, называется последовательным и обозначается
^кз(р)- В целях снижения потребляемой мощности устройства его
включают непосредственно после узла сравнения (рис. 6.6).
На рис. 6.6, наряду с уже обозначенным корректирующим звеном,
принято:	(р) - передаточная функция всех динамических звеньев
САУ, расположенных в ее прямой цепи; (/?) - то же для звеньев в
цепи обратной связи. Включение корректирующего звена обеспечивает
заданные статические и динамические показатели качества, т.е. позво-
ляет получить желаемую передаточную функцию САУ в разомкнутом
состоянии ^рж(р). Это можно записать в виде зависимости
wpM = ^(pW(pWM.	(6.6)
Рис. 6.6
Синтез корректирующего звена будем проводить с использовани-
ем логарифмических амплитудно-фазочастотных характеристик
Прологарифмируем выражение (6.6) и получим
201^^0)1 = 201g|^„(y«)| + 201g|^(j®)|.	(6.7)
В (6.7) обозначено:	= И'О'йОИ'^С/Ту) - АФЧХ нескорректи-
рованной системы в разомкнутом состоянии.
Из (6.7) получаем зависимость для нахождения ЛАФЧХ коррек-
тирующего звена:
201g|^(»| = 201g|^.(j®)|-201g|^(7<O)|;
vKAv) = <pPAv)-<pp(a).
158
Введем обозначения: 201g|FK„ (у<»)| =
201g|Hzp(yt»)| = Lp. С учетом введенных обозначений последнее урав-
нение запишем в виде
Да = ^рж ~	(6-8)
<РК, = <Ррж~Фр.	(6-9)
На основании полученных зависимостей (6.8) и (6.9) формулиру-
ется методика синтеза корректирующего последовательного звена.
1.	Проводится построение ЛАФЧХ исходной нескорректирован-
ной САУ в разомкнутом состоянии [£р,рр(<»)].
2.	Проводится построение желаемой ЛАФЧХ, обеспечивающей ус-
тойчивость и заданные показатели качества замкнутой САУ [Д^Д®)].
3.	Вычисляется ЛАФЧХ корректирующего звена как разность
между ЛАФЧХ желаемой и нескорректированной систем.
4.	По виду LKi из таблиц корректирующих звеньев выбираем
звено с соответствующей характеристикой. В случае, если расчетное
звено имеет сложную зависимость Ью, его нужно разбить на простые,
которые имеются в таблицах корректирующих звеньев, и набирать
его путем стыковки элементарных звеньев.
По описанной методике на рис. 6.5 проведены построения, опре-
делена ЛАЧХ последовательного корректирующего звена и помечена
как Перенесем полученную характеристику на отдельный рису-
нок (рис. 6.7), по которому будем синтезировать структурную и
принципиальную схемы звена. В качестве примера рассмотрим реа-
лизацию корректирующего звена на пассивных элементах совместно
с дополнительным усилителем.
159
Из рассмотрения ЛАЧХ корректирующего звена следует, что его
можно представить как сумму трех элементарных звеньев - двух
звеньев вида L) и одного вида £?. Сумма двух первых звеньев дает
характеристику вида L3, добавление к которой характеристики L? по-
зволяет получить искомую характеристику LK3. Заметим, что звено с
характеристикой L? проходит выше оси частот, следовательно, необ-
ходимо включать в структуру корректирующего звена дополнитель-
ный усилитель. Рассмотренным характеристикам соответствуют кор-
ректирующие звенья, схемы которых приведены в прил. 1, там же
приведены их передаточные функции. В силу того, что устройство
состоит из последовательного соединения трех пассивных звеньев,
включение дополнительного усилителя полезно и с точки зрения со-
гласования входных и выходных сопротивлений составляющих его
звеньев. В этой связи принципиальная схема синтезируемого звена
имеет вид, представленный на рис. 6.8.
Рис. 6.8
С2
R2
С1
Передаточная функция двух последовательно включенных звень-
ев перед дополнительным усилителем имеет вид
Х(Гр+1Х7’р + 1)
W(p) = W, (р)1Р„ (р) =-1----1----.
1	(7р + 1)(7р + 1)
Значения постоянных времени рассчитываются по данным, сня-
тым с построенной ЛАЧХ корректирующего звена:
Т. = C2R4 = C.R, = — = —Ц-« 0,6с;
1	24	1,8с 1
R	1	1
Т = C2R, +-----------R,C, = — = -—— « 4,35с.
24 R3+Rex	52 со,	0,23с"*
В записанных выражениях для определения параметров коррек-
тирующих звеньев С1-С2, R1-R2 известны две постоянные времени,
160
снятые из графика - Т и , поэтому для нахождения упомянутых
выше параметров необходимо задаваться некоторыми из них. Допус-
тим, что входное сопротивление усилителя RBX = ЮОкОм (это легко
реализовать путем включения эмитерного повторителя). В этом слу-
чае к = ——— = —к 0,83- Здесь, по условиям согласования со-
R3 + tfBX 100+20
противлений [6], приняли R3~20kOm. С учетом сделанных замеча-
ний выражение для постоянной т запишем в виде
4,35 = 0,6 + 0,83С27?3 , откуда находим значение емкости
с _ (4,35-0,6)106
2	0,83-20000
« 225л,кФ
Для определения параметров второго звена необходимо опять за-
даться одним из них, например сопротивления Ri.. Следует подчерк-
нуть тот факт, что мы задаемся упомянутым сопротивлением не про-
извольно, а следуя рекомендациям при реализации согласования со-
противлений. Поддерживая падение сигнала в сопротивлениях кор-
ректирующих звеньев на уровне к = о,8, определим параметры С1Л1,
обеспечивающие получение постоянной времени Т :
4,35 = 0,6 + 0,8  С) R,, откуда CtRt = 4,7с.
Принимая R] = 5кОм, получим величину емкости С, ~900мкФ.
При введении сопротивлений R\, R3 будем иметь снижение коэф-
фициента передачи звена L3 до значения К = 0,8, а поэтому дополни-
тельный усилитель должен компенсировать это снижение, и для этой
цели нужно иметь усиление Хйоя1 = 1,25. Рассмотрим определение па-
раметров третьего звена, включенного на выходе дополнительного уси-
лителя и реализующего характеристику L2. Принципиальная схема, со-
ставленная из пассивных элементов, способна реализовать характери-
стику вида L2, которую затем поднимем в требуемое положение путем
увеличения коэффициента усиления дополнительного усилителя. Ха-
рактеристике L2 соответствует передаточная функция вида
^(Р) =
K3(T3p + i)
(Х3Г3р + 1)’
161

Задаваясь значениями K3 = 0,85 и R<- 5кОмs получим значение
сопротивления R6 = 28кОм (это может быть входное сопротивление
следующего электронного блока схемы). Для определения емкости
1 1
конденсатора С, считываем с графика L2 время	= — = у = 1с. Эта
постоянная времени формируется искомыми параметрами Т - C3RS,
Т 1с
откуда С3 =	= 5^~ = 200мкФ Дополнительное усилие, необходи-
мое для того чтобы характеристика заняла требуемое положение
должно быть равно к „ = — = —— = 1.18- Общее повышение ко-
Доп2 /сз 0,85
эффициента передачи в прямой цепи САУ за счет включения коррек-
тирующих звеньев определится как
К = К ,К » =1,25 1,18 = 1,475.
доп доп! доп2
Таким образом, определены все параметры последовательного
корректирующего звена рациональной структуры, реализованного на
пассивных элементах с включением дополнительного усилителя.
6.3. СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АСТАТИЧЕСКОГО
КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
Основным достоинством указанного типа корректирующего уст-
ройства является достижение оптимальных показателей качества пе-
реходных процессов, возможности унификации схемных решений и
простоты их расчета. Благодаря этим преимуществам они стали ши-
роко применяться в практике синтеза структур систем подчиненного
регулирования [20, 21, 22]. Как правило, астатические корректирую-
щие ус тройства рассчитываются из условия достижения минимально-
го времени переходного процесса при отработке скачкообразного
управляющего воздействия и линейных звеньев САУ.
Для достижения предельного быстродействия САУ необходимо,
чтобы она была безынерционной, а передаточная функция САУ
должна совпадать с ее коэффициентом передачи:
К = ^рЛр) = ^аЛР^р(Р)-	(6.Ю)
162
В (6.10) обозначено: К, Wr)K(p) - коэффициент передачи и переда-
точная функция соответственно; WAK(p), WP(p) - передаточная функ-
ция астатического корректирующего устройства и передаточная функ-
ция разомкнутой нескорректированной САУ соответственно. Структур-
ная схема САУ (замкнутого контура САУ) показана на рис. 6.9.
Рис. 6.9
Передаточная функция разомкнутой нескорректированной сис-
темы, включающая в свою структуру объект управления, силовой ис-
полнительный механизм различной физической природы, усилитель-
но-преобразующие устройства как в прямой цепи, так и в цепи обрат-
ной связи, является полиномом от Р, т.е. И), (д) =	. Как правило,
В(р)
в реальных САУ степень полинома в знаменателе больше, чем в чис-
лителе.
С учетом сделанных замечаний, чтобы выполнить условие (6.10),
необходимо формировать передаточную функцию в виде
»^(Р) =
К
WP(p)
КВ(Р)
Л(р)
(6.11)
Анализ выражения (6.11) показывает, что числитель имеет сте-
пень выше, чем знаменатель. Реализация такого устройства затрудни-
тельна ввиду необходимости получения производных высоких по-
рядков от входного сигнала. Кроме того, система с передаточной
функцией №/,x(p) = .K имеет бесконечную полосу пропускания час-
тот и, таким образом, является помехонезащищенной. Последним об-
стоятельством против синтеза корректирующего устройства в виде
(6.11) является получение в результате статической САУ в замкнутом
состоянии с соответствующей статической ошибкой. Для устранения
упомянутых недостатков предлагается представлять желаемую пере-
даточную функцию разомкнутой системы в виде
^№(p)=-=-U	(6.12)
р Т„р
163
В этом случае замкнутая САУ (замкнутый контур САУ) со 100%-
ной обратной связью становится апериодическим звеном с постоян-
ной времени Т} 
(6-13)
Представление желаемой передаточной функции разомкнутой
САУ в виде (6.12) позволяет повысить порядок полинома знаменате-
ля в передаточной функции корректирующего звена, рассчитанного
по зависимости (6.11):
АК р^Лр) ра(р)
(6.14)
Это повышает возможности в практической реализации звена,
повышает помехозащищенность системы. В практике принято пред-
ставлять желаемую передаточную функцию в виде последовательно-
го соединения интегрирующего и апериодического звеньев:
, К	1
и>к-(р) =----------------------•
р(?>+1) гор(т;р+1)
(6.15)
В этом случае передаточная функция корректирующего звена,
рассчитанная по зависимости (6.11), примет вид
Ш	КВ(Р>	1 Д(Р)
АК( ) р(Т„р+1)А(р) Т.р^р + 1) А(р)	(616)
Такое представление корректирующего звена указывает на до-
полнительное возрастание полинома знаменателя, и, как следствие,
дополнительно повышаются возможности его практической реализа-
ции простыми средствами. Представление	в виде (6.15) со-
храняет все преимущества системы по сравнению с (6.12) и даже
улучшает ее помехозащищенность.
Передаточная функция САУ в замкнутом состоянии для этого
случая имеет вид
^K(PW,(P\_________1____
1 + ^ЛЖДр) ТоГрр2+Гор+1
(6.17)
Для обеспечения оптимального быстродействия САУ с полученной
передаточной функцией требуется определить соотношение между и
7^. Величина 7), называется малой постоянной времени и задается из
164
условий требуемого быстродействия САУ при выполнении физических
ограничений на объект управления или другие звенья системы [21]. Ха-
рактер переходного процесса в САУ определяется дифференциальным
уравнением второго порядка, которому соответствует характеристиче-
ское уравнение для передаточной функции вида (6.17). Это уравнение
должно иметь комплексные сопряженные корни с действительной отри-
цательной частью, а поэтому представим его в виде
Т0Т11р1+Тор + \ = Т2рг+2СТр^\.	(6.18)
В (6.18) принято: С — коэффициент демпфирования; Т - эквива-
лентная постоянная времени. Оптимальный переходный процесс
72
имеет место при коэффициенте С = — . С учетом этого замечания из
(6.18) получим
Т0Тр=Т2-7^2^Т,	(6.19)
Из системы (6.19) находим	, откуда
То = 2Тр. На основе полученного результата желаемая передаточная
функция разомкнутой САУ для нахождения астатического корректи-
рующего звена должна быть представлена в виде
~ it^p^p+iY	(6-20)
На рис. (6.10) показаны желаемые ЛАЧХ и ЛФЧХ, которые ис-
пользуются при синтезе структуры корректирующего звена. Переда-
точная функция замкнутой САУ имеет вид

1______
2T2p2+2T/lp+l
(6.21)
Переходная функция для процесса, описываемого передаточной
функцией (6.21), выражается зависимостью
У(0 = 1-е
sin
t	t
27;	27;J
2T,
Переходный процесс показан на рис. 6.11.
Из зависимости (6.21) и кривой переходной функции, показанной
на рис. 6.11, следует, что оптимальный процесс имеет время переход-
165
ного процесса примерно 4ГД, перерегулирование сг = 4,3%, время
первого перехода кривой через установившееся значение Ууст 1 со-
ставляет 4,77^. Переходный процесс, удовлетворяющий указанным
показателям качества, называется оптимальным по условию техниче-
ского оптимума (ТО).
S% от Ул и,
Рис. 6.11
На основании рассмотренного методика синтеза последователь-
ного астатического корректирующего устройства сводится к сле-
дующим действиям.
1. Определение желаемой передаточной функции САУ в разомкну-
том состоянии по выражению (6.20). Для этого необходимо найти ма-
лую постоянную времени Tfl Из условия требуемого быстродействия и
ограничений, накладываемых на объект управления и звенья системы.
166
2. В силу того, что №гж(р) = ^(рУИ^р), вычисление переда-
точной функции корректирующего звена
1^к(р) = -'^.
лк Wp(p)
3. По виду полученной в п. 2 передаточной функции и таблицы
(см. прил. 1) выбор структуры корректирующего звена и расчет его
параметров.
Проиллюстрируем методику на примере синтеза корректирую-
щего устройства для достижения технического оптимума в контуре
тока электродвигателя. Структурная схема показана на рис. 6.12.
Рис. 6.12
На схеме обозначено: Тт, Кт - коэффициент передачи и посто-
янная времени тиристорного преобразователя; ТЕ - электромагнит-
ная постоянная времени электродвигателя; R — сопротивление якор-
ной цепи электродвигателя; ^ост - коэффициент передачи звена в
обратной связи по току двигателя. По представленной структурной
схеме САУ запишем выражение для желаемой передаточной функ-
ции системы в разомкнутом состоянии:
IT^p+V)	AK(P){T.mP+\)(TEp + \)R
В качестве малой постоянной времени принимаем постоянную'вре-
мени тиристорного преобразователя, т.е. Тр = Тгп. с учетом сделанного
замечания передаточная функция корректирующего звена, полученная
из выражения для желаемой передаточной функции, примет вид
2ТтпрКгпКост Тр
167
Полученная передаточная функция представляет собой пропор-
ционально-интегрирующее звено. Из таблицы (см. прил. 1) выбираем
принципиальную схему звена, реализованного на операционном уси-
лителе с соответствующими обратными связями (схема №8). Из
сравнения параметров передаточной функции полученного корректи-
рующего звена и параметров звена, выбранного из таблицы, следует
ТЕ = 1\ - RocC -,Т = Т2 или 7;	= &вхс .
По известным значениям постоянных времени	Те и
т —	V Г'
1 ~ 'Ут и ’ задаваясь, например, величиной С. определяем
^тп^тп^ост
значения сопротивлений /?вх, Roc- На этом синтез последовательного
астатического корректирующего звена считается законченным. Сле-
дующим этапом являются его практическая реализация и отладка.
6.4. СИНТЕЗ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО ЗВЕНА
Рассмотрим структурную схему замкнутой САУ, изображенной
на рис. 6.13. На рисунке введены следующие обозначения: W\(p),
И^Ср), ^з(Р), ^(р), W5(p) - динамические звенья САУ, произве-
дение которых образует передаточную функцию нескорректирован-
ной разомкнутой САУ; Woc(p) — искомая передаточная функция па-
раллельного корректирующего звена; Х(р) и Y(p) соответсвенно
изображение входного и выходного сигналов САУ.
Рис. 6.13
Корректирующее звено, охватывающее часть звеньев прямой це-
пи, называется параллельным корректирующим звеном. Включение
звена обеспечивает получение желаемых показателей качества пере-
ходного процесса в САУ в соответствии с желаемой ЛАФЧХ системы
в разомкнутом состоянии. На этом основании и на основании правил
структурных преобразований запишем выражение для желаемой пе-
редаточной функции САУ в разомкнутом состоянии:
168
( } ^(рШрШрШр)^(р) _ ^тв(р)^(р)	z6-22)
'	1+^(рШр)^ос(р)	1+^(р)^(р)'
В зависимости (6.22) введены дополнительные обозначения:
№тв(р) _ передаточная функция звена или группы звеньев, охвачен-
ных параллельным корректирующим звеном; ^неохв(р) - передаточ-
ная функция группы звеньев САУ, не охваченных параллельным кор-
ректирующим звеном.
Допустим, что в рабочем диапазоне частот управляющего воздейст-
вия на систему значение произведения передаточных функций
P)W^(р) » 1. В этом случае выражение (6.22) представим в виде
W (р)
Кж(р)=	(6.23)
WDQ(p)
Из полученной передаточной функции корректирующего звена
(6.23) найдем выражение ЛАФЧХ для корректирующего звена, кото-
рое имеет вид
201g|^Xj«)| = 201g|^,_O®)|-201g|^(je>)|;	(6.24)
- <РЖ(Р>) 
В (6.24) обозначим
201g|^(>)| = Z~; 201g|Fr„_(jfi>)|-ZHeo„; 201g|^.(>)| = £_
С учетом обозначений, запишем условия нахождения ЛАФЧХ
параллельного корректирующего звена:
^ос ^неоха	(6.25)
На основании полученных зависимостей (6.25) сформулируем
методику синтеза параллельного корректирующего звена.
1.	Строим желаемую ЛАФЧХ (£ж) разомкнутой САУ, удовлетво-
ряющую заданным показателям качества, согласно правилам по-
строения упомянутой характеристики.
2.	Проводим построение ЛАФЧХ звеньев САУ, не охваченных
параллельным корректирующим звеном (£ неохв ) -
169
3.	Определяем разность между ЛАФЧХ, построенными по пер-
вым двум пунктам, которая и представляет собой , (рос - ЛАФЧХ
параллельного корректирующего звена.
4.	По таблицам корректирующих звеньев (например таблица
прил. I) выбираем то, у которого ЛАЧХ соответствует Loc (или объ-
единяем ряд звеньев, чтобы добиться этого соответствия), и рассчи-
тываем параметры звена.
Однако эта методика справедлива, если сделанное вначале вывода
допущение о том, что ^охАрУ^оАр) »h в рабочей зоне частот
управляющего воздействия выполняется. В этой связи после выполне-
ния первых трех пунктов методики синтеза звена необходимо прове-
рить правильность такого допущения. Если оно окажется верным, то
продолжаем синтез звена, выполняя п. 4. Если же указанные условия не
выполняются, то нужно внести изменения в структурную схему, чтобы
выполнить вышеупомянутые условия. Это достигается увеличением
коэффициента передачи звеньев, охваченных корректирующим звеном,
либо охватом большего числа звеньев в структуре САУ.
Проверка проводится следующим образом. Исходная структур-
ная схема, представленная на рис. 6.13, преобразуется в схему, в ко-
торой внутренний замкнутый контур должен иметь коэффициент пе-
редачи в цепи обратной связи, равный единице (100%-ная обратная
связь). Такая преобразованная по правилам структурных преобразо-
ваний схема показана на рис. 6. J 4.
Рис. 6.14
Приведение внутреннего контура к 100%-ной обратной связи не-
обходимо в связи с тем, что для таких структур построены моно-
граммы замыкания, которые по ЛАФЧХ разомкнутого контура (сис-
темы) позволяют построить ЛАФЧХ замкнутого контура (системы)
[6, 12]. Построение номограммы осуществляется на основании сле-
дующих выводов. Передаточная функция замкнутого контура (систе-
мы) со 100%-ной обратной связью имеет вид
170
w3(p)=
Y(p)_ ^Р(Р)
Х(р) l + Wp(p)
(6.26)
Этой передаточной функции соответствует выражение для АФЧХ
^э(» =
ГЦ*»)
X(jco)
Wp(jco)
(6-27)
В (6.26) и (6.27) обозначено: ^Р(р), W(jco) - соответственно
передаточная функция и АФЧХ контура (САУ) в разомкнутом со-
стоянии. Представив составляющие зависимости (6.27) в показатель-
ной форме записи, получим
A3(cD)eJnM =
Ap(cp)eJ^
1+Ар(со)е*’^'
(6.28)
Здесь Х3(<а), Ар(а>) _ значения амплитудных характеристик в
замкнутом и разомкнутом контурах (системе) соответственно; (Р3 (р),
<РР(“>) — значения фазовых характеристик в замкнутом и разомкну-
том контурах (системе) соответственно.
В выражении (6.28) разложим показательную функцию по фор-
муле Эйлера, получим
(6.29)
Л3(<э)(со80>3 + /sin ^з,) =
Лр(й>)С08<Р, + jAp(co) cos <рр
1 + ^(®)со®<9, + 7^(®)sin <рр
Приравнивая вещественные и мнимые части равенства (6.29),
получим	А 2 (cd) + А „ (cd) cos т А3 (cd) cos <р, = р 	. A2(cd) + 2Ap(cd)cos<pp +1 ’ . , , .	A (cd) sin A, (cd) sin						 Я (щ) + 2Я (<y)cos<3 +1 ’
откуда находим выражение для АФЧХ замкнутого контура (систе-
мы) в виде
4>(®) =
___________Ар(а>)___________
yjAp((o) + 2Ap (cd) cos <рр +1
171
/	\	Л	тр
и	Фз И = arctS~TT\---------•
Hp(e>) + cos^p
(6.30)
По полученным зависимостям построена номограмма замыкания,
представленная в прил. 2. Номограмма построена следующим образом.
По оси координат откладывается значение 201g/lp(£u) = z|w p| в децибе-
лах, а по оси абсцисс - фазы <рр (<у) в градусах. На этой плоскости, ко-
ординатами которой являются и Фр^), строятся кривые, соот-
ветствующие геометрическим местам точек, имеющие заданные посто-
янные значения при переменном Фз и заданные постоянные значе-
ния Фз при переменном -^з- Значения А3(в)) и <z>3(<y) на номограмме
обведены в кружок. Номограммой пользуются следующим образом. Для
ряда значений частот ЛАФЧХ разомкнутого контура фиксируем в этих
точках значения и соответствующие им значения ФР. Получен-
ные значения упомянутых характеристик наносим на номограмму. С
номограммы считываем значения для ^|Из1, Фз для замкнутого контура
(системы). Заметим, что номограмма ограничена значениями амплитуд
на уровне 34дб и -24дб. Это объясняется тем, что при значениях
201g Ар (а>) > 34дб значение ЛАЧХ для замкнутого и разомкнутого

«Z|l|s0.
контуров (системы)
1 + Жр
Если
Z|17p| = 201g Ар(а>) < -20Э6, то L\W3\ =
*L\Wp\<
т.е. происходит
совпадение ЛАФЧХ замкнутого и разомкнутого контуров.
Полученную из номограммы ЛАФЧХ замкнутого контура нужно
сложить со всеми ЛАФЧХ оставшихся звеньев. Результирующая ха-
рактеристика называется желаемой скорректированной ЛАФЧХ ра-
зомкнутой системы и обозначается LXCK. Если Lx и Дк.ск. совпада-
ют в области низких и средних частот с точностью до 3-5 децибел, то
предположение о том, что W0XB( p)WJp)»l справедливо. Про-
должаем рассчитывать корректирующее звено согласно п. 4 предло-
женной методики. В противном случае корректируем желаемую ам-
172
плитудно-фазовую характеристику Дк с целью выполнения условий
вышеприведенного допущения.
Проиллюстрируем рассмотренную методику конкретным приме-
ром. Проведем коррекцию САУ, показанной на рис. 6.4. Здесь приме-
ним параллельную коррекцию и охватим корректирующим звеном
передаточную функцию
^ОХВ(Р) =
10
о,о1р+Г
Построения приведены на рис. 6.15. Параметры желаемой
ЛАФЧХ перенесены из примера последовательной коррекции и име-
ют значения
юсж = 0,72<)ек; (Он = О,25дек  юв = 1.2дек;
201g	= 201gl50 = 43,5d6.
Определим необходимые данные для построения ЛАФЧХ охва-
ченного звена и неохваченных звеньев соответственно:
201ёЛ;х„ = 201gl0 = 2046;
=7‘ = ^ = l0°; IglOO = 2г)ек;
20lg^=201gl5 = 23,4<>6;
co2 =— = —1—=i6c'- lgl6 = 1,2дек-
2 T\ 0,062	’ b
1 1,-1
^=- = - = 10 ;lgl=0deK.
*2 A
По полученным данным построим LM; LHeoxa-, Lmo и
Loc=L„eoxe-LM.
По ЛАФЧХ разомкнутого контура ( Loxa +	; (рохв + (ро, ) и номо-
граммы замыкания найдем значения ЛАФЧХ замкнутого контура. Ре-
зультат представим в виде табл. 6.2.
Для получения желаемой скорректированной ЛАФЧХ разомкну-
той системы необходимо СЛОЖИТЬ Д* + ^неохв + Дс = ^ж.с.к 
Для данного примера получили Lx - Ьжск . Это говорит о том,
что допущение ^т„(Р)^ж(р) >> 1 верно.
173
Приступим к выбору принципиальной схемы корректирующего
устройства.
Рис. 6.15
Таблица 6.2
а> ,дек	-0,8	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	2,0	2,2	2,4	2,6
Ц,™ + • дб	0	18	24	30	30	30	30	30	30	30	24	18	12
</>ю, +Р«»°	20	100	100	65	10	7	0	0	0	0	0	0	0
, дб	0	0,15	0	-0,25	-0,25	-0,25	-0,25	-0,25	-0,25	-0,25	-0,5	-1	-2
<РМ,°	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Сравнение ЛАЧХ корректирующего звена с аналогичными
характеристиками звеньев из таблицы (см. прил. 1) показывает, что
реализация возможна путем объединения ряда звеньев. Так, два по-
следовательно соединенных звена вида 2 в принципе дают характери-
стику Loc. Для полного достижения соответствия характеристики
корректирующего звена и упомянутых звеньев, а также согласования
сопротивлений необходимо использовать дополнительный усилитель
в цепи корректирующего звена. Схема звена и соответствующие ха-
рактеристики показаны на рис. 6.16 и 6.17.
174
Рис. 6.16
Рис. 6.17
На рис. 6.17 показан вариант выбора звеньев, образующих парал-
лельное корректирующее звено. Для реализапии Loc с помощью пас-
сивных звеньев опустим ее относительно требуемой на величину Кус,
При этом она займет положение, отмеченное как Ьж . Эта характери-
стика - есть сумма двух характеристик: Locl , реализуемой на эле-
ментах Л,, А3, С], и , реализованной на К2,	, С2. для того
Г#
чтобы сформированная таким образом ьос заняла положение, соот-
ветствующее требуемому Д>с, необходимо включить усилитель с ко-
эффициентом усиления KyQ. Схема реализации параллельного кор-
ректирующего звена показана на рис. 6.16. На рисунке обозначено:
Д,х - входное сопротивление усилителя, которое обычно бывает за-
дано из паспортных данных. Параметры -7?3, С\ -С2 рассчиты-
ваются согласно рекомендациям, приведенным при синтезе последо-
вательного корректирующего звена.
175
6.5. ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ С УЧЕТОМ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
Правила построения желаемой ЛАФЧХ разомкнутой САУ, обеспе-
чивающей устойчивость и заданные показатели качества замкнутой
системы (/Р,<т%), могут быть расширены за счет выполнения допол-
нительных условий, например при ограничении колебательности про-
цесса. В этом случае широко применяют оценку переходного процесса
управляемой координаты по показателю колебательности М [22].
Показателем колебательности называется отношение максималь-
ного значения амплитудно-частотной характеристики А3(ар) замкну-
той системы на резонансной частоте А к значению амплитуды
замкнутой системы на частоте = 0 _
Л/ ------—
4(0) •
(6.31)
Графически показатель колебательности представлен на рис.
6.18. Приняв ^4(0) = 1, можно по построенной характеристике АС69)
определить величину показателя колебательности М по индексу той
линии, которой коснулась эта характеристика (см. рис. 6.18,
М = 1,35 ). Из определения следует, что физически показатель коле-
бательности характеризует резонансные свойства замкнутой САУ
при подаче на ее вход гармонического воздействия вида
X(t) = If/) sin cot и поэтому тесно связан с колебательностью в пере-
ходном процессе управляемой координаты. Это следует также из сле-
дующего аналитического вывода. Между вещественно - частотной
характеристикой замкнутой системы и ее переходной функци-
ей h(f) существует однозначная связь в виде
,2 rP3(<»)sincrf 2 fA(0	8Ш<а/ .
h(t) = — I---------------aa> = — I--------------------------dt
Л “ Ct)	Л ’	co
(6.32)
В выражении (6.32) амплитудно-частотная характеристика замк-
нутой системы 4(<у) связана с показателем колебательности М. Сле-
довательно, существует связь между показателем колебательности и
176
колебательностью переходного процесса управляемой координаты. В
практике проектирования линейных САУ принято считать, что зна-
чению показателя колебательности в пределах 1,1 < А/ < 1,3 соответ-
ствует очень хорошее демпфирование, в пределах 1,3 < М < 1,5 - хо-
рошее, а при 1,5 < М < 1,7 — удовлетворительное [22]. Рассмотрим
процедуру построения желаемой АФЧХ и ЛАФЧХ разомкнутой
САУ, обеспечивающей кроме устойчивости системы еще и величину
заданного показателя колебательности М.
