СОДЕРЖАНИЕ
Введение .................................................. 3
Пель работы................................................ 3
Задание на работу . . . . ..............................	4
Теоретическая часть .......... . .......................... 4
Представление нормальных и касательных нагрузок
с помощью рядов Фурье ........................ .........	6
Расчет балки-стенки при помощи рядов Фурье................ 12
Расчет балки-стенки по технической теории изгиба ....	19
Расчет балки-стенки с заданной точностью
при действии нагрузок произвольного вида ................. 24
Порядок выполнения работы ................................ 25
Содержание и оформление отчета о работе ............ .	.	26
Контрольные вопросы . ...................................  27
Варианты заданий.......................................    28
Приложения...............................................  29
Литература..............................................   32
Методические указания
к выполнению расчетно-графической работы
но курсу «Сопротивление материалов»
Составили: НЕГРОВ Владилен Васильевич
КРИВОШЕИН Игорь Васильевич
Рецензент В.В. Козлов
Редактор Р.А. Козина
Лицензия ЛР Ns 020271 от 15.11.96
Подписано в печать 25.01.01	Формат 60x84 1/16
Бум. тип.	Усл.-печ.л. 1,86 (2,0) Уч.-изд.л 1,8
Тираж 200 экз. Заказ 11	Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77
Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77
ВВЕДЕНИЕ
В практике строительства часто встречаются объекты, мате-
матическое описание которых относятся к плоской задаче теории
упругости. При этом все площадки тела по одному из направлений
являются главными, и для них касательные напряжения и'Тду
равняются нулю. Главное напряжение бЬ? или равно нулю (плос-
кое напряженное состояние), или может быть выражено через на-
пряжения (Ьх и СЬу (плоская деформация) . Таким образом, из
напряжений в плоской задаче неизвестными будут лишь ,
(Sy ,	°
Задача о расчете высокой балки (балки-стенки) относится
к плоскому напряженному состоянию. На основе технической тео-
рии изгиба с достаточной для практики точностью рассчитывают-
ся лишь балки с h /•£ - 1/5, где h - высота балки, -
длина балки. При увеличении отношения h /£ погрешности
приближенного решения растут и при некотором t) / Ь стано-
вятся недопустимо большими. Это обязывает расчетчика исполь-
зовать математический аппарат теории упругости.
В настоящее воемя разработаны методики как численного,
так и аналитического расчета балок-стенок на действие нагру-
зок самого общего вида, что позволяет решать реальные задачи
проектирования для данного класса объектов.
Основой излагаемого ниже алгоритма расчета является метод
Фурье, относящийся к решению краевых задач для дифференциаль-
ных уравнений в частных производных. Использование данного
подхода к расчету балки-стенки позволяет ограничиться привле-
чением минимального набора средств высшей математики и весьма
эффективно применять ПЭВМ для получения решения задачи с за-
данной степенью точности.
ТТЕЛЬ РАБОТЫ
Объектом исследования является метод расчета балок-стенок
с использованием одинарных тригонометрических рядов.
В процессе выполнения работы:
-	изучается методика представления исходной нагрузки в ваде
разложений в одинарные тригонометрические ряды;
-	изучается методика решения однооодных дифференциальных
уравнений в частных пооизводных по методу Фурье;
3
OJLriAN.RU
-	изучается методика определения из граничных условий коэффи-
циентов решений обыкновенных дифференциальных уравнений;
-	изучается точность приближенного решения задачи по техничес-
кой теории изгиба балок;
- изучаются вопросы получения решения задачи с заданной точ-
ностью при действии нагрузок произвольного вида.
ЗАДАНИЕ НА РАБОТУ
Для балки-стенки, изображенной на рис. I
да ..ПТГттД^
Рис. I
с заданными нагрузками ,у,/х) ,Т(У) , Tifx) и заданным
соотношением h /X требуется:
I.	Представить нагрузки в виде одинарных тригонометричес-
ки? рядов с удержанием указанного количества слагаемых.
2.	Решить бигапмоническое уравнение для конкретного члена
ряда разложения функции напряжений, соответствующего указанно-
му в задании члену ряда для С{,(Х) , Q^tX) .
3.	Найти произвольные коэффициенты функции У Су) из краевы
условий на верхней и нижней поверхностях балки-стенки.
4.	Построить в заданных сечениях балки-стенки эпюры на-
пряжений (£)/ ,	, 't'xy .
5.	Решить аналогичную задачу на основе технической теории
изгиба балок и сопоставить точное и приближенное решения.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Основные уравнения для плоской задачи теории упругости
получаются из уравнений для объемной задачи £l, 2"] путем
исключения из них производных по координате Z .
Если решать плоскую задачу в напряжениях Сох > С?у ,'txy,
.4
то получается оазоешающая система из трех уравнений: l) .ygaBx
нения равновесия, да., проекции на ось рх', 2) уравнения равнове-
сия в проекции на ось ОУ,' з) уравнения неразрывности деформа-
ций , записанного через напрлжетия и имеющего вид_
VZf(9x+Sy) = Q	(I)
Z
где V ( ) - гармонический оператор Лапласа
) = (2)
v 1	ъ
В систему разрешающих уравнений не входят константы упру-
гости Е , то есть напряжения	не зависят
от уппугих свойств изотропного «инейно-упругого материала
(теорема Леви).
Решение задачи в напряжениях упрощается путем перехода к
функции напряжений Эри у(Х,у) , связанной с напряжениями
формулами
г г	О. у ии (з)
где X, У - объемные силы, х, у - декартовы координаты.
При этом уравнения равновесия обращаются в тождества, а
уравнение неразрывности деформаций принимает вид
v у эх4 гэхга/ эд4 “°'
Уравнение (4) называется бигармоническим уравнением для плос-
кой задачи теории упругости. Заметим, что при отсутствии
объемных сил выражение для касательного напряжения Тош будет
я- эгТ	fc)
, оч-- эх гу	1 '
Уравнение (4) является однородным дифференциальным уравне-
нием четвертого порядка в частных производных. В связи с этим
для решения конкретной задачи в каждой точке границы (контура)
балки-стенки необходимо задать по два краевых условия
1<Фп|=1Чп|, ITxsIHtL
(ft - направление нормали к контуру), выражающие равенства на
контуре внутренних напряжений и внешних нагрузок.
Из этого следует, что как нормальные ££•(/) ,tyi(X) , так
и касательные компоненты ТС/) ,Ti(X) внешних нагрузок
должны быть известны во всех точках контура балки-стенки, рис.1.
5
В практике проектирования балок-стенок данные нагрузки
имеют самый разнообразный характер, что определяется как спо-
собами нагружения балок-стенок, так и взаимодействием их с
соседними частями конструкции, зачастую данные нагрузки носят
явно выпаженный .локальный характер, что вызывает определенные
трудности расчетного vapaKTepa при использовании метода ко-
нечных разностей и метода конечных элементов.
Переходим поэтому к изложению аппробированной методики
получения решения задачи изгиба балки-стенки, основанной на
использовании рядов Фурье. При этом функция Эри
представляется в виде
2 (У; ®'Sln	t И
1=1
то есть является суммой составляющих, гармонически изменяю-
щиеся по оси X. Увеличивая ГИ в (б) , получаем уточнение ре-
шения задачи, что в итоге позволяет достичь требуемой инженер-
ной точности в t5% по величинам (9/ , Сэу , ^ху •
При этом нагрузки ,Cjp(Х) ЛТХ) ,Т}(Х) также необ-
ходимо представить в виде рядов Фупье, например, полного ряда
2 Ч* М	(?)
е	д Lzi .	fi-
Ч i =i SLfl-^Ц
Именно данное представление нагрузок вместе с использова-
нием формулы (б) позволяет понизить размерность задачи (с дву-
мерной до одномерной) и перейти к решению обыкновенных одно-
родных дифференциальных уравнений четвертого порядка.
Ввиду важности вопросов использования представлений типа
С?) рассмотрим подсобно первый этап решения задачи при помощи
рядов Фурье - представление исходной нагрузки гармоническим
рядом.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК
С ПОМОИ’ЬЮ РЯДОВ ФУРЬЕ
Рассмотрим случай действия заданных на верхней и нижней
кромках балки-стенки нагрузок Ру	и Рх = Т(х) . рис. 2.
Если на двух кромках заданы различные нагрузки ,Ti ,	,
у , то ИХ всегда можно заменить суммой двух нагружений -
6
симметричного с нагрузками С£с ,ТС и антисимметричного с
нагрузками Cj,ac., Тас , рис. 2, причем :
4= = £ ("Ч1+	> Тс-у fTt + ТД	(в)
Я’ЛС-	Тхс= у fTt- lz).
В дальнейшем можно, например, считать нагрузки Оу иТ симмет-
ричными, а для антисимметричного загружения результаты получа-
ются по аналогии с симметричным загружением. Это первое воз-
можное упрощение решения задачи расчета балки-стенки.
Второе упрощение состоит в том, что нагрузки Q fx) и"Г(х)
не обязательно раскладывать в полные ряды (?). Возможно огра-
ничиться разложением в ряд по синусам
q,(x)=|q.i-SLn-!^;q„--^j'g.Wsin^A	(s>)
или в ряд по косинусам
ср cos q,-- ± fax) fa fafaf(fa)co$jf<Jx. <“)
В обоих случаях при удержании достаточного числа членов ряда
исходная нагрузка аппроксимируется рядами (9) или (то) с высо-
кой степенью точности.
Рассмотрим конкретный пример для нагрузки, изображенной
на рис. 3.	fag
I_______.4 j Н „I 1_________[
к	0,3 £ Л 0,21	0,51*
У-----------£---------------
Рис. 3
7
Подчеркнем, что, как на пис. 3, так и в вариантах заданий
на расчетно-гоафическую работу нагрузки С^(У) или TfxJ
яв..иктся кусочно-постоянными, рис. 4,а,б.
Qe= const	Tir=constl Tzr= const z
Рис. 4
Для нагрузки с рис. 4,а интегралы в (9), (io) вычисляются по
формулам;
г»

(и)
(L- ><х
= -	СС°5 Ж/^) -	(LTCl/^l
= Zq/fijr) (sin (in/i) - sintsra./^)).
Для нагрузки с рис. 4,6 интегралы в (э), (ю) имеют вид:
То ((Т/Ж Дгс(х)<
аг
1? f Winf^r -tf [V(COS(W«)-“S^))+
°	.	+r/r^fW^-c<<aA)j,
=фйсп С^)-^	^))J.
JI L
С использованием формул (ll) получены величины коэффици-
ентов разложения нагрузки С^Сх) с рис. 3 в ряды (э) и (ю) 
C^i и Q,* игедобавлены в табл. I. Отметим, что известна и
величина , f	о5Р п
=MsrT^°'2^ •
Таблица I
1.	4L	q*	L		GkT	L	q,t	
I	0.3742	0.I2I6	II	-0.0340	-0.0III	21	0.0178	0.0058
2	0.2199	-0.3027	12	-0.0367	0.0505	22	0.0200	-0.0275
3	-0.2018	-0.2778	13	0.0466	0.0641	23	-0.02 63	-0.0362
4	-0.2879	0.0936	14	0.0823	-0.0267	24	-0.0480	0.0156
5	0	0.2546	15	0	-0.0849	25	0	0.0539
6	0.I9I9	0.0624	16	-0.0720	-0.0234	26	0.0443	0.0144
7	0.0864	-0.П90	17	-0.0356	0.0490	27	0.0224	-0.0309
8	-0.0550	-0.0757	18	0.0244	0.0336	28	-0.0157	-0.0216
9	-£0416	0.0135	19	0.0197	-0.0064	29	-0.0129	0.0042
0	0'	0	20	0	0	30	0	0
На рис. 5,а,б даны эпюры 'С^Х) > полученные представлением
исходной нагрузки, рис. 3, рядами (9) при m = 30, рис. 5,а,
и рядами (ю) при m = 30, рис. 5,6.