Найдем геометрические места точек на комплексной плоскости
Рр(а>), jQP(a>>) АФЧХ разомкнутой системы, соответствующие зна-
чениям М = const. Для замкнутой САУ со 100%-ной обратной связью
АФЧХ имеет вид
W(ai) P(ta) + jQAa>)
WAjco) =----£——— =
\ + Wp{ja>) 1 +P(<») +
(6.33)
В (6.33) обозначено: 1^(7®), /р(®), Qptp)) - АФЧХ, веществен-
но-частотная, мнимочастотная характеристики разомкнутой САУ со-
Рис. 6.18
Умножая числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю
выражение, получим
ч L^(®)+7eP(«il(i+/’P(o))-7eP(®)J
1Г3(у®) =
[i+pp(®)]2+e₽(«)
177
=pp(®)[i+pp(<y)]+epM_. pp(^qp(co) - eP(^)[i+р„(б>)]
|i+p»f+£» 7	[i+rp(®)f+e₽(®)
• (6.34)
Из зависимости (6.34) определим модуль (амплитуду) АФЧХ
замкнутой САУ:
(6.36)
(6.37)
(6.35)
Выражение (6.35) справедливо для любой точки АЧХ замкнутой
САУ, в том числе и для точки, соответствующей ее максимальному
значению на резонансной частоте, & Р и равно показателю колеба-
тельности М, поэтому
м2 P2(co) + Q2(co)
[1+рдйо]2 +е:(0)-
Преобразуем выражение (6.36) к виду, удобному для последующего
анализа. Приведем к общему знаменателю и раскроем скобки, получим
М2 + 2М2Рр (со) + М2Р2(ю)+
+ M2Q2(co) = P2(co)+Q2(co)
Представим (6.37) в виде
М2[1 + 2РДщ)] = РДщ)[1 -М2]е>)[1-Л/2]. (6.38)
Разделив правую и левую части равенства (6.38) на [1- Л/2], полу-
чим
-^-[1 + 2Рр(<у)]= Р2(со) + Q2(co).	(6.39)
Добавив в правую и левую части уравнения (6.39) выражение ви-
М4
да (Мг -1)~2 ’получим
м OD, ч мг мл
l-М2* ₽(<а 1-М2+(Л/2-1)2
2	2 м4	(6-4°)
Перегруппировав составляющие в равенстве (6.40), окончательно
получим
М2 х-,2, ч Г„ , х Л/2 Г
Ili7^F=e'<'”)+r'w+^T] 	<м1>
178
Выражение (6.41) представляет собой уравнение окружности, оп-
ределяющей геометрическое место точек линии равного показателя
колебательности в плоскости амплитудно - фазочастотной характе-
ристики разомкнутой системы.
Радиус окружности равен г=--^_ Координата центра окружно-
сти смещена влево от начала координат на величину
М1
‘«7Т^Т'ВИД
окружностей для различных значений показателя колебательности М
показан на рис. 6.19. Представленная таким образом диаграмма полу-
чила название амплитудной круговой диаграммы. На той же плоско-
сти нанесена АФЧХ разомкнутой системы Wр	Точкам пересе-
чения этой характеристики с окружностями М = const будут соот-
ветствовать значения М амплитудно-частотной характеристики замк-
нутой системы. Значение Л/-ной окружности, которой касается ам-
плитудно-фазовая частотная характеристика Wр (ja>\ будет показа-
телем колебательности.
Отсюда следует, что обеспечение заданного показателя колеба-
тельности М в линейной системе связано с требованием незахожде-
ния Wp (У<и) в некоторую запретную область, ограниченную окруж-
ностью заданного показателя колебательности, например точка каса-
ния (а) для М=М3 (рис. 6.19).
Рис. 6.19
Величина показателя колебательности М может быть определена
и в случае использования ЛАФЧХ. Для этого следует запретные зо-
ны, соответствующие заданным значениям М - const для АФЧХ на
179
комплексной плоскости, перестроить в запретные зоны для логариф-
мической фазовой частотной характеристики разомкнутой системы
на логарифмической плоскости.
Рассмотрим процедуру построения запретной области в лога-
рифмической системе координат. Для этого используем круговую
диаграмму на рис. 6.19 и введенные там обозначения. Максимальное
значение запаса по фазе будет при г, перпендикулярном я„, т.е.
Д	М ЛГ-1
= arccos— = arccos ,	----=—
*	Vm2-i м
у!м2-\	1
= arccos—, ... = arccos—т=.
Va-/2	Vs
(6-42)
Переведем в логарифмические координаты RMax, &min , Rq-
20lgAw?u. = GMAX J 201g/?MW = GMIN-
201g/?o=Go.	(6.43)
M
Заметим, что RMxx -s + r- - > 1, а следовательно, GMAX > 0;
M <1 и Gmin<0. Значение Go определим как
м + l
Ga = 201g/?o = 101g/?02 =-201g——- Значение йо = J~T^—7 опреде-
2 M -1	V M -1
лено из прямоугольного треугольника, показанного на рис. 6.19. С
учетом сделанных замечаний получим
201g-^- +201g— - г с
М — 1	М -f- 1 ^МАХ + MIN
0	2	2
Полученные выражения позволяют построить зависимость
<р = f(G) для заданного показателя колебательности М. Для просто-
ты графических построений указанной зависимости рекомендуется
выбрать масштаб для <Рмлх такой, чтобы (РМАХ — Go. Это позволит
представить зависимость (р - f (G) в виде окружности, построение
которой показано на рис. 6.20.
180
Рис. 6.20
На рисунке дополнительно введено обозначение Gc =G0 - GMM
- координата центра окружности, уравнение которой имеет вид
(G-Gc)2+CV=G02.	(6.44)
В выражении (6.44) коэффициент пропорциональности С найден
из соотношения
C^=Go-
На основании рассмотренного вытекают требования к желаемой
ЛАФЧХ разомкнутой системы. Для того чтобы она обеспечивала ус-
тойчивость системе, время переходного процесса и удовлетворяла
требованию по колебательности процесса, определенным заданным
значением коэффициента колебательности М, необходимо обеспе-
чить ей такой вид в области частот, в которой амплитуда вектора г
меняется в пределах от до &min , чтобы ЛФЧХ разомкнутой
системы не заходила в запретную зону, ограниченную кривой
[180°+<»(&>)]. Методика построения запретной зоны определяется сле-
дующими действиями.
I.	По заданной величине М рассчитываем значения S, Г , (р,
Кщх, ^min, (зависимости (6.41), (6.42), (6.43) соответственно).
2.	Определяем значения GMAX^ GMtN, Go, (рМАХ и коэффициент
пропорциональности С.
3.	В логарифмической системе координат строим характеристи-
ку Ф = f (G), которая должна быть окружностью радиусом Go.
181
4.	Наносим в логарифмической системе координат в том же
масштабе, что и в п. 3, желаемую ЛАФЧХ (Ьж из условия достиже-
ния требуемых t р и сг%) разомкнутой системы.
5.	Строим запретную область для ЛАФЧХ разомкнутой САУ,
обеспечивающей заданный показатель колебательности М. Если
ЛФЧХ для £ж по п. 4 не заходит в запретную зону, то коррекция
считается полностью выполненной. Если ЛФЧХ для пересекает
запретную зону, то необходимо перестроить LA( с таким расчетом,
чтобы ее ЛФЧХ не заходила в упомянутую зону.
По рассмотренной методике выполнены построения, приведен-
ные на рис. 6.21, и в дополнительных пояснениях не нуждаются.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 6
1.	Определите основные показатели качества САУ.
2.	Какой физический смысл желаемой ЛАФЧХ?
3.	Приведите методику построения желаемой ЛАФЧХ.
4.	Какой физический смысл понятия «показатель колебательности М»?
5.	Какой физический смысл введения корректирующих звеньев в САУ?
Какие виды корректирующих звеньев применяются в САУ?
6.	Определите методику синтеза параметров корректирующего звена по
его ЛАФЧХ.
182
Глава 7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ АНАЛОГОВЫХ СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В главе рассматриваются два метода построения переходного
процесса в САУ- частотный и моделирование на компьютере. При
использовании частотного метода построения переходных процес-
сов исходными данными являются частотные характеристики
звеньев системы, которые могут быть определены эксперименталь-
но. Этот метод позволяет построить переходный процесс и, тесно
связать его показатели с АФЧХ разомкнутой одноконтурной или
многоконтурной САУ, а поэтому дает возможность видоизменять
последнюю с целью достижения требуемых показателей качества.
Метод позволяет учитывать своеобразие САУ, заключающееся в
том, что их анализ в разомкнутом состоянии намного проще, чем в
замкнутом. Кроме того, метод позволяет провести построение пе-
реходного процесса при любой форме сигнала управления.
Метод построения переходных процессов для модели устойчивой
САУ на компьютере позволяет всю рутинную работу по вычислени-
ям переложить на компьютер и произвести быстрый расчет. Он
даёт возможность быстро проанализировать влияние вариации па-
раметров отдельных звеньев САУ на динамические показатели каче-
ства САУ в целом.
7.1. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНО-
ГО ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕЩЕСТВЕННО-ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ Р(<о) ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Указанный метод широко применяется в практических расчетах
САУ в силу своей простоты, наглядности, связи АФЧХ разомкнутой
САУ с качественными динамическими показателями системы, на-
пример временем переходного процесса и перерегулированием. Это
позволяет качественно оценивать процесс по виду АФЧХ и соответ-
ствующей ее вещественно частотной характеристики САУ в замкну-
том состоянии.
7.1.1. СТРУКТУРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СХЕМЫ САУ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ФОРМЫ ВХОДНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Рассмотренные в предыдущей главе динамические показатели
качества описаны для стандартного воздействия, которым в САУ яв-
ляется ступенчатая функция /(0 — 1(0- Однако на практике широко
применяются и другие виды воздействий, например	Clt и др.
183
Что в этом случае предпринять, чтобы выполнить расчет по построе-
нию переходного процесса? В этом случае нужно реальную схему САУ
заменить эквивалентной, для которой входным сигналом будет еди-
ничное ступенчатое воздействие. Процедура эквивалентирования для
одноконтурной замкнутой системы и различных входных сигналов
представлена на рис. 7.1 — 7.5. Эквивалентирование структурной схемы
для расчета переходного процесса будем проводить для случая нулевых
начальных условий. Это позволит использовать передаточные функции
звеньев САУ и метод их структурного преобразования. Запишем выра-
жение передаточной функции для замкнутого контура (см. рис. 7.1) при
произвольной форме входного сигнала /(О. Обозначим изображение
по Лапласу этой функции как F(p) .
Рис. 7.1
Теперь будем считать, что на вход системы подается ступенча-
тый единичный сигнал, а на выходе мы должны получить то же зна-
чение У(р), что и при входном сигнале f(/’). Очевидно, что для
этого случая структурная схема примет вид, показанный на рис. 7.2.
У(Р)
Рис.7.2
Выражение для эквивалентной передаточной функции согласно
последней схеме примет вид
Жэкв (Р)=^ = W, (р) =	-
Э	1(р)	1+^(р)1Рос(р)
(7.1)
"" rVP,WF(p)
На основании полученной зависимости представим структурную
эквивалентную схему в виде, показанном на рис. 7.3.
184
Рис.7.3
На основе полученной структурной схемы можно сформулиро-
вать правило по составлению структурной эквивалентной схемы САУ
в случае действия входного сигнала, форма которого отлична от сту-
пенчатого единичного воздействия. Эквивалентная схема образуется
путем введения в прямую цепь САУ звена с передаточной функцией,
реализующей связь между реальным и единичным воздействием
и включением в цепь обратной связи звена с передаточной
1
функцией, равной
Ж (/>) ’ Согласно приведенному правилу постро-
им эквивалентные схемы для случая экспоненциального и линейно
нарастающего входных сигналов соответственно.
Рис. 7.4
Рис. 7.5
Экспоненциальный сигнал имеет аналитическую зависимость в
виде 1 — е ш. Передаточная функция, устанавливающая связь между
экспоненциальным выходным сигналом и единичным входным, явля-
ется апериодическим звеном
—7.
7/7+1
Линейно нарастаю-
185
щий сигнал изменяется по закону at, и соответствующая переда-
точная функция имеет вид (Р) = ~. С учетом сделанных замеча-
ний на рис. 7.4 и 7.5 построены структурные эквивалентные схемы
САУ для этих случаев соответственно.
7.1.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕЩЕСТВЕННО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ Р(а>) И ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИЕЙ h(t).
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Найдем зависимость, определяющую связь между переходной
функцией - 1^(0] САУ при действии на входе единичной ступенча-
той функции l(t), Известно [12, 23], что единичная функция, пред-
ставленная интегралом Фурье, имеет вид
1 +ге'й"
1в) = — J^~(7.2)
Значение выходной величины САУ при действии ступенчатого
входного сигнала определяется зависимостью
й(0 = ЦО*М».	(7.3)
С учетом (7.2) выражение (7.3) перепишем в виде
1	е,ш'
h(t)=— \W3(J<B)—d(o.	(7.4)
2тг X	7®
Представим выражение для АФЧХ замкнутой САУ в виде
w,(jto) = Р(а>) + С учетом этого выражение (7.4) представим как
1 44X5 nJCM	1 +о°
К‘) = ~ [p(d))—da)+j—- iQ^y—do.	(7.5)
2тг 7 jco 2я-_' jco	47
Учитывая, что е1"* = coscot + /sinarf, запишем последнее равен-
ство в виде
h(t)=_Ц	++.(7.6)
7	ja>	to J, Jco 2,	® J
В силу того, что в (7.6) нечетные интегралы обращаются в 0, а в
четных пределы интегрирования приведем в соответствие с физикой
процессов, из (7.6) получим
186
, . .	1 cP(co)smcDt ,	1 fP(o)cosfttf
h(t) = ~ I —-—at»+— --------------
П ' CD	7t “ CD
(7.7)
Полученное выражение для h(t) справедливо при любых значе-
ниях времени t, в том числе и для t<0, когда переходная функция
равна нулю. На этом основании (7.7) примет вид
о=1 j^)Ёп.^.^+Гг.е^СО5^.
7Г д CD	Лд CD
(7.8)
Из зависимости (7.8) следует, что интегралы равны друг другу и
любой из них может быть использован при расчете переходной функ-
ции. Исторически сложилось так, что в Европе предпочтение отдали
вещественно-частотной характеристике замкнутой САУ, а поэтому
...	2 f/VoAsincw/ ,
Л(0 = __Г_1_2-----dco.	(79)
Полученная зависимость однозначно связывает переходную
функцию с вещественно-частотной характеристикой замкнутой САУ
и является математической основой для разработки методики по-
строения переходного процесса в системе.
Вещественно-частотная характеристика замкнутой системы облада-
ет рядом свойств, которые позволяют качественно в целом оценить пе-
реходный процесс не проводя его расчета. Приведем основные из них.
1.	Если вещественно-частотная характеристика замкнутой САУ
может быть представлена в виде суммы вещественно-частотных ха-
л
рактеристик ^(<у) =	(со), то и переходный процесс выходной ко-
>-|
ординаты при подаче скачкообразного воздействия на ее вход равен
сумме составляющих, соответствующих вещественно-частотным ха-
рактеристикам X(t) = ^ X, (t),
/=1
2.	Если Р\ (со) и Р2 (cd) - две сходные по форме вещественно-
частотные характеристики и отличаются друг от друга полосой про-
пускания, например, для Р, (cd) она шире по сравнению с Р2 (<у), то
переходный процесс, соответствующий первой вещественно-
частотной характеристике ¥,(()=> Р,(со), заканчивается быстрее, чем
Y2=>P2(cd), и во столько раз, во сколько полоса пропускания первой
характеристики шире второй (рис. 7.6).
187
3	Значение выходной координаты в установившемся режиме
равно начальной ординате вещественно-частотной характеристики
(см. рис. 7.6):
X'),. >„ =
Рис. 7.6
4.	Разрыв непрерывности и пики в вещественно-частотной харак-
теристиках означают, что система находится на границе устойчиво-
сти и в ней имеют место незатухающие гармонические колебания с
частотой , на которой наблюдаются пики или разрыв непрерыв-
5.	Для того чтобы при единичном ступенчатом воздействии на
входе системы выходная величина имела перерегулирование <18%,
достаточно иметь вещественно-частотную характеристику Р(«а)
замкнутой системы в виде положительной невозрастающей функции
от частоты со.
6.	Максимальное значение перерегулирования определяется по
зависимости
188
<тМАХ % = ^МАХ	У(^ 100% < 1>18Рма* (-ю) W.. 100% 
МАХ	у(т)	Р(0)
7.	При построении переходного процесса нет необходимости рас-
сматривать /’(<») при изменении частоты от 0 до со, достаточно
ограничиться областью частот, в которой выполняется условие
^2 <0,1
Р(0)
8.	Вещественно-частотная характеристика Р(а>) для замкнутой
САУ при единичном скачкообразном входном сигнале начинается со
Кр
значения Р(0) = 1 для астатических систем и Р(0)~ ——— _ для
Кр +1
статических САУ (рис. 7.8).
7.1.3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННО - ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТОЙ САУ
Наибольшее практическое применение получили два метода оп-
ределения р((о) для замкнутой САУ - по номограмме для определе-
ния Р(®) при заданной желаемой ЛАФЧХ разомкнутой системы и по
желаемой АФЧХ разомкнутой САУ.
Рассмотрим последовательно эти методы нахождения Р(а>).
Номограмма для определения вещественно-частотной характеристи-
ки замкнутой САУ строится на основании аналитической зависимости
между АФЧХ замкнутой и разомкнутой САУ (6.27), которая имеет вид
X(jo>) 1 + IV (,о,)
Учитывая, что Wp (ja>) = Ар (а^е^" (<”> и W3 (Jco) - А3 (ш)
из выражения для АФЧХ замкнутой САУ получим
Л* (<а) + Д (ry)cos(з (<о)
Р(а>) = А3 (<w)cos^, (<з) - —------------------------ п Ю)
На основании полученной зависимости в приложении 2 построе-
на номограмма для определения -^(®) замкнутой САУ по желаемой
ЛАФЧХ разомкнутой системы.
189
По оси ординат откладываются значения амплитуды в децибелах, а
по оси абсцисс - фазы в градусах для точек разомкнутой желаемой
ЛАФЧХ, которые задаются значениями частоты G), Восстанавливая
перпендикуляры из упомянутых точек, расположенных на осях коорди-
нат для соответствующих точек желаемой ЛАФЧХ разомкнутой САУ,
получаем на номограмме точки пересечения, которые и указывают на
значения для для замкнутой САУ. Эти значения написаны непо-
средственно на номограмме. Практика показывает, что процедуру опре-
деления ^(<у) целесообразно оформить в виде табл. 7.1.
Таблица 7.1
со, дек.	а	в		п
а),с‘				
LP, дб.				
<рр(ш),град.				
Р(со)				
На основании результатов, сведенных в табл. 7.1, строится зави-
симость Р(са) /(<»), примерный вид которой для статических и
астатических САУ показан на рис. 7.8.
Графоаналитический метод нахождения Р(<о) по АФЧХ разомк-
нутой САУ базируется на той же зависимости (6.27), которую ис-
пользовали выше. Метод целесообразно применять, если построена
заранее или известна как данное	На рис. 7.9 представлена
желаемая АФЧХ разомкнутой системы, которая удовлетворяет усло-
виям устойчивости и заданным показателям качества автоматизируе-
мого процесса управления.
Возьмем произвольную точку на этой характеристике, например
о) = а>} (точка Ь). Соединим начало координат с этой точкой векто-
ром oh, который определяет значение АФЧХ разомкнутой системы
для этого значения частоты. Соединим критическую точку с коорди-
натами — 1;у0 с точкой Ь. Вектор ab определяет значение
• + (jo)} ). Из начала координат опустим перпендикуляр ос к век-
тору ab и отметим углы	) и <Р2 (aj ) С учетом введенных
обозначений из построений, выполненных на рис.7.9, следует, что
190
WAjm) = = =—e-A^-^] =
3	1 ab ab
(7-11)
В (7.11) ^(e>/) = ^2(ft?/)-<z’i (®,).
Из рис. 7.9 следует, что obcos<p(jOj ) — cb\ obs\nq)(jj)f ) = ос, а
поэтому (7.11) перепишем в форме
ch ас
оч)=^ - 7	).	(7.12)
ab ab	v 7
Задаваясь рядом значений частоты <57 г найдем аналогично рас-
смотренному ряд значений /*(<у) и построим зависимость
Р(щ) = /(<»). Описанные методики нахождения вещественно-
частотных характеристик замкнутой САУ и аналитическая зависи-
мость (7.9) связи между Р(ю) и h(t) позволяют разработать метод
построения переходного процесса в замкнутой САУ.
7.1.4. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЗАМКНУТОЙ САУ
ПО ЕЕ ВЕЩЕСТВЕННО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ Р(со)
МЕТОДОМ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Полученная выше зависимость связи вещественно-частотной ха-
рактеристики /’(^у) с переходной функцией h(f) позволила отрабо-
тать методику построения переходного процесса в замкнутой САУ
при единичном скачкообразном входном сигнале и нулевых началь-
ных условиях. Сложный характер траектории Р(а>) = f(a>) (см. рис.
7.8) предполагает сложное ее аналитическое описание, а поэтому
19]
прямое интегрирование по зависимости (7.9) с целью определения
переходной функции h(t) — очень трудоемкое и для практических
решений непригодно. В 1948 г. профессор В.В. Солодовников [6]
предложил разложить 7’(<у) на сумму элементарных
п
Р{со) = ^Р^’для каждой из которых построить переходный про-
7=1
цесс, а затем, используя первое свойство для найти суммар-
ный. Более того, было введено понятие единичной трапецеидальной
характеристики. Она имела полосу пропускания 69 о ~ 1 и высоту
при нулевом значении частоты Р(0)=1. Вид этой характеристики
представлен на рис. 7.10.
Рис. 7.10
Введение единичной трапеции существенно упростило расчет
^(0 по зависимости (7.9). Расчеты были проведены для единичной
трапецеидальной характеристики /’(<») = / (<у) и различных наклонов
характеристики (см. рис. 7.10), определяемых коэффициентом наклона
х & . Значение коэффициента наклона выбиралось с определенной
дискретностью от 0 до 1. Упомянутые переходные процессы от действия
единичного скачкообразного входного воздействия на систему для
изменяемой от треугольника =0) до прямоугольника,
представлены в виде табл. 7.2 и получили название h - функции.
С учетом рассмотренного методика построения реального пере-
ходного процесса с использованием h — функций сводится к следую-
щим действиям.
1.	По виду желаемой ЛАФЧХ разомкнутой САУ и номограмме
(см. приложение 2) для нахождения Р(аР) определяем вещественно-
частотную характеристику замкнутой системы.
192
2.	По виду Р(ю) и ее свойствам оцениваем в целом характер
переходного процесса: ст %, значение установившегося состояния и
т.д. Если эти показатели входят в зону допустимых по заданию, то
продолжаем расчет.
3.	Раскладываем реальную характеристику Р(а>) нарядэлемен-
И
тарных трапеций, выполняя условие Р(О>)=^Р№), где р. (й>) _
А1
элементарная трапецеидальная характеристика. Определяем наклон
каждой элементарной трапеции х
WOJ
Таблица 7.2
Т \	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
0,0	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
1,0	0,310	0,340	0,371	0,401	0,432	0,461	0,49	0,519	0,547	0,575	0,603
2,0	0,572	0,628	0,683	0,733	0,786	0,967	1,010	1,042	1,078	1,113	1,133
3,0	0,755	0,828	0,896	0,958	1,013	1,061	1,100	1,130	1,154	1,172	1,178
4,0	0,857	0,938	1,008	1,060	1,107	1,142	1,158	1,160	1,156	1,141	1,118
5,0	0,896	0,978	1,042	1,087	1,112	1,118	1,107	1,084	1,053	1,019	0,986
6,0	0,904	0,982	1,037	1,065	1,068	1,051	1,021	0984	0,949	0-922	0,906
7,0	0,904	0,979	1,024	1,037	1,023	0,993	0,957	0,927	0,911	0,909	0,925
8,0	0,910	0,985	1,020	1,021	0,995	0,966	0,941	0,932	0,944	0,97	Г,004
9,0	0,924	0,997	1,025	1,018	0,992	0970	0,961	0,976	1,006	1,039	1,061
10	0,939	1,009	1,031	1,019	0,993	0,982	0,993	1,020	1,049	1,063	1,056
11	0,947	1,015	1,031	1,014	0,993	0,993	1,014	1,039	1,048	1,034	1,005
12	0,950	1,015	1,024	1,004	0,988	0,997	1,019	1,027	1,000	0,984	0,958
13	0,95	1,012	1,015	0,994	0,985	0,997	1,014	1,005	0,98	0,955	0,955
14	0,952	1,011	1,009	0,988	0,985	1,000	1,008	0,987	0,965	0,965	0,990
15	0,956	1,012	1,007	0,988	0,991	1,005	1,002	0,983	0,978	1,001	1,030
16	0,961	1,015	1.006	0,991	0,998	1,011	1,001	0,990	1,003	1,031	1,039
17	0,965	1,016	1,005	0,994	1,005	1,012	0,999	0,999	1,020	1,032	1,012
18	0,966	1,015	1,002	0,995	1,008	1,008	0,997	1,004	1,020	1,008	0,979
19	0,967	1,000	0,998	0,995	1,006	1,001	0,993	1,004	1,006	0,981	0,967
20	0,967	1,013	0,995	0,995	1,005	0,996	0,992	1,003	0,991	0,972	0,985
193
4.	Для каждой трапеции с соответствующим наклоном выписы-
ваем в таблицу значения h(t) - и время переходного процесса I для
единичной трапеции с полосой пропускания (О — 1.
5.	Реальные значения регулируемой (выходной) величины Y для
каждой трапеции определяем по зависимости (0)/гу (О. Ре-
альное время переходного процесса, соответствующее каждой трапе-
Т
ции, определяется по зависимости G -
6.	Производим построение переходного процесса для каждой
элементарной Р, (<») и находим их сумму, которая определяет ре-
зультирующий переходный процесс Y(l) системы при единичном
скачкообразном входном сигнале.
7.2. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
В ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ САУ ПО ЕЕ ВЕЩЕСТВЕННО-
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ Р(ш)
В ЗАМКНУТОМ СОСТОЯНИИ
Рассмотрим желаемую передаточную функцию САУ в разомкну-
том состоянии, удовлетворяющую заданным показателям качества,
которая имеет вид
ж	(Т2р +1)2 (Т3 р +1)3 (1,3 р +1)2 (00,25р +1)3
Построим соответствующую этой передаточной функции
ЛАФЧХ. Для этого найдем значения
201g X = 201g 64 = 36 м	= 2,94с-’ •
1g 2,94 = 0,47 дек.- 0,2 =Т” = ]5 = 0’77с
1	1 ил -I
lg0,77 = -0,1 \дек.;	= — = Г7Х7 = 40с ; 1g 40 = 1,60ек .
В соответствии с этими данными на рис. 7.11 построена ЛАФЧХ
разомкнутой САУ.
194
Данные о значениях Л'ж и (Ррж для отдельных значений частот
® приведены в табл. 7.3.
Таблица 7 3
№ п/п л	(О,С 1	1g®, дек.	,дб.	Ф РЖ (®)	7>(®)
1	0,1	-1,0	36	-13,3	0,98
2	0,32	-0,5	36	-40	0,985
3	0,8	-0,1	36	-80,2	0,997
4	1,0	0	31,8	-90	1,00
5	2,5	0,4	15,3	-116,3	1,058
6	3,2	0,5	11,2	-119,2	1,075
7	6,3	0,8	6	-128	1,10
8	10	1,0	2	-140	0,975
9	20	1,3	-4	-173,5	-1,55
10	31,6	1,5	-8	-207,5	-0,45
11	40	1,6	-10	-226,6	-0,17
12	100	2,0	-40	-295,5	0,005
Эти данные явились исходными для нахождения значений р(а)
для замкнутой системы по номограмме (см. приложение 2). Значения
для вещественно-частотной характеристики замкнутой САУ также
сведены в табл. 7.3. Данные, приведенные в таблице, позволяют по-
строить вещественно-частотную характеристику для замкнутой САУ
и по ней построить переходный процесс по описанной в предыдущем
параграфе методике. Построение Р(®) показано на рис. 7.13.
195
5
Произведем разбиение на элементарные трапеции. На рис.
7.12 они отмечены как трапеция 1-АБВГ, 2-ГДЕЖ, З-ЕЖЗИ, 4-ЗИКЛ,
5-АМНО. Представим отмеченные трапеции на отдельном рисунке
(рис. 7.13) и определим начальные значения и наклон для каждой из
них. Начальные значения составляющих трапеций при ® = о равны
Р01 =2,65; Р02 =-0,72; Рт =-0,62; Р04 =-0,22; ро5 =-0,1.
Значения частот, определяющие наклон трапеций, равны
й)0 = 1,1с-1; о, = 3,3с-1; 6»2 =10,5с"1; (О3 = 17с“’; с?4 = 21с-';
<э5 = 26,6с-1; 6У6 =40с-1; (о1 = 56,6с-1.
Определим наклон для каждой трапеции.
_	Ю,5	А
1.	Трапеция АБВГ xi - — -	к °,6.
а>.	21
2.	Трапеция ГДЕЖ х2 = ~	» 0,8.
_ a>s 26,6 .
3.	Трапеция ЕЖЗИ хз ~	~ . ~ ~ 0,65
*	'	а>6	40
_ аь _ 40
4.	Трапеция ЗИКЛ ~ а - 5g g ~	
1,1
5.	Трапеция АМНО х5-~ = у^й< 0.35
196
По этим данным строим переходный процесс для каждой трапеции.
Для первой трапеции выписываем значение переходной функции
(например из табл. 7.2) и относительное время Т для единичной трапе-
ции с наклоном *1 — 0,6. Для нахождения реального процесса по ам-
плитуде необходимо значения переходной функции умножить на д01, а
для определения реального времени — время для трапеции с полосой
пропускания, равной единице, разделить на полосу пропускания первой
трапеции: У, =Р01Л1; -	. Значение переходной функции и расчет
реального переходного процесса для первой трапеции по приведенным
выше зависимостям сведены в табл. 7.4.
Таблица 7.4
Л.	0	1,01	1,158	1,021	0,941	0,993	1,019	1,0046	1,0012
Т, с	0	2	4	6	8	10	12	14	16
Уг	0	2,65	3,07	2,7	2,5	2,63	2,7	2,66	2,65
4) ,с	0	0,118	0,235	0,353	0,471	0,588	0,7	0,824	0,94
197
Для второй трапеции все данные сведены в табл. 7.5:
Т
х2 =0,8; Р02 =-0,72; К2 = h2P02\ t2 — — .
Таблица 7.5
h?	0	1,078	1,156	0,949	0,944	1,049	1,00	0,965	1,003	1,02	0,99	0,99	1,008	1,002
Т.с	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
y2	0	-0,77	-0,833	-0,683	-0,68	-0,756	-0,731	-0,695	-0,72	-0,734	-0,714	-0,714	-0,726	-0,72
t2 ,с	0	0,075	0,15	0,026	0,30	0,375	0,45	0,525	0,6	0,675	0,75	0.825	0,9	0,975
Для третьей трапеции данные сведены в табл. 7.6.
Таблица 7.6
йз	0	0,898	1,162	1,00	0,934	1,005	1,025	0,998	0,994	0,997	1,00	0,995	1,00	1,00	1,00
Т,с	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	24	26	30	32
Уз	0	-0,55	-0,73	-0,62	-0,58	-0,62	-0,64	-0,61	-0,62	-0,62	-0,62	-0,62	-0,62	-0,62	-0,62
•з.С	0	0,05	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	№19	0,45	0,5	0,6	0,65	0,75	0,8
Для четвертой трапеции данные сведены в табл. 7.7:
Т
х4 =0,7, Рм =-0,22, У04 = h4Pw, Ц =
Таблица 7.7
ht	0	1,042	1,163	0,984	0,933	1,02	1,023	0,987	0,99	1,004	1,002	1,002	0,999	0,999	1,00
Т.с	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
К/	0	-0,20	-0,26	-0,22	-0,20	-0,22	-0,23	-0,22	-0,22	-0,22	-0,22	-0,22	-0,22	-0,22	-0,22
	0	0,035	0,07	0,106	0,141	0,177	0,212	0,247	0,283	0,318	0,353	0,389	0,424	0,46	0,495
Для пятой трапеции данные сведены в табл. 7.8:
Т
х5 = 0,35, Р05 = -0,1, Y5 = h5PO5, t5= ~-
Таблица 7.8
Л5	0	0,92	1,163	1,07	1,011	1,005	0,994	0,982	0,992	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0
Т.е	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
Y,	0	-0,08	-0,11	-0,11	-0,1	-0,1	-0,09	-0,09	-0,09	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	-0,1	-од
15 ’С	0	0,61	1,2	1,82	2,424	3,03	3,64	4,24	4,85	5,45	6,06	7,27	7,87	8,49	9,09
Данные для построения результирующего переходного процесса
как суммы составляющих от каждой трапеции представлены в табл. 7.9.
Таблица 7.9
1,с	0	0,12	0,23	0,35	0,47	0,58	0,7	0,82	0,94	1,06	1,18	1,29	1,41	1,53	1,65	1,76	1,88	2
Y	0	0,6	1,47	1,1	0,9	1,0	1,05	1,03	0,99	0,98	0,97	0,98	1,0	0,98	0,97	0,96	0,98	0,99
Каждый отдельный процесс и суммарный процесс построены на
рис. 7.14.
198
Рис.7.14
Из рассмотрения кривой для результирующего переходного про-
цесса устанавливаем время переходного процесса: tp =0,7 с. Перере-
гулирование равно 47%.
7.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
В НЕПРЕРЫВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ САУ
НА ПЕРСОНАЛЬНОМ КОМПЬЮТЕРЕ
По заданной в предыдущем примере желаемой передаточной
функции разомкнутой САУ найдем математическую модель соответ-
ствующей ей замкнутой системы:
64(0,34/?+ 1)____
w (=	= (!,3/? + 1)2(0,025/> + !)’ =
1 + ^(р) ] +_____ 64(0,34/? + !)
(1,3/? + 1)2(0,025/? + 1)’
=______________________0,984(0,34/? + !)___________________
~ 0,0000004/? + 0,00004871/?4 +0,002/?’ + 0,03р2 +0,3759/? + 1 '
Известно [22], что в хорошо скорректированной САУ переходные
процессы с достаточной для практики точностью описываются урав-
нениями 2-го - 4-го порядков, поэтому проведем понижение порядка
характеристического уравнения замкнутой САУ. Для этого найдем
корни знаменателя для полученной передаточной функции замкнутой
системы. При этом воспользуемся программой «Корни», которая со-
держится, например, в справочнике [24]. Как правило, и каждая ка-
199
федра оснащена подобными программами. В результате решения по-
лучим корни вида
р{ = -ах +jhx =-5,4 +/14.18; р2 = -а2 - jb2 = -5,4-/14,18;
Т. =  .-1-= ,	1	= 0,066с;
у/а^+Ь*	^5,42 + 14,182
=ахТх = 5,4-0,066 = 0,356; р3 — -а2 + jb2 =-53,79 + /17,68;
= —а2 -jb2 =-53,79-/17,68; Т2 = 0.0176с, £ =0.9499;
р3 = -а3 =-3,3847- Г3 =----— = 0,2945с.
Из анализа расположения корней в плоскости корней следует, что
р,, р„ расположены далеко от границы устойчивости движения САУ,
поэтому ими можно пренебречь. В результате упрошенная переда-
точная функция замкнутой системы примет вид
w( ) =_____________0,98(0,34р +1)___________
(0,0662 р2 + 20,356-0,066р + 1)(0,2954/> + 1)
Изображение выходной координаты при единичном входном
воздействии примет вид
у <Р}=Ц?<Р)=_______________________________________
М Р	рСО.0662/?2+2-0,356-0,066р + 1)(0,2954р + 1)
Полученное выражение позволяет рассчитать переходный про-
цесс по программе «Переходный процесс», составленной по реко-
мендациям, указанным в справочнике [24, 31]. Кривая переходного
процесса показана на рис. 7.15, где обозначена как Ум  Значения, по
которым построен переходный процесс, сведены в табл. 7.10.
Таблица 7.10
t,C	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
	0	0,58	1,43	1,36	1,1	0,92	1,02	1,06	1,02	0,99	0,99	1,01	1,01	0,99	0,98	0,98	0,98
По этой кривой определяем время переходного процесса, которое
равно 0,72 с, и перерегулирование <т% = 43,6%. Сравнение кривых
переходных процессов, построенных двумя способами, указывает на
200
их хорошее совпадение. Отличие по времени переходного процесса и
величине перерегулирования находится в пределах 3%.
Численные методы расчета САУ носят конъюнктурный характер
и определяются развитием и совершенством программного обеспече-
ния. Каждая кафедра, каждая научная школа, как правило, имеет свое
собственное программное обеспечение, поэтому здесь эти вопросы
подробно не рассматриваются. В настоящее время наиболее широкое
распространение среди исследований динамических режимов САУ
получило моделирование в среде «Matlab» [25]. Для реализации ис-
следования и составления модели исходными данными являются же-
лаемая ЛАФЧ характеристика скорректированной системы и ее
структурная схема
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 7
1.	Какие методы применяются для нахождения вещественно-частотной ха-
рактеристики Р(ы) замкнутой САУ?
2.	Для какой трапецеидальной частотной характеристики составлена таб-
лица /7-функций?
3.	На основании какого свойства вещественно-частотной характеристики замк-
нутой системы разработана методика построения переходного процесса в САУ?
4.	В чем заключается методика адаптации переходного процесса в САУ
для единичной трапеции по /г-функциям с реальной вещественно-частотной ха-
рактеристикой замкнутой системы?
5.	В чем заключается методика понижения порядка уравнений движения
замкнутой САУ?
6.	Определите методику построения уравнений состояния систем автома-
тического управления.
201
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (САУ)
Глава 8. СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
СЛЕДЯЩИХ САУ
8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
Следящей системой называется система, в которой выходная ве-
личина с определенной точностью воспроизводит изменяющуюся по
произвольному заранее неизвестному закону входную величину
(управляющее воздействие).
Следящая система, в которой выходной величиной является ме-
ханическое движение, называется следящим приводом. Если у такой
системы выходной величиной будет угловая (или линейная) скорость,
то она будет называться скоростной системой следящего привода.
Если выходной величиной будет угол поворота (или линейное пере-
мещение), то система следящего привода будет называться позици-
онной [26].
Из определения следует, что характерным для следящих систем яв-
ляется то, что управляющее воздействие является неизвестной заранее
функцией времени .У Кроме того, в следящих системах измене-
ние управляющего воздействия в процессе работы происходит в широ-
ких пределах, в то время как возмущающее воздействие нагрузки не
имеет значительных и резких колебаний. В этой связи исследование ра-
боты следящих систем ведется в первую очередь с целью наиболее
точного воспроизведения сигнала задания. Следящая система отличает-
ся от систем стабилизации и программных тем, что в следящей САУ
управляемый объект - силовой исполнительный двигатель, а не техно-
логический процесс или агрегат либо станок. С этой точки зрения сле-
дящая система - усилитель мощности, точно преобразующий произ-
вольно меняющееся входное воздействие X в выходную величину
X(t) силового исполнительного двигателя Дальнейшее изложение
теории следящих систем будет связано с анализом обобщенной струк-
турной схемы, представленной на рис. 8.1.
Характерным здесь является наличие 100%-ной обратной связи.
Рис. 8.1
202
На основании уравнения рассогласования между сигналом зада-
ния и выходным сигналом
и уравнения движения разомкнутой системы
X(p)=W(p)S(p)
запишем выражения передаточных функций системы в замкнутом со-
стоянии и относительно ошибки, которые соответственно примут вид
(81)
(82>
Пример следящей системы по отработке заданного углового по-
ложения в виде функциональной схемы представлен на рис. 8.2. На
рис. 8.3 дана ее структурная схема.
Рис. 8.2
Кмв
Рр'мР + О
МС1(р)
®вх(Р)Л6(р)
—Г®-*
(-)
К<
и8(Р)Гк;
ТРр-Ы
им(р)
Км
р(тмр+0
J ®выхг(Р)
®вых|(Р)^®вых!Р)
®ВЫх(Р)
Рис. 8.3
Система состоит из сельсина датчика (СД) и сельсина приемника
(СП). Коэффициент передачи сельсинной пары обозначен Кс (см. рис.
8.3). Сигнал рассогласования сельсинной пары и $ поступает на вход ре-
„ ,	„ Uм(Р) К и
гулятора с передаточной функцией ш (р)=^£----=—£— Следует от-
1	и6(р) Трр+1
203
метить, что в передаточную функцию регулятора входят фазочустви-
тельный преобразователь, реализующий выпрямление переменного вы-
ходного напряжения сельсинной пары в постоянное напряжение и выде-
ление знака этого напряжения для определения направления движения
системы; силовой преобразователь, обеспечивающий питание силовому
исполнительному электродвигателю постоянного тока с постоянными
магнитами или с независимым возбуждением (на рис. 8.2 цепь возбуж-
дения не показана). Возможно наличие дополнительного промежуточно-
го электронного усилителя для обеспечения точности системы и допол-
нительных электронных устройств, обеспечивающих желаемый закон
движения системы. В этой связи выражение для передаточной функции
регулятора может быть весьма сложным, однако для понимания работы
системы примем регулятор в виде апериодического звена с эквивалент-
ным коэффициентом передачи Кр и эквивалентной постоянной времени
Тр  Передаточную функцию исполнительного электродвигателя примем
в виде последовательного соединения апериодического и интегрирую-
щего звеньев. Постоянную времени якорной цепи опустим ввиду ее ма-
К
лости, тогда ---------М----, где к - эквивалентный коэффициент
2	р(Тмр + 1)	М
передачи мотора по управляющему воздействию, равный произведению
коэффициента передачи электродвигателя и коэффициента передачи ре-
дуктора, и — электромеханическая постоянная времени электродви-
гателя. Передаточная функция двигателя совместно с редуктором по
К
возмущающему воздействию имеет вид щ <р)- МВ_____Силовой элек-
5 p(TMp+D
тродвигатель через редуктор (Ред.) перемещает объект управления (ОУ)
на заданный угол. Процесс перемещения закончится, когда угловое рас-
согласование между положением СД и СП будет равно 8-0 (теорети-
чески).
8.2. МЕТОДИКА СТРУКТУРНОГО СИНТЕЗА СЛЕДЯЩИХ САУ
Особенность структурного и параметрического синтеза следящих
систем заключается в том, что порядок астатизма системы и ее пара-
метры определяются значениями коэффициентов ошибок. Рассмот- •
рим подробно эту методику на примере следящей системы, описан-
ной в предыдущем параграфе. Для этого запишем выражение пере-
даточной функции системы по ошибке
204

p/CJ- S(P) - s(p) _ TpTMp3+(TP+TM)p2 + p	(8.3)
хзд(Р) въХ(р) ТрТмР3+(Тр+Тм)р2 + р+Кт’
где Тм — постоянная времени силового исполнительного двигателя;
ТР _ постоянная времени регулятора; Кт = КСКРКМ- произведение
коэффициентов передачи всех звеньев системы.
Разложим в степенной ряд по величине р передаточную функцию
по ошибке (8.3), получим соотношение между ошибкой б(р) и вход-
ным сигналом на систему #вх(р):
£(р) = СО0ВХ (р)+q р0вх (р)+р2ёвх (р)+....	(8.4)
В выражении (8.4) С0,С„ ... , Сп _ коэффициенты ошибок, кото-
рые находятся по зависимости
dlF(p)
dp‘ Jp=O
где (i~O,l...,n).
Перейдем от ряда (8.4), записанного относительно изображений, к за-
висимости методу соответствующими оригиналами. Получим новый ряд:
d(t)=Q9BX (рХО+сДх (0+Ах (0+...Цс„0Вх(”) (0  (8-5)
2!	и!
Найдем значения коэффициентов для рассматриваемой системы:
С учетом полученных значений коэффициентов ошибок зависи-
мость (8.5) примет вид
ZV у	ZV у
(8-6)
Анализ выражения (8.6) показывает, что если заданы входное воз-
действие 0ВХ&) и ошибки системы, то этим самым устанавливается по-
рядок астатизма системы и определяются ее параметры.
205
Если на вход системы подано ступенчатое воздействие 6^(1) = а,
то согласно (8.6) ошибка системы 8=0. Если сигнал на входе систе-
мы изменяется по закону 0BX(t)=at, то 8 = —, т.е. ошибка системы -
^7
постоянная величина, и по ее заданному значению определяется ко-
эффициент передачи системы в разомкнутом состоянии Если
Следует специально подчеркнуть тот факт, что полученные зна-
чения ошибок возникают при движении системы по заданному зако-
ну. В установившемся режиме статическая ошибка равна нулю.
Если нужно довести скоростную ошибку системы при действии
на ее входе линейно нарастающего во времени сигнала вDV(t) = at
Ьл
до нуля, то необходимо повысить астатизм системы до двух, т.е. вве-
сти в структуру следящей системы два интегрирующих звена или ис-
пользовать другой принцип управления. Проанализируем выражение,
устанавливающее связь между сигналом ошибки и выходной коорди-
натой системы. Согласно структурной схеме, представленной на рис.
8.3, получим
^b.x.1(/’VM^p3+^bIx.1(pXrw7’P)p2+^b,xl(p)=^^(p) . (8.7)
В режиме «постоянной заводки», т.е. когда входной и выходной
валы системы вращаются с постоянной скоростью со = р0вък, = const,
уравнение (8.7) упрощается и принимает вид
^У .ВЫХ 1 ~ К/З,	(8.8)
откуда получаем
8 =	(8.9)
/С«.
В этом случае ошибка называется скоростной, и она обозначается
g
v. Коэффициент передачи разомкнутой системы определяется соот-
ношением
<»у.ВЫХ.1
Лг - ё,	(8.10)
имеет размерность с~1 и называется добротностью следящей системы.
206
Следует рассмотреть действие возмущения со стороны нагрузки.
В этом случае учитываем действие нагрузки в виде дополнительного
звена с передаточной функцией w^(p), на вход которого прикладыва-
ется нагрузка в виде статического момента, а на выходе происходит
изменение положения выходной координаты от действия нагрузки
^bmxzCp) (см рИС g зу в этом случае выходная величина определя-
ется выражением
^вых(Р) = ^вых.1Ср) — ^вых.гСР)-	(8.11)
С учетом конкретной структурной схемы на рис 8.3 получим
Кт	К
______7______ ^мв
0„-------------------«„(₽)• <8.12)
Ух у
+ р{ТРр+1\Тмр+\) 1+Г(7;7+1)"(7’мр + 1)
Учитывая, что 0ВХ (р) = 8(р) + 0аах (р), из уравнения (8.12) по-
лучим
^х(р)[р(?;р+1Хг„р+1)+^-л:г]=
— 8{р)Кт-Кыъ(ТРр + \}М„{р).
В установившемся режиме имеем
^У.ВЫХ = SKT - ^мвЛ/ст-	(8.14)
Из выражения (8.14) находим ошибку регулирования для уста-
новившегося режима работы системы:
_ <УуВЫХ , ^МВ^СТ _ с . с	/о , еч
<> = —— + —р------= <>у+<>ст-	(8.15)
7х у	у
Из выражения (8.15) становится очевидным действие внешнего
возмущения. Эта погрешность остается в системе, когда входной вал
прекращает вращение.
Наряду с рассмотренными статическими ошибками системы,
имеющими место при установившемся режиме работы САУ, необхо-
димо отметить присутствие динамической ошибки 8Д, возникающей
при переходе из одного установившегося состояния в другое (напри-
мер при изменении скорости вращения вала сельсина датчика).
207
Качественная картина погрешностей в случае отработки линейно
нарастающего сигнала на входе системы при одновременном дейст-
вии статической нагрузки на исполнительный электродвигатель
представлена на рис. 8.4.
устойчивости Найквиста. Для этого найдем выражение для переда-
точной функции системы в разомкнутом состоянии:
И$(р)= £вых(Р) =-------------
£(р)	р(ТРр + Т)(Тмр + 1)
Здесь Кт - КМКРКС.
Представим (8.16) в виде
+(тг+тм)р2+р]=^г>(р).
(8.16)
(8-17)
Будем считать, что этой передаточной функции соответствует
АФЧХ, которая обеспечивает устойчивость системы в замкнутом со-
стоянии (не охватывает точку с координатами (-l,jO).
В режиме «постоянной заводки», т.е. при работе САУ в статиче-
ском режиме, из последнего выражения получим
8.3. ДИНАМИКА СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
ПРИ УПРАВЛЕНИИ В ФУНКЦИИ ОТКЛОНЕНИЯ
И ПРОИЗВОДНОЙ ОТ ВЫХОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
(8.18)
Определим добротность системы для случая, когда введена дополни-
тельная обратная связь по первой производной от выходной величины:
Структурная схема такой системы показана на рис. 8.5. Проведем
последовательно анализ следящей системы для случая, когда в цепи
обратной связи присутствует первая производная от выходной вели-
чины, и для случая, когда этот сигнал пропорционален второй произ-
водной от выходной величины.
Рис. 8.5
Рассмотрим устойчивость системы без контура местной обратной
связи по производным от выходной величины, а затем последова-
тельно учтем действие каждой производной на устойчивость систе-
мы. Анализировать устойчивость САУ будем с помощью критерия
^.,(Р) =
___ кРкм
^ВЫХ (Р)	Р(^иР + 1)(7рР + 1)
(р) С i + К„КмКжр
(TmP + WpP + ^P
(8.19)
_________КГКМКЖ__________
Р(7М р + 1)(Гг р +1) + К,.КМ Коср
Из полученной передаточной функции найдем соотношение ме-
жду выходной и входной величинами:
(р)['А7мр3 + (ГР + тм )р2 + р+ кРкмкжР] = К.г8(р). (8.20)
Преобразуем выражение (8.20). Для этого умножим и разделим
последнюю составляющую левой части уравнения на Кс и обозна-
К
чим—^ = /. С учетом сделанных замечаний зависимость (8.20) при-
Кс
мет вид
^Лр){ТрТмР' + (Г„ + Тм )р2 + р(1 + Кту)\= Кт8(р) (8.21)
208
209
Из (8.21) для установившегося режима будем иметь
а^ + Кту)=Кт8.	(8.22)
Из последнего выражения определим добротность следящей системы:
”“<51 + Кгу'
Из сравнения выражений для добротности САУ (8.19) и (8.23)
следует, что при введении локальной отрицательной связи по произ-
водной от выходной величины снижается добротность системы в
(1+ГКт) раз (Кп<КГ).
Снижение добротности системы приводит к тому, что с точки зре-
ния устойчивости у нее повышаются запасы устойчивости по модулю и
по фазе, но при этом снижается ее быстродействие и возможно увели-
чение статической ошибки. В этой связи считаем, что данный способ
обеспечения устойчивости является неудовлетворительным.
Учтем действие второй производной от выходной величины на
устойчивость системы (на рис. 8.5 это показано включением допол-
нительного звена, отмеченного пунктирными линиями). Определим
передаточную функцию в разомкнутом состоянии:
ff'M = 8вых(р)/8(р) = —1----------------у---. (8.24)
ТР1МР + (Тр+Тм+Кгу)р +р
В установившемся режиме (в режиме «постоянной заводки») из
полученной выше зависимости найдем
со - Кт8,
откуда
(8-25)
Из (8.24) следует, что при введении второй производной от вы-
ходной величины в управление не снижается добротность системы по
отношению к системе с пропорциональным управлением. Проанали-
зируем влияние второй производной от выходной величины на ус-
тойчивость САУ. Найдем выражение для обратной АФЧХ системы в
разомкнутом состоянии:
еР20о)=--^м>3	_у<02	(826)
210
Выражение для обратной АФЧХ системы с пропорциональным
управлением, полученное из передаточной функции (8.16), имеет вид
E(joj) = TpTMj(o {Гг + Тм)а> + ja>
Кг
По зависимостям (8.26) и (8.27) на рис. 8.6 построены обратные
АФЧХ системы с пропорциональным управлением (кривая 1) и с уче-
том второй производной от выходной величины (кривая 2).
Из рассмотрения АФЧХ следует, что устойчивость в случае вве-
дения второй производной от выходной величины улучшается за счет
составляющей поэтому введение в управление по второй или
более высокой производной от выходной величины является лучшим
вариантом повышения ее устойчивости при сохранении высокого бы-
стродействия и статической точности.
8.4.	ДИНАМИКА СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ ПРИ УПРАВЛЕНИИ
В ФУНКЦИИ ОТКЛОНЕНИЯ И ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Функциональная и структурная схемы такой системы показаны
на рис. 8.7 и 8.8 соответственно.
Сигнал, пропорциональный производной ошибке, вводится в
систему с помощью двух тахогенераторов Т{ и Т2, включенных на-
встречу друг другу (см. рис. 8.7). Тахогенератор Г, дает напряже-
ние, пропорциональное производной от входного сигнала, а тахо-
211
генератор Т2 - пропорциональное производной от 0вых(р). На вход
регулятора подается сумма двух напряжений
U(p) = Us(p) + VT(p) = KcS(p) + Ku;pS{p) (см. рис. 8.8). Наряду с ранее
введенными обозначениями на рис. 8.8 дополнительно обозначено
KTG - коэффициент передачи тахогенератора. Считаем их одинако-
выми с одинаковыми коэффициентами.
влияния введения производной от ошибки на устойчивость системы.
Для этого найдем выражение для АФЧХ разомкнутой системы и, ис-
пользуя критерий устойчивости Найквиста, оценим влияние произ-
водной от ошибки на устойчивость системы:
*№=-------------~----------+
-	-(Тр +TM)aS+J<o
Рис. 8.7
Рис. 8.8
-.П'РТиа5 ~(ТР + Тм)а> +ja>
Выражение (8.31) можно записать в виде
= Wx(ja>)+jY(oWx(j(o),	(8.32)
где Wx(jco) - АФЧХ разомкнутой системы с пропорциональным
управлением. Если предположить, что эта характеристика соответст-
вует неустойчивой системе в замкнутом состоянии (рис. 8.9, кривая
то из (8.32) следует, что второй член в правой части уравне-
ния представляет собой вектор, повернутый на +90° (против часовой
стрелки) относительно. Сумма этих векторов позволяет деформиро-
вать АФЧХ системы в сторону обеспечения ее устойчивости в замк-
нутом состоянии (кривая Wp(ja>) на рис. 8.9).
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
^ВЫХ(р) „ (^с	г^м
д(р)	Р(ТрР + ^ТмР + 1)
Из выражения (8.28) получим
Шр^р3 +(ТР+Тм)р2 + р^ = 3(р)Кг(\+ур), (8.29)
Г№У=К^;К,.=Кр-Км-Кта.
К-с
Из выражения (8.29) для установившегося движения (режим «по-
стоянной заводки») добротность системы определяется как
Кг
(8.30)
Следовательно, добротность системы по отношению к системе с
пропорциональным управлением не изменилась. Проведем анализ
На основании проведенного анализа можно утверждать, что при
введении в закон управления производной от ошибки системы приво-
дит к устойчивости системы или к повышению запасов устойчивости.
212
213
Проведем анализ ошибок в системе при различных сигналах зада-
ния на ее входе. Передаточная функция системы по ошибке имеет вид
ТР1мр +(ТР+7м)р + р
Г(р)^	= 1г1мР +^F'rjM,p ^р	(8.33)
0вх (Р) тРтм р3 + (ТР + тм)р2+а+кгГ)р+Кт'
Разложим (8.33) в степенной ряд и определим выражение для
ошибки системы:
ё{р)-^р0ъЛР) + ^[тр+Тм~Х-^Ар2в^р) + ... , (8.34)
Л у	Л у у	ГХу J
или в оригиналах
^(0 =	+ 7Л-рР + ТМ	рвх(0 •
Л у	л\. у V	Л у> J
(8.35)
Если сигнал задания $вх (г) = 1(1), то 8(f) = 0 -
CZ X а
Если 03X(t) = at^ то — •
л7.
at2 xfA- at л. а (т мт Х +
Если,0вх(/) = — то	Кт ]•
8.5.	ДИНАМИКА СЛЕДЯЩЕЙ САУ
С КОМБИНИРОВАННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
Следящей системой с комбинированным управлением называется
система, в которой управляющий сигнал на исполнительный двига-
тель пропорционален как ошибке, ее производной и интегралу, так и
внешнему воздействию и его производным [27].
На предыдущих примерах показано, что введение в управляющий
сигнал производных улучшает динамику системы, поэтому, вводя в
управление комбинацию сигналов в различном сочетании, добивают-
ся желаемых динамических показателей качества системы. Пример
комбинированной системы в виде функциональной схемы представ-
лен на рис. 8.10, а соответствующая ей структурная схема — на рис.
8.11. На указанных схемах введенные обозначения аналогичны обо-
значениям на предыдущих схемах. Здесь внешним воздействием яв-
ляется сигнал производной от входного сигнала.
214
Рис. 8.10
Рис. 8.11
Из структурной схемы определяем выражение для выходной ве-
личины:
(8.36)
в (р) кскркм в / \_________кпРК)>Ки___
в (г)- ™ рКр+»(?»+и , mpaFp+i)aM+i)
ВЫХ \1J	V V	V If V
I 4-	•_САРЛЛ/___ у +_______
р(Трр + 1)(Тм+1)	р(ТРр + 1)(Тм+1)
_	^вх(р)^;___(___&вх,КгРР
р(ТРр + 1)(Тм +1) р(Тгр+1)(Тм +1)’
Р-~.
Из выражения (8.36) определим передаточную функцию системы
в замкнутом состоянии:
И3^	= ¥тТ =-------з -К^+рР\---------.	(8.37)
<9вх(Р) ТрТмр^+(ТР+Тм)р^ + р +К7
Из характеристического уравнения движения замкнутой системы
(знаменатель передаточной функции (8.37)) становится очевидным,
что оно ничем не отличается от аналогичного уравнения с пропор-
циональным управлением. Это позволяет сформулировать вывод:
введение в закон управления системой сигнала, пропорционального
производной внешнего воздействия, не влияет на устойчивость сис-
215
темы. Следовательно, если система с пропорциональным управлени-
ем обладала запасами устойчивости по амплитуде и по фазе, то вве-
дение в закон управления сигнала по производной от входного сигна-
ла не изменит этих запасов устойчивости.
Проанализируем введение упомянутого сигнала на показатели
качества переходного процесса. Анализ проводим на основе сравне-
ния соответствующих АФЧХ. Для этого найдем выражение для
АФЧХ замкнутой системы с учетом введенной производной от вход-
ного сигнала и проведем сравнение с АФЧХ системы с пропорцио-
нальным управлением. После замены в (8.36) выражение для АФЧХ
примет вид
(j(0) =_______+ __________________
- тртм J^3 +	)<у? + ./<» +	(8.38)
Из (8.38) найдем выражение для АЧХ:
4(®)=|»ЧН =
[кг -fc + 7„И + [со-тдм(о3]
(8.39)
Выражение для АЧХ с пропорциональным управлением имеет вид
л ЛЛ I	К2
ДА®)--, Г z V ,12 Г	,12 .
] -(г»+гм)®2Г +
(8.40)
Из сравнения формулы (8.39) с формулой (8.40) следует, что
4(Ю)=ЛШ + ^2®2 •	(8-41)
Из (8.41) в свою очередь следует, что для всех частот
Кроме того, из (8.41) следует, что максимум АЧХ для
4i(®)~ т.е. в системе с комбинированным управлением по
ошибке и производной от входного сигнала, величина перерегулиро-
вания будет выше, чем в системе с пропорциональным управлением.
Рассмотрим ошибки, имеющие место в системе в установившем-
ся режиме ее работы. Для этого найдем выражение передаточной
функции системы по ошибке:
Г(р) = 1-И--(Р) =
т^+д.+г^р1+(1-^г)Р
ТрТмР3 +(Т), + Тм)рг+р+Кт
(8.42)
Из выражения (8.42) после разложения его в степенной ряд получим
216
<?(O=1-^^Bx(O + ^pp+rjw-l-^kx(/)+... . (8.43)
Лу	/С j. I	Л. j- J
Анализ (8.43) показывает, что статическая ошибка равна нулю, а
значения скоростной ошибки и ошибки по ускорению могут быть су-
щественно снижены по сравнению с системой с пропорциональным
управлением за счет регулирования коэффициента передачи дополни-
тельной связи Кп, который участвует в формировании коэффициента.
На основании рассмотренного можно сделать вывод: при введе-
нии в закон управления дополнительной связи по производной от
внешнего сигнала или от сигнала ошибки улучшается устойчивость
системы по сравнению с системой с пропорциональным управлением.
Добротность следящей системы при этом не снижается.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 8
1.	Что называется следящей системой?
2.	Как влияет введение второй производной от выходной величины на ус-
тойчивость системы?
3.	Дайте определение коэффициента добротности следящей системы.
4.	Представьте структурную схему и дайте определение системы с комби-
нированным управлением.
Глава 9. СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
ИНВАРИАНТНЫХ САУ
9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ САУ
Инвариантной САУ называют систему, в которой структурно
реализована компенсация влияния внешних воздействий, приложен-
ных к ее звеньям (элементам).
Основной целью исследования таких систем является определение
необходимой структуры системы управления и ее параметров, при кото-
рых влияние внешних возмущений произвольного вида в минимальной
степени сказывались бы на протекании процесса управления.
Теоретически можно обеспечить компенсацию всех возмущений,
приложенных к системе, в случае, если они могут быть измерены со-
ответствующими датчиками. Такие системы называются абсолютно
инвариантными. Однако следует отметить, что при решении практи-
ческих задач, как правило, решающее влияние на показатели качества
оказывают одна или две основные помехи, поэтому для практических
217
целей наибольший интерес вызывает синтез инвариантной системы
по одному или нескольким основным помехам. Такие системы полу-
чили название «инвариантные до малой наперед заданной величины
погрешности в показателях качества».
Отметим некоторые особенности терминологии. Понятие «силь-
ная инвариантность» означает, что условия минимизации ошибки в
показателях качества системы выполняются во время всего интервала
управления. При «слабой инвариантности» условия поддержания
требуемой точности выполняются в момент Г=Т.
Идея принципа инвариантности впервые была выдвинута в 1938
г. профессором Г.В. Щипановым и получила развитие в исследовани-
ях, выполненных под руководством Н.Н. Лузина, В.С. Кулебакина,
Б.Н. Петрова [27, 28, 29].