0 - _ - ПТЩ ________________________$ ЭП.ЦМ
о о.ъ1 osZ.
|f |f
-t°_......пгт___________9п.^(х)
о	О.з£ 05£	L
Рис. 5
Эпюры рис. 5.а,б убедительно свидетельствуют о высокой
точности аппроксимапии локальной нагрузкиtye fX? при/7] = 30.
Очевидно, что при рассмотрении меньших номеров приближе-
ний ПО в рядах (9) и (io) результаты аппроксимации ухудшаются.
В качаетве примера возьмем равномерно распределенную наг-
рузку Тг(х) = Tr (Ь -Х£	. В табл. 2 даны величины коэффи-
циентов разложения Тг(Х) в ряды (9) и (то\ причем известна и
величина	.
T^ljTrWdx ф|0 -Тг.
9
			 Таблица 2					
L	Тс	L	L	Тс	
I	Т.2723	0	6	0	0
2	0	0	7	0.I8I9	0
3	0.4244	0	8	0	0
4	0	0	9	0.I4I5	0
5	0.2546	0	J0	0	0
Из табл. 2 видно, что для случая симметричной относитель-
но X =	/2 нагрузки все кососимметричные гармоники имеют ну-
левке коэффициенты, то есть Т* -0 f L -I >2 , •.., пт) ,
Tl = О а -2,4,6,... .четное).
Левая половина симметричной относительно X = Z- /2 эпюры
Trfx) , аппроксимирующей при 1Т| = ТО исходную нагрузку Тг- I,
приведена .на рис» 6.
Из сопоставления ординат эпюр нагрузок с рис. 6 и рис. 5
видно, что при ГЛ =• ТО погрешности аппроксимации возрастают,
несмотря на отсутствие локальности нагрузкиТ|-(х)= I.
Заметим, что в табл. 2 абсолютно четко прослеживается убы-
вание величинТ[ с ростом L , что непосредственно характери-
зует сходимость приближенного решения к точному. В табл. I
проведение анализа сходимости сопряжено с определенными труд-
ностями, связанными, в частности, со знакопеременностью вели-
чин Cj.L и Q,* . Можно, тем не менее, установить, что (ф|>
,Ы>1фз|>ВД..........
Iq^gj , то есть решение по величинам q,£ сходится.
Совершенно аналогичные неравенства можно записать для ве-
личин С},* , что уже характеризует сходимость рядов (ю) .
При счете на ПЭВМ чисто членов ряда в линейной задаче мо-
жет быть весьма большим, например, в , С.ТОО} указывает-
ся на решение задачи о действии на балку-стенку сосредоточен-
10
ной силы с удержанием в рядах Фурье нечетных гармоник с
Н Ы ЗООТ» В следующем разделе методических указаний исследу-
ются вопросы, связанные с потерей точности вычислений при боль-
ших величинах L в (9), (io)«
Для большинства реальных нагрузок в рядах (9),(Ю) доста-
точно удерживать несколько членов ряда. Весьма разумно взять
за критерий необходимой точности аппроксимации исходной наг-
рузки отклонение в ±5%, совпадающее по величине с обычной
инженерной точностью расчетов»
рассмотрим, в качестве поимера нагрузку, изображенную на
рис. 7, и определим для нее точность аппроксимации исходной
кусочно-постоянной нагрузки полным рядом (7) при различных
величинах /Т) . '
В'Дабл. 3 поиведены ординаты эпюрыС^у) по (?) в виде зна-
чений Цлс£. knax ,^лг£-тьп для диапазона 0.12 £Х£ 0.28 и
значений t^np. ппа.х	для диапазона 0.62 *= X £ 0.98.
Таблица 3
	О' игах	(^лг£. лип	С^пр. nw	фпр. men
I	0.46^	0.290	0-665	0.464
2	П.331	0.323	0.765	0.628
3	0.650	0.494	1.119	0.487
4	0.839	0.665	Т.2 5О	0-485
6	0.966	0.794	I.I27	0.606
6	1.0.53	0.657	Т .109	0.613
*7	Т.05Т	.0.706	I.06I	0.663
Отметим, что^ийи наблюдаются вблизи концов участков с дей-
ствующей нагрузкойCpg ~ I. Из табл. 3 видно, что уже приближе-
ние с М - 7 дает приемлемую точность аппроксимации исходной
нагрузки.
Очевидно, что при решении в приближении с ГГ) = 7 следует
ожидать точности вычисления напряжений	’ ^ху
также в пределах около 5%, что вполне достаточно для инженер-
11
них расчетов баю к-ст ено к.
Подчеркнем, что при рассмотрении приближения ру] = 7 не про-
исходит потери точности вычислений.
Это позволяет при прогпаммиоовании для ПЭВМ всех расчетных
формул ограничиться точностью вычислений REAL,.
В связи с этим при выпо.пнении расчетно-графической работы
необходимо вычислить С£.0,С[,- , (L =1,2,...,?) и после это-
го оценить точность аппроксимации исходной нагрузки
(илиТг(>0) при Иб - I; 2;...; 7»
Отметим, что форму.™ ($) , (ю) , (п) , (к) поддаются
элементарному программированию на любом проблемно-ориентиро-
ванном языке. В приложении I к методическим указаниям приведе-
на схема алгоритма вычис лен ия^ве личин ф,, Cfc , Q* по формулам
(и) , (l?) и посауЯения эпюр 'Cfy(x) по формулам ^9) , (ю) .
данная с-хама бе& изменений применима и к тангенциальным наг-
рузкам Тг(х).
Кроме того, заметим, что и при использовании микрокальку-
лятора требуемый объем вычислений также невелик: при построе-
нии эпюр илиТгСх) достаточно разбивать отрезок
распределения нагрузки [Qi, на 4 части.