Рассмотрим в деталях идею принципа инвариантности на приме-
ре схемы системы, представленной на рис. 9.1. В этой типовой схеме
регулирования выходной величины по принципу «отклонения» необ-
ходимо создать свойства независимости координаты Y(t) от действия
внешнего возмущения F(t) к звену САУ, т.е. обеспечить инвариант-
ность системы по отношению к возмущению F(t). Для выполнения
поставленной задачи необходимо обосновать требования к регулято-
ру системы, его структуре.
Рис. 9.1
Определим передаточную функцию контура системы, образован-
ного звеньями Wt(p), W?(p),W6(p):
W(p)W (р)
wK(p)=--------------------
l±»j(p)lF2(p)lP6(p)
(9.1)
Знак обратной связи в локальном контуре определится исходя из
требований по обеспечению инвариантности системы по отношению
к возмущению F(p).
218
Найдем изображение выходной величины Y(p):
^Р^Р>*4(Р)
Р> ^+^к(р)^3(р)^4(р)^5(р)
-F(P)- -	______
и э+^(р)^3(рЖ4(рЖ5(р)’
По определению для инвариантной системы необходимо обеспечить
Е(р)_____________________О
^^К(р)^3(р)^4(р)^5(р)
(9-2)
(9-3)
Выполнение условия (9.3) возможно, если
ИУP)w?(Р) = 0 или 1 + WK{p)W3(p)W^P)Ws(p) = со. (9.4)
Из анализа соотношений (9.4) следуют выводы:
а)	для обеспечения инвариантности необходимо, чтобы передаточ-
ная функция объекта управления (или его часть в случае сложного ма-
тематического представления модели объекта) РГ4(р)->0. В этом .слу-
чае действие возмущения F(p) не проходит на выход системы. Однако
реально это требование невыполнимо, поскольку в этом случае и сиг-
нал задания не сможет оказывать управляющего воздействия на объект
управления, т.е. теряется управляемость объектом (процессом). Звено
передачи воздействия W7( р) не может иметь значение W7(p) = 0;
б)	для обеспечения инвариантности при И4(р)^0 необходимо
обеспечить второе из условий (9.4), а именно
1 + И/к(руг3(р)ИЛ4(р)ИЛ5(р)=<ю- Это возможно в случае, если внутренний
контур будет иметь положительную обратную связь и передаточная
функция в цепи обратной связи определится из условия
1 =zWl(p)W2(p)W6(p). Однако при стремлении передаточной функции
внутреннего контура WK(p) к «> система теряет устойчивость. В этом
случае существенную роль начинают играть малые постоянные вре-
мени динамических звеньев системы, которые были опущены ввиду
их малости (например в электромеханических САУ постоянные вре-
мени отдельных электронных устройств по сравнению с постоянны-
ми времени электродвигателей) или вообще не рассматривались при
составлении математической модели.
Из вышерассмотренного следует, что принципиально невозмож-
но создать инвариантную САУ в схеме регулирования по принципу
«регулирования по отклонению» только за счет формирования внут-
ренних контуров, противодействующих внешним помехам.
219
Условия физической реализации инвариантной САУ проиллюст-
рируем на примере схемы, представленной на рис. 9.2. Основой этой
схемы является САУ, показанная на рис. 9.1, к которой добавлен до-
полнительный контур прохождения возмущения через динамическое
звено с передаточной функцией Ws(р).
Рис. 9.2
Найдем изображение для выходной координаты Y(p):
(9.5)
^ + ^(рШрШр)^(р)
+ р( ^(PWPK(P)
(Р,1+^(р)^(рШрШр)-
_ F(P)___fW)^(p)____
^1 + ^(pW3(p)^(pWs(p)'
Согласно определению инвариантности системы из (9.5) следует
условие ее получения:
f?8(p)IP3(p)-W7(p)
^^(рШрШрШр)
Анализ выражения (9.6) указывает на возможность получения
инвариантной САУ в следующих случаях:
а)	если 1 + WK(p)H'r3(p)liK4(p)W5(p) »«>, т.е. за счет положитель-
ной обратной связи во внутреннем контуре. Этот путь неприемлем из
условия устойчивости САУ;
б)	если ^g(p)f^3(p) = f^7(p)  Этот случай позволяет подойти к
практической реализации принципа инвариантности в САУ. Для это-
го необходимо реализовать звено с передаточной функцией

W7(p)
^з(р) ’
(9.7)
220
Условие (9.7) является необходимым, достаточное условие - воз-
можность точной реализации этой передаточной функции. Последнее
является непростой технической задачей. Проиллюстрируем это на
примере электромеханической системы, в которой передаточная
функция W7(p) -K-j, передаточная функция составляющей объекта
К
управления имеет вид колебательного звена И/3(р) = —5-5—2---.
Т3 р + 2сТ3 +1
В этом случае передаточная функция, реализующая инвариантные
свойства САУ, должна иметь вид
^«(Р) = -7-^3^2 + 2eT^p-+li.	(9.8)
К3
Выражение (9.8) указывает на то, что инвариантные свойства
системе обеспечивает дифференцирующее звено второго порядка, ко-
торое не всегда возможно реализовать идеально.
Главный вывод из проведенного анализа сводится к тому, что только
в случае создания второго контура прохождения сигнала, пропорцио-
нального внешнему возмущению (с передаточной функцией Wg(p) на рис
9.2), принципиально создаются условия, при которых сигналы, пропор-
циональные возмущению, встречаются в одной точке (точка «А» на рис
9.2) и могут взаимно «уничтожить» друг друга и таким образом обеспе-
чить независимость управляемой координаты от действия помехи, т.е.
создать инвариантную САУ по этому возмущающему воздействию.
Вопрос полной или частичной компенсации решается в зависи-
мости от возможности реализации требуемого динамического звена и
заданных статических и динамических показателей качества системы.
9.2.	ИНВАРИАНТНОСТЬ САУ
ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ СПОСОБЕ УПРАВЛЕНИЯ
С целью проведения анализа возможности реализации инвари-
антной САУ при комбинированном способе управления рассмотрим
структурную схему, представленную на рис. 9.3.
Рис. 9.3
221
Составим уравнения движения для данной системы:
У(р) =	+ F(PWSP):
E(p) = X(p)-Y(p)W3(p)-,	(9.9)
^р)^(р)[Е(р)-1У5(р)Р(Р)].
Из системы уравнений (9.9) получим выражение для выходной
координаты в виде
Г(р)=х(р)	^2(Р)	 1+^(р)^2(р)^(р) F(P1 ^(p^(pW,(p)-^(p) 1 + И'(р)№2(р)№3(р)	’ откуда условие инвариантности представим в форме	(9.10)
И;(р)И'2(рЖ(р)-^(р) = 0.
(9.11)
Полученные уравнения (9.10), (9.11) показывают, что между усло-
виями инвариантности и устойчивости нет противоречия. Обеспечивая
средствами коррекции устойчивость движения замкнутого контура, оп-
ределяемого передаточной функцией знаменателя в (9.10), добиваемся
того, что корни характеристического уравнения движения САУ будут
отрицательными вещественными числами или комплексными сопря-
женными, но с отрицательной действительной частью.
Из (9.11) передаточная функция звена, обеспечивающего инвари-
антные свойства системы по отношению к внешнему возмущению
F( р), будет найдена по зависимости
W5 (р) = —.	(9.12)
Выражение (9.12) представляет необходимые условия для достиже-
ния полной инвариантности по отношению к данному возмущению.
Достаточные условия достижения полной инвариантности определяются
средствами конструирования звена с передаточной функцией W5(p).
9.3.	ПРИМЕР СИНТЕЗА ИНВАРИАНТНОЙ СВЯЗИ
ДЛЯ САУ СТАБИЛИЗАЦИИ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ
ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
Функциональная схема системы показана на рис. 9.4. На схеме
обозначено: М - исполнительный электродвигатель постоянного тока
с независимым возбуждением; ЭММ — электромагнитная муфта,
222
осуществляющая передачу движения от М к исполнительному меха-
низму и реализующая измерение момента или усилия (возмущения)
со стороны механизма на электродвигатель; TG - тахогенератор, яв-
ляющийся датчиком частоты вращения электродвигателя, с помощью
которого реализована обратная связь по скорости; Ред. - редуктор,
связывающий М с механизмом; /? _ потенциометр, формирующий
сигнал задания (7 ; RK, Ск _ элементы корректирующего звена, обес-
печивающие устойчивость замкнутой САУ; Uoc _ сигнал обратной
связи; R - настроечное сопротивление.
Схема работает следующим образом. Сигнал задания L7 и сиг-
нал обратной отрицательной связи U образуют разность Us, кото-
рая приложена к промежуточному усилителю ПУ. Последний форми-
рует сигнал управления силовым усилителем мощности УМ, напря-
жение с которого прикладывается к якорю исполнительного электро-
двигателя М. Электродвигатель через ЭММ и Ред. приводит в движе-
ние механизм, перемещающийся на направляющих скольжения Н. В
результате движения и реализации технологических операций проис-
ходят вариация нагрузки на электродвигатель и вариация статической
ошибки управления.
Необходимо в этой схеме сформировать инвариантную связь, ко-
торая минимизирует ошибку системы (в идеале доводит ее до 0) от
действия нагрузки со стороны исполнительного механизма. Звено,
обеспечивающее искомую связь, включается в цепь электромагнит-
ной муфты передачи движения (Wm(p) на рис 9.4), поскольку сигнал
выхода ЭММ пропорционален действию внешней помехи.
223
Для решения поставленной задачи представим структурную схе-
му системы.
г;(р)

— передаточная функция электродвигателя;
Рис. 9.5
На рис. 9.5 введены следующие обозначения и значения переда-
точных функций системы:
Км ... 5,4
Тмр+1 0.2р +
тм = 0,2 с - электромеханическая постоянная времени; км=5,4 (Вс)"'
ил ( \	530
-коэффициент передачи мотора; WMF\jp)= р p + i~ oYp+1 _ пеРеда~
точная функция электродвигателя по возмущающему воздействию;
К, = 530 (с кгм )-1 ~ коэффициент передачи двигателя по возму-
щающему воздействию; KJG = 0,0095 (В с) - коэффициент передачи
цепи обратной связи; Кг=КпуКум=200-,
- передаточная
функция промежуточного усилителя и усилителя мощности, соеди-
ненных последовательно; Т = 0,04 с - постоянная времени проме-
жуточного усилителя; Т = 0,09 с — постоянная времени усилителя
мощности; №к(р)= Тк р=0,001/7 - передаточная функция корректи-
рующего звена.
На основании рассмотренной выше теории формирования инвари-
антных связей запишем условие инвариантности для нашего примера:
^КОНтСрЖм (Р)^Ин(р) *МАр)~ 0.
224
Здесь
уу < р\ _	^ЛГ(р)	_________Кр__________
конг 1+»^(р)^ш(рЖк(р) ТтТшрг+(Тт+Ттр+Тк)р^
200
0,0036р2 + 0,ЗЗр + 1
-передаточная функция внутреннего контура.
Из условия инвариантности найдем передаточную функцию ин-
вариантного звена:
^(й-;г2^.»«4М>ЮД£Ц)=0,49«),«й;>!+03зр+.).
Анализ полученного условия показывает, что для реализации ин-
вариантных свойств системы по отношению к единственному внеш-
нему возмущению со стороны нагрузки F(p) необходимо создать
дифференцирующее звено второго порядка. Такое звено может быть
реализовано только с определенной степенью точности. За основу
примем реальное дифференцирующее звено вида, показанного на
рис. 9.6. В силу того, что в данном примере необходимо иметь диф-
ференцирующее звено второго порядка, инвариантная связь должна
содержать последовательное соединение двух таких звеньев. Обозна-
чения параметров второго звена на рис. 9.6 взяты в скобки.
W‘H(p)
Рис. 9.6
Передаточная функция звена такого вида
W^(p) =
K0(TlP + l\T2p + l)
(к,т1Р+1\к2т2р + 1У
п	D
где K^y^T^R'c‘> T’=R’C’>
к^к.к^-
С,(р) ~ реальная передаточная функция инвариантной связи;
225
К - коэффициент передачи электромагнитной муфты совместно с
дополнительным электронным усилителем, осуществляющим согла-
сование сопротивлений двух звеньев, формирующих инвариантную
связь.
Приближение реального звена к идеальному достигается при зна-
чениях /<|=А'2=0-05[29]. В этом случае
G,W25KM\T}T2p2 +(Т, + 72)p + l]
И'ин(Р) = —-----Ц--------------Г - •
0,00257,72/> +0,05(7, + 7,)р + 1
Приравнивая значения требуемой инвариантной связи W иц{р)
/
к ее значению из условия физической реализации W (р) , найдем
параметры звеньев инвариантного звена:
0,0025Л’м[7'|7’2р2+(7’1 +Т’2)р + 1]=0,49(0,ООЗ/з2 +0,33/7 + 1)
- [о,00257,7, р2 + 0,05(7, + Т2)р + 1].
После преобразования последнее выражение примет вид
0,0051КМ Т,Т2р2+(т, + Т2)р+1 = 0,0036-0,0025 Т,Т2р4 +
+ [0,0036  0,05(Т, + Т2)+ 0,033  0,0025 Т,Т2 ]р3 +
+ [0,0036 + 0,33 • 0,05(Т, + Т2) + 0,0025 Т,Т2]р2 +
+ [0,33 + 0,05(Т, + Т2)]р+1.
Уравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р для поли-
номов в правой и левой частях, получим
7, «0,315с; Т2 «0,35с; Км -196.
Окончательно схема инвариантной связи представлена на рис. 9.7.
По известному значению коэффициента передачи электромаг-
нитной муфты определим требуемое значение коэффициента переда-
чи для усилителя в цепи инвариантной связи. Из примера становится
очевидным, что удалось реализовать искомую связь не идеально, а с
некоторым приближением.
226
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 9
I.	Дайте определение инвариантной САУ.
2.	Какое основное условие достижения инвариантности в схемах по «от-
клонению»?
3.	Возможно ли реализовать инвариантность в случае косвенного измене-
ния возмущений?
4.	Определите понятия «сильная инвариантность» и «слабая инвариант-
ность».
Глава 10. СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
10.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ АДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ
Достижение высоких показателей качества для выпускаемой
продукции в отраслях народного хозяйства требует реализации по-
вышенной точности каждой технологической операции, что встреча-
ет определенные трудности из-за неполной априорной информации
об объекте управления и широкой вариации внешних воздействий,
приложенных к нему.
В этой связи достижение повышенных показателей качества для
выпускаемой продукции возможно в случае использования текущей
(рабочей) информации о ходе технологического процесса для форми-
рования структуры САУ и выбора ее параметров, т.е. необходимо
адаптировать структуру системы в соответствии с требованиями к
показателям качества в условиях изменения внешних воздействий и
свойств объекта управления.
Адаптивной САУ называется такая система, которая автоматиче-
ски меняет свою структуру или параметры звеньев, или то и другое
одновременно по определенному алгоритму, приспосабливаясь к из-
менению внешних условий и свойств объекта управления с целью
обеспечения требуемого показателя качества управления.
Эти процедуры поднастройки должны осуществляться с помощью
цепей самонастройки. Наличие таких цепей выделяет адаптивные сис-
темы относительно ранее рассмотренных обыкновенных систем.
227
На основании рассмотренного можно утверждать, что адаптивная
САУ должна содержать в своей структуре устройство, которое авто-
матически подстраивает регулятор по рабочей информации о процес-
се и внешних воздействиях. Это может быть реализовано за счет ре-
гулирования параметров в контуре жесткой структуры, либо за счет
структурного изменения системы, либо за счет одновременного из-
менения и параметров, и структуры. Обобщенная схема адаптивной
САУ показана на рис. 10.1
Рис. 10.1
Первыми исследованиями в области теории и практического
применения адаптивных САУ были работы Б.С. Балакшина и пред-
ставителей его школы [11, 30], В.В. Солодовникова и представителей
его школы [6].
10.2.	СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ АДАПТИВНОЙ
САМОНАСТРАИВАЮЩЕЙСЯ САУ
СТАБИЛИЗАЦИИ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ
В самонастраивающихся системах адаптация осуществляется пу-
тем изменения значений параметров регулятора. Большинство адап-
тивных САУ такого типа используют вариант с «эталонной моде-
лью». Модель дает на своем выходе «идеальный» или требуемый ста-
тический и динамический режимы работы системы. Эталонная мо-
дель может быть реализована на аналоговой или цифровой вычисли-
тельных машинах. На вход эталонной модели поступает тот же сиг-
нал, что и на вход реальной САУ, - сигнал X. Выходные сигналы Y
системы и YM модели сравниваются в устройстве сравнения и обра-
зуют сигнал ошибки. Этот сигнал является входным для устройства
настройки. Механизм настройки может быть как механическим, так и
электрическим или смешанным.
228
Главное заключается в том, что механизм настройки должен сво-
дить к «О» сигнал ошибки AY —» 0. Обобщенная функциональная
схема системы приведена на рис. 10.2.
Рис. 10.2
Следует особо подчеркнуть, что механизм настройки должен
иметь быстродействие, на порядок большее, чем время, в течение ко-
торого существует величина разности между реальным процессом и
его моделью. Допустим, что регулятор совместно с корректирующим
звеном имеет передаточную функцию вида Wp(p)= — ~ а объек-
том является двигатель постоянного тока с передаточной функцией
т ? + ] и обратная связь реализована с помощью тахогенера-
тора с передаточной функцией ^ос(р)=; ктв • В этом случае переда-
точная функция замкнутой системы имеет вид
= T Т п^(т .TrVl/u.y г г •	(!0Л)
\Р) YMTpp + (ГМ +Тр)р +1 + КмКрКтс
Из выражения (10.1) получаем
х(р)=\гпр2 + Т!Р + ^ок(р)	(10.2)
или в форме дифференциального уравнения
< '°л
В выражениях (10.1), (10.2), (10.3)
Т2
ТмТр . у _ Тм+Тр & _ 1 + КМКРКТС)
КмКр’ 1 КмКр’ ° КМКР
229
Для эталонной модели должны получить
, \ d2YM dYu
A^a2-^r + a1-^- + aBYM.	(Ю.4)
В силу того, что левые части (10.3) и (10.4) равны, должны быть
равны и правые части, а поэтому
а -Т2 - -л -Т-Т"+Тра - К - +
а2 - 2о -	- а,-1! - „ „ , ав-ко--——--- (Ю.5)
Таким образом, чтобы обеспечить адаптивные свойства системе,
необходимо постоянно выполнять условия (10.5). Это возможно за
счет изменения постоянной времени регулятора Тр и его коэффици-
ента передачи КР.
При стремлении коэффициента передачи разомкнутой системы к
бесконечно большой величине (для систем, уравнение движения ко-
торых не более второго порядка) возможно структурное построение,
как показано на рис. 10.3.
Для основного контура передаточная функция в замкнутом со-
стоянии имеет вид
^(р) =
110.6)
у(р)_ KPWn
х(р) 1+K,,WO-
Внешнее
В выражении (10.6) КР коэффициент передачи регулятора;
№0(р) -передаточная функция объекта управления.
В случае когда /^->00, W0(p)Kp »1, поэтому f¥3(p)^l. Это го-
ворит о том, что замкнутый контур повторяет на выходе сигнал вхо-
да. В связи с этим, задавая нужный сигнал на модель, можем его вос-
произвести на выходе с высокой степенью точности независимо от
вариации внешних воздействий в широких пределах. Поддерживать
можно, например, для системы 2-го порядка по наличию ав-
токолебаний в цепи обратной связи (предельного цикла).
230
10.3.	ПРИМЕР СИНТЕЗА АДАПТИВНОГО РЕГУЛЯТОРА
ДЛЯ САМОНАСТРАИВАЮЩЕЙСЯ САУ
Рассмотрим пример построения адаптивной САУ, предназначен-
ной для стабилизации усилия резания при обработке деталей точени-
ем на токарном станке [31 ]. Как было рассмотрено выше, усилие ре-
зания Р определяется через подачу инструмента S (мм/об), скорость
резания Vp (мм/мин.), глубину резания t (мм), т.е РE=ftS.Vp,t). Функ-
циональная схема основного контура стабилизации усилия показана
на рис. 10.4.
Рис. 10.4
На рис. 10.4 введены следующие обозначения; &о ~
= 50 + 100
S
- коэффициент передачи объекта. Разброс в значениях коэффициента
определяется различными свойствами разных материалов и даже раз-
бросом твердости в различных деталях из одного материала. В этих
условиях стабилизацию усилия резания Р£ возможно поддержать за
счет изменения коэффициента передачи, например, промежуточного
усилителя Кп.
Схема работает следующим образом: при изменении К сигнал с
датчика Д2 и с модели имеют разность AU, которая изменяет коэф-
фициент передачи промежуточного усилителя Кц. Благодаря этому
возможно стабилизировать усилие Выбор элементов контура
адаптации осуществляется следующим образом: допустим, что коэф-
фициенты передачи датчиков Д1 и Д2 одинаковы и равны КД=КД2=1
(для простоты расчета) Усилие резания равно (см. рис. 10.4.)
РЕ = KpUg- Здесь принято	где ^мм - коэффициент пе-
редачи исполнительного механизма ИМ. Значение иопределяется
231
rJ _ ^СОМ	Р - К U(:0M тт
по формуле - & +j, следовательно, z :" ' ' д; + j • Имея в виду
эту зависимость, найдем ошибку между моделью и текущим значени-
ем усилия резания:
~ К-м^сом ~ КР ..С°\ — Ucom) ~ Р .	(10.7)
1\.р -г J	I	Л.р + 1 J	4	7
В (10.7) наряду с известными введено обозначение К -
коэффициент передачи модели
В силу того, что адаптивная система должна обеспечить значение
AU = 0, из (10.7) получим
11,181
Поскольку значение Кр определяется из статического расчета
системы, то желаемое значение коэффициента передачи модели вы-
числяется по зависимости
Км.ж=7~Ч-	П0.9)
Лрж +1
Допуская для рассматриваемого примера 10, получим Кмж
= —. Предложенный здесь подход верен в случае, если изменение
параметров системы происходит с большей скоростью по отношению
к изменению внешних возмущений.
10.4.	АДАПТИВНЫЕ САУ С ОПТИМИЗАЦИЕЙ КАЧЕСТВА
УПРАВЛЕНИЯ (ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ)
Создание систем такого класса возможно только в случае, когда ха-
рактеристика объекта управления имеет ярко выраженную экстремаль-
ную характеристику, т.е. характеристику, содержащую минимальную
или максимальную точки. Заметим, что для создания таких систем кроме
наличия характеристики с экстремумом не требуется знаний формы свя-
зи между состоянием управляемого объекта и управляющего воздейст-
вия, а также количественных данных об этой связи. Все это устанавлива-
ется по рабочей информации в процессе управления качеством.
Задачей системы экстремального управления является автомати-
ческий поиск и поддержание на найденном уровне такого значения
управляющего воздействия, которое соответствует оптимальному
232
режиму работы управляемого объекта. Под оптимальным режимом
следует понимать такой режим работы, при котором некоторая функ-
ция «У» регулирующего воздействия «У» принимает минимальное
или максимальное значение Y=f(X)=YMAX . Примером таких систем
могут быть САУ стабилизации температуры нагрева слитков, КПД
электрических двигателей в мощных электроэнергетических или
электромеханических установках, производительность в электроэро-
зионных станках в зависимости от зазора между электродами и т.д.
К настоящему времени сформировались следующие основные
категории экстремальных систем: системы с запоминанием экстре-
мума; системы шагового типа, реагирующие на знак приращения вы-
ходной координаты (параметра); системы, реагирующие на знак или
dY
величину производной выходной координаты (параметра) “тдг или
dK
d ; системы со вспомогательной модуляцией.
Рассмотрим последовательно некоторые из упомянутых САУ с
позиций их структурного содержания для достижения поставленной
цели - нахождение и стабилизация максимального или минимального
значения выходной координаты (параметра) управляемого объекта.
10.4.1.	СИСТЕМЫ С ЗАПОМИНАНИЕМ ЭКСТРЕМУМА
Функциональная схема такой системы представлена на рис. 10.5.
Принцип работы сводится к тому, что переключения сигнала на ИМ
происходят в функции разности между наибольшим достигнутым в
предыдущие моменты времени значением выходной координаты Y МАХ
и ее текущим значением Y.
Рис. 10.5
233
На рис 10.5 обозначено: ИМ - исполнительный механизм; СР
сигнум реле; ЗУ - запоминающее устройство. Эти элементы являются
обязательными в структурной схеме системы. Схема работает сле-
дующим образом. На сигнум реле подается разность сигналов между
текущим значением выходной координаты У и ее значением в пре-
дыдущие моменты времени. Сигнал разности формируется с помо-
щью схемы, показанной на рис. 10.6. Контакт К(.р замыкается всегда
при срабатывании реле СР. Допустим, что в момент времени t/ со-
стояние объекта характеризовалось точкой М (Х^У^ на диаграмме,
показанной на рис. 10.7.
Рис. 10.6
Рис. 10.7
Рис. 10.8
Устройство запоминания ЗУ экстремального регулятора запом-
нило эту точку М (Х^УДопустим также, что значение X при этом
стало возрастать, и согласно статической характеристике объекта
(см. рис. 10.7) величина У уменьшается. На выходе устройства ЗУ
получаем разность Y-Yj. При достижении этой разности величины
порога срабатывания СР последнее подаст команду на реверс ИМ, и
ЗУ запомнит теперь точку М2 (X2:Y2). В точке 3 (см. рис. 10.7, 10.8)
будет достигнута максимальная величина У, после чего дальней-
МАХ 5
шее уменьшение величины X приведет к тому, что значение Y будет
уменьшаться. Иа выходе ЗУ формируется разность потенциалов. При
достижении порога срабатывания СР, последний изменяет поляр-
ность сигнала на ИМ, т.е. произойдет реверс. Этот процесс будет по-
вторяться постоянно во все время работы системы. Изменение вы-
ходной координаты (параметра) показано на рис. 10.8. Следует отме-
тить, что устройство, обозначенное как ИМ, может включать в
свою структуру самостоятельную замкнутую систему аналогового
или релейного принципа действия. В этом случае сигнал является
сигналом задания для такой системы. Принципы ее проектирования
были подробно изложены в предыдущих главах.
234
10.4.2.	ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ САУ ШАГОВОГО ТИПА
Системы такого типа подстраиваются при изменении знака
приращения выходной (управляемой ) координаты. Функциональная
схема такой системы с обязательным перечнем аппаратуры представ-
лена на рис. 10.9. Изменения в выходной координате У фиксируются
в дискретные моменты времени благодаря внедрению в схему им-
пульсного элемента ИЭ1. Звено ЗУ запоминает значение выходной
величины в предыдущий момент времени Yn_] и подает его в теку-
щий момент времени tn на узел сравнения с сигналом Yn. На выходе
узла сравнения получаем разность 4Y = Yn-Yn_,. в случае, если
AY>0, формируется команда на ИМ «вперед», и если AY<0, то ко-
манда «назад». ИЭ1 и ИЭ2 работают синхронно.
Рис. 10.9
Процесс работы экстремального регулятора представлен на рис. 10.10.
Если начальное состояние объекта характеризовалось точкой
на его статической характеристике и в момент времени t]
включен экстремальный регулятор, то через период времени испол-
нительный механизм перемещает управляемую координату согласно
статической характеристике. При изменении знака отклонения ис-
235
полнительный механизм изменяет состояние выходной координаты в
противоположном направлении, и выходная величина У будет совер-
шать колебания относительно максимальной точки статической ха-
рактеристики объекта. Амплитуда этих колебаний прямо пропорцио-
нальна дискретности, скорости изменения выходной координаты.
10.4.3.	ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ САУ,
dY
РЕАГИРУЮЩИЕ НА ЗНАК ПРОИЗВОДНОЙ ~
dX.
Работа такой системы и перечень обязательных элементов пред-
ставлены на рис. 10.11. Схема содержит блоки формирования первой
производной от входной и выходной величин на объект управления.
Выходные сигналы этих блоков поступают на блок деления (система
нелинейная), и сигнал, пропорциональный производной выходной ве-
„ pH
личине по входной — , воздействует на регулятор, который форми-
у (лЛ. J
рует сигнал управления на исполнительный механизм, и последний по-
зволяет поддерживать максимальное значение выходной величины.
Рис. 10.11
10.4.4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
СО ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
В основе этого метода лежит свойство объекта с экстремальной
статической характеристикой менять фазу входного синусоидального
воздействия на 180° при переходе точки экстремума. Это свойство
объекта иллюстрируется графиком, представленным на рис. 10.12.
Входная величина X на объект управления представляет сумму двух
составляющих: х = X0(t)+asinM. Изменения второй составляющей
236
при прохождении экстремума показаны на рисунке. Гармонический
сигнал называется пробной составляющей входного сигнала, Xg(t) -
является составляющей рабочего движения. Составляющая выходной
величины Y(t) выделяется полосовым фильтром Ф] и подается на
множительное устройство М.У. На это же устройство подается .сиг-
нал с генератора пробных сигналов Г. Сигнал на выходе МУ опреде-
ляется произведением сигналов, поступающих с Ф] и Г. Рассмотрим
случай , когда х меньше	и когда х больше АГ
При х < АГОПТ получаем
cib
U - bsin(cot + <р)ха sin(<ot + cp) = ab sin2 (cot + <р) = — [/ - cos 2(cot + ^?)J
При x > XonT получим
U = bsin(cot+<p+180" )xa sin(cot +<p}=-ab sin2 (cot + <p)=—^-\l-cos2(cot + <p)]
Рис. 10.12
На выходе звена МУ включается второй фильтр Ф2 для устране-
ния (выделения) переменной составляющей в сигнале U. Постоянная
составляющая пропускается на релейный усилитель РУ, который в
зависимости от знака сигнала постоянной составляющей дает на вы-
ходе напряжение U, соответствующего знака.
237
Рис. 10.13
Это напряжение прикладывается ко входу исполнительного ме-
ханизма ИМ, и последний поддерживает выходную координату на
максимальном уровне. Схема системы со всеми обязательными эле-
ментами показана на рис. 10.13.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 10
1.	Дайте определение самонастраивающейся адаптивной САУ.
2.	Определите самоорганизующуюся адаптивную САУ.
3.	Какая должна быть статическая характеристика объекта управления для
синтеза экстремальной САУ?
4.	Что такое эталонная модель технологического процесса?
5.	Чем обусловлено создание адаптивных САУ?
Глава 11. СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (ИСАУ)
11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСАУ И ОСНОВНАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ
Концепция развития массового производства сыграла решающую
роль в создании автоматизированных рабочих операций, технологи-
ческих процессов и промышленных установок в целом. Структурной
основой построения таких систем являлся замкнутый контур с обрат-
ной связью по управляемой координате или величине, ей пропорцио-
нальной. Анализ и синтез таких систем детально рассмотрен в выше-
приведенном материале.
238
Дальнейшее повышение требований по точности воспроизведе-
ния заданной траектории движения инструмента при обработке дета-
лей, повышенным эксплуатационным свойствам узлов и изделий в
сборочном производстве и так далее требовали усложнения матема-
тической модели процессов и учета более незначительных возму-
щающих воздействий со стороны внешней среды. В этих условиях
традиционная замкнутая система дополняется прямыми и обратными
дополнительными связями между измерительными устройствами и
исполнительным механизмом и позволяет использовать рабочую ин-
формацию для преодоления неопределенных факторов, действующих
на систему, путем изменения параметров САУ или изменения ее
структуры, или того и другого одновременно. Этим достигалась ос-
новная цель управления - компенсация действия внешних возмуще-
ний и обеспечение требуемых показателей качества САУ. Таким об-
разом, были созданы инвариантные и адаптивные системы. В процес-
се адаптации класс априорной неопределенности сузился, информа-
тивность САУ увеличилась, и благодаря этому улучшается качество
управления. Однако оснащение автоматизируемого объекта много-
численными локальными САУ для обеспечения адаптивных свойств
объекту управления образовывали класс сложных систем. Усложнен-
ная модель требовала разработки методик синтеза сложных САУ [34, 35,
36]. Синтез таких систем использует методы декомпозиции, агрегатиро-
вания, которые основаны на аппроксимации точных характеристик ав-
томатизируемого процесса их упрощенными моделями, а следовательно,
погере информации. Следует отметить, что системы, как правило, удов-
летворяли требованиям по качеству продукции при стабилизации управ-
ляемой координаты или ее изменении по определенной программе с за-
данной точностью и быстродействием в переходе из одного состояния в
другое, причем точность находилась в пределах 1-10 мкм [37].
Дальнейшее повышение качества выпускаемой продукции, раз-
витие автоматизации во всех отраслях промышленного производства,
управления в экологических системах, биологических системах, сис-
теме образования и так далее требовали все более глубоких и слож-
ных моделей объекта управления.
Качество выпускаемой продукции определяется совокупностью
физически разнородных параметров, а в ряде случаев - нечисловой
информацией, что, в свою очередь, требует новых подходов к синтезу
САУ, удовлетворяющих этим возросшим требованиям.
В этих условиях становится очевидным требование создания-сис-
гем, которые бы не усложняли исполнительную часть, а точность
239
янно совершенствуется, расширяются их функциональные возможно-
сти, снижается стоимость при постоянном росте их количества.
До применения ЦВМ процессы управления промышленными ус-
тановками и технологическими процессами автоматизировались на
основе различного рода электромеханических или механических уст-
ройств: реле, конечные выключатели, упоры, кулачки и т.д. Напри-
мер, при металлообработке сложной формы с криволинейными обра-
зующими применялись копировальные станки с жесткими копирами,
которые контактировали с шаблоном. Применение такого оборудова-
ния требовало постоянного контроля и больших эксплуатационных
затрат, связанных с его износом. Кроме того, сложная поверхность
обрабатывалась в несколько приемов во избежание брака. В копиро-
вальных системах участки контура не должны были превышать на-
клона 55-60° из-за чрезмерных сил трения при работе с жесткими ко-
пирами. При отмеченном способе автоматизации источником инфор-
мации для САУ были физические величины: ток, напряжение, пере-
мещение. Величина этого информационного сигнала должна быть
пропорциональна управляемой координате и иметь существенные ог-
раничения по величине, обусловленные возможностями аналоговой
измерительной аппаратуры.
Принципиальным отличием систем с управлением от ЭВМ явля-
ется тот факт, что информация о заданном законе движения и состоя-
нии органов автоматизируемых объектов представляется в виде чи-
сел. Такие системы получили название цифровых систем автоматиче-
ского управления (ЦСАУ).
Разработка ЦСАУ открывает качественно новые возможности в
совершенстве технологических процессов, повышении качества вы-
пускаемой продукции, в результате чего создается конкурентоспо-
собное отечественное оборудование.
Глава 12. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ
И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
12.1. ОСОБЕННОСТИ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ СИГНАЛОВ В ЦСАУ.
СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ В СТРУКТУРЕ ЦСАУ
Наличие ЭВМ в структурной схеме системы автоматического
управления позволяет упростить традиционную структуру аналоговых
САУ, а именно заменить аналоговый регулятор на цифровой, реали-
зуемый в машине. Поясним это примером. Известно [21], что для дос-
254
тижения технического оптимума в динамических показателях качества
для аналоговой САУ скорости электродвигателя по системе «силовой
преобразователь - двигатель» необходимо реализовать ПИ-регулятор
скорости. Структурная схема такой системы показана на рис. 12.1.
Рис. 12.1
На рисунке введены следующие обозначения:
W(p)a,=-^-
™р — передаточная функция управляемого преобразовате-
ля мощности;
Wpc(p) = ---ImP + L---
FC 2т<тлркгпкмкос
— передаточная функция ПИ-регулятора
скорости;
к
WM(p)=—
1мр 4-1
- передаточная функция электромотора;
woc (р) = Кос - передаточная функция в цепи обратной связи. В выра-
жениях передаточных функций принято: Tw Тсл - постоянные време-
ни электродвигателя и силового преобразователя соответственно; Км,
Ксть Кос — коэффициенты передачи электромотора, силового преоб-
разователя, звена обратной связи соответственно.
Регулятор скорости представляет собой конструкцию, состоящую
из операционного усилителя, охваченного обратной отрицательной
связью, содержащей R-C-элементы. Если система должна обеспечить
другие динамические показатели качества, то необходимо перенала-
живать регулятор на другой тип. Таким образом, жесткая структура
нацелена на реализацию одной функциональной зависимости. Кроме
того, аналоговая система подвержена помехам, которые всегда при-
сутствуют при работе САУ и ограничивают ее точность в воспроиз-
ведении сигнала задания. Из выражения для передаточной функции
регулятора следует, что
Up (р) = —ТмР + 1  U(p)
Отсюда связь между сигналом на входе регулятора и сигналом на его
выходе представлена в виде алгоритма вычисления на ЭВМ (рис. 12.2).
255
Рис. 12.2
Из представленного алгоритма следует, что можно реализовать
ПИ-регулятор с любыми параметрами. То же можно сделать для лю-
бых других регуляторов. Следует подчеркнуть, что реализация алго-
ритма ПИ-регулятора математическим способом возможна, если ин-
формация о сигналах U5d(t), U06(t), U(t) будет представлена в цифро-
вом виде, а результаты вычислений, выполненных в машине, должны
быть представлены физической величиной - сигналом для управле-
ний силовым преобразователем. Для этих целей в цепь сигнала зада-
ния и обратной связи вводят аналогово-цифровые преобразователи
(АЦП). Для согласования выхода ЦЭВМ с исполнительным устрой-
ством вводят цифроаналоговые преобразователи (ЦАП). ЦАП это
устройства, генерирующие выходную аналоговую величину, соответ-
ствующую цифровому коду, поступающему на вход преобразователя.
Известно [58], что процедура формирования непрерывного сиг-
нала в цифровую форму содержит операции квантования по уровню,
квантования по времени и кодирования. Эти операции выполняются в
АЦП. Схематично это показано на рис. 12.3. Забегая вперед, отметим,
что число разрядов АЦП, определяемых квантованием по уровню,
велико и, как правило, больше, чем десять, т.е. т>10. В этой связи
общепринято [46,47,48] пренебрегать квантованием по уровню и рас-
сматривать образование цифры как линейную процедуру, связанную
только с квантованием по времени. Образование импульсов происхо-
дит с помощью модулирования непрерывного сигнала U(t) в дискрет-
ные моменты времени пТ 6-функцией Дирака (см. рис. 3.3). Матема-
тически эту операцию можно представить в виде
U*(t)=Ju(nT)2>(t-nT),	(12.1)
п=0
где U* (t) значение дискретного сигнала, равного непрерывному в
дискретные моменты времени.
На основании рассмотренного приходим к выводу, что реальное
цифровое представление сигнала U(t) может быть заменено дискрет-
ными импульсами U*(t) • Это позволит еще раз подчеркнуть главный
смысл принятых в теории импульсных систем сигналов: цифровой
256
сигнал гак же, как и импульсный сигнал U* (t), несет информа-
цию о непрерывном процессе в виде непрерывной функции U(t) в
дискретные моменты времени пТ.
Рис. 12.3
Моделью, удобной для математических действий с сигналом U*(t),
является решетчатая функция U[nT], т.е. функция, определенная в дис-
кретные моменты времени пТ. Способы отражения сигналов в ЦСАУ
представлены на примере управления частотой вращения электродвига-
теля по схеме, приведенной на рис. 12.4, но с учетом того, что в структу-
ру ввели ЭВМ и она приняла соответствующий вид (см. рис. 12.4).
Следует отметить, что ЭВМ в ЦСАУ работав! в реальном масшта-
бе времени, т.е. в том времени, в котором находятся измерительные
средства и объект управления. Для выполнения математических опера-
ций ЭВМ затрачивает определенное время, которое определяет период
квантования Т (см. рис. 12.3), и после этого сигнал с выхода ЦВМ по-
ступает на преобразователь ЦАП и затем на объект управления.
АЦП
Рис. 12.4
257
Требования к АЦП формируются исходя из точности определе-
ния управляемой координаты и диапазона ее изменения. Обозначим
через <5 А шаг квантования по уровню, определяемый желаемой точ-
ностью воспроизведения сигнала задания Ubx(0- Число уровней кван-
тования ш для физической величины UBx(t) определяется из условия
m _ ПВхоО)
«5а
(12-2)
Здесь величина UBXo(t) соответствует значению входного сигнала
при делении на шаг квантования без остатка. Остаток <5 х< дА либо ок-
ругляется до ближайшего целого, либо усекается. Ошибка от этого
действия определяется зависимостью
-°,5-<[ У -<0,5	(12.3)
А/
Число двоичных разрядов преобразователя а определяется соот-
ношением
m = 2g -1 =	(12.4)
8 А
Например, если в следящей ЦСАУ требуется отработать угол по-
ворота механизма 180° с точностью, не хуже ^=20,то
«= log2Hrs’ +1)= 3,31g(—r^ +1) £ 15 разрядов.
8 Л	8 А
Следует отметить, что в случае, если оборудование выполняет
строго определенные функции, нет необходимости использовать уни-
версальную ЦЭВМ, а достаточно использовать ЭВМ более простой
архитектуры и меньшей памятью. Такие ЭВМ с узлами связи датчи-
ков состояния объекта с машиной и узлами связи выхода ЭВМ с ис-
полнительными аналоговыми устройствами получили название
управляющих вычислительных машин (УВМ), которые, как правило,
функционально ориентированы на управление определенными объ-
ектами: металлорежущими станками, роботами, сборочным оборудо-
ванием, энергосистемами и т.д.
Для выполнения более простых операций создаются программи-
руемые контроллеры. Это устройства с оперативной памятью, в кото-
рую с помощью отдельной ЦЭВМ заносят порядок выполнения опе-
раций и реализацию каждой операции. Устройство циклически вы-
полняет занесенные в память команды. Примером могут служить со-
временный контроллер С-200 и его модификации, которые разрабо-
таны и выпускаются на Автовазе.
На основании рассмотренного можно сделать следующие выво
1. ЭВМ в контуре управления ЦСАУ или программируемыйТ'
троллер вносят в структуру системы дискретность в получении ин'
формации о состоянии объекта, дискретность в выдаче сигнала
аналоговую часть системы. Мерой, характеризующей эту величин^
является период дискретности Т.
2. Применение ЭВМ в структуре системы управления позволяет-про-
ще (математическим путем) реализовать регуляторы, что позволяет про-
граммным путем перестраиваться с реализации одной функции на другую
12.2.	СПОСОБЫ УПРАВЛЕНИЯ, КЛАССИФИКАЦИЯ,
РАСЧЕТНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЦСАУ
По способу управления ЦСАУ делятся на системы с простым управ-
лением, системы с многоканальным управлением и многосвязные ЦСАУ.
Простое управление ЦСАУ характеризуется управлением одной
координаты. Система имеет один входной (задающий сигнал) и одну
управляемую координату объекта. Функциональная схема такой сис-
темы показана на рис. 12.5. Значения величин, обозначенных звез-
дочкой, показывают на их дискретный информационный характер, не
обладающий мощностью для целей управления. Сигналы, обозначен-
ные без звездочки, являются аналоговыми и обладают соответствую-
щей мощностью для управления звеньями системы.
Рис. 12.5
На рис. 12.5 обозначено: СП, ОУ, Д - силовой преобразователь
мощности совместно с устройством управления им, объект управления,
датчик состояния координаты объекта управления соответственно.
На рис. 12.6 представлена временная диаграмма, поясняющая ра-
боту системы.
При рассмотрении блок-схемы (см. рис. 12.5) и временной диа-
граммы (см. рис. 12.6) обратим внимание на то, что в течение равных
промежутков времени А = Ц — t2; А = 1з — t4 и А = ts —*6 цифровая
259
258
часть ЦСАУ занята формированием нового значения управляющей ве-
личины согласно программе ее задания и только в моменты времени t2,
t4, передает ее на вход СП в виде сигналов U2 U3, U4 (см. рис. 12.6).
Рис. 12.7
Интервалы времени, равные А, - это время обработки информа-
ции ЭВМ. Величина его определяется сложностью аналитических
выражений, описывающих модель процесса управления, и алгорит-
мом вычисления. Конечность указанных отрезков времени должна
быть учтена при синтезе расчетной структурной схемы ЦСАУ. Пода-
ча сигналов управления на СП и объект управления происходит пе-
риодически с периодом Т. Значение периода дискретности обеспечи-
вается специальным устройством синхронизации в структуре УВМ.
Простое управление на практике применяется редко, поскольку в
этом случае не удается полностью загрузить УВМ, а поэтому система
может оказаться экономически малоэффективной.
Многоканальное управление наиболее часто применяется на прак-
тике. Например, УВМ для управления электроприводами в прецизион-
ных координатно-расточных станках реализует управление 5 координа-
тами. Функциональная схема такой ЦСАУ показана на рис. 12.7.
На рис. 12.7 звенья СП], М]т Ц] объединены и обозначены буквой
А с соответствующим индексом.
Схема содержит пять блоков ЦАП, которые преобразуют цифро-
вую информацию на выходе ЭВМ в непрерывный сигнал Uj - U5. Заме-
тим, что в блоках ЦАП 1 -5 информация о предыдущей команде должна
запоминаться до прихода последующей. Аналого-цифровой преобразо-
ватель на входе ЦВМ реализует последовательное преобразование не-
прерывной информации о состоянии каждого из объектов управления в
цифровую форму. В схеме ЦСАУ присутствует только один АЦП, по-
скольку, передав информацию о состоянии объекта в соотве гствующем
канале управления, не нужно ее запоминать. Синхронная работа ЦВМ с
каждым каналом управления осуществляется коммутаторами KI, К2.
Временная диаграмма, поясняющая работу ЦСАУ на рис. 12.7, показа-
на на рис. 12.8.
Многосвязной ЦСАУ является многоканальная система, в кото-
рой каждый локальный канал управления связан с другим каналом
через объект управления.
ЦСАУ классифицируются по расположению УВМ в структурной
схеме системы. Если УВМ не входит в замкнутый контур управления,
такая система называется автономной (рис. 12.9).
260
261
Т 1/5Т
Рис. 12.8
Рис. 12.9
Рис.12.10
262
Если УВМ входит в замкнутый контур управления, то такая сис-
тема называется неавтономной (рис. 12.10). На рис. 12.10 W3(p)-
эквивалентная передаточная функция аналоговой части системы,
расположенной в прямой цепи; Woc(p) - передаточная функция звена
в цепи обратной связи.
Рассмотрение структурных схем простого многоканального мно-
госвязного управления показывает, что базовой структурой любой из
схем является одноконтурная замкнутая схема, показанная на .рис.
12.5, в которой замыкание системы происходит в дискретные момен-
ты времени. В этой связи по характеру сигнала, приложенного к не-
прерывной части системы, ЦСАУ подразделяются на две группы:
1)	ЦСАУ, в которых на непрерывную часть системы приклады-
ваются импульсы конечной длительности Ти, но меньше, чем период
дискретности Т. Такие системы будем называть системами с форми-
рователем импульсов;
2)	ЦСАУ, в которых на непрерывную часть системы подаются
импульсы постоянной длительности, равной периоду дискретности Т.
Такие системы будем называть системами с экстраполятором.
В настоящем пособии будут рассматриваться системы только с
экстраполятором нулевого порядка. Это устройство, которое запоми-
нает уровень сигнала на период дискретности Т.
Фрагменты участка схемы с формирователем и экстраполятором
приведены на рис. 12.11 и 12.12 соответственно.
263
Из определения экстраполятора нулевого порядка следует, что
входным сигналом является модулирующая функция ^-функция, а
выходным - импульс максимальной длительности Т. Найдем переда-
точную функцию экс! раполятора «О» порядка. Изображение <5 функ-
ции равно = р(0« Р 1. Изображение единичного импульса
равно L[U(t)] = Jl(t)e₽,J/=—(1-е р) q учетом полученного передаточ-
ная функция экстраполятора примет вид
L[U(t)J (1 —е Тр)
W^p) L[<5(t)] р
(12.5)
Для схемы с формирователем импульсов шириной, меньшей чем
период дискретности Т, на основании аналогичных рассуждений по-
лучим передаточную функцию вида
L[U(t)] l-e~TuP 1-е-₽т
W*(p) L[£(t)J " р
Р
(12-6)
где Ти= ср Т, где 0<<р< 1. Структурная схема экстраполятора показана
на рис. 12.13.
С учетом рассмотренных процессов в элементах ЦСАУ ее рас-
четная схема примет вид, представленный на рис. 12.14.
На структурной схеме в выражение эквивалентной передаточной
функции аналоговой части системы W3(p) могут входить динамиче-
ские звенья
Рис. 12.14
264
Если в системе отсутствует экстраполятор, то его передаточная
функция заменяется на передаточную функцию формирователя им-
пульсов по формуле (12.6). F(z) обозначен алгоритм вычисления, вы-
полняемого ЦВМ в составе УВМ.
12.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ ЦСАУ
Присутствие дискретного элемента в структуре ЦСАУ приводит
к необходимости использования математического аппарата, который
позволяет определить характер изменения управляемой координаты
ЦСАУ Y(t) и любой промежуточной величины в дискретные равно-
отстоящие моменты времени, определяемые периодом квантования Т.
Таким математическим аппаратом является аппарат конечных сумм и
разностей, который работает с решетчатыми функциями и позволяет
составлять разностные уравнения, описывающие поведение дискрет-
ной системы [52]. Решение разностных уравнений является сложным
процессом и осуществляется методом вариации произвольных посто-
янных с использованием ЭВМ [50]. Кроме того, если рассматривается
совместная работа импульсного элемента и непрерывной части сис-
темы, то описание процессов необходимо проводить с помощью раз-
ностно-дифференциальных уравнений со всеми вытекающими до-
полнительными сложностями. Применение преобразования Лапласа к
дифференциальным уравнениям дало возможность получить удоб-
ную инженерную методику анализа и синтеза непрерывных систем. В
свою очередь для дискретных систем был разработан и получил ши-
рокое применение метод Z - преобразования, основанный на базе
дискретного преобразования Лапласа [49,51,53].
Поясним основную идею Z-преобразования, дадим его формули-
ровку и определим главные направления его применения к расчету ди-
намики ЦСАУ. На основании определения формирования импульсов и
аналитического описания этого процесса в виде зависимости (12.1) и
графического представления на рис. 12.3 значение выходной координа-
ты ЦСАУ в произвольный момент времени представим в виде
Y* (t) = X(t)J> (t)	(j 27)
Для n дискретных значений, следующих друг за другом с перио-
дом Т, выражение (12.7) примет вид
265
Y’(t) = Xx[nT]Z>(t-nT)
(12.8)
В (12.7) и (12.8) обозначение Y*(t) определяет дискретное значе-
ние выходной величины; X(t) - значение непрерывного входного сиг-
нала на дискретный элемент. Описанная процедура поясняется по-
строениями, показанными на рис. 12.15.
Определим изображение импульсной величины Y* (t) , используя
общую формулу преобразования Лапласа:
F(p)= Jf(t)e-"dt
О
В данном случае оригиналом функции будет представление одно-
го импульса в виде f(t) = Y*(t)=X(t)<5(t). Расширяя понятие оригинала
с одного импульса на последовательность импульсов с периодом Т,
получим изображение выходной величины в виде
Y‘<P) = XfnTJJT (t - nT)e -ri dt	(12 9)
Рис. 12.15
В силу селективных свойств ё функции (интеграл от этой функции
в указанных пределах в моменты времени пТ равен единице и значение
266
функции под знаком суммы есть величина постоянная в дискретные
моменты времени) выражение (12.9) можно записать в виде
У(р) = £х[пТ]е-"т p(t-nT)dt=£x[nT]e ft'T	(12.Ю)
ООО	’
Отметим еще одно обстоятельство при выводе определения для Z
-преобразования.
Анализ графического представления выходной величины на рис.
12.17 показывает, что если в момент времени t=0 входная величина
Х#0, то зависимость (12.10) должна отразить этот факт. Это реализу-
ется следующим образом. Из рис. 12.15 следует, что при t = 0 значе-
ние выходной величины равно Y*(0)=l/2X(0). С учетом сделанного
замечания зависимость (12.10) представим в виде
Г (Р)= |х(0)+JxfnTle-^ -|х(0)+1Х[пТ]е-м	(12. i ])
Из зависимостей (12.10) и (12.11) становится очевидным, что изо-
бражением решетчатых функций являются функции, содержащие ерт. Это
есть характерная черта дискретного преобразования Лапласа. Введем
обозначение Z = е рт, тогда при Х(0) =0 выражение (12.11) примет вид
Y’(p) = Jx[nT]Z- = X (z)	(12.12)
м-0
Переходя к обобщению полученного результата, отметим, что Z-
преобразованием решетчатой функции Х[пТ] называется функция
комплексного переменного Z, определяемая соотношением
F(z}=Z{f]nT]} = £f]nT]Zn	(12.13)
О
На основании изложенного устанавливается связь между процес-
сами в плоскости комплексного переменного р и Z, а именно: Z= е Тр
или p=l/TlnZ. Это обстоятельство указывает на возможность приме-
нения частотных методов для анализа и синтеза ЦСАУ.
В случае исследования ЦСАУ или ее отдельных частей, в состав
которых входят аналоговые звенья с соответствующими передаточ-
ными функциями, Z-преобразование определяют по зависимости
267
где А(р„) - числитель передаточной функции при значении корня ха-
рактеристического уравнения, равном рп; В(р) - производная от зна-
менателя передаточной функции при том же значении корня характе-
ристического уравнения.
12.4.	ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Z-ПРЕОЬРАЗОВАНИЯ
На основании полученных выше зависимостей (12.13) и (12.14)
найдем Z-преобразования для ряда часто встречающихся функций
при анализе ЦСАУ.
1. Z-преобразование для единичной ступенчатой функции
f[nT] =1[пТ].
По формуле(12.13) получаем: F(z)=l+Z +z2 + z + - = '~j
для|г> i|.
2.f]nT] =e °11 (дискретная экспонента).
F(z)=Ee’nTZ-" =X(e“Tz ')n =l+(e“TZ-*) tfeV)2 -r
0	0
+ (e°rz'Y + ...= l + a + a2+a’+... = —.
V '	1-a
Здесь введено обозначение a = eaT-Z~'. С учетом введенного
обозначения Z-преобразование рассматриваемой функции примет вид
F(z) =l-e“V1 = z-e“T = T^d ’гдеd = e°T
Аналогичные рассуждения позволяют получить Z-реобразование
для функции е‘ЛпТ, которое примет вид F(z)=—— , но здесь d = е лг
z- d
3.	IJnT] = пТ ( интегральная зависимость).
= Tz1 + 2Tz-2 + ЗТг*3 +... = Тг’1(1 + 2г~' + Зг'2 + ...)=	.
(z-1)2
для|г>1|.
4.	В структуре ЦСАУ звено с передаточной функцией
W(p)= — Найти Z-преобразование для этого звена. Используем за-
р + а
висимость (12.14): р( =-а, В(р,)=1. Тогда согласно формуле получим
268
I-, \ 1	J
F(z) = ---^F=—7’d = e
1 z-e z-d
11олучили преобразование, которое полностью совпадет с преоб-
разованием дискретной экспоненты, рассмотренной в примере 2. Это
1
объясняется тем, что изображению Лапласа в виде р + с соответству-
-Z7/
ет оригинал в виде е , которому, в свою очередь, соответствует дис-
кретная экспонента е "а,,т •
На практике редко приходится заниматься вычислением Z-
преобразований, поскольку существуют уже вычисленные значения, ко-
торые сведены в таблицы. Примером может служить таблица (прил. 2).
Однако часто приходится иметь дело со сложными передаточными
функциями или сложными изображениями тех или иных звеньев в
ЦСАУ, для которых нет вычисленного Z-преобразования. Именно по-
этому, чтобы воспользоваться таблицами готовых значений преобразо-
вания, необходимо уметь разложить сложные выражения на простые со-
ставляющие, для которых такие преобразования имеются. Для этого
приведем основные правила разложения сложных выражений переда-
точных функций, представленных в виде правильной дроби вида [16]
W(p) =
D(p),
где К(р) и D(p) -полиномы от р. Известно, что любой полином с ве-
щественными коэффициентами разлагается ( и притом единственным
образом) на вещественные множители типа (p-а) или (р2 + вр + q).
Случай 1. В разложение знаменателя входят только множители
первой степени, и ни один из них не повторяется Тогда правильная
дробь разлагается на простейшие множители по формуле
К(р)_______А В С
ао(р—аХр —Ь)...(р-с) р-а + р-Ь+ +р-с (12.15)
W(p) =
0,2р + 1
0,1р3 + 1,1р2 + р
Пример. Знаменатель разлагается на простые сомножители и
имеет вид 0,1 р3 + 1,1р2 +р = р(0.1р+1Хр+1). Тогда (12.15) запишем в
виде
ч 0,2р + 1 АВС
W(p) =------—----------=—+------— +------
0,1р +1,1р +р р 0,1р + 1 р + 1’
(12.16)
269
откуда находим значения для А, В, С:
0,2р + 1 = А(0,1р + 1)СР + 1) + Вр(рЧ-1) + Ср(0,1р + 1).
В последнем выражении приравниваем коэффициенты при оди-
наковых степенях р в правой и левой частях, откуда получаем А=1;
В=-0,012; С=-0,88. С учетом найденных значений коэффициентов пе-
редаточная функция примет вид
W(p) = _9^P±l_=l__0^2__^	(12.17)
0,1р3 + 1,1р2 + р р 0,1/7 4-1 р+1
Для каждой составляющей по таблицам Z -преобразований нахо-
дим соответствующее преобразование.
Случай 2. Если множитель (p-а) в знаменателе повторяется m раз,
то в разложении (12.15) надо заменить соответствующие m одинако-
вых членов суммой простейших дробей вида
W(p) = ——— + ——"1~1 ,+-- + -^-	(12 18)
(p-a)m (р —а)	р —а’	liz.iej
Пример:
„„ ч р3 + 1 А В С D
W(p) =-----— = -—I-----— ч-----— ч----
р(р + 1) р. (р+1) (р + 1)	р+1
Процедура нахождения коэффициентов А, В, С, D та же, что и в
случае 1
Случай 3. Если в разложение знаменателя входят множители второй
степени (не разложенные на действительные множители первой степе-
ни) и ни один из них не повторяется, то в разложение дроби каждому
,	Mp + N
множителю р +1р +q соответствует простейшая дробь 2	-  -.
Пример:
)	0,01Р^0?.1р+1. а + Mp+N
(О,33р2+0,7р + 1Др + 1) р + 1 О,33р2 +0.7р+1
Далее, как и в случае 1.
Случай 4. В разложение знаменателя входят множители второй
степени (не разложенные на действительные множители первой сте-
пени), и некоторые из них повторяются. Тогда в разложении дроби
каждому множителю р2 Ч- Ip +q, повторяющемуся m раз, соответству-
ет сумма простейших дробей вида
270
Mmp-bNro + Mm_,p + Nm_, + + M,p + N,
(p2 + lp + q)m (p2 + lp + q)ml p2 + lp + q‘
Пример.
w<p). JEtlL . A+-BRiC. + PpE
p(p2+l)2 p (p2+l)2 (p2+l)-
Далее, как и в случае 1.
12.5.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Рассмотрим основные свойства Z- преобразования, которые бу-
дут необходимы для объяснения физических явлений в ЦСАУ и ко-
торые определяют ход динамических процессов в системе и ее пре-
дельные показатели качества.
1.	Свойство линейности. Z-преобразование алгебраической сум-
мы функций равно алгебраической сумме их Z-преобразований, и по-
стоянный множитель можно выносить за знак Z-преобразования:
Z{K1f,[nT] + K2f2[nT]} = K1Z{f1[nT]} + K2Z{f2[nT]} -	(12.19)
2.	Смещение решетчатой функции. Z-преобразование смешенной
решетчатой функции ДпТ] на m периодов дискретности вправо равно
Z{f[n-mjr}=z z{f[nT]}.	(12 20)
При смещении решетчатой функции на m периодов дискретности
влево ее Z-преобразование равно
Z{f[n + m]T} = z“[z{f(nT)} - gf(r)z’r],	(]2 21)
3.	Z— преобразование разности и суммы решетчатых функций. Из-
вестно, что разность решетчатых функций определяется по принципу
пу Af[nT] = f[nT] - f[(n -1 )Т], тогда
Z{Af[nT]}= Z{fInT]}- Z{f[(n -1)T]}=
= F(z)-z-‘F(z) = — F(z).
z
(12 22)
271
Сумма решетчатых функций определяется по зависимости
л
sInTl = ЧПТ] для которой Z-преобразование равно
П 5=0
Z{S[nT]} =-^jF(z)	(12.23)
4.	Начальное значение функции-оригинала может быть получено
из ее Z-преобразовавия по зависимости
lim ДпТ] = limF(z)	(12.24)
п~>0
5.	Конечное значение функции-оригинала может быть определе-
но по ее Z-преобразованию по зависимости
limf[nT]= lim(z-l)F(z)	(12.25)
n—>00	Z—> 1
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 12
1.	Определение экстраполятора «О» порядка и его передаточная функция.
2.	Основные достоинства введения цифрового управления в структуру САУ.
3.	Определение Z-преобразования.
4.	Цель введения Z -преобразования для анализа дискретных систем
Глава 13. АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ЧАСТОТНЫМИ МЕТОДАМИ
13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ (АФЧХ) ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим процедуру формирования АФЧХ для дискретных
звеньев ЦСАУ или системы в целом. В силу того, что формирование
цифровой информации связано с модулированием непрерывного сиг-
нала X(t) периодической функцией Дирака 6 (t), представим послед-
нюю в виде ряда Фурье. Примем для общности рассуждений, что 8 =
5(t — оТ), т.е. возможность получения выходной величины в любой
момент времени внутри периода дискретности Т
^(t)=a0 + Eamcosm^tdt +XbmSinm^tdt (13.1)
1	m=l	*
Коэффициенты Фурье в (13.1) определяются соотношениями
272
а« =Т p(t-oT)dt;ara = p(t-oT)cosm^tdt;
1 т	1т	1
b„ =— |<5(t-oT)sin^-tdt.