Результатом вычислений коэффипиентов рядов (9) , (ю) и
опенки необходимого числа ffl в [9) , (It?) дслжно являться
заключение о наименьшем необходимом числе членов ряда, дающем
требуемую точность аппроксимации заданной нагрузки на балку-
стенку.
В соответствии с рекомендациями Ст] Ш, предпочтитель-
нее раскладывать в ряд (9) по синусам, а Тг(х) - в ряд (io) по
косинусам.
Чрезвычайно важно, что решение на каждый из членов ряда
(9) или (ТО) на основе принципа независимости действия сил
может быть получено отдельно с последующим суммированием ре-
зультатов. Mio у.акже выгодно отличает предлагаемый алгоритм
расчета балки-стенки»
РАСЧЕТ БАЛКИ-СТЕНКИ
ПРИ ПОМЭШИ РЯДОВ ФУРЬЕ
В предыдущем разделе методических указаний доказано, что
исходная кусочно-постоянная нагрузка C^g (X) иТг fx) может быть
12
представлена в виде одинарного пяда Фурье вида (9) или (io).
При этом каждая компонента нагрузки на верхней и нижней гранях
балки-стенки обладает большой степенью обшности. это позволяет
существенно расширить область применения решения по сравнению
со случаем использования функции напряжений в виде полиномов^!]
Далее возможно вести расчет балки-стенки отдельно на каж-
дый член ряда разложения нагрузки (э} или (ю). При этом
бйгармоническое уравнение (4) удовлетворяется, если взять
функцию напряжений зри в виде
f Y, у)= Sin I(ЛГхД) ' -У ГУ),	(13)
где L - любое целое положительное число. Случай задания
№у)= coscm/£). j*fy)
подставить, (тз) в (4) , то с использованием обозна-
°с= i.®7£	(14)
следующее обыкновенное линейное однородное дифферен-
уравнение четвертого порядка
У’Гй-х/УИ^У^-о.
будет рассмотрен далее.
Если
нения
получаем
пиальное
-	- Г Ч
Общее решение для уравнения (15) с постоянными коэффициентами
УСУ) = СдсИ<£у+Сх5иу + СзУ oheiy-t-Cq У shaly.	(Тб)
Тогда функция напряжений поймет вид
№,y)=Sindx- fachdy+c2shdy+c3 У chzy+Cqу dUy) (i?)
а компоненты тензора напряжений будут определяться формулами:
fax- = —= Sinaia'-[fadcb<Ly+Cz£shbj+CzcLft shcLy
+ dy chdy)+c\ alfzcjicty +cLy sh dy jfa
0'8)
+dy cholyfaC'/dfz +fay shdfaX
= fayx -dzsin	facly+Cqy shdy]
(УХ .
+
тхчг.	=cos^E^sH+cz-^M
Подчеркнем, что при рассмотрении в рядах (9) , (10) гармо-
нических составляющих с большими значениями L автоматически
13
получаются большие величины аргументов в гиперболических функ-
циях	фню , через которые ищется решение задачи
по вертикальному направлению. Именно поэтому при росте величины
L в (э) , (io) возрастают погрешности вычисления величин
напряжений (л>х ,(Ьу • В этой связи представляет значи-
тельный интерес выяснение вопроса о наибольших допустимых для
современных ПЭВМ величинах номера гармоники в рядах (э), (м) .
Прежде всего установим степень близости величин OH и
ShH) для различных значений параметра с/. - L$T /& , при-
чем вычисления проводим с точностью EXTENDED, являющейся наи-
высшей в большинстве современных языков программирования для
ПЭВМ. В табл. /| приведены величины di иSh [»6h/z) для
различных значений сЛ , причем -L - 2 h •
Таблица Ц
L	1	2	3	У		5	6	У-
сША) Wh/г)	1.3246 0.868?	2-ПОЭТ 2.30T3	5.3227 5.2280	11.592 11.548		25.387 25.367	55.663 55.654	122.08 122.07
L	8	9	10		20	„	,			
ch(Zh/2.)	2 67.75	587.242	Т287.9854		3.31781199967064			10°
	2 67.74	587-241	1287.9850		3.31781199967049			10 6
При L = 30 величины ofafah/z) и 5И совпадают с точностью
до 16-го знака. Это приводит к необходимости перехода к пока-
зательной форме решения для функции У (У)
с удержанием при весьма больших значениях L лишь убывающих
экспоненциальных членов [l, с. I0I-I02]
Ч[у>с?	фо.
Однако при действии нагрузок с меньшей степенью локализа-
ции можно избежать перестройки расчетных формул. Рассмотрим бал-
ку-стенку, нагруженную вертикальными усилиями по верхней и нижней
грани с интенсивностями Asin^X и Bsi-UcZx соответственно,рис.8.
Данные рис. 8 соответствуют случаю, когда	Z- ,
А> О, Вт- 0. Распределение напряжений определяется формулами
(18) • Постоянные интегрирования С± , Cz • С*ь , необходимо
найти из условий на верхней и нижней гранях балки-стенки;
^h/z: /Гх9=о>	= -В	(19)
у =-Й; 'Гху = О> = - A
Подставляя (l9) в третье уравнение (18), получаем формулы;
си $^ьс20с cU	^4}^
~c,	фф kshJL	cluh\o,
Из уравнений (гб) находим.'
г г	АЛ)__________'С —Г	Лп-Л
^'Сг 1 1
При использовании (”19) и формулы для fis') получаем;
оф,
Складывая и вычитан уравнения (22) и используя соотношения
с.-1л/в	 с __И>	(23)
' 1 sVXb)^h
cAfJ-hA)  с А+в
sh^h)-ZH	'
Подставляя f23) в (l8) , по.тучаем окончательный вид формул для
компонент тензора напряжений (г>х ,(Д /txy •
Следует иметь в виду, что на многих современных микрокаль-
куляторах отсутствуют вычисления гиперболических функций
sh^yj исА^я) , поэтому приходится использовать формулы
sh (^s-	ch[^--	.