T т	T
(13-2)
Учитывая свойства <5-функции и имея в виду, что
ff(t)<5(t-t0)dt=f(t0)>
получим значения коэффициентов Фурье
в виде
1	2 2л	2 .	2?г
ао = pam==YcosmvoT,b’r'= YsmmvoT
В связи с тем, что рассматриваем процессы в дискретные момен-
ты времени пТ, т.е. при значении <5 = 0, получим
1	2 ,
ап = —= — А,, = 0
U	’ Ш гр» 2 * * * * 7 В ГП
Отсюда выражение (13.1) примет вид
12^	2тг
<5(t)= — +—Vcosm—t
Т	Т
(13.3)
2 л-
В выражении (13.3) заменим cosm—t показательными функция-
ми с использованием преобразования Эйлера. Тогда
.2л	.2л
2л еШт +eJmT
cosm—
Т 2
С учетом (13.4) выражение (13.3) примет вид
1s	со • 2л	. 2л -1	«	со 2л	1 со	2л
I jIT,vl	'	1	^v1	1 v-
T + T^te +e J“Y+T^e +T^,e	• (13.5)
При значении m=0 функция Л(0 = у, поэтому (13.5) перепишем в виде
< со
(13.4)
(13.6)
В соответствии с принципом формирования дискретного сигнала
по зависимости (12.8) и с учетом представления модулирующей
273
функции в виде (13.6) выражение для выходной величины с дискрет-
ного звена или системы примет вид
1	ж—i jm^t
Y(t)=Yx(0Se ‘	(13.7)
Перейдем в частотную плоскость. Для этого умножим обе части
(13.7) на е -р‘ и возьмем интегралы от правой и левой частей в преде-
лах от 0 до да, получим
со	1 ОО	OD -
Jx(t) Ее'Т'е’Л
о	1 о	т=-со	'
Выражение (13.8) представляет собой дискретное преобразование
2п
Jra T t
Лапласа. Умножение функции на е согласно свойству о смешении
. 2л.	. j">^<
изображения соответствует изображению X(p-jm—)=>X(t)e	. С
2л _
учетом сделанного замечания и после ввода обозначения "Y” ~ ю <>
выражение (13.8) примет вид
Y’(p) = ^X(p-jm®0).	^139^
В случае, если Х(0)#0, выражение (13.9) примет вид
Y7p)^x(0)+l£x(p-jn™0).	(13Л0)
Заменяя в (13.9) и (13.10) p=j(£> и определяя характеристику в об-
ласти физически существующих во времени сигналов при т, изме-
няющемся от 0 до да , получим соответствующее представление час-
тотного спектра дискретного сигнала на выходе ЦСАУ:
Y’(jo)=^^X(jfi7-jm<a0).	(13.11)
* m=0
Y*(j«)=^X(0)+^X(jffl-jmwo)	„
Полученные зависимости, показывают, что дискретный сигнал в
импульсной ЦСАУ или отдельной ее части без экстраполятора нулево-
го
го порядка равен сумме бесконечного числа смещенных на величину
пк»о входных сигналов. С точки зрения физики процессов, имеющих ме-
сто в системе, это объясняется тем, что сигнал на выходе дискретного
элемента нечувствителен к периодическому изменению частоты входно-
2л _
го сигнала на величину ®o, что проиллюстрировано на рис.13.1.
Из рассмотрения рисунка следует, что все нечетные гармоники
дают один и тот же выходной сигнал. На рисунке показаны гармони-
ческие сигналы первой и третьей гармоник. Четные гармоники вооб-
ще не проходят на выход системы. Это и определяет дискретную
природу системы управления. Полученные зависимости рассматри-
вают преобразование непрерывного входного сигнала X(t) в дискрет-
ный сигнал Y* (t) за счет его квантования по времени.
Полученная форма представления дискретного сигнала в виде за-
висимостей (13.11) и (13.12) позволяет перейти к представлению
АФЧХ системы или группы звеньев этой системы, в которой присут-
ствует непрерывное звено со своей АФЧХ в виде W(j(o). Тогда схема
имеет вид, показанный на рис. 13.2.
В этом случае выражение (13.11) определяющее соотношения
между дискретными сигналами X*(t) и Y*(t), примет вид
Y*(jb>)=^7 2 W(jw - jm<oo)x(jw - jmw„ ),	(13.13)
* nt=D
откуда
Y’0«)=x’0«f|tw0“-J™“o)l-	(13.14)
275
Рис. 13.2
Из последней зависимости получаем выражение для АФЧХ им-
пульсной системы. Если начальное значение Х*[0]=0, то выражение
для АФЧХ представим в виде
0315)
Полученная зависимость позволяет определить методику построе-
ния АФЧХ, которая сводится к следующим действиям. Сначала стро-
им годограф ^wg®). Для этого зададим ряд значений частоты ю от О
до оо и найдем ряд точек АФЧХ для этих частот. Затем строим годо-
граф	для тех же значений текущей частоты оа. Затем строим
годограф ^wg<o-2®„)h теоретически, строя таким образом бесконеч-
ное число годографов, осуществляем их графическое сложение в
комплексной плоскости АФЧХ. Эта процедура действительно может
быть сложной для слабофильтрующей непрерывной части ЦСАУ, по-
скольку потребует сложения большого числа составляющих годогра-
фов. Эта трудность может быть преодолена применением Z-
преобразования, которое позволяет получить один годограф АФЧХ,
полностью учитывающий все частотные составляющие.
Рассмотрим построение АФЧХ для импульсной системы на осно-
ве Z-преобразования для апериодического звена:
„Г 1 1 = z = z
lp + lj	z-e05.
z-e '
Заменив в полученном выражении Z=eJ“T, получим
w(ej“") = е^’ = C0Sfa>o + isin(JS _
ej““ —0,6 coSoo —0,6+j sinus
_ (cosuo +jsinus )[(cosuo —0,6)—jsinus ]
(cosuo — 0,б)2 + sin2uT
1 — 0,6cosu,	. 0,6sinu,
l,36-l,2cosu,	^l,36-l,2cosu,
276
Здесь Т — период дискретности, равен 0,5 с; Tt - постоянная вре-
мени апериодического звена и равна 1с.
Задавая ряд значений частоте со, получим значения Р(со) и Q(co)
(табл. 13.1).
Таблица 13.1
СО,сг	0	1	2	3	4	5
Р(®)	2,5	1,51	0,94	0,75	0,674	0,639
Qty)	0	-0,9	-0,77	-0,47	-0,3	-0,16
Полеченная АФЧХ учитывает все частотные составляющие и по-
казана на рис 13.3.
Приведенный пример указывает на достоинства применения Z-
преобразования при исследований ЦСАУ частотными методами.
Особо важное значение имеет случай с запоминанием информа-
ции на период дискретности Т с помощью экстраполятора нулевого
порядка. Введение экстраполятора приближает выходной сигнал дис-
кретной части ЦСАУ к непрерывному, однако форма этого сигнала
ступенчатая, и изменение уровня «ступенек» определяется дискрет-
ностью Т системы. Это обстоятельство позволяет представить уча-
сток ЦСАУ в виде последовательного соединения импульсного эле-
мента и экстраполятора. В этом случае выражение для АФЧХ систе-
мы с экстраполятором нулевого порядка при Х*(0)=0 примет вид
1 00
W(j«)=[-^W(j«-jnlfi>o)lPNG®)	(13.16)
1 о
277
pN(j®) =
1 - ejT“
j<a
определяет АФЧХ экстраполятора. Полученные зависимости показыва-
ют еще более сложную процедуру нахождения АФЧХ для ЦСАУ и до-
казывают необходимость использования Z-преобразования.
13.2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КОТЕЛЬНИКОВА-ШЕННОНА
ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЦСАУ
Проведем анализ АФЧХ дискретной системы с целью обоснова-
ния условий воспроизведения информации, содержащейся в ней, и
возможности перевода ее в систему координат изменения выходной
(управляемой) координаты в функции времени, т.е. Y=f(t).
Напомним, что для аналоговой системы или звена существует
взаимно однозначное соответствие между АФЧХ и упомянутой выше
зависимостью Y(t). Это очевидно из рассмотрения АФЧХ простейше-
го динамического звена, например апериодического. В связи с тем,
что анализ физических явлений проводится в частотной плоскости,
изменения амплитуды сигнала при прохождении им звена будем оце-
нивать по вещественно-частотной характеристике Р(<в).
Допустим, что аналоговая САУ описывается эквивалентным зве-
ном вида
w(p)=Sv = ^T	(13.17)
л(р) Р + 1
Известно, что выходная величина изменяется по закону
Y(t) = X(t)(l - е )’
где Tt - постоянная времени звена и равна 1 с. По передаточной функции
определяем выражение для вещественно-частотной характеристики:
На рис. 13.4 по результатам расчета, сведенным в табл. 13.2, по-
строены вещественно-частотная характеристика и переходный про-
цесс в системе.
Таблица 13.2
О), с"1	0	1	2	4	5	10
Р(ы)	1	0,5	0,2	0,06	0,038	0,01
278
6543210123456	' ”	' ”
Рис. 13.4
Из рассмотрения кривых следует, что данной частотной характери-
стике системы (звена), ограниченной достаточно узкой полосой пропус-
кания частот входного сигнала, соответствует конкретный переходный
процесс. Если удается организовать низкочастотный фильтр, то можно
выделить частотный спектр в характеристике Р(со) системы, а следова-
тельно, и воспроизвести изменение выходной величины во времени.
Рассмотрим вещественно-частотную характеристику для дис-
кретной системы без экстраполятора нулевого порядка исходя из за-
висимости (13.5). Для простоты и наглядности объяснений в упомя-
нутой зависимости примем, что (X* (0)) = 0, тогда
Р’С<у) = Р(е5“т) = ^£р()<и-т<»0)	(13.18)
1 m=0
Определим вещественно-частотные характеристики для дискрет-
ной системы, схема которой показана на рис. 13.2. Аналоговая часть
системы представлена амплитудно-фазовой частотной характеристи-
кой W(j со) и является апериодическим звеном, которое мы рассмот-
рели выше. Примем, что период дискретности последовательно меня-
ется и принимает значения Т=1с; Т=0,5с; Т=0,05с. С учетом сделан-
ных замечаний вычисление составляющих характеристик, входящих
в (13.18), проводилось по зависимостям
р, (®) - Y р> (j ® - j "о) -	-2®®о+«2о+1) ’
1
P2(«)=^P2(j®-2j®0) = ^—_-----------у
Т	I со	+<у01
2яг
"о=у-;^<>,=2«о-
279
Результат расчёта для случая Т—1 с, соо-6.28 с'1 представлен в
табл. 13.3.
Таблица 13.3
и, с1	6,28	8	9	10	11	12,56	0	1	2	4	5
Ро(и)	0,024	0,015	0,011	0	0	0	1	0,5	0,2	0,06	0,038
Р|(«>)	1	0,25	0,120	0.05	0,04	0,024	0,024	0,034	0,05	0,161	0,38
Р2(<0)	0,024	0,044	0,07	0,13	0,29	1,0	0	0	0	0,013	0,023
Р(е'“‘)	1,05	0,3	0,2	0,18	0,33	1,024	1,024	0,534	0,25	0,234	0,44
Результирующие значения для Р*(<в)=Р(е'1ПТ) определяются путем
суммирования составляющих для одного значения частоты на графи-
ке или в таблице.
Результаты расчета представлены для Т=0.5 с и соо=12.5 с1 сведе-
ны в табл. 13.4.
Таблица 13.4
<0, с*	0	1	4	5	6,28	7	8	10	11	12,56	17	25,12
Ро(го)	2	1	0,12	0,08	0,049	0,04	0,03	0	0	0	0	0
Р1(<0)	0,01	0,015	0,03	0,05	0,048	0,06	0,09	0,26	0,58	2	0	0
Р2(го)	0	0	0	0	0	0	0	0,09	0,01	0,013	0,03	2
P(LJ<<>1)	2,01	1,015	0,15	0,13	0,096	0,1	0,12	0,35	0,59	2,013	0,03	2
Для случая Т=0.05 с: со0=125,6 с'1 результаты представлены в
табл. 13.5.
Таблица 13.5
<£>, С1	0	40	80	120	125,6	160	200	251,2
Ро(со)	20	0	0	0	0	0	0	0
Р|(0>)	0	0	0	0,64	20	0	0	0
р2(со)	0	0	0	0	0	0	0	20
Р(е'иТ) ”	20	0	0	0,64	20	0	0	20
Согласно результатам, помещенным в табл. 13.3-13.5, на рис 13.5,
а, б, в построены соответствующие вещественно-частотные характе-
ристики дискретной системы без экстраполятора нулевого порядка.
Анализ полученных характеристик показывает, что при Т=1 с часто-
той квантования (Оо =6,28 меньше, чем двойная частота полосы пропус-
кания частотного спектра непрерывной части системы 2о\ , т.е.со о < 2 сос,
поэтому вещественно-частотная характеристика дискретной системы
<Х>
Р («у) = P(e'“r) = ^TP(j<y -jm<»0) состоит из суммы составляющих харак-
гп=0
теристик и не может быть выделена узкополосным фильтром, а следова-
тельно, сигнал на выходе Y(t) не может быть воспроизведен. Это гово-
рит о дискретной природе этой системы, и она должна анализироваться
дискретными методами, например с помощью Z— преобразования.
280
На рис. 13.5, б при Т=0,5 с и <в0 = 12,56с'1 можно принять, что
составляющие характеристики касаются друг друга, а это означает,
что Юо = 2 <вс, следовательно, каждый спектр может быть выделен уз-
кополосным фильтром и заключенная в нем информация может быть
воспроизведена.
На рис. 13.5, в при Т=0,05с; св0 = 125,6с'1 значение го0 >2сос и час-
тотные характеристики совершенно разделены друг от друга. В этом
случае узкополосный фильтр выделит вещественно-частотную харак-
теристику и воспроизведет информацию, заложенную в ней.
Для электромеханических систем автоматического управления это
положение можно объяснить и с точки зрения физических явлений,
имеющих место при действии дискретного сигнала на непрерывную
часть системы. Очевидно, что при последовательном приложении им-
_2л
пульсов с частотой а о~ - 125,6 <г‘ ( ПрИ Т=0,05с) или Г=20 Гц к анало-
говой части системы (звена) с передаточной функцией"'^ =	= с
постоянной времени Т=1с она воспринимает их как непрерывный анало-
говый сигнал. При этих условиях дискретная система эквивалентна не-
прерывной (аналоговой). В случае, когда период следования равен Т=1с
281
IL	_ _j
и ®о =	28с или f = 1 Гц, система (звено) реагирует на каждый
импульс и должна рассматриваться как дискретная при постоянной вре-
мени аналоговой части Т=1 с. На основании рассмотренного сформули-
руем условия, при которых система должна рассматриваться как дис-
кретная или как эквивалентная аналоговая.
Если дискретная система имеет частоту квантования со 0 > 2юс ,
где <ос - полоса пропускания аналоговой части системы, то ЦСАУ
должна рассматриваться как эквивалентная непрерывная. Если ю0
<2сос, то ЦСАУ должна рассматриваться как дискретная.
В этих условиях и заключается основная идея применения теоре-
мы Шеннона-Котельникова к обоснованию методов анализа и синте-
за ЦСАУ [65].
Рассмотрим условия выбора метода анализа и синтеза ЦСАУ в
случае, если в системе присутствует экстраполятор нулевого поряд-
ка. На основании зависимости (13.16) можно записать выражение для
вещественно-частотной характеристики дискретной системы в виде
Р’ (со) = Р(е j“T) = £ Р(j т - jmo0) PN (о - ma> „)  (13.19)
* m=0
p	\ sin(®-w’®o)T
PN (<w - a> o) = —--------
a> — ma>0
Здесь — вещественно-частотная характеристика экстраполятора ну-
левого порядка для m периодов дискретности. Рассмотрим вышеприве-
денный пример, но при включении экстраполятора. учете только трех
частот квантования и при периоде дискретности Т=1 с. Получим
P(eJ<al )=^£P(jo-jm<»0)PN(o-»»o0)=
1 m=0
, sin(o-mo0)T , sinol . .
= “E pCl« -	= 1-----P0(o)+
T о	(o-mo0) co
+ P1”^-6’28)?^-6,28)+lSin(^~t2?56)P2(> -12,56)
0-6,28 lV	«-12,26	2 J
Результаты расчета по этой зависимости сведены в табл. 13.6
(только для случая, когда т=0; при т, отличном от нуля, получим ту
2л
же кривую, но смещенную вправо на значениета>о= ).
282
Таблица 13.6
<в, CJ	0	1	2	4	5	6,28	7	8	11	12,56
PN(<n)	1	0,83	0,46	-0,18	-0,19	0	0,09	0,12	0,09	0
Po(to)	1	0,5	0,2	0,06	0,038	0,024	0,02	0,015	0	0
РЦйУГ Po(w)	1	0,415	0,092	-0,01	0,007	0	0,0018	0,002	0	0
Рис. 13.6
Полученная вещественно-частотная характеристика представле-
на на рис. 13.6. Из сравнения характеристик для импульсной системы
(см. рис. 13.5, а) с характеристикой при наличии экстраполятора (см.
рис. 13.6) видно, что имеется различие в форме, но сохранены законо-
мерности их расположения, а следовательно, возможны те же случаи
их расположения. Это, в свою очередь, позволяет сделать заключе-
ние, что и в случае с экстраполятором нулевого порядка остается в
силе условие выбора метода синтеза и анализа: если дискретная сис-
тема с экстраполятором нулевого порядка имеет частоту квантования
ю0 > 2tBc, где гос - полоса пропускания непрерывной части системы,
то ЦСАУ должна рассматриваться как эквивалентная непрерывная.
Если соо < 2<вс, то ЦСАУ должна рассматриваться как дискретная.
13.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ РАЗОМКНУТОЙ ЦСАУ
Для исследования ЦСАУ частотными и численными методами по
аналогии с аналоговыми системами вводится понятие передаточной
функции. Передаточная функция есть отношение Z-преобразования
выходной величины дискретной системы (звена) к Z-преобразованию
входной величины в дискретные моменты времени (рис. 13.7).
283
Y’m
X'
nT
Рис. 13.7
Для разомкнутой импульсной системы (звена) передаточная
функция находится как Z-преобразование произведения передаточ-
ных функций единичного импульса и непрерывной части системы:
wP(Z) = z{wH(p)-~^}	(1320)
Формулу (13.20) представим в другом виде:
WP(Z) = Z
W„ (Р)^-рТр
р
= W,(Z)-W2(Z),
где W,(Z) = Z
wH(p)
р
,W2(Z) = Z
Wh(P)c-,Tp
р
(13.21)
Применив к (13.21) свойство преобразования смещенной решет-
чатой функции, получим
WP(Z) = W,(Z)~ W2(Z) = W^ZJ-Z-’W^Z,!-<p)	(13.22)
Рассмотрим практический пример применения (13.22) к вычисле-
нию передаточной функции. Требуется найти дискретную передаточ-
ную функцию ЦСАУ в форме Z-преобразования, если непрерывная
часть системы имеет передаточную функпию вида
WH(p) =--------
р(Т,р + 1)
Период дискретности равен Т и ширина импульса равна То. От-
Т
—= <р -<1 •
ношение -р
WP(Z)=W ,(Z)-W 2(Z) = Z
к______z _ к.....
pW+dJ Lp2<tip+1)
е-’"тр
284
Используя правила разложения сложных функций на элементар-
ные, представим передаточную функцию, заключенную в первых
квадратных скобках, в виде
К.
Р <Т1Р+1) р р 1	(13.23)
Т.
По таблице Z-преобразований (см. приложение) найдем Z-
преобразование для каждой составляющей в (13.23) (или для всей пе-
редаточной функции Wh (р) , если оно приводится в таблице):
1 T T
w,(Z)=ZKh—Vs
p p . 1
L p т J
TZ T,Z t T,Z
= К ------=-----------.
(Z-l)2 Z-l Z-d
Здесь d=e~r,-
W2(Z) = Z-'W,(Z,1-(P).
Значение Wi (Z,l — <p ) определяем из таблицы модифицированно-
го Z-преобразования, в котором заменяем сг= 1-ср (см. приложение):
Т T(l-{g) т, T,d
z-i z-i Z-d
W,(Z) = к
2	L(z-i)'
Тогда
WP(Z)=W,(Z)-W2(Z) =
(Z-l)(l-d^)d + Y(Z-d)
(Z-d)(Z—1)
= КТ,
(13.24)
/ = —
т,
В случае определения передаточной функции разомкнутой сис-
темы в форме Z-преобразования для ЦСАУ или отдельного звена, где
в структуре присутствует экстраполятор нулевого порядка, необхо-
димо в передаточной функции формирователя импульса приравнять
<р = 1, и тогда формула (13.24) примет вид
(	1-еТр
WP(Z)=Z WH(p)—
I Р
(13.25)
Если иметь в виду, что
Z
285
то выражение (13.25) примет вид
w„(Z) = —	(13.26)
z I р J
Рассмотрим предыдущий пример с учетом экстраполятора нуле-
вого порядка:
4(z) =	W'(Z)	° 3'27)
Z [Р (IjP + l
Учитывая, что
w,(z)=z кЦ
р
р р+~
TZ T.Z T.Z
----.--—+ —1  J
К (Z-l)2 Z.-l "Z-dJ’
примет вид
T1J
TZ T,Z T,Z'
Z
„ 2__Ti+Wz1)L
Z-l 1 Z-d J
K[Z(T-i; +T,d)+T,(l-d)-dT]
‘ (Z-l)2 Z-l Z-d
(Z-l)(Z-d)
Такой же результат будет получен и из формулы (13.24), если в
ней принять <р = 1.
= к
13.4.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЦСАУ
В ЗАМКНУТОМ СОСТОЯНИИ
Структурная схема системы представлена на рис. 13.8. В самом
общем виде в структурной схеме системы присутствуют регулятор с
передаточной функцией F(Z), обеспечивающей требуемый закон
управления выходной координатой Y(t); экстраполятор нулевого по-
_1-е’Тр
рядка с передаточной функцией w3n(P)= р звена с запаздыванием
- Wt (р) = е и непрерывной части с передаточной функцией WH (р).
Рис. 13.8
286
При рассмотрении процессов в ЦСАУ в дискретные моменты
времени передаточная функция разомкнутой системы в форме Z—
преобразования примет вид
WP(Z) = Z414"” W(Z,1 -r)F(Z)K	(13.28)
Здесь К - коэффициент пропорциональности, связывающий раз-
мерности входной и выходной величин. Если запаздывание в системе
отсутствует, то (13.28) запишем как
Z-l f W(d)1
W,,(p) = —Z—^F(Z)K	(13.29)
z I Р J
В дальнейших выводах математических зависимостей примем
значение К=1 ( метод структурных преобразований позволяет при-
вести любую структуру к структуре со 100%-ной обратной связью).
Значение разности между входной и выходной величинами равно
AX1Z) = X(Z) - Y(Z)K • С учетом того, что К=1, получим
Y(Z) = AX(Z)Wp(Z) = X(Z)WP(Z) - Y(Z)WP(Z). (13.30)
Из последней зависимости получим выражение для передаточной
функции ЦСАУ в замкнутом состоянии:
Y(Z) W„(Z)
( } X(Z) 1 + WP(Z)	(13.31)
Передаточная функция системы в замкнутом положении относи-
тельно ошибки системы примет вид
ф =_______________!___
Ar(z) X(Z) 1 + WP(Z)	(13.32)
Следует отметить одну существенную особенность при нахожде-
нии передаточных функций замкнутых ЦСАУ: вид передаточных
функций меняется в зависимости от места включения дискретного
элемента в структурной схеме системы. Проиллюстрируем это на
примере схемы, показанной на рис. 13.9.
287
a
б	в
Рис. 13.9
Схема, представленная на рис. 13.9, а может быть декомпозиро-
вана и представлена в виде последовательного соединения двух схем,
показанных на рис 13.9. б. в. Это позволяет записать передаточную
функцию системы в виде
=	_ -	Z{W2(p)W3(p)}
Z{X(p)W,(p)}	1 + Z{ W2(p)W3(p)W4(p)}
(13.33)
Сравнение (13.31) с (13.33) показывает изменение формы пред-
ставления в последней. Это необходимо учитывать при расчете
Z— преобразований системы в замкнутом состоянии. Подробные таб-
лицы с передаточными функциями звеньев системы в форме Z-
преобразований при различном расположении дискретных элементов
приведены, например, в [28].
Найдем передаточную функцию по возмущению. Поскольку рас-
сматривается линейная система, то в случае действия возмущения f(t)
принимаем значение X(t) =0. С учетом сделанного замечания выра-
жение для выходной координаты запишем в виде
Y = X,-X2.	(13.34)
В соответствии со структурной схемой ЦСАУ найдем состав-
ляющие Х1 Хг".
288
X2(Z)= z{f(p)Wf(p) },X,(Z)= WP(Z)Y(z).
Y(Z) = Z{f(p)W f(p)} - W„(Z)Y(Z)	(’3 35)
Из (13.35) вытекает зависимость, устанавливающая связь между
выходной координатой и действующим возмущением в дискретные
моменты времени:
Y(Z) _	1
f( Z{f(p)Wf(p)} 1 + WP(Z)J	(13.36)
13.5.	АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И ПОСТРОЕНИЕ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦСАУ
НА ОСНОВЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
При наличии обратной связи система склонна к возбуждениям,
поэтому первой задачей анализа дискретной системы, как и непре-
рывной, является вопрос устойчивости. Цифровая система называется
устойчивой, если переходные процессы в ней затухают с течением
времени. Математически это условие запишем так:
(13.37)
Как известно [51], устойчивость линейной системы определяется
по расположению корней характеристического уравнения в плоскости
корней, которую обозначим как S. Для устойчивых замкнутых систем
корни должны находиться в левой полуплоскости плоскости S. Данное
условие для дискретных систем отличается от условия для непрерыв-
ных тем, что на плоскости S вместо одного корня характеристическое
уравнение даже первого порядка имеет m корней, которые смещены
друг относительно друга на jroom —»<ю (см. рис. 13.3).
При увеличении порядка характеристического уравнения до п
число каждого из п корней увеличится бесконечно. В этой связи всю
плоскость корней S раделим горизонтальными линиями, как это по-
казано на рис. 13.10.
289
Рис. 13.10
w	/-	2л- п
Ширина каждой полосы должна быть равна ®0= —. Полоса, в
которой заключена действительная ось, называется основной; осталь-
ные полосы называются дополнительными (на рис. 13.10 основная
полоса выделена фоном). Для анализа устойчивости можно приме-
нять критерии устойчивости для непрерывных систем, например кри-
терий устойчивости Найквиста, но АФЧХ разомкнутой системы
должна быть равна сумме смещенных АФЧХ непрерывной части
W	=—£W(jo-jmfi>0) £ак ВИдНО из рис. 13.3, дополнительные со-
ставляющие деформируют АФЧХ непрерывной части системы, и эта
деформация будет тем существеннее, чем менее инерционна непре-
рывная часть системы.
Критерий Найквиста для ЦСАУ формулируется следующим обра-
зом: одноконтурная система будет устойчивой в замкнутом состоянии,
если ее АФЧХ в разомкнутом состоянии при изменении частоты
со от 0 до—51 не будет охватывать точку с координатой (-1, j0).
Частично преодолеть трудность нахождения W*(/cw) можно в
случае применения Z-преобразования. Для этого находим передаточ-
ную функцию разомкнутой системы в форме Z-преобразования - Wp
290
(Z). Затем осуществляем в ней замену Z = еja>T, переходим в частот-
ную плоскость, где и применяем критерий устойчивости Найквиста.
Рассмотрим пример определения устойчивости ЦСАУ, если пере-
даточная функция непрерывной части
,_ч	2(1 -е рТ)
W.. (р) =	-----------------
р2(0,1р + 1)(0,05р+1)’
Z-преобразование от этой передаточной функции находим по за-
висимости
И/ (z)=^—^zj________-_______
' Z }р2(0,1+1Х0,05р+1)
где: — ^l-e’',r;Z = e'’'.
Z
Разложив выражение в скобках на простые множители (см. пра-
вила разложения в п.12.4), получим
Z-1 (2
WP(Z) = —-Z -
Z [р
0,3	0,4
----f------
р р +10
0,1 ]
P + 20J
Находя для каждой составляющей ее Z-преобразование (см. при-
ложение), получим
Z-l,l 2TZ 0,3Z 0,4Z O,1Z 1
Z [(Z-l) Z-l Z-d, Z-d2J
Здесь d,=e *; d2=e ь ; где T,=0,lc.; T2=0,5c.; d,=O,135; d2=0,00185.
WP(Z) =
0,4	0,4(Z-l)
Z-l + Z-0,135
o,i(z-i) 03
Z-0.0185	’ 
Положив в этом равенстве Z= g)<s/, получим
W _ 0,15^(^ + 0,05)(^-H,06g_ = P{(o}_jQ{(o} .
р( )	_ 1X^-0,135X^-0,0185)
Задаваясь рядом значений частоты со в пределах от 0 до °, построим
АФЧХ системы, которая не охватывает точку с координатами (-1, j0), а
следовательно, система в замкнутом состоянии устойчива (рис. 13.11).
291
JQW.
Применение Z-преобразования может еще в большей степени уп-
ростить анализ устойчивости системы. Поскольку Z= ерт, при р - jco
имеем, что Z =ег т  Из этого следует, что мнимая ось плоскости кор-
ней (плоскости S на рис. 13.10) характеристического уравнения дви-
жения системы разворачивается в окружность единичного радиуса
плоскости Z при изменении частоты от 0 до л>0 = ~. Отсюда становил-
ся очевидным, что левая устойчивая область из плоскости S (основ-
ная полоса) превратилась в область, ограниченную окружностью
единичного радиуса (рис. 13.12).
В этой связи устойчивость ЦСАУ в замкнутом состоянии может
быть определена из следующего условия: система в замкнутом со-
стоянии устойчива, если все корни характеристического уравнения
замкнутой ЦСАУ в форме Z-преобразования находятся внутри ок-
ружности радиусом, равным единице.
Рассмотрим применение этого критерия для предыдущего приме-
ра. Передаточная функция замкнутой ЦСАУ(при 100%-ной обратной
связи ) имет вид.
r = Wp(Z) = 0,152(2 + 0,05X2+1,065)
' ’ l + Wp(Z) 1.15Z;-0.98Z? + 0,16Z-0,002
Характеристическим уравнением замкнутой системы является
знаменатель передаточной функции, и корни уравнения равны Z
=0,014; Z2==0,633; Z3=0,2. Отсюда следует, что все три корня находят-
ся внутри окружности единичного радиуса, поэтому система в замк-
нутом состоянии является устойчивой:
Z-преобразование для инерционных электромеханических ЦСАУ
может существенно упростить построение переходного процесса и
анализ показателей качества.
В силу того, что для устойчивых систем передаточная функция
при стандартном входном воздействии в виде ступенчатого сигнала
представляется в виде рациональной дроби вида
» , bmzm + bm .z™ ' + --- + b.
<D(Z) = -л----ss-i—--------!
anz” + an-iz” + - + а0
В (13.38) m<n • Значения коэффициентов определяются парамет-
рами системы. В этом случае выражение для передаточной функции
может быть представлено в виде степенного ряда. Тогда
0(Z)=Co + C,Z-' + C2Z2
'о
(13.38)
(13.39)
Согласно определению Z-преобразования функция F(Z) должна
быть представлена в виде
F(Z) = X f[nT]Z " = f[0] + f[ 1127' + f[2]Z“2 + • • •	(13.40)
о
Из сравнения (13.39) и (13.40) следует, что значения коэффициен-
тов совпадают, поэтому если удается разложить передаточную функ-
цию Ф(2) в степенной ряд, то его коэффициенты определяют значение
выходной координаты в дискретные моменты времени. Для разложения
функции в степенной ряд используют ряд Лорана (числитель функции
делят на ее знаменатель). Рассмотрим пример построения переходного
процесса для дискретной системы со 100%-ной обратной связью при
единичном ступенчатом .воздействий на входе. Передаточная функция
системы в разомкнутом состоянии имеет вид
W (Z) =
р( J z2-l,368z+0,368
Передаточная функция замкнутой системы примет значение
Ф(2)=_вд_=____________________
1 + WP(Z) z2 - 0,736z + 0,368
293
Рис. 13.13
Учитывая, что Z преобразование от единичного ступенчатого
воздействия равно z[ — ]-——
Ы Z-/
получим:
y(Z)=— -Ф(7 ) = —------0Z32Z--------=
Z-1	73-1J36Z2 +1,1047-0,368
= 0,6327'' + 1.095Z'2 + 1,2Z 3 + I,1Z4 + 1,OZ~S + 0,972Z~* + ..
Коэффициенты ряда равны значению выходной координаты в
дискретные моменты времени, (рис. 13.13)
Следует отметить, что полученные значения выходной величины
определяют ее в дискретные моменты времени пТ. В промежутках
между периодами дискретности значения выходной величины могут
отличаться от расчетного значения. Отличие определяется инерцион-
ными свойствами непрерывной части системы, и чем больше инерция
системы, тем меньше это отличие.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 13
1.	Дайте определение и представьте в структурном виде автономную и не-
автономную дискретную систему автоматического управления.
2.	Опишите назначение экстраполятора нулевого порядка.
3.	Дайте определение ЦАП и АЦП.
4.	Определение и назначение Z-преобразования.
5.	Методика определения АФЧХ дискретной САУ с использованием Z-
преобразования.
6.	Поясните физический смысл теоремы Шеннона-Котельникова.
7.	Опишите методику построения переходного процесса в замкнутой дис-
кретной САУ с помощью Z-преобразования.
294
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Глава 14. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В НЕЛИНЕЙНЫХ САУ
14.1. ВИДЫ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ В СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Большинство технических работников пребывало и пребывает в
уверенности, что основная линия развития систем автоматического
управления (САУ) связана с линейной теорией. Принято считать, что
именно линейная теория даёт главный член бесконечного рада после-
довательных приближений к истине, а нелинейности отводится
скромная роль косметики на прекрасном «лице» линейной теории.
Кроме того, сама история сначала выдвинула решение линейных
задач, а затем уже задач нелинейных систем. Однако до сегодняшнего
дня мы воспринимаем это не как обязательный элемент необходимо-
го, а больше как фактор нашей общей технической культуры.
Очень ярко и образно о роли нелинейностей в живых системах
сказал биолог А.М. Молчанов: «...в биологии нелинейность исполне-
на высокого эволюционного смысла: только присутствие нелинейно-
сти позволяет биологическим системам услышать шорох подпол-
зающей змеи и не ослепнуть при близкой вспышке молнии. Те биоло-
гические системы, которые не смогли охватить огромный диапазон
жизненно значимых воздействий среды, попросту вымерли, не вы-
держав борьбу за существование. На их могилах можно было бы на-
писать: “Они были слишком линейными для этого мира”».
Специальное рассмотрение нелинейных САУ объясняется тем,
что они обладаю! свойствами, качественно изменяющими работу
систем. К таким особенностям относится возможность возникновения
устойчивых и неустойчивых периодических решений.
Нелинейная теория в первую очередь должна ответить на вопрос,
есть ли периодические решения или нет; если же они есть, то она
должна оценить их и сделать вывод о том, работоспособна ли САУ
или принципиально не удовлетворяет техническим требованиям.
Далее необходимо уточнить динамические показатели качества
линеаризованной модели и убедиться, что изменения, вносимые не-
295
линейностью, не выводят регулируемую величину за пределы техно-
логических допусков.
Наконец, следующий момент рассмотрения нелинейных САУ -
создание специальных алгоритмов её движения, обеспечивающих наи-
лучшие в определённом смысле (оптимальные) показатели качества.
Как правило, упомянутые задачи возникают, если в системе при-
сутствуют типовые нелинейности, которые подразделяют на два
класса - однозначные и неоднозначные. Определение следует из са-
мого вида нелинейностей, показанных на рис. 14.1, 14.2.
Рис. 14.2
Исследование САУ в структурной схеме, в которой наряду с ли-
нейными элементами присутствуют элементы с приведёнными (см.
например, рис. 14.1) характеристиками, приводит к преодолению
значительных математических трудностей, заключающихся в том,
что не существует единой инженерной методики решения нелиней-
ных дифференциальных уравнений. Об этом высказался со всей оп-
ределённостью Л.И. Мандельштам в предисловии к первому изданию
«Теории колебаний» А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина:
«Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев вы-
брать подходящее оружие в обширном арсенале математических
средств и методов, используем своего рода “математическое стара-
296
тельство” и принимаемся решать нелинейные задачи “поштучно”, ис-
пользуя их специфические индивидуальные особенности».
В то же время он пишет: «Этот путь, конечно, сам по себе прави-
лен. Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценный ре-
зультат. И сейчас иногда удобно идти по этому пути. Это может быть
рекомендовано для жизненной практики».
14.2. С ОСТАВЛЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
При расчёте автоматических систем (в том числе нелинейных)
последние обычно представляют в виде структурных схем, состоя-
щих из динамических звеньев направленного действия.
Рассмотрим нелинейную систему автоматического управления
температурой (рис. 14.3) [54] и составим её структурную схему.
Указанная система включает в себя: ОУ - объект управления; ЧЭ
- чувствительный элемент (мост постоянного тока с терморезисто-
ром); РП — поляризованное реле (релейный усилитель); М - двигатель
постоянного тока; ОВ обмотки возбуждения двигателя; Р - редук-
тор; ИЭ - исполнительный элемент (заслонка); ПОС - потенциометр
обратной связи.
297
Во время предварительной настройки системы величина сопро-
тивления терморезистора выбирается с таким расчётом, чтобы при
равенстве заданного и фактического значений температуры объекта
сигнал, снимаемый с диагонали моста, был равен нулю. При измене-
нии температуры ОУ изменяется и величина сопротивления терморе-
зистора, который выполняет функции датчика температуры. Это при-
водит к нарушению баланса моста и появлению тока в обмотке wos
реле РП. Величина тока в обмотке woc реле РП определяется положе-
нием движка ПОС. Если результирующее значение ампер-витков ре-
лейного усилителя aw awi~ awoc превышает величину ампер-витков
срабатывания awcp, то, как видно из статической характеристики РП
(рис. 14.4), происходит срабатывание последнего и подключение со-
ответствующей ОВ. Вращение вала двигателя через редуктор переда-
ётся на ЙЭ и ПОС. При этом изменяется положение заслонки, и тем-
пература объекта восстанавливается до заданного значения.
Umax
— СКйер
О ак>ср
-Umax
Рис. 14.4
Введём в дополнение к принятым ранее следующие обозначе-
ния: i9i и - заданное и фактическое значения температуры объ-
екта; 9 — ошибка системы; U- напряжение, приложенное к двига-
телю; а - угол поворота вала двигателя; <р угол поворота за-
слонки и движка потенциометра.
С учётом указанных обозначений, на основании физических
представлений о работе САУ и в соответствии с функциональным на-
значением её элементов составлена структурная схема нелинейной
системы управления (рис. 14.5). Здесь Жо, W\, W^, W$, W4 - переда-
точные функции соответственно объекта управления, чувствительно-
го элемента, двигателя, редуктора и цепи обратной связи.
298
Рис. 14.5
Из рассмотрения структурной схемы САУ становится очевидным,
что нелинейный элемент находится внутри контуров обратных связей
системы. Это обстоятельство затрудняет анализ работы системы. Для
того чтобы выделить нелинейный элемент, необходимо составить
структурную схему САУ на основании уравнений движения её звеньев
относительно входного сигнала на нелинейном элементе. Для рассмат-
риваемой системы эти уравнения примут следующий вид:
92 = кО
ср ТОр +/
-	уравнение движения объекта управления;
aW] = к^(91- 92)
-	уравнение датчика температуры;
U = F(aw)
-	уравнение релейного элемента;
aw = aw, — awoc
—	уравнение для определения результирующих ампер-витков ре-
лейного элемента;
(14.1)
(М.2)
(14.3)
(14.4)
299
-	уравнение электродвигателя постоянного тока, где к2 - коэффи-
циент передачи электродвигателя по управляющему воздействию;
<р = к3а	(И.6)
-	уравнение редуктора, где к3 - коэффициент передачи редуктора;
mvoc=KocV	(14.7)
-	уравнение цепи обратной связи.
Подставив (14.2) и (14.7) в (14.4), получим уравнение движения
САУ относительно входной величины релейного элемента
aw-awt-awoc =	— S2)-Ko(<p	(14.8)
Заменяя в (14.8) А и ? их значениями из (14.1), (14.5), (14.6),
получим
aw = (9\-<p—(14.9)
7iP + ’ Р
Уравнение (14.9) представим в виде
к к к	к к К
аи> = (.91-(1410)
Р(ТоР + Ъ	р
На основании уравнения (14.10) составлена структурная схема
системы (см. рис. 14.6).
Сравнение схем, приведённых на рис. 14.3 и 14.6, показывает, что
в последней нелинейный элемент выделен отдельно, и схема не пред-
зоо
В практических задачах нельзя ограничиваться составлением
структурной схемы системы на основании уравнения движения её
звеньев, а необходимо провести анализ с целью выделения и наблю-
дения управляемых координат. Так, рассматриваемая система должна
обеспечить режим стабилизации температуры, поэтому принимаем
<9, = 0, a i?2 = —Э. Для упрощения можно считать, что и обратная связь
аиос отсутствует. Характеристику релейного элемента представим в
координатах Ucp и сода, чтобы в явном виде отразить процесс стабили-
зации заданной температуры и быстродействие системы. Связь меж-
ду аюсе и &-/> определяется из уравнения (14.2):
=	(14.11)
Связь между U и ю находится из уравнений (14.4), (14.6) и струк-
турной схемы, показанной на рис. 14.6:
Ul^k3 = <p,	(14.12)
Р
откуда
1Л2*з=<»п,ах-	(14.13)
(14.14)
Здесь со ™»« — максимальная скорость электродвигателя.
С учётом (14.11), (14.12) характеристика релейного элемента пока-
зана на рис. 14.7, а структурная схема АСУ - на рис. 14.8. Связь между
температурой и скоростью двигателя определяется выражением
/со 9
р(Тор + 1) СО max
где отражает связь между температурой з на выходе объекта и
Р
скоростью to max электродвигателя.
Рассмотрим процесс стабилизации температуры. Если темпера-
тура & становится выше, чем 9а• , т.е. i9>a, то реле срабатывает с
целью снижения температуры в объекте, т.е. направление вращения
электродвигателя имеет знак, обратный знаку отклонения температу-
ры от её заданного значения.
Процесс стабилизации температуры описывается системой уравнений
Г(Тор + \)р9 = -к»а>^ при 9>а;
J (Т»р + ])р9 - 0 при# <|а|;
(Тор + Г)р9 =	при <9 < -а.
(14.15)
зо1
атах
-а
О Ю &
9сг = Ucp • (Xfflcr
^тах
Рис. 14.7
Рис. 14.8
На основании (14.15) можно проводить анализ системы метода-
ми, которые рассматриваются в последующих главах.
14.3. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
При исследовании нелинейных систем обычно возникает необходи-
мость выполнения структурных преобразований. В отличие от линейных
систем, где каждое звено имеет передаточную функцию, параметры ко-
торой не зависят от входных сигналов, в нелинейных элементах их пара-
метры зависят от величины входного или выходного сигнала. Именно по-
этому в нелинейных системах нельзя менять местами с нелинейным эле-
ментом линейные звенья и точки суммирования сигналов; с линейными
же звеньями, расположенными до или после нелинейного элемента, мож-
но производить обычные преобразования по известным правилам.
Характер структурных преобразований зависит от цели исследова-
ний [55,56]. В одних случаях, когда требуется изучить собственное
движение системы при отсутствии внешних воздействий (в частности
для определения параметров автоколебаний), представляется целесооб-
разным «свернуть» структурную схему, выделив в ней лишь линейную
часть и последовательно соединённое с ней нелинейное звено.
302
Покажем последовательность выполнения таких структурных
преобразований на примере нелинейной АСУ температурой (см. рис.
14.3). Полагая, что i9i = О (режим стабилизации температуры), и вводя
дополнительно обозначение для нелинейного элемента J, будем
«свёртывать» линейную часть (рис. 14.9, а). Для этого перенесём вход
местной отрицательной обратной связи на выход нелинейного звена
(рис. 14.9, б), а затем приведём две согласно-параллельных цепи ли-
нейных звеньев к одному звену, которое включено параллельно с не-
линейным элементом (рис. 14.9 в).
б
W2(p)W3(p) (WofpJW^+W^))
Рис. 14.9
303
В других случаях, когда требуется исследовать движение нели-
нейной системы под влиянием внешних воздействий, структурные
преобразования выполняются без изменения положения входов и вы-
ходов системы. При этом исходная многоконтурная САУ сводится к
одноконтурной с сохранением точки приложения управляющего (или
возмущающего) воздействия и управляемой координаты.
Для иллюстрации сказанного обратимся к исходной схеме (см.
рис. 14.3). Последовательность её преобразований при сохранении
входа и выхода системы приведена на рис. 14.10, а, б, в
Рис. 14.10
Структурные преобразования позволяют подготовить исходную
схему САУ к дальнейшему анализу, который призван выявить специ-
фические особенности её показателей качества от наличия нелиней-
ного элемента в системе.
304
Глава 15. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
15.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА
Метод фазовой плоскости относится к точным методам исследова-
ния нелинейных систем. Он базируется на представлениях геометриче-
ского характера. Так, если нелинейная система описывается дифферен-
циальным уравнением и-ного порядка, то и текущих значений её коор-
динат можно рассматривать как задание некоторой изображающей точ-
ки в «-мерном пространстве. При этом каждой точке пространства ста-
вится в соответствии определённое состояние (определённая фаза) сис-
темы, а само пространство называется фазовым. Геометрическое место
точек, соответствующее последовательному изменению состояния сис-
темы в фазовом пространстве, называется фазовой траекторией. Семей-
ство фазовых траекторий, соответствующее совокупности начальных
условий, называется фазовым портретом.
Практически наибольшее распространение метод получил для
исследования нелинейных систем, описываемых уравнениями перво-
го и второго порядков. В этом случае фазовое пространство вырожда-
ется в фазовую плоскость с фазовыми траекториями, построенными в
декартовых координатах х, у, где х - отклонение управляемой вели-
dx
чины; у - —— скорость ее изменения.
По виду фазовых траекторий можно судить о характере переход-
ных процессов в исследуемой системе. Так, затухающему колеба-
тельному процессу соответствует фазовая траектория, сходящаяся к
началу координат фазовой плоскости (рис. 15.1, а). В этом случае на-
чало координат называется устойчивым фокусом.
305
Расходящийся колебательный процесс изображается в виде спи-
ральной фазовой траектории, удаляющейся от начала координат (рис.
15.1, б), которое в этом случае носит название неустойчивого фокуса.
Сходящийся монотонный процесс представляется на фазовой
плоскости в виде кривых, которые сходятся к началу координат. При
этом последнее называется устойчивым узлом (рис. 15.1, в).
Расходящийся монотонный процесс изображается в виде уда-
ляющейся от начала координат фазовой траектории (рис. 15.1, г). В
этом случае начало координат носит название неустойчивого узла.
Периодический процесс представляется на фазовой плоскости в
виде замкнутой кривой (рис. 15.1, б) и называется предельным циклом.
При этом предельный цикл называется устойчивым, если все фазовые
траектории сходятся извне и изнутри к предельному циклу (рис. 15.1,
е), и неустойчивым, когда траектории расходятся от предельного цикла
(рис. 15.1, ж). В первом случае в системе устанавливаются устойчивые
периодические колебания (автоколебания), а во втором случае имеет
место неустойчивое периодическое решение [22].
306
В некоторых случаях по виду фазовых траекторий можно опре-
делить показатели качества нелинейной системы. Так, если фазовая
траектория сходится к началу координат и расположена более чем в
одном квадранте (см. рис. 15.1, в), то переходный процесс идёт с пе-
„. (х„,ик-х<.)-100% _
ререгулированием сг% =--------------. Очевидно, что при этом ве-
Хо
личина перерегулирования зависит от начальных условий, т.е. от на-
чального положения изображающей точки на фазовой плоскости.
Если в нелинейной системе имеют место автоколебания, то по
фазовому портрету (см рис 15.1, д) определяются их параметры -
амплитуда Ап = Хтах и частота а>и = ~°-.
°	X™
Время движения изображающей точки по фазовой траектории
соответствует времени переходного процесса.
Следует подчеркнуть, что метод фазовой плоскости может при-
меняться для любого типа нелинейностей, а также для сочетания не-
линейностей [55. 56].
15.2. ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
ПО УРАВНЕНИЯМ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Для построения фазового портрета необходимо выполнить пре-
образования исходных дифференциальных уравнений:
исключить время t;
разделить переменные х, у;
осуществить интегрирование полученных уравнений.
В качестве примера построим фазовый портрет нелинейной САУ,
структурная схема которой приведена на рис. 15.2.
307
Для исследования свободного движения системы полагаем, что
<9, = 0. Тогда i9; = -<9, и, в соответствии со структурной схемой, урав-
нения движения системы можно представить в следующем виде:
(Т.р + \)-р9(р) = -кЩрУ	(15.1)
Г	max(р) при 9 > Ь-,
t/(p)=J 0 при р| <Ь;	(15.2)
- U „,Д/>) при .9 < -Ь.
Подставив (15.2) в (15.1), получим
(Tp + Vy р9(р) = — kUmn(p) при 9>Ь',	(15-3)
(Тр + \у р9(р) = 0 при р|<6;	(15.4)
(Tp+Vy p9(p) = kU™(p) при 9<-b.	(15.5)
Перейдём в уравнении (15.3) от изображений к оригиналам:
Т^- + — = -kU^.	(15.6)
dt1 dt
dx
Обозначим х = 19, — = у и преобразуем (15.6) к виду
dt
T— + y = -kU«m.	(15.7)
dt
В соответствии с приведёнными выше правилами построения фа-
зового портрета исключим время из уравнения (15.7). Для этого раз-
dx
делим последнее на —- у и получим
dt
dy = _\_kU^
dx Т Ту
или, иначе,
t/j y + kU
dx	Ту
Следующий этап - разделение переменных в уравнении (15.9):
dx =------—---dy.	(15.10)
y + kU™
308
Для удобства интегрирования дополнительно проведём над урав-
нением (15.10) несложные преобразования:
(Ty + TkU^)-TkU.m
dx = -	-----—--------dy.	(15.11)
у + kU
В результате представим его в виде
,	• 	У kU П111Х ,
dx = -Tdy +-------dy.	(15.12)
У + kU mu,
И, наконец, выполнив интегрирование (15.12), получим уравне-
ние фазовых траекторий
х = -Ту + TkUmmIn\y + kU,™.\ + Ci при х>Ь. (15.13)
Осуществив аналогичные преобразования уравнений (15.4) и
(15.5), также получим уравнения фазовых траекторий:
x = -Ty + Ci при	(15.14)
x = -Ty-TkU^In\y~kUпри x<-b.	(15.15)
По уравнениям (15.13) — (15.15) на рис. 15.3 построен фазовый
портрет нелинейной системы для следующих значений её парамет-
ров: к = \с-^-, Т = \Ъс-, b = 2°; Umax = 2,2B
В
Рис. 15.3
309
Фазовая траектория, выделенная жирной линией, соответствует
начальным условиям: 9 = 5,1°, 9 = G. Штриховкой отмечены линии
переключения, построенные по уравнениям x = +kU„^. При попада-
нии изображающей точки на эти линии происходит переключение
релейного элемента и изменение дифференциального уравнения дви-
жения системы. Таким образом, фазовая плоскость оказывается раз-
делённой линиями переключения на три области — F/, F2 и F3, внутри
каждой из которых движение системы описывается соответствую-
щими уравнениями -(15.13), (15.14), (15.15).
Вид построенного портрета указывает на наличие колебательного
затухающего процесса в нелинейной системе. Таким образом, иссле-
дуемая система устойчива. Переходный процесс может заканчиваться
в любой точке отрезка АВ.
15.3. ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
С ПОМОЩЬЮ ИЗОКЛИН
При выполнении преобразований исходного дифференциального
уравнения с целью построения фазового портрета далеко не всегда
удаётся осуществить аналитическое интегрирование для получения
фазовых траекторий. В этих случаях интегрирование производится
графическими, численными методами либо с использованием ЭВМ.
Одним из наиболее подробно разработанных и распространенных
на практике является метод графического интегрирования с помощью
изоклин [56]. Изоклиной называется геометрическое место точек фазо-
вой плоскости, на котором углы наклона касательных к фазовым траек-
ториям имеют одинаковые значения. Если задаваться рядом фиксиро-
ванных значений наклона N\, N2, ... , N„, то можно построить в плоско-
сти х, у семейство изоклин для уравнения нелинейной системы. Это
семейство, в свою очередь, используется для построения фазовых тра-
екторий, имеющих различные начальные условия. Порядок построения
фазовых траекторий по семейству изоклин показан на рис. 15.4. На-
клон фазовой траектории при её пересечении с изоклинами отмечен
стрелками. Для построения участка фазовой траектории между изо-
клинами М и № из точки А проводятся в направлении изоклины N2
две прямые, имеющие наклоны TV, и N2. Фазовая траектория в точке А
имеет наклон и пересекает следующую изоклину под углом N2, по-
этому она должна находиться внутри угла, образованного соответст-
вующими прямыми N\ и А/з* Приближённо можно считать, что точка
В пересечения изоклины N2 с фазовой траекторией находится в сере-
зю
дине отрезка этой изоклины, отсекаемого прямыми, проведёнными из
точки А. Аналогично из точки В проводятся две прямые, имеющие на-
клоны А2 и Аз, и получается точка С пересечения фазовой траектории с
изоклиной М и т.д. Таким образом, фазовая траектория проходит через
полученные точки А, В, С, ... . Чем ближе друг к другу будут нанесены
изоклины, тем более точным окажется построение фазовой траектории.
Для других начальных условий строятся другие траектории. Их сово-
купность образует фазовый портрет.
IS.4. ПРИМЕР РАСЧЁТА
В качестве примера выполним построение фазового портрета не-
линейной системы, структурная схема которой показана на рис. 15.5.
зп
При исследовании свободного движения системы полагаем, что
%, = 0. Тогда %’ = -%>, и в соответствии со структурной схемой
уравнения движения системы можно представить в следующем виде:
(Т‘, р +Т2Р + 1>(р) = ~кхх(р);
(15.16)
" С(р) при х.>- > 0;
х\р}= -<
(15.17)
-С(р) при Хл < 0.
Подставив (15.17) в (15.16). получим
Г (Pl Р +Т1Р+ 1 )лгл(/?) = -кС(р) при Хл > 0;
(Т~> рг + Т1Р+ \)хАр) = кС(р) при Хл<0.
Перейдём в (15.18) от изображений к оригиналам:
+ = ~кС(р) при хл>0;
dp dt
(T2,(^~ + T.—~L + Хл = кС(р) при Хл<0.
dx
Обозначим х = Xf, — = У 11 представим (15.19) в виде
dt
(15.181
(15.19)
(Т\ — + Т1У + х = -кС(р) при х > 0;
dt
J	(15.20)
(Т]— + ТгУ+ х = кС(р) при х<0.
dt
„	<	. _ dx
Для исключения времени разделим уравнения (15.20) на — = у.
dt
После преобразований получим
dy х + кС Т,
— =-------------- при х > 0;
Дх	т\У	T2i
dy	x-кС	т,
~ -------------при х < 0.
Дх	т2,у	т2
(15.21)
312
dy
Положим в первом уравнении (15.21) — = т, а во втором
dx
dy
— = п и, подставив численные значения параметров системы
dx
(Т, = 0,5 с2; Т, = 1 с; к = 1; С = 2), найдём уравнения изоклин:
С 2х + 4
у =-------при х > 0:
т + 2
J	(15.22)
2х-4
у =-------при х < 0.
п + 2
По уравнениям (15.22) для ряда фиксированных значений тип
строим на фазовой плоскости поле изоклин (рис. 15.6), представляю-
щих собой отрезки прямых. Затем аналитическим путём определяем
аир— углы наклонов фазовой траектории к оси абсцисс в точках
пересечения траектории с соответствующими изоклинами. Результа-
ты расчётов сведены в табл. 15.1, а наклоны фазовых траекторий от-
мечены на изоклинах стрелками.
При построении фазовых траекторий следует учитывать, что в
верхней половине фазовой плоскости, где у > 0, изображающая точка
313
всегда движется слева направо, т.е. в сторону увеличения х, а в ниж-
ней половине плоскости — справа налево. Как видно из рис. 15.6, при
любых начальных условиях фазовая траектория представляет собой
спираль, скручивающуюся к началу координат. Следовательно, ис-
следуемая система устойчива.
Таблица 15.1
Углы наклонов фазовой траектории к оси абсцисс
W, п	— со	-10	-6	-4	-3	-2	1	0	2	6	со
а° = arctg(m)	-90	-84	-80	-76	-72	-63	-45	0	63	80	90
р° = arclg(n)	-90	-84	-80	-76	-72	-63	-45	0	63	80	90
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 15
1.	Определение изображающей точки
2.	Определение фазовой траектории.
3.	Что такое предельный цикл?
4.	Как по предельному циклу определить частоту автоколебаний?
Глава 16. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
16.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Практическое применение метода для анализа и синтеза нели-
нейных САУ было предложено в 1940 г. профессором Л.С. Гольд-
фарбом (зав. кафедрой «Автоматика» МЭИ).
Метод основан на гипотезе: колебания с выхода нелинейного
звена, содержащие высокие гармоники, при прохождении через ли-
нейную часть системы сохраняют только первую гармонику. Эту ги-
потезу назвали гипотезой фильтра.
Следует отметить: чтобы установить, является ли линейная часть
системы фильтром для низких частот, и тем самым определить приме-
нимость метода, необходимо узнать частоту автоколебаний. Однако её
узнать можно только в результате применения метода. Это говорит о
приближённости метода в определённых границах [58]. Однако в элек-
тромеханических системах, где исполнительными элементами являют-
314
ся электродвигатели, гидро- и пневмомоторы, гипотеза фильтра, как
правило, выполняется. Это объясняется достаточно большими посто-
янными времени упомянутых звеньев. Гипотезу фильтра физически
можно проиллюстрировать примером, приведённым на рис. 16.1
В цепи обмотки возбуждения возбудителя (Айй), питающего обмот-
ку возбуждения (Ай/) генератора, периодически включается дополни-
тельное сопротивление 7? ключом SA. Диаграмма сигналов в цепях схе-
мы показана на рис. 16.2, откуда следует, что сопротивление в цепи воз-
буждения возбудителя изменяется по прямоугольной форме, а следова-
тельно, состоит из суммы гармоник, представленных в виде ряда Фурье.
Более строго рассмотренное иллюстрируется амплитудно-
частотными и фазовыми частотными характеристиками.
Допустим, что линейная часть САУ представлена последователь-
ным соединением двух апериодических звеньев, а нелинейным зве-
ном является реле. АФЧХ линейной части представлена в виде
И(о>) = -п—	.. Л;	(16.1)
и2 со2 + l^?2 л2ы2 +1)
= -arctg(l iwta)- arctg(T гисо).	(16.2)
Здесь п — номер гармоники; Т/.Т? - постоянные времени звеньев;
К/ - коэффициент передачи двух звеньев; щ — частота.
Из (16.1) видно, что амплитуда сигнала на выходе линейных
звеньев (у) для высоких гармоник (п>1) значительно меньше, чем для
первой гармоники (п-1).
На основании рассмотренного расчётную структурную схему не-
линейной САУ будем представлять в виде, показанном на рис. 16.3.
Согласно представленной на рис 16.3 схеме с выхода линейной
части системы по цепи обратной связи на вход нелинейного звена бу-
дет поступать гармонический сигнал вида X = J-sin(wr), где А — ам-
315
плитуда; со - частота. На выходе нелинейного звена получаем сигнал
содержащий высшие гармоники.
Один из возможных вариантов преобразования сигнала в нели-
нейном звене показан на рис. 16.4.
316
Из рис. 16.4 видно, что сигнал на выходе нелинейного звена y(t)
содержит высшие гармоники, а поэтому может быть представлен в
виде суммы ряда гармоник. На основании теоремы средняя квадра-
тичная погрешность приближённого представления f(x) с помощью
тригонометрического ряда порядка п будет минимальной, если коэф-
фициенты ряда являются коэффициентами Фурье:
Коэффициенты ряда для симметричных колебаний на входе не-
линейного звена
1 71
а. - 0; а
п
I 71
= — (y(t)  costпыt)  di£> 1b =
С учётом значений коэффициентов ряда приближённое значение
на выходе нелинейного звена запишем
00 I ] п
>”,<,(/) = Z —	иы/)-dial-cost «ю t) +
n = 1	-л-
я	A
+ J y(>) • sinfmo t) -dent  sin(	f
-Я	J
(16.4)
Здесь w = ——угловая частота первой гармоники; Т- период
Возьмём только первую гармонику из ряда (16.4), получим
317
1 п	1 л
у. (/) = — fy(t)  cos(co /)  cfa>t- cos(<n z) + — f y(t) • sin(cot)-dwtsin(ioZ). (16.5)
71-n	n-n
Введём обозначения
В = y(t)- sin( (tit ) ditit; C = y(t)- cos( (tit)-dttil.