Очевидно, что для значения^У = Уд в процессе вычислений вели-
чины С = и А)	определяются один раз, но это
позволяет определить для формул (23) величины:
15
Совершенно аналогично следует вести вычисления и при опре-
делении значений (г>х - & j , по формулам fie) .
Отметим, что пои задании функции напряжений в виде
решение получается способом, аналогичным рассмотренному выше.
При этом Ct . Cz ’ С-ъ » Cq вновь определяются по формулам
(23), а выражения для напряжений будут;
'Еху “Йс	Si-п  9‘ Ш
где фоому.лы для у*1/^ , У*(У) «У [У) записаны в квадрат-
ны? скобках формул (18) »
Таким образом, при действии нормальных нагрузок по верхней
и нижней граням балки-стенки величины	, Тлсу вы-
числяются по формулам fip) , если С^(Х) раскладывается в ряд
fg) или по фосмулам (25), если (у)раскладывается в ряд fio).
Рассмотоим конкоетный пример расчета для балки-стенки,
изобоаженной на оис. 9.
/-О, 51пС9ГХ/£)
X-	Г-ГтУ-т--------
По фо ому лам (23) вычисляем Ct - 0.04689 tye ,Cz = 0.10997	,
Cj = -0.1670 qe »Cq - -0.05944	. Подставляем величины
Ci - Cz , C3 ,Cq в фопмулы (Т8) и стооим эпюры (^х	,
в сечении / =	/2, рис. 10,а.б, а также эпюру ТТху в сече-
нии X = о, где Q = Qmax , Рис* 10,в»
Рис. 10
16
Переходим к изложению методики вычисления напряжений в
балке-стенке от действия касательных усилий по верхней и
нижней ее поверхностям.
Берем функцию напряжений в виде__
Ш У) = СО5 Г да/е) • У Jy) •	(2 б)
Подставляем (2б) в бигармоническое уравнение (4~) и получаем
где	/£. . Общее решение линейного однородного диффе-
ренциального уравнения с постоянными коэффициентами (2?) име-
S^]^J	(28)
а формулы для напряжений будут;
(Jy._ coS	J.(2 SMj +	(29)
+^у	sUa)],
..	у sUyl
3	>	Г—	—
= _ Э	of. gun fxx)• j_c(cZ sh Jy+QcZcii<Zy +
+C3fcj] Jy+c(y skcly)+C4^s)i J.y + ot'j	.
Рассмотрим балку-стенку, нагруженную горизонтальными
непрерывно распределенными усилиями по веохней и нижней грани
с интенсивностями A	и Е>Со£^х) соответственно, рис.II.
В > 0.
17
Постоянные интегрирования , Qz ,	> С4 находим из
условий на верхней и нижней гранях балки-стенки при у
-fj/z:	= B_co5/^)j £у = О,	(зо)
У =-- ^2:	=- 4 COS/^x); (ВУ = О.
Подставляя (зо) во второе уравнение (29) , получаем;
cj ch(М)+с^sU^z)^[hh)ch(^+r4(h^sh (зт)
Ci ch(JJify-Cz ^h	ch
Из уравнений (3l) находим:
Г _ г shtth/z) . Г, --Г <chfdM .	, >
ь "z[h/z)c,h (Uh/z) 1 x sV^A)	32
Пои использовании (зо} и формулы для ''Уху (29) получаем'.
И
+ сч fs)i h/z) Ц^z) ch Д7	= В,
- с; fshM^)4fxh/2)cV^Uffl=-J,
Складывая и вычитая уравнения (зз) и используя соотношения
(Зй) , находим:
5= Св-A) i	А)/[Л
с3=[в-а) sCp ^)/[Л c^flb.ydffl^ sC
Подстав лея в (йэ) , получаем окончательный вид для
компонент тензора напряжений (^>л ’Соу » ^5 *
Заметим, что при расчете на касательные усилия на гранях
U ~^h/z функпию напряжений можно взять в виде
^M-SLnfiSrx/^-y^.	f35)
В этом случае решение получается ана.тогично алгоритму по фор-
18
му.лам (зо) г (33) ,q , с5 вновь определится фор-
мулами (34), а выражения для напряжений будут:
н	у ® (зо)
где формулы для У'Уу) ’ У^У) > У/у) записаны в квадратных
скобках формул (зэ).
Отметим, что конкретные численные расчеты на действие про-
извольного члена ряда разложенияTrfx) не отличаются от рас-
четов на конкретный член ряда разложения в (X) , представленных
на рис. Ю. Следует лишь помнить о смене формул для констант
Функции .
Таким образом, в данном разделе методических указаний рас-
смотрены расчеты как на нормальные, так и на касательные нагруз-
ки в виде одного конкретного слагаемого в ряду представле-
ния функции напряжений	•
Далее в методических указаниях рассмотрены вопросы получе-
ния для балки-стенки решения с заданной степенью точности,
когда производится суммирование результатов от действия отдель-
ных членов ряда разложения нагрузки.
Однако важным является и сопоставление решения, получаемо-
го методами теории упругости, с решением по технической теории
изгиба балок, которому посвящен следующий раздел методических
указаний.
РАСЧЕТ БАЛКИ-СТЕНКИ
ПО ТЕУНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИЗГИБА
Рассмотрим вопросы получения элементарного решения сопро-
тивления матепиалов для изгибаемой балки с гармонической наг-
рузкой. При использовании гипотез сопротивления материалов
балка заменяется ее осью, рис. 12.
Дифференциальное уравнение изгиба балки принимает вид
= ш	(3?9
а граничные условия шарнирного опирания балки слева и справа
будут:
Х=о: У'о) = 0, У"(о)-О,	(38)
Х»£: У (1)^ О,
Если взять аналитическое выражение для фугкпии прогиба
балки в виде
У(ХН А 	(39)
то оно будет удовлетворять как граничным условиям (Зв) , так
и характеру распределения поперечной нагрузки, рис. 12. Мож-
но показать, что (зэ) является точным решением задачи изгиба
балки при использовании гипотез сопротивления материалов,
если балка оперта по концам шарнирно, а поперечная нагрузка
представляет из себя один из членов разложения произвольной
нагрузки в ряд по синусам (э) .
Если же хотя .бы на одном краю балки реализуется иное
опорное закрепление (защемление, ползун, свободный край), то
функция (39) не будет яв.тяться решением для балки.
Для определения величины постоянной Д в решении (зэ)
подставляем (зэ) в уравнение (з?) и в результате получаем
ЕЛ A	&in шр, (4о)
откуда находим величину Д = С-^/(^Ю)/ЕОу и окончатель-
ное выражение для прогиба балки в виде
Внутоенние садовые факторы в балке вычисляется по известным
формулам;	/3,. ,	„
Q(X! - - Е Зх	W
- ЕА (АгАЛп ’
Напряжения в заданном сечении балки определяются формулами:
<2>(x,g> MM-tf/X (43)
20
где $ = I - ширина балки-стенки, Ох - 1 • И /12,
S Г = [d • Си/г-у)] Ш 4- у/z].
Наибольшее нормальное напряжение при	91~ /соответ-
ствует сечению % = ^Ьп) и реализуется в крайних волокнах
балки-стенки пси У = ± Р1 /2, тогда
АИЙ_£.	С48)
h
Наибольшее касательное напряжение по технической теории изги-
ба соответствует У - О, тогда
Например, для балки, рис. К, когда 3 И, h = I М,
)П = 3, получаем:
frW - М	=-0-10132	,
(Ьмах= ±С[,м-б/&*	= 0.6079 CJzW ,
Qmax - Q	/$Г	’
£"уплх = i>5~^-ni/^/~	= 0.4775	•
Расчет балки-стенки по методу Фурье дает при £. - 3 М,
h - I	- С{/ 5Ь-И^З?ГХ/^-) эпюры, показанные на
рис. 13 сплошными линиями.
А 0,4360
®J о т5-
%	y/W99
O^Si
j! 0,295g
A?
Пунктирными линиями на рис. 13 показано решение, по,лученное по
технической теории изгиба балок.
Сопоставление точного и гриближеиного решения показывает,
что для значения /] /	= l/З формулы сопротивления материалов
дают неприемлемо низкую точность.
21.
Для установления пределов применимости решения по техни-
ческой теории изгиба проводим для балки-стенки численные экспе-
рименты пси различных величинах отношения /£. для нагрузки
с рис. 12, действующей по верхней грани. Результаты приведены
в. табл. 5, причем обозначение ”т.у." относятся к решениям по
методу Фурье, а обозначения "с.м." являются указателем данных
по технической теории изгиба баток.
Таблица 5
h/2	GV X jj Ч	s	t>x ( z)			
1/4	-I.Ell	I.I598	+ 1.0808	-0.6031	-0.6366
1/5	-1.7844	1.5098	+ 1.6887	-0.7700	-0.7958
1/6	-2.5560	2.7446 J	+ 2.4317	-0.9339	-0.9549
Получено. что и для соотношения И /£_•= 1/6 погрешности
вычисления напряжений по технической теории изгиба дос-
таточно велики: по величине(i~>x^/2 ,h /2) 4.86%, по величине
Sx (1/2, -h/?") 11.40%.
Для уточнения вопроса о пределах применимости решения по
технической теории изгиба балок рассматриваем балку-стенду с
нагрузкойCpgfxjxty	на верхней грани при различных
соотношениях h /L . Результаты сведены в табл. 6 с сохра-
нением обозначений, использованных в табл. 5.
Таблица 6
		"I*--. ] —I- \ 1 p *	£74^)		CM z-	\ ^3 (% °)
1/2	2.55®	-2.7446	2.4317	0.9339	0.9549
1/3	5.6358	-5.72.38	5.4713	I.4189	1.4324
T/4	9.906	-9.957	9.727	I =900	I.9099
1/5	15.385	-15.417	I5.198	2.379	2.3873
1/6	2S.076	-22.099 .	21.885	2.858	2.8648
Данные табл. 6 убедительно свидетельствуют о значительно
более высокой степени соответствия результатов по методу
Фурье и по технической теории изгиба для нагрузки вида
С?,й(Х)-Ср ScnfJ/'X/^). действительно, уже при соотношении
И / /. - l/з погрешности определения СВх составляют лишь
4.82%, а 0.95%.
В основе данного факта лежит то обстоятельство, что для
•22
нагрузок видаб^у)= giw длина балки-стенки фактичес-
ки делится на Ж равных частей, в пределах каждой из которых
повторяется гармоническое решение. Это наглядно видно из сов-
падения величинах Тху в последней строке табл. 5, когда ЙП = 3,
И /Л = l/б, и в первой строке табл. 6, когда IT) = I,
И /I = 1/2.
Очевидно, что при делении длины балки-стенки £. на Гб час-
тей исходное соотношение И / фактически возрастает в jTi
раз, что и определяет понижение точности приближенного реше-
ния задачи по технической теории изгиба балок.
Заметим, что окончательное решение вопроса о пределах при-
менимости решений по технической теории изгиба балок может
быть получено лишь при удержании достаточного числа членов
ряда Фурье, необходимого для аппроксимации исходной нагрузки,
действующей на балку-стенку. Такие исследования проведены в
следующем разделе методических указаний как для равномерных,
так и для кусочно-постоянных нагрузок
Известен Факт, что при использовании гипотез сопротивле-
ния материалов пренебрегают величиной нормальных напряжений
по сравнению с величиной (рхmax. Так как при действии
на поверхность балки-стенки нагрузки видаС^йСх) -fyn Sift
имеем [(г;у	, то появляется возможность вычисления
соотношения (рх max /(рутю-х при изменении величины /И •
Результаты просчитывались для балки-стенки с рис. 9 и сведены
в табл. 7.