С учётом введённых обозначений (16.4) представим в виде
y,(t)- B-sin(ttit) + C-cos(ttit).	(16.6)
Имея в виду, что х= A-sin(tot) (см. рис. 16.4),
. ,	, х ,	, dx
SIH((tit)=— и cos(u>t) =---.
A	dtA  со
Подставим значения sin(tAt) и cos(at) в зависимости (16.6), получим
, В . , С dx	/|z *74
.>W) = --*(z)+---Г'	(16-7)
1 А Аа dt
Выражение (16.7) определяет первую гармонику сигнала на вы-
ходе нелинейного звена при гармоническом входном сигнале.
Найдём из (16.7) передаточную функцию нелинейного звена. Для
этого применим преобразование Лапласа (Карсона), получим
3’|(р) = ~’х(/7) + ~“’/7'А'(/’)-	(16.8)
А А(о
Из (16.8) выражение передаточной функции определяется сле-
дующим образом:
(16.9)
х( р)	W
в	с
В (16.9) обозначено: q = —; Ь = — .
А	А
Коэффициенты q и b есть функции амплитуды входного сигнала
на нелинейный элемент.
В этой связи в дальнейшем передаточную функцию нелинейного
звена будем обозначать №Нч(р, А), поэтому (16.9) перепишем в виде
(16.10)
х( р)	со
Из выражений (16.8), (16.9), (16.10) следует, что для фиксированно-
го значения амплитуды гармонического сигнала на входе нелинейного
звена оно может быть заменено эквивалентным линейным. Эта замена
получила название гармонической линеаризации, а коэффициенты q(A)
и Ь(А) получили названия коэффициентов гармонической линеаризации/
318
В зависимости (16.9) коэффициент q(A) характеризует выходную
гармоническую составляющую, совпадающую по фазе с входным
гармоническим сигналом; коэффициент h(A) - выходную составляю-
щую. сдвинутую относительно входного сигнала на угол ~ вперёд
или назад в зависимости от знака перед коэффициентом Ь.
Следует подчеркнуть, что коэффициент Ь(А) имеет место только
для нелинейных звеньев с неоднозначными статическими характери-
стиками. Для звеньев с однозначными статическими характеристика-
ми значение Ь(А) 0.
В заключение отметим, что в случае гармонической линеариза-
ции нелинейная статическая характеристика заменяется линейной, но
с той разницей, что наклон этой характеристики изменяется в зави-
симости от амплитуды гармонического воздействия, приложенного
ко входу нелинейного звена.
16.2. МЕТОДИКА НАХОЖДЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Методику нахождения коэффициентов гармонической линеариза-
ции рассмотрим на примере преобразования сигнала при его прохожде-
нии через нелинейное звено с неоднозначной нелинейностью (рис. 16.5).
319
Сигнал на входе нелинейного звена X = Asin(wt) или X = Asinq>
(обозначили &t=(p). Сигнал на выходе нелинейного звена имеет форму
прямоугольников. Момент срабатывания реле определяется зависимо-
стью (см. рис. 16.3) с = Asincp, и simp2 = —. В силу симметричности вы-
А
ходного сигнала для определения коэффициентов гармонической линеа-
ризации необходимо взять два интеграла в пределах от <pi до <р?:
q(А) = — f Мsin(p-dip = ^-^-[cos<pi—cosед?].
лА (p,	лА
Поскольку cos2 +sin2 = 1, ro cos<p = Ji -sin<3, поэтому
cos^zx = I---, cos (pi --J1 С учётом полученных соотношений
V A2	V A2
формулу перепишем в виде
(16.11)
Коэффициент, характеризующий фазовый сдвиг первой гармони-
ки на выходе звена по отношению к первой гармонике на его входе,
определяется зависимостью
I 2л
h = — = — \f( Asin<p)-cos(p-d(p =
А лА ()
= —- <ff( A sintp)  d( A sin/р) = —Ц = - 2М <С а-
ЛА	ла2 ЛА1
Общее выражение для амплитудно-фазовой характеристики не-
линейного звена примет вид
WH,(A,j(o)=^-
лА
I 2	2
А2 V А2
2М(с-а)
(16.12)
Формула (16.12) справедлива при А >с. Примерный вид изменения
коэффициентов гармонической линеаризации представлен на рис. 16.6.
320
Рис. 16.6
В случае однозначной статической характеристики нелинейного зве-
на, показанного на рис. 16.7, и при условии, что А = с, получим из (16.12)
В случае, если отсутствует зона нечувствительности, г.е. с = 0, то
из (16.13) получаем для характеристики (рис. 16.8)
=	(16.14)
tlA

-М
РИС: 16.8
321
Характер изменения коэффициента гармонической линеаризации,
представленного формулами (16.13), (16.14), показан на рис. 16.9.
16.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ АВТОКОЛЕБАНИЙ
С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Проанализируем структурную схему нелинейной САУ, показан-
ной на рис. 16.10.
Рис. 16.10
Система замкнутая со стационарной нелинейностью и рассмат-
ривается как автономная, т.е. не подвержена внешним воздействиям
(Xj,>=0). Найдём условия существования в такой системе автоколеба-
ний вида х = /1 sinftnat) (без постоянной составляющей) Для этого за-
меним нелинейное звено эквивалентным линейным с помощью ранее
введённых коэффициентов гармонической линеаризации. Для задан-
ного значения амплитуды А система становится линейной, поэтому её
можно исследовать методами линейной теории и, в частности, устой-
чивость такой САУ можно исследовать критерием Найквиста. Для
границы устойчивости АФЧХ разомкнутой САУ должна иметь вид
Wp(ju) = -l.	(16.15)
322
Перепишем (16.15) в развёрнутом виде, получим
W'/Jw) •	A, Jm) = -/.	(16.16)
Из последнего выражения следует
Полученная зависимость позволяет сформулировать методику
определения автоколебаний, возникающих в САУ. Она сводится к
следующим действиям.
1.	Проводится построение ЛАФЧХ линейной части системы.
2.	Строится обратная и повёрнутая на 180° АФЧХ нелинейного звена.
3.	Определяется точка пересечения характеристик, построен-
ных в ПК1, 2. Если такой (таких) точки нет, то в САУ отсутствуют
автоколебания.
4.	В точке пересечения АФЧХ линейной и нелинейной частей
САУ определяются частота и амплитуда автоколебаний. Частота счи-
тывается с АФЧХ линейной части САУ, а амплитуда определяется из
АФЧХ нелинейного звена.
5.	В случае нескольких точек пересечения АФЧХ линейной и не-
линейной частей САУ определяется точка устойчивых автоколеба-
ний. Методика её определения будет описана ниже.
Проиллюстрируем описанную методику конкретным числовым
примером. Допустим, что структурная схема САУ показана на рис.
16.11. Нелинейным элементом является реле с зоной нечувствитель-
ности с, а линейная часть содержит последовательное соединение
двух апериодических и одного интегрирующего звеньев.
Параметры звеньев САУ имеют следующие значения: Tt=T2=0,05
с: К=0,82; с=0,2 В: М=110В.
Рис. 16.11
323
Следуя приведённой выше методике, определим, возникают ли в
САУ автоколебания.
1. Построим АФЧХ линейной части САУ:
_______К_______
“7^+Г/ ы)(1 + Т2(л)

<р(ы) = -90° - arctg(ыТI) - arctg(шТг).
Задавая ряд значений частот со, найдём соответствующие значе-
ния -фсо; и Результаты расчёта отражены в табл. 16.1.
Таблица 16.1
UJ,C ’’	0	20	40	oo
Л(со)	00	0,20?	0,0041	0
<гХ<о)°	-90°	-180°	-217°	-270°
2. Рассчитаем коэффициенты гармонической линеаризации для
„ .. /
нелинейного звена и найдем--------:
IVh>( A; j(i>)
4М I
Wm( A:j(OJ = q( А) = —-Jl-^i
лА\ А
_	!	=____л а
Wtn( A;ju)	4Му]д-с
2
Обозначим--------4=  - - =-Z. Выражение для Z представляет
1м^А'~с
сложную нелинейную зависимость, поэтому целесообразно провести
исследование на экстремум. Для этого найдём производную от Z и
приравняем её к нулю, получим
А2 ~с '2А- д2 г—2--2
— = 0;	— = ---------------- =0.	(16.18)
дА	дА	А-с
При выводе (16.18) использовали нахождение производной от
сложной функции.
Обозначим у = л!А2~с и = Аг~С'
Тогда
• dy
У = [/2 И -
dU
[ _ _1_ _ J  dU
2'U2~2 U'c' dA
а поэтому
324
dy dy dU A
dA dU dA -Ja:~c
Из выражения (16.18) найдём экстремальное значение Z:
(а~~с')'2А- а =0
откуда А = с41 = 1,44с, а следовательно,
17 । =	с2-2	_ сл
4Му]с2-2-с 2М
Подставляя численные значения, получим
Z - С7С
€Л|П	 /
2.М
0,2-3,14
~ 220
= -0,00285.
Дадим ряд значений А в ту и другую сторону от экстремума и
найдём соответствующие значения -Z. Расчёты сведены в табл. 16.2.
Таблица 16.2
А	1,00001 с _1.0001 с 1,00 с
-Z -0,32	-0J 21 -0.032
1,1 с 1,2 с
-0,0038 -0.003
1.41 с
-0,00285
1 с 4 с 100 с
-0.0033 -0,006 -0,15
Анализ данных табл. 16.2 показывает, что при увеличении А до зна-
чения А = Сд/2 -(А = 1,41с) происходит рост значения -Z. Экстремаль-
ное значение (min) достигается при А = 1,41 с. При дальнейшем росте
амплитуды А наблюдаем уменьшение значения Z. На основе получен-
ных данных по пп. 1, 2 произведём построение АФЧХ линейной части
САУ и -Z нелинейной части САУ. Построения проведены на рис. 16.12.
Как следует из построений (см. рис. 16.12) в нелинейной САУ
имеют место две точки пересечения АФЧХ линейной части с АФЧХ
нелинейной части, в которых возможны автоколебания с амплитуда-
ми Л / или А?. Однако существует одна точка устойчивых автоколеба-
ний. Эта точка пересечения характеристик, в которой обший коэффи-
циент передачи САУ в разомкнутом состоянии имеет наибольшее
значение. В данном примере наибольший коэффициент разомкнутой
САУ определяется точкой с амплитудой А/.
325
+]Qlul
-lQli.il
Рис. 16.12
Частота автоколебаний считывается в точке пересечения харак-
теристик с линейной части АФЧХ и для данного примера равна
со = 20с~'. Амплитуда автоколебаний рассчитывается по значению,
снятому с графика нелинейной части САУ. Для рассмотренного при-
мера это А « 1,0005с, откуда А< ® 1,0005-0,2 = 0,2001В.
16.4, АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ САУ
МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Для анализа устойчивости нелинейных САУ, а также для синтеза
корректирующих звеньев и построения переходных процессов необ-
ходимо с помощью метода структурных преобразований приводить
их к расчётным схемам, которые показаны на рис 16.13, 16.14, 16.15.
Рис. 16.13
326
Рис. 16.15
Эти структурные схемы имеют одно и то же выражение для ха-
рактеристического уравнения замкнутой САУ:
l + lV^(A:Jw)-W.i(Jco)	(16.19)
, . .	W.i( jco) IV>( /(£>) =	 		 -: / + lVu >( A: ju>)  lV.i( /<•>)	(16.20)
... , . .	IVh4(A;J(£>) И <j( Jio) =			' 	. l + WHJAJuj-W'fju)	(16.21)
Рассмотрим условие возникновения автоколебаний. Из крите-
рия устойчивости Найквиста следует, что они имеют место, если
-1 = IV. i( ja>)  W,r,( A; jco).	(16.22)
Для линейного звена Wв показательной форме запишем в виде

(16.23)
В (16.23) обозначено: /7(ш) - амплитудно-частотная характери-
стика линейного звена, H(co) = \W(jw)\', <р(ы) - фазочастотная характе-
Q(co)
ристи ка, <р( со) = arctg ——-.
P(w)
АФЧХ для нелинейного звена имеет вид
lVn4A;jco)=G^
1
(16.24)
Здесь	+ Ь~ (А); J= arctg .
\А)	\А) q(A)
Представим ~/ = g 77Г.
327
С учётом (16.23), (16.24) условия возникновения автоколебаний
запишем в виде
е^л=	(16.25)
Приравняем отдельно значения амплитудных и фазовых частот-
ных характеристик, получим систему
1 = //(cw)-G — ;
(16.26)
- Я = </>( Ы )+/А — .
I Л J
Перейдём к логарифмическим амплитудно-фазовым частотным
характеристикам:
= 20lgll + 2P/gG|-|;
k А )
(16.27)
<Р=-7Г-
Систему j равнений (16.27) для практических целей перепишем в виде
20lgH((o) = 20lg—
G
1 z > (И	(16.28)
<p( co) =-л - ш	.
k Л/
Полученные условия (16.28) есть баланс амплитуд и фаз, при кото-
ром возникают незатухающие колебания, т.е. автоколебания. Одновре-
менность выполнения этих условий заключается в том, что точки пере-
сечения логарифмических амплитудных характеристик 2()lgH(co} и
201е__L и фазовых характеристик ср(со) и -л-J — | должны лежать на
s (С\	\AJ
G
{aJ
одной вертикали.
Условия (16.28) получили название «условия гармонического
баланса».
Для систем с однозначными нелинейностями условия гармониче-
ского баланса принимают вид
328
20lgH(a>) = 20!g
CV
я;
<р(а>) = -п.
(16.29)
Выражения (16.28), (16.29) позволяют сформулировать методику
определения автоколебаний.
1.	Необходимо на отдельном листе построить ЛАФЧХ линейной
части САУ.
2.	На отдельном листе прозрачной бумаги (кальке) строиться
ЛАФЧ характеристика нелинейного звена. Масштабы по оси
ковы масштабы и по оси со(дек) и
3.	Совмещают характеристики по пк1, пк2 и путем перемещения
ЛАФЧХ нелинейной части САУ вдоль оси а>, определяют точ-
/
ки пересечения кривых 201е—-с 201gH(a>) и -180-jn: —
(\А)
G
(или -180) с <р(т). Если найденные точки пересечения находят-
ся на одной вертикали, то в системе выполняются условия
гармонического баланса.
4.	Параметры автоколебаний считаются с графика: частота авто-
колебаний с оси СО для ЛАФЧХ линейной части САУ, а
А
значение — с оси абсцисс нелинейной части САУ По извест-
ному значению параметра С определяют амплитуду автоколе-
баний Аи.
329
40.	Захаров, В.Н. Нечёткие модели интеллектуальных промышленных регу-
ляторов и систем управления / В.Н. Захаров, СВ. Ульянов И Техническая
кибернетика. 1992. №5.
41.	Тимофеев, Л. В. Интеллектуализация систем автоматического управления
/ А.В. Тимофеев, Р.М. Юсупов И Техническая кибернетика. 1994. №5.
42.	Гусев, А.А. Адаптивные устройства сборочных машин / А.А. Гусев. М.:
Машиностроение, 1979.
43.	Николаев, В. А. Технологические основы построения систем автоматиче-
ского управления процессом запрессовки / В.А. Николаев, С.Г. Гладков.
В.Е. Лысов // Автоматизация и современные технологии. 1998. №1.
44.	Радушуари, Э.Г. Теория вибрационных технологических процессов при не-
кулоновом трении / Э.Г. Радушуари, Г.Я. Пановко. М.: Наука, 1988. 145 с.
45.	Регулирование координат электропривода: учеб, пособ. для вузов / В.Н.
Ключев. М.: МЭИ, 1979. 90 с.
46.	Федоров, С.М Автоматические системы с цифровыми управляющими
машинами / С.М. Федоров, А.П. Литвинов. М-Л.: Энергия, 1965. 223 с.
47.	Николаев, Ю.А. Динамика цифровых следящих систем / Ю.А. Николаев,
В.Н. Петухов, Г.И. Феликсов, Б. К. Чемоданов. М.: Энергия, 1970. 510 с.
48.	Анализ и синтез цифровых систем управления промышленными установ-
ками: учеб, пособ. /В.Е. Лысов ; Самар, гос. техн. ун-т. Самара, 1992. 95 с..
49.	Первозванский, А.А. Курс теории автоматического у прав лен пл А.А. Пер-
во званский. М.: Высш, школа, 1986. 465 с.
50.	Цыпкин, Я.З. Теория линейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин. М.:
Физматгиз, 1963. 702 с.
51.	Теория автоматического управления: учебник / С.Е. Душин, А С. Зотов,
Д.Х. Пмаев и др.; под ред. В.Б.Яковлева. М.: Высш, школа, 2005. 567 с.
52.	Кузин, Л.Г. Расчёт и проектирование дискретных систем управления
Л.Г. Кузин. М.: Машгиз, 1962. 683 с.
53.	Лысов, В.Е. Теория автоматического управления. Специальные методы
анализа линейных систем: учеб, пособ. для вузов / В.Е. Лысов. Самара,
1999. 151с.
54.	Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления /
под ред. В.А. Бессекерского. 5-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1978. 510 с.
55.	Вавилов, А.А. Частотные методы расчёта нелинейных систем / А.А. Вави-
лов. Л.: Энергия, 1970. 324 с.
56.	Попов, Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и
управления / Е.П. Попов. М.: Наука, 1979. 256 с.
57.	Посифьян, А Г. Каган Б.М. Основы следящего привода / А.Г. Иосифьян.
Б.М. Каган. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1954. 596 с.
58.	Летов, А.М. Математическая теория процессов управления / А.М. Летов.
М.: Наука, 1981.255 с.
332
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
№п/п	Схема и название		Передаточная функция	ЛАЧХ и АФЧ		X
1	О		И/(с) ТР			
				L Ub	qfahVO*	
	— п |		Щр>~тр + \ Т - RC			
	Lhx О		 	 ’	Яг Uw			у 1 -tptu)	
2	°- d; t -г - л г	Яг Uw	+ 1“ + +	v A ci.	г, У	о:	с£ + И	? 'S.	11	1.ВБ	iplul=90°	
				20lgK\	U’T /^20	
	О		i-		О				-iplu)	
7	Ri : 1 о				„	Пр + 1 Tip +1 Ti = (Ri + R2)C Ti=RiC	L-eb It	1	1 u^ -b u-T2	
				-9O'~	;s\Z- -IflLl)	
4 L	Ri ° ° у у to	L R? Ri | tor Tf Т		w Tip + \ Ti=RiC + -R'- RiC R\ + R^ Ti = RiC Ki—^- Rx + R* Keo 	!	 RxRi + RxRx +1 RzRx	L.№ l	1	1 ^Ti иЧг	
				-90-	’ L>	A®«
					-zu -Ц)(ы1	
333
Продолжение таблицы
№п/п
5
Схема и название
Передаточная функция
ЛАЧХ и АФЧХ
(Пр + 1)(Пр + 1)
Тх = RxCx
Ti = R2C2
TxTi = T\Tt
Ту + Та = Т, + Т2 1 + —
I R2,
334
Окончание таблицы
335
К)
337
Номограмма для нахождения ЛАФЧХ замкнутого контура
со 100%-ной обратной связью по ЛАФЧХ
разомкнутого контура
5
§
5
Й
Ъ
Приложение 4
Таблица Л-преобразованнй для передаточных функций
№п/п	И'(р)	W'(Z)						W(Z,u)		
1	к_ р	к								
				Z-I						
2	к р			KTZ				KTZ KTZo		
				(Z-n2				(Z-l)2 ' (Z-I)		
3 4 5	к Т\р + \	1 « и в N 1 In						к z-da Л Z-d		
	к			K(l-d)Z				KZ KZd" Z-l Z-d		
	р(Т\р + \) к			(Z-lXZ-fif)						
		к	TZ	T\(\—d)Z					J 7Z [(Z-l)	(oT-Ti)Z TiZd"^	
	p2(Tip + 1)		(Z_02 (Z-lXZ-d)						(Z-l) 1 Z-d]	
1 6 7	кт,р	к		Z-ZdO + aT) (Z-d) 1 a = — 73				KZdn	1 - aTa aTd	
	(Tip+l)2 К(Кр + У) Т1Р + \								(z-d>\	
		к	r.+fi Г|Л> z							
		Тг	/ 1 T 1	]	.. 1							
• 8	К(Т,р+У) р(Г2Р+1)	КТ Тг	2	\^T1 T'	( 1 I- *72 1 e	-1	-			
			(z-i)		( r z~e11					
9 1	к	1 "б N 1	i>|£ N	ш N	1	1	<1 n ।	-S	-а £	N	1	- +	N 1—	-	“ nN „	1 N '<	1								
	р[Т\р + 1)(Ггр + 1) 										
338
Окончание таблицы
№п/п	ИЧР)	W'(Z)	H(Z,a)
		к			
10	р\р +2сТ'Р + }	PiVl-c -17. c n-co/7	
		~	z	
11	(Tip + l)(Tip + r>	Тх-тг {,	’Y,	4	
		Z-e/> Z-e/2	
_ 		L		 		L A	)	
339
Приложение 5
Передаточные функции дискретных систем
при различном расположении дискретного элемента в структурной схеме
340
Приложение 6
Формулы для определения коэффициентов
гармонической линеаризации типовых нелинейностей
341
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.....................................................3
ВВЕДЕНИЕ........................................................4
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ..6
Глава 1. Проблемы автоматического управления, основные понятия, терми-
нология........................................................6
1.1.	Краткие исторические сведения о становлении ТАУ
как учебной дисциплины.......................................6
1.2.	Принцип действия, определение систем автоматического
управления, задачи теории автоматического управления (ТАУ)...9
1.3.	Классификация САУ по используемой информации..........13
1.4.	Классификация САУ по математическому описанию
и формированию сигнала на объект управления.................16
1.5.	Структурные и функциональные схемы САУ...................18
Глава 2. Статический режим работы систем автоматического управления ..20
2.1.	Определение статического и динамического
режимов работы САУ...........................................20
2.2.	Способы управления в системах автоматического управления.21
2.3.	Статические характеристики структурных звеньев САУ.......23
2.4.	Типовые соединения структурных звеньев САУ.............26
2.5.	Перекрёстные автономные связи в структурных звеньях САУ
и их преобразование.........................................33
2.6.	Основное уравнение статического режима работы САУ......34
2.7.	Примеры применения основного уравнения статического режима
работы САУ..................................................36
2.8.	Особенности статического режима работы САУ
с несколькими управляемыми координатами......................42
Глава 3. Передаточная функция, амплитудно-фазовая частотная
характеристика типовых динамических звеньев САУ.........44
3.1.	Основные математические методы, применяемые в ТАУ.
Преобразование Лапласа и его свойства.......................44
3.1.1.	Обратное преобразование Лапласа и примеры
его применения..........................................50
3.2.	Линеаризация дифференциальных уравнений движения
звеньев САУ.................................................52
3.3.	Методика анализа САУ на персональных	компьютерах.......59
3.4.	Определение амплитудно-фазовых частотных характеристик
(АФЧХ), передаточных функций (ПФ)
динамических звеньев САУ....................................60
3.5.	Передаточные функции, амплитудные и фазовые частотные
характеристики типовых динамических звеньев САУ.............64
3.5.1.	Апериодическое звено.............................65
342
3.5.2.	Колебательное звено............................... 72
3.5.3.	Дифференцирующее звено.............................79
3.5.4.	Интегрирующее звено................................85
3.5.5.	Звено запаздывания.................................87
3.5.6.	Безинерционное звено...............................88
3.5.7.	Неустойчивые апериодические звенья.................90
Глава 4. Методика составления уравнений движения,
передаточных функций, структурных схем звеньев систем
автоматического управления.......................................96
4.1.	Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением
или с постоянными магнитами при управлении со стороны
приложенного к якорю напряжения
(управление при постоянном моменте).......................96
4.2.	Передаточная функция электродвигателя
постоянного тока с независимым возбуждением путём
изменения потока возбуждения (регулирование частоты
вращения ротора двигателя при постоянной мощности).......100
4.3.	Передаточная функция асинхронного короткозамкнутого
электродвигателя при частотном управлении....................103
4.4.	Уравнение движения, передаточная функция генератора
постоянного тока.............................................107
4.5.	Передаточная функция двухфазного асинхронного
электродвигателя.............................................110
4.6.	Передаточная функция, структурная схема тиристорного
преобразователя..............................................115
Глава 5. Устойчивость систем автоматического управления.
Критерии устойчивости...........................................122
5.1.	Определение устойчивости систем автоматического управления ... 122
5.2.	Критерий устойчивости Гурвица...........................125
5.3.	Критерий устойчивости А. В. Михайлова...................130
5.3.1.	Следствия из критерия А.В. Михайлова..............134
5.4.	Критерий устойчивости Г. Найквиста......................136
5.5	Логарифмический критерий устойчивости....................144
Глава 6. Синтез корректирующих устройств в линейных непрерывных
системах автоматического управления.............................151
6.1.	Построение желаемой логарифмической
амплитудно-фазочастотной характеристики разомкнутой
системы автоматического управления............................151
6.2.	Синтез последовательного корректирующего звена
рациональной структуры........................................158
6.3.	Синтез последовательного астатического
корректирующего устройства...................................162
6.4.	Синтез параллельного корректирующего звена..............168
6.5.	Построение желаемой амплитудно-фазовой частотной
характеристики с учётом дополнительных ограничений...........176
343
Глава 7. Методы построения переходных процессов в линейных
аналоговых системах автоматического управления..........183
7.1.	Графоаналитический метод построения переходного процесса
с использованием вещественно-частотной характеристики Р(ы)
замкнутой системы............................................183
7.1.1.	Структурное преобразование схемы САУ в зависимости
от формы входного воздействия......................183
7.1.2.	Связь между вещественно-частотной характеристикой
замкнутой системы Р(ш) и переходной функцией h(t).
Основные свойства вещественно-частотной
характеристики.....................................186
7.1.3.	Методы определения вещественно-частотной
характеристики замкнутой САУ............................189
7.1.4.	Построение переходного процесса в замкнутой САУ
по ее вещественно-частотной характеристике Р(ш) методом
трапецеидальных частотных характеристик................191
7.2.	Пример построения переходного процесса в линейной
непрерывной САУ по её вещественно-частотной характеристике
Р(со) в замкнутом состоянии..................................194
7.3.	Пример расчёта переходного процесса в непрерывной
линейной САУ на персональном компьютере......................199
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (САУ)..............................202
Глава 8. Структурно-параметрический синтез следящих САУ.......202
8.1.	Определение следящей системы..........................202
8.2.	Методика структурного синтеза следящих САУ............204
8.3.	Динамика следящей системы при управлении в функции
отклонения и производной от выходной величины...............208
8.4.	Динамика следящей системы при управлении в функции
отклонения и её производной..................................211
8.5.	Динамика следящей САУ с комбинированным управлением....214
Глава 9. Структурно-параметрический синтез инвариантных САУ...217
9.1.	Определение инвариантной САУ........................  217
9.2.	Инвариантность САУ при комбинированном
способе управления..........................................221
9.3.	Пример синтеза инвариантной связи для САУ стабилизации
частоты вращения электродвигателя...........................222
Глава 10. Структурно-параметрический синтез адаптивных систем
автоматического управления.....................................227
10.1.	Определение адаптивной системы.......................227
10.2.	Структурный синтез адаптивной самонастраивающейся САУ
стабилизации качества управления.............................228
10.3.	Пример синтеза адаптивного регулятора
для самонастраивающейся САУ..................................231
344
10.4.	Адаптивные САУ с оптимизацией качества управления
(экстремальные системы)....................................232
10.4.1.	Системы с запоминанием экстремума..............233
10.4.2.	Экстремальные САУ шагового типа................235
10.4.3.	Экстремальные САУ, реагирующие на знак
dY
производной .....................................236
10.4.4.	Экстремальные системы со вспомогательной модуляцией..236
Глава 11. Структурный синтез интеллектуальных технических систем
автоматического управления (ИСАУ).....................238
11.1.	Определение ИСАУ и основная терминология.............238
11.2.	Представление качества управления для ИСАУ.
Представление качества в сборочном производстве
методом продольно-прессового соединения деталей
с предварительным натягом.............................244
11.3.	Структурные схемы ИСАУ. Структурная схема ИСАУ
процессом запрессовки.....................................247
11.4.	Обобщённая структурная схема ИСАУ....................252
ДИНАМИКА ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ....................................253
Глава 12. Представление сигналов в дискретных системах
и математические методы анализа.......................254
12.1.	Особенности в представлении сигналов в ЦСАУ.
Специфические звенья в структуре ЦСАУ......................254
12.2.	Способы управления, классификация, расчётные
структурные схемы ЦСАУ.....................................259
12.3.	Определение Z-преобразования и его применение
к расчёту ЦСАУ............................................265
12.4.	Примеры определения Z-преобразования.................268
12.5.	Основные свойства Z-преобразования...................271
Глава 13. Анализ дискретных систем автоматического управления
частотными методами...........................................272
13.1.	Определение амплитудно-фазовой частотной характеристики
(АФЧХ) дискретной системы..................................272
(3.2. Применение теоремы Котельникова-Шеннона для обоснования
метода анализа и синтеза ЦСАУ.........................278
13.3.	Определение передаточной функции. Передаточная функция
разомкнутой ЦСАУ...........................................283
13.4.	Определение передаточной функции ЦСАУ
в замкнутом состоянии......................................286
13.5.	Анализ устойчивости и построение переходных процессов
в ЦСАУ на основе Z-преобразования..........................289
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ....................................295
345
Глава 14. Структурные преобразования в нелинейных САУ........295
14.1.	Виды нелинейностей всистемах автоматического управления.295
14.2.	Составление структурных схем систем управления......297
14.3.	Структурные преобразования в нелинейных системах....302
Глава 15. Метод фазовой плоскости............................305
15.1.	Теоретические основы метода.........................305
15.2.	Построение фазовых траекторий по уравнениям
движения системы.......................................... 307
15.3.	Построение фазовых траекторий с помощью изоклин.....310
15.4.	Пример расчёта......................................311
Глава 16. Исследование динамики нелинейных систем автоматического
управления методом гармонической линеаризации................314
16.1.	Общая характеристика метода гармонической линеаризации..314
16.2.	Методика нахождения коэффициентов гармонической
л и неаризаци и............................................319
16.3.	Определение параметров автоколебаний с помощью
метода гармонической линеаризации..........................322
16.4.	Анализ нелинейностей САУ методом гармонического баланса.326
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.....................................330
ПРИЛОЖЕНИЯ...................................................333
346
Учебное издание
Лысов Владимир Ефимович
Теория автоматического управления
Редактор С.И. Костерина
Компьютерная вёрстка И.О. Миняева
Выпускающий редактор Н.В. Беганова
Подп. в печать 17.03.09.
Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная.
Усл. п. л. 26,42 Уч.-изд. л. 26,38.
Тираж 150 экз. Рег.№ 490.
Заказ № 500
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный технический университет»
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
Отпечатано в типографии
Самарского государственного технического университета
443100. г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус №8
БИБЛИОТЕКА СамГТУ
Цена дог. '/р(С	руб.
№ док. ч. t1 / X