Таблица 7
астату
0.5 I_______2
1.0 I Т.16 I 2.74
3	4	Г~5~
5.72| 9.96.415.4
6 I 7 Г
22.1 I 30.01
8___
39.1
Данные табл. 7 подтверждают гипотезу сопротивления матери-
алов, что для сравнительно длинных балок с соотношением
£ /|)	6 можно пренебречь величиной напряжения (pg по
сравнению с величиной напряжения (рх . Погрешности пренебреже-
ния величиной (ру составляют при £. /fa =6 менее 5% и про-
должают убывать с увеличением соотношения Я- / И
Отметим, что формулы (хб) и (23) поддаются элементарному
программированию. В приложении 2 к методическим указаниям при-
ведена схема алгоритма вычисления величин из (23) и построения
эпюр напряжений по формулам (13).
23
РАСЧЕТ БАЛКИ-СТЕНКИ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ
ПРИ ДЕЙСТВИИ НАГРУЗОК ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА
В двух предыдущих оазде.яах методических указаний рассмот-
рены примеры расчетов балок-стенок на действие конкретных гар-
монических составляших в рядах раскладывания заданной нагруз-
ки Cpgfx). Очевидно, что исходная нагрузка на балку-стенку про-
извольна и может иметь достаточно сложный вид» С использовани-
ем формул (э) , (io) , fll) , С12) данную нагрузку можно раз-
ложить или в пяд по синусам (э) , или в ряд по косинусам (ю).
Возможно разложение исходной нагрузки и в полный ряд (?) .
Совершенно естественно возникает задача вычисления напря-
жений (£>х	j в балке-стенке от действия суммы гар-
монических составютюших нагрузки. Для этого необходимо органи-
зовать суммирование результатов по oL ~cL^ < oLz • ••-•alm °
использованием, например, формул (Тб).
Данная задача поддается элементарному программированию.
В качестве примера рассмотрим решение для балки-стенки, нагру-
женной по верхней поверхности равномерным нормальным да злени-
ем <^g(x) = Const - I. заметим, что используются формулы
SintS, О)
1=1	*-'
причем величины tyt совпадают сТь , приведенными в табл. 2.
Исследуем практическую сходимость решения по величинам
(Ox > (s><j •'txy при удержании различного числа членов в ря-
дах (SO) . Для определенности взято соотношение -Л / И =3.
Результаты приведены в табл. 8. Напомним, что для симметричной
относительно X - £ /2 нагрузки коэффициенты при четных гар-
мониках в рядах (э) обращаются в ноль.
/ Ь = з = Con st (0 X i £).	Таблица 8
m	Число членов ряда			1 may	i
i	I	-0.7288	0.7176	1.807	-1.2732
3	2	-0.6796	0.6926	1.96©	-0.8488
5	3	-0.705?	0.6955	2.040	-1.1035
7	4	-0.8870	0.6951	2.061	-0.9216
9	5	-С.7011	0.6952	2.071	-I.0631
II	6	-0.6897	0.6952	2.0T3	-0.9473
24					
Данные табл. 8 свидетельствуют, что для получения точнос-
ти в ±5% по величинам(^х(%Ь/г)и 'Тху на/ необходимо удержа-
ние трех членов пяда. Кроме того, в салу неравенства
(Ж-Wl точность в 5% по величине(5хтаЛ' достигается
также при Ж = 5 (трех членах ряда). Весьма важно и то, что
величина^у^-А/г) достаточно быстро изменяется в окрестнос-
ти точки X = £/2= 3/2= 1.5: при Ж =5 6э( 1.5,-0.5) =-1.1035,
<09 (I • 4, -0.5) =-1.083 ,Соу С Г .3 ,-0 • б) =-1. П29 ,ду (]. .2, -0. б)=
=-0.961,(оу fl.Г ,-0.б)=-0.905. При использовании интегральной
опенки сходимости решения по величине^f/ ,-0.е) в диапазоне
Ы£ Х& 1.9 для достижения точности в ±5% вновь достаточно
Удержание 3 ненулевых членов ряда Фурье по синусам.
Таким образом, при действии равномерной нормальной нагруз-
ки требуемая инженерная точность расчетов достигается /.при
удержании трех ненулевых членов в рядах (9) .
С ростом степени локализапии нагрузки сходимость решения
ухудшается. Например, для нагрузки =1, распределенной на
отрезке 0.25^- X - 0.75 А для получения точности в 5% необ-
ходимо удержание в ряду fg) слагаемых до Ж =7 (четыре члена
ряда), а при нагрузке ty[x) =1 на отрезке 0.375^& Х^ 0.625
данная точность обеспечивается лишь при Yy\ =Ц (б членов ряда).
Для всех рассмотренных видов распределения нагрузки
выявлены также и пределы применимости решений по технической
теории изгиба балок. Получено, что при ^ = I fo ЬХьё) *
точность решения достигается и при соотношении 4)/ И =3,
при0,<=1 на отрезке 0.256^-Х- 0.75- при 4//1 =4, а при
^^ (0-3756^X5:0.625 4) - при £/И =5.
Таким образом, в данном разделе методических указаний ус-
тановлено, что с ростом степени .локализации нагрузкиА) по-
нижается скорость сходимости решения задачи расчета балки-
стенки по методу Фурье и сужается диапазон применимости реше-
ний по технической теооии изгиба балок.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
I.	Получить и при необходимости согласовать с преподавателем
задание.
2.	Изучить теоретический материал, пользуясь руководством и
рекомендованной лгесатурой fl час).
3.	Провести разложение заданной нагрузки в одинарный тригоно-
25
метрический ряд fl час) .
4.	Изучить сходимость ряда разложения нагрузки до указанного
преподавателем члена ряда fo.25 часа).
5.	Для расчета на указанный преподавателем член ряда^м
записать обыкновенное дифференциальное уравнение, задав-
шись функцией	(о .25 часа}.
6.	Найти коэффициенты функции из краевых условий (1 час}
7.	Вычислить ординаты эпюр	в заданных сече-
ниях fl час}.
8.	Решить задачу методами сопротивления материалов fo.5 часа).
9. Сопоставить точное и приближенное решение задачи и сделать
соответствующие выводы fo.25 часа).
Расчетно-графическая работа выполняется в 5 семестре. На
ее выполнение затрачивается примерно 5 часов из времени, от-
веденного на самостоятельную работу студента, Срок представ-
ления оформленной работы составляет три недели с момента вы-
дачи задания.
СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА О РАБОТЕ
Отчет о работе должен выполняться в соответствии с приве-
денными примерами расчета и содержать следующие разделы:
- вариант задания;
- постановка задачи;
-	разложение заданной нагрузки в тригонометрические ряды с
удержанием указанного числа слагаемых;
-	изучение скорости сходимости рядов разложения нагрузки;
-	запись обыкновенного дифференциального уравнения и гранич-
ных условий;
-	нахождение величин произвольных постоянных функции у(у)
из граничных условий на линиях у = i h /2;
-	построение эпюп (г>х ,	в заданных сечениях;
-	решение задачи методами сопротивления материалов;
-	сопоставление точного и приближенного решения задачи изгиба
балки-стенки.
При оформлении работы численные результаты необходимо ил-
люстрировать чертежами, выполненными в масштабе с использова-
нием чертежных принадлежностей.
Работа оформляется на одной стороне листов формата А 4.
26
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
I.	Какая задача называется плоской задачей теории упругости?
2.	Чем различаются плоское напряженное состояние и плоская
деформация?
3.	Какие компоненты тензора напряжений определяют плоскую
задачу?
4.	Для чего вводится функция напряжений Эри?
5.	Как записывается бигармоническое уравнение плоской задачи
теории упругости?
6.	Как формулируются коаевые условия при расчете балки-стенки?
7.	Дайте основные характеристики метода Фурье сведения двумер-
ной задачи теории упругости к одномерной.
8.	Каким образом произвольные нагрузки раскладываются в ряды
Фурье?
9.	Обоснуйте достаточность разложения действующих на балду-
стенку нагрузок ь ряды Фурье или по синусам, или по косину-
сам.
Ю. Запишите форму™ для коэффициентов рядов разложения: по си-
нусам, по косинусам, в полный ряд Фурье.
II.	Каким способом получаются обыкновенные дифференциальные
уравнения относительно функпии Ут(У) ?
12.	По каким формулам вычисляются напряжения	»Тху
в балке-стенке?
13.	Как находятся произвольные постоянные функпии У (у) ?
14.	Как разыскивается решение задачи изгиба балки при использо-
вании технической теории?
15.	Каковы допустимые Гранины применения технической теории
изгиба балок9
16.	Укажите способ получения решения задачи изгиба балки-стенки
с заданной степенью точности.
17.	Укажите известные Вам способы упрощения расчетов балок-
стенок.
18.	Каким образом исходные нагрузки можно представить в виде
симметричных и антисимметричных составляющих?
T9.	Элементами каких инженерных сооружений являются балки-
стенки?
27
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Схемы нагружения балок-стенок - цифра I
Соотношение сторон балок-стенок - цифра 2
N |1	2	Q	4	5	6	7	8	9	10	II	12	13
ь/г II	0.95	0.9	0.85	0.8	0.75	0.7	0.65	0.6	0.55	0.5	0.45	0.4
Номер члена ряда Фурье - пифра 3
N 1 I I 2 Г 3 [	4 ]	5	|	6 I 7
28
Приложение I
СХЕМА АЛГОРИТМА.
вычисления коэффициентов рядов Фурье представления нагрузки
и построения эпюр соответствующих конечных сумм рядов Фурье
/ввод числа членов ряда А^~/
— { „~ --------7
/ ввод длины балки L /
__—_—	_ ..£.. _. _____________
/ввод интенсивности первой нагрузки tyi /
/ввод координаты начала первой" нагрузки Gtj /
/ввод координаты окончания первой нагрузки /
-----------------------£2--------------------
/ ввод интенсивности второй нагрузки /
/ввод координаты начала второй~~нагрузки Ctz /
_________4	___________
/ввод координаты окончания второй нагрузки (j>^/
.-------------------—4	___________
/ввод величины шага построения эпюры Z)/Z
______________________7
__ Ч'СТ) - ГО-//) / Р &
(формулы (12))
q<0 -Ь Ч V Oz, Cl |?	// (формулы (12))
д,&о,дод,0'
Ч q,5=qs-i<Ki)^Wwc/z.)•>

л-
( останов
29
Приложение 2
СХЕМА АЛГОРИТМА
вычисления величин произвольных коэффициентов функции У(х)
и построения эпюр напряжений в сечениях X и У =
/ввод номера члена ряд еГ Фурье 1(7
/ввод длины балки-стенки L> /
/ввод высоты балки-стенки //
/ввод амплитуды нагрузки по верхней поверхности Д /
_ / .... . .
/ ввод амплитуды нагрузки по нижней поверхности В /
/ввод координаты сечения по оси / : ХС~/
/ввод координаты сечения по оси J : 91/
...У—.. _
Ц/2)
Cs-bfABX, Н/4 С, Д ^;и/г)
(формулы (23/
Гук=1, ^^0 1
----j>4


ZU_________у__________i__________/.
(формулы (18/
%r- F^oL^Ci^C^cq)
------- ---------------------------
30
Приложение 3
СУ EMA АЛГОРИ'1’МА
вычисления величины определенного интеграла I =
для аналитически заданной функции	произвольного вида
с заданной относительной точностью g
/ввод нижнего предела интегрирования, ^7
/ввод верхнего предела интегрирования
__________________i	—7
/ввод относительной точности интегрирования Е/

х=в,